ББК 22.14
Г 85
УДК 513.6
Гриффите Ф., Харрис Дж.
Г 85 Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1982.— Т. 2 — 366 с, ил.
фундаментальная монография, нахшсавная известными аиериканскиий
тченыии, содержит основы совреиенной алгебраической геометрии, ее связи
с другими отраслями математики, а также необходимый подготовительный аппарат.
С присупшм Ф. Гриффитсу мастерством вскрываются пришцтиальные идеи этой
науки, которая в последнее время находит многие важные применения.
Монография удачно дополняет уже вышедшие на русском языке книги Д. Мамфорда
и Р. Хартсхорна.
В русском переводе книга выходит в двух томах. Том 2 содержит главы 4—6.
Для математиков, физиков, преподавателей, аспирантов и студентов
университетов,
^ 1702040000-100 , ББК 22.14
041(01)-82 *~^^' '• * 517.3
Редакция литературы по математическим наукам
Copyright © by John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved. Authorized translation
from English language edition published by
John Wiley & Sons, Inc.
© Переаод на русский язык, «Мир», 1982

4 ПОВЕРХНОСТИ
При первом знакомстве с теорией алгебраических поверхностей
больше всего поражает то, как сильно она отличается от теории
римановых поверхностей. Если кривые, единственным
дискретным инвариантом которых является род, выстраиваются в
упорядоченную последовательность семейств, то поверхности обладают
разнообразными численными инвариантами и так просто не
классифицируются. Далее, если для кривых имеются естественные
непрерывные инварианты — периоды, геометрически
реализуемые якобианами, то для поверхностей не найдено вполне
удовлетворительных непрерывных инвариантов. В результате теория
алгебраических поверхностей не обладает естественной
стройностью теории кривых; она занимается в основном изучением
специальных типов поверхностей. Это обстоятельство отражается
и в нашем изложении: если не считать определений основных
понятий, которые вводятся в § 1 и 2, и доказательства формулы
Нётера (§ 6), то фактически все наши результаты описывают либо
характеризуют конкретные семейства поверхностей.
В § 1 и 2 содержится вся техника, применяемая в нашем
исследовании поверхностей. Большинство этих результатов
являются частными случаями обсуждавшихся ранее обш;их явлений;
единственная новая идея связана с понятием рационального
отображения. Это важный аспект теории многообразий размерности 2
л выше; в случае поверхностей удается дать полное описание би-
рациональных отображений.
В § 3 мы изучаем обпще рациональные поверхности и
получаем ответы на некоторые вопросы, возникшие в теории кривых.
В § 4 дополняется материал § 3; его основной результат
состоит в характеризации рациональных поверхностей численными
инвариантами.
В § 5 обсуждается теорема о классификации поверхностей;
по существу, в ней дается описание (в той или иной степени
подробности) всех поверхностей, за исключением поверхностей
общего типа.

502 Гл. 4. Поверхности
Остается доказать формулу Нётера в § 6. С этой целью
вводится еще один общий технический прием — раздутие
комплексного многообразия вдоль подмногообразия. Используя эту кон-
стрзгкцию и некоторые замечания об особенностях поверхностей
в Р', мы представляем общую поверхность как гладкий дивизор
в раздутии пространства Р^ и получаем формулы для численных
инвариантов поверхности в терминах проективных инвариантов
бирационального вложения в трехмерное пространство. Формула
Нётера является их непосредственным следствием.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Индексы пересечения, формула присоединения
и формула Римана—JPoxa
Пусть М — алгебраическая поверхность, т. е. компактное
комплексное многообразие размерности 2, допускающее вложение
в проективное пространство. Так как М является
ориентированным вещественным 4-мерным многообразием, то форма
пересечения
Яг (М, Z) X Яа (М, Z) -> Z
симметрична и невырожденна. Для дивизоров D и jD' на М мы
определим индекс пересечения D-D' как индекс пересечения их
фундаментальных классов (jD), (jD') 6 Яг {М, 2). Аналогично,
если L->-Mh L'->-M — два линейных расслоения, мы
определим индекс пересечения L-L', полагая
L-L'= (ci(L)uci(L'))[Ml.
Подобным же образом определяется индекс пересечения L-D
линейного расслоения L с дивизором D как значение класса Чжэ-
ня Су (L) 6 Я* (М, Z) на фундаментальном классе (73) 6 Яг (М, Z).
Так как пересечение циклов двойственно по Пуанкаре о-произве-
дению, все эти определения согласованы: если L = {D] и L' —
= [jD'I, то D.D' - L-D' = L'-D = L-L'.
Отметим несколько свойств индекса йересечения дивизоров на
алгебраической поверхности.
1. Если L — положительное линейное расслоение, то для
любого эффективного дивизора D Ф О
L-jD= Jci(L)>0.
2. Если два эффективных дивизора D viD' пересекаются в
изолированных точках, то индекс пересечения неотрицателен; иначе
говоря, jD -jD' ^ О, если 75 и 75' не имеют общих компонент. В част-

1. Предварительные сведения 503
ности, если D неприводим, то для любого эффективного дивизора
D', не содержащего 73, индекс пересечения D с D' больше или
равен 0; если же D-D'^ О, то D-D'^ О уже для любого
эффективного дивизора D'.
3. Напомним, что, согласно билинейным соотношениям
Ходжа — Римана, форма пересечения отрицательно определена на
примитивных когомологиях Р^^^ (ЛОс Я^»^ (М). По разложению
Лефшеца Р^^^ имеет коразмерность 1 в Я^'^, поэтому если D —
дивизор на М с jD-jD > О, то форма пересечения отрицательно
определена на ортогональном дополнении к т^в в tP-^^ {М). В
частности, если jD-jD >• О, то для любого дивизора D' на М, такого,
что D'D' = О, либо D' -D' < О, либо {D') = 0; этот факт известен
как теорема об индексе.
Немного о терминологии. Кривой С на поверхности М мы
называем любой эффективный дивизор на М. Кривая С называется
гладкой, если она представляет собой взятое с кратностью 1
гладкое подмногообразие в М, и неприводимой, если она не предста-
вима в виде суммы двух нетривиальных эффективных дивизоров.
Пусть С — гладкая неприводимая кривая на М. По формуле
присоединения из § 2 гл; 1 имеем
Ко = (К^ + С) \с,
где Кс У^ Ку1 обозначают, как обычно, канонические линейные
расслоения над С ъМ. Если g — род кривой С, то отсюда следует,
что
g = 1 deg if с +1 = Y deg (/Г;», + С) 1с +1 =-^^^^^t£:^+1.
Эта формула также называется формулой присоединения. В общем
случае для произвольной кривой С на М мы определяем
виртуальный род п (С) как
п(С)= ^•^+^•^+1-
2
Снова пусть D — гладкая неприводимая кривая на
поверхности М, а L — [D\ — связанное с ней линейное расслоение. Из
длинной точной последовательности когомологий, отвечающей
короткой точной последовательности пучков
мы получаем равенство
Далее, по формуле Римана — Роха для D имеем
X (0D (L)) = -п iP) + deg (L|d) + 1 =-я Ф) + L-L + 1.

504 Гл. 4- Поверхности
Но ПО формуле присоединения n(P)—-^{L-L -\- L-K) + i, так
что
xW = x(0k)+|(l.l-l.^).
Эта формула верна уже для произвольного линейного расслоения
L на М. Для проверки нужно взять дивизор 73 на М достаточно
положительным, так чтобы линейные ряды | jD | и \ L + D \
содержали гладкие неприводимые дивизоры, и образовать L' =
= L + D. Тогда точная последовательность
О -^ ©л, (L) -^ ©л, (L') -^ 0^, (L') -^ О
дает х(Ь) = х(Ь')-х(Ь'1в). Но
X(L'|D)=-n(Z>) + degL'|D + l-—^^^±^^ + ^'-^'
так что
(L'■ L' — 2L'-0+ D-D)—(L'■ K—D-K) ^
= Х(<9м)-
L-L—L-K
ЭТО формула Римана — Роха для линейных расслоений на
поверхности.
Как упоминалось в предыдущей главе, голоморфная эйлерова
характеристика % (©лг) выражается в виде многочлена от классов
Чжэня поверхности М; формула
называется формулой Нётера. Мы откладываем ее доказательство
до последнего параграфа этой главы.
Заметим, что теорема Римана — Роха для линейных
расслоений дает прямое доказательство теоремы об индексе для
дивизоров. А именно, пусть Е — положительный дивизор на М. Мы уже
видели (см. конец § 2 гл. 1), что форма пересечения на группе
Я^^•^ {М)(] IP {М, 1) дивизоров по модулю гомологии невырож-
денна; если бы она имела два положительных собственных
значения, то одно из них можно было бы найти в ортогональном
дополнении к классу Е, т. е. можно было бы найти дивизор D со
свойствами
D'E = О, D-D = d>0.

1. Предварительные сведения 505
Покажем, что такого дивизора D нет. Прежде всего, так как
Е имеет строго положительный индекс пересечения с любым
эффективным дивизором, то ни mD, ни —mD не могут быть
эффективным при тф 0. Применяя формулу Римана — Роха к mD^
мы получаем
т. е.
¥l,K-mD) = h^ (mD)-^\-m4-^K-D^X{G^)
становится сколь угодно большим, когда т стремится к +с» или
к —с». В частности, дивизор К + mD линейно эквивалентен
эффективному дивизору Ejn для тп Э- 0. Но отображение
\K-mD \-^\2К \, G ^G + Вт,
инъективно, и, значит, размерность | К — mD \ ограничена, что
противоречит предыдущим предположениям.
JPaadymue и стягивание
Напомним некоторые определения из § 5 гл. 1. Пусть М —
комплексное многообразие размерности га, z = (z^, . . ., z„) —
голоморфные координаты в окрестности U точки р 6 ^- Раздутием
многообразия М в точке р называется комплексное
многообразие М, полученное приклеиванием к М — {р} многообразия
и = {(Z, I): zel}cz и X Р"-1
при помощи изоморфизма U — (z = 0) s U — {р}, заданного'
сопоставлением (z, I) i-* z. Существует естественная проекция
п: М-^ М, продолжающая тождественное отображение на М —
— {р}. Прообраз Е = я~^ (р) естественно изоморфенР (Т'р (М)) ^^
^ Р"-1 и называется исключительным дивизором раздутия
М~^М.
Когда раздутия вводились в рамках теоремы Кодаиры о
вложении, мы в основном интересовались локальной геометрией М ш М
вблизи р ш Е. Теперь мы собираемся сравнить глобальную
геометрию М ъ М. Начнем со сравнения топологий М и М. Для
этого положим М* = М — {р}, %I* = я-1 (М*) = М — E,U* =
"^ и — {р) ъ и* = п~^ (С/*) = и — Е ъ сравним последователь-

506 Гл. 4. Поверхности
ности Майера — Виеториса для М = М* \} U ъ М = М* (J U:
|«* |«» I"» 1«»
Яг(С7*)-*-Д;(С7)е Нг(^^)-*Яг(М)-^Я(.1(и*)
Прежде всего п,|, устанавливает изоморфизм между Н^^ (U*)
и Я# (U*), а также между Я^ (Af*) и Я^ (Af*). С другой стороны,
можно выбрать наше открытое множество U в виде шара с центром
в точке р, и тогда стандартное стягивание z >-*■ tz шара U в точку р
яндуцирует посредством я стягивание U на Е. Поэтому мы имеем
Я, (М) =Ht{M)® Hi (Е), i>Q.
Так как все когомологии Е ^ Р"~^ представляются
аналитическими циклами, то
k'-'(M) = k^-'(M) + l, i>0,
а остальные числа Ходжа М ш М совпадают.
Введем одно новое понятие. Пусть р, М, М ъ л такие же, как
аыше, и пусть Vcz М — аналитическое подмножество в М.
Определим собственный прообраз Vcz М подмножества V как
замыкание в М прообраза F — {р}:
F = я-1 (F — {;?}) = п-1 (F) - £".
Ясно, что п отображает V — £? = п"•^ (F — {р)) изоморфно на
F — {р}. Чтобы представить картину поведения F вблизи
исключительного дивизора, рассмотрим голоморфные координаты z =
= (zy, . . ,, 2„) вблизи р Е М, открытое множество Ui (It Ф 0)
в ?7 = я~^(С0 и голоморфные координаты
2 (i)/ = z,hi = Ijllu 1 Ф i,
z (i)i = Zi
на Ui, как в разделе о раздутиях в § 4 гл. 1. Напомним, что
дивизор Е задается на Ui уравнением (z, =0) и что координаты
{z (i)j-}j-j=j, ограниченные на Е, являются евклидовыми координа-

1. Предварительные сведения
507
оС *-
Рис. 1
тами на^^ Р""'-. Пусть/ — любая голоморфная функция вблизи
р Е М, ъ пусть F = (/) — ее дивизор. Напишем
/(2)= S /™(Z),
^Де /то (z) = 2 Сц • г°^... 2°" есть т-я однородная компонента
|aj=m
/ относительно координат z.
Полагая / = п*/, /„ = п*/^, получаем
7 (2) = 2/„(2)
И
7т(2)= S С„(2г2(01Г-..2?'...(2г.2(0„Г" =
|а|=т
= 2Г2са-2(0Г^..2^"' ...Z(0;".
Следовательно, если / имеет нуль порядка Щд в точке р, т. е.
/о = . . . = /т _1 = О, то / обращается в нуль порядка Шд вдоль
Е и
V = n*F — multp (V)-E = n*F - ord^ {n*V)-E.
Более того, мы видим, что
vf]E=(zr^'/mo) = ( S cji'... г^),
|o|=mo
T. e. при отождествлении E ^P {Tp (M)) множество V(] E —
зтл в точности проективизация касательного конуса к V в р.
Случай поверхности М и кривой У на М с обыввовенной двойной
точкой в р показан на рис. 1.
Заметим, наконец, что если р — гладкая точка подмножества
Vcz М, то собственный прообраз V при раздутии М в точке р есть
в точности раздутие V ъ р. Поэтому иногда собственный прообраз

508 Гл. 4- Поверхности
Vcz М подмножества Vcz М мы также называем раздутием Fb р,
даже если р — особая точка V.
~ п
Рассмотрим теперь поверхность Af и ее раздутие М -^ М ъ
точке р 6 Af. Прежде всего мы видим, что если С — кривая на My
не содержащая исключительный дивизор Е, то С является
собственным прообразом своего образа п (С) в М, так что имеет место
изоморфизм
(*) Div (М) = я* Div (М) е Z {Е}.
Теперь легко вычислить индексы пересечения. Мы уже видели
в гл. 1, что нормальное расслоение к Е ъ М двойственно к
расслоению гиперплоскости на ^ ^ Р^, поэтому
{Е-Е) = deg {[Е] |е) = deg N^ = -1.
Так как отображение п имеет степень 1, то п^ переводит
фундаментальный класс [М] 6 Hi {М, 1) ъ фундаментальный класс
М, и, значит, для любых дивизоров 1), D' на М имеем
n*D-n*D' = D'D'.
Так как класс (Е) исключительного дивизора раздутия лежит
в ядре п^, то
n*D-E =D-n^{E) = 0
для любого дивизора D на М. Окончательно, изоморфизм (*)
является изоморфизмом пространств со скалярным
произведением.
В частности, если/), D' — два дивизора на М, пересекающиеся
трансверсально ъ р, aD и D' — их собственные прообразы в М, то
D-D' = {n*D - E)-(n*D' - £•) =
= n*D-n*D'+ Е-Е = D-D'— I.
Именно этого и следовало ожидать из нашего описания
собственных прообразов кривых: для каждой точки р' пересечения D и D\
отличной от р, D и D' пересекаются в п"^ (р'), и так как D ж D'
имеют различные касательные ъ р, то D я D' не пересекаются
ни в одной точке Е = п~'^ (р).
Следует заметить, что если {D^} — линейная система кривых
на поверхности М, то собственные прообразы {D^) кривых ^);^.
на Af не обязательно образуют линейную систему на М. В самом
деле, так как
D}. = n*D},-mu\tp {р^).Е

1. Предварительные сведения 509
И кривые {n*D}_} образуют линейную систему, то {jDj,} будет
линейной системой тогда и только тогда, когда все кривые Z)j,
имеют одну и ту же кратность в р. Следовательно, когда мы
говорим о собственном прообразе линейной системы {jDj,}, мы имеем
в виду линейную систему кривых {n*jD>. — тЕ}, где т =
= mill (multj, фу,)} — кратность общей кривой jD». в р.
Из сказанного выше видно, что раздутие М поверхности М
тесно связано с М. В таком случае возникает в некотором смысле
обратный вопрос. Пусть заданы, поверхность М и кривая С на нем;
когда можно реализовать М как раздутие Np^ некоторой
поверхности N, причем так, чтобы С = п~^ {{PoW Ясно, что
необходимыми для этого условиями являются рациональность кривой С
и равенство С-С = —1; на самом же деле эти условия и
достаточны, как показывает следующий
Критерий Кастельнуово — Энриквеса. Пусть М —
алгебраическая поверхность, Ccz М — гладкая рациональная кривая на М
с индексом самопересечения —1. Тогда существуют гладкая алге&
раическая поверхность N и отображение п: М -^ N, такие, что
л
М -^ N есть раздутие N в р^ ^ N и С = п"^ (jpo).
Доказательство, Идея та же, что и в теореме Кодаиры о
вложении, но с одним отличием: нужно найти отображение /: М ->-
-^ Р"*, которое взаимно однозначно вне С, отображает С в точку
л имеет гладкий образ. Для этого мы прежде всего ищем линейное
расслоение L —»- М, достаточно положительное вне С, чтобы иметь
глобальные сечения, но ограничение которого на С тривиально.
Чтобы найти такое расслоение, мы начинаем с очень обильного
линейного расслоения L над М. Выбирая L достаточно большим,
можно считать, что Я^ (М, 0 (L)) = 0. Положим т = L-C
и рассмотрим для каждого А = О, 1, . . ., т последовательность
i*h) О -^ ©;», (L + (ft - 1) С) ^ вм (L + кС)-^
^ес{Ь + кС)-^ 0.
Заметим, что если Я ->- С ^ Р^ — расслоение,
ассоциированное с точкой на Р^, то (L + кС) \с = {т — к) Н, позтому
т {С, © (L + кС)) = 0 для k<m + i.
Из длинной точной последовательности когомологий,
связанной с (»ft), следует, что Н^ {М, © (L + (А — 1) С)) сюръективно
отображается на Н^ {М, О {L + кС)) при к^т+ 1. Так как,
по предположению, Ю {М, О (L)) = О, то
т {М, О {L + кС)) = 0 для к^т + 1.

510 I'л. 4. Поверхности
Поэтому отображение ограничения Я" Щ, G {L -\- кС)) ->-
-^ Н" {С, & {{т — к) Н)) сюртлктивнб при к^т + I. В
частности, линейная система \ L + кС \яе имеет базисных точек на С
при А;^ т. Так как сама система | L \ не имеет базисных точек,
то отсюда следует, что \ L + кС \ не имеет базисных точек при
к^ т.
Рассмотрим теперь отображение ij,', задаваемое линейной
системой \ L' I = \ L + тС \. Так как | L' | содержит подсистемы
I L I -(- тС, а расслоение L очень обильно, то II- вкладывает
М — Си отделяет точки С от точек М — С. С другой стороны,
так как L' \с тривиально, любое сечение о 6Я" (М, G {L')),
обращающееся в нуль в некоторой точке С, равно нулю вдоль С;
поэтому II' отображает С в точку. Для завершения
доказательства мы должны показать, что II» (С) — гладкая точка на образе
^L' (АО- Чтобы убедиться в этом, заметим, что в
последовательности (*m-i ) отображение ограничения
Я» (М, 0 (L' - О) -^ Я» (С, © (Я))
сюръективно. Пусть Р\Ф р% ^С и пусть |i — сечение L',
нулевое на С, которое при ограничении до сечения Я над С обращается
в нуль в ру. Аналогично, пусть \^ — глобальное сечение L',
которое ограничивается до сечения расслоения Я, равного нулю в р^.
Пусть |о — произвольное сечение L', не равное тождественно нулю
на С (и, значит, нигде не обращающееся в нуль на С), и пусть
Пусть, наконец, Uy = С — {Pz}i U^ =С — {Pi}' Тогда в
некотором открытом множестве UyCz М, содержащем Ui, функция
Zy/zz голоморфна. Более того, для р ^ Ui ълы имеем d {zjz^ Ф О
на Т'р (С) CZ Тр{М)ъ dZi фО па Т' {М)7Тр (С), так что, если взять
окрестность Ui достаточно малой, мы получим, что Zj и zjz^ —
локальные координаты на U^. Аналогично, Zy и zjz-y — локальные
координаты на открытом множестве U^cz М, содержащем U^-
Отсюда видно, что функции (z^, Zj) отображают окрестность
кривой С в Af на окрестность начала координат в С, причем биголо-
морфно вне С. Это доказывает, что II» (С) — гладкая точка на
II' (Af), и завершает доказательство критерия Кастельнуово —
Энриквеса. D
Гладкая рациональная кривая с индексом самопересечения —1
на поверхности называется исключительным дивизором (или
исключительной кривой) первого рода.
Квадрипа
Рассмотрим теперь гладкую поверхность второй степени в Р®.
Такая поверхность S задается зфавнением \x-Qx) = Yi gti^t^j — ^^

1. Предварительные сведения 511
где Q'— (qtj) — симметрическая матрица. Так как
i
мы ввдим, что поверхность S гладкая тогда и только тогда, когда
матрица Q невырожденна. Все невьфожденные симметрические
квадратичные формы на С^ изоморфны, поэтому любые две гладкие
квадрики в Р® проективно изоморфны. Рассмотрим, в частности,
отображение Сегре
а: р1 X Pi -»- Р*. ([So, Sil, [to, fiD ^ [Sofo, Soh, SiU, Sjlj].
Ясно, что о — вложение и что образ о содержится в гладкой
квадрике
So = (Х1Х4 - ХДз = 0)
и, значит, совпадает с ней. Таким образом, любая гладкая квадрика
5с: Р» изоморфна Р^ X Р^
Особый интерес представляет множество прямых в Р^,
лежащих на гладкой квадрике S. При отображении Сегре о кривые
{s} X Р^ и pi X {t} на Р^ X Р^ переходят в прямые на Р®.
Назовем эти два семейства прямых на S А-прямыми и В-прямами%
ясно, что каждая Л-прямая пересекает каждую В-прямую и что
никакие две Л-прямые (В-прямые) не пересекаются. Более того,
зто все прямые на S' если Lcz S — некоторая прямая, она должна
пересекаться (или совпадать) по крайней мере с одной Л-прямой
Ьу и одной В-прямой Lj. Но Ly и L^ пересекаются, и натянутая
на них плоскость в Р® пересекает S не более чем по двум прямым,
так что либо L ^= L^, либо L = L^.
Имеется и более прямое описание множества прямых на общей
гладкой квадрике S. Прежде всего заметим, что если Q — любая
точка пересечения S с касательной плоскостью Тр (S) cz Р*
в точке Р, то прямая PQ пересекает S трижды — один раз в Q
и дважды ъ Р — и, значит, должна лежать в S. Поэтому
множество S [\ Тр {S) состоит из прямых, а так как S f\ Тр (5) имеет
степень 2, оно должно состоять из двух прямых. Обратно, любая
прямая на S, проходящая через Р, должна лежать в iS П Тр {S)^
и мы видим, что через каждую точку Р ^S проходят ровно две
прямые, лежащие на S и составляющие S [\ Тр (S). (Заметим, что эти
Д1е прямые обязательно различны: если бы Тр \S) пересекало S
по одной прямой L, то Тр (S) касалось бы S всюду вдоль L и ни
одна прямая на S не пересекала бы L. С другой стороны,
пересечение S с общей касательной плоскостью Tq (5), не содержащей L,
состоит из прямых, одна из которых пересекает L.)
Отметим теперь одну прямую LqC: 5 и назовем прямую на S
■4-прямой, если она либо совпадает с Lo, либо не пересекается

512 Гл. 4- Поверхности
С ней, и iB-прямой, если она пересекается с Lq в одной точке. Если
две прямые L, U Ф L^ ша S пересекаются в точке, то натянутая
на них плоскость в Р® пересекает Lq в точке, которая должна
лежать либо на L, либо на L', поэтому одна из них является
Л-прямой, а другая iB-прямой. Обратно, если L Ф Ьд есть Л-прямая,
■а L' есть iB-прямая, то плоскость, натянутая на L' и Lq,
пересекает L в точке, которая, по определению, не лежит на Lq",
следовательно, L л L' пересекаются. Таким образом, две прямые на S
пересекаются тогда и только тогда, когда они разного типа. Так
как существует только одна В-прямая, проходящая через точку
Lo, и, аналогично, единственная Л-прямая, проходящая через
точку фиксированной В-прямой, мы заключаем, что семейство
^-прямых и семейство В-прямых параметризованы посредством
Р^. Окончательно, множество прямых на S состоит из двух
непересекающихся семейств, каждое из которых параметризовано Р^,
и две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда они
принадлежат разным семействам. Отсюда следует, что 5 ^ Р^ X Р^.
Другое описание квадрики можно получить, проектируя ее
нз точки р ^ S яа плоскость Я с Р®. Конечно, отображение
проекции Пр'. S — {р} ->- Я не определено в точке р и не
продолжается до голоморфного отображения в ней. Однако если мы
возьмем раздутие S квадрики S ъ р, то отображение Пр по
непрерывности можно продолжить на исключительный дивизор Ecz S
ж получить голоморфное отображение п: S -*■ Н. При этом для
точки г^Е, соответствующей при отождествлении^ ^ Р (^р (^))
прямой га Тр (5), ее образ п (г) есть точка пересечения Н с
прямой LrCz Р®, проходящей через р в направлении г.
Пусть теперь Li, L^ — две прямые на S, проходящие через р,
* 9i> За — из: точки пересечения с Н. Тогда для любой точки g g Н,
отличной от д^ и gj, прямая pq либо пересекает S еще в одной
точке, кроме р, либо касается S ъ р; ъ любом случае g есть образ
относительно п единственной точки S. С другой стороны,
прообразы точек gi и q^ будут собственными прообразами Ь^ и Lj прямых
111 и Ь^ на S. (Отметим, что Л-прямые на S, т. е. прямые,
пересекающие Li, переходят в пучок прямых на Н, проходящих через
точку gi, S-прямые — в пучок прямых, проходящих через q^,
■а исключительный дивизор Е — ъ прямую gxgaO Отсюда видно,
■что отображение п взаимно однозначно на 5 — Li — Lg и
переводит Li в gi, а La в q^, т. е. п: S-^P^ есть раздутие Р^ в д^
и q^. Итак, Р* можно получить из квадрики S, раздувая одну
точку р на 5 и стягивая собственные прообразы двух прямых на S,
яроходяпщх через р. Обратно, квадрику 5 ^ Р^ X Р^ можно

1. Предварительные сведения 513
получить из Р^, раздувая две точки q-y, q^naP^ и стягивая
собственный прообраз прямой 9x92^ Р^. В более явном виде эта
операция будет рассмотрена при обсуждении кубических поверхностей.
Заметим, что, поскольку единственным инвариантом
симметрической квадратичной формы на С" является ее ранг, имеется
всего три квадрики без кратных компонент в Р^:
(1) множество нулей невырожденной формы XJ + XJ + Х^ +
+ Х| в С* — это гладкая квадрика;
(2) множество нулей формы Х^ -\- XI + XI; эта квадрика
является конусом над плоской коникой и имеет особенность
в вершине [О, О, О, 1] конуса;
(3) множество нулей формы Х^ -\- XI, которое состоит из двух
плоскостей.
Кубическая поверхность
\ Теперь мы опишем гладкую кубическую повер ность в Р®.
^начала мы построим такую поверхность, раздувая шесть общих
*очек на Р^ и вкладывая раздутую поверхность в Рз в качестве
кубики, а затем покажем, что каждая неособая кубика может быть
'11олучена таким способом.
^ Возьмем шесть точек Pi, . . ., /jg € Р" так, чтобы
i) Pi, . . ., Рв не лежали на конике;
2) никакие три из них не лежали на прямой.
Пусть Р" —>- Р* — раздутие Р^ ъ Pi, . . ., ре и Ei —
исключительные дивизоры над pt; рассмотрим полную линейную
систему I С I, где
С = п*ЗЯ — Ei — ... — Ei.
Если С — любая кубическая кривая на плоскости, проходяш;ая
через все шесть точек pt, то кривая п"^ (С) — Ei — . . . — ^в
принадлежит линейной системе \ С \. Обратно, если D — любая
кривая из I CI, то п (Р)-Н = D-n*H = 3, так что п (jD) —
кубическая кривая, и D-Ei = —EfEt = 1, так что D пересекает
каждый исключительный дивизор Ei, т. е. я ф) проходит через
все шесть точек pi. Таким образом, система | С | состоит в
точности из кривых
я-1 {С) — El — ... — Ев,
где С — плоская кубическая кривая, содержаш;ая Pi, . . ., р^.

514 Гл, 4- Поверхности
Мы утверждаем, что линейная система \ С \ вкладывает Р^
в Р^ в качестве кг^бической поверхности. Это утверждение
включает целый комплект проверок: мы должны показать, что
1)С.С = 3;
2) dim I С I = 3;
3) 12" разделяет точки р ф q ^Р^, когда
а) Р, qeP^^ и Ei,
ъ) peEi,qeP'- и Ei,
c) ре El, qe Ej,
d) p, qEEr,
4) i^ имеет ненулевой дифференциал в точке р, когда
a) р ер^ - и Ei,
b) ре Ei.
Утверждение 1) получается непосредственно:
С-С = п*гН-п*ЗН + El-El + . . . + Ее-Еа= 9 — 6 = 3.
Однако другие утверждения требуют больше усилий. Мы знаем,
например, что полная линейная система кубических кривых на
плоскости имеет размерность 9 и что требование, чтобы
кубическая кривая проходила через одну из точек pi, налагает одно
линейное условие на систему | ЗЯ |. Поэтому утверждение dim | С |=
= 3 сводится к тому, что условия, налагаемые шестью точками
Pi, независимы. Это утверждение, как и два остальных, вытекает
из следующей леммы.
Лемма. Восемь точек р^, . ■ ■, Рв ЕР^ налагают зависимые
условия на кубики только в двух случаях:
1) либо когда все восемь тхнек лежат на конике,
2) либо когда пять из пючек р, коллинеарны.
Доказательство. На первом шаге доказательства мы покажем,
что семь точек pi, . . ., р-, ^Р^ дают зависимые условия на кубики,
только тогда, когда рять из них коллинеарны. Для зтого мы
рассуждаем следуюжщм образом. Предположим, что ру, . . ., р^
не налагают независимых условий на кубики. Тогда для
некоторой точки Pi любая кубика, содержавшая остальные шесть точек,
содержит и точку р;; изменив нумерацию, можно считать, что pt
есть Pi. Пусть Li} обозначает прямую PtPj. Кубическая кривая
■^23 + -^45 + -^67

1. Предварительные сведения 515
содержит Р2, . . ., Рт, а значит, и pi- Поэтому точка Pi коллинеар-
на двум другим точкам, скажем р^ и рд.
Предположим теперь, что прямая L = PtJ>2Ps содержит одну
из точек Р4> • • ч Рт^ скажем ^4- Так как кубика
■^25 L47
содержит ру, то одна из точек р^, р^ или р^ лежит на L, и мы
получаем пять коллинеарных точек. Если же, напротив, L не содержит
ни одной из точек р^, . . ., p-j, то, так как кубики
^24 + -^35 + ^671 -^24 + -^36 + ^57 ^ ^25 + ^36 + ^47
содержат Pi, а прямые L24, Ь^^, Z/35 и Lge ее не содержат, точка pj
должна лежать на L47, Ь^^ и Lgy. Таким образом, точки р^, р^ и рв
лежат на прямой Ь^-,, т. е. мы снова получаем коллинеарную
пятерку точек.
Лемма теперь легко следует из первого шага. Предположим,,
что у нас есть восемь точек pj^, . . ., р^ на плоскости, налагающих
всего семь или меньше условий на кубики, и предположим, что^
никакие пять из них не коллинеарны. Согласно лервому шагу,,
любые семь из этих восьми точек дают независимые условия,,
и, значит, любая кубика, проходящая через любые семь из этих:
точек, проходит через все восемь. Выберем три неколлинеарные
точки и обозначим их Pi, р^ и р^', пусть С — коника, проходящая
через /74> • • ч Ps- По предположению, каждая из кубик
С + ^12, С + Lis и С + Z/23
проходит через все восемь точек. Так как каждая из точек р-у^
Р2 и ps лежит вне одной из прямых L^s, L^g и L^^, то отсюда
следует, что коника С содержит все восемь точек. D
Утверждение леммы остается верным и в том случае, когда
точка Pi бесконечно близка в р^, т. е. когда ру — точка на исключи-
тельном дивизоре Е раздутия Р''-»- Р'' плоскости Р^ в точке р^^
В этом случае мы говорим, что плоская кривая С содержит р^
и р^, если С проходит через Р2, а кривая п"•^ (С) — Е содержит pi^
т. е. либо С гладкая в точке/Jj с касательной прямой, соответствую^
щей ру, либо С особая в точке р^- Например, мы говорим, что точ-
^^ Р\1 Ра и Ps коллинеарны, если собственный прообраз в Р^^
прямой/J2i33 содержит T^i. Конечно, линейное условие, налагаемое
точкой ру на систему кубик, определено только на подсистеме
кубик, проходящих через Р2, но независимость условий,
налагаемых точками pi, . . ., Ps, имеет смысл.
Доказательство леммы в случае, когда р^ бесконечно близка
к Pi, проводится следующим образом. Как и раньше; мы сначала
покажем, что семь точек ру, . . ., р^, среди которых р{ бесконечна
2*

516 Гл. 4- Поверхности
близка к р^, налагают независимые условия, если только никакие
лять из них не коллинеарны. Предполагая, что никакая пятерка
не коллинеарна, мы получаем из предыдущего утверждения, что
точки р2, . . ., p^ налагают шесть условий; раз /jj, . . ., р^
не налагают семи условий, каждая кубика, проходящая через
Pi, • • •■, Рт, должна содержать ру. Далее, если две из точек
Psi • • -I Рп лежат на прямой L = Ьу^, скажем р^^Ръ, то все
готово: кубика Las + -^зв + L^i содержит ру, так что либо р^, либо
/Зв> либо р7 лежит на L, что дает пять коллинеарных точек. Если
ровно одна из точек р^, . . ., р-, — скажем pg — лежит на L, то
все кубики
■^Й + -^35 + Ьв7, Z/24 + Lge + ^57 и L^^ + Lgi + L47
■содержат р^ и должны быть особыми в точке pj', позтому р^ лежит
iHa L47, Z/g7 и 1/67, т. е. Р4, ^5 ^Рв лен^ат на прямой L27. Наконец, если
жи одна из точек рд, . . ., р-, не лежит на L, то, так как кубика
Z/27 + Z/34 + Ь^
содержит pi, либо L34, либо Lje — скажем L34 — должна
содержать ^2- В этом случае возьмем в качестве L' любую прямую,
проходящую через рт, но не проходящую через остальные точки
р;. Кубика Z/23 + ^56 + L' содержит Р|, поэтому р^ лежит на L^e-
Но тогда, так как
содержит pi, то либо L35, либо Li^ должна проходить через рз»
н в любом случае отсюда следует, что р^, Ps, Pi, Рь и Рб
коллинеарны.
Далее доказательство завершается так же, как в предыдущем
случае: если даны восемь точек р^, . . ., pg п р^ бесконечно близка
к р2, а никакие пять не коллинеарны, то по первому шагу любая
коника, содержащая все точки, кроме трех неколлинеарных,
«одержит все восемь. П
Доказательство леммы в трех других случаях: когда р^ и р^
бесконечно близки к ps, когда р, бесконечно близка к р,, а Ps
■бесконечно близка к ^4 и когда ру бесконечно близка к р^, которая
в свою очередь бесконечно близка крз1~" мы оставляем читателю.
Замечание: эта лемма еще появится как следствие общей
теории двойственности, обсуждаемой в § 4 гл. 5.
Вернемся снова к раздутию я: Р*->-Р* плоскости в шести
точках рх, . . ., Ре и линейной системе I С | = | п*ЗЯ — Еу —...
...—£■81. Как непосредственное следствие леммы получаем,
что точки Pi, . . ., рв налагают независимые условия на кубики,
-поэтому dim | С | = 3. Остальные утверждения 3 а)—d) и 4 а).

^ 1. Предварительные сведения 517
b) также следуют из леммы: канедое из них соответственно
превращается в утверждение о том, что точки pii . . ., рв, р ш q
налагают независимые условия на кубики в следующих случаях:
Sa) рФ qeP^ - {Pi, ■ ■ ., Рв),
ЗЬ) р бесконечно близка к Pi, g 6 Р^ — {Ри • • •> Рв}^
Зс) р бесконечно близка к pi, q бесконечно близка к Pj,
3d) р ф q бесконечно близки к Pt,
4а) р бесконечно близка к g 6 Р^ — {Ри • • •> /'в}>
4Ь) р бесконечно близка к д, g бесконечно близка к pi.
В каждом из этих случаев, так как никакие три из точек Pi не
коллинеарны, никакие пять точек из Pi, , . ., рв, р, q se колли-
неарны, и так как точки pi не лежат на конике, то на конике не
лежат VI Pi, . . ., рв, Р vi q- Тогда, согласно лемме, точки Pi, ...
.. ., Ре, ръ q налагают независимые условия на кубики, и
отображение 1~ вкладывает Р* в качестве кубики 5 с: Р^.
Перед тем как продолжить изучение геометрии S, сделаем одно
замечание. Напомним, что гладкая квадрика iScr Р* может быть
получена раздутием двух точек д^^, q^ на Р^ и стягиванием
собственного прообраза в Р|,5, прямой gigj. Читатель может при желанин
проверить, пользуясь предыдупщвш рассуждениями, что
линейная система | к*2Н — Ei — Е2 \ на Р^.д,, соответствующая
коническим кривым на Р^, проходящим через д^ и д,, дает
отображение Р|,д, на квадрику в Р^, взаимно однозначное всюду, кроме
собственного прообраза прямой g^ga-
Вернемся теперь к нашей кубической поверхности S &. Р|,,. .,р,
в Р^. Рассмотрим сначала образы исключительных дивизоров
El, . . ., Eg на S. Так как C-Ei =1, мы видим, что каждая
кривая Ei имеет степень 1 в Р^, т. е. является прямой. Аналогично,
если Fjj (/ >. i) есть собственный прообраз в Р" прямой Lij =
= PiPj на Р'', то
Ftj-C = {K*La-Ei-Ei){K*3n-'2>Ek) =
= Ьг^.ЗЯ-2 = 3 —2 = 1,
так что образ Fij в ^с: Р^ — снова прямая; имеется 15 таких
прямых. Заметим, что
Fii-FiS = i^*Li} -Ei- Ei) (K*Lij -Ei- E,) =
= Lij.Lij _ 2 = -1,
так что прямые Fij являются исключительными дивизоравш
первого рода на S. Наконец,' если Gi — собственный прообраз в Р*

518 Гл. 4. Поверхности
КОНИКИ Ci на Р^, проходящей через пять точек pi, . . ., pi, . . .
• • •, Рв, то
GrC=-(K*Ci-^ Ej){k*5H-^Ei) =
= С,--ЗЯ-5 = 6-5 = 1.
Поэтому Gj-cr Sd Р' — снова прямая, и так как
GfGt^ {к*Сг - S Ej) {K*Ci - ^Ej) =
= Cj.Cj-5 = 4^5=-l,
то Gi — исключительный дивизор первого рода.
Пусть теперь L — произвольная прямая на 5; рассмотрим
7i(L)c:P^. Предполагая, что L не является исключительным
дивизором Ei, мы получаем, что L может пересекать каждую
прямую El не более одного раза, причем трансверсально. Поэтому
я (L) — гладкая рациональная кривая в Р*, а следовательно,
по формуле для рода — либо прямая, либо коника. Далее,
L = K*n{L)- 2 Et,
и потому
i-=C-L={n*'bH-y,Et)-{n*n{L)- Yi Ei) =
= ЗЯ-л(Ь)+ S El-El.
Это означает, что я (L) должна содержать ровно две точки pi
в случае, если я (L) — п ямая, и пять точек pi, если я (L) — тао-
ника; следовательно, L должна быть одной из прямых Fij,. Gi-
Итак, на построенной нами кубической поверхности лежат
ровно 27 прямых: шесть Ei, пятнадцать Рц и шесть Gi. Отношения
инцидентности между ними ясно видны из их описания как кривых
на Р^: прямая Et пересекается со всеми прямыми на 5, которые
получаются из плоских кривых, проходящих через /),-, т. е. с
прямыми Fij для любого i и прямыми Gj для у Ф i. Прямая Fij
пересекает, помимо El и Ej; любую прямую, отвечающую кривой на
Р*, которая пересекается с прямой piPj в точке, отличной от pi
и Pj, т. е. прямую Fhi для к, 1ф i, j, и прямые Gi и Gj. Прямая
Gi пересекает Ej для j ф i ж Рц для всех у. Заметим, в частности,
что каждая прямая на S пересекает ровно десять других прямых.
Ниже отражены некоторые другие интересные аспекты этой
конфигурации из 27 прямых.

1. Предварительные сведения 510
1. Существует ровно 72 множества из шести непересекающихся
прямых на S: это
{Ei} (1),
{Е(, Ej, Eh, Elm, ^mni Pin} (20),
{Ei, Gi, Fji, Fjfi, Fjjn, Fjn} (30),
{Gj, Gj, Gft, Fim, Fmn, Fin} (20),
{Gi} (1).
Читатель может проверить, что существует единственный
автоморфизм конфигурации 27 прямых на S (но не автоморфизм S),
который переводит любое из этих 72 множеств в любое другое
из них же, причем при любой нумерации; поэтому имеется 72-6! =
= 51 840 симметрии конфигурации прямых на S.
2. Если две прямые L, L' на S пересекаются, то существует
единственная третья прямая на S, пересекающая их обе:
плоскость в Р', содержащая L ж L', должна пересекать S по
кубической кривой, содержащей L ж L', и, следовательно, по третьей
прямой. На самом деле плоскости в Р', которые пересекают S по
объединению трех прямых, это
Hij^EfijFij и Hijfiijnn^PijPhlPmn-
3. Напомним из нашего обсуждения грассманианов в § 6
гл. 1, что если Li, L^, L3, L4 — четыре непересекающиеся прямые
в Р', то существуют ровно две прямые L, L' а Р', пересекающие
все четыре. Если Lj лежат на S, то прямые L ж L' пересекают S
в четырех точках и, значит, тоже должны лежать на S. Таким
образом, для любых четырех непересекающихся прямыл на кубической
поверхности S существуют ровно две другие прямые на S,
пересекающие все четыре.
Теперь мы покажем, что каждая гладкая кубическая
поверхность 5 в Р' может быть получена раздутием Р* в шести точках.
Прежде всего мы найдем шесть исключительных дивизоров на S,
чтобы затем их стянуть; для этого мы рассмотрим сначала классы
когомологий, которые они представляют. Пусть Sq ^ Рр^ р, —
кубическая поверхность, построенная выше, & S — произвольная
гладкая кубика в Р*. Пусть W = ] ЗН | ^ Р" — линейная
система всех кубических поверхностей в Р'; рассмотрим отношение
инцидентности
X = {{S, р): peS}ci W X Р".
Подмногообразие Va W особых кубик является собственным
аналитическим подмножеством в W, поэтому W — V связно;
рассмотрим С°°-вложение у: I->-W— V единичного отрезка /с: R

520 Гл. 4. Поверхности
В W — F С 7 (0) = 5о, 7 (1) = S. Пусть я: X ->- W —
отображение проекции на первый сомножитель. Прообраз X' = л~^ {у {I))ci
а X — гладкое многообразие, а у~^ о к: X' ->- / — гладкое
отображение. Согласно стандартной теории многообразий, X' диф-
феоморфно произведению / X iSo и, следовательно, S диффеоморф-
но SqI так как X' компактно, а отображение у~^ ° к гладкое, мы
можем при помощи разбиения единицы поднять векторное поле
—dJdf с / до векторного поля г на X'; поток ф^ = ф^ {v) на X'
отображает тогда я~^ {у ({)) диффеоморфно на я~^ {у (0)) = Sq.
Заметим также, что если На Р^ — любая гиперплоскость, транс-
версально пересекающая S и Sq, то множество V' касающихся Н
кубических поверхностей снова является аналитическим
подмножеством в W. Поэтому можно выбрать наш путь у лежащим
в W — V — У, так что У = X' П {W X Н) будет
подмногообразием в X', гладко отображаюш^имся на /. Возьмем векторное
поле v' на Y', поднимающее —d/df, и выберем v продолжающим v'.
Тогда диффеоморфизм ф = ф!*. S -у Sq переводит гиперплоское
сечение Н [] S в Й [] So- Это рассуждение показывает, что любые
две гладкие гиперповерхности степени d в Р" диффеоморфны при
помощи отображения, переводящего гиперплоское сечение одного
многообразия в гиперплоское сечение другого.
Теперь по формуле присоединения, примененной к iSci Р*,
имеем
Ks = (ЛГрз + 5) Is = -Н Is,
и аналогично Ks, = —-Н"|я, • Так как наш диффеоморфизм ф: S ->-
-^ So переводит S (] Н в Sofl Я, мы получаем, что
сг (Ks) = Ф*С1 {Ks,).
HjXTb TJE. ^ Н^ {So, Z) — класс когомологий исключительного
дивизора Ei d^So = Рр" jpe» и пусть }а,- = ф*т1б,- Так как
расслоение Ks отрицательно, оно не имеет глобальных сечений,
поэтому А''.» {S) = А»''' (5) = О и классы jx,- g Я* {S, 1) имеют
тип (1, 1). По теореме Лефшеца о (1, 1)-классах существуют
голоморфные линейные расслоения Li^y S с с^ (Lj) = fXj. Так как
индексы пересечения являются топологическими инвариантами,
то
LrLj = -1, Lt.Lj = 0 {1ф1),
Li-Ks = EfKs^ = —1.
Применяя формулу Римана — Роха, получаем

J. Предварительные сведения . 521
Как уже отмечалось, А*»" (5) = 0; по теореме Лефшеца о
гиперплоском сечении
Н^ {S, Щ^Н^ (Р», Z) = О,
так что h^'° (S) = О и, следовательно, % (О s) = 1- Более того,
согласно двойственности Кодаиры — Серра, h^ (Li) = й" {Кв—Ь1)\
но
= ^So-^So-^i-^s„=-3-l=-4,
так что расслоение Ks — L^ не имеет глобальных сечений. Поэтому
А» (L^)> 1.
и расслоение L,- имеет ненулевое глобальное сечение, а [.ij
является классом когомологий эффективного дивизора В{.
Так как DfHs = 1, то Di — прямая на 5с: Р*. Поэтому
Di — гладкая рациональная кривая на 5 с индексом
самопересечения —1 и может быть стянута. Более того, так как DcDj = О,,
прямые Dt на S не пересекаются, и потому образ Яг [Dj) при
стягивании Яг кривой Di — снова гладкая рациональная кривая
с индексом самопересечения —1. Следовательно, можно по
очереди стянуть все шесть дивизоров D^. Пусть S — поверхность,
полученная их стягиванием. Заметим прежде всего, что ее числа
Бетти равны
Ь<>(5) = Ь*(5) = 1,
Ь2(5) = Ь2(5)_6 = 7 —6 = 1.
Заметим также, что если я: 5 ->- 5 — отображение стягивания, то
Ks = п*К^ + Di + ,.. + Ds,
и так как расслоение Ks отрицательно, то мы получаем, что для-
любой кривой Da S
D.K~ = n*D. {Ks — Di-... —De)^n*D-Ks<0,
т. е. расслоение К^ не положительно. Поэтому наше
доказательство того, что S получается раздутием Р-* в шести точках» будет
закончено, как только мы докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть М — алгебраическая поверхность с т£ми же
числами Бетти, как у Р^, и с неположительным Кц'^ тогда
М ^ Р".

Гл. 4. Поверхности
Доказательство, Так как Ь^ (М) = О, имеем Pic {М) ^
^ Н^ {М, 1) ^ Z. Поскольку поверхность М алгебраическая,
•существует положительное линейное расслоение L' на М; пусть
L — образующая группы Pic (М), такая, что L' = LT- для
некоторого тг >• 0. (Заметим, что положительность L' влечет за собой
положительность L.) По предположению, IP' {М, С) = С, и, так
как Я^-^ {М, С) = С, имеем А''.» (М) = 0; Ь^ {М) = О влечет
за собой А^'" (М) = О и, следовательно, % (Ом) — !■
Топологическая эйлерова характеристика % {М) = 3, поэтому, согласно
формуле Нётера,
i^^^e)^ ^м-км+хш) ^Km-Km = q.
Так как с^ (L) порождает Н^ [М, Z), то по двойственности
-Пуанкаре
L-L = (ci (Ь) U ci (L)) [М],= ±1,
•а так как расслоение L положительно, то L-L = 1. Поэтому если
мы напишем К^ = L^, то т должно быть отрицательным, так
как расслоение Km. не положительно. Стало быть,
9 = Км-Км = т" {L-L)=^ т = -3,
т. е. Км = Ь~'. Применяя формулу Римана — Роха для L,
получаем
bP{L)-h^L) + h4L) = i+ ^-^-^-^ =1-1- ^~^-^) =3.
Но А* (L) = А» (й; — L) = А» (L-*) = О, так как L"*
отрицательно. Кроме того, по теореме Кодаиры об обращении в нуль
h?- (L) = fei (Z 4- 4L) = О,
поскольку расслоение L* положительно. Значит,
N> (L) = 3.
Далее, если D ^ \ L \ — дивизор из линейной системы | L |,
он должен быть неприводимым: если бы D = Di -Ь D^, где D^,
D2 >• О, то мы имели бы
1 = L-L = L-Di + L-D^-^ 2.
Более того, дивизор D должен быть гладкой кривой: если р ^ D —
особая точка, то, поскольку dim | L | = 2, можно найти дивизор
.D' т^" D ^ \ L I, такой, что р g D'; но в таком случае мы имели бы
1 = L-L =DD' >1.

J. Предварительные сведения 523
Род кривой D вычисляется по формуле присоединения:
т. е. D ^ Р^. Ограничение L\d является в таком случае
расслоением гиперплоскости (т. е. соответствует точке) Hpi; из точной
последовательности когомологий
О -^ ©м -^ ©м (L) -^ ©pi (Яр1) -^ О
и того факта, что П^ {М, О^) = О, получаем точную
последовательность
IP {М, в^ (L)) -^ НО {Р\ 0Р1 (ЯрО) -^ 0.
Расслоение Яр1 очень обильно на Р^, поэтому линейная система
I L I разделяет точки на каждой кривой D ^ \ L \. Но так как
dim I L I = 2, мы видим, что для любых двух точек р, q ^ М мож-
ной найти кривую D 6 I ^ !> проходящую через р ж q. Поэтому
линейная система | L | не имеет базисных точек и отображение
1^: М->-Р* разделяет точки. Следовательно, отображение i^
инъективно, а значит, является изоморфизмом. П
Мы показали, что каждая гладкая кубическая поверхность
SdP^ имеет вид Рр^ р,. Предположим, что три из точек pt
лежат на прямой L сг Р ^. Тогда собственный прообраз L прямой
L в S должен быть гладкой рациональной кривой с индексом
самопересечения 1-1 — 3 = —2, и по формуле присоединения
т. е. Kg-L ^ 0. Но каноническое расслоение на S отрицательно,
и мы получаем противоречие. Аналогично, предположим, что
шесть точек pi лежат на конической кривой СаР^. Тогда по
предыдущему кривая С должна быть гладкой, и ее собственный
прообраз С в S снова будет гладкой рациональной кривой с индексом
самопересечения 2-2 — 6 = —2; те же доводы показывают, что
такого не может быть. Поэтому если 5 ^ Р^^ р,, то точки рг
обязательно удовлетворяют условиям 1) и 2), указанным в самом
начале этого раздела, и мы получаем следующее утверждение
Каждая гладкая кубическая поверхность 5 с: Р' может
быть получена раздутием Р* в шести точках pi, . . ., рв,
никакие три из которых не коллинеарны и все шесть не лежат
на конике, и вложением в Р' посредством собственного
прообраза линейной системы кубик, проходящих через точки pi.

524 Гл. 4. Поверхности
В частности, результаты о прямых на поверхности, построенной
в самом начале, распространяются на все гладкие кубики.
Как мы увидим в следующих параграфах, квадрики и кубики
являются единственными гладкими гиперповерхностями в Р®,
которые могут быть получены из Р^ последовательными
раздутиями и стягиваниями.
2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Рациональные и бирациональные отобраокения
Одной из основных геометрических операций на
алгебраических многообразиях Fc Р" является проекция
sij,: V~^ P"-i
многообразия V из точки р 6 Р"» не лежащей на У, на
гиперплоскость. В гл. 2 мы видели, что если V — кривая, то отображение
Пр определено даже и в том случае, когда р лежит на F: Лр,
определенное а priori лишь на У — {/)}, продолжается в точку р,
переводя ее на Р"~^ в образ касательной прямой к У в р. Однако в
общем случае, когда размерность У больше 1 и р 6 ^> отображение
Пр не определено и не продолжается в р. В этом нетрудно
убедиться: для любой точки д'бР"~'^П Tjiiy) в образе касательной
плоскости к У в точке р существует сходящаяся к р
последовательность {дг) точек на У — {р}, такая, что Яр (gj) сходится к q.
Несмотря на то что отображение Лр не всюду определено, оно
является естественной геометрической операцией (как мы уже
имели случай убедиться в предыдущем параграфе) и поэтому получило
признание в алгебраической геометрии. Отображение Лр
является примером обпшрного класса преобразований, называемых
рациональными отображениями, к обсуждению которых лш сейчас
переходим.
Начнем с определения.
Определение. Рациональным (или мероморфным)
отображением комплексного многообразия М в проективное пространство
Р" называется отображение
/: 2^-* [1, /i(z) /„(2)],
заданное п глобальными мероморфными функциями на М.
Рациональным отображением /: М ^f N ъ алгебраическое
многообразие iVcr Р" называется рациональное отображение f: М ^у
-^ Р", образ которого лежит в N.
Трудность в понимании рациональных отображений/: М->-Р"
заключается в том, что они, строго говоря, не являются отображе-

2. Рациональные отображения 525
ниями: они не обязательно определены на всем М. Давайте
сначала посмотрим, как это может случиться.
Как мы уже неоднократно видели в главе о кривых, любой
вабор /i, • . ., /п мероморфных функций на римановой
поверхности S годится для определения голоморфного отображения
/7 ZH* [1, /i (Z), . . ., /n (Z)]
жа S ь P": хотя / определено a priori только вне полюсов
функций fi, для любой точки р = (z = 0) g iS можно положить т =
= max {—ordp (ft)}, и тогда отображение
J: z^l^ , z" /i (z), .. ., z" /„ (z)]
продолжает / в точку p. Мы пользуемся здесь тем фактом, что
точка р является дивизором на римановой поверхности S, т. е.
определяется одной функцией z, и любая функция, обращающаяся
в нуль в р, должна делиться на z. Конечно, в более высоких
размерностях это уже не так, и потому можно ожидать, что общее
рациональное отображение не будет всюду определено.
Простейшим примером является рациональное отображение
/: С ^-у pi,
заданное одной мероморфной функцией / (х, у) = yJx, т. е.
/ (а;, у) = 11, yJx] = [х, у].
Отображение / определено и голоморфно всюду вне начала
координат (О, 0) g С^, но не может быть продолжено до отображения
всего С^.
Другой способ представить рациональное отображение /: М ->-
—J. рп _ задать его п -{- i голоморфными функциями: если /
Задано мероморфными функциями fi, ■ ■ ■, fn, запишем локально
каждую из них в виде ft = gtfht, где функции hi, gi голоморфны
и взаимно просты; пусть h^ — наименьшее общее кратное
функций hi. Тогда / задается локально как
р. z^ [1, /i (z), . . ., /n (z)] = [Ao (z), /i (z) Ao (z), . . .
• • M /n (z) К (z)];
конечно, функции f^ = hoU fi = hji голоморфны, и / определено
вне множества общих нулей П (/г) этих функций.
Заметим, что функции /г не имеют общих множителей: если
к — неприводимая функция, делящая h^ точно т раз, то /с" делит
hi для некоторого i. Так как к в этом случае не делит gi, то к не
делит и fihg = gihjhi. Поэтому ше одна функция, обращающаяся

526 Гл. 4. Поверхности
В нуль в j3, не может делить всё функции Ао, h^i. Отсюда следует,
что множество П (/г) не содержит дивизоров, т. е. рациональное
отображение f определено вне подмножества коразмерности 2 или
больше. Обратно, если Vci М — аналитическое подмножество
коразмерности не меньше 2, а f: М — У ->- Р" — голоморфное
отображение, то по теореме Леви из § 2 гл. 3 обратный образ на
М — V евклидовых координат Xi = Xj/Xo, J = 1, . . ., п, на
Р" продолжается до мероморфных функций /j на М. Поэтому
отображение/ = [1, /х (z), ...,/„ (z)] рационально. Это позволяет
дать другое определение рационального отображения, а именно:
Рациональное отображение /: М ^f N комплексного
многообразия М в алгебраическое многообразие N задается
голоморфным отображением f: М — У ->- iV, определенным на
дополнении к подмножеству коразмерности 2 или
больше в М.
Теперь мы установим связь между рациональными
отображениями в Р" и линейными системами дивизоров и сечениями
линейных расслоений, как мы это делали с голоморфными
отображениями. Пусть L->- М — линейное расслоение и ст^, . . ., ст„ g
6 Я" {М, О (L)) — набор его линейрно независимых глобальных
голоморфных сечений. Тогда мероморфные функции ft = а^а^,
определяют рациональное отображение
/: М-^Р"*.
В терминах дивизоров предположим, что | D^ кер" —
линейная система на М. Пусть Е — неподвижная компонента {D}},
т. е. наибольший эффективный дивизор, такой, что Dj^ — £ > О
для всех Х; тогда дивизоры {Di, =Z)x — Е} образуют линейную^
систему, базисное множество которой имеет коразмерность не
меньше 2. Определим рациональное отображение /: М->-Р"*,
полагая
/ (р) = {I: в;,эр}е Р"*;
оно определено вне базисного множества {D^}. Конечно, если
{D),} — линейная система
■Dx = (^о<^о + . • . + ^п<^п).
связанная с векторным пространством {сГо, . . ., ст„} сечений
линейного расслоения L, то отображения, задаваемые системой
{D}^} ж мероморфными функциями а^а^, совпадают.

I
2. Рациональные отображения 527"
Таким образом, мы имеем точное соответствие
линейные системы дивизоров Л
на М с базисным множеством \ •«-*
коразмерности ^2 J
рациональные отображения
/: М ->- Р" с точностью
до автоморфизмов Р"
С третьей точки зрения рациональное отображение /: М ->- Р"
можно рассматривать как подмножество ъ М X Р". Точнее,
определим график TfCZ М X Р" отображения / как замыкание его
графика
{(р, X): fip) = X}
в тех точках, где оно определено. Заметим, что это аналитическое
подмножество: если / задается локально как
/: J"-* \-goiP), ■ ■ •. gniP)l
где ^0» • • ч 8п — голоморфные функции без общего множителяг
то Гу содержится в многообразии
ro^{gi(p)Xj-gjip)Xt = 0)
и совпадает с Го над областью определения М^ а М отображения /,
Поэтому Tf является неприводимой компонентой Го, содержащей:
ГоП {Мо X Р"). Обратно, предположим, что Гс: М X Р" есть
А-мерное аналитическое подмножество, имеющее индекс
пересечения
#(Г, {р} X Р") = 1
со слоями М X Р" над М. Для р ^ М подмножество Г либо транс-
нереально пересекает слой {р} X Р" в одной точке (р, f (р)) —
и в этом случае по теореме о неявной функции Г является
графиком голоморфного отображения вблизи р, либо пересекает слой
не менее чем по кривой. Первый из этих случаев — общий. В
самом деле, множество точек, для которых имеет место второй
случай, должно иметь коразмерность ^ 2: если бы V имело
размерность к — 1, прообраз У в Г имел бы размерность к и был бы
компонентой неприводимого многообразия Г. Поэтому Г определяет
рациональное отображение f: М ^у Р". Итак,
Рациональное отображение /: М ->- Р" задается
неприводимым к-мерним подмножеством в М X Р", имеющим
-,. индекс пересечения 1 со слоями {р} X Р" проекции М X
X рп-^м.

528 Гл. 4. Поверхности
Неожиданным следствием такого описания рациональных
отображений является тот факт, что образ компактного
многообразия М при рациональном отображении f: М -^ Р", т. е.
замыкание образа области определения /, является алгебраическим
подмногообразием в Р". Это следует из теоремы о собственном
отображении, как только мы замечаем, что образ замыкания
графика Tf отображения / в М X Р" есть замыкание образа /.
Бирационалъные отображения. Будем говорить, что
рациональное отображение f: М -у N бирационально, если существует
рациональное отображение g: N ->- М, такое, что композиции
jog и g о f ЯВЛЯЮТСЯ тождественными отображениями; два
алгебраических многообразия называются бирационально
изоморфными или просто бирациональными, если существует бира-
циональное отображение между ними. В частности, многообразие
называется рациональным, если оно бирационально изоморфно Р",
т. е. если на нем существуют п мероморфных функций,
являющиеся локальными координатами почти всюду. Заметим, что
рациональное отображение f: М -у N бирационально тогда и только
тогда, когда оно взаимно однозначно в общей точке.
Действительно, если для общей точки р ^ N прообраз /"^ (р) состоит из
единственной точки, то график TfCZ М X N отображения / имеет
индекс пересечения 1 со слоями М X {р}, ти это дает
рациональное обратное отображение.
Бирациональный изоморфизм доставляет важное
промежуточное понятие эквивалентности многообразий. У бирациональных
многообразий сходства больше, чем различий; для классических
геометров они были лишь разными проявлениями одного и того
же многообразия. Такая точка зрения должна быть понятна и
алгебраисту, ибо в алгебраических терминах локальное кольцо
■функций точки р Е М изоморфно (как локальное кольцо)
локальному кольцу функций точки q ^ N тогда и только тогда, когда
существует бирациональное отображение /: М ^-у N, переводящее
р в q ж бирегулярное в окрестности р. Сделаем несколько
замечаний, подтверждающих тесную связь между бирациональными
многообразиями.
Пусть /: М ->- N — рациональное отображение, определенное
и голоморфное на дополнении М — F к подмногообразию V
коразмерности ^ 2. Если ф — глобальная голоморфная р-форма на
N, то по теореме Хартогса обратный образ /*ф этой формы на
М — V единственным способом продолжается до р-формы на
всем М; поэтому для каждого р имеется отображение
/*: Ho{N, Q^)-^Я»(M, QSr).
Вообще, если Ем ->- М — контравариантное тензорное
расслоение, то естественное отображение /* множества сечений Eif над N

2. Рациональные отображения 529
В множество сечений Е^^ над М — V дает отображение
/*: Я» (ЛГ, 0 {Ej,))-^ Я» {М, в (Ем)).
Если / — бирациональное отображение, то все /* — изоморфизмы;
поэтому пространство сечений любого контравариантного
голоморфного тензорного расслоения является бирационалъным
инвариантам. В частности, бирациональными инвариантами
являются числа Ходжа hP^" (М). Некоторые из этих инвариантов имеют
свои названия.
1. Число А^»" (5) линейно независимых голоморфных 1-форм
на римановой поверхности — это ее род g (S). Вообще, число
h"'" {М) голоморфных форм старшей степени на компактном тг-мер-
ном многообразии М называется геометрическим родом М и обо"
значается Pg (М).
2. Другое обобщение понятия рода римановой поверхности
дает число
Ра (М) = /г"' о (М) — А"-1. о (М) + . • • + (—1)"-1 А1. о (М),
называемое арифметическим родом М. Используя равенство
ha. о (^М) = А"' ' {М), можно написать также
Ра (М) = (-1)" (X (0м) - 1).
3. Число h?-'" (М) голоморфных 1-форм на компактном
комплексном многообразии М часто обозначается q (М) и называется
иррегулярностью М. Если многообразие М кэлерово, то
иррегулярность — это просто половина первого числа Бетти.
4. Интерес представляют также размерности
Р„ (М) = А» {М, О (К-м))
пространств сечений п-х степеней канонического расслоения,
которые в совокупности называются плюриродами (или кратными
родами) М.
5. Фундаментальная группа Я] (М) алгебраического
многообразия также является бирациональным инвариантом. Пусть
/: М ^f N — бирациональное отображение, определенное и
взаимно однозначное вне подмногообразия Va М. Если у — петля на
М, то можно найти гомотопную ей петлю у' на М, не
пересекающуюся с V; класс / {у') на N не зависит от выбора у'. В самом деле,
V имеет вещественную коразмерность не меньше 4, поэтому если
Т' — т" — граница диска в М, то у' — у" будет границей диска
и в М — V. Тем самым мы получаем отображения
/,: щ (М) -^ Я1 (ЛО и fl': щ {N) -^ п^ (М),
взаимно обратные друг к другу, так что Лх (М) ^ я^ (N).
3—0200

530 Гл. 4. Поверхности
Можно указать еще один способ использования бирациональ-
ного отображения для переноса структуры: если /: М ->- N —
бирациональное отображение, то можно определить два
гомоморфизма
Div (М) -^ Div (N),
называемые отображением собственного образа и отображением
полного образа. Собственный образ дивизора D я& М определяется
как замыкание в N образа D при / там, где / определено, тогда как
полный образ определяется как образ в N прообраза D в графике
Та М X N отображения /. Читатель может проверить, что
отображение полного образа сохраняет линейную эквивалентность,
в то время как отображение собственного образа, вообще говоря,
не сохраняет.
Примеры рациональных и бирациональных отображений
1. Любое голоморфное отображение /: М->-Р"
тривиальным образом рационально.
2. Если я: М ^>' М — раздутие алгебраического
многообразия М в точках {Pi}, то обратное отображение
„-1; М — {pi} -^ М,
очевидно, рациональное, так что я — бирациональный изомор-'
физм. Голоморфное отображение /: М ->- Р" задает поэтому
рациональное отображение из М в Р". Мы покажем позже, что если
М поверхность, то верно и обратное: любое рациональное
отображение /: М ->- Р" индуцируется голоморфным отображением
раздутия (возможно, многократного) М поверхности М.
3. Как уже упоминалось в начале этого параграфа,
отображение проекции Яр: С— {р}->-Р"~^ кривой Сс: Р" из точки
j3 g С на гиперплоскость в Р" продолжается до голоморфного
отображения на все С В общем случае, когда Ус: Р" —
произвольное многообразие, & р ^ V — произвольная точка, проекция Яр
многообразия V из р в гиперплоскость является рациональным
отображением. В самом деле, Яр можно продолжить до
голоморфного отображения раздутия V многообразия V в р, сопоставляя
точке г ^ Е исключительного дивизора точку пересечения Р""^
с касательной прямой к V в р, соответствующей г.
Заметим, что в случае квадратичной гиперповерхности V.
отображение Яр — бирациональный изоморфизм. Мы уже убедились
в этом для квадратичной поверхности ^с Р*, где отображение
Яр состоит из раздутия в точке р и последующего стягивания двух
прямых йа !9i'проходящих через J9. '\ -

2. Рациональные отображения 531
4. Если ф: М ->- Р" — голоморфное отображение /с-мерного
многообразия в Р", то ассоциированное с ним отображение Гаусса
S: М*-уС(к + 1, п + 1),
переводящее всякую гладкую точку образа в касательную
плоскость в этой точке, является рациональным отображением.
В явном виде, если ф локально задается как ф (z) = [фо (z), . . .
. . ., ф„ (z)], то отображение § в терминах вложения Плюккера
G (А; + 1, тг + 1) -^ Р (Л'"'^ '^'"^^)
определяется минорами матрицы Якоби dtp-Jdz^.
5. Если Vd Р" — произвольное многообразие, можно
определить рациональное отображение
У -^ G (А, тг -Ы)
/с-кратного произведения V на себя в грассманиан {к — 1)-мерных
плоскостей в Р", полагая
График этого отображения есть в точности главная неприводимая
компонента соотношения инцидентности Iа V'' X G {к, п + I),
задаваемого как
I = {(Pi, • • -, Ph', Л): Pi 6 Л для всех i}.
6. Мы уже встречались раньше с двумя бирациональными
отображениями
j^(«): 5(«) -у J{S) и ц^^«-^>: 5(«-i) -у в
g-кратной симметрической степени римановой поверхности S
в якобиан / (5) ж (g — 1)-кратной симметрической степени S
в тета-дивизор в с: J {S). Последнее отображение включает в себя
оба предыдуш^их примера рациональных отображений: если
ё: в->- Р^-1* — отображение Гаусса, определенное в § 6 гл. 2,
то композиция
Ss-i Д 5(*"1> - > в —* Р«-1*
(где я —стандартные отображение) есть в точности отображение
примера 5, примененное к канонической кривой 5 с: Р^"^.
7. Бирациональные отображения проективной плоскости Р*
в себя называются преобразованиями Кремоны. Следующий
пример преобразования Кремоны является основным: пусть а, Ь, с —
неколлинеарные точки Р*, а Р* — раздутие Р* в этих трех точ^
ках. Собственные прообразы i,ab,Lbc и Ьщ. прямых аЬ be ж ас
3*

532
Гл- 4. Поверхности
Рис.2
представляют собой непересекающиеся рациональные кривые
с индексом самопересечения —1 на Р* и могут быть стянуты
(рис. 2). Получающаяся при этом поверхность S, согласно
последней лемме предыдущего параграфа, изоморфна Р*; тем самым
мы задали, с точностью до автоморфизма плоскости Р*, бирацио-
нальное отображение Фа,ь,с плоскости Р* в себя. Отображение
фа,ь,с задается линейной системой | 2Н и + ь+с коник в Р*,
проходящих через три точки а, b ж с; в однородных координатах, если
а = [1, О, 0], b = [О, 1, 0], с = [О, О, и,
отображение фа,ь,е имеет вид
[Xq, Xi, XjJ t—*• 1Л1Л2, Л0Л2, XoXil.
Заданное линейной системой коник отображение фп.ь.с называется
квадратичным преобразованием плоскости. Заметим, что общая
прямая L, проходящая через точку а, переходит в прямую,
проходящую через образ Lj,c, в то время как прямая L, не содержащая
точек а, b ж с, переходит в конику, проходящую через три точки
d = ф {Lab), е = ф (Lj,c) и / = ф (Lac)- Это отражает тот факт,
что отображение Ф<ге/°ФаЬс голоморфно.

2. Рациональные отображения 533
Другой пример преобразования Кремоны неявно упоминался
в последнем параграфе. Пусть а^, . . ., Og — шесть точек на Р*
в общем положении относительно прямых и коник. Тогда в раз-
дутии Р* плоскости Р* в точках а,- собственные прообразы Gj
коник в Р*, проходящих через пять из шести точек а^, являются
непересекающимися рациональными кривыми с индексом
самопересечения — 1 и поэтому могут быть стянуты. Стягивание
приводит к плоскости Р*, и мы получаем некоторое преобразование
Кремоны г|). Читатель может проверить, что бирациопальное
отображение г|) задается линейной системой квинтик в Р*,
имеющих двойные точки в каждой точке а^. Разумеется, стягивание
любой из 72 шестерок непересекаюпщхся прямых на кубике Р*
приводит к некоторому преобразованию Кремоны.
Классическим результатом является утверждение, что группа
преобразований Кремоны порождается квадратичными
преобразованиями фаьс Интересное упражнение — проверить его для
отображения г|), выразив г|) как композицию квадратичных
преобразований; для этого достаточно трех таких преобразований.
Позже в этом параграфе мы вернемся к доказательству
структурной теоремы для бирациональных отображений поверхностей.
Однако для этого нам потребуются дополнительные факты о
кривых на поверхностях.
Кривые на алгебраической поверхности
Начнем обсуждение кривых на поверхностях с доказательства
факта, уже упоминавшегося в гл. 2: если Са S — любая
неприводимая кривая на алгебраической поверхности, то существуют
компактная риманова поверхность С и голоморфное отображение
гр: C^Cd S,
взаимно однозначное над гладкими точками С. Риманова
поверхность С вместе с отображением г|) называется десингуляризацией С.
Заметим прежде всего, что задача локальна: мы хотим
пополнить открытую риманову поверхность С* = С — Cj до
компактной поверхности, и делать это можно отдельно над каждой особой
точкой. В самом деле, так как локальные неприводимые
компоненты С* вблизи особой точки р ^ С ше пересекаются, пополнение
каждой локальной компоненты С* можно производить по
отдельности. Точнее, пусть pi, . . ., js^ — особые точки С, & €{, . . .
• . ., <7^ — неприводимые компоненты С в р,-. Если мы найдем
отображения

534 Гл. 4. Поверхности
взаимно однозначные вне О g А;, и jsj g Ci,, то в качестве десингу-
ляризации С можно взять
С*и^х^и*,,,А и ... U*t.axAU*,.,AU ..•■и*„.„^А,
т. е. склеить гладкую часть С* кривой С с дисками А по
отображениям {r|)f,a}.
Пусть теперь р — особая точка С, и предположим, что С
неприводимая в малой окрестности А точки р и гладкая в А — {р}.
Пусть Z, W — локальные голоморфные координаты на S вблизи
точки р = {О, 0) и <7 задается в А голоморфной функцией / (z, w).
После голоморфной замены координат можно сделать /
многочленом Вейерштрасса по и> и написать
/ (Z, и;) = «/■ + J3i (z) ы/'-i + . , . + ри (z),
где Pi (0) = О для всех i. Теперь если е мало и О < | z | < е,
то ьшогочлен / (z, w) имеет к различных корней а^ (z); функции
От (z) локально однозначны и голоморфны при z Ф О ж
к
f{z, w)=U (w-Uriz)).
Геометрически это означает, что при проекции п: (z, w) >-*■ z
на z-плоскость прообраз л"^ (А?) с: С* проколотого диска А| =
= А е — {0} является неразветвленным топологическим
накрытием А%.
Аналитическое продолжение функции а,, (z) вокруг начала
координат в z-плоскости дает новый функциональный элемент
OfUr) (z), где а — перестановка (1, 2, . . ., fc). Иначе говоря, если
мы поднимаем путь t *-* z.e*"" из z-плоскости в С, начиная с точки
(z. Or (z)) g С, то заканчиваем мы его в (z, ао(г) (z)). Так как
кривая С неприводима в р, го накрывающее пространство п~^ (AJ) -v
->- AS связно и перестановки {а*"} действуют транзитивно. Отсюда
следует, что а имеет порядок к.
Построим теперь наше локальное отображение десингуляри-
зации
гр: Ае- -V С (б'" = е)
следующим образом. Рассмотрим функцию
определенную а priori в окрестности t, = г. Записывая t, = ге*^,
мы видим, что, когда 9.возрастает от О до 2л1к, t/^ делает один
оборот вокруг нуля, и для продолжения b имеем

2. Рациональные отобраясения 535
Продолжая далее, получаем
и так как а имеет порядок к, то аналитическое продолжение b вдоль
окружности 1^1 = '" возвращает нас к первоначальной функции Ь.
Поэтому функция b (Q однозначна в проколотом диске А|' и,
будучи ограниченной, продолжается до голоморфной функции на
Ае'. Положим теперь
^а) = а\ьа)).
Ясно, что / (S'', % {^''У) ^ О, поэтому г|) отображает диск Ае- в С.
Более того, г|) взаимно однозначно: если г|) (S) = г); (^') для
некоторых ^, t,', то ^ = t,'^ и, следовательно, f =^ e*"*i*/*S для
некоторого fi = 1, . . ., Л;. Далее, так как
то a^^ (1) = 1. Но а действует транзитивно на {1, . . ., А;}, поэтому
[i = /с, т. е. t, = t,'. Итак, отображение
ограничивается до изоморфизма
V- At'^C-{p},
и мы получаем искомую десингуляризацию. (Заметим, что С,
будучи образом диска А, имеет однозначно определенную
касательную прямую в р.)
Легко видеть, что десингуляризация С единственна: если
п: С -^ С и л': С ->- С — две десингулярвзации, то
изоморфизм
С — я"» (Q ^С* ^С'- л'-» (С,)
продолжается непрерывно, а значит, голоморфно до изоморфизма
между С л С.
Десингуляризация алгебраической кривой доставляет другое
понятие рода особой кривой. Напомним, что для неприводимой
кривой Ccz S шй алгебраической поверхности S виртуальный род
п (О определялся как
По формуле присоединения п (С) —' род любой гладкой кривой
на S, гомологичной С. С другой стороны, можно определить
реальный род g {С) как род десингуляризации С. Центральный
пункт нашего обсуждения — сравнение этих двух понятий рода;

536 Гл- 4. Поверхности
ДЛЯ такого сравнения нам понадобится явная форма формулы
присоединения — отображение вычета Пуанкаре.
Пусть S — гладкая поверхность, Ccz S — гладкая кривая,
заданная локально в голоморфных координатах z, u> на S
уравнением / (z, w) = 0. Отображение вычета Пуанкаре
R: Й|(С) -V Q'c
задается локально сопоставлением
/ ■. dz А dw , , dz I
в § 2 гл. 1 уже отмечалось, что оно не зависит от выбора
координат Z, W. Моншо расширить R до отображения пространства меро-
морфных 2-форм на S, имеющих вдоль С полюс не более чем
первого порядка, в пространство мероморфных 1-форм на С, считая,
что в предыдущей формуле функция g (z, w) мероморфна. Для
общей мероморфной 2-формы со, записанной как выше, вычет
Пуанкаре R (со) на С будет иметь следующие нули и полюсы:
1. В точке р пересечения дивизора D = (g) = (со) + (/) =
= Ks -{- С с С форма R (со) имеет порядок Шр {D, С).
2. В точке, где ограничение на С 1-формы dz обращается
в нуль, форма R (со) имеет нуль.
3. В точке, где обращается в нуль df/dw, форма R (со) имеет
полюс.
Как уже отмечалось в случае кривых на Р*, второе и третье
слагаемые взаимно уничтожаются: если (df/dw) (р) = О в
некоторой точке р, то (df/dz) (р) Ф О в силу гладкости кривой €■ Из
соотношения
d/ = -|^dz + #-du>sO на С
' dz ' dw
получаем, что
ordp (df/dw) = ordp (dz)
на С. Мы видим, что канонический дивизор К = (R (со)) на С есть
в точности пересечение С с Ks -{- С, ж, значит,
2g-2=^degKc = C.(Ks + C),
т. е.
Посмотрим теперь, что происходит, когда С — особая кривая.
Пусть С ^f- С — десингуляризация С. Как прежде, пусть со 6

2. Рациональные отображения ^ 537
g Qs {С) — мероморфная 2-форма с ordc (со) = —1, записанная
локально как
Обратный образ
(О
= л*Л (со) = л* (g (z, w) ■
dz
(dfldw) (г, w)
является корректно определенной мероморфной 1-формой на
прообразе п~^ (С*) множества гладких точек С в С; спрашивается^
как ведет себя со над особыми точками С Для облегчения
вычислений мы покажем сначала, что можно выбрать со так, чтобы ее
дивизор (со) вблизи особых точек С состоял только из С; иначе
говоря, чтобы в выражении для со функция g была отлична от нуля
во всех особых точках С. Это легко: если L — положительное
линейное расслоение на S, то для достаточно большого к мы найдем
аено (5, а^ (L* + С)) и X € Я» (5, 0 (L")), ненулевые в С,;
тогда частное со = alt будет мероморфной 2-формой нужного
типа.
Пусть теперь р ^ С — точка кратности А; на С, и предположим
для начала, что С локально неприводима в р. Так как С неприво-
дима в р, то касательный конус к С в р состоит из одной прямой^
взятой Л-кратно. Пусть z, w — локальные координаты на 5 в
окрестности р, такие, что касательная прямая к С в р задается
уравнением (и> = 0). Пусть / (z, iv) — функция, определяюш,ая С в
окрестности р; можно считать / многочленом Вейерпгграсса по w.
Запишем
/(Z, u') = Satz'«^-4[fc + l] = [](YiZ-6,u;)-b[fc + l],
i i
где (yjZ — biw) — уравнения прямых касательного конуса кС в р.
Так как (и> = 0) — единственная касательная прямая, то
f{z,w) = i^+[k + 1],
т. е. разложение / в ряд по степеням z и и> не содержит членов
степени^ к, кроме w^. Записывая / как многочлен Вейерштрасса
f{z, w) = u^ + р^ (z) ir^-i + . . . -Ь ри (z),
мы получаем, что порядок нуля pi (z) в О не меньше i -|- 1.
Пусть снова {а,, (z)} — функциональные элементы в
проколотом диске в z-плоскости, такие, что
/ (Z, W) = S l^^^-'Pi (Z) = П {W- йг (Z)),

538 Гл. 4. Поверхности,
•пусть Ь (Q = % {1^), И пусть л: Д^.-^ С — построенная ранее
десингуляривация я (О = (?'', Ь (0)- Тогда
4= 2(П ("'-«'•'(-)))'
так что
= 2( П (Ь(0-Ь(е2"*'-'Ч)))= П (М0-Ь(е2""-'/Ч)),
поскольку {Ь (e^"*'"/''S)}r = {Лг (?'')}г' Можно написать
П ( "* "Йг {«^"'"^1)) = П П (^ (^^"''•/''D — Ъ (e2ni(r+r')/fe^)) =
Последнее выражение — симметрический однородный многочлен
■степени к {к — i) от функций {Ь ie-"^^/^t^}r = {ch {V^)}t^ ив силу
этого выражается через элементарные симметрические многочлены
Pi (С'') для {Ог (С*)}г; иначе говоря,
П (Ь (e2"-/*S) _ b (e^^ir'/ftQ) = 2 с,р, (S'')'^ • р^ НУ' ...ри {:!')%
тфг-
причем
для каждого е, такого, что СдфО. Так как порядок нуля
функции Pt в нуле не меньше г +1, функция Pt (t,^) имеет нуль
.порядка ^A;(i + 1). Зшлчлт, \]{п* {дf/дw){e^"^^/^^t,)) имеет нуль
г
порядка ^ А; (А; — 1) (й +1) при ^ = 0. Так как порядки нулей
у функций (я* (df/dw) {e^"^^f^^Q}r одинаковы, то п* (df/dw) (Q
ммеет нуль порядка ^{к—1)(Л + 1) ^'^P^^ S = 0.
Подводя итог, мы видим, что
ю = я*Л (со) = я*я (Z, гг;) ^^5^^^^^ =

2. Рациональные отображения 539
продолжается в я"^ (р) как мероморфная 1-форма, имеющая полюс
порядка Xfc — 1) (А; + 1) — (А; — 1) = А; (А; — 1).
Вычисление в случае, когда кривая С локально приводима
в j3, ненамного труднее. Пусть z, w ж f такие же, как выше;
запишем / = {T/ii где fi неприводимы и обращаются в нуль в точке р.
Обозначим через Ci = (/г = 0) неприводимые компоненты С
вблизи р, и пусть Jiji Д ->- Cj — соответствующие десингуляризации,
а Pi — яТ' (р). Заметим, что если ki — multp (Ct), то
fc = muItp(C) = S fcj.
Рассмотрим снова вычет Пуанкаре со на С вблизи Pi'.
Z = nU{z,w) „>(^Хи^. u>) •
Мы имеем
и так как ft тождественно равны нулю на Ci, то
Поэтому
~ . i nfdz
{0 = nfg
It? dz
Согласно предыдущим вычислениям, форма .^.д, .„ . продол-
жается в р^ как мероморфная форма с полюсом порядка
^ki{ki — 1). С другой стороны, функция [| я*/у обраща-
ЗФг
ется в нуль порядка
Pi }фг }¥=i }фг }фг
Из ЭТОГО ВИДНО, ЧТО (О — мероморфная в точке pi 1-форма с
полюсом порядка не меньше
В целом форма со имеет не меньше
'^ki{k—\) = k{k-i)

540 Гл. 4. Поверхности
ПОЛЮСОВ в точках pi, лежащих над р. Окончательно, мы доказали
следующее утверждение.
Форма (О на С* продолжается до мероморфной формы
на С имеющей не менее к {к — 1) полюсов в точках С,
лежащих над тлчкой кратности к на С.
Подсчитаем теперь полную степень мероморфной формы со на
С. Вне прообразов особых точек С форма со, как и в гладком
случае, имеет нули и полюсы в точности там же, где g (z, w). Как
и раньше.
Обозначая полное число полюсов © в точках С, лежащих над р,
через
бр= — 2 ord^ (to).
Pi
имеем бр^ fc (fc — 1) для точки р ^С кратности к и
2g{C)-2 = deg{w) = C.C + C-Ks- S бр,
Р€С
Тем самым доказана следующая основная
Лемма. Если кривая Ccz S имеет особые точки pt кратности
kt, то
в частности,
g(0<n(C),
и равенство достигается только для гладкой кривой С.
Как важное следствие мы получаем следующий факт:
я; (С) ^ О для любой неприводимой кривой С на поверхности
5, и если п (С) = О, то кривая С гладкая.

2. Рациональные отображения 541
Это В СВОЮ очередь приводит к усилению критерия
стягиваемости Кастельнуово — Энриквеса:
Неприводимая кривая С на алгебраической поверхности S
может быть стянута тюгда и тллъко тлгда, когда С-С
и Ks'C оба Отрицательны.
Доказательство. Имеем
л{С)= ^-^-b^-^ +1>0.
Поэтому неравенства С'С<.0 и С-К<0 могут выполняться
только при С-С = С-К = — 1. Но тогда л (С) = О, так что С
гладкая и применим первый вариант критерия стягиваемости. П
Другое важное применение леммы относится к явному
построению десингуляризации кривой. Пусть С — неприводимая
кривая, лежащая на алгебраической поверхности S, ж р ^ С — особая
точка кратности к. Пусть я: 5-v S — раздутие S в р, Е =
= jt "^ (р) с: 5 — исключительный дивизор раздутия и С — соб-
ственный прообраз С ъ S. Тогда
K^-^n*Ks + E, С-^п*С — кЕ,
В
так что
С • С == (я*С • я*С) + А;2 (£: • £■) = С • С — А;2,
K^-C = {a*Ks-n*C) — k{E-E) = Ks-C-]-k.
S
Соединяя предыдущее, получаем
С-С + К^-С
Т
я(0 = _Ё +1 =
_c-c+Ks-c ^ ^ fc(fc-i) _^_j^/q fc(fc-i)
т.е. виртуальный род С строго меньше, чем виртуальный род С.
Это дает следующий рецепт построения десингуляризации С.
Мы определяем последовательность кривых и поверхностей CjC:
с: Si, полагая d равным собственному прообразу С на раздутии

542 Гл. 4. Поверхности
Jii : 5i-v S всех особых точек С в S, С^—
собственному прообразу Cj на раздутии
^2: ^2 —* 5i всех особых точек С] и т. д.
Если бы всё Ci были особыми, мы
получили бы л (С) > я (Ci) > п (Ci) > . . ..
Однако лемма утверждает, Что п {Ci)'^0
для всех г; поэтому, начиная с
некоторого г, кривая Сi должна оказаться
гладкой. По построению отображение
П= Jtj о ^2 о ... о Jljl Cj —»- С ^
взаимно однозначно вне особого
множества С, так что п: Ci^f С есть десингу-
ляризация С
Используя этот процесс, мы можем
выполнить обещание из § 5 гл. 1 и оценить
вклад любой особой точки в род кривой.
Для примера предположим, что Ccz S
имеет точку соприкосновения, т. е.
двойную точку, ветви которой имеют простое
касание в точке р (рис. 3). Если §->- S —
раздутие S в р, & С — собственный
прообраз С в р, 10 собственные прообразы
Рис. 3 двух ветвей С трансверсально
пересекаются в точке г ^ Е исключительного
дивизора, соответствующего их общей касательной в р, так что С имеет
обыкновенную двойную точку в г. Если S^>- S =— раздутие S
в г, то собственный прообраз С кривой С в S будет гладким. Тогда
С-С^С-С-4, K^-C = Ks-C + 2,
S
С-С = С-С — 4, К^-С = К^-С + 2,
■ S ^
так что
.. =^:^±f^ + l-2 = n(C)-2., .,;
Иначе говоря, пючкасоприкосшвения уменьшает ^од,кривой на 2.

2. Рациональные отображения ^ 54S
Аналогично, если р — обыкновенная тройная точка на С.,
т. е. вблизи р кривая С состоит из трех ветвей, трансверсальна
пересекающихся в точке р, то собственнБЕЙ прообраз С в
раздутии S поверхности 8ьр будет гладкой кривой над р, и мы получаем
я(С) = л(<7)—3.
Иначе говоря, обыкновенная тройная точка уменьшает род
кривой на 3.
Сделаем еще одно замечание, которое нам понадобится в
дальнейшем: если Ccz S — кривая с особыми точками pi кратности
Л^г, Со — гладкая кривая, гомологичная С, af: С^*- С — десингу-
ляризация С, то, как было доказано,
Поэтому
С другой стороны, рассматривая триангуляцию С, для которой
все точки /"^ (pi) являются вершинами, мы получаем, что
х(0=х(С)-2(#{ГЫ}-1)-
г
Так как точки /"^ (pt) соответствуют в точности локальным
неприводимым компонентам С вблизи р^, а их не больше ki, то
Х(С)>х(С)-3(Лг-1).
Собирая все вместе, мы видим, что
x(0>x(Co)-bS(fc£-iP,
т. е. эйлерова характеристика особой кривой на S строго больше^
чем эйлерова характеристика гомологичной ей гладкой кривой.
В частности, если особенности С состоят в точности из б
обыкновенных двойных точек, то
X (С) = X {Со) + б.
Получим теперь классическую формулу, связывающую
эйлерову характеристику поверхности со структурой пучка кривых на
ней. Пусть М — алгебраическая поверхность, а {С^} — пучок
кривых на М, обпщй член которого неприводим. Предположим
дополнительно, что все кривые С^ гладкие в базисных точках
пучка {Сх}, так что если мы Cj,-C% — п раз раздуем М в базисных
точках пучка {С^}, то собственные -прообразы С^ кривых С)^ на Af

544 Гл. 4. Поверхности
образуют пучок непересекающихся кривых, общий член которого
неприводим. Рассмотрим отображение
i: M-V pi,
задаваемое пучком {С^}. По теореме Бертини общая кривая
Сх ^ Сх гладкая; пусть <7х, , • • •, С^, — особые кривые в нашем
пучке. Ограничение отображения i
является гладким собственным отображением, так что М —
— и ^х, есть С°°-расслоение над Р^ — {Ki, . . ., Я^}. Поэтому
i
x(M-ucg = x(P»-{;ii, ...,V})-x(0 = (2-[i)-x(0,
i '
где X (О обозначает эйлерову характеристику общей кривой Cj^.
Рассматривая триангуляцию М, для которой особые слои
отображения I являются подкомплексами, мы видим, что
так что
= 2x(C)+S(x(C0-x(O)-n.
Если мы предположим дополнительно, что каждая особая кривая С я,*
имеет лишь одну обыкновенную двойную точку (пучок,
удовлетворяющий этим условиям, называется пучком Лефшеца), то
х(сд=х(С) + 1
и мы получаем следующее
Предложение. Если {С^,} — пучок Лефшеца кривых на М
с индексом самопересечения п, содержащий ц особых кривых, то
X (М) = 2х (С) + ц - п,
где % (С) — эйлерова характеристика общего элемента пучка.

2. Рациональные отображения 545
Заметим, что если /: М-^ В — любое голоморфное
отображение гладкой поверхности М на кривую В с особыми слоями
Ср. = /~^ (pi), то те же рассуждения показьшают, что
-/ (М) = х{В-{р,}).%{С) + ^х(Ср,) =
i
= X(5)-x(C)+S(X(Cp,)-X(C)),
где С — общий слой /. Объединяя это с предыдущим неравенством
% (Ср.) > X (С), получаем следующее утверждение.
EcAuf: М-*- В — голоморфное отображение поверхности М
на кривую В с общим слоем С, то х (Щ^ %{В)'Х (О-
Структура бирациональных отобраокений
между поверхностями
Как упоминалось во введении к этой главе, можно дать исчер-
пывающ5пю картину бирациональных отображений поверхностей.
Теорема. Любое бирационалъное отображение между
поверхностями может ёыть получено как последовательность раздутий
и затем стягиваний; иначе говоря, если М и N — алгебраические
поверхности и f: М -*- N — бирациональное отображение, то
существуют поверхность М и отображения щ, Лг
М
/Л
м—^—*-лг
такие, что f = п^о л~^, а щ, п^ — композиции раздутий.
Доказательство. Оно состоит из двух частей.
1. Если f: М -^ N — рациональное отображение
поверхности М, то существует последовательность раздутий Пх. М -*- М,
такая, что Щ" f — голоморфное отображение.
2. Любое голоморфное бирациональное отображение п^: М -*-
-*- N есть последовательность раздутий.
Для доказательства первой части нужно проверить, что если
{•D^l^gP» — любая линейная система дивизоров на М, имеющая
лишь изолированные базисные точки, то существует раздутие
п-^: М -*- М, такое, что собственный прообраз в М линейной
системы {Dx} не имеет базисных точек. Это довольно легко сде-
4—0200

546 Гл. 4. Поверхности
лать. Предположим, что р ^ М — базисная точка кратности к для
линейной системы {Z);^} (т. е. общая кривая Dx. имеет кратность А;
в точке р). Пусть п: М -^ М — раздутие М ъ р, Е = л~^ (р) —
его исключительный дивизор. Тогда D%, = n*D^ — кЕ, и
поэтому D^ имеет индекс самопересечения
D^.D^^ in*D^.n*Z>x) + кЦЕ-Е) =
= D^D^~k^<D^.D^.
Рассмотрим теперь последовательность раздутий п^: Mi -*■ M^.j
и линейных систем {Di}, определяемую так: nj: Mj -> М —
раздутие М в базисной точке {D}}, {Di}—собственный прообраз
IDx} на Afj; ЛгГ М^ -*■ Afj —раздутие Mi в базисной точке {Dx}»
{Z)£} — собственный прообраз {D)} на Mz и т. д. Если бы все
системы {Di} имели базисные точки, то мы получили бы
D^-D^>DlDi>Dl.Di>... .
С другой стороны, для общих к, к' и любого i дивизоры Di
и D\' не имеют общих компонент, так что для всех i
Полученное противоречие означает, что для некоторого i линейная
система {-01} не имеет базисных точек, что доказывает первую
часть нашей теоремы.
Вторая часть чуть глубже. Пусть f: М -*- N — голоморфное
бирациональное отображение, т. е. голоморфное отображение,
которое взаимно однозначно вне конечного набора точек в N.
Заметим, что для любой точки р ^ N прообраз /~^ (р) сг М связен;
в противном случае можно найти два непересекающихся
относительно компактных открытых множества Ui, U^ cz М, содержащих
связные компоненты /~^ (р). Будучи открытыми, они не могут
отображаться на р или на кривую, проходящую через р; поэтому,
согласно теореме о собственном отображении, образ каждого из
них содержит окрестность р, что противоречит предположению
о взаимной однозначности / в общей точке ^). Поэтому прообраз
любой точки р ^ N есть либо единственная точка, либр связный
дивизор. Мы утверждаем, что
Если для р ^ N прообраз /~^ (р) является кривой С, то С
содержит исключительную кривую первого рода.
*) Это частный случай так называемой освоввой теоремы Зарисского
(см., например, Хартсхорв Р. Алгебраическая геометрия.— М.: Мир, 1981,
§11 гл. III).—Ярил»; ред.

2- Рациональные отображения 547
Для доказательства воспользуемся теоремой об ивдексе. Пусть
Ci, . . ., Cm — неприводимые компоненты С. Возьмем на N
положительный дивизор £, не проходящий через р; тогда
п*Е-п*Е = Е-Е>0
и n*E'Ci = О для всех i.
Ив теоремы об индексе следует, что форма пересечения отрицатель^
но определена на подпространстве в IP {М, Щ, порожденном
классами {С,}.
Пусть (О — произвольная мероморфная 2-форма на N,
регулярная в точкер. Обратный образ л*со есть мероморфная 2-форма наМ,
обращающаяся в нуль всюду на С; поэтому можно написать
ZM = (n*(o) = ^ + 2aj<^j,
где D не пересекается с С и а; > О для всех i. Далее, по теореме
об индексе (2 ^fCrS ^.^г) <0. Но так как D не пересекает С, то
откуда Ci-K^a < О для некоторого i. Снова по теореме об индексе
(^fCi < О, и, значит, согласно усиленному варианту
критерия Кастельнуово — Энриквеса, Ct — исключительная кривая
первого рода; тем самым требуемое з^верждение доказано.
Теперь уже нетрудно закончить доказательство второй части
главной теоремы. Если /: М-^ N — голоморфное и бирациональ-
ное, но не биголоморфное отображение, то для некоторой точки
р ^ N слой /"^ (р) является кривой и, следовательно, содержит
исключительную кривую С^ первого рода. Пусть л,: М-*- Мх -^
стягивание Cj. Тогда отображение
/: Мг - пг (Сг)-> М - С-^ N
продолжается до непрерывного, а значит, голоморфного
отображения
Л: Mi-> N.
Снова, если /i не биголоморфное, можно найти исключительную
кривую первого рода Сгсг Mi, лежащую над точкой N; пусть
М^ — стягивание С^ и т. д. Индуктивно определяется
последовательность стягиваний Mj-*-M^+i и голоморфных бнрациональны:?
отображений /j
4*

548 Гл. 4. Поверхности
Для чисел Бетти получаются неравенства
Ъ^ (М) > Ь, {М^) > Ь, (М,) > . . .,
а так как Ъ^ {М) конечно, то для некоторого i отображение
fi : Afj-*- N должно быть биголоморфным. Теорема доказана.
3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ I
Жемк^а Нётера
Этот и следуюпщй параграфы посвящены обсуждению
рациональных поверхностей, т. е. алгебраических поверхностей, бира-
ционально изоморфных Р*. Цель этого параграфа — описание
всех рациональных поверхностей; как следствие главной теоремы
мы получим ответы на два вопроса, оставшихся открытыми
в гл. 2.
Начнем со следующего утверждения.
Лемма Нётера. Алгебраическая поверхность S рациональна
тогда и только тогда, когда она содержит неприводимую
рациональную кривую С с dim | С |^ 1.
Доказательство. В одну сторону утверждение очевидно: если
л: S-*- Р^ — бирациональное отображение, то для общей прямой
Lcz Р^ полный прообраз С = n*L на S будет такой кривой.
Обратно, предположим, что Ccz S — неприводимая
рациональная кривая, меняющаяся в нетривиальной линейной системе.
В полной линейной системе | С \ выберем пучок {Cx)xzpi^
содержащий С. Мы уже видели, что если раздуть S достаточное число
раз в базисных точках пучка {С^}, то получится поверхность S,
на которой собственные прообразы {С^} кривых С^ образуют
пучок без базисных точек; ясно, что кривые Cj, снова будут
рациональными. Поэтому можно с самого начала считать, что S
содержит нучок {Cj,} рациональных кривых без базисных точек.
Так как любая точка пересечения двух различных элементов
С», Cj,' нашего пучка будет базисной точкой всего пучка, то
С\-Сх = Сх- С%' = 0.
Предположим теперь, что некоторая кривая Со ив пучка
приводима, и запишем Со = y^a^Cv, где Cv неприводимы, av>- 0. Так
как Cv не пересекаются с С^-^ Cq для А, ^ О, то
О —- Со • Cv = 2 '^v (Cv • Cv') •
V'
Но Cv-Cv'^ о при V =7^ v' и, кроме того, кривая Со, будучи
предельным положением неприводимых кривых С^, должна быть

5- Рациональные поверхности I 549
СВЯЗНОЙ; отсюда мы заключаем, что С^-С^- > О для некоторого
\' Ф V. Следовательно, Cv*Cv < О Для всех v. По формуле ври-
соединения
=^ Cv„'Z<;0 для некоторого Vq.
Поэтому, согласно усиленному варианту критерия Кастельнуо-
во — Энриквеса, Cvo может быгь стянута. Пусть л: 5->- 5' —
стягивание С ^^. Так как каждая кривая С^, отличная от С^, не
пересекается с Cv„, то кривые л (С^) образуют пучок
рациональных кривых без базисных точек на S'. По тем же соображениям,
если среди л (Сх) есть разложимая кривая, то S' также можно
стянуть. Так как стягивать можно только конечное число раз,
то после конечного числа шагов мы получим поверхность S вместе
с отображением л: 5-*- 5, на которой кривые я; (С^) образуют
пучок неприводимых, а значит, гладких непересекающихся
рациональных кривых. Такая поверхность называется рациональной
линейчатой поверностъю. Изучение таких поверхностей позволит
нам закончить доказательство леммы Нётера.
Рациональные линейчатые поверхности
Пусть S — рациональная линейчатая поверхность, {С^} —
пучок непересекающихся гладких рациональных кривых на S
и i: 5-V Р^ — отображение, задаваемое пучком {€,,)• Мы
утверждаем прежде всего, что i: 5—v Р^ — голоморфное расслоение
над Р^ со слоем Р^, т. е. для каждого Xq g Р^ существуют
окрестность ?7 Э ^0 * Р^ " изоморфизм ф: i~^ (U) ^ U X Р^ расс.гое-
ний над и. Чтобы показать это, возьмем достаточно положительное
линейное расслоение L-*- 5, так чтобы Я^ (5, 0 (L — С)) = 0.
Тогда из точной последовательности когомологий,
ассоциированной с последовательностью пучков
О -^ Gs{L-C) -^ OsiL) -> Gc^iL) -> О,
мы получаем точную последовательность
Я» (5, 0 (L)) -> Я» (Сх, 0 (L)) -> О
для каждого к. Пусть L-C^, = п, так что L \с^_ = Я", где Я —
расслоение гиперплоскости на С^ ^ Р^, и пусть Oq, . . ., сг„ —
глобальные сечения L, ограничения которых на некоторый слой

550 Гл. 4. Поверхности
Со = Сх^ порождают Я* (Со, О (L)). Тогда для всех X из
некоторой окрестности U точки Х^ в Р^ ограничения а,,, . . ., сгп на С^
порождают Я" (Сх, <5 (L)). Но это означает, что отображение
la"- i~^ {Щ-*- Р"> заданное посредством [а^, . . ., а„1, определено
и вкладывает каждую кривую С^ в Р" как рациональную
нормальную кривую.
Выберем теперь ге— 1 различных точек р^, . . ., p„_i на Со-
Так как слои отображения i: 5-*- Р^ гладкие, можно найти
голоморфные дуги Yi, • • •, Yn-i^ Д-*- 5, трансверсально
пересекающие Со соответственно в точках р^, . . ., Pn-i- Тогда для % из
некоторого открытого множества U' вблизи ^о ДУГи Yj
трансверсально пересекают кривые С^ в точках pt (К). Для каждого
К^и' пусть F(^)c=P" есть (п — 2)-мерное подпространство,
порожденное точками lo {pt (Х)), i = l,...,re — 1. Выберем
прямую Lcz Р", не пересекающую V {%) ни при каком X 6 U',— для
этого, возможно, придется уменьшить U' — и обозначим через я»,
проекцию из Р" — V {%) на L. Заметим, что так как pi (Х), а
значит, и ia(Pi Щ) голоморфны ПО %, ТО отображения Ях тоже
голоморфно зависят от X. В частности, отображение
я': 1-1 ([/')-> L ^ P^
заданное при помохци ограничения п'\с = П),: С^-^ L,
голоморфно. Но тогда отображение ''
Ф = (I, я'): i-'-iU')^ U' ХР"-
дает требуемую структуру расслоения.
Вообще, если Е-^ М — голоморфное векторное расслоение
ня 'сомплексном многообразии М, мы определяем ассоциированное
проективное расслоение Р (Е)-^ М как расслоение над М, слой
которого над точкой х ^ М есть проективное пространство Р (Ех)-
Если {Ua} ■— открытое покрьггае М, & ц>а' ^ \и^ -> Ua X С" —
тривиализация Е над С/„ °ри каждом а, то отображения фд
индуцируют отображения ф^: Р [Е) \и -^ UaX Р'"-^, задающие
на Р (Е) структуру голоморфного Р*—^ - расслоения над М.
Заметим, что если {ga^- Uaf] U^-^ GL (г)} — функции
перехода для тривиализаций ф^, то функции перехода для Р (Е)
относительно ф^ задаются коьшозициями g^p отображений g^p со
стандартным гомоморфизмом проекции GL (г)-*- PGL (г). В
частности, если L — любое линейное расслоение над М с функциями
перехода Аар: [/„ П С/р-*-С*, то E®L задается функциями
нерехода gap = Aap-gap*, так как g^p = g^p, тоР (Е) = Р {Ei2>L).
Обратно, если Е, Е' — два векторных расслоения над М с
Р (J?) ^ Р (Е'), то Е' = Е ® L для некоторого линейного
расслоения L -^ М,

3. Рациональные поверхности I 551
Мы утверждаем теперь, что любое голоморфное Р'"~^-расслое-
ние Р над Р^ имеет вид Р {Е) для некоторого векторного
расслоения Е-*- Р^ ранга г. Чтобы убедиться в атом, рассмотрим функции
перехода gap : [/„ П U^-^ PGL (г) для Р относительно
некоторого открытого покрытия {Ua} прямой Р^. Считая покрытие {11^}
достаточно мелким, можно найти подъемы ^аэ-^аП ^э~*"
->- GL (г) функций gafi (группа SL (г)с= GL (г) матриц с
определителем 1 образует неразветвленное г-листное накрытие PGL (г));
на Ua[\ и^[\ Uy положим
Так как Аару=?аЭ"1^Рт'ё'та = ^) ТО МЫ видим, что hafty
принимает значения в С*, т. е. (A„p^} g Z^ (С/, ©*). Но из точной
последовательности когомологий для 0-*-Z -*- 0-*-0*-*-1
и равенства Н^{Р^, О) = /Р(Р', Z) = О мы получаем, что
Н^{Р^, 0*) = О; поэтому можно написать
ДЛЯ некоторой коцепи Чеха {/ар: С/„П С/р-*-С*}. Функции
8a\'iab будут тогда функциями перехода для векторного
расслоения Е-^Р^ с Р =Р (£).] (Заметим, что эти же рассуждения
годятся для проективного расслоения над любой римановой
поверхностью.)
Итак, мы показали, что любая рациональная линейчатая
поверхность имеет вид Р (Е) для некоторого голоморфного векторного
расслоения Е ранга 2 над Р^. Следующая лемма дает полное
описание таких векторных расслоений.
Лемма. Любое голоморфное векторное расслоение над Р^
разложимо, т. е. является прямой суммой линейных расслоений.
Доказательство. Заметим сначала, что разложимость Е
эквивалентна разложимости Е ® Д* для любого к. Из точной
последовательности
О -*. 0 (£: (8) Я"-») -*■ е^Е ^H^^) -^Е^ф Hi-^0
мы получаем, что Н^ (Р\ О {Е (S> H'^-^)) = О =^ Я» (Р\ G {Е ф
(8» Я**)) Ф О, т. е. для к:$>0 расслоение Е' =^ Е ® Н*^ имеет
нетривиальное глобальное голоморфное сечение а. Предположим,
что а обращается в нуль в п точках Р^. Тогда, умножая а на
мероморфную функцию на Р^, имеющую полюсы в точности в
нулях а, мы получаем еще одно сечение а' расслоения Е'. Сечения а
и а' всюду линейно зависимы и нигде не обращаются в нуль
одновременно, поэтому они порождают линейное подрасслоение L ъ Е'

552 Гл. 4. IToeepxHocmu
степени п. Согласно формуле Римана — Роха для Р^, А" (L) =
= ге + 1, и так как Я* (Р^, 0 (L)) вкладывается в Н° (Р^, 0 (Е)),
то ге + 1 ^ А" (Е). Поатому никакое глобальное сечение Е не может
иметь больше h° (Е) — 1 нулей.
Предположим теперь, что rank Е = 2. Пусть п —
максимальное число нулей глобальных сечений Е, и пусть Oq — глобальное
сечение Е с п нулями. Пусть Li — соответствующее линейное под-
расслоение Е та. Li = ElL-i — факторрасслоение; тогда точна
последовательность расслоений
0_> Li-> £■-> La-^ 0.
Мы утверждаем, что т = deg Lj ^ deg Li = п. В противном
случае пусть т — сечение Lj, обращающееся в нуль в г» > и
точках Pi, . . . , Рт ^ Р^- Тогда, так как Я^ (Р\ © (L^)) = О,
последовательность
Я" (PS © {Е)) -> Я» (PS 0 (Ls)) -^ О
точна; стало быть, т есть проекция на Lj сечения т расслоения Е.
Так как т (pi) = О, то т (pi) 6 (jf^i)pj ДЛя всех i. Для любого
набора ffo. • • •' ffn из ге + 1 точек на Р^ имеем deg (L^ — Qq — . . .
. . .—Qn) = — 1, так что
ЯЧР», 0 (Li - (?о +... + ?n))) = О,
и, значит, точна последовательность
Я» (Р», 0 (Li-(?о+... + ?n-i))) -* С,„ -> 0.
Поэтому существуют сечения Lj, обращающиеся в нуль в д",,, . . .
• • ч ffn-i и ненулевые в Qn. Пусть т^ — сечение Li, обращающееся
в нуль в pi, . . ., Pi, . . ., p„+i и принимающее значение т (pi)
в Pi. Тогда т — 2''■г будет ненулевым сечением Е,
обращающимся в нуль в ге -f 1 точках, что противоречит предположению о том,
что не существует сечений Е, имеющих более чем п нулей.
Рассмотрим теперь последовательность расслоений
О-*- Нот (La, Lj)-*- Нот (L^, Е)-*- Нот (L^, Ь^)-*- 0.
Так как degLj ^ degLj, то deg (Нот (La, Lj)) = deg Lj —
— deg La^ 0, поэтому Я^ (P^, О (Нот (La, Li))) = 0 и
последовательность
Я» (Р», 0 (Нот (La, £))) -^ Я" (Pi, © (Нот (Lg, L^))) -^ О
точна. Пусть i: Lj-*- £ — сечение Нот (La, Е), переходящее
в тождественное сечение Нот (La, La). Так как композиция i с
проекцией Е-*- Lg является тождественным отображением, i задает

3. Рациональные поверхности I
553.
Рис. 4
вложение расслоений Ь^-^-Е, причем i (Ьг)^ отлично от (L^jx длк
всех х; поэтому £ ^ Lj ф Lg.
Для доказательства леммы в общем случае воспользуемся
индукцией по рангу: пусть rank Е = г ж лемма доказана для всех
расслоений ранга <;г; возьмем снова сечение а и соответствующее
линейное подрасслоение Lj максимальной степени; тогда
E' = ElLi^ ф L,.
1=2
Те же рассуждения показывают, что degLj ^ deg L^ для всех г,
ф Я» (PS Нот (L„ Li)) = О,
i=2
Li-> £■-> £'-> о снова^
следовательно Я' (Р^, Нот (£", Li)) =
так что точная последовательность 0-
расщепляется. П
Согласно лемме, любая рациональная линейчатая поверхность
имеет вид
Р (£■) = Р (Li ф L2) = Р ((^1 ® L*) ф Cpi)= Р (Я" ф Cpi)
для некоторого п"^ О (здесь Cpi обозначает тривиальное
линейное расслоение над Р^); расслоение Р (Я" ф С) обозначается
через 5„.
Пусть EqCZ Sn ~ образ сечения (О, 1) расслоения Я" © СрГ,
Eq называется нуль-сечением 5„. Вообще, если а — любое
голоморфное сечение Я", обозначим через Е^ образ в 5„ сечения (а, 1)-
расслоения Я" ф Cpi. Ясно, что Е^, гомологично Е^, и так как
для нетривиального а сечение Е^ пересекает ^о ровно п раз, то
индекс пересечения Eq-Eq равен п (рис. 4).
Рассмотрим сечение (а, 0) расслоения Я^ ф Cpi, где а —
сечение Н". Вне нулей а сечение (а, 0) задает кривую в iS^; пусть Е»
обозначает замыкание этой кривой. (Ясно, что Есо не зависит от

554 Гл. 4- Поверхности
выбора сечения а, так как (а, 0) и (а', 0) имеют одинаковый образ
в 5„ вне конечного множества точек.) Вообще, если а — меро-
морфное сечение Я^, пусть Еа обозначает замыкание кривой,
заданной сечением (а, 1) вне полюсов а. Обозначая через С слой
расслоения S^-^ Р^, имеем
Ef)-Eo = п, Eo-Eq = число нулей а,
Еа-Есо = число полюсов а, Е^-Еж, = О,
Ео-С =Е„.С = ЕооС = 1.
■Sji — Cj, — Eq образует С-расслоение над Р^ — {%} ^С и потому
стягиваемо; значит, Н^ (5„, Z) ^ Я^ {Су [j Eg, Z) ^ Z {{Су), {Е^)}
а H,{S^,%) = H,{Cy и £o,Z) = 0.
Так как Я^ (5„, Z) = О и Я* (5„, Z) порождается (1, 1)-
классами, мы получаем, что Я^ (.Sn, 0) = Я* (5„, О) = 0. В
частности, отображение класса Чжэня
я»(5„,©*)Дям5„,г)
является изоморфизмом. Иначе говоря, две кривые на 5„ линейно
эквивалентны тогда и только тогда, когда они гомологичны.
Следовательно, для г»1, г»2 6 Z можно написать
Есо -^ тщЕ^ + т^С.
Но Есо-С = 1 =^ г»1 = 1, а Eco-Eq = О =^ г»2 = — re, т. е. ^и.'^
•^ £д — ге-С и
Есс'Есо ^= Eq'Eq — znC'Eg = — re.
Аналогично, для мероморфного сечения а расслоения Я"
^„^^о + те-С,
где т — число полюсов сечения а.
Предположим теперь, что D — неприводимая кривая на 5„.
Если D Ф Есо, то в силу неприводимости D ж Есо выполняется
условие D-Eсо'^О; так как D не может содержать все кривые Ct,
ш так как С^ неприводимы, то D-C^ 0. Если
D = MiEq + т^С,
то мы получаем г»2^ О из D-Eco^O и т^^ О из D-C^ 0;
следовательно,
D-D = nml + 2?rei7»2^ 0.
Мы получаем, таким образом, что £» — единственная
неприводимая кривая на 5„ с отрицательным индексом самопересечения;
но тогда 5„ при пфО является единственным Р^-расслоением над Р^,
содержащим неприводимую кривую с индексом самопересечения —п.
В частности, пространства {<S„}„>(, различны как компактные
(комплексные многообразия.

3. Рациональные поверхности I
555
^^№.
ПгпГ&
^гп,*£^
Рис. 5
Заметим, что раздутие Р^ плоскости Р* в точке р ^Р' есть
некоторое 5„: собственный прообраз L^ пучка прямых L^^cz Р*,
проходящих через р, образует пучок непересекающихся
неприводимых рациональных кривых на Р*. Так как исключительный
дивизор Е раздутия имеет индекс самопересечения —1, то P*s Si.
Чтобы вычислить класс канонического ра(;слоения К на 5„,
заметим, что по формуле присоединения
0 = n(C) = ■^^^^^^-^+i=>K■C= -2.
Поэтому если К = iuiEq + т^С, то из К-С = —2 получаем
mi = — 2, а из ^о"^ = — ^ — 2 получаем, что т^ = п — 2, т.е.
К = -2Е^ + {п — 2) С.
Наконец, можно геометрически связать поверхности 5„ друг
с другом. Для этого возьмем любую точку х ^ Sn, не лежахцую
на Есо, скажем х £ С^. Раздувая х, мы получаем поверхность
5„ -4- 5„; собственный прообраз Cj, слоя С}, будет иметь индекс
самопересечения —1 и может быть стянут. Если п^'. 5„-*- 5 —
стягивание, то кривые {п^ (я* (CJ)}», образуют пучок
неприводимых рациональных кривых на 5 с индексом самопересечения О,
и поэтому S — снова линейчатая поверхность. Более того, так
как п*Е„•€},„ = 1, то
П2П*Есо-П2П*Е«,=Ет-Есо + 1= —П+1,
т. е. S содержит неприводимую кривую с индексом самопересечения
—ге+ 1. Поэтому 5 биголоморфна 5„_i. На рис. 5 мы попытались
показать, как образ п^ {Ех)^^ S исключительной кривой Ех раз-

556 Г л- 4 ■ Поверхности
дутия Я1 превращается в элемезнт пучка Ла (niC>.), в то время как
Ef^ = П2П*Еа становится кривой, соответствующей сечению т
расслоения Я"~^ с единственным полюсом; роль Eq принимает на
себя п^п^Еа для некоторого Еа, проходящего через х. Обратно,
чтобы получить Sn+г из Sji, мы раздуваем точку а; £ £» и
стягиваем собственный прообраз слоя Сх,, проходящего через х. Мы уже
встречались однажды с такой операцией, когда показывали, что
Sq = Р^ X P'^ может быть получена раздутием точки q^ Е на
раздутии Р* = 5i плоскости Р* в точке р и стягиванием
собственного прообраза прямой pq.
Это завершает доказательство леммы Нётера: так как все
поверхности 5„ получаются одна из другой раздутиями и
стягиваниями и так как 5,, = Р^ X Р^ и Si рациональны, то отсюда
следует, что все поверхности 5„ рациональны.
Общая рациональная поверхность
Достаточно подробно обсудив рациональные линейчатые
поверхности 5„, мы можем теперь завершить картину описания
обищх рациональных поверхностей при помощи следующей
теоремы.
Теорема. Каждая рациональная поверхность получается
раздутием Р* или Sn-
Доказат£Лъст£0. Начнем с двух замечаний. Во-первых, мы
утверждаем, что любая поверхность S с пучком \ С \ неприводимых
рациональных кривых есть либо Р*, либо 5„. Это получается без
труда: мы уже видели, что, раздувая базисные точки пучка | С |,
мы получаем поверхность S-*- S с пучком непересекающихся
неприводимых рациональных кривых; поэтому S должна быть
рациональной линейчатой поверхностью. Но fcj {•^п) = 2, и так
как второе число Бетти увеличивается на 1 при каждом раздутии,
то либо S уже сама линейчатая, либо fcj (S) = 1. В последнем
случае, так как S рациональна,
fci (5) = fc, (5) = 0;
кроме того, Рп (S) = Я« (5, О {К^)) = О для всех п > О, что
означает неположительность Ks- Согласно лемме из раздела
о кубических поверхностях (последнего раздела § 1), 5 ^ Р*.
Второе замечание более очевидное. Предположим, что С —
кривая на алгебраической поверхности S, L — положительное

S- Рациональные поверхности I 557
линейное расслоение И С-L = п. Тогда С не может быть линейно
эквивалентна сумме более чем п эффективных дивизоров Dii если
п+1
с = y,Di, то L-C = 2L-I>f>n+ 1.
i=l
Пусть теперь S — рациональная поверхность, а {С^,} — пучок
ращональных кривых на S, содержащий неприводимые кривые.
Нам нужно показать, что
1) либо S может быть стянута,
2) либо S — рациональная линейчатая или Р^.
Так как поверхность можно стягивать лишь конечное число раз,
то зтого достаточно для доказательства теоремы.
Если все кривые С\ на S неприводимы, то все уже доказано.
Предположим теперь, что некоторая кривая Со приводима, и
запишем
к
С()= 2j о,уСм, а» > 0.
v=l
Сначала заметим, что все кривые d рациональны. Для этого
напишем
+ 2 «vCvCv -Ь 2 avKs-C^ + 2\ =
V
= 1 ( 2 («v-l)Cv) ( 2 «vCv) + 2 avK(Cv) +
-Ь 2 av'C^'-Cv-(fc-l).
"^vCS <'^vCv) = Cv-Cx,^0, так что первый член неотрицателен;
поскольку кривая Cj связна, 2 Су-Су-'^к — 1, и поэтому третий
\'Ф\
член также неотрицателен. Отсюда следует, что У]ауЛ{Су) = 0,
и, значит, я(Су)=0 для всех v. Так как C'j.-Cx.^O, то по
формуле присоединения
мы получаем, что Ks-Cx<.0, и, значит, Кд-Су^<.0 для
некоторого vo. Если теперь Cv„-Cv„<0, то Cv„-Cv„ = Cv„-^= — 1
и кривая Cv„ может быть стянута. Предположим, что, напротив.

558 1л. ft. Поверхности
Cv„-Cv„>0; из рациональности S следует, что %{Од) = \, и по
формуле Римана — Роха
Так как А" {К^ = О, то тем более h° {Ks — Cv,) = О и поэтому
А" (Cv„) > 1, т. е. кривая См, сама является элементом пучка
рациональных кривых, который мы обозначим {Ci}.
Если все кривые С\. неприводимы, все в порядке; если нет, то
пусть С\ — приводимый элемент {С\.} и
Cj = 21: ttvt'v
Снова n(Ci) = О влечет за собой Z-Ci < О, так что К-С\,^<.0
для некоторой С\^, и C\i^ либо стягивается, либо является
элементом пучка рациональных кривых {С^}. Если S отлична от Р*
и 5„ и не содержит исключительных кривых, мы можем
неограниченно порождать новые пучки кривых. Однако после п шагов мы
получим
VifcVo V^fcVo V
что невозможно, согласно второму замечанию. П
Поверхпости минимальной степени
В § 3 гл. 1 мы показали, что наименьшая возможная степень
неприводимого невырожденного ттг-мерного многообразия Ма Р"
равна п — 7?г + 1. Теперь мы можем точно описать те
поверхности, для которых достигается зта минимальная степень. Сначала
мы приведем конструкцию некоторых таких поверхностей, а затем
покажем, что так ползгчаются все поверхности минимальной
степени.
Рассмотрим линейную систему | j^o + ^С* |, /с > О, на
рациональной линейчатой поверхности 5„ = Р {Н^ ф С). Если а —
мероморфное сечение IP с к полюсами, то, как мы видели, соот-
ветствуюш,ая кривая
£;а = а(р1)с=5'„
гомологична, а значит, линейно эквивалентна Е^ -{- кС. Обратно,
пусть D — неприводимая кривая, линейно эквивалентная Ео +
-Ь кС. Тогда D пересекает слои С проекции я: 5„-> Р^ ровно
по одному разу, и вне к точек ^.j, . . ., Ць 6 Р^> над которыми D
пересекается с Ех, мы можем определить сечение а расслоения Я"
требованием
(a(ti), l) = Z)nCu.

5. Рациональные поверхности I 559
Это а является глобальным мероморфным сечением с полюсами
в Hi, . . ., Hft, причем D = Еа-
Отметим еще, что линейная система \Ео -{- кС \яб имеет
базисных точек; соответствующее отображение lEo+ftc обозначим
через фй,„.
Чтобы задать глобальное мероморфное сечение а ск полюсами^
нужно сначала задать дивизор полюсов (а)» = Hi + . • • + fifc
(здесь мы имеем к степеней свободы) и затем задать а как элемент
векторного пространства Я" (Р^, 0 (Я" + Hi + • • • + М^ь)) ^^
даст еще ЬР (Я" + Нх + • • • + Hft) = « + /с + 1 степеней
свободы). Поэтому можно ожидать, что размерность линейной системы
\Е(, -{- кС \ яб меньше k-\-{n-\-k-\-i) = n-\-2k-\-\. Теорема
Римана — Роха подтверждает нашу догадку: так как ЬР (Хзп) =
= О, то А" (Ео 4- кС) = h" {Ksn — Ео — кС) = О, и мы получаем
hO{Eo+kC)>A I (Е^+ЩЛЕо + кО-{Е, + кС)-(-2Е„ + (п-2)С)
^i+^t±lk±^Il±ltzIL±3=n + 2k + 2.
С другой стороны, фйз отображает 5„ в проективное
пространство размерности k° {Е^ + кС) — 1 как невырожденную
поверхность степени
{Ео + кС)-{Ео + кС) = п + 2к,
и поэтому А" {Eq -Ь кС) — l:^n-f-2/i;-f-l. Значит, достигается
равенство, и мы получаем, что образ 5^^ поверхности 5„ при
отображении фь „ есть поверхность минимальной степени п 4-
+ 2кв р«+2й+1, '
Можно дать следующее наглядное описание 5h,„.
Напомним, что
Ео-{Ев + кС) = п + к,
Есс- (Ео + кС) = к,
С' {Ео + кС) =^ i.
Кроме того, из соответствия между неприводимыми кривыми
Еа ^ \ Ео + кС \ и мероморфными сечениями а расслоения Я",
имеюпщми к полюсов, мы видим, что ограничение \ Ео + кС \
на кривые Е,,, Е» и С s Р^ есть полная линейная система
соответственно I ffft'^l, I Яр1 I и I Яр1 |: для заданных точек Нц • • •
. . ., Hn+hi Vj, . . ., Vft 6 Р^ всегда можно найти мероморфное-
сечение а расслоения Я" с
(a)o = Stif. (a)«, = Svf;
аналогично, для точки (?, 1) £ С^ можно найти а с а (?v) = |^
Поэтому имеют место следуюпще утверждения.

560 Гл. 4. Поверхности
1. Образ Do кривой Ео при отображении ф;,,, есть
рациональная нормальная кривая в некотором линейном подпространстве
2. Образ Z)00 кривой Еоо при отображении ф^ „ есть
рациональная нормальная кривая в некотором линейном подпространстве
3. Образом Lj, кривой Cj, при отображении ф^ „ будет прямая,
пересекающая Dq ш Dao- Заметим, что 5^^ лежит в линейной
оболочке Fft и F„+ft, так что эти пространства обязаны быть
дополнительными (т. е. непересекающимися) в pn+2ft+i.
Поверхность 5^, „ составлена из прямых линий,
соединяющих т,очки р на рациональной нормальной кривой DqCZ.
CZ Vji+k с соответствующими точками г)) (р) на
рациональной нормальной кривой i3ooC= F^.
Обратно, предположим, что F^, 7^+^ — дополнительные
линейные подпространства в р"+2ь+1, /)„ и /)(, — рациональные
нормальные кривые в Fft и F„+ft соответственно и г)): Dg-^Da, — изомор-
4»изм между зтими кривыми. Для точки yi^Dg пусть L^ — прямая
р,, г))(р,) в p^+^h+i, и пусть S = [} Ln — соответствующая поверх-
ность. Для вычисления степени S заметим, что общая
гиперплоскость ЯczP"**^*^, содержащая i5oo, трансверсально
пересекает Dg в degDg = n-{-k точках \x,i, ..., iin+h'> поэтому
причем все кояшоненты входят с кратностью 1. Отсюда
deglS = deg (Я П S) = п + 2к,
так что S — поверхность минимальной степени.
Далее, прямые {L^} не пересекаются. В самом деле, если Ьц
пересекает L^-, то плоскость, порожденная L^ и L^- в pn+2ft+i^
пересекает F„+ft по прямой fip.' и Vk по прямой г)) (ц,), г)) (ц.'),
так что Fft и Vji+k должны были бы пересечься. Поэтому
отображение
переводящее Ьц, в ^i, снабжает S структурой рациональной
линейчатой поверхности. Чтобы выяснить, какой именно, рассмотрим
снова гиперплоское сечение D = H-S = D^o -\- Ьщ + • • • + L\xn*h'
Тогда

3. Рациональные поверхности I 561
Каждая прямая L^. пересекает D^, трансверсально (так как не
лежит в Fft), поэтому Вао-(У\Ь^/,^ = п-{■ к и, следовательно,
Dao-Doo = — п. Стало быть, S ^ 5„, и кривая Z)» соответствует
Еоо- Более того, гиперплоское сечение S есть
D = Dco + L^,+ ...+L^^^^~E«, + {n + k)C^Eo + kC,
так что в действительности S = S^, п-
Поверхности S^^ „ называются рационалънглми нормальными
линейчатыми поверхностями. Заметим, что в случае п > О
кривая Z>ос c=5ft^ „ единственна; она называется направляющей S^^ п-
Теперь мы можем применить нашу теорему о рациональных
поверхностях и доказать следующее
Предложение. Каждая невырожденная неприводимая
поверхность степени т — 1 в Р™ является либо рациональной
нормальной линейчатлй поверхностью., либо поверхностью Веронеае
Чн (Р'')с= Р^
Доказат£льст,во. Прежде всего покажем, что если S —
неприводимая поверхность степени т — 1 в Р™, то любая прямая L,
пересекающая 5" в трех или более точках, должна лежать на S.
В самом деле, предположим, что L пересекает S в трех точках р^,
Рг, Ps5 но не лежит на S. Точки пересечения 5" с общей (ттг — 2)-
плоскостью Fn,_2, содержащей L, порождают пространство У^-г,
поэтому Fm_2 П ^ должно содержать не меньше т — 3 точек
4x1 •• -1 Чт-31 лежащих вне L. Но ^(Ут-2-S) = т — \, поэтому
Fm_2 и S имеют обпзую кривую. Образ я^, (5) поверхности S при
проекции из прямой L в {т — 2)-плоскость Wm-i Должен поэтому
пересекаться с каждой {т — 4)-плоскостью в Й^^-г °о кривой,
а значит, иметь размерность 3, что абсурдно.
В частности, мы видим, что если 5 имеет особую точку р, то
для любой точки q ^ S прямая pq должна лежать в S. Поэтому S
должна быть конусом U Р? с вершиной в р над гиперплоским
qec
сечением С = S (] Н поверхности S, не содержащем р. Далее,
кривая С, как и поверхность S, невырожденная и неприводимая
и имеет степень т — 1 в Я s Р"*"^, значит, С — рациональная
нормальная кривая, а S = Sq^ „,_1 — конус над рациональной
нормальной кривой.
Рассуждение для гладкой поверхности S проводится по
индукции. Утверждение с очевидностью выполняется при т = 3: как
мы уже видели, гладкая квадрика в Р' есть в точности образ 5i, о
поверхности 5о = Р^ X Р^. Предположим, что утверждение
верно для всех т(,<т, ттг ^ 4, и пусть S — гладкая
неприводимая невырожденная поверхность степени т — 1 в Р™.
Рассмотрим сначала случай, когда S содержит лишь конечное число пря-
5—0200

562 Гл. 4. Поверхности
мых. Общая точка р поверхности S не лежит тогда на прямой
в 5, а так как любая прямая, пересекающая S в трех точках, лежит
на 5, то никакие две точки на S не коллинеарны р. Это означает,
что отображение проекции
Яр: S-^P"-!
дает вложение раздутия S поверхности S в точке р как
поверхности степени т — 2 в Р*""^. По .индукции мы имеем тогда, что>
1) S рациональна,
2) X(5) = X(S)-1<3.
Однако мы уже видели, что единственной рациональной
поверхностью с эйлеровой характеристикой 3 является Р*;
следовательно, S ^ Р*. Далее, любая линейная система без базисных точек
на Р* имеет степень А^ и размерность не больше } ^*
Поэтому единственное вложение Р* как поверхности
минимальной степени задается полной линейной системой коник, а тогда S
должна быть поверхностью Веронезе.
Рассмотрим теперь случай, когда S содержит однопараметриче-
ское семейство прямых {Ьц}^^с- Заметим сначала, что две общие
прямые в семействе не пересекаются: если любые две прямые
пересекаются, то каждые три прямые должны либо лежать в
одной плоскости — ив этом случае любая прямая в этой плоскости
пересекает S трижды и, значит, лежит в S, либо пересекаться
в одной точке, причем с независимыми направлениялш, что также
невозможно в силу гладкости S. Положим b = lm/2] и выберем b
прямых Li, . . ., Lb в нашем семействе. Вместе они порождают не
более чем (т — 1)-плоскость; возьмем гиперплоскость Н, содер-
жащзто Li, . . ., Lb, и рассмотрим пересечение H-S. Так как Н
имеет с прямой индекс пересечения 1, должна существовать
единственная неприводимая компонента дивизора H-S, имеющая
индекс пересечения 1 с L^; обозначим ее Do,>. Остальные компоненты
H'S, имея нулевой индекс пересечения с L^, должны быть
прямыми из семейства. Поэтому можно написать
H'S=D^ + Li+ . ..+Lb+ Lb+i + ...+L,.
Рассмотрим кривую Z)». Ясно, что ее степень равна к = т —
— с — 1. С другой стороны, линейная оболочка Z?» должна быть
по крайней мере А-мерной. Действительно, в противном случае
для любых т — к точек р^, . . ., p^-h £ S — Da, можно найти
гиперплоскость Н', содержащую Х)» и точки Pi, . . ., р^-ь» *^
значит, и все прямые нашего семейства, проходяпще через точки
Pi, • ■ ■■> Рт-к- Но тогда степень Н''S будете/п, что невозможно.

S. Рациональные поверхности I 563
Итак, Dao порождает А-плоскость, т. е. Da, есть рациональная
нормальная кривая.
Пусть теперь Lj, . . ., Lk — произвольные прямые нашего
семейства. Они порождают не более чем {2к — 1)-плоскость в Р"
(заметим, что, поскольку с^ b = 1т]2]. к = т-^с—1 строго меньше
ml2, так что L^, . . .,Lh лежат в собственном^подпространстве Р"*),
которая пересекает линейную оболочку D^ по меньшей мере
по {к — 1)-мерному подпространству, порожденному точками
пересечения Li-Doo, ■ . •, Lk-D«,. На самом деле линейная оболочка
прямых Li не содержит D«,: в противном случае для ли-бых
т — 2к точек р^, . . ., Pm-2h ^ S -^ D«, — [} Li прямые Li и
точки Рй лежали бы в одной гиперплоскости, которая содержала бы
тогда кривую Z)oo, к прямых Lium — 2к прямых семейства, прохо-
дяш?1х через точки pi, т. е. кривую степевн ш, чего не может быть.
Поэтому можно найти гиперплоскость Н в Р"*, содержаш,ую
прямые Li, . . ., Lk, но не содержаш,ую D«,.
Снова гиперплоское сечение H-S содержит компоненту, имею-
ш;ую индекс пересечения 1 с Lp,; обозначим ее D^. Заметим, что
/)„./)«, = {H'S — Li — . . .— Lk)-D^ = О,
так что i3o и Рос не пересекаются. Так как каждая прямая L^t,
пересекает как Df,, так в. Dx., то S лежит в линейной оболочке D„^
и Z)oo. Отсюда получается, что линейная оболочка D^ по крайней
мере {т — к — 1)-мерна. С другой стороны,
degZ)o< deg {H»S — L-y — . . ,— Lu) = m — к — i,
откуда следует, что Dq — рациональная нормальная кривая
степени к в к-плоскости, дополнительной к линейной оболочке D^.
Поэтому S — рациональная нормальная линейчатая
поверхность 5ft, m-ih-l- П
Ради забавы читатель может прямо проверить то, что былО'
фактически доказано в конце раздела о линейчатых поверхностях:
образом 5ft „ при проекции из точки 5^,„, не лежаш,ей на направ-
ляюш,ей i3oo, будет 5^ „_i, в то время как образом 5^,„ при
проекции из точки q^Dcc будет Sk-x,n+i-
Кривые максимального рода
В разделе о линейных системах на кривых мы привели оценку-
Кастельнуово для верхней границы рода неприводимой
невырожденной кривой В степени d в Р". Напомним вкратце, что для
гиперплоского дивизора D на кривой 5 с= Р" имеет место оценка

564 Гл. 4- Поверхности
которая приводит к следующим неравенствам:
/i<»(Z))>n+l,
/i«(2D)>3(n-l) + 3,
(*)
fe« ((ттг + Я Z>)>-!^^^^±^ (л -1) + ттг + 1 +/d.
Последнее неравенство вместе с формулой Римана - Роха дает
при / ^ О неравенство
g{B)^m (d—^(n_2)-l) =
__ т(т— ^д_1)_^пге, гдей —l = wi(n—1) + е.
Теперь мы можем дать достаточно полное описание кривых
степени d >■ 2п, для которых достигается эта оценка. Такие кривые
называются кривыми Кастелънуово. Тем самым мы убедимся, что
оценка является точной для всех dun.
Для начала заметим, что если Сс= Р" — кривая Кастельнуо-
во, то равенство должно достигаться во всех предыдущих
неравенствах. В частности,
fe« (С, О (2Я)) = Зп,
и, так как h" (Р", О (2Я)) = (п + 1) (п -j- 2)/2, это означает, что
Линейная система W квадрик в Р", содержащих С, имеет
размерность не меныие (п — 1) (п — 2)/2 — 1.
Кроме того, ни одна квадрика, содержащая С, не может содержать
гиперплоскость; поэтому ограничение линейной системы W на
гиперплоскость Р""^с= Р" инъективно. Отсюда следует, что
линейная система квадрик в Р"~^, содержащая точки Г = СП
fl Р"~^, также имеет размерность не меньше (п — 1) (ге — 2)/2—1.
Поскольку линейная система всех квадрик в Р""^ имеет
размерность п {п -{- 1)/2 — 1, это означает, что
Точки общего гиперплоского сечения Г — С П Р"~^ кривой
С налагают на квадрики только 2п — 1 условий.
Это очень сильное утверждение. Как мы видели в разделе,
посвященном оценке Кастельнуово, любые 2п — 1 точек в общем
положении в Р"~^ налагают независимые условия на квадрики;
здесь же мы имеем произвольное число d = deg С точек,
налагающих только это минимально возможное число условий. Вспоминая
нашу предыдущую встречу с феноменом избыточности при
обсуждении кубических поверхностей, можно ожидать, что столь
крайняя неспособность точек Г налагать независимые условия на

3. Рациональные поверхности I 565
квадрики должна иметь серьезные геометрические последствия.
Проблема лишь в том, что не ясно, как воспользоваться этими
предположениями. Похоже, однако, что для Кастельнуово этой
проблемы не было; потратив первые 30 страниц своей стратьи|на
то, чтобы дойти до этого места, он делает правильное заключение
за один абзац. Существенным было, по-видимому, его знакомство
с некоторыми конструкциями проективной геометрии,
называемыми конструкциями Штейнера, о которых мы сейчас расскажем.
Конструкции Штейнера
Пусть Pi и Ра — точки на плоскости. Параметризуя два пучка
{Li ф)) и {La {%)) прямых, проходящих соответственно через р^
и Р2, точками прямой % 6 Р^> выберем параметризации так, чтобы
прямая PiPj, входящая в оба пучка, соответствовала разным
значениям %, иначе говоря, чтобы L^ (Л,) Ф Ь^ (Л,) при всех %.
Тогда кривая
неприводима и невырожденна, содержит точки Pi и Рг и не
содержит никаких других точек прямой pip^- Пересечение С с общей
прямой Lc= Р^ состоит из неподвижных точек автоморфизма L,
переводящего точки L П -^i (^) в L П -^г (^); так как неподвижных
точек может быть только две, ясно, что С — коника.
Заметим теперь, что если на плоскости даны еще три точки рз.
Pi и pj, никакие две из которых не коллинеарны ни р^, жар^, то
нашу параметризацию пучков L^ и L^ можно выбрать так, чтобы
прямые Li(0) и La (0) содержали р^, Ь-^ (1) и Lj (1) содержали Pi,
а Lx (оо) и 1<2 (оо) содержали pj. Если, кроме того, Рз, Pi и Ps не
лежат на прямой РхР^ и не коллинеарны, то параметризации
автоматически удовлетворяют тому условию, что прямая р^р^
соответствует разным значениям % в двух пучках. В самом деле, если
PiPi = Lx (Л,о) = Lj (Л,о), то автоморфизм прямой L = PsP4i
переводящей L[\ Lx (Я,) в L П Lg (Л,), оставляет неподвижными три
точки Рз, Pi и L П PiPs, и, значит, должен быть тождественным;
но тогда
Рь = Lx (оо) П La (оо) = Li (оо) П L 6 L.
Таким образом, мы видим, что можно построить гладкую конику,
проходящую через любые пять точек на плоскости, никакие три
из которых не коллинеарны.
В классической теории общая параметризация пучков Lj и L^
задается геометрически посредством выбора двух
вспомогательных прямых М-, и М^ и вспомогательной точки q $ Мх, Mj. После

566 Гл. 4. Поверхности
ЭТОГО ДЛЯ каждой прямой М (Л,), проходящей через д, мы берем
в качестве Ь^ (А,) прямую, соединяющую Pi с точкой М^ [\ М (Я),
а в качестве Lj (Я,) — прямую, соединяющую Ра '^ -^г П ^ (А)-
Например, для построения коники, проходящей через р^, . . ., р^,
можно взять
Эта конструкция многими способами обобщается на
пространства большей размерности; два таких способа мы сейчас
рассмотрим.
1. Пусть Vi, Fa — две (п — 2)-ш10скости в Р". Выберем
параметризацию двух пзгчков гиперплоскостей {Н^ (Я,)} и {Н^ {%)),
проходящих через F^ и Fa соответственно, такую, что Н^ (Я,) Ф
Ф Яг (Я,) для всех Я,, и рассмотрим
^=и(Я1МПЯ,(;1)).
Как и в предыдущей конструкции, Q — неприводимая
невырожденная гиперповерхность и, следовательно, квадрика,
пересекающая общую ирямзгю Lcr Р" в неподвижных точках
автоморфизма L, который переводит L П Я^ (Я,) в L П И^ (А)- ^ терминологии
§ 1 гл. 6, 9 — квадрика ранга 3 или 4 с вершиной Fi П ^2-
2. Пусть Pi, . . ., р„ — линейно независимые точки в Р",
и пусть {Hi (Я,)} — пучок гиперплоскостей, содержаш?1й (и — 2)-
плоскость F,-, порожденную Pi, . . ., pi', . . ., р„. Выберем
параметризации этих пучков так, чтобы гиперплоскость V^p^,... ,Рп,
принадлежащая всем пучкам, соответствовала п различным
значениям К. Тогда для каждого К плоскости Hi {%), . . ., Я„ (К)
пересекаются ровно по точке. В самом деле, если все плоскости
Hi (К) отличны от F, то пересечение Н^ {%){] . . . П Я„ (Я,) не
может пересекать F и поэтому должно быть точкой; если же
Hi (К) = V, то Hi (К) П Hj (К) есть в точности Vj и пересечение
Hi (Vjfi . . .(] Нп (X) = Pi. Поэтому кривая
С^и{Нт[]...ПНг,(1))
неприводима,|причем, как и раньше, она невырожденна, ибо
содержит точки Pi, . . ., р„, но не лежит в порожденной ими
гиперплоскости. Следовательно, степень ее не меньше п, а так как ее
пересечение с общей гиперплоскостью На Р"^ состоит из
неподвижных точек]автоморфизмаЯ,';пepeвoдящeгoJтoчкy2Я[\Hi{X)C\. . .
. . П Я„_1 {%) Jb точку ЯП Яг (Я) П • • • П -^п (Ц, то мы видим,
что степень С должна равняться п, т. е. что С — рациональная
нормальная кривая.

3. Рациональные поверхности I 567
Заметим теперь, что еслн мы положим
то с будет пересечением квадрик Qij; тем самым мы показали, что
Рациональная нормальная кривая высекается квадриками.
Выберем теперь еще три точки p„+i, Рп+2 и Pn+s так, чтобы
?!>•••» Pn+s находились в общем положении. Как в конструкции
ллоской коники, параметризации можно нормировать условиями
Рп+1 € Hi (0), р„+2 € Hi (1), р„+з € Hi (оо)
для всех i. Такой выбор удовлетворяет нашему требованию. В
самом деле, предположим, что для некоторого Я, £ Р^ мы имеем
JSi {%) = Hj (Я,) = V. Тогда автоморфизм прямой L = Pn+i Рп+а>
переводящий Lf\ Hi Q^) в L{] Hj (Я,), оставляет на месте точки
Pn+i» Рп+2 и L П V^ и потому тождествен. Но тогда Hi (оо) f] Hj (оо)
пересекает L и, значит, п + 1 точек р^, . . ., pj, . . ., pj, . . ., р„,
Pn+it Pn+2t Рл+з лежат в гиперплоскости. Выбрав
параметризацию таким способом, мы видим, что все точки р^, . . ., Рп+з лежат
на С; поэтому для любых п + 3 точек в общем положении в Р"
существует проходящая через них рациональная нормальная
кривая. Более того, такая кривая единственна. В самом деле, если
-D — другая рациональная нормальная кривая, содержащая р^,. . .
. . ., р„+з» то каждая гиперплоскость Я; (К) пересекает Z) в р^, . ..
. . ., Pi, . . ., р„ и еще одной точке, которую мы обозначим Qi (К).
Но тогда автоморфизм ф;; кривой Z), переводящий д^ (К) в д; {К) для
каждого К, оставляет на месте Рп+х, Рп+2 и Рп+з и потому
тождествен. Отсюда Qi (К) = Hi (К) (]...{] Н-п (А,) и, значит, D — С.
В итоге мы получаем следующее утверждение.
Через каждые и -|- 3 точки в общем положении в Р"
проходит ровно одна рациональная нормальная кривая.
Отметим мимоходом несколько других вариаций на тему
конструкций Штейнера. Например, можно взять три связки
плоскостей в Р' и параметризовать их точками Я, £ Р*, пересечения
соответствующих плоскостей заметают кубическую поверхность.
Можно также взять два пучка плоскостей в Р', параметризованных
при помощи Я, £ Р^, и соответствие Т: Р^->- Р^ и рассмотреть
поверхность, заметаемую пересечениями соответствующих пар
плоскостей. Если Т имеет бистепень (1, 2), то получившаяся
поверхность будет кубикой с двойной прямой; если же Т имеет
бистепень (2, 2), то получится квартика с двумя двойными
прямыми; обе эти поверхности еще встретятся нам в § 6 этой главы.
Теперь уже без труда докаэывается следующая

568 Гл- 4. Поверхности
Лемиа Кастельнуово. Набор р^, . . ., р^, d^ 2п + 3, точек
в общем положении в Р", налагающий только 2га + 1 условий на
квадрики, лежит на нормальной рациональной кривой.
Доказательство. Заметим прежде всего, что так как любые
2га 4- 1 точек в общем положении в Р" налагают независимые
условия на квадрики, то любая квадрика, содержащая 2га + 1
точек из Pi, . . ., Pdi содержит все эти точки. Пусть теперь
{Я; {%)) и {Я (Л,)} — пучки гиперплоскостей в Р", проходящие
через Pi, . . ., рг, . . ., р„ и p„+i, . . ., Ргп-х соответственно ипара-
метризованные так, что
Pan 6 Hi (0), Н (0); pan+i 6 Hi (1), Я (1); р^п+г € Я, («,), Я («,)
для всех i. Тогда квадрики Qj — \] {Hi (Л,) f] Я {%)) содержат точ-
/\
ки Pi, . . ., Pi, . . ., Р2П+2 и поэтому должны содержать также
Ргп+з, . . •,Pd- Это означает, что остальные точки р2„+з, • ■ •■, Ра
лежат на соответствующих гиперплоскостях пучков Я;, а
следовательно, на рациональной нормальной кривой
C^\]{HyQ.)\i...\iHr,{%)).
Мы показали, что pj, . . ., р„, Р2„, . . ., Ра лежат на рациональной
нормальной кривой. Изменяя нумерацию, мы видим, что любые
d — га + 1>га-ЬЗиз точек pj, . . ., р^ лежат на рациональной
нормальной кривой; так как такая кривая однозначно определена
любыми га + 3 точками, мы получаем, что все точки Pi, . . ., Ра
лежат на рациональной нормальной кривой. G
Возвращаясь к кривой Кастельнуово Ссг Р", мы завершим
сейчас ее явное описание. Как мы уже видели, линейная система W
квадрик в Р", проходящих через С, высекает на общей
гиперплоскости Р"-^с= Р" линейную систему квадрик, проходящих
через Г = С П Р"~^7 имеющую коразмерность 2га — 1 в системе
всех квадрик в Р"~^. Ясно, что это все квадрики, содержащие Г.
Согласно лемме Кастельнуово, Г лежит на рациональной
нормальной кривой Dd Р"-^; так как Г содержит > 2га — 1 точек, то
любая квадрика, содержащая Г, содержит nD. Так как
рациональная нормальная кривая высекается квадриками, отсюда следует,
что базисное множество линейной системы W пересекает
гиперплоскость Р""^ по рациональной нормальной кривой D. Но
тогда базисное множество W должно быть поверхностью степени
га — 1 в Р" и, согласно нашему предыдущему результат5%
Кривая Кастельнуово лежит либо на рациональной
нормальной линейчатлй поверхности, либо на поверхности Веронеае.

S. Рациональные поверхности I 569'
Легко проверить, что любая гладкая плоская кривая,
вложенная в Р* при помощи отображения Веронезе, является кривой
Кастельнуово; поэтому в дальнейшем мы ограничимся случаем
кривой С, лежащей на рациональной нормальной линейчатой
поверхности S — 5ft I. Прежде всего выясним, каков класс гомолог
гий кривой С на 5. А priori его можно записать в виде
С~ аН + ЪЬ,
где Н ж L — классы гиперплоского сечения и прямой на S. Тогда?
d = deg С = Н-С = а (п — 1) 4- Ь,
так что Ъ = d — а {п — 1). Применяя формулу присоединения»
имеем
_(ag + (d —а(п—l))L)-((a —2)Я-Ь(<^ —(а —1)("-1) —2) Ь) , _
- 2 +
= j{a{a-2){n-i)-{-{a-2){d — a{n — i))-\-
-)-a(d—а(п—1)-]-п — 3))==
^(а_у_2) ^n-i)^{a-i){d-{a-i){n-i)-i).
Граница достигается в точности при а — т -\- i, & также в случае
е = О при а — т. Отсюда видно, что кривая С должна быть
гладкой и иметь класс {т ^ i) Н — (п — 2 — е.) L в общем случае
либо класс тН -{- L ъ случае е = 0. По-другому это можно
выразить следующим образом. Напомним, что гиперповерхности
степени т высекают на рациональной нормальной линейчатой
поверхности полную линейную систему. Поэтому можно сказать, чта
в общем случае кривая С плюс любые п — 2 — е прямых на S
высекаются на S гиперповерхностью степени ш + 1 в Р" , а в
исключительном случае кривая С вместе с направляющей £■«, и
любыми п — к — 2 прямыми на S является полным пересечением S
с гиперповерхностью степени wi -Ь 1.
Покажем, наконец, что на поверхности S — S^^i существуют
гладкие неприводимые кривые с таким классом гомологии (па
крайней мере для некоторых к). Перепишем
(ттг 4- 1)Я — (л — 2 — e)L = (ттг -f- 1)£'о + {т {п — к — i)-
Выбирая подходящим образом к, можно сделать коэффициент при
L положительным, поэтому линейная система \{т ■\- i)H —
— (п — 2 — e)L I на 5 не будет иметь базисных точек и ее общий-

370 Гл. 4. Поверхности
элемент будет гладким; так как любые две компоненты приводи-
лей кривой, гомологичной (т + \)Н — (п — 2 — s)L, пересекают-
•ся, то общий элемент этой системы неприводнм.
Подводя итог, можно сформулировать следующие утверждения.
Наибольший возможный род неприводимой невырожденной
кривой С степени d в Р" равен {п — 1) т (т — 1)/2 +
+ тг, где т = \{d — 1)/(и — 1)] м d — 1 = т {п — 1) + е.
Более того, любая кривая, для которой достигается эта
оценка, является:
1) или вычетной либо к п — 2 — е прямом, либо к п —
— к — 2 прямим плюс направляющая в полном пересечении
рациональной нормальной линейчатлй поверхности Sk, i с=
с= Р" с гиперповерхностью степени ттг + 1,
2) или гладкой кривой на поверхности Веронеае в Р*.
Теорема Энриквеса—Петри
Напомним, что, как было показано в разделе о кривых мак-
»«имального рода, кривые степени d = 2п в Р", имеющие мак-
-«имальный род,— это в точности канонические кривые рода g =
= п + 1. Многое из предыдущего анализа экстремальных кривых
•степени > 2п применимо и в этом случае: если Сс= Р" —
каноническая кривая, то
feo {Ц = п+ 1, fe» (2L) = Зп
■и линейная система Wa | 2Н \ квадрик в Р", проходящих через С,
снова имеет размерность
dim Т^>-| (п — 1) (п — 2) — 1.
Как и раньше, мы видим, что ограничение W на гиперплоское
сечение инъективно, а, следовательно, гиперплоское сечение Г=
= СП Р"~^ налагает только 2п — 1 условий на квадрики.
Начиная с зтого места, предыдущие, доводы не работают: для применения
рассунсдений Кастельнуово о том, что Г лежит на рациональной
нормальной кривой, нужны 2п -\- i точек. Однако если мы
предположим, что существует хотя бы одна точка на S, не лежащая на
на С, то рассуждения Кастельнуово снова применимы. Чтобы
убедиться в зтом, нам потребуется небольшое усиление основной
леммы об общем положении из § 3 гл. 2.
Основная лемма П. Пусть Сс= Р" — невырожденная кривая,
р £ Р" — любая тлчка, не лежащая на бесконечном множестве
хорд кривой С. Тогда для общего зиперплоскозо сечения Н,
проходящего через р, точки {р} [] {Н[] С) находятся в общем положении.

5. Рациональные поверхности I 571
Доказательство. Покажем сначала, что для общей
гиперплоскости Я, содержащей р, точка р линейно независима с любыми
л — 1 точками Н {\ С. Это довольно ясно: по предположению,
для общей Н отображение проекции Лр кривой С из р на гипер-
Елоскость Р"~^ взаимно однозначно я& Н [\ С, ж для п — 1
точек Pi, . . ., р-п-х^Н [\ С точка р лежит в их линейной оболочке
тогда и только тогда, когда точки {Яр (рг)} линейно зависимы
в Р""^. Но по первоначальной основной лемме общая
гиперплоскость в Р"~^ не содержит таких наборов точек кривой Лр (С).
Чтобы убедиться в том, что общая Н, проходящая через р, не
«одержит п линейно зависимых точек С, рассмотрим соотношение
инцидентности /с= С7" X Р"*, заданное как
I = {(Pi. • • м Рп. Я): Pi 6 Я},
и определим Jcz I, полагая
/ 8= ((pi, ... ^iPnW) € /: dim pi, ..., р„ < n— 1}.
Отображение проекции Ях: /->- С^ имеет по меньшей мере
одномерные слои. Кроме того, из первой половины доказательства
мы видим, что если каждое гиперплоское сечение, проходящее
через р, содержит п линейно зависимых точек р^, . . ., р„
кривой С, то для общей такой гиперплоскости Н точки pj, . . ., р„
однозначно определяют Н, так что образ л^ (/) с= 67" имеет
размерность по меньшей мере п — 1. Но тогда / имело бы
размерность по крайней мере п, и, так как проекция п^: /->- Р"* имеет
конечные слои, мы получили бы, что л, (/) = Р"*, т. е. что
каждое гиперплоское сечение С содержит п линейно зависимых
точек, что противоречит нашей первой основной лемме. П
Пусть снова Сс= Р" — каноническая] кривая, Wa | 2Я | —
линейная система квадрик, проходязцих через С, и предположим,
что базисное множество S системы W не равно С. Если любая
точка р Е S — С лежит на хорде L = qr кривой С, то прямая L
пересекает каждую квадрику Q ^ W в трех точках д, г и р и
поэтому лежит в Q и в S. Отсюда следует, что можно выбрать точку
р ^ S — С, не лежащую на бесконечном множестве хорд С. Тогда
по нашей основной лемме II для общей гиперплоскости Н,
проходящей через р, 2п + 1 точек {р} U (ЯП С) находятся в общем
положении. Но тогда ограничение W \н системы W на Я является
линейной системой квадрик размерности ^ (п — 1) (п — 2)/2 — 1
с базисным множеством, содержащим 2п + 1 точек в общем
положении, и по лемме Кастельнуово базисное множество S [] Н
линейной системы W\h должно быть рациональной нормальной
кривой, а S — поверхностью минимальной степени.
Если S — поверхность Веронезе Ijh (Р*)с= Р*, то ясно,
что С — плоская квинтика. С другой стороны, если S — линейча-

572 Гл. 4. Поверхности
тая поверхность 5),_;, то, согласно вычислениям в конце
предыдущего раздела, кривая С, имеющая максимальный род, должна быть
линейно эквивалентна дивизору
(7?г + 1) Я — (п — 2 — е) С = ЗЯ — (га - 3) С,
так что
". = [^]=[^]=2.
В частности, С имеет индекс пересечения 3 с каждой прямой на:
поверхности S^^, т. е. представляется как трехлистное накрытие Р'.
Такие кривые называются тригоналъными.
Обратно, предположим, что каноническая кривая Сс= Р" три-
гональная, а я: С-> Р^ — трехлистное „накрытие. Тогда
дивизоры {п~^ (К) = р^ + Pi Л- Рз }я.ер1 образуют линейную систему"
степени 3 и размерности 1 на С. По геометрическому варианту
теоремы Римана — Роха (см. третий раздел § 3 гл. 2) отсюда
следует, что точки pj-, р^ и р1 коллинеарны для всех X. Тогда прямая
L), = р^р^р^ пересекает каждую квадрику Q, содержащую С,
в трех точках, а значит, лежит на Q; поверхность iS" = U Lj^
я.ер1
содержится в пересечении всех квадрик, содержащих С, и, значит,,
совпадает с ним.
Аналогично, если С — плоская квинтика, то по формуле
присоединения
Кс '= [2Ярг|с1)
так что каноническое отображение С — это в точности
ограничение на С отображения Веронезе i^h- Р* -> Р*. В частности^
если L — прямая в Р*, то Цн {L) — коническая кривая в Р*,.
пересекающая С в пяти точках; как и выше, любая квадрика»
содержащая С, содержит и цн {Ц- Поэтому пересечение квадрик,
содержащих С а Р°, содержит поверхность Веронезе и,
следовательно, совпадает с ней.
Итак, доказана ^)
Теорема (Энриквес, Петри). Пусть Са Р" — каноническая
кривая. Тогда
1) либо С высекается квадриками;
2) либо С тригоналъная, и в этом случае пересечение всех
квадрик, содержащих С, является рациональной нормальной линейчатой
поверхностью, заметаемой З-секущими С;
^) См, В. Saint-Donat, On Petri's Analysis of the linear system of quadrics
through a canonical cuiye.— Math. Ann,, 206 (1973), 157—175. [См. также
В, В. Шокуров. Теорема Нётера — Энриквеса о кавошпеских кривых.—
Матем. сб. 86, № 3 (1971), 367—408.— Ред.]

4. Рациональные поверхности II 573
3) либо С — плоская квинтика, и в этом случае пересечение
квадрик, содержащих С, есть поверхность Веронеае i^h (Р'')<= Р°»
ааметлемая кониками, проходящими через пятерки компланарных
■точек С-
Заметим, что, так как рациональные нормальные линейчатые
поверхности 5^_ г (отличные от Si^ ^а Р^) содержат только одно
семейство прямых, тригональные кривые рода g^ 5 содержат
только одну линейную систему степени 3 и размерности 1.
4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ II
Теорема Кастельмрово—Эмриквеса
Теперь, когда у нас имеется полное описание рациональных
поверхностей, естественно задаться вопросом — можно ли их
■охарактеризовать численными бирациональными инвариантами.
Ясно, что если S рациональна, то q (S) = pg (S) = Р„ ( 5) = 0.
Мы покажем сейчас, что верно и обратное.
Теорема Кастельнуово — Энриквеса. Если S —
алгебраическая поверхность с q (S) = Р^ (S) — О, то S рациональна.
Доказательство. Стягивая исключительные кривые первого
рода на S, можно считать, что S не содержит таких кривых.
Чтобы применить лемму Нётера, нужно показать, что S
содержит неприводимую кривую С с я (С) = О и dim | С | > 0. Сначала
слегка преобразуем задачу. Так как Р^ (5) = О, то pg (S) = О
(нетривиальное сечение о расслоения К g давало бы нетривиальное
сечение а (2) а расслоения К%), поэтому
Кроме того, для любой кривой С на 5
k^ (С) = feo {Ki, - С) = О,
откуда по теореме Римана — Роха
Если теперь С — рациональная кривая и С-С^ О, то по формуле
присоединения К-С^ — 2, откуда h<> (С)^ 2 и dim | С |^ 1.
Поэтому достаточно найти неприводимую кривую С на S, такую,
что
<*) п{С) = 0, С-С>0.
Перед тем как продолжать доказательство, мы сформулируем
одно следствие теоремы Бертини.

574 Гл. 4. Поверхности
Лемма. Если {Dx} — пучок кривых на поверхности и общий-
элемент {D^} приводим, т. е.
Dx = E + ^Cy^,
где Е — неподвижная компонента {Z)jt}, тл Cv'Cv^O для
всех V.
Доказательство. Пусть {D'%} = {Dt, — Е) — приведенный пучок;;
{D'%} имеет только изолированные базисные точки. Пусть-
я: S-^S—раздутие S в базисных точках пучка {Di,}, так что-
собственные прообразы Di, = ^Cy составляют на S линейную-
систему {D'x} без базисных точек. Так как точка пересечения Су.
с С^' была бы особой точкой кривой D'x, то мы видим, что для
общего Я кривые Cv, не пересекаются. Поэтому CyCy-=CyD' = 0>
и, следовательно, C^-Cv ^ 0. П
Доказательство теоремы Кастельнуово — Энриквеса
разбивается на три случая: К-К <.0, К-К = О в. К'К "^^О, причем
последний случай самый трудный.
Случай 1. К-К = 0. Применим формулу Римана*»— Рох»
к дивизору —К:
ho i-K) + h^ i-K) = hP i-K) +:hP {2K)^ 1;
так как h" {2K) = P^ (S) = 0, то fe° {—K)'^ 1, т. e. существует
эффективный дивизор D, линейно эквивалентный —К. Заметим^
что D Ф О, так как расслоение К нетривиально.
Пусть L = [Е] — очень обильное линейное расслоение на Sr
можйо считать, что fe° {L — D) Ф 0. Так как дивизор Е
положительный, то Е-К = — E-D < 0; следовательно,
Е-{Е + тК) < О для т> 0.
Это означает, что fe" {Е + тК) = О при ттг^ О, так как если бы
Е -Ь т,К было линейно эквивалентно эффективному дивизору, то
мы имели бы Е- {Е + тК)'^ 0. Выберем п так, чтобы
fe» {Е + пК) > О, W> (£ + (« + 1) К) = 0.
Пусть теперь D' ^\ Е •\- пК \, и запишем D' = '^а^Су Тогда
KD' = К- (Е + пК) = К-Е < О
и Z-Cvo< О Д-"^" некоторого Vq. Применяя формулу Римана —
Роха к дивизору —Cvc получаем
hO(-CyJ + kOiK + CyJ> ^v/gv„+Cv„-g ^i^jt(c,j.

4. Рациональные поверхности II ЫЪ^
Но feO(_Cv,) = 0, и так как Z + Cv,<^ + ^', то
Поэтому
n(Cv.) = 0.
По формуле присоединения из Су^'К<а следует, что Cvo'C'vo^"
> —1. Однако если Cvo'C'vo = — !> то Cvo — исключительная
кривая первого рода. Так как S не содержит таких кривых, то-
<^vo"^vo^ О и ^vo удовлетворяет численным условиям (*).
Случай 2. К-К <iQ. В зтом случае мы утверждаем, что для1
любого дивизора Е ш& S
h^ (Е + п^) = О при «» 0.
Чтобы в этом убедиться, выберем «о настолько большим, что»
К' (Е + щК) = К-Е + п^К'К < 0.
Пусть теперь h^ {Е-\-тК) Ф Q для некоторого т^ Пц, пусть-
D ^\К-\-тК\ и Z) = 2avCv Так как Z-Z)<Z-(£' + п^ <
V
< о, то К-Сч„ < О для некоторого Vq. Поэтому если С^^-С^^.,
отрицательно, то К-С^„ = С^-С^^ = — 1, т. е. С,„ —
исключительная кривая первого рода, что противоречит предположению^
Значит, Cvo"<^vo^^ и, как отмечено в самом начале § 1, Cvo •
• Z)'^ О для любого эффективного дивизора D'. Далее, так как;
Z-Cvo<0, то для т'>0
(Е + т'К)-Сщ <Q^K> {Е + т К) = О,
что и доказывает наше утверждение.
Пусть Е — очень обильный дивизор с h" (Е + К)"^ 2.
Выберем п так, чтобы
Ь*{Е + пК)^2, hP {Е -\-in-\-i) K)^i.
Пусть D — общий элемент системы | Е + пК |. По нашему
следствию теоремы Бертини, записывая D = Е + Ъ^у, где Е —
неподвижная компонента D, имеем С^-С^^О для всех v. Так как
h" (—Cv) = 0. мы получаем из формулы Римана — Роха для —С^:
Но
/I» (Z+CvX/i" (^+Z)) ^ 1,
и поэтому я (Су) равно О или 1 для всех v.. Если я (С^) — О, то
все доказано, ибо Cv'Cv> 0. Предположим, что п{Су) = 1..

S76 Гл. 4- Поверхности
В ЭТОМ сучае h^ (К + С^) = h'' {К + D) = 1. Пусть D' i \ К +
+ Cv I ; запишем D' = ^а^Е^. Заметим, что D' Ф О, так как
в противном случае К^ — Cv, откуда Cv-C'v = ^'^<0. По
формуле присоединения
и так как из С.^,-С.^,^ О следует, что С^-Е^'^О для всех fi, то
JE^-Cy = О для всех ц.
Таккак^-С^ < Оти К-К<: О, toI>'-Z<0, поэтому^^,-Z <
<; О для некоторого Цо- Но тогда
:0'>Ep,,-K = Ep,^-{K + C^) = a^^Ep,^-Efi,+ 2j E^^-EyJ^a^^E^i^-E^.
Поэтому Eyi,-K = Eyi^-Eii^ = —i, т. е. ^^„ — исключительная
кривая первого рода, что противоречит предположению.
Случай 3. К-К>0. Так как h^ {2К) =0, то по формуле
Римана — Роха для —К
Ti. е. I — К \ содержит пучок кривых. Пусть D — обпщй элемент
I — К I; по нашей левлме D = Е + ^а.^,С^ , где Е — неподвижная
компонента \ D |, аСу-С,,^0 для всех v. Если дивизор D
приводим, т. е. Вф Ci, то
/i2(_Ci)=/iO(Z-fCi) = ^4-(<'i-l)Ci-£'-2 flvCv) = 0
ж, конечно, h" (—Ci) = О, так что по формуле Римана —
Роха для —Ci
Во в таком случае л (С^) = О и Ci-Ci^ О, так что все в порядке.
Поэтому мы предположим, что D = Ci — неприводимая кривая
на 5. Так кш D-^ — К, то D-K = — D-D и п (В) = 1.
Если предположить, что кан:дое очень обильное линейное
расслоение на 5 кратно К, то любое расслоение кратно К и
IP {S, 1) = IP■,^^ {S, 1) =^1
с с, (К) в качестве образующей. Тогда по двойственности
Пуанкаре Z-Z = 1, и по формуле Нётера
Это противоречие показывает, что можно найти очень обильное
расслоение [Е] на S, которое не кратно К и для которого h" (Е +

4. Рациональные поверхности II 577
+ Z)>1. Так как Е-К = — E-D <:0, то мы видим, что
Е-{Е + пК) < О, и, следовательно, А° {Е + пК) = О при п> 0.
Пусть «о — целое число, такое, что
h4E + noK)>i, h" {Е + {щ + i)K) =■-Q.
Пусть/)' — общий элемент \ Е + щК |; напишем D' = ^а^С^.
Мы знаем, что D' Ф О, ибо Е Ф — щК. Далее, D неприводим,
и так как D-D^O, то К-С.^, = — DC.^, ^ О для всех v. Снова
h" (К + CvX Л° (К + D') = 0 и h^ (—Cv) = О, так что по
формуле Римана — Роха
т. е. л (С) = 0. Мы энаем, что К-С^^О', если К-Су, < — 1, то
Cv'Cv^ О и все в порядке. С другой стоороны, если К-С^ = — 1,
то Cv — исключительная кривая первого рода. Поэтому можно
считать, что
Си/'Су = — 2, К'С^ = V,
Применяя формулу Римана — Роха к дивизору D — Су =
= — Су — Ки пользуясь неравенством h° {2К + Cy)^h'' {2К +
+ D') = 0, имеем
hOjD-Cy) > (Р-С.ИР-Су)-К.(Р-Су)_^^^
Пусть Г 6 I-D — Cv I; запишем Т = '^ЬуТу. Тогда Т фО, так
как если Г = О, то С у = D = — К, откуда Z-Z = С у-С у = — 2.
Применяя формулу Римана — Роха к —Fv, мы получаем
М>{К + Ту)^кЦК + Т) = к'>(-Су) = 0^
^0 = к'Ч-Гу)>^^-^^+^''-^ +i = K(Ty),
т. е. л (Fv) = О для всех v. Но теперь
Г'К = {—К — Су)-К < О =*► Т^^-К < О для некоторого Vq.
Следовательно, либо Гуд-Гуд = — 1, и в этом случае Г v,—
исключительная кривая первого рода, либо rvo-Fvo^O, и тогда все
в порядке. П
Немедленным следствием доказанной теоремы является
6-0200

578 Гл. 4. Поверхности
Теорема Люрота ^). Если М — рациональная поверхность,
а /: М->- N — сюръективное голоморфное отображение, то
поверхность N тлкже рациональная.
Доказательство. Оно очевидно: если Р^ (N) отлично от нуля,
то обратный образ ненулевого сечения К% дает ненулевое
сечение K\i. Аналогично, если на N имеется ненулевая голоморфная
1-форма, то ее обратный образ на М также не равен нулю. П
Поверхность Энриквееа
Теперь покажем, что условия q = Р^ = О в теореме Кастельну-
ово — Энриквееа не могут быть ослаблены. То, что условие q = О
нельзя отбросить, устанавливается совсем просто. Пусть S =
= Р^ X ^ — произведение Р^ на риманову поверхность рода 1.
Тогда КS = — 2 {{р} X Е) и, следовательно, Р„ (5) = О для
всех п, однако S не рациональна, так как q (S) = 1. Несколько
труднее показать, что требование Р^ = О нельзя заменить более
слабым условием pg = 0. Энриквес построил для этого класс
поверхностей, для которых gr = Pg = О и Ра =7^ 0; одну такую
поверхность мы сейчас и рассмотрим.
Пусть [Хо, Xi, Х2, Хд] — однородные координаты в Р* и 5 —
поверхность Ферма четвертой степени, заданная уравнением
F{X) = Xt + X\-X*-Xi^O.
Поверхность 5 гладкая, и по формуле присоединения каноническое
расслоение Ks = {Kp -Ь 5)|s тривиально. Пусть Т —
автоморфизм Р^, заданный как
Т: [Х,, Х„ Х„ Xs]-^[Xo,V'=~iXu -Х„ -Y^iX,].
Он сохраняет Scz Р®; порожденная им группа {Г"}
автоморфизмов 5 имеет порядок 4. Этот автоморфизм имеет 4 неподвижные
точки в Р*: [О, О, О, 1], [О, О, 1, 0], [О, 1, О, 0], [1, О, О, 0], ни одна
из которых не лежит на 5. С другой стороны, Т^ имеет 2
неподвижные прямые
г,= (Хо = Хг = 0), I, = (Xi = Хз = 0),
каждая из которых пересекает S трансверсально в 4 точках, так
что Т^ имеет 8 изолированных неподвижных точек р^, . . ., pg
на S.
Факторпространство S по группе автоморфизмов {Г"} не
может быть снабжено структурой комплексного многообразия по
той причине, что проколотая окрестность образа неподвижной
^) На самом деле это дазгмерный аналог теоремы Люрота, доказанной
им для случая кривых.— Прим. ред.

4. Рациональные поверхности II Ъ19
ТОЧКИ Pi В 5/{Г"} имеет фундаментальную группу 2/2Z. Однако
если мы возьмем раздутие S = Sp^_, .р^—^ S поверхности S в
точках Pi, . . ., jsg, то автоморфизмы Г" на S — {pt} ^ S — Ei —
— ... — ^8 продолжаются до автоморфизмов {Г"} раздутия S,
и факторпространство 5/{Г"} является комплексным
многообразием. Чтобы убедиться в этом, положим
Л1 Л.2 -Лд ^
•^ = "V~ > J/ ^^ "y > ^ ^^ "y >
Aq -Aq -Aq
ЭТО евклидовы координаты на (Xq Ф 0) в Р^, и S задается
уравнением
/ (х, у, Z) = 1 -f д;* - I/* - Z* - 0.
Рассмотрим неподвижную точку р — [1, О, 1, 0] = (О, 1, 0)
преобразования Т^ на S. В окрестности U точки р в S (которую можно
выбрать инвариантной относительно Т^) функции х тя. z являются
локальными координатами. Если мы обозначим через C/j и C/g
дополнения в U = n~^U к собственным прообразам (х — 0)
и (z = 0) соответственно, то в качестве локальных координат
в Ui можно взять функции х' — X, z' = z/x, а в С/г — функции
х" = xlz, z" = z. Автоморфизм Т^ задается в U как
Т^ : (х, z) н-»- (—X, —z),
и поэтому Т^ задается в Ui и U2 как
Т^ {х', Z') = i-x', z'), Г {х", z") = {х\ -z").
Отсюда видно, что автоморфизм Т^ карты U тождествен на ^ =
= л~^ (р). На образе U^ в факторе UI {Т^} функции v = х'^ ж zf
являются локальными координатами; на образе U^ в Ul{T^}
локальными координатами будут х" ни = z"*; они и задают
структуру комплексного многообразия. Так как остальные неподвижные
точки устроены аналогично, мы видим, что факторпространство
S" = SI{Т^} имеет естественную структуру комплексного
многообразия; при этом факпюротабражение i: 5 —>• 5" есть двойное
накрытие с ветвлением в дивизорах Ei, . . ., Е^.
Далее, автоморфизм Т индуцирует автоморфизм Т
поверхности S, который спускается на 5"; Т не имеет неподвижных точек
на S\ так что факторпространство S' = 57{Г"} = 5/{Г"}
снабжается естественной структурой комплексного многообразия,
а факторотображение i': S"-^ 5'является двойнымнеразветвлен-
ным накрытием.
Теперь заметим, что S", а следовательно, и S' являются
алгебраическими многообразиями; читатель может непосредственно
убедиться, что пространство сечений Н* на S, инвариантных относи-
6*

580 Гл- 4. Поверхности,
тельно Т^ (т. е. однородных многочленов степени 4, порожденных
одночленавш Х°'» Х?' Xf • Xj» с четшлл а^ + ag) и обращающихся
в нуль с кратностью 2 в точках pj (или, иными словами, сечений
расслоения [л*4£Г — 2^i — . . .— ^Е^\ на 5, инвариантных
относительно Р), вкладывает S" в качестве поверхности степени 16
в Р*. В действительности S" обладает еще одним положительным
линейным расслоением, линейно независимым с предыдущим;
пространство сечений IP ж& S, инвариантных относительно Т^ и имею-
пщх в pi нули 4-го порядка, вкладывает S" как поверхность
степени 8 в Р*.
Покажем прежде всего, что q {S') = 0. Если ■ц —
голоморфная 1-форма на S', то i*i'*ti будет голоморфной 1-формой на S,
причем нулевой, так как q (S) = q (S) = 0. Аналогично, если
о — голоморфная 2-форма на S', то i*i'*cu — голоморфная 2-фор-
ма на 5, и тогда мы имели бы голоморфную 2-форму на о,
инвариантную относительно Т. Однако мы знаем, что IP {S, Q^) ^ С,
и при помощи отображения вычета Пуанкаре получаем, что
образующая IP {S, й") есть
dx л dz dx А dz
Так как Г*ф = — ф, то .S" не имеет голоморфных 2-форм,
инвариантных относительно Г; следовательно, pg {S') = 0.
С другой стороны, 7'**ф = ф, так что ф спускается до 2-фор-
мы tl? на 5", голоморфной вне множества ветвления i {Ei + • • • + ^e)
отображения i. Мы утверждаем, что -if голоморфно продолжается
и в точки I {Ei). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим снова
координаты х\ z' и ж", z", введенные ранее на окрестности U
исключительного дивизора E(=.^S. Можно написать
dx = dx', dz = z'dx' ■\- x'dz',
так что dx f\ dz ■= x'dx' л dz'. Поэтому
* / \ *^ /J ' у7 '\ * dv t\ dz'
" 1Ф^ = (1 + а;'4_г'1а:'4)3/4 \У^ A UZ ) — I g (l + „2_z'4„2)S/i '
и ■^ действительно продолжается на все S". Наконец, так как
форма ф ® ф инвариантна относительно Г, то tl? 0 tl? также
инвариантна относительно индупррованной инволюпри Т на .S"". Стало
быть, tl? ® tl? спускается до ненулевого голоморфного сечения
пучка Ks'® Ks', откуда видно, что Р^ {S') Ф 0. Поэтому
поверхность S' не рациональна.

4. Рациональные поверхности II 581
Поверхность S' называется поверхностью Энриквеса. Можно
вычислить некоторые ее инварианты. Прежде всего, так как Ks =
= 0,
К^ =Ег + ...+Es.
Если со — любая мероморфная 2-форма на S", то
К^ = (1*0)) = i*Zs. + Ei+ ...+Es,
так что каноническое расслоение на 5" имеет нулевой класс Чжэ-
ня. Поэтому голоморфная 2-форма ■^ ж& S" нигде не обращается
в нуль, и расслоение Ks" тривиально. Так как Zg» = n,*Ks't
то Ks' имеет нулевой класс Чжэня по модулю кручения.
Мы знаем, что Cj (5)* = О, поэтому по формуле Нётера
X(5) = c,(5) = 12x(0s) = 24;
аналогично, так как с^ (S'Y = с^ (S'Y = О,
Х(5") = 24, х(5') = 12.
Далее, bj, {S') = Ьд (5') = О и bj (S') = Ь}^^ {S') = 10. Кроме
того, поверхность S' не односвязна — в противном случае у нее
не могло быть связного неразветвленного двулистного накрытия.
С другой стороны, по теореме Лефшеца поверхность S
односвязна, как и 1^ Поскольку любая петля у в S" поднимается на 2»
(достаточно базисную точку 7 взять в множестве ветвления
1(^1 + . . . + Es) отображения i), то 5" также односвязна, и,
следовательно.
Hi {S', Z) = Z/2Z.
Можно по-другому показать, что поверхность S" односвязна.
Так как g (5") = О, то фундаментальная группа щ (5"^ является
группой кручения; если щ (S") имеет подгруппу индекса d, то
существует d-листное накрытие М -*- S"; М — компактное
комплексное многообразие с тривиальным каноническим
расслоением Kjj = i*K^ и
X{M) = d-x{S'') = 24d.
Поэтому по формуле Нётера
Х(<5м) = -^ = 2й.
Так как Км тривиально, то pg (М) = 1 и g (5") = О влечет за
собой равенство q (М) = О, откуда
X {©м) = 2, d = 1.

582 Гл. 4. Поверхности
Возвращение к кубическим поверхностям
Чтобы продемонстрировать применение техники, развитой
в двух последних разделах, мы вернемся назад и дадим более
короткий, хотя и менее прямой, анализ строения гладкой
кубической поверхности. Затем мы рассмотрим соответствие между
прямыми на кубической поверхности и двойными касательными к
квартике в Р^.
Пусть ;5' с Р* — гладкая кубическая поверхность. По теореме
Лефшеца S односвязна и поэтому q (S) = 0. По формуле
присоединения
Ks = (^рз + 5) Is = —Н Is.
каноническое расслоение на S отрицательно, и поэтому Р„ (5) =
= О для всех п. Согласно теореме Кастельнуово — Энриквеса,
поверхность S рациональна.
Далее, по формуле Нётера
и так как с^ (S) = —Н, то Cj (S)^ = 3 и поэтому
X (5) = с, (S) = 9.
По нашей теореме о рациональных поверхностях S получается
из линейчатой поверхности 5„ раздутием пяти точек. Однако для
любой неприводимой кривой С на 5
К-С = -Н-С<:0
и по формуле присоединения С-С ~^ —1; поэтому на S нет
неприводимых кривых с индексом самопересечения —2 или меньше.
Значит, S есть 5о или 5^, раздутое пять раз, или, что то же самое,
Р*, раздутое шесть раз. В действительности раздутия Р*
должны производиться в шести различных точках j^i, . . ., /jg: если бы
мы раздули точку на исключительном дивизоре предыдущего
раздутия, то собственный прообраз этого исключительного
дивизора на S имел бы индекс самопересечения <—1. По этой же
причине точки р^, . . ., р^ должны быть «общими» в смысле
стр. 513: если 3 точки pt лежат на прямой L с Р^, то
собственный прообраз L прямой L имеет индекс самопересечения ^—2,
и аналогично, если все 6 точек лежат на конике С с Р*, то
собственный прообраз С этой коники имеет индекс самопересече-
ния —2. Наконец, гиперплоское сечение на S ^Рр^ р. —^Р*
имеет вид
Я = -Ks = -{п*Кр, +Ег+ ...+Е,) =
= п* (ЗЯ) -Ei — ...-Ee.

4. Рациональные поверхности II 583
Поэтому так же, как в последнем разделе § 1, можно показать,
что S содержит ровно 27 прямых.
Пусть снова S, как и вьппе,— гладкая кубическая
поверхность, & Р ^ S — произвольная точка, не лежащая на 27
прямых на S. Рассмотрим отображение проектирования
лр. S — {Р}-^Р^
поверхности 5 из Р на гиперплоскость Р* с Р*. Как было
показано ранее, л р продолжается до голоморфного отображения
ЛрГ 5-^Р2
раздутия S поверхности S в Р; л р представляет 5 как двулистное
разветвленное накрытие Р*.
Пусть J5 с Р^ — множество ветвления л р. Если Z с Р^ —
общая прямая, то плоскость Нi = I, Р cz Р®, порожденная I и Р,
пересекает S по гладкой кривой С;: общая гиперплоскость в Р*,
проходящая через Р, не касается 5 в i' и по теореме Бертини
не касается S нигде. В таком случае Лр отображает собственный
прообраз Ci^. Ci на Z ^ Р^ как 2-листное накрытие; так как
С; имеет род 1, то Лр \^ должно разветвляться в четырех точках;
так как точки ветвления 2-листного накрытия не могут иметь
кратность больше 1, то эти точки различны. Таким образом,
общая прямая I пересекает J5 в 4 точках, т. е. В имеет степень 4.
Заметим, кроме того, что если g £ Р^ — произвольная точка,
то для общей прямой I а P^ содержащей q, плоскость Hi транс-
версально пересекает S: общая плоскость в Р*, содержащая Щ,
не касается S в точках Pq[\ 5, а по теореме Бертини не касается
iS и в других точках. Поэтому общая прямая, проходящая через q
в Р^, пересекает J5 в 4 различных точках, так что q не может
быть особой точкой В. Отсюда заключаем, что В — гладкая квар-
тика.
Мы уже показали, что если плоскость Hi пересекает 5 по
гладкой кривой, то I пересекает J5 в 4 различных точках, т. е.
I не касается В. Обратно, пусть Q ^ S — точка на кривой
ветвления В отображения Лр, q = Лр jQ) g В и Iq = Тд{В) —
касательная прямая к В в q. Прямая PQ cz Р* касается S в Q, как
и касательная прямая Tq {В)кВ в Q; следовательно, л р {Tq {В))=
= In и
Tq {S) = Hi,
Подводя итог, мы видим, что прямая Zc P^ проходящая через
Я = Лр (Q) ^ В, касается В в Q тогда и только тогда, когда Hi

584 Гл. 4. Поверхности
касается S v Q, т. е. тогда и только тогда, когда Ci = Hi{] S
имеет особенность в точке Q.
Пусть теперь Lj, . . ., Lj? —^прямые на 5, а Zi, . . ., Zjt —
их образы в Р* относительно Лр. При этом It — прямая в Р*,
согласно нашему предположению, что Р ^ Li. Если Zj = Ij для
некоторых г Ф /, то плоскость Hi^ = Hi в Р* содержит обе
прямые Li и Lj, а значит, содержит еще одну прямую, проходящую
через Р. Но Р не леншт ни на какой прямой в S, стало быть,
прямые li различны. Заметим также, что ни одна прямая на S
не лежит в касательной плоскости Т к S в точке Р: если Li
принадлежит Г П S, то Г П S = Li + С, где С — коника в Т. Но
тогда С имеет особенность в Р и, значит, состоит из двух прямых,
проходящих через Р.
Рассмотрим теперь пересечения S с плоскостями Hi., i =
= 1, . . ., 27. Плоскость Hi. пересекает S по кривой третьей
степени, содержащей L,- и не содержащей других прямых, поэтому
Hi^ {] S =Li + Ci,
где Ci — гладкая коника в Hi.. Далее, d пересекает Lj в двух
точках Qi и Ri (быть может, совпадающих), которые являются
особыми точками Hi^ П S. Согласно сказанному выше, точки qi =
= Лр (Qi) и Tj = Лр(7?г) являются точками касания li с В.
Значит,
1) либо qi Ф ri, т. е. d трансверсально пересекает Lj; в этом
случае li является двойной касательной прямой к В;
2) либо qi = Гь т. е. Ci касается Li в Qi = Ri; в этом случае
любая прямая L, проходящая через Р в Hi и отличная от PQi,
пересекает Ct ш Li в двух различных точках. Поэтому Zj
пересекает В только в qi, т. е. Zj имеет с В касание порядка 4 в
точке qi. Такая прямая называется прямой гиперперегиба кривой В.
Наконец, пусть l^n с Р^ — образ касательной плоскости Т
к S в Р при Лр — или, другими словами, образ исключительного
дивизора Е (^ S при л р. Плоскость Т пересекает S по
кубической кривой С с Т с особенностью в Р, которая является либо
обыкновенной двойной точкой, либо точкой заострения.
Касательные прямые к С в Р отображаются при л р в точки касания Z^g
с В; другие же прямые в Т, проходящие через Р, отображаются
в точки, не лежащие на В. Поэтому
1) либо Р — обыкновенная двойная точка С, а l^s — двойная
касательная к В;
2) либо Р — точка заострения С, а l^s — прямая
гиперперегиба В.

4. Рациональные поверхности II 585
Обратно, пусть 1сР^ — двойная касательная к В. Если Ht
отлична от Г, то С J должна иметь две особые точки. Так как Ci —
кубическая кривая в Hi, она долнша содержать прямую,
соединяющую эти две точки, т. е. Z = It для некоторого L Аналогично»
если i с Р* — прямая гиперперегиба В и I Ф 1^, то Ci
проектируется на I при пр как двойное накрытие, разветвленное толька
над 1[] В = {q}. Так как I — {q} односвязно, Ci — Лр' {q)
распадается, т. е. Ci — приводимая кривая. Так как Ci —
кубическая кривая, одной из компонент должна быть прямая, и мы
снова получаем I = Ц для некоторого i.
Заметим, что если мы реализуем S как раздутие Р* в 6 точках
x-i, . . ., Же и если а;7 6 Р^ соответствует Р ^ S, то линейная
система, дающая отображение Лр: 5->-Р^, есть в точности
собственный прообраз системы кубических кривых С с Р^, проходящих
через Xi, . . ., Хт В частности
1. Если Lt = El, то Сц = Ht[] S соответствует кубической
кривой С CZ Р^, проходящей через Xi, . . ., x^ и особой в Xt.
Прямая It будет двойной касательной, если Xt — обыкновенная
двойная точка С, и прямой гиперперегиба, если Xi — точка
заострения С.
2. Если Li = Fij, то Ci. соответствует прямой L в Р^,
проходящей через Xi и Xj, плюс коника С, проходящая через
остальные 5 точек a;fe. Прямая Z; будет двойной касательной, если С
трансверсально пересекает L, и прямой гиперперегиба, если С
касается L.
3. Если Li = Gi, то Cij есть прямая L, проходящая через Xt
VI хт в Р^, плюс коника С cz Р*, проходящая через остальные
5 точек Xk', снова Zj — прямая гиперперегиба или двойная
касательная в зависимости от того, касаются эти кривые или нет.
Иа этого рассмотрения мы получаем, что каждая квартик»
в Р^, полученная как кривая ветвления проекции кубической:
поверхности из точки на этой поверхности, имеет ровно 28
двойных касательных и прямых гиперперегиба и что общая квартика
такого вида не имеет прямых гиперперегиба, а имеет только
28 двойных касательных.
Покажем теперь, что в действительности любая неособая
квартика J5 с Р^ реализуется как кривая ветвления проекции
некоторой кубической поверхности S с= Р* из точки Р ^ S. Прежде
всего покажем, что можно построить поверхность S, двулистно^
накрывающую Р^ с ветвлением в В. Для этого фиксируем
изоморфизм линейных расслоений на iP^
IP ® 1Р-^Н\

586 Гл. 4. Поверхности
И пусть а ^Н" (Р^, О (Н*)) — сечение, определяющее В, т. е.
такое, для которого (а) = В. Затем в пространстве расслоения
IP—> Р^ рассмотрим множество точек
На самом деле множество S является подмногообразием Н^,
м проекция п: JT* ->- Р^ представляет S как двойное накрытие
Р^, разветвленное вдоль В. (В общем случае аналогичная
конструкция дает двойное накрытие Р^ с ветвлением вдоль любой
кривой четной степени; особенности накрывающего многообразия
находятся в точности над особыми точками кривой.)
Пусть В cz § — кривая ветвления л: 5 -^ Р^ в §. Если
<о — любая мероморфная 2-форма на Р^, то
% = (л*сй) = л* (со) + 5 = л* (-ЗЯ) + В.
Но 2В = я* (4ff), так что
2% = л* (-6Я) + я* (Щ = л* (-2Я).
Поэтому
AK^-Ks = л* (-2Я).л* (-2Я) =
= 2(-2Я)-(-2Я) = 8,
т.е. %-% = 2.
Далее, выберем триангуляцию Р^, продолжающую
триангуляцию В, и поднимем ее на S. Мы видим, что
X {S) = 2-х (Р^) _ X (fi) = 6 - (-4) = 10.
Поэтому по формуле Нётера
Кроме того, —2К^ эквивалентно эффективному дивизору, поэтому
PAS)=PgiS) = o.
•Отсюда получаем, что q (S) = О, и, значит, согласно критерию
Кастельнуово — Энриквеса, S рациональна. Так как % (S) = 10,
то S должна быть раздутием некоторой линейчатой поверхности
5„ в 6 точках. Но для любой неприводимой кривой Z) на о
S ^
так как кривая л (D) ненулевая. По формуле присоединения
отсюда следует, что
D-D >-1,

4. Рациональные поверхности II 587
И, значит, как в самом начале этого раздела, S должна совпадать
с 5, или So, раздутой в 6 различных точках, или, что то же самое,
с Р^, раздутой в 7 различных точках pj, . . ., р^. Более того,
никакие три из точек pt не лежат на прямой L: иначе собственный
прообраз L этой прямой в S имел бы индекс самопересечения
^—2; аналогично, никакие 6 точек не могут лежать на конике
С а Р^; иначе С имело бы индекс самопересечения^—2. Поэтому
если мы стянем любой исключительный дивизор Et ж& S =
= Р|. р,, то полученную поверхность S = Рр.,...,р р, можно
вложить в Р* как гладкую кубику.
Чтобы завершить наши рассуждения, рассмотрим отображение
лр: ~S -^P^
полученное проектированием S из точки Р, являющейся образом
исключительного дивизора Ei cz S. Она совпадает с
первоначальным отображением л: 5 ->- Р^. В самом деле, с одной стороны,
гиперплоское сечение поверхности 5 с Р* есть —Ks, т. е.
двойственно к каноническому расслоению над 5, поэтому собственные
прообразы в S гиперплоских сечений S, проходящих через Р,
являются элементами | —A'g'l, и мы получаем, что
Лр= 1-К^.
S
с другой стороны, мы уже видели, что 2K's = л* {—2Н). Так
как S рациональна и, значит, Pic S = IP {S, Z) не имеет
кручения, то K's — л* (—Я), т. е.
л = 1_К^ = Лр.
S
Поэтому кривая ветвления проекции 5 с Р* из точки Р есть
первоначальная квартика В.
В итоге мы получаем, что каждая гладкая кривая четвертой
степени в Р^ имеет ровно 28 двойных касательных и/или прямых
гиперперегиба.
иересечение двух квадрик в Р*
Напомним, что, как мы видели в разделе о грассманианах,
множество прямых, лежащих на квадрике Q cz Р", представлено
циклом Шуберта 4-a2i в грассманиане G (2, п + 1) прямых в Р".
В частности, это наводит на мысль, что общее пересечение двух
квадрик Q, Q' cz Р* содержит
(4ff2i'4a2i)c(2.6 =16

588 Гл. 4. Поверхности
прямых. Мы покажем, что это действительно так для любого
гладкого пересечения ^ П ^'•
Пусть Q и Q' — две квадратичные гиперповерхности в Р*,
трансверсально пересекающиеся по поверхности S. Прежде всего
по формуле присоединения имеем
KQ = iKp. + Q)\Q^-3H\Q,
Ks = iKQ + Q')\s=^H\s.
В частности, с* = Н-Н = deg 5 = 4 и, так как К в отрицательно,
Ри {S) = Р, (5) = 0.
Далее, Q — положительный дивизор на Р*, а 5 — положительный
дивизор на Q, так что по теореме Лефшеца
IV- (S, Z) = т ((?, г) = IP- (р*, Z) = 0.
Отсюда q (S) = О, и, согласно критерию Кастельнуово — Энрик-
веса, поверхность S рациональна. По формуле Нётера
откуда Са (5) = % (S) = 8. Далее, так как Ks отрицательно, то
для любой неприводимой кривой D ш& S
Ks-D < О, откуда D-D > —1.
По нашей классификационной теореме для рациональных
поверхностей S является раздутием Р^ в 5 различных точках. Кроме
того, никакие 3 из этих точек не коллинеарны, так как иначе
собственный прообраз в S соединяющей их прямой имел бы индекс
самопересечения <—1.
Пусть теперь Е^, . . ., Е^ — пять исключительных дивизоров
на раздутии, Ltj — собственные прообразы в S прямых Lij —
= PiPj с Р^ и с — собственный прообраз в S коники С а Р^,
проходящей через все 5 точек. Так как гиперплоское сечение Н
поверхности 5 с Р* задается как
H=-Ks = n*{3Ifp2)-Ei-...-Es,
мы получаем
ErH=-ErEt=i,
Lij-H = 3 (Lij-Hps) — 2 = 1,
C-H=3(C-Hp2)-5 = i,
т. е. Ei, Li) и С являются прямыми на S. Обратно, если D Ф
Ф Eic S — прямая, то D может пересекать прямые Et лишь

4. Рациональные поверхности II 589
ПО ОДНОЙ точке, откуда следует, что ее образ л (D) cz Р^ является
гладкой рациональной кривой, а значит, либо прямой, либо кони-
жой. Если л {D) — прямая, то
i^H-D^n{D)-Hpi-D-Y<Ei = ?>-D-YiEi,
так что D пересекает два исключительньгх дивизора Ei^ т. е.
л {D) содержит две точки pt ж D = Lij для некоторых i и /.
Аналогично, если л (D) — коника, то
так что л {D) содержит все пять точек р-^, . . ., р^, т. е. Z) = С.
Поэтому Et, Li J и С суть все прямые на 5, и 5 содержит ровно
5 + 10 + 1 = 16 прямых, как и ожидалось.
Заметим, что каждая прямая на S пересекает ровно 5 других
прямых на S: прямая С пересекает 5 прямых {£'г}ь прямая Et
пересекает прямую С и 4 прямые {Ltj}j, а прямая Ь^ пересекает
2 прямые Ei ж Е} ш д прямые {1,й_;}ьф{,5_гф{,5-.
Мы утверждаем, что и обратно, если р^, . . ., р^ — любые
5 точек на плоскости, никакие 3 из которых не коллинеарны,
и-5—» Р^ — раздутие Р^ в этих точках, то линейная система
I —Ks I = |.л* (ЗЯра) —Ei — ... — Ei\ вкладывает 5 в Р*
как пересечение двух квадрик. Прежде всего заметим, что если
Рв ^ S — любая точка, лежащая вне прообраза л~^С коники
С с Р^, проходящей через р^, . . ., р^, то рассуждения,
проведенные в начале раздела о кубических поверхностях в § 1,
показывают, что собственный прообраз в раздутии S поверхности S
в Ре линейной системы кривых/) 6 I —Kg |, проходящих через рв,
вкладывает S как кубику в Р*; поэтому тем более полная
линейная система | —Ks \ вкладывает S как поверхность четвертой
степени в Р*. Далее, так как —2Ks положительно, то по теореме
Кодаиры об обращении в нуль
IP (S, О (-2Ks)) = IP (S, Q^ {-3Ks)) = 0,
и аналогично
IP {S, О {-2Ks)) = IP {S, Q^ (-3Ks)) = 0.
По теореме Римана — Poxa
hOi-2Ks) = i + ^^~^^^^'^~^^^^~^^~^^^^-^^^ = i + 3Ks-Ks = i3.
Однако линейная система | 2Н \ на Р* имеет размерность[ , )~
— 1 == 14; так как ее ограничение на S имеет размерность 13 —

590 Гл. 4. Поверхности
— 1 = 12, то S должна лежать в пересечении двух квадрик
в Р*, а значит, совпадать с ним.
Заметим также, что 16 прямых на пересечении S двух
квадрик Q, Q' можно найти, исходя из наших знаний о кубических
поверхностях в Р*. Пусть р ^ S — точка, не лежащая на прямых
в S; проектирование из р на гиперплоскость Р* дает тогда
голоморфное отображение
Лр-. 5-^Рз
раздутия S поверхности S в точке р. На самом деле это вложение:
если бы какая-то прямая L в Р*, проходящая через р, пересекала
S дважды вне точки р, она имела бы 3 точки пересечения с
квадриками Q и Q' ж лежала бы на S; мы же предположили, что р не
лежит на прямых в S. Образ Лр (§) является гладкой кубикой
и содержит 27 прямых Lt, включая образ исключительного
дивизора Е ж& S. Для каждой прямой L Ф Пр (Е) cz Пр (S) прообраз
L в S будет
1) либо прямой на S, если L не пересекается с Лр (Е);
2) либо кониной на S, если L пересекает Лр (Е).
Как мы уже видели ранее, ровно 10 прямых на Пр (S) пересекают
Пр (Е), откуда следует, что S содержит 27 — 1 — 10 = 16 прямых.
5. НЕКОТОРЫЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Отображение Альбанезе
В этом параграфе мы обсудим общую классификацию
поверхностей и вкратце опишем некоторые основные типы
поверхностей, отличных от рациональных. Поверхности будут
классифицироваться по значениям бирациональных инвариантов, и мы
часто будем предполагать, что наши поверхности минимальны,
т. е. не содержат исключительных кривых первого рода.
Основное новое средство, которое при этом используется,—
многообразие Альбанезе Alb (S) и отображение Альбанезе
.и: S -> Alb (5)
поверхности S. Напомним (см. конец § 6 гл. 2), что Alb (S) =
= VIA, где V = Н" {S, Q^)*, а Л — линейные функции,
полученные интегрированием по циклам из JTi (5, Z). В явном виде,
если Til, • • •, 'Цд — базис голоморфных 1-форм на 5, то F s С,
а Л — решетка векторов вида
(Jt]i---. Ji1g), УеН,{8,

5. Некоторые иррациональные поверхности 591
Отображение ц определяется так: мы выбираем базисную точку
Pff и для р ^ S полагаем
р р
Ц(Р)=(5 111. •••. 5%)-
Ро Ро
Как и в случае кривых, отображение ц индуцирует
изоморфизмы
fx»: Hi (S, й)/(кручение) -^ ^j {А, Z)
и
а значит, изоморфизм
PicO (А) = Ю (Л, Oj,)IH' {А, Ъ) ^ т {S, OsVH' {S, 1) = Pic» (S).
Иррациональные линейчатые поверхности
В § 3 этой главы были определены рациональные линейчатые
поверхности как голоморфные Р^-расслоения над Р^. Аналогично
определим иррациональную линейчатую поверхность как голо-
морфное Р ^-расслоение S ~^ Е над иррациональной кривой Е.
Отметим прежде всего, что для такой поверхности
гомоморфизм обратного образа W* на голоморфных 1-формах инъективен.
Обратно, так как слои С отображения W рациональны, любая
1-форма Т1 на 5 ограничивается до нулевой формы на слоях.
Значит, Т1 является обратным образом некоторой 1-формы на Ег
в окрестности любого слоя ^ выберем точку р^ и положим
Ро
Функция /, будучи постоянной вдоль (связных) слоев W, является
обратным образом функции g, определенной в открытом
множестве в Е, и можно написать
Т1 = ^П, I = dg.
Поскольку Т1 однозначно определяет |, | определена на всем Е^
Значит, отображение
является изоморфизмом; в частности, иррегулярность q (S)
поверхности S равна роду кривой Е.

592 Гл, 4. Поверхности
Во-вторых, слои с отображения W имеют индекс
самопересечения О, и по формуле присоединения К-С = —2. Но так как
€-С = О, то любая эффективная кривая на S имеет неотрицатель-
лый индекс пересечения с С. Отсюда следует, что никакое
кратное К не может быть эффективным, т. е.
Рт (S) = О для всех т.
Далее, так как S является Р^-расслоением над кривой рода
qiS), то
Х(5) = 2.х(£)=4-4д,
и из формулы Нётера
С? + С2
следует, что
К.К = 8 — 8д.
Наконец, из спектральной последовательности Лере или из
точной гомотопической последовательности расслоения мы видим, что
отображение
является изоморфизмом. Отсюда следует, что многообразие Альба-
незе для S есть в точности многообразие Якоби для Е, а
отображение Альбанезе S ->- Alb (S) есть композиция W с естественным
отображением ]i,: Е -^f (Е).
Мы не собираемся углубляться в геометрию линейчатых
поверхностей. Предыдущий анализ рациональных линейчатых
поверхностей применим к иррациональньш линейчатым
поверхностям лишь в одном аспекте: как и раньше, линейчатая
поверхность S -^ Е является проективным расслоением,
ассоциированным с векторным расслоением ранга 2 на Е. На этом аналогия
кончается — в этом случае уже не любое векторное расслоение
«сть прямая сумма линейных расслоений. Более подробное
изучение линейчатых поверхностей потребовало бы более обширных
сведений о векторных расслоениях на кривых, чем у нас есть.
Однако следует помнить, что геометрия линейчатой поверхности,
по существу, есть отражение геометрии базисной кривой.
Остаток этого раздела мы посвятим двум численным критериям
линейчатости поверхности S. Первый из них — это следующая
Теорема Кастельнуово — де Франчиса. Если гюверхностъ S
минимальная, т. е. не содержит исключительных кривых первого
рода, и если % (S) < О, то S — иррациональная линейчатая
поверхность.

5. Некоторые иррациональные поверхности 593
Доказательство. Мы начнем с доказательства следующей
леммы.
Лемма. Пусть S — минимальная поверхность, Е — кривая
и л: S -^ Е — голоморфное отображение, обилий слой которого
неприводим и рационален. Тогда S является Р^-расслоением
над Е.
Доказательство. Мы покажем, что S -^ Е жь имеет приводимых
слоев; так как все слои л имеют нулевой виртуальный род, то
отсюда будет следовать, что все слои гладкие. Те же рассуждения,
что и для рациональных линейчатых поверхностей, показывают
тогда, что S есть Р^-расслоение.
Предположим, что л имеет приводимый слой,
C=2"i^f> ni>Q, Ci неприводимы.
Тогда можно написать
и, так как все слои связны (поскольку общий слой неприводим
и, следовательно, связен), последний член строго положителен.
Отсюда CfCi <Z0 для всех i. С другой стороны,
я(0= ^•^ + ^•^+1 = 0,
так что
К-С = -2,
и, значит, K-Ci^ < О для некоторого ig. Таким образом, кривая
С{„ имеет отрицательный индекс пересечения как с собой, так
и с каноническим расслоением, и поэтому является
исключительной кривой первого рода. П
Теперь, чтобы доказать теорему Кастельнуово — де Франчиса,
нам нужно предъявить отображение л: S -^ Е, обпщй слой
которого неприводим и рационален. Сделаем это за два шага: сначала
найдем л, предполагая, что на S есть две независимые
голоморфные 1-формы с нулевым внешним произведением; затем вернемся
назад и покажем, что каждая поверхность с х (5) < О имеет две
такие формы. В дальнейшем при доказательстве первого
утверждения полезно представлять себе действительную картину: для
линейчатой поверхности S —> Е любые две 1-формы являются
обратными образами форм ■ц-^ и tij на Е. Отношение / — i1i/ti2
задает в таком случае отображение Е на Р^, и слои композиции
л': S -^ Е -^ Р^ состоят из комбинаций слоев л. Кривая Е
восстанавливается как множество связных компонент слоев л'.
7~0200

594 Гл- 4. Поверхности
Итак, предположим, что ©i, ©а 6 И^ {S, Q^) — линейно
независимые формы и ©] л ©2 ^ 0. Тогда векторы ©, (р), ©2 (р) 6
^ Гр (S) линейно зависимы в каждой точке р ^ S, и позтому
©1 = /©2 для некоторой глобальной мероморфной функции /
на S\ так как ©^ и ©2 линейно независимы, эта функция /
непостоянна.
В малом полидиске А вокруг точки Ро ^ S можно положить
Р V
^(P)=(J«)„ J©^).
Ре Рь
Тогда, так как ©^ л «2 ^ О, якобиан отображения W имеет
ранг 1 для общей точки р, и поэтому его образ является
аналитической дугой С в С^. Далее, если дуга С задается в окрестности
начала координат как множество нулей голоморфной функции
g (Zi, Z2), то
1-'^'(Ш)
Так как / локально является обратным образом мероморфной
функции на кривой С, то дивизоры нулей и полюсов f не
пересекаются, и, значит, / задает голоморфное, а не только рациональное
отображение я': S-^V^ со слоями Cj^ = я'~■^ (1) = (/ — Ц^.
Слои п могут быть (и действительно будут) приводимыми; по
теореме Бертини неприводимые компоненты общей кривой С^
не пересекаются и
С%. = Су,^х-\- ... +С,,,„,
где Cjt,i связны и для общего к неприводимы и
C},,i-Cxj = 0 при 1ф].
Так как, разумеется, Cx-Cx,i = О, то и
Рассмотрим множество Е = {C)^j})^j связных компонент
кривых в пучке {С)^}. Оно является разветвленным накрытием Р*
при помощи к и поэтому наследует структуру алгебраической
кривой. Интуитивно это ясно; формальное доказательство этого
факта основано на двух замечаниях: все кривые Cj^,; (взятые
с естественной кратностью) гомологичны, и только конечное число
пар Cjt,i и Cy,j линейно эквивалентны. Первое следует из того
факта, что кривые {C^j})^^i должны составлять связное
семейство: если бы пары (К, i) можно было разбить на два семейства
А ж В, то поверхность
'У = ( и C^,i)[]{ и С^,г)

5. Некоторые иррациональные поверхности 595
также была бы приводимой. Чтобы доказать второе, заметим, что
если две общие компоненты C},j и Cp,j линейно эквивалентны,
то они порождают пучок кривых {Da}. Каждая кривая C^^j
должна тогда пересекать одну из D^ и поэтому лежать в Da-
Поэтому пучок {Da} совпадает с пучком {С},}, а Cj^,; и Cp,j
составляют целые слои С},, С^. Но общая кривая Сх имеет две или
больше связных компонент, и поэтому имеется лшпь конечное
число таких слоев. Можно, стало быть, выбрать Я^д, i^ и определить
Е' czS X Pic» (S),
полагая
Е' = {{р,8): peCx,i и [Cx,i-CK,u]-8}-
Десингуляризация Е кривой Е' и будет искомой кривой.
Далее, отображение я': S-*-P^ пропускается через Е при
помощи отображения
я: S-^E,
переводящего точку р в пару (Я,, i), такую, что р ^ C^j- Слои
Cx,i отображения я неприводимы, и формы ю^ и ©а тождественно
обращаются в нуль на всех слоях я. Как и выше, отсюда следует,
что ©1 и ©2 являются обратными образами 1-форм i^^, TI2 с базы Е.
Так как Е имеет по крайней мере две 1-формы г\-^ и tij, то
g{E}^2 и х(^)<0.
В конце предпоследнего раздела § 2 было получено неравенство
X{S)^X{E)-%iF)
для эйлеровой характеристики поверхности S, отображенной
на кривую Е с обпщм слоем F\ из % (S) <сО следует, что слои я
имеют положительную эйлерову характеристику и, значит,
должны быть рациональными кривыми. Отсюда мы получаем, что S —
линейчатая поверхность.
Для завершения доказательства теоремы Кастельнуово —
де Франчиса нужно показать, что любая поверхность iS с % (iS) < О
содержит две независимые 1-формы с внешним произведением,
тождественно равным нулю. Для этого заметим, что, согласно
разложению Ходжа,
4д = 2 + 2р, + А1.1 _ X (5) > 2р, -Ь 3 - X (5).
Отсюда
В частности, g ^ 2, ибо если бы q равнялось 1, то отображение
Альбанезе переводило бы 5 в зллиптическую кривую, и тогда
7*

596 ^ Гл. 4. Поверхности
ПО упомянутому выше неравенству эйлерова характеристика S
была бы неотрицательна. СледовательнОт S содержит по крайней
мере две 1-формы ©i, ©а-
Далее, так как Ях (S) имеет в качестве фактора по крайней
мере группу Z, то для любого т можно построить т-листное
накрытие п: S -у S; S наследует из S структуру алгебраической
поверхности. Тогда
X(S) = m-%{S),
и, взяв т достаточно больпгам, можно считать, что % (S) ^ —5.
Рассмотрим теперь отображение
задаваемое внешним умножением. Ядро отображения р имеет
коразмерность не больше
С другой стороны, конус разложимых векторов
имеет размерность 2q (S) — 3 и поэтому должен пересекать ядро р.
Значит, S содержит две независимые 1-формы с нулевым
произведением, и по первой части доказательства S бирационально
изоморфно линейчатой поверхности. Но на линейчатой поверхности
любые две 1-формы имеют нулевое внешнее произведение; в
частности, внешнее произведение я*©1 и я*©2 тождественно равно
нулю, откуда следует, что произведение ©i и ©j также равно
нулю. П
Заметим еще, что если мы возьмем любую поверхность S
с X i'S) < О и, стягивая, дойдем до минимальной поверхности iSq»
то x{So) ^x{S)<0 и поэтому
Любая поверхность с % {S) < О является раздутием линей-
чатлй поверхности.
Имеется еще один похожий критерий линейчатости
поверхности.
Теорема. Если S минимальна и с\ (S) < О, то S —
иррациональная линейчатая поверхность.
Доказательство. Начнем со следующего утверждения.
Лемма. Если S минимальна и Р^ (S) ф О для некоторого т,

б. Некоторые иррациональные поверхности 597
щ- е. если некоторое кратное тК канонического дивизора на S
линейно эквивалентно эффективному дивизору D, тл cj (iS) ^ 0.
Доказательство. Запишем
где П{ > О и Di неприводимы. Предположим, что К-К
отрицательно; тогда
R-mK = R-^ntDi<:0=^K-Di<:0 для некоторого i.
Но тогда
0>K.ntDi=ntDrDi + J] n,DjDi>niDiDt,
так что Di'Di <сО в. Di — исключительная кривая первого рода,
что противоречит минимальности S. □
Итак, мы видим, что если S минимальна и cj {S) < О, то
Рт (S) = О для всех /?г и, в частности, Ро {S) = Ре {S) = 0.
Если бы иррегулярность q {S) была равна нулю, то S была бы
рациональной поверхностью, причем либо линейчатой, либо Р*;
в обоих случаях cj (iS) положительно. Поэтому q (S) > О, и так
как pg (S) — О, то отображение Альбанезе '^: S -^ А1Ь {S)
переводит S в кривую Е CZ А1Ь (S). Пусть теперь я: Е -^ Е — десин-
гуляризация Е. Отображение
W =^n-^cW: S^E
определено вне дивизора W~^ (Е^) я& S ш задается (в терминах
локальной координаты z вблизи точки р £ я"■^ {Eg)) ограниченной
голоморфной функцией; поэтому, согласно теореме Римана о
продолжении, отображение W продолжается на все S. Заметим, что
так ^taK все голоморфные 1-формы на S индуцируются при
помощи Ч*" с А1Ь (S) (и, значит, при помощи W с Е), то Е должна иметь
род по меньшей мере q. С другой стороны, отображение обратного
образа
¥*: Н<>{Е, Q'e)^IP{S, Qh)
инъективно, откуда следует, что род Е равен q.
Мы утверждаем теперь, что обпщй слой отображения W: S -^ Е
неприводим. Для этого заметим, что общий слой зтого
отображения является гладким (применяем теорему Бертини к прообразу
{W* {D}^)} пучка {D^} я& Е), и поэтому, если общий слой
приводим, он имеет более одной связной компоненты. Снова пользуясь
конструкцией, использованной в доказательстве предыдущей тео-

598 Гл. 4. Поверхности
ремы, пропустим отображение Ч*" через кривую Fy состоящую из
множества всех связных компонент слоев ¥:
Если Е имеет род g ^ 2 или если а разветвлено, то по формуле
Римана — Гурвица
g{F)=m{q-i) + i + bl<l> q,
где b — число точек ветвления а, а. т — число листов. Это
противоречит инъективности Y'* на 1-формах. С другой стороны, если
g = 1 и отображение а не разветвлено, то образ
а^ [Ну (F, Щ CZ Е, (Е, Z)
имеет положительный индекс, что противоречит тому, что
сквозное отображение
%: Hi(5',Z)M4eHHe^H,(F,Z) -^Hi(E.Z) -^H,(Alb(S),Z)
{II III ill
/2 J2 Jl
является изоморфизмом. Значит, степень а не может быть
больше 1 и общие слои отображения W неприводимы.
Теперь наша цель — показать, что слои отображения Ч^
рациональны; используя тогда лемму из доказательства теоремы Кас-
тельнуово — де Франчиса, мы полу^гим линейчатость S. Первый
шаг к этому — следующая
Лемма. Если с\ (S) < О, то S содержит неприводимую
кривую D, имеющую неотрицательный индекс самопересечения и отри-
цат£лън1лй индекс пересечения с К.
Доказательство. Прежде всего так как jfiT • jfiT < О, то по
теореме об индексе форма пересечения имеет положительное
собственное значение на ортогональном дополнении К^ к
каноническому классу в Н^<^ {S, %), т. е. можно найти класс дивизоров
D^ на S, для которого
Di-Z ■-= О, Z?i-Z)i>0.

5. Некоторые иррациональные поверхности 599
По формуле Римана — Роха для всех т
А» (toZ?i) Ч-А» (^:-mZ),)>l-g + ^^^-%^ ;
поэтому при больших т либо mD^, либо К — mD^ будет
эффективным. Так как К-{К — mD-^ = К-К отрицательно, то в последнем
случае можно взять D^ — К — mD^. С другой стороны, если
тВ^ эффективен, мы применим формулу Римана — Роха к
дивизору mDx -\- К ж получим
А» (toZ?i-Ь Я)-ь fe» (- wZ?i) > 1 - g-Ь-^^^-^^.
Так как тВ^ эффективен, А" (—mD^ = О и, следовательно,
mDi -J- К эффективен. Далее, (mDx -\- К) ■ К <С (), поэтому можно
взять Z?2 = mDi -J- jfiT. В любом случае мы получаем эффективную
кривую Z?2 с D^-K^O; поэтому некоторая неприводимая
компонента D дивизора Z?2 имеет отрицательный индекс пересечения
с К. Остается заметить, что, так как D-K <С0 ж S минимальна,
Z)-Z?>0. D
Предположим теперь, что слои отображения Ч' иррациональны
и имеют род g. Пусть D — неприводимая кривая яа S с D-K <сО;
рассмотрим линейные системы
.\D + пК \, п = О, 1, 2, . . . .
Эти системы обрываются: при больших п
D-iD +пК)<0;
однако D неприводима и имеет положительный индекс
самопересечения, поэтому ее индекс пересечения с любым эффективным
дивизором на S неотрицателен. Следовательно, можно найти
такое п, что
А» {D + пК) > 1, А» {D + {п + 1) К) = 0.
Пусть G — общая кривая в системе | D -J- пК |; так как
GK =DK + пК.К<0,
то некоторая неприводимая компонента Go кривой G имеет
отрицательный индекс пересечения с К. Покажем теперь, что Gq
не может содержаться в слое С отображения W: если написать
С = 2 JhCt, то
Кривая С связна, так что последний член строго положителен и
Ci-Ci<.0 для всех i.

600 Гл- 4- Поверхности
Так как S не содержит исключительных кривых первого рода, то
C,--jK^O для всех i.
Таким образом, все компоненты, слоев отображения Ч имеют
неотрицательный индекс пересечения с К; ъ частности, наша
кривая Go не может лежать в слое и должна иметь положительный
индекс пересечения к = G^-C с С.
Теперь рассуждение разделяется на два случая.
Случай 1: q^ 2. Рассмотрим Gq как /с-листное накрытие Е,
W: Go -^ Е; если оно имеет b точек ветвления, то по теореме
Римана — Гурвица
я (G„) = kiq-i) + l + 6/2,
и, в частности, если /с ^ 2, то я (Gq) > д. В этом слз^ае из
последовательности вычета Пуанкаре
О
и формулы
мы получаем.
Но
что
O^QI
hPiQh,
А»
^Q|(G„)^Qb.^
,) = я(G„)>A^(^l)
(ЯЫе,))фО.
А» (QI (Go)) = ho{K + GoX А» {K + G) = hO{D + {n+l)K) = 0.
Поэтому Go должно иметь индекс пересечения 1 с С и биголоморф-
но отображаться на Е. Заметим, что так как
я(Go) = g и Go-K<0,
то
Go-Go > 2g - 2.
Пусть теперь С},ж С}. — два различных общих слоя отображения
W: S^E ж
^1 = Go + Cjt — С},.
Тогда Gi гомологично Go и по формуле Римана — Роха
так что дивизор Gj эффективен. С другой стороны, так как Go
и Gi гомологичны, но линейно не эквивалентны, то G^ не может
содержать Go- Поэтому как G^, так и Go пересекают общий слой С
по одной точке, причем эти точки различны. Наконец,
ограничение на С линейных расслоений [Cj^l и [Су] тривиально, [GJ \с =

5. Некоторые иррациональные поверхности 601
= [Gq] 1с. поэтому точки Gq-C mGi-C линейно эквивалентны на С г
что противоречит предположению об иррациональности С.
Случай 2: q ^ i. Здесь напш предыдущие рассуждения
него дятся: а priori Go могло бы оказаться многолистным неразвет-
вленным накрытием Е — и поэтому нам нужно применить более
тонкий подход. Из предыдущего можно заключить, что я (G^) =
= g = 1. Запишем
G^-K =—d, d>0;
тогда по формуле присоединения G^-Gq = d. Фиксируем точку
Я,о 6 -Ё* и для каждого X ^ Е положим Gj^ = Go + Cj^ — С},^~
Тогда Gjt снова гомологично Go и по теореме Римана — Роха
h'iG^)>i-q+ G,-G,--G,.K ^^.
в частности, дивизор &% эффективен. Заметим, что на самом деле-
должно выполняться равенство А" [Gy) = d. Так как ни одна
кривая в системе | Gj^ | не может содержать Go, то | Gj^ | высекает
на Go линейную систему степени d и размерности h" (Gj^) — 1г
если бы h" {G}) было больше d, то отсюда следовала бы
рациональность Go.
Выберем теперь d — 1 общих точек pi, . . ., p^-i на S. Для
общей точки К ^ Е существует единственная кривая в системе
I Gjt I, проходящая через точки pi; обозначим ее Е},. Для двух
общих точек К, К' ^ Е кривые ^j^ и Ну пересекаются в d точках;,
эти точки состоят жз pi, . . ., ^?d-] и дополнительной точки,
которую мы обозначим Q {X, X'). Заметим, что точки Q {X, X')
заполняют поверхность S, так как ее заполняют кривые {Н)^}^, а для
каждой Н}, дивизоры
Q{X, X')-Q(X, Г)=(Яг-А^Й|я^^(Сг-СЙ|я,
заполняют Pic" (Н)^). Рассмотрим теперь эллиптическую кривую Е
как группу с нулем в Я,о и для каждого \i ^ Е положим
F^=U Q{X, ]х-к).
Точки Ffi параметризуются факторпространством Е по инволюцив
Я, »->■ fi — Я, и а priori i^p, могла бы быть либо точкой, либо
рациональной кривой. Однако точки {Q {X, \i — Я,)}цд заполняют S,
откуда следует, что F^^ для общего ]х ^ Е есть рациональная
кривая. Поэтому S содержит однопараметрическое семейство
рациональных кривых; так как рациональная кривая на S лежит
в слое W, а обпщй слой неприводим, то это также невозможно. D
Заметим, что по формуле Нётера
X(0s) = l-g4-P, = ^

■602 Гл. 4. Поверхности
если голоморфная эйлерова характеристика % (Cg) поверхности S
отрицательна, то отрицательно cj или с^. Таким образом, имеется
третий критерий линейчатости.
Теорема. Если поверхность S минимальна и х (©s) < 0> ''W
S линейчатая.
Коротко об эллиптических поверхностях
Эллиптическая поверхность с базой Е — это поверхность S
и отображение Y: S ^- Е на кривую Е, общий слой которого
является неприводимой эллиптической кривой. Эллиптические
поверхности составляют более разнообразный класс, нежели
-линейчатые: во-первых, в то время как все слои линейчатой
поверхности неприводимые и гладкие, зллиптическая
поверхность может иметь особые, приводилпае и/или кратные слои;
во-вторых, если все слои линейчатой поверхности изоморфны один
другому, то комплексная структура на слоях эллиптической
поверхности может меняться от слоя к слою. При этом возникает много
вопросов — например, какие конфигурации кривых могут быть
приводимыми слоями и как они сказываются на глобальной
геометрии поверхности; какие возможны вариации комплексных
структур слоя, особенно вблизи особых слоев. Ответы на них
и красивы, и в большинстве доступны, однако в настоящей
изложении мы не можем полностью осветить их и отсылаем
заинтересованного читателя к статьям Кодаиры ^). Все же одно явление,
связанное с эллиптическими поверхностями,— возможность
существования кратных слоев — так непохоже на то, с чем мы
встречались до сих пор, что заслуживает некоторого обсуждения.
Объясним прежде всего, что такое кратный слой. Если W: S -^
—^ Е — голоморфное отображение поверхности S на кривую Е,
то для общей точки р ^Е обратный образ W*z локальной
координаты гта.& Е с центром в р имеет нуль первого порядка вдоль слоя
W~^ (р). Слой С = ^~^ (р) отображения Y, вдоль которого
обратный образ локальной координаты z в р ^ Е обращается в нуль
порядка /?г ^ 2, называется кратным слоем кратности т.
(Точнее, если слой С = 2 Cj приводим и W*z имеет нуль порядка п,-
вдоль Ci, будем говорить, что С — кратный слой, когда
наибольший общий делитель щ равен т ^ 2.) Отметим несколько свойств
кратного слоя Ср.
^) К. Kodaira, On compact complex analytic surfaces, I — III, Ann,
-Math., 71, № 1 (1960), 111-152; 77, № 3 (1963), 563—626; 78, № 1 (1963).
Л—40.

5. Некоторые иррациональные поверхности 603
1. Так как дивизоры Cj^ = {W* (z — X)) на S гомологичны,
включая {W*z) = тСр, мы видим, что тСр гомологично общему
слою С отображения Y. В частности,
Ср.Ср^О и Ср-К = ^С-К.
2. Если 7- Д —>- 5 — голоморфная дуга, трансверсально
пересекающая кратный слой Ср ъ у (0), то обратный образ 7*^*2
обращается в нуль порядка /?г в 0; поэтому Ч*" о у представляет А
локально как т-листное накрытие его образа ъ Е с точкой
ветвления кратности /?г в 0. В частности, у (А) пересекает каждый
слой вблизи Ср не один, а т раз. Вообще, если 7 (А) пересекает
Ср с кратностью /с, то ¥ о у представляет А как /спг-листное
накрытие его образа, вполне разветвленное в О, и 7 (А) пересекает km раз
слои вблизи Ср.
Далее, легко видеть, что если общий слой отображения ^•. S -^
->- Е рационален, то никакой слой Ср не может быть кратным:
иначе было бы
Ср.Ср = 0 и СрК = —21т,
что противоречит хотя бы целочисленности виртуального рода
я [Ср)- Если общий слой W имеет род g ^ 2, то отсюда же видно,
что кратность т кратного слоя Ср должна делить g — 1, и род Ср
будет g' = i + (g — 1)//?г < g- Если же ¥; S -у Е —
эллиптическая поверхность, то W может иметь кратные слои любой
кратности, и все они будут иметь род 1.
Можно следующим образом построить отображение W: S ^- А
открытой поверхности S в единичный диск А с: С с кратным
слоем в 0. Пусть F — эллиптическая кривая, заданная как фактор
комплексной плоскости С с координатой w по модулю решетки
Л = {1, т). Пусть Z — координата в диске А; рассмотрим
автоморфизм
ф: А X F-^A xF,
ф(2, U?)= ^e2"'/m.z, W-\--—\.
Он имеет порядок т,, и ни одна его степень ф* не имеет
неподвижных точек. Пз'^сть S — факторпространство А X i^ по группе
п
{ф'} И Д X F-^ S — факторотображение. Отображение
Tf': А X i^ -^ Д, (Z, w)^ !^
пропускается через S и дает отображение
Ч: S^ А,

604 Гл. 4. Поверхности
все СЛОИ Сх = ^~^ Я) которого — эллиптические кривые. Если
Я, 5"^ О 6 А, то дивизор я*С я, состоит из т эллиптических кривых
{{е} X F: е*" = К}, взятых по одному разу, в то время как
дивизор п*Со состоит из одной кривой {0} X F, взятой с
кратностью 1, тйк как отображение п не разветвлено. Поэтому Со
является кратным слоем Т кратности т.
Вообще, можно следующим образом изменять эллиптическун>
поверхность W^,: iSp -^ JE, создавая кратные слои. Возьмем
точку р ^ Е с гладким и не кратным слоем Ср. Пусть U — малый диск
вокруг;?, такой, что ^о не имеет особых слоев над U, z —
локальная координата на [/ с центром в точке р, такая, что U =
= {I Z I < 1}, и пусть 2о = ^1^ (U). Возьмем сечение а
отображения ¥о, т. е. отображение а: U -^ 5о, такое, что ^о о а = id,
и для каждого z ^ U рассмотрим слой С^ как группу с а (z) ^ С^
в качестве нулевого элемента. Точки порядка т в слоях С^
образуют неразветвленное накрытие над U и распадаются на
непересекающиеся дуги; выберем одну из них и обозначим р.
Эллиптическая кривая Ct может быть реализована как факторпростран-
ство С по модулю penteTKH {1, т (z)), причем а (z) соответствует
началу координат, а P;(z) — точке 1/пг. Для комплексного числа t
пусть f • р (z) обозначает точку С^, соответствующую точке tlm £ С
Определим теперь 2 с: Д Х So как
2 =={(№, г): zir)=iir}.
Заметим, что проекция и?: 2 ->- А делает 2 эллиптической
поверхностью над А и что слои над точками w и е^лг/тц, естественно
отождествляются со слоями С^т отображения W^; в соответствии
с этим мы можем определить автоморфизм ф поверхности 2,
полагая
ф(и?, r) = (e2"Vmu?, r + ^{w"')).
Факторпространство 2i поверхности 2 по конечной группе
{ф'} становится, как и в предыдущем примере, эллиптической
поверхностью над А при помощи отображения W^ {w, г) = w™ = z
со слоем кратности т над и? = 0. Более того, слои С^
отображения Wy над Z изоморфны слоям исходной поверхности S над z.
На самом деле обратный образ Ч'"' (А — {0}) проколотого диска
в 1,1 и обратный образ W~^ {U — {0}) изоморфны как зллиптиче-
ские поверхности, причем изоморфизм задается отображением
а: 2i->-S'o, индзщированным отображением
а:2->5о, {w, г) ^ г + [ ^ ^_. log w) -р (ц;")

5. Некоторые иррациональные поверхности 605
вне слоев над ()., Поэтому можно приклеить к 5'о новую
поверхность 2i вместо первоначальной 2 о, т. е. можно взять
5. = (5„-¥-'(0))UaS.
и получить эллиптическую поверхность iSi -^ Е, изоморфную S^,
вне Ср = W~^ (0) и имеющую слой кратности т над р.
Эта операция замены обыкновенного слоя эллиптической
поверхности кратным называется логарифмическим
преобразованием; она была введена Кодаирой. Сделаем одно предупреждение:
если Si получена иэ So логарифмическим преобразованием в слое
€р, то иэ приведенных формул видно, что при иэоморфиэме
So-Cp^Si- Ср, Ср = Wl^ (0),
кривая в ^о, трансверсальная к слою Ср, может перейти в кривую
на S-i — Ср, имеющую существенную особенность вдоль Ср.
Поэтому замкнутые кривые на S^, и S^ связаны очень слабо;
может даже случиться, что S^ алгебраическая, & Si — нет, и
наоборот.
Главный факт о кратных слоях содержится в следующей
лемме.
Леима. Если В — гладкий кратный слой кратности т на
эллиптической поверхности W: S -^ Е, тю нормальное расслоение
^B/s = 1-^1 \б к в имеет, порядок ровно т в Pic" (В).
Доказательство. Довольно ясно, что нормальное расслоение
к В имеет порядок т: расслоения {[¥* (р)] IbIpeb образуют
непрерывное семейство, тривиальное при р ф q ^W (В) и,
следовательно, тривиальное при всех р, включая Y* {q) = [тВ].
Чтобы убедиться, что порядок N^/b в точности равен т, выберем
локальную координату ы; на ^ с центром ъ q = W {В) и покрытие
и = {Ua} окрестности U кривой В ъ S малыми полидисками.
Так как функция ¥*ы? имеет нуль порядка т вдоль В, на
каждом и а можно извлечь корень пг-й степени из W*iv, т. е. найти
голоморфную функпрю z„ на Ua, такую, что z^ = W*w. При этом
z„ = e2"*W'«.zp в и^пи,
для некоторых ка^ ^ {О, i, . . ., т — 1}.
Так как z„ имеют нуль первого порядка вдоль В в Ua, то
1-форма dZa, ограниченная на В, дает ненулевое сечение конор-
мального пучка Nb/s в В П Ua', функции перехода для Nb/s
задаются при этом постоянными функциями
dzJdzp^e^'^'W"*.

606 Гл. 4. Поверхности
Предположим, что d-я степень N'b/s (а значит, d-я степень
{N%isf) тривиальна. Тогда коцикл
(e'ap = e""*«P^'"}eZi(B, С*)
является кограницей т. е. можно найти такие константы 1^ € С*,
что для всех а, Р
Можно нормализовать Z„ условием Z, = 1; тогда из последнего
уравнения следует, что все la, являются корнями из 1 степени mid.
Пусть теперь z'a = la'^- Фз^нкции zi £ 0 (Ua) согласованы на
перекрытиях С/ц П U^ ж позтому определяют функцию z' ^ О (U)
с z"" = W*w^. Кроме того, функция z', будучи постоянной вдоль
слоев W, в действительности индуцирована функцией и/ в
окрестности точки q на Е, удовлетворяющей условию и>"" = w^. Так
как w^ имеет нуль порядка ровно d в точке q, то d = m-ordg (u?')
делится на т. Таким образом, Nb/s тривиально тогда и только
тогда, когда т делит d. D
Доказательство леммы подсказывает способ обращения
логарифмического преобразования; мы приведем лишь набросок такой
конструкции, оставляя детали читателю. Пусть В — гладкий
слой кратности т расслоения Wi. Si-^ Е, С/ = {| и? | < 1} с:
zdE — окрестность Wi (В) и 2] = ^1^ (U)- Рассмотрим
множество 2 пар (р, Za), где р — точка 2^ с: S-i, а z^ —
функциональный злемент в окрестности р, удовлетворяющий z" = W*w.
Из доказательства леммы видно, что 2 есть связное неразвет-
вленное пг-листное накрытие 2^, и отображение
2 ^А
представляет 2 как эллиптическую поверхность над диском без
кратных слоев: при Хф О слой z~^ (К) взаимно однозначно
отображается на слой Ч*""' {X"') поверхности S-i, в то время как z~^ (0)
образует пг-листное накрытие кратного слоя В. Возьмем теперь
дугу 7 в Si, трансверсальную к В; у образует пг-листное накрытие
ее образа в Е, вполне разветвленное над 0. Прообраз у ъ I, состоит
из тп разделенных дуг, каждая из которых трансверсально
пересекает слои Za- Выберем одну из этих компонент и обозначим
ее у; пусть ф^, — изоморфизм
Фя: z-4^)->z-i(e2'4M.A,),
состоящий из естественного отождествления
Z-* (Я) ^ W-^ (Я,") ^ Z-1 (eZni/™. к)

5. Некоторые иррациональные поверхности 607"
В КОМПОЗИЦИИ со сдвигом и переводящий 7•z~■^ (к) в y-z~^ {e^■^^'"^^X).^
Тогда автоморфизм ф поверхности 2, заданный формулой
имеет порядок т и не имеет неподвижных точек вне z~^ (0), где
он тождествен. Факторпространство Sq поверхности 2 по группе
{ф'} становится снова эллиптической поверхностью при помощи
отображения гг' = z" и не имеет кратных слоев; более того,
дополнение к и>~^ (0) в 2о изоморфно дополнению к ¥;;' (0) в 2i. Поэтому
можно, приклеивая 2о к 5^ — ^]^'(0)i получить поверхность S^,^
изоморфную Si вне Wl^ (0) и имеющую некратный слой над q ^Е.
Читатель может убедиться, что эта операция обратна к логариф-^
мическому преобразованию ^о (при подходящих а и р), и тем
самым показать, что любая эллиптическая поверхность с гладкими
кратными слоями может быть получена из эллиптической
поверхности без кратных слоев посредством логарифмических
преобразований.
Перейдем теперь к главному пункту нашего анализа
эллиптических поверхностей — к формуле для канонического дивизора^
Мы рассмотрим здесь эллиптическую поверхность W: S -^ Е, все
кратные слои которой гладкие. Все наши формулы остаются
верными и в общем случае, однако доказательство существенно-
усложняется.
Пусть Cj^j, . . ., Cj^n — общие слои W. Рассмотрим
отображение вычета Пуанкаре
Образ Я» (5, й| (2 Ся.)) в Я» (е Q^^p = ф Я» (С^., Qh^.) ^ С
имеет коразмерность не больше h^ {S, Q%) = q{S); поэтому
n
В частности, при больших п дивизор К -\- '^ С},, линейно экви-
валентен эффективному дивизору D. Далее, любой слой С на 5'
имеет индекс самопересечения О и, следовательно, по формуле
присоединения, нулевой индекс пересечения с К. Соответственно
и дивизор D имеет нулевой индекс пересечения с каждым слоем
1=1

€08 Гл. 4. Поверхности
И поэтому должен быть линейной комбинацией слоев или
компонент слоев. Мы утверждаем, что если D содержит компоненту
приводимого слоя С, то он содержит и весь слой. Чтобы показать
это, разложим С на неприводимые компоненты С = 2 "г^г
л напишем
D = D'^-^,miCi,
где D' не пересекает С. Согласно стандартным аргументам
^стр. 593), каждая компонента С,- кривой С имеет строго
отрицательный индекс самопересечения; считая, что S не содержит
исключительных кривых первого рода, мы получаем K-Ci'^Q
для всех i. Напишем К = D — ^ С^А тогда для каждого i
2j nijCfC]^—TTiiCi-Ci.
Далее,
и
мы
0 = C.Ci
= niCi
получаем неравенство
— ntCi
■Ci
■Ci
с I
mi
= для B(
nt
Отсюда следует, что все отношения mt-'ni равны. Поэтому если
«лой С не кратный (т. е. коэффициенты Пг не имеют общего
делителя), то D содержит целиком весь слой С = 2 "i^J ^ некоторой
кратностью.
Итак, мы видим, что канонический дивизор можно записать
в виде
т. е. как обратный образ дивизора D я& Е плюс линейная
комбинация кратных слоев В{ поверхности S. Если В, имеет
кратность mi, то мы можем любые целые кратные miBi включить в D;
поэтому можно считать, что
О ^ р,- ^ пг,- — 1.
Это определяет р^: по формуле присоединения
к^^ = [к + Bi] ц = [(р,- + 1) дJ Uf = о,
я так как расслоение [S,] \^ имеет период в точности тпи то
p^ = irii — 1, т. е.

5. Некоторые иррациональные поверхности 609
K = W*D + ^{mt-i)Bi.
Наконец, найдем степень d дивизора D. Для этого мы двумя
способами вычислим h° (К -\- ^ Сц) для п общих слоев C),^, . . .
. . ., Cj,„ на S, пользуясь формулой Римана — Роха на Е, а затем
на S. Заметим прежде всего, что, так как
дивизор 2 ("^i — 1) Bi является неподвижной компонентой
системы \K-\-^Ci.\. Поэтому для больших п
= degZ) + n-g(^ + l
согласно формуле Римана — Роха на Е. С другой стороны, по
формуле Римана — Роха на S
A«{/i:+I]cg-A4^+Scg=x(0s),
так как A^^ + S С;.^)-АЧ-1] Ся,)=0, ж К-С^.^^С^^-Сц = 0.
Проблема заключается в нахождении A*(jK + S ^^.j)- Для этого
рассмотрим последовательность
Из длинной точной последовательности когомологий
О^Я» (5, ©s(-2 c^i))-^ я» {S, Gs) ^ е Я» (с,^, 0с,р ^
связанной с этой последовательностью, мы видим, что
' h^{S,Q{K + ^Ci.)) = h4,S,G{-^C^>i) = Q-i + n + k,
где /с обозначает размерность ядра отображения Е^ (S, ©s)-^
->- ФЯ^ (Cj, , ©с, )) индуцированного ограничением. Для вычис-
Ленин к заметим, что благодаря функториальности изоморфизма
8-0200

610 Гл. 4. Поверхности
Дольбо, т. е. благодаря коммутативности диаграммы
II II
это в точности число голоморфных 1-форм на S, ограничение
которых на каждый слой C^^ тождественно равно нулю.
Если г\ — любая 1-форма на 5 с ti |с, ^ О, то ограничение г\
на любой гладкий слой Су_ дает нулевой класс в когомологиях де
Рама С-^ и, значит, является нулевой формой. Поэтому если
1-форма обращается в нуль на одном слое 5, то она тождественно
обращается в нуль на всех слоях и, согласно предыдущим
рассуждениям (стр. 591), индуцируется с базы Е. С другой стороны,
обратный образ Ч*(й любой 1-формы © на £" обращается в нуль
на каждом слое ¥. Поэтому число 1-форм на S, исчезающих на
кривых Сц, равно роду g кривой Еу и мы получаем
Комбинируя это с формулой для /i" (jK -Ь S ^3i.)> полученной
из формулы Римана — Роха на Е, мы видим, что
и, следовательно,
degZ) =2g'-2 + x(Cs)-
Окончательно мы получаем следующий факт.
Каноническое расслоение К на эллиптической поверхности
Ч'. S —*- Е с кратными слоями Bt кратности mt имеет вид
K = W*D+y,{mi-i)Bi,
где degD = 2g (Е) ^ 2 + % (©в).
Заметим, что подходящее кратное тК расслоения К всегда
является обратным образом некоторого расслоения с базой Е
степени. . ,
mi — 1
:,m.(2?-2-bx<Cs)+E^)

5. Некоторые иррациональные поверхности 611
Размерность Кодаиры и теорема о
классглфикации I
Грубо говоря, алгебраические кривые распадаются на три
класса — рода О, рода 1 и рода g > 2 — в зависимости от того,
имеет ли каноническое расслоение кривой отрицательную,
нулевую или положительную степень. Пытаясь подобным образом
классифицировать поверхности, можно рассмотреть поведение
их канонических расслоений. Разумеется, для поверхностей нет
полного аналога понятия степени линейного расслоения на кривой;
кроме того, мало рассматривать размерность только линейной
системы \ К \: как мы видели при обсуждении эллиптических
поверхностей, бывают поверхности, для которых дивизор,
кратный jK^, эффективен и отличен от нуля, хотя р^ = 0. В самом деле,
возьмём факторпространство квинтики Ферма
по группе автоморфизмов без неподвижных точек, порожденной
автоморфизмом
, ф [Хо, Хи Х^, Хг] = [Хо, e2"i/bZ„ e4"V5X2, e^^^il^X^].
Мы получим поверхность S (называемую поверхностью Годо), на
которой каноническое расслоение положительно, но не имеет
сечений. Поэтому мы рассматриваем не только размерность
линейной системы \ К I, но и все кратные роды Рт {S) = h° {S, О {тК)).
Грубо говоря, возможны четыре типа поведения
последовательности Р„ {S).
1. Может случиться — как, например, для рациональной
поверхности,— что Pjn {S) = О для всех т. Будем говорить, что
такая поверхность имеет размерность Кодаиры —1.
2. Цредполагая, что Р^ (5) Ф О для некоторых т, можно
спросить: ограничены ли числа Р^п {S)7 Если это так, то они
должны быть либо О, либо 1 для всех т. В самом деле, если для
некоторого т расслоение тК имеет два линейно независимых
глобальных голоморфных сечения о и т, то расслоение mnjfiT будет
обладать по крайней мер? п -Ь 1 независимыми сечениями
а", 0"-^ ® т, . . ., 0 (8) т"-!, т".
Поверхность, кратные ррды которой ограничены, но не все равны
нулю, имеет размерность Кодаиры 0.
3. .Если последовательность Pjn {S) неограничена, нр Pm(S) ^
^€-т д;ля некоторой.крнстанты с, то будем говорить, что^У имеет
размерность Кодаиры 1.
4. Наконец, если последовательность Р^ {S)Im неограничена,
^дей 1^вЬрйтЬу''адо'й^'ймёёт раз^риосщ^ 2, или что
S — поверхность общего типа.
8»

612 Гл. 4. Поверхности
Размерность Кодаиры поверхности S, обычно обозначаемую
X (5), можно понимать также либо как уменьшенную на 1
степень трансцендентности над С поля частных (градуированного)
кратноканонического кольца
ф IP{S,e (тК)),
Либо как размерность образа S при рациональном отображении,
задаваемом линейной системой | тК \ при большом т (или —1,
если отображение не определено, т. е. линейная система | тК |
пуста для всех т).
Например, как мы уже видели, любая линейчатая
поверхность W: S-^ Е имеет размерность Кодаиры —1. Напротив,
эллиптическая поверхность Y: S -^ Е может иметь размерность
Кодаиры —1, О или 1. В самом деле, если {Bt} — кратные слои Ч'
кратности nii в. т — общее кратное mi, то тКв = W*L для
некоторого линейного расслоения L-*- Е степени
deg {L) = m[2g-2+%{Gs)+y, ^^) ,
где g — род кривой Е. Ясно, что размерность Кодаиры iS равна
—1, если
а 1, если
Если же deg {L) = О, то размерность Кодаиры поверхности S
равна —1 или О в зависимости от того, является ли некоторая
степень L тривиальным расслоением или нет (как мы увидим позже,
deg (L) = О влечет за собой L" ^ О для некоторого га). Отметим
факт, несколько неожиданно вытекающий из нашего описания
канонического расслоения на эллиптической поверхности 5: если
K'D >■ О для некоторой эффективной кривой!) на S (в частности,
если некоторое кратное К эффективно и отлично от нуля), то
X {S) = 1.
Вариант теоремы о классификации поверхностей, которую мы
вдесь докажем, содержит подробное описание поверхностей с
размерностью Кодаиры —1, О и 1. Описание поверхностей
общего типа еще не обладает полной завершенностью. Начнем
со сравнительно легкого случая х = -Ь1 и докажем следзпющее
утверждение.
Любая поверхность S с размерностью Кодаиры 1
эллиптическая.

5. Некоторые иррациональные поверхности 613
Доказательство довольно прямое. Заметим прежде всего, что
если S минимальна и х (iS) = О или 1, то cj (S) = 0. В самом деле,
если с1 (S) <. О, то S линейчатая, а если cj (S) > О, то по формуле
Римана — Роха
h°{mK) + h'i-{m-i)K)>'^^'^^~'^^'^ +%{в)>>-^т^
для больших т, так что либо k" {—(т — i) К) '^ О — в. в этом
случае х (5) = —1, либо h" (тК) ^ cfm^/A, т. е. х (5) = 2.
Лемма. Если некоторая кратность D = тК канонического
расслоения на минимальной поверхности эффективна и D-D = 0,
тл для любой неприводимой компоненты, Di дивизора D
выполняются условия
K-Di = 0, Di-Dt = 0 или —2.
Доказат£лъстео, Напишем
D — ^niDi, П|>0, Z)j неприводимы;
тогда для каждого I
Отсюда следует, что K-Di ^ О для каждого i, так как иначе Dt
была бы исключительной кривой первого рода. Далее, из
уравнения
мы видим, что в действительности K-Dt = О для всех i, и,
значит, Di-Di ^ {т/щ) K-Di = О должно равняться либо О, либо
—2 для каждого г. Каждая компонента Z)j является либо
рациональной, либо эллишияеской. П
Заметим, что лемма применима также к любой кривой,
гомологичной некоторому кратному К.
Применим эту лемму к описанию поверхностей S с к (S) = i.
Для некоторого т линейная система | тК | содергкит пучок
{Dt^}, и по лемме все компоненты каждой кривой D^
эллиптические или рациональные. Так как рациональные компоненты
имеют отрицательный индекс самопересечения, то они не могут
варьироваться. Поэтому если F — неподвижная часть пучка
{D^}, то обпщй элемент пучка {Z)j, = D^^ — F) будет содержать

614 Гл. 4. Поверхности
ЛИШЬ элляптические компоненты Di, . , ., Z)x„. Поскольку все
компоненты D ^ имеют нулевое пересечение с ^, а значит, и с i?;;,, то
^D^-D^^.F.F^D^-D^ = 0^).
Так как D'x меняются в пучке без неподвижных компонент, то
^x-jDx ^ О; таким образом, D't,-D'x = 0. Наконец, по лемме
Di.^-Di.1 = 0; так как, очевидно, D^.-DL'^O при i^j, мы
получаем, что D'x,i -D'x — О при любых i и /, т. е. справедливо
следующее утверждение.
Пучок {Di) не имеет базисных точек, и его общий элемент
состоит из нескольких непересекающихся эллиптических
кривых.
При помощи конструкции, изложенной при доказательстве
теоремы Кастельнуово — де Франчиса (стр. 594), отображение
я: S -*- Р^, определяемое пучком {D'x), пропускается через
кривую Е = {D'x,}x,u состоящую из связных компонент кривых
пучка {D'x),
Общие слои л' являются неприводимыми эллиптическими
кривыми, поэтому, S — эллиптическая поверхность. D
Между прочим, эти же рассуждения показывают, что
минимальная поверхность S с К-К = О же может иметь размерность
Кодаиры 2: если Рт (S) > 1 для некоторого т, то S —
эллиптическая и X (S) ^ 1.
Теперь рассмотрим поверхности с размерностью Кодаиры —1.
Мы докажем, что
Минимальная поверхность S с к {S) = —1 либо
линейчатая, либо Р*.
Большая часть работы, нужной для доказательства этого
утверждения, уже проделана: если g (5) = О, то по теореме
Кастельнуово — Энриквеса из § 4 обращение в нуль Р^ {S)
влечет за собой рациональность S, а тогда, согласно § 3, из
минимальности S мы получаем, что поверхность S рациональная
линейчатая или Р*. С другой стороны, если с\ {S) или с^ {S) отри-
^) Так как D^.F = О, то F-F = —F-Dx < О в силу подвижности D'x.—
Прим. черев.

5. Некоторые иррациональные поверхности 615
цательно, то S снова линейчатая; поэтому можно считать их
неотрицательньши. Но в таком случае
т. е.
с? = Сг = 5С(08) = О и д(5) = 1.
Пусть S — поверхность с такими числовыми
характеристиками, и предположим, что S не линейчатая. Изучим геометрию S;
наша главная цель — показать, что /*„ (S) Ф О при некотором т.
Начнем с некоторых общих замечаний. Прежде всего,
отображение Альбанезе W: S -*- Е отображает S на эллиптическую
кривую Е; предполагая, что S не линейчатая, мы получаем, что слои W
имеют род g ^ 1. Так как, кроме того, % (S) = О, то по формуле
на стр. 545 все слои W должны быть гладкими неприводимыми
кривыми рода g ^). В частности, S не содержит рациональных
кривых, так как любая такая кривая должна лежать в слое
отображения Альбанезе. Кроме того, так как S не линейчатая, то,
согласно рассуждениям на стр. 599, S не содержит эффективных
кривых, отрицательно пересекающихся с каноническим
расслоением. Отсюда вытекает следующая основная
Лемма. Если D — любая кривая на S с
K'D =D-D =0,
то D состоит из набора непересекающихся гладких эллиптических
кривых Di, которые тлкже удовлетворяют условию DfDi =
= K'Di = 0.
Доказательство. Оно не трудное: эаписывая Z) = 2 ^iDt,
мы видим, что так как индексы пересечения Di с К
неотрицательны и
K-D^'ZntK.Dt = 0,
то K-Di =0 для всех i.
Затем, так как S не содержит рациональных кривых, то
DfDi^O для всех i,
и из неравенства
0 = Z).Z)=y, rafDj.Dj + S niUjDfDj^'^inWi-Di^O
следует, что
DfDj = О для всех i, j,
'■) Неприводимость общего слоя Y доказана на стр. 597.— Прим. перев.

616 Гл. 4- Поверхности
И, стало быть, кривые Dt не пересекаются. Наконец, так как S
не содержит рациональных кривых, любая неприводимая кривая
виртуального рода л; = 1 на 5 является гладкой. П
Главная цель нашего исследования S — показать, что S —
эллиптическая поверхность с рациональной базой. Это достигается
за три шага: сначала мы покажем> что 5 должна содержать
эллиптическую кривую, трансверсальнзгю к слоям С отображения Y,
затем, что она содержит две такие кривые и они не пересекаются,
и, наконец, что она содержит эллиптический пучок, трансверсаль-
ный к слоям Y.
Шаг 1. S содержит неприводимую кривую F с K-F = F-F = О,
F-C>0, трансверсалъную к слоям Y.
Это наиболее трудная часть доказательства. Здесь
используются два разных подхода в зависимости от того, равен 1 или больше 1
род g слоев отображения Альбанезе.
Случай 1. g "^ 2. В этом случае мы покажем, что S содержит
эффективную кривую, гомологичную 2К; согласно последней
лемме, любая компонента такой кривой будет эллиптической
и, как мы увидим, трансверсальной к слоям.
Заметим прежде всего, что так как слои С}, отображения Y
имеют нулевой индекс самопересечения, то по формуле
присоединения
K-C), = 2g -2.
Для каждого % ^ Е рассмотрим линейную систему | 2К + С}, \-
Так как
h^ {2К + СО = Л« {-К - С)) < Л« (-К) = О,
то по формуле Римана — Роха
fe«(2Z + C,)> (^^+^'-Н^+^^^) =3g-3.
С другой стороны, линейное расслоение [2К -f Cj,] на 5
ограничивается до биканонического расслоения 2Кс^ на любом слое
Со, и по формуле Римана — Роха для кривых
Л«(С„, 0c„(2^c„)) = 3g'-3.
Если бы для некоторого % отображение ограничения
п: но (S, Os {2К + С,)) -^ Н^ (С„, О^ (2^со))
не было инъективным, то дивизор 2К + Cj, — Со был бы
эффективным, что нам и нужно. С другой стороны, предположим, что
отображения rj, инъективны (и, следовательно, являются
изоморфизмами) при всех X. В этом случае, если мы выберем произволь-

5. Некоторые иррациональные поверхности 617
ный дивизор Z) = Pi -f . • . + jPig-i в биканонической системе
I 2Ксо I, то для любого 'к найдется единственная кривая Z);^
из системы I 2К + Су,\, высекающая на Со дивизор D.
Рассмотрим отношение инцидентности
1<^Е X S, !={{%, р): р 6 D^}.
Поскольку кривые D}, различны, образ / при проекции л;^ на 5
не может быть кривой; так как / компактно, отсюда следует, что
я^: I -^ S сюръективно. Поэтому для любой точки Q 6 Со, Q ф Ри
существует некоторая кривая В-^, содержащая Q. Однако Dj,
содержит еще 4g — 4 точек Р^, . . ., Pig-* на Со, поэтому 2)»,
содержит Со, и мы получаем нужную нам эффективную кривую
F = Z);, _ Со € I 2Z + С;, - Со |.
Случай 2: слои отображения Альбанезе имеют род ^ = 1.
Заметим прежде всего, что если отображение Альбанезе 'Ч: S -^у- Е
имеет кратный слой, то по формуле для канонического класса на
эллиптической поверхности S имеет размерность Кодаиры 1.
Предположим поэтому, что Y не имеет кратных слоев. В
частности, это означает, что канонический класс S гомологичен нулю.
Пусть Я — любая кривая на S, имеющая положительный индекс
пересечения т со слоями С% отображения Y. На каждом слое С^
рассмотрим множество точек
{1^, с= С^: [тр\] = [Я] |с, € Pic (CJ}.
Поскольку отображение
Е -^ Pic» {Е) ^ Е, р >-* Imp — mpf,]
есть просто умножение на m в группе Е, то существует ровно т^
точек {ph} на каждом слое С}^, отличающихся друг,от друга на
точку т-то порядка. Кривая
^= и {^'^}
X, i
В таком случае будет неразветвленным т*-листным накрытием Е^
а каждая ее компонента Ft будет эллиптической кривой. Так как
К гомологично нулю, то K-Fi =0 и, следовательно, FfFi = О,,
что нам и надо.
Два других шага докаэываются одинаково при g = 1 и при
g>2.
Шаг 2. S содержит две непересекающиеся неприводимые
эллиптические кривые F и F', удовлетворяющие условиям K-F =
~ K-F' = О, F-C > О, F' -С >0 и трансверсалъные к слоям Y.
Одна такая кривая F была найдена на первом шаге. Для всех п
[пК + nF] |р. = пКр = О,

618 Гл. 4. Поверхности
поэтому имеем точную последовательность
0-^Os{nK + (n — i) Р)^вв (пК + nF)^Op-^0.
При га > 2
h^ {пК Ч- (га — 1) F) = ^° (—(га — i) F - {п — i) К) = О
и аналогично
Л« {пК + raF) = fe« {-nF — (n — i)K)= 0.
Однако h^ (Gp) = 1, откуда следует, что h^ (пК + nF) ^ 1.
Согласно формуле Римана — Роха,
hO (пК + nF) = i'^«+'^P){{n-^) K+nF) ^^^^^^_^^^, ^^^_^^^^^ _
= Ai(raZ+nF)>l,
так что дивизор пК + nF эквивалентен эффективной кривой G„.
Заметим, что G„ не может быть просто кратным F при всех га:
если, например,
G„ = raZ + «F = mF,
G„+i = (га + 1) Z + (га + 1) F = m'F,
TO
К ^ (m' — m — i)F.
Ho так как G„+i-C> G„-C, m' > m, отсюда следовало бы, что
Pg Ф 0. Поэтому некоторая G„ содержит компоненту F', отличную
от F; по нашей лемме F' — эллиптическая кривая с K-F' =0.
Наконец, так как G„-F = F'-F = О, то F' не пересекается с F,
и так как F -С > О, то F' трансверсальна к слоям С отображения Y.
Шаг 3. S — эллиптическая с рациональной базой.
Пусть F ж F' — две непересекающиеся эллиптические кривые,
найденные ранее. Тогда
12К + 2F + 2F'] \р = 12К + 2F] \р = 2Z^, ^ О
и то же самое верно для F'; рассмотрим последовательность
С -^ 0S (2Z Ч- F Ч- F') ^ ©s (2^ + 2F + 2F') -^Орф Ор.^0.
Мы имеем
h^ {2К + F + F') = ho {-К - F - F') = О,
и то же самое верно для А* {2К + 2F + 2F'),' так как
Л* (Of е ©у.) = Л* (Оу) + А* (©i..) =2,

5. Некоторые иррациональные поверхности 619
ТО h^ {2К + 2F + 2F') ^ 2. Согласно формуле Римана — Роха,
Л0{2К + 2Р + 2Р')= i^«+2F+2F'nK+2F+2F') ^
+ XiOs) + h^i2K + 2F + 2F') = h^{2K + 2F + 2F')^2,
-t. е. система \2К -\- 2F + 2F' | содержит по крайней мере пучок
{G},}. По основной лемме перед шагом 1 каждая кривая G}^ состоит
из набора непересекаюпщхся эллиптических кривых; применяя
«ще раз конструкцию из доказательства теоремы Кастельнуово,
мы получаем отображение
зЛв
поверхности S на кривую В, состоящую из всех компонент кривых
{G},}; поэтому поверхность S эллиптическая. Наконец, так как
Сг),-Р = F-F = О, то каждая компонента G^, либо совпадает,
либо не пересекается с F и поэтому трансверсальна слоям Y.
База В эллиптического пучка на S должна быть рациональной.
В противном случае можно было бы поднять голоморфную 1-фор-
siy с 5 на 5 и получить 1-форму на 5, не обращающуюся в нуль
вдоль слоев Y.
После того как мы представили S в виде эллиптической
поверхности я: 5 -^ Р^ с рациональной базой, доказательство
завершается без труда. Если слои С отображения Альбанезе Y
поверхности S имеют род g'^2, то каноническое расслоение К в имеет
положительный индекс пересечения с С, и из эллиптичности 5
мы заключаем, что х (5) = 1. С другой стороны, если слои W
имеют род 1, то, как мы унад видели, каноническое расслоение
на S гомологично нулю; однако некоторое кратное Ks является
полным прообразом л*Ь линейного расслоения L на Р^, и L,
нмея нулевую степень, тривиально; значит, х (S) = 0. Это
завершает доказательство утверждения о том, что минимальная
поверхность S с размерностью Кодаиры —1 линейчатая.
В действительности можно доказать чуть больше, а именно
имеет место следующая
Теорема Эвриквеса. Минимальная поверхность S с P^ (S) =
= i'e (S) = О является линейчатой или совпадает с Р*.
Доказательство, Утверждение верно при g (5) = О и g (5) ^
> 2. Если же g (5) = 1 и iS не линейчатая, то, как мы уже видели,
1) либо отображение Альбанезе Т поверхности S имеет
эллиптические слои, причем некоторые из них кратные;
2) либо поверхность S эллиптическая с рациональной базой.

620 Гл. 4- Поверхности
В случае 1), применяя формулу для канонического
расслоения на эллиптической поверхности Y: S ■^' Е, получаем
где degZ) = 0; поэтому
2^8 = 2'F*D + 2 (2wi, - 2) 5г =
Первый член этого выражения является обратным образом
дивизора положительной степени на £ и поэтому эффективен. Значит,
дивизор 2Ks эффективен и Р^ {S) Ф 0.
Рассмотрим теперь второй случай. Пусть п: S -уР^ —
представление S в виде эллиптической поверхности с базой Р^. Пусть
В — общий слой я, Bi, . . ., 5ft — кратные слои л; и Шг, . . .
. . ., TWft — их кратности. Тогда
Zs=-25-f2 К--1)5г,
1=1
и так как х (S) ^ О, то справедливо неравенство
1=1
причем равенство достигается при х (5) = О (заметим, что,
согласно (*), к"^ 3). Упорядочим слои Bi так, чтобы mi ^
^ wig ^ . . . ^ wift, и рассмотрим отдельно четыре случая:
1) А; > 4;
2) А; = 3, wix = 2, тпг = 3; в этом случае, в силу (*), должно
быть mg ^ 6;
3) А; = 3, тпх = 2, т^'^т^^ 4;
4) А; = 3, тз ^ /Wg ^ 7% ^ 3.
В случае 1) дивизор
ft
2Zs=-454-2 (2m,-2)5,=
1=1
ft
= -45-f2 m,5i4-S(w,-2)5i>y.(mj-2)5,>0
i=l
эффективен, так что P^ (S) ^^б: 0. В случае 4) имеем
3Zs = - 65-f 2 (Зпг, — 3) 5,-=
= -65-f22mi5i-f2(Wi-3)5i>S('Ki-3)5,>0,

5. Некоторые иррациональные поверхности 621
так что Рз {S) =7^ 0. В случае 3)
AKs = -85 + 4Bi + (4m2 - 4) 5, + (4тз - 4) Бз =
= -65 + Ът^В^ + ЗтзБз + К _ 4) 5^ + (из - 4) Бз =
= (7712 - 4) 5г + (771з - 4) Бз > О,
так что ^4 {S) Ф 0. Наконец, в случае 2)
6Zs = —125 + 6Б1 + 12Б2 + (67713 — 6) Бз =
= -5Б Ч- 5771зБз + (W3 — 6) Бз = К - 6) Бз > О,
так что Ре (<S^) ¥= 0.
В любом из этих случаев либо Р4 {^) Ф О, либо Р^ (S) Ф О,
что и доказывает теорему Энриквеса. П
Заметим, что существует ровно четыре набора целых чисел
TOj ^ 2, для которых неравенство (*) превращается в равенство:
это
(2, 2, 2, 2,), (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3).
Ниже мы увидим, что каждый из этих наборов действительно
представляет кратности некоторой нелинейчатой эллиптической
поверхности с рациональной базой, так что теорема Энриквеса в этом
смысле не улучшаема.
Теорема о классификации II
Для завершения теоремы о классификации мы обсудим теперь
поверхности с размерностью Кодаиры О и покажем, что имеется
четыре различных типа таких поверхностей. Предварительно
сделаем два замечания: во-первых, как отмечалось на стр. 613,
минимальная поверхность S с к (S) = О должна иметь с\ (S) = 0;
во-вторых, поскольку % {Оs)'^0 VL pg (S) ^i, иррегулярность
д (S) может принимать значения О, 1 или 2. Рассмотрим эти
случаи.
Случай 1: q = 0. В этом случае имеются две возможности,
либо pg = О, либо pg = 1. Рассмотрим их отдельно.
Случай 1а: q = О, pg = i. В этом случае X (®s) = 2 и по
формуле Римана — Роха для 2К
hO{2K) + h<^{-K)> 2/Г.2/Г-2/Г-/Г д,у(0^)^2.
Так как h" (2К) = 1, то дивизор —К должен быть эффективным;
так как и ^, и —К эффективны, то каноническое расслоение К
поверхности S должно быть тривиальным. Поверхность с такими
иввариантами: q = О и К ^ О — называется КЗ-тюверхностъю;

622 Гл. 4. Поверхности
позже мы отдельно остановимся на описании таких
поверхностей.
Случай lb: q = О, pg = 0. Так как g (5) = О и 5 имеет
размерность Кодаиры О, то по теореме Кастельнуово — Энриквеса
Pi (S) = 1. Применяя формулу Римана — Роха к ЪК, получаем
Л« (Ш) + Л« i-2K) > X (©s) = 1-
Но h" (ЗК) должно равняться нулю. В самом деле, мы знаем, что
существует ненулевое глобальное сечение о расслоения 2Ку
если бы сзш1,ествовало нетривиальное сечение т расслоения ЗК^
то, так как Рд (S) ^ 1, мы имели бы
а' = Х-т* для некоторого X g С.
Тогда если о обращается в нуль порядка к вдоль некоторой
кривой С, то т обращается в нуль порядка Зк/2, и поэтому т/а было бы
глобальным голоморфным сечением К. Итак, Л" (ЗК) = О и по
формуле Римана — Роха Л" (—2^) ^ 0. Как и раньше,
получаем, что расслоение 2Ks тривиально. Поверхность с такими
числовыми характеристиками: g = Pg = О и 2К ^ О —
называется поверхностью Энриквеса. Мы уже встречались с примером
такой поверхности в § 4 этой главы; подробнее мы обсудим их
в конце этого параграфа.
Случай 2: q =^ 2. Докажем следующее утверждение.
Любая алгебраическая поверхность S cq = 2 и размерностью
Кодаиры О является абелевым многообразием.
Заметим прежде всего, что так как % (О g) неотрицательно,
то pg = 1. Пусть Tji, Tjg — образующие пространства
голоморфных 1-форм на S. Если бы внешнее произведение f\i л т)^
тождественно равнялось нулю, то отображение Альбанезе Y
переводило бы iS в кривую рода 2; так как х (S) = О я S пв линейчатая,
слои Y имели бы род 1. Но мы уже видели, что эллиптическая
поверхность над базой рода g^2 имеет размерность Кодаиры 1.
Поэтому предположение х (S) = О означает, что внешнее
произведение (О = T)i л т)2 является образующей пространства
IP (S, Q|).
Рассмотрим теперь отображение Альбанезе Y поверхности S
на двумерное абелево многообразие А = Alb (S). Якобиан Y
обращается в нуль в точности там, где формы t)i и Tjg зависимы, т. е. на
каноническом дивизоре D = (со = t)i л т)^); выясним, что это
за множество. '
Прежде всего отвергнем возможность, что образ D в А имеет
нулевую размерность. Если бы это было так, то отображение
- rs-D^A-Y{D) '

5. Некоторые иррациональные поверхности 623
было бы неразветвленным. Так как
III (Л - ¥ (D)) = III (А) ^ Z*
и III (iS — D) сюръективно отображается на я^ (S), то из
изоморфизма
Hi {S, г)/кручение -^Нг{А, Ч)
следовало бы, что W однолистно, т. е. Y — бирациональное
отображение. Но тогда, согласно структурной теореме для бирацио-
нальных отображений (§ 2 этой главы), Y должно быть
стягиванием, что противоречит минимальности S.
Итак, если D Ф 0,то его образ в А должен содержать кривую;
рассмотрим и эту возможность. Согласно лемме на стр. 613,
каждая компонента дивизора D либо эллиптическая, либо
рациональная; так как абелево многообразие А не содержит рациональных
кривых, отсюда следует, что D имеет эллиптическую компоненту
Di, причем Е = Y (Di) CZ А снова эллиптическая. Можно выбрать
нулевую точку О ^ А лежащей на £ и рассмотреть отображение
\i: А^ Pic» (А), % ^ [f}, (Е) - Е],
где tJ, — сдвиг на X в группе А. Так как любое отображение между
абелевыми многообразиями с точностью до сдвига является
гомоморфизмом, то Е = W (Di) — подгруппа в Л, и сдвиги на точки
X, 6 Ё оставляют Е на месте. С другой стороны, читатель может
проверить либо непосредственно, либо обращаясь к стр. 341—
343, что [Е] не может оставаться неподвижным при всех сдвигах
на элементы А. Поэтому слои \i одномерны, а образ В = \i (А) —
кривая. В самом деле, так как слой \l над О является подгрзшпой А
и, значит, гладкий, Е образует одну из компонент слоя \i~^ (0).
Используя конструкцию из доказательства теоремы Кастельнуово
(стр. 594), мы получаем отображение
[1: А-^В
абелева многообразия А на (быть может) разветвленное накрытие
В кривой В с Е ъ качестве слоя над некоторой точкой. Беря
композицию }1 с Y, мы получаем отображение 5 на 5 со слоем Z),-.
Снова S — эллиптическая поверхность; но мы уже видели, что
эллиптическая поверхность с эффективным ненулевым
каноническим дивизором имеет размерность Кодаиры 1. Поэтому мы
заключаем, что дивизор D нулевой, т. е. каноническое расслоение 5
тривиально. В таком случае Y является неразветвленным
накрытием, а 5 — абелевым многообразием.
Случай 3: q= 1. Поверхность S с такими характеристиками:
X (S) = О и g (S) = 1 — называется гцперэллиптической, и можно
дать достаточно полное описание таких поверхностей. Начнем

624 Гл. 4- Поверхности
С доказательства того, что геометрический род pg (S) должен быть
нулевым. Для этого заметим, что так как п^ (S) допускает
эпиморфизм на 1, то для любого т можно построить неразветвленное
m-листное накрытие я: S -^ S. Если pg (S) = i, то % {Од) = i я
поэтому
X(0~) = m-x(©s) = m,
Pg{S)>m.
Каждое сечение о g Я* (5, Q~) дает некоторое сечение n^og
^H°{S, 0g(Zs')): так как для p^S ъ любого д6л"*(р) слои
Kg ъ р VL К~ в q естественно изоморфны при помощи я, мы
можем положить
".о (р) = о (9i) ®... ® a(gj 6 ^f^,
где п~^ (р) = {qy, . . ., g„}. Ясно, что сечение п^о не обращается
тождественно в нуль, если о не тождественный нуль. При m ^ 2
можно найти сечение а расслоения К~, обращающееся в нуль
в некоторой точке q ^ S, ж другое сечение т расслоения К-^,
ненулевое в точках п~^ (я (q)); тогда образы л^^о и я^т дают два
независимых сечения Кд®'^, поэтому S должна иметь размерность Ко-
даиры^ 1.
Мы получаем, что для поверхности 5'сх(5') = 0ид = 1
должно быть Pg = О ъ, следовательно, с1 = с^ = 0. Поверхности
с такими числовыми инвариантами уже рассмотрены. В
предыдущем разделе было показано, что для такой поверхности S
слои С}, отображения Альбанезе Y: S -^ Е эллиптические и не
кратные. Кроме того, S содержит пучок {F}^} кривых, трансвер-
сальных к Cj,, имеющий рациональную базу. Пусть F —
некратный элемент второго пучка {F}^}; в произведении S X F
рассмотрим поверхность
5^= {{р, q): ¥ (р) = ¥ (д)}.
Проекция Яг. S -*- S на первый множитель представляет S как
неразветвленное накрытие S; проекция л^: S-^ F представляет S
как эллиптическую поверхность с базой F, снова без кратных или
особых слоев. По нашей формуле для канонического расслоения
на эллиптической поверхности мы можем написать

5. Некоторые иррациональные поверхности 625
где Сх, Су—слоя л^' S-)~F. Положим
F-^{{p,p):peF}czS.
F взаимно однозначно отображаются на F как при Пу, так и при
Яг- Однако теперь
и, следовательно,
Z~=0.
S
Поэтому pg{S) = i, и так как х (0~) = '^Х (®s) =0, то
q{S) = 2.
Наконец, S, как и S, имеет размерность Кодаиры 0: если К^
содержит более одного линейно независимого сечения, мы можем,
как выше, построить два независимых сечения Z®""*. Итак,
S — абелево многообразие.
На самом деле можно утверждать больше. Пусть Со — слой
отображения п^; выберем начало ъ S ъ точке пересечения Со с F.
Тогда можно определить отображения
H.i. S-^F и fig: -^-^^^о,
полагая у^х = п^ и fia (^) = ^х, {F) П Со- Эти отображения дают
изоморфизм
\i: S -^CoXF.
Поэтому мы получаем, что поверхность S с размерностью Кодаиры О
и иррегулярностью 1 является факторпространством
произведения двух эллиптических кривых по конечной группе автоморфизмов
без неподвижные точек.
Построим такие поверхности явно. Пусть F ж С — две
произвольные эллиптические кривые с евклидовыми координатами z
и и?, и предположим, что F задана как фактор С по решетке Л =
= {1, т}. Пусть ^г С -^ С — автоморфизм конечного порядка т,
имеющий неподвижные точки (заметим, что при этих
предположениях факторпространство С по группе {^*} рационально, так
как факторотображение С -^ С!{ ^) разветвлено). Пусть «р —
автоморфизм F X С, определенный как
(р(г, u;) = (z-j--I-, ^(ц;))
9-0200

626 Гл. 4. Поверхности
Тогда ф является автоморфизмом порядка т без неподвижных
точек и факторпространство S пространства F X С по группе
{ф*} есть гладкая алгебраическая поверхность. Так как 1-форма
dz п& F X С инвариантна относительно ф, она спускается до
1-формы на S. С другой стороны, для некоторого к ^1
и так как факторпространство С по группе {^'} или по любой
ее ненулевой подгруппе рационально, то мы получаем, что к
взаимно просто с т. Поэтому формы dw и dz А dw я& F X С не
инвариантны при ф. Так как всякая голоморфная форма на S
поднимается до голоморфной формы п& F X С, инвариантной
относительно ф, то отсюда следует, что
q{S) = i, Pg{S) = 0.
Вообще, так как образующая (dz л dw)'^'^ пространства
Я" {F X С, О (К")) инвариана-на относительно ф тогда и только
тогда, когда т делит га, то
nKij ^ О, если т | га,
пК S Ф О в противном случае.
Заметим, что отображение Альбанезе Y переводит S в
кривую Е = С/{1, т/т} со слоями, изоморфными С, в то время
как второй пучок {Fp} эллиптических кривых на S состоит из
образов на S слоев F х {р} поверхности F X С. В частности, если
р 6 С не является неподвижной точкой никакой степени ^, то
кривая Fp превращается посредством Y в т-листн9е накрытие Е,
пересекающее слой С отображения 'F в точках {^^ {р)}г- С другой
стороны, если q — неподвижная точка относительно подгруппы
в {^'} порядка к, 10 F X {q} А-листно накрывает свой образ
Fq', тогда Fд является кратным слоем кратности к в пучке {Fp},
пересекающим слой С отображения W в т/к точках орбиты {t,^ (g)}.
Приведем четыре конкретных примера этой констр^т^ции.
1. Если С — произвольная эллиптическая кривая, мы возьмем
^ (w) = —W и получим поверхность S с 2Ks ^0, К s Ф 0.
Заметим, что второй эллиптический пучок {Fp} имеет 4 двойных слоя,
соответствующих 4 неподвижным точкам pi автоморфизма ^, как
показано на рис. 6. В этом случае говорят, что S имеет тип !„.
2. Если С — эллиптическая кривая, заданная как фактор С
по решетке Л = {1, i}, то можно взять t, (w) = iw ъ получить
поверхность, для которой дивизор 4ЛГ тривиален, тогда как pg =
= Р2 = 0. Пучок {Fp} на iS имеет два четырехкратных слоя и один
двойной, соответствующие двум неподвижным точкам р^, р^
автоморфизма t, и неподвижной паре/^з, р^ автоморфизма 1^, как
показано на рис. 7. Говорят, что S имеет тип Па.

5. Некоторые иррациональные поверхности
627
3. Если С — эллиптическая кривая С/{1, е™"/з}, то можно
взять t, (w) — e2"i/3 ц;; каноническоб расслоение S имеет
порядок 3. Пучок {Fp} имеет три тройных слоя, соответствующих
Рис. 6
трем неподвижным точкам pi автоморфизма t, на рис. 8. В этом
случае S имеет тип III„.
4. Для той же эллиптической кривой С = С/{1, е"*/^} возьмем
t, (w) = е"'/3ц,; тогда каноническое расслоение S имеет порядок
Рис.8
Рис. 9
в точности 6. Пучок {Fp} имеет один шестикратный слой, один
тройной и один двойной слой, отвечающие соответственно
орбитам (pi), (рг, Ps} и {^4! ^5' Рв} автоморфизма t, (рис. 9).
Заметим, что S является факторпространством поверхности типа Шд
по инволюции; S в таком случае имеет тип II 1б.
Заметим, что кратности кратных слоев поверхностей S,
представленных как эллиптические поверхности с рациональной базой,
в случаях 1—4 равны соответственно (2, 2, 2, 2), (2, 4, 4), (2, 3,
6) и (3, 3, 3), т. е. отвечают 4 решениям уравнения (*) на стр. 620.
Наконец, в эту конструкцию можно ввести дополнительное
скручивание. Пусть С, F, t, ж ф — такие же, как и раньше,
9*

628 Гл. ft. Поверхности
И С': С ->- С — сдвиг порядка га на С, коммутирующий с
автоморфизмом ^ (т. е. сдвиг на неподвижную точку Q. Тогда можно
определить другой автоморфизм F X С, полагая
ф'(2, W)=(z + -^, 1'{W))
Автоморфизмы ф и ф' порождают конечную группу
автоморфизмов F X С без неподвижных точек, и факторпространство S —
= {F X С)/{(р*ф''"} снова будет гиперэллиптической поверхностью:
так как автоморфизм ф', индуцированный ф' на описанном ранее
частичном факторе S = {F X С)/{ф'}, сохраняет все формы
и мультиформы на S, численные инварианты S будут теми же, что
у S. Отображение Альбанезе Y переводит S в кривую Е =
= С/{1/ге, х/т} со слоем С, а элементы второго пучка {Fp} на 5
образуют ге-листные неразветвленные накрытия их образов Fp
на S, составляющих второй эллиптический пучок на 5 с кратными
слоялш, отвечающими кратным слоям {Fp} на S. Опишем в явном
виде, что получается в каждом из рассмотренных 4 случаев.
1. Если ^ (w) = —W, как в случае 1, то в качестве Z,' можно
взять сдвиг на любую точку {pi} порядка 2 в С, например
ф' (г, w) = {Z + 1/2, W + 1/2).
Полученная поверхность S называется поверхностью типа Ift.
2. В случае 2 за 1,' можно принять сдвиг на р^, т. е.
ф'(2, u')= (г-Ьу, w + -^y
Говорят, что S имеет тип lift.
3. В случае 3 за 1,' можно принять сдвиг на любую из точек
Pj, pg, например
ф {z, w)=\^Z+j, Ц^+ -" g: J ;
S называется типа III с-
4. В последнем случае нет нетривиальных сдвигов,
коммутирующих с ^, так что эта конструкция ничего нового не дает.
Итак, мы описали семь классов гиперэллиптических
поверхностей, а именно !„, 1б, Па, Пь, П1а, Шь и 111^. Читатель
может убедиться, исследовав конечные группы автоморфизмов
эллиптических кривых, что мы построили все гиперэллиптические
поверхности.

5. Некоторые иррациональные поверхности 629
В итоге получена следующая
Теорема о классификацви (Энриквес, Кодаира).
1. Минимальная поверхность Sex (S) = — 1 есть либо Р'^,
либо линейчатая поверхность.
2. Минимальная поверхность Sex (S) — О есть
(a) КЗ-поверхность, если q = О и />g = 1;
(b) поверхность Энриквеса, если q ^ О и рg = 0;
(c) гиперэллиптическая поверхность, построенная выше, если
3 = 1;
(d) абелево многообразие, если q = 2.
3. Поверхность Sex (S) = 1 эллиптическая.
КЗ- п оверхнос ти
В заключение этого раздела мы подробнее изучим два типа
поверхностей, встретившихся нам в процессе классификации:
КЗ-поверхности и поверхности Энриквеса.
Прежде всего представим численные характеристики
КЗ-поверхности. По определению,
q{S) = 0 и Ks = 0,
так что Pg {S) = i и Cj (S) = 0. По формуле Римана — Роха
2 = x(0s) = cj/12,
поэтому топологическая зйлерова характеристика
X (S) = 24.
Ромб Ходжа для S имеет вид
I
О о
1 20 I
О О
1
Предположим, что КЗ-поверхность S вложена в Р" и что
S нормальна, т. е. вложение задается полной линейной системой.
Пусть С = H-S — общее гиперплоское сечение S; рассмотрим
стандартную последовательность
O-^es-^0s(C)-^(9c(C)^O.
Так как Ks^O, то по формуле присоединения
Gc{C) = Gc{Ks + C) = Qh,

630 г л- 4- Поверхности
Т. е. линейная система, высекаемая на С гиперплоскими
сечениями S а Р", является подсистемой канонической системы на С.
Более того, так как линейная система гиперплоских сечений S
есть полная система | Я" (5, О s (С)) | и
h}{S, Os) = q{S) = 0,
то Н° (Р", О (Я)) сюръективно отображается на Я" {S, Os (С)),
а Я" {S, О (С)) — на Я" (С, Qc)- Следовательно, гиперплоскости
в Р" высекают полную линейную систему на С, т. е. С cz Р"
является канонической кривой. Значит, С имеет род п и степень
2«— 2; в частности,
Нормальная КЗ-поверхность 5 с: Р" имеет степень 2га — 2.
Это видно и прямо из формулы Римана — Роха: если 5 с: Р" —
нормальная КЗ-поверхность, С — гиперплоское сечение S, то, так
как С положительно,
h} {S, 0 (С)) = Л» (S, Q| (С)) = О,
и аналогично h^ {S, О (С)) = О по теореме Кодаиры об
обращении в нуль. Тогда формула Римана — Роха дает
ra-f 1 = ^0(5, 0(C)) = -^ + X(0s) = -^2^4-2,
так что deg (S) = 2га — 2.
Теперь мы покажем, как можно реализовать такую поверхность
в случаях га = 2, 3, 4 и 5. Простейший случай га = 3, т. е. 5 —
поверхность четвертой степени в Р*. По теореме Лефшеца о
гиперплоском сечении гладкая квартика в Р* имеет иррегулярность
q{S)=q (Р^) = О,
и по формуле присоединения
так что S есть КЗ-поверхность. Заметим, что, так как линейная
система квартик в Р* имеет размерность 34, а PGL (4) —
размерность 15, семейство КЪ-поверхностей четвертой степени имеет
размерность 34 — 15 = 19.
Второй случай — КЗ-поверхность шестой степени в Р*.
Заметим, что если С — гиперплоское сечение такой поверхности S,
то система квадрик в Р* высекает на S систему размерности
не больше
feo (S, 0 (2С)) -1 =-?^у^-f 2 -1 = i^ +1 = 13.

5. Некоторые иррациональные поверхности 631
Но линейная система квадрик в Р* 14-мерна, поэтому S должна
лежать на некоторой квадрике ^ <= Р*. Аналогично, так как
W{S, О (30) = -^ + 2 = 29,
/1» (PS О (ЗЯ)) = -^^ = 35,
то S должна лежать в пятимерном семействе кубик в Р*. Но
кубики, содержащие квадрику Q, образуют только h^ (Р*, 0 {Н)) — 1 =
= 4-мерное семейство, поэтому S лежит на кубике Q', не
содержащей Q. Так как квадрика Q неприводима, то Q' пересекает
Q по поверхности степени 6 или меньше, а следовательно, в
точности по S. Таким образом, КЗ-поверхностъ шестой степени в Р*
является полным пересечением квадрики и кубики. Обратно, если
S = Q [] Q' — такое гладкое полное пересечение, то по теореме
Лефшеца о гиперплоском сечении, примененной дважды, q (S) — О,
а по формуле присоединения
Ks = {Kci' + Q)\s^{Kp.^-Q-^-Q)\s =
= (-5Н + ЪН + 2Н) |s = 0,
так что S является КЗ-поверхностью. Заметим, наконец, что
такая КЗ-поверхность определяется выбором квадрики ^ из
14-мерного семейства квадрик в Р* и затем кубики 9' из 35 — 5 — 1 =
= 29-мерного семейства кубик в Р* по модулю содержащих Q.
Так как PGL (5) имеет размерность 24, мы видим снова, что
семейство KS-поверхностей шестай степени в Р* имеет
размерность
14 4- 29 - 24 = 19.
Теперь рассмотрим КЗ-поверхности восьмой степени в Р^.
По формуле Римана — Роха
А» {S, в {2С)) = -?^|^ + 2 = 18,
в то время как /i" (Р^, (9 {2Н)) = 21. Позтому S должна лежать
на трех независимых квадриках в Р^ и быть их полным
пересечением. Обратно, как и в предыдущем случае, по теореме
Лефшеца и формуле присоединения любое гладкое полное
пересечение трех квадрик в Р^ является КЗ-поверхностью. Подсчитаем
параметры; общая КЗ-поверхность восьмой степени определяется
связкой квадрик в Р^, т.е. точкой грассманиана G{3, Н" {Р^,
О {2Я))), и поэтому семейство КЗ-поверхностей восьмой степени
снова имеет размерность
dimG (3,21) - dim PGL (6) =54—35 = 19.
Теперь рассмотрим четвертый случай, когда ге = 2, т. е. когда
КЗ-поверхность S является двойным накрытием S —^ Р* пло-

632 Гл. 4. Поверхности
СКОСТИ. «Гиперплоское сечение» S, т. е. прообраз л"^ (1) прямой
I с: Р*, является кривой рода 2, представленной как двойное
накрытие Z ^ Р'. Поэтому л разветвляется в 6 точках прямой I,
и множество ветвления л — кривая шестой степени в Р*. Обратно,
если 5 <= Р* — гладкая кривая шестой степени, можно построить
двойное накрытие л: 5^- Р^ плоскости Р*, разветвленное над
В, при помощи конструкции, изложенной на стр. 585.
Поверхность S будет КЗ-поверхностью: если 5 = л"^ (В) — множество
ветвления л в 5, то, как в § 4,
Ks^n*Kp2+B,
и поэтому
2Ks = 2л*^р2 4- 25 = л* (- 6Я) Н- л*В = 0.
v9to означает, что поверхность S минимальна.) Далее, так как
род В равен 10, то
X (5) = 2 - 2g {В) = -18,
X (5) = 2х (Р*) - X (5) = 24,
и по теореме о классификации S должна быть КЗ-поверхностью.
Снова подсчитаем параметры: система секстик в Р* имеет
размерность 27, и на ней действует PGL (3); поэтому семейство
КЗ-поверхностей, являющихся двойными накрытиями Р*, имеет
размерность 27 — 8 = 19.
Это все, что мы собирались рассказать про КЗ-поверхности.
Сделаем, однако, одно небольшое примечание: хотя общее
утверждение, экстраполирующее наши вычисления, а именно для любого п
существует 19-мерное неприводимое семейство Г„ КЗ-поверхностей
степени 2п — 2 в Р",— верно, оно может создать ошибочное
впечатление. На самом деле, если мы отбросим требование
проективности и определим КЗ-поверхность просто как компактное
комплексное 2-многообразие, односвязное и имеющее тривиальное
каноническое расслоение, то все КЗ-поверхности образуют
неприводимое 20-мерное семейство, обпщй член которого не алгебраичен;
семейства Г„ образуют счетное объединение подмногообразий
в этом пространстве модулей. Картина напоминает ситуацию с
комплексными торами и абелевыми многообразиями: в семействе
{iSj,} комплексных КЗ-поверхностей, параметризованном пояи-
диском, группу когомологий Я* {S},, С) можно рассматривать как
неподвижное векторное пространство V и аналогично подгруппу
Я* (iSx,, Z) целочисленных классов — как неподвижную решетку
внутри V. Однако подпространство Н^>''- {S),) cz V меняется при
изменении комплексной структуры п& S^', S}, принадлежит
семейству Г„ только тогда, когда Н^Л (S^) пересекает решетку в точке.

5. Некоторые иррациональные поверхности
бза
П^'Ч&к)
Рис. 10
соответствующей целочисленному классу когомологий с
индексом самопересечения 2ге — 2 (рис. 10). Отметим, что вообще группа^
дивизоров по модулю гомологичных нулю на алгебраической S^^
в точности равна пересечению Н^^^ фх) с решеткой IP (S^,, 1),
и справедливо следующее утверждение.
Семейство Кд-поверхностей, имеющих к или больше
независимых дивизоров, есть всюду плотное счетное объединение-
подмногообразий размерности 20 — к в семействе всех
КЗ-поверхност£й; в частности, на общей алгебраической
КЗ-поверхности все дивизоры гомологичны кратным класса,
гиперплоскости.
Читатель может проверить это в одном частном случае,
показав, что КЗ-поверхность, являющаяся двойным накрытием Р*
с ветвлением вдоль кривой шестой степени В, содержит две или*
более независимых кривых тогда и только тогда, когда в Р*=
существует рациональная кривая степени d, касающаяся 5 в 3d
точках (т. е тройная касательная прямая и т. д.).
Поверхности Энриквеса
Обратимся теперь к поверхностям Энриквеса. Прежде всего-
представим их численные инварианты: по определению,
Pg = 3 = О, X (0s) = 1,

'634 Гл. 4- Поверхности
И так как 2К ^ О, то с\ = 0. Из формулы Нётера получаем х {S) =
= 12, и ромб Ходжа S имеет вид
1
О О
О 10 О
О О
1
В частности, так как Я*'" {S) = О, вторые когомологии S
представляются алгебраическими циклами. Поэтому группа
дивизоров по модулю рационально гомологичных нулю на
поверхности Энриквеса есть Z".
Мы уже построили одну поверхность Энриквеса в § 4 этой
главы. Для этого мы брали поверхность S = (A'J + Х\ — Х^ —
— Х* = 0) и автоморфизм Г, переводящий [Х^, Х^, Х^, Xg]
в [Xf), iXi, —Х2, —iXg]; затем мы раздували неподвижные точки
Т^ на iS и брали факторпространство S" этого раздутия по Т^;
поверхность Энриквеса iS" получалась как факторпространство S"
по инволюции Т. Таким образом, iS" была факторпространством
поверхности S" (которая, как мы теперь знаем, является
КЗ-поверхностью) по инволюции без неподвижных точек. В
действительности нетрудно показать, что любая поверхность Энриквеса S
возникает как фактор некоторой КЗ-поверхности. Пусть о 6
£ Я" (5, 0 {2К)) — ненулевое сечение расслоения К ® К.
Рассмотрим в пространстве расслоения К множество
X = {(р, I): 1^К^, I® 1 = 0 {р)).
Так как а нигде не обращается в нуль, то X проектируется на S
как неразветвленное двулистное накрытие. Поэтому
q{X) = q {S) = 0, X (Х) = 2х {S) = 24
и X{0x) = 2x{0s) = 2.
В частности, из первого и третьего равенства мы видим, что
Pg {X) = 1', на самом деле это сечение можно предъявить: так
как X ^>- S неразветвлено, для любой точки (р, t,) Е X
и поэтому мы можем определить сечение о 6 Я" (X, (9 (Кх)),
положив
Ясно, что 0 нигде не обращается в нуль, и, значит, Кх тривиально;
стало быть, X есть КЗ-поверхность. Итак, доказано следующее
утверждение.

5. Некоторые иррациональные поверхности 635
Каждая поверхность Энриквеса является факторпростран-
ством КЗ-поверхности по инволюции без неподвижных точек.
Другим способом можно представить поверхность Энриквеса
как эллиптическую поверхность с рациональной базой. Чтобы
показать, что на S имеется эллиптический пучок, мы начнем со
следующего замечания:
Если Е — гладкая эллиптическая кривая на S, то /г* {2Е) ^2.
Так как h" {2Е) ^ h" (Е), то в случае подвижности Е мы
получаем нужное утверждение; поэтому можно предположить, что
Е неподвижна, т. е. /i" (Е) = 1. Тогда, так как К-Е = О, из
формулы присоединения получаем Е-Е = О, и, значит, по формуле
Римана — Роха
так как h"" (Е) = /г« (К — Е) = 0. Далее,
[2Е] \е = 12К + 2^] 1е = 2Ке= О,
и из длинной точной последовательности, ассоциированной с
точной последовательностью
0^esiE)^Os {2Е) -^ Ое-^ О,
мы получаем, что
ho {S, в {2Е)) = ho {S, в (Е)) + h" {Е, G е) = 2,
и требуемое утверждение доказано.
Кривая 2Е, подобно Е, имеет виртуальный род 1. Поэтому,
чтобы показать, что S эллиптическая, нужно найти хоть одну
гладкую эллиптическую кривую на S.
Начнем с отыскания эффективного дивизора с нулевым
индексом самопересечения на S (и виртуальным родом 1). По теореме
об индексе форма пересечения на Н^ {S, 1) ^ 2.^" унимодулярна
с одним положительным и 9 отрицательными собственными
значениями; поэтому можно найти класс а Ф О ^ Н^ {S, 1) с а-а =
= О ^). Так как Pg {S) = О, а имеет тип (1, 1) и по теореме Леф-
шеца об (1, 1)-классах является классом дивизораZ)' на S. По
формуле Римана — Роха
hO{D') + hO{K-D')^ D'-D'-K.D' _^^^Q^^_^^
') См. Ж.-П. Серр, Курс арифметики. Пер. с франц.— М.: Мир, 1972,
гл. 5.

626 Гл. 4. Поверхности
так что либо D', либо К — D' эффективен; обозначим его через D.
В любом случае D-D =0.
я
Пусть X ^>^ S — двулистное накрытие S КЗ-поверхностью X
ъ D = n*D — обратный образ D. Тогда
D.D = 2D-D = 0
я по формуле Римана — Роха на X
т. е. дивизор D подвижен на X. Чтобы отделить неподвижную
компоненту 1^1, напишем
\D\ = \C\+ ^n,Ei,
где Ei неприводимы, re; >. О и линейная система | С | не имеет
неподвижных компонент. Поскольку Ei неподвижны,
а то время как
откуда следует, что Et — рациональные кривые с индексом
самопересечения —2. Если для каждого г положить
ki = {D-niEi).Ei = {C+ ^njEj)-Ei,
Зфг
ТО получим
0 = D-D^D.{C + y,niEi) =
= D.C+^ni{D-niEi)-Ei + ynlErEi =
Далее, С • С ^ О, так как кривая С подвижна в линейной системе
без неподвижных компонент. Если С-С = О, положим Di = С;
€сли С-С > О, то для некоторого Iq
Ъ этом случае положим
D,=D-i2ni,-h,)Ei,.

5. Некоторые иррациональные поверхности 637
Мы имеем теперь
DrD, = D.D-2 {2щ,- h,) {D-EJ + {2п;„-h^)^ {£,„• Ei,) =
= ~2i2ni,-h,){ki,-2n,,)-2{2ni,-ki,)^ = 0.
Еще раз пользуясь формулой Римана — Роха, имеем
Л« (DO + ho{K- D,)^-^^ + 2 = 2,
и так как дивизор
K-D,^K + {2щ, - ki,) Ei, - D
не может быть эффективным, то D^ должен двигаться в линейной
системе. Так как 2п1^ — ftj^ > О, мы получаем, что, если
линейная система | JD \ имеет рациональную неподвижную компоненту,
можно вычесть эффективную кривую из Z) и получить дивизор
Di, снова подвижный и с индексом самопересечения 0. Если
|Z)i I имеет рациональную неподвижную компоненту, снова можно
вычесть эффективную кривую и получить дивизор ZJg >0cZ)2*52^
^ О, /i" (Dj) > 2 и т. д. Однако, как отмечалось на стр. 556,
дивизор D не может записываться как сумма неограниченно
большого числа эффективных кривых, так что рано или поздно мы
найдем дивизор £>„ с индексом самопересечения О, подвижный
и без неподвижных компонент. По лемме на стр. 615, каждая
компонента Z)„ является эллиптической кривой с индексом
самопересечения 0.
Рассмотрим теперь образ Z)„ i на S компоненты Z)„, i
дивизора Da- Если Z)„, i двулистно отображается на Z)„, ь то Z)„ j —
гладкая эллиптическая кривая на S, и по лемме все доказано.
С другой стороны, если отображение л: D^, t^^ D^, i бирацио-
нально, то Z)„, i имеет особенности в точности в тех точках р ^ S,
для которых обе точки л~^ (р) с= X лежат на Z)„ {. В этом
случае пусть
■Оа, i = л*л;„/)„_ i — Da, i
— другая компонента л*^)^, i- Так как отображение л: D'a., i->-Z)„,j
снова бирационально,

638 Гл. 4. Поверхности
И, следовательно,
Так как индекс самопересечения л*л^/)„ j = Z)„ j--|-Z}a_ < также
равен О, отсюда следует, что Z)„ j•£)„,; = О, т. е. D„ ^ и £)„ {
не пересекаются. Но если Z)„ ^ особая в точке pES, то 1>„, г
проходит через обе точки л"' (р), как и i?a, {. так что Z)„ ^
и i^o, ,• пересекаются над р. Значит, D^, ^ — гладкая
эллиптическая кривая.
Рассмотрим теперь поверхность Энриквеса S как
эллиптическую поверхность Т: iS^-P^ с рациональной базой. Если S
имеет кратные слои fij кратности mi, то, так как х {(9s) = 1>
по формуле для канонического класса имеем
ЛГз = Ч'* {-/,) +2 (т,.-1)5,.
Так как
0=2ii:s=^*{-2p)+22{m,-l)5„
отсюда следует, что 5 имеет ровно два двойных слоя, В^ и Bi-
Наконец, так как 2Ву = 2^2 = Т* (р), можно написать
isTs = ^* (-Р) -f fii + ^2 = 5i - fij = fia - 5i,
T. e. канонический дивизор на поверхности Энриквеса S является
разностью двух двойных слоев эллиптического пучка на S.
Производя обратное логарифмическое преобразование в двух
двойных слоях поверхности Эяриквеса Т: 5 ^- Р^, мы
получаем эллиптическую поверхность W: 5' -v Р^ без кратных слоев.
Непосредственно видно, что
с1 {S') = cf {S) = 0 и сг (5') = с^ {S) = 12,
так что по формуле Римана — Роха
X{0s') = X{0s) = l.
Тогда по нашей формуле Ks- = Ч*"'* {—р) и, значит,
X (5') = -1.
В частности, Pg {S') = О, и из х {(3 s') — 1 мы получаем, что
q (5') = 0. Согласно теореме Кастельнуово, S' рациональна ^),
а по классификации рациональных поверхностей S' есть
либо 8 раз раздутая рациональная линейчатая поверхность, либо 9
*) Хотя априори поверхность S' могла оказаться и не алгебраической,
тем не менее утверждение верно согласно общей классификации Кодаиры
компактных комплексных поверхностей.— Прим- ред.

6. Формула Нётера 639*
раз раздутая Р*. В действительности, так как —Kg' эффективен-
и неприводим и имеет индекс самопересечения О, любая кривая
на S' имеет неположительный индекс пересечения с i^s' и,
следовательно, индекс самопересечения ^ —2; тогда стандартные-
рассуждения показывают, что S' является девятикратным
раздутием Р*. Наконец, образы в Р* слоев Сх отображения Т': S' -*-
-V Р^ при стягивании л: 5' -v Р * должны представляться
сечениями I —Кр2 I, т. е. кубическими кривыми; так как С^ не
пересекаются, 9 раздуваемых точек должны образовывать базисное^
множество пучка | л (С^,) I кубик. Получаем в итоге следующее-
утверждение.
Поверхность Энриквеса может быть получена раздутием Р*
в 9 базисных точках пучка D^ кубических кривых и
применением двух логарифмических преобразований порядка 2"
в получившейся эллиптической поверхности P^-vP^.
Обратно, производя логарифмические преобразования в такой:
ситуации, мы всегда получаем алгебраическую поверхность,
которая, как легко проверит читатель, является поверхностью
Энриквеса. Отметим, что эта конструкция может быть использована для
счета параметров поверхностей Энриквеса: для построения
поверхности Энриквеса нужно указать девять точек в Р*, образующих
базисное множество пучка кубик, раздуть их и затем указать два
слоя получившейся эллиптической поверхности (т. е. две кубики^
проходящие через 9 раздуваемых точек), в которых следует
произвести логарифмическое преобразование. Короче говоря, весь
процесс определяется выбором двух кубических кривых в Р*,
пересекающихся трансверсально; так как имеется девятимерное-
семейство кубик в Р* и dim PGL (3) = 8, семейство поверхностей
Энриквеса неприводимо и его размерность равна
9 + 9 - 8 = 10.
6. ФОРМУЛА НЁТЕРА
Формула Нётера для гладких
гиперповерхностей
Формула Римана — Роха — это формула,^ выражающая
голоморфную эйлерову характеристику векторнего расслоения Е-^ М
на компактном комплексном многообразии Ш в терминах
классов Чжэня Е ж М. На практике эта задача делится на две части:
во-первых, нужно выразить голоморфную, зйлерову характери-

•640 Гл. 4- Поверхности
■стику X (®м) многообразия М в терминах классов Чжэня М
^например, для кривых и поверхностей
X{0.v) = yCi(M) и х(0м)=^{с?(М) + С2{М)))
и, во-вторых, нужно выразить голоморфную эйлерову
характеристику X (О (Е)) в терминах классов Чжэня Е м М м голоморф-
иой эйлеровой характеристики х {®м) многообразия М
(например, для линейных расслоений L на кривых и поверхностях
X{0(L)) = x{Om) + Ci(L),
X (0 (L)) = X {©л^) + Y(cl{L) + с^Щ.а (М))).
Вторая из этих двух частей обычно намного легче: раз мы
знаем формулу для (ге — 1)-мерных многообразий, то найти ее для
линейного расслоения L —>- М, ассоциированного с гладким
дивизором D на ге-мерном многообразии М, можно из точной
последовательности пучков
О -> ©м -> Ом Щ -> ©в Ш -> 0;
полученная формула будет верна для любого линейного
расслоения Ь-^ М. Первая же часть, выражающая х (©м) в терминах
классов Чжэня М, в общем гораздо труднее. Разумеется, для
кривых формула % {О м) = у c-l {Щ — простое следствие теории
Ходжа; первоначально она была доказана Риманом в виде
it-" (Йлг) = fei {М)/2, или «число независимых дифференциалов
первого рода равно числу ручек». Главная цель этого параграфа —
доказать аналогичную формулу х (©м) = joC'^i С-^) + <^i i^))
для поверхностей, называемую формулой Нётера.
Чтобы уяснить смысл проблемы, мы прежде всего проверим эту
•формулу для гладкой поверхности 5 в Р* степени п. Для зтого
мы установим сначала две общие формулы: если S а X —
гладкая поверхность в трехмерном многообразии X, то из С°°-разло-
жения
Tx\s = Ts®Nsix = Ts®[S]\s
ш формулы Уитни для прямой суммы мы получаем формулы
присоединения
<•*) c^{X)\s = c^{S) + c^(S)-S\s.
Первая из них, конечно, есть стандартная формула
присоединения, примененная к с^ (5) = —Kg-

6. Формула Нётера 641
Применяя эти формулы к нашей гладкой поверхности S с Р®
степени п и подставляя значения
Ci (Р8) = 4Я, С^ (Р8) = ЫР,
пол5'чаем
ci {Sf = (re - ^fm ^n{n-^f = г? - Sre^ + 16re,
так как Н-Н = n п& S; согласно (**),
= c^{S) + ii-n)-nH^,
X (S) = c, (S) = (n (n - 4) + 6) H' =
= re (re (re - 4) + 6) = re» — 4re2 + 6re.
Столь же просто вьфажается % {О s) в терминах ге. По теореме
Лефшвца q (S) = 0; для вычисления pg {S) рассмотрим
отображение вычета Пуанкаре
О -> Q|,3 -> Q|,3 (S) -> Q| -> 0.
Имеем feo(Q|,3)=0 и Л,* (а|з)= fes,'(Рз) = 0, так что
Pg (S) = й« (Q|) = ho (Q|,3 (5)) = ho (Рз, 0 ((re - 4) Я)) =
— /•"-l^— (n—l)(n—2)(n —3)
Поэтому
,„ . (n-l)(n-2)(n-3) , , _ n»-6n^ + iin-6 , ,
A (."-^S/ = 6 '" 6 Г i —
_ 2n8—12n2+22n _ Ci(S)^ + c^(S)
~ 12 ~ 12 '
ЧТО доказывает формулу Римана — Роха для S.
Это вычисление иллюстрирует общий принцип: если мы знаем
кольцо когомологий и классы Чжзня многообразия М, то можно
вычислить многие из этих инвариантов и, следовательно,
проверить формулу Римана — Роха для гладкого дивизора на М.
Конечно, общая поверхность S не может быть реализована как
гладкий дивизор на Р*: хотя можно вложить S в некоторое
большое проективное пространство и затем спроектировать его в Р®,
чтобы получить бирациональное вложение ф: S ->- Р®, образ Sq =
= ф (iS) в общем случае будет особым. Для доказательства
формулы Нётера мы обобшрм формулы, полученные выше для
численных характеристик гладкой поверхности в Р*, на случай
поверхности So со стандартными особенностями; зто будет достигнуто
посредством вложения S в качестве гладкой поверхности в трех-
10-0200

642 Гл. 4. Поверхности
мерное многообразие X, полученное раздутием Р®. Для этого
нужны два предварительных шага: сначала мы опишем типы
особенностей, возникающих при обп];ей проекции поверхности в Р®,
а затем для данной поверхности iSq с= Р' с такими особенностями
построим раздутие X -^ Р*, в котором собственный прообраз iSo
будет гладким. Первый из этих шагов сводится к подсчету
некоторых размерностей, и мы его временно отложим. Второй,
напротив, содержит важное обобп];ение понятия раздутия, которое мы
сейчас и рассмотрим.
Раздутие подмногообразий
Предварительно мы построим раздутие полидиска вдоль
координатной плоскости. Пусть Д есть ге-мерный полидиск с
голоморфными координатами z^, . . ., z„, и пусть У с Д задается
уравнениями Zft+i = . . . = z„ = 0. Пусть l/fe+i, • • ч lh\ — однородные
координаты на P"-*-i, и пусть
Д с Д X Р"-"-!
— гладкое многообразие, определяемое соотношениями
Д = {(z, I): Zilj = Zjli, к + I ^i, j ^ re}.
Проекция л: Д ->- Д на первый сомножитель, очевидно, является
изоморфизмом вне V, в то время как прообраз точки z ^ V есть
проективное пространство pn-*-i. Многообразие Д вместе
с отображением л: Д ->- Д называется раздутием Д вдоль V;
прообраз Е = л"■^ (У) называется исключительным дивизором
раздутия.
Многообразие Д покрывается координатными картами
U} = ih ¥=0), 7 = ;с 4- 1, . . ., п,
с голоморфными координатами
z(i)i = Zi, i = i,...,k,
2{;)г = -7^ = -^' i = fe + l, ...,/", ...,ге,
на Uj-, координаты {z(/)J являются евклидовыми координатами
на Каждом слое л"'(/)) ^ Р""''"' исключительного дивизора.

6'. Формула Нётера 643
Заметим, что раздутие А —» Д не зависит от выбора
координат в Д: если {z,-=/г (z)} — другая система координат в Д,
V снова задается как {zk+i = ... =г^ = 0) и
Д' = {(Z', I'): z'il- = z-l'i) с А X Р"-"-!
— раздутие Д в этой системе координат, то изоморфизм
/: А-Е ^К'-Е',
заданный как z >-*■ / (z), продолжается на Е, сопоставляя точке
(z, I) с Zft+i = . . . = z„ = О точку (/ (z), I'), где
^i- Е l^^^'f-^i-
!=Й+1
Л
На самом деле отсюда видно, что отождествление слоя Е -^ V
над точкой Z = (Zj, . . ., z^, О, . . ., 0) с проективным
нормальным пространством Р {Nv/л. (z)) = Р (Г^ {^)lT'z (F)) посредством
является естественным, т. е. не зависит от используемой
координатной системы.
Последнее замечание позволяет глобализовать нашу
конструкцию. Пусть М — комплексное многообразие размерности ге и X cz
с= Af — подмногообразие размерности к. Пусть {Ua) — набора
дисков в М, покрывающих X, так что на каждом диске f/„
подмногообразие X П и а. может быть задано уравнениями z^+i =
~ "а
= . . . = z„ = О, И пусть f/tt->- Ua — раздутия и а вдоль X П
П и а.- Мы имеем изоморфизмы
ЛаЭ-- Па' (^а П U^) -^ Яр' (f/„ Л Uf,)
И, пользуясь ими, склеиваем локальные раздутия Ua и получаем
многообразие U= Un„o^a с отображением л: Z7->- U^a-
Наконец, так как я—изоморфизм вне X [\ {[} Z7„), можно
образовать
M=U\jn{M-X).
Многообразие М вместе с отображением л: М -*- М,
продолжающим л на f/ и тождественным на М — X, называется раздутием М
it*

644 Гл. 4. Поверхности
вдоль X. По построению раздутие обладает следующими
свойствами.
1. л есть изоморфизм вне X с М и jE' = л'^ (X) с М.
2. Исключительный дивизор Е является расслоением над X
я
со слоем Р"-''-!; на самом деле Е -*- X естественно отождествляется
с проективизацией Р (Nx/m) нормального расслоения N^x/м
к X ъ М.
3. Локально раздутие изоморфно описанному ранее раздутию
диска.
4. Тем же методом, что и при раздутии точки, читатель может
проверить, что раздутие подмногообразия единственно в- том
я
смысле, что если N -^ М — любое отображение комплексных
многообразий, которое является изоморфизмом вне А;-мерного
подмногообразия X ъ М и слои которого над каждой точкой х ^ X
я
изоморфны проективному пространству p"-*-i, то Л'^-*- М
изоморфно раздутию М вдоль X.
5. Для любого подмногообразия У с М можно определить его
■собственный прообраз Y с Мх в раздутии Мх как замыкание
в Мх прообраза
л-1 (Y - Х) = л-1 (У) — Е
лодьшогообразия Y вне исключительного дивизора Е. Как в
случае раздутия точки, мы видим, что пересечение Y {] Е (^ Р (Nx/m)
соответствует образу в Nx/m касательных конусов Тр (Y) с Тр (М)
к Y ъ точках 1^ П Х- В частности, если Yd М — дивизор, то
Y = n-V — т-Е,
тде т = multjc (У) — кратность Y в общей точке X. Заметим
также, что раздутия функториальны в том смысле, что если Y
трансверсально пересекает X, то собственный прообраз Y в Мх
есть не что иное, как раздутие Y вдоль Y[\ X.
Когомологии раздутия. Обратимся теперь к связи между
кольцами когомологий М и его раздутия М = Мх вдоль
подмногообразия; всюду речь идет о когомологиях с козффициентами
в 1. Как и при обсуждении раздутия точки, мы возьмем в
качестве и си М трубчатую окрестность X с М, U = n~^U, U* =
= и — X, и* = и-Е, М* = М-ХаМ* = М-£и сравним

6. Формула Нётера 645
последовательности Майера—Виеториса для М = U\}M* жМ —
= и \] М*. Как и раньше, стягивания дают изоморфизмы
н* (U) _2^ Я* (X) и Я* {11) j::^ н* {Е) ;
кроме того, л* определяет изоморфизмы
Я* {U*) _2^ Я* (U*) и Я* (М*) _2^ Я* (М*),
и мы получаем следующую коммутативную диаграмму:
H^- Ч и*)^Н\М)-*-Н\М*) ®Н\Е) ^Н'( и*)
\\ . t t il
н'-\ v*)-^H'(M)-*H'{M*)®H'{X) ^нчи*)
Так как отображение обратного образа л*: Я* Щ) -> Я* (М)
инъективно (или, что эквивалентно, но более наглядно,
отображение л^: Я„, (М) -> Н^. (М) сюръективно), мы получаем, что как
группа по сложению
Я* (М) = {л*Я* (М) Ф Я* {Е))/п*Н* (Х).
Для описания когомологий jE' ^ Р {Л^х/м)> ^ также
мультипликативной структуры Я* (М) нам понадобится следующий общий
результат о когомологиях проективных расслоений. Начнем
с определения: для комплексного векторного расслоения Е ^>- X
ранга г и ассоциированного с ним проективного расслоения
я
Р (jE')—V X охпреяелим тавтологическое линейное расслоение Г—v Р (Е)
как подрасслоение индуцированного расслоения л*JE' -v Р (Е),
слой которого в точке (р, у) 6 Р {Е) есть не что иное, как
прямая в Eji, представляющая v. Заметим, что расслоение Г не
определяется абстрактным расслоением Р{Е)^>-Х: если L-v А' —
линейное расслоение, то
Р {Е)^Р {Е ® L),
в то время как тавтологические линейные расслоения на Р (Е)
и Р (Е ® L) различны. В любом случае ограничение Т на
каждый слой Р {Е)р ^ Р'~^ является универсальным расслоением.
Далее, кольцо когомологий Я* (Р (Е)) при помощи
отображения обратного образа л*: Я* {X) -^ Я* (Р (Е)) превращается
в алгебру над кольцом Я* {X). Полное огшсание Я* (Р (Е)) дается
в зтих терминах следующим предложением.
Предложение. Пусть X — компактное ориентированное С°°-мно-
гообразие, а Е -*- X — комплексное векторное расслоение ранга г.

646 Гл. 4. Поверхности
Тогда кольцо когомологий Н* (Р (jE')) порождается как Н* {ХУал-
гебра классом Чжэня t, = c-i^{T) тавтологического пучка и имеет
единственное соотношение
...+{-ir'c,.i{£)S+{-l)'"Cr{^)=0.
Доказательство. Установим сначала основное соотношение (*).
Для этого обозначим через F факторрасслоение обратного образа
п*Е по тавтологическому под расслоению, и пусть Т1г = Cj {F).
Согласно формуле Уитни,
(1 + Q (1 + Т1, + . . . + Ti,.j) = п*с {Е);
разрешая последовательно зто соотношение, получаем
r\i = c,{E)-l,
Ц2 = с^{Е)-1-саЕ) + 1\
1V-1 = с,.1 {Е)-1- с,_2 {Е)+...+{-1)-1 Г'.
Последнее уравнение
С,{£)=С-Т1г-1
как раз и дает наше основное соотношение.
Пусть теперь {i|)j„}„ —базис ff^{X), такой, что {■»!)£,„}
и {'Фп-г, а} ортогональны, т. е.
■фг.а^'Фп-г.э=±^а.В-
Мы утверждаем, что классы
линейно независимы в Н* (Р (jE')). Прежде всего для любой пары
классов \|)j „ и '^n-t, а ^^-произведение я*'фг^ „и я*я|)„_г_ „ с
точностью до знака двойственно по Пуанкаре классу слоя Р {Е)р
расслоения Р (Е). Однако ограничение ^ на Р (Е)р равно
взятому со знаком минус классу гиперплоскости в Р {Е)р и, значит,
^*Ь. а ^ ^*'^n-i. а *-< Г"' = ± 1.
Иными словами, для любого j<ir
{^Чг. а ^ С^) ^ {^*^n.i, а ^ Г^'"') = ± 1.
С другой стороны, при аф^
и аналогично прп i < А; и любых а, р, /
{я*я|)г. a^t')^ {^Чп-k. в ^ Г"'-^^"-') = 0.

6- Формула Нётера 647
Поэтому матрица пересечения классов {i|)j „ vj C^}i,j- „ может
быть превращена в верхнюю треугольную с ±1 на диагонали;
в частности, видно, что она невырожденна и что эти элементы
линейно независимы в Н* (Р {£)).
Наконец, рассмотрим спектральную последовательность Лере
{Ё^' ', dr) расслоения Р {Е) -v X. Так как когомологии слоя
имеют ранг не больше 1 в каждой размерности, то п^ (Х)
тривиально действует на Н* (Р*""^), и поэтому
£'2^Я*{Х)® Я*(Р'-1).
Так как классы {■^i,a^i'} независимы в Я*(P{JE')), то
г • dim Я* {XX dim Я* (Р (jE)) = dim J&00<
^uimEz = r.uimH*{X).
Поэтому всюду должно быть равенство, т. е. классы {i|)j „ vj ^'}
порождают Я* (Р (Е)), а ^ порождает Я*(Р (Е)) как Я* (Х)-ал-
гебру, и нет соотношений на t,, отличных от (»). □
Благодаря следующему обстоятельству этот результат особенно
полезен для применения к раздутиям: если М ^- М — раздутие
многообразия М вдоль подмногообразия X, £ = Р {Nx/m) —
исключительный дивизор, то нормальное расслоение к Е в М есть
в точности тавтологическое расслоение на Е ^ Р (Nx/m)- В самом
деле, легко видеть, что для точки (р, v) ^ Е
индуцирует отображение
"*• ^Е/м^^' ^'> "^ Nzim{p)-
Чтобы убедиться, что образ я„, есть в точности прямая v в Nxim (р)»
достаточно проверить это для раздутия С^ ->- С" пространства С"
вдоль подпространства V ^ С*, где это ясно. В качестве
следствия мы получаем, что ограничение на Е класса когомологии
е = Ci ([jE']) равно
и поэтому, зная Я* {Е) и отображение ограничения Я* (М) ^-
-V Я* {X), можно эффективно вычислить кольцо когомологии
раздутия Мх-

648 Гл. 4. Поверхности
Классы Чжэня раздутий. Мы уже видели, что если М —^ М —
раздутие ге-мерного многообразия в точке, Е — исключительный
дивизор, то
ci (М) = -К^ = я*С1 (М) - (ге — 1) Е.
м
Подобным же образом нетрудно проверить, что если М —-> М —
раздутие М вдоль А;-мерного подмногообразия X с: М, а Е —
снова исключительный дивизор, то
ci (М) = я*С1 (М) — {п- к — 1) Е.
Проверяется эта формула, как и в случае А; = О, выписыванием
функций перехода для канонического расслоения. Однако
вычисления существенно облегчаются, если мы будем рассматривать
алгебраические многообразия М. В этом случае можно найти меро-
морфную ге-форму (D на М, такую, что X не содержится в ее
дивизоре нулей или полюсов. Тогда дивизор формы я* со на М вне Е
совпадает с обратным образом дивизора (со). Чтобы увидеть, как
я* а ведет себя вблизи Е, возьмем общую точку р
подмногообразия X и локальные координаты z^, . . ., z„ в окрестности U точки
р, такие, что
Х[] и = (Zfe+j = . . . = z„ = 0).
Тогда можно написать
со = g (z) dzi л . . . л dz„,
где g — ненулевая и голоморфная вблизи р. В координатах
z{i)i = Zi, i = 1, . . ., к, i,
z (j)i = Vz^ i = k+ i, . . ., f, . . ., n,
на открытых множествах Uj a я~^ (U), описанных выше, имеем
я*dZj = dZj, i = i,...,k,i,
n*dZi = d {ZjZ (/) j) = z^ dz ij)i + z {/) j • dzj, i = k + l, ... ,j, .. .,n.
Тогда
я*со = я*^ (z) • z"~ ~* • dzi л ... л dZfe л dz {j)h+i л ... л dz (/)„
обращается в нуль порядка п — к — 1 вдоль Е = (z^), и формула
проверена.
Вычисление высших классов Чжэня общего раздутия гораздо
труднее; в частности, оно требует нахождения классов Чжзня
исключительного дивизора, а у нас нет еще необходимого для
зтого формализма характера Чжэня. Однако классы Чжэня раз-

6. Формула Нётера 649
дутия трехмерного многообразия можно определить
непосредственно; зто будет сделано в двух следующих леммах.
Лемма. Если М —* М — раздутие алгебраического
трехмерного многообразия в точке, то
са {М) = я*С2 (М).
Доказательство. Докажем зто, применяя формулы
присоединения {*) и {**) (см. начало зтого параграфа) к поверхностям в М,
классы Чжзня которых мы знаем. Пусть Е — исключительный
дивизор раздутия, I ^Ю (Е) — класс прямой в jE' ^ Р^. Как
мы уже видели,
Е \е = —I, Ci (Е) =Sl и Сг (Е) = 3.
Тогда по формуле (**)
С2 (М) \е = С2 (Е) + ci {Е)-Е \е =
= 3 -Ь Sl-{—l) = 0.
Далее, проделаем то же самое с поверхностью S а М, не
содержащей р, и ее прообразом S = я~^ {S) а М. Поскольку S ^ 5-
и для их фундаментальных классов выполнено равенство Tig- =
= я*Т15, имеем
c,{M)\~=^c,{S) + c,{S).S\~ =
= c^{S) + c,{S)-S \s = c,{M) и = я%{М) 1~.
Из этих вычислений видно, что класс с^ {М) — я^с^ (М) равен
нулю при ограничении на исключительный дивизор £ и на
прообраз любой поверхности 5 с: М, не содержащей р, т. е. имеет-
нулевой индекс пересечения с ними. Однако любой дивизор на М
гомологичен линейной комбинации таких поверхностей; так как ■
форма пересечения
невырожденна, это доказывает лемму. П ^)
При помощи того же подхода доказывается чуть более трудная^
^) Предложенное доказательство устанавливает равенство с^ {М) =
= л*С2 (М) по модулю кручения в Я* {Й, й).— Прим. перев.

'€50 Гл. 4- Поверхности
Леииа. Пусть я: М -v М — раздутие трехмерного алгебраи-
•ческого многообразия М вдоль гладкой кривой X с: М, Е — исклю-
■чительный дивизор раздутия и Цх ^ Н^ {^) — класс X. Тогда
с^ (М) = л* (са (М) + Т1^) - я*С1 {М)-Е.
Доказательство. Пусть I ^ Ю {Е) обозначает класс слоя ъ Е ^
■,^. р {Nxim) —* -X^i так как класс е = £ 1^ есть класс тавтоло-
ггического расслоения на Е, имеем
he = -1.
Из нашего основного соотношения е-е — е-п%с^ {Nx/m) = 0 мы
шолучаем
е-е= —Ci{Nx/m)-
.Далее, согласно {*),
ci (Е) = ci (М) -Е\е = я*С1 (М) -2Е\е =
= {с^{М)-Х)-2е,
-откуда, согласно (**),
сАМ)\е = с^{Е) + CiiE)-E =
= с, (Е) - ci {М)-Х + 2ci (Nx/m)-
iHo
с, (Е) = X (^) = 2х (Х) = 2с, {X) =
= 2с,{М)-Х -2c,{Nx/m),
так что мы имеем
С2 (М) \е = ci {М)-Х = -я*С1 {М)-£ 1е =
= (я* (са (М) + Цх) - я*С1 (М).^) \е.
Пусть теперь 5 с: М — гладкая поверхность, трансверсально
: пересекающая X, ж S — ее прообраз в М. Тогда S является раз-
,дутием S в точках S f| -Х^» позтому
c^{S) = c^{S) + S-X.
'Согласно {»),
Ci{S) = {c,{M)-S)\^ = n*c,{S)-E\s,

6. Формула Нётера 651
Л поэтому ИЗ (**) МЫ ВИДИМ, что
c^{M)\~^c^{S) + c,{S).S \~ =
^c^{S) + c^{S).S\s^S.X-E~S\~ =
= я%{М) 1~ + я*ть: \^-E.S |~=я*{с2(М)+1и-) |~,
так как £■•§•5' = Е-п* {S-S) = 0. Итак, класс с^ (М) —
— п* (cg (М) + г\х) + ^*Ci (М)-Е имеет нулевой индекс
пересечения как с Е, так и с 5, значит, равен 0. П
Обыкновенные особенности поверхностей
Цель зтого раздела — описать особенности общей проекции
поверхности 5 с: Р'^ в Р*. Для начала напомним, что при Л'^ > 5
общая проекция S с: Р из точки является вложением, так что
можно с самого начала взять гладкую поверхность S в Р^ и
рассмотреть отображение проектирования
ИЗ общей прямой L а Р^. Мы уже видели, что отображение п^
будет взаимно однозначным и гладким в точке р ^ S тогда и только
тогда, когда 2-плоскость pL пересекает S трансверсально в
единственной точке р. Поэтому нас будет интересовать, по крайней
мере с точки зрения размерности, сколько прямых L с: Р^
пересекает хорду S, или пересекает касательную плоскость, или лежит
в 2-плоскости, натянутой на точки S, и т. д. Прежде чем
приступать к этой задаче, сделаем одно замечание; хотя мы будем
доказывать, что общая проекция любой поверхности S сР^ имеет
лишь обыкновенные особенности в том смысле, как будет
определено ниже, для доказательства формулы Нётера, нам нужно
знать только, что любая поверхность может быть вложена в Р^ так,
чтобы ее общая проекция имела лишь обыкновенные особенности.
На самом деле некоторые тонкие вопросы «общего положения»,
возникаюхцие в последней части наших рассуждений, немедленно
разрешаются переходом к вложению <S -v Р^ достаточно большой
степени; позтому мы будем оставлять проверку этих условий
читателю и вместо этого просто показывать, что они удовлетворяются
для подходящего вложения S.

652 Гл. 4. Поверхности
Пусть теперь G (2, 6) — грассманиан прямых в Р^;
рассмотрим отношение инцидентности
I^SxSxG{2, 6),
заданное как
i = {(р. 9. Ц- Р¥= д^ dim JgL < 2}.
Ясно, что для двух точек р ф q ^ S тогда и только тогда я^ (р) =
— ^ь (з)» когда (р, q, L) £ /. Если щ, Яз и Яз — проекции /
на три соьшожителя S X S X G {2, &), то слой отображения
Я1 X ^2: /-*-<S X <5
над точкой (р, q) соответствует множеству прямых L ^G {2, 6),
пересекающих прямую pq с Р^, т. е. циклу Шуберта Og. Так
как (7з имеет коразмерность 3 в восьмимерном многообразии
G (2, 6), то слои отображения я^ X п^ пятимерны, так что
dim / = 9.
Поэтому слой отображения я^: / -v G (2, 6) над общей точкой
jL 6 G (2, 6) имеет размерность не больше 1. На самом деле, как
мы увидим, слой я;' (L) не может быть пустым или конечным, так
что Яз' {L) должен быть одномерным для общей прямой L, и,
следовательно, отображение проектирования я^,: <S -v Р' взаимно
однозначно вне замыкания С кривой
я, {nf (L)) d S.
Кривая С называется двойной кривой отображения я^,; ее образ
С = Ял, (С) на поверхности <S = я^, {S) а Р' также называется
двойной кривой S.
Мы утверждаем, что я^, является 3-1-отображением только
в конечном числе точек и нигде не является 4-1-отображением
или более. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим многообразие
/'с SxSx^xG{2, 6),
заданное как
t' = {(Р' 9. ^ L): р ф qфrф р, dim pqrL < 2};
пусть Я1, Яа, Яз и Я4 — проекции /' на сомножители S X S X
X S X G (2, 6). Ясно, что общая тройка (р, q, г) различных

6. Формула Нётера 653
точек на S порождает 2-плоскость; поэтому слой отображения
Я1 X Яг X "з: ^' ^ «5 X 5 X 5
над любой точкой, не лежащей в множестве
/ = {(р, q, г): р ф д ф г ф р коллинеарны} с: ■? X S X S,
соответствует прямым L, лежащим в плоскости рдг, и поэтому
двумерен. Значит,
dim (Я1 X Яг X Яз)~^ {S X iS X S — /) = 8.
С другой стороны^ так как общая 3-плоскость F3 с: Р^
пересекает S по набору точек в общем положении, общая хорда рд ъ S
пересекает S только ъ р ж д, так что / самое большее трехмерно.
Слой Я1 X Яг X Яз над точкой /, как мы видели, пятимерен,
поэтому
dim {я1 X Яа X Яз)"^ ^ 8.
Поэтому /' восьмимерно, и общий слой проекции Я4: /' ^- G (2, 6)
конечен; это докаэывает первую часть нашего утверждения.
На самом деле можно утверждать чуть больше: из
доказательства основной леммы в разделе о специальных линейных
системах § 3 гл. 2 мы видели, что среди тех 3-плоскостей Vg, которые
пересекают S по набору точек не в общем положении, общая
плоскость содержит 4 точки S, порождающие 2-плоскость и не
имеющие коллинеарных троек. Поэтому если мы определим
K^SxSxSxGiA, 6)
как
К = {{р, д, г. А): рф дфг ^Ам г£ рд},
то образ К при проекции на G (4, 6) имеет коразмерность не
меньше 2, т. е. размерность не больше 6. Предполагая, что S содержит
только конечное число прямых, мы получаем, что dim ^ ^ 6,
и так как все слои отображения проекции я^ X Яа X ЯзГ К -v
-V 5 X 5 X 5 четырехмерны, то размерность / = (я1 X Яа X
X Яз) {К) не больше 2. Конечно, если S содержит семейство
прямых, то / будет трехмерным, но, как мы увидим, это не страшно.
Покажем теперь, что я^ не склеивает 4 или больше точек.
Пусть
I''czSxSxSxSxG{2, 6)

654 Г л- 4. Поверхности
задается как
/" = {{р, q, г, t, L): р, q, г, t различны и dim pqrtL ^2},
и пусть я^, . . ., Яд — соответствующие проекции. Прежде всего,
так как общая тройка (р, д, г) различных точек на S линейно
независима и порожденная ими 2-плоскость не содержит других
точек на S, отображение Я1 X Яз X Яз переводит /" в собственное
подмногообразие S X S X S со слоями размерности 2 вне /, т. е.
dim (Я1 X Яа X Яз)-^ (5 X 5 X 5 — /)< 7.
С другой стороны, отображение я^ X Яа X Яз имеет пятимерные
слои над /, так что если S не содержит семейства прямых, то
dim {Я1 X Яа X Яз)~^ / ^ 7.
Поэтому dim /" ^ 7, и проекция Яд: /" -v G (2, 6) не может быть
сюръективной. Наконец, если S содержит семейство прямых,
то /" может быть 10-мерным; однако общая точка /" ле}кит в слое
Яд размерности 4, так что снова Яд не может быть сюръективным.
Итак, мы видим, что для общей прямой L отображение Ях,: S -v
-V iS с: Р' взаимно однозначно вне двойной кривой С с S, есть
2-1-отображение в общей точке С и 3-1-отображение над
конечным числом точек. Рассмотрим теперь возможные особенности Ях,.
Для начала пусть
IiC S X G (2, 6)
задается как
/, = {{д, L): dimTg{S), L < 3},
и пусть я^, Яа — отображения проекции. Для каждого д ^ S слой
яГ' (д) отображения Я1 над q является циклом Шуберта а^ прямых
L с: Р^, пересекающих Г, (S), и имеет размерность 6; поэтому
dim /j = 8. Значит, обшрй слой п^ на /i конечен, так что для
общей прямой L множество
fi = Яl{яil{L))c:5
точек, где морфизм п^ не гладкий, конечно. (Заметим, что если
{д, L) 6 /j, то {д, д, L) лежит в замыкании множества /,
рассмотренного ранее, и поэтому В лежит в С.) Более того, так как для

6. Формула Нётера 655»
общей ТОЧКИ g ^ 5 не любая прямая, касающаяся 5 в д,
пересекает S в точке, отличной от д, то множество
/; = {(д, г, L): (д, L) 6 А, (д, г, L) с: /}
имеет размерность не больше 7, так что Ях, взаимно однозначно-
в точках jB, и так как общая касательная прямая к 5 имеет
простое касание, то 2-плоскость qL будет иметь простое касанве с S
в каждой точке В.
Остается только проверить, что если п^ (д) = Ях, (г) для двух
точек q ф г £ S, то образы в Р' окрестностей g и г пересекаются?
трансверсально, и то же самое имеет место для тройных точек.
В первом случае окрестности g и г пересекаются не трансверсально*
в Р^ тогда и только тогда, когда Тд (5), L = Tj (5), L; поэтому-
мы рассмотрим многообразие
/г с: / с: 5 X 5 X G (2, 6),
заданное как
/2 = {(д, г, L): Гд(5), L = Tr{S), L).
Пусть Я1, Яг и Яз обозначают проекции; мы видим тогда, что для>
(д, г) 6 5 X S множество (Я1 X Яг)"^ (д, г) пусто, если Тq {S)*
не пересекается с Т^ (S), равно циклу Шуберта Од, j с: G (2, 6)»
прямых, лежащих в Tq (S), Tr (S) и пересекающих gr, если Tq {Sy
и Tr (S) пересекаются в точке, и равно циклу Шуберта Og прямых,.
пересекающих дг, если Tq {S) и Т^ (S) имеют общую прямую.
Читатель может проверить, что единственная невырожденнаж
поверхность 5 в Р^, у которой любые две касательные плоскости:
пересекаются между собой, есть поверхность Веронезе и что любая>
поверхность S с: Р^, такая, что Тр {S) пересекает Tq {S) по
прямой для всех (р, q) из трехмерного подмногообразия 1§ X 5,
должна содержать семейство прямых. Если отбросить зти
исключительные случаи, то многообразие 1^ имеет размерность
небольше 7. Если же 5 — поверхность Веронезе или содержит
семейство прямых, то, хотя /j и восьмимерно, слои Яз,
проходящие через общую точку /j, имеют положительную размерность.
Поэтому в любом случае Яд: I^-*- G (2, 6) не может быть сюръек-
тивным.
Другим способом можно обеспечить условие dim /g ^ 7,
изменив вложение S в Р^: если L ->■ S — положительное линейноег

'656 Гл. 4- Поверхности
расслоение ^), то для к^О, как мы видели из доказательства
теоремы Кодаиры о вложении, L^ очень обильно и для любых двух
-фочек р, q ^ S
Ю(8, Jp,5(L'')) = Яl(5, J^.5(L'')) = 0.
Отсюда следует, что
ho(s, Jp,g(L'')) = ;iO(5, 0(L''))-2,
h^S, Jl^{L>')) = hO{S, 0(L''))-6,
T. e. линейное подпространство дивизоров Z> £ | L** |, особых
в двух фиксированных точках р^ и д^, имеет коразмерность 6.
Поэтому общая линейная подсистема размерности 5 в | L** | не
«одержит таких дивизоров; иными словами, никакое гиперплоское
«ечение образа ijji (5) при общей проекции в Р^ не может быть
особым одновременно ь р„ ж q„. Отсюда следует, что касательные
пространства к 5 сг Р^ в точках р^ и д^ не лежат оба ни в какой
4-плоскости и поэтому не пересекаются. Точно так же мы видим,
что для фиксированной точки р^ множество дивизоров D ^ \ V^ \,
особых в ро и некоторой другой точке д ^ S, имеет коразмерность 4.
Общая 5-мерная линейная подсистема в | L'' | содержит тогда лишь
конечное число прямых из этого множества, и поэтому при общей
проекции ij^ft (S) в Р^ существует лишь конечное число таких
■q £ S, для которых пучок гиперплоских сечений S cz Р^ особый
как в р„, так ж в д. Поэтому множество пар (р, q) ^ S X S, таких,
■ЧТО Тр {S) пересекается по прямой с Ta{S), не более чем
двумерное, так что /j имеет размерность ^7.
Наконец, если nj, (р) = п^ (д) = Ях, (г) для различных точек
,р, q, г g 5, образы окрестностей этих трех точек пересекаются
:не трансверсаяьно в я^. (р) 6 Р' в точности тогда, когда гипер-
■"^ /ч/ /ч/
плоскости Тр {S), L, Тд {S), Ьш Тг {S), L пересекаются по 3-пло-
•скости. Так как мы показали, что общая прямая L с: Р^ не
пересекается с прямой, содержащей три точки S, то рассмотрим
многообразие
nc:SxSxSxGi2, 6),
1) Читателя не должно смущать То обстоятельство, что чуть выше буква
X, обозначала прямую в Р*.— Прим. ред.

6. Формула Нётера fi57
заданное как
^'2 = {{Р, д, г, L):Lczpgr,
dim{Tp{S), q, г n Гд(5), р, г П Tr{S), р, q) > 3).
Мы снова оставим читателю проверку того, что отображение
проекции п^: Г^-у G (2, 6) не может быть сюръективным, и
докажем, что для подходящего вложения S многообразие /^ будет
иметь размерность не больше 7. Это нетрудно: как раньше,
возьмем положительное линейное расслоение L и выберем к таким,
чтобы
Тогда пространство дивизоров Z) £ \ L^ \, особых ъ р, q ж г, имеет
коразмерность 9, и, следовательно, пространства Ер, Eq ш Ег а
с: I L'' I дивизоров D ^ | L** |, содержащих все три точки и
особых в р, д жг соответственно, имеют коразмерность 5 и находятся
в общем положении в | L'' |. Общая 5-мерная линейная
подсистема в \ L^ \ пересекает Ер, Eq ъ Ет ъ трех линейно независимых
точках; другими словами, при общей проекции iifi (S) в Р®
макакой пучок гиперплоских сечений S, проходящих через все три точки,
не может содержать элементы, особые в р, q и г. Однако если
Тр {S), q, г, Тq (S), р, г ж Тт (S), q, р пересекаются по 3-пло-
скости, то множество гиперплоских сечений S, содержащих эту
3-плоскость, давало бы такой пучок. Поэтому проекция
(Я1ХЯ2ХЯ3): /2->-5х5х5
отображает /^ на собственное подмногообразие в 5x5x5;
так как размерность слоев этого отображения ^ 2, мы получаем,
что dim /2^7.
Собирая все вместе, мы видим, что особая точка образа 5 с:
с: Р' поверхности 5 при общей проекции я относится к одному
из следующих трех типов.
1. Трансверсальная двойная точка 5, т. е. образ двух
различных точек 5. Окрестность р в S состоит из двух гладких
полидисков, пересекающихся трансверсально по двойной кривой С cz S
(рис. 11); в подходяпщх локальных голоморфных координатах
(и, V, w) на Р' вблизи р
(*) S = {uv = 0)
и
с = {и = о, V = 0).
11-0200

658
Г л- 4- Поверхности
Рис. и
Рис. 12
Вблизи точек р', р" прообраза р функции {n*v, n*w) и (я*а, n*w)
являются локальными голоморфными координатами; кривая С
задается вблизи р' и р" соответственно уравнениями n*v = О
и п*и = 0. Отметим, в частности, что С и С гладкие ври я"^ (р),
как и отображение я: С -*- С.
2. Тройная точка S, образ трех различных точек S.
Окрестность р ъ S состоит из трех гладких полидисков, пересекающихся
трансверсально (рис. 12); можно выбрать голоморфные
координаты (а, V, w) на Р' вблизи р, так что
(*) S = {uvw = 0),
С = (а = у = 0) \}{и, = W = Q) и (i' = IT = 0).
Вокруг трех точек р', р" и р'" поверхности S, лежащих надр,
в качестве локальных координат можно взять (я*г, я*и;),
(я*а, n*w) и (я*а, n*v)\ в этих координатах С задается
соответственно уравнениями я* г-я* и? = О, n*u-n*w = Оия*а-я*1' =
= 0.
3. Каспидалъная точка (или пинн) S, т. е. образ в S простой
касательной прямой к 5. В этом случае локальный характер
отображения я вблизи р уже не столь очевиден. Выберем
евклидовы координаты щ, . . ., и^ ъ Р° так, чтобы семейство 2-плоско-
стей, содержащих прямую проекции L, задавалось как
(Ui, и^, из) = (сц ^2, Сз) и чтобы прямая щ = и^ = щ = щ = Q

6. Формула Нётера 659
касалась Sup'; выберем локаль]Е[ые координаты (s, f) на 5 так,
чтобы при вложении Tp^ {S) в Тр' (Р^)
d/dt = д/ди^ и d/ds = д1дщ.
Тогда вложение 5 с: Р® примет вид
(S, 0^ ([2], [2], S+ [2], [2], f + [2])
и в евклидовых координатах и^, и^, и^ на Р*
я: (S, t) ^ ([2], [21, S + [2]).
В таком случае можно выбрать евклидовы координаты и, v, w
на Р®, такие, что (после замены координаты s)
п: (S, {)>-* isf + [3], f' + [3], s + [3]).
Теперь локальное уравнение для S примет вид
(*) / (а, V, w) = и^ — vu^ + [4].
Кривая С вблизи р задается как
С = {u+[2] = w + [2] = 0),
так что снова С шС гладкие вблизи р шр', а р' — точка ветвления
отображения я: С-^С. Картина такая (рис. 13): в точке дф
Фр ^ С вблизи р две ветви S, соответствующие двум точкам С
над д, пересекаются трансверсально; в точке р эти две ветви
сливаются вместе. (Хотя нам это и не понадобится ^), отметим все же,
что можно найти такие голоморфные коо динаты (.9, t) на S
и (а, V, w) на Р' вблизи р, что п {s, f) = {st, t', s), и
соответственно S = (u^ — vvr — 0).)
Приведенные выше локальные уравнения (*) для
поверхности S называются нормальными формами различных особых
точек. Говорят, что поверхность имеет обыкновенные особенности.
^) См., впрочем, стр. 662,— Прим. перее.

660 Гл. 4. Поверхности
если каждая особая точка S относится к одному из описанных
выше типов, т. е. если S задается в окрестности любой точки
одной из указанных выше нормальных форм.
Формула Нётера для общих поверхностей
Теперь в нашем распоряжении имеются все средства,
необходимые для доказательства формулы Нётера по намеченному
ранее плану. Пусть S — алгебраическая поверхность; вложим
ее в Р5 и возьмем общую проекцию
ф: 5 -> 5о сг P^
отображающую S на поверхность 5о с: Р' степени п с
обыкновенными особенностями. Пусть р^, . . ., pt — тройные точки
iSo, Cj, . . ., Сц — неприводимые компоненты двойной кривой С
на 5(,, di ж gi — степень и род Cj соответственно; назовем d =
= ^di ж g = '^gi степенью и родом кривой С.
Наша цель — выразить обе части формулы Нётера для S при
помопщ чисел п, d, g, и ш f. Первый шаг состоит в описании
л
раздутия X -*- Р', для которого собственный прообраз S^ в X
гладкий; это нетрудно, так как обыкновенные особенности
сравнительно просты. Для начала пусть
щ: У-^РЗ
— раздутие Р* в тройных точках р^, . . ., pt поверхности Sq,
Ei — исключительные дивизоры над р,-. В окрестности каждого
исключительного дивизора Ei собственный прообраз S-^
поверхности 5о состоит из трех гладких листов, пересекаюпщхся
попарно по гладким дугам и пересекаюш;их Et ^ Р^ по трем прямым;
двойная кривая на Si является собственным прообразом С и
состоит из трех дуг — попарных пересечений трех компонент 5i,
как показано на рис. 14. В явном виде пусть z^, z^, Zj —
локальные координаты в открытом множестве U вокруг тройной точки р,
относительно которых 8ц задается в U как {z^z^z^ = 0). Тогда
я^' {U) покрывается тремя открытыми лшожествами U^, U^, U3,
где Ui — дополнение в п^^ {U) к собственному прообразу
координатной гиперплоскости (zj = 0), и в координатах
z{i)i = zi, z{i)j=^, 2(t)ft = -^
на Ui мы ползгчаем, что
"Г' (-^о) = {ZfZiZ {i)j-ziz {i)k = 0) =
= ЗЕ, + (z (О,-= 0) + (z (Oh =0),

6. Формула Нётера
661
Рис. 14
т. е. S-i П Ui СОСТОИТ из собственных прообразов двух
координатных гиперплоскостей {Zj = 0) и (z^ = 0). Двойная кривая
С CI 5i является объединением дуг (z (Oj = z (Oh = 0) cr Uu
в частности, мы получаем, что С — гладкая кривая и,
следовательно, все неприводимые компоненты Ct кривой С разведены.
Пусть теперь п^: А' ->- У — раздутие Y вдоль двойной кривой
С = {}Ci. поверхности S-^, п = п^о п^ — композиция раздутий.
Пусть Fi обозначает исключительный дивизор над Ci, S —
собственный прообраз Si ъ X ти Ei — прообраз исключительного
дивизора Ei с: Y. Наше первое замечание состоит в том, что S —
гладкая поверхность в X. Ясно, что это нужно проверить в
прообразе точки р в С. Если р — не пинч Si, то можно выбрать
координаты Zi, Zj, Z3 в ее окрестности U на Y, такие, что в U
Si = (Z2Z3 =0), С = (zj
= 0).
Прообраз и в X покрывается дополнениями t/j и С/з к
собственным прообразам координатных гиперплоскостей (z^ = 0) и
(2з = 0). В координатах
z,. = z.
2(2)з = ^
Zi = Zi,
-а
на С/г имеем F = {z^ = 0) и
я^ (Si) = {z^-z,yz (2)з = Qi) = 2F + (z (2)з = 0),
так что S гладкая в U^; аналогично, в координатах
Zi = Zi, 2(8)2=^
С/з
2з=2з
на
я^ №) = (Z3-Z3.Z (3)2 = 0) = 2F -Ь (Z (3), = 0),

662 Гл. 4. Поверхности
так что S гладкая в С/д. Поэтому S гладкая вблизи п~^ (р); на
самом деле вблизи р пересечение S f\ F состоит из двух сечений
расслоения F —»■ С, соответствующих нормальным направлениям
к С двух ветвей Sj в точке р.
Если же р — пинч Si, можно выбрать координаты Zj, Zj, Z3
в ее окрестности U, такие, что
S, = {zl - ziz\ = 0), С = (Z, = Z3 = 0).
Если TJI, Zl ж Z {i)i такие же, как раньше, то в U^
nil (5i) = (7.1 - zj.ziz (2)1 = 0) = 2F + (1-Ziz (2)1 = 0),
T, e. S пересекает каждый слой z^ = с расслоения F (кроме z = 0)
в двух точках z (2)з = ± У 1/с и, в частности, S гладкая. В U^
Я2^ {Sd = (zlz (3)1- zjzl =0) = 2F + {z (3)1 -Zl = 0),
так что S пересекает слой z^ ^ с расслоения F в двух точках
Z (3)2 = гЬ У с и касается слоя Zj = О в точке z (3)2 = О, т. е. я^'Ср)
есть точка ветвления двулистного накрытия п^'- S {\ F -*- С.
Снова непосредственно видно, что поверхность S гладкая в я"^ (р)
и, значит, гладкая всюду.
Мы получили таким образом десингуляризацию любой
поверхности SqCZ Р', имеющей только обыкновенные особенности.
Заметим, что в случае, когда S^ является образом при общей
проекции гладкой поверхности 5 с: Р*, поверхность S отличается
от S: тождественное отображение
S - я-1 {О-^ S - ф-1 (С)
продолжается до изоморфизма
S- я-1 {{pi, . . ., pt}) -^ 5 - ф-1 ({л, . . , Pi))
и затем до голоморфного отображения S -*- S, стягивающего
кривые S {\ Е, лежащие над р^, . . ., pj, т. е. S есть раздутие S
в Ш точках ф"^ {{Pi, . . ., Pt})- Мы увидим ниже, что если Sq сг Р'
— любая поверхность с обыкновенными особенностями ж S —
собственный прообраз Sg в построенном выше раздутии X
пространства Р', то кривые S f\ Е являются исключительными
кривыми первого рода. Если мы стянем эти кривые, то получим
минимальную десингуляризацию Sq, т. е. гладкую поверхность S,
допускающую голоморфное отображение на Sg сг Р', которую
уже нельзя стянуть на другую гладкую поверхность,
допускающую голоморфное отображение на Sq.

6. Формула Нётера 663
Итак, обыкновенные особенности поверхностей разрешаются
применением двух раздутий; на самом деле подходящие раздутия
позволяют разрешать любые особенности.
Теорема (разрешение особенностей). Для любого многообразия
F с: Р" существует раздутие X ->- Р", такое, что собственный
прообраз V в X гладкий.
Доказательство этой теоремы, принадлежащей Хиронаке (см.
ссылку на стр. 480), выходит далеко за рамки этой книги.
Следующий шаг состоит в вычислении кольца когомологий X,
по крайней мере в четных размерностях. Кольцо когомологий
Н* (У) вычисляется просто: если Ei, . . ., Ef — исключительные
дивизоры раздутия У-Л Р^, а Li — прямые в Ei ^ Р*, то
Н^ (У) = п*1Р (РЗ) Ф С {El Et) =
= С{Н, El Et)
и аналогично
Я* (Л = С {Я^ Li, . . ., L,}.
Ясно, что H-Ei = Ei'E] — О при 1ф /; так как ограничение
[Ei] \е. ^ \.—1ч\, то Ei-Ei = —Li. В дополнительных
размерностях
Н-Н^ = 1, H-Li = О,
ЕгЯ^ = 0, Ei-Lj = -8ij.
По напшм формулам
cj (У) = nUi (РЗ) -2^Ei^iH-2^Ei
и С2(Г) = Я*С2(РЗ) = 6Я2.
Чтобы найти класс Cj в H'^{Y), обозначим через х^ число
ветвей С ъ pj, принадлежащих Cj. (Заметим, что S "^ц^^ ДЛЯ
всех /, так что Stii = 3f.) Тогда
CfH — di, Ci-Ej = Xij,
и поэтому
В частности.
Ct^di-m-Yi'^uL].
Ci/r'
Ci{N~J-c,{Tr)U-c,{^) =
= Adi-2^Xij+2gi-2.

664 Гл- 4. Поверхности
Перейдем теперь к X. Пусть Fi, как и раньше, обозначает
исключительный дивизор раздутия п^'- X -> У над Ci, Mi — слой
расслоения п^'- Ft-^ Ct ш Ej, Lj — прообразы Ej, Lj в Y. Тогда
Ю (Х) = С {Я, El, . . ., Ей F^, . . ., F^},
Н* (Х) = С {Я^ L„ . . ., Lt, Ml, . . ., М„}.
Пересечения очень легко определяются в дополнительных
размерностях; прежде всего, как и раньше, имеем
Н-1Р = 1, H-Lt=0, EfLj = -bij, El-IP = О,
и аналогично
H-Mi = EyMi = Ю-Fi = Fi-Lj = О,
так как каждый из этих циклов можно отвести от другого.
Наконец, так как [Fj] \р. совпадает с тавтологическим расслоением
на Fi=P (iVa-./y),
Fi-Mj — —Ьц.
В спаривании Я" (X) X Я* (X) -> Я* (X) соотношения
H-Et=0, EfEj^-btjLj
очевидны. Так как гиперплоскость в Р* пересекает Cj в dt точках,
то ее обратный образ в X пересекает исключительный дивизор Ft
в di слоях, т. е.
H-Fi = dtMi;
аналогично, Е] пересекает Fi в слоях Fi над точками пересечения
Ci П Ej, так что
Ej.Fi^XijMi.
Наконец, так как класс [F^] \р равен классу g тавтологического
я, ~
расслоения на F^^P {Nc./Y)—^Ct, то по нашему соотношению
0 = g2-|-n|q(iV~/P =
CilY'
,. Л.Ы.-\-'>.Р,—
мы получаемF\= — {Ы1 + 2g^ — 2 — 2 2 Xij). Вместе с дроизведе-
= /??! +4dj + 2gj-2-2 21 t^y
3
ниями
FbH = Fr{Fi-H) = FfdtMt^--dt,
Ft.Ej = Fr{Fi.Ej) = FfbjMt= -t„-

6- формула Нётера
665
ЭТО дает формулу
3 3
в итоге форма пересечения на Н-* (X) дается следующими
таблицами умножения:
т
L}
Mj
н
1
0
0
Ег
0
-Ьи
0
Ft
0
0
-Ьи
н
Ej
Ft
Н
Eh
Fk
т О diMi
О —8jkLj XihMi
dhMn thjMk 8„i{-dim + 2 XijLj + {idt+2gi-2-2 2 tij) Mi) .
Заметим, что класс 5 равен /гЯ —3 2-^у —2S-^г» так что
Ъ-т=п, S.Lj = S и S-Mi = 2.
Теперь для вычисления с^ (S) и с^ {S) остается только
применить формулы присоединения (♦) и (**), приведенные в начале-
этого параграфа. Так как
то
С1(Х) = я|с1(У)-2^1 = 4Я-22^у- S^i.
c,{S) = {c,{T^)-iS))\^=-{n-A)H + ZEj+y]Fi
с\ {S) = S- [(7г-4)2Я2_2(„_ 4) J\ djMj-^ Lj-S d,F2+
+ 2XrijMi+y,{idi+2gi-2^2'2xij)Mi + 'ZxijLj]=-
i, 3 i 3 i,3
= n{n — A)^—A{n — ^)d—St+i2t — nd + 8d+^g — ^—l2t + 9t=-
= к (к — 4)2 — 5nd + 24d+4g—4u + 6f.
Так как S получается из S раздутием 3t точек, то
cl{S) = cl{S)+dt = n(n — i)^-5nd+24d + Ag — Au+9t.

666 Гл- 4. Поверхности
Далее,
С2 {X) = я| (с, (F) + 2^0- "!q (F). 2 ^г =
= (й+6) Я2 - S (4dj - 2 2 ха)М^ - 2 2 tг^L^,
% i i,'
«ледовательно,
C2(5) = (c,(r^)-ci(5).5)|g.=
= 5.[(d + 6)ff2_V(4d,_22t,y)Mi-22tjyL^ +
i J i, J
i i
+ 22(4di + 2gj-2-22tjy)Ma =
i i
= n(d+6)-8rf+12f-9f-4(n-4)d+n2(n-4)-
— 2dn —9f + 30f —2nd+18f + 16d+8g'—8a —24f
в
£2(5) = C2(5) —3f = K2(n —4) + 6K + 24d—7Kd+8g'—8а+Ш.
Поэтому окончательно получаем
c\(S)p(S)_ (n-i)in-2)in-3) _(„_4)^+g_a + 2t4,l.
Для доказательства формулы Нётера нам нужно выразить
голоморфную эйлерову характеристику %{Os) — %iOg) также
через п, d, g, и, t. Пользуясь последовательностью вычета
Пуанкаре для S CZ X
получаем
X (0~)=X (й|)=X (й^ {S))-t т)=X № (S)) +1,
так как х (^х) = X (^р^) = — 1- Для вычисления голоморфной
эйлеровой характеристики
Х(О^(5)) = х(0х(^х + 5)) = х(0х((«-4)Я-2^~2^|))

6- Формула Нётера 667
воспользуемся последовательными ограничениями. Сначала
рассмотрим последовательность
0-^ 0х ((« - 4) Я - 2 ^,—2/^|)-^ 0х ((« - 4) Я - S Е,)-^
-^ Ф 0F. ((п - 4) Я - J £у)-^ 0.
i ^
Чтобы найти эйлерову характеристику последнего члена, вос-
лользуемся формулой Римана —Роха на Fi: дивизор ((«—4) Я—
— ^Ej) If. равен в точности сумме di (п — 4) — 5jT,j слоев ли-
вейчатой поверхности Fi J!^ Ci', так как слои имеют индекс
самопересечения О и индекс пересечения —2 с Kp^, то
x(0F,((«-4)/f_2^y)) = X(0F,) + dj(«-4)_."^Tj^ =
3
= i-g. + di(n-A)-y,Xij.
3
Поэтому
х(ф0^Д(п-4)Я-3£у) = ^-^ + ^(«-4)-Зг,
i
X(e)~) = X(0x(("-4)Я-I]£^))-d(7г-4)+g_a + Зf + l.
Далее, из последовательности
О-*0л((« - 4)Я - Е Е:)-*ОАп-^)Н) ^© Oj.((n -4)Я) ->-0
00^
мы получаем
Х(0^((/г-4)Я-3£у)) = Х(е)х((«-4)Я))-х(ф0ЕЛ =
= Х(0х((«-4)Я))-г
и, следовательно,
X(0~) = X(0x((«-4)ff))-d(«-4) + g-a + 2f+l.
Наконец, для вычисления х ( ©х ((" — 4) Я)) в случае тг ^ 4
мы возьмем гладкую поверхность Г с: Р' степени п — 4, не
содержащую pi, . . ., р( и трансверсально пересекаюхцую каждую кри-

608 Гл. 4. Поверхности
вую Си пусть Т CZ X — ее прообраз; рассмотрим
последовательность
О _► 0^, _► 0 ^ ((и _ 4) Я)->► 0~ ((тг - 4) Я)->► 0.
На f вьшолняется соотношение {{п — 4) Я)- = (тг — 4) H-Kf,
и по формуле Римана — Роха
Х(0у((/г-4)Я)) = х(0у) = Х(е)г)= ("-1)(»-2)(»-3) ^.^^
так что
%{ОА{п-А)Н))= in-i)(n-2)(n-3) ^
В случаях тг = 1, 2 или 3 возьмем в качестве Т поверхность
степени 4 — ге в Р*; из последовательности
О-> ©х ((/г - 4) Я)-^ 0^-^ 0у-^ О
снова получаем, что
Х(0х((»-4)Я) = 1-х(0у) = О= (n-i)in-2)in-3) ^
Позтому в любом случае
%iOs) = %iG~)= in-i)(n-2)(n-3) _^(„_4) + g_^ + 2t+l,
и формула Нётера доказана.
Стоит отметить, что ни геометрический род, ни
иррегулярность поверхности S по отдельности не содержатся в
приведенных выше формулах. И действительно, хотя, как мы сейчас
увидим, обычно удается найти pg (S) и q (S) для заданной
поверхности S с: Р*, но эти инварианты не определяются числаьш
п, di, gt, и ж f.
Для нахождения геометрического рода поверхности 5 ->- So<^
CZ Р', заданной так же, как и раньше, вернемся к
последовательности вычета Пуанкаре на десингуляризации S cz X:
О_v Si-^ й^ (5)-> QL-> 0.
S
Так как X рационально, то
/г« (X, QS:) = О и h^ {X, Q^) = /г« (X, Q^:) = О,
поэтому
Pg(5) = A«(X. Qi(5)) = A''(X, 0^((„_4)Я-Е^.— Е fi))-

6. Формула Нётера
Далее, любое сечение линейного расслоения {п — 4) Я на Р*,
которое обращается в нуль вдоль кривой С, дает сечение
расслоения {п — i) Н —"^Ej —S^i на X, и обратно, по теореме
3 i
Хартогса любое сечение (Т е Я" {X, О^ {(п — 4) Я —Т:Е] —Ti^\))
является прообразом сечения (п — ^) Н на Р', обращающегося
в нуль на С. Поэтому справедливо следующее утверждение.
Каноническая система \ К g \ на S высекается
поверхностями степени п — 4 е Р'* содерясащими кривую С.
Теперь можно вычислить Pg{S). Обозначим через \Е\
линейную систему я*|0р8((7г —4)Я)| с: |0^(я* (тг —4) Я)|.
Геометрический род pg (S) равен числу [о ] поверхностей
степени п — 4 е Р' минус размерность векторного
пространства линейной системы \ Е \, котирую они высекают на С.
Сравнивая это с нашей предыдущей формулой для эйлеровой
характеристики X (®s) = Pg i^) — q (S) -\- 1, мы получаем очень
простое выражение для q (5):
= {""*)-dim |E|-("~*)+rf(n-4)-g-ba-2f =
= S {di{n-i)-gt + i)-dim\E\-2t=-
= A«(C, е^Цп-А)H))-dim \E\ -h^ (C, О-^Цп-А) Ч)) -2t.
С С
Разность первых двух членов показывает, сколько параметров
не хватает линейной системе | Е \ для полноты, и называется
недостаточностью системы \ Е \.В этих терминах мы получаем:
Иррегулярность q (S) равна недостаточности минус индекс
специальности линейной системы \'Е \, высекаемой на С
поверхностями степени п — 4 е Р*, а минус удвоенное число
тройных точек.
Последнее, что мы сделаем,— покажем, как по п, d, g, и ut
найти число b каспидальных точек поверхности 5о d Р'. Если
DiCZ S — прообраз кривой Ct cz S^, то число bt точек пинча^о
вдоль d равно числу точек ветвления двулистного накрытия

670 Гл. 4. Поверхности
щ: Df-*- Ci. По формуле Римана — Роха и формуле
присоединения это число равно
fe, = (2g (Dt) - 2) - i2gt - 2) = Di-K-s + DfDi - 4g, + 4.
Как мы уже видели,
^^ = ((«-4)Я-2^у-2 i^i)!- = ((«-4) Я-S £,-)|~-S Dt,
так что
® i
fe..^2(/г-4)dг-2 2т,^-4g, + 4.
Полное число точек пинча на S равно
fe = 2d (тг — 4) — 6f — 4g + 4а.
Некоторые примеры
Рассмотрим теперь некоторые примеры неприводимых
поверхностей S(,cz Р^ с обыкновенными особенностями. Во всех случаях
S -^ 5о будет обозначать минимальную десингуляризацию S^,
С CZ So — двойную кривую на So, D cz iS — ее прообраз в S;
п, d, g, и ж t обозначают то же, что и раньше.
Для начала предположим, что So — кубическая поверхность.
Так как общее плоское сечение H-S^ поверхности So есть
неприводимая плоская кубическая кривая с особенностями в d точках
Н-С, мы находим, что d^ 1, т. е. С либо пусто, либо
представляет собой прямую. Предполагая, что С — прямая, мы сразу
получаем, что S — рациональная линейчатая поверхность:
пучок {Н},} плоскостей в Р', содержащих С, высекает на S пучок
прямых {L^}. В базисе {^о. L,^} на 5 ^ 5„ класс гиперплоскости
на S можно записать в виде
Н = аЕо + ЪЬ^\
так как H-L,, = 1, то с = 1, и тогда из равенства
3 = Н-Н = (Ео + bLj^f = n + 2b
следует, что п = i, H = Eo-\-Lj^-aD=H — L^ — Ео- Далее,
мы уже видели, что полная линейная система \ Eq -\- L^ \
вкладывает линейчатую поверхность S-^ как поверхность Штейнера
5i_i с: Р*; поэтому
Кубическая поверхность iSqC: Р' с двойной прямой является
проекцией поверхности Штейнера S^^(z:P'^.

6. Формула Нётера 671
Обратно, любая поверхность Штейнера S ^ ^^д
быть реализована как объединение прямых, соединяющих точки
прямой Z>oo с: Р* с соответствующими точками коники D^ ъ
дополнительной 2-плоскости W CZ Р*; нетрудно видеть, что
проекция Яр поверхности 5i,i из точки р ^W — D^ взаимно однозначна
вне Z>o и является 2-1-отображением D^ ш& прямую. Так как
любая неприводимая кривая из двумерной системы | Е^ \ может
быть принята за D„ в этой конструкции, то любая точка р £
6 Р* — 5i_i лежит в 2-плоскости, порожденной такой кривой,,
и поэтому
Образ поверхности Штейнера ^^д с: Р* при проекции
из любой точки р 6 Р* — S^^ является кубической
поверхностью с двойной прямой.
Перейдем теперь к поверхностям S^ четвертой степени.
Заметим прежде всего, что так как общее плоское сечение S„ является
неприводимой квартикой с d = deg (С) особыми точками, то
d ^ 3. Кроме того, поскольку любая прямая, пересекающая С
три раза, пересекает S„ шесть раз и потому лежит в S^, мы должны
исключить возмоншость, что С состоит из трех непересекающихся
прямых. В самом деле, читатель легко проверит, что прямые
в Р', пересекающие три скрещивающиеся прямые, заметают
квадратичную поверхность. Остаются следующие возможности:
1) С — прямая;
2) С — гладкая плоская коника;
Ъ) С — объединение двух скрещивающихся прямых;
4) С — рациональная нормальная кривая;
Ъ) С — объединение трех прямых, пересекающихся в точке.
Заметим, что во всех этих случаях
Zs = -Z><0,
так что Рт (S) = О для всех т; в случаях 1), 2), 4) и 5) мы видим
также, что д {S) = О и, следовательно, поверхность S
рациональна. Рассмотрим эти случаи по отдельности, начиная со второго.
•2. С — гладкая плоская коника. По нашим формулам
cjs (S) = тг^ (тг — 4) Ч- 24d — Ind + 6п + 8g — 8и + 1Ы =
= 0-Ь48-56-Ь24 + 0-8-Ь0 = 8,
так что S должна получаться четырехкратным раздутием из
линейчатой поверхности или пятикратным из Р^; так как
Ks = -D = -Н

"672 Гл- 4. Поверхности
■строго отрицательно, то никакая кривая не может иметь индекс
самопересечения меньше —1. Отсюда, как обычно, следует, что
S — раздутие Р^ в пяти общих точках, никакие три из которых
не коллинеарны. Кроме того, мы видим, что каждая из пяти
исключительных кривых Ei, . . ., Ег, должна пересекать D =
= —Ks по одному разу; поэтому, если v. S -^ Р'^ — отображение
раздутия, образ i {D) должен быть кривой с индексом
самопересечения Z>-Z> + 5 = 9, содержащей все пять раздуваемых точек,
т. е.
Я = 1*ЗЯ — Е-,— ... - JSj.
Однако мы уже видели, что линейная система | \,*ЪН — Е^ — ...
... — ^5 I вкладывает 5 в Р* как пересечение двух квадрик;
поэтому
Квартика с двойной коникой является проекцией в Р'
пересечения двух квадрик в Р*.
3. С состоит из двух скрещивающихся прямых Cj и С^. Так
как А" (Р», 0рз ((/г _ 4) Я)) = А" (Р», 0рз) = 1, а А" {С, 0) =
= А" (Ci, 0) + /г" (Сг, 0) = 2 и ни ©cii ни Qс, не специальные,
то q (S) = 1; поэтому S — бирационально линейчатая
поверхность над эллиптической кривой. В самом деле, по нашей формуле
Cj (S) = О, так что S линейчатая. Можно явно указать эту
структуру: пучок {Нх} гиперплоскостей, проходяш;их через Ci,
высекает на S пучок коник {Сх}^ которые, будучи особыми в точках
Нх П Cz, распадаются на две прямые L?., L'^. Так как пучок
{Сх} не имеет базисных точек на S и, кроме того, прямые Ь^ и L'x
не пересекаются на S, они проходят через каждую точку S,
лежащую над точкой Н^ П С^. Кривые Di и D^ являются
сечениями линейчатой поверхности S.
Читатель может развлечься следуюпщм упражнением:
показать, что поверхность S^ можно реализовать двумя другими
способами, а именно как объединение прямых, соответствуюш?1Х
пересечению грассманиана G (2, 4) с: Р* прямых в Р' с обш;ей
квадрикой ^ с: Р' с: Р*, либо как объединение прямых, соеди-
няюш;их соответствуюш?1е точки двух скрещиваюпщхся прямых
Cj и Сг в Р' при соответствии бистепени (2, 2) между Ci и С^.
4. С — рациональная нормальная кривая. В этом случае S —
регулярная, а следовательно, рациональная поверхность; так как
по формуле (♦)
с, {S) = 4,
мы получаем, что S — рациональная линейчатая поверхность.
Чтобы выявить линейчатую структуру, рассмотрим обш;ий
элемент Q связки Л'^ квадрик, проходяш;их через С Он пересекает S

6. Формула Нётера 673
ПО Кривой типа (4, 4), т. е. гомологичной сумме четырех прямых
из каждого семейства на Q, и, так как рациональная нормальная
кривая имеет тип (1, 2) на Q, вычетное пересечение Q с S имеет
тип (4, 4) — 2 (1, 2) = (2, 0), т. е. состоит из двух прямых
L, L', каждая из которых пересекает С дважды. Так как любая
квадрика Q ^ N, содержащая третью точку L', содержит L',
мы получаем пучок квадрик {Q),}, содержащих L'; вычетное
пересечение {Q),} с S дает нам пучок прямых {Lj^}.
Рассмотрим теперь дивизор D — Я на 5. По нашей формуле
DD = К-К = 8, и, так как H-D = 6, мы получаем, что
А»Ф-я)>(^-^(^Г^-^+1 =
2
iD—h)(2D—h) , , 16—18+4
= 2,
т. е. D — Н движется по меньшей мере в пучке. Так как
ф - Я)^ = 8 - 12 + 4 = О,
(^)-я).L;,=i-Ф-я)(2я-^)) = l,
мы получаем, что кривые из | Z) — Я | образуют второе семейство
кривых на S, трансверсальное к первому; поэтому 5 ^ Р^ X Р^
с L), и Е = D — Яв качестве слоев. Наконец,
Н = {0 -Н) + {2Н -D) = E + 2L),,
и мы получаем, что полная линейная система 1 Я | вкладывает
5 ^ Р^ X Р^ как рациональную нормальную линейчатую
поверхность iSg.o сг Р*. Итак,
Квартика Sq с двойной рациональной нормальной кривой
является проекцией поверхности ^g.o сг Р*.
5. С состоит из трех прямых Сц Cg и Cs, пересекающихся
в точке р. Это самый простой случай: по напшм формулам
X (©s) = 1,
поэтому q {S) = о и S рациональна. Далее,
Cg (S) = 3,
так что S ^ Р*. Так как степень Sq равна 4, S^ является
проекцией поверхности Веронезе S а Р*.
Обратно, можно показать, что проекция поверхности Веронезе
5 сг Р* из общей прямой L сг Р* дает такую квартику: мы уже
видели, что многообразие хорд к поверхности Веронезе заметается
2-плоскостями, порожденными коническими кривыми (т. е.
образами в S прямых в Р^) на S, и что оно является кубической гипер-
12-0200

674 Гл. 4. Поверхности
Рис. 15
поверхностью в Р^. Прямая L пересекает эту кубическую
гиперповерхность в трех точках, т. е. существуют три коники в S,
2-плоскости которых пересекают L; при проекции из L эти три
коники отображаются на двойные прямые образа Sq.
Мы предоставляем читателю показать, что квартика с двойной
прямой является образом плоскости Р^, раздутой в 9 точках,
при отображении, заданном системой кривых 4-й степени,
проходящих через 8 наших точек и двойных в девятой.
Наш последний пример, по-видимому, наиболее интересен.
В предыдущем параграфе были найдены два способа
представления поверхности Энриквеса: как факторпространства
КЗ-поверхности по инволюции без неподвижных точек и как эллиптической
поверхности с рациональной базой, имеющей два двойных слоя.
Теперь мы приведем проективную реализацию поверхности
Энриквеса (рис. 15). Пусть Т — тетраэдр в Р' с вершинами Pi, р^,
Рз^ Pi, ребрами lij = PiPj и гранями Ник = PtPiPh, и пусть
5 сг Р' — поверхность степени 6 с обыкновенными
особенностями, двойными кривыми которой служат шесть прямых If}.
Если теперь S—>S сг.Р^ — десингуляризация S, lij = n~^{lij),
то
К^ = л*{2Н)-У]1„
т. е. каноническая система на S высекается поверхностями
степени 2 в Р', проходящими через ребра Т. Но любая квадрика,
содержащая прямые lij, Ijfi и ij^, содержит и плоскость Hfji,;
поэтому таких квадрик не существует и
Pg {S) = 0.

6. Формула Нётера 675
С другой стороны, удвоенная каноническая система
высекается квартиками в Р', дважды проходящими через
ребра Т. Такая квартика только одна, а именно
сумма четырех граней Т. Более того, каждая плоскость Нц^
пересекает S по кривой 6-й степени 2Zj; -\- 2Z;ft -Ь 2lik и больше
нигде; поэтому Q пересекает S только вдоль прямых Zj;, и
расслоение 2£g- тривиально.
Заметим теперь, что десингуляризация С двойной кривой
С = 2 hi поверхности S состоит из 6 непересекающихся
рациональных кривых; поэтому система \Е \со стр. 669 неспециальная
и имеет недостаточность
А»(С, 0(2))-1О = 3.6-1О = 8.
Значит, иррегулярность S равна
g (5) = 8 -- 2t = О,
я § — поверхность Энриквеса.
Канонический дивизор на «5 можно явно реализовать следую-
1ЦИМ образом: пусть Q — квадрика Нц^ + Нць состоящая из
двух граней Т. Тогда Q дважды проходит через общую прямую
lij этих граней, по одному разу через ребра Zj^, Z^j, Z^^, Iji и
совсем не проходит через l^i. Так как канонический дивизор на S
равен п*2Н — 2 hi; мы получаем, что
т. е. канонический дивизор на S есть разность прообразов двух
противоположных ребер Т.
Как мы энаем иэ предыдущих обсуждений, поверхность
Энриквеса «5 может быть представлена как эллиптическая поверхность
с рациональной базой и двумя двойными слоями. Для
поверхности S, заданной как секстика S -^ S сг. Р^ в Р', двойная вдоль
ребер тетраэдра, можно явно указать три эллиптических пучка:
возьмем два противоположных ребра li] и Z^^j и рассмотрим
линейную систему квадрик в Р', проходяпщх через остальные ребра
hhj hh hhi Iji тетраэдра Т. Чтобы показать, что существует хотя
бы пучок таких квадрик {Q%}-, выберем произвольные точки
д, сг Zjft, q^ cr Zjj, ^3 6 Ijh и ^4 ^Iji, отличные от вершин Т; любая
квадрика, содержащая 4 вер1Ш1ны {pi) и 4 точки {qi}, имеет
12»

676 Гл. 4. Поверхности
ПО 3 ТОЧКИ на каждом ребре Zjft, 1ц, Zj^ и Iji и поэтому содержит их.
Так как линейная система квадрик в Р' девятимерна, существует
по крайней мере 9 — 8 = 1-мерное семейство таких квадрик.
(Обратно, так как 4 прямые являются полным пересечением
любых двух содержащих их квадрик, то существует не более
чем пучок таких квадрик.)
Заметим, что пучок {Q^,} содержит лишь 2 приводимые
квадрики: Qo = Hiih + Hjih и Qi = Hijh + Hiji. Любая другая
квадрика в пучке будет гладкой, поскольку она содержит,
например, две непересекающиеся прямые Zj^ и Iji, тогда как на
неприводимой особой квадрике в Р' все прямые пересекаются.
Напишем теперь
Q^S = 2k^ + 2lti + 2Z,., + 2Z;j + Сг.
Рассмотрим пучок {С^} кривых на 5 и их обратные образы С^, —
= л*Ся в S. Заметим, что
так как, в частности, С^ = 4Zftj и Cj = 4Zj; и их прообразы Cq =
= 2Zftj и Cj = 2lij не пересекаются. Поскольку S — поверхность
Энриквеса, К-Сх = О, поэтому
я (СО =-2^ + 1 = 1,
и по теореме Бертини общая С^^ гладкая. Поэтому поверхность S
эллиптическая относительно отображения W: S -^ Р^,
задаваемого пучком {С},}; кратными слоями являются 2Zj; и 2Zftj. Заметим,
что если L = [р] — линейное расслоение, ассоциированное с
точкой р 6 Р^, то по нашей формуле
К^=- Y*L +lj + hi = Та - hi,
так как 2^1 = W*L; это согласуется с нашими предыдущими
вычислениями.
Наконец, хотя мы не будем доказывать, что каждая
поверхность Энриквеса может быть реализована как секстика в Р^,
мы подтвердим этот факт счетом параметров для секстик в Р^,
двойных вдоль ребер тетраэдра Т. Начнем с того, что поместим
вершины Т в точки р^ = [1, О, О, 0], р^ = [О, 1, О, 01, р^ =
= [О, О, 1, 0] и Р4 = 10, О, О, 1]. Условие, что секстика S а Р^,
заданная уравнением / (Xq, . . ., Х^) = О, является двойной
вдоль ребер Г, означает просто, что пересечение ее с каждой

6- Формула Нётера 677
гранью Hjhi = i^t ~ 0) есть двойной треугольник 21 j^ + 2Z;j +
+ 2Zft;, т. е. что
/ (0>-^и -^г' -^з) = ^o'-^i-^g-^si
/ {-Ло! О, Х^, Хз) = Aj-AjAjX,,
и т. д. Каждый одночлен в /, отличный от четырех членов XjX%Xi,
должен содержать множитель X^XiX^X^, и поэтому мы можем
написать
f {Хд, Xi, Х2, Xs) = Xo^lXlXj-{-%iXlXlX^-{-
+ X^XIXIXI + %sXlX\Xl + Q (X). Х^Х.Х^Хз,
где Kq, . . ., Kg ^C, & Q {X) — некоторый однородный
квадратичный многочлен от Xq, . . ., Х^. Обратно, так как секстики в Р^,
заданные многочленами / указанного вида, образуют линейную
систему без базисного множества вне ребер Т, общая Q из этой
системы будет поверхностью Энриквеса.
Далее, группа автоморфизмов Р^, оставляющая на месте
тетраэдр Т, порождается перестановками координат
[Xq, . . ., Хд] ^-> l-X^cCo)' • • •' ^a(3)i
и диагональными отображениями
IAq, • . ., Xgl 1—»■ [jXqAq, . . ., jijAsJ.
Поэтому с точностью до перестановок сг 6 Si существует
единственный автоморфизм Р*, переводящий любую секстину,
двойную вдоль ребер тетраэдра, в секстику, заданную уравнением
g {Xq, Xi, Х2, Xs) = XjX^Xj + XJXjX, +
+ XlX\Xl + XIXIXI + (? (X). X0X.X2X3.
Отсюда мы видим, что семейство таких секстик с точностью до
проективного изоморфизма имеет размерность h" (Р*, 0 (2Я)) =
= 10. Конечно, это равно размерности семейства всех
поверхностей Энриквеса, вычисленной в предыдущем параграфе. Так
как семейство поверхностей Энриквеса неприводимо и так как
любая поверхность Энриквеса ввиду нулевой иррегулярности
имеет лишь счетное число классов дивизоров, то возможно не
более чем счетное число представлений ее как секстики в Р',
и мы получаем, что общая поверхность Энрзаквеса реализуется
как секстика в Р', двойная вдоль ребер некоторого тетраэдра.
Изолированные особенности поверхностей
До сих пор мы рассматривали только поверхности в Р', имею-
пще особое множество положительной размерности, по той
простой причине, что только такими могут быть особенности проек-

678 Гл. 4. Поверхности
ции гладкой поверхности. Однако изолированные особенности
поверхностей постоянно встречаются в различных контекстах,
и было бы упущением не упомянуть о них. Так как изложение
общей теории таких особенностей не входило в наши цели, мы
ограничимся здесь несколькими примерами поверхностей с
обыкновенными изолированными двойными точками.
Пусть S — поверхность, лежащая на гладком трехмерном
многообразии X, ш р ^ S — изолированная точка кратности т
на S. Касательный конус к S ъ р будет кривой степени т (с
учетом кратностей) в Р {Тр {X)) ^ Р^; мы будем говорить, что р —
обыкновенная т-кратная точка S, если .это гладкая кривая с
кратностью 1. Рассмотрим сначала простейший возможный случай
обыкновенной двойной точки р ^ S; для упрощения вычислений
мы предположим временно, что S гладкая вне р. Построим
следующим способом десингуляризацию S: выберем локальные
координаты X, у, Z в окрестности U точки р в X так, чтобы функция,
определяющая S, имела вид
/ {X, у, z) = x^ + y^ + z^ + [3].
Пусть Х—^ X — раздутие X в р. Как в § 5 гл. 1, в качестве
локальных координат в дополнении Ui в л~^ {U) к замыканию
я* (ж = О, {у, г) =ji= 0) можно взять функции
Xi = X, У1 = у/х, Zi = г/ж;
на Uz = n ^{U) — л ^{у = 0, (ж, г) ^т^ 0) — функции
Жа = х/у, У2 = у, Zg = z/y
и на Ug == я~* {U) — я-1 (z = О, (ж, у)фО) — функции
Жз = ж/г, Уз = y/z, Zs = z.
Тогда
X ^ Xi ^ Х2У2 = ^3^31
у = x^yi = У2 = УзЧ,
Z = XiZi = У2^2 = ^З-
В и^ имеем
я-1 {S) = (я*/) = (ж,^ + х1у1 + x\z\ + [ж?]) =
= (ж,') + (1 + 1/^ + гЛ-[а;.]),
и поэтому собственный прообраз S поверхности S имеет вид
~S = K-^S)-2E = {i + yl + zl+{x^]),

6. Формула Нётера 679
где Е = (xi) — исключительный дивизор раздутия; ясно, что S
гладкая над р. Аналогично, в U^ имеем Е = (у^) и
Я-' (5)=(я*/)= {х1у1+у1+у'А+1у1]) .
так что 5 = (Xj + 1 + Zj + [у^]) гладкая в окрестности у^ = 0;
аналогично проверяется, что S гладкая в Us[\ Е^ Так как по
предположению S гладкая вне р, то S гладкая всюду и
отображение п: S -^ S является десингуляризацией S. Заметим, что
прообраз р в S ^ гладкая коника С, заданная в евклидовых
координатах у^, г^ на Е ^ Р^ как
i + yl + zl==0.
Теперь уже легко вычислить каноническое расслоение на S:
напомним из § 5 гл. 1, что
% = п*Кх + 2Е и S ^ л*8 - 2Е',
отсюда получаем, что
т. е. канонический дивизор на S высекается линейной системой
I Кх + <5 I на X, в точности как для гладкой поверхности S'
того же класса, что и 5 на X; в частности,
cliS) = cliS').
Действительно, выписывая последовательность вычета Пуанкаре
О
мы видим, что коразмерность в | Kgl\ ряда, высекаемого | Кх +
+ 5 I, равна размерности ядра отображения IP {X, Qx) ->■
-^ W-{X, Qx (S)), как и для S'; отсюда получаем, что
Рв Ф) = Ри iS')-
Далее, так как Kg^ = я* (Кх + S), то К^-С = 0; поэтому
по формуле присоединения
С.С = —2.

680 Гл- 4. Поверхности
Другим способом индекс самопересечения С можно найти так:
напишем
{C-C)^={E.E.\={E-E.{K*S-2E))~ =
= -2{Е-Е-Е)^; :
так как [Е] |я дуально к расслоению гиперплоскости Н я& Е ^
^ Р*, то мы получаем
{E.E-E)~ = {{-H)-{-H)h=i,
и поэтому С-С = —2.
Для нахождения % (О^) рассмотрим точную
последовательность пучков
О-^0х (-5)-^Jp.x->©-(-£)-^0;
имеем
x{G^i-E)) = %(e^)+ ^■^+^-^ =х(0~)-1,
и из точной последовательности
получаем, что
ХРр,х) = Х(0х)-1.
Отсюда следует, что хФ~) = %{Ох) — %Фх{ — ^))- Из аналогич-
ной точной последовательности
О-^ ©х (--5')-^ ©х-> ©S'-^ О
мы видим, что голоморфная эйлерова характеристика % (©§')
совпадает с % (©s') для гладкой поверхности S' а X того же
класса, что и S. Так как pg (S) = pg (S'), отсюда следует, что
q (S) = q (S'); согласно равенству cj {§) = c\ (S') и формуле
Римана — Poxa, отсюда следует, что с^ {S) == с^ {S').
Окончательно получаем
Десингуляризация S поверхности S сп X с обыкновенной
двойной точкой р может быть получена как собственный
прообраз S в раздутии X в точке р; прообраз р в S является
гладкой рациональной кривой с индексом самопересечения
—2; все инварианты q, % и \ К \ поверхности S те же,
что и у гладкой поверхности того же класса на X.

6. Формула Нётера 681
Этот случай допускает одно прямое обобщение: если р —
обыкновенная особая точка кратности т я& S а X, то
собственный прообраз S поверхности S в раздутии X в точке р всегда
гладкий. Инварианты S, хотя в общем случае и не совпадают
с инвариантами гладкой поверхности, гомологичной 5, все же
находятся относительно легко. Например, так как
5 ~ л*8 — тЕ,
то
Kg = {п*К^^ + я*5 -{т-2)Е) |^,
т. е. канонический дивизор на S высекается поверхностями
из системы I Кх -{- S | на X, содержащшш р с кратностью т — 2.
Аналогично, прообраз С = S [] Е а S точки р является гладкой
плоской кривой степени т в Е ^ Р^, имеющей индекс
самопересечения —т в S, и т. д.
Конечно, в общем случае собственный прообраз S
поверхности S а X при раздутии X в особой точке р поверхности S
может остаться особым в точках над р и потребуются дальнейшие
раздутия. В качестве примера рассмотрим пару необыкновенных
двойных точек, имеющих своими касательными конусаьш две
различные плоскости:
Si = {x^ + y^ + ^+ [4] = 0),
S^ = {x^ + y^ + z^+ [5] = 0).
~ я
Пусть X -^ X — раздутие X в точке р = (О, О, 0); в открытых
множествах Ut и системах координат (ж^, i/,-, г^), как раньше,
собственный прообраз Si поверхности S^ в X задается
уравнениями
{i + yl+[Xi]) в Ui,
ii + xl + Ш) в и^,
{х1 + у1+Ы) в и^.
Мы видим, что поверхность S^ гладкая я С = п~^ (р) состоит
из пары рациональных кривых С^ и Сг- заданных в Ui, U2 и U»
соответственно как
Ci = {yi=i, Xi = 0)={x2= -i, i/2 = 0) = (i/3=ia;3, 23 = 0),
Cz=--{yi= —i, Xi = 0) = {x2=i, y^ = 0) = {ys= —ixs, zs = 0).
Каждая из них имеет индекс самопересечения —2, и они транс-
версально пересекаются в точке х^ = у^ = z^ = О, как показано

682
Гл. 4. Поверхности
Рис. 16
Рис. 17
на рис. 16. Собственный прообраз ^2 поверхности ^2 задается
как
[i + yl+xX+lxl]) в и^,
i^l+i+y'A+iyl]) в и„
Снова прообраз п~^ (р) в ^2 состоит из двух кривых С^ и Cg,
но теперь их общая точка р' = [хз = г/з = ^з = 0) является
обыкновенной двойной точкой ^2. Если я': X ->- X — раздутие X
в р', то собственный прообраз ^2 поверхности ^2 гладкий и ^2 ->-
-^ Sg — десингуляризация ^2. Прообраз (яоя')~^ (р) точки р
в ^2 СОСТОИТ ИЗ трех кривых: собственных прообразов Cj и С2
кривых Ci 'В. С^ TS. прообраза С^ = я'~^ (р'), образующих
конфигурацию, изображенную на рис. 17.
Чтобы показать, как изолированные особенности влияют на
геометрию поверхностей в проективном пространстве, мы
рассмотрим кубическую поверхность S в Р*, имеющую б
изолированных двойных точек. В силу сказанного выше рассуждения
% 4 этой главы показывают, что десингуляризация S
поверхности S получается из Р^ раздутием шести точек {рг); так как 5
содержит б рациональных кривых с индексом
самопересечения —2, уже нельзя утверждать, что точки Pi различны (т. е.
некоторые точки Pi могут лежать на исключительном дивизоре
раздутия Р* в Pj) и что они находятся в общем положении.
Предположим сначала, что 5 имеет ровно одну обыкновенную
двойную точку р; пусть Й — ее прообраз в 5 и D = п {D) —
■образ D при отображении стягивания п: S -^ Р^. Тогда имеются
три возможности.

6. Формула Нётера 683
Р.
Р)
Рис. 18
1. deg Z) = О, т. е. D — исключительный дивизор. Так как
D — единственная кривая с индексом самопересечения < — 1
на S, это может осуществиться только в одном случае (рис. 18):
если точки Pi, ps, . . ., рв различны, & р^ — точка на
исключительном дивизоре El раздутия Р* плоскости Р^ в р^иВ —
собственный прообраз El при раздутии Р* в р^. Кроме того, йикакие три
из точек pi, Ps> • • м Ре не коллинеарны, так как иначе
появилась бы еще одна кривая с индексом самопересечения ^ —2
на S; подобным же образом, если v — касательное направление
к pi, указываемое р^, то прямая, проходящая через р^ в
направлении V, не содержит других точек р^, . . ., р^; наконец, не
существует коники, содержащей Ps, . . ., ре и проходящей через
Pi с касательной v. Можно подсчитать число прямых на 5 с: Р®.
Так как отображение 5 -^ Р' задается антиканонической
системой I—Ks\> прямые на S — это, как и раньше, рациональные
кривые на S с индексом самопересечения —1. Такими будут: 5
исключительных дивизоров Е^, Eg, . . ., j^e, 10 прямых {Ь1}}иф^ плюс
прямая Li2. проходящая через pi в направлении v, указанном р^;
4 коники {Сг}г:,ь1,2, проходящие через точки pi, ps, . . ., pi, ...
. . ., Рб и касающиеся v в р^, и, наконец, коника Cg, проходящая
через Pi, Ps, . . ., Рв- Всего получаем 21 прямую.
2. deg Z? = 1. В этом случае (рис. 19) ровно три точки pi,
скажем р^, р^ и Рз, лежат на прямой D; за исключением этого
условия, точки {pi} находятся в общем положении. Снова имеем
21 прямую на S: 6 исключительных дивизоров Е-^, . . ., j^e, 12
прямых {Lij}, где i, / не могут одновременно принадлежать {1, 2, 3),
и 3 коники {Ci}i = i2,S-
3. deg D = 2. В этом случае (рис. 20) все точки pi лежат на
конике Z), а в остальном находятся в общем положении. Снова
имеем 21 прямую на S: 6 исключительных дивизоров Ef и 15
прямых Lij.

684 Гл. 4. Поверхности
Лг
Рис. 19
Те же рассуждения, что и для гладкой кубики, показывают,
что deg Z) ^ 2, так что мы рассмотрели все возмозкности.
Заметим, наконец, что поверхность S может быть реализована
любым из этих типов: в случае 1 шесть прямых {Ь1/};=з е.
Cg и Е^ не пересекаются и могут быть стянуты до Р*; образ
исключительного дивизора Ех будет тогда коникой, содержащей все
6 точек (это стягивание осуществляется проектированием S из
двойной точки). Аналогично, исключительные дивизоры Е^, С2) jE/is
и {Ьз/}/=4,5,в не пересекаются и могут быть стянуты; при этом
отображении на Р* дивизор Ei переходит в прямую, содержащую
образы Eg, С2 и Lis-
Кубическая поверхность S с двумя двойными точками может
быть получена раздутием конфигурации точек, изображенной
на рис. 21; прямые РгРзР^ и PiP^Pe становятся двойными точками.
На такой поверхности 16 прямых: 6 исключительных дивизоров,
прямые {Ljj}}=2 в и {L35, ^86, jt/45, 1'4в} И коника Cg. Отметим,
что, кроме одной прямой Е^, соединяющей две двойные точки,
через каждую двойнзгю точку проходят 4 прямые; например,
через образ p^PsPi проходят Ез, Е^, L^^ и Lig.
у
/
Рг _
^*
^^^
. Рз
~*х
\
/ Ур4
Рве. 20

6. Формула Нётера 685
\
\ /
\ /
: 'Д •'■
я./ \
/ \
1 \
н
/ \
I
Paf
/
/
^i у
1 к
/ у Ps
.Г
1
1
Рис. 21 Рис. 22
Разумеется, разрешение особенностей кубической поверхности
S с двумя двойными точками можно реализовать раздутием Р*
в других конфигурациях точек (например, проектирование S
из любой двойной точки представляет S как раздутие Р* в 5
точках Pi, . . ., рд и еще одно раздутие в точке исключительного
дивизора Е^, соответствующей касательном^^ направлению в
точке Р5 к конике, проходящей через р^, . . ., р^). Читатель может
поупражняться, отыскав все такие конфигурации и показав, что
все они эквивалентны, т. е. что стягивание подходящего набора
из 6 непересекающихся прямых позволяет реализовать каждую
кубику с двумя двойнывли точками как раздутие Р^ в любой из
этих конфигураций. (Например, если поверхность S является
описанным выше раздутием, то мы можем стянуть
исключительные дивизоры E-i, Е2, £341 £451 jt/35 и j^e и выразить S как Р^,
раздутую в конфигурации рис. 21, где р^, р^, РгРгРк и PgPsPe —
образы Lsii Е^, Сц и Е^ соответственно.) Отметим одну
конфигурацию, которая не годится: в раздутии S плоскости Р* в точках
Pi, . . ., рб1 изображенных на рис. 22, собственные прообразы
прямых Р1Р2Р3 и pj)sPe пересекаются и при отображении S в Р®,
задаваемом системой | — Кж I, стягиваются в одну
необыкновенную двойную точку того же типа, что S^ в примере на стр. 681.
Кубика с тремя двойными точками может быть получена
раздутием точек pi, . . ., р^, показанных на рис. 23; собственные
прообразы прямых Z/igs, jt/345 и Lige стягиваются в двойные точки.

Гл- 4- Поверхности
S /
/ ч/
1
1
1
1
1 /
1 /
\/
лъ
/1
/
4
/0»
/
•ml' -7
Рь
"к
Рис. 23
Рис. 24
В этом случае мы получаем 12 прямых: Е^, . . ., £^в) ^^/24» J^25r
-^^261 ■^'41) ■^'46 и £|5в.
Заметим, что, кроме трех прямых Е-^^ Е^ и Е^, образующих
стороны треугольника с вершинами в двойных точках 5, черев
каждую двойную точку проходят две прямые (например, Е^
и Lie проходят через образ Lias)-
Чтобы получить кубику с 4 двойными точками, рассмотрим
специальную конфигурацию, изображенную на рис. 24. Здесь
имеется 9 прямых: снова шесть Ei плюс 3 прямые L24, Ь^ и L^.
Отметим, что прямые Ei образуют ребра тетраэдра, вершины
которого находятся в двойных точках S с: Р®, в то время как
прямые L24, ^15 и Lse образуют треугольник прямых, соединяю-
Рис. 25
Рис. 26

6. Формула Нётера 687
щих противоположные ребра тетраэдра, не пересекающийся
с двойными точками (рис. 25).
Заметим, наконец, что кубическая поверхность S не может
содержать более четырех изолированных особенностей. Чтобы
показать это, предположим, что S имеет 5 двойных точек Р^, . . .
. . ., Рд (рис. 26). Тогда все прямые Lij = PiPj лежат на 5,
откуда следует, что никакие 4 из точек Pi не компланарны: в
противном случае содержащая их плоскость имела бы 6 прямых,
общих с кубикой S, и потому лежала бы в S. Далее, Pi, . . ., Р4
образуют верпшны тетраэдра Т, все ребра которого лежат на S,
и каждая грань тетраэдра пересекает S ровно по треугольнику
из лежащих на ней ребер. Прямая Р4Р5 должна поэтому пересечь
грань PiPgPs в точке на прямой Р1Р21 Рг^з или P^Ps- Но в таком
случае Рд лежит в одной из граней Т, содержащих P^, и мы
получаем противоречие.
ЛИТЕРАТУРА
Как и в случае кривых, здесь имеется обвшряая литература. Особенно
полезны два следующих источника.
О. Zariski, Algebraic Surfaces. 2nd ed.— Berlin — Heidelberg — New York:
Springer-Verlag, 1971.
Эта книга содержит краткое изложение классической теории и обпшрную
библиографию, которая недавно была обновлена.
E. Bombieri, D. Husemoller, Classification and embeddings of surfaces. Proc.
Symposia in Pure Math., Vol. 29.— Providence: Amer. Math. Society,
1975, pp. 329—420.
Эта статья содержит обзор и библиографический путеводитель по
современной литературе.
Дальнейшая общая литература:
F. Enriques, Le superficie algebriche.— Bologna: Zanichelli, 1949.
F. Conforto, Le superficie razionali,— Bologna: Zanichelli, 1939.
Cm. также упомянутую во введении книгу
S. Lefschetz, L'analysis situs et la geometrie algebrique. Selected papers.—
N. Y.: Chelsea, 1971.

5 ВЫЧЕТЫ
До сих пор большая часть рассмотренных нами методов изучения
алгебраических многообразий концентрировалась вокруг понятия
дивизора и линейной системы дивизоров на таком многообразии.
Эта техника не только позволяет достичь глубокого понимания
свойств кривых и поверхностей, но и требует минимума
аналитических и алгебраических средств. Однако многие важные вопросы
алгебраической геометрии относятся к многомерным
многообразиям. Согласно теоремам Лефшеца из гл. О и 1, «новые», т. е. не
происходящие из подмногообразий меньшей размерности, когомо-
логии гладкого ге-мерного алгебраического многообразия М лежат
в Я1"/^^ (М). При этом переход к размерностям ге ^ 3 и
исследование подмногообразий коразмерности А; ^ 2 оказываются тесно
связанными, в то время как дивизоры имеют отношение к когомо-
логиям размерности 1 и 2. Поэтому в настояш;ей главе дается
краткое введение в некоторые методы исследования задач высокой
коразмерности, как локальные, так и глобальные. Следуюш;ая
глава посвяш;ена одному трехмерному многообразию.
Как и в случае дивизоров, теория будет развиваться вокруг
понятия вычета. Локальный вычет, задаваемый одним из
вариантов формулы Коши для п переменных, был известен с первых
дней теории функций нескольких комплексных переменных.
Недавно это понятие привлекло к себе внимание в алгебраическом
контексте в связи с обш;ей теоремой двойственности Гротендика,
выделившей функториальные свойства локального аналитического
вычета. Следующая за ней глобальная теорема о вычетах дает
дуальную характеристику замкнутого многообразия и приводит
к многочисленным конкретным приложениям.
В § 1 мы даем аналитическое определение вычета как интеграла.
По-другому его можно интерпретировать как класс когомологий;
многие интегральные формулы в теории нескольких комплексных
переменных представляют собой различные проявления этого
класса в тех или иных теориях когомологий. Затем мы исследуем
поведение локального вычета при замене переменных и доказы-

1, Элементарные свойства вычетов 689
ваем локальную теорему двойственности. Глобальная теорема
о вычетах оказывается при этом не чем иным, как теоремой Стокса.
В следующем параграфе даются некоторые применения
вычетов. Первые два относятся к кратности пересечения и к конечным
голоморфным отображениям; использование вычетов дает
элегантный метод исследования этих вопросов локальной
аналитической геометрии. Затем мы применяем глобальную теорему
о вычетах к проективному пространству. Здесь она является чем-то
вроде интерполяционной формулы Лагранжа от нескольких
переменных и доставляет очень занятный метод изучения
конфигураций точек в Р'^, приводящий к нескольким классическим
результатам о плоских алгебраических кривых, включая обращение
теоремы Безу.
В § 3 вводятся некоторые современные алгебраические методы.
Мы ограничиваемся минимумом средств и описываем лишь те
методы, которые будут применены к конкретным геометрическим
задачам. Вслед за обсуждением функторов Ext, Тог и комплексов
Кошуля происходит синтез, когда наш аналитически
определенный вычет выступает в окончательном инвариантном виде,
открывающем путь для глобализации. Другие стандартные применения
вычислений, основанных на комплексе Кошуля, включают
теорему Гильберта о сизигиях и теоремы AF -\- BG Нётера.
В этом же параграфе появляются когерентные пучки. По
существу, только здесь нарушается наш принцип доказывать все
«трудные» теоремы, используемые в книге,— мы обсуждаем, но не
доказываем два фундаментальных факта: лемму Ока и
конечномерность когомологий. Правда, они не нужны при исследовании
конкретных вопросов, однако мы считаем, что было бы ошибкой
в книге по алгебраической геометрии совсем обойти вниманием
столь важную тему.
В § 4 мы пожинаем плоды инвариантного определения вычетов,
когда приходим к глобальной теореме двойственности в функто-
риальной форме. На самом деле доказывается лишь частный
случай общей -теоремы двойственности — в некотором смысле
противоположный по сравнению с ранее встречавшейся
двойственностью Кодаиры — Серра, достаточный, впрочем, для наших
применений. Однако используемые методы пригодны и в более
общей ситуации.
Наше первое применение — недавняя теорема Кэррелла и Ли-
бермана о векторных полях с изолированными нулями на
компактном кэлеровом многообразии. Затем мы получаем две «формулы
взаимности», позволяющие вычислять избыточность конфигурации
точек на алгебраической поверхности, т. е. число зависимых
условий, налагаемых этими точками на линейные системы. В
действительности вторая формула взаимности относится не только
к точкам, но й к нульмерным подсхемам, и в ней существенным
13-0200

690 Гл. 5. Вычеты
образом используются локальная и глобальная теоремы
двойственности.
Наконец, мы обращаемся к проблеме Шварценбергера о связи
между точками на поверхности и векторными расслоениями
ранга 2. Эта задача иллюстрирует как глобальную теорему
двойственности, так и исходное определение Ext в терминах расширений.
Конечный результат обобщает теорему о вычетах на сечения
векторных расслоений. Интерпретация этого результата доставляет
необходимые и достаточные условия типа Абеля на конфигурации
точек на поверхности, являющиеся нулями сечений векторных
расслоений ранга 2, и, видимо, поможет понять те стороны
фундаментального соответствия между дивизорами и линейными
расслоениями, которые допускают обобщения.
Нам хотелось бы особо поблагодарить Маурицио Корнальба
и Дэвида Мамфорда за очень ценную помощь при подготовке этой
главы.
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЫЧЕТОВ
Определение и когомологическая
интерп ретация
Рассмотрим шар U = {z ^ С": || z || «< е} и ге функций Д, . . .
• • ., /п 6 0 {U), голоморфных в окрестности замыкания U шара U.
Так как нас интересует локальная теория, радиус шара е mojkho
при необходимости уменьшать. Предполагается, что все /г (г)
имеют в начале координат изолированный нуль; иначе говоря,
теоретико-множественно /"^ (0) = {0}, где/ = (/i, . . ., /„).
Введем следуюш;ие обозначения:
Di = (/О = дивизор /ь
/) = /?! -Ь . . . -Ь /)„,
Ui=U ~ Di,
и* = и~ {0}= [} Ui.
Заметим, что U = {Ui} есть открытое покрытие проколотого
шара и*.
Нас будут интересовать вычеты, связанные с мероморфной
ге-формой

1. Элементарные свойства вычетов 691
имеющей дивизор полюсов D. Вычет является разновидностью
многомерного интеграла Коши и определяется следующим
образом. Пусть Г — вещественный ге-цикл
Г = {г: I h (г) | =^ е},
ориентированный так, что
d (arg /i) л . . . л d (arg /„) > 0.
Тогда вычет задается как
г
Приведем некоторые элементарные свойства вычета.
Во-первых, так как форма (о ^ Н'^ {U — D, Q") голоморфна
в и — D, то d© = 0. Поэтому вычет зависит только от класса
гомологии Т ^ Нп {U — D, 1) и от класса когомологий [©1 6
6 Япк {U — D) формы (О.
Во-вторых, вычет линеен по g и кососимметричен по ft.
Последнее легко установить из способа ориентации цикла Г.
В-третьих, будем говорить, что отображение / = (Ji, ...,/„)
невырожденно, если его якобиан
1^ио)=|:;:;:::::а(0)
отличен от нуля в начале координат; позже мы увидим, что
якобиан не равен нулю тождественно. В невырожденном случае
Res,o,CD = ^.
Для доказательства рассмотрим отображение w = f (г), которое
биголоморфно в окрестности начала координат по теореме о
неявной функции. Положим
Giw) = gif-iiw)),
£ (и;) = if£L л . . . л -^^ (ядро Коши),
Тогда
-=>-т-
1Ь»

692 Гл. 5. Вычеты
Делая замену переменных в интеграле и пользуясь интегральной
формулой Копш из § 1 гл. О, получаем
S- I ^^|Ш^Н2»^)--
G(0)
г lwj|=e
Наконец, пусть /(/) = (/], . . •, /п) — идеал, поронаденный
функциями /г в кольце ростков голоморфных функций в 0. Тогда
ReS{o)u) = О, если g ^ I if)-
Для доказательства достаточно, пользуясь линейностью,
рассмотреть случай g = hfi- Тогда форма
л (z) dzi Л ... л dzn
/2(Z) .../n(z)
голоморфна в большем открытом множестве t/{i)o = U — {D^ + ...
. . . + Dri). Рассмотрим цепь
Гх = {z: I /y(z) I = ь при ]ф\, I /i (Z) I < е}.
Тогда Fi сг t/{i)o и дТ^ = ±Г. Поэтому по теореме Стокса
[ со = ± f d(0 = 0.
г г,
Теперь мы дадим интерпретацию вычета в терминах когомо-
логий пучков. Хотя мероморфная форма (о имеет полюсы вдоль
дивизора Z>] + ... -\- Dn, наибольший интерес представляет
начало координат {0} = Di П • • • П ^п- Рассмотрим (о 6
■й^ (С^1 П • • • П С^п> ^") как \п — 1)-коцепь Чеха пучка й"
относительно покрытия U = {Ui} проколотого шара t/*. Так как
со 6 С"~^ {U, Q"), то по тривиальным причинам б(о = О, и мы
получаем класс когомологий в Н^~^ {U*, Q"). Обозначим через
Ца образ (1/2л V —1)"со при изоморфизме Дольбо
Так как d = 9 на формах типа (п, д), то имеется естественное
отображение
Проколотый шар U* гомотопически эквивалентен сфере 5^""^,
и поэтому правая часть отождествляется с С при помощи
изоморфизма
г\>-* j т1.

1. Элементарные свойства вычетов 693
где ориентация сферы индуцируется ориентацией С". Мы
утверждаем, что верна следующая
Лемма. ReS{o>(o = ц^, или, эквивалентно,
Доказательство. Напомним, что, согласно 9-лемме Пуанкаре,
точны последовательности
О -^ zf "-^-' -^ ^". "-Р-1 -^ 2^' "-^ -^ О,
где Jt^j'^ — пучок С°°-форм типа (р, д), а Zf с ^^-^ —
подпучок 9-замкнутых форм. Так как пучки А^''' не имеют высших
когомологий, изоморфизм Дольбо составлен из изоморфизмов
полученных из кограничных отображений в точной
когомологической последовательности, отвечающей приведенной выше
последовательности пучков. При р = i правое выражение следует
заменить на
Я» (U*, %f "-')/9Я'' (f/*,^"."-») = Я|• "-' (U*)-
Теперь мы можем провести наш коцикл (о по этой
последовательности изоморфизмов. Начнем с
Положим t/j = и t/j, и пусть
(0p = {(0p,,6Zf'"-^-'(t/,)b,^^^j
обозначает представитель класса ip+j о ... о i„_j((On_i); пусть,
далее,
обозначает коцепь, такую, что б^р = (Ор, o|p = (Op_i. Наконец,
пусть Г/ обозначает цепь
Г/ = {z: I /г (z) I = е при i 6 /, | /у (г) К е при / $ /}
с ориентацией
d (arg /:.) л ... л d (arg /g л ( А^""^^ dfj л 57;) > О,

694 Гл- 5. Вычеты
где / = {ii < . . • < ip}- Тогда граница Гр равна
где (/, / и {/}) обозначает позицию / при естественном
упорядочении / и {/}. Далее, так как dlj = 9gj, можно применить теорему
Стокса и получить выражение
«I=p Tj #I=.p Tj #i^p ЭГ^
= 2 (S J {-if''''''4p.r) =
#j=p+i r^ #j=p+i Г/
в силу комбинаторного определения б. В результате полная сумма
#1=р+1 Tf
о9ма и та же для всех р. В двух крайних случаях р — п —1
ж р = О мы получаем
^ Г г==1 Г^
п
1=1 rj
= J ц^ (гдеГо = {2: |/.(z)|<e | /n(z)|<e})
ЭГо
Отметим, что в этой лемме мы не пользовались тем, что со—
мероморфная форма с дивизором полюсов D в U. Требовалось
только, чтобы a^H^iU — D, Q"), поэтому форма (о могла
иметь любые полюсы и даже существенные особенности вдоль D.
В случае же, когда форма со мероморфна и имеет дивизор полю-

1. Элементарные свойства вычетов 695
СОВ Z), МОЖНО указать отмеченный представитель класса Доль-
бо 11ш. Рассмотрим для этого функции
9i = \fi ?1{\ А I' + . . . + I /п I')-
Заметим, что в U* функции pj бесконечно дифференцируемы,
2Pi ^ 1 и supp (pi) cr Ui- Поэтому набор {pj} играет роль раз-
t
биения единицы для покрытия {t/J проколотого шара U* и может
быть использован для любой формы со с полюсами первого
порядка вдоль Di. В самом деле, пусть
g(z)dzi л .• ■ л d%n e(z)f(')(m-
тогда
n m — f^^ dzi л • • • Л dzn r Ann /TT . \
"^" fl...ft-..fn
И поэтому можно положить
i{i>« = ±P,-CO, (0{i,o = ± 9pi(0.
Ha следующем шаге при / Ф i имеем
py(0{i,oe^"'*(t^{i,j)")
и можем положить
i{i,}>o= ± (?£©{;>" —PifO{t>«),
(0{t,})o = ±2 9pj л dp J л (0.
Продолжая в том же духе, мы в конце концов приходим к
формуле
Ti\(o = (i>{i) = n\ ( —l)*~»9pi л ... л 9pj л ... лЭр„л(о =
_ га! ( — l)t'-i gdpi л • • ■ Л йр; л ■ • • Л дрп д dz^ л • • • Л &п
/l.../n
Полагая / = (/,, ...,/„), ||/|Р = 2 1/г1', получаем
i
"Hi — IIJ на мПй •

696 Гл. 5. Вычеты
Поэтому внешнее произведение dpj можно переписать в виде
Л fjdjj S (-l)^"'**'"! (А^ fjdlj) 2 fi dJi \fk\'
Д Q^ ^ ЗФi k4i '=^^< "
ui'~ II/IP"-^ II/Г"
II ^ }#i r~. 1Ф1
кф1
-\fH?^{-'^f-'-' MldU) =
U|iTr(l/il='.A/yd7, + 2 l/ftlM-i)"-* .A hdu) =
/j .../„(-i)i(2(-i)ft7ft л Tij)
II/r
Назовем отмеченным представителем Дольбо для {Ц2лУ —1)" (о
форму
_ ( Сп 2! (—1)'~^7г d/i л • • ■ л d/^ л • • • Wn л t^zi л ... л '^гп I ^
Лео — i (Z) у^ II f цгп /
где константа С„ зависит только от п.
Для сравнения напомним формулу ядра Бохнера — Мартинел-
лц из § 1 гл. 3:
kiz, g) = C„
2 (-1)'-^ (zi -li) л. (dzj-d^}) л d|i ... л din
}фг
ih-ir .
на C"xC". Если F: £/-»-C"xC" определить формулой
Fiz)=iz + f (z), z),
TO
Лю = gp*k.
Полагая /j (z) = Zj и применяя нашу лемму, мы получаем другое
доказательство формулы Бохнера — Мартинелли
J giz)^{z, i) = g{0).
Напомним, наконец, голоморфную формулу Лефшеца для
числа неподвижных точек из § 2 гл. 3. Мы доказали там, что если

1- Элементарные свойства вычетов 697
начало координат является изолированной невырожденной
неподвижной точкой отображения f: U -*■ С", то
[ F*k = ff{0).
||г|1=б
Теперь мы получаем, что для любой изолированной неподвижной
точки
1|г||=Е
Это обобщает голоморфную формулу Лефшеца.
Глобальная теорема о вычетах
Предположим тепе^)ь, что М cz М' — комплексные п-мерные
многообразия, причем М относительно компактно и имеет
гладкую границу дМ = М — М. Случай, когда М = М' само
компактно, является наиболее интересным. Пусть D^, . . ., Z)„ —
эффективные дивизоры, определенные в некоторой окрестности И
замыкания М в М', и предположим, что пересечение Dif\ ...
. . . П D„ дискретно, т. е. состоит из конечного числа точек в М^
По аналогии с предыдущими обозначениями положим
D =Di+ . . . +Dn,
t/* = U-{D^(] ...ODn),
Ut^U- Du
в частности, U = {Ui) — открытое покрытие U*. Пусть
(О 6 Я" (t/, Q" (Z>))
— мероморфная n-форма на t/ с дивизором полюсов Z). Для любой
точки Р ^Dx[\ . . . П Dn можно ограничить (о на окрестность Up^
точки Р и определить вычет Resp (о, как в предыдущем разделе.
С другой стороны, форма (о, рассматриваемая как элемент
С""^ {U, Q"), определяет класс когомологий [(о] 6 Н^~^ (U*, Q"),
имеющий представитель Дольбо
П^еНЪ "-1 {U*) ^ Я"-» (U*, Й").
д
Теорема о вычетах. 2^^^^^^= \ Ца- ^ частности, ест М
р ем
компактно, то ^ ReSp (о = 0.
р

'698 Гл. 5. Вычеты
Доказательство. Как и в случае римановых поверхностей,
рассмотрим е-шары U р (е) вокруг точек Р, воспользуемся тем,
что Ф\а> = О, и по теореме Стокса напишем
j 11со = 21 j 11со = 21 Resp (0.
ЭЛГ Р eUp(.e) Р
Последнее равенство следует из предыдущей леммы, так как
■Ца, I Up является представителем Дольбо класса [со | Up ] 6
е Я"-1 {Uf>, Q"). D
Кснечно, наиболее существенный шаг здесь состоит в замене
первоначального п-мерного пути интегрирования на (2п — 1)-
мерный, чтобы можно было применить теорему Стокса.
Закон преобразования и локальная
двойственность
Теперь мы рассмотрим функториальные свойства символа
вычета. Прежде всего, пользуясь теоремой о вычетах, получим
наше главное техническое средство — принцип непрерывности.
Пусть даны п функций ft = (/i,i, . . •, ft,n), голоморфных по г
в окрестности U, где U — маленький шар вокруг начала
координат в С", и непрерывно зависящих от параметра f при О ^
^ f ^ б. Тогда можно образовать форму (Oj, зависящую от
параметра f:
(Л. — g (z) t^Zl Л • • • л dzn а(Лр(=) im ■
'"'- /M(z).../t,n(z) ' S{z)^U{U),
пусть также / = /о и (о = (Oq. Если мы предположим, что /~^ (0)
состоит из конечного числа точек внутри U, то || / (z) || ^ е > О
на границе dU = U — U и поэтому || ft (z) ||^ е/2 > О для f,
достаточно близких к 0. Следовательно, /f* (0) также имеет лишь
конечное множество точек внутри U. С другой стороны, из явной
•формулы
-"^
_Г /■ ^ yi(~^)^~V'"f.t dft,i л -.- л dft,i л ••• л dft.n AdziA--.Adzn
^^,'-=Cng (Z) - p^^j^-jp
для представителя Дольбо [(Of] g Н^~^ (t/*, Q") мы видим, что
интеграл по границе \ Ца, непрерывно зависит от f. Пользуясь
ви
теоремой о вычетах, мы получаем принцип непрерывности:
(*) Иш 2 Resp cOf = Л Respco.

I. Элементарные свойства вычетов 699
Этот принцип будет применяться к возмущению заданного
отображения /: t/-^C" с /"^ (0) = {0}. Семейство отображений
/j: и -> С", определенных и голоморфных в окрестности U,
непрерывно зависящее от параметра t и такое, что /^ = /,
называется хорошим возмущением /, если /f имеет лишь невырожденные
нули при 1фО. Существование хорошего возмущения будет
очень просто следовать из обсуждения конечных голоморфных
отображений, которое мы предпримем чуть позже, а пока его
можно извлечь из теоремы Сарда. Так как множество критических
значений отображения /: t/ -> С" имеет меру нуль в С", можно
найти такую дугу у {t), О ^ f ^ е, что у (0) = {0} и у (f) не
является критическим значением при 1фО'^). Тогда U (z) =
= f (z) — у (f) — хорошее возмущение /.
Теперь, пользуясь существованием хорошего возмущения
и принципом непрерывности, докажем
Закон преобразования. Пусть / = (Д, • • •, fn) '"' g — {gii • • •
• • •' 8п) — голоморфные отображения, /, g: t/^-С" с /"^ (0) =
= {0} = g~^ (0). Пусть, кроме того.
Si (г) = 2 ац (z) fj (z)
j
для некоторой голоморфной матрицы А (г) = {а^ (z)) {или, что
тх) же самое, их идеалы удовлетворяют включению I {g) cz I (/)).
Тогда для любого h (z) ^ О (U)
^'"^''> I h--fn ) = ^^^W [ J^—f^ j •
Доказательство. Рассмотрим три случая возрастающей
трудности.
Случай l■.ff{0)фO ж det А (0)ф0. Так как f g (0) = f f (0)X
X det A (0), TO, пользуясь выражением для вычета в
невырожденном случае, получаем
V Ji • • • In I
h(fl)
ff(P)
C9«i/ T\n h (0) det A (0) p (hdetAdzi A ... A din\
Случай 2: det A (0) Ф 0, хотя / может вырождаться. Так как
утверждение локально, можно уменьшить U и предполагать,
что det А (z) ф О в U. Если ft — хорошее возмущение / = /о,
^) Это рассуждение не совсем корректно.— Прим. ред.

700 Гл- 5. Вычеты
ТО g^ = A-ft — хорошее возмущение g = g,,. Пользуясь
непрерывностью и случаем 1, получаем
^^^«> ( h...fn ) = Й 2 Resp, (^A___n.) =
р^е/?'(о)пи
= lim 2 Resp, (fedet^<^zxA...Adzn ^ _
PfEgT'conu
л det X dzi л ... Л dzn '
Tj Ih det X dzi л ... Л dzn \
= Res,o, ( j^—y^ j.
Случай 3: f, g ж A произвольные. Теперь пусть At (z) —
непрерывное семейство голоморфных матриц с ^4 о (z) = ^4 (z) и det А t (0)
ФО при f:7^0. Положим gt = At-f и заметим, что так как
g~'^ (0) = {0}, то gj^ (0) = {Pt} — изолированное множество
точек внутри и. Для Р^фО имеем / (JPf) Ф 0. Допустим, что
/^ (Pj) =7^ О, и обозначим через Aij {i, ])-ш минор матрицы А.
Согласно разложению Лапласа для определителя, при z вблизи Р t
det At{z) = 2(-1)'' Aj, 1 (z) Ofy.. (z) =
j
=7^(2(-i)''^'^.«^^y(2)),
так как ^-4fy, lOty, j = О при 1ф1. Поэтому deti4f(z) лежит
в идеале {gt^ j, ..., gt, n}pt и, согласно второму элементарному
свойству вычета.
^ rhdBtAtdz,A...Adzn Л _ Q р ^ Q_
'V gt, 1 • ■ ■ gt. п I
Вместе со вторым случаем это дает
Res^o, ^fedet^dzxA...Adznj _
,. r> /"Л det Aidz-, A ... A dzn \
= lim ReS{0) — '=- =
f^O ^ gt,i---gt,n I
,. TJ I hdz-, A ... A dzn \
= limRes{o> ^. -. —] =
T-, I hdz-, A ... A dzn \ „
= ^^^^°>( h...fn )• °

1. Элементарные свойства вычетов 701
Локальная двойственность. Перейдем теперь к локальной
теореме двойственности. Пусть задана достаточно малая
окрестность и начала координат я f: U ->■ С" с /~^ (0) = {0}; это
эквивалентно заданию идеала I = I (f) = {/ц ...,/„} в локальном
кольце & = 0{о) в начале координат, для которого {0} является
изолированным общим нулем /j. Пользуясь свойством
Resto,(^\^V;/n''")=0 °РИ^€/,
определим симметрическое спаривание
полагая
Локальная теорема двойственности I. Спаривание res/
невырожденно; иначе говоря, если
( 1 \" Г g (z) fe (z) &i л ... л dzn _ f.
\ 2Я /^=1 / J /i (z) ... /n (z)
I /,-(z) I =e
для всех h (z) ^O, mo g (z) лежит в идеале {Д, . . ., /„}.
Доказательство. Оно основано на законе преобразования и на
двух общих результатах из локальной аналитической геометрии.
Согласно первому из них, /i, ...,/„ образуют регулярную
последовательность, т. е.
fi не является делителем нуля в Of{fi, . . ., fi-i} при 1 ^
^ i ^ п.
Интуитивно это утверждение означает, что аналитические
множества Vi = {/i (z) = ... = fi (z) =0} имеют коразмерность
в точности i. Это представляется достаточно правдоподобным,
а в случае п = 2 может быть строго доказано: нужно показать,
что если gfz = О в 0/{/i}, то ^ = hfi для некоторого h. Ничто
не изменится, если мы домножим /j или g на обратимый росток,
поэтому можно так выбрать координаты (z, ц;), что Д, /j, g 6 ©zl^^J
будут многочленами Вейерштрасса. По теореме о делении g =
= hfi -Ь г, где г ^ ©г l"^J — многочлен, степень которого меньше
d = deg /i. Для I z I < е обозначим через w^ (z), . . ., w^ (z)
корни уравнения
/i (z, w) = 0;
некоторые корни могут повторяться. Так как (О, 0) является
единственным решением уравнений Д (z, ц;) = /^ (z, w) = О, то
при Z*, близком к нулю, /г (z*, «v (z*)) i^.^ 0. С другой стороны,

702 Гл. 5. Вычеты
ПО предположению g {z, w^ (z)) /j (z, w^ (z)) = 0, так что
уравнение г (z*, w) = Q имеет d > deg r корней. Поэтому г ^ О
и ^ = fe/г. D
Вообще, верен следующий факт:
Для достаточно малой окрестности U начала координат
и голоморфного отображения f ^ (f^, ...,/„): t/-*- С"
следующие условия эквивалентны:
1) /-^ (0) = {0};
2) codim (fi, {z)= . . . = ii^ (z) = 0) = k;
3) /i, ■ ■ ., fn — регулярная последовательность.
Позже, в разделе о комплексах Кошуля, мы подробно
обсудим регулярные последовательности и дадим другое
доказательство локальной теоремы двойственности. По этой причине мы
ограничимся пока приведенным выше докаэательством в случае
п = 2.
Вторым результатом из локальной аналитической геометрии
является теорема о нулях для идеала {Д, . . ., /„}:
Существуют к{ > О, такие, что z.» ^ {Д, . . ., /„}.
Мы докажем ее в следующем параграфе, в разделе о конечных
голоморфных отображениях.
Присту1шм теперь к доказательству локальной
двойственности. Идея его состоит в том, чтобы непосредственно проверить
утверждение для идеалов {z^>, . . ., z^"}, а затем, пользуясь
законом преобразования, вывести его и для идеала {Д, . . ., /п} э
э {z^, . . ., z*5"}.
Первый шаг. В случае когда fi{z) = Zi' , мы возьмем h{z) =
= zY ... Zn ж степенной ряд
^(z) = Ji^ti...t„zl' ... 4"-
Тогда, итерируя обычную интегральную формулу Коши, получим
dzi Л ... Л dzn
I 2,. I =e
fti+l-ii-ii
Поэтому равенство res/ {g, h) = 0 для всех h эквивалентно тому,
что gi^...in = О для i-i^ki, . . ., iji^kn, а это означает, что
g 6 (z^'"*"'. • • •, z^""*"*}- Тем самым в этом случае теорема
доказана.

i. Элементарные свойства вычетов 703-
Втпорой шаг. Используем закон преобразования для
доказательства следующей леммы.
Лемма. Пусть f[, /i, ...,/„6© и f = {![, /2, • • •, /n)-
/ = (/i, •••,/„)• Предположим, что /-»(0) = {0} =/'-* (0) и /{ 6
€{/i, fi, •••ifn}^ т.е. I if) ^ I if). Тогда если спаривание
вычета невырожденно для /', то оно невырожденно и для /.
Доказательство. Пусть я: 0/1 (/') -*■ ОН (/) — естественная,
проекция. Напишем
так что /' = Af, где
i
'bj b-i ... Ь„
о 1 ... о
А =
,0 О ... 1
Если g==y,Cifi принадлежит идеалу /(/), то
' г
b.^ = c,(J,b,/,)+.^ {b,ct-c,bi)f,
принадлежит идеалу / (/'). Поэтому умножение на Ь^ дает
отображение
а: ОН (/) -> 0/I (/'),
направленное навстречу я. Так как det А = bi, закон
преобразования утверждает коммутативность диаграммы
■0/I(f)<^0/I(f)^^C
"1 f" II
т. е. что res/ {g, h) = res/' (Ь^^, h) для всех ^, fe ^ 0. Если
res/ (^, fe) = О для всех h, то, в силу невырожденности res,-,
b,g € / (/')• Поэтому
fej^ = Ci/;+.^ Cifi = cAfi+ 7: {biCi-biC,)fi,
i>2 г>2
так что b-ig = CibJi в 0/(/г, . . ., /n}- Но это означает, что либО'
8 = cifi в ©/{/zi • • -1 /п}; либо Ьт является делителем нуля

704 Гл- 5. Вычеты
fi ©/{/г, . . ., /п}. В первом случае g 6 {/i, /2, • • •, /n}. что
и утверждалось. Во втором случае bJi является делителем нуля
в ©''{/г» • • •' /п}- Значит, делителем нуля является и f[, так как
/i = ^1/1 + (^2/2 + • • • + Ь„/„). Но это противоречит
регулярности последовательности (/j, /2, . . ., /„). D
Третий шаг. Теперь теорема получается уже без труда. Для
данного f = {j^, ...,/„) выберем по индукции систему
координат так, чтобы Fi = (zi, . . ., Zj, /j+i, . . ., /„} имело
изолированный нуль в начале координат. Пользуясь теоремой о нулях,
находим такое fej, что s^" ^ / (Fi--^. Спаривание res^
невырожденно по первому шагу; но тогда по лемме
resiPn невырожденно =^ resiP„_i невырожденно =^ ...
... =^ resFi невырожденно =^ resiPj = res/ невырожденно. D
2. ПРИМЕНЕНИЯ ВЫЧЕТОВ
Кратность пересечения
Напомним, что наше изучение локальной структуры
аналитических подмножеств, заданных одним уравнением, т. е.
аналитических гиперповерхностей, основывалось на одномерной
формуле Коши и последующей теореме о вычетах. Аналогично можно
использовать п-мерную теорему о вычетах для вывода локальных
свойств аналитических подмножеств коразмерности п, заданных п
голоморфными функциями в и cz С^. Мы проделаем это для
нульмерных подмножеств, т. е. при N =■- п. Допуская зависимость
от параметров, можно приспособить этот метод к упомянутой
более общей ситуации.
Начнем с обсуждения кратностей пересечения, что позволит
дополнить предыдущие определения, которые либо были
топологическими (§ 4 гл. 0), либо использовали теорию потоков (§ 2
гл. 3).
Рассмотрим идеал I (f) = {Д, . . ., /„} голоморфных функций
fi Е О (U), дивизоры Di которых пересекаются только в начале
координат, т. е. /~^ (0) = {0}, где / = (Д, . . ., /„). Уменьшая,
если потребуется, окрестность U, можно считать, что /~^ (w) —
дискретное множество точек в U при || w || <: е, так как | / (z) | ^
> С> О для Z б dU.
Напишем w = f {z) и обозначим через К = dwjw-^ л . . .
... л dwjw„ ядро Коши; пусть
СО(А, ...,/J = /*Z=^A... Л^^.
h Тп

2. Применения вычетов 705
Локальная кратность пересечения определяется как
(Z>i, . . ., Z>n){o> = ReS{o>co (/i, . . ., /J.
Перечислим ее свойства.
(a) {Di, .... Dn)[o) — целое число, зависящее только от идеала
I ф и не зависящее от выбора образующих fi. В частности, оно
зависит только от дивизоров Dt и не зависит от определяющих
их уравнений.
Доказательство. Форма (1/2я ]/ —1)" (о (/i, . . ., /„)
представляет целочисленный класс когомологий в Щп {U — D), поэтому
кратность пересечения — целое число. Если /j = 2j ''•nfjt где
j
Л = det (aij) Ф О, то
d]'i,h ... hdfn _ к dfiA ... А dfn , dzjA ... А dzn
11 • • • Jn II • • ■ Jn Ti ■• • Jn
где g лежит в идеале. Согласно закону преобразования,
\ Ti ••• In I \ 11 • • • In I
тогда как, поскольку g лежит в идеале,
^"'<''>1^ п...Гп )=Q-
(b) Кратность пересечения линейна по каждому дивизору Di.
Доказательство. Если D^ = D'^ -{■ Dl соответствует
разложению /i = /j/j, то, очевидно,
(*) to (/l./i!, ...,/„) = (О (/^,/j, . . ., /„) + (0 (/j,/is, ....,/„).
Однако этого еще мало для доказательства линейности, так как
каждую форму надо интегрировать по своему пути, в
соответствии с онределением вычета. Чтобы обойти эту трудность, мы
воспользуемся изоморфизмом Дольбо и превратим путь Г в сферу
11 Z 11 = е.
Рассмотрим (О (/j, /j, . . ., /„) как коцикл, определяющей
класс когомологий в Я"-1 (£', Q"), где С^' = {U'^, U^, . . JUn) —
соответствующее покрытие U* = U — {0}. Так как Uicz U[,
то отображение ограничения р' делает коммутативной диаграмму
\ l/
',:'(и^ .,
в которой т] и т]* — отображения Дольбо. Полагая г\ (f^,;
14-0200

706 Гл- 5. Вычеты
• • ч /п) = 'П (<й (/i, . • ., /п)) И Т. Д., МЫ получаем из (*), что
11 (/ъ / , /п) = 11 (/;, /г • • •, /п) + Т1 (Я, /г, • • ., /п)
в Я^'"~* (f/*). (Было бы неверным утверждать, что ц = ц' -т 'ц"
в смысле дифференциальных форм, так как ядро Бохнера — Мар-
тинелли нелинейно. Коммутативность диаграммы означает, что
т] = Ti' + т)" + д^.) Согласно лемме на стр. 693,
(Z>i, ..., Z>„)(o>= J TiC/i. /2, ••-,/»),
11г11=е
откуда и следует линейность кратности пересечения.
(с) Предположим теперь, что дивизоры Di = (fi) пересекаются
в конечном числе точек Р^ внутри U. Полная кратность
пересечения Di ъ и определяется как
(Di i?„)t; = S(A ^n)pv
Мы утверждаем, что
Полная кратность пересечения инвариант/на относительно
непрерывных деформаций Di.
Доказательство. Предположим, что функции ftj (z) ^0 (U)
непрерывно зависят от параметра t и Dt (f) — вх дивизоры,
fo.i = fi, Di (0) = Di. Так как 2 I /i (z, О P > С > О для z e dU
i
И I f I <; e, TO дивизоры Di (f) пересекаются в изолированных
точках внутри U. Полная кратность пересечения {D^ (f), ...
. . ., Z)„ (0)d> с одной стороны, есть целое число, а с другой
стороны, согласно принципу непрерывности, непрерывно зависит
от t. Следовательно, она постоянна. D
Если дивизоры Di имеют начало координат изолированной
точкой пересечения, можно малым шевелением получить гладкие
дивизоры D'i, трансверсально пересекающиеся в конечном числе
точек вблизи начала координат (рис. 1). Каждое такое трансвер-
сальное пересечение имеет локальную кратность пересечения Ч-1,
и (Z>i, . . ., Z>n){o> равно полному числу таких пересечений.
(d) Предположим теперь, что дивизор D^ неособый, а Z)^ по-
прежнему пересекаются лишь в начале координат. Положим
D'i = Di[\ Di при i ^ 2. Мы утверждаем, что
{Di, ..., D„)io) = (Z>^, ..., Dn)io).
Доказательство. Можно выбрать координаты так, что /^ (z) =
= z^. Положим Z = (zi, z') и /i (z') = /j (0, z') = U \ o,. Если

2- Применения вычетов 707
Рис. 1
Г = {I /х (Z) I = . . . = I /„ (Z) I = е} и Г' = {I /; (Z') I = .
• • • = I/п (2') I = е}, то по интегральной формуле Коши
Используя это соотношение, мы докажем следующее утверждение.
Якобиан д (fi, . . ., fn)Id (Zy, . . ., z„) щк О и (Z>i, . . .
• • •, Pn)io} > 0.
Доказательство. Оно проводится индукцией по п; случай
п = 1 ясен.
Возьмем гладкую точку Zf, на дивизоре Z>i, расположенную
вблизи начала координат. Если мы предположим, что df^ л d/j л
л . . . л d/„ ^ О, и положим /{ = /{ 1 д,, то d/j л . . . л d/4 ^ О
вблизи Zf,. В самом деле, в окрестности точки Zq можно найти
такие координаты {щ, щ, . . ., щ^, что Д = t^, причем m > 0.
Тогда uf -1 dui А df^ А . . . л d/„ ^ О, откуда следует, что
d/a л . . . л d/n ^ О по модулю dui и, значит, d/^ л . . . л d/n ^ 0.
С другой стороны, если 1У{ = fi (zq), то уравнения /{ (z') = u?J
имеют Zq изолированным решением на Z)i. Полагая Dl = (/} — itfj)»
мы получаем по индуктивному предположению, что ф'., . . .
..., Z>n){zo> > О- Это противоречит тому, что df'^^ . . .л d/n ^ 0.
Предполагая теперь, что dfxA . . . А. dfn^ О, докажем
положительность (Z)i, . . ., Z>„){0}. Напомним, что представитель Доль-
бо имеет вид
/\
g (-1)'-^ fidfx^...AdfiA...Adfn^dUA...Adfn
ЦУи •••i tn)—^-n II / 11^"
= /*(Р),
14*

708 Гл- 5. Вычеты
где в соответствии с формулой Бохнера — Мартинелли из § 1
гл. 3
_ _ /-> _
У] (—1)'~1 u?i dwi Л ... Л dwi Л ... Л dwn Л dw^ Л ... Л dwn
P = L-n ^ II и; IP"
— замкнутая (и, п — 1)-форма в С" — {0}, ограничение которой
на каждую сферу || и; Ц = е является (2п — 1)-формой с
интегралом 1. На каждой сфере || z Ц = е форма /* (Р) неотрицательна
и строго положительна в точке Zf,, в которой {dfi л ... л d/„) (zo)
Ф 0. Для сферы, проходящей через эту точку, имеем
J /*Р>0.
II Z и = II 20 II
Это доказывает положительность локальной кратности
пересечения.
(е) На самом деле доказано больше. Если мы рассмотрим
/ = (/и • • м /п) как отображение /: J7*-> С" — {0}, то, по
существу, был доказан следующий факт.
Локальная кратность пересечения совпадает с
топологической степенью deg (/) отображения /.
Докааателъстм). Форма Р дает целочисленную образующую
Ли^» (52П-1 (^у^ длд любой сферы || w \\ = е. По определению
степени и по нашей основной интегральной формуле
deg(/)= J /*Р= 5 ^(/i-•••./«) = (А, ...,i?n){o}.
||2||=e l|z|l=e:
Конечные голоморфные отображения
Теперь мы свяжем локальную кратность пересечения
дивизоров Di = (ji) со свойствами отображения f = (fi, • . ., h)'- U ->■
-> С". При этом мы будем пользоваться стандартной
терминологией. Нуль-циклом на комплексном многообразии М называется
формальная конечная] сумма
V
точек Р у, ^ М с некоторыми кратностями] m v 6 Z. Мы 1шшем
Р-^...-^Р = к.Р.

2- Применения вычетов 709
Нуль-цикл называется эффективным, если все т^'^О. Степенью
нуль-цикла называется число
<ieg(r) = 2mv.
Пусть /: t/ -♦- С" — голоморфное отображение, для которого
/~^ (0) = {0}. Кратностью f в начале координат назовем
топологическую степень d отображения /: J7* -> С" — {0}. Будем
говорить, что уравнение / (z) = О имеет начало координат своим
d-кратным решением.
Согласно свойству непрерывности (с) для локальных крат-
ностей пересечения, при || w || < е уравнение f (z) = w имеет
ровно d решений z^ (w) вблизи начала координат; некоторые
из Zv (w) могут повторяться. Используя нуль-циклы,^ можно
написать
/-i(u;) = Szv(u;).
V
Заменим U на /~^ {W), где W = {II м^ II < е}.^Тогда
голоморфное отображение /: U-*■ W обладает следующими свойствами:
оно сюръективное, открытое и конечное. Первое свойство
выполняется по определению. Второе означает, что открытые множества
переходят в открытые. Это очевидно, так же как и третье
свойство. Эти конечные отображения сильно отличаются, например,
от отображения раздутия {и, v) >->■ {и, uv), которое не открытое.
Как мы сейчас увидим, конечные голоморфные отображения
обладают многими свойствами отображений кривых. Нам
понадобится следующая
Лемма. Для h (z) ^ О {U) след
d
Oh ("^) = S h (zv (w))
v=l
Является голоморфной функцией переменной w 6}РГ.
Доказательство. Рассмотрим о/, как распределение,
действующее на множестве A^•^^ (W) форм типа (тг, тг) с компактными
носителями по правилу
Oh (Ф) =\oh И ф (W) = J h (Z) (/*ф) (Z)..
w b

710 Гл. 5. Вычеты
Согласно теореме регулярности ив § 1 гл. 3, достаточно показать,
что doh = О в смысле потоков. Но для ij) g 4^'"-* (W) функция
f*ilp имеет компактный носитель и
дон Ш = 5 Он (w) д^^ (w) = J h (z) 9 (/*,))) (z) =
w и
= -{9fe(z)/*tl)(z) = 0,
и
так как fe 6 © (U). D
Применяя лемму к степенной сумме 2 '^ (^v ("^))^i мы полу-
V
чаем, что любая симметрическая функция, например h (z^ (w)) . . .
. . . h {Zci (w)), голоморфна no w.
В качестве приложения мы получаем доказательство теоремы
о собственном отображении для /: U -*- W л вообще для любого
конечного сюръективного отображения: если V cz U —
аналитическое подмножество, определенное уравнениями {ha (z) = 0},
Tof (V) cz W определяется уравнениями {На (w) — 0}, гдеЯа ("^)
= ha (Zi (W)) . . . ha {Zd И).
в частности, дискриминант, или множество ветвления D cz W,
определенный как образ / {R) дивизора ветвления
«={-||!7f^w-o}.
является аналитической гиперповерхностью. При w ^W — D
прообраз h~^ (w) = 2 2v ("^) состоит из различных точек Zv (w).
V
Выбирая путь W {t) с w (0) = О и w (f) ^ W — D при t фО,иы
получаем хорошее возмущение ft (z) = f (z) — w (f) отображения
/(z).
Для другого применения леммы мы возьмем функцию h (z)£
^Q (U) и рассмотрим выражение
H{z)=fl (fe(z)-fe(zv(/(z)))).
v=l
с одной стороны, Н (z) = о, так как z = z.^ (f (z)) для
некоторого v. С другой стороны, Н — многочлен вида
h {zY + ai {w) h {zY-'- + ... +aa{w) {w = f (z)),
коэффициенты которого являются голоморфными функциями от
W = f (z). Так как при отображении /: U -^ W локальное
кольцо Ov) ростков голоморфных функций h (w) в окрестности w = О
вкладывается в кольцо О^, мы получаем следующее утверждение.

2. Применения вычетов 711
Степень расширения [О^ : ©„,] = d; иначе говоря, каждый
росток h ^Ог удовлетворяет полиномиальному уравнению
степени ^d с коэффициентами из /* ©щ cz О^и d —
наименьшее такое число. \
В частности, мы получаем следующий вариант теоремы о нулях.
Если h (z) £ Of обращается в нуль при z = О, иго fe (z)** 6
е {А (Z), ...,/„ (Z)}.
Доказательство. При z-v О как / (z), так ш z^ (f (z)) стремятся
к нулю. Поэтому коэффициенты а^ (и?) многочлена Н обращаются
в нуль при U? = 0. Но это означает, что fe"* ^ О по модулю {/i, . . .
(f) Дадим, наконец, еще одну интерпретацию локальной
кратности пересечения дивизоров Dt = (ft)- Пусть 0 = O^nl cz О —
идеал {/i, . . ., /„}, определенный как /* (Шш), где xowcz О^ —
максимальный идеал функций h (w), таких, что h (0) = 0. Тогда
Комплексное векторное пространство Q/I конечномерно и
dime (07/) = (1>1, . . ., Х>„){о}.
Подведем итог. Мы получили для локальной кратности
пересечения п дивизоров Dt = (ft) в окрестности начала координат
в С" три интерпретации:
(1) Аналитическую: (Dj, ... ,I>n){o} = ReS{o}f-^:A ... "':—■] ,
V 71 ■ шТп I
которая была принята за определение.
(2) Тополагическую: (Dj, . . ., 1>„){о} = deg (/), где/ = (/i, ...
• • •> /п) рассматривается как отображение ?7-»-С". Иначе
говоря, (Z)i, . . ., •Dn){0} равно числу листов конечного голоморфного
отображения /: С/^ -> W с: С".
(3) Алгебраическую: если О — локальное кольцо в начале
координат п I CZ О — идеал, порожденный ft, то
dime (0^Л-
Вообще, пусть Dt — дивизоры на комплексном
многообразии М, пересекающиеся в конечном числе точек Ру,. Определим
эффективный 'нуль-цикл
Dr...-D^ = ^m,P,,
V
где m^ = (Di, ..., D„)p^. Тогда степень
deg(Di.....Dj = 2mv
V
равна полной кратности пересечения дивизоров Dt.

712 Тл. 5. Вычеты
Лргсменение к плоской продективной геометрии
Применим теперь теорему о вычетах в простейшем
глобальном случае М = Р"; особое внимание будет уделено случаю
тг = 2. Пусть Di, . . ., Z)„ — гиперповерхности степени di, . . .
. . ., dn, пересекающиеся в изолированных точках Р^. Запишем
их пересечение как нуль-цикл
V
где локальные кратности пересечения т^ = {Di, . . ., Dn)p^
задаются вычетами. Глобальная теорема Безу утверждает тогда,
что
deg (Di•...•!>„) = 2 "iv = di ••• dn-
V
Выбрав подходящую систему евклидовых координат {Xi, ..., л:„),
можно считать, что все Р ^ лежат в С" с: Р" и что Di — дивизоры
многочленов /{ {Xi, . . ., л;„) степени dt- Общая мероморфная
тг-форма на Р" с дивизором полюсов D = Di-{- ... + D^ имеет
вид
/l(^).../nW
где g (х) — многочлен. После типичной замены координат в Р"
Xi ^ l/*«'j, Х^ ^ Х^/Х^, • . .) Xj^ ^ Xf^tX^
получаем
dxi л ... Л dXn = —. ,.„„ dx[ л ... л da^,
ji(Xi, ..., Хп) = j:~/i(-^ii •••! ^)-
Поэтому форма со не имеет полюсов вдоль бесконечно удаленной
гиперплоскости тогда и только тогда, когда
deg {g) < (di Ч- ... +d^)-{n + 1).
Глобальная теорема о вычетах утверждает в этом случае, что
^*> 2а "es^v [ f^(x) ...U(x) )-^-
V
Когда Di пересекаются трансверсально в di . . . d^ различных
точках, формула (•) превращается в соотношение Якоби
11н/.-.м4£\....„))(Р.)=0' deg(,)<2^.-(« + l).

2. Применения вычетов 713'
доказанное им в 1834 г. При тг = 1 мы получаем
интерполяционную формулу Лагранжа
E7W = °' deg(g)<deg(/)-2;
именно в таком контексте Якоби и пришел к своей формуле.
В случае тг = 2 ив соотношения Якоби немедленно следуег
Теорема Кэли — Бахараша. Пусть С и D — кривые на Р^
степени тип, пересекающиеся в т-п различных точках. Тогда
любая кривая Е степени m + тг — 3, проходящая через тп — 1
точек пересечения С[] D, проходит через все т-п точек.
Ясно, что соотношение (*) приводит к более сильному
утверждению, чем теорема Кэли — Бахараша, ибо в нем не требуется
трансверсальность пересечения С ш D. Однако мы не будем
пытаться формализовать это замечание, а вместо этого будем
смело пользоваться теоремой Кэли — Бахараша в вырожденных
случаях, апеллируя непосредственно к формуле (*).
Для иллюстрации приведем пример вырожденного случая.
Пусть кривые С и D имеют пересечение C-D-=^ т.^Р^^
V
причем все точки Р.^, являются гладкими точками С. Пусть
Е—кривая степени тп + тг — 3, такая, что {С-Е)р^^ту для
всехм, отличнылот Vq, и{С-Е)р^ ^тПу, —1. Тогда (С-Е)р^, ^тПуц.
Доказательство. Выберем локальные голоморфные
координаты (z, w) в окрестности точки Р ^ так, чтобы функции / (z, wy.
и g (z, w), определяющие С ш D, имели вид
/(Z, w) = z, g{0, w) = u;'"vo+... .
Функция h (z, w), определяющая кривую E, имеет вид
А (О, u;) = au;'^o~* + ...
и
(<^' ^bvo>"^vo <?*•« = 0.
Поэтому если мы покажем, что
т, I h (z, w) dz 1\ dw \ г. г.
Res{0) I ., ч , ^ = о <^- а = о,
*"' V /(z, w)g(z, w) I '

714 Гл. 5. Вычеты
ТО наше утверждение будет следовать ив (•). Но
тъ I h(z, w) dz Adw \
^^««l fiz,w)e(z,w) } =
\ 2nV—i ' J ^ J eiz, w)z /
' I g(z, to) I =8 I г I —e
_ 1 f fe(0, w)dw _ 1 f / I ^ ''"' _ 1-1
I to I :
Первый нетривиальный случай возникает при то = тг = 3,
где мы получаем классическое утверждение:
Пусть С и D — две кубические кривые, пересекающиеся
в 9 точках, не обязательно различных, но гладких на С.
Тогда любая кубика Е, проходящая через 8 из этил точек,
проходит и через девятую тлчку пересечения С и D.
Этот факт был известен еще в 1748 г. Эйлеру, который
замечает, что многочлены от двух и более переменных устроены
гораздо сложнее, чем в одномерном случае, так как уже не любые
тп точек на плоскости могут служить общими нулями двух
многочленов.
В качестве другого применения будет доказана
Теорема Паскаля. Пары противополюжтях сторон
шестиугольника, вписанного в гладкую конику Q, пересекаются в трех колли-
неаркыл точках.
Доказательство. Пусть LiL^LsLf^L^Le — вписанный
шестиугольник; полоншм С = Li + Ls + L^, D = L^ + L^ + Lg и E =
= Q + PizPsk, где Pi) = Lif] Lj. Тогда E проходит через
точку /'jg пересечения С {\ D. D
Имеет место также
Обращение теоремы Паскаля. Если Н — Ь^Ь^Ь^Ь^Ь^Ь^—
шестиугольник, протмвотюложные стороны которого пересекаются
< трех коллинеарных тачках, то вершины Н лежат на конике.
(оказательапво. Пусть] Pij = Li f\ Lj и L — прямая, проходя-
шдя через Рц, Р^ь и Р^^. Пусть коника Q проходит через 5
вершин /'i2. ^28. ^34. ^45 и /'se шестиугольника. Возьмем тогда
С = L1+L3 + L5, D=^Lz-\-Li^-\-L^is.E = Q-\-L-B. получим,
что Q проходит через Р^^. П
Аналогичным образом, хотя и на более глубоком уровне,
мы докажем обращение теоремы Кэли — Бахараша. Пусть
Г = Z»! + . . . + /'„2

2. Применения вычетов 715
— нуль-цикл, состоящий и8 п^ различных точек. Будем говорить,
что Г обладает свойством Кэли — Бахараша, если любая кривая Е
степени 2п — 3, проходящая через все тачки Г, кроме одной,
проходит через все тачки Г. Так как размерность линейной системы
кривых степени 2п — 3 равна
п {2п — 3) = 2п^ — Зтг,
то таких «пробных кривых» Е очень много.
Предложение. Пусть нуль-цикл Г степени п^ обладает
свойством Кэли — Бахараша. Тогда через Г проходит пучок кривых
степени п.
Доказательств). Рассмотрим вложение Веронезе
1„: pzc^P^, iV = n(n + 3)/2,
заданное полной линейной системой кривых степени п. Так как
гиперплоские сечения i„ (Р^) суть в точности кривые степени п,
нам нужно показать, что
(•*) Точки 1„ (Pv) лежат на Р^~^ в Р^.
Это будет так, если любые N из точек i„ (Р ^) линейно зависимы
в Р^.
Возьмем N точек из Р^, скажем Р^, ..., Рп(п+з)/2, и пусть
Л (^ Р^ —гиперплоскость, содержащая N — 1 из них, скажем
Pi, ..., Pn(n-(3)/2- Так как
2 . и(и+3) , в(в-З)
п - g h g
и dim Я» (Р2, 0 ((тг — 3) Я)) = (тг (тг — 3)/2) + 1, то можно
найти кривую степени тг — 3, проходящую через P(n(7i+s)/2)+i> ■ • •
. . ., Рп2. Тогда А -\- В будет кривой степени 2п — 3, проходящей
через Pg, . . ., Р„2; следовательно, А -{- В содержит Р^. В общем
слзгчае (тг (тг — 3)/2) -\- 1 точек из Р у не лежат на кривой
степени тг — 3, поэтому Pi лежит на Л и мы|получаем:
Для любых N тачек Р „ любая гиперплоскость, содержащая
N — 1 точек i„ (Pv)i содержит все N точек.
Ясно, что из этого следует (••).
В исключительном слзгчае занумеруем точки Ру так, чтобы
кривая В степени тг — 3 проходила в точности через Pjj, . . .
. . ., P„2, к^п {п -\- 3)/2. Для любой кривой At степени тг,
проходящей через Р^ . . ., Pj, . . ., Р^, кривая Ai -\- В содер-

716 Гл. 5. Вычеты
жит Г. Поэтому Pi лежит па. At, и, следовательно, точки i„ (Р^), ...
. . ., 1„ (Pk) линейно зависимы в Р^.
Но это снова влечет за собой (**). □
Мы уже продемонстрировали применение теоремы о вьгаетах
к пересечениям плоских алгебраических кривых без кратных
компонент. Кратные компоненты естественно возникают тогда,
когда нас интересует не только расположение точек пересечения
в Р2, но и их инфинитезимальная структура более высокого
порядка.
Например, пусть L с: Р^ — прямая. Если мы отметим точки
Pi, . . ., Р„ на L, то нетрудно найти алгебраическую кривую С
степени тг, проходящую через все Р у, — достаточно взять
объединение п прямых. Точно так же легко предписать направления
касательных, которые С должна иметь в точках Р^ Однако уже
не всегда можно найти кривую С с предписанным поведением
второго порядка в точках Ру. Для этого должно выполняться
одно условие, так называемое соотношение Рейса, которое мы
сейчас рассмотрим.
Предположим, что С имеет аффинное уравнение / (ж, у) = О,
что L = {х = 0} и что п точек пересечения С с L отмечены на
оси у. Мы докажем сейчас
Соотношение Рейса. В обозначениях fy = (df/dy) (х, у) и т. 3.
имеем
где суммирование ведется по отмеченным тачкам L-C.
Доказательство. Вообще поведение С до т-то порядка
малости вблизи точек пересечения С {\ L отражается в вычетах форм
_ Р (х, y)dx hdy
zf{x, у)^
Если / (ж, у) имеет степень тг, то ю регулярна вдоль бесконечно
удаленной прямой при deg (р) ^ тп — 2. В слзгчае т = 2
ограничение deg (р) ^2п — 2 будет выполнено, если мы возьмем р
в виде р {х, у) = а/д:J + ^f^^f + yfyyf -f- б^ -f- efjy + кЦ.
Предположим, что начало координат является одной из точек
пересечения, и докажем следующее равенство.
ле™.. ве.,„(^':;,у;;^')=^-^

2. Применения вычетов 717
Доказательство леммы. Здесь применяется формула
преобразования И8 § 2. Пусть / (ж, у) имеет разложение Тейлора
/(ж, i/) = aa;+fej/ + -^ + da;i/ + -^+..., ЪфО.
Рассмотрим идеалы
/ = {X, 1/2}, /' = {X, f {X, у)^}.
Для подходящей голоморфной в окрестности начала функции
g (л;, у)
f (х, yY = g{x, у)х+ (fe2 + feel/ + . . .) 1/2.
Поэтому г d I с матрицей преобразования
/1 g(x,y) \
\0 Ъ^ + Ъеу+...)'
Заметим, что ее определитель Д = fe^ -\- Ъеу + . . . отличен от
нуля в начале координат. Для голоморфной функции h (х, у)
закон преобразования дает
Roc / h{x, y)dxAdy \ _р^„ / Д (д, у) h (х, у) dx А dy \
По формуле Коши левая часть равна hy {О, 0). Полагая h = pJA,
ползгчаем
Р / р (х, y)dxAdy \ _ Ру (0) Р (0) fyy (0)
^^^W[ xf{x,y)* )-fy(0)* /p(0)» '
так как /^ (0) = fe, fyy (0) = ё. Это доказывает лемму.
Если теперь мы положим р = j% — ff^^., то
•D„„ f Р{х, y)dxAdy \ {fxxfy—^fxyfxfy+fByfD
^^'w[ ^^(^,,), j = Ц .
Применение теоремы о вычетах в форме (*) дает нужное
соотношение. □
Соотношение Рейса допускает интерпретацию в терминах
дифференциальной геометрии плоских кривых. А именно,
предположим, что (х, у (х)) — параметрическое представление С
вблизи начала координат. Дифференцирование / (х, у (ж)) ^ О даёт
уравнения
L + fyy' = О,
и. + 2Uyy' + fyyy'^ + fyy" = 0.
Исключая у', мы ползгчаем
{fxxfy-'i.i^yixfy+lyyll)
у ts -• ' .'■ .

718 Гл. 5. Вычеты
С другой стороны, И8 элементарного анализа известно, что
где X — кривизна С в начале координат, а 6 — угол между осью у
и касательной к С. Поэтому соотношение Рейса имеет красивую
метрическую форму
2 sins^ev ""^'
V
где X V — кривизна С ъ Р ^, аб^ — угол между касательной к С
и прямой L.
Покажем теперь, что соотношение Рейса является
достаточным условием. Многочлены / (х, у) степени п образуют
векторное пространство размерности (тг -\- \) {п -\- 2)12; многочлены вида
g {х, у) ж* (deg (g) = п — 3) образуют подпространство
размерности (тг — 2) (тг — 1)/2. Факторпространство V имеет
размерность
в2+Зв-[-2 в''—Зв-1-2 о
_ _ _ ^п.
Нахождение кривой степени тг с предписанным поведением
второго порядка в точках Р^ п& прямой {х = 0} эквивалентно
нахождению подходящей точки в проективном пространстве Р (F) ^
^ psn-i Каждый элемент второго порядка налагает три
линейных условия, и всего ползгчается Зтг условий. Поэтому
соотношение Рейса является необходимым и достаточным условием.
Наконец, мы хотели бы указать, что теорема о вычетах из § 1
применима к конфигурациям точек на произвольных
алгебраических поверхностях, а не только на Р^. Более точно, пусть L, L'—
голоморфные линейные расслоения на поверхности S, а С^
6 I L 1 и С ^ \ L' \ — кривые, трансверсально пересекающиеся
в d = L-L' точках. Тогда имеет место следующее
Предложение. Любая кривая D^\K + L-\-L'\, проходящая
черев все, кроме, быть может, одной, точки С-С, проходит и через
эту оставшуюся точку.
Доказательство. Пусть о е Н<' {S, О (L)) и а' б Я» (5, 0 (L'))
определяют С и С и i|) б Я» (5, О {K+L+L'))=Ho {S, Q^L+L')).
Тогда (О = i|)/a-o' является мероморфной 2-формой на 5 с
дивизором полюсов С + С. По общей теореме о вычетах
2 Resp((i>):>=0,
откуда немедленно ползгчается нужное утверждение. П
Распространение этих результатов на произвольные векторные
расслоения будет дано в § 4 в конце этой главы.

3. Элементы коммутативной и гомологической ал^бры 719
3. ЭЛЕМЕНТЫ КОММУТАТИВНОЙ
И ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
коммутативная алгебра
Без сомнения, читатель хорошо понимает, что подведение
прочного алгебраического фундамента под здание алгебраической
геометрии — всепоглощающая задача. С другой стороны, так же
как когомологии пучков очень облегчают иззгчение дивизоров
на многообразии (слзгчай, когда локальная теория сравнительно
проста), введение некоторого алгебраического аппарата прояснит
предыдущее обсуждение локальных свойств аналитических
уравнений fi (zi, . . ., z„) = ... = /„ (Zi, . . ., z„) = 0, имеющих
начало координат изолированным решением. Особенно это касается
закона преобразования и локальной теоремы двойственности,
связанных с нашим аналитически определенным вычетом; при
зтом оба упомянутых результата приобретают очень
симметричную форму.
Мы будем пользоваться обозначением
G = limO{U)
оеи
для кольца ростков аналитических функций в окрестности начала
координат в С". Очевидно, что 0 = С {z^, . . ., г„} — кольцо
сходящихся степенных рядов. Когда нужно указать число
переменных, мы будем писать (Э„ вместо 0. Напомним, что локальным
кольцом называется кольцо с единственным максимальным
идеалом. Кольцо О как раз является локальным кольцом с
максимальным идеалом m = {z^, . . ., z„}, состоящим из функций f ^О,
таких, что / (0) = 0. Единицами служат элементы О* =0 — ш.
В § 1 гл. О было доказано, что для / т^ О в 0„ существует
линейная система координат (z^, Zj, . . ., z„) = (z', z„) и единственный
многочлен Вейерштрасса
W (z) = z^ + fli (z') zi-' + ...+aa (z') 60П-1 [Zn]
с необратимыми at (zO 6 0n-i> такой, что
f (z) = и (z) w (z),
где и ^ 0*. В дополнение к этой подготовительной теореме
Вейерштрасса была доказана теорема о делении: для любого g 6 ©п
существует представление вида
g = hf + r,
где г ^ 0„_1 [z„] имеет меньшую степень, чем w. Эти два
результата являются основными средствами иззгчения локального коль-

720 Гл. 5. Вычеты
ца 0 И его идеалов. Метод исследования — это преимущественно
яндукция по п. Например, ив индуктивного предположения и
леммы Гаусса следует факториальность кольца On-i fz„];
использование подготовительной теоремы позволяет заключить, что
©„ — факториальное колыша.
Подобным же образом мы покажем, что
On — нётерово кольцо.
Доказательство. Нужно показать, что любой идеал I а О
порождается конечным числом элементов. Пусть О Ф f ^ I; можно
■считать, что / 6 ©n-i f2„] является многочленом Вейерштрасса.
Пусть I' = If] Gn-i [z„]. По индуктивному предположению
0„_1 — нётерово кольцо, поэтому теорема Гильберта о базисе
позволяет заключить, что /' имеет конечное число образующих
Л. • • ч /fe 6 ©n-i [2п]. Мы утверждаем, что
/ = {/, /i, ■ . ., fk}.
В самом деле, пусть g ^ I; пользуясь теоремой о делении,
получаем g = hf -\- г. Так как г принадлежит I f\ 0„_i [z„] = /', его
можно выразить через Д, . . ., /„. П
При обсуждении коммутативной алгебры нашим главным
объектом будут О-модули, которые мы будем обозначать М, N,
R, ... и которые всегда будут предполагаться конечно
порожденными. Выбрав образующие mi, . . ., т^ ©-модуля М, построим
точную последовательность О-модулей
О ^ i? ^ ©С) Л М ^ О,
где ©<'') = 0 ф . . . Ф 0 {к слагаемых) — свободный 0-модуль
ранга к, л (gj, . . ., g^) = g-jni -{-...-{- ghm^, a
-R = {(§11 • • M gh)- gi^i + . . . + ghmh = 0}
— модуль соотношений между mi. Мы утверждаем, что R снова
конечно порожден. Докажем это индукцией по к; при к = i
утверждение превращается в уже доказанное утверждение о
конечной порожденности идеалов в 0. Пусть R' = R[\ 0<''-^) ;
тогда в точной последовательности
O^R'^R^ RIR' -»- О
как R', так и RlR' а О конечно порождены, откуда следует,
что и R обладает этим свойством.
Кроме свободных модулей, важнейшими примерами
©-модулей являются
/ = {/i, . • ., fh) — идеал в О и М = G/{U, . . ., U}.

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 721
Второй и8 них является, грубо говоря, локальным кольцом в
начале координат многообразия /^ (z) = . . . = fk (z) = 0. Позже
мы еще вернемся к этому. Если задан идеал {/i, . . ., /fe}, где
fi 6 ©n-i t2„l — многочлены Вейерштрасса, то /' = / П
П 0„-1 [z„] естественно рассматривать как фактормодуль 0„_i-
модуля 0<^\. Поэтому, даже если первоначально нас
интересовали лишь идеалы в 0„, использование более общих модулей
полезно при индуктивных рассуждениях.
На ©-модули распространяются операции линейной алгебры,
такие, как
М Ф N, М ®qN, Hom(5(M, N).
Если дана точная последовательность (9-модулей
то ползгчающиеся из нее последовательности
Р ®qM-^ Q ®qM -^ R ®qM -^ 0,
0 -^ Hom(5(M, P) -^ Hom0(Af, Q) -^ Пош^^М, R)
также точны. В таком слзгчае мы говорим, что ® — точный справа
функтор, а Нот — точный слева. Большую роль в дальнейших
рассуждениях играют ядро Р ®(о.М-^ Q ®qM и коядро
Нот(5(М, (?) -^ Нот(5(М, R).
Каждому О-модулю М соответствует его слой Mq = М/тМ;
эта терминология станет понятна при обсуждении когерентных
пучков. Это модуль над 0/т = С, поэтому он является
конечномерным векторным пространством. В дальнейшем нашим
основным техническим средством будет следующая
Лемма Накаямы. Если М = тМ, то М = (0).
Доказательство. Рассмотрим идеал /= {f ^О: f-M = 0} и
покажем, что I = О. Пусть М порождается элементами mi, . . .
. . ., т^; пользуясь условием М == тМ, напишем
mi=yiaijmj
3
или, что то же самое,
j
где at} 6 m- По правилу Крамера
A-mj — О,
где А = det (б^^ — а^) 6 1 -f т.
15-0200

722 Гл. 5. Вычеты
Так как Д — единица, то / = (5. Q
Полезна также следующая форма леммы Накаямы:
nil, • • •' ^h порождают М тогда и только тогда, когда
они порождают Mq.
Доказательство. В одну сторону импликация очевидна.
Предположим, что т^, . . ., т^ порождают М^, и пусть S а М —
порожденный ими подмодуль. Положим Q = MIS и рассмотрим
точную последовательность
Если т ^ М, то т — s 6 шМ для некоторого s ^ S.
Следовательно, я (то) = я (т — s) 6 шQ и Q = mQ. Но тогда Q — (0). D
Имеется еще один вариант леммы Накаямы:
Пусть ф: М -^ N — гомоморфизм G-модулей, такой, что
Фо: Мо ->- No сюръективен', тогда ф сюръективен.
Приведем еще одно стандартное определение: ©-модуль М
называется проективным, если он включается в следующую
коммутативную диаграмму:
М
г
♦
Эта диаграмма расшифровывается так: К ш L — заданные
©-модули, аир — заданные гомоморфизмы ©-модулей, причем а —
эпиморфизм. Тогда существует гомоморфизм у, делающий
диаграмму коммутативной. Короче, сплошные стрелки заданы, а
пунктирные могут быть добавлены. В дальнейшем мы будем всюду
пользоваться этим правилом обозначений.
Лемма. G-модуль М проективен тогда и только тогда, когда
он свободен.
Доказательств. Предположим сначала, что М свободен;
можно даже считать, что М = 0. Пусть It 6 L — образуюпще, а kt —
элементы К, такие, что а (ki) = 1(. Если Р(1) = 2 fih^ то можно
полон{ить Y (1) = 2 fi^i ^ получить требуемук) пунктирную
» " , ■ .-
стрелку.

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 723
Обратно предположим, что М лроективен. Возьмем М = L,
и пусть К — свободный модуль; тогда
"У
Можно считать, что к — минимальное число образующих М, или,
эквивалентно, что отображение слоев С''-* М^ является
изоморфизмом. Тогда Y о а сюръективно и у сюръективно на слоях.
По лемме Накаямы (в третьей форме) у сюръективно и а —
изоморфизм. D
Заметим, что определение проективности можно
перефразировать следующим образом:
^ -^ L -^ О => HomQ{M, К) -^ RomQ{M, L) -^ 0.
С другой стороны, проективные модули свободны, поэтому
Следовательно, для проективного модуля М функторы М ^q-
и HoDQg) (М, •) точны. В следующем разделе мы систематически
будем пользоваться этим замечанием.
Гомологическая алгебра
Начнем с напоминания ряда определений, большая часть
которых, видимо, знакома читателю из алгебраической топологии,
(а) Комплекс — это одна из диаграмм
{К.) ^К^-ХКп-i-^ ..., 52 = 0,
или I
{К') ^^»Л^"+1 Л ..., 62=0.
Здесь К — конечно порожденные О-модули, а стрелки — гомот
морфизмы ©-модулей, хотя большая часть рассуждений годится
для модулей над произвольным кольцом. Циклы по модулю границ;
Дают соответственно гомологии Hi^(K.) = ®Нп{К,) ш когомол&-
гии Н* (К') = ФН" (К') комплексов. Мы ограничимся
обсуждением гомологии, оставляя дуальный случай -читателю.
16*

724 Гл. 5. Вычеты
(b) Отображение, или гомоморфизм, комплексов ф: К, -»- L,
представляет собой коммутативную диаграмму
■~*"-^п -~*-Кл-1 —^ • • •
—^L„ —*-х„_, —*- •• •
Оно индуцирует отображение гомологии щ: Н^ {К.)-^ Н^,{Ь,).
Если нужно, мы будем писать ф„: Я^„ ->- /,„ и обозначать
граничные отображения 5^, 5£,. Множество Нот (^., L.) гомоморфизмов
комплексов есть группа с операцией (ф + "if)^ = ф* + !!'#•
(c) Гомоморфизм комплексов ^•. К. -*- L, гомотопен нулю
(обозначается ф ~ 0), если существует цепная гомотопия
Ф = di/x^ + an-i^K,
изображаемая диаграммой
. Эк.
^+1 *^^ *'^п-\
ь„+
а,
1'
В этом слзгчае ф^^ = 0. Отображения ф и ij) гомотопны, если ф —
— 1|) ~ 0; в этом слзгчае ф^. = ij)^.
(d) Точная последовательность комплексов
О ->- ^. -»- L. ->- М. ->- О
«пределяется очевидным образом- Она дает длинную точную
последовательность гомологии
. . . -^ Я„ {К.) -^ Я„ (L.) ^ Я„ (М.) - Я„_1 {К,) ^ . . . .
Следующие определение и предложение играют основную
техническую роль.
Определение. Проективной резольвентой Е,{М) ©-модуля М
называется точная последовательность
Е. (М): ... ^ £т-^ £m-i Л ...ЛЕо^М^О,
в которой Ejn — проективные (= свободные) ©-модули.
Заметим, что Я„ {Е. (М)) = О при тг > О и Яо {Е. (М)) ^ М.
Если заданы проективная резольвента Е, (М) и точная
последовательность

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 725
где Fjn свободны, мы ползгчаем новую проективную резольвенту
£". (М), полагая Е'т = Е^ Ф Р^. Ниже мы докажем, что любую
проективную резольвенту можно так модифицировать, что Е'т — О
при т^ п (теорема о сизигиях).
Предложение. 1. Проективные резольвенты существуют.
2. Если даны гомоморфизм ф: М -^ N и проективные резолъ-
венты Е, (М) и Е, {N), то существует гомоморфизм комплексов
Ф: Е, (М) ->- Е, (N), делающий коммутативной следующую
диаграмму:
Но(ЕХМ)) -^ Но(Е,(Ю)
ill Ш
М 5 *- N
3. Ф единствен с точностью до гомотюпии.
4. Если последовательность О ->- М' -*- М ->- М" -*- О точна,
то можно найти такие проективные резольвенты и отображения
комплексов, что О -»- £. (М') -»- Е. (М) -»- Е, {М") -»- О будет
точной последовательностью комплексов.
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что,
как мы показали, ядро сюръективного отображения О***) -*- М -*-
-»- О является конечно порожденным 0-модулем.
Доказательства утверждений 2—4 все однотипны, тольк»
сложность обозначений постепенно увеличивается. Поэтому мы
докажем лишь утверждение 2, надеясь, что 3 и 4 читатель сможет
доказать сам или найти в литературе.
Если сплошные стрелки в диаграмме
Fo*N -О
заданы, то пунктирная стрелка суш;ествует по определению
проективности. Чтобы сделать следующий шаг, рассмотрим R(, и Sg,
заданные диаграммой

.726 Гл. 5. Вычеты
Тогда мы ползгчаем сплошные стрелки в диаграмме
;*• h
а пунктирная стрелка ползгчается благодаря проективности Ei.
Продолжая в том же духе, мы ползгчаем утверждение 2. П
Определение. Для С-модулей М ш N положим
Eit^ (М, iV) = Я" (Нот(5 {Е. (М), N)),
Тог® {М, N) = Я„ {Е. (М) ®0N).
Мы выведем сейчас основные свойства функтора Ext;
доказательство большинства аналогичных свойств функтора Тог
предоставляется читателю. Прежде всего, согласно предыдущем
утверждениям 2 и 3, определение Ext не зависит от выбора проективной
резольвенты Е, (М). Boo6ni;e, отображения
ф: М-^ М', у^>: N-^N'
индуцируют отображения
Ф*: ExtQ {М', N) -^ Eit(5 ('^' '^)'
Ч':,: Eit(5 (М, N) -^ Eit(5 (^' '^')'
обладающие функториальными свойствами, такими, как
л
Af "у М' ^М => Л* = Ф* о Г*
Следовательно, функтор Eit^(M, N) контравариантен по М
и ковариантен по N.
Далее, отметим, что определения Ext и Тог несимметричны
относительно М и iv. В отношении Тог это можно исправить
следующем образом: возьмем проективные резольвенты Е. (М)
и F, {N) модулей М и iV и рассмотрим двойной комплекс
(Е. (М) ® F. {N), 5д, ® 1 ± 1 ® дц).

3. Элементы, коммутативной и гомологической алгебры, 727
Напомним И8 гл. 3, что существуют две спектральные
последовательности с начальными членами
'Е^ = Н^ (Е. (М) ^qF. (ЛО, 1 ® drf),
"Еу = Я, (£. (М) ®qF. {N),d^® 1),
сходящиеся к гипергомологиям
Я^ (Е. (М) <S>Q F.{N),dj^<S>i±i<S> д^).
Так как тензорное умножение на свободный модуль сохраняет
точность последовательности, то '^р.' = О при g > О и "J^f.' = О
при р > 0. Поэтому обе спектральные последовательности
тривиальны, и мы ползгчаем
Н^ {Е. (М) 00 Ю ^ Torf (М, N) ^ Я* (М 00 Р- (^))-
С функтором Ext положение сложнее и требует рассмотрения
инъективных резольвент. Так как нам это не понадобится, мы не
будем этим заниматься.
Далее заметим, что имеет место изоморфизм
<•) Ext^(M, N) ^ Нош^ (М, N).
Доказательство. Если Е^-^ Е,^-^ М^*-0 точна, то точна
и последовательность
О -^ Нот(5 (М, N) -^ Нот(5 (^'о^ Щ -^ Нот^ (^i, Щ. П
Главное свойство функтора Ext заключается в следующем:
Короткие точные последовательности О-модулей
индуцируют длинные точные последовательности
...->- Extg, (М, N) -»- Ext^ (М', N) -^ Ext^* (М", N)^ ...,
...->- Extg, {М, N)^ Ext0 (М, N") ->- Ext^* (М, N')^ ... .
Доказательство. Заметим прежде всего, что короткая точная
последовательность свободных 0-модулей расщепляется, что
изображается пунктирной стрелкой в диаграмме
0-».£'-*.£'-^£"_».0

728 Гл. 5. Вычеты
Значит, Е Si Е' ф Е", и поэтому последовательность
О ->- Нот0 {Е", N) ->- Нот(5 {Е, N) ->- Нош^ (Е', N)^0
точна для любого 0-модуля N. Выберем проективные
резольвенты так, чтобы последовательность
О^Е. {М') -»- ^. (ilf) -»- Е. (М") -»- О
была точной; тогда точной будет и последовательность комплексов
О -ь Нош^ {Е. {М"), N) -^ Нот0 (Е. (М), N) -»-
-^ Нот(5 {Е. (М'), N) -^ 0.
Переходя к когомологиям, мы получаем первую длинную точную
последовательность. Вторая ползгчается аналогично. П
Например, для 0-*-N'-*-N-*-N"-*-0 получаем
последовательность
(*») О -^ Нот(5 {М, N') -^ Нот(5 (М, N) -^ Нот^ {М, N") -^
-^ ExVQiM, N'),
так что Ext(a{M, ■) измеряет степень неточности справа
функтора 'H.omQ{M, •).
Теперь мы докажем, что
0-модулъ М проективный <=> Eit^(М, N) = О для q> О
и любого О-модуля N.
Доказательство. Ясно, что если М проективный, все высшие
функторы Ext равны нулю. Обратно, предположим, что
Extk {М, N) — О для всех N, и рассмотрим диаграмму
М
ч\
в которой сплошные стрелки заданы. Применяя (•*) и пользуясь
тем, что Ext(C){M, N) = О, мы ползгчаем точность
последовательности
Нот0(М, Р) -^ HomQiM, (?) -^ О,
что позволяет найти пунктирную стрелку р. Поэтому модуль М
проективен. D

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 729
Это утверждение можно уточнить:
Если Eit(c(M, Е) = О для любого проективного модуля Е,
то М проективен^).
Доказательство. Выбрав образующие М, мы ползгчаем точную
последовательность
тс
со свободным модулем Е. Применяя вторую длинную точнз^
последовательность для Ext, ползгчаем
HomQiE, E)-^Hom(C){R, E)-^Ext}v){M, Е) = 0.
Следовательно, существует пунктирная стрелка я, М ^ кег п
и Е ^ R Ф М. Так как прямое слагаемое свободного модуля
проективно, мы ползгчаем требуемое. D
В заключение отметим, что обозначение Ext происходит от
понятия расширения; первоначально Ext^ и определялся в контексте
расширений. Мы обсудим это в § 4.
Другая возможная интерпретация Ext относится к некоторому
типу двойственности, отражающему свойства перехода от
©-модуля М к двойственному ©-модулю Нот0(М, •). Точно это
будет изложено в следующем разделе, где, в частности, мы
приведем локальную теорему двойственности в инвариантной форме.
Таким образом, Ext имеет две совершенно разные стороны,
каждая из которых по-своему интересна.
Комплекс Когиуля и его применения
Комплекс Кошу ля. Пусть по-прежнему © обозначает
локальное кольцо ростков аналитических функций в начале координат
в С". Пусть fy, . . ., /г 6 С; обозначим через Д = {Д, . . ., /ь}
идеал, порожденный первыми к функциями, и положим / = 7^.
Определение, (/i, . . ., /г) называется регулярной
последовательностью, если /ft не является делителем нуля в ОИ^-г при
к = i, . . ., г.
^) Это утверждение неверно (впрочем, оно нигде в книге не
используется). Хорошее упражнение для читателя — найти ошибку в
«доказательстве».— Прим. перев.

730 Гл. 5. Вычеты
Напомним геометрическую интерпретацию, упомянутую выше
и доказанную в cnjrqae га = 2, которая заключается в том, что
codim V„ = к, где У^ = {Л (г) = . . . = /^ (г) = 0}.
Для заданной регулярной последовательности комплекс Кошу-
ля дает замечательную проективную резольвенту ©-модуля /.
Он построен на основе хорошо известного факта линейной алгебры,
что для га-мерного векторного пространства V и ненулевого
вектора V* ^ V* оператор свертки
i{v*): Д^У-^- Д^-^У
индуцирует точную последовательность векторных пространст
О -^ Д« У -^ дп-1 v-^...-^/\^V-^V-^C-^0
(С = Д" У)- Наша инвариантная формулировка локальной
двойственности основана на том факте, что при отождествлениях
Нош (Д" У, С) ^ Д" У* ^ Д" У* (8) Д"-" У
предыдуш,ая точная последовательность самодвойственна в смысле
коммутативности следуюш,ей диаграммы:
Hom(A*"^'K,C)^=^A"f'*®A"''*"'"^'
Для построения комплекса Кошуля возьмем стандартный базис
«1, . . ., Cft в С и положим
ej = ej^A ... л e^^, / = (/i, ..., /J сг (1, ..., г).
Тогда Ek — свободный ©-модуль с базисом {ej}. Определим
оператор д: Eh -^ Ek-i, продолжая по линейности обычную формулу
для границы
h
9Ы = S (-l)''"V^v^^lл ... ACj^A ... Acj^.
v=l
При А = 1 мы полагаем Eq = О и д (е^) = /«. Это определяет
комплекс Кошуля Е. (/) набора функций / — (/i, . . ., /г)-

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 731
Лемма. В случае регулярной последовательности (f^, . . ., /г)
Нд {Е. (/)) = О при g > О
и Но {Е. (/)) ^ 0/I.
Таким образом, Е. (/) дает проективную резольвенту для модуля
ОН.
в
Доказат£льство. Ясно, что образ Е^ —*■ Eq = О в точности
равен идеалу /, так что Hq {Е. (/)) ^ 0/I. Индукцией по г
покажем, что высшие гомологии равны нулю.
В случае г = 1 комплекс Кошуля имеет вид О -^ © -^ О,
и, так как /i Ф О, утверждение, очевидно, выполняется.
Предположим, что утверждение доказано для г — 1, и пусть
вложение Р^<^Е^ индуцировано вложением Д''C''~■^cz f\^(f,
где С"^ порождается е^, . . ., вт-г- Получаем большую
коммутативную диаграмму
0 0
\ \
\ 1 1
0 0 0
0 0
1 \
\ \
0 0
Здесь мы отождествили Q^ с © (е^ (g) /\'^~^C^~^). Тогда для / =
= (/i. • • •. ih-i) с= (1, ..., г — 1) имеем
д {вг (g) ej) == f^Bj ± Cr (g) 9e/ ^ e^ (g) 9ej (mod F^).
Поэтому Q. снова является комплексом Кошуля, к которому уже
применимо индуктивное утверждение.
Рассмотрим нижний правый угол большой диаграммы:
£,—>-Т^—*4)
\ \
\ \
о о

732 Гл. 5. Вычеты
При отождествлениях
(?2 ^ © (е, (8) С^-'), д (е, (g) e^) = fje,,
диаграмма остается коммутативной. Если а (ge^) = О, то gf^ £
6 {/ii • • •' /г-i}; поэтому, согласно предположению
регулярности последовательности, g £ {Д, . . ., /r-i}- Значит, gCr 6 З^г,
так что большая диаграмма коммутативна и точна. Так как
Н^ {F.) = О = Я* ((?.), мы получаем Н^, (Е.) = 0. П
Инвариантная форма локальной двойственности.
Воспользуемся комплексом Кошуля для вычисления Ext^ {0/I, О) и
последующей интерпретации результата как инвариантной формы
теоремы локальной двойственности из § 2. На самом деле мы
приведем новое доказательство этой теоремы.
Следующие изоморфизмы играют роль оператора * из теории
Ходжа.
Лемма. Существуют изоморфизма Нот^ (£h, ©) ^ E^-h^ З-**
которых коммутативна следующая диаграмма:
Доказательство. Для набора индексов / cz (1, . . ., г)
обозначим через /' = (1, . . ., г) — J дополнительный набор и
определим
Знак выбирается так, чтобы ejAej* = eiA ... Л е^. Определим
теперь е^бНотл)(£й, О), полагая
0, J'¥=J,
1, /' = /.
Тогда указанные изоморфизмы задаются сопоставлением
Sj ^-^ ej*.
Коммутативность диаграммы проверяется прямым вычислением. П
Применение этой леммы дает первую часть следующего
предложения.
ej {ej') = {

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 733
Предложение. Пусть / = (/i, . . ., fr) — регулярная последо'
еателъностъ, порождающая идеал 1 = 1 (./)• Тогда
(*) Ext^(©//, ©) = 0, А;<г; Ех10{в/1,е)^в/1.
При этом последний изоморфизм обладает следующим свойством
функтлриалъности: пусть I' = I (/') — идеал, также
порожденный регулярной последовательностью и содержащийся в I, так что
i
Обозначим через А = det (ац) определитель матрицы, (atj). Тогда
диаграмма
ExtS(B//,e)^B/J
Est&(0/r,e)=3^B/.r
коммутативна, а вертикальные стрелки в ней инъективны.
Доказателъст£о. Вычисление Ext^ {ОН, О) получается из
предыдущей леммы. Для доказательства формулы
преобразования (**) определим следующее отображение:
Д(Л-. о*д: - е;_, ■ е^ е[ ^ е„' -©//'-о
между комплексами Кошуля. Пусть О/Г ->- 0/I — естественное
отображение, индуцированное вложением Г а I, & А^ —
тождественное отображение при отождествлениях £о — © — -^о- ^'^**"
бражение А^: Е[-^ Е^ задается матрицей а^, А^ (ej) = S "'tfiit
так что
3^1 (еО = S cLufi = й = Ао (del).
Остальные отображения ^4.;^: Е'^^- Ei^ определяются как внешние
степени отображения Ai. Ясно, что диаграмма коммутативна
и что Аг при отождествлениях Ег ^ О, Е'г ^ О есть умножение
на определитель А.

734 Гл. 5. Вычеты
Остается проверить инъективность. Однако прежде стоит
проверить непосредственно, что A-I а I', так как умножение на Л,
ОН J^Qir, действует в неочевидном направлении. По правилу
Крамера
где 4ifc — алгебраические дополнения. Тогда
} }, к h
ЧТО И доказывает вложение Л»/ сг /'.
Рассмотрим теперь точную последовательность
О -*■ ИГ -»► ©//' -»► еп -4- 0.
Длинная точная последовательность функторов Ext имеет вид
->► Ext^ (©//', ©) -^ Ext^ (///', ©) ^ Ext^* (©//, е)^ ....
Поэтому требуемая инъективность следует из равенства
ExtJ^ *(///', ©) = 0,
которое мы сейчас докажем.
Пусть /ft = {/j, . . ., /h}; рассмотрим следующие точные
последовательности ©-модулей:
О ^ © -4 © ^ ©//; -»► О,
О -^ e/1'i Д e/i;_ -^ ©//; -^ о,
0^ e/i'r-i -^ e/i'r-i^e/r -^ о.
Их точность следует из регулярности последовательности /{.
Применяя вторую точную последовательность Ext, получаем
Ext'^^'' (,Iir,eiQ -у Ext^* (///', ©) -^ Ext^* (///',^),
Ext^^ (///', е//;)^ Extj^2 (///', ©//;) -iExt^''(///', o/i[)
Extg(///', <5(i;:^v

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 735
Главный момент заключается в том, что отображения
Ext^-" (///', ©//ft-O-^Ext^" (///', ©//ft_i)
являются нулевыми. Это следует из того, что они ©-линейны
и потому умножение на fk можно перекинуть с O/I'h-i на ///',
где оно нулевое. Собирая все вместе, получаем сюръективное
отображение
Иот(с, {1/Г, ©//;.!)-»-Ext^* (///', ©)^0.
Если теперь ф£Нот^ (///', ©//r_i), то для любого g^I/I'
/;ф(^)=ф(/;^)=о,
откуда Ф(^) = 0 и, значит, Ext^* (///', О) = 0. П
Вернемся теперь к локальной теореме двойственности. Пусть
/ = {/i, . . ., /„}и/' = {f[, . . ., fk}— регулярные идеалы,
причем /' CZ /. Обозначим через Й" слой в начале координат пучка
голоморфных га-форм. Выбор координат z^, . . ., z„ в окрестности
начала индуцирует изоморфизм
© = Й", g (z) !-► g (z) dzi л . . . л dz„.
Напомним, что спаривание
res/: ©// (g) в/1 -^ С,
определяемое как
гевИЛ, g)-Kesto)( /, (г) .../„ ^ j '
зависело от выбора образующих /,- идеала / и локальных
координат. Поведение res/ при изменении образующих идеала / и замене
координат задавалось законом преобразования. В результате
имеет место
Локальная теорема двойственности П. Для регулярного идеала
I = {fi, . . ., fn} спаривание
res: ©//(g) Ext^ (©Я, Q")-»-C,
определённое . изоморфизмом (*) us предыдущего предложения
и вычетом res/, невырожденно,, не аависиш.от выбора локальных

736 Гл. 5- Вычеты
координат и образующих I и функториалъно. Последнее означает
коммутативность диаграммы
б//(8) ExtS (©//, й")-^^ С
1-
res
для регулярных идеалов Г cz I.
Доказателъст£о. Независимость спаривания res от выбора
локальных координат и образзпющих /, а также функториаль-
ность следуют из коммутативной диаграммы (**) и формулы
преобразования. Чтобы доказать невырожденность спаривания
res: е/1 (8) Ext^ {в/1, Й") ^ С,
достаточно найти регулярный идеал /' cz /, для которого это
спаривание невырожденно, и затем воспользоваться функториаль-
ностью вместе с теми фактами, что отображение О/Г _f!> 0/I
сюръективно (что очевидно), а отображение Ext^^ (©//, Q") ^
^ Ext Л) {О/Г, Й") инъективно (что доказано в предыдущем
предложении). Применяя теорему о нулях из § 2, в качестве /'можно
взять {zf, . . ., 4}' где d = dime (<5//)- П
Функтор Тог и теорема о сизигиях. Воспользовавшись
функтором Ext для придания окончательной формы локальной
двойственности, мы применим теперь функтор Тог для доказательства
следующей теоремы:
Теорема о сизигиях. Пусть М — конечно порожденный О-мо-
дулъ, а
— тлчная последоват£лъностъ О-модулей, в котлрой все модули Ei
проективны. Тогда F — также проективный модуль.
Пусть m = (zi, . . ., z„) — максимальный идеал и С = О/т
рассматривается как О-модуль. Докажем сначала следующее
утверждение.
/а
Лемма. Если Тог^ (С, N) — О, тл N — свободный О-модуль,
Доказательст£о. Заметим сначала, что Toi^{M,N)^:M<^0N.
Это следует из точности справа фзтактора <S>.

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 737
Далее, короткие точные последовательности
О ^ М' ^ М ^ М" ^ О,
0-^N' -^N-^N"-^ О,
так н^е как и вьппе, индуцируют длинные точные
последовательности
... ^ Тог® (М, N) -^ Torf {М", N) -^ Тог®. 1 {М', N)^ ...,
... -^ Тог® Щ, N)-^ Тог® (М, Л^") -^ Тог®. 1 (М, N')-^ ... .
Приступим теперь к доказательству леммы. Рассмотрим слой
М (8)0 С ^ М/тМ = Мо
модуля М и возьмем свободный ©-модуль Е, для которого Е^ =
= Мд. По лемме Накаямы этот изоморфизм продолжается до
сюръективного отобран{ения Е ->- М. Пусть R — модуль
соотношений, определяемый последовательностью
Из ТОЧНОЙ последовательности для Тог^ (С, О^мы получаем
Torf (С,М)-^ ®eJ?^C ®е£ -* С ®оМ^0
откуда следует, что Др = О, а значит, снова по лемме Накаямы
i? = 0. Поэтолгу Е ^ М и лемма доказана.
Теперь докажем теорему о сизигиях. При О ^ А ^ га
определим i?ft, полагая
Ro=M,
Rk = im {Е„ -^ Ek-г} (О < А < га),
Rn = F.
Тогда мы получаем точные последовательности
O^R^^Eo^Ro^O,
O^Rk+i^E^^Rk^O {0<к<п),
O^R^^En-,^Rn-,^0.
lfi-0200

738 Гл. 5. Вычеты
Так как высшие функторы Тог равны нулю, если один из членов
свободен, то вторая длинная точная последовательность дает
изоморфизмы
Tor^^j (С, R,.,) ^ Torf (Г, R^), g> 1.
В частности.
Torf (С, Д„) ^ Тог® J (С, М).
Чтобы показать, что справа стоит нуль, мы рассмотрим комплекс
Кошуля
К.: 0^^„^ЛГ„_1^ ... -^Zo^e/m = C^O,
связанный с максимальным идеалом m = {%, . . ., z„}. Так как
Тог?(С, M) = H^{K.<S)qM),
-.^тсюда следует, что Тог^^(С, М) = 0 при k^i. П
Краткий экскурс в теорию когерентных
пучков
Определения и элементарные свойства. Для открытого
множества С/^ сг С" пусть О обозначает теперь пучок ростков
голоморфных функций, а ©г = 1™ 0 (F) — его слой в точке z ^ U. Ото-
zev
бражение пучков F: ©<"> -^ 0(^) задается р X д-матрицей,
состоящей из голоморфных функций на U. Рассмотрим ядро
отображения F:
0-^ J?^0W Л (5W;
Л — снова пучок ©-модулей. В разделе о локальных кольцах
было показано, что ^г является конечно порожденным О^
-модулем. Следующая фундаментальная лемма принадлежит Ока:
Лемма Ока. Пучок М локально конечно порожден как пучок
^'^-модулей. Точнее, если Г]^, . . ., г^ — сечения М в окрестности
точки Zfl, порождающие О^^-модулъ Mz^i то они порождают С^-мо-
дули 31 г для всех z, тлких, что \\ z — z^ || < е.
Мы не приводим доказательство этой леммы; его можно найти
в литературе, указанной в конце этой главы.
Пусть 9 = 1, F = (Ji, . . ., /^,) — образующие пучка идеалов
/ с: С и J? — пучок соотношений У; г^/^ = О между этими обра-

3- Элементы коммутативной и гомологической алгебры 739
зующими. Лемма Ока утверждает нечто вроде нётеровости пучка
колец С, но не для отдельного слоя, а для достаточно малых
открытых множеств. Отметим аналогию со следующим
утверждением, доказанным в § 1 гл. 0:
Если fug — голоморфные в U функции, взаимно простые
в локальном кольце С'г„, то они взаимно просты и в Ог при
II Z - Zo ||< f.
Доказательства обоих результатов опираются на теорему
Вейерштрасса о делении.
Определение. Пусть М — комплексное многообразие со
структурным пучком О и ^ — пучок ©-модулей. Пучок ^ называется
когерентным, если локально он представляется в виде
©(Р) -J. б№ -^ ^ -i- 0.
Иными словами, ^ когерентен, если в достаточно малой
окрестности и любой точки Z пучок .^ I и порождается конечным числом
своих сечений, имеющих к тому же конечное число соотношений
между собой.
Сделаем несколько замечаний. Суть леммы Ока состоит в том,
что она позволяет распространять свойства, выполненные в
локальном кольце 02„ точки Zq, на точки некоторой окрестности Zq.
Мы называем это принципом распространения; отсюда и
происходит название когерентный (т. е. согласованный).
Начнем со следующего замечания.
Когерентные пучки обладают локальными сизигиями
Доказательство. По определению,
0(Р) _^ 0(9) _^ ^ _^ о
в некоторой окрестности U точки Zq. Применяя лемму Ока, мы
йаходим, что
©С) _^ о(Р) _^ 0(9) _^ ^ _^ О,
быть может, в меньшей окрестности U', и т. д. После п шагов
теорема о сизигиях гарантирует нам, что в точке z,, ядро самого левого
гомоморфизма будет свободным 0г^-модулем. П
В качестве приложения мы получаем следующее утверждение.
Для когерентного пучка ^ пучки когомологий Ш'^ (^) = О
при g > 0. -
16*

740 Гл. 5. Вычеты
Доказательство. Согласно 5-лемме Пуанкаре, J^' ('":) = О
для g >• 0. Применяя индукцию по длине локальной сизигии,
можно считать, что
О -^ .й -^ ©С) _^ ^ _^ о,
где SB'' (^) = О для 9 > 0. Теперь наш результат следует из
длинной точной последовательности когомологий. П
Мы часто будем пользоваться следующим свойством
когерентных пучков.
Если в точной последовательности пучков О-модулей
два члена когерентны, то третий член также когерентен.
Доказательство состоит из скучной проверки деталей, и мы
его опускаем.
Перейдем к примерам. В простейшем случае пучок ^локально
изоморфен 0<'^; такие пучки называются локально свободными
ранга г. Это в точности пучки вида (3 (Е), где Е -^ М —
голоморфное векторное расслоение со слоем С.
Подпучок I cz О, локально порождаемый конечным числом
сечений, называется пучком идеалов. По лемме Ока пучок идеалов
когерентен, как и пучок 0/1, что видно из точной
последовательности
О ^ / -^ 0 ^ 0/7 ^ 0.
Если локально / порождается голоморфными функциями Д, ...
. . ., fm, то носитель ОН определяется как
Z = supp (ОН) = {z^M: 1гФ Ог) =--
= {Z е М: /, (Z) = . . . = /^ (Z) = 0}.
Как множество Z является аналитическим подмножеством. Однако
оно обладает более тонкой структурой. Чтобы выявить ее, нужно
рассматривать пару (Z, Oz), состоящую из пространства Z вместе
со структурным пучком колец ©z = ОН, возмо?кно имеющим
нильпотентные элементы. Такие объекты называются схемами.
Пучок идеалов /, локально порождаемый одним элементом /,
является локально свободным ранга 1 и имеет вид
I ^О (L*)
для некоторого голоморфного линейного расслоения L* -^ М.
Обозначая через D = (f) дивизор /, мы в предыдущих
обозначениях для самого пучка и двойственного к нему получаем Z/* =
= [—D] и L = ID]. Пучок 0 (D) состоит тогда из мероморфных

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 741
функций g, таких, что (g) + Z) ^ 0. В общем случае, когда диви^
зор D не предполагается эффективным, пучки вида О (D)
называются обратимыми. Группа обратимых пучков на
алгебраическом многообразии М есть Н^ {М, ©*) = Pic (М).
Пучок идеалов / называется пучком регулярных идеалов, если
локально / порождается функциями Д, . . ., /г, образующими
регулярные последовательности во всех локальных кольцах О^-
Для пучков регулярных идеалов комплексы Кошуля доставляют
особенно удобные локальные сизигии. Позже мы уделим особое
внимание случаю коразмерности 2. Если локально / = {/^ /g},
то комплекс Кошуля дает локальную сизигию
О -^ 0 Л 0 ф 0 Л О -^ ©// -^ О,
где
^ (g) = i-hg) Ф (fig), л tei Ф g^) = figi + hg^'
Покажем теперь, как нильпотенты появляются геометрически.
Пусть Z CZ М — неприводимое подмножество, определяемое
пучком простых идеалов /сг 0. Тогда пучки идеалов 7»*+^
определяют пространства Z^ = {Z, QIIV'*^), которые можно представлять
себе как ji-e инфинитезималъкые окрестности Z в М.
В этом контексте вернемся к соотношению Рейса,
обсуждавшемуся в § 2. Здесь М = Р", а Z = L — прямая. Обозначим
через 0(H) = 0//!*"^^ структурный пучок fi-й инфинитезимальной
окрестности L. Задание элемента второго порядка дуги,
пересекающей L, эквивалентно локальному заданию сечения 0(2),
определенному с точностью до умножения на обратимые сечения
0(*2).
В явном виде пусть {11^} — открытое покрытие окрестности L
в Р^, и пусть в голоморфных координатах (z„, u?„) на Ua
прямая L задается как и?„ = 0. В [/„ П Ur имеем z„ = z„ (zp, Wp)
и u?„ = u?„ (zp, и?з), где u?„ (zp, 0) = 0. В [/„ сечения пучка 0(ц)
суть в точности голоморфные функции /„ (z„, Wa) = /о (Za) -f-
+ /i (z„) Wa + . ■ ■ + и (z„) u?JJ no модулю w^+^- Данные в
соотношении Рейса задаются сечениями /„ 6 0(2) (Ua), причем/„//р =
= /ар € <5(*2) (Ua П Up). Поэтому зодатъ элементы второго
порядка— этл тх) же самое, чтл задать обратимый пучок Х(2) 6
6 Н^ (L(2), 0*2)) и его сечение а^^) £ Н" {Х^а)).
Посмотрим теперь, когда существует обратимый пучок X £
6 Н^ (0ра), продолжающий Х(^^). Для этого рассмотрим точную
последовательность
О^1 + /3^0*,^0*2)^О,
где / ^ 0р2 (—L) — пучок идеалов прямой L cz Р^, а i + Р
обозначает мультипликативный пучок функций вида 1 -Ь /, при-

742 Гл. 5. Вычеты
чем / имеет нуль третьего порядка вдоль L. Ясно, что 1 + /' ^ /',
и так как Р ^ ©рг (—3), то
Я* (0ра (— 3Z<)) = 0 по теореме Ко дайры об
обращении в нуль,
Я2 (0р2 (—3L)) ^ Я" (©рг) = С по двойственности Кодаиры —
Серра,
Последнее соотношение следует из точной последовательности
0-J-Z-j.0p2->-0f,2-^ 1. Получаем
О ^ Я* (PI.) -^ т (0?2)) ^ С ^ 0;
иначе говоря, для того чтобы обратимый пучок Х(^) на Ь^^ можно
было продолжить до обратимого пучка X на Р^, должно
выполняться одно условие.
Предполагая, что зто условие выполнено, получаем
изоморфизм X ^ 0ра (п) для некоторого п >• О и точную
последовательность пучков
О ^ 0р2 (П- 3) ^ 0р2 (П) ^ 0 (^(2)) -^ 0.
Так как Я* (©рг ("—3)) ^ Я* (Орг (—п)) = 0, то
О ^ Я» (0р2 (п- 3)) -^ Я» (0ра И) ^ Я» (0 (^(2))) -^ 0.
Комбинируя это с предыдущим утверждением, получаем: имеется
единственное условие, чтобы заданные дуги второго порядка Ci
(i = 1, . . ., п) высекались алгебраической кривой С czP-.
Соотношение Рейса дает это условие в явном виде; второй же подход
демонстрирует пользу нильпотентов.
Другой пример появления нильпотентов мы получим, если
рассмотрим пучок регулярных идеалов / cz 0, такой, что носитель
Z njniKa Oil состоит из конечного числа точек. Локально / =
= {/и • • ч /п}» где п = dim£ М. Если положить 0z = 0/7, то
окольцованное пространство (Z, Oz) состоит из точек Р ^ Z
вместе с конечномерной алгеброй Qz.p ~ О р/1 р- Связанный с /
нуль-цикл есть 2 dime (©г р)-Р- Пространство (Z, 0z) несет
pez
больше информации, чем множество точек Р ^ Z, даже
снабженных кратностями dim£ (02, р).
Займемся теперь локализацией Ext и Тог. Напомним, что в
разделе о гомологической алгебре мы доказали 4 свойства
проективных резольвент ©^-модулей. Определение и основные свойства
Ext и Тог для модулей над локальными кольцами были
формальными следствиями зтих свойств. Однако по принципу
распространения эти же четыре свойства выполняются локально для когерент-

3. Элементы коммутативной и гомологической алгебры 743
ных пучков. Например, существование проективной резольвенты
следует из уже доказанной теоремы о локальных сизигиях.
Итак, мы приходим к следующему заключению: для заданных
когерентных пучков SF и'§ можно определить пучки ^xtfa (^, S)
и 5'ог:^ {SF, S) со следующими свойствами:
1.
{
^orf(^,f)x-Tor®«(^x, ^х).
3. Имеют место точные последовательности для %xt и 3^or.
4. Пучки %xt*Q {SF, S) и 3'ori [SF, Щ когерентные.
Последнее свойство следует из того, что Шх1 и S^or включаются
в точные последовательности, у которых два члена из трех
когерентны.
Свойство 3 означает, в частности, что для точной
последовательности 0-^S'-^S-^S"—*-0 когерентных пучков
тензорное умножение ®q^ дает точную последовательность
... ^ З^ог^ (f, Л ^ ^orf ip", Я -^
^ ^' (8)0 .Г ^ ^ (8)(5 .Г ^ ^" (8>0 ,f -^ 0.
Эта последовательность скоро нам пригодится.
Когомологии когерентных пучков. Предположим теперь, что
М — компактное комплексное многообразие, а ^ — когерентный
пучок на М. Фундаментальным глобальным фактом является
конечномерность пространства когомологии Н* {М, SF).
Мы не доказываем его, отсылая читателя к литературе в конце
главы; вместо этого мы покажем, как конечномерность помогает
получать разные следствия для алгебраического многообразия Ш.
Пусть L ->- М — положительное линейное расслоение,
например расслоение гиперплоскости для проективного вложения
Ш CZ Р^. Положим .5? = 0 (L) и J^ (&) = i^ (g)^ .г". Сечения
SF (к) можно представлять себе как сечения ^, имеющие полюсы
к-то порядка вдоль гиперплоскости. Рассмотрим следующие два
утверждения.
Теорема А. Ом'Млдуль ^{Щ порождается глобальными сече-
ния.чи1при к ^ &o, т. е. для всех х ^ М
Я" (м, ^ т -^ ^ (&)х/юхГ (&)х ^ о,

744 Гл. 5. Вычеты
где Шж CZ ©^ — максимальный идеал точки х.
(Эквивалентность двух утверждений этой теоремы следует
из леммы Накаямы. Вообще, SFJ^xS' х называется приведенным
слоем когерентного пучка ^ в точке х £ М.)
Теорема В. Ю {М, ^{к)) =^0 для g > О и /с > ко-
Мы уже доказали конечномерность, а также теоремы А и В
в случае локально свободного пучка ,^ = О (Е), когда можно
было применять методы теории потенциала. Теперь мы докажем
следующие утверждения.
1. Теорема А =^ теорема В-
2. Теорема В => теорема А.
3. dim Ю (М, ^) < схэ для всех когерентных пучков^ =^
теорема А.
Доказательство. 1. Применяя теорему А, получаем точную
последовательность
О -^ f ^ 0(Р) _^ ^ (&) -^ О
для некоторого большого к. Применяя к этой последовательности
® X~'^ и полагая S = S' (—к), мы получаем точную
последовательность
Делая то же самое с ^ и т. д., мы через п = dim£ М шагов
получим глобальную сизигию
(*) о^Шп^Шп-i^-..^Uo-^^^O,
в которой пучки $1 локально свободны. Заметим также, что при
О ^ i ^ п — 1 пучок Mi является прямой суммой пучков вида
^"ift, тогда как последний член g„ == 0 (Е) для некоторого
голоморфного векторного расслоения Е -*- М. Существование таких
глобальных сизигий для когерентных пучков чрезвычайно важно.
Возвращаясь к доказательству утверждения 1, мы
воспользуемся уже установленным в § 4 гл. 1 утверждением, что
Я« (М, Ш (к)) = О для локально свободного пучка I, g > О
и к^ kg. Индукция по длине глобальной сизигии дает нам
теорему В.
2. Для каждой точки Xq 6 М имеем
О ^ т:с^ (&) ^^(к)^^ {к)/ха:с^ (к) -^ о,
где гПжо CZ 0 — пучок идеалов точки Хд. Приведенный слой
^ {к)/тх„ S'ik) является примером когерентного пучка,
сосредоточенного в точке; такие пучки иногда называют пучками-

3- Элементы коммутативной и гомологической алгебры 745
небоскребами. Далее, tttx^^ (к) = (хЯх,-^) (к) = S (к), где S =
= *Ижo^^ — также когерентный пучок. Используя равенство
Н^ (М, '§ (к)) = 0. для /с > &o, мы получаем, что глобальные
сечения Я" {М, .F (к)) порождают слой ^ (к) в точке Xq при к ^ &„.
По лемме Накаямы эти сечения порождают О^о'^одуль ^ (й;)ж(|
при k'^kfi, а по лемме Ока они порождают (9_,-модули .#^ (к)х-
для X, близких к Xq. Утверждение следует теперь из
компактности М.
3. Проведем индукцию по тг = dim£ М. Пусть заданы точка
X £ М и гиперплоскость ^ в касательном пространстве Т'х (М);
тогда можно найти неособую гиперповерхность, проходящую череа
X и касающуюся ^. Заменяя X на Х^, можно считать зту
гиперповерхность гиперплоскостью //. Тогда мы имеем точную
последовательность
где а 6 Я" (М, 0 (1)) задает Я, а ©^— структурный пучок
на комплексном многообразии Я. Применяя ®^ к этой
последовательности, получаем
где 0 = &м- Мы воспользовались тем, что S'orYi&M^ ^) = 0.
Пучки ^^ = ^®Q Он и ^н = ^ог^{Он, Л
являются
когерентными пучками ©д-модулей. В самом деле, умножение
сечений &JJ на а дает нуль, так как а'©н = 0.
Применим теперь ^Х'' к этой) последовательности. Так как
njr40K X обратим, точность сохраняется и мы получаем
(**) 0^^н(к)^^ {к-\)^f (к) -^^н (к)-^ 0.
По индуктивному предположению теоремы А и В применимы
к пучкам &н (к) и ^^н{к). Поэтому Н" (рн{к)) = Н" {^нЩ =
= О для g > О и & ^ &„. Из точной последовательности когомоло-
гий для последовательности (**) мы получаем сюръектиеные
отображения
Ю {f (к)) -»-^ Д^ (^ (&+ 1)) ^-^ Я* (^ (& + 2)) ^^ ...
при к ^ &o. Так как Я^ (^ (А;)) конечномерно, то при к ^ fej,
эти отображения должны быть изоморфизмами. Но тогда из
последовательности когомологий для последовательности (**) мы
получаем
Я» {^ (к)) -^ Я» t^H (к)) ^ О

746 Гл. 5. Вычеты
при к ^ &!. Поскольку я" {^н(Щ порождает ^н{к)х как
©н.ж'модуль при к^ к^ж любом х ^ Н ж поскольку касательное
пространство к Я в а; может быть взято любым, Я" (^ (к))
порождает JT {к)х как ©м.ж-модуль. D
Теорема AF + BG Нётера. В качестве иллюстрации специаль-
:ной глобальной сизигии и применения локальной теоремы о
вычетах обсудим классический результат Макса Нётера, традиционно
■служащий краеугольным камнем алгебраического исследования
плоских кривых.
Пусть С ж D — кривые на плоскости Р^, которые в
однородных координатах X = [Zq, Xj, Х^] задаются однородными
многочленами F (X) и G (X) степени т и п; будем считать, что С ж D
же имеют общих компонент. Пусть задан однородный многочлен
Л (Х) степени d = m + k = n + l, где к, 1"^ 0; спрашивается,
когда выполняется соотношение
<*) Н = AF + BG.
Очевидное необходимое условие для этого состоит в том, чтобы
это соотношение выполнялось локально. Это означает следующее.
Пусть Р 6 С П D жР содержится в аффинном подмножестве с коор-
динатаАш (х, у) = [1, х, у]. Тогда/ (z, у) = F (1, х, y)жg (х, у) =
= G (1, X, у) порождают идеал 1р в локальном кольце 0 р
ростков голоморфных в Р функций. Если h (х, у) = Н (i, х, у), то
очевидное необходимое локальное условие состоит в том, что
i**) h (х, у) £ I pcz Q р
для каждой точки Р cz С [] D. Достаточность этого условия
утверждает следующая
Теорема AF -Ь ВО Нётера. Если выполнены локальные условия
{**), то имеет место глобальное соотношение (*).
Доказательство. Пусть I а О — пучок идеалов, порожденный
различными локализациями f ж g. Тогда / — когерентный пучок
ж supp (0/7) = С {\ D. Если 6, = т + к = п + 1жг = к—п =
= I — т, то комплекс Кошуля дает глобальную сизигию (см.
«тр. 741)
0^ 0 (г) ^ 0 (т) ф 0 (п) ^/(d) ^ О,
•Здесь / (d) = / (g) 0 0 (d), а отображения имеют вид
r\^i]G® —r\F, tie© (г),
i®Mp^Fi+G^p, ieo{k), ^ео{1),
где F ж G рассматриваются как глобальные сечения пучков 0 (т)
ж G (п).

3- Элементы коммутативной и гомологической алгебры 747
Напомним теперь, что Н^ (Р*, 0 (г)) = О для всех г, так как
Н^ (Р^, 0 (г)) = О при г <; О по теореме Кодаиры об обращении
в нуль, а при г ^ О
Н^ (P^ О (г)) ^ т (PS 0 (—г — 3)) = О
по двойственности Кодаиры — Серра. Поэтому точная
последовательность когомологий дает
Я» (Р2, 0 (т)) ф Я» (Р2, 0 (п)) -^ Я» (Р2, / (d)) ^ 0.
Локальные условия (**) означают в точности, что
н ено (p^ / (d)) сг Я» (p^ о (d)),
и это доказывает теорему. П
Чтобы применять теорему Нётера, полезно иметь численные
критерии выполнения локального условия (**). Довольно ясно,
что этот вопрос связан с локальной теоремой двойственности;
последуем этому указанию в одном довольно простом случае.
Предположим, что функция / (z, w) голоморфна в окрестности
начала координат и задает неособутю кривую С, проходящую через
начало. Если функция g (z, w) голоморфна в начале координат,
определим Ordc (g) как порядок нуля функции g \с в начале
координат. Пусть g (z, w) имеет дивизор D, и пусть теоретико-
множественно С f\ D = {0}. Обозначим через I а О идеал {/, g)
в локальном кольце в начале координат.
Лемма. Если для h (z, u?) £ 0 выполнено условие Ordc Ф-) ^
>Ordc(g), то he I.
Доказательство. В соответствии с локальной теоремой
двойственности мы должны проверить, что
hk dz Л dw
If
для всех к^О. Так как Ordc (hk)^ От&с (h), то достаточно
показать, что
hdz Л dw
т> I ПК az '\ aw \ «
ReS{0) ( I = О
т>„ I hdzhdw \ „
Res{0)( Yg )=0'
если Ordc (Л) ^ Ordc {g). Выберем локальные координаты так,
чтобы / (2, U?) = Z. Тогда, итерируя интеграл^вычета, получаем
|g|=E |г|=Е
2я/—1 , J ^, г (О, w)
1«(0,ю)1
так как Ordc Qi) > Ordc (g)- П]

748 Гл- 5. Вычеты
Конечно, эту лемму можно доказать и непосредственно, однако
метод, испольэую1]],Е1Й вычеты и локальную двойственность,
работает и в более обших ситуациях. Применяя теорему М. Нётера
и предыдущую лемму, мы дадим еще одно доказательство
результата о кубических кривых из § 2:
Пусть С, D и Е — плоские кубики, причем все точки
пересечения Р ^С [\ Р гладкие на кривой С. Предположим, что
во всех таких точках, кроме одной, Ordc (Е) р ^ Ordc (D) р,
а в оставшейся точке Q выполнено Ordc {E)q ^ Ordc {D)q —
— 1. Тогда Ordc {E)q ^ Ordc (■0)q- Короче: любая
кубика E, проходящая через 8 точек пересечения С ж D, проходит
и через девятую точку.
Доказательство. Пусть F, G ж Н — однородные многочлены
третьей степени, определяющие С, D ж Е соответственно. Пусть
L — линейная форма, равная нулю в ^ и еще двух точках R^, В^,
лежащих на С, но не на Z). Применяя лемму и теорему М. Нётера
к HL, получаем
HL = AF + BG.
Линейная форма В обращается в нуль в Д^ и В^, поэтому В = PL.
Отсюда следует, что L делит AF; так как прямая L = О не является
компонентой С, то ^4 = аЬ. Но тогда Я = а/" + РС и Ordc {H)q^
>Ordc(G)Q. П
Эти методы можно обобщить для доказательства теоремы
Кали — Бахараша из § 2.
4. ГЛОБАЛЬНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Глобальный функтор Ext
Пусть М — компактное комплексное многообразие, & X —
обратимый пучок на М, связанный с положительным линейным
расслоением L —>- М. Если ^ ж §— когерентные пучки на М,
то, применяя теорему А из предыдущего параграфа, можно найти
глобальную сизигию
для ^. Это даст нам комплекс пучков Нот^ {Ш. (0-), S), гипер-
когомологии которого можно взять в качестве глобального
функтора Ext:
Ext(M; ^, §) = Н*{М, Нот0(^.(Л, ^))-
Разумеется, нужно доказать, что это определение не зависит
от выбора глобальной сизигии. Кроме того, хотелось бы, чтобы

4. Глобальная двойственность 749
глобальный Ext обладал такими же функториальньши свойствами,
как Ext для локального кольца и пучки txt.
Как и в слзгчае пучков %xt, все будет в порядке, если нам
удастся установить глобальный аналог четырех свойств проективных
резольвент, доказанных в разделе о гомологической алгебре.
Для этого напомним обозначение ^ (к) = .^ ® q Х^ и заметим,
что, так как Нот^ (,F (к), д (к)) ^ Нот^ (^, ^), можно, когда
это удобно, заменять ^ на ^ (к). Пусть дана коммутативная
диаграмма
g'
i\
когерентных пучков на М, причем g и fe' локально свободны.
Вообще говоря, ее нельзя дополнить пунктирной стрелкой,
однако можно утверждать следующее. Сечение s £ Я" {М, X*^) дает
вложение Ш' (—к) а%', и при достаточно большом к можно
найти пунктирную стрелку, делающую коммутативной диаграмму
i\
Доказательство. Так как пучок %' (—к) локально свободен,
Шх^т){%' (—к), •) = О и точна последовательность
Q^SeomQ{%'{ — k), Л)^Жот(с,{Ш'{ — к), Щ^
^<Шот(С)(Ш'{-к), ^)^0.
Согласно теореме В,
НЦМ, <тот^{%' {-к), M)) = H^{M,momQ{%\ М){к)) = 0
для достаточно больших к. Поэтому мы имеем сюръекцию
Н^{М, Жот^ {%• {-к), $))^НО{М, SeorriQ {Г {-к), ^))-^0. П
Отсюда можно извлечь следующее заключение: при глобальной
работе с когерентными пучками на М четыре свойства
проективные резольвент 0-модулей переносятся на глобальные сизигии,
во всяком случае если допускается применение ® Х^. В частности,

750 Гл. 5. Вычеты
Ext (М; §■, Ъ) корректно определен и обладает функториальны-
ми свойствами, как локальный Ext. Важнейшими из них являются
две длинные точные последовательности.
Главным средством вычисления глобального Ext служит
спектральная последовательность гиперкогомологий
'£!■' = ЯР (М, lxt^{0:, ^)) =!> ExtP+'(М; .Г, Ъ).
Нам будут нужны два применения этой спектральной
последовательности. Первое: если % — локально свободный пучок на М, то
Ext'(Ж; Ш, ^)^Я'(ЛГ, П*®0§).
В частности, для любого когерентного пучка S
Ех1'(М; 0, ^)^т{М, "§).
Это ясно, так как для локально свободного % имеем garig (^, ^) = 0
при д>Ои %xfQ{%,'3) = momQ{%,'§)^%'' %(г^'§.
Второе свойство: предположим, чтл ^TiQ(^, ^) = 0 для
0^q<k. Тогда
Ext" (М; 3^, "§) ^ Я» (М, gzig (f, ^)).
Доказательство. Член Eg спектральной последовательности
имеет нули ниже горизонтальной прямой, проходящей через
(О, к), откуда и следует наш результат. D
Теперь мы готовы к глобализации локальной теоремы
двойственности. Пусть I а G — пучок регулярных идеалов, причем
Z = supp {Oil) имеет нулевую размерность. Иначе говоря,
локально / = {/i, . . ., /„}, где fi образуют регулярную
последовательность и п = dime М. Рассмотрим Z как окольцованное
пространство со структурным пучком Gz = 0//.
Вспомним теперь инвариантную формулировку локальной
теоремы двойственности из § 3. В соответствии с предложением
И8 того же параграфа пучки Mxt^ {Ozi ^") = О при q <i п. Кроме
того, так как ©z и MxfL {Ozi й") — пучки-небоскребы, то имеем
Я» (М, Gz) ^ Ф Gz. Р,
pez
^ PiZ Р
НЦМ, Gz)^H''(M, UxtQiGz, О")) = 0 при д>0.

4. Глобальная двойственность 751
Применяя локальную двойственность к каждой точке Р ^Z, мы:
получаем следующее утверждение.
Глобальная теорема двойственности I. Пусть /с© — пучок
регулярных идеалов, такой, что размерность Z = supp {0/1}
равна нулю. Тогда существует невырожденное спаривание
Я« (М, Oz) «> Ext"-' (М; Oz, ^2") -*■ С,
функториальное относительно пучка идеалов I.
Формулировка общей глобальной теоремы
двойственности
Мы уже полз^чили теоремы двойственносш для когомологий?
когерентных пучков в двух случаях: когда .^ ^ 0 {F) —
локально свободный пучок и когда ^ = Oz — ©//, где / — пучок
регулярных идеалов, а dim Z = 0. Эти случаи являются
крайними частными случаями общей теоремы двойственности для
Я' {Ml S^), которую мы сейчас сформулируем. Делается это-
в несколько шагов.
1. Для модулей L, Л/, Л'^ над локальным кольцом 0 = 0^
спаривание
Нот^ {L, Af) (8)0 Hom^ {М, N) -^ Нот^ {L, N)
индуцирует так называемое спаривание Ионеды
Ext^ {L, М) ®Q Ext^ {М, N) -^ ExtgJ"" {L, N),
обладающее ассоциативностью и косой коммутативностью, как
обычное и-произведение. Это формальное упражнение на
использование четырех свойств проективных резольвент.
2. Применяя принцип распространения, мы получаем
спаривание
^xfQ {^, ^) (8)(5 ^xfQ {&, Ж) -^ Sxt^^''{^, Ш),
где ^, S ж М — когерентные пучки на М. Это спаривание
индуцирует предыдущее в каждом слое.
3. Глобализация предыдущей процедуры дает спаривание
ExtP {М; ^, "§) ® Ext'(Ж; "§, Ш) -^ Ext^+e {М; ^, Ш).
В частном случае, когда q = n — p, ^ = 0, ^ — ^ и SS = Q-'^r
мы получаем спаривание
(*) Н" {М, Л ® Ext"-P {М; ^, Q") -^ IP {М, Й"),
так как Ext* {М; 0, ^) ^ Л* {М, ^).
Все это имеет смысл для любого комплексного многообразия М.
В случае алгебраического многообразия М мы, но существу.

"752 Гл. 5. Вычеты
даже дали доказательства. Когда М компактно и связно,
IP {М, й") ^ С и (*) превращается в спаривание
ЯР (Ж, ^) ® Ext"-P {М; ^, Q") -^ С.
Глобальная теорема двойственности II. Приведенное выше
спаривание невырожденно и фунпториалъно в следующем смысле: пусть
дано отображение пучков р: ^-v ^, индуцирующее отображения
р,; Я* {М, S'J^H* (М, S) и р*; "Ext* (М; &, fi") ^
-v Exl* {М; jf, й"). Тогда следующая диаграмма коммутативна:
Я''(М,Г)®Езй"-Р(М; r,ft")-^C
ЯР(М,?/)®ЕХ1"-''(М; Э,n'^)-^C
Как говорилось выше, эта теорема была доказана в двух
крайних случаях ^ ^ О (Е) и i^ ^ б^. которых достаточно для
наших геометрических приложений. Обш;ий результат может быть
получен из локальной теоремы двойственности без особых усилий,
да и то формального характера.
Наконец, имеется еще более общая теорема двойственности,
относяш^аяся к отображениям, за которой мы отсылаем к
упомянутой в конце главы книге Хартсхорна.
Глобальный Ext и векторные поля
с изолированными нулями
Мы докажем здесь теорему Кэррелла и Либермана ^),
иллюстрирующую развитую выше технику и связанную с некоторыми
лредыдупщми результатами этой книги.
Пусть М — компактное кэлерово многообразие, а v —
голоморфное векторное поле с множеством Z изолированных нулей.
Теорема. Если Z непусто, то 1Р^^ (М) = 0 при р ф q.
На самом деле Кэррелл и Либерман доказали более общий
результат:
1Р'Ч{М) = 0 для 1 р — g 1 > dime Z,
где Z — множество нулей любого голоморфного векторного поля
на М. Доказательство этого более сильного утверждения
аналогично приводимому ниже, но использует общую теорему
двойственности. Мы разобьем наше рассуждение на два шага.
Первый шаг. Обозначим через i (у) оператор свертки
дифференциальной формы с векторным полем v. Этот оператор уже
гстречался нам при доказательстве теоремы Ботта о вычетах.
*) J. Carrell and D. Liebermann, Holomorphic vector fields and Kahler
manifolds.— Invent, math., 21 (1973), 303—309.

4. Глобальная двойственность 753
Если локально v—^Vi (z) -^ , а ф=—y-j- ^ ф/, / dzj Л dz/ —
i I, J
форма типа (р, g), то
^И<Р^ (P-l)lgl ^ (Е ±^'гЧ'^.^^2I_^i,лd2^).
Отсюда легко вывести формальные свойства оператора i (у):
i(i;)2 = 0,
I (у) 5 + di (v) = 0,
I (у) (Ф л 111) = I (у) ф л t + (— 1)**^^ * Ф л i(i;) T|3.
В частности, свертка с у дает комплекс пучков
Заметим, что образ i (у): Q^-v 0 совпадает с щгчком идеалов /
подмножества Z. В самом деле, вблизи нуля у эта
последовательность совпадает с комплексом Кошупя регулярного идеала
{vi (2), . . ., у„ (г)}. Поэтому мы получаем очень естественную
глобальную сизигшо для пучка ©^ = ®/^i которую можно
использовать для вычисления глобального Ext.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
аналогичную уже встречавшейся в лемме при обсуждении
инвариантной формы локальной двойственности из § 3. Напомним, что
Ext* {М; Ozi ^") — это гиперкогомологии комплекса пучков
MomQ (6, Q") -> SeorriQ (Qi, Q") -> ... .
Используя отождествления из приведенной выше диаграммы, этот
комплекс можно записать в виде Q"~'. Тогда
Ext* (Ж; 0Z, Й") ^ Н* (Ж, Й"-).
Отметим, что дифференциал, используемый при вычислении
гиперкогомологии, равен б ± I (у), где б — кограница Чеха.
17-0200

754 Гл. 5. Вычеты
Как всегда, имеются две спектральные последовательности
{'Ег} и {"Ег}, сходящиеся к гиперкогомологиям Н* (М, й""').
Для одной И8 них
= 0» кроме случая pss=0 и q = n.
Для другой спектральной последовательности
Дифференциалы du йг» • • • индуцированы оператором i (v). Если
мы покажем, что d'l = dz = . - • = О, то ползгчим
'E^i'^^'El'"^ ... ^'£^^" = 0,
кроме случая р -\- q = п, как следует из предыдущей
последовательности. Тем самым теорема будет доказана.
Второй шаг. Пусть L g Я^'^ (Л/) — класс когомологий кэле-
ровой метрики (а. Доказательство обращения в нуль d,' = dj = . . .
. . . = О использует изоморфизмы Лефшеца
и примитивное разложение
где
pn-h (^м) = кег {L"*': Я""* (М) -> ^"+"+2 (71/)},
полученные в § 6 гл. 0. Напомним еще, что примитивное
разложение согласовано с разложением Ходжа.
Как уже отмечалось, диаграмма
'щ,Я £! *. 'Щ+Uq
)11 III
Н"-Р'Ч{М) ^H'^-P-^•ЧM)
коммутативна, по крайней мере с точностью до знака. Поэтому
нужно показать, что i (у) индуцирует нулевое отображение в кого-
мологиях. Для голоморфной 1-формы ф g /P>" (М) функция
I (у) ф голоморфна на М и обращается в нуль на Z. Так как Z
не пусто, то I (у) ф = 0. Используя это, докажем следующую
лемму.

4. Глобальная двойственность 755
Лемвш Лихнеровича. i (у) <в = О в Я".* (М).
Доказательство. По сильной теореме Лефшеца и двойственно*
сти Кодаиры — Серра спаривание Н^^" (М) ® Я">^ (М) -»- С,
заданное как
ф ® ф !-♦ \ <в"~' Л ф Л ^ф,
м
невырожденно. Пользуясь формальными свойствами оператора
I (у), мы полз^аем, что для всех ф g Я^." (М)
0= I (у) (<в" л ф) (ибо <в" л ф ^ О по тривиальным причинам)
= п©""* л I (v) <в л ф (ибо, как отмечено выше, i (у) ф ^ 0)
=^ \ со"""' л I (у) (п л ф = 0.
м
Ив невырожденности спаривания заключаем, что i (у) <в = 0. Это
завершает доказательство леммы.
В частности, diL = О, так что L определяет некоторый элемент
в 'Ев^-^'К Так как
при г ^ 2, то L определяет некоторый элемент в '£■"-«.i ддя
всех г. Более того, как следует из формальных свойств i (у),
умножение на L** коммутирует с дифференциалами спектральной
последовательности. Поэтому для доказательства равенства dl =^
= О, пользуясь примитивным разложением и сильной теоремой
Лефшеца, достаточно доказать тривиальность дифференциала на
примитивных когомологиях. Пусть
т|з б P"-«-^ »(ЛГ) с:'£'+".'.
По существу повторяя рассуждения из § 6 гл. 3 при Доказательт
стве вырождения спектральной последовательности Лере, мы
получаем
О = I (у) (©"+41;) = ©*+1 i(y) ^p
в когомологиях. Но I (у) г)/ 6 Я"-''-^ (М), и так как i*+^ i(y) т)з =»
= О, то по сильной теореме Лефшеца i (у) г); = 0. Поэтому d'l =^ 0;
Аналогично доказывается, что dg = dj = • • • = 0. П
7*

756 Гл. 5. Вычеты
Заметим, что двойственность использовалась здесь не в полную
силу. Например, равенство
dim Ext* {М; Oz, Й") = deg Z = dim Я» (М, Oz)
Д^ает
2/iP.P(M) = degZ.
р
Так как h^<^{M) == О при р ф q, левая часть здесь совпадает
с топологической эйлеровой характеристикой, и мы получаем
4iacTHbti случай теоремы Хопфа об индексе. Более глубокие
приложения, включая доказательство формулы Ботта для вычетов,
можно получать, если проследить за фильтрациями,
индуцированными спектральными последовательностями. Они приведены
в статье Кэррелла и Либермана.
Глобальная двойственность и избыточность
точек на поверхности
- Пусть L-^ S — голоморфное линейное расслоение на
алгебраической поверхности. В теореме Римана — Роха для
поверхностей
X (0S (L)) =-|-(L. L - л:. L) + ОС (Os)
члены h" (L), h^ (L) = h" (К — L), Pg, q, L-L и K-L имеют
непосредственную геометрическую интерпретацию, по крайней мере
в случае, когда L = [D\ для эффективного дивизора D на S.
Итальянские геометры первоначально записывали эту формулу
в виде
dim \L\ + h«{К-L) = -^{L-L-K-L) + Pg — q + (i)
и затем прямо доказывали, что число со в этом выражении
неотрицательно. Число (п они называли избыточностью. Читатель
должен поишить, что пространство Н^ (О в (К — L)) двойственно
к IP (О в (L)) и что когомологии пучков появились лишь спустя
50 лет. Двигаясь в направлении, противоположном
историческому развитию, мы используем глобальную теорему
двойственности для геометрической интерпретации избыточности в
некоторых случаях. Начнем с примера; окончательный результат
содержится в формуле взаимности П на стр. 761.
Пусть задано конечное множество точек Гц на Р* и 1 Со 1 =
= 1 ^То (п) 1 — линейная система кривых степени п,
проходящих через Гц. Пусть S — раздутие Р* в точках Г^ и \ С \ —
собственный прообраз в S линейной системы | Со !• Обозначим через

4. Глобальная двойственность 757
п: S ->- Р^ отображение раздутия, и пусть Е = п~^ (Гц) —
исключительная кривая. Тогда \ С \ — полная линейная система | L |^
где
L = п*Н^ - Е,
а Я ->- Р* — расслоение гиперплоскости. Каноническое
расслоение S равно
Кв = я* (Kpi) + Е = з1*Я-» + Е,
и численные характеристики L-^ S в формуле Римана — Роха
равны
h^ Щ = ЬР (Кв -L) = 0, pg = q = 0,
С-С = Co-Co — d = п^ — d, где d = deg Г^,
C-ifs = С-(я*Я-» + J5) = —3n + d.
Следовательно, no формуле Римана — Роха
r = Aim\L\=^{C-C-C-Ks) + a=^
n(n+3) J ,
= 2 —d + <n-
С другой стороны, из точной последовательности когомологий для
точной последовательности пучков
О -> Jro И -^ <3pi(ri) -^ 0г„ (п) -> О
и из того факта, что W- (©ра (п)) = О, мы получаем, что
r = dim|JroHI= "%+^^-d+fe'(.3^r„(n)),
так что избыточность равна
(B = fei(©sW) = 'i4Jr„H).
Теперь ясно, что со = О тогда и только тогда, когда тпочки из Г,
налагают независимые условия на линейную систему \ (Эра (п) |.
Как мы знаем из теоремы Кзли — Бахараша (§ 2), вполне может
случиться, что Л^ (Jto i^)) > 0; обычно так и происходит в
интересных случаях.
Возвращаясь к общей поверхности S с линейным расслоением
L-^ S, мы утверждаем следующее. Пусть dim \ L | > О и полная
линейная сиапема \ L \ не имеет базисных кривых', кроме того,
пусть иррегулярность g = 0. Тогда избыточность (л = Ы (L)
равна
со = dim 1 Jr {Ks + L)\-2pg+ dim \Ks — L\ + 2,
где Г = C'C для. общих кривых С, С ^\L \.

758 Гл. 5. Вычеты
Доказательство. Пусть s, s' ^ Н" (О в Щ) определяют С, С;
рассмотрим комплекс Кошуля
0-^6 (Ks-L) -^ в (Ks) е 0 (Ks) -^ Jt{Kb + L) -^ 0.
При наших предположениях
h^ (6 (Kb)) = /i2.1 (S) = h«, 1 (5) = 0,
так что, в силу двойственности,
кЧ(ЭЩ) = кЧв{Ке-Ь)) =
= Л» (^г {Ks + L)) - 2N> (О (Kb)) + hf> (6 {Ks - Ц),
откуда и следует наше утверждение. П
Если pg = О, то dim \ Кв — L \ = —1 и наша формула
упрощается и принимает вид
(В = dim I Cfv (Kb + L) \ + I.
В качестве применения предположим, что Го — набор d <
<.п (п + 3)/2 точек на плоскости Р*. Тогда линейная система
I ^Го (р) I кривых степени п, проходящих черев Fj, содержит как
минимум щгчок, и поэтому
1) либо эта линейная система имеет неподвижную кривую
степени меньше п;
2) либо обпще кривые С, С" 6 I ^Го (и) | имеют пересечение
С-С = Го + Г, где Г — множество ив п* — d точек, называемое
вычетом Гд относительно кривых степени п. Теперь будет доказана
Формула взаимности I.
dim I Jr„ (n) I = { "<"+^) -d} + ho{OT{n-S)).
В частности, избыточность Гц относительно линейной системы
I 0р« {п) I ро£^<^ а> = h" (Jt (п — 3)).
Доказательство. Пусть я: 5 ->- Р* — раздутие Р* в Гц и L =
= п*Н^ — Е. Тогда Ks + L = п*Н^~^ и, согласно только что
доказанному результату,
dim |Jr„ (п) I = dim I L I = {-^5-^^jt3L_ d I + 0),
где (О = Л» (Jr {п — 3)) = dim |Jr (n — 3) | + 1. П
В качестве первой иллюстрации покажем, как формула
взаимности может помочь при изучении свойств линейных систем кубик,
которые появились в § 1 гл. 4 при исследовании кубической
поверхности. Начнем со следующего утверждения.

4. Глобальная двойственность 759
Множество Го мз семи точек налагает независимые условия
на I Ора (3) I, если только никакие пять из них не колли-
неарны.
Доказательство. Если в линейной системе | Cfvo (3) I найдутся
две кубики С, С без общих компонент, то для вычетного
множества Г имеем h" (Jr) = О, и по самому простому слз^аю формулы
взаимности получаем, что Гд налагает независимые условия
на I ©р8 (3) |.
Предположим теперь, что dim | ^Го (3) | ^ 3 и что любые две
кубики ив этой линейной системы имеют общую компоненту Со,
которая должна быть прямой или коникой. Так как линейная
система прямых имеет размерность 2, Со не может быть коникой,
а должна быть прямой. Если Со содержит меньше 5 точек из Го,
то вне нее лежит множество Го из ^ 3 точек. Они налагают
независимые условия на линейную систему | Ора (2) | плоских коник,
и поэтому
dim I Jr. (3) I = dim IJj,/ (2) К 5 - 3 = 2,
что противоречит предположению dim | Jpo (3) 1^3. П
Множество Т^ из 9> тачек налагает независимые условия
на I (Эра (3) I, если никакие 5 из них не лежат на прямой,
а все восемь не лежат на конике.
Доказательство. Если мы предположим, что Го дает зависимые
условия, то dim | 3i^ (3) | ^ 2 и, как раньше, можно
заключить, что любые две кубики из этой системы имеют общую
компоненту Со. Если Со — коника, то, так как dim | Jm (3) | > 2,
все точки Го должны лежать на Со. Если же Со — прямая, то
предыдущие доводы показывают, что не более трех точек из Г^
могут лежать вне Со-
Отсюда легко получается результат, который был нужен нам
в разделе о кубических поверхностях.
Пусть Д — шесть тпочек в Р*, никакие три из которых
не лежат на прямой, а все шесть не лежат на конике. Тогда
Тд = А -\- р -\- q налагает независимые условия на \ (Эра (3) |
при любых р, q ^ Р*.
Доказательство. В противном случае либо 5 точек из Го лежат
на прямой, либо все восемь — на конике, что противоречит
предположениям о Д. П
А БОТ еще одна иллюстрация формулы взаимности.

760 Гл. 5. Вычеты
Пусть Го состоит из 12 точек на Р^ и не налагает
независимых условий на I Ора (4) |. Тогда либо Т(, = С/,-Сз —
полное пересечение, либо 10 точек из Тд лежат на конике,
либо 6 точек из Го коллинеарны.
Доказательство. Предположим, что dim | ^Го (4) | > 3.
Напомним, что dim I ©pa (4) | = 14, и если в этой линейной системе
найдутся две кривые С ж С без общих компонент, то
С.С = Го + Г.
По формуле взаимности Г состоит из 4 коллинеарных точек, так
что Го = C^-Cs.
Предположим теперь, что любые две кривые из |^Го (4) | =
=-- I С I имеют общую компоненту Со- Она не может быть кубикой,
так как в противном случае вычетная система \ С — Со | состояла
бы из прямых и имела размерность ^2. Предположим, что Со —
коника, содержащая меньше 10 точек из Го- Тогда коники из
1С — Со I должны проходить через 3 или больше точек и иметь
размерность не меньше 3, что невозможно. Позтому 10 или больше
точек из Го должны лежать на конике.
Наконец, пусть Со — прямая, содержащая ^5 точек из Го.
Тогда \ С — Со I будет не менее чем трехмерной системой кубик,
проходящих через ^7 точек. Согласно предыдущему, либо 5 из них
лежат на прямой — ив этом случае 10 точек :из Го лежат на
вырожденной конике, либо 8 точек лежат на конике. Но тогда эта коника
должна быть неподвижной компонентой линейной системы кубик
С — Со с размерностью ^3, что невозможно. D
Формула взаимности I была доказана в предположении, что
С'С = Го -Н Г состоит из различных точек. Эту формулу легко
перенести на общие поверхности, но ослабить ограничение на
Го -Н Г труднее, если пользоваться предыдущим методом, который
основан на тривиализации пучка идеалов Го раздутиями. Для
практических нужд желательно иметь более обшую формулу
взаимности, и мы получим такое обобщение из глобальной
двойственности.
Предположим, что S — регулярная поверхность, т. е.
/ji,e ф) = й^,! ^5^) = о, и L-)- S — голоморфное линейное
расслоение, два сечения s, s' которого задают вместе нульмерную
подсхему Z в S. Пусть J — щгчок идеалов, такой, что О^ =
= О/О; на самом деле J — это образ при отображении
© (L*) е 0 (L*) ->■ ©,
задаваемом как (/, /') ►-». /s + f's'. Допустим, что мы разложили Z
в объединение двух непересекающихся множеств Го и Г; Го мы

4- Глобальная двойственность 761
будем представлять себе как часть базисного множества пучка
\s-{-'ks'\c:\L\, а Г будем называть вычетом Го.
Формула взаимности II. В предыдущих обозначениях
h^(CfT^L)) = h'>(JT(K + L))-2pg + ho(e{K-L)).
В частности, если Pg = ? = О, то
h4Clro{L)) = ho{Jr{K + L)).
Доказательство. Рассмотрим две точные последовательности
пучков:
О ^ J (L) -^ От, (L) -^ Сг {L) -^ О,
0-^6 (L*) -^ в ф в ^ J Щ -^ О,
где в первой последовательности От = O/Jti а вторая —
резольвента Кошуля. По теореме двойственности пространства
Н^ {Ото Щ) и Ext^ {S; Jto Щ, ^*) канонически двойственны.
Мы вычислим второе из них, пользуясь точной
последовательностью Ext и конкретизируя отображения.
Заметим прежде всего, что Шх1^{(5тЩ, й^) = farf^ (©г (L),
Q2) = 0. Поэтому спектральная последовательность
^f •' - Я" {S, $xfQ (©г (L), Q2)) =^ Ext* {S; вт (L), Q2)
для глобального Ext дает Ext* (5; 0^{L), Q^) = 0. Получаем
точную последовательность
(*) О ^ Exti {S; Ото (L), Q2) -^ Exti {S; О Щ, Й^) Л
->■ Ext2(5'; вт{Ь), Q2)^
Для нахождения среднего члена воспользуемся второй из
последовательностей щгчков. Так как S — регулярная поверхность,
то
Exti {S; ©0 6, Q2) ^ Я1 {S; Q2 ф й^) = 0;
кроме того,
Ext» {S; в {L*), Q2) ^ я« (© {К + L)),
Ext» {S; © ф ©, Й2) ^ я» (© (if)) 0 Я» (© (Л:)),
Ext» {S; О {L), Q2) ^ я» ((^ow^^ (^ (-г^). Й'')) = Я« (© (if- L)).
Все это вместе дает точную последовательность
0^ Я«(©(ii:-L)) -^ Н«{О{К))фН0{в{К)) -^
-^ НЦО(К + Ь)) -^ Exti(5; 0(L), Q2) -^ 0.

762 Гл. 5. Вычеты
Тем самым мы получаем следующую интерпретацию:
Вернемся снова к спектральной последовательности для
Ext* (5; 0г(-^), й^). Так как gxt^ (0г (L), й^) _ пучок-небо-
■скреб, сосредоточенный в точках р g Г, в которых его слой
канонически изоморфен (©г(^))р) то
Ext2(5;©r(L), Й^)^ 0 (©r(L)p)*.
per
Комбинация (*) и (**) дает
•О -^ Exti(5; JroW, Й'') -^ {Н'>{(Э1,К + Ь))!{8(л + 8'(л'}}
р
-^ е (OrWp)*.
per
Для интерпретации отображения р возьмем ^ф g Я" (© (if + Ц)
в т) g (Эг (^z)?. Тогда ReSp (-2^1 имеет внутренний смысл, так как
1Тф 6 © (if + 2L)p, а S'S' £ ©г (2//)р. Так как двойственность
•функториальна, мы получаем
p(t)(Ti) = ReSp(J^).
По локальной теореме двойственности отсюда следует, что
кег р ^ Я» (Jr (^ + i^))/{s(o+s'fi)'}.
Из (*) и (**) мы заключаем, что
h^ (^го Щ) = dim Ext.i {S; О и Щ, Q^) = dim (ker р) =
= Л» (Jr {К + L)) -2pg + Л» (6 (Z - L)),
"ЧТО завершает доказательство формулы взаимности. П
Покажем теперь, как в конкретных случаях появляются
особенности. Пусть С ж С — две неприводимые плоские кривые
четвертого порядка, имеющие 3 общие обыкновенные двойные
точки Pi (i = 1, 2, 3). Предположим, что в каждой такой точке
4 прямые, касающиеся этих двух кривых, различны. Тогда эти
кривые определяют идеал 3pi d Opi, который содержится
в квадрате т| максимального идеала, но отличен от него. Этот
ждеал можно описать следующим образом. Выберем локальные
координаты так, что кривые С, С' задаются уравнениями ху = О
ж {х — у) {з: — уу) = 0. Можно отождествить касательные
направления к Pi с Р^; тогда наши касательные отождествляются
■с {О, 1, 7' °°}' При этом 7 — двойное отношение этих четырех

4. Глобальная двойственность 763
касательных прямых, взятых в некотором порядке. Фувкции
/ (ж, у) из идеала имеют вид
/ {х, у) = аху + ^ (х — у) (х — уу).
В общем случае р будет единицей, поэтому можно считать, что
р = 1 и
/ {х, у) = {х — [ly) {х — Ху) + члены высшего порядка,
где
[iX = у, ^, + ^1 = 1+7 — ^•
Фиксируем касательные направления к С, соответствующие
точкам О, оо g Р^; тогда касательными направлениями к кривой Cf,
определенной /, будут ^г и Я., и условие [хХ = 7' имеющее
внутренний смысл, определяет идеал J р. с: (Эр.. Геометрически это
означает, что кривая Cf должна иметь обыкновенную двойную
точку в Pi и предписанное двойное отношение своих касательных
и касательных к С.
Напишем теперь
с-с =ro-fr,
где Го и Г — нульмерные подсхемы, причем Jr„ = Jpi П ^ра П
П ^рз' S Г — вычет Гц относительно лучка \ С + ХС \. Заметим,
что degf Го = 12 и, следовательно, deg Г = 4. Формула
взаимности II дает
И^г,(4)) = Л«(.7г(1))<1,
где ^гв(^) = ^Го 0 Ора (4). Равенство здесь достигается тогда
и только тогда, когда точки Г различны и коллинеарны. Так
как Л" (бра (4)) = 15, а А* (©ра (4)) = О, то линейная система
плоских квартик, проходящих через Tq, имеет размерность
dim I Jto (^) I = 2 или 3,
причем вторая возможность реализуетпся в точности тогда, когда
точки Г различны и коллинеарны.
Чтобы увидеть, когда это происходит, рассмотрим
треугольник Д с вершинами pi, р^, р^. Он является плоской кубикой
с двойными точками в pt. Будем говорить, что наша конфигурация
находится в специальном положении, если уравнения Д
принадлежат идеалу Cfp, для каждой вершины. Мы утверждаем, что
конфигурация находится в специальном положении тогда и только
тогда, когда Г состаит из различные и коллинеарных точек.
Доказательство. Если точки Г различны и лежат на прямой
Lf,, то эта прямая будет касательной к некоторому члену Е щ^чка
! С + ХС \. Отсюда следует, что
Е = А + Lo,

764
Гл. 5. Вычеты
Рис. 3
так что Д g I ^Го (3) I и конфигурация находится в специальном
положении. Обратно, если Д £ | Jr» (3) |, то кривые ^ + L,
где L — прямая в Р*, дают двумерную подсистему в линейной
системе | Jro (^) !• Так как не все кривые в этой системе
приводимые, мы заключаем, что dim | Jpo (4) | = 3. П
Интересно более внимательно исследовать рациональное
отображение
/: Р2 -^ рз,
определенное линейной системой | Jto (4) I в случае
конфигурации специального положения. Его образом является поверхность
четвертой степени S, обладающая двупараметрическим семейством
приводимых гиперплоских сечений.
Для того чтобы найти S, заметим, что отображение /
становится голоморфным на раздутии Р* плоскости Р* в точках
Pi: Рг» Ра (рис 2 и 3). Если Et — исключительный дивизор в Р*
над точкой Pi, то собственный прообраз D общего элемента D g
€ I ^г„ (4) I имеет вид
D ~ n*D — 2Ег — 2Е^ — 2Е^.
Поэтому степень образа S = f (Р*) в Р' равна
D-D =D-D — AEi-Ег — iE^-E^ — iE^-Es =
= 16-4 — 4-4 = 4.
Рассмотрим теперь отображение /: Р* ->- Р'. Так как
линейная система | ^Го (4) I содержит в качестве подсистемы
треугольник Д плюс линейную систему прямых, отображение / гладкое

4. Глобальная двойственность 765
Рис. 4
И взаимно однозначное вне прообраза А в Р^. С другой стороны,
собственные прообразы Ltj прямых Ltj = ptpj стягиваются в
точки; в самом деле, если кривая D g | Svo (^) I пересекает Ь^
в точке д, отличной от pi и Pj, то она содержит Ltj. Далее, хотя
собственный прообраз линейной системы | ^го (^) I в Р*
двукратно пересекает Et, он высекает неполную систему на Et.
В самом деле, фиксация одной касательной к Z) g | ^Го (^) I
в точке Pi определяет другую касательную. Поэтому / двулистно
отображает Et на прямую в Р', и эти прямые являются двойными
прямыми на образе S. Наконец, так как треугольник Д
принадлежит идеалу J-p^, точки пересечения Ltj и Ь^^ с Et хотя и различны
на Р*, но при отображении / склеиваются в одну точку Р'. С
другой стороны, после стягивания . кривых Lij на Р* дивизоры Ei
образуют треугольн^гю конфигурацию (рис. 4). Отображение /
складывает пополам каждую сторону этого треугольника, так
чтобы вершины совпали; в результате получается конфигурация,
изображенная на рис. 5. Поэтому поверхность S d Р^ есть квар-
тика с тремя двойными прямыми, пересекающимися в точке.
Мы уже встречались с такой поверхностью в § 5 гл. 4 и видели,
что S является образом при проекции в Р' поверхности Веронезе
в Р*. В настоящем контексте в этом можно убедиться
непосредственно. Преобразование ф плоскости Р", которое раздувает точки
Ри Р21 Рз и стягивает прямые Ltj, задается линейной системой
! Jpi 0 Jpj (8> Ops (2) I коник, проходящих черев pt; композиция
^/(5(2)l°Ф• Р^-^Р' преобразования ф с отображением
Веронезе задается линейной системой | Ор^ ® Ор^ <S> Ops (4) | квар-
тик с двойными точками Pt. Наконец, отображение /, задаваемое
подсистемой | Jr„ (4) | с: | О^^ (g) 0^^ (g) J^,, (4) |, есть в
точности композиция 1| (5 (2) I ° ф с проекцией в Р'.

766 Гл. 5. Вычеты
^
Рис. 5
Расгиирения модулей
Ext^ и расширения — локальный случай. Рассмотрим опять
локальное кольцо © = С {%, . . ., 2„} и конечно порожденные
©-модули. Расширение М при помощи Л'^ задается короткой
точной последовательностью
{Е) O^N^E^ М^О.
Расширение М ® N называется тривиальным или расщепляемым;
два распшрения эквивалентны, если существует коммутативная
диаграмма вида
II \ II
Обозначение Ext объясняется следующим фактом.
Лемма. Существует биективное соответствие между классами
эквивалентные расширений и Ext^ {М, N); при этом нуль
соответствует тривиальному расширению.
Доказательство. Пусть дано расширение (Е); тогда
Нот^ {М, Е) -у Нот0 {М, М) Л ExVq {М, N).
Препятствие к расщеплению последовательности (Е) представляет
элемент д (1д^) £ Ех1^{М, N), где 1^ — тождественное
отображение М на себя. Это и задает отображение расширений
в Ext^(M, N).

4. Глобальная двойственность 767
Прежде чем построить обратное отображение, сделаем одна
замечание. Пусть даны расширение
0-у B-U S Л М -уО
и гомоморфизм /: Д-*- N', тогда можно построить расширение
следующим образом. Положим \i = jQi: R^-NQS и F =
= N Ф 5/|.1 {R). Тогда пф8>-*'П{8)жп>-*пФ0 дают точную^
последовательность {F).
Для построения ExiQ{M, N) мы возьмем кусок проективной^
резольвенты
и затем ker/im в последовательности
Нот(5 (£о, Ю -^ Нот0 (£"i, N) -^ Нот^ {Ez, N).
Цикл задает отображение EJE^ -^ N, ж поэтому класс из
Ext0(M, N) дает нам точную последовательность
Q^EjE^^Eo^M^Q
и гомоморфизм E-ilE^^- N. Применяя предыдущую конструкцию,
получаем нужное расширение.
Мы оставляем как упражнение проверку того, что отображения
j классы эквивалент-1 ^~^ ЕтхЦМ.Ш
t ных расширений J "*—■^
корректно определены и взаимно обратны. П
Предположим теперь, что О = С {г^, Zj} — локальное
кольцо от двух переменных и / = {Д, /г} — регулярный идеал. Из
точной последовательности
и вычисления Ext в разделе о комплексах Кошуля мы получаем
изоморфизмы
Ext^ (7, 6) ^ Ext^ (©//, в) ^ 0/1.
Второй изоморфизм зависит от выбора образуюпщх /, но
утверждение
Элемент е £ Ext(e)(/, О) ^ ОН обратим, т. е. е (0) ^ О,

768 Гл- 5. Вычеты
имеет инвариантный смысл, так как если I = {j[, f^}, то
где Д = det (oj;) обратим. Для конструкции двумерных
расслоений на поверхности нам понадобится следующая
Лемма. Пусть е £ Ext0(/, 0) задает расширение
Модуль Е проективен тогда и только тогда, когда элемент е
обратим.
Доказательство. Точная последовательность Ext дает
Нот0 {О, 6) Л ExtJc) (/, в) -у ExVq {Е, О) -^ 0.
По определению, д (1) = е, где 1 — единица кольца 0 при
отождествлении Нот^ {(5,0) = О. Отождествляя Ext^ (/, О) с 0/1
и пользуясь ©-линейностью д, мы получаем, что если е обратим,
то д сюръективен, и поэтому Extjn {Е, О) = 0. По тривиальным
причинам ExXq {Е, О) = О для g ^ 2.
Воспользуемся этим для доказательства того, чтоExt^ {Е, N) =
= О для любого ©-модуля N Ts.q'^ i. Рассуждение ведется
индукцией по длине проективной резольвенты N. Поэтому можно
считать, что имеется последовательность
0-yR^F^N^O,
где модуль F свободный и Ext^ {Е, R) = О для g ^ 1. Точная
последовательность Ext^ {Е, •) дает нужный результат.
Из нашего первоначального обсуждения Ext следует, что
обращение в нуль Ext/g {Е, N) для всех N означает
проективность Е.
Если же е не обратим, то Ext/» {Е, О) ф О, так что Е не
проективен. D
Ext^ и расширения — глобальный случай. Пусть М —
алгебраическое многообразие, ^ и ^ — когерентные пучки на М.
Можно говорить о глобальных расширениях
(Ш) О ^ ^ ^ g ^ ^ ^ О,
понимая под ними точные последовательности пучков ©-модулей.
Пучок g в этом случае обязательно когерентен. Отношение
эквивалентности и понятие тривиального расширения полностью ана-

4- Глобальная двойственность
ЛОГИЧНЫ локальному случаю. На первый взгляд такие
расширения (g) должны соответствовать элементам Н" {М, %xt)o) {S' ■, S))-
Однако это не совсем так по следующей причине.
Если дано глобальное сечение пучка Moct^ {З" ■, ^). то можно
выбрать достаточно мелкое покрытие С/^ = {С/^о} ^ локальные
расширения
(gj О ^ i^ I С^„ ^ g„ ^ ^ I f/„ ^ 0.
в и^ П ^3 имеют место коммутативные диаграммы
II ■ \%р II
но нет никаких оснований считать, что над Uafl U^f\ Uy
окажутся коммутативными треугольники
а
^Р Т,
Иначе говоря, «функции перехода», склеивающие локальные
расширения фа), могут не удовлетворять правилу коцикла и не
составлять глобального расширения. Правильный ответ дает
следующая
Лемма. Классы эквивалентности глобальных расширений (g)
находятся в биективном соответствии с Ext^ {М\ ^, ^).
Доказательство. Для заданного расширения (Ш) точная
последовательность глобальных Ext
II II
Н°(М, ЗСоп о{И, ^ )) -* Я^СМ Хот d&.tf))
Дает, как и в локальном случае, препятствие д (1^) к расщепляе-
мости (g).
Обратное интереснее. Пусть
g. (^): ... -► gj Л g, Л go ^ ^ ^ О
18—0200

770 Гл. 5. Вычеты
— глобальная сизигия для § ж U = {1/^} — достаточно мелкое
покрытие М, такое, что класс е £ Ext^ (М; §, ^) задается
коциклом в группе гиперкогомологий
HI {U, SfoniQ (g. {Щ, ^)).
В диаграмме
С\и, ^гоото(ё,,Г))ФС'( 17, Лот^Фо'^Ъ
/ \/
этот коцикл е задается как ф Ф т], где
Условия, что е — коцикл, дают следующие соотношения:
(1) 5*ф = 0 =$► ф„ 6 -Н"» (?/„, morriQ (gi/ga, Л) =^
=Ф- Фо определяет расширение
(^а) О ^ i^ I С^„ ^ g» ^ ^ I С^« ^ 0.
По тем гке причинам, что и в доказательстве леммы из предыдущего
раздела,
(2) бф = д*х\ =Ф-ф„ — Фр = 5*т1„р=Ф-
=Ф-локальные расширения (g^) склеиваются на
попарных пересечениях С/а П ^^З'
(3) бт1 = О =4»для предыдупщх склеиваний выполняется
условие коцикла.
Признаемся, что третий шаг здесь скомкан, однако нетрудно
проверить все детали. П
^ {Точки на поверхности и двумерные {векторные
расслоения
В качестве применения глобальной теоремы двойственности I
мы обсудим следующий вопрос ^): пусть заданы алгебраическая
'^) Впервые, рассмотренный Шварценбергероы; см. R. L. Е. Schwarzenber-
ger. Vector bundles on algebraic surfaces.— Proc. London Math. Soc, 11 (1961),
601—622, и Vector bundles on the projective plane.— Ibid. 623—640.

4. Глобальная двойственность 771
поверхность S и пучок регулярных идеалов I d О с конечным hocu'
телем Z = supp {Oil); спрашивается, существует ли двумерное
голоморфное вектюрное расслоение Е -*- S с заданным первым
классом Чжзня q {Е) и сечением s ^Ю {S, О {Е)), схема нулей
которого (s) совпадает с Z?
Для ответа на этот вопрос предположим, что Е —>- S —
векторное расслоение ранга 2 и s £ if" (<S, О (Е)) — голоморфное
сечение с нулями (s) = Z, которое мы хотим построить. Можно
рассматривать S как отображение пучков s: g* ^- 6, где g* =
= О (£■*). Утверждается, что в точной последовательности
(*) О ^ ^ Л g* Л / ^ О
пучок X локально свободен ранга 1.
Доказательство. Локально g^©©0 и s=(/i, /2).
Отображение s: Ш* ^' I задается как {gi, g^ >-* /jgi + f^g^, и
сравнение с комплексом Кошуля показывает, что X локально
изоморфен О, причем i {h) — (—fji, fji). D
Связь между линейным расслоением X и векторным
расслоением Ш состоит в том, что
ci (Х) = -q (g).
Доказательство. На 5* = 5 — Z мы имеем
О ^ X\S* ^Ш*\8* ^ (5s*^0,
откуда следует, что Ci {X) = Ci (%*) в Я* (5*, Z), а значит,
ж в Н^ {S, 1), так как в точной последовательности когомологий
Н^ {S, S*; Z) -^ Н^ {S, Ъ)^1Р {S*, Z)
мы имеем
m{S, S*; Z) ^ .0 Н^{Вр, В*; Z) = 0,
где Вр — шар вокруг точки р. D
Говоря очень грубо, задание g сводится к заданию его
классов Чжэня Cj {Е) и Cj (Е), причем Cg (Е) есть Z. Поэтому
поставленный вопрос имеет смысл. Утверждение q {X) = —Cj (g) мож'-
но усилить:
X = [\Ч* в Pic (5) = Я^ (5, ©*),
что следует из доказанной в § 2 гл. 3 теоремы Леви о продолз«ений.
18*

772 Гл. 5. Вычеты
Обращаясь к точной последовательности (*), можно
следующим образом сформулировать задачу: даны (Z, Ьг) и X ^ Pic (5);
ищется
{такое e6Ext*(5; /, X), что ер
обратимо в ШхР (/, Х)р ^ 6^, р
для любой тючки p^Z.
Объяснение. Для каждого открытого подмножества U d S
имеется отображение ограничения
[Ext* (S; ^, Щ -^ Ext* {U; ^, §)
глобальных Ext. Если U достаточно мало, то Н^ {U, ^xt%) {^, §))
=0 при q>0 и, согласно спектральной последовательности,
связывающей ga:f и Ext,
Ext*{U; ^, §)^H°{U, Пх%{^, ^)).
Поэтому е = Ext* {S; I, X) индуцирует Ср в каждом слое
gzf^(/, х)р для pes.
Согласно предыдущему разделу, класс е ^ Ext^ (<S; /, X) опре-
Йёййет глобальное расширение
и по лемме на стр. 768 когерентный пучок Ш* локально свободен,
если Ср обратим для всех р ^ Z. Поэтому решение задачи («»)
и нахождение (*) полностью эквивалентны.
Первый шаг к решению (»*) заключается в рассмотрении
спектральной последовательности, связывающей локальный и
глобальный Ext. Пользуясь тем, что Е^'^ = IP {S, Шх^ (I, X)),
мы получаем следующую картину членов Е^:
£«•»
Л
Последний изоморфизм получается так: рассмотрим точную
последовательность 0->-/->(Э->-О2->-0 и воспользуемся тем, что
ExtQ (Oz, X) = 0. Тогда из точной последовательности ga*
gxfg, (/, X) ^ ext^Q (Q, Х)^Х.
В частности, если £"1'° = О, то Ext^ (5; /, X) ^ Н" {S,
UxtQ (/, X)) и задача (**) может быть решена. Итак,

4, Глобальная двойственность 773
если IP (S, X) = О, то можно найти двумерное голоморфное
векторное расслоение £ ->- <S и сечение s ^ Н° {S, f), такие, чтл
с^ {X) — —Cj (g) us определяет Z как подсхему. В частности,
в случае j>g (<S) = О можно ваять X — <Э. Выбрав X доетатлчно
обильным, можно всегда добиться того, что Н^ {S, ^) = О,
и в этлм случае наша исходная задача имеет по крайней мере одно
решение.
Пример. Возьмем проективную плоскость S = Р*, так что
выполнено условие Pg == 0. Тогда существуют голоморфное
двумерное векторное расслоение £" ->- Р* и сечение s ^ Н" (Р*, 0(Е)),
определяющее любое заданное Z. Если Z непусто, то мы
утверждаем, что S единственно с точностью до умножения на константу,
а векторное расслоение Е не может быть представлено как
расширение
О-уЬ-уЕ-уЬ'-уО
линейных расслоений на Р^. Таким способом мы получаем целый
набор «новых» векторных расслоений на Р^.
Доказательство. Если s' £ Н" (Р^, 0{Е)) также определяет z,
то S л s' 6 Я" (P^ О (A^J^)) = -Н"" (P^ в) ^ С, так как
Л ^-^ — тривиальное расслоение в силу предположения q (£) = 0.
Поэтому либо S л s' ^ О, и тогда s и s' пропорциональны, либо
S л s' нигде не обращается в нуль, и тогда Z пусто.
Если расслоение Е является глобальным распшрением
линейных расслоений, то X ^ О {п)ж X' ^ О (га')- так как Pic (Р^ ^
^ 1. Далее, Ext^ (Р*; X', X) ^ IP (P^ (9 (га — га')) = 0; кро^
ме того, га + га' = О в силу равенства Cj (Е) = 0. Позтому
g^0(ra)©(9( —га),
где га > 0. Однако у такого расслоения любое сечение либо нигде
не обращается в нуль (га = 0), либо обращается в нуль вдоль
целой кривой (га > 0.) D
У нас все еще нет необходимых и достаточных условий разре-
П1ИМ0СТИ (**). Для их нахождения сделаем упрощающие
предположения:
^ = (9,а/р=Юр — максимальный идеал
для каждой точки р ^ Z.
Применяя точную последовательность глобальных Ext к
последовательности
0-у 1^(5-у е/1-у О,

774 Гл. S. Вычеты
получаем
... ^ m(,S,G)^ Ext»(5; /, О) -^ Ext='(5; ©z, О) -^
Так как ga:f^(Oz, О) = 0 при g#2, а nxfi^iOz, О) — пучок-
небоскреб, сосредоточенный на Z, со слоями
gzt^(Oz, 0)р^Л='П('5),
то эта точная последовательность превращается в верхнюю строку
диаграммы
Р ^Z
(***) ^ (
Нижняя строка составлена из двойственных векторных
пространств, причем двойственным к Ext^ (S; ©z. О) по теореме
двойственности I является Я" (<S, ©z ® ^*)- В силу функтори-
альности, отображение р есть не что иное, как ограничение
глобальной голоморфной 2-формы на <S в каждую точку р ^ Z.
Мы ищем элемент е £ Ext^ (<S; /, О) с тем свойством, что
врфО ь каждом /\^Т'р {S) (p^Z). Используя двойственность
в (**♦), получаем следующий результат.
Для заданного множества точек Z с S голоморфное век-
тарное расслоение Е -*- S ранга 2 с Д *g ^ О и сечением
5 £ £™ (<S, (5{Ш)), определяющим Z, существует тогда
и только тогда, когда найдутся бивекторы О :/= Тр £
6 Д^Гр' (S) (р ^Z), тлкие, что
для всех iJ5 £ if* (<S, Q'^). В частности, если deg Z > pg {S),
такие {E, s) всегда существуют.
Инвариантная интерпретация этого соотношения будет дана
в следующем разделе.
Вычеты и векторные расслоения
Мы интерпретируем последнее соотношение предыдущего
раздела как теорему о вычетах для векторных расслоений и затем
представим наши выводы в более геометрической форме.

4. Глобальная двойственность 775
Пусть М — компактное комплексное многообразие
размерности п тз. Е ^*- М — векторное расслоение ранга га, обладающее
голоморфным сечением s ^ Н" (М, (9 (Е)) с изолированным
множеством Z нулей. Воспользуемся обозначениями
J 2*= пучок идеалов Z и Oz = 0/Jz-
Последовательность пучков
(*) О -»► Л"^* -^ -.. -^ А^Ш* -!> g* -> Jz ^ О
локализуется в комплекс ^Кошуля и поэтому дает глобальную
проективную резольвенту] пучков O^ti^CIl- В частности, (*) дает
элемент
e6Ext"-»(M; Jz. Л"§*)-
В спектральной последовательности, связывающей локальные
и глобальные Ext, рассмотрим дифференциал
где мы воспользовались изоморфизмом
из раздела о комплексах Кошуля. Для каждой точки р ^Z
элемент е индуцирует локальный класс
и так как ф ер^Н°(М, ia:*^"* (Jz- Л"^*)) является образом в,
то ОН удовлетворяет условию
d„.i(©ep) = 0 в ^(М, A"i*)-
pez
Это соотношение и будет интерпретировано как теорема о вычетах.
Для этого мы рассмотрим двойственное к Я" {М, Д" Ш*)
векторное пространство Я" (М, 6 {К ® det Е)). В терминах
локального голоморфного репера е^, . . ., е„ для Е и локальных
голоморфных координат z^, . . ., z^ на М сечение
1|5 6 Я" (М, в {К® det Е))
имеет вид
■ф = fe (z) (dzi А ... л dZn) ® (ei л . . . л е„).

776 Гл. 5. Вычеты
Записывая s в виде s = s^ (z) е^ + . . . + «п (2) е„, рассмотрим
форму
J^ h (z)dzi Л ... Л dzn
* ~ «1 (г) ... s„ (г) •
Конечно, правая часть зависит от выбора репера и координат, на
по формуле преобразования вычет в точке р ^Z
^ ' ^\s) ^1 «1 (z) ... s„ (z) /
от этого выбора не зависит. Функториальность двойственности
означает, что
0=<<^n-i( Ф ер), t>= 2ReSp(t/«),
pez p£z
что можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема о вычетах для векторных расслоений. Пусть заданы
голоморфное векторное расслоение ранга п над компактным
комплексным п-мерным многообрааием и голоморфное сечение s £
6 Н° (М, О (£)), имеющее множество Z изолированных нулей.
Если Зля ■>!) 6 Я" (М, е (К ® det Е)) и р ^Z вычет ReSp (■ф/в)
определить формулой (♦*), то
2 ReSp(Vs) = 0.
plZ
Следствие (теорема Кэли — Бахараша для векторных
расслоений). Если Z состоит из различных простых точек, то каэю-
дый дивизор D ^ \ К ® det Е \, проходящий через все точки Z,
кроме, быть может, одной, проходит, и через эту точку.
Результат, полученный в конде предыдущего раздела, мояшо
выразить так:
Следствие. Пусть на алгебраической поверхности S гаданы
множество изолированных тючек Z и голоморфное линейное расслое-
ние L. Для существования двумерного векторного расслоения
E^Sc det E = Lu сечения s^lP (S,0 (£)) с (s) == Z
необходимо и достаточно, чтобы Z обладало свойством Кэли — Бахараша
относительно линейной системы \ К ® L \.
Свойство Кэли — Бахараша допускает хорошую
геометрическую интерпретацию в том случае, когда линейная система
\ К ® L \ дает отображение 5 ^»- Р*" без точек неопределенности.
Обозначим через Z линейнз^ю оболочку в Р*" множества Z,
состоящего из d различных точек <S. Для общего Z имеем dim Z = d — 1^
из свойства Кэли — Бахараша следует, что
dim Z < d — 2,

4. Глобальная двойственность 777
поэтому конфигурации Z, удовлетворяющие этому свойству, можно
грубо представлять себе как «мультисекущие плоскости», такие,,
как трихорды, и т. д.
ЛИТЕРАТУРА
Мы укажем несколько источников, которые могут обогатить материал
этой главы; в них можно найти дальнейшую библиографию.
SI
R. Harvey, Integral Formulas Connected by Dolheault's Isomorphism.—
Rice University Studies, v. 56 (1969), 77—97.
R. Gunning, Lectures in Complex Analytic Varieties — Finite Analytic
Mappings.— Princeton Univ. Press, 1974.
M. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. Пер. с англ.—
М.: Мир, 1972.
р. Гавнивг, X. Росси. Аналитические функции нескольких комплексных
переменных. Пер. с англ.— М.: Мир, 1969. Эта книга содержит полное
изложение теории когерентных пучков.
А. Grothendieck, Theoremes de dualite pour les faisceaux algebiiques cohe-
rents.- Seminaire Bourhaki, 49 (1957).
R. Hartshorne, Residues and Duality.— Berlin — Heidelberg — New York:
Springer-Verlag, 1966.
R. Hartshorne, Varieties of small codimension in projective space.— Bull,
Amer. Math. Soc, 80 (1974), 1017—1032 (особенно § 6 и библиография).

€ КВАДРАТИЧНЫЙ КОМПЛЕКС
ПРЯМЫХ
Эта глава занимает несколько необычное положение в книге:
■она представляет собой нечто промежуточное между главой и
пространным упражнением. Новые земли здесь не открываются; даже
в разговоре о квадриках в § 1 скорее заполняется пробел в уже
имеющемся материале, чем сообщается что-либо новое. Для
включения этой главы в настоящую книгу есть три причины.
Во-первых, в гл. 2 и 4 довольно подробно обсуждалась теория
кривых и поверхностей; теперь естественно поработать с
многообразиями высшей размерности, например с трехмерными
многообразиями. К сожалению, по трехмерным многообразиям еще не
накоплен столь же богатый запас сведений, как по кривым и
поверхностям. Вполне успешные исследования трехмерных
многообразий относятся лишь к некоторым частным случаям; ниже
разбирается один из них.
Во-вторых, до сих пор в зтой книге мы. подбирая материал для
применения развитой техники, еще не встретились с достаточно
глубокой задачей, работа над которой потребовала бы
привлечения этой техники в полном объеме. А задача о квадратичном
комплексе прямых именно такова: для ее решения нам понадобятся
результаты из теории Ходжа, теории кривых, абелевых
многообразий, поверхностей, а также теория классов Чжэня и
исчисление Шуберта.
Третья, и последняя причина включения зтой главы —
прелесть самого объекта. Квадратичный комплекс прямых давно
привлекает всеобщее внимание: большая часть материала,
который вошел в главу, была развита к середине прошлого века и все
ешр представляет интерес. Этот объект полон тонких симметрии
и сюрпризов; надеемся, что, изучая его, читатель проникнется
к нему тем же восхищением, что и мы.

1. Предварительный материал: квадрики 779
4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ: КВАДРИКИ
]Ранг квадрики
Квадратичную гиперповерхность f с: Р" можно представлять
себе как множество нулей квадратичной формы
i, 3=0
С симметрической матрицей Q = (дц). Рангом квадрики F
называется ранг матрицы Q; поскольку единственный инвариант
квадратичной формы над С — это ее ранг, то две квадрики F, F' а Р"
проективно изоморфны тогда и только тогда, когда у них
одинаковый ранг. Выпишем формулу для частных производных:
-±^Q(X,X) = 22qaX};
из этой формулы видно, что множество особенностей квадрики F
есть просто линейное подпространство в Р", соответствующее ядру
матрицы Q в С""^^; поэтому имеет место следующее утверждение:
Квадрика f с: Р" является гладкой тогда и только тогда,
когда она имеет максимальный ранг ге + 1>
или, более общо,
множество особых точек квадрики F czP^ ранга п — к
является к-мерним подпространством А а F а Р".
На самом деле наше описание можно сделать более явным.
Пусть f с: Р" — квадрика ранга к с множеством особенностей
Л ^ Р"-**; обозначим через Vk-i обшую {к — 1)-плоскость,
дополнительную к Д (т. е. не пересекающуюся с Л); тогда F = F [\ V^-i
есть гладкая квадрика размерности к — 2. Пусть теперь L —
произвольная прямая в Р", пересекающая и Л, и f; прямая L
пересекается с F в трех точках и потому содержится в F. Обратно,
если р ^ F — любая точка вне Л, то (ге — к + 1)-плоскость,
натянутая на р и Л, должна пересечь F^.i в точке q. Прямая L = pq
пересекает F в точке р и еще в двух точках на Л и, значит, лежит
на F; в частности, q^P, так что р лежит на прямой, соединяющей
А с F. Следовательно,
Квадрика f с: Р" ранга к есть конус, натянутый на
(га — к)-плоскость Л сг F с: Р" ц на квадрику в Р'^'^ранга к.
Отметим, что, поскольку F содержит все прямые, соединяющие
точки р ^ F с А, касательная плоскость к F ъ любой точке содер-

780 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
жит Л. Поэтому любая плоскость в Р", не пересекающаяся с Л,
пересекается с f по гладкому многообразию.
Большую часть всего этого можно понять, рассмотрев
отображение Гаусса
S: F -^ Р"*,
определенное следующим образом: точке р ^ F сопоставляется
касательная плоскость Тр {F) с: Р"*. Поскольку касательная
плоскость к квадрике ^ = О в точке р = 1а„, . . ., а„1 имеет вид
г'р(Л=(2?«л^«=о),
i.li
то ясно, что отображение Гаусса § есть просто ограничение на
F рационального отображения Р"->- Р"*, заданного матрицей Q.
Если квадрика F гладкая, то ^ — изоморфизм, а двойственное
многообразие F* = S {F) а Р"* есть снова гладкая квадрика.
Заметим, что в этом случае никакая гиперплоскость в Р" не
касается F более чем в одной точке, так что каждое касательное
гиперплоское сечение Тр {F)[] F гладкой квадрики в Р" имеет ранг
п — 1, т. е. является конусом с вершиной j> и основанием —
гладкой квадрикой в Р""*. Вообще, если квадрика F имеет ранг к,
а Л„_ь — множество ее особых точек, то каждая гиперплоскость,
касательная к F, содержит Л и ^ отображает F в гладкую
квадрику в подпространстве Р^-^* сг Р"* гиперплоскостей,
содержащих Л.
Линейные пространства на квадриках
Одна из интересных сторон изучения квадрик — это вопрос
о лежапщх на них линейных пространствах. Ответ на него
содержит следующее
Предложение. Гладкая квадрика F размерности т не содержит
линейных пространств размерности >т/2.
С другой сторона:
1. Если m = 2га 4- 1 нечетно, то F содерясит неприводимое
(га -f- 1) (га -f- 2)/2-мерное семейство п-мерных подпространств.
2. Если m = 2га четно, то F содержит два неприводимых
га (га -f- \)/2-мерных семейства п-мерных подпространств, причем
для любтлх двух п-мерных подпространапв Л, А' cz F сравнение
dim (Л П Л') = га (mod 2)
выполняешься тогда и только тогда, когда Л ц Л* принадлежат,
одному и тому же семейству ^).
^) Напомним, что если Л П Л' = 0, то dim Л П Л* •= —1.— Прим. ред.

1. Предварительный материал: квадрики 781
Прежде чем доказывать это, заметим, что указанное явление
в случае т = 2 нам уже известно: на квадратичной поверхности
в Р" имеются два одномерных, семейства прямых, причем прямые
разных семейств всегда пересекаются по точке, тогда как прямые
одного семейства не пересекаются или совпадают. В § 2,
посвященном геометрии грассманиана G (2, 4), читатель получит
возможность подробно разобраться в расположении 2-мерных
плоскостей на квадрике в Р^.
Первое утверждение предложения проверяется сразу:
поскольку отображение Гаусса $ гладкой квадрики F а P"^+'^ является
ограничением линейного изоморфизма р™+i _>. р™+i*, семейство
касательных плоскостей к F вдоль линейного подпространства
Аис^ F параметризуется fc-мерным линейным подпространством
в р^+1*. Поскольку касательные к F плоскости в любой точке,
лежащей на Л, содержат Л, то образ S (Л) целиком лежит в
{т — fc)-MepHOM подпространстве в p^+i*, состоящем из
плоскостей, содержащих Л, поэтому
к^т — к, т. е. fc ^ то/2.
Остальную часть предложения докажем индукцией по га.
Обозначим через Sj, с: G (га -f- 1, 2га -f 3) множество га-мерных
плоскостей Л, лежащих на гладкой квадрике F в Р^+* нечетной
размерности 2га -f- 1, а через S„ сг G (га -f- 1, 2га -f- 2) семейство га-
мерных плоскостей на гладкой квадрике F^n cz p^+'^. Пусть наше
утверждение уже доказано для т <. п (оно очевидным образом
верно при га = 0), и рассмотрим для гладкой квадрики F с: р^+2
отношение инцидентности
/ с: /" X G (га -f- 1, 2га 4- 3),
определенное как
I = {(Р< Л„): р б Л с f}.
Проекция Яг: / ->- G (га -f- 1, 2га -f- 3) отображает / на S^, причем
слои этого отображения изоморфны Р". С другой стороны,
рассмотрим слои проекции п-^: I ^>- F, т. е. га-мерные плоскости на F,
лроходящие через точку р. Ясно, что все такие га-мерные
плоскости Л лежат на касательной гиперплоскости к поверхности F
в точке р, и потому в пересечении F [\ Гр (i^. Но мы уже видели,
что F {] Тр (F) представляет собой просто конус, натянутый на р
над гладкой квадрикой /'гп-х сг Р^, стало быть, множество га-мер-
лых плоскостей в F, проходящих через р, совпадает с множеством
.га-мерных плоскостей, натянутых на j> и (га — 1)-мерные плоскости
в F. Следовательно, слои проекции щ изоморфны Sn-i; это
многообразие, по предположению, неприводимо и имеет размерность
л (га -f- 1)/2; отсюда вытекает, что и само / неприводимо и имеет

782 Гл- 6. Квадратичный комплекс прямых
размерность "'"Г^ + 2га + 1- Наконец, поскольку слои
отображения jXg: /->-Sn имеют размерность га, мы видим, что S»
неприводимо и имеет размерность
»(» + !)+2га+1-/.= ^"+^У"+^^ ,
и первая часть нашего предложения доказана.
Пусть теперь i^jn с= Р^"^^ — гладкая квадрика. Положим
снова
/ = {(р, Л„): р б Л с /■} с /■ X G (га + 1, 2га + 2).
Как и прежде, слои отображения iXj: /->- S„ с: G (га + 1, 2га + 2)
изоморфны Р", а слои отображения jXi: / ->- f изоморфны S„_i.
В этом случае, однако, по индукции доказывается, что S„_i
является объединением двух неприводимых непересекающихся
многообразий размерности га (га — 1)/2. Далее, связные
компоненты слоев jXi образуют неразветвленное двулистное накрытие F,
которое, поскольку многообразие F рационально и,
следовательно, односвязно, должно быть несвязным. Отсюда вытекает, что /
состоит из двух связных компонент, причем каждая из них
отображается при помощи JXi на F со слоями, изоморфными одной из
неприводимых компонент 2„_i. Как и в проведенном только что
рассуждении, убеждаемся, что каждая связная компонента /
неприводима и имеет размерность ~ + 2га. Поскольку слои
отображения п^: / ->- 2„ неприводимы и имеют размерность га,
мы видим, что S„ состоит из двух связных компонент Sn и S^,
каждая из которых неприводима и имеет размерность
п(п—1) , о„ я (я 4-1)
2 h'ira —га= g •
Наконец, остается показать, что для любых га-мерных
плоскостей А, А' CZ F размерность их пересечения сравнима с га по
модулю 2 тогда и только тогда, когда они принадлежат одному и тому
же семейству. Снова воспользуемся индукцией. Утверждение
очевидно при га = О (и еще очевиднее при га = 1); предположим,
что оно доказано для всех т <Ц п. Пусть вначале Л и Л'
пересекаются, и пусть р — любая точка из Л П Л'. Пусть Р^ —
любая гиперплоскость в Р^ +^, не содержащая р; мы уже видели,
что пересечение F [] Тр (F) поверхности i^ с ее касательной
гиперплоскостью в р является просто конусом, натянутым на р над
гладкой (2га — 2)-мерной квадрикой f = f П ^р (f)[] Р*"-
Положим
Х- лп Р"* и Х^ = Л'п Р"";

1- Предварительный материал: квадрики 78S
Л И Л' ЯВЛЯЮТСЯ (и — 1)-мерными плоскостями в F, и, согласно»
нашему предыдущему рассуждению, Л и Л' лежат в одном и том:
же семействе на F тогда и только тогда, когда Ли Л' лежат в одном-
и том же семействе на F. Но пересечение Л П Л' есть в точности:
плоскость, порожденная пересечением Л П Л' вместе с р. По
индуктивному предположению имеем:
Л и Л' лежат в одном и том же семействе га-мерных плоскостей на F
<=i> Л и Л' лежат в одном и том же семействе (га—1)-мерныхг
плоскостей на F <:>
<=> dim (Л П Л') ^ га— 1 (mod 2) <=>
■^- dim (Л П Л') S dim (Л П Л') +1 s га (mod 2),
и все доказано. С другой стороны, предположил, что Ли Л' не
пересекаются. В этом случае возьмем произвольную точку j> 6 Л,
и положим
Л'' = Л' []Тр{Р), р.
Тр {F) не может содержать Л', поскольку все га-мерные плоскости:
в Тр {F) П F содержат р и позтому пересекаются с Л.
Следовательно, Л" есть га-мерная плоскость и
dim (Л' П Л") = га - 1.
Из нашего первого рассуждения мы выводим, что Л' и Л" лежаг
в разных семействах. Мы видим также, что Л пересекается с Л'
только в точке р: если бы Л П Л" содержало прямую, то Л
обязательно пересекалось бы с гиперплоскостью Л' f\ Тр {F) в Л".
Таким образом, согласно нашему первому рассуждению, Л и Л'
лежат в одном и том же семействе на F тогда и только тогда, когд&
га ^ О (mod 2); отсюда следует, что
Л и Л' лежат в одном и том же семействе
<=> га = —1 = dim (Л П Л') (mod 2)..
Этим завершается доказательство нашего предложения.
Теперь мы можем явно выписать два семейства га-мерных
плоскостей на гладкой 2га-мерной квадрике F с: Р^ +^, заданной
уравнением
п
i=0

784 Гл- 6- Квадратичный комплекс прямых
В ЭТОМ случае если взять в качестве В любую (га + 1) X (га + 1)-мат-
рицу, то га-мерная плоскость Лв, порожденная
векторами-строками ej = (О, . . ., 1, О, . . ., bj,o, . . ., bin) матрицы (/, В) размера
2п X п, лежит в F тогда и только тогда, когда
Q (в{, ej) = Ьц + b]i — О win всех f и /,
т. е. тогда и только тогда, когда В кососимметрична. га-мерные
плоскости {Лд} образуют открытое подмножество Го в одном
из двух семейств га-мерных плоскостей на F. (Заметим, что
dim (Лв П Лв') = га — rank {В — В') = га (mod 2)
для любых кососимметрических матриц В, В'.) Более общо, если
/ == {^1, . . ., ijn} — любое подмножество в {О, . . ., га}, то
автоморфизм (pj квадрики F, определенный формулами
i^n+H-i = *(
Xt, i 6 /,
переводит множество Го = {Лд} га-мерных плоскостей в другое
множество Tj', Vj лежит в том же семействе, что и Го, тогда и
только тогда, когда т = ^1 четно. Таким способом мы представим все
л-плоскости на F.
Рассмотрим теперь семейство /с-мерных плоскостей на гладкой
квадрике F в Р"+^. Легко вычислить размерность зтого семейства;
обозначим через j/" | ^ p("+2)("+8)/2-i линейную систему всех
квадрик в Р"'''^ и рассмотрим отношение инцидентности
1с^ \F \Х Gik+U п + 2),
определенное как
/ = {{F, Л): Л с F}.
Линейная система 1 F \ высекает на каждой fc-плоскости Л полный
[{к + i) {к + 2)/2 — 1]-мерный линейный ряд квадрик на Л, так
что слои проекции ng; /->- G{k -f- 1, га -f- 2) имеют размерность
(п + 2){п+3) {k+i){k+2)
2 "" 2 ^'
а / имеет размерность
(fe + l)(ra-fc+l)4- ("+У+^> - (fe+lHfe+2) -1.

1. Предварительный материал: квадрики 785
Отсюда следует, что слой проекции п^. I -*- \F \, т. е. семейство
fc-плоскостей на квадрике F, имеет размерность
или, иначе, коразмерность {к -\- i) {к -\- 2)/2 в грассманиане
G{k+i, га + 2).
Определим теперь класс цикла Ел,„ Лс-плоскостей на гладкой
квадрике i^ с: Р""^^ в грассманиане G (к -\- i, га + 2). Нам
понадобится следующий результат из § 5 гл. 1; для любого флага
линейных подпространств VqCzViCZ . . . czVn+i'^ С""^^ группа
когомологий H'-^+'^)f.'^+-) {G ф -\- i, га + 2)) порождена классами
циклов Шуберта
О'аь ...,a^j={Aft+i: dim (Л П Fn_ft+i+i_a, >t}
для всех последовательностей
га — fc+l^aj^...^ aft+i ^ О,
удовлетворяющих условию У] а, = (Л; + 1) {к + 2)/2. Когомологий
дополнительной размерности аналогичным образом порождены
циклами Шуберта Оъ, где ^ bi = {к + i) {п — к + i) —
— (/с + 1) (ft + 2)/2-, индексы
Vai а^^-Оъ^ b^J =
={
1, если Oi + ^fe+2-i = ra —ft+1 для всех i,
О в противном случае.
В соответствии с этим нам необходимо вычислить индексы
пересечения #(Sfe,„-a[,) для всех таких Ъ = ф^, . . ., Ьь+i),
удовлетворяющих указанному условию У] bj = (Л; -f- 1) (га — ft — 1) —
— {к + i) {к + 2)/2. Для начала заметим, что если флаг {Fa}
выбран в общем положении, то все подпространства Va сг Р"+^
пересекают F по гладкой (а — 2)-мерной квадрике Р^-^- Далее,
как мы видели, f а-г н:е может содержать линейных подпространств
размерности > (а — 2)/2; поэтому никакая fc-мерная плоскость
Aft, лежащая на F, не может пересечься с Va по пространству
проективной размерности > (а — 2)/2. Если Щ^ь,п'Оь) Ф 0. то
должно выполняться неравенство
га — fc-f-l-f- i — bj^2j для всех i,
т. е. bi ^ п — к — i -\- i.
19-0200

786 Гл. 6- Квадратичный комплекс прямых
Но из соотношений
k+i
ft+i ft+i
<2 n-k-i + i = {n-k+i){k + i)-^ j=,
i=l t=l
= in-k+i)(k + i)-J!^±Ml±^
мы выводим, что bi = n — к — i -\- i, т. е.
Цикл Sft,„ cr G (fc + 1, ra + 2) имеет нулевой индекс
пересечения со всеми циклами Шуберта дополнительной
размерности, кроме цикла On-h,n-h-l,n-h-i, . , .•
Чтобы вычислить индексы пересечения Sft,„ с
<^n-ft.n-ft-i. ... = {Aft: dim (Л^ П ^2i)>0.
мы просчитываем одно за другим условия, определяющие
On-h,n-h-i, ...- Первое условие гласит, что любая плоскость
Л 6 2ft,„ П <fn-h,n-h-i должна пересечься с прямой Fj '^ Р""^^
по точке; поскольку Аа F, эта точка должна быть одной из двух
точек Pi, j>2 пересечения Fg с F. Для каждого i = 1, 2 пусть
Р"~^ — любая (га — 1)-плоскость, лежащая в касательной
плоскости Тр. {F) к F в Pi TS. не содержащая j>f, Р"~^ пересекает тогда
F по гладкой квадрике i^i, причем F [\ Тр {F) — конус с
вершиной Pi над Ff. Далее, второе условие на On-h,n-k-i,... гласит, что
любая плоскость A^S^.^n o'n-ft.n-ft-i,... должна пересекаться
с 3-мерной плоскостью V^ по прямой. Но Vt, пересекается с Р""^
по прямой, й с Fi — по паре точек рц, pi^', записав любую fc-мер-
ную плоскость Ас1 F, проходящую через Pi, в виде Л =
Pi, ЛП Р?~^, мы убедимся, что любая АЭ Pi пересекает Fg по
прямой тогда и только тогда, когда Л содержит какую-нибудь из
точек рц или Pi2.
Рассмотрим теперь множество А-мерных плоскостей,
проходящих через точки pt и рц. Обозначим через Р","® (га — 3)-пло-
скости, каждая из которых лежит в пересечении Тр^ (Р) П Тр (F)
и не пересекается с прямой PiPa; Ру"® пересекается с i^ по гладкой
квадрике Fij, причем F[\ Тр. {F) П Тр^, {F) — конус, натянутый
на прямую j>jj>,-j над Fij. Третье условие на On-h.n-k-i,...
утверждает, что любая плоскость ЛсгЕ^лП On-h,n-h-i... пересекается
с 5-плоскостью Fg по 2-плоскости. Но Fe пересекается с P"j~®

1. Предварительный материал: квадрики 787
ПО прямой, а с Fij — по паре точек pui и ptj^. Проводя fc-пло-
скость А.С1 F через pi и рц:
^=Pi, РФ Л п pV
мы видим, что л удовлетворяет этому условию тогда и только
тогда, когда она содержит либо рц^, либо рц^.
Теперь процедура ясна. Определим индуктивно
последовательности точек j>i^, Piitji ••• > Pii,.... i^, обозначив через
Pii i^.^, 1 и Pii. ...,{^_^,2 две точки пересечения Fzm с
выбранной (га—2т-f 1)-плоскостью в пересечении касательных
пространств к i^ в pi^, pt^, t2> • • • > Рч im-i' °Р^ ^™" ^^
обнаружим, что fc-плоскости AdF, лежащие в а^.^ „.^.j, .„, суть
в точности плоскости вида
Pill Pii, iji Pii, га, t,i • • • I Pii, ij, ..., ij^^j^i
причем имеется 2**+^ таких плоскостей. Следовательно,
и в когомологиях грассманиана G{k+i, ra-f-2)
2ft.„~2''+*.aft+,.ft.ft_, ,.
Заметим, что, поскольку два семейства га-плоскостей в 2га-мер-
ной квадрике в Р^+^ могут быть переведены одно в другое при
помощи автоморфизма Р^*^, они представляют один и тот же
класс на G (га -f- 1, 2га -f- 1) и, следовательно, каждое из них
представляет класс 2"-a„+i;„_..., i. Да:лее, в случае, когда
квадрика имеет нечетную размерность п = 2т + i ж к = т,
коразмерность {т + 1) (т -f- 2)/2 цикла Sm.2m+i равна половине
размерности грассманиана G {т -{- 1, 2т + 3), поэтому можно ожидать,
что в пересечении двух квадрик в общем положении в р*"*»
содержится конечное число т-плоскостей; действительно, согласно
нашему вычислению, оно равно
В случае га = 3 мы в этом уже убедились.
Линейные системы квадрик
До сих пор мы занимались геометрией единственной
квадратичной гиперповерхности в Р". Теперь мы хотим рассмотреть
линейные системы квадрик; в частности, мы изучим линейные
системы квадрик в Р* и в Р*.
19*

788 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Начнем с Р^. В полной линейной системе W ^
коник обозначим через W^ си W подмногообразие коник ранга
^2, а через W^ а W^ множество коник ранга 1. Тогда W^ —
гиперповерхность в W; определим ее степень. Это моншо сделать
следующими четырьмя способами.
1. Пусть L = {F,} — общая прямая в W, т. е. общий пучок
квадрик в Р^. Коники F из пучка L могут быть заданы как
множества нулей квадратичных форм
где Q^ = (gij) = (?" + XQ°° при подходящем выборе неособых
симметрических матриц Q" ж Q"^. Многообразие f > будет особым
тогда и только тогда, когда определитель ] Q" + XQ°° |
обращается в нуль; поскольку этот определитель является кубическим
многочленом по Я, то это произойдет при трех значениях К. Таким
образом, L пересекается с Wi трижды и deg {Wj) = 3. Заметим,
что зто рассуждение показывает, что и в общем случае особые
квадрики в Р" образуют гиперповерхность степени ге + 1 в
системе всех квадрик.
2. Пусть L, как и выше, общий пучок коник. По формуле
на стр. 544 имеем
X (Р^) = 2х (F0 + \i-n,
где Fi — общий злемент из L, ге = Рх'Р), — число базисных
точек в L, а ^1 — число особых коник в L. Поскольку х {F\) = 2
и re = 4, зто дает
3 = 2-2 -Ь ц - 4,
т.е. ^1 = 3 и Wi — кубика.
3. Пусть снова L — общий пучок на W, а р^, р^, р^, р^ —
четыре базисные точки в L; L будет состоять из всех коник в Р^,
проходящих через точки (pt) (рис. 1). Но никакие три из pt не кол-
линеарны, поэтому если F — коника, состоящая из прямых Z, I'
и содержащая {Pi}, то I ж I' должны содержать по две из точек
{pi} каждая. Позтому особые коники, проходящие через {pt},
суть
PiPi + PsPib^ PiP3 + P2Pi^ PiPi + PzPa-
Итак, опять L содержит три особые коники.
4. Далее, заметим, что WiCH W есть образ Р^* X Р^* при
отображении /, переводящем пару прямых (Z^, 1^) в конику li + Iz в
g W. Кольцо когомологий многообразия Р^* X Р^* порождено
мелассами coi и coj — прообразами классов гиперплоских сечений

1. Предварителъний материал: квадрики
789
Рис. 1
Рис. 2
в Р^* при отображениях проектирования с соотношениями со? =
= (й| = О, (ofcol = 1. Если Н си W — гиперплоскость в W,
состоящая из коник, проходяшдх через точку р g Р^, то прообраз
f*H есть дивизор пар (Zj, 1^), в которых либо р g 1^, либо р g 1^,
и позтому он представляет класс coi + coj. Следовательно,
поскольку отображение / двулистно,
1 1
deg Wi = (iEf)Vi = у (coi -Ь (u2)J)a* X ps* = -g- • 6 = 3.
Заметим, что подмногообразие И^г cr l^Fi cr ]V есть образ при
отображении / диагонали А ^ Р''* в Р^* х Р^*, который
представляет собой множество ветвления /, Поскольку система
1 (Oi -Ь (U2 1 высекает на А полную линейную систему 10рг (2Я) 1,
W^ есть поверхность Веронезе ь^н (Р^) в W ^ Р^.
Заметим, что многообразие W^ гладкое вне Wz- если F g Wj —
коника, состоящая из двух различных прямых, то можно найти
другую конику G, пересекающую F трансверсально и так, что
пучок L, порожденный F ъ G, имеет 4 различные базисные точки.
Согласно рассуждению 3, L пересечет W^ в трех различных
точках, так что шр {L, Wi) = 1 и F— гладкая точка на W^. С
другой стороны, если F — двойная прямая, & L — общий пучок,
содержащий F, то (рис. 2) пучок L состоит из всех коник,
проходящих через точки р, р' пересечения F со второй коникой G
пучка L и касающихся G (т. е. имеющих кратность пересечения >-1
с G) в этих точках. Таким образом, единственная в L отличная от F

790
Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Рис. 3
Рис. 4
особая коника есть сумма касательных к G в р ж р', поэтому
тпр (L, Wi) = 2 и F — двойная точка на W^. Читатель может
проверить, что касательное пространство к Wi в гладкой точке
F = Zi + ^2 — это просто плоскость Н си W коник, проходящих
через точку р — hf] h ^ Р^, тогда как касательный конус к W^
в двойной точке F = 21 состоит из коник, касательных к I.
(Заметим, что, поскольку Wz — множество двойных точек кубики W^,
любая прямая, пересекающая W2 дванады, должна лежать в W^;
это еще раз доказывает, что многообразие хорд поверхности
Веронезе есть кубическая гиперповерхность.)
Наконец, интересно отметить, что имеется два различных
четырехмерных семейства прямых на многообразии Wi, т. е. два
типа пучков особых коник. Во-первых, имеются пучки, состоящие
из фиксированной прямой If, и некоторого пучка 1^ прямых;
например,
L = {{КХ„Хг + ХоХ,)}^ (Z„ = (Z„ = 0))
(рис. 3). Такие пучки либо совсем не пересекаются с W^, либо
пересекаются в одной точке, в зависимости от того, лежит ли
базисная точка пучка 1^ на прямой If,- Во-вторых, в W^ имеются
хорды W^', такой пучок, содержащий две различные двойные
прямые, имеет единственную базисную точку р и потому является
прообразом при рациональной проекции Лр". Р^ ->- Р^ пучка на Р^
(рис. 4). Например, L = {{КХо + Xl)} — такой пучок.
Обратимся теперь к квадрикам в Р^. Пусть W ^Р^ —
полная линейная система всех квадрик, Wi cz W — множество

1. Предварительный материал: квадрики
791
квадрик ранга ^ 3, W2 а Wi cnW — множество квадрик ранга
:^2 и Ws — множество квадрик ранга 1. Согласно первому
из приведенных выше рассуждений, Wi есть гиперповерхность
степени AbW. Опять Wi является гладкой вне W^; если F —
произвольная квадрика ранга 3, которую мы можем считать заданной
матрицей
0 =
0 0 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
а L — пучок, порожденный F и общей квадрикой G, заданной
матрицей Q', то многочлен IXQ -\- Q' \ имеет степень 3 по Х, т. е.
L содержит, кроме F, три другие особые квадрики, так что
тпр (L'Wi) = 1 и F — гладкая точка Wi. Заметим, что многочлен
\)^Q -\- Q' 1 имеет степень <;3 тогда и только тогда, когда в левом
верхнем углу матрипрг Q' стоит О, т. е. когда квадрика G содержит
точку [1, О, О, 01. Таким образом, касательная плоскость к W^
в точке F есть в точности пространство квадрик, содержащих
особую точку квадрики F,
Аналогично, квадрика F 6 W^ — Wg ранга 2 может быть
задана матрицей
Q =
0 0 0 0
0 0 0 0
о о 1 о
0 0 0 1
тогда для общей матрицы Q' многочлен \М^ + Q' \ имеет степень 2,
т. е. общий пучок L в W, содержащий F, будет пересекать Wi
только в двух других точках. Поэтому F — двойная точка в Wi,
действительно, поскольку многочлен \М^ + Q' \ имеет степень
<;2 тогда и только тогда, когда определитель левого верхнего
2 X 2-минора матрицы ^' равен вулю, мы заключаем, что
касательный конус к Wi в точке F сг W^, состоит из квадрик, касающихся
особой прямой квадрики F.
Чтобы определить степень многообразия W^, мы постзшим,
как в пункте 4 выше: W^ является образом в W произведения
рз* у^ рз* дрд отображении /, переводящем пару {Hi, Н^
гиперплоскостей в Р^* в квадрику Ях -\- Н^- Когомологии произведения

792 Гл- 6. Квадратичный комплекс прямых
рз* ^ р8* порождены прообразами coi и coj классов
гиперплоскостей при отображениях проектирования; как и выше, поскольку
отображение / двулистно, получаем
deg И^2 = у ('^i + '^г)" = 4 • 20ffl>^ = 10.
Прямые на линейных системах квадрик
Выше в этом параграфе мы нашли на грассманиане класс цикла
А;-плоскостей, лежаш;их на гладкой квадрике в Р". Интересно
попытаться ответить на тот же вопрос относительно цикла А;-пло-
скостей, лежаш;их на линейной системе квадрик; мы обсудим здесь
случай прямых на квадриках в Р^.
Напомним для начала, что целочисленные гомологии грассма-
ниана G (2, 4) порождены циклами Шуберта
<У2 (Ро) = {х еО: 1хЭ Ро}^
<^1.1 (^о) = {х eG- i« с= ho},
(?2.1 (Ро. Ю = {а: 6 G: Ро 6 ^я с= hg}
для Pq 6 ^0 ^= ^0 — произвольно выбранных точки, прямой и
плоскости в Р*. Пересечения этих циклов Шуберта таковы:
Oi-Oi = Оа -Ь Oi,i,
Oi-o^ = Oi-Oi,i = Oa.i,
В предыдуш;их разделах мы убедились, что многообразие
V {F) прямых на гладкой квадрике F сг Р* гомологично ^o^.i',
рассмотрим теперь многообразие Ур (^) прямых в Р* на какой-либо
из квадрик в обш,ем пучке квадрик L = {F^,}.
Базисное множество пучка L, будучи гладким пересечением
двух квадрик, является зллиптической кривой С степени 4, и на
самом деле нетрудно видеть, что Vq (L) есть просто множество
хорд С: с одной стороны, если i 6 ^i, при некотором X, то С {] I =
= Fj, П Рх' П ^ = Рх' П ^ состоит из двух точек; с.другой стороны,
если I пересекается с С по двум точкам рж q, то для любой третьей
точки г 6 I некоторая квадрика F^ ^ I содержит г и потому
содержит I.
Как только это установлено, легко вычислить класс У© (L) cz
cz G {2, 4): во-первых, раз обш;ая гиперплоскость Н cz Р^
пересекает С в 4 точках, то („) — ^ х;орд кривой С лежат на Н, так что

1. Предварительный материал: квадрики 793
Во-вторых, проектирование на плоскость из общей точки ;> 6 Р*
отображает С на плоскую квартику, которая по формуле для рода
должна иметь две двойные точки; поэтому р лежит на двух хордах
из С и
* (Уо {L)-o,) = 2.
В итоге
Уо (L) - 2о2 + 6oi.i.
Перейдем теперь к рассмотрению общей сети N = {/^^.ц} ц. ц) е pit
квадрик. В этом случае мы можем связать с N два многообразия
прямых: множество Уо {N) = U У (F^.O всех прямых, лежащих
на какой-нибудь квадрике из N, и множество Ух {N) прямых,
лежащих на пучке квадрик в N. Последнее легко описать: если
I g Р^ лежит на пучке F^,},, F^>_y квадрик из N, то пересечение I
с базисным множеством Л'^ состоит из двух точек:
для любой третьей квадрики Ffi\^" в N. Обратно, если I содержит
две базисные точки р, q из N, выберем некоторую третью точку
г g Z; она лежит на том пучке квадрик из N, который содержит
р, джг ^ I. & значит, I. Поскольку N имеет 8 базисных точек,
никакие 3 из которых не коллинеарны, Vi {N) состоит из f „ 1 = 2&
прямых, соединяющих эти точки.
I^acc Уо (Л'^) с: G (2, 4) можно определить следующим
образом. Пусть р — общая точка в Р^, а jft — общая плоскость,
содержащая р. Тогда ограничение на Н множества квадрик из N,
содержащих р, есть пучок L коник, для которого р — одна и»
базисных точек, и, согласно рассуждению 3 выше, р лежит в
точности на трех прямых в L. Поэтому
*(Уо (iV)-02,i) = 3 и, следовательно, Уо (iV) ~ 3oi.
Наконец, пусть W — общее трехпараметрическое семейство-
квадрик. Поскольку в зтом случае множество Уо (ТУ) всех прямых
из W совпадает со всем G (2, 4), мы займемся многообразием
Vi (ТУ) CZ G (2, 4) прямых, лежапщх на пучке квадрик из W. Для
начала пусть р ^Р^ — общая точка; тогда множество квадрик
в ТУ, проходящих через р, образует общую сеть Np с точкой /?■
в качестве базисной. С помощью рассуждения, использованного
при вычислениях для У] (N), убеждаемся, что прямые,
проходящие через р и лежащие на пучке квадрик из ТУ,— это прямые,
соединяющие р с остальными 7 базисными точками Np.
Следовательно,
#(Fi (W).a^) = 7.

794 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Можно провести зто вычисление иначе, основываясь на том факте,
что гладкая точка р на квадрике F лежит на двух прямых в F,
если F неособая, и только на одной, если F особая. Пусть Р^ а Р^—
плоскость, не содержащая /?i, а / сг Р^ X iVj, — отношение
инцидентности, определенное условием
/= {{q, Fy.fq^F}.
Проекция / на второй сомножитель представляет / как двойное
накрытие над Np ^ Р^, разветвленное вдоль многообразия особых
квадрик в Np. Но, согласно нашему исследованию линейной
системы квадрик в Р*, множество особых квадрик в Np есть гладкая
кривая четвертой степени. Из § 4 гл. 4 мы знаем, что зйлерова
характеристика / равна 10. С другой стороны, отображение
I -*- Р^ представляет / как раздутие Р^ в точках пересечения Р^
с прямыми I 6 Vi (W), 11роходяш;ими через р; позтому число таких
прямых равно 5с (/) — X (Р^) = 10 — 3 = 7.
Вычислить *{Vi(W)-ai^j) несколько сложнее. Пусть Н —
обш;ая плоскость в Р*, а Z — ограничение на Н трехпараметриче-
ского семейства W. Если I cz Н cz Р^ лежит на пучке {F^} квадрик
в W, то все коники {С^, = F^, f) Н} особые; позтому встает задача
найти число пучков особых коник в X, содержащих данную
прямую. Обсуждая системы коник, мы установили, что множество
особых коник в X есть кубическая поверхность с 4 двойными
точками, соответствуюш;ими двойным прямым в X. В § 6 гл. 4
мы видели, что на такой поверхности лежит 9 прямых, но из этих
девяти шесть являются ребрами тетраэдра, вершины которого —
двойные точки на поверхности, а пучки, соответствующие этим
прямым, являются пучками второго типа (стр. 790). Итак, из 9
пучков особых коник на X только три содержат неподвижные прямые.
Поэтому
#(yxW. 01,0 = 3
и, наконец,
Fi (W) ~ 7а, + 3ai,i.
Можно проверить это вычисление следуюш;им образом: пусть
Ni, N2 — две обпще сети в W-, L = Ni[\ iV, — их обпщй пучок;
рассмотрим пересечение Vq (N^) f] Vo (N^)- Если прямая I лежит
на квадрике Fi g iVj, a F^ ^ N^, то
1) либо Fi=}^ F^Ji I лежит в пучке FiF^ cz Wu, следовательно,
I 6 V^ {W);
2) либо Fi = Fa б L, т. e. Z g Vo (L).
Обратно, поскольку Vq (L) и Vi {W) содержатся в Vq (Ni) f)
Л Fo {N2), TO
Vo (Ni) n Vo (N,) = Fi (TF) и Vo (L).

1. Предварительный материал: квадрики 795
Далее, Vo (N^) ~ Vq (N^) ~ Зо^, поэтому класс пересечения
^0 (■Л'^х) П ^0 (^i) равен (ЗО])^ = Эо^,! + Эа^. С другой стороны,
Vq (L) ~ 2ffjj + 6oi,i, и мы снова убеждаемся в том, что
Уг {W) ~ 7а, + 301.1.
В качестве интересного з™ражнения читателю предлагается
показать, что для общего трехмерного семейства W поверхность
Vi (W) есть поверхность Энриквеса.
Проблема пяти коник
В заключение зтого параграфа воспользуемся вычислениями
когомологий раздутия из § 6 гл. 4 для решения следующей
классической задачи проективной геометрии.
Даны пять коник С^, • • ., Cj с= Р^ в общем положении;
сколько гладких коник в Р^ касаются всех пяти?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим прежде всего
линейную систему
W = 1 2Я 1 ^ Р5
всех коник в Р^. Для любой гладкой коники С обозначим через
Vс'^ W множество коник, касающихся С (т. е. имеющих с С
точку пересечения кратности ^2); Vc есть гиперповерхность
некоторой степени d в Р^. Если бы мы смогли показать, что при
общем выборе пяти коник гиперповерхности Vс^-, • • •■, Ус, с= W
1) пересекаются трансверсально вне подмногообразия особых
коник
2) и не содержат все вместе никакой особой коники,
то ответом на поставленный вопрос было бы пятикратное
самопересечение (deg VcY гиперповерхности Vc в W ^Р^. К
сожалению, дело обстоит не так просто: хотя утверждение 1) верно и
верна половина утверждения 2), а именно
2') для общих Ci, . . ., Сб никакая коника, состоящая из двух
различных прямых, не касается всех пяти,
трудность состоит в том, что все гиперповерхности Vc с= W
содержат подмногообразие W^ = {2L}j^ ,-. pa двойных прямых.
Эта трудность преодолевается с помощью раздутий. А именно,
пусть я.: W -^ W — раздутие W вдоль многообразия W^
двойных прямых. Для любой гладкой коники С обозначим через Vc
собственный прообраз многообразия Vc с= Р^. Теперь если мы
установим утверждение 1) и 2'), то с учетом того, что d, . . ., С5
выбраны в общем положении, получим

796 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
3) собственные прообразы У^, • • •, V^ не имеют общих точек
в исключительном дивизоре в W.
Ответом на поставленный вопрос будет пятикратное
самопересечение дивизора Ус на 1^, и мы его легко вычислим. Проведем зто
вычисление, а к доказательству з^тверждений 1), 2') и 3) вернемся
позже.
Вычислим сначала степень гиперповерхности Vc с= Р^ для
гладкой коники С; для этого рассмотрим общую прямую L <ziW
и представляемый ею пучок коник {C},}^ppi. Кривые {€%}
высекают на С линейную систему степени 4 без базисных точек.
Соответствующее отображение представляет С как 4-листное
накрытие Р^. По формуле Римана — Гурвица число точек ветвления
этого отображения равно
b = 2g{C)-2-^ {2g (Pi) - 2) = 6.
Значит, пучок {С^} содержит 6 коник, касающихся С, и,
следовательно, deg Vc = 6.
На самом деле проведенное рассуждение говорит нам
несколько больше. Пусть С" — гладкая точка Vc и С" имеет с С
обыкновенную точку касания р ^ С Если L ^ W — общая прямая,
проходящая через С' и лежащая на гиперплоскости Нр cz W коник,
проходящих через р, то соответствующий пучок {C't.}% с pi
высекает на С линейную систему степени 4 с базисной точкой р.
Соответствующее отображение представляет С как 3-листное накрытие
прямой Р^ и позтому имеет всего
Ъ=2{и{С)-2)-Ъ {2g (Р^) - 2) = 4
точки ветвления, т. е. пучок {С'х} может содержать, помимо С,
не более 4 коник, касающихся С. Отсюда следует, что Нр является
касательной плоскостью к Vс в С, и, обратно, если С имеет с С
простое касание в единственной точке, то С — гладкая точка Vc-
Далее, вычислим кратность множества W^ двойных прямых
на общем дивизоре У с- Это несложно: если С — коника, 2L —
общая двойная прямая, а {С^,} — общий пучок коник, в который
входит двойная прямая 2L, то {€)_} снова высекает на С пучок
степени 4 без базисных точек. Соответствующее отображение,
как и выше, имеет 6 точек ветвления, но две из них являются точ--
ками пересечения ЬшС. Поэтому {С'^} содержит 4 точки
пересечения с Ус, помимо 2L, откуда
multzb ({Са, Vc) = 2,
и, таким образом, для общей коники С
multRTj {Vc) = 2.

1- Предварительный материал: квадрики 797
Далее, имеем
Vc^ 6(0 - 2е б Я^ {W, %),
где (О = я*(й — прообраз в W класса со гиперплоскостей в W,
& е — класс исключительного дивизора Е.
Теперь, чтобы определить пятикратное самопересечение
(6(0 — 2eY дивизора Vc ^ W, вспомним, что, как установлено
в § 1, поверхность W^ есть поверхность Веронезе ^н (Р*)- Пусть
I ъ р = 1^ — классы точки и прямой в W^ ^ Р*; пусть р = п*р
ж X = п*1 — прообразы этих классов ъ Е cz W. Имеем
(й Iw, = 2Z и потому (О* Iw, = (20'' = 4Р-
Далее, согласно правилам вычисления классов Чжэня проектив-
лого пространства, имеем
с {Т {W) Iw.) = (1 + 6(0 + 15(0^) Iw. = 1 + 12i + бОг^
ж
с {т {w^)) = 1 + зг + ъ1\
Из С^-разложения векторных расслоений
получаем
c{Nw^,w) = c{T{W))lc{T{W^)).
Выполнив деление
1 + 12Z + 60Z2 I 1 + 3^ + 3?=^
1+ зг-ь 3Z2 i + 9z+30Z2
97+57F
9Z + 27Z2
находим, что
30Z2
30^2
c(i\^Ws/w) = l + 9Z+30Z2
Далее, если С 6 ^ (-E, Z) обозначает класс Чжэня
тавтологического расслоения на £ ^ Р (i\^w,/w), наше общее соотношение
(стр. 646) дает
(*) С'-9Тс=^ + 30Т2^ = 0.

798 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Но мы видели, что ограничение тавтологического расслоения
на каждый слой Ер расслоения Е ->■ W^ дает универсальное
расслоение 1—Н], поэтому Z^-P = Ci (Г IEpY = 1 • Умножив основное
соотношение (*) на Z и вспомнив, что Р = 0, получаем It,^ —
— 9i*C* = 0, откуда l-Z^ = 9. Наконец, умножим (*) на t,'
^4 _ 97^3 ^ зоТ^с^=О =^ С* = Ш^ - зоТ^с^=51.
Теперь можно вычислить (бсо — 2е)^. Прежде всего, поскольку
ограничение класса со гиперплоскости в Р^ на W^ равно классу
2Z, и |е = 2Ти тавтологическое расслоение Т = iV^^pe, получаем
е \^ = Ci (Г) = Z.
Далее,
(S*)~ = ((uV = l. «' = 1.
W
й* • е = {{21)% = 0, S' • е2 = ((2г> • Q^ = О,
й^ • ез = ((2Г)2. С2)в = 4 (Г^С^ = 4,
и поэтому
— 10-62.2з.22-еЗ + 5-6-24-и-в* —25-е« =
= 6в-10-62-2з.4 + 5-6-2*-18-2^51 =
= 7776-11520 + 8640-1632 = 3264.
Итак, окончательный ответ гласит:
Для пяти общих коник в Р^ имеется ровно 3264 гладких
коники, касающихся всех пяти.
Вернемся теперь к проверке свойств трансверсальности 1), 2')
и 3). Что касается свойства 1), то заметим, что для гладкой коники
С дивизор Vc неприводим. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
отношение инцидентности Г czVc ^^ С, определенное условием
I = {(Со» р)' Со касается С в точке р).
Поскольку С неприводима и слои проекции п^: Г -^ С
представляют собой линейные подпространства в W, дивизор /'
неприводим. Отсюда следует, что и дивизор V с неприводим. Пусть теперь
и а W — открытое множество гладких коник; обозначим через /
отношение инцидентности / а {Wf X U, определенное условием
/ = {(Сг Съ, С): С 6 Vc^ для всех i).

1. Предварительный материал: квадрики 79&
пусть J а I — замкнутое подмногообразие в /, состоящее из
таких (Ci, . . ., С ; С), что С" — нетрансверсальная точка
пересечения Vc , ■ ■ ■: Vc ■ Слои проекции
1 5
на последний сомножитель изоморфны (Ус')° и позтому неприво-
димы; следовательно, дивизор / неприводим. Поскольку
отображение Я1: / -> (ИО^ в общей точке конечнолистно, свойство 1)
может нарушаться, т. е. / может отображаться сюръективно на
{W)^, только если J = I. Чтобы проверить это свойство,
достаточно предъявить точку из /—/, т. е. такие 6 коник Ci, . . ., С и С",
что Vci, . . ., Vct трансверсально пересекаются в С. Но это
легко: если С" — любая гладкая коника, а Ci, . . ., С — коники,
имеющие простое касание с С в различных точках Pi, . . ., рь,
то касательные гиперплоскости Tc^ (Ус) = Нр. независимы.
Свойства 2') и 3) проще. Заметим прежде всего, что, вообще,
если {.Оц} — любое семейство дивизоров без базисных точек на
п-мерном многообразии V, то выбранные общим образом п -\- i
дивизоров семейства Z)^,, . . ., -Dun+i "^ имеют общих точек. Это
доказывается по индукции: если результат верен для многообразий
размерности ге — 1, то при ограничении дивизоров {1>ц} на
гиперплоское сечение многообразия V выбранные общим образом п
дивизоров Z)„ , . . ., -Du могут иметь лишь конечное множество
обпщх точек. Поскольку семейство {Z^^} не имеет базисных точек,
для общего дивизора Dy^n 1
Далее, поскольку множество W^czW коник ранга 2 имеет
размерность 4, для доказательства свойства 2') достаточно
проверить, что семейство {yc)c(-W ^'^ имеет базисных точек на этом
множестве. Это ясно: для любой коники ранга 2, очевидно, можно
найти некасательную к ней конику.
Остается свойство 3). Нужно доказать, что семейство {Fc}
не имеет базисных точек в Е. Для этого заметим, что для любой
точки 2L g Wj и вектора v, выходящего из 2L и представленного
прямой {С\} в W, собственный прообраз Vc содержит точку Е,
соответствующую у, тогда и только тогда, когда прямая {С^,}
имеет с Ус в 2L кратность пересечения ^3; поэтому достаточно
показать, что для любой точки 2L ^W^ ш любой прямой {Ci),
проходящей через 2Z/, но не касающейся W^ в 2L, существует такая
коника С, что
mult,^ {Vc, {Су.)) = 2.

800 Гл- 6. Квадратичный комплекс прямых
Далее, если некоторый пучок коник содержит две двойные прямые
2L и 2L', то он имеет единственную базисную точку кратности 4
л поэтому целиком состоит из особых коник. В предельном случае
л^'чок, касательный к W2 в 2L, целиком состоит из особых коник;
касательная плоскость Т^ь (W^) к W^ в точке 2L содержится
в 2-плоскости
ж, следовательно, совпадает с ней. Если {С^} — любой пучок,
проходящий через 2L, но не лежащий в касательном пространстве
Тгь е^г)' ''^ <"* может содержать лишь конечное множество
базисных точек. Выбирая конику С, не проходящую через эти базисные
точки, мы убеждаемся с помощью такого же рассуждения, как
выше, что {С),} пересекается с Fc в точке 2L с кратностью 2.
Замечание. Задача нахождения числа коник, касающихся
заданных пяти, имеет важное историческое значение как одна из
первых задач, для которой потребовалась нетривиальная теория
пересечений. Интересно посмотреть, как можно было бы решить
ее без явного привлечения абстрактных раздутий или когомоло-
гий. Одно из рассуждений таково. Пусть 1р ж Iicz W обозначают
соответственно многообразия коник, проходящих через точку р
ж касающихся прямой I; пусть 1р ж Ii — жх собственные
прообразы в раздутии W пространства W вдоль W^. Тогда легко видеть,
что в кольце когомологий W
Ip'^a ж /j ~ 2(0 — е,
так что
Vc'-'2Ip + 2Ii.
Поэтому без обращения к раздутиям или когомологиям можно
сформулировать следующее утверждение: «условие того, что
некоторая коника касается коники С, равносильно тому, что она
либо содержит одну из двух точек, либо касается одной из двух
прямых». Это видно из того, что, когда коника С вырождается
в пару прямых li + I2, многообразие Vc вырождается в
многообразие Ii^ + Ii^-\-Ii^. 1^, причем последнее слагаемое входит
с кратностью 2. (На самом деле раздутие W геометрически
строится так: пусть W* — линейная система коник в Р**, а W* а W* —
множество особых коник; возьмем в W X W* замыкание
множества
{{С, D): D = С*} с: {W ~ W^) X {W* — W*).

2. Квадратичный комплекс прямых: введение 801
Пара (С, D) из этого замыкания называлась в классической
литературе полной коникой.) Далее, произведение
п= 32 (/„+/;)«=
= 32 (7^ + bifii+10/|л+Ш1П + 57р7| + 7?)
можно вычислить при помощи элементарной геометрии:
поскольку через 5 общих точек на плоскости проходит единственная
коника, то
Подобным же образом, коники, проходящие через 4 общие точки,
высекают на общей прямой I пучок степени 2 с двумя точками
ветвления; поэтому
7^, = 2.
Далее, квадратичное преобразование плоскости Р* с центрами
в трех точках рц р^, Ps переводит сеть коник, проходящих через
Pit Pi< Pii в полную систему прямых в Р*, а общие прямые в Р* —
в коники; число коник, проходящих через р^, Рг, Ps и касающихся
двух прямых, равно числу прямых в Р*, касающихся двух коник.
Поскольку касательные к конике в Р* образуют конику в Р**,
зто число равно
7^7? =4.
Остальные три произведения /р и Ii двойственны вычисленным:
например, коника С а Р^ касается 5 прямых 1^, . . ., l^ci Р*, если
двойственная коника С* а Р** касательных прямых к С содержит
пять точек Z], . . ., is 6 Р**> откуда
7|7| = 7Й = 4, ТрЦ = цГ1 = 2, I\ = Pp = i.
Итак, решение исходной задачи с точностью до проверки условий
трансверсальности имеет вид
Vb = 32 (1 + 5-2 + 10-4 + 10-4 + 5-2 + 1) = 32-102 = 3264.
2. КВАДРАТИЧНЫЙ КОМПЛЕКС ПРЯМЫХ: ВВЕДЕНИЕ
Геометрия грассманиапа G(2, 4)
Мы начнем с обсуждения геометрии грассманиапа G (2, 4),
рассматриваемого обычно как множество прямых в Р^. Вспомним
из § 5 гл. 1, что плюккерово вложение
G(2, 4)-^Р (Л'С*) ==Р«
20-0200

802 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
задается сопоставлением 2-плоскости Л, порожденной векторалш
Ух, ^2 6 С*, прямой Vi л ^2 во внешнем произведении Д^С*. Как там
было доказано, общий мультивектор со разложим (т. е. имеет вид
^i л ^2) тогда и только тогда, когда
(О л со за 0.
Это — квадратичное соотношение; следовательно, образ G (2, 4)
при плюккеровом вложении является квадратичной
гиперповерхностью в Р^, которую мы, начиная с этого места, будем обозначать
G. Определение циклов Шуберта а^ (Zq), а^ (Ро)- ^и (Ю и
^2,1 (Ро' ^о) на G читатель найдет в предпоследнем разделе § 1;
там же вычислены их индексы пересечения.
Далее, поскольку внешнее умножение
а: Л'С* X Л'С*->Л*С* ^С
является невырожденным спариванием, каждая гиперплоскость
в Р (Д^С*) имеет вид
^(во == {со: (О А (Оо = 0}.
В частности, если coq = ^i Л ^а» то гиперплоское сечение Над П ^
квадрики G представляет собой цикл Шуберта о^ (Iq) прямых в Р^,
пересекающих прямую Iq — v^, v^, проходяш,ую через v^ и v^.
Стало быть,
Каждый цикл Шуберта а^ (Zq) ci G является гиперплоским
сечением G.
Поскольку цикл Шуберта Оад {р. К) а G имеет индекс
пересечения 1 с классом гиперплоскости Оц то
Каждый цикл Шубвртл а^-^ {р. К) а G является прямой
в Р'.
Аналогично, поскольку о^-стхд =s ol-o^ = 1, то
Каждый цикл Шубертл вида Оа (р) "^" ^i.i (^) является
2-плоскостъю в Р^.
Чтобы доказать обратные к двум последним утверждениям,
рассмотрим произвольную точку х ^G. Поскольку G а Р^ —
квадрика, то, согласно установленному выше, Тх {G) П G есть
просто множество прямых в G, проходяш;их через х. Но если
х' ^G — любая точка, соответствуюш;ая прямой 1х' 6 P^j пересе-
каюш;ейся с 1^, то а: и а:' обе принадлежат циклу Шуберта а^, i (р, h)
прямых в Р^, проходящих через точку р = 1х{] ^*' и
содержащихся в плоскости h = Ixlx'' Поскольку Oj lip, h) — прямая, отсюда
следует, что о^,! (р, К), а значит, и х' принадлежат множеству
Тх Ф) П G. Таким образом, гиперплоско(з сечение Тх (G) f] G

2. Квадратичный комплекс прямых: введение 80?
содержит цикл Шуберта о^ {l^) прямых, пересекающих 1^. Но
Gi {Ix) сам является гиперплоским сечением G, поэтому
Для всех X ^G имеем Тх (G) П G = <^i (W-
Отсюда следует, что для любых х, х' ^G
Ix n lx'¥^0<^x'eTx{G)<^ xTx'ciG.
Итак,
Любая прямая L, лежащая на грассманиане, является
циклом Шуберта Огд (р, Л).
Для любых двух точек хфх' g L пусть р = 1х [\ ^х* — точка
пересечения соответствующих прямых, а А = Z„, Z„' — плоскость,
которую они порождают; лежащая в G прямая Оад (р, Щ содержит
X -а х', а потому совпадает с L.
Наконец, чтобы убедиться в том, что
Всякая 2-плоскость V^ а Р', лежащая в G, является циклом
Шуберта о^ (р) или а^д (А),
рассуждаем следующим образом. Заметим, что для каждой точки
X ^V^ сечение касательной плоскостью Тх {G) П G содержит V^',
поэтому для любых трех не коллинеарных в У^ точек х^, х^, х^
имеем
Уг с G П Тхг (G) П Тх, (G) П Тх, (G) =
= {xeG: lxf\ 1x1^0, i = l, 2, 3}.
Но прямая XiXj лежит в У^ с: G, поэтому соответствующие прямые
^xi и Ixj должны иметь общую точку pij. Поскольку, по
предположению, Xi, х^ и Xg не принадлежат одновременно циклу Шуберта
0^2,1 (р. Л), то
1) либо pi2, Ргъ и /?1з различны, и в этом случае прямая I а Р'
пересекается с ^i, ^, и 1хз тогда и только тогда, когда I содержится
в плоскости h = /?12, P2S, Pi3 = i«i, Ixt, Ixs^
2) либо pi2 = Р23 = Pia'^ в этом случае, поскольку Zj^, kc, и Ixg
не компланарны, прямая I а Р^ пересекает Z^j, Ix, и Ix, тогда
и только тогда, когда она проходит через точку р = /jjj,
В первом случае Уг содержится в цикле Шуберта Oj^ (h)
прямых, лежащих в Л, и, следовательно, совпадает с ним; во втором
случае Уг содержится в цикле Шуберта о^ (р) прямых, проходящих
через р, и совпадает с ним.
Мы будем теперь обозначать циклы Шуберта на G просто как
о (р), о (А), о (Q и о (р, Л). В частности, цикл Шуберта L = а {р,Щ
прямых, проходящих через р и лежащих в А с: Р^, называется
2о*

804 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
^'^^.
Рис. 5. Тх (G) П G
пучком прямых. Общая точка р == [\ 1х пучка L называется его
фокусом и будет обозначаться /?i.; плоскость А= U 1^, заметае-
мая прямыми пучка, называется его плоскостью и обозначается hi,.
Заметим, что для каждой точки х ^G
и, обратно, для каждой прямой L а G
СП П Tx{G)^a{pL) Uo{hL).
Привлекательную картину соотношений между циклами Шуберта
на G мы получим, рассматривая опять множество Т^ {G) f) G. Как
мы уже видели, если Vg а Тх (G) — любая 3-плоскость, не
содержащая X, то
G(]T,{G)^ и ^,
yiVsf\G
Т. е. G П Тх (G) является конусом над гладкой квадратичной
поверхностью ^ = ^зП G (рис. 5). Далее, на Q лежат два
семейства {Li}x£pi ж {L'lii^pi прямых, причем две прямые
пересекаются тогда и только тогда, когда лежат в разных семействах.
Пусть L — произвольная прямая из первого семейства. Тогда
2-плоскость X, L, натянутая на а: и L, лежит на G и потому должна
иметь вид
о (р) для некоторого р ^1^ или о (А) для некоторого h Z2 1^.
Действительно, поскольку два цикла Шуберта о (р), о (/?')
пересекаются в единственной точке, тогда как для р ^ l„cz h циклы
Шуберта а (р) ж а (h) пересекаются по прямой, мы видим, что
2-плоскости {х, L^};^gpi, натянутые на х и на прямые одного из
семейств, должны представлять собой циклы Шуберта {о (р) }р£ ,^,

2- Кеадратичный комплекс прямых-' введение 805
тогда как плоскости {х, Lj^lp^gpi, связанные с прямыми второго
семейства, оказываются 1щклами Шуберта {о (А)}лзг • Заметим,
что поскольку касательная плоскость Ту {Q) к Q ъ любой точке
у ^Q пересекается с ^ по двум прямым (по одной из каждого
семейства), то 3-плоскость X, TyiQ) пересекается с G по циклам о (р)
и о (й); отсюда непосредственно следует, что
Oi = Ol.l + (J2-
Комплексы прямых
До сих пор выше и в § 1 настоящей главы мы занимались
различными циклами на грассманиане G (2, 4), исходя из геометрии
Р^. Классический интерес представляет обратная задача: описать
геометрию семейства прямых в Р^, высеченных из G (2, 4) а Р*
гиперповерхностями в Р^. Дадим следующее
Определение. Комплексом прямых степени d в Р^ называется
трехпараметрическое семейство прямых в Р', соответствующих
пересечению грассманжана G (2, 4) с: Р^ с гиперповерхностью
степени d ъ Р^.
Рассмотрим прежде всего линейный комплекс прямых, т. е.
комплекс прямых X = G[\ Н, заданный пересечением G с
гиперплоскостью Н а Р^. Если многообразие X особое, т. е. если Н =
= Тх (G) является касательной к G плоскостью в некоторой
точке X, то, как мы видели, комплекс X есть цикл Шуберта о (1^)
прямых в Р^, пересекающихся с l^- Теперь предположим, что X
гладкое. Тогда для каждой точки р 6 Р^ множество
Хр = а{р)ПН
прямых комплекса X, проходящих через р, либо совпадает с
о (р), либо является прямой на цикле о (р). Но множество
касательных плоскостей {Тх (G) }»ecr(p) к G в точках о (р) является
линейной системой всех гиперплоскостей, содержащих а (р), т. е»
любая гиперплоскость, содержащая о (р). касается о. Поэтому
Хр — прямая; итак.
Для любой точки р ^Р^ проходящие через нее прямые в X
образуют пучок а (р, h).
Подобным же образом Н не может содержать 2-плоскость о (А)
ни для какой плоскости А с: Р^, и потому
Для любой плоскости h а Р^ лежащие на ней прямые в X
образуют пучск о (р, h).

BOB Гл- 6. Квадратичный комплекс прямых
Вот другой ВЗГЛЯД на зто: любой элемент со из Л^*
соответствует кососимметрической квадратичной форме
Га, {V, v') = а AvAv' е Л*С* S С;
соответствующий линейный комплекс прямых X = Нш П G
определяется условием
X = {l = W: Т^ [v, v'} = 0}.
Если (О = V А v' разложим, то Яш касается Gbl = v, и'жХ =
= Ящ П ^ — цикл Шуберта о (t); но если со неразложим, то форма
Гщ невырожденна и для любой точки р = [у] 6 Р^
Хр — а {р, h),
где плоскость h а Р^ является ядром линейного фзпвкционала
T^{v, ■) на С*.
С неособым линейным комплексом X = Gf] Н связана
любопытная конструкция, называемая конфигурацией Мёбиуса: пусть
Г—любой тетраэдр в Р^ с гранями h^, h^, kg, К и вершинами
Pi — С\ ^j- Для каждого г пусть h'i — плоскость пучка Xpj =
— ^ iPi) П Н прямых ИЗ X, проходящих через pi, & p'i — фокус
пучка Xft. = о (hi) П Н прямых из X, лежащих в А^. Заметим,
во-первых, что плоскости h'i линейно независимы: если бы все эти
4 плоскости содержали точку д, то все 4 точки р^ лежали бы на
плоскости, образуемой пучком Х, прямых из X, проходящих
через q. По двойственности точки {р1} тоже линейно независимы.
Далее, заметим, что для любого i ф j прямая hi П h,- является
прямой комплекса X, лежащей на h'j и проходящей через точку/){.
Поэтому
т. е. точки {p'i} являются вершинами тетраэдра Т' с гранями
{h'i) (рис. 6). Итак,
Линейный комплекс X связывает с каждым тетраэдром Т
в Р^ двойственный тетраэдр Т*, который и вписан в Т,
и описан около Т.
Более того, тетраэдром, двойственным к Г*, является снова Т.
Мы утверждаем теперь, что и обратно, любая такая
конфигурация двух тетраэдров Г и Г', вписанных и описанных один
относительно другого, однозначно определяет гладкий линейный
комплекс прямых в Р^ Если Т имеет грани {AJ и вершины {pi},
а. Т' — грани {h'i} и вершины {р'г}, как выше, то Т' будет двои-

2- Квадратичный комплекс прямых: введение
807
D II II II
II О II п
41 (I 0 II
<) II II О
1\
ii
х;
l^
L*
Рис. 6
Рис. 7
ствен тетраэдрз'^ Т относительно комплекса X в точности тогда,
когда прямые в G
Li = а (pi, а;), i = 1, 2, 3, 4,
и L'i = а (pi hi), i = 1, 2, 3, 4,
все лежат в X. Но
Li П Ц Ф 0 для i ф j; Li f\ Ь\= 0.
Поэтому прямые {LJ, {L'l} в Р^ образуют конфигурацию,
изображенною на рис. 7, и, стало быть, все лежат в 4-плоскости,
порожденной точками L;n ^3, ЦП 4. L'^O Ьз, L'^f] Ц и L',f] L^.
Но никакая квадрика Q ~ Gf\ F3 в Р' не может содержать такую
конфигурацию прямых: если бы Q была гладкая, то прямые {Li}
и {L'i} принадлежали бы разным семействам, и тогда Li и L[
пересекались бы; если бы ранг Q был равен трем, то все прямые
на Q пересекались бы, а если бы Q была объединением двух, то все
гиперплоскости, содержащие Fg, касались бы G. Следовательно,
прямые {Li, L'i) лежат в единственной 4-плоскости. В рез5'льтате
нами доказан следующий довольно забавный результат:
Множество невырожденных кососимметрических
квадратичные форм с точностью до умножения на скаляры находится
во взаимно однозначном соответствии с множеством
тетраэдров, вписанных в и описанных около заданного тетраэдра
Т„ в Р8.
Квадратичный комплекс прямых и
ассоциированная с ним куммерова поверхность I
Мы переходим теперь к главному предмету исследования
настоящей главы: к квадратичному комплексу прямых, который
является, по определению, семейством прямых в Р', соответствзгю-

Гл. 6- Квадратичный комплекс прямых
щих гладкому пересечению X — Gf\ F грассманиана GczP^
с квадратичной гиперповерхностью /'. Как и в случае линейного
комплекса, при исследовании квадратичного комплекса прямых
наша исходная задача — разобраться с пучками прямых в X и
определить для любой точки р и плоскости А в Р' множество прямых
нашего комплекса, проходяпщх через р и содержащихся в h.
Во-первых, установим следующее утверждение.
Лемма. Никакие 2-плоскости о (р) или а (h) не лежат в
квадратичном комплексе прямых X — F [\ G.
Доказательство. Мы приведем два доказательства этого факта.
Первое — элементарное, но довольно специальное рассуждение —
проводится следующим образом. Если бы квадрики F и G
содержали общую 2-плоскость V2CZ Р*, то каждое из гауссовых
отображений
Sp-. F ->• ps* и ^G.- G -> Р5*
отображало бы Fg изоморфно на множество Ff гиперплоскостей,
содержащих Fg. Но тогда изоморфизм
имел бы неподвижную точку ^), т. е. Т^ (F) — Т^ (G) для
некоторой точки Z 6 Fj, а это противоречит предположению, что F и G
пересекаются трансверсально.
Рассуждая иначе, по теореме Лефшеца о гиперплоских
сечениях мы видим, что образующей группы
IP (X, Z) ^ Ю {G, 1) ^ Н^ (Р5, Z)
является ограничение на многообразие X класса гиперплоского
сечения со в Р^; в частности, каждая поверхность в X имеет четную
степень. Заметим, что это рассуждение применимо в общем случав
и показывает, что гладкое невырожденное полное пересечение
размерности п в Р^ не содержит линейных подпространств
размерности > п/2.
Теперь мы выведем из леммы, что для каждой точки р 6 Р'
множество
Хр = X П а (р)
прямых в комплексе X, проходяпщх через р, является коникой
в а (р). Возможны три случая.
1. F пересекается с а (р) трансверсально, т. е. Хр — гладкая
коника. Множество прямых в X, проходящих через р, является
•^) Например, по теореме Лефшеца о неподвижных точках.— Прим. ред.

2. Квадратичный комплекс прямых: введение
809
Рис. 8
Рис. 9
В ЭТОМ случае конусом с вершиной р над гладкой коникой (рис. 8).
Как мы увидим, это — общий случай.
2. F касается а (р) ъ точке, т. е. Хр состоит из двух пучков
с фокусом в р. В этом случае множество прямых в Хр
представляет собой две гиперплоскости (рис. 9).
3. F касается о (р) по прямой, т. е. Хр состоит из одной
двойной прямой. В этом случае соответствующее Хр лшожество есть
одна гиперплоскость (рис. 10).
Двойственным образом, для каждой гиперплоскости Ас: Р'
множество Xft = X П о (h) прямых в X, содержащихся в h, является
коникой; снова возможны три случая.
1'. F пересекается с о (А) трансверсально, так что Х^ а а (А) —
гладкая коника. Прямые из X, лежащие в А, образуют в этом
случае множество прямых, касающихся гладкой коники в h.
(рис. 11).
2'. F касается а (А) в единственной точке, так что Хд состоит
из двух пучков на плоскости А (рис. 12).
3'. F касается а (А) по прямой. В этом случае Хд состоит из
одного пучка в А (рис. 13).
Пусть S а Р^ — множество таких точек р ^Р^, что Хр особое,
т. е. таких, что имеет место один из указанных выше случаев 2 или
3. Тогда S называется ассоциированной куммеровой поверхностью
квадратичного комплекса прямых X; несколько иначе можно
Рис. 10
Рис. И

810 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Рис. 12 Рис. 13
представлять ее себе как множество фокусов пучков прямых
комплекса X. Обозначим через R а S множество таких точек
р ^ S, что имеет место случай 3. Назовем двойственной кумме-
ровой поверхностью S* а Р'* множество таких гиперплоскостей
h 6 Р'*7 что Xft особое, т. е. множество плоскостей в Р',
заметаемых пучками X; пусть R*cz S* — множество плоскостей h 6 Р®*,
таких, что имеет место случай 3'. Поскольку множество особых
плоских коник имеет коразмерность 1 в линейной системе всех
коник, а множество двойных прямых — коразмерность 3, можно
ожидать, что многообразия S ж R являются соответственно
поверхностью и конечным множеством точек. То, что S — действительно
поверхность, будет ясно из дальнейших вычислений; то, что R
конечно, выяснится позже.
Нашей первой задачей будет определить степень S. Приведем
следуюш;ее вычисление и доказательство.
1. Пусть l^cz Р^ — обш;ая прямая комплекса X; будем
предполагать, что она не касается S, и рассмотрим множество 1х П S.
Для каждой точки р 6 'ж П -^ прямая 1„ будет злементом одного
или обоих пучков нашего комплекса с фокусом р; иными словами,
л будет лежать на одной или на обеих прямых из Ff] <у ip)- Ясно,
что и, обратно, любой пучок прямых в X, содержащий 1х, имеет
фокус на 1^, а значит, в l^f] S. Таким образом, если мы допустим,
что обш;ая прямая 1,. не лежит на двух конфокальных пучках в X,
то точки пересечения прямой 1х с S соответствуют в точности тем
прямым L на X, которые проходят через х. Но мы видели, что
множество прямых на G (соотв. на F), проходящих через любую
точку X,— это просто пересечение Т^ (G) [] G (соотв. Т^ (Р) [] F),
так что множество прямых ъ X = F [] G, проходящих через х,
есть
Г, (Х)П Х = ГЛ^)П '''^П T^{G)f] G.
Степень Т^ (X) П X равна 4, и если мы сделаем еще одно
последнее предположение, что оно не содержит кратных компонент,
то увидим, что оно состоит из четырех прямых. Поэтому
deg5 = #(Z^n S) =4.

2. Квадратичный комплекс прямых: введение 811
Все предположения, принятые относительно общей прямой 1^
нашего комплекса, законны, но их проверку лучше оставить до
тех пор, пока мы больше узнаем о комплексе. Сейчас стоит
упомянуть об одном обстоятельстве, вытекаюш;ем из того, что S —
квартика. Поскольку Т^ (Х) П X никогда не содержит более
4 прямых, то для любой точки р ^ S — R прямая 1^, содержаш;аяся
в обоих пучках прямых на X, проходящих через р, т. е. прямая
пересечения двух гиперплоскостей, содержащих множество Хр,
может лежать не более чем на двух прямых на X вне о (р). Поэтому
1^ пересекает S не более чем в трех точках и должна касаться S.
2. Более убедительное рассуждение, в ходе которого
вычисляется степень S, таково. Во-первых, мы утверждаем, что для общей
точки X ^ G поверхность
С/ = Г^ (6?) П X с= Р«
гладкая — в этом мы вскоре убедимся. Принимая это пока на
веру, вспомним, что
Gf] T^(G) = [} oip),
так что кривые
Хр=^а{р)[] FciU
образуют на U линейную систему без базисных точек. На самом
деле мы видим, что
deg S = Hh[\ S) = #{р: Хр особое}
— это число |л особых кривых в этом пучке. Но общая кривая Хр
является гладкой коникой с эйлеровой характеристикой 2, и если
мы возьмем Ix-i не пересекающуюся с R, то особыми кривыми Хр
нашего пучка будут две различные прямые, т. е. наш пучок будет
пучком Лефп][еца. По общей формуле
X (5) = 2х (СО - « + fA
из § 2 гл. 4 имеем
X (С/) = 4 + ^1.
Но и, будучи гладким пересечением двух квадрик в Р*, биголо-
морфно плоскости Р^, раздутой в 5 точках (§ 4 гл. 4), и потому
имеет эйлерову характеристику 8.
На самом деле последнее рассуждение дает нам нечто большее:
мы впдим, что S неособая вне множества R. Действительно, пусть
д — любая точка ъ S — R. Тогда гиперплоские сечения
(ГЛС) П xUoi,)
образз'ют линейную систему на X; по теореме Бертини для общей
X ^ а (q) поверхность U^ = Т^ (G) П X гладкая вне базисного

812 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
множества Х, = а (д) П ^ линейной системы. Далее, если q^R,
то каждое Ux может быть особым лишь в особой точке Xq, но
гиперплоскости {Т^ (б)}яеа(5) — в точности те гиперплоскости
в Р*, которые содержат о (q), и общая из них не содержит
касательного пространства к X в особой точке X,. Поэтому мы
показали, что для общей в Р' прямой 1^, проходящей через точку q 6
6 5 — R, поверхность U^ гладкая. Следовательно, приведенное
рассуждение показывает, что 1^ пересекает 5 в 4 различных точках
и поэтому пересекается с S трансверсально, стало быть, оно
показывает, что q — гладкая точка S.
Заметим, что все эти три рассуждения могут быть применены
также для того, чтобы показать, что двойственная куммерова
поверхность S* гладкая вне множества R*. В первом рассуждении
заметим, что точки пересечения S* с пучком 1% а Р®* плоскостей
в Р^, содержащих прямую 1^ нашего комплекса, снова
соответствуют пучкам на X, содержапщм 1^, и, следовательно, прямым L
на X, содержащим х. Подобным же образом проходит и второе
рассуждение, которое устанавливает к тому же важную вещь:
для любой прямой 1^ а Р', не проходящей через точки Л и не
лежащей ни на какой гиперплоскости из R*, существуют два пучка
на поверхности U = Т^. (G) (] X:
{Хр = о(р) (]UUi,
и
Оба являются пучками Лефшеца, и, таким образом, количество
особых слоев в каждом пучке равно % (U) — 4. Но, тогда как
особые слои пучка {Хр} соответствуют точкам пересечения 1^ с S,
особые слои {Xfi} соответствуют точкам пересечения двойственной
прямой 1% а Р'* плоскостей, содержащих 1^., с S*. В частности,
#(1х [] S) <С 4<=>#(ZJ П S*) < 4, т. е. 1х касается S тогда и
только тогда, когда 1% касается S*. Пусть теперь р ^ S — любая
точка, h = Тр (S) — касательная плоскость в ней, и пусть р* жк* —
плоскость и точка в Р'*, двойственные соответственно крик.
Двойственные прямые {1х} к пучку прямых {1х} в Р', проходящих
через р и лежапщх в к, образуют пучок прямых в Р'*, содерн^апщх
к* и лежапщх в р*, и все они касаются S*. Каждый элемент пучка
{Z!j-5*}, который они высекают на кривой р* [] S*, является
поэтому особым, и по теореме Бертини все они особые в базисном
множестве к* пучка {1%}, т. е. h* ^ S* и р* = Th*S*. Итак,
мы видим, что
S и S* являются двойственными поверхностями,
т. е. S* — множество плоскостей, касающихся S, и наоборот.

2. Квадратичный комплекс прямых.' введение 813
Особые прямые квадратичного комплекса
прямых
Следующий шаг в нашем изучении комплекса X связан с
введением подмногообразия Е с: X, тесно связанного с куммеровой
поверхностью S.
Определение. Для любой точки х ^ X прямая 1^ называется
особой прямой комплекса X, если она принадлежит двум
конфокальным пучкам в X, иными словами, если существует такая
точка р 6 1х, что а (р) касается F ъ х.
Если р ^ S — R, то, разумеется, существует единственная
особая прямая, проходящая через р: это прямая пересечения
двух плоскостей, она содержит Хр. Если р (^ R, уо любая прямая
1^ из X, проходящая через р, особая. Обозначим через И а X
множество тех х ^ X, для которых 1^ особая.
Проверим сначала, что никакая прямая 1^ не может быть особой
более чем в одной точке, т. е. что если а (р) касается F в а;, то для
q Ф р ^ 1х цикл а (q) не может тоже касаться F ъ х. Но а (р) {\
П а (д) = {х), поэтому линейная оболочка циклов о {р) и а (д)
в Р* представляет собой все Т^ (G); таким образом, а (р) ж а (q)
не могут оба содержаться в Т^ (F) Ф Т^ (G). Следовательно, мы
можем определить отображение л: Ё ->- 5, сопоставляющее каждой
точке а; 6 2 единственную точку р 6 ^») Для которой а (р) касается
F в х. Согласно сказанному выше, л; взаимно однозначно и сюръек-
тивно над S — R, & для р 6 ^ имеем n~^ (р) = Хр ^ Р^.
Нетрудно описать множество 2, поскольку его можно
охарактеризовать следующим образом.
Лемма. Для х ^ X
а; 6 2 <:^ Тх {F) касается G.
Доказательство. Пусть Т„ (F) касается G в а;'. Тогда а; 6 Т„> (G),
и поэтому Zj. пересекается с 1„- в точке р 6 Р*. Плоскость а (р) при
этом содержится в Тх' (G) = Т^. (F), т. е. касается F ъ х; значит,
л: 6 2.
Обратно, если а (р) а Т^ {F), то квадратичное трехмерное
многообразие Тх (F) [] G содержит 2-плоскость и, согласно
приведенному выше рассуждению, должно быть особым; поэтому Тх {F)
должна касаться G. D
Это рассуждение станет яснее, если мы вспомним наше
описание множества Тх (G) (] G как конуса над квадрикой Q =i Тх {G)(]
f\ G(] Н, где Н — гиперплоскость, не содержащая х (рис. 14).
Вспомним, что 2-плоскости {о (р)}ре/ж> лежашре в Tx{G)(] G,
натянуты на а; и на прямые одного из семейств в Q, тогда как
плоскости {а ih)}hzDix натянуты на а; и на прямые другого семейства.

814
Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Рис. 14. Г, (б) П G
Далее, если Т^ (F) касается.G в некоторой точке у, то можно
выбрать у £ Н так, чтобы множество Т^ (F) [\ Т^ (G) f) G состояло
из двух 2-плоскостей а (р) и а (h), натянутых на а; и на две прямые
из пересечения ^fl ^ж (Р) (рис. 15). Теперь из 4 прямых
пересечения Т^(Х)[] X = T^(F)[] T^(G)[] G[] F две лежат в 2-пло-
скости а (р), а две — в а (А). Обратно, если Т^ (Р) нигде не
касается G, то множество Т^ (F) (] Тх (G) (] G есть конус над гладкой
коникой Г„ (F) П ^ и никакие две из прямых пересечения Тх (Х) (]
П X не лежат на одной и той же 2-плоскости а (р) — конечно, за
исключением случая, когда F касается Тх (Р) (] Q, т. е. Тх (Х) П X
содержит кратную прямую (рис. 16).
Одно из следствий, вытекающих из этого описания, состоит
в том, что пересечение Тх (Х) (] X содержит две прямые из одного
и того же а {р) тогда и только тогда, когда оно содержит две
прямые из одного и того же а (А); иными словами.
Прямая 1х нашего комплекса особая, т. е. содержится в двух
конфокальных пучках, тогда и только тлгда, когда она лежит
в двух компланарных пучках.
Теперь мы можем дать явное описание S с: X. Пусть X —
= [xq, . . ., х^\ — однородные координаты в Р^, и пусть G ж F
задаются соответственно уравнениями {Qx, ж) = О и {Q'x, х) = 0.
Тогда в двойственных координатах х* на Р^* гауссовы
отображения квадрик G ж F задаются формулами
ж* = Qx
X* = Q'x,
TAG) n G n TJF) (\F
Tx (6) n б n Tx (F), если x 6 2

2. Квадратичный комплекс прямых: введение 815
Рис. 16. Т„ (G) П б П Т„ (F), если х ^ 2
5»
Следовательно, двойственные гиперповерхности G* и F* а
касательных гиперплоскостей к G и F задаются условиями
G* = Цх*, Q-H*) =0), F* = {{х*, Q'-^x*) = 0).
Отсюда мы видим, что для х ^ F гиперплоскость Т^ {F) касается G
тогда и только тогда, когда ^р (х) £ G*, т. е. когда (Q'x, Q~4)'x) =
= {Q'Q-^Q'x, x)=Q.
Следовательно, поверхность Е с: X высекается квадратичной
гиперповерхностью
Н = HQ'Q-^Q'x, X) = 0).
Мы утверждаем теперь, что пересечение И = F (] G[] Н всюду
трансверсально. Чтобы убедиться в этом, предположим, что для
некоторого X Е F f\ G (] Н гиперплоскости Т^ (F), Тх (О) в. Т^ (Н)
линейно зависимы, т. е. что точки
^е (х) = Qx, VjT И = Q'x и Vn{x) = Q'Q-^Q'x
лежат на одной прямой в Р**. Три точки
X, х' = Q-^Q'x ж х" = (Q-'-Q'f X
тоже оказались бы в этом случае коллинеарными в Р*; поскольку
все три лежат на G, проходящая через них прямая L тоже лежала
бы на G. Однако линейное преобразование
Ml ху*- Q-^Q'x,
переводящее G ь G, переводит х и х' (различные, ибо по
предположению Qx Ф Q'x для всех х ^F ^ G) ■& L и потому сохраняет
L\ значит, L с: F П G- Преобразование М имеет на L
неподвижную точку у, т. е. Qy = Q'y для некоторого у ^L. Но, поскольку
L с: F П G, отсюда следует, что F ж G касаются в j(, и мы
получаем противоречие.
Теперь, когда мы описали Е как гладкое пересечение трех
квадрик в Р^, читатель узнает в Е КЗ-поверхность (§ 5 гл. 4);
в частности, Е имеет численные инварианты
К^ ^ О, q (Е) = О, pg (Е) = 1, с1 (2) = О, Са (Е) = 24.

«16
Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Поскольку поверхность Е
минимальная и гладкая, мы видим, что
отображение
является минимальной десингуляри-
зацией поверхности S, и, так как
прообразы я"^ (р) = Хр особых точек
р 6 5 в Е все являются гладкими
рациональными кривыми, имеющими
по формуле присоединения индексы
самопересечения —2 на Е, мы,
вспомнив обсуждение изолированных
особенностей на поверхностях,
убеждаемся, что точки R являются
обыкновенными двойными точками
поверхности S.
Остается определить число *R
двойных точек на S. Проделаем
это сначала с помощью эйлеровых
характеристик следующим образом,
пучок гиперплоскостей в Р',
точнее такой, что каждая точка р Е R лежит на единственной Hj^
и Hj^ — общая гиперплоскость из тех, что содержат р\ кроме
того, пучок {Я;, П 5} на 5 — /? должен быть пучком Лефшеца.
Пусть {С;, = я~^ {Нх)) — соответствующий пучок кривых на Е.
Общая кривая С^ изоморфна гладкой плоской квартике и имеет
поэтому род 3 и эйлерову характеристику —4; кривая С^ особая,
«ели Нх либо содержит точку р ^ R, либо касается S (рис. 17).
В первом случае имеем
Рис. 17
Пусть {Я;,} — общий
причем цля общей Н), кривая С}, является гладкой и пересекает
Хр в двух различных точках. Далее, С}, есть десингуляризация
плоской квартики Н}, (] S, имеющей одну двойную точку в р,
и потому имеет род 2. Поскольку Хр — прямая, пересекающая С},
в двух точках, то
% (С J = X (С J = -2.
Во втором случае, когда Нк касается S, С^ изоморфна плоской
квартике с одной обыкновенной двойной точкой и
X (С.) = -3.

2. Квадратичный комплекс прямых: введение 817
Итак, если v — число касающихся S гиперплоскостей пучка, то
пучок {С}^} на Е имеет в точности fx = v + **i? особых элементов.
По формуле на стр. 544 находим теперь, что
X(2) = 2(-4) + v + 2.#i?.
Но, как мы видели, двойственная куммерова поверхность S* —
это поверхность, двойственная к S, так что
V = deg S* = 4,
и, поскольку X (^) = 24, мы получаем
*Д = (24 + 8)/2 = 16.
Другой способ подсчитать количество двойных точек на S
дает исчисление Шуберта, поскольку */? — это число точек
пересечения трехмерного и шестимерного циклов
T = {a(p)}pgp8 и (Uj. = {Лз с: Р^: A^-F есть двойная прямая)
в грассманиане G (3, 6) 2-плоскостей в Р*. Мы видели, что т —
~ 4аз,2,1, где
аз,2,1 = {Л.с=Р«: АЭр, dim(F2 П A^)^!, AcFJ
для любых точек, 2-плоскости и гиперплоскости р ^VzCZ V^.
Чтобы найти
*(т-(й;.) = 4-*(аз,2. i-oj),
возьмем р, Vi и Fi общими, так что р ^ F, Fg пересекается с F
по гладкой конике С, а V^ пересекается с F по гладкой
трехмерной квадрике Q. Пусть Л 6 Wj. f] 03,2,1, т. е. Л есть 2-плоскость,
содержащая р, имеющая общую прямую с Fg, лежащая в V^
и пересекающаяся с F по прямой (рис. 18). Тогда прямая ЛП ^г
пересекает С в единственной точке и поэтому должна совпадать
с одной из двух касательных прямых Lx, L^m С ъ точке р. Пусть
Жх, Xi — точки касания Lx, L^ с С; множество прямых на ^ =
= Ffl F4, проходящих через xi,— это просто Т^^ (^) П Q- Пусть
Ui есть 2-плоскость в Т^^ (Q), содержащая р и не содержащая xi;
тогда F(] Ui — гладкая коника Ci и Т^^ (<?) П Q есть множество
прямых, проходящих через xi и пересекающихся с Cf Плоскость
Л, следовательно, должна пересекать Ui при i = 1 или 2 по одной
из двух касательных к d прямых Li^, Ь{^, проходящих через р,
т. е. Л должна быть одной из четырех 2-плоскостей Лг^, натяну-
21-0200

818
Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Рнс. 18
тых на Li и Lij. Ясно, что все четыре 2-плоскости Ац лежат
в (йуП (Тз.ад, так что
и окончательно
(Т'ОЭр-) = 16.
Заметим, что, поскольку любая прямая комплекса X лежит
в двух конфокальных пучках тогда и только тогда, когда она
лежит в двух ковшланарных пучках, мы можем определить также
отображение
я': S -^ S*,
переводящее точку а; g S в общую плоскость h ^ S* двух
ковшланарных пучков, содержащих 1^, или, эквивалентно, в
единственную плоскость h ZD Ix, для которой а (h) касается F ъ х.
Отображение я' является, в силу тех же рассуждений, десингуляризацией
S*', заметим, впрочем, что прямые {Xf^ = я'"^ (A)}ftgB*
поверхности S, лежапще над двойными точками S*, не совпадают с
прямыми Zp на 2, лежащими над двойными точками S.
В дальнейшем нам понадобится эйлерова характеристика х {S).
Чтобы вычислить ее, возьмем триангуляцию 2, продолжающую

2. Квадратичный комплекс прямых: введение 819
триангуляцию множества я"^ (R) =-- ЦХр. Тогда образы
симплексов в Е вне п"^ (В) вместе с точками р ^ R ъ качестве вершин
составляют клеточное разбиение S. Поскольку при переходе от S
к 5 мы теряем все симплексы из [} Хр и приобретаем по одной
новой вершине для каждого р, получаем
X(5) = x(2)-S (х(Хр)-1) = х(2)-16 = 8.
рев
Две конфигурации
С куммеровой поверхностью 5 с: Р® и ее десингуляривацией
Е с: Р^ связаны две классические конфигурахщи. Первая
относится к 16 двойным точкам на 5 и может быть описана
следующим образом. Пусть Ро & И — любая из двойных точек^на S,
S — результат раздутия S в р^; рассмотрим отображение г: S -^
->- Р*, полученное проектированием из ро на гиперплоскость.
Общее гиперплоское сечение С^ поверхности S, проходящее через
Pq, является плоской квартикой с одной двойной точкой в рд] ее
собственный прообраз Сд в 5 является ее десингуляризацией.
Следовательно, Ch имеет род 2, и, поскольку г реализует Си как
двулистное накрытие над ее образом L = hf\ Р\^ Р^, накрытие
г должно быть разветвлено над L ровно в 6 точках. Множество
ветвления FczP* отображения г есть поэтому плоская кривая
6-й степени без кратных компонент. С другой стороны, если h —
общая гиперплоскость, проходящая через Ро и через другую
двойную точку Pi поверхности S, то кривая Сд, имея две двойные
точки, является эллиптической, и отображение г: Сд -^ Р^,
реализующее Cft как 2-листное накрытие над Р^, может быть разветвлено
не более чем в 4 точках, отличных от г (pi). Общая прямая L а Р*,
проходящая через r{pi), следовательно, пересекает F не более чем
в 4 точках, помимо г (pj), и мы видим, что образы Рг = г (pj)
двойных точек поверхности S являются двойными точками на F.
Далее, пусть кривая F состоит из неприводимых ковшонент Ft
степеней dj. Особые точки на F бывают двух типов: либо точки
пересечения компонент Ft и Fj, либо особые точки компонент Ft.
При этом на F имеется не более чем ^didj особых точек первого
типа и, согласно результату § 2 гл. 4, не более чем 2№ — 1) X
X (di — 2)/2 второго. Но мы знаем, что 2^г = deg F = 6, и
видели, что F имеет по крайней мере 15 особых точек г (pi), i = 1, ...
21*

820 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
. . ., 15. Из цепочки неравенств
гФЗ
мы заключаем, что все dj = 1, т. е. что F состоит из 6 различных
прямых Li. Тогда F имеет в точности 15 двойных точек Li-L/, они
должны, конечно, быть образами г (pi). Отсюда следует, что
каждая прямая Li содержит ровно 5 точек г (pi) и соответственно
каждая плоскость р„, Li а Р' содержит ровно 6 двойных точек pi на
S. Наше первое наблюдение, таким образом, состоит в том, что
Через каждую двойную точку р поверхности S проходит 6
гиперплоскостей, каждая из которых содержит 6 из точек pi.
Рассмотрим подробнее одну из гиперплоскостей h = ро, L,
найденных в последнем рассунадении. Заметим прежде всего, что,
поскольку L входит в множество ветвления отображения г,
каждая прямая, проходящая в плоскости h через р^, пересекается с 5
«ще ровно в одной точке и касается в ней S. Из теоремы Бертини
следует, что h касается S в каждой точке р ^ S [\ h, поскольку
в противном случае пучок, высекаемый на Сд прямыми из h,
проходящими через р, вообще говоря, имел бы особенности вне
базисного множества р. Таким образом, Сд есть плоская коника
кратности 2 в пересечении S-h. Отсюда мы видим, что плоскость
h является двойной точкой двойственной куммеровой поверхности
S* а Р'*: ясно, что h ^ S*, и если бы h не содержалась в Л*, то
X содержала бы два пучка, лежащих в А, и через общую точку
р ^, Ch проходили бы две различные прямые комплекса. Но общая
прямая двух пучков на X, проходящих через канедую точку р 6 С'д,
как мы видели, касается S ъ р и поэтому содержится в h; если бы X
содержал секущую h, проходящую через р, то из этого следовало
бы, что X содержит пучок а (р, h) и, следовательно, весь цикл
а (А). Поэтому а priori X может содерн^ать лишь один пучок
из а (К), и поэтому h ^ R*.
Наконец, применяя те же рассуждения к двойственной
куммеровой поверхности S* а Р^*, мы видим, что каждая точка h* а
а R* лежит на 6 плоскостях р* 6 ^i или, иными словами, каждая
плоскость h в Р', соответствующая точке из R*, содержит 6 точек
Pi; в итоге мы установили следующее.
Каждая гиперплоскость h 6 R* содержит в точности шесть
из 16 двойные точек на S, и каждая двойная точка на S
лежит в точности на шести из 16 гиперплоскостей h £ R*.

2. Квадратичный комплекс прямых: введение 821
Эта конфигурация из 16 точек и 16 гиперплоскостей называется
конфигурацией (16б).
Рассмотрим теперь КЗ-поверхность 2 а Р*. Она содержит
32 прямых: 16 прямых {Хр}р^л, составляющих прообраз п~^ (R)
двойных точек из S, и 16 прямых {Х,,}^^^,^; последние можно
представлять себе либо как исключительные дивизоры десингу-
ляризации л': 2 -^ S*, либо как прообразы {я~^ (Ch)}h£R*
16 двойных гиперплоских сечений поверхности S. Прямые {Хр},
разумеется, не пересекаются, как и прямые {Хд}, и из нашего
последнего рассуждения мы видим, что каждая прямая Хр на 2
пересекается в точности с 6 прямыми {Хд}, и наоборот.
Теперь заметим, что этим исчерпываются все прямые на 2: если
L с 2 — любая прямая, а а (р. А) — соответствующий пучок, то,
по определению, каждая прямая I ^ а (р, h) прин1адлежит двум
конфокальным пучкам на X. Если общий фокус этих двух пучков
для каждой I есть р, то ясно, что а (р, h) =-- Хр, тогда как если
для общей I ^ а (р, h) общий фокус пучков, содержащих I, есть
точка дф р ^ Cft, то h не может содержать двух пучков, и потому
а (р, h) = Xft.
Займемся теперь описанием множества специальных
гиперплоских сечений 2. Для этого вернемся к картине, которая
получается из конфигурации (16б) при проектировании из точки р^ 6 R.
Как мы видели, при этой проекции 15 остальных точек R отобра-
нгались в точки пересечения 6 прямых Lj, . . ., L^a Р^; пусть
Pij = LfLj, а Pi) — точка из R, лежащая над pij. Выберем три
прямые Li, Lj и Lh и рассмотрим прямые на 2, соответствующие
точкам ро. Pi], pjh и pih Е R и гиперплоскостям hi = PoLi,
hj = PoL] и Aft = poLft 6 R*; они образуют на 2 конфигурацию,
изображенную на рис. 19. Заметим, что эти 7 прямых лен^ат в
гиперплоскости в Р*, натянутой на точки, обведенные кружочками.
Далее, в этой гиперплоскости Хр^^ и Хр.^ порождают 3-плоскость,
которая должна пересекаться с Хр.. по точке; поэтому существует
прямая L а Р^, пересекающая Хр^., Хр^^^ и Хр.^. Но, поскольку
2 а Р" высекается квадриками, прямая L, пересекающая 2 в трех
точках, должна содернгаться в 2; так как L пересекается с
прямыми вида Хр на 2, то L = Х^ для некоторой h £ R*; наконец,
ввиду того что L пересекается с Хр^., Хр^^ и Хр.^^, мы имеем h =
— PijPjkPik- Следовательно, все четыре грани тетраэдра в Р'
с вершинами Ро, рц, Pjk и Pik являются плоскостями h ^ R*.
Такой тетраэдр будем называть специальным; ему соответствует
гиперплоское сечение поверхности 2, состоящее из восьми
прямых, образующих конфигурацию рис. 19. Действительно,
поскольку имеется специальный тетраэдр, проходящий через Ро, для
каждого выбора трех прямых Li, Lj, L^ из шести {Li), каждая пря-

822
Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
О i>
i^
"Ро
"■Pij ^Пк
Рис. 19
■^Л*
-Xhi
-хн.
'^Pilpjl^
мая Хр (и аналогично каждая прямая Хд) на 2 лежит на 20
таких гиперплоскостях. Наконец, поскольку имеется 16 точек
р 6 Д, 20 специальных тетраэдров, содержащих р в качестве
вершины, и 4 вершины у каждого тетраэдра, мы видим, что имеется
ровно 80 таких гиперплоских сечений поверхности 2. Подведем
итог:
Поверхность 2 с Р* содержит 32 прямые, распадающиеся
на два семейства по 16 непересекающихся прямых; каждая
прямая пересекается с 6 элементами другого семейства.
Имеется 80 гиперплоскостей в Р^, пересекающих 2 по 8
прямым, по i из каждого семейства, образующим
конфигурацию рис. 19; каждая прямая в 2 лежит на 20 таких
гиперплоских сечениях.
Эта конфигурация из 32 прямых и 80 гиперплоскостей будет
называться конфигурацией (32ао808).
Проведенные рассмотрения проливают новый свет на
конфигурацию (16б). При описании 16 точек из R выше мы смогли
идентифицировать только 6 из 16 плоскостей в R*, а именно плоскости
hi = Ро, Li, содержапще точки Pq и {рц}]. Теперь можно описать
остальные 10: как мы видели, для каждой тройки прямых Li, Lj,
Lk плоскость hijk = PijPikPjk € ^*; мы хотим теперь
идентифицировать остальные три точки q^, q^, q^ поверхности R, лежащие на
hi]h (рис. 20). Для этого вспомним, что точки Pij, pj^, Piu, q-i, в'г
и ^3 все лежат на конической кривой, и, следовательно, то же верно

3. Прямые на квадратичном, комплексе прямых 823
Рис. 20
ДЛЯ их образов pi], pj^, Pthi 9i, Яг и вз- В частности, это означает,
что никакие три из этих точек не коллинеарны, т. е. что q^, 92
и 9з должны лежать вне прямых Li, Lj и Lj^ Однако эти 3 прямые
содержат 12 из 15 точек {ри}, следовательно, точки q^, ^2 и qs
могут быть только точками pjto, pj^n и Pin- Поэтому если мы
обозначим 16 двойных точек множества S через {ро, Ptj}, а 16 двойных
точек S* через {hi, hij^, = ^2mn}> то соотношения инцидентности
будут иметь вид
hi z=> {ро, Ри), 1 ф i,
^ijh ^ {PiJ, Pihf Pjh, Plmf Pmnf Pnl)»
Po 6^1, i = 1, . . ., 6,
PiJ € hi, hj, hijji, кф i, /.
3. ПРЯМЫЕ HA КВАДРАТИЧНОМ КОМПЛЕКСЕ ПРЯМЫХ
Многообразие прямых на квадратичном
комплексе прямых
Введем теперь основной объект нашего исследования:
многообразие Л = {L cz: Р^: L cz: X} cz: G (2, 6) прямых, лежащих
на квадратичном комплексе прямых X. Чтобы показать, что
многообразие А гладкое, начнем с того, что вычислим его класс
когомологий в 6(2, 6). Вспомнив из § 1 этой главы, что цикл
X (F) CZ G (2, 6) прямых в Р^, лежащих на квадратичной
гиперповерхности, гомологичен циклу Шуберта

824 Гл^ 6. Квадратичный комплекс прямых
МЫ убеждаемся, что многообразие А —r{F)-x(G) представляет
цикл А ^ 16 (0^2,1* 0^2,]) *) в частности, индексы пересечения А
с циклами Шуберта
в G (2, 6) вычисляются по формулам редукции:
*(Л-01, О = 16 (Ог, 1 -аг, 1 -aj, i)g(2, в) = 16 (Oj • 01)0(2, s) = 16,
*{А-а^) = 16 (02,1-02,1.02)0(2, 6, = 16 (Oi .Oi .02)0(2, 4) = 16.
Таким образом, А ~ 1604,2 + 1б0з,з.
Далее, для любой точки а ^ А можно найти такую
гиперплоскость Vi а Р^, содержащую соответствующую прямую LaCZ X
и трансверсально пересекающую X (по теореме Бертини общая
F4, содержащая La, трансверсально пересекает X — La, и мы
непосредственно убеждаемся, что У^[] X гладкое вдоль La для
общей такой 4-плоскости). Но в § 4 гл. 4 мы видели, что любое
гладкое пересечение двух квадрик в Р* содержит в точности 16
прямых, так что цикл Шуберта 0],х (Vi) а G (2, 6) пересекается
с Л в 16 различных точках, включая а. Из равенства #(-4'Oi,i) =
= 16 вытекает, что А пересекается с о^,! {V^ в каждой точке
^'^i.i (^4) О А с кратностью 1 и. следовательно, а — гладкая точка
в А.
Для каждого пучка L с X комплекса X его фокус Рх, является,
по определению, точкой куммеровой поверхности S, а его
плоскость hx, — точкой двойственной куммеровой поверхности S*;
это дает нам естественные отображения
j: А-^ S и /■': А ->• S*,
определенные формулами
/: L >-->■ рх, и /■': L >->■ Aj,.
Для р Е S — R комплекс X содержит два пучка с фокусом р, а для
р ^ R — единственный такой пучок; поэтому /" представляет А
как двулистное накрытие S, разветвленное в 16 точках из R.
Аналогично, гиперплоскость h ^ S* — R* содержит два пучка
в X, а гиперплоскость h ^ R* — только один; следовательно,
7"': А-^ S* —двулистное накрытие S*, разветвленное над R*.
Пусть
i: А-^А
— инволюция А, переставляющая листы накрытия /: А-^ S\ она
переводит каждый пучок L с X в единственный другой пучок,
конфокальный с L; пусть

3- Прямые на квадратичном комплексе прямых 825-
— другая ИНВОЛЮЦИЯ, переставляющая листы /': А -^ S*; она
переводит L с Z в другой пзгчок на X, компланарный с L.
Теперь мы можем описать А инвариантным образом.
Во-первых, из реализации А как двулистного накрытия S,
разветвленного в 16 точках из R, выводим, что
X (А) = 2% (5) - 16 = 2-8 - 16 = 0.
Мы видели, что К^ = 0; пусть со — голоморфная ненулевая
2-форма на Е. Пусть л;"^ (со) — соответствующая 2-форма на
S — R ^ I, — [j Хр. Тогда /*n"^ (со) — голоморфная ненулевая
рек
2-форма на ^ — j R, которая по теореме Хартогса продолжается
до глобальной ненулевой голоморфной 2-формы на А; поэтому
По формуле Римана — Роха
X (0л) = {с1 + с2)/12 = О,
так что q (А) = 2, и из классификационной теоремы § 5 гл. 4
получаем, что
А — абелево многообразие.
Тут же проясняется смысл инволюций i и i'. Пусть Zj, z^ —
евклидовы координаты в С*. Рассмотрим на А голоморфные 1-фор-
мы dzj^, dZi', формы (Dj = dZf + I* dzt инвариантны относительно-
I*, и поэтому
(x>i = j*(Oi
для некоторых голоморфных 1-форм (Oj, ш^ на S — R. Далее,,
{n*(Dj},=x_ .2 — ограниченные голоморфные 1-формы на S —
— и Хр*, по теореме Римана они продолжаются на все Е, и по-
р£К
скольку Е односвязно, то (О,-^ 0. Поэтому I* dzi——dzi, т. е.
I — стандартная инволюция на абелевом многообразии А = С*/Л,
индуцированная отображением (z^, Zg) *-»- (—z^, —z^) на С*; в
точности то же рассуждение показывает, что инволюция i' тоже
индуцирована инволюцией z н-»- — z на С*, но с другой базисной
точкой.
Кривые па многообразии прямых
Теперь мы собираемся рассмотреть кривые на абелевом
многообразии А. Для начала напомним, что цикл Шуберта ах на
G (2, 6) задается посредством

826 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
И ЧТО Oi является гиперплоским сечением G (2, 6) при плюккеро-
вом отображении G (2, 6) -> Р (ДЧ)*). Для любой 3-плоскости
Fj с Р* положим
Dy =ЛП ai(F3) = {LcX: Lp УзФ0}с^А.
Индекс самопересечения Dy на А определяется при помощи
следующих вычислений:
(Z)vZ)v)a = (-4-ai-ai)G(2, в) = (^-(0^1, i + of2))G(2, в) = 16 +16 = 32.
Мы утверждаем теперь, что для общей 3-плоскости V кривая
Dy CZ А гладкая. Заметим, что это не следует непосредственно
из теоремы Бертини: дивизоры {Z)v}rcp6 все линейно
эквивалентны, но не образуют линейной системы. Действительно, полная
линейная система | а^ | гиперплоских сечений грассманиана
<г (2, 6) с Р(ДЧ)®) находится в естественном соответствии с
проективным пространством Р (Д*С*)* = Р (Д*С*), и отображение
G (4, 6) -> Р (Д*Св), V, >^ ог (Fs) 6 I а^ |
есть просто плюккерово отображение дуального грассманиана
G (4, 6) 3-плоскостей в Р*. Однако, поскольку цикл Шуберта
02.2.2.1 (^2, V0 = {Fa с Р*: F^ с Fa с F4}
в G (4, 6) при двойственном ппюккеровом отображении имеет
степень
(0^2.2.2,1 ■ 0^1)0(4, в) = 11
то семейство {Оу}по ^ ^(Vi, Г4) дивизоров на А является на самом
деле пучком. Но, как мы видели, через общую точку х ^ X
проходят 4 прямые, составляющие множество X f) Г^ {X). Пусть F^ —
общая 2-плоскость, пересекающая X в 4 различных таких
точках, и пусть F4 — общая гиперплоскость, содержащая Fg, но
не содержащая никакой прямой на X, пересекающейся с Fj;
рассмотрим на Л П3Г40К {Оу}у: YiCZYczYf По теореме Бертини общий
элемент этого пучка гладкий вне базисного множества. Но
базисное множество этого пучка состоит иэ 16 прямых на X,
проходящих через 4 точки Fj П X, и 16 прямых, лежащих на
гиперплоском сечении F4 П X многообразия X — всего 32 различные
прямые. Следовательно, все базисные точки нашего пучка
простые и являются гладкими точками на каждой кривой Dy нашего
пучка. Поэтому общий дивизор Dy гладкий. Заметим, что род
гладкой кривой Dy вычисляется по формуле

3. Прямые па квадратичном комплексе прямых 827
Второе семейство кривых на А, более важное, чем кривые Dy,
состоит из дивизоров инцидентности Bj^cz. А, являющихся,
но определению, множествами прямых на X, пересекающих
данную прямую L. Точнее, поскольку а priori неясно, включать ли
L в кривые, пересекающие L, определим Bj^ как замыкание в А
множества прямых L' ^А — {L), пересекающих L; по теореме
Леви Bi^ — аналитическое множество, и ниже мы увидим, при
каких условиях Lq 6 Bj^. Кривые {Bi^}lza. образуют
непрерывное связное семейство и потому все представляют один и тот же
класс гомологии на А. Поскольку нам известны 3-плоскости
Fg а Р', пересекающие X по четырем прямым Ь^, Ь^, Lg, L4,
например Т^ (X), мы видим отсюда, что
Поэтому
16
B^.Bi,=:-^Dy.Dy=2
и, следовательно, виртуальный род равен
Заметим также, что поскольку дивизор Dy положителен, то
и jBj, тоже положителен.
Теперь мы утверждаем, что для любой прямой L cz X кривая
Bj^ а А гладкая. Чтобы убедиться в этом, эаметим, что если две
прямые L я L' в X пересекаются, т. е. соответствующие пучки
имеют общую прямую I, то фокус рх,- второго пучка должен
лежать на прямой I и, следовательно, на плоскости А^, первого
пучка. Отображение
лереводат каждую прямую L с X в фокус р^, и, следовательно,
отображает кривую В^
/: Bi^-^hi^f] S
на гиперплоское сечение hj^f\ S поверхности S; ясно, что / |в^
в общей точке взаимно однозначно. По двойственности между S
и S* плоскость Ai, касается S, так что для общей прямой L
кривая Ci, = Ai, П S является плоской квартикой с одной
обыкновенной двойной точкой. Далее, по формуле для рода имеем
g iBj) = ё (Сь) = 2,
так что кривая В^ гладкая. (Заметим, что из равенства п {Bj) =2
а priori вытекает, что род g (Сх) — g {Bi) меньше или равен 2;
это дает другое доказательство того, что /ii, касается S, т. е. что
S ш S* двойственны.)

828 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Далее, поскольку Вх, — положительный дивизор на Л, по
теореме Лефшеца отображение включения на целочисленных гомо-
логиях
сюръективно. Но, поскольку род кривой В^ равен 2,
Нг (Bl, 1) ^ HiiA,!.) ^Ъ @Ъ @1 @I;
поэтому ядро i^ имеет ранг нуль; так как Hi (5j,, I) не имеет
крзгчения, отсюда следует, что отображение г^ является
изоморфизмом. Подобным же образом по теореме Лефшеца отображение
ограничения
Я^« (А) -^ Я^« (Bl)
является изоморфизмом, и поэтому
А ^ (Я^« (А))*/Нг (А, 1) = (Я^« {Bj))*IHi {BJ1) = ^г (SJ,
т. е.
Абелево многообразие А является якобианом кривой В^.
Заметим, что, поскольку аналитический представитель В^ класса
когомологий [Bi,] ^ IP (А, 1) единствен с точностью до сдвигов,
все кривые В^ а А получаются одна из другой сдвигами. Поэтому
все кривые Bj^ гладкие ж А = 'f (Я^.) для всех L ^ А.
Чтобы установить связь между различными кривыми Bi, на А,
выберем одну из 16 прямых в /'"^ (Я*), а именно Lo, и возьмем
Lo за нуль в А. Поскольку ясно, что
i'(L)6 5i, для Ьф1'(1),
то по непрерывности Lq 6 5i,„, так что можно взять Lq в качестве
базисной точки на кривой 5i,„. Далее, как мы видели в § 6 гл. 2,
тета-дивиэор абелева многообразия с главной поляризацией
не переходит в себя ни при каких сдвигах, кроме тождественного.
Поэтому можно определить отображение
х: А ->• А,
положив для каждого L
Bb = Bt, + k{L);
нашей первой задачей будет вычислить к. Это несложно:
поскольку X (0) = О, то, согласно результату § 6 гл. 2, х есть групповой
гомоморфизм. Мы имеем i' (L) g Я^. = Bj_^ +. х (L) для любого L;
следовательно, х (L) + L ^ — Я^,, = В^^ для любого L. Но
отображение L >-* у. {L) + /^о есть снова групповой голгоморфизм,

3. Прямые на квадратичном комплексе прямых 829
И поскольку Sx,„ + 5х,„ = А, то отсюда следует, что к (L) + L
постоянно, т. е. у. (L) = —L, или, иными словами,
Bl = Bi^^ — L для всех L.
Теперь можно заняться линейными расслоениями /*Я и /'*Я,
ассоциированными с отображениями / и j'. Сначала заметим, что
для любой гиперплоскости /г g Р' прообраз /*А ъ А — это просто
множество пзгчков L ^ А с фокусами, лежащими на гиперплоском
сечении h[\ S поверхности S. В частности, если вэять h^S*,
так что h будет содержать два пзгчка L и i' (L) из X, то j*L будет
состоять иэ множества пучков, имеющих общую прямую либо
с L, либо с i' (L), т. е.
rh=Bb\jBciL)
(во избежание двусмысленности мы будем пока пользоваться
символом и для обозначения сложения дивизоров). Аналогично для
каждой точки р ^ S прообраз /'* (р*) двойственной
гиперплоскости р* с Р®*, состоящей из гиперплоскостей, содержащих р,
состоит из пзгчков, плоскости которых содержат р, т. е. из пучков,
имеющих общую прямую с каким-либо из пучков L' или i (L')
с фокусом р. Таким образом,
Теперь в общем слзт[ае для любых двух прямых L и L' я любого
элемента к ^ А дивизоры
Si, и Bj^' и (Вг. + Ц и (Si.' - Ц
линейно эквивалентны: отображение
^->i=Pic«(^),
определенное сопоставлением
>^ ^ [(Si, + Ц {] (Вь- - Ц] - Шь и Bj^'],
переводит точки X. и У = L — L' — X. в одну и ту же точку;
поскольку это групповой гомоморфизм, то отсюда следует, что он
постоянен. Поэтому
rh = Sb и 5i'(L) = (Bl, -L)[j {Ви + L) = 2Ви
и для некоторого \у,^А
ГН = Sb и S,4L) = {Ви -L)\} {Bl, + L + ii) = 2Ви +11^,
т. е. линейные расслоения j*H' и 1'*Н различаются сдвигом.
Поскольку по теореме на стр. 343
fe«(2SO = ^"{2SL. + -|ji)=4,

830 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
МЫ видим, что и 7, и у заданы полными линейными системами.
Отсюда следует, что
Куммеровы поверхности S и S* проективно изоморфны.
Вместе с тем фактом, что S* а Р®* — многообразие,
двойственное к 5 с Р®, это доказывает, что
Куммерова поверхность S самодвойственна.
Две конфигурации: второй подход
Рассмотрим куммерову поверхность 5 с Р® и ее десингуляри-
зацию Е (= Р^ как образы абелева многообразия А; мы можем
с новой точки зрения взглянуть на две конфигурации, связанные
с этими многообразиями. Мы будем представлять себе А как
якобиан кривой В ~ Вх^я зададим В уравнением
{=0
где Pi = (Я{, 0) — точки Вейерштрасса кривой В.
Гиперэллиптический ряд на В содержит дивизоры 2pi, поэтому точки
Jii = (Pi - Ро) 6 Pic" (В) =А, i = О, . . ., 5,
являются точками порядка 2 на Л, как и точки
М-и =(Pt + Pi — 2po)eA, 1 < i < 7 < 5.
Поскольку гиперэллиптический ряд на В единствен, никакие
две различные пары Pi -\- Pj я Ph -г Pi линейно не эквивалентны,
так что все точки ^j, yiij различны; поэтому ими исчерпываются
16 точек второго порядка на А. Легко выписать групповой закон
на точках ^ii^: ясно, что
V-1 + V-s = \4i^
и, поскольку дивизором мероморфвой функции / (ж, y) = y/{x—Kf))^
5
на В является (/)= S Pi — Spoi мы видим, что
14 + [^}к ^ (jJt + Ps + Рк — Зро) ~'
~ {—Pi — Рт + 2ро) 1Чт = M-im
для различных i, /, к, I, т л
^li^ + M-fti '^ (Pi + Р] + Ph + Pi — ^Ро) ~'
~' (—Рт + Ро) М-т = Цт'

3. Прямые на квадратичном комплексе прямых 831
Заметим, что стандартный тета-дививор
е= {{р- РоУ- рев}с^А
содержит 6 точек второго порядка {ni}; при этом его сдвиги
в| = в + Hi = {(р + Pi - 2ро)}
содержат 6 точек Цо = 0, |Х| и {^li^}^фo,il *
©« = © + 14) = {{Р + Pt + Р) — Зро)}
содержат 6 точек Ц1, Ц}, iiij и {iiim}i,m4=iJ- Обратно, каждая из
точек второго порядка ц^, ^ii^ лежит ровно на 6 дивизорах Oi, Qtj:
Hi 6 0. 0| и ви при ]фО, i
и
[I'D 6 0i, 0j, вi^ и вй1 при fe, 1ф1, и
Далее, как мы внаем, отображение j: А ->• S из А на куммеро-
ву поверхность 5 <= Р' задается некоторым сдвигом | 2в + Я |
линейной системы | 2в | на А. Поскольку | 26 + Я | выдерживает
инволюцию н *"*■ — M-i оставляющую неподвижными 16 точек Ht,
liij, должно выполняться равенство Я = 0. В частности, дивизоры
2в|, 2вi^ все являются элементами линейной системы 126 |.
Будучи инвариантными относительно инволюции ц ь-* —ii, они
двулистно отображаются на гиперплоские сечения поверхности
S, состоящие из двойных коник. Каждый из дивизоров 6^, Otj
содержит ровно 6 точек второго порядка на А; следовательно,
каждое из соответствующих гиперплоских сечений поверхности S
пройдет ровно через 6 двойных точек на S, и каждая двойная
точка на S будет содержаться ровно в шести из этих
гиперплоскостей; перед нами конфигурация (16в).
Теперь рассмотрим отображение р из Л на КЗ-поверхность
Е CZ Р*. Это отображение задается, как может проверить
читатель, линейным рядом кривых из линейной системы | 46 |,
проходящих через 16 точек второго порядка на А, или, говоря
точнее, линейной системой | 4я*6 — 2-®« I на раздутии А точек
второго порядка из А. Это отображение двулистно, с ветвлением
в 16 исключительных дивизорах Ei раздутия.
Найдем прежде всего 32 прямые на И. Шестнадцать очевидны:
это образы 16 исключительных дивизоров Et, каждый из которых
имеет индекс пересечения 1 с системой | n*46 — 2^« I и взаимно
однозначно отображается на прямую в Р'. Остальные
16представляют собой образы в Р' собственных прообразов тета-диви-
зоров 6{, 6i^ на А. Каждый из них имеет индекс пересечения S
с л;*46, и, поскольку он пересекается с 6 из исключительных
дивизоров Ei, имеет индекс пересечения 2 с n*46 — 2-^i- Так как

«32
Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
©, ■—<
©, —.
©3 "
®13
^23
®45
©4 —
®,4 —
®24
®Э5
®Э4
®25 —
©15
1—1
1—1
1—
—1
1—
—1
—<
1—
»—1
>—
—i
1—1
1—
—1
—1
1—
»—
—1
>—1
1—1
1—
—(
—1
1—
—(
1—
1—
1—
1—1
1—1
1—
—1
—1
1—
1—
—1
1—
—1
—1
1^
1—
—1
1—
—i
—н
•
1
—1
1
1
1 1
(
1
1
1
1
(
1
1 1
1
—
1
1
1
4 1
11—
(• : 11
II (>—
•—
1
>—1
1
i
1
1 1
1 1
1
«
<
1
1
1
1
—II
—<|
,,—
1) II—1)
II II 11
II —HI 1|-_
, ^1—II—II—
F ^^, h Ип Иг И,зУ-2г Р4В На Нм MzaHjs Мз4 Hjb Pis Ms
Рис. 21
каждый из них выдерживает инволюцию, оставляющую
неподвижными точки второго порядка, то они отображаются двулистно
на прямые в Р'.
Далее, по тем же соображениям, что и выше, для любых к^^,
Яа, Х.З и Х.4 6 -4 дивизор
{@ + К) и (в + К) и (в + ^s) и (в + М
лежит в линейной системе | 46 | тогда и только тогда, когда
^Ki = 0. В частности, система | 46 | содержит 80 дивизоров
/с<5).
au = 0Ue.-U0;U0i;
f>Uk = ^jk + fii = ©г и ©г/ и Qik и Qim
Yiy=6j;U©feU©iU0m
6.-/ = Yj; + ti/ = ©iU©MUe^U©m
ej/ft = Vim+t^fe=0 и Qii и Qtk и ejk
Каждый из этих дивизоров содержит все 16 точек второго
порядка, причем четыре из них с кратностью 3: например, 3 ком-
(Ki</<5),
(Ki<5;l</
(lCi</<5),
(l<i<5, l</<5),
(l<i</<A:<5).

3. Прямые на квадратичном комплексе прямых 833
поненты ац проходят через каждый из Цо, \ii, ц; и [lu, а 3
компоненты yi) проходят через каждый из ц^;, цгт^ Ц^т и Hf,;
остальные дивизоры f>i}k, ^li и е,;ь являются сдвпгалш этих двух типов.
Соответствующие элементы линейного ряда | п*4в —V Et \ няА
состоят, следовательно, из 4 кривых вг, 0;; и 4 исключительных
дивизоров Ei, взятых с кратностью 2, а соответствующие
гиперплоские сечения поверхности 2 с: Р^ состоят из 8 пряюлх,
образующих конфигурацию рис. 19. Они и составляют 32 прямые
и 80 гиперплоскостей конфигурации (322о808) на 2.
Соотношения инцидентности между 16 тета-дивизорами во, Qt,
в,-; и 16 точками Цв, (ij, (ij/ (т. е. между точками и плоскостянш
конфигурации (16б) или между 32 прямыми на 2) изображены
на рис. 21.
Групповой закон
Дадим теперь абстрактное описание кривых 5^; оно позволит
нами понять природу В^ (и, следовательно, А = f (В^)), и
описать геометрически групповой закон на многообразии А прямых
в X.
Сначала рассмотрим не только квадрики F и G в Р', но и весь
пучок {Fx}, порожденный F т G, т. е. пучок всех квадрик в Р*^,
содержащих X.
Определим отображение я: 5^ -^ Р^ следующим образом: для
любой прямой L' с: X, пересекающейся с L, пусть А. = L, L' есть
2-плоскость, натянутая на L и L'. Тогда в п^'чке {F;^} имеется
единственная квадрика i^x(L'), содержащая 2-плоскость х\. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим любую точку^ q 6 Л, лежащую вне L
и L' (рис. 22). Точка q содержится в некоторой квадрике FxiL')^
которая содержит L, L' и q л потому пересекается по трем точкам
с любой прямой L" в Л, проходящей через q, а значит, содержит
L". Стало быть, Fx(l') содержит Л. Ясно, что F^^^') единственна;
если бы Л лежала на двух квадриках пз^чка F^, то она содержалась
бы в X, но X, как мы видели, не содержит 2-плоскостей. Поэтому
можно определить отображение п. переводя любую прямую
L' еВь в X{L').
Пусть теперь F^ — любая квадрика нашего пл^чка;
рассмотрим прообраз п~^ (X.). Если Л — любая 2-плоскость в F,^,
содержащая L, то пересечение Л с X, т. е. пересечение Л с любым
другим элементом F^ пучка, состоит из L и еще одной прямой
L'; следовательно, прообраз п~^ (К) соответствует 2-плоскостям
в F}^, содержащим L. Имеются две возможности. Прежде всего
пусть квадрика F^, гладкая; тогда, как мы видели, множество
2-плоскостей на F;^ распадается на две связные трехмерные компо-
22-0200

834 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Рис. 22
ненты. Далее, пусть р в L с: F}^ — любая точка на L; пересечение
Тр {Fx)f] Рк является конусом над гладкой квадратичной
поверхностью Fj^, высеченной из F,^ любой 3-плоскостью в Тр (Fj),
не проходящей через р, и все 2-плоскости на F^, проходящие через
точку р, порождаются прямыми на F^ и точкой р. Поскольку
на Fj, имеются две прямые, содержащие точку Lf] F^, то на Fx
найдутся две 2-плоскости, содержащие L, по одной из каждого
семейства.
Пусть теперь квадрика F^ особая. Так как пересечение X =
= Fj, П Рц гладкое, множество особых точек F^ лежит вне F^;
отсюда, в частности, следует, что это множество состоит из
единственной точки q и что F^ представляет собой конус с вершиной q
над гладкой квадрикой Fj, в Р* с: Р^. В этом случае 2-плоскости
на F^ образуют одно неприводимое трехмерное семейство: а
именно, 2-плоскости, натянутые на g и на прямые в F^; при этом 2-пло-
скость q, L будет, очевидно, единственной 2-плоскостью в F^,
содержащей L.
Итак, мы видим, что отображение п: Bj^-^P^ представляет
Bl как двулистное накрытие Р^, разветвленное в точках Р^,
соответствующих особым квадрикам пучка {F^}; действительно, все
кривые Bl могут быть естественно отождествлены с абстрактной
кривой В неприводимых семейств 2-плоскостей в квадриках пучка
Пусть исходная пара квадрик GviF эадана в явном виде двумя
симметричными квадратичными формами Q и Q'. Мы можем,
конечно, считать, что Q представлена единичной матрицей, а Q'^

3. Прямые на квадратичном комплексе прямых 835
согласно стандартному факту из линейной алгебры,—
диагональной матрицей, т. е. можем положить
5
Особыми элементами пучка F^--={^ {%,—%,^Х\ = ()) являются
i=0
6 квадрик Fi„, ..., F%,^. Отображение п разветвлено в 6 точках.
X.J,, ..., Ji,5, и, следовательно.
Многообразие А прямых на квадратичном комплексе
прямых X, заданном как пересечение двух квадрик G = (^Xl =^
= 0) и F = (2^1-^? = 0)' является якобианом кривой,
представленной как двулистное накрытие Р^, разветвленное:
в 6 точках Х.^, . . ., К^.
Как было обещано, мы можем теперь геометрически описать
групповой закон на Л. В основе этой конструкции лежат два
обстоятельства. Во-первых, сумма на А четырех прямые,
составляющих пересечение X с Ъ-плоскостъю F, постоянна. Дело в том,
что если F-X = Lj + Z/2 + Z/3 + -£'41 то, согласно рассужденин>
на стр. 829,
= {Bl,-Li) и (Ви,-La) U (5^.-L^) U (Bl.-L,) =
Поскольку все дивизоры Dy линейно эквивалентны и никакой^
сдвиг на А не оставляет В^,^ неподвижным, отсюда следует, что
сумма Lj + L2 + ^3 + ^4 не зависит от У. Выберем в качестве
начала на А такую прямую Lq, что 4Lo ~ Dy', тогда сумма любых
4 прямых на X, лежащих на 3-плоскости, равна нулю на А.
Во-вторых, следует идентифицировать изоморфизм
tu-L- Bl^-*-Bl
кривых Bl^ и Bl, задаваемый сдвигом на А. Для этого
рассмотрим множество всех изоморфизмов
поскольку Bl имеет лишь конечное число автоморфизмов,
множество {фь}ь есть неразветвленное накрытие многообразия А,
в котором изоморфизмы {fLo-b} образуют слой. Но для каждого
L можно определить изоморфизм фз.- Blq ->- В^ с помощью
естественного отождествления Blq и Bl с введенной вытпе абстрактной
кривой В. Поскольку фх.д = ifl = id, отсюда следует, что фг =
= *Lo-L для всех L. ■
22»

836 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Рис. 23
Пусть теперь заданы прямые Lj и Ь^ на X, и мы хотим найти
в Л их сумму Li + Ь^.
Первый шаг состоит в том, чтобы представить L^ как сумму
двух точек на кривой Б^^. Это легко: Ь^ и L^ вместе порождают
3-плоскость F в Р', которая пересекает X по Lo, Li и еще по двум
дополнительным прямым М^ и Mg, пересекающимся с Lq и Li",
пмеем
Li = —Ml - Mj
в А (рис. 23). На втором шаге сдвигаем точки Afj, М^ 6 ^ на L^.
Это делается путем отождествления кривых Bj^ и S^j с
абстрактной кривой В следующим образом: каждая из прямых М-^ и М^
определяет вместе с Lo в пучке, натянутом на F и G, единственную
квадрику Fi,j и неприводимое семейство 2-плоскостей в Рц. В этом
семействе 2-плоскостей найдется единственный элемент Aj,
содержащий Lj. Если мы обозначим М[ единственную оставшуюся
прямую в пересечении Aj с X, то, как мы видели.
М\ = Mi — L
2»
Наконец, прямые Ь^, М[ и М'^ порождают 3-плоскость V с: Р',
которая пересекает X по Lj, М^, М'^ и по четвертой прямой L^.
В итоге получаем на А
Ьз = -M't - Л/; - Lj = -М, -М^ + L^ = Li + W,
вто и есть групповой закон.

4. Квадратичный комплекс прямых: повторение 837
4. КВАДРАТИЧНЫЙ КОМПЛЕКС ПРЯМЫХ: ПОВТОРЕНИЕ
Квадратичный комплекс прямых и
ассоциированная с ним куммерова
поверхность II
Вернемся теперь к геометрии кодшлекса X прямых в Р'.
Исходным для нас будет теперь вопрос: какие прямые нашего комплекса
касаются куммеровой поверхности S? Чтобы ответить на незч),
возвратимся к нашему первоагу вычислению степени куммеровой
поверхности.
Пусть 1х, X ^ X,— любая прямая комплекса. Тогда для любой
точки р ^ 1х[] S пересечения прямой 1^ с поверхностью S прямая
1х является элементом либо одного из пучков прямых комплекса,
проходяш,их через р, либо обоих, т. е. точка х ^ X лежит либо
на одной из прямых ъ Хр = а (р) [] F, либо на обеих; обратно,
для любой прямой L CZ. X, содержащей х, фокус pi^
соответствующего пучка прямых в Р' должен, по определению, лежать на 1х П S.
Далее, степень >шожества
Г, (Х)П Х = Г, (G)n G[\ TAF)[\ F
прямых на X, проходяпщх через точку х, равна 4. Мы
заключили, что если 1^ не содержится в паре конфокальных пучков
и Тх{Х) П -Х^ не содержит кратных коьшонент, то 1^ пересекает S
в четырех различных точках. Поскольку мы знаем, что степень S
равна 4, мы можем теперь обратить наше рассуждение и получить
следующую характеризацию:
Для любой точки х ^ X прямая Zj; касается S тлгда и
только тогда, когда
1) либо 1х является особой прямой, т. е. содержится в двух
конфокальных пучках;
2) либо пересечение Т^ {X) [\ X содержит кратную
компоненту.
Мы уже видели, что лшожество 2 с X особых прямых
является гладким пересечением многообразия X с квадратичной
гиперповерхностью в Р'; займемся теперь изучением второй
возможности. Здесь мы встречаемся с неожиданным явлением:
пересечение Тх (Х) с X оказывается не трансверсальным (т. е. не состоя-
пщм из четырех прямых) всюду вдоль прямой Lc^ X, если
пересечение
Г, (X) П Ту (X) = Т^ (F) П Ту (F) П Г, (G) П Ту (G)

■838 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
двумерно для всех у ^L. Но семейство гиперплоскостей {Тх {F)}^^^
образует пз^чок, как и семейство {Т^ (G)}xei.; поэтому для любых
хф х' ^L имеем
Г, (^) n 7'х'(Л = [\Т^{¥).
Это говорит о том, что пересечение
Т,{Х)[\Ту{Х)= []Т,{Х)
двумерно для какой-нибудь пары различных точек х, у ^ L тогда
и только тогда, когда оно двз'мерно для всех пар х, у ^ L; иными
словами, прямая L является кратной компонентой пересечения
Тх {X) П X для некоторой точки х ^ L тогда и только тогда, когда
это свойство выполняется для всех х ^ L. и тогда и только тогда,
когда множество П 7'^ (X) содержит 2-плоскость. В этом случае
хеь
все прямые {1х}хеь соответствующего пучка касаются S; таким
образом, мы видим, что
Прямая Zj. комплекса X, не являющаяся особой, касается S
тогда и только тогда, когда она содержится в пучке
прямых из X, каждая из которых касается S.
Заметим, что если L а X — любой пучок прямых, каждая
шз которых касается S, то по теореме Бертини все они должны
жасаться в фокусе р^ этого пучка, т. е. плоскость hj^ пучка должна
'быть касательной плоскостью к S в р^. В связи с этим дадим
следующее
Определение. Прямая L cz X называется специальной, если
выполнено одно из трех эквивалентных условий:
1) dim(n Тх{Х)) = 2;
xiL
2) множество Т^ {Х)[\ X прямых в X, проходящих через
общую точку X ^ L, состоит меньше чем из 4 прямых;
3) /ii, = Tpj^ (S). т. е. все прямые {1х}хеь касаются S в рх,.
Пусть D с^ А — множество специальных прямых в Z, а Л =
= и L а X — жх объединение. Имеем
А = {х ^ X: Тх {X) П X содержит меньше 4 прямых},
{х 6 X: 1х касается 5} = Е {} ^.

4. Квадратичный комплекс прямых: повторение 839
Чтобы найти степень Д, вычислим еще раз род кривой
Dy = {Lc=X:L[] 7з#0}сЛ.
Заметим, что общая Fg cz Р° пересекается с X по кривой Е а Fa,
которая является гладким пересечением двух квадрик в Fs^P^.
По формуле присоединения Е — эллиптическая кривая. Так как Е
не содержит прямых, то любая прямая L с Z, пересекающаяся
с Е, пересекает Е в единственной точке, поэтому определено
отображение
т: Z) = {Lc= А': Ln Vs¥=0)-^E= FgR X,
представляющее D в виде четырехлистного разветвленного
накрытая Е. Далее, Ке = 0 и, как мы видели, общая кривая Dy
является гладкой, поэтому deg К^ = 32; значит, отображение т
разветвлено в 32 точках. Но множество ветвления отображения т
в Е есть просто множество точек х ^ Е, через которые проходит
меньше 4 прямых; поэтому
(iegA = *(A-^3)p6 = 32.
«V
Подобным же образом это рассуждение дает ЩОу-В)^ — 32,
откуда
*(5г-5)л=|-*(^>г-5)л = 8
и аналогично ^{A-L)^ — 8.
Теперь мы з'же в состоянии объяснить, как ведет себя общий
пучок L комплекса X по отношению к кз'ммеровой поверхности S.
Допустим, что ни L, ни компланарный с ним пучок L' = i' (L)
не специальны, и положим
^Ь — ^V — плоскость пучка {^а:}а:б1.>
Рг,-! Vv — фокусы пл'чков L и L',
Сь = К П S.
Пусть 7 \^ji Bi^ -^ Cl — отображение, переводящее прямую
М CZ. Х, пересекающую L, в фокус р^^ соответствующего пучка,
и Y- Bj^-^L — продолжение с 5г, — {L} на Bj^ отображения,
переводящего прямую М Ф L ^ В^ в ее точку пересечения с L.
Заметим, что у представляется в виде композиции отображения
j \в^ и отображения проектирования С^ из точки р^,.
Заметим прежде всего, что пучок {1х}хеь содержит 10 прямых,
касающихся S: две особые прямые, соответствуюпще точкам
пересечения Lc2 = Х[] Н, я S неособых касательных,
соответствующих 8 точкам пересечения L с Л (на самом деле только 8
из них, а именно 8 неособых соответствуют настоящим точкам
ветвления отображения у: Bj^ ->- L). Две особые прямые пучка L

840 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Рис. 24
обнаруживаются сразу: во-первых, общая прямая пучка L и его
конфокального пучка i (L), т. е. прямая, касающаяся Ci, b/Jj,.
Во-вторых, мы видели, что прямая 1^ комплекса содержится
в двух конфокальных пучках тогда и только тогда, когда она
содержится в двух компланарных пучках, так что прямая р^Рь'^
лежащая и в L, и в компланарном с ним пучке L', является второй
особой прямой пучка L (рис. 24). В частности, мы видим, что
прямая PlPl' пересекает S еще ровно в одной точке q, кроме
Рь и Рь'-
Теперь мы в состоянии найти особую точку q 6 ^i,. Ясно, что
прямые Рх,, д' и Pi,', q' обе касаются S; мы утверждаем, что на
самом деле
Pl, q =Pl', q ,
т. е. q = q' является особой точкой Cj,. Это ясно: если бы р^,, q
и Pi,', q' были различными и неособылш, то они обязаны были бы
содержаться в одном и том же специальном пучке, который мог бы
быть только пучком прямых, проходящих через q' в h^. Но L
я L' — единственные пучки из X, лежащие в Л^. С другой
стороны, через точку q' ^ R в S проходит единственная особая прямая
ив X, так что pl, q' = р-ц', q. Таким образом, вообще, если Ь 6
6 5* — любая гиперплоскость, л L, L' — два пучка иэ X в h,
то h касается S в фокусе двух конфокальных пучков на X,
содержащих особую прямую pi^, Pi^'.
Двойственным образом для любой точки р ^ S л любых двух
хгучков L и L' = I (L) в X, конфокальных в р,
Касательная плоскость к S в точке р высекается двумя
компланарными пучками в X, содержащими особую прямую

4. КваВратичный комплекс прямых: повторение 841
Отметим, в частности, что отображение /: В^-^ Ci, взаимно
однозначно в PL и что 7 (i (L)) = Pi,. Отсюда следует, что В^ — {ЬУ
замкнуто, и поэтому L ^ В^ Для неспециальной прямой L. Это,
наконец, дает нам возможность описать дивизор D с^ А
специальных прямых на X. Пусть
Тогда
D' = {L: L^Bu-L) = {L: 2Le5U = <5^.,
где m^: A-*- A — отображение умножения на два. В частности^-
'^ф'.Ви)==ЧВи-Ви) = ^.
Далее, поскольку никакая неспециальная прямая L не входиг
в D', то D' с^ D, 1. е. D — D' — эффективный дивизор на Л. Но>
мы видели, что ф-В^) = 8, и поэтому
(0 - D')-Bi) = 0.
Поскольку jBi, положителен, я D — D' эффективен, имеем
D — D' =0.
В результате получаем следующее утверждение.
Прямая L cz. X специальна тогда и только тогда, когдср
L ^ Bl', дивизор D CZ. А специальных прямых является
прообразом m^Bz,, дивизора Bj^^ при умножении на два..
]Рациональность квадратичного комплекса
прямых
Рассмотрим теперь квадратичный комплекс прямых X =
= F (] G как абстрактное многообразие. В частности, рассмотрим;
для любой прямой L с X рациональное отображение
/i,: X-L-^P\
являющееся проектированием из L на какую-нибудь допо.1ни-
тельную 3-плоскость Vs cz Р'. Прежде всего мы утверждаем^
что /j является бирационалъным изоморфизмом между X и Р^.-
Чтобы убедиться в этом, заметим просто, что если какая-нибудь
2-плоскость V2 CZ Р' содержит две точки рФ q па. X вне L, то>
прямая рд должна пересекать X по крайней мере в 3 точках: р, q
и точке пересечения pq[\ L — л потому должна лежать целиком:

842
Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
Рис. 25
ш X (рис. 25). Поэтомз' отображение /х. взаимно однозначно вне
•объединения прямых из X, пересекающихся с L; этого достаточно,
•чтобы увидеть, что /i, бирационально.
Однако более внимательное рассмотрение /х. говорит нам про
X гораздо больше. Для начала заметим, что если п: Х^^ ->- X—
раздутие X вдоль ЬъР = л~^ (L) сг Х^ — исключительный
дивизор этого раздутия, то /i, продолжается до голоморфного
отображения
/i.: Xi, -^ Р»,
которое переводит точку (р, ц) g i^, соответствующую
нормальному вектору т] к L в р, в точку пересечения V^ с любой 2-плоско-
■стью, натянутой на L и на любую прямую, проходящз'^ю через р
ж представляющую вектор г\. Поскольку ц является, по
определению, касательным вектором к X ъ р по модз'^лю касательных
векторов к L в р, то определение корректно.
Пусть теперь Е^аР^ — образ при /х. \гаожества U L' пря-
^1,'евх.
мых в X, пересекающих L, а ^ с Р* — образ f^ (F)
исключительного дивизора на Х^. Кривая Е^ естественно изоморфна
fix.» и ее степень можно вычислить следующим образом. Для
любой гиперплоскости Fj с: Vg точки пересечения Fg П -^ь
соответствуют прямым в X, пересекающимся с L и лежащим на гипер-
■рлоскости L, Fa <= Р^. Но для общей Fj гиперплоское сечение
L, Fg П X является гладким пересечением двух квадрик в 4-мер-
яом пространстве, причем, как мы видел и, каждая из 16 прямых
;на этой поверхности пересекается в точности с 5 другими. Поэто-
-тиу Ех^ — пространственная кривая степени 5. С другой стороны,
образ Q дивизора F, очевидно, является квадратичной поверхно-

4. Квадратичный комплекс пряных: повторение
843
Рис. 26
Рис. 27
стью; на самом деле он представляет собой пересечение V^
с квадратичной гиперповерхностью
и Г,
(X).
Отображение /х. лучше всего понять, рассмотрев различные
случаи. Для любой точки г ^ Vg обозначим через V^ (г) 2-пло-
скость, порожденнз'^ю г и L. Положим
G- Fj (г) = L + Li, F- Vo, (г) = L + Lo,.
Имеется несколько возможностей.
1. В общем случае L, Ь^ и L^ попарно различны и Lj
пересекается с L2 в точке р ^ X вне L (рис. 26). Тогда Fj (г) не касается
X нигде в L, поэтому /£^ (г) = {р}.
2. В случае когда Li, Lj и L снова различны, но имеют общую
точку р ^ L, т. е. Fa (г) П -Х = Z/, Fg (г) касается Л' как раз в
точке р (рис. 27). Следовательно, точка г является образом точки
г (р) ^ F исключительного дивизора на Xl, отвечающей
нормальному вектору к L с: Z в точке р, лежащему в V2 (г).
3. В случае L^ = L Ф L^, или в аналогичном слз'чае L^, =
■^ L =Ф= Li, как и в последнем случае, Fg (г) касается X в точке р
пересечения L с L^ (соотв. L^ (рис. 28). Следовательно, в г
переходят нормальные векторы к I, си X в р, лежащие в V^ (г).
4. Если Lx = ЬоФ L, то ясно, что г — образ собственного
прообраза в Xj^ прямой Li = Lj си Z (рис. 29).

844
Гл- 6- Квадратичный комплекс прямых
L^l,
Рис. 28
Рис. 29
5. Последняя возможность: Li = L^ = L. Это может
произойти лишь тогда, когда L — специальная прямая и
В этом случае Уз (г) содержит нормальный вектор к L с: X в
каждой точке L и отображение /i, переводит кривую, состоящую и»
этих нормальных векторов, в точку г.
Предположим теперь, что прямая проектирования L не
специальная. Тогда, согласно сказанному выше, отображение /l.
взаимно однозначно вне собственных прообразов в Х^ прямых
на X, пересекающих L, и переводит каждый из этих прообразов,
в соответствующую точкз' Ех^, т. е.
является раздутием кривой пятой степени в Р®. Можно выявить
одно из семейств прямых на квадрике Q = fb (Р)' прежде всего
для каждой X ^ L образ при /^ множества л'^ (х) а Xj, есть
прямая Fg П 7'ж (Х)^ лежащая на Q. Заметим, что, поскольку прямая-
L неспециальная, при х Ф х' 6 L пространства Тх (Х) и Г^' {ХУ
пересекаются только по L, так что соответствующие прямые
/j, (п~^г) и /l {п~^х') не пересекаются; поэтому Q является
гладкой квадрикой. Можно указать также две прямые другого
семейства: в каждой точке р ^ L один нормальный к L си Z вектор^
лежит в 3-плоскости П Тх (G)i и образы точек F а Х^, соот-
хеь
ветствующих этим нормальным векторам, составляют в Q прямую
{ [] Тх (G)) П Vs', аналогично, пересечение Fg с П Т^ {F) будет
■. X&L хеь
лрямой второго семейства в Q. Заметим, что прямые первого семей-

4. Квадратичный комплекс прямых; повторение 845
■ства — СЛОИ раздутия п: Xj, -*■ X — пересекают Ех, по 3 раза
каждая, тогда как прямые второго семейства пересекают El
дважды.
В случае когда L — специальная прямая в X, ситуация не-
ч;колько иная. Здесь прямые {f^ (п'^х) = V^ П ^ж {Х)}хеь
имеют на квадрике Q общую точку р — V^Cl f\ Т^ {X), соответт
^;твующ5'^ю 2-плоскости, которая дасается X всюду вдоль L.
Поэтому Q особая; она является конусом над коникой с вершиной
jp. Вне прообраза /£' (р), как и прежде, /^ взаимно однозначно вне
множества прямых на X, пересекающихся с L, и, как мы завидим
Jяижe, вершина р конуса Q лежит в замыкании El образа этого
Л1Ножества. Поэтому /i,: Zj, -> Р® — это снова раздутие кривой
JEl- (Вспомнив, что специальная прямая La X должна считаться
прямой, пересекающей L, можно представлять себе прямую
УЬ* (р)т состоящую из точек, соответствующих нормальным
векторам к L с: Z в П Тх (X), как «собственный прообраз самой
X» в раздутии Xl многообразия X.)
Р1так, в обоих случаях мы убедились в том, что бирациональное
отображение Jl- X -> Р® состоит из раздутия прямой L а X,
а затем.стягивания собственных прообразов в Xl прямых,
пересекающихся с L. Взглянув на это в обратном порядке,
убеждаемся, -что квадратичный комплекс прямых X получается раздутием
■в Р® кривой пятой степени El с: Р®, а вслед за тем стягиванием
■в кривую собственного прообраза содержащей ее квадрики Q
{точнее, множества собственные прообразов семейства трихорд El)-
Здесь воюикает следующий вопрос: как устроено расслоение
гиперплоскости на кривой El^ Мы видели, что любая прямая
L ^ А квадратичного комплекса прямых определяет вложение
El с: Р^ кривой В. В соответствии с этим можно определить
отображение
р: А =^ f (В)-^ f (В),
сопоставляя каждой прямой L ^ А класс расслоения
гиперплоскости ва В ^ El ^^ Р®; теперь мы хотим описать отображение р.
Рассуждаем следующим образом. Во-первых, линейная система
любого дивизора D ъа В степени 5 определяет вложение 5 в Р'
как кривой пятой степени £д (§ 1 гл. 2). Во-вторых, поскольку
по формуле Римана — Роха
Л» (2£>) = 10 — 2 -Ь 1 = 9,

846 Гл- 6. Квадратичный комплекс прямых
а векторное пространство Я" (Р®, 0 (2Я)) квадрик в Р® имеет
размерность 10, отображение ограничения
IP (Р», 0 (2Я)) -> Я" (5, 0 (2Z)))
должно иметь ядро, т. е. Е ^ должна лежать на квадрике Q в Р*.
Поскольку Ев — невырожденная кривая степени 5, то, более
того, квадрика Q однозначно определена кривой Е jy.
Предположим сначала, что Q — особая квадрика, т. е. Q
представляет собой конус рС над гладкой коникой С Тогда Q
содержит единственное семейство прямых {Ьд = pg}qec'^
поскольку любые две из этих прямых заключают в себе гиперплоское
сечение Q, отсюда следует, что Ei, содержит вершину j9 конуса
Q и что любая прямая Lg а: Q пересекает Ег, в двух точках,
помимо р. Но дивизоры Dg = Ьд-Ец — р образуют линейнуЮ'
систему степени 2, и, значит, D д — это стандартный
гиперэллиптический дивизор Dq на В. Поэтому дивизор D = Н-Ео на Е
имеет вид D = 2Z)o + р.
Обратно, пусть D имеет вид 2D^ -\- р при некотором р ^С.
Тогда дивизоры
все являются гиперплоскими сечениями кривой ЕцСиР^^
и поэтому р должна быть коллинеарна с точками Dq. Прямые
^х = [P-Ox}bj^~b , содержащие три точки из Ев^ должны лежать
на квадрике Q: отсюда следует, что Q = [} ^х есть особая квадрика
с особой точкой р.
Мы убедились в том, что среди всех дивизоров степени 5 на i?
дивизоры, для которых Ed = ^D (В) лежит на особой квадрике,
те и только те, которые имеют вид 2Dq + р. Но множество таких
дивизоров есть сдвиг тета-дивизора в на f- (В). Однако, согласна
сказанному выше, прообраз р*в множества таких прямых L ^ А-,
что El лежит на особой квадрике, есть дивизор D а А ^ '^ (В),
т. е. с точностью до сдвига
р*в = 0 = т*в.
Отсюда следует, по крайней мере в случае, когда В не имеет
автоморфизмов, кроме гиперэллиптической инволюции, что с
точностью до сдвига отображение р — это просто умножение на два.
Одно из соображений, на которое наводят наши рассмотрения,
таково: поскольку р сюръективно, квадратичный комплекс
прямых X определяется кривой В. Действительно, у нас в
распоряжении явный рецепт восстановления X по В: надо сначала
вложить 5 в Р* (как кривую пятой степени; как мы видели, неважно,
какой дивизор использовать для такого вложения), а затем раз-

4. Квадратичный комплекс прямых: повторение 847'
дуть Р' ВДОЛЬ кривой Е 2) ш стянуть в кривую семейство
собственных прообразов в Рдд трихорд Е о- (Заметим, что если D ж D' —
линейно неэквивалентные дивизоры степени 5 на В, то Рвд,
вообще говоря, не изоморфно Pi^,,; они станут изоморфнылш лишь
после стягивания трихорд Е в ^ Е о- соответственно.) В частности,
поскольку сама кривая В определяется абелевым многообразием.
А, то
Квадратичный комплекс прямых X с точностью до
изоморфизма определяется абстрактным многообразием А
лежащих на нем прямые.
Заметим, наконец, что предыдущие рассмотрения дают нам:
возможность получить другую характеризацию специальных
прямых на X. Для любой прямой L а X имеем С°°-разложение
векторных расслоений на L:
Т (Р») 11, = Nx/pb I^ ф Nl/x ФТ{Ь).
Далее,
ci (Г (?=>)) к =-6,
с, {Nx,pb I ^) = с, {Nir/рь I ^) + с, {Ne/pb I ^) = 2 -f 2 = 4,
и, разумеется, Cj {Т {L)) = 2; отсюда
Поэтому, согласно нашей классификации (§ 3 гл. 4) векторных:
расслоений на Р^,
Nl,x = H'^®H-'^, к>0,
где Н — расслоение гиперплоскости на L ^ Р^. Если прямая L
специальная, то, как мы видели, Р (Nl/x) = Р^ X Р^, и отсюда,
следует, что и = О, т. е. нормальное к L расслоение на X
тривиально. С другой стороны, если L специальная, то Р (Ni^/x)
представляет собой линейчатую поверхность Sq^ = Р {Н^ ® Я™*-),,
поэтому
Nb,x==HeH-K
Итак, специальные прямы£ La Х — это в точности /гее прямые
в X, нормальное расслоение которых в X имеет вид Н Ф Н~^;
неспециальные прямые — в точности те, нормальное расслоение-
которых тривиально.
Если мы привлече к рассмотрению промежуточный якобиан.
/ (Х) = Я^ (Z, lR)/iy {X, Z), определенный на стр. 357, то боль-

S48 Гл. 6. Квадратичный комплекс прямых
<шая часть результатов этой главы может быть сфорвлулирована
«следующим образом.
Промежуточный якобиан J {X) вместе с главной
поляризацией, определенной формой пересечения на IP {X, Z), биго-
ломорфно эквивалентен поверхности А прямых на X с
поляризацией, задаваемой графиком инцидентности В.
Вообще, если X — трансверсальное пересечение двз^х гладких
тквадрик в р^+1, то множество А подпространств Р"~^,
содержащихся в X, имеет структуру абелева многообразия, которое может
'быть отождествлено со средним промежуточньш якобианом
многообразия X; доказательство можно найти в работе: R. Donagi,
-Group law on the intersection of two quadrics.— Ann. Scuola Norm.
Super. Pisa, ser. 4, 7. № 2 (1980), 217-239. Абелево многообразие
•с главной поляризацией определяет многообразие X, так что
имеет место теорема Торёлли, т. е. структура Ходжа
многообразия X определяет X.
Особенностью случая и = 2 является кз'ммерова поверхность,
•определяемая факторизацией А по инволюции zi-»-_z, которую
мы геометрически отождествили с поверхностью в Р*, определен-
дой тем условием, что коника Хр прямых квадратичного комплек-
•«а, проходящих через р, особая. Куммерова поверхность S
однозначно определяет А и, следовательно, X: если мы разрешим
'Особенности S и получим КЗ-поверхность S с дивизором Е =
16
= 2 Ei, лежащим над множеством двойных точек в S, то класс
г=1
дивизора Е ъ Н^ {8,1) четный, так что можно построить
двулистное накрытие л: А -^ S, разветвленное вдоль Е. Кривые d =
= л~^ (Cf) рациональны и Cf = —1; их стягивание дает абелеву
поверхность А.
-ЛИТЕРАТУРА
Квадратичный комплекс прямых и ассоциироваянаш с ним куммерова
поверхность были подробно изучены в предыдущем столетии; классическим
:источником является статья:
Т. Klein, Zur Theorie der Linencomplexe der ersten imd zweiten Grades.—
Math. Ann., 2 (1870), 198-226.
Oh снова привлек внимание в связи с модулями стабильных векторных
-расслоений; здесь мы отсылаем к работе:
М. S. Narasimhan and S. Ramanan, Moduli of vector bundles on a compact
Riemann surface.—.4 nn. Math. 89 (1969), 14—51.
В ней доказано, что куммерова поверхность, ассоциированная с квадра-
"Тичным линейным комплексом, получается из якобиана гиперэллиптической
жривой, определенной пучком квадрик.

Литература 849
Наконец, имеется интересн81Я работа, содержащая общие результаты
о трехмерных многообразиях и их промежуточных якобианах:
А. Н. Тюрин, Пять лекций о трехмерных многообразиях.— УМН, 27, № 5
(1972), 3—50.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ РЕДАКТОРОМ ПЕРЕВОДА
A. Н. Тюрин, Средний якобиан трехмерных многообразий. — Современны*
проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1979, т. 12, с. 5—57.
B. А. Псковских, Антнкаяонические модели трехмерных алгебраических
многообразий. — Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1979,
т. 12, с. 59-157.
В. А. Псковских, Бирациональныв автоморфиаыы трехмерных ашгебраи-
ческих многообразий. — Там же, с. 159 — 236.
S. Mori, Threefolds whose canonical bundles are not numerically
effective.-Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 77 (1980), 3125—3126.
S. Mori, S. Mukai, Classification of Fano 3-folds with B, > 2. - il/anus.
Math., 36 (1981), 147—162.
E. Viehweg, Klassifikationstheorie algebraischer Varietaten der Dimension
drei. — Compos. Math. 41 (1980), 361—400.
28-0200

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель (Abel N. Н.) 248
Акидзуки (Akizuki Y.) 169
Андреотти (Andreotti А.) 234
Атья (Atiyah М. F.) 481, 494, 777
Блох (Bloch S.) 446
Бомбьери (Bombieri Е.) 687
Воине (Bonnet О.) 292
Вотт (Bott R.) 494
Кемпф (Kempf G.) 376, 378
Клейман (Kleiman S.) 37
Клейн (Klein F.) 848
Кодаира (Kodaira К.) 140, 142, 602»
605
Кон (Kohn J.) 141
Конфорто (Conforto F.) 687
Корнальба (Comalba М.) 690
Кулидж (Coolidge J. L.) 390
Кэрелл (Carrell J.) 752, 756
Вейль A. (Weil A.) 265
Вейль Г. (Weyl H.) 390
Ганнинг (Gmining R.) 140, 777
Гаусс (Gauss С F.) 292
Гивекер (Gieseker D.) 446
Годеман (Godement R.) 140, 494
Гриффите (Griffiths Ph.) 286
Гротендик (Grothendieck A.) 481, 777
Делинь (Deligne P.) 493, 494
Де Рам (De Rham J.) 141, 494
Донага (Donagi R.) 848
Ласков (Laskov D.) 378
Лелон (belong P.) 494
Лефшец (Lefschetz S.) 141, 174, 343,
687
Либерман (Liebermann D.) 752, 75&
Люрот (Liiroth J.) 578
Макдональд (MacDonald I. G.) 777
Мамфорд (Mumford D.) 390, 690
Мори (Mori S.) 849
Moppoy (Morrow J.) 140
Мукаи (Mukai S.) 849
Зарисский (Zariski O.) 687
Зигель (Siegel С L.) 390
Накано (Nakano S.) 169
Нарасимхан (Narasimhan M. S.) 140,
848
Нётер (Noether M.) 746
Исковских В. A. 849
Ока (Oka К.) 738
Кастельиуово (Castelnuovo G.) 275,
285, 565, 570
Петри (Petri W.) 572
Пикар (Picard B.) 488

Именной указатель
851
Раманан (Ramanan S.) 848
Реммерт (Remmert R.) 423
Риман (Riemann В.) 640
Росси (Rossi Н.) 140, 777
Севери (Severi F.) 488
Сент-Донат (Saint-Donat В.) 572
Серр (Serre J.-Р.) 187, 635
Спенсер (Spencer D. С.) 142
Сью (Siu У. Т.) 419
Хартсхорн (Hartshorne R.) 546, 752,
777
Хёрмандер (Hormander L.) 140, 407
Хжронака (Hironaka Н.) 480, 66»
Хирцебрух (Hirzebruch F.) 140
Ходж (Hodge W.) 481
Хьюзмоллер (Husemoller D.) 867
Чжэнь (Chem S. S.) 444, 456, 494
Чизини (Chisini О.) 390
Тюрин А. Н. 849
Уорнер (Warner F.) 141
Уэллс (Wells R.) 140
Фивег (Viehweg Е.) 849
Шварц Л. (Schwartz L.) 408
Шварценбергер (Schwarzenberger
R. L. Е.) 770
Шокуров В. В. 572
Штейн (Stein К.) 423
Штольценберг (Stolzenberg G.) 140-
Харви (Harvey R.) 777
Харрис (Harris J.) 286
Эйлер (Euler L.) 714
Эяриквес (Enriques F.) 390, 572, 578^
687
28*

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелево Л1ногообразие 350
Абелевы интегралы 247
— суммы 248
Абеля теорема 233, 255
обращение 250, 256
— — окончательная форма 258
— — слабая форма 249
Алгебраически вквивашентные
дивизоры 488—489
Алгебраическое многообразие
(algebraic variety) 142, 182
Альванезе лшогообразие 357, 590
— отображение 590
Аналитическая гиперповерхность 23,
144
— функция 13
Аналитический класс гомологии 178
Анешитическое множество (analytic
variety) 23
— подмножество (subvariety) 32, 182
Антиголоморфное кокасательное
расслоение 85
Арифметический род многообразия
529
Ассоциированная градуированная
группа когомологнй 466
— кривая 288
— куммерова поверхность 809
— связность 87
— (1,1)-форма эрмитовой метрики 40
Ассоциированное проективное
расслоение 550
Ассоциированный градуированный
комплекс 466, 469
Аффинная форма многочлена 182
Аффинное алгебраическое
многообразие 481
Ацикличное покрытие 59
Базисное множество линейной
системы (base locus) 152
Безу теорема 189, 712
Бертини теорема 152, 573
Бетти числа 119, 130
Бирациональное отображение 261,
528, 530
— — поверхностен 545
Бирационашьно изоморфные
многообразия 528
Бирационаипьные иншарианты 529
Ботта формула 392, 455
Бохнера — Мартинелли формула
399, 411
ядро 410, 453, 696
Брилля — Нётера проблема 234,
285, 286, 323
Бьянки тождество 434
Вешентность соответствия (valence)
309, 311
Вейерштрасса многочлен 19
— теорема о делении 22
— — подготовительная 19
— теоремы 11, 18
— точка 298—300, 302
— функция 262
Вейля гомоморфизм 434
Вейнценбёка формула 110, 112
Векторное расслоение 80
Веронезе вложение 715
— отображение 196
— поверхность 196
Весовые пространства 132
Вещественный поток 412
Виртингера теорема 43
Виртуальный род 503, 535
Внешняя геометрия кривых 287
Вторая фундаментальная форма 92
Второе билинейное соотношение Ри-
мана 254
Вычет 396, 482, 688, 691, 758, 761

Предметный указатель
853
Гармоническая форма 96, 167
— функция 403
Гармоническое прострешство 96
Гаусса — Бонне формула 438, 439,
441, 444
— кривизна 91
— лемма 20
— отображение 387, 531, 780
Геометрический вариант формулы
Римана — Роха 272
— род многообразия 529
Гессиан 173
Гильберта теорема о сизигиях 689
Гиперкогомология 473
Гиперэллиптическая инволюция 279
— поверхность 623
— риманова поверхность 271
— точка Вейерштрасса 299
Гладкая алгебраическая кривая
(smooth algebraic curve) 236
— точка (smooth point) 32
Глещкое (неособое) аналитическое
подмножество 32
— распределение 400
Глобальная сизигия 748
— Соболевская s-норма сечения 106
— теорема двойственности 751
Глобешьное сечение расслоения Н^
181
Глобальные расширения 768
Годо поверхность 611
Голоморфная система координат 26
— тривиализация 83
— форма 36
— функция 12, 16, 26
— эйлерова характеристика 270
Голоморфное векторное расслоение
83, 85
— линейное расслоение 147
— отображение 26
— сечение 84
Голоморфные пучки 54
Голоморфный репер 84
Гомологии колшлекса 723
Гомоморфизм комплексов 724
Гординза неравенство 107, 112, 407
Горизонтальный срез (horizontal
slice) 425
Грассманиан 212
График соответствия 308
Грина оператор 109, 110
Группа монодромии 493
Двойной комплекс 469
Двойственная кривая 289
— куммерова поверхность 810
Двойственное абелево
многообразие 340
— клеточное разбиение 67
— проективное пространство 27
— расслоение 81
Дельта-функция 105, 394
Де Рама группа когомологип 35
— изоморфизм 156
— комплекс 470
— теорема 57, 474
алгебраическая 481
Десингуляризация 533, 541
Детерминант расслоения 81
Джамбелли формула 225
Дивизор 144
— ветвления (branch locus) 238
— — (ramification divisor) 710
— инцидентности 827
— мероморфной функции 145
— нулей 145
— особенностей 293
— полюсов 145
Дирихле норма 107
— скешярное произведение 107
Дискриминант 710
Дифференциал второго рода 253, 481
— первого рода 137, 253, 481
— третьего рода 253
Дифференциальные формы 391
Длинная точная
последовательность 466
Дольбо группа когомологий 37
— — — расслоения 165
— класс 451
— отмеченный представитель 696
— подход 47
— теорема 58, 475
9-лапласиан 96
5-оператор 165
Евклидова метрика 42
Естественно ориентированное
пространство 30
Закон взаимности (reciprocity law)
253, 265
Звезда 55
Двойная кривая 652
— точка кривой 237
— — поверхности 657
Ивасавы многообразие 470
Избыточность (superabundance) 756

S54
Предметный указатель
Изогения (isogeny) 356
Изоморфизм расслоения 82
— *442
Инвариантная fc-лииейная форма 430
Инвариантный однородный
многочлен 429
Индекс ветвления (ramification
index) 238, 289
— многообразия 139
— отображения в точке 448
— пересечения 63, 64, 419, 502
— поля в точке 450
Мндзщированная риманова метрика
40
Жонеды спаривание 751
Иррациональная линейчатая
поверхность (irrational ruled
surface) 591
Иррегулярность 529
Иррегулярный специальный
дивизор 270
Исключительный дивизор первого
рода 510
раздутия 201, 505, 642, 644
Каноническая кривая 233, 271
Канонический базис 250
— выбор связности 86
Каноническое отображение
поверхности 271
— расслоение 160
Картана структурное уравнение 89
Касательная 3-секущая 317
Касательное пространство 12, 28,
191, 192
— Соответствие 308
Каспидешьная точка поверхности(или
шшч) (cuspidal, or flat, or
pinch point) 658
Ластельнуово — де Франчиса
теорема 592
— кривые 564, 568
— лемма 568
— неравенство 233
— Энриквеса критерий
стягиваемости 509.
— — — — усиление 551
— — теорема 573
Квадратичное преобразование 532
Квадратичный комплекс прямых
(quadric line complex) 807
Квазиизоморфизм 473
Классификация поверхностей 629
Класс кривой 304
Клиффорда теорема 275
Когерентные пучки 199, 739
Когомологии когерентных пучков
743
— комплекса 466, 723
— раздутия 644
Когомологическая интерпретещия
гомоморфизма 149
— — линейных расслоений 147
Когомологические пучки 472
Кограница 51, 466
Кограничнып оператор 51
Кодаиры — Накано теорема об
обращении в нуль 169
— размерность (Kodaira number) 611
— Серра двойственность 115, 116,
167
— теорема 207
о вложении 198, 210, 233
— — об обращении в нуль 113, 142,
143, 170
— тождество 113
Компактная риманова поверхность
236
Компактный носитель 411
Комплекс 465, 723
— голоморфных форм 475
— прямых 805
— пучков 409, 472
Комплексн81Я группа Ли 350
Комплексное касательное
расслоение 84
— кокасательное расслоение 85
— многообразие 26
— подмногообразие 32
— проективное пространство 27
Комплексный тор 27, 326
Конечные циклы 136
Конормальное расслоение 85, 160
Конус 189
Конфигурация (16б) 821
— (32j„ 808) 822
Корепер (эрмитовой метрики) 40
Коши интегральная формула 13
— ядро 397
Кошуля комплекс 689, 730
Коцепь пучка 51
Коцикл 466
Коядро отображения пучков 49
Кратноканоническое кольцо (pluri-
canonical ring) 612
Кратность голоморфного
отображения в начале координат 709
— пересечения 77, 79, 705, 706, 711
— подмножества 32, 35
Кратные роды многообразия (плю-
рироды) 529
Кратный слой 602
Кремоны преобразование 531, 533

Предметный указатель
855
Кривая на поверхности 503
Критическая точка функции 173
Критическое значение функции 173
Кручение 91
— метрики 457
Кузена проблемы 60
Кулшерова поверхность 809, 810,
830, 837
Кусочно гладкая р-церь 56
Кэлера условие 120
Кэлерова метрика 91, 120
Кэлерово многообразие 122
Кэли — Бахараша свойство 715
теорема 713
— — — обращение 714
— Брилля формула 312
Кэрелла — Либер.чана теорема 689,
752
Кюнетта формула 72, 116, 117
КЗ-поверхность 621, 629—633
Лагранжа интерполяционн81Я
формула 713
Лапласа уравненне 96
Лапласиан 96
Леей теорема о продолжении 423
Лелопа число 416, 418
Лемма о регулярности 107
Лере примитивный щгчок 493
— спектр8шьн81Я
последовательность 490
— теорема 52
Лефшеца пучок (liefschetz pencil) 544
— разложение 129, 131, 133, 135
— теорема 143
— — о гиперплоском сечении 171,
173
об (1,1)-классах 178
— — сильная (hard Lefschetz
theorem) 135, 139
— теоремы 175
— формула для числа неподвижных
точек 447
— — — — — — голоморфн81Я 392,
454, 696, 697
— число 449
— — голоморфное 452
Ли rpyima комплексная 350
Линейная оболочка 27
— система дивизоров 151, 152
Линейное подпространство 27
— расслоение 80
— — ассоциированное с дивизором
_^148
Линейно независимые точки 27
Линейный комплекс прямых (linear
line complex) 805
Линейчатые поверхности 549, 591,
596, 612
Лихнеровича лемма 755
Логарифмический комплекс
(log-комплекс) 476, 477
Логарифмическое преобразование
605
Локальная конечность 144
— кратность пересечения 705, 711
— теорема о двойственности 701, 735
Локальное кольцо 719
— уравнение 144
Локально свободный пучок 740
Локальные уравнения дивизора 146
Локальный индекс пересечения 63,
64
Люрота теорема 578
Матрица кривизны 89
— — связности 428—429
— периодов 250, 330
— связности 86, 428
Мёбиуса конфигурация 806
Мероморфная функция 48, 183
Мероморфное отображение 524
— сечение 150
Метрическа1Я связность 87
Миш[мальна1Я десингуляризация
поверхности 662
Минимальные поверхности 590
Миттаг-Леффлера задача 46, 51,
170
Многообразие хорд 190
— — поверхности Веронезе 197
Множество ветвления (branch locus)
710
— вырождения (degeneracy set) 439
Морса теория 173
— функция 173
Мультипликативность степени 188
Мультипликатор расслоения 334
Накаямы лемма 721, 722
Направляющая (directrix) 561
Невыроязденная критическая точка
173
— неподвижная точка 448
Невырожденное многообразие 190
— отображение 691
— поведение кривой 316
Невырожденный нуль поля 449
Недостаточность (deficiency)
линейной системы 669

856
Предметный указатель
Неоднородная форма многочлена 182
Неподвижная компонента линейной
системы 152
— точка соответствия (united point)
309
Неприводимая кривая 503
Неприводимое анешитическое
множество 23
— соответствие 308
Неприводимый модуль 132
Неравенства типа Шварца 446
Нерона — Север и группа 482, 488,
489
Нётера лемма 548
— 1«орема АР + BG 689, 746
— формула 465, 504, 640, 660
Нормешизовешная матрица
периодов 331
Нормашизованный базис 254
Нормальная точка Вейерпгграсса
299
— форма кривой 291
Нормашьное алгебраическое лшогооб-
разие 194
— расслоение 85, 160
Нормашьные пересечения 476
— формы особых точек 659
Носитель 396, 740
Нуль порядка а 145
Нуль-сечение 553
Нуль-цикл 708, 709
Область с однозначным
разложением на множители (факто-
риашьное кольцо) 20
Обобщенные функции
(распределения) 104
Обратимые пучки 741
Обратное соответствие 308
Обратный образ дивизора (puUback
divisor) 146
Обращение теоремы Кэли — Баха-
раша 714
Паскаля 714
Обхций набор сечений 439
— объект 32
Обыкновенная двойная точка (node)
237, 303
— тройная Точка 543
— т-кратная точка 678
Обыкновенные особенности
поверхности 651, 659—660
Однородное алгебраическое
многообразие 352
Однородные (евклидовы)
координаты 27
Ока ле1ша 738
Оператор двойственности 96
— кривизны связности 428
— — положительный 92
— порядка S 106
Основное тождество для
метрической связности 168
Особая прямая комплекса 813
— точка 32
Особое множество 32
Особые точки поверхности 678
Отношение инцидентности 200
Отображение вычета 485
— — Пуанкаре 536
— полного образа (total transform)
530
— пучков 49
— собственного образа (proper trams-
form) 530
Отрицательное линейное
расслоение 162
Очень обильное линейное
расслоение 211
Нарсеваля равенство 99
Паскаля теорема 714
— — обращение 714
Периоды 247, 250
Пикара группа 148
~ многообразие 357, 489
— число 484
Пинч см. Каспидашьная точка
поверхности
Плоские квартики 307
Плоскость пучка прямых 804
Плюккера формулы 234, 295, 302
— — классические 305
общие 298
Плюккерово отображение 229
Плюрироды многообразия 529
Плюрисубгармоническая функция
413
Поверхность минимальной степени
558
— общего типа 611
Подкомплекс 466
Подпучок 49
Подрасслоение 81
Полная коника (complete conic) 801
— кратность пересечения 706
— линейная система 151
Полное ветвление 292
Полный дифференциал 12
— класс Чжэня (total Chem class)
435

Предметный укааателъ
857
Положительная (1,1)-форма 41
Положительное линейное
расслоение 162
Положительность классов Чжвня 445
Положительный дивизор 162
— оператор кривизны 92
— поток 412
Полюс порядка а 145
Поляризация «шогообразия 332
— многочлена 430
Поляризованное абелево
многообразие 387
Портеуса формула 443
Порядок голоморфной функпди 144,
145
— мероморфного сечения 150
— распределения 394
Последовательность отображений
пучков 49
Постоянные пучки 54
Построение конуса (coning) 189
Потенцией! потока 414
Поток степени д 395
Предпучок 472
Представления алгебры Ли 131
Приведенный слой пучка (fiber) 744
Примитивные когомолопш 135
Пртштивный вектор 132
Принцип непрерывности 698
— ^)аспространения 739
— GAGA 187
Пробелы в точке 298
Проективизация касательного
конуса 368
Проективная резольвента 724
Проективно-изоморфные
многообразия 195
Проективный (9-модуль 722
Проектирование 189
Проколотый полидиск 471
Промежутвчный якобиан 357
Прообраз расслоения (puUback
bundle) 82
Пространство гармонических форм
167
Прямая гиперперегиба (hyperflex)
584
Псевдометрика 293
Пуанкаре вычет 242, 536
— двойственность 67
— Лелона формула 415
— лемма 477
— 5-лемма 15, 37
^для гладких форм 411
— аа-лемма 414
— линейное расслоение 354
— формула 377
Пуассона формула 405
Пучок (sheaf) 47
— идеалов 740
регулярных 741
— (линейная система размерности !)■
(pencil) 151
— -небоскреб (skyscraper sheaf) 744—
745
— прямых (pencil of lines) 804
— рациональных кривых 558
— ростков полиномиальных
функций 186
Пфаффиан 354
Пьери формула 222, 225
Радиально симметричная функция
400
Разбиение единицы, подчиненное
покрытию 55
Раздутие 200, 201, 505
— многообразия вдоль
подмногообразия 643—644
— полядиска вдоль координатной
плоскости 642
Разложение по битипам 410
— по типам 398
Разложимые формы 117
Размерность аналитического
множества 34
— линейной системы 151
Разрешение особенностей (resolution;
of singularities) 663
Ранг квадрики 779
— расслоения 80
Распределение на R" 394
Расслоение гиперплоскости 159, 160,.
164, 180
Расширение 766
Расщепляемое (тривиальное)
расширение 766
Рациональная линейчатая
поверхность (rational ruled surface)i
549
— нормальная кривая 196
— — линейчатая поверхность
(rational normal scroll) 561
— поверхность 556
— функция 183
Рациональное многообразие 528
— отображение 501, 524, 530
Реальный род 535
Регулярная последовательность 701,,
729
— точка 303
Регулярность 98, 403, 404, 406

858
Предметный указатель
Результант 20
Рейса (Reiss) соотношение 716—718
Реллиха лемма 102
глобальная 107
-Режмерта теорема о собственном
отображении 391, 422
-Репер 82
Решение в слабом смысле 98
Римана — Гурвица формула 233,
238, 241
— Кежпфа теорема об особенностях
376
— Роха формула 233, 269, 270, 274,
504, 639
— геометрический вариант
272
общая 343
Xupifep6pyxa формула 392, 464
— соотношение 464
— теорема 365
о продолжении 20
— тета-дивизор 346
— тета-функция 346
— условия 329, 330, 332
-Р*иманова поверхность 26
.Риччи кривизна 110
Род поверхности 238
-Самодвойственная
последовательность 730
Сарда теорема 153
'Связность 86
— на расслоении 428
■Сглаживание 401, 402
— когомологий 412
— потока 453
■Сдвиг 327
Сегре вложение 350
— отображение 210, 511
■Сеть (линейная система
размерности 2) (net) 151
•Сечение векторного расслоения 82
— линейных расслоений 153
Сигнатура формы 139
Симметрическое произведение 259
■Слабая теорема о нулях 22
•■След 709
^Cлoй (9-модуля (fiber) 721
Соболева лемма 100
— — глобешьная 107
— пространство 99
Соболевская s-норма 99
«Собственный прообраз 506, 644
— — линейной системы 509
Соответствие двух касательных (Ы-
tangential correspondence) 319
— между двумя кривыми
(correspondence) 307
— З-секущих 316
Соприкасающаяся А;-плоскость 289
Спектральная последовательность
392, 465, 467
ассоциированная с двойным
комплексом 469
Специальная прямая 838
Специальный тетраэдр 821
— цикл Шуберта 222
— эффективный дивизор 270
Стандартная (евклидова) метрика 42
Стандартный базис 254
Стационарная 3-секущая 317
Степень алгебраического
многообразия 187
— дивизора 158
— кривой 292
— линейного расслоения 159
— многообразия хорд 190
— невырожденного многообразия
190
— нуль-цикла 709
— отображения 238
— расслоения 235
— соответствия 309
— fc-мерного многообразия 188
Стокса теорема 45, 392
— формула 13
Структурный пучок 740
Схемы 740
Сходимость спектральной
последовательности 467
Тавтологическое линейное
расслоение 645
Тензор кручения 457
Тензорное расслоение 85
Теорема о базисе 488
— о вычетах 244, 697, 776
— об индексе 139, 503, 504
— о классификации поверхностей
629
— о неявной функции 31
— о нулях 702
— об обратной функции 30
— о разрешении особенностей 663
— о сизигиях 736
— о собственном отображении 46
— о среднем значении 403
— регулярности 98
— сложения для эллиптических
функций 263

Предметный указатель
859
Теория пересечений И
— пучков 11
Тета-дивизор Римана 346
Тета-функция 343, 346
Ткань (линейная система
размерности 3) (web) 151
Тодда многочлен 392, 464
Тонкий пучок 55
Торелли теорема 234, 387
Точка ветвления 238
— пересечения двух соответствий
(common point) 309
— совпадения (coincident point) 308
— соприкосновения (tacnode) 317,
542
Точная последовательность 49
— когомологическая 54
комплексов 466
Точный функтор 721
Традиционные особенности 302
Тривиашизация расслоения 80, 82,
147
'Тривиальное векторное расслоение
82
— (расщепляемое) расширение 766
Тригональные кривые 572
Тройная точка поверхности 658
J'umH.u формула произведения 436
^'ниверсальное подрасслоение 438
— расслоение 159, 180, 226
— факторрасслоение 226
Унитарный репер 85
Фрёлихера соотношение 471
— спектральная
последовательность 451, 470
Френе формализм 287
Фубини — Штуди метрика 43, 122
Фундаментальный класс 75, 155
Функториешьные свойства вычета
698
Функторы Ext и Тог 726
Функции перехода 80
Хартогса теорема 17, 18, 423
Хиронаки теорема о разрешении
особенностей 663
Ходжа гипотеза 178, 180
— метрика 210
— разложение 98, 129, 177
— Римана билинейные
соотношения 136
— ромб (Hodge diamond) 130
— Соотношения 124
— теорема 94, 98, 139
— теория 11
— фильтрация 470
— формула 328
— числа 118, 130
Хопфа поверхность 28
— расслоение 492
— теорема об индексе 449, 756
Хорошее возмущение (good
perturbation) 699
"Факторкомплекс 466
Факторпучок 49
■Факторрасслоение 82
•Фильтрованный комплекс 466
■Флаг 74, 214
Фокус пучка прямых 804
Форма кривизны метрической
связности 156
— — расслоения 155
— пересечения 66
— поляризации 333
— типа (р, q) 36
Формула взаимности (reciprocity
formula) 758, 761
— гомотопии 410
— для рода 233, 241
— присоединения (adjunction
formula) 160, 161, 242, 503, 640
— редукции 224
Целостное кольцо (integral domain)
20
Цикл вырождения (degeneracy cycle)
440
— пересечения (intersection cycle) 6&
'Ч.еха группа когомологий 47
— — пучка 52
— коцикл 154
— подход 47
Чжэня класс расслоения 153, 158
— классы 390, 427, 435, 444, 445, 460
— — раздутий 648
— формы кривизны 435
Чжоу теорема 143, 183
Число листов отображения 238
— ручек 238
— точек Вейерштрасса 300

«60
Предметный указатель
Шварценбергера проблема 690
Штейна многообразия 471
Штейнера конструкции 565
Штифеля — Уитни классы 444
Шуберта исчисление 143, 216, 225
— универсальные коэффициенты 219
— цикл 216, 225, 297, 380, 438, 802,
803
— — специальный 222
Эллиптическая поверхность 602
Энриквеса — Петри теорема 572
— поверхность 581, 622, 633—639
— — проективная реализация 674
— теорема 619
Эрмитова метрика 39, 85
Эрмитово векторное расслоение 85
Эффективный дивизор 144
— нуль-цикл 709
Эйлера последовательность 437
Эквивалентные расширения 766
Экспоненциальная
последовательность 11
— — пучков 50
Экспоненциальное отображение 531
Элементарные делители
поляризации 332
— инвариантные многочлены: 429
Ядро отображения пучков 49
Якобиан 29
— (якобиево многообразие)
поверхности 251, 332, 333, 359
Якоби проблема обращения 363,
367
— соотношение 712
— теорема обращения 258

ОГЛАВЛЕНИЕ
4. ПОВЕРХНОСТИ 501
1. Предварительные сведения 502
Индексы пересечения, формула присоединения и формула Римана—
Роха (502) Раздутие и стягивание (505) Квадрика (510) Кубическая
поверхность (513)
2. Рационешьные отображения 524
Рацнонашьные и бирационашьные отображения (524) Кривые на
еиггебраической поверхности (533) Структура бирациональных
отображений между поверхностями (545)
3. Рациональные поверхности I 548
Лемма Нётера (548) Рациональные линейчатые поверхности (549)
Общая рациональная поверхность (556) Поверхности мннил1ашьной
степени(558) Кривые максимального рода (563) Конструкции Штей-
нера (565) Теорема Энриквеса — Петри (570)
4 Рациональные поверхности II 573
Теорема Кастельнуово —Энриквеса (573) Поверхность Энриквеса
(578) Возвраоцение к кубическим поверхностям (582) Пересечение
двух квадрик в Р* (587)
5. Некоторые иррациональные поверхности 590
Отображение Альбанезе (590) Иррациональные линейчатые
поверхности (591) Коротко об эллиптических поверхностях (602)
Размерность Кодаиры и теорема о классификации I (611) Теорема о
классификации II (621) КЗ-поверхности (629) Поверхности Энриквеса
(633)
6. Формула Нётера 639
Формула Нётера для гл дких гиперповерхностей (639) Раздутие
подмногообразий (642) Обыкновенные особенности поверхностей (651)
Формула Нётера для общих поверхностей (660) Некоторые примеры
(670)Изолированные особенности поверхностей (677)
Литература 687
5. ВЫЧЕТЫ 688
1. Элементарные свойства вычетов 690
Определение и когомологическая интерпретация (690) Глобальная
теорема о вычетах (697) Закон преобразования и локальная
двойственность (698)

862 Оглавление
2. Применения вычетов 704
Кратность пересечения (704) Конечные голоморфные отображения
(708) Применение к плоской проективной геометрии (712)
3. Элементы коммутативной и гомологическое^алгебры и их
приложения 719"
Коммутативная алгебра (719) Гомологическая алгебра (723)
Комплекс Кошудя и его применения (729) Краткий экскурс в теорию
когерентных пучков (738)
4. Глобальная двойственность 748>
Глобальный функтор Ext (748) Формулировка общей глобальной
теоремы двойственности (751) Глобальный Ext и векторные поля
с изолированными нулями (752) Глобальная двойственность и
избыточность точек на поверхности (756) Расширения модулей (766)
Точки на поверхности н двумерные векторные расслоения (770)
Вычеты и векторные расслоения (774)
Литература 777"
6. КВАДРАТИЧНЫЙ КОМПЛЕКС ПРЯМЫХ 778-
1. Предварительный материал: квадрики 779»
Ранг квадрики (779) Линейные пространства на квадриках (780)
Линейные системы квадрик (787) Прямые на линейных системах
квадрик (792) Проблема пяти коник (795)
2. Квадратичный комплекс прямых: введение 80Ь
Геометрия грассманиана G (2, 4) (801) Комплексы прямых (805)
Квадратичный комплекс прямаых и ассоцизаровавная с ним кумие-
рова поверхность I (807) Особые прямые квадратичного комплекса
прямых (813) Две конфигурации (819)
3. Прямые на квадратичном комплексе прямых 82S
Многообразие прямых на квадратичном комплексе прямЕСС (823).
Кривые на многообразии прямых (825) Две конфигурации: второй
подход (830) Групповой закон (833)
4. Квадратичный комплекс прямых: повторение 837
Квадратичный комплекс прямых и ассоциированная с ним кумие-
рова поверхность II (837) Рациональность квадратичного
комплекса прямых (841)
Литература 84S
Именной указатель 850
Предметный указатель 851