Система тренировочных задач и упражнений по математике - Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г.

Автор: Симонов А.Я. Бакаев Д.С. Эпельман А.Г.
Теги: математика задачи по математике
ISBN: 5-09-002848-6
Год: 1991
Похожие
Система тренировочных задач и упражнений по математике
Тренировочные задачи по математике. 1 класс
Задачи и упражнения по дискретной математике
Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1
Текст
                    СИСТЕМА ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1991
ББК 22.1 '
С40
Авторы:
А. Я. Симонов, Д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман, А. А. Бесчинская, Р. М. Мостовой, А. Л. Абрамов
Рецензенты:
кандидат педагогических наук, преподаватель Московского института народного хозяйства им. Г. В. Плеханова В. С. Крамор', учитель математики школы № 415 Москвы О. Ф. Фролова
Система тренировочных задач и упражнений по мате-С40 матике/А. Я. Симонов, Д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман и др.— М.: Просвещение, 1991.— 208 с.: ил.— ISBN 5-09-002848-6.
В сборник включено более 2000 задач и упражнений по всем основным разделам школьного курса математики. Каждый раздел начинается с краткого изложения соответствующего теоретического материала и разбора наиболее типичных примеров по данной теме. Задачи разделены по сложности на две группы— А и Б.
Книга будет полезна учащимся для самостоятельной работы в течение учебного года, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам, а также может быть использована учителем математики для организации индивидуальной работы в классе.
4306020000—733
103(03)—91
ББК 22.1
Учебное издание
Симонов Александр Яковлевич, Бакаев Дмитрий Сергеевич, Эпельман Александр Гиршевич и др.
СИСТЕМА ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Г. А. Шаламова. Младший редактор Л. И. Заседателева. Художники Б. Л. Николаев, В. В. Костин. Художественный редактор Ю. В. Пахомов. Технический редактор С. С. Я куш кина. Корректоры И. А. Корогодина, Е. В. Чамаева. ИБ № 13529. Сдано в набор 06.05.91, Подписано к печати 11.11.91. Формат 60 X 90'/,в. Бум. газетн. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 13,0+0,25 форз. Усл. кр.-отт. 13,69. Уч.-изд. л. 10,76+0,42 фора. Тираж 1 000 000 экз. Заказ № 1452
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и массовой информации РСФСР. 129846. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Областная ордена «Знак Почета» типография ям. Смирнова Смоленского облуправ-ления издательств, полиграфии и книжной торговли. 214000. г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина. 2.
ISBN 5-09-002848-6
© Симонов А. Я- и другие, 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ
Это пособие предназначено для учащихся средних школ. Цель книги — не только помочь учащимся освежить в памяти изученный материал школьного курса математики, но и сориентировать их на процесс сдачи вступительных экзаменов в вузы с помощью компьютера.
Авторы попытались расположить задачи для самостоятельного решения по двум группам — А и Б, памятуя о том, что уровень подготовки каждого выпускника школы неодинаков. При этом задачи группы А по сложности примерно соответствуют уровню обязательной подготовки выпускников средней школы. Поэтому задачи группы А могут быть использованы для подготовки школьников к выпускным экзаменам по математике. Однако нельзя не учитывать, что овладение умениями решения задач уровня обязательных результатов обучения не достаточно для получения высокой оценки. Задачи группы Б по сложности примерно соответствуют уровню требований обычного технического вуза.
Безусловно, работа с пособием не только потребует от учащихся определенных математических знаний и настойчивости, но и даст им возможность почувствовать огромную радость самостоятельного открытия. Все это поможет им лучше подготовиться к экзаменам по математике при поступлении в вузы.
Пособие состоит из 14 параграфов. В последнем приведены варианты заданий для компьютерной проверки знаний.
Так как некоторые задачи, вероятно, будут вызывать затруднение, то авторы решили снабдить каждую из них ответом. Только не спешите “сразу обращаться к нему. Постарайтесь сначала самостоятельно решить задачу, подумать и определить, что именно вызвало затруднение. Если затруднение вызвано тем, что недостаточно хорошо усвоен тот или иной раздел школьного курса математики, нужно обратиться сначала к учебнику и постараться восполнить обнаруженный в знаниях пробел.
Возможно, что и учебник не сможет помочь. Тогда воспользуйтесь справочниками, пособиями- для поступающих в вузы других авторов.
В книге принята следующая нумерация: например, запись 5А.019 означает, что упражнение или задача из пятого параграфа, группа А, номер 19.
3
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
При решении задач на выполнение арифметических действий прежде всего следует обратить внимание на форму представления чисел и порядок действий. Полезно потренироваться в переходе от десятичных к обыкновенным дробям и обратно, в переходе от смешанных чисел к дробям и обратно. В процессе вычислений полезно сначала максимально упростить арифметическое выражение, выбрав подходящее представление чисел, освободиться от степеней с отрицательными показателями и т. п.
Для отыскания наибольшего общего делителя двух натуральных чисел следует выполнить следующие операции:
1) разложить каждое из данных чисел на простые множители;
2) найти произведение простых множителей, входящих в каждое из данных чисел.
Если какой-то простой множитель входит в эти разложения в разных степенях, то в наибольший общий делитель он входит в наименьшей из этих степеней. Если нет ни одного простого множителя, входящего в оба рассматриваемых числа, то наибольший общий делитель равен единице.
Для разложения числа на простые множители применяем следующий прием:
а)	подбираем наименьшее простое число, на которое делится данное число;
б)	представляем данное число как произведение найденного простого множителя и некоторого натурального числа;
в)	повторяем пункты а) и б) для нового натурального числа до тех пор, пока оно не станет равным единице.
Для нахождения наименьшего общего кратного двух натуральных чисел следует выполнить следующие операции:
1) разложить каждое из данных чисел на простые множители;
4
2) найти произведение простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из чисел.
Если какой-то простой множитель входит в эти разложения в разных степенях, то в наименьшее общее кратное он входит в наибольшей из этих степеней.
Напомним свойства степеней и действия с корнями:
1.	а°=1.	10. у^а2п=|а|.
2-	-V •	11 2"+11/>+^ „
ах	у а	= а.
3.	а*ау = ах+и.	12. у — а = — у а.
4	— =ах~у	лП/~ kC~ п1г/~
аУ	13. У У “ = У а-
5.	(«х)1'=в’4'.	и /а = "Va*
9. /а2=|а|.
Формулы сокращенного умножения:
1.	(a + b)2 = a2+2ab + b2.	4. (a-yb)3==a3+3a2b + 3ab2+b3.
2.	(a—b)2 = a2—2ab + b2.	5. (a—b)3=a3—3a2b + 3ab2—b*.
3.	a2—b2=(a—b)(a + b).	6. a3 + b3= (a-yb) (a2—ab + b2).
7. a3-b3=(a—b)(a2-yab-yb2).
При вычислении выражений с радикалами следует помнить, что Уа2= |а|.
Пример 1.1. Вычислить
(-+0,125- —) • (б,4: —) + —.
\ 2	6 ) к 3 )	8
5
Решение. Так как ~ нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, то в первой скобке целесообразно перейти к обыкновенным дробям:
1 . J__1_ = 124-3 — 4 = 11
2'8	6 ~	24	24
2) 6,4: -у- =  24	100	.64 . 3	8-3	. 24	0 24 ” 10	80	10-10	100 = — =0,11. 100
4) 0,11+— =0,11+0,125 = 0,235.
8
Ответ. 0,235.
Пример 1.2. Найти наибольший общий делитель чисел 4 = 180 и 5=120.
Решение. 4=2-90 = 2-2-45 = 2-2-3-15 = 2-2-3-3-5;
5 = 2.60=2-2-2-15 = 2-2-2.3-5.
Вычисляем С, равное наибольшему общему делителю чисел А и В: 0=2-2-3-5 = 60. Ответ. 60.	•
Пример 1.3. Найти наименьшее общее кратное двух чисел 4 = 180 и 5=140.
Решение. 4=2-2-3-3-5; 5=2-70 = 2-2-35 = 2;2-5-7. Вычисляем С, равное наименьшему общему кратному чисел 4 и 5: С=2-2-3-3-5-7=1260.
Ответ. 1260.
Пример 1.4. Упростить а  1 —а(1—а)	а   2а—2а2—2
а2+1-2а	1-а	а3+1	(1-а2)(а-1)
Решение. а __________ 1 —а(1 —а)	а   2а—2а2—2   а__________
а2-2а+1	1-а	а3+1	(1-а2)(а-1) ~ (а-1)2
__ 1—а-ьа2 _____а	,	2(а2-а+ 1)	_ а . 1-а * (a-f-1) (а2—а+!)______________________(1-а) (1 + а) (а-1) ~ (а-!)2
i а 2(а2-а+1|	_ а(а+1) 4-а(а-1)-2(а2-Д-ь 1) =
(а-1)(а+1)	(а - 1)2 (a+ 1)	(а- 1)2(а+ 1)
__ Q24-Q + a2—а—2а2+2а —2   2 (а— 1)	2
(а-1)2(а+1)	“’ (а-1)2(а+1) = а2-1
Ответ. —-—, а2—1
6
Пример 1.5. Упростить
а2—ас2+2с2—4 а2 — 4а + 4
а24-2а4-2с2—с4	а24-ас2—2а—2с2
Решение. Преобразуем первую дробь:
а2—ас2 4-2с2 —4 = (а2—4) + (2с2 — ас2) _
а2+2а+2с2-с4	(а2—с4) + (2а+2с2)
= (а-2) (а+2)+с2(2-а) __ (а-2) (а 4-2-с2) = а-2 (а—с2) (а+с2) +2(а+с2)	(а+с2) (а—с2+2) а+с2 *
Преобразуем теперь вторую дробь:
а2—4а 4-4	(а—2)2=
а2+ас2 — 2а — 2с2	(а24-ас2) — (2а + 2с2),
=	(Д-2)2	=	(а-2)2	= а-2
а(а4-с2) — 2(а+с2)	(а+с2) (а—2) а+с2
Итак, —	=0.
а+с2 а+с2
Ответ. 0.
Пример 1.6. Упростить
(!М (Z.T?)''
Решение.
1)	=
2)
3)»*=ai-V=a-¥=e-2 а ъ
4у iya	(/	у=(|^мг<ж)4
10	2
= а5 & .
б) (YaVб) = ()//ГVa2b) =(Zа2Ь = (a4)’(ttf Ь1.'
10	2
z?\ Д3 63	б) * * * 10 *_2 .?_3	11	__L
.6) ——— = а^ Ьл 4 =а ч Ь 12.
Л J
а о
7
U -J-	_1	__1_ I i	1
7) a~za 6 b 12 =a *b 13 =	==—!—,
'	ь [-	12/”	12 r-
у а у b У a2b 1
Ответ. —-------.
12/---
У atb
Пример 1.7. Вычислить
У 27+10/2 + V 27-10/2^
Решение. Заметим, что
27+ 10У2= (У2 + 5)2; 27- Юу2= (У2-5)2. Отсюда
V27+10/2 + VV (/2 + 5)2+ V (/2-5)2 = = |/2 + 5| + |/2—5| =/2 + 5+5—/2= 10.
Ответ. 10.
Пример 1.8. Вычислить
V29-12/5- V29+12/57
Решение. Подкоренные выражения не являются полными квадратами, т. е. применить прием из предыдущего примера не удается. Возведем вычисляемое выражение в квадрат:
(К 29-12/5-1^29+12/5) =29—12/5-
-2- V (29—12/5) (29 +12/5) + 29 +12/5 = 58-2/841 —144-5 = = 58—2/121 = 58-22 = 36.
Следовательно, исходное выражение может быть равно 6 или —6; так как]^29+ 12У5 >1^29—12У5, то это выражение отрицательно.
Ответ. —6.
Пример 1.9. Упростить (а+м-i	. 
а-г + Ь-{	\а2+Ь2!	\а+Ь)
Решение. Упростим в отдельности каждый из сомножителей:
1) («+&)-*=—* а+Ь
1	1	Ь2+а2
а-2+Ь~2 _	Ь2 __ а2Ь2 _	а2+Ь2	,
а-’ч-Ь-1	1	1	a+b	ab(a+b)
а + b	ab
8
3)	( аь V1 = д2~1'
' U2+fc2/ ab
4\ (	^-1	а+^
\ a+b )	2аЬ
Теперь последовательно проведем указанные в исходном выражении действия:
। v 1	а2+Ь2   а2+Ь2
a+b	ab(a+b)	ab(a+b)2
a2+b2	, a2+b2 =	(a2+b2)ab	=	1	.
ab(a+b)2 ab ab(a+b)2(a2+b2)	(a+b)2
1 a+b _______ I
3) (a+b)2 ’ 2ab ~~ 2ab(a+b)
1
Ответ._______________
2ab(a+b)
Пример 1.10. Упростить
3 /  з / 3 Г~	/	а /----\
У х2 +2 У ху +4V у2	/ 2— 1 / * |
(Г^-8У /Г) : Ч V у)'
Решение. При решении задач на упрощение иррациональных алгебраических выражений часто применяют способ замены младших степеней переменных какими-либо новыми переменными. При этом должно получиться рациональное алгебраическое выражение относительно новых переменных. Упростив полученное выражение, следует вернуться к выражению с прежними- переменными.
з/—	3/~
Обозначим и х = а\ у у=Ь. Упростим выражение, используя свойства степеней, правила действий с корнями и новые обозначения:
a2+2ab + 4b2	_ g \__ (a2+2ab + 4b2)ab 2b —a
(a4—8b3a) : (ab) \ ~~ b )	a(a3-8b3)	’ b
__ (a2+2ab + 4b2)ab(2b—a) _	। ab(a—2b)(a2+2ab+4b2)
Отв ет. —1.
ЗАДАЧИ
Группа А
Выполнить арифметические действия:
1А.001.
9
1А.002. f—'I °’'5 +8100000'25— (7 — V + (0,63)°. \ 16 /	\ 32 /
(1	5	5 \
13-— — 2 — —10—I -230,04+46,75
4	27	6 /______________
0,01
Упростить рациональные алгебраические выражения:
1А.006,	6а2Ь 2а5Ь	1А.007.	а—5 а2—5а	1А.008.	а2 —4 а —2	
1А.009.	а2—6а + 9	1А.010.	/	1А.011.	Р-1 .	2р — 2
1А.012.	а—3 а	b Ъ	а 1 1	1А.013.	\ з J /т — 2 т+2У 1	—— \т+2	т-2)	I . 8m m2—4 *	Р	Р,
а + Ь
«ЖЛ<, ax-bx	а3+6а2+12а+8
1А.014. -----:(a-^-b).	1А.015. —-----------.
a V	а2+4а+4
Упростить иррациональные выражения:
1А.016. V (—22)2.	1А.017.	V (-3)’.	1А.018. V 2«-54.
1А.019. 1Z-L. Л . у 49	9	1А.020.	4/“	4/~ V 2- у 8	. 1А.021. 1^. ' V 2
3 1А.022. 81 \	1А.023.	2-25-1.	1А.024. 2^- 2"’.
1А.025. (З-2)3.	1А.026.	22«52.	1А.027. (103)‘-10-*2.
1А.028. 162-2-«.	1А.029.	0,001 ю-Б	1А.030. 2-64-i.
1А.031. 2У5—2У45 + 2У20.		1А.032.	(УТО-1) • (У10+1).
1А.033. —У 7 _+		-1А.034.	/УТ2-5- VКЙ+5
УТ + Уз У?—Уз
10
1А.037.
a J • V
1А.039.
5	4/~
а1' : у а.
1А.036.
1А.038.
1А.040.
Группа Б
Найти наибольший общий
1Б.001. Л = 102; В = 30.
1Б.003. Л =720; В = 924.
1Б.005. Л = 165; В = 154.
Найти наименьшее общее
1Б.007. Л = 102; В = 30.
1Б.009. Л =60;
1Б.011. Л=32;
Упростить выражения и ных значениях параметров:
1Б.013.
В = 40.
В = 25.
1Б.014.
1Б.015.
1Б.016.
У а2 при п<0.
_ 1 _ 3 а
а3.
Л
двух чисел:
1Б.002. Л = 231;
1Б.004. Л =60;
1Б.006. Л =98;
делитель
а=130.
В = 240. а=100.
кратное двух чисел: 1Б.008. Л =60; В = 240. 1Б.010. Л =20; В = 42. 1Б.012. Л =98; В=100.
вычислить их значения при задан-
при Ь = 0,0025.
~ ——т >п  --------— (mn~i + 2 + m-in')-1 при т = 0,003;
т~2 — п~2	т
п=0,007.
а
а^с±4 +4
&£ I : (Уабс + 2) при а = 0,04. а /
а2+Ь* .
(a2-ab) ( °2 I а + Ь при а = —2,5;
1Б.017.
_ 3 э /---
а 5 и а—b
а ~\^~а — b\/^b
az \ f
при а= 1,2; 6=0,6.
а а2
a2+b2+2ab J ^а+6	а?—Ь2
6 = 0,5.
Упростить
1Б.018.
алгебраические выражения:
1-6/6	,-7-\	, .ч ,	2/~6
—-------уаб : (а—Ь) + ——
1Б.019. г- ~
у
У + У**?
И
1Б.020. ( —+Vl-a'| : (—— +1
\/l+a	/	\/l— a’
1Б.021.
r- 64 a\^ a — —
r 125
_ 16
a+(Wa+ —
ZO
1 Б.022. t--25-^ 4 - V~5 b*.
b? + 2
'll	1 1—2
Xs±y^ __ (x + y)\	_ x + y
. (x+y) J + y'J J 2“Kxy
1Б.026.
1Б.027.
1Б.028.
1Б.029.
a2+ 1
при a<0.
1Б.030, ——-------H 8+4(1~a)+fl2-----! —,
a(a-2)+4	8 + a3	2 + a
a2+b2
-2— -2b
1Б.031.	1Б.032. —a-------
x-y x2-y2	b
12
1Б.033.	Х+у	%У	__ _ХУ	
		х+у	х2-у2	
1Б.034.	j_(j	/ j/2 . у к X	у к х2	__ X / У к	_У^ __ У4 \\ X3	X4 //	
1Б.035.	х3+2х2+х (х+1)2		1Б.036.	л3+х2+х+ 1 х2+1
16.037.	/ах—Ь  Ьх+а \ / \а+Ь	Ь—а /к	а2-Ь2 х2-1	а2+Ь2 \ х— 1 /	
1Б.038.	27—27д+9а2— а3 а2 — 6а+9			
1Б.039. (—— +-^-) : (—---------------h —
\У2+ху x2—xyj \х3—ху2 х—у
1Б.040.	(X-1 + J/-1). 	. х2+2ху+у2		
1Б.041.	—	а~1 + Ь~	1 \ / 4аЬ	
	\«2-* + 6-«	а-1 — Ь~	‘ ) \Ь2-а2)	
1Б.042.	(ап6п)-2	(	'a~n+b~n / 1	1 V	-1
	а~пЬ~2п — й~3пЬ~п	а~п — b~n \b~n а~п	
1Б.043.	1-6-1Ц-6-2 1-6 + &2	16.044. (ab->—а	-•6) (а—&)-*.
16.045.	а6+64	_ а4-16 а4 — 4а2+16	а2+4	•	
1Б.046. (х2—а-^х+а-2) (х~^~\-а)—х(ах)-2.
1Б.047. |х—2|+7—х при х^2.
1 б.048. — + (а+*)2 —	,
ху х2—ху ху—у2
1Б.051.
a3+a2+ab + a2b . Ъ
а2—Ь2	а—Ь
13
1Б.052.
1 Б.053.
1 Б.054.
1 Б.055.
1Б.056.
1Б.057.
1Б.058.
1Б.059.
1Б.060.
1Б.061.
1Б.062.
1Б.063.
У а?Ь У а* + У аАЬ3: У~а__i /______За2____
(b2-ab-2a2) УаЬ	\3b-6a+2ab-b2
, a+b ab \
За—ab	a + b /
[х -у} Л + У
2	1	и
з хл	У У
Р + пУт+п’) • А/П'-пЧп'О-™ тп~1 + п—п*т~1—п.3
(\Г~п—7	1/ „ /\-2
2(х2+Ух4— 1)
4=-K<H-l
1 —г-=-
1
а
1—
3

(а—1) У а-|-1 — (а-Н) * у а—1
зУаЬ—3b 1 2
а—b
3 i—
-у а
2
2
т-п
з ,	11
тЛ-\-т2п4
_ । ( п /п4-|~и* / т'
Л-2
• (x2+xy-2y2)~i.
а2 + 4
а
а2 —4 V
— при а<0.
;+4 2а J
с3—ЗЬ

14
1Б.064.	—(a — xty при x=4a — 4, l<a<2.
1Б.065. (°+x)-> + (a-x)-^ при x= Jab. fl>(). fc>1 (a+x)	— (a—x)
1Б.066.	-I- У 4 + x-4y7 при 0<хг£4.
2Ух-]~ 1^2х
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида ax-yb‘=O, где а и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если а#=0, то линейное уравнение имеет единственный ко-
Ь рень: х=----.
а
Если а=0; то линейное уравнение решений не имеет. Если а=0 и 6=0, то, переписав исходное уравнение в виде ах=—Ь, легко видеть, что любое х является решением линейного уравнения.
Уравнение прямой имеет вид у=ах+Ь.
Если прямая проходит через точку с координатами х0 и уо, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е.
Уо=ах0 + Ь.
Пример 2.1. Решить уравнение 2х—3 + 4(х—1) =5. Решение. Последовательно раскроем скобки, приведем подобные члены и найдем х: 2х—3+4х—4 = 5,	2х+4х = 5 + 3+4,
6х=12, х=2.
Ответ. 2.
Пример 2.2. Решить уравнение 2х —3+2(х — 1) =4(х- 1) -7.
Решение. 2х+2х — 4х= — 4 — 7 + 3 + 2, 0 • х = — 6.
От в ет. 0.	,
15
Пример 2.3. Решить уравнение
2х + 3- 6(х-1) =4(1 - х) +5.
Решение. 2х—6x4-34-6 = 4 — 4x4-5, — 4х4-9 = 9 — 4х, — 4х4-4х=9 —9, 0-х=0.
Ответ. Любое число.
ЗАДАЧИ Группа А
Решить уравнения:
2А.001.	2х 4-3 = 0.	2А.002. 0,54-2х= 1,5 + Зх.
2А.003.	-1-х + 4 = 0.	2А.004. 5х—(х4-3) =5.
2А.005.	2x=-j--	2А.006. 7 —2(х—4,5) =6 —4х.
2А.007.	— - — = 2.	2А.008. — х- ~ = 0,2. 2	3	5	2 1 2 —
2А.009.	2 11х+5 = 5х-12—4—х.	2А.010. — =	. 0,2	„1 3 3
2А.011.	”-=2-±. 5х	х
2А.012.	(х+2)2—5(х —4) = (х-6) (х+6).
2А.013.	17*+--3 = 0.	2А.014. 6^———+—. 4х+3	2	2	(3
2А.015.	1	3	5	о А л 1 е	1 25 . 4	_ = —.. 2А.016. —х+ 4~	х = 0. 2х—3	х(2х—3) . х	4	4	3
2А.017.	Зх-11	3-5х	х+6	оА л|о х-3 .	2х—1 4-х 			.	2А.018.	|-х=	 4	8	2	6	3	2
2А.019.	— (х+3)= 3	з
2А.020. 0,2(х—1)+0,5(Зх—9) = — —2.
3
Группа Б
Решить уравнения:
2Б.001. 3( -0,5ч-2х2 — (х-Ь2) (2х-4)) =5х-20.
2 Б.002. — + — + — 4-— 4- — + — =-6.
2	6	12	20	30 ' 42
16
2Б.003. (х-3)2-х(х + 4) = 15-10х.
2Б.004. — х+ — — — х=0.	2Б.005. -^-4—г “О-
9	72	8	4х-2	4
2Б.006. ______> J > = х________
(Гз)-1^?-?	3.R4 ’
V 64 •	5	5 I
2Б.007. -утт; — =2^32"1.	2Б.008. — + — =0.
1	i	х Л2
— I • 16л \ 4 /
2Б.009. 5 —3(х—2(х —2(х —2)))=2. 3	21
2Б.010. ------z---= У".
Указать, при каких значениях параметра а уравнения имеют бесконечно много решений:
2Б.011. —--------— =	-----.
х—а х—2а х—а х—2а
2Б.012. 6(ах—1) —а = 2(а-+-х) —7.
2Б.013. 0,5(5х—1) =4,5 —2а(х—2).
Указать, при каких значениях параметра а уравнения не имеют решений:
2Б.014.	=	2Б.015. 2(а-2х) =ах + 3.
х+7	х+7
2Б.016. а2х = а(х + 2)-2.	2Б.017.	=2а.
2	—х
2Б.018. При каком значении параметра а уравнение ах—4 = 3х имеет корень, равный 8?
2Б.019. При каком значении параметра а прямая у = ах—3 про-
ходит через точку А ( — 2; 9)?
2Б.020. При каком значении параметра b прямая у=Зх+Ь проходит через точку А ( — 1; 5)?
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнение вида
^1X1 4- ^2-^2 “1“ ... ~|-ЯпХп = &,
где а2, ..., ап, b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением с п неизвестными хь х2, ..хп.
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система
2 Заказ № 1452
17
из п линейных уравнений содержит п неизвестных, то возможны следующие три случая:
1)	система не имеет решений;
2)	система имеет, ровно одно решение;
3)	система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.4. Решить-систему уравнений
f 2х+Зг/=8, ( Зх-+-2{/ = 7.
Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что из какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.
Из первого уравнения выражаем:	Подставляем
это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений
8-3iz 2 ’
3 ’ +2^ = 7‘
Из второго уравнения получаем у=2. С учетом этого из первого уравнения х=1.
Ответ. (1; 2).
Пример 2.5. Решить систему уравнений /г+г/ = 3, I 2х-+-2#=7.
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения х+# = 3, а из второго х+г/ = 3,5).
О т в.е т. Решений нет.
Пример 2.6. Решить систему уравнений
/ х-+-г/ = 5, { 2х-+-2г/= 10.
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путем умножения на 2. (т. е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ. Бесконечно много решений.
18
Пример 2.7. Решить систему уравнений x+y-z = 2, • 2х —f/ + 4z=l, -x + 6f/+z=5.
Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на —2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем — Зг/4-+ 6z=—3. Это уравнение можно переписать в виде у — 2z=l. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7у*=1, или у=х-
Таким образом, система приобрела треугольный вид
(х+у—z=2, t/-2z=l, У=1.
Подставляя у=\ во второе уравнение, находим z=0. Подставляя у—\ и z = 0 в первое уравнение, находим х=1.
Ответ. (1; 1; 0).
Пример 2.8. При каких значениях параметра а система уравнений
2х + ау = а + 2, (а+ 1)х + 2аг/=2а+4 имеет бесконечно много решений?
Решение. Из первого уравнения выражаем х:
а , а , , Х =----у-\-----F1.
2	2
Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем
(“+>) (~у!/+ Т +1)+2ау=2а+4.
Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:
• (а+1) (а + 2-ау) +4а#=4а-+-8, 4а#-а(а+1)*/=4(а+2) - (а-+-1) (а-+-2), уа(4 — а — 1) = (а-+-2) (4-а - 1), г/.а(3-а) = (а + 2) (3-а).
Анализируя последнее уравнение, отметим, что при а = 3 оно имеет вид 0-#=0, т. е. оно удовлетворяется при любых значениях у.
Ответ. 3.
2
19
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить системы уравнений:
2А.021.	Г х + г/ = 4, 1 х—у = 2.	2А.022.	[ 2х+5{/ = 15, [ х — 2у = 3.
2А.023.	f Зх-|-5г/ = 21, t 2x-y=l.	2А.024.	1	1 . 	X	у= 1, 2	3 * Зх — 5у = —3.
2А.025.	1 II £ О 7 и Ич	2А.026.	1 - — х—у=—5, 4	* 1	1	Q — х— —У = О. 2	7 у
2А.027.	[ 4х — Зу = — 4, [ 4у — 10х = 3.	2А.028.	1	СЧ СО i	II см	ц 1	1 X СО	ТГ
2А.029.	Их —5{/ = 37, 4у — х = 25.	2А.030.	f Зу — х= —17, 5x-f-3f/ = — 5.
2А.031.	х 	 3 У	4 х-1 = 1 . у+2	2 ’	2А.032.	Зх + 2{/ = 5, 5	_ 2,5
			3—2х	\—у
	1 _	3		1,1	34 1	1	16 — Х~ — У= 7Т- 3	э	15
2А.033.	х	lit/—27* х+3 _ у + 8 5 11	2А.034.	
2А.035.	Г x+f/ = 3, [ху + х2 = 3.	2А.036. 1х2+2Ау74п [ х2 — 4у2 = 0.	
2А.037.	f 2х+5г/= 15, ( Зх+8г/ = -1.	2А.038.	х+у+4 . х-у-4 _д 5	7 х+у+4	х-у-4	J 5	7
2А.039.	9 4х+ — =21, У — = 17 —Зх. у	2А.040.				 =21, х у — +— =13. < х у
20
Группа Б
При шений?	каких значениях параметра а системы не имеют ре-
2Б.021.	/х4-о#=1,	2Б 022 I “4x4-0#= 1 4-я, 1 х — 3ау = 2а + 3.	‘ ’ [ (6 4-о) *4-2# = 34-я.
2Б.023.	J 16х4-а#=4,	2Б024	= {ах 4-9# —3 = 0.	[ах+у==2а.
2 Б.025.	J (а4-1)х—3# —4 = 0, { 2х—ау — 3 = 0.
При* каких значениях параметра а системы имеют бесконечно много решений?
2Б.026.	f (а4-1)х4-8# —4а,	2Б 027 \x-\-dy — 1, { ах+ (а4-3)# = 3а — 1.	’	’ [ ах—За# = 2а 4-3.
2Б.028.	( 3х4-а# = 3,	9R 02Q ((а4-1)х—# = а4-2, (ах4-3# = 3.	[х+(а-1)у = 2.
2Б.030.	J ах-(а4-1)#=6, ( lax—28#=6 (а+ 4).
Решить системы уравнений:
	2х + # — 2 = 6,		' 6x4-2# — z = 2,
2Б.031.	Зх—#4-22 = 5,	2Б.032.	4x —#4-3z= —3,
	4x4-2# —5z=9.		3x4-2# — 22 = 3.
	2x4-#4-32= 13,		2x4-#4-z = 7,
2Б.033.	x4-#4-z = 6,	2Б.034.	x4-2#4-2 = 8,
	Зх4-#4-2 = 8. x + 2# + 3z = 3,		x4-#4-2z = 9.
2Б.035.	3x+# + 2z = 7, 2x4- 3# 4* <2 — 3.	/	
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Уравнение вида ах2+Ьх + с = 0, где а, Ь, с — некоторые числа (ау=0); х — переменная, называется квадратным уравнением. Для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант D = Ь2—4ас.
Если 0 = 0, то квадратное уравнение имеет единственное Ь
решение: х = — — .
Если О>.0, то квадратное уравнение имеет два корня:
у	— ь—V~D
%1— ---—---, Х2 — -------- •
2а	2а
21
Если £)<0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если один _из коэффициентов b или с равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
1) 6=0; с#=0; — <0; 2) 6#=0; с=0;
а
*12=±1/- — :	*1 — 0; х2=--.
V а	а
Теорема Виета (прямая) утверждает: если у квадратного уравнения ах2 4- Ьх,+ с — 0 есть корни xt и х2, то выполняются соотношения
. *
*l4**2 =-----,
а
с
Х{Х2 = --.
а
Обратная теорема утверждает: если для некоторых постоянных а, Ь, с существуют числа Х\ и х2, удовлетворяющие соотношениям
*14**2“------,
а
с
*1*2 = --,
а
то эти числа и х2 являются корнями уравнения ах2+Ьх+ 4* с — 0.
При решении задан, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения
__1	j 1   Х]+Х2 . Х[ Х2	*1*2
*i2+ *22 = (*i 4* х2)2 — 2х{х2;
*1	. Х2 _ *12 + *22  (X\ + X2)2-2XiX2 Т
х2 Xi	XjX2	XiX2
Xt3 + X23= (*14**2) (Х^-Х^ + Хц2) = = (*1 4**г) ( (*1 4* *2) 2 — 3*i*2) .
Пример 2.9. Решить уравнение 2x2+5x— 1 =0.
Решение. £> = 25 —4-2-(—1) =33>.O;
—54-/33. V = —5—/33
4
x2 =
*1 =
4
Ответ -5+/33.
U 1 В V I . - 1
4	’
-5-/33 4
22
Пример 2.10. Решить уравнение х3—5х24-6х=0.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители х(х2 — 5x4-6) =0, отсюда х=0 или х2 — 5х 4-6=0.
Решая квадратное уравнение, получаем Х! = 2; х2 = 3.
Ответ. 0; 2; 3.
Пример 2.11. Решить уравнение х6 — 5х34-4 = 0.
Решение. Обозначим у=х3, тогда исходное уравнение примет вид у2— 5#4-4 = 0, решив которое получаем #1 = 1; #2=4.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений: х3=1 или х3=4, т. е. х=1 или х=у/"± ,
Ответ: 1; ^4’.
•	х3 — 27
Пример 2.12. Решить уравнение--------=27.
х—3
Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):
(х-3) (х2+Зх+9) = 27
х—3
Отсюда J *2 + Зх4-9 = 27, f х24-3х-18 = 0,4
Отсюда {х_3¥=0;	\х^3.
Квадратное уравнение х24-3х—18 = 0 имеет корни Х! = 3; х2=—6 (Xi не входит в область допустимых значений).
Ответ. —6.
Пример 2.13. Решить уравнение х +х~— 4~——— =4. х	х2+х—5
+ X 5
Решение. Обозначим у=---------, тогда получаем уравне-
X з ние #4---=4. Преобразуем его:
у
#4- — -4 = 0,	у2~4^+3 • =0,
у	У
отсюда	+ 3 =	—
I #=#0.
Квадратное уравнение у2—4#4-3 = 0 имеет корни #1 = 1;
#2 = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений
Преобразуем их:
х2+х—5	. Л	х2+х—5	о п
—L-------1=0 или-----------3 = 0;
X	X
23
fx2-5 = 0,	или / x2—2x—5 = 0,
J. х^О _	I х#=0;
Х1=У5; х2=—У5 или Хз=1+У6; х4=1 — Уб
(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).
Ответ. — У5; У5; 1—Уб; 1+уб.
Пример 2.14. Решить уравнение х(х + 2)(х + 3)(х + 5)=72.
Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:
(х+2) (х+3) (х+5)х=72, (х2 4-5x4-6) (х24-5х) =72.
Обозначим #=х24-5х, тогда получим уравнение (#4*6)# = 72, или
у2 + 6у-72 = 0.
Корни этого уравнения: #1=6; #2= —12. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
х24-5х = 6 или х24-5х= —12.
Первое уравнение имеет корни Х| = 1; х2=—6. Второе уравнение корней не имеет, так как £>=25 — 48= — 23<0.
Ответ. —6; 1.
Пример 2.15. Решить уравнение 4х2+12х + — +— =47.
X X2
Решение. Сгруппируем слагаемые:
4^2+ —) +12/х+ — 1 =47. \	х2/	\ х/ .
Обозначим #=х4——, при* этом заметим, что X	Ч
у‘2 = (х+— У =х2+2+ —, \ х)	х2
отсюда х24- -у =у2 — 2. С учетом этого получаем уравнение
4(#2—2) 4-12# = 47, или 4#2+ 12#—55=0.
Это квадратное уравнение имеет корни 5	11
т ; Уг=-~.
24
Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений .15	,1	11
хч----= — или хЧ--------------.
х 2	х	2
Решим их: , 1	5 п	, 1 . 11 п
хч--------=0 или хЧ-------1---=0;
х 2	х 2
J 2х2-5х4-2 = 0,	Г 2х24-11x4-2 = 0,
(х#=0	ИЛИ (х¥=0;
о	1	-114-/105	_ц_/н)5
Xj = 2; Х2= - ИЛИ х3= ------!---- ; х4= -----------
2	4	4
(все найденные корни входят в область допустимых значений).
п о ас -4-/105	—11-/105
Ответ. 2; 0,5; --—----;	--------.
-	4	4
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
2А.041.	х2 —2х = 0.	2А.042.	х2—16 = 0.
2А.043.	2х2 = 0.	2А.044.	4х2 = 8х.
2А.045.	х2—5х + 6=0.	2А.046.	2х2 + х —3 = 0.
2А.047.	х2—8х + 7 = 0.	2А.048.	7х-2х2=0.
2А.049.	х2—2 = 0.	2А.050.	х2Ч--2х—2 = 0.
2А.051.	х2 —4x4-4 = 0.	2А.052.	х24-Зх4-6 = 0.
2А.053.	х+ — =2,5. X	2А.054.	—	Ьх = 4. х4-4
2А.055.	^=0. х4-3	2А.056.	х2—х-2 _q х2—3x4-2 ~
2А.057.	х   х+2 _ х-bl	х —2	2А.058.	^25=0. х4-1
2А.059.	х   1 2x4-3	х	2А.060.	х * х4-2
Группа Б
При каких значениях параметра а уравнения имеют одно решение?
2Б.036. ах2 —6x4-9 = 0.	2Б.037. х2Ч-ахЧ- y =0.
2Б.038. 4х2 — ах 4- а — 3 = 0.
25
Решить уравнения:			
2В.039.	6	2 = 2 _ х+4 X2—1	X—1	х+1		
2Б.040.	4	3	12 х+2	х—2	4 —х2	7		
2Б.041.	3	2х—1	2х+1	2Б.042.	— +5= + . X	X2
	х+2	х+1	х2+Зх+2		
2Б.043.	х2 —3,5х+ 1,5 _q х2—х—6	2Б.044.	х3 —4х=0.
2Б.045.	X3 —5х24-6х = 0.	2Б.046.	х3—8 с . , 	= 6х+ 1. х—2
2Б.047.	(х-ьЗ)3— +1)3=56.	2Б.048.	х44-4х2—5 = 0.
2Б.049.	хв4-7х3—8 = 0.	2Б.050.	2х84-5х4 — 7 = 0.
2Б.051.	х4— 25х2=О.	2Б.052.	х34-х2 —х — 1 =0.
2Б.053.	х3 — Зх2—х 4-3 = 0.	2Б.054.	—— + —— =2. х2+1	х2+2
2Б.055.	3 4- 2 =2		
	х3+3	х3+2		
2Б.056.	(ж+1) (X2-5х) +6(х+1)	= 0.	
2Б.057.	х<~625 = —(8х + 90). 25-х2	V	'	2Б.058.	=4х + 2,5. 16х2—4
2Б.059.	2		х-4 _	1	 х2—4	х2+2х	х2—2х		
2Б.060.	Зх	2х	 Зх—6		
	х-I х+2	(х— 1) (х+2	Р	
2Б.061.	х2—1	х+1	х—I	2Б.062.	14х2 .	11 = 49 16 —х2 х —4	х+4
2Б.063.	6—х  х+3   х+5 1—X2	X —X2	х + х2	2Б.064.	х2+3	х2+7
2Б.065.	(2х2 + 3х)2-7(2х2 + 3х) =	-10.	
2Б.066.	х—3	 х2+4х+9    х2+4х+9	х—3	2.	
2Б.067.	х2+ — 4-х4-   4 = 0. X2	X	2Б.068.	1		1_ = П х2+4	х2+5	30 *
2Б.069.	(х + 2)2+ -£--18. х2+4х	2Б.070.	х2—Зх . х—2 !=2 § х—2	х2—Зх
2Б.071. (x2+x+l)2-3x2-3x-l«=0.
26
2Б.072.	х—6  х— 12   5 х—12	х—6	6
2Б.073.	х(х4- 1) (х4-2) (х4-3) =24.
2Б.074.	1	1 _ х2+2х+4	х2+2х+5	12
2Б.075.	х2+х+2 । х2+х+6 _ х2+х+1	х2+х+3
2Б.076. (х2—5х)2—30(х2—5х) -216=0.
2Б.077. х3+4х2 + 4х+ 1 =0.
2Б.078. 2 /х2+ —) +3 (х- —1 -13 = 0. \ х2 /	\ X /
2Б.079.	= f—V.	2Б.080. —------— =3.
\х2—4/	\4—х2)	х*-7	х3-6
2Б.081. (х2+2х)2-4(х+1)2+7 = 0.
2Б.082. ^±1 4--^-=-2,5. X х2+ 1
2Б.083.	—		1	?	=2. х(х+4)	(х+1)(х+3)
2Б.084.	(х+0,5) (х2 —9) = (2х+1) (х+3)2.
2Б.085.	X4 — 1	X2—1 = 4. х2-1	х+1
2Б.086.	П	1	,	1 Вычислить	н —, Xj	х2 Зх2 —2х—6 = 0.	где	Xi	и	*2 —	корни	уравнения
2Б.087.	Вычислить X!2+x22, х2 4-х —5 = 0.	где		и	х2 —	корни	уравнения
2Б.088.	Вычислить Xj34-x23,	где	Xi	и	*2 —	- корни	уравнения
х2—2х—9 = 0.
2Б.089. Известно, что Xi24-x22= 13, где Xi и х2—корни уравнения х2 4-ах 4-6 = 0. Определить Xi4-x2.
2Б.090. Известно, что — + — = — , где Xi и х2— корни урав-
Xi х2 2
нения х2 + х+а = 0. Определить а.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удается выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.
При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.
27
Пример 2.16. Среди решений (х; у) системы найти то, для которого сумма (х+у) максимальна. Вычислить значение этой суммы:
f 2х + # = 7, 1^ = 6.
Решение. Из первого уравнения получаем #=7 —2х. Подставляя значение у во второе уравнение, получаем систему уравнений
J у=7—2х, (7х—2х2=6.
Квадратное уравнение — 2х2 + 7х —6=0 ‘имеет корни Xj = 2;
_ 3
х2——. Из первого уравнения получаем #1 = 3; #2 = 4.
Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма х+# = 1,5 + 4 = 5,5.
Ответ. 5,5.	,
Пример 2.17. Решить систему уравнений f х+у + 2ху=7, [ху+2(х+у)=8.
Решение. Обозначим а = х+#; Ь=ху.
Получаем систему уравнений
J а + 2б = 7, или J а = 7 — 2Ь, {Ь+2а = 8	(б+14-4Ь = 8.
Отсюда { ^2’
Возвращаясь к переменным хну, получаем j х+#=3, (х#=2.
Решим эту систему:
f х = 3 — у,	у2 — 3# + 2 = 0,
( (3-0)j/=2; i/i = 1; х, = 2; 1/2=2; х2=1.
Ответ. (2; 1), (1; 2).
Пример 2.18. Решить систему уравнений
/ #2-х#=12, { х2—ху= — 3.
Решение. Разложим левые части уравнений на множители:
{ У(У-х) = 12, [х(х-#) = -3.
28
Выразив из второго уравнения (х=/=0) х—у =------, т. е.
3
у—х= —, и подставив его в' первое уравнение, получим х
{У _Д	I Л
---%	j У = 4х,
х(х—у)=\—3, откуда I Х(Х~У) =
Подставив значение у во второе уравнение последней системы, имеем — Зх2= — 3, Xj = l; хг= —1, тогда #1=4; уч— — 4.
Ответ. (1; 4), (— 1; —4).
ЗАДАЧИ
Группа А
Среди решений (х; у) системы найти то, для которого сумма (х+у) максимальна. Вычислить значение этой суммы:
2А.061.	!Х+У=7, \ХУ = 12.	2А.062.	( у2+х2=17, 'и у—Зх—1=0.
2А.063.	( х — у = 4, \ху=5.	2А.064. [х-у = 2.	
2А.065.	f Зх+у = 2, [х2~ху + 6у=-4.	2А.066.	Х + У=7> 6 у= — . X
2А.067.	f х2-ху+у2 = 7, \х+у = 5.	2А.068. 1	x2 + i/2 = 20, . xi/ = 8.
2А.069.	[х2—у=14, х [ 3x+i/ = 4.	2А.070.	Ч- *1-+ + 4.1-" 1“ 11 ' СП I сл со I —	1 сп j со
Группа Б
Среди решений (х; у) ма (х+у) максимальна.
системы найти то, для которого сум-Вычислить значение этой суммы:
2Б.091.
2Б.093.
1	1	_	3
х	у	2
1 . J = _5_ х2	у2	4
Г xiy+x+0«ll, I х5у+г/2х=30.
2Б.092. (*+!/+*!/= Н> I х + у—ху = 1.
2Б.094. р2 + ^2п~100’ [х1/=48.
29
2Б.095.	х+#=8, х , и 50 	!- — = — • t У . X	7	2Б.096.	’ J	1_= 1 х	у 36 ху2—х2г/ = 324.
2Б.097.	х+У	।	х-у	13 1	।	£	> х-у	х+у	6	2Б.098.	2ху-3 — =15, У
2Б.099. |	ху=Ь. 2(х+#) -хг/ = 4,	2 Б. 100.	ху+ — =15. У х+3 I	= 17 у-3	х+3	'4
2Б.101. ।	3xi/ + х + у = 23. x2i/3=8,	2Б.102,	. ху = 4. - ' х2 + Зхг/=18,
	x3i/2=4.		1 3r/2 + xi/ = 6.
2Б.103. .	' х2 + ху = 15,	2 Б. 104.	Г У2~ху = 3,
	Li/2+xi/=10.		[ х2—ху = — 2.
2Б.105.	Г 1 ।	1	5 X	у	4	2Б.106.	Г *(</+i)=o,
2Б.107.	х2+1/2=17. ' х3+у3 — 28,	2 Б. 108.	[x + 5xi/ + i/ = 4, [ х3у3 = — 8,
	[х+# = 4.		( х3+у3= -7.
2Б. 109. (		2Б.110.	Г х+у+ху=7,
1 х21/2 = 9.			1 х2+у2 + ху= 13.
2Б.111.	[ х2+£/ = 6,	2Б.112.	( (*+</) (х-у)=0,
2Б.113.	11/2 + х = 6. ' х2+у2 = 8, 1.1 л -	2Б.114.	[2х-у=\. Гх3+г/’=б5,
2Б.115.	— + 		0,5. , X2	У2 'х2+«/2=25, 1 (х —3) (у-5)=0.		1 x2y + xy2=2Q.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Если в уравнении неизвестная величина содержится под знаком радикала, то такое уравнение называется иррациональным. Одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. Если показатель степени четный, то необходима проверка найденных решений.
зо
Пример 2.19. Решить уравнение Ух4-2 = х.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
х4-2 = х2.
Квадратное уравнение х2 — х—2=0 имеет корни Xi = 2; х2= —1.
Проверка. 1) х=2, тогда У2 4-2 = 2; 2 = 2 верно. 2) х= —1, тогда У—14-2»=— 1, 1 = —1 ложно.
Ответ. 2.
Замечание. Если при решении уравнений или систем уравнений делается проверка, то область допустимых значений можно и не находить.
Пример 2.20. Решить уравнение (х —5) (х4-2)Ух—7=0.
Решение. Исходное уравнение может быть заменено совокупностью уравнений
х —5 = 0; х4-2 = 0; Ух — 7 = 0.
Решая эти уравнения, получим Х! = 5; х2=—2; х3=7 (х1 и х2 не входят в область допустимых значений данного уравнения).
Ответ. 7.
Пример 2.21. Решить уравнение х4- Т^х—2 = 0.
8Г~
Решение. Обозначим у=у х. Получим уравнение у2+у— — 2 = 0, которое имеет корни ух = 1; у2= — 2.
8г-	8г-
Следовательно, у х=1 или у х=—2, отсюда Xi = l. Вто-
8 г-рое уравнение не имеет корней, так как у х^0.
О т в е т. 1.
Пример 2.22. Решить уравнение
(Х4-4) (Х4-1) -ЗУх24-5х4-2 = 6.
Решение. Раскроем скобки:
х2 4" 5x4* 4 — ЗУх24-5х4-2 = 6.
Обозначим z/=yx24-5x4-2 и перейдем к уравнению j/24-2 —3// = 6, или у2 — Зу— 4 = 0. Оно имеет корни У\= — 1; //2 = 4.
Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Ух24-5х4-2= — 1 или Ух24-5х4-2 = 4.
Первое уравнение не имеет решений, так как Ух24-5х4-2^0. Решая второе уравнение, получим
х24-5х4-2= 16, х24-5х—14 = 0,
откуда Xi = 2; х2=—7.
31
Проверка. 1) х = 2, тогда У22+5-2 + 2 = 4; 4=4 верно.
2) х= — 7, тогда У( — 7)2 + 5- ( — 7) +2 = 4; 4 = 4 верно.
Ответ. 2; —7.
Пример 2.23. Решить уравнение з /------------------’ з /---
У х + 34 — у х—3=1. О_______________________________
Решение. Преобразуем данное уравнение к виду)/ х + 34 = = 1 + Vx—3, далее возведем обе части уравнения в третью степень:
х+34 = 1 + 3/^3+3 /(х-3)2 + х-3,
36 = 3}Лх^З+3 /(х-3)2, /(х—3)2 + |/х=3-12 = 0.
Обозначив у= Vя—3, получим квадратное уравнение у2+у- 12 = 0,
которое имеет корни r/i = 3; уг=— 4. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
3/--- 3 Г-----------
У х— 3 = 3или У х — 3= — 4.
Возведя обе части уравнения в третью степень, получаем х —3 = 27 или х — 3=— 64;
х = 30 или х=—61.
Ответ. 30; —61.
Пример 2.24. Решить уравнение
V1 — х]Ах2— 1 =х— 1.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: 1 — х]/х2— 1 =х2—2х+ 1, — х]/х2— 1 =х(х—2).
Было бы ошибкой «сократить» обе части уравнения на х. При этом можно потерять решение. Поэтому решаем так:
— хУх2— 1 —х(х—2) =0,
-х(Ух2^Т+ (х—2))=0, — х=0 или Ух2—1 + (х —2) =0, х=0 или Ух2 — 1 = — (х—2).
Возводим обе части последнего уравнения в квадрат: х2—1 =х2 —4х+4, откуда х=
32
Проверка. 1) х= — , тогда1/_^L._ 1=—, —J—2 = 4	|/	16	4	4
— =----—+ f=0 верно. 2) л' = 0, тогда
4	4	4	\ 4 /	н
1—0У0—1=0—I неверно.
гч	5
Ответ.
4
ЗАДАЧИ
Группа А
2А.072. ух —3 = 2.
2А.075. ух+3=- 2.
2A.073’./x-3 = 2.
2А.076. |/х+3 = 2
2А.078. Ух —2= —.
3
Решить уравнения:
2А.071. у7=3.
2А.074. К* + 2=3.
2А.077. Ух = 2-х.
2А.079. У2х^З-УГ+3=0.
2А.080. х-ух+1 = 1.
2А.082. (х2-9)У2^х = 0.
2А.084. Zx+i/x-2 = 0.
2А.081. (х2 —4) -Ух+5 = 0.
2А.083. Ух+ /х-6=0.
2А.085. Ух+ 2 /х2-3 = 0.
Группа Б
Решить уравнения: 2Б.116. 2Ух+5=х + 2. 2Б.118. 21+У2х-7 = х.
2Б.120. V 16-Ух+Т = 4.
2Б.122. ух+2=2 + ух—6.
2Б.124. ух^5 + ую-х = 3.
2Б.117. х— 1=Ух + 5.
2Б.119. Ух2+5х+1 +1 =2х.
2Б.121. У 5-Ух+15=1.
2Б.123. Ух-ух+3=1.
2Б. 125. ух^9-Ух-18=1.
2Б.126. У3х+1 -2-Ух+1 =0.	2БЛ27. yi 1х-2+Зух = 6.
2Б.128.	=УЗх+1.	2Б.129. ух-9+Ух= -.
УГГ
2Б.130. У9-5х=уЗ-х+——.
/3-х
2Б.131. У3х2+Т+ Ух2+3 = Убх2 +10.
2Б.132. угх+^гух-ух^з. 2БЛЗЗ. ух+5 = У4х + 9-Ух.
3 Заказ № 1452
33
2Б.134. У2х+3+Ух-2=2ух+1.
2Б.135. УхТТ0-Ух+3 = У4х-23.
2Б.136. -	- = 3^х~- .
/х-]-2 /Зх—2
2 Б. 137. У8х+1 +уЗх^5=У7'х+4+у2х = 2.
2 Б. 138. У2х+3+УЗх+2- У2х + 5=уЗх.
2Б.139. ЗУ2х—1 —yiOx—9—	=0.
/273?
2Б.140. уПх+3-У2^7=У9х+7-уГ32.
2Б 141 ^'б~~х~х2 _ /'6-х-х2 2х—5	х—2
2 Б. 142.	/2—х  2—х / 2=й*	24-х ’
2Б.143.	1 /	+ 1 /	= Уб. V	X	V	X
2Б.144.	Ух-3-Ух4-3 = 2-У10. 1 1
2Б.145.	г	 4-	/		 х—3. х+/l-h*2 X—V 14-х2 I	6
2 Б. 146.	/3x4-10	у (Х+2) (Зх+10)	V
2 Б. 147.	(х+3) (х»-121) / 20+х—х2
2Б.148.	х—4 =х4-2. /х-2
2Б.149.	V 1 4- у4V 4—= Vх.
2Б.150.	х2+11+ух2+11=42.
2Б.151.	1	1	= /з i_p/jz^ х
2 Б. 152.	(х2- 12Х+32) (х2- 13Х+40) /х2- 10x4-21 х—9
2Б.153.	=27-х. /х+3
2 Б. 154.	х24-Зх4-Ух24-Зх = 6.
34
(х+1)]/х2-5х+5 = х+1. х— 5 + 6=51/"х~5.
2Б.155.-
2Б.156.
2Б.157.
2Б.158.
2Б.159.
2	_|_ _L=	4
2—Ух	2  2 V^—x '
лг' ~y~	5/—7=
у хух — у ху х = 56.
2Б.160. р/’х+2-/х^17=1.
2Б.161. х/3х2+13- Ух- V3х2+13 = 2.
2Б.162. Vх+у7+Т1 + Vх—Ух+11=4.
2Б.163. V 1+хух2+Т=х+1.
2Б.164. 1+ У 1+хУх2 —24=х.
2Б.165. 1/ х~3 +1,5//~S~X =2.
V 5-х у х—3
2Б.166. Ух+44- j/x^T9=3.
2Б.167. Кх+134- {<х+ТЗ=12.
2Б. 168.	=з
17—	3 Г~
у х— у х
2Б. 169. Ух=2.+ Ух-3= У2x^5.
2Б.170. (х+3) (х+2)-4Ух2 + 5х+2=4.
2Б.171. V 1-Ух4-х2 = х-1.
Среди решений (х; у) ма (x+i/) максимальна.
системы найти то, для которого сум-Вычислить значение этой суммы:
2Б.172.
К^+ К i/=5,
|/ х+ y^~y = 3.
2Б.173.
. х+у = 5.
2Б.174.
у<х+|/'у = 5, 2Б.175. |^+^23>
х+^=35.	Ухг-3 Уху + Ууг=-1.
3*
35
2Б.176. I Ух~ ^У=1’ I xy=8.
2Б.178. 1 ^X~ ^=1’ I x-y=*T.
2Б.180. ( И+^ = 5»
I kl-*/ = 4.
2Б.177. ! Fx+V#=2>
1 x-2#+l=0.
2Б.179.
У2х-|-i/-f-2— 3, V x+2r/+5=f/-x.
УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ
Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:
|х| = J х> если
1 '	[ — х, если х<0.
На практике это делается так:
1)	находят критические точки, т. е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2)	разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
3)	на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.
Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.
Покажем это на конкретных примерах.
Пример 2.25. Решить уравнение |х+3|=2х— 1.
Решение. Критическая точка находится после решения уравнения
х+3=0, х= —3.
1) При х<—3 получаем уравнение —х—3=2х—1, откуда 2
х=——. Но найденное значение не входит в рассматриваемый промежуток.
2) При х^З получаем уравнение х + 3 = 2х—1, откуда х = 4. Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.
Ответ. 4.
Пример 2.26. Решить уравнение |х-|-2| + |х+3| =х.
Решение. Найдем критические точки:
х+2 = 0 или х+3 = 0;
х=— 2 или х==—3.
36
Решаем задачу на каждом промежутке:
5
1)	х< — 3, — х — 2—х — 3=х, — Зх=5; х=--(не входит в
3
рассматриваемый промежуток).
2)	— 3^х<—2, — х—2+х+3=х; х=1 (не входит в рассматриваемый промежуток).
3)	х>—2, х + 2 + х+3 = х; х=—5 (не входит в рассматриваемый промежуток).
Ответ. 0.
Пример 2.27. Решить уравнение
|х + 5|-|х-3|=8.
Решение. Найдем критические точки:
х + 5 = 0 или х —3 = 0;
х=—5 или х=3.
Решаем задачу на каждом промежутке:
1)	х< — 5, —х —5—( —х + 3) =8, — х —5+х —3 = 8; —8 = 8 ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.
2)	— 5^х<3, х+5—( —х+3) =8, х+5 + х—3 = 8, 2х=6; х=3 (не входит в рассматриваемый промежуток).
3)	х>3, х + 5—(х —3)=8, х+5 —х + 3 = 8; 8 = 8 верно. Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.
Ответ. [3; +оо).
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
2А.086.	|х| =3.
2А.088.	| х+41 =0.
2А.090.	| х + 41 =2х.
2А.092.	12х-|-11 =2х.
2А.094.	|2х—3| =х.
2А.087. |х — 51=3.
2А.089. |х+5| = -3.
2А.091. |х+1| = -Зх.
2А.093. |2х+1|=х.
2А.095. |х| = |2х —5|.
Группа Б
Решить уравнения:
2Б.181. |х+5| = 110 + х|.	2Б.182. |х+3| + |2х-11 =8.
2Б.183. |Зх+1|+х=9.	2Б.184. 15-х| =2(2х-5).
2Б.185. |х—3|+2|х+11 =4.
2Б.186. 15-2х| + |х+3| -2 — Зх.
87
2 Б. 187.	15-х| + |х-11 = 10.	2Б.188. |4 —х|	+ |х-2|=2.
2Б.189.	|х—2| — |5+х| =3.	2Б.190. |-х4-2| =2x4-1.	
2Б.191.	д •	2Б.192. |х2- 1	| 4--^ — 5.
2Б.193.	|х24-х| 4-Зх-5 = 0.	2Б.194. £+1 х— 1	= 1.
2Б.195.	х2+|х—2| —10=0.	2Б.196. |х2+4х+2|=	
2Б.197.	|х—6| = |х2 —5х4-9|.	2Б.198. 	 3-|х-	— = |х| 4-2. 1|
2 Б. 199.	|х2—4х| =5.	2Б.200. |х-'4,2| (х—4,2) = —1	
§ з.	НЕРАВЕНСТВА И	СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ	
	ЛИНЕЙНЫЕ	НЕРАВЕНСТВА	
Линейным называется неравенство вида ах>.Ь (или соответственно ах<Ь’, axZ^b\ ах^.Ь), где а=/=0 и b — числа.
Решением неравенства с одной переменной называется множество таких значений переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство.
1.	Если а>.0, то решение неравенства ах>Ь имеет вид
_ Ь (	( ь ,	\\
х> — или xel — ; +оо , а \	\ а	)}
2.	Если а<0, то решение неравенства ах^Ь имеет вид Х^ — ('ИЛИ Xef — ос ; — V а \	\ а ]/
3.	Если а = 0, то неравенство ах>Ь принимает вид 0-х>6, т. е. оно не имеет решения при и верно при любых х, если 6<0.
Пример 3.1. Решить неравенство х+1 > х-3  х—2 2	4	3
_	х+1	х-3 , х-2______
Решение, х— -------------~
z	4 о
Приводим к общему знаменателю:
12х—6х-6—Зх+9+4х—8 q
12
Приведем подобные слагаемые в числителе!
7х—5	л /5	.	\
------ >0, хе —; 4-ос .
12	\ 7	)
Ответ. — ; 4- со .
38
ЗАДАЧИ Группа А
Найти наибольшее		целое	решение неравенств:		
ЗА.001.	— 2х>4.		ЗА.002.	— Зх>-9.	
3A.003.	х + 2>2,5х— 1		8А.004.	Зх 4-2	х—3 4	2	'3
ЗА.005.	г— х+4	। Зх 4	।		ЗА.006.	х—2	2х+3 5	3	>1
ЗА.007.	2х—8	Зх—5 3	2	>4.	ЗА.008.	9x4-2 _ 10х—2 10	9	
ЗА.009.	Зх— 1  х4-1 5	~~2~	7	•		
ЗА.010. х(х+3) >. (х+1) (х + 3).
Найти наименьшие целые числа, являющиеся решениями неравенств:
ЗА.011.	2х+2 __ л-1	2		
	5	2		
ЗА.012.	— <1. 6	7	8А.013.	^3. 11	4
ЗА.014.	Зх>_т-	8А.015.	-2хС8.
ЗА.016.	2(х—3) — 1 >3(х —2)	-4(х+1).	
ЗА.017.	—1>3 —х. 3	ЗА.018.	х24-х<х'(х + 5) +5.
Найти наименьшие натуральные числа, являющиеся решениями неравенств:
ЗА.019. —------->-3.
7	4
ЗА.020. Зх—2< 1,5x4-4.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенства вида Рп(х)>0 (Рп(х) <0),	>0
Qm(x)
(Р (х)	\
—wv ’ <0 , где Pn(x): Qm(x)—многочлены соответственно Qm(x)	)
степеней п и т, т. е.
Рп(х) =апхп + ап-1Хп-*+ ... 4-ajX+ao;
Qm(x) = bmxm-}-bm-lxm-l + ... +blx+bQl
обычно решаются методом интервалов. Он удобен для решения неравенств следующего вида:
39
3х+1 >0;	3 —<0;
х— 1	х2 — Зх + 2
Зх3—5х-|-1 л Зх3 —2х24-х—3____
-----— >0; --------------- <0 И Т. Д.
2х24-х—3	2х24-5х —4
Отметим, что неравенство —>0 {Р---^ <0 равносиль-Qm(x) \Qm(x) /
но неравенству Рп (х) -Qm(x) >0 (Рп (х) Qm(x) <0). Например,
х2—Зх—5
вместо того, чтобы решить неравенство>0, можно ре-Зх24-2х — ]
шить неравенство (х2—Зх— 5) (Зх2 + 2х — 1)>0, так как эти неравенства равносильны (эквивалентны).
Для того чтобы решить неравенство Рп(х)-Qm(x) >0, необходимо разложить многочлены Рп(х) и Рт(х) на множители:
Pn(x) = (clx-xi)ki(c2x-x2)k2 ... (Спх-хп)\
где Ci, с2) ..., сп\ ki, k2, .... kn — некоторые постоянные, а хь х2, .... хп — корни уравнения Рп(х)=0.
Множеством решений нестрогого неравенства
Рп (х) • Qm (х) >0 (Рп (X) • Qm (х) ^0)
является объединение двух множеств: множества решений строгого неравенства Рп(х) -Qm(x) >0 (Рп (х) • Qm(x) <0) и множества решений уравнения Pn(x)-Qm(x) =0.
Подробно рассмотрим метод интервалов на конкретном примере.
Пример 3.2. Решить неравенство
(1 - 3х)7(3 — 2х)2(1 + 3х)з(2-х)5х3(х+2)4(х+3)3>0.
Решение. 1) Вначале необходимо найти нули левой части данного неравенства (т. е. те значения х, которые обращают
1	3	1
многочлен в 0). Это xt=y*» х2= —; х3=— у; х4=2; х5=0; х6=—2; х7=—3. Все эти значения переменной х необходимо будет исключить из решения неравенства, которое мы в дальнейшем получим (так как при этих значениях х левая часть исходного неравенства равна нулю, а не больше нуля).
2)	В левую часть исходного неравенства входят множители (3 —2х)2 и (х+2)4. Эти выражения всегда положительны (так как те значения, при которых они равны нулю, мы уже исключили в пункте 1). Следовательно, если мы разделим исходное неравенство на положительное выражение (3 —2x)2(x-f-2)4, то получим равносильное ему неравенство
(1 - Зх)7(1 +3х)3(2-x)5x3(x-f-3)3>0.
Перепишем его в виде
(1 —Зх)6(1 —Зх) (1 +3х)2(1 +3х) (2 —х)4х
X (2-х)х2х(х+3)2(х+3)>0.
40
J 0 1
Рис. 1
Пользуясь приемом, разобранным в пункте 2, переходим к следующему неравенству, равносильному исходному:
(1 — Зле) (1 + 3х) (2 —х)х(х+3) >0.
Таким образом, если исходное неравенство содержит произведение сомножителей в степенях, то все сомножители в четных степенях можно исключить (причем это можно делать только после выполнения пункта 1). Сомножители, показатель степени которых — нечетное число, заменить, на соответствующие им сомножители в первой степени.
3)	Преобразуем последнее неравенство так, чтобы везде в скобках на первом месте стоял член, содержащий переменную х:
(— Зх + 1) (Зх + 1) (— х+2) (х+3)х>0.
В полученном неравенстве из каждого сомножителя вынесем за знак скобок множители так, чтобы на первом месте в скобках оказался только х. Из первой скобки, вынесем множитель ( — 3), из второй 3, из третьей ( — 1):
— з(х— +)з(х+ +) (-1) (х-2) (х+3)х>0, \ о / \	<3 /
Разделим обе части неравенства на положительное число 9, получим
х—
—'j (х—2) (х+3)х>0.
3 J
Для однообразия представим последний сомножитель х в виде (х-0):
(х—2) (х+3) (х —0)>0.
4)	Отметим на координатной прямой значения х, при которых левая часть неравенства обращается в нуль. Это значения
—; — —; 2; -3; 0.
3	3
Проведем через отмеченные точки волнообразную линию начиная справа сверху, как показано на рисунке 1. Вся координатная прямая разбилась на 6 промежутков. Самый правый из
41
них (2; оо) всегда будет положительный, отметим его знаком «+». Далее знаки в промежутках чередуются. Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где кривая проходит выше координатной прямой (знак « + »), выполняется неравенство
на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой (знак « —»), имеем
4-) (х—2)(х+3) (х—0)<0.
О /
Таким образом, окончательное решение исходного неравенства
есть объединение промежутков I — 3;
-j-)u(2;oo).
О /
х3—27
Пример 3.3. Решить неравенство $ ^0.
Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, на множители:
(х-3) (х2+Зх+9) <0
(х+2) (х2-2х+4)
Дискриминанты уравнений х2 + Зх+9=0 и х2—2х+4=0 отрицательны (£\ = —27<0 и D2= —12<0); следовательно, они решений не имеют.
Отсутствие решений означает, что квадратные трехчлены на множители не раскладываются и на всем промежутке изменения х имеют постоянный знак, совпадающий со знаком старшего члена (в нашем случае « + »).
Умножим и разделим исходное неравенство на положительные выражения (х2 —2х+4) и (х2+Зх+9) соответственно. По-х—3
лучим равносильное неравенство -------^0, которое эквива-
х+2
лентно неравенству -----<0 и уравнению --------=0.
X + 2	х 2
Решение уравнения Xt = 3. Найдем множество решений неравенства. Для этого заменим его на равносильное неравенство
(х—3) (х+2)<0.
Отметим на координатной прямой точки, в которых левая часть неравенства обращается в нуль. Получим три промежутка. В крайнем правом промежутке всегда стоит знак «+» (см. пример 3.1), далее знаки чередуются (рис. 2).
42
Рис. 2
Объединяя промежуток
( — 2; 3) и точку х = 3, получим
Ответ. ( — 2; 3].
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти наибольшие целые решения неравенств:
ЗА.021.	(х-1) (х+1) <0.	ЗА.022.	х(7— х) >0.
3A.023.	^0. х—2	ЗА.024.	х—х2+2^0.
ЗА.025.	х2+х+1<0.	ЗА.026.	5х—х2^0.
ЗА.027.	. <0. х-3	ЗА.028.	х2<16.
ЗА.029.	х2(х-1) (x+2)sg0.	3A.030.	Зх2—7х+2<0.
3A.031.	— х2—5х+6^0.	ЗА.032.	х2(3 — х) (х+1) >0
Найти наибольшие целые отрицательные решения . неравенств:
ЗА.ОЗЗ. >0.	3A.034. х2 + Зх + 2>,0.
х—3
3A.035. х2+2х+3>0.	8А.036. х2>5х-6.
ЗА.037. х2>,9.	3A.038. х3-4х<0.
3A.039.	<0.	ЗА.040. ?~х~- >0.
х—3	х
Найти наименьшее целое число, входящее в область определения каждой из функций:
ЗА.041. у~ V- (х+2)2 + 25.	ЗА.042. 1/= 1/ -L -1.
3A.043. у= 1	|/ x_ JL.	ЗА.044. у — ]/	?_ . г	x-j-2	г	3 х
ЗА.045. у= 1	1/ — -2.	ЗА.046. j/=V9-x2. V 3 — х
ЗА.047. у=	1/ 4 + х+ — •	ЗА.048. у=^х—х3.
43
Группа Б
Найти наименьшие целые решения неравенств:
8Б.001. Зх2-4х+5С0.	ЗБ.002. 4х2+4х+К0.
ЗБ.003. (х—2)2<25.	ЗБ.004. (х~1)(х~2) (x+2)8jL (х—1) (х-f-1) (х—З)4
ЗБ 005. Ё^3х2~х+3. >о. х2 4-3x4-2	ЗБ.006. — >2. 3-х
ЗБ.007. ~~5х <^0. х2+6х+9	ЗБ.008. —	4-. х-3	10
8Б.009. -2х2 + х+1>0.	ЗБ.010. (х+3)2(х2+х+1.). х24-х-|- 1
ЗБ.ОН. 2х!+2х~11 <L х24-х4- 1	ЗБ.012. f2+9x+2° >jQ. Х4-4
ЗБ.013.	>1. 2-х	ЗБ.014.	>1. х24-3
ЗБ.015. -х2+6х аО. 4-Зх-х2	ЗБ.016. —— sgO. X
ЗБ.017. х« + 9х3 + 8^0.	г2— 3 ЗБ.018.	>1. х2-1
Найти длины интервалов, венства:	на которых выполняются нера-
ЗБ.019. — > —. х	3	ЗБ.020. — >2.
ЗБ.021. 2х2+16х~3 >2. х24-8х	ЗБ.022. ~2хг+х~' >0. —х24-5х—7
ЗБ.023. -x2+4x-tl_ <о. х2 4-5x4-6	ЗБ.024. —*2+3 >,0. —х24-х4-2
Найти середины интервалов, на которых выполняются неравенства:	
ЗБ.025. —— <0. х24-6х	ЗБ.026. —-2х—>0. Х4-6 —х2
ЗБ.027. *2~5х-+12 >3. х2—4x4-5	х— 1	Q ЗБ.028.	, >3- Х4-3
ЗБ.029. — 5х~!~8 ^9 х24- 1	'	ЗБ.ОЗО. х2~6л+9 <^0. х2 —4х
Найти среднее арифметическое целых решений для каждого из неравенств:
ЗБ.031. х4-10х2 + 9^0.	ЗБ.032/(хЭ~64)(~х2~1) >0.
хЧ1
44
ЗБ.033. (% 0(^+3)2
— х— 1
?	1
ЗБ.034. -	—<-------L
х	2
Найти наименьшие натуральные решения неравенств:
ЗБ.ОЗб.	х+2	ЗБ.036.	А-<4-х— 1
ЗБ.037.	х2—2х—1 	<Х. х+1	8Б.038.	X4—Зхэ4-2х2 <0 х2—х—30
ЗБ.039.	6х2-15x4-19	2 Зх2 —6x4-7	ЗБ.040.	* 1 -го 4- * 1 - V * |-
Найти наибольшие ЗБ.041. -j~2*~15-gg0. х+1 ЗБ.043.	<3. 2х+5 ЗБ.045.	sjl. х24-1	решения неравенств: ЗБ.042. 1L~2)2(x4-4)	0 Х4-7 8Б.044.	!!	> — (х+1)1	4 8Б.046. (х+6>,1х~1)- >0. (2-х)6
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
Несколько неравенств с одной переменной могут образовать систему.
Решением системы неравенств с одной переменной называются значения переменной, при которых каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.
Следовательно, чтобы решить систему неравенств с одной переменной, необходимо решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.
Пример 3.4. Решить систему неравенств
Г х2^9, [ х>,0.
Решение. Решаем первое неравенство х2^9:
х2-9<0, (х-3) (х+3)^0.
Его решение — З^х^З (рис. 3).
Решаем второе неравенство х>0. Его решение очевидно.
Изобразим на числовой прямой множество чисел, удовлетворяющих первому и второму неравенствам (рис. 4), откуда следует, что оба неравенства верны при 0<х^З.
Ответ. хе(0; 3].
Рис. 3
46
-J	О	3
-♦	-/	J 4
Рис. 7
Пример 3.5. Решить систему неравенств _^2 _ ^о, . (х-3) (х+1)
ь (х —4) (х + 4) ^0.
Решение. Решаем методом интервалов первое неравенство (рис. 5). Точки 3 и —1 «выколоты», так как знаменатель содержит множители (х—3) и (х+1), которые не могут равняться 0. Первое неравенство имеет решение х< —1 и х>3.
Решаем методом интервалов второе неравенство, его решение — 4^х^4 (рис. 6).
Найдем пересечение этих множеств (рис. 7).
Ответ. —4^х< —1 и 3<х^4.
Пример 3.6. Решить двойное неравенство
— 1<х2+х<0.
Решение. Решить двойное неравенство — это значит решить соответствующую ему систему неравенств.
В данном случае система неравенств выглядит так:
( — 1<х2+х,
I х2+х<0.
1)	Решим первое неравенство —х2—х—1<0. Многочлен, стоящий в левой части неравенства, нельзя разложить на множители, так как уравнение —х2 —х—1<0 не имеет корней (D=-3<0).
46
Рис. 8
-/ О
Рис. 9
Это значит, что квадратный трехчлен ( — х2—х— 1) при всех значениях х имеет постоянный знак, а именно отрицательный (по знаку первого коэффициента). Таким образом, решение этого квадратного неравенства есть хе(-оо; 4-оо).
2)	Решим второе неравенство х(х+1)<0 (рис. 8), хе ( — 1; 0).
3)	Найдем пересечение полученных множеств (рис. 9).
Ответ. ( — 1; 0).
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить системы неравенств и указать наименьшее целое решение для каждой из них:
ЗА.049.	Г х + 3>0,	ЗА ОНО 1 4>5 — 2х, (2х<3.	’	|3_2x<7 + x> '2х-^>А
ЗА.061.	2	3 10х — 2>1 +4х,-
ЗА.052.	fl7(3x— 1) -50х+ 1<2(х+4), 112— 11х< 11х+10.
3A.053.	L-2 <0,	ЗА.054. —5)<0.	1х’-16^0.
ЗА.055.	/ 2х2 + 9х^—7,	од OHR I	7^0, }2х + 5<0.	3,5 1,х>3.
ЗА.057.	[ х2 + 5х—6<0, [ х2+4х<0.
ЗА.068.	f 12х2 — (2х-3) (6х+1) >х, { (5х-1)(5х+1) —25х2>л—6.
47
ЗА.059.
х — 6>0.
ЗА.060.
Решить двойные неравенства и указать наибольшее целое решение для каждого из них:
ЗА.061. 2<3х —5<4.	ЗА.062.	-2^4-2х<2.
3A.063. х<3-х<11.	ЗА.064.	6<х2+х<2.
ЗА.065. 0<^z^-< —.	ЗА.066.	-1^х2+х<12.
х+5	2
Найти область определения функций и указать наименьшее целое значение х для каждой из них:
ЗА.067. y = }'~x-Vx^l. ЗА.068. y=fx+lf~l. ЗА.069. у= *х .
/х—1
ЗА.070. y = l/’2- + — + V^x. ЗА.071. у= —+ + 1Л*±1.
V 3	4	Ух V х-1
Группа Б
Найти наименьшие целые решения систем неравенств:		
	( Зх—4<8х + 6,	х2 + х —6^0,
ЗБ.047.	2х—1>5х —4,	ЗБ.048.	(х+1) (х—5) <0
	[ 11х-9<15х+3.	1 1
	7—х Q 3+4x	. 		 3<	4, 2	5	ЗБ.050. 4-х+5(4—х) >2(4—х). 3	х	4
ЗБ.049. <		(6х2 — 29х + 30^0, 5х + 2>3х2.
ЗБ.051.
7	2
0,4х+ —<-х-1,2, 3	3
5х+17>9х-63.
ЗБ.052.
Решить двойные неравенства и указать наибольшее целое решение для каждого из них:
ЗБ.053. 1<	<2.	ЗБ.054. 0<x2 + 6xsg7.
1 —х
ЗБ.055. х^/2 + 20^9х.
Найти область определения функций и указать наименьшее целое значение х для каждой, из них:
ЗБ.056. y = (.Y х+7-з)(р/Г3—х+7).
ЗБ.057. у= + fx + 2. х+2
48
НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, находится аналогично решению уравнений подобного" рода (см. с. 36).
Рассмотрим это на конкретных примерах.
Пример 3.7. Решить неравенство |х4-4|^1.
Решение. Критическая точка находится решением уравнения х+4 = 0, откуда х= — 4.
1)	Рассмотрим промежуток х< —4. На нем исходное неравенство принимает вид — х—4^1. Решая это неравенство, найдем х^-5 (рис. 10). Так как х<—4 и х^—5, то решением исходного неравенства будет промежуток х^ —5.
2)	Рассмотрим промежуток х>—4. На нем исходное неравенство имеет вид х + 4^1, откуда х^—3.
Так как х>—4 и х^—3, то решением исходного неравенства будет промежуток х^—3 (рис. 11).	'
3)	Учитывая случаи 1) и 2), окончательно имеем х^—5 и х^ —3 (рис. 12).
Ответ, х^ — 5 и х^ —3.
Пример 3.8. Решить неравенство |х—3|<1.
Решение. Найдем критическую точку х—3 = 0, т. е. х = 3.
1) Рассмотрим промежуток х<3. В этом случае имеем f х<3, откуда / х<3, (-х+3<1, 0Ткуда (х>2.
Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (2; 3) (рис. 13).
Рис. 10
-4	-3
Рис. 1 1
-3
Рис. 12
2	3
Рис. 13
4 Заказ № 1452
49
3	4
Рис. 14
-5	L
2
Рис. 15
{WIIIIIHIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIU	Hiuniniiiniiiiiiiiniiiiiiiimiiiiiiiiiiiiir
4	* 2 3 4 * * 7-
?	3
Рис. 16
2) Рассмотрим промежуток х^З. В этом случае имеем J х^З,	(х^З,
[х—3<1, .или {х<4.
Следовательно, решением исходного неравенства" является промежуток [3; 4) (рис. 14).
3) Рассмотрим вместе эти промежутки. Решением неравенства будет промежуток (2; 4).
Ответ. 2<х<4.
Пример 3.9. Решить неравенство 12х—11 — |х—2| ^4.
Решение. Критическими точками являются х=~^~ и *=2.
1) Рассмотрим промежуток х<-^. На нем исходное неравенство имеет вид — 2х+1 — ( — х+2) ^4, откуда х^—5. Следовательно, на этом промежутке решением неравенства будет промежуток х^—5 (рис. 15).	.
2) Рассмотрим промежуток — ^х<2. На нем исходное
7 неравенство имеет вид (2х— 1) — ( — х+2) ^4, откуда x^s — .
3
Таким образом, исходное неравенство на этом промежутке не имеет решения (рис. 16).
3) Рассмотрим промежуток х>2. На нем исходное неравенство имеет вид (2х—1) — (х—2) ^4, откуда х^З.
4) Объединение полученных решений х^ —5 и х^З будет
решением исходного неравенства.
Ответ. —оо<х^—5 и 3^х<оо.
50
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить неравенства и указать наименьшее целое положительное решение для каждого из них:
ЗА.072.	|х|<3.	3A.073.	|х|>1.
ЗА.074.	|х—3|<2.	ЗА.О75.	|х+1|>,1.
ЗА.076.	|х+2|> —2.	ЗА.077.	\х-3|<-1.
ЗА.078.	|х-7|<0.	ЗА.079.	|х—2| • (х-1)>0.
ЗА.080. |Зх-2,5|<2.	' ЗА.081. |5-2х[>.1.
Группа Б
Решить неравенства и указать наименьшие целые положи тельные решения для каждого из них:
ЗБ.059. х2—|5х+6| >.0.
ЗБ.061. |х-9|^0.
ЗБ.058. |2х2 — 9х + 15|>2.
ЗБ.060. |3+х|>х.
ЗБ.062. — > —. |х|	3
ЗБ.064. (х3—11 - (х—9) <0.
ЗБ.066. |х-2| + |х + 2|<4.
ЗБ.063. |х2+5х|<6.
ЗБ.065. |х| -1- |х+3| <5.
ЗБ.067. |2х-1| + |х-3|<4.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Под иррациональными неравенствами понимаются неравенства, в которых неизвестные величины находятся под знаком корня (радикала). Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам (не содержащим корней). Освободиться от корней иногда удается путем возведения обеих частей неравенства в степень. При этом (в силу того что проверка полученных решений подстановкой затруднена) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное исходному.
При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводят в четную степень, то Полученное неравенство будет равносильно исходному и иметь тот же смысл лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
4*
51
S 6
Рис. 17
ч о 1
Рис. 18
Пример 3.10. Решить неравенство Ух—5<1.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного неравенства х—5^0, хе [5; + оо).
Обе части исходного неравенства неотрицательны — можно возводить в квадрат:
х—5<1, х—6<0, хе( —оо; 6).
Найдем пересечение полученного множества с областью допустимых значений исходного неравенства (рис. 17).
Ответ. [5; 6).
Пример 3.11. Решить неравенство ]/—х-(х+1)>0.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного неравенства — х^О, хе(-оо ;•()].
Так как по определению квадратный корень из любого числа есть величина неотрицательная и х = 0 не является решением исходного неравенства, то, разделив обе части неравенства на У —х, получим неравенство, эквивалентное исходному (х+1)>0.
Решение этого неравенства хе(—1; оо). Найдем пересечение полученного множества с областью допустимых значений исходного неравенства (рис. 18): хе(—1; 0].
Учитывая, что х = 0 не является решением исходного неравенства, окончательно имеем хе(—1; 0).
Ответ. ( — 1; 0).
Пример 3.12. Решить неравенство Ух2.
Решение. Область допустимых значений исходного неравенства хе[0; Н-оо).
Одна часть неравенства (левая) неотрицательна, а другая (правая) часть отрицательна.
Следовательно, неравенство выполняется при всех допустимых значениях х.
Ответ. [0; 4-оо).
Пример 3.13. Решить неравенство У9х — 20<х.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного
[20	\
— ; -Ь оо I .
52
Рис. 19
f	4	5
Рис. 20
Правая часть неравенства может быть отрицательной, но с учетом области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны. Следовательно, обе части неравенства возвести в квадрат можно:
9х — 20<х2, — х2 + 9х—20<0, — (х—4) (х—5) <0, (х—4) (х—5) >0.
Получим хе(-оо; 4)(J(5; 4-оо) (рис. 19).
Найдем пересечение полученного множества с областью допустимых значений исходного неравенства (рис. 20).
Пример 3.14. Решить неравенство Ух + 61<х+5.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного неравенства х+61^0, хе[ —61; + оо).
Правая часть неравенства (х+5) может быть отрицательной. Причем область допустимых значений не «выручает», как в предыдущем примере.
Рассмотрим два случая.
I. х+5:>0, т. е. хе[-^5; + оо).
В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Следовательно, обе части неравенства можно возвести в квадрат: х+61 <х2+ 10х + 25, —х2 —9х + 36<0, — (х—3) (х+12) <0, (х-3) (х+ 12) >0.
Решение этого неравенства хе( —оо; — 12)(J(3; +оо) (рис. 21).
Рис. 21
-/2	-5	' 3
Рис. 22
63
Найдем пересечение полученного множества с множеством [ — 5; оо) — это (3; оо) (рис. 22). И пересечение последнего множества с областью допустимых значений исходного неравенства будет хе(3; + оо).
II. х-к5<0, т. е. хе( —оо; —5).
В этом случае левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Такое неравенство неверно, т. е. рассматриваемый промежуток не содержит решений исходного неравенства.
Ответ. (3; 4-оо).
Пример 3.15. Решить неравенство Ух+7>х+1.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного неравенства хЧ-7^0, хе[-7; +оо).
Правая часть неравенства может быть отрицательной. Рассмотрим два случая.
I. х + 1^0, xs[—1; +оо).
Возведем обе части неравенства в квадрат:
х+7>.х2+2х+1, — х2 —х+6>0, — (х—2) (хч-З) >0, (х—2) (х+3) <0.
Решение последнего неравенства хе( —3; 2) (рис. 23).
Найдем пересечение полученного множества с множеством [—1; оо) и областью допустимых значений исходного неравенства (рис. 24) — это [—1; 2).
II. х+КО, хе( —оо; —1).
В этом случае левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Такое неравенство верно. Следовательно, та часть рассматриваемого участка, которая входит в область допустимых значений исходного неравенства, является его решением. Находим пересечение рассматриваемого множества и области допустимых значений (рис. 25) — это [ — 7; —1).
Рис. 23
Рис. 24

Рис. 25
54
2
Рис. 26
Ответом является объединение ответов, полученных в I и II случаях: хе[-7; — 1)U[ — 1; 2), или хе[-7; 2).
Ответ. [ — 7; 2).
Пример 3.16. Решить неравенство
(х-1)Ух2-х-2С0.
Решение. Найдем область допустимых значений исходного неравенства х2 — х—2^0, (х +1) (х—2) ^0.
Решение этого неравенства хе( —оо; — 1]|J[2; +<») (рис. 26).
Множеством решений исходного неравенства является объединение двух множеств: множества решений строгого неравенства (х— 1)ух2—х—2<0 и множества решений уравнения (х—1)Х ХУх2 —х —2=0.
Последнее уравнение имеет корни Xj = l; х2= — 1; х3=2.
Найдем решение строгого неравенства (х— 1)Ух2 — х—2<0. Разделим обе части неравенства на положительную величину Ух2—х—2 (значения х, обращающие Ух2 —х—2 в 0, не являются решениями строгого неравенства). Получим эквивалентное неравенство х—КО. Решим его: х<1 или хе( —оо; 1). Итак, для окончательного результата нужно найти пересечение множества ( —оо; 1), корней уравнения (х—1)Ух2 —х —2 = 0 с областью допустимых значений исходного неравенства.
Ответ. —оо<х< —1 и х=2.
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить неравенства и указать их наименьшие целые решения:
ЗА.082.	Ух—2> 1.	3A.083.	Ух—]<2.
ЗА.084.	Ух+3>2.	ЗА.085.	Ух+8>-1.
ЗА.086.	Ух2 —9=sc — 1.	ЗА.087.	^~3 <0.
			х + 2
ЗА.088.	(х-1)Ух<0.	ЗА.089.	У5-х>ух+1.
ЗА.090.	Ух2+х—2<2.	ЗА.091.	V 2-ух>1.
ББ
Группа В
Найти наименьшие целые решения неравенств:
ЗБ.068. Ух + 4<Ух2 + х + 3.	^'х-2-3 ЗБ.069. 		 >0. Кх-3-2
ЗБ.070. Ух2 + х+1<1. ЗБ.072. Ух—2>х. ЗБ.074. У5х—х2<х—2.	ЗБ.071. ух —3<х—2. ЗБ.073. у5х —х2>х —2. ЗБ.075. (х+1)У16-х4>0.
ЗБ.076. )/ х3 + 4х2 — 36<х.	ЗБ.077. У4 —х2>—УЗ —х.
ЗБ.078. Ух+5>х. ЗБ.080.	>0. /х+6-2	ЗБ.079. Ух24-5х + 7<3 + х. ЗБ.081. У9 — х2>3х.
ЗБ.082. У-х2-Зх<х + 7.	ЗБ.083. Yx~2~2 <()ф X
ЗБ.084. Ух+2 Ух- 1 (х-7) <0. 3B.08S. ув-х2>.у~х.
36.086. ^х^Т /х^2>0.
Найти длины интервалов, венства:	на которых выполняются нера-
ЗБ.087. х-4ух-5^0.	5	Ух ЗБ.088.	>0. /х+2
ЗБ.089. (х2-1)У^х<х.	ЗБ.090. У5-х>ух.
ЗБ.091. Ух + 6>х.	ЗБ.092. Ух2—9<х—1.
Найти середины, интервалов, на которых выполняются не-равенства:
3B.093. (х-3)(-2-х)уТ=2>0. ЗБ.094. У2х-7<3.
ЗБ.095. У 3-/х ^0. х—3	ЗБ.096.	>0. К—*4-5
ЗБ.097. у-х+16<х+4.	ЗБ.098. У16- х2<УЗх.
Найти среднее арифметическое целых решений для каждого из неравенств:
ЗБ.099. (х2-4)ух-1 <0.	ЗБ.100. V —х2—Зх + 4>—2.
56
ЗБ.101. —+5Ух)2 >	ЗБ. 102. И 4—>0.
х>+3	л+4	у ~
ЗБ.1ОЗ. ух2-16^х-2.	ЗБ.104. У4х-х2>х-5.
Найти наименьшие натуральные решения неравенств:
„ л ~ (i/’x—2)2—1	1	
ЗБ.105. Ц-	’—>о. 7	х	ЗБ.106. /х5 + х2-4>х.
ЗБ.107. ух2+4>2Ух. ЗБ.109. Ух—5>х—6.	ЗБ.108. (х2-4)Ух-1>0. ЗБ. 110. ^2х~1 <1. X
Найти наибольшие целые венств:	отрицательные решения нера-
ЗБ.111.	2*2+fez7 >о4 х+6	ЗБ.112. ух2-6>-У-х.
ЗБ.ИЗ. Ух+5>х + 3.	ЗБ.114. Ух+18<2-х.
Найти наименьшие решения неравенств:
ЗБ.115. (x-l)yjTT^O. ЗБ.116. У%2 + 2х-З^Ух^З.
ЗБ.117.	>0.	ЗБ.118. ^х-Л-К^О.
2-/х—1
ЗБ.119. У7-хС2х+1.
Найти наибольшие решения неравенств:
ЗБ.120. ^~Х+Н <0.	ЗБ.121.
ЗБ.122. ]/11 + 6х-5х2> - I. ЗБ.123. ух2-9<х-1.
ЗБ. 124. yx2 + x-6s£l/ уХ.
§ 4. ЛОГАРИФМЫ. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
• Логарифмом числа Ь по основанию а (а>0; а=#1) называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получилось Ь:
logab = x -$=> ах=Ь.
57
Основное логарифмическое тождество	'
log ь и а а = Ь.
Свойства логарифмов:
1.	logo а= 1, а=/=1; а>,0.
2.	logo 1=0, а=/=1; а>>0.
3.	logo be=logob + logo cy a=£l; a>,0; b>0; c>0.
4.	loga — =logab — logac, a=/=l; a>.0; b>0; c>0. c
5.	loga bp3= P loga b, ^^*1» b^>,0; a>0.
6-	1°S aqb^ ~ loga b, a=/*l’i b>0; a>0; q=£G.
7.	loga 6= 12&JL, a^i; c^i- a>0; &>0; c>0. logea
8.	logab» —-—, 0^*1; b^l; flX); b>,0. logb a
Пример 4.1. Найти значение выражения log3log4 .
Решение. Согласно свойству логарифмов (5) имеем
log3log4 V/4 = log3log4(4) i =log3 (-“log4 4 j .
По свойству логарифмов (1) log44-=l, т. e. получим
•og3 (4- log4 4) =log3 -1- =log33-2. \ V	f	4/
Используя свойства логарифмов (5) и (1), имеем log3 3~2 = — 2 1 о g3 3 = — 2.
Ответ. —2. _ з
Пример 4.2. Найти значение выражения (1^7),ogt7.
Решение. Используя свойство логарифмов (8), перейдем в показателе степени к логарифму по основанию 7:
3	3	1
(|/7 )•»».7 = [(7)*]	= 7'°е‘7 = 71<,M.
По основному логарифмическому тождеству последнее выражение равно 2.
Ответ. 2.
Пример 4.3. Найти значение выражения
-|-(^232+27|о,,4Уое“14.
88
Решение. Используя свойство логарифмов (5) и основное логарифмическое тождество, преобразуем выражение в круглых скобках:
log2 32 + 271ОВ’4 = log2(25) + (33)‘°e’4 = 51og22+33IOB,4 = = 5 + 310?j(4)’=5 + 43=69.
Исходное выражение принимает вид -у* (б91о1“ 14). Исполь-зуя основное логарифмическое, тождество, окончательно получим
y*(69kg"14) = ~у- -14 = 6.
Ответ. 6.
Пример 4.4. Найти значение выражения
3 logs2 45-2 (log3 45) (log3 5) - logs* 5
3Iogs 45+log3 5
Решение. Используя свойства логарифмов (3) и (5), преобразуем числитель дроби:
3 log32 45 — 2(log3 45) (1 og3 5) - log32 5 = = 3[log3(5*9)]2—2[log3(5’9)] (logs5) —log325 =
= 3[log3 5 + log39]2 — 2[log3 5 + log3 9] (logs5) -log32 5 =
= 3(log3 5 + log3 32)2—2 (log3 5 + log3 32) (log3 5) — logs2 5
= 3(log35 + 2)2—2 log32 5 —4 log3 5 —log325=8 log35 + 12.
Таким же образом преобразуем знаменатель дроби:
31og345 + log35=3 log3(5-9) + logs 5=
= 3 (log3 5+log3 9) + log35=3(log35 + log3 32) + log35 =
= 3(log36+2) + log35=3 log35 + 6 + log35=4 logs 5 + 6.
После упрощения числителя и знаменателя исходное выражение принимает вид
8 logs 5+12  2(4 logs 5+6)
4 logs 5+6	41cgr5+6
Ответ. 2.
ЗАДАЧИ
Группа А
Вычислить:
4А.001. log216.	4А.002. logs	4А.003. log, 71.
4А.004. log 19.	4А.005. logo.2 0,04.	4A.006. log^l
59
4А.007. logs —.	4А.008. 125	logi 8. 4	4A.009. logo.-,—J—. 0,09
4А.010. k)g432.	4А.011.	1g 1000.	4A.012. IgO.Ol.
4А.013. Igl.	4A.014.	1g 10.	4A.015. 3108’7.
4A.016. 0,5l08.,A	4A.017.	25,ogs3.	4A.018. 0,04 |O8«»3.
4A.019. 42l°8‘10.	4A.020.	g logsi 4	4A.021. ]/52l08>3.
4A.022. 72l°8"2.	4A.023.	10lg0-5.	4A.024. 84108"‘3.
4A.025. log42 + log48.	4A.026.	1 E . 1	-8 log25 + log2 -r  5
4A.027. loga 2 —log3 54.	4A.028.	logs8 + 3 logs Y*
4A.029. Iog2y3+log2	4A.030.	log?196 — 2 log? 2.
4A.031. logs 175-logs7.	4A.032.	log2 5 — log2 35+log2 56.
4A.033. Iog58-log52 + log5	. 4A.034.	10lg 2+lg3.
4A.035. 1O‘+I*5.	4A.036.	10>« 7+lgT.
4A.037. i6log<3“0,2S,og*3.	4A.038.	+ (l+9 '08.7)'08”3. 0
4A.039. Ю2-1*2—25108’7.	4A.040.	Л .	„	/1 \Iog45 og*3 —I- (—j	•
Найти х, если:
4A.041.	log2x=log49.	4A.042.	logs x= log 15.
4A.043.	Iog25 X= log 1_ 125.	4A.044.	i	i	1 logiX=log2 . .
4A.045.	lgx = 2 1g 3.	4A.046.	lgx=lg*6 + lg2.
4A.047.	Igx=lg25 — 1g 5.	4A.048.	1^2 log4x=lg23 + log2 —
4A.049.	log3x= ~ logs 16 + 3 logs 0,5.		
4A.050.	log6x=logs r_ -/ 2	4 -+ logs 0,25. 4	t
		Группа Б	
Вычислить без таблиц:			
4Б.001.	10*2Т-.	4Б.002.	10gJL3.
60
4Б.003. logs — .	4Б.004.	logj2]/2.
4Б.005. log497.	4Б.006.	logg 243.
4Б.007. log. — . e 128	4Б.008.	log/7 у
4Б.009. logs—	4Б.010.	log. 4-.
Найти значения выражений: 9 4Б.011. log38 — 2 log32 + logs — •
4Б.012. 2 log732—log7 256 — 2 log714.
4Б.013. logs 22—logs 11 — logs 10. 4Б.014. Iog2 7“ log2 63 ~b log2 36. 4Б.015. log45 + log425 + log4^-‘
4Б.016. logs72—logs -y + logs 18.
4Б.017. 2 logs 6+logs	—logs 35.
4Б.018. logs 4- -2'og5-T +1°8’ V-
4Б.019. log. 4- +108« 36+ 4 >og< 7T • 5	z	ol
5	4
4Б.020. Iog212 + log2—+log2 —.
3	5
4Б.021.	о	•
4Б.023.	210?*9
4Б.025.	glOg3/5
4Б.027.	[ 1 \l°gl 4 \ з / 5 * ’
4Б.029.	/ 1 \ logi 5~ \~2~ J
4Б.031.	log2log5 Zs.
4Б.033.	logj log3 27.
4Б.035.	Iog4log3y81.
4Б.022.	log . 3 5 '
4Б.024.	7'°87ГГ2'
4Б.026.	2 logs 125
4Б.028.	б10'^
	log 3 Г~ 3
4Б.030.	7	* 7
4Б.032.	W^gj I25
4Б.034.	log2 log34349.
4Б.036.	log/s-logl^
61
4Б.037.	IOg93 10g2 8.	4Б.038.	log_8_log25 125. 2 7
4Б.039.	10g2 log /7-49.	4Б.040.	logjog2 32. V
	1		2
4Б.041.	g log, 27	4Б.042.	6 logs e
	3		
	log 3yr-3		1
4Б.043.	3 1/7 .	4Б.044.	11 4 log,e 11
	6		
	log 3 /— 2 2	.		1
4Б.045.		4Б.046.	g4 3 log«? 8
4Б.047.	2 (y5)’°go6 .	4Б.048.	_	2 g logt9
	1		1
4Б.049.	4g2 logo 7	4Б.050.	g|log*9
4Б.051.	loga[(log25) (log58)].	4Б.052.	0,25(1+4 ,°г«6)10^4.
4Б.053.	g 110ge2—0,25 log3 2	4Б.054.	(logs 128) (log, + \ 1^+
4Б.055.	64-CV)('V)+4	4Б.056.	25 2-log« 75 _|_ 7 - logr 3
4Б.057.	-|-(log381 + 16'o|!,3)IO8e2S	4Б.058.	103-iff 4—49,0&’1б,
4Б.059.	42-lo6.5 jTl'4’5 3	3 )	4Б.060.	g3 — log# 54 _|_7~ log? 2
4Б.061.	logs2 14+ (log214) (log2 7) -2 log? 7		
	logs 14+2 log27		
4Б.062.	2 logs 12—4 log? 2 +logs2 12+4 logs 2		
	3 log312+6 log3 2		
	3(log615) (logs 9)-2 log52 15-	log? 9	
4Б Q64 log22 9—2 log2 9+2 log? 18-3(log2 9) (log218) +4 log218 log2 9—2 log2 18
4Б065. 1Qg^5-2(log35 5) (log36 7) -3 loglv7
2(log35 5—3 1og367)
4Б 066< logs2 7/5+2 logs2 7—3(log6 7,/5) (logs 7) .	-
log9 71^'5—log5 49
4Б0в7 2 logs2 2—log? 18- (log3 2) (logs 18)
2 log3 2+loge 18
62
	1 1 \ log? 12+3 log? — +4. (log412) 1 log4 “7"
4Б.068.	log412+3 log4 -X О
4Б.069.	log? 15—logs2 3+2 log515+2 log5 3 logs 15+logs 3
4Б.070.	log?2 14+(log7 14) (log? 2)-2 log? 2 log7 14+2 log? 2
4Б.071.	Вычислить 3 log аз .	4- log& bt если известно, что 7 пЛГ	b о у b logo 6 = 2.
4Б.072.	Вычислить logy-^Xj?	р —log^bya, если известно, "a? у/~ b ЧТО logo 6=14.
4Б.073.	Вычислить logj^^y	4- log	у если извест- но, что log06 = 3.
4Б.074.	Вычислить log ь ХИ. 4-3 log t, Ijab, если известно, у: что log&a=2.
4Б.075.	Вычислить logo(,^-+'og,rj5& + log<1i/'fer если извест-НО, ЧТО loga 6 = 2.
4Б.076.	Вычислить log^ byf a 4-loga4-loga V^6, если известно, ЧТО loga b = 2.
4Б.077.	Вычислить logs/-					— 4-2 loga V6, если У <• V а	1оЯ^ (аУъ) У ab известно, что log&a=2.
4Б.078.	Вычислить loga/j!CI +log (ay&) + -J-log3 _	( д2	у a r если известно, что loga b= -i- .
4Б.079.	Вычислить log3^_ _L 4-log^_a y/~b, если известно, что У а а logb a = 9.
4Б.080.	Вычислить 3 log3 _ XI 4-2 log, _а3, если известно, У ab d	У ab ЧТО loga 6 = 2.
63
Найти значения выражений: ( 2+ I _______________1 U
4В.081. 1,2	+252|огз5 +1J .
6 Z-
/	10g V 3	| J	\
46.082.(27 /3	+4-5 °8° -г108*2 -log216).
/ 1 \log.3 2
4 Б.083. ГН 2 -7,огт2-9-2,og72 + 3,og’4.
4Б.084. 3,ogs3 • з’08*34 —5-4 ,og’4 + lg0,l.
4Б.085. 22,oe‘2 .5,og5'2-У5.2108’2-f—Y02’25
\ 3 )
46.086. 7i°8’~f". 4108*6 _4.б",8‘в + (/б)'”8*27.
1
4Б.087. З2,°8т3 -З1083 8 -y7.8,oge8 + (УЗ)logs25 ’
4Б.088.
4Б.089.
4Б.090.
f 10^2 l°g/-A \3-4	) —1 .
2
( log35 ______1	\|
13‘°2*3 __5	। у 1°Ит 49)
2 , logo4	1 -
2 Ю^З _ д . 4 log*3	l-blog* 25 •
46.091. (logs 2 + log281+4) (log3 2-2 log182) log2 3-log3 2. 4Б.092. (log5 2 + log2 5 + 2) (logs 2 —1g 2) log2 5-logs 2. 4Б.093. (log27 + log716 + 4) (log27 —2 log28 7) log? 2 — log27. 4Б.092. (logs 5 +logs 3 +2) (log3 5—logis 5) logs 3-log3 5. 4Б.095. (log34 + 9 log43 + 6) (log34 —3 logics4)log4 3 — log34. 4Б.096. (log? 3 + log3 7+2) (log? 3 —log21 3) log3 7— log? 3. 4Б.097. (log63 + log3 1296 + 4) (log6 3-logi08 9) log3 6 —log6 3. 4Б.098. (log46 + log64 + 2) (log4 6 —log24 6)log64 —log46. 4Б.099. (logs 7 + 9 log? 5+6) (logs 7 - 3 log8?s 7) log? 5-logs 7. 4Б.100. (log2 5+ 16 logs 2+8) (log2 5 —4 log80 5) logs 2-log2 5.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид log0x=6, где а>0; с#=1.
Множество его допустимых значений х>0, и оно имеет реше-ние х*=аь.
64
Логарифмическое уравнение вида
\ogaf(x)=bt где а>0; а#=1, множество допустимых значений 'х которого задается неравенством f(x)>0, эквивалентно уравнению f(x)=ab. Логарифмическое уравнение вида
loga/(x) = log0(p(x), где a>0; с#=1, имеет множество допустимых значений х, задаваемых системой неравенств Г f (х) >0,
{ ф(х) >0, эквивалентно уравнению f(x)=q>(x).
Пример 4.5. Решить уравнение log2(2x+ 1) — log2X = log464.
Решение. Представим разность логарифмов в левой части уравнения в виде логарифма частного, а правую часть упростим:
,	2x4-1 q
logo-----—3.
X
Полученное уравнение эквивалентно уравнению
2x4-1 _2з	2х.+1 _ g
%	х
на области определения исходного уравнения, т. е. на множестве допустимых значений х, задаваемых системой неравенств
2х 4-1	0,
х>0
Последнее уравнение легко решить: 2x4-1	1
-----=8, 2х4-1=8х, 6х=1, х= —• х----’	’	6
Ответ. —.
6
Пример 4.6. Решить уравнение
logs(х + 1) + log5 (х- 1) = 3 logs 2.
Решение. Представим левую часть уравнения в виде логарифма произведения, а правую сведем к логарифму по основанию 5:
logs (х 4-1) (х—l)=log5 23.
Полученное уравнение на множестве допустимых значений х, задаваемых системой неравенств
fx+l>0, fx>-l, ^х>1 \
(х— 1 >0 I, (х> 1	/ ’
эквивалентно уравнению (х+1) (х—1) =23. Это уравнение легко решить: х2—1 = 8, х2 = 9, Xj=3; х2=—3. Области допустимых значений удовлетворяет лишь первый корень.
Ответ. 3.
5 Заказ № 1452
65
Пример 4.7. Решить уравнение log^ х— log2X—2 = 0.
Решение. Уравнения подобного вида, где неизвестная функция (в данном случае log2X) входит в различных степенях, решаются методом замены переменной. Обозначим log2x=f/. Вместо исходного уравнения получим у2-у—2 = 0.
Это квадратное уравнение легко решается: _ 1±/1+4-1-2 _ 1±3 „ _9. ,.
У 1,2------------ = — » У1=А У2
—1.
Найдем теперь искомые значения х\
#i = log2x=2, Xj = 4i
t/2 = log2x= -1, х2=—.
Оба эти значения х удовлетворяют исходному уравнению, так как область его допустимых значений есть множество х>0.
Ответ. 4; —.
2
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
4А.051. log3(2x— 1) =2.	4А.052. ln(3x-5)=0.
4А.053. log2(x+3) =log216.
4А.054. log5(х+1) = log5(4x— 5).
4А.055. logj (2х—1) =log3 -J—, »	x + 3
4A.056. 2 logo,sX=logons(2x2—x).
4A.057. log5(x—10) =2 +logs 2.
4A.058. lg(3x—2) =3- 1g25.
4A.059. Ig(3-x)-lg(x+2)=21g2.
4A.060. log2(4-x) +log2(l — 2x) =2 log2 3.
Найти наибольшие корни уравнений:
4А.061. lg(x2—х) = 1 —lg5.
4А.062. log6(2x2- x) = 1 - log6 2.
4A.063. In (x2- 6x + 9) = In 3 + In (x + 3).
4A.064. 2 log2 x— 7 log3x+3=0.
66
4А.065. log’ x — 3 log3x+2=0.
4A.066. lg2x4—Igx14—2 = 0.
4A.067. log^x3 - log2 x3 -1 = 0.
4A.068. log’(9x2) =log381.
4A.069. log2(x+3) + log2(x + 2) =log26.
4A.070. log3 (x2 - 3x)2 - logs (1 - 2x)2=logs 4.
Группа Б
Решить уравнения: 4Б.101. Iog3y2x+l = l.	4Б.102. log 1/ 2x-2=-2. 2 4Б.103. log, (x+5) = -1.	4Б.104. log^-^-=1. 4Б 105 loc -x+3 — 1	4Б.106. ioiz,	!	= —1.
x-2	g’ rS+T
4Б.107. log2 1/ *+1 =1.	4Б.108. log0,7 1/	=0.
5 V 2x—1	V x-1
4Б.109. log,-—-—=0.	4Б.110. log i У3-2х=~). ь	3x—5	yf
4Б.111. log6_x 2 +1=0.	4Б.112. log3-*5-	=0.
2x
4Б.113. logM+3 — +2=0.	4Б.114. log 9 3- у =0.
4	(3-x)4
4Б.115. log	-L +4 = 0.	4Б.116. log^S-l-O.
x4-2
4Б.117. log й 8- -j- =0.	4Б.118. log(2x_5,,5-	=0.
7+x .
4Б.119. log)Z 3-2=0.	4Б.120. log , 5+2=0.
VxH-2
4Б.121. log2[V3(2x-l)] = —!—. logs 4
4Б.122. (log z 4) log2[5(3 — 2x) ] =4.
4Б-123- 10g7fzr =1°glT-
4Б.124. log344 = log35 logs 11 — 2 log3(x—2),
5*
67
log J (5—2x) 4Б.125. log95 =--*-------
loga 9 i
4Б.126. б0,54'0812 =log3,_ (x-2). r 2
4Б.127. log j (2x + 5) =3,oge4. /з
4Б.128. logj (x + 2) = log2 7- . 3	ID
2__
4Б.129. log2(5-2x)-5lot’ 4Б.130. Iog5y2x+3 = log25 7.
4Б.131. Iog4 16 + log. (3x+l)=log. (3x4-1). 2	4
4Б.132. log [3(2x+l)]+log —3=log3(2x+l)a. 1	V3
7?
4Б.133. log25(x-l)+log/_-^— =log j 125. X 1	25
4Б.134. log. (x4-2)4-31og27(x4-2)=l. 9
4Б.135. log,%4-4 log,x = 3. Б	3
4Б.136. log3r_ (x—2) 4-2 logs(x—2) = 10. уз
4Б.137. log. yx+l + log27(x+l) = 4-. 9	3
4Б.138. logs ~21ogi (x+3)=2.
4Б. 139. log j (x-l)-log4yFn = -9. /2
4Б.140. log ! (x + 2)+21og25(x+2) =log5   /5
4Б.141. log3(2x+l) -log34- +21og3 -4= = v l°g3(2x-2)a. у X—1	2
19 4Б.142. logi6x+log8x + log2x= —.
4Б.143. log3(x+4) +log3(x-1) =1+ —L_. log2 3
68
4Б.144. Iog2(7-x) + 3 log2 a '  = log2(2x + l).
4Б.145. Ц- logi (5x+2)2—logt —=logt (6-x)-log .
2	25	П *-l	25	5T 3
4Б.146. -^log3x2+31og3 x-2= log38-log3 -Ц-.
2	3 —	x+6
4Б.147. log, (x+1)+ 1 =log. (x+5)-log. (x+2). 5	2	2
4Б.148. logsx+ logs —=logs 2—2 logsVx-1.
4Б.149. lg(3x—7) + lg2 = lg(x + 3) + lg(x-3).
4Б.150. log2(5x-3) — 3 log21/rx—l=log2x+l.
4Б.151. log2[(X— 1) (3—x)] —log2 — =0. x— 1	4
4Б.152. log5[(3x-l)(x+3)]-log5^ =0.	' «
x+3.
4Б.153. log3[(x+l)x] +log3 —4- =0 x+ 1
4Б.154. log0,3[^(3x —2)]-log013 —_— =0. 3x—2
4Б.155. lg[x(2x—3)]+lg —=0. 2x—3
4Б.156. logo,, [x(x—7)] — logo.i —-"^-==0. x
.46.157. lOg}[(2x-4)x]+log|^=i =0.
4Б.158. log3[x(x+3)]-log3^- =2. X
4Б.159. log2[(x+l) (2x—3)]+log2 2(*+l) =3. 2x — 3
4Б.160. log, [(3-x)(x-l)]-log,-^- =1. 2	2 2(3 — X)
Найти наибольшие корни уравнений!
4Б.161. log.’x-log3x-З = 2|о8‘3.
4Б.162. 3Iog’ x+2logex+2- (-уУ°‘|а.
4Б.163. logi* —
log» X— 1 log» X
69
4 Б. 164. logs хЧ-log»-i- =1.
4Б.165. log'j (2x2) = logs 512.
4Б.166. Ig^-lgx6 4-1=0.
4Б.167. log3(27x) = 101og«3.
4Б.168. --3log?x+4----= 1
61og<’x+31og)x+2
4Б.169. logs2-^±^-=3l°S'3“2. .	4
4Б.170. log2(x+3)2+logs(x-l)2=.
logs 2
Решить уравнения:
4Б.171. 3|0’,л’ 5|O8’X =2025.
4 Б.172. logs y2**-‘>4- 3 log6 3 = log» x2.
4Б 173 3!°®® I*2——i°s. (x4“O	-—I	8* ж
4Б.174. log»(8x2) =yiogx8x4.
4Б. 175. log4 (2 logs (1 + logs (14- 3 logs x))) = -|-.
4Б.176. log6y^24-y log6(x-H) = l.
4 Б. 177. V xu>l’'r* = log(x-i) (x -1)2.
4Б.178. log! (4x) Ч-logs =log(x-o,6)(x—0.5)8. 2	О
4Б.179. log(2.x+i)(5 + 8x-4x2) +log(5-2x)(l +4%+4x2) =4.
4Б.180. —5-------log(x-i)(x- l)24-log/7 -J- •
3+!og2*	2
Найти наибольшие корни уравнений;
4Б.181. lg2(10x)4-lg(10x) =6 —3lg у-
4Б.182. logxy34-logx2V3'=logs27-logx —.
4Б.183. log025x4-31ogo,sx4-5=O.
4Б.184. log.’ax/2
-log3,- x-2=0.
4Б.185. log!— —3 = log2x2. и X
70
4Б. 186. у log (Зх+2)г—log‘(4x+5) =
= - logs (4х + 5) logs (Зх+2).
4Б.187. — log3 _ (2х+3) -log3(2x+3)log3(x+V3)3 =
2 /з
-21og32(x+y3).
4Б.188. — log52(2x+3)2+8 logs2 V*=logs (2x+3)3 logs*. 4
1	I
4Б.189. :—;—— = --------r	.
log3(*4-1)	2 logs/3x2+2x-7
4Б.190. log2y2x + 3 logx 2= 1.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Простейшее показательное уравнение вида а*—Ь> где а>0; 6>0, а#=1, имеет решение x = loga&.
Показательное уравнение вида aftx>*=b, где а>0; &>.О; я=#1,
решается путем логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а.
В результате получается эквивалентное данному уравнение f(x) = loga&.
Показательное уравнение вида
.af(x)=aq>(*\ где a>0; а¥=1,
также решается путем логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а. Эквивалентное ему уравнение f(*)=<p(*)-
п лог»	/ 5 у / 4 V
Пример 4.8. Решить уравнение — = — .
\ 2 /	\ 25 /
Решение. Приведем степень в правой части уравнения к
5 основанию —:
2
2 \2р
2_\4
5 /
5_\-4
2 j *
т!	/ 5 V ( 5 \“4 п
Исходное уравнение принимает вид 1 — 1 = I—j . Лога-рифмируя по основанию — , получим х—— 4.
5 Х-1]4
2 J
_4_\2 25/
Ответ. —4.
71
Пример 4.9. Решить уравнение J/" 1253-2х = -—— t /5
Решение. Преобразуем правую и левую части уравнения таким образом, чтобы в основании было число 5:
/1253-21 = [ (53) s-2)t]1 = 53 (3-2Л), ^=5,-1=5Г 4 /— у 5
„	.	_ ? (3-2дг) _?
Теперь исходное уравнение принимает вид 54	=5 .
3	3
по основанию 5, получим — (3 — 2х) =, или
3—2х=1, х=1.
Ответ. 1.
Пример 4.10. Решить уравнение З2^0®—6-32х = 32х+1.
Решение. Представим правую часть уравнения в виде 32a+i=з. з2х.. Перенесем второй член из левой части уравнения в правую и приведем подобные члены, тогда получим
32~х —6-32х=3-32х, 32-х=6-32х +3-32х, 32-х=9-32х.
Представим правую часть уравнения в виде 9-32х=32х+2. Таким образом, исходное уравнение принимает вид 32~х=32х+2. Логарифмируя по основанию 3, получим 2 — х=2х+2, Зх=0, х=0.
Ответ. 0.
Пример 4.11. Решить уравнение 9х —3х —6 = 0.
Решение. Первый член уравнения можно представить в виде 9х = 32х= (3х)2. Тогда исходное уравнение принимает вид (Зх)2-Зх-6 = 0.
Подобные уравнения, куда неизвестная функция входит в различных степенях, решаются методом замены переменной.
Обозначим Зх = 1/, тогда имеем у2— у — 6=0. Это квадратное уравнение легко решить:
01,2 = 1±К1+4 16 ^[±5, (/, = 3; у2=-2. 2	2
Второй корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна. Итак, 3Х = 3; х=1.
Ответ. 1.
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения:
4А.071. 2Х = 32.
/ 1 v-i
4А.072. — |	=9.
\ 3 I
72
4А.073. 43-2х = 42”х.
4А.075. 25я+1 = 42ж.
4А.077. 2-22ж-3-2х-2 = 0.
4А.079. 2-9х —Зж+1 —9 = 0.
4А.074. 2х-2=1.
4А.076. Зх+2 —Зх = 72.
4А.078. 3-25х—14-бх —5 = 0.
4А.080. 22х+3—15«2Х—2 = 0.
Группа Б
Решить уравнения:
4Б.191.	/ 16 у __ \ 9 / ~~	/_3_\5 \ 4 /
	/ 3 \3-2x	/49 \-з
4 Б. 193.		
	\ 7 /	
	/ 16 у+З	__ /125У2
4 Б. 195.		
	к 25/	~ к 647
4Б.197. (0.04)2-	-*=25-J
4Б.199. (3,5)Л-5	=ю
4Б.201. у5»+*=	Vr
4Б.203.	_ J3_ /з ’
4Б.205. /16*-3	4 /2
4Б.207.	=	49
4Б.209. у/ 273-»:	9 W
4Б.192. Р-у+’-О-У.
\ 25 /	• \ 2 )
/ 9 \1-2jt	/ 27 \-3
4Б.194. — 1	=( —)
\ 3 )	\ 8 /
4 Б. 196. (0,5)^-*= 16-2.
4Б.198. (0,8)3~2х= (1,25)3.
4Б.200. (0,125)х-1 = 23.
4Б.202. |<2^=-2_.
/2
4Б.204. У72ж+®= / 7 *
4Б.206. У362^= — /б"
4Б.208. /25^=-^-Г5”
з —л	4
4Б.210. V 4*+2 = ;Аг "К2 '
Найти наибольшие корни уравнений:
4Б.211.	СО | to Сл И Г to | со 4 *
4Б.212.	/ 2 \4Л4-23	/ 7 \5л»-13 \7~/	\ 2 /
4Б.213.	/ 7 \28х’-5	/ |3.\5х2—127 \13/	—
4Б.214.	7 9 \3х2-2л	/26\5^s+3Jf к 26 / .	к V/
4Б.215.	/11 \8лг2+5-Г	/ 2 \-2ха-8л \~2~/
73
Решить уравнения:
4Б.216. /_LV’^+5 = f± к .6 /	\ 5
ЛСП1-7 / 51 \71 Kr-1-З / 9 \з /л-1-293
4Б-217- (т)	= Ы
—---3	2-4-5
4Б.218. [— У7	,
V 20 /	\7 )
П	7__
4Б.219. Р?УЖ+1	.
I 16/	\33/
4Б.220.
, 2	5
\23;/	\14/
4Б.221. 7-5*-5*-н = 2-5-3.
4Б.223. Зх+2 + 4’Зх+1 = 21.
4Б.225. 2-6х 4-3 • 6х+3=325-З*1.
4Б.227. 4х + 4х-1 = 5.
4Б.229. 3-7х+1 + 5-7х-1= 152.
4Б.231. 22х+14-2х+1-29=0.
4Б.233. 52х+4-575-5х"1-250=0.
4Б.234. 2-52х+1-245-5х-1-5=0.
4Б.235. 3-9Х+2—26-Зх+1—1=0.
4Б.237. 36х-204-6х"1-72 = 0.
4Б.239. 49х+1 + 55-7х+1- 56 = 0.
4Б.222. 2х+3—5-2x=3-2_1.
4Б.224. 5Х+4- 5х"2=620.
4Б.226. 7х+1-3-7х=28.
4Б.228. 31+2х + 32х+3= 10.
4б.230. 5.22*4-2+3. г5*-*=86.
4Б.232. 32х+1 + 72-Зх-75=0.
4Б.236. 2-4x+<-2x+4-i«o.
4Б.238. 100х—80-10х”1—20=0
4Б.240. 4х+1 +19-2х—5 = 0.
4Б.241. 32х+5-22х+7 + 32х+4-22х+4 = 0.
4Б.242. 23я+7+53х+44-23*+5-58х+5=0.
4 Б.243. З4^5 - 24х+7 - 34х+3- 24х+4=0.
4 Б.244. 52х+5 - 22х+10+3 • 52х+2 - Я***=0.
4 Б.245. 25х+в - 75х+2 - 25х+3- 75х+4 = 0.
4Б.246. 2“2х+5 - 2~2х - 3~2х+3 - 2“2х+2 = 0.
4 Б.24 7. 4 • 72х+4 - 32х+6 - 2 • 72х+3 + З2^3 = 0.
4 Б.248. 4 • 63х+2 - 53х+3 + 63х+* - 53х+2=0.
4Б.249. 4.32x-22x“1-32*+i-22x=0.
4Б.250. 3 • 5-<4х+3) - 21-4х + б”^2)- 2~4х-*=0.
4Б.251. 22~х-(— V'1'1------— +1/~ — =84.
\ 2 /	2Х+2 V 4х-1
74
4Б.253. з2ж+3 + У92х+1+	2Х=91.
4 Б.254. (—V2x+3 + 49х"1+ 7^-1 = 399. \ 7 )
4Б.255. 42-«-4-<«+i)+ /_!_Г+2---J-----=500.
/ 1 \1-2х	2х+1	1
4Б.256. ( —|	-&*+2-25 2 Ч---------гт- =2380.
\ 5 /	5~j~2x
4Б.257. 3*-‘- (— | Х = 1/'—— +207.
\ 3 ) у 9«-х
/ 1 \2—2х	Г 1
4Б.258. г2*-^ —I + 4х+* = 1/ —— +78.
\ 2 )	у 4З-2Х
4Б.259. 25х-1 + —------ =475+
]/25-2х	\ 5 )
4Б.260. 2-<«-1)+ д / _L_ =56 + [_V+\
У 4*+2	\ 2 J
4Б.261. 22х + 2х-2 = 0.	'	4Б.262.
4Б.263. 22х-3(У4)х-4 = 0.	4Б.264.
4Б.265. 3-2х+1 + 5	Y =2.	4Б.266.
\ 3 ) 4Б.267. 2-2»+з = 2-*+1+1.	4Б.268.
4Б.269. 3-2"2х+3 = 2-х+1+1.	4Б.270.
4Б.271. 3-22х + 6х-2-32х = 0. 4Б.272. 5-32х + 2-15х—3-52х = 0. 2	1	2
З2* — 2-Зх-3 = 0.
2-52х=5х+1.
5.5"2х+4.(—Г=1.
\ 5 у
2-3-2х+2=3-х+1+1.
6-5-2х+з_ i=5-*+i.
4Б.273. 2-5/х-3-10Гх -5-2Vx =0.
4Б.274. 14-4>'i+‘ + 3-14i'’+i-2.49i'’+‘=0.
4Б.275. 27-24(лг1+1)-3-62(х2+1)-4-34(дг2+1) =0.
4Б.276. 9-256^-6-144irx-8-81i'x=0.
4Б.277. 10-81х+9-225х — 9-625х=0.
4Б.278. 2 • 81x+I — 36х+* -3-16Х+* = 0.
4Б.279. 72х+1 + 4-21х-32х+1 = 0.
4Б.280. 9- 16х-7- 12х- 16-9х=0.
75
4Б.281. 5х—1 =У6 + 2-5х.	4Б.282. З^+'-З-уЮ-З1*2.
4Б.283. 2х—3 = у25+9-2\	4Б.284. 11-Зх=УЗх-5.
4Б.285. 8 - 36 • 6х=У б1*2-2.
4Б.286. | х —41 ^-л‘-5х =|х-4|2.
4Б.287. |2-х|/х’-х"2=|2-х|2.
4Б.288. |2х + 1|/2х’"5х-2 = |2х+1|.
4Б.289. |Зх-2|/2х-3х’ =1.
4Б.290. |1-Зх|/5х'+7х“2=|1-Зх|2.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
При решении систем логарифмических и показательных уравнений используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений и обычные приемы решения систем уравнений.
Пример. 4.12. Решить систему уравнений
log3x+log9 у = 3,
log x+log3{/ = 3.
Решение. В каждом из уравнений системы перейдем к логарифмам по одному и тому же основанию, например 3. Воспользовавшись тем, что log9t/ = log^ у— -у log3у и log, х= = log3~i х= — log3x (см. свойство логарифмов (5)), перепишем исходную систему в виде
log3*+ у log3t/=3,
- log3x + log3 у=3.
Складывая уравнения системы, получим l,51og3r/ = 6, или log3i/=4. Отсюда г/ = 34 = 81. Подставляя это значение у в первое уравнение системы, найдем значение х:
log3х + у log381=3, log3x+ у-4=3, log3x=l, х = 3.
Так как заданная система содержит выражения вида log3x и logs г/, то п0 определению логарифма должны выполняться условия х>0, г/>0. Полученные значения х и у удовлетворяют этим условиям. Итак, пара значений переменных f х=3, явля-U=81 ется решением заданной системы.
Ответ. L(3; 81).
76
Пример 4.13. Решить систему уравнений ' 5х-2у = 80, log рг-5 (*+!/) =2.
Решение. Из второго уравнения системы легко получить (У5)2 = 5. Выразим из этого уравнения к через у и подставим в первое уравнение системы х=5—у, тогда б5-у• 2у=80. Последнее уравнение преобразуем следующим образом:
55-у. 2у=80=>55 • б-v • 2у = 80М> 55 (5"1) у . 2 у = 80=> =^5s(5-‘-2)v=80=»56(—V =80=ф- (— V = — = — =(—Y.
\ 5 !	\ 5 I 5’	5< I, 5 /
Из последнего выражения нетрудно получить, что у=4. Так как х=5 — у, то х = 5 —4=1.
В исходную систему входит выражение log^_ (х+у), следовательно, по определению логарифма выражение (х + у) должно быть больше нуля. Полученные значения переменных (х=1; у=4) удовлетворяют этому условию и являются решением заданной системы.
Ответ. (1; 4).
ЗАДАЧИ
Группа Б
Решить системы уравнений:
4Б.291.	f log.x—log2i/=0, I 21/2-8-0.	4Б.292.	 log, (x+y)=-2, . logs(x-j/)=2.
4Б.293. 1 4Б.294. 4Б.295. < 4Б.296.	l0g2*-10g2*/=l, log2xy = 8. ' log2(x+ 14) 4- log2(x+y) =6, . Iog4(x+y) =0. Iog2x+log4y = 4, log4x+log2y = 5. ’ Iog2(x-f/) = 5-log2(x+i/), 1g X—1g 4 = _ | < igy—lg3		
4Б.297.	f 2* + 2y=12,	4Б.298. .	
	i x—y=l.		L з^+б-гу-^и.
4Б.299.	( 2-4x+3-5y= 11, [ 5-4x + 4-5y = 24.	4Б.300. <	’ 2х—2y= 1, 23*—23y=7.
4Б301 f 2*-Зу — 12, чь.биь |2у.3х=18		4Б.302.	32x__ 2^ = 725, 3х-22 =25.
77
лкчм J3X-2»=144, 4о.30о. {
I logv2-(i/-x)=2.
4КЧ04 Pogs(^ + ^2)=1, 4b.oU4. I 2*+v2 — 4 = 0,
4Б.305. Pog5(log3x+log3t/)=0, [ 4*~i/ = 16.
§ 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция r/ = logax при а>1 является монотонно возрастающей, а при 0<а<1—монотонно убывающей:
loga f(x)> loga ф(х), a>l
loga f (х) > loga ф (х), 0<a<l
ф(х)>0, a>l, k Г(*)>ф(*)|
f(*)>0, 0<a<l,
При переходах от простейших логарифмических неравенств к равносильным системам неравенств, не содержащих знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений исходного неравенства.
Простейшие логарифмические неравенства:
1.	/ logaf(x)>6, <=t.lf(x)>a“, (a>l	1^>1.
2.	flogaf(x)>6,	f 0<f(x}<a\ [0<a<l	[0<a<l.
3.	(logaf(x)<d,	f 0<f(x)<ab, (o>l	(a>l.
4.	flogaf(x)<b,	Jf(x)>ab,
Множество решений нестрогих неравенств вида l°gaf(x)>6 и 10gaf(x)^& находится как объединение множеств решений соответствующего строгого неравенства и уравнения logaf(x)=b.
78
Логарифмическое неравенства вида !og<f(x)/(*)>& эквивалентно двум системам неравенств
' f(x)>Of	[f(x)>0,
ФЙ>1,	и 0<ф(х)<1,
ь fW>(<p(*))d	( Н*Х(ф(*))ь.
Аналогично решается и логарифмическое неравенство вида 1о#ф(х) f (*)<*•
Пример 5.1. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
log3(2x+1) — log35<0.
Решение. Перенесем второй член неравенства в правую часть. Получим
log3(2x + l) <log35.
Так как основания логарифмов одинаковы и больше 1, то по* следнее неравенство эквивалентно такой системе неравенств: 2х+1>0, 2х+1<5.
Эту систему нетрудно решить: р>--'
( 2х+1>.0, . '	2
(2х+К5 .	х<2
По условию задачи необходимо найти наибольшее целое х из данного промежутка. Так как число 2 данному промежутку не принадлежит, то наибольшее целое значение х=1.
Ответ. 1.
Пример 5.2. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству log3(2x—5) <2.
Решение. Это простейшее логарифмическое неравенст’ во (3) эквивалентно следующей системе неравенств:
0<2х—5<32.
Эту систему легко решить:
2х-5>.0, 2х—5<9
5
2 ’
Наибольшее целое х из этого промежутка х=6.
Ответ, б.
79
Пример 5.3. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
log3 1og3/_ (2-х) >.1,
V 2
Решение. Для удобства обозначим log3z_(2 — х) =f(x), г 2
тогда исходное неравенство примет вид
log3f(*)>l.
Это простейшее неравенство (1), т.е. оно эквивалентно следующему неравенству: ^(xJXI1 или log3z-(2 —х) >3. Последнее
V 2 неравенство также простейшее логарифмическое неравенство (1), оно эквивалентно неравенству 2 —х>()/2)8 , решение которого 2—х>2, х<0.
Наибольшее целое х из этого промежутка х= —1.
Ответ. —1.
Пример 5.4. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
logx+o,5 (3 - х) >1.
Решение. Логарифмическое неравенство подобного вида эквивалентно совокупности двух систем неравенств
' 3-х>0,	3-х>0,
х+0,5>.1, и 0<х+0,5<1, 3—х>х+0,5	3 — х<х+0,5.
Решаем первую из этих систем:
3—х>0, х+0,5>.1,	=>
3 — х>х + 0,5
(
Решаем вторую систему: х<3,	fx<3,
3-Х>0,	х+0,5>0,	|х>—0.5,
0<х + 0,5<1, =► х+0,5<1, =>1х<0,5,	=^хе0.
| 3-х<х + 0,5	-5-<2х х> —
'	I 2	4
Решением исходного неравенства является объединение двух
/ 1	5
решении этих систем, т. е. окончательно хе I — ; — большее целое х из этого промежутка х=1.
Ответ. 1.
80
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти наибольшие целые равенствам:
5А.001. log5(3 —8х) >0.
значения х, удовлетворяющие не-
5А.002. log, (7-Зх)>0.
5А.003. log * (7 —х) > — 2.
5А.004. logj (3 —2х) > — 1. к
5А.005. log2(x—3) <3.
5А.007. lg(x2 + 2x + 2) <1.
5А.006, lg(4x —1)<1.
5А.008. log, (х2-х-2)>-2.
5А.009. log3(3x—lj < log3(2x + 3).
5А.010. log, (4х —3) > log, (x + 3).
7	* 7
Найти наименьшие целые равенствам:
значения х, удовлетворяющие не-
5А.011. log3(3x-2) >0.
5А.013. log,(6-х)>-2.
5А.015. log3(x-8)>1.
5А.017. lg(x2 + x+4) < 1.
5А.012. Iog2 (x + 3) SCO.
3
5A.014. log, (5 —2x)> —1. 4
5A.016. lgJ3x — 2)>1.
5A.018. log, (x2-2x+l)<2.
.4
5A.019. Iog2(2x- 1) > log2(jc+l).
5A.020. logs(3x+l) >log5(x-2).
Найти наибольшие равенствам:	целые значения х, удовлетворяющие не-
5А.021. 5х"1 <25. 5А.023. 33-*^32.	5А.022. б^’^б-2. 5А.024. 2х2-4х <2°.
5А.025. 0,6-г’+3х >0,6°.	/ 1 \2x-3	/ 1 \—2 5А.026. (~)	>(4- . \ 2 /	\ 2 /
5А.027. 3-х-2>32. 5А.029. 51-3<52.	5А.028. 2~2х+2^22, 5А.030. 33х"5<34.
Группа Б
Найти наибольшие значения х, удовлетворяющие неравенствам:
5Б.001. Iog2(3 —2х) — log213<0.
5Б.002. logt (Зх—1) —log,6>0. з ‘	а
6 Заказ № 1452
81
6В.003. log2,7 (1-— log2,7 4<0.
5Б.004. log0l7(2x-7)-log017 5>0.
5Б.005. Iog.j3+ -yj —log^4<0.
5Б.006. lg23*-‘-Ig2x+2<lg4.
5Б.ОО7. lg52x+3-lg25>lg53x-2+lg5.
5Б.008. Ig3<>-x + lg5>lg27+lg 15.
5Б.009. lg(7«-2x+3) — Ig39>lg4 —lg3.
5Б.010. lg(53-x+2) —Ig63>lg3 —lg7.
Найти, при каких целых значениях х выполняются неравенства:
5Б.011. log^ (Зх—2) — log^ 56<log^-i- - log^ 7.
5Б.012. logo,7(3 — 2x) — logo,7 54>logo,7 -logo,7 9.
5Б.013. logi,3(5-2x) -logi,3 7<logi,36-logi,314.
5Б.014. log. (5x—7) — log.5>log. 16 — log, 10. 3'33	3
5Б.015. log-(2x—3) —2 log- 6<log7 —---log7 3.
в	в	к 4	®
Найти наибольшие целые равенствам:
5Б.016. log2(2x—1)<3.
5Б.018. log, (х-3) >-2.
5Б.020. log, (3-х) > -1.
значения x, удовлетворяющие не-
8Б.017. log3(x+2)<2.
5Б.019. log, (х+1)>--|- • 4	2
5Б.021. xlog. 7 —21og.7>0.
з	3
5Б.022. (x+l)logo,73 —logo,727>0.
5Б.023. (2x—3)log, 5—3 log3 5>0.
(3x+2)log0134- 11 log0,34>0.
(5x-2)logi,2 2-18 logi,2 2<0.
5Б.024.
5Б.025.
5Б.026. log	(12 —x2)>2.
г О
5Б.028. logs(x2-x) < 1.
5Б.030. log, (7x—3x2)< —1.
5Б.027. log , (x2-12) >— 4
5 Б.029. log (2x2 + x) < 2.
5Б.031. 5)"i!s<2j'_1).<7.
82
2_уоЧ (2Ж-5) <3
5 Б.032. 3'08,(х+5) <2.	5Б.033. 81°8'(3-ад >3.
5Б.034. 13|ое“(1_3х’>7.	5Б.035.
5Б.036. logs log z—(х—1 )< 1.	5Б.037. logslog. (2х+1)>0.
5Б.038. log,log , (2-x)<i. 5Б.039. log,logvr(*-4)>-l. ------------------	2	2	’ 5
/3
5Б.040. log , log , (2 —3x)> —2.
5Б.041. log,(x+2)-log9(x+2)>-4--
3	A
5Б.042. log (2x—1) — log j ,(2x-l)<-5-. V 5	—	Z
25
5Б.043. log . (x—5)+2 log (x—5) <4. _	V 3
XT
5Б.044. log2(3 — 2x) — log. (3 — 2x) > — .
5Б.045. lg(x—2) —log|/_ (x—2) > — 1.
5Б.046. logx+i(5—x)>1.	5Б.047. logx-s(2x-7)<1.
5Б.048. Iogx(2x-3)<1.	5Б.049. logx-,(4-x) < 1.
5Б.050. log-2x+i(3 —2x) <1.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение доказательных неравенств основано на том, что функция у = ах при а>1 является монотонно возрастающей, а при 0<а<1—монотонно убывающей:
(аКхг>.аЫх\	П(х)>.ф(х),
|а>1	(а>1;
J av(x\
(0<а<1	[0<а<1.
Решение нестрогих показательных неравенств отличается от решения соответствующих строгих неравенств лишь включением в множество всех решений неравенства также и корней соответствующего уравнения.
Неравенство вида
а^х^Ь, где а>,0;	Ь>0,
может быть решено путем логарифмирования обеих его частей (так как обе части неравенства положительны). При всех
6*
83
Ь^О неравенство подобного вида справедливо для любого х из области допустимых значений неравенства.
Неравенство аКх)^.Ь при	а>0; а=^1 решений не
имеет.
Простейшие показательные неравенства;
1.		f(x)>	*10ga Ь,
	а> 1,	•<=►	a> 1,	
	Ь>0	6>0.	
2.	’ аКх)>Ь,	' f(x)<	Jogafc,
		0<a<	-h
	Ь>0	b>0.	
3.	' а1ю>Ь,	— oo<	Zf(x) < + oo,
	fl>0,	<=>	c>0,	
	b<0	fr<0.	
4.	' a^<b,	!(*)<	lOga b,
	fl>l,	-<=> -	a>l,	
	b>0	b>0.	
5.	' a^x]<b,	f(x)>	10gn Ь,
	0<a<l, О	0<a<	^1,
	b>0	6>0.	
6.	’ a^<b,		
	a>0,	—неравенство решений не имеет.		
	b<0		♦
Некоторые показательные неравенства содержат выражения вида	Напомним, что функция /(х)^1) определена тогда,
когда определены обе функции f(x), <р(х) и, кроме того, f(x)>0.
Пример 5.5. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству З7 <9.
Решение. Поскольку 9 = 32, то данное неравенство равносильно неравенству
3* <9 -<=> з?х <32	<2 •<=> х<4.
Наибольшее целое х из этого промежутка х=3.
Ответ. 3.
Пример 5.6. Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству
2х+3+ Ю-11*+2< 11*+з+2*Ч
84
Решение. Соберем все степени с основанием 2 в одну часть неравенства, а степени с основанием 11—в другую. При этом представим 2х+3 в виде 2х+3=2-2х+2, а 11х+3 — в виде 11х+3= 11 • 11Х+2:
2.2Х+2—2х+2< 11 • 11х+2 - 10-11х+*.
После приведения подобных членов получим 2х+2<11х+2.
Разделим обе части неравенства на 11х+2 (при этом смысл неравенства не изменится, так как выражение 11х+2 всегда положительно) :
2*+2	/ 2 У+2 < 1
11х+2<
Полученное неравенство равносильно неравенству
рр2	< (2-?^(х+2)>0^*>-2.
\ И /	\11/'	\11/
Наименьшее целое х из этого промежутка х= — 1.
Ответ. — 1.
Пример 5.7. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
3 Vx+i+i - 28 + 32“^х+?< 0.
Решение. Для удобства обозначим 3>'х+1 = г/. Исходное не-9
равенство принимает вид Зу—28н--<0.
у
Умножим обе части неравенства на у (при этом смысл неравенства не изменится, так как у по определению всегда больше нуля). Получим 3t/2—28^ + 9<0.
Раскладывая квадратный трехчлен в левой части неравенства на множители и решая полученное неравенство методом интервалов, для у получим
[ у> —, (Зу-1)(у-9)<0^	3
[ */<9-
Переходя от у к исходной функции 3^х+1, имеем
ЗГх+1> JL
3
3>'^+1<9
Ух+1<2
-<=> х+1 <4 <=> х<3.
Учитывая область допустимых значений исходного неравенства (х>,—1), окончательный результат есть хе(—1; 3). Наибольшее целое х из этого промежутка х = 2.
Ответ. 2.
85
Пример 5.8. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
JT’-Зб
Решение. Выражение в левой части неравенства имеет смысл лишь при условии, что (х+1)>0, т. е. х> —1. Рассмотрим два случая, когда (х+ 1) >.1 и (х+1)< 1.
При (х+1)>1, т. е. при х>0, имеем
( /vi 1 \Л’-36	> fxx’-Эб
x2-36<0,
Iх>0 (х-6) (х+6)<0,
x<6,
x>0
x>0
(т. e. x<0), учтем необходи-
В случае, когда (х+1)<1 мость выполнения неравенства х> —1:
ла-36
x<0,
х2- 36 >0, х<0,
(х —6) (х+6) >0, х<0,	-<=>х^0.
Наибольшее целое х из промежутка (0; 6) х = 5.
О т в е т. 5.
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти наибольшие равенствам:
5А.021.
6х-1 <25.
5А.023.
5А.025.
о,6л’+3л:
5А.027.
-Г+2 >9. з /
5А.029.
целые значения х, удовлетворяющие не-
SA.022. б2*^ —.
36
5А.024.
/ 1 \2x-3	/ 1 \—2
5А.026. —)	> -М
\ 2 /	\ 2 /
/ 1 \2x-2
5А.028. —)	>4.
\ 2 )
5А.030. +)	s£81.
\ о /
Группа Б
Найти наименьшие равенствам:
5Б.051. 3-2х<уТ
целые значения х, удовлетворяющие не-
/ 1 5Б.052. — 1 3
V 5 J
86
/ , ч-Зх+1 ---- т+3^
5Б.053. Н-1	>УЗ.	5Б.054. 22	>16..
\ 9 / х+1 5Б.055. 5^ >г^-. ут
Найти наибольшие целые значения х, удовлетворяющие неравенствам:
2х 5Б.056. 23x<Fi	5Б.057. 93 <243.
7 1	7 1 \—у
5Б.058. — ] 2 >4.	5Б.059. — I <7.
\ 8 ]	\ 49 /
2х+1
5Б.060.3 5 <Аг.	ББ.061. 250-53-х-2-5х~3>0.
V 3
5Б.062. 147
5Б.063. 13«22х+3-208«2-2х-3<0.
41
5 Б.064. 7 • 3х-24- 20 • З2-*< 3 х ~ 2,
5Б.065. — —2«6Х>8«6-Ж. 6х
Найти наименьшие целые значения х, удовлетворяющие неравенствам:
5Б.066. 2Х+3+3-5Х<3-2Х + 5Х+1.
5Б.067. 22ж+1-32*+1<32ж-7 -22х.
5Б.068. 5х+1 —Зх+2<2«5х —2*3Х-1.
5Б.069. 3х + 10х“2> 19 • Зх~2 + 10х“3.
5 Б.070. 7Х+2 - 8Х+2 < б ♦ 7х*1 - 7 • 8х+1.
5Б.071.	22х-3-2х+2^0.	ББ.072.	52x+i _ 5х+2 < 5х — 5.	
5Б.073.	32х+2-Зх+4<Зх-9.	5Б.074.	72х—1 7«+i	7«—1 7.	
5Б.075.	9х+1_зх+з<з«_з	5Б.076.	/ 2 \х2+4х \~з~/	/ 8 V+2 \27/
5Б.077.	/ з \х»	/9 W+1.5 Ш > (ю/	•	5Б.078.	х(х+*2) (0,2) 6	з_ > (О,О4)10'
5Б.079.	/ 1 \X’+1	/ 1 \2х ш > Ы •'	5Б.080.	\27/	/ 1 \-х»+8х И/
5Б.081.	>4.	5Б.082.	( 9 \2х~7 — р+г V 5 7	5 ' 2 ’
87
5Б.083.	А \ з /	ч ’
	6х-1	/ I \а
	
5Б.085.	(0,2)3~х < (Т/ ‘
5Б.087.	2-3^-5>31->'ж.
5Б.089.	5у5=2->51-у^2+4>
5Б.091.	(х-3)х’-’>1.
б Б.093.	(х + 2)Л’“16 >.1.
5Б.095.	х+—) ’>,1.
2 )
5Б.084.
5 Б.086. 2^+* - 1 < 3 • 22-^+*.
5 Б.088. 3-21х-* + 2*-1х-*>25.
5Б.090. 2-7^2ж-5>71-1'2ж_^+13.
5Б.092. (х —2)л’-1 > 1.
5Б.094. (х+1)-'’-4>1.
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Основные тригонометрические формулы
I группа. Соотношения между тригонометрическими фуик-	
циями одного и того же аргумента:	
sin2 а + cos2 а = 1.	(6.1.1)
,	sin а tga = cos а	(6.1.2)
cos а ctga= . sin а	(6.1.3)
tgactga = 1.	(6.1.4)
l+tg2a= -L-. cos2 a	(6.1.5)
1 +ctg2a= —!— . sin2 a	(6.1.6)
П группа. Формулы сложения:	
sin(a+p) =sin a cos p + cos a sin p.	(6.II.1)
sin (a— p) =sin a cos p —cos a sin p. '	(6.II.2)
cos(a + p) = cos acos p —sin asin p.	(6.II.3)
cos(a —p) =cos acos p + sin a sin p.	(6.П.4)
,^“+₽)=гт±тт- 1-tgatg p	(6.П.5)
. , Q4 tga-tgP l?(a P) J+tgatgp	(6.II.6)
88
III	группа. Формулы кратных аргументов:
IV	sin 2a = 2 sin acos a.	(6.III.1) cos 2a = cos2a —sin2a = 2cos2a— 1 = 1 —2sin2a. (6.III.2) tg2a=-^-.	(6.III.3) 1—tg2 a sin 3a = 3 sin a —4 sin3 a.	(6.III.4) cos 3a = 4 cos3 a —3 cos a.	(6.111.5) группа. Формулы преобразования сумм или разностей
в произведения: sin а+sin 0 = 2 sincos	.	(6.IV.1J sin a—sin 0 = 2 sincos.	(6.IV.2) cos а+cos 0 = 2 coscos.	(6.IV.3) cosa — cos 0= — 2sin^®- sin	(6.IV.4) tga+tgp= ?1п<а+Р> ..	(6.IV.5) cos a cos 0 tga-tgp= sin(a~g) .	(6.IV.6) cos a cos 3 V группа. Преобразование произведений в суммы или раз-	
ности: VI	sin a sin 0= [cos (a— 0) — cos(a + 0)].	(6.V.1) cos acos 0= -i- [cos(a—0) + cos(a+0)].	(6.V.2) sin acos 0= -y [sin(a-0) +sin(a+0)].	(6.V.3) группа. Формулы понижения степени: cos2a=, 2±Sos2a .	(6.VI.D 2 sin2a= '~c°s2a 	(6.VI.2) COS3a= 3cosa+cos3« .	(6.VI.3) 4 • о	3 sin a—sin 3a	/ д тт »\ sin3a= 	 .	(6.V1.4) 4
89
VII группа. Формулы половинного аргумента:
a sin	 2	= — 1	/ 1— cos a / * * '	2	;(6.vn.i)
a cos — 2	*]	/ 1 -hcos a /	2	(6.VII.2)
1 a tg v	= ± 1	I / l~cos Q	(6.VII.3)
z		V 1-hcosa	
В этих формулах знак	« + »	или « —» выбирается	в зависи-
мости от того, в какой четверти находится угол -у-.
VIII группа. Выражение тригонометрических функций через тангейс половинного аргумента:
а 2tgT sin а=-------- .
1+tg2 у 4	а
i-tg2 у cos а=--------.
l+tg2-f а 2tg” tga=---------- .
1-tg2 у
IX г р у п п а: Формулы приведения:
(6.VIII.1)
(6.VIII.2)
(6.VIII.3)
sin ( — а) = — sin а;
sin (— +а ) =cos а;
\ 2 /
sin(jt + a) = —sin а;
sin ——a | =cos a;
l о /
sin (л — a) = sin a;
. / 3	\
sin I —л + а I = — cos а;
cos( — a) = cos а;
cos । ——а | =sin aj
\ 2 /
eos(n —а) = — cos а;
. / 3	\
sin —- л —a =— cos a
V 2	/
cos (-y- + a j = — sin a;
cos (л + а) = — cos aj
90
/ 3	\
cos I — л — a I = — sin a;
tg(-a) = -tga;
tg ("^ ~a) =ctga;
ctg( — a) = —ctg a|
ctg /у -aj = tga;
/ 3
cos — л 4-a \ 2
=sin aj
tglT + a) =-ctSaJ'
ctg(y + «) =“tga.
X группа. Значения тригонометрических функций основных”' углов:
Функция	Угол				
	_ 0°	30е	45°	60е	90°
	0	я/6	я/4	те/3	тс/2
sin	0	J_ 2	Vz 2	Уз 2	1
cos	1	/з 2	К? 2	1 2	0
tg	0	Кз .3	1	/з	—
Ctg	—	]/з	1	Уз 3	0
Обратные тригонометрические функции
Определение 1. a=arcsina, если:
1) sin a = a; 2) ae[-90°; 90°].
Например, arcsin0=0°, arcsinl=90°, arcsin ( —1) =—90°, arcsin 4- =30°, arcsin (— — = — 30°.
2	\	2 /
Определение 2. a=arccos а, если:
J) cosa=a; 2) ae[0°; 180°].
Например, arccos0 = 90°, arccosl=0°, arccos (—1) = 180°, arccos — =60°, arccos (-= 120°.
2	\	2- /
91
Определение 3. a=arctga, если: 1) tga = a; 2) ae (-90°; 90°)(.
Например, arctg0 = 0°, arctgl=45°, arctg (—1) = — 45°.
Радианная и градусная меры углов
Если величина угла выражена в градусах, то для вычисления ее в радианах следует пользоваться формулой „	а° о
а радиан =--- -2л.
г	360°
Отсюда можно получить формулу: о__________________ ct радиан 360^
2л
Градусную меру угла а= -- вычисляют так: 24 а°=	-360°= — =7,5° = 7°30'.
2л • 48
Для быстрого решения простых задач целесообразно за-помнить, что — =30°, — =45°, —=60°, —=90°, — = 120°, 6	4	3	2	3
— = 135°, л =180°, 2л=360°. 4
Период тригонометрических функций
Напомним, что периодом функций y = sinx и y = cosx является число 7=2л. Периодом функции y=tgx является число Т= л.
Известно, что периоды функций у=А sin (cox-t-cp) и у =
2л
*= Л cos (сох 4-ср) вычисляются по формуле 7=—, а период » W
функции у = А tg((ox + <p) по формуле Т= . со
Если период функции y=f(x) равен 7Ь а период функции y=g(x) равен 72, то период функций y=f(x) 4-g(x) и у= =f(x)—g(x) равен наименьшему числу, при делении которого на 71 и Т2 получаются целые числа.
Пример 6.1. Вычислить cos 840°.
Решение, cos 840°=cos(2-360°+120°) =cos 120° = cos(180°—
-60°). Применяя формулу приведения, легко получить cos (18O°-60°) = - cos 60° = - 0,5.
Ответ. —0,5.
92
3	3
Пример 6.2. Вычислить tga, если sina=— — и л<а< л. 5	2
Решение. Воспользуемся определением тангенса
, sin a tga = ----.
cos a
Для вычисления cos a воспользуемся формулой (6.1.1) sin2a + cos2a=l:
2	1-2	1	/	3 V	i 9 I6
cos2a=l—sin2a=l—-----—	=1—— = —.
\	и J	to 25
4	4 'T	/	3 \
Отсюда cos a=—или cosa =-----. Так как ae л; —- л , то
5	5	\	2 /
4 cos a =--.
5
Теперь вычисляем tga:
_ 3 tga-----5- = 4- =0,75.
4	4
~Т
Ответ. 0,75.
Пример 6.3. Вычислить arccos (cos (-i’))*
Решение, cos (---—= cos (— 60°) = 0,5. Отсюда arccos — =
V 3 J	2
st
60°= — 3
On т в e t: —.
з
Пример 6.4. Упростить
(sin a 4-cos a)2—sin 2a cos 2a4-2 sin2 a
Решение. В числителе раскроем скобки:
(sin a+cos a)2—sin2a sin2 a+2 sin a cos a+cos2 a—sin 2a cos 2a+2 sin2 a	cos 2a4-2 sin? a
Применяя в числителе формулы (6.1.1) и (6.III.4), а в знаме
нателе — формулу (6.III.2), получим
14-2 sin a cos a—2 sin a cos a _।
1—2 sin2 a-|-2 sin2 a
Ответ. 1.
93
Пример 6.6. Упростить-ln25-°3in65°.
cos 40“
Решение. Заметим, что 65°=90°—25°, тогда
4 sin 25° sin 65°	4 sin 25° sin(90°-25°)
cos 40°	cos 40°
Применяя формулу приведения, получим
4 sin 25° sin(90°—25°)	4 sin 25° cos 25°
cos 40°	cos 40е
Применяя формулу (6.Ш.1), имеем
4 sin 25° cos 25° 2 sin 50°  2 sin (90°—40°) cos 40°	cos 40° cos 40°
Используя формулу приведения, получим окончательный ответ
2sin(90°-40°) = 2 cos 40° =2 cos 40° cos 40°
Ответ. 2.
Пример 6.6. Вычислить
(7	\	/3	\	/к	\
— л+а + cos — л + а | sin (——а .
8	/	\ 8	J	\ 8	)
Решение. Применяя формулы (6.VI.2) и (6.V.1), получим
» / 7	\	।	/3	\	. / л	\
cos2—л + а + cos —— л+а sin--а =
V 8	/	\ 8	/	\ 8	/
Зя	\ | .	/ я
а--------а +sin ( q
8	J I 8
Ответ. 1.
Пример 6.7. Вычислить cos 15°—sin 15°.
Решение. Обозначим cos 15° — sin 15°=а. Тогда а2 = = (cos 15°—sin 15°)2=cos215°—2 cos 15°sin 15° + sin2 15°. Применяя формулы (6.1.1) и (6.Ш.1), получим cos215° — — 2 cos 15°sin 15° + sin215°= 1 —sin 30°= 1 —0,5 = 0,5, т. e. a2=0,5.
94
Отсюда а= — или а=------:
2	2
Из условия ясно, что а>.0.
Ответ. —
2
Пример 6.8. Вычислить 2sin — cos — ( cos2——sin2 —|. 24	24 \	24	24 )
Решение. Применяя формулы (6.III.1) и (6.III.2), получим
2* ft	/ о	• о ft \
sin — cos — cos2-------sin2--- =
24	24 I 24	24 J
те
•	/ хч	ft \	t ГЭ	ft I	• H	ft
= sin 2- — cos 2- — =sin — cos —.
\	24)	\	24 /	12	12
Применяя еще раз формулу (6.Ш.1), имеем
тс те	1 /Л	. те	те \	1	.	/Л	те
sin — cos —	= — 2	sin —	cos	— = — sin	2 •	—
12	12	2	V	12	12/	2	\	12
1	. те	1	1	л nt
= — sin — -----------— =0,25.
2	6	2	2
12
Ответ. 0,25.
Пример 6.9. Вычислить
/ I/ 3 |	( v 3 I	___
arccos I-----— I + arcsin I — I + arctg (- УЗ) ].
Решение.
Итак, исходное выражение принимает вид
12 / 5те	те	те \   12
те I 6	3	3 J	те
6
Ответ. 2.
Пример 6.10. Вычислить tga, если
О 5	/ з
cos2а=-----и ае к; — те
13 I 2
Решение. Если назвать угол 2a аргументом, то угол а следует назвать половинным аргументом. Воспользовавшись фор-
99
1	— f flr 2 q
мулой (6.VIII.2), cos2a=	5— вместо'исходного уравнения
1	+ tg2 a
будем иметь 1—tg2 a ___________________________5
1+tg2 a	13
9	3	3
Отсюда tg2a=—, t. e. tga=—-или tga =-----------— .
(3 \	3
тс; — имеем tga = — =1,5.
Ответ. 1,5.
Пример 6.11. Вычислить sin q~cos a , если tga=-?-. sin a+cos a	5
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на cos а (это можно сделать, так как cosa#=0):
sin a	cos a	2
sin a—cos a _cos a	cos a _tg a—1 _ 5 ______ 3
sin a+cos a	sin a	cos a	tg a+1	2	,	7
---- +	 * —+1 cos a	cos a-o
n	3
Ответ.-----—.
7
Пример 6.12. Вычислить sin a, если sin —cos	=1,4.
Решение. Возведем в квадрат равенство, Данное в условии:
sin-----cos — =1,42, или
2	2 /
sin2 —— 2 sin — cos — 4- cos2 — = 1,96.
2	2	2	2
Воспользовавшись формулами (6.1.1) и (6.III.1), получим 1— sin a= 1,96. Отсюда sin a=—0,96.
Ответ. —0,96.
Пример 6.13. Вычислить tg0, если tga=l и tg(a— 0) = — 2.
Решение. Воспользовавшись формулой (6.II.6)
tg(a —р)= t8a~tgP ,
V	1 + tgatgP
второе из равенств, данных в условии, можно переписать в виде tg<x-tgp =_2> или!^4^==_2>
H-tgPtgGt	I+tgP
Отсюда tgp=—3.
Ответ. —3.
96
г» Л с 1 л n	sin 20° s*n 50° sin 70°
Пример 6.14. Вычислить--------------------------.
sin 80°
Da a A Sin 20° sin 50° sin 70° sin 20° sin(90°-40°)sin(90°-20e) г с ш 6 н и e. _	=	•
sin 80°	sin(90° —10°)
Применяя формулы приведения, получим sin 20° sin(90°—40o)sin(90°—20°)	sin 20° cos 40° cos 20°
sin(90°—10°)	~ cos 10°
Применяя формулу (6.III.1), имеем
ЛЛО ЛО Л о	4- (2 sin 20° cos 20°) cos 40°	— sin 40° cos 40°
sin 20° cos 40° cos 20°	2 v 7	 2
cos 10°	cos 10°	cos 10°
Применяя еще раз формулу (6.Ш.1), а затем формулу приведения, окончательно получим 1	1	1
•— sin 40 cos 40°	(2 sin 40° cos 40°)	— sin 80°
2	4	4
cos 10°	cos 10°	cos 10°
_ 1 ' sin(90u—10°) = 1 . cos 10° =q 25 4 cos 10°	4 cos 10°
Ответ. 0,25.
Пример 6.15. Упростить	f sin4 ——cos4 — ).
Решение. Применяя формулу разности квадратов, получим 1^2 (sin4 —— cos4 — = \	8	8 )
= ]^2 (sin2 —-------cos2 — X| f sin2 — + cos2 — 'j,
\	8	8 /\	8	8 /
Применяя формулу (6.III.2) для первой скобки и формулу (6.1.1) — для второй скобки, имеем
2
К21 — cos(2• ~) • 1 = — ]/2 cos — \	\	8 )) r 4
Ответ. —1.
Пример 6,16. Упростить cos 2y +2 sin (у+ 30°) sin (у —30°).
Решение. Применяя формулу (6.V.1), получим
cos 2у + 2 sin (у + 30°) sin (у — 30°) =
= cos 2у4-2- -у- [cos(у+ 30° —у+ 30°) — cos(y + 30°4-y —30°)] =
= cos 2у 4- cos 60°—cos 2у = 0,5.
Ответ. 0,5.
7 Заказ № 1452
97
Пример 6.17. Упростить 2cos2-^------cos а.1
Решение. Применяя формулу (6.VI.1), согласно которой
1+cos 2-
, а	\	2 / 1+cosa
COS2 -X- — -------------- = ------>
2	2	2
получим 2 cos2 —cos а=2
— cos а = 1 + cos а—cos а = 1.
Ответ. 1.
Пример 6.18. Упростить - СРЛ 2а--t
1—sin 2а	1— tg а
Решение. Упростим вначале первую дробь. Применяя в числителе формулу (6.111.2), а в знаменателе—(6.III.1), получим
£os 2а   cos2 д—sin2 а 1—sin 2а	1—2 sin acos а
Используя формулу (6.1.1), последнее выражение можно переписать в виде
<gps2 a—siq2 у  cos2 a—sin2 a
1—2 sin a cos a cos2 a+sin2 a—2 sin a cos a
Применяя формулы сокращенного умножения, получим
(cos a—sin a) (cos a+sin a) cos a+sin a (cos a—sin a)2	cos a—sin a
Упростим теперь вторую дробь. Применяя формулу (6.1.2), получим
, sin a
11	1 “i"	‘	!	\
1 + tg a _ _ cos a (cos a+sin a)cos a eqs a+sp a
1 — tg a J sin a cos a (cos a—sin a) cos a—sin a cos a
Итак, исходное выражение можно переписать в виде cos 2a  1 + tg a  cos a+sin a  cos a+sin a  q
1 — sin2 a	1 —tga	cos a—sin a	cos a—sin a
Ответ. 0.
Пример 6.19. Упростить
sin 3a cos3 a+cos 3a sin3 a sin 4a
Pemениe. Применяя формулы (6.III.4) и (6.I1I.5), получим sin 3a cos3 a+cos 3a sin3 a (3 sin a— 4 sin3 a)cos3 a+ (4 cos3a - 3 cos a)sin3 a sin 4a	sin 4a
98
3 sin a cos* 3 4 a —4 sin3 a cos3 a+4 cos3 a sin3 a— 3 cos a sin3 a sin 4g
3 sin g cos о (cos2 g—sin2 g) sin 4g
Применяя формулы (6.III.1) и
3 sin a cos a(cos2 a—sin2 a) sin 4a
3_
sin 4a	2
___ 3 sin 4a _
4 sin 4a
3 sin 2a cos 2a
2
(6.III.2), окончательно имеем
3
— 2 sin a cos a cos 2g
sin 4a
-2sin 2a cos 2a
sin 4a
— =0,75.
4
Ответ. 0,75.
Пример 6.20. Упростить cos2(a+p)+cos2(a —p)	.
2 sin2 a sin2 В
Решение. Применяя формулы (6.II.3) и (6.II.4), получим cos2(a+P)+cos2(a—р) _	*	_
2 sin2 a sin2 0
__ (cos a cos fl —sin a sin P)2+ (cos a cosfl+sin a sin fl)2	, 2	fcr2ft = 2 sin2 a sin2 P	C g aC g P =
e cos2 a cos2 P—2 cos a cos ft sin q sin P+sin2 a sin2 p .
2 sin2 a sin2 p
। cos2 a cos2 p+2 $i-n a sin p cos a cos p + sin2 a sin2 p _	2 a c|g2 p я
2 sin2 a sin2 P
2 cos2 a cos2 P +2 sin2 a sin2 p , -	, , o
--------------5------------c—etg2 a etg2 p.
2 sin2 g sin2P
Произведя почленное деление в первой дроби, получим
cos8gcos2p +1 — ctg2actg2p.
sin2 a sin2 0
Применяя формулу (6.1.3), окончательно имеем
cos geos g | _c^g2 a 2 p__cjg2 a ctg2 p1 _c|g2 a ctg2 p = 1, sin2 д sin2 P
Ответ. 1.
Пример 6.21. Найти период функции f/=cosxcos 6х.
Решение. Воспользовавшись формулой (6.V.2), получим
# = cosxcos 6х=— [cos(x—6х) 4- cos (х4- 6г)] = cos 5x4--^-cos 7х.
2	2
99
Период функции y=cos5x равен Т\=— . Период функции 5
f/ = cos7x равен Т2= у-.
Наименьшее число, при делении которого на 1\= и
5
Т2= -у~ получаются целые числа, есть число 2л. Следовательно, период заданной функции равен Т=2л.
Ответ. 2л.
Пример 6.22. Найти период функции у=3 sin(x — 2) + + 7 cos лх.
Решение. Период функции у = 3 sin (х—2) равен Т\ = ==2л. Период функции t/ = 7cosrcx равен 72=-^-=2.
1	л
Периода у функции t/ = 3 sin (х — 2) 4-7cosлх не существует, так как такого числа, при делении которого на 2л и на 2 получались бы целые числа, нет.
Ответ. Не существует.
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти радианные меры углов, заданных в градусах:
6А.001.	60°.	6А.002.	90°.	6А.003.	45°.
6А.004.	135°.	6А.005.	360°.
Найти градусные меры углов, заданных в радианах:
6А.006.	—.	6А.007.	— .	6А.008.	— те.
4	3	3
6А.009. —те. 6А.010. 6п. 2
Вычислить значения тригонометрических выражений:
6А.011. sin 930°.	6А.012. sin—.
2
6А.013. cos( —600°).	6А.014. tg(-765°).
6A.015. cig*—л.	6A.016. sin 75°sin 15°.
6A.017. — ctg 135° sin 210°cos 225°. 6A.018. 2sin — +tg —.
/2	6	4
6A.019. cos л~ 2 sin —-.	6A.020. cos ——sin — л.
6	2	2
100
6A.021.	. те	2те	. те sin — +cos— +tg- . 6	3	4	6A.022.	cos 105°+cos 75°.
6A.023.	arcsin 1.	6A.024.	arcsin ( — 1).
6A.025.	1 arccos , 2	6A.026.	/ 1 \ arccos 	. \ 2 /
6A.027.	arctgy.	6A.028.	arctg( —УЗ).
6A.029.	cos(2 arctgf — 1)).	6A.030.	/	. /	/3 cos arcsin	 I	\	2
6A.036.
6A.037.
6A.038.
6A.039.
6А.031. Вычислить tg а, если cosa= —и 0<а< 5	2
5 к
6А.032. Вычислить tga, если sina= и <а<л.
1 о Z
6А.033. Найти значение tga, если a =135°.
6А.034. Найти значение cos а, если а= —.
5
6А.035. Вычислить cos 2а, если sina= —.
13
Упростить:
10 sin 40° sin 50° cos 10° tgl5°-tg60° 1 + tg 15°tg60°’
sin2 a 4- cos (60°+a) cos (60°—a).
2 sin2 a-1	6A Q4Q (sin a+cos a)2
1—2 cos2 a’	l + sin2a
Группа Б
Вычислить значения тригонометрических выражений:
6Б.001. tg2a, если tga=—.
3
6Б.002. sin2 а, если cos 2a = —.
4
6Б.003. tga, если tg(-j—a)=—2.
6Б.004. ctg a, если sin a = 0,8 и as ^0; —j.
лле 2 sin a+sin 2a	1
6Б.005.	, если cosa=—.
2 sin a—sin 2a	5
10!
6Б.006. sin2а, если tga = 2.
6Б.007. 	, если tg — =2.
2—5 cos a	2
6Б.008. tg(a + 45°), если tga = 3.
6Б.009. cos —, если tga—	и л<а< — 2	7	2
6Б.010. 27-”_2а , если ctga= — 2]/2.
V‘2
6Б.011. etg а, если etg=2.
12	»
6Б.012. tga, если cosa=-jy, если а находится в четвертой четверти.
6Б.013. etg а—2 etg 2а, если tga = 5.
6Б.014, |tga|, если cosa=—
J<26
селит sin2 а—3 cos2 а	, а
6Б.015. ------------, если tga = 3.
2 sin2 a+cos2 а
6Б.016. tg2a + ctg2a, если tga + ctga = 2.
6Б.017. tg0, если tg(a + p) = —1 и tga = 3.
6Б.018. sin 2a, если sin a+cos a=.
2
6Б.019.	cos2 а, если tga=V3.
6Б.020.	2 sin(2a+3?i), если tga=—
6Б.021.	1 —sin (2x+1,5л)	л 	1, если X——,
	sin (л—Зх)—sin(—x)	6
6Б.022.	sinx+cosxl	.	Л .		({у л \ 	 , если sinxcosx=0,4 и хе|0; — .
	sin x—cos x |	\	2 )
6Б.023.	tgx, если sin(x + 30°)+sin (x—30°) =2^3 cos x.
6Б.024.	sin a—sin P	л 	7-, если a— p= ~ •
	cos a+cos P	2
6Б.025.	sin^a-cos^a, ecJ]H a=	.
	V*3 cos 2a
6Б.026.	tg 	2x^ , если tgx=2.
6Б.027.	sin4 a—cos4 а, если	=
6Б.028.	tgi+ctg+-
102
6Б.029. sin2 7°30' sin 45°-cos 45° cos2 52°30'.
6Б.030. tg2 -у л + ctg (— 7,25л) 4- 4 cos2 (-y *
(jg 031 cos 70° cos 10°+cos 80° cos 20° cos 68° cos 8°+cos 82° cos 22°
6Б.032. sin 10° sin 50° sin 70°.
6Б.033. tg(-750°)ctg — л.
6
6Б.034.
6Б.035.
tg 2arctg —	+ —
\	\ О / О t
sin 9Г—sin 1°____
9V2 cos 46°+	2 sin 44°
6Б.036. sin4 a+cos2 a+sin2 a cos2 a.
6Б.037. 6 cos 80°-----.
2 cos 50°
6Б.038. 12°sg+sina.)i.
(7C	\
—— —a 4	/
6Б.039. ct?-a-~tg-^- . _L_ .
tga + ctga cos 2a
6Б.040. -os2 37°~sin2 23° .
cos 14°
Упростить:
6Б.041. -tgq+<8£45°-?>., 1 —tg a tg(45°—a)
6Б.042. cos2 2a+ 4 sin2 a cos2 a.
6Б 043 (s*n 1Q°+sin 80°) (cos 8Q°—cos 10°) sin 70°
6Б.044. -----!-----ctg2 2a.
cos~2 2a—1
6Б.045. (sin acos p + cos a sin p)2+ (cos acos p — sin a sin p)2.
6Б.046. 4 sin(15° + a)cos(15° —a) —2 sin 2a.
(it \	/ 2ic \
a 4---1 cos I a4---1 +cos 3a.
3 /	8 /
6Б.048. —!------1---!----.
1 + tg2 a l + ctg2a
6Б 049 sin 3a  cos 3a sin a	cos a
103
6Б.050.
6Б.051.
6 Б.052.
6Б.053.
6Б.054.
6Б.055.
6Б.056.
6Б.057.
6 Б.058.
6Б.059.
6Б.060.
6Б.061.
6Б.062.
6Б.063.
sin ct—2 sin 2a+sin 3a cos a—2 cos 2a+cos 3a
tg a ctg2 a— 1
1— tg2 a	ctg a
— tg2a.
+a)+tgla--^-
tg 2a
(tga+tg p)ctg(a+0) + (tg a-tg p)ctg(a-₽).
1	+ tg p  1 + sin 2fl
1—tg P	cos2p
2	cos2 2g —cos 4£.
2 cos2 a— 1	cos a—sin a 4 tg a
1—2 sin a cos a cos a+sin a 1 — tg2 a (gin a—sin P)2+ (cos a—cos p)2
sin3 a+sin 3a j cos3 a—cos 3a sin a	cos a
ctg2(a—2л)
sin2 (—a)
/ 3л ctg2 ^a- —
sin2 —-
—*-+ те
sin2 ~
6
те cos2~
D
те
sin2 —T'
4
те
a f	a
cos sin a + sin —
a	a f	a \
sin — cos —— I 1+cos a+cos —
4	4 \	2 /
104
6Б.064.
6 Б. О 65.
tg 2a tg a	r.
—-------—, если a= — .
tg2a—tga	Г2
I — 2 cos2 a
6Б.066.
6Б.067.
6Б.068.
(те \ /те \ a———sin2l “T- +a
4 /  \ 4	/
1—cos 4a . 1+cos 4a cos-2 2a— 1 sin-2 2a— 1
(3 \	/	8 \
2a----к I d-cos (2a--к I d-cos
2 )	\	3 )
(I + tg a) cos a
6Б.069.
6Б.070.
6Б.071.
6Б.072.
6Б.073
2J/”2 sin |-т- 4-а j \ 4	/
2(1 +sin 2а —cos 2а) sin а (sin а+cos а)
sin 2а—2 sin а . . 9 а -------------F tgz — . sin2a+2sina 2
4 sin (30°+a) cos a—2 cos (60°—2a).
ad—•- I sin I ad---—sin 3a.
3 )	\	3 /
(1 —tg a)2+(1+tg a)2——.
cos2 a
6Б.074.
2 cos2 а— 1
6Б.075.
те — —a
4
tga+ctga+ —1
sin 2a
1
(те	\
~т~ — a I sin2 4	/
C0S\~2' ~^a)
6Б.076. cos2ad-cos2 p — cos (ad-p)cos (a — p).
6Б.077. tgatgpd- (tgad-tg p)ctg(ad-p).
6Б.078. 8 cos4 x—4 cos 2x — cos 4x.
6Б.079.
I — sin* x—cos 4x
6Б.080. cos2ad-cos2 (— d-a^l d-cos2 (——a \ 3	/ к 3
6Б.081. tg (— +<d \ 4	/
6Б 082. ^a-cos^a sin a—cos a
во второй четверти.
— а к если
co—a —---2 tg a ctg а, если а находится
105
6Б.083. cos2 a —2 cos a cos (5 cos(a+ 0) + cos2(a+0) — sin2 0.
6Б.084. 3 (sin4 a + cos4 a) - 2 (sin6 a+cos6 a).
3 etg -y
6Б.085. --------------’
(sin a)-1^- (tg a)-1
Найти период каждой из функций:
6Б.086. r/=6 sin(0,25nx).
(ч	\
— х —18° .
2	/
6Б.088. t/ = 7sin ——2cos(—*+	•
2	\ 5	2 /
6Б.089. t/ = sin 2х—2tg (х—у) .
6Б.090. t/ = sin +tg . у 6	30
6Б.091. t/ = cos лх+sin 2х.
6Б.092. f/ = sin -у- +lg
6Б.093. j/ = tg2x+ctg3x+cos 5х.
6Б.094. t/ = sin (---") + 5tg(3x— — V
\ 2	2 /	\	6 /
6Б.095, r/ = tg — + sin 2лх. 3
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sinx=a (где |a|	1), cosx=a (где |a|	1),
tgx = a (где —oo<a<oo), ctgx=a (где —оо<а<оо). Решения этих уравнений имеют следующий вид:
sinx=a, х= ( — l)narcsin a + л/г, nsZ;
cosx=a, х= ±arccos а + 2ля, nsZ; tgx=a, x=arctg а + лп, neZ; ctgx = a, x = arcctga+л«, «eZ; Z — множество целых чисел.
Решения простейших тригонометрических уравнений при а=0 и а=±1 целесообразно запомнить:
sinx=0, х=лп, neZ;
sinx=l, х= +2лп, »eZ;
100
sinx= — 1, x=—+2nn, «eZ;
cosx=0, x= — Ч-зг/г, neZ;
2
cosx=l, х=2л/г, weZ;
cosx= —1, х=л+2лп, nsZ; tgx=O, x=nn, n^Z.
Пример 6.23. Решить уравнение sin(15°+x) +sin(45°—x) = 1.
Решение. Преобразуем сумму синусов в произведение (см. формулу (6.1 V. 1)):
о . 15°+х+45°-х	15°+х-45°+х ,
2 sin---------cos---------- = 1,
2	2
2 sin 30° cos (x—15°) = 1,
2- _L Cos(x—15°) = 1, cos(x—15°) = 1, x- 15°=360°n, neZ, x=15°+360°n, tu=Z.
Ответ. x= 15°+3604 neZ.
Пример 6.24. Решить уравнение
1-0 I . x	X \2
1 —sin3x= sin----cos— .
\	2	2 /
Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения, при* меняя формулу квадрата разности:
.	. о . ъ X Л . X	х	9 х
1 —sin 3x«sin2---2 sin — cos —- +cos2— .
2	2	2	2
Применяя формулы (6.1.1) и (6.III.1), получим
1	— sin Зх= 1 — sin х, sinх—sin Зх₽О.
Применяя формулу (6.1 V.2), имеем .2 sin-------------------cos —— =0,
2	2
— 2 sin х cos 2x=0.
Отсюда sinx=0 или cos2x=0. Имеем два решения
Х1 = л?2, neZ или 2*2=+лА /eeZ,
Хг= ——h	, k^Z.
4	2
Ответ. Х1=лп, «eZ; х2= — + — , k^Z. 4	2
107
Пример 6.25. Решить уравнение sin Зх+sin х = sin 2х.
Решение. Применяя формулу (6.IV.1), получим
2 sin 2х cos х = sin 2х,
2 sin 2х cos х—sin 2х=0, sin 2х(2 cosx— 1) =0.
Отсюда sin2x=0 или 2 cos х— 1=0. Имеем два решения
2х1 = лл, «eZ, xi= — , neZ; cos*2= —; х2 = ±arccos 2	2	2
4-2лА, k^Z.
Ответ. Xi = — , meZ; х2=± — 4-2л&, k^Z. 2	3
Пример 6.26. Решить уравнение sin4x = cos(180°—2х) и указать его решения, входящие в [ — 30°; 0°].
Решение. Воспользуемся формулой приведения, тогда sin 4х = — cos 2х.
Применяя формулу (6.III.1), имеем
2 sin 2х cos 2x4-cos 2х=0,
cos 2х(2 sin 2x4-1) =0.
Отсюда cos2x = 0 или 2 sin 2x4-1=0. Имеем два решения
2Xj =— 4-л«, »eZ, xi= —Н- —, neZ;
2	4	2
sin 2х2=----,
2
2x2=(-l)ft+iy 4-лЛ,
k<=Z,

Теперь из этих решений предстоит выбрать те, которые лежат в заданном промежутке. Найдем значения Xi и х2 при и = 0, ± 1 и /г = 0, ±1:
n = 0;	Xi = 45°;	/е = 0;	х2= —15°;
и = — 1;	х1 = -45°;	Л=-1;	х2=-75°;
л=1;	х, = 135°;	^=1;	х2=105°.
На промежутке [ — 30°; 0°] имеется лишь один корень исходного уравнения х= —15°.
Ответ. х = —15°.
108
Пример 6.27. Решить уравнение
sin х sin 3x4-sin 4xsin 8x = 0.
Решение. Применяя формулу (6.V.1), получим
[cos(x—Зх) — cos(x4-3x)] + -i- [cos(4x—8х) — cos (4x4-8х)] =0.
Умножим обе части уравнения на 2:
cos 2х—cos 4х 4- cos 4х — cos 12х = 0, cos 2х—cos 12х = 0.
Используя формулу (6. IV.4), имеем о . 2х—12х . 2х+12х п п • „ с.,	п
— 2sin-----sin -------=0. 2 sin ox sin 7x=0.
2	2
Отсюда sin5x=0 или sin7x=0. Имеем два решения
Ьх{ = лп, «eZ, Х\= —, neZ;
5
7x2 = Ttkt k<=Z, x2=	, keZ.
Ответ. Xi=-^-, n^Z; x2 = —, k^Z. 5	7
Пример 6.28. Решить уравнение 2cos2x4-5sinx—4 = 0.
Решение. Используя формулу (6.1.1), получим
2(1 —sin2 х) 4-5 sin х—4 = 0, 2 — 2 sin2x4-5 sin x— 4 = 0.
Обозначая sinx=a, получим квадратное уравнение 2a2 — 5я-|-4-2 = 0, откуда	а2=2.
Переходя к переменной х, имеем два уравнения sinxi=-^-и sinx2=2. Решения этих уравнений Xi= (— l)narcsin -i—}-пп, n^Z\ x2e0,
Ответ. х= (— 1)п — 4-яп, nsZ. 6
Пример 6.29. Решить уравнение sin2x—2 sin xcosx=3cos2x.
Решение. sin2x—2sinxcosх—3cos2x=0. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на cos2x. Это можно сделать, так как множество значений х, удовлетворяющих уравнению cosx=0, не является решением данного уравнения:
sin2 х _ 2 sin х cos х  cos2 х = g
COS2 X	COS2 X	COS2 X
109
tg2x—2 tgx —3 = 0.
Полагая tgx«=a, имеем a2 —2a —3=0, откуда ai= — 1; a2=3.
Таким образом, tgxi = — 1 или tgx2 = 3. Решения этих уравнений имеют вид Xi = arctg( — 1) 4-ли, nsZ, или Xi='—~ 4-ли, rc<=Z; x2 = arctg 34-л&, k^Z,
Ответ. Xi = —4-ли, neZ; x2 = arctg34-л£, &<=Z.
Пример 6.30. Решить уравнение
sin2 2x4-sin2 3x4-sin2 4x4-sin2 5х=2.
Решение. Применяя формулу (6.IV. 1), получим
1	— cos 4х j 1 — cos 6х _д_ 1 — cos 8х , 1—cos 10х _
2	2	"*	2	2	~ ’
1	—cos 4x4-1 — cos вх+1 — cos 8x4-1 — cos 10х=4, cos 4х+cos 6x4-cos 8x4-cos 10x=0.
Применяя формулу (6.1 V.3), имеем п 4х+6х	4х—6х , о 8х+10х	8х— 10х А
2	cos ---cos---------h2 cos —-— cos-------=0,
2	2	2	2
2 cos 5x cos x 4- 2 cos 9x cos x=0,
2 cos x (cos 5x4-cos 9x) =0, Возможны два случая cosxj=0 или cos 5x4-cos 9x=0. Из первого уравнения Х1=-^-4-ли, neZ.
Для решения второго уравнения вновь применим формулу (6.IV.3):
о л 5х+9х	5х-9х л
2 cos-----cos------= О,
2	2
2 cos7x cos 2х=0.
Уравнение имеет два решения cos7x2=0 или cos2x3 = 0: 7х,= -2- +nk, 6<sZ, х2= —+ —, ftsZ;
2	14	7
2x3=4+nZ, ZeZ, Хз=Л-+Л'_| /eZ.
2	4	2
Ответ. X1 = — 4-лп, neZ; x2= — 4- —, k^Z\ x3 = 2	14	7
4- — , ZeZ.
2
110
Пример 6.31. Решить уравнение 2cos2x+2tg2x = 5>
Решение. Применяя формулу (6.VIII.2), получим
2	+2tg2x=5.
1+tg2*	6
Полагая tg2x=fl, причем а^О, имеем
2 I 2а б —0	Г 2 —2'0+(2я —5) (1 Ч-я) =0,
Решая квадратное уравнение, получим fli = 3; а2 =-
корень не подходит).
Таким образом, tg2x = 3. Имеем два решения tg %i=]/3, xt= — +ли, или
3
tg*2= —X2=--^- + лА О
Ответ. %i= — +ли, «eZ; х2=*----— +л£, feeZ.
3	3
Пример 6.32. Решить уравнение  х ==0.
1 —cos X
Решение. Исходное уравнение эквивалентно системе
f sinx=0,	х=лп, n^L,
{	откуда
I 1—cosx^=0,	х=#2л&, ZeeZ.
При n = 2k получаем, что ли = 2лЛ.
Таким образом, подходят только п=«2/г + 1; х=л(2#4-П=* = л+2л£, /?eZ.
Ответ. х=л-|-2л6, &eZ.
ЗАДАЧИ
Группа А
Решить уравнения и найти корни, расположенные на заданных промежутках. Ответ привести в градусах:
6А.041. sin2x=-j-Ha (30°; 90°).
6А.042. cos 4- =- 4-на [-360°; О’).
6А.043. tg (х-	на (0°; 180’].
6А.044. sin (—— 2х 'l =-------— иа
\ 3	)	2
[О’;
90°].
lit
6А.045. sin(x——Vos (7x4-	=0 на [55°; 65°].
\ з /	\	6 /
6A.046. cos2x4-3cosx=0 на [0°; 90°].
6A.047. cos x=sin 2xcos x на [0°; 60°].
6A.048. cosxsinx= -i- на [0°; 45°].
6A.049. sin3x4-sinx=2sin2x на [90°; 180°].
6A.050. 2sin23x4-5sin3x=0 на [90°; 180°].
l/o
6A.051, sin x cos 2x4-cos xsin2x= на (20°; 70°) <
6A.052. 2 sin2 2x—1 = 0 на (0°; 45°). i/b
6A.053. sinnx=-^~Ha (0,5; 1).
6A.054. sinx=sin3x на (0°; 90°).
6A.055. sin 2x= (cos x—sin x)2 на (0°; 45°).
Группа Б
Решить уравнения и найти корни, расположенные на заданных промежутках. Ответ привести в градусах:
6Б.096. ctg5x=ctg2x на (0°; 90°).
6Б.097. 24-sinхcosх=2sinx4-cosх на (0°; 180°).
6Б.098. cos 6x4- sin2 Зх=0 на (90°; 180°).
6Б.099. 2sin(x4- -^-^sin	----4~)=^ на
6Б.100. 3cos2x4-5sin2x=3,5 на (-90°; 0°).
6Б.101. sin2 (180° 4-х:) - sin х-2=0 на [-180°; 0°).
6Б.102. - cosx =2 на (-90°; 180°]. sin —
6Б.103. —g3x =1 на [0°; 10’1.
1-tg3x	L J
6Б.104. tg2x = tgx на [O’; 45’).
6Б.105. cos 7x=cos 5x4-sin x на ( — 20°; 0°)<
6Б.106. cos4x—sin4x = 0 на (0°; 90°).
6Б.107. y3sinx=cosx на (180°; 270°).
6Б.108. 2 sin2x- V3"sin 2x=0 (на 0°; 90°).
Л2
6Б.109. tg2x—ctg3x = 0 на (0°; 50°).
6Б.110. sin4x—cos4x=на [ — 60°; 0°].
6Б.111. cos 2x4-sin x на [ — 60°; 0°].
6Б.112. sin(x4- —4-cos(x4-	=0 на Г —90°; 0°].
6Б.113. sin (x+ — = sin(x-—} на [0°; 180°].
6Б.114. 2tg(—-4+tgl'—+4=1 на (0°; 180’1. \ 4	/	\ 4	/
6Б.115. sin4x=sin3x на [340°; 370°].
6Б.116. 14-cos x — 2 cos ~ =0 на [0°; 90°].
6Б.117. cos2(n—x) 4-8 cos(л4-х) =0 на [90°; 270°].
6Б.118. sin 5xcos Зх—sin 8xcos 6x=0 на [60°; 65°].
6Б.119. cos2x—2sin2x=—3 на [0°$ 180°].
6Б.120. cos2x — 3cosxsinx4-l=0 на [30°; 45°].
6Б.121. cos2x—1 =cos(90°—x) на [-90°; -45°].
6Б.122. tg3x4-tg2x—3 tgx —3 = 0 на (-60°; 0°).
6Б.123. cosx=y2sin2x на [0°; 60°].
6Б.124. cos2xsinx=cos 2x на (90°; 180°).
6Б.125. 1 —cosx=sinна [O’; 90’].
6Б.126. tgx—tg2x=0 на [O’; 180’].
6Б.127. sin +4 + ctg(2n—x) =0 на (180°; 360’).
6Б.128. sin3x=sin2x+sinx на (90°; 180’).
6Б.129. 4 sin2x+4 sin x-3-0 на (90°; 180’).
6Б.130. sin(x+45’)sin(x-15’) = -|-на ( — 60’; -90°).
6Б.131. sinxsin(x+60’)sin(x+120’) = — на (O’; 90°). 4
6Б.132. sin 2x4-cos 2x=]/2 sin Зх на [45°; 60°].
6Б.133. tg2x4-3ctg2x=4 на (120°; 180°).
6Б.134. cos (-5- 4-x 'j sin —x'l =0,75 на [ — 45°; 0°]. \ 4	/	\ 4	/
6Б.135. sin4 x—cos4 x = sin 2x на [0°; 90°].
8 Заказ № 1452
113
6Б. 136. tg3x=tg’x на (135°; 180°].
6Б.137. V3tg2(x+40’)-ctg(50°-x) на (-60°; -10°).
6Б.138. -os* -0 на [-90°; 180°). 14-sinx	v
6Б. 139. sinx4-cosx=l на ( — 360°; 0°).
6Б.140. tgxcosx4-tgx=cosx4-1 на [0°; 45°].
6Б.141. sin3 х—cos3 x=sin2x—cos2 х на (0°; 90°) <
6Б.142. — sin2x4-cos2х»cos 4-на (180°; 270°).
6Б.143. sin2x+sin22x=sin23x на (0°; 45°) <
6Б.144. ctgx+ -2 на (90°i 180’]. 14-cos X
6Б.145. /2 sin ^- + l=cosx na [-90°; 0°).
6Б.146. sin4x+cos4x = sin42x + cos42x на ( — 60°; 0°).
6Б.147. У 2 sin 10x4-sin 2x = cos 2x на (0°; 40°).
6Б.148. tg2xcos3x4-sin3x+y2sin 5x = 0 на (30°; 40°).
6Б.149. (14-cos 4x)sin 2x=cos2 2x на (30°; 90°).
6Б.150. sin x 4-sin 2x4-sin 3x= 1 4-cos x 4-cos 2x на (90°; 150°).
6Б.151. 2sin5xcos6x4-sinx = sin7xcos4x на [40°; 45°].
6Б.152.	----sin —на [180°; 360’].
1 +cos x 2
6Б.163. sin x4-cos x ctg	=-— УЗ на [ — 180°; 0°].
6Б.154. cos 3x=2sin 4-х^на (-90°; 0°). \ 2	/
6Б.156. — tg2x-К-1 ~c°s2* + А =o на [-45°; 0’]. 6	cos X	6
6Б.156. 4sinxsin2xsin3x = sin4x на (0°; 30°).
6Б.137. sin(-?-4-xWcos(-5-4-x4-cos2x4-1=0 на. ( — 180°; 0°).
\ 6	)	\ 3 j
6Б.158. —tg* =l+sin2x на (-90°; 0°). 1-tgx
6Б.159. sinx(l4-cosx) = 14-cos x 4-cos2 x на (0°; 180°).
6Б.160. Найти в градусах наименьший положительный корень уравнения cos8x= 1 — 3cos4x.
6Б.161. Найти в градусах наибольший отрицательный корень уравнения sin2x—sin 2х —2cos2x=0.
114
Решить уравнения и указать количество различных корней, находящихся на заданных промежутках:
6Б.162. coj^* „ = 2(sin~2 2х—1) на [0°; 180°].
6Б.163. cosfx----—=sin f 2x4- — на ( — 90°; 0°).
\	3 /	\	2 )	1
6Б.164. 3sin2(270°4-x)=sin2(180o4-x)+sin(180°-2x)
на [-180°; 180°].
6Б.165. (sin х 4-cos х)4 4- (sinx—cosx)4=4 — 2sin22x на [0°;180°].
6Б.166. 24-2cos(180°—2х) =УЗtgx на [0°; 180°].
6Б.167. cos(^ — 2х) 4-sin (л 4-Зх) 4-sin 8x=cos (-|-'ге4-7х^на [0; л].
Решить уравнения и найти корни, расположенные на заданных промежутках. Ответ привести в градусах:
6Б.168. tg2x=2tgx на [0°; 45е].
6Б.169. sin 6x4-cos 4х=0 на (50°; 90°).
6Б.170. cos(70°4-x)cos(20°-х) =0,5 на (0°; 180°).
6Б.171. sinx4-sin(180°4-3x) -cos(90°-5х) 4-sin7х на (0°; 60°).
6 Б. 172. £2s(?7()O+2x)sin(1^QO+x) =i на (Q°j 90°).
cos(180°4-x)
§ 7. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
(С)'-0.	(7.1)
\kx-\-b)'—k.	(7.2)
(хп)'=nxn~i.	'(7.3)
(е»)'з=ех.	(7.4)
(ах)' = а*1па.	(7-5)
(Inx)' =	.(7.6)
(lOgaX)'- ‘	.	(7.7)
х In а	
(sin x)'=cos х.	(7.8)
(cosx)'= —sin x.	(7.9)
	(7.Ю)
COS2 X	
(etg*)'	. ‘ . sin2 X	17.11)
115
8*
(arcsin х)' = —-Lг .	(7.12)
1—X2
(arccos x)'=----——.	(	(7.13)
V1— хг
(arctgx)'= —.	(7.14)
1+x2
(arcctgx)'=-----!—.	(7.15)
1+x2
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть С — постоянная; w, v — функции. Тогда (Си)' = Си'.	(7.16)
(u + v)' = u' + v'.	(7.17)
(uv)'=u'v + uv'.	(7.18)
=	(7)9)
(7-20)
где ф(Пх))—сложная функция. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) имеет вид
У-УоЧ'М (х-х0),	(7.21)
где (х0; Уо)— точка касания; /' (х0) — угловой коэффициент касательной (или тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох).
Пример 7.1. Найти производную функции f(x)=5x7.
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования (7.16), получим f'(x) = (5х7)' = 5(х7)'.
Используя формулу (7.3), имеем f'(x) = 5(x7), = 5-7x7-1 = 35xfl.
Ответ. f'(x) =35х6.
Пример 7.2. Вычислить значение производной функции г/ \ Зх2—х+7	।
2х+5 116
Решение. 1) Полагая и = 3х2 —х+7, а о=2х+5, имеем / (х) - -И-.
V
Производная функции такого вида может быть взята по правилу дифференцирования (7,19):
f'(x) = (—\ = -v~uv'.
\ V /	V2
Вычислим отдельно производные функций и и о:
м'= (Зх2—х+7)'=3-2х—1 =6х—1; и'=(2х+5)'=2.
Подставляя найденные выражения в последнюю дробь, имеем f = (6х—1) (2х+5) — (Зх2 —х+7)-2 ==
1	'	(2х+5)2
12х2—2х+30х—5—6х2+2х—14	6х2+30х—19
=	(2х+5)2	=	(2х+5)2
2	) Найдем значение производной при х=1;
6» 14-30-1 —19 = 17
Н1) - (2.1+5)2	49 ’
о	17
Ответ. —.
49
Пример 7.3. Вычислить значение производной функции f(x) =узsinx + cos —---------—х2 при х= — .
3 тс	6
Решение. 1) Воспользуемся правилом дифференцирования (7.17), получим
Г(х) = (V3 sin x+cos —----— х2>) = (V3sinx)'+
\	3 ТС /
+ /	\	/ 3 п\
cos — — — X2] . \	3 / 7С )
Применяя формулы (7.16), (7.8), (7.1) и (7.3), имеем
f' (х) =]/3cosx+0---— 2x=]/3cosx----— х.
я	тс
2) Вычислим значение производной в точке х= — :
6
Г Ш = /-3 cos JL _ _L . JL = уз . Y1 _ 1 _ JL.
{ 6 J	6 те 6	2	2
117
Пример 7.4. Найти точки экстремума функции
fW=y-*4-5-
Решение. Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти производную f'(x) и найти значения х, в кото-
рых она равна нулю:
1)	-*4-5
\ 5
— х4—4х3—0 = х4— 4х3. 5
2) х4— 4х3=0, х3(х—4)=0.
Полученное уравнение имеет два корня Xi=0 и х2=4. Это и есть точки экстремума. Определим знак производной справа и слева от точки Xi=0. Для этого вычислим: f(-l) = (-l)3X Х( — 1 — 4) =5; f'(l) = (I)3- (1 — 4) = — 3. Следовательно, при переходе через точку xt = 0 знак производной меняется с « + » на « —», т. е. точка хг=0— точка максимума. Проведя такой же анализ для х2=4, легко убедиться, что это точка минимума.
Ответ. Хтят = 0: Xmln = 4.
Пример 7.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = —--2x4-— на отрезке [—1; 2].
Решение. Функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения на отрезке либо в точках экстремума, либо на концах этого отрезка.
1)	Найдем значение функции на концах отрезка [—1; 2]: f(-i) = (yi!-2(-i)+ у = Т+2+Т =4;
f(2) = —-2-2+ — = 8 — 4+ — = 4-' v '	2	2	2	2
2)	Далее, найдем производную данной функции и приравняем ее нулю:
f(x) = ^-2x+	=	— 2 = 2х3—2,
2х3—2=0, х3—1 = 0, х=1.
3)	Вычислим значение заданной функции в этой точке х=1:
f(l) = — -2-1 + — = — -2+ — =0. v ’	2	2	2	2
Наибольшее значение функции равно -~ при х=2, а наименьшее равно 0 при х= 1 (на [—1; 2]).
Ответ! fmax= > /т1п = 0.
118
Пример 7.6. Число 86 представлено в виде суммы двух слагаемых так, что их произведение максимально. Найти эти слагаемые.
Решение. Пусть заданное число представлено в виде суммы двух слагаемых х и у, т. е.
86 = х + г/.	(*)
По условию задачи произведение этих слагаемых ху должно быть максимально. Обозначим g(x; у)=ху и будем искать максимум функции g(x', у). Эта функция зависит от двух переменных х и у, однако, используя соотношение (*), ее можно представить в виде функции лишь от одной переменной х:
g(x; У) =х-у = х(86~х) = 86х—х2 = [(х).
Теперь легко найти значение х, при котором функция f(x) достигает максимума. Найдем производную f'(x) и приравняем ее нулю:
Г(х) = (86х—х2)' = 86—2х=2(43 —х),
2(43—х)=0, х = 43.
Определим второе слагаемое: // = 86—х = 86—43 = 43.
Ответ. х = 43; // = 43.
Пример 7.7. Составить уравнение касательной к графику
Зх*+ 2
функции f(x)= ------ в точке его пересечения с осью ординат.
х— 1
Решение. 1) Уравнение касательной согласно формуле (7.21) записывается в виде у — уо=Г(Хо)(х—Хо), где (х0; yQ) — точка касания. Абсцисса xQ точки пересечения графика заданной функции с осью Оу равна 0, а ордината t/o=f(O)“
3 • О2 + 2
=-------=—2. Таким образом, точка касания (0; —2).
2)	Найдем производную заданной функции в точке х0. Используя правило дифференцирования (7.19) и формулу (7.3), получим
f' (Х) = ( Зх2 + 2 у = (Зх2+2)'(х-1)-(Зх2+2) (х-1)' =
\ Х-1 )	(х— I)2
== 3-2х(х—1) -(Зх2+2)-1 = 6х(х—1)—Зх2—2 = Зх2-6х-2
—	(х-1)2	=	(х-1)2	(х-1)2
3)	В точке Хо=О имеем
f' (0) = Т02-б-0-2 = _2
' v ’	(0-1)2
4)	Искомое уравнение касательной имеет вид
у— ( — 2) = — 2(х—0), или // + 2 = —2х, у= —2х — 2.
Ответ. у— — 2х—2.
119
ЗАДАЧИ
Группа А
Найти значения производных функций при заданных значениях аргумента:
7А.001. f(x) = 4х34-6х4-3, х0=1.
7А.002. f(х) = 7х2—56x4-8, х0 = 4.
7А.003. /(*) = — х3- —х2-2х+3, х0=3.
3	2
7А.004. f(x)=yx—16х, х0=
7А.005. f(x)=x2-4Vx, х0=4.
7А.006. f(x)= _хо=О.
7А.007. /(х)=	хо=О.
х24-4
7А.008. f(x) =	, х0=1.
Vx
„	5—2 V~x ,
7А.009. f(x) = '	*о=1-
'' ’	IVх-1
7A.010. f(x) =3sinx+2, x0 =	.
О
7A.011. f(x) =»xsin x, x0= -y.
7A.012. f(x) =sinx4-cosx, xo = O.
7A.013. f(x) ==2xcosx, xo=O.
7A.014. f(x) =2tgx—sinx, xo=0.
7A.015. f(x) =cosx4-3ctgx, x0=	.
7A.016. f(x)=xsinx, x0=^-.
7A.017. f(x) = -co—, x0 = O.
1—X
7A.018. f(x)“Sin2x, x0=
7A.019. f (x) =2x4-cos2x, x0=	.
7A.020. f(x)=3xtgx, xo=O.
120
7А.021. f(x)=2«, x0=log4—k \ In 2/
7А.022. f(x)=e*4-5, x0=ln3.
7А.023. f(x)=3«-91n3x, х0=2.
7А.024. f (х) =2е®4-3х, х0 = 1п2.
7А.025. f(x) =3х2 —In х, х0=1.
Найти угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точках с заданными абсциссами:
7А.026. f(x)=3x—х3, х0=—2.
7А.027. f(x) =5х2 — 3x4-2, х0=2.
7А.028. f(x)=	, х0=1.
Найти тангенсы углов наклона касательных к графикам функций в точках с заданными абсциссами:
7А.029. f(x)=5», хо = О.
7А.030. f(x)=31nx, х0=1.
Найти экстремумы функций:
7А.031. f (х) =7х2—56x4-8.
7А.032. f(x) = у х3— -1-х2-2х + 3.
7А.033. f(x)
7А.034. f(x)=x-e*.
7А.035. f(x)=3sinx.
7А.036. /(х)=х3 —Зх.
7А.037. f(x)=x4—2х2.
7А.038. f(x) = —.
*3+1
7А.039. f(x)=x+ —.
X2
7А.040. f(х) =хInх.
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:
7А.041. f(x)=x+ —, хе [-2; — . х	2
7А.042. /(х) =х‘—2х2+3, хе=[-4; 3].
121
7А.043. f(x)=x*+3x, хе[О; 2].
7A.044. f(x) = 1 +cos x, xe у ;
7A.045. f(x) = 2sinx— 1, xe 0; —
6
7A.046. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?
7А.047. Прямоугольный участок земли площадью 4 га огораживается забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы периметр был наименьшим?
7А.048. Число 48 представлено в виде суммы двух слагаемых, так, что их произведение максимально. Найти эти слагаемые.
Группа Б
Вычислить значения производных функций при заданных значениях аргумента:
7Б.001. f(х) =5х2Ух— — , х0=4.
X3/2
7Б.002. f(x) = 2х4 — 5х34-2х — 5, xQ= — 2.
7Б.003. f(x) = — + 5х— — +4, х0=1. X2	X
7Б.004. f(x)=3’ —-2х3-3, х0=2.
In 3
7Б.005. f(x) = 10х — + — — 5х —7, х0 = 2.
7Б.006. f(x) = — х3—fx-f-3 Inx, x0=l. 3
7Б.007. f(x) ---—sinx+ — -3, x0= —.
3	я2	3
7Б.008. f (x) =*2 cosx—, x0=n.
Kx
7Б.009. f(x) = — — 2tgx—n, x0=^~. л	3
7Б.010. f(x)=ctgx+ —, Xo-4--Jt2	6
7Б.011. f(x)	x0=2.
X— 1
7Б.012. f(x)=	Xo=i.
x+ 1
122
7Б.013. f(x) =	x0=l.
2—x
7Б.014. f(x) = (3x2 —7x + 2) (l-2x-5x2), x0=l.
7Б.015. f (x) = sin x(x2—2x + 3), xo=O.
7Б.016. f(x) = (3x2 + 5x-7)tgx, xo=O.
7Б.017. f(x) =cosx(5—Зх), х0 = л.
7Б.018.	-5) ctgx, x0=	.
7Б.019. f(x) = (x2-3x-H)ex, xo=O.
7Б.020. f(x) = sin x-ex, xo=0.
7Б.021. f(x)=Y3^2x, x0 = l.
7Б.022. Их) =—Jzzz, x0--------к
V	3x+2
1/2
7Б.023. f (x) =	r , x0 = 1.
V	Зх2-1
7Б.024. f(x)-^3 —2x2, x0=l.
7Б.025. f(x) =yfg3x? x0=-j5-. I **
7Б.026. f(x) =3 — sin 2x, x0=
7Б.027. f(x)-------—, x0 = 4 •
2 — cos Зх	6
7Б.028. f(x) = 1/" l+si”,« t x0=
7Б.029. /(x) =  1  . x0= —.
ctg5 X
7Б.030. f(x) =/2(1-cos2x), x0=
Найти значения функций в точках максимума!
7Б.031. /(х)=х3+ -|-х2—2х.
7Б.032. /(х) = — х3+ — х2-6х. 3	2
7Б.033. f(x)=— + — х2—5х+ —.
*' '	6	4	12
123
7Б.034. f(x) = 2x3— — x2 + x+ — .
2	8
7Б.035. f(x)=-L%4_ 2-^+5.
7Б.036. f(x) = —x3—Lx3 + 71 —.
7Б.037. f (x) - — x’ -L x3+ i Й..
7Б.038. f (x) - -b x4+x3 —x2+3.
7Б.039. f(x)= —x4—Lx3- J-x2+2. 12	18	4
7Б.040. f(x) = J-X4__LX3_ _Lx2+5.
Найти наименьшие значения функций на заданных отрезках:
7Б.041. f(x) = -l"X3-— х2+5, xs[-l; 4].
3	2
7Б.042. f(x) = -?-x3+ — х2—2, хе[0; 2]. 3	2
7Б.043. /(х) =-^-х3—4-х2+2, хе[ — 2; 2].
7Б.044. f(х) = -i-х4—2х2+1, хе[ — 1; 3].
7Б.045. /(х) =-^-х4 —х + 2, х®[0; 2].
7Б.046. f(х) =х4—6х+3, х<=[-1; 2].
7Б.047. /(х) = 4- х4+х3—х2+2, ха[-3; 1].
7Б.048. f(х) = — х5 —Зх+5, хе[-1; 1].
7Б.049. f(x)^^-+ — , xs[l; 4].
7Б.050. f(x)-^-+x2, хе[1; 2].
7Б.051. Найти число, которое превышало бы свой утроенный квадрат на максимальное значение.
7Б.052. Число 64 представлено в виде произведения двух положительных сомножителей так, что сумма их квадратов минимальна. Найти эти сомножители.
124
7Б.053. Найти число, куб которого превышает утроенный его квадрат на минимальное значение.
7Б.054. Найти число, которое превышало бы свой утроенный кубический корень на минимальное значение.
7Б.055. Найти положительное число, сумма которого со своей обратной величиной имеет наименьшее значение.
§ 8. ПРОГРЕССИИ
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым числом, называется арифметической прогрессией. Таким образом,
^п+1 = ^п + ^,
где ап и an+i соответственно п и n+1-й члены прогрессии; d — разность арифметической прогрессии.
Эта формула неудобна тем, что для вычисления п + 1-го члена необходимо знать все предыдущие члены прогрессии. Формула л-го члена в виде
ап = ах +d(n— 1) лишена указанного недостатка.
Сумма членов арифметической прогрессии определяется по следующим формулам:
V _ «i + Qn	о _ 2fl)4-d(n-l)
O72 —	(ъ ИЛИ	 Ль
2	2
Признак арифметической прогрессии формулируется так: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов:
/т — ап-1 + Дп-Н в"------j .
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое отличное от нуля постоянное число, называется геометрической прогрессией. Таким образом,
^п+1=
где Ьп и соответственно п- и n + 1-й члены прогрессии; q — знаменатель геометрической прогрессии, ^=/=0,
125
Эта формула неудобна тем, что для вычисления n-го члена необходимо знать все предыдущие члены прогрессии. Формула bn = b\qn~l
лишена указанного недостатка.
Сумма п первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле
с • 1-д
Признак геометрической прогрессии имеет следующую формулировку: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов:
Ь П = bn—i ‘ Ьп+1'
Геометрическая прогрессия, у которой |^|<1, называется бесконечно убывающей, а ее сумма определяется по формуле
1-<7
Пример 8.1. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму первых 11 членов этой прогрессии.
Решение. я3 + ад = 8. Выразим слагаемые через и d\ CL\+2d -Г ci\ + 8d = 8.
Отсюда	+ 10d = 8. Подставив это значение в
о + d( 11 — 1) . <
получаем, что 5ц = 4-11=44.
Ответ. 44.
Пример 8.2. Первый и четвертый члены арифметической прогрессии соответственно равны 1,2 и 1,8. Найти сумму первых шести ее членов.
Решение. ^ = 1,2; а4=1,8. Выразим а4 через а\ и d\ =(1\ + 3d.
Отсюда 1,8= 1,2 +3d, d = 0,2;
Ss= 2а^М 6> S=(2a, + 5d)-3,
S6= (2-1,2+5-0,2)-3, S6=10,2.
Ответ. 10;2,
126
Пример 8.3. Вычислить 7,5+9,8+12,1 + ... +53,5.
Решение. Так как для данной последовательности чисел выполняется признак арифметической прогрессии 9,8= ZJbLULl} то данная последовательность является арифметической про* грессией, у которой ^1=7,5; d = 9,8 — 7,5 = 2,3; ап = 53,5, ап=* = a^d(n-\),	53,5=7,5+2,3(п-1), 46=2,3(л-1), ^=21.
Отсюда
S„ = gi±£tп, 3„ =	,21|
2	2
Ответ, 640,5.-
Пример 8.4. Найти сумму всех двузначных положительных чисел.
Решение. Очевидно, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, у которой flj=10; d«l; an = 99.
Для вычисления суммы прогрессии необходимо найти пл an = a} + d(n— 1), 99=10 + n—1, п=90. Отсюда
3„=5!±21п, 3„=-!5±^--90 = 4905. 2	2
Ответ. 4905.
Пример 8.5. Определить, при каких х три числа «2, сз> взятые в указанной последовательности, образуют арифметическую прогрессию, если fli = lg2; a2=lg(3x — 3); a3=lg(3x+9).
Решение. Если числа аь а2, а3 образуют арифметическую прогрессию, то для них выполняется признак арифметической прогрессии:
lg(3*-3) = !g.2+1g<£+9) , lg(3*—3)2=lg2(3*+9),
(3*—3)2=2(3*+9).
Пусть Зх=г/, тогда (у— 3)2=2(г/+9), или у2 — 8у — 9 = 0, откуда r/i=9; у2= - 1 (не подходит).
Переходя к переменной х, имеем 3х = 9, я = 2,
Ответ. 2.
Пример 8.6. Вычислить 32— — -{-???— 864 + .... 5	26	125
Решение. Так как для данной последовательности чисел выполняется признак геометрической прогрессии:
I— —V =32 - —
\ б )	25 ’
127
то данная последовательность является геометрической прогрессией, у которой 6i = 32; q———. S = 6i/(1—<?),
б
Отсюда
Ответ.
Пример
вен —2, сумма ее первых пяти членов равна 5,5. Найти пятый член этой прогрессии.
Решение. S5 = 5,5; ?=-2; S5= Ы?~55=^, 1—(—2)	3
S = 20.
20.
8.7. Знаменатель геометрической прогрессии pa-
^=0,5; b5 = brq\ 65 = 0,5( —2)4 = 8.
Ответ. 8.
Пример 8.8. Найти третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6, а второй член равен —0,5.
Решение. S= 1,6; b2= — 0,5. Перепишем, используя bi и q:
[ 61^7=-0,5.
Разделим второе уравнение на первое, получим
<7(1-?) = --^,
10
b{q= — 0,5.
Из первого уравнения последней системы 5	5	1
q2—q—— =0, откуда	= — (не подходит); q2 =——=>b{ = 2\
b3 = biq2t 63 = 2(-0,25)2 = 0,125.
Ответ. 0,125.
ЗАДАЧИ
Группа А
8А.001. Найти пятый член арифметической прогрессии 19; 15...
8А.002. Найти пятый член геометрической прогрессии —1; 3...
8А.003. В арифметической прогрессии первый член равен 8, разность 4. Найти сумму первых шестнадцати членов прогрессии.
128
8А.004. В геометрической прогрессии первый член равен 486, знаменатель равен 1/3. Найти сумму четырех первых членов этой прогрессии.
8А.005. В геометрической прогрессии первый член равен 64, знаменатель равен 1/4. Найти пятый член прогрессии.
8А.006. В арифметической прогрессии десятый член равен 192, разность равна 2. Найти первый член этой прогрессии.
8А.007. В арифметической прогрессии десятый член равен 13, пятый член равен 18. Найти разность прогрессии.
8А.008. Четвертый член арифметической прогрессии равен 5/14. Найти сумму первых семи членов этой прогрессии.
8А.009. Вычислить 432 + 72+12 + 2+ ..г.
8А.010. Знаменатель геометрической прогрессии равен ( — 2), сумма ее первых пяти членов равна 5,5. Найти пятый член этой прогрессии.
8А.011. Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если третий член этой прогрессии равен 2, а шестой равен 1/4.
8А.012. Вычислить 512 + 256+128+ ... +2.
8А.013. Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна 14. Найти сумму первых девяти членов прогрессии.
8А.014. Третий и седьмой члены арифметической прогрессии равны 1,1 и 2,3. Найти сумму десяти первых ее членов.
8А.015. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 111. Второе больше первого в 5 раз. Найти первое число.
8А.016. Первый член геометрической прогрессии равен 150, четвертый 1,2. Найти пятый член прогрессии.
Группа Б
8Б.001. Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, если сумма первого и третьего 35, а сумма второго и четвертого ( — 70). В ответе записать сумму 461+ З62 4~ 263 + 64.
8Б.002. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, равный 1.
8Б.003. Определить, прй каких х три числа a[t а2, а3, взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию: aj=lg2; а2 = lg(2x —6); n3 = lg(2x+34).
8Б.004. Сколько имеется двузначных натуральных чисел, кратных 6?
8Б.005. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а разность этой прогрессии равна 4. Является ли число 10091 членом этой прогрессии?’Если является, в ответе записать «1»; если нет, то — «0».
9 Зака» № 1452
129
8Б.006.
8Б.007.
8Б.008.
8Б.009.
8Б.010.
8Б.011.
Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 56. Сумма четырех последних равна 112. Найти число членов прогрессии, если первый ее член равен 11.
Определить первый член и знаменатель геометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов равна 40, а сумма второго и четвертого равна 80. В ответе записать частное от деления Ь\ на q.
В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого .и последнего членов равна 66, произведение второго и предпоследнего членов равно 128, сумма всех членов равна 126. Сколько членов в прогрессии?
Между числами 1 и 256 вставить три числа так, чтобы
все пять чисел составляли геометрическую прогрессию. В ответе записать произведение этих трех чисел.
Найти утроенный куб знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сумма в три раза больше суммы трех ее первых членов.
Сумма второго и восьмого членов бесконечно убываю-
щей
геометрической
325 прогрессии равна-------
128
а сум-
65 ма второго и шестого членов, уменьшенная на —-,
равна четвертому члену этой же прогрессии. Найти сумму квадратов этой прогрессии.
8Б.012. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов равна 31. Найти первый член прогрессии.
8Б.013. Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если ко второму из них прибавить 1, к третьему 5, а первое оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти произведение исходных трех чисел.
8Б.014. Три положительных числа образуют арифметическую прогрессию. Третье число больше первого на 14. Если к третьему числу прибавить первое, а остальные два оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти произведение этих чисел.
§ 9. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Пример 9.1. На производство костюма было израсходовано 2,8 квадратных метра ткани. Площади ткани, израсходованной на пиджак, брюки и жилетку, относятся как 7:5:2. Сколько ткани пошло на брюки?
Решение. Если обозначить количество ткани, которое пошло на пиджак, брюки и жилетку, через х, у и z, то можно 130
записать x = 7k\ y=5k-, z = 2kt где через k обозначена площадь ткани, приходящейся на одну часть. Общее количество ткани выразится через переменную k так: 76 + 56 + 26 = 2,8.
Следовательно, 6=0,2. На брюки израсходован 5-0,2=1 квадратный мет/ ткани.
Ответ. 1 кв. м.
Пример 9.2. Первый рабочий производит продукции на одну копейку в течение одной секунды. Второй — на один рубль за одну минуту. Во сколько раз производительность второго рабочего больше первого?
Решение. В данной задаче удобно под производительностью труда понимать стоимость продукции, изготовленной рабочим за единицу времени. Поэтому производительность первого рабочего равна 1 к./с. Производительность второго рабочего, выраженная в тех же единицах измерения, равна 100 к./бО с.
Поделив одно на другое, получим ответ задачи —.
3
Ответ. В-|- раза.
Пример 9.3. Стрекоза и муха двигаются по прямой. Стрекоза догоняет муху, их скорости равны 1,2 м/с и 30 см/с. Через сколько секунд расстояние между насекомыми сократится с 6,5 м до 20 см?
Решение. Относительная скорость сближения равна разности их скоростей: и= 1,2 —0,3=0,9 м/с. Расстояние, которое надо сократить насекомым, равно разности расстояний в начальный и конечный моменты времени: 5 = 6,5 —0,2 = 6,3 м.
Следовательно, интересующее нас время равно S/v = = 6,3/0,9=7 с.
О т в е т. 7 с.
Пример 9.4. Восемнадцатипроцентный раствор соли массой 2 кг разбавили стаканом воды (0,25 кг). Какой концентрации раствор в процентах в результате был получен?
Решение. Найдем, сколько соли находится в 2 л раствора. Для этого составим пропорцию:
2 кг—100%,
х соли —18% 2-18 Следовательно, х=-----=0,36.
100
После добавления стакана воды получили раствор массой Р=2+ 0,25 = 2,25 кг.
Процентное содержание соли — это та часть, которую составляют 0,36 кг соли в общем количестве раствора (2,25 кг), умноженная на 100.
131
9’
Следовательно, искомая величина равна
0,36-100
2,25
= 16%.
Ответ. 16%.
Группа А
9А.001. Найти площадь прямоугольника со сторонами 2,5 см и 6 см.
9А.002. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 7 см, 4 см, 3 см.
9А.003. Найти длину окружности, радиус которой 2,5 см, считая л; = 3,14 (результат округлить до единиц).
9А.004. Найти площадь круга радиуса 5,4 см, считая л=3,14 (результат округлить до единиц).
9А.005. Теплоход шел против течения реки 4 ч. Какое расстояние он прошел, если собственная скорость теплохода 16 км/ч, а скорость течения реки 1,5 км/ч?
9А.006. Составить буквенное выражение по условию задачи. Сколько карандашей в а коробках, если известно, что в каждой из них лежит 12 карандашей?
9А.007. За 6 ч автомат сделал х деталей. Сколько деталей в час производит автомат?
9А.008. В одной мастерской работают у человек, а в другой — на 5 человек меньше: Сколько человек работают в двух мастерских?
Решить текстовые задачи с помощью арифметических приемов (включая основные задачи на дроби и проценты):
9А.009. В первый день на базу доставили 13 т картофеля. Во • второй — в 2 раза меньше, чем в первый, а в третий — на 25 ц картофеля больше, чем в первый. Сколько картофеля доставили на базу за три дня?
9А.010. На элеватор привезли 85,7 т пшеницы и ржи, причем пшеницы 42,3 т. Какого зерна привезли меньше и на сколько?
9А.011. Из двух сел одновременно навстречу друг другу выехали автобус и грузовик. Через 0,5 ч они встретились. Какое расстояние между селами, если скорость автобуса равна 60 км/ч, а скорость грузовика 48 км/ч?
9А.012. Из поселка в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 14,5 км/ч, а другого 13 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?
9А.013. Сколько стоят 12 календарей, если известно, что 8 таких календарей стоят 18 р.?
9А.014. Бассейн при одновременном включении 4 кранов заполняется водой за 45 мин. За сколько минут тот же
132
бассейн может” заполниться водой при одновременном включении 6 таких кранов?
9Д.015. Объем аквариума 60 дм3. Найти объем, занимаемый водой, если известно, что он составляет 3/5 объема аквариума.
9А.016. Из 48 кг семян 3/4 было отобрано для посева. Сколько семян осталось?	> '
9А.017. Английский язык изучают 84 восьмиклассника,-что составило 4/5 всех учащихся восьмых классов школы. Сколько восьмиклассников в школе?
9А.018. Какую часть суток составляют 18 ч?
9А.019. На базу привезли 96 т капусты. 20%-всей капусты отправили в магазин. Сколько капусты осталось?
9А.020. Тракторная бригада вспахала 24 га земли, что составило. 15% площади всего поля. Какова площадь поля?
9А.021. В цехе работают 60 рабочих, из них 36 фрезеровщиков. Сколько процентов от всего числа рабочих составляют фрезеровщики?
Решить текстовые задачи с помощью составления уравнения;
9А.022. За два дня вспахано 80 га, причем в первый день вспахано на 18 га больше, чем во второй день. Сколько гектаров земли вспахано во второй день?
9А.023. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из них короче другой в 2 раза. Найти длину каждой части.
9А.024. В трех корзинах 54 кг яблок. В первой корзине на 12 кг яблок меньше, чем во второй, а в третьей — в 2 раза больше, чем в первой. Сколько, килограммов яблок в каждой корзине?
9А.025. Катер прошел расстояние между пристанями по течению реки за 2 ч, а обратно против течения — за 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
9А.026. Пассажирский поезд проходит за 3 ч на 10 км больше, чем товарный за 4 ч. Скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского. Найти скорость пассажирского поезда.
9А.027. Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Первый изготовлял в день на 2 детали больше второго и работал 7 дней, а второй — 8 дней. Сколько деталей в день изготовлял каждый рабочий?
9А.028. Купили 9 м ткани двух сортов по цене 2 р. за метр и 3 р. за метр. За всю покупку заплатили 22 р. Сколько метров ткани каждого сорта купили?
9А.029. За 4 карандаша и 3 тетради заплатили 70 к., а за 2 карандаша и 1 тетрадь заплатили 28 к. Сколько стоит одна тетрадь и сколько стоит один карандаш?
133
9А.030. Бригада должна была выполнить задание по изготов-. лению деталей за 5 дней, а выполнила за 4 дня, так как изготовляла в день на 12 деталей больше, чем предполагалось по плану. Сколько деталей изготовила бригада?
9А.031. Произведение двух положительных чисел равно 96. Одно из них на 4 больше другого. Найти эти числа.
9А.032. Найти .числа, сумма которых равна 20, а произведение 75.
9А.033. Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна 72 см2, а периметр равен 36 см.
9А.034. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Один из катетов на 7 см больше другого. Найти катеты прямоугольного треугольника.
9А.035. Турист прошел 3 км по шоссе и 6 км — по проселочной дороге, затратив на весь путь 2 ч. По шоссе он шел со скоростью на 2 км/ч, большей, чем по проселку. С какой скоростью шел турист по проселочной дороге?
9А.036. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?
9А.037. Прямоугольный участок земли площадью 4 га огораживается забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы периметр был наименьший?
Группа Б
9Б.001. Найти число, если известно, что после вычитания от него
— его части и прибавлёния
к полученной разности его
пятой части получается 9,3.
9Б.002. При разделке туши барана треть составляет туловище,
одна пятая — голова, шестая часть — ноги, четверть — шкура и еще 6 кг—внутренности. Сколько весит целый баран?
9Б.003. Если некоторое число умножить на 4, к произведению прибавить его пятую часть, сумму разделить на 15 и
прибавить
13
к этому числу — первоначального
числа,
то получится 60. Каково число?
9Б.004. Автомобиль выехал, имея на борту груз, составляющий 4
— его грузоподъемности. На первой остановке он вы-
грузил часть груза, на второй ей грузоподъемности, на третьей
л 1
взял на борт — сво-
остановке выгрузил
134
привезенного груза. В результате в пункт прибы-О
тия он привез 5 т. Какова грузоподъемность автомобиля?
9Б.005. Часы спешат. По хронометру было установлено, что часовая и минутная стрелки догоняют друг друга через каждые 66 мин. На сколько минут в час спешат часы?
9Б.006. Одно число в 3 раза больше другого. Если второе увеличить в 5 раз, то оно станет больше первого на 7. Найти сумму этих чисел.
9Б.007. Из резервуара идут три трубы. Через первые две трубы содержимое резервуара откачивается за 1 ч 10 мин, через первую и третью за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин. За какое время содержимое резервуара откачивается всеми трубами вместе?
9Б.008. Произведение двух последовательных чисел больше их суммы'на 11. Найти меньшее из них.
9Б.009. Разложить число 17 на два слагаемых так, чтобы их произведение было равно 16. Найти результат деления большего из этих чисел на меньшее.
9Б.010. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы их произведение было равно 16. Найти результат деления большего из этих чисел на меньшее.
9Б.011. Найти меньшее из двух чисел, сумма которых равна 17, а сумма их квадратов равна 185.
9Б.012. В чемпионате команды встречались со всеми другими по одному разу. Сколько было команд, если они провели 182 встречи?
9Б.013. Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность квадратов 14. Найти сумму квадратов этих чисел.
9Б.014. Две бригады должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней могла бы убрать урожай каждая бригада, работая отдельно?
9Б.015. Грузовик врезался в фонарный столб, который на некоторой высоте надломился, и в результате верхушка столба коснулась земли в 3,5 м от основания. Найти высоту целого столба, если оставшаяся стоять часть столба составляла — его длины.
9Б.016. В школе число девочек на 4 меньше, чем мальчиков. На 8 Марта ребята купили на 26,5 р. цветов и подарили их каждой девочке. Девочки на 23 февраля на сумму 23,1 р. купили подарки ребятам. Найти стоимость одного подарка для мальчика, если оказалось, что он дешевле на 1 р., чем подарок для девочки.
135
9Б.017. Найти площадь прямоугольника, длина которого в 4 раза больше, чем ширина, а площадь численно равна периметру.
9Б.018. Периметр прямоугольника равен 124 м. Если одну из его сторон увеличить на 2 м, а другую уменьшить на 4 м, то его площадь уменьшится в 1,4 раза. Найти большую сторону прямоугольника.
9Б.019. Велосипедист и пешеход вышли из пунктов А и В, расстояние между которыми 12 км, и встретились через 20 мин. Пешеход прибыл в пункт А на 1 ч 36 мин позже, чем велосипедист в В. Найти скорость пешехода.
9Б.020. За 5 м шерстяной ткани и 4 м шелковой уплачено 50 р. После снижения цен на ткани из шерсти на 25%, а из шелка на 15% стало возможным купить каждой ткани на 1 м больше, да осталось еще 1 р. 75 к. Сколько стоил метр каждой ткани до снижения цеп?
9Б.021. Товар А до уценки стоил в 1,4 раза дороже, чем товар * В. Товары А были уценены на 15%, а товары В — на 30%. Во сколько раз товар А дороже товара В после . уценки?
9Б.022. При выпаривании из 8 кг рассола получили 2 кг пищевой соли, содержащей 10% воды. Каков процент со-______держания воды в рассоле?
j)5.023?^ Зарплата служащему составляла 200 р. Затем зарплате ту повысили на 20%, а вскоре'понизили на 20%.Сколь-\ ко стал получать служащий?
9Б.024. Сумма двух чисел равна 24. Найти меньшее из них, если 35% одного из них равны 85% другого.
9Б.025. На товар снизили цену сначала на.20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить 23,8 р. Какова была первоначальная цена товара?
9Б.026. Сумма двух чисел равна 54, причем одно из них на 20% меньше другого. Найти большее число.
(^J>.027y Цена на товар была понижена на 20%. На сколько про-_Ь центов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену?
9Б.028. Завод увеличивал объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года объем выпускаемой ,,----- продукции увеличился на 21%.
9Б.029а Цену товара первоначально снизили на 20%, затем но-------Увую цену снизили еще на 30% и, наконец, после пере-счета произвели снижение на 50%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
9Б.030. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т с содержанием меди 8%?
136
9Б.031. Одно число меньше другого в 4 раза. Найти большее, к если их среднее арифметическое ра-вно 15.
9Б.032. Одно число меньше другого на 8, а их среднее ариф-f метическое равно 21. Найти первое число.
9Б.033. По одной стороне ящика укладывается 12 банок, а п по другую— 18. Сколько банок в полном ящике, сс-\ ли известно, что их вмещается больше 100, но меньше 130?
9Б.034. Рыбу разрезали на пять кусков в отношении по весу 14:12:11:9:15, причем второй кусок весил 11,2 г. Сколько весила вся рыба?
9Б.035. В экспедиции распределяли собак по упряжкам. Если в каждую упряжку запрячь по 12 собак, то в трех V	упряжках не хватило бы по одной собаке, а потому в
|	упряжку запрягли 11 собак и оставили 7 собак в ре-
зерве. Сколько было упряжек?
9Б.036. Группу школьников нужно рассадить в столовой. За стол можно усадить три человека. Если сажать за стол / по две девочки, то окажется 3 стола, где сидят одни / мальчики, а если сажать за стол по два мальчика, то » будет 2 стола с одними девочками. Сколько было девочек? u
9Б.037. Непослушный ребенок находится от отца на расстоянии 26 своих шагов. В то время как он делает 4 шага, отец успевает сделать 3, но отец проходит за два своих шага столько же, сколько ребенок за три. Через сколько шагов отец догонит ребенка?
9Б.038. Длина пленки видеокассеты продолжительностью воспроизведения 3 ч равна 342 м. Какова длина ~ пленки кассеты с продолжительностью воспроизведения 4 ч? ,
9Б.039. Обычно наибольшее число очков на одной кости домино равно 12. Сколько костей содержала бы игра, если бы это число равнялось 18?
9Б.040. Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км. Определить скорость товарного поезда.
9Б.041. Путь от А до В автомобиль проезжает с определен-( ной скоростью за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на '	20 км/ч, то за 2 ч проедет на 15 км больше, чем рас-
стояние от А до В. Найти расстояние от А до В.
9Б.042. По течению реки катер прошел за 7 ч столько же километров, сколько он проходит за 8 ч против течения. х-4- Собственная скорость катера 30 км/ч. Найти скорость течения реки.
137
9Б.043. По течению реки катер проходит 32 км за 1 ч 20 мин, ‘ а против течения проходит 48 км за 3 ч. Найти собственную скорость катера.
9Б.044. Половину пути мотоциклист ехал с намеченной скоро-+ стью 45 км/ч, затем задержался на 10 мин, а поэтому, чтобы наверстать потерянное время, он увеличил скорость на 15 км/ч. Каков весь путь мотоциклиста?
9Б.045. Расстояние между двумя пунктами поезд должен пройти за 10 ч. Пройдя первые 9 ч с намеченной скоростью, он снизил скорость на 7 км/ч и прибыл в конечный I пункт с опозданием на 6 мин. Найти первоначальную скорость поезда.
9Б.046. Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч. " 'Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд, скорость которого равна 70 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Киева произойдет встреча, если расстояние от Москвы до Киева 872 км?
9Б.047. Скорость мотоциклиста на 40 км/ч больше скорости ве-f лосипедиста, поэтому на путь 30 км мотоциклист за-"I тратил на 1 ч меньше, чем велосипедист. Сколько на этот путь тратит времени велосипедист?
9Б.048. Пешеход вышел из пункта А в пункт В со скоростью L	5 км/ч. Если бы он двигался со скоростью на 1 км/ч
’	большей, то пришел бы в пункт В на 1 ч раньше. Ка-
кой путь прошел пешеход?
9Б.049. Велосипедист едет из одного города в другой со ско-•------ростыо 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч,
то приехал бы в конечный пункт на 4 ч раньше. Какое расстояние преодолел велосипедист?
§ 10. ГЕОМЕТРИЯ ПЛАНИМЕТРИЯ Основные формулы
Треугольник (рис. 27).
т-т	л 4“ Ъ 4- с
Полупериметр р=—-—.
Радиус вписанной окружности г.
Радиус описанной окружности R.
5=	у ab sin у=УР(Р-°) (р-Ь) (Р- с) = у- =р-г.
138
Теорема синусов	= 2R.
sin a sin 0 sin y
Теорема косинусов c2=a2 + b2 — 2ab cos y.
Прямоугольный треугольник (рис. 28).
Теорема Пифагора с2 = а2+Ь2; г= а+ь~с .	с
Равносторонний треугольник (рис. 29):
5 _ «г/з . d =	г-
4	’	3 ’	в ’
Параллелограмм (рис. 30):
S = absina= d^2 sin 0; ^+Л22 = 2(а2 + Ь2),
Трапеция (рис. 31):
.ft. 2
Окружность, круг (рис. 32):
£ = 2л/?; 5 = л/?2.
Длина дуги окружности l = R-a.
Площадь сектора 3 = — /?2; 5= nR2. г 2	360°
139
Рис. 31	Рис. 32
Сектор
Рис. 33
Рис. 34
Пример 10.1. В прямоугольном треугольнике точка касания Вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.
Решение. В ДЛВС (рис. 33) угол С прямой, AD = 5 см, DB=12 см, Е и F— точки касания вписанной окружности и Соответствующих катетов.
AD = AF, BD = BE, FC=EC по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки. Пусть ЕС=х, тогда по теореме Пифагора для ДЛВС можно записать
(5 + х)2+(12+х)2= (5+12)2, *j = 3; х2=—20 (не подходит).
Итак, ЛС=5+3=8 см, ВС=12 + 3=15 см.
Ответ. 8 см, 15 см.
Пример 10.2. Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около круга, равна 68 см. Определить радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64 см.
Решение. Если чертеж выполнен неаккуратно, то может показаться, что средняя линия трапеции является диаметром круга. Из рисунка 34 видно, что это не так.
-------=68 по свойству средней линии трапеции.
2
AD — ВС = 64 по условию.
140
Решая эту систему уравнений, получаем Л£>=100, ВС=36.
По свойству описанного четырехугольника AB + CD^
= BC+AD, так как AB = CD, то АВ= BC+AD или АВ = 68.
2
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE (BE LAD), Так как трапеция равнобокая, то АЕ = AD~B(L = 32.
По теореме Пифагора для ЛАВЕ имеем АВ2 = АЕ2+ВЕ\ Отсюда BE = ^АВ2- АЕ2 = V682 - 322 = 60.
Зная, что BE = 2R, имеем /? = 30.
Ответ. 30 см.
Пример 10.3. Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь которого равна 25 см2, а углы а при основании таковы, что tga = 4.
Решение. В треугольнике АВС (рис. 35) BDLAC, АВ = = ВС. По свойству равнобедренного треугольника AD = DC, Обозначим BD = h, АЕ) = а, тогда
tga= —; а
<	S&abc=	h’2a = (ih.
Получили систему уравнений
[— = 4, а
. ah=25, h = 4a, 4а2 = 25, a = 2,5 или а =—2,5 (не подходит). Отсюда в треугольнике АВС основание АС=2а = 5.
Ответ. 5 см.
Пример 10.4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение. Воспользуемся формулой г« —-. Для этого вы-р
числим все стороны треугольника. На рисунке 36 ВС±ЛС, Л С—15, CD LAB, BD=\6.
Обозначим AD = x, ВС = у. Для Л АВ С по теореме Пифагора АС2 + ВС2 = АВ2, или 152 + z/2= (х+16)2. Для ЛАОС по теореме Пифагора AD2 + DC2 = АС2, или DC2 = AC2-AD2. Для ЛВОС по теореме Пифагора BD2+DC2=ВС2, или DC2 = ВС2 — BD .
141
Рис. 35
Рис. 37
Следовательно, AC2—AD2=BC2—BD2, 152—х2=у2— 162.
Получим систему уравнений f 225 + t/2 = x2+32x+256, I 225 —х2=£/2—256.
Складывая уравнения,, получаем, что 450+£/2—х2=х2+у2+ Ч-32х, 2х2 + 32х—450=0, Xj = 9; х2 = —25 (не подходит); £/=20.
Итак, АС=15, ВС=20, АВ = 25, тогда
г= АС+ВС—АВ
2
15+20-25 с
Ответ. 5 см.
Пример 10.5. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг. Найти отношение площади сектора к площади этого круга.
Решение. На рисунке 37 О^А — радиус круга, проведенный в точку касания. Поэтому (^АЮА. Аналогично О[ВЛ-ОВ.
ДОВО1 = ДОАО1 (прямоугольные треугольники с общей гипотенузой и равными катетами: О1А = О1В). Следовательно, ZOtOA=-i-'Z_AOB, т. е, Х_О\ОА = 30°. Отсюда О^А =
= 001sin30° = 0,5-010; OC=OOi + OlC.
Если обозначить радиус круга г, а радиус кругового сектора R, то R = 3r. Площадь круга Вкр = лг2, площадь сектора
г.	60° rjn	1	/ О \ 9	3	9
сектора — “ ЛО л/\2 —- л(3г)2= — ЯГ2.
360°	6	'	2
3 лг2
^сектора 	। 5
Округа	№
Ответ. 1,5.
142
ЗАДАЧИ
Группа А
10А.001. Разность двух углов, получившихся при пересечении двух прямых, равна 20°. Найти больший из этих углов.
10А.002. Углы треугольника пропорциональны числам 3:7:8. Найти наибольший угол треугольника.
10А.003. Угол при вершине равнобедренного треугольника на 60° больше угла при основании. Найти угол при основании треугольника.
10А.004. Сумма трех углов, полученных при пересечении двух прямых, равна 265°. Найти больший из этих углов.
10А.005. Углы АВС и CBD смежные. Угол АВС больше угла CBD на 30°. Найти угол CBD.
10А.006. Один из смежных углов в 8 раз меньше другого. Найти больший угол.
10А.007. В равнобедренном треугольнике угол, смежный с углом при вершине треугольника, равен 70°. Найти угол при основании треугольника.
10А.008. Один из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей на 60° меньше другого. Найти больший из этих углов.
10А.009. Один из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей в 17 раз меньше другого. Найти меньший из этих углов.
10А.010. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а его катеты относятся как 5: 12. Найти больший катет треугольника.
10А.011. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25.
10А.012. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а один из катетов б. Найти площадь этого треугольника.
10А.013. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе, равной 4]/2.
10А.014. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см. Найти гипотенузу.
10А.013. Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза 313, а один из катетов 312.
10А.016. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6. Другой катет равен 8. Найти длину медианы, проведенной к гипотенузе.
10А.017. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла, равна одному из катетов. Найти меньший угол треугольника.
143
10А.018. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1 :2. Больший катет равен 4УЗ. Найти радиус описанной окружности.
10А.019. В прямоугольном треугольнике АВС известно, что Z_C=90°, Z/4=40°. Около треугольника описана окружность с центром О. Найти 2_АОС.
10А.020. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найти радиус описанной окружности.
10А.021. В прямоугольном треугольнике один катет равен 3, <	5
радиус описанной окружности 7?= — • Найти другой катет.
10А.022. Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 описана окружность. Найти ее радиус.
10А.023. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 10, а один из катетов равен 6. Найти другой катет.
10А.024. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 10 и 26. Найти радиус вписанной окружности.
10А.025. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см, а котангенс прилежащего угла равен 0,75. Найти гипотенузу.
10А.026. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а косинус одного угла равен 0,8. Найти больший катет.
10А.027. В прямоугольном треугольнике тангенс одного угла равен 0,6. Меньший катет равен 3. Найти больший катет.
10А.028. Найти радиус круга, описанного около равностороннего треугольника со стороной а=12уз.
10А.029. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной а—б'И 3.
Кз
10А.030. Площадь правильного треугольника равна . Най-
О
ти длину его биссектрисы.
10А.031. Найти площадь равностороннего треугольника, если радиус вписанной окружности г= у^З.
10А.032. В равностороннем треугольнике высота равна 9. Найти радиус вписанной в треугольник окружности.
10А.033. Радиус окружности равен 10. Найти длину медианы вписанного в нее правильного треугольника.
10А.034. Около равнобедренного треугольника описана окруж-4 _
ность радиуса 2]/3. Угол при основании треугольника 60°. Найти площадь треугольника.
144
10A.035. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 2уЗ, а угол при вершине 60°.
10А.036. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса ]/3. Угол при основании 60°. Найти основание.
10А.037. Основание равнобедренного треугольника в 3 раза меньше его боковой стороны, а его периметр равен 14 см. Найти основание треугольника.
10А.038. В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию, равен 120°, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 8 см. Найти боковую сторону.
10А.039. В равнобедренном треугольнике АВС (основание АС) проведена медиана ВК, ЛАВС = Ж. Найти углы ДВД^ 10А.040. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине А равен 150°. Найти угол АВС.
10А.041. В равнобедренном треугольнике основание равно /з угол при вершине 120°. Определить проекцию высоты .на боковую сторону.
10А.042. Найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника АВС, если высота h, проведенная из вершины на основание, равна 4УЗ и угол при вершине В равен 120°.
10А.043. В равнобедренном треугольнике углы при основании 30°, а высота, опущенная на это основание, равна 3. Найти радиус описанной окружности треугольника.
10А.044. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 30°, а само основание ЗУЗ. Найти радиус описанной окружности.
10А.045. Боковая сторона равнобедренного треугольника, основание которого равно 4, делится точкой касания вписанной в него окружнрсти в отношении 3:2, считая от вершины. Найти периметр треугольника.
10А.046. Найти высоту равнобедренного треугольника, если его основание равно 6, а боковая сторона 5.
10А.047. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 16, а боковая сторона 10.
10А.048. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 18, а площадь 108.
10А.049. Высота равнобедренного треугольника равна 15. Основание больше боковой стороны на 15. Найти основание этого треугольника.
10А.050. Высота равнобедренного треугольника равна 15 см, а основание 16 см. Найти боковую сторону треугольника.
ю Заказ № М52	145
10А.051. Высота равнобедренного треугольника равна 14. Основание относится к боковой стороне как 48:25. Найти основание этого треугольника.
10А.052. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, боковая сторона меньше основания на 1. Найти высоту треугольника.
10А.083. Средняя линия'равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 4. Найти боковую сторону треугольника, если его периметр равен 30.
10А.054. Средняя линия треугольника на 6 см короче той стороны треугольника, которой она параллельна. Найти эту сторону треугольника.
10А.055. Какую часть площади треугольника, считая от вершины, отсекает от него средняя линия?
10А.056. В треугольнике АВС сторона АВ равна 20 см. Высота BD делит основание АС на отрезки Л£> = 16 см и DC=§ см. Найти сторону ВС.
10А.057. Найти периметр треугольника, две стороны которого равны 10 и 12, а высота, проведенная к большей из данных сторон, равна 8.
10А.058. В треугольнике АВС угол А равен 120°, стороны ЛВ = 3, АС=2. Найти квадрат стороны ВС.
10А.059. Длины сторон треугольника равны 10, 10, 12. Найти косинус угла между неравными по длине сторонами треугольника.
10А.060. В треугольнике даны стороны а=уЗ, Ь=~2^3. Угол А, противолежащий стороне а, равен 30°. Найти третью • сторону.
10А.061. В треугольнике АВС известно, что АВ = 6 см, ЛС«9см, Z.A = 30°. Найти площадь треугольника АВС.
10А.062. В треугольнике АВС проведены медианы AD, BE, CF. Длины отрезков AF, АЕ и BD равны соответственно 3 см, 4 см и 5 см. Вычислить периметр треугольника.
10А.063. В треугольнике даны две стороны а = 6 и 5 = 4 и высота h = 2, опущенная на третью сторону. Найти радиус описанной окружности.
10А.064. Сторона ромба равна 5, а меньшая диагональ 6. Найти большую диагональ.
10А.065. Найти сторону ромба, если его диагонали 6 и 8.
10А.066. Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти сторону ромба.
10А.067. Сторона ромба равна 17 см, а одна из диагоналей 30 см. Найти длину второй диагонали.
10А.068. Найти тупой угол ромба, если высота, проведенная- из его вершины, делит противоположную сторону пополам. Ответ выразить в градусах.
10А.069. Углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами, относятся как 2:7. Найти больший угол ромба.
146
10А.070. Диагональ ромба образует с его стороной угол 25°. Найти больший угол ромба.
10А.071. Диагональ ромба равна его стороне. Найти больший угол ромба.
10А.072. Периметр ромба равен 24. Высота равна 3. Найти тупой угол ромба.
10А.073. Вычислить периметр ромба, высота которого равна УЗ, а острый угол в 2 раза меньше тупого.
10А.074. Сторона ромба равна 4, а острый угол 30°. Найти площадь ромба.
10А.075. Сторона ромба равна 2у5, а одна из диагоналей равна 4. Найти площадь ромба.
10А.076. В ромбе длины диагоналей 10 и 15. Найти площадь ромба.
10А.077. Определить площадь ромба, если его сторона равна 10, а диагонали относятся как 3:4.
10А.078. Найти площадь ромба со стороной а=4, если радиус вписанной окружности г=1,5.
10А.079. Найти сторону ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадь равна 384.
10А.080. Найти меньшую диагональ ромба, если его площадь
S = 60, а отношение диагоналей. d.%	5
10А.081. Найти сторону ромба, если его острый угол 30°, а площадь равна 18.
10А.082. Площадь ромба равна 24, а одна из диагоналей 6. Найти длину стороны ромба.
10А.083. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ АС. Известно, что угол А СВ в 8 раз меньше, чем угол САВ. Найти угол САВ.
10А.084. Найти большую сторону прямоугольника, площадь которого 400 см2, а стороны относятся как 4:1.
10А.085. Периметр прямоугольника равен 60 см. Одна сторона больше другой на 10 см. Найти меньшую сторону прямоугольника.
10А.086. Периметр параллелограмма равен 92 см. Одна из его сторон больше другой на 4 см. Найти большую сторону параллелограмма.
10А.087. В параллелограмме сторона АВ равна 6 см, диагонали равны 9 см и 5 см, О — точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника АО В?
10А.088. Периметр параллелограмма равен 28. Одна из сторон равна 8. Найти меньшую сторону параллелограмма.
10А.089. Периметр параллелограмма равен 26 см. Чему равна сумма двух соседних его сторон?
10А.090. Сумма двух противоположных углов параллелограмма 94°. Найти больший угол параллелограмма.
10*
147
10A.091: Периметр параллелограмма равен 60. Найти площадь параллелограмма, если его стороны относятся как 2:3, а острый угол равен 30°.
10А.092. Найти площадь* параллелограмма ABCD, у которого Z_4 = 150°, ЛВ = 3 см, ЛВ = 8 см.
10А.093. Параллелограмм и прямоугольник имеют соответственно одинаковые стороны. Площадь параллелограмма в два раза меньше площади прямоугольника. Найти тупой угол параллелограмма.
10А.094. Найти периметр параллелограмма, если его площадь равна 144, а высоты равны 8 и 12.
10А.095. Диагонали параллелограмма равны 6 и 8, а угол между ними 30°. Найти площадь параллелограмма.
10А.096. Диагонали параллелограмма равны 2УЗ и 80, а угол между ними равен 60°. Найти площадь параллелограмма.
10А.097. Площадь параллелограмма равна 120, а его стороны 15 и 10. Найти большую высоту параллелограмма.
10А.098. Площадь параллелограмма равна 120, а его высоты 8 и 12. Найти периметр параллелограмма.
10А.099. Стороны параллелограмма равны УЗ и 2УЗ. Найти сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма.
10А.100. Стороны параллелограмма равны соответственно 6 и 16, а его тупой угол равен 120°. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма.
10А.101. Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его диагональ увеличить в 2 раза?
10А.102. Во сколько раз увеличится площадь ромба, если каждую диагональ его увеличить в 2 раза?
10А.103. Во сколько раз изменится площадь прямоугольника, если каждую сторону его увеличить в 3 раза?
10А.104. Во сколько раз изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 5 раз?
10А.105. Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 9 и 4.
10А.106. Стороны квадрата ABCD разделены точками Е, F, L, М в отношении 1 :2 каждая. Найти отношение площадей квадрата и четырехугольника. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10А.107. Середины сторон квадрата соединены отрезками. Найти отношение площади фигуры, образованной этими отрезками, к площади квадрата.
10А.108. Меньшее основание трапеции равно 4 см. Большее основание больше средней линии па 4 см. Найти длину средней линии трапеции.
10А.109. Средняя линия трапеции равна 9 см, а одно из оснований равно 6 см. Найти другое основание трапеции.
148
10А.110. Одно основание трапеции больше другого на 6 см, а средняя линия равна 8 см. Найти меньшее основание.
10А.111. Периметр равнобедренной трапеции равен 36, а средняя линия равна 10. Найти боковую сторону трапеции.
10А.112. Угол при основании равнобокой трапеции равен 60°. Боковая сторона равна меньшему основанию трапеции. Большее основание равно 12 см. Найти длину средней линии трапеции.
10А.113. В равнобедренной трапеции боковая сторона 52, высота 48, средняя линия 30. Найти ее большее основание.
10А.114. В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 24, боковая сторона 25. Найти высоту трапеции.
10А.115. Прямая CF параллельна боковой стороне трапеции и делит основание AD на отрезки AF=9 см и FD = 5 см. Найти длину средней линии трапеции.
10А.116. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD продлены до пересечения в точке Е. Известно, что 4В=1, CD = 3, BE = 2. Найти ЕС.
10А.117. Углы при основании трапеции равны 90° и 45е. Одно основание в два раза больше Другого и равно 24. Найти меньшую боковую сторону трапеции.
10А.118. Боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции соответственно равны 8, 10 и 10. Найти большее основание.
10А.119. Основания равнобокой трапеции равны 61^3 и 2^8, а угол при основании 60°. Найти площадь трапеции.
10А.120. В равнобокой трапеции, нижнее основание равно 11, верхнее равно 5, а боковая сторона составляет с основанием угол 45°. Найти площадь трапеции.
10А.121. В равнобокой трапеции основания 6 см и 10 см. Диагональ 10 см. Найти площадь трапеции.
10А.122. Разность двух оснований равнобедренной трапеции равна 3. Синус угла при основании трапеции равен 0,8. Найти длину боковой стор'Ъны трапеции.
10А.123. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 4. Площадь трапеции равна 8. Найти тангенс угла между диагональю и основанием трапеции.
10А.124. Периметр описанной около окружности трапеции равен 30. Найти ее среднюю линию.
10А.125. В равнобокую трапецию с верхним основанием, равным 1, вписана окружность единичного радиуса. Найти нижнее основание трапеции.
10А.126. Найти площадь круга, если длина его окружности равна 4Ул.
10А.127. Радиусы двух кругов относятся как 1 :2. Найти площадь меньшего круга, если известно, что длина окружности большего круга равна 8|л.
149
10А.128. Площади двух кругов относятся как 1:16. Найти длину окружности большего круга, если радиус меньшего 4 круга равен —. п •
10А.129.	Длины двух окружностей относятся как 1 :3. Найти площадь большего круга, если радиус меньшего круга 3 •равен ——. /л
10А.130.	Во сколько раз увеличится длина окружности, если ее
10А.131.	радиус увеличить в 3 раза? Во сколько раз увеличится площадь круга, если ра-
10А.132.	диус его увеличить в 2 раза? Во сколько раз увеличится длина окружности, если
10 АЛ 33.	площадь ее круга увеличить в 16 раз? Найти длину дуги, если радиус окружности равен 3 и 5 величина дуги — радиана. 3
10А.134.	7 2 В окружности радиуса —найти длину дуги, содер-жащей 100°.
10А.135. Площадь кругового сектора с центральным углом 20° равна 2л. Найти радиус сектора.
10А.136. Длина окружности равна 8лУЗ. Найти длину хорды, стягивающей дугу 120°.
10А.137. Найти площадь круга, если его хорда, равная—^, видна из центра круга под углом 120°.
10А.138. В окружности радиуса 26 см проведена хорда, равная 4$ см. Найти длину отрезка, соединяющего середину хорды с центром окружности.
10А.139. Найти расстояние от центра окружности др хорды, равной 6 см, если радиус окружности равен 5 см.
10А.140. В круге, площадь которого равна 6,25л, проведена хорда. Найти расстояние от центра круга до хорды, если ее длина равна 3.
10А.141. В окружности с центром в точке О проведены хорда АВ и радиус OD, которые пересекаются в точке С, причем известно, что ABLOD, ОС°=9, CD =*32. Найти хорду.
10А.142. Из точки А окружности радиуса 8 см проведены две равные хорды АВ а АС, образующие угол 60°. Найти расстояние от центра этой окружности до прямой ВС.
10А.143. На окружности с центром О лежит точка В. АВ — хорда, АС—касательная, Z_BAC=35°. Найти угол АОВ.
150
10А.144. В угол величиной 60° вписана окружность. Найти расстояние от центра окружности до вершины угла, если радиус окружности равен 7,5.
10А.145. К окружности радиуса 5 см проведена касательная в точке В. На касательной отмечена точка А на расстоянии 12 см от точки В. Найти расстояние от точки А до центра окружности.
10А.146. Из точки А, лежащей вне круга, проведена касательная к кругу в точке В. Известно, что АВ = 5. Расстояние от точки А до центра круга равно 5]/2. Найти радиус круга.
10А.147. Сторона квадрата равна 12 см. Чему равен радиус окружности, вписанной в квадрат?
10А.148. Найти площадь квадрата, вписанного в окружность радиуса R = 3 см.
10А.149. В окружность, вписан прямоугольник со сторонами 32 см и 24 см. Найти радиус окружности.
10А.150. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 20. “Найти расстояние между серединами двух смежных сторон прямоугольника.
10А.151. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 12 и углом при основании 30°. Ответ дать в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 (У3=1,73).
10А.152. Найти площадь круга, если сторона правильного треугольника, вписанного в этот круг, 2]/5, л = 3,14. Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
10А.153. В окружности, радиус которой равен 11, проведены хорды АВ и АС. Угол между ними равен 30°. Найти расстояние между точками В и С.
10А.154. Длина окружности 4л. Найти площадь квадрата, вписанного в эту окружность.
2
10А.155. В круг вписан квадрат со стороной, равной
Найти площадь круга.
10А.156. Окружность вписана в правильный шестиугольник со 21/г 3
стороной ——. Найти длину окружности, те
10А.157. Окружность описана около* правильного шестиуголь-2
ника со стороной — . Найти длину окружности.
10А.158. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда ВС, угол АОС равен 60°. Найти угол АВС.
10А.159.*Центральный угол на 50° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найти, сколько градусов содержит дуга.
151
Группа Б
10Б.001. Найти площадь прямоугольного треугольника с кате-о к	« К281
том 2,5 и гипотенузой —.
10Б.002. Из вершины прямого угла А прямоугольного треугольника к гипотенузе проведены медиана AM и высота АК. Найти длину отрезка МК, если катеты равны 6 и 3V5.
10Б.003. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25, а один из катетов равен 10. Найти проекцию другого катета на гипотенузу.
10Б.004. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 1 :3. Найти высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 40.
10Б.005. Из одной точки проведены перпендикуляр и две наклонные длиной 10 см и 17 см к данной прямой. Проекции наклонных относятся как 2:5. Найти длину перпендикуляра.
10Б.006. В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квадрат, имеющий с треугольником ” общий прямой угол. Найти периметр квадрата. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.007. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие—на катетах. Сторона квадрата равна 3. Найти длину гипотенузы.
10Б.008. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр этого прямоугольника равен 25 см. Найти катет треугольника.
10Б.009. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб так, что угол в 60° у них общий, остальные три вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти длину большего катета, если длина стороны ромба V12 равна
10Б.010. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан ромб так, что один острый угол у них общий и все четыре вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны ромба, если длина катета равна —.
5
10В.011. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а проекция меньшего катета йа гипотенузу 3,6. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
152
10Б.012. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания окружности и гипотенузы делит ее на отрезки 3 и 10. Найти больший катет.
10Б.013. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найти больший катет треугольника.
10Б.014. В равнобедренном треугольнике разность двух неравных внутренних углов равна 90°. Найти больший угол (в градусах).
10Б.013. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника ЛВС при основании АС образует с основанием угол 126°. Найти величину zLABC (в градусах).
10Б.016. Найти высоту равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 5, а косинус угла при верши-7 не равен--------------.
F	25
10Б.017. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5, а косинус угла при основании 0,6. Найти радиус вписанного круга.
10Б.018. В треугольнике внутренние углы относятся как 2:3:5. Найти внешний угол треугольника, смежный с меньшим внутренним углом (ответ, выразить в градусах).
10Б.019. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников АВС и ABD равны 18 см и 11 см. Найти длину АС.
10Б.020. В остроугольном треугольнике АВС, площадь которого 10 м2, сторона АС равна 5 м, tgZJL4C = 4. Найти величину угла между сторонами АС и ВС (в градусах).
10Б.021. В треугольнике АВС известно, что А/1=45° и ctgZB = 0,25. Найти сторону АВ, если площадь треугольника равна 10.
10Б.022. В треугольнике со сторонами а, b и с на сторону с опущена высота h. Найти ее длину, если а = 4, 6 = 3, с = 5. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.023. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13, 14, 15.
10Б.024. BD — высота треугольника АВС. Из точки D на сторону ВС опущен перпендикуляр DE. Найти BD, если ЕС = 4, DE = 3. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.025. Из вершины треугольника с основанием а = 60 проведены к а высота ft=12 и медиана ш=13. Найти большую боковую сторону.
10Б.026. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD = 3 см. Периметр треугольника ABD = 24 см. Чему равен периметр ДЛВС?
153
10Б.027. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16, высотой 4.
10Б.028. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5. Сторона Л5==5, высота BD = 4. Найти длину стороны ВС.
10Б.029. Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 8, 15, 17.
10Б.030. Расстояние от боковой стороны равнобедренного треугольника, равной 16, до центра описанной около него окружности равно 6. Найти радиус этой окружности.
10Б.031. В треугольнике АВС сторона ВС = 6,5, сторона ЛС= 10. Расстояние от центра окружности, описанной около этого треугольника, до стороны АС равно 12. Найти синус угла А.
10Б.032. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе, а длины катетов равны 3 и 2У10.
10Б.033. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен УЗ. Через центр окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найти отрезок этой прямой, заключенный между двумя другими сторонами треугольника.
10Б.034. В треугольник вписан ромб, угол которого совпадает с углом треугольника-. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 12 и 18. Найти сторону ромба. Ответ записать в виде десятичной- дроби.
10Б.035. Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса 7? = 2УЗ, через центр которой проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника.
10Б.036. В треугольнике АВС величина угла при вершине С равна — . Найти синус угла В, если ЛС= 12,3 и 6
ЛВ = 61,5.
10Б.037. Найти синус угла А в треугольнике АВС, если ВС = = ЗУЗ, ЛС=15 и /ЛВС=60°.
10Б.038. В треугольнике АВС углы В и С соответственно равны -j- и . Найти длину стороны АС, если АВ = 7./б “	2
154
10Б.039.	В треугольнике АВС проведена медиана АК, равная 131^2 — и составляющая со стороной АС угол 30°. Най- ти ВС, если Z_BCA = 45°.
10Б.040.	В треугольнике. АВС даны три стороны а=УТ?), Ь = 2, с = 3. Найти его медиану та.
10Б.041.	Меньшая диагональ ромба равна V 3, его площадь 1,5. Найти величину тупого угла ромба.
10Б.042.	Г 7 Диагональ ромба равна 451/ —, косинус противоле- жащего ей угла равен 1	— 1 . Найти сторону ромба.
10Б.043.	Сторона ромба равна 4. Радиус окружности, вписанной в этот ромб, равен 1. Найти величину острого угла ромба (в градусах).
10Б.044.	В окружность радиуса /? = ЗУЗ см вписан квадрат. Из одной вершины этого квадрата проведены две хорды, стягивающие дуги по 120°. Найти длину отрезка диагонали квадрата, заключенного между этими хордами.
10Б.045.	Z4	9/б~ Одна из диагоналей параллелограмма, равная*	’
составляет с основанием угол 60°. Найти длину второй диагонали, если она составляет с тем же основанием угол 45°.
10Б.046. Периметр прямоугольника ABCD равен 24 см. Точка О принадлежит этому прямоугольнику. Найти сумму расстояний от этой точки до всех сторон прямоугольника.
10Б.047. В параллелограмме ABCD высота BE делит сторону AD в точке Е пополам. Найти сторону АВ, если периметр параллелограмма равен 7, а периметр треугольника ABD равен 5. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.048. В параллелограмме боковая сторона равна 8 и острый угол при основании 30°. Найти проекцию высоты, опущенной на основание, на боковую сторону.
10Б.049. Диагонали параллелограмма соответственно равны 17 см и 19 см. Одна сторона 10 см. Найти другую сторону.
10Б.050. В параллелограмме ABCD проведена высота ВК. Известно, что =	Л^=5, ^Z)^8. Найти углы и
стороны параллелограмма.
10Б.051. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого отношение длины описанной окружности к стороне многоугольника равно 2л?
15В
10Б.052. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого отношение длины описанной окружности к стороне многоугольника равно лУ2?
10Б.053. Центр правильного двенадцатиугольника — точка О — соединен с двумя соседними вершинами А и В. Найти расстояние от точки А до отрезка ОВ, если длина отрезка ОВ равна 20.
10Б.054. Известно, что tg = d. Найти радиус окружности, вписанной в правильный десятиугольник со стороной 8d.
10Б.055. Около правильного многоугольника описана окружность, в него же вписана еще одна окружность. Площадь получившегося кольца равна 64л. Найти длину стороны многоугольника.
10Б.056. В правильный шестиугольник вписана окружность, которая в свою очередь описана около квадрата со стороной j/" 12. Найти площадь шестиугольника.
10Б.057. В окружность вписаны правильные треугольник и шестиугольник. Найти отношение площади шестиугольника к площади треугольника.
10Б.058. Длина окружности, в которую вписан правильный шестиугольник, равна УЗ. Чему равна длина окружности, вписанной в этот шестиугольник?
10Б.059. Найти радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньшая диагональ которого равна 22.
10Б.060. Найти расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника, если радиус описанной около него окружности равен ЮУЗ.
10Б.061. В выпуклом пятиугольнике два внутренних угла прямые, остальные относятся между собой как 2:3:4. Найти больший угол (в градусах).
10Б.062. Углы САВ и BAD смежные. Найти величину угла (в градусах) между перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой CD, и биссектрисой угла САВ, если ZCAB-^BAD=2(F.
10Б.063. Найти величину угла, если он в 4 раза меньше суммы величин углов, смежных с ним (ответ выразить в градусах) .
10Б.064. В трапеции, площадь которой равна 161, высота 7, а разность параллельных сторон 11, найти длину большего основания.
10Б.065. Найти высоту прямоугольной трапеции, у которой большая боковая сторона равна 5, а разность длин оснований равна 4.
156
10Б.066. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна 15 см и перпендикулярна к большей боковой стороне. Меньшая сторона равна 12 см. Найти большее основание трапеции.
2 1/^2— 1
10Б.067. Диагональ в прямоугольной трапеции, равная —----,
8
делит трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найти периметр трапеции.
10Б.068. В прямоугольной трапеции боковая сторона равна основанию и составляет с ним угол 120°. Найти площадь 4_ трапеции, если ее меньшее основание равно 2УЗ.
10Б.069. Равнобокая трапеция описана около круга. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки  длиной 12 и 48. Найти площадь трапеции.
10Б.070. Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около круга, равна 68. Найти радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64.
10Б.071. Около окружности описана трапеция, площадь которой равна 20 см2, а синусы углов при основании равны 0,8. Найти длину средней линии трапеции.
10Б.072. Найти площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным-сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.
10Б.073. Найти боковую сторону равнобокой трапеции, описан-t®. ной около круга, если острый угол при основании тра-
пеции равен , а площадь трапеции 288. -
10Б.074. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найти среднюю линию трапеции, если ее периметр равен 48, а большее основание 18.
10Б.075. Диагональ равнобокой трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание равно 3, периметр равен 42. Найти площадь трапеции.
10Б.076. В равнобедренной трапеции одно из оснований в два раза больше каждой из остальных сторон. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 5]/3-
10Б.077. В трапеции ABCD ВС и AD — основания, О — точка пересечения диагоналей, Л£)=18 см, ЛО=Ю см и ОС=5 см. Найти ВС.
10Б.078. Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 12, длина боковой стороны равна 4, синус угла при основании равен 0,9. Вычислить sin —, где а—острый
угол между диагоналями трапеции.
167
10Б.079. Найти угол между хордой АВ и-диаметром ВС, если хорда АВ стягивает дугу в 54° (ответ выразить в градусах).
10Б.080. Хорда делит окружность в отношении 3:7. Найти величину меньшего вписанного угла, опирающегося на эту хорду (ответ выразить в градусах).
10Б.081. Величина угла АВС, образованного хордами АВ и ВС, равна 96°. Найти дугу АВ (в градусах), если АВ = ВС.
10Б.082. В окружности проведены две корды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Найти утфл AMD, если дуга AD равна 70°, а дуга ВС равна 10°.
10Б.083. Площадь кругового сектора £=«=0,1л, радиус круга R=\. Найти в градусах величину угла, опирающегося на дугу сектора с вершиной на окружности.
10Б.084. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найти длину хорды CD.
10Б.085. В окружности по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 12 и 16. Расстояние между ними равно 14. Найти радиус окружности.
10Б.086. Расстояние от центра окружности до хорды равно jLLi и вдвое меньше радиуса. Найти длину хорды.
2
10Б.087. Из точки А окружности проведены диаметр АВ и хорда АС, которая продолжена за С на расстояние СК, равное АС. Найти ВК, если радиус окружности равен 4.
10Б.088. Из точки А окружности проведены диаметр АВ и хорда АС, которая продолжена за точку С на расстояние СК, равное АС. Найти ВС, если КВ= 10 и ZC4B = 30°.
10Б.089. Найти площадь круга, если известно,, что длина окружности круга вдвое меньшей площади равна 6л.
10В.090. Окружность радиуса 2 разогнута в дугу радиуса 15 Найти центральный угол (в градусах).
10Б.091. Длина окружности равна 6У5л. Найти площадь сектора с центральным углом 40°.
10Б.092. Круг радиуса R = 6 делится концентрической окружностью на две части — круг радиуса г и кольцо, площади которых относятся как 1 :3. Найти г.
10Б.093. Две окружности, каждая из которых вписана в острый угол 60°, касаются друг друга внешним образом. Най-4и расстояние от точки касания окружностей до стороны угла, если радиус большей окружности равен 23.
10Б.094. В круговой сектор вписана окружность, радиус которой в три раза меньше радиуса сектора. Найти величину центрального угла (в градусах).
158
10Б.095. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 120°. Найти расстояние между центрами окружностей, лежащими по 3+/3 одну сторону от хорды, если длина хорды равна ~ •
10Б.096. Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м и на 0,6 м. Найти длину диаметра. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.097. Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной 13, а расстояние между точками касания 24. Найти радиус окружности.
10Б.098. Через концы хорды, длина которой равна 30, проведены две касательные до пересечения в точке А. Найти расстояние от точки А до хорды, если радиус окружности равен 17.
10Б.099. Из точки А, взятой на окружности, проведены диаметр ЛВ=10 см и хорда Л С. Из точки В проведены к хорде перпендикуляр длиной 6 см и касательная, пересекающая продолжение хорды в точке D. Найти длину касательной.
10Б.100. Хорда АВ и два радиуса ОА и ОВ образуют треугольник АОВ. Касательная к окружности CD параллельна хорде АВ и пересекает продолжения радиусов О А и ОВ в точках С и D. Найти длину CD, если ОА = ОВ = =я=уз, a ZB(Z4=60o.
10Б.101. Из точки К, лежащей на окружности, проведены касательная к окружности и хорда КЛ. Угол между ними равен 60°. Найти длину меньшей дуги, отсекаемой хордой КЛ, если радиус окружности равен — . л
10Б.102. Из точки Л, лежащей вне круга, проведены касательная к кругу и секущая. Во сколько раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга, если расстояние от точки Л до точки касания в 3 раза больше, чем длина отрезка, лежащего вне круга?
10Б.103. В окружности радиуса /?=УЗ см из одного конца диаметра проведена касательная, а из другого — хорда, стягивающая дугу в 120°. Хорда продолжена до пересечения с касательной. Найти внешний отрезок секущей.
10Б.104. Из точки С вне окружности проведена к окружности касательная СЛ, где Л—точка касания, СА =20 см. Через центр окружности и точку С проведена прямая, а к ней из точки Л — перпендикуляр АВ, равный 12 см. Найти радиус окружности.
159
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Основные формулы
Прямоугольный параллелепипед (рис. 38):
V=d‘b'C‘, S бок.поъ — Р Н г
где Р — периметр прямоугольника, лежащего в основании.
Призма (рис. 39):
V = *Socn/yj ^бок.пов = РсечЬ,
где L — длина бокового ребра; Рсеч — периметр сечения, перпендикулярного боковому ребру.
Пирамида (рис. 40):
г= 4- So^H.
0
Усеченная пирамида V- — — /i(<S + $ + yS-s),
3
где h — высота усеченной пирамиды; S и s — площади большего и меньшего оснЬваний усеченной пирамиды.
Цилиндр (рис. 41):
V=/ASoch=jiP2#; Збок •ПОВ — 2jiRH;
»5полн.пов = 2jiRH + 2nR2.
Конус .(рис. 42):
V™ S0CaH= siR2H\ 5бок.пов = tcRL, 0	О
где L — длина образующей конуса;
*8полн.пов = jiRL TtR2,
Шар (рис. 43):
-i- nR\
Сфера £ = 4лР2.
Шаровой сегмент V=nR2^R — где h — высота сегмента;
S = 2jiRh.
Рис. 38
Рис. 39
160
Рис. 44
Рис. 45
Пример 10.6. В треугольной пирамиде боковые ребра попарно перпендикулярны. Их длины составляют соответственно 2 см, 3 см и 4 см. Найти объем пирамиды.
Решение. Объем пирамиды вычисляется по формуле У= -1- #5оон. При нахождении объема пирамиды DABC (рис. 44) наибольшие трудности возникают при вычислении высоты DE. При решении задач про треугольную пирамиду со взаимно перпендикулярными боковыми ребрами используется специфический прием. Положим пирамиду на боковую грань (рис. 45) ABD. Так как CD LAD и CDL.BD, то CD перпендикулярен плоскости основания ABD. Таким образом, CD является высотой пирамиды CABD. Площадь прямоугольного треугольника ADB (ADLDB) вычисляется по формуле Sadb = = -~- AD-DB. Отсюда объем пирамиды
У= 2_-CD- -TrAD-DB=— AD-BD-CD= — .2.3-4 = 4 см3.
3	2	6	6
Ответ. 4 см3.
Пример 10.7. Площадь осевого сечения цилиндра равна — м2. Найти площадь его боковой поверхности.
Решение. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, у которого одна из сторон является диаметром основания цилиндра, а еще одна сторона — образующая цилиндра (рис. 46). Отсюда площадь осевого сечения S = 2RH.
11 Заказ № 1452
161
Рис. 46
Рис. 47
Площадь боковой поверхности цилиндра ^бок.пов— 2л/?// = =л5.
Окончательно £бок.пов = — *л=6 м2. к
Ответ. 6 м2.
2
Пример 10.8. Высота конуса составляет — от диаметра его основания. Найти отношение площади основания конуса к площади его боковой поверхности.
Решение. Площадь основания конуса 5осв = л/?2. Площадь боковой поверхности конуса £бок.пов = nRL, где L — длина образующей (рис. 47). По теореме Пифагора £2=№ + /?2; Н= «=—.27? = -^-^. Отсюда /-	/?. Следователь-
5	5
но, конус имеет 5бо1;.пив = л/?- — R = — л/?2. Искомое отношение о	о
—— = — =0,6.
5	5
Ответ. 0,6.
Пример 10.9. Объем шара равен 12. Найти объем другого шара, у которого площадь поверхности в 9 раз больше, чем у данного шара.
Решение. Все шары подобны друг другу. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а 5
объемов — кубу коэффициента подобия: —= &2=9. Отсюда s
k = 3. Следовательно, =/г3 = 27. Получаем V=27  и = 27 -12 = = 324.
Ответ. 324.
Пример 10.10. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен
3
162
Решение. Изобразим осевое сечение конуса (рис. 48). Сечение шара на этом рисунке ayf 3 является вписанным кругом, г= » гДе а —
сторона треугольника. Радиус основания конуса /? = . Высота конуса Н= • Объем
/?
Рис. 48
конуса
тj 1 и по 1 O' 3	дЭ
О	О	4	4
4	-
Объем шара Уш= — пг3. Так как а = 2уЗг, то О
л- /3 8-3- /З Н
24
= ЗдГ3.
Отсюда
_Ук_ Уш
Злг3
4
3
= 2,25, К = 2,25-	= 2,25- — =24.
3
Ответ. 24.
ЗАДАЧИ
Группа А
10А.160. Площадь поверхности куба 150. Найти его объем.
10А.161. Площадь поверхности куба 96. Найти ребро куба.
10А.162. Объем куба равен 2У2. Чему равен радиус круга, описанного вокруг грани куба?
10А.163. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагонали верхнего и нижнего оснований, равна 16У2. Найти длину ребра куба.
10А.164. Диагональ куба равна 3. Найти его полную поверхность.
10А.165. Диагональ куба равна 6. Найти площадь его одной грани.
10А.166. Найти объем куба по его диагонали /=ЗУЗ.
10А.167. Площадь полной поверхности куба равна 3. Найти длину диагонали грани куба.
10А.168. Найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12, а стороны основания 8 и 6.
И*
163
10А.169. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда У38.
10А.170. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной, равной 1. Диагональ параллелепипеда Уб. Найти объем.
10А.171. Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Найти объем этого параллелепипеда, если высота его 6, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.
10А.172. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со сторонами, равными У2. Найти объем этого параллелепипеда, если его диагональ образует с плоскостью основания угол 45°.
10А.173. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ боковой грани параллелепипеда, равная 8, образует с плоскостью основания угол 30°. Найти объем параллелепипеда.
10А.174. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания равны 6 и 8, а его диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°.
10А.175. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найти полную поверхность параллелепипеда.
10А.176. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 5У2 и образует с плоскостью основания угол 45°. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна 12.
10А.177. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 3 и 4, если она образует с плоскостью основания угол 60°.
10А.178. В прямом параллелепипеде стороны основания а=3 и Ь = 6 образуют угол 30°. Боковая поверхность 24. Найти его объем.
10А.179. Найти площадь поверхности прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 8 и 12 и образуют угол 30°, а боковое ребро равно 6.
10А.180. Объем правильной треугольной призмы равен ЗУсГ. Радиус окружности, описанной около основания призмы, равен—. Найти высоту призмы.
10А.181. В основании призмы лежит равносторонний треугольник, площадь которого равна 9УЗ. Найти объем призмы, если ее высота в УЗ раз больше стороны основания.
164
10А.182. Объем прямой призмы, основание которой — правильный треугольник, равен 18УЗ, ее высота равна 8. Найти сторону основания.
10А.183. Все ребра прямой треугольной призмы имеют длину 2]/3. Найти объем призмы.
10А.184. В прямой треугольной призме стороны основания равны 3, 4 и 5, а высота равна 6. Найти ее полную поверхность.
10А.185. В сечении прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной 12]/2. Объем призмы равен 360. Найти длину диагонали той боковой грани, которая проходит через катет.
10А.186. В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 18. Найти площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна (2 —у2).
10А.187. По стороне основания а = 2 и боковому ребру Ь = 3 найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы.
10А.188. Основанием призмы служит квадрат со стороной V 4 —уз. Одна из боковых граней тоже квадрат, другая — ромб с углом 60°. Найти полную поверхность призмы.
10А.189. Найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна У34, а диагональ боковой грани 5.
10А.190. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, наибольшая диагональ которой равна 13, а боковое ребро 5.
10А.191. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, если сторона основания 3, а диагональ боковой грани 5.
10А.192. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6УЗ. Сторона треугольника основания пирамиды равна 4. Найти объем пирамиды.
10А.193. По данной стороне основания а=9 и боковому ребру Ь = 6 найти высоту правильной треугольной пирамиды.
10А.194. Во сколько раз увеличится боковая поверхность правильной треугольной пирамиды, если стороны основания увеличить в 2 раза, а апофему — в 3 раза?
10А.195. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90е. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 3. Найти радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды.
1G5
10А.196. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найти объем пирамиды.
ЮЛ.197. Высота правильной треугольной пирамиды 2/3, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найти объем пирамиды.
10А.198. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды 4 и образует с плоскостью основания угол 30°. Найти с точностью до 0,1 площадь основания пирамиды.
10А.199. Высота правильной треугольной пирамиды 2^3, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60°. Найти объем пирамиды.
10А.200. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна j/^48, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
10А.201. По данной стороне основания а=8 и боковому ребру Ь = 6 найти высоту правильной четырехугольной пирамиды.
10А.202. Высота правильной четырехугольной пирамиды 7, а сторона основания 8. Найти боковое ребро.
ЮА.203. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 18 и 24. Каждое из боковых ребер равно 25. Найти объем пирамиды.
10А.204. В правильной четырехугольной пирамиде высота /г = 3, боковое ребро / = 5. Найти объем пирамиды.
10А.205. Высота правильной четырехугольной пирамиды 12, а высота ее боковой грани 15. Найти объем пирамиды.
10А.206. Найти площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 1, а боковое ребро 1/ 2L.
V 2
10А.207. Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 60, сторона основания 6. Найти объем этой пирамиды.
ЮА.208. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды 36, а ее боковая поверхность 60. Найти объем этой пирамиды.
10А.209. Объем правильной четырехугольной пирамиды 48, высота 4. Найти боковую поверхность этой пирамиды.
10А.210. Найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если высота ее равна 2 и сторона основания 4,2.
10А.211. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона основания равна 18. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
166
10А.212. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и 15. Высота пирамиды, равная 4, проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
10А.213. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60°. Площадь основания пирамиды 16. Найти боковую поверхность пирамиды.
10А.214. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3, Боковая грань ее наклонена к плоскости основания под углом 45е. Найти объем пирамиды.
10А.215. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 5. Тангенс двугранного угла при основании ра-4
вен -у-. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
10А.216. Апофема боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна УЗ, а угол между апофемой боковой грани и плоскостью основания 60°. Найти объем пирамиды. Ответ дать в виде десятичной дроби.
10А.217. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания Зуз, а боковая грань составляет с плоскостью основания угол 30°. Найти объем пирамиды. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10А.218. Во сколько раз увеличится объем четырехугольной пирамиды, если сторону основания увеличить в 3 раза, а высоту — в 2 раза?
10А.219. В пра_вильной четырехугольной пирамиде боковое ребро бу2, а угол между боковым ребром и плоскостью основания 45°. Найти объем пирамиды.
10А.220. В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно зуб. Объем пирамиды равен 54. Найти угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью ос основания.
10А.221. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°, а площадь диагонального сечения равна 36.
ЮА.222. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен 30°. Боковое ребро 1 = 2. Найти боковую поверхность пирамиды.
10А.223. Найти объем шара радиуса 3. Ответ записать в виде десятичной дроби, полагая л = 3,14, с точностью до , .
10А.224. Найти объем шара, диаметр которого равен жить л = 3.	объем равен 2048л/3.
10А.225. Найти диаметр шара, если ег
167
10А.226. Объем шара равен 32л/3. Найти шаровую поверхность, полагая л = 3,14.
10А.227. Найти площадь сферы, диаметр которой равен б, полагая л = 3,14.
10А.228. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в 3 раза?
10А.229. Площадь поверхности одного шара равна 393. Найти площадь поверхности другого шара, у которого радиус в УЗ раза меньше, чем у данного.
10А.230. Во сколько раз нужно увеличить диаметр шара, чтобы его объем увеличился в 8 раз?
10А.231. Площадь поверхности одного шара равна 43. Найти площадь поверхности другого шара, объем которого в 27 раз больше объема данного шара.
10А.232, Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24л, а его объем равен 48л2 Найти его высоту.
10А.233. Объем цилиндра 8лУ5, а высота 2У5. Найти диагональ осевого сечения.
10А.234. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4]/2, образует с плоскостью основания угол 45°. Найти боковую поверхность цилиндра, полагая л = 3,14.
10А.235. Площадь осевого сечения цилиндра равна 6/л. Найти площадь его боковой поверхности.
10А.236. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15л. Найти площадь осевого сечения цилиндра.
10А.237. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4уз^ образует с плоскостью основания угол 45°. Найти боковую поверхность цилиндра, полагая л = 3,14.
10А.238. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту — в 3 раза?
10А.239. Высота и радиус основания конуса соответственно равны 4 и 3. Найти боковую поверхность конуса, полагая л=3,14.
10А.240. Найти площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, если образующая его равна 4, а площадь основания равна 16/л.
10А.241. Найти площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, если образующая его равна 6, а площадь основания равна 9л.
10А.242. Образующая конуса равна 3, а площадь круга основания 4л. Найти площадь боковой поверхности конуса, полагая л = 3,14. Ответ записать в виде десятичной дроби.
168
10А.243.	Образующая конуса 1 наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти полную поверхность конуса 6 при /— "TZ1. г тс
10А.244.	Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, а образующая равна 2. Найти поверхность конуса, полагая л = 3,14. Ответ записать с двумя знаками после запятой.
10А.245.	Площадь боковой поверхности конуса равна 11, а дли-1 на образующей -=== . Найти площадь основания ко-у 2тс нуса.
10А.246.	Площадь боковой поверхности конуса 260л. Образующая этого конуса равна 26. Вычислить котангенс угла между образующей конуса и его высотой.
10А.247.	Угол при основании осевого сечения конуса 60°, высота конуса 3. Найти боковую поверхность конуса с точностью до 0,1.
10А.248.	Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Площадь боковой поверхности этого конуса равна 5. Найти площадь полной поверхности конуса.
10А.249.	Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, если радиус его основания увеличить в 3 раза, а образующую — в 2 раза?
10А.250.	Угол при вершине осевого сечения конуса 60°, образующая его равна 2]/3. Найти объем конуса, полагая л=3,14.
ЮА.251.	Угол при основании осевого сечения конуса 45°, радиус основания 3. Найти объем конуса с точностью до 0,1.
10А.252.	Найти объем прямого кругового конуса, высота которого 3, длина окружности основания 4у.л.
10А.253.	6	10 Высота конуса ' х	, образующая	. Найти объ- V т.	V тс ем конуса.
10А.254. Во сколько раз увеличится объем прямого кругового конуса, если радиус его основания увеличить в 4 раза, а высоту — в 2 раза?
10А.255. Найти радиус основания прямого кругового конуса, если его образующая 5, а высота 4.
10А.256. Найти объем прямого кругового конуса, высота которого равна 9, а длина окружности основания
10А.257. Объем конуса равен 1,5л. Высота его равна 2. Найти тангенс угла между высотой и образующей конуса.
169
10А.258. Найти объем конуса, радиус основания которого равен
, а образующая
наклонена к плоскости основа-
ния под углом 30°.
10А.259. Образующая конуса
/=
и составляет с плоско-
стью основания угол
30°. Найти объем конуса.
10А.260. Образующая
конуса
равна
и
составляет с
плоскостью основания 30°. Найти объем конуса.
10А.261. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом а=45° и имеет длину 4. Найти объем-конуса е точностью до 0,1.
Группа Б
10Б.105. Найти площадь диагонального сечения куба, объем которого равен 4>/ 2.
10
10Б.106. Ребро куба равно —рг . Найти расстояние от плоскос-V 2
ти диагонального сечения до непересекающего его ребра.
10Б.107. Ребро куба ABCDA^B^C^Di равно 2 см. Найти расстояние между AD[ и В\С.
10Б.108. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы трех ребер, выходящих из одной вершины, равна 18УЗ. Найти длину ребра куба.
10Б.109. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 16. Боковое ребро равно 4. Найти острый угол между диагоналями основания параллелепипеда, если его диагональное сечение имеет форму квадрата.
10Б.110.. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 —У2 и 2 + у2, а диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти боковую поверхность.
10Б.111. Через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания прямоугольного па раллелепипеда проведена плоскость. Найти синус угла между этой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если ребра основания равны 15 и 20, а боковое ребро 16.
10Б.112. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 2:1, а диагональное сечение есть квадрат с площадью 26. Найти объем параллелепипеда.
ПО
10Б.115.
10Б.116.
10Б.117.
10Б.113. В прямом параллелепипеде стороны основания 10 и 17, одна из диагоналей основания равна 21. Большая диагональ параллелепипеда равна 29. Найти объем параллелепипеда.
10Б.114. В прямом параллелепипеде стороны основания 10 и 17, одна из диагоналей основания равна 21. Большая диагональ параллелепипеда равна 29. Найти полную поверхность параллелепипеда.
В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами а = ЗУ2, Ь=у2 и острым углом 45°. Площадь боковой поверхности параллелепипеда в 4 раза больше площади его основания. Найти высоту параллелепипеда.
Найти объем прямого параллелепипеда, зная, что высота его равна УЗ, диагонали его составляют с основанием углы 45° и 60° и основанием служит ромб.
Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 6, угол между плоскостями двух боковых граней 60°. Большая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания 45°. Найти объем параллелепипеда.
Основанием прямой призмы служит равнобедренный з/ ---------------------------------------------
треугольник, основание которого равно у |/'2 + 2, а угол при нем 45°. Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме площадей оснований. Все ребра прямой треугольной призмы имеют одинаковую длину. Площадь полной поверхности призмы равна 4 + 8УЗ. Найти площадь ее основания.
Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной 3, а одно из боковых ребер равно 2 и образует с пересекающими его сторонами основания углы по 30°. Найти площадь боковой поверхности'призмы с точностью до 0,1.
10Б.121. В правильной треугольной призме через сторону основания проведено сечение под углом 30° к плоскости основания. Получился треугольник, площадь которого равна 8. Найти сторону основания призмы.
10Б.122. Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диагональных сечений равны 6 и 8. Найти площадь боковой поверхности призмы.
10Б.123. Найти длину бокового ребра правильной
угольной призмы, если ее диагональ равна 7]/2 и составляет с боковой гранью угол 30.	||Пл
10Б.124. Наибольшая диагональ "Рав^	ребром
призмы равна 4 и составляв угол 30°. Найти объем призмы.
10Б.118.
10Б.119.
ЮБ.120.
четырех-
171
10Б.125.
10Б.126.
10Б.127.
10Б.128.
10Б.129.
10Б.130.
10Б.131.
10Б.132.
10Б.138.
10Б.134.
10Б.135.
Сторона основания правильной четырехугольной призмы У2, а ее диагональ составляет с плоскостью боковой грани угол 30°. Найти объем призмы.
В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12у2. Диагональ боковой грани, проходящей через катет, равна 13. Найти объем призмы.
В правильной треугольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью основания 60°, а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 1^4. Найти объем пирамиды.
В правильной шестиугольной пирамиде проведено сечение, проходящее через середины двух смежных боковых ребер параллельно высоте пирамиды. Найти площадь этого сечения, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 30, а боковое ребро 50.
В правильной четырехугольной пирамиде плоскость сечения, параллельного основанию, разделила высоту пополам. Найти сторону основания пирамиды, если площадь сечения равна 36.
В основании пирамиды лежит ромб со стороной 15уЗ и острым углом 30°. Найти площадь сечения, параллельного основанию, если площадь сечения делит высоту в отношении 4:1 (считая от вершины).
В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении 1:1. Площадь основания больше площади сечения на 381. Найти площадь основания.
В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение, проходящее через середины двух смежных боковых ребер параллельно высоте пирамиды. Найти площадь этого сечения, если боковое ребро равно 18, а диагональ основания 16У2.
Основаниями усеченной пирамиды служат прямоугольные треугольники с острым углом 30°. Гипотенузы треугольников равны соответственно 6 и 4. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна УЗ. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 4 и 2. Высота усеченной пирамиды —• Найти ее объем.
/з
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 5 и 3. Ребро усеченной пирамиды равно У17. Найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.
172
10Б.136. Найти объем усеченной пирамиды, если площади .ее оснований 96 см2 и 24 см2, а высота соответствующей полной пирамиды 16 см.
10Б.137. Найти объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее диагональ равна 18, длины сторон оснований 14 и 10.
10Б.138. Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды равно 2, сторона большего основания 3, высота усеченной пирамиды равна у5. Найти площадь диагонального сечения усеченной пирамиды.
10Б.139. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны соответственно 2, 3, 4. Найти объем пирамиды.
10Б.140. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания a = 6j^2, боковые ребра взаимно перпендикулярны.
10Б.141. Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна УЗ, а все плоские углы при вершине прямые.
10Б.142. Площадь поверхности шара равна 20. На расстоянии з
---- от центра шара проведена плоскость. Найти ?Ут1
площадь полученного сечения.
10Б.143. В шаре на расстоянии d = 4 от центра проведено сечение, площадь которого 5 = 9л. Найти радиус шара.
5
10Б.144. Площадь поверхности шара равна — . На расстоянии 7С
— от центра шара проведена плоскость. Найти длину 7€
полученной в сечении окружности.
10Б.145. Дан шар радиуса R=-^. Через конец радиуса про-
ведена плоскость под углом 60° к нему. Найти площадь сечения.
10Б.146. На расстоянии 1,5л-0-5 от центра шара проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 2,75. Найти площадь поверхности шара.
10Б.147. Площадь поверхности шара равна 5л. Шар рассечен плоскостью. Длина окружности сечения шара равна л. Найти расстояние от центра шара до секущей плоскости.
10Б.148. Найти объем шара, если площадь его поверхности рав-16 на -------------.
173
10Б.149. Найти объем шара, если площадь его поверхности равна 36л.
10Б.150. Найти высоту цилиндра, если площадь его основания равна 1, а площадь боковой поверхности равна Ул.
10Б.151. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как л: 4. Найти угол между диагоналями осевого сечения.
10Б.152. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, диагональ которого равна а и образует с основанием угол 60°. з/~ /з
Найти объем цилиндра при а=8|/ —.
10Б.153. Осевым сечением цилиндра является квадрат с диаго-6 / 2~
налью 3|/ —. Найти объем цилиндра.
10Б.154. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ кото-! //Л24/2	„ „ л
рого равна I/ —— . Наити объем цилиндра.
10Б.155. Высота цилиндра равна длине окружности основания. Найти диаметр основания, если объем цилиндра равен 432л2.
“1 / 1^2—1
10Б.156. Образующая конуса равна 1/ п . Найти площадь полной поверхности конуса, если угол при вершине осевого сечения конуса прямой.
10Б.157. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Площадь полной поверхности конуса равна 18. Найти площадь основания конуса.
10Б.158. Площадь боковой поверхности конуса втрое больше площади основания. Найти объем конуса, если радиус основания 2. Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,1.
10Б.159. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Найти диаметр основания, если площадь полной поверхности конуса равна 363л.
10Б.160. Радиусы оснований усеченного конуса 3 и 1. Найти боковую поверхность этого конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° (л=3,142). Ответ записать с двумя знаками после запятой.
10Б.161. Основания усеченного конуса имеют размеры, равные 48л и 16л. Площадь его боковой поверхности равна сумме площадей оснований. Найти угол наклона образующих к плоскости основания.
174
r,	//*15
10Б. 162. Радиус основания конуса равен [/ ~, а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен 90°. Найти объем конуса.
з
10Б.163. Найти объем конуса, если его высота __ , а расстоя-ние от центра основания до образующей ——.
10Б.164. Разность между образующей конуса и его высотой равна 3, а угол между ними 60°. Найти объем конуса, полагая л = 3,14.
10Б.165. В конусе площадь основания равна — и площадь тс
осевого сечения 30. Найти объем этого конуса.
10Б.166. Диаметр основания конуса равен образующей и равен ь г з
2|/	. Найти объем конуса.
10Б.167. Осевым сечением конуса является равносторонний G /~^
треугольник со стороной . Найти объем конуса.
10Б.168. Объем конуса равен 9, а радиус его основания равен _ 1 4
Зя '. Найти угол наклона образующей конуса к плоскости основания.
з/" у
10Б.169. Равносторонний треугольник со стороной 1/ — вра--	тс
щается вокруг одной из сторон. Найти объем полученной фигуры вращения.
10Б.170. Правильный треугольник со стороной а=4 вращается вокруг стороны. Найти объем тела вращения с точностью до 0,01,. приняв л = 3,14.
10Б.171. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а— —Ц. Найти ббъем тела вращения.
j/” ТС
10Б.172. Ромб с диагоналями У15 и — вращается вокруг тс
большей диагонали. Найти объем полученной фигуры вращения.
Ь Г Q
10Б.173. Квадрат со стороной I/ — вращается вокруг дна-гонали. Найти объем полученной фигуры вращения.
176
10Б.174. В цилиндр вписан конус так, что основания и высоты этих двух фигур совпадают. Во сколько раз объем цилиндра больше объема конуса?
10Б.175. Найти радиус шара, описанного около куба, если площадь поверхности этого куба равна 72.
10Б.176. Радиус шара, описанного около куба, равен 3. Найти площадь поверхности куба.
4	6
10Б.177. Ребра прямоугольного параллелепипеда —,
У ft	у те
12
—Найти поверхность описанного шара.
У те
10Б.178. В куб вписан шар. Найти площадь поверхности шара, если площадь полной поверхности куба равна 1170/л.
10Б.179. Найти объем цилиндра, вписанного в куб объемом 8, приняв л = 3,14.
10Б.180. В шар, площадь поверхности которого равна 100л, вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, если радиус его основания равен 4.
10Б.181. Площадь осевого сечения цилиндра равна 3, а высота цилиндра равна 1,5. Найти радиус шара, описанного около этого цилиндра.
10Б.182. Площадь поверхности шара равна 330. Найти площадь полной поверхности цилиндра, описанного около шара.
10Б.183. Объем цилиндра равен 7,5. Найти объем вписанного в этот цилиндр шара.
10Б.184. Цилиндр вписан в шар, радиус которого равен Найти объем цилиндра, если высота цилиндра в два раза больше радиуса цилиндра (л = 3,14). Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
10Б.185. Вокруг шара описан цилиндр. Найти отношение поверхности цилиндра к поверхности шара.
10Б.186. Высота конуса 8, образующая 10. Найти радиус вписанного шара.
10Б.187. В конус с образующей, равной и наклоненной
к плоскости основания иод углом 60°, вписан шар. Найти объем шара.
10Б.188. Образующая / конуса, равная 6|/	, наклонена к
плоскости основания под углом 60°. Найти объем шара, вписанного в конус.
10Б.189. Высота конуса равна 2, образующая равна 4. Найти радиус описанного шара.
10Б.190. Высота конуса равна 3, образующая равна 6. Найти радиус описанного шара.
И0
10Б.191. В шар вписан конус. Найти высоту конуса, если радиус шара 5, а радиус основания конуса 4.
10Б.192. В шар вписан конус, осевое сечение которого — равнобедренный прямоугольный треугольник. Какую часть объема шара составляет объем конуса? Ответ дать в виде.десятичной дроби.
10Б.193. В шар вписан конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник. Найти отношение объема конуса к объему шара. Ответ записать с точностью до 0,01.
10Б.194. В шар вписан конус так, что его основанием служит большой круг шара. Во сколько раз объем шара больше объема конуса?
10Б.195. В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара.
10Б. 196. Шар и конус имеют одинаковый объем. Высота конуса равна 4. Чему равен радиус шара, если он совпадает по величине с радиусом основания конуса?
10Б.197. Конус и шар имеют равные высоту и диаметр. Радиус 4 /”5~
шара равен — . Найти площадь боковой поверхности конуса, если объем его равен объему полушара.
10Б.198. Образующая усеченного конуса равна 4>^3 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти объем шара, вписанного в этот конус, полагая л = 3,14.
10Б.199. В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса 3
равна р/ —, а угол между высотой и образующей равен 45°. Найти объем шара.
10Б.200. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Площадь осевого сечения конуса равна 75. Найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, полагая л = 3,14.
10Б.201. Конус вписан в шар, радиус которого равен 17. Найти радиус основания конуса, если угол при вершине его осевого' сечения равен 30°.
10Б.202. Найти площадь поверхности шара, описанного около 2
конуса, у которого радиус основания > а высо-
1 та —-.
У*
10Б.203. Высота конуса 20, образующая 25. Найти радиус вписанного полушара, основание которого лежит на основании конуса.
12 Заказ № 1452
177
10Б.204. Высота конуса равна 3, угол между высотой и образующей равен 45°. В этот конус вписан другой конус так, что его вершина совпадает с центром основания первого конуса, а соответствующие образующие взаимно перпендикулярны. Найти объем вписанного конуса, полагая л = 3,14.
10Б.205. Два шара, расстояние между центрами которых равно 4 /Зу—
/ул, касаются друг друга внешним образом. Площадь поверхности одного из шаров равна 4^л. Найти объем другого шара.
10Б.206. В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Найти объем конуса, если объем пирамиды ра-
10Б.207. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 9|/ и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объем шара, вписанного в пирамиду. Ответ записать в виде десятичной дроби.
10Б.208. Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найти проекцию перпендикуляра на наклонную.
10Б.209. Из точки А к плоскости а проведены наклонные АВ и АС, длины которых относятся как 5:8. Найти расстояние от точки А до плоскости а, если проекции наклонных на эту плоскость соответственно равны 7 см и 32 см.
10Б.210. Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых относятся как 5:6. Найти расстояние от точки до плоскости, если соответствующие проекции наклонных равны 4 и ЗУЗ.
10Б.211. Из данной точки к плоскости проведены две наклонные, разность длин которых равна 6 см. Их проекции на эту плоскость равны 27 см и 15 см. Найти расстояние от данной точки до плоскости.
10Б.212. В треугольнике АВС катет АВ = 3 см, Z.B = 90°. Из вершины А к плоскости этого треугольника проведен перпендикуляр AM. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AM = 4 см.
10Б.213. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Прямая а лежит в плоскости а, прямая Ь перпендикулярна плоскости а. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми, если точка М прямой b отстоит от плоскости а на 4 см, а от прямой а — на 5 см.
178
10Б.214. На плоскости а даны две параллельные прямые а и Ь, расстояние между которыми равно 6 см. Вне плоскости а дана точка S, удаленная от прямой а на 25 см и от прямой b — на 29 см. Найти расстояние от точки S до плоскости а.
10Б.215. Сторона правильного треугольника равна 12 см. На расстоянии 1 см от плоскости треугольника взята точка, одинаково удаленная от всех его сторон. На каком расстоянии от вершины треугольника находится эта точка?
10Б.216. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой вершины на расстояние 10.см. Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
10Б.217. Найти расстояние от точки М до плоскости равнобедренного треугольника АВС, зная, что АВ = ВС=13 см, ДС=10 см, а точка М удалена от каждой стороны тре-
10Б.218. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а боковые стороны по 10 см. Вне треугольника дана точка, удаленная от всех его вершин на 26 см. Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
10Б.219. Основание и высота равнобедренного треугольника равны по 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найти это расстояние.
10Б.220. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Из точки О проведен к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если Д/) = 6, ОМ = 4.
10Б.221. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Точка М, расположенная вне плоскости ромба, удалена от всех сторон ромба на 8 см. Найти расстояние от точки М до плоскости ромба.
10Б.222. Точка М, равноудаленная от сторон, ромба, находится на расстоянии 2 см от плоскости ромба. Найти расстояние от точки М до сторон ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см.
10Б.223. Равнобедренная трапеция, периметр которой равен 48 см, а острый угол 60°, расположена в плоскости а. Точка, одинаково удаленная от всех сторон трапеции, находится на расстоянии 3’см от плоскости а. Найти расстояние от этой точки до сторон трапеции.
12*
179
10Б.224. Трапеция вписана в круг, причем меньшее ее основание, равное 16 см, стягивает дугу в 60°. На расстоянии 12 см от плоскости трапеции находится точка, равноудаленная от всех вершин трапеции. Найти расстояние от этой точки до вершин трапеции.
10Б.225. Через центр О квадрата ABCD проведен перпендикуляр OF к плоскости квадрата. Вычислите косинус угла между плоскостями BCF и ABCD, если FB = 5, ВС=6.
10Б.226. Через центр О правильного треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр OD. Найти косинус угла между плоскостями АВС и ABD, если BD = AB.
10Б.227. Из вершины А правильного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр AM. Точка М соединена с точками В и С. Двугранный угол, образованный плоскостями АВС и МВС, равен 60°. Найти тангенс угла, образованного стороной МВ с плоскостью треугольника АВС.
10Б.228. Два равносторонних треугольника АВС и АВМ лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Найти косинус угла.
10Б.229. Отрезок АВ длиной 6 см упирается. своими концами в две взаимно перпендикулярные плоскости. Расстояние от точек А и В до линии пересечения плоскостей равно 3 см. Найти углы, которые образует отрезок с этими плоскостями.
10Б.230. Из точки А, взятой на окружности радиуса 2 см, восставлен к плоскости круга перпендикуляр АХ, равный 1 см. Из точки А проведен диаметр АВ, а из точки В под углом 45° к диаметру — хорда ВС. Найти расстояние от точки X до хорды ВС.
10Б.231. Диагонали ромба ABCD равны 30 см и 40 см. Из вершины А проведен к плоскости ромба перпендикуляр АХ. Найти расстояние от точки X до стороны АВ, если Д^=I0 сц.
10Б.232. К плоскости ромба ABCD, в котором /_Д=45°, ДВ = 8, проведен перпендикуляр CF, равный 7. Найти расстояние от точки F до стороны ромба AD.
10Б.233. Через одну из сторон ромба, диагонали которого равны 6 и 8, проведена плоскость а под углом 60° к плоскости ромба. Найти площадь проекции ромба на плоскость а.
180
§ 11. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Расстояние между точками плоскости А и В, имеющими координаты соответственно (%г, yi) и (х2; #2), определяется по формуле
ЛВ = У(х2-х1)2+ (у2-У\)2.	(И.1)
По этой же формуле определяются длина отрезка АВ или модуль вектора АВ.
Координаты (хср; £/ср) середины отрезка АВ определяются по формулам
0ер=^.	(11.2)
Координаты' вектора АВ (х; у) находятся по формулам
х=х2-х1\ У=У2~У\-	(11.3)
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Расстояние между точками пространства А (х1; у{\ zi) и В (х2; у2, z2) определяется по формуле
АВ — у(х2 — Х|)24- (у2 — */i)2+ (22 — Zi)2.	(11.4)
По этой же формуле определяются длина отрезка АВ или модуль вектора АВ.
Координаты (хср; уСр\ zcp) середины отрезка определяются по формулам
_ Xi+X2 ,	_ У1+У2 .	_ Z1+Z2	/11 С\
%сР------. Уср— —  , 2ср— — .
Координаты вектора АВ, (х; у, z) находятся по формулам х = х2-х,; у=у2-у{\ z = z2-zx.	(П.в)
Тот факт, что вектор АВ имеет координаты (х; у\ z), может быть записан так:
АВ = х- I у - / + z-k, где i, J, & —единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу и Oz соответственно.
181
Модуль вектора а (аг, аг; а3), заданного своими координатами, находится по формуле
	|а| =уа12+а22+а32.	(11.7)
Пусть есть	два вектора a (at; a2; a3) и b (&г,	b2\ b3), тогда
	a + b = c(ai + &г> аг + ^г; а3 + &3);	(11.8)
	a — b = d(al — b{-t a2 — b2\ a3—b3)\	(11.9)
	Xa = k(Kaft \a2\ Xa3).	(11.10)
Скалярным число	произведением a-b векторов а и	b называется
	a. 6 = |a| • p|coscp,	(1111)
где <р — угол между векторами а и Ь.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой
а • b=(i[b\4- й2^2~^~ <1ъЬ3.	(11.12)
Косинус угла между векторами а (аг, а2; а3) и b (&г, Ь2\ Ь3) определяется по формуле
COS ф-----=  	ДЛ + в2»2+°3»3	(j | 13)
|а| • |*|	]/’а12+Й22+а3!. Vbj+bf+bj
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов а (аг, а2; а3) и b (&г Ь2\ Ь3) имеет вид
а-6 = а1^1 + а262 + а3^3 = 0.	(11.14)
Необходимым и достаточным условием параллельности (коллинеарности) ненулевых векторов а и b является существование такого числа X, что
а =	(11.15)
Пример 11.1. При каком значении z векторы а (6; 0; 12) и b ( — 8; 13; г) перпендикулярны?
Решение. Воспользуемся формулой (11.14)
а-Ь = 6- (-8) +0-13+ 12-г=0, 12z-48 = 0, г=4.
Ответ. z=4.
182
Пример 11.2. Найти скалярное произведение векторов а = 2 i 4- 3 / — 4k и b= i — 2 / +Х
Решение. Запишем векторы а и b в координатной форме: ~а (2; 3; -4), b (1; -2; 1).
Используя формулу (11.12), имеем
а-6 = 2-1+3- (-2) +(-4) -1 = —8.
Ответ. —8.
Пример 11.3. При каком значении а векторы а (2; 3; —4) и b (а; —6; 8) параллельны?
Решение. Используя формулу (11.15), имеем а=\Ь. Отсюда
2=Ха, 3=-6Х, k — 4 = 8Х.
Решая систему, получим Х=----; а=—4.
Ответ. а = — 4.
Пример 11.4. Найти угол между векторами а ( — 1; 2; —2) и~Ь (6; 3; -6).
Решение. Используя формулу (11.13), имеем (-1)-6 + 2-3+ (-2) • (-6)	12	4
COS <р = —	—			 - = —- = — .
]/*(—1)2 + 22+(—2)2- Кб2+32+(-6)2	39	9
„ 4 Ответ, ср = arccos —.
Пример 11.5. Векторы АВ = — 3i + 4Z? и ДС=5/—2/ + 4Z? служат сторонами треугольника АВС. Найти длину медианы AM.
Решение. АМ=—(АВ + АС),
ДМ=1(-3 + 5; 0-2; 4+ 4) = (1; - 1; 4), 2
| ЛМ | = У 12+(-Т)Т+4^ = V18 = ЗУ 2.
Ответ. \АМ| =ЗУ2.
183
ЗАДАЧИ
Группа А
11 А.001. Найти скалярное произведение векторов а (2; 4; 1) и b (3; 5; 7).
11А.002. При каких значениях х и у векторы а (3; —2; х) и b (у\ 4; 2) коллинеарны? В ответе записать произведение найденных значений хи у. •
11 А.003. Найти длину вектора а (3; 4).
11А.004. При каких значениях х векторы а ( — 1; 1; 2) и b (х2; х—2; х2—12) коллинеарны?
11А.005. При каком значении х векторы а (х; 3; 4) и b (5; 6; 3) перпендикулярны?
НА.006. Найти произведение координат х и z вектора а (х; 2; г), перпендикулярного вектору b (2; 3; —2) и оси Ох.
11А.007. При каких значениях z длина вектора c = 2i — 9j+zk равна 11? В ответе записать произведение всех найденных значений z.
11 А.008. Найти координату z середины отрезка АВ, где А (3; 5; 7), В (3; 1; -1).
11А.009. Найти длину вектора с=а + Ь , где а (1; 2; 3) и b (4; —2; 9).
11А.010. Даны векторы а (6; 2; 1) и b (0; —1; 2). Найти длину вектора с=2а — Ь.
11А.011. Найти угол в градусах между векторами a = 2i + и b=i — j—3k.
11Л.012. Найти площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь, если векторы а и b составляют угол 45° и а-Ь = 4.
11 А.013. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, если векторы а и b составляют 30° и а-Г=уЗ.
11А.014. Найти в градусах наибольший угол треугольника, вершины которого расположены в точках А (1; 2) В (1; 4), С (3; 2).
11А.015. Найти угол в градусах между диагоналями четырехугольника с вершинами в точках А (3; 3), В (2; 6), С (1; 5), D (6; 2).
184
Группа Б
11Б.001. Зная, что |а|=2, |Z>|=5, (а, Ь) = —, найти, при
каком значении а векторы р = аа-Н7/Г и q = 3a — b перпендикулярны.
11Б.002. Векторы а и b образуют угол в 120° и |а|=3, |&|=5. Найти |а — 6|.
11 Б.003. Найти угол между векторами 2а и , если а ( — 4; 2; 4), b (2; —2; 0).
11Б.004. Найти произведение координат х,. у, z вектора Р (х; у; z), если р-а = 6, p-b = 9, р-с = 4, а (1; 1; 0), b (1; — 2; 3), с (1; -1; 0).
11Б.005. Найти координату х точки Л4, лежащей на оси Ох и одинаково удаленной от точек
А (1; 2; 3) и В (-3; 3; 2).
11Б.006. Найти значение выражения yz—х2, где х, у, z — координаты вектора с (х; y,z), зная, что |с|=у30. Вектор с перпендикулярен векторам а (2; 2; —1) и b (3; —1; 1) и образует с осью Oz тупой угол.
11Б.007. Длины ненулевых векторов а и b равны. Найти угол между этими векторами, если известно, что векторы-р = а + 2Ь и q = 5а— 4Ь перпендикулярны.
11Б.008. Найти значение выражения Л=5-х-г/, где 5 — площадь треугольника АВС, координаты вершин которого Л (1; 2), В (1; 4), С (3; 2), ахи у — координаты центра описанной вокруг треугольника окружности.
11Б.009. Дан треугольник с вершинами в точках Л (3; —2; 1), В (3; 0; 2), С (1; 2; 5). Найти угол, образованный медианой BD и основанием АС.
11Б.010. Дан треугольник с вершинами в точках Л (0; 0), В (2; 4), С (1; 3). Найти квадрат длины высоты ВО треугольника АВС.
11 Б.ОН. Найти площадь четырехугольника, вершины которого расположены в точках Л (0; 0), В (—1; 3), С (2; 4), £>(3;1).
11Б.012. Найти квадрат расстояния от начала системы координат до центра окружности, описанной вокруг треугольника ЛВС, координаты вершин которого Л (1; 0; 1), В (1; 1; 0), с (1; 1; 1).
185
11 Б.013. Найти диагональ АС параллелограмма ABCD, у которого АВ = 7, АС=8 и ЛВАЯ = 60°.
11Б.014. В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О. Найти сумму векторов ОА + ОВ + О&
11Б.015. Точки Л (1; 0; 2), В (2; 1;0), С (1; 2; 0) являются тремя последовательными вершинами параллелограмма. Найти сумму координат четвертой вершины.
§ 12. ОБРАЗЦЫ ВАРИАНТОВ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ ПРОВЕРКИ
Вариант 16—1
1.	Решить уравнение Ух+3-1--—-— =2.
К х-ь.З + З
2.	Найти произведение целых решений неравенства х2 4-3x4-54 .	8
х2—8х+15  х-5 ""
3.	Найти сумму целых решений неравенства (х— 1) У — х2 + %+2^0.
4.	Решить уравнение 3х— — =1.
3х
5.	Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству 23~вх>1.
6.	Решить уравнение logx-i4 = 2.
7.	На вступительном экзамене по математике 25% поступающих не решили ни одной задачи, 150 человек решили хотя бы одну задачу. Сколько человек сдавало экзамен?
8.	Найти tgx, если sin(x+30°) +sin(x — 30°) =2y3cosx.
9.	Решить уравнение 2sin22x + 7 sin 2х—4 = 0. Найти решение на промежутке 160°<х<200°. Ответ записать в градусах.
10.	В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 30°, а высота, опущенная на это основание, равна 3. Найти радиус описанной окружности.
11.	Боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции соответственно равны 8, 10, 10. Найти большее основание.
12.	В основании призмы лежит равносторонний треугольник, площадь которого равна 9УЗ. Найти объем призмы, если ее высота в УЗ раз больше стороны основания.
186
13.	Найти объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна 13, а диагонали его боковых граней равны 4yio и зуй.
14.	Найти сумму всех двузначных четных чисел.
15.	Найти максимальное значение функции г/=2х3—6х+3.
16.	При каком целом значении параметра а уравнение ах4-1=0 не имеет решений?
Вариант 16—2
д*3 __ о
1.	Решить уравнение -—- = 12х— 16.
2.	Найти среднее арифметическое целых решений неравенства
2	.	8
х—13 > 9
3.	Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
У14 — х>2 — х.
4.	Найти меньший корень уравнения х^х=х2.
(1х \
х2 — — + 3 > — 1.
2	/
6.	Найти наименьшее решение неравенства
3-9х + 2-Зх- 1>0.
7.	Вычислить logg 17• log[7 7• logy 3.
8.	Два пешехода должны пройти путь в 270 км. Один из них проходит ежедневно на 6 км больше, чем другой; поэтому на весь путь он затратил на 1,5 дня меньше, чем другой. За сколько дпей второй пешеход проходит весь путь?
9.	Найти в градусах наименьший положительный корень уравнения
1 +sin x-cos х=3 cos2x.
10.	Дано sina=l/yi0 и 90°<a<180°. Вычислить ctgа.
11.	В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найти длину хорды CD.
12.	Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5:6, а гипотенуза равна 122. Найти проекцию меньшего катета на гипотенузу.
13.	Найти диаметр шара, если его объем равен 2048л/3.
14.	В кубе, ребро которого равно 3, центр верхней грани соединен с тремя вершинами основания. Найти объем образовавшейся пирамиды.	„
15.	Найти второй член бесконечно убывающей гео ской прогрессии, у которой знаменатель 7= —1/ > У всех членов 5 = 9.
187
16.	Вычислить значение производной функции tri	уЗ	у 2
у= т+т+т+х
в точке х= 1.
Вариант 16—3
2	2 3 _L
t D	3 + 1 3 ' 8 “ 15
1.	Вычислить--------------------.
/5	\	11
— +0,25 I : 3,5+22—• —
\ О	1	о /
2.	Найти наибольшее значение х, не являющееся решением неравенства 4(х2+1) >9x4-2.
3.	Найти наименьшее целое положительное значение х, являющееся решением неравенства Ух+12<х.
4.	Найти целое решение уравнения х10^ж=4.
5.	Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству
log3(3x-l)<l.
6.	Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству 0,7ж-1<0,49.
7.	Вычислить log|/-j .
8.	Если на заводе будут ежедневно сжигать 3,6 т топлива, то расходы на топливо за полгода составят 3000 р. Сколько рублей будет сэкономлено на топливе за тот же срок, если ежедневно сжигать на 600 кг меньше?
9.	Вычислить без таблиц 14y2fsin4 — —cos4 — ).
10.	Найти в градусах наименьшее положительное решение уравнения
sin2x + 3 cos2x—2 sin 2х=0.
11.	Найти высоту прямоугольной трапеции, у которой большее боковое ребро равно 5, а разность длин оснований равна 4.
12.	В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Найти величину угла AMD, если дуга AD содержит 70°, а дуга ВС—10°.
2
13.	В шаре на расстоянии h= —— от его центра проведено V я
3 ТТ ..
сечение, радиус которого равен —г . Наити площадь поверхно-сти шара.
188
14.	Сумма всех членов арифметической прогрессии 28, третий ее член 8, четвертый— 5. Найти число членов прогрессии.
15.	Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны соответственно 2, 3 и 4. Найти объем пирамиды.
16.	Найти наибольшее целое решение неравенства
—0, где f (х) = х3 — Зх2 — 9х + 5.
(х+5)(х-6)
Вариант 16—4
g
1.	Упростить и вычислить при х=------г/ = 9:
3]/з
Vх2+2~/~х2у3-у . ( -I . V \
’	—~	—	• У 4- 77Z •
2.	Найти наименьшее целое решение системы неравенств | 2х —7>х—12, | 4х—7>3х —9.
3.	Найти наибольшее целое решение неравенства ]/24 —5х> —х.
4.	Решить уравнение log323x = 21°823-log3 2.
5.	Найти целое положительное х, не являющееся решением неравенства
log22x4-log2 х^2.
6.	Найти наименьшее целое решение неравенства
7.	Решить уравнение 2*4-2х~ * =1+•
0.53*-1 J_ 0,25в*+7 ' 8 ’
8.	Учащиеся VIII класса обмениваются фотокарточками. Сколько было учащихся, если для обмена потребовалось 870 фотокарточек?
9.	Найти (в градусах) наименьший корень уравнения 4 cos2x4-2sin2x=3 sin 2х на интервале 0°<х<90°.
10.	Найти (в градусах) угол (а4-₽), если tgP=y ; tga = 0,4;
а и р — острые углы.
11.	В прямоугольный треугольник, катеты которого равны
10 см и 15 см, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол.
Найти периметр квадрата.	ог а __т,пгг.
12. Боковые стороны треугольника 30 смi и о•	«
ние 25 см. Найти высоту треугольника, опущенную на
ванне.
189
13.	Найти периметр основания правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 6, а апофема 6,5.
14.	Площадь основания конуса З7/Зл, а тангенс угла между образующей и плоскостью основания равен 3. Найти объем конуса.
15.	Найти х из уравнения 14-7+13+ ... +х=280.
16.	Найти наименьшее значение функции #=х3+1,5х2— — 60х+7 на отрезке [0; 5].
Вариант 16—5
1.	Решить уравнение У2х+5 —У10х + 5 = 2.
2.	Найти произведение корней уравнения х2 —6х+ |х—4| +8 = 0.
3.	Найти наименьшее положительное число х, удовлетво
ряющее неравенству У3х—6<3.
4.	Решить уравнение log2log3(х+1) =2.
5.	Найти произведение корней уравнения ЗУ 81-10V49 + 3 = 0.
ву
6.	Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенст-х2-5х-52+ж<0.
7.
Найти целое решение неравенства log2
Зх—1 2-х
<1.
8.	На уборке урожая работало несколько человек. Если бы их было на 3 меньше, то они проработали бы на два дня больше, а если бы их было на 4 больше, то работа была бы окончена на два дня раньше. Сколько человек работало?
1+cos у -sin у	а	т
9.	Вычислить--------------, если tg — -------.
а	а	4	2
1—cos — —sin —— 2	2
10.	Найти (в градусах) х, удовлетворяющее условию 0°<х<180° и являющееся корнем уравнения
cos(20°+x) + cos (100°—х) = ~ .
11.	В прямоугольном треугольнике катеты равны 13 и 84. Найти радиус вписанного круга.
12.	Найти радиус окружности, вписанной в ромб, длины диагоналей которого 6 см и 8 см.
13.	В конусе радиус основания равен 6У2 см, высота равна
12 см. Найти ребро куба, вписанного в этот конус.
14.	В шар вписан конус, высота и радиус основания которого соответственно равны 3 см и ЗУЗ см. Найти радиус шара.
190
15.	Найти число членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...» 96.
16.	Найти произведение экстремальных значений функции у = 2х3+Зх2 — 36х4-3.
Вариант 10—1
1.	Найти наименьший корень уравнения У41 — Зх— У9 — Зх=2У54-х.
2.	Найти сумму целых неотрицательных решений неравенства
4х2-13х+3 <0
logo.20,1
3.	Из двух пунктов, расстояние между которыми 9 км, одновременно выезжают два велосипедиста. Если они будут ехать навстречу друг другу, то встреча произойдет через 20 мин после выезда; если же они будут ехать в одном направлении, то второй догонит первого через 3 ч. Найти скорость второго велосипедиста.
4.	Решить уравнение Зх4-Зх+14-Зх+2= 13.
5.	Найти наименьшее целое х, являющееся решением неравенства log32x—3 log3х—4^0.
6.	Найти (в градусах) значение х уравнения cos 8x + cos 6х=
= УЗсоэх, удовлетворяющее неравенству 85°<х<95°.
7.	Найти решение уравнения 2 sin xsin 8x=cos 7х на промежутке 150°<Сх< 180°. Ответ записать в градусах.
8.	В равнобедренном треугольнике высота равна 45 см, а основание относится к боковой стороне как 4:3. Найти радиус
вписанного круга.
9.	Высота конуса равна 6 см, а образующая 10 см. Найти радиус вписанного шара.
10.	Найти	если f (х)-= 2^3 cos 4х.
\ 6 /
Вариант 10—2
1. Найти целый корень уравнения х24-3х—|х4-2| —6 = 0.
2. Найти наибольшее целое решение неравенства — <0, где f(х) =х3—12x4-7.
(х-4) (х+5)
3. При одновременной работе двух насосов пруд был очи-
191
щен за 2 ч 55 мин. За сколько времени очистит пруд первый насос, работая один, если может выполнить эту работу на 2 ч быстрее второго насоса?
4.	Решить уравнение 3x + 3*+1 = log216.
5.	Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству
6.	Вычислить 6tg2a, если tga=0,5.
7.	Найти (в градусах) решение уравнения sin26x+ 4-5 sin2 Зх=2, удовлетворяющее условию 0°<Сх<с90°. (Выбрать наименьшее решение.)
8.	Найти отношение площади круга, описанного около правильного треугольника, к площади круга, вписанного в этот треугольник.
9.	Высота правильной четырехугольной пирамиды 7 см, а сторона основания 8 см. Найти боковые ребра.
10.	Арифметическая прогрессия имеет 16 членов. Их сумма 840, последний член равен 105. Найти разность прогрессии.
Вариант 10—3
1.	Решить уравнение Ух+8—У7х+9= — 1.
2.	Найти сумму целых решений системы неравенств
| 4х—2^3х—6, I 17х+1^16х—1.
3.	Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и 15 км — по озеру, затратив на путь по озеру на 1 ч меньше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найти скорость туриста в стоячей воде.
4.	Решить уравнение lg(x—2)---Ig(x-Fl) = 1 — lg5.
5.	Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству 910g9<x-4)<:3.
6.	Найти (в градусах) решение уравнения sin4x+cos4x = = sinxcosx, удовлетворяющее условию 0°<х<180°.
7.	Решить уравнение 6x+1 —6x-1 = 35tg —.
4
8.	Катеты прямоугольного треугольника 30 см и 40 см. Найти медиану треугольника, проведенную к гипотенузе.
9.	Из точки А под углом 60° к плоскости проведена наклонная. Найти ее длину, если проекция наклонной на плоскость 8 см.
192
10.	Найти наибольшее целое решение неравенства
——------- <0,
(х—5)(х—8)
где f (х) = х3-7,5х24- 18x4-15.
Вариант 10—4
1.	Найти наименьший корень уравнения У4—х4-У54-х=3. ох2___________________________________________5х—19
2.	Найти сумму целых решений неравенства ----------
V 4х+5
3.	Посев озимых культур должен быть' выполнен по плану за 12 дней. Увеличив норму посева на 16 га в день, колхоз закончил посев за 8 дней. Сколько га колхоз засевал ежедневно?
4.	Найти произведение корней log42x—log4x—6 = 0.
5.	Найти	наименьшее	положительное	х,	удовлетворяющее
(35_у2 \	1
---— 	• х /	2
6.	Найти	(в	градусах)	сумму	корней	уравнения	4cos2x+
4-sinxcosx + 3sin2x = 3, если 90°^х^180°.	»
7.	Вычислить 2V3sina, если cos a = — и <Ca<2n.
8.	Найти радиус вписанной в треугольник окружности, если стороны его равны 5, 13, 12.
9.	В прямой треугольной призме стороны основания равны 4 см, 5 см, 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найти объем призмы.
10.	Найти сумму членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 3, знаменатель равен 2, последний член равен 96.
Вариант 10—5
1.	Решить уравнение (х24-4х)ух—3 = 0.
2.	Найти произведение целых решений неравенства 2х2—9х + 4<0.
3.	В сосуде было 12 л серной кислоты. Сосуд долили водой и получили 20%-ный раствор кислоты. Сколько литров воды долили в сосуд?
4.	Найти больший корень уравнения logsx— * 4-5 = 0.
5.	Найти наименьшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству 2Х+2—2х+3—2х+4>>5Л+1 — 5х+2.
13 Заказ ЛЬ 1452	1 93
6.	Найти наибольший корень х уравнения 2 cos2	—
3
— 5sinx-b2 = 0, принадлежащий интервалу — -я<х<л. Ответ записать в градусах.
7.	Найти tga, если cosa=4/5, 0°<Ca<90°.
8.	Найти площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
9.	Найти полную поверхность цилиндра, у которого диаметр основания и высота одинаковы, а площадь боковой поверхности равна 80 см2.
10.	Найти сумму членов бесконечно убывающей геометриче-
С 1	1
скои прогрессии 6, L-jr, •••
ОТВЕТЫ
§ 1 Группа А
I. -1,4. 2. 37,5. 3. 1000. 4. 8. 5. 1. 6. 3a~3. 7. а-'. 8. а + 2.
9. а—3. 10. — . 11. 0,5. 12. а-Ь. 13. -1. 14. —. 15. а + 2. 9	а
16.22. 17.-3. 18.200. 19.—. 20.2. 21.3. 22.27. 23.0,4. 21
24. 0,5. 25. — . 26. 100. 27. 1. 28. 4. 29. 100. 30. 0,5. 31. 0. 32. 9. 729
33. 2,5. 34. 3. 35. 22. 36. -а. 37. а. 38. а. 39. а. 40. х.
Группа Б
1. 6.	2. 1. 3. 12.	4. 60.	5. 11. 6. 2.	7.	510.	8.	240. 9. 120
10. 420.	11. 800. 12.	4900.	13.	-0,05.	14.	0,3.	15.	5. 16. 2,52
17. 3,75.	18. 1. 19. 1.	20. уГ^а.	21. 1,6.	22.	-2.	23.	х-1. 24. 0
25. 2. 26. ^±-у)2-. 27. -2.	28.	2. 29. - .	30.	. 31.
4ху	2	2+а х+у
32. Ь — а. 33. 1. 34.	. 35. х. 36. х+1. 37. 1. 38. 3-а. 39.
х	у
40.	. 41. -1. 42. -аП - . 43. 6-2. 44. ^±1. 45. 8. 46. ах2
х+у	а2п - b2n	ab
47. 5. 48. 1. 49. 2«а+1). 50. Y~a. 51. а-Ь. 52. V~a. 53. х* у 54. тп. 55. Y~x2- 56.	57. — . 58. - Ya-l. 59. -1
9
60. +m-Y~n. 61.	—. 62. —2. 63.———. 64.
4х(х+2у)	с4 —9	2—а
65. ^±1.66. 4+ Y~4x.
2	г
§ 2
Группа А
. о - 1	6.-5. 7. 12. 8
1.	— 1,5. 2. -1. 3. -12. 4. 2. 5. — .
195
13*
9.	-3. 10. 0,05. 11. 5,2. 12. 60. 13. -3,4. 14. 11. 15. 1-L.
3
16.	-3. 17. 7. 18. 0. 19. ( —oo; -t-oo). 20. 1^. 21. (3; 1). 22. (5; 1). 23. (2; 3). 24. (4; 3). 25. (4; 3). 26. (8; 7). 27.	28. Ц-; -Ц . 29. (7; 8). 30. (2; -5). 31. (6; 8).
32.	(1,2; 0,7). 33. (2; 3). 34. (5; 3). 35. (1; 2). 36. (2; 1). 37.	(125;	-47). 38. (26,5; -5,5). 39.	(5; 9). 40. (-1 ; - -j	) .
41.	0; 2.	42. -4; 4. 43. 0. 44. 0; 2.	45.	(2; 3). 46. -1,5;	1.
47.	1; 7.	48. 0; 3,5. 49. -72; >2. 50.	-1	— V3; -1+73. 51.	2.
52.	0. 53. 0,5; 2. 54. -3; 3. 55. -4; 4.	56. -1. 57. -4;	0.
58.	5;	-5. 59. 3;	-1.	60. -1; 2. 61. 7.	62. 5.	63. 6. 64. 4. 65. 0.
66.	7.	67. 5. 68.	6. 69. 16. 70. 5. 71.	9. 72.	7. 73. 19: 74. 25.
75.	0.	76. 5. 77. 1. 78.	3; 6. 79. 6. 80. 3.	81. -5; -2; 2. 82. (2; 3).
83.	16.	84. 1. 85.	1. 86. -3; 3.	87. 2;	8. 88. -4. 89. 0.
8
90. 4. 91. -0,25. 92. 0. 93. 0. 94. 1; 3. 95. — ; 5. 3
Группа Б
1. 8,5. 2. —7. 3. 0. 4. 2. 5. -0,625. 6. 1. 7. 4. 8. -0,2.
9. 3. 10. 4. 11. 0. 12. — . 13. -1,25. 14. -19. 15. -4. 16. 0. 3
17. -2,5. 18.3,5. 19.-6. 20.8. 21. 0. 22.-4. 23.-12. 24. — 1; 1. 25. 2; -3. 26. 1. 27. -3. 28. 3. 29. 0. 30. 3. 31. (2; 3; 1). 32. (-1; 6; 2). 33. (1; 2; 3). 34. (1; 2; 3). 35. 2; -1; 1. 36. 1. 37. -1; 1. 38. 4; 12. 39. 2. 40. 5. 41. 1. 42. -1; 0,2. 43. 0,5. 44. — 0; 2; -2. 45. 0; 2; 3. 46. 1; 3. 47. -5;*1. 48. -1; 1. 49. —2; 1. 50. -1; 1. 51. -5; 0; 5. 52. -1; 1. 53. -1; 1; 3. 54. 0. 55. — у/~2Д>; 0. 56. -1; 2; 3. 57. 13. 58. 4,5. 59. 3.
60. -3. 61. 2. 62. — 5 — ; 3. 63. 2; 4. 64. -1; 1. 65. -2,5;- -2;
у	7
0,5; 1. 66. -3; -2. 67. 1;	— 3+-}— . 68. -1; 1.
•	2	2
69. -6; 2; -2-]/6; -2+y£ 70. 1; 4;7~2<33 ;7+^3-. 71. 0; 1;
ZJ+/5 -[-/5^ 72. 8 4 24	4 74.	75>_1; o,76.-4;
2	2
2; 3; 9. 77. - 1;	. ~3~/3 . 78. - 12; ^±2-2?. ~2~t57t
2’2	2	2
196
79. -3; 3. 80. 2; 2 1/-^-  8I- -3; U -1- /'2; -1+ /2 . 82. -1. 83. -5; 1;	/12_; - 4~ ^|0 . 84. -9; -3; -0,5.
85.	5. 86.------— . 87. 11. 88. 62. 89. -5; 5. 90. -2.
3
91.	3.	92.	6. 93.	6. 94.	14.	95.	8.	96. 21.	97.	6.
98.	8.	99.	5. 100. 16, 25. 101.	3.	102. 4.	103.	5.
104.	5.	105.	5. 106. 4.	107. 4.	108.	-1.	109.	4. 110. 4.	111.	4.
112.	2.	113.	4. 114. 5.	115. 7.	116.	4. 117.	4. 118. 28.	119.	3.
120.	-1. 121. 1. 122. 7. 123. 0. 124. 6; 9. 125. 34. 126. 8. 127. 1. 128. 5. 129. 25. 130. -3. 131. {-1; 1}. 132. 4. 133. 4. 134. 3. 135. 6. 136. 2. 137. 3. 138. 3. 139. 13. 140. 2. 141. -3. 142. 0; 2. 143. 6. 144. 7. 145. 1. 146. 62. 147. -3. 148. 0; 1. 149. 27. 150. -5; 5. 151. 0,25. 152. 8. 153. 25. 154. -4; 1. 155. 1,2; 2. 156. -1; 1; 4. 157. 21; 86. 158. 16. 159. 1024. 160. -10; 25. 161. 1. 162. 5. 163. 0; 5. 164. 7. 165. 4. 166. -45; 20. 167. 68. 168. 64. 169. 2; 3; 2,5. 170. 2; 7;	; ~5~1/|7 . 171. 1,25.
2	2
172. 17. 173. 5. 174. 35. 175. 9. 176. 9/ 177. 2. 178. 9. 179. 6.
180. 5. 181. -7,5. 182. -3-; 2. 183. -5; 2. 184. 3. 185. -1.
3
186. [-оо; -3].	187. —2.	188. [2; 4].	189. -3.	190. —.
3
191.	1+/Й. 192, —3; 2. 193. -5; 1. 194. 0. 195. 3;
2	2
1—/33 )96 ------1_ L 197 ] 3	198 3 _3 _2+у5.
2	2	3
199. -1; 5. 200. 3,2.
§ 3
Группа А
1. -3. 2. 2. 3. 2.
10. —4. 11.
18. -1. 19.
-10. 12.
1. 20. 1.
7. -5.
15. —4.
4. 3. 5. 1. 6. -6.
41. 13. 18. 14. 0.
21. 1. 22. 6. 23. 4. 24. 2.
8. -8. 9. 6.
16. 0.
25.	0.
17. 4.
26.	5.
27.	2. 28. 3. 29. 1. 30. 1. 31. 1. 32. 2. 33. -6. 34. -3. 35; 0.
36.
43.
51.
60. 69г
42. 1.
50. 4.
— 4. 38. —3. 39. —2. 40.-1. 41. -7 1. 49. —2. -3 58. 0. 59. 6. 67. 1. 68. 1. -|-оо). 86. 0.
-1. 37.
-5. 44. 4. 45. 2. 46. -3. 47. -3. 48. -1. 52. 1. 53. 1. 54. 5. 55. -3. 56. 4. 57 — 2. 61. 0. 62. 3. 63. 1. 64. 0. 65. 10. 66. 2. _ 2. 70. — 2. 71. 2. 72. 1. 73. 2. 74. 2. 75. 1. 7Ь. ( 77. 0. 78. 7. 79. 3. 80. 1. 81. 1- 82. 4. 83. 1. 84. 1. 87. 0. 88. 0. 89. -1. 90. -2. 91. 0.
оо;
197
Группа Б
1. 0. 2. 0.	3. — 2.	4. — 2.	5. 4. 6. 2.	7.	0. 8. -7.	9.	-1.
10. —4. 11. -3.	12.	-3.	13. 3.	14. — 2. 15.	-6. 16. -3.	17.	-2.
18. 0. 19. 3. 20. 6.	21.	8. 22.	1,5. 23. 1.	24.	3. 25. 3.	26.	0,5.
27. 1,75. 28. 4.	29.	2,5.	30. 2.	31. 0. 32.	2.	33. -34.	3,5.
3
35.	4.	36.	2.	37.	1. 38. 3.	39. 2. 40. 3. 41. 3. 42. 2. 43. 8.	44.	1.
45.	2.	46.	4.	47.	-1.	48.	1. 49. 4. 50. 0. 51. 14. 52. -2.	53. 0.
54.	1.	55.	5.	56.	—7.	57.	-1. 58. 1. 59. 7. 60. I. 61. 9.	62.	1.
63.	0.	64. 2. 65. 0.	66.	1. 67. 1. 68. —4. 69. 3. 70. 0.	71.	3.
72.	0. 73. 0. 74. 5. 75. -2. 76. -2. 77. -2. 78. -5. 79. -1.
80.	-5. 81. -3. 82. -3. 83. 2. 84. 2. 85. -1. 86. б. 87. 25.
88.	21. 89. 1. 90. 2,5. 91. 9. 92. 2. 93. 2,5. 94. 5,75. 95. 6. 96. 3. 97. 8. 98. -1. 99. 1,5. 100. -1,5. 101. 2,5. 102. 1,5. 103. 4,5. 104. 2. 105. 2. 106. 3. 107. 1. 108. 2. 109. 5. ПО. 2. 111. -4.
112. -3. ИЗ. —2. 114. -3. 115. 1. 116. 3. 117. 2. 118. 0. 119. 0,75. 120. 11. 121. 5. 122. 2,2. 123. 3. 124. 3.
§ 4 Группа А
1. 4. 2. —4. 3. 0. 4. — 2. 5. 2. 6. 0. 7. -3. 8.	9. -2.
2'
10.—. 11. 3. 12. —2. 13. 0. 14. 1. 15. 7. 16. 6. 17. 9. 18. 9. 2
19. 100. 20. 2. 21. 3. 22. 2. 23.	. 24. 27. 25. 2. 26. 3. 27. -3.
28. 6. 29. 1. 30. 2. 31. 2. 32. 1. 33. 2. 34. 5. 35. 50. 36. 2. 37. 3.
38. 1. 39. 1. 40. 1. 41. 3. 42. — . 43. —— . 44. 2. 45. 9. 46. 12. 5	125
47. 5. 48. 2. 49. —. 50. 2. 51. 5. 52. 2. 53. 13. 54. 2. 55. 4. 56. 1. 2
57. 60. 58. 14. 59. -1. 60. - —. 61. 2. 62.-. 63. 9. 64. 27. 2	2
65. 9. 66. 10. 67. 2. 68. 1. 69. 0. 70. 1. 71. 5. 72. -1. 73. 1. 74. 2. 75. -1. 76. 2. 77. 1. 78. 1. 79. 1. 80. 1.
Группа Б
1. -3. 2. --.3.	-3. 4. - -	. 5. - .	6. - .	7. - - .	8. —2.
3	2	2	2	2
9.	— —. 10. 3. 11. 2. 12. —2. 13. -1. 14. 2. 15.-. 16. 7. 17. 2. 2	2
18.	—2. 19. 1. 20. 4. 21. 49. 22. -L. 23. 3. 24. 9. 25. 5. 26. 5.
9
27.	2. 28. 3. 29. — . 30. 27. 31. -3. 32. 1. 33. -L 34. 1. 35. —.
5	2
Г 98
36.	2. 37. — . 38.— — . 39. 2. 40. -1. 41. 2. 42. 25. 43. 7. 44. 2. 8	3
45.	36. 46. 9. 47. 9. 48. —. 49. 9. 50. 25. 51. 1. 52. 1. 53. 2. 4
54.	-21. 55. 643. 56.	57. 10. 58. 25. 59. 2. 60. А . 6L L
9	4
62.	1. 63. 2. 64. -3. 65. — . 66.— . 67. —2. 68. 1. 69. 3. 2	2
70.1. 71.—. 72.—. 73.2. 74. —=11,1. 75.2.	76.7.
2	8	10
77. -L . 78. 0. 79. 16. 80. 6. 81. 4. 82. 3. 83. 2. 84. -1. 85. - 1.
2	25
86. 5. 87. 5. 88. —- . 89. 7. 90. 100. 91. 2. 92. 1. 93. 2. 94. 1. 2
95. 3. 96. 1. 97. 2. 98. 1. 99. 3. 100. 4. 101. 4. 102. 33. 103. 2.
104. 4. 105. -3. 106. 4. 107. -13. 108; -4. 109. 2. ПО.—
2
111. 3. 112. -22. 113. - —. 114. 2. 115. -1. 116. -7.
2	2
117.	-6. 118. 5. 119. 3. 120. 3. 121. 1. 122. 1. 123. 1. 124. —
2 .
125.	-. 126. 10. 127. -1. 128. 79. 129. --. 130. 2. 131. 5. 5	3	-2
132.	0. 133. 6. 134. 7. 135. — . 136. 11. 137. 6560. 138. 6. 139. 17. 3
140.	23. 141. 4. 142. 2. 143. 2. 144. 1. 145. 2. 146. 6. 147. 1.
148.	4. 149. 5. 150. 3. 151. 2. 152. -2. 153. 1. 154. 1. 155. -—.
2
156.	-3. 157. 10. 158. 3. 159. -3. 160.-. 161. 27. 162. 2. 2
163.	8. 164. 9. 165. 2. 166. 10. 167. 9. 168. 2. 169. 14. 170. 2.
171.	4. 172. 3. 173. 3. 174. —. 175. 2. 176. 14. 177. 4. 178. 2. 2
179.	0. 180. 4. 181. 100. 182. f3. 183. 1024. 184. 4. 185. 8.
186.	—. 187. 0. 188. 3. 189. 2. 190. 3. 191.	192. -5.
9	2
193.	--. 194. —4. 195. -6. 196. 3. 197. 1. 198. 3. 199. -2. 2
200.	0. 201. --. 202. - . 203. 1.204.	• 205> V • 206, T •
5	2	10	4	2	b
207.—. 208.— 209. -— 210. — . 211. 2. 212. 2. 213. 2. 214.0. 2	5	5	’	10
215. 0,3. 216. 4. 217. 17. 218. 36. 219. 35. 220. 49. 221. -3.
199
222. -1. 223. 0. 224. 3. 225. -1. 226. 1. 227. 1. 228.
2
229. 1. 230. 1. 231. 0. 232. 0. 233. 2. 234. 1. 235. -1. 236. -Г.
237. 6. 23$. 1. 239. -1. 240. -2. 241. -1. 242. -1. 243.
4
244.	245. 0. 246. 0. 247. -	248. 0. 249. — . 250. - 1.
2	2	2
251. —4. 252. 4. 253. — . 254. 2. 255. -3. 256. 1. 257. 6. 258. 2. 2
259. 2. 260. -5. 261. 0. 262. 1. 263. 2. 264. 0. 265. 1. 266. 1.
267. 1. 268. 1. 269. 2. 270. 2. 271. 1. 272. 1. 273. 1. 274. 0.
275. 0. 276. -. 277. 1. 278.	279. -1. 280. 2. 281. 1.
4	2	l2
282.	0. 283. 4. 284.	2.	285. -1.	286. {-4; -1}.	287.	-2;	3.
288.	3. 289. 0. 290. -2;	. 291. (4; 2). 292. (53; 28). 293. (4;	2).
294.	(50; -49). 295.	(4;	16). 296.	(6; 2). 297. 3; 2.	298’	(1;	1).
299.	(0; 1). 300. (0;	1).	301. (2;	1). 302. (3; 2).	303.	(2;	4).
304. (1; 1). 305. (3; 1).
§ 5
Группа А
1.	0. 2. 2. 3. 6. 4. 1. 5. 11. 6. 2. 7. 1. 8. 2. 9. 3. 10. 2. 11. 2. 12. -1. 13. 3. 14. 1. 15. 11. 16. 4. 17. -2. 18. -2. 19. 3. 20. 3. 21. 2. 22. -1. 23. 1. 24. 3. 25. 0. 26. 0. 27. -5. 28. 0. 29. 4. 30. 3.
Группа Б
1.	1. 2. 2. 3. 2. 4. 5. 5. 1. 6. 2. 7. 1. 8. 3. 9. 1. 10. 0. 11.	1.	12.	1.	13. 2. 14. 2. 15. 2. 16. 4. 17. 6. 18. 11. 19. б.
20.	2.	21.	1.	22. 1. 23. 2. 24. 2. 25. 3. 26. 2. 27. 3. 28. 2.
29.	1.	30.	1.	31. 3. 32. —4. 33. -1. 34. -3. 35. 3. 36. 5. 37. 0.
38.	1.	39.	8.	40. 0. 41. 0. 42. 2. 43. 13. 44. 1. 45. 11. 46. 1.
47.	4.	48.	2.	49. 3. 50. 1. 51. 0. 52. 4. 53. 1. 54. 1. 55. -2.
56.	0.	57.	3.	58. -3. 59. 1. 60. -2. 61. 4. 62. 1. 63. - 1. 64. 2.
65.	1.	66.	2.	67. 2. 68. 3. 69. 5. 70. 0. 71. 0. 72. -1. 73. -1.
74.	0.	75.	-1. 76. -3. 77. -1. 78. -2. 79. 1. 80. 0. 81. -1.
82.	0.	83.	1.	84. 5. 85. 1. 86. -1. 87. 2. 88. 11. 89. 4. 90. 4.
91.	5.	92.	3.	93. 5. 94. 3. 95. 1.
§ 6 Группа А
1. — . 2.	3. — . 4.-л. 5. 2л. 6. 45°. 7. 60°. 8. 120°.
3	2	4	4
9. 270°. 10. 1080°. 11. -0.5. 12. 1. 13. -0,5. 14. -1. 15. УЗТ 200
16. 0,25. 17. -2,5. 18. 2. 19. -2. 20. 1. 21. 1. 22. 0. 23. 90°. 24. -90°. 25. 60°. 26. 120°. 27. 30°. 28. -60°. 29.0.30.0,5.31.0,75.
32. — — . 33.-1. 34. -0,5. 35. — . 36. 5. 37. 2. 38. 0,25.
12	169
39. 1. 40. 1. 41. 75°. 42. -360°. 43. 180°. 44. 45°. 45. 60°. 46. 90°. 47. 45°. 48. 15°. 49. 90°.'50. 120°. 51. 45°. 52. 22,5°. 53. 0,75. 54. 45°. 55. 15°.
Группа Б
1. 0,75. 2. 0,375. 3. -3. 4. 0,75. 5. 1,5. 6. 0,8. 7. 0,16. 8. -2.
9. -0,25. 10. -12. 11.0,75. 12. - 4;  >3- 5. 14. 5. 15. — .
12	19
12
16. 2. 17. 2. 18. —0,75. 19. -0,5. 20. --. 21. 1. 22. 3. 23. 2.
13
24. 1. 25. -0,5. 26. —7. 27. 0,28. 28. 4. 29. -0,25. 30. 5.
31. 1. 32. 0,125. 33. -1. 34. -	. 35. 0,1. 36. 1. 37. -3. 38. 2.
3
39. 3.	40. 0,5. 41. 1. 42.	1. 43. -2.	44. 0. 45. 1.	46.	1.	47.	0.
48. 1.	49. 2. 50. 0. 51. 1.	52.	2. 53.	2. 54. 0. 55. 1.	56.	1.	57.	0.
58. 4.	59. 3. 60. 1. 61.	3,5.	62. 2.	63. 2. 64. 0,5.	65.	1.	66.	2.
67. 0.	68. 0,5. 69. 4. 70. 0.	71. 1.	72. 0. 73. 0.	74.	1.	75.	3.
99
76. 1. 77. 1. 78. 3. 79. 1,5. 80. 1,5. 81. --. 82. -1. 83. 0.
9
84. 1. 85. 3. 86. 8. 87. у л. 88. 20л. 89. л. 90. 60. 91. Не существует. 92. 70л. 93. 2л. 94. 4л. 95. Не существует. 96. 60°. 97. 90°. 98. 150°. 99. 90°. 100. -30°. 101. -90°. 102. 180°. 103. 0°. 104. 0°. 105. -5°. 106. 45°. 107. 210°. 108. 60°. 109. 18°. ПО. -60°. 111. -30°. 112. -75°. 113. 105°. 114. 180°. 115. 360°. 116. 0°. 117. 90°.	118. 60°. 119. 90°.	120. 45°. 121. -90°.
122. -45°. 123. 45°. 124. 135°. 125. 0°; 60°. 126. 0°. 127. 270°. 128. 120°. 129. 150°. 130. -75°. 131. 30°. 132. 45°. 133. 135°. 134. -15°. 135. 67,5°. 136. 180°. 137. -40°. 138. 90°. 139. -270°. 140. 45°. 141. 45°. 142. 240°. 143. 30°. 144. 150°. 145. -90°. 146. -30°. 147. 3,75°; 16,875°. 148. 36°. 149. 45°; 75°. 150. 120°. 151. 45°. 152. 360°. 153. -60°. 154. -60°. 155. -45°. 156. 22,5°. 157. -120°. 158. -45°. 159. 90°. 160. 15°. 161. -45°. 162. 3. 163. 1. 164. 4. 165. 4. 166. 5. 167. 6. 168. 0°. 169. 63°. 170. 15а . 171. 45°. 172. 45°.
§ 7
Группа А	_ 1 я. -4.
1. 18. 2. 0. 3. 4. 4. -15. 5. 7. 6. I- 7- 1. 8.	•
3	,л . 15 —4. 16- I. 17- 1. 18- -2.
10. —. 11. 1. 12. 1. 13. 2. И- 1- 10-
2	201
19. 1. 20. 0. 21. 1. 22. 3. 23. 0. 24. 7. 25. 5. 26. -9. 27. 17.
28. -6. 29. In 5. 30. 3. 31. -104. 32.	-.33. —J-: J-.
3	6	2	2
34. -1. 35. -3; 3. 36. -2; 2. 37. -1; 0. 38. 1. 39. 3. 40. - 1. e.
4L 2,5; -2,5. 42. 227; 2. 43. 14; 0. 44. 1,5; 1. 45. 0; -1. 46. 30; 30. 47. 200; 200. 48. 24; 24.
Группа Б
1. 103. 2. -122. 3. 1. 4. -6. 5. 94. 6. 4,5. 7. 0. 8. 0,5. 9. -6. 10. -3. 11. 1. 12. 1. 13. 3. 14. 30. 15. 3. 16. — 7. 17. -3. 18.	2.	19.	— 2. 20. 1. 21. -1. 22. -5. 23. -1,5. 24. -1. 25. 3.
26.	2.	27.	-3. 28. -1- . 29. 5. 30. 1. 31. 6.	32. 13,5. 33. 25.
6
34.	1.	35.	5. 36. 72. 37. 2. 38.	3. 39. 2. 40. 5.	41. 0,5. 42. -2.
43.	_±.	44. -з. 45. — . 46.	--. 47. -2.	48. -1,6. 49. 2.
3	4	2
50. 4. 51. -. 52. 32; 32. 53. 2. 54. 1. 55. 1.
12
§ 8
Группа A
1. 3. 2. -81. 3. 608. 4. 720. 5.—. 6. 174. 7. -1. 8. 2,5. 4
9. 518,4. 10. 8. 11. 16. 12. 1022. 13. 63. 14. 18,5. 15. 7,4. 16. 0,24.
Группа Б
1. -14. 2. 98 523. 3. 2. 4. 15. 5. 0. 6. И. 7. 4. 8. 6. 9. 4096.
10. 6. 11. — . 12. 341. 13. 105. 14. 2058.
3
§ 9
Группа А
1. 15 см2. 2. 84 см3. 3. 15,7 см. 4. 91,6 см2. 5.,58 км/ 6. 12а.
7. —.8. 2у — 5. 9. 57,5 т. 10. 1,1 т. 11. 54 км. 12. 3 км. 13. 27 р.
6
14. 30 мин. 15. 36 дм3. 16. 12 кг. 17. 105 чел. 18. суток.
19. 76,8 т. 20. 160 га. 21. 60%. 22. 31 га и 49 га. 23. 45 и 90. 24. 10,5 кг; 22,5 кг; 21,0 кг. 25. 10 км/ч. 26. 90 км/ч. 27. 4 д. и 6 д. 28. 4 м и 5 м. 29. 7 и 14. 30. 240 д. 31. 8 и 12. 32. 5 и 15.
33. 12 и 6. 34. 5 и 12.35. 4 км/ч. 36. 30 м и 30 м. 37. 200 м и 200 м.
202
Группа Б
1. 9. 2. 40 кг. 3. 75. 4. 15 т. 5. 25 с. 6. 14. 7. 2,45 ч. 8. 4. 9. 16. 10. 4. 11. 4. 12. 14. 13. 98,5. 14. 21 и 28. 15. 10,5 м. 16. 1,65 р. 17. 2,5. 18. 55. 19. 6 км/ч. 20. 6 р. и 5 р. 21. 1,15 раза. 22. 90%. 23. 192 р, 24. 7. 25. 35 р. 26. 30. 27. 25%. 28. 10%.
29. 72%. 30. 12 т. 31. 6. 32. 17. 33. 108. 34. 569 — г. 35. 10.
-.3 —
36. 10. 37. 156. 38. 456. 39. 55. 40. 50 км/ч. 41. 125 км. 42. 2 км/ч. 43. 20 км/ч. 44. 60 км. 46. 44/is ч. 47. 1,5 ч. 48. 30 км. 49. 180 км.
§ Ю
Группа А
1. 100°. 2. 80°. 3. 40°. 4. 95°. 5. 75°. 6. 160°. 7. 35°. 8. 120°. 9. 10°.	10.	24 см. 11. 150. 12.	30. 13. 8.	14.	13	см.	15. 3900.
16.	5.	17.	30°. 18. 4. 19. 100°.	20. 2,5 см.	21. 4.	22.	5. 23. 8.
24.	4.	25.	5 см. 26. 16 см. 27.	5. 28. 12.	29.	27.	30.	1. 31. 9.
32.	3.	33.	15. 34. 9. 35. 4. 36. 6. 37. 2. 38.	16.	39.	72°.	40. 120°.
41. 3. 42. 12. 43. 6. 44. 6. 45. 14. 46. 4. 47. 48. 48. 12. 49. 40. 50. 17 см. 51. 96. 52. 4. 53. 11. 54. 12. 55. 0,25. 56. 13 см. 57. 32. 58. 19. 59. 0,6. 60. 3. 61. 13,5 см3. 62. 24 см. 63. 6. 64. 8. 65. 5. 66. 10. 67. 16 'см. 68. 120°. 69. 140°. 70. 130°. 71. 120°. 72. 150°. 73. 8. 74. 8. 75. 16. 76. 75. 77. 96. 78. 12. 79. 20. 80. 10. 81. 6. 82. 5. 83. 80°. 84. 40 см. 85. 10 см. 86. 25 см. 87. 13 см. 88. 6 см. 89. 13 см. 90. 133°. 91. 108. 92. 12 см2. 93.	150°.	-94. 60. 95. 12.	96. 120.	97.	12.	98.	50.
99. 30. 100. 14.	101.	4. 102. 4. 103. 9.	104. 25.	105.	6. 106.	1,8.
107. 0,5. 108. 8.	109.	12 см. ПО. 5 см.	111. 8. 112. 9	см.	113.	50.
114.	24. 115. 11,5 см. 116. 6. 117. 12.	118. 16.	119.	24.	120.	24.
121.	48	см2.	122. 2,5. 123. 0,5. 124. 7,5. 125.	4. 126.	4.	127. 4.
128.	32.	129.	81. 130. 3. 131. 4. 132.	4. 133.	5. 134.	4.	135. 6.
136.	12.	137.	12. 138. 10 см. 139. 4 см.	140. 2.	141. 80.	142. 4 см.
143.	70°. 144. 15. 145. 13.- 146. 5.	147. 6	см. 148.	18 см2.
149. 20 см. 150. 20. 151. 6,9. 152. 12,56. 153. 11. 154. 8. 155. 2. 156. 6. 157. 4. 158. 30°. 159. 100°. 160. 125. 161. 4. 162. 1. 163. 4.	164.	18.	165.	12.	166. 27.	167.	1.	168. 120.	169.	30.
170. 2.	171.	108.	172.	4.	173. 192.	174.	480.	175. 94.	176.	70.
177. 10.	178.	12.	179.	336. 180. 3.	181.	162. 182. 3.	183.	18.
184. 84.	185.	13.	186.	12.	187. 32.	188.	13.	189. 66.	190. 180.
191.	72.	192. 24.	193. 3.	194. 6.	195. 1.	196.	18.	197.	18.
198.	10,2.	199. 24.	200. 9.	201. 2.	202.	9. 203. 2880.	204.	32.
205.	1296.	206. 2.	207. 48.	208. 48.	209.	60.	210.	42. 211. 540.
212.	126.	213. 32.	214. 36.	215. 96.	216.	1,5.	217.	13,5.	218.	18.
219. 144. 220. 30°. 221. 144. 222. 6. 223. 113,04. 224. 256. 225. 16.
203
226. 50,24. 227. 113,04. 228. 27. 229. 131. 230. 2. 231. 387. 232. 3. 233. 6. 234. 50,24. 235. 6. 236. 15. 237. 56,52. 238. 15. 239. 47,10. 240. 16. 241. 18л. 242. 18,84. 243. 27. 244. 9,42. 245. 242. 246. 2,4. 247. 18,8. 248. 7,5. 249. 6. 250. 9,42. 251. 28,3. 252. 4. 253. 128. 254. 32. 255. 3. 256. 48. 257. 0,75. 258. 1. 259. 8. 260. 10. 261. 23,7.
Группа Б
1. 10.	2. 0,5. 3.	21.	4. 12.	5. 8. 6. 7,5. 7. 9. 8. 12,5. 9.	1,8.
10.	0,4.	11. 2.	12.	12.	13. 8.	14. 120°. 15. 36°. 16. 3. 17.	1,5.
18.	144°.	19. 7.	20.	45°.	21. 5.	22. 2,4. 23. 11,2. 24. 3,75. 25.	37.
26.	32 см. 27.	10.	28. 8. 29. 8,5 30. 10. 31. 0,25 32. 2,1. 33. 4.
34. 7,2: 35. 4. 36.	0,1.	37. 0,3.	38. 10,5. 39. 6,5.	40.	2. 41. 120°.
42. 52,5. 43. 30°.	44.	6.	45.	13,5. 46. 12 см.	47.	1,5. 48. 2.
49. 15 см. 50. 60°; 120°; 10; 13. 51. 6. 52. 4. 53. 10. 54. 4. 55. 16. 56. 6. 57.	2. 58.	1,5.	59. 11. 60. 30. 61. 160°. 62. 40°.
63. 60°. 64. 28,5.	65.	3.	66.	25. 67. 0.875. 68.	7,5	г. 69. 2880.
70. 30. 71. 5 км. 72. 168. 73. 24. 74. 14. 75. 96. 76. 75. 77. 9 см. 78. 0,3. 79. 63°. 80. 54°. 81. 84°. 82. 40°. 83. 18°. 84. 48. 85. 10. 86. 15. 87. 8. 88. 5. 89. 18л. 90. 48. 91. 5. 92.3. 93. 11,5. 94. 60°. 95. 0,25. 96. 2,2 м. 97. 31,2. 98. 28,125. 99. 7,5 см. 100. 2. 101. 2. 102. 8. 103. 1. 104. 15 см. 105. 4. 106. 5. 107. 2. 108. 6. 109. 30°. НО. 48. 111. 0,8. 112. 50. 113. 3360. 114. 1416. 115. 1,5. 116. 1,5. 117. 324. 118. 0,25. 119. 2. 120. 14,4. 121. 4. 122. 20. 123. 7. 124. 9. 125. 4. 126. 360. 127. 3. 128. 600. 129. 12. 130. 216. 131. 508. 132. 84. 133. 9,5. 134. 14. 135. 98. 136. 448. 137. 872. 138. 4. 139. 4. 140. 18. 141. 4,5. 142. 2,75. 143. 5. 144. 1. 145. 9. 146. 20. 147. 1. 148. 96. 149. 8. 150. 0,5. 151. 90°. 152. 48. 153. 3,375. 154. 3. 155. 12. 156. 0,5. 157. 6. 158. 23,4. 159. 22. 160. 50,27. 161. 60. 162. 5. 163. 7,2. 164. 84,78. 165. 80. 166. 1. 167. 0,125. 168. 45°. 169. 1,75. 170. 50,24. 171. 2. 172. 75. 173. 0,25. 174. 3. 175. 3. 176. 24. 177. 196. 178. 195. 179. 6,28. 180. 6. 181. 1,25. 182.495. 183. 5. 184. 6,28. 185. 1,5. 186. 3. 187. 288. 188. 12. 189. 4. 190. 6. 191. 8. 192. 0,25. 193. 0,28. 194. 4. 195. 0,5625. 196. 1. 197. 5. 198. 12,56. 199. 4. 200. 251,2. 201. 8,5. 202. 25. 203. 12. 204. 3,53. 205. 36. 206. 72. 207. 40,5. 208. 4. 209. 24. 210. 3. 211. 36. 212. 5. 213. 3. 214. 20. 215. 7. 216. 8. 217. 8. 218. 24. 219. 0,5. 220. 5. 221. 6,4. 222. 5,2. 223. 6. 224. 20. 225. 0,75. 226. — . 227. 1,5. 228. 0,25. 229. 30°. 230. 3. 231. 26. 232. 9.
3
233. 12.
§ И Группа А
1. 33. 2. 24. 3. 5. 4. —2. 5. -6. 6. 0. 7. -36. 8. 3. 9. 13. 10. 13. 11. 90°. 12. 2. 13. 1. 14. 90°. 15. 90°.
204
Группа Б
1. 40. 2. 7. 3. 135°. 4. 10. 5. -1. 6. 13. 7. 60°. 8. 12. 9. 45°. 10. 0,4. 11. 10. 12. 1,5. 13. 13. 14. 0. 15. 3.
§ 12
Вариант 16—1
1.	—2.	2. 120.	3. 0.	4. 1. 5.	0. 6. 3. 7.	200	чел. 8. 2.	9.	165°.
10.	6.	11.	16. 12.	162.	13. 144.	14. 2'420.	15. 7. 16. 0.
Вариант 16—2
1.	20.	2. 11,5.	3. 14. 4. 1.	5. 1. 6. -1.	7. 0,5. 8.	9	дней.
9. 45°. 10.	-3. 11. 48.	12. 50.	13. 8. 14.	4,5.	15. -4. 16.	4.
Вариант 16—3
1. 0,35. 2. 2. 3. 5. 4. 4. 5. 1. 6. 4. 7. 3. 8. 500 р. 9. 14. 10. 45°. 11. 3. 12. 40. 13. 52. 14. 8. 15. 4. 16. 5.
Вариант 16—4
1. 2. 2. -1. 3. 4. 4. 1. 5. 1. 6. -1. 7. 0. 8. 30. 9. 45°. 10. 45°. 11. 24 см. 12. 24 см. 13. 20. .14. 9. 15. 55. 16. -145.
Вариант 16—5
1. -1. 2. 12. 3. 2. 4. 80. 5. -4. 6. 4. 7. 0. 8. 24 чел. 9. 2. 2
10. 100°. 11. 6. 12. 2,4 см. 13. 6 см. 14. 6 см. 15. 6. 16. -3444.
. Вариант 10—1
1. -3. 2. 6. 3. 15 км/ч. 4. 0. 5. 1. 6. 90°. 7. 170°. 8. 18 см. 9. 3 см. 10. -12.
Вариант 10—2
1. 2. 2. 3. 3. 5. 4. 0. 5. 1. 6. 8. 7. 10°. 8. 4. 9. 9. 10. 7.
Вариант 10—3
1. 1. 2. -9. 3. 3. 4. 8. 5. 6. 6. 45°. 7. 1. 8. 25. 9. 16. 10. 7.
Вариант 10—4
1. -5. 2. 9. 3.(48?; 4. 4. 5. 5. 6. 225°. 7. -3. 8. 2. 9. 48. 10. 189.
Вариант 10—5
1. 3. 2. 6. 3. 48. 4. 3. 5. 1. 6. 150°. 7. 0,75. 8. 600. 9. 120. 10. 72.
205
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................  ,	, . 3
§ 1. Тождественные преобразования алгебраических и числовых выражений ...........................................................4
Выполнение арифметических действий	...»........................—
Преобразование алгебраических	выражений	.	  —
Задачи ........................................................ 9
§ 2. Алгебраические уравнения и системы уравнений ,	.	.	.15
Линейные уравнения............................................  —
Задачи.........................................................16
Системы линейных уравнений.....................................17
Задачи.........................................................20
Квадратные уравнения и уравнения,	сводящиеся к ним .... 21
Задачи........................................................ 25
Сист	емы уравнений второй степени .	.	.	.	.	.	.	.27
Зада	чи ............................................... .	.	29
Ирра	циональные	уравнения и системы уравнений .	.	.	.	30
Зада	чи................................................ .	.	33
Уравнения	с	модулем	.	,	   .	.	36
Зада	чи................................................ .	.	37
§ 3.	Неравенства и системы	неравенств.............................38
Линейные неравенства............................................—
Задачи......................,..................................39
Рациональные	неравенства	....................................—
Задачи......................,..................................43
Системы неравенств.............................................45
Задачи.........................................................47
Неравенства с модулем..........................................49
Задачи.........................................................51
Иррациональные неравенства......................................—
Задачи......................... .............................55
§ 4.	Логарифмы. Логарифмические и показательные уравнения и системы уравнений...................................................57
Тождественные преобразования логарифмических и покаазтельных выражений.......................................................—
Задачи » ,	,	    59
206
Логарифмические уравнения	....	...	.64
Задачи................................ ...	.66
Показательные уравнения............... ...	.71
Задачи............................................. -72
Логарифмические и показательные системы уравнений .	. 76
Задачи...................................................... .77
§ 5.	Логарифмические и показательные неравенства	. 78
Логарифмические неравенства................. . —
Задачи...................................................... .81
Показательные неравенства .................................. .83
Задачи.................................. ....	.86
§ 6.	Тригонометрия . •.......................................... 88
Тождественные преобразования тригонометрических выражений .	. —
Задачи...................................................... 100
Тригонометрические	уравнения ............................... 106
Задачи.....................................................  111
§ 7.	Производная и ее применение	.	.115
Производные элементарных функций	. —
Правила дифференцирования	.	.	.116
Задачи....................... .120
§ 8.	Прогрессии ....	.125
Арифметическая прогрессия	. —
Геометрическая прогрессия .	. —
Задачи..................................................... .128
§ 9.	Текстовые задачи	. 130
§ 10.	Геометрия	.	.138
Планиметрия	.	. —
Задачи ...	>143
Стереометрия	.160
Задачи......................... .	.	.163
§ 11.	Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры .	, 181
Прямоугольная декартова система координат на плоскости . — Прямоугольная декартова система координат в пространстве .	. —
Задачи	....	....................................184
§ 12.	Образцы вариантов заданий для компьютерной проверки .	. 186
Ответы.......................................................195
ВСЕСОЮЗНЫЕ ЗАОЧНЫЕ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ КУРСЫ (ВЗПК)
Круглогодичный набор слушателей!
Приглашаем всех желающих подготовиться к вступительным экзаменам в вузы
Индивидуальный характер занятий уч-итывает начальный уровень подготовки, текущие успехи и требования избранного вуза.
На курсы принимаются юноши и девушки с любым уровнем начальной подготовки, закончившие не менее девяти классов общеобразовательной школы.
Обучение ведется по всем предметам школьной программы.
Основа занятий — самостоятельная работа учащихся по методическим пособиям, реализующим педагогически обоснованную систему подготовки. Пособия разработаны специалистами из ведущих вузов страны. Работой слушателей руководят высококвалифицированные преподаватели.
Ежегодно более 80% учащихся, успешно заканчивающих ВЗПК, становятся студентами.
Адреса отделений курсов:
Центральное	— 129110,	Москва, ВЗПК.
Санкт-Петербургское	— 190000, Санкт-Петербург, ЛТО (СПТО) ВЗПК.	
Украинское	— 252601,	Киев, УРО ВЗПК.
Белорусское Среднеазиатское и	— 220131,	Минск, БТО ВЗПК.
Казахстанское	— 480100,	Алма-Ата, САКО ВЗПК.
Северо-Кавказское	— 357500,	Пятигорск, СКО ВЗПК.
Алтайское	— 656011, Барнаул-П, а/я 4253, АТО ВЗПК.	
В Украинском и Казахстанском отделениях обучение ведется также и на языке республик. Кроме того, в Украинском отделении преподается украинский язык и украинская литература.
Инвалиды с детства, воспитанники детских домов, воины интернационалисты имеют льготы.
Проспект с подробными сведениями о формах обучения и оплаты вы получите бесплатно, написав на открытке в любое отделение ВЗПК. По этому же адресу вы можете подписаться на журнал для поступающих в вузы «Репетитор».
Для жителей Москвы и Московской области действуют очные подготовительные курсы. Справки по телефону 581-11-53.