Автор: Симонов А.Я. Бакаев Д.С. Эпельман А.Г.
Теги: математика задачи по математике
ISBN: 5-09-002848-6
Год: 1991
Текст
СИСТЕМА
ТРЕНИРОВОЧНЫХ
ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ
<$>
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1991
ББК 22.1
С40
Авторы:
А. Я. Симонов, Д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман,
А. А. Бесчинская, Р. М. Мостовой, А. Л. Абрамов
Рецензенты:
кандидат педагогических наук, преподаватель Московского института
народного хозяйства им. Г. В. Плеханова В. С. Крамор;
учитель математики школы № 415 Москвы О. Ф. Фролова
Система тренировочных задач и упражнений по мате-
С40 матике/А. Я. Симонов, Д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман
и др. —М.: Просвещение, 1991. —208 с: ил.—ISBN
5-09-002848-6.
В сборник включено более 2000 задач и упражнений по всем
основным разделам школьного курса математики. Каждый раздел
начинается с краткого изложения соответствующего теоретического
материала и разбора наиболее типичных примеров по данной теме.
Задачи разделены по сложности на две группы—А и Б.
Книга будет полезна учащимся для самостоятельной работы в
течение учебного года, при подготовке к выпускным и вступительным
экзаменам, а также может быть использована учителем математики
для организации индивидуальной работы в классе.
с 4306020000-733
103(03)—91
Учебное издание
Симонов Александр Яковлевич,
Бакаев Дмитрий Сергеевич,
Эпельман Александр Гиршевич и др.
СИСТЕМА ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Зав. редакцией Г. А. Бурмистрова. Редактор Г. А. Шалимова. Младший редактор
Л. И. Заседателева. Художники Б. Л. Николаев, В. В. Костин. Художественный
редактор Ю. В. Пахомов. Технический редактор С. С. Якушкина. Корректоры И. А, Ко-
рогодина, Е. В Чамаева ИБ № 13529. Сдано в набор 05.05.91. Подписано к печати
11.11.91. Форма! 60Х90'/,е. Бум. газетв. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 13,0+0,25 форз. Усл. кр.-отт. 13,69. Уч.-изд. л. 10,76+0,42 форз. Тираж
1000 000 акз Заказ М 1452. Цена в переплете № 5—1 р. 60 к. Цена в обложке —95к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство с Просвещение» Министерства
печати и массовой информации РСФСР. 129846. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Областная ордена «Знак Почета» типография им. Смирнова Смоленского
облуправления издательств, полиграфии и книжной торговли. 214000, г. Смоленск, проспект
им Ю. Гагарина. 2
ISBN 6-09-002848-6 © Симонов А. Я. и другие, 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ
Это пособие предназначено для учащихся средних школ.
Цель книги — не только помочь учащимся освежить в памяти
изученный материал школьного курса математики, но и
сориентировать их на процесс сдачи вступительных экзаменов в вузы
с помощью компьютера.
Авторы попытались расположить задачи для
самостоятельного решения по двум группам — А и Б, памятуя о том, что
уровень подготовки каждого выпускника школы неодинаков.
При этом задачи группы А по сложности примерно
соответствуют уровню обязательной подготовки выпускников средней
школы. Поэтому задачи группы А могут быть использованы
для подготовки школьников к выпускным экзаменам по
математике. Однако нельзя не учитывать, что овладение умениями
решения задач уровня обязательных результатов обучения не
достаточно для получения высокой оценки. Задачи группы Б
по сложности примерно соответствуют уровню требований
обычного технического вуза.
Безусловно, работа с пособием не только потребует от
учащихся определенных математических знаний и настойчивости,
но и даст им возможность почувствовать огромную радость
самостоятельного открытия. Все это поможет им лучше
подготовиться к экзаменам по математике при поступлении в вузы.
Пособие состоит из 14 параграфов. В последнем приведены
варианты заданий для компьютерной проверки знаний.
Так как некоторые задачи, вероятно, будут вызывать
затруднение, то авторы решили снабдить каждую из них ответом.
Только не спешите сразу обращаться к нему. Постарайтесь
сначала самостоятельно решить задачу, подумать и определить,
что именно вызвало затруднение. Если затруднение вызвано
тем, что недостаточно хорошо усвоен тот или иной раздел
школьного курса математики, нужно обратиться сначала к
учебнику и постараться восполнить обнаруженный в знаниях
пробел.
Возможно, что и учебник не сможет помочь. Тогда
воспользуйтесь справочниками, пособиями для поступающих в вузы
других авторов.
В книге принята следующая нумерация: например, запись
5А.019 означает, что упражнение или задача из пятого
параграфа, группа А, номер 19.
з
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИИ ,
ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИИ
При решении задач на выполнение арифметических действий
прежде всего следует обратить внимание на форму
представления чисел и порядок действий. Полезно потренироваться в
переходе от десятичных к обыкновенным дробям и обратно, в
переходе от смешанных чисел к дробям и обратно. В процессе
вычислений полезно сначала максимально упростить
арифметическое выражение, выбрав подходящее представление чисел,
освободиться от степеней с отрицательными показателями и т. п.
Для отыскания наибольшего общего делителя двух
натуральных чисел следует выполнить следующие операции:
1) разложить каждое из данных чисел на простые
множители;
2) найти произведение простых множителей, входящих в
каждое из данных чисел.
Если какой-то простой множитель входит в эти разложения
в разных степенях, то в наибольший общий делитель он входит
в наименьшей из этих степеней. Если нет ни одного простого
множителя, входящего в оба рассматриваемых числа, то
наибольший общий делитель равен единице.
Для разложения числа на простые мщжители применяем
следующий прием:
а) подбираем наименьшее простое число, на которое
делится данное число;
б) представляем данное число как произведение найденного
простого множителя и некоторого натурального числа;
в) повторяем пункты а) и б) для нового натурального числа
до тех пор, пока оно не станет равным единице.
Для нахождения наименьшего общего кратного двух
натуральных чисел следует выполнить следующие операции:
1) разложить каждое из данных чисел на простые
множители;
А
2) найти произведение простых множителей, входящих в
разложение хотя бы одного из чисел.
Если какой-то простой множитель входит в эти разложения
в разных степенях, то в наименьшее общее кратное он входит
в наибольшей из этих степеней.
Напомним свойства
1. а°=1.
2. а-*=—.
а*
3. axay=ax+v.
ах
4 — =a*-v.
а?
5. (a*)v=axv.
6. (ab)x=a*bx.
1
7. ап -У7.
8. ап - Y^.
степеней и действия с корнями:
10. y^a2n=|a|.
п.*У?*-«.
12. 2ЯУ=^=- 2пУа.
13. у V^ = *{^a-
14. уа = '/о',
15(т)'--£-
17. Vab — VaVЬ.
18. 0}^= i^an6.
9. Уа2=|а].
Формулы сокращенного умножения:
1. (a + ft)2«a2+2a& + 62. 4. (а+6)з=аз+за2&+за£2+&3.
2. (а—й)2*а2—2ab + b2. 5. (а—й)з=аз—За2й + 3а62—ft3.
3. а2—&2=(а-6)(а + й). 6. аз+бзв (a+fe) (a2—аб+ft2).
7. аз—йз=(а—6) (а2+а& + &2).
При вычислении выражений с радикалами следует помнить,
что уо2— \а\.
Пример 1.1. Вычислить
(т+«»-тИ«!т)+т-
Решение. Так как — нельзя преобразовать в конечную
б
десятичную дробь, то в первой скобке целесообразно перейти
к обыкновенным дробям:
jv _L i J 1 _ 12 + 3 — 4 ^^l
2 8 6 24 """ 24 "
2)
3)
6,4:
21
24 '
i°__ it. 3 =. 8'3
3 ~~ 10 80 ~" 10-10
100 100 '1Ь
= —=0,24
100
4) 0,11+ — =0,11+0,125=0,235.
8
Ответ. 0,235.
Пример 1.2. Найти наибольший общий делитель чисел
А = 180 и В=120.
Решение. А -2-90-2-2- 45=2-2.3-15=2.2-3-3-5;
5 = 2.60=2-2-2-15=2.2-2-3-6.
Вычисляем С, равное наибольшему общему делителю чисел А
и В:
С=2-2-3-5=60.
Ответ. 60.
Пример 1.3. Найти наименьшее общее кратное двух чисел
А = 180 и В=140.
Решение. 4-2-2-3-3-5; В=2-70=2.2-35=2-2-5-7.
Вычисляем С, равное наименьшему общему кратному чисел Л и В:
С=2-2-3.3-5-7=1260.
Ответ. 1260.
Пример 1.4. Упростить
а l-q(l-a) a 2а-2а2-2
а2+1-2а \-а ' а8+1 (1-а2)(а-1)
Решение.
а 1-а(1-в) а 2а-2а2-2 __ а
а*-2а+1 1-а а*+\ (1-а2)(а-1) (я-1)2
1-а+а2 а . 2(а2-а+1) __ а .
1-а ' (а+1)(а2-а+1) (1-а) (l + а) (а-1) (а-1)2
а 2(а2-а+1) _а(а+1)+а(а-1)-2(а2-а+1)
(а—1)(а+1) (a-l)2(a+l) (a-i)»(a+l)
а2+Д+а2-а-2а2+2о-2 _ 2(а-1) 2
= (а-1)2(а+0 (а-1)а(а+1) ^ а*-1 *
~ 2
Ответ. .
а2-1
6
Пример 1.5. Упростить
а*-ас*+2с*-4 а2-4а+4
а2+2а+2с*-с* а2+ас2-2а-2с2
Решение. Преобразуем первую дробь:
Q2_QC2+2c2-4 д (а2-4) + (2с2-ас2) ^
а2+2а+2с2-с4 ^ (а2-сА) + (2а+2с2) *"
= (а-2)(а+2)+с2(2-а) (а-2)(а+2-с*) ^ а-2
(а-с2)(а+с2)+2(а+с2) ~~ (а+с2)(а-с*+2) а+с2
Преобразуем теперь вторую дробь:
а2-4а+4 __ (Q-2)2 e
а2+ас2 -2а -2с2 (а2+ас2)-(2а+2с2) "*
д (Q-2)2 д (Q-2)2 = Д-2
в"а(ан-с2)-2(а+с2) * (а+с2)(а-2) а+с*
т, а-2 а-2 л
Итак, =0.
a+с2 а+с2
Ответ. 0.
Пример 1.6. Упростить
(VJ? (У&я)'
(V«)' (YTvtf'
Решение.
„({/aT)'.fM']'_(arf)'-al.
2) (fe«)-(a*)'-a^
«1 _J-T_rt—Г _„-2
3) ~^a
a
4) (K a V a*b)= (V VaWb ) - ({Л*56 )4 - (Va* V~bf*
5) (iV;)-(f К^)-(Ка^)6-й6И6 -a* bK
6) £±?-«¥"■*«-«-a* »"*.
7) a-*a e 6~12 =a • b "
Ответ.
Пример 1.7. Вычислить
K27+ 10У2 + V^-lOyl
Решение. Заметим, что
27+ 10У2= (У2 + 5)2; 27- ЮУ2= (У2-5)2.
Отсюда
К27+10У2+ V 27—10У2= "К(У2 + 5)2+ V (12-5)2=
= |У2+5| + |У2-5| =У2+5+5-У2= 10.
Ответ. 10.
Пример 1.8. Вычислить
КгЭ-^Уб- "К29+12У5Т
Решение. Подкоренные выражения не являются полными
квадратами, т. е. применить прием из предыдущего примера не
удается. Возведем вычисляемое выражение в квадрат:
(V 29—12У5— К 29+ 12Уб)2 = 29—12У5—
-2 • 1/Г(29-12У5)(29+12у5)+29+12У5 = 58-2У841-1445=
- 58-2yl2"l = 58-22 = 36.
Следовательно, исходное выражение может быть равно 6
или —6; так как У 29+ 12У5 >V 29—12У5, то это выражение
отрицательно.
Ответ. —6.
Пример 1.9. Упростить
v ' a-Чб-' \а*+Ь*1 \а+Ь)
Решение. Упростим в отдельности каждый из
сомножителей:
1) (а+6)-«= >
а+о
2v g-»+6-'^_ Д2 & ^ а*Ъ* = а2+Ь2
a-i + fc-i J_ , J_ = flH-fr аЪ(а+Ъ)
а + Ь аЬ
В
' \a2+b2) ab
A\ ( 2ab \~l a + b
' [a+b ) "" 2ab
Теперь последовательно проведем указанные в исходном
выражении действия:
п 1 а2+62 = а2+Ь2
а+6 аЬ(а+Ь) аЬ(а+Ъ)* '
а2+62 . а2+Ь* ^ (а*+Ъ2)аЬ __ 1
2) аЬ(а+Ь)2 ' ab аЬ(а+Ь)*{а*+Ь2) (а+6)2 '
ov _1_. «±Le !
°' (а+6)2 *2а* 2аЬ(а+Ь)
Ответ.
2а6(а+6)
Пример 1.10. Упростить
Решение. При решении задач на упрощение
иррациональных алгебраических выражений часто применяют способ
замены младших степеней переменных какими-либо новыми
переменными. При этом должно получиться рациональное
алгебраическое выражение относительно новых переменных. Упростив
полученное выражение, следует вернуться к выражению с
прежними переменными.
Обозначим у х=а; у у—Ь. Упростим выражение,
используя свойства степеней, правила действий с корнями и новые
обозначения:
(2-t)<
^ (a2+2ab + 4b2)ab(2b-a) = -
аЬ(а-2Ь)(а*+2аЬ+4Ь*)
Ответ. —1.
ЗАДАЧИ
Группа А
Выполнить арифметические действия:
3-'_(-Г
1А.001. iii . /50- —) ' +2-10-'.
(а*-8Ь3а) : (ab) ' [ Ь] а(а'-8&8)
>-w
1A.002. PA °',S +8100000-25- (7 i|)s + (0,63)c
/1 5 5 \
[13—- — 2—-—10-—J -230,04+46,75
1A.003. _L_i E U
0,01
1A.004. (1.5)3-(2,25)-».*..(0.75)-'- [(--j) ' + ( 4"''~
-ПК
(з4" + 2,5 4,6-24" 1 / ч
-^ f- -5.2: /-y^5— +5'7
2.5-1 T 4.6+2Ty ^T-0,125
Упростить рациональные алгебраические выражения:
1А.006. S&-. 1А.007. -2=1-. 1А.008. ^^
2а5Ь а*-5а а-2
а2-6а+9 1АШЛ / «a\2 «Ann P-!_.2p-2
а-3
1А.009. 2^±L. 1А.0Ю. (- ±)\ 1A.011.
а-3 V 3/
1A.0I2. -? 1. 1А.013. (2=* - 2±§)
1 , 1 Vm+2 m-2/
T+T
8m
ma—4'
,A.014. H=*L: (a - ft). 1 A.015. *+»;+'»+» .
0 a*+4a+4
Упростить иррациональные выражения:
1A.016. K(-22)*. 1A.01?. K(-3)8. IA.018. Кг«-5*.
IA.019. l/-L.J£. 1A.020. V^2- V^8. 1A.021. £j|.
V 49 9 V 2
1A.022. 81 I 1A.023. 225_J. 1A.024. 2l- 2~S.
1A.025. (3-2)». 1A.026. г2-б2. JA.027. (10»)*. HH».
1A.028. 16».2^. 1A.029. Ш-. ia.030. 2.64_i.
1A.031. 2У5-2У45+2У20. 1A.032. (УТ0-1). (УШ+1).
1A.033. Y1 _Ч—Xr- • 1A.034. fV52-5. VV^+5.
Vi +VT Vi-Vz
10
iА.озб. (Кб—yi l + Кб+уп)2
1А.037. a J • yf~°"
1А.039. J \Va.
1A.036. У а* при а<0.
1A.038. a-,-K«*-
1A.040.
Группа Б
Найти наибольший общий делитель двух чисел:
1Б.001. /1 = 102
1Б.003. /4=720;
1Б.005. А = 165
5=30. 1Б.002. /1=231; 5=130.
5=924. 1Б.004. А=60; В = 240.
5 = 154. 1Б.006. /1=98; 5=100.
Найти наименьшее общее кратное двух чисел:
1Б.007. /1 = 102; 5=30. 1Б.008. Л=60; 5=240.
1Б.009. А=60; 5=40. 1Б.010. А = 20; 5=42.
1Б.011. /1=32; 5 = 25. 1Б.012. Л=98; 5 = 100.
Упростить выражения и вычислить их значения при задан*
ных значениях параметров:
1Б.013. lli*±?)!=e*. при ft=0,0025.
VI-4=
1Б.014.
1Б.015.
К*
т~г—п-2
п =0,007.
L (тл-^+г+т-1/!)-* при т=0,003;
т
W
abc+4
а
1Б.016.
J + $
+ 4
a~%lfa—b
\f — ) :(Уа&с+2) при а=0,04.
при а =1,2; 6=0,6.
(а»-а&)3 aV~a — bVb
/ а3 а3 \ . / а а* \
( а+Ь а2+Ь*+2аЬ ) ' [ а+У ~" ьГ^Ь*)
1Б.017. .
при а = —2,5; 6 = 0,5.
1Б.018
Упростить алгебраические выоажения:
(а)Г1±ЬГь_чШ\ а 2V~b
\ V-a + rs f J
i i
Уя** — * , У
К5+К»
1Б.019.
И—*
im-j/M
11
1Б.020. f-l-.+yi-eW—Lr+l)
16 л/- 64
a — — ay a — —
1Б.021 № 125
1Б.022. з у 5 Л.
/5*3 + 2
1Б.023 ^i1 . 1
3—Я/Л
1Б.025. 8~*
2+V~x
V~x*-4
Kr*+2 Kjc
1Б.026
[** +У* __ (*+У)* 1 x+y
(x+y)i xl+y* J 2^^
1Б.027. °'+1 при a<0.
«/(тУ
- и+1
1Б.028. ^_ : V*+f при *=0,5.
1—xVx x+Vx+\
1Б.029.
i/s±l + i/*zL
K x-2 К s+2 §
Г х-2 V х+2
1Б.030. -JtJ 8+4(l-o)-fo>_J_<
a(a-2)+4 8+a3 2+a
а*+Ь*
1Б.031. *Z*!-*!z£. 1Б.032.
*-0 *2-^2 ' b
a
12
1Б.033. £±£ :(*'-y2)+ -&---SL_
x+y x+y *»-y*
у v jf у Ua i/U8 ** ///
1Б.035. *42*4* 1Б.036. Jc3+*'+Jt+1
(Jf+l)2 *41
1Б.037. f«zL_»£±£.We?Z»L: *±£Л.
U+6 b-a /U2-l *-l /
1Б.038. 27-27<^'-*'
a2-6a+9
1Б.039. f_£_+Jlz£):f_^_ + J_).
\#2+xy x3-xy/ \x*-xy* x-y J
1Б.040. (x-i+y-i). ^ .
x*+2xy+y*
,Б.042. <"*')-' + \<Z±£L.(J J-)!"1.
1Б.043. '-»-'+*-» ^ 1Б.044. (ab-i-a-ift) (a-6)-».
1-6+6*
1Б.045. a464 a4-16
a4-4a*+16 a»+4
1Б.046. (*2—а-*х+а-г) (х~* + а)—х(ах)-2.
1Б.047. |jc—2| -b7—jc при *>2.
,Б.048. i+fcifOi-ittfil.
jci/ x2-xy xy-y2
1Б.049. |\<« + 1) + (ffi^+У5)']'.
з/■— з/•— • 3/— з r— 3/—
1Б.050. Т7=—Г?=- -V*.
V a- V*
6«
a*-a-2b- —
1Б.051. " /«4-a4a»+«»
('-/т+^г)'^^'
ч Ч *2-*2 а-б/*
13
1Б.052. У*ьУ~*+У°'Ь*: V~a lt W
~aJfc
(*»-a»-2tf) V7b V36-6«+2a6-6«
a+b ab \
За-ab a+b)'
М5+т*)
1Б.053.
-£—_£--|-l_—£_
Л Л Уг
1Б.054. [Ут* + п\Гт+п>)' J^"*+* ^5-"» .
1Б.05Б. 2(Jt2+yl*^i) fbl^ll+i5Ilj ,
\ V дг К x )
1Б.0б6. 1-J^=! — : Г*»**-* ,
-——-—= (a-l)V^Hp-(e+l)-Ve-l
V a+1 К л—'
1Б057 Г {У~а-У~Ь?+2а*+ьу-Ь ъУ*-Ы Л~%
' L -у^1 -* J *
0+V2+V5. 7(9-4VI)3
1Б.058.
1Б.060. (-^ J»!=»»LVjlW.
1Б.061. Г .«±Кд- + (Ух - кйч^'П („+<у_
IxVx-yVx ЗхЧЗуУху J
1Б.062. °2+4 ПРИ a<0.
«/(^J
-4\2
-м
1Б.063. дЬа^* , + ^+^'
(с»+3) (аЦ-К*) (с*-3) (a*+j/7)
14
1Б.064. (a+**)-*— (a-**)-i при *=4a-4, 1<а<2.
1Б.Овб. («+*Г* + (*~*Г* при х. Jab^ а>Д; ft>1
(а+х)~1-(а-х)~* *'+1
1Б.066. A^* + XY^ + У 4+х-ф при 0<х^4.
2уЗс+К2^
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида a*+ft = 0, где а и ft — некоторые
постоянные, называется линейным уравнением.
Если афО, то линейное уравнение имеет единственный ко-
Ь
рень: х= .
а
Если а=э=0; ft^O, то линейное уравнение решений не имеет.
Если а=0 и ft=0, то, переписав исходное уравнение в виде
ах= — Ь, легко видеть, что любое х является решением
линейного уравнения.
Уравнение прямой имеет вид
у=ах+Ь.
Если прямая проходит через точку с координатами х0 и уь
то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е.
Уо=ах0+Ь.
Пример 2.1. Решить уравнение
2дг—3+4(дг—1)=5.
Решение. Последовательно раскроем скобки, приведем
подобные члены и найдем х:
2х-3+4х-4=5, 2х+4х=5+3-Н,
6лг= 12, х=2.
Ответ. 2.
Пример 2.2. Решить уравнение
2jc—3+2(jc—1)=4(дг—1)—7.
Решение. 2jc+2jc-4jc= -4-7+3+2, 0-х=-6.
Ответ. 0.
15
Пример 2.3. Решить уравнение
2лг+3-6(х-1)«4(1-*)+5.
Решение. 2jc-6jc+3+6 = 4-4jc+5, -4jc+9=9-4a:,
-4*+4jc = 9-9, 0-х = 0.
Ответ. Любое число.
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
2А.001. 2*+3=0. 2А.002. 0,5+2х=1,5 + Зх.
2А.003. 4"*+4=0. 2А.004. 5*- (*4-3) =5.
з
2 А.005. 2х = —;. 2 А.006. 7 - 2 (х - 4,5) = 6 - Ах.
2А.007. -j - -у =2. 2А.008. уХ-у =0,2.
2А.009. 11х+5=5х-12-4-*. 2А.010. — = 2
0,2 ,_1_
3 3
2А.011. — =2-—.
5х х
2А.012. (*+2)2-5(*-4) = (х-6)(*+6).
2А.013. Я£±?« -3=0. 2А.014. 6-^=^+^-.
4х+3 2 2 < 3 *
2А.015. ----- * ov ~ —. 2А.016. 4*+ ^Г + 4-*~°-
2х-3 х(2х-3) х 4 4 3
2А.017. 8£^lL_*=eL_*±L. 2A.018. £=1 +,«*=«__«=£
4 8 2 6 3 2
2А.019. — (*+3) = 6+2дс
3х' 3
2А.020. 0,2 (х-1) +0,5(3jc-9) = — -2.
«5
Группа Б
Решить уравнения:
2Б.001. 3(-0,5 + 2*2-(х+2)(2л:-4))=5л:-20.
2Б.002. —+ —+—+ —+ ^- + ^г=-б.
2^6 ' 12 ' 20 30 42
16
2Б.003. (x-3)2-x(x+4) = l5-l0x.
2Б.004. — х+ it_A^=0. 2Б.005. i±£- + -^-=0.
9 72 8 4х-2 4
2 Б. 006.
К5-(т)' .__
(VT)-'.27-« ~ 3.(VD* '
2Б.007. -ТТТ/—-2l-32-». 2Б.008. A-f_L=o.
(тГ
2Б.009. 5-3(*-2(jc-2(x-2))) = 2.
3 21
2Б.010.
2___3__ 8 '
2- 3
2-х
Указать, при каких значениях параметра а уравнения имеют
бесконечно много решений:
2Б.011. J2 °_=^ *2_.
х—а х—2а х—а х—2а
2Б.012. б(ах-1)-а = 2(а+л:)-7.
2Б.013. 0,5(5х-1)=4,5-2а(х-2).
Указать, при каких значениях параметра а уравнения не
имеЮт решений:
2Б.014. — — £^£-. 2Б.015. 2(а-2х) = ах+3.
х+7 х+7 v
2Б.016. а2*=а(х+2)-2. 2Б.017. 2±5? =2а.
2-х
2Б.018. При каком значении параметра а уравнение ах—4=3*
имеет корень, равный 8?
2Б.019. При каком значении параметра а прямая у—ах—Ъ
проходит через точку А ( — 2; 9)?
2Б.020. При каком значении параметра Ь прямая у—Ъх+b
проходит через точку А ( —1; 5)?
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
Уравнение вида
аххх + а2х2+ ... +апхп = Ь,
где а\9 й2, ..., ап, Ь — некоторые постоянные, называется
линейным уравнением с п неизвестными хи х2, ..., хп.
Система уравнений называется линейной, если все
уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система
2 Заказ М 1452 17
из п линейных уравнений содержит п неизвестных, то
возможны следующие три случая:
1) система не имеет решений;
2) система имеет ровно одно решение;
3) система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.4. Решить систему уравнений
(2х+3у=8,
\3х+2у=7.
Решение. Решить систему линейных уравнений можно
способом подстановки, который состоит в том, что из какого-либо
уравнения системы выражают одно неизвестное через другие
неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного
в остальные уравнения.
Из первого уравнения выражаем: х= -=-^. Подставляем
это выражение во второе уравнение и получаем систему
уравнений
8-Зу
*--т-
3 . Ь& +20-7.
Из второго уравнения получаем у=2. С учетом этого из
первого уравнения х=1.
Ответ. (1; 2).
Пример 2.5. Решить систему уравнений
f*+t/=3,
\2х+2у=7.
Решение. Система не имеет решений, так как два
уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из
первого уравнения х+г/=3, а из второго х+у=3,5).
Ответ. Решений нет.
Пример 2.6. Решить систему уравнений
fx+#=5,
\2х+2у=10.
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так
как второе уравнение получается из первого путем умножения
на 2 (т. е. фактически есть всего одно уравнение с двумя
неизвестными).
Ответ. Бесконечно много решений.
18
Пример 2.7. Решить систему уравнений
Г x+j/-z=2,
I 2x-y+4z=l,
( -х+6у+г=5.
Решение. При решении систем линейных уравнений
удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в
преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на —2 и, складывая
полученный результат со вторым уравнением, получаем — Ъу +
4-бг=—3. Это уравнение можно переписать в виде y-2z=l.
Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7г/=7, или
Таким образом, система приобрела треугольный вид
( x+y-z=2,
y-2z=\%
Подставляя у=\ во второе уравнение, находим 2=0.
Подставляя у=\ и 2=0 в первое уравнение, находим х=\.
Ответ. (1; 1; 0).
Пример 2.8. При каких значениях параметра а система
уравнений
(2х+ау=а+2,
\ (а+1)х+2ау=2а+4
имеет бесконечно много решений?
Решение. Из первого уравнения выражаем х:
2 2
Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем
(а+1) (-Yy+ "2" +1)+2аУ=2а+4-
Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:
(а+1)(а + 2-ау)+4ау=4а+8,
4ау-а(а+1)у=4(а+2)-(а+1)(а+2),
уа(4-а-1) = (а + 2)(4-а-1),
у.а(3-а) = (а+2)(3-а).
Анализируя последнее уравнение, отметим, что при а = 3 оно
имеет вид 0-у=09 т. е. оно удовлетворяется при любых
значениях у.
Ответ. 3.
2* 19
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить системы уравнений:
2А.021. lx+y=i' 2A.022.
\х-у=2.
2А.023. /3*+5у=21,
\2х-у=1.
2А.025.
2х-Зу=-\,
-2- =0,75.
2А.027. ( !*-?£" "о4,
\4//—10х=3.
2А.031.
2А.033.
| X
1 У
1 *~*
1 У+2
( 1 __
X
1 *+3
1 5
3
" 4 •
__ 1
2
3
\\y-27
_ у+8
11
2А1Й5- {$Йз.
2А.039.
4х+ — =21,
18
2А.024.
2А.026.
2А.028.
2А.029. ( \U~5yZ37' 2A.030.
\ 4у—х=25.
2А.032.
2А.034.
(2х+5у=15,
\дс-2у=3.
Зх-5у=-3.
1 с
— х—у= — 5,
4 *
1 1 0
2 7 *
у 3
/3*/-*=-17,
15*+Зу=-5.
(Зх+2у=5,
5 2,5
{ 3-2* 1-у
1,1 34
j_ i_ = ^
3 5 У 15'
2А.036.
2А.038.
2А.040.
fx+2y=4,
\х2-4у2=0.
х+у+4 ,х-у-4 =Q
5 7
У
= 17-3*.
дс+у+4 х-у-4 _
-2—1-21.
А+-±=13.
X У
20
Группа Б
При каких значениях параметра а системы не имеют
решений?
2Б.021.
2Б.023.
2Б.022.
2Б.024.
f -4x+ay=l+a,
\ (6+а)х+2у=3+а.
lx+ay=lt
\ах+у=2а.
= 0,
2Б.027.
2Б.029.
f x+ay=l,
\ ах-3ау=
2а+ 3.
f x+ay = l,
\х-3ау = 2а+3.
f I6x+ay=4,
\ах+9у-3=0.
2Б.025. На+1)Х"о3^4
\2х-ш/-3=0.
При каких значениях параметра а системы имеют
бесконечно много решений?
2Б.026. {(а+1)х+8У = \а> ,
\ах+(а + 3)у=За-1.
2Б.028. {Ь+ау-Ь
\ах+3у=3.
2Б.030. f ах-(а+1)у=6,
\7ах-28у=6(а + 4).
Решить системы уравнений:
2x+y-z=6f
2Б.031. \ 3jc-j/ + 2z = 5,
4x+2y-5z=9.
2x+y+3z=l3,
2Б.033. | x+j/ + z=6,
3x+y + z = 8.
x+2y + 3z=39
2Б.035. \ 3x+y+2z=7,
2x+3y+z = 3.
2Б.032.
2Б.034.
J(a+l)x-y=a+2,
[*+(a-l)y=2.
6x+2y-z=2,
4*-y+3z=-3,
3x+2y-2z=3.
2x+y+z=7,
x+2y+z = 8,
[ x+j/ + 2z=9.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Уравнение вида ax2+bx+c=0t где a, ft, с — некоторые
числа (аФО); х — переменная, называется квадратным
уравнением. Для решения квадратного уравнения следует вычислить
дискриминант D = ft2—4ac.
Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственное
решение: х = .
Если D>.0, то квадратное уравнение имеет два корня:
*i3
-ь+Уо.
2а
Х2*
-Ь-УР
2а
21
Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то
квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
1) 6-0; сфЬ\ £-<0; 2) 6=^0; с=0;
^=±/-т;
*i=0; *2=--
Теорема Виета (прямая) утверждает: если у
квадратного уравнения ax2+bx + c=0 есть корни Х\ и х^ то
выполняются соотношения
Х\+Х2= ,
а
ххх2=
с
а
Обратная теорема утверждает: если для некоторых
постоянных а, Ь, с существуют числа Х\ и х2, удовлетворяющие
соотношениям
*1+*2=-
а
Х\Х2= ,
а
то эти числа х{ и х2 являются корнями уравнения ах2+Ьх+
+ с=0.
При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно
использовать соотношения
хх х2
*1+*2 .
ххх2
Xi2 + X2*= (ХХ + Х2)2-2ХХХ2\
£L. + —■= Xl*+X* m (хх + х2)г-2ххх2 .
X2 X\ X\X2 X\X2
Xi3 + X23= (XX + X2) {xi2-XlX2 + X22) =
«= (*i + *2) ((Xi+x2)2-3xYx2).
Пример 2.9. Решить уравнение 2*2+5*—1=0.
Решение. D=25-4-2. (-1)=33>0;
_-5+K33,
Xl—г-1
x2 =
—5—V~33
Ответ. ^ — ; —.
4 4
22
Пример 2.10. Решить уравнение х3—5дс2+6*=0.
Решение. Разложим левую часть уравнения на
множители х(х2—5*+6) =0, отсюда х=0 или х2—5х+6=0.
Решая квадратное уравнение, получаем *i=2; jc2=3.
Ответ. 0; 2; 3.
Пример 2.11. Решить уравнение я6—5х3+4=0.
Решение. Обозначим у***3, тогда исходное уравнение
примет вид у2—5у+4=0, решив которое получаем jfi — 1; #2=4.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно
совокупности уравнений: jc3= 1 или *3=4, т. е. х=1 или х=|/*4 ,
Ответ: 1; |^4;.
Пример 2.12. Решить уравнение =27.
Решение. Разложим числитель на множители (по
формуле разности кубов):
(s-3)(*2+3s+9) e 27
х-3
Отсюда /*2+3* + 9=27, Г*2 + 3*-18=0,
Отсюда [х_гф0. [хф3
Квадратное уравнение д^+З*—18=0 имеет корни *i=3;
х2= — 6 (х{ не входит в область допустимых значений).
Ответ. —6.
Пример 2.13. Решить уравнение *'+*~5 -| 2*— «4.
х хг+х—5
Решение. Обозначим у= **~ , тогда получаем уравне-
х
з
ние у+ — =4. Преобразуем его:
У У
отсюда ||^4у+3-0.
Квадратное уравнение у2—4у+3=0 имеет корни #i = l;
^2 = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно
(равносильно) совокупности уравнений
^±£zl =i или *!±£zL .3. '
X X
Преобразуем их:
£±£zL _1=a MH f!±£z5. _3=0;
х х
23
{
хфО \хфО\
jci=V5; лг2=—У5 или х3=1+У6; *4=1-У6
(все найденные корни уравнения входят в область допустимых
значений).
Ответ. -У"5; У5; 1 — У6; 1+У6.
Пример 2.14. Решить уравнение
x(jt+2)(x+3)(x+5)=72.
Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем
полученное уравнение:
(х+2) (х+3) (*+5)x=72, (х2+5х+6) (x2+5x) -72.
Обозначим у=х2+5х, тогда получим уравнение (у+6)у=72,
или
у2+6у-72=»0.
Корни этого уравнения: У\=*6\ у2*= — 12.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно
совокупности уравнений
х2+5х=6 или х2+5х=-12.
Первое уравнение имеет корни Х\ = 1; х2=— 6. Второе
уравнение корней не имеет, так как D-=25—48=»—23<0.
Ответ. —6; 1.
Пример 2.15. Решить уравнение
4*2+12х+ —+— =47.
X X*
Решение. Сгруппируем слагаемые:
4(л--у+|2(*+т)-47-
Обозначим у=х-\ -,, при этом заметим, что
X
У2= (x + -jJ=x2+2 +
отсюда х2+ — =У2—2. С учетом этого получаем уравнение
4(у2-2) +12^ = 47, или 4у2+ 12у-55«0.
Это квадратное уравнение имеет корни
5 П
24
Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Решим их:
,15 ,1 11
х+— = — или х+—=»——
х 2 х 2
х+ — -4=°или *+ —+4г=°»
jc 2 jc 2
/2ж2-5х+2 = 0,
Wo
JCi=2; ^2= — или хг-
или
Г2х2+11х+2=0,
1*=И=0;
.ц+Т/ТоВ .
*4а
-11-/105
4 ' * 4
(все найденные корни входят в область допустимых значений).
Ответ. 2; 0,5;-"+^; JZ»=05 .
Решить уравнения:
2А.041. *2-2*=0.
2А.043. 2х2=0.
2А.045. х2-5*+6=0.
2А.047. *2-8*+7=0.
2А.049. ж2-2=0.
2А.051. *2-4jk+4=0.
1
2А.053. х+
= 2,5.
2А.055. ^-^=0.
JC+3
2А.057. ~х- х+2
2А.059.
х+1
2дс+3
х-2
х
= 1.
ЗАДАЧИ
Группа А
2А.054.
2А.056.
2А.058.
2А.060.
Группа Б
2А.042. л:2—16=0.
2А.044. 4jc2=8x.
2А.046. 2х2+*-3=0.
2А.048. 7*-2х2=0.
2А.050. ж2+2х-2 = 0.
2А.052. *2+Зх+6=0.
7
х+4
+ ДС = 4.
1--0.
х2-Зх+2
*zL5=0.
jc х+2
= 1.
При каких значениях параметра а уравнения имеют одно
решение?
2Б.036. ах2-6х+9=0. 2Б.037. х2+ах+ 4~ = 0.
4
2Б.038. 4х2-ах+а-3=0.
25
25.039.
25.040.
25.041.
25.043.
Решить уравнения
_б 2_
*»-1 х-1
_4 3_
х+2 х-2
3 2х-1
= 2-
х+4
х+\
12 _ I
7
4-х»
2*+1
дс+2 х+1
**-3,5*+1,5
дс*+Зх+2
=0.
х*-х-&
25.045. *8-5*2+6;с=0.
25.047. (*+3)8-(*+1)3=56.
25.049. *«+7х3-8=0.
25.051. х4-25х2=0.
25.053. *»-Зд:2-д:+3=0.
25.055.
25.042.
25.044.
25.046.
25.048.
25.050.
25.052.
25.054.
х хг
*3-4*=0.
х-2
**+4л:2-5=0.
2*8+5x4-7 = 0.
х3+х2-х-1=0.
1 , 2
HI **
+ 2
= 2.
х*+3 х*+2
2Б.056. (х+1)(х2-5х) + 6(*+1)=0.
2Б.067. ^F^ = - (8л;+90). 2Б.058.
2Б.059.
2Б.060.
2Б.061.
2Б.063.
25-х2
2 ,
16х*-1
16х*-4
= 4*+ 2,5.
х2-4
Зх
х-1
6
х-4
1
х2+2х
2х
х+2
3
х2-2х
Зх-6
(х-1) (х+2)
2
х2-1
6-х
1-х2
х+1
х+3
X —X2
х-1
х+5
х+х2'
+ 1. 2Б.062.
2Б.064.
Их2 , _П_
49
16-х2 х-4 х+4
-1.
2 +■ 4
х2+3 х2+7
2Б.066. (2jc2+3*)2-7(2x2+3x) = -10.
2Б.066. —— , х2+4х+9 ю _ 2
х2+4х+9 х-3
2Б.067. х2 + —+х+ --4 = 0. 2Б.068.
2Б.069. (* + 2)2+ -^-=18. 2Б.070.
х2+4х
2Б.071. (jc2+a:-M)2—За:2—За:—1 —0.
26
х2+4 х2+5
30
х-2 х2-3х
2Б.072. .£=!--£^!!=A.
х-12 х-Ь 6
2Б.073. х(*+1)(х+2)(*+3)«24.
1 1 _ I
2Б.074.
**+2х+4 х2+2дс+5 12
2Б.075. ^±£±1 + ^±£±«=4.
х2+х+1 х2+х+3
2Б.076. (jt2-5*)2-30(;c2-5x) -216=0.
2Б.077. х3+4х2+4х+1=0.
2Б.078. 2 (**+ 4) +3 (*~ —) -13=0-
2Б.079. (^)2 = (-^)\ 2Б.080.
2Б.081. (х2+2х)2-4(х+1)2+7=0.
^-=3.
^-7 х3-6
2Б.082. ^-±± + -JL- e -2,5.
х х2+1
2Б.083. — 1 =2.
х(х+4) (х+1)(дг+3)
2Б.084. (аг+0,5) (*2-9) = (2х+1) (х+3)2.
2Б.085. ^1—^1 =4.
х2-1 х+1
2Б.086. Вычислить 1 , где хх и х2 — корни уравнения
3*2-2х-6=0.
2Б.087. Вычислить х{2+х22, где хх и х2 — корни уравнения
x2+jc—5=0.
2Б.088. Вычислить *13+х23, где *i и х2— корни уравнения
х2-2х-9=0.
2Б.089. Известно, что Jti2+*22=13, где Х\ и х2—корни уравнения
х2+ах+6=0. Определить xi+x2.
2Б.090. Известно, что 1 = —, где Х\ и х2 — корни урав-
хх х2 2
нения *2+х+а=0. Определить а.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
В простейших случаях при решении систем уравнений
второй степени удается выразить одно неизвестное через другое
и подставить это выражение во второе уравнение.
При решении систем уравнений второй степени часто
используется также способ замены переменных.
27
Пример 2.16. Среди решений (х; у) системы найти то, для
которого сумма (х+у) максимальна. Вычислить значение этой
суммы:
J2x+y=7,
\*У=6.
Решение. Из первого уравнения получаем у=7 —2х.
Подставляя значение у во второе уравнение, получаем систему
уравнений
/J/-7-2X,
\7х-2л:2 = 6.
Квадратное уравнение — 2х2+7х—6=0 имеет корни *i=2;
_ 3
*2——. Из первого уравнения получаем ух~3; #2=4.
Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма
х+у= 1,5+4=5,5.
Ответ. 5,5.
Пример 2.17. Решить систему уравнений
ix+y+2xy=7,
\ху+2(х+у)=8.
Решение. Обозначим а^х+у; Ь=ху.
Получаем систему уравнений
/а+2& = 7, или Га=7-26,
\&+2а = 8 \6+14-4&=8.
(а = 3,
(& = 2.
Возвращаясь к переменным хну, получаем
ix+y=3t
\ху=2.
Решим эту систему:
f x = 3-y, {/2-Зу+2«0,
I (3-{/)^=2; yi-1; *! = 2; y2=2; *2=1.
Ответ. (2; 1), (1; 2).
Пример 2.18. Решить систему уравнений
fy2-xy =12,
\х2-ху=-3.
Решение. Разложим левые части уравнений на
множители:
fy(y-x) = 12,
\х(х-у) = -3.
28
Отсюда
Выразив из второго уравнения (хфО) х—у= , т. е.
3
у—*=— , и подставив его в первое уравнение, получим
f =4. ( „-4*
х(х-у) = -3, откуда I х(х-у)--3.
Подставив значение у во второе уравнение последней
системы, имеем — Зх}—— 3, *i = l; дсг= — 1, тогда fh=4; #!= —4.
Ответ. (1; 4), (-1; -4).
ЗАДАЧИ
Группа А
Среди решений (х; у) системы найти то, для которого
сумма (х+у) максимальна. Вычислить значение этой суммы:
2А.061. lx+yZ7'
\ху=12.
2А.063.
(х-у=4,
\ху=5.
2А.065. 13х+У=Л
\х2-ху+6у=-4.
2А.067. (*2-хУ+Уа=7,
2А.069. \?-У=\*>
( х+у=7,
2А.066.
2А.068.
6
(х2+у2
\ху=8.
= 20,
2А.070. {
х у 6 *
1 . 1 13
х* и* 36 '
Группа Б
Среди решений (х; у) системы найти то, для которого
сумма (х+у) максимальна. Вычислить значение этой суммы:
2Б.091.
_1 , 1_ _3_
х+ у 2 '
х* + у*~° 4 '
2Б.092.
2Б.093. fxjf+*f*'"e1A1' 2Б.094.
\х*у+у2х=30.
[х+у+ху=11,
\х+у-ху=1.
(хЧуг=\00,
\ху=48.
29
2Б.095.
2Б.097.
2Б.099.
2Б.101.
2Б.103.
2Б.105.
2Б.107.
2Б.109.
2Б.111.
2Б.113.
2Б.115.
x+y=8,
у х 7
х+У I x-y
x-y x+y
xy=5.
6 •
/ 2(x+y)-xy=i,
\ 3xy+x+y=23.
*У=8,
*У=4.
x2+xy = lb,
y2+xy=l0.
< 1 , l 5
1 x у 4
Х2+У*=П.
x3+y*=28,
.x+y=i.
x2+y2 = W,
jcV=9.
х2+у=Ъ,
y2+x=6.
x2+y2=8,
Jr + JT = 0.5.
*» y2
fjc2+y2=25,
\(x-3)(y-5)=0.
i
2Б.096.
2Б.098.
2Б.100.
2Б.102.
2Б.104.
2Б.106.
2Б.108.
2Б.110.
2Б.112.
2Б.114.
j L=,J_
* у ""зб '
xy*-x2y-Z24.
2ху-Ъ~ = 15,
У
xy+ —=15.
у
( х+З
у-з
х+З
и
4
У-З
ху=А.
[х2+Ъху = \8,
\3у2+ху=6.
(у2-ху=3,
\х*-ху—-2.
[х(у+1)=0,
\х+5ху+у=4.
Г*У=-8,
{x^+y^-L
(х+у+ху=7,
\х2+у2+ху=13.
Пх+У)(х-у)=0,
\2х-у=1.
Г^+у8=65,
\х2у+ху2=20.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
Если в уравнении неизвестная величина содержится под
знаком радикала, то такое уравнение называется иррациональным.
Одним из способов решения иррациональных уравнений
является возведение обеих частей уравнения в степень, равную
показателю степени корня. Если показатель степени четный, то
необходима проверка найденных решений.
30
Пример 2.19. Решить уравнение Ух+2 = х.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
х+2=х2.
Квадратное уравнение х2—х—2—0 имеет корни *i = 2; дг2= —1.
Проверка. 1) х=2, тогда у2+2=2; 2=2 верно. 2) х=-1,
тогда У—1+2= —1, 1 = —1 ложно.
Ответ. 2.
Замечание. Если при решении уравнений или систем
уравнений делается проверка, то область допустимых значений
можно и не находить.
Пример 2.20. Решить уравнение (х—5) (х+2)У*—7=0.
Решение. Исходное уравнение может быть заменено
совокупностью уравнений
л:—5=0; *+2 = 0; У*^7 = 0.
Решая эти уравнения, получим *i = 5; x2=— 2; *з=7 (хх и
х2 не входят в область допустимых значений данного
уравнения).
Ответ. 7.
Пример 2.21. Решить уравнение у х+ у х—2 = 0.
Решение. Обозначим у=м. Получим уравнение у2+у—
— 2=0, которое имеет корни #i = l; У2=— 2.
Следовательно, у х= 1 или к #■* — 2, отсюда *i = l.
Второе уравнение не имеет корней, так как у х^0.
Ответ. 1.
Пример 2.22. Решить уравнение
(х+4)(х+1)-ЗУ*2+5х+2=в.
Решение. Раскроем скобки:
*2+5х+4-ЗУх2+5л:+2 = 6.
Обозначим у=Ух2+5х+2 и перейдем к уравнению у2+2-Зу=6,
или у2—Зу—4=0. Оно имеет корни yi= — 1; ^2=4.
Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
УгЧ5*+2=-1 или У^+5Г+2=4.
Первое уравнение не имеет решений, так как У*2+5*+2^0.
Решая второе уравнение, получим
х2+5*+2=16, *2+5х-14=0,
откуда *i=2; *2в—7.
31
Проверка. 1) x=2t тогда У22+5-2+2=4; 4=4 верно.
2) лг= —7, тогда У(-7)2+5. (-7)+2=4; 4=4 верно.
Ответ. 2; -7.
Пример 2.23. Решить уравнение
уЛс+34- >Лс-3=1.
Решение. Преобразуем данное уравнение к видуу/Гх+34 =
1 + >^х—3, далее возведем обе части уравнения в третью
степень:
x+34=l+3K*-3+3>/>-3)2+x-3,
36 = 3^^3+3 V(х-Ъ)\У(дг—3)2+ t/"jc^3-12=0.
Обозначив у= уЛк—3, получим квадратное уравнение
1/2+у-12=0,
которое имеет корни #i = 3; yi=— 4. Таким образом, исходное
уравнение эквивалентно совокупности уравнений
/х-3=3или /х-3--4.
Возведя обе части уравнения в третью степень, получаем
*-3=27 или х-3=-64;
*=30 или х=—61.
Ответ. 30; -61.
Пример 2.24. Решить уравнение
V^l-*yV-l=x-l.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
l-xyF^T=x2-2x+l,
-jcyP^T=jc(jc-2).
Было бы ошибкой «сократить» обе части уравнения на х. При
этом можно потерять решение. Поэтому решаем так:
-xyW=l-x(x-2)=0,
-x(yF=T+(x-2))=0,
-х=0 или У*2-1 + (х-2)=0,
х=0 или У*2-1 = -(*-2).
Возводим обе части последнего уравнения в квадрат:
х2— 1=х2—4х+4, откуда х= —.
4
32
Проверка. 1) х=—, тогда!/ J2—!—_?_,——2=
4 у 1в 4 *
= 5=?= - -L;—+ /- —)=0 верно. 2) х=0, тогда
4 4 4 v 4 /
1 — ОУО— 1 =0— 1 неверно.
Ответ. —.
4
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
2А.071. у7=3. 2А.072. У*^3=2. 2А.073.1^*^3=2.
2А.074. Vx+2=3. 2А.076. У*+3 = - 2. 2А.076. К*+3 - 2.
2А.077. У*=2-*. 2А.078. У*=2= -у-
2А.079. У2Т^З-Ух+3=0.
2А.080. *-У*+Т=1. 2А.081. (ж2-4) У*+5=0.
2А.082. (*2-9)У2~=Т=0. 2А.083. Vx+ К*-6=0.
2А.084. К*+ i<i-2-0. 2A.086. vG+2 К*2-3=0.
Группа Б
Решить уравнения:
2Б.116. 2У*+5*=ж + 2. 2Б.117. х-1=у7+Ь.
2Б.118. 21+У2х-7=*. 2Б.119. У*2+5*+1 + 1 = 2*.
2Б.120. К.6-У*+Т-4. 2Б.121. V^5-yFfl5=l.
2Б.122. УлГ+2=2+У*ГбГ 2Б.123. У*-у*+3=1.
2Б.124. У*^5+уТ(Р*=3. 2Б.125. у*=9-Ух-18 = 1.
2Б.126. У$*+Т-2-У*+Т=0. 2Б.127. yil*-2+3y*=6.
2Б.128. *+3 =УЗТ+Т. 2Б.129. У*=9+У*= *_ •
V^-ж—I ' Ух-9
2Б.130. У<Р5х=уЗ~=х+ -—.
Уз-х
2Б.131. У3ж2+1 + У^+З=Убж2 + 10.
2Б.132. V2JC+1 =2Улг—Ух^З. 2Б.133. yx+5=yix+9-}/x.
I Заказ М 1482 38
2Б.134. У2х+3+У*-2=2Ух+1.
2Б.135. Ух+ТО-У«+Т= У 4*-23.
2Б.Ш. VS = 3JS.
Vx+2 УЗл—2
2Б. 137. У8Т+Т+У37^=У7Т+Т+У2Х^2.
2Б.138. У2*+3+УЗх+2-у2х+5=уЗдс.
2Б.139. ЗУ23с^1 —УЮаг-9- 2(*~3) =0.
К2д:-1
2Б.140. уШ+3-У2^х=У97+7-Ух^2.
2Б.141. *Ъ^ _ Г«=5=?
2Б.142.
2х- 5 ж-2
/2^дг 2-*
/2+i 2+дс
2Б.143. l/^J2±£ + l/"l£zZ =Уб.
2Б.144. Ух=З^Ух+3=2-УТЬ.
2Б.146. , ■—— + .уп— «*-3.
x+V 1+*3 х—/ 1+х*
1 6 1
2Б.146. ~т=г +
/Злг+Ю /(*+2)(3*+10) ^'+2'
2Б.147. t»^!!!'> =0.
/20+*-x*
2Б.148. ~т^— =х+2.
Уде—2
2Б.149. 1Л + f/3c+ V4-Vx = Vx.
2Б.150. *2+11+у*ЧТГ=42.
1 1 /3
2Б.151.
1-/1—ж 1+/1— х
(х"-12х+32)<х*-13jc+40)
2Б.152. J - . : ~ =0.
2Б.153. *~ = 27-*.
Vx+3
2Б.154. *2+3*+УгЧЗ*=6.
2Б.156. l/"8~x +Д1/"*-1 '-*
2Б.156. (х+1)У^-5ж+5=х+1.
2Б.167. Кл^+б-бК^б.
2Б.168. £_ + JL- — .
2-Yx 2 2 Vi-x
2Б.159. Vxifx — VxVlc = m.
2Б.160. KJc+2- Ki^T7-l.
2Б.161. xj/3*2 + 13- УХ /з**+13=2.
2Б.162. Kx+yFjTH- ]/дс-УхТТ1=4.
2Б.163. К l+Jtyi^+^Jf+l.
2Б.104. 1+ 1Л+*У*2-24=*,
2Б.165. iVlzI+i/lrl =2.
2Б.166. i/7+44- ^*^19=3.
2Б.167. У7+Т3+{А*ТТЗ«12.
2Б.168. ^*+У * _з,
2Б.189. Ух^2+ \Tx=Z= y^2x^5.
2Б.170. (х+3)(х+2)-4Уж2+5*+2=4.
2Б.171. К l-y1?^F=x-l.
Среди решений (ж; у) системы найти то, для которого
сумма (х+у) максимальна. Вычислить значение этой суммы:
2Б.172.
IVx+V
V~y=b, i
2Б.173.
f /f+/H-
2Б.174. (v^+^=5. 2БЛ75# (fx+ff-3.
K?-3^+^7—i.
3»
2Б.176. [V~x-V~y=h 2Б.177. j l^+lfc-*
I xy=8. \x-2y+l=0.
2Б.178. I ^" V*-** 2Б.17*. ( V^+^S,
[ x-y=7. [ yx+2y+b=y-x.
2Б.180. ( \x\+y-b
УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ
Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под
знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его
определение:
\х\-, f xt если х^О,
1 ' \ -х9 если *<0.
На практике это делается так:
1) находят критические точки, т. е. значения переменной,
при которых выражения, стоящие под знаком модуля,
обращаются в нуль;
2) разбивают область допустимых значений переменной на
промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под
знаком модуля, сохраняют знак;
3) на каждом из найденных промежутков решают
уравнение без знака модуля.
Совокупность (объединение) решений указанных
промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.
Покажем это на конкретных примерах.
Пример 2.26. Решить уравнение |*+3| — 2х— 1.
Решение. Критическая точка находится после решения
уравнения
*+3=0, *=-3.
1) При *< — 3 получаем уравнение — х—3=2*— 1, откуда
2
х= . Но найденное значение не входит в рассматриваемый
з
промежуток.
2) При х^З получаем уравнение х+3=2дс-1, откуда х=4.
Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.
Ответ. 4.
Пример 2.26. Решить уравнение |х+2|+ )х+3| =х.
Решение. Найдем критические точки:
*4-2=0 или х+3==0;
jr= —2 или jc= — 3.
36
Решаем задачу на каждом промежутке:
1) х<-3, -х-2^х-3=*, — Зх=5; *=—|- (не входит в
рассматриваемый промежуток).
2) — 3<*< — 2, — х—2+*+3=х; jc= 1 (не входит в
рассматриваемый промежуток).
3) х^— 2, *+2 + х+3=х; *=—5 (не входит в
рассматриваемый промежуток).
Ответ. 0.
Пример 2.27. Решить уравнение
|*+5|-|*~3|=8.
Решение. Найдем критические точки:
*+5»0 или *-3=0;
jc= —5 или х=3.
Решаем задачу на каждом промежутке:
1) *<-5, — а:—5—( —х+3)=8э -х-£+*-3 = 8; -8=8
ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.
2) -5^jc<3, x+5-(-*+3)«8, *+5+х-3 = 8, 2х=6;
х=3 (не входит в рассматриваемый промежуток).
3) х>3, *+5-(*-3)=8, *+5-*+3=8; 8=8 верно.
Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого
промежутка.
Ответ. [3; +оо).
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
2А.086. |х|=3. 2А.087. |лг—5| = 3.
2А.088. |х+4|=0. 2А.089. |*+5| = -3.
2А.090. |х+4|=2х. 2А.091. |х+1| = — Зх.
2А.092. |2х+1| =2лг. 2А.093. |2х+1|=лг.
2А.094. |2х—3| =лг. 2А.095. |*| = 12л: — 51.
Группа Б
Решить уравнения:
2Б.181. |*+5| = |10+л:|. 2Б.182. |х+3| Ч- |2лг—11 =8.
2Б.183. |3*-И|+х=9. 2Б.184. |5-х| *=2(2дг—5);
2Б.185. |x~31+2|jc+1|=4.
2Б.186. |б-2х| + |х+3|-2-3*.
87
2Б.187. |5-х| + |х-1| = 10. 2Б.188. |4-дс| +1*-2| =2.
2Б.189. j*-2|-|5+Jtj=3. 2Б.190. |-ж+2|=2х+1.
2Б.191. |jc+2| — . 2БЛ92. |*2-l|+x=6.
3—x
2Б.193. |a:2+x|+3x-5 = 0. 2Б.194. |f±l|=l.
I jc— 1 I
5x4-16
2Б.195. jc2+ |a:—2| — 10=0. 2Б.196. |*»+4x + 21-
2Б.197. |x-6| = |x2-5x+9|. 2Б.198. - H*l+2-
11 ' 3-|x-l|
2Б.199. |x2-4x|=5. 2Б.200, |дг—4,2| (jc—4,2) = — 1.
§ 3. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Линейным называется неравенство вида ах>Ь (или
соответственно ax<b\ ax^b\ ax^b), где аФО и Ь — числа.
Решением неравенства с одной переменной называется
множество таких значений переменной, которые обращают его в
верное числовое неравенство.
1. Если а>0, то решение неравенства ах>Ь имеет вид
х> — (или х&( — ; + оо \\9
2. Если а<0, то решение неравенства ах^Ь имеет вид
*з^
т('илидге(-°°;т])-
3. Если а=0, то неравенство ах>Ь принимает вид 0«х>&,
т. е. оно не имеет решения при 6^0 и верно при любых х>
если 6<0. -
Пример 3.1. Решить неравенство
_ х+1 х-3 х-2 ^п
Решение, х— — -— + ~т~ -^и.
Приводим к общему знаменателю:
12*-6*-6—3*+9 + 4.г-8 ^~
12 '
Приведем подобные слагаемые в числителе
Ответ. {— ; + оо j.
48
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти йаиболыпее целое решение неравенств:
ЗА.001. -2*>4. , ЗА.002. -3*>-9.
ЗА.003. * + 2>2,5х-1. ЗА.004. ?f±l~izl <з.
4 2
ЗА.005. jc- i±i- + -^i- <3. 3A.60G. — - ?*±£- >1.
4 2 5 3
ЗА.007. *^± - ^x-S 4 aiL0()8w 9Ж+1 _ Юх-2_ %
3 2 10 9
ЗА.009. ?£zlL _ £±i <i . JL #
5 2 7
ЗА.010. х(х+3)>.(х+1)(х+3).
Найти наименьшие целые числа* являющиеся решениями
неравенств:
ЗА.011. ^±2 _ хл1 <2.
5 2
ЗА.012. —--|-<1.
6 7
ЗА.014. 3*> ~ — •
3AJ13. §*-_£±1^з.
11 4
3A.0I5. -2х<8.
3
ЗА.016. 2(*-3)-1>3(х-2)-4(*+1).
ЗА.017. ~^-1>.3-*. ЗА.018. х*+х<х(х+5)+5.
3
Найти наименьшие. натуральные числа, являющиеся
решениями неравенств-:
ЗА.019. £±i- —i±Z- >._3. 3A.020. Зх-2<1,5*+4.
7 4
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенства вида Р„(дс)Х) (Рп(*)<0), §^- >0
Qm(X)
( Рп^ <0 \, где PiiU); Qm(x) — многочлены соответственно
\ Qm(x) /,
степеней л и т% т. е.
Pn(x)=an^+an-iXn"-!+ ... +а\Х+а0;
Qm(x)=bmX"+bm-{X™-* + ... + *i*+fr<h
обычно решаются методом интервалов. Он удобен для решения
неравенств следующего вида:
39
3£±2.>0; _fc*L-<0;
x-\ дг2-Зж+2
3^-5^41 >Q 9*-a*+*-9 <Q и т
2x'+x-3 2xa+5x-4
Отметим, что неравенство * >0 ( **** <0 ) равносиль-
Qm(x) \Qm(x) J Y
но неравенству Pn(x)-Qm(x)>0 (Pn(x)Qm(x)<0). Например,
вместо того, чтобы решить Неравенство ^Z__>.0, можно
решить неравенство (х2—Зх—б) (Зх2+2х—1)>0, так как эти
неравенства равносильны (эквивалентны).
Для того чтобы решить неравенство Pn(x)*Qm(x)>Of
необходимо разложить многочлены Рп(х) и Рт(х) на множители:
Pn(x)^(cix-xl)ki(c2x-x2)'ti ... (с«х-дсп)4
где си c2i ..., сп\ ки Л2, ..., *п — некоторые постоянные, а *ь
*2> ..., хп — корни уравнения Рп(х)=0.
Множеством решений нестрогого неравенства
, JV(*)-Q»t*)>0 (Pn(x).Qm(x)^0) r
является объединение двух множеств: множества решений
строгого неравенства Pn(x)-Qm(x)>Q (Pn(x)-Qm(x)<:Q) и
множества решений уравнения Pn(x)-Qm(x)=0.
Подробно рассмотрим метод интервалов на конкретном
примере. -
Пример 3.2. Решить неравенство
(1~3jc)7(3-2x)2(1 + 3a:)3(2~jc)5jc3(x+2)*(^+3)3>.0.
Решение. 1) Вначале необходимо найти нули левой части
данного неравенства (т. е. те значения х,. которые обращают
13 1
многочлен в 0). Это *;=—; *2= —; *з=—~; *4=2; дг5=0;
3 2 о
дс6=—2; х7=— 3. Все эти значения переменной х необходимо
будет исключить из решения неравенства, которое мы в
дальнейшем получим (так как при этих значениях х левая часть
исходного неравенства равна нулю, а не больше нуля).
2) В левую часть исходного неравенства входят множители
(3—2х)2 и (JC+2)4. Эти выражения всегда положительны (так
как те значения, при которых они равны нулю, мы уже
исключили в пункте 1). Следовательно, если мы разделим исходное
неравенство на положительное выражение (3—2х)2(х+2)\ то
получим равносильное ему неравенство
(1-Зл:)7(1+Зх)3(2-д06*3(* + 3)3>0.
Перепишем его в виде
(l-3x)*(l-3x)(l+3x)4l+3x){2-xyx
X(2-x)x2x(x+3)2{x+3)>0.
40
Рис. 1
Пользуясь приемом, разобранным в пункте 2, переходим к
следующему неравенству, равносильному исходному:
(1-3*)(1 + Зх)(2-*)*(ж+3)>.0.
Таким образом, если исходное неравенство содержит
произведение сомножителей в степенях, то все сомножители в четных
степенях можно исключить (причем это можно делать только
после выполнения пункта 1). Сомножители, показатель степени
которых *— нечетное число, заменить на соответствующие им
сомножители в первой степени.
3) Преобразуем последнее неравенство так, чтобы везде в
скобках на первом месте стоял член, содержащий
переменную х:
(-Зх+1)(Зх+1){-х+2)(х+3)х>0.
В полученном неравенстве из каждого сомножителя
вынесем за днак скобок множители так, чтобы на первом месте в
скобках оказался только х. Из первой скобки вынесем
множитель ( — 3), из второй 3, из третьей ( — 1):
~3(*~ т)3(*+ т)(~1)(*~2)(*+3)*>0'
9(х~т)(х+ т) <*-2>С*+з)*>л
Разделим обе части неравенства на положительное число 9,
получим .
(*- т)(*+ т) (*-2н*+3)*>°
Для однообразия представим последний сомножитель х в виде
(*-0):
(*- т) (*+ т) (*~2) (*+3) (*~0) >а
4) Отметим на координатной прямой значения х, при
которых левая часть неравенства обращается в нуль. Это значения
Проведем через отмеченные точки волнообразную линию
начиная справа сверху, как показано на рисунке 1. Вся
координатная прямая разбилась на 6 промежутков. Самый правый из
41
них (2; оо) всегда будет положительный, отметим его
знаком « + ». Далее знаки в промежутках чередуются. Эту
иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где кривая
проходит выше координатной прямой (знак « + »)• выполняется
неравенство
(х"т)(х+т)(ж"2)(ж+3)(дс"0)><):
на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой
(знак « — »)> имеем
(*- -j)(x+ I") (*-2>(*+3)(*-0)<0.
Таким образом, окончательное решение исходного неравенства
есть объединение промежутков [ — 3; ) U (0; —111(2; оо).
Ответ. (-3; - -f) U (0; т) U(2; °°Ь
Пример 3.3. Решить неравенство — ^0.
Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби,
стоящей в левой части неравенства, на множители:
(х-3)(*»+3*+9) <р
(х+2)(х2-2х+4) "^
Дискриминанты уравнений х2+3х-ь9=0 и х2—2x4-4 = 0
отрицательны (D{ = — 27<0 и D2= —12<0); следовательно,
они решений не имеют.
Отсутствие решений означает, что квадратные трехчлены на
множители не раскладываются и на всем промежутке
изменения х имеют постоянный знак, совпадающий со знаком
старшего члена (в нашем случае «+>).
Умножим и разделим исходное неравенство на
положительные выражения (х2—2х+4) и (х2+Зх+9) соответственно. По-
х—3
лучим равносильное неравенство ^0, которое
эквивалентно неравенству х~~ <0 и уравнению *~ =0.
Решение уравнения *i = 3. Найдем множество решений
неравенства. Для этого заменим его на равносильное неравенство
(х-3)(х+2)<0.
Отметим на координатной прямой точки, в которых левая
часть неравенства обращается в нуль. Получим три
промежутка. В крайнем правом промежутке всегда стоит знак «+»
(см. пример 3.1), далее знаки чередуются (рис. 2).
42
Рис. 2
Объединяя промежуток (-2; 3) и точку х=3, получим
-2<х^3.
Ответ. (-2; 3].
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти наибольшие целые решения неравенств:
ЗА.021. (JC-l)(jc+l)a 3A.022. х(7-х)>0.
ЗА.023. £=1 <0. ЗА.024. х-х2+2^0.
х—2
ЗА.025. х2 + х+1<0. ЗА.026. 5*-*2^0.
ЗА.027. -!— <0. ЗА.028. х2<16.
х-3
ЗА.029. x2(x-l)(x+2)^0. 3A.030. 3*2-7*+2<0.
ЗА.031. -*2-5*+б5*0. ЗА.032. *2(3-*) (x+ 1) >0.
Найти наибольшие целые отрицательные решения
неравенств:
ЗА.ОЗЗ. i±l >o. 3A.034. х2+Зж+2>0.
х—3
ЗА.035. *2+2л:+3>0. ЗА.036. *2>5л:-6.
ЗА.037. *2>9. 3A.038. *3-4л:<0.
ЗА.039. ^ <0. 3A.040. *'~*~2 >0.
х—3 х
Найти наименьшее целое число, входящее в область
определения каждой из функций:
ЗА.041. y=V-(x+2)2+25. 3A.042. */= l/l. _i.
ЗА.043. |/= \f х- — • ЗА.044. (/ = l/"
2
3-х
3A.045. у- 1/£±* -2. ЗА.046. j/=y9-*2.
г 3-х
8А.047. у- т/ 4+х+ -1. ЗА.048. y=fx=i?.
43
Группа Б
Найти наименьшие целые решения неравенств:
ЗБ.002. 4хг+4х + 1:
ЗБ.001. Зх2-4х+5<0.
ЗБ.003. (*-2)2<25.
ЗБ.005. *,73*>~х+3 >0.
:0.
ЗБ.004. *-№-№+*>* >0т
<*-1)(*+1)(*-3)« ^
х+2
ЗБ.007.
*2+3*+2
х*-6х
*Чбж+9
^0.
ЗБ.006.
ЗБ.008
3-х
1
ж-3
>2.
_1_
10
ЗБ.009. -2ж2+х+1>0.
ЗБ.011. ^±2£riL<,.
ЗБ.013. ^^->1.
2-х
ЗБ.010. <«+»>'<*+«+0
хг+х+1
ЗБ.015.
х*+6х
>0.
4-3*-*>
ЗБ.017. х«+9^+8<0.
ЗБ.012.
ЗБ.014.
ЗБ.016.
ЗБ.018.
jc'+9jc+20
х+4
3-2* ^
»о.
*2+3
^+27
к*-1
Ssl.
Найти длины интервалов, на которых выполняются
неравенства:
Jt-I
ЗБ.019. ^>\
ЗБ.021.
2x416*-3
хг+8х
>2.
ЗБ.020.
ЗБ.022.
^2.
х+5 ^
2х2+*-1
-*2+5*-7
>о.
ЗБ.023. ?+4х+4- <о.
*2+5*+6
ЗБ.024. х*+хЧ3 >0.
—х2+ж+2
Найти середины интервалов, на которых выполняются
неравенства:
ЗБ.025. ^-^ <0.
хг+6х
ЗБ.027. х'-5х+12 >з.
*1-4ж+5
ЗБ.029. fl±5£±i >j2
ЗБ.026.
ЗБ.028.
ЗБ.030.
s2+2jc+I
x+6-x*
x+3
*»-4*
.0.
:o.
Найти среднее арифметическое целых решений для каждого
из неравенств:
ЗБ.031. x4-10x24-9^0. ЗБ.032. (^-e^-s'-l)
44
:0.
ЗБ.ОЗЗ. (*~1)(*+3)2^0. ЗБ.034. -—<- —.
-х-\ х 2
Найти наименьшие натуральные решения неравенств:
ЗБ.035. *> -^-. ЗБ.036. — <4.
х+2 ,х-\
ЗБ.037. i^!z2L-iL <JC# ЗБ.038. *4-3**+2*2 <о.
дг+1. х2-х-30
ЗБ.039. 6*2~15*+19 <2. ЗБ.040. — + — > —.
Найти наибольшие решения неравенств:
ЗБ.041. *2+2*~15 ^0 ЗБ.042. i£rJ*i!i£±il ^o.
*+1 - х+7
ЗБ.043. — ^3. ЗБ.044. х*+ х* „ > —.
2*+5 JxTTF 4
ЗБ.045. *+7*~13 <1. ЗБ.046. <*+6)'<'~4) >0.
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
Несколько неравенств с одной переменной могут образовать
систему.
Решением системы неравенств с одной переменной
называются значения переменной, при которых каждое из
неравенств обращается в верное числовое неравенство.
Следовательно* чтобы решить систему неравенств с одной
переменной, необходимо решить каждое неравенство, а затем
найти их общее решение.
Пример 3.4. Решить систему неравенств
\ *>0.
Решение. Решаем первое неравенство х2^9:
х2-9^0, (х-3)(х+3)^0.
Его решение —3<jc<3 (рис. 3).
Решаем второе неравенство х>0. Его решение очевидно.
Изобразим на числовой прямой множество чисел,
удовлетворяющих первому и второму неравенствам (рис. 4), ^откуда
следует, что оба неравенства верны при 0<х^3.
Ответ. *е(0; 3].
Рис. 3
45
v:/^^^^
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
-4
-/
3 *
Рис. 7
Пример 3.5. Решить систему неравенств
(х-3)(ж+1) ^
(*-4)(х+4)^0.
Решение. Решаем методом интервалов первое
неравенство (рис. 5). Точки 3 и — 1 «выколоты», так как знаменатель
содержит множители (х—3) и-^х+1), которые не могут
равняться 0. Первое неравенство имеет решение х< — 1 и *>3.
Решаем методом интервалов второе неравенство, его
решение — 4^х^4 (рис. 6).
Найдем пересечение этих множеств (рис. 7).
Ответ. -4^х<-1 и 3<*<4.
Пример 3.6. Решить двойное неравенство
-1<х2+х<0.
Решение. Решить двойное неравенство — это значит
решить соответствующую ему систему неравенств.
В данном случае система неравенств выглядит так:
j -\<х2+х,
1) Решим первое неравенство — х2—х—1<0. Многочлен,
стоящий в левой части неравенства, нельзя разложить на
множители, так как уравнение — х2—х—1<0 не имеет корней
(D=_3<0).
46
Рис. 8
-/ О
Рис. 9
Это значит, что квадратный трехчлен (—х2—х— 1) при всех
значениях х имеет постоянный знак, а именно отрицательный
(по знаку первого коэффициента). Таким образом, решение
этого квадратного неравенства есть *е( — оо; +оо).
2) Решим второе неравенство x(jc+1)<0 (рис. 8),
*€=(-1; 0).
3) Найдем пересечение полученных множеств (рис. 9).
Ответ. (-1; 0).
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить системы неравенств и указать наименьшее целое
решение для каждой из них:
ЗА.049.
ЗА.051.
ЗА.052.
ЗА.053.
Гх+3>0,
\ 2х<3.
»*••*•• {ЛИГИ
2х-
3*-1
>-ь
10jk-2>1+4jc.
П7(3дг—1)—50дг+ 1<2(дс+4),
\12-11х<11х+10.
:0,
х+4
х-2
*(х-5)<0.
ЗА.054.
Гх*>16,
\х2-16х«).
/2х2+9х<-7,
\2ж+5<0.
ЗА.055.
ЗА.057.
ЗА 068 I 12*2" (2*~3) <6*+ ]) >х>
«АЛЮ* ( (5je_ 1) (5ж+ 1) - 2бХ*>ДС-6.
ЗА.056. |2^-5*-7>0,
( х2+5х-6<0,
[ х2+4х<0.
47
>0,
— >.-3,
X
x<4.
[ 6~* ^u
3A,059. *+10 **"' 3A.060.
Решить двойные неравенства и указать наибольшее целое
решение для каждого из них:
ЗА.061. 2<3*-5<4. ЗА.062. -2<4-2х<2.
ЗА.063. *<3-*<11. ЗА.064. 6<х2+х<2.
ЗА.066. -К*2+х<12.
ЗА.065. 0< — < — .
х+Ь 2
Найти область определения функций и указать наименьшее
целое значение х для каждой из них:
Y'-s-
ЗА.067. у=У*У*-1. ЗА.068. у=У*+У*-1. ЗА.069. у= \ .
ух—\
ЗА.070. y = i/"j- + -iL+y=r. 3A.071. у= ^7^ +
V 3 4 V л
Группа Б
Найти наименьшие целые решения систем неравенств:
3*-4<8*+6. ' *+*-*<«.
8Б.047. | 2*-1>5*-4, ЗБ.048.
11х-9<15*+3.
(х+1)(*-5)<0,
дс 4
ЗБ.049.
ЗБ.051.
7-х _з<- 3+4дС
•4,
-*+5(4-x)>2(4-x).
0,4*+|<|х-1,2,
qbosq /бх2-29*+зо<о,
ЗБ.050. l5jc + 2>3^
5at+17>9jc-63.
ЗБ.052.
6-х
x+3
1
— ^
Решить двойные неравенства и указать наибольшее целое
решение для каждого из них:
ЗБ.053. 1< ^±£_ <2. ЗБ.054. 0<*2+6*<7.
1-х
ЗБ.055. х<*2-ь20<9х.
Найти область определения функций и указать наименьшее
целое значение х для каждой из них:
ЗБ.056. у=(у^*+7-з)(/з-х+7).
ЗБ.057. у= -!— +Ух+Т.
х+2
48
НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком
модуля, находится аналогично решению уравнений подобного
рода (см. с. 36).
Рассмотрим это на конкретных примерах.
Пример 3.7. Решить неравенство |х+4|^1.
Решение. Критическая точка находится решением
уравнения х+4=0, откуда х= — 4.
1) Рассмотрим промежуток х< — 4. На нем исходное
неравенство принимает вид — х—4^1. Решая это неравенство,
найдем JC5^—5 (рис. 10). Так как х<— 4 и х^ — 5, то решением
исходного неравенства будет промежуток х^ — 5.
2) Рассмотрим промежуток х>— 4. На нем исходное
неравенство имеет вид х+4^1, откуда х^—3.
Так как jc>—4 и х^— 3, то решением исходного
неравенства будет промежуток х^—3 (рис. 11).
3) Учитывая случаи 1) и 2), окончательно имеем *^ — 5
и x^z-Ъ (рис. 12).
Ответ, х^— 5 и х^— 3.
Пример 3.8. Решить неравенство \х—3|<1.
Редпение. Найдем критическую точку х—3=0, т. е. дс=3.
1) Рассмотрим промежуток *<3. В этом случае имеем
{112з<1,°ТКуДа {х>2.
Следовательно, решением исходного неравенства является
промежуток (2; 3) (рис. 13).
-5 -♦ •
А Рис. 10
-4 -3
Рис. II
- -5 -3
Рис. 12
2 3
Рис. 13
4 Заказ М 1452 49 *
3 «
Рис. 14
Рис. 15
утпЧШЦшшитимтнц Mimmiiini|||||iH'n»nu.itinuiitiiniiiL
i * -
г з
Рис. 16
2) Рассмотрим промежуток х^З. В этом случае имеем
{х-3<1, или \х<4.
Следовательно, решением исходного неравенства является
промежуток [3; 4) (рис. 14).
3) Рассмотрим вместе эти промежутки. Решением
неравенства будет промежуток (2; 4).
Ответ. 2<х<4.
Пример 3.9. Решить неравенство |2х—1| — \х— 2|^4.
Решение. Критическими точками являются *=-^- и х=2.
1) Рассмотрим промежуток х<-^. На нем исходное нера-
венство имеет вид — 2х+1 — ( — *+2)^4, откуда х^ —5. Сле
довательно, на этом промежутке решением неравенства будет
промежуток х^ — 5 (рис. 15).
2) Рассмотрим промежуток — ^х<2. На нем исходное
7
неравенство имеет вид (2х— 1) — ( — х+2)>4, откуда *^— •
о
Таким образом, исходное неравенство на этом промежутке не
имеет решения (рис. 16).
3) Рассмотрим промежуток х>2. На нем исходное
неравенство имеет вид (2х— 1) — (х—2)^4, откуда х^З.
4) Объединение полученных решений х^—5 и х^З будет
решением исходного неравенства.
Ответ. —оо<дг^~5 и 3^х<оо.
50
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить неравенства и указать наименьшее целое
положительное решение для каждого из них:
ЗА.072. |*|<3. ЗА.073. |*|>1.
ЗА.074. |х-3|<2. ЗА.075. |х+1|>1.
ЗА.076. |х+2|>-2. ЗА.077. |х-3|<-1.
ЗА.078. |*-7|^0. ЗА.079. |*-2|. (*-1)>0.
ЗА.080. |3x-2,5|^2. 3A.081. |5-2*|>1.
Группа Б
Решить неравенства и указать наименьшие целые
положительные решения для каждого из них:
ЗБ.058. |2*2-9л:+15|5*2. ЗБ.059. jc2- |5*+6|>0.
ЗБ.060. |3+*|>х. ЗБ.061. |*-9|<0.
ЗБ.063. |**+5л:|<6.
ЗБ.065. |x| + |jc+3|<5.
ЗБ.067. |2x-I| + |x-3|s£4.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Под иррациональными неравенствами понимаются
неравенства, в которых неизвестные величины находятся под знаком
корня (радикала). Обычный способ решения таких неравенств
заключается в сведении их к рациональным неравенствам (не
содержащим корней). Освободиться от корней иногда удается
путем возведения обеих частей неравенства в степень. При
этом (в силу того что проверка полученных решений
подстановкой затруднена) необходимо следить за тем, чтобы при
преобразовании неравенств каждый раз получалось
неравенство, равносильное исходному.
При решении иррациональных неравенств следует помнить,
что при возведении обеих частей неравенства в нечетную
степень всегда получается неравенство, равносильное исходному
неравенству. Если же обе части неравенства возводят в четную
степень, то полученное неравенство будет равносильно
исходному и иметь тот же смысл лишь в случае, если обе части
исходного неравенства неотрицательны.
ЗБ.062.
ЗБ.064.
ЗБ.066.
1*1*8 •
|*»-1|.(*-9)<0.
|*-2| + |х+2|<4.
4»
61
(
s в
Рис. 17
-/ О
Рис. 18
Пример 3.10. Решить неравенство У*—5<1.
Решение. Найдем область допустимых значений
исходного неравенства х-5>0, *е[5; +оо).
Обе части исходного неравенства неотрицательны — можно
возводить в квадрат:
х-5<1, х-&<0, л:е(^оо; 6).
Найдем пересечение полученного множества с областью
допустимых значений исходного неравенства (рис. 17).
Ответ. [5; 6).
Пример 8.11. Решить неравенство V—х- (дс+1)>0.
Решение. Найдем область допустимых значений
исходного неравенства — х^О, хе( — оо; 0].
Так как по определению квадратный корень из-любого числа
есть величина неотрицательная и х=0 не является решением
исходного неравенства, то, разделив обе част» неравенства на
У—лг, получим неравенство, эквивалентное исходному (х+1)>.0.
Решение этого неравенства хе(—1; оо). Найдем
пересечение полученного множества с областью допустимых значений
исходного неравенства (рис. 18): хе(-1; 0].
Учитывая, что х=0 не является решением исходного
неравенства, окончательно имеем хе(-1; 0).
Ответ. (-1; 0). ' '
Пример 3.12. Решить неравенство У*> — 2.
Решение. Область допустимых значений исходного
неравенства х^[0; Ч-оо).
Одна часть неравенства (левая) неотрицательна, а другая
(правая) часть отрицательна.
Следовательно, неравенство выполняется при всех
допустимых вначениях х.
Ответ. [0; +оо).
Пример 3.13. Решить неравенство У9*-20<х.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного
неравенства 9х-20^0, хе| —; +оо|.
62
Рис. 19
^ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ\ЧЧЧЧЧЧЧЧЧ|МПМ1ММПППП»Ш^/^^^И88а»88866
Рис. 20
Правая часть неравенства может быть отрицательной, но с
учетом области допустимых значений обе части неравенства
неотрицательны. Следовательно, обе части неравенства
возвести в квадрат можно:
9*-20<х2, -гЧ9х-20<0,
-(*-4)(х-5)<0, (*-4)(*-5)>0.
Получим *е( — оо; 4) (J (5; +оо) (рис. 19).
Найдем пересечение полученного множества с областью
допустимых значений исходного неравенства (рис. 20).
Ответ. [2-~; 4) 11(5; -К«>).
Пример 3.14. Решить неравенство У*+6Кх+5.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного
неравенства х+61^0, jcg[-61; +оо).
Правая часть неравенства (х+5) может быть отрицательной.
Причем область допустимых значений не «выручает», как в
предыдущем примере.
Рассмотрим два случая.
I. х+5>0, т. е. хе[-5; +оо).
В этом случае обе части неравенства неотрицательны.
Следовательно, обе части неравенства можно возвести в квадрат:
*+61<*2+ 10х+25, -х2-9х+36<0,
- (х-3) (*+12) <0, (х—3) (х+12) >0.
Решение этого неравенства хе( —оо; —12) U (3; +оо)
(рис. 21).
Рис. 21
штт/мт'ы
^^^^^^^
-12
-5
Рис. 22
53
Найдем пересечение полученного множества с множеством
[ — 5; оо)—это (3; оо) (рис. 22). И пересечение последнего
множества с областью допустимых значений исходного
неравенства будет *е(3; +оо).
II. х+5<0, т. е. *€=(-оо; -5).
В этом случае левая часть неравенства неотрицательна, а
правая отрицательна. Такое неравенство неверно, т. е.
рассматриваемый промежуток не содержит решений исходного
неравенства.
Ответ. (3; +оо).
Пример 3.15. Решить неравенство У*+7>.х+1.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного
неравенства х+7^0, *е[ — 7; +оо).
' Правая часть неравенства может быть отрицательной.
Рассмотрим два случая.
I. х+1>0, Х€=[-1; +оо).
Возведем обе части неравенства в квадрат:
*Ч-7>;гЧ2х+1, —х2—л:+6>0э
-(*-2)(*+3)>0, (*-2)(x+3)<0.
Решение последнего неравенства хе(-3; 2) (рис. 23).
Найдем пересечение полученного множества с множеством
[ — 1; оо) и областью допустимых значений исходного
неравенства (рис. 24) — это [—1; 2).
II. *+1<0, *€=(-оо; -1).
В этом случае левая часть неравенства неотрицательна, а
правая отрицательна. Такое неравенство верно. Следовательно,
та часть рассматриваемого участка, которая входит в область
допустимых значений исходного неравенства, является его
решением. Находим пересечение рассматриваемого множества и
области допустимых значений (рис. 25) —это [ — 7; —1).
Рис. 23
f^^^
Рис. 24
-7 -/
Рис. 25
54
-/
Рис. 26
Ответом является объединение ответов, полученных в I и
II случаях: х«=[-7; — I)Uf — 1; 2), или х«=[-7; 2).
Ответ. [-7; 2).
Пример 3.16. Решить неравенство
(х-1)Ух2-х-2<0.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного
неравенства х2-х-2>0, (х-Ы) (х-2)^*0.
Решение этого неравенства хе(-оо; — 1]U[2; + оо)
(рис. 26).
Множеством решений исходного неравенства является
объединение двух множеств: множества решений строгого неравенства
(х— 1)Ух2—х—2<0 и множества решений уравнения (х— 1)Х
хУх2-х-2=0.
Последнее уравнение имеет корни Х\ = \\ х2= —1; х3=2.
Найдем решение строгого неравенства (х— 1)Ух2—х—2<0.
Разделим обе части неравенства на положительную величину
У*2—х—2 (значения х, обращающие Улг2—х— 2 в 0, не являются
решениями строгого неравенства). Получим эквивалентное
неравенство х—1<0. Решим его: х<1 или jce(-оо; 1). Итак,
для окончательного результата нужно найти пересечение
множества ( — оо; 1), корней уравнения (х— 1)Ух2—х—2=0 с
областью допустимых значений исходного неравенства.
Ответ. —оо<х< —1 и х=2.
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить неравенства и указать их наименьшие целые
решения:
ЗА.082. Ух-2>1. ЗА.083. Ух-1<2.
ЗА.084. Ух+3>2. ЗА.085. Ух+8>-1
Ух-3
Vx+2
ЗА.086. Ух2-9<-1. ЗА.087. YjL±. <0.
ЗА.088. (х-1)Ух<0. ЗА.089. У5-х>ух+1.
ЗА.090. Ух2+х-2<2. ЗА.091. К2~Ух>1.
56
Группа Б
Найти наименьшие целые решения неравенств:
ЗБ.068. Удс+4<У*2+*+3. ЗБ.069. т= >0-
Ух-3-2
ЗБ.070. ух2+х+1<1. ЗБ.071. у*^3<*-2.
ЗБ.072. Ух=2>х. ЗБ.073. y5x=F>*-2.
ЗБ.074. У5х-х2<х~2. ЗБ.075. (x+1)VHPF>0.
ЗБ.076. f *»+4х»-Зв<*. ЗБ.077. У4^?>-У3^х.
ЗБ.078. У*+5>х. ЗБ.079. У*2+5х+7<3+*.
ЗБ.080. У£±*=1 >о. зБ.081. У9^]?>3х
Vx+6-2 r
ЗБ,082. y_x2-3*^;jc+7. ЗБ.083. г*-2-2 <0.
ЗБЛ84. Уж+2У*-1(*-7)<0. ЗБ.085. уб-ж2>.У-х.
ЗБ.086. yfT^l у"5^1с Vx~=2>0.
Найти длины интервалов, на которых выполняются
неравенства:
ЗБ.087. *-4у1-5<0. ЗБ.088. 2=&- >0.
Г /*+2
ЗБ.089. (х2-\)У-х^х. ЗБ.090. У5-лс>Ух.
ЗБ.091. У*+6>*. ЗБ.092. У*2-9<*-1.
Найти середины интервалов, на которых выполняются
неравенства:
ЗБ.093. (х-3)(-2-х)Ух-2^0. ЗБ.094. У2*-7<3.
ЗБ.095. V 3-Ух^О. ЗБ.096. *х ' >0.
*-3 К—х+5
ЗБ.097. y-*+16<JC+4. ЗБ.098. У16-*2<УЗж.
Найти среднее арифметическое целых решений для каждого
из неравенств:
ЗБ.099. (*2-4)У*^~1<0. ЗБ.100. /~*2-Зх+4>-2.
56
ЗБ.101. *±*УЖ > JO.. зБ.102. V^V~» >0
jt*-f3 x-\4
/
V*-x
ЗБ.103. Vx2-16<x-2. ЗБ.104. У4х-*2>*-5.
Найти наименьшие натуральные решения неравенств:
ЗБ.105. (У*-#-х + 1. >J0. зБ.106. ^х»+*»-4>*
ЗБ.107. yF+4>2yJi;. ЗБ.108. (х2-4)У*^Т2гО.
ЗБ.109. У*=5>л-6. ЗБ.110. ^2*~! <1.
Найти наибольшие целые отрицательные решения
неравенств:
8B.ni; У**+Ъх-7 >0 ЗБ П2 у__>_у_
ЗБ.113. У*+5>ж+3. ЗБ.114, У*+18<2-ж.
Найти наименьшие решения неравенств:
ЗБ.115. (*-1)уЗ^Т>0. ЗБ.П6. y*2+2*-3>y*=3.
ЗБ.117. bj£f=? >.0. ЗБ.П8. V*~\V~x^ .
ЗБ.119. УТ^л:<2х+1.
Найти наибольшие решения неравенств:
ЗБ.120. V~*+U <0- ЗБ.Ш.К^З-Кб^^О.
ЗБ.122. yil+6x-5*2>-l. ЗБ.123. У*2-9^*-1.
ЗБ.124. У*2+*-6<1/ -J-Jt.
§ 4. ЛОГАРИФМЫ. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЯ
Логарифмом числа b по основанию а (а>0; аф\)
называется показатель степени, в которую надо возвести число а,
чтобы поручилось Ь:
log06=Jc ■<=>- a*—b.
87
Основное логарифмическое тождество
Свойства логарифмов:
1. logaa=l, аф\\ а>.0.
2. logal=0, аф\\ а>0.
3. logabc^logab+logaC, аф\\ а>0; Ь>0; с>0.
4. log* — =loga.&-logaCr аф\\ а>0; 6>0; с>0.
5. logab'^plogab, афР, 6>.0; а>0.
6-' 'og^*= у loga&, адЫ; 6>0; а>0; ?=£0.
7. |0ge&= J^i^, аф\\ сф\\ а>0; 6>0; с>0.
logc a
8. logflb= ——. a=£l; &^1; а>0; Ь>.0.
Пример 4.1. Найти значение выражения log3Iog4 y^4.
Решение. Согласно свойству логарифмов (5) имеем
log3log4 F4=log3log4(4)* =log3 (jr10^4) •
По свойству логарифмов (1) log44= 1, т. е. получим
log3(-^log44J = log3 ~- = log33~2.
Используя свойства логарифмов (5) и (1), имеем
log33-2=-21og33=-2.
Ответ. —2.
_ э
Пример 4.2. Найти значение выражения (-^7)**&.
Решение. Используя свойство логарифмов (8), перейдем
в показателе степени к логарифму по основанию 7:
з з 1
f|^7)IO«»7rs= [(7)*]!Б577=7|ога7 = 7,°гт!1.
По основному логарифмическому тождеству последнее
выражение равно 2.
Ответ. 2.
Пример 4.3. Найти значение выражения
f(log232+27lo«'<J,0'-'\
58
Решение. Используя свойство логарифмов (5) и основное
логарифмическое тождество, преобразуем выражение в круглых
скобках:
log232+27,oge4=log2(25) + (33),og84=51og22+33,og$4-
=5+3,0*'(4)'«5+43=69.
Исходное выражение принимает вид — (69,0*,М).
Используя основное логарифмическое тождество, окончательно получим
_-f(69"«-K) = -f'14=6-
Ответ, 6.
Пример 4.4. Найти значение выражения
3 togs» 45-2 (log» 45) (logs 5) - logs3 5
31ogs45+log35
Решение. Используя свойства логарифмов (3) и (5),
преобразуем числитель дроби:
3 logs2 45-2 (logs 45) (logs 5) - logs2 5=
= 3[log3(5.9)]2-2[log3(5.9)](log3 5)-logs25 =
=3[log8 5+log8 9]2-2[log3 5+log39](log3 54)-log325 =
= 3(log35+log3 32)2-2(log35+log3 32)(log35)-log325='
= 3(log35+2)*-2 log825-4 logs5-logs*S~8 log35+ 12.
Таким же образом преобразуем знаменатель дроби:
31og345+log85=31og3(5-9)+logs5=
= 3(log35+log3 9) +log35=3(log35+log3 32) + log35=
= 3(log35+2)+log35=31og35+6+log35=^4 logs 5+6.
После упрощения числителя и знаменателя исходное
выражение принимает вид
81og35+12 = 2(4 logs 5H-6) =2
4 logs 5+6 4 logs 5+6
Ответ. 2.
ЗАДАЧИ
Группа А
Вычислить:
4А.001. log216. 4A.002. log3 —. 4АЛ03. log17l.
81
4А.004. log j 9. 4A.005. log0,20,04. 4A.006. logy^l
4A.007. logs—. 4A.008. log»8. 4A.009. Iog0.j-^r-.
6° 125 « 0.09
4A.010. log432. 4A.011. Ig 1000. 4A.012. IgO.Ol.
4A.013. Igl. - 4A.014. lglO. 4A.015. 3l0"7.
4A.016. 0,5lo*„..6. 4A.017. 25log,\ 4A.018. 0,04 ,og«»3.
4A.019. 42'ог'10. 4А.020. 9log,'\ 4A.021. У52,°г'3.
4A.022. 72|08м2. 4А.023. 10«л» 4А.024. 84 log,,\
4A.025. log42+log48. 4A.026. log25+log2 — .
5
4A.027. logj2-logs54. 4A.028. logs8+3log3—.
4A.029. logs V3+ — log2 —. 4A.030. log7196-2 log7 2.
2. о
4 A.031. logs 175 - logs 7. 4 A.032. log2 5 - log2 35+log2 56.
4 A.033. logs 8 - logs 2+logs Ц-. 4 A.034. 101* '+»* s.
4A.036. lO'+fc5. 4A.036. lOUfT-Hg?.
4A.037. I6,0g«3-0,2510«'3. 4A.038. -L( i +9 Ы.')'•«•»...
4A.039. l0*-*»-25,e*r. 4A.040. 22-,0',5 + (-y)l0в, •
Найти x, если:
4A.041. log2x=log49. 4A.042. log3*=logj5.
4A.043. log25x=logi 125. 4A.044. logjjc=log2 —^r-
4A.045. Ig*=21g3. 4A.046. Ig*=lg6+lg2.
4A.047. Ig*=lg25-lg5. 4A.048. log4x=lg23 + log2^.
4A.049. log3*= Yl°g316+3logs0,5.
4A.050. logs x=logs -^- —4-'oge0,25.
У 2 4
Группа Б
Вычислить без таблиц:
4Б.001. log2—. 4Б.002. log^-3.
4Б.003. logs ^. 4Б.004. log}2V2.
4Б.005. log«7. 4Б.006. logs 243.
4Б.007. log4-i-. 4Б.008. log^y.
4Б.009. logs —— • 4Б.010. log,-L.
8 5/5 ' 64
Найти значения выражений:
4Б.011. logs8-2 logs 2+logs-|--
4Б.012. 2 log7 32-log7 256- 2 log714.
4Б.013. logs 22-logs 11 - logs 10.
4Б.014. log2 7-log263+log236.
4Б.015. log45+log425+ logt-|--
4Б.016. log872-log3 -^- + logs 18.
4Б.017. 2log86+loga %■ -log235.
4Б.018. logs \ -2 logs -|- +log5 -j.
1 1 25
4Б.019. log4-j +log436+ -ylog4 — .
4Б.020. log212+log2-|" + loKa T •
3 о
4Б.021. 3 П . 4Б.022. 5 ^ .
log .v7 2/
4Б.023. 2log'\ 4Б.024. 7 iy% .
4Б.025. 9,og,/? . 4Б.026. 2log"125.
4Б.027. (-LV0«i4. 4Б.028. 6,0Ki *
4Б.029. (\yU\ 4Б.030. 7 V 7
4Б.031. log^ogsKi. 4Б.032. logs'logj -j^-.
4Б.033. logj logs 27. 4Б.034. logj log343 49.
4Б.036. log4log8y8i. 4Б.030. log/g-logj —.
4Б.037. Iog93logi8. 4Б.038. 1ogjJog2«125.
4Б.039. log2Iog/f49. 4Б.040. log,log232.
I 2
4Б.041. З135^ 4Б.042. б'08'6 .
э
V7
4Б.043. 3 Vl . 4Б.044. ll4l0'uU.
e
4Б.045. 2 v . 4Б.046. 64,,ef"e.
2 _ 2
4Б.047. (yEf***. 4Б.048. 9~|ог'9 .
i l
4Б.049. 492 l0*' r. 4Б.050. 8I,oe,e *
4Б.051. log3[(log25)(log88)]. 4Б.052. 0,25(l+4 ,0««5),0«-4.
4Б.053. 81lob2-°,25,oft*2 4Б.064. (logs 128) (l°&^\'
4Б.055. 64 l *M *' 4Б.056. 252-|0«•7S^-7~l0,'^
4Б.057. —(logs81 +Ш108*3)10*-35 4Б.058. 10з-1в4_49'»г.Иф
4Б.059. 3 2"l08'5 + (т)'°"5 • 4БЛ6°- 9*"'°e'*+7~ '°*2.
4Б 061 log»» 14+ (log» 14) (log»7) -2I6g,» 7
log} 14+2 log} 7
4Б062 2 log» 12-4 log»* 2+log,« 12+4 log, 2
3 logs 12+6 logs 2
3(log, 15) (log. 9) -2 log,» 15-log.» 9
4Б063' log59-log515
4Б0в4 log}' 9-2 log» 9+2 log»» 18-3(log2 9) (log} 18) +4 log} 18
log}9-21og}Jg
4Б 065. Iogbg-2(logw 5) (logs, 7) -3 log 1,7
2(logs6 5-3logs6 7)
4Б066 log,' 7^5+2 log,' 7-3 (log, 7 VT) (log, 7) ^
log,7K6-!og,49
4Б.067. 2 log,» 2-loga» 18- (log, 2) (log, 18)
2 log, 2+log, 18
62
log4* 12+3 log4* 4" +4.(log412) (log4 4")
4Б.068. 3- j i 2-*-..
log412+3log4 —
4Б069# log6215-log6» 3+2 log5 15+2 log5 3 ^
log615+log63
4Б.070. log7> 14+ (lQg7 *4) flog? 2)"2 log?2 2
log714+21og72
4Б.071. Вычислить 31og fl> Уа + loga.» Ь% если известно, что
l0ga& = 2.
4Б.072. Вычислить log ^ J-£L_ 4. —- log ^т Ь^а, если известно,
JLf 4 /■"" ' 4 —.
л* у b <**
ЧТО l0gaft=14.
4Б.073. Вычислить log|/^ -^ + log yjb у ±- , если
известно, ЧТО logaft = 3.
4Б.074. Вычислить log ъ * b +3 log ъ Va&, если известно,
Та Va V~a
что logba=2.
4Б.076. Вычислить logeJ^+log|^6 + logeK5T если
известно, ЧТО l0gab — 2.
4Б.076. Вычислить log^ by/b+logy^ a+logaya5, если
известно, что logo b = 2.
4Б.077. Вычислить log3^- -^ 3 , • ■ +21ogay6, если
У ь Yl log3>- (аУЪ)
У ob
известно, что logba=2.
4Б.078. Вычислить log^ ^O + logft/- (ф) + Т"10^ У* •
если известно, что logo b = — .
4Б.079. Вычислить log,^_A +\og,-a |/Т>, если известно, что
У а а УЬ
log6a=9.
4Б.080. Вычислить 31og3/- -^? +2 log3/— а3, если известно,
У аЬ а У аЬ
что logaft = 2.
\ 63
Найти значения выражений:
/ 2+_L_ L_ U
4Б.081. U ,0"2 + 252'0*5 +l) .
*/-
4Б.082. (27 °e/1 +4-5>0''6 2 -2'°8'2 .log2 1б).
4Б.083. (t) * .7loгт2_9.210|f,2 + 3,oг,^
4Б.084. З^-З^-б^10*4 +lgO,l.
4Б.085. 22_7SirT • 5loe^ -13-210"2 - (-fY08'*
4Б.08в.7П^Г.4,°-в-4.6,о«*6 + (^5Ге'".
1
4Б.087. З2*08'3 З'0^8 -У7.8'08'8 +(УЗ),ов»25'
4Б.088.
(3,0g^2-4°g^y_i
2
/ lofo? _1_ \J
4Б.089. (3,oe.3_5iog.3+7iog,49j
; ■ '°g,4 t
4 Б.090. 3 loe*3 - 9.4 ""•3 + 41+log< и • "
4Б.091. (Iogj2+log281+4)(log32-21og,e2)log23-log32.
4Б.092. (log52+log2 5+-2) (log82-lg2)log2 5-log82.
4Б.093. (log27+Iog716+4) (log27-2 log287)log7 2-!og2 7.
4Б.092. (log35+log53+2) (log35-log,55)log63-log3 5.
4Б.095. (Iog84+91og4 3+6)(log3 4-3logioe4)log4 3-log3 4.
4Б.096. (log73+log37+2).(log73-log2i 3)Iog37-Iog73.
4Б.097. (loge3 + log31296+4) (Ioge3-log,oe9)log36-loge3.
4Б.098. (log4 6+log64+2) (log46-log246)!oge4-log46.
4Б.099. (log* 7+9 log7 5+6) (log57-3 log875 7)log75-log67.
4Б.100. (log25+16 log5 2+8) (log25-4 logeoS)logs 2-log25.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид
\ogax—b, где о>0; аф\.
Множество его допустимых значений *>0, и оно имеет
решение х=аь.
64
Логарифмическое уравнение вида
\ogaf(x)=b, где а>0; аф\9
множество допустимых значений х которого задается
неравенством f(x)>0, эквивалентно уравнению f(x)=ab.
Логарифмическое уравнение вида
1oga/(*)=loga<p(x), где а>0; аф\у
имеет множество допустимых значений х9 задаваемых системой
неравенств f f(x) >0,
1 ф(х)>0, эквивалентно уравнению f(x)=q>(x).
Пример 4.5. Решить уравнение log2(2*-H) — log2X=log464.
Решение. Представим разность логарифмов в левой части
уравнения в виде логарифма частного, а правую часть
упростим:
log2 *±L =3.
Полученное уравнение эквивалентно уравнению
2х+\ =2з 2x+l eg
X ' X
на области определения исходного уравнения, т. е. на
множестве допустимых значений х, задаваемых системой неравенств
/2*+1>0,
\х>0
х> 2 • =^с>0
х>0
Последнее уравнение легко решить:
2х+\ 1
-^—=8, 2хч-1=8лг, 6*=1, *= -у.
Ответ. —.
6
Пример 4.6. Решить уравнение
Iog5(*+l)+log5(x-l)=3l0g62.
Решение. Представим левую часть уравнения в виде
логарифма произведения, а правую сведем к логарифму по
основанию 5:
log6(*+l)(x-t)=log523.
Полученное уравнение на множестве допустимых значений х,
задаваемых системой неравенств
№& (»{&-'•-*>■)•
эквивалентно уравнению (х+l) (х—1)=23. Это уравнение
легко решить: г2—1=8, х2 = 9, *i = 3; х2=— 3. Области допустимых
значений удовлетворяет лишь первый корень.
Ответ. 3.
5 Заказ № 1452
65
Пример 4.7. Решить уравнение log^ х—log**—2—0.
Решение. Уравнения подобного . вида, где неизвестная
функция (в данном случае log2*) входит в различных степенях,
решаются методом замены переменной. Обозначим log2*=J/,
Вместо исходного уравнения получим
^-0-2=0.
Это квадратное уравнение легко решается:
^/1+4 12 1±3 и 9. __ ,
У\,2= """2"' "|щ2;,*щ"1.
Найдем теперь искомые значения х:
0i=log2x=2, хх=А\
y2=log2x=-l, *2=— •
Оба эти значения х удовлетворяют исходному уравнению»
так как область его допустимых значенвй есть множество х>0.
Ответ. 4; —.
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
4А.051. log3(2x-l)=2. 4A.0S2. ln(3x-5)=0.
4А.053. log2(x+3)=log216.
4А.054. log5(*+l) = log5(4A:-5).
4А.055. log, (2x-l)= logs —.
* * + 3
4А.056. 21ogo,5^!B=tego,e(2x'-x).
4A.0S7. logs (х-10) «2+logs 2.
4A.058. lg(3x-2)=3-lg25.
4A.059. Ig(3-x)-lg(x+2)=21g2.
4 А.Ф60. log2 (4 - x) + log2 (1 - 2x) = 2 log2 3.
Найти наибольшие корни уравнений:
4А.061. Ig(x2-*) = l-lg5.
4А.062. log6 (2jc2—x) = 1 — loge 2.
4A.063. ln(*2-6x+9)=ln3+ln(x+3).
4 A.064. 2 log| x - 7 logs *+3=0.
66
4A.065. Iog| x-3 logs*+2=0.
4A.066. lg2x*-lg*u-2=0.
4A.067. log)*8-log2 x*-1 -0.
4A.068. log|(9*2)=log881.
4A.069. log2(*+3) + log2(x+2) -log»6.
4A.070. log3(x2-3JC)!t-log3(l-2*)*-log3 4.
Группа Б
Решить уравнения:
4Б.101. log8y2*+l = L 4Б.102,г le». Y'2x*-2~-2г
4 БЛ 04. log,
4Б.108
logw j/~?£±JL =0.
4Б.103. log. (*+5) = -l. 4Б.104. log,— -1.
T »*»-l
4Б.10Б. log.£±?—h
t x—2
4Б.107. log. l/"**1 -1.
» Г 2ж-1
4B-l09-lo^iir-0-
4Б.111. log6_x 2+1=0.
4Б.113. log2«+8 4" +2=0.
4
—ь
4Б.115. 1о8/_^+4=0.
4Б.117. log M 8- у =0.
4Б.119. log,,,—3-2=0.
r 6—X
4Б.121. log2[V3(2*-l)] = -!—.
log, 4
4Б.122. (logK-4)Iog2[5(3-2*)]=4.
4Б.12в.1ов,^--1ов1-1-
4Б.124. log344=log35log» 11 -2log3(JC-2).
5*
4Б.1ИК logLLy3*-2x-~h
4БЛ12. log»_*5- Ye0:
4Б.П4. log 9 3-у=0.
(3-ar)»
4Б.116. log2,.,3-1=0.
*+T
4Б.118. log(^_5),5- -i- =0.
4Б.120. log , 5+2=0.
KJF+T
ST
log, (5-2*)
4Б.125. log9 5= «
logs 9
4Б.126. 6°^lott2=log,r.. (x-2).
V 2
4Б.127. log , (2*+5)=3'°e,\
w
4Б.128. logj (x+2)= log2 -^.
4Б.129. log2(5-2*)«510*5.
4Б.130. log5y2jic+3=log26 7.
4Б.131. log416+log. (Здс+l) =log. (Здс+1).
4Б.132. log j [3(2дс+1)]+^^3=^(2*+1)».
4Б.133. logM^-D+log^-.-!-- =log , 125.
* ' 25
4Б.134. logj(jic+2)+31og27(*+2) = l.
4Б.135. log,Jic+41og..>c=3.
4Б.136. log3r_ (*-2)+2log3(*-2) = 10.
/з
4Б.137. logiyjc+l + log27(x+l)= y.
4Б.138. !og3-5-r-2I°8i(*+3)=2-
4Б.139. log^ (Ar-l)-log4y^n = -9.
/2
4Б.140. log , {*+2)+21og25(*+2)=log5 J-.
25
4Б.141. log3(2jc+l)-log34- +21og3 -^=-^r\ogz(2x
2 Vx—\ 2
4Б.142. logi6*+log8*+log2x= -j|.
4Б.143. log3(*+4)+log3(x-l) = l + -*—.
log23
68
4Б.144. log2(7-x)+31og2 —— = log2(2*+l).
Vx+l
4Б.145. -J- log, (bx+2)*-\og!_—1— = log^ (6-*)-log
4Б.146. — log3jc2+3logsVx^2= -J- 'og38-log3 —
4Б.147. log^ (x+l) +1 -logj (*+5) -log^ (*+2).
1
4Б.148. logsx+logs —— =log52-2log5VAf-1.
X "г Z
4B.149.-lg(3*-7) +lg2=lg(x+3) + lg(x-3),
4Б.150. log2(5*-3) -3 log2»/**-l = log2*+1.
4Б.151. log2[(*-l) (3-*)]-log2 Ъ-=ц- =0.
4Б.162. log5[(3x-l)(*+3)]-log5 — =0.
4Б.153. \0g3[(x+\)x]+\ogz-^-x =o.
4Б.154. logo,30(3x-2)]-logo,»_^_ =0.
OX ~'i5
4B.15S. lg[*(2x-3)]+lg-ii- =0.
2x—3
4Б.156. log0.i[*(*-7)] -logo., -9i*=Ib =0.
x
4Б.157. l0g}[(2*-4)*]+logf^=i =0.
4Б.158. log3[x(x;+3)]-logj^±^ =2.
x
4Б.159. log2[(*+l)(2x-3)]+log2 ^^ =3.
/>X— О
4Б.160. \ogi[(3-x)(x-l)]-\ogk^=^ ^l.
Найти наибольшие корни уравнений:
4Б.161. log;*-logз*-3=2l08,3.
4 Б. 162. 31og'e*+21og8*+2= (—Y°V.
4Б.163. *og^ Sl!2b£zll_i.
Iog2JC— i log2*
4Б.164. log3 *+log» ~ -1.
4Б.166. logj(2JC2)=log2512.
4ЬЛ6в. lg2x2-lg;t5+l=0.
4Б.167. log8(27*) = 101og,3.
4Б.168. 3log<,x+4 =1.
5log4*Jt+31og«x+2
4Б.169. log^i^L=3,0,r^2.
4
4Б.170. log2(*+3)2+log2(*-l)2= 2
leg» 2
Решить уравнения:
4Б.171. 3|в,,д* б'08'* =2025.
4Б.172. loge V2*(*-«)+3 log6 3 - log* Л
4Б.173. 3'°* <*-2)-,0'« <*+,) - (T)"(,~,efc,)'
4Б.174. log»(8x2)=yiog«8j(4.
4Б.176. log4 (2 logs(1 + log2 (1 + 3 log2 x) ) ) - -L
1
4Б.176. log6y*-2+-Moge(*-ll) = l.
4Б.177. Клг,ов^«=1о8(_„(*-1И.
4Б.178. logj (4Af)+log2 y =log(«_e.s)(x-0.5)«.
4Б.179. log<2*+i)(5+8*-4*2) +tog<5-2*)(l +4x+4x2) =4.
4Б.180. —J -log(_i,(x-l)«+log!';r-L.
3+log» At 2
Найти наибольшие корни уравнений:
4Б.181. lg*(10*)+!g(10x)=6-3lg—.
4Б.182. log,y3+log*2y3""=logs27-log«-j.
4Б.183. logjj>J8x+3 logo,» *+5-0.
4Б.184. logU^ -log3,- *-2=0.
У2
4Б.185. log?— -3=log2*2.
70
4Б.186. — log.' {3x+2)*-\og\(4x+&) -
- -logs(4x+5)log5(3x+2).
4Б.187. 4" bg* (2x+3)-log3(2*+3)l0g8(x+t3)»=i
-21og3*(jc+V3).
4Б.188. 4- logs*(2*+3)2+8 log82y*=log8(2*+3)3loge*.
4
4Б.189. l !
logi(x+1) 2 logt^ 3x»+2*-7 "
4Б.190. log2V2*+31og*2=l.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Простейшее показательное уравнение вид»
«*-*, где *>0> »>в, <*#?,
имеет решение х—logo ft.
Показательное уравнение вида
о/!*)«ф; где а>0; Ы>0; *нМ,
решается путем логарифмирования обеих частей уравнения по
основанию а.
В результате получается эквивалентное данному уравнение
f(x)=\ogab.
Показательное уравнение вида
аП*)=а<**\ где а>0; аф1%
также решается путем логарифмирования обеих частей
уравнения по основанию а. Эквивалентное ему уравнение /(*)=ф(*).
Пример 4.8. Решить уравнение (—J = (—J .
Решение. Приведем степень в правой части уравнения к
5
основанию —:
Исходное уравнение принимает вид (—) = (—) .
Логарифмируя по основанию — , получим х= — 4.
Ответ. —4.
И
4 - 5
Пример 4.9. Решить уравнение у 1253-2*** -^—
Решение. Преобразуем правую и левую части уравнения
таким образом, чтобы в основании было число 5:
/Тг^^б3)3-2*]1 =5*(3~2дг\
Теперь исходное уравнение принимает вид 5*( ~~ = 5 .
3 3
Логарифмируя по основанию 5, получим—(3—2дг) = —, или
4 4
3-2х=1, jc=1.
Ответ. 1.
Пример 4.10. Решить уравнение За-*-6-32ж=32я+|.
Решение. Представим правую часть уравнения в виде
З^+^З-З2*. Перенесем второй член из левой части уравнения
в правую и приведем подобные члены, тогда получим
32-*-б-32ж=3-32*, 32-*=6-32ас+3-32я, 32-*=9-32*.
Представим правую часть уравнения в виде 9-32*=32*+2. Таким
образом, исходное уравнение принимает вид З2-*^2**2.
Логарифмируя по основанию 3, получим 2—х—2дс+2, 3х=0, *=0.
Ответ. 0.
Пример 4.11. Решить уравнение 9*—3*—6=0.
Решение. Первый член уравнения можно представить в
виде 9х=32х= (3х)2. Тогда исходное уравнение принимает вид
(3*)2-3*-6=0.
Подобные уравнения, куда неизвестная функция входит в
различных степенях, решаются методом замены переменной.
Обозначим 3*=у, тогда имеем у2—у—6=0. Это квадратное
уравнение легко решить:
у1Аш.Л±ШП± .liS.ifrS; |f2 —2.
2 2
Второй корень смысла не имеет, так как показательная
функция всегда положительна. Итак, 3*=3; х=1.
Ответ. 1.
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
4А.071. 2*=32. ' 4А.072.
(±Г
72
4A.073. 4s-2*=4*-*. 4A.074. 2*-*=l.
4A.075. 2»*+*=44 4A.076. 3*+2-3*=72.
4A.077. 2-22»-3.2*-2=0. - 4A.078. 3-25*-14-5*-5=0.
4A.079. 2-9*-3*+>-9=0. 4A.080. 2*4*-15-2*-2=0.
Группа Б
Решить уравнения:
«'«•(tHt)'- *'*ЙГ-(тГ
-3
«»*(тГ-(тГ «•■«•(ir=(f)
4Б.195. ШУ^-Ш8. 4Б.196. (0,5)**-»=16-2.
4Б.197. (0,04)2-»=25-1. 4Б.198. (О.в)8"2»» (1.25)3.
4Б.199. (3,5)*-»= С-1-)2. 4Б.200. (0,125)»-»=23.
4Б.201. У5^= -J=. 4Б.202. К^- —.
V5 /2
4Б.203. К9^*+'= — 4Б.204. V7^+<= —
r ft /— • * 4 /— •
V3 V7
4Б.205. УТ^*= —. 4Б.206. У3^=й= ~^-..
VI V&
4Б.207. К7«+' = JL. 4Б.208. ^25*^= ^=.
4Б.209. /272^'= — 4Б.210. i/"I*+2=. -^
/ ft /— • г 6 /— •
УЗ У 2
Найти наибольшие корни уравнений:
4B.2l2.(f)<"-a_(|)S'-'S.
4Б.2.4. (ip-_(iip".
4Б.Ш. Л.)-**_(2.)-**
73
Решить уравнения:
HTF4*
4Б.Ш. (f )^--(Д.)"
\tYx-4S
V*^i-»3
4Б.218.
(i)"
^**.
:+•
4Б.219.
(ЗЗГ\Гх+1 ^ — ^_Ю^ /jR5
-8
33/
.«+4»
-JT-1
4Б.221. 7-5»-Б»««-2-Н
4Б.223. 3*«+4-3«+*-21.
4Б.225. г-б^+З^б»*»—32ft-a-».
4Б.227. 4*+4*-»=5.
4Б.229. 3-7»+«+5;7*-«*-15fc
4Б.231. 22*+14-2*+«-29=0.
4Б.233. 5**»-575-5»^« -250=0
4Б.234. 2.5to+1-245-5*-»-5=0
4Б.235. 3*9*+*—26-3*-*—1=0.
4Б.237. 36*-204-б*"»-72=0.
4Б.239. 49*+« + 55-7*+«-56=0.
4Б.241. 32я+5-2г*+7+32зс+*-22ас+*=0.
4Б.242. 23«+T+5to+t+2*c+8-53)t-^=0.
4Б.243. 3te+5-2*«+7-3to+8-2t:lc+*=0.
4Б.244. 52х+5-22я+*°+3-5гх+г-2гх+»=0.
4Б.245. 25я+«-751+2-25*+»-75«+1=0.
4Б.246. 2-JJC+e-2-2*-3-bc+8-2-2jc-«=0.
4Б.247. 4-72*+4-Зг*+в-2.72*+»+32*+*=0.
4Б.248. 4-63*+2-53*+8+68*+1-53*+2=0.
4Б.249. 4-32*-22*-1-32*+1-22*=0.
4 Б.250. 3 • б"*4**8) - 2»-**+5-<**+2> - 2-**-«=0.
4Б.251. *~-(jr)'+1 - -^ + |/^ =84.
4Б.222. 2*«-52*=32-».
4Б.224. 5«+1-5^-2=620.
4Б.226. 7*+»-3.7*-28J
4Б.228. 31-^+32«+3=10.
4Б.230. б-г^+З-г^^вб.
4Б.232. З^+Н 72-3* -75=0.
4Б.236. 2-4*+»- 2*+»-1=0.
4Б.238. 100*—80 10*-* —20=0.
4Б.240. 4*+1+192*-5-а
7»
JT-1
4Б.252. 6»"a- (—У-* +36-5" =246.
4Б.253. 32»+3+У<Р+»"+ /—)2-2*=91.
4Б.264. ■ (y)-Zr+3 +49*-«+72*-»=399.
4Б.255. 42-*-4-<*+i>+ (—)A_r' — =500.
1 \.r+2_
VI?
2Ж+1
(I \i_2jr ~т* l
_Lj _52x+2_25 2 + —^ =2380.
4B.257.3--(|-)3-'-j/3I+207.
4Б.258. 2*"+ (ip +4»"= ;j/^ +78.
1-2*
=475+ /_^1
4Б.269. 25*-«+ ' =475+,Ш
4Б.260. 2-«*-»>+ , /"_JL_=56+,/_L\jr+1#
4Б.261. 22«+2*-2=0. 4Б.282. З^-г^-З-О.
4Ь»3. 2*«-3(1Ц)«-4-0. 4Б.«в4. 2-5*=8«+1.
4Б.265. 3-««+«+5(—У =2. 4Б.266. 5-5-**+4- (-Ц* =1.
4Б.267. 2-»*»-2-«+» + 1. 4Б.268. 2-3-2«+2=3-»+»+1.
4Б.269. 3-2-2«+3=2-«+« + 1. 4Б.270. 6-5-**+»-1 = 5-*+».
4Б.271. З-г^+б'-г-З^-О.
4Б.272. 5-32*+2.15*-3-52»=0.
_2_ _1_ 2
4Б.273. 2.5^-3-10/;* -5-2/J =0.
4Б.274. 14-4i';+l+3-14i';+»-2.49i'5+1=0.
4Б.276. 27.24(Jt4-I)-3.62(jr'+,)-4.34<jr,+,) =0.
4Б.276. 9-256i'*-6-144f*-8-81^=0.
4Б.277. 10-81«+9225»-9.625«=0.
4Б.278. 2-81*+»-36*+1-3.16*+1=0.
4Б.279. 72*+«+4-21*-32*+*=0.
4Б.280. 916*-712*-16-9*=0.
75
4Б.281. 5*-1=У6 + 2.5*. 4Ъ.282. 3*+*-2 = У10-3*+2.
4Б.283. 2*-3 = у25 + 9-2*. 4Б.284. 11 —3Ж = УЗ^=:Т.
4Б.285. 8-аб.6А = Убх+2-2.
4Б.286. \х-4\*-"-** = |л: — 412.
4Б.287. \2-х\У"-*-*=\2-х\К
4Б.288. |2x-H|/2jr'~5jr~2 = |2*+l|.
4Б.289. |Зх-2|У2дг"3дг'=1.
4Б.290. |l-3x|/5jr,+7jr"2=|l-3x|2.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИИ
При решении систем логарифмических и показательных
уравнений используются обычные приемы решения
логарифмических и показательных уравнений и обычные приемы решения
систем уравнений.
Пример. 4.12. Решить систему уравнений
log3x+log9# = 3,
log^ x+logs j/=3.
Решение. В каждом из уравнений системы перейдем к
логарифмам по одному и тому же основанию, например 3.
Воспользовавшись тем, что log9y=log. у— — log3# и log, x =
•* 2 я
= log3-i х= —log3x (см. свойство логарифмов (5)), перепишем
исходную систему в виде
log3x+ — log3 у=3,
-log3x+log3y=3.
Складывая уравнения системы, получим l,51og3y = 6, или
log3#=4. Отсюда у = 34=81. Подставляя это значение у в
первое уравнение системы, найдем значение х:
log3*+ у log381 = 3, log3x+y.4=3, log3x=l, x=3.
Так как заданная система содержит выражения вида log3x и
log3#, то по определению логарифма должны выполняться
условия x>0, y>0. Полученные значения хну удовлетворяют
этим условиям. Итак, пара значений переменных /ж = 3, явля-
ется решением заданной системы.
Ответ. (3; 81).
76
Пример 4.13. Решить систему уравнений
5*- 2v= 80,
Решение. Из второго уравнения системы легко получить
х+у=(У5)2=5. Выразим из этого уравнения х через у и
подставим в первое уравнение системы х=5—у, тогда 55~^«2^=80.
Последнее уравнение преобразуем следующим образом:
55-v.2v=80=^55.5~v2v=80=^55(5-1)1'-2«'«80=^
^(5- .4.-«^(i)' -80* (±Y - Ж _ Я _(|)-.
Из последнего выражения нетрудно получить, что у=4. Так
как дс=5—у, то дс=5—4=1.
В исходную систему входит выражение log^_ (х+у),
следовательно, по определению логарифма выражение {х+у) должно
быть больше нуля. Полученные значения переменных (х—1;
у=4) удовлетворяют этому условию и являются решением
заданной системы.
Ответ. (1; 4).
ЗАДАЧИ
Группа Б
Решить системы уравнений:
4Б.291. {Ч*45"Г,0||УЛ"0, 4Б.292.
\ х2—2у2—8=0.
4Б.293.
4Б.294.
4Б.295.
4Б.296.
4Б.297.
4Б.299.
4Б.301.
( I0g2*-l0g2«/=l,
1 log2*«/ = 8.
f log2(*+14) + log2(*+y)=6,
1 Jog4(*+i/)=0.
f log2Jc+log4i/=4,
1 Iog4*+log20=5.
\og2(x-y) = 5-log2(x+y),
Igx-lg4 __j
lgy-lg3
f 2« + 2i'=12,
[x-y=l.
Г2-4*+3-5»=П,
5-4*+4-5»=24.
2*-3v=12,
2»-3*=18.
4Б.298.
4Б.300.
4Б.302.
logi (x+y) = -2,
\og6(x-y)=2.
/5-3*-«-3-2v=-l,
l3*+«+5-2»-»=14.
f 2*-2»=l,
\23*—2S»=7.
| 32»-2v=725,
I 3«-2*=25.
77
4Б.303.
3*. 2^=144.
4b.<W4. i 2*+»* — 4 = 0.
4Б.305. / logs(logs*+log3y)=0,
/ logs
J 4*-v
16.
§ 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
НЕРАВЕНСТВА
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение логарифмических неравенств основано на том, что
функция y = logax при а>1 является монотонно возрастающей,
а при 0<а<1—монотонно убывающей:
llogaf(x)>\oga<((x),
\а>\
Jl0g<J(x)>l0goq><*),
\0<а<1
<р(*)>0,
а>1,
f(x)><p(x);
Н*)>0,
0<а<1,
f(x)«f(x).
При переходах от простейших логарифмических неравенств
к равносильным системам неравенств, не содержащих знака
логарифма, следует учитывать область допустимых значений
исходного неравенства.
Простейшие логарифмические неравенства:
1. / lOga f(x)>b,
\a>l
2. t\Ogaf(x)>b,
\0<о<1
3. J lOga/(*)<&,
\0>1
4- /log./(*)<*.
\0<a<l
-<=>
if(x)>a»,
\a>\.
i0<f(x)<a»,
\0<a<l.
\0<f(x)<ab,
\a>l
if(x)>a»,
\0<a<l.
Множество решений нестрогих неравенств вида
logo Пк)>ь и logo/(*)<&
находится как объединение множеств решений
соответствующего строгого неравенства и уравнения logaf(*)=&.
7»
Логарифмическое неравенство вида
log.*»)/(*)>*>
эквивалентно двум системам неравенств
1(х)>0,
Ф(*)>1.
Дх)>(Ф(х))ь
( Н*)>0,
0<<р(дс)<1,
/(*)<(<р(*))ь.
Аналогично решается и логарифмическое неравенство вида
l0g<r(x) 1(Х)<Ь.
Пример 5.1. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее
неравенству
log3(2;t+l)-log3 5<0.
Решение. Перенесем второй член неравенства в правую
часть. Получим
log3(2*+l)<log35.
Так как основания логарифмов одинаковы и больше 1, то
последнее неравенство эквивалентно такой системе неравенств:
/2*+1>0,
\2х+1<5.
Эту систему нетрудно решить:
{&&-Ь"^*«(-1=')-
По условию задачи необходимо найти наибольшее целое х
из данного промежутка. Так как число 2 данному промежутку
не принадлежит, то наибольшее целое значение х=1.
Ответ. 1.
Пример 5.2. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее
неравенству log3(2jt—5) <2.
Решение. Это простейшее логарифмическое
неравенство (3) эквивалентно следующей системе неравенств:
0<2х-5<32.
Эту систему легко решить:
5
2*-5>0, _| 2 =**е(4: 7V
\2х-5<9 ^ Ijc<7
Наибольшее целое х из этого промежутка * = 6.
Ответ. 6.
79
Пример 5.3. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее
неравенству
log3log3/-(2-*)>,l.
У 2
Решение. Для удобства обозначим log3/r-(2—х) =/(*),
тогда исходное неравенство примет вид
log3f(*)>l.
Это простейшее неравенство (1), т.е. оно эквивалентно
следующему неравенству: f(x)>3* или log3^-(2—*)>3. Последнее
У 2
неравенство также простейшее логарифмическое
неравенство (1), оно эквивалентно неравенству 2—х>(у^2)г , решение
которого 2—х>2, х<0.
Наибольшее целое х из этого промежутка *= — 1.
Ответ. —1.
Пример 5.4. Найти наибольшее целое х9 удовлетворяющее
неравенству
log*+o,5(3-*)>l.
Решение. Логарифмическое неравенство подобного вида
эквивалентно совокупности двух систем неравенств
( 3-jc>0,
*+0,5>1, i
3-х>*+0,5
Решаем первую из этих систем:
( 3~-л>0,
0<*+0,5<l,
3-х<х+0,5.
3-х>0,
*+0,5>.l,
3-х>*+0,5
1
*<3,
Решаем вторую систему:
3-лг>0,
0<х+0,5<1,
3-*<лс+0,5
{ *<3,
дс+0,5>0,
\ jc+0,5<1,
хе
(Ь т)-
*<з,
х>-0,5,
«0,5,
=0.
Решением исходного неравенства является объединение двух
решений этих систем, т. е. окончательно дге (—; — ] .
Наибольшее целое х из этого промежутка х=1.
Ответ. 1.
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти наибольшие целые значения jc, удовлетворяющие
неравенствам:
5А.001. log5(3-8x)>0. 5A.002. log, (7-3x)^0.
5A.003. log J (7-х) >-2. 5A.004. log, (3-2лг) > -1.
5A.005. log2(x-3)<3. 5A.006. Ig(4x-1) ^1.
5A.007. Ig(x2 + 2JC+2)<1. 5A.008. log, {x2-x-2) > -2.
2
5A.009. log3(3Jt-l)< log3(2jt + 3).
5A.010. log.(4x-3)3£ loe, U + 3).
7 ' 7
Найти наименьшие целые значения jc, удовлетворяющие
неравенствам:
5А.011. log3(3jt-2)>0. 5A.012. log, (х + 3)<0.
5A.013. log, (6-х) >-2. 5A.014. tog. (5-2х)>-1.
5A.015. Iog3(Jt-8)>l. 5A.016. lg(3Jt-2)^l.
5A.017. lg(jc24-JC4-4)<l. 5A.018. log. (*2-2л:+1) ^2.
5A.019. log2(2jt-l)> log2(x+l).
5A.020. log5(3Jt+l) >Iog5(x-2).
Найти наибольшие целые значения к, удовлетаврялащ*^
неравенствам:
5А.021. 5*-*<25. 6А.022. б2*^"2.
5А.023. З^^З2. 5А.024. 2Х%~*Х <2°.
5А.025. 03"+** ^0,6°. 5А.026. [^Т'" > (т)"'-
5А.027. 3-*"2>32. 5А.028. 2-2*+2$*22.
5А.029. 5х"3 <52. 5А.030. 33*"5^34.
Группа Б
Найти наибольшие значения х, удовлетворяющие
неравенствам:
5Б.001. log2(3-2x)-log213<0.
5Б.002. log, (3x-l)~log16>8.
3 3
3 Заказ № 1452 Bi
5Б.003. log2,7(l-— )-log2,?4<0.
5Б.004. logo,? (2x-7) - log0,7 5>0.
5Б.005. log.(3+ -у)- 1°8з4<0-
5Б.006. Ig2te-l-lg2*+2<lg4.
5Б.007. lg52«+3-lg25>Jg53«-2+lg5.
5Б.008. Ig3»~*+lg5>lg27+lgl5.
5Б.009. lg(7«-2*+3)-lg39>lg4-lg3.
5Б.010. lg(53-«+2)-lg63>lg3-lg7.
Найти, при каких целых значениях х выполняются
неравенства:
5Б.011. log3 (3*-2)-loga56<log3 y -logf7.
5Б.012. log0,7(3-2*) -loge.754>log0>7 у -logo.7 9.
5Б.013. log,^(5-2;f)-logu7<log1(s6-4ogI.s 14.
5Б.014. log. (5x-7)-1og.5>logjl6-log. 10.
5Б.015. logi(2*-3)^21ogj6<log7-J- -logj3.
Найти наибольшие целые значения х, удовлетворяющие
неравенствам:
6Б.016. log2(2x-l)<3. 5Б.017. log3(*+2)<2.
6Б.018. log,(jc-3)>-2. 5Б.019. log, (*+l)>--|- .
ЪБМО. log,(3-*)>-l. 5Б.021. *log^ 7-2к^7>0.
5Б.022. (x+1) logo.7 3- logo.7 27>0.
5Б.023. (2*-3)loga5-31og3.5>0.
6Б.024. (3*+2)log0.3 4-ll log0,34>0.
5Б.025. (5*-2)logi,22-18 logi,22<0.
6Б.026. log^- (12-*2)>2. 5Б.027. log^ (x2-12)>-4.
6Б.028. log6(*2-*)<l. 5Б.029. log/i5(2x2+x)<2.
5Б.030. к^(7х-Зх2)<-1. ЯБ.031. 5,efc <**-".< 7.
62
*МЮ.-3****«,<* 5БЛ88. 8,0fc(3-!U> >3-
5Б.034. 13to«»<'-3*) >7. ЭБДЗ&. (-f p-1*^ <&
5Б.036. logslog^.(x-l)<l. SKM7: logslogj (2*+-l)>0.
5Б.038. log4log , (2-x)< —. 5Б.039. log.log „(jc-4)>-1.
5Б.040. log, log , (2-3*) >—2-
6Б.041. logi(x+2)-Iog»(x+2)>- -|-.
6Б.042. log/s. (2jc- 1) - log, (2x-1 )< -|-.
26
5Б.043. log , (x-5)+21og/r.(*-6^<:4.
5Б.044. log2(3-2*)-log.(3-2x)> -£.
5Б.045. lg(x-2)-log/B(JC-2)>-l.
5Б.046. logx+t(5-Jc)>l. 5Б.047. logx-2(2x-7)<i.
5Б.048. log«(2x-3)<l. 6Б.049. log«-i(4-x)<l.
5Б.050. log2x+i(3-2jc)<l.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение показательных неравенств осяоваио на том* что
функция у=ах при а>1 является монотонно возрастающей, а
при 0<а<1—монотонно убывающей:
\а>1 ^ (а>1;
Г ат>а**\ (f(x) <Ф(х),
\0<а<1 ^ {0<а<1.
Решение нестрогих показательных неравенств отличается от
решения соответствующих строгих неравенств лишь включением
в множество всех решений неравенства также и корней
соответствующего уравнения.
Неравенство вида
afw^zb, где а>0; аф\\ й>0,
может быть решено путем логарифмирования обеих его частей
(так как обе части неравенства положительны). При всех
6* Ш
Ь^О неравенство подобного вида справедливо для любого х
из области допустимых значений неравенства.
Неравенство af(*)^.b при ft^O; a>.0; аф\ решений не
имеет.
Простейшие показательные неравенства:
1.
2.
5.
аЛ*>>&,
а>\,
Ь>0
а/(*)>6,
0<а<1,
&>0
а>0,
Ь<0
а>1,-
Ь>0
аЛ*><&,
0<а<1,
Ь>0
аЛ*)<&,
«>0,
6<0
-**■
-о-
■<=>
-«=*-
— не
[ /(Jc)>loge6,
в>1,
[ 6>0.
[ /(Af)<loge6,
0<а<1,
[ Ь>0.
Г -oo<f(je)< + oo,
а>0,
[ ft<0.
'/(Af)<IOgeft,
в>1,
Ь>0.
r/(*)>log«6,
0<а<1,
&>0.
фавенство решений
Некоторые показательные неравенства содержат выражения
вида /<*)<**). Напомним, что функция /(х)***> определена тогда,
когда определены обе функции /(х), <р(х) и, кроме того,
/(*)>0.
Пример 5.5. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее
неравенству 3* <9.
Решение. Поскольку 9 = 32, то данное неравенство
равносильно неравенству
3* <9 «<=> 3* <з*
— <2 <=> х<4.
2
Наибольшее целое х из этого промежутка х=3.
Ответ. 3.
Пример 5.6. Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее
неравенству
2*+з+10.11 *+2< 11*+3+2*+*.
84
Решение. Соберем все степени с основанием 2 в одну
часть неравенства, а степени с основанием 11—в другую. При
этом представим 2Х+* в виде 2x+3=2-2x+2, а 11*+* — в виде
11*+з=1Ы1*+2:
2.2*+2_2*+2< 1Ы1Х+2- 10-11Х+2.
После приведения подобных членов получим 2Х+2<11Х+2.
Разделим обе части неравенства на 11х+2 (при этом смысл
неравенства не изменится, так как выражение 11х+2 всегда
положительно) :
«vr+2 / 9 \-H-2
if*<""■(£) <l
Полученное неравенство равносильно неравенству
(ip < ■-(i)" < (£JW+l»0«*>-t
Наименьшее целое х из этого промежутка х= — 1.
Ответ. — 1.
Пример 5.7. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее
неравенству
Зй+ж - 28+32-^х+1< 0.
____ ^
Решение. Для удобства обозначим 3'*+!=у. Исходное не-
9
равенство принимает вид Зу—28Н <0.
I/
Умножим обе части неравенства на у (при этом смысл
неравенства не изменится, так как у по определению всегда
больше нуля). Получим Зу2—28у+9<0.
Раскладывая квадратный трехчлен в левой части
неравенства на множители и решая полученное неравенство методом
интервалов, для у получим
(Зу-1)(у-9)<0-
У>Т>
у<9.
Переходя от у к исходной функции 3^*+1, имеем
З'£н> *
з <=>
<=>х+1<4<=>х<3.
{ Ух+1<2
Учитывая область допустимых значений исходного
неравенства (*>.-1), окончательный результат есть хе( —1; 3).
Наибольшее целое х из этого промежутка х—2.
Ответ. 2.
85
Пример 5.8. Найти наибольшее целое ху удовлетворяющее
неравенству
Решение. Выражение в левой части неравенства имеет
смысл лишь при условии, что (х+1)>0, т. е. х> — 1.
Рассмотрим два случая, когда (х+1)>.1 и <х+1)<1.
При (х+1)>1, т. е. при х>0, имеем
(x+l)Jra-36<l, ^Ux+lf-* <(x+\)»,^lx>-36<0t<^
х>0 U>0 U>0
(дг-6)(х-ь6Н;0,
x>0
( *<6,
*>-6, <=>jce(0; 6).
x>0
В случае, когда (ж+;1)<;1 (т. е. х<0), учтем
необходимость выполнения неравенства *>.—1:
(x+lf-* <1, ( х2-36>*>,
х<0, <=> ] ж<0, -ФФ-
I х> -J I х>,-1
(х-6)(х+6)>0,
Наибольшее целое х из промежутка (0; 6) х=5.
Ответ. 5.
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти наибольшие целые значения х, удовлетворяющие
неравенствам:
5АЛ21. 5*-*<25.
5А.023. З3-*^.
5А.025. 0,6Jfi+ajr>l.
БА.027. (±)х+* >9.
5А.022. 6*<<
36
5А.024. 2*'~~<1.
1 \2x-3 ,
1 \-2
'^«•(i) >Ш
БА.029. l±Y X <25.
5A.028.
5A.030.
1 \2дг-2
Ш
1 \5-3jc
Ш
>4.
«£81.
Группа Б
Найти наименьшие целые значения к, удовлетворяющие
неравенствам:
5Б.061. з-2*<у37
5 Б. 062.
(±У
2»
т >25.
(, 4_ar+i 2* +з
—) >де. 5Б.054. 2а >16-
6Б.055. 5 » >г^-
Vb
Найти наибольшие целые значения х, удовлетворяющие
неравенствам:
5Б.056. 23x<Vl. 6Б.057. 93 <243.
6Б.058. (-g-)" >4. 6Б.069. (-£-)"* «£7.
8Х+1
5Б.060. З-5" <j-4r. бБЛИИ. 2S0-5*-*-25*-*>0.
5Б.062. 14г.7»-*-3.7*~«<0<
5Б.063. 13-2ta+s-2082-«»-3<0.
41
5Б.064. 7.3*-J+20-32-*<3'-2.
5Б.065. —-26«>8-6-«.
Найти наименьшие целые значения х, удовлетворяющие
неравенствам:
5Б.066. 2*+»+3-5*<3.2*+5*+*.
5Б.067. 2^+i-3tx+i<32x-7-^*.
5Б.068. 5*+»-3*+2<2-5*-2.3*-*.
5Б.069. 3*+10*-2>19.3»-Ч-10*-».
5Б.070. 7*+2-8*+2<6-7*+1-7-81С+1.
5Б.071. г^-З-г^+г^О. 6Б.072. о^н-^+^о^-б.
5Б.073. 32«+2-3*+*<3*-9. 5Б.074. 72«-*-7*+«<7»-«-?.
6Б.075. 9*+«-3*+*<3*-3: 5Б.076. (-у)*4"** >i^f)*** •
5БЛ71'[Т) >Ы ' 5Б.078. (0,2) 6 >(0.04)ю-
5Б.081. (-f )^ ^4. 5Б.082. (l")^> Т.
87
5Б.083. f -j)* * < T * 5Б.084. (-y V* > 49.
ьх-i / l \»
5Б.085. (0.2)3-* < [fj ' 5Б.086. 2'*+'-1< 3 • 2*-**"+?.
ББ.087. 2-3V*-5>3»-i'*. 5Б.088. 3-2*^+2а-т/*=^>25.
5Б.089. S*^ri>5i-^2+4, 5Б.090. 2-71й*=5>7«-1'й::"5+13.
5Б.091. (х-3)*,_9>1. 5Б.092. (х-2)л'~1 >1.
5Б.093. (х+2)д,_1в>.1. 5Б.094. (х+1)л'-4^1.
5Б.096. (х+ -i-V""* >.i.
Ч*+тГ
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЯ
Основные тригонометрические формулы
I группа. Соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента:
sin2a+cos*a=l. (6.I.1)
(6.1.2)
(6.1.3)
(6.1.4)
(6.1.5)
(6.1.6)
sin2 a
II группа. Формулы сложения:
sin(a+p) = sin a cos p + cos a sin p. (6.II.1)
sin(a —p) =sinacosp —cosasinp. (6.II.2)
cos(a+p)=cosacosp —sinasinp. (6.II.3)
cos (a— P) =cos a cos p + sin a sin p. (6.II.4)
^а+е>=г^т- (6IL5)
1—tgatgp
tg(a-B)- Д*"?' • (в.И.6)
88
cos a
Л. cos a
ctga= -— .
sin a
tgactga=l.
1 | \{Л n— '
l i ig a— .
cos2 a
l+ctg2a = -^-i—
III группа. Формулы кратных аргументов:
sin 2а=2 sin а cos а. (6.III.1)
cos2a = cos2a-sin2a = 2cos2a-l = l-2sin2a. (6.III.2)
tg2a=-j^-. (6.III.3)
sin 3a = 3 sin a-4 sin3а. (6.1П.4)
cos 3a=4 cos3a—3 cos a. (6.III.5)
IV группа. Формулы преобразования сумм или разностей
в произведения:
sina+sin p=2sin ^ cos ^. (6.IV.1)
2 2
sin a-sin p=2sin ^dL cos ^ . (6.IV.2)
K 2 2 x '
cosa + cosp=2cos-^±£ cos ^^ . (6.IV.3)
2 2 *
cosa-cos6=-2sin^=^-sin ^±£. (6.IV.4)
2 2 '
tga+tgp=sin(q+p) . (6.IV.5)
cos a cos p
tga-tgp=sin(a-p> . (6.IV.6)
cos a cos P
V группа. Преобразование произведений в суммы или
разности:
sinasinp=-^-[cos(a-p)-cos(a+p)]. (6.V.1)
cosacosp= ~[cos(a-p)+cos(a+P)]. (6.V.2)
sinacosp=y [sin(a-p)+sin(a + P)]. (6.V.3)
VI группа. Формулы понижения степени:
„ 1+cos 2a
cos2a= .
2
(6.VI.1)
sin2a = l-*»2a . (6.VI.2)
С05з а= 3cos«+cos3a (6 у, 3)
Sin'a= 3s!na~sin3a . (6.VI.4)
89
VII группт Формулы половинного аргумента*
sin~- -± l/"'-*»*. ;(6.VII.l)
cos ^- -± г/~1±™±. (6.VII.2)
tg 4" «± i/'-cosa . (6.VII.3)
2 К I+cosa
В этих формулах злак «+» или. с—» выбирается, в,
зависимости от того, в какой четверти находится угол-^-.
VIIT группа. Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного аргумента:
(6.VIII.1)
sin
oleosa e
tga«
2tg-
l+tg*
1—tg*
l+tg»
2tg-
l—tg*
a
a
T
a
a
T
a
2~
a
T
(6.VIII.2)
(0.VIU.3)
IX группа. Формулы приведения;
sin( —a) = — sin a;
sin
in (— +a]=*cosa; s*nrf—a)=cosa;
sin(n+a) = —sin a; sin (я—a) =sin a;
sin[— я+aj = -cosa; sin("T я""а) = -cosa;
cos(-a)=cosa;
cos(— -a ) =sina; cos(-|"+a) = —sina;
cos(n—a) = —cosaj cos(n+a) =—cosaj
to
cos [— я—а] = — sin a;
tg<-a)--tge;
tg("2~~a)=Ctga;
ctg(-a) = -ctga;
ctg(Y-«)-tgo;
sin a;
cos I —я+сп
tg(y + a)=-ctga;
ctg(-^-+a)=-tga.
X группа. Значения тригонометрических функций
основных углов:
1 Функция
sin
1 COS
tg
ctg
Угол |
0°
° 1
0
1
о
—
30°
ф 1
1
2
j П
2
3
Уз
45°
Ф J
±5.
2
2 "*
1
^ :
60°
*/3
2
1
2
Кз"
1 со со
90° 1
«/2
1
0
—
0
Обратные тригонометрические функции
Определение 1. a=arcsin a, если:
1) sina = a; 2) a€=[-90°; 90°].
Например, arcsin 0=0°, arcsin 1 = 90°, - arcsin (— 1) = — 90°,
arcsin — =30°, arcsin (——}
30°
Определение 2. a = arccos а, если:
1) cosa-a; 2) 4X€=[0°; 180°].
Например, arccos О =Л0°, arccos 1 =0°, arccos ( — 1) = 1*0°,
arccos— =60°, arccos [ ) =
2 V 2/
120°
B\
Определение 3. a=arctga, если:
1) tga=a; 2) ae= (-90°; 90°).
Например, arctg0 = 0°, arctgl=45°, arctg (-1) — -45°.
Радианная и градусная меры углов
Если величина угла выражена в градусах, то для
вычисления ее в радианах следует пользоваться формулой
а радиан= -£- -2я.
360°
Отсюда можно получить формулу:
qo= а радиан 36QO
2л
Градусную меру угла а= — вычисляют так:
24
а°= ^£± .360°= -2521 ^б^^ЗО'.
2я 48
Для быстрого решения простых задач целесообразно за-
дть, что — =30°, — =
6 4
135°, я =180°, 2я=360°.
помнить, что —-30°, —=45°, —=60°, —=90°, — = 120°,
6 4 3 2 3
4
Период тригонометрических функций
Напомним, что периодом функций y=sinx и у=со$х
является число Г=2я. Периодом функции y=tgx является число
Г=я.
Известно, что периоды функций у=Л sin((D*+q>) и у=
=i4cos(cox+®) вычисляются по формуле Т=—, а период
О)
функции у=Аtg(u>x+<p) по формуле Т= — .
О)
Если период функции #=/(*) равен Ти а период функции
У=ё(х) равен Г2, то период функций y=f(x)+g(x) и у=
в/(*) — 8(х) равен наименьшему числу, при делении которого
на Г, и Т2 получаются целые числа.
Пример 6.1. Вычислить cos 840°.
Решение, cos840°= cos(2 360°+120°) =cos 120°=cos( 180°-
—60°). Применяя формулу приведения, легко получить
cos(180°-60°) - -сое 60°= -0,5.
Ответ. —0,5.
92
3 3
Пример 6.2. Вычислить tga, если sina= — — и я<а< -- л.
Решение. Воспользуемся определением тангенса
*~ sin a
cos a
Для вычисления cos a воспользуемся формулой (6.1.1)
sin2a+cos2a=l:
corfa-l-ein»«-l-(—g-) -!-_«-.
Отсюда cos a=—или cosa=—-. Так как as я;- л), то
4
cosa = .
5
Теперь вычисляем tga:
tga= —
3
5
4
__ 3
~~ Т
= 0,75
5
Ответ. 0,75.
« Пример 6.3. Вычислить arccos (cos (—\\\*
Решение, cosf——) = cos( — 60°) =0,5. Отсюда arccos —=
«60°= —.
3
О те
твет: —.
'♦3
Пример 6.4. Упростить
(sin a+cos a)*—sin 2a
cos2q+2sin2a
Решение. В числителе раскроем скобки:
(sin q+cos a)2—sin 2a sin2 a+2 sin a cos a+cos2 a—sin 2q
cos2q+2sin2q cos2a+2 sin2q
Применяя в числителе формулы (6.1.1) и (6.III.1), а в
знаменателе— формулу (6.III.2), получим
1 + 2 sin a cos a—2 sin a cos a <
1—2sin2q+2sin2a
Ответ. 1.
93
Пример 6.5. Упростить 48U5°sif°.
r cos 40е
Решение. Заметим, что 65°=90e—25V тогда
4 sin 25° sin 65° __ 4 sin ДУ sin (90°—25°)
cos 40° ~~ cos 40е
Применяя формулу приведения, получим
4 sin 25° sin(90°-25°) __ 4 sin 25° cos 25°
cos 48° cos 40*'
Применяя формулу (6.III.1), имеем
4sfai2yco»gSa ^ 2sin5(r = 2*1п(9Г-4(Р)
cos 40° cos 40° cos 40°
Используя формулу приведения, получим окончательный
ответ
2sin(90°-40°) ^ 2 cos 40° «
cos 40° cos 40°
Ответ. 2.
Пример 6.6. Вычислить
cos2(t я+а)+cos (тя+а)sin (т^а);
Решение. Применяя формулы (ft.Vt.2)r и (6.УЛ), получим
cos2(—я+а)+cosf—я+alsin |-^- —а]*=
1+cos
+T[sin(T-a-T-a)+sfr(s" "a+
I+COS[2a+ —те) e r
+тН] 4-^+т[*(-«-т)+-т]-
= ^-[l+cos(2a+уя+^-]-8т(2а+ 7")+1] =
= i[2+sin(2a+f)-sin(2a+f)] = ^-.2=l.
. Отв^т. 1.
Пример 6.7. Вычислить cos 15*— sin 15°.
Решение. Обозначим cosI5?—sin 15°=a. Тогда a2=
= (cos 15°-sin l5°)*=cos2 15°-2cos 15°sin 15°+sin215°.
Применяя формулы (6.1.1) и (6.111.1), получим cos215°—
-2cosl5°sinl5o+sin215o=l-sin30°=l-0,5=0,5, т. e. a*=0,5.
9t
У 2 V2
Отсюда а= -— или а = — -—.
2 2
Из условия ясно, что а>.0.
Ответ. 1—.
2
Пример 6-8. Вычислить 2sin -£- cos -£-( cos2-^—sin2 — ).
к 24 24 \ 24 24 /
Решение. Применяя формулы (6.III.1) и (6ЛП.2), получим
2 sin — cos — f cos2- sm2 — ■=
24 24 \ 24 .24 /
= sin(2.^)cos(2.^)=sin^cos^.
Применяя еще раз формулу (6.Ш.1), имеем
1С 1С 1/л.* * \ 1 • /л * \
sin — cos — = — f 2 sin — cos — == — sm 2 • — =
12 12 2 V 12 12/2 \ 12/
1 1С 11 л л-
— — sin —- = — =0,25.
2 6 2 2
Ответ. 0,25.
Пример 6.9. Вычислить
— arccos ( — *-— 1 + arcsin f — -*-— 1 + arctg (- УЗ) ].
Решение.
arccos (- ¥~\ = ЮТ-ЮТ- ■£ ;
arcsin (_*^) — «Г—=-; arde(-v^a)—60е—=-.
Итак, исходное выражение принимает вид
J2/5*. я ;Мв J2 . Л О
те \ б з з / ~ * б""'
Ответ. 2.
Пример 6.IX). Вычислить tga, если
cos 2a= —^- и ае |«; — ic|.
Решение. Если назвать угол 2а аргументом, то угол а
следует назвать половинным аргументом. Воспользовавшись фор-
мулой (6.VIII.2), cos2a= —^LiL вместо исходного уравнения
l+tg2a
будем иметь
l-tggq^ 5_
l + tg2a 13 '
9 3 3
Отсюда tg2a = —, т. е. tga= —или tga= —.
С учетом того, что aG Ы\ —я), имеем tga = — =1,5.
Ответ. 1,5.
Пример 6.11. Вычислить sina~cosa. если tga=-|~-
sina+cosa 5
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на
cos a (это можно сделать, так как cosa=5^=0):
sin a cos a 2
sin a—cos a cos a cos a tga—1 _5 _3_
sina+cosa sin a cos a tga+1 _2_ 7
cos a coe a 5
Ответ. .
7
Пример 6.12. Вычислить sin a, если sin-^—cos -|- =1.4.
Решение. Возведем в квадрат равенство, данное в
условии:
(siny-cos-£-J=l,42,
или
sin2 —— 2 sin -£■ cos -£- + cos2 -^- « 1,96.
2 2 2 2
Воспользовавшись формулами (6.1.1) и (6.III.1), получим
1 — sin a= 1,96. Отсюда sin a=— 0,96.
Ответ. —0,96.
Пример 6.13. Вычислить tgP, если tga=l и tg(a —р) = —2.
Решение. Воспользовавшись формулой (6.II.6)
6V K/ l + tgatgp
второе из равенств, данных в условии, можно переписать в виде
'g-'gP =-2, или-Ь^=~2.
1 + tgptga l + tgp
Отсюда tgp= — 3.
Ответ. —3.
96
Пример 6.14. Вычислить 5* 20-sin 50-sin 70'
sin 80°
D * ... Л „ „ Л sin 20° sin 50° sin 70° sin 20° sin(90e-40°)sin(90e-20e)
г с Ш с H И 6. ————————— ^= —.^———————. m
sin 80° sin (90°-10°)
Применяя формулы приведения, получим
sin20osin(90o-40o)sin(90o-20°) ^ sin 20° cos 40° cos 20°
sin(90°-10°) = cos 10°
Применяя формулу (6.III.1), имеем
, оло ,ЛО «Ло — (2 sin 20° cos 20°) cos 40° — sin 40° cos 40°
sin 20° cos 40° cos 20° 2 _ 2
cos 10° cos 10° ~~ cos 10°
Применяя еще раз формулу (6.III.1), а затем формулу
приведения, окончательно получим
— sin 40Q cos 40° -7 (2 sin 40° cos 40°) — sin 80е
l 4 4
cos 10° cos 10° cos 10°
_ J_ . sin (90°-10°) = 1 m cos 10° 1_Q25
4 cos 10° 4 cos 10е в '
Ответ. 0,25.
Пример 6.16. Упростить V% [sin4 — -cos4 — ].
Решение. Применяя формулу разности квадратов, получим
V^( sin4 -|—cos4 -j-J —
~ V2 /sin2 -J- -cos2 -^)(sin*-L +COs2-^).
Применяя формулу (6.III.2) для первой скобки и формулу
(6.1.1)—для второй скобки, имеем
К2(-сов(2- -J-J). 1—1/S cos-J----K2-^--l.
Ответ. —1.
Пример 6.16. Упростить cos 2y+2 sin (у+30°) sin (у -30°).
Решение. Применяя формулу (6.V.1), получим
cos2Y + 2sin(Y+30°)sin(Y-30°)-
«cos2Y+2. у [cos(y+30°-y+30o)-cos(y+30o+y-30°)]=*
= cos 2y+cos 60° - cos 2y=0,5.
Ответ. 0,5.
f Заказ Nb 1452 97
Пример 6.17. Упростить 2 cos2- cos a.
Решение. Применяя формулу (6.VI.1), согласно которой
■('■-г)
1+cos
cos2^-«= i U.= \±™1*
2 2 2
получим 2cos2-2- -cosa=2 l+costt -cosa=l+cosa-cosa-l.
2 2
Ответ. 1.
Пример 6.18. Упростить -^^ i+k£.
1—sin2o 1— tga
Решение. Упростим вначале первую дробь. Применяя в
числителе формулу (6.III.2), а в знаменателе— (6.Ш.1),
получим
cos 2a cos2 a—sin2 a
1—sin 2a 1—2 sin a cos a"
Используя формулу (6.1.1), последнее выражение можно
переписать в виде
cos2 a—sin2 a cos2 a—sin2 a
1—2 sin a cos a cos2 a+sin2 a—2 sin a cos a
Применяя формулы сокращенного умножения, получим
(cos a—sin a) (cos a+sin a) cos a+sin g
(cos a—sin a)2 cos a—sin a
Упростим теперь вторую дробь. Применяя формулу (6.1.2),
получим
sin a
t + tga cos a (cosa+sin a)cos a cosa+sin a
l — tga sin a cos a (cos a—sin a) cos a—sin a
cos a
Итак, исходное выражение можно переписать в виде
cos 2a 1 + tga cos a+sin a cos a-h si па ^
I — sin2 a l—tga cos a—sin a cos a—sin a
Ответ. 0.
Пример 6.19. Упростить sin3acos3q+cos3asin8a .
sin 4a
Решение. Применяя формулы (6.Ш.4) и (6.Ш.5), получим
sin За cos8 a+cos За sin3 a (3 sin a— 4 sin3 a)cos3 а+ (4 cos3a —3 cos a) sin8 a
sin 4a sin 4a
98
3 sin a cos8 a—4 sin8 a cos8 a+4 cos8 a sin8 a— 3 cos a sin8 a
sin 4a
3 sin a cos a (cos8 a—sin2 a)
sin 4a
Применяя формулы (6.III.1) и (6.III.2), окончательно имеем
3
, • . „ v — 2 sin a cos a cos 2a
3 sin a cos a(cos8 a-sin8 a) 2
3_
2
sin 4a
sin 2a cos 2a
sin 4a
- =
sin 4a
— -2sin2acos2a
2 sin 4a
_3_ m sin 4a r__i _3 q--
4 sin 4a
Ответ. 0,76.
Пример 6.20. Упростить
cos'(a+P)+cos'(a-P) _ctg2actg2p.
2 sin2 a sin8 В
Решение. Применяя формулы (6.11.3) и (6.II.4), получим
cos8(a+P)+cos8(a-P) _ctg2actg2pe
2 sin8 a sin8 p * K P
as (c°s e cos p-sin a sin P)8+ (cos a cosfl+sln a sin P)8 _ci.~2 a eta2 B»»
в 2sin8asin2p
i__ cos8 a cos8 p-2 cos a cos P sin a sin p+sin8 a sin2 p ,
2 sin2 a sin8 p
, cos8 a cos8 P+2 sin a sin p cos a cos P+sin8 a sin8 p _с\р2„г1а2&^
2sin8asin8p
^ 2 cos8 a cos8 p+2 sin8 a sin8 p _ ctg2 a ctg2 ^
2 sin8 a sin8 p
Произведя почленное деление в первой дроби, получим
cos2acos2P +|,ctgiactgip.
sin8 a sin2 p
Применяя формулу (6.1.3), окончательно имеем
S2?l2-S25!JL +1 -ctg2 a ctg2 p=ctg2 a ctg2 p+1 -ctg2 a ctg^ p= 1.
sin8 a sin8 P
Ответ. 1.
Пример 6.21. Найти период функции y«cosxcos6x.
Решение. Воспользовавшись формулой (6.V.2), получим
y=cosхcos6х«=- [cos(x-6jc) +cos(*+6x)] =» j cos5x+-jCOs7x.
7* 99
2л
Период функции y=cos5x равен 7i= — . Период функции
(/=cos7jc равен Гг*3 —.
2я
Наименьшее число, при делении которого на Тх= — и
5
7*2 = -— получаются целые числа, есть число 2л.
Следовательно, период заданной функции равен Г=2я.
Ответ. 2я.
Пример 6.22. Найти период функции y=3sin(x-2) +
4- 7 cos nx.
Решение. Период функции y=3sin(x—2) равен Т\ =
= —— *=2я. Период функции y=7cosnx равен 7*2=—— =2.
1 л
Периода у функции y=3sin(x—2)+7cosnx не существует, так
как такого числа, при делении которого на 2я и на 2
получались бы целые числа, нет.
Ответ. Не существует.
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти радианные меры углов, заданных в градусах:
6А.001. 60°. 6А.002. 90°. 6А.003. 45°.
6А.004. 135°. 6А.005. 360°.
Найти градусные меры углов, заданных в радианах:
6А.006. —. 6А.007. — . 6А.008. -?-*.
4 3 3
6А.009. —it. 6A.010. 6л.
2
Вычислить значения тригонометрических выражений:
6А.011. sin 930°. 6А.012. sin-y .
6А.013. cos(-600°). 6A.014. tg( -765°).
6A.015. ctg —л. 6А.016. sin 75° sin 15°.
6
6A.017. — ctg 135°sin210°cos225°. 6A.018. 2sin 4" +tg —.
V2 6 4
6A.019. cos я-2 sin 4". 6A.020. cos -£- - sin 4* я.
6 2 2
100
6A.021. sin — +cos — +tg - . 6A.022. cos 105°+cos 75°.
6 3 4
6A.023. arcsinl. 6A.024. arcsin(-l).
6A.025. arccos —. 6A.026. arccos ( M.
6A.027. arctg^. 6A.028. arctg(-V3).
о
6A.029. cos (2 arctg (-1)). 6A.030. cos /arcsin (— ^\\.
4 ic
6A.031. Вычислить tga, если cosa=—и 0<a< —.
5 2.
5 ic
6A.032. Вычислить tga, если sina=— и — <а<я.
6A.033. Найти значение tga, если a = 135°.
4ic
6A.034. Найти значение cos a, если a= —.
6A.035. Вычислить cos 2a, если sina= —.
Упростить:
6A.036. 10 sin 40°sin W.
cos 10е
6A.037. 3+ Ц'58-*60' .
l+tgis^geo*
6A.038. sin2 a+cos (60°+o)cos(60°-a).
6A.039. **£«zl. 6A.040. 1*S±2UL\
1—2 cos8 a l+sin2a
Группа Б
Вычислить значения тригонометрических выражений!
6Б.001. tg2a, если tga=—.
з
6Б.002. sin2a, если cos 2a= 4~-
4
6Б.003. tga, если tg(-j- -a] =-2.
6Б.004. ctga, если sin a=0,8 и ae [0; -yj.
/>СЛЛС 2 sin a+sin 2a ллт¥„ лл« ~ *
ob.005. *f если cosa= —-.
2 sin a—sin 2a 5
101
6Б.006. sin2а, если tga=2.
6Б.007. sinq , если tg-£-=2.
2-бсоза e 2
6Б.008. tg(a+45°), если tga=3.
6Б.009. cos—, если tga^-'-— и я<а< —*.
6Б.010. ?7sin2a, если ctga=-2y2T
6Б.011. ctga, если ctg -~ =2.
12
6Б.012. tga, если cosa= —, если а находится в четвертой
I о
четверти.
6Б.013. ctga—2ctg2a, если tga=5.
6БГ014. |tga|, если cosa=——.
£гЛ|. sin8 a—3 cos* a , 0
6Б.015. , если tga=3.
2 sin2 a+cos2 a
6Б.016. tg2a+ctg2a, если tga+ctga=2.
6Б.017. tgp, если tg(a+p) = -l и tga=3.
6Б.018. sin 2a, если sin a+cos a= —.
6Б.019. cos2 a, если tga=y£
6Б.020. sin(2a+3n), если tga=—.
3
6Б.021. l-***x+l&i) t если х= jl
sin(n—3x)—sin(—*) 6
6Б.022. |tiS£±£S2£| , если sin x cos jc=0,4 и xe=(0; -?-).
Isinx—cosx| \ 2 /
6Б.023. tgx, если sin(x+30°)+sin(x-30°) =2V3cos*.
лгал, sin a—sin 0 лляи „ a n
ob.024. -, если a—p=—.
cos a+cos p 2
лглОЙ sin2 a-cos2 3a *
od.025. — , если a= —.
l/"3cos2a 24
6Б.026. tg(— -2x], если tgx=2.
6Б.027. sinAa—cos4a, если tg-^- = —.
6Б.028. tg-i+ctg-i.
103
6Б.029. sin2 7°30' sin 45°-cos 45°cos* 52°30'.
6Б.030. tg2 — я+ctg (- 7,25я) + 4 cos2 (^ А.
eg q„. cos 70° cos 10°+cos 80°cos 20»
cos68°cos8°+cos82ecos22e *
6Б.032. sin 10° sin 50° sin 70°.
6Б.033. tg(-750°)ctg — я.
6Б.034. tg(2arctg(-^)+^-).
6Б.035. sin 91'-sin 1'
cos 46°+Vl sin 44°
6Б.036. sin4a+cos2a+sin2acos2o.
6Б.037. 6 cos 80°-
2 cos 50°'
6Б.038. i£°l£±S!!L«)L.
cos* (t ~°)
6Б.039. rt»«-«g°._L-.
tga+ctga cos 2a
6Б.040. cos>37°-sin'23°.
cos 14°
Упростить:
6Б.041. tg«+tg(45»-q)
l-tgatg(45°-a)
6Б.042. cos2 2a+4 sin2 a cos2 a.
eB q4q (sin 10°+sin 80°) (cos 80°—cos 10°)
sin 70°
6Б.044. ! ctg2 2a.
cos-'2a—1
6Б.045. (sin a cos P + cos a sin p)2+ (cos a cos p—sin a sin p)a.
6Б.046. 4 sin(15°+a)cos(15°-a) -2 sin 2a.
6Б.047. 4 cos a cos(a+ —)cos(a+ -~-) + cos 3a.
6B.048. ? 1 1 .
l+tg*a l+ctg*a
6B.049. fiDia^cosJa^
sin a cos a
103
6Б.050. sina-2sin2a+sin3a_t82a,
cos a—2 cos 2a+cos 3o
6Б.051. _i£°_.£!ll«=l.
1—18*0 ctga
6Б.052. —ii 1 i AJ.
tg2a
6Б.053. (tga+tgp)ctg(a+p) + (tga-tgp)ctg(a-p).
6Б.054.
l + tgp l + sin2p
1—tg p cos 20
6Б.055. 2cos22p-cos4p.
• / « \
sin [ о J
6Б.056. —* L/tg(^-o).
sin
(f«)
6Б 057 2 cos* a— 1 cos a—sin a 4tga
1—2 sin a cos a cosa+sina 1—tg2o
6Б 0S8 (sin ft—sin P)2+ (cos a—cos P)*
sin2-^—
6Б 069 sin8 a+sin 3a , cos* a—cos 3a
sin a cos a
sin«(— +a ) sin*(-a)
6Б.060. Li 1 + — .
ctg2(a-2*) cttfMa- —J
6Б.061.
sin2 — cos2 —
4 . О
it те
sin2 -г- sin2 —
6 4
l-tg» -r-
6Б.062. —.
те
•( ■ ■ a\
cos —I sin a+sin — I
6Б.063. =-* ^
a a /
sin — cos -7- ( 1
4 4 \
sin — cos — ( 1+cos a+cos —
104
6Б.064. J£2otga_ если «
tg2a-tga 12
1—2 cos* о
6Б.065.
2tB(a"T)sin,("T+a)
6Б.066. Az££?-ii- + i±£2£i°-.
cos-' 2o -1 sin-* 2o-1
6Б.067. sin /2e- — *) +cos /2a- -|-*) +cos f-|-*+2a).
6Б.068. С+*е«)^а ^
iVtsinf-j -1-е)
6Б.069. 2(1+sin2a-cos2?I.
sina(sina+cosa)
6Б.070. sin2a-2sina + tg2 JL.
sin2a+2sina 2
6Б.071. 4sin(30°+a)cosa-2cos(60°-2a).
6Б.072. 4 sin a sin (a+ —) sin (a+ —) -sin 3a.
6Б.073. (l-tga)2+(l + tga)*- 2
6Б.074.
cos* a
2 eos* o-1
2ctg(-J--a)sin*(-=--a)
tga+ctga+
6Б.075. _sin2e
s(t -2a)
6Б.076. cos2a+cos2p-cos(a+P)cos(a-p).
6Б.077. tgatgp+(tga+tgp)ctg(a+P).
6Б.078. 8 cos4 x - 4 cos 2x - cos Ax.
6Б.079. '"sin' x~cos'x.
1 - sin4 x—cos4*
6Б.080. cos2a+cos2 (-— + a) +cos2 i^ -a).
6Б.081. tg^+a)-tg(^-a), если tg (^+2a) =-£-.
6Б.082. sin>a""cos>a cosq -2tgactga, если а находится
sina-coso j/'l+cttfa
во второй четверти.
103
6Б.083. cos2a-2cosacosPcos(a+p)+cos2(a+p)-sin*p.
6Б.084. 3(sin4a+cos4a)-2(sinea+cosea).
3ctg-^-
6Б.08Б.
(sincO^+ftga)-1
Найти период каждой из функций:
6Б.086. {/=6sin(0,25nx).
6Б.087. j/=cos(— jc-18°).
6Б.088. {/=7sin — -2cos(-|-*+ "у)"
6Б.089. y = sin2x-2tg(*- —\.
6Б.090. ^-ein-^+tg-g-.
6Б.091. y=cosnx+sin2jt.
6Б.092. y=sin 4" +tg —.
7 5
6Б.093. y=tg2x+ctg3x+cos5x.
6Б.094. y=sin U -\ + 5tg(3x- — V
6Б.095. у=tg 4" +sin2я*.
3
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Простейшими тригонометрическими уравнениями
называются уравнения вида sinx=a (где |я|^1), cosx=a (где |я|^1),
tgx=a (где — oo<a<oo), ctgx=a (где — оо<а<оо).
Решения этих уравнений имеют следующий вид:
sinx=a, x=(— l)narcsina+ji/i, neZ;
cos*=a, x=*±arccosa+2jin, neZ;
tg*=a, x=arctga+nn, neZ;
ctgx=a, x=arcctga + nn, nsZ;
Z — множество целых чисел.
Решения простейших тригонометрических уравнений при
а=0 и а= ± 1 целесообразно запомнить:
sinjt=0, x=nnt neZ;
sinx= 1, x= -|- +2яп, neZ;
106
sinx= — 1, x=— -£- +2лп, neZ;
cosx=0, x= -|- +яп, nsZ;
cosx=l, х=2ял, heZ;
cosx=» — 1, x=n+2nn, /isZ;
tgx^O, x=nnt neZ.
Пример 6.23. Решить уравнение
sin(15°+x)+sin(45°-Jt) = l.
Решение. Преобразуем сумму синусов в произведение
(см. формулу (6.IV.1)):
о.:- 15°+s+45°-* 15°+*-45°+s ,
I sin cos = l,
2 2
2 sin 30° cos (x-15°) = 1,
2- — cos(*-15°) = l,
cos (х-15°) = 1,
х-15°=360°л, m=Z, x=15°+360°n, neZ.
Ответ. x=15°+360°n, /teZ.
Пример 6.24. Решить уравнение
1 —sin3x= (sin 4—cos —| .
V 2 2 )
Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения, при*
меняя формулу квадрата разности:
1 — sin3jc*»sin2 2 sin — cos-— +cos2— .
2 2 2 2
Применяя формулы (6.1.1) и (6.III.1), получим
1— sin3x«=l — sinx, sinx—sin3x*=0.
Применяя формулу (6.IV.2), имеем
2sin^^cos^^=0,
2 2
— 2sinxcos2x=0.
Отсюда sinx=0 или cos2x=0. Имеем два'решения
Xi«=jm, nesZ или 2*2= ^г +яА, fteZ,
*2=^+^", *€=Z.
4 2
Ответ. х{=пп, neZ; х*= -Т- + *5-» *eZ.
4 2
Wf
Пример 6.25. Решить уравнение sin3x+sinx=sin2*.
Решение. Применяя формулу (6.IV.1), получим
2sin2jccosJt=sin2x,
2sin2jccosx—sin2x=0,
sin2x(2cos*-l)=0.
Отсюда sin 2*=0 или 2 cos x—1=0. Имеем два решения
2*1=яя, /teZ, jci = — , nsZ; cosx2 = —; x2=±arccos h
2 2 2
+2я*, fteZ.
Ответ. x{ = — , /isZ; x2=± — +2я6, fteZ.
2 3
Пример 6.26. Решить уравнение sin4jt=cos(180°— 2x) и
указать его решения, входящие в [ — 30°; 0°].
Решение. Воспользуемся формулой приведения, тогда
sin4x= — cos2x.
Применяя формулу (6.1 II. 1), имеем
2 sin 2x cos 2x+cos 2x=0,
cos2x(2sin2*+l)=0.
Отсюда cos2x=0 или 2 sin 2*+1=0. Имеем два решения
l 4 2
sin2^2-- — . 2^2= (-1)*+»— +nft, *e=Z,
X2=(_1)fc+1JL + |., fteZ.
Теперь из этих решений предстоит выбрать те, которые лежат
в заданном промежутке. Найдем значения Х\ и х2 при л=0,
ifcl и ft=0, ±1:
п=0; *i = 45°; Л=0; х2=-15°;
л--1; ^ = -45°; А--1; *2=-75°;
п-1; ^=135°; А-1; *2=105°.
На промежутке [ — 30°; 0°] имеется лишь один корень исходного
уравнения х= —15°.
Ответ. х= — 15е.
106
Пример 6.27. Решить уравнение
sin х sin 3jc+sin Ax sin 8x=0.
Решение. Применяя формулу (6.V.1), получим
~ [cos(*-3x) -cos(x+3a:)] + 1 [cos(4x-8*) -cos(4x+8a:)] =0.
Умножим обе части уравнения на 2:
cos 2х—cos 4x+ cos 4х—cos 12х=0, cos 2jc—cos 12х=0.
Используя формулу (6. IV.4), имеем
_2 sin ^-^ sin ?£±^=0, 2sin5*sin7x=0.
2 2
Отсюда sin 5*=0 или sin7*=0. Имеем два решения
5*1 = яп, /ieZ, *i=—,neZ;
5
7*2 = я*, fteZ, jc2= —, *eZ.
Ответ. jc,= -^, neZ; *2= —, *e=Z.
5 7
Пример 6.28. Решить уравнение 2 cos2 x+5 sin x—4=0.
Решение. Используя формулу (6.1.1), получим
2(l-sin2x)+5sinx-4=0, 2-2sin2x+5sin*-4=0.
Обозначая sinx=a, получим квадратное уравнение 2а2—5а+
+ 2=0, откуда ai = -~; а2=2-
^ 2
Переходя к переменной х, имеем два уравнения sinxi«—.
и sinx2=2. Решения этих уравнений хх= ( — l)narcsin -— +1W,
neZ; x2e0.
Ответ. х=(-1)я — -няп, neZ.
6
Пример 6.29. Решить уравнение sin2*—2sinxcosx=3cos2*.
Решение. sin2*—2sin*cos*—3cos2x=0. Это однородное
тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе
части уравнения на cos2*. Это можно сделать, так как
множество значений х, удовлетворяющих уравнению cosx=0, не
является решением данного уравнения:
sin* х о sin х cos x q cos2 x _ q
COS** COS2* 0 COS2*
109
tg2*-2tgx-3=0.
Полагая tgx=a, имеем a2—2a—3=0, откуда ai = —1; 02=3.
Таким образом, tg*i = — 1 или tgx2=3. Решения этих урав-
п
нений имеют вид *i = arctg( — 1) +пп, neZ, или хх = —— +пп,
4
/ieZ; x2=arctg3+n£, fteZ.
Ответ. xi= — -j- +ял, /isZ; x2=arctg3+n*, fteZ.
Пример 6.30. Решить уравнение
sin22*+sin23x+sin24x+sin25x=2.
Решение. Применяя формулу (6.IV.1), получим
1— cos4jc , 1—cos6jc . 1—cos8x , 1— cos 1 Ox 0
H ~ г —= H - = *»
2 2 2 2
1 — cos 4x+1 —cos 6x+1 —cos 8x+1 —cos 10x=4,
cos4*+cos6x+cos8*+cos 10x=0.
Применяя формулу (6.1 V.3), имеем
2 cos 4x-±S! cos £=* +2 cos ^±^ cos ^i^ =0,
2 2 2 2
2 cos 5x cos x+2 cos 9jc cos x=0,
2 cos x (cos 5x+cos 9x) =0.
Возможны два случая cos*i=0 или cos5x+cos9x=0. Из
первого уравнения *1=-^-+яп, neZ.
Для решения второго уравнения вновь применим формулу
(6.1 V.3):
2COS—-— COS =0,
2 2
2cos7*cos2x=0.
Уравнение имеет два решения cos7x2=0 или cos2*3=0:
7*2 = -у + я*. ft<=Z, х2=-^ + -^-, *sZ;
2*3=-у+я/, /eZ, *-i+i£-, /eZ.
Ответ. *i--=-+ял, ne=Z; *8-JL + i* *eZ; jc3« -=-+
& 14 7 4
it
110
Пример 6.31. Решить уравнение 2cos2Jt+2tg2x=5.
Ре ш е ни е.-Применяя формулу (6.VIII.2), получим
2kzW±+2tg>x=5.
Полагая tg2x=*a, причем а^О, имеем
2lz£ +2a-5=0 / 2"2a+ (2a"5) <1 + a>=0'
l+a ' \аф-1.
Решая квадратное уравнение, получим «i = 3; a2*= — (этот
корень не подходит).
Таким образом, tg2x=3. Имеем два решения
tg x\=YS> X\= — +яп, neZ или
з
tg x2- —Vb% х2 - - -~- + nkt AeZ.
з
Ответ. *i= -^- + ял, neZ; jc2= \ +nk, *eZ.
3 3
Пример 6.32. Решить уравнение snx =0.
1—cosx
Решение. Исходное уравнение эквивалентно системе
откуда J
cos*=H=0, I хФ2пк, ftsZ.
| sin
I 1-
При n=2k получаем, что nn=2nk.
Таким образом, подходят только n=*2k+\\ х=»л(2Л+1)=*
=»я+2я£, fteZ.
Ответ. х=я+2яЛ, fteZ.
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения и найти корни, расположенные на задан*
ных промежутках. Ответ привести в градусах;
6А.041. sin2x«-£-Ha (30°; 90°).
6А.042. cos— -- -jHa [-360°; °°Ь
6А.043. tg (jt— y)--1 на (0°; 180°].
6A.044. sin (-J- -2x \ = - -у на [0°; 90°],
111'
6A.045. sin(*- -^-)cos(7*+ -=-) =0 на [55°; 65е].
6A.046. cos2*+3cosx=0 на [0°; 90°].
6A.047. cosx=sin2xcosx на [0°; 60°].
6A.048. cos*sin*=-4-Ha [0°; 45°].
4
6A.049. sin3jc+sinx=2sin2;c на [90°; 180°].
6A.050. 2sin23*+5sin3x=0 на [90°; 180°].
VI
6A.0S1. sinxcos2*+cos*sin2;c= —=-на (20°; 70°).
6A.052. 2 sin2 2*-1 = 0 на (0°; 45°).
V2
6A.053. sinnx=-—на (0,5; 1).
6A.054. sinx=sin3* на (0°; 90°).
6A.055. sin2x=(cosJt-sinjt)2 на (0°; 45°).
Группа Б
Решить уравнения и найти корни, расположенные на задан
ных промежутках. Ответ привести в градусах:
6Б.096. ctg5jt=ctg2* на (0°; 90°).
6Б.097. 2+sin*cosx«2sinx+cosjc на (0°; 180°).
6Б.098. cos 6*+sin2 3х=0 на ' (90°; 180°).
6Б.099. 2sin(*+ —]sin (х-— )=1 на [(Г; 90°].
6Б.100. 3cos2*+5sin2*=3,5 на (-90°; 0°).
6Б.101. sin2(180°+*)-sinJt-2=0 на [-180°; 0°).
6Б.102. {~*"х =2 на (-90°; 180°].
sin —
2
6Б.103. Uig3x =1 на [0°; 10°].
6Б.104. tg2x=tg* на [0°; 45°).
6Б.105. cos7x=cos5x+sin* на (-20°; 0°).
6Б.106. cosAx-sin4x=0 на (0°; 90°).
6Б.107, V3sin*=cosx на (180°; 270°).
6Б.108. 2sin2*-y3~sin2x=0 (на 0°; 90°).
112
6B.109.'tg2x-ctg3x=0 на (0°; 50°).
6Б.110. sin4х-cos4x= — на [-60°; 0°].
6Б.111. cos2x+sin* на [-60°; 0°].
6Б.112. sin(x+ y) +cos(jc+ -£-) =0 на [-90°; 0°].
6Б.113. sin(*+ — ]=sin(jc--^-)Ha [0°; 180°].
6Б.114. 2tg(-±-x\+tg№-+x\-l на (0°; 180°].
6Б.115. sin4Jt=sin3* на [340°; 370°].
6Б.116. l+cos*-2cos — =0 на [0°; 90°].
6Б.117. cos2(n-x)+8cos(n+x)=0 на [90°; 270°].
6Б.118. sin5xcos3x-sin8*cos6x=0 на [60°; 65°].
6Б.119. cos2x-2sin2x=-3 на [0°; 180°].
6Б.120. cos2*-3cos*sin*+l = 0 на [30°; 45°].
6Б.121. cos2x-1= cos(90°-x) на [-90°; -45°].
6Б.122. tgsx+tg2*-3tg*-3=0 на (-60°; 0°).
6Б.123. cos*«y2sin2* на [0°; 60°].
6Б.124. cos 2* sin x=cos 2* на (90°; 180°).
6Б.125. l-cosx-sin^-на [0°; 90°].
6Б.126. tg*-tg2*=0 на [0°; 180°].
6Б.127. sin (— +x\ +ctg(2n-*) =0 на (180°; 360°).
6Б.128. sin3*=sin2*+sin* на (90°; 180°).
6Б.129. 4sin2*+4sin*-3=0 на (90°; 180°).
6Б.130. sin(*+45°)sin(*-15°)= -i-Ha (-60°; -90°).
6Б.131. sin*sin(x+60°)sin(x+120°H4-Ha (0°; 90°).
4
6Б.132. sin2x+cos2*=y2sin3* на [45°; 60°].
6Б.133. tg2*-+3ctg2*=4 на (120°; 180°).
6Б.134. cos(-J- +x\sin(-^--x\ =0,75 на [-45°; 0°].
6Б.135. sin4x-cos4*=sin2* на [0°; 90°].
8 Заказ М 1453 ИЗ
6Б.136. tg3x=tgx на (135°; 180°].
6B.137. y3tg2(*+40°)=ctg(50°-x) на (-60°; -10°).
6Б.138. cosx -0 на [-90°; 180°).
1 + sinx
6Б.139. sinx+cosx=l на (-360°; 0°).
6Б.140. tg*cosx+tg*=cosx+l на [0°; 45°].
6Б.141. sin3 л: - cos3 x=sin2 х-cos2* на (0°; 90°).
6Б.142. -sin2x+cos2x=cos —на (180°; 270°).
2
6Б.143. sin2x+sin22x=sin23x на (0°; 45°).
6Б.144. ctg*+-*i^=2 на (90°; 180°].
l+cosx
6Б.145. V2 sin —+ l«cosx на [-90°; 0°).
6Б.146. sin4JC+cos4x=sin42*+cosA2x на (-60°; 0°).
6B.147.y5sinl0jc+sin2jc=cos2jc на (0°; 40°).
6Б.148. tg2xcos3x+sin3x+Y2sin5x=0 на (30°; 40°).
6Б.149. (l+cos4x)sin2A:=cos22jc на (30°; 90°).
6Б.150. sin*+sin2x+sin3x*=l+cosx+cos2x на (90°; 150°).
6Б.151. 2sin5*cos6x+sin*«sin7*cos4x на [40°; 45°].
6B.152. -i!Hi-esin — на [180°; 360°].
1+cosx 2 L J
6Б.183. sinx+cosxctg -у --УЗ на [-180°; 0°].
6Б.164. cos3jc«2sin(-^L+jc)Ha (-90°; 0°).
6Б.185. J-tg2*-^1"0052* +A=0 на [-45°; 0°].
6 cosx 6
6Б.156. 4sinxsin2xsin3*=sin4jt на (0°; 30°).
6B.167. sin(^+JcWcos(—+jcWcos2x+1=0 на (-180°; 0°).
6Б.158. I±i££=i+sin2x на (-90°; 0°).
l-tgx
6Б.159. sinx(l+cos*) = l+cos*+cos2* на (0°; 180°).
6Б.160. Найти в градусах наименьший положительный корень
уравнения cos8x=l — 3cos4x.
6В.161. Найти в градусах наибольший отрицательный корень
уравнения sin2*—— sin2x—2cos2*=0.
114
Решить уравнения и указать количество различных корней,
находящихся на заданных промежутках:
6Б.162. С08>2дс -2(sin-*2x-l) на [0°; 180°].
l+cos(90e-2*) v / l » J
6Б.183. cos (х- —\ =sin (2x+ -j\ на (-90°; 0°).
6Б.164. 3 sin2(270°+*) =sin*(180°+*) + sin(180°-2x)
на [-180°; 180°].
6Б.165. (sinje+cosx)4+(sinx-cosJC)4=4-2sin22* на [0°;180°].
6Б.168. 2+2cos(180e-2x)=y3tg* на [0°; 180°].
6Б.167. cos(—-2xWsin(n+3jc)+sin8jc=cos(—«+7х]на [0; я].
Решить уравнения и найти корни, расположенные на
заданных промежутках. Ответ привести в градусах:
6Б.188. tg2x=2tgx на [0°; 45°].
6Б.169. sin6x+cos4x«=0 на (50°; 90е).
6Б.170. cos(70o+*)cos(20°-*)=0,5 на (0°; 180°).
6Б.171. sinx+sin(180e+3x)-cos(90°-5jic)+sin7* на (0°; 60°).
6БЛ72> cos(270°+2*)sin(180°+*) ^ „. ж)
cos(180e+x)
§ 7. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
(С)'=0. (7.1)
(kx+b)'-k. (7.2)
(х»)'-пх*-*. (7.3)
(<?*)'=<?* (7.4)
{а*)'~а*\па. (7.5)
(Inx)'--L. (7.6)
(l0geJC)'= _L_. (7.7).
xlna
(sinx)'=cosx. (7.8)
(cosx)'= —sin*. (7.9)
<"«*>'—*b- <7">
8» 115
j[arcsinx)'= — .
'/яггрпч y\'=b
Vl-x*
(arctg*)'-—^.
1+x8
(arcctgx),= --i—.
(7.12)
(7.13)
(7.14)
(7.15)
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть С — постоянная; и, v — функции. Тогда
(Си)'= Си'. (7.16)
(u+v)'=u'+v'. (7.17)
{иь)'=и'у+ш/. (7.18)
M/(*))W(/WW'(*b (7.20)
где ф(/(х))—сложная функция.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x)
имеет вид
у-Уо=Г(*о)(х~х0), (7.21)
где (х0\ у0)—точка касания; /'(*<>)—угловой коэффициент
касательной (или тангенс угла наклона касательной к
положительному направлению оси Ох).
Пример 7.1. Найти производную функции /(х)=5х7.
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования
(7.16), получим /'(*)« (5*7)'=5(**)'.
Используя формулу (7.3), имеем
Г(х)-Ь(я*)'-Ъ-7*-*-3&#.
Ответ. /'(*)= 35*6.
Пример 7.2. Вычислить значение производной функции
/(х)-3£=£±1При х-1.
м ' 2х+5 Г
116
Решение. 1) Полагая и=3х2—x+7t a v*=2x+b\ имеем
Производная функции такого вида может быть взята по
правилу дифферендирования (7.19):
Вычислим отдельно производные функций и и v:
и'= (Зх*-х+7)'=3-2х- 1=6лг— 1;
i;'=(2x+5)'=2.
Подставляя найденные выражения в последнюю дробь, имеем
f,x) _ (6*-l)(2s+5)-(3s'--s+7)-2 _
^ 12s»-2s+30s-5-6s2+2s-14 _ 6s»+30s-19
8=5 (2х+5)« (2х+5)«
2) Найдем значение производной при х=\:
61+301-19 17
Г(1) =
(21+5)» 49
г\ 17
Ответ. —.
49
Пример 7.3. Вычислить значение производной функции
/(x)=Y3sin;c+cos~ х2 при *=-^-.
3 it 6
Решение. 1) Воспользуемся правилом дифференцирования
(7.17), получим
f (x)»(y3sinx+cos — — -7 х2] =(V3sinx)'+
Применяя формулы (7.16), (7.8), (7.1) и (7.3), имеем
n*)=V3cosx+0- —2jc=V3cosjc- —x.
1С 1С
2) Вычислим значение производной в точке х= -^-:
6
/*. У^
6 1С 6
Ответ. f'(-j-\ = ±-
V 6 / 6 w 6 2 2
117
Пример 7.4. Найти точки экстремума функции
f(x)=f-x*-5.
Решение. Для нахождения точек экстремума функции
необходимо* найти производную Р(х) и найти значения х, в
которых она равна нулю:
1) f (*)-(^- -x4-5Y-^x'-4x3-0=x4-4x3.
2) х*-4х3=0, х3(х-4)=0.
Полученное уравнение имеет два корня х{=0 и х2=4. Это и
есть точки экстремума. Определим знак производной справа
и слева от точки *i=0. Для этого вычислим: //(— 1) = ( — 1)3Х
Х(-1-4)=5; /,(1)»(1)3-(1-4)«-3. Следовательно, при
переходе через точку х{=0 знак производной меняется с «+» на
« —», т. е. точка х{*=0 — точка максимума. Проведя такой же
анализ для **—4, легко убедиться, что это точка минимума.
Ответ. Хщахв0; #min = 4.
Пример 7.5. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции /(*)*=-г—2дм на отрезке [—1; 2].
Решение. Функция достигает своего наибольшего или
наименьшего значения на отрезке либо в точках экстремума,
либо на концах этого отрезка.
1) Найдем значение функции на концах отрезка [—1; 2]i
/(-i) = (V--2(-1)+y=T+2+T=4;
/(2)-iL_2.2+-!--8-4+4--T-
v ' 2 2 2 2
2) Далее, найдем производную данной функции и
приравняем ее нулю:
р(х) = (— -2х+ —Y = — -2=2*3-2,
2*s-2=0, д:3—1=0, лс-1.
3) Вычислим значение заданной функции в этой точке х—\:
Д1)=-!1-2.1+! = !-2+А_о.
Наибольшее значение функции равно — при ж=2, а
наименьшее равно 0 при jc= 1 (на [—1; 2]).
Ответ: /maxe — ; /min=0.
П8
Пример 7.6. Число 86 представлено в виде суммы двух
слагаемых так, что их произведение максимально. Найти эти
слагаемые.
Решение. Пусть заданное число представлено в виде
суммы двух слагаемых х и у, т. е.
86=х+у. (•)
По условию задачи произведение этих слагаемых ху должно
быть максимально. Обозначим g(x\ y)=xy и будем искать
максимум функции g(x\ у). Эта функция зависит от двух
переменных х и у, однако, используя соотношение (*), ее можно
представить в виде функции лишь от одной переменной х:
g(x; y)=x-y=x(86-x)=86x-x2=f{x).
Теперь легко найти значение х, при котором функция f(x)
достигает максимума. Найдем производную f'(x) и приравняем
ее нулю:
f'(x) = (86*-*2)'=86-2x=2(43-*),
2(43-х)=0, *=43.
Определим второе слагаемое: у=86—х=86—43=43.
Ответ. х=43; у=43.
Пример 7.7. Составить уравнение касательной к графику
Зх*ч-2
функции /(*)* — в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. 1) Уравнение касательной согласно формуле
(7.21) записывается в~~виде у—Уо**Р(х0)(х—х0), где {х0\ у0) —
точка касания. Абсцисса х0 точки пересечения графика
заданной функции с осью Оу равна 0, а ордината yosslf(Q) =
= ————2. Таким образом, точка касания (0; —2).
2) Найдем производную заданной функции в точке х0.
Используя правило дифференцирования (7.19) и формулу (7.3),
получим
F(r\ /A*!±1Y (3*4-2)'(s-l)-(3*»+2)(s-l)'
п '"U-i I e (*-1)»
3-2s(s-l)-(3*»+2)-l в 6s(s-l)-3s2-2 = 3s»-6s-2
в (*-1)2 "" (х-\)2 = (х-1)« #
3) В точке хо=0 имеем
Г(0)ав30'-6.0-2 2
' х ' (0-1)»
4) Искомое уравнение касательной имеет вид
у_(-2) = -2(*-0), или у+2=-2х, у--2х-2.
Ответ. у= — 2х—2.
119
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти значения производных функций при заданных
значениях аргумента:
= 4*3+6*+3, *0=1.
= 7х2-56х+8, *0=4.
= — х3- — *2-2*+3, х0=3.
3 2
=У*-16х, *о= 4"*
4
=л:2—4уЗс, лг0=4.
, *о=0.
, х0=0.
1+Х*
4х-7
х*+4
= —— » *о—I.
Ух
Ь-2У~х .
= ———» *0=1.
2Ух-\
= 3sinx+2, jc0= -4" •
о
= sinx+cosx, ^o=0.
*=2xcosx, *0=0.
«=2tg*—sinx, jc0=0.
=cos*+3ctgx, x0= -|- .
jc sin x,
COS*
1-х"'
sin 2xt
x0=
x0=
*o=
2x+cos2Jt,
3x\gxt
Xq=
' 2 •
0.
1С
T'
Xo =
-0.
12"
7A.021. /(ж)=2«. *0=log2(^).
7A.022. f(x)=e*+5, *0=ln3.
7A.023. f(x)=3*-91n3*. jc0=2.
7A.024. /(х)=2е*+3х, *0=ln2.
7A.025. f(x)=3xz-\nx, x0=l.
Найти угловые коэффициенты касательных к графикам
функций в точках с заданными абсциссами:
7А.026. /(jc)=3*-*s, Jc0=-2.
7А.027. /(*)=5*2-3*+2. х0=2.
7А.028. f(x)= -^, х0=1.
Найти тангенсы углов наклона касательных к графикам
-функций в точках с заданными абсциссами:
7А.029. /(х)=5*. *о=0.
7А.030. f(x)=3lnx, *0=1.
Найти экстремумы функций:
7А.031.
7А.032.
7А.033.
7А.034.
7А.035.
7А.036.
7А.037.
7А.038.
7А.039.
7А.040.
fix)'
fix)-
fix)-
fix)-
fix)-
fix)-
fix)"
fix)-
fix)-
fix)"
-7x2-56*+8.
3
_ X
~ 1+JC»'
=x—e*.
=3sin*.
=x3-3x.
=x*-2*2.
l_
-*+4-
=xln x.
i"-
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на
заданных отрезках:
7А.041. f{x)=x+ у, *е=[-2; у].
7А.042. /(x)=x*-2x2+3, X€=[-4; 3].
121
7A.043. f(x)=x*+3xt *€=[0; 2].
7A.044. f(x) = l+cosx, xes [y; -J-]<
7A.045. /(x)=2sinx-l, xs fa -2-1.
7A.046. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка,
периметр которого 120 м, чтобы площадь этого участка
была наибольшей?
7А.047. Прямоугольный участок земли площадью 4 га
огораживается забором. Каковы должны быть размеры
участка, чтобы периметр был наименьшим?
7А.048. Число 48 представлено в виде суммы двух слагаемых,
так, что их произведение максимально. Найти эти
слагаемые.
Группа Б
Вычислить значения производных функций при заданных
значениях аргумента:
— fid
7Б.001. f(x)=5x*1x- — , *o=4.
7Б.002. /(*)=2**-5*3+2х-5, *0=-2.
7Б.003. f(x) =-— +5х— — +4, *0=1.
X* X
7Б.004. f(x)=3*-£--2x'-3, дс0=2.
7Б.005. f(x) = 10*-i- + -i- -5дс-7, *0=2.
7Б.006. f(x)-4-*3~V*+31n*, *o=l.
7Б.007. /(*)*--|-sinx+-у-3, *0- -J-.
7Б.008. /(a:)=2cosa:-^-, *0=я.
Уде
7Б.009. /(*)- — -2tg*-n, *о=^-.
7Б.010. /(x)-ctgx+^. JKb-т-.
я8 6
7Б.011. /М-*^, *о=2.
х—1
7Б.012. /(х)- 2х>"3х~1 , *-1.
х+1
122
7Б.034.
7Б.035.
7Б.036.
7Б.037.
7Б.038.
7Б.039.
7Б.040.
Найти наименьшие значения функций на заданных отрезках:
7Б.041.
7Б.042.
7Б.043.
7Б.044.
7Б.045.
7Б.046.
7Б.047.
7Б.048.
7Б.049.
7Б.050.
(х)-2*»--!-*•+*+-J-.
<*>=т*5-т*3+711Г-
(*) = — х*+*3-х2+3.
v ' 12 18 4
(*)-t*4_t*s~t*2+5-
(X) = Ххз_А^+5, дсе[-1; 4].
3 2.
(х) = ±-х*+±-х*-2, хе[0;2].
(*) = А-х»_-1*2+2, *е[-2; 2].
(x)--L*»-2*+l, хв[-1;3].
4
(*)=^^-х+2, *es[0; 2].
4
(х).
х*-6*+3, *<=[-!; 2].
(х)=_1_Х4+лз_^+2, х<=[-3; 1].
(х) = -^л*-3* + 5, х<&[-\; 1].
5
(*)-^- + —. *е[1;4].
(*) = -L+*2> хе[1;2].
7Б.051. Найти число, которое превышало бы свой утроенный
квадрат на максимальное значение.
7Б.052. Число 64 представлено в виде произведения двух
положительных сомножителей так, что сумма их квадратов
минимальна. Найти эти сомножители.
124
7Б.0БЗ. Найти число, куб которого превышает утроенный его
квадрат на минимальное значение.
7Б.054. Найти число, которое превышало бы свой утроенный
кубический корень на минимальное значение.
7Б.055. Найти положительное число, сумма которого со своей
! обратной величиной имеет наименьшее значение.
§ 8. ПРОГРЕССИИ
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Числовая последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым
числом, называется арифметической прогрессией. Таким
образом,
an+i=an+d,
где ап и an+1 соответственно п и n+1-й члены прогрессии; d —
разность арифметической прогрессии.
Эта формула неудобна тем, что для вычисления n+1-го
члена необходимо знать все предыдущие члены прогрессии.
Формула /1-го члена в виде
ап=ах+й(п-\)
лишена указанного недостатка.
Сумма членов арифметической прогрессии определяется по
следующим формулам:
S„-5!±2i« или 5и=2«.+<*(«-1)п.
2 2
Признак арифметической прогрессии формулируется так:
каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть
среднее арифметическое соседних с ним членов:
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Числовая последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое
отличное от нуля постоянное число, называется геометрической
прогрессией. Таким образом,
bn+t = bnq,
где Ьп и bn+i соответственно я- и n-Ы-й члены прогрессии;
q— знаменатель геометрической прогрессии, q^O.
125
Эта формула неудобна тем, что для вычисления л-го члена
необходимо знать все предыдущие члены прогрессии. Формула
лишена указанного недостатка.
Сумма п первых членов геометрической прогрессии
вычисляется по формуле
с ^М1-<Г)
i-f
Признак геометрической прогрессии имеет следующую
формулировку: каждый член геометрической прогрессии, начиная со
второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов:
&лв6п-1-&п+1.
Геометрическая прогрессия, у которой |<7|<1, называется
бесконечно убывающей, а ее сумма определяется по формуле
1-0
Пример 8.1. Сумма третьего и девятого членов
арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму первых 11 членов этой
прогрессии.
Решение, аз+ад»8. Выразим слагаемые через а{ и d\
ai+2d+a,+8d=8.
Отсюда 2al+10rf=8. Подставив это значение в
<. 201+4(11-1) п
получаем, что Su=4«ll=44.
Ответ. 44.
Пример 8.2. Первый и четвертый члены арифметической
прогрессии соответственно равны 1,2 и 1,8. Найти сумму первых
шести ее членов.
Решение, а, = 1,2; а4=1,8. Выразим ак через а{ и d:
a4=a{+3d.
Отсюда 1,8 -1,2+3d, d-0,2;
S6«i£i±^-.6, S=(2a, + 5d).3,
S6={2.1,2+5-0,2).3, S6=10,2.
Ответ. 10,2.
126
Пример 8.3. Вычислить 7,5+9,8+12,1+ ... +53,5.
Решение. Так как для данной последовательности чисел
75+12 1
выполняется признак арифметической прогрессии 9,8— ' ' ,
то данная последовательность является арифметической
прогрессией, у которой «1—7,5; d=9,8—7,5=2,3; ап = 53,5, ап =
= a,+d(n-l), 53,5=7,5+2,3(я-1), 46=2,3(л-1), л—21.
Отсюда
Sfli+fln „ о 7,5+53,6 01
Л=» —-—л, оп = —--zi.
2 2
Ответ. 640,5.
Пример 8.4. Найти сумму всех двузначных положительных
чисел.
Решение. Очевидно, что эти числа образуют
арифметическую прогрессию, у которой «1 = 10; d=l; an=99.
Для вычисления суммы прогрессии необходимо найти п:
a«=a1+d(n-l), 99=10+1-1, п=90.
Отсюда
Sn=?i±E»n, S*-i2±£ .90-490Б.
2 2
Ответ. 4905.
Пример 8.5. Определить, при каких х три числа аи Яг, Дз,
взятые в указанной последовательности, образуют
арифметическую прогрессию, если 0i = lg2; 02=lg(3*—3); a3=lg(3*+9).
Решение. Если числа аи а2, а3 образуют арифметическую
прогрессию, то для них выполняется признак арифметической
прогрессии:
lg(3*-3)=]g2+lg(3x±g>-, lg(3*-3)2=lg2(3*+9),
(3*-3)2=2(3*+9).
Пусть 3*=у, тогда (*/-3)2=2(у+9), или у2-8у-9=0,
откуда #1=9; у2= — 1 (не подходит).
Переходя к переменной х, имеем 3х=9, х=2.
Ответ. 2.
Пример 8.6. Вычислить 32- — + ^— 864 +
5 25 125
Решение. Так как для данной последовательности чисел
выполняется признак геометрической прогрессии:
(-тГ-»-3'
127
то данная последовательность является геометрической про-
грессией, у которой &i=32; q=—г* S=bi/(l—q).
5
Отсюда S=20.
Ответ. 20.
Пример 8.7. Знаменатель геометрической прогрессии
равен — 2, сумма ее первых пяти членов равна 5,5. Найти пятый
член этой прогрессии.
Решение. 55=5,5; ?=-2; S5= ^(1"("2)8) , 5,5=^.
1-(-2) 3
6i—0,5; 65-61-94, й5=0,5(-2)4=8.
Ответ. 8.
Пример 8.8. Найти третий член бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6, а второй член
равен —0,5.
Решение. 5=1,6; Ь2= — 0,5. Перепишем, используя Ь\ и q:
(^-=1.6,
( 6,9—0,5.
Разделим второе уравнение на первое, получим
[6,9--0,5.
Из первого уравнения последней системы
5 5 1
Яг~Ч г =0, откуда Я\ = — (не подходит); <fe=- --=»-ft,-2;
16 4 4
Ьг=ЬхЧ\ ft3 = 2(-0,25)2=0,125.
Ответ. 0,125.
ЗАДАЧИ
Группа А
8А.001. Найти пятый член арифметической прогрессии 19; 15...
8А.002. Найти пятый член геометрической прогрессии —1; 3...
8А.003. В арифметической прогрессии первый член равен 8,
разность 4. Найти сумму первых шестнадцати членов
прогрессии.
128
8A.004. В геометрической прогрессии первый член равен 486.
знаменатель равен 1/3. Найти сумму четырех первых
членов этой прогрессии.
8А.005. В геометрической прогрессии первый член равен 64,
знаменатель равен 1/4. Найти пятый член прогрессии.
6А.006. В арифметической прогрессии десятый член равен 192»
разность равна 2. Найти первый член этой прогрессии.
8А.007. В арифметической прогрессии десятый член равен 13,
пятый член равен 18. Найти разность прогрессии.
8А.008. Четвертый член арифметической прогрессии равен 5/14.
Найти сумму первых семи членов этой прогрессии.
8А.009. Вычислить 432 + 72+12 + 2+ ... .
8А.010. Знаменатель геометрической прогрессии равен ( — 2),
сумма ее первых пяти членов равна 5,5. Найти пятый
член этой прогрессии.
8А.011. Найти сумму членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, если третий член этой прогрессии
равен 2, а шестой равен 1/4.
8А.012. Вычислить 512 + 256+128+ ... +2.
8А.013. Сумма четвертого и шестого членов арифметической
прогрессии равна 14. Найти сумму первых девяти
членов прогрессии.
8А.014. Третий и седьмой члены арифметической прогрессии
равны 1,1 и 2,3. Найти сумму десяти первых ее членов.
8А.015. Сумма трех чисел, образующих арифметическую
прогрессию, равна 111. Второе больше первого в 5 раз.
Найти первое число.
8А.016. Первый член геометрической прогрессии равен 150,
четвертый 1,2. Найти пятый член прогрессии.
Группа Б
8Б.001. Найти четыре числа, образующие геометрическую
прогрессию, если сумма первого и третьего 35, а сумма
второго и четвертого ( — 70). В ответе записать сумму
4Ь{ + ЗЬ2+2Ьг+ЬА.
8Б.002. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел,
которые при делении на 5 дают остаток, равный 1.
8Б.003. Определить, при каких х три числа аи а2, Яз, взятые
в указанном порядке, образуют арифметическую
прогрессию: fli = lg2; a2=lg(2*-6); a3 = lg(2* + 34).
8Б.004. Сколько имеется двузначных натуральных чисел,
кратных 6?
8Б.005. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а
разность этой прогрессии равна 4. Является яи число
10091 членом этой прогрессии? Если является, в ответе
записать «1»; если нет, то — «0».
9 Заказ № 1452
129
8Б.006. Сумма четырех первых членов арифметической про>
грессии равна 56. Сумма четырех последних равна 112.
Найти число членов прогрессии, если первый ее член
равен 11.
8Б.007. Определить первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов
равна 40, а сумма второго и четвертого равна 80. В
ответе записать частное от деления Ь\ на д.
8Б.008. В возрастающей геометрической прогрессии сумма
первого и последнего членов равна 66, произведение
второго и предпоследнего членов равно 128, сумма всех
членов равна 126. Сколько членов в прогрессии?
8Б.009. Между числами 1 и 256 вставить три числа так, чтобы
все пять чисел составляли геометрическую прогрессию.
В ответе записать произведение этих трех чисел.
&Б.010. Найти утроенный куб знаменателя бесконечно
убывающей геометрической прогрессии, если ее сумма в три
раза больше суммы трех ее первых членов.
8Б.011. Сумма второго и восьмого членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии равна —- , а сум-
128
65
ма второго и шестого членов, уменьшенная на —-,
равна четвертому члену этой же прогрессии. Найти
сумму квадратов этой прогрессии.
8Б.012. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов равна 31.
Найти первый член прогрессии.
8Б.013. Сумма трех положительных чисел, составляющих
арифметическую прогрессию, равна 15. Если ко второму из
них прибавить 1, к третьему 5, а первое оставить без
изменения, то получится геометрическая прогрессия.
Найти произведение исходных трех чисел.
8Б.014. Три положительных числа образуют арифметическую
прогрессию. Третье число больше первого на 14. Если
к третьему числу прибавить первое, а остальные два
оставить без изменения, то получится геометрическая,
прогрессия. Найти произведение этих чисел.
§ 9. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Пример 9.1. На производство костюма было израсходовано;
2,8 квадратных метра ткани. Площади ткани, израсходованной
на пиджак, брюки и жилетку, относятся как 7:5:2. Сколько;
ткани пошло на брюки?
Решение. Если обозначить количество ткани, которое
пошло на пиджак, брюки и жилетку, через х, у и z, то можно
ДО
записать х=7ft; y=5k; z=2ft, где через ft обозначена площадь
ткани, приходящейся на одну часть. Общее количество ткани
выразится через переменную ft так: 7ft+5ft+2ft =«2,8.
Следовательно, ft=0,2. На брюки израсходован 5*0,2=» 1
квадратный метр ткани.
Ответ. 1 кв. м.
Пример 9.2. Первый рабочий производит продукции на одну
копейку в течение одной секунды. Второй —на один рубль за
одну минуту. Во сколько раз производительность второго
рабочего больше первого?
Решение. В данной задаче удобно под
производительностью труда понимать стоимость продукции, изготовленной
рабочим за единицу времени. Поэтому производительность
первого рабочего равна 1 к./с. Производительность второго рабочего,
выраженная в тех же единицах измерения, равна 100 к./бО с.
Поделив одно на другое, получим ответ задачи —.
3"
Ответ. В— раза.
Пример 9*3. Стрекоза и муха двигаются по прямой.
Стрекоза догоняет муху, их скорости равны 1,2 м/с и 30 см/с. Через
сколько секунд расстояние между насекомыми сократится с
6,5 м до 20 см?
Решение. Относительная скорость сближения равна
разности их скоростей: t;= 1,2—0,3=0,9 м/с. Расстояние, которое
надо сократить насекомым, равно разности расстояний в
начальный и конечный моменты времени: S = 6,5—0,2=6,3 м.
Следовательно, интересующее нас время равно S/u =
= 6,3/0,9=7 с.
Ответ. 7 с.
Пример 9.4. Восемнадцатипроцентный раствор соли массой
2 кг разбавили стаканом воды (0,25 кг). Какой концентрации
раствор в процентах в результате был получен?
Решение. Найдем, сколько соли находится в 2 л раствора.
Для этого составим пропорцию:
2 кг—100%,
х соли—18%
2 18
Следовательно, х= =0,36.
100
После добавления стакана воды получили раствор массой
Р=2+0,25=2,25 кг.
Процентное содержание соли — это та часть, которую
составляют 0,36 кг соли в общем количестве раствора (2,25 кг),
умноженная на 100.
9»
131
Следовательно, искомая величина равна —^—=16%.
Ответ. 16%.
Группа А
9А.001. Найти площадь прямоугольника со сторонами 2,5 см
и 6 см.
9А.002. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если
его измерения равны 7 см, 4 см, 3 см.
9А.003. Найти длину окружности, радиус которой 2,5 см,
считая я=3,14 (результат округлить до единиц).
9А.004. Найти площадь круга радиуса 5,4 см, считая я=3,14
(результат округлить до единиц).
9А.005. Теплоход шел против течения реки 4 ч. Какое
расстояние он прошел, если собственная скорость теплохода
16 км/ч, а скорость течения реки 1,5 км/ч?
9А.006. Составить буквенное выражение по условию задачи.
Сколько карандашей в а коробках, если известно, что
в каждой из них лежит 12 карандашей?
9А.007. За 6 ч автомат сделал х деталей. Сколько деталей в час
производит автомат?
9А.008. В одной мастерской работают у человек, а в другой —
на 5 человек меньше. Сколько человек работают в двух
мастерских?
Решить текстовые задачи с помощью арифметических
приемов (включая основные задачи на дроби и проценты):
9А.009. В первый день на базу доставили 13 т картофеля. Во
второй — в 2 раза меньше, чем в первый, а в третий —
на 25 ц картофеля больше, чем в первый. Сколько
картофеля доставили на базу за три дня?
9А.010. На элеватор привезли 85,7 т пшеницы и ржи, причем
пшеницы 42,3 т. Какого зерна привезли меньше и на
сколько?
9А.011. Из двух сел одновременно навстречу друг другу
выехали автобус и грузовик. Через 0,5 ч они встретились.
Какое расстояние между селами, если скорость
автобуса равна 60 км/ч, а скорость грузовика 48 км/ч?
9А.012. Из поселка в одном направлении одновременно
выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 14,5 км/ч,
а другого 13 км/ч. Какое расстояние будет между
ними через 2 ч?
9А.013. Сколько стоят 12 календарей, если известно, что 8
таких календарей стоят 18 р.?
9А.014. Бассейн при одновременном включении 4 кранов
заполняется водой за 45 мин. За сколько минут тот же
бассейн может заполниться водой при одновременном
включении 6 таких кранов?
9А.015. Объем аквариума 60 дм3. Найти объем, занимаемый
водой, если известно, что он составляет 3/5 объема
аквариума.
0А.016. Из 48 кг семян 3/4 было отобрано |для посева. Сколько
семян осталось?
9А.017. Английский язык изучают 84 восьмиклассника, что
составило 4/5 всех учащихся восьмых классов школы.
Сколько восьмиклассников в школе?
9А.018. Какую часть суток составляют 18 ч?
9А.019. На базу привезли 96 т капусты. 20% всей капусты
отправили в магазин. Сколько капусты осталось?
9А.020. Тракторная бригада вспахала 24 га земли, что
составило 15% площади всего поля. Какова площадь поля?
9А.021. В цехе работают 60 рабочих, из них 36 фрезеровщиков.
Сколько процентов от всего числа рабочих составляют
фрезеровщики?
Решить текстовые задачи с помощью составления уравнения:
9А.022. За два дня вспахано 80 га, причем в первый день
вспахано на 18 га больше, чем во второй день. Сколько
гектаров земли вспахано во второй день?
9А.023. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так,
что одна из них «ороче другой в 2 раза. Найти длину
каждой части.
9А.024. В трех корзинах 54 кг яблок. В первой корзине на 12 кг
яблок меньше, чем во второй, а в третьей — в 2 раза
больше, чем в первой. Сколько килограммов яблок в
каждой корзине?
9А.025. Катер прошел расстояние между пристанями по
течению реки за 2 ч, а обратно против течения — за 3 ч.
Найти собственную скорость катера, если скорость
течения реки 2 км/ч.
9А.026. Пассажирский поезд проходит за 3 ч на 10 км больше,
чем товарный за 4 ч. Скорость товарного поезда на
20 км/ч меньше скорости пассажирского. Найти
скорость пассажирского поезда.
9А.027. Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Первый
изготовлял в день на 2 детали больше второго и работал
7 дней, а второй — 8 дней. Сколько деталей в день
изготовлял каждый рабочий?
9А.028. Купили 9 м ткани двух сортов по цене 2 р. за метр и
3 р. за метр. За всю покупку заплатили 22 р. Сколько
метров ткани каждого сорта купили?
9А.029. За 4 карандаша и 3 тетради заплатили 70 к., а за
2 карандаша и 1 тетрадь заплатили 28 к. Сколько
стоит одна тетрадь и сколько стоит один карандаш?
133
9АЛКМК Бригада должна была выполнить задание по
изготовлению деталей за 5 дней, а выполнила за 4 дня, так как
изготовляла в день на 12 деталей больше, чем
предполагалось по плану. Сколько деталей изготовила
бригада?
9А.031. Произведение двух положительных чисел равно 96.
Одно из них на 4 больше другого. Найти эти числа.
9А.032. Найти числа, сумма которых равна 20, а
произведение 75.
9А.033. Найти стороны прямоугольника, если его площадь
равна 72 см2, а периметр равен 36 см.
9А.034. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см.
Один из катетов на 7 см больше другого. Найти катеты
прямоугольного треугольника.
9А.035. Турист прошел 3 км по шоссе и 6 км —по проселочной
дороге, затратив на весь путь 2 ч. По шоссе он шел со
скоростью на 2 км/ч большей, чем по проселку. С
какой скоростью шел турист по проселочной дороге?
9А.036. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка,
периметр которого 120 м, чтобы площадь этого участка
была наибольшей?
9А.037. Прямоугольный участок земли площадью 4 га
огораживается забором. Каковы должны быть размеры
участка, чтобы периметр был наименьший?
Группа Б
9Б.001. Найти число, если известно, что после вычитания от него
— его части и прибавления к полученной разности его
пятой части получается 9,3.
9Б.092. При разделке туши барана треть составляет туловище,
одна пятая — голова, шестая часть—ноги, четверть —
шкура и еще 6 кг — внутренности. Сколько весит
целый баран?.
9Б.003. Если некоторое число умножить на 4, к произведению
прибавить его пятую часть, сумму разделить на 15 и
прибавить к этому числу— первоначального числа,
то получится 60. Каково число?
9Б.004. Автомобиль выехал, имея на борту груз, составляющий
— его грузоподъемности. На первой остановке он вы-
5
грузил -^- часть груза, на второй взял на борт —
своей грузоподъемности, на третьей остановке выгрузил
— привезенного груза. В результате в пункт прибы-
з
тия он привез 5 т. Какова грузоподъемность
автомобиля?
9Б.005. Часы спешат. По хронометру было установлено, что
часовая и минутная стрелки догоняют друг друга через
каждые 66 мин. На сколько минут в час спешат часы?
9Б.006. Одно число в 3 раза больше другого. Если второе
увеличить в 5 раз, то оно станет больше первого на 7.
Найти сумму этих чисел.
9Б.007. Из резервуара идут три трубы. Через первые две
трубы содержимое резервуара откачивается за 1 ч 10 мин,
через первую и третью за 1 ч 24 мин, а через вторую
и третью — за 2 ч 20 мин. За какое время содержимое
резервуара откачивается всеми трубами вместе?
9Б.008. Произведение двух последовательных чисел больше их
суммы на 11. Найти меньшее из них.
9Б.009. Разложить число 17. на два слагаемых так, чтобы их
произведение было равно 16. Найти результат деления
большего из этих чисел на меньшее.
9Б.010. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы их
произведение было равно 16. Найти результат деления
большего из этих чисел на меньшее.
9Б.011. Найти меньшее из двух чисел, сумма которых равна 17,
а сумма их квадратов равна 185.
9Б.012. В чемпионате команды встречались со всеми другими
по одному разу. Сколько было команд, если они
провели 182 встречи?
9Б.013. Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность
квадратов 14. Найти сумму квадратов этих чисел.
9Б.014. Две бригады должны были закончить уборку урожая
за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая
бригада получила другое задание, поэтому вторая
закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За
сколько дней могла бы убрать урожай каждая бригада,
работая отдельно?
9Б.015. Грузовик врезался в фонарный столб, который на
некоторой высоте надломился, и в результате верхушка
столба коснулась земли в 3,5 м от основания. Найти
высоту целого столба, если оставшаяся стоять часть
столба составляла — его длины.
9
9Б.016. В школе число девочек на 4 меньше, чем мальчиков. На
8 Марта ребята купили на 26,5 р. цветов и подарили их
каждой девочке. Девочки на 23 февраля на сумму
23,1 р. купили подарки ребятам. Найти стоимость
одного подарка для мальчика, если оказалось, что он
дешевле на 1 р., чем подарок для девочки.
135
9Б.017. Найти площадь прямоугольника, длина которого в
4 раза больше, чем ширина, а площадь численно
равна периметру.
9Б.018. Периметр прямоугольника равен 124 м. Если одну из
его сторон увеличить на 2 м, а другую уменьшить на
4 м, то его площадь уменьшится в 1,4 раза. Найти
большую сторону прямоугольника.
9Б.019. Велосипедист и пешеход вышли из пунктов Л и В,
расстояние между которыми 12 км, и встретились через
20 мин. Пешеход прибыл в пункт А на 1 ч 36 мин
позже, чем велосипедист в В. Найти скорость пешехода.
9Б.020. За 5 м шерстяной ткани и 4 м шелковой уплачено 50 р.
После снижения цен на ткани из шерсти на 25%, а из
шелка на 15% стало возможным купить каждой ткани
на 1 м больше, да осталось еще 1 р. 75 к. Сколько
стоил метр каждой ткани до снижения цен?
9Б.021. Товар А до уценки стоил в 1,4 раза дороже, чем товар
В. Товары А были уценены на 15%, а товары В —на
30%. Во сколько раз товар А дороже товара В после
уценки?
9Б.022. При выпаривании из 8 кг рассола получили 2 кг
пищевой соли, содержащей 10% воды. Каков процент
содержания воды в рассоле?
9Б.023. Зарплата служащему составляла 200 р. Затем
зарплату повысили на 20%, а вскоре понизили на 20%.
Сколько стал получать служащий?
9Б.024. Сумма двух чисел равна 24. Найти меньшее из них,
если 35% одного из них равны 85% другого.
9Б.025. На товар снизили цену сначала на 20%, а затем еще на
15%. При этом он стал стоить 23,8 р. Какова была
первоначальная цена товара?
9Б.026. Сумма двух чисел равна 54, причем одно из них на
20% меньше другого. Найти большее число.
9Б.027. Цена на товар была понижена на 20%. На сколько
процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную
цену?
9Б.028. Завод увеличивал объем выпускаемой продукции
ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это
число, если известно, что за два года объем выпускаемой
продукции увеличился на 21%.
9Б.029. Цену товара первоначально снизили на 20%, затем
новую цену снизили еще на 30% и, наконец, после
пересчета произвели снижение на 50%. На сколько
процентов всего снизили первоначальную цену товара?
9Б.030. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди
в 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы
получить при смешивании с «богатой» 20 т с
содержанием меди 8%?
136
9Б.031. Одно число меньше другого в 4 раза. Найти большее,
если их среднее арифметическое равно 15.
9Б.032. Одно число меньше другого на 8, а их среднее
арифметическое равно 21. Найти первое число.
9Б.033. По одной стороне ящика укладывается 12 банок, а
по другую—18. Сколько банок в полном ящике,
если известно, что их вмещается больше 100, но
меньше 130?
9Б.034. Рыбу разрезали на пять кусков в отношении по весу
14:12:11:9:15, причем второй кусок весил 11,2 г.
Сколько весила вся рыба?
9Б.035. В экспедиции распределяли собак по упряжкам. Если
в каждую упряжку запрячь по 12 собак, то в трех
упряжках не хватило бы по одной собаке, а потому в
упряжку запрягли 11 собак и оставили 7 собак в
резерве. Сколько было упряжек?
9Б.036. Группу школьников нужно рассадить в столовой. За
стол можно усадить три человека. Если сажать за стол
по две девочки, то окажется 3 стола, где сидят одни
мальчики, а если сажать за стол по два мальчика, то
будет 2 стола с одними девочками. Сколько было
девочек?
9Б.037. Непослушный ребенок находится от отца на
расстоянии 26 своих шагов. В то время как он делает 4 шага,
отец успевает сделать 3, но отец проходит за два своих
шага столько же, сколько ребенок за три. Через
сколько шагов отец догонит ребенка?
9Б.038. Длина пленки видеокассеты продолжительностью
воспроизведения 3 ч равна 342 м. Какова длина
пленки кассеты с продолжительностью
воспроизведения 4 ч?
9Б.039. Обычно наибольшее число очков на одной кости
домино равно 12. Сколько костей содержала бы игра, если
бы это число равнялось 18?
9Б.040. Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Спустя
3 ч вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость
которого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через
15 ч после своего выхода пассажирский поезд оказался
впереди товарного на 300 км. Определить скорость
товарного поезда.
9Б.041. Путь от Л до В автомобиль проезжает с
определенной скоростью за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на
20 км/ч, то за 2 ч проедет на 15 км больше, чем
расстояние от А до В. Найти расстояние от А до В.
9Б.042. По течению реки катер прошел за 7 ч столько же
километров, сколько он проходит за 8 ч против течения.
Собственная скорость катера 30 км/ч. Найти скорость
течения реки.
137
9Б.043. По течению реки катер проходит 32 км за 1 ч 20 мин,
а против течения проходит 48 км за 3 ч. Найти
собственную скорость катера.
9Б.044. Половину пути мотоциклист ехал с намеченной
скоростью 45 км/ч, затем задержался на 10 мин, а поэтому,
чтобы наверстать потерянное время, он увеличил
скорость на 15 км/ч. Каков весь путь мотоциклиста?
9Б.045. Расстояние между "двумя пунктами поезд должен
пройти за 10 ч. Пройдя первые 9 ч с намеченной скоростью,
он снизил скорость на 7 км/ч и прибыл в конечный
пункт с опозданием на 6 мин. Найти первоначальную
скорость поезда.
9Б.046. Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч.
Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд,
скорость которого равна 70 км/ч. Через сколько часов
после выхода поезда из Киева произойдет встреча, если
расстояние от Москвы до Киева 872 км?
9Б.047. Скорость мотоциклиста на 40 км/ч больше скорости ве
лосипедиста, поэтому на путь 30 км мотоциклист
затратил на 1 ч меньше, чем велосипедист. Сколько на
этот путь тратит времени велосипедист?
9Б.048. Пешеход вышел из пункта А в пункт В со скоростью
5 км/ч. Если бы он двигался со скоростью на 1 км/ч
большей, то пришел бы в пункт В на 1 ч раньше.
Какой путь прошел пешеход?
9Б.049. Велосипедист едет из одного города в другой со
скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч,
то приехал бы в конечный пункт на 4 ч раньше. Какое
расстояние преодолел велосипедист?
§ 10. ГЕОМЕТРИЯ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Основные формулы
Треугольник (рис. 27).
Полупериметр р= —-—.
Радиус вписанной окружности г.
Радиус описанной окружности R.
S= JL/m= 4" аЪ sin Y=VP(P-a) (Р-*) (Р-<0 = ~ =Р-г>
1Э6
Рис. 30
Теорема синусов а = - = - с - =2/?.
sin a sin P sin Y
Теорема косинусов c2=a2+ft2—2abco$>y.
Прямоугольный треугольник (рис. 28).
Теорема Пифагора с2=а2+62;
r_a+bzc_. /?__£_
2 f *~ 2 '
Равносторонний треугольник (рис. 29):
S=£^; *_«£»; Г-£*1.
4 ' 3
Параллелограмм (рис. 30):
1
6
S = ab sin a = — dxd2 sin P;
di*+d+=2{a* + b2).
Трапеция (рис. 31):
S-!±± -A.
Окружность, круг (рис. 32):
L = 2n#; S = n/?2.
Длина дуги окружности /=/?-а.
Площадь сектора S = -£- #2; S* -51 л/?2.
2 360е
Ш
b
Рис. 31
Сектор
Рис. 32
С Е
В С
/В,
А £ Л
Рис. 33
Рис. 34
Пример 10.1. В прямоугольном треугольнике точка касания
Вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и
2 см. Найти катеты треугольника.
Решение. В ААВС (рис. 33) угол С прямой, AD=5 см,
РВ=12 см, Е и F — точки касания вписанной окружности и
соответствующих катетов.
AD=AF, BD=BE, FC—EC по свойству касательных к
окружности, проведенных из одной точки. Пусть ЕС=х, тогда
по теореме Пифагора для ААВС можно записать
(5+х)2+(12 + *)2=(5+12)2, *i=3; *2=-20 (не подходит).
Итак, ЛС=5 + 3=8 см, ВС=12 + 3=15 см.
Ответ. 8 см, 15 см.
Пример 10.2. Средняя линия равнобокой трапеции,
описанной около круга, равна 68 см. Определить радиус этого круга,
если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64 см.
Решение. Если чертеж выполнен неаккуратно, то может
показаться, что средняя линия трапеции является диаметром
круга. Из рисунка 34 видно, что это не так.
BC+AD
2
= 68 по свойству средней линии трапеции.
AD—ВС=64 по условию.
140
Решая эту систему уравнений, получаем /Ш=100, ZJC=36.
По свойству описанного четырехугольника AB + CD^i
= BC+AD, так как AB = CD, то ЛВ= ВС+АЦ или Л5 = 68
2
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE (BELAD).
Так как трапеция равнобокая, то Л£= —=— —32.
По теореме Пифагора для ААВЕ имеем АВ2=АЕ2+ВЕ2Щ
Отсюда В£=уЛВ2-Л£2=уб82-322=60.
Зная, что BE=2Rt имеем /? = 30.
Ответ. 30 см.
Пример 10.3. Найти длину основания равнобедренного
треугольника, площадь которого равна 25 см2, а углы а при
основании таковы, что tga=»4.
Решение. В треугольнике ABC (рис. 35) BDXAC, АВ=*
= ВС. По свойству равнобедренного треугольника AD=DC>
Обозначим BD=ht AD = a, тогда
tga=—;
а
Slabc= у ft-2a=aft.
Получили систему уравнений
а
аЛ=25,
А=4а, 4а2=25, а=2,5 или а =—2,5 (не подходит). Отсюда в
треугольнике ABC основание ЛС=2а=5.
Ответ. 5 см.
Пример 10.4. Один из катетов прямоугольного треугольника
равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна
16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение. Воспользуемся формулой г= —. Для этого вы-
Р
числим все стороны треугольника. На рисунке 36 ВС±АС,
ЛС=15, CD1AB, BD= 16.
Обозначим AD*=x, BC*=y. Для ААВС по теореме Пифагора
ЛС2+ВС2=ЛВ2, или 152+t/2=(jc+16)2. Для AADC по теореме
Пифагора AD2+DC2=AC2, или DC2=AC2-AD2. Для ABDC по
теореме Пифагора BD2+DC2=BC29 или DC2=BC*-BD2.
141
Следовательно, AC2-AD2=BG>-BD2f 152-*2=у2-162.
Получим систему уравнений
f 225+у2=х2+32л:+256,
1 225-*2=y2-256.
Складывая уравнения, получаем, что 450+у2—х2=х2+у2+
<Н-32х, 2х2+32х-450=*0, jc, = 9; jc2=-25 (не подходит); у=20.
Итак, АС= 15, ЯС=20, ЛВ=25, тогда
г=
г=
15+20-25 ^g
Ответ. 5 см.
Пример 10.5. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°,
вписан круг. Найти отношение площади сектора к площади
этого круга.
Решение. На рисунке 37 ОхА — радиус круга,
проведенный в точку касания. Поэтому ОхА±ОА. Аналогично 0,BJLOB.
дОВО, = ДОЛО, (прямоугольные треугольники с общей
гипотенузой и равными катетами: ОхА = ОхВ). Следовательно,
ZO,Oi4=—Z-ЛОВ, т.е. /LOXOA = 30°. Отсюда ОхА =
«00, sin 30°=0,5.0,0; ОС=ООх + ОхС.
Если обозначить радиус круга г, а радиус кругового
сектора /?, то /?=3г. Площадь круга SKP=nr29 площадь сектора
SceKTopa=^ Я#2= у я(3г)2 = — ЯГ2.
лг*
яг*
-1,5.
Ответ. 1,5.
142
ЗАДАЧИ
Группа А
1OAJ0O1. Разность двух углов, получившихся при пересечении
двух прямых, равна 20°. Найти больший из этих углов.
10А.002. Углы треугольника пропорциональны числам 3:7:8.
Найти наибольший угол треугольника.
10A.OO3L Угол при вершине равнобедренного треугольника на
60° больше угла при основании. Найти угол при
основании треугольника.
10А.004. Сумма трех углов, полученных при пересечении двух
прямых, равна 265°. Найти больший из этих углов.
10А.005. Углы ABC и CBD смежные. Угол ABC больше угла
CBD на 30°. Найти угол CBD.
10А.006. Один из смежных углов в 8 раз меньше другого.
Найти больший угол.
10А.007. В равнобедренном треугольнике угол, смежный с
углом при вершине треугольника, равен 70°. Найти угол
при основании треугольника..
10А.008. Один из двух внутренних односторонних углов при
параллельных прямых и секущей на 60° меньше
другого. Найти больший из этих углов.
10А.009. Один из внутренних односторонних углов дри
.параллельных прямых и секущей в 17 раз меньше другого.
Найти меньший из этих углов.
10А.010. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 ся,
а его катеты относятся как 5:12. Найти больший
катет треугольника.
10А.011. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его
катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25.
10А.012. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна '13,
а один из катетов 5. Найти площадь этого
треугольника.
10А.013. Найти площадь равнобедренного прямоугольного
треугольника по его гипотенузе, равной 4у£
10А.014. Один из катетов прямоугольного треугольника равен
12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см.
Найти гипотенузу.
10А.015. Найти площадь прямоугольного треугольника, у
которого гипотенуза 313, а один из катетов 312.
10А.016. Один из катетов прямоугольного треугольника
равен 6. Другой катет равен 8. Найти длину медианы,
проведенной к гипотенузе.
10А.017. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная
из прямого угла, равна одному из катетов. Найти
меньший угол треугольника.
Ml
10A.018. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся
как 1 :2. Больший катет равен 4УЗ. Найти радиус
описанной окружности.
10А.019. В прямоугольном треугольнике ABC известно, что
Z_C=90°, Zi4=40°. Около треугольника описана
окружность с центром О. Найти /LAOC.
10А.020. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и
4 су. Найти радиус описанной окружности.
10А.021. В прямоугольном треугольнике один катет равен 3,
радиус описанной окружности /?=— . Найти другой
катет.
10А.022. Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 и
6 описана окружность. Найти ее радиус.
10А.023. Диаметр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, равен 10, а один из катетов равен 6.
Найти другой катет.
10А.024. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника
равны соответственно 10 и 26. Найти радиус вписанной
окружности.
10А.025. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен
3 см, а котангенс прилежащего угла равен 0,75. Найти
гипотенузу.
10А.026. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна
20 см, а косинус одного угла равен 0,8. Найти
больший катет.
10А.027. В прямоугольном треугольнике тангенс одного угла
равен 0,6. Меньший катет равен 3. Найти больший
катет.
10А.028. Найти радиус круга, описанного около
равностороннего треугольника со стороной а=12"|/3.
10А.029. Найти площадь равностороннего треугольника со
стороной а=бКЗ.
Уз
10А.030. Площадь правильного треугольника равна 1— . Най-
з
ти длину его биссектрисы.
10А.031. Найти площадь равностороннего треугольника, если
радиус вписанной окружности г= ^3.
10А.032. В равностороннем треугольнике высота равна 9.
Найти радиус вписанной в треугольник окружности.
10А.033. Радиус окружности равен 10. Найти длину медианы
вписанного в нее правильного треугольника.
10А.034. Около равнобедренного треугольника описана окруж-
4_
ность радиуса 2УЗ. Угол при основании
треугольника 60°. Найти площадь треугольника.
144
10A.035. Найти радиус окружности, описанной около
равнобедренного треугольника, боковая сторона которого
равна 2у§, а угол при вершине 60°.
10А.036. В равнобедренный треугольник вписана окружность
радиуса УЗ. Угол при основании 60°. Найти основание.
10А.037. Основание равнобедренного треугольника в 3 раза
меньше его боковой стороны, а его периметр равен
14 см. Найти основание треугольника.
10А.038. В равнобедренном треугольнике угол,
противолежащий основанию, равен 120°, а биссектриса,
проведенная к основанию, равна 8 см. Найти боковую сторону.
10А.039. В равнобедренном треугольнике ABC (основание АС)
проведена медиана В К, ZABC = 36°. Найти углы АВАК
10А.040. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС
внешний угол при вершине А равен 150°. Найти угол
ABC.
10А.041. В равнобедренном треугольнике основание равно —-,
Кз
угол при вершине 120°. Определить проекцию высоты
на боковую сторону.
10А.042. Найти высоту, опущенную на боковую сторону
равнобедренного треугольника ABC, если высота А,
проведенная из вершины на основание, равна 4УЗ и угол
при вершине В равен 120°.
10А.043. В равнобедренном треугольнике углы при основании
30°, а высота, опущенная на это основание, равна 3.
Найти радиус описанной окружности треугольника.
10А.044. В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны 30°, а само основание ЗУЗ. Найти радиус
описанной окружности.
10А.045. Боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 4, делится точкой касания
вписанной в него окружности в отношении 3:2, считая от
вершины. Найти периметр треугольника.
10А.046. Найти высоту равнобедренного треугольника, если его
основание равно 6, а боковая сторона 5.
10А.047. Найти площадь равнобедренного треугольника, если
его основание равно 16, а боковая сторона 10.
10А.048. Найти боковую сторону равнобедренного
треугольника, если его основание равно 18, а площадь 108.
10А.049. Высота равнобедренного треугольника равна 15.
Основание больше боковой стороны на 15. Найти основание
этого треугольника.
10А.050. Высота равнобедренного треугольника равна 15 см,
а основание 16 см. Найти боковую сторону
треугольника.
10 Заказ № 1452
145
IOAjDSI. Высота равнобедренного треугольника равна 14.
Основание относится к боковой стороне как 48:25.
Найти основание этого треугольника.
10А.052. Периметр равнобедренного треугольника равен 16,
боковая сторона меньше основания на 1. Найти высоту
треугольника.
10AJ053. Средняя линия равнобедренного треугольника,
параллельная основанию, равна 4. Найти боковую сторону
треугольника, если его периметр равен 30.
10А.054. Средняя линия треугольника на 6 см короче той
стороны треугольника, которой она параллельна. Найти
эту сторону треугольника.
10А.055. Какую часть площади треугольника, считая от
вершины, отсекает от него средняя линия?
ЮА.Обв. В треугольнике ABC сторона АВ равна 20 см. Высота
BD делит основание АС на отрезки /1D=16 см и
DC=5 см. Найти сторону ВС.
10А.057. Найти периметр треугольника, две стороны которого
равны 10 и 12, а высота, проведенная к большей из
данных сторон, равна 8.
10А.058. В треугольнике ABC угол А равен 120°, стороны
ЛВ=3, ЛС=2. Найти квадрат стороны ВС.
10А.059. Длины сторон треугольника равны 10, 10, 12. Найти
косинус угла между неравными по длине сторонами
треугольника.
10А.060. В треугольнике даны стороны а=УЗ, 6=2УЗ. Угол Л,
противолежащий стороне а, равен 30°. Найти третью
сторону.
10А.061. В треугольнике ABC известно, что АВ = 6 см, ЛС=9см,
Z/4=30°. Найти площадь треугольника ABC.
10А.002. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF.
Длины отрезков AF, АЕ и BD равны соответственно
3 см, 4 см и 5 см. Вычислить периметр треугольника.
10А.063. В треугольнике даны две стороны а=6 и 6 = 4 и
высота А=2, опущенная на третью сторону. Найти
радиус описанной окружности.
10А.064. Сторона ромба равна 5, а меньшая диагональ 6.
Найти большую диагональ.
10А.065. Найти сторону ромба, если его диагонали б и 8.
10А.066. Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти сторону
ромба.
10А.067. Сторона ромба равна 17 см, а одна из диагоналей
30 см. Найти длину второй диагонали.
10А.068. Найти тупой угол ромба, если высота, проведенная из
его вершины, делит противоположную сторону
пополам. Ответ выразить в градусах.
10А.069. Углы, образованные диагоналями ромба с его
сторонами, относятся как 2:7. Найти больший угол ромба.
Ш
10A.070. Диагональ ромба образует с его стороной угол 25°.
Найти больший угол ромба.
10А.071. Диагональ ромба равна его стороне. Найти больший
угол ромба.
10А.072. Периметр ромба равен 24. Высота равна 3. Найти
тупой угол ромба.
10А.073. Вычислить периметр ромба, высота которого
равна УЗ, а острый угол в 2 раза меньше тупого.
10А.074. Сторона ромба равна 4, а острый угол 30°. Найти
площадь ромба.
10А.075. Сторона ромба равна 2У5, а одна из диагоналей равна
4. Найти площадь ромба.
10А.076. В ромбе длины диагоналей 10 и 15. Найти площадь
ромба.
10А.077. Определить площадь ромба, если его сторона
равна 10, а диагонали относятся как 3:4.
10А.078. Найти площадь ромба со стороной а=4, если радиус
вписанной окружности г=1,5.
10А.079. Найти сторону ромба, если его диагонали относятся
как 3:4, а площадь равна 384.
10А.080. Найти меньшую диагональ ромба, если его площадь
и fi
S=60, а отношение диагоналей — =— .
10А.081. Найти сторону ромба, если его острый угол 30°, а
площадь равна 18.
10А.082. Площадь ромба равна 24, а одна из диагоналей 6.
Найти длину стороны ромба.
10А.083. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ АС.
Известно, что угол АСВ в 8 раз меньше, чем угол
CAB. Найти угол CAB.
10А.084. Найти большую сторону прямоугольника, площадь
которого 400 см2, а стороны относятся как 4:1.
10А.085. Периметр прямоугольника равен 60 см. Одна сторона
больше другой на 10 см. Найти меньшую сторону
прямоугольника.
10А.086. Периметр параллелограмма равен 92 см. Одна из его
сторон больше другой на 4 см. Найти большую
сторону параллелограмма.
10А.087. В параллелограмме сторона АВ равна в см, диагонали
равны 9 см и 5 см, О — точка пересечения
диагоналей. Чему равен периметр треугольника АОВ?
10А.088. Периметр параллелограмма равен 28. Одна из сторон
равна 8. Найти меньшую сторону параллелограмма.
10А.089. Периметр параллелограмма равен 26 см. Чему равна
сумма двух соседних его сторон?
10А.090. Сумма двух противоположных углов
параллелограмма 94°. Найти больший угол параллелограмма.
Ю*
147
10A.091. Периметр параллелограмма равен 60. Найти площадь
параллелограмма, если его стороны относятся как
2:3, а острый угол равен 30°.
10А.092. Найти площадь параллелограмма ABCD, у которого
Z_/l = 150o, ЛВ=3 см, /4D=8 см.
10А.093. Параллелограмм и прямоугольник имеют
соответственно одинаковые стороны. Площадь параллелограмма
в два раза меньше площади прямоугольника. Найти
тупой угол параллелограмма.
10А.094. Найти периметр параллелограмма, если его площадь
равна 144, а высоты равны 8 и 12.
I0A.095. Диагонали параллелограмма равны 6 и 8, а угол
между ними 30°. Найти площадь параллелограмма.
10А.096. Диагонали параллелограмма равны 2У2Г и 80, а угол
между ними равен 60°. Найти площадь
параллелограмма.
10А.097. Площадь параллелограмма равна 120, а его стороны
15 и 10. Найти большую высоту параллелограмма.
10А.098. Площадь параллелограмма равна 120, а его высоты 8 и
12. Найти периметр параллелограмма.
10А.099. Стороны параллелограмма равны УЗ и 2УЗ. Найти
сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма.
10АЛ00. Стороны параллелограмма равны соответственно 6 и
16, а его тупой угол равен 120°. Найти длину меньшей
диагонали параллелограмма.
10А.101. Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его
диагональ увеличить в 2 раза?
10А.102. Во сколько раз увеличится площадь ромба, если
каждую диагональ его увеличить в 2 раза?
10А.103. Во сколько раз изменится площадь прямоугольника,
если каждую сторону его увеличить в 3 раза?
10А.104. Во сколько раз изменится площадь квадрата, если
его сторону увеличить в 5 раз?
I0A.105. Найти сторону квадрата, равновеликого
прямоугольнику со сторонами 9 и 4.
10А.106. Стороны квадрата ABCD разделены точками £, F, L,
N в отношении 1:2 каждая. Найти отношение
площадей квадрата и четырехугольника. Ответ записать в
виде десятичной дроби.
10А.107. Середины сторон квадрата соединены отрезками.
Найти отношение площади фигуры, образованной этими
отрезками, к площади квадрата.
10А.108. Меньшее основание трапеции равно 4 см. Большее
основание больше средней линии на 4 см. Найти
длину средней линии трапеции.
10А.109. Средняя линия трапеции равна 9 см, а одно из
оснований равно в см. Найти другое основание трапеции.
148
10A.110. Одно основание трапеции больше другого на 6 см, а
средняя линия равна 8 см. Найти меньшее основание.
10А.111. Периметр равнобедренной трапеции равен 36, а
средняя линия равна 10. Найти боковую сторону трапеции.
10А.112. Угол при основании равнобокой трапеции равен 60°.
Боковая сторона равна меньшему основанию трапеции.
Большее основание равно 12 см. Найти длину средней
линии трапеции.
10А.113. В равнобедренной трапеции боковая сторона 52,
высота 48, средняя линия 30. Найти ее большее основание.
10А.114. В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 24,
боковая сторона 25. Найти высоту трапеции.
10А.115. Прямая CF параллельна боковой стороне трапеции и
делит основание AD на отрезки AF=9 см и FD = 5 см.
Найти длину средней линии трапеции.
10А.116. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD
продлены до пересечения в точке Е. Известно, что ЛВ = 1,
CD = 3, B£=2. Найти ЕС.
10А.117. Углы при основании трапеции равны 90° и 45°. Одно
основание в два раза больше другого и равно 24.
Найти меньшую боковую сторону трапеции.
10А.118. Боковые стороны и меньшее основание прямоугольной
трапеции соответственно равны 8, 10 и 10. Найти
большее основание.
10А.119. Основания равнобокой трапеции равны 6j/Th 2Кз,
а угол при основании 60°. Найти площадь трапеции.
10А.120. В равнобокой трапеции нижнее основание равно 11,
верхнее равно 5, а боковая сторона составляет с
основанием угол 45°. Найти площадь трапеции.
10А.121. В равнобокой трапеции основания 6 см и 10 см.
Диагональ 10 см. Найти площадь трапеции.
10А.122. Разность двух оснований равнобедренной трапеции
равна 3. Синус угла при основании трапеции
равен 0,8. Найти длину боковой стороны трапеции.
10А.123. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 4.
Площадь трапеции равна 8. Найти тангенс угла
между диагональю и основанием трапеции.
10А.124. Периметр описанной около окружности трапеции
равен 30. Найти ее среднюю линию.
10А.125. В равнобокую трапецию с верхним основанием,
равным 1, вписана окружность единичного радиуса. Найти
нижнее основание трапеции.
10А.126. Найти площадь круга, если длина его окружности
равна 4Уя.
10А.127. Радиусы двух кругов относятся как 1:2. Найти
площадь меньшего круга, если известно, что длина
окружности большего круга равна 8Уя.
149
10A.128. Площади двух кругов относятся как 1:16. Найти
длину окружности большего круга, если радиус меньшего
4
круга равен —.
1С
10А.129. Длины двух окружностей относятся как 1:3. Найти
площадь большего круга, если радиус меньшего круга
3
равен .
V*
10А.130. Во сколько раз увеличится длина окружности, если ее
радиус увеличить в 3 раза?
10А.131. Во сколько раз увеличится площадь круга, если
радиус его увеличить в 2 раза?
10А.132. Во сколько раз увеличится длина окружности, если
площадь ее круга увеличить в 16 раз?
10А.133. Найти длину дуги, если радиус окружности равен 3 и
величина дуги — радиана.
72
10А.134. В окружности радиуса -*— найти длину дуги, содер-
п
жащей 100°.
10А.135. Площадь кругового сектора с центральным углом 20°
равна 2л. Найти радиус сектора.
10А.136. Длина окружности равна 8яУЗ. Найти длину хорды,
стягивающей дугу 120°.
10А.137. Найти площадь круга, если его хорда, равная—- ,
видна из центра круга под углом 120°.
10А.138. В окружности радиуса 26 см проведена хорда, равная
48 см. Найти длину отрезка, соединяющего середину
хорды с центром окружности.
10А.139. Найти расстояние от центра окружности до хорды,
равной 6 см, если радиус окружности равен 5 см.
10А.140. В круге, площадь которого равна 6,25я, проведена
хорда. Найти расстояние от центра круга до хорды, если
ее длина равна 3.
10А.141. В окружности с центром в точке О проведены хорда
АВ и радиус OD, которые пересекаются в точке С,
причем известно, что ABLOD, OC=9, CD = 32. Найти
хорду.
10А.142. Из точки А окружности радиуса 8 см проведены две
равные хорды АВ и Л С, образующие угол 60°. Найти
расстояние от центра этой окружности до прямой ВС.
10А.143. На окружности с центром О лежит точка В. АВ —
хорда, Л С —касательная, ZjEMC=35°. Найти угол АОВ>
15а
10A. 144. В угол величиной 60° вписана окружность. Найти
расстояние от центра окружности до вершины угла, если
радиус окружности равен 7,5.
10А.145. К окружности радиуса 5 см проведена касательная в
точке В. На касательной отмечена точка А на
расстоянии 12 см от точки В. Найти расстояние от точки А
до центра окружности.
10А.146. Из точки Л, лежащей вне круга, проведена
касательная к кругу в точке В. Известно, что ЛВ = 5.
Расстояние от точки А до центра круга равно 5У2. Найти
радиус круга.
10А.147. Сторона квадрата равна 12 см. Чему равен радиус
окружности, вписанной в квадрат?
10А.148. Найти площадь квадрата, вписанного в окружность
радиуса /?«=3 см.
10А.149. В окружность вписан прямоугольник со сторонами
32 см и 24 см. Найти радиус окружности.
10А.150. Радиус окружности, описанной около прямоугольника,
равен 20. Найти расстояние между серединами двух
смежных сторон прямоугольника.
10А.151. Найти радиус окружности, описанной около
равнобедренного треугольника с основанием 12 и углом при
основании 30°. Ответ дать в виде десятичной дроби с
точностью до 0,1 (У3=1,73).
10А.152. Найти площадь круга, если сторона правильного
треугольника, вписанного & этот круг, 2УЗ, я=3,14. Ответ
записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
10А.153. В окружности, радиус которой равен 11, проведены
хорды АВ и АС. Угол между ними равен 30°. Найти
расстояние между точками В и С.
10А.154. Длина окружности 4я. Найти площадь квадрата,
вписанного в эту окружность.
2
10А.155. В круг вписан квадрат со стороной, равной а=—-.
Найти площадь круга.
10А.156. Окружность вписана в правильный шестиугольник со
стороной ——. Найти длину окружности.
тс
10А.157. Окружность описана около правильного шестиуголь-
2
ника со стороной — . Найти длину окружности.
1С
10А.158. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и
хорда ВС, угол АОС равен 60°. Найти угол ABC.
10A.I59. Центральный угол на 50° больше вписанного угла,
опирающегося на ту же дугу. Найти, сколько градусов
содержит дуга.
151
Группа Б
10Б.001. Найти площадь прямоугольного треугольника с
катетом 2,5 и гипотенузой - .
10Б.002. Из вершины прямого угла А прямоугольного
треугольника к гипотенузе проведены медиана AM и высота
Л/С. Найти длину отрезка М/С, если катеты равны 6
и ЗУ5.
10Б.003. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25, а
один из катетов равен 10. Найти проекцию другого
катета на гипотенузу.
10Б.004. Катеты прямоугольного треугольника относятся как
1:3. Найти высоту треугольника, опущенную из
вершины прямого угла, если гипотенуза равна 40.
10Б.005. Из одной точки проведены перпендикуляр и две
наклонные длиной 10 см и 17 см к данной прямой.
Проекции наклонных относятся как 2:5. Найти длину
перпендикуляра.
10Б.006. В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан
квадрат, имеющий с треугольником общий прямой
угол. Найти периметр квадрата. Ответ записать в
виде десятичной дроби.
10Б.007. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан
квадрат таким образом, что две его вершины лежат
на гипотенузе, а две# другие—на катетах. Сторона
квадрата равна 3. Найти длину гипотенузы.
10Б.008. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан
прямоугольник таким образом, что он имеет с
треугольником общий прямой угол. Периметр этого
прямоугольника равен 25 см. Найти катет треугольника.
10Б.009. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб
так, что угол в 60° у них общий, остальные три
вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти
длину большего катета, если длина стороны ромба
V\2
равна --— •
5
10Б.010. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан
ромб так, что один острый угол у них общий и все
четыре вершины ромба лежат на сторонах
треугольника. Найти стороны ромба, если длина катета
2+УТ
равна —f—.
о
10В.011. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а
проекция меньшего катета на гипотенузу 3,6. Найти
радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
162
10Б.012. В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка касания окружности и гипотенузы делит ее на
отрезки 3 и 10. Найти больший катет.
10Б.013. Радиусы вписанной и описанной окружностей
прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5.
Найти больший катет треугольника.
10Б.014. В равнобедренном треугольнике разность двух
неравных внутренних углов равна 90°. Найти больший угол
(в градусах).
10Б.015. Биссектриса внешнего угла равнобедренного
треугольника ABC при основании АС образует с основанием
угол 126°. Найти величину ААВС (в градусах).
10Б.016. Найти высоту равнобедренного треугольника, боковая
сторона которого равна 5, а косинус угла при верши-
7
не равен ;
г 25
10Б.017. В равнобедренном треугольнике боковая сторона
равна 5, а косинус угла при основании 0,6. Найти радиус
вписанного круга.
10Б.018. В треугольнике внутренние углы относятся как 2:3:5.
Найти внешний угол треугольника, смежный с
меньшим внутренним углом (ответ выразить в градусах).
10Б.019. Внутри треугольника ABC проведена к стороне ВС
прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD.
Периметры треугольников ABC и ABD равны 18 см и 11 см.
Найти длину АС.
10Б.020. В остроугольном треугольнике ABC, площадь
которого 10 м2, сторона АС равна 5 м, tgZJ&4C=4. Найти
величину угла между сторонами АС и ВС (в
градусах).
10Б.021. В треугольнике ABC известно, что Z-/l=45° и
ctgZB=0,25. Найти сторону АВ9 если площадь
треугольника равна 10.
10Б.022. В треугольнике со сторонами а, Ь и с на сторону
с опущена высота А. Найти ее длину, если а*=4, 6 — 3,
с = 5. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.023. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13,
14, 15.
10Б.024. BD — высота треугольника ABC. Из точки D на
сторону ВС опущен перпендикуляр DE. Найти BD, если
£С«=4, D£=3. Ответ записать в виде десятичной
дроби.
10Б.025. Из вершины треугольника с основанием а = 60 про-
v ведены к а высота Л= 12 и медиана т=13. Найти
большую боковую сторону.
10Б.026. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием
АС проведена медиана /Ш*8 см. Периметр
треугольника ABD=24 см. Чему равен периметр AABCf
153
10Б.027. Найти радиус окружности, описанной около
равнобедренного треугольника с основанием 16, высотой 4.
10Б.028. Радиус окружности, описанной около треугольника
ABC, равен 5. Сторона ЛВ«5, высота BD«=4. Найти
длину стороны ВС.
10Б.029. Найти радиус окружности, описанной около
треугольника со сторонами 8, 15, 17.
10Б.030. Расстояние от боковой стороны равнобедренного
треугольника, равной 16, до центра описанной около него
окружности равно 6. Найти радиус этой окружности.
10Б.031. В треугольнике ABC сторона ВС«= 6,5, сторона
ЛС*= 10. Расстояние от центра окружности, описанной
около этого треугольника, до стороны АС равно 12.
Найти синус угла А.
10Б.032. Окружность касается большего катета
прямоугольного треугольника и проходит через вершину
противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если
ее центр лежит на гипотенузе, а длины катетов
равны 3 и 2У10.
10Б.033. Радиус окружности, вписанной в правильный
треугольник, равен У«Г Через центр окружности проведена
прямая, параллельная одной из сторон треугольника.
Найти отрезок этой прямой, заключенный между
двумя другими сторонами треугольника.
10Б.034. В треугольник вписан ромб, угол которого совпадает
с углом треугольника. Стороны треугольника,
заключающие этот угол, равны 12 и 18. Найти сторону
ромба. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.035. Около равностороннего треугольника описана
окружность радиуса /?=2УЗ, через центр которой проведена
прямая, параллельная одной из сторон треугольника.
Найти длину отрезка этой прямой, заключенного
между двумя другими сторонами треугольника.
10Б.036. В треугольнике ABC величина угла при вершине С
равна -^- . Найти синус угла В, если ЛС= 12,3 и
ЛЯ-61,5.
10Б.037. Найти синус угла А в треугольнике ЛВС, если ВС=
= ЗУЗ, ЛС» 15 и ^ЛВС=60°.
10Б.038. В треугольнике ABC углы В и С соответственно
равны — и -2- . Найти длину стороны АС, если Л В—
т
ЮБ.039. В треугольнике ABC проведена медиана АК, равная
13|/"2
—-— и состаэляющая со стороной АС угол 30°. Най-
4
ти ВС, если /LBCA = 45°.
10Б.040. В треугольнике ABC даны три стороны а=У10, 6=2,
с=3. Найти его медиану та. _
10Б.041. Меньшая диагональ ромба равна V^3, его площадь 1,5.
Найти величину тупого угла ромба.
10Б.042. Диагональ ромба равна 451/ —, косинус
противолежащего ей угла равен J ] . Найти сторону ромба.
10Б.043. Сторона ромба равна 4. Радиус окружности,
вписанной в этот ромб, равен 1. Найти величину острого угла
ромба (в градусах).
10Б.044. В окружность радиуса /?=ЗУЗ см вписан квадрат. Из
одной вершины этого квадрата проведены две хорды,
стягивающие дуги по 120°. Найти длину отрезка
диагонали квадрата, заключенного между этими хордами.
10Б.045. Одна из диагоналей параллелограмма, равная—£~ »
составляет с основанием угол 60°. Найти длину
второй диагонали, если она составляет с тем же
основанием угол 45°.
10Б.046. Периметр прямоугольника ABCD равен 24 см.
Точка О принадлежит этому прямоугольнику. Найти
сумму расстояний от этой точки до всех сторон
прямоугольника.
10Б.047. В параллелограмме ABCD высота BE делит сторону
AD в точке Е пополам. Найти сторону АВ, если
периметр параллелограмма равен 7, а периметр
треугольника ABD равен 5. Ответ записать в виде десятичной
дроби.
10Б.048. В параллелограмме боковая сторона равна 8 и острый
угол при основании 30°. Найти проекцию высоты,
опущенной на основание, на боковую сторону.
10Б.049. Диагонали параллелограмма соответственно равны
17 см и 19 см. Одна сторона 10 см. Найти другую
сторону.
10Б.050. В параллелограмме ABCD проведена высота В/С.
Известно, что /LABK=30°, Л/С=5, /CD=8. Найти углы и
стороны параллелограмма.
1№»8б1<. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у
которого отношение длины описанной окружности к
стороне многоугольника равна 2я?
Ж
10Б.052. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у
которого отношение длины описанной окружности к
стороне многоугольника равно лУ2? 1
10Б.063. Центр правильного двенадцатиугольника — точка О— I
соединен с двумя соседними вершинами Л и В. Найти ]
расстояние от точки А до отрезка ОВ, если длина от- ]
резка ОВ равна 20. 1
10Б.054. Известно, что tg — =d. Найти радиус окружности, ]
вписанной в правильный десятиугольник со сторо- 1
ной 8d.
10Б.055. Около правильного многоугольника описана окруж- ]
ность, в него же вписана еще одна окружность. Пло- I
щадь получившегося кольца равна 64я. Найти длину I
стороны многоугольника " 1
10Б.056. В правильный шестиугольник вписана окружность, ко- I
торая в свою очередь описана около квадрата со сто- I
роной У^12. Найти площадь шестиугольника. I
10Б.057. В окружность вписаны правильные треугольник и ше- 1
стиугольник. Найти отношение площади шестиугольни- I
ка к площади треугольника. 1
10Б.058. Длина окружности, в которую вписан правильный ше- I
стиугольник, равна УЗ. Чему равна длина окружности, I
вписанной в этот шестиугольник? I
10В.059. Найти радиус окружности, вписанной в правильный I
шестиугольник, меньшая диагональ которого равна 22. ]
10Б.060. Найти расстояние между параллельными сторонами I
правильного шестиугольника, если радиус описанной I
около него окружности равен ЮУЗ. I
10Б.061. В выпуклом пятиугольнике два внутренних угла пря- 1
мые, остальные относятся между собой как 2:3:4. I
Найти больший угол (в градусах). I
10Б.062. Углы CAB и BAD смежные. Найти величину угла I
(в градусах) между перпендикуляром, проведенным из 1
точки А к прямой CD, и биссектрисой угла CAB, если 1
ZCAB-Z-BAD=20°. 1
10Б.063. Найти величину угла, если он в 4 раза меньше суммы 1
величин углов, смежных с ним (ответ выразить в гра- |
дусах). f
108.064. В трапеции, площадь которой равна 161, высота 7, a i
разность параллельных сторон 11, найти длину
большего основания.
108.065. Найти высоту прямоугольной трапеции, у которой
большая боковая сторона равна 5, а разность длин
оснований равна 4.
т
10Б.066. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна
15 см и перпендикулярна к большей боковой стороне.
Меньшая сторона равна 12 см. Найти большее
основание трапеции.
21/~2-—1
10Б.067. Диагональ в прямоугольной трапеции, равная — ,
8
делит трапецию на два равнобедренных
прямоугольных треугольника. Найти периметр трапеции.
10Б.068. В прямоугольной трапеции боковая сторона равна
основанию и составляет с ним угол 120°. Найти площадь
трапеции, если ее меньшее основание равно 2УЗ.
10Б.069. Равнобокая трапеция описана около круга. Боковая
сторона трапеции делится точкой касания на отрезки
длиной 12 и 48. Найти площадь трапеции.
10Б.070. Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около
круга, равна 68. Найти радиус этого круга, если
нижнее основание трапеции больше верхнего на 64.
10Б.071. Около окружности описана трапеция, площадь
которой равна 20 см2, а синусы углов при основании
равны 0,8. Найти длину средней линии трапеции.
10Б.072. Найти площадь трапеции по разности оснований,
равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13
и 15, если известно, что в трапецию можно вписать
окружность.
10Б.073. Найти боковую сторону равнобокой трапеции,
описанной около круга, если острый угол при основании
трапеции равен — , а площадь трапеции 288.
6
10Б.074. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый
угол пополам. Найти среднюю линию трапеции, если
ее периметр равен 48, а большее основание 18.
10Б.075. Диагональ равнобокой трапеции делит ее тупой угол
пополам. Меньшее основание равно 3, периметр
равен 42. Найти площадь трапеции.
10Б.076. В равнобедренной трапеции одно из оснований в два
раза больше каждой из остальных сторон. Найти
площадь трапеции, если ее высота равна б}/^-
10Б.077. В трапеции ABCD ВС и AD — основания, О —точка
пересечения диагоналей, AD=18 см, ЛО=*10 см и
ОС-5 см. Найти ВС.
10Б.078. Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 12,
длина боковой стороны равна 4, синус угла при
основании равен 0,9. Вычислить sin —, где а — острый
угол между диагоналями трапеции.
157
10Б.079. Найти угол между хордой АВ и диаметром ВС, если I
хорда АВ стягивает дугу в 54° (ответ выразить в гра- I
дусах). 1
10Б.080. Хорда делит окружность в отношении 3:7. Найти ве- 1
личину меньшего вписанного угла, опирающегося на т
эту хорду (ответ выразить в градусах). ;
10Б.081. Величина угла ABC, образованного хордами АВ и |
ВС, равна 96°. Найти дугу АВ (в градусах), если 1
АВ=ВС.
10Б.082. В окружности проведены две хорды АВ и CD, Пересе- *
кающиеся в точке М. Найти угол AMD, если дуга AD i
равна 70°, а дуга ВС равна 10°. i
10Б.083. Площадь кругового сектора S=0,ln, радиус круга I
/?=1. Найти в градусах величину угла, опирающегося |
на дугу сектора с вершиной на окружности. |
10Б.084. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведе- I
на хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на ]
отрезки 18 и 32. Найти длину хорды CD. *
10Б.085. В окружности по разные стороны от центра
проведены параллельные хорды длиной 12 и 16. Расстояние
между ними равно 14. Найти радиус окружности.
10Б.086. Расстояние от центра окружности до хорды равно
5 ' 3 и вдвое меньше радиуса. Найти длину хорды.
2
10Б.087. Из точки А окружности проведены диаметр АВ и
хорда АС, которая продолжена за С на расстояние С/С, -
равное АС. Найти В/С, если радиус окружности ра- ,
вен 4.
10Б.088. Из точки А окружности проведены диаметр АВ и
хорда АС, которая продолжена за точку С на расстояние
С/С, равное АС. Найти ВС, если /СВ=Ю и ЛСАВ=Ж.
10Б.089. Найти площадь круга, если известно, что длина
окружности круга вдвое меньшей площади равна 6я.
10Б.090. Окружность радиуса 2 разогнута в дугу радиуса 15
Найти центральный угол (в градусах).
10Б.091. Длина окружности равна 6У5л. Найти площадь
сектора с центральным углом 40°.
10Б.092. Круг радиуса /?«6 делится концентрической
окружностью на две части — круг радиуса г и кольцо,
площади которых относятся как 1 :3. Найти г.
10В.093. Две окружности, каждая из которых вписана в острый
угол 60°, касаются друг друга внешним образом, Най-
fn расстояние от точки касания окружностей до
стороны угла, если радиус большей окружности равен 23.
1&Б.094. В круговой сектор вписана окружность, радиус
которой в три раза меньше радиуса сектора. Найти
величину центрального угла (в градусах).
158
10Б.095. Общая хорда двух пересекающихся окружностей
видна из их центров под углами 90° и 120°. Найти
расстояние между центрами окружностей, лежащими по
з+/з
одну сторону от хорды, если длина хорды равна ^ •
10Б.096. Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м и
на 0,6 м. Найти длину диаметра. Ответ записать в виде
десятичной дроби.
10Б.097. Из одной точки проведены к окружности две
касательные. Длина каждой касательной 13, а расстояние
между точками касания 24. Найти радиус окружности.
10Б.098. Через концы хорды, длина которой равна 30,
проведены две касательные до пересечения в точке А. Найти
расстояние от точки А до хорды, если радиус
окружности равен 17.
10Б.099. Из точки А, взятой на окружности, проведены
диаметр ЛВ=10 см и хорда Ад. Из точки В проведены к
хорде перпендикуляр длиной 6 см и касательная,
пересекающая продолжение хорды в точке D. Найти
длину касательной.
10Б.100. Хорда АВ и два радиуса ОА и ОВ образуют
треугольник АОВ. Касательная к окружности CD параллельна
хорде АВ и. пересекает продолжения радиусов О А и
ОВ в точках С и D. Найти длину CD, если ОА = ОВ =
= #=уЗ, a ZBO^ = 60°.
10Б.101. Из точки /С, лежащей на окружности, проведены
касательная к окружности и хорда /04. Угол между
ними равен 60°. Найти длину меньшей дуги, отсекаемой
хордой КА, если радиус окружности равен — .
10Б.102. Из точки А, лежащей вне круга, проведены
касательная к кругу и секущая. Во сколько раз отрезок
секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей,
находящегося вне круга, если расстояние от точки А
до точки касания в 3 раза больше, чем длина отрезка,
лежащего вне круга?
10Б.103. В окружности радиуса /?=УЗ см из одного конца
диаметра проведена касательная, а из другого — хорда,
стягивающая дугу в 120°. Хорда продолжена до
пересечения с касательной. Найти внешний отрезок
секущей.
10Б.104. Из точки С вне окружности проведена к окружности
касательная С А, где А—точка касания, С А = 20 см.
Через центр окружности и точку С проведена прямая,
а к ней из точки А — перпендикуляр АВ, равный 12см.
Найт» радиус окружности.
Ж
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Основные формулы
Прямоугольный параллелепипед (рис. 38)!
V=a.b-c; S6oK.noB = P#,
где Р — периметр прямоугольника, лежащего в основании.
Призма (рис. 39):
V e=o0cHi'; «Ьбок.повж* сеч-^»
где L — длина бокового ребра; Рсеч — периметр сечения,
перпендикулярного боковому ребру.
Пирамида (рис. 40):
V= —SocnH.
Усеченная пирамида К= — h(S + s+yS-s)t
где h — высота усеченной пирамиды; S и 5 — площади большего
и меньшего оснований усеченной пирамиды.
Цилиндр (рис. 41):
V=HSocn=nR2H; S60K.noB = 2я/?#}
2nRH+2nR2.
Конус (рис. 42):
Vs* —■ SocnH= -— TtR n\ Sбок.пов = JlRLt
3 3
где L — длина образующей конуса;
ополн.повв nRL+nR2.
Шар (рис. 43):
V--
±nR\
Сфера S = 4n/?2.
Шаровой сегмент V*=nR2(R—— А),
где h — высота сегмента;
S=2nRh.
Рис. 38
Рис. 39
Рис. 40
.160
Рис 41
Рис. 42
Рис. 43
Рис. 44
Рис. 45
Пример 10.6. В треугольной пирамиде боковые ребра
попарно перпендикулярны. Их длины составляют соответственно 2 см,
3 см и 4 см. Найти объем пирамиды.
Решение. Объем пирамиды вычисляется по формуле
V= — WSoch. При нахождении объема пирамиды DABC
(рис.44) наибольшие трудности возникают при вычислении
высоты DE. При решении задач про треугольную пирамиду со
взаимно перпендикулярными боковыми ребрами используется
специфический прием. Положим пирамиду на боковую грань
(рис. 45) ABD. Так как CD LAD и CD±BDt то CD
перпендикулярен плоскости основания ABD. Таким образом, CD
является высотой пирамиды CABD. Площадь прямоугольного
треугольника ADB (ADLDB) вычисляется по формуле SAdb =
— AD-DB. Отсюда объем пирамиды
V« — >CD^ — AD-DB=— AD.BD-CD--
3 2 6
.2-3.4 = 4 см3.
Ответ. 4 см3.
Пример 10.7. Площадь осевого сечения цилиндра равна
— м2. Найти площадь его боковой поверхности.
Решение. Осевым сечением цилиндра является
прямоугольник, у которого одна из сторон является диаметром
основания цилиндра, а еще одна сторона — образующая цилиндра
(рис. 46). Отсюда площадь осевого сечения S = 2RH.
11 Заказ № 1452
161
и
кг-
Рис. 46
Рис 47
Площадь боковой поверхности цилиндра 5б0к.Пов = 2л/?Я=
= nS.
Окончательно SeoK.noe^— *я=6 м2.
1С
Ответ. 6 м2.
о
Пример 10.8. Высота конуса составляет — от диаметра его
о
основания. Найти отношение площади основания конуса к
площади его боковой поверхности.
Решение. Площадь основания конуса SocB^nR2. Площадь
боковой поверхности конуса 5бок.поввя/а,, где L — длина
образующей (рис. 47). По теореме Пифагора L2=tf2+/?2; // =
«JL.2/? = -i-tf- Отсюда L=i/i^#2 + /?2=-|/?. Следователь-
5 5
но, конус имеет 5бок.пов=яЛ- — R93 -~ я/?2. Искомое отношение
я/?*
т**2
=«—«0,6.
5
Ответ. 0,6.
Пример 10.9. Объем шара равен 12. Найти объем другого
шара, у которого площадь поверхности в 9 раз больше, чем
у данного шара.
Решение. Все шары подобны друг другу. Отношение
площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а
объемов — кубу коэффициента подобия: —*=k2=9. Отсюда
fe=3. Следовательно, -- = *3=27. Получаем V=27.i;=27.12 =
= 324.
Ответ. 324.
Пример 10.10. В конус, осевое сечение которого есть
равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если
объем шара равен —.
162
Решение. Изобразим осевое сечение
конуса (рис. 48). Сечение шара на этом рисунке
л/'З
является вписанным кругом, г— -у» где а —
сторона треугольника. Радиус основания кону-
са /?— ^- . Высота конуса Я» а^ . Объем
конуса
к Т '"'л1< ~ ' ~Y~ ~к
4 ~
Объем шара кшя — лг3. Так как а=2уЗг, то
з
Отсюда
-^-— Зяг^ =2,25, УК=2,25ИШ=2,25. — =24.
Vm 4 3
У
Ответ. 24.
ЗАДАЧИ
Группа А
10А.160. Площадь поверхности куба 150. Найти его объем.
10А.161. Площадь поверхности куба 96. Найти ребро куба.
10А.162. Объем куба равен 2У2. Чему равен радиус круга,
описанного вокруг грани куба?
10А.163. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через
диагонали верхнего и нижнего оснований, равна 16У2.
Найти длину ребра куба.
10А.164. Диагональ куба равна 3. Найти его полную
поверхность.
10А.165. Диагональ куба равна 6. Найти площадь его одной
грани.
10А.166. Найти объем куба по его диагонали /=ЗУЗ.
10А.167. Площадь полной поверхности куба равна 3. Найти
длину диагонали грани куба.
10А.168. Найти площадь диагонального сечения
прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12, а
стороны основания 8 и 6.
и»
163
10A.169. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если
стороны основания 2 и 3, а диагональ
параллелепипеда У38.
10А.170. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит
квадрат со стороной, равной 1. Диагональ
параллелепипеда У6. Найти объем.
10А.171. Основание прямоугольного параллелепипеда —
квадрат. Найти объем этого параллелепипеда, если высота
его 6, а диагональ параллелепипеда образует с
плоскостью основания угол 45°.
10А.172. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
квадрат со сторонами, равными У2. Найти объем этого
параллелепипеда, если его диагональ образует с
плоскостью основания угол 45°.
10А.173. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
квадрат. Диагональ боковой грани параллелепипеда,
равная 8, образует с плоскостью основания угол 30°.
Найти объем параллелепипеда.
10А.174. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если
стороны основания равны 6 и 8, а его диагональ
наклонена к плоскости основания под углом 45°.
10А.175. Стороны основания прямоугольного
параллелепипеда 3 и 4. Диагональ параллелепипеда образует с
плоскостью основания угол 45°. Найти полную поверхность
параллелепипеда.
10А.176. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
5У2 и образует с плоскостью основания угол 45°.
Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда,
если площадь его основания равна 12.
10А.177. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда,
стороны основания которого равны 3 и 4, если она
образует с плоскостью основания угол 60°.
10А.178. В прямом параллелепипеде стороны основания а = 3
и Ь = 6 образуют угол 30°. Боковая поверхность 24.
Найти его объем.
10А.179. Найти площадь поверхности прямого
параллелепипеда, стороны основания которого равны 8 и 12 и
образуют угол 30°, а боковое ребро равно 6.
10А.180. Объем правильной треугольной призмы равен ЗУЗ.
Радиус окружности, описанной около основания призмы,
21/з
равен-2— . Найти высоту призмы.
о
10А.181. В основании призмы лежит равносторонний
треугольник, площадь которого равна 9УЗ. Найти объем
призмы, если ее высота в УЗ раз больше стороны
основания.
164
10A.182. Объем прямой призмы, основание которой —
правильный треугольник, равен 18УЗ, ее высота равна 8.
Найти сторону основания.
10А.183. Все ребра прямой треугольной призмы имеют длину
2уЗ. Найти объем призмы.
10А.184. В прямой треугольной призме стороны основания
равны 3, 4 и 5, а высота равна 6. Найти ее полную
поверхность.
10А.185. В сечении прямой призмы лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной 12У2.
Объем призмы равен 360. Найти длину диагонали той
боковой грани, которая проходит через катет.
10А.186. В основании прямой призмы лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник, площадь которого
равна 18. Найти площадь боковой поверхности призмы,
если ее высота равна (2—У2).
10А.187. По стороне основания а —2 и боковому ребру fe = 3
найти полную поверхность правильной
четырехугольной призмы.
10А.188. Основанием призмы служит квадрат со стороной
К 4—уз. Одна из боковых граней тоже квадрат,
другая— ромб с углом 60°. Найти полную поверхность
призмы.
10А.189. Найти полную поверхность правильной четырехуголь-
ной призмы, если ее диагональ равна У34, а диагональ
боковой грани 5.
10А.190. Найти боковую поверхность правильной
шестиугольной призмы, наибольшая диагональ которой равна 13,
а боковое ребро 5.
10А.191. Найти боковую поверхность правильной
шестиугольной призмы, если сторона основания 3, а диагональ
боковой грани 5.
10А.192. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6УЗ.
Сторона треугольника основания пирамиды равна 4.
Найти объем пирамиды.
10А.193. По данной стороне основания а=9 и боковому ребру
Ь = б найти высоту правильной треугольной пирамиды.
10А.194. Во сколько раз увеличится боковая поверхность
правильной треугольной пирамиды, если стороны
основания увеличить в 2 раза, а апофему — в 3 раза?
10А.195. Плоский угол при вершине правильной треугольной
пирамиды равен 90°. Площадь боковой поверхности
этой пирамиды равна 3. Найти радиус окружности,
описанной около боковой грани пирамиды.
165
Г0А.196. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна 6, а боковое ребро образует с плоскостью
основания угол 45°. Найти объем пирамиды.
10АЛ97. «Высота правильной треугольной пирамиды 2УЗ, а
боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°.
Найти объем пирамиды.
10А.198. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды 4 и
образует с плоскостью основания угол 30°. Найти с
точностью до 0,1 площадь основания пирамиды.
I0A.199. Высота правильной треугольной пирамиды 2УЗ, а
боковая грань образует с плоскостью основания угол 60°.
Найти объем пирамиды.
10А.200. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна V~4&> боковая грань наклонена к плоскости
основания под углом 60°. Найти площадь полной
поверхности пирамиды.
10А.201. По данной стороне основания а=8 и боковому peQpy
6«=6 найти высоту правильнее четырехугольной
пирамиды.
10А.202. Высота правильной четырехугольной пирамиды 7, а
сторона основания 8. Найгги боковое ребро.
10А.203. Основанием пирамиды служит прямоугольник со
сторонами 18 и 24. Каждое из боковых ребер равно 25.
Найти объем пирамиды.
10А.204. В правильной четырехугольной пирамиде высота
А = 3, боковое ребро J = 5. Найти объем пирамиды.
10А.205. Высота правильной четырехугольной пирамиды 12, а
высота ее боковой грани 15. Найти объем пирамиды.
10А.206. Найти площадь диагонального сечения правильной
четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания
равна 1, а боковое ребро л/ —.
Е0А.207. Боковая поверхность правильной четырехугольной
пирамиды равна 60, сторона основания 6. Найти объем
этой пирамиды.
10А.208. Площадь основания правильной четырехугольной
пирамиды 36, а ее боковая поверхность 60. Найти объем
этой пирамиды.
10А.209. Объем правильной четырехугольной пирамиды 48,
высота 4. Найти боковую поверхность этой пирамиды.
10А.210. Найти полную поверхность правильной
четырехугольной пирамиды, если высота ее равна 2 и сторона
основания 4,2.
10А.211. Высота правильной четырехугольной пирамиды
равна 12, а сторона основания равна 18. Найти площадь
боковой поверхности пирамиДы.
Ivll
Основанием пирамиды служит прямоугольник со сто*
ронами 6 и 15. Высота пирамиды, равная 4, проходит
через точку пересечения диагоналей основания. Найти
площадь боковой поверхности пирамиды.
Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды
наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Площадь основания пирамиды 16. Найти боковую
поверхность пирамиды.
Высота правильной четырехугольной пирамиды
равна 3. Боковая грань ее наклонена к плоскости
основания под углом .45°. Найти объем пирамиды.
Апофема правильной четырехугольной пирамиды
равна 5. Тангенс двугранного угла при основании
равен —-. Найти площадь полной поверхности
пирамиды.
10А.216. Апофема боковой грани правильной четырехугольной
пирамиды равна УЗ, а угол между апофемой боковой
грани и плоскостью основания 60°. Найти объем
пирамиды. Ответ дать в виде десятичной дроби.
10А.217. В правильной четырехугольной пирамиде сторона
основания ЗУЗ, а боковая грань составляет с плоскостью
основания угол 30°. Найти объем пирамиды. Ответ
записать в виде десятичной дроби.
10А.218. Во сколько раз увеличится объем четырехугольной
пирамиды, если сторону основания увеличить в 3 раза,
а высоту — в 2 раза?
10А.219. В правильной четырехугольной пирамиде боковое
ребро в)/2, а угол между боковым ребром и плоскостью
основания 45*. Найти объем пирамиды.
10А.220. В правильной четырехугольной пирамиде ребро
основания равно Зуб. Объем пирамиды равен 54. Найти
угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью
ее основания.
10А.221. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды,
если ее боковое ребро составляет с плоскостью
основания угол 45°, а площадь диагонального сечения
равна 36.
10А.222. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной
пирамиды равен 306. Боковое ребро /=2. Найти
боковую поверхность пирамиды.
10А.228. Найти объем щара радиуса 3. Ответ записать в виде
десятичной дроби, полагая я=3,14, с точностью до 0,01.
10А.224. Найти объем шара, диаметр которого равен 8.
Положить я«»3.
10А.226. Йайти диаметр шара, если его объем равен 2048я/3.
10А.212.
10А.213.
10А.214.
10А.215.
1©7
10A.226. Объем шара равен 32л/3. Найти шаровую
поверхность, полагая я=3,14.
10А.227. Найти площадь сферы, диаметр которой равен 6,
полагая я = 3,14.
10А.228. Во сколько раз увеличится объем шара, если его
радиус увеличить в 3 раза?
10А.229. Площадь поверхности одного шара равна 393. Найти
площадь поверхности другого шара, у которого радиус
в УЗ раза меньше, чем у данного.
10А.230. Во сколько раз нужно увеличить диаметр шара,
чтобы его объем увеличился в 8 раз?
10А.231. Площадь поверхности одного шара равна 43. Найти
площадь поверхности другого шара, объем которого в
27 раз больше объема данного шара.
10А.232. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24я, а
его объем равен 48я1 Найти его высоту.
10А.233. Объем цилиндра 8яУ5, а высота 2У5. Найти диагональ
осевого сечения.
10А.234. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4У2,
образует с плоскостью основания угол 45°. Найти
боковую поверхность цилиндра, полагая я=3,14.
10А.235. Площадь осевого сечения цилиндра равна 6/я. Найти
площадь его боковой поверхности.
10А.236. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15л.
Найти площадь осевого сечения цилиндра.
10А.237. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4у£
образует с плоскостью основания угол 45°. Найти
боковую поверхность цилиндра, полагая я = 3,14.
10А.238. Во сколько раз увеличится площадь боковой
поверхности прямого кругового цилиндра, если радиус его
основания увеличить в 5 раз, а высоту — в 3 раза?
10А.239. Высота и радиус основания конуса соответственно
равны 4 и 3. Найти боковую поверхность конуса,
полагая я=3,14.
10А.240. Найти площадь боковой поверхности прямого
кругового конуса, если образующая его равна 4, а площадь
основания равна 16/л. .
10А.241. Найти площадь боковой поверхности прямого
кругового конуса, если образующая его равна б, а площадь
основания равна 9л.
10А.242. Образующая конуса равна 3, а площадь круга
основания 4я. Найти площадь боковой поверхности конуса,
полагая я=3,14, Ответ записать в виде десятичной
дроби.
10A.243. Образующая конуса / наклонена к плоскости
основания под углом 60°. Найти полную поверхность конуса
6
при /= ~р=..
10А.244. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°,
а образующая равна 2. Найти поверхность конуса,
полагая я=3,14. Ответ записать с двумя знаками после
запятой.
10А.245. Площадь боковой поверхности конуса равна 11, а
длина образующей —^l . Найти площадь основания ко-
у 2ic
нуса.
10А.246. Площадь боковой поверхности конуса 260л. Образую
щая этого конуса равна 26. Вычислить котангенс угла
между образующей конуса и его высотой.
10А.247. Угол при основании осевого сечения конуса 60°,
высота конуса 3. Найти боковую поверхность конуса с
точностью до 0,1-
10А.248. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.
Площадь боковой поверхности этого конуса равна 5.
Найти площадь полной поверхности конуса.
10А.249. Во сколько раз увеличится площадь боковой
поверхности прямого кругового конуса, если радиус его
основания увеличить в 3 раза, а образующую — в 2 раза?
10А.250. Угол при вершине осевого сечения конуса 60°,
образующая его равна 2УЗ. Найти объем конуса, полагая
л=3,14.
10А.251. Угол при основании осевого сечения конуса 45°, радиус
основания 3. Найти объем конуса с точностью до 0,1.
10А.252. Найти объем прямого кругового конуса, высота
которого 3, длина окружности основания 4Ул.
6 Ю
10А.253. Высота конуса 3/— » образующая Г7=г • Найти объ-
V * У «
ем конуса.
10А.254. Во сколько раз увеличится объем прямого кругового
конуса, если радиус его основания увеличить в 4 раза,
а высоту — в 2 раза?
10А.255. Найти радиус основания прямого кругового конуса,
если его образующая 5, а высота 4.
10А.256. Найти объем прямого кругового конуса, высота
которого равна 9, а длина окружности основания 8Уя.
10А.257. Объем конуса равен 1,5я. Высота его равна 2. Найти
тангенс угла между высотой и образующей конуса.
169
10A.256. Найти объем конуса, радиус основания которого рявшн
£. . образуют н.нло^а к плоскости .со...
V*
ния под углом 30°.
4
10А.2М. Образующая конуса /- т~ и составляет е плоско-
V *
стью основания угол 30°. Найти объем конуса.
10А.260. Образующая конуса равна 2iV 1? и составляет с
плоскостью основания 30е. Найти объем конуса.
10А.261. Образующая конуса наклонена к плоскости основания
под углом а—46° и имеет длину 4. Найти объем
конуса с точностью до 0,1.
Грулпа Б
1 ОБ. 105. Найти площадь диагонального сечения куба, объем
которого равен
10
10Б.106. Ребро куба равно ~^=г . Найти расстояние от плоскос-
V 2
ти диагонального сечения до непересекающего его
ребра.
10Б.107. Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно 2 см. Найти
расстояние между ADX и ВХС.
10В.108. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через
концы трех ребер, выходящих из одной вершины,
равна 18УЗ. Найти длину ребра куба.
10Б.109. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 16.
Боковое ребро равно 4. Найти острый угол между
диагоналями основания параллелепипеда, если его
диагональное сечение имеет форму квадрата.
10Б.110. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
равны 2—У§ и 2+у5, а диагональ наклонена к
плоскости основания под углом 60°. Найти боковую
поверхность.
10ВЛ11. Через диагональ нижнего основания и
противолежащую вершину верхнего основания прямоугольного
параллелепипеда проведена плоскость. Найти синус угла
между этой плоскостью и плоскостью основания
параллелепипеда, если ребра основания равны 15 и 20,
а боковое ребро 16.
10Б.112. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания
относятся как 2:1, а диагональное сечение есть
квадрат с площадью 25. Найти объем параллелепипеда.
170
10Б. 113. В прямом параллелепипеде сторояы основания 10 и 17,
одна из диагоналей основания равна 21. Большая
диагональ параллелепипеда равна 29. Найти объем
параллелепипеда.
10Б.114. В прямом параллелепипеде стороны основания 10 и 17,
одна из диагоналей основания равна 21. Большая
диагональ параллелепипеда равна 29. Найти полную
поверхность параллелепипеда.
1 ОБ. 115. В основании прямого параллелепипеда лежит
параллелограмм со сторонами а=*ЗУ2, 6«У2 и острым
углом 45°. Площадь боковой поверхности
параллелепипеда в 4 раза больше площади его основания. Найти
высоту параллелепипеда.
10Б.116. Найти объем прямого параллелепипеда, зная, что
высота его равна f3, диагонали его составляют с
основанием углы 45° и 60° и основанием служит ромб.
10Б.117. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со
стороной 6, угол между плоскостями двух боковых
граней 60°. Ббльшая диагональ параллелепипеда
составляет с плоскостью основания 45 Найти объем
параллелепипеда.
10Б.118. Основанием прямой призмы служит равнобедренный
треугольник, основание которого ровно к У$+2, a
угол при нем 45°. Найти объем призмы, если ее
боковая поверхность равна сумме площадей оснований.
10Б.119. Все ребра прямой треугольной призмы имеют
одинаковую длину. Площадь полной поверхности призмы
равна 4+8УЗ. Найти площадь ее основания.
10Б.120. Основанием наклонной призмы служит правильный
треугольник со стороной 3, а одно из боковых ребер
равно 2 и образует с пересекающими его сторонами
основания углы по 30°. Найти площадь боковой
поверхности призмы с точностью до 0,1.
10Б.121. В правильной треугольной призме через сторону
основания проведено сечение под углом 30° к плоскости
основания. Получился треугольник, площадь которого
равна 8. Найти сторону основания призмы.
10Б.122. Основанием прямой призмы служит ромб. Площади
диагональных сечений равны 6 и 8. Найти площадь
боковой поверхности призмы.
10Б.123. Найти длину бокового ребра правильной
четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 7у2 и
составляет с боковой гранью угол 306.
10*. 124. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной
призмы равна 4 и составляет е боковым ребром
угол 30°. Найти объем призмы.
т
10Б.125. Сторона основания правильной четырехугольной
призмы У2, а ее диагональ составляет с плоскостью
боковой грани угол 30°. Найти объем призмы.
10Б.126. В основании прямой призмы лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной
12У2. Диагональ боковой грани, проходящей через
катет, равна 13. Найти объем призмы.
10Б.127. В правильной^ треугольной пирамиде угол между
боковым ребром и плоскостью основания 60°, а радиус
окружности, описанной около основания пирамиды,
равен j/*4. Найти объем пирамиды.
10Б.128. В правильной шестиугольной пирамиде проведено
сечение, проходящее через середины двух смежных
боковых ребер параллельно высоте пирамиды. Найти
площадь этого сечения, если радиус окружности,
описанной около основания пирамиды, равен 30, а
боковое ребро 50.
10Б.129. В правильной четырехугольной пирамиде плоскость
сечения, параллельного основанию, разделила высоту
пополам. Найти сторону основания пирамиды, если
площадь сечения равна 36.
10Б.130. В основании пирамиды лежит ромб со стороной 15УЗ
и острым углом 30°. Найти площадь сечения,
параллельного основанию, если площадь сечения делит
высоту в отношении 4: 1 (считая от вершины).
10Б.131. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит
высоту в отношении 1:1. Площадь основания больше
площади сечения на 381. Найти площадь основания.
10Б.132. В правильной четырехугольной пирамиде проведено
сечение, проходящее через середины двух смежных
боковых ребер параллельно высоте пирамиды. Найти
площадь этого сечения, если боковое ребро равно 18,
а диагональ основания 16У2.
10Б.133. Основаниями усеченной пирамиды служат
прямоугольные треугольники с острым углом 30°. Гипотенузы
треугольников равны соответственно 6 и 4. Найти
объем усеченной пирамиды, если ее высота равна У§.
10Б.134. Стороны оснований правильной шестиугольной
усеченной пирамиды равны 4 и 2. Высота усеченной
пирамиды —г . Найти ее объем.
Уз
10Б.135. Стороны оснований правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равны 5 и 3. Ребро усеченной
пирамиды равно уГУ. Найти площадь полной поверхности
усеченной пирамиды.
173
10Б.136. Найти объем усеченной пирамиды, если площади
ее оснований 96 см2 и 24 см2, а высота
соответствующей полной пирамиды 16 см.
10Б.137. Найти объем правильной четырехугольной усеченной
пирамиды, если ее диагональ равна 18, длины сторон
оснований 14 и 10.
10Б.138. Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной
пирамиды равно 2, сторона большего основания 3,
высота усеченной пирамиды равна У2. Найти площадь
диагонального сечения усеченной пирамиды.
10Б.139. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно
перпендикулярны и равны соответственно 2, 3, 4. Найти
объем пирамиды.
10Б.140. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у
которой сторона основания а = 6у^2, боковые ребра
взаимно перпендикулярны.
10Б.141. Найти объем правильной треугольной пирамиды,
высота которой равна УЗ, а все плоские углы при
вершине прямые.
10Б.142. Площадь поверхности шара равна 20. На расстоянии
от центра шара проведена плоскость. Найти
площадь полученного сечения.
10Б.143. В шаре на расстоянии d—4 от центра проведено
сечение, площадь которого 5—9я. Найти радиус шара.
10Б.144. Площадь поверхности шара равна — . На расстоянии
—от центра шара проведена плоскость. Найти длину
те
полученной в сечении окружности.
10Б.145. Дан шар радиуса #=—г • Через конец радиуса про-
ведена плоскость под углом 60° к нему. Найти
площадь сечения.
10Б.146. На расстоянии 1,5л-0'5 от центра шара проведена
плоскость. Площадь полученного сечения равна 2,75.
Найти площадь поверхности шара.
10Б.147. Площадь поверхности шара равна 5л. Шар рассечен
плоскостью. Длина окружности сечения шара
равна я. Найти расстояние от центра шара до секущей
плоскости.
10Б.148. Найти объем шара, если площадь его поверхности рав-
16
173
10Б. 149. Найти объем шара, если площадь его поверхности
равна 4>/"36я.
10Б.150. Найти высоту цилиндра, если площадь его основания
равна 1, а площадь боковой поверхности равна Уя.
10Б.151. Площадь основания цилиндра относится к площади
осевого сечения как я:4. Найти угол между
диагоналями осевого сечения.
10Б.152. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, диагональ
которого равна а и образует с основанием угол 60°.
Найти объем цилиндра при а=8|/ ^-.
10Б.153. Осевым сечением цилиндра является квадрат с диаго-
далью 31/ —. Найти объем цилиндра.
10Б.154. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ
которого равна Y/ —~- . Найти объем цилиндра.
10Б.155. высота цилиндра равна длине окружности основания.
Найти диаметр основания, если объем цилиндра
равен 432л2.
1 / 1^2—-1
10В.156. Образующая конуса равна у % . Найти площадь
полной поверхности конуса, если угол при вершине
осевого сечения конуса прямой.
10Б.157. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.
Площадь полной поверхности конуса равна 18. Найти
площадь основания конуса.
10Б. 158. Площадь боковой поверхности конуса втрое больше
площади основания. Найти объем конуса, если радиус
основания 2. Ответ записать в виде десятичной дроби
с точностью до 0,1.
10Б.159. Осевым сечением конуса является равносторонний
треугольник. Найти диаметр основания, если площадь
полной поверхности конуса равна 363л.
10Б.160. Радиусы оснований усеченного конуса 3 и 1. Найти
боковую поверхность этого конуса, если его
образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°
(я = 3,142). Ответ записать с двумя знаками после
запятой.
10Б.161. Основания усеченного конуса имеют размеры, равные
48я и 16л. Площадь его боковой поверхности равна
сумме площадей оснований. Найти угол наклона
образующих к плоскости основания.
194
•/Те
10Б.162. Радиус основания конуса равен I/ ~£ 9 а угол при
вершине в развертке его боковой поверхности
равен 90°. Найти объем конуса.
о
10Б.163. Найти объем конуса, если его высота-——, а расстоя-
ние от центра основания до образующей ^—^.
/;
10Б.164. Разность между образующей конуса и его высотой
равна 3, а угол между ними 60°. Найти объем конуса,
полагая я—3,14.
10Б.165. В конусе площадь основания равна — я площадь
1С
осевого сечения 30. Найти объем этого конуса.
1 ОБ. 166. Диаметр основания конуса равен образующей и равен
6 Г~£
21/ — . Найти объем конуса.
10Б.167. Осевым сечением конуса является равносторонний
6/~1Г
треугольник со стороной 1/ —j-. Найти объем конуса.
10Б.168. Объем конуса равен 9, а радиус его основания равен
Зя ~э. Найти угол наклона образующей конуса к
плоскости основания.
п
10Б.169. Равносторонний треугольник со стороной 1/ --
вращается вокруг одной из сторон. Найти объем
полученной фигуры вращения.
10Б.170. Правильный треугольник со стороной а=А вращается
вокруг стороны. Найти объем тела вращения с
точностью до 0,01, приняв я—3,14.
10Б.171. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей
2
стороны а=-—-. Найти объем тела вращения.
у it
10Б.172. Ромб с диагоналями У15 и — вращается вокруг
большей диагонали. Найти объем полученной фигуры
вращения.
6/"Т
10Б.173. Квадрат со стороной 1/ — врашагтся вокруг диа-
у Die2
гонали. Найти объем полученной фигуры вращения.
175
10Б.174. В цилиндр вписан конус так, что основания и высоты
этих двух фигур совпадают. Во сколько раз объем
цилиндра больше объема конуса?
10Б.175. Найти радиус шара, описанного около куба, если
площадь поверхности этого куба равна 72.
10Б.176. Радиус шара, описанного около куба, равен 3. Найти
площадь поверхности куба.
4 б
10Б.177. Ребра прямоугольного параллелепипеда —-., —-,
уи Y *
12
—г • Найти поверхность описанного шара.
V*
10Б.178. В куб вписан шар. Найти площадь поверхности шара,
если площадь полной поверхности куба равна 1170/л.
10Б.179. Найти объем цилиндра, вписанного в куб объемом 8,
приняв я=3,14.
10Б.180. В шар, площадь поверхности которого равна 100л,
вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, если радиус
его основания равен 4.
10Б.181. Площадь осевого сечения цилиндра равна 3, а высота
цилиндра равна 1,5. Найти радиус шара, описанного
около этого цилиндра.
10Б.182. Площадь поверхности шара равна 330. Найти площадь
полной поверхности цилиндра, описанного около шара.
10Б.183. Объем цилиндра равен 7,5. Найти объем вписанного
в этот цилиндр шара.
10Б.184. Цилиндр вписан в шар, радиус которого равен У2.
Найти объем цилиндра, если высота цилиндра в два
раза больше радиуса цилиндра (л = 3,14). Ответ
записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
10Б.185. Вокруг шара описан цилиндр. Найти отношение
поверхности цилиндра к поверхности шара.
10Б.186. Высота конуса 8, образующая 10. Найти радиус
вписанного шара.
121/^3
10Б.187. В конус с образующей, равной 3 и наклоненной
/*
к плоскости основания под углом 60°, вписан шар.
Найти объем шара.
10Б.188. Образующая / конуса, равная 61/ Л£ , наклонена к
плоскости основания под углом 60°. Найти объем
шара, вписанного в конус.
10Б.189. Высота конуса равна 2, образующая равна 4. Найти
радиус описанного шара.
10Б.190. Высота конуса равна 3, образующая равна 6. Найти
радиус описанного шара.
176
10Б.191. В шар вписан конус. Найти высоту конуса, если
радиус шара 5, а радиус основания конуса 4.
10Б.192. В шар вписан конус, осевое сечение которого —
равнобедренный прямоугольный треугольник. Какую часть
объема шара составляет объем конуса? Ответ дать
в виде десятичной дроби.
10Б.193. В шар вписан конус, осевое сечение которого есть
правильный треугольник. Найти отношение объема конуса
к объему шара. Ответ записать с точностью до 0,01.
10Б.194. В шар вписан конус так, что его основанием служит
большой круг шара. Во сколько раз объем шара
больше объема конуса?
10Б.195. В шар вписан конус, образующая которого равна
диаметру основания. Найти отношение полной
поверхности этого конуса к поверхности шара.
10Б.196. Шар и конус имеют одинаковый объем. Высота конуса
равна 4. Чему равен радиус шара, если он совпадает
по величине с радиусом основания конуса?
10Б.197. Конус и шар имеют равные высоту и диаметр. Радиус
шара равен 1/ — . Найти площадь боковой
поверхности конуса, если объем его равен объему полушара.
10Б.198. Образующая усеченного конуса равна 4]/^ и
наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти
объем шара, вписанного в этот конус, полагая я=3,14.
10Б.199. В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса
равна 1/ —, а угол между высотой и образующей
равен 45°. Найти объем шара.
10Б.200. Образующая конуса наклонена к плоскости основания
под углом 30°. Площадь осевого сечения конуса
равна 75. Найти площадь поверхности шара, описанного
около конуса, полагая л=3,14.
10Б.201. Конус вписан в шар^радиус которого равен 17. Найти
радиус основания конуса, если угол при вершине его
осевого сечения равен 30°.
10Б.202. Найти площадь поверхности шара, описанного около
2
конуса, у которого радиус основания —г» а высо-
V*
та —-.
10Б.203. Высота конуса 20, образующая 25. Найти радиус
вписанного полушара, основание которого лежит на
основании конуса.
12 Заказ № 1452 177
10Б.204. Высота конуса равна 3, угол между высотой и
образующей равен 45°. В этот конус вписан другой конус
так, что его вершина совпадает с центром основания
первого конуса, а соответствующие образующие
взаимно перпендикулярны. Найти объем вписанного конуса,
полагая я = 3,14.
10Б.205. Два шара, расстояние между центрами которых равно
/у я, касаются друг друга внешним образом.
Площадь поверхности одного из шаров равна 4]/ я.
Найти объем другого шара.
10Б.206. В правильную четырехугольную пирамиду вписан
конус. Найти объем конуса, если объем пирамиды ра-
288
вен — .
1С
10Б.207. Апофема правильной .четырехугольной пирамиды
равна 91/ О- и наклонена к плоскости основания под
углом 60°. Найти объем шара, вписанного в пирамиду.
Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.208. Из некоторой точки пространства проведены к данной
плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная
длиной 9 см. Найти проекцию перпендикуляра на
наклонную.
10Б.209. Из точки А к плоскости а проведены наклонные АВ и
Л С, длины которых относятся как 5:8. Найти
расстояние от точки А до плоскости а, если проекции
наклонных на эту плоскость соответственно равны 7 см и
32 см.
10Б.210. Из точки к плоскости проведены две наклонные,
длины которых относятся как 5:6. Найти расстояние от
точки до плоскости, если соответствующие проекции
наклонных равны 4 и ЗУЗ.
10Б.211. Из данной точки к плоскости проведены две
наклонные, разность длин которых равна 6 см. Их проекции
на эту плоскость равны 27 см и 15 см. Найти
расстояние от данной точки до плоскости. s
10Б.212. В треугольнике ABC катет ЛВ = 3 см, ZJB=90°. Из
вершины А к плоскости этого треугольника проведен
перпендикуляр AM. Найти расстояние от точки М до
стороны ВС, если AM = 4 см.
10Б.213. Даны две скрещивающиеся прямые а и 6. Прямая а
лежит в плоскости а, прямая Ь перпендикулярна
плоскости а. Найти расстояние между скрещивающимися
жрямыми, если точка М прямой Ь отстоит от
плоскости а на 4 см, а от прямой а — на 5 см.
ХП
10Б.214. На плоскости а даны две параллельные прямые а и
Ьу расстояние между которыми равно 6 см. Вне
плоскости а дана точка S, удаленная от прямой а на 25 см
и от прямой Ь — на 29 см. Найти расстояние от
точки S до плоскости а.
10Б.215. Сторона правильного треугольника равна 12 см. На
расстоянии 1 см от плоскости треугольника взята
точка, одинаково удаленная от всех его сторон. На каком
расстоянии от вершины треугольника находится эта
точка?
10Б.216. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см.
Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от
каждой вершины на расстояние 10 см. Найти
расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
10Б.217. Найти расстояние от точки М до плоскости
равнобедренного треугольника ABC, зная, что АВ=ВС= 13 см,
АС =10 см, а точка М удалена от каждой стороны тре-
о 2
угольника на 8— см.
10Б.218. В равнобедренном треугольнике угол при вершине
равен 120°, а боковые стороны по 10 см. Вне
треугольника дана точка, удаленная от всех его вершин на 26 см.
Найти расстояние от этой точки до плоскости
треугольника.
10Б.219. Основание и высота равнобедренного треугольника
равны по 4 см. Данная точка находится на расстоянии
6 см от плоскости треугольника и на равном
расстоянии от его вершин. Найти это расстояние.
10Б.220. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О.
Из точки О проведен к плоскости квадрата
перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до
стороны ВС, если ЛО = 6, ОМ=4.
10Б.221. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Точка М,
расположенная вне плоскости ромба, удалена от всех
сторон ромба на 8 см. Найти расстояние от точки М до
плоскости ромба.
10Б.222. Точка М, равноудаленная от сторон ромба, находится
на расстоянии 2 см от плоскости ромба. Найти
расстояние от точки М до сторон ромба, если его
диагонали равны 12 см и 16 см.
10Б.223. Равнобедренная трапеция, периметр которой равен
48 см, а острый угол 60°, расположена в плоскости а.
Точка, одинаково удаленная от всех сторон трапеции,
находится на расстоянии 3 см от плоскости а. Найти
расстояние от этой точки до сторон трапеции.
12*
179
10Б.224. Трапеция вписана в круг, причем меньшее ее
основание, равное 16 см, стягивает дугу в 60°. На расстоянии
12 см от плоскости трапеции находится точка,
равноудаленная от всех вершин трапеции. Найти
расстояние от этой точки до вершин трапеции.
10Б.225. Через центр О квадрата ABCD проведен
перпендикуляр OF к плоскости квадрата. Вычислите косинус угла
между плоскостями BCF и ABCD, если FB = 5, ВС=6.
10Б.226. Через центр О правильного треугольника ABC к его
плоскости проведен перпендикуляр OD. Найти
косинус угла между плоскостями ABC и ABD, если
BD=AB.
10Б.227. Из вершины А правильного треугольника ABC
проведен к его плоскости перпендикуляр AM. Точка М
соединена с точками В и С. Двугранный угол,
образованный плоскостями ABC и МВС, равен 60°. Найти
тангенс угла, образованного стороной MB с
плоскостью треугольника ABC.
10Б.228. Два равносторонних треугольника ABC и АВМ лежат
во взаимно перпендикулярных плоскостях. Найти
косинус угла.
10Б.229. Отрезок АВ длиной 6 см упирается своими концами
в две взаимно перпендикулярные плоскости. Расстояние
от точек Л и В до линии пересечения плоскостей равно
3 см. Найти углы, которые образует отрезок с этими
плоскостями.
Из точки Л, взятой на окружности радиуса 2 см,
восставлен к плоскости круга перпендикуляр М/С,
равный 1 см. Из точки Л проведен диаметр Ad, а из
точки В под углом 45е к диаметру — хорда ВС. Найти
расстояние от точки К до хорды ВС.
Диагонали ромба ABCD равны 30 см и 40 см. Из
вершины Л проведен к плоскости ромба перпендикуляр
Л/С. Найти расстояние от точки /С до стороны АВ,
если Л/С=10 см.
К плоскости ромба ABCD, в котором ZM=45°,
Л/Ь=8, проведен перпендикуляр CF, равный 7. Найти
расстояние от точки F до стороны ромба AD.
Через одну из сторон ромба, диагонали которого
равны 6 и 8, проведена плоскость а под углом 60° к
плоскости ромба. Найти площадь проекции ромба на
плоскость а.
10Б.230.
10Б.231.
10Б.232.
10Б.233.
180
§ 11. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
НА ПЛОСКОСТИ
Расстояние между точками плоскости Л и В, имеющими
координаты соответственно (хх\ у\) и (х2\ y2)t определяется по
формуле
AB=y(x2-x{)*+(y2-yi)*. (11.1)
По этой же формуле определяются длина отрезка АВ или
модуль вектора АВ.
Координаты (хср; уСр) середины отрезка АВ определяются
по формулам
*ср= —-—I Уср=—-—• (11-2)
Координаты вектора АВ (х; у) находятся по формулам
х=х2-хи у=у2-у{. (11.3)
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Расстояние между точками пространства А (х\\ у\\ z{) и
В (х2\ у2\ z2) определяется по формуле
АВ=У(х2-х{)*+ (у2-ух)*+ (z2-zx)\ (11.4)
По этой же формуле определяются длина отрезка АВ или
модуль вектора АВ.
Координаты (*ср; Уср;. zcp) середины отрезка определяются
по формулам
Р 9 ' 2 ' ~2 " \1{Л))
Координаты вектора АВ (х\ у\ z) находятся по формулам
х = х2-х{; у = у2-ух\ z=z2-z{. (11.6)
Тот факт, что вектор АВ имеет координаты (х\ у; z), может
быть записан так:
АВ = х- T+y-J + z-k,
где /, /, k — единичные векторы, направленные вдоль осей Ох,
Оу и Oz соответственно.
181
Модуль вектора а (ах-9 а2\ а3), заданного своими
координатами, находится по формуле
\a\~yal*+a22+az*. (11.7)
—» —*
Пусть есть два вектора а (ах\ а2\ аъ) и Ь (Ь\\ Ь2\ 6з)> тогда
а+6=с(а, + &,; a2+&2; а3+Ь3)\ (11.8)
a-ft=d(ai-fti; a2-&2; Яз-&з); U19)
A,a = *(Xa,; Ха2; Яа3). (11.10)
Скалярным произведением ab векторов о и Ь называется
число
a.ft=fb|.|b|cos9, (11.11)
—* —»
где ф — угол между векторами а и Ь.
Скалярное произведение векторов, заданных своими
координатами, выражается формулой
а-Ь=а\Ьх+а2Ь2+агЬг. (1112)
Косинус угла между векторами а (ах\ а2\ аг) и Ь (Ьх\ Ъ2\ 6з)
определяется по формуле
С08ф= Jll_ ахЬг+аФш+аф* (П 13)
\а\ • \Ь\ Va?+a2*+af. У^Ч V+V
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности
векторов a (flf, а2\ a3) и ft (&i; b2\ 63) имеет вид
а.й = а1й1 + а262+а3&з=0. (11.14)
Необходимым и достаточным условием параллельности
-> ->
(коллинеарности) ненулевых векторов а и b является
существование такого числа Я, что
а = \1к (11.15)
Пример 11.1. При каком значении z векторы а (6; 0; 12) и
fc(~8; 13; 2) перпендикулярны?
Решение. Воспользуемся формулой (11.14)
а-6 = 6. (-8)+0-13+12-2=0, 122-48=0, 2 = 4.
Ответ. 2 = 4.
182
Пример 11.2. Найти скалярное произведение векторов
а = 2*+3/-4* и b=i-2j+k.
-> *
Решение. Запишем векторы а и Ь в координатной форме!
а (2; 3; -4), Ь(1; -2; 1).
Используя формулу (11.12), имеем
а.& = 2.1+3.(~2) + (-4).1 = -8.
Ответ. —8.
Пример 11.3а При каком значении а векторы а (2; 3; —4)
и Ь (а; —6; 8) параллельны?
Решение. Используя формулу (11.15), имеем а = Х&.
Отсюда
2=Ал,
3=-6А,,
-4 = 8*..
Решая систему, получим Х= ; а=—4.
Ответ. а=—4.
->
Пример 11.4. Найти угол между векторами а ( — 1; 2; —2)
и~& (6; 3; -6).
Решение. Используя формулу (11.13), имеем
CQSq) <-1)-6 + 2.3+(-2Н-6) =Л_ = ±.
|/"(_1)2 + 22+(-2)2. Уб* + &+ (-6)2 3'9 9
Ответ. cp = arccos—.
^ 9
Пример 11.5. Векторы АВ = —3/+4* и 4C=5i —2/+4*
служат сторонами треугольника ЛВС. Найти длину медианы AM.
Решение. Ш=- (АВ+А<?),
АМ=± (-3 + 5; 0-2; 4+4) = (1; —1; 4),
|ЛМ|=у12+(-1)2+42=У18=ЗУ2.
Ответ. |А/ИГ| =ЗУ27
183
ЗАДАЧИ
Группа А
11 А.001. Найти скалярное произведение векторов а (2; 4; 1) и
~МЗ;5;7),
11А.002. При каких значениях х и у векторы а (3; — 2; х) и
Ь (у\ 4; 2) коллинеарны? В ответе записать
произведение найденных значений хну.
—►
11 А.003. Найти длину вектора а (3; 4).
11А.004. При каких значениях х векторы а ( — 1; 1; 2) и
Ь {х2\ х—2; х2—12) коллинеарны?
—>
11А.005. При каком значении х векторы а (х\ 3; 4) и Ь (5; 6; 3)
перпендикулярны?
11 А.006. Найти произведение координат х и z вектора а (х; 2; г),
перпендикулярного вектору Ь (2; 3; —2) и оси Ох.
11А.007. При каких значениях z длина вектора c = 2i — 9j+zk
равна 11? В ответе записать произведение всех
найденных значений z.
11А.008. Найти координату z середины отрезка АВ, где
А (3; 5; 7), В (3; 1; -1).
11А.009. Найти длину вектора с=а+Ь , где а (1; 2; 3) и
1 (4; -2; 9).
11А.010. Даны векторы а (6; 2; 1) и Ь (0; —1; 2). Найти длину
вектора с=2а—Ь.
11А.011. Найти угол в градусах между векторами a = 2i +
+ 5/—* и 6= Г— f— 3ft.
11А.012. Найти площадь треугольника, построенного на векто-
pax а и 6, если векторы а и ft составляют угол 45° и
11А.013. Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах а и 6, если векторы а и й составляют 30° и
a*.ft*=y3.
11А.014. Найти в градусах наибольший угол треугольника,
вершины которого расположены в точках А (1; 2),
В (1; 4), С (3; 2).
11А.015. Найти угол в градусах между диагоналями
четырехугольника с вершинами в точках А (3; 3), В (2; 6),
C(1;5),D(6;2).
184
Группа Б
11Б.001. Зная, что |а|=2, |ft|=5, (а, 6)» , найти, при
з
_*.—►_♦. —► »
каком значении а векторы p=aa+17ft и q=3a—b
перпендикулярны.
-> —>> —► —>
11Б.002. Векторы а и ft образуют угол в 120° и |а|=3, |ft|=5.
Найти \а—Ь\.
11Б.003. Найти угол между векторами 2а и - , если а (—4;2;4),
Ь (2; -2; 0).
11Б.004. Найти произведение координат *, у, z вектора
Р (*; У\ z)9 если р-а=6, p-ft=9, р-с=4, а (1; 1; 0),
ft (1; -2; 3), с (1; -1; 0).
11Б.005. Найти координату х точки М9 лежащей на оси Ох
и одинаково удаленной от точек
А (1; 2; 3) и В (-3; 3; 2).
11Б.006. Найти значение выражения yz—x2, где х, у, г —
координаты вектора с (х\ у\ г), зная, что |с|=УЗО. Век-
тор с перпендикулярен векторам а (2; 2; —1) и
ft (3; - 1; 1) и образует с осью Oz тупой угол.
11Б.007. Длины ненулевых векторов а и 6 равны. Найти угол
между этими 'векторами, если известно, что векторы
p=*a+2ft и 9=5a*—4ft перпендикулярны.
11Б.008. Найти значение выражения A=S-x*y, где S
—площадь треугольника ABC, координаты вершин которого
А (1; 2), В (1; 4), С (3; 2), а х и у — координаты
центра описанной вокруг треугольника окружности.
11Б.009. Дан треугольник с вершинами в точках А (3; —2; 1),
В (3; 0; 2), С (1; 2; 5). Найти угол, образованный
медианой BD и основанием АС.
11Б.010. Дан треугольник с вершинами в точках А (0; 0),
В (2; 4), С(1; 3). Найти квадрат длины высоты BD
треугольника ABC. ^
11Б.011. Найти площадь четырехугольника, вершины которого
расположены в точках Л (0; 0), В (—1; 3), С (2; 4),
D(3; 1).
11Б.012. Найти квадрат расстояния от начала системы
координат до центра окружности, описанной вокруг
треугольника ABC, координаты вершин которого А (1\ 0; 1),
В(1; 1;0), С(1; 1; 1).
185
11Б.013. Найти диагональ АС параллелограмма ABCD, у
которого ЛВ = 7, ЛС=8 и 2LB4D=60°.
11Б.014. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке
О. Найти сумму векторов
11Б.015. Точки А (1; 0; 2), В(2;1;0), С (1; 2; 0) являются
тремя последовательными вершинами
параллелограмма. Найти сумму координат четвертой вершины.
§ 12. ОБРАЗЦЫ ВАРИАНТОВ ЗАДАНИИ
ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ ПРОВЕРКИ
Вариант 16—1
1. Решить уравнение У*+ЗН zrz:— =2.
Кх+3+3
2. Найти произведение целых решений неравенства
*2+3s+54 | 8 <0
х2-8х+15 х-5 ^
3. Найти сумму целых решений неравенства
(х- 1)У-х2+х+2<0.
4. Решить уравнение 3*— — = 1.
б. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее
неравенству 23-вж>1.
6. Решить уравнение logx_t4 = 2.
7. На вступительном экзамене по математике 25%
поступающих не решили ни одной задачи, 150 человек решили хотя
бы одну задачу. Сколько человек сдаЬало экзамен? v
8. Найти tgAr, если sin(jc+30°)+sin (а:-30°) =2y3cos*.
9. Решить уравнение 2sin22x+7 sin2x—4=0. Найти
решение на промежутке 160о<х<200°. Ответ записать в градусах.
10. В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны 30°, а высота, опущенная на это основание, равна 3.
Найти радиус описанной окружности.
11. Боковые^стороны и меньшее основание прямоугольной
трапеции соответственно равны 8, 10, 10. Найти большее
основание.
12. В основании призмы лежит равносторонний треугольник,
площадь которого равна 9УЗ. Найти объем призмы, если ее
высота в }'3 раз больше стороны основания.
186
13. Найти объем прямоугольного параллелепипеда,
диагональ которого равна 13, а диагонали его боковых граней равны
4уШиЗУ17.
14. Найти сумму всех двузначных четных чисел.
15. Найти максимальное значение функции у=2х3—6*+3.
16. При каком целом значении параметра а уравнение
ах+1=0 не имеет решений?
Вариант 16—2
1. Решить уравнение =12х—16.
2. Найти среднее арифметическое целых решений
неравенства
х-\г\ 9
3. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
У14-х>2-*.
4. Найти меньший корень уравнения х1**=х2.
б. Найти целое решение неравенства logs (х2—^+3) > —1,
6. Найти наименьшее решение неравенства
3.9* + 2.3*-13*0.
7. Вычислить logg 17 • log^ 7 • log7 3.
8. Два пешехода должны пройти путь в 270 км. Один из них
проходит ежедневно на 6 км больше, чем другой; поэтому на
весь путь он затратил на 1,5 дня меньше, чем другой. За
сколько дней второй пешеход проходит весь путь?
9. Найти в градусах наименьший положительный корень
уравнения
1 + sin х-cos x=3 cos2 х.
10. Дано sina=l/yT6 и 90°<а<180°. Вычислить ctga.
И. В.окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена
хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18
и 32. Найти длину хорды CD.
12. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5:6,
а гипотенуза равна 122. Найти проекцию меньшего катета на
гипотенузу.
13. Найти диаметр шара, если его объем равен 2048л/3.
14. В кубе, ребро которого равно 3, центр верхней грани
соединен с тремя вершинами основания. Найти объем
образовавшейся пирамиды.
15. Найти второй член бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, у которой знаменатель q= —1/3, а cytma
вс^х членов S=9.
1 187
16. Вычислить значение производной функции
В точке х=1.
1. Вычислить
"-Т + Т +7+*
Вариант 16—3
3 + * 3 ' 8 "" 15
(т+0-25):
3.5H-22J • |
2. Найти наибольшее значение х, не являющееся решением
неравенства 4(х2+1)>9х+2.
3. Найти наименьшее целое положительное значение х,
являющееся решением неравенства У*+12<дс
4. Найти целое решение уравнения *1о*4*=4.
5. Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее
неравенству
log3(3*-l)<l.
6. Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее
неравенству 0,7х-1 < 0,49.
7. Вычислить \oghr-(2у 2\,
8. Если на заводе будут ежедневно сжигать 3,6 т топлива, то
расходы на топливо за полгода составят 3000 р. Сколько рублей
будет сэкономлено на топливе за тот же срок, если ежедневно
сжигать на 600 кг меньше?
9. Вычислить без таблиц 14Y2(sin4 — —cos4—].
10. Найти в градусах наименьшее положительное решение
уравнения
sin2x+3cos2;c-2 sin 2*=0.
П. Найти высоту прямоугольной трапеции, у которой
большее боковое ребро равно 5, а разность длин оснований равна 4.
12. В окружности проведены две хорды АВ и CD,
пересекающиеся в точке М. Найти величину угла AMD, если дуга AD
содержит 70°, а дуга ВС — 10°.
2
13. В шаре на расстоянии А= —= от его центра проведено
Ук
з
сечение, радиус которого равен —-. Найти площадь поверхно-
сти шара.
188
14. Сумма всех членов арифметической прогрессии 28,
третий ее член 8, четвертый — 5. Найти число членов прогрессии.
15. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно
перпендикулярны и равны соответственно 2, 3 и 4. Найти объем
пирамиды.
16. Найти наибольшее целое решение неравенства
/'(*)
О, где f(x)=x*-3x2-9x+5.
(*+5)(x-6)
Вариант 16—4
8
1. Упростить и вычислить при х——-; у=9:
.V~x+Vy
2. Найти наименьшее целое решение системы неравенств
( 2*-7>x-12,
1 4х-7>Зх-9.
3. Найти наибольшее целое решение неравенства
У24-5х>-л:.
4. Решить уравнение log3 23*=21°*53-lpg3 2.
б. Найти целое положительное х, не являющееся решением
неравенства
log22x+log2*^2.
6. Найти наименьшее целое решение неравенства — >—.
7. Решить уравнение 2х+2 =1+~5"-
8. Учащиеся VIII класса обмениваются фотокарточками.
Сколько было учащихся, если для обмена потребовалось 870
фотокарточек?
9. Найти (в градусах) наименьший корень уравнения
4cos2x+2sin2x=3sin2x на интервале 0°<х<90°.
з
10. Найти (в градусах) угол (a-f Р), если tgр= — ; tga=0,4;
а и р — острые углы.
11. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны
10 см и 15 см, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол.
Найти периметр квадрата.
12. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см, а
основание 25 см. Найти высоту треугольника, опущенную на
основание.
189
13. Найти периметр основания правильной
четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 6, а апофема 6,5.
14. Площадь основания конуса Зу^Зя, а тангенс угла
между образующей и плоскостью основания равен 3. Найти объем
конуса.
15. Найти х из уравнения 1 + 7+13+ ... +х=280.
16. Найти наименьшее значение функции y=xz+ltbx2 —
— 60*+7 на отрезке [0; 5].
Вариант 16—6
1. Решить уравнение У2дс+5—У10*+5=2.
2. Найти произведение корней уравнения
а:2—6дг+|лг—4| +8=0.
3. Найти наименьшее положительное число х,
удовлетворяющее неравенству У3х—6<3.
4. Решить уравнение log2log3(*+l) =2.
5. Найти произведение корней уравнения
3^81-10*^9 + 3=0.
6. Найти наибольшее целое ху удовлетворяющее
неравенству х2.5*-52+*<0.
Зх— 1
7. Найти целое решение неравенства log2 <1.
2-х
8. На уборке урожая работало несколько человек. Если бы
их было на 3 меньше, то они проработали бы на два дня
больше, а если бы их было на 4 больше, то работа была бы
окончена на два дня раньше. Сколько человек работало?
l+cos у-sin-~ a
9. Вычислить , если tg— = .
а а 4 2
1—cos — —sin ——
2 2
10. Найти (в градусах) ху удовлетворяющее условию
0°<jc<180° и являющееся корнем уравнения
cos(20° + x)+cos(100°-a:)= у.
11. В прямоугольном треугольнике катеты равны 13 и 84.
Найти радиус вписанного круга.
12. Найти радиус окружности, вписанной в ромб, длины
диагоналей которого 6 см и 8 см.
13. В конусе радиус основания равен 6У2 см, высота равна
12 см. Найти ребро куба, вписанного в этот конус.
14. В шар вписан конус, высота и радиус основания
которого соответственно равны 3 см и ЗУЗ см. Найти радиус шара.
190
15. Найти число членов геометрической прогрессии 3, б,
12, ..., 96.
16. Найти произведение экстремальных значений функции
у = 2х3+3*2-36л:+3.
Вариант 10—1
1. Найти наименьший корень уравнения —
У41-Зл:-У9-3*=2У5+л:.
2. Найти сумму целых неотрицательных решений
неравенства
4jc2-13jc+3^0
lOgo.20,1
3. Из двух пунктов, расстояние между которыми 9 км,
одновременно выезжают два велосипедиста. Если они будут ехать
навстречу друг другу, то встреча произойдет через 20 мин
после выезда; если же они будут ехать в одном направлении, то
второй догонит первого через 3 ч. Найти скорость второго
велосипедиста.
4. Решить уравнение З'+З^+З'+^З.
5. Найти наименьшее целое х, являющееся решением
неравенства log32x—31og3*—4^0.
6. Найти (в градусах) значение х уравнения cos8x+cos6x=
=V3cosx, удовлетворяющее неравенству 85°<х<95°.
7. Найти решение уравнения 2sin*sin8*=cos7х на
промежутке 150о<х<180°. Ответ записать в градусах.
8. В равнобедренном треугольнике высота равна 45 см, а
основание относится к боковой стороне как 4:3. Найти радиус
вписанного круга.
9. Высота конуса равна 6 см, а образующая 10 см. Найти
радиус вписанного шара.
10. Найти /'(—), если /(*)=2y3cos4x.
Вариант 10—2
1. Найти целый корень уравнения х2+3х- |*+2| -6=0.
2. Найти наибольшее целое решение неравенства
Ш <0, где f(x)=x*- 12x4-7.
3. При одновременной работе двух насосов пруд был очи-
191
щен за 2 ч 55 мин. За сколько времени очистит пруд первый
насос, работая один, если может выполнить эту работу на 2 ч
быстрее второго насоса?
4. Решить уравнение 3x+3x+1 = log216.
5. Найти наименьшее целое х> удовлетворяющее неравенству
((f)7') >■•
6. Вычислить 6tg2a, если tga=0,5.
7. Найти (в градусах) решение уравнения sin26*+
4-5sin23x=2, удовлетворяющее условию 0°<*<90°. (Выбрать
наименьшее решение.)
8. Найти отношение площади круга, описанного около
правильного треугольника, к площади круга, вписанного в этот
треугольник.
9. Высота, правильной четырехугольной пирамиды 7 см, а
сторона основания 8 см. Найти боковые ребра.
10. Арифметическая прогрессия имеет 16 членов. Их
сумма 840, последний член равен 105. Найти разность прогрессии.
Вариант 10—3
1. Решить уравнение У*-ь8—у7х+9= — 1.
2. Найти сумму целых решений системы неравенств
4*-2^3х-6,
17х+1^16х-1.
3. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и
15 км — по озеру, затратив на путь по озеру на 1 ч меньше, чем
на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч,
найти скорость туриста в стоячей воде.
4. Решить уравнение lg(*—2) lg(*+l) = 1—lg5.
б. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее
неравенству 9,0*«<х-4><3.
6. Найти (в градусах) решение уравнения sin4Jt+cos4* =
= sin*cosx, удовлетворяющее условию 0°<*<180о.
7. Решить уравнение 6X+1—6x"i=35tg — .
4
8. Катеты прямоугольного треугольника 30 см и 40 см.
Найти медиану треугольника, проведенную к гипотенузе.
9. Из точки А под углом 60° к плоскости проведена
наклонная. Найти ее длину, если проекция наклонной на плос- •
кость 8 см.
192
10. Найти наибольшее целое решение неравенства
Г(*> <о,
(х-Ь)(х-8)
где /(х)=л:3-7,5л:2+18х-И5.
Вариант 10—4
1. Найти наименьший корень уравнения У4 — *+У5+х=3.
2х2 Ьх—12
2. Найти сумму целых решений неравенства ^0.
V*x+b
3. Посев озимых культур должен быть выполнен по плану
за 12 дней. Увеличив норму посева на 16 га в день, колхоз
закончил посев за 8 дней. Сколько га колхоз засевал ежедневно?
4. Найти произведение корней log42*—log4x—6=0.
5. Найти наименьшее положительное х, удовлетворяющее
(ОС уЛ \ 1
- - --) ^ .
6. Найти (в градусах) сумму корней уравнения 4cos2*4-
+ sinxcosx+3sin2A:=3, если 90°^*^ 180°.
7. Вычислить 2V3sina, если cosa=— и— <а<2я.
г 2 2
8. Найти радиус вписанной в треугольник окружности, если
стороны его равны 5, 13, 12.
9. В прямой треугольной призме стороны основания равны
4 см, 5 см, 7 см, а боковое ребро равно большей высоте
основания. Найти объем призмы.
10. Найти сумму членов геометрической прогрессии, первый
член которой равен 3, знаменатель равен 2, последний член
равен 96.
Вариант 10—5
1. Решить уравнение (*2+4*)У*—3=0.
2. Найти произведение целых решений неравенства
2*2-9л:+4<0.
3. В сосуде было 12 л серной кислоты. Сосуд долили водой
и получили 20%-ный раствор кислоты. Сколько литров воды
долили в сосуд?
4. Найти больший корень уравнения log3* h5=0.
б. Найти наименьшее целое значение х, удовлетворяющее
неравенству 2Х+2- 2**3- 2х+4> 5Х+1 - 5*+2.
13 Заказ № 1452 J93
6. Найти наибольший корень х уравнения 2cos2 (— — *) —
-5sinx+2=0, принадлежащий интервалу —--я<х<я. Ответ
записать в градусах.
7. Найти tga, если cosa=4/5, 0°<a<90°.
8. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его
высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
9. Найти полную поверхность цилиндра, у которого Диаметр
основания и высота одинаковы, а площадь боковой
поверхности равна 80 см2.
10. Найти сумму членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии 6, 1,—, ...
ОТВЕТЫ
§ 1
Группа А
I. -1,4. 2. 37,5. 3. 1000. 4. 8. 5. 1. 6. За-3. 7. аг1. 8. а+2.
9. а-3. 10. — . 11. 0,5. 12. а-Ь. 13. -1. 14. —. 15. а+2.
9 а
16.22. 17.-3. 18.200. 19.—. 20.2. 21.3. 22.27. 23.0,4.
21
24. 0,5. 25. — . 26. 100. 27. 1. 28. 4. 29. 100. 30. 0,5. 31. 0. 32. 9.
729
33. 2,5. 34. 3. 35. 22. 36. -а. 37. а. 38. а. 39. а. 40. х.
Группа Б
1. 6. 2. 1. 3. 12. 4. 60. 5. 11. 6. 2. 7. 510. 8. 240. 9. 120.
10. 420. 11. 800. 12. 4900. 13. -0,05. 14. 0,3. 15. 5. 16. 2,52.
17. 3,75. 18. 1. 19. 1. 20. 1/1^а. 21. 1,6. 22. -2. 23. х-1. 24. 0.
25. 2. 26. {х+у)г . 27. -2. 28. 2. 29. - . 30. — .• 31. ^—.
Аху 2 2+а х+у
32. Ь-а. 33. 1. 34. ^-. 35. х. 36. лс+1. 37. 1. 38. 3-а. 39. ^^-.
* U
40. —. 41. -1. 42. 2о" . 43. ft-2. 44. ^-. 45. 8. 46. ах*.
Х+У „2n_&Jn ab
47. 5. 48. 1. 49. 2(у/Га + 1). 50. У~а. 51. а-Ь. 52. у/~а. 53. х*у.
54. тп. 55. У72. 56. у¥^1. 57. — . 58. - ]/~а-\. 59. -1.
60. \ПИ-у/"п. 61. х~и . 62.-2. 63.-^1. 64. -^—.
4х(*+2у) с*-9 2-а
65. ^±L . 66. 4+ >Л4х.
§2
Группа А
1. -1,5. 2. -1. 3. -12. 4. 2. 5.-1-. 6. -5. 7. 12. 8. 2.
13* 195
9. -3. 10. 0,05. II. 5,2. 12. 60. 13. -3,4.
14. И. 15. 1~.
3
40
16. -3. 17. 7. 18. 0. 19. (-оо; +оо). 20. 1-. 21. (3; 1).
41
22. (5; 1). 23. (2; 3). 24. (4; 3). 26. (4; 3). 26. (8; 7).
27. :—;2]. 28. Ц-;-М.29. (7; 8). 30. (2; -5). 31. (6; 8).
32. (1,2; 6,7). 33. (2; 3). 34. (5; 3). 35. (1; 2). 36. (2; 1).
37. (125; -47). 38. (26,5; -5,5). 39. (5; 9). 40. (— ; - Л j .
41. 0; 2. 42. -4; 4. 43. 0. 44. 0; 2. 45. (2; 3). 46. -1,5; 1.
47. 1; 7. 48. 0; 3,5. 49. -^2- У2. 50. -1 -УЗ; -1+УЗ. 61. 2.
52. 0. 53. 0,5; 2. 54. -3; 3. 55. -4; 4. 56. -1. 57. -4; 0.
58. 5; -5. 59. 3; -1. 60. -1; 2. 61. 7. 62. 5. 63. 6. 64. 4. 66. 0.
66. 7. 67. 5. 68. 6. 69. 16. 70. 5. 71. 9. 72. 7. 73. 19. 74. 25.
75. 0. 76. 5. 77. 1. 78. 3; 6. 79. 6. 80. 3. 81. -5; -2;2. 82. (2;3).
83. 16. 84. 1. 85. --; 1. 86. -3; 3. 87. 2; 8. 88. -4. 89. 0.
О
90. 4. 91. -0,25. 92. 0. 93. 0. 94. 1; 3. 95. —; 5.
О
Группа Б
1. 8,5. 2. -7. 3. 0. 4. 2. 5. -0,625. 6. 1. 7. 4. 8. -0,2.
9. 3. 10. 4. 11. 0. 12.- . 13. -1,25. 14. -19. 15. -4. 16. 0.
О
17. -2,5. ' 18. 3,5. 19. -6. 20. 8. 21. 0. 22. -4. 23.-12.
24. -1; 1. 25. 2; -3. 26. 1. 27. -3. 28. 3. 29. 0. 30. 3. 31. (2;
3; 1). 32. (-1; 6; 2). 33. (1; 2; 3). 34. (1; 2; 3). 36. 2; -1; 1.
36. 1. 37. -1; 1. 38. 4; 12. 39. 2. 40. 5. 41. 1. 42. -1; 0,2.
43. 0,5. 44. -0; 2; -2. 45. 0; 2; 3. 46. 1; 3. 47. -5; 1. 48. -1; 1.
49. -2; 1. 50. -1; 1. 51. -5; 0; 5. 52. -1; 1. 53. -1; 1; 3.
54. 0. 55. ->/Т5; 0. 56. -1; 2; 3. 57. 13. 58. 4,5. 59. 3.
60. -3. 61. 2. 62. -5-; 3. 63. 2; 4. 64. -1; 1. 65.
0,5; 1. 66. -3{ -2. 67. 1;
-3- /3. -3+/5
-2,5; -2;
68. -1; 1.
69. -6; 2; -2-У&; -2+У6": 70. 1; 4;b2pL Z+2^1. 7h 0; 1;
-1+/5 -1-/5
2 ' 2
2; 3» 9. 77. -1;^5; ~3/"5. 78. -1; 2;=*±!Ф;=5=^5
. 72.8,4; 24. 73. 1; 4. 74.-1.75.-1; 0.76.-4;
И
196
*/"2
79. -3; 3. 80. 2; 2i/ JL.. 81. -3; 1; -l-/'2; -I+/2.
84. -9; -3; -0.5.
82. -,.83. -5;.; ^ii^. ^iz_£l
85. 5. 86. — . 87. 11. 88. 62. 89. -5; 5. 90. -2.
91. 3. 92. 6. 93. 6. 94. 14. 95. 8. 96. 21. 97. 6.
98. 8. 99. 5. 100. 16, 25. 101. 3. 102. 4. 103. 5.
104. 5. 105. 5. 106. 4. 107. 4. 108. -1. 109. 4. 110. 4. 111. 4.
112. 2. 113. 4. 114. 5. 115. 7. 116. 4. 117. 4. 118. 28. 119. 3.
120. -1. 121. 1. 122. 7. 123. 0. 124. 6; 9. 125. 34. 126. 8. 127. 1.
128. 5. 129. 25. 130. -3. 131. {-1; 1}. 132. 4. 133. 4. 134. 3.
135. 6. 136. 2. 137. 3. 138. 3. 139. 13. 140. 2. 141. -3. 142. 0; 2.
143. 6. 144. 7. 145. 1. 146. 62. 147. -3. 148. 0; 1. 149. 27.
150. -5; 5. 151. 0,25. 152. 8. 153. 25. 154. -4; 1. 155. 1,2; 2.
156. -1; 1; 4. 157. 21; 86. 158. 16. 159. 1024. 160. -10; 25.
161. 1. 162. 5. 163. 0; 5. 164. 7. 165. 4. 166. -45; 20. 167. 68.
168. 64. 169. 2; 3; 2,5. 170. 2; 7;
-5+/T7. —5-/T7
171. 1,25.
2 2
172. 17. 173. 5. 174. 35. 175. 9. 176. 9. 177. 2. 178. 9. 179. 6.
180. 5. 181. -7,5. 182. -3-; 2. 183. -5; 2. 184. 3. 185. -1.
3
186. [-oo; -3]. 187. -2. 188. [2; 4]. 189. -3. 190. —.
191.
1-/33. 1+/Г7
2 ' 2
1+/33 1—/33
2 ; 2
199. -1; 5. 200. 3,2.
192. -3; 2. 193. -5; 1. 194. 0. 195". 3;
196. — —; 1. 197. 1; 3. 198. 3; -3; -2+У5.
§3
1.
10. -
18. -
27. 2.
36. -
43. -
51. 1.
60. -
69. 2.
77. 0
87. 0.
Группа А
-3. 2. 2. 3. 2. 4. 3. 5. 1. 6. -6. 7. -5. 8. -8. 9. 6.
4. 11. -10. 12. 41. 13. 18. 14. 0. 15. -4. 16. 0. 17. 4.
1. 19. 1. 20. 1. 21. 1. 22. 6. 23. 4. 24. 2. 25. 0. 26. 5.
28. 3. 29. 1. 30. 1. 31. 1. 32. 2. 33. -6. 34. -3. 35. 0.
1. 37. -4. 38. -3. 39. -2. 40. -1. 41. -7. 42. 1.
5. 44. 4. 45. 2. 46. -3. 47. -3. 48. -1. 49. -2. 50. 4.
52. 1. 53. 1. 54. 5. 55. -3. 56. 4. 57. -3. 58. 0. 59. 6.
2. 61. 0. 62. 3. 63. 1. 64. 0. 65. 10. 66. 2. 67. 1. 68. 1.
70. -2. 71. 2. 72. 1. 73. 2. 74. 2. 75. 1. 76. (-oo; + oo).
. 78. 7. 79. 3. 80. 1. 81. 1. 82. 4. 83. 1. 84. 1. 85. -8. 86. 0.
88. 0. 89. -1. 90. -2. 91. 0.
107
Группа Б
I. 0. 2. 0. 3. -2. 4. -2. 5. 4. 6. 2. 7. 0. 8. -7. 9. -1.
Ю. -4. 11. -3. 12. -3. 13. 3. 14. -2. 15. -6. 16. -3. 17. -2.
18. 0. 19. 3. 20. 6. 21. 8. 22. 1,5. 23. 1. 24. 3. 25. 3. 26. 0,5.
27. 1,75. 28. 4. 29. 2,5. 30. 2. 31. 0. 32. 2. 33. - -. 34. 3,5.
О
35. 4. 36. 2. 37. 1. 38.. 3. 39. 2. 40. 3. 41. 3. 42. 2. 43. 8. 44. 1.
45. 2. 46. 4. 47. -1. 48. 1. 49. 4. 50. 0. 51. 14. 52. -2. 53. 0.
54. 1. 55. 5. 56. -7. 57. -1. 58. 1. 59. 7. 60. 1. 61. 9. 62. 1.
63. 0. 64. 2. 65. 0. 66. 1. 67. 1. 68. -4. 69. 3. 70. 0. 71. 3.
72. 0. 73. 0. 74. 5. 75. -2. 76. -2. 77. -2. 78. -5. 79. -1.
80. -5. 81. -3. 82. -3. 83. 2. 84. 2. 85. -1. 86. 6. 87. 25.
88. 21. 89. 1. 90. 2,5. 91. 9. 92. 2. 93. 2,5. 94. 5,75. 95. 6. 96. 3.
97. 8. 98. -1. 99. 1,5. 100. -1,5. 101. 2,5. 102. 1,5. 103. 4,5.
104. 2. 105. 2. 106. 3. 107. 1. 108. 2. 109. 5. ПО. 2. 111. -4.
112. -3. 113. -2. 114. -3. 115. 1. 116. 3. 117. 2. 118. 0.
119. 0,75. 120. 11. 121. 5. 122. 2,2. 123. 3. 124. 3.
§4
Группа А
1. 4. 2. -4. 3. 0. 4. -2. 5. 2. 6. 0. 7. -3. 8. --. 9. -2.
2
10. —. 11. 3. 12. -2. 13. 0. 14. 1. 15. 7. 16. 6. 17. 9. 18. 9.
2
19. 100. 20. 2. 21. 3. 22. 2. 23. —. 24. 27. 25. 2. 26. 3. 27. -3.
2
28. 6. 29. 1. 30. 2. 31. 2. 32. 1. 33. 2. 34. 5. 35. 50. 36. 2. 37. 3.
38. 1. 39. 1. 40. 1. 41. 3. 42. -1. 43. — . 44. 2. 45. 9. 46. 12.
5 125
47. 5. 48. 2. 49. —. 50. 2. 51. 5. 52. 2. 53. 13. 54. 2. 55. 4. 56. 1.
2
57. 60. 58. 14. 59. -1. 60. - —. 61. 2. 62. — . 63. 9. 64. 27.
2 2
65. 9. 66. 10. 67. 2. 68. 1. 69. 0. 70. 1. 71. 5. 72. -1. 73. 1. 74. 2.
75. -1. 76. 2. 77. 1. 78. 1. 79. 1. 80. 1.
Группа Б
1. -3. 2. -1.8. -3. 4. - - . 5. 1 . 6. -. 7. - -. 8. -2.
3 2 2 2 2
9. --. 10. 3. 11. 2. 12. -2. 13. -1. 14. 2. 15. 1. 16. 7. 17. 2.
2 2
18. -2. 19. 1. 20. 4. 21. 49. 22. — . 23. 3. 24. 9. 25. 5. 26. 5.
9
27. 2. 28. 3. 29.1. 30. 27. 31. -3. 32. 1. 33. -1. 34. 1. 36. -1.
86. 2. 37. — . 38.--. 39. 2. 40. -1. 41. 2. 42. 25. 43. 7. 44. 2.
8 3
' 45. 36. 46. 9. 47. 9. 48. —. 49. 9. 50. 25. 51. 1. 52. 1. 53. 2.
" 4
54. -21. 55. 64э. 56. —. 57. 10. 58. 25. 59. 2. 60. — . 61. 1.
9 4
\ 62. 1. 63. 2. 64. -3. 65. — . 66. — . 67. -2. 68. 1. 69. 3.
i 2 2
70.1. 71.—. 72.-L. 73.2. 74. — —11,1. 75.2. 76.7.
2 8 10
77. 1 . 78. 0. 79. 16. 80. 6. 81. 4. 82. 3. 83. 2. 84. -1. 85. - -.
2 25
86. 5. 87. 5. 88. -- . 89. 7. 90. 100. 91. 2. 92. 1. 93. 2. 94. 1.
\ 2
95. 3. 96. 1. 97. 2. 98; 1. 99. 3. 100. 4. 101. 4. 102. 33. 103. 2.
104. 4. 105. -3. 106. 4. 107. -13. 108. -4. 109. 2. 110.—.
111.3. 112.-22. 113.-1. Ц4.2. 115.--. 116.-7.
| 2 2
117. -6. 118. 5. 119. 3. 120. 3. 121. 1. 122. 1. 123. 1. 124. —
2 .
125. -. 126. 10. 127. --. 128. 79. 129. --. 130. 2. 131. 5.
5 3 2
I 132. 0. 133. 6. 134. 7. 135. — . 136. 11. 137. 6560. 138. 6. 139. 17.
) 140. 23. 141. 4. 142. 2. 143. 2. 144. 1. 145. 2. 146. 6. 147. 1.
148. 4. 149. 5. 150. 3. 151. 2. 152. -2. 153. 1. 154. 1. 155. —-.
.2
156. -3. 157. 10. 158. 3. 159. -3. 160. A. 161. 27. 162. 2
I •» 2
j 163. 8. 164. 9. 165. 2. 166. 10. 167. 9. 168. 2. 169. 14. 170. 2.
171. 4. 172. 3. 173. 3. 174. —. 175. 2. 176. 14: 177. 4. 178. 2.
2
179. 0. 180. 4. 181. 100. 182. y3. 183. 1024. 184. 4. 185. 8.
186.—. 187.0. 188.3. 189.2. 190.3. 191.- — . 192.-5.
9 2
) 193. _!. 194. _4. 195. _6. 196. 3. 197. 1. 198. 3. 199. -2.
2
200. 0. 201. --. 202. - . 203. ^ . 204. -— . 205. — . 206. —.
1 207.-. 208. -.20». --. 210.-. 211. 2. 212. 2. 213. 2. 214.0.
/ 2 5 5 10
215. 0,3. 216. 4. 217. 17. 218. 36, 219. 35. 220. 49. 221. -3.
19»*
222. -1. 223. 0. 224. 3. 225. -1. 226. 1. 227. 1. 228. --.
2
229. 1. 230. 1. 231. 0. 232. 0. 233. 2. 234. 1. 285. -1. 236. -1.
237. 6. 238. 1. 239. -1. 240. -2. 241. -1. 242. -1. 243. --.
4
244. --. 245. 0. 246. 0. 247. - -. 248. 0. 249. — . 250. -1.
2 2 2
251. -4. 252. 4. 253. —. 254. 2. 255. -3. 256. 1. 257. 6. 258. 2.
2
259. 2. 260. -5. 261. 0. 262. 1. 263. 2. 264. 0. 265. 1. 266. 1.
267. 1. 268. 1. 269. 2. 270. 2. 271. 1. 272. 1. 273. 1. 274. 0.
275. 0. 276. -. 277. -. 278. - —. 279. -1. 280. 2. 281. 1.
4 2 2
282. 0. 283. 4. 284. 2. 285. -1. 286. {-4; -1}. 287. -2; 3.
288. 3. 289. 0. 290. -2; - . 291. (4; 2). 292. (53; 28). 293. (4; 2).
294. (50; -49). 295. (4; 16). 296. (6; 2). 297. 3; 2. 298. (1; 1).
299. (0; 1). 300. (0; 1). 301. (2; 1). 302. (3; 2)'. 303. (2; 4).
304. (1; 1). 305. (3; 1).
§5
Группа А
1. 0. 2. 2. 3. 6. 4. 1. 5. 11. 6. 2. 7. 1. 8. 2. 9. 3. 10. 2.
П. 2. 12. -1. 13. 3. 14. 1. 15. И. 16. 4. 17. -2. 18. -2. 19. 3.
20. 3. 21. 2. 22. -1. 23. 1. 24. 3. 25. 0. 26. 0. 27. -5. 28. 0.
29. 4. 30. 3.
Группа Б
1. 1. 2. 2. 3. 2. 4. 5. 5. 1. 6. 2. 7. 1. 8. 3. 9. 1. 10. 0.
11. 1. 12. 1. 13. 2. 14. 2; 15. 2. 16. 4. 17. 6. 18. 11. 19. 6.
20. 2. 21. 1. 22. 1. 23. 2. 24. 2. 25. 3. 26. 2. 27. 3. 28. 2.
29. 1. 30. 1. 31. 3. 32. -4. 33. -1. 34. -3. 35. 3. 36. 5. 37. 0.
38. 1. 39. 8. 40. 0. 41. 0. 42. 2. 43. 13. 44. 1. 45. 11. 46. 1.
47. 4. 48. 2. 49. 3. 50. 1. 51. 0. 52. 4. 53. 1. 54. 1. 55. -2.
56. 0. 57. 3. 58. -3. 59. 1. 60. -2. 61. 4. 62. 1. 63. -1. 64. 2.
65. 1. 66. 2. 67. 2. 68. 3. 69. 5. 70. 0. 71. 0. 72. -1. 73. -1.
74. 0. 75. -1. 76. -3. 77. -1. 78. -2. 79. 1. 80. 0. 81. -1.
82. 0. 83. 1. 84. 5. 85. 1. 86. -1. 87. 2. 88. 11. 89. 4. 90. 4.
91. 5. 92. 3. 93. 5. 94. 3. 95. 1.
§6
Группа А
1. — . 2. -. 3. —. 4.-я. 5. 2л. 6. 45°. 7. 60°. 8. 120е.
3 2 4 4 _
9. 270°.. 10. 1080°. П. -0,5. 12. 1. 13. -0,5. 14. -1. 15. УЗ.
200
16. 0,25. 17. -2,5. 18. 2. 19. -2. 20. 1. "21. 1. 22. 0. 23. 90°.
24. -90°. 25. 60°. 26. 120°. 27. 30°. 28. -60°. 29.0.30.0,5.31:0,75.
32. -A. 33.-1. 34. -0,5. 35. — . 36. 5. 37. 2. 38. 0,25.
12 169
39. 1. 40. 1. 41. 75°. 42. -360°. 43. 180°. 44. 45°. 45. 60°. 46. 90°.
47. 45°. 48. 15°. 49. 90°. 50. 120°. 51. 45°. 52. 22,5°. 53. 0,75.
54. 45°. 55. 15°.
Группа Б
1. 0,75. 2. 0,375. 3. -3. 4. 0,75. 5. 1,5. 6. 0,8. 7. 0,16. 8. -2.
9. -0,25. 10. -12. И. 0,75. 12. - 4- 13- 5- 14- 5- |5-4 •
\2, 1У
16. 2. 17. 2. 18. -0,75. 19. -0,5. 20. --. 21. 1. 22. 3. 23. 2.
13
24. 1. 25. -0,5. 26. -7. 27. 0,28. 28. 4. 29. -0,25. 30. 5.
31. 1. 32. 0,125. 33. -1. 34. - ?-1 . 35. 0,1. 36. 1. 37. -3. 38. 2.
3
39. 3. 40. 0,5. 41. 1. 42. 1. 43. -2. 44. 0. 45. 1. 46. 1. 47. 0.
48. 1. 49. 2. 50. 0. 51. 1. 52. 2. 53. 2. 54. 0. 55. 1. 56. 1. 57. 0.
58. 4. 59. 3. 60. 1. 61. 3,5. 62. 2. 63. 2. 64. 0,5. 65. 1. 66. 2.
67. 0. 68. 0,5. 69. 4. 70. 0. 71. 1. 72. 0. 73. 0. 74. 1. 75. 3.
76. 1. 77. 1. 78. 3. 79. 1,5. 80. 1,5. 81. --. 82. -1. 83. 0.
9
84. 1. 85. 3. 86. 8. 87. — я. 88. 20я. 89. я. 90. 60. 91. Не
существует. 92. 70я. 93. 2я. 94. 4я. 95. Не существует. 96. 60°.
97. 90°. 98. 150°. 99. 90°. 100. -30°. 101. -90°. 102. 180°.
103. 0°. 104. 0°. 105. -5°. 106. 45°. 107. 210°. 108. 60°. 109. 18°.
ПО. -60°. 111. -30°. 112. -75°. 113. 105°. 114. 180°. 115. 360°.
116. 0°. 117. 90°. 118. 60°. 119. 90°. 120. 45°. 121. -90°.
122. -45°. 123. 45°. 124. 135°. 125. 0°; 60°. 126. 0°. 127. 270°.
128. 120°. 129. 150°. 130. -75°. 131. 30°. 132. 45°. 133. 135°.
134. -15°. 135. 67,5°. 136. 180°. 137. -40°. 138. 90°. 139. -270°.
140. 45°. 141. 45°. 142. 240°. 143. 30°. 144. 150°. 145. -90°.
146. -30°. 147. 3,75°; 16,875°. 148. 36°. 149. 45°; 75°. 150. 120°.
151. 45°. 152. 360°. 153. -60°. 154. -60°. 155. -45°. 156. 22,5°.
157. -120°. 158. -45°. 159. 90°. 160. 15°. 161. -45°. 162. 3.
163. 1. 164. 4. 165. 4. 166. 5. 167. 6. 168. 0°. 169. 63°. 170. 155°.
171. 45°. 172. 45°.
Группа А
1. 18. 2. 0. 3. 4. 4. -15. 5. 7. 6. 1. 7. 1. 8. -1. 9. -4.
2
10. А. п. 1. 12. 1. 13. 2. 14. 1. 15. -4. 16. 1. 17. 1. 18. -2.
2
201
19. 1. 20. 0. 21. 1. 22. 3. 23. 0. 24. 7. 26. 5. 26. -9. 27. 17.
28. -6. 29. In 5. 30. 3. 31. -104. 32. --; -. 33. —-; —.
3 6 2 2
34. -1. 35. -3; 3. 36. -2; 2. 37. -1; 0. 38. 1. 39. 3. 40. - -.
e
41. 2,5; -2,5. 42. 227; 2. 43. 14; 0. 44. 1,5; 1. 45. 0; -1.
46. 30; 30. 47. 200; 200. 48. 24; 24.
Группа Б
1. 103. 2. -122. 3. 1. 4. -6. 5. 94. 6. 4,5. 7. 0. 8. 0,5. 9. -6.
10. -3. 11. 1. 12. 1. 13. 3. 14. 30. 15. 3. 16. -7. 17. -3.
18. 2. 19. -2. 20. 1. 21. -1. 22. -5. 23. -1,5. 24. -1. 26. 3.
26. 2. 27. -3. 28. - . 29. 5. 30. 1. 31. 6. 32. 13,5. 33. 25.
6
34. 1. 35. 5. 36. 72. 37. 2. 38. 3. 39. 2. 40. 5. 41. 0,5. 42. -2.
43. --. 44. -3. 45. — . 46. --. 47. -2. 48. -1,6. 49. 2.
3 4 2
50. 4. 51. -. 52. 32; 32. 53. 2. 54. 1. 56. 1.
12
§8
Группа А
1. 3. 2. -81. 3. 608. 4. 720. 5.—. 6. 174. 7. -1. 8. 2,5.
4
9. 518,4. 10. 8. 11. 16. 12. 1022. 13. 63. 14. 18,5. 15. 7,4. 16. 0,24.
Группа Б
1. -14. 2. 98 523. 3. 2. 4. 15. 5. 0. 6. 11. 7. 4. 8. 6. 9. 4096.
10. 6. П.— . 12. 341. 13. 105. 14. 2058.
3
§9
Группа А
1. 15 см2. 2. 84 см3. 3. 15,7 см. 4. 91,6 см2, б. 58 км. 6. 12а.
7. —. 8. 2у-5. 9. 57,5 т. 10. 1,1 т. 11. 54 км. 12. 3 км. 13. 27 р.
6
14. 30 мин. 15. 36 дм3. 16. 12 кг. 17. 105 чел. 18. — суток.
4
19. 76,8 т. 20. 160 га. 21. 60%. 22. 31 га и 49 га. 23. 45 и 90.
24. 10,5 кг; 22,5 кг; 21,0 кг. 25. 10 км/ч. 26. 90 км/ч. 27. 4 д. и
6 д. 28. 4 м и 5 м. 29. 7 и 14. 30. 240 д. 31. 8 и 12. 32. 5 и 15.
33. 12 и 6. 34. 5 и 12.35. 4 км/ч. 36. 30 м и 30 м. 37. 200 м и 200 м.
208
Группа Б
1. 9. 2. 40 кг. 3. 75. 4. 15 т. 5. 25 с. 6. 14. 7. 2.45 ч.
8. 4. 9. 16. 10. 4. 11. 4. 12. 14. 13. 98,5. 14. 21 и 28. 15. 10,5 м.
1€. 1,65 р. 17. 2,5. 18. 55. 19. 6 км/ч. 20. 6 р. и 5 р. 21. 1,15 раза.
22. 90%. 23. 192 р. 24. 7. 25. 35 р. 26. 30. 27. 25%. 28. 10%.
29. 72%. 30. 12 т. 31. 6. 32. 17. 33. 108. 34. 569 -j- г. 35. 10.
36. 10. 37. 156. 38. 456. 39. 55. 40. 50 км/ч. 41. 125 км. 42. 2 км/ч.
43. 20 км/ч. 44. 60 км. 46. 44/is ч. 47. 1,5 ч. 48. 30 км. 49. 180 км.
§ Ю
Группа А
1. 100°. 2. 80°. 3. 40°. 4. 95°. 5. 75°. 6. 160°. 7. 35°. 8. 120°.
9. 10°. 10, 24 см. И. 150. 12. 30. 13. 8. 14. 13 см. 15. 3900.
16. 5. 17. 30°. 18. 4. 19. 100°. 20. 2,5 см. 21. 4. 22. 5. 23. 8.
24. 4. 25. 5 см. 26. 16 см. 27. 5. 28. 12. 29. 27. 30. 1. 31. 9.
32. 3. 33. 15. 34. 9. 35. 4. 36. 6. 37. 2. 38. 16. 39. 72°. 40. 120°.
41. 3. 42. 12. 43. 6. 44. 6. 45. 14. 46. 4. 47. 48. 48. 12. 49. 40.
50. 17 см. 51. 96. 52. 4. 53. И. 54. 12. 65. 0,25. 66. 13 см.
57. 32. 58. 19. 59. 0,6. 60. 3. 61. 13,5 см». 62. 24 см. 63. 6.
64. 8. 65. 5. 66. 10. 67. 16 см. 68. 120°. 69. 140°. 70. 130°.
71. 120°. 72. 150°. 73. 8. 74. 8. 75. 16. 76. 75. 77. 96. 78. 12.
79. 20. 80. 10. 81. 6. 82. 5. 83. 80°. 84. 40 см. 85. 10 см.
86. 25 см. 87. 13 см. 88. 6 см. 89. 13 см. 90. 133°. 91. 108.
92. 12 см2. 93. 150°. 94. 60. 95. 12. 96. 120. 97. 12. 98. 50.
99. 30. 100. 14. 101. 4. 102. 4. 103. 9. 104. 25. 105. 6. 106. 1,8.
107. 0,5. 108. 8. 109. 12 см. ПО. 5 см. 111. 8. 112. 9 см. 113. 50.
114. 24. 115. 11,5 см. 116. 6. 117. 12. 118. 16. 119. 24. 120. 24.
121. 48 см2. 122. 2,5. 123. 0,5. 124. 7,5. 125. 4. 126. 4. 127. 4.
128. 32. 129. 61. 130. 3. 131. 4. 132. 4. 133. 5. 134. 4. 135. 6.
136. 12. 137. 12. 138. 10 см. 139. 4 см. 140. 2. 141. 80. 142. 4 см.
143. 70°. 144. 15. 145. 13. 146. 5. 147. 6 см. 148. 18 см2.
149. 20 см. 150, 20. 151. 6,9. 152. 12,56. 153. 11. 154. 8. 155. 2.
156. 6. 157. 4. 158. 30°. 159. 100°. 160. 125. 161. 4. 162. 1.
163. 4. 164. 18. 165. 12. 166. 27. 167. 1. 168. 120. 169. 30.
170. 2. 171. 108. 172. 4. 173. 192. 174. 480. 175. 94. 176. 70.
177. 10. 178. 12. 179. 336. 180. 3. 181. 162. 182. 3. 183. 18.
184. 84. 185. 13. 186. 12. 187. 32. 188. 13. 189. 66. 190. 180.
191. 72. 192. 24. 193. 3. 194. 6. 195. 1. 196. 18. 197. 18.
198. 10,2. 199. 24. 200. 9. 201. 2. 202. 9. 203. 2880. 204. 32.
205. 1296. 206. 2. 207. 48. 208. 48. 209. 60. 210. 42. 211. 54Ъ
212. 126. 213. 32. 214. 36. 215. 96. 216. 1,5. 217. 13,5. 218. 18.
219. 144. 220. 30°. 221. 144. 222. 6. 223. 113,04. 224. 256. 225. 16.
303
226. 50,24. 227. 113,04. 228. 27. 229. 131. 230. 2. 231. 387.
232. 3. 233. 6. 234. 50,24. 235. 6. 236. 15. 237. 56,52. 238. 15.
239. 47,10. 240. 16. 241. 18я. 242. 18,84. 243. 27. 244. 9,42.
245. 242. 246. 2,4. 247. 18,8. 248. 7,5. 249. 6. 250. 9,42. 251. 28,3.
252. 4. 253. 128. 254. 32. 255. 3. 256. 48. 257. 0,75. 258. 1.
259. 8. 260. 10. 261. 23,7.
Группа Б
1. 10. 2. 0,5. 3. 21. 4. 12. 5. 8. 6. 7,5. 7. 9. 8. 12,5. 9. 1,8.
10. 0,4. 11. 2. 12. 12. 13. 8. 14. 120°. 15. 36°. 16. 3. 17. 1,5.
18. 144°. 19. 7. 20. 45°. 21. 5. 22. 2,4. 23. 11,2. 24. 3,75.. 25. 37.
26. 32 см. 27. 10. 28. 8. 29. 8,5 30. 10. 31. 0,25 32. 2,1. 33. 4.-
34. 7,2. 35. 4. 36. 0,1. 37. 0,3. 38. 10,5. 39. 6,5. 40. 2. 41. 120°.
42. 52,5. 43. 30°. 44. 6. 45. 13,5. 46. 12 см. 47. 1,5. 48. 2.
49. 15 см. 50. 60°; 120°; 10; 13. 51. 6. 52. 4. 53. 10. 54. 4.
55. 16. 56. 6. 57. 2. 58. 1,5. 59. 11. 60. 30. 61. 160°. 62. 40°.
63. 60°. 64. 28,5. 65. 3. 66. 25. 67. 0,875. 68. 7,5 г. 69. 2880.
70. 30. 71. 5 км. 72. 168. 73. 24. 74. 14. 75. 96. 76. 75.
77. 9 см. 78. 0,3. 79. 63°. 80. 54°. 81. 84°. 82. 40°. 83. 18°.
84. 48. 85. 10. 86. 15. 87. 8. 88. 5. 89. 18л. 90. 48. 91. 5.
92.3. 93. 11,5. 94. 60°. 95. 0,25. 96. 2,2 м. 97. 31,2. 98. 28,125.
99. 7,5 см. 100. 2. 101. 2. 102. 8. 103. 1. 104. 15 см. 105. 4.
106. 5. 107. 2. 108. 6. 109. 30°. ПО. 48. 111. 0,8. 112. 50.
113. 3360. 114. 1416. 115. 1,5. 116. 1,5. 117. 324. 118. 0,25.
119. 2. 120. 14,4. 121. 4. 122. 20. 123. 7. 124. 9. 125. 4. 126. 360.
127. 3. 128. 600. 129. 12. 130. 216. 131. 508. 132. 84. 133. 9,5.
134. 14. 135. 98. 136. 448. 137. 872. 138. 4. 139. 4. 140. 18.
141. 4,5. 142. 2,75. 143. 5. 144. 1. 145. 9. 146. 20. 147. 1. 148. 96.
149. 8. 150. 0,5. 151. 90°. 152. 48. 153. 3,375. 154. 3. 155. 12.
156. 0,5. 157. 6. 158. 23,4. 159. 22. 160. 50,27. 161. 60. 162. 5.
163. 7,2. 164. 84,78. 165. 80. 166. 1. 167. 0,125. 168. 45°.
169. 1,75. 170. 50,24. 171. 2. 172. 75. 173. 0,25. 174. 3. 175. 3.
176. 24. 177. 196. 178. 195. 179. 6,28. 180. 6. 181. 1,25. 182.495.
183. 5. 184. 6,28. 185. 1,5. 186. 3. 187. 288. 188. 12. 189. 4.
190. 6. 191. 8. 192. 0,25. 193. 0,28. 194. 4. 195. 0,5625. 196. 1.
197. 5. 198. 12,56. 199. 4. 200. 251,2. 201. 8,5. 202. 25. 203. 12.
204. 3,53. 205. 36. 206. 72. 207. 40,5. 208. 4. 209. 24. 210. 3.
211. 36. 212. 5. 213. 3. 214. 20. 215. 7. 216. 8. 217. 8. 218. 24.
219. 0,5. 220. 5. 221. 6,4. 222. 5,2. 223. 6. 224. 20. 225. 0,75.
226. -. 227. 1,5. 228. 0,25. 229. 30°. 230. 3. 231. 26. 232. 9.
3
233. 12.
§"
Группа А
1. 33. 2. 24. 3. 5. 4. -2. б. -6. 6. 0. 7. -36. 8. 3. 9. 13.
10. 13. П. 90°. 12. 2. 13. 1. 14. 90°. 15. 90°.
204
Группа Б
1. 40. 2. 7. 3. 135°. 4. 10. Б. -1. 6. 13. 7. 60°. 8. 12. 9. 45°.
10. 0,4. П. 10. 12. 1,5. 13. 13. 14. 0. 15. 3.
§ 12
Вариант 16—1
1. -2. 2. 120. 3. 0. 4. 1. 5. 0. 6. 3. 7. 200 чел. 8. 2. 9. 165°.
10. 6. 11. 16. 12. 162. 13. 144. 14. 2420. 15. 7. 16. 0.
Вариант 16—2
1. 20. 2. 11,5. 3. 14. 4. 1. 5. 1. 6. -1. 7. 0,5. 8. 9 дней.
9. 45°. 10. -3. 11. 48. 12. 50. 13. 8. 14. 4,5. 15. -4. 16. 4.
Вариант 16—3
1. 0,35. 2. 2. 3. 5. 4. 4. 5. 1. 6. 4. 7. 3. 8. 500 р. 9. 14.
10. 45°. 11. 3. 12. 40. 13. 52. 14. 8. 15. 4. 16. 5.
Вариант 16—4
1. 2. 2. -1. 3. 4. 4. 1. 5. 1. 6. -1. 7. 0. 8. 30. 9. 45°.
10. 45°. И. 24 см. 12. 24 см. 13. 20. 14. 9. 15. 55. 16. -145.
Вариант 16—5
-. 2. 12. 3. 2.
2
10. 100°. 11. 6. 12. 2,4 см. 13. 6 см. 14. 6 см. 15. 6. 16. -3444.
1. --. 2. 12. 3. 2. 4. 80. 5. -4. 6. 4. 7. 0. 8. 24 чел. 9. 2.
2
Вариант 10—1
1. -3. 2. 6. 3. 15 км/ч. 4. 0. 5. 1. 6. 90°. 7. 170°. 8. 18 см.
9. 3 см. 10. -12.
Вариант 10—2
1. 2. 2. 3. 3. 5. 4. 0. 5. 1. 6. 8. 7. 10°. 8. 4. 9. 9. 10. 7.
Вариант 10—3
1. 1. 2. -9. 3. 3. 4. 8. 5. 6. 6. 45°. 7. 1. 8. 25. 9. 16. 10. 7.
Вариант 10—4
1. -5. 2. 9. 3. 48. 4. 4. 5. 5. 6. 225°. 7. -3. 8. 2. 9. 48.
10. 189.
Вариант 10—5
1. 3. 2. 6. 3. 48. 4. 3. б. 1. 6. 150°. 7. 0,75. 8. 600. 9. 120.
10. 72.
205
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ••••■■. 3
§ 1. Тождественные преобразования алгебраических и числовых
выражений 4
Выполнение арифметических действий —
Преобразование алгебраических выражений , —
Задачи ,9
§ 2. Алгебраические уравнения и системы уравнений 15
Линейные уравнения —
Задачи 16
Системы линейных уравнений 17
Задачи 20
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним . . . .21
Задачи 25
Системы уравнений второй степени 27
Задачи 29
Иррациональные уравнения и системы уравнений 30
Задачи . 33
Уравнения с модулем 36
Задачи 37
§ 3. Неравенства и системы неравенств 38
Линейные неравенства —
Задачи 39
Рациональные неравенства —
Задачи 43
Системы неравенств 45
Задачи 47
Неравенства с модулем 49
Задачи 51
Иррациональные неравенства —
Задачи 55
§ 4. Логарифмы. Логарифмические и показательные уравнения и
системы уравнений 57
Тождественные преобразования логарифмических и покаазтельных
выражений —
Задачи 59
206
Логарифмические уравнения 64
Задачи 66
Показательные уравнения 71
Задачи 72
Логарифмические и показательные системы уравнений .... 76
Задачи 77
§ 5. Логарифмические и показательные неравенства 78
Логарифмические неравенства —
Задачи 81
Показательные неравенства 83
Задачи 86
§ 6. Тригонометрия , . 88
Тождественные преобразования тригонометрических выражений . . —
Задачи 100
Тригонометрические уравнения 106
Задачи 111
§ 7. Производная и ее применение 115
Производные элементарных функций —
Правила дифференцирования ._ . . .116
Задачи 120
§ 8. Прогрессии 125
Арифметическая прогрессия —
Геометрическая прогрессия —
Задачи 128
§ 9. Текстовые задачи 130
§ 10. Геометрия 138
Планиметрия —
Задачи 143
Стереометрия 160
Задачи 163
§ 11. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры . .181
Прямоугольная декартова система координат на плоскости . . . —
Прямоугольная декартова система координат в пространстве . . —
Задачи 184
§ 12. Образцы вариантов заданий для компьютерной проверки . .186
Ответы 195
ВСЕСОЮЗНЫЕ ЗАОЧНЫЕ
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ КУРСЫ (ВЗПК)
Круглогодичный набор слушателей!
Приглашаем всех желающих
подготовиться к вступительным экзаменам в вузы
Индивидуальный характер занятий учитывает начальный
уровень подготовки, текущие успехи и требования избранного
вуза.
На курсы принимаются юноши и девушки с любым уровнем
начальной подготовки, закончившие не менее девяти классов
общеобразовательной школы.
Обучение ведется по всем предметам школьной программы.
Основу занятий — самостоятельная работа учащихся по
методическим пособиям, реализующим педагогически
обоснованную систему подготовки. Пособия разработаны специалистами
из ведущих вузов страны. Работой слушателей руководят
высококвалифицированные преподаватели.
Ежегодно более 80% учащихся, успешно заканчивающих
ВЗПК, становятся студентами.
Адреса отделений курсов:
Центральное — 129110, Москва,, ВЗПК.
Санкт-Петербургское — 190000, Санкт-Петербург,
ЛТО(СПТО) ВЗПК.
Украинское — 252601, Киев, УРО ВЗПК.
Белорусское — 220131, Минск, БТО ВЗПК.
Среднеазиатское и
Казахстанское — 480100, Алма-Ата, САКО ВЗПК.
Северо-Кавказское — 357500, Пятигорск, СКО ВЗПК.
Алтайское — 656011, Барнаул-П, а/я 4253,
АТО ВЗПК.
В Украинском и Казахстанском отделениях обучение
ведется также и на языке республик. Кроме того, в Украинском
отделении преподается украинский язык и украинская
литература.
Инвалиды с детства, воспитанники детских домов, воины
интернационалисты имеют льготы.
Проспект с подробными сведениями о формах обучения и
оплаты вы получите бесплатно, написав на открытке в любое
отделение ВЗПК. По этому же адресу вы можете подписаться
на журнал для поступающих в вузы «Репетитор».
Для жителей Москвы и Московской области действуют
очные подготовительные курсы. Справки по телефону 581-11-53.