Текст
ТРУЛ >1
Профессор, доктор технических наук
Д. Ю. ПАНОВ
КРАСНОЗНАМЕННОЙ
ОРДЕНА ЛЕНИНА
ВОЕННО-ВОЗДУШНОЙ
ИНЖЕНЕРНОЙ АКАДЕМИЙ
ИМЕНИ ПРОФЕССОРА
не. жановсного
УПРУГИЙ ГИСТЕРЕЗИС
И ПОСЛЕДЕЙСТВИЕ
И УЧЕТ ИХ
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРИБОРОВ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ 1945 г.
Статья 13
СЕКЦИЯ АВИАЦИОННО-ПИЛОТАЖНОГО
ОБОРУДОВАНИЯ и СНАРЯЖЕНИЯ
Выпуск
218
П Hb
© ®'
ТРУДЫ
КРАСНОЗНАМЕННОЙ
ОРДЕНА ЛЕНИНА
военно-воздушной
иияевдии АКАДЕМИЙ
имени просрессорд
НЕ. жуновсного
г’5
Профессор, доктор технически наук
Д. Ю. ПАНОВ
УПРУГИЙ ГИСТЕРЕЗИС
И ПОСЛЕДЕЙСТВИЕ
И УЧЕТ ИХ
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРИБОРОВ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ 1945 Г.
Статья 13
СЕКЦИЯ АВИАЦИОННО-ПИЛОТАЖНОГО
ОБОРУДОВАНИЯ и СНАРЯЖЕНИЯ
Выпуск
\ 218
в 51 и-р»
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о гистерезисе и последействии в упругих элементах прибо-
ров является одним из наиболее животрепещущих вопросов для каждо-
го инженера-приборщика. Если в других областях йнженерного дела
упругий гистерезис приходится учитывать при расчетах в порядке их
уточнения (в расчетах крутильных колебаний валов двигателей, в рас-
четах на флаттер и т. д.), то в приборном деле та или иная величина
гистерезиса часто решает вопрос о том, может ли данный прибор во-
обще быть использован, и по сути дела должна входить в расчет при-
бора как основная величина, определяющая его параметры. К сожалению,
в этом важнейшем для приборостроителя вопросе до сих пор много
неясного, хотя вообще вопросам упругого гистерезиса, последействия,
релаксации напряжений и т. п. посвящена колоссальная литература,
растущая с каждым днем.
Причины неясностей, помимо трудности самой проблемы, заклю-
чаются, невидимому, в том, что специалисты самых различных напра-
влений: — инженеры - машиностроители и металловеды, упругисты и
приборщики, математики и физики занимаются этой проблемой незави-
симо друг от друга и со своих специальных точек зрения.
Инженеры ведут экспериментальные исследования и обычно мало
интересуются теоретическими изысканиями математиков и физиков.
Физики строят теории и проверяют их экспериментально, но не очень
заботятся о том, чтобы эти теории охватили весь объем эксперимента,
в частности инженерного. Каждая группа исследователей довольно пло-
хо информирована о результатах, полученных другими.
Между тем, для того чтобы успешно двигаться дальше, необходи-
мо знать то, что уже сделано, в особенности физиками, проникшими
глубже других в механизм упругого гистерезиса и последействия.
Широко известными считать однако работы физиков видимо нельзя,
хотя бы, например, потому, что в специальном исследовании по гисте-
резису мембран, выполненном в 1942 г., никак не использованы резуль-
таты, полученные в некоторых физических работах еще в 1920-—1925 гг.
Имея это в виду, мы предполагаем в настоящем докладе дать
краткий обзор проблемы упругого гистерезиса и последействия, остано-
вившись в конце на вопросах, непосредственно касающихся исследова-
ния упругих элементов приборов.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Классическая теория упругости, а также и сопротивление матери-
алов рассматривают идеально - упругие тела, т. е. тела, для которых
имеется взаимно - однозначное соответствие между напряжениями и де-
формациями. Если в теле отсутствуют начальные напряжения, то в про-
стейших, одномерных задачах, которые мы в дальнейшем и будем разби-
рать, зависимость между деформациями и напряжениями изобразится
кривой типа, показанного на фиг. 1. Пока зависимость между напряже-
ниями а и деформациями е можно считать линейной, говорят, что тело
подчиняется закону Гука.
В первом приближении многие
материалы можно считать обладающими
свойством идеальной упругости и под-
чиняющимися закону Гука при малых
напряжениях. Однако это предполо-
жение является все же не более чем
некоторой упрощающей гипотезой и в
ряде вопросов будет уже неприемле-
мо. Так, например, колебания идеаль-
но - упругого тела в пустоте не будет
затухать; при резонансе амплитуда ко-
лебаний идеально - упругого тела, под-
чиняющегося закону Гука, будет не-
ограниченно расти и т. п. В действи-
тельности это не так, и для приведе-
ния теории в согласие с экспериментом
приходится отказаться от гипотезы
идеально - упругого тела и переходить к более точным приближениям.
Чтобы выяснить наиболее наглядным образом те явления, с которы-
ми приходится здесь сталкиваться, рассмотрим влияние времени на
связь между деформациями и напряжениями.
Известно, что при нагрузке не сразу устанавливается определен-
ная деформация. Зависимость деформации от времени можно изобразить
некоторой кривой вида, показанного на фиг- 26. Чтобы выяснить общий
характер всех явлений, имеющих здесь место, рассмотрим идеализиро-
ванный случай, соответствующий идеально - упругому телу. Будем пред-
полагать, что между деформациями и напряжениями имеется взаимно -
однозначное соответствие, зависящее от времени. Зависимость е от t
будем считать имеющей вид такой, как на фиг. 3, т. е. изображающей-
ся кривой, начинающейся с некоторого значения е0, определяемого по
диаграмме е—с.
4
Если, исходя из этих соображений, построить поверхность (о, в, t), то
можно обнаружить следующие явления:
1. Упругое последействие. Явление заключается в том, что при
а — const деформации меняются со временем. В нашем идеализирован-
ном случае это изменение будет происходить по кривой фиг. 3, в дей-
ствительности — по кривой фиг. 26.
2. Релаксация напряжений. Беря сечение поверхности на фиг. 4
плоскостью е = const, получим кривую типа, изображенного на фиг. 5,
т. е. будем иметь явление уменьшения напряжений с течением времени
при неизменной деформации.
УдеалЬнЬ!й
случай
Фиг. 2а.
д ейстВитпелЬнЫи
случай
Фиг. 26.
Это явление известно под именем релаксации (рассасывания) на-
пряжений.
3. Зависимость диаграммы с — а от времени. Беря ту или иную
скорость роста деформации со временем, т. е. пересекая поверхность
на фиг. 4 плоскостями г — kt, получим систему диаграмм е — о, изобра-
женную на фиг. 6. Мы будем иметь та-
ким образом известный факт понижения
модуля упругости с уменьшением быстро-
ты роста деформаций (см., например, [51],
ч. II, стр. 265).
Чтобы легче представить себе, как
получается система кривых на фиг. 6, сле-
дует заметить, что поверхность на фиг. 4
понижается с течением времени: сече-
ние I при передвижении по оси t не со-
храняется, а переходит в кривую II, ле-
жащую несколько ниже.
Рассмотренные здесь явления хотя
и дают некоторое понятие о том, что
происходит в действительности, все же представляют собой
рованные схемы соответствующих действительных явлений,
было указано, в действительности мы не можем считать тела
упругими и должны отказаться от взаимно - однозначного соответствия
между напряжениями и деформациями. Рассматривая деформации упру-
гого тела при нагрузке и разгрузке, мы обнаруживаем, что кривая на-
грузки на диаграмме <з — е не совпадает с кривой разгрузки. Если не
учитывать влияния времени, то здесь могут представиться два случая:
1) отсутствие остаточной деформации (фиг. 7 а) и 2) наличие остаточной
идеализи-
Как уже
идеально
5
в
деформации (фиг.?/?). Первый случай будет соответствовать чисто упру-
гим, а второй — упруго - пластическим деформациям. Однако, если учиты-
вать влияние времени и явление упругого последействия, то картина не-
сколько изменится. Предполагая, что тело внезапно нагружено в момент
t ~ 0 и внезапно освобождено от нагрузки в момент t — t„ мы получим
картину изменения деформаций, представленную иа фиг. 8.
В частности, после быстрого падения деформации при разгрузке
до величины е0, дальше будем иметь лишь медленное „рассасывание"
деформации е0, которая будет играть роль остаточной деформации в момент
но затем постепенно исчезнет. Подобная картина будет иметь
.место также и при постепенном нарастании нагрузки, так что в дей-
t
Фиг- Sc.
Фиг. 96.
ствительности даже в чисто - упругой области явление гистерезиса будет
иметь характер, изображенный на фиг. 76. Разница по сравнению с
пластическим случаем будет лишь 'в том, что в упругой области оста-
точная деформация с течением времени исчезнет, а в пластической ос-
танется (фиг. 9а и 96 ). В первом случае мы будем говорить об упру-
гом гистерезисе, во втором — о пластическом. Впрочем, указать резкую
грань между этими двумя явлениями, так же как и между упругими и
пластическими деформациями, довольно трудно. При периодической знако-
переменной нагрузке гистерезис дает на <зе - диаграмме спиральную ли-
нию (фиг. 10), которая после нескольких перемен нагрузки перейдет в
замкнутую петлю гистерезиса (фиг. 11). Площадь этой петли будет, оче-
видно, пропорциональна энергии, рассеивающейся за один цикл. Так
7
как при наличии гистерезиса колебания упругого тела будут сопрово-
ждаться рассеянием энергии, то это приведет к затуханию свободных
колебаний и ограниченности амплитуд при вынужденных колебаниях.
Этим обстоятельством определяется важность изучения явления гисте-
резиса с точки зрения теории колебаний. Так как это явление связано,
как было показано выше, также и с влиянием времени, то естественно
изучать всю совокупность этих явлений, в частности, изучать совмест-
но упругое последействие и гистерезис.
Заметим, наконец, что описанные явления относятся к материалу^
из которого изготовлено рассматриваемое тело; их не надо смешивать
с упругим или с пластическим гистерезисом в конструкциях. В сложных
сооружениях затухание колебаний часто имеет своим источником трение
между частями колеблющейся конструкции, что, очевидно, ни в какой
мере не связано с упругим гистерезисом в том смысле, который мы
придаем ему здесь.
2. ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ И ДАННЫЕ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Рассмотрим петлю гистерезиса С (фиг. 12) на плоскости <з — е.
Размеры этой петли характеризуются величиной г — амплитудой дефор-
мации и величиной у — демпфирующим напряжением. Очевидно, что
при заданной форме петли гистерезиса площадь ее s будет иметь вид
s = kys, (1)
где k — коэфициент, зависящий от формы петли; для случая эллипти-
ческой петли k — тс.
Демпфирующее напряжение f меняется при изменении е. Часто
считают (гипотеза вязкого трения), что
иногда полагают (гипотеза демпфирования, пропорционального амплиту
8
Ввиду отсутствия теории упругого гистерезиса, удовлетворитель-
ным образом объясняющей все явления, выбор какой - либо из этих
гипотез диктуется степенью совпадения получаемых результатов с экс-
периментом и простотой расчетов. Заметим, что при любой гипотезе &
характере демпфирования энергия ДД, рассеивающаяся за один цикл,
равна площади петли гистерезиса:
= (4)
с
Если рассматриваются свободные колебания, то рассеяние энер-
гии за счет упругого гистерезиса приведет, очевидно, к уменьшению
амплитуды колебаний. Это обстоятельство используется для экспери-
ментального изучения упругого гистерезиса.
В качестве характеристики затухания часто используется логариф-
мический декремент:
где через еЛ обозначена максимальная амплитуда П-го колебания. Вели-
чину декремента можно для малого затухания связать с величиной пло-
щади петли гистерезиса. Допустим, что затухание мало, — петля гисте-
резиса будет иметь вид, показанный на фиг. 13. Напряжения можно пред-
ставить в виде
0 = (6)
где °е=^ Ее— основное упругое напряжение, a sf — малое напряже-
ние, создающее эффект гистерезиса.
Энергия, соответствующая упругому напряжению, будет
А = - Е г-.
2
Потеря за счет гистерезиса при п-ом колебании
. . dA * .
А А — —— (ел+1 зя); (7/
de
dA*
здесь через --- обозначено среднее значение производной.
d е
9
При малом затухании ( т. е. малой разности enj_i —ел ) можно по-
ложить
Д А ~ Ееп (е„ + 1 — е„ ). (8)
Подставляя в (8) выражение (4) для Д А и деля обе части (8) на
Ег\, найдем:
ел+1 । 5
е„ Ее2п ’
откуда
X = ig = lg
sn
Подставляя в (9) S из выражения (1), получим
1 = ^1. (10)
Формулы (9) и (10) дают связь между декрементом слабого зату-
хания и демпфирующим напряжением.
Отметим некоторые результаты, вытекающие из этих общих сооб-
ражений для указанных выше гипотез относительно коэфициента (или,
иначе говоря, максимального значения напряжения с у).
а) Демпфирование, пропорциональное скорости деформации (гипо-
теза вязкого трения).
Беря для Y выражение (2) при постоянном можно написать от-
носительно простые линейные диференциальные уравнения, которые в
ряде случаев (крутильные колебания круглого стержня, продольные и
поперечные колебания призматических стержней и т. п.) точно решают-
ся. Общие уравнения упругости при этой гипотезе исследовались Фох-
том [31], Кельвином [32] и др. Для свободных крутильных колебаний
круглого стержня и продольных колебаний призматического стержня-
получены уравнения вида:
д2 и .д-и , ., д3 и
dt2 д х* dx2dt
(И)
где коэфициент Ь2 пропорционален коэфициенту внутреннего трения
в формуле (2).
Уравнение это исследовалось весьма многими авторами (см., напри-
мер, Кац и Пучков [7], Филиппов [33] и др.).
Аналогичное уравнение для свободных поперечных колебаний стер-
жня будет иметь вид:
—+ - = 0. (12)
д t2 dxi дх4 dt
Этим уравнением занимались Сезава [37], Гольцер [35], Муто [36],
Суйехиро [38], Кац и Пучков [7] и др.
Как для уравнения (11), так и для уравнения (12) получается, что
логарифмический декремент затухания не зависит от амплитуды коле-
баний и пропорционален их частоте:
к = (13)
10
В этой формуле £ — коэфициент внутреннего трения; ш — частота
колебаний; а— константа, зависящая от плотности, упругих свойств
материала и формы стержня.
Формула (13) может быть получена и непосредственно из гипоте-
зы (2) (см., например, Шпет |39| ).
Гипотезу (2) можно использовать и для изучения вынужденных
колебаний; Квимби [15] применил ее для исследования продольных ко-
лебаний стержня.
Рассматривая, в частности, гармонические колебания, при которых
е = a sin I» t, (14)
получим
б/ S ,
а. — t-- = a Е Oj COS о> t
dt
и по формуле (6)
з = а (f sin а> cos u> 1). (15)
Уравнения (14) и (15) дают в качестве петли гистерезиса эллипс,
площадь которого
S = тг а2 Е о).
Таким образом при этой гипотезе площадь петли гистерезиса про-
порциональна квадрату амплитуды и частоте колебания.
. б) Демпфирование, пропорциональное амплитуде колебаний.
Как будет показано ниже, во многих случаях гипотеза вязкого
трения не подтверждается экспериментом. В связи с этим возник ряд
работ, авторы которых исходят из других гипотез. Одной из наиболее
распространенных является гипотеза демпфирования, пропорционально-
го амплитуде колебаний — уравнение (3). Она может быть реализо-
вана следующими способами.
1. Рассматривая установившиеся гармонические колебания, пола-
гают, что
v] d е
CJ, — — ——
1 I» dt
где ы— частота колебаний; — некоторый постоянный коэфициент,
характеризующий величину затухания.
Очевидно, что при изменении е по закону
г — a sin w t
формула (14) дает
sf — a cos w t,
т. е. демпфирование, пропорциональное амплитуде колебаний.
Выражение для а оказывается таким
a — а (Е sin w t ]- cos а> t);
петля гистерезиса — попрежнему эллипс, площадь которого
S = чт а2 т;
пропорциональна квадрату амплитуды и не зависит от частоты.
II
Вычисление логарифмического декремента показывает, что лога-
рифмический декремент1 не зависит ни от амплитуды колебаний, ни от
их частоты:
Л = ₽ 7].
Гистерезис и затухание при этой гипотезе исследовали Шлиппе
|40],Бок [41], Джиованноцци [42], [43] и др.
2. Можно рассматривать стационарные колебания, не делая пред-
положения об их характере во времени, и непосредственно использо-
вать гипотезу (3), задавшись некоторой определенной формой петли
гистерезиса. Так, например, предполагая, что петля гистерезиса имеет
вид, изображенный на фиг. 13, причем отклонения от Гуковской пря-
мой определяются двумя дугами парабол с вертикальной осью, мы
приходим для крутильных колебаний к уравнению:
д2 и д2 и . д I д U
----= а2-------± Ь2------{------
д t2 д х2 д х I д х
/ ди V-
1 ~ V
\ д X / _
В этом уравнении через ---- обозначено максимальное значение
дх
производной —— при данном х во время колебаний. Знак плюс в пра-
д х
ди
вой части соответствует периоду времени, в течение которого (1,
ди ~
а знак минус — периоду, для которого ---<С v. Очевидно, и для этого
д t
случая площадь петли гистерезиса пропорциональна квадрату амплитуды
и не зависит от частоты- Подробности см. в нашей работе [44].
3. К демпфированию, пропорциональному амплитуде, приводит
также весьма интересная теория упругого последействия и гистерези-
са, предложенная Больцманом [45] и развитая Бенневицем [46], Вар-
тенбергом [47], Беккером [48] и др.
По теории Больцмана
e(0 = C[P(f) + ₽
Р(0) ср (t -©)</©],
где С и р — константы, зависящие от материала, P[t)— изменяющая-
ся с течением времени внешняя сила, а ср (7—6?) — функция последейст-
вия. Уравнение (15) учитывает историю изменения деформации е.
Бенневиц, исходя из подобных соображений, подсчитал эффект
периодической нагрузки, изменяющейся по закону:
P[t) — й sin «и 7.
1 Следует заметить, впрочем, что вычисление логарифмического декремента нрм
этой гипотезе, строго говоря, незаконно (колебания предполагаются установившими-
ся); это можно сделать из рассмотрения потери энергии при колебаниях.
12
Оказалось, что в этом случае кривая, характеризующая измене-
ние деформаций (типа изображенной на фиг. 10), в пределе прибли-
жается к эллипсу, который и будет являться стационарной петлей гис-
терезиса. Площадь его попрежнему пропорциональна квадрату ампли-
туды и не зависит от частоты. Логарифмический декремент не зави-
сит ни от частоты, ни от амплитуды.
Следует заметить, однако, что, развивая теорию Беккера, можно
постооить теорию гистерезиса, дающую для логарифмического декре-
мента линейный рост с увеличением амплитуды, а для площади петли
гистерезиса — пропорциональность кубу амплитуды. Это показано в на-
шей работе [53].
Одоне [49], исходя из теоретических построений Бенневица, дал
решение задачи о колебаниях стержня с учетом гистерезиса. Предпо-
лагая, что колебания стационарные, Одоне рассматривает эллиптичес-
кую петлю гистерезиса и вводит отставание деформаций по фазе по
сравнению с напряжениями, характеризуемое постоянной Получается
уравнение:
Решение этого уравнения при соответствующих граничных усло-
виях дает результаты того же типа, что и остальные решения с демп-
фированием, пропорциональным амплитуде-
Посмотрим теперь, что дают эксперименты. Экспериментальные
исследования по упругому гистерезису и затуханию упругих колебаний
можно классифицировать по следующим признакам:
1. Статические эксперименты.
2- Динамические эксперименты:
а) со свободными колебаниями;
б) с вынужденными колебаниями:
с медленными (до 1000 гц),
с быстрыми (свыше 1000 гц).
Кроме того, эксперименты можно разделить на:
эксперименты с касательными напряжениями (кручение);
эксперименты с нормальными напряжениями (растяжение или
изгиб). В табл. 1 дана сводка главнейших работ каждого типа.
Мы не будем излагать содержание каждой из этих работ, а дадим
сводку выводов, из них вытекающих. При этом будем различать экс-
перименты с очень малыми деформациями и с деформациями заметной
величины; эксперименты первого типа относятся главным образом к
области упругого гистерезиса, эксперименты второго типа — к области
пластического или упруго - пластического гистерезиса.
В области малых деформаций имеем в ряде случаев достаточно
хорошее экспериментальное подтверждение теории Больцмана (экспери-
менты Больцмана [45], Бенневица [46]), или теории демпфирования, про-
порционального амплитуде (выше было показано, что и та и другая
дают одинаковые результаты). Расчет на основе гипотезы о демпфи-
ровании, пропорциональном амплитуде, в настоящее время является
наиболее распространенным техническим расчетом (ср- Шлиппе, Джио-
ванноцци [42], [43], Бок [41]). Получаемые при его помощи результаты
удовлетворительно подтверждаются инженерными экспериментами
Бока [41]).
13
В области больших деформаций положение существенно меняется..
Берлинер [1] и Гопкинсон и Вилльямс [11] считают, что площадь петли
гистерезиса растет пропорционально четвертой степени амплитуды.
Фёппль и Шаф [29], Шмидт [14] получили еще более сильный рост — типа
для величины „среднего затухания"
Фиг. 14.
(Mittlere Dampfung), которая пропорциональна работе, рассеивающейся
за один цикл. Самый вид петли гистерезиса сильно отличается от эл-
На основании исследований Роветта [10], Беккера и Фёппла [3],
Банквица [23] можно считать твердо установленным, что площадь петли
гистерезиса не зависит от частоты колебаний, если ограничиваться не
слишком быстрыми колебаниями (до 50 гц). На фиг. 16 изображены
результаты опытов Беккера и Фёппла по выяснению зависимости зату-
хания от частоты; в частности, при статических испытаниях получаются
почти те же результаты, что и при динамических.
В опытах Банквица [23] над мягкими металлами (медь и алюминий)
разница между результатами статических и динамических испытаний
14
б Ольше, однако неизменность затухания при разных частотах (от 6 до 30 гц)
сохраняется.
Исследование логарифмического декремента, определяемого не-
посредственно из графика затухающих колебаний (см., например, на
фиг. 17 одну из записей, полученных Сезава и Кубо [5]), показывает,
что логарифмический декремент растет с ростом амплитуды колебаний
и притом по линейному закону.
Рост декремента с амплитудой был, впрочем, отмечен уже очень
давно (Шмидт [50]) и подтверждается всеми исследователями (Хондо и
Ковко [4], Иокибе и Сакаи [В], Кац и Пучков [7] и др ); в большин-
стве Экспериментов устанавливается линейная зависимость логарифмиче-
ского декремента от амплитуды.
Этот факт можно, следовательно, считать достаточно твердо уста-
новленным.
До сих пэр мы говорили об экспериментах с медленными коле-
баниями, в которых скорости деформаций были не очень велики. Известно
несколько экспериментов с очень высокими скоростями деформаций.
К их числу относятся эксперименты Квимби [15], испытывавшего стержни
на растяжение и сжатие с частотой 50000 гц. В этих экспериментах
при обработке результатов была использована гипотеза вязкого трения
и было получено прекрасное совпадение расчетных и экспериментальных
данных.
Таким образом можно считать установленным:
1. Для малых деформаций и малых частот с удовлетворительной
точностью оправдывается гипотеза о демпфировании, пропорциональном
амплитуде. Так как в большинстве технических приложений приходится
15
иметь дело с малыми деформациями, эта гипотеза может считаться при-
годной для технических расчетов (Больцман [45], Бенневиц [46], Бок [41]),
2. Для значительных деформаций при малых частотах площадь
петли гистерезиса растет с амплитудой быстрее, чем это следует из
гипотезы о демпфировании, пропорциональном амплитуде. Логарифми-
ческий декремент также не остается постоянным, а растет линейно с
ростом амплитуды (Берлинер [1], Гопкинсон и Вилльямс [11], Фёппль и
Шаф [29], Шмидт [14], Беккер и Фёппль [3], Банквиц [23], Сезава и
Кубо [5] и др.).
3. Для деформаций при больших частотах (или при больших ско-
ростях деформации) удовлетворительные результаты дает гипотеза вяз-
кого трения (Квимби [15]).
Фиг. 18.
Отметим, что попытки ввести гипотезу вязкого трения в расчеты
демпфирования при малых частотах представляются нам совершенно
несостоятельными, так как эксперименты противоречат выводам из этой
теории. В частности, нам кажутся лишенными всякой ценности величины
„коэфициентов вязкости" металлов, определяемых из опытов на основании
формул, вытекающих из гипотезы вязкого трения при низких частотах.
В самом деле, основой этой теории является предположение о посто-
янстве коэфициента вязкости, — при этом условии решаются соответ-
ствующие уравнения; из опытов же с полной очевидностью следует,
что определенный по этим формулам коэфициент вязкости является
переменным.
Чтобы охватить в единой схеме все указанные выше явления,
приходится предположить, что площадь петли гистерезиса и декремент
затухания зависят и от величины деформации и от скорости деформации:
1S
На фиг. 18 и 19 изображен примерный вид поверхностей S и 1,
обладающих описанными выше свойствами.
На этих фигурах отмечены цифрами 1, 2 и 3 зоны плоскости
(_ de \
, которым соответствуют указанные выше три группы экспери-
dt )
ментов.
Отметим, что показательный рост площади петли гистерезиса в
опытах школы Фёппля, рост, пропорциональный четвертой степени
амплитуды в опытах Берлинера [1] и второй степени амплитуды в опытах
Бенневица [46], не противоречат друг другу, так как эти опыты охва-
тывают все меньшие области амплитуд, а известно, что при малых зна-
чениях аргумента полиномы второй или четвертой степени хорошо ап-
проксимируют показательный закон (заметим, кстати, что Роветт [10]
•считает площадь петли гистерезиса растущей как третья степень ампли-
туды).
0 1
Фиг. 19.
Следует однако отметить, что схемы вида, изображенного на
фиг. 18 и 19, все же не могут дать полного представления о характере
демпфирования в упругих и пластических телах. Явления эти чрезвы-
чайно сложны и связаны с очень многими факторами. В частности,
Лудвик и Шеу [28], Эзау и Кортум [30] и др. отмечают зависимость
величины затухания от времени, в течение которого колеблется стержень.
Зависимости эти, однако, настолько сложны и так мало еще выяснены,
что мы о них сейчас говорить не будем.
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГИСТЕРЕЗИСА И
ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ В УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТАХ ПРИБОРОВ
Одним из последних и наиболее подробных исследований гистере-
зиса и последействия в упругих элементах приборов является работа
Уайлдхэк и Гёрке [52], Авторы этой работы рассматривают следующий^
величины, характеризующие отклонения упругих свойств гофрированных
мембран от законов идеальной упругости:
2 Д. Ю. Панов. ер ий Институт ГЕ п
БяалцртЕ’а
2/66
«• ---------------------------
1) гистерезис (Hysteresis),
2) последействие (Aftereffect),
3) дрейф (Drift), « -
4) смещение нуля (Zero shift),
5) восстановление (Recovery).
Смысл этих терминов достаточно ясен из фиг. 20. а и б.
Из рассмотрения фиг. 20 а и б видно, что „гистерезисом" в рас
сматриваемой работе называется разность деформаций при прямом
обратном ходе, „дрейф" соответствует последействию в том смысле
который мы приписывали этому термину до сих пор, „восстановление
и „последействие" определяется через последействие при снятии нагруз
ки, а „смещение нуля" есть остаточная деформация. Уайлдхэк и Гёрк
пытаются установить законы, связывающие все эти величины с парамет-
рами мембраны и действующими на нее нагрузками или, точнее говоря,
с величинами, определяемыми заданием нагрузок (прогиб в центре,
напряжения). При этом получены результаты, которые не могут быть
достаточно основательно объяснены авторами. Так, например, на гра-
фике для гистерезиса (фиг. 21) по оси орДинат отложена величина,
пропорциональная отношению ширины петли гистерезиса к прогибу мем-
браны в центре, а по оси абсцисс — отношению прогиба в центре к
диаметру. Наличие резко выраженного максимума на этих графиках
остается необъясненным, в то время как использование изложенной
выше общей теории позволяет легко объяснить это явление. В самом
деле, в соответствии с результатами общей теории следует ожидать,
что ширина петли гистерезиса "j будет пропорциональна наибольшему
напряжению с в мембране.
С другой стороны, теория гофрированных мембран (см., например,
нашу работу [16]) дает для напряжения а выражение
а = а^—а^0 4- . . . ,
18
где R — радиус мембраны, а для прогиба в центре выражение
W~bx R*- . . .
Если так, то
w
и
откуда
7 / W \А / W У ,
-----— Шл I - - - I 3 - ^2 I-----I -J- • • •
U7 1 [ D / \ D /
~ W f
ото разложение показывает, что для малых — величина
является разностью двух выражений, дающих кривую как раз того типа,
который получен из эксперимента )фиг. 22). Конечно, нельзя с полной
уверенностью сказать, что предлагаемое объяснение окажется исчерпыва-
ющим, однако нам представляется весьма целесообразным привлечение
теории к анализу этих экспериментов.
Другой пример связан с анализом кривых для „дрейфа" и’„вос-
становления". Авторы пишут, что кривая „восстановления" не является,
как это можно было думать, обратной по отношению к кривой „дрейфа".
Если привлечь общую теорию последействия, то несовпадение кривых
„дрейфа" и „восстановления" делается вполне понятным и очевидным.
В самом деле, кривая „дрейфа" есть кривая последействия для случая
нагрузки, а кривая „восстановления" — кривая последействия для слу-
чая разгрузки. Из общей теории следует (см., например, работу Беккера
[48]), что если первая из них имеет вид
(нагрузка приложена в момент t — 0}, то вторая будет иметь вид:
* = ₽ [ф(*Ч-^) —ф(*)]
19-
(нагрузка приложена в момент t——t, и снята в момент t= 0) и су-
щественно отличается от первой.
Не останавливаясь на остальных пунктах этой работы и другмх
аналогичных работах, мы должны отметить еще раз, что выяснение
сложных и тонких явлений, связанных с гистерезисом в упругих элемен-
тах приборов, требует привлечения всей теории, разработанной до сих
пор.
Таблица 1
Сводка некоторых экспериментальных работ по упругому гистерезису и
затуханию упругих колебаний
Статичес- кие экспе- рименты Динамические эксперименты
со свобод- ными коле- баниями с вынужден, колебав.
медленными « 1000 гц) быстрыми
Эксперименты с нормальными напряжениями (растяжение или изгиб) Берлинер Хондо и Конно [4] Сезава и Кубо [5] Фохт [6] Кац и Пучков [7] Бенневин [46] Гопкинсон н Вилльямс [11] Берстоу [12] Лер [13] Шмидт [14] Хейдекамф [27] Лудвик и Шеу [24] Фёппль и Шаф [29] Кимбалл и Ловелл [26] Квимби [15]
Эксперименты с касательными напряжениями (кручение) Хеттвер [3] Беккер и Фёппль [3] Иокнбе и Сакаи [8] Субрамани- ам и Гюн- найя [9], [24], [25] Роветт [10] Кац и Пучков [7] Пертц [18] Эзау и Корту м [30] Зсннеманн [17] Лер [13] Шмидт [14] Банквиц [23] Буземанн '[19] Беккер [20] Беккер и Фёппль [3] Фёппль [21], [22] Зоннеманн [17]
ЛИТЕРАТУРА
1. S. Berliner, Wiedemann Ann., Bd. 20 (1906), s, 527.
2. F. Hettwer, Wien. Вег. II a, Bd. 134 (1925), s. 51.
3. E. Becker&O. FOppl. Forschungsarb. Hf. 304 (1928).
4. K. HondaA S К on no. Phil. Mag. (6), vol. 42 (1921), p. 115.
5. K. S e г a w a & К. К u b o. Report of The aeronautical Research In-
stitute, Tokyo Imperial Institute, №89 (1932).
6. E. Voigt. Zeitschr fur Techn. PhysiK, lahrgang 9 (1928), s 321.
7. А. Кац. и С. Пучков — О коэфициентах внутреннего трения
металлов. Труды сейсмологического института АН СССР,
№75.
8. К. Iokibe& S. Sakai. Phil. Mag. (6), vol. 42 (1921), p. 397.
9. G. Subrahmaniam & D. Gunnaiva. Phil. Mag. (6), vol. 49
(1925), p. 711.
10. F. Ro wet t. Proc. Roy. Soc. London sen A, vol. 89 (1914), p. 528.
11. Hopkinson & Williams. Proc. Roy. Soc London Ser. A, vol. 87
(1912), p. 502.
12. В airstow, Bull, de la Soc d‘ Encouragement par 1' Ind. Nat.
1920, p. 108.
13. Lehr- Glasers Ann. (1926), s. 109 ff.
14. I. Schmidt. Veroffentl. des Wohler. Inst. Hf. 9 (1931).
15. S. L. Quimby. Phys. Rev. (2), vol. 25 (1926), p. 558.
16. Д. Ю. Панов.—Прикладная Математика и Механика, т. 5, 1941г.
стр. 303.
17. Н. S о n n е m a n n. Mitteilungen d. Wohler-Institute, Hf. 28(1936).
18. E. Pertz. Sammlung Vieweg H. 91 Brauschweig (1928).
19. Busemann. Diss. Braunschweig (1925).
20. E. Becker. Diss. Braunschweig (1927).
21. O. FOppl Z. VDI (1928), s. 1293.
22. O. Fop pl Schweizer-Bauzeitung Bd. 86, №23 (1925).
23. E. Bank witz. Mitteil. des Wohler. Inst. Hf. 11 (1932).
24. G. Subrahmaniam. Phil. Mag. (6) vol. 50 (1925), p. 716.
25- G. Subrahmaniam. Phil. Mag. (7), vol. 1 (1926), p. 1075.
26. A. 'L. Kim ba 11& D. E. L о v e 11. Meeh. Engin. vol. 49, №5 (1927),
p. 440.
27. G. V. Heydekampf. Diss. Braunschweig, 1929.
28. P. Ludwik& R. Scheu. Z. VDI. Bd. 76, №29 (1932), s. 6°3.
29. O. F 6 p p 1 & G. Schaaf Forschungsarb. Hf. 335 (1930).
30. A. Esau& H. Kortum. Z. VDI, Bd. 77, №42 (1933), s. 1133.
31. W. Voigt. Ann. d. Phys. Bd. 47 (1892).
32. Kelvin Proc. Rov. Soc. (1865).
33. Филиппов. Изв'. АН СССР, 1934 г., №6.
31. Филиппов. Изв. АН СССР, 1935г., №4.
21
35? Holzer, ZAMM Bd. 8 (1928), s. 272.
36. Muto, K- , ZAMM Bd. 10 (1930), s. 346.
37. Sezawa, K. Bull. Earthquake Res. Inst. Tokyo. Bd. 3 (1927) p. 50.
38. Suyehiro, K. Proc. Imp. Acad. Tokyo. Bd. 4 (1928), p. 263.
39. Spath, W. ZAMM, Bd. 7 (1927), s. 360.
40. V. Schlippe, В Ingenieur. Archiv, Bd. VI, 1935, s 127.
41. Bock, ZAMM, Bd. 12 (1932), s. 261.
42. Giovannozzi, R L‘ Aerotecnica, vol. XVII, №12 (1937), p 1047.
43. Giovannozzi, R L‘ Aerotecnica, vol. XVIII, №10(1938), p. 1095.
44. Панов Д. Ю. — Прикладная Математика и Механика т.IV, 1940,
стр. 65.
45. Boltzmann Ges. Abh. I. №30; II, №43.
46. Bennewitz, К. Phys. Zeitschr. Bd. 25, (1924), s. 417
47. V. Wartenberg. Verh. d. Deutsch. Phys. Gesellsch. Bd. 20
(1918) s. 113.
48. Becker, R. Zeitschr. f Phys. Bd. 33 (1925), s- 185.
49. Odone, V Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino,
vol. 61 (1925-26), p. 302.
50. Schmidt, P. M. Wied. Ann. 2, (1877), s. 241.
51. Тимошенко С. П. — Сопротивление материалов. Москва—Ле-
нинград, 1934.
52. Wildhack&Goerke. NАСА Techn. Notes №876 (1942 г.).
53. Панов Д. Ю. — Прикладная Математика и Механика, том X,
№5-6, стр. 581 (1.46).
' ' 4Ту , )
I ВИВЛИОТЕКА
№_V/t>b
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . •....................................3
I. Основные понятия................................. 4
2. Общие теоретические соображения и данные экспериментов. ... .8
3. Экспериментальное исследование гистерезиса и последействия в упругих
элементах приборов............................... 17
Литература.... .. . ......... ....21