Зубчатые и червячные передачи. Некоторые вопросы геометрии, кинематики, динамики, расчета и производства - Колчин Н.И.

Автор: Колчин Н.И.

Теги: детали машин передачи (механические) подъемно-транспортное оборудование крепежные средства смазка инженерия машиностроение динамика издательство машиностроение

Год: 1974

Похожие

Технология изготовления точных цилиндрических зубчатых колес

Зубчатые передачи с задачами и примерами расчётов: Учебное пособие

Технология изготовления зубчатых колес

Производство зубчатых колес

Текст

ЗМЬИIMVWE
ЗУБЧАТЫЕ И ЧЕРВЯЧНЫЕ
ПЕРЕ ДАЧ И
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ, КИНЕМАТИКИ,
ДИНАМИКИ,* РАСЧЕТА И ПРОИЗВОДСТВА
Под редакцией заслуженного деятеля науки и техники РСФСР
доктора технических наук профессора Н. И. КОЛЧИНА
ЛЕНИНГРАД
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
19 74
6П5.3
3-91
УДК 621.833
3-91 Зубчатые и червячные передачи. Некоторые вопросы кинема-
тики, динамики, расчета и производства. Под ред. д-ра техн,
наук Н. И. Колчина. Л., «Машиностроение! (Ленингр. отд-ние),
1974, 352 с.
В книге обобщены сведения по геометрии, теории зацепле-
ния, прочности, проектированию и производству различных ви-
дов зубчатых передач. Рассмотрены вопросы геометрии плоских
и пространственных зацеплений, а также методы рационального
конструирования и испытаний зубчатых передач и механизмов.
Значительное внимание уделено динамике зубчатых передач.
Книга предназначена для инженерно-технических работ-
ников, занимающихся вопросами конструирования и исследо-
вания различных типов передач. Она также может быть исполь-
зована студентами вузов соответствующих специальностей.
Табл. 38. Ил. 173. Список лит. 181 назв.
31302—017
038 (01)—74 17—74
65П.З
Рецензент Комитет зубчатых зацеплений и передач
им. X. Ф. Кетова Ленинградского областного НТО Машпрома
Редактор канд. техн, наук Н. Ф. Голованов
© Издательство «Машиностроение» , 1974 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
XXIV съездом КПСС поставлена задача повышения надеж-
ности, долговечности и экономичности машин, снижения их
габаритов и веса, а также упрощения технологии изготовления.
Зубчатые передачи являются одними из наиболее распространен-
ных в технике механизмов, и нередко они определяют вес и габа-
риты машин и агрегатов.
В ряде отраслей машиностроения предъявляются жесткие тре-
бования к точности и динамике передаточных механизмов. Реше-
ние этих вопросов возможно лишь при условии широкого развития
исследовательских, теоретических и экспериментальных работ.
Улучшение геометрии зацепления, создание новых видов пере-
дач, разработка конструктивных и технологических факторов,
повышающих нагрузочную способность передач, разработка во-
просов улучшения технологии, уменьшение затрат при изготовле-
нии передач — основные задачи, стоящие перед научными и инже-
нерно-техническими работниками конструкторских бюро и про-
мышленных предприятий.
В последнее время большой интерес со стороны конструкторов
проявляется к волновым зубчатым передачам, позволяющим
в ряде случаев получить существенные преимущества перед дру-
гими видами передач.
В настоящей книге приводится ряд результатов исследований
в указанных направлениях, доложенных в ЛО НТО Машпрома
и получивших одобрение научной и инженерной общественности.
Следует отметить, что в ряде глав сохранены ссылки на заме-
ненные стандарты, поскольку по ним производился выбор пара-
метров экспериментальных зубчатых колес.
• Все замечания и пожелания по содержанию книги просим
выслать по адресу: Ленинград, улица Дзержинского, 10, изда-
тельство «Машиностроение».
Г Л А'В А I
КИНЕМАТИКА И ТОЧНОСТЬ ПЕРЕДАЧ,
ГЕОМЕТРИЯ ЗАЦЕПЛЕНИЙ И ИНСТРУМЕНТА
1. СИНТЕЗ ЭВОЛЬВЕНТНОЙ ПЕРЕДАЧИ
В ОБОБЩАЮЩИХ ПАРАМЕТРАХ
Предлагаемая методика синтеза эвольвентной передачи в обоб-
щающих параметрах [34, 35, 36, 37 ] позволяет получить пере-
дачи с существенно лучшими качественными показателями, чем
при распространенных в настоящее время методиках. Рассматри-
ваемый метод проектирования заключается в том, что задачи син-
теза разделяются на синтез зацепления, который не зависит от
производящего исходного контура, и на синтез колес, образующих
передачу, реализация которых полностью определяется инстру-
ментом.
Рассмотрим решение задачи синтеза на примере наиболее об-
щего случая зубцов (зубьев, не имеющих переходных кривых)
с несимметричным профилем. Синтез зубцов направлен на свобод-
ный выбор независимых переменных в пределах обобщенной об-
ласти существования эвольвентного зацепления [36], при которых
обеспечиваются наиболее благоприятные качественные показа-
тели зацепления. Он не связан с технологией изготовления колес
и определяется только теоретическими возможностями зацепления.
Поскольку независимые переменные функций зацепления ха-
рактеризуют эвольвентный профиль до оси симметрии — одну
часть зубца, постольку предопределяется схема образования
зубцов с несимметричным профилем. В самом общем случае несим-
метричный зубец можно представить состоящим из двух симметрич-
ных зубцов, характеризуемых различными основными окружно-
стями и окружностями заострения (рис. 1). В зависимости от зна-
чений относительной толщины та и пга нр, а также от углов #и#нР,
где индекс нр относится к нерабочему профилю зубца, существенно
меняется конфигурация зубцов. Однако она зависит не только от
перечисленных параметров, но также и от диаметров основных
окружностей, определяющих профиль зубца. Здесь также, как
при синтезе симметричных зубцов, удается оперировать относи-
тельными геометрическими, а также качественными параметрами
зубцов, но лишь при условии, что известен коэффициент отноше-
ний диаметров его основных окружностей, который обозначим
через (рис. 1)
k = ^-. (1)
4
Рассмотрим возможные варианты зубцов с несимметричным
профилем. Допустим, что окружность вершин зубцов с несимме-
тричным профилем определилась точкой пересечения эвольвент,
разворачивающихся с различных основных окружностей. Такой
профиль зубца назовем номинальным (рис. 1, а).
Так как по условиям образования зубца с номинальным несим-
метричным профилем Sat — Sat нр и, следовательно,
то
inv 0 — inv <ха — inv + inv аанр = 0. (3)
Кроме того, так как радиус окружности пересечения эвольвент
$ 2 2 ^бнр ®анр»
ТО
cos аа№р — k cos ae, (4)
отсюда
inv 0нр = та cos аа + inv arccos (k cos аа). (5)
Следовательно, зубец с номинальным несимметричным профи-
лем полностью определяется независимой переменной Ф, относи-
тельной толщиной симметричного зубца на окружности вершин
та = , а также коэффициентом k.
Дальнейшая модификация зубцов с номинальным несимметрич-
ным профилем возможна за счет изменения диаметра окружности
вершин, равного 27?НОМ. Допустим, что зубец, характеризуемый
5
независимой переменной О, доведен до заострения, т. е. до та = О
(рис. 1, б). Тогда, так как
Га = 7?д = YSC Mb = Y SC “аир.
cos аа яр = k cos fl, (6)
где га — радиус окружности выступов.
Учитывая, что [36]
inv fl = tna cos аа 4- inv аа,
получим
inv flHP = kmaitp cos fl + inv arccos (k cos fl). (7)
Если ra = 7?д > 7?ном. т- e- если ma — 0. то зубец с несим-
метричным профилем определяется независимой переменной та нр
и коэффициентом k.
Рассмотрим промежуточный вариант профилей несимметрич-
ных зубцов, которым отвечают уравнения (5) и (7), т. е. допустим,
что /?ном < ra < (рис. 1, в). Тогда на основании (4) и уравне-
ния, связывающего независимую переменную fl с углом профиля аа,
получим
inv flHp ~ kmasp cos <ха + inv arccos (k cos aa). (8)
Таким образом, при /?ном < ra < 7?д зубец с несимметричным
профилем полностью определяется следующими параметрами:
А; та; та яр; k.
Предположим, что радиус окружности вершин зубцов с несим-
метричными профилями га < ₽ном. Такие профили образуются
из двух зубцов, эвольвенты которых могут не пересекаться. Полу-
ченные зубцы между собой связаны через диаметр окружности
вершин, поэтому к ним пригодны соотношения (4) и уравнение (8).
Уравнения (5), (7) и (8) являются основными уравнениями про-
филя зубца.
Выбор независимых переменных связан с назначением зацеп-
ления. Допустим, что рабочее зацепление, т. е. контакт профилей
несимметричных зубцов, имеет место при небольшом угле зацеп-
ления оСц,. Тогда, для того чтобы при этом угле и достаточной тол-
щине зубца на окружности вершин одновременно получить наи-
больший коэффициент перекрытия еа, независимые переменные
для рабочих профилей должны приниматься по линии Qq— обоб-
щенной области существования эвольвентного зацепления (рис. 2).
Как известно [36], построение линии Qq определяется усло-
вием ,, откуда следует, что
\ rffli 7ea=const \ dfli /aaI = const’ «J
cos2 a01 (1 + mai'sln aaJ = cos2 aa2 (1 4- таг sin ааг)
6
Применение в этом случае зубцов с номинальным несимметрич-
ным профилем не дает преимущества в коэффициенте перекрытия е.а
п0\ сравнению с зубцами, имеющими симметричный профиль.
Использование зубцов с номинальным несимметричным профилем
может быть целесообразным при необходимости уменьшить жест-
кость зубцов или вписать требуемую переходную кривую между
зубцами колеса, например при отделочных технологических опе-
рациях. В то же время зубцы с номйнальным несимметричным про-
филем определяют при принятых независимых переменных flf,
Рис. 2. Область существования эвольвентного за-
цепления при z1= 5; и = 1; та1. 2 = О
^1нр'> ^2нр дальнейшую возможность повышения коэффи-
циента перекрытия еа за счет увеличения окружности вершин
при сохранении на ней требуемой толщины Sa зубца.
Чтобы получить при рассматриваемых условиях наибольший
коэффициент перекрытия еа, необходимо окружность вершин
зубцов с номинальными несимметричными профилями довести
До диаметра 27?д > 2/?ном, т. е. принять та = 0. Независимые
переменные в этом случае принимаются: для рабочей стороны
по линии Qq, построенной при та = 0; для нерабочей стороны —
из обобщенной области существования эвольвентного зацепления,
построенной при танр>0. Толщина зубца Sa на окружности
вершин при этом будет определяться значением 4>-та„р, т. е.
Snp — ~2~ $анр — kma нр^Ь.
(9)
7
1 2
Если -у Sa нр < Sa или если в рассмотренном выше случае
угол зацепления по нерабочей стороне аШНр <а5>°нр, где а^°нР—
желательный угол зацепления со стороны нерабочих профилей,
или если напряжения изгиба в зубцах превосходят допускаемые
и т. д., применяется вариант зубцов, приведенный выше.
При Л?нон < га < независимые переменные принимаются из
двух обобщенных областей существования эвольвентного зацепле-
ния, соответствующих та и /ианр, в то время как толщина зубца
на окружности вершин будет равна
Sa == ~2 (j^a Н- kma нр) df)
ИЛИ
ml = 11111 =4-(/па1;2 + йщанр1; 2). (10)
db I; 2 2
Использование несимметричного профиля зубцов при mai- 2 =
= 0, когда зубцы с рабочей стороны доведены до заострения, поз-
воляет увеличить коэффициент перекрытия еа по сравнению с за-
цеплением, образованным из симметричных зубцов при mai-, 2> 0,
когда коэффициент перекрытия равен еа, на величину Деа = е« —
— еа или
Ле“ = lk [tg 1)1 — tg “al ~ и <tg ~tg а“2^’
если у сопоставленных передач угол зацепления неизменный.
В формуле (11) и — передаточное число.
Можно представить различные варианты эвольвентного зацеп-
ления с несимметричными профилями зубцов, которые проекти-
руются как при наперед заданном межосевом расстоянии aw,
так и при свободном выборе этого расстояния.
Допустим, что кроме межосевого расстояния известны угол
зацепления aw по рабочим профилям зубцов, который выбран при
некоторых значениях независимых переменных Ф1( Угол
зацепления по нерабочим профилям аа,нр, относительные толщины
зубцов на окружности вершин mai; 2 рабочих профилей, а также
окончательная относительная толщина на окружности вершин
зубца, шестерни zlt имеющего несимметричный профиль.
Тогда, так как
2ot» = (1 u) sc общ • dbi (1 -|~ и) sc нр • df? 1нр»
где из [36]
invосш = —- f inv &! + и invfl^ — ,
8
то коэффициент отношения диаметров основных окружностей со-
ставит
k = sc aw cos aw Hp. (12)
Используя (10), определим относительную толщину несимме-
тричного зубца шестерни zx по нерабочему профилю
нр == (,2гПа1 ГПа1),
а используя (8), определим '0,1нр, вычислив предварительно углы
профиля аа1 и аа2. Независимую переменную по нерабочему про-
филю колеса z2 находим как
invO2Hp = -i- [(1 +u)invaa,Hp —invfl1Hp + -^-] ,
а относительную толщину зубца колеса по нерабочему профилю
определяем из (8), тогда
та2нр = 4" sca°2 t*nv ^2нР —inv arccos (k cos aa2)]. (13)
В заключение по (10) определим ma2 > (т^доп, где
(/Па2)доп заданная (желаемая) относительная толщина зубца
колеса z2. .
При известном межосевом расстоянии наиболее вероятная схема
проектирования зубчатых колес с несимметричным профилем зуб-
цов сводится к проверке достаточности относительной толщины
/па2 зубца колеса гг с несимметричным профилем на окружности
вершин, если заданы aw; 02; та1.2; ашнр (или k).
Допустим, что межосевое расстояние не задано. Тогда наиболее
вероятными исходными данными для расчета могут быть следую-
щие: Ф2; mal. 2; т*,2. Коэффициент k в этом случае прини-
мается var.
Определив предварительно по рабочим профилям зубцов угол
зацепления aw и углы профиля aai;2, вычислим на основании (8)
независимые переменные по нерабочим профилям
inv^i; 2Hp = ^mai; 2Нр cosaai; 2 + inv arccos (fe cos aai; г),
причем
fnav, 2нр= trial-2 — mai;2>0. (14)
Угол зацепления зубцов .по нерабочим профилям определяется
по уравнению
inv <xw нр = [& (та 1нр cos аа х + ита 2нр cos аа 2) +
+ inv arccos (k cos <ха1) + и inv arccos (k cos aa2) —— (15)
или непосредственно из (12).
9
На рис. 3 приводится схема зацепления при = 17 и z2 = 28.
Использование зубцов с несимметричным профилем позволило
получить при угле зацепления = 30° 30' и достаточной тол-
Рис. 3. Схема зацепления зубчатых колес = 17; zt =
— 28 с несимметричным профилем, параметры которых
по рабочей стороне: О1=51,5°; О2= 36,81°; Оц,=
30° 30*; ==: 0,024; /Ид2 0,029; = 1,4
щине зубцов на окружности вершин коэффициент перекрытия еа =
— 1,4, в то время как у передачи с заостренными зубцами ед = 1,51.
Выше было показано, что увеличение д1; Ф2 сопровождается
ростом углов зацепления, при которых можно достигнуть реаль-
ных коэффициентов перекрытия. Учитывая это свойство передачи,
10
на основании изложенных материалов, инженер Г. В. Ривкин
спроектировал передачу zx — 54, z2 = 57 при достаточной тол-
щине зубцов на окружности вершин с углом зацепления aw = 35°
и коэффициентом перекрытия еа — 1,21.
Основные параметры этих передач приведены в табл. 1.
Таблица 1
Основные параметры зубчатых колес с несимметричным профилем,
рассмотренные в примерах (рис. 3)
zt г» Oi Oi ea Sat
град MM
17 54 28 57 45,1 38,13 36,81 37,78 30,5 35 1,4 1,21 0,242 0 0,244 0,676
zi г» Оц/Нр ^IHp ^2Hp S? a\ CO а м eBP
град MM
17 54 28 57 20 19,5 20 37,71 37,52 37,31 28,47 31,99 32,10 26,48 1,10 1,3 1,238 1,294 1,354 1,712 1,668 1,686
Применение обобщающих параметров при проектировании
зубчатых передач позволяет, в частности,-использовать зубчатые
колеса как с малыми, так и с весьма большими числами зубцов.
Как известно [37 ], в точке В (рис. 2) поля одновременно осу-
ществляется интерференция у основания сопряженных зубцов:
у основания зубца zx при invO'1<—, когда
г1
inv $2 = та2 cos arctg (-Ц^- tg + -Ц^- tg aw —
— arctg (-Ц^-tgote,); (16)
У основания зубца z2 при invtta<—, когда
Z2
inv = та1 cos arctg [(1 + и) tg aj + (1 + и) tg aw —
— arctg [(1-b^tgaj. (17)
11
Угол зацепления в точке В поля 0,1; определяется после под-
становки уравнений (16) и (17) в уравнение для вычисления угла
зацепления, а именно
(1 + u) inv а» — /”fl^“ inv arc tg К1 + «) tg—
V 1 + (1 + M)atg3aw
“ 1/1 + /+‘“ V - “inv arctE (,в “’) +
г + \—й—
+ p = 0. (18)
zi
Учитывая, что в точке В поля при одновременной интерферен-
ции и = tg aul>ctg ав2, получим коэффициент перекрытия
ea = "2^'lgaa>< (19)
В точке В поля угол зацепления а£ достигает наименьшего, а
коэффициент перекрытия е® наибольшего значения для данной
пары колес [37]. Определим коэффициент перекрытия е£ в зави-
симости от числа зубцов и относительной их толщины на окруж-
ности вершин, для чего совместно решим уравнения (18) и (19).
Получим
, 12ле® \ / 2ле^\ (2ле®\
(1 + и) arctg (—) — и arctg (—— arctg (——I +
где zc = Zj + z2.
Уравнение (20) можно использовать не только для вычисления
максимальных значений коэффициента перекрытия еа при при-
нятых zx и и, но и для определения при предельно допустимом
коэффициенте перекрытия еа и ц = const наименьших чисел зуб-
цов у сопряженных колес.
В частном случае из уравнения (20) получим при и = 1; еа = 1
и /Па1; 2 = 0 число зубцов Zi; 2 = 4, 7. Отсюда следует, что zi: 2 = 5
является минимально возможным при передаточном числе и = 1,
если tnai; 2 = 0. У этой передачи разность между экстремальными
значениями углов зацепления составляет около двух градусов,
коэффициент перекрытия лежите пределах 1,04 > еа > 1 (рис. 2),
а независимая переменная 2 достигает значительной величины.
Поэтому у таких передач относительная толщина зубцов на окруж-
ности вершин может быть уменьшена до mai; 2 = 0. На возмож-
12
ность построения передачи при и = 1 и ?i; 2 = 5 указывается
в работе [106].
Применяя непривычно большие числа зубцов, можно получить
при обычных передаточных числах огромные коэффициенты пере-
крытия. Зубцы колес в этом случае обладают малой жесткостью и
имеют эвольвентные профили с весьма малыми значениями радиу-
сов кривизны. Использование
обобщающих параметров при
проектировании позволяет
получить передачу при срав-
нительно высоких углах за-
цепления (осц, — 21 -н23°)
с «гарантированным» коэффи-
циентом перекрытия еа =* 2,
а именно еа = 2,08-н2,10.
Синтез колес заключается
в получении зубьев с воз-
можно меньшей концентра-
цией напряжений на переход-
ном участке. Из схемы ста-
ночного зацепления (рис. 4),
п р едоп р ед ел я ющей отс у т-
ствие станочной интерферен-
ции, определим пераметры
производящего исходного
реечного контура в долях db
(табл. 2).
В предельном случае при
pz = 0 и W = 0 прямолиней-
ные образующие контуры
Рис. 4. Схема станочного зацепления
1 *
пересекаются на расстоянии -ySactga отделительной прямой.
Поэтому при конструировании производящего контура должно
выполняться условие:
h(a; р) пред — “g" *$a р
(28)
По сути своей профильный угол а является независимой пере-
менной контура, через которую выражаются его остальные пара-
метры.
4 Определим связь коэффициента h* полной высоты зуба про-
изводящего исходного реечного контура с параметрами зацепления.
Из условий интерференции и уравнения (23)
й/1; 2 =-----easina.
21; 2
(29)
13
Таблица 2
Основные’параметры производящего исходного реечного контура
при dbl 2 = 1
Коэффициент Расчетная формула
Высоты ГОЛОВКИ ha=-j-(^a— tg«p + 2/) sin а (21)
» ножки (tg aa — tg a) sin a (22)
Полной высоты ftz* = (tg afl — tg ap) sin a + / sin a (23)
Толщины на делительной окружности s^= (-5- 4- inva — invsea (24)
Радиуса скругления головки зуба Радиального зазора головки зуба Pi = [4" ($a~r‘) — ha tg a] 50 a I25) c = pj (1 — sin a) (26)
Радиального зазора ножки зуба cj = A [! — cos (afl — a)] sc aa (27)
Так как теоретически возможная предельная длина линии за-
цепления у производящего исходного реечного контура при
/I; 2 = 0 будет
<7 = Л/1; 2 CSC a dbi; 2, (30)
то соответствующий этой длине коэффициент перекрытия
«а=^- =-^АП; 2CSCCC.
(31)
Отсюда следует, что, во-первых, коэффициент перекрытия еа
в формуле (29) равен предельному значению коэффициента пере-
крытия (31) при зацеплении производящего исходного реечного
контура с нарезаемым колесом и что, во-вторых, на обобщенной
области существования зацепления изолиния ев одновременно
является изолинией коэффициента полной высоты зуба произ-
водящего исходного реечного контура.
Точке с координатами 0,2 на изолинии ео при некотором
профильном угле а будут отвечать производящие исходные рееч-
ные контуры, коэффициенты полной высоты зубьев у которых
связаны между собой передаточным числом
(32)
Л/2
14
Неравенство коэффициентов полной высоты зубьев контура
не означает, что не равны их абсолютные значения h.tl и й/2.
В самом деле, так как
hu = hndbi = uhadbi и hn — h^dbi = hiziidbi,
то ftzi = ftz2 = ftz.
Отсюда получаем важнейшее следствие: образование сопря-
женных зубьев у зубчатых колес в принципе осуществляется про-
изводящими исходными реечными контурами, имеющими одина-
ковые абсолютные значения полной высоты зубьев при некотором
общем профильном угле.
Так как каждое из колес пары образуете производящим исход-
ным реечным контуром станочную передачу с некоторым коэффи-
циентом перекрытия, то физический смысл станочного зацепления
можно сформулировать следующим образом. При нарезании пары
колес, образующих передачу с некоторым коэффициентом пере-
крытия, необходимо подобрать такие параметры производящего
исходного реечного контура, которые обеспечили бы станочное
зацепление поочередно с каждым из формируемых колес при этом
коэффициенте перекрытия.
Рабочий диапазон профильного угла а лежит в полуоткрытом
интервале [0; аа), если принятый угол а не приводит к заострению
зуба производящего исходного реечного контура.
Производящий исходный реечный контур, полученный для
зубчатого колеса с некоторым числом зубцов и независимой пере-
менной можно использовать для нарезания зубчатого колеса
с другими параметрами, если этому контуру придать смещение,
равное х (рис. 4).
Определим коэффициент смещения х на том основании, что
толщина зуба контура на начальной окружности должна быть
равна ширине впадины между зубьями на этой же окружности,
т. е.
х =-g-csca (Sacosa — inv a + inv й---(33)
Определим пределы смещения х производящего исходного
реечного контура, при котором возможно нарезание зубчатого
колеса с некоторым числом зубьев г и назависимой переменной ft.
Смещение х должно быть больше некоторой предельной вели-
чины xmln, при которой наступает станочная ^интерференция (под-
рез). Условие отсутствия подреза определим из схемы станочного
зацепления (рис. 4),
x>xmin = Aa —yslnatga. (34)
15
С другой стороны, это смещение х должно обеспечить получе-
ние коэффициента запаса против срезания рабочего профиля, т. е.
/ = (ha — х) esc а — (tg ар — tg а) > 0. (35)
Из (34) и (35) следует, что
4- (tg а — tg ар) sin а<Лд — х^ sin а tg а. (36)
Применение производящего исходного реечного контура для
нарезания колес с числами зубьев zi; 2, основная окружность кото-
рых имеет диаметр dbi; 2, возможно при соблюдении условий сборки
зубчатых колес и производящего исходного контура в станочной
передаче. У такой станочной передачи должно быть обеспечено
равенство шага по основной окружности колес и шага по нормали
к производящим профилям производящего исходного реечного
контура, т. е.
Pb=-^-dbl;2. (37)
2
Выбор параметров производящего исходного реечного контура
для зубчатого колеса при некотором числе зубьев г и независимой
переменной $ без учета параметров сопряженного колеса может
привести к передаче, коэффициент радиального зазора которой
сп < 0. Это означает, что при проектировании зубчатых передач
в обобщающих параметрах выбор параметров производящего ис-
ходного реечного контура предусматривает обязательную про-
верку нарезаемых зубчатых колес на отсутствие внедрения голо-
вок зубьев одного колеса в основание зубьев колеса, с ним со-
пряженного.
Предварительно из схемы станочного зацепления (рис. 4)
определим радиус окружности впадин колеса
г/== f-|-sca— 1га — с — х\ db. (38)
Поскольку cni- 2 2; I = dw — ?а1-, 2 — /72; I, то в долях диаметра
dbl основной окружности зуба шестерни гх имеем:
сП1- 2 2; 1 = 4- [(1 +«)scaB( — scaaI; 2—sea] +
“И Л<12; 1 + I — Х2- IJ
СЛ1; 2 2; I 5= 0.
Из схемы станочного зацепления (рис. 4) следует, что радиус
окружности сопряжения переходной кривой с эвольвентным про-
филем равен
fi = db j/(h*a — x)2 etg2 a (4 sc a — h*a+x)2. (40)
16
Таким образом, образование зубчатого колеса, а затем и пере-
дачи с внешним эвольвентным зацеплением в обобщающих пара-
метрах заключается в том, что с целью исключения на начальной
стадии проектирования взаимосвязи между параметрами зацепле-
ния и производящего исходного реечного контура параметры по-
следнего определяются при dh = 1 по формулам (21)—(28), если
радиальный зазор Сп у передачи, вычисленный по формуле (39),
является достаточным.
Полученный этим способом производящий исходный реечный
контур можно принять для формирования зубчатых колес с иными
параметрами, если коэффициент смещения х, определенный по
формуле (33), соответствует неравенству (36).
2. СИНТЕЗ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗАЦЕПЛЕНИЙ
ПО ТОЧКАМ ПЕРЕСОПРЯЖЕНИЯ1 2
Приближенное зацепление имеет ряд существенных преиму-
ществ (технологических и эксплуатационных) по сравнению с со-
пряженным. Наличие этих преимуществ объясняет все возрастаю-
щее распространение приближенных передач даже в тех случаях,
где традиционно применялись сопряженные. Различные профиль-
ные и продольные модификации зубьев в цилиндрических пере-
дачах с целью локализации пятна контакта по высоте и длине
зуба являются фактически отступлением от сопряженности, точнее,
введением запланированной несопряженности поверхности зубьев.
Широко применяемые в настоящее время методы расчета
приближенных передач (В. Н. Кедринский, Н. Ф. Хлебалин,
К. М. Писманик, Н. Ф. Кабатов, Г. А. Лопато и др.) основываются
на анализе отклонений обрабатываемых (реальных) поверхностей
зубьев от точно сопряженных. Отклонения поверхностей опреде-
ляются по дифференциальным характеристикам их в расчетной
точке. Приближенность этого метода расчета требовала определен-
ного построения технологического процесса нарезания колес на
станке — метода последовательных приближений после анализа
зацепления на контрольно-обкатном станке. Этот метод является
очень трудоемким. Кроме того, в ряде случаев возможно отсут-
ствие сходимости процесса.
Дальнейшим развитием этого метода следует считать работы
М. Г. Сегаля, в которых определяются зазоры между реальной и
идеальной (сопряженной) поверхностями в любой точке зуба. Это
«позволяет рассчитывать пятно контакта по заданным параметрам
наладки или находить параметры, соответствующие заданному
пятну контакта» [134].
В работах Ф. Л. Литвина и Г. И. Шевелевой развиваются
аналитические методы расчета, дающие возможность получить
требуемое качество зацепления без подналадок станка и инстру-
мента. В частности, методика Ф. Л. Литвина позволяет вести синтез
1 Работа выполнялась совместно с Г. А. Лившицем.
2 Под ред. Н. И. Колчица 17
передачи по качественным показателям в заранее выбранной
расчетной точке. Затем решается обратная задача — моделирова-
ние реального процесса зацепления с помощью ЭВМ. По резуль-
татам решения обратной задачи производится корректировка
параметров наладок станка и инструмента, т. е. изменяются каче-
ственные показатели в заданной точке.
В настоящем параграфе рассматривается метод синтеза по
точкам геометрического пересопряжения, позволяющий получить
требуемый характер контакта не только в расчетной точке, но и
в пределах всей рабочей части зуба. Предпосылкой для этого
послужила возможность аналитического определения точек пере-
сопряжения без решения трудоемкой обратной задачи.
Для определения точек пересопряжения в приближенной пере-
даче необходимо воспользоваться условием, полученным А. А. За-
островским,
I Зл
Ф1+ —
j («21 — «21) d(fi = 0, (41)
Ф1
где u21 = —мгновенное значение передаточного отно-
шения; «21 = 2/гг—номинальное значение передаточного отно-
шения; 2л/Zj — угловой шаг ведущего звена; zb z2 — числа зубьев
звеньев передачи; фх, <р2—текущий угол поворота ведущего и
ведомого звеньев.
В работе [58] показано, что условие (41) легко приводится
к следующей форме:
В А I 2л
Ф1 =ф! + -г>
21 /Л
где ф£ и ф^1, ф^ — соответственно углы поворота шестерни
и колеса при входе и выходе зуба из зацепления.
Условия контакта двух поверхностей в некоторой точке, если
уравнения поверхностей и ортов нормалей записаны в общей
системе координат, формулируются следующим образом [104]:
в точке контакта радиус-векторы и орты нормалей равны, т. е.
Г1 («1. 01, Ф1, <Р1) = г2 («2, 02, ф2, ф2);
П1 («г, 01, Ф1, Ф1) = п2 («2, 02, ф2) <р2);
fi («1, 0ь фх) = 0; f2 (ut, О2, ф2) = 0.
Здесь ujt — криволинейные координаты в точке контакта поверх-
ностей зубьев шестерни (/ = 1) и колеса (/ = 2); ф/ — параметры
огибания при нарезании; ф, — углы поворота звеньев при зацеп-
лении; /2 — уравнения станочного зацепления при нарезании
шестерни и колеса.
18
Система [43] эквивалентна семи скалярным уравнениям:
Л(«1. ^1, th, <р1( и2, fy>, i|>2, <р2) = 0; ‘
Л (ult «pi и2, Ф2, i|>2, <р2) = О,
в которых восемь неизвестных.
Рассмотрим систему [44] для двух положений, определяемых
углами <р^, ф^ и ф£, ф£ входа и выхода зубьев передачи из зацеп-
ления и, добавляя систему (42), получим:
Fi(lrf, ..ф2) = 0;
Fi(иЛ ...,ф^) = 0;
Fi(ui, . . ., ф®) = 0;
F7(U1, .... Ф2) = О;
В 4 I 2я .
Ф1 =Ф1 + —’
21
В А . 2л
ф2 — ф2 + — .
Z2
(45)
Система (45) состоит из шестнадцати уравнений относительно
шестнадцати неизвестных. Решая ее при помощи ЭВМ числен-
ными методами, найдем значения переменных, которые полностью
определяют точки пересопряжения передачи, т. е. две крайние
точки рабочей линии.
В уравнения системы (44), кроме переменных uf, ft;, фу-,
входят также параметры наладки станка и параметры инструмента
аь . . ., ak. При синтезе передачи эти величины являются иско-
мыми, так как, варьируя ими, можно обеспечить требуемое каче-
ство передачи. Записывая систему (45), определяющую точки пере-
сопряжения в передаче, с учетом искомых параметров а, получим:
F1 ф2, ai, ..ал) = 0;
Р7 (Hi1, . . Ф21, ai, .. ал) = 0;
Fi (uf, . . <pf> ai, . . а^) = 0;
F? (и1, . . Ф?> ai, . . ал) = 0;
(46)
2*
19
Система (46) определяет переменные и, ft, ф и ср, а значит, и
точки пересопряжения, как неявные функции параметров ах, . . .
. . ., ak. Этот вывод является очень важным, так как с точками
пересопряжения в приближенной передаче можно связать важней-
шие качественные показатели. Добавляя к системе (46) k уравне-
ний, определяющих качественные показатели, получим новую
систему, состоящую из 16 + k уравнений относительно 16 + k
неизвестных. Решая эту систему, получим k параметров а наладок
станка и инструмента.
В настоящее время можно считать установленным, что основ-*
ными качественными показателями, характеризующими прибли-
женное зацепление, являются: рас-
Рис. 5. Задание точки контакта
положение, форма, размер пятна
контакта, его поведение при действии
технологических, монтажных погреш-
ностей и деформаций под нагрузкой
и отклонение мгновенного значения
передаточного отношения от номи-
нального, приводящее к определен-
ной циклической* погрешности пере-
дачи.
На примере синтеза конической
передачи с круговым продольным
профилем зуба, которая нарезается
простым двусторонним способом, покажем, как определяются
параметры наладок станка и инструмента при нарезании шестерни
односторонней резцовой головкой. Колесо пары обрабатывается
двусторонней резцовой головкой при базовых наладках и уста-
новках.
Наличие или отсутствие диагональности рабочей линии, а
также наличие или отсутствие локализации пятна контакта в на-
правлении рабочей линии зависит от того, как расположены конеч-
ные точки А и В рабочей линии (точки пересопряжения) на рабо-
чей поверхности зуба шестерни.
Положение точки на поверхности зуба будем характеризовать
величиной радиус-вектора г и углом 6, составляемым радиус-
вектором и осью колеса (рис. 5). Для того чтобы рабочая линия
занимала требуемое положение по длине зуба, необходимо нало-
жить два условия:
r?=/(<)4('4)2+W.)2-P4; <47>
rf=/(r»)!+W«)2+W,)2=PB, <48>
где ri, ri — радиус-векторы точек А и В; rix, riy, riz и rix, riy,
riz — координаты точек Л и В, являющиеся функциями перемен-
ных Uf, ftj4, фА, ЫВ( фВ, фВ фВ, ( а*. рА и рВ --
20
задаваемые при синтезе размеры [обычно рл=р£ =р=(1 -н Lc>
где Lc — длина средней образующей начального конуса].
Положение точек Л и В по высоте зуба можно, на первый
взгляд, задавать величинами углов 64 и бв, причем:
6i*=arctg
>2+W
ru
(49)
arctg
Рис.
6.
Закон передаточного
отношения
части
(50), определяет
линии.
Однако, как показано в работах [134, 59], длина рабочей линии
АВ при заданных р4 и рв не зависит от параметров настройки
станка и инструмента и практически
постоянна для данной пары. Поэтому
задавать размеры углов 64 и бв
произвольно нельзя. Нами для син-
теза использовано выражение
j(6]’ + 6f) = 61-l(T1-T2), (50)
где 6Х-—угол при вершине началь-
ного конуса шестерни; у2 — углы
ножек зубьев шестерни и колеса;
61---(ух — у2) — угол, характери-
зующий среднюю по высоте точку
зуба шестерни.
Выражение, стоящее в левой
среднюю (между А и В) точку
Необходимым условием локализации пятна контакта по высоте
зуба, кроме условия (50), является правильный выбор закона
передаточного отношения и21 (epi) в приближенной передаче.
В работе [58] показано, что основным законом и21 (<px) является
функция, представленная на рис. 6 (u£ > afi), удовлетворяющая
условию (41).
Величина пятна контакта определяется размером и ориента-
цией семейства мгновенных площадок контакта, которые, в свою
очередь, могут быть определены по известным упругим свойствам
материала, нагрузке и главным значениям приведенной кривизны
соприкасающихся поверхностей. Воспользовавшись известными
выражениями для определения величин и направлений главных
значений приведенной кривизны [104, 32], найдем по формуле
21
Герца величины больших Полуосей эллипсов контакта в точках А
и В:
2h
.А
'np min
2/i
кпр min
(51)
где li, li — размеры большой полуоси в точках А и В; «пр min,
В «
«пр min — минимальная приведенная кривизна поверхностей
в точках А и В; h— упругое сближение поверхностей, для рас-
четов принимают h = 0,005-^-0,015 мм.
Рис. 7. Пятно контакта приближенной
передачи
Вообще говоря, размеры
мгновенных площадок контакта
для точек входа А и выхода В
зуба из зацепления могут суще-
ственно отличаться по вели-
чине, тогда на синтезируемую
пару следует накладывать оба
условия (51). Для конических
зубчатых колес обычно значе-
ния li и li отличаются мало.
В этом случае достаточно одного
условия
-g- (| li cos Qi1 -f- li cos 9? | +
+1 li cos 0J1 — li cos 0? I) = /,
(52)
где 0i*, Qi — углы, составляемые направлением большой полу-
оси мгновенного контактного эллипса и радиус-вектором соответ-
ствующей точки; I — задаваемая при синтезе половина размера
длины пятна контакта.
Выражение, стоящее слева в условии (52), определяет проек-
цию наибольшей из двух имеющихся площадок контакта на на-
правление радиус-вектора соответствующей точки.
Высота пятна контакта, несмотря на постоянную длину рабо-
чей линии АВ, зависит от профильной приведенной кривизны и
величины упругого сближения h [59]. На рис. 7 изображены
точки А и В геометрического пересопряжения, С и D' — точки
реального входа и выхода зуба из зацепления, С и D — точки
реального входа и выхода зуба из зацепления в случае уменьшен-
ной по сравнению с предыдущей профильной приведенной кри-
визной в направлении рабочей линии.
Приведенная кривизна поверхностей в направлении рабочей
линии и соответствующая ей высота пятна контакта, циклическая
погрешность и устойчивость передачи по отношению к ошиб-
кам монтажа зависят от закона изменения передаточного отно-
22
шения «21 (<pi) (рис. 6), в частности от значений «л и ип или
разности их
t/21 — (53)
Воспользовавшись выражением для определения мгновенного
передаточного числа [33], запишем условие (53) в развернутой
форме
"j4 (е1ХГ1Л) nf(eixrf) _
п,Л(е2Хгл) nf(e2xr*) ‘
Здесь пл’ в — орты нормали в точках А и В; ех, е2 — орты осей
вращения шестерни и колеса; гъ г2 — радиус-векторы точки кон-
такта шестерни и колеса; А — число (для конических колес 6-й
степени точности А 0,02).
Присоединим к системе уравнений (46) пять уравнений (47),
(48), (50), (52) и (54), определяющих характер зацепления по-
верхностей зубьев передачи. Получившаяся система состоит из
21 уравнения относительно 21 неизвестного, среди которых име-
ются пять параметров настройки станка и инструмента аъ . . .,а5.
При синтезе конической передачи искомыми параметрами явля-
лись радиальная установка резцовой головки Ult радиус резцовой
головки гх, передаточное отношение цепи обкатки ис, осевое сме-
щение Ах* и гипоидное смещение шестерни при нарезании &EV
Для решения полученной системы была составлена программа,
в основу которой положена стандартная программа СП-103 «Опти-
мизатор» БСП АКИ-400.
3. ТОЧНОСТЬ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ ДВУХ ПАРАМЕТРАХ ОГИБАНИЯ1
Известно, что взаимоогибание двух поверхностей возможно при
линейном или точечном их контакте. Под взаимоогибанием будем
понимать возможность получения контакта в любой точке любой
из двух контактирующих поверхностей (или их кусков) при ис-
пользовании имеющейся свободы относительного их движения без
нарушения контакта (линейного или точечного) и без искажения
поверхностей. Для взаимоогибания при линейном контакте до-
статочно одного параметра относительного движения. При точеч-
ном контакте определенную точку поверхности можно сделать кон-
тактной только при определенных значениях двух независимых
параметров относительного движения. Соответственно, если в со-
став механизма входит высшая кинематическая пара с линейным
контактом, то для взаимоогибания составляющих ее поверхностей
1 Указанная проблема одновременно и независимо, но несколько иным пу-
тем была решена М. Л. Ериховым в работе «Принципы систематики, методы ана-
лиза и вопросы синтеза схем зубчатых зацеплений». Докт. диссерт., ХПИ, Ха-
баровск, J972.
23
достаточно одной степени подвижности; для полного взаимоогиба-
ния поверхностей при точечном их контакте необходимо иметь две
степени подвижности. Следовательно, задавая и реализуя любые
сочетания двух независимых параметров, можно сделать контакт-
ной любую точку готовых точечно-контактирующих поверхностей.
Однако реализовать два независимых параметра при изготовле-
нии поверхности обкаткой невозможно. Параметры связаны между
собой через время, следовательно, обкатка осуществляется всегда
при очном независимом параметре. Если обозначить параметры
огибания и то можно запи-
сать:
'О’ = # (/); р, = р, (/)
или, исключая /,
Н = н W. (55)
Следовательно, получаемая об-
каткой поверхность всегда яв-
ляется однопараметрической оги-
бающей семейства производящих
поверхностей. Осуществление об-
катки при любом виде функции
(55) (в частности, если один из па-
раметров является постоянной
Рис. 8. Образование приближенной
двухпараметрической огибающей
величиной) дает поверхность, отличающуюся от искомой матема-
тической двухпараметрической огибающей и имеющую с ней только
одну общую линию (рабочую линию). Для того чтобы получить
определенное приближение к искомой поверхности, следует осу-
ществить упомянутое однопараметрическое огибание несколько
раз, изменяя непрерывно или скачком (между проходами) значе-
ние одного из параметров огибания. Практически, по чисто техни-
ческим и технологическим причинам, оба параметра Ф и ц обычно
изменяются непрерывно, при этом зависимость (55) часто можно
определить, минуя фактор времени, через кинематику станка.
При этом образуются вторая, третья и т. д. однопараметрические
огибающие поверхности, имеющие по одной общей линии с иско-
мой поверхностью.
Таким образом, получается ряд рабочих линий, лежащих на
искомой поверхности, по которым реальные однопараметрические
огибающие касаются искомой поверхности. Сами же однопараме-
трические поверхности пересекаются, образуя «гребешки» над
теоретической двухпараметрической огибающей (рис. 8). Если
величину соотношения приращений параметров огибания # и ц
(0 —

(56)
dp, '
выбрать произвольно (или скачок одного из параметров между
двумя проходами произволен), то расстояние 5 между соседними
24
рабочими линиями на искомой поверхности может получиться
слишком большим (в частности, на рассматриваемом куске поверх-
ности, например поверхности зуба, может разместиться одна
рабочая линия или даже ни одной). При этом отклонения от иско-
мой поверхности могут оказаться весьма значительными. Следова-
тельно, величину соотношения приращений параметров огиба-
ния (56) нельзя выбирать произвольно.
Для получения достаточно хорошего приближения к искомой
поверхности при образовании ее обкаткой с двумя связанными
параметрами огибания приращение одного из них должно быть
достаточно мало по отношению к таковому для другого (они должны
отличаться минимум на порядок, а как правило, на два порядка).
Изменяя соотношение приращений параметров огибания, можно
получить любую высоту гребешков отклонений реальной поверх-
ности от математической двухпараметрической огибающей.
Таким образом, поверхность, образуемая при двух связанных
параметрах огибания, приращение которых отличается на один-
два порядка, фактически является совокупностью множества по-
парно пересекающихся однопараметрических огибающих семей-
ства призводящих поверхностей и в пределе (при = оо) сли-
вающихся с теоретической двухпараметрической огибающей.
Инструмент в процессе обкатки изделия врезается на некото-
рую глубину и оставляет на обрабатываемой поверхности жело-
бок, поверхность которого является однопараметрической оги-
баемой семейства инструментальных поверхностей.
Определим максимальную величину отклонений реально полу-
чаемой поверхности от идеальной двухпараметрической огибаю-
щей. При этом за размер йт1п упомянутых отклонений примем
кратчайшее расстояние от точек ребра пересечения соседних же-
лобков до теоретической поверхности (рис. 8).
Уравнение поверхности желобка в криволинейных координа-
тах можно записать, например, в кинематической форме в виде
e.Vc/=0. (57)
Здесь е — орт нормали к производящей поверхности; Vc/- — век-
тор относительной скорости производящей и образуемой поверх-
ностей в их истинном относительном движении, т. е. с учетом за-
висимости (55)
VC/ = Ve/[u;<p; O;|i(#)], (58)
где и, <р — параметры производящей поверхности.
Точки ребра пересечения двух соседних однопараметрических
огибающих поверхностей (соседних желобков) определятся из
системы уравнений, которые запишем в общем виде:
г' [и'; <р'; р (fl')] = г" [и";<р fl"; р* (fl")];
fi[u';<p';fl';p(fl')] = O;
f2[u";<p";fl";p*(fl")] = 0.
25
В выражениях (59) одним и двумя штрихами обозначены пара-
метры соседних желобков; Л и /2 — уравнения поверхностей же-
лобков в криволинейных координатах (уравнения зацепления)
вида (57); р* — значения, которые принимает второй параметр
огибания при образовании смежной однопараметрической огибаю-
щей поверхности (смежного желобка). Значения р* отличаются от
значений р на некоторую величину с, которую можно задать или
рассчитать,
р\= р + с. (60)
Величина с — это, как правило, приращение р за один оборот
обрабатываемого колеса, она зависит от вида функции (55).
Система (59) состоит из пяти уравнений относительно шести
неизвестных — <р'; А'; и"; <р"; А". Найдем кратчайшее рас-
стояние Amln от точек линии, определяемой системой (59), до тео-
ретической двухпараметрической огибающей поверхности, кото-
рое и является величиной максимальных отклонений реальной
поверхности от теоретической.
Согласно построениям, приведенным на рис. 8, запишем следую-
щее векторное выражение:
г” — г = h, (61)
где г” — радиус-вектор известной точки ребра пересечения со-
седних желобков; г = г (ы; <р; О’, р) — радиус-вектор точек тео-
ретической двухпараметрической огибающей поверхности, кото-
рая в криволинейных координатах определяется двумя уравне-
ниями:
fs (и; Ф; А; р) = 0; 1
ft («; ф; н) = °-1 1
Из выражений (61) и (62) видно, что h в общем случае также
является вектор-функцией параметров двухпараметрической оги-
бающей поверхности.
Параметры (координаты) точки теоретической поверхности,
соответствующие минимальной величине вектора h, найдутся из
следующей системы четырех уравнений относительно четырех
неизвестных:
r„-h = 0;
гф-Ь = О;
3 (и; <р; fl; р) = 0;
f4(«; <p;fl; р)=0,
где нижним буквенным индексом обозначены частные производ-
ные радиус-вектора двухпараметрической огибающей по парамет-
рам пр изводящей поверхности.
В выражениях (61), (62) и (63) параметры огибания Аир
выступают как несвязанные. Далее, имея координаты обоих кон-
23
цов вектора hmln, нетрудно найти его величину Приведенные
выше базовые зависимости могут быть использованы и для реше-
ния обратной задачи, т. е. для нахождения по допустимой вели-
чине отклонений поверхности 7imln соотношения приращений
параметров огибания (56) и, следовательно, зависимости между
этими параметрами (55). Зависимости (55) и (56) являются исход-
ными при проектировании узлов подачи зубообрабатывающих
(зубрфрезерных, шевинговальных, зубохонинговальных) станков
и при их настройке.
4. ТЕОРИЯ ЗАЦЕПЛЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОЛЕС
С КРУГОВЫМИ ЗУБЬЯМИ
Цилиндрические колеса с круговыми симметричными зубьями
могут быть нарезаны как методом копирования, так и методом
обкатки. Поскольку последний представляет больший практиче-
ский интерес, то дальнейшее изложение будем вести, предполагая,
что изготовление колес осуществляется методом обкатки с единич-
ным делением.
Цилиндрическое колесо с круговыми симметричными зубьями
нарезается свободно вращающейся зуборезной головкой. Зубо-
резную головку будем рассматривать как плоское производящее
колесо (или рейку), имеющее зубья с прямыми гранями.
Режущая грань зуба плоского производящего колеса описывает
в пространстве коническую поверхность с образующими под уг-
лом р = 90° — а (где а — угол зацепления) к полоидной плоскости.
Заготовке нарезаемого колеса и свободно вращающейся зубо-
резной головке сообщают согласованные движения обката.
В результате этих движений осуществляется процесс скатывания
делительного цилиндра заготовки по средней (полоидной) пло-
скости производящего колеса. Взаимодействие зуборезной го-
ловки с нарезаемой заготовкой является станочным зацеплением
между ними.
Рабочая поверхность зуба* Рассмотрим образование рабочей
поверхности выпуклой стороны зуба (рис. 9). Введем обозна-
чения:
хуг — неподвижная система координат. Ось Ог совпадает
с осью зацепления РР;
xiUizi — система координат, жестко связанная с первым нарезае-
мым колесом;
x'y'z' — промежуточная система координат;
По — полоидная плоскость плоского производящего колеса;
/<о — поверхность конуса, которая описывается режущей
гранью AM;
Р — плоский угол между образующей AM и плоскостью 77О;
Р = 90° — ах, где ах — угол зацепления в осевом се-
чении нарезаемого колеса;
AM — режущая грань зуборезной головки;
773 — поверхность зацепления.
27
Точка Мф принадлежит режущей грани зуборезной головки и
нарезаемому зубу. Ее положение будет определяться перемещением
нарезаемой заготовки на величину гф и поворотом зуборезной
головки на угол гр, где г — радиус делительной окружности
нарезаемого колеса в осевом сечении, ф — угол поворота нарезае-
мого колеса.
При отыскании точки Л1ф на поверхности конуса /Со, отвечаю-
щей заданным значениям ф и гр, будем руководствоваться основным
Рис. 9. Схема нарезания выпуклой стороны зуба
законом пространственного зацепления криволинейных зубьев,
по которому общая нормаль в точке соприкосновения должна пе-
ресекать ось зацепления. Полученная таким образом линейчатая
поверхность, ограниченная точками РММ^Е^ является поверх-
ностью зацепления (ПЗ). В данном случае под поверхностью зацеп-
ления понимается геометрическое место точек встреч сопряженных
точек зубьев нарезаемого колеса и плоского производящего ко-
леса в станочном зацеплении.
Таким'образом, если из точки Е^, определяемой углом гр пере-
сечения радиуса Ru плоского производящего колеса по средней
высоте зуба с осью зацепления РР, опустить перпендикуляр на
28
образующую ./ЦАЦ» то основание этого перпендикуляра Л4Ф и
будет искомой точкой поверхности зацепления.
Координаты точки в системе координат х, у, z опреде-
ляются как функции текущих параметров <р и ф и постоянных г, Ru
и Р:
х = Ru (1 — cos ф) + (Ru — гф ) cos2 р cos ф — г<р;
\ Wm Ц/ у
= sinfJcosfi;
z = Ru sin ф — (/?и — ) cos2 Р sin ф.
(64)
Уравнения (64) являются параметрическими уравнениями,
описывающими поверхность станочного зацепления (/73) в непо-
движной системе координат для выпуклой стороны зуба.
Рис. 10. Схема нарезания вогнутой стороны зуба
На рис. 10 показана схема нарезания вогнутой стороны зуба.
Координаты точки в системе координат хуг в этом случае
будут:
X = Ru (1 — cosjp) — ( ^ + гф — Ru) cos2 Р sin Ф + г<р;
У = ( ^соУ ~ /?“) C0S Р sin
z = Ru sin Ф + ( ф — /?«) COS2 P sin ф.
(65)
29
Уравнения (65) являются параметрическими уравнениями,
описывающими поверхность станочного зацепления (/73) в непо-
движной системе координат для вогнутой стороны зуба.
Если текущие координаты точки записать в системе коор-
динат, жестко связанной с нарезаемым колесом (xjZ/xZj), то полу-
чим уравнения, описывающие рабочую поверхность зуба.
Для выпуклой стороны зуба:
xi — [я«(1— cosip)+ (flB — cos2 р sin ip —Гф] X
X cos ф +[(/?„ — -^=р-) Sin Р cosР + г] sin ф;
У. = - [flB (1 - cos ip) + (ru - -^=^) х
X cos2 р COS Ip — Гф] sin ф + [( /?« — R“~^V ) X
X Sin p COS P + r ] COS Ф;
zx = Ru sin 1], — (Ru— ) cos2 p sin ip.
Для вогнутой стороны зуба:
Xi = [₽в (i — COS ip) — ( ^+7 — flu) cos2 P cos Ip H- Гф] X
X COS ф + [(Я“0+г|?Гф — flu) cos P sin P + r] sin ф;
У. = - |Ч (1 —COS 1|?) - (^L-flu) x
X cos2 p COS Ip + Гф] Sin ф + [( Ruz^- — X
X cos p sin p + r] cos ф;
*1 = flu sin Ip + ( R“£^ — Ru) COS2 P sin Ip.
(66)
(67)
Если в выражениях (66) и (67) параметр ip равен нулю, то
получим для выпуклой стороны зуба:
^i = г [sin ф — ф cos ос cos (ф-|-а)]; ,со,
л (66)
У1=г [cos ф + ф cos а sin (ф + а)],
для вогнутой стороны зуба:
= г [sin ф + ф cosacos (ф — а)]; 1
У? = г [cos ф — ф cos a sin (ф — а)].
30
Выражения (68) и (69) описывают рабочую поверхность круго-
вого зуба в осевой плоскости колеса (плоскости симметрии) и пол-
ностью соответствуют уравнениям для цилиндрического прямо-
зубого колеса [86].
Кривизна рабочего профиля зуба в торцовом сечении колеса»
В осевом сечении цилиндрического колеса с круговыми симметрич-
ными зубьями для станочного зацепления угол а = аи = а0. Угол
аи — угол зацепления исходного инструмента. В торцовом сече-
нии угол зацепления будет а/а). Причем tg а/[а = ’ где
у (Л4ф) и х (Мф)— координаты точки Л4ф. Зная угол зацепления aza)
для торцового сечения, можно определить радиус кривизны pt
плоского производящего колеса в этом сечении,
_ Ru— г<р . х (Му)
™ cosa/a, ~ cosa/ц, ' '
Обозначим
_ х(Му) . _ Яц —Гф
"° cosa/а) ’ "3 cosa/a>
Тогда выражение (70) можно записать так:
Pt = Рз + Ро-
(71)
(72)
Используя построение Бобилье, а также работы в этой области
проф. Ф. Л. Литвина [104], построим радиусы кривизны сопря-
женных профилей для станочного зацепления и двух зубчатых
колес.
Исходными данными для расчета и построения радиусов кри-
визны сопряженных профилей колес взяты следующие параметры
зуборезной головки и нарезаемого колеса: а0 = 20°, Ru =
= 50 мм, число зубцов первого нарезаемого колеса zx — 20,
модуль зацепления в осевом сечении т = 10 мм.
По заданному углу поворота ф зуборезной головки можно
определить координату z — расстояние рассматриваемого торцо-
вого сечения от осевой плоскости колеса, а также координаты х и у.
Пусть ф = 30°. Используя формулы (64), найдем х = 14,27 мм,
у — 6,45 мм, z = 23,83 мм.
Покажем построение сопряженных радиусов кривизны в торцо-
вом сечении для выпуклой стороны зуба (рис. 11).
Проводим линию центров О^О^, центроиды гх и г2. Для пло-
ского производящего колеса центроидой будет прямая, перпенди-
кулярная линии центров ОгОг. Отметим полюс зацепления Р.
Проведем линию пп — ось вращения зуборезной головки (на рас-
стоянии Ru — гх<р от полюса). Через полюс Р под углом а0 = 20°
проведем линию зацепления АГ0АГ0 для осевой плоскости колеса.
Угол зацепления a/t0 будет
tg «/« = V = WT = °-452’ = 24°20'-
31
Через полюс Р проведем линию зацепления под углом aia)
для торцовой плоскости. Пересечение NSNS с линией пп даст
точку Си, которая является центром кривизны параболы для
точки А. Обозначим АР через р0, РСи — через р3. Тогда:
Ро = cos а/щ = 0,9112 = 15,7 ММ;
п ___ Ru— r<f __ 50— 100-0,24 ____по 7 мм.
Рз ~ cosa/o, ~-------0Ж---------~ 28>7 ММ’
Р/ = Рз + Ро = 28,7 + 15,7 = 44,4 мм.
Центр кривизны для точки А нарезаемого колеса / найдем сле-
дующим образом. Из точки Си проведем радиус к центру центро-
иды плоского производящего колеса, который находится в беско-
Рис. 11. Построение сопряженных радиусов кривизны в тор-
цовом сечении для выпуклой стороны зуба
нечности, т. е. проводим линию вдоль пп. Из полюса Р проводим
перпендикуляр к линии зацепления NSNS до пересечения с ли-
нией пп. Полученную точку обозначим через М.
Точку М соединим с центром Ov Пересечение этой прямой с
линией зацепления NSNS даст точку Cls, которая является цен-
тром кривизны сопряженной точки А для нарезаемого колеса 1.
Обозначим ACls через рх + р0.
Если точку М соединим с центром О2 колеса 2, то при пересе-
чении продолжения этой линии с линией зацепления NSNS найдем
точку C2s — центр кривизны второго колеса для сопряженного
профиля колеса 2 в точке А. Обозначим АС 2з через р2 + р0.
32
Заметим, что все центры кривизны лежат на линии зацепления
NSNS по одну сторону от полюса Р.
Радиусы кривизны сопряженных профилей для выпуклой
стороны зуба определим по формуле Эйлера—Савари. Радиус
кривизны pzl зуба первого колеса
Р/1 = Р1 + Ро (73)
определится из выражения
= Sln a‘w [ (Р1 + Ро) — Ро (Рз + Ро) - Ро ] ’ <74)
откуда
_ n Sin atw [(Рз + Ро) — Ро] =
Р1 [(Рз + Ро) — Pol + 'i sin atw
_ 100-0,412 [(28,7+15,7)-15,7] _ 1б 9 мм.
[(28,7 + 15,7)—15,7] + 100-0,412 1и,г7 мм’
Рл — Pi + Ро — 16,9 + 15,7 = 32,6 мм.
Радиус кривизны р/2 зуба второго класса
Р/2 = р2 + Ро (75)
определится из выражения
— + — = sin atw Г —г-ir------------------т—j- 1.-], (76)
Г1 гг tw L (Р1 + Ро)~ Ро (Рг + Ро) —Ро -I
откуда, если гх = г2 = г,
__ г sin a<[t, [(Pl + Ро) — р0] =
Р2 г sin atw — 2 [(pi + Ро) — Pol
100-0,412 [(16,9 + 15,7) — 15,7] _ П/1
~ 100 0,412 — 2 [(16,9+ 15,7) — 15,7] ~ 3 ’
Р/2= Рг + Ро= 94 + 15,7 = 109,7 мм.
Построение сопряженных радиусов в торцовом сечении для
вогнутой стороны зуба (рис. 12) производится аналогично. Для
угла ф = 30° значения х, у, г и определяются по изложенному
выше методу: х — 28,15 мм, у = 11,54 мм, z = 27,05 мм, =
= 28° 8'.
Радиусы кривизны для торцового сечения будут: р0 = 30,6 мм
и рз = 23,6 мм. Радиус кривизны р(1 профиля зуба первого
колеса для точки А составит
Р/1 = —Pi + Ро (77)
3 Под ред. Н. И. Колчина 33
и определится из выражения
V- + ~ = sin а/ю ( —-4—---------А—) , (78)
ri 00 \ —Pi + Р» Рз + Ро /
откуда
= (Рз + Ро) Г1 sin atw =
(Рз + Ро) + ri sin aZu)
_ (23,6 + 30,6) 100-0,3767 __ 99 i к
(23,6 + 30,6) + 100-0,3767 — 22,10 ММ;
Pi = Ро — р/1 = 30,6 — 22,15 = 8,45 мм.
Рис. 12. Построение сопряженных радиусов кривизны в торцовом
сечении для вогнутой стороны зуба
Радиус кривизны р<2 профиля зуба второго колеса для точки А
составит
Р/г = Р2 + Ро (79)
и определится из выражения
— + — = sin aZtt) Г------5-:------—у—Ц---------1 , (80)
Г1 ‘ г2 tw L --Р1 + Ро (Рз + Ро) — Ро J ' '
откуда, если = г2 = г, получим
— <—Pi + Ро) r sin а‘ш — 22,15-100-0,3767 _ . 9-
Р2 ~ г sin atw — 2 (—pt — р0) — 100-0,3767—2-22'15 — мм’
р<2 — р2 + Ро — 127 + 30,6 = 157,6 мм.
34
Приведенный радиус кривизны в торцовом и осевом сечениях*
Приведенный радиус кривизны рп/ в торцовом сечении для вы-
пуклой стороны зуба при условии, что гх = г2 = г, будет
= (Pi+Ро)(Ра + Ро) . р = 78 5 мм (81)
Кп/ (Рг+Ро) —(Р1 + Ро) ™ v ’
Приведенный радиус кривизны рпХ в осевом сечении для той же
стороны зуба
= (г з1п а9- р0) (г8та0 + ро1 = 13 6 (82)
1П (г sin а0 — р0) + (г sin а0 + р0) ’ Гп0 v ’
Аналогично можно определить приведенный радиус кривизны
рп< в торцовом сечении для вогнутой стороны зуба и для осевого
сечения (рп/ = 37,1 мм; рпх = 3,88 мм).
Расчеты показывают, что в торцовом сечении приведенные ра-
диусы кривизны больше, чем в осевом сечении, которое соответ-
ствует цилиндрической прямозубой передаче.
5. ВОПРОСЫ СИНТЕЗА ЗАЦЕПЛЕНИЯ
ВОЛНОВЫХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
В работе [46 ] было введено понятие о равноскоростных кривых
гибкого и жесткого звеньев как кривых, вдоль которых равны
скорости точек обоих звеньев в движении по отношению к оста-
новленному генератору волн. Так же обосновывались три варианта
решения задачи синтеза зацепления. Одна из этих задач формули-
ровалась следующим образом: для заданных передаточного отно-
шения, технологичных профилей зубьев обоих звеньев и известной
формы равноскоростной кривой жесткого звена (обычно окружно-
сти) найти форму равноскоростной кривой гибкого звена. В работе
[47 ] было приведено решение этой задачи для случая эвольвент-
ных профилей обоих зубьев. Рассмотрим теперь общее решение
задачи. Абстрагируясь от деформаций звеньев в результате при-
ложения рабочей нагрузки и рассматривая зацепление как пло-
ское, можно записать систему уравнений равноскоростной кривой
гибкого звена г = г (ipr) при заданных произвольных профилях
зубьев:
Рож = Рож (0ж)> Рог = Рог (0г)> (83)
^ж (фж)> (84)
р (ф»; 0Ж) = р (фг; 0г); (85)
ж ж*
(87)
35
3*
Уравнения (83) определяют форму профилей зубьев жесткого
и гибкого звеньев в системах координат, вершины которых лежат
на равноскоростных кривых, уравнение (84) — форму равноско-
ростной кривой жесткого звена в неподвижной системе координат,
уравнение (85) выражает равенство радиус-векторов точек кон-
такта профилей зубьев обоих звеньев в неподвижной системе
координат, а уравнение (86) — равенство длин дуг равноскорост-
ных кривых, отсчитываемых от точек, лежащих на оси абсцисс
неподвижной системы координат, до текущих положений вершин
Рис. 13. К определению равноскоростной
кривой гибкого звена при прямолинейном
профиле внутренних зубьев жесткого и
круговом профиле зубьев гибкого колес
подвижных систем коорди-
нат. Уравнение (87) выражает
равенство проекций абсолют-
ных скоростей зубьев в точке
контакта на общую нормаль
в этой точке и является фак-
тически уравнением зацепле-
ния.
Для различных профилей
зубьев могут быть найдены
приемы, существенно упро-
щающие решение задачи.
В качестве технологичных
примем для использования
следующие профили: прямо-
линейный, круговой и эволь-
вентный. Вначале рассмотрим
наиболее простую задачу оп-
ределения уравнения равно-
скоростной кривой гибкого
звена при прямолинейном,
расположенном параллельно радиусу, профиле внутренних зубьев
жесткого колеса и круговом профиле гибкого с центром, ле-
жащим на пересечении оси симметрии зуба и равноскоростной
кривой.
Схема решения показана на рис. 13. Движение центра А кру-
гового профиля будем рассматривать как сложное: переносное
вместе с зубом жесткого колеса со скоростью vAe и относительное
со скоростью vAr. Абсолютная скорость vA точки А как принадле-
жащей равноскоростной кривой гибкого звена должна быть равна
скорости любой точки равноскоростной кривой жесткого звена.
2 2 2
Тогда запишем уравнение vAf- = vA — vAe. С учетом очевид-
ен г к
ного соотношения vAe = иж — будем иметь
ип гж
^Аг = 4
1
2
— ^ж^ж
1
Г2 \
Г2Ж)"
36
Скорость vAr может быть представлена следующим образом:
dr dr
Va, = —гг vT- = ------(0w,
Af dt Жрж ^<рж ж
и тогда
(^г)
г2
.2
ж
Производя преобразования, получим дифференциальное урав-
нение
dr 1
которое после интегриро-
вания дает следующее ре-
шение:
<рж = с ± arcsln —.
ж гж
При достаточной протя-
женности профиля в одном
из положений точка А мо-
жет оказаться в центре О.
Примем это положение
за исходное и определим
постоянную интегрирова-
ния с.
При ф = 0 и г = О,
с = 0; окончательно имеем
Рис. 14. К определению равноскоростной
кривой гибкого звена при прямолинейном
профиле внутренних зубьев жесткого и кру-
говом профиле зубьев гибкого колес
Г = Гж sin фж. (88)
Как видно из рис. 13, равноскоростная кривая приобретает
форму «восьмерки» и для использования в передачах практически
непригодна.
Выясним, какой результат дает использование аналогичных
профилей зубьев, если линия действия вектора относительной
скорости vAr не проходит через ось вращения жесткого звена.
На рис. 14 представлена соответствующая схема. Обозначим век-
тор скорости перемещения точки А в радиальном направлении пц,
тогда связь между скоростями точки А в абсолютном, переносном
и относительном движениях будет
fu = f4-(^ + ^tga)2. (89)
На основании рис. 14
»Ле=УЛ7- = Уж7“»
гж гж
с учетом того, что vx = шжгж, уравнение (89) приобретает вид
0ц = ш1гж — (<ожг + Mga)2. (90)
37
Представим скорость иц следующим образом:
__ dr d<fK __ dr dqx ___ dr
di dcp» ~ d<p« di ~ dys “»•
(91)
Подставляя (91) в (90), после сокращения на сож получим
(92)
Q
Из рис. 14 видно, что sin а = — и
tg а = . 6
6 G2
(93)
Подставляя (93) в (92), после ряда преобразований будем иметь
dr \ 2 / г2 \ .______________2Gr________dr
<1<РЖ ) \r2 —G2/ ' у ra_Gi d<fx
(г2ж-г2) = 0.
Понижая степень drldqx, получаем дифференциальное урав-
нение, выражающее функцию г = f (<рж),
г dr _л
После интегрирования и ряда преобразований получим
(94)
За начальное положение механизма примем такое, при котором
точка А расположена на окружности радиуса G. Тогда постоянную
интегрирования найдем при <р = 0 и г = G. В результате получим
с — ± -у-. Ранее было указано, что уравнение (94) выражает зави-
симость радиус-вектора равноскоростной кривой от угла поворота
жесткого звена в относительном движении. Нас же интересует
уравнение равноскоростной кривой в функции полярного угла
радиус-вектора самой кривой. Поэтому к правой части .зависи-
мости (94) необходимо добавить текущее значение угла 0. Согласно
38;
рис. 14, имеем cosp = -^~. Окончательное уравнение равноско-
ростной кривой гибкого колеса будет
л Угж ~г2+ °2 g G
<рг = ± -2- ± arcsin I-----± arccos- ± х
Рис, 15. К определению- равиоскоростиой
кривой гибкого звена при звольвентном про-
филе зубьев жесткого и круговом профиле
зубьев гибкого колес
Уравнение имеет два
корня, соответствующие
двум возможным ветвям
течения кривой. Подстав-
ляя в (95) значение G = О,
после преобразования по-
лучаем
г = ± гж sin <р2,
т. е. тот же результат, что
и по уравнению (84).
Если задаться значе-
нием гж = г, то величина
л
угла срг = -j-, т. е. кривая
будет асимптотически при-
ближаться к окружности
радиуса гж.
На рис. 14 выполнено
построение равноскорост-
ной кривой для гж = 60 мм
и G = 30 мм при гтах =
= 59 мм с использованием
реальной для передачи ветви равноскоростной кривой. В данном
случае форма кривой более конструктивна, чём при G = 0, и
может использоваться при создании специальных волновых пе-
редач.
Рассмотрим также синтез зацепления и путь определения формы
равноскоростной кривой гибкого звена при заданных эвольвентной
профиле зубьев жесткого звена и круговом — гибкого. Схема
зацепления представлена на рис. 15.
Как и в предыдущем случае, рассмотрим скорость радиального
перемещения оц центра кругового профиля точки.Л, лежащей на
эвольвенте, эквидистантной профилю
___ dr
‘о— <ож.
ч . 4Йрж ж
39
Используя уравнение (92) и учитывая, что для эвольвентных про-
филей
-^- = cosa, (96)
найдем
Понижая степень г, получаем дифференциальное
урав-
нение
г dr
^Фж
Решение уравнения имеет вид
- ~k~ [К f2 “ ± In (]Л4 - Ко ±
± ]Л2 -/?о)] + с = <рж. (97)
Это уравнение выражает зависимость величины радиус-вектора
равноскоростной кривой от угла поворота жесткого звена. Для
получения уравнения равноскоростной кривой в функции поляр-
ного угла радиус-вектора необходимо к левой части выражения (97)
прибавить угол inv а. Тогда будем иметь
~ [Кг2~^ ± /4-$ In []Лж-/?о ±
± У"г2 —7?о]] 4-с+inva = q>r, (98)
О
где a = arccos -у-.
Принимая точку кривой с координатами г=7?0, фг = О за
начальную, определяем постоянную интегрирования
с - ± 4- In
После подстановки значения с уравнение (98) приобретает вид
Яо + in —(?о]) + inva] = Фг. (99)
40
F Верхний и нижний знаки перед членами уравнения соответ-
ствуют различным ветвям равноскоростной кривой.
На рис. 15 выполнено построение равноскоростной кривой для
гж = 60 мм, 7? о = 45 мм (положительное значение угла <р условно
откладывается по часовой стрелке). Ветвь кривой / соответствует
верхним знакам в уравнении (99), а кривой II — нижним.
Ветвь / равноскоростной кривой может быть в определенных
пределах использована для построения геометрии реальных пере-
дач, при этом представляет интерес возможность создания в спе-
циальных случаях волновых цевочных передач при использовании
эвольвентных профилей зубьев одного из звеньев. Так, в част-
ности, может быть создана передача с гибким элементом в виде
цепи и с обычным эвольвентным жестким колесом.
6. ВЫБОР ПРОФИЛЯ КУЛАЧКА ГЕНЕРАТОРА
ВОЛНОВОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ
Одним из важных показателей, определяющих выбор формы
кулачка генератора волн волновой зубчатой передачи, является
технологичность профиля. Из большого числа малоотличающихся
по форме профилей только
некоторые могут быть обра-
зованы простыми и вместе
с тем производительными
и точными методами.
В качестве одного из та-
ких профилей может быть
использована кривая
(рис. 16), полученная
взаимоогибанием с враща-
ющейся относительно не-
подвижной оси окружно-
стью радиуса ги, геометри-
ческий центр которой сме-
щен от оси вращения на
Д Д
величину е = у, где-^-—
конструктивная радиаль-
ная деформация гибкого звена, а передаточное отношение во вра-
щениях кулачка и огибающей его окружности равно числу волн
деформации, осуществляемых в передаче.
Рассмотрим вывод уравнения профиля, для чего используем
системы координат, показанные на рис. 16. Производящая окруж-
ность в системе координат хОу задана уравнением
х = ru cos 0; у = ru sin 0. (100)
Уравнение этой же окружности в системе координат xuOjju
имеет вид:
хи = х-\-е = rucos04-e; уа = z/= ru sin 0. (101)
41
Ун
У
Уи-
«
Рис. 16. К выбору профиля кулачка генера-
тора волн

Используя формулы преобразования координат, запишем урав-
нение (101) в неподвижной системе координат:
х0 = ru cos Р cos ф„ — ru sin Р sin ф„ + е cos ф„; 1
у0 = rucosР sin <ры + ru sin Р cos фи 4- е sin фи. J
В этой системе уравнение нормали к окружности будет иметь
вид
хо (Хо ~ хо) 4“ Уо (П— !/о) = О, (103)
где Хо и У о — текущие координаты нормали;
Вычисляя производные, получим:
х'о = — Ги81П(Р + фи); Уо = ГиС08(Р4-фи). (104)
После подстановки значений производных из уравнения (104)
в уравнение (103) найдем
У о - Уо = (Хо - х0) tg(Р + фи). (105)
Для получения уравнения зацепления производящей окруж-
ности и кулачка положим в (105) Уо = 0; Хо = а. Этим мы выде-
ляем из конгруэнции нормалей, заданных уравнением (105), нор-
мали, которые в данный момент времени проходят через полюс
зацепления Р. Таким образом,
—Уо = (а — х0) tg (Р + ф„). (106)
Решая совместно уравнения (106) и (102) и исключая пара-
метр р, запишем уравнение линии зацепления:
е cos фы — а
х0 = ги--- т“ - —- -L е cos ф;
— — е2 — 2ае cos <pu
е sin Фи ,
Уо = Ги---г 4-еsinф.
— ]Уа2 + е2 — 2ае cos фи
Переписывая уравнение (107) в систему координат кулачка,
после ряда преобразований получим:
/ а — е cos фц , л \
хн = ги г......... —4- е cos фи — Я cos фн —
н \ “ /а2 + е2_2аесозфи /
« е.__“ — + е sin фЗ sin фн;
“ /аа + е« — 2аесо5фи /
. а — ecosqpn л\ , .
!/« = —'« а „ + е cos Фи — Л sin фн +
\ а2 + еа —’ 2ае cos <pw • /
+ (— ^-,/4'. ч‘П о“ 1 + е sin cos •
\ V аг 4 — 2ае cos фа /
(Ю7)
— — г,
(Ю8)
42
При двухволновом генераторе а = -^-А и <ри = — 2<рн Меж-
центровое расстояние определяется следующим образом:
Л = 4-+4 + ги-е,
д
при е - -у-
где — внутренний диаметр недеформированного кольца, наде-
ваемого на кулачок.
После подстановки указанных величин уравнение профиля
кулачка (108) приобретает вид:
1 Д
-у (гш + Г и)-----cos 2<рн
1 1 Д2 Д
|/ (ГШ + и)2 Ч-----------J-----(ГШ Ч" Ги) С0$ 2фн
+ -^-cos2<pH- (гш + ги)
cos<pH +
4 sin 2фн —
Д • о 1
"2" sin 2(Рн
—_ .... . „. sin q
П Г 1 Д2 Д 1
у д"(/’ш4*Ги)24""^------д- (гш Ч" ru)C0S 2фн
Г 1 Д
~д~ (гш + г и)-2~ cos 2фн
Ги 1 " Д2 Д
У - fw)2H--4----g— (^ш+^) СО3 2фн
(109)
+ 4C0S 2фн — (Гш 4- rw)
sin<pH.+
4 sin 2фн —
д
~2~ sin 2фн
~уГ-д- + ги^2 Ч—4-------з“ (гш 4“ ru) cos 2фн
COS фп .
По существу профиль кулачка представляет собой эквиди-
станту к эпитрохойде,1 описываемой точкой О0 (рис. 17) при каче-
нии окружности радиуса а по окружности радиуса гн. В частном
случае для двухволновой передачи и 4 = 2 эпитрохойда обра-
щается в эллипс.
1 Авт. свид. № 282866.
43
Из рассмотрения рис. 16 видно, что если при двухволновом
1
генераторе принять га = -к-гш, то точка контакта окружности ги
и кулачка будет все время находиться в непосредственной близости
от полюса Р. В этом случае можно с достаточной точностью исполь-
Рис. 17. Профиль кулачка генератора
волн
зовать упрощенную схему опре-
деления уравнения профиля
кулачка.
Представим производящую
окружность как окружность
в сечении расширенного шипа
вращательной кинематической
пары, соединяющей кривошип
кривошипно-ползунного меха-
низма с шатуном (рис. 18).
Длина шатуна равна радиусу ги
производящей окружности, и
точка В шатуна совершает воз-
вратно-поступательное движе-
ние вдоль линии центров ОиОя.
Расстояние ОиВ обозначим
через Z, тогда
I = е cos <р„ + ru cos у.
Из треугольника ОиОйВ следует, что е sin <р„ = ru sin у. Тогда
Z==ecos<p„ + r„

(ИО)
Разложим функцию j/" 1 — ^-^-sintp) в ряд Маклорена,
1 1 е2 , ® । 3 е* , .
= 1 —r-2-sin2<p„ + -g--r Sin4<pu... е
'и ги
С достаточной точностью можно ограничиться двумя членами
ряда, так как уже третий член при и <ри = -у- будет равен
2,3-Ю'6. Тогда выражение (ПО) приобретает вид
Z = ecos<p„4-ru/1----^--^-sin2<pu\, (111)
а уравнение профиля кулачка в полярных координатах с учетом
(111) будет
р = А — I е cos 2<рн + ги 11
1 е2 >20
у- -g- sin2 2<рн
Ги
44
Рис. 18. Упрощенная
схема для определения
уравнения профиля
кулачка
Рис. 19. Чертеж чашеч-
ного резца для долб-
ления кулачков
Рис. 20. Чашечный резец и нарезанный им кулачок
с надетым подшипником
45
При А = гш + ги получим
Р = гш — е (cos 2<рн — sin2 2<рн ).
В качестве инструмента для обработки кулачка используется
круглый чашечный резец, имеющий внутреннее отверстие, экс-
центрично расположенное по отношению к наружной поверхно-
сти. Величина эксцентриситета назначается равной Ktjny =
На рис. 19 приведен чертеж чашечного резца для долбления ку-
лачков редуктора РВ-120. Диаметр наружной окружности резца,
проходящей через режущую кромку, должен быть примерно равен
половине диаметра отверстия внутреннего кольца гибкого под-
шипника, одеваемого на кулачок (при переточке резца он изме-
няется незначительно).
На рис. 20 показаны чашечный резец и нарезанный им кулачок
с надетым подшипником. Долбление профиля кулачка резцом про-
изводится при постоянном межосевом расстоянии. Передаточное
число гитары деления станка назначается таким, чтобы за один
оборот кулачка резец совершил два оборота при двухволновой
передаче или три оборота — при трехволновой. Сверху на резце
наносится риска, проходящая через центр вращения и центр
наружной окружности резца. В начале долбления резец устанав-
ливается так, чтобы риска была направлена к центру заготовки
кулачка, и на заготовке против риски ставится керн. В дальней-
шем контроль профиля кулачка осуществляется измерением его
диаметра в месте постановки керна.
7. О КИНЕМАТИКЕ ТОЧЕК ГИБКОГО ЗВЕНА
ВОЛНОВОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ
Представление о волновой зубчатой передаче как о разновид-
ности планетарных передач исходит из рассмотрения кинематики
точек гибкого звена. Движение гибкого звена относительно по-
верхности деформации [46] (определяемой формой генератора
волн), при которой все точки срединной поверхности звена дви-
гаются с постоянными скоростями по некоторым кривым, распо-
ложенным на поверхности деформации, вызовет вращение вала,
связанного с гибким звеном, с постоянной угловой скоростью.
Движение гибкого звена относительно поверхности деформа-
ции может быть названо простым, так как оно определяется одним
независимым параметром — среднеинтегральной угловой ско-
ростью отдельных точек звена.
В волновых передачах сама поверхность деформации вместе
с генераторами вращается относительно стойки, при этом движение
точек гибкого звена является сложным и складывается из скорости
в относительном движении vr по отношению к поверхности дефор-
46
и невращающимся валом
Рис. 21. К рассмотрению кинематики
точек гибкого звена
мации и скорости ve = сонг в переносном движении вместе с по-
верхностью деформации
v = ve4-vr. (112)
Рассмотрим пример определения абсолютной скорости движе-
ния точки, лежащей на срединной линии гибкого звена в волновой
передаче с ведомым жестким ;
гибкого звена.
Пусть форма деформации
гибкого звена в рассматривае-
мом сечении определяется в ви-
де периодической функции,
представленной рядом
П=оо
г = ГГ. Н + 2 sin (Оф + ап),
/1=1
(113)
где г — мгновенное значение
модуля радиус-вектора кривой
деформации; гг н — радиус сре-
динной окружности недеформи-
рованного гибкого колеса; ф —
полярный угол; Ап и а„ — по-
стоянные коэффициенты.
Уравнение (113) можно записать также следующим образом:
= ^Г.Н И" (114)
где
Л=оо
q<f== 2 Л51п(пф4-а„).
/1=1
Тогда переносная скорость движения точки гибкого звена будет
равна
Ve = (0нГ = С0н (гг< н + 9Ф). (115)
Согласно условию примера, скорость.вращения гибкого звена
в абсолютном движении сог = 0. Это может иметь место, если в лю-
бой момент времени относительная скорость движения рассматри-
ваемой точки гибкого звена равна
^ = ''г.н®н- (116)
Как видно из рис. 21, для точки М на основании уравнения (112)
можно записать
v2M = v2 + v2 — 2vevr cos n,
или с учетом (115) и (116)
VM = У (''г. н + 4<t>)2 + Г2, н — 2гг. н (гг. н + <7ф) COS |Х.
47
Можно определить также величину проекций vt и vn скорости vM
на касательную и нормаль к кривой деформации в точке М,
vt = vr — ve cos р.; vn = ve sin p.
При i 50 и любой форме деформации угол р весьма мал
и можно принять, что cos р 1 и sin р р. Тогда с учетом
(115) и (116):
vt = vr — fe = <oH(rr.H — гг.н — <7Ф) = — (117)
ц„ = ц,р = сонр (гг.н + <7ф). (118)
Аналогичные выражения для vt и vn встречаются в работах
[79 ] и [133 ], но получены они более сложным путем при непосред-
ственном исследовании только абсолютного движения точек гиб-
кого звена.
8. О ПЕРЕХОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ ЗУБЬЕВ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОЛЕС, НАРЕЗАЕМЫХ
ЧЕРВЯЧНЫМИ ФРЕЗАМИ
В связи с повышением требований к изгибной прочности и дол-
говечности зубьев колес вопрос повышения качества и улучшения
формы переходных поверхностей приобретает особое значение.
Известно, например, что увеличение радиуса скругления впадины
исходного контура с 0,2/п до 0,5/п увеличивает усталостную проч-
ность закаленных колес по изгибу примерно на 20% [50], а по-
вышение класса чистоты и улучшение микрогеометрии переходной
поверхности с поднутрением при одинаковом ее физическом со-
стоянии дают увеличение предела выносливости зубьев на 10—40%
и долговечности в 2—5 раз [127]. Известно также, что изменения
в желаемом направлении переходной поверхности зубьев могут
быть легко достигнуты изменением параметров производящей,
или инструментальной, рейки по сравнению с заданным исходным
контуром [114]. В связи с этим вопросы исследования геометрии
переходных поверхностей в настоящее время становятся одними
из наиболее актуальных.
Переходная поверхность зубьев при образовании ее реечным
контуром в общем случае представляет собой эквидистанту удли-
ненной эвольвенты, образуемой центром скругления вершины
зуба рейки [104]. В этом случае все вопросы геометрии переход-
ных кривых: расчет начала переходной поверхности [60], ее ра-
диуса кривизны [104, 88] и шероховатости [114] — решаются
на основе исследования зацепления производящего реечного кон-
тура с нарезаемым колесом. В качестве производящего реечного
контура при этом во всех случаях принимается контур, соответ-
ствующий исходному контуру зубчатого колеса и сопряженный
одновременно с зубчатым колесом и червячной фрезой, т. е. ис-
пользуется первый способ Оливье синтеза сопряженных зацеп-
лений.
48
Однако указанный принцип образования сопряженных поверх-
ностей с помощью общей производящей поверхности в случае
нарезания зубчатых колес червячной фрезой справедлив только
для эвольвентных боковых поверхностей зубьев (червячная фреза
рассматривается как эвольвентный червяк или эвольвентное вин-
товое колесо с числом зубьев, равным числу заходов червячной
фрезы, на поверхности которого расположены режущие кромки).
Что же касается переходной поверхности, то очевидно, что по-
верхность, образуемая головками исходного реечного контура,
не будет идентична поверхности, образуемой головками зубьев
червячной фрезы. Это обстоятельство хорошо известно из практики
Рис. 22. Контур произво-
дящей рейки в станочном
зацеплении в торцовом
сечении червячной фрезы:
1 — червячная фреза; 2 —
производящая рейка в ста-
ночном зацеплении
нарезания зубчатых колес долбяками. Долбяки различных диа-
метров с одинаковым профилем исходного контура образуют на
одной и той же детали различные переходные кривые.
Впервые эту особенность образования переходных кривых при
нарезании деталей червячными фрезами заметил Э. Бакингэм [5].
Он предложил для вычисления начала переходной кривой вос-
пользоваться понятием рейки, нарезаемой фрезой в условиях
станочного зацепления с деталью. Угол профиля этого контура
(назовем его производящим контуром в станочном зацеплении)
в отличие от исходного производящего контура, соответствующего
исходному контуру зубчатого колеса, должен соответствовать
углу станочного зацепления awt0 в торцовом сечении фрезы
(рис. 22). Высота прямолинейного участка головки будет опре-
деляться радиусом цилиндра гг0 начала скругления головок,
а при отсутствии скругления — радиусом наружного цилиндра,
hfWQ = Гго COS (Обг/о (119)
где art0 = arccos —--угол профиля зуба фрезы на окруж-
ности радиуса гг0; гЬо — радиус основного цилиндра фрезы.
Угол станочного зацепления фрезы с нарезаемой деталью может
быть определен по известным соотношениям для эвольвентной
винтовой передачи [104]. При заданном угле установки фрезы,
4 Под ред. И. Н. Колчина
49
соответствующем межосевому углу в винтовой передаче, угол
зацепления в нормальном сечении определится из соотношения
Л/~COS2y*0±2 cos yd0 sin cosV+ sinap6
cos awrl = --------------, (120)
sin 2j
гДе Yfro — Угол подъема винтовой линии на основном цилиндре
фрезы; — угол наклона винтовой линии на основном цилиндре
нарезаемой детали.
Углы зацепления в торцовой плоскости фрезы и детали:
COS
cos Y6o cos T ± sin Рб
sin sift Y&o
(121)
cosa^ =
cos Yb0 ± sin Рь cos
sin cos Pf>
(122)
Знак минус в формулах (120), (121) и (122) относится к разно-
именным направлениям винтовых линий фрезы и детали'. ч
В случае нарезания прямозубых колес формулы значительно
упрощаются:
cosa^
cosYfeo .
sin У
СО5а^0 = Ctg ctgYioi
COS 06^ = 003 <xwn.
(123)
(124)
(125)
Определив угол зацепления, можно найти радиусы начальных
цилиндров фрезы и колеса:
= г- = -^Г7- (126)
Межосевое расстояние в станочном зацеплении червячной
фрезы и колеса в общем случае не равно сумме радиусов начальных
цилиндров и определяется из условия получения необходимых
размеров — толщины и высоты зуба нарезаемой детали,
аш = rw0 + rw + Лац,, (127)
где Дйц, — требуемое увеличение межосевого расстояния по
сравнению с кратчайшим.
Длину линии зацепления определим также по известной фор-
муле (104) с учетом величины Да^,
__ ГЬ» tg Ощ/р
“ sin Уьо
"" cos Pt, sin awn '
(128)
50
В итоге найдем фактический радиус кривизны эвольвентного
профиля нарезаемого зуба в точке начала переходной кривой
р = A_/oo tg«rM \ р (129)
\ sin yb0 J ™ \ /
Выполненный расчет можно произвести также, исходя из ста-
ночного зацепления производящего контура (рис. 22) соответст-
венно в торцовых сечениях червячной фрезы и детали, как это
выполнено в работе [5].
Рис. 23. Зацепление зубчатого колеса с исход-
ным производящим контуром:
/ — зубчатое колесо; 2 — исходная производящая
рейка
Для сравнения произведем расчет радиуса кривизны в начале
переходной кривой из условия зацепления детали с исходным
производящим реечным контуром (рис. 23)
' _ (г —hrt) — rb cos at
Рр —
(130)
sin at
где hr0 = hf0—ru ctg (+ -%-) cos az — высота головки произво-
\ 4 Z /
дящего контура до начала скругления.
Сравнение рр с р'р показывает, что фактическое начало пере-
ходной кривой на нарезаемом колесе по расчету в зацеплении
с червячной фрезой (или со станочным производящим контуром)
лежит выше, нежели по расчету в зацеплении с исходным реечным
контуром.
Несколько расчетов, выполненных по приведенной методике,
показало, что разность значений рр и рр для прямозубого колеса
с модулем 10 мм, числом зубьев 20 и коэффициентом смещения ис-
ходного контура 0,5 может достигать 0,15—0,25 мм в зависимости
от угла установки червячной фрезы.
4* 51
Угол установки червячной фрезы, как было показано Э. Ба-
кингэмом [5], оказывает весьма существенное влияние на высоту
переходной кривой. Увеличение У* на 20' по сравнению с углом
установки по расчетному цилиндру фрезы
2Р = |(9О°-ТРо) ± ₽|
в рассмотренном выше случае увеличивает Др = рр— рр с 0,15
до 0,25 мм. В примерах, приведенных в работе [5], увеличение
угла установки фрезы до 10° приводит к распространению пере-
ходной кривой почти на всю высоту профиля зуба нарезаемой
детали.
Уменьшение угла установки червячной фрезы и приближение
начального цилиндра к наружному, напротив, приводит к умень-
шению Др. При установке фрезы по цилиндру радиуса гг0 высота
скругления станочной производящей рейки будет равна высоте
скругления исходной рейки, и переходная кривая на детали в этом
случае будет иметь минимальную высоту.
При нарезании зубчатых колес с «естественным» (в силу малого
числа зубьев) или преднамеренным подрезанием (зубофрезерова-
ние червячными фрезами с протуберанцем) решение задачи о фак-
тических размерах переходных кривых наиболее просто можно
осуществить, если исходить из представлений о станочном про-
изводящем контуре, образуемом зубьями фрезы в процессе ста-
ночного зацепления с деталью.
Рассматривая зацепления фрезы, имеющей заданный про-
филь в нормальном сечении, с рейкой, нормальный угол про-
филя которой соответствует углу станочного зацепления, по
формуле (120) можно определить все параметры, в том числе и
переходную кривую станочной производящей рейки, по которой
затем найти переходную кривую нарезаемой детали. Для прак-
тических целей достаточно, очевидно, решить первую часть за-
дачи и сравнить профиль зубьев фрезы с профилем производящей
рейки в станочном зацеплении.
Таким образом, при расчете переходных поверхностей зубьев,
нарезаемых червячными фрезами, необходимо в некоторых слу-
чаях (при больших углах установки червячных фрез или при их
увеличении по сравнению с расчетным значением; для зубчатых
колес с началом переходной кривой, заданным близко к основной
окружности) учитывать действительные условия зацепления на-
резаемой детали и фрезы, не отождествляя профиль фрезы с про-
изводящим реечным контуром.
С уменьшением угла установки червячной фрезы и приближе-
нием его к углу установки по наружному цилиндру переходная
кривая, образуемая червячной фрезой, имеет наименьшие откло-
нения от переходной кривой, формируемой исходным реечным
контуром.
52
9. РАСЧЕТ ИСХОДНОГО ПРОФИЛЯ ЧЕРВЯЧНОЙ ФРЕЗЫ
ДЛЯ ОДНОВРЕМЕННОГО НАРЕЗАНИЯ ПРОФИЛЯ ЗУБА
И ФИКСИРОВАННОЙ ПЕРЕХОДНОЙ КРИВОЙ
У ОСНОВАНИЯ ЗУБА
Зубчатые колеса тяжело нагруженных скоростных передач
изготавливаются из цементируемых легированных сталей. После
цементации и закалки колес на поверхности зубьев в пределах
цементованного слоя имеют место остаточные напряжения сжатия
относительно большой величины.
Рис. 24. К расчету исходного кон-
тура червячной фрезы
Напряжения, возникшие под дей-
ствием приложенной нагрузки,
суммируются с остаточными напря-
жениями, вызванными термиче-
ской обработкой. В результате
происходит перераспределение на-
пряжений в опасной зоне у осно-
вания зуба, что приводит к повы-
шению усталостной прочности
зубьев. При шлифовании зубьев
по всему контуру, включая впа-
дину, удаляется часть цементиро-
ванного слоя, появляются допол-
нительные напряжения, что может
существенно снизить прочность и
работоспособность зубчатых колес.
В связи с этим зубья тяжелона-
груженных колес нарезаются
с поднутрением у основания зуба,
что исключает шлифование пере-
ходных кривых. Дно впадины зуба
обрабатывается окончательно до
термообработки.
Переходная кривая должна иметь достаточное поднутрение
для выхода шлифовального круга при шлифовании эвольвентных
профилей зубьев. После шлифования граничная точка i должна
располагаться гарантированно за пределами рабочего эвольвент-
ного профиля (рис. 24).
Рассмотрим профилирование червячных фрез, одновременно на-
резающих эвольвентный профиль и фиксированную переходную
кривую у основания зуба.
Расчет профиля червячной фрезы сводится к определению раз-
меров прямобочной рейки, имеющей правильное зацепление с на-
резаемым зубчатым колесом.
Червячные фрезы с уменьшенным профильным углом« Все зуб-
чатые колеса условно можно разделить на две группы: 1) у ко-
торых основная окружность лежит выше окружности впадин;
2) у которых основная окружность лежит ниже окружности впадин.
53
Для одновременного нарезания эвольвентного профиля и фикси-
рованной переходной кривой у зубчатых колес первой группы
используется явление «естественного подреза». В этом случае
червячная фреза выполняется без протуберанца.
Расчетные параметры станочного зацепления определяются из
условия подрезания зубчатого колеса рейкой — червячной фре-
зой — и получения требуемой переходной кривой.
Если в станочном зацеплении линия выступов исходного кон-
тура инструмента заходит за предельную точку линии зацепления,
вернутости эвольвенты V/ в радианах
от параметра МА
то имеет место интерференция
зубьев, в результате чего про-
исходит срезание части номи-
нальной поверхности у основа-
ния зуба обрабатываемого зуб-
чатого колеса.
Предельный начальный угол
профиля рейки, при котором
будет иметь место интерферен-
ция зуба колеса, находится
из условия
COS СХдео пред == ~Т~ •
• о
Начальный угол профиля
рейки 0Сц,0 находится из зависи-
мости = f (МЛ), которая
представлена графиком (рис. 25).
По оси абсцисс отложена вспо-
могательная величина МА, а
по оси ординат — угол разверну-
тости эвольвенты в точке пересечения с переходной кривой
в радианах. Вспомогательный параметр МА определяется по
формуле 1
МА = 1000
/1 Ч Zf к
-у- (1 — cos a cos awo) — (hf — тх)
cos
где M — масштабный коэффициент; А — отрезок, отсекаемый тра-
екторией крайней точки прямолинейного участка профиля зуба
рейки на оси ординат в относительном движении рейки.
Угол развернутости эвольвенты
vz = az + invaz,
где az — угол давления в точке пересечения эвольвентного про-
филя с переходной кривой, находится в результате совмест-
ного решения уравнений эвольвенты и окружности (рис. 24).
1 Вывод формулы для определения МА здесь не приводится.
54
Опуская выкладки, конечный результат можно записать в виде
aa5t + ba* + са? + da? + е = О,
где а, Ь, с, d и е — постоянные коэффициенты, зависящие от пара-
метров зубчатого колеса. Зная угол по графику (рис. 25) на-
ходят значение величины МА. а затем и угол исходного профиля
инструмента aWQ. Причем для получения необходимой величины
поднутрения необходимо выполнять условия ашо < а^опред. Ра-
диус закругления головки зуба фрезы не имеет общей касатель-
ной с прямолинейным участком профиля (рис. 26, а) (в частном
случае может быть общая касательная, т. е. будет иметь место
плавное сопряжение).
Рис. 26. К расчету исходного контура червячной фрезы
Наименьшая толщина зуба колеса по хорде в зоне подреза
(шейка) Smln и расстояние от «шейки» до центра колеса гш опре-
деляются по следующим формулам:
mln == ( - л ) Гш = (-Q- COS ГЛ.
\ a ill Лщ j \ ** /
Здесь Хш— корень уравнения ctg X = СЛ— D, где X—угол,
составленный осью зуба и радиусом, проходящим через мгновен-
ный центр вращения; С и D — постоянные коэффициенты, за-
висящие от параметров зубчатого колеса.
Изменение профильного угла рейки не влечет за собой наруше-
ния правильности зацепления, если при этом будет соблюдено
равенство основных шагов рейки и колеса:
РЬМ = Pbn\ Рп СО® ® = Р nQ COS ОСи,0.
При изменении начального угла профиля фрезы диаметр на-
чальной станочной окружности зубчатого колеса при нарезании
не совпадает‘с делительной. Диаметр станочной окружности в про-
цессе нарезания находится из условия
г cos a = rw cos awo,
t. e.
rcos«
cosa^p •
55
В остальном расчет данного вида червячных фрез ничем не
отличается от расчета обычных червячных фрез.
Проверка правильности выбора параметров фрезы осуществ-
ляется либо графоаналитическим построением, либо аналитиче-
ским расчетом. Целесообразно проверку производить обоими спо-
собами, так как они дополняют друг друга.
Следует отметить, что уменьшение угла профиля фрезы спо-
собствует улучшению чистоты нарезаемого профиля зубьев колеса.
При уменьшении угла профиля фрезы длина активного участка
линии профилирования увеличивается, а следовательно, увели-
чивается число режущих кромок фрезы. Из формул, определяю-
щих величины гребешков после обработки f по высоте и f6 по длине
зуба,
р __ л2а2 sin aw0 . ₽ __ so sm awo
4z2z 9 '6~ 4Decos2P
видно, что с уменьшением угла профиля фрезы как в продоль-
ном, так и в поперечном направлениях они уменьшаются.
Уменьшение гребешков по длине зуба (волнистость) позволяет
при сохранении той же чистоты обработки увеличить продольную
подачу фрезерования и тем самым повысить производительность
обработки. Толщина вершины зуба фрезы при уменьшении угла
профиля увеличивается, что обеспечивает повышение стойкости
фрезы.
При изменении угла профиля происходит перераспределение
нагрузки между вершиной и боковыми режущими кромками. При
уменьшении угла профиля нагрузка на вершинную кромку
увеличивается, а на боковые кромки — снижается.
Недостатком этих фрез является то, что с уменьшением угла
профиля фрезы на боковых режущих кромках уменьшаются углы.
Червячные фрезы с протуберанцем и уменьшенным профиль-
ным углом* Иногда конструкция зубчатых колес предусматривает
большой коэффициент коррекции профиля и большое поднутрение
зуба П (рис. 24). В таких случаях естественный подрез дает воз-
можность получить только нужную точку пересечения эвольвент-
ной части с переходной кривой, не обеспечивая величину Smln.
Поэтому приходится комбинировать естественный подрез с про-
туберанцем (рис. 26, б).
10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЗМА
С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КУЛАЧКОМ И С НАПРАВЛЯЮЩИМИ
ПАЗАМИ ЛЕВОГО И ПРАВОГО НАПРАВЛЕНИЙ
Для осуществления возвратно-поступательного движения боль-
шой протяженности широко используются кулачковые механизмы
с цилиндрическим кулачком (рис. 27). В теле кулачка 1 выпол-
няются пазы правого и левого направлений, обеспечивающие по-
ступательное движение ведомого звена. Профиль паза такого ци-
56
линдрического кулачка образован винтовыми поверхностями
левого и правого направлений с постоянным или переменным ша-
гом. По пазу кулачка движется поводок 2, подвижно связанный
с кареткой 3. Каретка совершает поступательное движение вдоль
неподвижной направляющей 4. Для перевода поводка 2 с паза
одного направления на
противоположное в теле
кулачка выполняется спе-
циальный соединительный
паз. При постоянном по
направлению вращении
кулачка поводок 2 с карет-
кой 3 совершает возвратно-
поступательное движение
вдоль неподвижных на-
правляющих 4.
Цилиндрический кула-
чок, имеющий взаимно
Рис. 27. Схема механизма с кулачком Не-
пира
пересекающиеся направляющие пазы правого и левого направле-
ний, получил наименование кулачка Непира [68]. Применение
привода с кулачком Непира позволяет значительно упростить
кинематическую схему механизмов.
Наличие пересекающихся винтовых поверхностей направляю-
щего паза требует специального подбора геометрических пара-
<5* А-А
Рис. 28. Цилиндрический кулачок с пазом левого и правого на-
правлений
метров при проектировании пары кулачок—поводок, а также при
проектировании самого поводка и соединительного паза.
Рассмотрим геометрию участка цилиндрического кулачка с па-
зами левого и правого направлений. В качестве профиля паза наи-
большее применение получила архимедова винтовая поверх-
ность (рис. 28). Эта поверхность, как известно, может быть полу-
чена при винтовом движении прямой, пересекающей ось винта
57
под углом у. Уравнение винтовой поверхности паза в параметри-
ческой форме имеет следующий вид:
х = Г[ cos q>;
У = Г( sin ф;
z = W + r/CtgY,
(131)
где ф— угол поворота образующей винтовой поверхности; р =
= ---параметр винтовой поверхности (S — шаг винтовой по-
верхности); г{ — текущий радиус винта.
Винтовые поверхности левого и правого направлений, пересе-
каясь, образуют выступы (рис. 28), охватывающие тело винта.
Пересечение винтовых поверхностей происходит в двух плоско-
стях: в плоскости, проходящей вдоль оси винта (в главной осевой
плоскости), и в плоскости, перпендикулярной оси винта.
Пересечение винтовых поверхностей левого и правого направ-
лений в главной осевой плоскости происходит по образующей вин-
товой поверхности. Пересекающиеся поверхности образуют угол
180— 2Х, где к— угол подъема винтовой линии.
Уравнение линии пересечения винтовых поверхностей в пло-
скости, перпендикулярной оси винта, может быть получено, если
в выражении (131) принять г = 0. Тогда
г. =----Л- ф. (132)
ctg у v ' 1
р
Поскольку — величина постоянная, то полученное выра-
жение представляет собой уравнение спирали Архимеда. Для
у — 90° пересечение поверхностей происходит по образующей
винтовой поверхности.
В плоскости, перпендикулярной оси винта, пересекающиеся
винтовые поверхности образуют на текущем радиусе винта угол
пересечения, равный 2Л.
Особенностью геометрии рассматриваемого цилиндрического
кулачка является то, что только в главной осевой плоскости ку-
лачка выполняется равенство
S = а£ + blt (133)
где а, — ширина выступа на произвольно выбранном радиусе ку-
лачка; bt — ширина впадины паза на произвольно выбранном
радиусе кулачка.
Ширина выступа а£ в осевой плоскости определяется из выра-
жения
а( = а0 + 2h( tg а. (134)
Здесь а0 — ширина выступа на наружном диаметре кулачка,
he = R — fi,
где R — радиус наружного диаметра кулачка; а — половина про-
фильного угла кулачка.
58
Величина угла обхвата 9 выступом тела кулачка в плоскости,
перпендикулярной оси кулачка, зависит от соотношения ширины
выступа aL и впадины bL в главной осевой плоскости кулачка.
Из рассмотрения геометрии участка цилиндрического кулачка
с пазами левого и правого направлений можно записать, что
ai _ S ____ п
0/ “ 2л “ •
Отсюда
= (135)
где 0Z— угол обхвата высту-
пом тела кулачка на текущем
радиусе rz.
Выражение для определе-
ния величины угла обхвата
может быть представлено
в следующем виде:
0г = 2л(^- + 2-^-1ёа).
(136)
Рис. 29. Графики для определения пара-
метров цилиндрического кулачка с Дазами
левого и правого надравлений
Введем в рассмотрение отношения:
f = 4 = ?; = (137)
Индекс i соответствует выбранному текущему радиусу кулачка,
который изменяется от г± до R (рис. 28). Для наружного диаметра
кулачка указанные коэффициенты имеют нулевой индекс. С уче-
том (137) величина угла обхвата выступом тела винта будет равна
= 2л (f0 + 2сi tga).. (138)
Из полученного выражения следует, что в общем случае угол
обхвата выступом тела кулачка при заданном /0 зависит от вели-
чины С(. Для наружного диаметра кулачка, где с,- = с0 = 0, угол
обхвата будет меньше, чем для внутреннего диаметра кулачка.
Для кулачка е профилем паза, представленным винтовой поверх,
ностью с a = 0 (у = 90°), угол обхвата. 0, будет величиной по,
стоянкой для любого радиуса.
Для упрощения выбора параметров, кулачка,целесообразно
пользоваться графиком (рис, 29), построенным ловыражению(138);
для a = 15°. Применение графика (рис.. 29) позволяет, варьируя
величинами f0 и с(, определить величину угла, обхвата выступом
59
тела кулачка. Для наружного диаметра кулачка и для кулачков
с углом профиля паза а 0° угол обхвата 0 определяется при
с = 0.
Длина цилиндрического кулачка с пазами левого и правого на-
правлений определяется по зависимости
L = Sn, (139)
Рис. 30. К определению угла обхвата
поводком тела кулачка
где п — число шагов S по образующей винта.
Величина п должна быть кратна целому числу л и должна
соответствовать числу оборотов кулачка при перемещении по-
водка по пазам левого или правого направлений кулачка из одного
крайнего положения в противо-
положное.
Движение от цилиндриче-
ского кулачка к каретке пере-
дается через поводок. Поводок
движется по пазам цилиндриче-
ского кулачка левого и правого
направлений и по переходному
пазу кулачка. Так как направ-
ляющие пазы кулачка образо-
ваны винтовыми поверхностями
правого и левого направлений,
то и рабочие поверхности по-
водка должны быть образованы
винтовыми поверхностями пра-
вого и левого направлений.
Однако если представить пово-
док как простое пересечение винтовых поверхностей правого и
левого направлений, то он будет иметь угол обхвата тела кулачка
в плоскости, перпендикулярной его оси, равный
2<р = 2л — 0Z,
(140)
где угол 0z определяется по графику, приведенному на рис. 29.
Такой поводок не обладает определенностью движения на пере-
сечении винтовых поверхностей пазов кулачка правого и левого
направлений, т. е. в местах пересечения винтовых поверхностей
он может двигаться как по пазу левого, так и по пазу правого на-
правлений.
Для обеспечения определенности движения поводка в точках
пересечения винтовых поверхностей необходимо увеличить угол
обхвата поводком тела кулачка.
Рассмотрим винтовую линию в неподвижных координатах хуг
(рис. 30), где ось Ог совпадает с осью вращения кулачка, а пло-
скость гОу совпадает с главной осевой плоскостью кулачка. Пло-
скость хОу совпадает с плоскостью пересечения винтовых поверх-
ностей паза кулачка левого и правого направлений. В этом случае
60
уравнение винтовой поверхности в неподвижных координатах хуг
имеет следующий вид:
X = r{ cos <р;
у = rL sin <р;
z = рф — 0,56,-. .
Радиус ОВ (рис. 30) точки пересечения В винтовой линии с пло-
скостью хОу образует с осью Ох угол л — 0,59. Для определения
геометрических размеров поводка введем жестко связанные с ним
подвижные координаты х^г^
При совпадении осей х^^ с хуг получаем поводок, который,
как уже указывалось, имеет угол обхвата тела кулачка, опреде-
ляемый по выражению (140), и не обладает определенностью
движения на пересечении винтовых поверхностей левого и пра-
вого направлений. Тело такого поводка имеет две плоскости сим-
метрии, рассекающие его на четыре элементарные части. Пло-
скостями симметрии являются плоскости zxOxx и ххОух. Каждые
две части такого поводка, диагонально расположенные относи-
тельно плоскостей ZjOXi и ххОрх, являются симметричными. Пло-
скости симметрии ограничивают размеры одной четвертой части
тела поводка, расположенной между ними и винтовой поверх-
ностью направляющего паза цилиндрического кулачка. Одна чет-
вертая часть тела поводка для текущего радиуса г{ представлена
в виде треугольника аа'В (рис. 30).
Для обеспечения определенности движения поводка необхо-
димо, чтобы угол обхвата 2ф поводком тела кулачка в плоскости,
перпендикулярной оси г, был бы больше 2л — 9Х.
Увеличение угла обхвата поводком тела кулачка может быть
достигнуто, если пересечение винтовой линии с плоскостью сим-
метрии поводка ххОух переместится из точки В в точку С (рис. 30).
Это может быть достигнуто, если плоскости симметрии поводка
гхОхх и XjOyi повернуть вокруг оси Охх на угол О.
Если воспользоваться выражениями для преобразования коор-
динат, уравнение винтовой поверхности направляющего паза ци-
линдрического кулачка в подвижных координатах х^^ может
быть записано в следующем виде:
zx = (рф — 0,56) cos v — г,- sin ф sin v =
= рф cos v — 0,5 6 cos v — rz sin ф sin v;
У1 = (РФ — 0,56) sin v + rt sin ф cos v =
= рф sin v — 0,56 sin v + rt sin ф cos v;
(141)
Xx = X = r{ COS Ф,
где Ф — угол поворота подвижных координат xxyxzx.
Полученные уравнения (141) позволяют определить необходи-
мые размеры одной четвертой части тела поводка для заданной
61
винтовой поверхности направляющего паза цилиндрического ку-
лачка, принятой величины -угла и текущего значения угла ф.
На рис. 31 приведено положение одной четвертой части поводка
для правой винтовой поверхности направляющего паза цилиндри-
ческого кулачка. Аналогично могут быть получены симметричная
диагонально расположенная часть тела поводка и две диагонально
расположенные четверти поводка для левой винтовой поверхности
направляющего паза кулачка.
Рис. 31. К определению геометрических размеров поводка
Соединение указанных частей в одно целое позволяет получить
поводок (рис. 32) с профилем, соответствующим профилям правой
и левой винтовых поверхностей направляющего паза цилиндриче-
ского кулачка. Угол между плоскостью и касательной к вин-
товой линии на наружном диаметре винта обозначим через ф.
Величина этого угла равна
ф = 90° + # — Хо. (142)
При Ф = 0 угол ф = 90° — А,о и при соединении частей по-
водка (рис. 32) угол при пересечении винтовых поверхностей по-
водка левого и правого направлений будет равен 2ф. С увеличением
угла поворота О от 0 до %0 угол 2ф < 180. При О = %0 угол 2ф =
= 180° и винтовые линии поводка противоположных направлений
имеют общую касательную. При дальнейшем увеличении угла
поворота ft сопряжение винтовых поверхностей поводка противо-
положных направлений образует угол 2ф > 180, при котором из-
62
готовление поводка и его движение по пазу кулачка становятся
невозможными. Следовательно, величина угла поворота подвиж-
ных координат z1x1y1 может изменяться в пределах от 0 до Хо.
С увеличением угла О поворота подвижных координат угол об^
хвата 2ф поводком тела кулачка увеличивается. Максимальная
величина обхвата поводком тела кулачка по внутреннему диаметру
может быть равна 180°.
Связь между углом 2<р обхвата поводком тела кулачка и углом #
поворота подвижных координат устанавливается из рассмотре-
ния пересечения плоскости симметрии х1Оу1 с винтовой поверх-
Рис. 32. Чертеж поводка
ностью (рис. 31). В этом случае для точки с линии пересечения
величина zx = 0, а уравнение (141) запишется в следующем виде:
<р —-^-tgv-sin<p = -^-. (143)
Примем
ri tg V £ bi bfin
= = 2,7= 2!F = ’'"-
С учетом принятых обозначений выражение (143) может быть
записано в виде
Ф — 6 sin ф = qtn. (144)
Полученное выражение позволяет установить связь между
углом 2ф обхвата поводком тела кулачка и углом О поворота по-
движных координат. Решение уравнения (144) представлено в виде
графика (рис. 33). С помощью этого графика устанавливается
связь между углом ф и параметрами qt и 6.
При максимальном угле поворота подвижных координат 0 =
величина tgv = tg%0 =Подставив значение tgv = -§- в вы-
ражение (144) и учитывая (136), получим
Ф — kt sin ф = qtn. (145)
63
Если принять = 6, то решение, приведенное на графике
(рис. 33), может быть использовано также для выражения (145).
Располагая величиной угла обхвата поводком тела кулачка,
легко определить габариты поводка. Размеры поводка в пло-
скости x1Oz1 при принятом значении ширины паза Ь определяются
Рис. 33. График изменения угла обхвата поводком тела кулачка
В плоскости х^Оух размер поводка 2С"С (рис. 31) равен
2с"с = 2r< sin ф
cos V
(146)
Величина длины дуги (рис. 30 и 31) поводка для текущего ра-
диуса fcf лачка rt определяется исходя из того, что она является
следом пересечения наклонной плоскости x^Oih и цилиндра ради-
уса rt до пересечения с винтовой линией в точке С. Ее уравнение
имеет следующий вид:
х = cos <р;
y = ri sin ф;
z = rftgvsii^.
(147)
Длина дуги а'С (рис. 30, 31) может быть определена по выра-
жению
е 0 Г г tg8 v / . sin 2<р \ 1
S = 2rz |ф + (ф + —2^)J •
(148)
64
Приведенная методика расчета позволяет произвести обосно-
ванный выбор параметров для цилиндрического кулачка и по-
водка, а также определить их габариты.
11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММАРНОЙ ОШИБКИ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
СОПРЯЖЕННЫХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС ВЕРОЯТНОСТНЫМ МЕТОДОМ
При расчетах на прочность зубчатых передач большое значе-
ние имеет определение фактической удельной нагрузки, действую-
щей в зацеплении. В современных методах при подсчете удельной
нагрузки учитываются влияние неравномерности распределения
ее по контактным линиям и среди них, а также действие динами-
ческих нагрузок в зацеплении, вызванных погрешностями зацеп-
ления и деформациями зубьев. Важнейшим параметром, опреде-
ляющим величину динамических нагрузок в зацеплении, является
разность основных шагов шестерни и колеса, т. е.
— Pbt. ~Pbff
В каждой конкретной паре сопряженных зубчатых колес в про-
цессе работы в произвольно выбранный момент времени 'вели-
чина Дь зависит от начальных погрешностей основных шагов ше-
стерни и колеса, суммарной деформации зубьев, износа зубьев.
Начальные погрешности основных шагов шестерни и колеса
являются главной компонентой при определении ошибки зацепле-
ния в большинстве методов расчета на прочность зубчатых пере-
дач [13, 92, 123]. В этих методах рекомендуется принимать
Aplti + ^Pbt2 9
где kpbtl и Арь/2 — погрешности основных шагов зубьев ше-
стерни и колеса.
Так как в ГОСТ 1643—56 нормирование величины kpbt за-
висит только от модуля при данной степени точности, можно
считать, что
kpbtl = \ры2 = кры И кь = 1,41 kpbt.
Здесь kpbt — предельное отклонение основного шага, завися-
щее от степени точности по ГОСТ 1643—56.
Представляет интерес определение вероятности появления на-
чальной ошибки зацепления кь > 1,41 kpbt. Причины, вызываю-
щие появление погрешности основного шага, принадлежат раз-
личным звеньям цепи станок-—инструмент—изделие. Для раз-
личных методов изготовления зубчатых колес установлены
наиболее вероятные источники появления погрешностей основ-
ного шага [16, 107].
В работах [10, 72, 153] приведены результаты обмеров зубча-
тых колес, изготовленных различными способами (фрезерование,
долбление, шевингование и др.).
5 Под ред. Н. И. Колчина 65
После обработки экспериментальных данных и проверки их
по критериям согласия Колмогорова и Бартлета [29, 52] установ-
лено, что распределение погрешности основного шага зубчатых
колес подчиняется нормальному закону, характеристики которого
устойчивы для определенных способов изготовления зубчатых ко-
лес (табл. 3).
Таблица 3
Результаты измерений погрешностей основного шага
зубчатых колес [72, 153]
Способы изготовления Модуль т в мм Число зубьев z Число измерений зубчатых колес Параметры распре- деления в мм Степень точности по ГОСТ 1613—56 о
математиче- ское ожидание ' (U 5* X X я О) £ 5 я х х 2 ° rf tX е; са ф я 0. и О н о X я о
Фрезерование 3 68 15 6-8 3—5 8 0,21
Долбление 3 68 16 14—12 3,5—5,6 8 0,22
» 3 45 16 4± 1,5 4,5 7 0,25
Шевингование 4 55 11 12±2 2,3 7 0,13
» 4 52 5 8±0,5 1,8 7 0,1
» 3 60 10 1,5± 1,5 1,6 7 0,09
ТВЧ после шевингования 4 55 10 18±2 4,5 7 0,25
» » » 3 48 14 12±2 4 7 0,22
Шлифование 6 20 30 40 28 8—10 3,3—4,7 7 0,25
Шлифование после цемента- ции 3 17 48 11±3 2,5 7 0,14
&Pbt — предельное отклонение основного шага по ГОСТ 1643—46 или
ГОСТ 1643 — 56.
Настройка оборудования и технологические мероприятия
должны обеспечивать получение средних значений основных ша-
гов в партии зубчатых колес, близких к номинальным значениям.
Однако в каждой партии имеются зубчатые колеса с различными
математическими ожиданиями погрешностей основного шага.
Так как в массовом и серийном производстве число N зубчатых
колес достаточно велико, то, согласно центральной предельной
теореме Ляпунова [29, 52], можно считать, что распределение
математических ожиданий погрешностей основного шага в партии
асимптотически нормально.
66
Определим закон распределения разности погрешностей основ-
ных шагов шестерни и колеса в начальный момент времени. Мате-
матическую модель поставленной задачи можно сформулировать
следующим образом.
Имеется — нормальная случайная величина (погрешность
основного шага шестерни) с плотностью распределения
(£1-Д1)е
с \ 1 2<У1 .
t Qj /2л °
£2 — нормальная случайная величина (погрешность основного
шага колеса) с плотностью распределения
_ (£2-Д2)*
При одинаковой технологии изготовления шестерни и колеса
можно считать, что 04 = а2.
В приведенных выражениях —нормальная случайная ве-
личина (математическое ожидание основных шагов шестерни
в партии) с плотностью распределения
(gi-ai)*
с / ч 1 2х?
f(a1) = —т=е 1 ;
а2 — нормальная случайная величина (математическое ожидание
основных шагов колеса в партии) с плотностью распределе-
ния
_ (g2—аг)8
, , . 1 2tg
Так как среднее значение погрешности основного шага не
должно значительно смещаться к границам поля допуска, можно
считать, что ах = а2 = О,
тх = т2 = 0,267 ^ры-
Тогда
Требуется определить закон распределения
У ~ £1 ^2>
где и £2 — независимые случайные величины.
5* 67
Пользуясь йзвестными методами теории вероятностей [29, 52],
получим, что интегральная функция распределения имеет вид
а,)]«
g(y) = —т=-е 4о* ,
e w 2а /л
т. е. подчиняется нормальному закону с параметрами:
математическое ожидание ту — а2,
средне-квадратичное отклонение ау—
Величина — а2 является тоже нормальной величиной с пара-
метрами:
математическое ожидание ах — а2 = О,
средне-квадратичное отклонение та1_аа — т
Рис. 34. Плотности распределения ошибки зацепления, практи-
чески встречающиеся в сопряженных зубчатых колесах (заштри-
хованная плотность — наиболее часто встречающаяся)
Так как значение математического ожидания не фиксировано,
а является случайной величиной, в каждой паре сопряженных
зубчатых колес может встретиться любое из множества нормаль-
ных распределений, при этом дисперсия будет постоянной (а ]/2),
а положение математического ожидания будет смещаться по оси у
(рис. 34).
С помощью табличных значений интеграла вероятностей [153]
определены границы изменения разности погрешностей основных
шагов шестерни и колеса Дь для нескольких значений вероятностей
ее появления в зависимости от предельных отклонений основного
шага по ГОСТ 1643—56 (табл. 4). От вероятности, заложенной при
назначении величины Д^, зависит число встреч пар зубьев, в ко-
торых могут появиться значения Дь превосходящие расчетные.
В табл. 4 приведены эти числа для практически возможных
суммарных чисел зубьев zs == ЗОн-400.
Анализ данных табл. 4 показывает, что появление ошибки,
большей чем 1,41 &Pbt> возможно лишь в 3—20 встречах у зубча-
тых колес, изготовленных фрезерованием и долблением, а у ше-
68
Таблица 4
Границы изменений разности погрешностей основных шагов
шестерни и колеса для различных вероятностей ее появления
Вероятность появления ДЬ Значение Д& = bpbt х — Др6< 2 при Число встреч, в которых вели- чина Д отлична от расчетной
фрезеровании, долблении, шлифовании шевинговании
0,81 (0,86-5-0,93) Др 0,65 г 28—190
0,905 (1,1-5-1,2) Др 0,85 14-95
0,98 (1,42-5-1,75) Др 1,25 3—20
0,995 (1,89-5-1,98) Др 1,45 0-5
вингованных колес эта цифра составляет 0—5 (т. е. появление
Д6 > 1,41 &Ры практически невероятно).
Таким образом, при существующих запасах прочности (п =
= 1,6-^-2,5) принимаемые в расчетах на прочность значения
ошибки зацепления. могут быть снижены и должны выбираться
в зависимости от назначения и степени ответственности передачи,
принятой технологии изготовления, реального числа зубьев и ре-
жимов работы передачи. В ряде случаев (например, для шевинго-
ванных зубчатых колес) величина погрешности Д вполне может
быть снижена до значения —1,25 Др.
ГЛАВА И
ПРОЧНОСТЬ И КОНСТРУКЦИИ ПЕРЕДАЧ
12. К ВЫБОРУ ТИПОВ ПЕРЕДАЧ
Существующее многообразие ’всевозможных типов зубчатых
передач с постоянной величиной передаточного отношения иоб
(однопоточные, многопоточные с подвижными и неподвижными
осями зубчатых колес, их сочетания) и недостаточность сведений
об их сравнительных характеристиках являются причиной значи-
тельных трудностей при выборе в каждом отдельном случае вари-
анта, приближающегося к оптимальному.
Известно, что использование эффекта многопоточности пере-
дачи мощности с помощью нескольких параллельных ветвей (на-
пример, посредством промежуточных колес-сателлитов) позво-
ляет снизить вес и габариты привода, причем особенно значительно
при использовании внутреннего зацепления. Однако эти преиму-
щества существенно зависят от режима работы передачи.
Несущая способность передач определяется многими пара-
метрами, но размеры их и вес в основном определяются одним из
следующих факторов: контактной или изгибной прочностью зубьев,
работоспособностью подшипников. В дальнейшем рассматри-
ваются только передачи с опорами трения качения.
Несущая способность юднопоточных передач обычно лимити-
руется (среди исключений — передачи с промежуточными коле-
сами) контактной прочностью. При малых значениях п7Тэ, где
ит — частота вращения в об/мин; Тэ — эквивалентное время ра-
боты зубчатого колеса (подшипника качения) в ч, и особенно при
сочетании этого фактора с реверсивной нагрузкой при высоких
твердостях рабочих поверхностей зубьев несущая способность
может ограничиваться изгибной прочностью зубьев. Работоспособ-
ность опор качения может ограничить передаваемую мощность
рассматриваемых передач только при высоких твердостях рабочих
поверхностей зубьев при очень больших значениях птТэ и зна-
чительных величинах <?ц, где = bwldw — отношение рабочей
ширины зубчатого венца к диаметру начальной окружности одного
из зубчатых колес.
Несущая способность многопоточных передач с внутренним
зацеплением (рис. 35) в зависимости от величины птТэ может ли-
митироваться как прочностью зубьев, так и работоспособностью
подшипников промежуточных зубчатых колес (подшипников са-
теллитов в случае планетарных передач). Последнее обстоятель-
70
ство объясняется особенностями нагружения этих опор (односто-
ронняя передача усилий на опору от двух зацеплений) и ограни-
ченностью места для их размещения. В связи с этим несущая спо-
собность этих передач лимитируется работоспособностью подшип-
ников качения при значениях птТ3, существенно меньших, чем
в случае однопоточных передач. Поэтому при проектировании
таких передач полезны зависимости, позволяющие определить их
размеры из условия работоспособности подшипников.
Размеры и вес передач зависят от выбранной схемы, механиче-
ских характеристик, точности и величины птТэ.
Рис. 35. Механизм 2К—Н с одним вну-
тренним зацеплением (а) — передача Л;
механизм ЗК (б); последовательное
соединение двух передач типа А
в передачу А^А^^ (в); передача
л^1а1л^!°п (г): замкнутая пеРедача
От вариации этих исходных характеристик зависят соотноше-
ния размеров и веса различных типов передач. Все это является
причиной значительных трудностей при выборе типов передач
и распространенности вариантов, далеких от оптимума.
Для облегчения выбора типа передачи ниже приводятся за-
висимости, базирующиеся на данных работы [94], позволяющие
сравнить размеры и суммарные веса Gs зубчатых колес однопоточ-
ных и наиболее распространенных многопоточных передач
(рис. 35) из условия прочности зубьев и работоспособности под-
шипников сателлитов. Данй также зависимости, позволяющие
осуществить разбивку передаточных отношений многоступенчатых
передач, обеспечивающую получение минимального значения G2.
На основании известных зависимостей имеем
7'.=27'-(-ег)Ш“'- <149>
Здесь Т( — продолжительность работы под нагрузкой Afz;
Мрасч и ярасч—расчетные нагрузки и частота вращения; tn'—
"1
показатель степени, т' равен 3 и 6 при расчете зубьев соответ-
ственно на контактную и изгибную прочности и равен 3,33 при
определении Т3 для подшипников качения.
Исходными для определения размеров цилиндрических зубча-
тых пар всех видов передач являются известные зависимости, ко-
торые представим в следующем виде соответственно для контакт-
ной и изгибной прочностей зубьев:
[^21к= -2 (ц±1) > (150)
[М2]и =
bwdjy [о]
2иг1КНр.иКи
(151)
Здесь [60] — допускаемое значение коэффициента контактных на-
пряжений; и — передаточное отношение; d2 — диаметр началь-
ной окружности колеса; у — коэффициент формы зуба; zr — число
зубьев шестерни; /СНр. и—коэффициент неравномерности рас-
пределения нагрузки по ширине зубчатого венца при расчете на
изгибную прочность; Ки — коэффициент динамичности при рас-
чете на изгибную прочность.
Буквенные обозначения величин (размеров или моментов, най-
денных из условий контактной и изгибной прочностей зубьев и
из условия заданной долговечности подшипников качения) от-
мечаются индексами к; и; п.к соответственно.
Из зависимостей (150) и (151) получены формулы для определе-
ния диаметра колеса b и момента на водиле передачи А1 (рис. 35, а):
_____2MHQKp2______,
<7цЬ (Р — О [^о] аР ’
, . _ 172Л4НгЛнр.>ЛиРЧ .
b,n~ V <7цИр+1)(«/М)аР ’
4р ыы к
(152)
(153)
(154)
В этих формулах £2 — коэффициент неравномерности распре-
деления нагрузки среди сателлитов; р — параметр передачи Д,
р = zblza\ ар — число сателлитов многопоточной передачи.
Исходя из данных работы [94], приняв для сравнительных
расчетов /Снр. к Кк = 1,2, для передач с цементованными зубьями
(при твердости рабочих поверхностей зубьев HRC > 58), получим
г/. 1 яшУ 13-107 , о
[й0] = 49]/ -ц— кгс/см2.
1 Здесь и далее простейший механизм, показанный на рис. 35, а, будем
называть передачей А.
72
При соь = 0 для передачи А имеем пи = пт и
Л^ца = 60рарптТэ,
тогда
fo]=3~ff=- (155)
г Р^рП^Тр
В формуле (153) на основании данных [94] для цементованных
и закаленных зубьев с временным сопротивлением материала
сердцевины сателлита ов сердц «=* 11 000 кгс/см2 имеем
М = 294о/±М.
При со;, = 0 число эквивалентных циклов изменения напряже-
ний в зубьях сателлита
ЛГц.э = бОп^Тэ = ^пнТэ.
Заметив, что при со& = О частота вращения пт = пн, найдем
[о] = 2940 уУWO^-l) . (156)
F РПТ1 $
Для передачи А на основании данных работы [94] имеем
<4 > --р |Иа№)№ 157)
где h — эквивалентное время работы подшипника качения; KD —
коэффициент, учитывающий тип подшипника, для роликовых под-
шипников средней широкой серии (ГОСТ 8328—57) KD — 1230;
&п — коэффициент, учитывающий конструктивное оформление
опор сателлита, при внешних кольцах подшипника, установлен-
ных внутри сателлита, <>п = 0,43; k6 и Ккач — известные в'лите-
ратуре коэффициенты.
Величина п% угловой частоты сателлита относительно водила
определяется по расчетной частоте тихоходного вала, a h = Тэ.
При (&ь = 0 имеем
На основании формул (152), (153), (155), (156) и (157) построены
графики (рис. 36, 37, 38), позволяющие по заданным пгТэ, Мн и р
найти величины (da,(,)K, (db)a и (^)п. к- При расчетах исходя из
изгибной прочности во всех графиках (рис. 36, 37, 39, 40) при-
нято у = 0,3; za mln = 18. При степени точности колес не ниже
6-й по ГОСТ 1643—56 следует вводить поправку, исходя из у= 0,4.
73
Рис.' 36. Значения -^wb в зависимости от пн Тэ для передачи А при НВ 280:
V Мн
----------- г- (это же относится и
у^мн---------------------------------------------------/мн-у мн
к рис. 37, 38, 39, 40, 41)
при HRC 58
74
типа ЗК при.НВ 280
75
при HRC 58
дачи ЗК
76
Аналогично получены зависимости для определения размеров
и момента Ме передач ЗК (рис. 35, б):
(<QK = ; (158)
“ Чц. fap
(^W)k — 2МА,к(и&-1) “ае-1 . (159)
aPdlb [*0]>
(^и>а)к 2МД,к([ц" | + 1) . ар^ша | Uag | [^о]а Uae^ae (160)
[Я1к арУц[ [^о]е ^we . (161)
®/ 2Л1 Qe Ки иКиг.и2
/ С? си • и и I с
V <Ы (.У М) аР
(162)
При установке подшипников качения сателлитов в щеках во-
дила (предпочтительный вариант) диаметр (dwe)n к из условия обес-
печения заданной работоспособности этих подшипников опреде-
ляется по формуле
7
(^шг)п. к — 1,53
арКй
(163)
В формулах (158)—(163)
I иь \
ие = ^,П^Пе\\_-^ие.
Значения KD приведены выше (стр. 73). На основании формул (158),
(162) и (163) построены графики (рис. 39, 40, 41), позволяющие
получить величины (dwe)K, (de)a и (<4,в)я.к в зависимости от
71т И U-Qgt
Передаточное отношение передачи ЗК можно представить в сле-
дующем виде:
ы“=-Ц£-’ <164)
где
Далее имеем
и — 2рц*«
е (р—1) («2,—р—1)
(165)
Из равенства dujdp = 0 находим
-1.
(166)
77
При данных q^t dwe и QeK наибольшая несущая способность
передач ЗК из условия прочности рабочих поверхностей зубьев
имеет место при ар = 3, что следует из формулы (161) .и рис. 42,
на котором нанесены значения с Учетом формулы (165).
Рис. 42. Значения — в зависи-
(ие—\)ие
Из условия обеспечения не-
обходимой жесткости водила
при упомянутых значениях ар
величины р были взяты соот-
ветственно равными 6; 3,5
и 2,5.
Поскольку при ар = 3
имеем Ртах^ 6, то при
принимаем р = 6 и поэтому
из формулы (165) получаем
и =
‘ Ч“Ьае-7)'
(167)
мости от «об Заметим, что значения ие,
найденные по формуле (167),
очень близки к имеющимся в известных таблицах числам зубьев
передач ЗК [94]. При одинаковых модулях во всех зацеплениях
(что, как правило, и имеет место в передачах ЗК) диаметр dwb
где Мт—момент тихоходного вала в кгс-см; Щ],— допусти-
мое значение величины k0 тихоходной ступени передачи; % —
функция веса, зависит от типа передачи.
Значения [Ао] и % отмечаются индексом I для тихоходной
ступени, индексом II для следующей за ней ступенью и т. д.
(рис. 35).
78
Для передачи А (рис. 35, а)
в формуле (168) имеем х = Х°-
Значения х° даны на рис. 43.
При буквенном обозначении
передачи А (рис. 35, а) вверху
ставится индекс, соответствую-
щий обозначению неподвижного
основного звена, а внизу — два
индекса: первый из них соответ-
ствует обозначению тихоходного
основного звена, а второй —
быстроходного. В соответствии
с этим при = 0 имеем Лна>
а при сон = О имеем Аьа- То же
правило сохраняется и в случае
многоступенчатых передач, но
при этом при буквах а, b и Н
добавляются индексы, соответ-
ствующие обозначению ступени.
В соответствии с этим даны обо-
значения передач на рис. 35.
Замкнутые передачи, составлен-
ные из двух передач Л (рис. 35, д),
отличительным признаком кото-
рых является одно неподвижное
основное звено (звено Нх в слу-
чае схемы на рис. 35, д), обо-
значаются одной буквой А. При
этом внизу в круглых скобках
записываются буквенные обо-
значения объединенных основ-
ных звеньев двух механизмов А.
В соответствии с этим для пере-
дачи, показанной на рис. 35, д,
имеем А^н .
(<’1яп)ап
В табл. 5 даны зависимости
для x®CT двухступенчатых пере-
дач, приведенных на рис. 35, в, г
и д, пользуясь которыми можно
легко получить разбивку общего
передаточного отношения цоб,
обеспечивающую минимальное
значение Хгст> а следовательно,
и минимальное значение С2.
В частности, при а₽1=аРц=3 раз-
бивку иоб передач, показанных
ю
03
S
«=:
\о
сз
Н
79
на рис. 35, вад, можно получить с помощью графиков,
приведенных на рис. 44 и 45.
В передачах А (рис. 35, а) и многоступенчатых передачах, со-
ставленных из передач А (рис. 35, в, г и д), во многих случаях
отношение центробежной силы Fv действующей на сателлит,
к усилию 2Р, действующему на его опоры от сил в зацеплениях,
Рис. 45. Значения х2ст для пеРеДачи ^(4нп)ап в зависимосги от
может оказаться значительным. Чтобы избежать возможного при
этом завышения габаритов и веса, на ранней стадии проектирова-
ния целесообразно воспользоваться формулой, связывающей это
отношение с рассмотренными ранее величинами,
з ______________________________ £
А-34.10-»К \3 1
2р -3,4 10 з— т(Пн),
У 1*о13
где Кзе — коэффициент заполнения сателлита.
8
Приведенные формулы и графики позволяют определить раз-
меры наиболее распространенных планетарных передач, найти
суммарный вес зубчатых колес, имея только схему передачи, осу-
ществить разбивку иоб, обеспечивающую минимальное значение
и сравнить размеры' передач, соответствующих различным схе-
мам. Например, при твердости рабочих поверхностей зубьев
НВ < 350 габариты и вес передачи ЗК меньше, чем передачи
типа А (рис. 35, а), для тех же исходных параметров иоб, пнТ3, Мн
и больше, при больших твердостях и незначительных величи-
нах пнТ3.
13. КОНТАКТНАЯ ПРОЧНОСТЬ ПРЯМОЗУБЫХ ПЕРЕДАЧ
Критерием нагруженности рабочих поверхностей зубьев яв-
ляется контактное напряжение (в кгс/см2), определяемое по фор-
муле Герца
ан = 0.4181Л^, (169)
Г Рпр*
где Рп — нормальная контактная нагрузка в кгс; рпр — приве-
денный радиус кривизны поверхностей зубьев в см; I — длина
контактной линии в см.
В начальный период работы передачи наибольшие контактные
напряжения имеют место в зоне однопарного зацепления, поэтому
в формулу (169) подставляют I = bw (bw—ширина зубчатого
венца) и рпр = рпрР (рпрР — приведенный радиус кривизны в наи-
более слабой точке, в полюсе передачи). Такой подход к расчету
зубчатых передач применяется в настоящее время почти во всех
методиках, но справедлив он лишь в тех случаях, когда форма
зубьев остается неизменной в процессе эксплуатации. Если же
поверхности зубьев подвержены приработочному износу, то исход-
ные положения для расчета претерпевают существенные изменения.
В начале эксплуатации наибольший износ профилей зубьев
закрытых передач происходит в зоне однопарного зацепления,
где намного больше контактная нагруженность металла. Для
того чтобы зубья в этой зоне продолжали оставаться в контакте,
поверхности их должны сблизиться на величину износа. Частично
это сближение происходит за счет уменьшения контактной и из-
гибной деформаций зубьев (так как нагрузка на них уменьшается),
а частично — за счет изменения скорости вращения зубчатых ко-
лес. Очевидно, для сближения зубьев ведущее колесо должно
ускорить свое вращение, а ведомое — замедлить его. Возникаю-
щие при этом инерционные моменты масс зубчатых колес вычи-
таются из внешних моментов, приложенных к валам, благодаря
чему нагрузка на зубья уменьшается. Иными словами, при кон-
тактировании в зоне однопарного зацепления инерционные мо-
менты зубчатых колес дополняют уменьшенный крутящий момент
от нагрузки на зубья до величины внешнего момента, приложен-
6 Под ред. Н. И. Колчина
81
ного к валу. В зоне двухпарного зацепления, где износ меньше,
происходит обратное явление и нагрузка на зубья здесь увеличи-
вается. Таким образом, за счет инерционных сил при неравномер-
ном вращении зубчатых колес, вызванном неравномерным изно-
сом зубьев, происходит перераспределение нагрузки между одно-
парной и двухпарной зонами.
Справедливость высказанного предположения о возникновении
неравномерности вращения прямозубых шестерен в процессе при-
работки их зубьев подтверждается непосредственными измере-
ниями циклической погрешности передач до и после испытаний,
а также другими фактами, опубликованными в технической лите-
ратуре и зафиксированными в наших экспериментах. Точное ре-
шение задачи о распределении нагрузки на зубья по углу поворота
и характере движения зубчатых колес после приработки пока
невозможно, поэтому в настоящем исследовании вводятся упро-
щающие предположения, которые позволяют рассчитывать проч-
ность прямозубых передач независимо от присоединенных к ним
систем, как это делается и в настоящее время. Основных пред-
положений два: 1) крутящие моменты, приложенные к валам зуб-
чатых колес, принимаются постоянными по углу поворота; 2) на-
грузка, действующая на зубья, после приработки распределяется
по углу поворота соответственно изменению несущей способности
зацепления, т. е. прямо пропорционально величинам приведен-
ных радиусов кривизны (имеются в виду передачи с одинаковой
твердостью зубьев шестерни и колеса).
Первое предположение обычно принимается при расчете коле-
баний зубчатых колес. Второе же следует из гипотезы Трубина—
Кудрявцева [93, 150],. согласно которой изменение формы про-
филей зубьев в процессе приработки направлено на выравнивание
контактных напряжений по всей их рабочей поверхности.
Переходим к выводу уравнений контактной прочности прямо-
зубых передач с одинаковыми величинами допускаемых контакт-
ных напряжений [он ] для зубьев шестерни и колеса. Допускаемый
крутящий момент (в кгс-см) определяется с учетом формулы Герца
[Л4] = 4-1^14 = [£да^Рпр, (170)
где db — диаметр основной окружности зубчатого колеса.
Приведенный радиус кривизны (в см) на участке I (однопарное
зацепление, рис. 46, а) определяется по формуле
о _____х (*х х)
Рпр! — I >
‘s
(171)
а суммарный приведенный радиус кривизны (в см) на участке II
(двухпарное зацепление) — по формуле
_*(^-х) (*.+ Pa)Hs-(x + P<z)l /1721
Рпр 11 — -7-----1---------7---------• U 1
*2 *2
82
В этих формулах ра — шаг зацепления; Zs — длина линии
зацепления,
Подставляя (171) и (172) в выражение (170), получаем зависи-
мость допускаемого момента зубчатой передачи (в кгс • см) от х для
участков I и II:
гЛ41
0,35Е /_
2j
гД41 __ is
lMllI — —0135£
(173)
где /<т — коэффициент,
учитывающий влияние
разности шагов на распре-
деление нагрузки между
зубьями в зоне двухпар-
ного зацепления.
Из основных предпо-
ложений следует, что к
зубьям после приработки
приложено переменное по
углу поворота усилие,
описываемое уравнениями
(173), а к валам приложе-
ны моменты постоянной
величины, которые обо-
значим через Мср. Разность
между этими крутящими
моментами и является
тем знакопеременным уси-
лием, которое вызывает
угловые колебания зубча-
тых колес. Обозначим эту
разность на участке /
через AfKl, а на участке
II — Мк11. Заменив для
простоты криволинейную
эпюру изменения крутя-
щих моментов ступенчатой
(рис. 46, б), найдем, что
(x + Pq)t<S-(x + Pg)]
МК1 = [M]J — Мср; МкП = [М]п — Мср,
где [М Ц и [М ]п — средние значения [М h и [М]ц.
Если зубчатая передача нагружена наибольшей нагрузкой
Му, = Мсртах, которую могут передавать рабочие поверхности
зубьев (рис. 46, б), то Мк1 и Мк11 имеют наибольшие значения,
а значит, и размах угловых колебаний зубчатых колес наи-
больший. При уменьшении нагрузки (МСр<МСртах) зубчатой
6* 83
передачи (рис. 46, в) значения Мк1 и Л4к11 уменьшаются, вслед-
ствие чего становится меньше размах колебаний, определяемый
по формуле
Здесь
Ф!=^У; Фп = ^с-2; /п = ^-(еа-1) с,
где J — момент инерции зубчатого колеса; v — окружная ско-
рость на делительном диаметре.
Зубчатые колеса передачи колеблются в противофазе то сбли-
жаясь, то отдаляясь, поэтому отклонение профилей зубьев от
сопряженных может быть определено по формуле
Д/ = 4- (ДФ1^, + ДФ2^.), (175)
где индекс 1 относится к шестерне, а индекс 2 — к колесу.
Очевидно, при уменьшении окружной скорости размах коле-
баний возрастает. Чтобы избежать чрезмерных вибраций, необ-
ходимо уменьшить нагрузку на зубчатую передачу. В этом случае
на участке однопарного зацепления к зубьям будет приложена
нагрузка [Л4 , а на участке двухпарного зацепления [Л4 ]п =
= Ко [М ]п, где Ко < 1 (рис. 46, в). Величины AfKi и Л4кц при
этом уменьшаются и соответственно становится меньше Д<р. Таким
образом, коэффициентом Ко регулируется степень загрузки зоны
двухпарного зацепления с целью ограничения размаха угловых
колебаний зубчатых колес после приработки.
Определение допускаемого размаха колебаний связано с гро-
моздкими расчетами, поэтому предварительно будем полагать, что
отклонение профилей зубьев от сопряженных, вызванное прира-
боточным износом, не должно превышать величины, оговоренной
в технических требованиях к точности изготовления зубчатых
венцов. Если воспользоваться рекомендацией [124], согласно ко-
торой при окружной скорости до 10 м/с допуск на профили зубьев
шестерни и колеса df не должен превышать I.S-IO"4^! см (где
di — диаметр делительной окружности шестерни в см), то усло-
вие ограничения размаха колебаний зубчатых колес после при-
работки запишется в виде
ДГ^бл + б/^б.ю-4^. (176)
Для определения величины отклонения профилей зубьев от
сопряженных примем во внимание следующие соотношения:
гЛ41' /177х
2(u+l) ’ 077)
84
где [Аг01 — коэффициент контактных напряжений [92];
[М]ц = и [М]!,. (178)
Если Кт = 1, то [Л4 ]h 2 [М ][, отсюда
[Mhi = 2tfotfT[Mh. (179)
Моменты инерции зубчатых колес [(кгс-см-с2)/см] можно пола-
гать равными:
Ji = 0,785- 10-64; 1
А = 0,434- 10-6d2 = 0,434- 10-6u4di ) ('8°>
(предполагается, что колесо имеет дисковую конструкцию при
средних соотношениях размеров).
Подставляя выражения (174) и (177)—(180) в (175), получим
Д/=(0,185и + ^)(2-8а)(еа-1)(2/<Лт-1) 10«-£-Ж (181)
Для приведения расчета на контактную прочность прямозубой
передачи к канонической форме удобно принять за основу на-
грузку, допускаемую при зацеплении в полюсе,
[M]cp = tfe[M];, (182)
где К.е, — коэффициент, отражающий зависимость допускаемой на-
грузки зубчатой передачи от коэффициента перекрытия. Средний
допускаемый крутящий момент на основании рис. 46, в определится
по формуле
[Л4]ср = [2/СЛт (еа - 1) + (2 - 8»)],
откуда
Ке = (8а - 1) + (2 - 8а). (183)
Если КЛт = 1. то = еа.
Для определения минимальной окружной скорости, при ко-
торой возможно KVKT = 1, подставляем выражение (181) в (176).
Тогда
2ЯЛт=1 + 7-----------о2^\1О(г1 + Ча~-------------’ (184)
^0,123и + —(и + 1)(2 — еа) (еа—1) [й0] ‘
откуда при ЯДТ = 1 получаем
ю5 „
»mln— 21 + га X
X ]/(о,123« + -2^-) (и + 1) (2 - ea) (еа - 1) [*0]
Если окружная скорость v больше либо равна vmln, то до-
пускаемая величина [JCPKT] = 1. Если же v <3 vmla, то из
85
уравнений (183) и (184) получим:
[КРКТ1 = 0,5 Г1 + M-Y], Кг = 1 +(ва- 1) (-V)2. (185)
L X ymln / J \ 0mln /
Уравнения (184) и (185) позволяют найти допускаемую вели-
чину 1/<Дт], при которой выполняется условие (176). Для на-
хождения допускаемой нагрузки зубчатой передачи нужно знать
также возможную величину /CD/CT, которая зависит от точности
зубчатых венцов и не может быть больше /Ст. Как показывает
обработка экспериментальных данных, при расчете на прочность
передач, изготовленных с надлежащей точностью, можно прини-
6
Таблица
Ориентировочные рекомендации
по выбору степени точности
V в м/с Степень точности при твердости НВ
200 300 400 550
До 1 10 9 8 7
» 5 9 8 7 6
» 10 8 7 6 5
> 20 7 * 6 5 4
мать Кт = 1. Ориентировочные
рекомендации по выбору сте-
пени точности по ГОСТ 1643—56
приведены в табл. 6.
Изложенный подход к рас-
чету на контактную прочность
прямозубых передач позволяет
определить допускаемую на-
грузку и в тех случаях, когда
коэффициент перекрытия еа
меньше единицы. Формулы для
расчета приобретают следую-
щий вид:
[Л4]ср = [Af][ - Еа,
К ______________10-1° (Zt + z^v2_______ .
° / 0 222 \ :^=x'
(0.123U (u + 1)(1 -е„)еа[К„]
Наиболее важен вывод о зависимости допускаемой нагрузки
от коэффициента перекрытия, особенно существенной при высо-
кой точности зубчатых колес и достаточно большой скорости их
вращения, когда KVKT = 1 и допускаемая нагрузка прямо про-
порциональна еа. Для проверки этого положения были изготов-
лены и испытаны три серии прямозубых передач. Данные
о геометрии зацепления, материале зубчатых колес, условиях
испытаний и их результатах приведены в табл. 7.
Испытания проводились на стендах с замкнутым потоком мощ-
ности. При разрушающей нагрузке Мразр наблюдались полное
выкрашивание и смятие всей ножки и части головок зубьев. Не-
разрушающая нагрузка Мнеразр не вызывала на зубьях повреж-
дений.
Эксперименты подтвердили зависимость допускаемой на-
грузки прямозубых передач от коэффициента перекрытия, полу-
ченную теоретически. Передачи с коэффициентом перекрытия,
меньшим единицы, также успешно передавали расчетную нагрузку,
причем не отмечалось увеличения шума или вибраций по сравне-
нию с опытами при еа > 1.
86
Результаты испытаний
Таблица 7
Величина Серия I Серия II Серия III
1 1 2 1 3 4 1 5 6 1 7 8 1 9 1 10 и
Zl/Zi 45/47 47/53
Xj/x, -0,45/—0,46 0/0
mlawlbwt мм 3/135/12 3/150/12
а/схц, 20716° 08' 20720°
HBl/HBi 220/211 200/180 250- >260/2554- 285
nY в об/мин 4000 1640
d„ в мм “1 137,76 135,36 133,24 147,00 144,94 143,02 141,42 141,10 147,00 144,94 143,02
d„ в мм 143,7 165,0
еа 1,933 1,570 1,200 1,754 1,477 1,200 0,950 0,900 1,754 1,477 1,200
Mi разруш в кгс-см 1720 960 720 1680 1300 840 745 650 1680 1400 1025
Mi неразр В КГС-СМ 1340 765 480 1400 1025 650 650 465 1400 1210 750
Кроме зависимости допускаемой нагрузки от коэффициента
перекрытия, изложенный подход к расчету прочности прямозубых
передач позволяет сделать еще ряд практически важных выводов,
противоречащих распространенным представлениям, основанным
на существующих расчетных методиках. Так, с увеличением угла
зацепления за счет угловой коррекции или применения исходного
контура с увеличенным профильным углом допускаемая по. кон-
тактной прочности нагрузка прямозубых передач не должна уве-
личиваться, так как увеличение приведенных радиусов кривизны
профилей компенсируется уменьшением коэффициентов перекры-
тия. Это положение подтверждено опытами Л. С. Боровича
в ЦНИИТмаше [17] и С. Н. Кима в Ленинградском механическом
институте.
Ввиду перераспределения нагрузки в прямозубых передачах
должен проявляться эффект высокого перепада твердости между
шестерней и колесом. Экспериментально это подтверждено
В. И. Федяевым [154], в опытах которого за счет поверхностного
упрочнения только зубьев шестерни достигалось увеличение до-
пускаемой нагрузки прямозубых передач в 1,3—2,1 раза.
С увеличением числа зубьев и уменьшением модуля зубчатой
передачи допускаемая по контактной прочности нагрузка должна
возрастать вследствие увеличения как коэффициента перекрытия,
так и коэффициента Кр, что легко видеть из выражения (185).
Подтверждением справедливости этого вывода служит опыт Ни-
манна и Рихтера [174]. Испытанию подверглись прямозубые пере-
дачи с межцентровым расстоянием 91,5 мм и варьируемым модулем.
Оказалось, что если допускаемую нагрузку при т = 5 мм (zilz2 =
= 17/19) принять за 100%, то при т = 2,5 мм (zjzt = 34/38)
она составляет 120%, а при т = 1,25 мм (zjz^ = 68/76) — 160%.
Согласно общепринятым расчетам, допускаемая нагрузка во всех
трех случаях должна была быть одинаковой. Расчет на контактную
прочность по формулам (182)—(184) показывает, что для передач
с модулями 5; 2,5 и 1,25 мм допускаемая нагрузка состав-
ляет соответственно 100, 118 и 162%, что совпадает с результа-
тами экспериментов.
14. МЕТОД РАСЧЕТА КОСЫХ ЗУБЬЕВ НА ИЗГИБ
Для расчета косозубых передач разработан метод «нормальных
плоскостей», в котором ограничиваются лишь допущениями, обще-
принятыми при определении напряжений изгиба в прямых зубьях
[1, 2]. В действительности определение напряжений в прямых
зубьях является пространственной задачей теории упругости, так
как зубчатые колеса могут отклоняться от цилиндрической формы,
ширина их конечна и интенсивность нагрузки переменна вдоль
контактной линии. Общепринято эту пространственную задачу
сводить к плоской задаче введением допущений, которые могут
быть сформулированы применительно к косозубым колесам, если
88
и ось симметрии профиля на-
Рис. 47. Схема проведения нормальной
плоскости N и определения связанных с нею
углов ps и 0
считать прямозубые частным случаем косозубых, следующим об-
разом: 1) ширина зубчатых колес бесконечна, т. е. они ограничены
лишь винтовой поверхностью; 2) рассматривается предельно тон-
кая пластинка, выделенная из зубчатого колеса двумя параллель-
ными «нормальными плоскостями N», при этом пренебрегают
влиянием на ее напряженное состояние остальных частей зубчатых
колес. Обусловленная этими допущениями погрешность компен-
сируется коэффициентами kmt п.
Плоскость пластинки Af, условно названная «нормальной»,
проходит через вектор наг}
груженного зуба ОХ. Пло-
скость N составляет угол
Ps с торцовой плоскостью
S (рис. 47) и угол Рс с
плоскостью С, которая
проводится через осевую
Рх и торцовую Pt состав-
яющие нагрузки (в слу-
чае прямых зубьев имеем:
шаг винта равен оо, угол
наклона зубьев на основ-
ном цилиндре р* = 0, при
этом ps = o и рс = -£-).
Профиль зубчатого ко-
леса в торцовой плоско-
сти <$. Рассмотрим зубча-
тое колесо, обработанное инструментальной рейкой и заданное
следующими известными величинами: a, fa, f*e, с , р, т, г, х,
а также 6 — коэффициентом уменьшения высоты зуба, г — отно-
сительным расстоянием от точки приложения нагрузки к зубу
пластинки до цилиндрической поверхности вершин зубьев полной
высоты (равной с + h*e), f—коэффициентом трения (положи-
тельным, если трение увеличивает плечо изгиба зуба, и отрица-
тельным в противном случае).
Для передач по ГОСТ 13755—68 имеем: а = 20°, h*a = 1,
h'e = 2 и с = 0,25.
Предварительно вычисляем вспомогательные at, рь, г, гь, г;,
га, Ф*. фа, а также величины:
г* = с*(1—sina); x^ — h’e — h*a-\-c —г*—х\
У"‘= [т + ~{%a + r'cosa] ’
Гл = га + ^—'г; tgp4 = r4tgph-^-; ф/ = ^±.
'О •
89
Затем находим аргумент уг, определяющий граничную точку Г.
Для этого задаемся рядом последовательно уменьшающихся зна-
чений у ( начиная от — at) и для каждого взятого у вычисляем
Дф 11, 2]: 7
со = arctg (tg x’ = x’ + r*cos<o;
У =tfi— г* -|^у; xt = (г — х) cos <р + х" tg у sin ф;
Ф = у* + х* tg у; ,yt = (г — х*) sin ф — х* tg у sin ф;
rt = уф( = arctg ;
г Л/
Г.
Дф = фг — Фь + inv arccos — .
rt
, Здесь xt, уt1 rt и ф, — координаты точки на переходной кри-
вой, определяемой аргументом у.
Наибольшим значением у, при котором получается Дф = О,
является уг; эта граничная точка Г имеет координаты ге и фе.
Сечение зубчатого колеса всть звездная область, если выпол-
нено условие:
__уг —фе —Ц)е>0.
Для области, имеющей г осей симметрии, можно записать:
rt ±Ф/) = МФ<); n = 0, 1, 2, .z.
При 0 < ф, < фа имеем rt = га\ при фа с ф, < фе имеем
ф, = — inv arccos (rblrt), где ra > rt = r„; при фе с ф, < ф/
имеем уг > у > 0. Задавшись у, вычисляем со, х*, у*, ф, xt, yt,
rt и фР При ф/ с ф, = n/z имеем rt — г;. Итак, функция rt (ф,)
известна в интервале 0 < ф, < 2л.
Профиль зубчатого колеса в плоскости N. Координаты xN, yN,
гы и Vn точки MN в плоскости N вычисляются по известным коорди-
натам Хр yt, rt и ф, точки Ms в плоскости S (рис. 47 и 48) и углу 0S,
определяемому из условия, при выполнении которого вектор на-
грузки Р находится в плоскости ^. Воспользовавшись уравне-
ниями, приведенными в [1], получим
ф' + aN sin ф' — ф/ = 0, (186)
где
aN = у- tg tg ₽з-
гь
90
Определим итерациями корни ф' уравнения (186),. Искомые
координаты найдем по формулам:
xN = nxxt-, yN = nyyt; |
ф№ arc (xjy + rN = | xN + iyN |, J
где
COS1|)'
I *,
x COS ф/ ’
__ sin фл
Пу sin ф/ cos ps
Следовательно, функция rN (ф^) считается известной в интер-
вале 0 < фдг < 2л.
Вычисление параметров, определяющих нагрузку зуба пла-
стинки« На рис. 48 показаны профиль нагруженного зуба в тор-
цовой плоскости S, построенный
по методике, изложенной на стр. 89,
и профиль этого зуба в плоскости
N, построенный с помощью уравне-
ний (187). Буквами Z(sh LIn отмечены
центры кривизны переходных кри-
вых в точках и MN. Значения
радиусов кривизны и их углов на-
клона к вертикали обозначены pfz,
Рдг» и fyy. Кроме того, показаны
интенсивности Qt и QN векторов
нагрузок, изгибающих зубья в пло-
скостях S (рис. 48, а) и N (рис. 48,6).
Эти векторы наклонены к оси орди-
нат соответственно под углами О, и
0, они пересекают ось Ох на расстоя-
нии L от начала координат. Вели-
чины fy, L, 0 И Qf( вычисляются
по формулам, приведенным в [1, 2]. . Рис. 48. Сечения нагруженного
Средняя интенсивность нагрузки
вдоль контактной линии Q, расчет-
ная нагрузка зубчатого колеса Р и ее составляющие: радиаль-
ная Рп торцовая Pti осевая Рх и нормальная Рп—выра-
жаются через расчетную окружную силу Ро формулами:
Л- = ро tg («to — <рт); Р п =
зуба в плоскостях S и N
К1 + f2 ar cos рт ’
> tg Рт . р ______ Рр . р ______ Рр .
0 ат ’ z ат ’ aTcos0T ’
(188)
Р _ Рр COS
I mln COS Рт#т
где b, /mln, 8a и ke—определяются по ГОСТ 16532—70;
ат = cos (a/tt, — фт); срт = arctg —; Рт = arcsin . (189)
т \ tw тт/> тТ to COSPfc ’ Гг 1 f2 к 7
91
На рис. 47 показана пирамида, построенная следующим обра-
зом: ОХ — ось симметрии нагруженного зуба; ХАВ — торцовая
плоскость S; ХВС — плоскость С, заключающая векторы Рх
Pt и Р; XCD — плоскость М; XAD — плоскость, Нормальная
к оси ОХ‘, ABCD — прямоугольник; все остальные грани пира-
миды — прямоугольные треугольники. Рассмотрев эту пирамиду,
запишем:
sin 0 — sin О, cos Рт;
tg₽s =
tg Рт
cos О/ *
(190)
Можно также получить формулы:
sin aN = cos cos ps + cos (fy <pT) sin sin Ps;
cos pA = cos pj cos Рд + — sin Рь sin Рд,
(191)
где aN—угол между контактной линией ТХ и плоскостью N;
Pft— угол между контактной линией и касательной ТЕ к винто-
вой линии в точке Т приложения нагрузки Р к зубу пластинки.
Интенсивность QN нагрузки пластинки зубчатого колеса и ее
составляющие Qx и Qy в плоскости N равны:
= & = QsinO; Qj, = Qcos0. (192)
В частном случае, если f = 0, получим:
Фт = 0; Рт = Рь; Р = =
о = • о =о cosв
b&ake cos а/ ’ cos ’
(193)
где Q = aw/a—главный параметр исправления передачи [1].
Эволюта переходной кривой в нормальной плоскости N.
Некоторые распространенные в практике приближенные методы
расчета требуют предварительного вычисления координат эволют
переходных кривых профиля нагруженного зуба пластинки зуб-
чатого колеса.
В результате отображения плоскости S на плоскость W по
формулам (187) получаем в окрестности опасной точки ^-^0
dny п Ч
и = 0, поэтому можно воспользоваться следующим приемом
для вычисления и р^. В окрестности точки Ms элемент переход-
ной кривой считаем элементом окружности, тогда в окрестности
точки MN. этот элемент отобразится дугой эллипса. Радиус этой
окружности будет р;/, полуоси эллипса аэ, Ьэ и абсцисса х
точки MN относительно центральных осей эллипса равны:
«э = Р/Л; ьэ = Pftny-, X = pftnx sin fy,
92
так как элемент — образ плоскости W в окрестности точки Мы —
растянут относительно элемента — прообраза плоскости S в
окрестности точки Ms—вдоль оси абсцисс в пх раз и вдоль оси орди-
нат в пи раз. Рассмотрев этот эллипс, получим искомые величины:
p„=^(nW<b + »;sln4)’z!,
пхпу
предварительно вычислив [2]:
(194)
Л Л Г* COS3 (В
/ 2 'Р Y, Р cos2p cos3 у ’
о -р| - (х* —pcosy)2
* (х* — р cos у) cos y + r cos3 y
Определение расчетных напряжений* Для снижения погреш-
ности, вызванной принятыми допущениями, вводятся поправочные
коэффициенты kmt п, т. е. расчетные напряжения ат, „вычисляются
по формулам:
&т, п &т, пРпт, пп> (195)
где ат и ст„—расчетные напряжения, возникающие в опасных
точках т на растянутой стороне и п — на сжатой стороне косого
зуба; апт и ст„„ — расчетные напряжения в точках тип, возни-
кающие в тонкой пластинке и найденные, исходя из принятых
допущений; km< „ — поправочные коэффициенты, для точного
определения которых необходимо иметь решение методами про-
странственной задачи теории упругости (по мере развития про-
блемы расчета зубчатых колес коэффициенты kmt п будут уточ-
няться).
Используем полуэмпирические формулы, основанные на ре-
зультатах ориентировочных экспериментальных работ [180]:
km = kn = 0,85 + 0.15D.
Здесь р = cos т при х > 0;
D = | cos т |-1-5 при и < 0,
где т = 5,70ft | х | °-5;
__ 2г — гъ — Ге — 0,15.
Х г6 — ге —0,15 ’
7^0,5(с* + /а + /;-б).
Рассматривая пластинку, вырезанную из косозубого колеса и
нагруженную в плоскости N, значения а^„ и а„„ определим
различными методами. Расчет зубьев на излом принято вести,
исходя из первой теории прочности, при этом расчетные уравне-
ния с учетом km<n имеют вид [1, 2]
°т, п ~ brntakti ^т, пагт, тп Mm, n> (196)
93
где
&тт, тп О @т, nf)
д C0S(a<—Фт)
° Q cos (atw — Фт) '
Здесь [ст ]m и [ст ]„ — допускаемые растягивающие и сжимающие
напряжения; т — модуль; q — коэффициент нагрузки зуба;
Ат и Ап — коэффициенты изгибающих напряжений, не завися-
щие от /; ат и ап — поправочные коэффициенты, учитывающие
влияние трения на расчетные напряжения и не зависящие от й;
остальные обозначения были разъ-
яснены раньше.
Величины [ст ]т, [ст ]„, Ро, Ь, т,
й, q, 8a, kt, oq и f известны при
поверочном расчете зубчатых пере-
дач; способ их определения изло-
жен в [1, 3, 4] и других источ-
никах. Следовательно, определение
напряжений от и ст„ по формулам
(196) сводится к предварительному
вычислению коэффициентов Ат,
Ап, ат и ап. Приближенные зна-
чения этих коэффициентов, в ос-
новном для прямых зубьев, при-
ведены в книгах [1, 53, 77, 117]
и других, однако, для косых
зубьев такие данные имеются лишь
без учета влияния на стт,п осевой
составляющей нагрузки.
Для косозубых передач полу-
чены некоторые значения Ат. „
приближенными методами непа-
Рис. 49. Зависимость коэффициен-
тов изгибающих напряжений Ат,
вычисленных методом непарал-
лельных сечений, от числа зубьев
z и их угла наклона 0
раллельных сечений, скользящих
эллиптических [117] и биполярных координат [116], которые
соответственно обозначены Ат<п, Ат1П, Ат>п.
На рис. 49, 50 и 51 построены кривые этих коэффициентов для
стандартных по ГОСТ 13755—68 неисправленных зубьев при г = 0.
Из рисунков видно, что данные три метода приводят к близким
друг к другу результатам. Значения Ат незначительно отличаются
и от данных, полученных при = 0 В. Л. Устиненко [117].
Для повышения надежности приближенное решение Ат,п сле-
дует представить в виде:
^т, п J (Ащ, п ~i~ ^т, п ^т, п)-
(197)
Во многих общепринятых методиках расчета зубчатых передач
косозубые колеса заменяют условными прямозубыми, число зубьев
94
которых принимают равным где zw = zcos”3p [53]. При
этом для учета пространственного нагружения зубьев вводятся
поправочные коэффициенты, аналогичные km, П1 которые, за исклю-
чением = 0, во всех остальных случаях принимаются рав-
ными 0,825 cos р [53]. Эти допущения являются произвольными и
не согласующимися с опытными и расчетными данными. Напри-
мер, ошибки в определении радиуса кривизны р#, плеча изгиба
в исследуемой точке (L — xN) и угла 0 при использовании z0
в ряде случаев превышают 10%, что существенно искажает ре-
зультаты вычисления расчетных напряжений.
Рис. 50. Зависимость коэффи-
циентов изгибающих напряже-
ний Ат, вычисленных методом
скользящих эллиптических коор-
динат, от числа зубьев г и их
угла наклона 0
Рис. 51. Зависимость коэффи-
циентов изгибающих напряже-
ний Amt вычисленных методом
скользящих биполярных коор-
динат, от числа зубьев z и их
угла наклона [р
Таким образом, предлагается отказаться от необоснованной
замены косозубых колес условными прямозубыми и'рекомендуется
производить расчет косых и шевронных зубьев с учетом истинной
формы зуба и характера нагружения в нормальной плоскости У.
Разработанный метод расчета логичней, точнее, надежней и проще
существующих методов, основанных на замене косозубых колес
условными прямозубыми.
15. ИЗГИБНАЯ ПРОЧНОСТЬ АЗОТИРОВАННЫХ ПЕРЕДАЧ
О влиянии механических характеристик материала сердцевины
на изгибную прочность азотированных передач. Многочисленные
эксперименты, проведенные с азотированными образцами, пока-
зали, что предел изгибной усталости прямо пропорционален пре-
делу прочности материала сердцевины ов с. Это положение нашло
свое отражение в существующих методиках расчета зубчатых пере-
дач на прочность, в которых приводятся зависимости типа
95
@F lim oo — f (ств). Однако эти соотношения построены в основном
на испытаниях круглых полированных образцов или на резуль-
татах экспериментов с зубчатыми колесами на пульсаторах.
Отдельные опыты на вращающихся зубчатых колесах проводились
при низких окружных скоростях (до 8—10 м/с) и поэтому не могут
служить достаточным основанием для выбора допускаемых на-
пряжений при расчете на изгиб быстроходных крупногабаритных
азотированных зубчатых колес редуктора. В связи с этим были
проведены .исследования азотированных зубчатых колес при
окружных скоростях до 90 м/с на специальных редукторных
стендах.
Данные экспериментальных зубчатых колес следующие: ко-
леса шевронные с углом наклона зубьев 30°, нормальный модуль —
3 мм, передаточное число — 6,538. Колеса и шестерни были из-
готовлены из поковок, прошедших после черновой обдирки за-
калку и отпуск. Предел прочности сердцевины ств изменялся от 60
до 125 кгс/мм2.
Испытания проводились методом ступенчатого повышения
нагрузки. На каждой ступени передачи должны были отработать
не менее 108 циклов нагружений (по шестерне). Фактически,
в большинстве случаев передачи работали (3—7) 10е циклов.
Если на данной нагрузке разрушений не наступало, передачи
испытывались на следующей повышенной нагрузке. Расчетная
линейная нагрузка определялась по формуле
“1“ ^ДИН1
где q — номинальная линейная удельная нагрузка на зуб; Кнр —
коэффициент, учитывающий неравномерность распределения на-
грузки по длине зуба, определялся экспериментально; ?дин —
дополнительная удельная динамическая нагрузка, определяемая
по формулам А. И. Петрусевича.
Расчет показывает, что для всех испытанных передач значение
<7ДИН можно принять равным ~80 кгс/см, что составляет примерно
15% от максимальной статической нагрузки.
Изгибающие напряжения для пульсирующего цикла вычис-
лялись по формуле <vlim_ — v> гДе т — модуль зацеп-
ления; X — коэффициент перехода; еа — коэффициент, учитываю-
щий влияние абсолютных размеров; Y — коэффициент формы
местных напряжений; для зубьев, нарезанных специальными
турбинными фрезами, его определяют, используя гипотезу
А. В. Верховского.
Эксперименты показали, что изгибная прочность азотирован-
ных передач действительно обусловлена механическими характе-
ристиками материала сердцевины зубьев, однако, кроме предела
прочности материала ств на прочность зубьев оказывает влияние
и величина относительного сужения
96
Из теории математической статистики следует, что если между
величинами существует приближенная линейная зависимость, то
связь между ними характеризуется коэффициентом корреляции г i/i,
причем, чем ближе значение ri/i к единице, тем теснее связь между
изучаемыми величинами.
Расчет показывает, что коэффициент корреляции между пре-
дельным изгибающим напряжением агитоо для азотированных
зубьев и пределом прочности материала иь равен ri/i = 0,804.
Значение же ri/i между Огнтоо и параметром сгв (1 + фЛ) равно
0,947.
Таким образом, хотя в обоих случаях между пределом изгибной
усталости и механическими характеристиками существует линей-
ная зависимость, вычисленные значения пределов усталости
оказываются более надежными в том случае, когда в расчетных
зависимостях кроме предела прочности учитывается и величина
относительного сужения фЛ (во всяком случае, до значения
ав (1 + Ф) = 160-?-170 кгс/мм2).
Значительное влияние относительного сужения на предел
усталости цементированных и объемно закаленных зубьев отме-
чается и в работах [7, 135].
- Одновременно получены пределы усталости при испытании
плоских азотированных образцов из разных сталей с галтелью,
соответствующей переходной кривой зуба, нарезанного турбинной
фрезой. Фактические изгибающие напряжения фиксировались
с помощью тензодатчиков, наклеенных в местах концентрации
напряжений. Данные испытаний плоских образцов и зубчатых
колес практически совпадают. Максимальное расхождение не
превышает 10%.
Предельные изгибающие напряжения для азотированных
зубьев редукторов можно определить по формуле
Of iim оо = 0,43ав (1 + фл) — 700 кгс/см2
при
ов (1 + фЛ) < 16 ОООн-17 000 кгс/см2,
или с несколько меньшей надежностью
oF lim „ = 0,49ав + 850 кгс/см2.
При предварительных расчетах судовых редукторов часто
пользуются относительной оценкой изгибной прочности зубьев,
задаваясь допускаемым значением расчетной нагрузки на единицу
модуля qplmn- Для турбинных шевронных передач в среднем можно
принять Y = 0,29; X = 0,98; еа = 1,2. Тогда
_9рпред_ = .1.48<тв_(1+^)-Л КГС/(СМ.ММ)>
тп [я] ' "
где ств — кгс/мм2; qp — кгс/см; тп — мм; [п] — запас проч-
ности, величина которого при учете возможных перегрузок
7 Под ред. Н. И. Колчина 97
(пиковые нагрузки, концентрация нагрузки по длине зуба, ди-
намические усилия) должна приниматься не менее 1,5.
Влияние глубины азотирования на изгибную прочность зубча-
тых передач. Данные ряда исследований показывают, что при
химико-термическом упрочнении зубьев максимальной изгибной
выносливости соответствует некоторая оптимальная глубина
упрочненного слоя, превышение которой приводит к резкому сни-
жению нагрузочной способности перадачи, лимитируемой изгиб-
ной прочностью зубьев. То же явление наблюдается при испыта-
ниях круглых образцов, работающих при симметричном цикле
нагружения [6, 7, 76, 96, 173]. В работе [84] указывается, что
наибольшая усталостная изгибная прочность цианированных
шестерен и^образцов достигалась при толщине слоя, равной
0,5—0,7 мм. Увеличение толщины до 0,8—1,1 мм уменьшало
предел усталости на 20%. Р. М. Пратусевич [126], исследуя
на замкнутых установках изгибную прочность азотированных
колес из стали 40ХФА с т = 3 мм, получил при отношении глу-
бины 6 слоя к модулю, равном 8/т = 0,066, повышение изгибной
прочности в результате азотирования на 16%, при 8/т = 0,1
и 0,133 повышение равно 53 и 12% соответственно. Согласно
данным Р. Волькенштейна [181 ], обобщившим результаты опытов
немецких исследователей, значение оптимального отношения 8/т
находится в пределах 0,08—0,17.
Рекомендации по назначению оптимальной глубины упрочне-
ния, приведенные в различных источниках [6, 111, 172, 181],
значительно отличаются друг от друга. Основная причина этого
заключается в отсутствии единого мнения о том, что следует по-
нимать под глубиной упрочненного слоя. В частности, Ниманн
и Реттиг [111] под глубиной азотированного слоя понимают
расстояние от поверхности до той точки, в которой твердость по
Виккерсу на 10% выше твердости сердцевины. С. Wahl [179]
за глубину азотированного слоя принимает расстояние от по-
верхности до точки с твердостью по Виккерсу 400, а Волькен-
штейн [181] до точки, в которой твердость по Виккерсу падает
до 75% от твердости поверхности.
К представлениям, принятым в отечественной практике для
азотированных деталей, ближе всего подходит рекомендация Глау-
битца [172], который предлагает под глубиной упрочнения
понимать расстояние от поверхности до границы структур-
ных изменений, определяемых металлографическим путем на
шлифах. Эта рекомендация была принята в настоящем исследо-
вании.
Для определения оптимальной толщины азотированного слоя
были поставлены эксперименты, основная часть которых прово-
дилась на зубчатых колесах из стали 30Х2НВФА (табл. 8).
Колеса изготавливались из одной поковки и термообрабаты-
вались по одному режиму. Механические характеристики мате-
риала НВ 320; ав = 116 кгс/мм2, от = 102 кгс/мм2, = 60,3%,
98
Таблица 8
Геометрические характеристики
испытуемых передач
Модуль т в мм Число зубьев Z Диаметр дели- тельной окруж- ности d в мм
4 30 120
5 24 120
6 20 120
7 18 126
При м е ч а н и е Угол
наклона зуба равен нулю.
Таблица 9
Относительное повышение изгибной
прочности зубьев в результате азотирования
(предел изгибной усталости
неазотированных зубьев принят за 100%)
6 в мм Относительное повышение изгибной прочности при тп
.4 1 5 1 6 7
0 100 100 100 100
0,2 115 из 117 120
0,45 115 132 124 117
0,6 100 105 117 132
ац = 8,7 кгс*м/см1 2. Колеса нарезались специальными турбинными
фрезами. Высота зуба 2,5тп.
Эксперименты проводились на пульсаторах и носили сравни-
тельный характер. Первоначально определялось напряжение
в корне зуба, соответствующее пределу изгибной усталости термо-
улучшенных зубьев разных модулей Испытуемые колеса — пря-
мозубые (табл. 8).
Для каждого из колес глубина S азотирования выбиралась
равной 0;’0,2; 0,45; 0,6 мм.
Затем находились предельные напряжения для азотированных
зубьев. Отношение предельных напряжений служило мерой повы-
шения несущей способности зубьев в результате упрочнения при
различных глубинах азотирования.
Во время экспериментов нагрузка с помощью парного колеса
прикладывалась к головке единичного зуба на расстоянии 0,5т„
от вершины. В качестве предельной принималась нагрузка, сред-
няя между той минимальной нагрузкой, при которой наступила
поломка зубьев, и той максимальной, при которой разрушений
еще не было.
Результаты экспериментов приведены в табл. 9 и на рис. 52,
где через kr В % обозначено повышение изгибной прочности зубьев
в результате азотирования. Из графика на рис. 52 следует, что
при отношении 8/т = 0,07-^ 0,09 можно ожидать максимального
повышения выносливости азотированных зубьев.
1 Опыты показали, что предельные напряжения для зубьев с модулем тп =
= 4-5-7 мм практически одинаковы и равны для данных механических характе-
ристик материала цт ш 5100 кгс/см2.
7*
99
С целью распространения полученных результатов на зубчатые
колеса с другими параметрами было проведено несколько допол-
нительных экспериментов, результаты которых приведены
в табл. 10 и на рис. 52.
Из рис. 52 видно, что полученное ранее оптимальное значение
глубины азотирования (6//п)опт = 0,07ч- 0,09 можно рекомендо-
вать для зубчатых колес, изготовленных из сталей 40ХФА,
30Х2НВФА и 38ХМЮА с твердостью сердцевины НВ 240—320,
нарезанных как стандартной, так и специальной турбинной
фрезой.
Рис. 52. Повышение несущей способности зубьев К в
результате азотирования:
X — основные эксперименты на стали 30Х2НВФА; О—допол-
нительные эксперименты (табл. 10)
Ранее было указано, что под глубиной азотированного слоя б
понимается расстояние от поверхности до границы структурных
изменений, выявленных на протравленных шлифах.
Часто используется другой подход, заключающийся в опре-
делении глубины азотирования бЛ как расстояния от поверхности
до той точки на кривой микротвердости, в которой твердость слоя
становится равной твердости сердцевины материала. При этом
методе определения глубины слоя оптимальное отношение будет
равно (б//п)опт = 0,12-4-0,16.
Эксперименты показали, что даже при оптимальном отноше-
нии 8/т повышение изгибной прочности зубьев в результате
азотирования не превышает 30%. Та же величина была получена
и другими исследователями [120, 137]. При наличии концентра-
тора повышение усталостной прочности при симметричном цикле
равно 1,8—2,0, т. е. (а_1)а30т = (1,8-н2,0) (а_1)неазот- Переходя
к пульсирующему циклу, имеем
\ __ 2 (сг_1)неазот . \ 2 (<Т«1)азот
\и0/неазот 1 + ф ’ К°0/азот j >
100
Таблица 10
Результаты испытаний зубчатых колес
№ п/п Марки стали Геометрия передачи 6 в мм 6/т Повыше- ние несущей способ- ности в %
1 38ХМЮА (ЯВ260) z = 44, т = 3,0 мм, ₽ = х= 0 0,30 0,10 20
2 38ХМЮА (ЯВ240ч-250) г = 44, т = 3,0 мм, Р = 0, х = (+1,0)-=-(—1,0) 0,30 0,10 28 30 30
3 38ХМЮА (ЯВ240ч-250) z = 34, т = 3,0 мм Р= 0, х = 0—1,0 0,30 0,10 22 25
4 40ХФА z = 44, т — 3,0 мм, Р= х= 0 0,45 0,15 4
5 40ХФА z = 48, т = 3,0 мм, Р == х = 0 0,20 0,067. 20
6 40ХФА (ЯВ260) Zj/Zj = 48/48, Р= х = 0 0,20 0,067 16
7 40ХФА (ЯВ260) Zi/z, = 48/48, Р= х= 0 0,30 0,10 53
8 40ХФА (ЯВ260) z,/za = 48/48, Р= х= 0 0,40 0,133 12
Примечания: 1. Опыты 1—5 проведены на пульсаторе; опыты 6—8 — на замкнутой уста- новке Р. М. Пратусевичем [126]. 2. Зубчатые колеса_ всех вариантов нарезались червячной фрезой (ГОСТ 3058—54). Высота зуба h = 2,25m.
отсюда
(*о)азот , (1,8~Ч-2,0) (1 + *ф) .
(^о)неазот 1 4" Фазот
Принимая значения ф =0,25 и фазот = 0,85 [95], получим
(^о)аэот _ (1 >8 4- 2,0) (1 4~ 0>25) _ । 22 • 1 35
(^о)неазог 1 4~ 0,85 ’ *
Изгибная прочность передач, изготовленных из различных
марок сталей. Исследования проводились на механических пуль-
саторах при приложении нагрузки в вершине зуба. Все экспери-
ментальные зубчатые колеса имели одинаковые параметры: число
зубьев г = 44, ширина венца bw = 10 мм, модуль тп = 3 мм,
угол наклона зуба 0 = 0°, коэффициент смещения рейки х = 0.
Передачи нарезаньГстандартным инструментом. Результаты экс-
периментов сведены в табл. И.
101
Таблица 11
Экспериментальные данные азотированных передач
из различных сталей
Марка стали Твердость НВ Толщина слоя в мм _э °F lim оо гтР aF lim оо -100% Корреляционное уравнение
_Э ' «-Р °F lim оо ~~ gF lim ос 8 е
сердцевины 1 слоя К ГС; 'см2
38ХМЮА 28-31 65-67 0,28 — 0,3 55,5 59,2 — 6,7 1g W = -3,66 1g м 4- 4- 17,65
40ХНМА 22 — 24 52-54 0,27 — 0,3 63,2 49,6 + 20 1g W = —2,12 1g М 4- 4- 12,04
20ХЗМВФ 30-31 65—66 0,25 — 0,3 62,0 51,8 4-16 Ig W = —4,88 1g M 4- 4- 23,32
40ХФА 31—32 56-58 0,27 — 0,3 56,0 52,5 4-6,3 1g N = —3,88 1g M 4- 4- 18,86
ЗОХЗВА 24 — 25 62-63 0,27 — 0,3 40,0 43,5 -8,8 1g W = -2,39 1g M 4- 4- 12,97
20ХЗМВФ 26 — 27 65-66 0,25-0,3 59,0 46,5 4-23 IgW = -4,53 Ig M 4- 4-21,03
40ХФА 24 — 25 51-52 0,28-0,3 48,0 43,5 4-9,4 1g W = -2,92 Ig M 4- 4- 15,25
Примечание. Показатели э, р означают соответственно эксперимен-
тальное и расчетное значения OFlimoo*
Приведенные результаты показывают, что расчетные данные
для большинства марок сталей [92 ] хорошо совпадают с экспери-
ментальными, отклонение не превышает ±10%. Исключение со-
ставляют стали, легированные никелем и молибденом, для которых
предельные напряжения изгиба для пульсирующего’цикла сле-
дует увеличить на 16—23% . Последнее обстоятельство может быть
объяснено положительным влиянием этих компонентов, препят-
ствующих образованию дефектных структур в тонких поверхност-
ных слоях материала. Такое влияниеЪбнаружено при исследова-
нии изгибной прочности цементованных зубьев [3]. Показатель
угла наклона кривой усталости колеблется от 2,12 до 4,88, среднее
значение которого можно назначать при расчете передач в пре-
делах 3—4. Эта величина существенно меньше рекомендуемой [92 ].
Одновременно исследовалось влияние асимметрии цикла на
изгибную прочность азотированных передач. В работах [70, 71 ]
было показано, что при наличии на рабочей поверхности зубьев
цементованного или азотированного слоя чувствительность ма-
териала к средним напряжениям цикла возрастает. Естественно,
что при этом должно наблюдаться сближение предельных напря-
102
жений для пульсирующего и симметричного циклов нагружения.
Были поставлены эксперименты [95, 98] на образцах и зубчатых
колесах, подтвердившие резкое увеличение чувствительности
цементованного и азотированного материала к асимметрии цикла.
Плоские образцы из сталей 30Х2НВФА и 45Х2Н2МФЮА
с выкружкой, соответствующей переходной кривой зубьев колеса
с z = 50; х = 0,5; а0 = 1,35 испытывались на специальной уста-
новке при симметричном и пульсирующем циклах.
Азотированные зубчатые колеса из стали ,30Х2НВФА (z±= z2 =
= 35, Р = 0, х = 0, тп = 4 мм) подвергались исследованиям
на замкнутой установке с одним или двумя потоками мощности,
что позволяло создавать требуемый характер изменения напряже-
ний в корне зуба. Результаты экспериментов приведены в табл. 12.
Таблица 12
Результаты экспериментов при различных характеристиках
циклов изменения напряжений в корне зуба азотированных колес
№ п/п Марка стали ав сердце- вины в кгс/мм2 б в мм HRC Коэффи- циент чувстви- тельности Фб (У-1э <^ОЗ
1 45Х2Н2МФЮА 110,3 0,72 60 0,85 0,92
2 30Х2НВФА 120,4 0,55 60 0,85 0,92
3 30Х2НВФА 107,9 0,42 61 0,85 0,92
4 30Х2НВФА 107,9 0,57 60 0,82 0,90
5 30Х2НВФА 107,9 0,82 59 0,88 0,94
6 30Х2НВФА 116,0 0,55 60 0,88 0,94
7 40ХФА 94,6 0,40 55 1,00 1,00
Примечание. 1—5 — плоские образцы (аа =» 1,35); 6 — 7 — зубча-
тые колеса (aQ = 1,50).
Эксперименты показывают, что для азотированных зубьев
предельные нагрузки следует принимать на 10% меньше, чем
для зубьев, работающих по пульсирующему циклу.
В результате проведенного исследования получено, что предел
изгибной усталости косых азотированных зубьев связан линейной
зависимостью с механическими характеристиками материала серд-
цевины, в первую очередь, с пределом прочности и коэффициентом
относительного сужения.
В случае, когда под глубиной азотирования 6 понимается рас-
стояние от поверхности до границы структурных изменений,
оптимальное отношение 8/т = 0,7= 0,09. При этом достигается
максимальное повышение изгибной прочности азотированных
зубьев, равное 20—30%.
103
Если под глубиной азотирования б понимается расстояние от
поверхности до той точки на кривой микротвердости, в которой
твердость слоя становится равной твердости сердцевины мате-
риала, то оптимальное отношение 6/т = 0,12ч-0,16. Полученные
результаты распространяются на азотированные зубчатые колеса
из сталей 38ХМЮА, 40ХФА и 30Х2НВФА с твердостью сердце-
вины материала НВ 240—320.
При завышенном отношении глубины азотирования к модулю
изгибная прочность азотированных зубьев может оказаться ниже
прочности неупрочненных зубьев.
Для сталей, легированных молибденом и никелем, предельные
напряжения изгиба могут быть увеличены в среднем на 15—20%.
Соотношение предельных напряжений изгиба при пульсирующем
и симметричном знакопеременном циклах для азотированных
зубьев составляет примерно 1,1.
16. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
В ЗУБЬЯХ АЗОТИРОВАННЫХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
В целях уменьшения хрупкости поверхностного слоя зубьев
азотированных зубчатых колес в настоящее время рекомендуется
применять для них безалюминиевые стали марок 30ХН2МФА,
18Х2Н4ВА и др. [94]. Однако опытных данных, характеризую-
щих усталостную прочность и долговечность зубьев таких колес,
опубликовано недостаточно [95]. В настоящем параграфе при-
водятся сравнительные исследования азотированных и неазоти-
рованных зубчатых колес, изготовленных из безалюминиевой
конструкционной стали марки 36ХН1МФА и основной азотируе-
мой стали 38ХМЮА.
Экспериментальные зубчатые колеса.^ Методика их испытаний.;
Зубчатые колеса изготовлялись штамповкой из прокатных заго-
товок диаметром 150 мм под штамповочным молотом 5,6 тс. Тер-
мическая обработка штамповок и геометрические параметры колес
приведены в табл. 13.
Ошибки изготовления зубчатых колес находились в пределах
допуска, предусмотренного 7-й степенью точности по ГОСТ
1643—56. При оценке шероховатости впадин зубьев учитывалась
высота микронеровностей, которая измерялась на двойном микро-
скопе марки МИС-11, она соответствовала 6-му классу для азоти-
рованных зубчатых колес и 5-му классу — для неазотированных.
Зубчатые колеса испытывались на 30-тонном гидравлическом
пульсаторе с использованием специальных приспособлений. Ме-
тодика испытания изложена в работе [121]. Нагружение зуба
циклическим изгибом осуществлялось при асимметричных поло-
жительных циклах с коэффициентом асимметрии в пределах
= 0,034 ч-0,047. Частота нагружения устанавливалась 600 цик-
лов в минуту. Нагрузка прикладывалась к вершине зуба по нор-
мали к его профилю. Предел выносливости зуба определялся на
базе 107 циклов.
104
Таблица 13
Характеристики экспериментальных зубчатых колес
(т = 10 мм, исходный контур по ГОСТ 13755—68)
Груп- па колес Марка стали Термообработка Z bw в мм X
1 . 36ХН1МФА СТУ 30—60—61 Закалка с температуры 850—860° С в масле, отпуск при температуре 550—620° С. Азотирование по одноступен- чатому режиму 20 72 0
2 36ХН1МФА СТУ 30—60—61 Закалка с высоким отпу- ском (улучшение) 20 72 0
3 38ХМЮА ГОСТ 4543—61 Закалка с температуры 930—950° С. Азотирование по одноступенчатому режиму 14 56 0,91
4 38ХМЮА ГОСТ 4543—61 Закалка с высоким отпу- ском (улучшение) 14 56 0,91
Методика исследований предусматривала получение наиболее
полных сведений, характеризующих изменение основных пара-
метров кривых усталости: предела выносливости зубьев, показа-
теля наклона левого участка кривых усталости, базового числа
циклов NF6, величины дисперсии в зависимости от уровня на-
грузки и заданной вероятности неразрушения. Целесообразно
обычное уравнение кривой усталости в логарифмических коорди-
натах
Ig N = — т Ig FFn + А
(198)
преобразовать по методике М. Я. Шашина [164]:
1g Мр' = Ig М -|- Кв$мг — [| tn0'51 —KbSm] (Ig FFn — Ig FFn), (199)
где Ig Np’ — значение долговечности, соответствующее заданному
уровню нагрузки Ig FFn и принятой вероятности неразрушения Р'
(или разрушения Р = 1 — Р'); FFn — нагрузка, приложенная
по нормали в вершине профиля зуба; Ig FFn — среднее арифмети-
ческое логарифмов нагрузок; ig N — среднее арифметическое
, S/j
логарифмов долговечности; то,5 = Л/Х—— — показатель на-
SFFn
клона кривой усталости при вероятности неразрушения 50%
(<*/, — коэффициент корреляции для корреляционных уравнений
1-го порядка; SFpn и SN — основные отклонения статистических
£ Г I ______^.2
величин Ig FFn и Ig М); Sm = 1/ ,----— основ-
!>FFn ' п
ное отклонение показателя наклона (п — число испытаний,
105
SNr = SNv i __rfzi — условное основное отклонение или мера
рассеяния); Кв — коэффициент вероятности неразрушения.
Корреляционное уравнение (199) устанавливает параметры
усталостной кривой для значительного интервала нагрузок FFn,
а значение показателя наклона т0,5 определяется в зависимости
от вероятности неразрушения с учетом неодинакового рассеяния
опытных данных на различных уровнях нагрузки.
Результаты испытаний и их анализ» На основании фор-
мулы (199) по параметрам корреляционного распределения, пред-
ставленным в табл. 14, составлены корреляционные уравнения для
построения усталостных кривых.
Таблица 14
Основные параметры корреляционного распределения
| Группа колес (FFn lim oo)max to 7 о «о 1g N е и. к. bfl с? е и, СО4 со «о6 С |S‘Otu |
*1 13 100 0,038. 2,86 4,745 4,267 0,512 0,044 0,094 1,197 0,962 11,206
2 10 300 0,049 3,97 5,048 4,221 0,421 0,052 0,188 1,107 0,922 7,454
3 14 700 0,034 3,80 5,567 4,353 0,408 0,064 0,035 1,972 0,856 5,462
4 11 200 0,045 5,07 5,519 4,234 0,395 0,050 0,226 1,590 0,819 6,423
В таблице обозначено: (FFn lim oo)max максимальная нагрузка цикла,
приложенная по нормали в вершине профиля зуба, соответствующая длительному
‘ пределу метрии . „ с n (fFn lim oo)min изгибной выносливости зуба; ; yFn lim oo)max цикла. — коэффициент асим-
На рис. 53 и 54 приведены вероятностные кривые усталости для
азотированных и неазотированных зубчатых колес. Значение
нагрузки FFn пт оо, соответствующей длительному пределу изгиб-
ной выносливости зуба при пульсирующем цикле изменения на-
пряжений, определялось по формуле
/7 __ ^bn (stat) (Fpn lim co)max 0
г Fn lim оо г р / \ i
rbn (stat) \rFn lim co )max
где Fbn (stat) — нагрузка, приложенная в вершине зуба по нор-
мали к его профилю, соответствующая статической прочности зуба.
- Определение максимальных местных сггмитоо и номинальных
of нт оо напряжений у корня зуба производилось по методике
В. Л. Устиненко [152].
В табл. 15 приведены полные сведения по результатам стати-
ческих и усталостных испытаний зубчатых колес. Исследования
106
а) Рп,кгс
Рис. 53. Кривые усталости для зубчатых колес, изготовленных из стали
36ХН1МФА: а — после азотирования (колеса группы 1)
№ кри- вой % Корреляционное уравнение
1 10 1g N = — 12,6887 Ig Pn + 59,04175
2 50 1g w = -11,2056 \gPn + 52,59242
3 90 IgW = — 9,7165 1g Pn + 46,11746
4 95 Igtf = — 9,23717 Ig Pn + 44,0329
б — после улучшения (колеса группы 2)
№ кри- вой kb. % Корреляционное уравнение
1 10 Ig W = -8,82654 Ig Pn + 42,53759
2 50 \g N = -7,45418 lgPn + 36,51156
3 90 \g N = -6,08182 Ig Pn + 30,48553
4 95 \g N = -5,63913 Ig Pn + 28,54168
107
Рис/54. Кривые устало-
сти для зубчатых колес:
а — после азотирования
(колеса группы 3); б —
после улучшения (колеса
группы 4)
№ кри- вой % Корреляционные уравнения
1 10 Ig jV = —8,3952 1g Рп + 41,34412
2 50 Ig N = —6,4233 Ig Рп + 32,71434
3 90 Ig N = —4,4514 Ig Pn + 24,08457
Таблица 15
Результаты статических и усталостных испытаний
азотированных и неазотированных зубчатых колес
Группа колес Глубина азотированного слоя в мм Твердость (в основном сечении зуба) w5/10 авс аос Статическая прочность зуба ?bn (stat) в кгс Предел выносливости зуба при пульсирующем цикле изменения напряжений
сердцевины поверхностного слоя кгс/мм4 ^Fn lim со в кгс °Fn lim со °FM lim со (6) °FM lim со
кгс/мм2
1 2 3 4 0,15—0,30 0,15—0,48 256 256 302 285 653 256 704 285 89 89 103 98,5 58 58 65 63 37 400 46 400 51 400 34 500 12 600 9 800 14 200 10 700 42,0 32,6 39,6 29,9 65—59 75,2—68 67,7 52,7 79,0 59,7
показали, что статическая прочность зубьев азотированных зуб-
чатых колес из стали 36ХН1МФА ниже зубьев неазотированных
колес, изготовленных из той же стали, в 1,24 раза. Соответственно
статическая прочность зубьев азотированных зубчатых колес из
стали 38ХМЮА оказалась выше неазотированных в 1,49 раза.
Усталостная прочность зубьев азотированных колес из стали
36ХН1МФА выше неазотированных, изготовленных из той же
стали, в 1,29 раза; соответственно усталостная прочность зубьев
азотированных колес из стали 38ХМЮА выше неазотированных
в 1,32 раза. Усталостная прочность зубьев азотированных колес
из стали 36ХН1МФА оказалась ниже, чем из стали 38ХМЮА
в 1,25 раза. Отслаивания или откола азотированного слоя в ис-
следуемых колесах не наблюдалось.
Исследование концентрации напряжений.) Наиболее важной
задачей исследования является разработка метода, позволяющего
устанавливать благоприятное сочетание основных факторов,
повышающих предел выносливости зуба, и определять его опти-
мальное значение. Необходимым условием для решения этой за-
дачи является установление связи между теоретическим и эф-
фективным коэффициентами концентрации напряжений, т. е.
определение коэффициента чувствительности материала к кон-
центрации напряжений в зависимости от изменения радиуса вы-
кружки зуба
109
Для оценки коэффициента чувствительности материала зуба
к концентрации напряжений при данном виде упрочняющей об-
работки и заданном коэффициенте асимметрии цикла исполь-
зовалась зависимость
Пре
Пос ___ K(jD
&FM lim оо &F lim оо
Здесь Кт — теоретический коэффициент концентрации напряже-
ний, определяемый по методике [152]; аос — предел выносливости
при изгибе наиболее слабой структурной составляющей материала
сердцевины зуба при пульсирующем цикле изменения напряже-
ний; KGD — суммарный коэффициент, учитывающий влияние
всех факторов на величину предела выносливости зуба,
(201)
где Р и Рупр — коэффициенты, учитывающие соответственно влия-
ние качества обработки поверхности на предел выносливости зуба
и упрочнения поверхности; величина 0упр определяется не только
прочностными качествами самого твердого тела, но и остаточными
1Z
сжимающими напряжениями в нем; —- — коэффициент, учитываю-
еа
щий суммарное влияние = f (z, х), абсолютных размеров
зуба, остаточных напряжений, связанных с упруго-пластическим
перераспределением напряжений в процессе деформирования,
режима нагружения и уровня нагрузки.
Практически очень трудно разграничить влияние каждого фак-
тора на усталостную прочность, значительно правильнее и проще
определять отношение = р0- Для этого необходимо распо-
лагать экспериментальными значениями ит оо и аос. Поскольку
предел выносливости материала сердцевины зуба о0С нельзя изме-
рить непосредственно, была найдена зависимость между уста-
авс
лостным коэффициентом и твердостью сердцевины зуба, измеряе-
мой по Виккерсу с нагрузкой 5 кгс. Интервал значений твердости
сердцевины зуба был принят в пределах HV5/10 190—800, что
соответствует ствс = 65-=-210 кгс/мм2.
Средневероятное значение отношения — определяется по
авс
формуле
-^=0,795 — 0,00055 [HV*/,,].
°вс
Уменьшение отношения по мере увеличения прочности
сердцевины связано с возрастанием чувствительности исследуемых
сталей к надрезу.
ПО
(202)
Экспериментальные результаты показывают, что при азоти-
ровании зубчатого колеса концентрацию напряжений во впадине
зуба можно свести на нет, восстановив усталостную прочность,
соответствующую пределу выносливости сердцевины зуба без
концентрации напряжений. В этом случае очаги начала усталост-
ного разрушения находятся в переходной зоне от азотированного
слоя к сердцевине. На основании данных работы [178] предпола-
гается, что у колес, твердость поверхности впадин которых не
превышает двойной величины твердости сердцевины, излом зуба
начинается с поверхности, а если твердость
тельно выше, то очаги разру-
шения переходят в сердцевину.
Известно [90], что, используя
гипотезу А. В. Верховского,
можно определить местные на-
пряжения gFm нт (6) на границе
твердого слоя и сердцевины
(на глубине б) (рис. 55),
&FM lim (6) =
_ / I - б \ pf
-GfM lim co |^p/+-6 J — ’
где OFM lim (6) = ^осХи» Хи— K0“
эффициент, учитывающий отно-
сительное повышение предела
выносливости зуба, когда раз-
рушение с поверхности впади-
ны перемещается в подслойную
поверхности значи-
Рис. 55. К определению напряжения
на глубине 6 в подкорковой зоне
зону; pf — радиус выкружки
к 1 5
зуба в опасном сечении; I = 2 cos 30°—расчетное опасное
сечение зуба; б — глубина азотированного слоя.
На рис. 56 в качестве примера представлены результаты изме-
рения твердости для колес группы 3 и 4. Анализ кривых показы-
вает, что твердость поверхности и сердцевины зуба удовлетворяет
показателям, установленным после улучшения и азотирования
для стали 38XMIOA. Кривые распределения твердости по месту
излома зуба позволяют более точно судить о прочности и пластич-
ности стали в любом участке опасного сечения зуба.
Глубина азотированного слоя по высоте зуба неравномерная.
Примерно на 1/3 высоты зуба, считая от вершины его, она равна
0,25 мм, затем идет постепенное снижение, у основания зуба глу-
бина составляет 0,15 мм. В табл. 15 меньшие значения глубины
азотированного слоя для колес группы 1 и 3 соответствуют месту
сопряжения впадин с эвольвентной частью профиля зуба, большие
значения — глубине диффузии.
111
Как показали ранее выполненные исследования [121], зна-
чительное влияние на величину изгибной выносливости зубьев и
место образования трещин имеет глубина диффузии.
В табл. 15 большие значения напряжений агмит(б) соответ-
ствуют глубине азотированного слоя, меньшие значения — глу-
бине диффузионного слоя, при которой величина коэффициента %и
близка к единице. Анализ данных табл. 15 и формулы (203) пока-
зывает, что предел выносливости зуба азотированных зубчатых
колес определяется не только прочностными качествами самого
твердого слоя, но и остаточными сжимающими напряжениями
в нем, зависящими от соотношения толщин слоя и сердцевины,
Рис. 56. Распределение твердости по месту усталостного излома
зуба для зубчатых колес из стали 38ХМЮА: а — после улучшения;
б — после азотирования
от прочности сердцевины и режима нагружения. Чем меньше
величина коэффициента чувствительности материала зуба р0 =
=-----22--- (с учетом упрочняющей обработки), тем больше ве-
&FM lim оо
личина остаточных напряжений
<т0СТ=(1 --^)<тВс (204)
и, следовательно, больше предел выносливости зуба, Вывод фор-
мулы (204) дан в работе [122]. Предельная глубина азотирован-
ного слоя S, когда Gfm нт (д) = <тос, равна
PZZ (1—Ир)
1W + Р;
17. ИЗЛОМНАЯ ПРОЧНОСТЬ ЗУБЬЕВ
МЕЛКОМОДУЛЬНЫХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Исследование имело целью дать количественную оценку уста-
лостной изгибной прочности и долговечности зубьев мелкомо-
дульных эвольвентных зубчатых колес, изготовленных из различ-
112
Таблица 16
Геометрические параметры испытуемых
зубчатых колес
Z т в мм а в град ha X в мм
20 0,3—0,5 20 т —0,353 1
них материалов. При этом особое внимание было обращено на
определение пределов выносливости в области ограниченной дол-
говечности с учетом дисперсии и вероятности неразрушения.
За основной критерий усталости при определении пределов
выносливости и построении вероятных диаграмм усталости был
принят момент поломки зуба, так как фиксация конца испытаний
по моменту образования видимой трещины во впадине зуба мел-
кого модуля с технической стороны оказалась невозможной.
Исследования проводились на зубчатых колесах, изготовлен-
ных из материалов, наиболее часто применяемых при изготовле-
нии мелкомодульных зуб-
чатых колес: из стали
ЭИ474 (ЧМТУ/ЦНИИЧМ
224—59) с твердостью
НВ 240—280 кгс/см2, из
бронзы БрКМц 3-1 (ГОСТ
1628—60), из алюминие-
вого сплава В95—Т1
(ГОСТ 4783—49) с твер-
достным анодированием.
Геометрические параметры зубчатых колес (табл. 16) выбраны
исходя из того, что такие колеса имеют наиболее широкое приме-
нение в серийно выпускаемых счетчиках.
Зубчатые колеса нарезались на мелкомодульном зубофрезерном
станке 530 А завода делительных головок. Ошибки изготовления
по ГОСТ 9178—59 укладывались в допуски, предусмотренные
восьмой степенью точности. После нарезания на станке максималь-
ная высота неровностей составляла 10—12 мкм, что по ГОСТ
2789—51 соответствует шестому классу чистоты. С целью исклю-
чения влияния смазки на результаты эксперимента все испытания
проводились без смазки.
Для установления предельных нагрузок в области ограничен-
ной долговечности были проведены испытания с постоянной ам-
плитудой переменных напряжений. Испытания проводились на
специально разработанных электромеханических стендах с ча-
стотой нагружения 2340 циклов в минуту.
Разброс усталостной долговечности при натурных испытаниях
зубчатых колес слишком велик, чтобы им пренебречь.
С учетом неодинакового рассеивания экспериментальных дан-
ных на различных уровнях нагружения статистическая обработка
их производилась по методике [119]. Корреляционные уравнения
для семейства усталостных кривых с различной вероятностью не-
разрушения и с учетом дисперсии по напряжениям составлялись
на основании уравнения
1g= Igtf + KBSN2 - (I mo,51 + KBSm) (Ig Pn - ipf), (206)
где Ig Np> — значение долговечности, соответствующее заданному
уровню нагрузки 1g Рп и принятой вероятности неразрушения Р';
8 Под ред. Н. И. Колчина ИЗ
1g N — среднее арифметическое логарифмов долговечности; Кв —
коэффициент, соответствующий определенной вероятности не-
разрушения, значения которого приведены в [119]; /п015 =
Spf
= ri/i — показатель наклона кривой усталости при вероят-
ности неразрушения 50% (гщ — коэффициент корреляции, ха-
рактеризующий тесноту связи корреляционного распределения
1g Рп — 1g N; SN, Spff — основные отклонения статистических
величин — долговечности lg N и нагрузки 1g Рп, характери-
зующие рассеивание экспериментальных данных относительно
центра распределения); SN2 = Sjv —ri/i — мера индивидуаль-
ного рассеивания корреляционных уравнений для семейства уста-
лостных кривых различной вероятности неразрушения, характе-
ризующая рассеивание в центре распределения; Sm =
-----—— основное отклонение показателя наклона (п —
п----4
число испытаний для установления вида корреляционного распре-
деления, согласно [119], не менее 16—20); 1g Рп — логарифм
нагрузки; 1g Рп — среднее арифметическое логарифмов нагрузок.
По данным, полученным в результате проведенных экспери-
ментов, были определены статистические параметры корреляцион-
ных уравнений, приведенные в табл. 17.
Таб л и’ца 17
Параметры корреляционных уравнений
Материал зубчатого колеса *рп 1g W SpN SN, Sm ri/l
ЭИ474 2,980 4,782 0,189 1,455 0,467 0,618 —0,947
Бр. КМцЗ-1 2,815 4,735 0,211 1,405 0,555 0,338 —0,918
В95-Т1 2,450 4,250 0,100 1,235 0,425 1,062 —0,939 .
На основании данных табл. 17 по формуле (206) определены
корреляционные уравнения с различной вероятностью неразру-
шения и с учетом дисперсии, приведенные в табл. 18.
По данным табл. 18 построены вероятностные диаграммы уста-
лости для стали ЭИ474 (рис. 57), бронзы Бр. КМцЗ-1 (рис. 58),
алюминиевых сплавов В95—Т1 (рис. 59). Как видно из диаграмм,
распределение экспериментальных данных хорошо соответствует
вычисленным статистическим параметрам.
Полученные уравнения для наклонных участков усталостных
кривых с различной вероятностью неразрушения и с учетом дис-
114
Рис. 57. Вероятностная диаграмма усталости для
стали ЭИ474
Рис. 58. Вероятностная диаграмма усталости для
бронзы Бр.КМцЗ-1
115
Корреляционные уравнения
Таблица 18
Марка материала зубчатого колеса Коэффи- циент ве- роятности неразруше- ния Ав Вероятность неразруше- ния в % Корреляционное уравнение
ЭИ474 1,24 10 lgVp.= —8,0561g P„+29,369
ЭИ474 0,00 50 Ig tfp' = —7,290 Ig Pn + 26,500
ЭИ474 —1,24 90 Igtfp' = —6,524 lgP„ +23,661
Бр.КМцЗ-1 1,24 10 lgtfp' = —6,5291g P„ +23,790
Бр.КМцЗ-1 0,00 50 lg^P- = —6,110 lgP„ + 21,950
Бр.КМцЗ-1 1,24 90 lgtfp' = —5,691 lgP„ + 20,090
В95-Т1 1,24 10 lgtfp' = —12,915 lgP„+36,464
В95-Т1 0,00 50 lglvp' = —11,600 lgP„+32,000
В95-Т1 1,24 90 lgtfp'= —10,285 lgP„+28,926
Персии результатов испытаний в достаточной мере характери-
зуют механические характеристики материала мелкомодульных
зубчатых колес.
Вероятностные диаграммы, приведенные на рис. 57, 58, 59,
могут быть использованы для определения требуемой долговеч-
Рис. 59. Вероятностная
диаграмма усталости для
алюминиевого сплава
В95-Т1
ности в зависимости от величины действующего'усилия, а также
для определения коэффициентов запаса прочности по пределу
ограниченной выносливости и коэффициентов запаса прочности
по долговечности.
116
18. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ
ПО ШИРИНЕ ВЕНЦОВ ШЕВРОННОГО РЕДУКТОРА
На одном из тяжело нагруженных редукторов с шевронными
зубчатыми колесами было проведено тензометрирование зубьев
при работе под нагрузкой. Основной целью тензометрирования
было определение истинной картины распределения нагрузки по
ширине венцов.
Исследуемая передача состоит из колеса диаметром 3920 мм
и двух шестерен диаметром 595 мм, ширина двух полушевронов
равна 1120 мм, угол наклона зубьев 42° 34', нормальный модуль
6 мм, скорость на начальной окружности (при максимальном кру-
тящем моменте) 22 м/с, средняя удельная статическая нагрузка
на зубья 300 кгс/см.
Тензометры были наклеены на зубья обоих полушевронов
шестерен и колеса редуктора в районе галтельного перехода
у ножки зубьев со стороны рабочего профиля и имели базу 1 мм
при сопротивлении примерно 70 Ом. Вдоль зуба на каждом полу-
шевроне было наклеено по шесть тензометров. Схемы испытуемой
зубчатой передачи и расположения тензометров показаны на
рис. 60.
При проведении замеров использовалась следующая аппара-
тура: три токосъемника (один — щеточный — для передачи сиг-
налов с тензометров на колесе, два — ртутных — для шестерен),
переключающий пульт, усилители Т-11М и осциллограф МПО-2.
В целях проверки идентичности условий работы всёх тензо-
метров была проведена их статическая тарировка путем прило-
жения одинаковых по величине усилий на зубья в месте наклейки
каждого тензометра.
Для приведения сигналов с тензодатчиков к единому масштабу
на каждый из каналов аппаратуры до или после записи подава-
лись заранее известные сигналы с аналогичных рабочих тензодат-
чиков, наклеенных на специальной тарировочной балочке. В ре-
зультате тензометрирования зубьев на разных режимах работы
редуктора был получен ряд осциллограмм, некоторые из которых
приведены на рис. 61.
По результатам обработки осциллограмм были построены эпюры
распределения напряжений изгиба в зубьях по ширине венцов.
Поскольку высота зубьев значительно меньше размеров деталей,
влиянием краевого эффекта можно пренебречь. В этом случае
эпюра распределения напряжений изгиба и эпюры удельной
нагрузки (построенные в относительных единицах) практически
совпадают.
На рис. 62, а, б и в приведены примеры экспериментально
полученных эпюр распределения нагрузки по ширине венцов
шестерен исследуемого редуктора. Эпюры рис. 62, а и б относятся
к шестерне № 1, эпюры рис. 62, в — к шестерне № 2.
117
л/ °- л/0 тензометров
Токосъемник
Зона контакта~12нм
Сторона наклейки
тензометров
Сторона наклей-
ки тензометров
Рис. 60. Схемы
зубчатой пере-
дачи и располо-
жения тензомет-
ров на зубьях
Токосъемник
Тензометр Сторона наклейки фланец к вали
тензометров
Шаг 100 мм по оси детали
Рис. 61. Осциллограммы напряжений:' а — в зубьях колеса; б — в зубьях ше-
стерни
Р,кгс/сгл
Рис. 62. Эпюры
распределения
нагрузки па
ширине полу-
шевронов: а —
шестерня № 1
сразу после мон-
тажа; б — ше-
стерня № 1 пос-
ле переукладки;
в — шестерня
№ 2
В начале испытаний (сразу после монтажа) эпюры распреде-
ления нагрузки по ширине венцов шестерни № 1 имели вид, по-
казанный на рис. 62, а, причем на полушевроне № 2 нагрузка не
распространялась на всю длину зубьев. Видимое (по омедненному
слою, нанесенному на зубья) пятно контакта на этом полушевроне
не доходило до края зубьев в районе проточки между полушевро-
нами примерно на 180—200 мм (после обкатки передачи при кру-
тящем моменте М = 0,67Afmax).
Пятно контакта, проверенное ранее на специальном обкаточ-
ном стенде без нагрузки при строго параллельном расположении
осей колеса и шестерен, распространялось на всю длину зубьев.
На этом основании было сделано заключение, что причиной угло-
вого контакта являлся монтажный перекос (перекрещивание)
осей шестерни № 1 и колеса.
В целях исправления контакта шестерня № 1 была переуло-
жена (положение ее оси было изменено за счет шабровки вкладыша
подшипника со стороны концентрации нагрузки приблизительно
на 0,12 мм). В результате видимое пятно контакта распространя-
лось на всю длину зубьев, а распределение нагрузки приняло
более равномерный характер (рис. 62, б).
Видимое пятно контакта на шестерне № 2 после монтажа и
обкатки при крутящем моменте М = 0,67Мтах распространилось
на всю длину зубьев/ Поэтому шестерня № 2 не переукладыва-
лась. Однако характер распределения нагрузки на полушевроне
№ 1 шестерни № 2 близок к линейному (см. рис. 62, в).
Из эпюр (рис. 62) видно, что на режимах малых крутящих мо-
ментов часть рабочей ширины венцов вообще не передает нагрузку,
а на нагруженных участках зубьев эпюры распределения нагрузки
имеют вид треугольников с наклоном в одну сторону на обоих
полушевронах каждой шестерни. Такой характер распределения”
нагрузки явно свидетельствует о наличии монтажных перекосов,
которые невозможно выявить, проверяя контакт после работы пе-
редачи при крутящих моментах, близких к максимальному.
Эти перекосы могут привести к существенному увеличению мак-
симальной нагрузки на зубьях и соответствующему снижению
фактических запасов прочности по сравнению с расчетными..
Другим источником снижения фактического запаса прочности
являются осевые силы, возникающие из-за трения в зубьях соеди-
нительных муфт привода шестерен, которые приводят к неравно-
мерному распределению нагрузки между полушевронами.
Поскольку аппаратура и тензометры работали надежно, было
решено проводить систематические замеры напряжений в зубьях
в течение первых четырех месяцев эксплуатации редуктора (т. е.
примерно в течение 3000 ч работы на режимах максимальных кру-
тящих моментов). Никаких изменений в течение этого срока эпюры
распределения нагрузки не претерпели.
Неизменность эпюр в течение длительного срока работы пере-
дачи под нагрузкой говорит о практическом отсутствии износа
120
зубьев в данных условиях работы. Поэтому при окружных ско-
ростях 20 м/с (и выше) нельзя рассчитывать на приработочный
износ как на фактор, уменьшающий неравномерность распределе-
ния нагрузки и увеличивающий фактический запас прочности.
Таким образом, существующая практика проверки и приемки
контакта после обкатки передач при крутящих моментах, близких
к максимальному, оставляет возможность существенной пере-
грузки зубьев и снижения их фактического запаса прочности, что
нельзя считать допустимым.
Проверка и приемка контакта после работы на частичных ре-
жимах (при сохранении существующих норм пятна контакта)
могут существенно снизить перегрузку зубьев.
Однако при назначении режима обкатки -следует учитывать,
что шестерни должны находиться в рабочем положении, т. е. окруж-
ная сила должна быть существенно больше веса детали.
Для теоретического анализа полученных экспериментальных
результатов были использованы расчетные зависимости, приве-
денные в работе [45], которые в применении к шевронным пере-
дачам можно представить в виде
7* /?
/<нр (х) = нс (х) ± Д^д (X) ± HR (х). (207)
Здесь Кнр (х) — коэффициент неравномерности распределения на-
грузки, т. е. отношение фактической нагрузки в точке зуба, рас-
положенной на расстоянии х от внешнего края полушеврона,
к средней удельной нагрузке в зацеплении; Нс (х) — расчетная
неравномерность, определяемая в предположении точного равен-
ства опорных реакций обоих подшипников; 0 — угол наклона
зубьев по делительному цилиндру; Яд(х) и HR(x) — коэффи-
циенты влияния Дд и R на Кнр (х); Д</ — относительная полу-
разность опорных реакций подшипников,
Л/7 — — Q1 ~ Qn Г
2 Afci Гь1 ’
где Qj, Qn — опорные реакции;, — крутящий момент, пере-
даваемый шестерней; R — осевая сила, действующая на шестерню;
гЬ1 — радиус основной окружности шестерни.
Формула (207) выведена на основании решения дифференциаль-
ного уравнения деформации шестерни и учитывает следующие фак-
торы: деформации шестерни от. кручения, изгиба и сдвига, дефор-
мацию зубьев, фактические соотношения размеров шестерни и
возможные отклонения положения осей шестерни и колеса от
параллельности.
С помощью зависимости (207) можно теоретически анализи-
ровать влияние различных конструктивных и технологических
факторов на неравномерность распределения нагрузки по ширине
зубчатых венцов. Анализ экспериментально полученных эпюр
121
распределения нагрузки на основе этой формулы дает возможность
как проверить эту формулу, так и оценить различные факторы,
влияющие на фактический уровень нагрузки на зубья.
На рис. 63 показаны построенные по формуле (207) графики
зависимости величины Кнртах от относительной ширины зубчатых
венцов шевронных шестерен при различных предположениях
Рис. 63. Зависимость йнр max от относительной ширины шестерни
и других факторов (шкала 2Ыd± построена для значений
с= 12-104 кгс/см2; d/dt = 0,4)
о перекрещивании осей и контакте зубьев. Относительная ши-
рина 2ХЬ, отложенная по оси абсцисс, прямо пропорциональна
отношению рабочей ширины шестерни к ее диаметру и может быть
определена по следующей формуле, вывод которой приведен в ра-
боте [451:
2U = 0,7307 . (208)
где d1 — диаметр делительной окружности шестерни; d — диаметр
расточки; с — удельная жесткость зубьев (кгс/см2),
122
Нанесенная на график кривая Кнр о соответствует строго па-
раллельному положению осей шестерни и колеса. Коэффициент Кнр о
обычно закладывается в прочностной расчет зубьев, он учитывает
деформацию тела шестерни от кручения, изгиба и сдвига. Для
испытывавшегося редуктора коэффициент 2Х& = 1,37 и расчетный
коэффициент неравномерности Кнр 0 = 1,51.
Кривая Кнр. с соответствует условию строгой одинаковости
опорных реакций обоих подшипников шестерни (Д</ = 0). Ве-
личина Кнр. с представляет собой тот минимальный коэффициент
неравномерности, которого можно добиться, не вводя осевой кор-
ректировки зубьев, только за счет незначительного перекрещива-
ния осей, частично компенсирующего деформацию скручивания
шестерни. Величина Кнр с для испытывавшегося редуктора равна
1,39.
Добиться уменьшения величины КНртах ниже Кнр. с можно
только за счет введения осевой корректировки зубьев обоих полу-
шевронов. На рис. 63 нанесена предельная кривая КНр-к» которая
может быть реализована за счет введения корректирующих по-
правок в углы наклона зубьев на обоих полушевронах [44, 45].
Введение осевой корректировки с целью уменьшения макси-
мальной нагрузки на зубья и увеличения фактического запаса
прочности передачи требует коренного изменения правил монтажа,
проверки и приемки контакта.
На рис. 63 нанесены также предельные кривые Кнртах в за-
висимости от отношения крутящих моментов т для случая, когда
после обкатки имеется контакт по всей длине зубьев, но нагрузка
на одном из полушевронов распределена по треугольному закону.
Величина т есть отношение Л4/М21, где М — крутящий момент,
при котором производится обкатка передачи до проверки и при-
емки контакта, 0 — отношение длины пятна контакта к длине
зуба. На том же рисунке нанесена предельная кривая, соответ-
ствующая существующей норме (90%) контакта по длине зубьев
(0 = 0,9) при осуществлении приемки контакта после обкатки
передачи на режиме максимального рабочего крутящего момента
(т = 1).
Для испытывавшегося редуктора:
КнРШах(т=1; 0 = 0,9) ^2,4; Кнртах(т= 1; 0= 1,0) = 2,18
И ^нр.о= ]»51.
Таким образом, фактический запас прочности при приемке
контакта после обкатки на режиме полного крутящего момента,
(т = 1,0) уменьшается так:
= .2-18t 2'45 = 1,45 = 1,65,
Лнр.о
т. е. в среднем в 1,5 раза.
При ограничении предельного крутящего момента обкатки
величиной т = 0,2 этот проигрыш существенно уменьшается.
123
Из рис. 63 видно также, что отношение Кнрп1ах (Р. т)/^нр.о
тем больше, чем меньше отношение ширины венцов к диаметру.
Для передач с-^г- < 1,0 отношение ^нртах =1, т ~ 2,0, а
“ Лнр.о
отношение ^нр тах ~ °’9, т~ ) 2,2.
Анр.о
Таким образом, рассматриваемые передачи только за счет
неправильностей монтажа при существующих правилах приемки
контакта могут оказаться перегруженными в 2,2 раза.
При построении кривых (рис. 63) не учтена осевая сила, пере-
гружающая один из полушевронов, однако ее действие может
только усугубить, а не исправить сложившееся положение.
На основании сравнения площадей экспериментально полу-
ченных эпюр удельной нагрузки на двух полушевронах одной ше-
стерни были определены действующие на шестерни осевые усилия,
возникающие вследствие трения в зубьях соединительных муфт,
передающих крутящий момент на шестерни, а также вычислен
коэффициент трения- в зубьях муфт. Оказалось, что коэффициент
трения в зубьях муфт равен f = 0,06-и0,08, а отнощение площадей
эпюр (суммарных усилий, передаваемых полушевронами) дости-
гает величины 1,2. Это соответствует перегрузке одного полу-
шеврона и недогрузке другого полушеврона по сравненйю с номина-
лом на 10%. Перегрузка по максимальной удельной нагрузке от
действия осевой силы, подсчитанная с учетом неравномерности
(х) по формуле (207), выше этой величины и равна при-
мерно 1,15.
Следует отметить, что зубья соединительных муфт испытывав-
шегося редуктора были покрыты (методом пропитки после предва-
рительной фосфотации) дисульфидом молибдена, что, несомненно
способствовало уменьшению коэффициентов трения в зубьях.
По литературным данным [18, 89], коэффициент трения в зубьях,
не покрытых дисульфидом молибдена, равен 0,2 и выше. При этом
соответственно должны быть больше и величины осевых усилий,
перегружающих один полушеврон. Только действием осевой силы,
соответствующей коэффициенту трения 0,2—0,3, можно объяснить
имевшие место на отдельных передачах факты выкрашивания
зубьев одного полушеврона по всей длине, тогда как зубья вто-
рого полу шеврона не были подвержены выкрашиванию. Таким
образом, внедрение покрытия зубьев муфт позволило существенно
уменьшить перегрузку одного полушеврона по сравнению с другим
и увеличить несущую способность передачи.
Сравнение данных зависимости. (207) с экспериментально полу-
ченными эпюрами распределения нагрузки позволило оценить
точность теоретического расчета и эксперимента, а также опреде-
лить величины фактически имевших место непараллельностей
осей шестерни и колеса. По зависимости (207) на рис. 64 построены
кривые распределения нагрузки для исследуемой передачи. Из
рис. 64 видно, что функция Н6 (х) имеет слабо выраженный криво-
124
линейный характер, а функции ЯЛ (х) и HR (х) могут быть с прием-
лемой точностью изображены прямыми линиями; функция (х)
проходит через нуль в середине каждого полушеврона, а функция
HR (х) в середине каждого полушеврона практически равна
единице. Эти свойства
функций Нс (х), Яд (х),
HR (х) дали возможность
провести анализ экспери-
ментальных эпюр путем
простых арифметических
действий с их. координа-
тами на краях и в сере-
дине каждого полушев-
рона.
Этот анализ показал,
что величины Кнр. с (Нс тах)
и Нс т1п, полученные из
экспериментальных эпюр,
лежат в пределах Нстах =
= 1,34-1,6 (при теоретиче-
ском значении Нст!а=
= 1,39) и ЯС1П1п=0,55=0,9
(при теоретическом значе-
нии Нс т|П = 0,782). Такие
отклонения эксперимен-
тальных данных от расчета
следует считать практичес-
ки допустимыми, если
иметь в виду неизбежные
неточности нарезки зубьев,
погрешности эксперимента
и обработки данных, а
также допущения, введен-
ные в теоретический рас-
чет.
Анализ эпюр позволил
также определить величи-
ну Aq, характеризующую
разность опорных реакций
из-за монтажного перекоса
и скручивания шестерни, а также величины этих перекосов.
Величины Aq (при максимальном крутящем моменте) оказались
существенно (от двух до десяти) больше своего значения при па-
раллельных осях. Такое отклонение объясняется монтажными
перекосами. При этом, как и следует из формул работы [45],
величина составляющей Ад, возникающей от монтажного пере-
коса, обратно пропорциональна передаваемому крутящему
моменту.
Рср^сМ
Рис. 64. Составляющие эпюры распреде-
ления нагрузки
125
Величина монтажных перекосов осей шестерен и колеса со-
ставляла (на длине, равной расстоянию между подшипниками
шестерен): для шестерни № 1 до ее переукладки 0,15 мм; для
шестерни № 1 после ее переукладки 0,03—0,04 мм; 0,04—0,06 мм —
для шестерни № 2.
Как показал практический опыт переукладки шестерни № 1
(которая была переуложена после трех последовательных шабро-
вок вкладыша и проверок контакта), указанные величины монтаж-
ных перекосов могут быть выправлены за счет дополнительной
подшабровки вкладышей шестерен.
Однако выправление контакта зубьев за счет подшабровки вкла-
дышей можно осуществлять только в том случае, когда на обкаточ-
ном стенде с обеспеченной параллельностью осей шестерни и колеса
имел место контакт по всей длине зубьев. Если такой контакт
обеспечен не был, возможно столкнуться с необходимостью шаб-
ровки боковых поверхностей зубьев, что, несомненно, значительно
сложнее, чем шабровка вкладышей подшипников.
19. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
ПРИ РАСЧЕТЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС С ПОДАТЛИВЫМ ОБОДОМ
В современном машиностроении широко применяются зубча-
тые колеса с податливым ободом в качестве плавающих централь-
ных колес и сателлитов планетарных передач, а также гибких
колес волновых передач. Ввиду того, что при нагружении такого
зубчатого колеса происходят изгиб и растяжение тонкого обода,
в проведенном исследовании определялись раздельно коэффи-
циенты концентрации напряжений от действия обоих факторов.
Кроме того, изучалось влияние толщины тонкого обода на вели-
чину этих коэффициентов.
Решение для ненагруженного зуба, выступающего из растя-
нутой напряжением <тр полуплоскости (рис. 65), было найдено
126
путем видоизменения решения для случая изгиба зуба, получен-
ного в работе [152]. Считаем, что известна функция, осуществляю-
щая конформное отображение нижней полуплоскости w = и + iv
на полуплоскость с зубообразным выступом плоскости г = х + iy
[152], .
к
* = <2М)
П=1
где ап и Ьп — действительные положительные коэффициенты.
При конформном отображении напряжения <ти, а0 и ти0 вы-
ражаются через две аналитические в нижней полуплоскости функ-
ции комплексного переменного w — ф (ау) и ф (ау) [109]:
аи + = 2 [Ф (ау) + Ф (ау)] — 47?еФ (ау); (210)
+ 2йио = I® (“О ф' И +(да) Ml- (210
со (W)
Здесь Re ф (ау) — действительная часть функции комплексного
переменного ф (ау); ф (ау), ф (w), со (ау) — функции, сопряженные
с ф (ау), ф (ay), со (w). Для точек действительной оси (ау = с)
ф (с) = ф (с), ф (а) = ф (с), со (с) = со (с) и т. д.
При отсутствии внешней нагрузки на контуре граничное усло-
вие может быть представлено в виде
+ ituv = Ф (с) + Ф (с) + _1 [со (с) Ф' (с) + со' (с) ф (с)] = 0.
со (с)
.(212)
В бесконечно удаленной точке имеет место чистое растяжение,
т. е. ст0 = тИр = 0, = ор. Функция ф (ау) определена с точ-
ностью до мнимой константы [109], поэтому можно положить
/отф (оо) = 0, тогда Ф (оо) = Ф (со) — ар. На незагружен-
ной поверхности контура о0 = 0.. Поэтому, как следует из (210),
для вычисления напряжений на контуре можно ограничиться
только определением функции ф (ау).
Задача формулируется следующим образом. Требуется найти
функцию ф (ау), аналитическую в нижней полуплоскости и при-
нимающую в бесконечно удаленной точке заданное действительное
значение. Решение задачи 1 имеет вид:
Ф (ш) =----------
4 1 СО (ttl)
k
1 I апФп
4 QP
Zj (w — ibn)* ’
п=1 J
(213)
где фЛ = ф (—ibn) — действительные числа.
1 Решение получено совместно с В. Я. Рубенчиком.
127
Для определения этих чисел достаточно выполнить последова-
тельно подстановки w = —ibm (т = 1, 2, . . k) и получить
систему уравнений вида
--£1_ф, -I_21_____ф„ _!_ ...
(Ьт + bj* + (Ьт +_+
k
+ ‘+^+1®^ ф"+"-
L т н=1 J
- + (®т^ф*=т“р- <214>
Согласно формуле (210), напряжение на контуре выступа равно
ои = 47?еф (с), (215)
так как на незагруженной поверхности ов = 0.
Определим искомый коэффициент концентрации при растяже-
нии основания выступа, положив" предварительно = 1 для
упрощения расчетов,
аОр = -^- = ЯгФ(с). (216)
Выражение для Re ф (с) получим, разделив действительную и
мнимую части в формуле (213) при w = с:
(217)
Согласно [152], для приближения формы выступа к действи-
тельной форме зуба в районе переходной кривой достаточно в ото-
бражающей функции (209) ограничиться тремя дробными членами
(k = 3).
Для нахождения искомых значений аОр была использована
ЭЦВМ. Вычисления по формуле (217) производились для 34 ва-
риантов профилей зубьев, отличающихся числом зубьев z и коэф-
фициентом смещения исходного контура х, для которых даны ве-
личины коэффициентов отображающей функции в работе [152].
128
Как показали расчеты, максимум значений коэффициентов
имеет место при величинах с = 0,95-т-1. По результатам расчетов
построены графики (рис. 66). Приближенно зависимость ссСр от г
и х (в рассмотренном диапазоне чисел зубьев и значений коэффи-
циента смещения исходного контура) можно выразить формулой
аср=1,44
4,2 . 34,4 , 7,4х
— г + 2а 254-z •
(218)
Приведенное решение получено для одного зуба, выступающего
из полуплоскости. В действительности же имеет
толщина обода зубчатых колес.
В связи с этим необходимо определить
границы применимости полученного
решения при уменьшении толщины
обода h и оценить влияние соседних
зубьев на напряжения в рассматри-
ваемом зубе.
Ввиду сложности математичес-
кого решения поставленной задачи
она решалась экспериментально,
поляризационно-оптическим мето-
дом. Из оптически активного мате-
риала ЭД-6МТГФА была изготовлена
двузубая рейка с толщиной обода
по впадине между зубьями /г=90 мм
(Я = 9/и„, где тп — нормальный
а
3,6
5.68-
5,7
5,68
3,6
место конечная
Рис. 67. Фотографии рейки в
целых (а) и половинных (б)
порядках изохром ( п/т = 1;
атах = 5(68/3(6 = 1 58)
модуль зуба) и длиной I = 300 мм,
с зубьями стандартного исходного
контура по ГОСТ 13755—68 (рис. 67).
Рейка растягивалась на универсаль-
ном прессе УП-7, служащем загру-
зочным приспособлением при иссле-
дованиях напряженного состояния методом фотоупругости.
Основные количественные измерения напряжений производи-
лись на координатно-синхронном поляриметре КСП-7 компенса-
ционным методом Сенармона. Фотографирование картин полос
9 Под ред. Н. И. Колчина
129
производилось на большой поляризационной установке
БПУ-ИМАШ-К.Б2. Из фотографий рейки (рис. 67) следует, что
величины напряжений во впадине между зубьями лишь на 3%
выше напряжений на переходной кривой одиночного зуба. Ана-
логичные результаты, полученные при других значениях толщины
обода, позволяют сделать вывод, что влияние соседних зубьев на
величину коэффициента концентрации не превышает 3—5%.
На основании полученных результатов учет влияния толщины
обода на величину коэффициента концентрации рекомендуется
производить по формуле
4р = а,р(1+-^), (219)
где аст — определяется по (217) или приближенно по (218).
Для определения величины коэффициента концентрации на-
пряжений при изгибе и влияния1 на концентрацию напряжений
толщины обода зубчатого колеса рейка из материала ЭД-6МТГФА
с толщиной обода по впадине между зубьями h = 90 мм нагружа-
лась чистым изгибающим моментом на прессе УП-7. Зубья рейки —
стандартного исходного контура по ГОСТ 13755—68 (нормальный
модуль 10 мм). Нагружение производилось с гладкой стороны
при последовательном уменьшении толщины обода до h = тп.
Величина коэффициента концентрации вычислялась по формуле
=4=v- (220)
Здесь ом — определенное экспериментально максимальное мест-
ное напряжение во впадине между зубьями; он — номинальное
напряжение,
(221)
°н Ц/ >
М — изгибающий момент, a W — момент сопротивления нормаль-
ного сечения рейки по впадине между зубьями.
На основании расчетов по формуле (220) построен график
(рис. 68), который можно аппроксимировать выражением
<4=1.65-------М+—7TV- (222)
10( — ) 100 ( — )
Для проверки границ применимости формулы (222) изучались
плоские модели сателлитов из материала ЭД-6МТГФА [г = 15,
тп = 10 мм, х = 0, профиль зуба — по ГОСТ 13755—68, h —
= (1,17-4-2,93) т„] на загрузочном приспособлении, воспроизво-
дящем условия статического нагружения сателлита в планетарной
передаче типа 2К—Н [691. Величина аОи находилась путем сравне-
ния напряжений в наружных волокнах обода гладкого кольца
с напряжениями во впадинах зубчатого кольца, у которого высота
130
нормального сечения по впадинам зубьев равна толщине обода
гладкого кольца. При этом диаметры центрального отверстия обоих
колец были одинаковыми. Результаты эксперимента отличались
от значений а0(? определенных с помощью формулы (222), не
более чем на 5%. Эксперименты, проведенные на рейках и зубча-
тых колесах с z = 15, позволяют сделать вывод о том, что формулу
(222) можно рекомендовать
для зубчатых колес без
смещения стандартного ис-
ходного контура во всем
диапазоне применяемых
чисел зубьев.
Зубчатые колеса со
смещением в работе не
исследовались. Но распо-
ложение максимальных
напряжений в ободе ко-
леса на дне впадины зуба позволяет предположить, что смеще-
ние исходного контура, мало влияющее на конфигурацию этой
части впадины, не должно внести существенных поправок в фор-
мулу (222).
20. СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ
СЛОЖНЫХ ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ
В данном параграфе рассматриваются сложные планетарные
передачи, составленные из нескольких простых планетарных ме-
ханизмов способом жесткого соединения их основных звеньев,
т. е. такого соединения, при котором соединяемые звенья не имеют
относительного движения.
С целью перенесения полученных результатов на планетарные
механизмы, содержащие вариаторы, условимся называть простые
планетарные механизмы, из которых составляется сложная пере-
дача, трехзвенными (по числу основных соосных звеньев). На этом
основании к трехзвенным механизмам будем относить планетарные
механизмы типа 2К—Н (по классификации проф. В. Н. Кудряв-
цева), фрикционные (например, система Светозарова) и гидроди-
намические трансформаторы.
Постановка задачи и метод исследования* Известно, что об-
щего метода синтеза механизмов не существует. Проектирование
кинематических схем ведут по отдельным группам механизмов
(шарнирных, кулачковых, зубчатых и т. д.). Поэтому задачей
синтеза является проектирование механизмов выбранной струк-
туры. Только изучив ее, можно переходить к составлению схем
новых механизмов и последующему выбору из их множества оп-
тимальной кинематической схемы. В противном случае, выбрав
ту или иную схему, можно упустить какую-либо схему, более
простую или более полно удовлетворяющую назначению меха-
низма.
9*
131
Далее излагается решение отмеченной задачи на основе струк-
турных схем. Такой подход к сложным планетарным передачам
позволяет значительно облегчить процесс исследования.
Структурная схема планетарного механизма. Сложность задачи
синтеза в значительной мере определяется тем огромным «комби-
наторным» богатством кинематических схем, которое приходится
анализировать и подвергать всестороннему исследованию. Так,
при изучении планетарного редуктора, составленного из трех
трехзвенных механизмов, приходилось просматривать 20-63 =
= 4320 кинематических схем. Рассмотрение такого большого
числа вариантов, конечно, является сложным и трудоемким делом.
Можно значительно сократить число исследуемых схем только
за счет видоизменения их структуры [81 ]. Для этого нужно в про-
цессе исследования свойств сложных планетарных передач рассма-
тривать не кинематические, а их структурные схемы.
С целью определения структурной схемы сделаем ряд преобра-
зований структурной формулы плоского механизма, называемой
формулой П. Л. Чебышева,
W = Зп — 2РН — Рв, (223)
где и — число подвижных звеньев; Рн и Рв — соответственно числа
низших и высших кинематических пар.
Примем в зависимости (223) значение Рн = и, что имеет место
в зубчатых механизмах, где каждое звено соединяется со стойкой
или другим звеном низшей парой. Тогда получим зависимость вида
W = и — Рв, (224)
которая в несколько ином виде (с учетом избыточных связей)
была впервые дана проф. Л. Н. Решетовым [129].
В сложных планетарных передачах п = п0 + q, где п0 —
число основных (соосных) звеньев; q — число сателлитов, от ко-
торого зависит определенность движения, q = Км (Км — число
трехзвенных механизмов, из которых составлена сложная плане-
тарная передача). Число высших пар равняется числу зацеплений,
активно влияющих на число степеней свободы, т. е. Рв = 2Км-
Подставляя принятые значения п и Рв в (224), окончательно на-
ходим [821
W = nQ-Км- (225)
Из формулы (225) следует, что при анализе строения сложной
планетарной передачи исследуемого типа достаточно знать число
основных звеньев и трехзвенных механизмов.
Поэтому кинематическая схема может быть заменена структур-
ной схемой. Такая замена применительно к схемам (рис. 69, а.
70, а и 71, а) показана соответственно на рис. 69, б, 70, б и 71, б,
где трехзвенный механизм изображен прямоугольником, а любое
основное звено — отрезком прямой линии. Графическое изображе-
ние планетарного механизма с применением условных обозначе-
132
Рис. 69. Планетарная коробка пере- Рис. 70. Планетарная коробка пере-
дач с двумя степенями свободы дач с тремя степенями свободы
Рис. 71. Гидромеханическая передача
133
ний основных звеньев и трехзвенных механизмов (без указания
того, какие из этих звеньев будут центральными колесами и какие
водилами) назовем структурной схемой. Если в структурной схеме
обозначения трех звеньев какого-либо механизма, например П1
(рис. 70, б), переименовать путем замены на обозначения цен-
тральных колес и водила, то получим 3! = 6 различных схем
(табл. 19).
Таблица 19
Возможные схемы механизма Пг
Номер схемы Звено
А / d
1 Малое центральное Большое централь- ное Водило
2 Большое централь- ное Малое центральное
3 Водило Большое централь- ное
4 Большое централь- ное . Малое центральное
5 Большое централь- ное Водило
6 Малое центральное Большое централь- ное
Найденное множество схем можно записать в виде последо-
вательности
Oi = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, (226)
где ах — число различных кинематических схем, содержащееся
в одном трехзвенном механизме.
Если к каждой из схем, полученных в последовательности (226),
присоединить другие схемы, имеющиеся там же, то получим 62 =
= 36 кинематических схем
11, 12, 13, 14, 15, 16
Ст2 = 21, 22, 23, 24, 25, 26
61, 62, 63, 64, 65, 66
Заменив обозначения звеньев в структурной схеме, видим, что
общее число а кинематических схем, получаемое на основе одной
134
структурной схемы, определится как число размещений с повто-
рениями из числа л схем в одном трехзвенном механизме по
числу Км таких механизмов в структурной схеме, т. е.
(л,Км)=Л (227)
Например, структурная схема (рис. 69, б), где Км = 4 и л = 6,
содержит в себе число 6* = 1296 кинематических схем, одна из
которых показана на рис. 69, а. То же самое можно сказать о струк-
турной схеме, изображенной на рис. 70, б.
Это многообразие схем, однако, с точки зрения их строения
оказывается чисто внешним. При переходе к структурной схеме
можно обнаружить ряд общностей свойств кинематических схем.
Интересно отметить, что вместо изучения 4320 кинематических
схем планетарного редуктора, составленного из трех трехзвенных
механизмов, достаточно исследовать лишь двадцать структурных
схем
Следовательно, изучение структурной схемы делает излишним
посвящать отдельный труд исследованию каждой кинематической
схемы.
В общем случае число а кинематических схем, на которое
распадается структурная схема, определяется формулой
а = П (лкм)., (228)
где j — 1, 2, . . ., s— число трехзвенных механизмов различных
наименований.
Структурные схемы, планетарных передач и их классификация*
При проектировании новой коробки передач нужно стремиться
к созданию наиболее простой, конструкции. Конструктивная
сложность коробки в значительной степени определяется коли-
чеством зубчатых колес, тормозов и фрикционных муфт. Есте-
ственно, возникает необходимость найти схемы планетарных ко-
робок передач, состоящих из наименьшего числа различных эле-
ментов. Поэтому, чтобы найти наиболее простые устройства,
необходимо установить средства для определения числа различных
элементов, содержащихся в них.
При однодвигательном приводе для получения передачи с од-
ной степенью свободы в коробках исследуемого типа нужно устра-
нить W — 1 степеней свободы, где W = 2, 3. ... С этой целью ко-
робки передач снабжаются элементами управления, в качестве
которых применяются тормоза и муфты, т. е.
т = Т + Ф, (229)
где т — число элементов управления коробкой; Т — число тор-
мозов; Ф — число муфт.
135
Включение каждого элемента управления приводит к жесткому
соединению двух звеньев коробки между собой. Так, тормозом
обеспечивается жесткое соединение основного звена со стойкой,
а муфтой — двух основных звеньев, т. е. включение каждого
элемента управления уменьшает число по на единицу. Следова-
тельно, на основании формулы (225) уменьшается на единицу и
число степеней свободы коробки передач. Поэтому, если коробка
передач обладает W степенями свободы, то включение W—1
таких элементов управления превратит коробку передач в меха-
низм с одной степенью свободы. В общем случае число п передач
(без прямой), осуществляемое коробкой, определится как число
сочетаний из т элементов управления по числу элементов управ-
ления, включаемых одновременно для получения передачи, т. е.
С%~г. (230)
Знак неравенства соответствует случаю, когда используются не
все возможные комбинации включения W — 1 элементов управ-
ления. Из (230) видно, что при W — т имеем п = иг, значит,
число элементов управления равно в этом случае числу передач.
Поэтому, как правило, применять планетарные коробки передач
с числом W степеней свободы целесообразно при числе элементов
управления, большем числа степеней свободы. В этом случае
число т для заданного п уменьшается, что упрощает конструкцию
коробки. В общем случае коробка передач может содержать
т > W. (231)
Количество т элементов управления определится из условия
(230). Если заданием предусматривается прямая передача, а при
создании планетарных коробок это всегда целесообразно, то схема
должна содержать Ф муфт
ф = w — 1, (232)
причем максимальное число муфт, допустимое к установке в не-
которой коробке^ передач, определится из соотношения
Ф^С\-2Км-\. (233)
Поскольку каждая муфта соединяет два звена, то теоретически
в схеме коробки передач можно разместить муфт. Назовем
равноценными размещения муфты в коробке передач, являющиеся
вариантами блокировки двух любых звеньев из q, г и s, входящих
в любой планетарный механизм, как приводящие к равенству
со? = (or = cos. Подобные варианты, приводя к одной и той же
схеме на передаче, приводят к различным по величине блокирую-
щим моментам. Таким образом, в каждый трехзвенный механизм
136
может входить лишь одна муфта, а поэтому их общее число будет
С2п — 2КМ. Установку муфты между ведущим и ведомым звеном
в общем случае следует признать нецелесообразным хотя бы пов-
тому, что блокировочный момент в этом случае равен крутящему
моменту двигателя. Найдем условия, определяющие наименьшие
количества вспомогательных звеньев и трехзвенных механизмов.
Число различных основных звеньев в рассматриваемых уст-
ройствах
по = Т + I + 2, (234)
где Т и I — числа тормозов и вспомогательных звеньев; 2 — число
ведущих и ведомых звеньев.
Из (234) следует, что тормозами снабжаются лишь отдельные
основные звенья сложной планетарной передачи. Подставив п0
из формулы (225) в равенство (234), получим
Км = Т + I — W + 2. (235)
Известно [81 ], что в коробках исследуемого типа полное ис-
пользование элементов управления возможно только при условии
KM>W — 1. (236)
При этом предполагается выполнение неравенства в условии (230).
Так как величины т, Км и W могут быть только целыми, то
условия (231) и (236) будут удовлетворяться тогда, когда т >
> W + 1, а Км > Положим т = W + 1. Пусть среди них
находится W — 1 муфт. Тогда число тормозов в коробке исследуе-
мого типа будет Т = т — Ф = 117 + 1 — 117 + 1 = 2. Подстав-
ляя в (235) значения Км W и Т >2, найдем
I > 2W — 4. (237)
Итак, в коробку передач с полным использованием элементов
управления, кроме ведущего, ведомого и тормозных звеньев
должно входить не менее 2W — 4 вспомогательных звеньев.
Число Км трехзвенных механизмов, образующих коробку передач,
определится соотношением
Км > Т + W — 2, (238)
получаемым подстановкой в (235) значения I > 2117 — 4.
Существует мнение, что путем последовательного присоеди-
нения к имеющимся звеньям планетарной коробки передач новых
трехзвенных механизмов можно получать сколько угодно сложные
конструкции. Из анализа зависимости (238) следует, во-первых,
что множество схем, образуемое таким методом, не исчерпывает
все их возможные варианты, во-вторых, невозможность построения
таких схем коробки передач с полным использованием элементов
137
управления, которые при наименьшем числе вспомогательных
звеньев осуществляли бы любое число передач. В связи с этим
возникает необходимость создания способа образования сложных
планетарных передач, лишенного указанных недостатков.
На основании изложенного можно сформулировать основной
принцип образования сложных планетарных механизмов, обла-
дающих в общем случае любым числом степеней свободы: для
образования сложного планетарного механизма с практически
любым числом степеней свободы, воспроизводящего любое число
заданных передаточных чисел, следует, не допуская пересечений,
последовательно присоединять к двум звеньям простейшей цепи
трехзвенные механизмы и с целью превращения полученных цепей
в структурные схемы механизмов вводить в них обозначения ве-
дущего, ведомого и тормозных звеньев, дополняя его в случае
необходимости нужным числом муфт.
Если в структурной формуле (225) положить W = 2, то получим
структурную формулу для планетарных механизмов с двумя
степенями свободы
По-Км- 2 = 0. (239)
Так как числа звеньев и механизмов могут быть только целыми,
то значениям Кд> например Км — L 2, 3. . ., отвечают соответ-
ствующие значения п0 (ио = 3, 4, 5. . .). Все структурные цепи,
включающие не более четырех механизмов, приведены в табл. 20.
Из решения равенства (239) видно, что простейшая структур-
ная цепь состоит из одного механизма с тремя основными звеньями
(схема 1). Соединяя по два звена простейшей структурной цепи
следующим механизмом, получим новую структурную цепь
с двумя степенями свободы (схема 2, табл. 20).
Условимся характеризовать тип основных звеньев числом меха-
низмов, в которые оно входит. По этому признаку будем называть
звено простым, двойным, тройным и т. д., смотря по тому, вхо-
дит ли оно в один, два, три и т. д. механизма. Например, в схеме 2
звенья 64 и 64 — простые, а звенья 62 и б3 — двойные. Имея в виду
сказанное, при образовании схемы 2 достаточно было выполнить
одно присоединение механизма с тремя основными звеньями к двум
звеньям простейшей структурной цепи, например к звеньям б2
и 63. Присоединение к двум любым другим звеньям схемы 1 делать
не нужно, так как оно приводит к появлению повторяющихся
цепей.
В случае присоединения к цепи по схеме 2 нового механизма
(сочетание Км = 3 и п0 = 5) можно выполнить уже три различных
соединения. Вначале можно осуществить присоединение к звеньям
64 ив1( а затем к звеньям 64 и б3. Оба этих случая показаны на
схемах 3 и 4 (табл. 20). Далее можно выполнить присоединение
к звеньям 62 и 63 (схема 5). При этом учитывалось, что звенья б2
и 63, а также 64 и б4 однотипны: первые как двойные, а последние —
как простые. Поэтому в процессе подсоединения нового механизма
138
Таблица 20
Структурные цепи планетарных механизмов
с двумя степенями свободы
139
к двум звеньям схемы 2 рассматривалось лишь по одному пред-
ставителю от каждой пары. Поступая аналогичным образом, можно
получить структурные цепи любой сложности.
Рассмотрим вопрос получения структурных схем планетарных
передач из структурных цепей, приведенных в табл. 20. Струк-
турные цепи могут быть превращены в передачи, если в них после
введения обозначений ведущего А и ведомого В звеньев закрепить
на внешней опоре звено. С целью облегчения получения структур-
ных схем передач сформулируем несколько условий.
1. После введения в структурную цепь ведущего, ведомого и
-опорного звеньев в ней не должно оставаться простых звеньев.
Действительно, если в планетарной передаче имеется хотя бы
одно такое звено, то к нему не может подводиться момент. Но
тогда такое звено будет разгружено, а значит, и соответствующий
механизм с тремя основными звеньями будет разгружен и может
быть изъят из передачи без нарушения условий ее равновесия.
Следствием этого условия является то, что к превращению
в передачи пригодны лишь те цепи, в которых число простых
звеньев не превышает трех. На этом основании к образованию
передач непригодна структурная цепь, изображенная на схеме 16
(табл. 20).
2. Один механизм или группа взаимосвязанных рассматривае-
мых механизмов с двумя степенями свободы, выделенная в неко-
торой структурной цепи, должны содержать не более двух звеньев
из числа ведущего, ведомого и опорного. При этом предполагается,
что число этих механизмов с тремя основными звеньями в группе
меньше их числа в структурной цепи передачи.
Действительно, если группа содержит ведущее, ведомое и
опорное звенья и обладает двумя степенями свободы, то только
механизмов с тремя основными звеньями, входящих в группу, до-
статочно для образования передачи. Остальные могут быть изъяты
из нее без нарушения условия равновесия, а это недопустимо.
Структурные схемы планетарных передач, составленные из
Км = 3, приведены в табл. 21.
Включение той или иной передачи в планетарной коробке
с любым числом степеней свободы приводит к реализации переда-
точных чисел по структурным схемам, приведенным в табл. 21,
или по другим, более сложным, которые можно получить, исполь-
зуя изложенную выше методику. Кроме того, эти структурные
схемы используются в многочисленных конструкциях (механизмы
поворота гусеничных машин, главные и вспомогательные судовые
приводы, различные распределители крутящих моментов и т. д.).
Поэтому для облегчения использования и выбора оптимальных
схем таких передач предлагается их классификация. При состав-
лении табл. 21 систематика планетарных передач проводилась
на основе следующих соображений. Опираясь на предложенный
способ образования планетарных передач, класс передач опреде-
ляли по числу Км механизмов с тремя основными звеньями по
140
Таблица 21
Структурные схемы планетарных передач
№ схемы Схема Класс передачи Вид передачи № схемы Схема Класс передачи Вид передачи
1 I Бес- кон- тур- ная 8 л-ц иН III Двух- КОН- тур- ная
2 11 Одно- кон- тур- ная 9 W Одно- кон- тур- лая
3 * ——| |-XJ 1— 0 Бес- кон- тур- ная 10 -2s. (В) Цй;
4 л_гъ_1—1_£ йП-J w III Двух- кон- тур- ная 11 Aw
12
5 1 A_ (В. Hn *T”U h T в П-ГйГ
13 зТ df-tzH л п Т п LJ> L_l
6 J /Bp- й -1 w
14
7
П1 3 15 '-6^6-' Бес- кон- тур- ная
141
формуле (239). Тогда планетарная передача (Км — 0 будет пере-
дачей I класса, передача, имеющая Км = 3, относится к передаче
III класса и т. д. Как и в работе [81 ], устанавливался вид передачи
по числу замкнутых контуров, но уже внутри каждого класса
число замкнутых контуров определялось числом трехзвенных
механизмов, работающих как дифференциалы. В связи с этим
различаются передачи: бесконтурные, одноконтурные, двухкон-
турные и т. д.
По взаимному расположению механизмов, входящих в струк-
турные схемы планетарных передач, будем различать следующие
наименования схем, содержащих несколько замкнутых контуров
(табл. 21). Так, двухконтурную схему 4 будем называть последо-
вательной с замыканием на ведущее или ведомое звено; схемы 5,
6, 7, 8 и 9 соответственно последовательной с замыканием на ве-
дущее и ведомое звенья, последовательно-параллельной, парал-
лельной с двойным ведущим и ведомым звеньями, параллельной
с двумя тройными звеньями, параллельной с замыканием на ве-
дущее или ведомое звено.
Схемы, составленные из различных комбинаций бесконтур-
ных схем и содержащие замкнутые контуры, будем называть
смешанными. Смешанные структурные схемы разделяются на
виды по большему числу контуров, работающих на одной из
передач.
Предложенная классификация позволяет провести системати-
ческое изучение всех планетарных передач независимо от того,
были ли они осуществлены когда-либо, и. дает следующие сведе-
ния о передаче: число основных звеньев передачи п0 = Км + 2;
число механизмов, находящихся под нагрузкой; число замкнутых
контуров, равное числу дифференциальных механизмов.
Кроме того, изложенная классификация позволяет записы-
вать строение коробки передач практически с любым числом сте-
пеней свободы. Например, структурная схема коробки передач
с двумя степенями свободы (рис. 69, б) составлена из одной бескон-
турной (I класс), двух одноконтурных (II класс) и одной двухкон-
турной последовательно-параллельной (III класс).
Если в формуле (225) положить W = 3, то получим структур-
ную формулу планетарных механизмов с тремя степенями сво-
боды
«О - Км - 3 = 0. (240)
Уравнению (240) могут удовлетворять следующие числа п0
и Км'-
Км = Ъ, 3,4,...]
по = 5, 6, 7,...)
Все структурные цепи планетарных механизмов с тремя сте-
пенями свободы, содержащие не более четырех механизмов, при-
ведены в табл. 22. Из приведенных структурных цепей можно
142
Таблица 22
Структурные цепи планетарных механизмов
с тремя степенями свободы
№ схемы Значения *МИ % Схема цепи
1 5s й5 II II сл ьо 14 14
2 1 о S, II II О 00
3 lA 4.Г1 Т fl , “Т-Пр-ж
4 V-H-l,?
5 S3 © S 11
6 ш.
7 w.
8 <f2 (if7 LrHJ if* aT fl T П-г
№ схемы Значения ХМИЯ0 Схема цепи
9 Км = 4 я0 = 7 л ±<?7 ПА П-1Л 1_Г| L_Jp V-nr5
10
11 ^LhJ-fu
12 ^7 J । -у^б СггаО |Л ЛУр_А_
13 ±^7 жа,
14
15 И? Ж
16 у7 Efei Ч_г~|д п п ^-LT^-U—
143
Продолжение табл. 22
№ схемы Значения км и "о Схема цепи № схемы Значения KM И "о Схема цепи
17 «1 4" 'ft 19 3 о S. II II <?3
18 ft J j,ft уЙД~у «dJ СП, 20 ift ft
Таблица 23
Структурные схемы коробок передач с тремя степенями свободы,
содержащих два трехзвенных механизма
№ схемы Тип схемы Схема № схемы Тип схемы Схема
1 КП3244 1'~ L Т А (В) Ph. Ж" w 2 М В ) 6 КП3244 (А) 8
2 Л L = А — Т? 7 a J—ЕрЕ—Ы— в
3 Л L = А — L±]— = Л -0- ~2 — Р -В
8 Р
4
м 4= W я 9 ‘ Н' 2Ь' гп гп 4 1^1
5 Д' iz " (в) Р п И— UI (/. и в 10 1 1 .. 1-1 jz г- l^Uh тЧ -1J съ
144
Продолжение табл. 23
3-Т Т/ У2
10
Под ред. Н. И. Колчина
145
получить структурные схемы, если в них ввести обозначения
ведущего, ведомого, тормозного звеньев и муфт, что и сделано
в табл. 23 для структурных схем, состоящих из двух механизмов
и четырех элементов управления, а в табл. 24 для схем, включаю-
щих три механизма. В этих таблицах схемам присвоены обозначе-
ния типа КП3244-1. В принятых обозначениях буквами КП обо-
значают коробку передач. Первая цифра указывает на число сте-
пеней свободы, вторая — на число трехзвенных механизмов,
Рис. 72. Планетарные коробки передач с тремя степенями свободы
третья — на число элементов управления, четвертая — на число
передач. Буква П в обозначениях схем табл. 24 говорит о том, что
элементы управления используются полностью.
Продемонстрируем построение кинематических схем плане-
тарных коробок передач с тремя степенями свободы, содержащих
четыре трехзвенных механизма.
Если обратиться к структурной цепи по схеме 15 (табл. 22),то
после присоединения к звеньям 62 и 64 соответственно ведущего
и ведомого звеньев и установки муфты L между звеньями d и В,
причем звеньям Si, 65, 6в и 67 придать обозначения тормозных
звеньев (оставшееся звено 63 будет тогда вспомогательным d),
получим структурную схему (рис. 70, б). Одна из 64 возможных
кинематических схем, соответствующих этой структурной схеме,
показана на рис. 70, а. Структурная схема (рис. 71, б) полу-
чается, если в структурной цепи по схеме 19(табл. 22) обозначе-
146
Таблица 24
Структурные схемы коробок передач с тремя степенями свободы,
содержащих три трехзвенных механизма
(типа КП334П)
10*
147
Продолжение табл. 24
№ схемы Схема № схемы Схема
15 Н : И/уГЕ /1 (ЦГ&1 '2 J] _в (А) 22 4—Et йшг rrfr Г^ЯГт^ 1 In I.J В
16 2 Я" 7^-нн- Hti У Г 1 Фг йШ / л Ъ _В А) 23 л—Е? Л< 2i-| ~~~ |iZ^| е-j ; лгЙ^ 'L _В V
17 1' А—£ йП Е.2 -tJI jr" ej_±w 24 л_4 Гг¥ 1л7р- ’2 _В
18 Л А_[ АП Л<£-Й Т е 1 ? к И в ИА) 25 1' г^гЕГ Т^Р— *- и "'2 В 7А).
19 й 26 1' ГРЙ ]*Т—J rrth 2 В V
20 1' А—1 ~&г z.jFi/v J——J :2 Ь-5 27 ЙО4? ”2 _В А) .
21 7-Т А FPt '2 28 Н-—о—I рр ^11 :Г" »——। I I 4 “2 "I В \Та)
148
ния А и В присвоить соответственно звеньям 6в и 64, а символы 63
и 6б переименовать на обозначения тормозных звеньев 1 и 2.
Одна из возможных кинематических схем, соответствующих
этой структурной схеме, приведена на рис. 71, а. Схема трансмис-
сии «Пауэр Шифт» применяется в погрузчиках, тракторах и т. д.
(рис. 72, а). Соответствующая ей структурная схема показана
на рис. 72, б. Последняя получается, если в структурной цепи
на схеме 9 (табл. 22) обозначения А и В присвоить соответственно
звеньям S4 и S2, а символы 6б, S7,Sх и 6в переименовать на символы
тормозных звеньев /, 2, 3, 4. Звено 63 будет вспомогательным.
На рис. 72, в изображена кинематическая схема коробки пере-
дач гидромеханической трансмиссии Пауэрматик фирмы «Аллисон».
Трансмиссия предназначена для грузовых автомобилей средней
и большой грузоподъемности и обеспечивает получение шести
передач переднего и двух передач заднего хода. Структурная
схема коробки передач показана на рис. 72, г и получается, если
в структурной цепи по схеме 8 обозначения А и В присвоить соот-
ветственно звеньям 6б и 6Х, а символы S4, S7, 62 и Se переименовать
на символы тормозных звеньев /, 2, 3 и 4.
В заключение отметим, что с помощью разработанного прин-
ципа создана не только классификация структурных схем плане-
тарных передач, но и обеспечена возможность получения кинема-
тических схем коробок передач с практически любым числом сте-
пеней свободы как с полным, так и с неполным использованием
элементов управления, содержащих 1, 2, 3, . . ., Км трехзвенных
механизмов и 0, 1,2, ... вспомогательных звеньев.
21. РАЗРАБОТКА ТИПАЖНЫХ ПЛАНЕТАРНО-ЗУБЧАТЫХ
РЕДУКТОРОВ И МОТОР-РЕДУКТОРОВ
Всесоюзным научно-исследовательским и проектно-конструк-
торским институтом была разработана техническая документа-
ция на одно- и двухступенчатые планетарно-зубчатые горизон-
тальные редукторы типа Пз и Пз2 и мотор-редукторы типа МПз
и МПз2 общего назначения. В качестве основного параметра при-
нят радиус расположения осей сателлитов, что позволило в раз-
работанных нормальных рядах редукторов и мотор-редукторов
выполнить узлы и детали с высокой степенью унификации.
Весовые показатели редукторов, а также величины реализуе-
мых крутящих моментов при конкретном радиусе расположения
осей сателлитов находятся на уровне лучших зарубежных образ-
цов. Обозначения и технические характеристики редукторов
и мотор-редукторов приведены в табл. 25 и 26.
Мотор-редукторы комплектуются электродвигателями серии
4А. . .РЗ. Применение этих двигателей дало возможность зна-
чительно сократить габаритные размеры мотор-редукторов, улуч-
шить их весовые показатели, исключить дополнительную обра-
ботку фланца и выходного конца вала двигателя.
149
сл
о
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □
to tO to to to to 8 to 8 to to to 6о to g g to о 00 о 8 8 о со
о о сл о о сл сл Ъ1
200 160 125 100 8 О оо 8 о со 1 200 091 125 8 8 8 СЛ о о со
Ъ1 № Ъ1
3150 1600 800 400 200 100 8 to сл to X о 1 3150 1600 800 400 200 100 8 to сл ю
bi н U1
20; 25 20; 25 20; 25 20; 25 25; 31, to сл со 25; 31, 25; 31, я го я л сл сл сл сл
со со 00 со сл о сл о сл о сл 4^ о о Р Е о со о со о оо о со о ср о СО р ср а> со
О сл о" и- О — о о сл О'" и- О О сл О'" и- О tog сл 5? tog сл ® tog сл 5? to g сл ® 50; 63; 80; 100 го ; 8; 1 ; 8; 1 ; 8; 1 00 8; 10 8; 10 00 о 00 о 00 о
50; 63;, 80; 25 50; 63; 80; 25 50; 63; 80; 25 50; 63; 80; 25 63; 80; 100; 63; 80; 100; 63; 80; 100; 63; 80; 100; S я □ W to 0; 12,5 1 0; 12,5 0; 12,5 0; 12,5 ; 12,5 ; 12,5 ; 12,5 ; 12,5
1765 960 504 268 142 8 & со о 1 1575 848 448 240 126 о ю сл сл
bi Ъ1
1500 1500 1500 1500 3000 3000 3000 3000 1 3000 8 О i 1500 1500 3000 3000 3000 3000 I 3000
О
к
я
к
Е
я
М
О
я ш
CD Я
Радиус расположе-
ния осей сателли-
тов в мм
Крутящий момент
на выходном валу
в кгс«м
я
Е
S
3
Вес редуктора
(проектный) в кг
Частота вращения
в об/мин
Технические характеристики редукторов типов Пз и Пз2
S
Я
м
Таблица 26
Технические характеристики мотор-редукторов
типа МПз и МПз2
Обозначение мотор- редуктора Радиус расположе- ния осей сателли- тов В ММ v Крутящий 'момент на выходном валу в кгс»м Ряд чисел оборотов в минуту на выходном валу Вес мотор- редуктора (проектный) в кг
Одноступенчатые типа МПз
МПз-31,5 31,5 12,5 90; 112; 140; 180; 280 46. . .52
МПз-40 40 25 90; 112; 140; 180; 224; 280 78. . .84
МПз-50 50 50 90; 112; 140; 180; 224 116. . .134
МПз-63 63 100 90; 112; 140; 180 202. . .223
Двухступенчатые типа МПз2
МПз2-31,5 31,5 12,5 28; 35,5; 45; 71 31. . .33
МПз2-40 40 25 22,4; 28; 35,5; 45; 56; 71 41. . .46
МПз2-50 50 50 18; 22,4; 28; 35,5; 45; 56; 71 83. . .89
МПз2-63 63 100 18; 22,4; 28; 35,5; 45; 56; 71 126. . .132
МПз2-80 80 200 18; 22,4; 28; 35,5; 45; 56 205. . .224
МПз2-100 100 400 18; 22,4; 28; 35,5; 45; 56; 71 340. . .405
Приме ч а н и е. Числа оборотов, образующие ряд, получаются за счет
применения передаточных чисел 25; 31,5; 40 из редукторов типа Пз2; 8 и 10 из
редукторов типа Пз и разнополюсных электродвигателей.
Конструкция редуктора общего назначения должна обеспечи-
вать высокие технико-экономические показатели,-быть компакт-
ной, надежной, долговечной и в то же время отвечать требова-
ниям массового производства, быть технологичной в изготовлении
и сборке. Для обеспечения вышеперечисленных требований необ-
ходимо было в первую очередь решить вопрос о выборе плаваю-
щих звеньев, обеспечивающих равномерное распределение на-
грузки как среди сателлитов, так и вдоль контактных линий ка-
ждого из сателлитов.
В течение 1970—1971 гг. проводились экспериментальные
Работы и лабораторные испытания опытных образцов Пз, Пз2,
МПз и МПз2.
Исследования проводились на следующих конструкциях:
с консольным расположением осей сателлитов в водилах первой
и второй ступеней; с двухопорным закреплением осей сателлитов
151
второй ступени; с плавающим водилом первой ступени, соединен-
ным через двойную зубчатую муфту с шестерней второй ступени;
с плавающими шестернями первой и второй ступеней (соединение
с валами через двойные зубчатые муфты); с установкой сателли-
тов первой ступени на шариковых подшипниках, а сателлитов
второй ступени — на конических роликоподшипниках; на сфе-
рических опорах и на сферических двухрядных подшипниках;
с установкой специального переходника, дающего возможность
испытывать плавающие элементы ступеней независимо друг от
друга.
В процессе проведения эксперимента изучалось влияние кон-
структивных факторов основных звеньев и точности’их изготовле-
Рис. 73. Кинематические схемы планетарных редукторов
и мотор-редукторов: а — одноступенчатых; б — двух-
ступенчатых с Я 63 мм; в — двухступенчатых с R
80 мм

ния на характер распределения нагрузки между сателлитами и по
длине контактных линий. Результаты экспериментов показали,
что во всех приведенных выше конструкциях распределение на-
грузки в зацеплениях первой ступени удовлетворительное. На
второй ступени наблюдались повреждение зубьев при установке
сателлитов на конических роликоподшипниках и удовлетвори-
тельное распределение нагрузки (приработка по всей рабочей
поверхности зубьев) при установке сателлитов на сферических
опорах или сферических двухрядных роликоподшипниках.
На рис. 73, 74 и 75 представлены кинематические схемы и при-
меры конструкций редукторов и мотор-редукторов общего назна-
чения, которые разработаны на базе проведенных эксперимен-
тальных работ и с учетом замечаний и пожеланий ведущих орга-
низаций и институтов. Приведенные на рис. 74 и 75 конструкции
охватывают ряд редукторов и мотор-редукторов с радиусами R
расположения осей сателлитов и моментами 7ИТ на выходном
валу соответственно: для R = 31,5н-63 мм Мт = 12,5-4-100 кгс-м
и для R = 80н-200] мм Мт = 200-7-3150 кгс-м.
Для мотор-редукторов максимальное значение R = 100 мм
и Мт = 400 кгс-м. При R < 63 мм водило первой ступени — пла-
вающее, при R 80 мм — установлено на двух шарикоподшип-
никах, а центральные шестерни обеих ступеней соединены с ва-
лами при помощи двойных зубчатых муфт.
152
сл
Рис. 74. Конструкция мотор-редуктора с R 63 мм
Ш111 И 1ШЮ
Рис. 75. Конструкция мотор-редукторa cj£7? >: 80 мм
Радиусы /? расположения осей сателлитов на первой и второй
ступенях приняты одинаковыми, что позволило значительно сокра-
тить ширину колес на первой ступени и установить сателлиты на
одном шариковом подшипнике, обеспечивающем достаточную само-
установку сателлита. Зацепление передачи выполнено по степени
точности 8—7—7—X, что соответствует требованиям ГОСТ
16162—70.
Ведущая шестерня (рис. 74) или полумуфта (рис. 75) наса-
жена на вал двигателя. Крепление консольных осей в щеке во-
С
дила выполнено прессовой посадкой ~др~ на длине запрес-
совки, равной 1,2d, где d — диаметр оси. Во второй ступени оси
фиксируются в водиле запорными кольцами. Водило первой сту-
пени стальное (сталь 45, ГОСТ 1050—60), второй — чугунное
(ВЧ 60—2, ГОСТ 8293—70). В водиле второй ступени исключена
обработка внутренних поверхностей под распорные кольца
узла сателлитов.
Конструкция водил позволяет производить обработку отвер-
стий под оси сателлитов на специальных алмазно-расточных стан-
ках с высокой точностью. Серийность производства подтверждает
экономическую целесообразность применения специальных стан-
ков на каждый типоразмер редуктора (мотор-редуктора). Зубча-
тые венцы запрессованы в корпус и зафиксированы штифтами.
Перемещение в осевом направлении плавающих звеньев ограничено
упорами (рис. 74) или стопорными кольцами (рис. 75).
Сборка мотор-редукторов (редукторов) поузловая. Орга-
низация серийного производства редукторов и мотор-редукторов
с планетарно-зубчатыми передачами позволит обеспечить различ-
ные отрасли промышленности компактными и легкими приводами.
За счет уменьшения веса редуктора, уменьшения веса и габаритов
агрегатов, приводимых в действие этими редукторами (мотор-ре-
дукторами), сокращения расхода на ремонт и сокращения убытка
от простоя машин за счет увеличения надежности редукторов
(мотор-редукторов) экономический эффект от внедрения в промыш-
ленность 30 000 штук планетарно-зубчатых редукторов и мотор-
редукторов составит порядка 416 тыс. руб.
22. ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ ЗАЦЕПЛЕНИЙ
ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ ЗК С ОДНОВЕНЦОВЫМИ
САТЕЛЛИТАМИ
Задачи кинематического и геометрического синтеза зацепле-
ний передач ЗК с одновенцовыми сателлитами решены достаточно
полно в работах [168, 170J. Однако некоторые вопросы, связан-
ные с прочностью зацеплений таких передач, оставались пока не
выясненными. Так, чисто теоретическое решение вопроса проч-
ности внутренних зубьев с использованием гипотезы ломаных се-
чений при значительных коэффициентах смещения (порядка двух)
156
и при радиусах кривизны выкружки, близких к нулю, дает не-
верные результаты, так как зубья могут и в этом случае нести
значительную нагрузку. Только эксперимент с нагружением
зубьев в условиях, близких к реальным, позволяет правильно
решить эту задачу.
В связи с этим были проведены длительные усталостные испы-
тания зацепления внутренних зубьев колес zT = 102 (хт =
Рис. 76. Характер поломки внутренних зубьев:
а — хт = 0,25 и б — хБ = 1,92
= 4-0,25) и ?б = 99(хб.= 4-1,92) редуктора ЗК с передаточным
отношением = 314,5 [168]. Сателлит имел число зубьев
zc = 44 (хс = 4-0,50). Материал колес — сталь 40Х. Термообра-
ботка — улучшение до НВ 270—300. Ширина колес 10 мм.
Колеса нарезались долбяком zu = 25 (хи = 4-0,17) и соответ-
ствовали восьмой степени точности.
Испытания проводились на специальном стенде с замкнутым
силовым потоком при передаточном отношении, равном беско-
нечности, с качательным движением водила. Описание стенда
и результатов испытаний приведено в работе [212]. Характер
поломки внутренних зубьев с хф = 0,25 и хб= 1,92 показан на
156
Рис. 77. Кривые зависимости коэффициента
формы зубьев от чисел зубьев
рис. 76, а и б соответственно. Результаты испытаний показали,
что при прочих равных условиях зубья колеса (б) могут нести
в 1,3—1,5 раза большую нагрузку, чем колеса (т).
В связи с тем, что радиусы кривизны выкружки внутренних
зубьев относительно малы, а сама выкружка образуется рядом
резов долбяка, нагрузочная способность определяется в основном
толщиной зуба в опасном сечении по окружности впадин. По-
этому величина эффективного коэффициента концентрации на-
пряжений для внутренних зубьев изменяется сравнительно мало.
Принятие специальных мер
переходной. кривой, ее
плавности и чистоты по-
верхности позволяют по-
высить нагрузочную спо-
собность внутреннего за-
цепления на 30—40%.
На основании прове-
денных исследований по-
строены кривые зависимо-
сти величины коэффициен-
та формы зуба У при
приложении нагрузки в
вершине зуба и У8 — при
приложении нагрузки по
линии однопарного зацепления [94] от числа зубьев колес т,
б, с трехсателлитных планетарных передач ЗК с одновенцовыми
сателлитами и с числом зубьев солнечного колеса Ze, = 12
(рис. 77).
Желательно, чтобы зубчатая передача имела одинаковые из-
гибную и контактную прочности зубьев. Исходя из этого
условия и пользуясь методикой расчета зубчатых
проф. В. Н. Кудрявцева [94], получим формулу _для
ления предельного значения числа зубьев сателлита
передач
опреде-
_______ (^с-т — 1) [О'и] У•Жнр. к^е^к
с’ ПР wc-t [£&] Хнр. иКиФ^и
(242)
В дальнейших расчетах (рис. 78) примем для всех передач ЗК
Ут = 0,31 (кривые 1 и /'), Ут8 = 0,51 (кривые 2 и 2')» К* = Кк,
Ле = 1, Ф = 0,95. На основании проведенных расчетов построены
графики зависимости zc Пр и а* _т от твердости улучшенных колес,
изготовленных из стали 45. Кривые 1 и 2 построены для Кнр. к =
= 1,15; Лнр. и = 1,30 и Q = 1,1 £2К. Кривые Г и 2' построены для
случая /С,. к = Кнр. и и = QK, как это принимается в ряде
методик [о7]. Все расчеты относятся к трехсателлитным переда-
чам с числом зубьев солнечного колеса = 12.
Для колес, изготовленных из стали 40Х, полученные значе-
ния 2с. пр надо увеличить в 1,15 раза.
167
Справа от кривых лежит область передач, нагрузочная спо-
собность которых лимитируется изгибной прочностью, а слева —
контактной.
Чаще всего используются колеса с твердостью рабочих поверх-
ностей зубьев в пределах НВ 200—280. Тогда для 7—8-й степени
точности изготовления можно считать оптимальными передаточ-
ные отношения 225—315 при НВ 280 и 450—640 при НВ. 200.
При более низкой степени точности изготовления предельные зна-
чения передаточных отношений снижаются до 104—136 при НВ 280
и до 202—285 при НВ 200.
Если необходимо полу-
чить передаточное отноше-
ние, существенно большее
предельного по равнопрочно-
сти, то для силовых передач
по рекомендации 'проф.
В. Н. Кудрявцева [94] сле-
дует добавить цилиндричес-
кую пару. Так, при «общ =
= 612; НВ 280 и 7—8-й сте-
пени точности изготовления
целесообразно базовый ре-
дуктор выполнить с и% _т=
= 232 (zT = 87, z6 = 57,
zc = 23, 2б, = 12) и цилинд-
рическую быстроходную па-
РУ с ыцил = 2,64, а при
Рис. 78. Зависимость zc пр и «|i—т от
твердости улучшенных колес, изготовлен-
ных из стали 45
меньшей точности изготовления «6,-7=115 (zT — 60, z6=57,
zc = 23, Ze, = 12) и ыцил = 5,35. В последнем случае вес и
объем редуктора, по сравнению с редуктором, имеющим
«б,-т = 612, снижаются почти в два раза. Действительно, при
одинаковой ширине колес и одинаковом моменте на выходном
валу отношение весов G редукторов с и = 612 и и = 115 равно
G (и = 612) _ / Рт \2 / mzT у
G (и = 115) ' \mizT, )
(243)
Из равенства моментов при расчете на изгибную прочность
получим
тогда
/_т \2 = zCi
\mi) zc ’
(244)
G (и = 612) *С1 / zT \2 23 / 144 \2
G(« = 115) — zc ^zTJ ~ 65 \ 60 )
В этих формулах индекс 1 относится к передаче с и = 115.
В действительности за счет приставки с дополнительной цилин-
дрической парой разница в весе будет несколько меньшей. Однако
158
в случае реверсивной нагрузки разница в весе получается еще
большей.
Полученные результаты позволили выявить качественную сто-
рону вопроса выбора наивыгоднейшего значения передаточного
отношения. Что касается количественной стороны, то получен-
ные величины следует считать ориентировочными. Для их уточ-
нения необходимо провести дополнительные эксперименты.
23. ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО И НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЙ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ
При проектировании современных высоконагруженных пла-
нетарных передач необходимо учитывать податливость ободьев
центральных колес и сателлитов, которая влияет на распределе-
ние нагрузки среди сателлитов, зубьев соединительных муфт,
тел качений подшипников. Поэтому выбор размеров сечений
ободьев должен выполняться на основе расчетов зубчатых колес
на прочность и деформацию.
Ободья зубчатых колес планетарных передач характеризуются
отношениями радиуса кривизны к высоте поперечного сечения
pH" 1 > 2,5 и отношениями ширины поперечного сечения к его
высоте ЬН~г < р°’5//~0’5. Напряженное состояние ободьев с та-
кими пропорциями допустимо рассчитывать по формулам для кру-
говых колец [13]. Влияние зубьев на высоту поперечного сече-
ния кольца определяется по формулам из работ [115] или [139].
В данном параграфе рассмотрены зависимости для расчета де-
формированного и напряженного состояний круговых колец,
нагруженных в их плоскости, и составлены расчетные формулы
для ободьев зубчатых колес планетарных передач. Помимо упро-
щенных расчетных зависимостей даны уточненные методы рас-
четов, выполнение которых возможно на малых ЭВМ.
Исследованию деформированного и напряженного состояний
круговых колец, нагруженных в их плоскости системой стати-
чески уравновешенных внешних сил, посвященд большое число
работ [14, 113, 165] и др? Компоненты деформации и внутренние
силовые факторы обычно выражают в виде суммы произведений
коэффициентов влияния на соответствующие внешние силовые
факторы, причем коэффициенты влияния представляют быстро
сходящимися тригонометрическими рядами [14, 147] либо ана-
литическими функциями [113]. Для практических вычислений
использование тригонометрических рядов ’является предпочти-
тельным, так как в случае быстро сходящихся рядов для достиже-
ния высокой точности достаточно вычислить ограниченное число
первых членов. При вычислениях коэффициентов влияния по ана-
литическим формулам [113] требуется с высокой точностью вы-
числять каждый член и учитывать перемену знаков для некоторых
членов в зависимости от рассматриваемого угла, что сущест-
венно усложняет составление программы вычислений.
159
В данном параграфе для исследования деформированного и
напряженного состояний использована теорема Лагранжа в при-
менении к упругому телу [87]. При применении этой теоремы
к исследованию деформации кольца отпадает необходимость в со-
ставлении выражений для внутренних усилий в сечениях и в ре-
шении дифференциальных уравнений для упругой линии. Счи-
таем необходимым привести вывод расчетных формул для вычи-
сления деформированного состояния кольца, нагруженного в его
плоскости, так как в известной справочной литературе [147, 165]
содержатся некоторые неточности.
Рис. 79. Положительные направления внешних сил, компонентов дефор-
мации, внутренних силовых факторов и координатных углов кольца,
нагруженного в его плоскости
На рис. 79 показаны положительные направления для внешних
сил и компонентов деформации. Угол а определяет положение
внешней нагрузки, а угол ф — положение сечения, в котором опре-
деляются компоненты деформации или внутренние силовые фак-
торы. За положительные направления углов а и ф принимается
направление вращения против часовой стрелки.
При выбранных направлениях компонентов деформации и
угловых^ координат справедливы следующие соотношения между
радиальным U, тангенциальным V и угловым 0 компонентами де-
формаций:
<245)
= + (246>
где р — радиус кривизны или радиус центров тяжести попереч-
ных сечений кольца.
160
(247)
(248)
(249)
и пе-
Уравнения (245) и (246) будут удовлетворены, если компо-
ненты деформации кольца задать в виде бесконечных тригономет-
рических рядов:
V = у (ап cos п<р bn sin пф);
П=2, 3, 4,...
U= У) п(—ап81ппф-ф 6„созпф);
п=2, 374,...
6 =----5- 2 («2 — 1) (an cos пф-|-^л sin пф),
Р и=2. 3, 4,...
где ап и Ьп — обобщенные перемещения.
Энергия деформации кольца без учета влияния осевых
ререзывающих сил может быть представлена в виде
2л
S v-D’m.
О п=2,3,4,...
(250)
где Е и J — модуль упругости и момент инерции поперечного
течения кольца соответственно.
При действии сосредоточенного момента М в месте с коорди-
натой ф = а (рис. 79) работа, соответствующая приращению
эбобщенного перемещения ап на величину 6ап, будет
6А=М-^-8ап = —М-~^~ cos па6ап. (251)
По теореме Лагранжа производная от потенциальной энергии
по обобщенной координате равна соответствующей обобщенной
силе
^ = ^-^-п2(па — 1)22ап = —М п*~1 cos пса, (252)
дап р8 2 v / п р > \ /
откуда
_____________________ 1 М р3 cos па
йп л 7 EJ п8(п«—1) •
Аналогично определяется Ьп, а именно
. ________________ 1 М р8 sin па
°п~~ я р EJ п8(п8-1)*
Подставляя полученные выражения для перемещений ап
и Ьп в формулы (247)—(249), определим тангенциальный V,
радиальный U и угловой £ компоненты деформации кольца под
действием сосредоточенного момента. Аналогично определяются
компоненты деформации кольца под действием радиальной R и
тангенциальной Р сил. Расчетные формулы сведены в табл. 27.
И Под ред. Н. И. Колчина 161
Таблица 27
Формулы дЛя вычисления компонентов деформации кольца,
нагруженного в его плоскости
Силовой фактор Компонент деформации
Р V - J_ pps V cosn(g —ф) „ V~ л EJ п2(п2-1)2 ( 53) п==2, 3,4, ... u-±.lsL V sin»(q-q>) ,254) и~ л EJ Zj n(n2-l)2 ( ' п=2, 3,4, ... о 1 Рр2 V cosn(g —ф) Р~ л EJ n2(n2—1) (255) п=2, 3, 4, ...
R 1/ _ 1 Рр3 V sin »(а-Ф) ,2ем л EJ Zj Л(П2-1)2 л=2, 3, 4, ... гт _ 1 ftp3 V cos и (а —ф) и~ л EJ 2j (n2—I)2 (257) п=2, 3,4, ... V (25S) г л EJ n(n2—1) n=2, 3,4, ...
м у 1 ^Р2 V COSn(a-<P) п=2, 3, 4, ... У sin и (а —ф) U~ л EJ 2j n(n2—1) ( ' Л=2, 3, 4, ... (261) п=2, 3,4, ...
Формулы (255), (258), (259)—(261) отличаются от ранее опу-
бликованных в работах [147, 165], поскольку угловой компонент
деформации записан в виде (246), принятом в современных рас-
четах кругового кольца. Следует заметить, что в работах [147,
165] табулированные значения для некоторых коэффициентов
влияния не соответствуют расчетным формулам, формулы для
компонентов деформации от момента и сил не подчиняются теореме
о взаимности работ.
Для раскрытия внутренней статической неопределимости
кольца воспользуемся расчетными формулами [87], которые
162
преобразуем с учетом условий равновесия кольца:
2 М + Л р]==0; (262)
I
У (Pt sin az + cos az) = 0; (263)
i
У (Pt cos az — R[ sin az) = 0. (264)
i
Тогда изгибающий момент To, перерезывающая сила No
и осевое усилие So в сечении <р = 0 будут определяться зависи-
мостями:
Л, = 2 [x1(az)zWz + x2(az)Pzp + x3(az)/?zp]; (265)
z=i
М, = 2 k (az) + x8 (az) P, + «6 (aj Я,]; (266)
I L Г
n
So = 2 [«7 (az) + x8 (az) Pi + x9 (az) tfz] , (267)
где
«1 (az) = (n — a.i — 2 sin az);
x2 (az) = [(я — az) (1 — cos az) — sin az] ;
x3(at) = [(n — az) sinaz—у cosaz — 1] ;
«4 (a,) = — У cos az; x5 (az) = — A- a. sinaz;
«в (az) = — (az cos az + sin az);
x7(az) = z-sinaz;
x8(az)= — •^(azcosaz —slnaz);
x9(az)= 2^az sinaz.
Формулами для коэффициентов влияния хх, х2, хз, хб, хв, хв
и х9 определяются внутренние силовые факторы при значениях
0 <az <2л. Для определения неизвестных силовых факторов
в произвольном сечении ср =/= 0 следует принимать в представлен-
Н* 163
ных выше формулах аргумент аг — <р. Причем, если az — <р < О,
то аргумент будет равен 2л — |az— <р|. Такая программа вы-
числений громоздка и часто приводит к неверным результатам
вследствие допускаемых ошибок. Не имеет преимуществ и расчет
силовых факторов по участкам, поскольку ошибка, допущенная
на одном из участков, будет повторяться на всех последующих.
Формулу (265) для вычисления изгибающих моментов в сече-
ниях кольца приведем к виду, удобному для вычислений на ЭВМ.
Для этого представим коэффициенты влияния Хх (az) ч- и3 (az)
в виде тригонометрических рядов:
Xi (az) Ч 2 Л=2, 3, 4, - • < sin ka{ k (268)
x2(az) = см II лг sin kat k(k*— 1)’ (269)
Хз(а,) = 2 cos ka>i (270)

После подстановки выражений для коэффициентов влияния
(268)—(270) в формулу (265) при аргументе (az — <р) получим
следующее выражение для определения момента в произвольном
сечении:
п
^=42 2 |>
i k=2. 3. 4....
р ~ sin^(az —<р)
‘р k(№ — 1)
d „ cos Л (а,—фП _
йПП J —
где
п
Р{ sin kat —
i
[ak cos k(p + bk sin fop], (271)
*=2,ЗГ4.. . .
°* “ Г [j S 51П “ k (k*— 1)
P
- s Я/Cosfox, ;
7 S Micoskai + ? ptcos —
-IszrrS sin •
bk=L
* л
Отметим, что формулу (271) можно получить непосредственно
из формул для компонентов деформации кольца (табл. 27) и диф-
ференциального уравнения упругой линии
т _ EJ гп , d2U 1 _ EJ df,
J ч>~ P2 Г + <*ф2 J “ Р2 <*ф ’
164
Коэффициенты влияния в формулах (265) или (271) представ-
лены так, что нагрузка, распределенная равномерно, а также по
косинусоидальному (или синусоидальному) закону для всего пе-
риметра кольца не влияет на величину момента в сечениях. Это
же свойство, основанное на ортогональности тригонометричес-
ких функций, проявляется в формулах (253)—(261), что позволяет
существенно упростить расчет деформированного и напряженного
состояний кольца.
Рассмотрим расчетные схемы ободьев центральных колес
и сателлитов планетарных передач, на основе которых составлены
приведенные ниже формулы.
Рис. 80. Расчетная схема обода эпицикла
На центральные колеса планетарной передачи в равноот-
стоящих точках, равных числу сателлитов, действуют усилия
в зацеплениях, которые уравновешиваются реакциями от зубьев
соединительных муфт (рис. 80). Нормальную нагрузку, действую-
щую в i-м зацеплении, приводим к радиусу кривизны обода в виде
радиальной Fri, тангенциальной Ftl сил и момента Mbi\
= Fti = Fni cos at; Mbi = FtiHb, (272)
где Fni — нормальное к профилю зуба усилие в t-м зацеплении;
а, — угол зацепления в торцевом сечении;’ Нь — разность между
радиусом начальной окружности и радиусом кривизны обода.
Под радиусом кривизны обода понимается радиус центров тя-
жести поперечных сечений обода с учетом влияния зубьев.
Число зубьев соединительных муфт центральных колес обычно
достаточно велико, чтобы считать их реакции распределенными
непрерывно по всей окружности обода. Аналогично предыду-
165
щему эти реакции приводятся к радиусу кривизны в виде ради-
альных qr, тангенциальных qt распределенных сил и моментов ть:
Яг = qn sin ам; qt = qn cos ам; ть = qtHM. (273)
Здесь ам — профильный угол зубьев муфты; qn — распределенная
нагрузка, заменяющая реакции зубьев муфты.
На распределение нагрузки среди зубьев муфты влияет, де-
формация ободьев зубчатых колес и оболочек соединительных
Рис. 81. Расчетная схема обода сателлита
муфт. Результаты выполненных расчетов показывают, что пере-
грузка зубьев соединительных муфт, сопряженная с деформа-
циями деталей, носит местный характер и локализуется вблизи
полюсов зацепления сателлитов с эпициклом. Отмеченная пере-
грузка несущественно влияет на деформированное и напряженное
состояния обода эпицикла, поэтому в упрощенных расчетах до-
пустимо считать уравновешивающую нагрузку распределенной
либо равномерно, либо по косинусоидальному (или синусоидаль-
ному) закону для всего периметра обода эпицикла. В соответ-
ствии со свойством ортогональности тригонометрических функ-
ций для определения деформаций и моментов в сечениях обода
эпицикла по формулам (253)—(261), (265) или (271) достаточно
учитывать лишь силовые факторы, действующие в зацеплениях.
Усилия в зацеплениях сателлита с центральными колесами
уравновешиваются реакциями тел качения q (рис. 81). На вели-
чину реакций тел качения влияют податливость обода сателлита
166
й тел качения, зазор в подшипнике и величина усилий в зацепле-
ниях [157].
Для расчета распределения нагрузки среди сателлитов важно
определить податливость обода эпицикла и сателлита в сравнении
с податливостью зубьев в полюсе зацепления.
На основании принципа наложения представим компоненты
деформации обода в виде суммы произведений действующих сил
на коэффициенты влияния (табл. 27). После этого компоненты
деформации спроектируем на направление нормали к профилям
зубьев, т. е. на линию зацепления. Положительными примем пе-
ремещения профилей зубьев, совпадающие с направлением уси-
лий в зацеплениях,
з ар
60б = (— V — U tg at + ₽/7b) cos а, = 2 % (а, — <р) Fni ф-
1—1
2л
+ & I (а ~ ?"Pda’ <274)
где коэффициенты влияния для усилий в зацеплениях равны
X(a._(p) = -Lcosaz 2 (п« — 1)2 [^ + tg2ar +
n=2, 3, 4,. . .
а для реакций зубьев соединительной муфты эпицикла
(“ - ф) = f cos S +
п=2, 3, 4». . .
+ [~aM-~tga' + ^f-1 tga, + ^tgaM)] sinn(a-<p). (276)
Пренебрегая влиянием высокочастотных составляющих
в разложении в ряд Фурье функции qn для равномерного распре?
деления нагрузки среди сателлитов, получим
1 [ 1
[(Лар)2- 1]Ц (kap)2
_______ Hl [(^P)2-1]2U.
(kap)2 р2 (kap)2 J~
tZp P Up
яЖ-02]
ра a2p . '
6o6==TETFnCOs2a< X
Л Хи и
Л=1, 2, 3,. .
+ tg2«, + 2 -
apFn cos2 at р3
(277)
167
Определим отношение податливости обода эпицикла к подат-
ливости зубьев в полосе зацепления бобб^ для пропорций
ободьев эпициклов, представленных в табл. III.10 работы [94].
Результаты вычислений представлены на рис. 82.
Из рис. 82 следует, что при равномерном распределении на-
грузки среди сателлитов податливость обода эпицикла быстро
снижается при увеличении числа сателлитов. Влияние высоко-
частотных составляющих в разложении в ряд Фурье функции qn
незначительно, если отно-
шения толщины ho6 и дли-
ны I оболочки соедини-
тельной муфты к радиусу
срединной поверхности роб
составляют:
ЛобРТб1 0,02,
^ = 0,6.
Рассмотрим расчетные
формулы для определения
перемещения профилей
зубьев в полюсах зацепле-
ния сателлита с централь-
ными колесами.
Из расчетной схемы
(рис. 81) следует, что
перемещение профиля зуба
в точке с координатой
Ф = -?Г будет
Рис. 82. Отношение податливости обода
эпицикла к податливости пары зубьев в по-
люсе зацепления в зависимости от числа
сателлитов (------без учета влияния обо-
лочки соединительной муфты;--------с уче-
том влияния оболочки соединительной
, муфты)
60б — (U tg at + V + рЯ6) cos at.
(278)
При вычислении компонентов деформации нужно знать закон
распределения нагрузки среди тел качения подшипника. Для
приближенных расчетов податливости обода сателлита примем
следующие аппроксимации результатов расчета в зависимости от
значений расчетных параметров р8 (X£V)-1 и 6 (V,)"1 (А, =
— 5,62 • 10"6 /р см/кгс, где /р — длина ролика без фасок в см;
6 — зазор в подшипнике в см):
при 6 (V/)-1 > 2; р3 (%£V)-1 << 15 реакции тел качения со-
средоточены в точке с координатой <р = 0,
боб = 0,0743 tg2 at + 0,0678 tgaz + 0,0042 —
2
- 0,0244 ^+0,1318^^- cos2 at- (279)
168
при 6 (Vz)-1 = 04-2; р3 (А£7)~ 1 = 154-30 реакции тел ка-
чения распределены по косинусоидальному закону:
<7 = -“COSa; —(280)
' Л р Z Z
боб —
0,0743 tg2az + 0,0303 tg at + 0,0011 — 0,0198 -^ +
г
уу2
+ 0,1318-^-
FnP3 rnQ2 п .
~ЁТ~ C0S **'
(281)
при 6 (М7,)’1 = 0,54-2,0; р-3 (XEJ)"1 > 40 реакции тел ка-
чения распределены равномерно
по дуге:
4 = ^. —(282)
- = 0,0743 tg2 at — 0,0089 +
нь 1
+ 0,1318-^
^об —
^-cos2 at. (283)
£ J
Было принято соотношение
конструктивных размеров:
Нь____h z 2 ,
р 2р z—2 ' z—2’
и"ь h z4-2 4 .
р — 2р z —2 ' z— 2 ’
р3(%£/)-^0,8-^,
Отношение перемещения
зуба сателлита вследст-
Рис. 83.
профиля
вие податливости его обода к пе-
ремещению профиля зуба на жест-
ком основании:
-------нагрузка приложена в сред-
нёй части зуба; ------ — нагрузка
приложена в вершине зуба
где z и h — соответственно число
зубьев и высота поперечного сече-
х нь Hh
ния обода сателлита; —— и
относительное плечо приложения
нагрузки в вершине и средней
точке зуба.
Податливость пары зубьев принята бзац = Fn (ВС)~\ где
С = 150 000 кгс/см, В — ширина обода сателлита.
Перемещение профиля зуба сателлита вследствие податливости
его обода в сравнении с податливостью пары зубьев на жестком
основании представлено на рис. 83. При вычислениях учитыва-
лось изменение распределения нагрузки среди тел качения в за-
висимости от податливости обода сателлита.
169
При уменьшении кривизны обода Перемещение профиля зуба
резко возрастает. На величину перемещения профиля зуба су-
щественно влияет и место приложения нагрузки по высоте зуба.
Допустимая высота поперечного сечения обода эпицикла дол-
жна определяться из расчета на выносливость [94]. Рассмотрим
расчетные зависимости для определения моментов в сечениях
обода эпицикла. Воспользуемся формулами (271), (272) и прави-
лом знаков для сил по рис. 79 и 80. Тогда
Т9 = У (akcosk<p -ф bAsln&p), (284)
k=2, 3, 4, ...
где
op_i
°* = V S { [4 пг + F(^=Tj] Sln kai + COS^1pfnl C0S
1=0
~ [т р + k (**-1)1cos ka,t + sln M pFni cos a<
Примем
Рщ = Рп ср [ 1 + a0l + a cos (а, ф- 0)]. (285)
Здесь Fncp — средняя величина усилий в зацеплениях; а01 —
постоянный коэффициент, определяющий перегрузку Лго са-
теллита; а = 0,1 -у---амплитудная составляющая перегрузки
сателлитов, определяемая реактивным моментом зубчатой муфты
плавающего колеса; dw — диаметр начальной окружности пла-
вающего зубчатого колеса. Если в конструкции используются два
плавающих колеса, то принимается диаметр меньшего; I — рас-
стояние между зубчатыми сочленениями муфты; 0—угол, опреде-
ляющий положение реактивной силы относительно начала отсчета.
После подстановки (285) в формулу (284) и выполнения
преобразования с тригонометрическими функциями и суммами
тригонометрических функций получим следующую формулу
для определения момента в произвольном сечении обода эпи-
цикла:
т _ appFncpCosat V* /Г 1. /Л> 1 '
ф * р
X sin k (То — <р) + COS k (у0 — <р)| + ^"cp^s-a(.. X
п ар ’
аР~1
х 2 {+т-^] 2“«sin‘
*=2, 3, 4, ...V Z=0
+ ТЙТ™*(«,-<₽)} + « х
1=0 '
170
‘p-1
X S {['£ (£*—1)' nr] S sin^(ai-T)cos(az-0) +
k=2t 3, 4,... k i=0
aP~X
+ s cosk~cos— e)I• (286)
i =0 J
При работе планетарной передачи с остановленным эпициклом
угол, определяющий положение сателлита с номером i = 0, изме-
няется в зависимости от направления и скорости вращения во-
дила,
Yo = W,
где соя — скорость вращения водила в рад/с; t — время в с.
Положение плоскости действия реактивной силы зубчатой
муфты 0 при этом остается практически неизменным.
В практических расчетах для планетарных передач с податли-
выми ободьями эпициклов можно принимать aQi = 0. Тогда опре-
деление сечения с наименьшим коэффициентом запаса па, вычи-
сляемым по работе [94] в зависимости от величины среднего
и амплитудного оа напряжений, сводится к расчету моментов 7\р
при 0 = 0, 0 <р <J 2л для одного оборота водила у0 < 2л.
Подобный расчет должен выполняться на ЭВМ.
24. РАСЧЕТ НА ИЗГИБ САТЕЛЛИТОВ
С ТОНКОСТЕННЫМ ОБОДОМ
Экспериментальные исследования свидетельствуют о заметном
снижении изгибной прочности зубьев сателлитов при уменьше-
нии толщины обода.
Распространено мнение, что напряженное состояние зубчатых
колес с тонкостенным ободом типа сателлита или центральных
колес планетарной* передачи является результатом алгебраичес-
кого сложения напряжений изгиба зуба и обода. Однако наблю-
даемое на практике снижение несущей способности происходит
несмотря на различие в знаках напряжений зуба и обода. Пре-
дельные нагрузки снижаются вопреки увеличению площади
опасного сечения (трещина распространяется в толщу обода)
и снижению коэффициента концентрации напряжений изгиба
обода при уменьшении его толщины.
При уточненных расчетах изгиба зуба с учетом влияния тол-
щины обода и при эксперименте было обнаружено, что положение
опасной точки а на галтели у корня зуба (рис. 84), от которой на-
чинает развиваться трещина изгибного разрушения сателлита,
смещается незначительно по сравнению с трещиной на зубе при
жестком ободе. Влияние толщины обода проявляется в процессе
развития трещины, которая может от начальной точки а выйти
на вторую галтель на стороне сжатых волокон при изгибе
171
Собственно зуба (поломка зуба по Селению 1—1 при сравнительно
жестком ободе) или на внутреннюю расточку обода сателлита
(поломка обода по сечению 3—З при сравнительно малой его жест-
Рис. 84. Распределение компонентов напряжений ох и
по сечению зуба сателлита с жестким ободом (а) и ориен-
тация трещин у корня зуба и во впадине между зубьями (б)
кости). При эксперименте встречаются также сателлиты с проме-
жуточной толщиной обода, у которых трещины развивались из
одной и той же точки у корня зуба одновременно в двух указан-
Рис. 85. Разрушение сателлитов с тонкостенным ободом: а — поломка
обода при А/р = 0,074; б —поломка зубьев при Л/р = 0,148
ных направлениях (сечение 2—2). Образцы разрушенных сател-
литов с тонкостенным ободом представлены на рис. 85.
С некоторым приближением можно принять, что местные на-
пряжения изгиба зуба могут быть определены по существующей
172
методике [91], в которой влияние деформации обода не учиты-
ВаеТСЯ’ = (287)
DtnnY 4 . '
где Ft расч — расчетное окружное усилие в зацеплении сателлита
с центральным колесом (с учетом динамических нагрузок и кон-
центрации нагрузки по ширине обода); b — ширина зубчатого
венца; тп — нормальный модуль зацепления; Y — коэффициент
формы зуба (при жестком
ободе).
Поскольку величина а3 не
может служить единствен-
ным критерием оценки изгиб-
ной прочности сателлита с
тонким ободом, в настоящее
время производят дополни-
тельно проверку прочности
обода сателлита по номи-
нальным напряжениям изги-
ба <ти.н и растяжения ираст. н
(рис. 86, а):
°об. н === *и. н + °раст. н =
<288>
Здесь М„, N — изгибающий
момент и нормальное усилие
в данном поперечном сечении
обода сателлита [94]; h' —
координата точки, в которой
рассчитываются напряжения;
р, Ро — радиус кривизны
Рис. 86. Расчетная схема (а), поперечное
сечение (б) и эпюра номинальных напря-
жений изгиба обода (в)
и радиус расположения центра тяжести поперечного сечения
обода (рис. 86,6); е^—4------смещение нейтральной оси; J,
Ро*
F — момент инерции и площадь поперечного сечения обода.
Эпюры номинальных напряжений изгиба и растяжения обода
в точке у корня зуба представлены на рис. 86, в. Подобная раз-
дельная оценка прочности зуба и обода не может быть признана
удовлетворительной, так как до сих пор нет точных значений коэф-
фициентов концентрации напряжений при изгибе и растяжении
обода, которые позволили бы перейти к местным напряжениям,
нет и экспериментальных данных о предельных номинальных
или местных напряжениях для обода.
При тонкостенном ободе целесообразно сохранить расчетную
формулу (287) для определения напряжений изгиба зубьев са-
теллита
_ _ Ft расч
э-т ~ bmnYT ’
(289)
173
в которой величина YT, имеющая Смысл коэффициента формы
зуба и обода, равна
р
где £об = -;с * |‘1"-поправочный коэффициент, определяемый
( t lim/т
расчетным или экспериментальным путем как отношение предель-
ных нагрузок на зуб при жестком и тонкостенном ободьях сател-
лита [8].
Сохранение зависимости (289) справедливо при распростране-
нии гипотезы о линейной зависимости предельных нагрузок и ко-
эффициента формы на случай сателлита с тонкостенным ободом.
Очевидно, что при экспериментальном определении величины ko6
учитываются и возможные отличия расчетной нагрузки (Ft расч)т
и допускаемых напряжений для сателлита с тонкостенным обо-
дом по сравнению с сателлитом, имеющим жесткий обод. В табл. 28
представлены значения коэффициентов &об, полученные при испы-
таниях сателлитов из термически улучшенной стали. Описание
Таблица 28
Результаты экспериментального исследования сателлитов
2 X h тп h Р ь в мм °3 в кгс/см2 %б. на в кгс/см2 *об Ут
42 0 1,42 0,074 25 2100 -г2350 1,53 0,272
43 0 1,92 0,099 25 2200 —2380 1,47 0,282
45 0 2,92 0,148 25 2740 —1980 1,18 0,352
41 +0,5 1,42 0,074 20 2440 —2500 1,33 0,312
42 +0,5 1,92 0,099 20 2450 —2630 1,32 0,314
44 +0,5 2,92 0,148 20 2840 —2090 1,15 0,362
42^-45 04-+0,5 — — — 3220 0 1 Ye^ 0,415
43 —0,5 1,42 0,074 20 2100 —1460 1,53 0,235
44 —0,5 1,92 0,099 20 2180 -1600 1,48 0,243
46 —0,5 2,92 0,148 20 2700 -1450 1,2 0,306
434-46 —0,5 — — — 3220 0 1 Ye = 0,36
Примечания:
1. Сателлиты нарезаны фрезой со стандартным исходным контуром тп =
= 3 мм, а = 20е, f0 = 1» с = 0,25 и соответствуют 6—7-й степени точности. Испы-
тания проводились при постоянном межосевом расстоянии Л = 127,5 мм (z^ =
= 85; х% = 0).
2. Материал — сталь 40Х, термическое улучшение — НВ 280—320.
3. z — число зубьев; х — коэффициент коррекции.
174
Таблица 29
Результаты экспериментального исследования сателлитов
по работе [8]
Z h тп h аз в кгс/см2 аоб. н а в кгс/см8 *об Гт
15 1,55 0,283 2240 —1010 1,67 0,146
15 1,75 0,326 2810 —880 1,33 0,183
15 1,92 0,362 3070 —760 1,22 0,198
15 — — 3680 0 1 Y=Yb= 0,243
15 1,55 0,283 2280 1160 1,56 0,175
15 1,75 0,326 2920 1030 1,25 0,219
15 1,92 0,362 3000 835 1,17 0,234
15 — — 3600 0 1 Y = Yb = 0,274
Сталь 20ХНР, нитроцементация и закалка до HRC 58—63. Степень точности
8—7—7—X ГОСТ 1643—56. Ширина зубчатого венца Ь = 25 мм, модуль тп =
= 2,5 мм, коэффициент коррекции х = 0.
экспериментальной установки дано в работе [99]. В табл. 29 при-
ведены результаты исследования сателлитов с закаленными зубь-
ями, опубликованные в работе [8], но обработанные по предла-
гаемой методике.
Снижение предельных напряжений для тонкостенного сател-
лита не противоречит известным теориям прочности, если принять
следующее объяснение. На рис. 84, а показано распределение
по сечению а—Ъ напряжений изгиба зуба а3 в проекциях на оси х
и у по расчету В. Л. Устиненко [152], справедливое для сателлита
с жестким ободом. В области опасного сечения, примыкающей
к точке а, где начинается развитие усталостных трещин, компо-
ненты напряжений, озх > 0 и озу 3s 0. Напряженное состояние
в этой области соответствует / квадранту на диаграмме предель-
ных напряжений, рис. 87, а. Эквивалентные нацряжения по IV
теории прочности
^экв = К — о#) 4* (290)
в точке а определяются максимальной компонентой ох при оу = 0.
При изгибе тонкостенного обода в точке а, дополнительно
возникают напряжения о0бу <0, как показано на рис. 86, в.
Напряженное состояние в этой области соответствует II квадранту
на рис. 87. Из формулы (290) для точки а получим, что при ох > 0
и уменьшении второго компонента напряжений ау <0 предель-
ные напряжения растяжения становятся меньше, чем в случае
°у = 0, а предельные напряжения при сжатии становятся меньше
по абсолютной величине, чем в случае ст* = 0.
175
В сечениях обода сателлита, достаточно удаленных от полю-
сов зацепления с центральными колесами, расчетная эпюра на-
пряжений (рис. 86) хорошо согласуется с экспериментальными
измерениями напряжений, произведенными авторами методами
тензометрирования или фотоупругости [69]. Однако результаты
эксперимента и расчета не совпадают для сечений, примыкающих
непосредственно к зубьям, находящимся в зацеплении с централь-
(Л \ и
Ф = ± -у-), где на теоретической эпюре возникают
скачки напряжений. Ука-
занное расхождение связано
с нарушением принципа
Рис. 87. Диаграммы предельных напряжений: а — по III (шестиугольник)
и IV (эллипс) теориям прочности (ах; а2 — главные напряжения при о3 = 0;
ар lim; асж lim — пределы выносливости при растяжении и сжатии); б — прием
обработки данных исследования вариантов сателлитов в виде функции =
f С3*—1об lim)*
X — х = 0,5; а3 = 1,73,^ • — х = 0; а3 = 1,53; ▲ — х = —0,5; а3 = 1,35
Сен-Венана, поэтому при обработке результатов эксперимента
воспользуемся следующим приемом.
В поперечном сечении а обода сателлита (рис. 84, а) найдем
номинальные напряжения ообна, вызванные действием радиаль-
ной Fn sin у и тангенциальной Fn cos у составляющих усилий
в зацеплениях, приложенных к средней линии обода, и распреде-
ленными реакциями в опоре сателлита Р, но без учета напряже-
ний вМца от сосредоточенного изгибающего момента М =
= FnH cos у, где Н— плечо приложения усилия Fn (рис. 84, а),
С этой целью в формулу (288) следует подставить:
Ми = —PoHAcost; W = F„cosy, (291)
где т]а — числовой коэффициент, учитывающий расчетную схему
обода сателлита.
Исключенный из состава номинальных напряжений изгиба
обода компонент (рис. 86, в) после перехода к местным на-
пряжениям должен примерно соответствовать местным напряже-
176
ниям изгиба зуба ст3 в той же точке, если пренебречь напряжениями
сжатия и некоторым смещением опасного сечения зуба. Тем самым
влияние сосредоточенного изгибающего момента ориентировочно
учитывается при расчете зуба.
Исследования подшипников, размещенных в расточке обода
сателлита [65], показали, что при относительной толщине обода
сателлита hip 0,28 4-0,32 практически можно не учитывать
влияния деформации обода на распределение реакций среди тел
качения. Тогда коэффициент в формуле (291) будет
Па = 0,0947+ 0,318 tg у, (292)
где у — угол давления (рис. 84, а).
При относительной толщине обода/i/p< 0,24-~0,28 распреде-
ление реакций среди тел качения подшипника сателлита прибли-
жается к равномерному. В этом случае
Т]а — 0,318 tg у.
От номинальных напряжений перейдем к местным, вводя коэф-
фициент
(293)
иоб. н
где аоб; огоб. н — местные и номинальные напряжения изгиба обода
в произвольном сечении.
Максимальное значение аоб тах > Соответствует коэффициенту
концентрации напряжений собственно обода в сечении 4—4 на
рис. 84, б. В опасном сечении обода вблизи точки а значения коэф-
фициента аоб < 1.
В настоящее время экспериментально установлены предельные
местные напряжения изгиба зуба а-ъит для сателлитов с жест-
ким ободом при различных способах термообработки [91, 99].
Поскольку экспериментальных данных о предельных местных
напряжениях для случая изгиба собственно обода сателлита нет,
а коэффициент асимметрии цикла изменения напряжений изгиба
зуба и обода близок к г = —1, то можно принять равенство пре-
делов выносливости ог_ 1об нт = 0Г-1з lim- Используя данные экс-
перимента, построим условную диаграмму предельных напряже-
ний на рис. 87, б. По осям координат отложим отрезки Оа =
= tf-i3iim и ОЬ =—О'—1об пт, характеризующие напряженное
состояние в двух крайних случаях, когда в опасном сечении зуба
существуют максимальные напряжения о3 = П-ьит при оОб =
= 0 или, наоборот, когда в опасном сечении обода возникают
максимальные напряжения оОб = o'-io6iim при <г3 = 0.
На том же графике отложены отрезки, соответствующие на-
пряжениям х = о3 и номинальным напряжениям в ободе ун =
= аоб. на» подсчитанным с помощью формул (291) и (292) по экспе-
риментально установленным предельным нагрузкам (Ft iim)T
12 Под ред. Н. И. Колчина 177
Рис. 88. График зависимости (х>об=1 (^/р>
а3) (точки соответствуют точкам на
рис. 87)
(см. табл. 28). Кривые, характеризующие напряженное состояние,
исходят из одной точки а, когда аоб. на = 0. Штриховой линией
показано, что все кривые должны сойтись в точке b в том (нере-
альном) случае, когда при весьма малой толщине обода коэффи-
циент концентрации напряжений ao6max—> 1, т. е. выносливость
сателлита целиком определяется напряжениями o_iO6 нт, а не
0—1з lim*
Гипотетическая кривая acb, характеризующая напряженное
состояние сателлита и построенная только по местным напряже-
ниям <т3 = f (аоб), должна пройти через заштрихованную область,
расположенную ниже прямой ab. Тогда ориентировочное значе-
ние коэффициента по^ фор-
муле (293) определится'отно-
шением абсцисс у/уп = аоб.
На рис. 88 представлена
зависимость аоб=/(^/р, аз)
для испытанных вариантов
сателлитов. Из графика сле-
дует, что в диапазоне реаль-
ных значений h/p величина
коэффициента аоб умень-
шается при возрастании ко-
эффициента концентрации
напряжений изгиба зуба а3
и при увеличении относи-
тельной толщины обода hip.
Тем самым из двух сравниваемых сателлитов одинаковой
конструкции с равными напряжениями изгиба обода при рав-
ных окружных усилиях Ft меньшей выносливостью обладает
сателлит с отрицательной коррекцией зубьев, если число зубьев
и исходный контур одинаковы. Отмеченное снижение выносли-
вости при отрицательном корригировании происходит тем замет-
нее, чем тоньше обод.
Характер влияния коэффициента а3 на выносливость сателлита
связан с тем, что чем меньше концентрация напряжений изгиба
зуба (например, при уменьшении коэффициента коррекции х),
тем дальше опасное сечение сателлита находится от опасного се-
чения 1—1 зуба сателлита с жестким ободом (рис. 84, б) и ближе
к опасному сечению собственно обода 4—4. Такое же смещение
опасного сечения сателлита было отмечено при эксперименте
в случае уменьшения относительной толщины /г/р и приводило
к снижению выносливости сателлита при изгибе.
Теоретические методы расчета тонкостенных ободов сателлитов
еще не разработаны, поэтому в практике проектирования плане-
тарных передач могут быть использованы эмпирические графики
для определения коэффициента формы Ут зуба и обода. На рис. 89
графически интерпретируется связь гипотетической зависимости
(Ft Ит)т = f (YT) при различных значениях местных предельных
178
напряжений в ободе a_i06 ит 0 для Нескольких вариантов са-
теллитов (рис. 89, а) с диаграммой предельных напряже-
ний &—1з lim = f 1об lim) (рИС. 89, в).
С помощью любого из графиков, представленных на рис. 89, а
или в, может быть получена
О) 6-105 Ыт* О
lim )r foBlunl
зависимость (Ft цт)т = f (О-1об lim)
при различных значениях коэф-
фициента формы зуба при жест-
ком ободе Y (рис. 89, б). Опус-
кая индекс предельных напря-
жений lim и полагая bmn = 1,
о I Yr
5) 1
Рис. 89. Переход от зависимо-
сти (Ft Пш)т = f (Гт) К *об =
Um)r s 6- i3lim bmY
получим зависимости У. = f (-^-) и ko6 = (рис. 89, г
\ ®3 / \ &3 /
и д). Значение отношения местных напряжений в настоящее
. аз
время определить существующими методами нельзя, но по
результатам экспериментов в диапазоне реальных пропорций
обода сателлита выявлена ориентировочная линейная зависи-
мость вида
_^б = СТоб.на, (294)
где 6 и | — постоянные коэффициенты, зависящие только от
коэффициента концентрации напряжений изгиба зуба а3.
Заменяя параметр отношением номинальных напряжений
<*3
изгиба обода по формуле (291) и местных напряжений изгиба зуба
по формулам (288), (289), построим по данным таблиц 28 и 29
эмпирические графики зависимостей Ут = f и &Об =
= f (— °б-на ) ПрИ различных значениях коэффициентов Y(рис. 90).
\ 0*3 /
12* 179
Следует отметить, что на кривых (рис. 90) нет различий при расче*
тах зубьев, контактирующих в зоне одно- или двухпарного заце-
пления, подвергнутых термическому улучшению или цементации
с закалкой. Указанное обстоятельство позволяет предположить,
что изложенные методы расчета сателлитов и обработки рёзуль-
исследования достаточно уни-
версальны. Это предположе-
ние намечено дополнительно
проверить при последующих
исследованиях цементован-
ных и азотированных сател-
литов.
При существующем уров-
не знаний, когда предельные
напряжения для зубчатых
передач устанавливаются су-
губо эмпирическим путем,
изложенная гипотеза о на-
пряженном состоянии зуба
и обода сателлита не ставит
целью теоретически опреде-
лить предельные напряжения
и призвана лишь качественно
раскрыть причины снижения
несущей способности сател-
литов с тонкостенным обо-
дом. Те же исходные поло-
Рис; 90. Зависимость коэффициентов Ут
(а) и &об (б) от параметров go6, H- и Уе,
Q3
• — экспериментальные данные авторов;
О — результаты экспериментов по работе [8]
ции обода возникают напряжения
жения остаются справедли-
выми и для центральных
колес внешнего или внутрен-
него зацепления, у которых
на стороне растянутых воло-
кон зуба а3> 0, при деформа-
сжатия ооб << 0. При этом
различие в коэффициентах асимметрии цикла для центральных
колес (г — 0) и для сателлита (г = —1) практически может
сказаться только на величине предельных напряжений.
25. ВЫБОР ЧИСЛА СТУПЕНЕЙ
ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ ТИПА 2К-Н
Для некоторых машин требуются передачи с большими (по-
рядка 50. . .200 и более) значениями передаточных отношений при
достаточно высоком значении к. п. д., малых габаритах и весе.
В этом случае значительный интерес представляют многоступен-
чатые планетарные передачи, составленные из планетарных сту-
пеней 2К—Н простейшего типа.
Анализ конструкций передач рассматриваемого типа показы-
вает, что меньшему суммарному весу G2 зубчатых колес соответ-
180
ствует и меньший вес передачи с учетом всех ее деталей. Анало-
гичная закономерность имеет место и в передачах с неподвижными
осями зубчатых колес. В связи с этим при выборе числа ступеней-
передачи можно исходить из минимального суммарного веса
зубчатых колес.
Вес зубчатых колес j-й планетарной ступени с достаточной для
сравнительной оценки весовых характеристик различных типов
передач (отличающихся лишь числом планетарных рядов) точ-
ностью можно определить по формуле
п _JtyQfe/(р/ +1) Г. , /р/-1 \2д I 46/ 21
2[*0]/ар/(р/-1) L 2 )aPl^dbjP1\>
в которой у — удельный вес материала зубчатых колес; —
коэффициент неравномерности распределения нагрузки среди
сателлитов при расчетах на выносливость рабочих поверхностей
зубьев; Цо]— коэффициент контактных напряжений [91];
р -— отношение диаметра окружности, описанной вокруг сател-
литов, к диаметру вписанной окружности; ар — число сателли-
тов; 6 — толщина обода колеса b с внутренними зубьями, прини-
маемая равной (0,05—0,10) db—делительный диаметр колеса Ь.
В качестве безразмерного критерия веса передачи, не завися-
щего от абсолютной величины передаваемого момента, мате-
риала зубчатых колес и нагруженности последних, удобно при-
нять относительный суммарный вес G2 зубчатых колес пере-
дачи, вычисляемый по формуле
7; 2(^В [^о1т
2 ЛУт^т^Ат *
где индекс т относится к тихоходной ступени передачи; М — пе-
редаваемый крутящий момент..
В многоступенчатой передаче индексом 1 обозначим быстро-
ходную ступень, индексами 2, 3, 4, . — промежуточные
ступени. Тогда относительный суммарный вес передачи можно
представить в виде
Gs = + F ki (pT+l)(pT_1+i)---(P/+i+l) + ’ ‘ ‘
(Рт+ 1)(Рт-1+1)•••(Р2 + О ’ (295)
где для j-й ступени:
=== aPi(pj-l) [1 + (-£L-T~) aPi+1^] ; (296)
t? _ [^]т .
[kQ]jQkT ’
181
Последняя зависимость получается из известного условия со-
седства [91].
Для двухступенчатой передачи, полученной последовательным
соединением планетарных ступеней 2/С—Н простейшего типа, за-
висимость (295) приобретает следующий вид:
Для упрощения расчетов по зависимости (295) значения
и apj, вычисленные по формулам (296) л (297), представлены гра-
Рис. 91. К определению коэф-
фициента характеризующего
вес зубчатых колес планетар-
ной ступени 2К—Н простей-
шего типа
фически на рис. 91 и 92.
При заданной величине пере-
даточного отношения, варьируя
значения конструктивных пара-
метров Pj и определяя величину
Рис. 92. К выбору числа са-
теллитов aPf в зависимости
от конструктивного парамет-
ра pj и числа зубьев сател-
лита Zgj
G2mln Для нескольких передач, состоящих из различного числа
ступеней, можно по минимальному значению из всех G2 mln вы-
брать оптимальное в отношении веса и габаритов число ступеней.
Формулу (295) представим в более общем виде:
^2 = f(Pi> Рг, •••> Р/> •••> Рт)- (298)
Здесь значения фиксированы, а параметры pi, р2, . . .
. . ., Pj, . . ., рт не являются независимыми переменными, а свя-
заны дополнительным соотношением, вытекающим из условия
кинематики,
F(P1, р2, р,- ... рт) = 0. (299)
При последовательном соединении планетарных ступеней (ко-
леса с внутренними зубьями остановлены, водила ведомые) функ-
ция (299) представляется как
__________i-------------1=0.
(Pi + О (Р2 + О-• -(Рт + 1)
182
Функции (298) и (299) являются непрерывными и дифферен-
цируемыми в области определения этих функций. Вместо исходной
функции f (298) можно воспользоваться измененной функцией
определяемой по формуле:
ф(Р1, Рг. • • •. Pj, , Рт) = f(Pl, Pi, , Рт) + ^(Р1, Pi, • Рт),
где X — так называемый неизвестный множитель Лагранжа [75].
Необходимое условие минимума для функции f дают равен-
ства:
'*L = 0, ^ = 0, .... ^- = 0,
dpi ’ др2 ’ ’ орт ’
которые вместе с зависимостью (299) позволяют определить пара-
метры plt р2, . . рт и %, обеспечивающие минимальный относи-
тельный вес G2mln.
Следует отметить, что изложенный способ нахождения опти-
мальных значений pjt основанный на обеспечении контактной
равнопрочности между ступенями, преследует цель максималь-
ного обоснования выбора числа ступеней и разбивки передаточ-
ного отношения между ними. Получающиеся значения р/олт
дают возможность ориентироваться при выборе р, в реальных кон-
струкциях, поскольку в некоторых случаях на эту величину мо-
гут повлиять факторы, не учитываемые приведенными выше зави-
симостями, например компоновочные требования, необходимость
облегчения условий работы подшипников сателлитов и другие
факторы.
Анализ зависимостей (295) и (296) показывает, что при варьи-
ровании параметров р,- (особенно в тихоходных ступенях) малым
значениям Ар,- = р/ — р/опт ПРИ АР/ > 0 соответствует несущест-
венное возрастание веса и габаритов передачи, тогда как при
Др, < 0 рост функции G2 более ощутим. Следовательно, при необ-
ходимости варьирования значений р/ рационально придержи-
ваться условия Др/ > 0, что в первую очередь относится к тихо-
ходным ступеням передач.
В качестве примера, иллюстрирующего влияние числа ступе-
ней на GSmln при заданной величине и, по предложенным выше
формулам построен график (рис. 93) для аР1- = 3, k,- = const.
Зависимость (295) подтверждает, что величина G2 многосту-
пенчатой передачи практически определяется весом зубчатых
колес двух последних тихоходных ступеней. Очевидно, что вес
и диаметральные габариты редуктора тоже будут определяться
весом и габаритами двух последних тихоходных ступеней.
Таким образом, сколь угодно большие по величине передаточ-
ные отношения могут быть осуществлены с помощью многоступен-
чатых передач, составленных из планетарных ступеней 2К—Н
простейшего типа.
Для примера сравним вес двух- и трехступенчатой передач
2/(—Н при и = 63. Для простоты пусть во всех ступенях
183
величины [Ло1 и постоянные. Параметры передач сведены
в табл. 30, из которой видно, что вес в трехступенчатой передаче
меньше, чем в двухступенчатой.
Рис. 93. Графики изменения
Gs mln в зависимости от пе-
редаточного отношения и и
числа ступеней при аР]- = 3
и kj = const
Стоимость материала, как известно [167], составляет основную
долю в себестоимости при изготовлении редуктора. В таком слу-
чае себестоимость изготовления редуктора в основном опреде-
ляется его весом и габаритами [73].
Таблица 30
Параметры сравниваемых передач
Параметр 2Х2К-Н | ЗХ2К-Н
Ступени
1 2 1 2 3
Pi 10,8 4,33 ( 4,3 2,45 2,45
api 3 3 3 5 5
5/ 3,6 1,51 2 0,6 0,6
И 2,16 1,40
Qj в кг 5,6 11 1.4 2 7
в кг 2л 16,6 10,4
Вес ступени в кг 10 22 3 4 21
Вес передачи в кг 32 28
134
Следовательно, в отношении беса, габаритов и затрат на из-
готовление трехступенчатая передача может оказаться рацио-
нальнее двухступенчатой. Это следует и из анализа выполненных
конструкций, в которых при и = 63, 7ИТ = 200 кгс-м, h =
= 10 000 ч, lk0]j 40 кгс/см2, Qkj 1,1, = 1500 об/мин
наружные диаметры по корпусам передач 2х2К—Н и Зх2К—Н
соответственно оказались равными 300 и 240 мм, а осевые размеры
с учетом выходных концов валов соответственно были равны 345
и 390 мм. Полный вес передач был 32 и 28 кг. В тихоходной сту-
пени передачи Зх2К—Н с целью улучшения условий работы под-
шипников сателлитов пришлось разместить их в водиле. Это
привело к увеличению осевого размера тихоходной ступени, что
и объясняет меньшее снижение веса конструкции по сравнению
с уменьшением G2 (табл. 30).
26. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
ДИСКОВОЙ КОНСТРУКЦИИ
Зубчатые колеса с числом зубьев более 30—40 обычно имеют
дисковую конструкцию. В результате многолетней практики про-
ектирования передач и исследования прочности зубьев устано-
вились конструктивные соотношения основных размеров зубчатых
колес, изменяющиеся в сравнительно узких пределах. Толщину
обода, несущего зубья, обычно принимают равной 2—2,5 модуля,
наружный диаметр ступицы (в случае шпоночного соединения
с валом)— 1,6—1,8 диаметра посадочного отверстия. Что же ка-
сается толщины диска, то в известных конструкциях она ме-
няется в широких пределах. Существенно расходятся в этой части
и рекомендации, имеющиеся в технической литературе. Толщину
диска 6 предлагается выбирать в пределах от 0,2—0,3 ширины b
зубчатого венца [61] до 0,1 и даже менее [41].
Толщина диска заметно влияет на вес зубчатых колес. Если
задаться средними пропорциями колеса:
-А- = 0,4; -^- = 0,9; 4-= 0,185, (300)
da ’ d№ v >
где — наружный диаметр ступицы; d2 — внутренний диаметр
обода; da — наружный диаметр обода, то получим следующую
зависимость его веса GK от относительной толщины диска X =
= 6/Ь:
GK = Й (0,08 +0,17Х). (301)
Здесь й — коэффициент, зависящий от абсолютных размеров
колеса и удельного веса материала.
Из зависимости (301) находим, что при % = 0,3; 0,2 и 0,1
вес колеса составляет соответственно 100, 87 и 74%. Таким обра-
зом, эффект от уменьшения толщины диска достаточно велик и
185
величину i следует выбирать по возможности наименьшей, ис-
ходя из требований, предъявляемых к прочности и жесткости зуб-
чатого колеса.
Наибольшие напряжения в диске возникают на его границе
с ободом в зоне зуба, к которому приложена нагрузка. Прибли-
женный расчет величины этих напряжений по формулам, при-
веденным в работе [21], показал, что равнопрочность зубьев
и диска может быть достигнута при % = 0,08 — 0,12 для зубчатых
колес из сталей малой и средней твердостей и при % = 0,124-0,20
зубцев. Для увеличения прочности радиус
перехода диска в обод выполняется по
возможности большим, в результате чего
увеличивается площадь сечения диска в
опасной зоне и уменьшается концентрация
напряжений. Нередко по краям обода
п р еду сматр ив аются р ебор ды, б л аго да р я
которым достигается выравнивание жест-
кости зубьев по длине, а также уменьша-
ются напряжения на границе диска и
обода вследствие увеличения изгибной
жесткости последнего (рис. 94).
Переходим к рассмотрению жесткости
зубчатого колеса в связи с выбором тол-
щины диска. Очевидно, с уменьшением
уменьшается и обод за счет деформаций
в случае цементации
Рис. 94. Конструкция
дискового зубчатого ко-
леса с ребордами
S жесткость колеса
тонкого диска может существенно перемещаться относительно
ступицы. Если колесо прямозубое, то эти перемещения способ-
ствуют более равномерному распределению нагрузки по ширине
зубчатого венца. В косозубой же передаче деформация, вызван-
ная осевой силой, напротив, приводит к перекосу зубьев.
Для определения величины деформации дисковых колес под
действием осевой нагрузки, приложенной к ободу, были прове-
дены испытания жесткости ряда моделей различных масштабов
с плоскими и коническими дисками при X = 0,14-0,3. Во время
испытаний проводилось измерение угла поворота <р0 сечения обода,
в котором приложена осевая нагрузка, относительно ступицы
в меридиональной плоскости. Экспериментальные значения ф0
(в рад), полученные на моделях с плоскими дисками, аппрокси-
мируются уравнением
<р0 = 0,205- IO"3
dH
(302)
где Рос — величина осевого усилия, приложенного к ободу
в кгс; d„ — в см.
Произведя преобразование уравнения (302) с учетом извест-
ных зависимостей между углом перекоса зубьев и концентрацией
нагрузки, получаем формулу для определения толщины диска,
186
необходимой для обеспечения требуемой жесткости колеса,
Л1’5 = 0,035.10-3 (-^)2 Q , (303)
где С — жесткость зацепления в кгс/см2; 0 — угол наклона
зубьев; 0О — теоретический коэффициент концентрации нагрузки,
характеризующий неравномерность ее распределения по ширине
зубчатого венца в неприработавшейся передаче (в данном случае
предполагается, что 0О < 2).
Приведенные зависимости наглядно показывают, что в косо-
зубых передачах с уменьшением толщины диска в соответствую-
щих пропорциях уменьшаются и вес, и допускаемая нагрузка
(вследствие увеличения коэффициента концентрации). Критерием
для выбора оптимальной толщины диска может служить мини-
мальный относительный вес передачи, равный частному от деле-
ния веса на допускаемую нагрузку. В качестве примера решим за-
дачу отыскания оптимальной величины 10ПТ для двухступенчатых
редукторов общего назначения, у которых при % = 0,3 вес зуб-
чатых колес составляет примерно 25% от веса всего редуктора.
Для рассматриваемого случая, учитывая зависимость (301), вес
редуктора Gp может быть представлен в виде
Gp = 3G£=q>3 + GK = Й (0,473 4-0,171).
Относительный вес редуктора
v = Ж = 2(0,473 ^17Х)/Снр = (0,473 4- 0,171) Кйр. (304)
Здесь [/И ] — допускаемый крутящий момент на валу редуктора;
[Л10]— то же, но при отсутствии перекоса зубьев, вызванного
деформацией колес; Кнр — эффективный коэффициент концен-
трации нагрузки, вызванной перекосом зубьев за счет деформации
колес.
В формулу (304) подставляем значение 1 из зависимости (303)
и коэффициент Кир в виде, предложенном в работе [90]. Тогда
Кн₽ = 1 + (00- 1)Н.
где ц с 1 — коэффициент, характеризующий чувствительность
передачи к концентрации нагрузки; его величина зависит от
прирабатываемости зубьев, режима работы передачи и вида раз-
рушения зубьев, лимитирующего их прочность.
Дифференцируя выражение для у по 0О и приравнивая произ-
водную нулю, находим функцию, позволяющую при заданных
значениях fe/dH, С, 0 и р. определить величину 0О, соответствующую
наименьшему относительному весу передачи, а затем из выраже-
ния (303) найти 1опт. Результаты расчетов приведены на рис. 95, а.
При проведении расчетов значения С в зависимости от 0 принима-
лись по работе [90], b/dH = 0,185— из соотношений (300).
187
Если корпус передачи сильно облегчен и вес колес при Л =
= 0,3 составляет, например, половину от всего веса передачи,
то оптимальная толщина диска уменьшается (рис. 95, б).
Увеличение толщины диска не является наиболее рациональ-
ным способом увеличения жесткости колеса. Целесообразнее
придать диску коническую форму. Угол наклона а' образующей
диска к плоскости, перпенди-
кулярной оси колеса, жела-
тельно выбирать в пределах
20—30°. В этом случае жест-
кость колеса в 3—4 раза боль-
ше, чем при плоском диске
(рис. 96). За счет применения
диска с углом а' — 30° можно
уменьшить вес колеса на 20—
25% при сохранении его жест-
кости.
от а'
Рис. 95. Зависимости Хопт от р и ц:
а — при нормальном; б — при облег-
ченном корпусе
Испытания моделей показали, что при наличии больших от-
верстий в диске жесткость колес уменьшается^ 1,15—1,25 раза.
Кроме того, жесткость становится неравномерной по углу пово-
рота, что может послужить причиной повышенного шума при
работе передачи. Поэтому следует избегать наличия больших
отверстий в дисках.
Полученные выше формулы и графики могут быть применены
с наибольшей достоверностью в тех случаях, когда пропорции
зубчатых колес близки к исследованным [см. соотношения (300)].
С увеличением отношения d1/da влияние толщины диска умень-
шается и принятая по приведенным выше рекомендациям вели-
чина К будет удовлетворять требованию жесткости с некоторым
запасом. Если же существенно ниже, чем'0,4, то необхо-
димы дополнительные меры по увеличению жесткости колеса.
188
Некоторое изменение b/dB (например, в интервале 0,15—0,25)
не приводит к существенному изменению рекомендаций в отно-
шении выбора Хопт, хотя с уменьшением b/da величину X жела-
тельно несколько увеличивать.
Тяжело нагруженные зубчатые колеса с узкими венцами
(b/dtt 0,12) и большим отношением размеров диска (djd^ 0,3)
не следует проектировать косозубыми, поскольку малая ширина
зубчатого, венца обусловливает большой угол наклона зубьев
и одновременно малую жесткость колеса даже при большом зна-
чении %. В результате.передача может оказаться неработоспособ-
ной. Лучшие весовые показатели в таких случаях обеспечит пря-
мозубое зацепление.
27. ОПЫТ РАБОТЫ ПО ИЗГОТОВЛЕНИЮ
ТОЧНЫХ БЫСТРОХОДНЫХ ТЯЖЕЛО НАГРУЖЕННЫХ
ЗАКАЛЕННЫХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Рассмотрим наиболее интересные технологические операции
изготовления тяжело нагруженных быстроходных редукторных
зубчатых колес, имеющих следующие характеристики: модули
6—8 мм, диаметры до 700 мм, длина образующей зуба до 180 мм,
зуб с модификацией головки, у основания зубьев — выкружки,
Рис. 97. Выкружка у корней зубьев с поднутрением П (а); с усту-
пами У (б) и направление следов обработки выкружки (в)
материал 18Х2Н4ВА, профиль зуба цементированный, шлифо-
ванный, степень точности 5—6, окружная скорость до 80 м/мин,
нагрузка до 120 кгс/мм, контактные напряжения до 160 кгс/мм2,
изгибные напряжения до 50 кгс/мм2, требуемая долговечность
5000 ч.
Как известно, наличие переходных кривых зуба с поднутре-
нием у основания зубьев, называемых выкружками, увеличивает
нагрузочные возможности зубчатых колес, но значительно услож-
няет изготовление последних. Следует потребовать обязательного
поднутрения для возможности выхода круга при шлифовании бо-
ковых профилей зубьев (рис. 97, а). Уступы (рис. 97, б) как
концентраторы напряжений недопустимы. По этой же причине
риски — следы обработки вдоль оси зуба — не разрешаются,
.189
они должны располагаться перпендикулярно оси зуба (рис. 97, в).
Нежелательны обработка выкружки и снятие цементированного
слоя после термообработки зубчатого колеса. Необходимо, чтобы
поднутрение выкружки по отношению к профилю зуба было не
менее 0,25—0,35 мм.
На первом этапе выкружка фрезеровалась фасонной фрезой
на горизонтально-фрезерном станке методом последовательного
деления. Нарезались одни стороны выкружек, деталь перево-
рачивалась, и фрезеровались их вторые стороны. При этом методе
обработки не всегда обеспечивалось качество и часто имело место
смещение выкружки, ведущее к образованию недопустимых
уступов.
Трудоемкость изготовления выкружек сократилась в неско-
лько раз после создания червячной фрезы для фрезерования их
методом обкатки на зуборезном станке. Создалась возможность
осуществления многостаночного обслуживания. Значительно
облегчился труд рабочего. Однако и этот метод не мог удовлет-
ворить производство. Профиль зуба и выкружка нарезались раз-
дельно. Вероятность появления уступов не была исключена.
После долгих поисков удалось создать более сложные червяч-
ные фрезы неопределенной установки, нарезающие одновременно
профиль зубьев под шлифовку, выкружку, а также снимающие
притупления у вершин зубьев. Наряду со снижением трудоем-
кости повысилось качество, так как при одновременном нареза-
нии профиля зуба и выкружки значительно точнее обеспечиваются
симметричное расположение и совпадение осей выкружки и впа-
дины зуба.
Расчет модифицированного профиля этих фрез ведется графо-
аналитическим методом. Разработан порядок расчета участков
исходного профиля червячной фрезы, снимающих притупления
у вершин зубьев. Для крупногабаритных изделий пришлось
также разработать специальную методику графического опреде-
ления исходного профиля рейки червячных фрез методом обкатки.
При проектировании червячных фрез для нарезания зубчатых
колес с малым числом зубьев удалось использовать «естественный
подрез» для получения выкружки червячной фрезой без «проту-
беранца». Станочный угол исходного профиля фрезы а„шо выби-
рается так, чтобы требуемая выкружка получалась как эквиди-
станта удлиненной эвольвенты требуемого размера. Полирование
выкружки выполнялось с помощью пневмомашинки шарошками
и абразивной шкуркой.
Рассмотрим некоторые вопросы шлифования профиля зуба.
При зубошлифовании на поверхностях зубьев могут появляться
прижоги и трещины, которые резко снижают нагрузочную спо-
собность зубчатых колес, являясь очагами разрушения. Приме-
нение шлифовальных кругов со специальной структурой, подбор
режимов шлифования и наиболее оптимальных припусков дали
возможность избавиться от этого дефекта. Шлифование зубьев
190
разбивалось на две операции. Предварительное шлифование про-
изводилось на станках 5860, 5861 с обильным охлаждением. При-
пуск на зуб принимался равным 0,4 мм. Окончательное шлифова-
ние производилось на станках фирмы «Мааг» и 5851. Припуск
на зуб составлял 0,25 мм. Модификация головок зуба производи-
Рис. 98. Приборы для контроля смещения’; выкружки (а)
и для проверки толщины зуба^(б):
1 — ролик; 2 — шарик; 3 — индикатор
лась одновременно со шлифовкой боковых поверхностей зубьев
при нулевом методе шлифования. Работа велась без охлаждения.
Шероховатость рабочей поверхности V8.
Значительные деформации при термообработке нежелательны,
поскольку из-за них приходится увеличивать припуски под шли-
фовку, что ведет к росту трудоемкости, увеличенному неравномер-
ному съему наиболее ценного цементированного слоя и повыше-
нию внутренних напряжений. "Опыт показал, что деформации
при термообработке значительно уменьшаются, если по ободу
и другим местам зубчатого колеса выбраны увеличенные припуски.
Благодаря увеличению жесткости уменьшаются поводки зубчатых
колес.
Контроль комплексных отклонений — кинематической точ-
ности и плавности работы — по ряду обстоятельств осущест-
191
влялся поэлементной проверкой зубчатого венца. Варианты
проверки осуществлялись по нижеперечисленным элементам:
(ГОСТ 1643—56) L, по кинематической точности [(£0; Д(Л) или
Д0^Е по плавности работы [(Д/о; Д/) или ДуЕ п0 контакту зубьев
(ДВ0 или пятно контакта).
Глубина и высота модифицированной головки зуба проверя-
лись также на эвольвентомерах PH-100 или БВ-979 с помощью
снимаемых эвольвентограмм.
Наряду со стопроцентным контролем
зубчатых колес на магнофлоксе был
введен контроль шестерен на отсутст-
вие прижогов методом травления. При
изготовлении зубчатых колес 6-й сте-
Рис. 100. Грузоподъемное
устройство
Рис. 99. Прибор для’контроля5высоты актив-
ной части профиля зуба
пени точности и точнее пришлось отказаться от выборочной
проверки даже отдельных элементов. На рис. 98 приводятся схемы
работы двух приборов для контроля выкружки зуба. Первым из
них (рис. 98, а) контролируется симметричность расположения
оси выкружки по отношению к оси впадины зуба. Половинная
разность показаний индикатора при замере левой и правой сто-
рон выкружки равна смещению ее оси по отношению к оси впа-
дины зуба. Вторым прибором (рис. 98, б) проверяют минималь-
ную толщину зуба у его основания.
На рис. 99 показана схема прибора для проверки радиальной
активной высоты профиля зуба.
При установке и съеме зубчатых колес на зубошлифовальный
станок и эвольвентомер с помощью электрических или пневма-
тических подъемников не удалось получить плавного перемещения
детали и установки ее без ударов, сбивающих настройку станка
(прибора). Применяемое промежуточное подъемное устройство
(рис. 100) дает возможность осуществлять вручную окончатель-
ную, плавную, без ударов, установку и съем детали.
192
28. РАЦИОНАЛЬНЫЙ ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
ЧЕРВЯЧНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПЕРЕДАЧ
Методы сравнительной оценки нагрузочной способности и к«п,д,
передача Выбор рационального вида зацепления и оптимизацию
его параметров можно производить либо по результатам экспе-
риментальных исследований, либо расчетным путем. Экспери-
ментальный путь оценки качества передач требует длительных
испытаний и больших материальных затрат, поскольку для исклю-
чения влияния случайных факторов необходимо испытывать боль-
шое количество одинаковых передач. Расчетным путем можно
быстрее и проще оценить передачу, выявить влияние различных
параметров зацепления на ее механические характеристики.
При этом необходимо ввести расчетные критерии, т. е. функции
ряда переменных параметров, определяющих качество передачи.
Расчетные методы сравнительной оценки нагрузочной способ-
ности и к. п. д. передач, в частности червячных, находят в на-
стоящее время широкое применение. В работах Н. И. Колчина,
Ф. Л. Литвина, Л. В. Коростелева, Г. Нимана, Б. Мильднера,
И. С. Кривенко и др. рассматриваются вопросы выбора оптималь-
ных параметров передач. Однако в них нет критического анализа
расчетных критериев, которые положены в основу сравнительной
оценки нагрузочной способности и к. п. д. передач.
По существующим методикам червячные передачи рассчиты-
ваются на прочность по контактным напряжениям и по напря-
жениям изгиба.
В большинстве случаев расчет прочности зубьев колеса на
изгиб не определяет размеров передачи, поэтому он применяется
в качестве проверочного. Лишь при больших числах зубьев
колес (z2 > 80) расчет на изгиб применяется в качестве проекти-
ровочного.
До настоящего времени общепризнанных методик расчета
червячных передач на износ нет. Существующие методики и ре-
комендации не имеют достаточного теоретического и эксперимен-
тального обоснований.
Основное значение имеет расчет по контактным напряжениям,
который должен предотвращать в проектируемых передачах
выкрашивание и заедание рабочих поверхностей. В основе рас-
четов на контактную выносливость лежит формула Герца—
Беляева для случая сжатия двух цилиндров. Расчетные зависи-
мости, найденные в предположении, что прочность червячного
зацепления равна прочности косозубого реечного зацепления,
не отражают истинных условий контактного нагружения зубьев
колеса и витков червяка: кривизна рабочих поверхностей пары
учитывается только в одной точке •— в полюсе зацепления, сум-
марная длина контактных линий определяется приближенно,
кинематика зацепления вообще не учитывается. Вычисленные
по этим методикам контактные напряжения носят условный
13 Ппп ПАП М Ы Кппчипй
193
Характер. Расчет по ним червячных передач производится на
основании соответствующего выбора допускаемых напряжений,
величина которых определяется по результатам испытаний и опыту
эксплуатации червячных передач определенной конструкции.
Полученные таким образом допускаемые напряжения могут быть
использованы только при расчете подобных передач. Несоблю-
дение этого требования может привести к значительным погреш-
ностям расчета.
При расчете червячных передач на заедание используются те
же формулы, что и при расчете на контактную выносливость.
Различие имеется только в величине допускаемых напряжений,
которые в последнем случае принимаются в зависимости от ско-
рости скольжения в полюсе зацепления.
Таким образом, современные методики расчета червячных
передач на контактную прочность и заедание не позволяют дать
хотя бы сравнительную оценку нагрузочной способности нового
вида червячного зацепления или достаточно надежно проанали-
зировать влияние того или иного геометрического или кинема-
тического параметра зацепления на нагрузочную способность
передачи. Аналогичный вывод можно сделать и относительно
используемой в настоящее время методики расчета к. п. д. чер-
вячных передач.
Для выяснения физических и теоретических предпосылок, на
которых могут базироваться расчетные критерии нагрузочной
способности и к. п. д., рассмотрим картину контактного нагру-
жения рабочих поверхностей пары. Максимально допустимая
нагрузка передачи при контактно-гидродинамическом режиме
трения ограничивается несущей способностью масляного слоя,
разделяющего поверхности зубьев колеса и витков червяка.
Наличие такого слоя в червячных передачах подтверждается
исследованиями П. С. Зака [74], С. Н. Николаева [112] и др.
Уменьшение толщины масляного слоя ведет к увеличению
пика гидродинамического давления и снижению усталостной
прочности рабочих поверхностей зубьев колеса. При граничном
трении предельная нагрузка передачи определяется противоза-
дирной стойкостью материалов червячной пары и наличием на
них достаточно прочных и хорошо восстанавливаемых защитных
пленок. Вид трения в зоне контакта червячной передачи зависит
от геометрии зацепления, материалов пары, качества поверх-
ностей, приработки, смазки, режима нагружения. Поэтому рас-
четные критерии нагрузочной способности и к. п. д. должны быть
основаны и на контактно-гидродинамической теории трения, и на
теории граничного трения.
Рассмотрим расчетные критерии, применяемые для сравни-
тельной оценки червячных передач.
Обычный порядок получения и исследования расчетных кри-
териев нагрузочной способности следующий. В* зоне контакта
рабочих поверхностей выделяется элементарный участок дли-
194
ной dl. В пределах этого участка поверхности витка червяка и
зуба колеса рассматриваются как цилиндрические поверхности,
радиусы кривизны которых и скорости относительного движения
определяются на основе теории пространственных зацеплений.
По тем или иным зависимостям вычисляется элементарная сила,
направленная по общей нормали к рабочим поверхностям, dP =
= р dl, где р — нормальная нагрузка на единицу длины кон-
тактной линии. Умножая dP на cos х и плечо а ее приложения
относительно оси червячного колеса, получаем элементарный
момент dM = paces % dl (здесь х — угол между линией действия Р
и плоскостью, перпендикулярной оси червячного колеса). Пол-
ный крутящий момент М на валу червячного колеса определяется
суммированием элементарных моментов сначала по длине отдель-
ных контактных линий, а затем по всем одновременно существу-
ющим контактным линиям
М = £ J dM = 2 f pacosxdl. (305)
Z=l/Z
Сравнительная оценка нагрузочной способности передач про-
изводится по моменту М или по величине, ему пропорциональной.
Способ получения расчетного критерия нагрузочной способ-
ности на основании формулы Герца—Беляева предложен Г. Ни-
маном [75]. В этом случае нагрузка на едйницу длины контакт-
ной линии равна
__ акРпр
0,175£пр ’
а элементарный момент
~ 0,175ЕПр .Рпр0 C°S Х
В этих формулах стк — нормальные контактные напряжения;
рПр=—---------приведенный радиус кривизны (где рх и р2
соответственно радиусы кривизны червяка и колеса в точке кон-
такта);
р ___ 2Ej£a
пр — £1 + £2 »
где £х и £2 — модули упругости первого рода материалов чер-
вяка и колеса.
Сравнение нагрузочной способности передач производится
в'предположении, что пары выполнены из одинаковых материа-
лов (£пр = const) и что вследствие приработки рабочих поверх-
ностей происходит выравнивание контактных напряжений по
всему полю зацепления (ак = const). При этих условиях
dMt = qpnpfl cos х dl, (306)
13* 195
где
С1~ 0,175£пр =const-
Получим расчетные критерии нагрузочной способности и
к. п. д., исходя из существования гидродинамического трения
между рабочими поверхностями витков червяка и зубьев колеса.
При сравнительно небольших давлениях в зоне контакта можно
пренебречь изменением вязкости масла в зазоре и деформацией
рабочих поверхностей. Тогда величина минимального зазора Лт)п
между цилиндрическими поверхностями на основании гидроди-
намической теории смазки определится по известной формуле
h _2 45И(°от + ^а)о
^mln & Рпр,
где р — динамическая вязкость масла; vN{ и vN2 — относитель-
ные скорости контактных точек в направлении, перпендикуляр-
ном контактной линии.
Будем считать постоянными вязкостные характеристики масла
и минимальные величины зазоров в сравниваемых передачах.
Связь между зазором в расчетной точке Лт1п, осевым зазором hoc
и минимальным зазором в передаче min устанавливается
зависимостью
Лщщ t, min />min
е — **00-------- ' >
ez ez mln
где ег — значение орта нормали в контактной точке в направле-
нии оси червяка; ег mln — то же в точке, где зазор равен min Лш1п.
В этом случае элементарный момент на валу колеса равен
dM2 = С2рПр (yNi + v/f,) a cos % dl, (307)
ez
где
c2 — 2,45 —т-4— = const.
ПИПЙЩ1П.
Мощность трения в зоне контакта, отнесенная к единице
длины контактной линии, на основании гидродинамической тео-
рии равна
N = 2,3р. У [(ох, + vN,) + l,238v®]«
Г «mln
Здесь vs — скорость скольжения в точке контакта.
Отсюда для сравниваемых передач при тех же допущениях,
при которых получен критерий (307), потеря мощности на длине dl
контактной линии
dN = с0 У Рпр^- [(п„, + vN,)2 + 1,238v®] dl, (308)
196
где
с0 = ,..2,3** = const.
V min Лт|П
Полная мощность трения N находится из выражения (305),
куда вместо dM подставляется dN.
Для характеристики величины потерь Г. Ниман [175] пред-
лагает использовать отношение
(30Э)
где — угловая скорость вращения колеса.
При больших удельных нагрузках, когда деформация сопри-
касающихся тел велика, используется контактно-гидродинамиче-
ская теория трения. Эта теория учитывает не только деформацию
трущихся поверхностей, но также зависимость вязкости смазки
от давления. По А. Н. Грубину [57] средняя толщина смазочного
слоя в зоне контакта цилиндрических поверхностей определяется
из выражения
h0= 1,13 [|x(vat, +^2)а]°'727р°пр364 [р (<h + О2)]-0’091,
где th, г
1 — vi.2
— упругие постоянные материалов
трущихся
тел; Vi, 2 — коэффициенты Пуассона; р — вязкость масла при
атмосферном давлении и рабочей температуре тел; а — пьезо-
коэффициент вязкости.
Используя для сравнительной оценки червячных передач
формулу А. Н. Грубина, будем считать постоянными характе-
ристики материалов червячной пары, вязкостные характеристики
масла и минимальную величину средней толщины масляного слоя
в передаче min h0. При этих допущениях выражение элементар-
ного момента на валу колеса примет вид
= сзр^р (vNt + vNa)* (-^ь)" а cos х dl, (310)
где
_( 1,13 \11 (ра)8
з \ minft0 ) 0i + 02
= const.
Соотношение (310) представляет собой зависимость крутящего
момента от суммарной скорости (vN1 + t»№) и радиуса кривизны
Рпр, не согласующуюся с данными эксплуатации червячных пере-
дач. Предложение П. С. Зака [74] считать зависимость между
размерами передачи и минимально допустимой толщиной масля-
ной пленки линейной полностью не устраняет последнее несоответ-
ствие. Если производится сравнение однотипных передач, то при
этом допущении получается кубическая зависимость между
нагрузочной способностью и межосевым расстоянием передачи,
197
что близко к действительности. Но если сравнивать передачи
с одинаковыми межосевыми расстояниями, но с различной гео-
метрией зацепления, то влияние + vN2) и рпр остается преж-
ним.
Значительное расхождение между нагрузочной способностью
червячной передачи, получаемой по формуле (310), и ее факти-
ческим значением объясняется, по-видимому, тем, что формула
А. Н. Грубина для толщины масляного слоя учитывает только
сумму скоростей (с^х + vN2). Скорость же скольжения и ее
влияние на нагрев масла в зазоре не учитываются. Между тем
в червячных передачах имеет место значительное скольжение
рабочих поверхностей, в результате чего происходят нагрев масла
в зазоре, снижение его вязкости, а следовательно, и снижение
нагрузочной способности передачи. В силу этого определение
толщины масляного слоя для сравнительной оценки нагрузочной
способности червячных передач так, как это сделано при выводе
критериев (307) и (310), может привести к значительным погреш-
ностям.
Последние рассуждения дают повод искать другие пути исполь-
зования гидродинамической теории смазки при получении рас-
четных критериев нагрузочной способности. Будем считать, что
переход к граничному трению происходит тогда, когда мощность
трения /7, отнесенная к единице объема масла, протекающего
между контактирующими поверхностями, достигает критиче-
ского значения, постоянного для данного сочетания материалов
и масла. Положив в основу расчетов выводы гидродинамической
теории смазки, получим
Н = 0,979 р1’5 [(% + р^)2+1>238^] (31!)
и°ЧР(^ + ^)2’5
Принимая величину И и вязкость масла р постоянными, имеем
Г п /„ д_„ \2-5 I0-667
<Ш4 = с4 —а cos х dl, (312)
(Ч +р^)2+ 1>238Vj
где
С* ~ 0,979 = const-
Нагрузочная способность червячной передачи, работающей
в режиме граничного трения, определяется противозадирной стой-
костью рабочих поверхностей. При расчете на заедание наиболее
часто используется критерий Г. Блока <jkvs3 = const. Исполь-
зуя последнюю формулу при тех же допущениях, которые при-
няты при выводе dMlt получим следующий расчетный критерий
нагрузочной способности:
= Pnpgc20S .X^ , (313)
рде постоянная c5 зависит от свойств материалов трущихся по-
верхностей и масла.
Критерий Г. Блока так же, как и критерий Н, учитывает
удельное теплообразование в зоне контакта, но при граничном
трении.
Кроме расчетных критериев при сравнительной оценке чер-
вячных передач широко используются отдельные характеристики
зацепления: коэффициент перекрытия, длина контактных линий,
приведенный радиус кривизны и др.
Аналитическое исследование геометрии зацепления червячных
цилиндрических передача Для комплексного исследования всех
видов червячных цилиндрических передач необходимо выбрать
такую форму задания исходной поверхности, которая позволяет
рассчитывать все виды передач и в то же время не вносит серьез-
ных усложнений при расчете конкретных разновидностей. Анализ
различных видов заданий исходной поверхности червяка показы-
вает, что наиболее удобно задавать ее уравнения с помощью вин-
тового движения торцового профиля червяка, уравнения которого
для любого вида червячной цилиндрической передачи не содержат
трансцендентных зависимостей и их вывод не представляет труд-
ностей. Этот вид задания исходной поверхности червяка пред-
ложен Ф. Л. Литвиным [104].
Уравнения поверхности зацепления в неподвижной системе
координат представим в виде:
x = rcos т;
у — г sin т;
z = Р (т — 0 — Ф1);
(314)
где гит — модуль и полярный угол текущего радиус-вектора
точки контакта; 0 и р — параметры торцового профиля; Р —
винтовой параметр; фх и rw — угол поворота и радиус начального
цилиндра червяка.
На поверхности зацепления поле зацепления представляет
собой область, границами которой являются линии пересечения
поверхности зацепления следующими поверхностями: наружной
поверхностью червяка, глобоидной поверхностью колеса, наруж-
ной цилиндрической поверхностью колеса и боковыми поверх-
ностями колеса. Уравнения последних пяти поверхностей соот-
ветственно будут:
х2I/2 — = 0;
(х + arf - (аш — |Л|г2-У2|)2 + z2 = 0;
(х + ^)2 + г2-₽2н = 0;
(315)
11/1-4=0-
199
Здесь ra — радиус наружной поверхности червяка; dw — меЖ-
осевое расстояние; Г2 — радиус глобоида колеса; — радиус
цилиндрической поверхности колеса; В — ширина колеса.
Уравнения (315), записанные в виде неравенств, и уравнения
(314) являются уравнениями поля зацепления.
Границы поля зацепления определяются путем совместного
решения системы (315) и уравнений (314). Анализ уравнения
зацепления [последнее уравнение в (314)] показывает, что кон-
тактная линия в точке выхода из поля зацепления является каса-
тельной к линии пересечения поверхности зацепления наружной
поверхностью червяка при условии ra cos ра < rw. Если же это
уравнение не соблюдается, то контактная линия при выходе из
поля зацепления пересекает указанную линию. В последнем
случае, т. е. при ra cos > rWi который реализуется при боль-
шом отрицательном коэффициенте смещения, удается у эвольвент-
ных червячных передач получить очень благоприятное с точки
зрения нагрузочной способности и к. п. д. расположение контакт-
ных линий.
Радиусы кривизны червяка рх и колеса р2 определяются по
формулам [104]:
I VF1 |2 . 0 _ I VF2 |2
P1 Vptf! ’ Рг VF2G2 9
где и vF2 — скорости движения точки контакта по поверх-
ностям червяка и колеса; ах и а2— производные орта нормали
к поверхностям червяка и колеса.
При исследовании подрезания зубьев колеса используется
уравнение
Рпр = 0. (317)
Для нахождения линии заострения зубьев червячного колеса
решаются совместно уравнения левой и правой поверхностей
зуба при условии х% = х"; у* = z$ = z%. Здесь индекс л
означает левую боковую поверхность, индекс п — правую.
Предложенный алгоритм аналитического исследования позво-
ляет получить все виды червячных и спироидных передач с ци-
линдрическим червяком и передачи, составленные из косозубого
цилиндрического колеса и глобоидного червяка.
Экспериментальная проверка применимости расчетных крите-
риев нагрузочной способности и к. п. д. для червячных передач.
Для того чтобы выбрать из приведенных выше расчетных крите-
риев нагрузочной способности и к. п. д. наиболее рациональные,
лучшим образом оценивающие передачи, выполнены расчеты,
результаты которых сопоставлены с опытными данными. Во всех
расчетах коэффициенты cL в формулах (306)—(308), «(310), (312),
(313) приняты равными единице, скорость вращения червяка
сох = 1 1/с.
200
Величина нагрузочной способности червячных передач, рас-
считанная по различным критериям, изменяется в зависимости
от угла поворота червяка. Г. Ниман и его последователи в своих
работах используют минимальные значения. Обосновывают они
это решение тем, что, по их мнению, минимальной по углу пово-
рота червяка нагрузочной способностью определяется предельная
нагрузка передачи.
Все расчеты при сравнении результатов применения различных
расчетных критериев нагрузочной способности и к. п. д. с экспе-
Рис. 101. Зависимость момента на валу червячного колеса от межосевого
расстояния:
1 — по критерию Mil 2 ~ по критерию 3 — по критерию Мэ; 4 — по критерию М4;
5 — по критерию Мв; 6 — по опытам, проведенным в Л ПИ им. Калинина, с бронзой
Бр.АЖ9-4 для архимедовой передачи z =1, z = 40, q = 8 4-12; ад = 20®
риментальными данными были выполнены для минимальных,
средних и максимальных значений. Лучшее совпадение получено
при применении средних значений. Поэтому в работе использованы
средние значения величины расчетных критериев нагрузочной
способности и к. п. д.
Одной из наиболее изученных является зависимость нагрузоч-
ной способности червячных передач от межосевого расстояния.
На рис. 101 приведены графики изменения относительной нагру-
зочной способности архимедовых червячных передач в зависимости
от межосевого расстояния aw. Построения выполнены на основа-
нии расчетов по критериям — Мъ (линии 1—5) и по опытным
Данным (область 6).
Другая группа расчетов выполнена для сопоставления чер-
вячных передач с архимедовым червяком (77), с эвольвентным
червяком (Э) и с червяком, имеющим вогнутый профиль (В).
Параметры зацепления этих передач: aw = 120 мм, тх = 6 мм,
гх = 1; у передач П и Э z2 = 31; у передачи В г2 = 29, q = 9,
«ц = 20°; радиус профиля шлифовального круга (передача В)
201
Таблица 31
Средние расчетные значения характеристики зацепления
Параметр Тип червячной передачи Отношения
П э в Э/П в/п
В СМ 8,29 8,32 3,50 1,00 0,42
Рпр В СМ 3,38 3,36 12,14 0,99 3,59
D* В СМ/С 2,84 2,84 3,02 1,00 1,06
(vm + »лгг) * в см/с 1,19 1,14 1,69 0,96 1,59
в кгс*см 243 242 349 1,00 1,44
М2 в кгс*см 316 304 677 0,96 2,16
N в кгс*см/с 184 183 170 0,99 0,92 '
W 5,71 5,91 2,30 1,04 0,40
М3 в кгс*см 52,5Х 103 51,8Х103 149Х 10е 0,99 2840
Мл в кгс*см 46,1 44,7 69,4 0,97 1,50
Мь в кгс*см 133 132 187 0,99 1,41
♦ Скорость вращения червяка 1 1/с.
р = 27 мм; размеры червяков и колес соответствуют ГОСТ
2144—66. В табл. 31 приведены средние расчетные значения
отдельных характеристик зацепления, суммарной длины контакт-
ных линий /2, приведенного радиуса кривизны рпр, скорости
скольжения us, суммы скоростей uwi + vNi, критериев нагру-
зочной способности /Их—М6, потерь на трение N и критерия W.
Здесь же даны относительные значения этих величин для передач Э
и В по сравнению с передачей П.
Стендовым испытаниям подвергались передачи П и В [105].
При этом оказалось, что нагрузочная способность передачи В
в 1,67—1,68 раза при пг = 1000 об/мин и в 1,80—2,14 раза при
пх = 1500 об/мин выше, чем передачи типа П. Коэффициент
полезного действия передачи В соответственно в 1,17—1,20 и
1,14—1,17 раза выше передачи 77.
Из приведенного исследования следует, что из рассмотренных
расчетных критериев нагрузочной способности, основанных на
гидродинамической теории смазки, наиболее хорошо согласуется
с результатами эксперимента критерий /И4. Этот критерий по
сравнению с другими наиболее полно отражает условия контакт-
ного нагружения.
202
Критерий Mlt основанный на формуле Герца—Беляева, и
критерий Л45, основанный на теории граничного трения, также
дают результаты, близкие к опытным данным.
Непосредственное применение формул гидродинамической и
контактно-гидродинамической теорий трения при сравнительной
оценке червячных передач (как это сделано при выводе критериев
М2 и М3) не рекомендуется, поскольку полученные результаты
значительно отличаются от опытных.
Не рекомендуется оценивать нагрузочную способность пере-
дачи по отдельным характеристикам зацепления, например по
/2 или рпр, поскольку каждая из них в отдельности не характе-
ризует нагрузочную способность передачи в целом.
Таблица 32
Геометрические характеристики передач в мм
(в® = 80 мм, ап — 20°)
Параметры Номер варианта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Тип червяка тх Ч Ч q р Аи b ги п 4 1 30 10 п 4 4 30 10 П 2 1 66 14 п 2 4 66 14 Э 4 1 30 10 Э 4 4 30 10 Э 2 1 66 14 Э 2 4 66 14 В1 4 1 28 10 20 67 18,794 26,840 В1 4 4 28 10 20 67 18,794 26,840
Параметры Номер варианта
И 12 13 14 15 16' 17 18 19 20
Тип червяка /пх Ч Ч q р Аи b ги В1 2 1 64 14 14 67 ] ] В1 2 4 64 14 14 67 13,156 18,760 В2 4 1 28 10 20 В2 4 4 28 10 20 В2 2 1 64 14 14 В2 2 4 64 14 14 К 4 1 30 10 К 4 4 30 10 К 2 1 66 14 К 2 4 66 14
203
Расчетные методы сравнительной оценки нагрузочной способ-
ности и н.п. д. позволяют получить достаточно надежную каче-
ственную характеристику червячной передачи.
Оптимизация параметров зацепления червячных цилиндриче-
ских передач* Наиболее существенное влияние на нагрузочную
способность и к. п. д. червячных цилиндрических передач ока-
зывает форма профиля червяка. Рассмотрены следующие виды
червячных передач: архимедовы (77), эвольвентные (Э), варианты I
(В1) и II (В2) (по классификации Ф. Л. Литвина) с червяком,
шлифуемым тороидальным инструментом, и с червяком, шлифуе-
мым конусным кругом (К). Геометрические характеристики иссле-
дованных передач приведены в табл. 32, в которой Аи, b и ги —
параметры установки шлифовального круга. Основные резуль-
таты расчетов даны в табл. 33.
Сравнение архимедовых, эвольвентных и передач с червяком,
шлифуемым конусным кругом, показывает, что эти передачи
в области параметров, рекомендованных ГОСТ 2144—66, пол-
ностью равноценны по отдельным характеристикам зацепления,
нагрузочная способность этих передач по критериям Мг, М4,
Л15 и к. п. д. по критерию W также одинаковы. Передачи вариан-
тов I и II с червяком, шлифуемым тороидальным инструментом,
также не отличаются друг от друга и по отдельным характери-
стикам зацепления, и по критериям Aflt М4, М5, W.
Анализ результатов расчета показывает, что передачи первой
группы (77, Э, К) имеют широкие поля зацепления с длинными
контактными линиями. У передач второй группы (Bl, В2) поля
зацепления более узкие, а суммарная длина контактных линий
примерно в два раза меньше.
Основные резуль
Обозначение параметра Номер
1 2 3 4 5 6 7 8
е 2,57 2,57 2,82 2,72 2,57 2,46 2,81 2,59
в см 5,96 5,71 3,86 3,68 5,99 5,81 3,86 3,67
Рпр В СМ 2,25 2,08 2,33 2,26 2,24 1,99 2,32 2,20
Р В град 24,4 22,1 22,2 20,2 24,2 21,3 22,2 19,7
us в см/с 2,Н 2,26 1,44 1,50 2,10 2,25 1,44 1,49
vNt + в см/с 0,85 0,74 0,53 0,48 0,83 0,77 0,53 0,46
в кгс-см 75,1 63,2 55,6 ’ 49,7 75,2 61,4 55,4 46,4
Мл в кгс-см 14,4 8,7 8,0 5,5 14,3 8,6 8,0 5,0
Мь в кгс-см 46,3 37,3 43,8 38,3 46,5 35,9 43,7 37,1
W 7,89 3,02 11,81 3,88 7,99 3,11 14,85 4,11
204
Направление контактных линий у передач первой группы по
сравнению с передачами второй группы значительно менее благо-
приятно с точки зрения условий образования масляного клина.
Соответственно угол между вектором относительной скорости
скольжения и касательной к контактной линии примерно в 2 раза,
a VNt + vNt примерно в 1,5 раза меньше.
Абсолютные величины vs у обеих групп одинаковы. Приве-
денные радиусы кривизны у передач второй группы в 2,0—2,2
раза выше. Нагрузочная способность передач второй группы по
критериям Afx и М6 в 1,3—1,4 раза, а по критерию М4 в 1,4—
1,5 раза выше, чем передач первой группы. Относительные по-
тери, характеризуемые величиной Wf у передач второй группы
значительно меньше.
Исследование влияния коэффициента смещения на нагрузочную
способность и к. п. д. червячных передач проведено в области
параметров, рекомендованных ГОСТ 2144—66. В результате
выполненных расчетов установлено, что влияние коэффициента
смещения на нагрузочную способность и к. п. д. передач П, Э,
К примерно одинаково. При изменении коэффициента смещения
от —1,0 до +1,0 нагрузочная способность этих передач изменяется
по критериям Mlt Mt, М6 в пределах ± 15%, а по критерию W —
в пределах ±20%.
У передач В1 и В2 влияние коэффициента смещения на нагру-
зочную способность и к. п. д. также примерно одинаково. При
изменении коэффициента смещения от —0,5 до +1,5 нагрузочная
способность этих передач по критериям Л4Х и Мъ изменяется
в пределах ±50%, по критерию М4 — в пределах ±60%, а кри-
терию W — в 2—3 раза.
Таблица 33
таты расчетов
варианта
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2,63 2,40 3,25 3,20 2,63 2,40 3,24 3,22 2,70 3,03 2,95 3,40
3,12 2,20 2,15 2,18 3,11 1,83 2,14 2,21 6,10 3,97 3,87 4,22
5,93 7,59 5,79 6,02 6,54 5,41 6,48 6,51 2,20 1,89 2,32 1,76
46,8 30,7 41,6 42,1 47,2 15,4 43,4 43,8 25,3 15,2 23,1 19,7
2,23 2,39 1,48 1,56 2,22 2,44 1,48 1,55 2,12 2,40 1,45 1,03
1,39 1,13 0,85 0,80 1,41 0,69 0,88 0,85 0,87 0,57 0,55 0,47
96,9 82,9 75,4 74,8 108,3 52,9 84,2 85,6 75,4 58,7 55,7 45,6
22,9 14,4 14,6 14,0 24,7 7,1 16,1 14,8 15,4 8,1 8,4 5,4
58,7 48,1 59,3 58,2 66,1 30,0 66,5 65,5 46,4 36,1 43,9 35,0
3,83 1,00 5,44 1,54 3,43 1,24 5,00 1,45 7,61 4,66 11,40 4,30
205
Увеличение коэффициента смещения у всех видов червячных
передач ведет к значительному увеличению рпр, значительному
уменьшению Zs и относительно небольшому увеличению vs и
(vN1 + VN2)- При этом у передач 77, Э, рост рпр примерно про-
порционален уменьшению Z2.
На рис. 102 приведена зависимость величин Z2, рпр, Mlf М4,
УИб, W от коэффициента смещения у архимедовых червячных
передач.
Проведенное исследование червячных передач позволяет
утверждать, что нагрузочная способность всех видов червячных
Рис. 102. Зависимость
величин /2, рпр, Mv
M.t М_, W, значения
которых при х = 0 при-
няты равными единице,
от коэффициента смеще-
ния х для архимедовой
передачи при тх= 4 мм,
aw = 80 мм, zr = 1,
q = 10, ап = 20°
передач в зависимости от относительного диаметра червяка имеет
максимум. Максимум нагрузочной способности с увеличением
числа зубьев колеса и уменьшением числа заходов червяка сме-
щается в сторону увеличения q.
С увеличением относительного диаметра червяка к. п. д. всех
видов червячных передач падает.
Увеличение относительного диаметра червяка у червячных
передач ведет к увеличению /2, уменьшению рпр и увеличению vs
и (^i + ^2), причем vs растет значительно быстрее, чем +
+ vN2). Характерные зависимости величин Z2, рпр, М19 Л14,
7И6, W от относительного диаметра червяка приведена для архи-
медовой передачи на рис. 103, а, для передачи с вогнутым профи-
лем витка в осевом сечении — на рис. 103, б.
Изучение влияния угла профиля червяка на нагрузочную
способность и к. п. д. червячных передач показывает, что в боль-
шинстве случаев существует оптимальный угол профиля, позво-
ляющий получить передачу с высокой нагрузочной способностью
и высоким к. п. д. Особенно сильно влияет угол профиля на на-
грузочную способность и к. п. д. передач В1 и В2.
При изучении влияния тх на нагрузочную способность и
к. п. д. червячных передач исследование можно вести при и =»
= var и и — const. Случай и = var соответствует изменению z2
206
или tnXi случай и = const — изменению z± или тх. У всех видов
червячных передач зависимость нагрузочной способности и к. п. д.
от тх или z2 при и = var имеет качественно один и тот же харак-
тер. Величина рпр практически не зависит от тх или z2. Увели-
Рис. 103. Зависимость величин рпр, М5, W, зна-
чения которых при q = 10 приняты равными единице, от
относительного диаметра червяка q: а — архимедова пере-
дача, тх = 2 мм, aw = 80 мм, z± = 1, ап = 20°, х = 0;
б —передача B2t тх= 2 мм, = 80 мм, z1= 1, х = 0,
Р = rgt ап = 20°
чение тх или соответственно уменьшение z2 ведет к росту Z2,
М4 и незначительному убыванию М5. Величина W при изме-
нении тх или z2 сохраняет почти постоянное значение. Зависи-
мость от тх при и = const нагрузочной способности и к. п. д.
всех видов червячных передач также носит один и тот же
207
качественный характер. Величины рпр и М5 в зависимости от тх
изменяются мало, величины Z2, Мъ Mit W с ростом тх увеличи-
ваются.
Исследование влияния радиуса шлифовального круга р на на-
грузочную способность и к. п. д. проведено только для передач В2.
Прежде всего следует отметить, что влияние р на нагрузочную
способность в сильной степени зависит от остальных параметров
передачи. Общепринятые рекомендации выбирать значение р
равным или близким радиусу делительного цилиндра червяка г
соответствуют передачам, обладающим достаточно высокой, но
не максимальной нагрузочной способностью в самом широком
диапазоне остальных параметров передачи. При соблюдении этой
рекомендации обычно не бывает ни подрезания, ни заострения
зубьев червячных колес. Однако, уменьшая р, в большинстве
случаев удается значительно увеличить и нагрузочную способ-
ность, и к. п. д. При выборе р<0,75 г требуется обязательная
проверка на отсутствие подрезания.
Геометрические параметры червячной передачи должны выби-
раться для каждого случая с учетом конкретных условий работы
и предъявляемых требований. После того как эти требования
сформулированы, выбор параметров легче всего производить
с помощью графиков качественных характеристик, построенных
в координатах х—q, аналогичных координатам блокирующих
контуров для зубчатых передач. Такие графики позволяют пред-
ставить всю совокупность теоретически возможных вариантов
передачи, каждому из которых соответствует определенная точка,
сравнить их между собой и выбрать оптимальный вариант для
данного конкретного случая.
Координаты х—q наиболее удобны для построения графиков
качественных характеристик, потому что именно параметры х
и q, с одной стороны, оказывают наибольшее влияние на нагру-
зочную способность и к. п. д., а с другой стороны, даже при
использовании стандартного инструмента они могут варьиро-
ваться в широких пределах.
В координатах х—q строятся линии качественных характе-
ристик и линии, ограничивающие область существования передачи,
для определенного угла профиля ап и сочетания числа заходов
червяка zx и числа зубьев колеса z2. Причем в отличие от блоки-
рующих контуров зубчатых передач z2 задается диапазон чисел,
а не конкретное число.
Величины модуля зацепления и межосевого расстояния пере-
дачи на положение линий качественных характеристик и основ-
ных граничных линий (подрезания и заострения) в координа-
тах х—q не влияют.
На кривых рис. 104, а представлены результаты исследования
архимедовых червячных передач при ап = 20°, zx = 1, z2 =
= 59н-77, на графиках (рис. 104, б) — то же для передач с вогну-
тым профилем витка червяка в осевом сечении варианта В2 при
208
ап = 20°, zx = 1, z2 = 58-5-75, p = г. Точки кривых на
этих графиках соответствуют вариантам передач с максимальной
нагрузочной способностью по критерию М4 при фиксированном q.
Это относится к точкам на кривых Л14 и М5, по критериям М4
и М6. Параметры передач с максимальной нагрузочной способ-
ностью характеризуются на этих кривых точками А, В, С. При
движении по кривым 2И1( М4, М5 вверх до точек А, В, С увели-
чение q приводит к возрастанию нагрузочной способности, даль-
Рис. 104. Графики качественных характеристик и линий, ограничивающих
область существования червячных передач: а — архимедова передача
2г = 1, zt = 59-5-77, ап = 20°; б — передача В2: = 1, za = 58-5-75,
р = г, ап = 20°
нейшее увеличение q снижает нагрузочную способность. Пере-
дачам с максимальным к. п. д. соответствуют при заданном q
передачи с наибольшим х, а при заданном х — передачи с мини-
мальным q. Линии 8 = 2,5 и е = 3,0 ограничивают области,
в которых коэффициент перекрытия лежит в пределах 2,5—3,0.
Правее линии е = 2,5 коэффициент перекрытия меньше 2,5;
слева от линии е = 3,0 коэффициент перекрытия выше 3,0. Ли-
ния 5Н = 0,25 тх соответствует передачам, имеющим на наружном
диаметре колеса минимальную толщину зуба, равную 0,25 тх.
Левее этой линии лежит область, в которой минимальная толщина
зуба больше 0,25 тх.
Область существования передачи в системе координат х—q
определяется следующими линиями. Линия а ограничивает область
существования передачи из-за подрезания зубьев червячного
14 Под ред. Н. И. Колчина 209
колеса, линия b — из-за уменьшения предельно допустимой
жесткости червяка, линия с ограничивает область существования
силовых червячных передач и соответствует передачам, у которых
нагрузочная способность на 20% ниже максимально возможной
величины. Выбор параметров выше линии с приведет к созданию
передачи с пониженной нагрузочной способностью и большим
весом. Линии заострения зубьев колеса при art = 20°, zr = 1,
z2 = 58ч-77 в область приведенных на графиках (рис. 104, б)
значений х не попадают. Линии подрезания, заострения, b и с
ограничивают в координатах х—q область существования пере-
дачи.
С помощью графиков х—q для всех значений и ?2 можно
выбрать оптимальные значения параметров червячной передачи
с учетом конкретных условий ее работы.
29. ПОВЫШЕНИЕ НАГРУЗОЧНОЙ СПОСОБНОСТИ
ВИНТОВОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ
Эвольвентная винтовая зубчатая передача имеет малую на-
грузочную способность вследствие больших контактных напря-
жений в месте контакта зубьев и больших скоростей скольжения.
Нагрузочную способность такой передачи можно определить,
используя критерий заедания [42]
ри®-25 = С, (318)
где р — наибольшее удельное давление в месте контакта зубьев;
vs — скорость скольжения; С — постоянная, зависящая от соче-
тания материалов и смазки.
Возможно создание винтовой передачи [62], состоящей из
колес, каждое из которых или одно из них имеет выпукло-вогну-
тую боковую поверхность зубьев неэвольвентного профиля, тол-
щина которых, измеренная по дуге одного радиуса, является
переменной, увеличиваясь от его середины к торцам. В такой
передаче можно существенно уменьшить величину наибольшего
удельного давления р, что при сохранении кинематических
параметров передачи и коэффициента перекрытия приведет к по-
вышению нагрузочной способности. Схема нарезания колеса
с неэвольвентным профилем зубьев для такой передачи приведена
на рис. 105. Нарезание производится прямозубым эвольвентным
долбяком /, ось которого перекрещивается с осью колеса 2 под
углом [J, где р — угол наклона зуба колеса на начальном цилиндре.
Угловые скорости вращения долбяка <оо и колеса ©i связаны
зависимостью
где zQ — число зубьев долбяка; z4 — число зубьев нарезаемого
колеса.
210
Долбяку Дается движение вдоль его собственной оси. Наре-
зание может быть осуществлено на зубофрезерном, шлицефре-
зерном станках, а также на зубодолбежном станке с приспособ-
лением х.
Передача, составленная из колес с неэвольвентным профилем
зубьев, нарезанных указанным способом, образует правильное
зацепление с точечным касанием зубьев. Упомянутая передача
и передача с эвольвентным профилем зубьев (при одинаковых
передаточном отношении, угле пере-
крещивания и одинаковых начальных
цилиндрах) имеют общую линию зацеп-
ления. В этом можно убедиться, сов-
мещая схему образования эвольвентных
колес при помощи общей производя-
щей плоскости [42] и схему образова-
ния неэвольвентных колес при помощи
эвольвентных цилиндрических произ-
водящих поверхностей при условии
совпадения полюсов.
В совмещенной схеме производящие
эвольвентные поверхности и произво-
дящая плоскость касаются друг друга
по линии, причем нормаль, опущенная
из полюса на производящую плоскость,
проходит через упомянутую выше ли-
нию и определяет точку касания зубьев
винтовой (передачи с эвольвентным
профилем зубьев. Эта же точка является
одной из точек касания каждой из про-
изводящих эвольвентных поверхностей
с нарезаемым колесом, так как в ней
Рис. 105. Схема нарезания
колес с неэвольвентным
профилем зубьев
нормаль к производящей поверхности проходит через полюс.
Следовательно, в любом положении неэвольвентные колеса имеют
точку контакта, совпадающую с точкой контакта аналогичных
эвольвентных винтовых' колес, т. е. их линии зацепления сов-
падают.
Аналогичные рассуждения можно повторить* и для зацепления
неэвольвентного колеса с эвольвентным. Из совпадений линий
зацеплений аналогичных эвольвентных и неэвольвентных колес
и их относительных движений следует, что контактные линии
на боковых поверхностях зубьев этих колес совпадают. Отсюда
можно сделать вывод, что все кинематические параметры: ско-
рости и ускорения перемещения точки контакта по поверхностям
зубьев, направление и величина вектора относительной скорости,
коэффициенты удельного скольжения и ускоренного скольже-
1 Авт. свид. № 310747.
14*
211
ния (43) и коэффициент перекрытия в неэвольвентной передаче
такие же, как и в аналогичной эвольвентной.
Инструментальной производящей поверхностью является здесь
цилиндрическая эвольвентная поверхность, проходящая через
режущую кромку долбяка. Поверхность зуба колеса есть огиба-
ющая семейства инструментальных поверхностей, образуемых
при обкатке. Уравнение производящей поверхности в системе
координат х0, f/о» связанной с инструментом, согласно рис. 106,
имеет вид:
Рис. 106. К выбору уравнения
производящей поверхности
Хо = —^[COSft +
+ft cos a sin (О — а)];
г/о = ^о[з1пй —
— ft cos а cos (ft — а)];
z0 = «,
(319)
где ft, и — независимые параметры
поверхности; гш0 — радиус началь-
ной окружности долбяка; а — угол
профиля исходного контура.
В неподвижной системе координат
уравнение семейства инструменталь-
ных поверхностей имеет вид:
х = fwo [1 — cos (ft — ф) — ft cos a sin (ft — а — <p)];
у = Гаю [sin (ft— ф)— ft cos a cos (ft— а — ф)]; (320)
z — u,
где ф — угол поворота долбяка при нарезании.
Уравнение зацепления производящей поверхности и нарезае-
мого колеса получено из условия перпендикулярности вектора
нормали и вектора относительной скорости [43]
«ы10 sin р sin (ft — ф — а) =
— га>0 (им cos р + 1) [cos (ft — ф — а) — cos а ]. (321)
Для обеспечения физического контакта поверхностей зубьев
колес необходимо (с точностью до величин второго порядка ма-
лости включительно), чтобы наименьшее значение приведенной
кривизны рпр-Un было положительным. Величина рпрш1п опре-
деляется [621 по формуле
Р,рп,,о = 0,5[р|1> + рЯ'+р1!’+р1?-
-Vr(pi,,-pl!’)’+(pP-pl?)2+2(p!,,-pll,)(pl!’-pi?)cos!a],
(322)
212
где pi(1), pi?, pi2), pi? — величины главной кривизны поверхностей
зубьев первого и второго колес в точке контакта; X — угол между
главными направлениями на сопряженных поверхностях зубьев.
Величины главной кривизны и величин угла X определяются
кинематическим методом [43]. Получены следующие выражения
для расчета главных значений кривизны поверхности зуба в точ-
ках рабочей линии (Ф — ср = 0):
_____________u10 sin Р sin а____.
Pl — А + rw„ tg р + дга,о«ю cos а sin а sin Р ’
_______________ц10 sin Р sin а_____
Р11 А2 + rWQ tg Р + cos а sin а sin р 1
где Лх и А2 — корни квадратного уравнения
А2 + sinB^cosB 11 + “io cos 0 (cos2 Р + sln2 a sin2 A +
+ fwo cos2a (i + «io cos P) = 0. (324)
При нарезании колеса по предлагаемой схеме стандартным
инструментом значение рпрт1п, оставаясь положительным, умень-
шается по сравнению с аналогичной эвольвентной винтовой пере-
дачей, вследствие чего обеспечивается физический контакт по-
верхностей зубьев и снижается величина наибольшего удельного
давления р в месте контакта зубьев, которую можно определить
по формуле (125),
р=1гУ1>5 ^(pP + pIP + pP + p^)2, (325)
где Рн — нормальное усилие между зубьями; т] — коэффициент,
зависящий от упругих свойств материалов; пр — коэффициент,
характеризующий распределение давления в месте контакта и
зависящий от величин главных кривизн и угла между главными
направлениями.
Проведенные исследования показали, что в неэвольвентной
передаче угол между большей полуосью эллипса мгновенного
пятна контакта и вектором относительной скорости во всех точ-
ках линии зацепления несколько больше, чем в аналогичной
эвольвентной передаче. Это создает лучшие условия смазки
трущихся зубьев.
В качестве примера рассмотрена ортогональная передача со
следующими данными: тп — 1,5 мм, zx = 36, 0Х = 33° 4Г, z2 =
= 24, 02 — 56° 19', a = 20°. При нарезании колес, входящих
в передачу, по предложенной схеме величины рпр mln и р в месте
контакта зубьев колес зависят от числа зубьев долбяка z0 и всегда
меньше, чем рпр mln 9В и Рэв в аналогичной передаче, составлен-
ной из эвольвентных винтовых колес.
213
На рис. 107 показаны зависимости величин Р!РЗЪ и pnpmlri
в полюсе Р передачи (# = и = 0) от числа зубьев долбяка. Так,
при zQ = 34 обеспечивается физический контакт поверхностей
зубьев колес при понижении величины удельного давления р
в месте контакта зубьев в 1,5 раза по сравнению с аналогичной
эвольвентной винтовой передачей, для которой величина Рпртшэв
показана на рис. 107. Угол между вектором относительной ско-
Рис. 107. Зависимость Р/Рэв и
Рпр min в полюсе передачи от z0
ных эвольвентных колес на
рости и большей полуосью эл-
липса мгновенного пятна контакта
в полюсе передачи равен 11° 20'.
В аналогичной эвольвентной пере-
даче этот угол равен 0° 20'.
Рассмотренная в примере пере-
дача была изготовлена и испытана
на стенде. Нарезание производи-
лось на зубофрезерном станке.
Число зубьев долбяка г0 = 50.
Материал колес — сталь 45, твер-
дость НВ 196. Определенный
экспериментально момент заеда-
ния на ведущем колесе при час-
тоте вращения ведущего вала
1440 об/мин ’составил 0,7—
0,8 кгс-м. Нагрузка заедания, по-
лученная при испытании аналогич-
том же стенде при тех же усло-
виях, равна 0,5—-0,6 кгс-м, т. е. примерно на 30% ниже.
Таким образом, за счет применения в винтовой передаче
неэвольвентных колес, нарезанных долбяком, при надлежащем
выборе параметров возможно повысить нагрузочную способность
передачи.
30. ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КОЛЬЦА,
НАДЕТОГО НА ДИСКОВЫЙ ГЕНЕРАТОР
ВОЛН
Форма упругой кривой на участке зацепления, определяемая
дугой окружности, имеет место при использовании генераторов
с дисками больших диаметров («дисковые генераторы»). В этом
случае на участке зацепления упругая линия должна принуди-
тельно получить форму дуги окружности. За пределами же рабо-
чего участка ролики не касаются гибкого звена, поэтому будет
иметь место естественная форма деформации гибкого звена.
В связи с перспективностью использования дисковых гене-
раторов интересно рассмотреть вопрос о деформации кольца
с помощью двух дисков и выяснить, какую необходимо иметь
систему сил, при которой возможно, по крайней мере на неко-
тором участке, создать желаемую форму деформации кольца.
214
Для двухволновой передачи, исходя из условий симметрии»
введем в рассмотрение один квадрант кольца. При деформации
кольца вдоль оси 0Y (рис. 108) под действием симметричной си-
стемы сил в сечении тп касательные усилия отсутствуют и дей-
ствуют только растягивающая сила Р/2 и изгибающий момент Мо.
Полагаем, что деформация кольца осуществляется двумя абсолютно
жесткими кулачками, имеющими вид дисков радиуса г.
Для того чтобы гибкое кольцо
облегало каждый диск кулачка
Рис. 108. Расчетная схема Рис. 109. К определению 1Га
на некоторой дуге центрального угла у, необходимо, чтобы изме-
нение кривизны кольца на этой дуге было величиной постоянной.
Как известно, для кривого бруса
J______1 = М
ГГ ГГ. Н
где гг. н — радиус нейтральной линии до деформации (рис. 109);
гг — ее радиус после деформации.
При гг = const момент, действующий на дуге угла у, должен
быть постоянной величиной.
Процесс накладывания кольца на кулачок можно представить
следующим образом. При возрастании силы Р/2 до величины,
при» которой момент в вершине волны деформаций достигает зна-
чения М, соответствующего радиусу упругой кривой, начнется
наложение кольца на кулачок и плечо действия силы Р/2 умень-
шится. Дальнейшее наложение возможно, если увеличить
силу Р/2 до величины, при которой на новом плече момент ока-
жется равным М.. При этом опять произойдет уменьшение плеча.
Увеличение силы снова позволит увеличить дугу наложения.
В итоге при увеличении силы Р/2 до величины, при которой
315
дуга наложения станет равной у, уравнение моментов на участке
от <р = 0 до -j- примет следующий вид:
/И= +М0 —-£-гг.н(1 — cos ф).
Выясним, каковы будут реакции, действующие на гибкое
кольцо со стороны диска кулачка. Для этой цели рассмотрим
внешние силы и моменты, приложенные к участку дуги кулачка
с центральным углом у = 90° — Q. На рис. 108 представлены
силы, действующие на указанный участок. К сечению т1п1 при-
Р Р
ложены моменты Мо, A4 = y(l—созй)гг. н и сила -у.
Р
Разложим силу у по направлениям касательной и нормали
р
к упругой кривой в точке В. Тогда сила cos й будет равна
р
продольной силе N. Силу у sin й обозначим через Т.
На основании урдвнений Кирхгофа можно установить сле-
дующую связь между силами и моментами:
N (327)
У ds гг. н
Гг. н dN . ds ’ (328)
х ds • (329)
В связи с тем, что касательная распределенная нагрузка
в рассматриваемом случае отсутствует (т = 0), из уравнения (328)
следует, что
Q _ dN_
Гг. и
(330)
Вместе с тем постоянство радиуса кривизны кольца на участке
й < Ф < определяет постоянство момента М = const, на осно-
вании (329) Q = 0. Из (330) видно, что при Q = 0 производная
dN
= 0, а следовательно, сила N постоянна по дуге рассмат-
риваемого участка (т. е. N = const). Величина этой силы, как
следует из рис. 108, равна
N = у cos й.
Тогда на основании уравнения (327) при = 0 и <?<0 имеем
N Р
q =----= -------созй = const,
rv. И 2гг. в
216
Таким образом, найдена зависимость для Определения инТей*
сивности распределенной нагрузки, являющейся реакцией диска
кулачка.
Доказательство того, что q — const, может быть найдено не-
посредственно из уравнения
d3M . dM _____ dq 2
dtp3 ”* dtp “ dtp r‘ H>
полученного при совместном решении и дифференцировании фор-
мул (327), (328), (329) с подстановкой т = 0 и ds = R dtp. Для
функции М (tp) члены с первой и третьей производными отли-
чаются только знаком, поэтому
а следовательно, q = const.
Осталась пока неучтенной сила
T=4sinQ- <331>
Эта сила при тонкостенном кольце воспринимается кулачком
на весьма малой дуге, поэтому можно считать, что со стороны
кулачка на кольцо действует сосредоточенная реакция Тк, урав-
новешивающая силу Т.
Осталось найти величины момента Мо и силы Р, обеспечи-
вающей деформацию кольца на дуге у по радиусу г±. Для этой
цели воспользуемся условием отсутствия поворота сечения тп,
-Sr = 0. (332)
дМ ’ ' '
где U — потенциальная энергия деформации кольца в рассма-
триваемом квадранте.
Угловое перемещение сечения тп складывается из двух пере-
мещений: на первом участке кольца с дугой 0 < ф < й и вто-
ром — с дугой й < ф <
Изгибающий момент в произвольном сечении на первом уча-
стке равен
Afj = Af0 — 4гг.н(1 — cos ф), (333)
на втором участке
Л4П = МО — 4 гг н(1 -со8ф) + 7\гг.я81п(ф — Й) +
+ н [ 1 — cos (ф — й)]. (334)
Для обоих участков при параметре q, независимом от Л40,
будет иметь место:
dM\ ______________________ « dMn ____।
Ж ’
217
Условие (332) в развернутом виде может быть записано слё*
дующим образом:
п
d f М*гг Hd<p f d f Л4?/г. Hd<p _
ЖИ0 .] 2EJ + dM0 J 2EJ —U’
После подстановки значений Aft и Мц из (333) и (334) с учетом,
что Тк = A sin й и q = cos й, получим
—slnQ —cosQ(4f~Q)] • (335)
Из выражений (334) и (335) после преобразований найдем
р=>г.,'(ас."а"-5|па,. (336)
или с учетом (326)
р — (гг. н — гг) (337)
r/r н (Q cos Q — sin Q)
Установление зависимости между величиной потребной си-
лы Р и заданным углом наложения кольца на диск позволяет
также весьма просто определить величину наибольшей диаме-
тральной деформации кольца вдоль оси Оу.
Запись интегралов Мора для полного кольца имеет вид
л
Q 2
н
LO Й
Д = 4 f Afl^rr.H d(p+ f МцМуг.н
J LJ j lJ
d(p 9
(338)
где M i — изгибающий момент от единичной силы Р, действующей
в направлении искомой деформации.
Так как в сечении тп будет действовать сила Р/2, то
Л11 =----^-гг.н(1 — cos<p).
После подстановки в (338) значений Л4П и Мг и ряда
преобразований получим
А=[4 - +4 cos 52 -sin Q)] • <339)
Заменяя в выражении (339) силу Р согласно зависимости (337),
найдем
Д = Г Я _ 1 sin 2Q + А юcos Й — sin0)1. (340)
гг (Qcos Q — sin Q)L 2 4 1 7 J ' ’
Используя уравнение (340), можно решить обратную задачу
по определению дуги угла у = —й) , на которой будет иметь
218
место контакт кольца и диска при заданных значениях Д. Для
этого необходимо решить уравнение
— Г----_ 2] (Й cos й — sin й) = 2Й - sin 2Й. (341)
Л L ^Г. н и г. Н -Гг) J
Так, для ггн = 50 мм, Д = —2 мм и гг = 47,586 мм полное
прилегание кольца к кулачку будет иметь место на дуге угла
-у =-£-• На дуге угла фх—у начнется отход кольца от кулачка,
и на участке 0 < ф < Q установится естественная форма дефор-
маций. Значение уменьшения горизонтального диаметра непо-
средственно определяется по уравнению
Дг = ^гн~ Гг)Гг-" Г0,25 (cos 2Й - 1) — cos Й (cos Й - 1) —
г (Й cos Й sm Й) [ ’ ' 7 v 7
----^(ЙсоэЙ — sin О)] . (342)
Для рассматриваемого примера Дг = 2,066 мм.
В случае необходимости может быть определено уравнение
упругой линии кольца на участке 0 > <р < й.
Дифференциальное уравнение упругой линии этого участка
имеет вид
К - 1) ~ 4 s>n о + COS ф]. (343)
Для однородного уравнения
d*W _|_Ц7 — 0
d<p2 т w - и
решением будет
W — A cos <р + В sin <р.
Дополнительную функцию задаем в виде
W* = Д1Ф + В1Ф sin ф,
тогда общее решение после вычисления коэффициентов и
будет иметь вид
IF = АС08ф + Bsinф + ,н (-^-cosй — соей—— slnfl') +
т 1 т 1 2EJ \ я я / 1
Рг3
+ -^ф8Шф. (344)
Коэффициенты А и В определим из следующих условий: при
ф = 0
и при ф = й
W = Го.
219
Деформация Wq может быть определена из геометрических
соотношений (рис. 109). Из треугольника OOjF следует, что
rl — + «2 — 2гйЯ cos — й) ,
откуда ____________
ra — a sin Q + УГ1 — °2 cos2 &
и ____________
Wa = a sin й + j/Vi — а2 cos2 й — гг, н
Г. н
Таким образом, вычисление коэффициентов А и В дает В = 0,
. Wq Pl?r.« ( 20 . 2 . п 1 п. п\
Тогда искомое уравнение радиальной деформации приобретает
вид
№Qcosq) Рг3 н / 2Q о о 2 . о\/1 cos ф \ ..
ТГ = ——75----Н QZ77- ---COS й—cos Q-----sin Q I-------) +
cosQ ‘ 2EJ \ л л / \ cosQ 7
Рг3 / \
+ ^7'((Psin<P“£2sin£2’S' )• (345)
г. н
31. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
УПРУГИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЗУБЬЕВ ГИБКОГО КОЛЕСА
Вычисление значений коэффициентов неравномерности распре-
деления нагрузки по длине зубьев требует определения удельной
жесткости зубьев гибкого и жесткого колес. Под удельной же-
сткостью понимается отношение удельной нагрузки на зубья PIB
к деформациям зубьев б. Имеющиеся в литературных источниках
описания исследований удельной жесткости зубьев [160, 161]
относятся к колесам со сплошными ступицами или к сравнительно
толстостенным ободам и не могут быть непосредственно исполь-
зованы применительно к волновым передачам.
Обычно удельная жесткость для пары зубьев находится экспе-
риментально. В волновых передачах определение удельной же-
сткости связано,со значительными трудностями, так как полу-
чить однопарный контакт в реальной передаче оказывается прак-
тически невозможным. В связи с этим оказалось целесообразным
исследовать жесткость зубьев только гибкого колеса в зависимости
от величины относительной толщины стенки.
. Используем понятие о коэффициентах упругих перемещений
зубьев Ку. г и Ку. ж соответственно гибкого и жесткого колес
[160]. Эти коэффициенты выражают собой величину в ммк ли-
нейного перемещения соответствующих точек профилей зубьев
в направлении нормали в результате упругой деформации под
действием нормальной удельной нагрузки в 1 кгс/см.
220
Тогда удельная жесткость пары зубьев будет равна (в кгс/см2)
с 10?
Ку. Г + Ку. ж
В общем балансе упругих деформаций зубьев контактными
деформациями будем пренебрегать, так как при малой разности
чисел зубьев гибкого и жесткого колес они существенно меньше
других составляющих упругих деформаций.
Данные о коэффициентах р
изгибных перемещении внут-
ренних зубьев имеются в ра-
боте И. Н. Френкеля [60].
Коэффициент упругих пе-
ремещений зубьев гибкого
колеса определялся дефор-
мированием зубьев тонко-
стенного обода двумя проти-
воположно направленными
силами, действующими по
общей нормали. Для экспе-
римента использовалось при-
способление, схема которого
изображена на рис. ПО.
Гибкое кольцо 1 надето на
оправку 2 (с посадкой А1Д).
Нагружение зубьев по общей
Рис. 110. Схема приспособления для
определения упругих деформаций
нормали производится двумя
ножами большой жесткости,
один из которых 4 является
неподвижным, а второй 3 — подвижным. Он перемещается по
направляющим кронштейна 5. Приспособление устанавливалось
на универсальную испытательную машину, отрегулированную
на нагружающее усилие до 2500 кгс. Перемещение подвиж-
ного ножа регистрировалось индикатором с ценой деления
0,002 мм.
Для исследования были изготовлены четыре зубчатых обода
с числами зубьев гг = 86, 88, 90, 92 при т = 2 мм, имеющих
одинаковый диаметр отверстия, равный 169 мм. Ширина зубчатых
ободьев была принята равной 1 см.
Использованием деталей с разным числом зубьев при одина-
ковом внутреннем диаметре достигалось получение различной
толщины стенки б под зубьями. Толщина стенки характеризова-
лась значениями коэффициента Ф = — = 1,38; 2,44; 3,48;
4,51.
Параметры зубьев экспериментальных ободьев были приняты
согласно рекомендациям [46] (£ = 0,022гг; высота зубьев h3 =
= 1,25m).
221
Путем изменения числа охватываемых по общей нормали зубьев
и изменения положения деталей относительно ножей обеспечива-
лось приложение деформирующих сил вдоль образующих, раз-
личным образом расположенных по высоте зубьев.
При приложении нагрузки у основания зубьев регистрируемые
упругие деформации складываются в основном из упругих де-
формаций обода на дугах АВС и ADC (рис. ПО), доля же упру-
гих деформаций зубьев при этом относительно мала. Согласно
исследованиям И. Н. Френкеля ’
[160], при приложении нагрузки
у основания внешних зубьев
при жесткой ступице и z«=*100
величина Ку. из остается практи-
чески постоянной и может быть
принята равной 15 ммк/(кгс/см).
Поэтому при обработке резуль-
татов эксперимента и опреде-
лении коэффициентов деформа-
ции зубьев Ку. г для случаев
приложения нагрузки к сред-
ним по высоте участкам, а также
к верхним кромкам из регист-
рируемой деформации вычита-
лись деформации, получаемые
при приложении нагрузки у
основания зубьев, и Ку. г увели-
чивался на 15 ммк/(кгс/см).
Естественно, что при этом
вносилась некоторая погреш-
ность, так как деформации при
различных положениях нагруз-
ки измерялись при различном
Однако, как показывают рас-
числе охватываемых зубьев.
четы, изменение деформации обода за счет незначительного
изменения соотношения длин дуг АВ и ВС (рис. ПО) не оказы-
вает ощутимого влияния на конечный результат обработки
эксперимента.
На рис. 111 представлен полученный в результате обработки
экспериментальных данных (с учетом принятых выше допущений)
график зависимости значения коэффициента Ку. г от глубины
приложения нагрузки h (в долях модуля) и коэффициента тол-
щины стенки обода -О.
На этом же рисунке штриховой линией построена кривая
по данным работы [1601 для внешних зубьев при z 100;
5 = 0 и весьма жесткой ступице. Проведенное исследование,
несмотря на целый ряд допущений, дает вполне удовлетвори-
тельные результаты и, видимо, объективно отражает характер
происходящих явлений.
222
32. ДЕФОРМАЦИЙ ГИБКОГО ЭЛЕМЕНТА ВОЛНОВОЙ ПЕРЕДАЧИ
ЧЕРЕЗ ГЕРМЕТИЧНУЮ СТЕНКУ ОТ ДЕЙСТВИЯ
РАДИАЛЬНЫХ СИЛ
Рассмотрим волновую передачу через герметичную стенку,
гибкий элемент которой представлен на рис. 112. Заданы две
сосредоточенные силы Р, действующие на гибкие элементы кон-
струкции вдоль одного диаметра оболочки в противоположных
направлениях. Требуется приближенно найти связь между пере-
мещениями и величиной приложенных сил Р, а также напряжения
Рис. 112. Гибкий элемент волновой зубчатой передачи через
герметичную стенку
в наиболее напряженных точках конструкции — местах сопря-
жения оболочки, к которой непосредственно приложены силы Р,
с круговой пластиной (перегородкой).
Подобная конструкция гибкого элемента волновой передачи
впервые была предложена инженером Вязменским. При этом
считалось, что образующие оболочки сохраняют прямолинейную
форму и после деформации. Подобный вывод для нерастяжимых
оболочек без перегородок получен и экспериментально проверен
в работе [149]. Если пластина достаточно тонка, то, как показали
эксперименты [46], этот вывод справедлив и для рассматриваемой
конструкции.
Рассмотрим вначале оболочку без перегородки. На рис. 113
приведены соответствующие обозначения и система координат.
Для этого случая радиальные перемещения W определяются по
следующей формуле:
00
VV7 __ РЬ3 1 . П2СХ
nDl z 1 (п2_1)2 г 1 Icos/icp,
П=2, 4, 6, ... L
(346)
223
Где D — Цилиндрическая Жесткость оболочки; [)1 — цилиндриче-
ская жесткость пластинки; ц — коэффициент Пуассона; х —
текущая координата, а углы поворотов образующих найдутся
из соотношения
dW
дх
со
“ nDl
n=2t 4, ...
П2С
(п2—1)2[-^-п2/2+2(1
-----у- cosncp. (347)
Ю*а]
Перейдем к загруженной конструкции, т. е. рассмотрим обо-
лочку, сопряженную с круговой пластиной. В месте сопряжения
Рис. 113. Обозначения и система координат, принятые при расчете оболочки
возникнут распределенные изгибающие моменты, интенсивность
которых по окружности сопряжения может быть представлена
в виде функции М (0). Нагрузка М (0) вызовет деформации
(перемещения) оболочки, в силу сделанных предположений сво-
dir -
дящихся к уменьшению углов поворота образующих, и де-
формирует пластину.
Предварительно найдем перемещения 1FS оболочки от сосре-
доточенных моментов М, приложенных, как указано на рис. 114.
Для этого приложим по две равные и противоположно направлен^
ные силы Р, находящиеся друг от друга на расстоянии de, и будем
уменьшать расстояние de, сохраняя произведение Р de = М
постоянным.
Используя (346), найдем:
У------------ГГ^--------------тcosn4>; (348)
(n2-l)2l4-n2/2+2(l-p)62
п=2, 4, ... L J
дх
Mb*
nDl
_______________п2________________
(n2— l)2[-i-na/a + 2 (Г—(x) *а]
cos/мр. (349)
224
Полная моментная нагрузка M (0) создаст угол поворота
любой образующей, равный
Л/2
Г M(6)Z>3 ____________________________
п*
cos n (ср — 0) d&.
(350)
Влиянием других факторов на углы поворота образующих
можно пренебречь.
Рис. 114. К расчету оболоч-
ки на действие сосредото-
ченного момента
Рис. 115. К определению деформаций пластины;
загруженной силой (а); сосредоточенным мо-
ментом (б)
Перейдем к рассмотрению деформаций пластины. Для пла-
стины, загруженной сосредоточенной силой, как указано на
рис. 115, а, известно выражение для определения прогибов
г = да <1 — *1)<1 — £2)4-(*? + £2 — 2x’£COS0) X
х2 + £2 - 2x,g cos О
х П 1+4+£2 —2x^0050
(351)
где = r/а и £ = b/а, справедливое для всей пластины.
Перейдем к рассмотрению загружения пластины сосредото-
ченным моментом М в произвольной точке (рис. 115,6). Для
этого образуем пару сил с приложением сил в точках Р (Ь, 0)
и Р (Ь + db; 0) и будем уменьшать db, сохраняя постоянным
произведение Р db = М. В результате найдем перемещения
пластины Wz от момента в виде
Wl = W(b + db- O)-W(b;O) = ^db =
дП dl „ 1 dW-
~ dl db db~ a ~dTdb'
15 Под. ред. H. И. Колчина
225
Окончательно получим
= -тД- [- 2g (1 - Xi) + 2 (g - Xt cos 0) In х
, *! + £2 — cos 0 .
X 1П------x-5---------- +
1 + XW — 2X11 COS 9
| — Xj COS 0 — g2x( COS 0 — Xj£ + X| COS 0 + Xj£2 cos 0
+ 1 + x^2- 2х^СО5 0 .
(352)
Приняв xx = g, после преобразования имеем выражение для
в следующем виде:
dW£ м Г 2£i°+|8(— 3 — 6cos0) + £«(2cos20 + 1Ocos04-4) ,
dr ~ 8nDx L (g4 —2g2 cos 0+I)2 +
, + £4 (— 4 cos 0 — 4 cos2 0 — 6) + g2 (2 4- 2 cos 0 + 2 cos2 0) ,
+ (£4 —2g2cos 0 4-1)2- +
।____— 2 cos 0 4- 1__a । 2|2(1 — cos 0) "I Z353\
+ (g4 —2£2cos04- I)2 C0StHn £4 —2£2cos0 4-1 J ‘
Легко заметить, что в точке 0 = 0 имеет место особенность.
Угол поворота нормали к пластине в любой точке на окружности
сопряжения с оболочкой от нагрузки М (0) окажется равным
л/2
С М(6)Ь ( 2£1°4-£8[— 3 — 6 cos (q> — 0)] 4-[2 cos2 (Ф — 0)
J 8л©! I [g4 — 2g2cos (ф—0) 4-I]2 +
—Л/2 4
, 10 cos (ф — 0) 4~ 4] 4~ В4 [“ 4 cos2 (ф — 0) — 4 cos (ф — 0) — 6] ,
+ [|4-2^СО5(ф-0)+ I]2 +
£2 [2 4- 2 cos (ф — 0) 4- 2 cos2 (ф — 0)] — 2 cos (ф — 0) 4- 1
[В4-2g2cos(ф-0)4-1]2
-003(9-9)11 g.2£^~sT-~e) + l }rie- (3S4>
Требуется, чтобы углы поворота оболочки и пластинки в месте
сопряжения оказались равными, т. е.
226
л/2
f М (0) b ( 2£1° + £8 [— 3 — 6 cos (<р — 0)] + Iе [2 cos2 (ф — 0) .
I 8nDi [ [£* —2£2соз(ф-0)+l]2 +
—л/2
10 cos (Ф — 0) + 4] 4- %4 [— 4 cos2 (ф — 0) — 4 cos (ф — 0) — 6]
[g4 _ 2g2cos (ф — 0) 4- I]3
+
ga [2 -|- 2 cos (ф — 0) + 2 cos2 (ф — 0)] — 2 cos (ф — 0) -f- 1
[^-2^со5(ф-0)+1]2
— COS (<p
2g2 [1 — cos (ф — 0)] )
£4_2£2сО5(ф-0)+ 1 j
(355)
Уравнение (355) и представляет собой уравнение деформации.
Для решения задачи об определении функции М (0), которую
в силу симметричности задачи можно представить в виде М (0) =
= 2 &k cos £0, необходимо разложить правую часть последнего
уравнения по функциям cos п <р. Однако члены суммы, стоящие
в левой части последнего уравнения, весьма быстро убывают
(в приближенном решении уже вторым членом можно пренебречь,
ибо он оказывается примерно в 25 раз меньше первого) и, сле-
довательно, левая часть, определяемая фактически заданным
силовым воздействием, имеет множителем переменный член cos 2<р.
Естественно, что и равная ей правая часть может быть представ-
лена в виде П cos 2<р. Таким образом, чтобы определить П, доста-
точно проинтегрировать правую часть уравнения для <р равного,
например, нулю.
Так как углы поворотов зависят от <р как cos 2<р зависит от <р,
то естественно предположить, что и моменты М (0) имеют от 0
ту же самую зависимость, т. е. М (0) = Л2 cos 20.
В этих условиях можно найти и выражение для /7. Однако
даже для этого случая вряд ли имеет смысл искать решение инте-
грала, стоящего в правой части уравнения в замкнутой форме,
а гораздо проще интегрирование заменить суммированием.
Интегрирование в левой части производится достаточно просто.
Для удобства вычисления сведены в табл. 34. Здесь было учтено,
что в месте приложения нагрузки имеется особенность.
Для интервала углов (---о) получается та же сумма, что и
Для интервала (о, Таким образом, окончательно интеграл,
стоящий в правой части уравнения (355), равен gj^ *
Табл. 34 и дальнейшие вычисления выполнены для примера,
• 46 7
представленного на рис. 112. Учтено, что D = Dlt £ = =
= 0,777.
15* 227
Пример расчета
Таблица 34
0 А cos 0 cos2 0 Q R _R д - cos 01 O’ •2 (1 — cos 0) О БА cos 20Б A
град Qt. , 1 — cos 0 ln Q СЧ c < 1 СЧ c a 0 C < 0 Э 1
0 5 1 1 0,155 0,024 0,006 0,0218 —0,661 * —0,469 0,469 0,491 +0,491
10 10 0,985 0,970 0,174 0,0303 0,013 0,075 —2,450 —0,394 0,388 0,463 +0,435
22,5 15 0,924 ' 0,853 0,247 0,0610 0,0425 0,1825 —1,079 —0,233 0,215 0,3975 +0,281
37,5 15 0,793 0,628 0,407 0,166 0,110 0,1735 —0,676 —0,127 0,0995 0,273 +0,071
52,5 15 0,609 0,371' 0,630 0,395 0,217 0,144 —0,475 —0,075 0,045 0,189 —0,049
67,5 15 0,383 0,1466 0,903 0,813 0,365 0,1175 —0,380 —0,0493 0,0189 0,136 —0,096
82,5 15 * Для В табл 0,1306 малых угл< ице введен! 0,0170 ов А (здесь А J In (1 — сс ы следующ 1,210 принято /3 >s 0) dQ— ( ие обозна С Б 1,460 А = 5е = ( к In [1,367- нения: Б — 1 = V + 2^ ? = 2£1в + &( 0,553 ),0872 рад) - 1,212 cos (< выражение cos 0 4- 1; В (— 3 — 6 С( 0,099 p-0)]d6 j, стоящее i 5S 0) 4 —0,332 » A (- 2 - з квадратн! - 2 cos 0 4- 1 —0,0367 In 2'4- 2 In jx скобках 0,0048 A)-A In 0, в (353); 0,104 155. —0,10 2 = 1.03
В результате деформационное уравнение (355) свелось к сле-
дующему:
РЬг_______4с________________Аг2пЬ3_______ Аг п
1 9 +1.4&2) 1.4*2) 8
Учитывая, что -у = 0,667, получим
0,1 — 0,106Л2 = 0,258Д2, т. е. Л2 = О,275Р-^-.
Взаимное сближение 6 сил Р определяется по формуле
6-2
Р&З
nDl
______________п2с2________
(П2 — l)2f-l-n2/2 + 1,4*®
\
-&1 °’275 “Г
9 П
пс~2~
4- «2/2+ 1.462
п=2, 4, 6, ... х
т. е. 6^0,030-^-,
первое слагаемое в выражении (346) опущено, так как перегородка
препятствует радиальным перемещениям.
Eh3
Учитывая, что D = и ц = 0,3, получим
. 0,ЗЗРса
£Й5-
Изгибающий момент Afrm« можно считать равным половине
коэффициента А 2.
Пусть б = 1,5 мм, Е = 2> 104 кгс/мм2, h = 0,3 мм, с = 30 мм,
тогда:
р_ 2-106-0,038-0,15 . 27
0,33-з2 1,z/ КГС’
Л2 = 0,275-^- = 0,275 -Ц™=0,3 кгс;
I o,D
Ятах= 4 = °,15 кгс;
Отах = = 1000 КГС/СМ2.
229
При h — 0,4 мм и прочих равных условиях будем иметь:
D Eh3S 2-Ю’-0,04’0.15 0 по
р== № =—оОТ— = 3-02 КГС;
л ПО7С Рс 0,275-3,02-3 п 71
А2= 0,275—7-= ——---------=0,71 кгс;
6 I 3,0 ’
Mr max = -ф- «== 0,36 кгс;
аЯах = = 1350 кгс/см2,
т. е. напряжения возросли на 35%.
Естественно, что для практических расчетов необходимо вво-
дить, как обычно, эффективный коэффициент концентрации и
суммировать получающиеся здесь напряжения с напряжениями
в пластинке, создаваемыми перепадом внешнего давления.
Напряжения существенно снизятся, если вместо сосредото-
ченной рассмотреть действие распределенной по какому-либо
произвольному закону нагрузки. В соответствии с изложенным
это выполняется довольно просто и каких-либо принципиальных
и расчетных трудностей создать не может.
Если сосредоточенный момент Л4Х приложен внутри контура,
то при выбранных обозначениях приближенно вблизи точки
приложения момента Л4Х можно принять прогибы равными
TF = J*4-rln — cos0. (356)
В точке приложения момента имеет место особенность:
изгибающие моменты Мг обращаются в бесконечность. Однако
решить вопрос о распределении момента Л4Х можно.
Известно, что
Mr~Di [ dr2 + Н ( r dr + r2 dO2 /] • (357)
Подставляя (356) в (357), находим изгибающие моменты Mrf
в точке г = е; 0 = 0 и М'г\ в точке г = —е; 0 = 0. Предел отно-
шения —Л при е —* 0 определит характер распределения прило-
м
женного Мг. В результате оказывается, что lim—Р- = —1,
МГ1
т. е. изгибающий момент в точке приложения следует принять
равным половине приложенного.
Вряд ли этот вывод следует распространять на случай распо-
ложения особенной точки вблизи контура. К тому же этот случай
в рассматриваемых передачах не будет иметь практического
значения.
230
33. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИЙ
В КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЕ С ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРАЯМИ,
ЗАГРУЖЕННОЙ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ
Напряжения и деформации в пластине (рис. 116) достаточно
хорошо изучены для двух частных случаев загружения, однако
для рассматриваемой пластины представляет интерес комбинация
этих двух частных случаев.
При расчете волновых зубчатых механизмов, предназначенных
для передачи вращения через герметичную стенку, возникает
необходимость определять напряжения как по внешнему, так
и по внутреннему контурам пла-
стинки. Данных, имеющихся в
справочной литературе [145], для
этого недостаточно. Помимо ска-
занного, имеется решение для
поставленной задачи, приведен-
ное, например,, в [1461. В неко-
торых случаях использование
указанных источников приводит
к существенному расхождению
Рис. 116. Расчетная схема
результатов.
Ниже приводятся результаты решения задачи по определению
напряжений и перемещений в кольцевой пластине с защемлен-
ными краями, загруженной равномерно распределенной нагруз-
кой. Пусть кольцевая пластина защемлена по несмещающимся
краям, радиусы которых равны соответственно а и Ь. Интенсив-
ность равномерной нагрузки обозначим через q, цилиндрическую
жесткость через D. Как известно [9], для этого случая уравнению
срединной поверхности пластинки удовлетворяет выражение для
прогибов в виде:
W — A lnr + Br2lnr + Cr24-£ + -^-.
1 III
Постоянные коэффициенты А, В, С, Е определяются из гра-
ничных условий:
при г = a; W = 0-, •^- = 0;
при r = b; W — 0; = 0.
В развернутом виде получаем систему уравнений:
Д In а + Ba2 In а + Са2 +4-£ = 0;
А + В (2а21па + а2) + 2Са2 + = 0;
Е4-Д1пЬ + В&21п& + СЬ2 + -^- = 0;
Д + В(2Ь21п6 + Ь2)+2СЬ2 + -^- = 0, 231
Из которой определяются коэффициенты А, В, С, Ё1. Итак,
qa2b2 (а2 — Ь2) Г(а2 + й2) 1п — “2 + Н
Д =----------------------------Ь--------L;
16D 4а2621п2-^- — (а2 — Z>2)2
— <?(а2 —й2) ^4а2621п4- +^ —
В=----------=-------------Ь--------
32D 4а2Ь2 1 и2 — (а2 — 62)2
— <? (1 +2 In а — 4 In & + 8 In а 1п-£-) +
+ <Л>2 8 In & In — 4 In а + 2 In & + 1) +
+ М (2 In b — 1) + а® (2 In а— 1)1
С =--------------=-------------------------------
64D I 4а2&2 In2 — (а2—62)2 I
Если учесть, что радиальный изгибающий момент Мг, при-
ходящийся на единицу ширины пластины в любой точке ее, равен
Л4Г = —D
д2й?
дг2 ’
то окажется, что
з 2
“Чб-^2;
Эти формулы можно представить в виде
Mr/r =а = Crfa2; Mr/r=ь = с2?а2
1 Формула для Е не приводится, так как она в дальнейшем не используется.
232
и для ряда частных значений — вычислить коэффициенты сх и с2.
Результаты вычислений представлены в табл. 35 и на графике
Напряжения изгиба можно определить по следующей формуле:
_ Мг _ 6МГ
°г— gs — 53
т
62
где ----момент сопротивления изгиба элемента пластины толщи-
ной и шириной, равной единице.
34. ЖЕСТКОСТЬ СОСТАВНЫХ ВАЛОВ
Непрерывно растущие требования к надежности передаточных
механизмов и их узлов с оцновременным снижением их габаритов
и веса приводят к необходимости дальнейшего уточнения приме-
няемых в настоящее время расчетов валов и осей на прочность
и жесткость. Малоизученным является вопрос о влиянии наса-
женных на валы деталей (зубчатых колес, втулок, шкивов и т. п.)
на их изгибную жесткость [66, 94, 136]. В частности, практически
отсутствуют такие данные для деталей, насаженных с гаранти-
рованным зазором. Обычно их жесткостью просто пренебрегают,
что в большинстве случаев недопустимо. К таким валам отно-
сятся, например, шлицевые валы многих транспортных машин,
станков и другого механического оборудования.
Как правило, диаметр ступицы в 1,6—1,7 раза больше диа-
метра вала либо среднего диаметра шлицевого соединения. Такое
соотношение размеров дает основание пренебречь изгибной де-
формацией ступицы по сравнению с деформацией вала. В этих
условиях при достаточной величине гарантированного зазора 6
можно допустить, что нагрузка передается на вал в виде двух
233
сосредоточенных сил, расположенных по краям ступицы
(рис. 118, а), где обычно и имеет место износ сопряженных ци-
линдрических поверхностей. При определенном соотношении
нагрузки и зазора последний будет выбран полностью и к внешней
нагрузке добавится самоуравновешенная система сил, действу-
ющая как на вал, так и на ступицу (рис. 118, б). Эта система,
нагружая рабочие элементы соединения вал—ступица, изменяет
упругую ось вала, делая его как бы более жестким.
Для общего случая несимметричного расположения ступицы
относительно опор вала задача дважды статически неопределима.
Рис. 118. Схемы передачи нагрузки на вал при наличии зазора (а), при пол-
ностью выбранном зазоре (б); схема экспериментальной установки (в):
1 — испытуемый вал; 2 — втулка; 3 — опора; 4 — индикатор; 5 — роликовый
упор
Неизвестными являются три силы взаимодействия вала с втулкой
и координата точки приложения средней силы. При симметричном
расположении ступицы степень статической неопределимости
снижается и величина срединной силы X определяется по
V Р (3LB* — ЗВ») — 96EJ6 /0 с о.
л 2дз > (ооо)
где L — длина вала между опорами; В — длина втулки; Р —
внешняя нагрузка на втулку; S — зазор; ЕJ — изгибная жест-
кость вала.
Из формулы (358) следует, что значение внешней нагрузки,
при котором X 2» 0, должно удовлетворять неравенству
Р^Р° = ULB'-m- »
Величина прогиба вала (пренебрегая действием перерезыва-
ющей силы) в точке А при х 0 находится по формуле:
Уд = -Зт2 + 2/п3)> (360)
где т — относительная длинавтулки.^уп = B/L.
234
При появлении срединной силы X этот же прогиб определится
по выражению
Ул = (1 — 2,25m + 1,5m2 — 0,25m3) + 1,56 . (361)
Для m < 0,5 членом 0,25m3 можно пренебречь.
Экспериментальные значения прогибов составных валов с рас-
стоянием между опорами L = 28,5 см получены на универсаль-
ной машине ИМ4-30, схема которой представлена на рис. 118, в.
При нагружении жесткая втулка перемещалась поступательно,
а следовательно, замеренные перемещения представляют собою
прогибы в точках А. Величина просадки опор определялась вы-
читанием из измеренной величины прогиба теоретической вели-
чины Ул для вала без втулки. На рис. 119 приведены графики
жесткости валов. Материал валов — сталь 35ХНМА (НВ 285),
материал втулок — сталь 40Х (НВ 285).
Момент инерции круглого вала J = 10,25 см4, шестишлице-
вого J = 3,11 см4, восьмишлицевого J = 7,04 см4. Для шлицевых
валов величины J определялись экспериментально.
Анализируя характер зависимостей У (Р) либо У (ст), заме-
чаем, что, во-первых, жесткость составных валов даже при сравни-
тельно малых значениях m = (0,175-^ 0,2) больше жесткости
валов без втулок, во-вторых, что жесткость (характеризуемая
углом наклона луча к оси абсцисс графика) не постоянная и су-
щественно растет при значениях внешней силы Р > Ро- При
этом теоретическое значение Ро, определяемое по формуле (359),
оказывается меньшим его фактического значения. Последнее
обстоятельство объясняется тем, что фактическое давление сту-
пицы на вал распределяется на некотором участке и их равно-
действующая смещается внутрь ступицы. Другими словами,
в формулах (358)—(361) вместо В следует брать Вг — kB,
а вместо m — величину mr = km, где k<. 1 экспериментальный
коэффициент. Величина k определяется из уравнений (360) и
(361), где вместо m следует положить ть а значение Ул взять
из экспериментального графика. По результатам проведенных
исследований значения k лежат в пределах 0,7 < k < 0,9.
На рис. 120, а приведены кривые зависимости YA от относи-
тельной длины втулки m = Эти кривые весьма наглядно
представляют процесс изгиба составных валов и характер изме-
нения их жесткости с ростом нагрузки.
Для определения прогибов и углов поворота сечений состав-
ного вала целесообразно представить его в виде целого ступен-
чатого вала с фиктивным приведенным диаметром и моментом
инерции в пределах участка, где Насажена втулка.
Используя метод Мора для значений силы Р < Ро, получаем
_ 3 — 3/nj +
Jw ~ J 3(1 — «i)2
(362)
235
Рис. 119. Кривые жесткости: а —для круглого вала 0 38 мм без втулки (?) и с втулками, имеющими т= 0,421,
(2); 0,351 (5), 0,263 (4), при ходовой посадке (сплошные линии); для шлицевого вала 6D 26X32X6 без втулки (/)
и со втулками, имеющими т = 0,351, (2); 0,263 (3) и 0,175 (4) и посаженными по посадке 6 ~ для
шлицевого вала 8D 32X38X6 без втулок (/) и со втулками, имеющими т = 0,421 (2), 0,351 (3) и 0,263 (4) и посажен-
* /Л ^4 \
нЫми на посадке ( )
\A3O4G/ -
а для Значений силы Р > Ро
г t 4т — 4т2 1,33ms
** пр J 7 ~с~
(1 — т) 1т — т2 + —
(363)
где
96£J6
С~ PL3 •
Из формулы (363) вид-
но, что 7пр в этом случав
зависит от нагрузки и за-
зора: чем меньше зазор
и чем выше нагрузка, тем
жесткость больше. Если
значения k неизвестны,
то для расчетов по фор-
муле (362) можно прини-
мать 0,9 < k < 1, а для
расчетов по формуле (363)
0,7 < k < 0,9.
На рис. 120, б пред-
ставлены зависимости-у2-
от т (т^. При больших
значениях т > 0,5 формула
(362) теряет смысл, так как
она получена в предположе-
нии недеформируемости сту-
пицы. Формула (363) опре-
деляет семейство кривых,
выходящих из начала коор-
динат и зависящих при дан-
ной нагрузке Р от величины
зазора 6.
Значения -J2- (т) сле-
дует брать при Р < Ро по
кривой, выходящей из орди-
Рис. 120. Кривые зависимости прогиба
вала от относительной длины втулки т
(а) и зависимости JnpIJ от т (б)
наты, равной единице, а при
Р > Ро по одной из кривых
вышеуказанного семейства
(при данных б и Р).
В заключение следует отметить, что, во-первых, работа глад-
ких и шлицевых валов при Л4кр = 0 протекает примерно одина-
ково, за исключением весьма малых нагрузок, когда изменение
жесткости шлицевых валов нелинейно из-за участия в работе
боковых граней соединений; во-вторых, наличие ступицы,
237
Насаженной с гарантированным зазором, увеличивает не только
жесткость, но и прочность вала, так как напряжения изгиба
внутри ступицы не превышают их значений по краям.
35. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МЕЖДУ ВАЛОМ И СТУПИЦЕЙ
При решении поставленной задачи рассмотрим силы и моменты,
действующие в осевой плоскости соединения, пренебрегая эффек-
том действия крутящего момента. Введем следующие простейшие
предположения: зазор между ступицей и валом равен нулю; воз-
никающие при наличии натяга удельные давления могут быть
Рис. 121. Схема расположения ступицы
учтены методом наложения;
изгибная жесткость ступицы
много выше жесткости вала.
Контактные деформации и де-
формации поперечного сжатия
малы по сравнению с деформа-
циями изгиба и сдвига.
Пусть на ступицу перпен-
дикулярно ее оси действует
сила Р, а в осевой плоскости,
совпадающей с плоскостью, где
лежит эта сила, момент Ми. •
Со стороны вала на ступицу могут действовать распределен-
ная нагрузка и сосредоточенные силы ее краям [136]. Возникно-
вение этих сил является следствием резкого изменения кривизны
упругой оси вала в месте ее входа в ступицу.
Ступица с относительной длиной B/L расположена на двух-
опорном валу длиною L,
L — b 4“ В,
где а и b — расстояния ступицы от левой и правой опор соответ-
ственно (рис. 121).
Отбрасывая левую и правую части вала, заменяем их действие
изгибающими моментами 7ИЛ = Rnb и Мп = Rna и перерезы-
вающими силами:
г) п а + 0,5В __ р b + 0,5В
Действие ступицы заменяем распределенной нагрузкой q (х)
(кгс/см) и силами Хл и Хп.
Начало координат принимаем по середине длины ступицы
(рис. 122). Неизвестные Хл, Хп, q (х) входят в уравнение ней-
тральной оси вала, которое с учетом действия касательных на-
пряжений при поперечном изгибе имеет вид [158]
М(х) + р2<7(х) = ^ = О, (364)
так как, согласно введенным ранее предположениям, R —♦ оо.
238
Уравнение (364) справедливо для любого х в пределах —0,5В <
С х с 0,5В.
Принимая с некоторым запасом, что на угол наклона каса-
тельной к нейтральной оси влияют лишь максимальные касатель-
ные напряжения, получим
Р’ = ^Г- <365»
где
« = #• (366)
В формулах (365) и (366) Е и
G — модули Юнга и сдвига; J —
момент инерции; F — площадь
вала диаметром d; S — статиче-
ский момент относительно нейт-
рального слоя.
Для круглого сплошного вала
₽2 = (1 + ю4- (367>
где р — коэффициент Пуассона.
При принятой системе коор-
динат выражение для изгибаю-
щего момента в сечении х будет
иметь вид
Рис. 122. Эпюра нагрузки на вал:
а — расчетная схема; б — факти-
ческое распределение нагрузки
мх = Мл + (?л (х + 0,5В) - Хл (х + 0,5В) -
- ) я® (*—В) 4-
—0,5В
(368)
Подставляя (368) в (364) и дифференцируя 1 * * * У полученное интег-
ральное уравнение по х дважды, получим
-q (*) + ₽V' (х) = 0.
(369)
1 При дифференцировании интеграла по переменному верхнему пределу
применяем теорему о дифференцировании интеграла, зависящего от пара-
метра | [159],
Р (</)
J (у) = j F (х, у) dx,
₽(!/>
= f Fy (х. у) dx + F [Р (у), у] Р' (у) — F [а (у), у] а' (у)-.
У «(У)
239
Решение уравнения (369) записывается в виде
<7(x) = c1Sh-£- + c2ch (370)
Для определения неизвестных с1У с2, хл, хп имеется два интег-
ральных уравнения равновесия ступицы и уравнение (364), из
которого также надлежит получить два условия, выражающих
тождественность его равенства нулю при любых значениях х.
В соответствии со схемой загрузки ступицы внешними силами
и ее расположением между опорами вала возможны следующие
расчетные случаи: Ми = 0, р =/= 0 — ступица расположена
симметрично; Мя = 0, р = 0 — ступица расположена несим-
метрично, Ми =£0, р 4= 0 — ступица расположена симметрично,
Ми =£ 0, р 0 — ступица расположена несимметрично.
В качестве примера рассмотрим первый простейший расчетный
случай, для-которого в силу симметрии задачи Сг = 0. Следо-
вательно,
<7 (х) = с2 ch-р-. (371)
Вычислим интеграл, входящий в выражение (368),
j j ch(-M(x-&m=
-0,5В —0,5В
= с2 [p(x + 0,5B)sh^ + p2(ch^-ch-^}] . (372)
Подставляя (371) и (372) в (368) и (364), получим
Мл + <?л (х + 0,5В) - Хл (х + 0,5В) - с2 [р (х + 0,5В) sh -^ +
+ +p2c2ch^- = 0. (373)
Сгруппировав слагаемые, перепишем выражение (373) в сле-
дующем виде:
(х + 0,5В) [<?л - Хл -c2psh-^] +
+ Мл + С#сЬ-^ = 0. (374)
Из (374) следует:
<?л-Хл-с2Р8Ь-^ = 0;
Мл + с2р2сЬ-^ = 0,
откуда н
с,=-----(375)
Рек
240
x-=<2"+Tftsh^=<?',+Tth’i- <376>
2p
В силу симметрии разбираемого случая
Хл = Хп = 0,5Р(1 +-|-th-^) = 0,5P^; (377)
~ ft2 h В ch Р ’ (378)
/ х _ 0,5Рд Ч Wmax — рг " > а (Х\ - _ °'5Ра (379)
.4 И/mln — D • (ooU)
₽2ch
н 20
Нетрудно убедиться, что условия статики соблюдаются, т. е.
0,5В
0,5Р = | q (х) dx +
о
Рис. 123. Зависимость коэффициента
kx от параметров aid и B/d
+ °.5P(l+fth^-).
На рис. 122 показано фак-
тическое распределение нагруз-
ки на вал. Изменение знака
q (х) против предполагаемого
(рис. 122) объясняется требова-
нием иметь по всей длине вала
нулевую кривизну.
На рис. 123 представлен
график зависимости коэффи-
циента kx от конструктивных параметров соединения (В/d) и рас-
положения ступицы относительно опор (а/d). С увеличением
свободных участков вала между ступицей и опорой ухудшаются
условия работы соединения (растут сосредоточенные нагрузки по
его краям).
36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ЗАТЯЖКИ ТОРЦОВЫХ ГАЕК,
СТЯГИВАЮЩИХ ПАКЕТЫ ДЕТАЛЕЙ НА ШЛИЦЕВЫХ ВАЛАХ
На вальных коробках передач, применяемых в трансмиссиях
ряда транспортных машин различных назначений, пакеты дета-
лей (шестерни, втулки, подшипники качения), насаженные на
промежуточные валы, стягиваются торцовыми шайбами или гай-
ками. Однако в процессе эксплуатации машин усилие затяжки
в весьма короткий промежуток времени ослабевает, что приводит
16 Под ред. Н. И. Кодчидд 241
к нежелательным относительным перекосам шестерен на валах
и усилению износа их торцовых поверхностей.
Причиной ослабления затяжки или даже в отдельных случаях
обрыва шпилек, крепящих торцовые шайбы к валу, являются пе-
риодические осевые проскальзывания колес относительно вала,
которые являются следствием действия на корпуса шестерен
постоянных по направлению изгибающих моментов.
Появление этих перекашивающих прямозубые шестерни мо-
ментов связано как с несимметричностью ступиц относительно
Рис. 124. Схема промежуточного вала коробки перемены передач
плоскости действия нормального усилия в зацеплении, так и с не-
равномерностью распределения контактных давлений по длине
рабочей грани шлиц [51].
Приведем методику определения силы затяжки для торцовых
гаек, необходимой для надежной эксплуатации рассматриваемых
узлов.
На рис. 124’ представлена простейшая схема промежуточного
вала, имеющего одно ведомое зубчатое колесо и одну ведущую
шестерню, причем на валу условно показаны только два нагру-
женных колеса.
Если радиус начальной окружности колеса rWKi а радиус на-
чальной окружности шестерни то нормальные усилия в за-
цеплении Рпк и Рпи1 находятся в соотношении
РПК Гцдп COS СЕщ /оQ 1\
рmil rWK C0S аК
где и аш — углы зацепления в передаче мощности к валу и
от вала.
Перекашивающие шестерню и колесо моменты определяются
по выражениям:
МПК = Рпк (ZlU. к ^Рк)» 1 /ОО0\
М — Р (у __ у \
2У1ПШ - гпшгш. ш ^Рш/» J
где ?ш. к и ?ш. ш — продольные координаты центров тяжести эпюр
распределения нагрузки по длине шлицевого соединения соот-
24?
ветсТвейно колеса й ШесТерий с валом; гРк й гРш — продольные
координаты центров тяжести эпюр распределения нагрузки по
ширине зубчатого венца.
Для случая, когда крутильная жесткость ступицы GCTJCT, по
крайней мере, на один порядок превышает крутильную жесткость
вала GbJs, что при равных модулях сдвига 0ст = 6В имеет место
при отношении наружного диаметра ступицы к среднему диаметру
шлицев, превышающем 1,8, продольная загруженность шлице-
вого соединения получается изменяющейся по закону гиперболи-
ческого косинуса. Необходимо заметить, что форма ступицы на-
чинает оказывать сколько-нибудь существенное влияние при ее
диаметре £>ст (1,3ч-1,4) dB (где dB—диаметр вала).
На рис. 125 представлено зубчатое колесо, имеющее в общем
случае ступицу с несимметрично расположенным зубчатым вен-
цом. Согласно обозначениям, принятым на рис. 125:
Ми=Рп(гш — zP)\ гш = 1 — [chX/— 1]; zP = a + 0,5B. (383)
Параметр X (в 1/см), входящий в выражение для ?ш, зависит
от жесткости шлицевого контакта псш (кгс/см2) и крутильной
жесткости вала GByB (кг/см2)
где п — число шлицевых пар.
Выражение (384) получено из решения дифференциального
уравнения совместности деформаций вала и ступицы, а форма
соответствует случаю одностороннего подвода крутящего момента
со стороны упругого вала к значительно более жесткой сту-
пице [51].
Момент 2Ии в общем случае уравновешивается реактивными
моментами в шлицевом соединении и в зубчатом зацеплении, а
также моментом, возникающим за счет перераспределения удель-
ных давлений по торцам ступицы, сжатой смежными с ней деталями
пакета. Задача в общем случае статически неопределима. Усло-
вием для раскрытия статической неопределимости является ра-
венство углов перекоса для всех вышеуказанных мест контакта
ступицы.
При определении необходимой силы предварительной затяжки
пакета Рзат будем предполагать, что момент Ми уравновешивается
только за счет перераспределения удельных давлений по торцам
ступицы. Силу же затяжки будем считать не изменяющейся до
раскрытия стыка. При этом напряжения сжатия (удельные дав-
ления) на поверхности контакта концевой гайки с внутренним
кольцом подшипника качения при действии суммарного изги-
бающего момента перераспределяются. Из рис. 124 видно,
что моменты 7Ии. к и Ми. ш противоположны по знаку.
16
243
to
4^
Рис. 126. Схема загрузки торца гайки
Рис. 127. Схема размещения шестерен на валах: а — рациональная;.
б — нерациональная
Предельными случаями распределения напряжений буду!
случаи равномерного распределения напряжений и эпюра, имею-
щая (<7См)т1п — 0> т- е- треугольная в осевом сечении.
Из рис. 126 следует, что напряжения смятия по хорде с коор-
динатой у будут
Нем = Птах , (385)
где
^тах = 2озат;
°-= Miter <386)
Составляя уравнение моментов относительно оси ох, найдем
плечо I приложения равнодействующей Р3!п,
e = -^—\ayds, (387)
~зат у
т. е.
(+Я VR*-r* Ч-г Vr’-у» \
f I* uydxdy— I* f oydxdy . (388)
-r о Л о J
Выполнив интегрирование и алгебраические преобразования,
получим
(389)
о/затА
Знак минус соответствует принятой системе координат. Имея
в виду (386) и опуская знак, получим
е=-в^- (390)
С другой стороны, учитывая, что при перекосе шестерни дав-
ления концентрируются по противоположным краям обеих тор-
цовых поверхностей, будем иметь
2PaaTe = Ms, (391)
что и определяет необходимую силу предварительной затяжки
торцовых гаек
р ___2 (М„. к — Ма. ш] R /опоч
' зат /^2 । г2 • \ov^}
Подсчеты по формуле (392) показывают, что для находящихся
в эксплуатации коробок передач величина Рзат сравнима с вели-
чиной окружного усилия в передаче.
С целью уменьшения Рзат следует максимальным способом
уменьшать (Ми. к—Мя. ш), не допуская расположения 'зубчатых
колес таким образом, чтобы знаки Мя. к и Мя_ ш совпадали (рис. 127).
ГЛАВА III
ДИНАМИКА И К. П. Д. ПЕРЕДАЧ
37. ДИНАМИКА МАШИННОГО АГРЕГАТА С АСИНХРОННЫМ
ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ В СТОПОРНОМ РЕЖИМЕ
В современных технологических машинах широкое примене-
ние получил асинхронный электропривод — наиболее простой,
экономичный и надежный в эксплуатации. Повышение быстро-
ходности машинных агрегатов, связанное с естественным стремле-
нием к увеличению производительности технологических машин,
определяет актуальность исследования различных динамических
процессов, свойственных машинным агрегатам.
К числу наиболее напряженных динамических режимов ма-
шинных агрегатов относятся так называемые стопорные режимы,
характеризующиеся практически мгновенной остановкой выход-
ного звена приводного механизма, интенсивным торможением и
быстрой остановкой ротора двигателя. С точки зрения механики
стопорный режим следует рассматривать как типичный ударный
режим, поскольку стопорение выходного звена представляет со-
бой внезапное наложение связей на движущееся тело [54].
Из общего многообразия машинных агрегатов можно выделить
широкий класс, для которого стопорный режим является основ-
ным рабочим режимом. Значительный динамический эффект,
свойственный таким режимам, позволяет получать большие рабо-
чие моменты (усилия) при использовании приводных электро-
двигателей сравнительно небольшой мощности. Примерами та-
ких машинных агрегатов являются электромеханические зажим-
ные устройства тяжелых станков (ЭМЗУ), устройства для мест-
ного или дистанционного управления трубопроводной армату-
рой (вентилем, затвором, задвижкой),.используемой в химических
аппаратах, установках по переработке нефти, газопроводах и пр.,
устройства позиционирования по жестким упорам и др. [23,24,166].
Узлы конструкции ЭМЗУ специального тяжелого рас-
точного станка Ленинградского станкостроительного завода
им. Я. М. Свердлова показаны на рис. 128 и 129. Приводной ме-
ханизм 2, представляющий собой планетарный зубчатый редук-
тор типа 2К-Н с двумя внутренними зацеплениями, приводятся
в действие от асинхронного двигателя 1 (рис. 128). Выходной вал
редуктора 3 связан кулачковым соединением с винтом 4 зажимного
механизма. Кулачки, выполненные в отверстии вала и на хвосто-
вике винта, образуют однооборотную (разгонную) муфту.
246
г
Рис. 128. Приводной механизм ЭМЗУ специального тяжелого расточ-
ного станка
Рис, 129. Зажимной механизм ЭМЗУ специального тяжелого расточного станка
247
Зажимной механизм винтового типа (рис. 129) состоит из
пиноли 2, перемещающейся поступательно в цилиндрической
направляющей втулке 3 и удерживающейся от вращения шпон-
кой 5, Винт 4 с трапецеидальной нарезкой смонтирован в опорах
на направляющей втулке. Гайка 8 залита в пиноли. Фиксируе-
мая деталь прижимается пинолью 2 к кронштейну 1 заданным
Рис. 130. Схема устройства для управ-
ления трубопроводной арматурой
усилием зажима.
В центральной расточке
цилиндрической шпонки 5 с
направляющей лыской, входя-
щей в шпоночный паз пиноли
2, имеется внутреннее отверс-
тие, в котором располагается
стержень 6, входящий одним
концом в направляющее углуб-
ление, выполненное в пиноли
по дну шпоночного паза. При
крайних положениях пиноли
стержень перемещается в осе-
вом направлении и воздействует
вторым концом на рычаг конеч-
ного выключателя 7, включен-
ного в цепь управления дви-
гателем. Величина предельного
тока (момент) двигателя огра-
ничивается быстродействующим
токовым реле. При отжиме
контакты токового реле шунти-
руются, что позволяет осуще-
ствлять отжим при отсутствии
ограничения тока (момента)
двигателя. На станке ^имеются
четыре зажимных устройства,
фиксирующие деталь в опреде-
ленной последовательности с
целью уменьшения деформаций
при зажиме.
Кинематическая схема устройства для управления трубопро-
водной арматурой показана на рис. 130. Приводной двигатель 1
посредством кулачковой муфты 2 передает вращение ведущему
валу 3, с которым шлицевым соединением связан червяк 4, Чер-
вяк сцеплен с червячным колесом //, которое смонтировано на
приводном валу 13 и соединяется с ним кулачками 21—22, обра-
зуя однооборотную (разгонную) муфту.
Благодаря шлицевому соединению червяк может, перемещаться
в одном направлении вдоль оси вала 3, преодолевая усилие пру-
жины 7, предварительный натяг которой регулируется гайкой 8.
Величина предварительного натяга устанавливается в соответ-
248
ствйи с Требуемым момейТом оГрайичения. При превышении уста-
новленного момента на червячном колесе червяк перемещается по
валу наподобие рейки, воздействуя торцом на рычаг 5 микропе-
реключателя 6, включенного в цепь управления двигателя, что
обеспечивает отключение двигателя.
Стопорный режим в рассматриваемом устройстве реализуется
при открывании. При этом осуществляется разбег двигателя
в пределах углового зазора в разгонной муфте с последующим
нарастанием момента до растормаживания самотормозящейся
Рис. 131. Модели ЭМЗУ
пары зажимного механизма (обычно винтового типа). Наладочные
операции могут выполняться при ручном управлении от махо-
вика 19 при отключенной кулачковой муфте 2, управляемой цен-
тральным стержнем 20 с кнопкой. Маховик сцепляется с ведущим
валом кулачковой муфтой 9. Вращение маховика при включен-
ном двигателе исключается при помощи шарнирного сочленения 10.
Ограничение хода шпинделя зажимного устройства при отжиме
осуществляется путем отключения приводного двигателя по ко-
манде от микропереключателя 17, на который воздействует ку-
лачок 18, приводимый во вращение червячной парой 15—16.
Червячная пара получает вращение от цилиндрической зубча-
той пары 12—14, так как зубчатое колесо 14 смонтировано на
приводном валу.
Ниже рассматриваются .стопорные режимы применительно
к станочным ЭМЗУ, хотя полученные результаты можно исполь-
зовать при расчете стопорных режимов в машинных агрегатах
других машин.
Анализ конструкций ЭМЗУ тяжелых металлорежущих стан-
ков позволил выделить четыре типовые модели. Модели I
249
(рис. 131, а) и III (рис. 131, в) соответствуют ЭМЗУ с передаточ-
ным механизмом редукторного типа. При этом для модели I ха-
рактерно применение самотормозящихся передач как в привод-
ном, так и в зажимном механизмах, для модели III — примене-
ние одной самотормозящейся передачи либо только в привод-
ном, либо только в зажимном механизме. Здесь J' — момент
инерции массы ротора (с учетом жестко связанных деталей);
J"— приведенный момент инерции вращающихся масс редуктора;
f>i2— приведенный угловой зазор в кинематических парах (вклю-
чая разгонную муфту, специально вводимую для облегчения раз-
бега двигателя при пусках на зажим и отжим).
Модели II (рис. 131, б) и IV (рис. 131, г) представляют собой
частные случаи соответствующих моделей I и III и характерны
для безредукторного приводного механизма и для редукторного
механизма с малыми вращающимися массами.
Применение самотормозящихся передач в ЭМЗУ необходимо
для фиксирования момента зажима, так как приводной двигатель
работает лишь в периоды осуществления зажима и отжима.
Именно благодаря этому достигается минимальная энергоемкость
ЭМЗУ.
Динамическая модель самотормозяще.гося механизма показана
на рис. 132. Согласно исследованиям, изложенным в работе [24],
динамическая характеристика самотормозящейся передачи (в схеме
с приведенными параметрами) задается силовым передаточным
отношением хА+11А:
(——Для тягового режима;
иА+1, k ~ I
[рА+1, k — для режима оттормаживания,
где т|А, ft+1—к. п. д. самотормозящейся передачи в тяговом ре-
жиме (при котором самоторможение не проявляется); p.A+li k —
коэффициент оттормаживания.
Следует отметить, что в общем случае силовое передаточное
отношение самотормозящейся передачи зависит от скорости сколь-
жения в ее кинематических парах. Вместе с тем, как показали
исследования динамических режимов таких передач, с достаточ-
ной для практики точностью можно использовать в расчетах зна-
чения силовых передаточных отношений, осредненные по ско-
рости [24].
Упруго-диссипативные характеристики деформируемых звеньев
машинного агрегата являются нелинейными функциями вида
[42, 118]
ft+1 = ^k, fe+l (Фь
где Mki k+1—момент в деформируемом соединении на участке
между k-й и (k + 1)-й массами; фк = <pft — <pft+1 — угловая де-
формация соединения; фк — производная по времени от фк.
250
Поскольку действительные упруго-диссипативные характе-
ристики не имеют достоверных математических описаний, то раз-
личные предложения в этой области могут рассматриваться лишь
как более или менее правдоподобные аппроксимации. Для прак-
тических целей весьма удобна кусочно-линейная аппроксимация
рассматриваемых характеристик, основанная на предположении
о независимости коэффициента поглощения А+г от амплитуды
деформации и частоты в широком диапазоне изменения этих па-
раметров [24, 118].
Рис. 132. Динамическая мо-
дель самотормозящегося ме-
ханизма
Рис. 133. Гистерезисные спирали механиче-
ских звеньев для описания: а — внутреннего
трения; б — конструкционного гистерезиса
При этом для описания внутреннего трения используется .аппро-
ксимирующая зависимость (рис. 133, а)
Mk, *+1 = ск, k+^фк — > (393)
гДе ck, A+i — коэффициент жесткости рассматриваемого соеди-
нения; Сл — коэффициент диссипации; Фк — j-e экстремальное
значение фк
Ф(ь* = min, max фк
(/) (/)
Для описания конструкционного гистерезиса в наиболее часто
встречающихся случаях используется аппроксимирующая за-
висимость (рис. 133, б)
Mk, k+1 — \.ck, k+1 + tk sign (ф/гфк)\ Фк- (394)
Работа ЭМЗУ в стопорном режиме характеризуется двумя
последовательными этапами: первый этап — от начала непосред-
ственного зажима до отключения двигателя от сети; второй этап —
от момента отключения двигателя от сети до остановки ротора.
При недостаточном быстродействии коммутирующей аппаратуры
второй этап может не реализовываться, т. е. отключение двигателя
происходит после остановки ротора (так называемый режим опро-
кидывания).
Следует отметить, что для всех моделей ЭМЗУ (см. рис. 131)
стопорный режим осуществляется аналогично. Существенное
251
отличие заключается в реализации режимов, следующих за сто-
порным. Подробное исследование этих режимов выполнено в ра-
боте [25].
Для первого этапа стопорного режима необходимо получить
систему уравнений, описывающих электромагнитные переходные
процессы в асинхронном двигателе.
При исследовании переходных процессов в асинхронных дви-
гателях с короткозамкнутым ротором обычно принимаются сле-
дующие допущения: предполагается, что к обмотке статора при-
ложено трехфазное симметричное напряжение прямой последо-
вательности с постоянными амплитудой и частотой; все фазы
двигателя считаются симметричными, воздушный зазор — равно-
мерным; пространственные высшие гармонические составляющие
магнитных полей и насыщение магнитопровода не учитываются
183, 143].
Вектор-функции потокосцеплений статора us и ротора иг
определяются согласно уравнениям [83]:
= 44ssfs -|- = Mrsis -|- M.rrin (395)
где ij>s = bjrsl, ^3Г, = [фг1, %2. W — вектор-функции
потокосцеплений, компонентами которых являются полные пото-
косцепления фаз статора (si, s2, s3), ротора (rl, r2, гЗ); is = [isl,
iS2, «5з1', ir = [iri, »r2> — вектор-функции токов в фазах
статора, ротора; Mss — матрица взаимоиндуктивностей фаз ста-
тора; Msr, Mrs — матрицы взаимоиндуктивностей фаз статора и
ротора; Мгг — матрица взаимоиндуктивностей фаз ротора.
Элементы матриц Mss, MSr-, Mrs, Mrr определяются по форму-
лам:
(Mss)*, t — Mi, [Mrr\k, t = M2 при kI; £,/=1,2,3;
{Mss]k.k = U‘, {Mrr}k>k — L2 £=1, 2, 3;
{Msr} k, I = M12 COS <PsJfe, rl, (Mrs}k, I = M12 COS sb
где Llt Lz—индуктивности фаз статора, ротора; Mlt М2—
взаимоиндуктивности между двумя, фазами статора, ротора;
М12—максимальная величина взаимоиндуктивности между лю-
быми двумя обмотками статора и Гротора; q>sft, rt — угол между
осями обмоток статора sk и ротора rl (k, I — 1, 2, 3):
Ф$А, rk ФгА. sk Ф,
‘Psi, гЗ = ФгЗ, si = ФзЗ, rl ~ Фг1, s2 = Ф$3, г2 = Фг2, s3 = Ф ^0 ;
Фя, г2 = Фг2, S1 = ф»2. ГЗ = ФгЗ, S2 = 4>s3, rl = Фг1, S3•= Ф + 120°.
252
Уравнения напряжений для статора и ротора имеют вид [831:
= # + о = # + гЛ, (396)
где us = lusl, uS2, us3 —вектор-функция напряжений статора;
rlt г2 — активные сопротивления фаз статора, ротора.
Если подставить значения ф5, фг, согласно (395), в уравнения
(396), то получим дифференциальные уравнения, описывающие
электромагнитные переходные процессы в асинхронном электро-
двигателе с короткозамкнутым ротором. При этом коэффициенты
найденных уравнений зависят от угла (р между фазами sk статора
и rk ротора, что обусловлено взаимодействием обмоток статор^ и
ротора при изменении их взаимного положения в пространстве
вследствие вращения ротора с угловой скоростью сох = <р.
В целях . упрощения исследования переходных процессов
в асинхронном двигателе предложено преобразование исходных
переменных, приводящее систему дифференциальных уравнений
электромагнитного состояния к системе с постоянными коэффи-
циентами [83, 1431. Указанное преобразование осуществляется
при помощи матриц As, Аг размеров 2X3:
ф, = ЛЖ; L = AJ • us = А.и-
I □ Э I о 7 О о о 7 О О о у
(397)
= 1'г=лЛ.
где % = [фИ5, фот]'; фг = [фИг, фОг1'— вектор-функции пото-
косцеплений статора, ротора; is = [iUs, t^]', ir = [iUr, iVr]' —
вектор-функции токов статора, ротора; us = [uus, uvsY — вектор-
функция напряжения статора;
2 II cos (okt cos \<akt — 120°) cos (<oft/ -j- 120°) II
3 jsin®^ sin(©^—120°) sin(<akt -j- 120°)||
2 cos (akt —• q>) cos (соА/ — ф — 120°) cos (akt — <p + 120°)
r 3 sin (<nkt — <p) sln (<вА/ — <p — 120°) sln (a>kt — Ф + 120е)
Компонентами вектор-функций ф5, is, us и фг, ir являются
соответствующие составляющие по осям координат системы uOv,
вращающейся относительно неподвижных статора и ротора идеали-
зированного двухфазного двигателя с произвольной угловой ско-
ростью coft. При этом идеализированный двигатель считается экви-
валентным реальному трехфазному двигателю по намагничиваю-
щим силам, обусловленным• токами статора и ротора [143].
Умножая уравнения (395) слева соответственно на матрицы Л5
и Аг, находим:
^s = Mssi +Msrir-, qr = Mrsis+Mrrir, (398)
253
где
д , || ^-2 ^2 0 ||
"=|| о l2- м2||
причем матрицы Mss, Msr—Mrs и Mrr имеют постоянные эле-
менты.
Аналогично можно преобразовать уравнения (396) к виду:
us = + riis, 0 = — со) 1|>’ + r2i„ (399)
где ф5’ = [—фи, ipus]'; ф^ = [—фРг, фиг]’•
При выводе уравнений (398) учитывалось, что
А = тг <АЙ - Чг тг * “ “»*
АI'M j — 4^’Ь: Tri, = (и,—
Следуя методике, изложенной в работе [143], выразим пара-
з
метры Lx—Mlt L2—М2 и -у М12 через обычно используемые при
расчете двигателей индуктивные сопротивления х19 х2 и х0:
<оо (^i ^1)~ wo (^2 М2) = х2' -у (о0Л412 = х0.
Синхронные реактивные сопротивления обмотки статора и
ротора соответственно равны:
= *о + xi‘. = х0 + х2.
Введем относительные параметры:
xs
«Г= -Л
Хг
' аг
аг= —
г а
и х$
кг=^~
г Хг
где а = 1 — — полный коэффициент рассеяния.
Тогда систему уравнений электромагнитных процессов можно
записать с учетом (398)—(400) в виде
ф + Аф = ^(ф, coj).
(401)
264
Здесь ф — вектор-функция потокосцеплений с комПойейТамй;
Фх(0 = Ф««(0; Ъ (0 = (0; Фз (0 = ф0, (0; ФЛО^ФаЛО; (402)
Л — (4x4) матрица с элементами
<2ц == CZ21 «31 ^41 == 0,
CZ12 == — ^22 === ^32 :^= О, ^42 ©k&rKst
а13 = — ^k^sKn O23 = 0; азз = со*аг; 043 = со*;
CZ14= О, ^24== ^34== ©А> ^44 == СО*ССГ.
(403)
F (ф, ©х) = [«„/, uvs‘, — (01ф4; (0хф3]'. (404)
Электромагнитный вращающий момент определяется по фор-
муле [83, 143]
= Р э<р ~ ~Т Р "дф ~Ь Фгй^й) =
= "Г р(Лк — (405)
где р — число пар полюсов.
Следует отметить, что входящие в формулы (403)—(405) элек-
трические угловые величины <р и со х = ф выражены соответственно
в рад и рад/с. При этом механические угловые величины связаны
с электрическими соотношениями:
Фэл = РФмех> “1эл = Р“1мех • (406)
В качестве системы координат, наиболее рациональной для
исследования стопорных режимов, принимается система хОу
при со* = со0, где со0 — синхронная угловая скорость. Учитывая
соотношения (406) при переходе к механическим величинам в рас-
сматриваемой системе координат необходимо в формулах (403),
(405) заменить со* на рсо0 = сос = 2л/с (сос — угловая частота
сети; /с — частота сети), в формуле (404) — сох на рсох. Кроме того,
в формулах (402), (404), (405) следует заменить индексы и, v соот-
ветственно на х, у.
Как показали исследования [143], электромагнитный вращаю-
щий момент инвариантен относительно фазы включения сете-
вого напряжения. Поэтому можно принимать: «xs =^2н,
uys = 0 (где t/ф. н — номинальное фазное напряжение).
Уравнение движения ротора запишем в виде
^1=^(МЯ-М21-МС1), (407)
где K.j = 7Г1, 7i — момент инерции ЭМЗУ (7i = 7( + 71 —
для моделей I и III)-, М21 — момент сил упругости, действующий
со стороны упругого соединения на ротор; Mci = Mei sign ©i—
приведенный момент сил сопротивления.
255
(408)
ТЯГОВЫЙ
II
(409)
Принимая для упруГо-дйссйпатйвных характеристик зависи-
мости (393) и (394) и не учитывая предысторию нагружения соеди-
нения, момент Л121 можно записать в виде
М21 = спр<р = спр j (т) dr,
где £пр — приведенная жесткость механизмов ЭМЗУ.
Поскольку в рассматриваемом случае реализуется
режим самотормозящихся передач, то для моделей / и
с _________с1<П121с2т1231сЗ_
Р С1С2 + (С1 + т)121с2) 'Пгз^з
соответственно для моделей /// и IV
_____ с1т)121с2
Спр_~ с Д-х\-хс ‘
С1 i 412 с2
Обозначим
Q(i|>, a>1) = ICj [-|-р<ос-^(1Мз — ШО— Alcisignoj] . (411)
(4Ю)
Тогда, имея в виду, что для рассматриваемого режима (ох 0
систему уравнений движения можно представить следующим обра-
зом:
ф Лф = F (ф, (oj;
t
<Oi + %2 J (Oi (т) dr == Q (ф, (Oi),
о
(412)
где X = ]/ КуСпр — собственная частота механической системы
в рассматриваемом режиме.
Решение системы интегро-дифференциальных уравнений (412)
можно найти при помощи итерационного процесса, решая на каж-
дом шаге системы линейных интегро-дифференциальных уравне-
ний вида:
ф[й] + 4ф^] = ^(ф[^- 1], oh [6-1]);
t
© [fe] + X2 j ©! [£] dr=Q (ip [k — 1], ©x [k — 1]).
0
(413)
Здесь буквой Ш обозначен номер шага итераций, на котором
вычисляются соответствующие вектор-функции и функции. Рас-
сматриваемый процесс является модификацией известного итера-
ционного процесса Пикара (162) и отличается от последнего более
256
быстрой сходимостью [24]. Сходимость итерационного процесса
может быть существенно усилена, если в функции Q (ф [k— 1J,
<01 \k—~ И) при <вх > О заменить Ik — 1 ] на [fe ]. При этом си-
стема уравнений (412) может быть решена в два этапа: 1) на
k-tA шаге итераций находится решение первого матричного уравне-
ния системы (413) — вектор-функция ф [fe]; 2) отыскивается
решение второго интегро-дифференциального уравнения системы
(413) при Q (ф [k], (ох [k]), так какф [Л] — известна, сох [Л] > 0.
Для построения решения линеаризованной системы дифферен-
циальных и интегро-дифференциального уравнений (413) необ-
ходимо построить решение соответствующей однородной системы
уравнений. Действительно, если такое решение для Y (t) диффе-
ренциальной системы известно, то
t
ф[£] = Г(Офо + j Y(t — %)F\k — l]dx. (414)
Из (414) следует, что
t
ф[&]= — ЛУ(0Фо — А [/(/ — x)F[k — 1 ] dxF [А> — 1]. (415)
Подставляя (414) и (415) в (413), убеждаемся, что (414) является
решением системы дифференциальных уравнений. Аналогично
можно представить решение интегро-дифференциального уравне-
ния в системе (413).
Воспользуемся применительно к системе уравнений (413)
односторонним преобразованием Лапласа [97]. Операторная си-
стема уравнений, соответствующая (413), имеет вид:
(р/ + Л)Т^ = ф0 + £{Г[Л-1]}; |
(p2 + %2)Qx[^] = p(ox,0 + pL{Q[A-1]}, / 1 1Ь)
где р — комплексная переменная; ¥ [Л], йх [А] — изображения
по Лапласу вектор-функции ф [&] и функции сох [&] на k-м шаге
итераций; ф0, <ох, 0 — начальные условия; L {F [k—1]},
L {Q [k—1]} — соответственно изображения по Лапласу век-
тор-функции F [k— 1] и функции Q [k— 1]; I — единичная
матрица порядка 4;
Т = J е-₽/ф [6] dt-, Qx (k) = J e~pt ®x [fc] dt.
о о
Решая систему операторных уравнений (416), получим:
^№ = (р/ + Л)-1(фо + £]£^-1]}); j
Qi[/e] = (p2 + V)-1(P«1,o + P^{Q^-l]|. J ( }
17 Под ред. Н. И. Колчина 257
Решение системы интегро-дифференциальных уравнений (413)
находим, обращая по формуле Римана—Меллина изображения
Y [/г] и [&] с использованием аппарата теории вычетов [971:
Ф № = 2ST J е₽' Т dP = S Res le₽' W +
(pp)
+ 2 Res[ep/—l]h p];
(pp"n)
a4-/oo
“*™=2ir J e’'ai|t1dp=£Res[e«J^, p] +
(J—/00 (±/M
+ S
(±M, p^)
где pp— корни полинома det (р/ + Л); pn — полюсы вектор-
функции L [F [k — 1 ]}; p?— полюсы функции L {ф2— 1 ]X
X фз [k — 11 — Ф1 Ik — 11 ф* [k — 1 ]}.
Любая постоянная, стоящая в числителе найденных выраже-
ний, может рассматриваться как изображение дельта-функции.
Первые суммы этих выражений представляют решения соответ-
ствующих однородных уравнений, не зависят от шага итераций
и могут быть вычислены единожды.
Формулы для ф Ш, (ох [k ] являются решением системы интег-
ро-дифференциальных уравнений (413) на &-м шаге итераций,
причем Фо = ф (0), («>!, о = о (0)- Вторые суммы этих фор-
мул соответствуют решениям системы уравнений (413) при нуле-
вых начальных условиях на Л-м шаге итераций.
Построение решения в найденной форме связано со значи-
тельными вычислительными трудностями вследствие необходи-
мости находить вычеты во вторых суммах не только относительно
полюсов и рс, но и для рр, ± /X. Можно существенно упростить
вычисления, если в указанных суммах находить вычеты только
относительно полюсов рп, р&. При этом построенное решение неод-
нородной линеаризованной системы интегро-дифференциальных
уравнений (413) уже не удовлетворяет нулевым начальным усло-
виям. Общее решение в этом случае записывается в виде:
... (418)
[/г] — ©х, 0 [&] cos М + М1'^ sin + h (Аг],
где ф0 [Аг], а»! 0 №1» Ы1 о 1&1— произвольные постоянные;
G(0-(4 Х4) — матрица; f [fe]— четырехкомпонентная вектор-
функция; h Ik]— функция.
258
В формулах (418) решение [&] строилось для дифферен-
циального уравнения второго порядка вместо соответствующего
интегро-дифференциального уравнения. Класс решений системы
дифференциальных уравнений:
ф[^4-Лф(^) = Г(А!—1); (419)
«1 [6] + ^«1W = Q Ik — 1 ] (420)
включает все решения системы (413), причем, чтобы выделить из
этого класса только решения исходной интегро-дифференциаль-
ной системы (413) при использовании зависимостей (418), необ-
ходимо выполнить условие эквивалентности
®1. о = Q (Фо. “1,о)‘ (421)
Матрица G (0 представляет собой матрицу фундаментальных
решений системы однородных уравнений, соответствующих (419).
Элементы этой матрицы определяются следующим образом:
G (0 = S Res [е₽< (р/ + Л)”1, р]; (422)
(рр)
s„ = |С (0),, = S [ 1!('ЛЛЛ)‘ • р] <423>
(рр)
где (р/ + A)ri — алгебраическое дополнение элемента, стоящего
в г-й строке и i-м столбце определителя det (pl + Л).
Вектор-функция f [k] представляет собой решение неодно-
родной системы уравнений (419)
/№= 2 Res [epZ (р/ + Л)”1! {F [Л — 1]}, р], (424)
(рп)
функция h [£] — решение дифференциального уравнения (420)
h[k[ = J ResL {Q [Л- 1]}, р]. (425)
(рс)
Формулы, связывающие произвольные постоянные в реше-
нии (418) с начальными условиями, имеют вид:
Фо И = Фо — f 1^1 |«=о‘> ®i. о И = “1. о — h [£] |<=о;
. । (426)
®1,о№ = <2(Фо. ®1.о) — WH=o-
Обозначим:
ap = Repp; ep = |Impp|, р = 1, 2,
причем в силу особенностей матрицы Л
а1. а ---?г ®с [а, 4- + У(а'г + а^)2 — 4ааХ]; 2 = ®с. (427)
17*
259
Тогда на основании зависимостей (423) находим
2 _ _
gir = s eOtm< W”’cos zmt + b^} sin 8mi); i, r = 1,2, 3, 4, (428)
m=l
где а(1™\ b^ — коэффициенты, вычисляемые по формулам
oL1 = 2Re Res [ J* ;
S,« = _21mRes[^^),p.].
_ Используя найденные зависимости для коэффициентов а\™\
bfr} и (428), можно получить составляющие общего решения си-
стемы уравнений стопорного режима согласно (418) в-виде
_ 4
(G (0 ф0 [&]), = 2 £zA,o № =
Г=1
2
= 2 <Fmt (а\т COS e,mt + ь№ sin &mt), (429)
m=l
где
a№ = 2 № b№ = 2 bfrfy.o [fcj. (430)
r=l r=l
При вычислении частных решений системы дифференциаль-
ных уравнений (419), (420) существенным является выбор исход-
ного приближения ф [0], [0]. Это важно не только для мини-
мизации необходимого числа шагов в целях получения решения
с требуемой точностью, но особенно с точки зрения наиболее
простых конструкций вектор-функции f [£] и функции h [ft]
согласно (424), (425). В работе [28] в качестве исходного прибли-
жения выбиралось соответствующее решение однородной системы
уравнений. При этом f [k] и h [k] получены в виде тригономе-
трических сумм.
При практических расчетах уже на начальных шагах итера-
ционного процесса при вычислениях f Ul, h [&] с требуемой
точностью приходится ограничивать соответствующие суммы,
поскольку число членов этих сумм при переходе к последующим
шагам существенно возрастает. Так как^на каждом шаге итера-
ций решение получается только'Зс ограниченной (требуемой)
точностью, то вычисление правых частей дифференциальных
уравнений (419), (420) также должно осуществляться прибли-
женно с согласованной точностью. При этомТнеобходимо пред-
ставлять правые части уравнений в наиболее простом виде с точки
зрения осуществимости вычислений.
260
В качестве наиболее простой может рассматриваться аппро-
ксимация правых частей при помощи полиномов независимой
переменной t. Существует большое число способов аппроксима-
ции полиномами функций, заданных аналитически: полиномами
наилучшего приближения Чебышева, полиномы Лежандра,
Бернулли и др. 14].
Ниже рассматривается применительно к задаче аппроксима-
ции правых частей наиболее просто осуществимый на ЭВМ метод
наименьших квадратов [103]. Символ [ы] здесь используется
в том смысле, что функция и вычисляется во всех заданных точ-
ках с индексами i = 0, 1, 2, .... п и найденные значения сумми-
п
руются: [и] =2 up
Следовательно, выражения [fs] и [uts ] имеют смысл:
п п
И = 23; И = 2«/3- (431)
1=0 1=0
Задача аппроксимации функции полиномами по методу наи-
меньших квадратов заключается в следующем.
На основании исходных положений метода предполагается,
что ряд значений функции и (и0, «1» • • •. un) при некоторых за-
ранее выбранных значениях независимой переменной t (t0,
tlt . . ., tn) может быть с требуемой точностью представлен по-
линомом степени т вида
«s = 2 ^3-
г=0
При этом для каждой точки ts вычисляется невязка us—us и
берется сумма квадратов
п / т \ 2
/=2 2^-«, • (432)
s=0 V=0 /
Функционал J является неотрицательным и обращается в нуль,
если \ только аппроксимирующий полином точно согласуется
с функцией в выбранных точках. Коэффициенты полинома выби-
раются так, чтобы функционал J был минимальным, причем за-
дача минимизации имеет единственное решение. Коэффициенты
Ьг, г = 0, 1, . . ., т удовлетворяют системе алгебраических урав-
нений:
М'Ч + МЛ+ •••+&« И=М;
МЛ + МЛ + — +М*'”+Ч = И];
Ь9 И + bt [Г+1] + ... + bm [^] = [utm].
(433)
261'
Уравнения (433) являются нормальными уравнениями метода
наименьших квадратов, причем матрица их системы является
симметрической и имеет только 2/п + 1 различных элементов.
Существует эффективный алгоритм построения решений системы
уравнений (433). Заметим, что при составлении сумм (431) необя-
зательно, чтобы значения независимой переменной были равно-
отстоящими.
Путем осуществления аппроксимации с выбранной точностью
решения системы уравнений (419), (420) на каждом шаге итера-
ций получается полином, аппроксимирующий решение исход-
ной системы уравнений стопорного режима. Действительно, по
любому сколь угодно малому ех > 0 можно найти такое число N,
что, как только окажется k >> N, получим ||ф— ф [&]|| сер
С другой стороны, по любому е2 > 0 можно построить аппрокси-
мирующий полином ф [&] такой, что ||ф [6] — ф [&]|| е2.
Выбирая 81 = -^-е и 82 = -^-8, убеждаемся в существовании
такого числа N, что при k > N
||ф — Ф №||<||ф — Ф [6] || + ||ф — ф № || =
=4-е+4-е=е’ <434)
т. е. в процессе итераций будет получен полином, аппроксими-
рующий решение системы уравнений стопорного режима с выбран-
ной точностью.
Из равенств (434) следует сходимость в себе последовательности
полиномов метода наименьших квадратов ф [£]. Следовательно,
в силу полноты пространства существует предел ф, являющийся
также полиномом указанного типа.
Алгоритм построения решения системы интегро-дифферен»
циальных уравнений (412), описывающей переходные процессы
в стопорном режиме, заключается в следующем:
1. Вычисляются элементы матрицы G (/) по формулам (428).
2. В качестве начального приближения для вектор-функции
f [& ] и функции h [k ] при k = 0 выбираются f [0 ] = 0, h [0 ] =0.
3. По формулам (426) при k = 0 определяются ф [0], 0 [0],
<01 [0].
4. По формулам (418) определяются при k = 0 ф [0 ] и coj [0].
5. Составляются аппроксимирующие полиномы для вектор-
функции F [0] и функции Q [0] по формулам (431), (433) в виде
т т
F[Q] = ^bA Q[0] = %b5sf, (435)
s=0 s=0
где bs — [&sl, bs2, . . ., b6s]' — пятикомпонентный вектор.
262
6. Отыскиваются вектор-функция f (11 и функция h til на
первом шаге итераций по формулам:
(s 1) Cs+1 + ACS = bs\ s = 0, 1, .m; Cm+1 = 0;
(s + 2)(S+l)C5>s+a + ^C5,s = bs; s = 0, 1,
C&, т+1 = 0, C5, m+2 — 0;
f[i] = Sc/; M1] = EV- (436)
s=0 s=0
7. Повторяются вычисления по пп. 3—6 путем перехода к сле-
дующим шагам итераций и замены индексов [0 ] на [Л], [11 — на
[Л + 1] k = 1, 2, 3, ... до совпадения на двух последующих
шагах векторов Cs (s = 0, 1, 2, . . ., tn).
8. Найденное на последнем шаге решение считается решением
системы интегро-дифференциальных уравнений стопорного ре-
жима.
Для второго этапа стопорного режима, начинающегося после
отключения приводного двигателя от сети, дифференциальное
уравнение движения имеет вид
+ 7Т2М21 = ТГ2М°сЬ (437)
где Тг — V1 — постоянная времени механической системы.
Будем отсчитывать время в рассматриваемом этапе от начала
этого этапа, полагая t2 = t — ть где тх — момент времени окон-
чания первого этапа. Тогда начальными условиями второго этапа
будут:
М$ = Мц (п); М°21 = M2I (Xi), (438)
где Л121 = спр J “i (т) dT — момент в упругом соединении,
найденный путем интегрирования системы уравнений стопорного
режима на первом этапе.
Обозначим:
М21 = max М 2i (t2)\ х = —.
(h) Л121
Тогда решение уравнения (437) при начальных условиях (438)
можно представить в виде
M2i (/2) = Mil [(1-х) sin(-A- + 81) — х] , (439)
где
м|| = /[M’TTW+IriW; с = arctg м^,л
263
Момент времени окончания первого этапа либо задается —
при управлении ЭМЗУ в функции времени, либо определяется
путем решения уравнения
Мд (^1) А1т,
если управление ЭМЗУ осуществляется в функции момента (тока).
Момент времени, соответствующий окончанию второго этапа,
определяется по формуле
т2 = Т, arctg —-----n-.
При этом полное время, соответствующее стопорному режиму,
составляет т = + т2.
Если в ЭМЗУ приводной двигатель используется только для
выборки зазоров в механизмах и отключается от сети в самом на-
чале непосредственного зажима, то осуществляется только вто-
рой этап стопорного режима. При этом наибольшая величина
момента зажима определяется по формуле

(440)
У Лк
/ Л1<«) .
где Мд' = Mei + т^Мсг — вращающий момент двигателя к мо-
менту начала зажима; М°2 — приведенный момент сил сопротив-
ления зажимного механизма; v — коэффициент крутизны стати-
ческой характеристики двигателя; Тм— механическая постоянная
времени.
lJIo данным работы [24] принимаем:
V=W: =
(441)
где sK — критическое скольжение; Мк — критический момент;
о)о—угловая скорость идеального холостого хода
Обозначим: т* — время опережения отключения двигателя
tJ Л42{
(до окончания полной выборки зазоров); кт = у—;
Тогда влияние опережающего отключения на величину мо-
мента зажима МИ можно учесть при помощи коэффициента
подставляя в формулу (441) вместо Ты значение каТк.
Анализ полученных зависимостей показывает, что при k^. с
< I-т-1,5 влияние опережающего отключения на величину умень-
шения момента мН не превышает (8—12)%. При больших зна-
чениях kx уменьшение момента зажима оказывается существенным.
(442)
264
На рис. 134 представлены результаты расчетов коэффициента
динамичности ka = kR (kxa), где ст = TJTlt для ЭМЗУ специаль-
ного расточного станка: двигатель — типа АО41-6; Ря = 1 кВт;
п0 = 1000 об/мин, GD2 = 0,048 кГ-м2; Ти = 7,9 Ю’8 с; =
= 10,5 Н -м.
Полученные графики можно использовать для оценки стабиль-
ности работы ЭМЗУ при реальных характеристиках разброса мо-
ментов времени отключения двигателя.
В качестве примера использования разработанного алгоритма
построения решения системы уравнений стопорного режима на
первом этапе рассмотрим ма-
шинный агрегат со следующими
параметрами: двигатель—типа
АО2-32-6; Рн = 2,2 кВт; пв =
= 950 об/мин; гх = 1,711 Ом,
г2 = 1,467 Ом, хх = 3,218 Ом,
х2 = 3,096 Ом, х0 = 46,617 Ом;
сос = 314,16 рад/с; ифн 220 В;
механическая система — спр =
= 44 Н-м; М$ = 1 Н м; Л =
= 0,015 кг -м2.
В целях проверки точности
метода и сопоставления машин- Рис. 134. График коэффициента дина-
ного времени интегрирование мичности kR (k^, о)
системы дифференциальных
уравнений стопорного режима осуществлялось методом Рунге—
Кутта по стандартной программе и по программе на основе предло-
женного алгоритма.
Для выравнивания коэффициентов дифференциальных урав-
нений движения были введены следующие масштабы: Мф =*
= 1 Вб — для потокосцеплений; Mt = 10"2 с — для времени
Л4ф = 1/3 рад — для угла поворота ротора; Л4Ш = 1/3 Mt panic —
для скорости вращения ротора. Начальные условия соответство-
вали установившемуся режиму холостого хода: \|>XS1 0 = 3,39617 X
X 10"2 Вб, 0 = —0,989183 Вб, фХг, 0 = 3,17687-10’2 Вб
%-, о =—0,925309 Вб; ©х, 0 = 104,72 рад/с.
Динамическая - характеристика двигателя в относительных
координатах р,д—s (цд = Л4Д/Л4К, s — шх/(оо) показана на
рис. 135. ;На том же рисунке для сопоставления показана стати-
ческая характеристика, существенно отличающаяся от динами-
ческой.
Оценка точности предложенного метода осуществлялась путем
расчета на ЭВМ при двух вариантах аппроксимации правых ча-
стей дифференциальных уравнений: d — в пределах каждого
интервала [0; 0,01 ] -с (в одну масштабированную секунду) на всем
интервале [0, тх], тх =^4,825 10~2 с; б — одним полиномом
на всем интервале [0, тх].
265
Для аппроксимации на интервалах [0; 0,01 ] с выбирались поли-
номы 6-го порядка по 11 базовым точкам. Соответственно для
аппроксимации на интервале [0; 0,04825] с выбирался полином
10-го порядка по 25 базовым точкам. Естественно, аппроксимация
Рис. 135. Механические характе-
ристики асинхронного двигателя
в стопорном режиме:
на пяти интервалах давала точ-
ность значительно (на несколько
порядков) большую, чем на всем
интервале [0, ].
В табл. 36 даны по две точки
из каждого интервала для ско-
рости вращения ротора (ох, те же
точки (Oj при аппроксимации од-
ним полиномом на весь интервал
и (Oi — значения, полученные
численным интегрированием (в
масштабированных величинах).
Анализ табличных значений пока-
1 — динамическая; 2 — статическая ЗЫВаеТ практическое Совпадение
<»! и ©х. При аппроксимации пра-
вых частей одним полиномом на интервале [0, тх] точность
на три порядка ниже, но все же она приемлема для практиче-
ских расчетов, если иметь в виду реальную достоверность опре-
деления исходных параметров.
Табл и ц а 36
Сравнительные значения скорости вращения ротора
t cot (l>1 (0t t coi (0t (01
0 3,14155 3,16031 3,14159 3,0 2,21386 2,22004 2,21388
0,5 3,02659 3,00992 3,02652 3,5 1,95084 1,96427 1,95081
1,0 2,78403 2,79266 2,78408 4,0 1,48198 1,47138 1,48188
1,5 2,55969 2,57300 2,55959 4,5 0,72319 0,72030 0,72338
2,0 2,42584 2,41790 2,42582 4,828 0,00056 0,00041 0,00059
2,5 2,34231 2,32858 2,34236
Сопоставление машинного времени для ЭЦВМ типа «Наири:2»
показывает, что при численном интегрировании требуется 3,3 ч
машинного времени, при аппроксимации по пяти интервалам —
12 мин, то же по одному интервалу — 8 мин. В двух последних
случаях основное время затрачивается на вывод расчетных дан-
ных из-за малого быстродействия выводных устройств.
Учитывая быстросчетность программ, представляется воз-
можным для каждого ЭМЗУ построить комплексные диаграммы
266
Рис. 136. Комплексная диаграмма
ЭМЗУ
типа показанной на рис. 136, иллюстрирующих возможности ЭМЗУ
при изменении жесткости механической системы. Кривая 1 на
рис. 136 характеризует моменты зажима М21 при отключении
двигателя от сети после оста-
новки ротора. Кривая 2 соответ-
ствует продолжительности пер-
вого этапа, осуществляемого
в этом случае. Если двигатель
используется только для вы-
борки зазоров, а зажим осуще-
ствляется за счет накопленной
кинетической энергии вращаю-
щихся масс, то момент зажима
соответствует кривой 3. Пря-
мая 4 отражает быстродействие
коммутирующей аппаратуры.
Тогда кривая 5 соответствует
моментам зажима при выполне-
нии стопорного режима в два
этапа. Глубина допустимых регулировок за счет подбора жест-
кости механической системы характеризуется ординатами между
кривыми 1 и 5. Очевидно при спр > с„р регулирование момента
зажима предварительным отключением двигателя не реализуется.
38. СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ МАШИННОГО АГРЕГАТА
Машинный агрегат большинства современных технологи-
ческих машин включает приводной двигатель (чаще всего элек-
трический или гидравлический), передаточный механизм и испол-
нительные органы. Исходя из условий реализации технологи-
ческих процессов, к скорости исполнительных органов могут
предъявляться различные требования: возможность регулирова-
ния в заданном диапазоне (иногда в весьма широком); поддержа-
ние с высокой точностью постоянства при изменениях рабочих
нагрузок; отсутствие перерегулирования или ограничение вре-
мени затухания колебаний при переходных процессах, связанных
с набросом и сбросом нагрузки, и пр. Выполнение указанных тре-
бований обеспечивается соответствующим синтезом систем авто-
матического регулирования скорости (САР) приводного двигателя
с необходимыми показателями качества процесса регулирования.
В современной технической литературе вопросы синтеза ли-
нейных и нелинейных САР разработаны с достаточной полнотой
111, 142]. Поскольку динамические свойства машинного агрегата
определяются как характеристиками САР, так и механической
системы, представляет значительный интерес также рассмотрение
методов синтеза механических систем. Следует отметить, что для
получения достоверных характеристик машинных агрегатов
267
требуется определенный уровень математического описания дина-
мических свойств звеньев САР скорости и механической си-
стемы.
Механические системы машинных агрегатов представляют
собой как правило цепные системы со сложными связями, обус-
ловленными деформациями валов и опор, наличием различного
вида передач, соединений с нелинейными характеристиками и пр.
[24, 26]. Как показали исследования динамических свойств ме-
ханических систем, ряд практически важных задач анализа и
синтеза машинных агрегатов может быть решен на основе линеари-
зованной модели [24, 26, 118].
Передаточные функции цепной крутильной механической си-
стемы« При решении задач анализа и синтеза машинных агрегатов
оказывается необходимым определять передаточные функции ме-
ханических систем. Как показано в работе [26], достаточно слож-
ные механические системы с непланетарными и планетарными
редукторами можно путем соответствующих преобразований пред-
ставить в виде эквивалентных цепных систем в эквивалентных
крутильных координатах.
Для механических крутильных систем с числом вращающихся
масс больше двух отыскание передаточных функций qt момента
двигателя или момента сил сопротивлений, приложенного к испол-
нительному органу, к скорости вращения любой из масс является
весьма трудоемкой операцией. При этом оказывается необходимым
составлять и вычислять в общем виде определители высоких по-
рядков [24]. Использование направленных Al-графов (графов
Мезона) для определения передаточных функций не требует вы-
числений определителей соответствующих операторных уравне-
ний [108, 130].
Рассмотрим механическую цепную неразветвленную крутиль-
ную систему с п дискретными вращающимися массами, имеющими
моменты инерции Jlt J2,. . ., Jп, и с соединениями, линеаризо-
ванные упруго-диссипативные характеристики которых пред-
ставлены коэффициентами жесткости ck А+1 и сопротивлений
Ра,а+1 (k = 1, 2....) (рис. 137).
Система интегро-дифференциальных уравнений движения ма-
шинного агрегата имеет вид:
+ 012 (“1 — “г) + с12 J (®1 — “2) dt = Мд (0;
+ 0л-1. k (®* — ®*-i) + ca-i. k J — ak-i) dt + Pa, a+i X
X (©* — coft+1) + cktk+1 J (шА — <oA+1) dt = 0;
Jn®n 4“ Pn-!. n (®n ®n-l) 4“ ^n-1, n J (®n ®n-l) dt = Mc (/),
268
(443)
где Мд (/) — вращающий момент двигателя; Мс (/) момент сил
сопротивлений, приложенный к исполнительному органу; ak —
угловые скорости вращающихся масс (k = 1, 2, . . п).
Уравнение линеаризованной динамической характеристики
двигателя при решении ряда практических задач можно прини-
мать в виде [24] , .
» 7 .7» • Jn
Рис. 137. Механическая система машин-
где Тд—постоянная времени ного агрегата
(электромагнитная или ги-
дравлическая); klt k2— постоянные, зависящие от типа двигателя;
f (?) — внешнее воздействие на двигатель, определяемое струк-
турой САР скорости.
Динамическая характеристика (444), как показано в работе [24 ],
описывает с хорошим приближением электро- и гидроприводы.
Применяя прямое одностороннее преобразование Лапласа
к системе дифференциальных уравнений (443), получим:
Qi (р) = ^1, 2 (р) (Р) + (Р) Мл (р);
Об (р) — k, k-1 (р) 0б-1 (р) + ^k, k+1 (р) Об+1 (Р);
(k = 2, 3...................п — 1)
(445)
О» (Р) = Wn, п_. (р) (р) - Wn (р) Мс(р),
где йк (р), k = 1, 2, . . ., п— изображение по Лапласу функ-
ций <ок (/); Мд (р), Мс (р) — изображения по Лапласу функций
мд (/), мс (0; wr (р), wlt 2 (р), w2, j (р), ..., (р),
Wn (р) — передаточные функции.
Указанные передаточные функции определяются по формулам:
Si j (р) Sb (р)
Wk k-!(р) = -Г1, \ ; Wk *+1 (р) = ;
k,k ин/ Qk(p) k.k+i\H/ Qk(p)
(k = 2, 3, 1)
ь (n)----Sk • F (n) — Sn^
^A+1.HP)- Qft+i(p) . W'nW- Qn{p} >
(k= 1, 2.................n — 1)
(446)
269
где
So (р) = So (р) = р; Sn (р) = S'n (р) = р;
Qi (р) = JiP2 + Р12Р 4- си; Qn (р) = 4р2 4- Pn-i, пр 4- c„-i,
$k (р) — Ра—1, k р 4- ck—1, a; Qk (р) — JkP 4- (Pa—i, a 4* Pa, a+O p 4-
4- ck—I, A 4- ck, A4-1
(fc = 2, 3.....n— 1).
На рис. 138 показан Al-граф n-массовой механической системы,
согласно рис. 137, который ниже будем называть графом Г. .
в)
Рис. 138. М-граф механической системы: а — граф Г; б — граф
в — граф
Согласно рис. 138, граф Г содержит п— 1 контур, причем пере-
дача k-го контура, равная произведению передач ветвей в кон-
туре, определяется по формуле
AA = rft>ft+1lTft+I,ft = где Sft = (s;)2 (447)
4k4k+\
(Л=1, 2, ..., п — 1).
Определим передаточную функцию от момента двигателя Л1Д
к скорости вращения (ох массы JПолагая Л4С = 0 и исключая
в графе Г последние п — 1 узлов с n-го до второго включительно,
получим передачу графа от Мл к сох в виде цепной дроби
W^(P) = ^-------------------•
1—ь-------
1— •
^П-2
1 — ^П-1
270
Верхний индекс и в обозначении передаточной функции соот-
ветствует числу масс механической системы. Подставляя в полу-
ченную цепную дробь передачи контуров согласно (447), после
соответствующих упрощений находим:
О’) = s;------ ,4“>
• $П-1
Qn
Для определения выражений, стоящих в числителе и знамена-
теле передаточной ^функции (р), воспользуемся мето-
дом составления подходящих дробей для цепной дроби [64, 118].
Числитель и знаменатель подходящей дроби при принятых обоз-
начениях определяются по рекуррентным формулам:
(Р) = Qk^k-i — 1 /44О\
^МЛч-Wm j ( }
(k=l, 2, ...,n),
причем (согласно Л. Эйлеру) выполняются соотношения:
Л4о = О; ЛГ0=1; Л1_1 = — 1; N.^0.
Передаточная функция (р) является n-й подхо-
дящей дробью цепной дроби (448).
Определим теперь передаточную функцию от момента сопро-
тивления Мс (0 к скорости вращения концевой массы <о„. Пола-
гая Мд = 0 и исключая в графе Г п — 1 узлов от первого до
(п — 1)-го включительно, получим
(р)=- 4#=- ^-1------------------• (45°)
с п ип\Р) | _ЬИ-1______
1 _____
* ^2
1 —
Для определения выражений, стоящих в числителе и знаме-
нателе передаточной функции (р), аналогично преды-
дущему можно написать рекуррентные формулы:
Ek (р) = Qn-k+i^k-1 Sn.k+1Ek^ | /4^1 \
Gk (p) = Qn-k+A-i — Sn_k+1Gk_2i J
где Eq = 0; Е_х=1; G0=l; G_x = 0.
271
Формула Мезона для нахождения передаточной функции графа
имеет вид [108]
®'(p) = S/><w4®-’ <452>
I = 1
где Д (р) — определитель графа; Д, (р) — определитель графа,
из которого исключен i-й путь (минор i-ro пути); (р) — пере-
дача i-ro пути графа.
Определитель графа, согласно [108], находится по формуле
A(P) = 1-SS(~1)% (453)
(И (Л)
где Lk} — произведение k-й возможной комбинации г несопри-
касающихся контуров.
Графом Fk (рис. 138, б) назовем подграф графа Г, содержа-
щий k первых контуров графа Г; графом Г*к (рис. 138, в) соответ-
ственно назовем подграф графа Г, содержащий k последних кон-
туров графа Г,- Определитель графов Гк и Гк обозначим соответ-
ственно dk (р) и d*k (р).
Из приведенного выше определения следует, что графы Г,
Гп-1 и Г*п-1 совпадают, т. е.
Д (р) = dn-i (р) = dn-i (р)-
(454)
Отметим, что графы Г, Гk, Г*к имеют одинаковую структуру,
отличаются лишь числом контуров и выражениями передач кон-
туров.
Воспользовавшись формулой (452), определим передаточные
функции от момента двигателя Мя и момента сопротивления Л4С
к скорости вращения массы k = 1, 2, . . ., п цепной крутиль-
ной системы (рис. 137).
Согласно (447) и (453), определители графов Гk и Fk имеют вид:
£ k__2 k
dk(p)= 1 — S S QzQz+iQmQm+1
i=l 1= 1 m=Z-f-2
— Фк •
Ж ’
П Qz
z=i
П—I
l=n-k
(455)
QiQi+iQmQm+i
П Qz
k
27?
В графе Г имеется по одному пути от Л4Д и Мс к скоростям
вращения масс coft, (k = 1, 2, . . п)\
k
рЛ(д-^(р) = П-^±; (456)
п
^И = -П|. (457)
i=k
Минорами этих путей соответственно являются определители
графов Гп-к_1 и Гк-2, т. е.
Лмд (р) = dn-k-i (рУ &мс-пк (р) = dn-2 (р). (458)
По определению миноров графа и по формуле (453) находим
Амд-®л-1 (Р)= Ал1д-“л (Р)= A«c-®i (Р) = Amc-®2 (Р) = 1 • (459)
Положим, что
Д (п\ _ Qn __ •' Д \ _ ^0 .
Д^д-^-х ~ Qn ~ Qn ’ Амс~®1 (Р) ~ Qi ~ Qt '
п
ф'_1 = Ф_1 = 1; П Q. = 1 при k > п.
i—k
(460)
Тогда, подставляя в формулу Мезона (452) выражения передач
и миноров графа Г, согласно (455)—(460), находим:
от=Д s;-i: (46|)
ОТ = Рмс-.,. =—fe Д(462)
В частности, для (р) и (р) получим выра-
жения:
^’_Ш1(р) = ^^-; ГЙ;_в>п(р) = -^2-. (463)
7п—I
Сравнивая выражения (448) и (463), (450) и (463), нетрудно
убедиться в справедливости соотношений:
Ф„_1=^; Фп_1 = вп. (464)
Из формул (454), (455) следует также, что
Ф^^Фп-р (465)
273
13 Под ред. Н. И. Колчина
В силу того что графы Г, Г\ и Гk имеют одинаковую струк-
туру (рис. 138, а и б), из формул (463) следуют зависимости:
ФА_1 = ЛГ4; 0*ft-i = Gb k=\,2,...,n. (466)
Подставляя зависимости (466) в формулы (461) и (462), полу-
чим выражения для искомых передаточных функций WVP (р)
7 Д
и (р) в следующем виде:
r k п
^t(p) = YnS'^ ^%A(p) = --^-ns;. (467)
Д « Un 1 = 1 с к 1Уп ._k
(£=1,2,.. п)
В качестве примера приложения разработанного метода по-
строения передаточных функций определим все передаточные
функции для трехмассовой механической системы.
Согласно (446), (449) и (451), путем последовательных вычисле-
ний находим:
Gq = Nq = 1’, Gi = Q3 = J4“ РгзР 4“ ^2з’>
Afi ~ Qi = JiP2 4- Р12Р 4" £12»
giP1-, «/p'; G3 = p2^ hiP1,
i=0 i=0 i=0
где
So = ^0 = ^12^23» Si = ^1 “ P12C23 4~ Рг3^12»
S% = (^ 2 4" J3) C 23 4~ J3C12 + Р12Р23’»
S3 ~ (A 4- J3) Р2З 4~ AP12*>
§4 = *^2^3» ^2 = (J 1 4~ J2) ^12 4“ J 1^23 4“ Pl 2P 23»
^3 = (J 1 4" ^2) Pi2 4~ *^1Ргз» ^4 ~ ^1^2»
= (Л 4~ 2 4“ J3) Ci2!^23»
/^i = (/1 4“ J2 4- J3) (Pi2^23 4" Ргз^аг)»
^2=^1(.^2~^ *^з)^2з4~ ^3 (Л 4" *^2)^124“
4- Ui 4- J2 4- J3) P12P23’,
= Ji (J2 4“ J3) P23 4~ 3 (J 1 4“ ^2) Pl2» ^4 = 1^3*
274
i=0
По формулам (467) вычисляем передаточные функции:
4 4
S SiP1
Г _ffli (р) = (р) -------4-----
р 2 h‘pl р Ё
i=0 i=0
CO (p) = C12^ +_Р2зР_+_£2з)_ .
hip1
1=0
jjp(3) (p)_______ (PiaP ~b cu) (P23P 4~ g2a) .
Д 3
hip1
1=0
деНД) & (p) =_______ ~b (J1P2 4~ P12P 4- ^12) .
pS hip1
i=0
(0 (p) '_(P12P + ^12) (Р23Р + С2з)
4
1=0
Отметим, что предложенный метод построения передаточных
функций позволяет определить все передаточные функции цепной
механической системы от момента двигателя Мд и момента со-
противления 7ИС к скорости вращения со* любой массы. При этом
объем вычислительных работ значительно меньше, чем в тради-
ционно используемых методах, а вычислительные процедуры
легко алгоритизируются, что позволяет при практических рас-
четах применять ЭВМ.
В силу аналогичности структур графов механической системы
и машинного агрегата динамическая характеристика которого
задана линеаризованным уравнением (444), передаточнце функ-
ции машинного агрегата можно определять предложенным ме-
тодом.
Аппроксимация механических систем высокого порядка при
помощи упрощенных моделей^ Одним из важнейших этапов при
исследовании машинных агрегатов является построение матема-
тической модели механической системы, отображающей с необ-
ходимой полнотой ее динамические свойства.
Поведение реальной механической системы машинного агре-
гата определяется физическими процессами, некоторые из которых
не имеют достоверных математических описаний. Поэтому любая
математическая модель реальной механической системы может
рассматриваться лишь как более или менее правдоподобная
аппроксимация ее действительных характеристик. Очевидно, чем
18* 275
больше Известных фйзйЧеСКйх факторов учитывается в модели,
тем ближе модель к реальной системе. Однако попытки усилить
полноту отображения математической моделью действительных
свойств системы за счет усложнения модели приводит в ряде слу-
чаев к противоположному результату. Из-за усложнения алго-
ритмов и увеличения числа операций при их реализации значи-
тельно возрастает вычислительная погрешность, что снижает до-
стоверность получаемых результатов [140].
Указанное оказывает часто более существенное влияние на
точность отыскиваемых динамических характеристик, чем непол-
нота модели. Даже в тех случаях, когда отыскание с требуемой
точностью решения системы уравнений, согласно принятой сложной
математической модели, оказывается возможным, объем вычис-
лительных работ может быть столь значительным, что задача
отыскания оптимальных параметров системы становится практи-
чески неосуществимой. Таким образом, основным требованием,
предъявляемым к математической модели механической системы,
является отображение наиболее существенных свойств действи-
тельной системы при максимально доступной простоте.
Удовлетворить указанному требованию без исследования си-
стемы оказывается обычно практически невозможным. Ниже пред-
лагается метод, позволяющий осуществить исследование весьма
сложных систем и синтез максимально упрощенных их математи-
ческих моделей.
Рассмотрим крутильную цепную механическую систему, имею-
щую I входов и k выходов, поведение которой достаточно полно
описывается системой дифференциальных уравнений порядка п.
Под входами понимаются внешние воздействия на механическую
систему. Например, для системы, показанной на рис. 137, входами
являются вращающий момент двигателя Л4Д и момент сопротивле-
ния Л4С, т. е. / = 2. Под выходом системы понимаются те обобщен-
ные координаты, которые подлежат анализу (например, углы за-
кручивания соединений на участке между двумя массами, ско-
рости вращения масс и пр.).
Пусть матрица частотных характеристик W (/со) размеров
kx2 (при I = 2 для рассматриваемой системы, согласно рис. 137)
уточненной сложной математической модели задана либо аналити-
чески, либо множеством значений {1Г} при различных частотах coz.
W = {Wlt Wz,‘. . Wp\, (468)
где W( = W (/coz) — (k X 2) — матрица.
Множество (468) представляет собой выборку из непрерыв-
ной функциональной матрицы W (/со), причем предполагается,
что выборка осуществлена без значительных потерь информации
о поведении системы. Множество (468) может быть определено
экспериментальным путем [19, 30].
Для рассматриваемой механической системы необходимо
найти математическую модель, представленную системой линей-
276
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами, которая в определенном смысле будет эквивалентна уточнен-
ной модели (следовательно, реальной системе), но будет иметь
более низкий порядок. Пусть движение упрощенной модели опи-
сывается системой дифференциальных уравнений tn-го порядка,
причем т < п, где т = 2s — 1 (s — число масс упрощенной
модели):
х = Ах + Bf (0; )
• ' (469)
У = Сх, J
где х (0 — /n-компонентная вектор-функция обобщенных коорди-
нат упрощенной модели:
x2t-_i = (Of, i — 1, 2, . . ., s; x2t- ~ Yz,z+i» * — 1» 2, . . ., s 1;
Ъ, i+i = Ф1 — Фг+i — угловая деформация соединения между i-й
и (i + 1)-й массами; <pz, <pz+1—углы поворота рассматриваемых
масс; А — матрица порядка т коэффициентов упрощенной мо-
дели с элементами (остальные элементы — нулевые):
ап — ахз= Pul
1 . _ _______________ 1
^12 = д" С12\ a2i, 2i—l — a2i, 21+1 — А ,
i — 1» 2,.. ., s 1; 21-1 ~ ~T7
_ 1
fl2Z+l, 2i — °lt Z+b
^2Z+1, 2/+1 — T. (Pt, t+1 Pi’+l, /+2) »
Jl+1
1
fl2Z+l, 21+2 — Ci+lt i+2\
/=1, 2,..., s —2;
__ 1 о _ 1
m-2 — j Pm-1, m-1 r ^m-lt m\
В — (tn X 2)-матрица, ненулевые элементы которой = bm2 =
= 1 (остальные элементы нулевые); f (t) — двумерная вектор-
функция внешних воздействий с компонентами:
Л(/) = 4-Мд(/); М/) = - 1 Мс(/);
u 1
277
у — 6-мерная вектор-функция выхода системы; С — заданная
матрица размеров k X т.
Применяя к (469) прямое преобразование Лапласа при нулевых
начальных условиях, после несложных преобразований получим
передаточную матрицу упрощенной модели
(р) = С(Ер - Л)’1 В, (470)
где U7(y) (р) — матрица размеров 6x2.
Полагая р = /со (/ = У—1), получим матрицу частотных
характеристик упрощенной модели над полем комплексных чисел,
элементы которой определяются зависимостями:
™и, V (/<*) = Ru, V (<*>) exp ж V((O), (471)
u= 1, 2,.. ., 6; v = 1, 2,
где RUtV ((d) — модуль; cpw, v (cd) — аргумент wUtV (jay).
Матрицы R (cd) с элементами rUtV ((d) и Ф ((d) с элементами
((d) называются матрицами амплитудных частотных (АЧХ)
и фазовых частотных (ФЧХ) характеристик.
Определение I. Две системы называются эквивалент-
ными в некоторой области частот Q, если матрицы их частотных
характеристик близки для всех ш Q.
. Степень близости матриц частотных характеристик опреде-
ляется метрикой р (IT, U7(y)), задающей расстояние между W
и [49]. При исследовании комплексных линейных про-
странств рассматриваемого вида в качестве метрик могут быть
приняты: равномерная метрика
Pi (IT, №(у)) = 2 max |&у„, v (ja>i) — (j®i) |,
/ = 1 (и, V)
и = 1, 2, . . k\ о=1,2;
квадратичная метрика
р2 = (F, №<*)) =
= S 1/$р [“*“• ° ~ w^v [“’«> °
/=1
где Sp [wu, о—^u%]T — след матрицы, транспонированной для
матрицы [wu, о—
В рассматриваемом случае в качестве меры близости матриц
частотных характеристик более наглядной и удобной представ-
ляется скалярная функция
р (Г, Г(у>) = 2 Р (wz) [SpG (o>z) GT(wz) + Sp// (coz) (®z)], (472)
z=i
278
где Р (<£>i) — весовая функция; G (<»z), Н (<oz) — (k X 2) — ма-
трицы с элементами:
gu, v (®/) = ои. v [r«. v (<»/) — (©,)];
hu. v (®z) = ««, v [ф«. v (<»/) — Ф«? » («►/)]>
S, K-(k X 2)-матрицы весовых коэффициентов.
Близость в предложенной метрике обеспечивает близость
матриц АЧХ и ФЧХ как наиболее часто встречающихся в прак-
тике динамических характеристик.
Определение II. Две системы называются эквивалент-
ными, если выполняется условие
р (Г, W) се, (473)
где е — заданная сколь угодно малая величина.
Выполнение условия (473) обеспечивает близость й АЧХ,
и ФЧХ.
Определение III. Упрощенная модель с матрицей ко-
эффициентов А* и соответствующей матрицей частотных харак-
теристик Ц7*(у) называется оптимальной моделью /n-го порядка,
если
р (Г, Г* (у)) = min р (Г, И7(у)). (474)
М)
На основании определений II и III будем полагать, что. упро-
щенная модель с матрицей коэффициентов А является оптималь-
ной эквивалентной моделью /n-го порядка, если выполняется
условие
р (Г, 1Г<у>) < 8. (475)
Решить задачу нахождения оптимальной эквивалентной мо-
дели в аналитическом виде для общего случая не представляется
возможным. Весьма эффективными численно-аналитическими ме-
тодами, основанными на использовании ЭВМ, являются методы
поиска, при помощи которых определяется матрица А, удовлетво-
ряющая условию (475).
Процесс поиска оптимальной эквивалентной модели рекомен-
дуется начинать с простейшей двухмассовой (т = 3). Если усло-
вие (475) не выполнимо, то порядок иг увеличивается на два (что
соответствует увеличению числа масс на единицу). Процесс поиска
повторяется до тех пор, пока для т, минимально возможного
в условиях рассматриваемой задачи, условие (475) окажется
выполненным.
Матрица коэффициентов А s-массовой модели полностью опре-
деляется, если задан (3s—2)-мерный вектор М механической
системы с компонентами:
ML = Jh l<i<s;
= 0.-S, z-s+1. s + 1 < i < 2s — 1;
Mi — ci-2s+i, i-2s-2> 2s i 3s 2.
(476)
279
Методы поиска экстремумов в векторных пространствах до-
статочно подробно изложены в известной литературе [100, 151].
Не останавливаясь на изложении этих методов, заметим лишь, что
при s < 3 можно использовать любые регулярные методы поиска,
при s > 3 — целесообразно применять случайный поиск.
Для иллюстрации последовательности операций в предлагае-
мом методе построения оптимальной эквивалентной модели на
рис. 139 приведена упрощенная блок-схема программы решения
Рис. 139. Упрощенная блок-схема программы для ЭЦВМ
задачи на ЭВМ. При численной реализации на ЭВМ матрицы W,
входящие в функцию р, вычисляются по формулам, полученным
выше на основе теории ЛЬграфов.
Рассмотренный метод построения оптимальных эквивалентных
моделей позволяет при помощи достаточно простых моделей ото-
бражать с необходимой высокой точностью динамические про-
цессы в многомассовых системах для заданного диапазона частот
внешних воздействий. При этом оказывается возможным опреде-
лять как инерционные параметры, так и параметры упруго-
диссипативных характеристик упрощенной эквивалентной мо-
дели по заданным характеристикам для реальной системы или
уточненной сложной модели.
Следует отметить, что разработанный метод применим к систе-
мам значительно более общего вида, чем цепные неразветвленные
механические системы. Если упрощаются минимально-фазовые
28Q
системы, то в качестве меры близости уточненной и упрощенной
моделей можно принять вместо (472) выражения:
р (U7, Ц7(у)) = £ Р (ш,) SpG ((»/) (©,) (477)
/=1
либо
р (Ц7, Й7(У)) = i] Р (©,) SpH (со,) Ят (со,), (478)
причем функция р (W, U7(y)) согласно (477) определяет близость
амплитудных частотных характеристик (АЧХ); соответственно
функция согласно (478) определяет близость фазовых частотных
характеристик (ФЧХ).
Как известно, для минимально-фазовых систем между ампли-
тудной и фазовой частотными характеристиками существует одно-
значное соответствие [163].
Определение линейных моделей механических систем с гисте-
резисными упруго-диссипативными характеристиками^ В настоя-
щее время аналитические методы синтеза нелинейных систем
вследствие ряда принципиальных сложностей развиты недоста-
точно-. Поэтому при решении задач синтеза параметров нелиней-
ных систем целесообразно использовать упрощенные линеаризо-
ванные модели, отображающие с необходимой полнотой реальные
процессы, происходящие в нелинейной системе.
Рассмотрим цепную неразветвленную механическую систему
с п сосредоточенными массами и соединениями, упруго-дисси-
пативные характеристики которых заданы зависимостями
Л4а-1.а = Л1а-1.а(?а-1.а; Ya-i.a), (479)
(k = 2, 3.......и)
где k = J (соА_, — <оА) dt — угловая деформация соединения.
Дифференциальные уравнения, описывающие движение меха-
нической системы, имеют вид:
+ Mlt 2 (ylt 2; 2) = 2ИД (/);
Jk^k — k (^k-ь л» Ул-i, а) +
+ а+1 (уА, л+1; л+1) = 0;
(480)
«7п (yn-i, я*, Тп-1, п) — (0е.
Поскольку моменты неупругого сопротивления обычно малы
но сравнению с моментами сил упругости, вынужденные колеба-
ния системы (480) под действием гармонического вынуждающего
281
Мбмейта, как правило, мало отличаются от Гармонических. Кроме
того, заданная зависимость для момента сил взаимодействия масс
на рассматриваемом участке, согласно (479), является, вообще
говоря, приближенной и может рассматриваться как аппроксими-
рующая [24, 118].
Указанное выше позволяет воспользоваться при построении
упрощенной модели методом гармонической линеаризации [121.
Пусть на систему, согласно (480), действует гармонический вы-
нуждающий момент с частотой <о. Тогда для обобщенных коорди-
нат yk-i,k (£ = 2, 3, . . ., л) в установившемся режиме можно
написать зависимости:
T*-i.* = ^-i,*sin(o/ = r*_liAsin(p; <р ==&>/, (481)
где rk_lt k — амплитуда изменения yk_lt k.
В соответствии с методом гармонической линеаризации с точ-
ностью до высших гармоник для нелинейных зависимостей гисте-
резисного типа момент Mk.ltk можно представить в виде
Mfc-i. k (Ta-i, а’> Тл-1, а) — 7a-i, k (Гk-i, k> ш) Ya-l k +
+ k (Гa-i. a; ®) Ya-i. a> (482)
где qk-i, a, 7a—i, a — коэффициенты, определяемые по формулам:
2л
7a-i. а (^А-i. а; ®) = j Mt-i, а (Гk_lt k sin ср;
coZ\_lt k cos <р) sin ф dtp;
2л
7a-i, а {Гk-i, а; о>) = ( Ма-i, а (Гa-i, Asln Ф;
Л-1, k д
(оГ k cos <р) cos ф dtp.
(483)
Момент взаимодействия масс Mk_lyk можно представить в виде
суммы упругого (с*_1, йТа-i, а) и неупругого (Л4*_i, *) моментов:
k (Та—1, а', Та—г. а) =
= ck_if k + Д4*_1, k (Ya-i, a; Ya-i, a), (484)
где неупругий момент можно задать зависимостью вида
Л4а-1, а (Та—1, a’» Va-i, а) =
= ДМА_1, k (та—i. ft) signyA_it ft. (485)
Подставляя в формулы (483) зависимости (484) и (485), нетрудно
убедиться, что
4k-l, А (ГА-1, А‘, ®) = Сл-I, а, (486)
где с*,!, * — линеаризованный коэффициент жесткости рассма-
триваемого соединения.
282
Работа сил неупругого сопротивления ^Wk_lt к за период
определяется как
2л
AWa-i, k = j k (Fk_lf k sin g>) sign (Гк_ъ кш cos ср) x
0
X d(rft_i,ftsinq>). (487)
Максимальное значение потенциальной энергии деформации
соединения за цикл Wk_lt к определяется по формуле
i = Ck-X, кГ2к-1, к.
Тогда на основании указанных выше зависимостей для коэф-
фициента q'k-1, к можно получить выражение
к (гк^_ к- о)=4г с*-'-k=Лн-Ck-1’ <488>
4JI W д»—li k Z«lv
где фА_ь к — коэффициент поглощения.
Известные экспериментальные данные свидетельствуют о том,
что во многих практически важных случаях в значительных диа-
пазонах частот и амплитуд деформаций реальных соединений
коэффициент поглощения стабилен [24, 118]. Поэтому при расче-
тах можно полагать к = const.
Подставляя найденные значения коэффициентов qk,i,k и
k в выражение для момента к, согласно (482), находим
к (у*-!. к; Ki, *) = ck-i, k + P*-i. kXk-i. ь (48 9)
где Ра-i, k = ck-i,k — линеаризованный коэффициент со-
противления рассматриваемого соединения.
Подставляя найденные выражения (489) в систему дифферен-
циальных уравнений (480), находим линеаризованную модель
нелинейной системы. Заметим, что при выводе всех приведенных
выше зависимостей не использовались какие-либо предположения
о форме гистерезисной петли.
При синтезе нелинейных систем, для которых колебания су-
щественно отличаются от гармонических, построение эквивалент-
ной линеаризованной модели методом гармонической линеариза-
ции практически неосуществимо. Здесь остается нерешенным во-
прос о допустимости рассмотрения процесса как гармонического
и соответственно о выборе частоты, на которой следует осуще-
ствлять линеаризацию.
283
Используя метод построения эквивалентных моделей, рассмо-
тренный выше, указанное затруднение можно преодолеть, выпол-
няя линеаризацию не на одной частоте, а в некоторой области
частот Q. Отметим, что система (480), линеаризованная подстанов-
кой (489), по форме совпадает с системой (443), поэтому построение
частотных характеристик нелинейной системы (480) можно осуще-
ствить изложенными методами. По полученным таким образом
частотным характеристикам нелинейной системы строится линеари-
зованная модель, имеющая близкие к действительным частотные
характеристики. Найденная модель является эквивалентной ли-
нейной моделью для рассматриваемой нелинейной системы.
Рассмотрим обобщенные координаты механической системы,
передаточные функции к которым не имеют полюсов на мнимой
оси. Покажем, что максимальные относительные отклонения пере-
ходных функций для этих координат в нелинейной исходной си-
стеме и в ее эквивалентной модели не превосходят максимальных
отклонений их соответствующих частотных характеристик.
Из линейной теории управления известно, что переходные
функции координат, передаточные функции которых обладают
указанным свойством, можно определить по формуле [12, 142]
00
о (* (/йй
х3и (/) = JL Re sin at da, (490)
где и>^у)0 — элементы матрицы передаточных функций И?(у).
Переходный процесс нелинейной системы может быть пред-
ставлен согласно методу гармонической линеаризации в виде
со
х„(0 = 4*1 Re-'v-(fa-e‘- sin at da, (491)
о
где 0/ — начальная амплитуда на /-м временном интервале.
В рассматриваемом случае коэффициенты гармонической линеа-
ризации qk-i, ь q'k-i, k не зависят от амплитуды. Формула (491)
имеет вид]
МО = 4 J Re “'“'б"— sln (492)
о
[Обозначим
аи(0 = к(0-*2(01 (493)
и учтем, что, согласно (475),
б == max | wUi v (ja) — w^v (ja) | < e. (494)
(<0)
284
Тогда на основе (490); (492)—(494) получим:

(/©) — и>(У>0 (/со)
СО
sin со/ d(0
=^4 JIRe ° (/<й^ - (/®)11 Id® 46 f d(° ==е-
о о
что доказывает приведенное выше утверждение.
Синтез параметров механической системы. На основании ре-
зультатов, полученных выше, синтез параметров механической
системы машинного агрегата с устойчивой САР скорости осуще-
ствляется следующим образом:
1) разрабатывается исходная математическая модель машин-
ного агрегата с учетом САР скорости и механической системы;
2) механическая система исходной модели заменяется упрощен-
ной; далее в пространстве параметров упрощенной механической
системы строятся области устойчивости САР;
3) для различных значений изменяемых параметров исходной
механической системы определяются соответствующие им пара-
метры упрощенной модели;
4) строится область устойчивости САР в пространстве изменяе-
мых параметров исходной модели;
5) в построенной согласно п. 4 области устойчивости выби-
раются по заданным критериям механические параметры;
6) по выбранным параметрам механической системы произ-
водится проверочный расчет динамических процессов в машинном
агрегате.
Отметим, что в реальных технологических машинах в связи
с высокими требованиями, предъявляемыми к процессу регули-
рования, САР скорости машинных агрегатов являются весьма
сложными. Синтез параметров механической системы по исходной
модели САР представляет значительные трудности даже при ис-
пользовании современных ЭВМ. Поэтому замена уточненной мо-
дели механической системы эквивалентной ей упрощенной мо-
делью позволяет существенным образом упростить задачу синтеза
без сколько-нибудь заметной потери точности отображения дина-
мических процессов в машинном агрегате. 39
39. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАШИННОГО
АГРЕГАТА С САМОТОРМОЗЯЩИМСЯ МЕХАНИЗМОМ
В современном машиностроении самотормозящиеся механизмы
получили широкое применение благодаря ряду специфических
особенностей, проявляющихся в статических и динамических
режимах [24]. В машинных агрегатах металлорежущих станков,
подъемно-транспортных и других машинах используются само-
285
тормозящиеся червячные, червячно-реечные, планетарные зуб-
чатые, спироидные и другие механизмы. Перспективы применения
самотормозящихся механизмов особенно расширились благодаря
созданию высокоэффективных механизмов типа Твинворм [24].
Самотормозящиеся механизмы по своим динамическим свой-
ствам относятся к существенно нелинейным, что проявляется
в зависимости силового передаточного отношения как от направ-
ления передачи сил (моментов), так и в некоторых случаях от
скоростей относительного перемещения элементов кинематиче-
ских пар. Рассмотрим крутильный аналог самотормозящегося
механизма с одной степенью свободы
и жесткими звеньями (рис. 140).
Обозначим звенья, к которым
приложены внешние моменты, т. е.
к которым осуществляется подвод
(съем) энергии, соответственно 1 и 2.
Указанными индексами будут обо-
значаться все кинематические, сило-
вые и инерционные параметры
звеньев.
Тогда силовое (динамическое) передаточное отношение меха-
низма определяется по формуле
z?.' д
Рис. 140. Крутильный аналог
самотормозящегося механизма
где Л4 2,i и ЛТ112 — внутренние моменты, действующие на звенья
самотормозящегося механизма.
В дальнейшем все кинематические, силовые и инерционные
параметры считаются приведенными известными методами к ско-
рости вращения звена 1. Если считать, что зазоры в кинематиче-
ских парах самотормозящегося механизма пренебрежимо малы,
то принципиально возможны два режима работы: тяговый, при
котором самоторможение не проявляется; оттормаживания, при
котором самоторможение проявляется.
В установившемся равновесном движении тяговый режим
осуществляется при ведущем звене 1 и ведомом 2, режим оттор-
маживания — при обоих ведущих звеньях 1 и 2 [24].
В неустановившихся как равновесном, так и в неравновесном
движениях тяговый режим или режим оттормаживания реали-
зуется в зависимости от направления передачи сил (вращающих
моментов) в рассматриваемый момент времени. При принятом
определении силового передаточного отношения для схемы с при-
веденными параметрами можно записать:
— T]i?2—для тягового режима;
ц2, j — для режима оттормаживания,
(496)
Х2, 1-
286
где r)i,2— К- п. Д- 6 тяговом режимё; |LA2.i— коэффициент оттор-
маживания (выражающий отношение мгновенных мощностей на
звене /, осуществляющем оттормаживание самотормозящегося
механизма, и на звене 2).
В частности, для ортогонального червячного механизма с ци-
линдрическим червяком к. п. д. определяется по формуле
п 1 ~ %п 2 (497)
112 tg (X + рпр) 1 + “Фоп 1 В 9
где % — угол подъема винтовой линии червяка в рассматриваемой
точке боковой поверхности витка; рпр — приведенный угол тре-
ния в зацеплении; фдп1 и троп 2— коэффициенты потерь в опорах
валов червяка и червячного колеса.
Формулы для определения т|)оп1, т|)оп2 приведены в работе [24].
Обычно к. п. д. осредняется в пределах поля зацепления и бе-
рется для средней скорости в рассматриваемом диапазоне изме-
нения скоростей.
Соответственно, коэффициент оттормаживания определяется
по формуле
= tg (Рпр-*) .1 ±Л>П1 (498)
Г2,1 tg* 1+%пг ' ’
причем для самотормозящегося механизма рпр > 1.
Для самотормозящегося механизма важным показателем яв-
ляется коэффициент запаса самоторможения
к, = -^р > 1.
Л
(499)
В реально используемых самотормозящихся червячных меха-
низмах углы X обычно не превышают величин А, = 3-5-4°. Кроме
того, в механизмах на опорах качения потери в опорах можно
считать малыми и учитывать их приближенно корректировкой
значений рпр. Тогда к. п. д. в тяговом режиме определяется при-
ближенной зависимостью
• (500)
Отсюда следует, что стремление к значительным коэффициен-
там запаса самоторможения приводит к невыгодным энергетиче-
ским показателям механизма рассматриваемого типа.
Существенные преимущества по сравнению с рассмотренными
имеют самотормозящиеся передачи Твинворм, клиновые аналоги
которых показаны для различных режимов на рис. 141 [177].
Рис. 141, а соответствует тяговому режиму при ведущем звене 7,
рис. 141, б— тяговому режиму при ведущем звене 2 (инверсному
287
Тяговому режиму), рис. 141, в—режиму оттормаживания. Вы-
ражения для к. п. д. и коэффициента оттормаживания имеют вид:
П- - sin a sin (a + 6 + pnp)
41. 2 sin (a + 6) sin (a + pnp)
sin (a + 6) sin (a—Pnp)
Tl2, 1 sin a sin (a + 6 — pnp)
Нг. 1 sin (a+ 6) sin a sin (pnp — a) sin (a + 6 — pnp)
(501)
(502)
(503)
где а — угол скоса клина /; 6 < 90° — межосевой угол; рпр —
приведенный угол трения на рабочих гранях (с учетом потерь
в направляющих, которые полагаются малыми).
Условием самоторможе-
ния в инверсном тяговом
режиме является а < рпр,
т. е. при а > рпр механизм яв-
ляется несамотормозящимся.
Движение в режиме отторма-
живания возможно, если
Рис. 141. Клиновые аналоги самотормозящихся передач Твинворм для тяго-
вых режимов при ведущем звене 1 (а), при ведущем звене 2 (б) и для режима от-
тормаживания (в)
выполняется условие а + 6 > рпр. Если оно не выполняется,
то при переходе из тягового режима в режим оттормаживания
происходит заклинивание механизма (самоторможение второго
рода). Отметим, что при S —> 0 T]lt 2 —> 1- Однако практически,
исключая заклинивание, имеем
та х T)i, 2 =---. (504)
1 I Рпр
tg.a
На рис. 142 показаны области параметров
Рпр
= -у— j , причем область I соответствует несамотормозящимся
механизмам, II — самотормозящимся незаклинивающимся меха-
288
нйзмам, 111—заклйнийающимся механизмам. Область реально
используемых механизмов (//) заштрихована наружу.
На рис. 143, а и б показаны графики зависимостей т]1э 2 (6)
и и2,1 (б) Для рассматриваемых механизмов при а = 5° и рпр =.
= 8°, max r|lt 2 = 0,767. Отметим, что для ортогонального меха-
низма (6 = 90°) имеем т]ь 2 = 0,387, p2i г = 0,599 (штриховые
горизонтальные лййии). Область самотормозящихся незаклини-
вающихся механизмов располагается справа от вертикальной
граничной прямой, соответствую-
щей S = 3°.
Рассмотренный принцип ис-
пользован в механизме, составлен-
Рис. 143. Графики зависимостей:
а — П1, 2 0); б — ш, 2 (6)
Рис. 142. [Области параметров а—6
самотормозящихся механизмов
ном из двух червяков (двухчервячная передача Твинворм,
рис. 144). Достоинствами такого механизма являются: возмож-
ность осуществления как понижения (ij, 2 > 1), так и повышения
(li, г < 1) скоростей вращения звеньев; высокий к. п. д. в тяговом
режиме при большом запасе самоторможения в режиме отторма-
живания; возможность осуществления надежного самоторможе-
ния при передаточных отношениях близких к единице [177].
В качестве расчетных формул для определения к. п. д. и коэф-
фициента оттормаживания можно использовать (501)—(503), если
положить в них а = Хх, 6 = Л2 — Л1( где Лх, Х2 — углы подъема
винтовых линий на начальных цилиндрах червяков.
Коэффициент запаса самоторможения определяется зависи-
мостью (499). Значения коэффициента запаса самоторможения,
для которых заклинивание самотормозящегося механизма отсут-
ствует, определяются условием
1<К1<КХ, (505>
где — отношение углов подъема винтовых линий чер-
вяков на начальных цилиндрах.
19 Под ред. Н. И. Колчина
289
При этом коэффициентом запаса по заклиниванию Л*2 назы-
вается отношение
К2=-^. (506)
Поскольку минимальное значение к. п. д. механизма соответ-
ствует наибольшему коэффициенту запаса самоторможения
(max = Кк), то в соответствии с (501) находим
min r)lt 2
sin sin
sin sin (1 + K%)Xi ’
(507)
Например при Xx == 5° и Кк = 2 имеем min т]3 2 = 0,664.
(Xj
При тех же параметрах в обычной ортогональной червячной пере-
даче, согласно (500), имеем r]lt 2 =
= 0,333, т. е. значение в два раза
меньшее, чем в передаче Твинворм.
Нелинейные свойства самотормо-
зящегося механизма оказывают су-
щественное влияние на их динами-
ческие характеристики. Поскольку
Рис. 144. Двухчервячная пере-
дача Твинворм
самотормозящиеся механизмы в на-
стоящее время применяются в машин-
ных агрегатах с резко переменным
режимом нагружения, представляет значительный интерес иссле-
дование динамических характеристик таких машинных агрегатов.
В соответствии со схемой рис. 140 система дифференциальных
уравнений движения имеет вид:
«1 + (М2,1 — Мд) = 0;
й2 + ^-МЬ2 = -j-Mc (/),
(508)
где J j, J2—моменты инерции звеньев 1, 2\ Mc(t) — момент
внешних сил, действующих на звено 2;МЛ— вращающий момент
двигателя, приложенный к звену 1; ©х, <о2—угловые скорости
звеньев 1, 2.
Динамическая характеристика приводного двигателя для реше-
ния широкого круга задач динамики машинного агрегата может
быть задана в виде [24]
А + + (509)
где v — коэффициент крутизны статической характеристики; соо —
угловая скорость идеального холостого хода; Тд — постоянная
времени, учитывающая переходные процессы в двигателе (элек-
тромагнитные для электродвигателей, гидравлические для гидро-
приводов).
290
Значения v и Тд для двигателей, имеющих широкое применение
в машинных агрегатах, приведены в работе [24].
Схема машинного агрегата, включающая механическую модель
двигателя, согласно [24], показана на рис. 145, где сд и 0Д —
параметры, определяемые по формулам:
с = - и = -±-
Д тсо0Тд ’ рД vcoo ‘
Поскольку для схемы с приведенными параметрами 2 = 1,
т. е. (ох = со2» то из системы уравнений (508) с учетом (495) на-
ходим выражение для момента
Мг ,2 = (0 . (510)
Рис. 145. Схема машинного агрегата
с самотормозящимся механизмом
А К2> 1А
По знаку момента М х, 2 мо-
жно судить о реализуемом на
рассматриваемом интервале вре-
мени режиме движения машин-
ного агрегата: при ЛП, 2<0
осуществляется тяговый режим,
при Л4112 >0 — режим оттормаживания. В работе [24] показано,
что условием отсутствия динамического заклинивания самотор-
мозящегося механизма является
1 И 2, 1J 2 0,
причем в этом случае для всех режимов
J = J1 ^2,1*^ 2 6.
(511)
(512)
При выполнении'условия (511) управляющим воздействием
в машинном агрегате, определяющим режим движения самотор-
мозящегося механизма, является
ф (0 = JXMC (0 - /2МД (0,
(513)
ф (/) < 0 — для тягового режима;
ф (/) > 0 — для режима оттормаживания.
Обозначим
1 001
S= 1---------
С00
(514)
(515)
где s — относительная скорость машинного агрегата.
Тогда систему дифференциальных уравнений движения машин-
ного агрегата можно записать в виде:
(516)
19!
291
В дальнейшем для исследования режимов движения машинного
агрегата удобно воспользоваться новой переменной гр (/), со-
гласно (513). Тогда на основе системы дифференциальных урав-
нений (516) получим:
Ф + -у~Ф + -т^-8 = V (t)-,
1 д д
s------7-г гр —----J-г- Мс (/),
^0*^2
где
У(0 = Л(Я + ттХ).
(517)
(518)
Систему (517) двух дифференциальных уравнений первого
порядка можно свести к одному дифференциальному уравнению
второго порядка относительно переменной гр (/)
Ф + 4~ Ф + у4-ф = <?с(0, (519)
1 Д 1 Д2 М
где
(0 = Л (Я + 4-Я + -т4^я);
\ 1Д 1 Л11М /
T’iM = v(ooJ1; TM=va0J.
Эквивалентность решений системы (517) и уравнения (519)
обеспечивается соответствующим выбором начальных условий
Ф (0) = А [Я (0) + -А- Я (0)] ~ (Фо ~ V 4), (520)
где s0 = s (0), ф0 = Ф (0) — начальные условия для системы (517).
Исследование динамических процессов машинного агрегата
прежде всего предлагает отыскание и анализ стационарных режи-
мов при периодическом внешнем воздействии. В этой связи зна-
чительный интерес представляет изучение частотных характери-
стик машинного агрегата с самотормозящимся механизмом [27].
В работе [27] показано, что в определенном диапазоне частот
гармонического возмущающего момента вынужденные колебания
могут весьма существенно отличаться от гармонических, что прак-
тически исключает анализ этих колебаний на основе приближен-
ных методов, использующих линеаризацию нелинейных характе-
ристик. Исследование, кроме того, обнаружило наличие у системы
двух резонансных режимов: на частоте, равной собственной ча-
стоте автономной системы, и на половинной частоте (главный ре-
зонанс и ультрарезонанс).
Не останавливаясь на численно-аналитическом исследовании
вынужденных колебаний, выполненных в работе [27], выясним
качественно возможность возникновения ультрагармонических
колебаний в машинном агрегате с самотормозящимся механизмом.
292
Пусть вынуждающий момент Л4С (/) задан в виде
Мс (0 = Л40С sin at. (521)
Тогда функция Qc (t) будет
Qc (0 = Qoc sin (at + 8), (522)
где
Qoc = 1/(1-7’д7’1м®2)2+(®Лм)2;
1 Л1 IM
e= arctg j—г^Тд<о2 •
Уравнение (519) является квазилинейным с кусочно-постоян-
ным коэффициентом при обобщенной координате ф (/), который
зависит, согласно (512), (514) и (519), от знака ф (/). Будем в первом
приближении пренебрегать влиянием линейного сопротивления на
собственные частоты. Обозначим также соответственно kT и k0 —
собственные парциальные частоты в тяговом режиме и в режиме
оттормаживания.
Тогда для собственной частоты колебаний системы с кусочно-
линейной восстанавливающей силой (кусочно-постоянным коэф-
фициентом жесткости) находим выражение
k= ^°k , (523)
кт г ко
где
Ь _ _ J . = 1
Т'ы) — vco0 (Ji -j- "Hi,2 J,2)\ Т’м — va0 (Ji —
Используя прием, применяемый в теории автоматического
регулирования, выделим в рассматриваемой системе линейную
(ЛЧ) и нелинейную (НЧ) части. Поскольку нелинейная характе-
ристика является кусочно-линейной, принимаем в качестве ли-
нейной части осциллятор с собственной частотой -k, согласно
(523). Введем переменную £ (ф) формулой
(524)
и запишем уравнение (519) в виде
Ф + -у-ф + ^2Ф = — В (Ф) + Qoc sin (со/ + 8). (525)
‘ д
Структурная схема системы показана на рис. 146, нелинейная
функция £ (ф) — на рис. 147. Можно показать, что функция 5 (Ф)
является почти четной. Поэтому при воздействии вынуждающего
293
k
момента (521) с частотой я = 1, 2, 3, . . . сигнал этой же
частоты, проходя ЛЧ, поступает на вход НЧ, причем на выходе НЧ
сигнал приобретает четные гармоники.
Одна из этих гармоник, совпадающая с собственной часто-
той ЛЧ, может вызвать резонанс. Практически в составе сигнала
на выходе НЧ достаточно мощной является, по-видимому, лишь
вторая гармоника. Поэтому в рассматриваемой системе кроме
основного резонанса можно ожидать резонанса на частоте со
^~~k. Именно такой ультрарезонанс был выявлен в работе [27]
при анализе машинного агрегата с самотормозящимся механизмом.
Рис. 146. Структурная схема машин-
ного агрегата
Рис. 147. Функция £ (*ф)
Одним из важных аспектов динамических исследований яв-
ляется анализ стабильности поведения системы в условиях из-
меняющихся параметров. Для машинных агрегатов с самотормо-
зящимися механизмами эта задача особенно актуальна, поскольку
характеристики трения, оказывающие существенное влияние на
движение, являются изменяющимися. При этом значительный
интерес представляет построение и исследование статистической
модели машинного агрегата с самотормозящимся механизмом.
Вместе с тем весьма сложный статистический анализ нелинейных
динамических систем имеет смысл осуществлять лишь в тех слу-
чаях, когда динамические свойства системы изменяются суще-
ственно при флуктуациях параметров, т. е. система является
негрубой.
Механические самотормозящиеся системы, имеющие значи-
тельные коэффициенты запаса по заклиниванию, в достаточно
широком диапазоне измёнения характеристик трения могут счи-
таться грубыми. Поэтому представляется достаточным ограни-
читься анализом стабильности динамических характеристик этих
систем, используя аппарат теории чувствительности [132].
В связи с изложенным составим алгоритм расчета функций
чувствительности периодического решения дифференциального
уравнения движения (519) с учетом (521), (522) к изменению угла
трения рпр в зацеплении самотормозящейся передачи. Как было
показано выше, силовое передаточное отношение в каждом режиме
является функцией угла трения рпр,
294
Будем полагать, что перйодичеёкое рвшеййе раёёматриваемоёб
уравнения известно и получено численно-аналитическим методом,
предложенным в работах [24, 27]. При этом рассматривается
наиболее часто встречающийся случай, когда на периоде имеются
два переключения режимов. В случае необходимости алгоритм
легко видоизменяется на случай любого числа переключений на
периоде.
В соответствии с результатами, полученными в работах [24,
27], периодическое решение рассматриваемого уравнения запи-
сывается при t£ [Zg, ^+1) в виде
%(OS = G(OSXoS+MOS< (526)
где %(/)£ — двухкомпонентная вектор-функция с компонентами
Xi (о£=ф (0s; Х2 (0s=ф (0s,
%о — двухкомпонентный вектор «начальных» значений, связан*
ный с вектором значений х§ в точках | tr] изменения режимов за-
висимостями, найденными в работе [27]; G (ffi— (2х2)-матрица,
элементы которой составлены из двух линейно независимых реше-
ний однородного уравнения в интервале t£ [^, ^+1); h (fft —
двухкомпонентная вектор-функция, соответствующая вынужда-
ющей составляющей.
Следует отметить, что периодическое решение дифференциаль-
ного уравнения (519) по физическим соображениям отыскивается,
из класса С± [0, оо], [24].
В соответствии с используемым методом построения периоди-
ческих режимов, вектор Хо произвольных постоянных, соответ-
ствующий начальному интервалу, определяется по формуле [24]
(Я - /) х“о = -Р, (527)
где
W-G^Go; G£ = G (^)S, g = 0, 1, 2;
P = ОД [ftb - h (Zi)1] + G2 [/I1 - h (/2)2]; t3 = ;
№ = h (^+i)s, £ = 0, 1, 2; 1 — единичная матрица.
Задачу определения чувствительности периодического решения
в каждый момент времени можно считать решенной, если найдена
— “I “2
чувствительность векторов хо, Хо» Хо и моментов времени переклю-
чения режимов t3 к изменениям рпр. Поскольку значения абсо-
лютных функций чувствительности зависят от принятой системы,
295
будем отыскивать относительные функции чувствительности вида
(полагая рпр = р)
“•<p> = TTW <528)
«г (р) = 4хг,о dp р
Хг.о(р)
Рг(р) Тг(р) dXr, 0 р . dp Хг, 0 (Р) ^Хг, 0 р dp Хг 0 (Р) (г=1,2). (529)
Выведем зависимости, из которых могут быть получены иско-
мые функции чувствительности. На основании (526), (527) можно
представить значения векторов х§ в моменты переключения режи-
мов в виде:
^=Оох0 + /10-л(/1)1;
Xo2 = G^ + ^-A(/2)2.
(530)
Тогда векторы начальных условий $ = хо (^)г при £ = 1; 2
можно определить по формулам:
Й=Й + '>('.),=<’л+Л|
2 -2 . z> “1 . U I Vх51/
Хо = Хо + /1(М =GiX0 +Л •
Полагая векторы х§ функциями от h, h, ргд (р) и тр, 2 (р),
на основании (514) получим уравнения для определения tu t2:
gi (h, h, p) = Xi, о [6, h, P2, i (p), ip, 2 (p)] — 0;
/ \ 2 г il (532)
g2 (6, hi p) = X1, о [6, h* p-2, i (p), ip,2 (p)J = 0.
Вычислим частные производные от функций glt g2 по tu t2 и p:
dgt = M,o
dtq dtq
£,<7=1; 2;
(533)
Частные производные от вектор-функции х§ 16, 6, Цгд (р),
Лх. 2 (р) 1 ПО ^i, G и Р, первые компоненты которых входят в.выра-
296
жения (533), можно вычислить по формулам, полученным непо-
средственно из (531):
дХо г Ъл , dG0- dh°
dtr ~ G° dt2 + dti + dti ’
dXp _ r dx0 , - г ( д^° dfl2’1 ' dTh,2 \ ,
dtt ° dt2 ’ др U°\dp2,1 dp dr)1>2 dp } +
(534)
I ( dG0 1 ' I dG0 ^Л1. 2 \ У I
^КФг.! dp дЪ, 2 dp
. dh° d|i2, x . dh° dr]i, 2
"* d|i2tl dp drjS2 dp
d%o =r Г dxj д/г^)1 1 дОг -L
dt± Ul [ dti dti J + dti X»’
dXo _ r dZJ dGj ! 5ft1 .
dt2 ~ 1 dt2 + dt2 о ~r dt2 ’
dXo =c Г dxp aft(Zt)1 dp21
dp ~ 1 [ dp dp2>1 dp
dh(tj)1 dr)!, 2 / dGi dp2il
dm. 2 dp J ~r \ dp2,! dp
dGt dt)i, 2 \ -1 , dh1 dp2,i ,
dr)!, 2 dp ) Xo ' ф2,! dp "l“
. dfti dt)x. г
drh.j dp *
При выводе формул (534), (535) учитывалось, что
'dG0 _ n. aft» _ n dfti _ n. dh (<i)i _ n
dt2 ~ u> dt2 ~ u’ dtx ~ u’ dtj. ~ u’
(535)
[27]:
_________________________________________ dGi
dP2.i ’ dm, 2
5/1(4)! a/ji QQ____0G
v 17 . -5--, либо матрицы д ° , -д—— и векторы
dm, 2 dr)i,2 г dr)i, 2 dp2,! н
d/i (/J1 dh1
- 4 f -4------ тождественно равны нулю, что упрощает
С'М'г. 1 ^Р-г» 1
Кроме того, в зависимости от порядка чередования режимов
dG0 dGr
в периодическом решении либо матрицы 0 , -а<п и векторы
dh°
дЦг, 1 ’
dh°
dm, 2 ’
вычисления. Формулы для вычислений ненулевых частных про-
изводных рт матричных функций и вектор-функций W, h
по tlt t2, р,2, i и r]lt 2 нетрудно получить из выражений для соответ-
ствующих матриц и вектор-функций, приведенных в работе [27].
Производные и получаются при дифференцирова-
297
нии по р соответствующих выражений для коэффициента оттор-
маживания и к. п. д. самотормозящегося механизма.
В формулы (534), (535) входят векторы -/Хо и
С/41 C/fj 0^2» 1
/Хо . Чтобы получить эти величины, найдем частные произвол-
йТ)1, 2
ные от обеих частей уравнения (527) по tlt t2, р2, i и Tji, 2:

= Fq, <7=1,2;.
dXo _
<Ki '
(H — I)-fi- = N,
(H-I)
(536)
где
N
дН - dP . o
dtq Zo dtq > q~ 1,2;
f _ дН - dP
^2,1 X° 5^,!’
дН - dP
~ <?T]1, 2 *11, 2 ‘
(537)
Используя выражения для величин, входящих в (527), находим:
q = 1; 2
< = <gxGo + g2^go + ga-^;
<-=/О°х + 02^-)[/х°-М^] +
G2G1 Нг--^-] +
L Olq ulq J j ulq
r Г d/i1 dh(t^l
+ 2 L dtq дЦ~ J ’
^/7 dG% p p \ r* dG} i ✓> dG0
“ *77 + °> *77 °- + ’
-^7 = (^a‘ + a^)lh"-hK>'l +
j-Сг Гг Г _^L — +^2_[/iX_/l(72)2] +
dh (/> 1
dH2.i J ’
дц2>1 dtq
, r Г dh1
+0’hK7
(538)
(539)
298
Величины — и — получаются из формул (539) при замёнё
в них р2, х на т]!, 2. На основании изложенного некоторые матрицы
и векторы в правых частях (538), (539) тождественно равны нулю.
Системы алгебраических уравнений (536) разрешимы в том слу-
чае, если det (7/ — 7) =£ 0. Это условие выполняется, если перио-
дическое решение с найденными моментами времени переклю-
чений и порядком чередования режимов является единствен-
ным [24].
Рассмотрим уравнения (532), которые в неявном виде опреде-
ляют функции (р), t2 (р). Абсолютные функции чувствитель-
ности моментов времени переключения режимов в периодическом
решении к изменению угла трения вычисляются как производные
от неявных функций при помощи функциональных определите-
лей [141]:
Q(gi. g2)
dt,. О(Р,/2) .
dp £>(gi, g2) ’
Щ^2)
P(gi, g2)
_ D(ZX, p)
dp O(gi. g2) '
(540)
Абсолютные функции чувствительности векторов произволь-
ных постоянных решений на ^-интервале отыскивается по фор-
мулам:
2 _
д%о = \Ч дх0 dig дхо dp2, t
dp dtg dp "г др2.1 dp t~
. дхо <h)i,2 .
"Г дП1, г dp ’
yi dtq <5$ . .9
dp dtq dp -г dp ’ ь ’ ’
77=1
(541)
zo 1 ze. 1
где выражения для векторов -^-(£,7=1; 2) и (£ = 1; 2)
нетрудно получить на основании (531), (534), (535).
Составим алгоритм построения функций чувствительности.
1. Для фиксированного значения р находится периодическое
решение дифференциального уравнения (519) численно-аналити-
ческим методом, изложенным в работах [24, 27]. При этом вычи-
сляются матрицы Н и векторы h\ h (/&)£, Хо, xU = 1, 2).
2. На основании выражений для к. п. д. -qlt 2 (р) и коэффици-
ента оттормаживания р211 (р) вычисляются производные по р:
Ф*2.1 ^П1Г2
dp ’ dp *
299
3. Вычисляются частные производные от матриц GV и векторой
/is, h по tq q = 1; 2) на основании выражений, приве-
денных в работе [27].
4. Отыскиваются матрицы 4^- (о = 1; 2), и
оРа. 1 с'т11. г
дР дР дР
векторы (q = 1; 2), —по формулам (538), (539)
и, далее, векторы Fq (q = 1; 2), L и N по формулам (537).
5. Определяются векторы (q = 1; 2), как
atq С'Рг. 1 С”)!. 2 -
решения систем (536).
6. Вычисляются векторы 4^-, (q = 1; 2), (£ = 1; 2)
utq up
по формулам (534), (535).
7. Определяются вначале абсолютные, а затем относительные
функции чувствительности моментов времени переключений uq (р),
q = 1; 2 по формулам (528), (533), (540).
8. Определяются вначале абсолютные, а затем относительные
функции чувствительности компонентов векторов произвольных
постоянных на ^-интервале аг (р), 0r (р), yr (р), г = 1; 2 при по-
мощи формул (529), (531), (541).
Рассмотренный алгоритм легко реализуется на ЭВМ.
Используемый выше термин «определение функции чувстви-
тельности» предусматривает построение значений чувствитель-
тости исследуемого периодического решения во всей области зна-
чений параметра (угла трения в зацеплении). При этом периоди-
ческое решение, соответствующее этому значению параметра,
считается определенным. Располагая значениями функций чув-
ствительности в базовых точках параметра, далее можно построить
соответствующие интерполяционные зависимости, при помощи
которых определяются приближенные значения функций чув-
ствительности в промежуточных точках.
При составлении алгоритма предполагалось, что в малой окрест-
ности заданного значения р существует непрерывное вместе с пер-
вой производной по р периодическое решение с неизменными коли-
чеством переключений и порядком чередования режимов на пе-
риоде. Поскольку существование периодического решения при
заданном значении р предполагается, то на основании теоремы
о неявных функциях [141] указанное условие выполняется, если
знаменатель выражений (540) отличен от нуля. При этом формально
вычисленные выше производные существуют. Предположение
о непрерывности периодического решения вместе с первой произ-
водной по р реализуется во всей области значений р, для которых
существует решение данного вида. Граничными точками, этой
области могут быть бифуркационные значения параметра р, при
переходе через которые изменяется структура фазового простран-
ства.
300
Приведем результаты расчета функций чувствительностй пе-
риодических режимов движения машинного агрегата по исходным
данным, приведенным в работе [27]:
Ji = 0,196 кг.м2; J2 = 0,0259 кг-м2; Тд = 3,47-10-2 с;
v= 19,60-10"*
’ Н м. ’
соо = 104,72 рад/с; T]lt 2 = 0,35;
р2, 1 = 0,86; А4ОС = 4,90 Н-м.
Расчет периодических режимов осуществлялся для двух резо-
нансных частот: со = 84,82 рад/с — главного резонанса; со =
= 42,41 рад/с — ультрарезонанса.
1. Главный резонанс. Последовательность моментов времени
переключений режимов, включающая начальную и конечную
точки, составляла
{/s} = {0; 0,005474; 0,03858; 0,0747} с.
Векторы Хо> Хо и Хо соответственно были:
Хо = 1—0,1781; —0,8790]'; xj= [2,618; —1,028]';
Хо= [1,505; 0,8741]'.
Размахи колебаний для вращающего момента двигателя и от-
носительной скорости s составляли:
7?^ = 22,0 Н-м; Rs = 0,01359.
Режимы чередуются в следующем порядке: тяговый—оттор-
маживания—тяговый.
Функции чувствительности в рассматриваемом примере опре-
делялись к изменениям коэффициента оттормаживания при не-
изменном к. п. д. (в целях сокращения объема вычислительных
работ). В результате вычислений на ЭВМ «Минск-22» найдены:
= —0,18; ах = —1,1; Pi = 0,13; = 0,43;
и2 = —0,055; а2 = —0,28; Р2 = —1,0; у2 = 0,40.
= — 0,43; = — 0,38.
1 Rm 1 Rs
д
2. Ультрарезонанс:
}/£} = {0; 0,005558; 0,06885; 0,1481};
Хо= [0,7501; —0,06708]'; хо = [О,8611; — 1,344]';
Хо = [1,936; —1,229]'-
Ямд = 27,72 Н-м; Rs = 0,0150.
301
Режимы чередуются в следующем порядке: тяговый—отФо0-
маживания—тяговый.
Значения функций чувствительности составляли:
= 0,077; ах = 0,23; pi = 0,019; - 0,23;
и2 = —0,028; а2 = —1,6; р2 = —0,28; у2 = —0,30.
Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод
о том, что рассматриваемая система является грубой по отноше-
нию к изменениям характеристик трения в самотормозящемся
механизме. Следует отметить весьма малую чувствительность
моментов времени переключения режимов, что позволяет поста-
вить задачу синтеза путем малых изменений параметров системы
при фиксированной последовательности {t^\.
Разработанный метод построения функций чувствительности
позволяет получить необходимую информацию о динамическом
поведении машинного агрегата с самотормозящимся механизмом.
40. УЧЕТ ГИСТЕРЕЗИСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ ПРИ АНАЛИТИЧЕСКОМ
ИССЛЕДОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ВАЛОПРОВОДОВ
Среди большого многообразия механизмов, при динамических
исследованиях которых учитывается сила трения в кинематических
парах, может быть выделен класс таких механизмов, у которых
точки приложения больших сил трения,не совпадают с зонами
наибольших инерционных нагрузок. Такая ситуация возникает
в тех случаях, когда большая сила трения оказывается приложен-
ной к звену относительно малой массы. Подобные задачи встре-
чаются при исследовании динамики с учетом сил трения в зацепле-
нии некоторых копировально-фрезерных станков, приводов пово-
ротных столов автоматов и полуавтоматов, используемых в ряде
отраслей промышленности, и др.
В связи с известной тенденцией развития современного машино-
строения, заключающейся в стремлении максимально повысить
энергетическую эффективность механизмов за счет уменьшения
трения в опорах валопроводов, возникающие в зубчатых парах
силы трения начинают оказывать решающее влияние на динамику
системы. Наиболее сильно это проявляется в механизмах, исполь-
зующих с целью исключения зазоров предварительно напряжен-
ные зубчатые передачи, работающие в замкнутом контуре.
Следует отметить при этом, что особенностью рассматриваемых
механизмов с промежуточной фрикционной связью является
302
существенное влияние сил трения не только на уровень диссипации
системы, но и на ее частотные характеристики, поскольку при
определенных условиях эти силы приобретают способность «под-
ключать» или «отключать» отдельные участки кинематической
цепи, обладающие конечной жесткостью. При этом колебатель-
ная система оказывается существенно нелинейной.
Рассмотрим две динамические модели, полученные при рацио-
нальной схематизации некоторых зубчатых приводов, включа-
ющих простые (рис. 148, а) и замкнутые (рис. 148, б) кинемати-
ческие цепи.
Рис. 148. Типовые динамические модели с простыми (а)
и, с замкнутыми (б) кинематическими цепями
Представленная на рис. 148, а механическая система состоит
из диска 1, обладающего большим моментом инерции J, пары
зубчатых колес zx и z2, двух последовательно расположенных
упругих валопроводов / и II, коэффициенты жесткости которых
равны соответственно сг и с2, и неподвижного тела 2, момент инер-
ции которого стремится к бесконечности (последнее эквивалентно
заделке). На систему воздействует возмущающий момент гармони-
ческого вида: М (t) = М* sin (со/ + у).
Движение исследуемой динамической модели описывается
системой дифференциальных уравнений вида
*70 + с (0 — 02) = Л4* sin (со/ -|- у);
9 + /(9, 02) = О,
где 0 — обобщенная координата, характеризующая абсолютный
угол поворота тела /; 0г—угол поворота колеса z?; f (9, 92) —
303
(542)
нелинейная функция, характеризующая четыре последовательных
этапа движения в течение одного периода колебаний:
С2«2+С1(1+ 4>) А«2 + Л(1 + 4>) 02- 0 I А“2 + А(1 + 4’) ° этап;
0 II этап;
f(0, е2) = сги2(1 +<|?) + с1 А«2(1 + 4’) + А 02- са«8(1+4’) тп A«2(l+t) + A этап;
0 IV этап.
Здесь и = zjz2 — передаточное отношение зубчатой пары; ф —
коэффициент потерь в передаче; J ъ J2 — моменты инерции ко-
лес z19 z2.
Этап I движения характеризуется потоком мощности, показан-
ным на рис. 148, а сплошными стрелками (нагрузка), этап III —
потоком мощности, показанным штрихами (разгрузка); этапы II
и IV отвечают выстою зубчатой пары, вызванному наличием тре-
ния в зацеплении. Условия переключения будут проанализированы
ниже.
Более подробно рассмотрим случай, отвечающий малым мо-
ментам инерции J1 < J и J 2 < J, приняв в расчетной схеме
зубчатую передачу безынерционной. При этом второе дифферен-
циальное уравнение системы (542) превращается в уравнение
связи между координатами 0 и 02, а первое уравнение приобре-
тает вид
/0 + Л4Х (0) = М* sin (со/ + у), (543)
где М1 (0) — кусочно-линейная функция, отвечающая четырем
этапам движения и описывающая петлю гистерезиса полигональ-
ной формы, представленную на рис. 149 (контур А). На этом же
рисунке штрихами изображен график функции (02) (контур Б),
построенный в соответствии с зависимостями
Л*1 = ^У^ 02 (544)
.для участка нагрузки и
Ml = 2/,С1, п 02 (545)
1 и2 (1 + 4’) 2
для участка разгрузки [90].
Для удобства дальнейшего исследования перейдем к новым
координатам (рис. 149):
<7 = 9 —0О; <71 = 02 —02О; (9) = Л4Х (9) — Л40;
Л11(71) = Л41(02)-Л41(О2О). (546)
Здесь Мо и 9 0 — некоторая постоянная составляющая момента
(технологическая или введенная для выборки зазора) и отвечд-
304
ющий ей при i|> = 0 угол закручивания вала II, связанные между
собой соотношением
Л/о — во
glC2
<4 + u2c2 '
(547)
С учетом (546) уравнение (543) можно представить в виде
q + f (q) = т sin (со/ + у), (548)
где f (q) = Mi (q)/J; fit = MJ J.
Mq^+cHI + ф)д(1> _ (i)
<4(1 + t) + <4“2 4
,2 Г Cig — М0и2ф I
l<4 4~ <4«2 (1 4-15) J
При этом
^2 q “I-
f(<7) =
cig<3> _ мои2ф
<4 4-<4«2(l 4-4’)
-<7(3)
.2 Г <4(1 + Ф) ? 4-Л10ц2ф 1
2L <4(14-4’)4-ca“2 J
I этап;
II этап;
III этап;
IV этап.
(549)
Здесь ^2 = CilJ\ q(1} и q( ) — значения обобщенной координаты q
в точках 1 и 3 петли гистерезиса (рис. 149).
Для нахождения приближенного периодического решения
уравнения (548) в виде q = а0 4- a sin at был использован метод
гармонической линеаризации [20, 38].
20 Пол пел. Н. И. Колчина 305
Поскольку f (q) является кусочно-линейной функцией, то для
получения коэффициентов гармонической линеаризации необ-
ходимо определить моменты переключения, соответствующие
узловым точкам гистерезисной петли. При этом моменты переклю-
чения 1 и 3 (рис. 149) характеризуются сменой знака скорости q,
откуда <Pi — л/2; <р3 = Зл/2 (<р, = ®/(). Моменты переключе-
ния 2 и 4 (рис. 149) связаны соотношениями силового характера
и имеют вид:
<jp2 = л — arcsin
ас21С1 + сгиг(1 +t)] —
_ ч|) (2 +1|>) [с^Др 4- Ма (сх + с2д2)].
acs(l +Wi(l +W + c2u8] ’
<p4 = 2 л — arcsin
<K2(l+t) [сх (1 +t) + -
— I’ (2 + ф) [схс2д0 + Мо (сх + с2ц2)]
ac2[ci + c2u2(l + 1’)]
(550)
Для определения коэффициентов гармонической линеаризации
произведем интегрирование по участкам функции (549) в соответ-
ствии с формулами:
2л
^ = _2Гр(ао + а51п(р, a cos <р) dtp;
2л
k2 = —j f (а0 -j- a sin ср, a cos ф) sin ф tfrp;
ла 0
2л
2n=i I f (ао + а sin Ф, асо8ф)со8фйф,
о
(551)
где со/ = ф.
При отсутствии постоянной составляющей возмущающей силы
коэффициент /о равен нулю, что дает возможность определить
смещение оси симметрии колебаний от положения равновесия а0,
однако анализ показывает, что эта величина при реальных соот-
ношениях параметров пренебрежимо мала.
Полученные интегрированием по участкам коэффициенты гар-
монической линеаризации k2 и 2п имеют вид:
^2 ( Г /1 1\"1
k2 = ™ (г — + ~) J (cos ф2 “ cos ф^ ~
— асг (—р- cos <р2 —— COS ф4) +
+ -|-[ф2 + <Р4 — 2л + (<Рз — <р2) + _ <рЛ —
— sin2<р3 (1 —sin 2<р4 (1 —(552^
306
^2WC2(1 + ^) I 1\/А . I . \
2n = ъ—z—:--------2/1 . ,41 (sin <p2 + 1) (2 — sin ф2 4- sincp4), (553)
2nco [q + C2u2(l -t Ф)] V Y2 I / \ I YV, \ /
где ur = c± + c2u2 (1 + г|э); s = cx (1 + Ф) + ^2-
Для перехода к безразмерной форме введем в рассмотрение
следующие параметры:
> = ?.; £ = f = -=- = 6; f = г (554)
* г^2 * *v ^2
и представим зависимости (552) и (553) в форме
0 = "Й { Р — £оСц2Ф ( 1 _|_?Ы2(1 + 1 +1|) +^2)] Х
X (COS ф2 — cos ф4) — 4 +\|4* Ц2 X
х [cos<p2 — -L(-l-sin2q>4 + -^ — ф4)] +
1 1 Г • 1 / 1 • n 1 Зя \1 ।
+ 1 4-gU2(l Ц-ip) LC0S 4)4 + \“2" Sin 2*Р2 + ~2 Фг) J +
+ 4 [ф2 + Ф4 — 2л-------(sin 2ф2 + sin 2ф4)] |; (555)
_и2(1+Ш
4лг/ ₽[1 + gu2 (1 + ф))
(1 sin ф2) (2 — sin ф2 + sin ф4).
(556)
Далее перейдем к оценке влияния асимметрии петли гистерезиса
по частотным и диссипативным свойствам системы. С этой целью
сравним коэффициенты 0 и 6z, полученные по зависимостям (555),
(556), с аналогичными безразмерными коэффициентами гармони-
ческой линеаризации:
₽ = 2Л(4g) [2Фз + —81п2ф24-4с°5ф2(1 — 2|)] ; (557)
2£(1-Е)_
Л (1+£)гГ 0 ’
(558)
полученными в работе [39] для симметричной петли гистерезиса,
нанесенной штрих-пунктиром на рис. 149 (контур В). При этом
будем рассматривать такую симметричную петлю гистерезиса,
которая отличается от полученной выше асимметричной только тем,
что на втором и четвертом этапах принята усредненная упругая
характеристика, отвечающая ф = 0. При этом имеет место ра-
венство перепада ЛЯ симметричной петли и AAfx (02) при 02 =
= Эго = 0oC2u2/(cx + u2c2) асимметричной петли. Используя это
условие, формулы (544), (545), (547) и полученное в работе [39]
20* 307
значение АЯ = 2Н, где Н — приведенный момент силы кулонова
трения, получим зависимость
М0 = Н^-, (559)
где
t _ t JH2+1L ~ t
51 So 2(14-4») £о1_|_-ф-
(560)
Параметр Si меняется в диапазоне 0 <Si < 1; значение Si: 0
отвечает зацеплению при отсутствии силы трения (ф = 0). При
этом
________!_______
Р 2(1+ф + ^2) 1 2[1+£и2(Ц-г|))] ’
(561)
Сравнивая выражение (561) со значением коэффициента Р,
полученным из (557) при S = 0 для симметричной гистерезисной
петли и равным Р = 1/(1 + S), видим, что с точностью до малого
параметра ф при введении зависимости Si = эти выражения
можно считать идентичными.
На ЭВМ «Проминь» по формулам (555) и (556) был произведен
расчет коэффициентов Р (Si) и 6z (SJ. Результаты расчета пред-
ставлены на рис. 150 и 151 в виде соответствующих семейств
кривых по и2 и ф для значений £ = 2 и S = 4. Из анализа графи-
ков следует, что коэффициенты гармонической линеаризации
существенно зависят от и2 и весьма мало от коэффициента по-
терь ф.
После перехода к параметру Si = £^2 (рис. 152) оказывается,
что кривые Р (Si) и 8z (Si), построенные для симметричной и асим-
метричной петель гистерезиса, практически идентичны. При этом
для определения амплитуды вынужденных колебаний можно
использовать соотношение [39]
а = астр, (562)
где
аст = 4, (563)
/?2
После преобразования
формулы (564) получаем уравнение
2. + 26? + Гв= + 16й;('^-)! _ 2.1 - О
2+2Pz+[P+ Fa J —
позволяющее строить график коэффициента динамичности р
для фиксированных параметров системы.
308
Рис. 150. Графики 0 (£i) при ф = 0,02-7-0,05:
1 — и = 0,5; 2 — и = 1; 3 — и = 1,25; 4 — и = 2; 5 — и = 4
Рис. 151. Графики б2(§1)ф= 0,02-7-0,05:
1 — и = 0,5; 2 — u = 1; 3 — и = 1,25; 4 — и = 2
Рис. 152. Семейства кривых при = £u2 = const: а — 0 (gi);
(Ь)
309
Йа рис. 1S3 приведены типовые ймплйтуДно-частотйые характе-
ристики для случая Ci = 4 и трех различных значений пара-
метра 'ft, характеризующего долю момента сил трения от ампли-
туды возмущающего момента
л — 'Ф (2 + Я7) (565)
v — 2(1 + Ф) М * -
Из анализа графиков видно, что величина рп1ах в зависимости от
параметра $ может достичь некоторого минимального значения.
На графике штрихами нанесена кривая, представляющая собой
геометрическое место максимумов амплитудно-частотных харак-
теристик, аналитически описанная трансцендентным уравнением
-2 =
2л (1+51)

— sin <р2+ 4 cos <р2
я(1 + Б1)1
HmaxCl J
(566)
При этом учтено, что <р2 = <р2 (цтах). Минимального значения
эта кривая достигает при
ф = л(1+£1). (567)
На графиках рис. 153 нанесены точки, полученные методом
численного интегрирования исходных нелинейных уравнений
на ЭВМ «Минск-22» при выходе на установившийся режим. Сравне-
ние приведенных результатов свидетельствует об эффективности
использования метода гармонической линеаризации в данном
классе задач.
Далее обратимся к особенностям, которые имеет изображенная
на рис. 148, б механическая система, включающая предварительно
310
напряженную зубчатую передачу, работающую в замкнутом
контуре.
Здесь 0 — обобщенная координата, характеризующая угол
поворота тела /; 04—угол поворота колеса z4; Л4ц; A4i2; M2i’»
Af22— моменты, возникающие в системе при предварительном
натяге (постоянная часть) и имеющие переменную гармоническую
добавку.
Поток мощности при нагрузке системы при заданном направле-
нии момента предварительного натяга, принятого приближенно
равным Л4ц, показан сплошными линиями; при разгрузке —
штрихами.
Зависимость ТИ2 (0) определяется формулами:
для нагрузки
м МС1е + 2«уиц) (5б8)
для разгрузки
М2 = с* (It . (569)
(1 +'l’)[ci(i +Ф)+ «41
Чтобы перейти к эквивалентной симметричной петле запишем
также зависимости М2 (04) соответственно при нагрузке и раз-
грузке:
дНн) __ £1^4 + ЗифМц .
2 — Ы2(1+ч|>) ’
M(P)_ qd + W-^Alii
2 — u2(l-W)
Используя введенное выше требование о равенстве перепадов
симметричной и асимметричной гистерезисных петель, а также
соотношение
= — М2(р),
получим при ф = О
Ми = Н-^~, (570)
Ь2
где
t ___________________t __ Мц
Ь2 So j _|_ > So с^а •
Приведенное значение для £2 в два раза больше результата,
определенного по формуле (560) для открытой зубчатой передачи
с одной парой зубчатых колес.
Таким образом, исследование зубчатой передачи, включающей
замкнутый контур, сведено к решению задачи, изложенной выше,
При данном исследовании был принят некоторый усредненный
коэффициент потерь, одинаковый для прямого и обратного ходов
ЗП
зубчатой передачи. Однако, строго говоря, величина ф зависит
от направления потока мощности. Для учета этого фактора при
определении коэффициентов гармонической линеаризации инте-
грирование функции f (q) [см. (549)] в пределах от фх до <р3 сле-
дует вести с учетом ф = фт. х, а в пределах от ср3 до 2л + <рх
принимать ф = фб. х» гДе Фт. х и Фб. х — коэффициенты потерь
соответственно при тихом и быстром ходах, связанные между
собой с точностью до малых высшего порядка соотношением
Фт.х = “Фб.Х‘
Здесь под быстрым ходом понимается движение, происходя-
щее с увеличением скорости, а под тихим ходом — с уменьшением
скорости.
Рис. 154. Типовые осциллограммы колебательных режимов, полученные на
АВМ: а — при Jn^U — 0,05; C1=4;0=l;z = 0,65; б — для режима с од-
ним срывом; в — для режима с двумя срывами
Обратимся теперь к вопросу о том, при каких соотношениях
моментов инерции Jnp/J (где Jnp = J2 + J Ju2— приведенные
к валу II моменты инерции зубчатых колес и z2) применение
данной методики дает удовлетворительные результаты. С этой
целью на аналоговой машине МН-7 было рассмотрено свыше
100 режимов. Анализ результатов моделирования показал, что
учет момента инерции промежуточного звена ведет помимо неко-
торого смещения резонансной зоны к уменьшению максимального
коэффициента динамичности. Так, при соотношении Jnp/J = 0,05
расхождение результатов в зоне резонанса составляет несколько
процентов, а при = 0,1 достигает 20%.
На рис. 154, а приведена типовая осциллограмма, прямыми
отмечены моменты переключений.
До сих пор мы рассматривали вынужденные колебания для
модели с неподвижным диском 2 (см. рис. 148). Такая ситуация
возникает, в частности, при воздействии возмущающего момента
во время выстоя привода (например, при передаче возмущений,
возникающих от выполнения технологических операций, на при-
312
воды, осуществляющие установочные движения). Однако весьма
часто воздействие на обрабатываемое изделие осуществляется
во время вращения привода. В этом случае совокупное движение
системы будет складываться из вращения с постоянной угловой
скоростью и вызванных возмущающим моментом вынужденных
колебаний. В данном случае эквивалентный момент сил трения Н,
полученный заменой сил трения в зацеплении в соответствии
с (559) и (570), оказывается приложенным к промежуточному
безынерционному звену, находящемуся в контакте с равномерно
вращающейся опорой.
Подобная динамическая модель подробно рассмотрена в ра-
боте [40]. На базе [40] можно показать, что в зависимости от
соотношения скоростей постоянной составляющей вращения
вала II соои переменной, возникающей при колебаниях составля-
ющей 02тах, исследуемая система может работать в одном из трех
режимов. Если 02, в течение всего периода колебаний остается
меньше соо» имеет место режим, отвечающий линейной системе
со смещенным положением статического равновесия, исследова-
ние которого является тривиальным. Условие 02max = wo опреде-
ляет примерную границу возникновения второго режима, который
характеризуется двумя этапами в течение одного периода колеба-
ний (первый этап соответствует проскальзыванию звена при-
ведения по отношению к вращающейся опоре 02 4= соо» второй —
вращение звена приведения совместно с опорной площадкой
с угловой скоростью 02 = соо). Третий режим движения имеет
четыре этапа в течение одного периода колебаний. Это свидетель-
ствует о том, что звено приведения дважды движется с опорной
площадкой и дважды «срывается» с нее—один раз в направлении,
совпадающем с со0» второй раз — в противоположном направлении.
Формулы, определяющие коэффициенты гармонической линеари-
зации для каждого из упомянутых режимов, приведены в табл. 37.
Границей существования II и III режимов является условие
+ 2л = ф4. Значения ср2, (р3, ф4 также приведены в таблице.
При этом принято g0 = -^-; £ = £х для систем с открытой пере-
дачей и = g = g2 — для систем с замкнутым контуром.
Из сказанного выше очевидно, что представляющие наиболь-
шую опасность режимы II и III возникают при относительно ма-
лых скоростях соо. Поэтому проведенное исследование является
наиболее актуальным для тихоходных приводов (например, при-
водов установочных движений, приводов копировальных уст-
ройств и др.), где рациональным подбором параметров системы
представляется возможным уменьшить длину участвующей в ко-
лебаниях кинематической цепи или обеспечить уровень амплитуд
вынужденных колебаний, не превышающий некоторых допусти-
мых, границ.
313
fr? Таблица 37
Формулы для определения коэффициентов гармонической линеаризации
Коэффи- циенты Режим II Режим III
Ф1 — gv 1 + arccos-5 г Si
ф2 sin ф2 = sin фз + О- 1 * (ф2 + 2л — фз) z Ъ1 2£ i 1 + Si V , sin ф2 = Sin фх £ + g z (ф2 фх)
Фз 2л — atccos — * г Si 2л — фх
ф4 — sin ф4 = sin Фз + + 5 г (q>4 Фз)
Продолжение табл. 37
, Коэффи- циенты Режим II Режим III
₽ Л {i fsfcosqbs COST,) 0,5 (ф, <p2)] + Hv + л + (Ф1 + Фа) COST, + + sin T3 cost, + г ) sin9a(f^ cos Та + & )} n {(cos T, COST,)j + g (21 Sln *₽1 22) + + у- [(Фа — Ф1) COST, + (Ф4 — Фз) cost,] + _i 2i /ф । „ \ я (2i 1) + 2 (1 H-gx)(<Pa H<p4) £i+l [& г + 2(1 +2i) С°8ф2] Sm<₽2 [1 + 2(1 + 2i) C°Sq)4] S'n4
6 1 ( г т=~ < л /1 1 s- < [COS 2(p3 — cos 2фо — 2nz/p H(l+2i) 1 V3 тг — 4 sin ф, (sin t, — sin T,)] — — [(2л + T, — T,) sin t, + cos ф2 — cost,]} 2Игт+и|!е"* cos2’! “s2t‘+ + 8 sin2 tJ +tjU- (2i sin T, — 2£) (sin t, — sin t,) — 1 ТЧ — 2 у- [(ф4 — Фз) sin t, + (ф, — Ф0 sin t, — — 2 cos (pj + cos <p2 + cos <p4] |
На рис. 155 приведена одна из амплитудно-частотных харак-
теристик, построенная при Si = 4; = 4; -v = 0,1, где v =
= (OqCxI Hk2\.
На рис. 154, бив приведены две осциллограммы, полученные
моделированием на МН-7.
Рис. 155. Амплитудно-
частотная характери-
стика при соо =/= 0
41. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ вынужденных
КОЛЕБАНИЙ ВАЛОПРОВОДОВ С УЧЕТОМ
ГИСТЕРЕЗИСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗУБЧАТЫХ
ПЕРЕДАЧ
В п. 40 приводится аналитическое исследование вынужден-
ных колебаний механических систем, включающих простые и зам-
кнутые зубчатые передачи, при учете сил трения в зацеплении.
Так как среди выявленных установившихся динамических режи-
мов могут быть практически реализованы лишь устойчивые, то
очередной этап динамического исследования связан именно е этой
проблемой. При этом сохраняются динамические модели, отобран-
ные для данного класса задач в предыдущем параграфе. Для на-
хождения приближенного периодического решения был использо-
ван метод гармонической линеаризации.
При исследовании устойчивости полученного решения предпо-
лагается, что малые возмущения не изменяют форму решения,
а приводят лишь к достаточно медленным изменениям его параме-
тров. Одним из методов медленно изменяющихся параметров, при-
годных для исследования устойчивости решений гармонического
вида, является метод Ван-дер-Поля.
В соответствии с идеей этого метода для исследования устой-
чивости гармонического решения возмущенное движение пред-
ставляется в форме
q = aQ + a sin (<о/ + у), (571)
где а0 (/); а (/) и у (/) — функции времени.
Далее задача об устойчивости периодических решений извест-
ным способом сводится к исследованию устойчивости положения
316
равновесия некоторой автономной системы вида [38]:
* р
а = — ап — -g— sin V;
2о) ’’
• со . k2, р
У=~-2- + ^r-2^COST)
(572)
где k2 и 2п — коэффициенты гармонической линеаризации, кон-
кретный вид которых в зависимости от постановки задачи получен
в предыдущем параграфе.
Обозначим через а* и у* значения параметров а и у, отвечающих
положению равновесия системы (572). Тогда, введя замену а =
= а — а* и в = у — у*, на основании уравнений первого прибли-
жения
п
2дх$
дУк ’
Л=1
где уг = a; = а; у2 = е; у2 = е; s = 1, 2; п = 1,2; xs—функ-
ции а и у, полученные на основании (572), придем к системе
линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
(573)
Условия Гурвица, требующие положительности всех главных
диагональных миноров определителя, составленного из коэффи-
циентов характеристического уравнения системы (573), приводят
к следующей системе неравенств:
2п + а > 0;
1 да ’
(574)
J_ ц? - с?) [/? - + а ^-] + 4n (n + a -g-) > 0. (575)
Вначале займемся исследованием устойчивости вынужденных
колебаний системы при неподвижном приводе. При этом частотный
k2 и диссипативный 2п коэффициенты гармонической линеариза-
ции имеют вид:
fe2=2^rb') [2ф2 + л-^^--51п2ф2 +
ZU IQ -j- с2) L С2
+ 4cos<p2(l - 2^)1; (576)
\ с2и / J
4Я^(с2а-Я)
(^1 + ’
(577)
317
где
ф2 = л — arcsin (1
Н
с2а

С учетом (577) условие (574) сводится к неравенству
Ял**
_________________•> О
лсоа2 (<?! + с2)_’
которое, как очевидно, выполняется при всех возможных значе-
ниях параметров системы.
Таким образом исследование области устойчивости положения
равновесия системы (572) свелось к исследованию условий суще-
ствования неравенства (575), а определение границ области устой-
чивости на плоскости (а, со) — к отысканию корней уравнения
J_ _ «2) |> _ + а ^-] + 4п (п + а = 0. (578)
Исходя из (576), получим
2 _____________
^1 =--------(579)
da ла2 (сг с2) г с2а \ с2а / ' '
а на основании (577)
dn_2klH(2H-c2a)
да лшсадз (Сх + с2) ’ ' '
Подставляя (579) и (580) в (578), после преобразований получаем
следующее биквадратное уравнение:
JR 2 R2 8ggpKg(i —S) ।
2 -2[p n(l-H) ’J2 + P «(! + $) +
। ЗД(1-|)_0 ,58n
+ Л;2(1 + £)2 — Рб1)
Здесь принята k2lkz = (3; c2/ci = £; H /(сга) = g; co/&2 = г.
Весьма интересным результатом, вытекающим из (581), яв-
ляется равенство нулю дискриминанта уравнения при всех зна-
чениях параметров системы. Это свидетельствует о том, что ам-
плитудно-частотные характеристики, построенные в предыдущем
параграфе по зависимости
Н =-----г_____-1____=-, (582)
где
n а р
k о, Ш "ТГ аст»
318
й предсТабленйые на рис. 156 для £ = 2 и ряда значений параметра
# ('О' = HIM = Ер), оказываются теоретически устойчивыми во
всех своих точках, кроме одной. Эта точка 714 является точкой пере-
сечения кривой
72_А о /О(н-О) /5оп<
Z~P-------5ЙП1)-----Р- л(1 + 0нг ’ (583)
полученной при решении (581) с учетом D = 0, и графика р (z),
построенного в соответствии с (582). Амплитудно-частотные ха-
рактеристики в этой точке имеют перегиб. На рис. 156 нанесены
кривые /, построенные в соответствии с (583). Расчетная величина
коэффициента динамичности рА1, отвечающего точке 7И, опреде-
ляется зависимостью
_ 16£2№
Нм — 16^2_П2(1 _|_£)2 •
(584)
Следует отметить, что условие существования этой точки
ft > Я<14+..О. (585)
совпадает с полученным в работе [39] условием, определяющим су-
ществование ограниченного максимума коэффициента динамич-
ности.
Несмотря на то что амплитудно-частотные характеристики тео-
ретически устойчивы на всем своем протяжении, в окрестности
точки М система находится на грани устойчивости и на соответ-
ствующем участке кривой р (z) значение |dp/dz] очень велико.
319
Иными словами, запас устойчивости системы da/da в окрестностй
точки М весьма мал, а в самой точке равен нулю.
Практический интерес представляют границы, определяющие
эту опасную с точки зрения устойчивости зону амплитудно-частот-
ной характеристики. Для их определения воспользуемся сообра-
жением о том, что границы неустойчивости, полученные из (578)
в предположении 2n =f= 0, лежат внутри границ неустойчивости,
найденных приближенно из этого же уравнения при 2п = 0 [38].
В этом случае (578) примет вид
А- (k2 - со2) - со2 + а = 0. (586)
Из (586) легко видеть, что граница при этом распадается на две
ветви: k2 — со2 = 0; (587) /г2 — со2 + а-^- = 0, (588)
одна из которых (587) совпадает со скелетной кривой 2 (рис. 156).
Для построения второй ветви представим (588) в безразмерной
форме как функцию z (р)
2 _ „ _ 8£0 ГА (Н-О)
-Р я(1 + Он2
(589)
На рис. 156 для $ = 2 и £ = 2 построена кривая 3 в соответ-
ствии с (589) и штриховкой показана зона малой устойчивости
системы. Аналитическое выражение коэффициента динамичности
в точке N пересечения кривых (589) и амплитудно-частотных ха-
рактеристик имеет вид
ГтЛл зл2 (1 + g)2 J
Mw Нм у 4 16£2Ф2 ’ (590)
Переходя к исследованию устойчивости колебаний при враще-
нии привода с постоянной угловой скоростью, воспользуемся
формулами, приведенными в табл. 37. Как показано в п. 40, нали-
чие постоянной скорости привода ведет к существованию двух
режимов работы нелинейной системы, что делает исследование
устойчивости более трудоемким, чем в первом случае.
Условие (575) при введении безразмерных параметров:
k2 , со
If’
. л п
' 8 = ~k
может быть записано в виде

a dk2 \
со2 da )
+ Й4б’|)(1+-г->)>о.
(591)
320
Обозначив
(592)
<МЗ>
получим
F1CO2 -|- F2^2 О
или
z2Fx + F2 > 0. (594)
Выражения dk2!da и дп/да, входящие в(592) и (593), зависят
от того, в каком из двух режимов работает система, имеющая ам-
плитуду колебаний, которая отвечает исследуемой точке ампли-
тудно-частотной характеристики, и имеют вид:
= Y {т+у [jia <cos фз cos фг “ 0,5 cos 2фз “ °’5) “
— (sin фз sin ф2 + 0,5 cos 2ф2 — 0,5)J + -у- [(2л + ф2 — ф3) х
х (-^Г cos Ч>2-5- sin Фа) + (sin Фз — sin ф2) —
— -j- (cos Фз — cos ф2)] |; (595)
+ (cos ф2 - cos ф4) (^С08ф1+-Ц-) + 4-(^+-^г)-
-4^cos^-4-^cos 2ф4] -
— 1(ф2 — Ф1) cos ф2 + (ф4 — Фз) cos ф4 — sin ф2 — sin ф4] —
- -у- (cos ф2 — cos ф4) + (ф2 — Ф1) Sin ф2 +
ч-(ф4 — Фз) sin ф4]}; (596)
Т = 2^7 {<sin- sln Фз) [кн ( WcosФз ^Гс08 Фз) +
+ -Г -аг] + [<2я + Фа - Фз) (sin ф2 - a -^-cos фз) +
+ созф2 — С08ф3]|; (597)
21 Под ред. Н. И. Колчина 321
Муу Г 0,5 sin 2ф2 + 0,5 sin 2ф4 +
да 2лш [ 1 + £ L da 1 ’ da Т4 1
+ ^FCOStPl(2sin(Pl + Sin(P4“SintP2)+ (sintPi — X
X ( ATC0S(P‘
d<Pa
da
cos <p2)] + -^ [(фа — Ф1) (sin ф2 —
— a cos Фа) + (Ф< — Фз) (sin q>4 — a cos <p4) —
— 2 cos <px + cos q>2 + cos ф4 — a (sin q>4 — sin Фа + 2 sin ф^
(598)
(599)
(600)
(601)
Здесь
t _ 'H . p_____ C2 . v__ - .
s qa ’ Ci ’ Hk2 ’
^.= _^-=JLctgT1;
da da a & Yb
d<Pa 2g — g(q>2 —Ti) costpt .
da a£ (cos <p2 — cos <рх) ’
d<P4 _ 2g+g(<P4 —<Ps) COS<P1
da a£ (cos (Pi — cos <p4)
Расчет характеристик Fx и F2 для проверки условия (594)
удобно проводить на ЭВМ.
Пример. Требуется исследовать установившиеся вынужденные колеба-
ния при следующих исходных данных: £ = 4; v = 0,2;О = 1; ц = 10; г = 0,44;
5 = 0,4. $
Анализируемый динамический режим расположен на наиболее крутом уча-
стке амплитудно-частотной характеристики.
На основании приведенных в табл. 37 формул для режима III вычисляем:
(рх = 1,365 рад; <р2 = 1,985 рад; <р4 = 5,575 рад; Р = 0,24; 6z = 0,092.
По формулам (599), (600), (601) получаем:
-^ = — 0,208; -^- =-------—0,1173; =----^0,602.
da a da a da а
По формуле (596)
Функция при этом в соответствии с (592) будет
Fi = -0,0198.
322
По зависимости (598) определяем
-JL =-0,0732 А..
да а
Поскольку п= &k и k— fc2 j7₽ t получим
— =-----2^- = -0,715.
« 6К₽
По формуле (593)
Г2 = 0,00818.
Проверка условия устойчивости дает [см. (594) ]
22Fi + Г2 = —0,442.0,0198 + 0,0082 = 0,0041 > 0.
Таким образом, рассматриваемый динамический режим будет устойчив.
42. ПОТЕРИ НА ТРЕНИЕ В ЧЕРВЯЧНЫХ ПЕРЕДАЧАХ
С РАЗЛИЧНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
Сравнение отечественных червячных редукторов с лучшими
образцами зарубежных фирм показывает, что они еще отстают по
к. п. д. и нагрузочной способности от последних. В настоящее
время следует определить пути совершенствования выпускаемых
редукторов, связанные .с улучшением конструкции и изменением
геометрии зацепления, с отработкой технологии изготовления и
улучшением качества материалов и смазки.
Известно, что среди специалистов нет единого мнения относи-
тельно характера трения в червячном зацеплении. Большинство
вслед за А. Н. Трубиным и Г. Ниманном [56, 110] считают трение
жидкостным. Существуют и противоположные мнения о том, что
условия контакта цилиндрической червячной передачи не способ-
ствуют возникновению гидродинамического режима трения [131 ].
В связи с установлением предельных нагрузок для типажного
ряда редукторов необходимо определить возможность существо-
вания режимов жидкостного трения для зацеплений с различ-
ной геометрией в зависимости от скорости скольжения и вязкости
масла. Если жидкостное трение на этих нагрузках окажется не-
реальным, то следует определить оптимальную форму профиля
червяка при граничном трении. Для решения этой задачи была
предложена методика эксперимента и схема стенда для ее осуще-
ствления.
Разработанный стенд (рис. 157) представляет собой весьма
чувствительную маятниковую систему, имеющую три степени по-
движности. Червячный редуктор 1 с платформой и расположенной
на ней машиной постоянного тока а также системой уравнове-
шивания 3 и 4 мож^т совершать свободные колебания вокруг оси
червячного колеса. Вал червячного колеса с закрепленным на нем
массивным маховиком 2 расположен в подшипниках стоек и свя-
зан муфтой с редуктором машины Д2- При передаче прямого или
обратного потока мощности через испытуемый редуктор машины
21♦ 323
постоянного тока Д1 и Д2, управляемые с помощью автономных
систем генератор—электродвигатель, могут служить либо двигате-
лем, либо генератором (нагружателем). Машина Дх имеет балан-
сирную подвеску статора, и в ее схему включен автоматический
регулятор тока.
На стенде были проведены эксперименты с целью определения
характера трения в червячном зацеплении двумя методами. В пер-
вом из них характеристики снимались при стационарных режимах,
во втором — колебательная система совершала свободные затуха-
ющие колебания, наложенные на основное движение стационарного
Рис. 157. Схема экспериментального стенда
режима. Анализируя огибающую процесса затухающих колебаний
на ЭВМ, определялись коэффициенты при составляющих момента
трения, представленного в виде степенного ряда по скорости. Оба
метода привели к аналогичным результатам, поэтому здесь при-
водятся лишь некоторые из них, полученные в стационарных ре-
жимах. Точно также опущено описание методов отделения потерь
в подшипниках, на перемешивание масла и т. д., представляющих
весьма сложную самостоятельную проблему.
Естественно, что появление режимов чисто жидкостного тре-
ния ожидалось прежде всего у глобоидных редукторов. На рис. 158
и 159 приведены результаты испытания редуктора РГУ-125 в режи-
ме прямого и обратного ходов при смазке маслом цилиндровое 52.
Каждая кривая соответствует постоянному моменту на валу чер-
вяка Mi- В целом кривые сильно напоминают кривые Герси—
Штрибека.
Переход от граничного трения к жидкостному происходит
в районе минимума на кривых коэффициента трения. Некоторое
смещение минимума при увеличении нагрузки объясняется, по-
видимому, температурным изменением вязкости масла в контакте,
324
которая отличалась от вязкости при стабилизированной темпера-
туре масла в картере. Момент на валу колеса регистрировался по
отклонению маятниковой системы, а на валу червяка — с помощью
мотор-весов. Поскольку момент на тихоходном валу менялся с из-
менением скорости, то указать'его величину можно лишь для опре-
деленной точки кривой. Например, на рис. 158 для кривой, полу-
ченной при /Их = 2 кгс м в районе nj = 1500 об/мин, момент на
тихоходном валу составлял 30 кгс м. Из рис. 158 хорошо видно,
что так называемое всплывание на гидродинамическом слое смазки
Рис. 159. Зависимость f* от пг при
обратном ходе (червяк глобоидный,
масло цилиндровое 52);
1 — м j = 0,25 кгс* м; 2 — М 1=0,5 кгс* м;
3 — = 0,75 кгс*м; 4 — 1,0 кгс*м
Рис. 158. Зависимость f* от nt (чер-
вяк глобоидный, масло цилиндро-
вое 52):
1 — М1= 0,25 кгс* м; 2 — М t= 0,5 кгс* м;
3 — Мх= 0,75 кгс-см; 4 — Afi=l,0 кгс м;
5 — Afj = 1,5 кгс*м; 6 — = 2,0 кгс м
при скорости 1500 об/мин практически уже не существует при на-
грузках, больших 30% от типажной (для Л = 125 мм эта нагрузка
равна 100 кгс м). Из этого следует, что в глобоидных редукторах
на типажных нагрузках будет реализоваться режим граничного
трения.
После этого были испытаны последовательно передачи с вы-
пукло-вогнутым профилем червяка, эвольвентным и архимедовым.
В той же последовательности уменьшались и нагрузки, при кото-
рых еще сохраняется жидкостное трение.
Для выяснения роли сорта и вязкости масла использовались
различные марки масел на различных температурах. Так, на
рис. 160 демонстрируется характер изменения трения на маслах
АК-15 и ДП-11 для редуктора с выпукло-вогнутым профилем чер-
вяка и межосевым расстоянием А = 120 мм. Одинаковые цифры
325
у кривых соответствуют одним и тем же нагрузкам на быстроход-
ном валу при одинаковых температурах масляной ванны. Здесь
максимальные нагрузки при = 1000 об/мин составляли около
20% от типажной (кривая 5).
Как уже было сказано, имеет смысл сравнить характер трения
в зацеплении на максимальных нагрузках. На рис. 161 показана
Рис. 160. Зависимость f* от nj при
и = 14,5 и Ою = 120 мм для различ-
ных марок масел (червяк с вогнутым
профилем): а — масло АК-15; б —
масло ДП-11
Рис. 161. Зависимость /* от nj (масло
цилиндровое 52):
1 — червяк архимедов, и= 15,5; 2 — чер-
вяк с вогнутым профилем, и = 14,5
зависимость коэффициента трения двух редукторов от угловой
скорости при одинаковых нагрузках на быстроходных валах. При
этом на скорости 1500 об/мин редуктор с архимедовым червяком
достиг паспортного момента на колесе (около 21,5 кгс-м). Для
редуктора с вогнутым профилем червяка (испытывавшимся в кор-
пусе РЧП-120) нагрузка на этой же скорости составляла примерно
27% от типажной.
На рис. 162 показаны аналогичные кривые для редукторов,
работавших с моментом, составляющим 1,4 типажного в районе
1500 об/мин.
326
Рис. 161 и 162 наглядно демонстрируют, что передача с вогну-
тым профилем червяка при граничном трении дает наименьшие
потери. Определим теоретически оптимальную форму этого про-
филя. Пренебрегая углом подъема витков, рассмотрим момент
трения одного кольцевого витка, профиль которого у = у (х)
проходит через точки а и b (рис. 163).
Рис. 162. Зависимость/* от п± для чер-
вяков: архимедова (/), эвольвентного
(2) и с вогнутым профилем (5); масло
АК-15, Мх = 1,0 кгс-м
Рис. 163. К определению оптимальной
формы профиля витка червяка
Приведем вывод лишь для второго варианта. Момент трения
равен
Мт = 2яН q (х) х2 dS = J x/TTW dx, (603)
xb xb
где Q — осевая сила; f — коэффициент трения, изменением кото-
рого в пределах ширины витка также пренебрегаем.
Относительный минимум трения найдем, воспользовавшись
вариационными методами. В соответствии с ними будем искать
экстремум функционала
хь
J (х, у, у') = j Fdx = min.
ха
327
Запишем уравнение Эйлера

(604)
где Fy и Fy' — частные производные подынтегральной функции
по у и у' соответственно.
Для функционала (603) будем иметь
Ру' = г Х- ' ^ - (605)
и далее
d р , = у' . ху"________________________________ху'у’’
dx У /1 + (/)2 К1 + (</')2 /[1 + 0/')Р ’
откуда получим
ху" + (у')3 + у' = 0. (606)
Первый интеграл уравнения (606) будет
где С1Х—постоянная интегрирования.
Вторичное интегрирование дает искомое уравнение образую-
щей кривой
y = cu In |х + ]Лг2 — си | + ci2. (608)
Проделав аналогичные операции для первого варианта, найдем
У = ± F + Са2’ (609)
V ас21
где F (<р, k) эллиптический интеграл 1-го рода,
Ф = arccos-^-, (а>0), £ = ^=г.
Произвольные постоянные в (608) и (609) определятся из усло-
вия закрепления концов кривой у = у (х) в заданных точках
а (ха, Уа) И Ь (хь, Уь).
На рис. 163 кривые II и III по уравнениям (608) и (609) прове-
дены между точками а (6,13; 2,5) и b (1,0; 0,0). Для сравнения
здесь же проведена прямая /. Примечательно, что закон распреде-
дения давлений по витку мало сказывается на форме оптимального
профиля. Можно показать, что во втором варианте поверхность
витка будет являться минимальной поверхностью. Действительно,
328
если решить уравнение (608) относительно х, то получим уравнение
цепной линии
= ^Lch^^-,
2 cu
(610)
которая при вращении вокруг оси у дает минимальную поверх-
ность — катеноид.
Подстановкой (610) в (603) определяем
«"'"=-2(5^- +А1П .
хь
(611)
Если принять масштаб так, чтобы Сц — 1, то
ха
[* + In (х - 1 . (612)
\ла ЛЬ) L J
xb
При том же законе распределения нагрузки момент трения архи-
медова витка будет
Д4арх___ Q/ хь
т cos а 2
(613)
Отношение моментов
дхттнп г -. а
Примем а = 20°. Тогда, чтобы соблюсти примерные соотно-
шения размеров червяка, подбираем на криврй (см. рис. 163)
ха = 3,6; хь = 2,4. Используя формулу (614), получим
т
0,884.
Таким образом, выбрав в качестве образующей профиля осе-
вого речения червяка цепную линию, можно получить уменьшение
потерь в зацеплении примерно на 12% при работе передачи в ре-
жиме граничного трения.
ГЛАВА IV
ИСПЫТАНИЯ ПЕРЕДАЧ
43. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНОГО РЕДУКТОРА ЗК
С ОДНОВЕНЦОВЫМИ САТЕЛЛИТАМИ
Объектом исследования является многосателлитный редуктор
типа ЗК с одновенцовыми сателлитами, выполненный по схеме,
представленной на рис. 164, б. Особенность конструкции по сравне-
нию с известной схемой (рис. 164, а) [168] заключается в том, что
Рис. 164. Кинематические схемы: а — планетарного
редуктора типа ЗК [168]; б—испытуемого планетар-
ного редуктора типа ЗК
один из сателлитов имеет дополнительный венец С', зацепляю-
щийся с солнечным колесом Бг. Остальные венцы С зацепляются
только с колесами Б и Т (быстроходным и тихоходным колесами
редуктора 2К—Н в движении относительно водила).
Достоинствами выбранной схемы являются, во-первых, воз-
можность получения широкого диапазона передаточных отноше-
ний при одном базовом редукторе с колесами Б, Т и С за счет изме-
нения чисел зубьев и модуля быстроходных мало нагруженных
колес Б i и С' (при этом отпадает необходимость в выполнении усло-
вия сборки при выборе чисел зубьев последних колес); во-вторых,
возможность существенного снижения уровня шума и повышения
плавности зацепления за счет применения в быстроходной паре
косозубого зацепления и изготовления венца С' из неметалличе-
ских материалов; в-третьих, отсутствие необходимости в точной
330
взаимной фиксации венцов сателлита С и С' и простота сборки;
в-четвертых, повышение к. п. д. за счет уменьшения числа избы-
точных связей (сокращается число зацеплений колеса £х) [129].
Рассмотрим кинематический синтез редуктора (рис. 164, б).
Передаточное отношение определяется по формуле
ufi-т — (1 4
\ гг
ZBlZC / ZT гБ
(615)
При определении чисел зубьев колес Бг и С необходимо учи-
тывать условие соосности, из которого
гв+ге.= «ад
fibQt vUo q—’р
Числа зубьев колес Т и Б связаны между собой условием сборки
——— = целое число, (617)
где ар — число сателлитов, обычно равное трем.
Для получения передач с наименьшими габаритами и весом
число зубьев сателлита zcnp следует определять исходя из усло-
вия контактной и изгибной равнопрочности зубьев [94 ]. При проч-
ностном расчете можно полагать, что zT = (2 -е-З) гс. Получив zcnp
из условия соседства, можно найти число зубьев колеса Т,
zc 1 + sin
zT =
я
sm------
CLp
(618)
Коэффициенты смещения сателлита колес Т и Б для трехса-
теллитной конструкции можно выбрать по методике, изложенной
в [169].
Таким образом, из условий равнопрочности, сборки (617) и со-
седства (618) получим значения чисел зубьев колес С, Т и Б.
Затем по заданному передаточному отношению из (615) находим
Zc’lzst- Задаваясь значениями zB, иас-_Б1, определяем из (616) zc>
и tnclmc’. Выбрав ближайшее стандартное значение шс, уточняем
числа зубьев колес Бг и С.
Для выявления свойств редуктора, выполненного по рассмот-
ренной схеме, были проведены испытания опытного образца со
следующими параметрами: передаточное отношение и% _т =
= 263,5; модули шс - Шс = 2 мм; числа зубьев zB1 = 12;
гс> — 40; zT = 93; zc = 40; гБ = 90.
331
Методика и результаты испытаний аналогичного редуктора,
выполненного по схеме рис. 164, а, приведены в [171J.
Основной целью испытаний, проведенных на стенде с разом-
кнутой схемой нагружения, было выявление зависимости к. п. д.
от нагрузки (рис. 165).
Испытания показали, что
исследуемый редуктор вполне
работоспособен и обладает бо-
лее высоким к. п. д. (на 3—5%)
по сравнению с редуктором,
выполненным по схеме (рис.
164, б), что можно объяснить
уменьшением числа избыточных
связей.
44. ИСПЫТАНИЯ ВОЛНОВОГО РЕДУКТОРА ДЛЯ ПЕРЕДАЧИ
ВРАЩЕНИЯ ЧЕРЕЗ ГЕРМЕТИЧНУЮ СТЕНКУ
В настоящее время для передачи движения через герметичную
стенку применяются сильфоны, электромагнитные муфты, волно-
вые муфты и волновые зубчатые механизмы. Сильфоны и электро-
магнитные муфты обладают рядом недостатков, которые застав-
ляют конструкторов изыскивать новые способы передачи движения
через герметичную стенку. Так, сильфоны имеют ограниченный
ресурс, электромагнитные муфты — значительный вес и габариты
и т. п.
Применение волнового зубчатого механизма обещает опреде-
ленный выигрыш как в надежности и долговечности, так и в весе.
Одна из схем волнового редуктора с гибким звеном, напоминаю-
щим по форме глобоид, приводится в работе [46]. Впервые подоб-
ная схема появилась в американской литературе.
В МВТУ им. Баумана [80] и в других организациях были вы-
полнены и испытаны зубчатые передачи по такой же схеме, но с бо-
лее простой формой гибкого звена — цилиндрической и цилиндро-
конической. Наряду с определенными сложностями технологиче-
ского порядка эти передачи имели повышенные габариты в осевом
направлении и повышенный вес. Эти обстоятельства привели к не-
обходимости рассмотрения некоторых вопросов расчета, конструи-
рования и технологии изготовления волновой передачи, гибкое
звено которой работает по принципу волновой муфты, передающей
движение через герметичную стенку. Использование такой схемы
дает возможность уменьшить габариты и снизить вес передач че-
рез герметичную стенку.
Исходным при расчете и проектировании передачи являлся
крутящий момент на выходном валу МВЬ1Х = 120 кгс см. Осталь-
ные параметры передачи (передаточное число, частота вращения
звеньев и др.) не ограничивались. Кинетическая схема выбранной
волновой передачи представлена на рис. 166.
332
Гибкое звено передачи имеет форму цилиндра со сплошной
стенкой в середине, которая и обеспечивает разделение полостей
с разными давлениями. Если с одного конца гибкого звена ввести
генератор волн в виде эллипсовидного кулачка, то на другом конце
гибкое звено также деформируется и примет форму эллипса, но
повернутого по отношению к эллипсу генератора волн на 90°. При
вращении генератора волн происходит вращение волны деформа-
ции на другом конце цилиндра с той же скоростью, но со сдвигом
фаз в 90°. Плоская стенка выполняет роль опоры, относительно
которой как бы происходит поворот образующих цилиндра при
сохранении их линейной формы. Таким образом, волна деформа-
ции проходит через тонкую
стенку. Внешние зубья на гиб-
ком звене со стороны, противо-
положной генератору волн,
находятся в зацеплении с вну-
тренними зубьями ведомого
жесткого звена.
Расчет передачи произво-
дился по методике, предложен-
ной Е. Г. Гинзбургом [46].
Диаметр делительной окруж-
ности жесткого звена был
скорректирован в зависимости
от размеров стандартного под-
Рис. 166. Кинематическая схема иссле-
дуемой волновой передачи:
/ — генератор волн; 2 — гибкое звено;
3 — перегородка; 4 — жесткое звено
шипника генератора волн. '
Для уменьшения радиальной составляющей усилия в зацепле-
нии был принят угол зацепления atw 20° вместо atw = 25°,
согласно методике [46]. Для принятого угла зацепления был про-
веден расчет минимальной величины коэффициента деформации
гибкого звена из условия отсутствия интерференции между
зубьями гибкого и жесткого звеньев. Расчет проводился на ЭВМ
по программе, составленной на основании формул из методики
[46]. По данным расчета для модуля т = 0,3 мм и передаточного
числа и = 81 коэффициент деформации гибкого звена должен
быть &д 1,0.
Выбранный диаметр делительной окружности жесткого звена
позволял выполнить передачу с модулями т = 0,3 и 0,2 мм. Для
этих звеньев модулей были приняты параметры передачи, пред-
ставленные .в табл. 38;
По этим параметрам был спроектирован унифицированный ре-
дуктор (рис. 167). Особенностью конструкции данного редуктора
является наличие упора, который существенно разгружает пере-
городку гибкого звена от действия перепада давления. Редуктор
был изготовлен в двух экземплярах: один для модуля т = 0,3 мм,
другой для модуля т — 0,2 мм. При этом на каждый редуктор
было сделано по три гибких звена из стали 1Х17Н2 с твердостью
НВ 255—320.
333
Параметры передач
Таблица 38
Модуль в мм 2г 2ж и хг Толщина стенки гибкого звена в мм
. 0,3 160 162 81 1,0 0 0,3
0,2 239 241 120,5 1,0 0 0,3
Заметим, что число зубьев жесткого звена для tn = 0,2 мм
было выбрано без учета возможности настройки зубодолбежного
станка, что повлияло на точность нарезания зубьев.
Целью предварительных испытаний редуктора было выясне-
ние возможности длительной работы гибкого звена.
На рис. 168 представлена герметичная камера для испытания
волнового редуктора. Часть редуктора с электродвигателем разме-
Рис. 167. Конструкция экспериментального волнового редуктора
щалась в камере. Через штуцер с помощью автомобильного насоса
в камере создавалось избыточное давление, величина которого кон-
тролировалась манометром. Снаружи находился корпус с выход-
ным валом. На выходной вал насаживался тормозной барабан, ко-
торый зажимался двумя деревянными рычагами-колодками, свя-
занными шарнирно. Рычаги позволяли создавать требуемый
тормозной момент. Частота вращения вала электродвигателя
п = 1350 об/мин.
Испытания редуктора с первым звеном модуля tn = 0,3 мм.
Без перепада давления и без внешней нагрузки редуктор прорабо-
334
тал h = 72 ч. Число циклов изменения напряжений в гибком звене
от его деформации равно
= n/i60-2 = 1350-72-60-2 = 11,6-10* циклов.
С перепадом давления Ар = 1,2+ 1,4 кгс/см2 без внешней на-
грузки редуктор проработал 34 ч, после чего произошла поломка
перегородки по внешнему контуру. Число циклов до разрушения
составляло Л/ц2 = 5,5-10® циклов.
Рис. 168. Герметичная камера для испытания волнового редуктора
Испытания редуктора со вторым звеном. С перепадом давле-
ния Ар = 1,2+ 1,4 кгс/см2 и без нагрузки редуктор проработал
29 ч 30 мин после чего появилась трещина по внешнему контуру
перегородки. При этом число циклов изменения напряжений со-
ставляло = 4,78 • 10* циклов. Причиной более раннего выхода
из строя гибкого звена является большая концентрация напряже-
ний из-за более грубой обработки поверхности перегородки.
Испытания редуктора с третьим звеном. Испытания проводи-
лись с тем же перепадом давления и без нагрузки. После 2,68 -10*
335
циклов изменений напряжений в гибком звене разрушений не
обнаружено. Редуктор передан на дальнейшие испытания.
К существенному недостатку выполненного редуктора следует
отнести ограничение крутящего момента на выходном валу, свя-
занное с недостаточной жесткостью гибкого звена. При нагруже-
нии выходного вала моментом Л4ВЫХ = 504-55 кгс см в статических
условиях наблюдалось проскакивание в зацеплении гибкого звена
с жестким. В динамике предельный момент на входном валу сни-
жался более чем в два раза. Причиной этого уменьшения предель-
ного момента, по-видимому, являлось снижение сил трения в зацеп-
лении звеньев и неточность изготовления редуктора.
В качестве одной из мер, которая позволит увеличить переда-
ваемый момент, является увеличение жесткости гибкого звена за
счет увеличения толщины его стенки. Другой мерой является при-
менение ложного генератора волн, который устанавливается на
втором конце гибкого звена. Профиль этого генератора совер-
шенно идентичен профилю основного генератора волн. Ложный
генератор должен быть установлен так, чтобы он мог свободно вра-
щаться. Наличие ложного генератора, естественно, приведет к сни-
жению к. п. д. передачи, однако, при отсутствии проскакивания
в зацеплении проявляется дополнительное свойство муфты как
предохранительной, с высокой точностью срабатывания.
Было проведено определение момента трогания с места, кото-
рый был принят за момент холостого хода 7ИХ. х и получены данные
для следующих вариантов:
Afx. х, гс«см
Без ложного кулачка генератора волн.......... З42+42
С ложным кулачком при подшипнике:
без смазки................................. 1025igg4
со смазкой ................................. 939+160
Возле цифр указаны максимальные отклонения от средних ариф-
метических значений замеренных моментов. Момент срабатывания
муфты как предохранительной (поворот ведущего генератора волн
при остановленном кулачке ложного генератора волн) составлял
М1преД = 27804-2890 гс см (точность срабатывания 3—4%).
Полученные данные позволяют в первом приближении опреде-
лить к. п. д. волнового редуктора, если считать за основные по-
тери те, которые выявлены при замере момента трогания с места.
Эти потери вызваны затратами на деформацию податливых деталей
и на трение в подшипнике генератора волн. Полагаем, что указан-
ные потери при приложении внешней нагрузки не меняются, а по-
терями в зацеплении гибкого звена с жестким пренебрегаем.
В этом случае к. п. д. волнового редуктора можно определить по
следующей формуле:
-И — ^ВЫХ — Мвых________
Мвх^р Мх. хИр 4* Мвых
336
Результаты расчета по этой формуле приведены на рис. 169
(сплошные кривые — при максимальных значениях момента хо-
лостого хода, штриховые — при минимальных значениях момента
холостого хода). Для редуктора с ложным кулачком верхняя
штриховая линия соответствует случаю, когда в подшипнике лож-
ного генератора волн имеется смазка; нижняя — когда в подшип-
нике смазка отсутствует. Предельный момент на выходном звене,
при котором происходит срабатывание муфты как предохрани-
тельной,
^вых. пред ^1пред“рЛ
= 2,78-81 -0,51 = 115 кгс-см
(т]=0,51 определен по рис. 169
методом последовательных
приближений).
Таким образом, при нали-
чии ложного кулачка волно-
вой редуктор автоматически
выполняет роль предохрани-
тельной муфты с высокой точ-
ностью срабатывания. Путем
изменения толщины стенки
гибкого звена можно полу-
чить различную величину
Рис. 169. Коэффициент полезного дейст-
вия волнового редуктора при и =81,
т = 0,3 мм, = 1,0:
/ — без ложного кулачка; 2 — с ложным ку-
лачком
предельного момента.
Слабым элементом исследуемой волновой передачи является
перегородка гибкого звена. Как показали предварительные рас-
четы, главным силовым фактором, влияющим на прочность пере-
городки гибкого звена, является перепад давления на ней. Напри-
мер, от крутящего момента на выходном валу в перегородке гиб-
кого звена возникают напряжения среза, причем максимума они
достигают в месте сопряжения перегородки с цилиндрической
частью. Для опытного редуктора величина этих напряжений при
Л4ВЫХ — 120 кгс см равна
- Л^вых _ 120 ___. „л кгг/гм2
Тср— RcpFcp ~ 2,29-0,431 “ 12U КГС/СМ >
где 7?сР = 2,29 см — радиус поверхности среза; Fcp = 2л7?ср6 =
= 2л -2,29 0,03 = 0,431 см2— площадь поверхности среза.
Как видим, величина напряжений незначительна.
Определение напряжений в плоской перегородке от деформации
цилиндрической части гибкого звена весьма сложно. В пп. 32, 33
приведено приближенное решение этой задачи. Результаты рас-
чета показали, что от деформации цилиндрической части гибкого
звена напряжения в перегородке сравнительно невелики. В месте
сопряжения перегородки с цилиндрической частью они оказались
равными аи 550 кгс/см2.
22 Пли пртт Т-4 И Vonnuua
337
Рассмотрим определение напряжений в перегородке от пере-
пада давления. Принимаем перегородку как круглую пластину,
защемленную по внешнему контуру и нагруженную равномерно
распределенным перепадом давления р (рис. 170, а). При перепаде
давления р = 2- кгс/см2 максимальные напряжения (по внешнему
контуру перегородки)
3 р/?2 3 2-3,052 1С СЛЛ , ,
= -4—0^3“ = 15•500 кгс/см2.
Напряжения чрезмерно велики. Для уменьшения их в кон-
струкции редуктора предусмотрен упор, выполненный за одно
целое с перегородкой (см. рис. 167). Через шариковый радиальный
подшипник усилие от перегородки передается на жесткое звено.
а)
Рис. 170. Расчетная схема загружения плоской перегородки
Для данной конструкции принимаем расчетную схему в виде
кольцевой пластины, защемленной по внешнему и внутреннему
контурам и нагруженной равномерно распределенным давлением
р (рис. 170, б). Этот случай можно свести к двум известным расчет-
ным схемам и рассматривать их по принципу независимости дей-
ствия сил. Первая расчетная схема — защемленная по внешнему и
внутреннему контурам кольцевая пластина, нагруженная равно-
мерно распределенной по поверхности нагрузкой р (рис. 170, в);
центральная часть пластины свободно перемещается. Вторая —
та же пластина, нагруженная силой Р, равномерно распределен-
ной по внутреннему контуру (рис. 170, г).
Для этих двух случаев из условия равенства прогибов опреде-
ляется значение силы Р, что дает возможность определить напряже-
ния для случая 170, г. Суммарные напряжения определяются как
разность напряжений для этих двух случаев. Результаты расчетов
приведены на рис. 171. Из анализа кривых видно, что введение
упора привело к снижению максимальных напряжений более чем
в два раза.
Как уже отмечалось, при предварительных испытаниях наблю-
далась поломка плоской перегородки. Первоначально появлялась
трещина по внешнему контуру (в обоих случаях поломки), хотя
338
максимальные напряжения при принятой схеме расчета полу-
чаются у внутреннего контура.
На соотношение напряжений у внешнего и внутреннего кон-
туров перегородки от перепада давленця существенное влияние
имеет положение центрального
упора перегородки. Незначи-
тельным перемещением этого
упора можно добиться равно-
прочности перегородки по внеш-
нему и внутреннему контурам.
При дальнейшем перемещении
упора, например в сторону дей-
ствия перепада давления, мак-
симальные напряжения перехо-
дят на внешний контур. Подоб-
ная ситуация, по-видимому,
существовала у опытного редук-
тора, что и приводило к появле-
нию трещин у внешнего кон-
тура.
Итак, волновой зубчатый
редуктор для передачи враще-
ния через герметичную стенку
рассмотренной схемы имеет до-
статочно высокий к. п. д.
(0,75—0,8), малые габариты и
вес, но вместе с тем ограничен-
ную величину крутящего мо-
мента на выходном валу, опре-
деляемую податливостью гиб-
кого звена. Для увеличения
передаваемого крутящего мо-
туру;-------по внутреннему контуру)
мента на выходном валу необходимо уменьшить податливость
гибкого звена или применить ложный кулачок (ложный гене-
ратор волн). С ложным кулачком передача приобретает свойства
предохранительной муфты с высокой точностью срабатывания
(3—4%).
45. ИСПЫТАНИЕ ПЕРЕДАЧИ С КУЛАЧКОМ НЕПИРА
Механизмы с приводом от цилиндрического кулачка с левым
и правым направлениями паза, обеспечивающими значительные
по длине перемещения ведомого звена, имеют сравнительно широ-
кое применение. Наиболее часто этот механизм используется при
намотке гибкой нити на бобину, при навивке каната на грузоподъ-
емный барабан и в других механизмах [68].
При навивке каната на барабан работоспособность этого меха-
низма определяется выбором параметров пары кулачок—поводок и
22* 339
материалов для нее. Пересечение винтовых поверхностей направ-
ляющего паза кулачка левого и правого направлений создает пре-
рывающийся контакт на рабочей поверхности поводка. Такие ус-
ловия весьма неблагоприятны для соприкасающихся поверхностей
и способствуют возникновению и развитию на рабочих поверхно-
стях износа и заедания.
Для проверки работоспособности привода был спроектирован
и изготовлен стенд из штатных узлов грузоподъемного механизма.
Стенд образован из двух однобарабанных лебедок с канатоуклад-
чиками / и II (рис. 172). Лебедки соединены между собою канатом 7
проходящим через систему блоков. Каждая лебедка состоит из
1 11
Рис. 172. Кинематическая схема испытательного стенда
барабана /, звездочек 2 и 4, цепи 3, цилиндрического кулачка 5,
с кареткой 6 и направляющих блоков 8. Барабан 1 через редук-
тор 13 соединен с электромашиной постоянного тока 11 и 12.
Канат 7 от одного барабана через неподвижные блоки 8 и подвиж-
ный блок 9 идет к другому барабану. Величина натяжения в канате
определяется динамометром 10. Электрическая машина постоян-
ного тока 11 или 12 работает попеременно то в режиме двигателя,
когда канат наматывается на соединенный с ним барабан, то в ре-
жиме генератора, когда канат сматывается с барабана.
Для создания реальных условий работы механизма к стенду
была разработана и изготовлена схема управления, позволяющая
осуществлять режимы работы механизма и соответствующие им
нагрузки. Механизм канатоукладчика лебедки выполнен с кулач-
ком и поводком 14, размеры которых приведены на рис. 173.
Угол обхвата поводком тела кулачка составлял 0 = 180°,
величина площади боковой рабочей поверхности поводка — smaY =
= 1,72 см2. При движении поводка по пазу кулачка в местах пере-
сечения пазов левого и правого направлений площади контакта
поводка изменяются от 1,72 до 0,8 см2. При перемещении каретки
340
из одного крайнего положения в противоположное величина осе-
вого усилия меняется от 286 кгс до нуля и затем достигает своего
наибольшего значения, но изменяет направление на противопо-
ложное. Следовательно, максимальное расчетное напряжение на
рабочей поверхности поводка <rfflax = 3184-320 кгс/см2.
В крайнем положении поводок находится в переходном пазу
кулачка. В этом случае контактные напряжения на соприкасаю-
щихся поверхностях . повы-
шаются и превосходят макси-
мальные расчетные напряже-
ния. Относительная скорость
скольжения поводка по пазу
кулачка ог= 0,83 см/с. Испы-
тание проводилось путем со-
здания натурных эксплуата-
ционных условий работы
грузоподъемных лебедок.
Контроль состояния рабочих
поверхностей поводка и его
размеров проводился через
15—16 ч непрерывной работы
в сечениях I—I, II—II,
III—III поводка (рис. 173).
Согласно техническим
условиям, ресурс работы по-
водка должен быть равен
500 ч непрерывной работы.
Учитывая, что за это время
на долю максимальных дей-
ствующих напряжений при-
Рис. 173. Размеры испытуемого кулач-
ка и поводка
ходится сравнительно незначительное число часов, в качестве мате-
риала для поводка были выбраны бронзы Бр.АЖ9-4 и Бр.АМц9-2,
а также сталь 20Х и сталь У7. Кулачок был изготовлен из стали 45
твердостью НВ 270. Данные испытаний поводков, изготовленных
из перечисленных материалов, показывают, что для испытуе-
мой конструкции применение Бр.АЖ9-4 и Бр.АМц9-2 для изготов-
ления поводков нецелесообразно. В этом случае продолжитель-
ность работы поводка незначительна, а износ поверхности велик.
Поводки из стали 20 также не обеспечили надлежащей работо-
способности и износостойкости. Наибольшую продолжительность
работы при минимальном износе показал поводок из стали У7.
По окончании испытания рабочие поверхности поводка были при-
годны для дальнейшей эксплуатации. На основании проведенных
испытаний следует, что при расчетных напряжениях осм 315 4-
4-320 кгс/см2 на рабочих поверхностях поводка не рекомендуется
применять Бр.АЖ9-4, Бр.АМц9-2 и сталь 20 с твердостью рабочих
поверхностей НВ 160. Для указанных условий для изготовления
поводка следует использовать сталь У7 с HRC > 50.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андожский В. Д. Расчет зубчатых передач. М.—Л., Машгиз, 1955,
268 с.
2. Андожский В. Д. Определение напряжений в зубьях зубчатых
колес. Автореф. докт. дисс. Л., ЛПИ им. М. И. Калинина, 1964, 14 с.
3. Архипов И. Я-,Полоцкий М. С. О мягком слое на поверхности
цементованной стали. Научная публикация ЦНИИТмаш, № 285. М., 1970,
с. 56-61.
4. Ахнезер И. И. Лекции по теории аппроксимации. М., «Наука», 1965,
407 с.
5. Бакингэм Э. Цилиндрические зубчатые колеса. М., ОНТИ НКТП,
1935, с. 378.
6. Балашов Б. С. — В кн.: Динамика и прочность авиадвигателей,
№ 7, М., Оборонгиз, 1951, с. 101—143.
7. Балтер М. А. Упрочнение деталей машин. М., «Машиностроение»,
1968, 196 с.
8. БашеевС. М.,АнтонюкВ. И. Изгибная прочность зубьев и обода
одновенцовых сателлитов планетарных передач типа 2К—Н. — «Вестник машино-
строения», 1967, № 5, с. 40—42.
9. Безухов Н. И. Теория упругости и пластичности. М., Гостехтеор-
издат, 1953, 420 с.
10. Б е л я е в М. С., Г е о р г а л и н Р. А., 3 а б л о н с к и й К- И. Об
учете одновременной работы двух пар зубьев при расчетах зубчатых передач. —
В кн.: Расчет, конструирование и исследование зубчатых передач. Одесса, ОПИ,
1958, 199 с.
11. Бесекерский В. А. Динамический синтез систем автоматического
регулирования. М., «Наука», 1970, 575 с.
12. Бесекерский В. А.,Попов Е.П. Теория систем автоматического
регулирования. М., «Наука», 1972, 767 с.
13. Биргер И. А., Ш о р р Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет
на прочность деталей машин. В 2-х т. М., «Машиностроение», 1966, 459 с.
14. Б и ц е н о К. Б., Граммель Р. Техническая динамика. Т. 1.
М.—Л., Техтеориздат, 1960, 900 с.
15. Болотовский И. А. Построение профилей зубьев эвольвентных
зубчатых колес. — В сб. трудов Уфимского авиационного института. Вып. 1,
Башкнигоиздат, 1955, 168 с.
16. Бородачев Н. А. Основные вопросы точности производства. М.,
Изд. АН СССР, 1960, 416 с.
17. Б о р о в и ч Л. С. Исследование эффективности коррегирования ци-
линдрических зубчатых колес. Кн. 28. М., ЦНИИТмаш, 1962, 89 с.
18. БурковВ. А. Составные блоки зубчатых колес. — «Станки и инстру-
мент», 1971, № 10, с. 29—30.
19. Вавилов А. А., Солодовников А. И. Экспериментальное
определение частотных характеристик автоматических систем. М.—Л., Гос-
энергоиздат, 1963, 252 с.
20. В а в и л о в А. А. и др. Метод гармонической линеаризации в проекти-
ровании систем автоматического управления. М., «Машиностроение», 1970.
21. В а й н б е р г Д. В. Спицевые и дисковые зубчатые колеса. М., «Машино-
строение», 1965, 207 с.
342
22. Васильченко Ю. Л., Ястребов В. М. Экспериментальное
исследование изломной прочности внутренних зубьев. — В кн.: Механические
передачи. Ижевск, «Удмуртия», 1972, с. 37—58.
23. В е й ц В. Л. Механизмы установочных перемещений тяжелых фрезер-
ных станков.—«Станки и инструмент», 1959, № 4, с. 1—5.
24. В е й ц В. Л. Динамика машинных агрА'атов. Л., «Машиностроение»,
1969, 368 с.
25. В е й ц В. Л., Д в и н о в а А. М. Вопросы динамики механизмов с элек-
троприводом в стопорных режимах. — «Вибротехника», 1971, № 4 (13), с. 49—62.
26. В е й ц В. Л., К о ч у р а А. Е., Мартыненко А. М. Динамиче-
ские расчеты приводов машин. Л., «Машиностроение», 1971, 352 с.
27. В е й ц В. Л., Мартыненко А. М., Ш н е е р с о н Е. 3. Частот-
ные характеристики машинного агрегата с самотормозящимся механизмом. —
«Машиноведение», 1972, № 3, с. 11—17.
28. ВейцВ. Л., ФридманЛ. И. Электрические зажимные устройства
станков и станочных линий. Л., «Машиностроение», 1973, 272 с.
29. Вентце ль Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969, 576 с.
30. Власов-Власюк О. Б. Экспериментальные методы в автоматике.
М., «Машиностроение», 1969, 411 с.
31. Волков Д. П., Крайнев А. Ф.,Жидяев А. И. Волновые пере-
дачи и применение их в строительных и дорожных машинах. М., ЦНИИТЭС-
строймаш, 1970, 68 с.
32. В о л к о в Ю. А., Лифшиц Г. А. Некоторые геометрические задачи
теории зубчатых передач. Ч. I — «Вестник ЛГУ», 1971, № 7, с. 67—76.
33. В о л к о в Ю. А., Л и ф ш и ц Г. А. Некоторые геометрические задачи
теории зубчатых передач. Ч. П.—«Вестник ЛГУ», 1971, № 13, с. 101—105.
34. В у л г а к о в Э. Б. Высоконапряженные зубчатые передачи, геометри-
ческая теория, расчет. М., «Машиностроение», 1969, 103 с.
35. В у л г а к о в Э. Б. Геометрия зубчатых передач в обобщающих коорди-
натах.— «Вестник машиностроения», 1969, № 11, с. 22—26.
36. В у л г а к о в Э. Б. Область существования внешнего и внутреннего
зацепления в системе координат О. —«Машиностроение», 1971, № 5, с. 58—66.
37. В у л г а к о в Э. Б. Экстремальные параметры эвольвентных передач. —
В кн.: Теория передач в машинах. М., «Наука», 1973.
38. В у л ь ф с о н И. И., К о л о в с к и й М. 3. Нелинейные задачи дина-
мики машин. Л., «Машиностроение», 1968, 282 с.
39. Вульфсон М. Н. Вынужденные колебания в упругой системе с фрик-
ционной связью на неподвижной промежуточной опоре. В кн.: Повышение на-
грузочной способности зубчатых передач и снижение их веса. Вильнюс, 1972,
с. 112—121.
40. Вульфсон М. Н. Исследование вынужденных колебаний в упру-
гой системе с фрикционной связью на подвижной промежуточной опоре. — В сб.
трудов вузов Лит. ССР, «Вибротехника», 1972, № 2 (15), Вильнюс, «Минтис»,
с. 123—135.
41. Габричевский Б. Н. Конструктивные усовершенствования кор-
пусов и зубчатых колес цилиндрических редукторов с целью уменьшения их
веса. — В кн.: Повышение нагрузочной способности зубчатых передач и сниже-
ние их веса. М., Машгиз, 1959, с. 54—73.
42. Г а в р и л е н к о В. А. Зубчатые передачи в машиностроении. М.,
Машгиз, 1962, 531 с.
43. ГавриленкоВ. А., Осипова С. Д. Определение оптимальных
параметров начальных поверхностей зубьев эвольвентных гиперболойдных ко-
лес.— Известия вузов. «Машиностроение», 1969, № 1, с. 5—11.
44. Гальпер Р. Р., Гаркави Л. М., Начинкин В. П. Осевая
корректировка зубьев. — «Вестник машиностроения», 1972, № 3, с. 24—26.
45. Гаркави Л. М. Неравномерность распределения нагрузки по ши-
рине венца шестерни. — В кн.: Повышение нагрузочной способности механиче-
ского привода. Л., «Машиностроение», 1973.
46. Гинзбург Е. Г. Волновые зубчатые передачи. Л., «Машинострое-
ние», 1969, 159 с.
343
47. Г и н з б у р г Е. Г. Синтез зацепления волновых зубчатых передач.
Сборник докладов научно-технической конференции по волновым зубчатым
передачам. Л., Л ВИКА, 1965, с. 15—24.
48. Г и н з б у р г Е. Г. Структура и кинематика волновых зубчатых меха-
низмов. — В кн.: «Теория передач в машинах», М., изд-во «Машиностроение»
1966, с. 129-138.
49. Г л а з м а н И. М., Л ю б и ч Ю. И. Конечномерный линейный анализ.
М., «Наука», 1969, 475 с.
50. Глаубитц Н. Форма выкружки у основания зубьев шестерен си-
ловых передач. ЭИ ВИНИТИ. Серия «Редукторостроение и детали машин».
1959, вып. 3 (№ 8—11), с. 8—9.
51. Глухарев Е. Г. О продольной и тангенциальной неравномерности
распределения нагрузки в шлицевых соединениях. — В сб. трудов Ленинград-
ского механического института, 1967, № 61, с. 5—14.
52. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1969,
400 с.
53. Голованов Н. Ф., Гинзбург Е. Г., Фирун Н. Б. Зубчатые
и червячные передачи. Л., «Машиностроение», 1967, 515 с.
54. Г о л ь д с м и т В. Удар. М., Стройиздат, 1965, 446 с.
55. ГОСТ 9178—59. Передачи зубчатые цилиндрические мелкомодульные,
28 с.
56. Г р у б и н А. Н. Гидродинамическая теория смазки архимедовых чер-
вячных передач в простейших предположениях. Труды 2-й Всесоюзной конферен-
ции по трению и износу в машинах. М.—Л., АН СССР, 1947, с. 32—43.
57. Г р у б и н А. Н. Основы гидродинамической теории смазки тяжело-
нагруженных цилиндрических поверхностей. — В сб. трудов ЦНИИТмаш.
М., Машгиз, 1949, Кн. 30, 141 с.
58. Гуляев К. И., Лившиц Г. А. Законы передаточного отношения
при синтезе приближенной передачи. — В кн.: Механизмы машин. М., «Наука»,
1973.
59. Г у л я е в К. И., Л и ф ш и ц Г. А. О пятне контакта и коэффициенте
перекрытия приближенных передач. — «Известие вузов. Машиностроение»,
1973, с. 43—48.
60. Г у р ь е в Б. И. Общее уравнение переходных кривых цилиндрических
зубчатых колес, нарезанных методом обката. — В сб. трудов Уфимского авиа-
ционного института. 1970, Вып. XVI, с. 44—49.
61. Д а в ы д о в Б. Л., С к о р о д у м о в Б. А., Б у б ы р ь Ю. В. Редук-
торы. Москва—Киев, Машгиз, 1963, 474 с.
62. Д а в ы д о в Я. С. Неэвольвентное зацепление. М., Машгиз, 1950,
189 с.
63. Д а в ы д о в Я. С. Подрезание зубьев зубчатых колес. — «Известия
вузов, Машиностроение», 1963, № 6, с. 5—15.
64. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной мате-
матики. М., Физматгиз, 1960, 659 с.
65. ДержавецЮ. А., ФилипенковА. Л. Исследование распре-
деления нагрузки среди тел качения подшипника, размещенного в расточке
тонкостенного обода сателлита. — В кн.: Повышение нагрузочной способности
механического привода. Л., «Машиностроение», 1973.
66. Детали машин. Справочник. В 4-х т. Под ред. Н. С. Ачеркана. Т. 1,
М., «Машиностроение», 1968, 440 с.
67. Д о б р о в о л ь с к и й В. А., 3 а б л о н с к и й К. И. и др. Детали
машин. М., «Машиностроение», 1972, 599 с.
68. Д о б р о г у р с к и й С. О., Соколов Ф. Л., Захаров Е. И.
Механизмы. Справочное руководство. М., Машгиз, 1947, 306 с.
69. Долгополов В. В., Френкель И. Н., Шоломов Н. М.
Напряженное состояние сателлитов с тонким ободом. — «Вестник машинострое-
ния», 1972, № 9, с. 11—15.
70. Е л е н е в с к и й Д. С. Остаточные напряжения и прочность зубьев
цементованных колес. — «Вестник машиностроения», 1958, № 9, с. 10—13
344
71. ЕленевскийД. С., ШнеерсонЛ. М. Выносливость стальных
деталей с химико-термическим упрочнением при асимметричных циклах на-
грузки. — В кн.: Качество поверхности деталей машин. 1961, Ns 5. М., АН
СССР, с. 15-23.
72. 3 а б л о н с к и й К. И., Б е л я е в М. С., Г е о р г а л и н Р. А. Об
оценке погрешностей зацепления при расчетах зубчатых передач. — В кн.:
Исследование деталей машин. Одесса, ОПИ, 1959, с. 63—84.
73. 3 а б л о н с к и й К. И., Шустер А. Е. Встроенные редукторы.
Киев, «Техника», 1969, 175 с.
74. 3 а к П. С., Ф едотов Б. Ф. и др. Исследование червячных передач
и редукторов. — В сб. трудов ВНИИПТ. М., «Недра», 1965, вып. 8, 68 с.
75. Зельдович Я. Б., М ы ш к и с А. Д. Элементы прикладной мате-
матики. М., «Наука», 1965, 615 с.
76. 3 и г в а р т Г. Влияние остаточных напряжений на предел выносли-
вости. — В кн.: Усталость машин. М., ИЛ, 1961, с. 352—368.
77. Зубчатые и червячные передачи. Под ред. Н. И. Колчина. Л., Машино-
строение», 1968, 362 с.
78. Иванов А. Н. Структурные соотношения в планетарных коробках
передач с любым числом степеней свободы. — «Известия вузов. Машинострое-
ние», 1970, Ns 7, с/ 50-54.
79. И в а н о в М. Н. О кинематике волновой передачи. Известия вузов.
Машиностроение, 1968, Ns 8, с. 36—42.
80. И в а н о в М. Н., Шувалове. А., Амосова Э. П. Эксперимен-
тальное исследование волнового редуктора для передачи вращения в гермети-
зированное пространство. — «Известия вузов. Машиностроение», 1970, Ns 12,
с. 47—50.
81. К и р д я ш е в Ю. Н. Многопоточные передачи дифференциального
типа. М., «Машиностроение», 1969, 176 с.
82. К и р д я ш е в Ю. Н., И в а н о в А. Н. Структурная формула сложных
планетарных механизмов. — «Известия вузов. Машиностроение», 1969, Ns 12,
с. 5—8.
83. К о в а ч К. П., Р а ц И. Переходные процессы в машинах переменного
тока. М.—Л., Госэнергоиздат, 1963, 744 с.
84. Козловский И. С. Пдвышение прочности автотракторных шесте-
рен цементацией и нитроцементацией. — «Металловедение и термическая обра-
ботка металлов», 1966, Ns 5, с. 37—40.
85. К о л ч и н Н. И. Механика машин. Т. V. М.—Л., Машгиз, 1957, 320 с.
86. Колчин Н. И. Аналитический расчет плоских и пространственных
зацеплений. М.—Л., Машгиз, 1949, 208 с.
87. К о р о т к и н И. Я-> Пост но в М. В., С и в е р с Н. Л. Строитель-
ная механика корабля и теория упругости. Л., «Судостроение», 1968, 423 с.
88. К о с т ю к Д. И. К расчету зубьев на изгиб. — «Вестник машинострое-
ния», 1953, Ns 5, с. 16-18.
89. К о с ь к и н В. М. Упрощенный расчет нагрузочной способности зуб-
чатых муфт. — «Известия вузов. Машиностроение», 1970, Ns 5, с. 40—48.
90. Кудрявцев В. Н. Зубчатые передачи. М.—Л., Машгиз, 1957,
263 с.
91. Кудрявцев В. Н. Планетарные передачи. М.—Л., «Машинострое-
ние», 1966, 308 с.
92. К у Д р я в ц е в В. Н. Упрощенные расчеты зубчатых передач. М.—Л.,
Машгиз, 1967, 64 с.
1 93. Кудрявцев В. Н. К расчетам на прочность зубчатых передач. —
В сб. трудов ЛМИ, 1962, Ns 23, с. 6—38.
94. Кудрявцев В. Н., Державец Ю. А., Глухарев Е. Г.
Конструкции и расчет зубчатых редукторов. Л., «Машиностроение», 1971, 328 с.
95. Кудрявцев В. Н.,Решетов Д. Н. и др. Уточнение зависимости
для определения предельных напряжений и запасов прочности. — «Вестник
машиностроения», 1969, Ns 5, с. 7—9.
96. Кудрявцевы. В. Внутренние напряжения как резерв прочности
в машиностроении. М., Машгиз, 1951, 278 с.
345
97. ЛаврентьевМ. А., Шабат Б. В. Методы теории функций ком-
плексного переменного. М., «Наука», 1965, 716 с.
98. Л е в а н о в В. Л. Влияние асимметрии цикла на изломную прочность
зубчатых передач. — В кн.: Проектирование и производство планетарных пере-
дач. Л., ЛДНТП, 1967, с. 102-111.
99. Л е в а н о в В. Л., Д е р ж а в е ц Ю. А., Ф е д о р о в В. Ф. Исследо-
вание изгибной прочности сателлитов. — В кн.: Конструкция, расчет и техно-
логия изготовления планетарных передач. Л., ЛДНТП, 1973, с. 65—70.
100. Ли Э. Б., Ма^) ку с П. Основы теории оптимального управления.
М., «Наука», 1972, 574 с.
10L ЛибуркинЛ. Я. Геометрия гиперболойдной передачи с прямозу-
бым плоским колесом. — В кн.: Теория передач в машинах. М., «Наука», 1971,
с. 63—78.
102. ЛибуркинЛ. Я-> Зильберман Б. Д., Синичкин Ю. А.
Определение кривизны поверхностей зубьев прямозубых конических колес
при синтезе по локальным условиям. — «Машиноведение», 1969, № 5, с. 46—50.
103. Л и н н и к Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обра-
ботки наблюдений. М., Физматгиз, 1958, 334 с.
104. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. М., «Наука», 1968,
584 с.
105. Литвин Ф. Л., Комков В. Н., Бернацкий И. П. Червяч-
ные передачи с червяком вогнутого профиля. — «Вестник машиностроения»,
1967, № 9. с. 44—47.
106. Лопухов Н. П. Геометрия эвольвентного зацепления. — В сб.
трудов МАИ им. Орджоникидзе, т. V, «Теория механизмов и машин», Сб. № 2,
Оборонгиз, М., 1942, 164 с.
107. Марков А. Л. Измерение зубчатых колес. М., «Машиностроение»,
1959. 272 с.
108. МезойС., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы.
М., ИЛ, 1963, 619 с.
109. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математиче-
ской теории упругости. М., АН СССР, 1954, 648 с.
ПО. Ниман Г. Исследование червячных передач с углом скрещивания
осей 90°. Т. 7. Отчет № 125 исследовательской группы по зубчатым колесам и
редуктростроению. Мюнхен, 1956, 126 с.
111. Ниман Г., Реттиг Г. Способы повышения контактной выносли-
вости зубьев зубчатых колес. ЭИ «Детали машин», 1968, № 20, с. 26—36.
112. Н и к о л а е в С. Н. Жидкостное трение в червячной передаче. —
В сб. трудов ЛПИ «Конструкция и расчет машин, № 269». М.—Л., «Машино-
строение», 1966, с. 13—22.
113. Никулин М. В. Расчет на прочность силовых поясов. — В кн.:
Прочность и динамика авиационных двигателей. М.—Л., «Машиностроение»,
1964, вып. 1, с. 24—43.
114. Новикова Т. А., X а л е б с к и й Н. Т. Повышение качества тя-
желонагруженных зубчатых колес за счет геометрии червячных фрез. — В сб.
трудов Всесоюзного совещания «Технология и качество зубчатых и червячных
передач». Раздел «Технология и прочность зубчатых и червячных передач»,
Ч. I. Ереван, 1971, с. 92—97.
115. Обухов А. А. Определение жесткости обода зубчатых колес.—
В сб. трудов Ростовского института железнодорожного транспорта. 1953, вып. 17,
Ростов-на-Дону, с. 31—48.
116. О н и к о в В. В. Исследование концентрации напряжений с примене-
нием биполярных координат.— В сб. трудов ЛИСТ. Л., 1969, вып. 36, с. 18—29.
117. Опыт исследования объемного напряженного состояния зубьев простран-
ственных зубчатых зацеплений. Харьков, ХПИ. 1969, 105 с.
118. ПановкоЯ. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем.
М., Физматгиз, 1960, 193 с.
119. П а н т ю х и н К. И. Изыскание путей повышения надежности, эконо-
мичности, снижения веса и габаритов зубчатых передач специального назначе-
ния. Ч. I, ЛВИКА, Л., 1968, 280 с.
346
120. Пантюхин К. И. Экспериментальное исследование изгибной проч-
ности зубчатых колес, подвергнутых улучшению и азотированию. — В кн.:
Пути снижения габаритов и веса зубчатых передач. Л., ЛВИКА, 1959 с. 273—
298.
121. П а н т ю х и н К. И. Выбор допускаемых напряжений для расчета зу-
бьев на изгиб с учетом вероятности неразрушения и дисперсии. — В кн.: Про-
блемы качества и прочности зубчатых передач. Ч. 1, М., ЦБТИ, 1961, с. 34—59.
122. П а н т ю х и н К- И. Методы оценки изломной прочности зубьев эволь-
вентных зубчатых колес по результатам испытаний на пульсаторах и замкнутых
стендах с учетом асимметрии цикла и концентрации напряжений. — В кн.:
Изыскание путей повышения надежности, экономичности, снижения веса и габа-
ритов зубчатых передач. Ч. II, Л., ЛВИКА, 1969, с. 129—151.
123. Петрусевич А. И., Генкин М. Д., Гринкевич В. К.
Динамические нагрузки в зубчатых передачах с прямозубыми колесами. М.,
АН СССР, 1956. 134 с.
124. Петрусевич А. И., ГроманМ. Б. Табличный расчет на проч-
ность эвольвентных закрытых зубчатых передач. — «Вестник машиностроения»,
1964, №, 7, с. 7—26.
125. Пономареве. Д. и др. Основы современных методов расчета на
прочность в машиностроении. М., Машгиз, 1950, 703 с.
126. П р а т у с е в и ч Р. М. Исследование прочности и долговечности зуб-
чатых колес станков. — В кн.: Надежность и качество зубчатых передач. М.,
НИИинформтяжмаш, 1966, с. 1—17.
127. Пратусевич Р. М. Обеспечение долговечности зубчатых колес
металлорежущих станков. — В кн.: Металлорежущие и деревообрабатываю-
щие станки, автоматические линии. Вып. 6—7, 1970, с. 14—18.
128. Р е ш е т о в Л. Н. Рациональные конструкции планетарных передач. —
«Вестник машиностроения», 1960, № 4. с. 3—6.
129. Решетов Л. Н. Конструирование рациональных механизмов.
М., «Машиностроение», 1972, 256 с.
130. Робишо Л., Буавер М., Робер Ж. Направленные графы и
их приложение к электрическим цепям и машинам. М.—Л., «Энергия», 1964,
248 с.
131. Р о з е н б е р г Ю. А. Влияние смазочных масел на надежность и долго-
вечность машин. М., «Машиностроение», 1970, 312 с.
132. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем
автоматического управления. Л., «Энергия», 1969, 206 с.
133. Р у б ц о в В. К. Несколько замечаний по поводу кинематики и петле-
образования в волновой передаче. — В сб. трудов Московского горного ин-
ститута, 1966, №55, с. 10.
134. С е г а л ь М. Г. Особенности контроля пятна контакта конических
и гипоидных передач. — «Станки и инструмент», 1970, № 10, с. 14—15.
135. С е м е н ч а П. В. Вероятностная оценка изломной прочности зубьев. —
В кн.: Надежность и качество зубчатых передач. М., НИИинформтяжмаш, 1967,
с. 74—81.
319 Лоренсен С. В. и др. Валы и оси. М., «Машиностроение», 1970,
137. С и б р у к, Дадли. Результаты 15-летней программы испытаний
зубьев на усталость при изгибе. — В сб. трудов американского общества инже-
неров-механизмов «Конструирование и технология машиностроения» (русский
перевод). М., «Мир», 1964, № 3, с. 3—26.
138. С и г о в И. В. Планетарии редуктори. Киев, «Техника», 1964, с. 136.
139. Синкевич Ю. Б.,_ Шоломов Н. М. Влияние геометрических
параметров зубчатого венца на жесткость обода колеса. Вестник машинострое-
ния, 1971, № 6, с. 25—29.
140. С к у ч и к Е. Простые и сложные колебательные системы. М., «Мир»,
1971, 557 с.
141. Смирнов В. И. Курс высшей математики (в 3 томах). Т. 3. Ч. 1,
М., «Наука», 1967. 335 с.
347
142. Смит О. Дж. Автоматическое регулирование. С., Физматгиз, 1962
845 с.
143. С о к о л о в М. М., П е т р о в А. П. и др. Электромагнитные переход-
ные процессы в асинхронном электроприводе. М., «Энергия», 1967. 201 с.
144. Справочник машиностроителя. В 6-ти т. Т. 1. М.—Л., Машгиз, 1960.
592 с.
145. Справочник машиностроителя. В 6-ти т. Т. 3. М.—Л., Машгиз, 1960.
651 с.
146. Справочник металлиста. В 3-х т. Т. 1. М.—Л.г Машгиз, 1965. 1007 с.
147. Справочник по строительной механике корабля. Под ред. Ю. А. Ши-
манского. Л., Судпромгиз, 1948. 454 с.
148. Т и м о ш е н к о С. П. Сопротивление материалов. Т. 1, М., Физмат-
гиз, 1960. 380 с.
149. Тимошенко С. П., В ой но веки й - Кр и г е р С. Пластинки
и оболочки. М., Физматгиз, 1963. 635 с.
150. Т р у б и н Г. К. Исследование косозубого внеполюсного зацепления
второго рода. В кн.: Повышение нагрузочной способности зубчатых передач и
снижение их веса. Под ред. М. М. Саверина. М., Машгиз, 1956, с. 109—136.
151. Ту Ю. Современная теория управления. М., Машгиз, 1962. 472 с.
152. У ст и н е й к о В. Л. Расчет зубьев зубчатых колес на изгиб. — В кн.:
Проблемы качества и прочности зубчатых передач. Ч. 1, М., ЦБТИ ГК по авто-
матизации и машиностроению, 1961, с. 15—33.
153. Фадеев В. 3. Распределение наибольшей разности основных шагов
сопряженных зубчатых колес. — «Известия вузов. Машиностроение», 1970,
№ 8, с. 67—71.
154. Федяев В. И. Повышение нагрузочной способности зубчатых пере-
дач путем подбора оптимального соотношения твердостей шестерни и колеса.
М., Инф. письмо ЦНИИТмаш, 1961, 13 с.
155. Ф е л ь д б а у м А. А. Электрические системы автоматического регули-
рования. М., Оборонгиз, 1957, 807 с.
156. Ф е о д о с ь е в В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению
материалов. М., «Наука», 1967, 376 с.
157. Филипенков А. Л., Державец Ю. А. Уточнение расчета
долговечности подшипников качения сателлитов планетарных передач 2К—Н.
В кн.: Механические передачи. Ижевск, ИМИ, 1971, с. 102—109.
158. Филоненко-БородичМ. М. и др. Сопротивление материалов.
Ч. II, М., Гостехтеориздат, 1956, 284 с.
159. Фихтенгольц Г. М. Математика для инженеров. В 2-х т. Т. II.
М.—Л., Гостехтеориздат, 1933, 332 с.
160. Френкель И. Н. Экспериментальное определение суммарной де-
формации и жесткости прямых зубьев цилиндрических зубчатых колес. — В кн.:
Зубчатые и червячные передачи. Л., «Машиностроение», 1959, с. 163—184.
161. Френкель И. Н. Влияние упругой деформации части обода, при-
легающей к зубу, на жесткость зацепления. — В кн.: Вопросы геометрии и ди-
намики передач. М., «Наука», 1964, с. 68—84.
162. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.,
«Мир», 1970, 720 с.
163. X и н ч и н А. Я. Цепные дроби. М., ГИТТЛ, 1949, 114 с.
164. Ш а ш и н М. Я. Методика статистической обработки эксперименталь-
ных данных с учетом вероятности неразрушения и различия дисперсий по на-
пряжениям. — В сб. трудов ЛМИ, 1962, № 23, с. 201—207.
165. Шиманский Ю. А. Строительная механика подводных лодок.
Л., Судпромгиз, 1948, 230 с.
166. Электропривод с односторонней муфтой крутящего момента. Приок-
ский ЦНТИ, Тула, 1970, 40 с.
167. Ястребов В. М. Вопросы выбора оптимального варианта редук-
тора. — В сб. трудов Ижевского механического института «Проектирование и
производство механических передач», 1965, с. 63—75.
168. Ястребов В. М., Планетарные передачи ЗК с общим сателлитом. —
«Вестник машиностроения», 1960, Ns 3, 17 с.
348
169. Я с т р е б о в В. М. Выбор параметров планетарных передач типа ЗК —
«Вестник машиностроения», 1969, № 10, с. 46—48.
170. Ястребов В. М., Лазарев В. И. Планетарные передачи ЗК
с одновенцовыми сателлитами. — «Вестник машиностроения», 1965, № 12,
с. 7—10.
171. Ястребов В. М., Янченко Т. А. .Ястребова В. М. Некото-
рые результаты экспериментального исследования планетарного редуктора
типа ЗК с одновенцовыми сателлитами. В кн.: Механические передачи. Ижевск,
«Удмуртия», 1972, с, 93—101.
172. G 1 a u b i t z Н. Die Zwechma0ige Einharteigstiefe bei oberflachen-
geharteten, Getriebezahnen. — VDJ—Z, 1958, N 6.
173. Niemann G., Rettig H. Tragfahigkeitsteigerung bei Zahnrad-
getrieben. — VDJ—Z, 1963, N 6.
174. Niemann G., Richter W. Einflufl von Modul, Schragungswinkel
und Profilverschiebung auf die Zahnflanken—Tragfahigkeit — «Konstruktion»,
1960, N 6.
175. Niemann G, Weber G, Mau shake W. Untersuchung von
Zylinderschneckentrieben mit rechtwinklig kreuzenden Achsen. — «Schriftenreihe
Autribstechnik», 1956, Bd. 7, N 125., Braunschweig.
176. Plane ten — und iiberlagerungsgetriebe. — «Antriebstechnik», 1967,
N 10—12.
177. Popper B, Pessen D. W. The Twinworm Drive—Aself—Locking
Worm—Gear Transmission of High Efficiency.— ASME, 1960, p. 191—199.
178. S c h 1 о b a c h W. Auswirkung interschiedlicher Warmebehandlungen
auf die Zahnfuffestigkeit von Zahnradern. 1969, Ynd—Anz, 91, N 16.
179. W h a 1 G. Zahnradgetriebe mit nitrierten Verzahnunden fur hohe Um-
faugs gesehwindigkeit — VDJ—Z, 1958, N 6.
180. We 1 la ue r N. J, Seizeg A. Bending Strength of Gear Teeth by
Cantilever—Plate Theory. — ASME, 1959, NA—50.
181. Wolkenstein R. Zur Ermittlung der erf orderlichen Hartetiefe
an Zahnradern. — «Konstruktion», 1958, N 5.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ......................................................... 3
Глава I. Кинематика и точность передач, геометрия зацеплений
и инструмента ....................................................... 4
1. Синтез эвольвентной передачи в обобщающих параметрах
(Э. Б. Булгаков)............................................ —
2. Синтез приближенных зацеплений по точкам пересопряже-
ния (К. И. Гуляев)......................................... 17
3. Точность воспроизведения огибающей поверхности при двух
параметрах огибания (К. И. Гуляев, Г. Б. Заморуев) ... 23
4. Теория зацепления цилиндрических колес с круговыми
зубьями (В. Л. Малеин) .................................... 27
5. Вопросы синтеза зацепления волновых зубчатых передач
(Е. Г. Гинзбург) .......................................... 35
6. Выбор профиля кулачка генератора волновой зубчатой
передачи (Е. Г. Гинзбург) ................................. 41
7. О кинематике точек гибкого звена, волновой зубчатой пере-
дачи (Е. Г. Гинзбург) ....................*................ 46
8. О переходных поверхностях зубьев цилиндрических колес,
нарезаемых червячными фрезами (Н. Т. Халебский, Т. А. Но-
викова) ................................................... 48
9. Расчет исходного профиля червячной фрезы для одновремен-
ного нарезания профиля зуба и фиксированной переход-
ной кривой у основания зуба (Э. С. Желтухина)............ 53
10. Определение параметров механизма с цилиндрическим кулач-
ком и с направляющими пазами левого и правого направле-
ний (Ю. В. Катонов)......................................... 56
11. Определение суммарной ошибки зацепления сопряженных
зубчатых колес вероятностным методом (И. С. Кузьмин,
К. И. Москвина)............................................. 65
Глава II. Прочность и конструкции передач........................... 70
12. К выбору типов передач (В. Н. Кудрявцев, В. И. Смир-
нов) ........................................................ —
13. Контактная прочность прямозубых передач (Б. М. Клеба-
нов) ....................................................... 81
14. Метод расчета косых зубьев на изгиб (В. Д. Андожский,
В. В. Оников) .............................................. 88
15. Изгибная прочность азотированных передач (Р. Р. Гальпер,
В. Л. Леванов).............................................. 95
16. Исследование концентрации напряжений в зубьях азотиро-
ванных зубчатых колес (К. И. Пантюхин)..................... 104
17. Изломная прочность зубьев мелкомодульных зубчатых
колес (А. М. тендеров, Н. Ф. Голованов).................... 112
350
18. Исследование распределения нагрузки по ширине венцов
шевронного редуктора (Ю. А. Васильев, Р. Р. Гальпер,
Л. М. Гаркави, В. О. Кандович) ............................ 117
19. Коэффициенты концентрации напряжений при расчете зубча-
тых колес с податливым ободом (И. Н. Френкель, Н. М. Шо-
ломов) .................................................... 126
20. Структурный синтез сложных планетарных передач
(Ю. Н. Кирдяшев) .......................................... 131
21. Разработка типажных планетарно-зубчатых редукторов и
мотор-редукторов (И. М. Миргородский, Г. Г. Писарев,
М. В. Осипенко) ........................................... 149
22. Вопросы прочности зацеплений планетарных передач ЗК
с одновенцовыми сателлитами (В. М. Ястребов, Ю. Л. Василь-
ченко) .................................................... 155
23. Исследование деформированного и напряженного состояний
. зубчатых колес планетарных передач (А. Л. Филипен-
ков) ..................................................... 159
24. Расчет на изгиб сателлитов с тонкостенным ободом (Ю. А. Дер-
жавен, В. Л. Леванов, В. Ф. Федоров)....................... 171
25. Выбор числа ступеней планетарных передач типа 2К—Н
(Р. А. Сакаев)...................'......................... 180
26. Проектирование зубчатых колес дисковой конструкции
(Б. М. Клебанов)........................................... 185
27. Опыт работы по изготовлению точных быстроходных тяжело
нагруженных закаленных зубчатых колес (Е. М. Ицыксон) 189
28. Рациональный выбор параметров зацепления червячных
цилиндрических передач (И. П. Бернацкий, Н. И. Вьюшкин,
Б. К- Герасимов, В. Н. Комков) ............................ 193
29. Повышение нагрузочной способности винтовой зубчатой
передачи (Л. Я- Либуркин, В. А. Трубников)................. 210
30. Исследование деформации кольца, надетого на дисковый
генератор волн (Е. Г. Гинзбург) ........................... 214
31. Определение коэффициентов упругих перемещений зубьев
гибкого колеса (Е. Г. Гинзбург) ........................... 220
32. Деформации гибкого элемента волновой передачи через
герметичную стенку от действия радиальных сил (Л. Г. Ла-
зарев) ..................................................... 223
33. Напряжения и Деформации в кольцевой пластине с защемлен-
ными краями, загруженной равномерно распределенной
нагрузкой (К. М. Горелов, Л. Г. Лазарев)................... 231
34. Жесткость составных валов (Е. Г. Глухарев, Н. И. Зуба-
рев) ...................................................... 233
35. Определение сил взаимодействия между валом и ступицей
(Е. Г. Глухарев)........................................... 238
36. Определение усилий затяжки торцовых гаек, стягиваю-
щих пакеты деталей на шлицевых валах (Е. Г. Глухарев) . . 241
Глава III. Динамика и к. п. д. передач............................. 246
37. Динамика машинного агрегата с асинхронным электро-
приводом в стопорном режиме (В. Л. Вейц, А. М. Двинова,
38. Синтез параметров механической системы машинного агре-
гата (И. Ш. Бейлин, В. Л. Вейц).............................. 267
39. Динамические характеристики машинного агрегата с само-
тормозящимся механизмом (В. Л. Вейц, Е. 3. Шнеерсон) . . 285
40. Учет гистерезисной характеристики зубчатой передачи
при аналитическом исследовании нелинейных колебаний
валопроводов (М. Н. Вульфсон)................................ 302
351
41. Условия устойчивости вынужденных колебаний валопро-
водов с учетом гистерезисной характеристики зубчатых
передач (М. Н. Вульфсон) .............................. 316
42. Потери на трение в червячных передачах с различной гео-
метрией (В. В. Шульц, В. В. Тиунов, Ю. В. Левитан) . . . 323
Глава IV. Испытания передач....................................... 330
43. Исследование планетарного редуктора ЗК с одновенцо-
выми сателлитами (В. М. Ястребов, А. С. Поздеев) .... —:
44. Испытания волнового редуктора для передачи вращения
через герметичную стенку (К. М. Горелов)............... 332
45. Испытание передачи с кулачком Непира (Л. А. Дугин,
Ю. В. Катонов) ............................................ 339
Список литературы................................................ 342
ЗУБЧАТЫЕ И ЧЕРВЯЧНЫЕ
ПЕРЕДАЧИ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ, КИНЕМАТИКИ,
ДИНАМИКИ, РАСЧЕТА И ПРОИЗВОДСТВА
Редактор издательства Г. Н. Павлова
Переплет художника С. С. Венедиктова
Технический редактор А. А. Бардина
Корректоры Л. Ф. Борисова и Н. Б. Семенова
Сдано в производство 27/XII 1973 г. Подписано к печати 11/VII 1974 г. М-07824
Формат бумаги 60X90Vte. Бумага типографская № 3. Печ. л. 22. Уч.-изд. л. 21,9
Тираж 29 000 экз. Зак. № 738 Цена 1 р. 33 к.
Ленинградское отделение издательства «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
191065, Ленинград, ул. Дзержинского, 10
Ленинградская типография № 6 Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10