Текст
У. к э д и
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО
НЕГО
ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
и*л
Из дате л ъсте о иностранной литературы
*
PIEZOELECTRICITY
AN INTRODUCTION TO THE THEORY AND APPLICATIONS OF ELECTROMECHANICAL PHENOMENA IN CRYSTALS
by
W. CADY
FIRST EDITION NEW YORK—LONDON,
1946
У. КЭДИ
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЕГО ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО Б. Н. ДОСТОВАЛОВА и В. П. КОНСТАНТИНОВОЙ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ А. В. ШУБНИКОВА
1949 ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Пьезоэлектричеством называют явление электризации кристаллических и других анизотропных диэлектриков под действием приложенного к ним механического напряжения. Серьезное внимание на это явление было впервые обращено братьями Пьером и Жаком Кюри, приступившими к количественному изучению пьезоэлектричества в 1880 г. и тем самым положившими начало новой интереснейшей и весьма важной в практическом отношении отрасли физической кристаллографии. Этому способствовало и то, что один из братьев, Жак Кюри, был минералогом и хорошо владел кристаллографией, а другой, Пьер, был физиком, причем сочетал в себе черты экспериментатора и теоретика. Своими работами братья Кюри лишний раз показали, насколько плодотворной может оказаться кооперация столь, казалось бы, различных дисциплин, как геометрическая кристаллография и физика. Основной идеей, которой руководствовались братья Кюри в своих работах по пьезоэлектричеству, была выявленная поколениями кристаллографов, среди которых звездами первой величины светят имена русских ученых Гадолина и Федорова, идея доминирующей роли симметрии кристаллов, объединяющей в себе все прочие физические и химические их свойства. Эта идея продолжает сохранять свой примат в кристаллографии и в настоящее время и начинает играть существенную роль также в физике и химии.
При своем возникновении и в первые годы своего существования область пьезоэлектричества не была явным образом связана с практикой и потому сначала развивалась медленно и в односторонне-теоретическом направлении. Основным итогом работы в этой области за первые сорок лет следует считать экспериментальное определение пьезоэлектрических констант некоторых кристаллов и создание В. Фогтом и его школой феноменологической теории пьезоэлектричества. Из русских ученых, работавших по пьезоэлектричеству в это время, следует назвать Б. Коленко, Г. Вульфа и Н. Андреева.
Бурное развитие пьезоэлектричества началось во время первой мировой войны, когда известный французский физик П. Ланж;евен показал, что кварцевые пластинки могут быть приведены в колебание переменным электрическим полем, и предложил применить получаемый при этом мощный ультразвук для измерения глубин и подводной сигнализации.
6
Предисловие редактора
Следующий этап развития связан с именем автора настоящей книги, У. Кэди, в 1923 г. впервые обратившего внимание на то, что колеблющийся с резонансной частотой кварц оказывает на возбуждающее его переменное электрическое поле стабилизующее действие. Этим было положено начало широкому применению кварцевых пластинок для контроля и фильтрации частот радиоволн.
После открытия Кэди кварц стал предметом особого внимания во многих странах. На долю советских ученых выпала почетная задача открыть собственные месторождения кварца, изучить их кристаллографически и разработать собственную технологию обработки кварца. Ограничусь перечислением некоторых из советских научных работников, принимавших участие в этом деле: Г. Г. Леммлейн (месторождения, морфология кварца), Ф. М. Ильин, П. П. Куровский, Н. Г. Коваленок, А. Я. Вайнберг (технология и применение пьезокварцевых пластинок), Н. Н. Андреев (ультра а кустика), С. Я. Соколов («прозвучивание» металлов), Н. А. Иванов, П. С. Вадило, В. Н. Чернова и др. (месторождения кварца), И. Г. Васин (технология), Е. В. Цинзерлинг (механическое двойникование кварца), А. В. Шубников (кристаллография кварца, техника обработки).
Из зарубежных ученых на поприще исследования пьезокварца особенно выдвинулись (кроме упомянутых Ланжевена и Кэди): в Америке — В. Мэзон, в Германии — Р. Бехман, X. Штраубель, А. Шейбе, в Чехословакии — В. Петржилка, в Японии — И. Кога, в Англии — П. Вигурё, во Франции — Э. Тавиль, А. Грамон, в Китае — Ни Тси-Зе.
Одновременно с внедрением кварца в технику стали изучаться и другие кристаллы. Особое внимание было уделено сегнетовой соли после того, как в результате ряда работ И. Валашека (1915—1924) и других были в общих чертах устано'влены аномальные электрические свойства сегнетовой соли: униполярность, гистерезис, точки Кюри, аномально большие диэлектрическая постоянная и пьезоэлектрический модуль. Общепризнанную и весьма значительную роль в детальном изучении и теоретическом истолковании аномалий сегнетоэлектриков сыграли работы советских ученых И. Курчатова с сотрудниками и Р. Шуль-вас-Сорокиной.
Изучение аномальных свойств кристаллов сегнетовой соли породило множество изобретений, относящихся к использованию сегнетовой соли в электротехнике, и привело к созданию специальной «сегнетоэлектрической» промышленности, слагающейся из четырех совершенно не похожих друг на друга по своему профилю ветвей: получение соли из отходов виноделия или другими способами, выращивание кристаллов, изготовление пьезоэлементов и изготовление аппаратуры (телефоны, микрофоны и др.). Из многочисленных советских исследователей, явившихся зачинателями в деле развития сегнетоэлектрической промышленности, укажу на В. Вологдина (принцип умножения частот с
Предисловие редактора
7
помощью кристаллов сегнетовой соли), Н. Шефталя, А. Штернберга и Г. Добржанского (выращивание кристаллов), А. Шеина, В. Лепешинскую, П. Ананьева (приборы), В. Битовского (выращивание кристаллов, изготовление пьезоэлементов).
Учение о пьезоэлектричестве является в настоящее время хорошо развитой областью знания. Об этом свидетельствует хотя бы приложенная к данной книге библиография по пьезоэлектричеству, содержащая 602 журнальных статьи и 57 книг. Если из числа последних исключить все книги, в которых пьезоэлектричеству отводится не главная роль, и пополнить его рядом книг, не использованных автором, то получим все же солидный перечень, включающий следующие издания: 1) О. М. Аншелес, В. Б. Татарский, А. А. Штернберг, Скоростное выращивание кристаллов из растворов, Л., 1945. 2) И. Курчатов, Сегнетоэлектрики, Л.— М., 1933. 3) В. Н. Лепешинская, Пьезоэлектрические приборы с сегнетовой солью, Л., 1943. 4) А. Шубников, Кварц и его применение, М.— Л., 1940. 5) А. Шубников (с сотрудниками), Руководство к изготовлению пьезокварцевых препаратов, 1931. 6) F. Bedeau, Le quartz piezo-electrique et ses applications dans la technique des ondes hertziennes, Paris, 1928. 7) L. Bergmann, Der Ultraschall und seine Anwendung in Wissenschaft und Technik, Berlin, 1937, 1939, 1942. 8) W. Cady, Piezoelectricity, New York, 1946. 9) A. de Gramont, Re-cherches sur le quartz piezo-electrique, Paris, 1935. (Есть русский перевод: А. де Грамон, Исследование пьезоэлектрических свойств кварца, М., 1938.) 10) A. Heising; Quartz Crystals for Electrical Circuits. Their Design and Manufacture, New York, 1946. 11) E. Palmans, Piezo-
V
electricite, Paris, 1946. 12) V. Petrzilka, Piezoelektrina, Praga, 1940. 13) R. Sosman, The Properties of Silica, New York, 1927. 14) Symposium on Quartz, Am. Min. 30, 205—468, 1945. 15) A. Scheibe, Piezoelektrizitat des Quarzes, Dresden, 1938. 16) P. Vigoureux, Quartz Oscillators and Their Applications, London, 1939.
Уже по заглавиям этих книг видно, что большая их часть посвящается только пьезоэлектричеству кварца, часто даже только отдельным вопросам, связанным с пьезоэлектричеством кварца: обработке кварца, кварцевой стабилизации и т. д. Две книги (обе на русском языке) посвящены специально сегнетовой соли. И только три книги — книга Петржилки на чешском языке, книга Пальмана на французском языке и книга Кэди на английском языке,— судя по их заглавиям, должны представлять весь предмет в целом.
Первые две книги, по сути дела, представляют собой популярные обзоры результатов, достигнутых в области пьезоэлектричества, и по своему объему не могут итти ни в какое сравнение с книгой Кэди.
Книга Кэди тоже не обнимает всех сторон предмета, особенно в технической его части. В ней совершенно отсутствует описание месторождений кварца и способов определения пригодности кварца для тех
8
Предисловие редактора
или иных технических надобностей. Почти совсем отсутствует описание способов ориентировки, распиловки, шлифовки и подгонки кварцевых пластинок на заданную частоту. Мало внимания уделяется важному вопросу о способах монтировки пьезопластин и своеобразным малоизученным явлениям, связанным с этим вопросом. Очень мало можно узнать о технике выращивания кристаллов сегнетовой соли, -о способах их обработки, о способах ориентировки, серебрении, закреплении пьезоэлементов из кристаллов сегнетовой соли. Недостаточно места отводится техническим применениям кварца и сегнетовой соли и описанию пьезоэлектрической аппаратуры.
Однако следует иметь в виду, что по указанным разделам имеются отдельные издания на русском и иностранных языках. Кроме того, многие важные технические подробности в вопросах использования кристаллов являются секретами фирм и вообще не проникают в печать. Естественно, что эти данные и не могли войти в книгу.
Надо учесть и то, что в ряде перечисленных вопросов мы, несомненно, идем впереди зарубежных стран и в дополнительной информации не нуждаемся.
Переходя к характеристике содержания книги и манеры изложения Кэди, прежде всего отметим, что область пьезоэлектричества самым тесным образом переплетается со всеми другими отделами кристаллофизики, с.геометрической кристаллографией, а также с рядом значительно удаленных друг от друга физико-математических дисциплин: с радиотехникой и техникой обработки кристаллов, с электроакустикой и теорией упругости, с тензорным исчислением и термодинамикой. Учитывая это, нельзя ожидать, чтобы, руководство по пьезоэлектричеству, написанное одним лицом, оказалось достаточно полным и во всех -своих частях одинаково хорошо выполненным.
Будучи физиком, автор, естественно, не мог изложить две первые вводные чисто кристаллографические главы достаточно ясно и безупречно. В целях исправления ошибок и неточностей, допущенных здесь автором мы были вынуждены в некоторых местах значительно отступить от буквального перевода текста.
Следующие две вспомогательные главы, посвященные теории упругости, написаны автором языком Фогта без использования современной символики для компонент тензоров. В силу этого, автор книги вынужден приводить многие десятки формул готовыми, не указывая общего пути их вывода и лишая тем самым читателя возможности проверки их в нужных случаях. Редакция не сочла возможным взять на себя мало благодарную задачу соответствующей переделки книги, Полагая, что интересующиеся читатели смогут обойти все трудности, связанные с употреблением старой символики, ознакомившись с новой символикой по книге А. В. Шубникова, Е. Е. Флинта и Г. Б. Бокия, Основы кристаллографии, М.—Л., 1940.
Предисловие редактора
9
Редакции пришлось также учесть и то обстоятельство, что старая символика считается пока общепринятой и что знание ее необходимо для понимания старой литературы по пьезоэлектричеству.
Собственные интересы автора книги лежат в области применения пьезокварца для стабилизации радиочастот. Сам принцип использования кварца для этой цели, как уже сказано выше, был открыт Кэди. Естественно, что главы книги, относящиеся к этой стороне дела, написаны автором наиболее полно.
Значительное место (восемь глав) отведено свойствам и теории сегнетовой соли и других сегнетоэлектриков. Здесь Кэди подробно излагает работы советских ученых — И. В. Курчатова, Б. В. Курчатова, Р. Д. Шульвас-Сорокиной и др.
Глава о разнообразных применениях пьезоэлектричества (фильтры, механические и акустические преобразователи, генераторы ультразвуковых колебаний), помещенная после глав о сегнетоэлектриках, представляет собой сравнительно беглый и общий обзор, но зато снабжена обширной библиографией, насчитывающей свыше двухсот названий.
Книга заканчивается главами о пироэлектричестве, пьезооптических и электрооптических эффектах и об атомной теории пьезоэлектричества.
В ряде мест книги редакцией были обнаружены отдельные опечатки и другие бесспорные, но несущественные погрешности: они исправлялись без каких-либо примечаний со стороны редакции. Эпиграфы, предшествующие каждой главе и часто не имеющие прямой связи с содержанием глав, редакция сочла уместным опустить полностью.
В заключение нельзя не остановиться на одном не осознанном автором представлении, широко распространенном среди физиков. Речь идет об ироническом отношении автора к попыткам некоторых исследователей обнаружить пьезоэлектрические явления в аморфных и вообще не монокристальных материалах. Сущность вопроса заключается в следующем. Принято делить все твердые тела на две категории: на аморфные и кристаллические твердые тела, или на изотропные и анизотропные твердые тела. При этом аморфные твердые тела отождествляются с изотропными твердыми телами, и им приписывается шаровая симметрия, а кристаллические тела, в форме одиночных кристаллов, отождествляются с анизотропными телами, и им приписывается симметрия, ограниченная рамками 32 «кристаллографических» групп симметрии. Автор книги, а с ним и многие другие, явно не отдает себе отчета в том, что могут существовать и фактически существуют достаточно однородные (идеально однородных тел в при* роде не встречается) анизотропные твердые тела, например текстуры, которые не обнимаются этой классификацией и обладают «некристаллографической» симметрией. Применяя к таким телам тривиальный кристаллографический метод рассуждения (метод симметрии,), нетрудно
10
Предисловие редактора
теоретически обосновать возможность существования в некоторых из них пьезоэлектрических явлений. Фактическое открытие этих явлений в кристаллических текстурах и дереве, сделанное автором этих строк совместно с А. С. Шеиным, лишний раз показывает, как осторожны должны быть исследователи в своих суждениях о невозможном, особенно тогда, когда вопрос выходит за пределы их компетенции.
В целом книга Кэди — безусловно полезная книга. Знакомство с ней принесет пользу всем, кто так или иначе имеет дело с явлениями пьезоэлектричества и с физикой кристаллов вообще. Круг таких лиц весьма широк; в него входят радиотехники, занимающиеся вопросами стабилизации частот, акустики, разрабатывающие вопросы подводной связи, электроакустики, занятые телефонами и микрофонами, инженеры, работающие над использованием пьезоэлектричества для целей измерения давлений, специалисты по «прозвучиванию» металлов с целью обнаружения в них пороков и т. д.
Для советского читателя книга Кэди явится прежде всего справочником по пьезоэлектричеству, стоящим на вполне современном научном уровне.
Член-корреспондент Академии наук СССР
2 октября 1948 г. А. В. Шубников.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Интерес к физическим свойствам пьезоэлектрических кристаллов и к их практическим применениям возрос настолько, что ощущается необходимость подробного изложения этих вопросов. Предлагаемая книга является попыткой хотя бы частично удовлетворить эту потребность.
Пьезоэлектричество так тесно связано со всеми отраслями физики, что любое общее изложение этого вопроса должно быть до некоторой степени трудом, по физике кристаллов вообще. Что эта книга все же не объемлет- всей физики кристаллов, очевидно уже потому, что такие вопросы, как металлические кристаллы и структурная чувствительность, в ней едва упоминаются. Даже из диэлектрических кристаллов рассматриваются только кристаллы с пьезоэлектрическими свойствами. Такие вопросы, как тепловые свойства и пластичность, затрагиваются лишь постольку, поскольку они имеют отношение к основной теме. С другой стороны, казалось желательным включить главы об упругости, пироэлектричестве и некоторых оптических эффектах, изложив основные принципы и те специальные свойства, которые связывают их с пьезоэлектрическими явлениями.
Значительное место уделено теории пьезорезонатора, его эквивалентной электрической схеме и графическим методам анализа проблем резонатора. ;
Большое внимание было обращено на сегнетову соль и другие сегнетоэлектрики, потому что относящиеся к ним проблемы очень интересны и объем их современных и будущих применений очень широк. Рациональное использование этих кристаллов в технических устройствах невозможно без знания их свойств и теории. Некоторые сведения по ферромагнетизму, помещенные в приложении, даны для того, чтобы облегчить интерпретацию аналогичных эффектов в сегнетоэлектриках. Различные взгляды на свойства и теорию сегнетовой соли вкратце резюмированы во вводных параграфах гл. XX, XXIII и XXV, а также в § 471—476 и 489—490.
Г. Мюллер и В. П. Мэзон недавно предложили новую формулировку теории пьезоэлектричества, известную под названием «теория поляризации». В гл. XI автор показал, как эту и другие формулировки можно вывести из термодинамических принципов, и развил теорию поляризации в общей форме, приложимой ко всем пьезоэлектрическим кристаллам.
Желающие воспользоваться книгой как общим изложением физических свойств и применений пьезоэлектрических кристаллов найдут интересующий их материал главным образом в гл. I, II, III, V, VII, VIII, X—XV, XVIII, XIX и XXVIII—XXXI, дополненных вводными параграфами большинства других глав, а также § 49—52 и 172—175.
Так как книга предназначена для научных работников, студентов-физиков и радиолюбителей, то отдельные ее части требуют больше других предварительного знакомства с физикой, математикой и теорией
12 Из предисловия автора
электрических схем. Для понимания большей части гл. I, II, XVI, XIX, XXVIII, вводных частей ко многим другим главам и особенно гл. VIII, XIII, XVII и XX не требуется большой научной подготовки.
Детали электрических схем, вообще говоря, опускались; даны только немногочисленные примеры. Хотя лабораторное руководство по пьезоэлектрическим кристаллам, несомненно, было бы полезным, недостаток места позволил включить в эту книгу только несколько параграфов по технике работы с кварцем и сегнетовой солью.
Местами в книге помещен еще неопубликованный материал. В этом отношении можно отметить значительные части гл. V, XI, XII, XIII, XIV и XVII, описание устройств, представленных на фиг. 103 и 154, сноску на стр. 389 и изложение некоторых экспериментальных результатов, полученных студентами Веслейского университета.
Цифры в квадратных скобках, встречающиеся в тексте, представляют собой ссылки на общую библиографию, помещенную в конце книги. Литература по электретам и влиянию колебаний кристаллов на вид рентгенограмм дана соответственно в гл. IX и XIII.
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
1. Системы и классы кристаллов.................................... 32
2. Символы граней правого кварца.................................. 40
3. Группировка кристаллов по физическим свойствам................. 45
4. Упругие коэфициенты сегнетовой соли.......................... 124
5. Упругие коэфициенты сегнетовой соли.......................... 125
6. Вечичины, обратные модулю Юнга, для брусков сегнетовой соли, ориентированных под уг. ом в 45° к указанным осям ..................... 126
7. Линейные сжимаемости сегнетовсй соли.......................... 128
8. Температурные коэфициенты частоты для 45-градусных срезов сегнетовой соли........................................................... 131
9. Упругие коэфициенты кварца . . •............................. 135
10. Динамические температурные коэфициенты упругих коэфициен-тов кварца............................................................. 136
И. Принятые значения адиабатических упругих коэфициентов кварца 137
12. Упругие коэфициенты q для колебаний по толщине кварцевых пластинок различной ориентации............................................ 142
13. Упругие коэфициенты турмалина...................... .... 153
14. Диэлектрические восприимчивости для семи систем кристаллов • . 158
15. Влияние загрязнения поверхности на диэлектрические постоянные сегнетовой соли........................................................ 164
16. Пьезоэлектрические коэфициенты для каждого класса кристаллов 184
ч17. Четыре типа пьезоэлектрического эффекта....................... 187
18. Пьезоэлектрические модули dn кварца....................• . . 209
19. Пьезоэлектрические модули d14 кварца.......................... 210
20. Динамические значения пьезоэлектрических коэфициентов кварца 211
21. Главные уравнения Фогта и поляризационной теории............. 238
22. Электромеханические соотношения.............................. 253
23. Эквивалентные константы для колебаний по толщине............. 306
24. Критические частоты резонатора............................... 333
2\ Данные резонатора для широких изменений частот............... 353
26. Плотность, теплопроводность и удельная теплоемкость а-кварца пр# различных температурах.................• .......................... 384
27. Удельное сопротивление кварца при различных температурах . . . 385
28. Данные по колебаниям изгиба ................................ 417
2Q. Данные по колебаниям кручения................................. 419
20. Сводка данных для различных срезов кварца.................... 428
31. Константы некоторых типичных кварцевых резонаторов........... 429
32. Диэлектрическая постоянная сегнетовой соли при различных температурах........................................................... 441
33. Частоты и электрические константы 45-градусного бруска сегнетовой соли среза X........'.............................................. 445
34. Электропроводность сегнетовой соли .......................... 482
35. Диэлектрическая постоянная сегнетовой соли при высоких частотах 526
36. Вычисленные значения дипольных моментов сегнетовой соли . . . 599
37. Численные данные для фосфатов и арсенатов.................... 606
СИМВОЛЫ И СОКРАЩЕНИЯ 1
А амплитуда колебаний, вещественная или комплексная, § 56. а коэфициент линейного теплового расширения, § 20. amh>bmh постоянные пьезоэлектрического напряжения и деформации, применяемые в теории поляризации, § 189.
а, Ь, с, кристаллографические оси, § 4.
а, Ь, с отрезки единичной грани на осях а, Ь, с, § 4.
В коэфициент диэлектрического насыщения, § 449, 452.
b ширина бруска или пластинки; электрическая реактивная проводимость (в применении к резонатору, § 26?).
С электрическая емкость; для резонатора см. ниже R, L, С, С2 емкость зазора между кристаллом и электродами, § 284. с скорость волны, § 55; обобщенный символ констант упругого напряжения, § 201. chk упругие константы, § 26; помещаемые вверху буквы Е, Р, D и знак * обозначают соответственно значе ния при постоянном электрическом поле, постоянной поляризации, постоянном полном смещении и постоянном нормальном смещении, как поясняется в гл. XII.
D электрическое смещение.
dmh пьезоэлектрический модуль, § 23, 124.
Е напряженность электрического поля, § 20. е толщина пластинки или бруска.
е' „электрическое расстояние" — еkw, § НО.
е'г действующее „электрическое расстояние'1 резонатора, § 229, 249.
emfl пьезоэлектрическая константа, § 23, 124.
F коэфициент трения, § 56; напряженность внутреннего поля, § 113, 485.
/ частота; /Г1=шо/2”==основной частоте, § 58.
fsifp частота резонанса напряжений и резонанса токов, § 276.
fm>fn частота максимальной и минимальной полной проводимости, § 279.
О величина, равная §62.
g электрическая активная проводимость (в применении к резонатору, § 269).
Н напряженность магнитного поля; волновая постоянная = fl, § 362.
h порядок гармоники, § 55; отношение любой частоты / к основной частоте /0,§ 61.
I электрический ток; момент инерции, § 74; магнитная поляризация, § 548.
J механический эквивалент тепла, § 23.
К постоянная Больцмана, § 114.
k постоянная длины волны, § 56; диэлектрическая постоянная, § 103.
ki действующая диэлектрическая постоянная для колебаний, по длине § 229.
km диэлектрическая постоянная в поле любого направления т; другие специальные индексы указаны в § 105, 107, 430.
k',k" диэлектрические постоянные соответственно свободного и зажатого кристалла, § 104, 124, 204.
kHz килогерцы.
J) В ссылках указаны параграфы, в которых символы определяются или вво дятся.
Символы и сокращения
15
L функция Ланжевена, § 114, 548; самоиндукция (о самоиндукции резонатора см. ниже R, L, С, Ci).
I длина.
1,т,п направляющие косинусы.
М эквивалентная масса резонатора, § 62.
mA миллиамперы.
MHz мегагерцы.
piF, p[j.F микрофарада, микромикрофарада.
N число молекул в единице объема, § 113; динамический упругий коэфициент при кручении, § 74.
Ns статический упругий коэфициент при кручении, § 35.
п модуль сдвига, § 24; мера диссонанса п — ш0— w, § 58.
Р электрическая поляризация.
Р° спонтанная поляризация.
р — пироэлектрическая константа, § 20, 516; коэфициент обобщенной функции Ланжевена, § 114, 552.
Q количество тепла, § 20; вращающий момент, § 35; электрический заряд; фактор качества = к/В = uL[R, § 56, 269.
Qh фактор качества у гармоники Л, § 232.
9 электрокалорическая постоянная, § 523; коэфициент обобщенной функции Ланжевена, § 114, 552; общий коэфициент упругости в уравнениях колебаний, § 55; коэфициент термоупругости, § 20, 23.
упругие коэфициенты для случаев с зазором и без зазора»
R.L'C.C^ эквивалентные электрические константы резонатора, § 232.
R',L’,С,Сi то же для резонатора с зазором, § 232.
R'h,L'ь.Сh эквивалентные константы для обертона порядка h, § 232.
RS,XS,CS эквивалентные константы при последовательном соединении, § 271.
Rp,Xp,Cp эквивалентные константы при параллельном соединении, § 273.
г электромеханическое отношение, § 223.
s обобщенный символ коэфипиента s, или упругого модуля, § 20, 201.
коэфициент s, или упругий модуль, § 26; специальные индексы вверху те же, что и для chk.
ву масштабное значение для полных проводимостей на резонансной окружности, § 226. sz масштабное значение для полных сопротивлений на резонансной окружности, §270. Т абсолютная температура; модуль кручения, § 35.
t время; температура в градусах Цельсия.
U постоянная эффекта зазора, § 237.
u,v,w компоненты смещения частицы, § 26.
V потенциал; разность потенциалов.
v скорость колеблющейся частицы, § 58.
W эквивалентный коэфициент трения резонатора, § 62.
w полный зазор между кристаллом и электродами, § 110.
X обобщенный символ механического напряжения, § 20, 201; электрическое реактивное сопротивление (реактивное сопротивление резонатора см. в § 232)
Xh компонента напряжения, § 25.
X.Y.Z прямоугольные оси, § 5.
X',Y',Z' повернутые прямоугольные оси, § 38.
(Хп)а возбуждающее механическое напряжение в направлении, указываемом п, в теории резонатора, § 228.
х обобщенный символ деформации, § 20.
Xh компонента деформации, § 26.
x,y,z пространственные координаты.
16
Символы и Сокращения
Y модуль Юнга, § 24, электрическая полная проводимость (о полной проводимости резонатора см. в § 232, 265, 269).
Z электрическое полное сопротивление (о полном сопротивлении резонатора см. в § 232, 265, 269).
а множитель затухания, или постоянная аттенюации, § 56; молекулярная поляризуемость, § 113; температурный коэфициент (обычно с индексом внизу), § 85, 357.
а,р,7 направляющие косинусы.
7 постоянная внутреннего поля, § 113, 484; параметр в теории вынужденных колебаний, § 57; параметр колебаний по толщине, § 250.
8 логарифмический декремент, § 56.
8,е обобщенные символы пьезоэлектрических коэфициентов и еть, применяемые когда желательно избежать индексов, § 20, 201, 228, 246.
е основание натуральных логарифмов.
С второй термодинамический потенциал, § 23.
т) диэлектрическая восприимчивость, § 104, специальные индексы и значки вверху вообще те же, что и у k, но см. также § 449, 450, 454.
т)! восприимчивость зажатого кристалла сегнетовой соли, § 450.
0 угловой параметр, выражающий общую ориентацию пластинки, § 52.
в угол поворота, § 38, 51; фазовый угол, § 234.
0уЛ коэфициенты диэлектрической непроницаемости, § 106.
9и,0/ верхняя и нижняя точки Кюри.
9 небольшое отклонение температуры от установленной величины, § 20.
% объемная упругость, § 24.
X длина волны; коэфициент Ламе, § 31.
и. момент диполя, § ИЗ.
$ первый термодинамический потенциал, §23; колебательное смещение частицы, §56, р плотность; радиус резонансной окружности, § 266.
а поверхностная плотность электрического заряда; коэфициент Пуассона, § 24; масштабная величина для частоты, § 267.
а' масштабная величина для частоты, § 268.
т деформация кручения, § 35.
Ф сила, действующая на эквивалентную массу М резонатора, § 62.
<р угол азимута, § 51.
X обратная восприимчивость, § 106; специальные индексы и значки вверху те же, ЧТО И ДЛЯ 7).
ф угол скоса для выражения общей ориентации пластинки, § 52.
о>=2п/ угловая частота; специальные индексы внизу те же, что и для /.
~ порядок величины.
та приблизительное равенство. = знак тождества.
Местами автор пользуется некоторыми из приведенных символов (а также и другими, не помещенными в списке) для специальных целей. В таких случаях они должным образом определяются.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
Электрические явления были впервые получены в результате действия механических сил. Древним грекам была известна таинственная притягивающая сила, появлявшаяся в янтаре (elektron) при его натирании В более поздние столетия по мере увеличения знаний об электричестве его различные формы обозначались специальными приставками к слову «электричество»: гальвано-, вольтово, животное, фрикционное, контактное, фарадеево, термо-электричество, фото-, балло-, трибо-, аю тино-, пиро-, пьезо-, или стрефо-электричество; некоторые из них в настоящее время устарели или отброшены.
Уже давно было замечено, что кристалл турмалина, помещенный в горячий пепел, сначала притягивает, а затем отталкивает его. В Европе об этом факте узнали впервые около 1703 г., когда голландские купцы привезли с Цейлона турмалин, но на Цейлоне и в Индии притягивающая сила кристалла была, повидимому, известна с незапамятных времен. Его иногда называли «цейлонским магнитом», и в 1747 г. Линней дал ему научное наименование lapis electrtcus. В 1756 г. Эпинус установил впервые важное электрическое свойство турмалина: образование зарядов противоположного знака на двух концах нагретого кристалла. В 1824 г. Брюстер, наблюдавший этот эффект с разного рода кристаллами, ввел название «пироэлектричество». Среди кристаллов, у которых он обнаружил пироэлектрический эффект, была и сегнетова соль. Первая определенная теория пироэлектричества, подтверждавшаяся большинством последующих исследований, была предложена Кельвином, который, отметив, что Кантон в 1759 г. наблюдал заряды противоположного знака на свежих поверхностях разломанного кристалла турмалина, постулировал состояние перманентной поляризации во, всяком пироэлектрическом кристалле. По этой теории пироэлектрический эффект представляет просто проявление температурного коэфициента этой поляризации.
Руководствуясь предположением Кулона о том, что давление может создавать электричество, кристаллограф Гаюи и затем Беккерель показали на опыте, что некоторые кристаллы действительно электризуются при сжатии. Их открытия — особенно тот факт, что такие непьезоэлектрические кристаллы, как кальцит, дали положительные результаты,-— привели, однако, к заключению, что явления, наблюдавшиеся ими, были главным образом, если не целиком, вызваны контактным электричеством * 2\
V Хотя открытие этого свойства янтаря часто приписывается Фалесу (VI век до н. э.), первый достоверный рассказ, дошедший до нас, повидимому, появился в «Тимее» Платона (427—347 гг. до н. э.).
2) Тем не менее было что-то пророческое в утверждении Беккереля [Bull. soc. philomath, Paris, ser. 3, 7, 149—155 (1820)].
2 Кэди
18
Глава!.
К заслугам братьев Пьера и Жака Кюри можно с уверенностью отнести открытие ими в 1880 г., явления, заключающегося в том, что на частях поверхностей некоторых кристаллов при их сжатии в определенных направлениях появляются положительные и отрицательные заряды, причем последние пропорциональны давлению и исчезают, когда оно снимается.
Это не было случайным открытием. Более раннее изучение Пьером Кюри связей между пироэлектрическими явлениями и симметрией кристаллов привело братьев не только к поискам электризации от давления, но и к предвидению, в каком направлении нужно прилагать давление и в каких классах кристаллов следует ожидать эффекта. Здесь уместно привести перевод вступительных параграфов их статьи, в которой они сообщали об открытии:
«Кристаллы, имеющие одну или больше осей с неодинаковыми концами, т. е. так называемые гемиэдрические кристаллы с косыми гранями, обладают особым физическим свойством создавать два электрических полюса противоположных знаков на концах этих осей, когда эти кристаллы подвергнуты изменению температуры: это явление известно под названием пироэлектричества.
Мы нашли новый метод получения полярного электричества в тех же кристаллик, состоящий в том, что их подвергают изменениям давления вдоль их гэмиэдрических осей».
После этих замечаний следует краткое сообщение об изготовлении плоских пластинок, вырезанных с соответствующей ориентацией, снабженных электродами из оловянной фольги и присоединенных к электрометру. Отклонения наблюдались при сдавливании пластинок следующих кристаллов: цинковая обманка, хлорат натрия, борацит,* турмалин, кварц, каламин, топаз, винная кислота, тростниковый сахар и сегнетова соль. В последующих статьях братья Кюри описали пьезоэлектрические эффекты в других кристаллах, первые количественные измерения эффекта в кварце и турмалине, практические применения пьезоэлектрических кристаллов и проверку обратного эффекта, о котором будет сказано в свое время.
В научных кругах сразу же был возбужден большой интерес. В частности, Ханкель возражал против утверждения братьев Кюри об однозначном соответствии между электрическими эффектами, вызываемыми теплотой, и механической деформацией. Он утверждал, что новый эффект повинуется особым, своим собственным, законам и предложил название «пьезоэлектричество» — термин, быстро принятый всеми, включая самих братьев Кюри.
Этот вопрос об отношении пироэлектричества к пьезоэлектричеству многократно обсуждался, особенно Фогтом. Последний указал, что следует различать «истинное» пироэлектричество, вызываемое изменением одной температуры, от «ложного» пироэлектричества, возникающего от деформации, сопровождающей изменение температуры, и, следовательно, являющегося пьезоэлектричеством. Значение открытия братьев Кюри нисколько не умаляется тем, что первые проявления пьезоэлектричества наблюдались столетия назад под видом электризации при нагревании.
Пироэлектрический эффект так тесно связан с пьезоэлектрическим, что мы часто будем говорить о нем. В словаре Вебстера эти два эффекта определяются следующим образом 1).
И Приставки «пьезо» и «пиро» происходит от греческих слов, означающих соответственно «давить» и «огонь».
Введение
19
Пьезоэлектричество. Электричество или электрическая полярность, вызываемые давлением, особенно в кристаллическом веществе, например, в кварце.
Пироэлектричество. Состояние электрической полярности, вызываемое в некоторых кристаллах изменением температуры .
Явлением, до некоторой степени родственным пьезоэлектричеству, является электрострикция, для которой словарь предлагает такое определение:
Электрострикция. Деформация, производимая электрическим напряжением, например деформация заряженной лейденской банки *).
Более точно можно определить пьезоэлектричество, как электрическую поляризацию, производимую механическим напряжением в кристаллах некоторых классов, причем эта поляризация пропорциональна напряжению и меняет знак вместе с ним. Это положение определяет прямой пьезоэлектрический эффект. С ним тесно связан обратный эффект появления механического напряжения в пьезоэлектрическом кристалле при электрической поляризации последнего, причем величина механического напряжения пропорциональна поляризующему полю. Оба эффекта представляют проявления одного и того же основного свойства и относятся к обратимым физическим явлениям. Поэтому термин «прямой» применяется к первому из них только по историческим соображениям.
Братья Кюри не предвидели обратного пьезоэлектрического эффекта. На следующий год после' открытия прямого эффекта Липпман занялся вопросом приложения термодинамических принципов к обратит мым процессам, включающим электрические величины. Рассматривая специальные случаи электрострикции, пироэлектричество и недавнее открытие братьев Кюри, он показал, что для каждого из этих эффектов должно существовать обратное явление. Все эти предсказания подтвердились. Обратным пироэлектричеству является электрокалориче-ский эффект, уже в 1887 г. предсказанный (также на основе термодинамики) Кельвином. К концу 1881 г. братья Кюри обнаружили обратный пьезоэлектрический эффект и показали в более поздней статье, что пьезоэлектрический коэфициент кварца имеет одинаковую величину для обратного и прямого эффектов. Они обратили также внимание на аналогию между взаимодействием прямого и обратного эффектов и законом Ленца.
Обратный пьезоэлектрический эффект иногда трактовался как особый тип электрострикции. Хотя приведенное выше определение из сло-варя и может показаться оправдывающим такую трактовку, все же эти два явления принципиально различны. Поскольку рассматриваются внешние эффекты, различие заключается в том, что деформации, вызываемые электрострикцией, пропорциональны квадрату приложенного электрического поля и поэтому не зависят от направления последнего. Это означает, что для проявления эффекта вещество не нуждается в специальной особенности внутренней структуры. Действительно, электрострикция является общим свойством диэлектриков в газообразном, жидком и твердом состояниях. Эффект всегда чрезвычайно мал, и мы будем обращаться к нему лишь в редких случаях. Пьезоэлектрические же деформации прямо пропорциональны электрическому полю и
*) Более точные определения пироэлектричества и электрострикции даны в § 515 ъ 137.
2* 7
20
Глава I
меняют свой знак при перемене направления поля на обратное, что возможно только для веществ, обладающих известной внутренней «односторонностью», или полярностью. Это свойство могут иметь только анизотропные материалы и притом только те из них, которые обладают необходимой степенью асимметрии; ими мы в дальнейшем и будем преимущественно заниматься.
Феноменологическая теория пьезоэлектричества основана на термодинамических принципах, сформулированных Кельвином. Его глубокие и многосторонние приложения термодинамики к изучению кристаллов вызвали большой прогресс в развитии физики последних. Формулировка пьезоэлектрических явлений была сделана более полно П. Дюгемом и Ф. Покельсом, а полнее и строже всех Фогтом в 1894 г. Этой формулировке посвящена одна из глав монументального «Учебника физики кристаллов» Фогта (Lehrbuch der Kristallphysik) г), появившегося в 1910 г. и ставшего с тех пор настольной книгой работников в этой области. Комбинируя элементы симметрии упругих тензоров и электрических векторов с элементами геометрической симметрии кристаллов, он выяснил, в каких классах кристаллов из 32 возможных могут существовать пьезоэлектрические эффекты, и показал для каждого класса, какой из 18 возможных пьезоэлектрических коэфициентов может отличаться от нуля.
В течение трети века после его открытия пьезоэлектричество оставалось научным курьезом, не упоминалось в большинстве учебниках и служило темой немногих докторских диссертаций. Даже среди кристаллографов ему уделялось меньше внимания, чем пироэлектричеству, хотя оно является главной причиной большей части наблюдаемых пироэлектрических эффектов и при правильном применении могло бы оказать ценную помощь при классификации кристаллов.
Дальнейшее развитие было стимулировано войной. Во Франции — колыбели пьезоэлектричества — П. Ланжевену пришла идея возбуждать электрически кварцевые пластинки и использовать их как излучатели, а позднее — как приемники высокочастотных звуковых волн под водой. В руках Ланжевена и других «метод эхо» стал ценным средством обнаружения предметов, погруженных в воду, и исследования дна океана.
Таким образом, П. Ланжевен явился основоположником современной науки и искусства ультраакустики. Теперь широко пользуются акустическими волнами с частотами в миллион герц и больше как для измерения различных упругих и других коэфициентов, характеризующих свойства материи, так и для многих практических применений в химии, биологии и промышленности. Источником излучения может быть или магнитострикционный генератор или, чаще,— особенно для самых высоких частот — колеблющаяся пластинка из пьезоэлектрического кристалла (обычно кварца). Для исследования свойств газов и жидкостей имеется акустический интерферометр, впервые описанный Г. Пирсом в 1925 г. Упругие свойства жидкостей и твердых тел изучаются на основе различных применений принципа оптической диффракции, производимой высокочастотными звуковыми волнами, которую открыли в 1932 г. независимо друг от друга Дебай и Сирс, а также Люка и Бикар.
0 В дальнейшем в ссылках на этот учебник будет указываться просто: «Физика кристаллов».
Введение
21
Первая мировая война стимулировала опыты в различных лабораториях по изучению свойств и практическому применению пьезоэлектри ческих кристаллов. Как известно, эти исследования принесли плоды в виде многих полезных приборов мирного времени. Наблюдая характерные свойства пластинок из кристаллов сегнетовой соли с целью использования их для подводной сигнализации, автору пришлось в 1918 г. исследовать некоторые особенности их электрического поведения в области частот, близких к механическому резонансу. Из этих опытов возникли пьезоэлектрический резонатор и его различные применения в качестве стабилизатора, генератора и фильтра радиоволн, причем скоро обнаружилось, что самым подходящим материалом для резонатора является кварц. Работа этих приборов включает сочетание прямых и обратных эффектов. Многие экспериментаторы сконструировали резонаторы из кварца и турмалина, реагирующие на частоты от звуковых до превышающих сотню миллионов периодов в секунду. В чисто научном отношении наблюдения над пьезорезонаторами дали сведения о природе вибрации в кристаллических средах и о динамических величинах упругих и пьезоэлектрических констант. Были также сконструированы сложные резонаторы, в которых, например, металлический стержень поддерживается в состоянии резонансных колебаний с помощью приклеенного кусочка кварца. Этим способом были определены упругие константы и коэфициенты внутреннего трения различных твердых веществ.
Среди технических применений резонирующих кристаллов можно упомянуть их почти универсальное использование на радиопередающих станциях как для непосредственного управления частотой в виде пьезогенераторов, так и косвенно, в качестве мониторов (контрольных устройств). Объединение в кварце необыкновенно низкого затухания с пьезоэлектрическими свойствами, выраженными достаточно сильно, чтобы реагировать на частоту ламповых генераторов и контролировать их, привело к методу получения гораздо более постоянных частот, чем это возможно при одной только электрической настройке. Вырезая специально ориентированные кварцевые пластинки, можно в значительной мере устранить некоторые нарушающие эффекты, вызываемые связью между различного рода колебаниями, а также влияние изменения температуры на частоту. Эта точность достигает своей кульминационной точки в кварцевых часах, в которых колеблющаяся кварцевая пластинка или кольцо заменяет качающийся маятник, давая в результате измеритель времени, более точный, чем лучшие астрономические часы. Пьезорезонаторы и генераторы оказались полезными во многих видах электрических измерений. Недавно ими стали пользоваться как электрическими фильтрами для линий связи и радиоприемных установок.
В то же время, когда исследовались кристаллический резонатор и его приложения, едва ли меньше усилий было положено на нерезонансные применения кварца, сегнетовой соли и в меньшей степени турмалина. Было изобретено много приборов, особенно в Германии и Японии, для измерений взрывных давлений и скоростей, ускорений, сил, вибраций в машинах и пр. В Соединенных Штатах прогресс шел главным образом в области акустики, путем использования чрезвычайно большого пьезо* электрического эффекта в сегнетовой соли. Путем остроумных применений пластинок из кристаллов сегнетовой соли были разработаны микрофоны, телефоны, патефонные адаптеры, приборы для звукозаписи и другие устройства, во многих отношениях превосходящие своих электромагнитных предшественников.
22
Глава I
Возрождение интереса к пьезоэлектричеству привело к обширным исследованиям свойств сегнетовой соли. Это вещество оказалось самым замечательным из всех известных диэлектриков и прототипов группы кристаллов, известных под названием «сегнетоэлектриков». Наше решение уделить им, казалось бы, непропорционально много места основано на тесной связи между их необыкновенным поведением и пьезоэлектрическими свойствами, на их аналогии с ферромагнитными материалами и на их важной роли в теории полярных диэлектриков. По этим причинам мы попытаемся в последующих главах подытожить и сопоставить основные из полученных ДО' сих пор результатов. Наиболее активные исследования в этой области велись в Соединенных Штатах, в СССР и Швейцарии.
Что касается атомной теории пьезоэлектричества, то достигнутые до сих пор успехи весьма невелики. Ранние попытки предпринимались братьями Кюри, Рике и Фогтом, а особенно Кельвином. Наиболее строгая трактовка принадлежит М. Борну, который в свою общую теорию динамики решетки включил рассмотрение диэлектрических, пироэлектрических и пьезоэлектрических эффектов. Он применил свою теорию к немногим типам кубической решетки. В 1920 г. он опубликовал вместе с Е. Борманом первый теоретический расчет пьезоэлектрической постоянной цинковой обманки.
Рентгеноструктурный анализ позволил в значительной мере выяснить расположение атомов в кварце. Этим способом Брэгг и Гиббс в 1925 г. получили качественное объяснение пьезоэлектрической поляризации в этом кристалле. Влияние колебаний кварцевых пластинок на рентгенограммы также изучалось как методом Лауэ, так и методом Брэгга. Что же касается сегнетовой соли, то ее структура слишком сложна, чтобы рентгеновские лучи могли сильно помочь в объяснении ее пьезоэлектрических свойств, хотя они пролили некоторый свет на проблему внутреннего поля. Молекулярная теория сегнетоэлектриков все еще находится в очень ранней стадии своего развития.
Фогт назвал пьезоэлектричество самой сложной ветвью физики кристаллов. Рассматриваемое только феноменологически и совершенно отдельно от трудностей, встречаемых атомной теорией, полное описание пьезоэлектрических свойств кристалла включает трактовку в терминах направленных величин трех разных типов. Последние представлены электрическими (поле и поляризация), упругими (деформация и напряжение) и связывающими их пьезоэлектрическими коэфициентами. На математическом языке эти три типа соответственно выражаются векторами (тензорами первого ранга) и тензорами второго и третьего рангов. Фогт с большой тщательностью разработал все существенные детали этих очень запутанных отношений и оказал значительное влияние на последующие работы в этой области 9.
’) Фогт подошел очень близко к открытию пьезорезонатора. В «Физике кристаллов» он дал дифференциальные уравнения упругих колебаний в кристаллах, не упоминая, однако, отношения пьезоэлектрического эффекта к таким колебаниям. Он отметил пользу высоких частот при измерениях диэлектрических постоянных, понимая в то же время, что при частотах молекулярного резонанса следует ожидать аномальных. результатов. Но он не предвидел, что подобные аномалии будут обнаруживаться у всех колеблющихся пьезоэлектрических кристаллов при совпадении приложенной частоты с их собственной нормальной частотой колебаний. Дорогу для пьезорезонатора проложил высокочастотный ламповый генератор, сменивший индукционную катушку времен Фогта,
ГЛАВА II
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
§ 1. Отметим, что значительное большинство чистых металлов и их сплавов при кристаллизации образуют структуры, слишком симметричные для обнаружения в них пьезоэлектрического эффекта, даже если они и не являются проводниками электричества. Среди немногих исключений находятся селен и теллур, обычно относимые к тригональному голоаксиальному1) классу, к которому принадлежит и кварц. Немногие межметаллические соединения, например MgTe, CdSe, также принадлежат к классу пьезоэлектриков, но они скорее соли, чем металлы.
Без некоторого, хотя бы небольшого знакомства с принципами кристаллографии невозможно овладеть ни одной отраслью физики кристаллов. Это особенно относится к пьезоэлектричеству, хотя бы уже потому, что без такого знакомства, несомненно, возникла бы путаница в определении граней кристаллов, углов сечений и пр. До появления литературы по пьезорезонаторам такие вопросы, как определение положительных направлений кристаллических осей, были частностями, касавшимися только кристаллографов и немногих работников в области физики кристаллов. Бессистемность принятых условных определений делала их трудно доступными для физиков. Поэтому неудивительна склонность многих исследователей пьезоэлектричества устанавливать свои собственные «условные определения» относительно осей и углов, если, разумеется, они не были уже совсем особенными. Едва ли будет преувеличением сказать, что единственным общим соглашением было игнорировать уже предложенные авторитетные определения. Такая практика привела к значительной путанице, особенно относительно недавно введенных косых срезов кварца. Для всех, кто имеет дело с упругими и пьезоэлектрическими коэфициентами, крайне желательно, чтобы сводка установленных определений положительного направления осей и углов была принята повсюду как можно скорее. Автор надеется, что настоящее изложение окажется шагом в верном направлении.
В этой главе сообщаются только те кристаллографические принципы, которые необходимы для понимания дальнейших частей книги. Для общего знакомства с предметом читатель может обратиться к трудам, указанным в конце главы.
Идеальный кристалл состоит из идентичных элементарных ячеек, расположенных одинаково относительно соседних ячеек и вместе образующих кристаллическую решетку. Элементарная ячейка является наименьшим из идентичных всем прочим по размерам и атомному составу параллелепипедов, из которых можно построить кристалл. Характерная группа атомов, отвечающая каждой ячейке, устанавливается в согласии со структурой, выявляемой рентгеновскими лучами. Ребра элемен-
') Трапецоэдрическому. (Прим, ред.)
24
Глава II
тарной ячейки параллельны кристаллографическим осям, и, как мы увидим, ее относительные размеры находятся в простой связи с единичными расстояниями вдоль этих осей.
В каждом данном кристалле имеются направления, по которым можно провести плоскости, известные под названием сетчатых, так, что в каждой плоскости будут лежать соответствующие точки элементарных ячеек, правильно расположенных в слои и колонки. Кристалл отличается от изотропных тел по внешнему виду потому, что при его нормальном росте некоторые из сетчатых плоскостей становятся гранями кристалла. Еще более важным отличием является ’то, что физические свойства кристаллов изменяются в зависимости от направления. Это по-' следнее утверждение справедливо для всех анизотропных тел, даже для куска дерева, имеющего различные свойства вдоль и поперек волокон.
Теперь считают, что идеальные кристаллы или не существуют вовсе, или существуют чрезвычайно редко. Во-первых, «идеальный кристалл», обладающий точным соответствием между внешней и физической симметрией, может вырасти только при полном отсутствии внешних сил, таких, как сила тяжести и напряжения, вызываемые изменением температуры. А, во-вторых, есть основание полагать, что сетчатые плоскости на самом деле не могут проходить непрерывно через весь кристалл, т. е. что кристалл может иметь «вторичную структуру», как если бы он был разбит на небольшие области, одинаково ориентированные и плотно соединенные, но не вполне одинаковые по величине. Так как эта книга имеет в виду главным образом явления крупного масштаба, происходящие в реальных кристаллах, то мы будем обращать мало внимания на вопрос об отступлении от совершенной однородности, за исключением явлений двойникования и существования в некоторых кристаллах так называемых областей спонтанной ориентации.
Закон постоянства углов. Из сказанного ясно, что как бы реальные кристаллы одного и того же рода ни отличались по величине и относительному развитию граней, углы между соответствующими гранями имеют постоянную величину. Это постоянство углов кристалла является основным законом кристаллографии.
§ 2. Принцип Неймана. Самым главным принципом физики кристаллов является соответствие между геометрической формой и физическими свойствами, впервые указанное Ф. Нейманом. Оно является основой феноменологической теории любого раздела этой науки. Согласно этому принципу можно предсказать симметрию физических свойств кристалла, когда известны элементы симметрии, характеризующие его внешнюю форму. Любое физическое свойство кристалла — его плотность, тепловое расширение или упругость — может обладать только более высокой симметрией, чем форма кристалла (доходя до симметрии изотропного тела), или равной ей, но не более низкой симметрией.
Не следует думать, однако, что минимальную симметрию всегда можно легко определить по внешним граням. По существу, минимальная симметрия кристалла определяется симметрией атомной структуры элементарной ячейки, и, хотя на данном образце кристалла может присутствовать в качестве грани любая сетчатая плоскость, характеризующая минимальную симметрию, на самом деле ансамбль нужных для определения минимальной симметрии реальных граней или не наблюдается или наблюдается очень редко. Например, кристаллы кварца и сегнетовой соли часто встречаются без видимого следа тех граней,
Кристаллография
25
которые только и обнаруживают асимметрию, обусловливающую их характерные пьезоэлектрические свойства. Степень развития таких граней не имеет отношения к величине соответствующих физических эффектов. Так, грани низкой симметрии у сегнетовой соли, когда они вообще существуют, развиты даже меньше, чем соответствующие грани у кварца, и все же ее пьезоэлектрический эффект в сотни раз больше, чем у кварца.
ПринЩип Неймана является правилом, приложимым также и в обратном направлении, а именно: в результате изучения физических свойств часто можно найти минимальную симметрию редких или несовершенных кристаллов, с числом граней, недостаточным для установления симметрии. В нёкоторых случаях морфология, указываемая физическими свойствами, была впоследствии подтверждена находкой новых образцов с нужными гранями.
§ 3. Классификация кристаллов. Эта классификация до некоторой степени аналогична классификации растений или животных по разрядам, семействам, родам и видам. Важное отличие от бесконечного, невидимому, количества возможных биологических групп состоит в том, что количество возможных групп кристаллов ограничено геометрическими законами и представляет известное конечное число. Лучшей иллюстрацией перехода от ограничения к свободе является разнообразие расположений атомов, способных образовать кристаллы при ограниченном числе возможных соединений. Каждый кристалл, каков бы ни был его состав, должен принадлежать к какому-нибудь из заранее определенных подразделений.
Описать геометрические основания классификации кристаллов здесь можно только в самом кратком виде. Бравэ показал, что число параллелепипедов, способных совершенно заполнять пространство, равно семи. Обычно такой параллелепипед представляется в скелетной форме как совокупность точек, расположенных в каждой его вершине. Эти семь расположений точек являются элементами семи простых пространственных решеток. Бравэ также обнаружил, что если принимать во внимание гранецентрированные и пространственно-центрированные параллелепипеды, то число возможных пространственных решеток возрастает до 14. Каждый параллелепипед является элементарной ячейкой. Для пространственных решеток характерно, что при параллельном перемещении всей решетки так, чтобы ее любая данная точка совместилась с какой-либо другой точкой первоначального положения, все ее точки также совмещаются с точками первоначального положения. Таким образом, решетка повторяет себя, и такой перенос является простейшим из всех операций совмещения. Другие операции совмещения пространственных решеток представляют собой вращение на определенные углы вокруг некоторых осей и отражения в некоторых плоскостях. Простые решетки кладутся в основу семи систем кристаллов, описываемых ниже; ребра параллелепипеда являются кристаллографическими осями, а грани — пинакоидами или основными плоскостями кристалла *>. Каждый параллелепипед простой пространственной решетки Бравэ представляет класс наивысшей симметрии (голоэдрический класс) для рассматриваемой системы.
О Терминология автора неточна. Нужно было бы сказать, что грани параллелепипеда решетки обычно являются важнейшими гранями кристалла. (Прим, ред.)
26
Глава IГ
Точки, образующие пространственные решетки, вообще не представляют положений атомов. Они служат просто для определения элементарных ячеек, внутри которых атомы могут располагаться в любой конфигурации. Характеристики симметрии единичной ячейки, а поэтому и элементы симметрии всего кристалла, зависят от расположения атомов. Как бы ни были (различны конфигурации атомов в тысячах разных кристаллов, их все можно подразделить на конечное число пространственных групп, причем все конфигурации в каждой группе имеют некоторые общие геометрические характеристики. Исторически теория пространственных групп развилась задолго до того, как рентгеновские лучи позволили определить расположения атомов. Она является чисто геометрической теорией. Эволюция пространственных групп из пространственных решеток Бравэ, по существу, заключается во введении дополнительных точек в элементарную ячейку пространственной решетки с тем, чтобы конфигурация могла повторяться при комбинации вращения и поступательного движения (винтовые оси) или при отражении в плоскости и переносе (плоскости скольжения) в дополнение к осям симметрии и плоскостям отражения, характеризующим решетки Бравэ. Трудами Зонке, Федорова, Шенфлиса и Барлоудоказано, что всего существует 230 таких конфигураций. Эти конфигурации образуют 230 пространственных групп.
Пространственные группы подразделяются на 32 точечные группы, причем каждая из них характеризуется определенной симметрией относительно точки (§ 6). Эти группы представляют то же, что и 32 класса, с которыми имеют дело кристаллографы. Каждая точечная группа обычно обозначается символом, указывающим повороты вокруг осей и отражения в плоскостях, составляющие операции совмещения для этой группы. Операции, определяющие симметрию точечной группы, не включают переносов решетки в целом. С другой стороны, симметрия пространственной группы такова, что операция, определяющая симметрию, может привести к новому положению, связанному с первоначальным путем переноса. Пространственную группу можно рассматривать как объединение характеристик точечной группы с характеристиками пространственной решетки.
Хотя пространственная группа дает более фундаментальную картину кристаллических свойств, чем точечная группа, ее нельзя определить грубыми измерениями кристаллов или наблюдением их общих физических свойств. Требуется более уточненный метод, и таковым в последние годы явился рентгенографический анализ. Так как эта книга трактует свойства, характерные для классов, то рассматривать дальше пространственные группы нет необходимости 2.
§ 4. Грани кристаллов определяются отрезками, которые они отсекают на трех кристаллографических осях, называемых кристаллографами осями а, b и с (применение в некоторых случаях четырех осей, а также символов а\, а* и пр. рассматривается ниже). Направления осей выбираются в каждой системе так, чтобы по возможности упростить определение граней. Обычно кристаллографическая ось является осью
О' Строго говоря, только трудами Федорова и Шенфлиса. (Прим, ред.)
г) Сущность пространственных групп и символы, применяемые для их обозначения, изложены В' работах, отмеченных в библиографии номерами [610], [616] и [6551. Полностью развил теорию Уайкофф [659]. Хорошее изложение истории предмета дал Таттон [650].
Кристаллография
27
Фиг. 1- Ориентация трех граней кристалл3, иллюстрирующая применение индексов Миллера. Отношения осей ОА:ОВ:ОС приблизительно соответствуют сегнетогой соли. Треугольники АВС, АВ'С пА'ВС изображают соответственно наклоны граней с символами (111) (единичная грань), (111) и (211). Грань, проходящая через В'С (или параллельная В'С) и параллельная оси а, имеет символ (011).
классы даны в табл. 1. В других что некоторые
симметрии или линией, перпендикулярной к плоскости симметрии или ребром между двумя важнейшими гранями кристалла. Разумеется, ось кристалла обозначает только направление по отношению к кристаллу; начало оси совершенно произвольно.
За единичную грань кристалла принято выбирать одну из важнейших граней с отрезками а, Ь, с одного порядка величины на -всех трех кристаллографических осях. Важными величинами для кристаллографа являются отношения осей а:Ь:с и углы между осями; когда последние найдены, легко получить углы наклона всех возможных граней кристалла. Это определение отношения осей было принято кристаллографами задолго до измерения рентгенографическими методами размеров элементарной ячейки. Теперь известно, что отношения трех ребер элементарной ячейки или равны отношениям кристаллографических осей, или относятся к ним как небольшие целые числа. Любая плоскость, проходящая через три точки с координатами а/Л, b/k, с/1, параллельна плоской сетке, а поэтому и геометрически возможной грани кристалла. Согласно закону рациональных индексов, h, k и I являются целыми числами, включающими нуль. Все геометрически возможные грани могут встречаться только в классах высшей симметрии * 2), но даже и в этом случае обычно фактически наблюдается относительно небольшое число граней. Голоэдрические
классах атомная структура единичной ячейки такова, грани никогда не образуются. Например, кристалл может иметь грань, соответствующую —|-а/7г, -f- blk и -f-c //, но не -j-a/Л, —bjk и -ф-с//. Это
справедливо для всех кристаллов одного и того же класса.
Для обозначения граней обычно пользуются индексами. Миллера. По его системе единичная грань имеет индекс (111) (обозначающий, что отрезки на трех осях являются единичными расстояниями а, Ь, с), тогда как общая формула любой грани имеет вид (hkl). Символы h,k,l берутся в порядке осей а, Ь, с и обычно являются небольшими целыми числами, включающими и нуль. Они пропорциональны величинам, обратным отрезкам на осях. Если отрезок лежит на отрицательной стороне оси, то над соответствующим индексом ставится отрицательный знак, как показано на фиг. 1. В качестве следующего примера можно указать, что (001) означает грань, перпендикулярную положительной части оси с, а (001)—грань, перпендикулярную ее отрицательной части, и
О Так как точка начала произвольна, то имеют значение только отношения отрезков. Обычно они выбираются так, чтобы b было равно 1.
2) Это утверждение неверно. Любая плоская сетка решетки принципиально может быть гранью кристалла не только высшей, но любой симметрии. (Прим. ред.).
28
Г л а в а II
обе грани образуют основной пинакоид Ч Грань (21) имеет отрезки — а/2, b и —с/3.
Каждая грань кристалла является элементом простой формы, состоящей из совокупности граней, ориентированных одинаково относительно элементов симметрии. Каждая форма имеет общий символ формы {h k I } , где h, k и I имеют определенные численные значения. Различные грани, принадлежащие к данной простой форме, получаются, когда индексы h, k, I образуют все возможные положительные и отрицательные комбинации, совместные с симметрией этого класса кристаллов.
Совокупность граней, линии пересечения которых параллельны между собой, называется зоной. Поэтому полная зона является призмой. На реальных кристаллах грани зоны могут быть развиты так слабо, что их пересечения отсутствуют, так как они прерываются гранями других форм.
Как указано в § 5, оси, на которых берутся отрезки при получении индексов Миллера, являются ортогональными только в кубической, тетрагональной и ромбической системах.
Существование полярных осей у многих кристаллов имеет большое физическое значение. В кристаллографии полярной осью является направление, имеющее у своих двух концов грани различной формы, с различными числовыми индексами. Полярность прямых является верным указанием односторонней направленности физических свойств вдоль таких прямых. Например, такие векториальные эффекты, как пиро-и пьезоэлектричество, наблюдаются только у кристаллов, имеющих полярные оси * 2\
§ 5. Семь систем кристаллов. Физик, неискушенный в кристаллографии, чувствует себя до некоторой степени озадаченным разнообразием номенклатуры, применяемой различными авторами. Это относится как к названиям классов, так и к их группировке в системы. Геометрическая природа каждого из 32 классов является, разумеется, такой же абсолютной, как сама математика. Но их характеристики можно выразить различными способами, особенно в зависимости от того, определяются ли они в выражениях граней или элементов симметрии. Расположение 32 классов по порядку возрастающей или убывающей симметрии и их подразделение в системы до некоторой степени произвольно, например, некоторые кристаллографы предпочитают относить кристаллы тригональной симметрии к отдельной системе, тогда как другие рассматривают их как гексагональную подсистему. Соответственно с этим насчитывают семь или шесть систем кристаллов.
В этой книге принято деление на семь систем. В качестве предисловия к списку, приводимому ниже, следует установить несколько общих положений относительно осей и их положительных направлений. Если кристаллографическая ось является особенной (т. е. если в кристалле нет другой такой же оси), как например, главная ось в тригональных кристаллах, то ее принимают за ось с. В случае неполярной
О Для кристаллов кубической системы грань (001) является не пинакоидом, а гранью куба. {Прим, ред.)
2> Необходимым (но не достаточным) условием существования в данной среде пиро- и пьезоэлектричества является отсутствие центра симметрии, а не наличие полярных направлений. Для кристаллов оба условия эквивалентны друг Другу; для текстур отсутствие центра симметрии не означает наличия полярных направлений. (Прим, ред.)
Кристаллография 29
оси выбор положительного направления произволен. При полярной оси, если кристалл имеет пироэлектрический эффект в этом направлении, положительным концом можно считать тот, в котором при нагревании появляется положительный заряд; то же условие соблюдается .и при появлении пьезоэлектрических зарядов, когда кристалл растягивают в направлении оси.
Отношения ортогональных осей X, У, Z, применяемых в физике, к кристаллографическим осям, которыми пользуются в этой книге, поясняются ниже для каждой системы. Плоскости XY, YZ и ZX считаются главными плоскостями. Везде применяется правая ортогональная система осей, за исключением тех случаев, когда она относится к левовращающим формам энантиоморфных кристаллов (§ 7).
Кубическая система (называемая также правильной, изометрической или тессе-ральной). Имеются три ортогональные двойные или четверные оси alt а2, а3 равной длины. Поэтому плоскость (111) отсекает на трех осях равные отрезки. Оси X, Y и Z параллельны аи а2 и а3.
Тетрагональная система. Пользуются ортогональными осями; ах и а2 равной длины и отличаются от с. Оси X, Y, Z соответственно параллельны alt а2, с.
Ромбическая (или орторомбическая) система. Имеются три неравных ортогональных оси а, Ь, с. Они соответственно параллельны осям X, Y, Z.
Моноклинная система. К этой системе принадлежит больше кристаллов, чем к какой-либо другой. Оси неравной длины, причем ось Ъ перпендикулярна осям а и с, угол между которыми не равен прямому. Положительные направления а и с образуют тупой угол, тогда как положительное направление оси b [полярная ось ’)] таково, что образуется правая система координат. Ось X, по Фогту* 2), совпадает по направлению и знаку с осью с, а ось Z — с Ь. Ось Y завершает правую ортогональную систему осей, составляя таким образом острый угол с осью а 3).
Триклинная система. Оси а, Ь и с не равны и составляют косоугольную систему. Выбор осей а, Ь и с, а также ортогональных осей X, Y и Z является произвольным для каждого вида кристаллов.
Гексагональная система. Ось с является осью симметрии шестого порядка. Грани обычно обозначаются по системе Бравэ (часто называемой системой Бравэ—Миллера). В этой системе пользуются четырьмя кристаллографическими осями, а именно, осью с и тремя другими, перпендикулярными к ней, обозначаемыми Аг, А2, А3, под углами 120°, причем каждая из них параллельна паре граней призмы первого рода, как показано на фиг. 3. Общим символом грани является (hikl), причем четыре буквы соответствуют по порядку Аъ А2, А3, с. Так как для обозначения грани достаточно трех параметров и всегда h 4- I -|- k = 0, иногда пишут символ грани в виде (hi I), где точка обозначает k — — (h-}-i). Ось Z ортогональной системы совпадает с с, ось X параллельна какой-нибудь из осей А, а ось Y перпендикулярна Z и X.
Так как три оси Alt А2 и Лз эквивалентны, то единичная грань отсекает равные отрезки на двух из этих осей. Отношение осей поэтому выражается одним отношением а : с как для гексагональной, так и для тригональной системы.
Тригональная система. Важнейшей формой с кристаллографической точки зрения является ромбоэдр, хотя эта форма может существовать только в трех из пяти классов. Две противоположных вершины ромбоэдра лежат на тригональной (оптической или главной) оси, образуя трехгранную пирамиду на каждом конце кристалла. В двух классах (№ 16 и 19^ на каждом ромбоэдре присутствует пирамида только на одном конце тригональной оси 4). Для каждого данного вида кристалла важнейший ромбоэдр (или пирамида) выбирается как первичный ромбоэдр (или тригональная пирамида первого рода). Если имеются двойные оси, как у кварца, то ромбоэдр выбирается так, чтобы углы между проекциями его ребер на плоскость, перпендикулярную главной оси, делились этими осями пополам, как показано на фиг. 3.
Можно пользоваться системой Бравэ с четырьмя осями, как и в случае гексагональной системы. Однако очень часто применяют систему Миллера, согласно которой грани тригональных кристаллов обозначаются с помощью трех осей Миллера, а именно трех ребер первичного ромбоэдра или тригональной пирамиды первого рода
9 Ось b в моноклинной системе не всегда полярна. (Прим, ред.)
2) «Физика кристаллов», стр. 100.
3) О специальном соглашении для случаев сегнетовой соли сказано в § 481.
4) Утверждение неточно. (Прим. ред.).
30
Глава II
(фиг. 3). Общим символом_ грани служит (hkl), причем буквы соответствуют отрезкам на осях Миллера а\, а2, аз. Угол между двумя осями Миллера обозначается через * и называется углом Миллера. Если бы этот угол равнялся 90°, то ромбоэдр превратился бы в куб, а индексы Миллера — bi обычные индексы для кубической системы. Тригональная и кубическая системы, таким образом, связаны в том смысле, что тригональный ромбоэдр можно рассматривать как деформированный куб1).
Циклический порядок, в котором следует брать оси Бравэ и Миллера, указан в § 12.
Для удобства перевода символов) Миллера в символы Бравэ и наоборот служат следующие соотношения, в которых (hkl) и (HIK.L) или (Н1 • L) являются символами Миллера и Бравэ для одной и той же грани:
Я=(Л-£); I={k-iy'L=(h+k+l);
k-I—H-\-L', l=-H-2I+L==K-I+L.
Для ортогональной системы осей мы будем пользоваться для осей Y и Z условием, принятым Фогтом 2). Ось Z является тригональной осью; положительным можно считать любой конец. Ось Y является проекцией любой из осей Миллера на плоскость, перпендикулярную оси Z, причем ее положительное направление является внешним по отношению к одной из граней тригональной пирамиды первого рода у положительного конца оси Z. Ось X, по Фогту, всегда образует с двумя другими правую систему. Мы будем придерживаться условия Фогта для правовращающих форм (§ 7), но для левовращающих форм, по причинам, объясняемым в § 327, мы будет определять положительное направление оси X так, чтобы вместе с осями Y и Z получать левую систему осей.
Соотношение между ортогональными осями X, У, Z и осями Бравэ то же, как и в случае гексагональной системы.
§ 6. Тридцать два класса кристаллов. Приводимое в табл. 1 перечисление классов в порядке возрастающей симметрии и их группировка в системы взяты у Роджерса. Формулы симметрии в четвертом столбце даны Шенфлисом; пятый столбец содержит символы Германа — Могэна. Для удобства читателей, знакомых с «Физикой кристаллов» Фогта, приводится его терминология для названий классов. Номера классов по Фогту даны в круглых скобках. Включена также и терминология, введенная Майерсом. Так как она основана на элементах симметрии больше, чем на гранях, то существенные для пьезоэлектричества отношения симметрии получаются из нее довольно просто.
Тело или какое-либо из его физических свойств могут быть симметричными относительно точки, линии, плоскости или любой комбинации последних. В первом случае тело является центросимметричным и не может иметь полярных свойств, поэтому ни один из одиннадцати центросимметричных классов не включает пьезоэлектрических кристаллов. За исключением одного, все классы, лишенные центра симметрии, являются пьезоэлектрическими. Единственное исключение представляет класс 29; последний, не имея центра симметрии, обладает, однако, другими элементами симметрии, комбинация которых исключает пьезоэлектрический эффект.
Симметрия относительно линии называется осевой симметрией, а сама линия — осью симметрии 3\
Плоскость симметрии можно уподобить зеркалу. В классах, имеющих этот тип симметрии, плоскость, ориентированная надлежащим
О Фогт вскрывает связь более полно в «Физике кристаллов», стр. 31, и в «Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Kristalle in elementarer Darstellung», 8. 10—12, Leipzig, 1898.
2> «Физика кристаллов», стр. 750.
3) Ось типа иногда называют циклической осью в отличие от винтовой оси, упоминавшейся в § 3.
Кристаллография
31
образом в кристалле, делит последний так, что каждая его грань с одной стороны этой плоскости соответствует возможной грани с другой ее стороны, причем каждая из граней является зеркальным изображением в этой плоскости другой грани.
ОБЪЯСНЕНИЕ СИМВОЛОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ ШЕНФЛИСА
Сп— циклическая ось симметрии, т. е. такая ось, вращение вокруг которой на угол 2 nin приводит к совмещению фигуры с ней самой; п = 1, 2, 3, 4 или 6; п — 1 означает отсутствие симметрии.
Cnk—и-кратная циклическая ось с перпендикулярной к ней плоскостью симметрии.
C,.i— n-кратная циклическая ось с центром симметрии.
Спг,—n-кратная циклическая ось, которой параллельны п плоскостей симметрии.
•5*3—каждое направление является двойной циклической осью с перпендикулярной к ней плоскостью симметрии, или «осью сложной симметрии» О. Кристалл имеет только центр симметрии.
—четверная циклическая ось сложной симметрии с отражением при повороте на каждые 90°. Это обозначает, что при повороте на 90° фигура становится зеркальным изображением (в плоскости, перпендикулярной к оси) своего вида до поворота. Центра симметрии нет. Этот тип симметрии впервые был описан П. Кюри * 2>.
V — три взаимно перпендикулярные двойные циклические оси.
Уд *—симметрия V с добавлением плоскости симметрии, нормальной к каждой из трех осей.
Vd—симметрия V с двумя плоскостями симметрии, содержащими главную ось и расположенными под углом 45° к двум другим осям.
Dn - ось Сп (главная ось) с п двойными осями (вторичные оси), перпендикулярными к ней (п = 3, 4 или 6).
В nd—симметрия Dn с'п плоскостями симметрии, содержащими ось Сп и делящими пополам углы между вторичными осями.
Dnfl — симметрия Dn с плоскостью симметрии, перпендикулярной к (главной) оси Сп и п плоскостями симметрии, каждая из которых содержит главную и одну вторичную ось.
Т—три ортогональные двойные оси и четыре тройных оси (тетраэдрическая группа).
Th—симметрия Т с плоскостью симметрии, перпендикулярной к каждой из двойных осей.
— симметрия Т с шестою плоскостями симметрии, причем каждая из них содержит две из тройных осей.
О—три ортогональные четверные оси, шесть двойных осей и четыре тройных оси (октаэдрическая группа).
Oh— симметрия О с плоскостями симметрии, как у Tj и у Тд.
В табл. 1 под пироэлектрическими классами разумеются только классы, обладающие первичным, или истинным, пироэлектричеством. Все пироэлектрические кристаллы являются также пьезоэлектрическими. Как будет показано в гл. XXIX, все пьезоэлектрические кристаллы могут давать либо первичный, либо вторичный (ложный) пироэлектрический эффект.
О Сложная ось второго порядка (зеркальная ось второго порядка) не обязательно должна иметь перпендикулярную к ней плоскость симметрии. (Прим. ред.).
2) В действительности, он был впервые описан Гесселем в 1830 г. (Прим, pedj
32
Глава II
Таблица 1
СИСТЕМЫ И КЛАССЫ КРИСТАЛЛОВ
Р пьезоэлектрический
Р пьезо- и пироэлектрический
Класс Ке Название классов Шен-флис Г ерман — Моген Примеры
Фогт Майерс
Триклинная система
1 Р 2 Гемиэдрический (2) Голоэдрический (1) Асимметричный Центросимметричный S2 = C; 1 1 Тетрагидрат дитартрата стронция Медный купорос
Моноклинная система
3 Р 4 Р 5 Гемиморфный (5) Гемиэдрический (4) Голоэдрический (3) Дигональяо-полярный Экваториальный Дигонально-эквато-риальный С2 C2h 2 m J2 tn Винная кислота Тетратионат калия Гип с
Ромбическая (или орторомбическая) система
6 Р 7 Р 8 Гемиэдрический (7) Гемиморфный (8) Голоэдрический (6) Дигонально-голо-аксиальный Дидигонально-по-лярный Дидигонально-эква-ториальный v = d2 C2v vh= —D2h 2 2 2 m m 2 I 1 1 m m m Сегнетова соль Каламин Барит
Тетрагональная система
9 Р 10 Р И Р 12 Р 13 14 Р 15 Тетартоэдрический с инверсионной осью (20) Тетартоэдрический (18) Гемиэдрический с инверсионной осью (i9) Энантиоморфный гемиэдрический (15) Параморфный гемиэдрический (17) Гемиморфный гемиэдрический (16) Голоэдрический (14) 1 Тетрагонально-альтернативный Тетрагонально-полярный Дитетрагональноальтернативный Тетрагонально-голоаксиальный Тетрагонально-эква-ториальный Дитетратонально-полярный Дитетрагонально-экваториальный S. C. Vd = — D^d D, C^v &4h 4 4 42 m 42 2 4 ni 4 nt m _4 _2 _2 m т тп Ca2Al2SiO7 Вульфенит Дигидрофосфаты аммония и калия Сульфатни-келя Шеелит Пентаэритритол Циркон
Тригональная система
16 Р 17 18 Р Тетартоэдрический (13) Параморфный гемиэдрический (12) Энантиоморфный гемиэдрический Тригонально-полярный Гексагонально-альтернативный Тригонально-голоаксиальный co co о u q 3 3 3 2 Иоднокислый натрий Доломит а-кварц
Кристаллография
33
{продолжение табл. /)
Класс № Название классов Шен- 1 флис Герман — Моген Примеры
Фогт | Майерс
19 Р 20 Гемиморфный гемиэдрический (11) Голоэдрический(9) Дитригонально-по-лярный Дигексагональноальтернативный 1 ‘ : 1 £ ’’З | со со Q Q 3 in З-* 2 3 ш Турмалин Кал щит
Гексагональная система
21 Р 22 Р 23 Р 24 Р 25 26 Р 27 Тетартоэдрический с тройной осью (27) Гемиэдрический с тройной осью (26) Тетартоэдрический (.’5) Энантиоморфный гемиэдрический (22) Параморфный гемиэдрический (24) Гемиморфный гемиэдрический (23) Голоэдрический (21) Тригонально-эква- | ториальный | Дитригонально-экваториальный Гексагонально-полярный Гексагонально-голо-аксиальный Гексагонально-экваториальный «Дигексагональнополярный Дигексагонально- | экваториальный б^з/l Dih с6 ' D6 C^h Г Deh 6 6 m 2 6 6 2 2 6 m 6 m m _6 2 _2 m m m Бенитоит Нефелин Р-кварц Апатит Йодистое серебро Берилл
Кубическая (изометрическая, или правильная) система
28 Р 291) 30 31 Р 32 Тетартоэдрический (32) Энантиоморфный гемиэдрический (29) Параморфный геми- эдрический (31) Гемиморфный геми- эдрический (.10) Голоэдрический (28) Тессерально полярный Тессерально-голо-аксиалный Тессерально-цен-тральный Дитессерально-полярный Дитессерально-центральный Т О Th 7d oh 23 432 -3 m 4 3m -3 -2 m 6 m Хлорноватокислый натрий Пирит С фалерит Хлористый натрий
9 Мы не знаем вполне достоверных представителей класса 29. Рентгенографический анализ показывает, что относить, как это обычно делают, куприт, сильвин и хлористый аммоний к этому классу — неправильно (R. W. G. Wyckoff, The Structure of Crystals, N. Y., 1924).
§ 7. Энантиоморфные кристаллы. Кристаллы, принадлежащие к одиннадцати классам, не имеющим плоскостей симметрии, принципиально могут существовать в двух различных модификациях, называемых энантиоморфными1}. Энантиоморфные формы относятся друг к другу, как правая рука относится к левой: каждая является зеркальным изображением другой. Одна не может быть совмещена с другой простым вращением 2>. Некоторые виды кристаллов, например сегнетова соль,
О Возможность существования энантиоморфных модификаций определяется отсутствием не только плоскостей симметрии, но вообще элементов симметрии второго рода (плоскость симметрии, центр симметрии, зеркальная ось симметрии), т. е. элементов симметрии, содержащих операции, в состав которых входит отражение. Классов симметрии, не содержащих плоскостей симметрии, четырнадцать; не содержащих элементов второго рода — одиннадцать. {Прим, ред.)
2) В случае неэнантиоморфных кристаллов, сколь бы несимметричными они ни казались, всегда можно совместить зеркальное изображение с его оригиналом посредством надлежащего вращения.
3 Кэди
34
Глава II
обыкновенно встречаются только в одной из двух возможных энантиоморфных форм. У других видов, как у кварца, наблюдаются обе формы.
Энантиоморфные кристаллы являются хорошей иллюстрацией принципа Неймана, так как некоторые физические свойства по определенным направлениям имеют у этих двух типов различные знаки.
Если принять условие, изложенное в § 327, то в системе Миллера символы будут одинаковыми для «правого» и для «левого» кристаллов.
Правая и левая формы энантиоморфных кристаллов называются также правовращающей и левовращающей по направлению вращения йми плоскости поляризации света относительно наблюдателя, смотрящего на источник света (§326). Для обозначения этих форм часто пользуются приставками «d» и «I» (или «г» и «/»), как, например, г-кварц й Z-кварц.
В. случае ортогональных осей можно избежать двусмысленности, пользуясь правой системой осей для правовращающих кристаллов и левой— для левовращающих (§ 327). Именно так.мы и будем поступать.
Одиннадцать энантиоморфных классов отмечены в табл. 1 номерами 1, 3, 6, 10, 12, 16, 18, 23, 24, 28 и 29. За исключением последнего, все они явля'ются пьезоэлектрическими. Все одиннадцать принадлежат также к пятнадцати оптически активным.1) классам (§ 538).
ОСОБЫЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ КРИСТАЛЛОВ
§ 8. Ромбический голоаксиальный класс № 6 (симметрия V). Этот класс, кроме того, называют ромбическим энантиоморфным гемйэдри-12 ческим, сфеноидальным, би- или
дисфеноидальным или тетраэдрическим. Он также является одним из одиннадцати энантиоморфных классов. Так как оси X, Y, Z идентичны осям а, Ь, с, то символы Миллера приложимы одинаково как к тем, так и к другим. Симметрия такова,
Фиг. 2. Идеализированный кристалл сегнетовой соли. Грани с (верхняя и нижняя поверхности призмы) и грани р призмы обыкновенно развиты больше всех других. Остальные грани часто очень малы или отсутствуют.
что положительными можно принять любые концы любых двух осей. Третьей оси придается такое направление, чтобы образовалась правая система. Кристалл можно повернуть на 180° вокруг любой из трех осей без изменения величины или знака
физических свойств.
Представителем этого класса, которым мы будем заниматься главным образом, является сегнетова соль, представленная на фиг. 22). Кристаллы обычно бывают правовращающими. Отношение осей
а : Ь-: с = 0,8325 : 1 : 0,4334 (см. § 542). Наиболее выдающимися и Типичными формами являются три пинакоида (пары граней, перпендику
О Вращающим плоскость поляризации. (Прим, ред.)
2) -Полученные’недавно доказательства,.что между —IS’’ и rf-24°C сегнетову соль следует, строго говоря, считать моноклинной, будут рассмотрены в § 481. Пока мы будем придерживаться традиционной классификации.
Кристаллография
35
лярных к трем осям, отмеченные на фиг. 2 буквами а, Ь и с) {100), {010), {001); ряд призм р {110 ), р\ {120 )(не показана на фигуре) и /?2(210 ), параллельные оси Z; две призмы, каждая с четырьмя гранями (/{ОН ) и г {101 ), параллельными осям X и У, бисфеноиды о { 111} и и|211), каждый с четырьмя гранями. Грани q; г, о и v часто бывают в зачаточном состоянии или совсем отсутствуют. Все же именно бисфеноиды являются внешним и явным признаком полярности всех трех осей х) и энантиоморфности структуры. На фиг. 2 показан правый кристалл, являющийся единственной нормально встречающейся энантиоморфной модификацией. Грани сир обыкновенно развиты больше остальных* 2).
Углы между гранью а и главными призматическими гранями следующие: ар2 = 22°35'; ар— В9°43'; ^ар\ = 58°57'. Дальнейшие данные о сегнетовой соли приведены в гл. XX и XXXI.
К этому классу относятся и Другие тартраты, изоморфные с сегнетовой солью. Они рассматриваются в гл. XXVII.
§ 9. Тригональный голоаксиальный класс № 18 (симметрия £)3).
Этот класс разными авторами описывается как тригональный трапецо-
эдрический; голоаксиальный тетарто-симметричный; гексагональный тра-пецоэдрический тетартоэдрический; тригональный энантиоморфный гемиэдрический и ромбоэдрический тра-пецоэдрический. Как мы видели, обычно.пользуются осями и индексами Миллера, принимая за основу единичный ромбоэдр, хотя существует сомнение, имеют ли некоторые представители, например, кварц [616], истинно ромбоэдрическую структуру. Различные другие осевые системы представлены на фиг. 3, построенной специально для кварца, хотя принципиально она применима ко всем тригональным кристаллам. BCDEFG представляет сечение обычной призмы, перепендикулярной к тригональной оси. Три пирамидальных грани ABC, ADE и AFG принадлежат основному положительному ромбоэдру первого рода; они являются тремя гранями R у одного конца кристалла кварца, как
тригональной систем. alt а2, а3—оси Миллера. Оси Бравэ Аъ А2, А3 и с соответственно параллельны GO, СО, ЕО и ОА.Х, Y, Z обозначают одну из трех систем ортогональных осей. За ось X можно принять любую из осей Бравэ Др А2, А3. Проекции осей Миллера на плоскость базиса (перпендикулярную к оси Z) являются осями Y.
показано на фиг. 5. Остальные грани пирамиды — ACD и т. д. —
представляет грани г, принадлежащие единичному отрицательному ромбоэдру [649]. Для простоты грани R и г показаны почти одинаковой
О Оси а, в, с в сегнетовой соли неполярны, поэтому оба конца каждой оси с одинаковым правом могут считаться положительными. Полярными направлениями в сегнетовой соли являются все косые направления. {Прим, ред.)
2) Основанием для фиг. 2 является рисунок Грота [624]. У реальных кристаллов существование и относительная величина многих граней очень изменчивы. Яффе сообщает, что наиболее обычным бисфеноидом является {211}, тогда как {111} никогда не встречается. * 3*
36
Глава II
величины, хотя обычно грани R бывают больше граней г. При значительном развитии граней R они пересекаются между собой по линиям AMj, АЛ42 и АМ3, являющимся осями системы Миллера. Проекции этих осей на плоскость, перпендикулярную главной оси, одна из которых представлена линией являются осями У прямоугольной системы Бравэ. За положительное направление любой оси У принимается то, в котором она выходит из-под грани R (фиг. 5). На фиг. 3 OZ является осью Z; положительное направление идет вверх (считаться положительным может любой конец). Каждая ось X делит пополам угол между двумя гранями призмы, как, например, в точке G, образуя (за исключением левовращающих кристаллов) с У и Z правую систему. Оси X являются двойными (бинарными или дигональными) полярными осями; следуя Кюри, их также называют электрическими осями. Оси У иногда называют «механическими осями». В этой книге мы будем почти исключительно пользоваться терминами «оси X, У и Z».
Пластинки, вырезанные так, что их главные грани перпендикулярны этим осям, называются срезами X, У или Z.
Три оси Бравэ —А}, А2 и Л3 — параллельны трем осям X и показаны на фиг. 3 линиями GD, CF, ЕВ. По обычным представлениям их направление совпадает с направлением осей X в случае левого кварца и противоположно ему в случае правого. Ось с Бравэ (OZ. на фиг. 3) совпадает с осью Z.
§ 10. Альфа-кварц. Слово «кристалл» происходит от латинского crystallum, которое, в свою очередь, является видоизменением греческого хрозтакло; , состоящего из хрио; —прозрачный лед и oreAkstv — приведенный в порядок’У В древние времена этот термин применялся к кварцу, потому что его считали одной из форм льда. Кварц представляет собой двуокись кремния SiO2 (кремнезем). Кремний и кислород принадлежат к наиболее распространенным элементам, и SiO2 в кристаллической и аморфной форме составляет около одной десятой земной коры. Кремнезем является составной частью песчаников, многих пород и других геологических образований. Песок состоит главным образом из кварцевых зерен. а-кварц1 2) («низкотемпературный» кварц, или горный хрусталь) является только одной из многочисленных кристаллических форм кремнезема; он кристаллизуется при температурах ниже 573°С (§ 14). Если кристаллизация происходит между 573° и 870°, то получается « [3-кварц» («высокотемпературный» кварц), имеющий вместо тригональной гексагональную структуру. К другим формам SiO2 принадлежат тридимит, кристобалит и плавленая аморфная форма — кремнекислота, или «кварцевое стекло». Цвета таких разновидностей, как розовый кварц, дымчатый кварц, аметист и других самоцветов зависят от примСсей. Если их электрическая проводимость не слишком высока или они не являются двойниками (что часто бывает в случае аметиста), то технически они годны для пьезоэлектрического применения.
1) S. J. Т о m k е i е f f, О происхождении названия «кварц», Mineral Mag. 26, 172—178 (1942). В статье указывается, что название «crystallum» для кварца держалось почти до конца XVIII века. Доказывается также, что «guertz», первоначальная транскрипция слова «quartz», является, сокращением слова Querklufterz, или руда секущей жилы, употреблявшегося горняками Саксонии.
2) В настоящее время принято низкотемпературную модификацию кварца называть Р -модификацией, а высокотемпературную—а-модификацией. (Прим, ред.)
Кристаллография
37
Мы будем заниматься почти исключительно а -кварцем и называть его вообще просто «кварцем». Как ни широко распространена двуокись кремния, кристаллы сколько-нибудь значительной величины и совершенной формы находят только в немногих районах. В настоящее время они поступают главным образом из Бразилии. Встречаются прозрачные кристаллы длиной
до 120 см и. больше и весом свыше 50 кг. В Смитсониан-ском институте в Вашингтоне хранится очень прозрачный кварцевый шар диаметром в 33,4 см О.
В прошлом из прозрачных кристаллов кварца изготовляли произведения искусства, которые можно видеть в различных музеях. Очень часто большие кристаллы лопаются при перевозке и даже нарочно разбиваются работниками, собирающими их в отдаленных районах. Поэтому, а также вследствие частых внутренних дефектов, посторонних примесей и двойникования задача определения ориентации осей и выбора частей, годных для изготовления пластинок и пр., часто является трудной. Методы разрешения этой проблемы описаны в гл. XVI. Пирамидальные грани на обоих кон-
Фиг. 4- Кристаллы кварца.в Музее естёсТ венной истории в Женеве-(Швейцария). Они были найдены в 1868 г. в пещере у Ронского ледника.
цах наблюдаются редко, за исключением малых кристаллов.
Считают, что естественные
кристаллы кварца образуются
или при конденсации паров SiO2, или при испарении водных растворов силикатов. Искусственно можно получить только очень маленькие кри-
сталлы * 2)’.
!) Описание этого прекрасного образца дано в Science, 71, 410 (1930). Различные формы кварца и их распространение в природе, а также описание некоторых знаменитых образцов кварца изложены в работе Н. С. D а к е, F. L. F 1 е е п ет and В. Н. Wilson, Quartz Family Minerals, N. Y., 1938; P. F. Kerr anil A. I. E richsen [Am. Mineral, 27, 487—499 (1942)] описывают кристалл дымчатого кварца из Теофило Отони в Бразилии длиной 2,745 м, в окружности 3,965 м и вё-сом свыше пяти тонн.
2) Полную сводку по этому вопросу см. Р. F. Kerr and Elizabeth Armstrong, Опыты по искусственному получению кварца, Bull. Geol. Soc. Amer., 54, Suppl. 1, pp. 1—34 (1943). В большей части опытов применялись стальные бомбы или толстостенные трубки при давлении до 3000 кг/см2. Использовались различные температуры, иногда превышавшие 670 С. Кристаллы получились из большого количества материалов. Считается очень полезным присутствие хлористого калия или лития и вольфрамистокислого натрия. Насколько известно, самые крупные искусственные кристаллы кварца были получены Хрущовым в 1887 г. из водной диализованной кремнекислоты при 250—320°С. Размер их был 8X3 мм, причем эта
38
Глава II
§ 11. Как уже указывалось в § 7, кварц является энантиоморфным, причем в природе встречаются как правые, так и левые кристаллы. Эти два типа а-кварца представлены на фиг. 5. Кроме показанных наиболее характерных граней, отмечаются еще многие другие1}. Тригональная симметрия обыкновенно проявляется в большей величине и гладкости граней R по сравнению с гранями г. Принадлежность к правому или левому типу указывается гранями х: и s. На фиг. 5 видно, что у левого кварца нормаль к ребру между этими гранями направлена вверх и налево, а у правого — вверх и направо. Кроме того, два непа-
Фиг. 5. Две энантиоморфные формы а-кварца с обозначением систем ортогональных осей.
раллельных ребра грани х сходятся вверх и налево у левого кварца и вверх направо — у правого. Это правило остается в силе при переворачивании кристалла верхним концом вниз, поэтому за положительное направление оси Z можно принять любое направление главной оси. Другими словами, главная ось, в отличие от трех осей X, не является полярной осью. Полярность последних обнаруживается гранями х и s, когда они развиты. Как показывает фиг. 5, грани х и s встречаются (у недвойников) по очереди только на трех ребрах призмы. Поэтому комбинацию sx можно найти только у одного конца каждой оси X, да и то не всегда, так как образцы часто совсем не имеют этих граней.
величина достигалась через 6 месяцев. Большинство экспериментов других исследователей, длившихся только несколько дней, давали кристаллы меньших размеров, обычно величиной в 1 мм и меньше. Все еще неясно, можно ли вырастить в лаборатории в достаточно короткий срок кристаллы кварца, годные по величине для практических целей, не затрачивая на это многих лет, как это, повидимому, происходит в природе. [Следует добавить, что искусственные кристаллы кварца размером до 2 см были получены в Италии Специа в 1906 г. См. G. S р е z i a, Atti R. Асе. di Torino 41, 158 (1906). (Прим. ред.)].
О Указание на существование менее обычных граней кварца можно найти в статье A. D е s с 1 о i s е a u х, Ann. chim. phys. 44, 129—316 (1855), а также в Manuel de Mineralogie, vol. 1 (Paris, 1862) того же автора. См. также G Kalb, Z. s. f. Krist. 86, 439—464 (1932); 89, 400—412 (1933); 163—185 (1935). Дальнейшие сведения о кварце содержатся в работе Таттона [650] и в книге Сосмана [649],
Кристаллография
39
Говорят, что у бразильских- кристаллов эти грани встречаются очень часто. Наоборот, у двойников комбинацию граней sx иногда можйо наблюдать у обоих концов оси X. Грани s имеют тенденцию образовывать пару параллельных,, относительно длинных и близких друг к другу ребер; кроме того, естественная штриховка, иногда видная1 на грани s, всегда направлена к прилегающей грани х.
На призматических гранях, особенно у больших образцов, часто наблюдается грубая штриховка, идущая поперек них в направлении X. Присутствием ее на двух прилегающих гранях можно пользоваться для определения направления осей. Эта штриховка вызывается чередованием очень коротких ступенек граней m и г. Они могут вызвать заметное сужение призматической грани, вследствие чего вертикальные ее ребра не будут параллельными и будут сходиться к грани R. Грани R и г обыкновенно образованы более совершенно, чем грани призмы.
В этой книге положительным значением оси X считается направление наружу от ребра призмы, к которому прилегают грани х и s, как в случае правого, так и в случае левого кварца, как показано на фиг. 5 (подробности об осях кварца даны в гл. XVI;). При этом условии и принятом выборе осей для правого кварца получается правая система осей, а для левого — левая.
Главная ось (Z) кварца является «винтовой осью»; группы SiO2 расположены вокруг этой оси, как будет объяснено в § 540. Направление вращения в правом кристалле противоположно вращению в левом.
Отношение осей для системы Бравэ — Миллера в случае а -кварца при комнатной температуре а : с = 1 : 1,100; это — отношение ОА/ОВ на фиг. 3, причем за единичную грань принимается- грань R. Угол Миллера а между любыми двумя осями Миллера равен 93°57' + 2'. Грани R и г составляют с соответствующими гранями m угол, равный 141°47'i). Грани расположены относительно главной оси под углом 24°26'. Спайность, насколько она существует, проявляется, главным образом параллельно граням R и г. Иногда она обнаруживается при раскалывании тонкой пластинки при слишком сильных колебаниях.
§ 12. Перечень обычных граней кристаллов кварца и их символы. Принято нумеровать оси Миллера t/i, а2, а3 и оси Бравэ — Миллера Л2, Л3 в циклическом порядке против часовой стрелки, если смотреть из положительного конца главной оси (с или Z) как в случае правовращающего, так и в случае левовращающего кристалла. Это условие соблюдается ниже в табл. 2 и на фиг. 6.
Различные грани имеют следующие названия:
пт — гексагональная призма первого рода,
R — основной положительный ромбоэдр,
г — отрицательный ромбоэдр,
s — тригональная бипирамида, х — тригональный трапецоэдр.
Номера в первом столбце табл. 2 соответствуют граням, отмеченным на фиг. 6. Грани 4, 5 и 6 призмы m получаются переменой всех знаков индексов граней 1, 2 и 3. Символы граней R, г, s и х относятся к положительному концу оси Z кристалла (конец, обращенный на
О Азимуты ср и полярные углы 9 нормалей к шести граням R суть: у = 90°, 9=5I°47z; ср =—30°, 6 = 5Г47'; у =—30°, 6=5Г47'. .Определения этих углов см. в § 51.
40
Глава ll
фиг. 6 к наблюдателю). Для другого конца все знаки индексов граней и г будут обратными; для граней s и х любые два индекса символа Миллера взаимно обмениваются с соответствующими изменениями символов Бравэ. Символы Миллера и Бравэ обозначены буквами М и В.
Таблица 2
СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ ПРАВОГО КВАРЦА
Гран и т Грани R Г рани г Грани 5 Грани х
№ м j В М в М В М В М В
1 (2П) (10.0) (100) (10.1) (Т22) (То.1) (124) (12.1) (412) 1 (51.1)
2 (112) (01.1) (010) (Н.1) (212) (ii.i) (24J) (21.1) (241) (ь5.1)
3 (121) (11.0) (001) (01.1) (221) (01.1) (412) (П.1) <124) (16.1) 1
Индексы Миллера для граней, KZ), будут (01 Г), (Oil); (101), (101);
Фиг. 6- Стереографическая проекция г дней, наблюдаемых из конца -ф Z кристалла правого кварца. Три "оси Бравэ Ah А2, А3 параллельны осям X левого кварца и аытипараллельны осям П нагого кварца. Ось Z направлена вперед. Оси являются проекциями трех осей Миллера на плоскость основного круга. Кружки s и х (без значков внизу) представляют собой полюсы соответственных граней левого кварца; они являются также полюсами тех же граней правого кварца у конца, направленного в сторону от наблюдателя. Для левого кварпа можно пользоваться зеркальным изображением4этой фигуры, переменив местами слова „правый'* и „левый1* в подписи.
нормальных к оси X (плоскости (ПО), (110). Такие грани обычно не
встречаются у естественных кристаллов, но являются главными гранями пластинок среза X. Грани, перпендикулярные к осям Y, являются, конечно, просто гранями т. Грани, нормальные к главной оси (Z) (базис), выражаются символами (111) и (111).
Символы граней левого кварца. В согласии с принципом, изложенным в § 327, было бы логичным зеркальное изображение фиг. 6 считать стереографической проекцией для левого кварца. Благодаря такой операции пришлось бы принять последовательность осей Миллера и Бравэ по часовой стрелке вместо обратного порядка, но выгодно оставить символы всех граней одинаковыми с таковыми для правого кварца. Если придерживаться обычного условия о порядке против часовой стрелки для обоих видов кварца, то соответствующие грани $ и х необходимо обозначить другими символами. Симво
лу Миллера для этих граней у левого кварца выводятся из таковых для правого взаимной,перестановкой любых двух индексов (или написанием всех трех индексов в обратном порядке); приведенные выше
Кристаллография
41
положения показывают, что для граней «их левого кварца у конца
Z кристалла имеют силу те же символы, что и для правого кварца у конца — Z. Символы Брава для граней « левого кварца получаются из таковых правого кварца переменой знаков первых трех индексов; для граней х первые три индекса пишутся в обратном порядке с обратными знаками. Белые кружки на фиг. 6 показывают положение полюсов граней «их левого кварца на конце, направленном к наблюдателю.
По Таттону, углы между нормалями к парам смежных граней кристаллов кварца следующие:
mR 38°13' mx 12’1'
RR 85°46' mm 60’0'
Rr 46°16' xs 25’57'
ms 37’58' rx 54’51'
. mr 66°52'
Стереографическая проекция кристалла кварца *). Фиг. 6 показы-
вает расположение граней на ближайшем к наблюдателю конце правого кварца. Следует обратить особенное внимание на тригональное расположение граней « и х. Из чертежа видно, что грани « находятся в точке пересечения двух дуг большого круга, содержащих также грани R и г. Согласно § 19 все полюсы на одной и той же дуге соответствуют граням в одной и той же зоне, пересекающимся по параллельным линиям. Одна такая зона, например, включает ряд mi, xb «1,’г3, /?2, s2 и т4.
§ 13. Дитригональный полярный класс № 19 (симметрия ). Этот класс называют также тригональным гемиморфным гемиэдрическим, ромбоэдрическим гемиморфным, дитригональным пирамидальным и полярным дитригональным тетартосимметричным. Единственным представителем этого класса, который здесь нужно отметить, является турмалин. Более полные сведения можно найти в более обширных трудах по кристаллографии и особенно в статье Воробьева 2).
По химическому составу турмалин является сложным силикатом бора, алюминия и одного или нескольких металлов. И состав и цвет его очень изменчивц. Непрозрачные образцы обычно бесполезны для пьезоэлектрических целей вследствие их относительно высокой проводимости 3). Кристалл имеет форму призмы, иногда довольно длинной с более или менее дупыми головками вследствие преобладания на них тригональных пирамид различных типов. Осью призмы служит ось с (или Z); в отличие от класса кварца, эта ось является полярной. Конец кристалла, на котором при нагревании появляется положительный электрический заряд, условно называют «положительным» концом. Эпинус назвал этот конец «аналогичным» концом кристалла турмалина, рассматривая положительное увеличение заряда как аналогичное положительному изменению температуры; противоположный конец он назвал «антилогичным» (обыкновенно, но не всегда, это более заостренный конец). Стало общепринятым применять термины «аналогичный» и «антилогичный» для
*) Стереографические проекции поясняются в § 19.
2) V. V. Worobieff, Zs. f. Kristallographie 33, 263 (1900). Обширная статья, иллюстрированная и дающая очень полные сведения об этом кристалле.
з) Безусловно непригодными для технических целей являются только трещиноватые кристаллы турмалина. Непрозрачные, даже черные турмалины (шерлы) в ряде случаев могут быть использованы в технике. (Прим, ред.)
42
Глава II
обозначения положительного и отрицательного концов полярных осей и других кристаллов.
Если положительное направление оси Z установлено, то оси X и Y определяются по общему правилу для тригональной системы, изложенному в § 3.
Отношение осей турмалина а : с = 1 : 0,4474.
§ 14. Гексагональный голоаксиальный класс № 24 (симметрия Z)6). Этот класс, кроме того, называют гексагональным энантиоморфным гемиэдрическим, гемиМорфным гемиэдрическим или трапецоэдрическим. Интересным для нас представителем этого класса является £ -кварц, или высокотемпературный кварц, образующийся при температурах от 573 до 870°С. Выше 870° он переходит в одну из модификаций SiO2 — тридимит, р-кварц встречается как естественный кристалл, а также может быть получен искусственно. При охлаждении кристаллов р -кварца ниже 573° внешние черты кристалла остаются неизменными (при очень небольших изменениях отношения осей и плотности), но внутренняя структура переходит в структуру а-кварца1). Точно так же кристаллы, выросшие как а-кварц при температурах ниже 573°, превращаются в Р-кварц при температуре перехода, сохраняя свой тригональный габитус, который в данном случае уже не будет отвечать внутренней структуре. Правый а-кварц становится правым р-кварцем; то же происходит елевыми формами. Кристалл можно нагревать и охлаждать с повторным переходом через точку превращения, причем у него появляются характерные свойства тригонального кристалла ниже критической температуры и гексагонального — выше. Напряжения, возникающие при охлаждении, могут вызвать появления трещин и двойников. Точное определение точки перехода дало температуру 573,3° 2\ Высокотемпературный кварц, как и а-кварц, является! энантиоморфным и не имеет ни центра, ни плоскостей симметрии. Его симметрия исчерпывается одной осью шестого порядка и шестью осями второго порядка.
§ 15. Двойникование кристаллов. Много писалось об аналогиях между кристаллами и живыми организмами-в отношении роста, болезней и многих других качеств. Во всяком случае, они похожи на живые организмы способностью менять свой характер. Выросши из первоначального ядра до известных размеров, грань кристалла может изменить способ своего роста и впредь принимать на себя иначе ориентированные частицы. В этом случае получается двойник срастания, причем обе части в отдельности имеют все характеристики своего класса, но различную ориентацию осей. Иногда же кристаллы срастаются между собой по весьма сложной и неправильной поверхности, и тогда отделить их невозможно. Такие кристаллы называются двойниками прорастания; составные части могут быть очень неправильной величины и формы. Между двойниками срастания и прорастания существуют различные промежуточные формы. Смена ориентации также может осуществляться ритмически, причем иногда образуются совершенно однородные чередующиеся слои, проявляющиеся на поверхности в виде полосок (повторное или
О Сосман ([649], стр. 116) сообщает об отступлениях, наблюдаемых у некоторых образцов.
2) F. Bates and F. F. Phelps, Nat. Bur. Standarts, Sci. Paper 557, август 1927. Переход определяется так резко, что его предлагалось использовать в качестве основной точки термометрической шкалы.
Кристаллография
43
полисинтетическое двойникование). Во многих случаях двойникование увеличивает кажущуюся симметрию кристалла.
По структуре две компоненты двойника могут быть симметричными относительно плоскости (двойники отражения) или точки (двойники инверсии); одна компонента может быть также повернута относительно другой на 180° вокруг линии, называемой двойниковой осью (двойники поворота). Различают еще и другие специальные законы двойникования.
Единственным примером, требующим здесь особого внимания, является двойникование кристаллов кварца. Двойникование сегнетовой соли связано с существованием в ней областей спонтанной ориентации и рассматривается в гл. XXV.
С двойникованием кристаллов кварца приходится . считаться при выборе материала для резонаторов и пластинок, применяемых для измерений пьезоэлектрических коэфициентов. Дальнейшие сведения взяты главным образом из книги Сосмана. Двойникование поворотом встречается очень часто. В случае кварца оно называется дофинейским двойникованием (от провинции Dauphine во Франции, где такие двойники вперые были обнаружены). В дофинейских двойниках—две компоненты, обе правые или обе левые, повернуты друг относительно друга на 180° вокруг оси Z. Часто встречается также двойникование отражения, известное под именем двойникования по бразильскому закону. В бразильских двойниках компоненты — правая и левая — имеют в качестве двойниковой плоскости грань призмы (1120). Электрические оси обеих компонент при этом могут быть направлены параллельно или антипараллельно в зависимости от того, присутствует ли также одновременно или нет дофинейское двойникование. Двойникование прорастания встречается часто как дофинейское, так и бразильское. Часто наблюдается полисинтетическое двойникование, в особенности у бразильских двойников со слоями, параллельными граням тригональной призмы. Отмечались и другие, менее обычные типы двойникования
В поляризованном свете, параллельном оптической оси (§ 333), дофинейское двойникование не проявляется оптически, потому что обе компоненты двойника вращают плоскость поляризации в одну сторону. Так как электрические оси двух компонент направлены антипараллельно, взаимно компенсируя, частично или полностью, пьезоэлектрический эффект, этот тип двойникования иногда называют электрическим двойникованием * 2). Этот термин применим также и к бразильским двойникам с противоположно направленными электрическими осями. Бразильский тип двойников всегда обнаруживается в поляризованном свете, поэтому его можно на’звать оптическим двойникованием. Случаи оптического двойникования, в которых не страдала бы электрическая активность, вероятно, очень редки 3>.
Многие сильно сдвойникованные кристаллы внешне не обнаруживают ничего ненормального. Однако в случае двойников прорастания
’) Более полно двойникование кварца описано в работах: Грот [624]; Сослан [649]; L. Essen, Journ. Sci. Instr. 12, 256 (1935); W. А. В u r g e r s, Proc. Roy. Soc. (London) 116, 553 (1927); W. Bragg and R. E. Gibbs, Proc. Roy. Soc. (London) 109, 405—427 (1925).
2) В данном случае может итти речь лишь о компенсации пьезоэлектрического эффекта, вызываемого растяжением и сжатиями по осям X и У, но не сдвигами вокруг осей. (Прим, ред?)
3) Имеется в виду третий случай двойникования — двойникование по закону Лейдольта, которое обнаруживается при одновременном присутствии бразильских и дофинейских двойников. (Прим, ред.) .. . .
44
Глава II
грани s и х могут встречаться у концов смежных, а не чередующихся граней призмы. Если грани s все наклонены в одну сторону, когда на них смотрят спереди, то двойник принадлежит к типу дофине; если же они поочередно направлены вправо и влево, то это признак бразильского типа. Иногда локальное двойникование у поверхности обнаруживается по разнице в блеске или на искусственно отполированных или травленых поверхностях по линии, разделяющей двойниковые части.
Вопрос об уничтожении двойникования в кристалле кварца рассматривался Сосманом. Он указывает, что для бразильского двойникования превращение правого кварца в левый затруднено, если не невозможно, так как каждая пара атомов кислорода в сдвойникованной области должна не только повернуться на 180° вокруг главной оси, но и изменить свою ориентацию относительно атомов Si. Правда, Шубников и Цинзер-, линг1) утверждают, что резко локализованное усилие (надавливание стальным шариком) вызывает образование дофинейского двойника на поверхности кристалла кварца, но это не дает никакой надежды на уничтожение двойникования внутри2). Двойникование кварца рассматривается далее в гл. XVI.
§ 16. Фигуры травления и их применение. Симметрия кристалла связана с физическими и химическими его свойствами. В частности, скорость роста кристалла и скорость его растворения различны в разных направлениях. Поэтому сфера из кварца, помещенная в раствор плавиковой кислоты, принимает со временем уплощенную форму, имеющую тригональную трапецоэдрическую симметрию.
Нас интересуют главным-образом микроскопические фигуры травления и формы растворения, получающиеся после обработки подходящим растворителем сферы из кристалла. Они очень ценны для определения граней и осей кристаллов, не имеющих естественной огранки, а также положительных направлений полярных осей, для распознавания энантиоморфных форм и для обнаружения присутствия областей двойникования.
Изучение фигур травления осложняется тем, что они в значительной мере зависят от характера обработки поверхности до травления, от свойств применяемого растворителя, от длительности травления и от других факторов. О фигурах травления сегнетовой соли см. § 406, а о фигурах травления кварца — § 335.
§ 17. Изоморфные смеси. Известно много примеров соединений, настолько родственных, что их кристаллы не только принадлежат к тому же самому классу, но и могут смешиваться в любой пропорции в одном кристалле. Такой кристалл можно рассматривать как твердый раствор, причем термин «изоморфный» относится к сходству кристаллической формы составляющих частей. Изоморфные смеси, или «смешанные кристаллы», встречаются особенно среди солей, имеющих те же кислотные радикалы, родственные металлы и не слишком разные молекулярные 3) радиусы и отношения осей. Такие кристаллы встречаются в природе, как, например, гранаты. В лаборатории же можно получить очень много разновидностей этого типа. Мы вернемся к этому вопросу в гл. XXVII,
О А. Шубникова и Е. Цинзерлинг, -Zs. f. Krlstallographie, 83, 249—264 (1932).
2) Изменение границ дофинейского двойника тем не менее возможно и практически осуществлено Е. В. Цинзерлинг. (Прим, ред.)
э) Чаще — ионные и атомные радиусы. (Прим, ред.)
Кристаллография
45
где рассматриваются смешанные кристаллы сегнетовой соли и некоторые изоморфные соли.
§ 18. Группировка классов кристаллов по физическим свойствам. По отношению к любому данному физическому эффекту каждый класс характеризуется некоторыми постоянными, которые можно расположить в таблицу (матрицу) согласно их геометрическим свойствам. Каждый физический эффект представляет соотношение между двумя явлениями, например, упругое напряжение и деформация или электрическое поле и поляризация.- Математически каждый эффект трактуется как соотношение между двумя величинами, любая из которых, может быть скаляром, полярным вектором, аксиальным вектором или тензором По характеру взаимодействующих величин определяют, какие постоянные существуют в самом общем случае, а затем, рассматривая симметрию кристалла, приходят к заключению, какие постоянные могут отличаться от нуля в каждом классе.
Кристаллографически родственные классы, имеющие идентичные матрицы постоянных (величины этих констант, кроме тех, которые равны нулю, различны для разных веществ), можно объединить в группу. Группы, вообще говоря, не тождественны системам кристаллов, хотя они и тесно с ними связаны. Фогт различает 11 главных групп (Obergruppen), имеющих общие ценГросимметричные свойства; для упругих и пьезооптических констант это число в дальнейшем уменьшается до 9. Пьезо- и пироэлектрические явления не включаются в эту схему; каждый класс, обладающий этими свойствами, образует отдельную группу.
Таблица 3
ГРУППИРОВКА КРИСТАЛЛОВ ПО ФИЗИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМ
Эффект Величины Группы Классы
Упругий т,т 9 32
Диэлектрический v.v 5 32
Пьезооптический Т,Г 9 32
Пироэлектрический (векторный) s.v 10 10
Пироэлектрический (тензорный) S,T 11 29
Тепловое расширение S,T 11 32
Пье’зомагнитный . . . ’ T,Va 11 29
Электрооптический . T,V 20 20
Пьезоэлектрический (векторный) T,V 20 20
Пьезоэлектрический (тензорный) T,T 9 32
Внутреннее трение T,T 9 32
В табл. 3 представлены соответствующие данные для некоторых
отделов физики кристаллов. Второй столбец содержит математические
символы относящихся к ним эффектов: 3 — скаляр, V — полярный век-
тор, Vа— аксиальный вектор, Т — тензор. Третий столбец показывает
число определенных выше групп, а последний дающих названным эффектом 2\ — число классов, обла-
О Термин тензор, когда не оговорено его иное определение, означает тензор второго ранга.
2) Было бы правильнее сказать, что в третьем столбце даны числа групп симметрии кристаллов в отношении данного свойства, а в четвертом — числа групп минимальной симметрии (классов) кристаллов, в которых данное свойство возможно. (Прим, ред.)
46
Глава II
§ 19. Стереографические проекции граней кристаллов. Если из центра сферы провести радиусы, параллельные нормалям к граням кристалла, они пересекут сферическую поверхность в точках, известных под названием полюсов. Стереографической проекцией называют проекцию всех полюсов одной полусферы на экваториальную плоскость этой полусферы, как их видит глаз из полюса другой полусферы. Обычно принято совмещать проекции полюсов обеих полусфер на одной диаграмме. Большой круг называется основным кругом.
Если кристалл имеет единственную ось (обыкновенно принимаемую за ось Z), то плоскость основного круга выбирается нормальной к ней так, что конец единственной оси, являющейся в данном случае осью проекции, попадает в центр проекции. Если нет единственной оси, то ось проекции выбирается параллельной пересечениям граней, принадлежащих к какой-нибудь хорошо развитой зоне. В дальнейшем ось проекции будет считаться осью Z.
Проекции полюсов, соответствующих граням, параллельным оси Z, лежат на основном круге. Все другие полюсы попадают в геометрические места, являющиеся
или прямыми линиями, или дугами окружностей, проходящих через концы диаметров основного круга. Полюсы, находящиеся на дугах основного круга, соответствуют группе Граней, образующих зону (§ 4); ребра, образуемые пересечениями таких граней, параллельны между собой. Полюс в центре основного круга представляет грань, нормальную к оси Z (базис).
Хотя стереографическая проекция непосредственно не изображает действительной формы кристалла, она в раде случаев полезнее перспективного изображения кристалла, так как ею лучше отображается симметрия и взаимная ориентировка (наклон) граней.
На фиг. 6 показана стереографическая проекция кристалла кварца.
Так как иногда трудно найти ссылки по вопросу построения стереографических проекций, то может оказаться полезным следующий ниже метод. Задачей является найти путем наименьшего числа операций положение полюса Р на фиг. 8, соответствующего грани (hkl) кристалла с данным отношением осей а: b : с.
Метод легче всего объяснить с помощью фиг. 7, на которой плоскость (hkl) представлена треугольником АВС, причем OD является нормалью к последнему. В согласии с § 4 можно положить расстояния ОА <= ajh, OB = b/k, ОС — с]1. Любое из чисел h, k, I может быть отрицательным: в таком случае соответствующие расстояния на фигуре должны откладываться в отрицательных направлениях. Направление OD выражается угловыми координатами <р и 0, причем tg ср= kajhb и tgO = r = (al/ch) cos <р= (bl/ck) sin ср.
Если точка О на фиг. 7 принимается за центр сферы, то очевидно, что полюс, соответствующий грани (hkl), находится в точке пересечения OD со сферической поверхностью. Проекция полюса на плоскость основного круга (на фиг. 7 — плоскость XY) лежит на линии ОЕ, так как это — точка, в которой основной круг пересекается линией, соединяющей полюс на сфере и точку на оси Z, где расположен глаз.
Теперь, руководствуясь фиг. 8, можно построить стереоррафи|ческую проекцию. На этой фигуре OX, OY и ? те же, что и на фиг. 7, а линия ОЕ" —радиус основного круга — параллельна ОЕ. Остается найти положение Р на ОЕ". Вместо
Кристаллография
47
вычерчивания для этой цели отдельного чертежа обычно построение делают на той же диаграмме. Сначала представши, что -
йерТежа фиг. 8 так, что ОС, OD и ОЕ совпадают соответственно по направлению с ОС', OD' и ОЕ'. Линия OD', составляющая с ОЕ угол 0 нормальна к плоскости (hkl); поэтому D' является полюсом (hkl) на сфере. Глаз находится в Х-, отсюда Р' представляет стереографическую проекцию D' на плоскость основного круга, который в данном случае перпендикулярен плоскости чертежа. ОР' равно расстоянию стереографической проекции от тра круга.
Установив положение Р', немея к основному кругу в первоначальном положении в
210
010
плоскость СОЕ на фиг.- 7 совпадает с (плоскостью .100 :
010
210
100
Фиг. 9- Стереографическая прззсцля криста лла сегнетовой соли с деталями построения грани (2 fl).
цен-
вер-его плоскости чертежа. Во втором и последнем этапе построения мы просто откладываем расстояние ОР = ОР' на линии ОЕ". Тогда Р является искомой проекцией грани (hkl).
Если желают построить стереографическую проекцию грани гексагонального или' Тригонального кристалла, индексы которой даны по системе Миллера или Бравэ, то сначала необходимо вычислить относительные отрезки грани на трех ортогональных осях. Формулы для преобразования можно найти, например, у Девея ([616], стр. 34) и Вольфа О.
Найдем в качестве примера построения стереографическую проекцию грани (211) ромбической сегнетовой соли. Здесь /г——2, k——1, 1=1. Согласно § 8, находим а : b : с = 0,8317 : 1 0,4296. Отсюда tgy=ka/hb=0,415,
cp=22e30', cos-f=0,924;
0=—41°50'.
tg0 = (a//cft)coscp=—0,895,
Как и на фиг. 8, эти углы отложены на фиг. 9, и таким образом найден полюс грани (211). Показаны также и остальные грани сегнетовой соли. Белые кружки отмечают грани, находящиеся на нижней (задней) половине шара. Эта диаграмма ясно обнаруживает асимметрию сегнетовой соли относительно всех трех главных плоскостей.
Между точками Кюри сегнетова соль имеет форму моноклинного кристалла вследствие спонтанной деформации y^z (§ 482). Эта деформация увеличивается от нуля при—18° и +24°С до максимума около 4' дуги при температуре около 5° и представляет отклонение угла между осями У и Z от 90°. Изменение на фиг. 8, вызываемое таким малым приращением угла, совершенно незаметно. Строго говоря, один из двух черных кружков, представляющих грани (010) и (010) (две грани У), передвинется радиально внутрь на очень малое расстояние, тогда как другой, черный кружок станет белым и передвинется внутрь на то же расстояние.
В системах с косоугольными кристаллографическими осями расстояния ОА, ОВ и ОС фиг. 7 не получаются непосредственно из отношений осей. Однако углы <ри 0 для любой грани всегда можно вычислить из гониометрических измерений и затем использовать фиг. 8 для определения положения соответствующего полюса.
ЛИТЕРАТУРА
КНИГИ И СТАТЬИ ПО ОБЩИМ ВОПРОСАМ
№ 615, 624, 650 общей библиографии (см. в конце настоящей книги).
Friedel G., Legons de cristallographie, Paris, 1926, 602 стр.
0 C. W. Wolfe, Am. Mineral 26, 83 (1941).
48
Глава II
Kalb G., Исследования кристаллического строения кварца, Zs. f. Kristallographie, 86, 439—465 (1933); 89, 400—412 (1933); 90, 163—185 (1935).
Kraus E. H., Hunt W. F. and Ramsdell L. S., Mineralogy, An Introduction to the Study of Minerals am'Crystals, 3-е изд., New York, 1936, 638 стр.
M i e r s S. H. A., Mineralogy, An Introduction to the scientific study of Minerals, 2-е изд., London, 1929, 658 стр.
Palache C., Harry B. and Clifford F., The System of Mineralogy of James Dwight Dana and Edward Salisbury Dana, 7-е изд., т. 1, New York, London, 1944, 834 стр.
Rogers Al F„ Introduction to the Study of Minerals, 3-е изд., New York, 1937, 626 стр.
Wyckoff R. W. G., The Structure of Crystals, New York, 1924, 462 стр.
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАРЦА
№ 614, 649, 650 общей библиографии.
Kraus, Hunt and Ramsdell, см. выше.
ТРАВЛЕНИЕ И ФИГУРЫ ТРАВЛЕНИЯ КВАРЦА
№ 63, 154, 220, 387, 558, 584, 586, 592, 623, 628, 649 общей библиографии.
Baumhauer Н., Resultate der Aetzmethode, Leipzig, 1894; Die neuere Entwicklung der Kristallographie, Brunswick, 1905.
G r a m о n t A. De, Об определении электрических осей кварца с помощью фигур травления, Proc. World. Eng. Cong., Tokyo, 3, 417—421 (1929).
Kao P. T., Испытание пьезокварцевых пластинок, Rev. d’Optique, 10, 153—161 (1931).
L e у d о 11 F., О новом методе исследования структуры кристаллов, особенно разновидностей ромбоэдрического кварца, Sitz.-ber. Akad. d. Wiss. Wien. (Math. Naturfwiap. KJ.), 15, 59 и далее (1855).
Meyer О. and Penfield S. L., Результаты травления шара и кристаллов кварца фтористоводородной кислотой, Trans. Connecticut Acad. Arts. Sci., 8, 158—165 (1889); см. также список в конце гл. XVI.
ТУРМАЛИН
№ 592 общей библиографии.
Matsumura S. and Goto А., Связь между фигурами травления и пьезоэлектрическими свойствами турмалина, Journ. Inst. Electr. Eng. (Japan) 53, 197—199
(1933).
ГЛАВА Ш
УПРУГОСТЬ кристаллов
Упругие свойства пьезоэлектрических кристаллов тесно связаны с электрическими и тепловыми явлениями, поэтому рассмотрению упругих явлений полезно предпослать более полное исследование всей области в целом, включая и термические эффекты. Первая часть главы посвящена выражению для энергии системы, находящейся под механическим, электрическим и тепловым напряжением, называемому термодинамическим потенциалом. Предмет настоящей главы математически выражается первым членом этого выражения.
После этих общих предварительных замечаний следует трактовка чисто упругих зависимостей. В качестве введения к специальным упругим свойствам кристаллов сначала рассматриваются известные выражения для напряжения, деформации и упругих постоянных изотропных твердых тел. Вопрос о сдвигах рассматривается более подробно, так как мы встретимся с ними при рассмотрении главнейших типов резонаторов и других пьезоэлектрических устройств.
За основными уравнениями, связывающими напряжение и деформацию в анизотропных твердых телах, следует рассмотрение свойств девяти упругих групп, на которые можно подразделить 32 класса. Наконец, приводятся формулы преобразования этих уравнений при переходе к системе осей любой ориентации, сначала в общей форме, а затем в специальной — для групп, наиболее важных для настоящей работы.
§ 20. Соотношение между упругими, электрическими и термическими свойствами-кристаллов. Изучение пьезоэлектрических явлений не может быть полным без рассмотрения взаимодействий между электро-упругими эффектами и тепловыми явлениями. Последующие главы содержат многочисленные доказательства того, что значение вопроса выходит за рамки академического интереса. Настоящее обсуждение ограничивается линейными эффектами. Тем самым исключаются такие вопросы, как электрострикция.
Соотношения между тремя типами эффектов иллюстрируются фиг. 10. Расположение символов основано здесь на теории Фогта, согласно которой напряженность поля Е производит пьезоэлектрическое напряжение X ——еЕ, где е представляет соответствующий коэфициент пьезоэлектрического напряжения. Подобным же образом деформациях вызывает электрическую поляризацию Р= ?х Точно так же пироэлектрическая постоянная р связывает изменение температуры & с Р, стрелка из £ в 2Q указывает электрокалорический эффект (изменение количества тепла Q при наложении электрического поля £),
*) Обращаем внимание на то, что размерность (Ми Т-1) коэфициентае в уравнении £ и в уравнении одинакова и что деформация х выражается в безразмерных единицах. (Прим, ред.)
4 К»д»
50
Глава III
который, однако, обыкновенно выражается как соотношение между изменением температуры & и Е (§ 523); коэфициент расширения а связывает У с х; линия из X в & Q со связывающим коэфициентом b обозначает термоупругий эффект X и х связаны уравнением вида х — — sX, причем аналогичное выражение существует и для диэлектрической восприимчивости и удельной теплоемкости С. Стрелки указывают обычное направление различных эффектов. Добавочная стрелка из Р в Е показывает, что электрическое поле может вызываться поляри-
зационными зарядами.
первичный эффект. Однако в
Каждая из девяти прямых, образующих фиг. 10, представляет
Фиг. 10. упругими, тепловыми
Соотношения между ди°лектрическими и свойствами по Гекма-ну [213].
каждом случае процесс может пойти и по другому пути, если только некоторый коэфициент не исчезает в классе, к которому принадлежит кристалл. Такие побочные эффекты можно назвать вторичными. Выдающимся примером является «ложный» пироэлектрический эффект, который может в несколько раз превышать прямой эффект. В этом случае первичный, или «истинный», эффект обозначается направлением Р, тогда как вторичный эффект идет по пути 11 х -» Р. Подобно этому, при измерениях коэфи-циента s путем наблюдения X и х возникает пьезоэлектрическая поляризация Р (если только Q), вызывающая (если кристалл не закорочен) поле Е, которое в свою очередь изменяет значение X; кроме того, термоупругий эффект меняет
температуру, влияя таким образом на величину х. Тогда как для большинства кристаллов термоупругий эффект очень мал (адиабатическая поправка(), этого никак нельзя сказать о пьезоэлектрической реакции на X.
Это объединенное представление первичных и вторичных эффектов, повидимому, дается впервые. Читатель легко может проследить и другие вторичные эффекты. Мы только обратим особое внимание на связь между Е и Р, потому что восприимчивость т(, выводимая из соотношения между Р и Е, может сильно изменяться (особенно для 'Сегнетовой соли) в зависимости от того, допускается ли путь Е — > X —> х. -» Р или ему препятствуют механические воздействия, мешающие деформации кристалла.
§ 21. Таким образом, мы приходим к другому важному вопросу, а именно, к определению условий, при которых наблюдается любой данный коэфициент. В термодинамике различают два вида удельной теплоемкости —С ри Cv. Подобно этому, в случае твердых тел сущест-
*) Выражение термоупругих соотношений через такой коэфициент, как Ь, связывающий напряжение с количеством тепла, не является общепринятым. Обычно («Физика кристаллов», стр. 285, 286 и 784) теория связывает напряжение с температурой через коэфициенты термического напряжения q^', ниже эти коэфициенты входят в уравнение (1). При рассмотрении электрокалорического эффекта (§ 523) символ q обозначает электрокалорический коэфициент, который, однако, в этой главе не рассматривается.
Упругость кристаллов
51
вует, хотя и небольшая, но реальная разница между удельной теплоемкостью Сх при постоянном напряжении и Сх при постоянной деформации. Для экспериментального определения Сх, а также для использования этой величины в уравнениях необходимым условием является постоянство X и Е: прилагаемое механическое или электрическое напряжение не должно меняться. В случае Сх постоянными должны быть х и Р.
Аналогичные замечания, которые можно сделать о коэфициентах s и т] (см. также § 198, 204 и 205), для нас еще важнее. Дополняя высказанные выше положения, можно сказать, что коэфициенты (всегда с надлежащими значками внизу) имеют, вообще говоря, различные значения, в зависимости от теплового и электрического состояния кри
сталла: следует не только различать упругие коэфициенты s при постоянной температуре (изотермические) и при постоянной энтропии (адиабатические), но и уточнять, является ли Е или Р постоянным • во время процесса. Символом se (или иногда sE )и s (или s?) часто пользуются для обозначения соответственно постоянства поля и поляризации. Употребляются также другие приставки и значки внизу, как например, D для постоянного электрического смещения. В статических уравнениях будут подразумеваться изотермические величины, в колебательных уравнениях — адиабатические.
В случае диэлектрической восприимчивости автор пользуется символом vf при постоянном X («свободный» кристалл) и tj" при постоянном х («зажатый» кристалл) .
Теперь мы приходим к эффектам, представленным сторонами треугольника фиг. 10. Уже упоминалось об истинном и; ложном пироэлектрических эффектах.
Фиг. 11- Тетраэдры, представляющие сооткоиения между упругими, ,ди: лектрическими, тепловыми и магнит ыми эффектами.
Подобным же образом можно было бы говорить об истинном и ложном эффекте теплового расширения в пьезоэлектрических кристаллах, причем истинный, или первичный, эффект должен наблюдаться при постоянном Е. В противном случае может иметь место вторичный эффект
_> ЕX—дающий пьезоэлектрическое приращение к наблюдаемому расширению.
В случае прямого пьезоэлектрического эффекта, представляемого путем х —> Р, в основных уравнениях подразумевается состояние при постоянных Е и &. Строго говоря, если измерения не проводятся достаточно медленно, то наложение напряжения X вызывает адиабати-у ческое нагревание с сопутствующим ложным пьезоэлектрическим эффектом по пути X —> В Q -> & —± Р. В статических опытах им можно пренебрегать, если только пироэлектрическая постоянная не очень велика. Однако в случае колебаний пьезоэлектрического кристалла поляризация должна получать пироэлектрическое приращение вследствие
О Автор считает простительным и во всяком случае экономным называть значения упругих коэфициентов при постоянном поле «изагрическими» значениями. 4*
52
Глава III
периодически изменяющейся температуры. Для таких кристаллов, как сегнетова соль, отмеченный эффект заслуживает рассмотрения.
На фиг. 10 и 11 участок AxftoQ представляет термодинамику твердого тела. В более широком смысле вся фигура также является термодинамической диаграммой и выражает теорию, связывающую различные эффекты, рассматриваемые с термодинамической точки зрения. Именно в этом смысле функция энергии деформации, рассмотрение которой нам предстоит, называется «термодинамическим потенциалом».
§ 22. Можно расширить предыдущее рассуждение, включив и другие физические эффекты. Рассмотрим кратко для иллюстрации связь магнитных явлений с обсуждавшимися выше, хотя они имеют очень небольшое отношение к содержанию настоящей книги. Такое расширение требует уже трехмерной модели вместо изображенной на фиг. 10 двухмерной модели. Такая модель представлена в перспективе на фиг. 11; она состоит из большого тетраэдра НХ 6 QE, который можно назвать тетраэдром напряжений, включающего меньший тетраэдр— тетраэдр деформаций /л 8Л Оба треугольника Хь QE и х^Р в основании те же, что и на фиг. 10.
На фиг. 11 Н представляет напряженность магнитного поля, связанного с магнитной поляризацией I уравнением 1 — ~кН, аналогичным уравнению Р —t] Е. Три четырехугольника ШхХ, HIjQ§ и HIPE символизируют соответственно связи магнетизма с упругостью (прежде всего пьезомагнетизм, хотя представление можно расширить и включить другие магнетоупругие эффекты), теплотой (термомагнитные эффекты) и электростатикой. Последний эффект до сих пор не обнаружен, и, вероятно, его нельзя обнаружить вследствие отсутствия сколько-нибудь заметной магнитной проницаемости в кристаллах, обладающих свойствами изоляторов. Эти магнитные эффекты упоминаются для того, чтобы указать, что, поскольку они вообще существуют, они связаны со вторичными эффектами и для них также нужно определять состояния, при которых они рассматриваются, как и для упругих, электрических и термических эффектов.
Следует заметить, что на фиг. 10 и 11 величины 8 Q и 8 являются скалярами, Е и Р — векторами, X, х и / — тензорами; в векторном анализе они представляют собой тензоры нулевого, первого и второго рангов.
§ 23. Термодинамические потенциалы. Рассматривая проблемы упругости, Грин в 1837 г. ввел «функцию энергии деформации», Ч
Эта функция в приложении к обратимым системам обычно называется «свободной энергией» системы и распространяется на тепловые, электрические и упругие эффекты. Кельвин и Гиббс ввели термин «термодинамический потенциал», являющийся синонимом свободной энергии, а Дюгем и Фогт применили его к кристаллам.
Когда свободная энергия выражается через деформации, она называется первым термодинамическим потенциалом и обозначается через $. Ее производные с отрицательными знаками, взятые по компонентам упругой деформации, являются компонентами напряжения.
Свободную энергию также часто выражают через напряжения. Тогда она называется вторым термодинамическим потенциалом и обозначается буквой С . Ее производные с отрицательными знаками, взятые по компонентам упругого напряжения, являются в этом случае компонентами деформации. Эти потенциалы рассматриваются далее в § 187. Любое из этих выражений свободной энергии можно разложить по
О Mathematical Papers of the Late George Green, London, 1871, p. 245: «При всяком воздействии друг на друга элементов любой материальной системы, умножая все действующие внутренние силы на элементы их относительных направлений и беря полную сумму для любой определенной части массы, мы получим всегда точный дифференциал некоторой функции». Слова «при всяком воздействии» можно рассматривать как включающие также тепловые и электрические эффекты.
Упругость кристаллов
степеням и произведениям компонент деформации (или напряжения) и привести их таким образом к сумме однородных функций различных степеней. Так как потенциальная энергия недеформированного тела действительно является минимумом, то член первой степени исчезает. Поскольку деформации малы, как это обычно бывает, принимаются во внимание только члены второй степени. В упругости, например, это приводит к принятию закона Гука. Члены более высоких степеней нам придется рассматривать только в редких случаях.
В качестве основы для дальнейших рассуждений в последующих главах мы теперь напишем по отношению к упругости выражения двух термодинамических потенциалов через механические, электрические и тепловые эффекты. При этом предполагается, что кристаллическая пластинка одновременно подвергается воздействию произвольного однородного механического напряжения, однородного электрического поля любой ориентации, а также имеет температуру, отличающуюся на величину $ от некоторой установленной температуры Т; XS представляет изменение энтропии, соответствующее 0.
Оси X, Y и Z пространственной системы координат параллельны главным ортогональным осям кристалла, как определено в гл. II. Шесть членов в каждом уравнении представляют энергию через упругие, диэлектрические, пьезоэлектрические, тепловые, термоупругие и пироэлектрические свойства материала. Символы вида xh обозначают компоненты полной деформации, вызываемой всеми причинами, тогда как Х/г XL являются компонентами прилагаемого извне механического напряжения (§ 25); сы и shl представляют соответственно упругие константы и модули (§ 26) при постоянном электрическом поле (§ 76) и температуре Г; т('кт и —диэлектрические восприимчивости соответственно при постоянной деформации и напряжении (§ 204); Eki Ет— компоненты напряженности поля в кристалле, поддерживаемого постоянными потенциалами, приложенными через подходящие электроды; е^г и dmh — коэфициенты пьезоэлектрических напряжений и деформации; J — механический эквивалент тепла в эргах на калорию, р — плотность, С — удельная теплоемкость в кал/г • град (у твердых тел при постоянных напряжении и деформации величина ее практически одинакова); qh и ah—коэфициенты теплового напряжения и расширения рт — пироэлектрическая константа 2\ Суммирования производятся от 1 до числа, указанного значком вверху. Для всех комбинаций различных значков s hi— sih и *f\km — ; для пьезоэлектрических коэфи-
циентов такая перестановка недопустима. Отсюда в правых частях
’) Замечание. Значками 1....6 внизу символов часто обозначают шесть компонент напряжения и деформации; точно так же три компоненты электрических векторов часто' отмечаются значками 1, 2, 3 внизу вместо значков х, у, г. Когда пишут общие выражения, применимые ко всем компонентам данной величины, принято для обозначения пользоваться буквами; например, Xf, означает компоненту напряжения, где h может иметь любое значение от 1 до 6. Некоторые величины, как например, упругие и пьезоэлектрические коэфициенты, требуют (по общепринятому условию) двух значков: d2s представляет пьезоэлектрический коэфициент, связывающий поле, параллельное Y, с деформацией zx. тогда как d^h является общей формой коэфициента, причем подразумевается, что т = 1, 2 или 3, a h = 1, 2, 3, 4,5 или 6. Это символическое обозначение особенно полезно, когда суммирования пишут в сокращенной форме.
Выбор букв для обобщенных значков совершенно произволен. Читатель скоро привыкнет к тому, что важным является не то, какими символами пользуются для значков, а то, где они ставятся.
2> «Физика кристаллов», стр. 285 и 772.
54
Глава III
уравнений (1) и (2) содержится в самом общем случае упругих членов 21, диэлектрических — 6, пьезоэлектрических—18, термоупругих — 6, пироэлектрических — 3. Все произведения — скалярные
i 6 6 1 3 3 3 6
* = 4 2 2 ChiVi + 122 ^kmEkEm +2 ^mhEmXh + £ h i km m h
, 1 JpC$2 A 6 3 2)
+ 2 r~+ 02^л+^2^Л’ (0
h m
. 6 6 , 3 3 3 6
=4 2 3 SAX< + 422 ^'^ЕкЕт -22 +
hi km m h
+ 'Jf(&Sy + ^^allXlt+^pnEm. (2)
h m
Шесть членов в уравнениях (1) и (2) соответствуют трем радиальным и трем периферическим соотношениям, представленным на фиг. 10. Нам придется иметь дело главным образом с первыми тремя членами, а в этой главе даже с одним только первым членом. Использование первого члена для получения основных уравнений, выражающих зависимость между напряжением и деформацией, обсуждается в § 26.
§ 24. В элементарной теории упругости модуль Юнга У, модуль сдвига п и объемная упругость * являются тремя упругими константами изотропного твердого тела. Они не независимы, так как любую из трех можно выразить через две другие с помощью приводимых ниже соотношений. Сюда также включаются выражения, содержащие коэфициент Пуассона а (поперечное сжатие: продольное растяжение).
у Зх + п. ==2п(1+а);
Y
П ~~ 9х—У ~ 2(1 + о)’ (3)
__ nY __ Y
* 2(3л - Y) ~ 3(1 - 2а) ;
У —2/г __ Зх — 2п 2п t(3x-f-n) ’
Соотношения между упругостями изотропных тел и кристаллов обсуждаются в последующих разделах, особенно в § 31.
Когда твердое тело находится в равновесии под действием данной системы внешних сил, говорят, что оно находится в состоянии дефор
’) Так как напряженность поля аналогична напряжению, а поляризация — деформации, то второй, третий и шестой члены в уравнении (1) должны при строгой согласованности выражаться через поляризацию. Энергия действительно так и выражена в уравнениях (243) § 192. Настоящая запись выбрана для того, чтобы сделать явным использование повсюду параметре в, встречающихся в теории Фогта.
2) Справедливость этой формулы оспаривается Р. Куком. См. Nature, Apr. 3, 1948. (Прим, ред.)
Упругость кристаллов
55
мации, тогда как силы, необходимо составляющие равные и противоположные пары, производят напряжение. Если все части тела претерпевают одинаковую деформацию, последняя — однородна: первоначально прямые и параллельные линии остаются таковыми в состоянии деформации, хотя их длины и направления вообще меняются (всегда в одном отношении), — квадрат становится параллелограмом, сфера в самом общем случае превращается в трехосный эллипсоид.
§ 25. Напряжения и их компоненты. В некоторых работах определяют напряжение просто как силу на единицу площади, действующую на любую плоскость в теле, подразумевая при этом, что сила может и не быть нормальной к этой плоскости. По отношению к упругости такое определение не вполне правильно, так как упругая деформация выражается через одну или больше пар, равных и противоположных сил на единицу площади. Сила на единицу площади является вектором, тогда как две равных и противоположных силы на единицу площади представляют компоненту симметричного тензора. Графически вектор обычно представляют простой стрелкой; подобно этому растягивающую или сжимающую компоненту тензора можно представлять стрелкой с остриями на обоих концах, указывающими в противоположные стороны. Два острия можно воображать представляющими противоположно направленные силы, действующие на противоположные стороны тела, которое находится под напряжением, или как приложенную силу, уравновешенную в любой плоскости силой упругого противодействия.
Напряжения и системы напряжений однородного твердого тела в состоянии равновесия. Напряжение определяется как усилие на единицу поверхности, производимое частью тела по одну сторону элемента поверхности внутри него, на часть, находящуюся по другую сторону. Это определение включает тензориальную сущность напряжения, так как, когда тело находится'в равновесии, «по другую сторону» существует равная и противоположная сила, а две противоположные силы еоставляют напряжение. Такую силу, вообще говоря, можно разложить на нормальную компоненту, представляющую простое давление (положительное или отрицательное) и тангенциальную компоненту, которая является одной из двух сил, производящих напряжение сдвига. Каково бы ни было направление силы, но если тело находится в равновесии, то всегда можно провести плоскость в таком направлении, чтобы напряжение сдвига исчезло (§ 28).
Происхождение напряжения может быть чисто механическим вследствие контакта тела с некоторой материальной средой; силы, действующие на поверхность, тогда называются поверхностными силами, и если деформация однородна, то напряжение одинаково и на внешней поверхности и внутри тела. С другой стороны, причиной напряжения могут быть пространственные силы, возбуждаемые непосредственно в некоторых или во всех частях тела тем или иным агентом путем «действия на расстоянии». К этому типу принадлежат пьезоэлектрические напряжения, т. е. механические напряжения в пьезоэлектрическом кристалле, вызываемые наложением электрического поля. Как показано ниже, однородное поле вызывает однородное внутреннее напряжение, стремящееся деформировать кристалл совершенно так же, как эквивалентное механическое напряжение, действующее снаружи. Если кристалл зажат, то зажимающий механизм
56
Глава III
развивает силы, равные и противоположные силам, вызываемым полем, вследствие чего деформация равна нулю.
t ообще говоря, термин «наложенное напряжение» означает сумму механических и пьезоэлектрических напряжений по отношению к любому элементу поверхности в кристалле.
Практически в большинстве случаев тело подвергается не одному напряжению, как было рассмотрено выше, а скорее системе таких напряжений, которые могут вызываться отчасти внешними механическими силами, а отчасти электрическим полем. Поэтому в самом общем случае нам приходится иметь дело с системой напряжений, которую можно разложить на составляющие напряжения по некоторой системе осей. Такая система напряжений рассматривается как тензор второго порядка. Одиночное напряжение, обсуждавшееся выше, может быть одной из таких составляющих.
Иногда, если это не поведет к неясности, мы будем называть систему напряжений просто напряжением.
Тело, разумеется, может быть в равновесии даже при неоднородности наложенной системы напряжений, как например, в случае изогнутого бруска или тела под действием двух противоположных коллинеарных сил, приложенных к ограниченным участкам на противоположных сторонах. Вообще говоря, в таких случаях распределение в теле напряжения, а отсюда и деформации, может быть очень сложным, в особенности в таких анизотропных средах, как кристаллы. Однако, если брать достаточно малый элемент объема, то напряжение и деформацию в любой точке тела, находящегося в равновесии, всегда можно считать однородными.
В колеблющемся теле даже малые элементы объема не находятся в упругом равновесии. На каждый элемент действует неуравновешенная система напряжений, причем силы на противоположных сторонах уже не составляют равных и противоположных пар. Деформация в элементе определяется меньшей из двух сил, причем разность между ними идет на преодоление трения и сообщает ускорение. Тем не менее, применяя принцип Даламбера, можно рассматривать элемент как находящийся в равновесии. В этом случае силы состоят из упругого противодействия, сил инерции и трения наложенных внешних и пространственных сил. В пьезорезонаторе движение вызывается пространственными силами.
Подобно тому как вектор силы можно разложить на три компоненты, симметричный тензор, представляюший систему напряжений, можно разложить на шесть компонент, а именно: сжимающие усилия вдоль трех координатных осей и напряжения сдвига относительно трех плоскостей, нормальных к осям. Во всех случаях пользуются правой ортогональной системой. Эти шесть компонент обозначаются через Хх, Yу, Zz, Y z, Zx и Ху, причем в каждом случае заглавная буква указывает направление силы, а значок внизу — направление нормали к поверхности, на которую действует сила. Часто нам будет удобно пользоваться символами Xit Х2, А'з, Х4, Х5 и Х6> где, например, Х4 пишут вместо Yz. В качестве общего символа напряжения применяется X без значка. X х, Yy и Zz являются сжимающими компонентами, a Y г , Z х и Xу , представляют компоненты сдвига. Последние равным образом можно писать в виде Zy , X г и Y х .
Правило алгебраических знаков напряжений. В согласии с Фогтом, мы будем соблюдать следующее правило:
Упругость кристаллов
57
Нормальное к любой поверхности сжимающее напряжение считается положительным, а растягивающее — отрицательным1}.
При употреблении термина «сжимающее напряжение» в общем смысле подразумевается, что отрицательное сжатие является растяжением.
§ 26. Деформации и их компоненты. Компоненты деформации обозначаются через xx,yy,zZfy2,zx и ху или Xi, Х2, ...Хб2). Они связаны со смещением следующим образом: если и, и, w — компоненты смещения точки, координаты которой в неизменном состоянии х, у, z превращаются деформацией в х + и, у 4- п, z 4- w, то
хг ди. ~дх'>
Уг dw । Ну ' до dz
2<ол dw ~~ду ~ до dz
__до <
У У ду'
ди I dw
Zx dz + ox
до dw
2o>„ = -----
У dz dx
z*~dz ’
, do . du
(4)
n— dv du
2<d —--------—
z dx dy
Последний ряд уравнений учитывает, что в общем случае произвольная система напряжений производит как деформацию^ так и вращение тела в целом. Угол поворота равен (<ojr* 2 * *-J-(osy4-(o%_)72радиан вокруг оси, направление которой задано отношениями (<ox: : о>г).
В случае чистых сдвигов (§ 27) вращения нет. Величиныхх, уу ихг являются компонентами деформации, вызываемыми растяжением, причем сжатие представляет отрицательное растяжение. Алгебраический знак для этих компонент принимается положительным для растяжения и отрицательным — для сжатия. Положительная деформация соответствует отрицательному напряжению (см. § 27). Это довольно неудачное условие так глубоко укоренилось в литературе по кристаллам, что мы не будем пытаться его отвергнуть. Оно аналогично условию, принятому в кинетической теории газов, согласно которому считается положительным внешнее давление, тогда как изменение объема считается положительным в случае расширения. Природа деформации сдвига, а также условия относительно их знаков рассматриваются в § 27.
В теории упругости закон Гука предполагается справедливым для всех типов упругих деформаций. Тогда связи между напряжением и деформацией выражаются линейными уравнениями. Отклонения от линейности в случае некоторых кристаллов рассматриваются в § 462.
Полное выражение для компонент упругой деформации анизотропного тела через компоненты напряжения получается, если взять производные от функции [уравнение (2)] при постоянном электрическом поле Е и неизменной температуре (0—0). Тогда остается только первый член
__у у dXh Lshl^i-------Xh>
’) При установлении правил знаков необходимо указывать, в какой части равенства (правой или левой) ставится данная величина, ибо, конечно, знак ее меняется при перенесении в другую часть равенства. Обычно таких указаний авторы не делают и это вносит путаницу. (Прим, ред.)
2) Это обозначение, введенное Кирхгофом, употребляется в литературе по
пьезоэлектричеству чаще, чем обозначение Лява, в котором хх и т. д. заменяют
через ехх и т. д.
58
Глава III
причем отрицательный знак берется в согласии с вышеупомянутым условием.
Выписывая это выражение в развернутом виде для всех шести значений h и I, мы получаем следующие шесть основных уравнений, выражающих компоненты деформации через компоненты напряжения и 36 коэфициентов $ц... Sgg1 2 *);
—Хх ~sn^x 4“ S12^y + S13^z 4" Sn^z 4“ S15^x
~Уу =s21^x 4- $22 4- S23^Z “4 Su¥z + S25^x 4" $26^4’
“Zz ~s3\Xx -4 SgaKy 4" s33X2-\-S3iYz 4“ s35^x 4" s36^y\
—У2 — SnXx-}- Si2Yy “4 $48^4" $44 ^4 Ш $45^4" $46^5 ~~Zx — S3\Xx 4- S52Ky 4- S53Zz 4~ $54 4г 4- S53^x 4~ Si>&Xy’, ~Xy =S61^x 4- S62^y S63^4-S64 4?4'S65^'x4“S66^4-
По теории упругости, вследствие соотношения sik — skl, где I и k могут быть любыми целыми числами от 1 до 6, число независимых коэфициентов уменьшается с 36 до 21. Фогт называет этот 21 коэфициент «упругими модулями». Так как по-английски термин «модуль» обычно обозначает отношение напряжения к деформации, то автор предпочитает называть slk коэфициентами упругой «податливости», или просто «податливостями» °. Их можно также называть «упругими восприимчи-востями». Мы рассматриваем их раньше, чем коэфициенты с, так как они определяются непосредственно из опыта.
Чтобы выразить напряжение через деформацию, уравнения (5) решают методом детерминантов. Тогда каждое напряжение выражается через деформацию и коэфициенты с-.
—Хх = Спхх 4- сп/у 4- 4- 4-
У У = С21Хд. -j- С22Уу 4- 4" С24.У.г "4 с25гх 4~ С26Ху,
—Хг = £зЛ 4* ^32-Уу 4" c33Zz 4" СЗьУг 4" С35^Л- 4" ^Зб*/ z-ч
“ Yz = С^Хх + f42-Vy -4 ^43^ 4- CUVZ 4- ^45^ 4- t
ZX ~ C51Xx 4" С52.Уу 4- С53гг 4- С54^ 4" C5oZx "4 СЗбХу '>
-Xy = C61xv 4- ^6254 -4 ^63^ -4 Wz -4 4- (766Xr
Уравнения (5) и (6) являются обобщенной формой закона Гука. Уравнения (6) можно также получить, беря производную первого члена уравнения (1) по xh?
Коэфициенты cik обычно называют «упругими константами». Как и в случае упругих модулей, число независимых коэфициентов дости-1ает 21 вследствие соотношения cik — ckl. Для того чтобы избежать неясности и отличить их от упругих модулей, их можно назвать «коэфициентами сопротивления». Они аналогичны диэлектрической проницаемости, тогда как s ik аналогичны диэлектрической восприимчивости. Каждая упругая константа связана с соответствующим упругим моду
’) В строгом тензорном обозначении компоненты напряжения и деформации, являющиеся тензорами второго ранга, должны обозначаться двумя значками внизу, а упругие константы и модули, представляющие тензоры четвертого ранга, — четырьмя. Мы пользуемся упрощенным обозначением по Фогту.
2) В русском переводе они называются, по Фогту, «упругими модулями» или
просто «коэфициентами s». (Прим, ред.)
Упругость кристаллов
59
л ем уравнением вида chk-= Shk/D, где D представляет детерминант всех упругих модулей [матрица этого детерминанта очевидна из уравнений (5); он также появляется в группе I в § 29j, a Shi является минором того же детерминанта относительно shk *>.
Значения всех 21 упругих коэфициентов отличаются от нуля только у класса кристаллов самой низкой симметрии. При увеличении симметрии их число убывает, будучи равно 3 для кубических кристаллов, 2 — для изотропных твердых тел и 1—для жидкостей. Во всех случаях, когда slk становится равным нулю, исчезает так же и соответствующий с-^.
Два типа упругих коэфициентов связаны следующими уравнениями, в которых I и k могут принимать целые значения от 1 до б, причем k отличается от I:
6 6
2^ ^ih^ih 1 > S Cih$kh Л h
i
§ 27. Деформации и напряжения сдвига. Напряжения и деформации сдвига играют важную роль в пьезоэлектрических явлениях. Для иллюстрации деформации сдвига служит модель, представленная на фиг. 12. Две линии, проведенные под углом в 45° к сторонам модели, остаются после сдвига взаимно перпендикулярными и становятся большой и малой осями эллипса. Если при деформации передвигается одна сторона, а другая остается закрепленной, то она называется простым сдвигом. Смежные поперечные полоски, представляющие смежные параллельные плоскости в трехмерном теле, скользят друг относительно друга. Это имело бы место и при передвижении одной из боковых сторон модели в вертикальном направлении, а также в случае горизонтального, а не вертикального расположения полосок.
Определения величины и знака компоненты сдвига можно понять, рассматривая фиг. 13, представляющую основание ОАСВ куба, имеющего ребра длиной О А. Оси X и Y здесь являются «осями сдвига». Если к грани АС куба, нормальной к оси Y, приложить силу в направлении X, создающую напряжение X , то основание ОВ остается неподвижным и АС передвинется тангенциально в положение А'С'. Расстояние А А' будет пропорционально ХуУ О А и упругому модулю $6б уравнения (5). Все плоскости, параллельные грани О А, поворачиваются на угол с?, который для малых деформаций можно считать равным ЛЛ'/ОЛ Угол щ численно равен деформации сдвига, которая на фиг. 13 является положительной.
Деформация сдвига положительна, когда плоскости, претерпевающие поворот, поворачиваются от положительного направления одной из осей, соответствующих деформации, к положительному направлению другой оси. Иными словами, при положительной деформации прямоугольник деформируется так, что его острый угол лежит в квадрайте между положительными направлениями двух осей.
• Напряжение сдвига положительно, когда оно стремится вызвать отрицательную деформацию сдвига. Внутреннее упругое противодействующее напряжение, сопротивляющееся наложенному напряжению сдвига, имеет, таким образом, знак, одинаковый с деформацией. Анало-
’) Минор правильнее было бы обозначать поскольку он получается из детерминанта D вычеркиванием ^-строки и /г-столбца; первый индекс всегда выражает номер строки, а второй — номер столбца. (Прим, ред.)
60
ГлаваIII
гичное положение справедливо и для наложенных сжимающих и противодействующих напряжений.
Фиг. 13 представляет простой сдвиг, включающий вращение тела в целом вокруг оси Z. При напряжении Yx, равном Ху , но приложенном вертикально вверх к грани ВС, деформация остается одинаковой,
Фиг. 12 Деревянная модель с петлями в )глах, иллюстрирующая деформации сдвига. Рисунок, нанесенный на поперечные металлические полосы, дает возможность видеть деформацию круга в эллипс.
но вращение происходит в обратном направлении, как показано пунктирными линиями на фиг. 13. Если Yx и X налагаются одновременно, деформация будет в два раза больше, а чистое вращение равно нулю. Так как при макроскопическом описании упругих явлений несущественно, происходит ли действительное скольжение в том или ином направлении или в обоих, то обычно пользуются одним символом Ху для напряжения сдвига в плоскости XY, производит ли оно простой сдвиг, как на фиг. 13, или чистый сдвиг, который мы теперь рассмотрим. С математической точки зрения отождествление Ху с Хх уменьшает число компонент общего тензора напряжения (Хх, Y Zz, Yz, Zу, Z х, Xz, Ху, с девяти до шести.
При чистом сдвиге нет вращения тела в целом. Его можно рассматривать как результат двух простых сдвигов, как в предыдущем абзаце, или сжатия вдоль одной диагонали грани куба и растяжения вдоль другой, как показано на фиг. 14. С первой точки зрения дефор-
Упругость кристаллов
61
мация квадрата в ромб производится напряжениями сдвига Sb S* и S2, S'2, которые эквивалентны; со второй точки зрения — взаимно1 перпендикулярными напряжениями сжатия С, С' и -растяжения Е, Е'. Следует подчеркнуть, что деформацию можно рассматривать или как сжатие, или как сдвиг, в зависимости от того, чему параллельны оси координат Е и С или Si и S2, причем эти системы осей повернуты друг относительно друга на 45°. Геометрически это означает, что при повороте осей на 45° чистый сдвиг трансформируется в сжатие и перпендикулярное ему растяжение, и наоборот. Значение этого обстоятельства в пьезоэлектрических приложениях заключается в том, что напряжение сдвига, создаваемое пьезоэлектрически электрическим пошлем, можно заменить сжатием в направлении под углом 45° к осям сдвига *).
Фиг. 13 Простой сдвиг. Мерой деформации сдвига служит угол <р. На этой фигуре деформация положительна, и плоскость фигуры является плоскостью сдвига.
Фиг. 14. Эквивалентность чистого сдвига комбинации растяжения и сжатия.
Теперь можно сопоставить уравнения (4) и фиг. 13. Если на фиг. 13 м|ы положим ОВ — х, О А —у, тогда АА'/у — ВВ'/х или в дифференциальной форме ди/ду = dv/dx. Поворот тела в целом дан в последнем ряду уравнений (4) и равен нулю, когда ди/ду — dv/dx\ это является условием чистого сдвига. Второй ряд уравнений показывает, что такая компонента сдвига, как х в общем случае состоит из двух простых сдвигов; она является «чистой» или «без вращения», когда эти два простых сдвига равны и противоположны.
Очевидно, что выражение «сдвиг вокруг оси Z» не имеет значения, пока не Определены оси, соответствующие сдвигу. Однако это выражение допустимо, если подразумевается, что осями являются две ортогональные оси, перпендикулярные к оси, около которой происходит сдвиг, как показано на фиг. 13. При простом сдвиге вокруг этой оси поворачивается все тело. Необходимость определения осей сдвига аналогична необходимости определения направления деформации и напряжения сжатия.
§ 28. Эллипсоид упругости. Из предыдущего ясно, что при сдвиге в твердом теле существуют две плоскости, в которых нет сдвига, а происходит только растяжение и сжатие. Это положение можно обобщить следующим образом (доказательство приводится в теории упругости): при любой однородной деформации, отличаются ли
О Точнее, сжатием и одновременным растяжением по осям, образующим углы в 45° с осями сдвига. (Прим, ред.)
62
Глава III .
все шесть компонент от нуля или нет, всегда существуют три взаимно перпендикулярные линии, остающиеся после деформации ортогональными и неизменными по направлению. Эти линии являются главными осями эллипсоида, в. который превращается сфера и который является эллипсоидом деформации, причем его параметры представляют собой компоненты деформации. Радиус-вектор в любом направлении пропорционален отношению длины линии, имеющей это направление в деформированном состоянии, к длине соответствующей линии до деформации. Плоскости, перпендикулярные главным осям, называются главными плоскостями: в этих плоскостях деформации сдвига равны нулю.
С эллипсоидом деформаций связан эллипсоид обратной деформации. Последний является единственным эллипсоидом, который можно построить в недеформирован-нем теле, трансформируемом деформацией в сферу. Его главные оси представляют величины, обратные таковым эллипсоида деформаций, и если деформация не сопровождается поворотом тела в целом, то направление их не меняется.
В самом общем случае, при возможном наличии всех шести компонент, однородная чистая деформация эквивалентна трем взаимно перпендикулярным растяжениям, направления которых являются главными осями деформации. Они являются также главными осями эллипсоида обратной деформации. Если деформация не является чистой, главные оси деформации должны вращаться. В общем можно сказать, что любую деформацию можно выразить через простые растяжения и простые сдвиги. Уравнения, посредством которых выполняются такие преобразования, даны в § 38.
В большинстве задач, рассматриваемых в этой книге, нам придется иметь дело только с конфигурацией тела после деформации, не заботясь о том, является ли деформация чистой или нет. Вращение тела в целом имеет значение только в некоторых колебательных задачах.
Эллипсоиду деформаций аналогичен эллйпсоид напряжений, параметры которого представляют компоненты напряжения; главными плоскостями являются плоскости, в которых напряжения сдвига исчезают.
§ 29. Упругие коэфициенты тридцати двух классов кристаллов. Очевидно, что упругие свойства являются по своей природе центро-симметричными !). Поэтому по своим упругим свойствам все кристаллы имеют более высокую степень симметрии, чем по пьезоэлектрическим, так как последние свойства зависят от полярности осей, а также от других неаксиальных элементов симметрии. При повышении симметрии число независимых упругих констант уменьшается. Фогт показал, что 32 класса сокращаются для явлений упругости в кристаллах до девяти * 2).
Подробности полностью изложены в работах [636], [654] и [658]. Здесь мы приведем только результаты, представленные в следующих табличках. Номера классов те же, что и в табл. 1 § 6. Коэфициенты расположены в том же порядке, как и в уравнениях (5) и (6), причем значки внизу указывают независимые коэфициенты. Например, симметрия в группах VI и VII такова, что Сбб — сц, в силу чего Си пишется вместо с56. В согласии с § 26 мы пишем вместо С21 и $12 вме-
сто $21 и т. д.
Следует подчеркнуть, что коэфициенты в следующих ниже табличках одинаковы с коэфициентами уравнений (5) и (6) только в том случае, когда системой координат являются три кристаллографические
О То есть два кристалла, отличающиеся друг от друга в отношении их симметрии только тем, что один из них имеет, а другой не имеет центра симметрии, будут вести себя в отношении упругих свойств качественно одинаково. Например, кристалл, обладающий одной плоскостью симметрии и кристалл с одной плоскостью и центром симметрии (а также осью второго порядка, появление которой вызывается центром и плоскостью), в отношении упругих свойств должны вести себя качественно одинаково. (Прим, ред.)
2) Редакция сочла необходимым вычеркнуть в этом месте несколько строк текста, которые освещают вопрос о числе групп симметрии упругих свойств поверхностно и неточно, тем более, что ниже сам автор отсылает читателя к подлинным работам Фогта, Мэзона и Вустера. (Прим, ред.)
Упругость кристаллов
63
оси, определенные в § 5. Во всех этих случаях следует пользоваться преобразованными коэфициентами согласно гл. IV.
ГРУППА I, ТРИКЛИННАЯ СИСТЕМА, КЛАССЫ : 1, 2
С11 С12 CI3 Ch С15 С16 «и $12 $13 $14 $15 $16
С12 С22 С23 С24 С25 С2б •S12 $22 $23 $24 $25 $26
С13 С2з С33 С34 С35 С36 $13 $23 $33 $34 $35 $36
С14 С24 ^34 С44 С45 с46 $14 $24 $34 $44 $45 $46
С15 С25 С35 С45 С55 С5в $15 $25 $35 $45 $55 $56
С16 С26 С36 ^46 С56 Сбв $16 $26 $36 $46 $56 $66
ГРУППА II, МОНОКЛИННАЯ СИСТЕМА, КЛАССЫ 3 , 5
Си с12 с13 0 0 С16 $и $12 $13 0 0 $16
С12 С22 С2з 0 0 C2Q $12 $22 $23 0 0 $26
С13 с23 С33 0 0 Сзе $13 $23 $33 0 0 $36
ООО С44 с45 о 0 0 0 $44 $45 0
ООО с45 С55 о 0 0 0 $45 $55 0
С16 с26 с3б 0 0 Cqq $16 $26 $36 0 0 $66
ГРУППА III, РОМБИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, КЛАССЫ 6 , 7, 8
Сц CJ2 С13 С12 С22 С23 с13 С23 с33 ООО $ii $i2 $1з ООО
ООО $12 $22 823 ООО
ООО $13 S18 $33 000
ООО Сц 0 0 0 0 0 $44 0 0
ООО о с550 0 0 0 0 s55 0
ООО 0 0 tee 0 0 0 0 0 $66
ГРУППА IV, Гц С12 Сц С12 С11 с13 С13 Cj3 С32 ООО ООО ООО ГРУППА V, Сц с12 ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА, КЛАССЫ 9, 11, 12, 15 [ООО $ц $i2 з13 0 0 0 ;000 S]2 $11 8)3 0 0 0 [ООО $13 $1з $33 000 Си 0 0 0 0 0 $44 0 0 0 c4i 0 0 0 0 0 S44 0 0 0 с6в 0 0 0 0 0 $бв ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА, КЛАССЫ 10, 13, 14 С;з 0 0 с1е $ii $12 $1з 0 0 $16
с12 С11 с13 с13 0 0 0 0 с16 с16 ГРУППА С1з 0 0 —С16 с3з 0 0 0 0 Си 0 0 0 0 Си 0 ООО с30 VI, ТРИГОНАЛЬНАЯ $12 $11 $13 0 0 —$ie $13 $13 $зз 0 0 0 0 0 0 $44 0 0 0 0 0 0 $44 о $16 ^$16 0 0 0 $66 СИСТЕМА, КЛАССЫ 16, 17
Сц С12 с13 с14 с25 0 $11 $12 $13 $14 —$25 0
с12 Сц с13 — С14 c2s 0 $12 $11 $13 —$14 $25 0
С13 с13 С33 ООО $13 $13 $33 0 0 0
С14 -Сц 0 С44 0 С25 $11 —$14 0 $14 0 2$25
“С26 с25 0 0 Си С14 *’""$25 $25 0 0 $44 2$i4
0 0 0 с25 С14 |(С11 Cis) 0 0 0 2$2§ 2$i4 2($ц—$j2)
64
ГлаваIII
ГРУППА VII, ТРИГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА, КЛАССЫ 18, 19, 20
Сц С12 с13 С14 0 0 5ц $12 513 $14 0 0
с12 Си с13 с14 0 0 $12 5ц $13 514 0 0
С13 с13 Сзз 0 0 0 $13 513 $33 0 0 0
С14 —С14 0 С44 0 0 $14 514 0 S44 0 0
0 0 0 0 С44 Cj4 0 0 0 0 544 2$14
0 0 0 0 С14 1(Сц“ С12) 0 0 0 0 2$к 1 2($ц $12)
ГРУППА VIII, ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА, КЛАССЫ 21-27
си С12 С1з 0 0 0 5ц S12 $13 0 0 0
С12 Си С1з 0 0 0 512 5ц 513 0 0 0
С) 8 С13 Сзз 0 0 0 513 513 5зз 0 0 0
0 0 0 с44 0 0 0 0 0 $44 0 0
0 0 0 0 с44 о 0 0 0 0 $44 0
0 0 0 0 о : j(cll С12) 0 0 0 0 0 2($ц—$12)
ГРУППА IX, КУБИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, КЛАССЫ, > 28—32
Сц С12 С12 0 0 0 5ц 512 ; 512 0 0 0
С12 Сц с]2 0 0 0 512 $11 512 0 0 0
с12 С12 Си 0 0 0 512 $12 5ц 0 0 0
0 0 0 с44 0 0 0 0 0 $44 0 0
0 0 0 0 С44 0 0 0 0 0 $44 0
0 0 0 0 0 С 44 0 0 0 0 0 $44
Для сравнения ниже даны соответствующие коэфициенты для изотропных твердых тел; в этом случае выбор осей произволен.
ИЗОТРОПНЫЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
с X X 0 0 0 S Si sx 0 0 0
X с X 0 0 0 Si s sx 0 0 0
X X с 0 0 0 sx sx s 0 0 0
0 0 0 п 0 0 0 0 0 s2 0 0
0 0 0 0 п 0 0 0 0 0 s2 0
0 0 0 0 0 п 0 0 0 0 0 s2
Следует заметить, что между коэфициентами s И коэфициентами с
существует полное соответствие во всех группах, за исключением VI,
VII и VIII групп тригональных и гексагональных кристаллов. Симметрия этих групп требует, чтобы выполнялось условие с66 = (£ц— Ci2)/2, тогда как $6б = 2($ц— Si2), а также s46 = 2s25 и s56=2si4 в тригональных группах.
§ 30. Характер различных упругих коэфициентов ясен из фиг. 15, на которой возможные типы деформаций, производимых компонентами напряжения, обозначены через L, Т, L', Т', S и S'. Величины L (продольные) и Т (поперечные) обозначают деформации растяжения, соответственно параллельные и перпендикулярные по отношению к растягивающим напряжениям, как показано на фигуре. S и S' представляют деформации сдвига в плоскостях, к которым напряжения сдвига являются соответственно параллельными и перпендикулярными. L' указывает связь между напряжением сдвига и деформацией растяжения, параллельной оси сдвига (или наоборот) тогда как в случае Т' деформация растяжения находится в плоскости напряжения сдвига (или наоборот).
Упругость кристаллов
65
Упругие коэфициенты, соответствующие L, Т и S, отличаются от нуля у всех кристаллов, как и в случае твердых тел. Жидкости имеют только сжимаемость, что эквивалентно выражениям п — О, Т = — L. В четырех группах кристаллов из девяти существуют коэфициенты, принадлежащие только к типам L, Т и S.
Упругие коэфициенты типов L и S, т. е. коэфициенты с hh и shh = являются существенно положительными.
Фиг. 15- Зависимость между напряжением и деформ цией, соответствующими каждому типу упругого коэфициента. Стрелки изображают силы, пунктирные линии—деформации.
Все коэфициенты типа Т, за немногими исключениями, являются отрицательными, в соответствии с тем, что в изотропных веществах положительное растяжение, вызываемое растягивающим усилием, всегда сопровождается отрицательным боковым растяжением. Во всех других случаях знаки упругих коэфициентов кристаллов могут быть или положительными или отрицательными.
§ 31. Сравнение изотропных твердых тел с кристаллами. Представляется, интересным сравнить упругие свойства изотропных твердых тел с соответствующими свойствами кристаллов, особенно кристаллов кубической симметрии. В группе IX три константы Си, с]2, с44 являются
• 5 Кэди
66
Глава 111
независимыми. С другой стороны, три изотропных константы с, К п не являются все независимыми, хотя и образуют матрицу, совершенно одинаковую с матрицей кубических кристаллов. Изотропные тела имеют бесконечное множество осей бесконечного порядка и плоскостей симметрии. Так как эта симметрия включает в себя гексагональную и тригональную симметрию, то здесь должны также иметь силу соотношения, отмеченные в конце § 29, а именно, п—(с—X )/2 и s2 = 2(s— Si). Имея это в виду и применяя уравнения (3J, мы теперь можем интерпретировать упругие константы Y, k и о в свете основных параметров, приведенных выше в таблицах, как для изотропных веществ, так и для кристаллов. Таким образом, мы находим, как это и доказывается в трудах по упругости, что для изотропных твердых тел
v_n(3X4-2n). „ с — а. , ___+ X
Х+п ’ 2 3 ’ 2(Л + тг) v 7
Постоянные X и п представляют собой «коэфициенты Ламе» теории упругости п — модуль сдвига, тогда как X, которой, повидимому, не дано названия, является мерой сопротивления изотропного тела деформации сжатия в направлении под прямыми углами к растягивающему напряжению. Другими словами, эта константа выражает боковую несжимаемость растянутого твердого тела. Таким образом, X связана с коэфи-циентом Пуассона а; но так как сочетание перпендикулярных друг другу деформаций растяжения и сжатия всегда включает сдвиг, а поэтому и модуль сдвига п,, то оказывается, что о является функцией как X, так и /?, как это показано уравнениями (8).
Через X и п легко выразить с, s, Si и s2, содержащиеся в матрицах для изотропных твердых тел (§ 29):
C = X4-2rt, ~~Y ’ S1 = 2п (ЗХ+2/zJ ’ S*=~n‘
§ 32. Коэфициент Пуассона требует дальнейшего рассмотрения, так как он встречается в теории колебаний кристаллов. Если твердое тело подвергнуть простому сжимающему напряжению то получающиеся в результате этого деформации сжатия будут хх =— 5цХх , Уу= — sizXx и zz=—slsXx. Если вещество изотропно, yy-zz-=z =xx(si2/sn) —xxsi/s. Так как по определению о = yvlxx,i:Q очевидно, что можно также написать о = si/s. Коэфициент Пуассона, определяемый таким образом, является отрицательной величиной, потому что, как видно из уравнения (9), Si и s имеют разные знаки. Тем не менее, когда имеют дело с изотропными твердыми телами, отрицательный знак обычно игнорируют. Для кристаллов коэфициент Пуассона имеет различные значения в зависимости от направлений напряжения и деформации. В рассматриваемом выше случае величины можно обозначить через c2i =si2/sn и <з31 = $1з/$ц, причем второй значок в каждом случае определяет напряжение. Вообще <zhk — shk/sа численное значение может быть любого знака. Турмалин имеет наименьшее известное численное значение о (§ 100), а сегнетова соль—наибольшее (§ 79).
В противоположность коэфициентам типов L и S на фиг. 15, обозначаемым символами shh , все коэфициенты вида shk выражают взаимную связь между двумя различными типами деформации. Именно поэ
Р Первоначально вместо п пользовались символом р..
Упругость кристаллов
67
тому такие коэфициенты встречаются в выражениях, связывающих различные виды механических колебаний, аналогично роли, играемой взаимной индукцией при индуктивной связи колебательных контуров. Чем меньше коэфициент Пуассона, тем слабее эффекты связи и тем ближе к гармоникам обертоны колебаний по толщине и по длине. Пользуясь тем, что при определенных ориентациях кварцевых пластинок коэфициент Пуассона обращается в нуль, можно устранять у кварцевых резонаторов некоторые нежелательные виды связанных колебаний (§ 375).
Коэфициенты вида shk или chk (h^=k) часто называют упругими поперечными коэфициентами.
§ 33. Теперь можно рассмотреть подробнее упругие коэфициенты типа L и S кристаллов. Коэфициенты типа L, а именно, $ц, s22 и ^зз» являются величинами, обратными модулю Юнга У в направлениях X, Y и Z. Это становится очевидным, если, например, предположить, что единственное напряжение X х приложено к параллелепипеду, как это имеет место в случае, когда брусок, длина которого параллельна X, сжимается вдоль. Тогда хх = — 5цХх является деформацией сжатия, в то время как пять других компонент деформации, вызываемых напряжением Хх и получаемых из уравнений (5), представляют другие деформации (предполагается, что кристалл не зажат, т. е. что деформации осуществляются беспрепятственно). Обычное соотношение между напряжением и деформацией сразу дает У = 1/$ц = — XJxx. В уравнениях для продольных колебаний стержней фактором упругости является \lshhx\ причем длина стержня лежит в направлении h. Этот фактор также хорошо выдерживается для относительно тонких продольно колеблющихся пластинок, даже когда их ширина больше длины.
С другой стороны, если представить себе параллелепипед заключенным в оболочку с жесткими боковыми стенками, а затем сжать его сверху напряжением Хх, то единственной возможной деформацией будет—хх, но в таком случае к Хх автоматически добавятся еще пять других компонент напряжения, вызываемых стенками. Из уравнений (6) мы находим: хх =—(1/сц)ХЛг Вообще, каждый коэфициент chk является мерой сопротивления кристалла напряжению Xht когда все другие компоненты деформации запрещены, тогда как l/shk служит мерой сопротивления, когда все другие компоненты возможны.
Те же препятствия, как и создаваемые жесткой оболочкой, будут присутствовать, если взять Параллелепипед в форме плоской пластинки бесконечной площади, имеющей толщину в направлении h, и подвергнуть его давлению X h* 2\ Именно поэтому chh служит фактором упругости для тонкой пьезоэлектрической пластинки, колеблющейся в направлении своей толщины h.
Что касается коэфициентов типа S, то следует только указать, что, как в случае изотропных тел, модули s44, s55 и s66 являются величинами, обратными модулям кручения относительно соответствующих осей.
§ 34. Изгиб кристаллических пластинок. Сначала мы рассмотрим изотропную пластинку в форме плоского параллелепипеда, изогнутую,
О См. уравнение (58). (Прим, ред.)
2) Местному. (Прим, ред.)
5*
68
Глава III
как показано на фиг. 16. До изгиба длина 1 = АВ, толщина е = AD, а ширина b перпендикулярна плоскости чертежа 9. Если приложены силы, вызывающие только изгиб в плоскости 1е, то деформация называется чистым изгибом, причем каждое сечение, перпендикулярное Ь, изгибаясь, принимает форму, подобную A'B'C'D'. Поверхность, пересекающая чертеж по линии EF (или E'F') посредине между верхней и нижней поверхностями пластинки, представляет нейтральную поверхность. Эта поверхность не испытывает ни удлинения, ни сжатия. Выше этой поверхности (для случая, показанного на фигуре) все линейные элементы, параллельные I, удлиняются пропорционально их расстояниям от нейтральной поверхности; ниже ее они подобным же образом сжимаются. Все поперечные сечения, нормальные к I, за исключением
Фиг. 16. Прямоугольная пластинка ABCD, принявшая вследствие изгиба форму A'B'C'D'. Плоскость фигуры является плоскостью изгиба. Поверхность, пер-
центрального, поворачиваются, не меняя своей формы или величины. Этот поворот вызывает появление в выражении для частоты колебаний изгиба (§ 73) множителя, представляющего момент инерции сечения, перпендикулярного I. Из соотношения между растягивающими силами и сдвигами (§ 27) ясно, что деформацию, представленную на фиг. 16, можно выз-
пендикулярная к плоскости чер- вать надлежаще приложенными напря-тежа, представляет собой ней- жениями сдвига. Этот факт важен для тральную поверхность.
пьезоэлектрического возбуждения коле-
баний изгиба, как будет показано в §179.
Когда пластинка изготовлена из кристаллического материала, возникают осложнения. Вообще говоря, кристаллы имеют поперечные упругие коэфициенты, отсутствующие в изотропных телах. За исключением особых случаев, эти коэфициенты связывают деформацию сжатия, характеризующую изгиб, с напряжением сдвига, способным вызывать кру-
чение вокруг направления длины.
Рассмотрим в качестве примера кварцевую пластинку с измерениями I, b и е, соответственно параллельными осям У, Z и X. При изгибе пластинки в плоскости 1е, как на фиг. 16, в ее верхней половине появляется деформация> а в нижней — уу, Затем в силу соотношения Y==— с24уу= с14уу в верхней ее части присутствует напряжение Yz, а в нижней — Уг , и их совместный эффект представляет кручение пластинки вокруг оси Z.
С другой стороны, если изогнуть ту же кварцевую пластинку в плоскости lb, то подобное же рассуждение показывает, что в данном случае нет поперечной постоянной, вызывающей кручение. Эта ориентация является одним из особых случаев ориентации, упоминавшихся
выше.
Приложение изгибающего момента, возбуждаемого механически или пьезоэлектрически, приводит к изгибу, сопровождаемому кручением, за исключением случаев, когда: 1) длина I параллельна одной из осей кристаллографической симметрии или 2) плоскость, параллельная I и главной оси геометрического поперечного сечения (для нормального поперечного сечения это плоскость Ы или be), совпадает с плоскостью кристал-
0 Для простоты рассмотрения здесь предполагается, что I > е. Когда величина е одного порядка с I, теория становится сложнее, как показано в § 73. На отношение bje не налагается никаких ограничений.
Упругость кристаллов
69
лографической симметрии. Кратко это правило можно выразить следующим образом: изгиб без кручения возможен при системе осей, преобразованных так, что
5'34= 5'35 = О,
причем длина I пластинки параллельна Z'.
Кварцевую пластинку или брусок можно изогнуть без кручения, если ее длина находится в плоскости YZ.
Наоборот, пластинка, ориентированная так, что она изгибается без кручения, свободна также и от изгиба, когда она подвергается закручиванию вокруг той же оси.
Статическими эффектами изгиба в кристаллах пользовались главным образом при измерении упругих констант !) и в электрометре Кюри, описанном в § 122.
В настоящей книге больше внимания уделено колебаниям изгиба, которые разбираются в § 73, 179, 354, 359, 380, 396 и 503.
§ 35. Кручение кристаллических призм и цилиндров. Сначала подведем итог хорошо известным фактам, имеющим место для гомогенных изотропных материалов. Когда к концам цилиндрического тела, круговое поперечное сечение которого имеет радиус а, приложены равные и противоположные вращающие моменты + Q, то деформация кручения в радианах на единицу длины будет:
ппа*
где п — модуль сдвига.
Скорость распространения волн кручения в круговом сплошном или пустотелом цилиндре v — Уп/р, где р — плотность.
В состоянии кручения каждое поперечное сечение кругового цилиндра поворачивается в своей плоскости без деформации. Если сечение не является круговым, то при кручении оно коробится.
Для пьезоэлектрического возбуждения кручения или крутильных колебаний важно отметить, что при закручивании тела из любого материала при любом поперечном сечении все плоскости, параллельные оси кручения, подвергаются сдвигу. В § 80 будет показано, каким образом можно воспользоваться этим обстоятельством.
В случае кристаллов теория усложняется, за исключением случая кругового цилиндра, для которого модуль кручения Г =^(s44 + S55), когда ось цилиндра имеет направление Z; или, вообще, когда ось параллельна h, модуль кручения Th = i (szz -j- s7y), причем h, i и / обозначают оси X Y, Z, взятые в любом порядке. Для изотропных цилиндров это выражение принимает вид
T=s2 = \,n.
Для косых направлений пользуются преобразованными осями. Для любого данного направления h оси I и / могут занимать любое из двух возможных направлений, находясь в плоскости, нормальной к h. Поэтому модули кручения можно выразить через основные модули и
*) Теория изгиба кристаллов и применение последнего при измерениях более полно разбирается в «Физике кристаллов» Фогта, стр. 634, 725, 731, 751 и др.
70
Глава III
направляющие косинусы I, tn, п одного только Н
2ТЛ = s'и s'jj = /4(S55~hS66)4~ (4бб4 4" ni (S44455s) 4"
4“ mSri? ( 4s22 4- 4s33 8s234-s55 -f- s66—2s44) -j-
-f-n* 2/2(4s33 + 4slr 8s314- s664 s44 2s55)4-
-]-Z2^-2(4s11 4'4s22 —8s124-s44+s55 — 2s66) 4“
4-2/W (2s24 4-2s34-4s14-3sg6)+277i2n/(2s354-2s15—4s25—3s64)+ 4-2/i2Z/w(2s]64-2s26—4s36—3s45)4-2/3[tz(2s]5—2s354-s64)4-~}~m(2si6 2s26-|-s45)]4-
4-2m3[Z(2s26 251е4"^45)4^(2524 2s34~I-^5б)]4-
+2^3[/?z(2s34—2s24+s56)4-Z(2s35—2s]54-s64)]. (10)
Эта формула, сильно упрощающаяся для групп более высокой симметрии, играет важную роль в измерении упругих коэфициентов статическими методами. Если принять, согласно Фогту, за направление h направление оси Z', то приведенное выше выражение даст 2Th — s'44 4~ s'55.
В уравнениях, следующих ниже, г представляет деформацию поворота (кручения) в радианах на единицу длины цилиндра или призмы, Q — вращающий момент, а и b — большую и малую полуоси эллиптического сечения, 2Ь и 2е — ширину и толщину прямоугольного сечения. При повороте осей коэфициенты необходимо преобразовывать.
Для цилиндра эллиптического сечения, ось которого параллельна Z, . .
Q I S44 I S55 \ /1 I \
При а = b получаем уравнение для цилиндра с круговым сечением радиуса а: . .
^ = ~ JS44 + S55 =-^4- (12)
TU6Z41 44 1 55 I 7C6Z4 V 7
Если материал изотропен, получается знакомое уравнение т =
Фогт предложил общее уравнение для призматического кристаллического бруска прямоугольного сечения2). Это выражение сильно упрощается, когда длина Z (ось кручения) параллельна Z и симметрия кфистаДла такова, что s4s = 0. При этих условия^, беря I, b и толщину е соответственно параллельными осям Z, X и У, получаем для деформации кручения приближенное выражение:
где при Ь^> Зе величина А2 1 —0,630(e/Z>) (s44/s55) *.
Если ось кручения совпадает с тройной, четверной или шестерной осью симметрии, то формула становится идентичной выражению для изотропной призмы тех же размеров и s5s превращается в 1/п для изотропных тел. В этом случае коэфициент А можно приближенно рассчитать из выражения А2 = 1 — 0,630 е]Ь при b > Зе. При более значительной величине отношения е/b можно пользоваться следующими значениями А, рассчитанными авторами по данным Гейгера и Шееля 3):
-4 = 1 0,5 0,25 0,125.
А = 0,895 0,926 0,947 0,968.
О «Физика кристаллов», стр. 735.
2) «Физика кристаллов», стр. 644. См. также [621], т. 8, стр. 194.
3) [621], т. 8, стр. 195. <
Упругость кристаллов
71
Эти значения даны для изотропных тел, но для кристаллов порядок величины остается тем же.
Вообще можно сказать, что любой цилиндр или призма обладают под воздействием статического вращающего момента Q известным статическим модулем кручения Ns=Q/x, который является более или менее сложной функцией поперечного сечения и упругих констант. Эти последние появляются в виде отдельного множителя (модуль упругости) только в случае изотропных тел и в некоторых особых случаях для кристаллов, представленных, например, уравнением (12). Связь N5 с динамическим модулем кручения колеблющихся стержней указана в § 74.
Вопрос о кручении кристаллов обсуждается более полно у Фогта, Ауэрбах-Хорта, том 3, и у Гейгера и Шееля, том 8.
Колебания кручения рассматриваются в § 74, 180, 356, 380 и 503.
§ 36. Сжимаемость кристаллов. Однородное гидростатическое давление, вызывает, вообще говоря, изменение как объема, так и углов кристалла. Однако всегда существует некоторая ориентация, при которой можно вырезать параллелепипед так, что не будет никакого) искажения углов. Во всех системах, кроме триклинной и моноклинной, ребра этого параллелепипеда параллельны кристаллографическим осям
Во всех случаях сжимаемость sc выражается уравнением
—^‘==sh + s22+s33 + 2(s23 Г s31 + s12)cm* 2 • дин"1, (14)
где Ап представляет изменение объема, вызываемого изменением давления Др.
Линейная сжимаемость Si =—Д///Др зависит от направления /. Формулы для трех главных направлений имеют вид 2):
Sx ~sii~Fsi2+si35 *Sy=s2i 4- s22-J- s23;
s2 == S31 *4“ $32 s33. (15)
§ 37. Адиабатические упругие коэфициенты. Как правило, частота колебаний кристаллов так высока, что при расчетах приходится пользоваться скорее адиабатическими, чем изотермическими значениями упругих коэфициентов. Большая часть численных данных, имеющихся в настоящее время, была получена путем измерений в статических условиях, при практически постоянной температуре. Вывод адиабатических величин из изотермических требует знания удельной теплоемкости, которую для твердых тел можно с достаточной точностью считать одинаковой, как при постоянном объеме, так и при постоянном давлении, а также знания коэфициентов расширения, параллельных трем осям.
Приводимые ниже зависимости даны Фогтом3); значок а вверху обозначает адиабатические коэфициенты, Т является' абсолютной температурой, С4 — удельной теплоемкостью в эрг. см—3 г—1, qh и ah — коэфи-
0 Не всегда «осям», но всегда — кристаллографическим направлениям (рядам решетки). (Прим, ред.)
2) «Физика кристаллов», стр. 722.
3) «Физика кристаллов», стр. 779 и дальше.
72
Глава III
циентами теплового давления и расширения
(16)
а /17Л
sit = - - -с- <17)
Таким образом, адиабатическая поправка вызывает небольшое увеличение упругих коэфициентов кристалла.
Величина q является термоупрупш коэфициентом (§ 23), представляющим приращение компоненты напряжения, производимого кристаллом, при нагревании на 1° при постоянной деформации. Его значение можно рассчитать из уравнения
= дин-см-2-г"1.
i
Для всех упругих групп, за исключением I и II, суммирование распространяется только на I — 1, 2, 3, потому что — аь — ав — 0.
О Терминология автора книги. (Прим, ред.)
ГЛАВА IV
ПОВОРОТЫ ОСЕЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
УПРУГИХ КОЭФИЦИЕНТОВ
Ребра кристаллических пластинок и брусков, применяемых для технических целей, обыкновенно составляют некоторые углы с кристаллографическими осями. Поэтому для выражения упругих свойств косого среза кристалла через основные упругие коэфициенты, рассмотренные в гл. III, требуются специальные формулы.
Сначала мы напишем общие уравнения преобразования компонент деформации и напряжения. Затем мы дадим уравнения преобразования упругих коэфициентов специально для тех групп кристаллов, которыми мы будем заниматься главным образом.
Кромц того, мы даем здесь в кратком изложении геометрическую интерпретацию упругих свойств кристаллов, терминологию, относящуюся к косым срезам, и условия, принятые для определения ориентации косых осей.
§ 38. Преобразование компонент деформации и напряжения. Процесс определения, какие из 21 возможных упругих коэфициентов обращаются в нуль в зависимости от симметрии кристалла, включает повороты кристаллографических осей на некоторые углы. Повороты играют важную роль также при измерениях упругих констант, в теории и конструировании-пьезоэлектрических приборов и во многих других проблемах.
Напишем теперь основные уравнения, выражающие преобразованные компоненты деформации х' х и т. д., отнесенные к некоторой новой системе осей X', У', Z', через старые компоненты, отнесенные к первоначальной системе X, Y, Z, обозначая направляющие косинусы согласно следующей ниже таблице:
х'х— Цхх+^Уу + «1 ^2 + zx + ху-
У'у~ Ц ЩУуА-^гА- ^2Уг + П2 kzx +^2Ху> *'г= 11 Хх + т1 У у + nl zz-±m3 n3yz-\- п3 13 zx+ /3/и3 ху;
V'г=^2 ЬхЛ Ът2 т3уv + 2д2п3г2 -р (т2п3 + щ3д2) yzy-ху, z'= 2l3 lxxx+ 2m3 mryy +2zz3 nt zz-\- (m3 m1 n3)v2+ 4~ (w3/i -4 «Л)zx~\~ (4 ~F 4тз)xy'i xfy= 244%x+ 2mv m2yy + 2nrn2zz -^m2nr} у z -f-
4- (^144-^24) 2xH_(4 m2 •
(18)
74
Глава IV
Иногда, наоборот, требуется выразить старые компоненты деформации или напряжения через новые. Для этого служат следующие уравнения деформации, в которых направляющие косинусы берутся из той же таблицы:
Уу^ z^m^y'^m^z'^m^xy
2Z = tl\ Xx-\-n\уy4-/l| ^Д-^^З Уz~^rn'3fli^x~{^flln2^y\
y2 = 2minlxx^-2m2n2y'y-{-2tn3n3zz-{-{m2n3Jrtn3n2)yz^
-]-(ni3nl m^z'^mjb^m^jXy ;
%x 2/i1Z1xx-J-2^2Z2j/^-J-2/t3Z32:z-4- (^2АзД^зД 1 Уг~^
ДД^зМ^ЛМ+^ЛД-^) x'y ;
Xy = 2Z1m1x'r+2Z2m2^+2Z3/?z32:;4-(/2m34-Z3m2) yz-^
Д- (Z1m2 Д- l2mr)x'y .
J
(19)
Соответствующие уравнения для преобразования напряжений, пользуясь’ теми же направляющими косинусами, можно написать так:
Xfx^l\ Yz Zx-\-2lim1Xy ;
Y'y=lj Xx-\-ml Yy-\-nl Zz4-2m2n2 Yz ^2n2l2Zx^2l2tn2 Xy ;
Z'z = llXx+ml Yy+nlZz^2m3n3Yz +2n3Z3Zx-|-2/3^;
Y'g = l2l3Xx-[-m2m3 Yy-]-n2n3Zz-}-(ni2n3^m3n2) }ДД
Д ДДз Д-^зД) Zx~X (12п13У-13т2 ) Xy
Z'X=l^xx-^m3mr Yy+n^iZ^tm^^m^} Yz Д-+(«3Z1+/z1Z3) Xy
X'y= liliX^m^Yy^n^Z^^myi^m^^ Yz+ ДДиЛД-ЯгД) Z,x+[lyn2-}-l2nii)Xy.
Старые компоненты напряжения выражаются через новые ниями (21):
(20)
уравне-
Хх=Г> Х'х +Z* Yry^l\ Zz^2l,l3rz+2Z3Z]ZH2l,l2X'у-Yy /TZj | w2 Yy~J-щIZz~2rn2Ttt3Yz—j— 2in3ni^Zx—I-2гиуи2Ху, Zz =nj Xx^n} Ky-j-zz|ZJ+2/z2/i3y4+27J3/ilZx4-2n1n3X^;
Yz ntyi^Xx-^-tn^^Yy^-m^^z-^- tn2n3-\-tn3n2^ Yz-^~
Zxy (m^-^m^JXy;
Zx = ti1l1Xx^-nil2 Yy-^-n3l3Zz-y~ (^2^зЧ“^з4)
~h (^зА'Д^х^з) Zx-\- (^iZ2-{-Ai2Z1) Xy‘,
Zy—^itn^x-^-^tn^y-y^m^z-}- (Z2w3-|-l3m2) Yz~^-
Д- ^1^3) Zx ^lrm2-^~ l^tn^) Xy-
Иногда нам придется выражать старые компоненты через новые, пользуясь вместо направляющих косинусов нусами ой ... -(а из таблицы, помещенной в § 41. Тогда нений (2Т) мы получаем:
(21)
напряжения Zi... п3 коси-вместо урав-
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов
75
%х=г;+-(?z;+2?n,
«2 Хх -}-^lYy-\-^lZ2-[-2^2^2^Z^r^2a-2^X~\--^a2^2-^y '> Z- al Хх +Piy; + 7l^; + 2^3r;+2ba3z;+2a3p3xj; Y2= a2a3z' 4- p2p3 Yy + T2T3Z^+ (Мз 4ЧзТ2) +
4~ (Ъ«з+ъа2)Их 4" (а2?з + аз?2) ;
Zx— a3ai^x 4- ?3?i Yy 4- ТзТг^г 4- (РзТ1 4- Pile) Yz 4-
4- (ъа14-'Г1аз)^4- (аз?1 Ч-aiЗз)
ху= ^щх'х + ?1?2 Yy 4- w2z'2 4- (Рп2 4- ) y2 4~
4~ (71а2 ~F?2al) Zx 4~ (а1?2 4“ а2?1) 2(у-
(22)
В большинстве случаев эти формулы приходится употреблять применительно к повороту только вокруг одной из осей. В таком случае одна из преобразованных осей идентична соответствующей непреобразованной, и вычисление значительно упрощается.
Угол поворота 6 считается положительным, когда для наблюдателя, смотрящего из положительного конца оси вращения в начало координат, поворот происходит против часовой стрелки.
Это правило применяется для всех кристаллов, не имеющих энантиоморфных модификаций, и для правых энантиоморфных модификаций. Для левых кристаллов положительным считается вращение по часовой стрелке. Легко видеть, что общее правило для знака 0 в обоих случаях можно выразить следующим образом (для кварца см. § 327).
Угол поворота 6 следует считать положительным, когда он откладывается от положительного направления одной оси к положительному направлению другой в следующем порядке: для поворотов вокруг осей X, У или Z угол 6 положителен при отсчете соответственно от 4-У к + Z, от -ф Z к 4- X или от + X к У.
Иногда, как, например, при описании некоторых косых срезов, все три оси принимают новые направления. Хотя такие преобразования можно выполнить одним поворотом б, часто бывает выгодным сначала перейти путем поворота вокруг одной оси к системе Уь Zj (направляющие косинусы /1 ... /г3), а затем поворотом вокруг одной из преобразованных осей получить окончательную систему осей Х2, Y2, Z2. Если 1\ ... л'з — направляющие косинусы окончательной системы относительно промежуточных осей, а 1"\ ... «"з — косинусы окончательных осей относительно первоначальных, то имеют место следующие соотношения:
Zi — Zi -J- ffh Zs 5 Z1 4" w2 Z2 4- п2 Z3 >
Z3 Z3 Zi 4" ^3Z2 +^3Z3 ;
= Zi ni + т1п2 n\ = Z^i 4“ m'2n2 n = Ln, 4- м'л
О О x ‘ 0 4
mx 4~ 4- n\ m3 ;
m2=L> m14-ni2 m2 4- n2m3 ; /7?3==Z3'wi+'7Z3,w2 4-«3,7Z3 ;
(23)
n2tl3 ;
n3n3 .
*) Переход от правой системы координат к левой не может быть сведен к одному повороту, для этого требуется еще отражение bi плоскости. К преобразованиям такого рода, однако, приходится прибегать редко. (Прим, ред.)
76
Глава IV
Если вместо таблицы направляющих косинусов в § 38 пользуются их таблицей в § 41, то в этом случае уравнения (23) принимают вид:
а; = а1а1 + а2?1 + азЪ ; к=?;а1+№+0зъ 5 ъ = ъа14-ъ£1-НзЪ ;
а2 = а;а2+а282 + аз42 ;
Р2= Р1«2 + ?2^2 “Ь Р3Ъ 5
т2—5
(24)
ЧазЧЧЧ?з Ч~ Р3Тз 1
7з = 4?з4-72?з + № *
§ 39. Иллюстрируем предыдущие уравнения несколькими примерами простых преобразований, применяемых в дальнейших разделах.
Предположим сначала, что у z, является единственной деформацией и что разыскиваются ее компоненты относительно осей: X', параллельной X, Y', делящей пополам угол между положительными направлениями осей У и Z, и Z', составляющей вместе с X' и У' правую систему осей. Мы имеем: 6=45°, /1 = 1, /2 = Ч = = П\ = 0, т2 — п2=п2=--
= — tn2 = cos 45°= 1 У 2 . Тогда в уравнениях (18) исчезают все компоненты, за исключением у'у =—z'z =yJ2. Как видим, сдвиг преобразуется в этом случае в положительную и отрицательную деформации растяжения вдоль новых осей, причем каждая из них по величине равна половине первоначального^ сдвига. Применение этого преобразования в пьезоэлектрических проблемах будет да|НО' ниже.
Пусть теперь единственным напряжением будет Уг . Подстановкой в уравнения (20) находим, что после поворота координатных осей на 45° вокруг оси X компоненты напряжения, эквивалентные Уг , будут y;=-z.,= r...
Если, подразумевая все тот же поворот 9 = 45° около оси X, мы будем иметь в качестве заданных напряжения сжатия Yy' и Zz/ вдоль осей Y' и Z', то относительно первоначальных осей эквивалентными компонентами напряжения будут
Y= Z= ( К/+ Z') /2, Y= (У/- Z/) /2.
Если Z z' ~ 0, to
Y'
у — 7 = Y — -У •
1 у z 1 z 2
Если Zz' = Y to Yz обращается в нуль и тело сжимается с четырех сторон без сдвига. Если Zz' = — Yу' (равные напряжения сжатия и растяжения, перпендикулярные друг другу), то относительно непре-образованных осей нет ни сжатия, ни растяжения, а только сдвиг
§ 40. Уравнения преобразования упругих констант. Если учесть, что обращение в нуль некоторых упругих коэфициентов для какого-либо особого класса кристаллов вызывается тем, что коэфициенты определяются относительно кристаллографических осей симметрии, то становится ясным, что относительно какой-либо другой системы осей все коэфициенты принимают значения, отличные от нуля, за исключением некоторых
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов
77
специальных случаев, в которых все еще присутствует некоторая степень осевой симметрии. Отсюда при общем преобразовании, как бы ни был мал поворот, все классы кристаллов, даже самые симметричные, принимают свойства триклинной системы
С другой стороны, часто бывает возможно найти новую систему осей X', У', Z', относительно которых какой-нибудь коэфициент обращается в нуль, хотя относительно кристаллографических осей X, У, Z он остается не равным нулю. Этим пользуются в некоторых косых срезах кварца, чтобы избежать нежелательных эффектов связи.
Полную, довольно сложную теорию можно найти у Фогта и у других авторов. Для поворота вокруг всех трех осей уравнения преобразования разработаны только для немногих констант. Для поворота же вокруг одной оси как общие, так и специальные уравнения для кристаллов различных классов выведены различными авторами.
Хотя путь, описанный Фогтом * 2\ если им овладеть, легко приводит к преобразованным уравнениям, нижеследующий метод является в- принципе более простым. Пусть, например, требуется вывести s'hk по отношению к осям X', У', Z' согласно уравнению (5): xh'=— s'hkX'k. Мы предполагаем, что действует единственная компонента напряжения X'k и выражаем через нее шесть компонент основного напряжения Хх ... Ху, пользуясь уравнениями (21). Эти величины подставляют в правую часть уравнений (5) и выражают хх...ху через основные упругие константы, направляющие косинусы и Xk'. Значения хх.. ,х v в свою очередь подставляют в правую сторону выражения для x'hB уравнениях (18); например, если h = 5, то следует брать выражение для z' х. Коэфициент при Xk\ имеющий в общем случае 21 независимый член, представляет искомую 1величину s' hk.
Подобным же образом можно вывести любой коэфициент предполагая, что имеет место только одна деформация x'h, подставляя ее в уравнения (19), а затем пользуясь уравнениями (6) и (20). Процесс вычисления сильно упрощается, когда поворот происходит только вокруг одной оси и некоторые основные упругие константы рассматриваемого кристалла равны нулю.
§ 41. Общие уравнения, применимые к кристаллам всех классов3). Направляющие косинусы выбираются согласно следующей ниже таблице.
X' Y' Z'
X 04 Ъ
а2 Ъ
Z аз Рз 7з
Если вращение на угол 9 происходит только вокруг одной оси, положительный знак 0 следует выбирать, как указано в § 38. В этом случае все направляющие косинусы приводятся к 1, 0, + cos 9, или + sin 9. Для краткости обозначим с = cos 6 и s = sin 9.
*) Здесь имеются в виду, конечно, не физические свойства кристаллов, которые не могут изменяться от замены одной системы координат другой, а только математическая форма тензора упругости. (Прим, ред.)
2) «Физика кристаллов», стр. 589 и следующие.
3) Как уже упоминалось ,в предисловии редактора, применяя современную символику для тензоров четвертого ранга, можно избежать приведения следующих ниже формул преобразования, сведя их к одной единственной формуле. {Прим, ред.)
78
Глава IV
Поворот вокруг всех трех осей
SH а* $ц-[-&2 S22 Ч~ а3 ^33 4~
+alai (2s28 + s44) H-aja? (2s31+s55) 4~a2a2 (2s124-s66) -|-
4-2a12a2a8(s14 + s56) +2a22a3a1(s25 + s64)-4-2a32a1a2(s86+s45) + (25)
4-2a?(a2s164-a3s15) + 2a|(a3s24 + a^) + 2af (a^ + a2s34) .
Уравнение для s'22 выводится подстановкой p вместо a во все члены уравнения ((25); в уравнении для $'зз вместо 7 повсюду подставляем а. В обоих случаях все значки остаются без изменения.
s23:=?hiSii+?22Y2S22 + P272s33 +
+ +?зТ2)$2з+ • • • +M2M3S44+ • • •
+ ?П1(?2Тз4-фзЪИб+ • • • + Шъъ+т? Мз) su Ч---------- (26)
+ PiTi (Р1Тз 4~Mi)s154~ (рп2 + p2T1)s164- • • •
Каждый пропущенный член, обозначенный точкой, получается из предыдущего члена повышением на одну ступень всех значков у направляющих косинусов и у упругих модулей: вместо 1, 2Э 3, 4, 5, 6 следует писать соответственно 2, 3, 1, 5, 6, 4.
Уравнение для s'31 отличается от уравнения (26) подстановкой соответственно Р, 7, а вместо a, Р, 7. Для s'12 вместо а, р, 7 подставляются соответственно 7, а, р, причем в обоих случаях значки остаются без изменения.
s44 = 4Pi7i sn Ч- 4р2522 Ч~ 4Р17 з $33-1-
Ч~ 8р272Рз7з523 Ч" • • • Ч- (РгЪ Ч~ РзЪ) 2s44 4" ' ’ ’
+ 2(р1Т2Ч-Р2Т1) (Р1ЪЧ-MJs5C4- • • • (27)
4"4Pi7i (Мз Ч- РзЪ)5и Ч~ •
Ч~ 4Р171[( РПз Ч~ РзЪ) si5 Ч~ Ч~ ?2Ti)sie] Ч~ • • •
Пропущенные члены заполняются так же, как и в уравнении (26). Уравнения для s'55 и s'66 получаются из уравнений (27) по правилу, данному выше для вывода s'31 и s'12 из уравнений (26).
Cj] = С44а1 Ч" ^22a2 Ч~ ^33^3 Ч~
4-2[a2a2 (с23Ц-2с44) 4~a2a2 (с31 4-2с55) + a2a2 (с124- 2с66)] 4-4“4{a2a2a3(c144~2c5s) 4“ a2a3ai (с254~ 2с46) -J-a3aia2(сзб Ч_2с45) ] Ч" (28) 4“ 4[ос J (a3f16 4“ a2^16 ) 4- a2 (41^26 4- a3^24) 4- a3 (a2^34 4“ ai^3s)] •
Уравнения для c'22 и с'зз получаются из (28) по правилам, данным выше для s'22 и ^'зз. 1
с44~ ciiP2Ii 4“ • ' ’ 4-З^зРгЪРзЪ Ч- ’ ’
Ч-^ЛРгъЧ- ?зъ)24-- • • Ч~2сб6(Pi72Ч~?2ii) (Р1ЪЧ~М1) 4- • • • Ч-2^ЧШМзЧ-Ш + --- (29)
4- 2Р1Ъ [си (Рпз 4- Mi) 4- fi6 (М« 4- Mi) ] 4-
Пропущенные члены заполняются по правилу, данному вслед за уравнением (26). Для получения С55 ис6б > вместо а, р, 7 следует
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов
79
писать соответственно 0 , у , а и у, а, р, оставляя все значки без изменения. Например, множитель Р2 Тз в уравнении для с'44 превращается в а2 £3 в уравнении для с'66.
^3=^h?+-----------+ -
+ 2с(< ( Psfs + Мз)8 + ' ' ' + 4css₽i7, (₽273 + Р.7« ) + •• +2с1)(Р?7!7, + 7ЖМ + --- (30)
+ 2Р171[С15(?17з + ?з71)+'?1в(?17г + ?271)] + ' '
Пропущенные члены в этом уравнении, равно, как и циклические перестановки для получения выражений для С31 и с12, те же, что и в случае уравнения (29).
§ 42. Поворот на угол 6 вокруг оси Z. Направляющие косинусы приводятся к = р2 = cos 6 = с, а2 — — = sin 8 = s, а3 = ?з =: Ъ —
= Ъ=0Лз=Р).
£]] с £ц—|~s с (2Sj2~l~-Sgg)~2s3rs26 ;
S22 s s14-)-s2r2( 2S]2~Pee)-h^4sa2 2s3£s4e 2t3ss2g j
S33 = S33 j
S44 = £2s44 2scs45 s2s55 ;
s55 = s2s444-2scs45+c2s55;
s66 = 4c2s2(sh+s22—2$i2)— 4sc(c2— s2) (sie—s26) + (c2—s2)2s66 ; s;2=^2s2(s11+s22)4-(c4H-s4)sI2 4-s^(^—s2) (S16—s26)-c2s2s66 ;
Sj3 == s2s23-|-scs3g-|-c2s31;
sH=- ^«14—^(515—s46) +sV (s24—s56) —s3s25 ;
s;5 = S8S244-S2c(S25+S64) 4-C2S ($14+$5б) 4-^15?
s;6=— 2sc(c2s11—s2s22)4-cs(c2-s2) (2s124-s66)4- -
Ц-с2(с2—3s2)s164-s2(3c2—s3)s26 ;
$23==£2S23 £ss3g—S2S3j j
s;4 = c3s24—c2s (s254-$64 ) (s14+s56) — s3s16 ;
s;5=s3s14-|-s2c(s15—s46) +c2s(s24—s56) 4-c3s25;
s;6=—2sc(s2sn—c2s22)—cs(c2—s2) (2s124-se6) +
-{- s2(3c2 — s2) s164-c2 (c2—3s2)s2e;
S34 === ^34 S35 ,
S35 =z S^34-b^35 5
s^ = rs(s23—s31) + (i?2-s2)s36;
S45 = cs ( 544—S55) -H C2—s2 ) s45;
s;6 = — 2s2c(s25—s15)+2c2s(s24—s14) + (c2 — s2) (cs46—ss66) ;
s;6 = 2c2s(s25—Si5)+2s2c(s24-s14) + (r2—s2) (ss464-rs66) .
(31)
!) Уравнения (31) взяты из «Физики кристаллов» Фогта. В выражении для s'6. исправлены две опечатки. Автор заметил также большое число других, менее важных опечаток в различных местах «Физики кристаллов».
80
Глава IV
Уравнения для поворота вокруг оси X и У имеют тот же вид, как и (31), за исключением того, что все цифры в значках в обеих частях уравнения повышаются соответственно на одну и на две ступени согласно следующей ниже таблице, в которой первый столбец обозначает ось вращения. Например, где бы в уравнении (31) ни встречался значок 5, вместо него следует писать 6 для поворота вокруг оси X и 4 для поворота вокруг оси У.
Полная система уравнений, выражающая c'hk при повороте осей, невидимому, не разрабатывалась, за исключением специализированных форм для некоторых систем кристаллов. Ниже приводится уравнение, выражающее с'зз в случае поворота вокруг оси X. Оно получается из уравнений (28), если подставить сначала 7 вместо а , а затем положить 71 = 0, 72 = — sin 6 = — s, 7з = cos 6 = с-.
c'j3 = s4c22n-r4c'3r-L2s2<s'2 (с2з+2с44) — 4s3cc24—4c3sr34. (32 )
§ 43. Модуль Юнга кристаллического бруска любой ориентации. В § 33 мы видели, что ’Ди, 7522 и ’/$3з представляют модуль Юнга брусков, параллельных X, У и Z. Сходным образом при надлежащем выборе осей, из уравнения (25) получается величина, обратная модулю Юнга У для любого кристалла в любом направлении. Вследствие важности этой константы мы напишем это уравнение в другой форме, данной Кота [275], которая легче для вычисления. Для любого направления с направляющими косинусами Z, т, п имеем:
1 = /2 (Z2sn+m2s12-|-n2s18+m^i4+7z/s154-Zws16) +
4- tri1 (Z2s12 4-m2s22 /z2s23 4-mns2i 4~ +^s26 ) ~b
4- zz2 (Z2s13 4“ tzz2s23 4- zz2s33 4" tnns^ 4- nls^ 4~ Itns^) 4~ (33)
4- mn (Z2su 4~ 4“ ^2s34 + fnnsu 4- ^45 + ) 4-
4- til ( Z2s15 4- m2s25 4- zz2s35 4- mnsi5 4-tils^4- Zms56) 4~
4- Zm(Z2s164- /7г23‘2б4~,г25зб + wns46 + + ^s66) .
Например, параллельно оси У, I = п = 0, m=l, и 1/У приводится к S22- Уравнение (33) легко специализуется для любой группы кристал-лов.
Когда модуль Юнга выражается в системе преобразованных осей, ось Z принято выбирать в направлении напряжения и деформации, что приводит к уравнению
z'=—$33Z', (34)
где 1/5лзз — модуль Юнга.
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов Si
СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОСЕЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ГРУПП КРИСТАЛЛОВ
В случаях групп, рассматриваемых ниже, многие коэфициенты обращаются в нуль, что приводит к большому упрощению общих выражений. Уравнения, еле дующие ниже, получаются из приведенных выше общих уравнений, причем значки (различных коэфициентов взяты из таблиц § 29. Таблица направляющих косинусов та же, что и в § 41.
Группа III ромбическая система
§ 44. В этой группе все упругие параметры симметричны относительно кристаллографических осей. Например, на полярных диаграммах (§ 49), представляющих упругие свойства в главных плоскостях (плоскости, нормальные к трем кристаллографическим осям), те же самые значения повторяются во всех четырех квадрантах. Разумеется, это не выдерживается в плоскостях, составляющих косые углы со всеми тремя осями.
Эта группа включает сегнетову соль и изоморфные с ней кристаллы.
Для этой группы способ вывода, констант с из наблюдаемых констант s по методу, изложенному в § 26, является особенно простым и служит примером общего метода.
L- и Т-коэфициенты (§ 30) находятся из детерминанта
«13
$23
$33
$44 $55 $66
и соответствующих миноров. Таким образом,
ВСц $44$55$66 $22 $23
$32 $33
•^^23 “ $44$55$66 $31 $32
$11 $12
Коэфициенты S (§ 30) представляют просто с44 = 1/$44, сб5 == l/s55 и сбб = 1/$ 66-
Упругие коэфициенты в случае осей любой ориентации. Направляющие косинусы даны в § 41:
$зз— Tisn-Н24$22 4“7з$зз + ih! (2s23 s44) +
+ ihi (2s31 + s56) + (2$i2 + S66) . (35)
Для получения и s'22 подставляют вместо '( соответственно а и р.
$;4 = 4(ph21S11 + ?h22$22+Ph23$33) +
+ 8 (М2Мз$23 + Мз?171$31 + М1?2Т2$12) + (36)
+ (?2'Гз + РзТ2)2$44+ (?з'Г1-Ь?1Тз)2$55+(?172 + ?2Т1)2$66 •
6 Кэди
82
Г лав а IV
Выражение для s35 получается подстановкой р вместо а, а для s'66— подстановкой у вместо а.
41 == а1 П14- а 2 ^22 4~ а 3 ^38 4"
4"2[^2а3 1^28 2f44)-j- аза1 (С31+ 2сб5) а1а2 (^12 4“ 2с66) ] . (37)
Для получения с'22 и с'3з нужно а заменить соответственно на р и у.
<4 = CllPhl+^2p272+^hl +
~h 2^28?272?зТзЧ~2с’з1Рз7зР1714“2£12?1Ъ?2Ъ4“ (38)
4~ ^44 ( Мз + М2 ) 2 4- f 55 ( Ml + МзГ 4" 4б ( М2 4- Ml )2 •
Правила для вывода с'55 и с'66 одинаковы с приведенными выше правилами ДЛЯ $'55 и $'б6.
§ 45. Поворот вокруг одной оси. Все выражения для поворота вокруг одной оси получаются из более общих уравнений для осей в любом направлении, если мы припишем направляющим косинусам соответствующие значения, как указано в § 41. Некоторые из следующих ниже выражений выведены более просто из уравнений {35)—{38). Во всех случаях значки определялись по правилам для соответствующих уравнений.
Данные для поворота вокруг оси X (срез Y') взятыуМэзона [335].
41 - Sj j ; S22 с S22 4- S $33 4~£ *5" ( 2^23 4" ^44 ) ?
S33 = f4s33 4“ S4S22 4- ( 2$23 4- s44 ) 5
S44 — (^2 ) s44 4" 4t"S2 (s224 §33- 2$23) 5
S55 — ^2^55 4“ j
s66 = f2s66 + s2s55 ; s’12 = c2s124-s2s13 ;
S]3 = c $13 -j- s s12 5 s14 = 2rs (S13 $12) 5 • (39)
$23 = (r4 4-S4 ) S23 + C2S2 (s22 4-S33 $44) 5
$24 2c2s2 [f2 ( 2s23 4- $44- 2s22 ) 4- s2 (2s33 - 2s23 si4) ] ;
s34 = 2c2s2[c2 (2$33 — 2$2S — s44) 4- s2 ( 2s23 — 2s22 4~ s44) ];
4e~cs(s55 566) ?•
8j5 ” S16 = $25 = S26 ~ S35 ~ S36 = S45 = S46 ~
Из соответствующих упругих констант мы дадим только следующие, выведенные из уравнения (38):
£44 = ^2~s2)e44-i-c2s2(c22-^c33~2c23y, |
С55= f2f55 4- S2^66; 4-S2£55- I
Как для упругих модулей, так и для упругих констант уравнения для поворота вокруг осей Y и Z выводятся из приведенных выше перестановкой значков, согласно правилу и таблице, которые помещены после уравнений (31). Следующие примеры принадлежат к одним из наиболее важных:
Поворот вокруг Ъса Y:
C44=c2ci4 4- s2c66; с.6^=с2с66-[-82с44 |
Г55— (^2---S2^55 + c2^(^14-C33 2с13) . J
Повороты осей и предбразование упругих коэфициентов 83
Поворот вокруг оси Z:
sn = c4sn + s4s22 4- c2s2 (2s12 + s66);
<4=^44+^55; <5=^55+s44;
c66 = (c<i —s<2) c66 + ^2$2 (4ii + £22 - 2c12 L
(42)
При 6 = 45° предыдущие уравнения относятся к повороту вокруг оси X и имеют вид:
$ц —“$11> $22----S33 Т ($22 4" $33 4$44 4“ 2$гз) >
$44=== $22 4 $33 2S235 $55 $66 2 ($55 4” $66 ) 5
$12 ~ $13== i ($12 4“ $1з) 5 S14==$13 $12 5
$23 == I ($224$33 $44 4 2$2з)$ $34 := $24== 2 ($83 $22) •>
$56 ~ 2 ($55 $66 ) 5
$15 ~ $16 = $25 ~ $26 ” $35 “ $36 ~ $45 ~ $46 ==^-
Соответствующие упругие константы, за исключением с'^, выражаются следующим образом:
=== >
^44 — 4 (^22 4~ С33 2с2з);
Г]2 “ ^13 ==z l(^12 4" ^тз) >
(44)
Г23 4(^224^334-2^23 ^£44); С24 Г34 4(^33 G3)i
f15 = С16—С25 =з С26= С35= Сзд = С45:= С46 = 0 . )
Величины, обратные s'22 и s'33, представляют собой модули Юнга для направлений в плоскости KZ под углом + 45° к оси Y. Для поворота осей У и Z получаются аналогичные выражения по правилу, приведенному выше.
Для модуля Юнга в любом произвольном направлении, определяемом направляющими косинусами ап а2, а3, из уравнений (33) выводится следующее выражение:
у—ai$114~a2$224a3$33_Fa2a3 ($44 4^$2з) 4" (45)
4 а3а 1 ( $55 4-2$31) 4" а1 а2 ($6б + 2$13) •
Для направления X', составляющего равные углы со всеми тремя осями, упругая константа с'1{ имеет вид:
= 0,1 1 1 [(сп 4"^22 4 f33)4“ (f23 4- ^314*^12) 44(^44 4- ^55 4- ^бб)]’ (46)
Этим уравнением пользуются для расчета частоты колебаний по толщине среза L (§ 140). 6*
84
Г л а в а IV
Группа VII, тригональная система
§ 46. Эта тригональная группа включает кварц и турмалин. Направляющие косинусы приведены в § 41. Хотя в этой группе встречаются как правые, так и левые! формы кристаллов, уравнения не меняются (см. § 327).
В этих группах упругие модули и константы связаны следующими •уравнениями:
2cji 2с12 а = S33 а =£331 £зз I £44. « Г . £33 ^44 а ₽ ($и $12) (Сц -ф- с12) С13 == 5 ^14 = - 2с213 ; ’ 3==s44(sn ^=^44 Oil ^11 ~Ч~ ^12 . а ^11 ~~^12 , $12) 2§i4 ; С12) 2с 2 4 ; „ С11 С12. «$44 С6С ~ 2₽ ’ (47
$13. 5 а ^14, G3 ^44
2$ц СчЗ 1 С44 ” а' > $13 с13. S33 Сц~4~£12 , $66 — 2($ц $i2) 1
5 , 5 а ~~ . 5 а
2si2: _£33 С44. $14 = £14; е'’ $44 ' g12 . с . Q С44 566 — 3' ' р }
Общие формулы поворота осей. Формулы для произвольных поворотов ортогональных осей приводятся в литературе далеко не полностью. Уравнения (48) и (49) заимствованы у Фогта.
^=(«-TD’Si1 + lJ»»»+'lHl-7n(2s„+s„) + 2(3T|-b’)WH. (48)
В выражениях для s'n и s'22 вместо 7 подставляют соответственно аи^.
$« s44 4- а2 (2su - 2s12 — s44) + 4р272 ($ц s33 — 2§13 - s44) +
~H[ ( ЗРпх — р2ъ) (рзТз+РгЪ) —а2аз] $и- (49)
Подставляя вместо а, р, 7 соответственно р, 7, а и 7, а, р, получают выражения для sz55 и §'66. Выражения для остальных коэфициентов можно вывести методом, который описан в § 40 и 41.
§ 47. Упругие коэфициенты для поворота вокруг одной оси. Преобразование осей выражается через cos6 = c и sin 6=§, где 6 — угол поворота двух осей относительно третьей. Угол 6 считается положительным, когда для наблюдателя, находящегося у положительного конца оси вращения, поворот происходит против часовой стрелки. Во всех случаях пользуются таблицей направляющих косинусов § 41.
Чтобы получить уравнения для упругих коэфициентов, в общих формулах § 42 удерживают специальные коэфициенты, относящиеся к группе VII (§ 29). Некоторые из уравнений см. у Фогта и в более поздних работах, например, у Мэзона [332j и Хайта и Вилларда [227].
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов
85
Поворот вокруг оси X (срез У'); at= 1; а2= а3= О,
= Р3==-Т2=:$.
8 п —8П;
s'22 = c4sn + s4s33 4 c2s2(2s13 4- s4J2— 2c3ss14 ;
s'33 = s4s114-c4s334c2s2(2s134-s44) 4-2cs3s14 = s'22[8 ± 90°] 9 ;
s'44 = 4c2s2(8n4-s33 — 2s13) 4 (c2 - s2)2s444-4cs (c2 — s2) s14;
s'56 = c2s444- 2s2 (sn — s12) — 4css14;
s'66 = 2c2 (sn - s12) 4- s2s44 4 4css14 = s'55 [6 + 90°];
s 42 = c2s12 4" S2S13 4" ^ss14;
s']3 — s2s124-c2s13 — css14 = s'12[8 ± 90°];
8 j4 = 2cs (s13 s12) Ц— 42 s2) s14;
s 15 == s 16 = 0;
s'23=(^4-s4)sj34-c2s2( s11 4-8.33 - s44)4 8(4 c2 — s2)s14;
s'24 = —2c388114-2cs3s33 4^s(c2—s2) (2s134~s4J —e2(42—3s2)s14 ;
S 25 ~ S 26 === 4
s'34 = - 2(?83sn 4 2c3ss33 - cs (c2 — s2) (2sJ 3 Ц- s44) 4
+ s2(s2- 3c2)s14 — — s'24[6 ± 90°];
S 35 — S<36 =: 0; 5\б == 4б = 0 5
s'56 = 2 42 — s2 J s14 — sc( s66 — s44). /
41’---^11>
(?z22 = c4c224-s^33 + 2(?2s2((?134-2c44) — 4(?3sr14;
4з = s4(?n 4- c4r33 4- 2c2s2 (c13 4- 2c44 ) 4- 4cs3f 14 = c'23 [8 + 90°];
^44 = c3s2(f224-c33 — 2c13) 4- (c2 — s2)2c44-4-2(?s(f2 — s2)c14;
(?z65 = c~c4i 4~ S2C66 2cs(?14;
c'e6 = s2c44 4- c2c e6 4- 2(?S(?14 = c \ 6[8 ± 904;
c'ii ~ c2ci2 4~s2^i3 4- 2rsc14;
13== s2£i2 4 ^2^13 2csc44 = c 42 [6 + 90 ];
44= 42 — s2)^ —cs(a2 — c13);
cz15 = c'16 = 0;
4з= 44 «4 ^13 4- s2c 2 C^H + ^33 - 4c44) 4-2cs((?2-s2)c]4; c'2i^c2(4s2 - l)(?144-(?s[(?2f11 — s2c334 (c2 — s2) (2<?44 4- c13)];
£ 25 = 4б= 0;
c'g4 = - s2 (4c2 — 1) c14 4- cs[s2cn - (?2c33 - (c2 — s2) (2c44 -}- c13) ] = = -(?'24[6 ± 904;
c 35=c,36 ~ — c'46=0;
56 == 42 S2) (?j4 CS ((?66 c44) .
(50)
(51)
1
J
Когда 8 = 0, так что c=l, s — 0, предыдущие уравнения приложимы к срезу У.
О Выражение s'22 [ 0+tO°] означает, что уравнение для s'22 в случае поворота осей на Ь+90° идентично уравнению для s'33 при повороте на угол 0. Все углы в квадратных скобках в уравнениях для поворота осей имеют такое же значение, вне зависимости от того, являются ли преобразованные величины упругими или пьезоэлектрическими коэфициентами.
86
Г л а в-а IV
(52)
Поворот вокруг оси Y (срез р3=а2=^ч2=0; у3=
== с} as=“{1==s.
s\i=€4Sn4-s4s33 +sV(s44 4- 2s13);
S 22 =^1 !
s'33 = s4sn + c 4s33 + s2c2 (s44 + 2si3) = s'n [90° — 0]; s'44 — c2s444~ s2se6; ' •
s'55 = 4s2c2 (sn+s33 - 2s13) + (c2 - s2) 2s44; s'66 = S2S44 + C2S66 = S'44 [90° — e] ;
S и = C2S12 “4“ S2S13 j s'ie=- + s4)Sj3 4- s2c2(Sn 4- s33 - s44) s 44 = c (1 3s2) s44;
s'16 = cs[2(c2Sn — s2s33) - (c2 - s2) (s44 4~ 2s13) ];
s ig 3sc2s14;
$ 23== s2s124~ ^$i3=: s 1г[90 9]5
S 24 ~ CSli\
S 25 2CS ( $12 $13 );
s'26 = s$i4 = — sru [90° — 6]; s'34 = 3fs2$i4 = — s'16 [90° — 6]; s'35=rs [2(s2$ii — c2s33) 4~ (42 — s2) (s444-2$i3)] = s'i5[9O0 — 6]; $'36 = - s (1 - 3c2) s14 = - s'i4[90° - 6];
$z45 = 2s (1 3c2) $i4 = 2s'36
sz4g = cs (s6g s44);
s'be — 2c (1 3s2) $i4 = 2sAi4.
^'11 = с4Сц 4-s4c33 4-2s2c2(2c44 4-Ci3) ;
c'33 = s4cii4-c4c334-2s2c2(2c444-ci3) =с'ц [90° —9]; c'44 = c2c444-s2Cg6;
c'65 = $2c2 (Cn 4- c33 — 2c13) 4- (c2 - s2) 2c44 ; c'66 = s2c44 4- с2себ = c'44 [90° — 6];
c 12 = c2Ci2 4~ S2C13 ;
c'13 = ( c4 4- $4) C13 4- S2C2 ( Cn 4- c33 — 4c44 ) ; c 14 = c (1 3$2) Ci4;
c'i6 = cs[c2Cn — s2c33 — (c2 - s2) (2c44 4-C13)];
£ 16 ~ 3sc2Ci4;
£ 23 = S2^12 4- ^13 = 9] 5
C 24 == £^14 j 25 === « ( C12 Ci3 ) J
c 26 == ^14 == £^24 [90° 6);
c's4 — 3cs2cu = c'16[90° — 0];
c'3B = cs [s2Cn - c2c33 4- (c2 — S2) C 2c44 4- C13) ] = c'15 [90° — 0]; c'36= - s (1 - 3c2) c14 = - c\4 [90° - 0]; c/45 = c 36 = c'i4[90° — 0];
4в== cs (Cgg c44); с'ъб —
(53)
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов 87
Поворот вокруг оси Z. ч3= 1; ь= ъ= «з= Рз = 0> ai — Рг— = -?!=$• 0^2
$'н $и; S 22 $22 == $11 j $ 33 = $33 j $'44==$44 5 $'б5 = $55 = $44 "•> $ 66 $66 j $ 12 = $12 » $'l3 = $i3 $'i4=:c(l - 4s2)s14 ; $'15 = —$ (1 — 4t?2)sH; с4 • ~ „ 03 1 д 5 1 С гГ I .. II - .. II т—( СО со тЬ со со СО j 1 гН СО со Th «О 1 II II II II II II II II II II гЧ СО СО -rh Ю О С1 СО Th ю т-ч со со Th (54)
$'i6 ~ o> $ 23 == $13 > $ 24 == $ 14 j 25-~== $ 15 » $ 26== 0; $'з4 — $'зб == $'зб = 0 > $'45 = 0; $\б= 2$х15; $ 56== 2s к; с'16 = 0; £ 23== ^1з5 £ 24 == С 14; £'25 = ^15; 26== 0; С '34 = £'з5 = ^'зб = 0; ^=0; ^'46=—£Л15; ^'56 = £Л14
§ 48. Модуль Юнга Y кварцевого бруска любой ориентации, дли-
на которого имеет направляющие косинусы 1, т, п, выражается из
уравнения (33) следующим 1=(1—п2)2$п + п4$зз4- образом: п2(1—/г2) (s44+ 2s18) 2/яп(3/2—/n2)s14. (55)
Это выражение идентично $'зз в уравнениях (50) для любого направления в плоскости YZ, составляющего угол б с осью Z (cos6 = с = п, sin6 = s =— m); подобным же образом в плоскости ZX оно превращается в s'33 из уравнений (52); в плоскости XY оно представляет просто $ц во всех направлениях. Графически эти зависимости изображены на фиг. 38.
Другие формулы, включающие различные угловые параметры, можно найти в литературе *>.
§ 49. Геометрическая интерпретация упругих свойств. Из предыдущих параграфов ясно, что каждый упругий коэфициент имеет определенный смысл и численную величину для каждой данной системы пространственных координат, связанной с кристаллом. Если эта система координат совпадает с тремя обычными ортогональными кристаллографическими осями, то коэфициенты называются «основными» коэфициентами.
Для наглядного представления зависимости упругих коэфициентов данного кристалла от ориентации системы осей принято пользоваться некоторыми геометрическими поверхностями и их сучениями некоторыми плоскостями.
*) Gm., например, [32] и [594].
88
Г л а в а IV
Наиболее общая упругая поверхность выражается уравнением четвертой степени, в котором каждый из 21 параметра является упругим коэфициентом или модулем Такие поверхности имеют скорее теоретическое, чем практическое значение.
Для практических целей более полезны поверхности, представляющие собой значения отдельных констант, или функции констант, в зависимости от ориентации системы осей. Важным примером является поверхность, радиус-вектор которой в любом направлении пропорционален значению модуля Юнга l/s'33 в этом направлении. Модель такой поверхности для кварца представлена на фиг. 37.
Не так легко построить поверхности, изображающие упругие поперечные константы типов Т, L', S' или Т' (§ 30). Как показывают, например, уравнения (26), эти константы нельзя приписать одному направлению в пространстве. Значение любой такой константы при некотором заданном направлении оси Z' зависит также от выбора осей X' и Y'. Однако поверхность, представляющую любой поперечный коэфициент, можно построить, откладывая для заданного направления Z' рассчитанное значение поперечного коэфициента в направлении, параллельном, скажем, направлению оси X'. Такая поверхность будет до некоторой степени аналогична эллипсоиду показателей преломления (§ 528), в котором показатели преломления, соответствующие волнам, распространяДицимся в любом направлении, пропорциональны радиусам-векторам, перпендикулярным этому направлению.
Вследствие трудности построения упругих поверхностей принято вычерчивать в полярных или декартовых координатах графики, показывающие поведение различных упругих констант при повороте вокруг одной кристаллографической оси, что во многих случаях оказывается достаточным. Для этой цели пользуются уравнениями поворота вокруг одной оси, приведенными в предыдущих параграфах. Примеры этого рода для отдельных кристаллов даны в гл. VI.
§ 50. Терминология для различных срезов. При выпиливании из кристалла плоской пластинки или бруска с параллельными гранями термин «срез» употребляется для обозначения направления нормали к главным граням. Так, нормаль к главным граням среза X параллельна оси X кристалла. Подобным же образом грани срезов У и Z перпендикулярны осям У и Z.
Косые срезы. Тогда как в более ранних исследованиях ребра вырезаемых пластинок и брусков обыкновенно были параллельны осям кристалла, теперь широко применяются косые срезы, особенно в случае кристаллов квариг. Вообще, так как выбор осей кристалла произволен, то нет оснований утверждать a priori, что сечения, при которых электрическое поле направлено под косым углом, не будут лучше для многих целей. Математически задача сводится к преобразованию координат, приводящему к совершенно иной совокупности значений упругих и пьезоэлектрических констант. При вырезе кристаллов по новым осям могут появиться новые пьезоэлектрические эффекты, которых нет в прямых срезах. И наоборот, надлежащим выбором среза 'некоторые эффекты можно устранить. Мэзону [332], например, удалось освободиться от нежелательной формы колебаний в кварце путем поворота осей У и Z на некоторый угол при неизменном положении оси X. Исследователи
0 «Физика кристаллов», стр. 736.
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов
89
обнаружили, что частоты колеблющихся кварцевых пластинок, употребляемых в качестве эталонов частоты, остаются практически независимыми от температуры, если ориентировать их в определенных направлениях. Автор воспользовался продольным эффектом, который можно осуществить в косо вырезанных пластинках сегнетовой соли. Уже в 1894 г. Покельс показал, что, выпиливая бруски сегнетовой соли по длине под углом 45° к двум осям кристалла, можно получить поперечный эффект. Последнее обстоятельство нашло широкое применение.
Косые срезы можно обозначать с помощью преобразованных о)сей X', У' или Z'. Например, в срезе X' нормаль к главной плоскости параллельна оси X'. Специальные обозначения будут рассмотрены в следующих главах. Здесь же мы дадим только правила определения косых срезов, которыми будем пользоваться в этой книге.
§ 51. Обозначение ориентации преобразованных осей. Многие формулы относятся к повороту вокруг одной оси. В этих случаях, как в § 47, 0 обозначает угол поворота вокруг оси, и ему приписывается положительный знак, когда вращение происходит против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего на поворот из положительного конца оси вращения (за исключением левых кристаллов, как указано ниже). J
При необходимости определить в пространстве только одно направление, как, например, в уравнениях для модуля Юнга при определении нормали к данному срезу, мы будем пользоваться в качестве параметров азимутом и полярным углом 6 . Они представлены на фиг. 17, на которой ОР является определяемым направлением. Угол ? положителен
в тех случаях, когда он откладывается от + X к '4- У. Поворот на угол вокруг оси Z преобразует оси X и У в новые оси, обозначенные на фиг. 17 через X', У'. Угол 0 можно рассматривать как результат поворота осей Z и X' вокруг У'. Угол 6 положителен при повороте от -f- Z к + Х'\ в случае энантиоморфных кристаллов это положение имеет зилу как для правых, так и для левых форм. Правила, данные в § 7 для правых и левых кристаллов, показывают, что фиг. 17 относится к правому кристаллу, так как здесь мы имеем правую систему осей, в этом случае угол 6 положителен при отсчете против часовой стрелки, когда последний наблюдают из положительного конца оси У.
Фиг. 17. Произвольное направление ОР, определяемое азимутом ср и полярным углом 6.
Углы ср и 6 определяют направление оси Z', и при надлежащем их выборе последняя может занять в пространстве любое направление. Этот выбор оси Z' для представления данного направления объясняет, почему, например, модуль Юнга часто обозначается через l/s'33.
§ 52. Посредством углов <р и 6 можно определить одно направление, не упоминая о преобразовании осей. Поясним теперь применение преобразования осей в том случае, когда требуется третий угловой параметр. Для полного определения ориентации прямоугольной пластинки мы сначала повернем оси X и У вокруг оси Z на угол ср, как показано на фиг. 18; в результате получим систему Х\> Уь Zj=Z. Второй
90
Глава IV
поворот на угол 0 вокруг оси.У1 приводит к системе осей Х2, У2 = == У], Z2. Таким образом, ось Z2 определяется через ср и 0 и принимается за направление одного ребра пластинки. Ориентацию пластинки на этой стадии можно себе представить, рассматривая сначала пластинку представляющую срез Z, в положении, когда ее длина / и ширина b соответственно параллельны X и У. Первый поворот вокруг оси Z приводит пластинку в положение OAi, а второй—вокруг оси У1 — в положение ОА2. После этого ребро t, определяющее толщину пластинки, будет параллельно оси Z2. Окончательная ориентация осуществляется поворотом вокруг оси Z2 на «угол скоса» ф» приводящим к системе осей л;у; z' = z2.
Полное описание ориентации косых срезов можно дать, выписывая значения ср , 0 и ф в этом порядке вместе с размерами, параллельными осям X', У' и Z', например, срез X, вырезанный по длине параллельно направлению максимального модуля Юнга, можно обозначить Х'40 мм (0°), У'Ю мм (90°), Z'\ мм (48°36')
Направляющие косинусы. Направляющие косинусы системы осей Л'2, У2, Z2 относительно осей X, УЛ Z, определяемые согласно приводимой ниже таблице, выражаются следующим образом:
/1 = cos,fcos 0; Z2 =—sin ср;
Z3 = coscpsin0; sin ср cos 0;
m2 = coscp; m3 = sin ср sin 0;
«! = •—sin0; «2=0; «3 = cos0.
21^2 ^2 Z3
m2 m3 n2 fl3
Фиг. 18.
Косая пластинка O'A', получающаяся тремя вращениями из Z-среза ОА.
’) Это правило согласуется с условиями, одобренными Институтом радиоинженеров (I. R. Е.); институт рекомендовал приписывать углам , 0 и ф такие значения, чтобы направления осей Л', У' и Z' были бы соответственно параллельны длине, ширине И толщине пластинки. О применении системы осей I. R. Е. к кварцу см. § 327.
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов
91
Для окончательных осей X', У', Z' их значения относительно осей Л', Y, Z будут:
/? = cos<pcos0 созф—sin ср sin ф; 1
/о _cos ср cos 0 sin ф— sin ср cos ф;
/о = cos ср sin 0;
/га? = sin ср cos 0 cos фcos ср sin ф; •
/га? = — sin ср cos 0 sin ф-ф-cos ср cos ф;
ml = sin ср sin0;
га? — — sin 0 cos^f ra? = sin 0 sin ф ; ra?=cos 0. j
x_il_
Y
Z nl
Z' 1°
m3 n?
ЛИТЕРАТУРА
№ 64, 603, 631, 636 общей библиографии.
ГЛАВА V
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛОВ
§ 53. Введение. Основные уравнения колебаний кристаллов даны Фогтом в его «Физике кристаллов», но на них обращали мало внимания до 20-х годов этого столетия, когда появление кристаллического резонатора оживило интерес к упругим свойствам кристаллов1). В 1921 г. автор опубликовал статью о теории продольных колебаний в демпфированных изотропных стержнях, а через год — статью о приложении этой теории к первым пьезоэлектрическим резонаторам. В 1925 г. Лауэ дал более точный анализ этой проблемы. Вскоре появилось много других работ по колебаниям кристаллов, как теоретических, та*к и экспериментальных, для случаев стержней, пластинок и колец, вырезанных из различных пьезоэлектрических кристаллов.
В последнее время много занимались теорией кварцевых пластинок, вырезанных под различными косыми углами к кристаллографическим осям с целью устранить влияние температуры на частоту колебаний или избежать эффектов связи между колебаниями разных типов. Были выработаны новые методы измерения упругих констант. В одном из них, принадлежащем к самым важным и интересным, пользуются оптическими эффектами, вызываемыми ультразвуковыми волнами. Во всех этих работах важно отметить различие между изотермическими упругими константами, получаемыми из статических измерений, и адиабатическими константами, играющими роль во всех колебательных явлениях.
Хотя влияние пьезоэлектрических реакций на упругие константы затрагивается в настоящей главе лишь кратко, все же нужно заранее заметить, что недавние измерения адиабатических упругих констант сегнетовой соли привели к изменению взгляда на условия, при которых следует измерять «чистые» упругие коэфициенты пьезоэлектрических кристаллов, не зависящие от пьезоэлектрической реакции. Это соображение в свою очередь требует новой формулировки основной пьезоэлектрической теории, существенно отличающейся от формулировки Фогта.
Некоторое представление о сложности теории колебаний можно получить, рассматривая различные возможные виды колебаний параллелепипеда. Шесть возможных компонент деформации соответствуют шести степеням свободы и, следовательно, шести наиболее простым формам колебаний, причем частота каждой из них зависит от упругих констант, плотности и размеров. Возможные формы таковы:
1. Колебания, соответствующие непосредственно одной из шести деформаций. Эти формы включают колебания сжатия и сдвига с их обертонами.
’) Применение колебаний кварца, возбужденных переменным электрическим полем, было впервые предложено в 1918 г. Ланжевеном для измерения глубин моря. (Прим, ред.)
Колебания кристаллов
&3
2. Колебания изгиба (основные или обертоны), причем деформации в различных частях .параллелепипеда противоположны друг другу.
3. - Колебания кручения, включая обертоны.
4. Связанные формы, в которых две или больше предыдущих (более простых) форм переплетаются и образуют более сложное колебание. Как в аналогичном электрическом случае, связь может вызываться силами трения, инерцией или возможна упругая связь через упругие поперечные коэфициенты. Последний тип связи особенно важен для кристаллических резонаторов. В связи могут участвовать как основные частоты, так и гармоники. Относительная роль каждой из составляющих форм при любой резонансной частоте связанных колебаний, как и в электрических схемах, зависит от степени связи и от собственных частот составляющих форм.
Законченная и строгая теория колебаний в твердых телах не сформулирована даже для изотропных тел,, где формы колебаний более просты. Полная трактовка всех эффектов связи и пограничных условий бросает вызов анализу. Однако трудности удалось в достаточной мере преодолеть, и теперь можно дать довольно точное описание колебаний сжатия, сдвига, изгиба и кручения в кристаллических препаратах простой геометрической формы. Фундаментальную теорию можно 'найти в литературе, приведенной в конце главы. Мы же здесь должны ограничиться главным образом результатами теории, хотя для уравнений колебания стержней и тонких пластинок будет дан более или менее подробный вывод. Большинство выражений относится в основном к изотропным твердым телам, но для применения к кристаллам в них внесены необходимые изменения. Во многих важных случаях, особенно для волн сжатия, «изотропными» уравнениями, можно пользоваться без изменения.
Мы обратим внимание главным образом на два важных типа кристаллического вибратора, теория которых доступна анализу.
Первый из них представляет собой удлиненный стержень. Теория продольных волн сжатия, включающая эффекты затухания, очень проста: колебания, связанные с пятью другими формами деформаций, если они вообще возбуждаются, имеют такую относительно высокую собственную частоту, что связью можно пренебречь; в этом случае последние деформации находятся в фазе с продольной деформацией. Для колебаний этого типа действующие упругие константы являются модулями Юнга. С постепенным повышением порядка обертонов или с укорочением длины стержня по сравнению с другими его размерами наступают усложненные. состояния связи, которые исчезают, когда уже можно применять сравнительно простую теорию колебаний по толщине в тонкой пластинке'1).
Второй тип вибратора представляет собой тонкую пластинку большой площади. В этом случае колебания по толщине уже не связываются заметно с боковыми эффектами, за исключением высоких обертонов последних, но практически и эти последние достаточно безвредны. В элементарной теории рассматривается пластинка бесконечной ширины; в этом случае ее можно считать закрепленной с боков (§ 33), за
О Когда стержень колеблется вынужденно вследствие пьезоэлектрических эффектов приложенного переменного электрического поля, вызывающего, как обычно, и другие компоненты напряжения, кроме изменяющих длину стержня, теория упругих Колебаний в Пьезоэлектрическом резонаторе немного усложняется. Метод учета этого усложнения дан в гл. ХШ.
94
Глава V
исключением колебаний сдвига, при которых допускается свобода для небольших тангенциальных смещений.
§ 54. Нормальные формы колебаний. Когда упругое твердое тело приводится в 'состояние свободных колебаний (например, при внезапном ударе), его движение, если амплитуда мала, можно разложить на большое число «нормальных» форм колебаний. Число этих форм равно числу степеней свободы, которое теоретически бесконечно даже для самых простых геометрических форм. Каждой нормальной форме соответствует «нормальная частота», которая, однако, не является нормальной в том отношении, что ее значение обычно берется без учета затухания.
Для каждой нормальной частоты необходимым условием является движение всех частиц в фазе с простым гармоническим движением и при постоянном отношении амплитуд друг к другу. Этот критерий выполняется достаточно точно при малой вязкости.
Главными типами колебаний, для каждого из которых возможно бесконечно большое число нормальных частот (обертонов), являются колебания сжатия (называемые также продольными или колебаниями растяжения), сдвига (или поперечные), изгиба и кручения.
В колебаниях сжатия движение колеблющихся частичек Параллельно направлению распространения волны.
В колебаниях сдвига частицы движутся перпендикулярно к распространению волны, т. е. параллельно фронту (волны.
Колебания изгиба включают изгибание образца в некоторой плоскости. Иногда их называют, хотя это и неясно, «поперечными» или «боковыми» колебаниями. Несмотря на то, что они проявляются отчетливее всего в удлиненных брусках или в тонких пластинках, их присутствие возможно в телах почти любой формы.
При колебаниях кручения между смежными сечениями возникают относительные угловые смещения вокруг некоторой оси. Волны распространяются вдоль этой оси.
При измерениях собственной частоты какой-либо формы колебаний наблюдаемые значения всегда меньше теоретических на величину, зависящую от затухания, которое присуще резонирующему телу. Наблюдаемая частота зависит также до некоторой степени от метода наблюдения: она немного больше в случае свободных колебаний (колебания, которые после возбуждения затухают со скоростью, зависящей от декремента), чем для вынужденных колебаний, в которых наблюдается частота максимальной скорости частиц резонатора; а эта последняя, в свою очередь, несколько больше частоты при максимальной амплитуде колебаний. Все эти частоты меньше идеальной нормальной частоты при отсутствии затухания. Дальнейшее обсуждение этого вопроса дано в § 58.
§ 55. Колебания кристаллов. В большинстве рассматриваемых здесь случаев колебания можно выразить через скорость волны. Основное уравнение для скорости при отсутствии затухания имеет вид:
где q представляет собой некий упругий коэфициент — фактор упругости, выражаемый различно для колебаний разных типов, а р — плотность.
Колебания кристаллов
95
Проблема сводится к нахождению надлежащего выражения для q для каждого типа колебаний, причем должно быть обращено внимание на размеры вибратора. В случае свободного прямоугольного параллелепипеда, направление распространения волны, в котором параллельно одному из (ребер, допустимо, с известной степенью приближения, рассматривать колебание как систему стоячих волн, причем у обеих противоположных граней происходит отражение. Пусть размеры параллелепипеда будут X, Y, Z и пусть волна распространяется в направлении Z. Тогда для скорости волны и частоты свободных незатухающих колебаний мы можем написать:
где h — порядок обертона, являющегося приблизительно ' гармоникой; для основной частоты h = 1.
Оставляя обсуждение колебаний изгиба и кручения на будущее, рассмотрим теперь два крайних случая, которые на практике часто оцениваются приближенно. Первый относится к тонкому стержню, второй— к пластинкам относительно большой площади. Вообще мы будем иметь в виду только решения для установившегося режима в однородных стержнях постоянного поперечного сечения
§ 56. Колебания стержней по длине. Большинство теоретических и экспериментальных исследований относится к вынужденным колебаниям с установившимся режимом. Здесь мы можем привести только главные результаты и сослаться на оригинальные работы, трактующие вопрос более полно. Мы рассмотрим только стержни со свободными концами, как это обычно бывает в случае пьезоэлектрических резонаторов.
В идеальном случае бесконечно тонкого стержня без трения уравнение (59) можно написать в виде
f=--\/ J_ tLi/jl, (60)
J 21 \/ ps — 21 у p > 1 f
где I — длина стержня, a q = \/s—модуль Юнга. Это уравнение очень полезно как первое приближение (пренебрегают боковой инерцией), особенно для предварительного определения длины резонатора.
Обратимся теперь к задаче колебаний в тонких стержнях с потерями на трение. Относительно последних мы предположим только, что существует сила трения, пропорциональная скорости5). Ход дальней-
О Теория для изотропных стержней переменного сечения и материала была дана уже давно Стефаном (Sitzber. Akad. Wjss. Wien., math.-naturw. Klasse 55, часть 2, стр. 597 и сл.,1867 57, часть 2, стр. 517 и сл., 1868). Недавно обратили внимание на теорию колебания составных стержней, приводимых в движение пьезоэлектрически, особенно в связи с измерением динамических упругих характеристик металлов и других непьезоэлектрических тел. Литература по этому вопросу дана в конце настоящей и следующих глав.
2) Фогт («Физика кристаллов», стр. 792) рассматривает коэфициенты внутреннего трения кристаллов и их отношение к упругим константам. Практически внутреннее трение большей Частью мало по сравнению с внешним. Коэфициенты можно измерить только для кристаллов, смонтированных особенно тщательно и
% .Глава]/
шцх рассуждений в главных чертах повторяет решение этой задачи, впервые предложенное автором [92]; оно основано на дифференциальном волновом уравнении и приводит к простым выражениям, в которых предполагается, что резонатор имеетсосредоточенную марсу и упругость и колеблется с одной степенью Свободы. Аналогичным методом пользуются в задаче линий электрической передачи.
Хорошо известное уравнение для плоской волны, распространяющейся в направлении х, имеет вид:
Р dt2 дх2 *" dx2dt ’ ' '
где $ — смещение в момент t поперечного сечения, координата которого до смещения была равна х !). Величины р, q и F соответственно обозначают плотность, модуль Юнга и коэфициент трения. Возможная зависимость q и F от температуры, частоты и различных электрических и механических условий остается пока неизвестной. F здесь считается постоянной величиной с размерностью (ML~l Г—1). На практике в большинстве случаев F гораздо больше зависит от потерь, вызываемых монтировкой и окружающим воздухом, чем от внутренних потере в кристалле. Теория не основывается на каком:-либо допущении относительно происхождения F или его постоянства, за исключением того, что он должен оставаться независимым от амплитуды колебаний при любой частоте. Вообще, вместо F мы будем пользоваться связанными с F логарифмическим декрементом 8, фактором качества Q или множителем затухания а — величинами, которые можно определить при любой частоте.
Напишем сначала решение уравнения (61) в форме, подходящей для распространяющихся волн любой длины X, затухающих со временем. Включать какой-либо член, выражающий затухание в пространстве, не требуется. Решение имеет вид
£=^48-a/+;(b:W) } (62)
где А — амплитуда, а и k — постоянные и = 2к/.
Подставляя уравнение (62) в (61) и приравнивая действительные и мнимые части, находим следующие соотношения:
Отт
* = (63)
_ Fk2____
~ 2р —
• а
2тс2^
'р'А2- ’
(64)
Постоянную k иногда называют а—«множителем затухания».
Скорость распространяющихся
«постоянной длины волны», а
волн при учете эффекта затухания
колеблющихся в вакууме. Как указано в § 242, Лауэ ввел их в свою теорию. Внутренние потери в сегнетовой соли рссматриваются в гл. XVIII и XX—XXV.
О В случае колебаний по длине $ параллельно направлению распространения волны. Однако уравнение (61) имеет силу для любого направления, пока оно одинаково для всех частиц, находящихся в одной и той же плоскости, перпендикулярной к направлению распространения. Поэтому уравнение (61) применимо не только к колебаниям стержней по длине, но и ко всем формам колебаний по толщине пластинок.
Колебания кристаллов
97
составит:
1 \
8Q2/ ’
r.-F2 pU2
(65)
где о — логарифмический декремент и Q — фактор качества, выражаемый уравнением (67). Зависимость с от к и, следовательно, от частоты можно назвать «дисперсией», аналогичной оптической дисперсии. В большинстве случаев вторым членом в приведенных выше выражениях можно пренебрегать по сравнению с первым, так что скорость, выражаемая уравнением (65), практически идентична со скоростью из уравнения (58).
Мгновенное смещение в любой точке принимает вид:
2^Ft
£(х) = Ае COS-у (х -|- ct) .
(66)
Это уравнение выражает смещение на любом расстоянии х от произвольного начала координат при синусоидальных волнах длины X, распространяющихся в стержне неопределенной длины со скоростью с. В случае свободных колебаний их затухание выражается экспоненциальным множителем. Логарифмический декремент за один период равен
5 2k2/7 а к сс7\
8 = та-=Т=Т- (67)
§ 57. Вынужденные колебания. Плоский брусок относительно' малого поперечного сечения, имеющий длину I в направлении X, возбуждается пьезоэлектрически однородным переменным электрическим полем, параллельным его толщине. Таким путем возбуждается система однородных переменных напряжений. Как будет показано для некоторых случаев, этот комплекс компонент напряжения можно представить в виде эквивалентного равномерно распределенного продольного возбуждающего напряжения X. Задачей является выразить мгновенное смещение $ (х) в любой точке через X и любую заданную частоту. Начало координат берется в ц,ентре стержня.
Для установившегося режима решение (62) нашего уравнения заменяется выражением
B=A(a')£/W, (68)
в котором А являете^ теперь комплексной функцией от х, включающей
амплитуду, частоту и Подставляя (68) фазу. в (61), находим: (69)
где 2 — <|)2Р 9+Л/7 (70)
В этих выражениях единственное упрощающее допущение (кроме пренебрежения поперечным сечением) то же, что и в уравнении (62); 7 Кэди
98
Глава V
принимается, что коэфициент трения так мал, что его влиянием на распределение деформации вдоль стержня можно пренебречь.
Если Хо— амплитуда приложенного напряжения, мы можем считать, что мгновенное приложенное напряжение будет:
Х = . (71)
Это уравнение дает также полное напряжение на концах стержня, где х = + 112, так что деформация на концах будет:
(72)
Чтобы найти Л(х) и 5, решим уравнение (69) относительно А(х). Постоянные интегрирования определяются граничными условиями: при х = ОД =0; при х — //2, дх = eJMtdA(x)/dx ==— Хц/q, согласно (71) и (72). Тогда можно доказать, что
Таким образом, мы допустим, что имеет место равномерно распределенное периодически возбуждающее напряжение; если вместо этого предположить, что на концы стержня действуют две равных и противоположных периодических силы, причем сила на единицу площади численно равна напряжению X, мы придем к тому же решению, что и при первом допущении. Хотя автор в своих первых работах по резонатору [92, 93] пользовался последним методом и им затем пользовались другие, все же следует предпочесть первый путь решения, так как он представляет факты более непосредственно; кроме того, как будет показано при специализации теории для конкретных кристаллов, она облегчает включение в теорию всех пьезоэлектрических эффектов, относящихся к колебаниям и электрическим характеристикам резонатора.
Уравнение (73) можно привести к более удобной форме, сохраняющей высокую точность даже для затухания, сильно превосходящего обычно встречающееся в резонаторах. Согласно уравнениям (64) и (70), имеем:
- (74)
Подставляя это выражение для 7 в уравнение (73) и производя сокращения, находим:
. ч>Х mi
Sin COS 7
С 2с
а21х шХ . ы1 \ . 'ах а>Х t al . шХ . и>1\
т,—COS — sin .7- — J 1 — COS — COS 77 4- 77- sin-----sin 7-
2c2 c 2c J \ с c 2c 1 2c c 2c
a2/3 . 9 со/
SinV 4c- 2c
(75)
Модулем комплексной величины A(x) является амплитуда смещения £ в любой точке х, тогда как аргументом ее является фазовый угол. В большинстве случаев достаточно выразить амплитуду и фазу колебания на концах стержня; поэтому положим в уравнении (75) х = 1/2 и,
Колебания кристаллов
99
2
отбросив после тригонометрических сокращений член с а2 в числителе (член с а2 в знаменателе нельзя отбрасывать, так как член с cos2 обращается в нуль при резонансе), найдем:
. <о/ . al
/ / х v SIH----------J —
А / I \ Х{.с с J с
(76)
I 2 I 2Q(d ^<1)1 I а2/2 . 9 со/
\ , cosa_c+__Bln-r,
При частотах, близких к резонансу, в уравнении (76) нужно сохранять все члены.
Из уравнений (68) и (76) находим выражение для продольного смещения на конце стержня:
2qu>
sin(W—0) , cos 2b + l^sin Ге
где tg6=—[sin(<»Z/c) ] / (aZ/c). Смещение $ (Z/2) упреждает Xo на угол 90° — Os
Уравнения (76) и (77) сохраняют силу с высокой степенью точности при всех частотах, включая нуль. При частоте, равной нулю, а и <о обращаются в нуль, и амплитуда становится статическим удлинением
(78)
(77)
а>=0 2q
§ 58. Практически больше интересуются частотами, близкими к резонансу. Для общности мы даем уравнение в форме, применимой как к обертонам, так и к основ'ной частоте. Частоты обертонов в рассматриваемом идеальном случае бесконечно тонкого стержня являются почти точно целыми кратными основной частоты, причем отклонение от точного гармонического отношения вызывается небольшим изменением скорости в зависимости от частоты, выраженным в уравнении (65). Последнее так мало по сравнению с изменением, вызываемым эффектом поперечного сечения (§ 65), что обычно им можно пренебречь. Тогда резонансные гармонические частоты будут fhl}= hf0, где /0 = с/21 представляет основную частоту (Л = 1) бруска без затухания, а h — порядок гармоники. Как мы увидим, fM является частотой, при которой скорость частиц максимальна при вынужденных колебаниях. Из уравнения (65) имеем:
При сделанном нами допущении, что стержень приводится в движение однородно распределенным напряжением, следует предвидеть, что большие амплитудьГу концов* могут иметь место только при целых нечетных значениях /г
Для всех значений h постоянную затухания и логарифмический декремент можно выразить, согласно уравнению (67), следующим образом.-^^лЛ- (80)
Г близи резонанса можно написать:
(81)
где п является мерой диссонанса, а со/;0 = 7*
100
Глава V
Продольное смещение на концах бруска имеет большие максимумы при частотах, очень близких к целым нечетным значениям h, и чрезвычайно мало при целых четных значениях h. Это обстоятельство в неявном виде содержится в уравнении (77) и становится очевидным после следующих подстановок, имеющих силу вблизи всех гармонических частот. Напишем:
<° = а)Л = Л°)о—nh ;
(0О = 2.7^ —КС// ; sin со/ с (— 1) ;
tg^ = -
sin taljc a.hl!c
] Л h
} ah
и с помощью приближений, обычных для тригонометрических функций, найдем для h нечетного
2Х0с2 1
q^hl
sin(co^ -еЛ)
(82)
для h четного
ал + nh sin(<0^—GJ.
(83 j
Выписывая максимальные значения при частотах, близких к гармоникам, мы можем с достаточной точностью подставить /г<и0 вместо в знаменателях уравнений (82) и (83):
. // \ — 2Х0с2 —2Aqc2 о
'0 hr ------~= = -Г—7— cos 6Л
\2/ <г „2
_о у
j^fa7cose* [^-нечетное] , (84)
° J / ” 2ф/гю0
^o^ah 2qhw0cos 0/г
— r^oah
2p/iZiriQ cos 6Л
[h—четное]
(85)
При отсутствии затухания, когда nh = 0, амплитуда равна бесконечности для нечетных значений h и нулю для четных значений, как объясняется далее в § 61.
Когда h нечетное, амплитуда £ 0(Z/2) имеет наибольшее значение при частоте fha = wha /2^ , получаемой при минимальном значении произведения wh {a1h ф- п\У1п- в выражении (82), причем следует помнить, что <оЛ = А<о0 — nh и что аЛ = ^hfh. В результате с большой точностью имеем:
h 1
и
nh
(86)
При основной частоте <оа = <о0 (1 — 82/4тс2) . Это выражение для ша похоже на выражение для резонанса электрического смещения в колебательном электрическом контуре с последовательными L, С и R резонанса, устанавливаемого по максимальному вольтажу при изменении частоты конденсатором переменной емкости.
Колебания кристаллов
101
Беря производную по времени функции (82), получаем скорость частицы на конце бруска для нечетных значений h-.
М , (87J
где
/ /\ —2Х0с2 _
-2Х0
- 2Х0 fi , I 1\
:77arCOse^w^0 (j) . (88)
Эта скорость имеет максимум при nh = 0. Угловая скорость тогда равна whv = wM, так же как для свободных колебаний в отсутствии затухания. Резонанс скорости соответствует резонансу токов в колебательном контуре (§ 234).
При четном h из уравнения (83) находим следующее выражение для максимальной скорости за период:
(89)
Механический импеданс для нечетного и четного h и дальнейшие аналогии с электрическим резонансом разбираются в § 62.
В случае затухающих свободных колебаний при любой гармонической частоте угловая скорость whf находится из уравнения (65):
Далее
(90)
Это выражение сходно с выражением для свободных колебаний в последовательном электрическом контуре с L, С и R.
§ 59. Заключение о критических частотах тонкого бруска. Из предыдущих выражений вйдно, что частота f^0 свободных колебаний без затухания одинакова с
для резонанса скоростей. Выражение для частоты при резонансе амплитуд и для
fhf в случае свободных затухающих колебаний даются ниже:
г ___ г ___ he___ h / q .
JM Jhv 2? 27 |/ ~ ’ (91)
(92)
(93)
Эти выражения применимы ко всем типам колебаний, в которых частота связана с определенной волновой скоростью. Частоты f hf и fha сходятся к f/;o с Приближением затухания к нулю. Следует заметить, что разности между этими тремя частотами приблизительно одинаковы:
В2 1
Ло~ fha ^877 = 8Q2 ‘ (94)
В случае резонаторов с низким затуханием эти разности крайне малы, и их можно измерить только очень точными методами. Частота, обычно наблюдаемая при электрических измерениях на пьезоэлектрических резонаторах, представляет собой f о (или 6,о), несколько измененную параллельной емкостью резонатора, как поясняется в § 275.
102
Глава И
§ 60. Связь между механической длиной волны и длиной бруска. Для колебаний брусков по длине характерно, как и для аналогичного электрического случая линий- передачи с равномерно распределенным сопротивлением, самоиндукцией и емкостью, что при вынужденных колебаниях любой частоты распределения смещения и деформации вдоль стержня в каждый момент происходят по закону, близкому к синусоиде, и становятся строго синусоидальными при отсутствии затухания. Это сразу же обнаруживается для случая ничтожного затухания подстановкой а=0 в (75). Тогда это выражение непосредственно дает амплитуду механического смещения при любом х:
-Е0(х)=-Л(л)= —2^sin»y =_Е msin2y , (95)
t/WCOS-^T- 4
где Х= c/f — механическая длина волны, а £0(^/2)—амплитуда на концах бруска.
Амплитуда деформации при любом х находится из уравнения (95):
=444)cos24- <96’
При основной резонансной частоте к =2/, и последнее уравнение можно написать в виде
^»W = ~A(DC0S'r • (97)
Это выражение дает синусоидальное распределение деформации при резонансе в отсутствии затухания. О деформации в стержнях с затуханием см. § 230.
Выражение (96) показывает, что при резонансной частоте, т. е. когда I является кратным Х/2, деформация на концах стержня обращается в нуль. Это имеет место при отсутствии затухания. Если в (75) удержать члены, выражающие затухание, то обнаруживается, что40 (^/2) всегда отличается от нуля и частоты, при которой деформация на концах стержня обращалась бы в нуль, не существует.
Зависимость между смещением £ и длиной стержня I показана на фиг. 19, где подразумевается фиксированная частота, соответствующая постоянной длине волны к вдоль оси X. На фйгуре изображены стержни с длинами аа' и bb'. В случае аа' длина так коротка по сравнению с Х-2, что распределение смещения почти линейно. Это показывает, что при относительно низких частотах деформация стержня приближается к деформации, вызываемой статическим напряжением. Стержень bb', наоборот,. значительно длиннее Х/2, и смещение имеет максимумы на некотором расстоянии от каждого конца.
Когда длина стержня является нечетным кратным к/2, создаются условия резонанса. Так как в этом случае амплитуда зависит главным образом от затухания, выражения (95) и (96) уже не имеют места. Однако при малом затухании деформация на концах чрезвычайно мала, и кривая смещения имеет почти точно синусоидальную форму, причем наибольшее значение на концах стержня уменьшается синусоидально до нуля в центре, как представлено для основной частоты участком сс' на фиг. 19. В большинстве пьезоэлектрических резонаторов резонанс настолько резок и возможные изменения частоты так малы, что
Колебания кристаллов
103
при рассмотрении распределения смещения и деформации на этом участке можно считать или, для обертона h, К—21'h. Отсюда следует, что вблизи резонанса синусоидальное распределение, представляемое выражением f/ \ t/ I \ • ж'» £(х) = Ц— ) sin — ’
(98)
выдерживается с высокой степенью точности. Это соотношение будет использовано в дальнейших параграфах.
Фиг. 19. Распределение механического смещения по длине стержня.
§ 61. Амплитуда резонатора при широких диапазонах частот. Иногда желательно исследовать реакцию пьезоэлектрического резонатора на электрический контур в диапазоне частот,, настолько широком, что вычисления с помощью простой эквивалентной электрической схемы, рассматриваемые в гл. XIV, не обеспечивают достаточной точности. Поэтому требуется формула, хотя бы приблизительно правильная в любом желаемом диапазоне. Если ограничиться чисто упругой стороной задачи, то такой формулой является уравнение (77), но оно слишком сложйб для пользования. Для большинства целей задача трактуется достаточно точно при отдельном решении для резонансных и нерезонансных условий. Сначала решаем уравнение (77) для частот, далеких от резонанса, пренебрегая затуханием [можно положить также х — 1/2 в уравнении (95)]; затем решаем уравнение (84) для самих резонансных частот (cos 1). Пишем u = Aoj0) где оэ0 относится к основной частоте, a h может иметь и дробное и нечетное или четное целое значение. Затем, замечая, что <о//с = тс/г и sin(<oZ/c) =2 sin (wZ/2c)cos(a)Z/2c), находим для максимального значения смещения в первом случае (дробные значения h)
и во втором случае (А=1,3,5,..)
-S= . (100)
и \ 2 J \ 2 у i&hPcF izpchaft ' ,
Если бы коэфициент трения F не зависел от частоты, то амплитуда гармоники h составляла бы только 1/Л3 основной. В реальных резонаторах затухание вызывается столь многими причинами, что лучше пользоваться последним выражением в уравнении (100), в котором множитель затухания ай можно определить экспериментально при любой частоте. Так как существуют экспериментальные доказательства (§ 296)
104
Глава V
Фиг. 20- Максимальное смещение у конца стержня, колеблющегося по длине, в зависимости от частоты. А^Д/у^где fh представляет собой любую частоту, а /у —основную частоту.
возрастания ah с частотой, то по крайней мере, можно заключить, что при повышении порядка гармоники амплитуда падает пропорционально степени h, превышающей единицу.
Максимальные смещения ври Z/2 показны схематически на фиг. 20 как функция /г, причем действующая сила имеет постоянную амплитуду. Точная форма кривой и особенно высота и резкость резонансных пиков зависят, разумеется, от значений I, с, q и F. Значение при со= 0 можно рассчитать из уравнения (78). На фиг. 20 F считается постоянным.
Относительно четных значений h (см. также § 63|) остается добавить следующее. Из уравнения (85<) или (99) находим, что амплитуда А (1/2) равна пулю, когдасо представляет четное кратное «>0, поскольку пренебрегают затуханием. В силу симметрии существуют также h — 1 узлов движения в промежуточных точках, между которыми стержень находится в состоянии вынужденных колебаний, когда к концам приложены периодические силы. Например, амплитуду второй гармоники находим, полагая в уравнении (75)х = //4 и (0 = 2(0^ А (1/4) = = — Xoc/qw. Резонанса нет, так как деформация на каждом конце ограничена, причем ее значение хх(1/2) =—X/q. Нет также и внещней пьезоэлектрической реакции, вызы
ваемой продольными деформациями, когда стержни с электродами по всей длине возбуждаются на четной гармонике, так как эффекты сжатий и растяжений в различных сегментах точно гасят друг друга 9.
§ 62. Эквивалентная резонирующая система с одной степенью свободы. Когда слабо затухающая механическая система, имеющая много степеней свободы, колеблется достаточно близко к одной из своих нормальных форм колебаний, иногда бывает выгодным выражать колебательные задачи через эквивалентную систему с одной степенью свободы [92]. В качестве эквивалентной колеблющейся системы можно, например, представить массу на конце невесомой пружины с небольшим фрикционным сопротивлением. Именно эта упрощенная эквивалентная колеблющаяся система и привела к представлению пьезоэлектрического резонатора через некоторые эквивалентные электрические константы.
При любом Типе вибратора выбор трех эквивалентных констант для системы с одной степенью свободы определяется условием, что кинетические энергии обеих систем в любой момент должны быть одинаковыми. Это значит, что системы должны обладать равными амплитудой, фазой и декрементом. Это условие оставляет нам свободу произвольного выбора либо эквивалентной массы М, предполагаемой сосредоточенной в одной точке (или более общеэквивалентного коэфициента инерции), либо координаты, определяющей движение массы М. Обычно движение
*) Однако, если наложенная частота ниже резонансных частот боковых колебательных форм, поляризация все еще может получать пьезоэлектрическое приращение, как объяснено в § 229.
Колебания кристаллов
105
сосредоточенной массы принимается идентичным движению того участка на границе реального вибратора, где по предположению прилагается механическая сила. При этом условии значение М становится определенный
Задачей является определить эквивалентную массу, упругую константу и коэфициент трения для случая продольно колеблющегося стержня. Рассмотрим сначала основную частоту. Предполагается, что сосредоточенная масса М совершает то же движение, что и точка на конце стержня. В силу равенства кинетических энергий мы должны приписать М половину действительной массы стержня, т. е. М = | р Ые, где Ь,1 и е представляют собой соответственно ширину, длину и толщину Эквивалентная упругая константа определяется выражением G — Мш2 = = n2beq/2l-, коэфициен! трения IF находится из уравнений (64) и (67): В =2тс2А/pi2/ = W/2fM. М, W и G соответствуют L, R и 1/С в последовательном электрическом контуре с сосредоточенными постоянными.
Уравнение движения имеет вид
Ж +Ш4-Ое=Ф0со8< (101)
где Впишут вместо В (1/2) (смещения на конце стержня), а Фо представляет собой максимальное значение силы, действующей на эквивалентную массу М.
Решение уравнения (101) для установившегося режима будет
В = Во sin - 6), (102)
где максимальное смещение
и
tg6=^T^ = _ 2^ = _2L. (104)
Как и раньше, п=<е0— о> и 8 == W/2fM W/2foM. Механическое реактивное сопротивление выражается формулой
Х=<»М-~^~2Мп. (105)
с со у
Из приведенного выше уравнения для W вместе с уравнением (67) можно выразить механическое сопротивление в виде
1Г=^ = -^~=27Иа. (106)
Механическое «полное сопротивление» (импеданс) выражается формулой
Z2=IF2 +Xc2 = WV2-K G у = 4М2(а24-/г2) . (107)
Сравнивая уравнение (84) с уравнением (103), мы видим, что условия идентичности системы с распределенными константами и эквивалентной ей системы с сосредоточенными постоянными выполняются. Равенство затухания обеспечивается определением, данным величине W, и
*) См., например, [635], стр. 13.
106
Глава V
идентичностью фазы, следующей из определения tg 9 . Равенство амплитуды достигается тем, что полагают Фо = — 2Х0Ье.
Выводы уравнений для колебаний стержней по длине с затуханием, приводящие к результатам, сходным с данными выше, были также выполнены Вигуре [652], [653], [567] и Лауэ [309] (см. § 242).
§ 63. Эквивалентные сосредоточенные механические константы для стержня, колеблющегося на гармониках. Рассмотрим сначала случай, в котором периодическое напряжение однородно по всему бруску. Для всех значений h действующая сила выражается формулой Ф= 2Хо&е, как и для основной частоты. Брусок можно рассматривать, как состоящий из h последовательных сегментов, для каждого из которых можно считать Mx=plbel2ht G. = Л4Н>(-' /г2 — hG, где G имеет значение, данное выше для основной частоты целого бруска. Wx — 2 «jAli, где otj представляет постоянную затухания для одного сегмента.
Как и в § 58, решения для нечетных и четных значений h следует рассматривать отдельно. Когда h нечетное, действующая масса для всего стержня Mfl=hMi = = (4be/2 = M; Gh = ^Mh=hGx=№G = ^qbe.^l2l-, ah=Wh/2Mh\ откуда Wл = — 2 ЛЬ/j. Механическое полное сопротивление выражается следующим образом:
+ = + (108)
Gh
Х„ = ~ == 2,И„ (шЛ - й«>0) = - 2Mnh. ( 109)
По аналогии с уравнением для переменного тока / = V/Z можно ожидать найти для скорости в, точке 1/2 значение Vq(1/2)—Ф/Zh- В самом деле, пользуясь данными выше выражениями, формулу (88) для можно привести точно к этому виду. Как и в случае резонанса, а при последовательном соединении элементов контура, Z Л имеет минимальное значение при резонансной частоте, при которой п /. = 0.
Совсем другое положение имеет место, когда h — четное. В этом случае существует ослабляющая интерференция (разность фаз в 180°) между соседними частями бруска. Электрической аналогией является разность фаз в 180° между индуктивной и емкостной ветвями в параллельном (антирезонансном) контуре. Ток при резонансе имеет наименьшее значение аналогично минимуму значения с’о (//2) согласно уравнению (89). '
В предыдущем предполагалось, что механическое напряжение прилагается равномерно по всему стержню от — 1/2 до + //2. Можно предвосхитить результаты следующего раздела, заметив, что в случае приложения напряжения от (Z/2—l/h) до 42. (или если оно действует на какой-либо один из h сегментов), при четном h ослабляющая интерференция между сегментами устраняется и при резонансе получается максимум скорости. О применении изложенного к пьезорезонатору см. § 238.
§ 64. Стержни, возбуждаемые сосредоточенными силами. Стержнеобразные пьезоэлектрические резонаторы иногда возбуждаются электро-
дами, покрывающими только часть их длины, как показано на фиг. 21. Чисто упругую часть задачи определения амплитуды при любой частоте можно приближенно решить, предполагая, что напряжение равномерно распределено от хх до Хг, или, делая эквивалентное предположение, что сила X = Хо coscot на единицу площади поперечного сечения приложена в хх, а равная и про
Фиг. 21- • Стержень, колеблющийся по длине под действием равных и противоположных периодических сил, приложенных в точках х, и х2.
тивоположная сила — в точке Хг. Рассмотрим сначала только область частот, близких к основной, и опустим значок h. Возбуждение обертонов разбирается в § 238.
Приближенное решение можно получить несколькими путями.
1. Выводим сначала выражение для £(//2), когда приложенные силы расположены симметрично в точках +1'/2, где I' <] I. Затем решение для
Колебания кристаллов
107
I' = + Xi вычитается из решения для I' = + х2. Окончательное значение B(Z/2) равно половине этой разности и идентично значению, получаемому вторым методом.
2. Предполагая, что I = X /2 и что деформация распределяется синусоидально, можно вывести выражение для среднего притока энергии в стержень через Хо и S0(Z/2)i,2; последняя величина обозначает максимальное смещение в точке х = 7/2, когда силы приложены в х\ и х2-Находим, что средняя энергия равна Р = с»£0 (//2)|)2 X0Si2 cos6, где
(sin/1—sin/1), a 6 имеет значение, указанное в § 57. Затем для Р выводим второе выражение, представляющее расход энергии в стержне, а именно Р =w4/F$20(//2) 1,у4с2. Приравнивая эти выражения для Р, получаем$0(//2) 1>2 = 4/X0Si2 cos O/tcW'’. Если, как раньше,с0 (1/2) обозначает смещение в точке 1/2, когда силы приложены на концах, то для мгновенного смещения в точке 1/2 при силах, приложенных в точках л*1 и х2, находим:
5(1/2) 112 = (Z/2) и sin (о>/ - 0 ) = Si (Z/2) sin (*>t - 6 ). (110)
Таким образом, уменьшение амплитуды, которое вызывается возбуждением стержня в точках, не находящихся на концах стержня, выражается множителем Si2. Когда xt и х2 находятся на концах, Si2 = 1, и уравнение превращается в уравнение (82). При симметричном расположении %i и х2, так что %i = — х2, Si2 = ,sin -кх\/1.
3. Более строгая трактовка учитывает то, что в пьезоэлектрическом резонаторе скорость волн в части стержня, находящейся между электродами, меньше, чем в открытых частях стержня (§ 241). Поэтому в соответствующую упругую задачу следует включить два разных значения модуля Юнга. Стержень подразделяется на три участка: от —1/2 до Х\, от Xi до х2 и от х2 до +1/2. В точках Xi и х2 среда претерпевает разрывное изменение упругой постоянной и деформации, но напряжение остается непрерывным. Метод подхода аналогичен методу, обсуждавшемуся Мэзоном [637, 335], Квимби и Крэнделлом [611]. Автор вывел уравнение движения стержня, но форма его слишком сложна для удобного вычерчивания резонансной кривой. Кроме того, скорость в трех режимах почти одинакова, по крайней мере в случае кварца, так что численно результат мало отличается от результата, выражаемого уравнением (ПО). Следует только заметить, что резонансную частоту, определяемую для однородного стержня выражением 1//0 = 21/с, можно получить при учете изменения упругости в точках Xi и х2 из следующего уравнения:
4-=- + '-“-, ош
2/0 с 1 с'
где 1' = Х2—Х\, с — скорость на участке между Х\ и х2 и а—скорость вне этого участка.
§ 65. Влияние поперечного сечения на частоту колебаний в стержнях. Хорошо известное уравнение Рэлея для частоты колебаний по длине в изотропном цилиндрическом стержне длины / и радиуса г (г</), имеющего коэфициент Пуассона о. дает в первом приближении:
х __ 1 / q / -1 । 71Ъ2/"2
2/1/ у! 1 “4/7-
(112)
«) S. L. Quimby, Phys. Rev. 25, 558—573 (1925).
108
Глава V
где h обозначает порядок обертона. Например, если а= 1/3 и /=4г, то частота приблизительно на 2% меньше, чем в случае, когда радиусом можно пренебречь.
При поперечных сечениях, отличающихся от круговых, и при анизотропной среде трудности математической формулировки возрастают, но порядок величины поправки не очень отличается от указанной выше. Для изотропных брусков прямоугольного сечения (длина I, ширина b и толщина е) Гибе и Шейбе [171] дали следующее уравнение:
f __ hfi~ hfx
|/ 3 < 4 ] Р
где fi — основная частота. Эти авторы находят, что для кварцевых брусков уравнение (113) не дает значений, согласных с экспериментами. Их экспериментальные и теоретические исследования будут рассмотрены в гл. XVII.
Влияние поперечного сечения на продольные колебания исследовал также Руди %
Р. М. Дэвис [120] вывел основные уравнения, выражающие влияние боковой инерции на продольную частоту прямоугольных кристаллических брусков любой ориентации. Он применил уравнение только к брускам из кристаллов группы III (сегнетова соль), причем предполагалась следующая ориентация: длина I любого данного бруска делит пополам угол между двумя осями кристалла, а измерение е перпендикулярно обеим этим осям. Дэвис нашел, что исправленная частота fh для обертона h выражается (в обозначении этого параграфа) уравнением, имеющим вид:
(7%)о fh I f ,2 '2\ . 9 I '2 ч] ( i 1 Л \
(fh)o ~ 24s'22Z2 [(S32 + S^b + Sl2e ] ’ ( 14)
где (Д)о представляет собой частоту в случае бруска с исчезающе малым поперечным сечением, b — третье измерение бруска, которое может быть или больше или меньше е. В уравнении (114) значки внизу проставлены для бруска, измерения b, I и е которого соответственно параллельны осям Z', Y' и X. Бруски этого типа называются повсюду в других местах книги срезами X 45°. Преобразованные оси получаются из матрицы § 40, если положить «1=1; р1 = у1 = а2 = а3 = 0; Р2 = ?з — Тз = = 1/-/2; ч2 = —Выражения для упругих коэфициентов даны соотношениями (43).
Уравнения для брусков Y 45° и Z 45° можно получить с помощью аналогичных преобразований осей. Более просто они выводятся непосредственно из уравнения (114) перестановкой значков внизу по правилу, данному вслед за уравнениями (31) в § 42.
Для бруска X 45° квадратного поперечного сечения, имеющего b = е = 1/4, поправка, выражаемая уравнением (114), доходит до 2%. Если b — е = Z/6, то поправки для h = 1, 2, 3 и 4 составляют около 1, 4, 8 и 14%.
О влиянии поперечного сечения на кварцевые резонаторы, в которых имеются сильные отклонения от поправки Рэлея, см. § 349.
J) R. R u е d у, Can. Journ. Research. Al4, 66—70 (1936).
Колебания кристаллов
109
§ 66. Колебания кристаллических пластинок по толщине. Сначала мы наметим общую теорию. Далее, в § 93 и 254 будет рассмотрено применение теории к конкретным задачам.
В следующих параграфах рассматриваются прежде всего пластинки бесконечной площади, все чабтицы которых, имеющие одинаковые координаты в направлении нормали, движутся одинаково. Строго говоря, условие, чтобы 'боковые размеры были значительно больше толщины, недостаточно. При конечности пл'астинки эффекты связи между различными формами колебаний искажают фронт волны. На эти эффекты связи будет обращено внимание в гл. XVII. Но во всяком случае важно изучить природу колебаний в идеальном случае. О применении к пьезорезонатору см. § 243.
Скорость волн в изотропных твердых телах выражается формулой
Г \ -\.<2п _ /~ с
у р \/ Т ’ причем упругие константы и с имеют значение, указанное в § 31. Скорость поперечных волн равна ф /г/о . Из матриц для кристаллических групп в § 29 можно заключить, что при подстановке надлежащих chh вместо с и п те же уравнения имеют силу и для кристаллов,. Это утверждение едва ли может считаться строгим доказательством и в общем случае действительно не является верным; кроме того, оно не указывает направления колебаний поперечных волн.
Общая теория распространения плоских волн в анизотропных средах, частные случаи которой представлены данными выше уравнениями, была впервые .предложена ГриномОн показал, что для любого направления распространения, вообще говоря, существуют три возможных вида’волн, имеющих различные скорости и различные направления колебаний, причем эти три направления колебаний взаимно перпендикулярны.
§ 67. Мы рассмотрим теперь теорию в форме, предложенной Кри-стоффелем * 2). Обозначая через I, т, п направляющие косинусы нормали к поверхности плоской волны и через s расстояние этой поверхности от произвольного начала координат, мы получаем s = lx -ф ту -ф nz. Смещение точки на поверхности из ее нормального положения равно В с компонентами и, v, w и направляющими косинусами а, р, 7, так что £ =а и -ф -фт^-
Общие уравнения движения, аналогичные уравнению (61) при отсутствии затухания, имеют вид
д-и дХх , dXv । дХ2 << . с.
причем для v и w имеют место подобные же выражения.
Кристоффель показывает, что эти уравнения можно выразить через и, v, w и s вместо напряжения, введя новые модули Гц... Г33,
В G. Green, Math. Papers, London, 1871, см. также Lord Kelvin’s Baltimore Lectures, London, 1904.
2) E. W. Christoffel, Annali di matematica pura ed applicata, series II, vol. 8, p. 193, 1877. К пьезорезонатору метод Кристоффеля применяли Kora [2701, [271] и позже МЬзон [335], Бехман [32], [39] и Атанасов и Харт [12]. См. также Ляв ([636], стр. 298).
по
Глава V
являющиеся функциями упругих констант с hk и 1,т,п. Уравнение (115) тогда принимает вид:
d'2u___р д'-и , г , р d2w
‘° dt2 11 ds'2 ' 12 ds'2 ' 13 ds2 ’
d2v _ p d2u p d'2v , p d2w
P fit'2 12 ^s2 6 22 T“ 23 >
d‘2w_p d2n . p d2v p d2w
P 13 ds2 23 ds'2 33 ds2 ’
где1} Г12~Г21, Г13=Гз1, 123~^32’ И
ru=Z2fii+^2<76e+«2<;55+2w/zc5G4-2Az/c'51+2//^c,6;
T22^l2c6QJrm2c22-\-n2c44-ir2mnc2i-[-2nlci6Jr2lmc2&;
гзз = + т2с44^п2сУА+2тпсм+2п1с^+21тс45 ;
1 2з=^5б++ «2^з4 + ^л(с23 + c44)+n/(c45+c36) + /т(с46+с25) ;
Г31 =Z2c]5+m2c’4G+rt2c35 + т/г(с45-т с36) ! /г/(с3] + c55)-^lm[c5Q^-c 14); г12=/2с16+wV26+rt2c45+/n7z(c46+c25) + ^/; с564-с14) +lm' c124-Q6) •
(116)
Искомым количеством является фактор упругости q, затем его надо подставить в уравнение (59). Он появляется в следующих уравнениях, которые, как показано Крис|тоффелем, выража|ют связи между упругостью, направляющими косинусами и Thk :
al ц-|-^Г12 Ц- ^Г13 — j.q,
аГ1з+РГ2з+"Ггзз = 79. ,
(117)
Значения q для кварца и сегнетовой соли, выведенные согласно уравнениям (117), рассматриваются ниже.
Существуют три’ возможных значения q, все из них действительные; они являются корнями 72, 7з кубического уравнения, выраженными через известные величины:
^11 Q ^12 ^13
^12 ^22 9 Г23
^13 ^23 ^зз 9
= 0.
(И8)
Каждому из этих корней соответствует своя особая совокупность значений а, р, 7 и поэтому свое особое направление смещения L Три направления колебаний определяются из уравнений (117).
Когда в плоскопараллельной кристаллической пластинке бесконечной площади в направлении, нормальном к ней, распространяются плоские волны, соответствующие одному из корней уравнения (118),
>) Эти шесть модулей Гц... Г33 соответствуют шести типам деформаций, которые могут иметь место при колебаниях по толщине. Эти типы следующие: одна деформация типа L, показанная на фиг. 15 (сжатие, нормальное к поверхности пластинки); две деформации типа Р; две —типа 5' и одна типа — S'. Все другие компоненты деформации невозможны в силу боковой инерции. Как иллюстрацию рассмотрим срез X, у которого I = 1, т. = п — 0. Функции Г тогда сводятся к шести основным константам Сц, Сбб, С55, c56, С15 и cw, принадлежащим к упомянутым выше типам. Последние три из этих констант являются поперечными константами, соответствующими трем первым. Для среза X они являются единственными основными константами, играющими роль в колебаниях по толщине. Аналогичные утверждения можно сделать относительно других срезов, в том числе косых.
Колебания кристаллов
111
то на поверхностях должно выполняться условие d^/ds =0. В кристаллической пластинке любой ориентации для каждого корня теоретически возмо)жна система стационарных волн, распространяющихся по толщине на основной частоте или на частоте, соответствующей любому обертону. Реализовать такие колебания можно в случаях, когда свойства кристалла позволяют получить пьезоэлектрически деформацию- d^/ds.
Любым из этих трех корней уравнения (118), скажем qm, можно воспользоваться в основном волновом уравнении
* '° dt2 ds2 ’ ( 9)
откуда обычным способом выводится формула для нормальных частот плоскопараллельной пластинки при распространении колебаний в направлении ее толщины е:
где h — порядок гармоники.
При решении уравнения (117) относительно а, Р, у в общем случае находят, что каждое из трех смещений, которые мы назовем £i, £2, ^з, имеет компоненты как нормальные, так и параллельные по отношению к поверхностям пластинки, так что ни одна из волн не является чисто компрессионной или чисто поперечной. Одна из трех волн бывает строго продольной, а две другие—строго поперечными только в изотропных телах и только в некоторых специальных случаях в кристаллах. Если вещество изотропно, то скорости двух поперечных волн совпадают и поперечное колебательное движение может иметь любое направление параллельно фронту волны, тогда как третья волна является волной сжатия со смещениями, нормальными к фронту волны. Общим условием того, чтобы направление колебания было нормальным к поверхности (волна сжатия) является а=/, р = т, 7= п. Для того чтобы направление колебания было параллельно поверхности, должно выполняться условие а/ -f- Зт + -— 0.
Упругие колебания поперечного типа в твердых телах часто называют колебаниями сдвига.
§ 68. Теория Кристоффеля применялась к определению направлений колебаний, частот и упругих констант в пластинках кварца, турмалина и сегнетовой соли. Возбуждение достигается пьезоэлектрически, для чего пластинка помещается между двумя плоскопараллельными электродами, которые присоединяется к источнику переменного электрического напряжения частоты, требуемой для получения резонансных колебаний. Возможно возбудить колебания любой из трех форм, включающих деформацию, которую можно вызвать пьезоэлектрически воздействием электрического поля. Критерий можно выразить также следующим образом: деформация в силу колебания должна быть такой, чтобы производить пьезоэлектрическую поляризацию в направлении возбуждающего поля. Очевидно, что существенный вопрос в каждом отдельном случае состоит в том, имеется ли пьезоэлектрический коэфициент, удовлетворяющий этому условию. Примеры рассматриваются в § 351 и следующих, а также в § 378.
При точных измерениях упругих констант с помощью колебаний по толщине более желательно пользоваться обертонами высокой
112
Глава V
частоты, чем основным колебанием. Для кварца это было недавно доказано Атанасовым и Хар^том [12], которые указывают, что при высоких гармонических частотах устраняются эффекты зазора, граничных условий и связи между различными формами колебаний. Процедура вывода упругих констант из данных наблюдений опйсывается в § 175 и 252.
Упругие свойства непьезоэлектрических тел можно изучать экспериментально, приклеивая плаетинку пьезоэлектрического кристалла к плоской грани тела. При возбуждении в кристалле компрессионных или поперечных волн высокой частоты последние распространяются и в непьезоэлектрйческом теле, как описано в § 512 Д
§ 69. В свое время, когда свет рассматривался как волны в упругом теле, две упомянутые выше поперечные волны считались двумя волнами поляризованного света в кристаллах. В изотропных средах эти две волны имели одинаковую скорость, ориентация направления колебания во фронте волны могла быть любой, поэтому среда не производила поляризующего эффекта. Волны сжатия устранялись из обсуждения тем, что эфиру приписывались свойства, при которых их скорость равнялась бесконечности или нулю.
Аналогия с упругими свойствами остается ценной даже после принятия электромагнитной теории света. Естественно, например, рассматривать две поперечные волны в кристаллах, имеющие разные скорости, как случай упругого двойного преломления. Однако распространение упругих волн в кристаллах более сложно, чем распространение оптических волн. Это отчасти вызывается присутствием волны сжатия, вследствие чего приходится рассматривать все три волновые поверхности одновременно, тогда как в оптике—только две; кроме того, упругие свойства кристаллов в общем случае описываются гораздо большим числом упругих параметров, чем три (главные показатели преломления, упомянутые в § 528), которых достаточно для описания их оптических свойств. Это значит, что в общем случае не существует единого упругого эллипсоида, с помощью которого можно было бы выразить скорости волн во всех направлениях * 2) (§ 527). В определении скорости играют роль все 21 упругая койстанта. Однако во всех кристаллах, за исключением случаев низшей симметрии, можно найти специальные направления волн, для которых известные константы или их группы обращаются в нуль, что уже упоминалось. Этим пользуются в некоторых косых срезах кварца.
Упругие волны до некоторой степени проще световых только в отношении дисперсии. Поскольку имеются в виду механические волны обычных частот, то единственным влиянием частоты на скорость является крайне малое уменьшение последней с увеличением частоты, вызываемое трением [см. уравнение (65)]. Молекулярное трение или вязкость играет роль и в оптике, но совершенно иную: там оно вызывает аномальную дисперсию.
§ 70. Затухающие колебания по толщине. Теория пьезоэлектрического резонатора, колеблющегося по толщине, в которой обращается должное внимание на затухание, обертоны, зазор между кристаллом и электродами и влияние пьезоэлектрической реакции на упругую константу, дана в гл. XIII. Пока необходимо только вкратце указать, как можно приспособить уравнения для продольных колебаний в стержнях с затуханием к рассмотрению колебаний по толщине в пластинках. Затем эта чисто1 упругая теория послужит основой для дальнейших рас-суждени'й.
’) То обстоятельство, что упругие волны в кристаллах могут распространяться в данном направлении с любой из трех различных скоростей, находит интересное применение для объяснения изменения линий наблюдаемого в спектре света, рассеян, ного при распространении сквозь кристалл кварца. Этот эффект обнаружил Е. Гросс, Доклады АН СССР, 18, 93 (1938), который объясняет его местными вариациями показателя преломления, вызываемыми деформациями, сопровождающими тепловые волны, согласно теории Дебая.
2> Однако имеется некоторый эллипсоид, соответствующий любому данному направлению нормали к волне; главные оси этого эллипсоида представляют собой направления ко'лебаний и скорости трех указанных упругих волн.
Колебания кристаллов 113
В приложении к колебаниям по толщине уравнение (61) принимает вид:
Р дР У'п дх* ^~^Ox2dt’ (121)
где смещение $ может составлять любой угол с плоскостью пластинки, а х представляет собой расстояние, параллельное толщине е (направление s в § 67), от узловой плоскости в центре пластинки. Параметр q m является «упругостью», соответствующей особому типу колебаний по толщине [icm. уравнение (119)].
Так как теория колебаний по толщине в демпфированных пластинках развивается совершенно аналогично теории продольных колебаний в стержнях, то повторять ее нет необходимости. Подобно тому как в теории стержней мы пренебрегали влиянием поперечного сечения, так в данном случае предположение о бесконечности площади пластинки устраняет трудности, вызываемые граничными условиями. В приложении к реальным пластинкам относительно большой площади теория остается достаточно точной и плодотворной и дает частоты, согласующиеся с наблюдениями в пределах одного процента.
Большая часть уравнений и рассуждений в § 56—63 одинаково применима и к пластинкам при условии, что символы / и е ,(длина и толщина) обмениваются местами (см., например, § 254).
При применении колебаний по толщине для стабилизации радиочастот обычно пользуются низшей, или основной, формой колёбаний. Пластинки, колеблющиеся на высоких обертонах, недавно также нашли себе важное применение в генераторах высокой частоты. Так, ими очень часто пользуются для получения ультразвуковых волн. При пьезоэлектрическом возбуждении пластинок можно получить только нечетные гармоники. т
§ 71. Сохранение момента количества движения при колебаниях сдвига. Следующие ниже замечания относятся ко всем колебаниям сдвига: к колебаниям по толщине, в которых плоскость сдвига перпендикулярна к главным поверхностям пластинки, и к колебаниям «по контуру», при которых сдвиг происходит в плоскости пластинки.
При колебаниях сдвига в пластинках конечной площади следует учитывать принцип сохранения момента количества движения. Деформация сдвига включает вращение линейных элементов кристаллов вокруг некоторой оси. В случае свободно колеблющейся пластинки должно иметь место компенсирующее периодическое вращение тела в целом, чтобы полное количество вращения оставалось равным нулю. При увеличении боковых размеров пластинки ее момент инерции растет, поэтому угловая амплитуда колебаний пластинки в целом уменьшается и приближается к нулю с приближением площади к бесконечности. Таким образом, при свободных колебаниях две главные поверхности пластинки сохраняют ориентацию так, что мгновенная деформация является простым сдвигом только тогда, когда их площадь относительно велика.
Под статическим напряжением сдвига прямоугольное сечение ABCD плоской пластинки, показанное на фиг. 22, а, деформируется в па-раллелограм A'B'C'D' или A"B"C"D". Если напряжение периодически меняется с очень низкой частотой, то эти две конфигурации будут иметь место попеременно, причем узлосвая плоскость EF останется приблизительно неизменной. Но в случае частоты, равной основной частоте коле, баний по толщине в направлении е=ВС, распределение деформации и 8 Кэди
114
Глава V
смещения будет синусоидальным, как показано на фиг. 22, б, при условии, что размер АВ настолько велик, что можно пренебречь вращением пластинки в целом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О. Можно также принять, что монтировка пластинки фиксирует узловую плоскость EF в пространстве. Синусоидальное распределение
совершенно аналогично описанному в § 60 в случае колебаний растяжения.
Вращение тела в целом, имеющее тенденцию сопровождать переменную деформацию сдвига, показано на фиг. 22, в, где для простоты деформированная фи-
гура представлена в виде параллелограмма. Если недеформированная фигура была бы квадратом, то деформация была бы «чистой».
Эффект этого периодического враще-
Фиг, 22- Деформация пластинки напряжением сдвига: а—статическая, 5—при резонансных колебаниях с фиксированной узловой ПЛОСКОСТЬЮ, В — при СЕО-. бодных колебаниях.
ния тела в целом стремится повысить частоту колебаний сдвига по сравнению с их частотой при отсутствии вращения, т. е. когда узловая плоскость EF остается неизменной. Рассматривая только случай основной формы колебаний сдвига в прямоугольной пластинке длины а, и ширины Ь, можно доказать, исходя из простых динамических принципов, что при свободном колебании тела диагонали прямоугольника остаются неизменными по направлению и что соответствующая частота в 1/cosa раз больше, чем в случае,
когда остается фиксированной средняя линия EF. Так как 1/cos a = = (а2 -|- b2) 1а, то, очевидно, увеличение частоты приближается к нулю, когда а^Ь, как обычно и бывает при колебаниях по толщине, где
измерение, обозначаемое через Ь, представляет собой толщину.
Если с=(7/р)’-’, где q — упругая константа колебаний сдвига, а Р — плотность, то частота выражается формулой
с ____ с
2bcosa 2ab
(122)
Это выражение можно распространить на обертонные частоты, причем следует брать дробные части от а и Ь. Мэзон другим методом вывел р332] приближенное уравнение, которое в модификации [498] имеет вид
(123)
где а, b и с — те же, что и в уравнении (122), а тип—целые положительные числа. Величина k представляет собой эмпирическую константу, зависящую от т и п и равную единице при т —п. В этом случае уравнение (123) приводится к уравнению (122).
X. Экштейн [131] недавно рассмотрел теоретически колебания сдвига, а также другие формы колебаний в кристаллических пластинках конечных размеров и сравнил свои вычисления с экспериментальными результатами Мэзона и других.
Колебания кристалЛоё
115
§ 72. Сравнение скоростей распространения колебаний различных типов. Это сравнение имеет отношение к определению размеров резонаторов. Рассматриваемые скорости обозначаются через сг в тонком стержне и через сс и cs (сжатие и сдвиг) в пластинке большой площади. Отношения сс/сг и cs[cr неодинаковы для всех материалов, даже для изотропных, но зависят от связей между упругими константами.
Для изотропных тел, пренебрегая затуханием, скорости, приведенные з § 56 и 66, можно выразить посредством уравнений в § 24 и 31 в виде
/К 1 _ а Г У 1
р (1 + а) (1 - 2а) 5 Cs~y Р 2(1 +а)’’ (124)
Таким образом, отношения скоростей можно выразить в виде функции коэфициен-та Пуассона а. Следует заметить, что эта величина не влияет на сг, так как прини
мается, что стержень очень тонок. Ф. Ауэрбах ([603], стр. 289) рассчитал эти отношения для различных значений ; результаты показаны графически на фиг. 23. Ниже следуют главнейшие выводы.
1. Чем меньше значение а, тем больше скорость волн сжатия в пластинке приближается к скорости в тонком стержне. С возрастанием а скорость сс увеличивается. Это можно объяснить тем, что в пластинке боковые расширения и сокращения запрещены, вследствие чего действующая упругая константа возрастает.
2. С приближением ® к нулю cs стремится к сгУГ ; с возрастанием а скорость cs до некоторой степени уменьшается.
3. Скорость Сс имеет значение, приближающееся к cs > 2 при стремлении а к нулю, а отношение cc.cs быстро возрастает с увеличением а.
Качественно подобных же зависимо-
б
Фиг. 23- Зависимость отношений скоростей волн сжатия и сдвига от коэфициента Пуассона.
стей можно ожидать и в кристаллах. Выра-
зить скорость распространения колебаний в кристаллах количественно через коэфициент Пуассона оказалось невозможным, так как в общем случае скорость зависит от направления и введение ее в уравнения представляет большие трудности. В немногих специальных случаях, как, например, для кварцевых брусков или цилиндров, параллельных оси Z, величине а можно приписать одно значение. Такие «квази-изотропные» условия колебаний рассматриваются в § 382 и 400. Об отношении коэфициента Пуассона к связи между различными формами колебаний упоминается в § 349, 357 и в
других местах.
§ 73. Колебания изгиба. Подобно тому как продольные колебания стержней и продольные или поперечные колебания, распространяющиеся по толщине тонких пластинок, можно исследовать в виде систем стационарных волн с характеристическими скоростями, точно так же к вопросу о колебаниях изгиба можно подходить, рассматривая сначала скорость распространения волн изгиба. Противоположно типам волн, разбиравшимся выше, скорости чистых волн изгиба пропорциональны квадратным корням частот (см. ниже уравнение (126)], пока толщина пластинки мала по сравнению с длиной волны. Как показал Дорфлер [124], с увеличением частоты происходит постепенный переход от чистых волн изгиба к поперечным волнам постоянной скорости. Чистые волны изгиба до некоторой степени аналогичны ряби на свободной поверхности жидкости.
Простейшее уравнение скорости волны изгиба в неопределенно длинном твердом изотропном бруске ширины Ь, причем колебание 8*
116
Глава V
распространяется в направлении толщины е (фиг. 24), имеет вид
где X— длина волны, У — модуль Юнга, р— плотность, k — волновая постоянная (/с = 2 тг/'Х) и г —е ( 2/з ) — радиус вращения поперечного сечения be относительно оси, проходящей через его центр нормально к плоскости изгиба (фиг. 24). Это уравнение не учитывает инерции вращения или сжатия. Однако оно достаточно точно, пока t С X и было использовано• Дорфлером [124] при опытах с кварцевыми брусками. Выражая в уравнении (125) длину волны через частоту по формуле c = f b, получаем:
е
Фиг. 24. К олебание изгиба бруска .глины I и толщины е с тремя узлами. Первый обертон (п = 2). Плоскость чертежа является „плоскостью изгиба".
В предыдущих уравнениях, а также во всех следующих выражениях для колебаний изгиба ширина b не появляется, так как ее влияние ничтожно.
Лэмб [635] предложил до некоторой степени более точное выражение, включающее влияние инерции вращения:
(127)
Другие уравнения для скорости приводятся у Гейгера и Шееля [621].
Переходя к колебаниям изгиба в брусках конечной длины, мы прежде всего сталкиваемся с очень большими эффектами на концах, вследствие чего нельзя принимать, что длина пластинки, хотя бы приблизительно, равна целому числу полуволн, за исключением колебаний изгиба высокого порядка. Здесь рассматриваются только колебания брусков, свободных у обоих концов. Обычно пользуются выражением
m-r f Y
2^1/ . ’
(128)
в котором / — длина бруска, т—коэфициент, зависящий от порядка п формы колебания. Для относительно тонких брусков т приблизительно равно (2/? -ф- 1) к /2, где п — любое положительное целое число. Количество узлов равно п-\- 1, как показано на фиг. 24 для п = 2. Основная форма /г=1 показана на фиг. 47 (§ 179).
Значения т для первых трех видов колебаний в тонких стержнях, теоретические расстояния d первых узлов от концов бруска, выражен-.ные в частях I, и относительные частоты представлены в следующей табличке:
Частота колебания п т d
Основная 1 4,75 0,2242 1
Первый обертон . . 2 7,85 0,1321 2,756
Второй обертон . . . 3 11,00 0,0944 5,404
Колебания кристаллов
117
Дорфлер [124] зарегистрировал колебания изгиба в кварцевых пластинках до п = 32.
Малость отношения е : I не является необходимым условием существования колебаний изгиба. Они наблюдались при е одного порядка величины с I. Более полная теория, учитывающая инерцию вращения и сжатия, была разработана Мэзоном [333], который дал уравнения и кривые (фиг. 25). По последним можно точно определить коэфициент m для любого отношения е к I вплоть до 1 и подставить его в формулу (128). Специальные свойства кристаллов входят в рассмотрение только через коэфициент Пуассона. Мэзон показал, что с приближением е к I частота колебаний изгиба постепенно переходит в частоту колебаний сжатия.
Томсон предложил еще одну формулировку теории изотропных материалов. В ней он упростил и расширил выражения Мэзона, а также дал кривые, облегчающие вычисления.
Фиг. 25. Кривые для расчета частот изгиба брусков по Мэзону. По оси абсцисс отложено отношение толщины к длине e,il. Верхняя кривая (шкала ординат слева) дает ш при п = 1; нижняя кривая (шкала справа) дает ш при п = 2.
§ 74. Колебания кручения. Помимо стержней с малым поперечным сечением, колебания кручения встречаются также во многих формах резонаторов. Подобно колебаниям изгиба, они часто наблюдаются в опытах с колеблющимися пластинками, усложняя явление и затрудняя экспериментатора. Благодаря наличию поперечных констант, связывающих растяжения и сдвиги, возможно появление связи между колебаниями изгиба и кручения. В следующих ниже уравнениях влияния связи не учитываются, равно как и эффекты искривления поперечных плоскостей, являющиеся эффектами второго порядка.
При исследовании колебаний кручения эффекты на концах менее выражены, чем при колебаниях изгиба, и частоту можно с достаточной точностью выражать просто через скорость волны и длину образца, причем форма последнего считается цилиндрической или призматической. Вообще, теорию продольных колебаний в стержнях можно непосредственно применять к колебания'м кручения.
Обозначая динамическую упругую константу кручения [соответствующую q в уравнении (58)] через N, мы находим для скорости волны кручения:
где — статический упругий коэфициент кручения, определение которого дано в § 35, /1 — момент инерции вокруг оси кручения на единицу
О W, Т. Thomson, Journ, Acoust. Soc. Amer. 11, 198—204 (1939),
118
Глава V
длины резонатора. В случае кругового цилиндра радиуса г имеет место /1=крг4/2; для прямоугольного бруска ширины b и толщины е можно найти, что /i = pbe(№ -{- е* 2)/12. В случае кругового цилиндра, сплошного или полого, N = i/Th (§ 35).
Для цилиндра или призмы длины I основная частота Д = с/2/. Отношения частот обертонов к основной частоте близки к гармоническим, пока поперечные размеры не слишком велики [162]. Отсюда для гармоники порядка h
Т г"/У (л = 1,2,3, ... р (130)
Два выражения статического упругого коэфициента крученияNS—QH можно получить из уравнений (11) и (12) для специальных случаев, представляемых этими уравнениями. Разбор более общего случая — любой ориентации оси кручения — читатель может найти у Фогта Д
В случае брусков прямоугольного сечения общее выражение для статического упругого коэфициента кручения имеет вид:
Ns==^^ , (131)
где А является функцией е/b, как определено в § 35, а п представляет собой эффективный коэфициент, по смыслу обратный упругому модулою кручения. Для изотропного тела величина п представляет собой обычный модуль сдвига. Для кристаллов она является функцией некоторых основных упругих коэфициентов.
Формула для частоты колебаний кручения в случае прямоугольного бруска с л!юбыми е и I выводится из уравнений (130) и (131):
f=T^=-J'L . (132)
1-уАЬ2 -р в- |/ р
С приближением, достаточным для установления формы колебаний кручения, величину п можно принимать обратной величине \ (s'44-]-s/'55), причем преобразованные упругие модули относятся к преобразованным осям и длина / лежит в направлении Z'. Например, если длина образца параллельна Z, то п равняется 2/(s44 -{- s55); когда длина параллельна X, ТО П — 2/(^55 5бб)-
О других формах колебания см. § 359, 360 и 379.
ЛИТЕРАТУРА2)
Общая теория колебаний: № 35, 39, 40, 123, 131, 356, 603, 604, 611, 621, 635, 636, 637, 645.
Колебания брусков по длине: № 21, 35, 40, 41, 42, 92, 405.
Колебания по толщине: № 12, 13, 30, 34, 35, 39, 40, 41, 270, 311, 313, 335.
Колебания изгиба: № 175, 176, 255, 290, 333, 405, 409, 410, 518, 589.
Крутильные колебания: № 78, 162.
Дальнейшие литературные ссылки, куда входят другие формы колебаний и применения к отдельным кристаллам, приведены bi конце гл. XVII.
О «Физика кристаллов», стр. 641 и дальше.
2) Цифрами указаны ссылки на общую библиографию.
ГЛАВА VI
УПРУГИЕ КОЭФИЦИЕНТЫ КРИСТАЛЛОВ
В этой главе рассматриваются экспериментальные данные, относящиеся к упругим коэфициентам кристаллов в соответствии с группами симметрии явлений упругости. Некоторые вопросы, имеющие отношение к упругости, так тесно связаны с пьезоэлектрическими свойствами, что их пришлось перенести в дальнейшие главы.
Все же и в настоящей главе невозможно было целиком избежать ссылок на влияние пьезоэлектрических воздействий на наблюдаемые упругие коэфициенты. Для более полного понимания этих обратных воздействий следует обращаться к гл. XII.
§ 75. Измерение упругих коэфициентов. Для измерения упругих ко эфициентов твердых тел можно, вообще говоря, пользоваться тремя методами:
I. Наблюдением статических деформаций различно ориентированных образцов, пользуясь механической или оптической техникой или их комбинацией. Детали можно найти в оригинальных статьях. Результаты, полученные с помощью уравнений преобразования, дают изотермические значения упругих констант в отсутствии пьезоэлектрического эффекта, если он вообще возможен. Есть основание предполагать, что иногда, особенно в случае сегнетовой соли, предосторожности, принимавшиеся для обеспечения последнего условия, были недостаточны. Внося поправки, отмеченные в § 37, по изотермическим значениям можно рассчитать адиабатические.
II. Наблюдением частоты, размеров и плотности резонаторов, изготовленных из испытуемого материала или содержащих его. Обычно частоты так высоки, что условия для измерения упругих констант являются по существу адиабатическими. Следует устранять или учитывать связь между различными формами колебаний. В случае пьезоэлектрических резонаторов электрическое состояние (зависимость упругих коэфициентов от пьезоэлектрической реакции) зависит от воздушного зазора, как указано в § 235 и 248, а также от относительных размеров и ориентации образца. Влияние зазора на пьезоэлектрические реакции всегда приводит к увеличению эффективной упругой константы. Поэтому следует ожидать, что динамические значения упругих констант $, не исправленные на такие реакции, не могут превосходить статических значений, а динамические значения с не могут быть меньше статических значений.
III. Наблюдением оптических эффектов ультразвуковых волн, как описано в гл. XXX. Несмотря на косвенность и сложность этого метода, он, повидимому, может дать результаты, по точности сравнимые с предыдущими. Полученные до сих пор данные по пьезоэлектрическим кри-сталлдм здесь не приводятся вследствие их недостаточной точности.
Ме1тод I, метод статический, дает прежде всего константы shk, так как они встречаются в уравнениях, связывающих одну компоненту
120
______fc.
Глава VI
напряжения с производимой деформацией. Пользуясь ими, вычисляют константы shk как указано в § 26. При пользовании методом II, величина, получаемая из наблюдений, является упругим модулем или константой. Можно определить как коэфициенты chk, так и коэфициенты shk в зависимости от формы резонатора. Методы II и III называются колебательными или динамическими методами.
Учитывая ошибки наблюдения, недостатки методов измерений, невозможность приготовить образцы с совершенно точной ориентацией, возможные дефекты образцов и индивидуальные особенности образцов кристаллов, следует считать, по крайней мере в большинстве случаев, третью значащую цифру до некоторой степени неточной. В следующих параграфах, там, где нужно обратить внимание на разницу между изотермическими и адиабатическими значениями, дается более трех значащих'цифр. При отсутствии особых оговорок всегда подразумевается комнатная Температура.
§ 76. Предваряя рассуждения, приводимые в § 199, следует сказать несколько слов об «электрическом состоянии» кристаллов. Это последнее в большей или меньшей степени следует учитывать при выражении упругих коэфициентов всех пьезоэлектрических кристаллов. Тогда как у большинства кристаллов, например, у кварца и турмалина, влияние электрического состояния на упругие коэфициенты является эффектом второго порядка, который нужно учитывать только в точных работах, оно становится эффектом первого порядка при аномально высоких пьезоэлектрических реакциях, например, в случае сегнетовой соли. Поэтому следующие ниже предосторожности становятся менее необходимыми при уменьшении величины пьезоэлектрических коэфициентов.
Упругим коэфициентам можно приписывать определенное физическое значение в случаях, когда:
1. При наложении напряжения электрическое поле поддерживается постоянным. При статических наблюдениях это условие обычно выполняется в достаточной мере, если выждать некоторое время, пока нейтрализуются заряды поверхностей поляризации пьезоэлектрического происхождения. В случае сегнетовой соли большие величины пьезоэлектрического эффекта и времени релаксации иногда требуют многих мйнут для нейтрализации всех зарядов и достижения устойчивого состояния деформации после наложения напряжения. Это время можно сократить, покрывая весь образец проводящей оболочкой, настолько тонкой, что ее собственная упругость ничтожна.
Во время динамических измерений поле можно рассматривать как виртуально постоянное, когда электроды, возбуждающие резонатор, непосредственно прилегают к поверхностям кристалла.
2. При наложении механического напряжения электрическая индукция D (смещение) поддерживается постоянной (см. § 199).
Что)бы индукция не менялась, электрическое поле в кристалле должно иметь определенную напряженность и направление. В случае тонких брусков и пластинок поле параллельно толщине; если поляризация имеет то же направление и по соседству нет проводников, то индукция остается практически равной нулю. При этих условиях коэфициент упругости при постоянной индукции можно измерить как статически, так и динамически. Если поляризация не параллельна нулю, постоянным остается только параллельная полю компонента индукции. В этом случае наблюдаемый упругий коэфициент представляет собой
Упругие коэфициенты кристаллов
121
f*hk или c'hk, выражаемые уравнением (273) или (272). По этим величинам можно вычислить значения упругих коэфициентов при постоянных поле, потенциале и индукции. Ход расчета в случае колебаний по толщине описывается в § 252. В общем случае, когда поляризация не параллельна полю, поддержание полного постоянства индукции путем компенсации ее полем является делом чрезвычайно трудным.
3. При наложении механического напряжения электрическая поляризация поддерживается постоянной. Упругие коэфициенты при постоянной поляризации применяются согласно теории поляризации, излагаемой в гл. XI. Они важны практически главным образом при рассмотрении сегнетоэлектриков. Как указывается в § 200 и 211, численные значения их согласуются со значениями при постоянной индукции в пределах обычной точности измерений.
При оценке точности, с которой нужно ориентировать образец, чтобы получить желаемую точность измерения упругих коэфициентов, следует учитывать, что измерение величины любого коэфициента в зависимости от угла среза может сильно зависеть от оси, вокруг которой происходит вращение. Для кварца эти измерения иллюстрируются фиг. 31—36 и 38. При измерениях модуля Юнга кварцевого бруск'а параллельно оси Y ошибка, вызываемая неправильной ориентацией длины бруска в плоскости YZ, много больше, чем ошибка, происходящая от неправильной ориентации в плоскости XZ при измерении модуля параллельно оси X. Более полно этот вопрос разбирается у Гибе и Шейбе [171] .С помощью преобразований, рассмотренных в гл. IV, можно рассчитать любые повороты любых кристаллов.
Различные специальные случаи эффектов, вызываемых связью между различными формами колебаний, рассматриваются ниже.
Вообще модули shk выражаются в квадратных сантиметрах на дину, а константы c/lk в динах на квадратный сантиметр. При переводе всех статических измерений в единицы CGS не имеет заметного значения, берем ли мы g равным 980 или 981 см/сек2. Как правило, принимаемая величина равна 981.
Из всех пьезоэлектрических кристаллов полные данные для упругих коэфициентов имеются только для сегнетовой соли, виннокислого натрия-аммония, кварца, турмалина и хлората натрия.
Без специальных оговорок все цифровые данные в этой главе приводятся для постоянного поля.
Группа Ш, ромбическая
Как можно видеть из таблицы в § 29, эта группа имеет девять из 21 основных упругих коэфициентов, причем все они независимы друг от друга. Правила для осей в классе 6, к которому принадлежат рассматриваемые здесь кристаллы, даны в § 5. В противоположность кварцу кристаллы группы III имеют качественно сходные упругие свойства относительно всех трех кристаллографических осей. Эта симметрия проявляется уже в расположении коэфициентов в таблице § 29. Уравнения для преобразованных осей приведены в § 44 и 45.
§ 77. Сегнетова соль (класс 6, симметрия V). В случае сегнетовой соли учет электрического состояния кристалла при упругих измерениях особенно важен. В этом случае необходимо принимать все предосторожности, отмеченные в § 76, 1во всех измерениях, включающих S55, sS8 и
122
Глава VI
особенно s.i4, так как эти величины входят в выражения пьезоэлектрических деформаций. Упругим модулем, связанным с пьезоэлектрическим коэфициентом dl4 и диэлектрической постоянной vji в описании многократно обсуждавшихся аномалий, является s44 или обратная ей величина с44. Наблюдаемые значения этих двух величин при постоянном поле зависят в значительной м»ере от температуры и электрического поля (§ 466 и 474).
Первые измерения всех девяти констант были выполнены Манделем [326] статическим методом, в котором наблюдался изгиб или кручение брусков различной ориентации. Постоянные вычислялись из соответствующих уравнений преобразования, подобных приведенным в § 44. К сожалению, не сообщается данных о температуре (за исключением того, что она была постоянной) и степени устранения нарушающих эффектов электрических полей, вызываемых наложением напряжений. Можно только предполагать, что эти очень тщательные наблюдения производились при комнатной температуре, на несколько градусов ниже верхней точки Кюри, и что пьезоэлектрические поверхностные заряды могли нейтрализоваться путем утечки. Мюллер [378] выразил сомнение по этому поводу. Результаты Манделя вместе с выводимыми из них адиабатическими значениями приведены в табл. 4 (стр. 124).
Значительно позднее статические измерения упругих модулей производил Гинц [229]. Последний с помощью компрессионного прибора с оптическим отсчетом наблюдал укорочение стержней при комнатной температуре в результате давления с концов, создававшего напряжение 30 кг/см2. Стержни выпиливались параллельно осям кристалла и в направлениях биссектрис углов между осями. Принимались меры к устранению возмущающих полей пьезоэлектрического происхождения. Поэтому значения Гинца можно рассматривать как полученные при постоянном поле. Теория метода дана в оригинальной статье. Гинц оценивает точность наблюдений в ±2,5%.
Дэвис [120] вывел уравнения для модуля Юнга в брусках при колебаниях по длине, расположенной в плоскости YZ под углом в 45° к осям К и Z, причем приложенное переменное поле параллельно X а также для случая брусков, подобным же образом ориентированных по отношению к плоскостям ZX и XY, при полях, соответственно параллельных Y и Z. Мы обозначим эти бруски символами X 45°, Y 45° и Z 45°, а соответствующие значения модуля Юнга — символами Y (х 45), У(у45), У(^45). Формулы для них представлены соотношением (45).
К сожалению, в опытах Дэвиса металлические электроды имели только легкий контакт с кристаллами, вследствие чего действующий зазор не был равен нулю (§ 214). Поэтому следует думать, что его значения У лежат между значениями при постоянной индукции и значениями при постоянном поле и вероятно ближе к последним. В его окончательных результатах учтены адиабатические условия и боковая инерция (§ 65). Эти значения при 15° включены в табл. 6 (§ 80).
Маттиа [355] измерил частот'ы большого числа стержней У45°, причем частоты были исправлены на боковую инерцию, но • не указана природа электродов. Из его данных, предположительно при комнатной температуре, получается значение модуля Юнга в плоскости ZX под углом 45° к оси Z, равное 10,4 - 1010 дин/см2 (см. табл. 6). Его кривые показывают зависимость частоты от отношения b : I, а также от ориентации бруска в плоскости ZX.
Наиболее надежные динамические измерения упругих констант сегнетовой соли, давшие все девять постоянных, были сделаны Мэзоном [335]. Его данные получены из наблюдений при 30° пьезоэлектрически возбуждаемых резонансных частот продольных колебаний сжатия в стержнях и колебаний по толщине в пластинках, по форме принадлежащих к колебаниям сдвига. В первой серии наблюдений длины стержней лежали в трех главных плоскостях под углами 22,'5°, 45°, 67,5° к осям, причем поле в каждом случае было нормально к главной плоскости; эти измерения дали sn, S22, S33 и три связи между остальными шестью константами. Из измерений колебаний по толщине (§ 83) были выведены s44== l;/c44s s55=l/c5S и «66=1/^66; таким образом были определены все девять констант s и все девять констант с. Все они представляют значения при «постоянном заряде» (§. 190), так как зазор был широким.
Ниже даны формулы для упругих коэфициентов q т в опытах с колебаниями по толщине, выведенные с помощью теории, приведенной в § 67. Для каждого из применявшихся косых срезов некоторые из модулей Г обращаются в нуль, откуда можно показать, что возбуждаемое пьезоэлектрически колебание имеет направление колебания в плоскости пластинки. Электрическое поле было во всех случаях нормальным к пластинке. В случае Пластинки, одно ребро которой параллельно X, причем нормаль к ее поверхности составляет с осью Y угол 9 мы будем, обозначать упругий коэфи-
Упругие коэфициенты кристаллов 123
циент через qx§ ; когда ребро параллельно Y, а нормаль составляет угол 0 с осью Х> э$от коэфициент будет qyf), а при ребре, параллельном Z, и угле 6 между нормалью и осью X он обозначается через qA. Тогда формулы, выведенные Мэзоном, примут вид:
Яхй = £*вб COS20 -рС %-, sin2(T -c'',’6G прИ вращении вокруг А;
Qyb =^*44 sin20 4"с"’вб COS26=f/*66 при вращении вокруг У; (133)
=£*55 COS26-f-£*44 sin20 = c'*55 при вращении вокруг Z;
Значения 6 составляли 22,5°, 45° и 67,5°. Из наблюдений частоты значения определяют с помощью уравнения (120), полагая /г=1.
Звездочки в формулах (133) указывают значения при бесконечном зазоре согласно § 207. Решая уравнения (133) относительно с44 с 5g и с 66 Мэзон принял, что эти величины имеют одинаковые значения при каждом значении 6, а также при повороте вокруг каждой оси. Мы покажем в § 207, что это предположение не является строго правильным. Однако поскольку зависимость этих величин от ориентации не известна, значения Мэзона при постоянном заряде, обозначенные «константа з », включены без исправления в табл. 4; при расчете значений табл. 5 они не были использованы.
Два года спустя после появления статьи Мэзона Атанасов и Харт [12] показали, что точные значения упругих констант кварца, а поэтому 1предположительно и других кристаллов, из наблюдений колебаний по толщине можно получить, только применяя высокие гармонические частоты (§ 250). В случае сегнетовой соли Мэзон наблюдал только основную частоту, и невозможно сказать, насколько отличались бы от значений Мэзона величины c4i, с55, с66 при выводе их из частот колебаний высоких обертонов. Это обстоятельство рассматривается в § 79.
§ 78. Упругие модули и константы, найденные с помощью указанных выше методов Манделем, Гинцем и Мэзоном, сведены в табл. 4. Изотермические значения Манделя и Гинца взяты из их статьи. Пользуясь ими, автор (рассчитал адиабатические значения (при комнатной температуре) из уравнения (17), взяв данные из §§ 407 и 409. Значения, полученные Манделем „иТинцем, можно приближенно относить к полю, равному нулю.
Первой важной чертой этой таблицы является «мягкость» сегнетовой соли по сравнению с кварцем (табл. 9). Затем мы отметим, что величина важной постоянной «44 не выделяется ни очень большими, ни очень малыми значениями (см. § 474).
Вследствие особой природы сегнетовой соли нельзя произвести полного сравнения значений, не зная в каждом случае возраста и прежних условий службы кристаллов. На результаты могла также повлиять неправильная ориентация и, особенно в измерениях Манделя, упомянутые выше источники ошибок.
Статические упругие модули Гинца лучше сходятся с динамическими значениями Мэзона, чем со статическими значениями Манделя. Этот факт нельзя объяснить разностью температур, так как Гинц и Мандель работали при почти одинаковой температуре, на несколько градусов ниже точки Кюри, тогда как Мэзон работал при 30° С, т. е. на несколько градусов 'выше этой точки. Все имеющиеся опубликованные данные показывают, что все упругие модули, за исключением sl4, уменьшаются приблизительно на 0,2% при повышении температуры на один градус в интервале между 0 и 40° С ^относительно s44 см. § 86). Таким образом удается объяснить около' половины расхождения. между значениями Манделя и Мэзона. С другой стороны, можно ожидать, что статические значения упругих модулей будут больше динамических вследствие существования у кристалла большей возможности релаксации (§ 428). Наименьшими ив всех должны быть динамические значения при постоянном электрическом заряде (в данном случае значения Мэзона).
124
Глава VI
Таких относительно низких значений упругого модуля следует особенно ожидать для s44; и действительно, значение Мэзона значительно меньше, чем значение Гинца. Почему Мандель нашел еще меньшее значение s4}, остается непонятным.
Следует заметить, что значение s23 по Манделю не сходится даже по знаку с другими значениями. Этот факт, возможно, связан с его малым значением s44, так как обе эти постоянные входят вместе в уравнения, из которых получаются окончательные значения.
Принимая все это во внимание, автор склонен предпочесть данные Гинца данным Манделя, отчасти благодаря его большему вниманию к устранению искажающих электрических полей, а отчасти вследствие лучшего согласия с результатами Мэзона.
§ 79. Наилучшие значения упругих коэфициентов сегнетовой соли. Все коэфициенты, за исключением s44, s55 и s66, мало изменяются как в зависимости от температуры, так, вероятно, и от напряжения. В них также не приходится вводить пьезоэлектрических поправок; поэтому нет необходимости делать различия между их значениями при постоянном поле, поляризации и смещении. В § 211 будет показано, что значения s44, S55 и s66 при постоянной нормальной индукции (практически одинаковые с величинами shkp при постоянной поляризации) меньше зависят от температуры, чем значения при постоянном , поле. Поэтому они и приводятся ниже.
Для Sn, s22 и s23 автор принимает среднее из адиабатических значений по Гинцу и по Мэзону из табл. 4.
Таблица 4
УПРУГИЕ КОЭФИПИЕНТЫ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
модули у—в см2- дин—1 - 1012, константы с- в дин - см—2 - 10 ~10
Статические Динамические
по Манделю, при комнатной температуре и постоянном поле по Гинцу, при комнатной температуре и постоянном поле по Мэзону, при ЗЭ°С и постоян- ном СТ
наблюдаемые изотермические вычисленные адиабатические наблюдаемые изотермические вычисленные адиабатические наблюдаемые адиабатические
<$п 4,69 4,65 5.23 5,19 5,18
<$22 3,20 3,18 3,43 3,41 3,49
<$33 2,82 2,80 3,24 3,22 3,34
<$44 6,09 6,09 9,63 9,63 7,98
$55 30,6 30,6 33,7 33,7 32,8
*$66 8,02 8.02 11,8 11,8 10,1
<$12 —0,80 -0,82 —2,18 —2,20 — 1,53
$13 —2,18 —2,21 —1,69 -1,72 —2,11
$23 + 1,68 + 1,66 —1,34 -1,36 -1,03
34,7 — 42,5
^22 47,3 — — 51,5
С33 80,6 — —. 62,9
С44 16,4 — — 12,5-
с56 3.24 -— — 3,04
12,4 — —- — 9,96
^12 —8,04 —- — —. +29,6
^13 +31,6 — — — +35,7
С23 -34,4 — — —’ +34,2
Упругие к.озфици.ен'Гы кристаллов
125
Мэзон вывел свои s*44, s*55 и s*66 из колебаний по толщине и оттуда же получил S23, $31 и s12, определив экспериментально упругие модули (2$гз Н~ s*44) = 5,93 • 10—12, (2s31 +s*55) = 28,6- IQ—12, (2s12+
+ £*бб) = 7,02 • 10—12. Эти три численных значения получаются из измерений частоты колебаний по длине брусков в различных плоскостях и ориентациях, как указано в § 77. Упругие модули брусков представлены величиной s'22 из формул (39) для поворота вокруг X и аналогичными выражениями для поворота вокруг двух других осей. Так как по причине, приведенной в § 77 и 207, в значения с*44, с*55 и с*6б, полученные Мэзо-ном, из наблюдений колебаний по толщине нужно вводить неизвестную поправку, то его значения величин s23, $31 и $i2 принять нельзя. Вместо этого мы следуем процедуре Мюллера ([378], снарки 25 и 26) и принимаем значения s23, s31 и s12 по Гинцу. Затем по значениям (2$23 + $*44) И Т. Д., ПО Мэзону, ВЫЧИСЛЯЮТСЯ модули S44, S55 И S65 все при 30°С. Величины, им обратные, дают с44, С55 и Сбб. Эти значения со звездочками действительны только соответственно для срезов X, Y и Z. По причине, приведенной в § 207, ими нельзя надежно пользоваться в уравнениях, относящихся к другим ориентациям.
Таким образом, мы приходим к следующим значениям при комнатной температуре (табл. 5).
Таблица 5
УПРУГИЕ КОЭФИЦИЕНТЫ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
10-ю
Sn=5,l(8) $22=3,4(5) 5зз=3,2(8) s23=-1,3(6) $31 = -1,7(2) s12=—2,2(0)
$44 =8,6(5)
$55 =32(0)
$66 =11(4)
С44 =П(6) С55 =3,1(2) сбб =8(8)
Цифры, заключенные в круглые скобки, недостоверны. Дальнейшие эксперименты могут в некоторых случаях изменить даже предшествующую цифру. Величина при постоянной поляризации важна для теории поляризации. В пределах ошибки эксперимента (см. § 211) мы можем написать:
с44= 11,(6) -1010 дин-см-3 . (134)
Изменение с*44 в зависимости от температуры можно вычислить по данным в табл. 1 Мэзона [338], часть которых приведена в табл. 33 настоящей книги, или по кривым фиг. 28. По значениям частот и пользуясь значениями $22, $зз и s23 из табл. 5, автор находит достаточно равномерное уменьшение с*44 от 12,5- 1010 при 12° С до 11,0- 1010 при 47,5° С. Кривая Ни на фиг. 92 указывает на существование небольшого разрыва в с*44 в верхней точке Кюри.
Значение упругого модуля s44 при постоянном поле и его зависимость от температуры можно вывести из $*44 с помощью уравнения (273). Пользуясь при вычислении значениями dj4 и kK' из фиг. 143 и 144,
126
Глава Vt
получают значение sf4 в согласии с фиг. 144. О значениях sf5 и см. § 141.
Наши сведения об упругих константах сегнетовой соли, даже* при слабых толях, все еще неудовлетворительны. Ощущается потребность в гораздо) большем количестве экспериментальных данных, полученных со многими пластинками и брусками различных ориентаций в сильных и слабых полях и в широком диапазоне температур, включающем обе точки Кюри. Наблюдения должны охватить резонансные и ан-тирезонансные частоты при нулевом зазоре, частоты при бесконечном зазоре, а также диэлектрические постоянные. Должное внимание следует обратить на пьезоэлектрические члены в уравнениях для упругих констант. Наблюдая колебания пластинок по толщине, нужно пользоваться высокими гармониками. Желательно также произвести статические наблюдения упругих и диэлектрических свойств, тех же образцов при тщательно контролируемых условиях.
§ 80. Модуль Юнга брусков различных ориентаций. Данные табл. 6 взяты главным образом из цитированных выше статей. Все значения были получены из резонансных частот продольных колебаний, за исключением данных Гинца, наблюдавшего эти модули непосредственно своим статическим методом, и Манделя, выводившего их из своих основных констант. Дэвис наблюдал при 15° С, Мэзон — при 30° С, Михайлов — между 15 и 19° С и другие — при комнатной, температуре.
Дэвис [120] вычислил ошибки наблюдаемых значений Y, которые вызываются погрешностью в 1° в ориентации брусков, в трех главных плоскостях, под углом 45° к соответствующим осям. Они составляют около 1 % в плоскости XY и около 0,5% в плоскостях YZ и ZX.
TJa блица 6 ВЕЛИЧИНЫ, ОБРАТНЫЕ МОДУЛЮ ЮНГА, ДЛЯ БРУСКОВ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ, ОРИЕНТИРОВАННЫХ ПОД УГЛОМ
В 45° К УКАЗАННЫМ ОСЯМ
(в СМ2-ДИН-1 • 10 —12)
Исследователь Плоскость
yz 1 ZX | XY
Кэди [103] . . . 3,31 10,2 3,97
Дэвис [120] . . . 3,29 11,0 3,97
Хильчер [228] . . 3,19 — —
Гинц [229] .... 3,41 9,70 4,02
Мандель [326] . . 3,84 8,41 3,55
Мэзон [335] . . • 3,16 59,31 3,90
Маттиа [355] . . — 9,64 —
Михайлов [367] . 3,13 10,4 3,66
Хильчер пользовался очень короткими электродами (§ 377), поэтому его значения, подобно данным Мэзона, должны рассматриваться как полученные практически при постоянной индукции. Наилучшими значениями при постоянной индукции являются, вероятно, данные Мэзона, а при постоянном поле — данные Гинца. Динамические измерения Кэди и Дэвиса были выполнены при условиях, близких к постоянному полю, поэтому их результаты согласуются с результатами Гинца, за исключением плоскости ZX, для которой значение Дэвиса выглядит подозрительно большим.
В верхней части фиг. 26 изображены полярные диаграммы величин, обратных модулю Юнга, для всех ориентаций в трех главных плоскостях. Они взяты из статей Манделя [326] и [327] и основываются на его измерениях. Кривые очень показательны, несмотря на поправки, которые можно
Упругие коэфициенты кристаллов
127
было бы внести в значения упругих констант по Манделю. Минимум модуля Юнга приходится приблизительно на направление, ориентированное под углом 42° к оси X, причем' обратная величина равна 8,50 • 10-12.
Диаграммы в нижней части фиг. 26 представляют модуль кручения Т для круговых цилиндров, длины которых лежат в трех главных плоскостях. Значения получены из уравнения (10), после специализации последнего для ромбической группы
Фиг. 26. Упругие коэфициенты сегнетовой соли /? и тартрата натрия-аммония А (§ 88) по Манделю. На верхних диаграммах в качестве радиусов-векторов взяты s'33( величины, обратные модулю Юнга^радиус круга равен 5010-10 см2/г = 5,1 • 10~12 см2/дин. На нижних диаграммах радиусы-ректоры представляют собой модуль кручения 7; радиус круга равен 125-10~10 см2/г = 12,74 см2/дин.
Три упругих коэфициента s, соответствующие трем возможным формам колебаний по толщине в пластинках сегнетовой соли, были вычислены Такаги и Мйяке [501]. Значения представлены в, форме полярных диаграмм для пластинок, нормали к которым перпендикулярны оси Z при различных углах с осями X и У.
§ 81. Прочность сегнетовой соли на раздавливание. Единственные имеющиеся по этому Bonpoqy данные получены во время одного опыта в нашей лаборатории * 2). Срез X 45° размерами 3,6 X 2,5 X 0,6 см с тщательно обработанными концами был поставлен на один конец и сверху было приложено постепенно возрастающее давление. Были приняты меры, чтобы напряжение распределялось по возможности равномерно. При давлении 130 кг/см2 появилась первая продольная трещина. Под давлением 300 кг/см2 пластинка все еще стояла, но распалась на несколько кусков, когда ее вынули из пресса. Повидимому, 100 кг/см2 является еще безопасным напряжением сжатия в направлении биссектрисы угла между осями У и Z.
§ 82. Сжимаемость сегнетовой соли. Проверку относительной приемлемости упругих констант, приведенных в табл. 4, дает вычисление с помощью уравнения (15) линейных сжимаемостей в трех главных направлениях при однородном гидростатическом давлении. Результаты
’) Упрощенное выражение можно найти в «Физике кристаллов», стр. 760, а также в статьях Манделя.
2) Опыт проделан Ричардсоном и Вальцом.
128
Глава VI
этих (расчетов даны в табл. 7. Значения Манделя [326] и Гинца [229] изотермические. Последний столбец содержит начальные сжимаемости, полученные экстраполяцией из наблюдений Бриджмена который перекрыл диапазон от 2000 до 12 000 кг/см2 при температуре 30° С.
Таблица 7
ЛИНЕЙНЫЕ СЖИМАЕМОСТИ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
(в см2-дин—1 1012)
Мандель м Гинц Мэзон Бриджмен
A^Sji 4 SJ2 + SJ3 . . . ^23 ! ^12 • Z:s33 + 43^523 . . . 1,71 4,08 2,32 1,36 —0,09 + 0,21 1,54 + 0,93 + 0,20 1,36 2,76 1,99
Сумма 8,11 1,48 2,67 6,11
Любопытные расхождения в табл. 7 можно в значительной мере приписать разницам в значениях s23, которые, как указано выше, тесно связаны с аномальной «постоянной» s44. В целом, данные по Бриджмену прекрасно согласуются с данными Манделя, хотя значения последнего несколько больше по величине. С другой стороны, данные Бриджмена хорошо согласуются с Мэзоном и особенно в направлении X с Гинцем. В направлении Y данные Гинца предсказывают при однородном давлении небольшое расширение.
Последняя строка таблицы содержит объемные сжимаемости. Значения Гинца и Мэзона кажутся очень низкими. Возникает мысль, не слишком ли велики их значения поперечных постоянных, особенно значения S12 и s23 по ГИнцу.
§ 83. Упругие коэфициенты при колебаниях по толщине. Мэзон [335] дает следующие значения, полученные непосредственно из наблюдаемых частот колебаний сдвига. Последние представляют коэфициенты q, из которых с помощью уравнения (133) были определены его значения с44, С55 и Сббл а затем s44, s55 и s66 в табл. 4. Символ X 22,5 Y означает пластинку, одно ребро которой параллельно X, а нормаль составляет угол 22,5° с осью К; остальные срезы обозначены так же. Все значения выражены в 1010 дин/см2!.
Срез Коэфициент Срез Коэфициент Срез Коэфициент
X 22,5 Y 7,51 Y 22,5 А' 10,18 Z22,5AZ 4,54
X45Y 6,34 У45Х 11,39 Z45X 7,87
X67,5 У 4,06 У67,5Х 11,99
С ними можно сравнить, может быть, менее надежные значения (не указаны электроды и зазор) Михайлова [367]: P45X, 12,3 • 1010; Z 45 X, 6,83- Ш10 дин/см2.
О Р. W. Bridgman. Proc. Amer. Acad. Arts Sci. 64, 68 (1929).
Упругие коэфициенты кристаллов
129
Пользуясь данными Манделя из табл. 4, автор вычислил с помощью уравнения (37) упругие коэфициенты с'ц для различных направлений оси X'. Максимальное значение 80,4 • 1010 получается в направлении Z. Минимальное (27,5 • 1010) соответствует направляющим косинусам а1= 0,707, «2 = 0,612, а3 = 0,354.
Форму поверхности с'ц можно представить себе по фиг. 27. Последняя представляет стереоскопический снимок модели радиусы-векторы которой (расстояния концов шпилек от центра сферы) пропорциональны квадратному корню из с'ц.
Фиг. 27. Стереоскопический вид октанта из алюминия, изображающего "поверхность c'lt для сегнетовой соли. Ось X направлена вперед, ось Y—направо и ось Z—вверх в плоскости рисунка.
§ 84. Изменчивость упругих коэфициентов сегнетовой соли в зависимости от напряжения. Почти единственными являются экспериментальные данные Айсли [243], прилагавшего продольное сжимающее усилие к концу стержня, направление которого делило пополам угол между осями У и Z. Напряжение Y'y (§ 39) достигало 2225 кг/см2 (около 2 • 106 дин/см^). Деформация у'у — — s'22Y'у ; в соответствии с уравнениями (43) упругий модуль s'22 включает в себя s22, s33, s23 и 544-Первые три из этих коэфициентов должны быть по смыслу постоянны
Эта модель построена в лаборатории Скотта из тщательно обработанной алюминиевой отливки и имеет форму октанта, в котором радиально просверлены отверстия с различными широтами и долготами. В отверстия ввинчиваются стальные шпильки с нарезкой так, чтобы расстояние от центра сферы до конца шпильки было пропорционально вычисленному значению рассматриваемого параметра. Прибор, таким образом, является универсальной контурной моделью, способной иллюстрировать любые физические свойства кристалла, насколько это возможно в случае одного октанта.
Симметрия сегнетовой соли такова, что любое упругое свойство можно полностью представить одним октантом; остальные три октанта идентичны первому, а четыре нижних представляют их зеркальные изображения.
При пользовании моделью для иллюстрации какого-либо упругого свойства кварца достаточен интервал по долготе в 30° (азимут вокруг оси Z), а по широте — в 90°.
9 Кгди
гзо
Глава VI
ми; отсюда любое отступление от строгой пропорциональности между yz и Y z следует приписать величине s44, принимающей участие в аномалиях, описываемых в гл. XXIV. Кривые Айсли для температур 20°, 22,5° и 30° обнаруживают легкое уменьшение s'22 с увеличением Y'y, указывающее более резкое уменьшение s44. Хотя интерпретировать его данные трудно, все же его кривые количественно согласуются с теоретическими кривыми фиг. 140.
Значение s44 по Гинцу в табл. 4 подтв1е|р|Ждает взгляд, что эта величина уменьшается при больших напряжениях. Значение, полученное предположительно при поле, равном нулю, равно 9,63 • 10-12, причем напряжение составляло около 30 кг/см* 2. При малых напряжениях, согласно фиг. 144, значение равно около 20 - 10~12 при комнатной температуре. К сожалению, Гинц не отмечает зависимости своих упругих констант от напряжения.
Мандель [326] нашел, что после каждого наблюдения упругих констант бруска сегнетовой соли необходимо выжидать, чтобы последний оправился от усталости, прежде чем снова пользоваться тем же бруском (время не указано).
§ 85. Температурные коэфициенты упругих модулей сегнетовой соли. Поведение s44 при изменении температуры и напряжения особо будет рассмотрено позже V Здесь мы рассмотрим лишь некоторые экспериментальные результаты, относящиеся к s44, вместе с данными об изменении других упругих модулей в зависимости от температуры.
Так как диэлектрические и пьезоэлектрические аномалии сегнетовой соли сопряжены с полями в направлении X и так как s44 является единственным упругим модулем, связанным пьезоэлектрически с Ех, то едва ли можно ожидать аномалий величин s55 и «66 с изменением температуры. Однако существуют убедительные доказательства, что по соседству с точками Кюри S55 и S66 (а отсюда также И и имеют аномальные значения того же порядка, как и s44 при бесконечном зазоре. Результаты различных наблюдателей согласуются слишком хорошо, по крайней мере в порядке величины, чтобы можно было приписать этот эффект ошибочной ориентации употреблявшихся срезов Y и Z.
Вследствие больших значений dl4 и е14 и их зависимости от температуры влияние ширины зазора w на s44 и на ее температурный коэфициент очень значительно^. Для получения однозначных результатов со срезами X зазор должен равняться или нулю (с должными предосторожностями, отмеченными в § 415 и 416), или бесконечности; расстояние в несколько миллиметров между кристаллом и электродами по своему действию обычно эквивалентно бесконечному зазору. При w — 0 величина s44, а отсюда и действующий упругий модуль $'22 брусков Х'45°, обнаруживает очень большую зависимость от частоты. Данные, приводимые ниже, получены для брусков с достаточно большими зазорами w, чтобы считать s44 параметром при постоянной нормальной электрической индукции.
В случае срезов У и Z зазор не так важен, так как пьезоэлектрическая поправка относительно мала и не зависит от температуры. Зависимость от температуры всех упругих модулей, за исключением s44 = === 1/с44, должна быть по существу одинаковой при всяком зазоре.
*) См. особенно § 462 и 474 и фиг. 140 и 144.
2) Формулы влияния зазора на упругие константы или на частоты колебаний выражаются уравнениями (284), (330), (336), (355), (370).
Упругие коэфициенты кристаллов
131
Все имеющиеся данные по температурным коэфициентам получены из наблюдений резонансных частот брусков или пластинок. Самые ранние, неопубликованные результаты были получены лабораторией Скотта между 1928 и 1933 гг. Затем их подтвердили опубликованные работы Дэвиса [120] и Мэзона [335, 338]. Во всех этих работах наблюдались колебания по длине брусков, выпиленных под углом в 45°, и получались значения модуля Юнга вдоль биссектрис углов между осями Y и Z, Z и X, X и Y. Возбуждающие поля были соответственно параллельны X, Y и Z. Все эти срезы дают отрицательные температурные коэфициенты частоты, в большинстве случаев с более высокими значениями ниже верхней точки Кюри6а, чем выше нее. По обе стороны от 6,, связь между частотой / и температурой t является почти линейной. В узкой области вблизи в случае каждого среза существует аномалия, обычно приводящая к излому кривой /(/), с переменой знака температурного коэфициента. Эта аномалия видна на диаграммах Дэвиса, а также на кривой Нм фиг. 92, взятой из статьи Мэзона.
Исследования при низких температурах, произведенные в той же лаборатории в 1929 г. Б. Дулитлем над 45-градусным срезом X, показывают почти постоянное значение температурного коэфициента а = Д f/f At в интервале от —44° до + 15°С, достигающее — 920 • 10Л Это значение удовлетворительно согласуется со значением, вычисленным Мэзоном цо неопубликованным данным, полученным с одинаково ориентированным бруском (при широком зазоре) в интервале от —145° до -г- 48°С: среднее значение для всего интервала равно—980- Ю-^ с очень небольшим возрастанием между точками Кюри. Значения действующего упругого модуля, найденные Мэзоном, равны 2,625 • 10~12 при—145° и 3,225-10—12 при -4- 48° с почти линейной зависимостью между этими точками. С другой стороны, Дулитль наблюдал горизонтальный участок по соседству с нижней точкой Кюри, где величина стала почти постоянной.
Для участков, прилегающих к верхней точке Кюри, можно найти данные у Дэвиса [120], Мэзона (не опубликовано) и Кента 0. Они приведены в табл. 8.
Таблица 8
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОЭФИЦИЕНТЫ ЧАСТОТЫ ДЛЯ <5 ГРАДУСНЫХ СРЕЗОВ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
Автор Срез — af
ниже 6И | выше 6И
Дэвис 957- 10-е 957-10-6
Мэзон 945 918
Среднее . • 950 940
Дэвис У 1500 410
Кэнт У 1330 530
Среднее • . 1400 470
Дэвис > Z 485 485
Кэнт Z 525 468
Среднее 500 475
*) G. Н. Kent, 1933, диссертация, Веслейский университет (не опубликована).
132
Глава VI
Средние значения, вычисленные в круглых числах, вероятно, удовлетворительны в интервалах от 0 до 23°С и от 24 до 40°С. Особенно замечательно то, что срез X имеет ниже 9В более низкий коэфициент, чем срез Y.
Сообщалось о довольно внезапном возрастании частоты, если температура возрастает, проходя через верхнюю точку Кюри. Это изменение, имеющее наименьшую величину у среза X, достигает нескольких десятых процента частоты в температурном интервале около 1°.
Михайлов [366] получил значения того же порядка величины как для продольных колебаний, так и для колебаний сдвига. Его численные значения здесь не приводятся вследствие неясности форм колебаний.
Кроме этих данных, мы находим еще данные у Маттиа [355], который нашел для 45-градусных срезов У значения от — 600 • 10~* при 14°С до — 2300 10—6 при 35°С.
Большинство количественных работ, включая приведенные выше измерения, было выполнено в слабых полях (не выше 10 V/см) и при малых напряжениях. В гл. XXIII и XXIV будет показано, что при этих условиях S44 и б/14 в высшей степени зависят от температуры. Хотя экспериментальные данные и отсутствуют, все же следует ожидать, что при наблюдениях колебаний в срезах при высоких электрических напряжениях, близких к условиям насыщения, температурные коэфициенты частоты будут также уменьшаться. Клейн х) установил отсутствие изменения волновой скорости в 45-градусных срезах X между 15° и 28° С и отсутствие аномалии в точке Кюри. Это наблюдение, совершенно отличающееся от наблюдений других авторов, вероятно, можно объяснить относительно высокими приложенными электрическими напряжениями.
§ 86. Измеряя частоты пластинок и брусков с большим зазором, Мэзон получил следующие значения температурных коэфициентов,
Фиг. 28. Изменение С*44 и с*46 сегнетовой соли в зависимости от температуры (Мэзон). По оси ординат отложены дины-см~2-1010.
исправленные на влияние температуры, на размеры и плотность. Они действительны между 24° и 48° С, причем основное значение упругой константы бралось в каждом случае при 30°. Температурные коэфициенты обозначены здесь через Tsu и т. д. и выражаются, как обычно, в миллионных долях.
7su=1230;
7822=1 330;
7s33= 890;
Ts4i=—1 660;
7sS5= 700;
Ts66 = 1830;
Ts12 = 5240;
Ts 13 = 2710;
Ts28=—10 200
На кривых фиг. 28 представлены экспериментальные значения
<?44—1/^44 и Сбб — 1/5*о , вычисленные по частотам пластинок разных
О Е. Klein, Скорость звука в кристаллах сегнетовой соли, реферат в Phys. Rev. 33, 1095 (1919).
Упругие коэфициенты кристаллов
133
ориентаций. Звездочки обозначают постоянство нормальной компоненты индукции, как объясняется в § 207 и 253. Так как упругие константы при этих условиях изменяются в зависимости от ориентации и не исправлены на пьезоэлектрический член в уравнении (358), их нельзя считать ни константами при постоянном поле, ни константами при постоянной индукции, хотя они ближе к последним. Главное значение кривых в том, что они обнаруживают качественно вероятную зависимость значений при постоянной индукции от температуры.
За исключением с44 и с6б, зависимость упругих коэфициентов от температуры ниже верхней точки Кюри не определялась. Отмеченную выше особенность s'22 в случае среза У 45° с достаточной уверенностью можно приписать аномалии С55 при, . За счет аномалии упругого модуля брусков X 45° и Z 45° можно было бы ожидать изломов кривых фиг. 28 при 6И. Их отсутствие может быть вызвано отсутствием достаточного числа наблюдений вблизи этой температуры.
§ 87. Сегнетова соль на тяжелой воде. Единственными опубликованными материалами являются следующие данные Хольдена и Мэзона [231]. Наблюдая резонансную частоту среза X 45° при широком зазоре, они обнаружили для величины s'v> , обратной модулю Юнга, линейное увеличение с 3,14-10—12 при —12°С до 3,21 • 10—12 в точке Кюри (4-35°С). В этой точке происходит внезапное падение s'22 до 3,19 10—12, за которым следует линейный подъем до 3,26-10-12 при 48° С. Эта зависимость от температуры сходна с соответствующей зависимостью для обыкновенной сегнетовой соли, представленной на фиг. 92, а численные значения примерно на 1 % меньше, чем у обыкновенной соли.
Постоянной S44 приписывается значение 7,98-10—12, одинаковое со значением Мэзона [335] для обыкновенной сегнетовой соли, но температура и метод измерения не сообщаются.
Величина s'ti, обратная модулю Юнга, определялась также из резонансных частот срезов У и Z при 30°С. Для среза получено значение $п =9,93-10—12; для среза Z — значение s'*2 =4,2- 10~12. Эти величи ны сравнимы со значениями для таких же срезов из обыкновенной сегнетовой соли при 30° С по Мэзону [335], которые соответственно равны 9,34 -10~!2 и 3,905-10-12.
§ 88. Тартрат натрия-аммония. Этот кристалл, NaNH4C4H4O6 - 4НзО, является изоморфным с сегнетовой солью, отличаясь от нее тем, что в нем NH4 занимает место калия. Плотность его равна 1,587, отношение осей
а : Ь : с—0,8233 : 1 : 0,4200 .
Упругие свойства исследованы Манделем [327], пользовавшимся тем же статическим методом, что и для сегнетовой соли. В той же статье комментируются Методы выращивания этих кристаллов; этот процесс труднее, чем в случае сегнетовой соли. Кристаллы имеют пьезоэлектрические константы тех же типов, как и сегнетова соль, хотя и меньшей величины.
Пьезоэлектрические явления оказывают в этом случае меньшее влияние на упругие коэфициенты; отсутствует длительное время релаксации и другие аномалии, характерные для сегнетовой соли. Ниже
134
Глава VI
приводятся данные Манделя, выраженные в единицах CGS:
$11 $22 $33 $44 S55 S66 512
5,37 3,84 3,73 8,74 36,0 11,8 -0,87
S13
-3,43
S23
-0,50
io-12
ДИН-1 • CM2
C11 C22 C33 e44 C55 ^66 C12
53,1 34,1 77,8 11,8 2,9 8,8 18,7
^13 C23
51,3 21,6 дин-IO10-cm 2
На фиг. 26 приведены полярные диаграммы Манделя для величин, обратных модулю Юнга, и для модуля кручения в трех главных плоскостях.
В более поздней статье Мандель сообщает результаты опытов с резонансными частотами 45-градусных брусков этого кристалла в трех главных плоскостях. О теории этих опытов и о влиянии поперечного сечения на частоту следует читать в оригинальной статье. Здесь мы приводим только полученные этим динамическим методом адиабатические значения модуля Юнга. В каждом случае направление, в котором измерялся модуль, составляет угол 45° с указанными осями:
YZ, 27,9- 1010; Z.Y, 9.54 -1010; XY, 22,8 • 1010 дин • см~2.
Соответствующие значения, вычисленные из статических измерений, равны:
YZ, 26,2-1010; ZX, 10,45 -1010; XY, 20,6 • 1010 дин • см~2
Группа IV
§ 89. Как показано в § 29, группа имеет девять упругих модулей, как и ромбическая группа III, но в этом случае $ц = s22, s13 = $2з и S44 = s5g, и поэтому число независимых модулей сводится к шести, а именно $ц, S12, $1з, $зз, $44 и $бб. Кристаллографические оси определены в § 5.
Единственным представителем этой группы, о котором опубликованы измерения, является, повидимому, кислый фосфорнокислый калий, КН2РО4. Люди [323] нашел динамическим методом для $ц и $зз следующие значения в квадратных сантиметрах на дину.-
$п 3= 1,9 • 10-12, $33 2,2 • 10-12.
Данных о других модулях не имеется.
Группа VII
Согласно таблице в § 29 эта группа имеет 12 из 21 возможных основных упругих коэфициентов, из которых независимы только шесть. Об осях см. § 5.
§ 90. а-кварц (класс 18, симметрия Z)3). Кристаллография этой обычной модификации кварца, а также принятое соглашение относительно осей и углов для правого и левого кварца изложены в гл. II и XVI.
Так как кварц обладает пьезоэлектрическими свойствами, то механическое напряжение (по крайней мере в некоторых направлениях) в кристалле, незакороченном искусственно, вызывает электрическое поле, котороё в свою очередь влияет на деформацию, а через нее на измеряемую упругость. Это следует учитывать при измерении упругих коэфици-
Упругие коэфициенты кристаллов
135
ентов колебательными методами, как указано ниже. При статических измерениях обычно можно считать, что проходит достаточно времени, чтобы поверхностные утечки нейтрализовали электрическое поле, и статические наблюдения постоянных дают значения при постоянном поле.
В табл. 9 первый столбец взят из статических (изотермических)
Таблица 9
УПРУГИЕ КОЭФЙЦИЕНТЫ КВАРЦА
(модули S в дин—1 см2 * *, константы с един см-2)
| Фогт Атанасов и Харт Мэзон, 1942
изотермические адиабатические адиабатические при 35°С адиабатические при 25°С
। z“*s * * * * 1 v-4 Со II 1 о, .о ~ f £ СО 1 04 II II II II II 1 Т-1 со ти ОА СО о т-t СО -Ф т-< Со СС Со Со Со Со Со 1,298-10~12 0 990 2 005 —0,166 —0,152 -0,431 2,93 1,295-10~12 0.989 2,С05 —0.169 —0,154 —0,431 2,93 1,279-10~12 0,956 1,978 —0,1535 -0,110 —0,446 2,865
^11 — ^22 f33 ^44 ~ ^55 £12 £1з = £23 £14 — —£24==£56 £ц £>2 С(56== 2 85,1 • Ю’° 105,4 57,1 6,96 14,1 16,9 39,1 85,4- Ю10 * 105,6 57,1 7,26 14,4 16,9 39,1 86 75-1О10 105 8 57,86 6,87 11,3 17,96 86,05-Ю10 107,1 ’ 58 65 5 05 10,45 18,25 40.5
наблюдений Фогта Второй столбец дает вычисленные из них, согласно § 37, адиабатические значения при 0°С; те же значения имеют место при всех обычных температурах. Третий столбец заимствован у Атанасова и Харта [12] с поправками Лоусона [312]. Значения Мэзона [340] в последнем столбце также получены из резонансных колебаний, продольных и по толщине2). .... .....
О «Физика кристаллов», стр. 752, 753.
2) Атанасов и Харт производили наблюдения при высоких обертонных частотах,-о чем см. § 250. Они пользовались обертонами до 87-й гармоники. Кварцевые пластинки были тщательно исследованы на двойникование и ориентированы с помощью
рентгеновских лучей. Пластинки включали срезы X, Y (с которыми указанные авторы
наблюдали все три теоретически возможные формы колебаний по. толщине), а также
срез R (? = 30°, 6 ь= — 51°47') и срез с Т — 0° и 0 = 45°. Иногда поле было
параллельно главным граням пластинки. Влияние воздушного зазора устранялось
наблюдениями на высоких гармониках. Оригинальные результаты дали упругие
константы при нормальной индукции. Пользуясь формулой, сходной’ с уравнением
(272а) §-207, Лоусон преобразовал их в соответствующие значения при постоянном поле, приведенные в табл. 9. О теории колебаний по толщине и о деталях опытов
следует читать в статье Атанасова и Харта.
При определении упругих констант кварц и, в частности, констант Щь сьв' я
Сбб, приведенных в табл. 9, Мэзон пользовался срезами АТ, ВТ и Y. Применялась форма основных колебаний по толщине с нулевым воздушным зазором без поправок на пьезоэлектрические члены уравнения (356) § 250. Эти данные содержатся в табл. 9. Если их привести к значениям при постоянном поле, они уменьшаются на
136
Глава VI
Насколько систематические ошибки, а также ошибки наблюдения и особенности образцов влияют на значения, приведенные в предыдущей таблице, установить не представляется возможным. Цифры взяты из оригинальных источников. Так как расхождения между результатами различных исследователей достигают одного процента, ясно, что последнюю значащую цифру можно не принимать во внимание. То же можно сказать о табл. 10. Здесь расхождения относительно велики, чего и
Таблица 10
ДИНАМИЧЕСКИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОЭФИЦИЕНТЫ УПРУГИХ КОЭФИЦИЕНТОВ КВАРЦА
1 d$hk 1 ^chk
Ct= ---, или —-------
$hk dl дГ
Упругий коэфициент Бехман j Мэзон Kora 1 । Атанасов и Харт
СО ЯГ 1 «о 04 in СО | Ъ О? £* ’ II » 1 8 Н сс СТ СО xj* АО СО Г-. - —- СО СО Со Со Со Со Со со 4- 11,5-10-6 4- 180 4- 175 —1125 — 148 + 113 + 2331) 4- 11,8-10~6 4- 182 4- 195 -1352 — 295 4- 120 — 134 1
с33 <42 С13“С23 с14 =— С24’ж:С56 С66 — 48-10-6 — 208 — 151 —2115 - 530 4- 82 4- 144 — 46,5-10—6 — 204 — 166 -3300 - 697 4- 90,2 4- 164 — 61 10~6 — 199 —2860 + 'по 4- 199 - 49,7-10~б — 213 — 169 -3000 — 580 4- 107 4- 170,1
*) Это — значение (sit +2su), а не 5^’
следует ожидать при определении столь малых величин, какими являются температурные коэфициенты.
В табл. 10 приведены температурные коэфициенты для упругих коэфициентов в миллионных долях на градус Цельсия, справедливые в температурном интервале от 20° до 70° С. Во всех случаях данные были исправлены на изменение плотности и размеров в зависимости от температуры. Данные взяты у Бехмана [32], Мэзона [340] Кота [272] и Атанасова и Харта [12]. Эти данные обсуждаются в § 91. О температурных коэфициентах кварцевых резонаторов см. § 93 и гл. XVII.
Принятые значения упругих коэфициентов кварца. Кроме приведенных выше значений величин, наиболее важными являются измеренные Перье и Мандро значения величин sn и$33, обсуждаемые в § 95. Они вероятно более точны, чем значения этих модулей, полученные
0,2 — 0,3%. Данные Мэзона для sn, s33 и sI4 были поручены с покрытыми металлом брусками, дающими непосредственно значения при постоянном поле. Остальные значения констант 5 и С ВЫЧИСЛЯЛИСЬ С ПОМОЩЬЮ С44, С55 и Сбб, и поэтому в них следует внести пьезоэлектрические поправки.
О Мэзон утверждает, что точность его данных между 20° и 60° С составляет + 2%.
Упругие коэфициенты кристаллов 137
Фогтом. Их изотермические значения составляют $ц = 1,272 • 10--12 и $зз = 0,972 • 10-12; из них находятся следующие адиабатические значения:
$п = 1,269 • 10-12 Л s33=0,971 • IO"12.
В настоящей книге мы будем вообще пользоваться преимущественно этими значениями вместе с данными Фогта для остальных упругих модулей. На этой-основе были вычислены 0 упругие коэфициенты, приведенные в табл. 11. Приведенные в ней значения основаны на статических наблюдениях. Первые три величины в каждом столбце надежны в пределах менее одного процента, остальные величины значительно менее точны.
Таблица 11
ПРИНЯТЫЕ ЗНАЧЕНИЯ АДИАБАТИЧЕСКИХ УПРУГИХ КОЭФИЦИЕНТОВ КВАРЦА
sCk в 10-12 дин"1-см2, Cik в 1О10 дин-см-2
$и=1,26(9) • С11= 87,(5)-
$3з=0,97(1) с33=107.(7)
sw=2,00(5) с44= 57,(3)
$i2=—0,16(9) с12= 7,6(2)
s13=—0,15(4) С1з= 15,(1)
$14=—0,43(1) с14= 17,(2)
$66=2,8(8) с66= 39,(9)
С какой точностью можно пользоваться данными табл. 11 в уравнениях колебаний, еще не ясно. Как указывается в конце настоящего пара-графаг возможно, что в динамическом случае упругие коэфициенты по существу больше (а упругие модули соответственно меньше), чем в статическом случае. Если это так, то вполне возможно, что значениями Атанасова и Харта следует пользоваться во всех высокочастотных вычислениях.
Другие определения упругих коэфициентов кварца. В обширной литературе по кварцевым резонаторам существует много более или менее надежных определений некоторых упругих коэфициентов, особенно $ц. Теперь мы подытожим некоторые из более достоверных результатов, хотя и нет необходимости пересматривать значения, приведенные выше.
Гибе и Шейбе [171] определили $ц из динамических наблюдений на кварцевых стержнях, длина которых параллельна X или У. Они нашли, что измерения надежнее всего, если стержни не слишком тонки и если упругая постоянная вычисляется по частоте колебаний третьего или четвертого обертона. Их электроды были так малы, что действующий зазор практически равнялся бесконечности; это вызывало необходимость в случаях стержней, параллельных У, вносить в измеренные $ц пьезоэлектрическую поправку (§ 235). Для стержней, параллельных X, они нашли, что $и = 1,277s- Ю “12+0Д6%; параллельно У (без поправки) $п = 1,265в • 10 ~ 12±0,06%. После внесения пьезоэлектрической поправки последняя величина становится равной 1,277. Можно принять $ц = 1,277 как их наилучшее значение.
Изучая эффекты поперечного сечения, эти авторы вывели для отношения эц/$зз значение 1,149 в согласии со значением 1,145 Фогта. Пользуясь значением 1,149 они нашли, что $зз — 0,968 • 10“12.
Гибе и Блехшмидт [161], наблюдая колебания пустотелого кварцевого цилиндра, длина которого параллельна Z, получили $ц = 1,256 • 10--1-. $,3 = 0,978 • 10-12. $13 = — 0,130 -10—12. В более поздней статье [162] о продольных колебаниях в брусках приводятся следующие значения: $ц= 1,278 10-12, $44=2,016 • 10”i2. Si2=—0,167 • 10 ~12, Эти значения не исправлены на пьезоэлектрическую реакцию (§ 235). Температурные
О Вычисления произведены Уайтом.
138
Г лава VI
коэфициенты эти авторы нашли равными — 1200 -10 6 для s12 и + 176 -10 6 ДЛЯ S44.
Остерберг и Куксон [406] возбуждали продольные колебания сжатия в направлении X в большом числе пластинок различной формы. Хотя ширина некоторых пластинок была сравнима с длиной, все вычисленные значения $ц для гармоник и основной частоты лежат в пределах + 1,5% среднего значения, равного 1,27- 10—12. Их наблюдения колебаний в направлении Z (возбуждавшихся с помощью упругой связи) дают sз>з — 0,963-1 10—12. Представляется, однако, сомнительным была ли здесь константа б'зз единственным действовавшим упругим коэфициентом.
Сравнивая статические значения Фогта с динамическими значениями приведенных вы'ше коэфициентов, следует заметить, что почти во всех случаях динамические упругие модули меньше, чем статические, даже после пьезоэлектрических поправок. Являются ли эти расхождения следствием многочисленных источников ошибок или каких-либо более глубоких причин, в настоящее время определить нельзя. Интересно, что динамические значения 5ц и s33 согласуются лучше с данными Перье и де Мандро, чем с данными Фогта.
§ 91. Рассмотрим теперь температурные коэфициенты в табл. 10.
Бехман тщательно изучал влияние температуры на адиабатические упругие константы кварца Некоторые из его результатов представлены на фиг. 30. Точность своих измерений температурных коэфициентов он считает равной+10% между 20° и 70°С; в них были учтены влияния температуры на размеры и плотность. Трудно думать, что те же значения получились бы из статических наблюдений при разных температурах, так как нет уверенности, что в каждом из его измерений частоты пластинок различных ориентаций эффективная упругая константа вполне отвечала теоретической, без влияния на нее связи с другими формами колебаний.
Измеряя между 25° и 95°С частоты сдвиговых колебаний по толщине с пластинками различных ориентаций, Кога [272] вывел значения, приведенные в табл. 10. Все эти значения больше значений Мэзона и Бехмана.
Как объяснено в § 90, Атанасов и Харт вывели свои температурные коэфициенты из наблюдений высоких обертонных частот колебаний по толщине. Этот путь сводит к минимуму эффекты ребер и связь с нежелательными колебаниями; измерения других наблюдателей едва ли были свободны от этих затруднений. Это, а также высокая точность наблюдений, делает их результаты очень надежными.
Кога вычислил также в изучаемом диапазоне среднюю скорость изменения трех температурных коэфициентов, беря вторые производные по Т от выражений для частоты:
1 д-с(1Р,__ СввдТ2
6,1 • 10-8;
1 d~c4i
1,3 10-°;
1 д-си
1,7 10“7.
То обстоятельство, что некоторые температурные коэфициенты положительны, а другие — отрицательны, имеет очень большое значение. Вырезая пластинку с такой ориентацией, чтобы действующий коэфициент упругости q являлся функцией упругих констант, имеющих температурные коэфициенты противоположных знаков, можно получить резона-
’) Zs. I. Hochfreq.-tech., 1934; Zs. f. techn. Physik. 1935.
Упругие коэфициенты кристаллов
13^
тор с частотой, практически независимой от температуры в сравнительно широком интервале последней (§ 358).
Тщательные поиски упругого последействия в кварце были произведены Иоффе [632]. Результаты показали, что после устранения вторичных эффектов, вызываемых нагреванием кристалла, истинного упругого последействия обнаружить нельзя.
Измерения объемной сжимаемости кварца до 12 000 кг/см2 были выполнены Бриджменом1). Гидростатическое давление не производит в кварце пьезоэлектрической поляризации.
§ 92. Упругие коэфициенты кварца при высоких температурах. Будучи почти постоянными при обычных температурах, упругие коэфициенты
Фиг. 29. Зависимость упругих коэфициентов кварца от температуры. Кривые 1/5п и I/s33—по Перье и де Мандро; l/sS3— по Лоусону для плоскости ZX под углом 45° к осям Z и Х\ са—по Атанасову и Харту и Атанасову и Каммеру. Крестиками (1/хп) нанесены данные Фредерикса и Михайлова.
претерпевают резкие изменения по соседству с точкой перехода из формы а в форму р при 573°. Наиболее полные данные, представленные на фиг. 29, приводят Перье и де Мандро [413]. Последние, пользуясь статическим методом и наблюдая изгиб тонких брусков, нашли, что модули Юнга 1/sn И I/S33 быстро уменьшаются до значений, близких к 3- 1010 дин/см2 при приближении к точке перехода, после которой в состоянии -кварца они быстро возрастают. Выше 573° модуль 1/$3з оказался немного меньше, чем при комнатной температуре, тогда как 1/$ц больше, чем 1/$зз при комнатной температуре. Они нашли, что при обыкновенных температурах $зз возрастает на 0,02% при повышении на один градус, тогда как для $ц соответствующее изменение меньше 0,001%. Столь же малая зависимость $ц от температуры была отмечена
>) Р. Bridgman, Am. Journ. Sci. 15, 287—296 (1928).
140
Глава VI
Фредериксом и Михайловым [150], пользовавшимися динамическим методом.
На фиг. 29 показана также кривая, связывающая l/s'33 с температурой для среза У45° кварца по наблюдениям Лоусона [311]. Длина бруска делила пополам угол между осями X и Z; в плоскости, определяемой этими осями, как показывает кривая С на фиг. 33, несущественно, будет ли угол (здесь 45°) положительным или отрицательным. Брусок был снабжен платинированными электродами, в нем пьезоэлектрически возбуждались продольные колебания резонансной частоты. Получавшийся пьезоэлектрический эффект выражается уравнением z'z=d'23Ev = = — d\bEy/2. Модуль Юнга 1/$'зз рассчитывался по частоте, наблюдаемой при каждой температуре, с учетом плотности и размеров пластинки.
На фиг. 29 изображена также кривая изменения с44, полученная Атанасовым и Хартом и Атанасовым и Каммером с помощью метода, описанного в § 90. Крестики на фиг. 29, представляющие собой значения 1/sn, нанесены по нескольким данным Фредерикса и Михайлова [150], полученным путем наблюдения резонансных частот колебаний по длине, параллельных Y, в срезе X-
§ 93. Упругие коэфициенты в случае колебаний по толщине. В § 66 мы видели, что в случае распространения в кристаллах плоских волн, три механических смещения (направления колебаний), соответствующие трем типам волн, являются взаимно перпендикулярными и что в наиболее общем случае ни одно из них ни нормально, ни параллельно фронту волны. Симметрия кварца такова, что для определенных срезов некоторые модули Кристоффеля Г обращаются в нуль, вследствие чего направления колебаний 'в этих случаях лежат или в плоскости пластинки (колебания сдвига) или нормальны к ней (колебания сжатия).
Рассмотрим, например, срез Y, колебания в котором, как известно, при поле Ev имеют форму сдвига (§ 352). В уравнении (116) Z = /г = О, т = 1, и некоторые из констант с для кварца обращаются в нуль, откуда 1 ц =с66, 1 22 = Сц, Г33 = с44, Г23 = — с14, Г 12 = Г и =0. Три
корня уравнения (118) (порядок значков произволен) равны:
Qi — С>е — 2~(^п ^12) —39,1 • 1010;
(135)
В этом вычислении были использованы значения основных констант с адиабатическими поправками, данные Фогтом.
Направления колебаний находят, решая уравнение (117) дли 7, 7 [270]:
ai = 1 •' а2 — 0: а3 — 0:
1А — 0$
= -0,907:
?; = 0,422; '
71 — 0;
7о = —0,422;
Ъ = -0,907.
Упругие коэфициенты кристаллов 141
Следовательно, первое из этих направлений колебаний параллельно X и волны поперечны, причем фронт волны и направление колебаний совпадают с плоскостью пластинки. Пьезоэлектрически обычно возбуждается эта форма колебаний; возбуждающее напряжение равно Ху =— е26 Еу Направление двух других форм колебаний составляют углы с нормалью к фронту волны, приблизительно равные 25° и —65°.
Подобный же анализ среза X показывает, что одна форма (которая обычно возбуждается пьезоэлектрически) имеет направление колебаний, нормальное к пластинке: две теоретические поперечные формы имеют направления колебаний в плоскости пластинки, составляющие с осью Y углы около 31° и —59°.
Для срезов Y' (поворот вокруг оси X) можно показать, что направление колебаний, возбуждаемых в пьезоэлектрических резонаторах, параллельно X, как и в срезе Y.
Для этой формы найдено, что q одинаково с Гц. Вследствие этого для поворота вокруг оси X (/=0), принимая во внимание, что для кварца Qi = С16 — 0, мы приходим от выражения (116) к выражению, данному в уравнении (51):
q = Сбб = Г2 J == ce6 cos26 4- с44 sin26 4 2с 14 sin6 cosO (136)
Здесь вместо m и п подставляют соответственно sin 0 и cos 6; 0 есть угол ( 4*или — по правилу, изложенному в § 38) между осью Z и нормалью 'к пластинке.
Численное значение трех упругих коэфициентов q2, q$ в пластинках при нулевом зазоре для большого числа ориентаций в кристалле кварца получил Кога [274]: они представлены в табл. 12. Эти значения основаны на данных Фогта с адиабатической поправкой. Подставляя их в уравнение (112), можно найти три теоретически возможные частоты для всех этих срезов. Вопрос о том, какие из этих трех частот можно получить для данного среза в действительности, следует решать, рассматривая пьезоэлектрические константы кварца. Направление нормали к пластинке задается азимутом и , измеряемым от 4- X к 4" Y и широтой 0, как показано на фиг. 17. Заимствуя таблицу из статьи Кога, автор привел значения ср в соответствие с условием, принятым в этой книге (§ 51).
Во всех случаях коэфициенты q повторяются через каждые 120° по азимуту, т. е. +120° можно прибавлять к каждому значению ср.
При пользовании значениями ср, расположенными внизу таблицы, соответствующие значения 0 находятся справа.
Значения для срезов Y' представлены в столбце ср= 30°. При 0 = 90° мы имеем срез Yq = = 39,1 • 1010. Последнее из трех значений для
каждого 0 принадлежит к форме колебаний, обычно наблюдаемой в срезах У'.
Для сопоставления этих значений со значениями, выводимыми из уравнения (51) для поворота вокруг оси X, мы должны в табл. 12 положить ср = 90°. Так как 90° = —30°+120° мы пользуемся значениями 0 справа таблицы. Тогда 0 одинаково с углом поворота 0 в уравнениях (51), для которых мы положили cos0 = c, sin 6=s. В данном случае из уравнений (51) применимо выражение для с'6&, которое одинаково с уравнением (136).
Срезы X' (поворот вокруг оси У) находятся в последнем столбце
Таблица 12
УПРУГИЕ КОЭФИЦИЕНТЫ q ДЛЯ КОЛЕБАНИЙ ПО ТОЛЩИНЕ КВАРЦЕВЫХ ПЛАСТПНОК РАЗЛИЧНОЙ ОРИЕНТАЦИИ (q = табличному значению X 1010дин/см2)
е \ 30° 25 и 35° 20 и 40° 15 и 45° 10 и 50° 5 и 55° 0 и 60°
0° 105,67 57,09 57,09 105,67 5 7,09 57,09 105,67 57,09 57,09 105,67 57,09 57,09 105,67 57,09 57,09 ; 105,67 57,09 57,09 105,67 57,09 57,09 ' 180° 1
15° 110,76 59,10 47,44 110,74 59,20 47,41 110,56 59,31 47,42 110,28 59,91 47,11 109,94 60,47 46,88 109,55 61,10 46,64 109,11 61,78 46,40 165°
30° 121,94 50,38 37,99 121,87 50,49 37,94 121,24 51,25 37,81 120,21 52,44 37,64 118,95 53,90 37,45 117,14 55,86 37,31 115,21 57,91 37,18 150°
45° 129,06 40,46 31,23 128,69 40,70 31,37 127,59 41,39 31,77 125,80 42,56 32,38 123,36 44,26 33,14 120,35 46,46 33,94 116,87 49,13 34,74 ; 135°
60° 127,27 34,93 28,99 125,74 37,03 28,42 5 124,41 36,87 29,91 122,10 37,98 31,10 119,00 39,34 32,85 115,13 40,00 35,16 110,64 42,52 38,03 120э 1
75° 113,33 39,0131,86 112,53 40,33 31,34 111,37 42,49 30,34 109,00 45,54 29,64 105,78 48,83 29,59 1 101,84 52,13 30,23 97,30 55,27 31,63 105°
90° 93,32 49,22 39,10 92,93 50,99 37,72 91,84 54,71 35,09 90,17 58,90 32,57 88,12 62,90 30,62 85,26 65,99 29,39 85,45 67,22 28,98 90°
105° 75,44 60,02 48,74 76,16 60,91 47,13 78,56 61,92 43,73 82,48 61,69 40,01 87,31 60,28 36,62 92,37 58,05 33,78 97,30 55,27 31,63 75°
120° 84,97 48,01 58,21 86,48 47,80 56,91 90,25 47,22 53,72 95,12 46,25 49,81 100,42 44,54 46,23 105,68 44,17 41,34 110,64 42,52 38,03 60°
1359 98,33 37,45 64,97 99,29 37,43 64,13 1 101,74 37,12 61,88 105,18 36,70 58,86 109,08 35,16 55,53 113,05 35,49 52,20 116,87 49,13 34,74 45°
150° 106,15 36,95 67,21 ' 106,52 36,95 66,82 107,95 35,99 65,36 109,17 36,99 64,14 И 1,09 37,12 С2,18 113,16 37,09 60,06 115,21 57,91 37,18 30°
165° 105,70 47,28 64,32 j 107,41 45,65 64,23 107,59 45,72 63,98 107,89 45,83 63,58 108,25 45,9913,95 108,67 46,18 62,44 109,11 61,78 46,40 15°
180° 105,67 57,09 57,09 ' 105,67 57,09 57,09 105,67 57,09 57,09 105,67 57,09 57,09 105,67 57,09 57,09 105,67 57,09 57,09 105,67 57,09 57.09 0°
- 30° -25 и -35° -20 и —40° -15 и -45° $ — 10 и —50° -5 и -55 0 и 60° \ ’
i
Упругие коэфициенты кристаллов
143
(ср — 0° и 60°). При 0 = 90° мы наводим срез X, для которого q = cu~ 84,45-1010.
Колебания сжатия продолжают существовать при изменении 6, по крайней мере, если это изменение невелико.
В той же статье Кога некоторые цифровые данные из табл. 12 представлены 'В форме полярных диаграмм.
Для срезов X' таблица была составлена также Бехманом [32], [34]: в ней приведены три коэфициента q через каждые 5° от 6 = 0 до 6 = 90°; таким образом, некоторые пробелы табл. 12 оказываются заполненными.
В более поздней статье Бехман [35] приводит серию кривых для трех коэфициентов q Кристоффеля, их температурных коэфициентов Т q и действующих пьезоэлектрических констант е как функции полярного угла 6 при азимутах ф=0°, 10°, 20° и 30°. Эти кривые представлены на фиг. 30, на которой с? и 9 определяют направление нормали к пластинке, как на фиг. 17.
Кривые для q вычислены из адиабатических значений основных упругих констант по, Фогту, данных в, табл. 9, не исправленных на пьезоэлектрическую реакцию, но с должным учетом линейного и объемного расширения. Они приблизительно согласуются со значениями, приведенными в табл. 12, за исключением того, что в некоторых случаях значения для кривых Ь и с взаимно обмениваются местами. Введение пьезоэлектрической реакции увеличило бы значения при зазоре, оавном нулю, на величину от 0 до 0,2% в зависимости от значения £• При ср — 0, 0 =90° мы имеем срез X, при ср =30°, 6 = 90°—срез У. Для большинства возможных ориентаций все три направления колебаний составляют с поверхностями пластинки косые углы. В этих случаях, например, при срезе X, когда имеют место колебания сжатия, значения q выражаются кривой а.
Кривая а для q при г — 0 одинакова с А на фиг. 34. Кривые а, Ь и с при ср = 30° соответствуют А, В и С на фиг. 32. Обычно при срезах этого типа применяется форма с.
Кривые для Тq получены из произведенных Бехманом измерений частот колебаний при температурах от 20° до 60°С. В частности, они указывают формы колебаний и ориентации, при которых Та — 0.
Кривые для s изображают значения пьезоэлектрических коэфициентов, действующих при возбуждении различных форм колебаний при любой ориентации. Следует отметить, что г обращается в нуль при срезе Z (0 = 0 или 180°) и в некоторых других случаях.
Как пример, можно упомянуть срез АТ, предложенный наряду с другими Бехманом. Направление нормали к пластинке задается углами ср =30°, 6=55 (или? =90°, 6= — 55°). При этой ориентации 7^= 0. По кривой для ср = 30° находим, что е приблизительно равно 2,8 • 104, почти в два раза меньше, чем для среза У (более точные данные о срезе АТ см. bi § 358).
§ 94. Диаграммы упругих коэфициентов кварца при повороте осей. Изменения упругих коэфициентов кварца при повороте системы осей вокруг осей X, Y и Z показаны на полярных диаграммах, которые представлены на фиг. 31—36 * 2). Кривые вычерчены по уравнениям (50) — (54), причем брались изотермические значения основных коэфициентов по Фогту (табл. 9).
На этих диаграммах shk, 1/$^ и chk отложены как радиусы-векторы, соответствующие углу 9. При наличии и положительных и отрицательных значений величины откладывались от произвольно выбранной нулевой окружности.
0 Значения температурных коэфициентов основных упругих констант в табл. 10, по Бехману, взяты из тех же экспериментальных данных, что и кривые фиг. 30.
2) Диаграммы представлены Мэзоном. На прилагаемых репродукциях этих диаграмм знак 6 следует условию, принятому в § 51. Некоторые из диаграмм для пополнения серии составлены автором.
Фиг 30. Упругие и пьезоэлектрические коэфициенты кварца для колебаний по толщине в различных направлениях (по Бехману). Три значения а даны для трех возможных форм колебаний. Каждому q соответствует температурный коэфициент TQ и дейст-~ вующиЙ пьезоэлектрический коэфициент е.
Упругие коэфициенты кристаллов
145
В качестве примера рассмотрим срез У', получа'ющийся при повороте среза У вокруг оси X на угол 0. Для колебаний по толщине упругим коэфициентом является 6’z66 (§ 93). Уравнения (172) показывают, что с'ев = с'55( 6 + 90°); поэтому мы обращаемся с кривой С для с'5б на фиг. 32. При любом 6 значение с'бв является радиусом-вектором кривой С для 0 + 90°. Таким образом, если 0=—50°, значение для 6 = — 50° + 90° на кривой С показывает, чТо с'6& приблизительно равна 32-1010 дин/смЗ. Для получения более точного значения следует пользоваться уравнением. Из кривой непосредственно видно, что' константа с'65,а следовательно и частота, должны сильно изменяться при изменении угла 0.
УКАЗАТЕЛЬ К ФИГ. 31-36
(Упругие коэфициенты кварца при поворотах вокруг осей X, Y и Z.) Значения нужно множить на 10-14 дин—см2. Значения и \jShk нужно множить на 1010 дин см—2
Фиг. Поворот вокруг оси Коэфициенты
31 ' X АД/s nJ ВД/s 22» C,l/s'33; Z),l/sr44,’ £,l/s 55; FJ/s'ee, G,s 12; ^А$\з; As к > 23 > ; Lfs 24! ^,^/34
32 X А,с 22; BfC'44; С,с 55; D,c А,с\3; FH9cf^\ Ас<24> J,c'm AA/s'u*, СЛ1$'зз> 0,1/5'44; £\l/s'55; F,\jsf^ G>s\2> 23» A,5 14> 36; Л4,5'з5
33 Y
34 Y lg; O,s 34; P,s 24; Q,s 26> ^5'25! A^'in В>с\±\ C,c
35 У O,£ 12; £\c\3; F>сГ2$\ O,^\4; A,c'34
/У Af,e'24/ Мс<2в' P»C 46
ои \z -^»5<i4> B>sr С,с'44; Dc\$
Если ориентация пластинки выражена через направление нормали к ее главным поверхностям (как это всегда желательно делать), то для среза У имеет место 6 = 90°. Легко видеть, что при любом произвольном угле 6 между нормалью и осью Z для получения упругих констант в случае колебаний по толщине можно пользоваться непосредственно кривой С для с'55. При этом условии пластинку правильнее называть срезом Z' при поле, параллельном оси Z. Рассматривать ли срез У' как срез У, повернутый на угол 6°, или как срез Z, повернутый на угол 6 0 + 90°, является вопросом определения.
§ 95. Модуль Юнга для кварца. Его приблизительные значения для поворота вокруг X можно получить из кривых А, В, С, фиг. 31, а для поворота вокруг У — из кривых А, В, С фиг. 33.
Перье и де Мандро [413] выполнили очень тщательные статические измерения 5ц и S'33 посредством изгибания тонких пластинок. Они наблюдали модуль Юнга || Z, ±Z и под углом: в + 50° к Z в плоскости YZ. Их значения при 15°С по данным табл. 9 (все X 10~12 см • дин) равны: sn=l,272; s33 = 0,-972; (s'33)+5o° =0,781; (s'33)_500 = 1,30. Эти
значения 5ц и s33 приблизительно на 2% ниже изотермических значений Фогта в табл. 9. С другой стороны, полученное этими авторами значение (s'33.)5o очень близко к значению!, рассчитанному по данным Фогта. Это обстоятельство, повидимому, указывает, что если их значения Si 1 и s33 более правильны, то значения Фогта для s44, sJ3 и 5И, Ю Кэди
14б
t лава V/
входящие в вычисление при косых направлениях по уравнению (55), являются слишком низкими. Принимая все это во внимание, значения л'и и S33 по Перье и де Мандро следует считать более надежными, чем значения Фогта. Они и были использованы при составлении кривых фиг. 38 и в тдбл. 9.
Фиг. 31. Упругие коэфициенты кварца для поворота вокруг оси X.
В статье Перье и де Ма/ндро модуль Юнга для четырех ориентаций представлен в виде трехмерной модели; такие модели для различных температур воспроизведены на фиг. 37. Топографические черты модели для 15°, типичные для всех обычных температур, представлены графически на фиг. 38. Единственной геометрической чертой, общей всем моделям, является то, что экваториальное сечение, перпендикулярное оси Z, представляет собой круг. Ниже 573° С сечения, нормальные к X, имеют только центр симметрии. В каждом из этих сечений имеются резкие максимумы и минимумы, а также менее выраженные вторичные максимумы и минимумы, причем минимумы параллельны оси Z (см. также полярную диаграмму на фиг. 31, кривую С).
о
фиг. 32. Упругие коэфициенты кварца для поворота вокруг оси X.
Фиг. 33. Упругие коэфициенты кварца для поворота вокруг оси Y.
Глава VI
Начиная с обычных температур, модели сокращаются во всех направлениях по мере повышения температуры, особенно' в направлениях главных максимумов. В точке перехода в ^-кварц максимумы исчезадуг совершенно. Выше этой точки поверхность расширяется во всех направлениях, но главным образом в направлениях, перпендикулярных Z.
Фиг. 34. Упругие коэфициенты кварца для поворота вокруг оси Y.
§ 96. По кривым фиг. 38 можно найти значение модуля Юнга У = l/s'33 для любого направления в пространстве 9. Расчет был сделан с помощью уравнения (55), для квдрца его можно написать в виде:
s33 • Ю12 = 1,269 — 841 cos2 04-543 cos4 9 — 862 sin3 9 cos 9 sin Зз,
Азимут ср и угол 9 определяются согласно фиг. 17. В соответствии с условием, описанным в § 327, фиг. 38 можно пользоваться без изменения как для правого, так и для левого кварца.
Тройная симметрия кварца относительно оси Z выражается множителем 3 в sin3?. Следует заметить, что при 6== + 90° модуль Юнга У
О Вычисления для этих кривых выполнены Уайтом, использовавшим основные константы табл. 9.
.’+90°\l
Д2
Уо _ "я'Э
-20
~|Z
2.0-
-2'0;
'Л,
zfl-
F
,]х ttW’
+90'
//
н W таг
Л^Сзо
'90‘
90?\
+?
П7)°^
Зг;
20 -
-И
^onssi
30
И
♦90‘
+9
3#
20
20
м
Л
/^№<1
Л^А-20
^=^Дф
-2 О
90'
>±180
±180'
180
3-
poj
•-'20)
м
'±9\
±180°,
?Р
'0.
т20.
\>+е
/ТЩ ТЖ
70/
-9
180
90
-90J
Фиг. 35, Упругие коэфициенты кварца для поворота вокруг оси Y.
Фиг. 36. Упругие коэфициенты кварца для поворота вокруг осей Yи Z.
150
Глава VI
имеет одинаковое значение для всех азимутов: упругие свойства одинаковы для всех направлений в плоскости XY. При ф = 0 модуль Юнга Y лежит в плоскости ZX и симметричен относительно оси Z (см. кривую С на фиг. 33). С другой стороны, при ф = 30° Y лежит в плоскости YZ и не являемся симметричным относительно Z (см. кривую С на фиг. 31, а также фиг. 74).
При применении фиг. 38 к значениям ср вне области 0° — 30° для любых данных р и 0 могут оказаться полезными следующие правила: если — 30° <0°, пользуйтесь ординатой для — ср при обратном
знаке 0;
если 30° О ср <[ 60°, пользуйтесь ординатой для 60° — ср ;
если —60° <) ? <С — 30°, пользуйтесь ординатой для 60° + ср при обратном знаке 9 .
Если 60° <С ? <300°, пользуйтесь тем, что Y одинаков при ср + 120° и при ср. Поэтому, прибавляя к ср или вычитая из. ср угол в 120°, можно привести азимут в область одного из вышеуказанных правил. В частности, если ср = 90°, то пользуются кривой для 30° при обратном знаке 6.
Как видно из фиг. 31 или 38, самые большие и малые значения У Находятся в плоскости YZ. В последней имеются два максимума и два минимума:
6=48°36' 0 — 9°45' — 71°4'
1010У=130,8 103,0 103,2 70,3
Фиг. 37. Модели, представляющие модуль Юнга кварца для всех направлений в пространстве при четырех различных темпе; атурах (lo Перье и де Мандро).
Измерения частоты кварцевых брусков опубликованы многими наблюдателями. Наиболее полные и надежные результаты даны Бех-маном [32, 35] и Мэзоном [340]; на их основании можно рассчитать значение модуля Юнга этих авторов. Статьи Бехмана содержат температурные коэфициенты для брусков различных ориентаций, как указано в §91.
§ 97. При возбуждении в кварцевом диске, представляющем срез X, резонансных колебаний сравнительно низких частот, соответствующих волнам сжатия, распространяющимся в плоскости YZ, оказывается, что при самой низкой частоте по диску проходит узловая линия (обнаруживаемая порошком ликоподия, § 366),
которая составляет угол около
19° с осью! Z. Этот угол указывает направление распространения минимума У (Штраубель [488]). В дополнение к более сложным формам
Упругие коэфициенты кристаллов
151
колебаний, которые здесь не рассматриваются, существуют еще простые колебания сжатия при несколько более высокой частоте, чем упомянутая выше, соответствующие максимуму У с узловой линией под углом около —42° к оси Z. В направлении У в круглой пластйнке Нельзя возбудить никаких колебаний.
Отмеченные особенности указывают на то, что волны сжатия стремятся распространяться в направлении, перпендикулярном к макси-мальным или минимальным значениям модуля Юнга. Впервые этот эффект наблюдался Мейсс|нером [359], [360], [361] на прямоугольных пластинках с размерами I, Ь, е, соответственно параллельными У, Z и X. В случае основной частоты колебаний сжатия в направлении У узловая линия через центр пластинки не была параллельна ширине Ь, но составляла с b (т. е. с направлением оси Z) угол, приближавшийся у широких пластинок к 19° и уменьшавшийся у более узких пластинок. Наблюдаемая частота соответствовала частоте, рассчитанной по модулю Юнга в направлении У, только в случае, когда пластинка имела форму очень узкого бруска; при увеличении ширины частота и узловая линия указывали, что распространение во|л1ны уже не было параллельно длине пластинки. Этот вопрос обсуждается далее в § 350.
SZ44
§ 98. Модуль сопротивления сдвигу кварца. Упругий коэфициент при любой системе осей выражается уравнением (36). Величина
Фиг. 38. Модуль Юнга У=1/5'33 кварца для азимута ср от 0 до 30° и полярного угла 9 от—90° до +90°.
l/s'44 есть модуль сопротивления сдвигу относительно осей Y' и Z'. Пользуясь несколько измененной формулой для s'44, Райт И Стюарт [594] вывели значения этого модуля относительно осей Y' и Z', лежащих в плоскостях, содержащих ось Z. На фиг. 21 этих авторов дан-ньЮ представлены в виде кривых для трех различных азимутов вокруг оси Z, причем в каждом случае даются значения для всех ориентаций в плоскости, содержащую эту ось.
152
Глава VI
Полярные диаграммы и уравнения для модуля кручения прямоугольных брусков в различных плоскостях даны Фогтом и воспроизведены Ауэрбахом и Хортом [603].
§ 99. Коэфициент Пуассона для кварца. Как указано в § 33, общая формула для коэфициента Пуассона имеет вид ahk = sakJskk\ он является мерой бокового сжатия, параллельного h, которое сопровождает растяжение, параллельное k. Поскольку направления h и k являются направлениями двух кристаллографических осей, о выражается непосредственно через основные коэфициенты. В случае косо вырезанных образцов вышеприведенная формула требует вычисления приведенных упругих коэфициентов для каждого отдельного направления.
Это вычисление укрощается применением уравнений, предложенных Райтом и Стюартом [594]. Пользуясь значениями Фогта для основных ко1нстант, они вычислили о для осей, лежащих в плоскостях, содержащих ось Z и составляющих различные углы с этой осью. В их статье на фиг. 22 показаны результаты при трех различных азимутах. Они обращаю^ внимание на то, что некоторые из более вредных связанных колебаний можно устранить (в случае резонаторов, рассчитанных на колебания сжатия), выбирая ориентацию, при которой а = 0. Отсутствие бокового движения упрощает также задачу зажатия резонатора в узловой области без нарушения свободы колебаний.
Пользуясь наблюдениями частот стержней различных относительных размеров и при различных, ориентациях, несколько авторов вычислили действующие значения о. Например, Гибе и Шейбе [171] нашли, Что S12/S11 = 0,132, s13/sn = 0,120. По Колю [258] значение Si2/sn=0,135. По данным Фогта в табл. 9 видно, что si2/sn = 0,130, 513/5 и = 0,119.
Дальнейшее рассмотрение коэфициента Пуассона в связи с эффектами связи в пьезоэлектрических резонаторах дано в гл. XVII.
Другие данные об упругих свойствах кварца и других модификаций кремнезема приведены в книгах Сослана [649] и Иоффе [632].
§ 100. Турмалин (класс 19, симметрия С3г,). Оси этого класса определены в § 5.
Ниж!е даны основные упругие коэфициенты по статическим наблюдениям, приводимые Фогтом* 2). Разница между адиабатическими и изотермическими значениями не влияет на последнюю значащую цифру.
Динамические значения приводятся различными авторами. Например, опыты с турмалиновыми стержнями Остерберга и Куксона [406]3) даЮт sn = 38,6 • 10—14, s33 = 60,0 • 10~14.
Коль [258] наблюдал радиальные колебания в круглых срезах Z и вывел значения
sn = 0,382• 10~12 ± 0,5% , c = s12/sn = 0,323±3%.
Из таких же наблюдений Петржилки Коль [259] находит Sn = 0,383 • 10-12, 512/5ц = 0,327.
О W. Voigt, Wiedemann's Ann. 31, 474, 701 (1887).
2) «Физика кристаллов», стр. 753.
3) Величины, называемые ими сц и с33 для турмалиновых стержней, параллельных X и Z, следует выражать соответственно в виде 1/$ц и 1/$зз-
Упругие коэфициенты кристаллов
153
Таблица 13
УПРУГИЕ КОЭФИЦИЕНТЫ ТУРМАЛИНА
Cs выражены в 10“12 дин-1 см2, с— в 101Один-см“2)
511= 522 = 0,398 Сц“ С22 = 270
533~ 0,625 С33 = 161
544= 1,51 67
s12~= - 1,103 С12 = 69
523 = -0,016 С13 = ^23 = 8,8
514 = - S24“^5c/2 = + 0,058 С14“ " ^24 = ^66 = — 7,8
Некоторые наблюдатели измеряли частоту колебаний сжатия по толщине в срезах Z. Были найдены следующие значения волновой постоянной (частота в герцах, умноженная на толщину в миллиметрах • 10~6): Петржилка [415] 3,75; Мацумура и Ишикава ,[348] 3,97; Фокс и Ундервуд [148] 3,77; Штраубель [j487] 3,52. Принимая среднее значение равным 3,75, находим средний динамический упругий коэфициент Гзз = 177 - 1010 дин/см2.
Сравнение со статическими коэфициентами в табл. 13 показывает, что все приведенные выше динамические измерения дают более высокие значения констант с и менее высокие — модулей s, чем статические измерения, так же йак и в случае кварца. Расхождения слишком велики, чтобы их можно было приписать одним только пьезоэлектрическим реакциям.
Вследствие очень малых значений поперечных постоянных, коэфициент Пуассона для турмалина чрезвычайно низок. Поэтому для частоты продольных колебаний в брусках почти не требуется поправки на поперечное сечение. Гибе и Блехшмидт [162] нашли, что обертонные частоты бруска, параллельного оси Z, находятся в почти точном гармоническом отношении к основной частоте.
Влйяние температуры на частоты колебаний рассматривается в § 400.
В «Физике кристаллов» О приводятся полярные диаграммы длн s'33 в плоскостях YZ и XZ по статическим наблюдениям Фогта. Сходство с кривыми С фиг. 31 и 33 для кварца ве!лико, причем единственным качественным отличием является то, что, так как турмалин не является энантиоморфным, выражения «правый» и «левый» не имеют смысла.
Группа VIII, гексагональная
§ 101. Эта группа имеет девять коэфициентов; из них пять являются независимыми. Оси указаны в § 5.
fi-кварц (класс 24, симметрия D6) устойчив между 573 и 870° С. Пьезоэлектрически можно вызвать только напряжения
У2 = —еиЕх= -c4iyz
Zx ~Ь еиЕу c§§zx cuzx (см. § 168).
Значения $ц, s33, Cm=\!sm и s'33 (срез У45°) при различных температурах уже рассматривались в § 92. Первое измерение с^ было
D Стр. 755.
154
Глава VI
опубликовано в 1935 г. Остербергом и Куксоном [404], которые пользовались колебаниями сдвига типов yz= — s44Yz и zx= — s55 Zx в прямоугольных срезах X и У во всем диапазоне температур для ^-кварца. В качестве лучшего значения при 600° С они приводят r44 = 19,9 1010 дин/см2. При приближении к точке перехода а — р эта величина быстро уменьшалась. Значение с44 при 600° С, найденное этими последователями, в два раза меньше значения, определенного позже Атанасовым и Каммером [13]. Последние авторы, а также Лоусон [311] указывают, что ни форма колебаний, выбранная Остербергом и Куксоном, ни их теоретическое рассмотрение не подходят достаточно хорошо для точного .измерения с44. Поэтому автор Настоящей книги отдает предпочтение работе Атанасова и Каммера, результаты которых для с44 уже были показаны на фиг. 29. Пользуясь методом, описанным в § 89, они нашли, ч'то п'ри 600° С
с44 = 35,76 • 101П дин/см2.
Недавно, применив несколько иной метод, Каммер и Атанасов [251] определили все упругие коэфициенты р-кварца при.600° С, причем значение с44 оказалось практически одинаковым с приведенным выше.
В этой последней работе Каммер и Атанасов пользовались высокими гармониками колебаний в четырех различных срезах, включающими шесть различных форм колебаний. Возбуждающая частота модулировалась при 60 Hz. Каждый раз, когда модулированная частота проходила через частоту кристалла, кварц приходил в колебание и в течение малой доли секунды продолжал колебаться с собственной частотой, в то время как возбуждающая частота продолжала меняться (таким образом, метод был в принципе сходен с «методом щелчка», описываемым в § 308). Получающаяся форма волны наблюдалась с помощью осциллографа, и определялась резонансная частота. Их результаты (адиабатические) таковы: Сц = 118,4, С]2=19,0, = 32,0,
Сзз= 107,0, с44 = 35,8, всеХ 1010; $ц = 0,926, ‘ $12 = — 0,0802,
s13 = — 0,252, $зз = '1,085, s44 = 2,79, все X В плоскости YZ, под углами в 45° и 50° к оси Z, $'33 соответственно равны 1,073- Ю-12 и 1,057 • КО-125.
Перье и де Мандро (§ 92) нашли йри 600° С для $'зз под углом 50° значение 1,075 • 10-42 и для $33 значение 1,050-40-12 (изотермическое) .
В наблюдениях, обсуждаемых в § 92, Лоусон нашел при 600° под углом 45° значение s'33 = 1,067- 10~~12 (адиабатическое). В Той же статье Лоусон выводит для $1з адиабатическое значение —0,226- 10~12. Так как метод Лоусона был более прямым, чем метод Каммера и Атанасова, автор считает его значения $1з и $'зз под углом в 45° несколько более надежными, но принимает результаты Каммера и Атанасова для остальных констант.
Группа IX, кубическая
§ 102. Оси кубической системы описаны в § 5. Кристаллы этой группы имеют девять основных упругих коэфициентов; из них только три независимы.
Хлорноватокислый натрий (класс 28, симметрия Г). Фогт дает сле-
’) «Физика кристаллов», стр. 741.
Упругие коэфициенты кристаллов
155
дующие статические значения, выраженные в единицах CGS !):
Sn = s22 = s33 = 2,46 • 10~12 s12 = s13 = s23= 1,25 • 10~12;
s44 = s5r, = s66 — 8,36 • 10~12дин-1 • CM2.
Сц = r22 = c33 = 65,0 Ю10; c12 = q3 = c23= — 21,0 • 1010;
^44 = C55=C66 = 11,9- 1010 дин/см2 .
Цинковая обманка (класс 31, симметрия Td). Одна из последних статей Фогта представляет собой отчет об измерениях упругих коэфициентов этого кристалла Его значения (статический метод) в единицах CGS таковы:
sn = 1,94 • 10-12, s23 = - 7,30 • 10-12 , s44 = 22,9 • IO"12 дин-1 • см2 ;
= 9,42 • 101] , c23 = + 5,68 1011 , cu =- 4,36 • 1011 дин • см2 .
]) W. Voigt, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-physik. Klasse, 1918, стр. 424—450.
ГЛАВА VII
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Здесь мы приводим сводку основных уравнений сначала для изотропных сред, а затем для кристаллов, включая и тот случай, когда кристаллическая пластинка отделена от электродов зазором. Вкратце обсуждается молекулярная природа поляризации, дипольная теория и потеря в диэлектриках.
§ 103. Если плоская большой площади пластина твердого диэлектрика помещена в однородное электрическое поле Ео, причем нормаль к ней параллельна полк), то основ'ные диэлектрические уравнения имеют вид
D = £оЕо = kE = Е + 4Р, (137)
где D — индукция (электрическое смещение), Ео и Е — напряженность электрического поля снаружи и внутри диэлектрика (в динах на единицу заряда), k0 и k — диэлектрические постоянные окружающей среды и диэлектрика и Р — поляризация (электрический момент на единицу объема). Величину Е называют также «градиентом потенциала» (в вольтах на сантиметр) или сокращенно «полем». Если нет оговорок, то всюду подразумевается система CGS.
Так как окружающей средой обычно является воздух или вакуум, то ko можно считать численно! равной единице. Вопрос о размерности k0 или k по отношению к размерностям пьезоэлектрических коэфициентов затрагивается только в § 128.
В изотропных материалах поляризация всегда параллельна полю; все величины в уравнении (137) можно рассматривать как скаляры. Однако в кристаллах Р и Е могут иметь различные направления.
§ 104. Игнорируя пока «спонтанную поляризацию» (§ 115), мы имеем общую связь между Е и Р в виде
Р = ТЕ- (138)
где т — диэлектрическая восприимчивость, аналогичная магнитной восприимчивости (§ 547).
Из уравнений (137) и (138) следует зависимость:
k = \ -phtT], (139)
Мы уже видели В' § 21, что в пьезоэлектрических кристаллах k зависит от состояния механического напряжения. В дальнейшем мы будем пользоваться символами k' и т/ Для величин k и т при постоянном механическом напряжении, a k" и — при постоянной деформации. За «Истинную» диэлектрическую постоянную, поскольку вообще о ней может итти речь, следует считать величину k". Строго говоря, и деформированное (постоянная деформация) состояние и состояние постоян
Диэлектрические свойства кристаллов
157
ного напряжения, включая «расслабленное» (relaxed) состояние при отсутствии внешних усилий, являются идеализированными условиями, неосуществимыми в лаборатории. Сегнетова соль настолько чувствительна к деформации, что трудно добиться «расслабленного» состояния в степени, достаточной хотя бы для грубо приблизительных результатов. К счастью, у большинства. пьезоэлектрических кристаллов значения k' и k" разнятся так мало, что различие между ними не имеет большого значения. В случае кварца, в направлениях, перпендикулярных к оси Z (оптической), разница доходит приблизительно до 2%. В настоящем этим .различием мбжно пренебречь, так как общие соотношения остаются в силе как для зажатого, так и для свободного кристалла. За исключением § 114, принимается, что диэлектрические коэфициенты не зависят от поля. О дифференциальной диэлектрической постоянной см. § 430. Величины Р и Е, являющиеся векторами, связаны коэфициентом vj, так же как в теории упругости Xh и xk связаны коэфициентом shk, а в термодинамике количество тепла и температура связаны удельной теплоемкостью (§ 20).
На поверхности любого диэлектрика в электрическом поле, будь он изотропным или нет, нормальная компонента смещения и тангенциальная составляющая поля одинаковы по обе стороны границы раздела. Но когда этот закон электрического преломления применяется к кристаллам, то, вообще говоря, даже при поле, нормальном к поверхности кристалла, оказывается, что поляризация, а поэтому и полное смещение имеют некоторое косое направление.
§ 105. Общую связь между поляризацией и полем в кристалле можно найти, беря производную от С по Ej в уравнении (2) при постоянных механических напряжениях и температуре:
з
Д=£^А=ео=1.2.3)-
k
Раскрывая это выражение, мы получаем следующие уравнения, предложенные Кельвином
Л+^12^2+>118 Е'з; Р2=7121£'14- >122^2 + >12з£з; ^>3==71з1^14~ >132^2 4“ ^ЗЗ^З’
(140)
Значки 1, 2, 3 относятся к ортогональным кристаллографическим осям X, У, Z или в преобразованных координатах — к осям X', У', Z'. Такие величины как r\hk (h #= k) можно назвать поперечными восприимчиво-стями, аналогичными поперечным упругим (модулям shk в теории упругости. Они связывают Поле вдоль одной оси с поляризацией, параллельной другой оси. Как будет показано ниже, эти поперечные константы имеют место только в триклинных и моноклинных кристаллах. Во всех случаях = ^ih.
О «Физика кристаллов», стр. 415. В этих уравнениях, как и почти везде в этой книге, векторы не выделяются жирным шрифтом. Методами векторного анализа придется пользоваться только в немногих случаях, и при рассмотрении направленных свойств они будут поясняться подходящи-ми значками.
158
Глава Vll
Уравнениям (140) соответствуют следующие уравнения для ком-
понент смещения:
— kxlEr-]- kr2E2 -\-k13E3,
E)^—k31Et -j- k32E2~[- k33E3.
(141)
Диэлектрические дующим образом 0:
постоянные связаны с восприимчивостями сле-
khh=x khi = kih^4r^hi(h^ i). (142)
Эти уравнения выясняют различие между поперечными коэфициентами вида khi или и коэфициентами вида khh или 'f}hh, которые можно назвать прямыми коэфициентами; любой из первых ,мюжет обратиться в нуль для некоторых групп кристаллов (как в случае изотропных веществ), ню последние никогда не обращаются в нуль. Из khl =kih очевидно, что, коэфициенты k и являются симметричными тензорами.
Независимых коэфициентов '/] (или k) не может быть больше шести, но во всех системах, кроме триклинной, их число меньше; оно равно 1 для кубических кристаллов. Комбинируя эллипсоидальную симметрию, присущую коэфициентам т] (§ 112), с симметрией кристаллов, Фогт показал, что эти константы можно классифицировать согласно семи системам следующим образом:
Таблица 14
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ДЛЯ СЕМИ
СИСТЕМ КРИСТАЛЛОВ
Системы Восприимчивости
1 Z11 Z22 Z33 Z2.3 Z31 Z12
2 Zu Z22 Z33 0 0 Z 12
3 Ли Z22 Z33 0 0 0
4, 5, 6 Zu' Zu Z33 0 0 0
7 Zu Zu 0 0 0
Точно такая же таблица имеет место и для коэфициентов k. Эта классификация справедлива только по отношению к кристаллографическим осям; в общем случае, когда пользуются повернутыми осями, число действующих констант возрастает. Формулы преобразования даны в § Ю7.
§ 106. Нам придется выражать компоненты напряженности поля в кристалле чер|ез компоненты поляризации. Решая уравнение (140) относительно Е, получаем новую группу констант, являющихся функциями коэфициентов ту, их можно назвать обратными диэлектрическими вос-приимчивостями Z •
Выпишем три полученных уравнения:
0 =1,2,3\ (143)
h
Здесь х;7г = Чтобы выразить любой коэфициент через коэфициенты т], применяют метод, указанный в § 26. Общая формула
’) «Физика кристаллов», стр. 436.
Диэлектрические свойства кристаллов____________________12?
имеет вид
Х/4 = ->, (144)
где D является детерминантом всех Лп, a Sjh <— минором относительно Например, .X 1з = ('Л21 'Лз2 — 'G31 ^221/^- При исчезновении какого-либо ^у7г обращение в нуль соответствующего у/7г не является необходимым. Однако в системах более высокой симметрии, чем моноклинная, все поперечные - восприимчивости (j исчезают, и 7jj~ до тех пор, пока значок относится к одной из кристаллографических осей. При повороте\ осей -эта простая связь в общем случае уже не выдерживается (§ 107). Для изотропных веществ существует только один коэфициент т1г так что /= 1/ т] для всех ориентаций.
Из уравнений (141) можно вывести уравнения, аналогичные уравнениям (143), выражающие компоненты Е через компоненты смещения D. Коэфициенты 6у7г в этом случае имеют характер обратных диэлектрических постоянных; Кельвин назвал их «диэлектрической непро ницаемостью»
Е/ = Z 0/А = О,,^ 4- 0,2А + 0/3О, U 1,2.3). (145)
h
Выражения для bjh через Ej понадобятся нам для вывода уравнений для упругих коэфициентов при постоянном электрическом смещении. Их можно найти способом, указанным выше для //7г . Общая формула имеет вид:
0,7, = %: , (146)
где D является детерминантом всех k, a Sjh представляет собой минор, относящийся к k jh .
Для краткости можно воспользоваться одним значком х, у или z (или 1, 2, или 3) для k, 3Q и 6 во все случаях, когда нет поперечных констант, так что и поле и поляризация параллельны указываемой оси (см.§ 112 относительно «главных восприимчивостей» и сноску в конце § 23 о пользовании значками). Таким образом, kx= kn, и для преобразованной оси X' можно писать k'x и т. д. Там, где нет неясности, значки можно совсем опускать.
§ 107. Диэлектрические постоянные относительно преобразованных осей. Так как в системе координат, иной, чем основная, симметрия кри-сталлов (за исключением триклинной) обычно понижается* 2), то в преобразованной системе можно ожидать появления некоторых поперечных констант вида kjh и Т/гу- (/ ¥= h). В общем случае при преобразовании меняются все коэфициенты.
Преобразованные коэфициенты встречаются в выражениях для упругих констант при постоянном смещении и постоянной поляризации (гл. ХП). Их также следует учитывать при применении теории резонатора к косым брускам или пластинкам.
Любой коэфициент т(/7г можно вывести методом, аналогичным методу, указанному в § 40. Направляющие косинусы преобразованных
О «Физика кристаллов», стр. 441.
2) Идет речь- не об изменении симметрии кристалла, которая не может изменяться от способа описания явления, а о таком изменении внешнего вида тензорной матрицы, которая отвечает внешнему виду матрицы для кристаллов более низкой симметрии при стандартной установке. (Прим, ред.)
160
Глава Vll
осей даны в § 38. Значение т\'jh в самой общей форме выражается через основные восприимчивости следующим образом:
'jh = (/(^11 + ВД12 + ЗДз) +^У(^21+ВД22 + ЗДз) + «/(Z^31 +
4 тьг1з2 4 f (147)
В случае кварща единственными основными восприимчивостями являются т(11 = 7)22 = V и ^зз='Л» (перпендикулярная и параллельная оси Z).
>=(ZA+W/^) ?и4+ад. (148)
Для кварцевой пластинки, повернутой вокруг оси X на угол О, /i = 1, /2 = 1з = т\ = п{ = 0, т2 = п3 = cos б= с, п2 = — т3 = sin 6= s, так что единственными восприимчивостями, влияющими на поляризацию при поле Е'2 в направлении У' (направлении толщины пластинки) являются:
422 = ^1^4^» =4гц 4 1
4 з2 = ^з^2'^+^зМ" =^('Пц—7]±); (149)
^'зз = ^Го±+лЬ|| =s2lU~H27h J
В кварце разность (т]ц—7±) так мала, что поперечными воспрримчи-вюстями в косых полях обычно можно пренебречь.
Подобным же образом для диэлектрических постоянных, участвующих в полной поляризации в кварцевой пластинке, повернутой вокруг оси X, как указано выше, получают выражения
k'22 = c2kj_ s2k[\; k3S — S2kj--\-c2kw; k'23 = cs(k „ —(150)
Вообще говоря, любая преобразованная диэлектрическая постоянная k'jh выражается уравнением, сходным с уравнением (147):
k' jh-(ljlhkn + ljmhk12 + ljnhk13) 4- /тг?7Л1+^Л2+ /151)
+ туц^гз)+(цу^31+путл/г324-/гуц^3з). ’
Для кварца коэфициент, связывающий поляризацию в любом направлении / с полем, действующим в направлении /г, или наоборот, имеет вид:
k'jh-Vjlh+rnjnib) k^n^k,. (152)
В большинстве практических применений кварца действующую диэлектрическую постоянную выр|ажают через константу k' для свободного кристалла, взятую в направлении, параллельном направлению поля (§ 235, 247). Выражение для k' находят подстановкой j = h в уравнение (152), дающей для поля в направлении h
—&1) = 4,5+0,lnh, (153)
где nh равно косинусу угла между направлением h и осью Z.
§ 108. Для кристаллов, имеющих симметрию более высокую, чем моноклинная, полная поляризация Р, вызываемая однородным полем Е, имеющим направляющие косинусы /, т, п, находится из уравнений (140):
P=EV (^11)2+(/Ц^22)2+(^зз)2-
В общем случае Р не параллельна Е. Расхождение тем больше, чем больше различие между т(22 и т)33. Уравнение (154) применимо и
Диэлектрические свойства кристаллов 161
при повороте осей; в этом случае нужно преобразовать' все электрические величины.
Диэлектрическая постоянная в направлении, параллельном полю, выражается формулой
-- 1 ~р где для кристаллов любого класса
+/^^22 + ^33+ 2/7г/г112з 2ziZrj31 4-2/тт]12. (155)
Значок N обозначает направление нормали к плоскопараллельной пластинке, на которую действует поле Е с направляющими косинусами Z, т, п. Уравнением (155) можно пользоваться при повороте осей для определения т по любому направлению.
Когда симметрия выше моноклинной, поляризация, нормальная к пластинке, выражается уравнением
PN=PX14- p2m Р3/г=(/2^и 4- /п2т]22 4- n2y\33)E^NE,
где
+ (156)
Подобным же образом
kN = Pkn 4 rn2k<M + n2k3^. - (157)
Чтобы вычислить коэфициенты (ху7г )' или (9уЛ)' при повороте осей, обычно бывает необходимо сначала вывести полную матрицу преобразованных восприимчивостей (ту/г )' или (k jry, как указано выше. Искомые коэфициенты затем находят с помощью уравнений, аналогичных (144) и (146).
Для кварца вычисление относительно просто. Например, в случае пластинок, повернутых вокруг оси X на уг|ол 6 (срез АТ \ц пр.), единственными величинами, не обращающимися в нуль, являются
(x.,r=J-(z22)'-= V1
Sn S11 «Ьп
ГДе Sn = ("^22) (^)зз) Z~ (^23)'.
Соответствующие (6^)' можно привести к виду
(158)
(159)
/П у ‘(^22)' C'k 1, + S-k II ,л у__ (&23V cs(k || k х) 33' k±k\\ kxk\l ’ 23' kA_k II k±k\\
В уравнениях (158) и (159) значки вверху указывают на осей, но не означают, что кристалл механически свободен. Наобюррт, в некоторых из упругих уравнений, в которых встречаются эти коэфициенты, кристалл свободен, а в некоторых других он зажат (§ 206).
Рассмотрим, например, коэфициенты (6"п)' и (WT в случае зажатой кварцевой пластинки, повернутой на 45° вокруг оси X. Коэфициентами этого типа при разных поворотах пользуются при выводе упругих коэфициентов из колебаний по толщине срезов типа АТ. Согласно § 331 имеем k" =4,41, k\ = k ц =4,6, cs = 0,5, так что
(О и)' = 0,226; (023)'= —0,00465. (160)
1 I Кэди
162
Глава VII
Поперечная константа ( У мала и в большинстве случаев ею можно пренебречь.
§ 109. Выражения для энергии в диэлектрике. Уравнение (1) показывает, что выражение Фогта для энергии на единицу объема через ком-1 з з
поненты поля равно у 2 2 '^km P-k и для изотропных тел соответ-] k т
ственио равно 2” Л £2-
Ио уравнений (140) и (143) можно вывести, что энергия, выраженная чфез компоненты поляризации, равна
! I f Рт-k т
Этому выражению соответствует величина Р2!^ в случае изотропных тел.
Фиг. 39. Г)р\сок диэлектрика между параллельными электродами.
§ ПО. Влияние воздушного зазора на поляризацию. Плоскопараллельная пластина диэлектрика, имеющая диэлектрическую постоянную k, толщину е и бесконечную площадь, помещена между параллельными электродами, расположенными на расстоянии е + w друг от друга, причем w представляет собой ширину зазора в воздухе или в вакууме. Несущественно, находится ли зазор по одну сторону диэлектрика, как показано на фиг. 39, или по обе его стороны. Пусть Ew — поле в зазоре, Е — поле в пластине, V — разность потенциалов на электродах, — падение потенциала на пластине, Vw—падение потенциала в зазоре и + з— плотность заряда на электродах. Направление вектора направо считается положительным. Е и Р принимаются нормальными к пластинке.
1. Следующие уравнения справедливы во всех случаях, вне зависимости от того, является ли пластинка пьезоэлектрической или нет, при условии, что поляризация параллельна полю. Если пластинка обладает пьезоэлектрическими свойствами, то решение, рассматриваемое в этом абзаце, может быть сопоставлено с уравнением (2). Как и в уравнении (137) электрическое смещение равно:
D^kE = E=4w = k^-=X-^-. ( 161 )
w е w
Для краткости вместо е + kw введем обозначение е'\ пос
леднюю величину можно назвать «электрическим расстоянием» между электродами:
(162)
е' = e-ykw .
Далее легко выводятся следующие соотношения:
(163а)
(1636)
Диэлектрические свойства кристаллов
163
Р
а
eV (163в)
rtV к — 1 е' k ° ’ (163г)
= kV = kV> 4~e' 4тсе (163д)
.Следует заметить, что при w = оо а — 0.
2. Примем теперь, что V — 0 и что пластинка является пьезоэлектрическим кристаллом, деформированным так, что вызывается однородная поляризация Рп, где значок п обозначает поляризацию, пластинке. Очевидно, что на пластинке поверхностные заряды + Рп, равные и индуцированным на электродах; поле Еи правление, как Рп, и деполяризующее поле Еп, Находим, что
нормальную к появятся поляризационные противоположные зарядам, в зазоре имеет то в пластинке
же на-противоположно
4" еРп е'
— 4rwP/ е
(164а)
(1646)
Еп вызывает противоположную поляризацию Р' = т; Еп, и полная поляризация равна
+ =—• О65)
e + kw п 4 ’
Когда w = 0 (прилегающие электроды), Pt=Pn н Еп --0. Когда w — = со (пластинка удалена от всех проводников), Pt=~~Pn/k и £ = 0; индукция обращается в нуль и снаружи и внутри диэлектрика.
Если между электродами существует разность потенциалов V, то вызываемая ею поляризация [уравнение (163 г)] прибавляется к поляризации, выражаемой уравнением (165).
Следует заметить, что поле Е в кристалле находится в отношении — w/e к полю Ew в зазоре независимо от диэлектрической постоянной.
§ 111. Загрязненность поверхностей кристалла. Статическое измерение диэлектрических постоянных включает измерение заряда, притекающею к кристаллическому конденсатору при наложении на электроды известной разности потенциалов V или при ее удалении. В высшей степени важно, чтобы электроды имели непосредственный контакт с веществом кристалла. Следует избегать свободно прилегающих электродов (или точно измерять зазор); если же применяется клей или лак, его слои должны быть очень тонкими. Эти предосторожности особенно важны в случае кристаллов с высокой k, например, для сегнетовой соли. Если желательно получить точные результаты, у таких кристаллов следует удалять всякую поверхностную загрязненность, возникающую в процессе полировки или дегидратации.
Величину ошибки, ожидаемой, когда кристаллическая пластина отделена от электродов тонким слоем инородного материала с диэлектри-
’) Эффекты пространственных зарядов в кристалле рассматриваются в § 249.
11*
164
Глава VII
ческой постоянной kw и толщиной w, можно вывести из предыдущих параграфов'. П|р|и этих условиях уравнение (161) принимает вид
D kE - kwE = 4по =ЛК1 = .
w w e w
Отсюда следует, что __________________________________1___Л . 4r.e <1 + kw kwej
Если площадь конденсатора равна А (принимаем ее достаточно большой, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами), то наблюдаемый заряд равен о А. Если бы электроды имели с кристаллом непосредственный контакт, то наблюдаемый заряд был бы з0Д, где а0 = кУ/4т:е. Отношение! о;а0 является мерой ошибки, вызываемой присутствием инородного материала. В табл. 15 приведены приблизительные значения <j/o0 при различных отношениях klkwM w[e.
Таблица 15
ВЛИЯНИЕ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
k!kw w/e Фи
10 0,01 0,9
10 0,001 0,99
100 0,01 0,5
100 0,001 0,9
1000 0,01 0,1
1000 0,001 0,5
Принимая во внимание чрезвычайно большое значение kx сегнетовой соли по сравнению со значениями этой величины у обычных лаков и обезвоженной соли, из этой таблицы легко видеть, насколько важен тесный контакт между кристаллом и электродами. Например, при условиях, указанных в предпоследней строке таблицы и вполне возможных при малом е, наблюдаемая диэлектрическая постоянная должна составлять только одну десятую истинного значения.
Вопрос об электродах, подходящих для таких измерений, рассматривается в § 416. Сейчас необходимо только указать на трудность получить электроды, плотно прилегающие и в то же время допускающие свободу деформации кристалла при наложении поля. Для этой цели наилучшими являются очень тонкие слои металла, например, золотая или серебряная фольга.
§ 112. Диэлектрические эллипсоиды. Отсутствие параллельности между Е и Р математически выражается тем, что коэфициент^ является не скаляром, а симметричным тензором. Его величина меняется с направлением; геометрически его можно представить поверхностью эллипсоида, заданной следующим уравнением, написанным относительно главных осей кристалла:
^ii^+W2+w2+2(T/23y2f-+--rj31zx+rn2xy)= ± 1. (166)
Если поперечные постоянные не обращаются в нуль, главные оси этого эллипсоида не совпадают с главными (кристаллографическими) осями. Преобразуя координатную систему так, чтобы она совпала с главными осями эллипсоида, мы получаем уравнение
W2+^3+v z2= ± 1> (167)
где riv. rJv, riz являются главными восприимчивостями. Для всех кристаллов, за исключением триклинных и моноклинных, эти коэфициенты т( одинаковы с прямыми коэфициентами, упомянутыми выше.
Диэлектрические свойства кристаллов
165
Эллипсоид, представленный уравнением (167), имеет следующее свойство: если цровести радиус-вектор г, параллельный Е, то поляризация Р, связанная с Е, имеет направление нормал*и к касательной плоскости, проведенной через точку, где г пересекает поверхность эллипсоида. Поляризация и смещение параллельны полю только в направлениях параллельных главным осям эллипсоида.
Читатель, знакомый с физической оптикой, заметит аналогию между Предыдущим эллипсоидом и оптическими эллипсоидами, которые будут рассматриваться в гл. XXX. Действительно, если вместо статических и радиочастотных значений k рассматривать значения этой величины при оптических частотах, то мы должны перейти непосредственно к оптическим эллипсоидам; эллипсоид, построенный на осях, пропорциональных /ги, будет эллипсоидом Френеля. Кроме того, кристаллы, у которых три главные диэлектрические постоянные kx , kу . kz [соответствующие т]х , г1у , т1д. в уравнении (167)] все различны (системы 1, 2 и 3 в табл. 14), являются оптически двуосными кристаллами, а имеющие две одинаковые константы (системы 4, 5 и 6) — одноосными.
Диэлектрический эллипсоид для кварца из уравнения (167) слегка вытянут, имеет ось вращения, параллельную Z, и мало отличается от сферы. В случае сегне^-товой соли эллипсоид представляет собой сигарообразную поверхность с большой осью, параллельной X.
§ 113. Молекулярная природа поляризации. Предыдущие уравнения дают совершенно общее статистическое описание диэлектрических явлений с помощью величин, наблюдаемых вне диэлектрика. Они не включают никакой гипотезы относительно молекулярной природы поляризации. Теперь мы кратко осветим положения, относящиеся к внутреннему полю и поляризуемости, которые понадобятся нам ниже в главах о сегнетовой соли и других сегнетоэлектриках. У остальных кристаллов, в том числе у кварца и турмалина, диэлектрических аномалий нет; диэлектрические постоянные их в широких пределах изменений температуры, поля и частоты почти постоянны; для практических целей в этих случаях нет необходимости обращаться к молекулярной теории.
Реальное поле в-диэлектрике сильно меняется от точки к точке на расстояниях, сравнимых с молекулярными размерами. Внутреннее молекулярное поле F определяется как поле в очень малой сферической полости, из которой удалены молекулы согласно уравнению Лоренца
+ (168)
где Е является статистическим полем (как его обычно определяют) в диэлектрике, Р — поляризацией и у—постоянной внутреннего поля. Если среда изотропна, или имеет кубическую симметрию, то у равно 4 тс /3. В случае кристаллов с симметрией ниже кубической, значения у отличаются от 4тс/3, но имеют тот же порядок величины. Обычно у считают независимой от температуры.
В поле F каждая молекула поляризуется ,и приобретает электрический момент р. . Если обозначить через у. среднее значение р в направлении F, а через а — молекулярную постоянную, известную под названием полной молекулярной поляризуемости, то можно написать следующее простое соотношение:
Р=аЕ. (169)
Это линейное соотношение в большинстве случаев является достаточным; нелинейные эффекты рассматриваются далее. Обозначая число молекул в кубическом сантиметре через N, мы имеет также:
P = N^. (170)
О Это определение F в приложении к пьезоэлектрическим явлениям рассматривается в гл. XXIV.
166
Глава VII
Величина а является суммой слагаемых . Здесь аеиаа
вызываются соответственно смещениями электронов в атомах и самих атомов (ионов). Члены ие-\-аа можно слить в а.еа ; они называются индуцированной поляризуемостью или поляризуемостью решетки (поляризуемость типа Лоренца). Этот тип поляризуемости, а поэтому и зависящая от нее часть диэлектрической постоянной, по существу не зависит от температуры.
Слагаемое ad вызывается структурными диполями, когда они существуют (т. е. постоянными диполями, характеризующими структуру даже в отсутствии внешнего поля, вызывающего поляризацию посредством ориентации). Рассматривать полярные структуры более высокого порядка, чем диполи, здесь нет необходимости.
Слагаемыми у. ЯВЛЯЮТСЯ pga = aeaF И Vd Во втором из
этих уравнений черточка имеет специальное значение, так как вообще направления постоянных дипольных осей распределены в пространстве особым образом. Черточка в первом уравнении указывает на то, что поляризация в кристалле не обязательно параллельна действующему полю.
При применении предыдущих выражений, особенно в гл. XXVI, единственным рассматриваемым типом диполя является постоянный диполь, способный вращаться в электрическом поле и обозначенный выше символом \td. Поэтому можно отбросить значок d и обозначить момент постоянного диполя просто через р-.
В этом случае полную поляризацию можно выразить следующим образом:
Р = V? = К°Р=Реа + Pd = ^еа + W. = NaeaF + NadF . (171)
Для диэлектриков, имеющих ?= 4 тс/3, из уравнений (168) и (171) можно вывести известное соотношение Клаузиуса — Мозотти, подставляя E = 4nP(k—1), где k является диэлектрической постоянной:
Хотя в этом уравнении первоначально считалось, что а обозначает только поляризацию решетки аеа, некоторые авторы включили сюда и дипольную поляризацию (§ 485).
В дальнейшем (§ 486) будет использовано следующее соотношение между восприимчивостью и молекулярной поляризацией, выведенное из уравнений (170), (171), и Р — т\Е:
Na = г+^ откуда '<1 = , . (173)
§ 114. Поляризация, вызываемая постоянными диполями. Теория предложена Дебаем [617, 618], применившим к изучению диэлектриков теорию парамагнетизма Ланжевена. Последняя описана в приложении, а применение теории Ланжевена-Дебая-Вейса к сегнетоэлектрикам рассматривается в гл. XXVI. Мы даем здесь только существенные уравнения более широкого характера.
Коротко говоря, теория постулирует, что диэлектрик с диэлектрической постоянной, зависящей от температуры, содержит диполи, находящиеся при отсутствии поля в беспорядке вследствие теплового движения. Под действием электрического поля диполи стремятся повернуться;
Диэлектрические свойства кристаллов
167
средняя величина поворота зависит от интенсивности теплового движения и напряженности поля, причем при более низких температурах она значительнее. Наблюдаемая поляризация есть результат статистического равновесия этих двух факторов. При слабых полях поляризация приблизительно пропорциональна полю, но с увеличением последнего приближается к состоянию насыщения.
Функцией Ланжевена А (а), применяемой в приложении к явлениям, вызываемым магнитными диполями/можно воспользоваться и в случае диэлектриков, подставляя вместо магнитных величин электрические. Тогда она выражает теоретическое отношение усредненной величины ц [уравнение (169)] к моменту р индивидуального диполя, причем последний считается постоянным и независимым от температуры. Параметр а равен pF/КТ, где К— постоянная Больцмана и Т — абсолютная температура. В своей первоначальной форме функция Ланжевена имеет вид:
Ца) =££-=t = £ctghfl_l , (174)
где Pq представляет собой поляризацию при бесконечном поле, когда диполи повернуты полностью. График функции L(d) приведен на фиг. 163 § 550.
Полезной приближенной формой этого уравнения, достаточно точной, пока F настолько мало, что а<1, является уравнение (550), которое мы приведем и здесь; оно представляет собой первые два члена разложения уравнения (174) по степеням а:
Р 1 Р^7 1 ( pJ1 V (175^
pi — 3 кт ~ 45 \кт) ~ Np •
Уравнение (174), а отсюда также и численные коэфициенты в уравнении (175) основаны на допущении, что ориентация диполей в пространстве свободна (§ 552). В твердых телах существуют известные ограничения свободы, но во всех случаях, когда поле не слишком велико, можно писать обобщенную функцию Ланжевена в следующей приближенной форме, получаемой из уравнения (562):
Е of—У = — (176)
р~Р КГ ч\кт) Np ' ll/JJ
Для первоначальной функции Ланжевена р и q принимают соответственно значения 1/3 и 1/45.
Уравнение (.174) показывает, что поляризация Pd при сильных полях приближается к насыщению. Отсюда следует, что диэлектрическая восприимчивость не является постоянной, но уменьшается при возрастании напряженности поля. У парамагнитных веществ насыщение наблюдается только в редких случаях и с большим трудом (§ 548), но оно является важной характеристикой ферромагнетиков.
Аналогично цлучаю магнитных тел, большое значение имеют диэлектрические свойства сегнетоэлектриков в слабых полях. В подобных случаях достаточно ограничиться одним или двумя первыми членами разложения А (а) по степеням а.
Когда величина F достаточно мала, чтобы можно было пользоваться одним первым членом, мы имеем
=Р ~КГ ’
168
Глава VII
где \PFfKT выражает участие диполя в молекулярной поляризуемости. Полная же поляризуемость выражается равенством:
« = ^-р-£г (177)
Составляющие поляризации, выражаемые этими двумя членами, представляют собой поляризацию смещением и поляризацию вследствие ориентации, как указано выше.
Как правило, диэлектрики с большой диэлектрической постоянной обладают структурой, содержащей диполи. Это подтверждается зависимостью от температуры, выражаемой уравнением (177). Диполи обладают апериодическим затуханием и не влияют на диэлектрическую постоянную при повышении частот до частоты порядка инфракрасного излучения.
Приведем выражение для поляризации, которое понадобится нам в § 484. При неограниченном возрастании F величина р приближается к р , и£(а), согласно уравнению (174), приближается к единице. В этом случае значение поляризации ориентацией при насыщении (в бесконечном поле), будет = TVp, и для полной поляризации при любом F получится выражение:
Р = №аЛРкОД. (178)
Хотя большинство исследований эффектов насыщения было проведено со свободно вращающимися диполями, эффект насыщения известен также и для диэлектриков, не имеющих полярных молекул ([617], гл. VI). Примеры этого встречаются среди сегнетоэлектриков. В таких случаях функцию Ланжевена можно «расширить, включив в нее тип поляризации яае О.
В этой главе нет необходимости более подробно рассматривать влияние температуры на поляризуемость. Мы вернемся к нему ниже при рассмотрении теории сегнетоэлектричества. Здесь следует только заметить, что у любого диэлектрика с очень большой и зависящей от температуры поляризуемостью можно ожидать найти точку Кюри, сходную с точкой Кюри сегнетовой соли.
§ 115. В этой главе следует также вкратце сказать о спонтанной поляризации, важной для теории сегнетовой соли. Когда присутствует спонтанная поляризация Ро, ее следует складывать с поляризацией Р, вызываемой полем Е. Величина Ро связана со спонтанным внутренним полем Fq — ^Po- Обозначая член, вызываемый полем Е, через Fe , для полного внутреннего поля получаем:
= + + (179)
В проблемах, обычно возникающих в связи с диэлектриками, приходится иметь дело только с поляризацией, вызываемой полем Е, т. е. Р = /] Е. С другой стороны, пироэлектрические кристаллы могут иметь спонтанную поляризацию Ро, а деформированные пьезоэлектрические кристаллы — поляризацию, которую мы обозначим через Ph » Как Ро, так и Ph (безотносительно к сегнетоэлектрическим аномалиям) не зависят от £; во всяком случае при Е — 0 они отличаются от нуля.
’) Большей частью мы будем пользоваться функциями Ланжевена в обобщенной форме [уравнение (176)].
Диэлектрические свойства кристаллов 169
Пьезоэлектрические кристаллы могут быть или полярными, или неполярными. В первом случае соответствующая деформация производит поляризацию как смещением решетки, так и вращением диполей: меняются и аае и . Если кристалл не является полярным, то происходит только искажение решетки.
Когда электрическое поле действует на зажатый кристалл, в котором невозможны никакие доступные наблюдению деформации, то можно принять, что существуют оба типа поляризации, хотя и в пониженной степени. В § 468 мы увидим, что Мюллер привел основания в пользу мнения, что зажатый кристалл сегнетовой соли не обнаруживает «ферроэлектрических» свойств, доступных наблюдению.
§ 116. Рассеяние энергии в диэлектриках. Конденсатор можно представить как чистую емкость последовательно с небольшим сопро1-тивлением, или параллельно с большим сопротивлением, или как комбинацию того и другого. Материалы, выбираемые в качестве диэлектриков для конденсаторов, обычно обеспечивают почти постоянную емкость в широком диапазоне частот и температур. Сопротивление, наоборот, часто оказывается сильно зависящим от этих двух факторов.
Хотя и были измерены диэлектрические постоянные значительного числа пьезоэлектрических кристаллов, в большинстве случаев не возникло особой необходимости измерять их диэлектрические потери. Единственными примерами кристаллов, с которыми нам придется иметь дело, являются кварц и сегнетовая соль. Для кварца крайний предел при конструировании резонаторов с низким затуханием ставится внутренними потерями, главным образом, упругими. Затухание, вносимое монтировкой, воздушным трением и пр., обычно превышает затухание самого кварца.
В случае сегнетовой соли и диэлектрическая постоянная и внутренние потери сильно меняются в зависимости от температуры, частоты и других факторов. Для сегнетовой соли была исследована релаксация. Этот эффект обычно наблюдается у материалов, содержащих полярные молекулы. Хотя подробности, относящиеся ко времени релаксации, выходят за пределы настоящей работы, здесь вкратце можно отметить следующее
Если на вещество, содержащее диполи, действует переменное поле постоянной амплитуды, то при постепенном повышении частоты проходятся некоторые полосы поглощения в спектре частот, внутри которых (вследствие причин, имеющих характер внутреннего трения) поляризация, а поэтому и диэлектрическая постоянная падают, сохраняя сравнительно низкие значения со стороны более высоких частот. Для каждого из этих участков существует некоторая характеристическая частота <о0/2тс , определяемая уравнением о0 = 27(776 = 1/т , где 7( — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, b — постоянная трения их— время релаксации 2 \ Диэлектрическая постоянная начинает уменьшаться в начале полосы поглощения, где частота
О См. литературу в конце настоящей главы.
2) Говоря о статических полях, можно сказать, что при действии на диэлектрик постоянного поля диполи поддерживаются в некотором статистическом состоянии упорядоченности. Можно доказать, что при внезапном исчезновении поля это состояние упорядоченности падает до 1/г своей первоначальной величины за время, равное времени релаксации.
170
Глава VII
может бь/ть только долей wo/2tc. В случае сегнетовой соли полосы поглощения в инфракрасной области были исследованы Валашеком )[546]\
Некоторые наблюдатели утверждают, что для сегнетовой соли ими найдены некоторые характерные значения времени релаксации, иногда при чрезвычайно низких частотах. Литература по этим работам приведена в § 428.
Другой тип поглощения энергии, очень похожий на тип поглощения, встречающийся в пьезоэлектрическом резонаторе, обнаруживается в инфракрасной и оптической частях спектра. Этот тип вызывается собственными периодами колебаний, связанными с электронами, молекулами или с кристаллической решеткой, и сопровождается аномальной дисперсией (нормально в диапазоне оптических частот показатель преломления, а отсюда и диэлектрическая постоянная с возрастанием частоты возрастает).
Если принять во внимание все типы поглощения, результатом является постепенное уменьшение диэлектрической постоянной с возрастанием частоты, за исключением быстрых подъемов при приближении к частотам собственных (резонансных) форм колебаний. Если диэлектрик представляет собой препарат пьезоэлектрического кристалла, монтированный механически не очень жестко, то он будет обладать многими собственными частотами колебаний, зависящими от его размеров; вблизи каждой из них он будет воздействовать на возбуждающий контур. Изменения электрического тока в такой области таковы, как если бы диэлектрик обладал диэлектрической постоянной и поглощением, изменяющимися в зависимости от частоты. Ниже будет показано, что поведение пьезорезонатора возможно выразить через комплексную диэлектрическую постоянную, как это принято делать в случае молекулярных колебаний. В каждом таком случае явление можно описать как «аномальную дисперсию».
Какова бы ни была природа поглощения энергии, оно оказывает заметное влияние на измеряемую диэлектрическую постоянную, если только потери не слишком малы.
§ 117. Из наблюдений с помощью мостика можно определить диэлектрическую постоянную любого диэлектрика, пользуясь уравнением С = kA/4 тс е, где А—площадь, е — расстояние между электродами, которые предполагаются находящимися в непосредственном контакте с диэлектриком; можно также рассчитать эквивалентное параллельное сопротивление R и по нему эквивалентную проводимость материала. Если измерения таковы, что дают полную проводимость, то при пренебрежении потерями можно получить неверные значения диэлектрической постоянной. В таких случаях наблюдаемая диэлектрическая постоянная является величиной, известной под именем комплексной диэлектрической постоянной, которую мы обозначим через kc и которая является функцией k, R и частоты.
Уравнение для комплексной диэлектрической постоянной можно вывести следующим образом. Если дать определение «комплексной емкости» Сс через наблюдаемую полную проводимость с помощью уравнения Y = j<»Cc—g— jb, то мы будем иметь:
~ Jg), (180)
Диэлектрические свойства кристаллов
171
где kc представляет собой комплексную диэлектрическую постоянную, b — реактивную проводимость и g— активную проводимость. Отсюда:
k
4пе
О) Л
(181)
где, при малых потерях, k является обычной диэлектрической постоянной, выражаемой уравнением С = kA/4-е —— b/®. Член, выражающий рассеяние, появляется здесь в виде мнимой величины, а не занимает своего обычного места в качестве действительной части, как в теории переменного тока.
Так как получающиеся значения g и b всегда можно вывести для любого контура при любой данной частоте, то отсюда следует, что любой контур можно представить в виде конденсатора с комплексной диэлектрической постоянной. Если контур индуктивен, то реактивная часть диэлектрической постоянной имеет отрицательный знак. В частности, эквивалентная схема пьезорезонатора показана в § 258.
Наиболее полно теория потерь в диэлектриках разработана Дебаем. Его теорией пользовался Мэзон [338] при рассмотрении диэлектрического гистерезиса в сегнетовой соли.
ЛИТЕРАТУРА
№ 384, 617, 618, 651 общей библиографии.
ГЛАВА VIII
ОСНОВЫ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА
§ 118. Введение. Положения гл. II относительно пьезоэлектрического эффекта можно резюмировать и расширить следующим образом.
Пьезоэлектрический кристалл можно определить как кристалл, в котором давление вызывает появление «электричества или электрической полярности», или, короче, как кристалл, электризующийся при сжатии, или как кристалл, деформирующийся в электрическом поле. Первые два определения выражают прямой эффект, тогда как третье выражает обратный эффект.
Эти определения, правильные сами по себе, требуют, однако, дальнейшего пояснения. Во-первых, при замене сжатия растяжением (т. е. при изменении знака давления) меняется знак электрической полярности. Можно спросить, как это кристалл*«знает», каким образом ему электризоваться? На это можно ответить, что во внутренней структуре пьезоэлектрического кристалла имеется известная «односторонняя направленность», определяющая знак заряда, который появляется на данном участке поверхности при сжатии. В случае обратного эффекта та же односторонняя направленность определяет знак деформации при действии на кристалл электрического поля. Именно это изменение знака деформации при изменении знака поля и отличает пьезоэлектричество от электрострикции (§ 137).
Такой односторонней направленностью обладают 20 из 32 классов кристаллов. В остальных, направление полярности при сжатии не определяется ничем, поэтому они и не поляризуются !).
Второе соображение относится к связи между наложенным напряжением и возникающей поляризацией. Это напряжение может быть сжатием или растяжением, как указывалось выше, но оно может быть и напряжением сдвига, которое, как показано в § 27, тесно связано со сжатием. Существует один класс кристаллов, в котором поляризация вызывается любым напряжением любого типа, причем направление и интенсивность поляризации, разумеется, меняются в зависимости от напряжения. Это — асимметричный триклинный класс, обладающий низшей симметрией, который мы теперь рассмотрим подробнее. В случае всех других классов поляризация вызывается только некоторыми определенными типами напряжения, имеющими определенные направления относительно кристаллографических осей. Нет класса, в котором пьезоэлектрическая поляризация имела бы одно и только одно направле-
О Это утверждение пренебрегает тензорным пьезоэлектричеством, упоминаемым в § 525, которое слишком слабо и поэтому здесь не рассматривается.
[С точки зрения теории симметрии «односторонняя направленность», о которой здесь идет речь, есть просто отсутствие центра симметрии. Отсутствием центра симметрии характеризуется 21 класс кристаллов. Пьезоэлектричество возможно, однако, только в 20 из них. Односторонняя направленность есть, следовательно, необходимое, но не достаточное условие существования пьезоэлектричества. {Прим, ред.)]
Основы пьезоэлектричества
173
ние, но существуют несколько классов, в которых поляризация определяется некоторой плоскостью. Действующее поле должно иметь в этой плоскости по крайней мере одну компоненту, чтобы вызвать хоть какую-нибудь пьезоэлектрическую деформацию.
Так как существует шёсть возможных компонент напряжения и три компоненты электрической поляризации, то очевидно, что имеются 18 возможных связей между механическими и электрическими состояниями кристалла. Эти связи выражаются 18 пьезоэлектрическими константами, значения которых независимы и отличны от нуля, за исключением случаев (как всегда бывает во всех системах, кроме триклинной), когда симметрия класса такова, что приводит некоторые константы к идентичным ^значениям, включая нуль. В некоторых классах относительно высокой симметрии существует только одна независимая постоянная, но она связанй по крайней мере с двумя типами напряжения и деформации и по крайней мере с двумя компонентами поляризации и поля. Если кристалл является пьезоэлектрическим, то, как бы высока ни была симметрия, существует широкий выбор напряжений, направлений поля, срезов и форм колебаний. Принципы, на которых основано возбуждение различных типов колебаний путем пьезоэлектрического возбуждения, рассматриваются в гл. X.
Хотя предыдущие формулировки относятся главным образом к прямому эффекту, их одинаково хорошо можно выразить и через обратный эффект. Если в случае прямого эффекта механическое напряжение типа 1г вызывает электрическую деформацию (поляризацию) в направлении т, то при обратном эффекте электрическое напряжение в направлении т вызывает механическую деформацию типа h. Для каждого класса кристаллов существует полная взаимность между этими двумя эффектами.
§ 119. Настоящая глава посвящена главным образом изложению феноменологической теории пьезоэлектричества Фогта. Она включает в себя краткий очерк эффектов, характерных для 20 пьезоэлектрических классов кристаллов, и уравнения, выражающие пьезоэлектрические константы относительно преобразованных осей. В качестве введения в графические методы, применяемые в следующей главе, рассматривается также представление пьезоэлектрических свойств с помощью поверхностей и диаграмм, чтобы показать, как различные кристаллы изменяются при повороте системы осей
В начале главы дается краткий обзор первых исследований П. и Ж. Кюри в этой области и предсказание Липпманом обратного эффекта.
В конце главы помещен параграф, касающийся явления электрострикции.
§ 120. Примерное описание пьезоэлектрических эффектов и реакций. Предположим, что поле произвольного направления воздействует на гемиэдрический триклинный кристалл. Это вызывает ряд эффектов. Каждая из трех компонент вектора напряженности поля возбуждает шесть независимых компонент тензора внутреннего механического напряжения, называемого пьезоэлектрическим напряжением. Полная система напря-
’) Здесь и во многих других местах книги автор допускает неточность, говоря, что кристаллы изменяют свои свойства при перемене системы координат, тогда как, по сути дела, может итти речь только об изменении формы тензора, описывающего •то или иное явление в кристалле. (Прим, ред.)
174
Глава VIII
жений состоит из 18 различных членов, по три члена для каждой из шести компонент напряжения. Производимая деформация включает все возможные типы деформации, . при этом меняются длины всех ребер и все углы между последними.
Однако это еще не исчерпывает всех обстоятельств явления. Если поверхности кристалла не находятся в контакте с электродами, на них (в силу прямого пьезоэлектрического эффекта) вследствие деформации появятся поляризационные заряды, которые дадут дополнительную группу компонент поля. Последние изменят полные системы напряжений и деформаций, а это, в свою очередь, вызовет появление еще н,о-вых зарядов поляризации и т. д. Окончательное состояние будет зависеть от всех этих обстоятельств.
Сверх того, так как наш кристалл необходимо является также и пироэлектрическим, то электрическое поле вызовет вследствие электро-калорического эффекта некоторые тепловые изменения, а эти последние, в свою очередь, изменят упругие коэфициенты и отсюда деформацию, а также через пироэлектрический эффект повлияют на состояние поляризации. Наконец, деформация кристалла изменится еще вследствие эффекта электрострикции, а обратный электрострикционный эффект приведет к дальнейшему изменению поляризации. Полное описание окончательного состояния кристалла включает эти термические и электро-стрикционные эффекты. К счастью, обычно ими можно пренебречь.
§ 121. Объектом пьезоэлектрической теории является анализ ситуаций, подобных описанной в предыдущем параграфе. Пьезоэлектрические силы являются примерами класса сил, известных под именем «пространственных сил» и действующих скорее непосредственно на все вещество, чем механически приложенных к его границам снаружи. Как будет видно, задачу можно решить полностью, когда все условия однородны, т. е. когда все элементы объема имеют совершенно одинаковые температуры, компоненты поля и компоненты деформации. Когда приходится принимать во внимание пограничные условия, задача настолько усложняется, что решения возможны только в некоторых специальных случаях.
Триклинный гемиэдрический класс кристаллов был выбран в качестве иллюстрации потому, что он обладает самой низкой степенью кристаллической симметрии, хотя экспериментальных работ, относящихся к этому классу, почти нет. Другой триклинный класс, имеющий центр симметрии, не является пьезоэлектрическим.
Для общности обычно выражают основные пьезоэлектрические уравнения через все 18 возможных коэфициентов. Каждый из 20 пьезоэлектрических классов характеризуется относительно подходящем образом выбранных осей определенным числом коэфициентов, уменьшающимся до единицы с повышением симметрии. За исключением триклинного гемиэдрического класса, в котором выбор осей совершенно произволен, основные пьезоэлектрические коэфициенты для каждого класса выражаются относительно системы ортогональных осей, основанных на элементах симметрии данного класса; поэтому число их меньше, чем было бы при любой другой системе осей. Если, как часто бывает, кристалл вырезан в косом направлении, то приходится принимать новую
]) Не всякий пьезоэлектрический кристалл должен быть пироэлектрическим. Из 20 пьезоэлектрических классов только 10 являются пироэлектрическими (Прим, ped.)
Основы пьезоэлектричества
175
систему осей, что обычно приводит к значительному увеличению числа коэфициентов. Иными словами, можно ожидать, что любое преобразование осей приведет кристалл в положение более низкой симметрии !).
§ 122. Исследования братьев Кюри. В качестве вступления к теории Фогта мы сделаем краткий обзор некоторых основных пьезоэлектрических исследований Пьера и Жака Кюри2). В гл. I мы описали открытие братьями Кюри прямого пьезоэлектрического эффекта в 1880 г. (электрической поляризации, вызываемой механической деформацией) и подтверждение ими в 1881 г. обратного эффекта, предсказанного Липпманом. Они обнаружили, что из кристалла кварца можно вырезать пластинки таким образом, что поляризацию в известном направлении можно вызвать сжатием, параллельным этому направлению (продольный эффект) и перпендикулярным ему (поперечный эффект).
Их единственные количественные результаты относились к постоянной du кварца и rf33 турмалина. В настоящем кратком резюме мы будем говорит!} только о кварце. Они прилагали давление, параллельное толщине кварцевой пластинки, которая представляла собой срез X, и, измеряя получавшийся заряд с помощью электрометра, нашли dn = 6,32 10—8 эл.-ст. ед. — значение, хорошо согласующееся с лучшими позднейшими определениями. Измеряя dn при обратном эффекте, они подавали на электроды среза X разность потенциалов с электростатической машины Хольца и наблюдали расширение в направлении У посредством тонкого увеличивающего рычага3). Принимая во внимание, что электрическое напряжение измерялось искровым промежутком, следует признать замечательным, что значение dn, полученное этим методом, согласовалось со значением, определенным с помощью прямого эффекта с точностью до 4%.
Среди кварцевых пластинок, использованных братьями Кюри в различных экспериментах, некоторые были длиной в 8 см, а толщиной ТОЛЬКО 715 мм.
В «Oeuvres» описано несколько остроумных пьезоэлектрических устройств, Предназначенных для различных статических измерений. Одно из них — пьезоэлектрический манометр 4) — основано на продольном эффекте: в нем сжатие среза X в направлении толщины вызывало отклонение электрометра. Этот прибор предназначался для измерения давлений (например, напряжений, вызываемых магнитострикцией) и был предшественником некоторых современных приборов, упоминаемых в гл. XXVIII. Когда давление вызывалось действием большой разности потенциалов на вспомогательную систему кварцевых пластинок, соприкасающихся с пластинкой, описанной выше, то устройством можно было пользоваться для измерения большой разности потенциалов. Теория этого устройства дана Фогтом 5).
Вторым устройством, иногда применяющимся и в настоящее время
’) Пример неточных выражений автора, о которых говорится в примечании редакции к стр. 173. Более низкой симметрией в действительности будет обладать кг кристалл, а ^фигура, образованная кристаллом вместе с приданной ему системой осей. (Прим, ред.)
2) Oeuvres de Pierre Curie [612]. Здесь мы будем сокращенно называть эту книгу — «Oeuvres».
3) «Oeuvres», стр. 45.
4) «Oeuvres», стр. 38.
5) «Физика кристаллов», стр. 904.
176
Глава VIII
(§ 354, 396), была двойная кварцевая полоска1). Два длинных узких кварцевых среза X были склеены подобно биметаллическим полоскам, применяющимся в термостатах. В -одном варианте оси X этих двух пластинок были антипараллельны, вследствие чего при наложении равных и противоположных зарядов на электроды (пленки серебра) , покрывавшие внешние поверхности двойной пластинки, одна пластинка удлинялась, другая сокращалась и происходил изгиб. В другом варианте оси X были направлены прямо параллельно, но между двумя пластинками помещался третий электрод, присоединявшийся к одному полюсу измеряемого высокого напряжения, причем другой полюс соединялся параллельно с двумя внешними электродами. Это устройство могло, следовательно, служить в качестве пьезоэлектрического электрометра 2). Его теория дана Фогтом в «Физике кристаллов» 3).
Самым простым и известным из этих ранних устройств, для которых все еще существует область применения, был «quartz piezoelect-rtque» 4>. Он состоит из одной тонкой, удлиненной пластинки кварца, в первоначальной конструкции имевшей размеры 100 X 20X0,5 мм параллельно осям Y, Z и X, причем ее главные грани были посеребрены или покрыты оловянной фольгой и служили в качестве электродов. К каждому концу прикреплялась металлическая полоска, и пластинка подвешивалась вертикально в заземленном металлическом ящике; к нижнему концу прикреплялась чашка весов, на которую можно было помещать грузы и тем самым доводить кварц до желаемой степени растяжения. Таким образом, в этом приборе использовался поперечный эффект. Электроды присоединялись к электрометру. Прибор применялся для получения известных зарядов, для измерения емкостей, разностей потенциалов, пиро- и пьезоэлектрических эффектов и для измерений в области радиоактивности 5\
§ 123. Основная теория пьезоэлектричества. При изложении основной теории будут рассматриваться только изотермические процессы. При этом принимается, что состояние кристалла однородно, как электрически, так и механически и что уравнения линейны. Последнее условие выражает обобщенный закон Гука или пропорциональность между напряжением и деформацией при электромеханических и чисто упругих явлениях. Экспериментально найдено, что это выполняется для всех исследованных кристаллов, за исключением сегнетоэлектриков.
Основные пьезоэлектрические соотношения выводятся из третьего члена уравнения (1). Происхождение этого члена понятнее всего в свете теории Липпмана. Как указано в гл. I, важным вкладом Липп-мана в изучение пьезоэлектричества было предсказание обратного эффекта [316]. Его статьи, посвященные приложению термодинамических методов к электрическим явлениям и особенно к проблеме электрострикции и обратному явлению, вспоминаются в настоящее время главным образом благодаря той их части, где он устанавливает, что те же рассуждения, будучи применены к открытому братьями Кюри прямому пьезоэлектрическому эффекту, ведут к заключению, что
О «Oeuvres», стр. 49.
2) Французский патент № 183851, 27 мая 1887.
3) Стр. 906.
4) Пьезоэлектрический кварц описан впервые в докторской диссертации Жака Кюри, Париж, 1889. «Oeuvres», стр. 554.
5) Mme, Curie, Traite de Radioactivite, Paris, 1910.
Основы пьезоэлектричества
177
пьезоэлектрический кристалл, помещенный в электрическое поле, должен претерпевать деформацию. Он предсказал, что численные значения коэфициентов, определяющих прямой и обратный эффекты, одинаковы.
Рассуждения Липпмана в применении к пьезоэлектричеству можно выразить следующим образом. Если пьезоэлектрический кристалл, помещенный в электрическое поле Е, подвергается механическому напряжению X, то в нем возникают электрическая поляризация Р и деформация х. Если затем поле и напряжение изменяются на малые количества dE и dX, то общее изменение энергии dU можно выразить полным дифференциалом dU = PdE — х ЬХ. Эффект электрострикции рассматривается в § 137. Принимая, что процесс является обратимым, мы пишем (см. § 187):
Так как в широких пределах давлений и для большинства кристаллов найдено, что Р изменяется в зависимости от X линейно, то можно положить дР/дХ — —8, где о является константой пьезоэлектрической деформации. Это соотношение выражает прямой эффект, а уравнение (182) показывает, что существует обратный эффект дх/дЕ, имеющий ту же константу В с обратным знаком. Именно это предсказание и было вскоре после его опубликования подтверждено братьями Кюри.
Принимая заключения Липпмана, Покельс, Дюгем, а позднее, в более точной и общей форме, Фогт дали определение термодинамических потенциалов для пьезоэлектричества. Физическое значение термодинамических потенциалов заключается в том, что . когда какая-либо из трех компонент напряженности электрического поля присутствует одновременно с одной из шести компонент деформации или напряжения, то энергия, запасенная в кристалле, в самом общем случае, получает приращение, которое может быть равно нулю, только если соответствующий пьезоэлектрический коэфициент обращается в нуль.
§ 124. Основные пьезоэлектрические уравнения. Для вывода основных пьезоэлектрических уравнений мы используем три первых члена уравнений (1) и (2) (остальные члены отсутствуют потому, что процесс предполагается изотермическим). Это приводит более простым и ясным способом, чем у Фогта, не только к важным первичным уравнениям для прямого и обратного эффекта, но и к выражениям для вторичных эффектов. Таким образом легко получить наиболее общее определение влияния пьезоэлектрических реакций на упругие и диэлектрические константы. Осями являются ортогональные кристаллографические оси. Переходы к другим системам осей рассматриваются в § 134 и далее.
Из уравнения (1) получаются основные пьезоэлектрические уравнения, выраженные через деформацию. Производные по деформации и полю (при постоянной Т) имеют вид:
6 3
— №) (обратный эффект); (183) тп
3
= lLemhxh = Pm (прямой эффект). (183а)
Значение (Xh) объяснено в § 126.
12 Кэди
178
Глава Vin
Восемнадцать величин emh являются коэфициентами пьезоэлектрического напряжения (по Фогту — «пьезоэлектрическими константами») .
Подобным же образом производные уравнения (2) приводят к основным уравнениям, выраженным через внешние напряжения:
6 з
= 12 ShiXi — ^dmhEm= — xh (обратный эффект); (184)
i т
3 6
= S rl'kmEk — ^dmhXh = Pm (прямой эффект). (184а)
Величины т;" и у] ' представляют собой восприимчивости в зажатом и свободном состояниях (§ 204).
Восемнадцать величин dmh являются коэфициентами пьезоэлектрической деформации (по Фогту — «пьезоэлектрическими модулями»1)). По аналогии с V их можно было бы назвать пьезоэлектрическими восприимчивостями.
В предыдущих выражениях величины sf, и сЕ являются упругими коэфициентами ( при постоянном £). Этот тип упругих коэфициентов молчаливо принимается Фогтом и необходим потому, что в выражениях электрической энергии Е является независимой переменной 2). Упругий модуль S/zf при постоянном Е аналогичен восприимчивости km при постоянном механическом напряжении (§ 204), тогда как упругий модуль Shi при постоянной поляризации, аналогичен восприимчивости при постоянной механической деформации.
Для всех кристаллов, за исключением сегнетоэлектриков, значения
Е Е
сп и Shi можно считать практически независимыми от величины поля Е.
О В странах английского языка принято определять модуль как отношение напряжения к деформации. Но из уравнений (184) и (184а) видно, что dmh является по существу деформацией, деленной на напряжение; поэтому «модулями» следует называть скорее величины emh, чем dmh- В целом представляется более правильным называть величины d константами пьезоэлектрической деформации (или коэфициентами деформации), а величины е — константами пьезоэлектрического напряжения (или коэфициентами напряжения). В дальнейшем мы будем пользоваться этой терминологией. Следует заметить, что е2 имеет размерность напряжения, помноженного на диэлектрическую постоянную. Согласно систематическому тензорному обозначению величины d и е следует писать с тремя значками вместо двух, так как они выражают связи между векторами и тензорами второго ранга и поэтому являются тензорами третьего ранга. Однако, следуя обозначению Фогта, почти общепринятому и во всех случаях достаточно ясному, мы будем пользоваться только двумя значками. Вустер [658] вводит основные пьезоэлектрические уравнения сначала в полном тензорном обозначении, но затем находит необходимым сократить число значков др двух. К сожалению, его сокращенные значки не одинаковы со значками Фогта. В § 26 мы уже поясняли употребление в тензорах напряжения и деформации одного' значка вместо двух.
Недавно Бонд [64] ввел очень компактное матричное обозначение пьезоэлектрических и других коэфициентов.
2) Употребление коэфициентов при постоянной поляризации связано с теорией поляризации (§ 192). Соотношения между коэфициентами при постоянном поле и постоянной поляризации приведены в § 208.
Основы пьезоэлектричества
179
§ 125. Интерпретация уравнений энергии. Теперь следует показать, как полная энергия распределяется между членами уравнений (1) и (2). В каждом уравнении нужно рассматривать только первые три члена так как здесь мы пренебрегаем тепловыми изменениями. Сущность уравнений выступает яснее, если опустить значки и знаки суммирования; выражения,- написанные полностью, приводят к тем же заключениям. В этом сокращенном виде уравнения запишутся:
1 = 1сех* + + еЕх ; (185)
С = 1 se х2 + i-q'£2 - dEX. (185а)
Как указано в §23, кристаллическая пластинка, снабженная прилегающими электродами, которые соединены с батареей, подвергается одновременному воздействию механического напряжения X любого типа и электрического поля Е, нормального к поверхности пластинки. Полная деформация, вызываемая совместно X и Е, выражается величиной х. Уравнения (185) и (185а) представляют собой два альтернативных выражения энергии, сообщаемой пластинке совместным действием X и Е. В случае уравнения (185) можно! предположить, что х вызывается воздействием X, в то время как Е = 0 и пластинка закорочена. Производимая работа, отнесенная к одному кубическому сантиметру, представлена первым членом уравнения (185). Действие X вызывает поляризацию Р = ех, продолжающую существовать и после наложения Е. Закрепим теперь пластинку так, чтобы устранить дальнейшую деформацию, оставив х фиксированной; так как в этих условиях движения нет, то закрепляющие силы не совершают работы. Затем присоединим к электродам батарею, возбуждающую в пластинке поле Е. Батарея производит в диэлектрике работу, равную т" Е2/2 на кубический сантиметр; а так как поле Е связано также с поляризацией Р'= ех, то в кристалле появится еще дополнительная энергия е Ех на кубический сантиметр. Таким образом, объясняются второй и третий члены уравнения (1).
В случае уравнения (185а) можно предположить, что сначала поле Е действует на механически свободный кристалл. При этом появляется поляризация Р = Е и производится электрическая работа т/Е2/2. Затем кристалл подвергается механическому напряжению X, производящему механическую работу sEX2/2. Эта операция вызывает приращение поляризации Р — — dX с соответствующим стеканием зарядов из батареи, производящим дополнительный расход электрической энергии. Таким образом объясняются три члена в уравнении (185а).
В непьезоэлектрических кристаллах d и е обращаются в нуль, = и два члена, остающиеря в уравнениях (185) и (185а), представляют собой механическую и электрическую энергию, причем эти два вида энергии теперь совершенно не связаны друг с другом.
§ 126. Интерпретация уравнений (183) — (184а). Уравнение (183) утверждает, что полное напряжение (А\) состоит из двух частей: во-первых, из действующего извне напряжения, которое производит предписываемую деформацию, если Е — 0; во-вторых, из напряжения, вызываемого пьезоэлектрическим полем Е (пространственное напряжение в отличие от внешнего напряжения). Иными словами, второй член
180
Глава VIII
равен и противоположен внешнему механическому напряжению, которое нужно было бы прибавить к механическому напряжению, соответствующему первому члену, чтобы при наложении поля деформация сохранилась постоянной. При заданных деформациях и поле компонента полного внешнего механического напряжения X h уже не является величиной (ХЛ) из уравнения (183), но определяется - выражением
6 „ 3 3
= + . (186)
i т т
То обстоятельство, что Xh является не внешним напряжением, но суммой двух напряжений — внешнего и внутреннего, — следует иметь в виду при всех применениях уравнения (183). Непринятие этого различия во внимание приводит к расхождению в знаках некоторых членов в различных учебниках. В уравнениях (183а), (184) и (184а) нет источников подобных расхождений.
Часто встречаются уравнения, в которых внутреннее напряжение (А'Л), вызываемое полем Е, является единственным; в тех случаях, когда не может быть неясности, мы будем писать символ напряжения без скобок.
Уравнение (483а) выражает поляризацию в виде суммы двух частей, а именно, диэлектрической (как в случае недеформированного или зажатого кристалла) и пьезоэлектрической (вызываемой деформацией). У большинства кристаллов все связи практически являются линейными, и величина '//' независима от деформации и поля. У сегнетоэлектриков величина V' сама является функцией напряженности поля (§ 456). Если внешнего напряжения нет, то компонента деформации xh в уравнении (183а) является полностью пьезоэлектрической, вызываемой электрическим полем, так что в этом случае Рт представляет собой поляризацию в свободном кристалле, как это выражается уравнением (260).
Подобным же образом уравнение (184) выражает деформацию в присутствии как внешнего напряжения X, так и поля Е. В уравнении (184а) первый член представляет собой приращение поляризации, вызываемое полем Е в ненапряженном (свободном) кристалле; второй член появляется вследствие любого внешнего напряжения. В большинстве кристаллов vf не зависит от поля и внешнего напряжения (поскольку последнее при наложении поля остается постоянным). В случае сегнетоэлектриков это утверждение уже не является справедливым (гл. XXII).
Как будет показано ниже, в случае таких кристаллов как сегнетова соль, имеющих различные элементы симметрии при разных температурах, необходимо учитывать обстоятельства, при которых деформация становится равной нулю при тех или иных температурах. Для случая сегнетовой соли это сображение приводит к представлениям о «ромбическом и «моноклинном» зажатии и к надлежащему введению спонтанной поляризации Р° в уравнения. Хотя это р.азличие впервые обсуждается в связи с теорией поляризации, его можно провести и в формулировке Фогта в том виде, как она трактуется в настоящей главе. Однако во всех приложениях формул Фогта к сегнетовой соли, с которыми мы здесь встретимся, достаточно применять «нормальный метод» (§ 458), согласно которому при любой температуре кристалл находится в состо
Основы пьезоэлектричества
181
янии нулевой деформации, когда состояние его не изменено и он свободен от всякого напряжения, если находится в поле, равном нулю. Уравнения Фогта можно, следовательно, применить к задаче пьезоэлектрического резонатора сразу, без явного введения в них спонтанной деформации или спонтанной поляризации.
Все упругие, диэлектрические и пьезоэлектрические коэфициенты более или менее меняются в зависимости от температуры. Формально это можно выразить, удерживая в уравнениях (1) и (2) четвертые члены, но проще принять процессы изотермическими и трактовать температурные изменения отдельно. Этот метод тем более оправдан, что для большинства кристаллов при всех обычных температурах пьезоэлектрические коэфициенты являются почти постоянными.
§ 127. Напишем теперь пьезоэлектрические соотношения в развернутом виде, раскрывая суммирования во вторых членах четырех уравнений (183) —(184а) и полагая первые члены равными нулю В случае прямого эффекта получающиеся выражения дают поляризацию, вызываемую механическим напряжением в отсутствии электрического поля; при обратном эффекте они дают приращения напряжения и деформации, вызываемые действующим полем, на которые, разумеется, могут наложиться приращения, вызываемые механическими силами. Независимость пьезоэлектрических коэфициентов большинства кристаллов от поля и напряжения приводит в случае их отдельного или совместного действия к возможности удержания первых членов в уравнениях (183) — (184а) без влияния на значения вторых членов. С другой стороны, существуют кристаллы, особенно сегнетова соль, в которых прямые и обратные пьезоэлектрические эффекты не являются линейными относительно X и Е. Теоретическая трактовка таких случаев требует включения в выражения для свободной энергии (§ 23) членов более высокой степени; этот метод и проводится Мюллером для сегнетовой соли (§ 448), но в случае большинства кристаллов это только излишне усложняет рассмотрение вопроса.
Из уравнений (183а) и (184а) получаются основные уравнения для прямого эффекта:
Рх = епхх 4- е12уу+e13z2 4- ег 4 у24-e15zx4-е4 6ху;
Ру — ^21-Vr + егчУу + + ^24 Уг + ^25^ 4" 62вХу 5
Я = е81хЛ++ e33zz 4- е34 уг 4- e35zx 4- eS6xy.
—Ру ~ ^21^x4"^22^y“F^23^4"^24^z4_^25^x4"^26^y’
—Pz = d34Xx~\~ d32Yy-{-d33Zz d34Yz ~\~d33Zx~\~ d33X у.
(1871
(188)
Уравнения (187) и (188) выражают электрическую деформацию, вызываемую механической деформацией или напряжением.
Подобным же образом основные уравнения для обратного эффекта, которые выражают . механическое напряжение или деформацию, вызываемые • 'Электрическим- -напряжением, выводятся иэ- уравне
182
Глава VIII
ний (183) и (184):
- Хх= ^1А + е^Еу + ^3i^; ^У = ^12Ex~\~^22Ey~\~^32Ez'l Xz '= ^13Ех~\~^23ЕуЧ~^33^г>
'Н? == ^14^'x~F^24-^y~F^34^j ЕХ ^15Ех~\~^25Еу~\~ ^3oEz'i ху = ^\^Ех^б.у1-Еу~т-е-,,.Е2.
(189)
В этих последних уравнениях величины слева являются внутренними напряжениями, вызываемыми компонентами Е. В дальнейшем скобки, введенные в уравнение (183), мы будем вообще опускать, подразумевая (если не сделано специальных оговорок), что символы напряжения в пьезоэлектрических уравнениях, подобных (189), будут обозначать компоненты внутреннего напряжения.
Уравнения для деформации имеют вид:
хх — dyyEx-\-d^1Ey -]-dslEzi
У у ~~~ d\<>Eх~\~ dt^Ey ~\~d^Ez'1 zz = dViEx~^~d^Ey -\-d3SEz', (190)
Уг = di±Ex-+-d^Ey -\-duEz, zx = d^Ev-|~d^Ey -^-d^Ez'., •fy—: d^Ex-{-d26Ey -\-d^Ez.
Из приведенных выше уравнений можно видеть, что величины d и е связаны через упругие константы. Выражение для этой связи можно получить, если сначала выразить каждую компоненту напряжения в уравнении (188) через компоненты деформации с помощью уравнения (6). В результате находим:
6 6
^=3 Ydmicfhxh .
i h
Это выражение согласуется с уравнением (187) или уравнением (183а), если написать
6
^mh' ’ S d'mi Ctfi * (191)
X
Подобным же образом легко доказать, что
6
. [191а)
I
В,, развернутой форме уравнения (191) и (191а) принимают вид:
tnh ~~' d'nil Clh *4~ dm2^3h ! dm3 ^sh ~F” dmi ~T dm^bh ~F" dm.d'bh. ’ ( 1 )
d/nlE^ $2/г ~F~ ^>пЗ$з/г 4“$4/г~Ь$6h ’ (192a)
где m— 1, 2, 3; h = 1, 2.
В этих уравнениях все коэфициенты берутся при постоянном поле. Вообще при применении пьезоэлектрических. уравнений Фогга для упругих' констант всегда принимаются значения при постоянном поле.
Основы пьезоэлектричества
183
§ 128. Из приведенных выше уравнений видно, что размерность величин d/fih равна размерности обратной напряженности электрического поля; в электростатической системе единиц она равна [М~i/2L T~l kVi]. Величины emh имеют размерность поляризации и Важно заметить, что размерностью произведения emhdmh является [/?]’). Пользуясь практической системой единиц, можно выразить величины dmh в кулонах на килограмм-вес, a emh — в кулонах на квадратный сантиметр 2). Однако более принято пользоваться электростатической системой CGSE, выражая dmh в статкулонах на дину, а е mh в статкулонах на квадратный сантиметр. Следует заметить, что для величин d и е первая цифра в значке внизу обозначает направление поля или поляризации, а вторая — тип напряжения или деформации. Отсюда равенство dmh — dh.n , верное для упругих констант, в данном случае не является верным. Например, если ^4 отлично от нуля, это означает, что электрическая поляризация, параллельная У, связана со сдвигом в плоскости YZ. Когда какая-нибудь из величин d равняется нулю, то необходимо обращается в нуль соответствующая величина е, и наоборот. В случае коэфициентов, связанных со сдвигами (т. е. когда вторая цифра в значке равна 4, 5 или 6), вследствие наличия у коэфициентов с и s знаков-)-и—< возможно!, что величины dnn и етп будут иметь противоположные знаки.
§ 129. Из уравнений (187) — (190) можно вывести следующее полезное качественное правило'. Оно справедливо для всех пьезоэлектрических кристаллов, независимо от знаков величин d и е.
Направление поляризации (т. е. алгебраический знак при Р), связанной с данной деформацией, всегда одинаково, независимо от того, вызываются ли деформация и поляризация механическими силами (прямой эффект) или наложенным электрическим полем (обратный эффект).
Например, если кристалл турмалина сжат в направлении X, то хх~х, отрицательна. Так как в случае турмалина e2i и d2\ положительны, то из уравнения (187) (Ру = e2i хх) следует, что компонента поляризации в направлении У является отрицательной. Пусть теперь поле Еу действует в отрицательном направлении У; мы видим, что Pv, равная в этом случае будет снова отрицательной, а уравнение
(190) (хх = d2\Ey) показывает, что хА также отрицательна. Формулированное правило можно также проверить для компоненты поляризации Z (для деформации хх в турмалине Pi — 0), и его можно выразить через напряжения вместо деформации.
О То есть это произведение выражается в безразмерных единицах. (Прим, ред.)
2) Ниже даны множители перехода от электростатической системы CGSE к
другим системам единиц. В скобках указаны единицы, в , которых, выражены
величины
^mh. [CGSE] — dmh
статкулон дина
кулон дина
КУЛОН
НЬЮТОН
“3 10’rf^
= 300 d h Г-55-] = 3,060 dmil Р тп вольт тп
emh [CGSE] — emh
статкулон
см2 * *
=з-109^
кулон см2
=3 • 105 emh
кулон
J 84
Глава VIII
§ 130. Влияние спонтанной поляризации на пьезоэлектрические коэфициенты. Кристалл любого пироэлектрического класса имеет единственно полярную ось, что обусловливает наличие спонтанной или перманентной поляризации Р°. Возникает вопрос, не меняются ли заряды поверхностной поляризации при деформации кристалла даже в изотермическом процессе вследствие возможной зависимости Р° от деформации. Такое изменение повлияло бы на значения одного или нескольких пьезоэлектрических коэфициентов. При обычных измерениях последние включают это влияние во всех случаях, когда оно существует.
Теория этого вопроса рассматривается Фогтом который приходит к выводу, что величина любого аномально высокого пьезоэлектрического коэфициента может быть обусловлена этим влиянием. Критерием является — велика ли Р° по сравнению с е. Данные для турмалина указывают, что влияние спонтанной поляризации на пьезоэлектрические свойства не является преобладающим. В сегнетовой соли большая величина Р° является, однако, малой по сравнению с ei4; следовательно, большой пьезоэлектрический эффект даже в этом случае нельзя приписывать только влиянию Р°. Роль Р° в сегнетовой соли рассматривается в дальнейших главах.
§ 131. Специализация коэфициентов тридцати двух классов кристаллов. Двадцать пьезоэлектрических классов были уже отмечены в табл. 1 § 6. Как там было указано,, все они лишены центра симметрии (гемиморфные классы); все они также являются или гемиэдрическими или тетартоэдрическими.
Матрицы пьезоэлектрических коэфициентов 2) представлены в табл. 16. Следует помнить, что первая цифра в значке указывает направление электрического вектора, а вторая — компоненту упругой деформации или напряжения. Во всех классах, не перечисленных ниже, все величины d и е равны нулю. Коэфициенты расположены в том же порядке, как в уравнениях (187) и (188), причем значки указывают независимые значения, как в § 29.
Таблица 16 ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЭФИЦИЕНТЫ ДЛЯ КАЖДОГО КЛАССА КРИСТАЛЛОВ
ТРИКЛИННАЯ СИСТЕМА
Класс 1, асимметричный, С4.
^11 ^12 ^13 ^14 ^15 ^16 ^11 ^12 ^13 ^14 ^15 ^16
®21 ^22 ^23 ^24 ^25 ^26 ^21 ^22 С?23 ^24 ^25 ^26
^31 ^32 @33 С34 ^35 ^36 ^31 ^32 ^33 ^34 ^35 ^36
МОНОКЛИННАЯ СИСТЕМА
0 ’0 Класс 3, дигональный полярный, С2 о «Ц «и о ’ ООО dxi dX5 0
0 0 о *24 ^25 0 000 d24 rf25 0
^31 е32 ^зз б 0 e3g rf31 </32 cf33 0 0 d36
еи Класс 4, экваториальный, 633 0 0 </j2 rfj3 0 0 0
С21 е22 ^23 0 0 £2g rf2| d<22 ^23 6 0 tZ2g
0 0 o ^34 ^35 0 0 0 0 d34 d33 0
О «Физика кристаллов», стр. 815, 842, 871.
. 2) В таблицах Фогта («Физика кристаллов», стр. 829) имеется несколько опечаток."
Основы пьезоэлектричества
РОМБИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Класс 6, дигональный голоаксиальный, V
О 0 0 £t4 О О О О О </]4 О О
О О О О £25 О О О О О О
О О О О О £36 О О О О О </36
Класс 7, дидигональный полярный, C2v
О О О О <?15 О О О О О </!5 О
О О О <?24 О О о о о </24 о о
«31 « 32 «33 000 б/31 </32 </33 ООО
ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
Класс 9, тетрагональный альтернативный, S4.
О О О • О е}5 О О О О О </]5 О
О О О е]5 о О О О О di5 О О
«31 «31 «зз ООО </31 dsi d3-> ООО
Класс 10, тетрагональный полярный, С4
0 0 0 «15 0 0 0 0 rf]4 0
0 0 0 ^35 "«14 0 0 0 0 ^15 - d\i 0
«31 «31 «зз 0 0 0 </з1 </31 ^33 0 0 0
Класс 11, дитетрагональный альтернативный,
О О О £14 О О О О О О О
О О О О е14 О О О О О </и О
О О О О О е88 О О О О О </36
Класс 12, тетрагональный голоаксиальный,
О О О «14 0 0
0 0 0 0- -£И О
0 0 0 0 О О
О О 0 </и 0 0
0 0 0 0 -</14 О
0 0 0 0 О О
Класс 14, дитетрагональный полярный, Civ
О О «31
О 0 £j4 £j5 О
О 0 — £]5 £]4 О
— «31 ООО £38
о о </31
О 0 </]4 </15 о
О 0 -d15 d14 О
~ </31 000 </3б
ТРИГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
Класс 16, тригональный полярный, С3
«и — «11 0 «14 «15 ^22 dn —du 0 rf14 </15 —2</22
— «22 «22 0 «15 — «14 «и ^22 ^22 0 </15 —</14 -2</u
«31 «31 «33 0 0 0 с/31 d3i ^83 0 0 0
Класс 18, тригональный голоаксиальный, D3
«11 -«11 0 «14 0 0 </11 </ц 0 </14 0 0
0 0 0 0 —«14 —«11 0 0 0 0 —</14 —2</ц
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Класс 19, дитригональный полярный, C3v
0 0 0 0 «15 «22 0 0 0 0 </15 ~—2</o2
—«22 «22 0 «15 0 0 —</22 </22 0 </15 0 O’
«31 «31 «33 0 0 0 </31 d3x </33 0 0 0
ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА
Класс 21, тригональный экваториальный, Сгь
£ц —«И ООО — «22 </ц —ООО — 2</22
—’’«22 «2о О О S “*«11 </22 000 —2д?11
.0 О*. 0 0.0' 0 0 .. 0. . О О О 0 -
186
Глава VIII
Класс 22, дитригональный экваториальный, DZh
«и — бц 0 0 0 0 <Zn —dn ООО 0
0 0 0 0 0 —0 0 0 0 0 -~2d1A
О 00000 0 0000 О
Класс 23, гексагональный полярный, Св
0 0 0 614 615 0 0 0 0 ^14 ^15 0
0 0 0 615 -614 0 0 0 0 ^15 — ^14 0
е31 631 бзз 0 0 0 ^31 6^31 ^33 0 0 0
Класс 24, гексагональный голоаксиальный, D6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 614 0 0 0 0 —d 14 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 0
Класс 26, , дигексагональный полярный, Cq Z)
0 0 0 0 615 0 0 0 0 0 rfls 0
0 0 0 £15 0 0 0 0 0 6^15 0 0
631 631 е33 0 0 0 ей И ^31 ^33 0 0 0
КУБИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Класс 28, тессеральный полярный, Т
0 0 0 614 0 0 0 0 0 ^14 0 0
0 0 0 0 614 0 0 0 0 0 rfl4 0
0 0 0 0 0 614 0 0 0 0 0 iZ14
Класс 31, дитессеральный полярный, Тд
0 0 0 614 0 0 0 0 0 6?14 0 0
0 0 0 0 614 0 0 0 0 0 6^14 0
0 0 0 0 0 6 4 0 0 0 0 0 1714
Метод Фогта, которым он определяет приведенные выше матрицы, состоит вкратце в следующем: он выписывает общие уравнения пьезоэлектрических поверхностей (§ 136) и затем применяет к ним различные элементы симметрии разных классов; например, если кристалл имеет ось симметрии порядка п, уравнения должны быть инвариантными при вращении системы координат вокруг этой оси на угол 2к/п-Тогда некоторые из 18 параметров в каждом классе, кроме класса 1, обращаются в нуль.. Благодаря известным различиям между членами уравнений, содержащими величины е и d, оказывается, что, тогда как в большинстве случаев матрицы d и матрицы е совершенно подобны, в классах с тройной осью симметрии встречаются исключения. Это классы № 16, 18, 19, 21 и 22; в каждом из них в последнем столбце матрицы d параметры 2^ц и 2rf22 соответствуют параметрам ецие22 в матрице е. Напомним, что аналогичное соотношение существует между коэфициентами s и с в тригональной и гексагональной группах.
§ 132. Обзор пьезоэлектрических эффектов. Общая пьезоэлектрическая матрица показана в символической форме в табл. 17, где L и Т представляют собой продольные и поперечные эффекты сжатия, a Ls и Ts можно назвать продольными и поперечными эффектами сдвига. Эту таблицу следует сравнить с аналогичной таблицей для упругих эффектов (фиг. .15,.§ 30).
Вместо компонент деформации в верхней части таблицы можно было бы написать компоненты напряжения Хх... X , а вместо величин Р, означающих прямой эффект, поставить Ех, Ey,fEz (обратный эффект); таким образом, L, Т, и т. д. могут представлять собой коэфи-
Основы пьезоэлектричества
187
Таблица 17
ЧЕТЫРЕ ТИПА ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА
Поляризация Деформация I 1 2 1 з ! 4 ! 5 6
! Хх 1 Уу Zz 1 Уг Zx Xу
1 Рх L т т Ls Ts Ts
2 Ру Т L т Ts Ls Ts
3 Р rz Т Т L Ts Ts Ls
циенты е или d. Например, Ts в верхнем правом углу таблицы может представлять собой любую из величин Рх Рх = — di6Xv;
Ху = — е^Ех или Ху = d^Ex.
Если коэфициент, соответствующий какому-либо L, отличается от нуля, то сжатие в направлении, соответствующему этому L, вызывает поляризацию в том же направлении. Это — продольный эффект, присутствующий во всех кристаллах, имеющих коэфициенты d^, г/22 или d33 или соответствующие им коэфициенты при преобразованных осях.
В поперечном эффекте Т поляризация перпендикулярна вызывающей ее деформации сжатия; соответствующие коэфициенты можно назвать поперечными пьезоэлектрическими коэфициентами.
В эффектах типа Ls поляризация параллельна оси сдвига (§ 27), т. е. нормальна к плоскости сдвига. Их можно назвать эффектами продольного сдвига.
Наконец, Ts представляет собой поляризацию в плоскости сдвига (поперечную к оси сдвига).
Коэфициенты типов Т и Ts удобно назвать пьезоэлектрическими «поперечными постоянными» по аналогии с упругими и диэлектрическими поперечными восприимчивостями (§ 32, Г05).
Примеры всех четырех эффектов можно найти у кварцевых резонаторов и других пьезоэлектрических устройств.
Все классы имеют по крайней мере две константы; классы 12 и 24 имеют тогда две, обе типа Ls, но численно они одинаковы, поэтому у них только одна независимая постоянная. Одну независимую постоянную имеют также классы 22, 28 и 31.
Четыре группы классов имеют одинаковые матрицы (пренебрегая численными значениями). Эти группы таковы.- № 6, 11, 28, 31; 12, 24; 9, 26; 10, 23.
§ 133. Пьезоэлектрические эффекты, вызываемые гидростатическим давлением. Когда кристалл или препарат кристалла любой формы подвергается однородному гидростатическому давлению, легко показать, что • компоненты пьезоэлектрической поляризации имеют вид:
— Р1— —^2=(^21Ч~^22 + ^23^П; 1 (1QQA
Остальные d отсутствуют, так как однородное давление не производит напряжений сдвига. Поэтому кристаллы, обладающие только коэфициентами, типов Ls и Ts, представленными на табл. 17, не поляризуются под однородным давлением. Даже в случае кристаллов, имеющих коэфици-
188
Глава VIII
енты, представленные в уравнении (193), величины могут иметь такие значения, что все три суммы в скобках обратятся в нуль.
Если в каком-либо классе кристаллов не все компоненты поляризации обращаются в нуль под гидростатическим давлением, то в результате возникает поляризация в направлении, которое Фогт называет пьезоэлектрической осью кристалла. Такую ось имеет как раз половина пьезоэлектрических классов, а именно классы, являющиеся одновременно пироэлектрическими. Все остальные классы не обнаруживают поляризации под гидростатическим давлением. Кварц, например, ее не обнаруживает, тогда как турмалин имеет в этом случае пьезоэлектрическую ось, параллельную оси Z. («Физика кристаллов», стр. 878, а также § 165.) Случай сегнетовой соли рассматривается в § 483.
Пьезоэлектрические коэфициенты при повороте осей
Вывод пьезоэлектрических коэфициентов для любой системы преобразованных осей аналогичен выводу упругих коэфициентов (§ 40). Поэтому следует привести только результаты. Ниже для удобства повторяется схема направляющих косинусов:
х
Z
z'
Ъ
Ъ
Ъ
§ 134. Общее преобразование осей любой ориентации. Единственными полными выражениями, повидимому, являются формулы, приводимые Фогтом
ец~а1е11 + а2^22 аИзЗ “И а1 [а2 (^21 + 2^16) 4' а3 (^31 4" 2^15) ] 4"
4- «2[a3(e32 Т 2f24) 4"а1(^12 4- 2^26 ) ] ”Наз [а1 ( е13 4- 2^35 ) -4 а2(^23“4
4~2^з4)] 4~2а1а2а3 (е14 4“ ечз "Г ^зв)2) • (194)
Уравнение для cZ'ii получается из уравнения для е'ц подстановкой повсюду d вместо е, причем отбрасывается множитель 2, там где он встречается. Из уравнений для e'nnd'n находят выражения для е'22 и d'22 или е'33 и б/'зз, заменяя а соответственно на 9 или у и оставляя все значки справа неизменными; d'33 выражается уравнением (198).
Любую преобразованную величину d'kh можно вывести следующим способом (аналогичным выводу е'^ ).
Преобразованный коэфициент можно определить уравнением вида
-pk=dkhXh (6=1,2, 3; А=1,2. - .6).
Сначала находим напряжения Хх... Xv, эквивалентные X'h из уравнения (20). Затем с помощью уравнения (188) выражаем Рх , Р у и Pz через Хх ... Ху и основные коэфициенты пьезоэлектрической деформации; это дает вызываемые X'h компоненты поляризации, параллельные
О «Физика кристаллов», стр. 838, 840.
2) По существу, это — формула преобразования тензора третьего порядка. Более рациональную форму она принимает, если пользоваться обозначениями с тремя индексами для компонент е или d. См. А. В. Шубников, Е. Е. Флинт и Г. Б. Б ок ий, Основы кристаллографии, 1945. (Прим, ред.)
Основы пьезоэлектричества
189
первоначальным осям. Из них получаются выражения для компонент, параллельных преобразованным осям. Компонента, параллельная оси X', будет иметь вид
Рх = ^Рх-\-а2Ру + а3Рг^-с11НХн. (195)
Так как Рх, Pyt Pz Bice содержат X'h в виде множителя, то d'lh выражается, таким образом, через направляющие косинусы и основные пьезоэлектрические коэфициенты для любого из шести значений h. Подобным же образом, выписывая уравнения для Р'у P'z, находим уравнения для d'2h и d' 3h. В § 136 дан более простой метод вывода преобразованных констант при значениях h, равных 1, 2 и 3.
§ 135. Общее преобразование относительно одной оси. Ниже приведены уравнения Фогта для преобразованных коэфициентов пьезоэлектрического напряжения при повороте вокруг оси Z на угол 9. Направляющими косинусами будут:
04=^2 = cos 0 = с ; а2= — = sin 9= s ; а3 — ^3 = Ь = Ъ = 0> Ъ = 1
Положительное направление 9 определяется по правилам § 38.
Выражения для поворота вокруг оси X или У получаются из уравнений (196) циклическими перестановками всех значков в обеих частях уравнений, согласно нижеследующей таблице, причем все остальное остается неизменным.
Z 1 2 3 4 5 6
х 2 3 1 5 6 4
У 3 1 2 6 4 5
Например, значок 24 для поворота вокруг оси Z превращается в 35 при повороте вокруг оси X и в 16 при повороте вокруг оси Y.
^и=^11 + «Ч2 + ^(^21 + 2е16) 4-с$2(е124-2е26) ;
e'12=cs2(en—2^6) +s3e214-c3^12 + c2s(e22—2e16) ;
e ^13 > e 14 ^15) Ч~^2^14 *,
e’ 15= c2e15 4-s2e24 + sc (^i4 + ^5) ;
e'16=~c2s (en—e12) 4-c (1 -2s2) e16-s (l-2c2) e26-\-cs2 (ea2-e21) ;
^21=—c2sien~2^26) -НЧ1—s*e12-\-cs2(e22—2e16) ;
^22=-s3en + <^22+^2 (e214- 2e16) — c2s (e12 + 2ea6) ;
23:=^23 ^135 24 ^24 ~1“ ^2^15 ^^ ( ^14 4“ ^25 ) 5
e'26=^25~S2^i44-CS(^24-^5) ;
e'26 = c (1 - 2s2) e264-s (1 - 2c2) e16+c2s (e2- e21) 4-cs2 (en- e12);
31==^'2^31-{_^2^32 4“ 2S££36j & 32=r^'J^32~\~ ^31 2SC£3g J
^ЗЗ—^ЗЗ? ^34==^34 $^35 5
35 £^35 I $£34, С 3g = (C S ) t?3g I CS (£?32 ) .
(196)
Соответствующие уравнения для коэфициентов пьезоэлектрической деформации d'n ... d'36 при повороте вокруг оси Z получаются непосредственно из уравнений (196) простой подстановкой dhk вместо ehk во всех случаях, когда h = 1, 2, 3 и k = 1, 2, 3; но когда h= 1, 2, 3, а k = 4, 5, 6, то вместо dhk/2 следует писать ehk . Это правило применимо и к пребразованным и к непреобразованным коэфициентам. Например
190
Глава VIII___________________
б/'зб/2 = (f2 — s2)d36/2-ф-cs(cZ32— d3i). Переход к вращению вокруг оси X или Y производится так же, как и в случае величин е.
Когда общее уравнение для любых dhk или e,lk получено, то уравнение для d[h+ или e{h Vi)(kr-1 > находят путем замены а на р, р иа у, у на а оставляя все значки в правой части каждого уравнения неизменными. Это правило применимо также к уравнениям при общем повороте, специализированном для какого-нибудь класса, со следующим важным ограничением: оно не имеет силы в случаях, когда два различные коэфициента имеют одинаковое численное значение и ради упрощения обозначаются одним символом. Таким образом, к уравнению (221) правило неприменимо, потому что в нем написано — е14 вместо 625 и — ех 1 вместо е26; но оно применимо ко всем уравнениям при общем повороте осей в классе 6 или в любом классе, где нет идентичных пар коэфициентов.
Это правило неприменимо к уравнениям, данным для поворота вокруг одной оси.
Специализация предыдущих уравнений для различных классов кристаллов дана в дальнейших разделах.
§ 136. Пьезоэлектрические поверхности и диаграммы. Чтобы определить, какие пьезоэлектрические коэфициенты не равны нулю в различных классах кристаллов, Фогт пользовался тремя соотношениями между ег1г и тремя соотношениями между dhk, каждое из которых можно было представить некоторой «пьезоэлектрической поверхностью». Одна из них является тривекторной (тензор третьего ранга) поверхностью, включающей все 18 констант; аналитически она выражается уравнением третьей степени, в основном не отличающимся от уравнения (194) для е'и (или d'n), а также от уравнения для d33 [см. ниже (198)]. Две другие поверхности представлены уравнениями второй и первой степени и заниматься ими в дальнейшем не придется J).
Пьезоэлектрические поверхности, обычно представляемые графически в виде сечений тремя главными плоскостями, выводятся из уравнений (197) и !(198), приведенных ниже. Если давление 7Jz направлено параллельно оси Z' прямоугольной системы осей Х'у У', Z' любой ориентации, то из уравнений (22) и (188) следует, что:
Рх= z z(^n7i Ч~ *4г72 "Г <Чз7зЧ“^14727з Ч- ^1б717з) 5
Ру~ z z( 1 Ч- d^l Ч~ ^гз7з Ч"^247г7з Ч- ^257з71 “Ь ^-гбЪЪ) 5 Pz~ Z z ( ^3171 4“ ^з27 2 Ч~ ^зз7зЕ“^347г7з Ч~ ^З57з71 Ч~ ^збЪЪ) •
(197)
Если давление параллельно X' или У', мы пишем Xv или У' вместо Z'z и а или р вместо у.
Затем находим компоненту поляризации Р'., параллельную Z'z:
-- Z'z[dnll Ч" ^227 2 4“ Чзз7.з Ч~
Ч~{ (^21Ч"^1б)72 Ч~ (^31 Ч- <Л5)Уз } 7l Ч~
Ч“{ (^32 "Г d24 )Уз~Ч (^12 "Е ^26 ) 71 } 7 2 Ч~ ( ^1зЧ~ ^зз)71 Ч-(^2зЧ~^34 )7г } 7з +
+ (^14 Ч" ^2бЧ“ d3&) У17г7з]= ^'Хзз >
(198)
0 Более полное рассмотрение пьезоэлектрических поверхностей см. в «Физике кристаллов», стр. 820 и дальше и стр. 840, а также в работе [622), том I, стр. 366 и дальше.
Основы пьезоэлектричества
191
где d'33, равное выражению, стоящему в квадратных скобках, представляет собой константу пьезоэлектрической деформации. Тем же уравнением можно пользоваться для d'n или d'22, заменяя у на а или р ; тогда P'z превращается в Р'хили Р'у, а вместо Z'z мы пишем X' х или Y'y. Уравнение (198) выражает продольный эффект при повороте осей. Онр выражает электрическую деформацию в любом направлении, вызываемую одинаково с ней направленным механическим напряжением, и является пьезоэлектрическим аналогом уравнения (34) для модуля Юнга. P'z называется продольной поляризацией, соответствующей сжатию Z' z в направлении -р, Ъ.
Подобные же выражения можно написать для поперечных1 поляризаций Р'х и Р'у-.
Р'х-=Рл + Ру^ + РЛ=-2г<1а-, (199)
<|99а’
Если приложенным напряжением является Х'х, то поперечные поляризации имеют вид:
= + - •. = -^'21;
Pz — Pxli + ‘ ‘ = —Xxd'31.
Подобным же образом мы получаем d'l2 и d'32, выраженные через Y'y.
Эти выражения для поляризации, производимой однородным сжатием в различных направлениях, особенно важны. Как уже указывалось, компоненты поляризации, параллельные и перпендикулярные направлению сжатия, выражают соответственно продольные и поперечные эффекты. Для продольного эффекта относительно произвольных осей постоянными деформации являются d'u, d'22 и d'33. Если в соответствии с этим положить, что ось Z' является направлением сжатия, то придется обращать внимание только на величину d'33, поведение которой при изменении направления Z' полностью описывает продольный эффект при любых ориентациях. В этом случае константы d'l3 и d'23 характеризуют поперечный эффект, так как они дают компоненты поляризации вдоль осей X' и Y'. Примеры распределения этих величин в пространстве будут даны при рассмотрении конкретных кристаллов.
Если при данном значении Z'z откладывать поляризацию Р'z , заданную уравнением (198), в виде радиуса-вектора с направляющими косинусами 7,, 73, то в результате получается упомянутая выше поверхность тензора третьего ранга; если Z'z= 1 дина/см2, то любой радиус-вектор дает численное значение d'33. В этом случае для любого данного кристалла мы имеем характеристическую пьезоэлектрическую поверхность, выражающую d'33. Подобную же поверхность можно было бы построить для d'и, разумеется, для cf'u, ^22, d'44 и d'55. Однако для остальных констант, было бы неудобно строить поверхность, так как поляризация, параллельная любому радиусу-вектору, в этом случае не имеет значения, однозначно связанного с этим направлением.
Однако если преобразование осей состоит из вращения вокруг единственной оси, то в плоскости, перпендикулярной этой оси, можно построить полярную диаграмму для любой из 18 констант. В этой плоскости радиус-вектор однозначно определяет величину константы при всех ориентациях относительно этой оси. Ниже будут приведены такие диаграммы для наиболее важных кристаллов.
192 Глава VIII
§ 137. Электрострикция. В самом общем смысле термин электрострикция в диэлектриках применяется к любому взаимодействию между электрическим полем и деформацией диэлектрика в этом поле. При такой широкой интерпретации это слово включает и явления пьзоэлек-тричества, и некоторые авторы называли обратный эффект «электрострикцией». Такое употребление этого слова может привести только к путанице и не должно поощряться. Большинство авторитетов считали, что правильнее сохранить этот термин для явлений, в которых деформация не зависит от изменения направления поля на обратное и пропорциональна квадрату поля. Все наблюдаемые связи между полем и деформацией можно отнести или к этому классу, который собственно и называется электрострикцией, или к типу, в котором связи линейны, т. е. типу, включающему явления пьезоэлектричества. В первом типе связь между полем и деформацией центросимметрична; в последнем — нет.
В этой книге при всех ссылках на электрострикцию подразумевается квадратичный эффект.
Квадратичная электрострикция является механической аналогией квадратичного электрооптического эффекта Керра. Она отличается от линейного, или пьезоэлектрического, эффекта в двух важных отношениях. Во-первых, она является общим свойством всех газообразных, жидких и твердых веществ. Во-вторых, ее эффект так мал, что хотя он и присутствует всегда в пьезоэлектрических явлениях, обычно им можно совершенно пренебрегать. Он может стать сравнимым с эффектами пьезоэлектричества только в полях более сильных, чем 20 000 V/см. Его наличие в кварце изучалось Тси-Зе;, как указано в § 159.
Деформация диэлектрика в электрическом поле, кроме пьезоэлектрического эффекта, частично определяется максвелловыми напряжениями (во многих учебниках только они и упоминаются в связи с электрострикцией), частично же — любой зависимостью свойств диэлектрика от деформации. Диэлектрик в электрическом поле стремится принять такую форму, чтобы полная энергия была минимальной. Если, как это обычно имеет место, диэлектрическая постоянная уменьшается с увеличением объема, то при наложении поля максвелловы напряжения и изменяющаяся диэлектрическая постоянная действуют в одном направлении, изменяя объем в сторону увеличения. Однако, диэлектрическая постоянная некоторых веществ уменьшается с уменьшением объема. В таких случаях состояние минимума энергии может сопровождаться уменьшением объема, несмотря на максвелловы напряжения Д
ЛИТЕРАТУРА
№ 619 (ст. Покельса), 621 (ст. Фалькенхагена), 622 (ст. Рикке); 654; 656 (ст. По-кельса) общей библиографии.
Р Terpstra Пьезоэлектричество и строение кристаллов. Nederland. Tijdschr. Natuurkunde 8, 275—288 (1941); Chem. Centralblatt 1, 847 (1942); Tijdschr. Nederland. Radiogen. 9, 71—84 (1941).
О Ссылки на литературу по электрострикции до 1928 г. с некоторыми численными результатами приводятся в International Critical Tables, 6 (1929) и воспроизводятся в Proc. Inst. Radio Eng. 18, 1247—1262 (1930). К этим ссылкам можно добавить: 1) J. Н. Jeans, The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism; 2) Вин и Гармс [655], т. 10. За последние годы вопрос разрабатывали Остерберг и Куксон, см. [407] и Phys. Rev. 51, 1096—1101 (1937). См. также G. Bruhat and М. Pauthenier Journ. de phys. et rad. 10, 209—218 (1929).
ГЛАВА IX
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ КРИСТАЛЛОВ
Теперь мы опишем пьезоэлектрические свойства кристаллов некоторых*; классов, для которых имеются хорошо изученные представители, и дадим для них специализированные формы общих выражений, приведенных в предыдущей главе. Цифровые значения пьезоэлектрических констант приводятся постольку, поскольку они сообщаются в литературе и кажутся надежными. Для кварца и сегнетовой соли данные, приводимые в настоящей главе, дополняются в главах, посвященных этим кристаллам. '
Пьезоэлектрические свойства, характерные для каждого рассматриваемого класса, резюмируются на основании табл. 16. Уравнения для случаев преобразованных осей взяты из различных источников; некоторые из них выведены автором. Где это необходимо, эти уравнения изменены в соответствии с нашими условиями о направлении вращения и о положительных направлениях осей, как указано в § 51. •
В случаях, когда класс является также и пироэлектрическим», .подразумеваются комбинированные эффекты первичного (истинного) и (вторичного (ложного) пироэлектричества. Все пьезоэлектрические кристаллы имеют «третичные» пироэлектрические свойства (§ 515).
Пьезоэлектрические свойства каждого класса можно представить одинаково хорошо уравнениями (187), (188), (189) или (190) с помощью матриц табл. 16. Здесь выбраны уравнения (189) для обратного эффекта, так как они важны для теории резонаторов.
О точности измерения пьезоэлектрических констант можно судить по числу значащих цифр. О систематических ошибках и разнице между отдельными образцами данных почти нет. Измерения так трудны и результаты настолько ненадежны, что во многих случаях нет уверенности даже в первой значащей цифре.
Для некоторых классов приводятся лишь немногие примеры кристаллов, наблюдения на которых дают хотя и качественные, но достоверные результаты. Ссылки на качественные наблюдения на большом числе кристаллов приведены в § 172. Все значения даны в системе единиц CGSE (§ 128). 1
§ 138. Класс 3, моноклинный, дигона льно-полярный, гемиморфный (симметрия С2). Этот класс является и пироэлектрическим. В нем имеется восемь (независимых 1пьезоэлектрических констант. Уравнения для обратного эффекта имеют вйд:
< Yу ву±Еz\ ^г==^зз^' z'i
— - Yг еиЕх вцЕу, Z х вцЕх~j— £?25-Еу, “• Ху — е^Ег,
Дальнейшие данные, включающие выражения компонент поляризации, вызываемых давлением в различных направлениях, приводятся Фог-13 Кэди
(200)
194
Глава IX
том Ч Павлик [411] показывает, как можно найти ориентацию, при которой обращаются в нуль некоторые пьезоэлектрические напряжения сдвига; он также приводит некоторые уравнения преобразования для констант классов 3 и 4.
Винная кцслота С4Н6О6. Следующие ниже значения заимствованы у Тамару [503]:
< /„=-24, </ls = 28, </„ = 28,5, </2S=—36,5 I )()_к
< /„ = 1,95, </„ = 5,95, </„ = 6,45, </„ = 3,8 I
OX J > 04 У ' ОО У ' ОО 1 /
Несмотря на сильно выраженные пьезоэлектрические свойства, этот кристалл (возможно', вследствие сравнительно значительной спайности) не нашел пьезоэлектрических приложений, кроме предлагаемых ниже.
Тростниковый сахар С12Н22О11. Хольман [232] нашел такие значения:
^14 ~ СЗ, 6^15 — 1,3, 6^24 “ ' б/25 = 3,7 | X 1Q-8
< 41 = 2,2, ^32 =: -j-4,4, d33 == 10, d36 = — 2,6 j
Подвергая винную кислоту и тростниковый сахар гидростатическому давлению, Лоусон и Миллер 2> наблюдали значение (af3i 4~ ^32 + ^зз)-для обоих кристаллов в согласии с приведенными выше значениями.
Об экспериментах с резонатором из свекловичного сахара см. § 381.
Терпстра 3> недавно обнаружил, что кристаллы брушита, СаНРО4, являются пьезоэлектрическими и их следует относить к классу 3. Другими примерами этого класса являются молочный сахар, сульфат лития и тартраты Na, К и NH4.
§ 139. Класс 6, ромбический дигональный голоаксиальный, гемиэд-рический (симметрия У). Сегнетова соль в параэлектрическом состоянии принадлежит к этому классу (§ 434). Он не является пироэлектрическим. В нем три пьезоэлектрические константы, причем все они независимы. Связанные с ними три напряжения выражаются формулами:
Yz ~~С^Ех ; —Zх^=^в33Еу ; Х.у = е33Ег .
Электрическое поле любого направления может вызвать только три деформации относительно осей X, Y, Z, выражаемые уравнениями, приведенными выше. Точно так же электрическую поляризацию могут вызвать только напряжения, включающие хотя бы одну из этих трех компонент. Сжатие в любом косом направлении вызывает вообще поляризацию, имеющую компоненту, параллельную этому направлению (продольный эффект). Полная параллельность поляризации направлению сжатия осуществляется только в особых случаях.
Если знаки коэфициентов е25 и с36 (а отсюда и dlif d25 и <^зб) не все одинаковы, то всегда существует компонента поляризации, перпендикулярная направлению сжатия. Это было впервые указано Покельсом £428] относительно сегнетовой соли. В этом случае нет такой ориентации осей, при которой коэфициенты d'12 и d\3 в уравнении (201,) одновременно обращались бы в нуль.
О «Физика кристаллов», стр. 873 и дальше.
2) A. W. Lawson and Р. Н. Miller Jr., Piezometer for Transient Pressure, Rev. Sci. Inst. 13, 297—298 (1942).
3> P. T e r p s t r a, Zs. f. Kristallographie, 97, 229—233 (1937).
Ньезоэлектричёские свойства, кристаллов
195
Уравнения для d'hk при любой ориентации осей (направляющие косинусы обозначены согласно таблице, приведенной в конце § 133) имеют вид:
^'ii=a1a2a3((Z14-]-cfg5-|-f/86) ;
3J,12= а2?зР1 + азР1?2 ) ( ^14 + ^26 + ^36 ) +
Ч~?1Т1(^2б ^зб) + ?2Тг(</зб +РзТз (^14 ^25) j
3^'13=(а1ЫзН- Ш+ВД) (^14+^25+^36) —
Р1Т1 (<^25 ^Зб) РгЪС^Зб ^14) РзТз (^14"~^25) >
3^,14=[а1(₽2Тз+₽зТ2)+а2(Рз71 + М8) Н-а8 CP1T2 + P2T1)] X
X (^ы + ^б + ^Зб) + (а1+2+ ) (^26~^3б) +
+ («1+2+) (^зб-^14) + («1+2т1) (</14-d25) ;
^22“Р1?2Рз( ^14 + ^25 + ^36.) j f 201 1
3tZ'2e= 2(а1Р2РзХа2РзР1+азР1Р2) (^u+^25 + ^зб) —
Pill (+25 ^Зб) P2Y2 (+зб +1) РзЪ (^14 ^25) J
^«З—11ЪЪ( ^11+^25+ ^3в) »
3rf'35“2 (МгТз+МзЪ + азТ1Ъ) (^14+^25+^Вб) +
+ Р171 ( ^25 +б ) + ?2*f2 (<^36 ^14 ) +Р3Т3 (<^14 <^26 ) ;
3^'зб= [71 ( а2₽з + аз?2) + й» ( а8?1 + а1?3 ) + Тз ( а1 Рг+а2₽ 1) ] X
X (</14 + 4»+<*36 ) + W+2PB (</25-</3б) +
+ (722 + 2+2)(</зб-+4) + (71+2^)1</14-</2б) •
Из этих уравнений, следуя правилу, приведенному в § 135, можно непосредственно! вывести выражения и для всех остальных коэфициентов d'hk. Примером может служить уравнение для d'33, полученное перестановкой из уравнения для d'n.
Чтобы написать уравнение для любого e'hkt пользуясь выражением для соответствующего d'hk в уравнении (201), следует подставить ehk вместо dhk (как преобразованных, так и непреобраэованных), когда h — 1,2 или 3 и k — 1,2 или 3; когда h = 1, 2 или 3 и k = 4, 5 или 6, то dhk следует заменять на 2ehk.
В качестве выражения для продольного эффекта D можно брать любое ив уравнений для d'n, d'22 и d'33. Например, d'i} встречается в уравнении Р'х — —d'\\X'x, показывая, что сжатие X'х в произвольном направлении <4, я2, а3 вызывает поляризацию Р'х в том же направ.-лении. Теоретически продольный эффект обращается в нуль только при обращении в нуль по крайней мере одного из этих направляющих косинусов, т. е. когда направление сжатия перпендикулярно по крайней мере одной из кристаллографических осей. Практически этот эффект относительно мал, пока а1} а2 и а3 не становятся приблизительно равными (§ 140).
Уравнение (201) и соответствующие уравнения для ehk имеют силу и для классов 11, 12, 24, 28 и 31.
’) Существование продольного эффекта в кристаллах, повидимому, вообще упускалось из виду, несмотря на то, что братья Кюри, вероятно, пользовались им при открытии пьезоэлектричества в сегнетовой соли; кроме того, он явно подразумевается в уравнениях, выведенных впоследствии Фогтом. Автор повинен в этом недосмотре в работе, написанной в 1930 г. [102]; последний встречается в литературе до 1937 г. [228].
13*
196
Г лава IX
Уравнений для е'hk; поворот вокруг оъи X:
ai = 1 j Pi = Ъ = а2 “ аз==0; Рг — Тз = с> Рз ~ Ъ —
Соответствующие выражения для d'hk получаются подстановкой dhk вместо ehk , когда h— 1, 2, 3 и k= 1, 2, 3; и dhk)2 вместо ehk, когда h = 1, 2, 3 и k = 4, 5, 6. Это правило применяется кай к преобразованным, так и к непреобразованным коэфициентам:
е it 0, & is — 2cs£44 ; с 1з — 2cse14 ;
£'14 = (£2 - s2) е14; £'15 = £'16 =0;
£ 21 = £'22 = £'23—£'24=0; £'25== £2£г5 52£зс; } (202)
£ 26— £S (£25 -ф- е36) ; в,81 = £,32 = £'33—£'34=0;
£ зб £5 (£?25 Ч- £»б) 5 £ «б3333 £2£зб s2£25 .
Уравнения при повороте вокруг оси Y или Z можно вывести из уравнения (202) циклической перестановкой значков по схеме § 135.
При-повороте на 45° вокруг оси X имеем s = с = 1/J/2, откуда поручаем преобразованные коэфициенты, которые, например, можно использовать в задачах о колебаниях 45-градусных срезов Х\
£'12 = £14» £'1з= £14» ^'12== у; • (203)
При электрическом поле, параллельном X, эти последние являются единственными коэфициентами. Подобные же уравнения получаются при поворотах на 45° вокруг оси Y или Z.
Связи между коэфициентами пьезоэлектрической деформации и напряжения особенно просты в случае кристаллов класса 6. Так как с44 = l/s44; £55=1/555; £бб = 1/56б, то (192) и (192а) приводятся к уравнениям
^14 33=3 £14S4^ ; = ^86 ~ £в6 • (204)
В ориентации 45-градусных срезов X сегнетовой соли не требуется особенной точности. Ошибка на градус в каком-либо угловом параметре уменьшает пьезоэлектрический эффект не больше чем на 0,5%. Но срезы Y и Z следует ориентировать с большой осторожностью, если желательно исключить эффекты, вызываемые коэфициентом dX4-
§ 140. Как иллюстрацию применения формул при повороте осей можно привести «срез £», в котором нормаль к кристаллической пластинке составляет равные углы со всеми тремя кристаллографическими осями. Направление^ нормали принимается за ось Х'\ ось Y' лежит в плоскости XY под углом в 45° к осям X и У. Согласно табличке в> конце § 133 направляющие косинусы нормали равны — а3 = 0,5774.
Общее уравнение для продольного эффекта в этом классе получается из уравнений (201). Оно имеет вид:
d 11 ~ ®1а2а3 (^14 Ч- £^25 ~Ь £^36) • (205)
В этом случае оно приводится к выражению
</'н = 0,192 (d14 + d2. + <Z36). (206)
Уравнение (206) показывает, что продольный эффект существует в сегнетовой соли при всех ориентациях, в которых а2 а3 отличаются
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
197
от нуля, и достигает максимума при а1 = а2 = а3. То же справедливо и для всех! кристаллов в классах 6, И, 28 и 31. В случаях классов 12 и 24 правая часть уравнения (206) обращается в нуль.
Опыты с косыми срезами сегнетов(ой соли этого типа описаны в § 378 и 504.
§ 141. Сегнетова соль, NaKC4H4O6 • 4Н2О. Вне интервала между точками Кюри (приблизительно — 18° и + 24°С) этот кристалл явно принадлежит к классу 6. Его моноклинный характер (класс 3) между этими точками рассматривается в гл. XXV. Первичным пироэлектричеством он обладает в моноклинной, а не в ромбической форме. Сначала мы рассмотрим d25 и d36, которые не обнаруживают аномалий.
Коэфициенты d25 и d36 измерены Покельсом! [428] при комнатной температуре, Валашеком [545] при 0°С (оба автора пользовались статическим сжатием 45-градусных срезов) и Мэзоном [335] при 30° антирезо-нансным методом описанным в § 311.
Исследователь
Покельс . Валашек Мэзон
-165-IO-»
—138
-169
4-35-10'8
4-28,3
4-39,4
Валашек наблюдал также изменение в зависимости от температуры, обнаружив увеличение численных значений в пределах от — 60 до + 30°С, достигающее 0,68- 101-8 на 1° для d23 и 0,031 • 10-8 для d33. Эти результаты вместе с зависимостью dl4 от температуры показаны на фиг. 104,
Приводя предыдущие результаты к 0°С с помощью температурных коэфициентов Валашека (принимая, что данные Покельса получены при 20°С), мы получаем следующие значения:
Исследователь ^95 ^Зв
Покельс . . . -151 -Ю'8 34,4-10~8
Валашек . . . —138 28,3
Мэзон .... —149 38,5
Средние значения при 0°С -146-10-8 34 10-8
Пользуясь снова температурными коэфициентами Валашека, находим средние (Значения при 20°С:
tZ25= — 160-10“8 ; ^З6 = 35-10~8 , (207)
хорошо согласующиеся с первоначальными данными Покельса.
О Мэзон сообщил, что его последнее измерения дают 625'=—176 - 10—8.
198
Глава IX
Значения коэфициентов пьезоэлектри\[еского напряжения е25 и е3б получаются из уравнения (204). Сначала мы должны найти значения s® и sfe при постоянном поле, исходя из s*5 — 32,0 • 10—12 и S*6 , = 11,4- 10—12 в § 79, табл. 5 (звездочки указывают, что значения взяты при бесконечном зазоре). Из уравнений (205), (273) и (488) находим, что при комнатной температуре
sf5=35,3- 10-12; 4б= 11,6 • 10-12.
Окончательно из уравнений (204) и (205) получаем:
е2б = — 4,5-104; езб=3,0-104.
Первое измерение, di4 'выполнено Покельсом нашедшим значения от 340- 10~8 до 1180- 10—8. Дальнейшие экспериментальные данные, полученные при статических и низкочастотных условиях, разбираются в гл. XXI и XXIV. Теория обсуждается в гл. XI, XXIII и XXIV, где показано, что по «поляризационной теории» пьезоэлектрические коэфициенты почти не меняются в зависимости от температуры и напряжения, чем отличается величина du- Аномальное поведение du рассматривается в § 370, 402 и 403, а также в гл. XXV. Хотя и не существует «нормальных» или «стандартных» значений коэфициентов du или вн, их аналогам <Ьи и «и в поляризационной теории можно придать достаточно определенные значения.
§ 142. Пьезоэлектрические коэфициенты сегнетовой соли по поляризационной теории. Постоянная 6И получается из уравнения (4956): 614 = du/ri'x и «и — из уравнения (495): «и = ЬиС? .‘Величины dI4 и известны с точностью до + Ю%' Для слабых полей и напряжений (начальные значения, отвечающие линейным соотношениям) за исключением участков, близких к точкам Кюри. Об их зависимости от механических и электриче1ских напряжений данных все еще нет, а при больших напряжениях их значения между точками Кюри осложняются гистерезисом. Вследствие параллелизма между du и у'х можно ожидать, что зависимость би и «и от Yz и Ех будет невелика. Значения, приведенные ниже, следует рассматривать как начальные значения.
Мюллер [378], обрабатывая опыты Мэзона с колебаниями, вычисляет du (§ 474) и находит отсюда между 24,7° и 47,5°С значения 6Р от 5,7 • 10—7 до 6,4 10~7 при среднем 6,2 • 10—7. Как видно из фиг. 144, между точками Кюри 614 достигает более высоких значений; то же справедливо относительно «и- Временно можно принять значение 614, приведенное ниже. Значения 625 и &зб вычисляют ив уравнений (205) и (488а), пользуясь также уравнением (242): 625 = d25/-ri'у ; 6зб = d36 Ы?.
Величина «и представляет собой то же, что /и Мюллера. По экспериментальным данным Мэзона Мюллер вычислил! «м, исходя из du, И сД (или, в нашем обозначении, из Ьи и с4ц)- Результаты представлены на фиг. 144, по которой среднее значение равно около 7,5- 104. Величина fu Мэзона выражается согласно его зарядной теории, как объяснено
*) €м. [428]. Результаты Покельса получены на трех пластинках 45-градусного среза X размерами 6X6X3 мм каждая, сжимаемых силой около 100 г параллельно длинному ребру. Температура не указана. Широкий диапазон значений Покельс приписал неоднородности напряжения, но дополнительной причиной этого вполне могли быть изменения температуры.
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
199
в § 190. Значение Мэзона, обозначенное здесь через /н (°—плотность заряда), в 4 к раз больше величины fu по теории смещения. В § 189 показано, что /н ~(k"—1) где я и является константой
согласно поляризационной теории, откуда Ац приблизительно на 1 % больше /А
Для /1'4 Мэзон в своей первой статье [335], а также в своей книге [637] дает значение 7,8 • 104, хотя в своей второй статье [338] он находит, невидимому, более надежным методом 4\ значение 7,5 104. Оказалось, что в пределах от — 10° до' 50° С изменение этой величины в зависимости от температуры так мало, что не поддается измерению. Какое значение ни принять, оно должно удовлетворять соотношению
, р
#14 - Р44С44 •
Принимая 614 = 6,4 10—7 и — 11,6 • 1010, находим:
ц14=7,4-104.
Вычисляя а25 и tz36, мы пользуемся значениями с55 и с66 из табл. 5, которые приближенно можно считать значениями при постоянной поляризации. Затем из уравнения (9) табл. 21 мы имеем а25 = 625сБ5 и #зб = 6збСбб-
Ниже даны окончательные значения, все с вероятной точностью ± 10%:
а^ = 7,4-104; 614 = 6,4 10~7;
а 25 =-7,1 • 104; 625 =—2,3 • 10~7;
а36 = 4,7-107; 636 = 5,4 • 10’7.
Эти постоянные не только почти не зависят от температуры, но коэфициенты в одном столбце имеют один порядок величины и тот же порядок как соответствующие коэфициенты кварца. Здесь снова выявляется тесная связь между пьезоэлектрическими и диэлектрическими явлениями: постоянные b являются функциями частного
постоянная пьезоэлектрической деформации восприимчивость ’
а так как большие значения dhk связаны с большими , то значения этого частного отличаются друг от друга гораздо меньше, чем значения dhk между собой, в случае различных кристаллов И при различных явлениях в одном и том же кристалле.
§ 143. Сегнетова соль на тяжелой воде. Свойства этого кристалла, в том числе диэлектрические и упругие, описываются в § 444. Приведенные ниже значения коэфициентов выведены из наблюдений Холдена
’) Мэзон пишет = 4^ец/К}, где Ki является диэлектрической постоянной в зажатом состоянии. Он получает ец из еы = du/su, но, невидимому, пользуется в этом уравнении вместо [уравнение (204)J. Как можно видеть из его
уравнений (54) и (55), его Ki также ошибочно. Правильное соотношение между кр и [наши k' и k" уравнений (521) и (522)] не включает s'22.
200
Глава IX
и Мэзона [231] над резонансными колебаниями 45-градусных срезов X, У и Z. Величина вычисляется с помощью формулы (452) (стр. 363) D. Такие же формулы используются для с?25 и б/зе. Коэфициент ан поляризационной теории выводится из (495 г).
Температура в градусах Цельсия а\4
—15 5,8-10-6 7,1-104
+ 4 4,2 7,0
34 84 7,2]
48 6,4.3 7,8
Форма кривой, связывающей d14 с температурой, показанная в статье Холдена и Мэзона, сходна с кривой для обычной сегнетовой соли. Величина а]4 почти не зависит от температуры, ее среднее значение, около 7,3- 104, приблизительно равно значению для обыкновенной сегнетовой соли.
Пользуясь k'y — 11 и k'10 ( § 408), находим
г/25=—189- 10-8; d36 = 39 • 10~8.
Эти два значения несколько больше, чем значения для обыкновенной сегнетовой соли в § 141. Величина d25 слегка возрастает с температурой.
§ 144. Тартрат натрия-аммония, NaNHjCfHiOe • 4НзО. Данные об упругих и других свойствах этого кристалла приведены в § 88. Следующие ниже пьезоэлектрические константы измерены Манделем [328], который измерял и упругие константы:
tZ14 = 56-10-8 , tZ25 = — 149,5-10-8 , tZ36 = 28,3 • 10~8.
Этот тартрат изоморфен с сегнетовой солью, но не обнаруживает .ни одной из пьезоэлектрических аномалий последней, кроме некоторого эффекта усталости и зависимости от влажности окружающего воздуха. Между —17° и +30° С Мандель не нашел заметного изменения пьезоэлектрической реакции. Выше 30° С этот кристалл постепенно становится проводящим.
Можно выращивать смешанные кристаллы тартратов Na(NH4) и NaK в любых пропорциях. Их свойства рассматриваются в гл. XXVII.
§ 145. Класс 10, тетрагонально-полярный, тетартоэдрический (симметрия С4). Не пироэлектрический * 2>. Имеется семь пьезоэлектрических констант с четырьмя независимыми значениями:
х @$1^2 , Yy - в3<>Еz e34Ez , Z z — e33 Zz , 1 z•,
- =e14Ex + ; — Zx = e^Ex -ф e^E=e^Ex — e^Ey. J
0 Эта формула, возможно, более точна, чем выражение, применяемое Холденом и Мэзоном, и дает несколько иные значения, чем у них. Значения т\ х взяты из их фиг. 5 в существенном согласии с данными Хаблютцеля, представленными на фиг. 132.
2) Пироэлектрический, поскольку обладает единственной полярной осью четвертого порядка. (Прим, ред.)
Пьезоэлектрические свойства кристаллов 201
Тартрат бария-антимонила Ba(SbO])2 (С4Н4О6)2 Н2О является единственным кристаллом этого класса, на котором были выполнены пьезоэлектрические измерения. Вин [563] нашел, что d33 = 11 • 10—8.
§ 146. Класс 11, дитетрагона льно-альтернативный, гемиэдрический с инверсионной осью (симметрия Vd) 15. Не пироэлектрический. Имеется три пьезоэлектрических константы того же типа, как в классе 6, но две из них имеют одинаковые значения;
= -Zx = exiEy- -Xy = e^Ez. (209)
Все уравнения преобразования, данные выше для класса 6, имеют силу также и для класса 11.
В настоящее время важность этого класса с пьезоэлектрической точки зрения заключается в том, что некоторые его представители обладают сегнетоэлектрическими свойствами, родственными свойствам сегнетовой соли. Как показал Буш [88], такими кристаллами являются дигидрофосфаты и арсенаты калия и аммония. Их диэлектрические свойства и возможные переходы в другие кристаллографические классы при некоторых температурах рассматриваются в ?л. XXVII.
Люди [322] имерял пьезоэлектрический модуль d36 кристалла КН2РО4 статически с помощью струнного гальванометра, а Бэнтл и Кэфлиш [26] — посредством баллистического гальванометра. В точке Кюри, 122° К (—151°С), было определено значение, достигавшее 60 000 - 10—8. При повышении температуры это значение падает, сначала очень быстро, ia затем более медленно до 50 • 10—8 ори 20°С. Ниже 122°К значение уменьшается до 10 000 • 10—8 при температуре жидкого воздуха. В области температур ниже 122°К КН2Р,О4 обнаруживает сегнетоэлектрические свойства, аналогичные свойствам сегнетовой соли между точками Кюри. В этом интервале d33 зависит и от напряжения и от температуры, как явствует из того обстоятельства, что кривая зависимости поляризации от напряжения не является линейной, приближаясь к насыщению при напряжении около 40 кг/см2.
Подобные же результаты при измерениях обратного эффекта получили Арке и Бэнтл [11]. Они нашли, что ниже точки Кюри, как и в случае сегнетовой соли, переменное электрическое поле вызывает петлю гистерезиса. Поэтому представляется, что ниже 122°С, за исключением очень слабых полей, d33 не является однозначной величиной. Как и в сл|учае сегнетовой соли, по соседству с верхней точкой Кюри [26] для d3& выполняется «закон Кюри — Вейсса». Свойства КН2РО4 -описываются В гл. XXVII.
§ 147. Класс 12, тетрагонально-голоаксиальный, энантиоморфный гемиэдрический (симметрия Z)4). Не пироэлектрический. Имеется только одна независимая пьезоэлектрическая константа ei4 = — e2s. Уравнения преобразования, данные выше для класса 6, в применении к классу 12 особенно упрощаются.
Классы 12 и 24 обладают особым пьезоэлектрическим свойством, вытекающим из того, что для этих обоих классов е25 = — е14 и е36 = 0. В результате этого, в каком бы направлении сжатие ни прилагалось, параллельная его направлению компонента поляризации не появляется: в классах 12 и 24 нет продольного эффекта. Такое заключение следует непосредственно из уравнения для d'n, d'22 или d'33 в уравнениях (201).
О Другое обозначение — D2d- (Прим, ред.)
202
Глава IX
Но поперечный эффект относительно преобразованных осей не исчезает. Это видно, например, из уравнения для d'l2 в уравнениях (201).
Единственным представителем класса 12, заслуживающим упоминания, является сульфат никеля, NiSO4 6Н2О. Вследствие слабой спайности и большой неустойчивости его нельзя рекомендовать для пьезоэлектрического прим енения.
§ 148. Класс 18, тригонально-голоаксиальный, анантиоморфный геми-эдрический (симметрия D2). Не пироэлектрический. Главным представителем является а-кварц. Имеется пять пьезоэлектрических коэфициентов только с двумя независимыми значениями:
— вллЕ' * Yу — е-taEx -— е4, Е * Yz — е \^Ех, 1
х 11 л 7 у 1н л их? z 1 ъ л । б О 1 ГЛ Л
Zx е^Еу, Ху = е2(Еу е^Еу. )
Из этих уравнений первое выражает продольный эффект, второе — поперечный эффект, открытый братьями Кюри. Первое уравнение выражает напряжение, действующее при колебаниях по толщине, второе — при колебаниях по длине в срезах X. Последнее уравнение играет роль в колебаниях по толщине в срезах У. В теории косых срезов встречаются различные комбинации коэфициентов. Возможные формы колебаний, возбуждаемые пьезоэлектрически в кварце, рассматриваются в гл. XVII.
Специализированные выражения уравнений (191) и (I9la), связывающие коэфициенты пьезоэлектрического напряжения и деформации,
имеют вид:
£ц = ^12) 4~ ^14^14 5 (2П)
^14 ~ 4“ ^14С44 ; (211а)
^ll=£jl(Sll ' ^12) ~h ^14514 5 (2116)
= 2£л£14 ^14S44. (211в)
Уравнения (188) приводятся к виду:
-Рх = ^п(Хж-Г,)+^Х; -Pv=-(duZx+2duXyY, P=0. (212)
Для кристаллов этого класса суммирование в уравнении (265) в случае полей, параллельных X и У (m= 1 или 2), приводит к выраженидо
6
S ~ 2elldu 4' ^14^14 •
i
(213)
Это выражение встречается в соотношении между диэлектрическими постоянными свободного и зажатого кристалла. В случае полей, параллельных Z, пьезоэлектрический эффект исчезает, и k'z= k"z .
Пусть размеры в срезе X, параллельные осям X, Y, Z, будут соответственно е, I и Ь, прич1ем е мало по сравнению с b и I. Тогда при действии сжимающей силы F х = Ь1Хх пьезоэлектрический заряд на электродах, покрывающих главные грани, будет:
Q,= WP<=_«^£ = _rf1A. (214)
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
203
Если приложено сжатие Fy = beYy, то заряд будет:
Q, Ь1РХ = = . (215)
Уравнения (214) и (215), выражающие соответственно продольный и поперечный эффекты, были проверены братьями Кюри. Особое внимание следует обратить 1на то, что при продольном эффекте заряд не зависит от площади, на которую действует сила, тогда как при поперечном эффекте заряд пропорционален отношению длины к толщине пластинки.
'1
§ 149. При измерении dn может возникнуть вопрос относительно влияния на точность определения dn условий, когда давление действует только на небольшую часть поверхности, а также, когда электроды не покрывают граней YZ полностью. При продольном эффекте, силе Fv и полном заряде Qx модуль dn выражается уравнением (214): dn = — Qxl?x. Чтобы можно было наблюдать весь пьезоэлектрический заряд, электроды должны покрывать по крайней мере деформируемую часть кристалла. Но нет необходимости предполагать, что все линии упругого напряжения параллельны оси X. Однако чтобы свести к минимуму опасность изгиба пластинки и соответствующего изменения сопровождающей его поляризации, лучше распределять давление равномерно по всей поверхности и покрывать пластинку электродами до краев.
При измерении dn (= — di2) посредством поперечного эффекта обычно прилагают нормальное напряжение, параллельное Y, к срезу X, длина и ширина которого параллельны Y и Z; электроды непосредственно прилегают к двум граням, нормальным к X. Напряжение, разумеется, может быть или сжатием или растяжением. Последнее предпочтительнее, так как этим устраняется л4згиб или коробление пластины. Чтобы избежать затруднительных, поправок на краевые эффекты, электрода должны покрывать всю ширину пластинки, параллельную Z, но не должны доходить до ее концов: достаточно, чтобы величина I в уравнении (215) представляла бы длину электродов.
Когда к пластинке среза X, толщина е и длина / которого соответственно параллельны X и У, прилагается разность потенциалов V элек-трост. ед., то для получающихся удлинений справедливы следующие выражения, соответствующие уравнениям (214) и (215):
= (216)
Выражение для du, сходное с уравнением (215), может быть написано, если принять, что приложенное напряжение есть Y2. Теоретически такое напряжение можно реализовать в случае среза А’, прилагая к двум граням, нормальным к оси Y, пару тангенциальных сил + Fу = + beYz, причем направления этих сил параллельны оси Z. Тогда из уравнения (212) получим:
Qx = ЫРХ = - = - 4 duFy . (217)
Сходство этого выражения с (215) очевидно. Практически такое напряжение сдвига обычно осуществляется сжиманием косых срезов. Именно таким образом Фогт определил du для кварца, пользуясь прямоугольными срезами X, повернутыми на 22,5° и 45° вокруг оси X. Обозначая
204
Г лава IX
действующее напряжение через Z'z, из уравнения (221) мы получаем выражение для вызываемой Поляризации:
- Px = d'nZ'z= — Z'z{s2dn ±scd14).
Если 4п определена посредством уравнения (214) или (215), можно вычислить dw из наблюдаемых Рх и Z'z.
§ 150. Пьезоэлектрические константы класса 18 при повороте осей. Для преобразования прямоугольной системы координат в общем случае пользуются методами § 134, удерживая только те константы, которые характерны для этого класса. Например, из уравнения (194) следует, что ^з8 = Ъ(ъ2-3Ъ2)^, (218)
где 71 и 72—(Направляющие косинусы оси Z'. Вводя азимут ? и дополнение к широте 6 оси Z', как показано в § 51, можем' написать это уравнение в виде:
е'зя = еп cos3? sin30. (218а)
Подобным же образом из уравнения (194) или (198) имеем: I
<з = 71(72 — 372X = <iCOs 3? sin30. (219)
Для этого класса едва ли существуют какие-либо общие формулы преобразований для пьезоэлектрических констант, приложимые к косоугольной системе координат любой ориентации. В одной из последних статей Мэзон и Сайкс [343] приводят уравнение для г/'3] при любой системе осей, причем направления последних определя1ются углами ?, 0 и согласно § 52:
<31 = dn sin0 [ cos3?(cos20 cos2? —sin2<p) —sin 2<psin 3? cos0] —
(sin20 sin 2ф). (220)
Соотношения между ?, 0,^ и направляющими косинусами даны в § 52.
§ 151. Наиболее полезными являются формулы для поворота вокруг одной оси. Их можно вывести из уравнений (196J. Относительно оси X направляющие косинусы, определяемые табличкой в конце § 133, при-
нимают значения at — 1; 71 a2 a3 Oj ?2 7з C — y2 = s.
Выражения для преобразованных коэфициентов принимают вид
<i—dn 5 e>11— &11 ’>
d 12~— с dw | scd^^ e 12= ^2^n ~F 2sc^14 ;
d s2da scd^1—— d 12 £ 13 — s вц 2scew= e i2
{6 ±90°] ; [6 + 90°];
d'^=2csdw + < — «; <4=cs^i+(c2—s2)eu;
<5 — dfis = 0 ; ll>=e, i6==1^’t
d 21 = d 22z=d 23 d 24 = 0; e 21=z<? 22~e 23 = ^ 24 0; r (221)
d 25—2cstZn c dx 4 £? 25 ^^14 j
d'2b = ~2c2dn~csdti; e'2b=— с2ец—cse^;
d' —d'S2 == d'ss = d'Si=0; е'з1=е'зъ = е'зз =
d 35 = 2s2dn-\-csdii=:zd 26 35= 52£ц—|-CS6?44 = £ 26
[6 ±90°]; [9 ±90°];
d 36==2c’SfZu-|-s24i4::= d 25 зб^^^и -ф-s2e14e 25
[9 ±90°]; [6±90°]. . }
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
205
Поворот вокруг оси Y. р2=1, Pi = Рз= а2 = Тг = 0, а1 —Тз = г,
— а3 = Ъ = $.
^/ii==£3^ii5 ^11 — £3^115 1
С? 12 = £^и5 12 — C^ll J
£'i3 = = 6S2£11;
t//14=c26/14; £ 14 = C2£i4 5
d'^2c^sdn= 2d'13 [90° ± 6]; £ 15 = £2S£j4 = £ 4з [90° ± 6];
iZ,16=—cscf14; £ 16 ~ ^^^14»
^21 — ^16 5 £ 21 ^£ ig>
б/ 22 Oj £'22 =0;
d 23==^''1Q 5 ^23 = 2£ 16’
d'24— — sdtl=d'i2 [90° + 6]; 24 S&11 & 12 [90° ± 9]; (222)
d 25 == (c2 S2 ) ^14 5 £'25 = — (£2—$2ki4;
d't^—2.d\2\ £ 26 = 12 5
d' —• «31— 2 ’ ^31 ~ e'15 >
d 32=:^<24> 32 = 24 >
d зз=58б/ц = б/,ц [90° ±9]; ^33 — s3^n 11 [90=^0];
d' 34 ~ ^16 > ^34 = \5i
t/,35=2tZ,13; e’ ^5
<Z'36=—sM14 = -d'14 [90°±0]; ^%6 ~ ~ 5^14 ~ г'» [90°+ 01. 1
Поворот вокруг оси Z. 73 = 1, 71 = Ъ = аз = Рз = 0» а1 — Р2 = с>
«2=—Р1 = «-
^'п—с(1 — 452)б/и—tZucos 39; e'n— f(l —4s2)£i1=£hC0S 39; 1
d is^ e‘ 12“ 115
d d e‘ 13= £ 15= 0;
d dn‘, e‘ 14“ ^14 5
d 16—’ d 2iJ e‘ 16—215 1 1
d'2r== s(l-4f2)tZn—~ d 22— d л; dnsin 39; e‘ £' ’21= s(l— 4г2)£ц=—£Hsin 39; 22==: ^215 1 1 . (223)
d 23 d 24==0> e‘ 23~^ 24~O5
d du", £' 25~ ^14 5
d d nJ £' 26~ 6 115
d 31= d sz^^d 33=0; e‘ 31= £ 32” £ 33—Oj
d s4= d зб= d вб^ 0; e' 34~ 35^^ 36—0-
§ 152. Поляризация, вызываемая однородным давлением в каком-либо одном направлении в кристаллах класса 18. Пусть Z\—давление, параллельное оси Z', имеющей направляющие косинусы ч2, ; ре-
зультат можно также выразить через азимут <р и широту 6 (фиг. 17). Из уравнений (212) и (22?) или из уравнений (197) получаем следующие
206
Глава IX
выражения для компонент поляризации:
Рх — - [ (71 71) 7273^14] Z z=
= — [du sin2 6(cos2?— sin2?) +^14 sin 0cos 0 sin?]Z'2;
Pу — 7i (272cfn 4- 73^14) Z' 2
=sin 6 cos ? (2dn sin 0 sin? 6/14cos6 )Z'z;
Pz = 0.
(224)
Полная поляризация, равная P- = P2 x 4~ P2y , находится всегда в плоскости XY; ее можно разложить на две компоненты, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна Z'. Первая из них, которую можно обозначить через Р1} выражает продольный эффект в случае косых давлений в кварце или в других кристаллах класса 18:
где
P4 = Pz = 71Pz-4 72P2 = -i/i1sin30cos3?-Z4= —tZ'33Z4 , (225)
d' 33 = dn sin3 6 cos 3? ,
(226)
как
уравнении (219).
____ ' =90°, a ? —0°, 120° или 240°, d'33 = di\, то напряжение параллельное одной из электрических осей,
в
Когда 6 =' превращается в Хх, Pt превращается в Р х. Это максимальное значение Pt при данном Z'z\
в этих особых ориентациях Р t, кроме того, представляет полную поляризацию. Вообще же имеются компоненты поляризации как параллельные, так и перпендикулярные 2^,за исключением некоторых особых ориентаций, которые будут рассмотрены в следующих параграфах.
Перейдем теперь к специализации уравне. ния (226) для трех главных осей. В случае давлений в плоскости YZ имеет место ? — 90° и ^4з = 0 при всех значениях 6; давления, перпендикулярные оси X, не вызывают продольной поляризаций Рг, а только Рх, выражаемую уравнениями (224). Если давление находится в плоскости ZX, то ?=0 и
Фиг. 40. Продольный пьезоэлектрический эффект кварца в плоскости ZX (по Фогту). Радиусы-векторы пропорциональны d'33.
d'3S — d±1 sin3 6 .
(227)
24
Полярная диаграмма, изображающая согласно! (227), d'33 для кварца в функции в, представлена на фиг. 40, на которой радиус-вектор ОР пропорционален d'33, а отсюда — и поляризации Р' 2——d'33Z'z. При отрицательных значениях Ь величина d33 становится отрицательной, но на фиг. 40 ее численное значение все же выражается правильно.
Тригональный характер этого класса кристаллов очевиден из наличия в уравнении (226) угла Зя и выявляется при рассмотрении продольного эффекта в плоскости X Y. Здесь 6 = 90°, так что
d'33 = ^ucos 3? . (228)
Полярная диаграмма (фиг. 41) принимает в этом случае вид трилистника, причем d's3 — dn, когда давление параллельно^ одной из осей Х{, Х2 или Х3. Относительно любой из этих трех осей X, например Л), величина d'33 принимает при изменении ? как положительные, так и отрицательные значения. Эти изменения знака и численных значений в
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
207
тривекторнои поверхностью,
Фиг. 41. Продольный пьезоэлектрический эффект кварца в плоскости ХУ (по Фогту). Радиусы-векторы пропорциональны й'33.
случае кварца представлены на фиг. 42. Если вместо Z'2 взять в качестве давления Х'х или Y'y, то фиг. 41, разумеется, будет изображать </ц или d22.
Можно представить себе модель, основанную на уравнении (226) и изображающую d'ы во всех ориентациях. Ее поверхность будет поверхностью третьего порядка, а именно упомянутой в § 136, пересечения которой с плоскостями ZX и XY представлены фиг. 40 и 41. Такая поверхность похожа на три миндалины, соединенные своими острыми концами
Интересное соотношение между поляризацией Р и напряжением сжатия справедливо, когда последнее нормально к оси Z. Подобно эффектам, описанным в .предыдущих параграфах, оно зависит от того, что для этого класса di2 = — dn. Полагая в уравнении (224|) 6 = 90°, находим:
Рх = —d X1Z'2 cos 2 <р,
Ру ~ d\XZf 2 sin 2ср, откуда Р2 = Р‘~ -|-+ Р* = dи Z'z. Из этих выражений очевидно, что Р параллельна X, когда давление параллельно оси X или У(ср= 0); Р параллельна Y, когда давление направ
лено под углом +45° к оси X; отсюда следует, что при изменении направления давления в плоскости XY вектор Р поворачивается в пространстве, сохраняя всегда то же численное значение dnZz'. Легко показать, что Р вращается в два раза .скорее Z/ и в противоположном направлении. Это соотношение для полной поляризации не следует смешивать с соотношением для продольной поляризации, изображаемой фиг. 41, которая показывает, что при вращении давления на 360° имеют, ся шесть положений, в которых компонента Р, параллельная давлению, обращается в нуль.
§ 153. Поляризация, вызываемая однородным полем, перпендикулярным оси Z. В последнем параграфе показано, что сжимающее напряжение, перпендикулярное оси Z, вызывает поляризацию!, постоянную по величине, но, за исключением некоторых особых азимутов, непараллельную напряжению. С другой стороны, однородное электрическое поле, перпендикулярное оси Z, вызывает поляризацию, не только постоянную по величине, но и параллельную полю. Это следует из симметрии этого класса кристаллов и справедливо как для зажатого кристалла (постоянная деформация), так и для кристалла, могущего свободно деформироваться в поле. Поэтому кварцевый шар или круглый цилиндр, ось которого параллельна Z, смонтированные таким образом, что они могут свободно вращаться вокруг оси Z, и помещенные между плоскопараллельными электродами, которые также параллельны оси Z и друг от друга достаточно удалены для обеспечения однородности поля, — не должны обнаруживать тенденции ориентиров!аться в каком-либо особом
*) Фотография «миндалевидной модели» воспроизведена в статье Гюнтера {197].
208
Г лава IX
направлении, за исключением случая, коЛда их поперечное сечение слегка отступает от кругового в результате растяжения или сжатия вдоль оси X. Даже в случае полей в несколько тысяч вольт на сантиметр порядок хх составляет 10—6. Если когда-либо и наблюдается ориентация, вызываемая однородным полем, то он'а является скорее результатом небольшого эксцентриситета монтировки, чем результатом увеличения диаметра в направлении одной из осей X.
Так как, по данным большинства исследователей, диэлектрическая постоянная кварца вдоль оси Z несколько больше, чем в направлении, ей перпендикулярном, то свободная сфера в однородном электрическом поле будет стремиться совместить ось Z с направлением поля.
Утверждают что кварцевый срез Z в форме диска, помещенный в электрическом поле, параллельное его плоскости, стремится повернуться так, чтобы одна, из его электрических осей была параллельной направлению поля. Это- утверждение, основанное на гипотезе деформацишпциниц-ной ячейки в однородном поле, неправильно. Если в наблюдениях Мейснера и Бехмана экспериментальные ошибки были устранены, то вращение следует приписать неоднородности электрического поля. Электроды были относительно малы и близки с обеих сторон к обоим краям пластинки. Пьезоэлектрическая деформация была малой, за исключением ближайших^ к электродам участков. Кристалл был в действительности закреплен частично, не был ни однородно зажат, ни вполне свободен. Напряжения больше всего вблизи электродов, но они в значительной мере нейтрализуются упругой реакцией прилегающих участков. Преобладающей деформацией является, повидимому, почти радиальное растяжение хх в направлении оси Z, ближайшей к линии, соединяющей электроды. Согласно § 204, эта деформация д'ает небольшое увеличение восприимчивости в направлении X, отчего диск стремится повернуться так, чтобы направление максимальной восприимчивости было параллельным направлению поля.
§ 154. Альфа-кварц. Кристаллографические свойства описаны в § 11, а определение системы осей, данное Институтом радиоинженеров и принятое в настоящей книге, дано в § 327. Есе значений, приведенные ниже, выражены в этой системе, согласно которой знаки !dn и d\4 одинаковы для правого и левого кварца; это те же знаки, которые Фогт приписал бы правому кварцу по своим определениям осей * 2).
В табл. 18 и 19 приведены взятые из литературы значения t/ц и d14, измеренные статическими методами при комнатной температуре. Четвертый столбец указывает, какой эффект, прямой или обратный, применялся, а также было ли налагаемое напряжение (или наблюдаемая деформация) Параллельно X (продольный эффект L) или У (поперечный эффект Т). Можно принять, что деформации были во всех случаях достаточно малы, чтобы считать соотношения линейными.
Приблизительно в половине измерений, приведенных в табл. 18,. был использован прямой продольный эффект, причем и сжатие и поляризация .были параллельны X. При применении поперечного эффекта поля-
0 A. Meissner and R. Bechmann. Zs. f. techn. Phys. 9, 430—434 (1928).
2) To обстоятельство, что знаки du и du, по условию Фогта относительно! осей, должны меняться при переходе от правого к левому кварцу, поясняется на стр. 861 «Физики кристаллов». Читатели «Физики кристаллов» не могут знать, что значения этих констант, приведенные на стр. 869, были получены для левого кварца, если только они не справятся по оригинальной статье Рикке и Фогта [435].
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
•2С9
ризация в большинстве случаев вызывалась растяжением, параллельным Y; растяжение следует предпочесть, чтобы избежать изгиба пластинки. Поперечный эффект дает di%. Все экспериментальные данные подтверждают соотношение d\2 — — du. Остерберг и Куксон наблюдали деформации в переменном поле с частотой 60 Hz. Эта частота так низка, что их результаты вполне можно поместить среди статических величин.
Таблица 18
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МОДУЛИ du КВАРЦА
(статичес! ие значения)
Исследователи Источники dir10’ Эффект
1 П. и Ж. Кюри,
1881 г [117,612] 6,32 Прямой, L,T
2 Чермак, 1887 г. . . 118] 6,3 L
3 Рике и Фогт, 1892 г. 435] 6,45 , L
4 Покельс, 1894 г. . . 428] 6,27 . т
5 Нахтикаль, 1899 г. 386] 6,54 „ L
6 Ж. Кюри, 1910 г. 613] 6,90 „ т
7 Вин, 1911 г [563] 6,32 „ т
8 Хаяши, 1912 г. . . [2Ю] 6,31 L
9 Рентген и Иоффе,
1913 г [440] 6,94 7.L
10 Тси-Зе, 1927 г. . . . [523 6,4 Обратный, T.L
11 Зейдль, 1932 г. . . . [456’ 6.90 Прямой, Т
12 Гюнтер, 1932 г. . . [194’ 6,35 Обратный, Т
13 Кноль, 1932 г. . . . [262; 6 83 Прямой, L
14 Остерберг и Кук-
сон, 1935 г. . . . [407] 6,22 Обратный, Т
15 Клей и Карпер,
1937 г [112] 6,80 Прямой, L
16 А. Ланжевен, 1939 г. р05’ 7,10 „ Д?)
17 Люди, 1939 г. . . . I [322’ 6,54 т
Большая часть систематических источников ошибок, так же как ошибочная ориентация пластинки, двойникование или другие дефекты кристалла и несовершенная изоляция, уменьшают наблюдаемые значения dn. Вполне вероятно, что более высокие значения, приводимые в таблице с 1910 г.-, объясняются учетом этих обстоятельств. Наблюдения № 6 и 9 относятся к самым тщательным и искусным. То, что они дали высокие значения, повидимому, не является простой случайностью. Ланжевен подчеркивает, что его высокое значение получалось только с очень совершенными пластинками. Он утверждает, например, что по удалении с одной из пластинок маленького сдвойникованного участка, значение dn поднялось с 5,77- 10—8 до 6,83- 10—3. Хотя подробности его метода и не приводятся, все же его результаты можно принять как очень надежные.
Учитывая все это, значение dn = 6,9 • 10~8 кажется надежным, в согласии с мнениями Сосмана 9 и Фогта и Фредерикса [576]. Очень желательны точные измерения с тщательно ориентированными пластинками высшего качества. Вполне возможно, что такие измерения подтвердят высокое значение, наблюдавшееся Ланжевеном.
’) [649], стр. 559.
14 Кэди
210
Глава 1Х
Критическое обсуждение некоторых \i3 статей, цитированных в табл. 19, дано в книге Сосмана. Фогт в «Физике» кристаллов» как даилучшее значение dw, невидимому, принимает среднее из наблюдения Рике и Фогта и Покельса, а именно dw = — 6,36’ 10-8 * 2). Вместо этого все еще широко применяемого значения впредь следует пользоваться значением, приведенным выше.
Измерения dw были опубликованы также и другими наблюдателями. Так, наблюдения Даусона [121] и Фокса и Финка [143], хотя, невидимому; и менее точные, чем приведенные в табл. 18, дают тот же порядок величин. Грамон3> получил для dw с тремя различными образцами значения 6,37, 6,37 и 6,40 • 10~8, но он не приводит подробностей эксперимента.
§ 155. Экспериментальные значения dw кварца, полученные статическими методами. , Значения из различных источников цриведены в табл. 19. • , ' \
Таблица 19
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МОДУЛИ d14 КВАРЦА (статические значения)
Исследователи Источники - du-108 Метод
1 Рике и Фогт, 1892 г. . [435] 1,45 Срез X
2 Покельс, 1894 г. . . . [428] 1,93 . X
3 Фогт и Фредерикс,
1915 г [576] 2,25 Кручение
4 Остерберг и Куксон,
1935 г [407] 2,24 Срез X
5 Ланжевен и Соломон, 60 Hz
1935 г [307] 2,1 Кручение
6 Гибе и Цин, 1936 г. . . [159]- 2,04
Вследствие сравнительно малой величины dw и более значительных экспериментальных трудностей при измерении этого модуля можно ожидать меньшей точности, чем при измерении dw. Наблюдения 3, 5 и 6 были произведены над кручением кварцевых цилиндров. Хотя такие косвенные данные менее надежны, чем данные, полученные с плоскими пластинками, все же обращает на себя внимание однородность высоких значений. С одной стороны, как указано выше в связи с dw, большая часть источников ошибок стремится преуменьшить получаемые значения. С другой стороны, наблюдения 1 и 2, дающие самые низкие значения, были выполнены с особой тщательностью и искусством. Среднее из наблюдений 1 и 2, а именно 1,69 • 10~8, было принято Фогтом 4) и широко цитировалось. Однако на основании более поздних работ теперь, повидимому, лучше принять значение = —2,0- ю-8.
О Стр. 870.
2) Отрицательный знак, употребляемый Фогтом, вытекает из его условия относительно направления осей, о чем см. § 327.
3) [623], стр. 51.
4) «Физика кристаллов», стр. 870.
Пьезоэлектрические свойства, кристаллов. ....21'1
•§ 156. Следующие данные рекомендуются как наилучшие в настоящее время значения пьезоэлектрических модулей кварца:
dn = + 6,9• 10-8; du = — -2,0-10-8. (229)
Значения согласно поляризационной теории даны в § 158.
Константы пьезоэлектрического напряжения кварца определяют из уравнений (221) и (221а), пользуясь приведенными выше значениями dn и t/н, а также упругими константами табл. 9 °,
еп = + 5,2 -104; г14 = + 1,2 -104. (230)
§ 157. Пьезоэлектрические коэфициенты, определяемые динамическими методами. Некоторые, более важные, результаты приведены в табл. 20. Они выведены методами, описанными в § 310. Первые два имеют относительно низкую точность и включены ради исторического интереса. Наиболее надежные данные, вероятно, принадлежат ван Дайку и Мэзону.
Таблица 20
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЭФИЦИЕНТОВ КВАРЦА
1 2 3 4 5 6 Исследователи Источники £1Г10 rfn-108
Андреев, Фредерикс и Казарновский, 1929 г Фуджимото, 1929 г. . . Фредерикс и Михайлов, 1932 г . . Нуссбаумер, 1932 г Ван Дайк, 1935 г Мэзон, 1943 г. (а также d14= =2,56-10-8 и б?и=+0,97-104) . . [4] [1521 [150] [395] [554] [340] 5,01 6,51 6,1 5,55 6,84 6,70 6,76
Неизвестно никакого теоретического объяснения наблюдаемой разницы между статическими и динамическими значениями пьезоэлектрических констант. Пока динамические методы окончательно не проверены и пока нет уверенности, что возможные источники ошибок устранены, повидимому, лучше принять значения констант, выражаемые равенствами (229) и (230).
§ 158. Пьезоэлектрические коэфициенты кварца согласно поляризационной теории. Из уравнений (228), пользуясь пьезоэлектрическими константами § 331, находим:
(231)
«и 19-10- ; = = 104;
= Л= 2 5. Ю-' ; Ь,. = 0,72 10‘.
Как и в теории Фогта, другими константами являются 012 = Яге = = ---С?ц; Ь\2 — &2б/2 = - b\\, ---^14] t>25 ~ -Ьц.
>) В «Физике кристаллов» (стр. 870) значения ви и еи, вычисленные пр дан. ным Фогта, ошибочны. Они должны быть: ец ==—4,69 • 104, еи — —1,18-104.
14*
212
Глава IX
§ 159. Зависимость dn от механическою напряжения. При обычных условиях это влияние мало. При более сильных напряжениях результаты противоречивы. Нахтикаль [386] обнаружил линейную зависимость между dn и Хх:
dn = 6,54 • 10-8- 1,05- 10~16А%, [232)
где напряжение Хх выражено, как обычно, в динах на квадратный сантиметр. Согласно этому уравнению, нагрузка в 1 кг/см* 2 * уменьшает dn на 0,16%. Клей и Карпер [112] сообщают, что dn постоянна до 10 кг/см2 и становится лишь немного меньше при 15 кг/см2. Наконец, Керчер [254] нашел, что du постоянно с точностью до 0,1% при давлениях до 3500 кг/см2.
В опытах с обратным эффектом Тси-Зе [523] обнаружил, что dn с увеличением Ех уменьшается по экспоненциальному закону, оставаясь почти постоянной, пока Ех не достигнет значения около 40 эл-ст. ед. В опытах с поперечным эффектом с?ц уменьшилось приблизительно на 9% при Ех, равном 20 эл.-ст. ед. и на 40% ОприЕд-равном 500 эл.-ст. ед. Значения того же порядка величины были получены и с продольным эффектом, причем было указано, что в обоих случаях при сильном увеличении поля деформация приближается к состоянию насыщения. Если принять его данные, то приходится заключить, что для одинаковой деформации уменьшение dn, вызываемое обратным эффектом, гораздо больше, чем вызываемое прямым эффектом. Например, табл. 5 Тси-Зе указывает для продольного эффекта деформацию хд₽=;10‘5при напряженности поля в 268 эл-ст. ед. Чтобы получить эту деформацию механически, потребовалось бы напряжение Лг«8-106 дин/см2, а когда это значение подставляется в уравнение (232) Нахтикаля, то обнаруживаем, что dn уменьшается только на 1,2%, тогда как по данным Тси-Зе уменьшение, соответствующее этой же самой деформации, достигает 43%. Повидимому. пьезоэлектрический эффект в кварце при больших механических и электрических напряжениях заслуживает дальнейшего' исследования.
О зависимости константы du от Механического напряжения данных нет.
§ 160. Зависимость dn от температуры. Хотя наблюдения не так расходятся, как при только что описанном, изучении влияния давления, но большие разногласия между авторами заставляют* подозревать, Что во многих случаях фактически измерялся не только температурный коэфициент модуля dn.
Качественно большинство наблюдателей согласны, что dn при комнатной температуре больше, чем при очень низких или высоких температурах2). Лиссауэр нашел 3), что ниже комнатной температуры dn изменяется не больше чем на 2% при понижении температуры до — 192° С (жидкий воздух). Оннес и Бехман [396] установили, что dn уменьшается приблизительно на 1,2% при понижении температуры от комнатной до температуры жидкого воздуха и на 0,2% между последней и температурой жидкого водорода. Ланжевен и ЛТулен [306] наблюдали более значительную скорость уменьшения, а именно — значение dn на 5,8% ниже при —60°, чем при 0° С. Эти цифры дают температурный коэфициент а = 9,7 • 10~4.
Питти и Мак-Кинли [426] наблюдали температурную зависимость dn от 4° до 813° К посредством статического и динамического мето
П Тси-Зе нашел, что в более сильных полях деформации отчасти вызываются электрострикцией (§ 137), эффект который устранялся переменой направления поля. Его общее уравнение для деформации как функции напряженности поля вызывает сомнения, так как он исходит из теоретически ненадежного допущения, что изменение dn пропорционально скорее падению потенциала на кристалле, чем полю, и что коэфициент пропорциональности не зависит от толщины пластинки.
2) Остерберг [Phys. Rev. 49, 552—553 (1936)] утверждает, что пьезоэлектриче-
ская «активность» возраст при понижении температуры от комнатной до — 175°С.
а> «Физика кристаллов», стр. 862.
Пьезоэлектрические свойства кристаллов 213
дов. При последнем кварцевый срез X размером 24 X 24 X 0,81 мм находился в контуре пьезогенератора. Статическим методом было обнаружено, что du уменьшается на 1,3% при уменьшении температуры от 296° до 83° К; полное уменьшение du при переходе от 296° к 4,2° К достигало 12%. Наблюдения динамическим методом были выполнены во всем диапазоне между 4,2° К и 540° С. При охлаждении ниже 14° К du не изменялось до температуры 5,5° К, при которой происходило внезапное уменьшение. При повышении температуры du оставалась почти постоянной от 5,5° К до 200° С; в последней точке начинается постепенное уменьшение; влияние температуры прекращается при 540° С. Однако авторы полагают, что эффект можно было бы проследить до температуры перехода из а- в 3-модификацию. При обратном переходе от высоких к низким температурам они не обнаружили следов отставания пьезоэлектрической активности, о которой сообщал Даусон [121].
Перье [412] обнаружил, что выше комнатной температуры du остается почти постоянной до 200° С, а затем уменьшается и обра>-щается в нуль при 579° С. При понижении температуры она вновь появляется при 5769 (Перье принимает 579° за точку перехода кварца из а- в р-модификацию; в настоящее время за эту точку обычно принимают 573°). О подобном же гистерезисе при охлаждении сообщает Даусон [121], который, однако, отметил максимум в изменении du около 60° С, за которым следует быстрое понижение, а затем между 300° и 480° значение становилось чрезвычайно малым, причем с различными кристаллами получались отличающиеся друг от друга результаты. По Андрееву, Фредериксу и Казарновскому [4], du уменьшается на 17% при подъеме температуры от 15° до 500° С. Фредерикс и Михайлов [150] нашли, что du остается практически постоянной до температуры в 187° С, выше которой следует быстрое понижение. А. .Ланжевен [304] наблюдал линейное уменьшение при повышении температуры от 20° до 200° С, выше которой измерения не производи-лисьЧ Результаты Ланжевена приводят к температурному коэфициен-ту а = — 5,5 • 10—4, близкому к а = — 3,5 • 10—4, который получается на основании данных Андреева, Фредерикса и Казарновского. Клей и Карпер [112] нашли, что между 17° и 90° С значение еще меньше и равно а = — 7 • 10—6; этот результат по существу сходится с наблюдениями Перье, а также Фредерикса и Михайлова. Рентген и Иоффе [440], прибор которых позволял заметить изменения, равные 0,1%, не обнаружили влияния температуры на du между 15° и 25° С.
Ван-Дайк [553] наблюдал продольную частоту в кварце среза X с длиной, параллельной У, при температурах между —80° и •-}- 40° С. Он находит, что действующий пьезоэлектрический коэфициент* 2) е уменьшается с 5,57- 104 при —80°, сначала медленно, а затем более быстро, и принимает значение 5,27-104 при 40° С. Температурный коэфициент при 40° в десять раз больше, чем при —80°, причем его
1) Этот результат получен методом нулевого отклонения (постоянный потенциал). Сначала Ланжевен испробовал метод отклонений, давший максимум в изменении du приблизительно при 60°С. Он приписывает этот максимум так же и максимум, отмеченный Даусоном, ошибкам, вызываемым деформацией прибора.
2) Из § 228 следует, что действующим пьезоэлектрическим коэфициентом кварцевого бруска этой ориентации является не еп, как утверждает Шейбе ([647]/ стр. 70), а е = dn/sn. Различием между е и вц пренебрегать нельзя, хотя оно и мала
214
Глава IX
значение при комнатной температуре равно аЕ = dz^dt — 10 10-4. Отсюда и из относительно малого температурного коэфициента величины 5ц находим для dn значение ad|1 около 10 - 10—4.
В целом кажется вероятным, что пьезоэлектрическая константа du кварца имеет очень пологий максимум при комнатных температурах и скорость ее уменьшения приблизительно равна 0,1% на градус вниз до самых низких температур, а вверх — приблизительно до 200° С. Достоверно известно также, что б/ц=0 в точке перехода из а- в p-модификацию при 57,3° С +
Зависимость от температуры коэфициента du не исследована. Однако можно быть уверенным, что не обращается в нуль при 573° С, но продолжает существовать в виде коэфициента ^-кварца (§ 168).
§ 161. Влияние излучения радия на dn кварца. Лаймбок* 2) подвергал кварцевую пластинку [3- и 7 -излучению 94 мг радия. Было обнаружено, что значение dn возрастает со скоростью, приблизительно пропорциональной времени, причем полное увеличение через 7 дней достигло около 12%. Константа постепенно вернулась к своей первоначальной величине. После повторного облучения эффект стал менее заметным. - -
:§ 162. Пьезоэлектрические модули кварца при повороте вокруг трех осей. Кривые представленные на следующих ниже фигурах, рассчитаны с помощью уравнений (221) — (223) при d\\ — + 6,9 • 10~8 и с?14 =. _ 2,0 • 10—8. .
Фиг. 42 дает d'i2, d'u, d'23 и d'2& при вращении вокруг X и Й'ц для Поворота на (6 + 180°) вокруг Z. Для’этой фигуры имеют место сле-’ дующие правила.
При повороте вокруг X ордината при любом 0 одинакова с ординатой при (0 + 180°).
При повороте вокруг Z ордината при любом 0 та же, что и для (6 + 120°).
При повороте вокруг X среди модулей d'Ak, не представленных на фиК 42, значение d\3 при любом 0 одинаково со значением d'i2 при (6 + 90°); подобным же образом значения d'33 и —d'36 при любом 6 соответственно равны значениям d'2e и d'23 при ( 6 + 90°). Все остальные d'hk обращаются в нуль, за исключением
d'n = •
Среди модулей при повороте вокруг Z, не представленных на фиг. 42, в нуль обращаются все, за исключением d'\2 = df23 = — d'i\ и d'\^ = d'2\ = df22 = d'w cos 3(0+ 30°). Иными словами, значение d'i6i d'2\ или —d'22 при любом б одинаково со значением d'u при (О+'30°). . . :
Кривые изменения dhk при повороте ' вокруг Y представлены на фиг. 43. Если желаемый угол поворота лежит вне углов от —90° до + 90°, то имеют силу следующие правила. В случае d'u, d'i2 и d\3 значение при любом 6 равно отрицательному значению при (0 + 180°). В случае +u, d'i6 и d'23 ордината при любом 0 равна
О Что и должно быть для группы De, к которой принадлежит Р-кварц,-(Прйм. ред.)
2) J. Laimbock, Mitt, Inst. Radiumforschung, № 221a (1928),
Пьезоэлектрические свойства кристаллов 215
ординате при (6+180°). Для остальных модулей находим при любом 6:
{/'15 = 2йГ13 при (90° ±6);
б/ 21- d 23 ==:: d 34 == d jgJ d 22'—‘0j
^26 — d't5=2d'ls;
Фиг. 42. Пьезоэлектрические модули кварца при повороте осей. сГ12> d'u, d'25 и d'№—для поворота вокруг оси X, d'ix—для поворота вокруг оси Z.
Другие кристаллы класса 18. Вин [563] измерил e/ц следующих кристаллов этого класса:
Бензил, СиН10О2 24-10 8
Камфора пачули, Ci5H26O 0,14-10~8
Тартрат рубидия, Rb2C4H4O6 8-10~’8
§ 163. Класс 19, дитригонально-полярный, гемиморфно-гемиэдриче-ский (симметрия С3г/, система тригональная). Наиболее важным примером
216 Глава IX
является турмалин. Кристаллы этого класса являются пироэлектрическими, причем ось Z представляет собой полярную ось. Табл. 16 показывает, что имеются восемь пьезоэлектрических констант с четырьмя независимыми значениями eis, е22, ^з1 и е33:
Хх ^21^у + @22^у -j- в^Е2’
Уу @22^у Ч- ^22^у I ^31^г> f 2331
^г=:=^зз-^г5 Уг = eiiEv-=err)Ey\ Zx:= e\y>Ex\ Xy=euEx== e22Ex.
Большое число констант предоставляет широкий выбор путей получения желаемой деформации и возбуждения колебаний различных форм. Однако вследствие высокой стоимости больших образцов до сих пор практически использовался только продольный эффект, параллельный оси Z, так как в этом случае требуются только небольшие количества кристаллического материала.
§. 164. Пьезоэлектрические модули при повороте осей класса 19. Все преобразованные модули можно вывести методами, описанными в § 134. Здесь следует привести лишь некоторые из результатов.
В случае оси Z' в любом направлении с направляющими косинусами 72> 7з модуль для продольного эффекта имеет вид:
<^'зз = 7з(71 Ч-Т2) 1^31 + ^15) +ъ(Т2 —37?)6/22 + 734зз- (234)
Выраженное через широту би азимут ?, как на фиг. 17, уравнение (234) принимает вид
б/'зз — (^л + б/15 ) cos В sin2B — d22 sin39 sin 3? -J- 6/33cos3B. (234a)
По этому уравнению для любого кристалла этого класса можно построить трехмерную модель, поверхность которой представляет поверхность третьего порядка, упомянутую в § 136. Мы рассмотрим только пересечения этой поверхности с тремя главными плоскостями.
В случае давлений в плоскости YZ, <р — 90°, и из уравнения (234а) мы имеем
6/'33 = s36/22 4-с3б/334-с52(б/31 + б/15), (235)
где с = cos В и s ~ sin 6.
В случае давлений в плоскости ZX, = 0, откуда
б/'33 = сМ33 4- cs2 (dSi + d15). (235а)
Если направление давления находится в плоскости XY, то 6= 90°, так что d'^ = — sin3tp6/22. (235b)
Уравнения (235) и (235а) представлены графически на фиг. 441}. Следует заметить, чтб уравнения (235) и (235а) различаются только членом, содержащим d22 и этот модуль так мал, что кривые а и б на фиг. 44 почти одинаковы. Присутствие члена с ^22 вызывает неболь-
’). Кривые на этой фигуре основаны на диаграммах Фогта для турмалина. Чтобы подчеркнуть симметрию, автор намеренно преувеличил влияние членов с d22; поэтому эти кривые правильны только качественно. Для других кристаллов 1этого класса, модули которых имеют различные знаки и относительные величины фигуры а и б могли бы иметь совершенно другой вид. Диаграмма для плоскости XY всегда состоит из трех лопастей, подобно диаграммам кварца (фиг. 41), но в этом случае оси Л и У взаимно обмениваются местами. Радиусы-векторы в плоскости XY зависят только от d22; вследствие малых значений этого модуля диаграмма (для турмалина) была бы гораздо меньше, чем а и б.
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
217
шую асимметрию кривой а, имеющей небольшой сегмент ниже оси Y.
Интерпретируя фиг. 44а, следует помнить, что, так как Z'^ является тензором, то поляризация P'z, вызываемая Z'2, имеет при любом 6 тот же знак, что и при 9+ 180°, что ось Z' положительна в направлении наружу от начала 0 при любом 6 и что Р'г положительна, когда ее направление совпадает с направлением + Z'. Таким образом, ясно, что фиг. 44а дает полную картину d'33 (а следовательно, и поляризации Рг= — d'33Z'z\ при всевозможных направлениях давления в плоскости YZ и что (для турмалина) положительное направление Р' z всегда считается к началу координат. Подобные же замечания приложимы к кривой б и к диаграмме в плоскости XY.
Фиг. 44. Продольный пьезоэлектрический эффект для кристаллов класса 19 (С3г,). Радиусы-векторы пропорциональны d'33.
Полная пьезоэлектрическая поверхность турмалина, два главных сечения которой представлены на фиг. 44, выглядела бы как слегка несимметричное яблоко, стоящее на том конце, где была чашечка цветка. Вокруг этого конца сгруппированы три очень небольшие выпуклости с впадинами между ними.
§ 165. Турмалин. Краткое описание этого кристалла уже дано в § 13.
Измеряя пьезоэлектрические модули, Рике и Фогт [435] подвергали давлению (в различных направлениях) пластинки, ребра которых были параллельны осям X, Y и Z, а также и пластинки, одно ребро которых параллельно X, а два других ребра параллелепипеда составляют с Z углы + 45°. Они пользовались бразильским турмалином, как и Рентген [439], который выполнил подобные же измерения спустя несколько лет. Разные образцы дали значения, отличающиеся приблизительно на 2%. Измерения Рен'тгена, вероятно, более точны, что допускает и Фогт.
Рике и Фогт Рентген
^15 11,0-10~8
—0,69 - 0,94.10"^
^31 0,74 0,96
^33 5,8 5,4
Другие наблюдатели измеряли только б/зз- Нахтикаль [386] нашел d33 = 5,6 • 10~8
218
Глава IX
при малых давлениях, тогда как при более сильных давлениях он установил, что
d33 = 5,60 • 10-8 + 1,77 • 10-16Zz,
где Z z выражено в динах на квадратный сантиметр. Этому наблюдению влияния давления нельзя придавать большого значения, так как Кейс []257] обнаружил, что d^ равно только 5,4-10—8 при давлении 100 атм. Вин [563] нашел среднее значение d^ = 5,3 • 10—8 для различных кристаллов, а Фокс и Финк [143] — среднее d^ ~ 5,1 • 10—8; недавнее измерение Р. К. Куком 9 черного калифорнийского турмалина дает d33 = 4,8 10~8. Принимая во внимание изменчивость состава турмалина, эти различия неудивительны. В настоящее время для хороших кристаллов данные Рентгена, возможно, являются лучшими.
В своей статье Кук описывает также определение величины (fZ3i+ ^з2+ ^зз) = (2с?з1+^зз), которая в силу уравнения (193) является коэфициентом в выражении для поляризации, вызываемой гидростатическим давлением. Измерение было выполнено динамическим методом на черном калифорнийском турмалине, причем гидростатическое давление вызывалось акустическими волнами в воздухе, окружающем кристалл. Была получена величина (2d3id33) = 6,7 • 10—8, удовлетворительно согласующаяся с 7,3 • 10—8, вычисленной по данным Рике и Фогта, и с 8,0 • 10~8 по измерениям Коха 2). Как Кох, так и Рике и Фогт пользовались зеленым бразильским турмалином.
Кейс в цитированной выше статье вычислил также пироэлектрическую поляризацию, вызываемую адиабатическим нагреванием турмалина при внезапном действии на кристалл гидростатического давления, И нашел, что она составляет только 1/300 пьезоэлектрической поляризации. 1
Лиссауэр * 3> установил, что коэфициент d^ постоянен до 2% в интервале температур от-]- 19° до—192° С.
§ 166. Пьезоэлектрические коэфициенты турмалина. Применяя к турмалину уравнение (191) и беря cih из табл. 13 и d mi из приведенных выше значений Рике и Фогта, находим4):
е15 = ^15^44 — %d^cu = -ф 7,40 -ДО4;
^22z=z (с л с jo ] ^15^14=: 0,53 • 104;
С31 = ^3i (f и + Ог) Jr ^ззс1з = Ч~3,09 • 104;
^зз 2^31^31 "ф ^зз Сзз — "Ь 9,60 • 104.
§ 167. Трехнатровый молибдат лития. Вин [563] установил, что этот кристалл обладает очень сильными пьезоэлектрическими свойствами. dxx = 14- 10-8.
§ 168. Класс 24. Гексагонально-голоаКсиальный, энантиоморфный гемиэдрический (симметрия Z)6). Не пироэлектрический. Имеется только один независимый пьезоэлектрический модуль dx± = — d^, как в классе 12. Отсутствие продольного эффекта в любом направлении в
О R. С. Cook, Bur. Stand. Journ. Research 25, 489—£05 (1940).
2) P. P. Koch, Ann. d. Phys. 19, 567—586 (1906).
3) «Физика кристаллов», стр. 866.
О Там же, стр. 870.
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
719
случае этого класса уже упоминалось, когда говорилось о классе 12 в § 147.
Пьезоэлектрические уравнения имеют вид:
^14 Ех , Zх \fi25Eу €цЕу,
Единственным представителем этого класса, требующим рассмотрения, является ^-кварц. Переход кварца из а- в [3 -модификацию при 573°С рассматривался в § 14. Атомная структура трактуется в гл. XXXI.
Иногда ошибочно утверждали, что [3-кварц не является пьезоэлектрическим. То, что р-кварц принадлежит к этому классу, уже обеспечивает возможность получить пьезоэлектрический сдвиг в плоскостях YZ и ZX, если только достаточно велико, чтобы дать наблюдаемый эффект.' 1
Этот эффект наблюдали Остерберг и Куксон [404], которым удалось заставить резонаторы из р-кварца колебаться от точки перехода до 847° С. Они заставляли колебаться пьезоэлектрически и срезы X и срезы Y, соответственно в формах у2 и z z.
Лоусон [310] наблюдал пьезоэлектрический эффект в p-кварце количественно методом порошка (§ 172). Он воспользовадся также этим эффектом при определении упругого модуля Si3, описанном в § 92 и 101.
Не опубликовано никаких измерений величины d14 для р-кварца.
§ 169. Класс 28. Кубический тессерально-полярный, тетартоэдрический (симметрия 7). Не пироэлектрический. Имеются три пьезоэлектрических константы, все они относятся к сдвигу и одинаковы по численному значению:
Z2 == СцЕх *, Zx — - е^Еу=еиЕу , Xу= е$$Еz= бцЕz.
Уравнения преобразования осей те же, что‘и для класса 6.
Здесь следует упомянуть только о хлорате натрия, NaC103, оптические! и пьезоэлектрические свойства которого были исследованы По-кельсом [428]. Его измерения дали
4,8-10~8 .
§ 170. Класс 31. Кубический дитессерально-полярный, гемиморфный гемиэдрический (симметрия 7 d)- Кристаллы этого класса не обладают первичным пироэлектричеством, но для борацита в литературе имеются данные о сильных вторичных эффектах. Пьезоэлектрические константы те же, что и в классе 28.
Цинковая обманка, ZnS, представляет одну из форм сульфида цинка, известную, под названием сфалерита. Другая форма — вурцит — относится к классу 26 (см. § 522).
Выполнены два измерения du цинковой обманки. Первое сделано Вином [563], измерившим d'u для сжатия в направлении, нормальном к (111), т. е. составляющем равные углы со всеми тремя осями. Его среднее значение для двух образцов было — 4,75-10—8. Из уравнения (206) находим, что du = — 8,24 • 10—8. Значение du, указанное в его статье (см. табл. 18), было слишком низким, поэтому и его значение du для цинковой обманки, вероятно, также слишком мало. Отрицательный знак проверяли' Костер, Кнель и Принс [114], показавшие, что поляр
220
Глава IX
ность оси, нормальной к (111), указываете^ разницей в отражении рентгеновских лучей на противоположных концах этой оси.
Второе измерение было сделано Кнолем [262], нашедшим значение — 9,8-10—8. Придавая этому значению больший вес, мы примем для цинковой обманки
d^— 9,7-10-8 .
Пользуясь этим значением и коэфициентом с44 из § 102, находим с помощью уравнения (191):
£14= ^44=— 4,2 • 104 .
Цинковая обманка явилась первым кристаллом, значение щ4 которого было предсказано на основании теории решетки (§ 546). Борн вычислил е]4=—2,3 • 105, в пять раз больше наблюдаемого значения. Но достижением было уже то, что он получил правильный порядок величины.
Хлористый аммоний, NH4C1. Барс и Энгл [15] обнаружили, что этот кристалл, имеющий аномальную теплоемкость при —30,5°С, становится при этой температуре пьезоэлектрическим, причем полное значение б?14 — 0,337.10~8 достигается при — 32,5°С.
§ 171. Борацит, Bi603oCl2Mg7, принадлежит к кристаллам, в которых пьезоэлектричество наблюдалось впервые братьями Кюри. Количественные измерения повидимому, не производились.
Кристаллический борацит обычно относится к рассматриваемому классу Td. Иногда его приводили в качестве типичного примера этого класса. Однако оптические и пироэлектрические исследования обнаружили, что кристаллы борацита при обычных температурах в действительности состоят из ромбических областей (класс С2с,) с полярными осями, параллельными одной из четырех пространственных диагоналей единичного куба кажущейся кубической симметрии. Выше 275° С кристалл является истинно кубическим. Существует указание, что все якобы кубические кристаллы борацита образовались при температуре выше 275° С. Аналогия со строго гексагональным габитусом кристаллов кварца, образовавшихся выше 573° С, очевидна.
Упругие и диэлектрические свойства борацита, повидимому, не исследовались. Переход из пироэлектрического в непироэлектрический класс при 275° С заставляет предполагать возможность сегнетоэлектрических свойств (§ 471). Предварительные поиски таких свойств, которые мы теперь опишем, дали отрицательные результаты.
В 1937 г. в нашей лаборатории изучались шесть кристаллов борацита, все из Зенде вблизи Ганновера в Германии * 2>. Кристаллы оказались кубическими додекаэдрами 3) с указанием на один из тетраэдров, подтверждающих симметрию 7^. Три кристалла были прозрачны и имели только второстепенные поверхностные прорастания. Расстояние между противоположными гранями додекаэдра равнялось 5,1 мм у самого малого и 7,2 мм у самого большого кристалла.
Из одного кристалла была вырезана пластинка, главные грани которой были перпендикулярны диагонали куба, и ее диэлектрическая постоянная определялась в функции от температуры в интервале от комнатной температуры до 315°С. Надежда обнаружить диэлектрическую аномалию вблизи точки перехода (275°С) не оправда
’) Трот [624], см. также статьи Mehmel, Zs. f. Kristallographie 87, 239—263; 88, 1—25 (1934).
2) Измерения производил Яффе.
3) Надо полагать, ромбическими додекаэдрами. (Прим, ред.)
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
221
лась. Диэлектрическая постоянная оказалась равной приблизительно 6 при комнатной температуре и имела средний температурный коэфициент +0,10% на градус Цельсия без всяких неправильностей вблизи точки перехода. Повторять опыт на пластинках другой ориентации не представлялось необходимым, так как выше точки перехода кристалл является истинно кубическим и должен иметь одинаковую диэлектрическую постоянную во всех направлениях.
Прозрачные неограненные кристаллы испытывались на «щелчок» при пьезоэлектрическом резонансе (§ 308). Был получен следующий «спектр» частот в килогерцах для кристалла с расстоянием 5,1 мм между противоположными гранями додекаэдра: 841 — сильный; 1050 — несколько слабых; 1356 — сильный; 1442 — сильный; 1670 — несколько; резонанс наблюдался также при 2630 kHz и при более высоких частотах. Изменение ориентации давало только второстепенные изменения частот и некоторое изменение относительной интенсивности. Другие кристаллы дали очень похожие спектры, причем индивидуальные частоты изменялись обратно пропорционально линейным размерам. Если рассматривать самый низкий сильный резонанс, 841 kHz, как основной резонанс, связанный с толщиной кристалла, мы получаем частотную постоянную 4250 kHz • мм. То же значение + 1 % было найдено и с другими изучавшимися кристаллами. Исходя из этого значения и толщины кристалла, была определена скорость распространения волн, оказавшаяся равной приблизительно 8,5 • 105 см/сек2, что указывает на упругость, превышающую даже упругость кварца.
К сожалению, более крупные прозрачные кристаллы борацита являются очень редкими.
§ 172. Пьезоэлектрические исследования других кристаллов. Одно из самых ранних исследований резонирующих кристаллов, сделанное автором в 1919 г., относилось к щелчку в телефоне в колебательном контуре переменной частоты с присоединенными к нему электродами кристалла; щелчок был слышен в случаях, когда контур настраивался на собственную частоту кристалла [93]. При этих опытах было обнаружено, что щелчки слышны даже при помещении между электродами маленьких неправильных обломков кварца неизвестной ориентации. Этот метод щелчка (§ 308) Гибе и Шейбе [164] развили впоследствии в «метод порошка» для обнаружения Пьезоэлектрических свойств в .большом числе разнообразных кристаллов. Пользуясь колебательным контуром достаточно высокой частоты, которую можно было менять, они получали эффект, помещая между электродами очень небольшие зерна кристаллов 9.
Широкая применимость и простота метода порошка дала сильный толчок поискам пьезоэлектрических свойств. Когда получается резонанс, есть все основания предполагать, что кристалл является пьезоэлектрическим. Отрицательные результаты могут указывать, что кристалл принадлежит к непьезоэлектрическому классу; с другой стороны, они могут вызываться слишком большой проводимостью кристалла, чрезмерным затуханием или тем, что пьезоэлектрические свойства слишком слабы, хотя вообще и существуют. Эти неясности несомненно являются причиной большинства расхождений между результатами различных авторов. Метод Гибе и Шейбе явился очень ценным, с одной стороны, для обнаружения пьезоэлектрических свойств кристаллов, уже предполагаемых пьезоэлектрическими, и для определения, является ли это свойство «сильным» или «слабым», а с другой стороны, для определения класса, к которому данный кристалл следует отнести, так как существование пьезоэлектрических свойств является верным признаком того, что кристалл не имеет центра симметрии. Метод употреблялся также для выяснения связи между пьезоэлектрическими свойствами и химическим строением и для выяснения структурных изменений, происходящих при неко
’) Описание прибора и схемы дано у Шейбе [647].
222
Глава IX
торых переходных температурах. Геттих [22 h], например, нашел доказательство таких переходных эффектов в случае камфоры, йодистого калия и пентаэритритола. Последний кристалл многократно был предметом дискуссии, но теперь кажется ясным, что он относится к классу 14 б.
Можио также упомянуть иодирит (иодистое серебро, AgJ), принадлежащий при обычных температурах к классу 26 (гексагональный, C2v); он становится кубическим около 145° С и является также кубическим «при низких температурах»* 2). До 145° он имеет отрицательный коэфициент расширения. Несмотря на то, что он является полупроводником, Геттих и Штейнмец отметили сильный эффект п-ри применении метода Гибе и Шейбе.
Класс, к которому обычно относят топаз, не является пьезоэлектрическим. Все же Альстон и Вест3> сообщают, о следах пьезоэлектричества, обнаруженных в этом кристалле.
С помощью упомянутых выше методов на пьезоэлектрические эффекты были исследованы сотни различных видов кристаллов, в том числе много органических веществ. Несколько примеров приведены в предыдущих параграфах. Полный список едва ли полезен без сопровождающего объяснения, при котором пришлось бы делать ссылки на оригинальные статьи 4\ книгу Шейбе [647], различные руководства [621], [622], [656] и на Международные критические таблицы (Int. Crit. Tables) в которых даются ссылки на литературу.
Последнее добавление списка пьезоэлектрических кристаллов сделано Бондом [65], который использовал метод порошка для испытания нескольких сот различных минералов. Невидимому, он впервые отметил пьезоэлектрический эффект у следующих кристаллов (хотя некоторые из них уже были известны как пироэлектрические): клиноэДрит, кронштед-тит, эдингтонит, эпистильбит, эпсомит, лангбейнит, лейкофанит, мелифанит, шортит, стибиотанталин, струвит, тиеманит, вурцит и цуниит. Бонд отметил отрицательные результаты с иодиритом, который Гринвуд и Том-булиан (см. сноску 4 на этой странице) характеризовали как активный; наоборот, он обнаружил активность сколецита в противоположность наблюдениям Геттиха и Штейнмеца, а также Гринвуда и Томбулиана.
§ 173. Бергман [52] предложил метод испытания, до некоторой степени сходный с прямым методом испытания небольших кристаллических
ОН. Mark und К. Weissenberg, Zs. f. Kristallographie 65, 449 (1927), Zs. f. Phys. 47, 301 (1928); H. Seifert, Bert. Ber. 34, 289—293 (1927);
A. Schi ее de und A. Hettich, Zs. f. anorg. Chem. 172, 121—128 (1928); (в этой статье показаны фигуры травления кристаллов пентаэритритола); A. Hettich [2211; W. A. Wooster, Zs. f. Kristallographie 74, Referatenteil, 105 (1930).
2) Грот [624].
з) N. A. Alston and J. West., Proc. Roy. Soc. (A) 121, 358—367 (1928); см. также Вустер [658], стр. 230.
4) Среди различных исследований, из которых многие были сделаны методом порошка, имеются следующие работы: Гибе и Шейбе [164]; Геттих [221], [222]; Геттих и Шледе [223], [224]; A. Hettich und Н. S t е i n m е t z, Zs. f. Phys. 76, 688—706 (1932); S. B. Elings und Terp str a, Zs. f. Kristallographie 67, 279—284 (1928); W. Schneider, Zs. f. Phys. 51, 263—267 (1928); E. Hertel und K. Schneider, Zs. f. Phys. Chem. (B) 12, 140—150 (1931); G. Greenwood und D. Tomboulian, Zs. f. Kristallographie 81, 30—37 (1932); G. Greenwood, Zs. f. Kristallographie 91, 235—242 (1935); H. Seifert, Zs. f. Kristallographie 81, 3’36—468 (1932); W. A. Wooster, Zs. f. Kristallographie 74, реферативная часть на стр. 105 (1930); A. L. W. Е. van der Veen, диссертация, Delft, 1911; R. Lucas, Compt. rend. 178, 1890 (1924).
5) Tom 6, стр. 209 (1929).
Пьезоэлектрические свойства кристаллов 223
обломков, описанным в § 185. Он подвергал один или несколько обломков периодическому давлению звуковой частоты. Это давление получалось от стержня или камертона, возбуждаемого электрически или путем „ударов. Горизонтальные электроды, между которыми помещаются образцы кристаллов, присоединяются к усилителю. Наблюдения над отдельными осколками кристаллов позволяют грубо определить пьезоэлектрические оси. ।
Энгл и Левентер [132] описывают еще один вариант метода порош-жа. Небольшие зерна кристаллов приблизительно одинаковой величины, что достигается просеиванием, погружаются в бензин в небольшом стеклянном калориметре с капилляром, высота подъема жидкости в котором -указывает повышение температуры. Затем они подвергаются действию электрического поля меняющейся высокой частоты, которое вызывает .легкое повышение температуры, когда зерна начинают колебаться в резонанс с полем. Результаты считаются количественно более точными, чем при обычном методе порошка.
§ 174. Пьезо- и пироэлектрические эффекты аморфных веществ. Теперь мы вкратце сообщим о некоторых исследованиях веществ, которые обычно считаются аморфными или по крайней мере не имеют структуры однородных кристаллов. Литература, указанная цифрами со звездочкой в квадратных скобках, приведена в конце этой главы.
Электреты. Этот термин (по аналогии с «магнитами») был впервые предложен Хевисайдом для материалов, имеющих постоянную электрическую поляризацию. Это название широко применяется к некоторым воскам, затвердевающим в сильном электрическом поле (обычно несколько тысяч вольт на* сантиметр), свойства которых были впервые открыты Егучи [5*]. Материалом обычно является смесь карнаубского воска и смолы, иногда с добавлением пчелиного воска. Препаратам обычно придается форма плоских пластинок, перманентно поляризованных в направлении толщины. В отличие от пироэлектрических кристаллов, в которых перманентная поляризация нормально экранируется компенсирующими зарядами на поверхности, электрет имеет на своих противоположных гранях некомпенсированные положительный и отрицательный поверхностные заряды, вызывающие внешнее электрическое поле, существующее годами. Если заряды удалить с помощью электродов, замкнутых накоротко, то после удаления электродов заряды через несколько часов восстанавливаются вновь. В очень влажной атмосфере внешнее поле электрета уменьшается, но восстанавливается в сухом воздухе. Порядок полной плотности заряда около 10 эл.-ст. ед./см2. Это в два раза больше, чем получается трением на эбоните [16*].
Однородное нагревание или охлаждение вызывает изменение поляризации, а потому и поверхностных зарядов. Это — пироэлектрический эффект, причем поляризация вообще слабеет с возрастанием температуры [1 *]. О влиянии гидростатического давления см. [14*].
Отмечается и пьезоэлектрический эффект [1 *]: при поперечном сжатии или растяжении поверхностные заряды изменяются в зависимости от знака напряжения. Порядок величины эффекта тот же, что и в случае кристаллов [3 *].
Структуру электретов с помощью рентгеновских лучей изучали Брэйн [3*], Юинг [6*], а также Гуд и Стрэнатан [9*].
Обычно принимаемая теория электретов заключается в том, что молекулярные диполи в расплавленном воске ориентируются вследствие
224 Глава IX
наложения электрического поля и сохраняют свою параллельную ориентацию после затвердевания воска. Однако опыты Тиссена, Винкеля и Хермана [16*] указывают, что поляризация может быть эффектом пространственного заряда, вызываемым передвижением ионов до затвердевания воска. Серьезной проблемой является устойчивость внешнего поля, несмотря на утечку и ионы в окружающем воздухе. Адамс [1*] предположил, что этот эффект может вызываться очень медленным исчезновением поляризации. При известных допущениях он нашел, что присутствие некомпенсированных поверхностных зарядов и их восстановление после удаления можно объяснить, если это исчезновение достигает только 1 % в год.
Применения электретов. Гемант [7*, 8*] упоминает о возможных применениях электретов в электрометрах и в качестве смещения на сетку электронных ламп. Нишикава и Нукияма [11*] описывают применение электрета в конденсаторном передатчике.
§ 175. Другие пьезоэлектрические эффекты некристаллических материалов. Несколько исследователей [3*], [12*], [15*] отметили, что механическое давление вызывает появление электрических зарядов на поверхности резины Ч, парафина, стекла и других материалов, включая даже дерево. Принимая во внимание ошибочный и качественный характер большей части этих сообщений, а также большую вероятность, что эти результаты вызывались в широкой мере контактными потенциалами, эти сообщения не следует принимать слишком серьезно, как указания на что-либо, что действительно можно назвать пьезоэлектрическим эффектом. Пишут даже о «мускульном пьезоэлектричестве». Предполагают также, что закрывание некоторых растений при прикосновении к ним [4*] и деятельность электрического угря [13*] могут быть проявлениями пьезоэлектричества.
Мейснер и Бехман установили, что электреты, обладающие особенно заметными пьезоэлектрическими и пироэлектрическими свойствами, можно изготовить, наполняя воск (особенно асфальт) кварцевым порошком и подвергая смесь во время затвердевания действию сильного электрического поля. В их опытах все влияние кварца на пироэлектрический эффект должно было вызываться температурным градиентом. Что же касается пьезоэлектрического эффекта, то эти авторы нашли, что присутствие кварцевого порошка делало электреты скорее более постоянными, чем пьезоэлектрически более чувствительными к влиянию давления.
ЛИТЕРАТУРА
ЭЛЕКТРЕТЫ
1*. Adams Е. Р., Journ. Franklin Inst. 204, 469—486 (1927).
2*. В 6 n i n g P., Elektrische Isolierstoffe, Brunswick, Германия, 1938, 140.
3*. В r a i n К. P., Proc. Phys. Soc. (London) 36, 81—93 (1924).
4*. Buchanan F., Nature 108, 340 (1921).
5*. Eguchi M„ Phil. Mag. 49, 178—192 (1924).
6*. Ewing M., Phys. Rev. 36, 378 (1930) (абстракт).
7*. Gemant A., Rev. Sci. Instr. 11, 65—71 (1940).
8*. Gem ant A., Phys. Rev.. 61, 79—83 (1942).
9*. Good W. M. and Stranathan J. D., Phys. Rev. 56, 810—813 (1939).
0 Микрофон из замороженной резины описан Е. Герлахом (патент США. № 2 231 159).
2) A. Meissner und R. Bechmann, Zs. f. techn. Phys. 9, 430—434 (1928).
Пьезоэлектрические свойства кристаллов 225
10*. Nadjakoff G., Phys. Zs. 39, 226—227 (1938).
11*. N i sh i ка w a A. and Nukiyama D., Proc. Imp. Acad. (Tokyo), 4, 290—291 (1928).
12\ Richards H. F., Phys. Rev. 22, 122—133 (1923).
13*. Russell E. W., Nature 108, 275 (1921).
14*. Sheppard G. E. and Stranathan J. D., Phys. Rev. 60, 360—362 (1941).
15*. Шубников А. В. и Бруновский Б. К., Известия АН СССР, 367—374 (1928).
16*. Thiessen Р. A., Winkel A. and Herrmann К., Phys. Zs. 37, 511—520 (1936).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Dodds W. J. and Stranathan J. D., Phys. Rev. 60, 360 (1941).
Gem ant A., Phil. Mag. 20, suppl. 929—952 (1935).
Gross B., Phys. Rev. 66, 26—28 (1944).
Johnson O. J. and Carr P. H., Phys. Rev. 42, 912 (1932) (абстракт).
Numakura H., Rept. Elec. Research Inst. (Tokyo) 3, 112—129 (1932).
Tiku T., Proc. Tokyo Math.-phys. Soc. 14, 63—88 (1932).
T u r p a i n A. and Durepaire M„ Compt. rend. 189, 739—741 (1929).
15 «.хм
ГЛАВА X
ПОЛУЧЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ
В последних двух главах мы имели дело с общими явлениями пьезоэлектричества. Были даны основные уравнения и их специальные формы для некоторых классов кристаллов, а также численные значения пьезоэлектрических констант.
В настоящей главе мы попытаемся привести некоторые практические соображения, полезные при выборе и ориентации образцов и при расположении электродов для получения пьезоэлектрических деформаций любого желаемого типа. Хотя детали экспериментов не входят в задачу настоящей книги, в конце этой главы кратко рассматриваются методы измерений и качественных испытаний.
§ 176. Ориентация образцов и расположение электродов при получении пьезоэлектрических деформаций. Предлагаемые правила устанавливаются с точки зрения обратного эффекта, при котором деформация получается в результате действия на кристалл электрического поля. Любое устройство, эффективное при обратном эффекте, одинаково пригодно и для прямого эффекта.
Деформации подразделяются на две группы: резонансные и нерезонансные, требующие до некоторой. степени отдельного рассмотрения, хотя основные принципы и являются идентичными. В обоих случаях, когда выбраны вид кристалла, тип деформации, величина и форма образца, первой задачей является ориентация образца относительно кристаллографических осей, т. е. то, как вырезать образец из данного кристалла. Решение часто зависит от размеров кристалла, а также от его пьезоэлектрических коэфициентов и от выбора такой формы возбуждения, которая дает возможность расположить электроды близко, чтобы напряженность поля при данной разности потенциалов была как можно больше.
Обычно первым шагом является выяснение по таблице пьезоэлектрических коэфициентов (§ 131) такого коэфициента dhkt чтобы поле Еь вызывало* желаемую деформацию xk (k от 1 до 6, см. табл. 17). Часто приходится прибегать к косым срезам, пользуясь формулами преобразования осей, приведенными в § 134 и в других местах книги.
Нерезонансные деформации включают статические деформации, а также деформации при колебаниях, частота которых настолько' ниже резонансной частоты образца, что деформация по существу одинакова со статической. При простых растяжениях и сдвигах деформации так близки к однородным, что их легче всего получить, пользуясь электродами, полностью покрывающими грани, нормальные к полю, и дающими электрические поля, однородные в пространстве, занимаемом образцом.
Резонансные деформации. При возбуждении колебаний желаемой формы ориентация образца и направление поля подчиняются большей частью тем же правилам, как и в случае нерезонансных деформаций. Кроме генерации ультразвуковых, акустических волн и изучения форм коле
Получение и измерение пьезоэлектрических эффектов 227
баний, пьезоэлектрические резонаторы применяются для некоторых пьезоэлектрических воздействий на контур, в который их включают. В этом случае они действуют только в качестве элементов контура, форма же колебаний важна лишь постольку, поскольку она имеет значение для монтировки кристалла с целью уменьшения затухания, связанного с трением. Однако всегда верно то, что величина воздействия на контур пропорциональна амплитуде колебания. Поэтому максимальная эффективность в большинстве случаев обеспечивается, когда электроды покрывают возможно большую поверхность кристалла. Вообще поле является наиболее эффективным в пучности деформации (узле колебательного движения).
. При экспериментальных исследованиях и при практических применениях изредка пользуются очень маленькими электродами, покрывающими только небольшую часть поверхности кристалла. Действительно, если не применять электродов, полностью покрывающих кристалл, то лучше делать их как можно меньше по следующей причине: как указывалось в § 64, упругая константа в пространстве между электродами отличается от константы вне их, и это усложняет связь между наблюдаемыми и вычисляемыми частотами, если только электроды не настолько малы или не настолько удалены от кристалла, что уже не влияют на изменение его упругости.
Вообще можно сказать, что если существует какой-либо коэфициент, dhk, связывающий компоненту Eh поля с деформацией xk, характерной для возможной формы колебаний, то возбуждать колебания будет любое электрическое поле соответствующей частоты, независимо от того, занимает ли оно большое или малое пространство и однородно ли оно или нет (если только оно не вызывает в различных участках взаимно уничтожающихся пьезоэлектрических напряжений). Действительное распределение колебательных напряжений и деформаций по существу всегда связано с формой колебаний, независимо от участка, где действует поле.
§ 177. Деформации сжатия. Для последних требуются пьезоэлектрические коэфициенты типа L или Т (табл. 17); 12 классов кристаллов обладают обоими типами вида dhh и dhk (h и k = 1,2, 3); класс 14 имеет два коэфициента типа Т и ни одного — типа L. Таким образом, 13 классов имеют по крайней мере по одной кристаллографической оси, позволяющей при параллельном ей поле получить растяжение, перпендикулярное полю (поперечный эффект), а в 12 из них то же самое поле вызывает также растяжение (+или—), параллельное поле (продольный эффект). Каждый из семи остальных пьезоэлектрических классов имеет по крайней мере один коэфициент типа Ls\ таким образом, во всех них, действуя полем косого направления, можно получить эффект поперечного растяжения (эффект Т при преобразованных осях); во всех классах, за исключением двух (классы 12 и 24, § 147), можно также осуществить продольный эффект. Соответствующие коэфициенты определяются посредством формул преобразования; примеры приведены в § 139 и 184’)
О Согласно § 27, растяжение всегда можно рассматривать как комбинацию двух сдвигов, и наоборот. Вопрос о том, каким из этих двух способов представлять пьезоэлектрическую деформацию, решается на основании соображений удобства. [Не растяжение, а растяжение и равное ему по абсолютной величине сжатие могут быть заменены двумя сдвигами и то только в случае, когда растяжение и сжатие бесконечно малы. (Прим, ред.)]
15*
228
Глава X
Колебания сжатия можно получить при поле, параллельном направлению колебаний (эффект L) или перпендикулярном ему (эффект Т). Первый из этих способов применяется для получения колебаний по толщине в пластинках относительно большой площади, причем электроды полностью покрывают главные плоскости. Им можно также пользоваться для возбуждения в пластинках или стержнях продольных колебаний, но для этой цели он невыгоден вследствие большого расстояния между электродами. Для продольных колебаний обычно пользуются эффектом Т при поле, параллельном толщине образца. При любом способе возбуждения продольных колебаний можно получать как основную частоту, так* и обертоны; но в этом случае эффект Т опять имеет преимущество, так как длину электродов можно подгонять соответственно желаемому обертону. Последний тип возбуждения представлен на фиг. 51.
Иногда желательно возбуждать колебания сжатия в кристаллах подобных сегнетовой соли, не имеющих относительно кристаллографических осей ни L-, ни Г-эффекта. В таких случаях, как указывалось выше, можно пользоваться различными косыми срезами, ориентированными так, что относительно преобразованных осей первоначальные эффекты Ls и Ts вызывают продольные или поперечные эффекты сжатия. Этот принцип применяется в § 139 и в других местах книги.
§ 178. Деформации сдвига. Деформации сдвига можно получать пьезоэлектрически с помощью эффекта Lv (табл. 17) при поле, параллельном оси сдвига, или посредством эффекта Ts при поле, параллельном плоскости сдвига.
По крайней мере один коэфициент Ls относительно кристаллографических осей имеется в тринадцати классах; в остальных, за исключением классов 9 и 26, эффект Д можно обеспечить вращением системы осей вокруг одной из осей. Поскольку имеются в виду механические эффекты, деформации сдвига полезны главным образом для получения изгиба и кручения в кристаллических пластинках удлиненной формы. Примеры рассматриваются в § 354, 356 и 380. Среди пьезоэлектрических резонаторов (гл. XVII) особенное значение имеют резонаторы с использованием сдвига.
§ 179. Деформации изгиба. В § 34 было показано, что главными упругими характеристиками являются сжатие в одной половине образца (обычно пластинке или бруске), растяжение в другой половине и напряжения сдвига в плоскости изгиба. Это показано на фиг. 45, на которой плоскость чертежа является плоскостью изгиба, а также плоскостью сдвига. Изгиб можно получить пьезоэлектрически двумя способами: 1) посредством напряжений сжатия в направлении I, действующих на верхнюю или нижнюю часть пластинки (или на обе, если одно напряжение представляет собой сжатие, а другое — растяжение); 2) посредством двух противоположных напряжений сдвига, действующих на правую и левую половины пластинки, показанной на фиг. 45, причем оси, соответствующие сдвигу, параллельны / и е. Если предположить, что деформация сжатия относительно кристаллографических осей принадлежит к типу xk, а деформация сдвига — к типу xz, то ясно, что изгиб можно получить с помощью поля, имеющего компоненту в направлении h, если пьезоэлектрический модуль dhk или dhi отличается от нуля.
Получение и измерение пьезоэлектрических эффектов
229
мзгмбя относятся главным образом К превращениям электрических импульсов или токов низкой частоты в механические движения, или наоборот. Таким образом можно полу-
чить гораздо более значительные движения, чем с помощью простых эффектов сжатия. Для этой цели вместо того чтобы производить изгиб пьезоэлектрически в одной пластинке, обычно оказывается более
эффективным пользоваться двойной пластинкой типа, впервые введен-
ного братьями Кюри (§ 122). Два тонких .
кристаллических бруска так ориентируют г-------------1— t ----
и так направляют поле в каждом из них,
что один брусок удлиняется, а другой м J_______ ___ е 1
сжимается, причем получается изгиб. Это ~ _ — —*J— -устройство, называемое «биморфным пье- j
зоэлементом», в настоящее время обычно _ .. __
’ г Фиг. 45. Пластинка в состоянии
состоит из двух пластинок сегнетовой со- изгиба.
ли (см. § 503).
Резонаторы изгиба. Частоты колебаний изгиба в тонких пластин-
ках обычно гораздо ниже частот колебаний сжатия или сдвига. Было исследовано много разных типов резонаторов изгиба как кварцевых, так и из сегнетовой соли; некоторые из них нашли практическое при-
менение в пьезогеНераторах относительно низкой частоты и при получении акустических} волн (§ 396).
Колебания изгиба в кварце и сегнетовой соли описываются в гл. XVII и XVIII. Теория этих колебаний рассматривается в § 73.
§ 180. Деформации кручения. Как мы видели в § 35, при кручении твердого тела его частицы смещаются в плоскостях, нормальных к оси кручения, причем возникают деформации сдвига; плоскость сдвига (фиг. 13) в любой точке содержит линию, параллельную оси кручения, и линию, вдоль которой движется частица; она не является плоскостью, нормальной к этой оси. Эти два направления соответствуют осям сдвига (§ 27). Так как по противоположные стороны оси кручения материал сдвигается в противоположных направлениях, то очевидно, что при пьезоэлектрическом возбуждении состояния кручения в куске кристалла электрическое поле, производящее сдвиги, должно на этих двух сторонах иметь противоположные направления; по крайней мере в этих двух областях поле не должно иметь одинакового направления и значения. Поэтому для пьезоэлектрического возбуждения кручения необходимо выбирать такие dhk, чтобы поле Eh производило в нужном направлении требуемую деформацию сдвига xk. Этого нельзя достигнуть, если Eh однородно во всем пространстве кристалла или повсюду в образце направлено перпендикулярно оси кручения.
Указанное затруднение можно преодолеть различными способами. Одним из методов, приложимым по крайней мере к кварцу (§ 356), является использование образца в форме пустотелого кругового цилиндра с цилиндрическими электродами внутри и снаружи, что дает радиально направленное поле. Другим средством, описанным в § 356, является приложение к различным частям образца противоположно направленных полей. .
Третьим методом, находящим практическое применение в «твйсте-рах» из сегнетовой соли, служит использование двух вытянутых плоских склеенных вместе пластинок удлиненной формы, имеющих между собой общий электрод из металлической фольги (§ 503). Полярные
230
Глава X
оси пластинок направлены прямо параллельно, но так как поля антипа-раллельны, то получаются противоположные сдвиги, вызывающие кручение.
Этот третий метод употребляется в различных низкочастотных устройствах; другие два метода применялись как статически, так и при резонансных колебаниях. Как указано в гл. XVII, с помощью надлежащего размещения электродов можно возбуждать как основную частоту, так и обертоны колебаний кручения. Уравнения деформаций и колебаний кручения даны в § 35 и 74.
§ 181. Специальные виды колебательных устройств. Помимо упоминаемых выше кристаллических пластинок, стержней и цилиндров, заставляли колебаться пьезоэлектрически и другие формы кристаллических препаратов. Сюда относятся сферы (§ 360), камертоны (§ 385) и чашеобразные формы (§ 508).
Применение косых срезов для специальных целей уже описано в § 50. Следует добавить, что уменьшение пьезоэлектрического эффекта, часто сопровождающее использование косых полей, более чем компенсируется выгодой таких срезов. Кроме того, возможность уменьшения декремента соответствующей монтировкой образцов, особенно в случае кварца, для резонаторов важнее, чем очень большой пьезоэлектрический эффект.
§ 182. Помехи в кристаллических резонаторах. Как основные формы колебаний, так и обертоны могут возбуждаться при некоторых частотах колебаний сжатия, сдвига в образцах почти любой формы. Для получения любого типа колебаний нет необходимости помещать электроды так, чтобы получалось наиболее эффективное возбуждение. Если возбуждающий ток имеет надлежащую частоту, то в образце может где-нибудь действовать компонента переменного поля такого направления, что он вызовет механическое напряжение типа, необходимого для возбуждения колебаний любой из четырех форм.. Кроме того, различные типы колебаний связаны между собой механически благодаря присутствию поперечных упругих коэфициентов (§ 32), вследствие чего могут быть формы колебаний, которые не возбуждаются непосредственно пьезоэлектрически. Колебания сжатия, параллельные оси Z в кварце (§ 348), являются примером таких косвенно возбуждаемых колебаний.
Принимая во внимание разнообразие возможных форм колебаний, большое количество способов, которыми они могут возбуждаться, а также то, что сильная связь между формами колебаний может влиять на них в значительном диапазоне частот, неудивительно, что часто посредством фигур, получаемых с помощью порошков, наблюдаются очень запутанные рисунки и что спектр частот резонатора является таким сложным.
Заканчивая рассмотрение этого вопроса, мы обращаем внимание всех занимающихся исследованием форм колебаний в кристаллах на следующее. Во-первых, когда кристалл присоединяется в виде резонатора, очень важно, чтобы лампа генераторного контура имела фильтр, пропускающий к кристаллу напряжение только1 одной частоты. Во-вторых, не следует слишком поспешно заключать, что присутствует особая форма колебаний только потому, что наблюдается правильное значение резонансной частоты. Всегда желательно и нетрудно установить места
Получение и измерение пьезоэлектрических эффектов
231
узлов одним из методов, описанных в § 366—368, и таким образом определить форму колебаний в кристалле, а также выяснить, присутствуют ли другие формы.
Критическое отношение к постановке опытов в этой области, повидимому, является более важным, чем в других экспериментах с кристаллами.
§ 183. Измерение пьезоэлектрических коэфициентов. В § 75 указано, что упругие коэфициенты можно измерять или статическим или динамическим методом. То’ же относится и к измерению пьезоэлектрических коэфициентов, но здесь разнообразие методов гораздо больше. Это является следствием того, что при измерении упругих коэфициентов прилагают только механические напряжения, тогда как в пьезоэлектричестве наблюдения можно производить или с помощью механического напряжения (прямой эффект), или с помощью электрического поля (обратный эффект).
Для большинства кристаллов, за исключением кварца и сегнетовой соли, значения коэфициентов получались только на основании прямого статического эффекта, что давало пьезоэлектрические коэфициенты (модули) dbk. Как будет показано в гл. XXI, коэфициент dw сегнетовой соли наблюдался как статически, так и в низкочастотном переменном электрическом поле с помощью обратного эффекта. В гл. XV и XVIII мы рассмотрим определение пьезоэлектрических коэфициентов кварца и сегнетовой соли из наблюдений над резонаторами, которые включают комбинацию прямого и обратного эффектов и иногда дают скорее ehk> чем dhk.
В задачу настоящей книги не входит рассмотрение деталей экспериментальных методов статического измерения пьезоэлектрических коэфициентов, хотя некоторые предосторожности, относящиеся в значительной мере ко всем кристаллам, указаны в § 411 и 417. Теоретические подробности можно найти в «Физике кристаллов» Фогта; кроме того, превосходное изложение экспериментальных методов с чертежами приборов содержится в работах [647] и [653]. Измерение выполняется с помощью баллистического гальванометра, электрометра или лампового вольтметра или, при обратном методе, посредством наблюдения деформации образца. Желающим предпринять точное определение пьезоэлектрических коэфициентов рекомендуется просмотреть как можно больше оригинальных работ, из которых были взяты приводимые ниже значения D.
§ 184. Однако следует особо остановиться на измерениях коэфициентов rfu, d26 и <2?зб, так как на них придется специально ссылаться далее применительно к сегнетовой соли. Здесь достаточно рассмотреть d^, так как трактовка коэфициентов tZ2s и d^ является совершенно аналогичной. Коэфициент du встречается в уравнениях типа Рх = — d^Yz или yz—d\iEx\ это значит, что для наблюдения du нужно действовать на срез X напряжением сдвига Yz или электрическим полем Ех, причем наблюдается возникающая поляризация Рх или деформация yz . Второе из этих уравнений было использовано Сойером и Тауэром [449], которые наблюдали непосредственно деформацию yz,
О Читателю особенно рекомендуется статья Люди [322] об измерениях прямого эффекта. Различные способы измерения при обратном эффекте описаны в работах, приведенных в гл. XXV (см. также Майерс [385]).
232
Глав а X
спонтанная деформация yz в сегнетовой соли наблюдалась Мюллером [378].
Прямой эффект использовался главным образом в связи с уравнением Рх = — Ввиду трудности получения простого сдвига в кристаллической пластинке прямоугольную пластинку обычно сжимают с концов; направление длины этой пластинки делит пополам угол между положительными направлениями осей Y и Z. Обозначая это направление через У', а усилие сжатия — через Y'y, легко показать из простых геометрических соображений, что Рх— — d^Y'y[2. Это уравнение следует также из § 39, где было показано, что для срезов под углом в 45° Yг = У' /2. Тот же результат получается при выражении пьезоэлектрического модуля в системе преобразованных осей Y' и Z', причем эти оси получаются при повороте на 45° вокруг оси X. Затем мы пишем Рх= — ^'12 Y'y и из уравнений (203) находим, что d'^. — d\J2. Это уравнение для Рх выражает поперечный эффект в 45-градусном срезе X.
Если направление давления повернуть на 90° в плоскости YZ так, чтобы сжатие было параллельно ширине пластинки^ то из уравнения [203] имеем:
р __ //'7' __
х— и 13-^ z— 2 '
Следовательно, знак деформации сдвига yz меняется. Для того же самого давления получается то же значение Рх, но с обратным знаком.
Этот простой метод измерения d^, 4/25 и d3e, вообще говоря, неприменим к кристаллам, имеющим еще и другие пьезоэлектрические модули, так как согласно (196) такие модули могут вызвать дополнительное увеличение поляризации.
Во всех измерениях пьезоэлектрических коэфициентов с помощью напряжения Xh существенно, чтобы кристалл был свободен от всех других механических напряжений. Согласно (188) всякое такое напряжение может влиять на значение Рт и, следовательно, на наблюдаемую величину dmh.
После определения пьезоэлектрических модулей dhk для любого кристалла необходимо знать значения упругих констант, чтобы вычислить ehk , и наоборот. Для этой цели следует пользоваться уравнениями (192) и (192а). При применении этих уравнений к преобразованной системе осей, разумеется, следует пользоваться преобразованными значениями как упругих, так и пьезоэлектрических коэфициентов.
О динамических методах определения пьезоэлектрических коэфи-цйентов сказано в § 310 и далее.
§ 185. Качественные испытания пьезоэлектриков. В методах, которые мы теперь опишем, пользуются прямым пьезоэлектрическим эффектом. Образец подвергается статическому или низкочастотному сжатию. В обоих случаях кристалл не резонирует. Методы, использующие резонанс, описаны в § 172 и 308.
Если известен кристаллографический класс образца, то его можно ориентировать и расположить электроды в согласии с принципами, указанными выше в настоящей главе, чтобы соответствующее сжатие создавало заряды на электродах. Если мы этого не знаем, то следует испытывать различные расположения электродов и направления сжатия
Получение и измерение пьезоэлектрических эффектов 233
до тех пор, пока не будет найдено нужное расположение. Метод сжатия употреблялся главным образом со срезами X кварца, которые этим способом можно исследовать для обнаружения сдвойникованных участков и дефектов.
Наиболее часто пользуются расположением, при котором испытуемая пластинка лежит на большом горизонтальном электроде, а давление действует на небольшую часть верхней поверхности с помощью стеклянного стержня, имеющего на своем нижнем конце металлическую головку, служащую в качестве второго электрода. Эта головка присоединяется или к струнному электрометру, как в устройстве Дая или к чувствительному электронному вольтметру; в этом случае можно присоединить каскад усиления. Следует обращать внимание на изоляцию и экранирование. Установки этого вида описывают Даусон [121], Мейснер [361] и Тси-Зе [524].
При действии на пластинку пульсирующим давлением вместо вольтметра можно пользоваться ламповым детектором и телефоном или громкоговорителем. Такая схема была описана автором в 1922 г. Периодическое давление получалось от стеклянного стержня, находящегося в контакте с небольшим зуммером; было показано, что этой установкой можно пользоваться при испытании одной пластинки, при сравнении неизвестной пластинки со стандартной, а также при подгонке полярностей двух пластинок. Подобные же установки с камертоном или громкоговорителем вместо зуммера позднее были описаны Бергманом [52] и Розани 2\
!) См. [653], стр. 21, а также [647], стр. 4.
S. Rosani, Alta Frequenza 3, 643—649 (1934).
ГЛАВА XI
РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
§ 186. Хотя теория Фогта и дает полное феноменологическое описание всех пьезоэлектрических эффектов, она все же не является единственной из возможных трактовок явления. Эта теория применяется в большей части настоящей книги вследствие своей простоты и широкого распространения. в литературе.
За последние годы были предложены три новые формулировки. В каждом случае целью авторов являлось более обоснованное описание аномального поведения сегнетовой соли, чем это возможно на основании теории Фогта. Мюллер [376] предложил в 1935 г. рассматривать пьезоэлектрическую деформацию как пропорциональную скорее молекулярному полю F, чем макроскопическому полю Е, тогда как позже Мэзон [335] считал, что пьезоэлектрическое напряжение пропорционально плотности заряда на электродах. На основании экспериментальных результатов Мэзона и других и Мюллер [378] и Мэзон [338] впоследствии трактовали напряжение как величину, пропорциональную поляризации.
Эти гипотезы, ставящие вопрос о полном пересмотре формулировки пьезоэлектрической теории, настолько важны, что требуют тщательного рассмотрения, ибо, сколь ни аномально поведение сегнетовой соли, кажется резонным предположить, что ее основные пьезоэлектрические свойства имеют ту же природу, как и свойства других кристаллов. В случае сегнетовой соли эти свойства зависят в значительной мере от условий, легко воспроизводимых в лаборатории. Это обстоятельство помогает определить наиболее разумную форму теории не только сегнетовой соли, но и всех других пьезоэлектрических кристаллов.
Новая форма, придаваемая теории, не может дать новых истин, поскольку обе формы основаны на тех же самых принципах. Одна форма отличается от другой только выбором параметров и их можно взаимно превращать одну в другую. Фигурально выражаясь, в обоих случаях на фабрику поступает то же самое сырье, и единственной разницей в готовом продукте является то, что он получается в разных упаковках. Решающим критерием должен быть эксперимент: выживет та форма теории, которая определяет пьезоэлектрические упругие и диэлектрические коэфициенты таким образом, что экспериментально они оказываются при изменении условий ближе всего к постоянным.
§ 187. Формулировку видоизменений теории Фогта лучше всего можно представить посредством дифференциальных выражений термодинамических потенциалов, включающих упругие и электрические эффекты. Сами потенциалы, выражающие свободную энергию кристалла через деформации ( $ ) или напряжения (С), рассматривались в § 23. Их частные производные применялись в § 26, 105 и 124.
Различные формулировки, пьезоэлектрической теории
235
Предполагая, что все процессы обратимы и изотермичны, мы можем выразить полные дифференциалы в следующих уравнениях через основные электрические и механические величины:
d£P,x=PdE — Xdx ; diE,x=EdP — Xdx ; dtE,x=EdP - xdX d£PiX—PdE — xdX .
(236) (236a) (2366) (236b)
Эти четыре уравнения соответственно аналогичны хорошо известным термодинамическим выражениям для внутренней энергии, свободной энергии Гельмгольца, свободной энергии Гиббса и энтальпии обратимой системы; величины Р, Е, х и X соответственно аналогичны абсолютной темпфатуре, энтропии, объему и давлению в обычной термодинамике.
Хотя предыдущие уравнения и не написаны в векторном обозначении, подразумевается, что Е и Р являются векторами, а X' и х — тензорами второго ранга. Природа этих параметров становится более ясной при введении соответствующих значков.
Так как каждое из уравнений (236)—(236в), а также уравнений (1) и (2) является полным дифференциалом, мы можем взять производные и написать группу уравнений, аналогичных .соотношениям Максвелла. Точно так же как каждая производная в соотношениях Максвелла представляет термомеханическую константу, характеризующую материал, так и каждая производная в уравнениях (237)—(237в) представляет характерную электромеханическую константу
И = в;
\dxjE \дЕ/х
И
\дх/р \дР)х
'дЕ \ ____/д г\ ____
<Д>~ ~ —
dP\ _ _ jdx\ = _ дХ/Е \dfjx
(237)
(237а)
(2376)
(237в)
Уравнения (237) и (237в) выражают обратный и прямой пьезоэлектрические эффекты согласно теории Фогта, причем е и 8 являются соответствующими коэфициентами (см. также § 123). Два других уравнения являются основанием поляризационной теории, оперирующей коэфициентами а и Ь. Эта теория рассматривается далее в § 192.
Следует подчеркнуть, что на основании уравнений (236)—(237) так же трудно предсказать существование пьезоэлектрического эффекта, как на основании упомянутых выше термодинамических уравнений
*) Уравнения (237)—(237в) выражают дифференциальные значения £. 8, а и Ь и имеют силу как для линейных, так и для нелинейных электромеханических соотношений, поскольку они являются обратимыми. Когда эти соотношения являются линейными, эти четыре величины постоянны (при данной температуре). В случае линейности уравнения дают соотношения, идентичные соотношениям (183)—(184а) и (244) — (245а). Единственной разницей является то, что они выражены в сокращенной символической форме, без явного введения различных компонент. Каждый значок внизу обозначает величину, принимаемую постоянной.
236
Глава XI
трудно предсказать существование коэфициента теплового расширения. Их полезность заключается в том, что они выражают соотношение между эффектом, когда он существует, и обратным ему эффектом. На, практике мы сталкиваемся с тем, что термомеханические эффекты являются униве|р|сальными, тогда как линейный электромеханический эффект является очень специальным свойством. Уравнения (237) — (237в) не выражают также и закона, связывающего электрические и механические явления. Если бы эти связи были квадратичными, то уравнения представляли бы электрострикционный эффект и обратный ему эффект (§ 137). Этот эффект так мал, что им можно пренебречь. Предположение, что мы имеем дело только с линейным эффектом, основано на экспериментальном факте, заключающемся в том, что в случае почти всех пьезоэлектрических кристаллов, подвергавшихся испытанию, наблюдалась прямая пропорциональность. Можно почти не сомневаться в общей правильности этого предположения, за исключением сегнетоэлектриков.
Предыдущие уравнения являются специальными случаями общей теоремы взаимности: при обратимых процессах, когда имеется два первичных эффекта т — а^М, n = bxN вместе с вторичным эффектом т — a2N, всегда существует также и дополнительное соотношение (обратный эффект) п=Ь2М [316]. Эту теорему можно далее обобщить так, чтобы она включала любое число первичных эффектов Некоторые йз ее следствий уже рассматривались в § 20.
§ 188. Возможны и другие формулировки пьезоэлектрической теории, в зависимости от выбора параметров для диэлектрического члена. Мы воспользуемся следующими соотношениями:
D = kE = k-P=^F . (238)
В последнем из этих выражений F является молекулярным полем, а К заменяет (1 + ) по аналогии с £=1 + 4^ (см. § 113).
D — электрическое смещение (индукция).
Теперь мы дадим некоторые из способов выражения термодинамических потенциалов с помощью соотношений (238). Один штрих вверху (т/, kr, К') обозначает значение при постоянном напряжении, два штриха — значение при постоянной деформации.
dlPx = -PdP — Xdx\ 7]"
dlpX = -PdP~ xdX;
dlD,x = - PdD — Xdx\ k"
dtD,x 1 PdD - xdX-
(239)
(240)
О «Физика кристаллов», стр. 189. Эта теорема принимает в пьезоэлектрическом случае следующую специальную форму: полагаем т = Р, r=X, М-^Е, N~x, , bi ef-c, где с—упругий модуль. Тогда первичные эффекты будут Р—ч\Е и А *=— сх\ согласно теореме, если существует соотношение P=sx(e=a2), то также существует и обратное соотношение Х = —е£.
Различные формулировки, пьезоэлектрической теории
’ 237
dlFx = 1 PdF - Xdx\ К"
d£FX=- PdF— xdX. К'
(241)
Уравнения (239) соответствуют уравнениям (236) и (236а); для поляризационной теории они являются основными. Уравнения (240) и (241) являются основными для двух других возможных видов трактовки, которые можно назвать теорией смещения (теория D} и теорией молекулярного поля (теория F). '
§ 189. Относительные преимущества различных формулировок мы обсудим ниже. Предвидя, что поляризационную теорию (теорию Р) в силу теоретических соображений следует предпочесть (хотя это предпочтение не всегда желательно при практическом использовании) мы приводим в табл. 21 ее главные уравнения параллельно уравнениям теории Фогта. В теории Р величины а и b обозначают коэфициенты, соответствующие коэфициентам е и d Фогта, а значки Р вверху при упругих коэфициентах обозначают, что они берутся при постоянной поляризации.
В каждом классе кристаллов матрица величин а и b совершенно такая же, как и величин end, равно как и уравнения преобразования при повороте осей. Это ясно из уравнений XI и XII в табл. 21. Значение символа (£от) объясняется в § 194.
Уравнения теории Р основаны на уравнениях (237) и (237а). Уравнение XI в табл. 21 выводится, если приравнять выражение для 3
Xk в уравнении IV для двух теорий и положить Pm=^^"mh Eh. Урав-h
нение XII выводится из уравнения VII аналогичным способом.
Пользуясь уравнениями (143), можно показать, что
3 3
&mk X ^hkXmh И* ^mk = п h
(242)
Нет необходимости давать полную табуляцию других упомянутых выше форм теории. Уравнения теории D получаются из уравнений теории Р подстановкой kr и k" вместо т/ и а также D вместо Р. В случае теории F мы подставляем k' = 1+^' вместо т\", k" = — 1 + П" вместо т;" и F вместо Р. В других отношениях все уравнения идентичны. В случае теории зарядов Мэзона [335,340,637] следовало бы подставлять k'/bn вместо т/, вместо и плотность заряда о вместо Р.
Как мы установили в § 186, следует предпочитать ту форму теории, которая определяет свои пьезоэлектрические коэфициенты таким образом, чтобы при изменении физических условий они были возможно ближе к постоянным. Основным ключом к изысканию такой теории является наблюдение Мэзона [335], что резонансная частота, а отсюда и упругость 45-градусного среза X сегнетовой соли, отделенного от электродов широким зазором, почти не зависит от температуры, тогда как в случае прилегающих электродов, когда не возникает деполяризующего поля (§ 199), имеется очень заметная температурная зависимость. По теории Фогта, пьезоэлектрическая реакция на упругость изменяется от нуля при нулевом зазоре до предельного значения при
238
Глава XI
бесконечном зазоре. В этом случае результат Мэзона можно объяснить только на основании не слишком достоверного допущения, что температурный коэфициент упругости как раз таков, чтобы нейтрализовать коэфициент пьезоэлектрической реакции при широких зазорах.
Таблица 21
ГЛАВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ФОГГА И ПОЛЯРИЗАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
Теория Фогта Уравнения Поляризационная теория
I
II
3 6 £“22 emkxk^m т k III 3 6 2 IE] amkxkPm m k
та т IV b m K ТП
=У е bxb=P ч-f Zu k V ДГ) ' ~ 2 aTnkXk~(Eni) °^rn k
3 6 ^тк^к^т т к VI 3 6 m k
Vrf ье х. Zu untknm — VII
k VIII = ~ X bmk^k Ot'm k
6 ehk~ Xi ^h.mckm m IX 6 ahk— X bhmckm m
6 dhk= X ehmsmk m X 6 bhk^ X ahmsmk m
3
XI ehk= У О- г. Ч и'' lK xu mk 'mh т
§ 190. Отбросив теорию Фогта, Мэзон [335] принял, что истинной упругостью, не измененной пьезоэлектрической реакцией, является упругость, наблюдаемая при самом широком возможном зазоре; умень
Различные формулировки пьезоэлектрической теорий 239
шение частоты при уменьшении зазора он приписал пьезоэлектрической реакции, т. е. пьезоэлектрическому напряжению, пропорциональному заряду на электродах, так как заряд возрастает (при той же разности потенциалов на электродах) при уменьшении зазора. Таким образом, он пришел к новому определению коэфициента пьезоэлектрического напряжения, Р14 == — Ya , заменяющему определение Фогта е14 —
Хотя первоначальная разработка Мэзоном его теории вызывает серьезные возражения [378], один из его выдающихся результатов заключается в том, что Рн, как он его определяет, является практически независимым от температуры. Это обстоятельство вместе с результатами Мэзона, относящимися к упругости, наводит на мысль, что если пьезоэлектрическое напряжение не является пропорциональным заряду на электродах, то оно, во всяком случае, пропорционально какой-то тесно с ним связанной величине. Применение заряда или плотности заряда а в качестве параметра представляется, неосновательным по теоретическим соображениям, потому что
— D (£+4гсР)
° 4те 4гс ’
включая, таким образом, неявно ё и Р.
Как указано в § 199, следует признать, что при бесконечном возрастании зазора между резонирующим кристаллом и электродами электрическая величина, приближающаяся к нулю, теоретически не является смещением, вследствие чего упругость при широких зазорах является только очень приближенно упругостью при нулевом электрическом смещении. С чисто догматической точки зрения этот факт указывает' на принятие теории зарядов или эквивалентной теории смещения, так же как Фогт сделал догматическое допущение относительно того, что напряжение пропорционально полю. Однако не следует смешивать вещей, наиболее легко измеримых, с вещами наиболее основными; и если приходится отбросить пропорциональность между напряжением и полем, то кажется в основном более логичным принять напряжение пропорциональным поляризации, а не параметру, включающему и Р и ё. В силу тех же соображений следует отказаться от применения в качестве параметров смещения D или внутреннего поля F. Мюллер [376] сделал шаг в направлении теории F, предположив, что поляризуемость сегнетовой соли вызывается 'отчасти пьезоэлектрической деформацией, а это последнее, в свою очередь, пропорционально F. Однако он не развивал дальше этой концепции.
§ 191. Таким образом, нам остается предпочесть теории Фогта поляризационную теорию. Она подвергалась экспериментальной проверке только в случае сегнетовой соли, и поэтому ее основная гипотеза, что напряжение пропорционально поляризации, является почти идентичной предположению теории заряда, согласно которой напряжение пропорционально заряду. В самом деле, заряд пропорционален электрическому смещению, а благодаря очень высокой восприимчивости сегнетовой соли смещение близко к пропорциональности по отношению к поляризации. Кроме того, когда упругость выводится из частоты кристаллов, колеблющихся при широком зазоре, как в измерениях Мэзона, то деполяризующий эффект настолько силен, что чистая поляризация, как и смещение, почти равны нулю, вследствие чего обе
240'
Глава XI
формы теории дают практически идентичные значения «истинной» упругости. Небольшая разница между ними рассматривается в § 211.
Поэтому мы можем считать, что выполненные Мэзоном динамические измерения упругих коэфициентов сегнетовой соли, которыми мы пользовались в § 79, свободны от заметных пьезоэлектрических реакций. Преимущества теории Р перед теорией Фогта в случае сегнетовой соли заключаются в том, что коэфициенты ai4 и 6i4 более близки к независимости от температуры и поля, чем коэфициенты Фогта е14 и du (§ 4Z4).
Любую из предыдущих форм теории можно применять также и для нормальных пьезоэлектрических кристаллов. Для таких кристаллов о , Ё, D, F и Р пропорциональны не в силу больших значений k, но потому, что у них k практически является постоянной величиной. Как раз это постоянство k вместе с неизменностью пьезоэлектрических констант и очень низкой пьезоэлектрической реакцией на упругость и делает тщетной всякую попытку использовать наблюдения нормальных кристаллов для решения вопроса, можно ли предпочесть теории Фогта какую-нибудь другую теорию. Для таких кристаллов важнее продолжать применять теорию Фогта. Специальной областью, где может применяться поляризационная теория, являются случаи сильной изменчивости по крайней мере одного из коэфициентов dmh с температурой.
§ 192. Поляризационная теория. Интересным историческим фактом является то, что Покельс [427], формулируя впервые общие уравнения для обратного эффекта, выразил пьезоэлектрические деформации через компоненты поляризации. Дюгем и Фогт только позже пришли к использованию поля вместо поляризации в своих уравнениях. Однако в то время доводы в защиту общей теории поляризации были неизвестны. Борн в своей теории решетки, обсуждаемой в § 546, выразил пьезоэлектрические и упругие соотношения через поляризацию.
Два термодинамических потенциала в случае изотермических изменений [уравнения (1) и (2)], выраженные через поляризацию вместо поля, принимают вид1);
. 6 6 3 3 3 6
5=4? 2^хЛ+42 s l^p^- (243)
h i km m h
6 6 3 3 3 6
C=4? 2 2 2 lb„hPmXh. (243a)
й i km. m h
О После того как эта общая теория была развита автором, в 1940 г. появились статьи Мюллера [378, 380, 381], в которых для сегнетовой соли был введен коэфициент /и, идентичный коэфициенту йм автора. В этих статьях Мюллер принимает принцип поляризационной теории, но не идет дальше рассмотрения специальных констант сегнетовой соли при полях, параллельных х. Он признает влияние пьезоэлектрической реакции на s44 и с44, но применение им s44 в случае постоянного поля и с44 в случае постоянной поляризации вводит в заблуждение. Его результаты согласуются с настоящей трактовкой. Ниже приводится сопоставление символов Мюллера с символами автора:
Мюллер............
Кэди................
/14 Х1 *1 . X? ,0 *cl 4 S44
°14 ъ V' п Ъ Vs (d^ *44
с44
СР с44
Различные формулировки пьезоэлектрической теории 241
Эти два выражения для свободной энергии содержат только линейные члены. Нелинейный член, описывающий эффекты -насыщения, вводится в § 451.
При применении уравнений энергии к сегнетоэлектрикам следует иметь в виду, что между некоторыми температурами имеется спонтанная поляризация, связанная со спонтанной деформацией, которая создает приращение энергии. Введение этого приращения в уравнения, а также включение члена, выражающего нелинейные эффекты, можно представить более ясно в особом случае. Поэтому мы отсылаем читателя к рассмотрению сегнетовой соли (гл. XXIII и XXIV) и непосредственно переходим к уравнениям поляризационной теории, аналогичным уравнениям (183) и (184а) в формулировке Фогта. Они выводятся из уравнений (243) и (243а).
в з
= - (ад ; (244)
i тп
3 6
гр-=2х^+2атл = (ад"; (244а)
m k h
6 3
(245)
i m
3 6 '
^ = 2^ф.Л=(£,)'- (245a)
m k h
Пьезоэлектрические члены в этих уравнениях одинаковы с членами в уравнениях IV, V, VII и VIII табл. 21.
Уравнение (244) можно рассматривать как основное уравнение .поляризационной теории. Как указал Мюллер, оно имеет некоторое логическое преимущество перед соответствующим уравнением (183) Фогта, поскольку включает только внутренние параметры с и Р.
Если спонтанная поляризация отсутствует, то величины Р в предыдущих уравнениях являются компонентами поляризации, вызываемой действующим полем при постоянной деформации в уравнениях (244) и (244а) и при постоянном напряжении в (245) и (245а).
§ 193. Размерности коэфициентов amh и bmh . Эти величины соответствуют е^ь и dmh в теории Фогта, размерности которых были даны в § 128. Размерность атЧ есть L-* Т~х та же самая, что и для напряженности поля. Коэфищиент b nh имеет размерность напряженности поля, деленной на напряжение, иначе говоря
_ X 1 1
[М 2 А 2 Tk~ 2 ], т. е. такую же, как у величины, обратной поляризации. В практической системе электрических единиц апЬ можно выразить в вольтах на сантиметр, а Ь тЧв вольтах • см • дина—Ч Вообще же мы будем пользоваться абсолютными электростатическими единицами, как в случае dm<l и emh.
Ниже приводятся некоторые переводные множители, связывающие друг с другом пьезоэлектрические коэфициенты теории Фогта (emh и dmh),
16 К»дж
242
Глава XI
поляризационной теории (awh и bmh), теории смещения (aDmh и bDmh\ и теории зарядов^ Мэзона (/ mh и g.nh) (см. § 189). Специальные переходные множители для коэфициентов Фогта приведены в § 128. Для .простоты мы ограничиваемся рассмотрением кристаллов, имеющих (подобно сегнетовой соли) только один пьезоэлектрический коэфициент •относительно поля, параллельного любой из кристаллографических осей; таким образом, ка(ждое суммирование в табл. 21, которое нас в данном случае интересует, сводится к единственному члену.
При выражении всех величин в абсолютных электростатических единицах имеют силу следующие соотношения:
— 1
^mh г ч ^mh » ч m
^mh T m
f _k"m~ 1
Jmh b" &mh h" ^mh\
K m K m
D __ l r
4K J mh \
a _ H и
bmh bf umh hf umh 7
K m K m
Ь ^Smh *
Переходя к практическим единицам, находим
&mh
см
стат, вольт
вольт - см дина
стат.вольт - см дина
ИЗ 10’
Ь т
Smh
Гвольтсм! опп Гстат.вольт<см"1
L дина J = 300^л L J
кулон дина
§ 194. Интерпретация уравнений (244)—(245а). К уравнению (244) можно применить те же самые рассуждения, какие были приведены в § 126 для объяснения уравнения (183); в настоящем случае их можно перефразировать следующим образом: в уравнении (244) полная компонента напряжения (Xh ) состоит из двух частей: 1) внешнего напряжения, которое вызывает заданную деформацию, если Р равняется нулю; 2) части, вызываемой пьезоэлектрически поляризацией Р. Последняя является пространственным напряжением и в этом отношении отличается от внешнего напряжения. Вследствие этого второй член равен и противоположен внешнему механическому напряжению, которое следовало бы добавить к механическому напряжению, выра* жаемому первым членом, чтобы деформация оставалась постоянной при действии поляризации. При заданных деформации и поляризации полная компонента внешнего механического напряжения представляет собой поэтому не (Хл) в уравнении (244), а скорее
Мы видим также, что когда (Xh) =0, должно существовать внешнее напряжение Xh == 2 Е amh Рт при деформации, заданной уравнение&и -2ЗД-2 amh^m- При всех применениях уравнения (244) следует иметь в виду, что (Хл) является не внешним напряжением, а суммой двух напряжений — внешнего и внутреннего.
Как (Хл) в уравнении (244) не является компонентой внешнего напряжения, так и (ЕтУ' и (ЕтУ в уравнениях (244а) и (245а) не являются компонентами реально действующего поля. в уравнении (244а)
Различные формулировки пьезоэлектрической теории"243
представляет собой компоненту поля, которое вызывает полную поляризацию в зажатом кристалле, одинаковую с поляризацией, получающейся при заданных значениях Pk и х h. Если все xh равны нулю и нет спонтанной поляризации, мы просто получаем диэлектрические уравнения (143) для зажатого кристалла, а (Еm)" = (Em) — действующему полю. Если же все Pk равны нулю, то (Ет)" является компонентой поля, которая вызывает в зажатом кристалле поляризацию, производимую деформацией х,-.
В уравнениях (245) и (245а) величины X суть ’ внешние напряжения. Интерпретация величины (Е т)' аналогична интерпретации величин (Ет)", приведенной выше.
§ 195. Для пояснения связи между (ЕтУ и фактически существующим Полем Ет можно провести следующие рассуждения. Ограничимся случаем, в котором Ет является единственной компонентов действующего поля, и предположим, что поперечные восприимчивости не существуют, вследствие чего в недеформированном (зажатом) кристалле имеется только поляризация Рт = У'тт Ет . Тогда при наложении произвольной деформации полная поляризация по уравнению (183а), согласно обозначению Фогта, имеет вид
6 6
(Pm 11= У тт^т + J emhxh= Рт + 2 emhxh , (247)
h ft
откуда
6
Ет=у"тт(Рт\/ — у"mm Уemhxh=y"mmPn1. (248)
m a. mm < m ' t л* mm /, mn, h л. mm m у J
h
Согласно поляризационной теории, соответствующее выражение из уравнения XI табл. 21 есть
Em—Pmm(Pm)t- amhxh^'mmPm • (248а)
При тех же условиях уравнение (244а) принимает вид:
6
(£„)"= Х''„тР„+(2486) ft
Затем, так как Рт представляет собой поляризацию, вызываемую только Ет , мы имеем х"ттРт^Ет » вследствие чего справедливо CQ-отношение 6
(ЕтУ = Ет+ ^тЛ=Г„т{РтУ- (248в)
h
Таким образом, мы видим, что эквивалентное поле {Е т)" представляет сумму действительного поля Ет, вызываемого разностью потенциалов между поверхностями кристалла и квазиполя, вызываемого деформацией. Можно легко проверить, что
ЕтУ _ (Р^.
Ет Рт
Аналогичные выражения легко выводятся в случае действия произвольной системы напряжений, когда кристалл может свободно
16*
244
Глава XI
деформироваться при наложении Е. Соответственно уравнениям (247), (248а) и (248в) находим
6 R
(Р £ — у dmhXh=Pm— У dmhXh\ (249)
\ т' i < тт т /1 тп, п т / > тп Л ’ v * )
h h
6
(250) h 6 6
(^-т} Г— ^т X brutish —У.'mm ( t~^'mmPm ^mh^h • (250э)
h h
(E )' (P )
Как и раньше, мы находим также, что = —~L .
^т *т
Из уравнений (248а) и (250а) очевидно, что (Ет)—Ет в двух специальных случаях: 1) когда кристалл зажат так, что деформации нет, т. е. когда действует система механических напряжений, препятствующая деформации при наложении поля; 2) когда кристалл может свободно деформироваться в поле, т. е. когда все действующие механические напряжения обращаются в нуль.
Уравнения (247) и (250а) дают действительное поле Ет в кристалле при заданной системе деформаций (или напряжений) и полной поляризации. Вводя поперечные восприимчивости, эти выражения можно привести к следующим обобщенным формам, дополняющим уравнения (244а) и (245а):
. з 6
2 x"UP*h- ; (251)
k h
3 6
£m=Sx'te(P4),+ 1ЬтЛХ„ . (251а)
k h
Так как предыдущие уравнения применяются в § 452 к сегнетовой соли при 'поле в направлении X, мы можем положить т—1, h — 4, Xh = Yz. х^=уг и опустить значок т у Р, Е, у и у. Следующие выражения имеют силу только для малых напряжений и полей. В противном случае присутствуют нелинейные эффекты, о которых см. § 452. Для кристалла при заданной деформации у2 и поле Е имеем:
Р( = гГ Е + еиУг-> (252)
Е = х" Pt~ X" СиУг = T"Pt — (253)
(Е)" =Х'//э + анУг = х"Л: (253а)
где Р — поляризация, вызываемая полем Е, когда у г = 0-Для кристалла при заданном напряжении Yz и поле Е имеем:
Pt^r^E-d^ Yz-, (254)
Е = х' Pt -f- у/ d14 Yz = у' Pf + bti Yz; (255)
{EY - x' P-bu Yz = E~ b14 Yz = xz Л; (255a)
где P — поляризация, вызываемая полем E, когда YZ=Q.
Как в случае зажатого, так и в случае свободного кристалла (Е) связано с Е уравнением
(£) _ Л
Е ~ Р •
Теперь мы можем, пользуясь понятиями поляризационной теории, вывести формулы для компонент поляризации при прямом эффекте,
Различные формулировки пьезоэлектрической теории
245
аналогичные уравнениям (187) и (188) по Фогту. Предположим, что поле в кристалле равно нулю, а также PJ = 0 поэтому полагаем в уравнениях (244а) и (245а) Pk — 0; затем умножаем каждую из трех компонент (Ет) на соответствующую восприимчивость и складываем их согласно (140). Таким образом, получаются три компоненты пьезо-электрической поляризации Рп (п= 1, 2, 3):
3 3 6
рп = ^У'пт{ЕтУ= l^'nmamhxh (при постоянной деформации); (256) т т h
3 3 6
рп~ 2 У пт (EmY= — 2 2 ^ЛЛ<ПРИ постоянном напряжении) (256а) т т h
На основании уравнений XI и XII табл. 21 эти уравнения можно привести к уравнениям (187) и (188). Как всегда, через -i"nm и rt'пт мы обозначаем соответственно восприимчивости при постоянной деформации и постоянном напряжении.
Когда поперечных восприимчивостей нет, п = т, а поле и поляризация параллельны. Тогда при данных деформации и напряжении поляризации равны:
в 6
Pm==z тт У, ^'mh.^’h Рт== mm ^mh^h • (257)
Л Л
Те же выражения можно вывести, беря производные (243) и (243а) по Ет. Уравнения (256), (256а) и (257) дают действительные поляризации, когда электроды прилегают к кристаллу и замкнуты накоротко (поле равно нулю). В противном случае поляризация получает приращения, вызываемые полем.
§ 196. Сравнение поляризационной теории с теорией Фогта. С точки зрения поляризационной теории положения параметров «электрическое поле» и «поляризация» на фиг. 11 и 46 следовало бы поменять местами. Хотя такое изменение приводило бы логически к соответствующим изменениям в формулировке пироэлектрической теории, нам не следует заниматься этой задачей, так как формулировка Фогта представляется совершенно достаточной для этой цели'.
При действии электрического поля на пьезоэлектрический кристалл выполнение прямых измерений и напряжения и поляризации является вообще невозможным. При наблюдении прямого эффекта с плотно прилегающими к кристаллу электродами это возможно, и в таком случае все теории дают идентичные результаты. С другой стороны, при обратном эффекте, если мы попытаемся измерить пьезоэлектрическое напряжение, наблюдая, например, внешнее напряжение, необходимое для приведения деформации к нулю, мы тем самым изменим поляризацию на величину, которую измерить непосредственно нельзя. Подобным же образом нельзя измерить поляризацию, не изменяя напряжения. Таким образом-, мы встречаемся со своего рода пьезоэлектрическим «принципом неопределенности».
Теперь мы должны остановиться, чтобы рассмотреть вопрос, какие величины могут считаться наблюдаемыми. Прежде всего, имеется механическая деформация, которая, по крайней мере на бумаге, является
О В § 459 выводятся специальные выражения для сегнетовой соли при наличии Р°.
246
Глава XI
совершенно определимой и измеримой при всех обстоятельствах. Затем — электрические восприимчивости ч" при постоянной деформации и при постоянном напряжении. И те и другие измеримы (хотя до некоторой степени косвенно) и имеют совершенно определенное значение, независимо от всяких теорий. Напряженность поля Е измерима непосредственно в случае плоских пластинок достаточной площади и с прилегающими электродами. Поляризация, как уже было указано, является непосредственно измеримой только при прямом эффекте и при применении прилегающих электродов.
Пьезоэлектрическое напряжение имеет значение, независимое от теории, только в случае, когда кристалл зажат так, что всякая деформация невозможна. В этом случае при одинаковом поле все уравнения типа IV в табл. 21 дают идентичные численные значения, и компоненты напряжения равны и противоположны компонентам внешнего ' противодействия. Электроды считаются прилегающими и имеющими постоянную разность потенциалов. Если теперь внешние препятствия для деформации устранить, то поле остается неизменным, но поляризация возрастает в силу уравнения V. По теории Фогта, напряжение остается неизменным и в то же время нет пьезоэлектрической реакции, тогда как поляризационная теория утверждает, что пьезоэлектрическая реакция существует и что напряжение поэтому возрастает. Это возросшее напряжение действительно наблюдалось бы, если бы снаружи можно было приложить известные силы такой величины, чтобы они свели к нулю деформацию при постоянной поляризации. Этот особый эффект, как и все другие пьезоэлектрические явления, можно описать на языке любой из форм теории. Сам по себе он не дает критерия для выбери различных форм.
Соотношения между напряжением и деформацией, согласно поляризационной теории, можно иллюстрировать простым примером. Пусть к пьезоэлектрическому кристаллу приложено напряжение Л'г, вызывающее Некоторую деформацию х. Если поле поддерживается постоянным, например, закорачиванием кристалла, так что Е = 0, то наблюдаемое напряжение Xf. (при постоянном Е) будет относительно малым.
Если повторить опыт при поляризации, равной нулю, то наблюдаемое напряжение Хр будет больше. По теории Фогта, этот факт можно объяснить следующим образом: деформация вызывает поляризацию Р, которая существует, когда Е равно нулю;и не влияет на А'Е. Чтобы привести Р к нулю, необходимо приложить отрицательное.поле — Е', достаточное Для получения противоположной поляризации — Р, нейтрализующей + Р. Это отрицательное поле вызывает также отрицательное напряжение, для преодоления которого нужно приложить внешнее напряжение Хо, большее чем X Е, для того чтобы получить ту же самую деформацию.
По поляризационной теории это отрицательное пьезоэлектрическое напряжение, будучи пропорциональным Р, присутствует, когда Е — О, но не присутствует, когда Р = 0. Его эффектом в силу уравнения VII в табл. 21 является увеличение деформации; отсюда для той же деформации Xf меньше, чем ХР; на величину, равную пьезоэлектрическому напряжению.
Уравнения поляризационной теории для упругих констант приводятся в § 208.
§ 197. Могут быть полезными следующие соотношения между теорией Фогта и поляризационной теорией. Сравнивая уравнения (184) и (245), можно принять, что кристалл подвергается одновременно- системе
Различные формулировки пьезоэлектрической теории
247
напряжений X и полю Е в любом направлении,- Тогда существует поляризация Р, вызываемая частично X и частично Е. Если требуется выразить получающуюся деформацию х через X и Е, то пользуются теорией Фогта с коэфициентами s при постоянном' поле и пьезоэлектрическими модулями dnh- С другой стороны, при заданных X и Р проще пользоваться поляризационной теорией с коэфициентами spt и пьезоэлектрическими коэфициентами bmh- То обстоятельство, что при одинаковых напряжении, поле и деформации эти две теории требуют применения различных коэфициентов s, имеет причиной следующее. Деформация х вызывается частично Е и частично X, причем первое из этих приращений принимает различный вид в зависимости от того, выражено ли оно через Е или Перез Р.
Точную эквивалентность уравнений (184) и (245) можно показать в общей форме, пользуясь уже приведенными соотношениями между различными коэфициентами. Сегнетова соль (или любой кристалл классов V, Vd, Z>4,T>6, Т или Тd} дает в этом отношении простой пример. Если поле представлено величиной Ех, то приходится рассматривать только пьезоэлектрические коэфициенты d\4 и &i4 = du/vf [уравнение (242)].Предполагая, что Yz — единственное механически действующее напряжение, мы, согласно теории Фогта, находим из (184)
—y==£4Yz—d14Ex, (258)
а из (245), согласно поляризационной теории, получаем
—yz = s^iYl—bltPx. (259)
Подставляя с^/7]' вместо Ь{4 и пользуясь соотношениями s44 = sf^'V7/ из (520) и Рх=ч]'Ех— duY z из (184а), находим:
/ // л2 \
-л=4|- + Д-
Тогда в силу d^/s^ = е14 из уравнений (204) и = v"-]-'ei4d14 из (264) выражение для yz легко приводится к виду (258). Для простоты в этих выражениях мы не учитывали явлений насыщения в сегнетовой соли. Усложнения, возникающие по этой причине, рассматриваются в гл. XXIII и XXIV.
ГЛАВА XII
ВТОРИЧНЫЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
Во всех случаях, когда пьезоэлектрический кристалл находится под действием механического напряжения, в нем в силу прямого эффекта появляется электрическая поляризация, что, за исключением специальных граничных условий, приводит к возникновению электрического поля. По теории Фогта, результатом этого поля вследствие обратного эффекта являются некоторые компоненты деформации в дополнение к компонентам, вызываемым механическим напряжением. Подобным же образом действующее электрическое поле производит первичную поляризацию, налагающуюся на вторичную поляризацию, вызываемую состоянием пьезоэлектрической деформации, производимой полем. Положение еще более усложняется, когда одновременно действуют и электрические и механические напряжения.
Эти вторичные эффекты иногда являются источниками больших затруднений, но, с другой стороны, ими можно воспользоваться; например, в пьезоэлектрическом резонаторе они играют очень существенную роль. Как бы то ни было, они обычно имеют место, и поэтому требуется рассмотреть более подробно их общую теорию, а также их действие при некоторых специальных условиях.
§198. Соотношение между упругими и диэлектрическими явлениями. При формулировке физических законов очень часто встречается большее сходство между положениями, выражающими весьма различные явления. Эти соответствия иногда бывают главным образом формальными, например, когда мы сравниваем закон Ома с его магнитным аналогом, иногда же они выражают тождество принципов, лежащих в основе законов. Иллюстрацией этого является применение теории электрического контура к акустическим проблемам.
Имеются интересные аналогии между механическими явлениями в упругих телах и электрическими эффектами в диэлектриках. Так как пьезоэлектричество имеет дело с системой соотношений между этими двумя областями, то имеет смысл поставить вопрос, в какой мере эти соотношения могут быть сделаны симметричными по форме и насколько это соответствие можно рассматривать как нечто большее, чем формальное соответствие. Можно предвидеть, что полная симметрия математических выражений невозможна по следующим соображениям:
1. Упругие напряжения и деформации являются тензорами, тогда как электрические поля и поляризации представляют собой векторы, причем поле характеризуется градиентом потенциала.
2. На границе перехода между двумя средами существует нормальное непрерывное упругое напряжение, тогда как в электрическом случае непрерывным является электрическое смещение, а не поле. Кроме того, упругое напряжение определяется как сила на единицу поверхности, в то время как напряженность электрического поля представляет собой силу на единицу заряда.
Вторичные пьезоэлектрические эффекты 249
3. Упругое напряжение существует только в материальной среде; но не существует «упругого поля» в вакууме, соответствующем электрическому полю. С другой стороны, электрическое поле может действовать непосредственно на заряд без промежуточной материальной среды.
Согласно молекулярной теории, при действии на пластинку механического давления внешние электроны смежных атомов сгущаются, и толщина пластинки уменьшается. В то же время возникают другие связанные С этим деформации. Последние зависят от формы элементарной ячейки, т. е. от структуры кристалла. В обычном диэлектрике поляризации не получается. Равновесие достигается, когда междуатомные силы становятся равными и противоположными силам, вызываемым давлением. Этот комплекс быстро убывающих и потому практически действующих лишь на близких расстояниях внутренних полей образует упругое противоположно действующее напряжение и определяет собой коэфици-енты s. В пьезоэлектрической пластинке поляризация вызывается деформацией и получающееся электрическое поле зависит от условий на границах. Именно по этой причине основные пьезоэлектрические уравнения в табл. 22. (.§ 201) в функции действующего механического напряжения чаще выражают поляризацию, чем поле.
Если вместо механического напряжения мы теперь подвергнем пластинку электрическому напряжению в виде однородного поля, то это поле, которое может возбуждаться удаленными зарядами, действует на заряды в диэлектрике на большом расстоянии, причем возникает поляризация Р — Е. Величины и Р можно рассматривать соответственно как диэлектрическую «упругость» и «деформацию», аналогично s и х в уравнении х — — sX. Как в механическом случае, равновесие достигается, когда восстанавливающие силы между смещенными зарядами становятся достаточно большими. Если пластинка не является пьезоэлектрической,, то механической деформации не возникает; здесь мы игнорируем эффект электрострикции, зависящий от квадрата поля, которым обычно пренебрегают по сравнению с пьезоэлектрическим эффектом..
Таким образом, в электрически напряженной пьезоэлектрической пластинке частицы подвергаются систематическому смещению, деформирующему кристалл, причем форма этой деформации зависит от симметрии кристалла. Равновесие достигается, когда восстанавливающее упругое напряжение X' = —сх уравновешивает пьезоэлектрическое напряжение X —— г Е (си е являются коэфициентами упругого и пьезоэлектрического напряжения).
§ 199. Механические и электрические граничные условия. В пьезоэлектрических проблемах упругие граничные условия имеют значение при наложении электрического поля, а электрические граничные условия — при наложении механического напряжения. Повсюду в рассмотрении настоящего вопроса условия считаются изотермичными. Подобно тому как действующее электрическое поле вызывает в пьезоэлектрическом кристалле поляризацию, зависящую от состояния механической податливости, приложенное механическое напряжение вызывает деформацию, зависящую от состояния электрической податливости, аналогичными количествами в кристалле являются диэлектрические восприимчивости у и и упругие модули s.
По отношению к упругим условиям можно ввести определение двух стандартных состояний, «зажатого» и «свободного». В зажатом состоянии во всех случаях, когда налагается электрическое поле, постулируется
250
Глава XII
система механических напряжений, препятствующих всяким деформациям (§ 217). В этом случае можно считать, что все поверхности кристалла прочно скреплены с окружающей средой бесконечной жесткости. В свободном состоянии окружающая среда имеет бесконечную способность деформироваться (воздух или вакуум) — условие, которое можно приблизительно осуществить посредством соответствующей монтировки; в этом случае кристалл свободен от внешних напряжений, и пьезоэлектрическая деформация х = ^Е может принимать полное теоретическое значение. Измерения диэлектрической постоянной обычно выполняются с диэлектриком приблизительно в таком состоянии. Если все соотношения являются линейными, то наблюдается одинаковое значение диэлектрической постоянной при системе механических напряжений, не равной нулю, но сохраняющейся постоянной во время опыта.
По аналогии, с электрической точки зрения кристалл следует рассматривать зажатым, когда нет поляризации, или более обще, когда поляризация является постоянной. Такое состояние может быть достигнуто с помощью противодействующего поля, способного нейтрализовать поляризацию, вызываемую механическим напряжением [уравнение (290)]. Приближенно можно рассматривать кристалл как электрически зажатый, когда он изолирован, т. е. так удален от всех проводников, что деполяризующее поле, вызываемое зарядами поляризации на поверхности, приводит чистую поляризацию к очень малому значению. В случае сегнетовой соли, диэлектрическая постоянная которой очень велика, это деполяризующее влияние сводит поляризацию почти к нулю (§.211). Поэтому изолированный кристалл находится практически в «электрически зажатом» состоянии.
Очень важным является электрически свободное состояние, в котором окружающая среда имеет бесконечную диэлектрическую восприимчивость. Осуществить это условие можно очень просто: вся поверхность Делается эквипотенциальной, для чего либо применяются замкнутые накоротко электроды, либо дается время для нейтрализации поверхностных зарядов путем утечки. Тогда в кристалле нет поля и если кристалл является пьезоэлектрическим и на него действует механическое напряжение, то пьезоэлектрическая поляризация не уменьшается противоположной поляризацией. Статические измерения упругих констант кристаллов обычно производятся с образцами, находящимися в электрически свободном состоянии. Те же самые значения наблюдались бы (если бы все соотношения были линейными) в случае, когда электрическое поле отлично от нуля, но поддерживается постоянным в продолжение всего эксперимента. В специальных случаях, когда это необходимо, значения упругих констант при постоянном поле можно обозначать символами S/ife и Chk.
При некоторых экспериментальных условиях кристалл, деформированный механическим напряжением, находится в состоянии постоянного электрического смещения. Это положение встречается, например, когда напряжение действует на относительно тонкую пластинку такой ориентации, что пьезоэлектрическая поляризация параллельна толщине, причем пластинка значительно удалена от всех проводников. Согласно принципу непрерывности нормальной составляющей смещение при переходе через границу двух сред, ясно, что в кристалле, как и в бесконечности, смещение равно нулю. Согласно § 214, в кристалле все же существует поляризация, дающая приращение смещения, но это приращение нейтрализуется деполяризующим полем. Даже в тонком кристалле это смещение
Вторичные пьезоэлектрические эффекты 251
никогда не обращается в нуль у ребер. К счастью у большинства кристаллов, в..том числе у кварца, диэлектрическая постоянная достаточно велика, и в случае брусков и пластинок, достаточно тонких в направлении поля, поправок на влияние ребер вводить не приходится.
§ 200. Серьезное осложнение возникает вследствие того, что в кристаллах низкой симметрии и в косых срезах кристаллов высокой симметрии поляризация вообще не параллельна полю. В таких случаях действующее напряжение может вызвать поляризацию, а поэтому и смещение, имеющие компоненты, перпендикулярные полю. Если образец имеет форму тонкого бруска или пластинки, то при достаточном удалении кристалла от проводников компонента смещения, параллельная полю и толщине, может нейтрализоваться деполяризующим полем. Если боковые размеры достаточно велики, то другие компоненты, не нейтрализуются, но достигают почти таких же значений, как и в кристалле, замкнутом накоротко. Поэтому, в то время как закорачивание приводит поле к нулю, отсутствие электродов не обеспечивает исчезновение смещения.
Предыдущие замечания относятся особенно к определению упругих констант из наблюдений резонансных частот. Если, как часто бывает в таких наблюдениях, зазор между кристаллом и электродами равен нулю, деформация образца не влияет на поле в направлении толщины, так как последнее является внешним полем. Бокового поля не существует, за исключением поля ничтожной величины, вызываемого поляризационными зарядами на ребрах. Поэтому никакая компонента пьезоэлектрической поляризации не нейтрализуется, и не существует деполяризующего поля, вызывающего приращение полного напряжения или деформации. Таким образом, из наблюдений при нулевом зазоре определяется значение упругих констант при постоянном поле. Как будет показано в гл. XIII, вывод последних из продольных колебаний брусков является очень простым; с другой стороны, в случае колебаний по толщине следует вводить некоторые пьезоэлектрические поправки.
Когда наблюдения производятся при очень широком зазоре, то действующие упругие константы, выводимые из резонансных частот, являются по существу константами при постоянном смещении, если поляризация параллельна полю. Когда поляризация не параллельна полю, то действующие константы являются константами при постоянной компоненте смещения, нормальной к поверхностям пластинки: тогда их значения находятся между значениями при постоянном смещении и при постоянном поле. Формулы для упругих констант этого • типа, которыми следует пользоваться во всех случаях, когда основные (при постоянном поле) константы должны выводиться из данных при колебательном режиме, приводятся ниже,-
Численно упругие константы при постоянном смещении очень близки к константам при постоянной поляризации (см-. сравнение сегнетовой соли и кварца в §211)- Так как их вообще нельзя наблюдать непосредственно, можно рекомендовать рассматривать значения ’ при постоянном поле как основные;’ это раньше и практиковалось. Единственным исключением являются сегнетоэлектрики, в случае которых нет оснований считать значения при постоянной поляризации основными (§ 191).
Формулы, приведенные на следующих страницах, основаны на допущении, что площадь кристаллической пластинки бесконечна. В случае
252
Глава XII
конечных пластинок вследствие неоднородности поля, поляризации и смещения вблизи ребер формулы являются только большим или меньшим приближением. Чем больше диэлектрическая постоянная, тем меньше могут быть боковые размеры без введения серьезных ошибок.
Резюмируя, можно сказать, что двумя главными механическими состояниями являются зажатое состояние (постоянная деформация) и свободное состояние (постоянное внешнее напряжение, обычно равное нулю), а двумя главными электрическими состояниями являются изолированное состояние (под действием деполяризующего поля) и электрически свободное состояние (закороченное или при постоянном электрическом поле).
Статические измерения диэлектрических и упругих коэфициентов обычно производятся соответственно при внешних механических напряжениях и внутренних (макроскопических) электрических полях, возможно приближающихся к нулю. В колеблющемся резонаторе кристалл обычно является механически свободным по отношению к некоторым напряжениям, но несвободным по отношению к другим.
§ 201. Имея в виду эти общие, только что высказанные соображения, мы теперь перейдем к их математической формулировке. Главные соотношения между электростатическими и механическими явлениями в пьезоэлектрических кристаллах, в том виде как они нам теперь требуются, приведены в табл. 22. С правой стороны каждого уравнения находится независимая переменная, через которую выражена переменная, находящаяся слева. Ради простоты, суммирования и значки опущены и все эффекты приняты линейными. Основными пьезоэлектрическими уравнениями являются (с), (d), (с') и (е'), причем прямой и обратный эффекты даны соответственно справа и слева. Каждое уравнение в таблице, включая и эти четыре, строго выполняется только при определенном состоянии кристалла. Так, известные упругие уравнения (а) и (&), так же как и (с') и (е'), предполагают, что кристалл электрически свободен, так что упругие коэфициенты s и с имеют значения при постоянном поле.
В уравнениях (е), (/) и (а') кристалл является механически свободным, в силу чего ri и k равны V и k' в уравнениях (264) и (265), тогда как (b'}, (d') и (/') берутся в случае совершенно изолированной пластинки большой поверхности. Рядом с каждым уравнением в одном столбце помещается аналогичное ему в другом столбце, причем вместо механических деформаций ставятся электрические деформации и т. д. Границы применимости каждого уравнения и влияние вторичных реакций обсуждаются ниже. Вообще же во всех случаях, когда имеется отступление от установленных условий для каждого уравнения, вводятся пьезоэлектрические реакции (вторичные эффекты), зависящие от граничных условий и часто сильно усложняющие задачу. Лучше всего считать основными уравнения (и), (а'), (с) и (с'), причем из них можно вывести все остальные.
Фогт рассматривает многие специальные задачи с определенными граничными условиями, но, кроме краткого обсуждения поведения пластинки под действием комбинированных электрических и механических напряжений («Физика кристаллов», стр. 915—920), нигде не вводит в свою теорию вторичных эффектов, хотя и признает на стр. 817 и 920, что они имели бы количественное влияние на его результаты. В большинстве специальных случаев, которые он рассматривает, вторичные эффекты отсутствуют.
Вторичные пьезоэлектрические аффекты
253
Таблица 22
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
Механические аффекты Электрические эффекты
х=—sX (а) Х=—сх (Ь) x—dE (с) Х=—еЕ (d) d х^-Р (г) е х=--р (7) -s. 3 Ъ 1 1 ft В И Р Й | Q. Сц й, CL4 О. Су
Уравнения (а) и (Ь), в которых
коэфициенты s и с берутся при постоянном поле, символизируют основные упругие соотношения между напряжением и деформацией при постоянном поле. Уравнение (а) соответствует уравнению {а') для «диэлектрического напряжения и деформации» в механически свободном кристалле.
Хотя уравнение (&') имеет более специальный характер, чем (а'), оно включено в табл. 22 отчасти ради симметрии соотношений, а отчасти потому, что мы им воспользуемся позже (§ 214). В уравнении (Ь') кристалл предполагается изолированным и находящимся при внешнем поле, равном нулю, поэтому полное электрическое смещение должно быть равно нулю; Р представляет собой производимую по. ляризацию, которая может вызываться механической деформацией (пьезоэлектрический эффект), изменением температуры (пироэлектрический эффект) или тем, что вещество является электретом (§ 174).
Уравнения (с), (d), (с') и (е') представляют собой сокращенные формы основных пьезоэлектрических уравнений (187—190). То, что (d) и (в')
Фиг. 46. Взаимодействие между упругими и электрическими эффектами.
не являются симметричными, причем одно выражено через напряжение, а другое через деформацию, указывает на отсутствие полного соответствия. Уравнение (d') относится к (d) так же, как (Ь') относится к (&). Оно имеет силу для изолированного пьезоэлектрического кристалла под действием напряжения X и выводится из (6') и (с'). Его частные случаи даны в § 207, 212 и 214. Уравнение (е) является дополнением уравнения (?'), выражающего деформацию через поляризацию (ср. § 189). Оно выводится из (е) и (а'), и им пользуются в гл. XXIII. Уравнения (f) и (/') включены в табл. 22 для полноты симметрии. Уравнение (/), являющееся основным уравнением поляризационной теории, 'выводится из (d) и (а')» а уравнение (f) —из (Ь') и (е').
§ 202. Эффекты, представленные в табл. 22, графически показаны на фиг. 46 (взятой из верхней части фиг. 10), на которой стрелки указывают обычную последовательность причины и эффекта. Стрелки X Р и х-+ Р изображают прямой пьезоэлектрический эффект согласно уравне
254
Глава XXI
ниям (/') и (е') табл. 22; Е -> х и Е -> X изображают обратный эффект согласно уравнениям (с) и (d). Стрелки Е -> Р [уравнение (а7)] и X -> х [уравнение (а)] относятся соответственно к электрически и механически свободным состояниям.
Фиг. 46 показывает также происхождение' вторичных эффектов. Например, когда кристалл механически зажат и на него действует поле Е, то получающееся в результате X и х обе равны нулю, и мы получаем просто уравнение (а'). Если кристалл механически свободен, то стрелки Е х и х -> Р указывают на пьезоэлектрическое приращение полной поляризации [уравнение (263)]. Поверхностный заряд о, производимый поляризацией Р, или в некоторых случаях пространственный заряд р, вызывает дополнительную компоненту Е (или, если Е постоянно, то дополнительный заряд на электродах), как указывается дугообразной стрелкой, что приводит к изменению эффективного значения диэлектрической постоянной. Дугообразная стрелка соответствует уравнению (Ь'\
Подобным же образом при электрически свободном кристалле (замкнутые накоротко электроды) получающееся в результате поле равно нулю, и (а) остается неизменным. С другой стероны, при изолированном кристалле стрелки Х-+ Р, Р -> Е, Е х указывают на процесс, в котором деформация, а поэтому и эффективный упругий коэфициент s подвергаются влиянию вторичного пьезоэлектрического воздействия. Мы теперь рассмотрим теорию этих реакций, имеющих большое значение для пьезоэлектрического резонатора.
§ 203. Теория изотермических пьезоэлектрических реакций. Дальнейшее изложение отчасти соответствует параграфам о вторичных эффектах в «Физике кристаллов» 0 с некоторыми изменениями в обозначениях. Предполагается, как это действительно и имеет место в случае сегнетоэлектриков, что восприимчивость и пьезоэлектрические коэфициенты d и е являются постоянными, т. е. что все соотношения линейны. Особые-характеристики сегнетоэлектриков рассматриваются в гл. XXIII и XXIV. Чтобы свести граничные эффекты к нулю, предполагается, что мы имеем дело с плоскопараллельной пьезоэлектрической пластинкой, имеющей толщину, малую по, сравнению с другими размерами, причем электрическое поле и поляризация нормальны к главным поверхностям. Более общее решение привело бы к очень серьезным усложнениям, могущим затемнить физический смысл. Поскольку имеются в виду эффекты первого порядка, настоящее изложение приложимо к большинству экспериментальных условий. Уравнения являются достаточно общими, чтобы иметь силу при указанных выше условиях для пластинки любой ориентации из любого непроводящего пьезоэлектрического кристалла, пока выполняются линейные соотношения между напряжением и деформацией, вне зависимости от того, будут ли они электрическими или механическими. .
Предполагается система ортогональных осей X, Y, Z любой ориентации. Упругие и электрические * коэфициенты выражаются относительно этих осей. Шесть компонент напряжения X х, . . X обозначаются через Xj . . . Х6, а компоненты деформации — через хг . . . х6.
§ 204. Пьезоэлектрическое приращение диэлектрической постоянной. В § 104 и 124 уже упоминалось о различии между диэлектрической постоянной k" зажатого кристалла и k' кристалла, механически свободного
’) Стр. 916—919.
Вторичные пьезоэлектрические эффекты
255
и находящегося под постоянным напряжением. Действующая постоянная k колеблющихся пластинок обычно лежит между этими “двумя предельными значениями. Символы k и т] без значков употребляются в этой книге в случаях, когда не требуется специальных различий. Так же поступал и Фогт, пользовавшийся символом со штрихом для диэлектрической'постоянной свободного' кристалла в своем кратком изложении вторичных эффектов
Очень важное соотношение между k" и k' получается при комбинации уравнений (183а) и (185) для прямого и обратного эффектов. Мы примем, что поля действуют в направлении Л, и будем искать выражение через восприимчивость в зажатом состоянии для поляризации в направлении пг, вызываемой совместным действием Eh и напряжения Xk. Подставляя в уравнение (183а) xh из (184) и меняя соответствующим образом значки, находим с помощью (191а):
6 6 р
Рт = Еп(т"йт+ j - J X„ = it
6
= ^(V\m + 1260)
Из (184a) имеем:
= (261)
Из этих двух уравнений получаем желаемый результат:
— ^emidhi. (262)
В большинстве практических случаев поляризация является параллельной или почти параллельной полю, так что h = т\ для краткости мы можем писать один значок т вместо пгт-.
Рт = (263)
= (264)
i
= 1 + W„,= k\ + 4к f (265)
i
A"„=l+4x<„ . (266)
Уравнения (264) и (265) в применении к сегнетовой соли для полей в направлении X принимают следующую форму, которой нам придется часто! пользоваться:
= + (267)
k'x — 1-j- 4irvj'x = k”x -f- 4ке14б/14. (267a)
Согласно уравнениям (260) и (261) значение T\'hm не зависит от напряжения Xk. Эта независимость имеет силу во всех случаях, когда все отношения являются линейными. Тогда, и только тогда, коэфициент т)' можно назвать восприимчивостью при постоянном напряжении, как в § 124. В сегнетовой соли, например, соотношения не являются линей:
- О <Физика кристаллов», стр. 917.
256
Глава XXII
ними, и необходимо определять значение напряжения — обычно нуль, чтобы придать т/ определенное значение (см. § 450).
При отсутствии некоторых, но не всех, компонент деформации, как случается в некоторых колебательных задачах, рассматриваемых далее, соответствующие члены суммирования исчезают. Восприимчивость тогда имеет значение, лежащее между т/ для свободного кристалла и т)" для зажатого кристалла.
§ 205. Пьезоэлектрическое приращение упругих коэфициентов. Этот эффект упоминался уже несколько раз. Как мы видели, упругие коэфициенты зависят от электрического состояния кристалла, которое, в свою очередь, определяется поляризацией, вызываемой деформацией.
Теперь мы выведем в общей форме соотношения между упругими коэфициентами s и с при постоянном поле, постоянном электрическом смещении и постоянной поляризации. Коэфициенты Shk и связывают деформацию и напряжение при отсутствии в кристалле градиента потенциала. Их значения обычно измеряются статическими методами или при продольных колебаниях и поле, перпендикулярном направлению колебаний, причем берутся электроды полной величины, тесно прилегающие к кристаллу. Коэфициенты s^k и c%k при постоянном смещении употребляются в некоторых случаях для полностью изолированного кристалла тогда как коэфициенты s?k и спри постоянной поляризации играют важную роль в поляризационной теории (гл. XI и XXIII).
Тензоры при постоянном смещении и при постоянной поляризации имеют ту же форму, как и тензор при постоянном поле, и с тем же числом упругих констант для данного класса кристаллов. Они преобразуются при повороте осей совершенно, одинаково, что позволяет применять уравнения преобразования гл. IV.
§ 206. Упругие коэфициенты при постоянном электрическом смещении. Рассмотрим часть кристалла любой формы под действием системы однородных напряжений, которая может включать все шесть компонент Xi.... Х6. Если вся поверхность образца держится под постоянным потенциалом, например, посредством заземленной металлической оболочки, то константы, связывающие компоненты деформации с компонентами напряжения, будут коэфициентами «ц ... при постоянном поле. Хотя поле в кристалле равно нулю, в нем имеется поляризация, компоненты которой выражаются уравнением (183а).
Приводимые ниже уравнения могут быть применены для выражения всех параметров применительно к поворачиваемой системе координат. Чтобы получить коэфициенты следует теоретически воздействовать на сжимаемый кристалл таким полем и в таком направлении, чтобы смещение оставалось равным нулю. Если система напряжений остается
’) Кристалл может быть неметаллизованным и удаленным от всех проводников или иметь прилегающие оболочки, не соединенные с контуром и свободные от паразитных емкостных влияний. В последнем случае можно сказать, что прилегающие электроды соединены с бесконечным полным сопротивлением. Таким образом, в статическом поле или при колебаниях по толщине кристалл может быть металлизо-ван с двух сторон и все же быть «изолированным», имея коэфициент s^k Метал-лизованный брусок при продольных колебаниях требует специального рассмотрения, как это будет показано в. § 286. Термины «металлизованный» и «неметаллизованный» иногда, однако, употребляются для обозначения нулевого и бесконечного зазора.
Вторичные пьезоэлектрические эффекты
257
постоянной, то это поле, согласно уравнению (184), будет изменять компоненты деформации, и по новым деформациям можно рассчитать коэфициенты Sftfe -
Самым удобным образом эти уравнения можно вывести, предполагая, что существует единственная компонента напряжения Xki вызывающая три компоненты пьезоэлектрического смещения вида Dm— 4к Рт = = — 4r:dmkXki согласно уравнению (184а). Чтобы нейтрализовать Dm, необходимо смещение D'm— — Dm=4 Xk. Каждому D'm соответствуют три компоненты необходимого поля Е':
Е')= т т
согласно уравнению (145); 6' обозначает свободный кристалл (постоянное напряжение).
Каждое вызывает компоненту деформации x'h = djhE'j . Поэтому для всех трех компонент Е' мы имеем:
з з А = 4-^4£ \dJXrJi’j„ . j т
Э'ту Деформацию следует сложить с деформацией, вызываемой Xh при поле, равном нулю, что дает для полной компоненты деформации типа х при постоянном смещении выражение
хЛ=- s^Xt = - Xt(& - У £ . (268)
j т
Отсюда 3 3
^^djhd^'jm. (269)
j т
Аналогичное выражение для cfik находим, исходя из заданной деформации xk:
Chk=Chk-JT 4^ £ Yiejhetnk^"jm'-> (270)
j. m
в этом случае 6" представляет собой диэлектрическую непроницаемость зажатого кристалла.
Если кристалл не имеет поперечных диэлектрических постоянных, то все 6у7п обращаются в нуль, за исключением тех, для которых j — т, тогда как и в аналогичном случае для восприимчивостей (§106), Qmm= , так ЧТО
3 3
Shk = Shk ~ 4тгУ dmgdmk ? Chk = Chk ~J~ 4'кХ^П^Л . т т т т
(271)
Окончательно, если единственная компонента смещения имеет направление т, находим:
S»___ ^^mh^tnk . rD Е । 4Kemhemk < 971 _ л
° hk— Shk---р---- , Chk— Chk н-------L"--• (2 /1 a J
к т * т
§ 207. Упругие коэфициенты при постоянном нормальном смещении. Последние являются эффективными постоянными в случае резонатора, 17 Кэди
258
Глав 9 ХП
колеблющегося цо толщине при бесконечном зазоре. Из § 199 следует, что по мере приближения зазора к бесконечности нормальная к пластинке компонента смещения, которую назовем D*, приближается к нулю во всех тачках кристалла (тонкий брусок или пластинка) и в каждое мгновение периода. D* в кристалле обращается в нуль по той причине, что пьезоэлектрическая поляризация, производимая деформацией, образует поляризационные заряды, от которых все силовые линии идут внутрь кристалла, производя деполяризующее поле такой величины, чтобы обратить в нуль нормальное смещение как внутри, так и снаружи кристалла. Какова бы ни была деформация, не существует «свободного» поляризационного заряда (как это имеет место при зазоре оо ) отсылающего силовые линии к электродам. По этой причине Мэзон [340, 637] пользуется значком Q для обозначения упругих коэфициентов при «постоянном заряде» и бесконечном зазоре. Мы будем, по примеру Лоусона [313], писать sik и сЬ для упругих констант при бесконечном зазоре, соответствующих постоянным (обычно! равным нулю) D*. Значение с h, как и эффективного коэфициента е при колебаниях по толщине, рассматривается в § 248 и 253.
Чтобы получить с , мы находим полное выражение Xh, соответствующее данной деформации xk. Полагая направление толщины равным т, мы. имеем дело только с компонентой поляризации Р т= е mkxk. Р т, вызывает деполяризующее поле Е'т = — 4itPmjk,rm = — 4-nemk Xplk"m. а Е' т производит компоненту напряжения X' h = —emh Е'т= — 4r:emkemhxk/k"т. Коэфициент k"m есть диэлектрическая постоянная в зажатом состоянии (см. § 204). X'h стремится уменьшить xk; поэтому, чтобы сохранить xk постоянным, мы должны писать:
'_____ГЕ у ___ ^петкетк у
h chkXk лъ— ChkXM
где
с* =сЕ 4
Lhk bhk Г
^emkemh k" K m
(272)
Следует заметить, что если h =4 k и если emk и ehk имеют противоположные знаки, то Chk численно меньше, чем cfk.
Когда h = k, находим:
,* ГЕ I hh hh Т а// к т
(272а)
О применении этого уравнения к колебаниям по толщине см. § 250.
Тем же способом в случае коэфициента s (относительно k' см. т § 204), находим:
е* __ СЕ Ttkdtnh i 07Q"\
hk—Shk
Когда /г — это выражение принимает вид
(273а1
Уравнения (273) и (273а) идентичны (298а) и (298), когда в последних зазор w становится бесконечным. Коэфициенты elk и sik идентичны Chk и в специальном случае, когда пьезоэлектрическая поляри
Вторичные пьезоэлектрические эффекты•...............259
зация параллельна толщине и поперечных констант не существует. Это положение можно проверить, принимая, что m <в уравнениях (207) и (269) имеет единственное значение, причем / = tn.
При применении предыдущих уравнений к косым брускам или пластинкам все символы физических величин следует преобразовать. Например, уравнение (272) принимает вид с'ЛЛ= £'h/i+4тсе'2тй/(/г<,Я1), где, как и в самом общем случае колебаний по толщине, h может обозначать направление под косым углом относительно преобразованных осей, а ш обозначает направление, перпендикулярное пластинке. Это приводит к сложному выражению для действующих e'mh [см. уравнение (244)].. К счастью, в случае большинства обычно применяемых косых срезов h лежит в плоскости пластинки под прямым углом к т, так что можно воспользоваться непосредственно уравнениями преобразования пьезоэлектрической константы, приведенными в гл. VIII и IX.
Важно рассмотреть, представляют ли упругие коэфициенты при по-, стоянном нормальном смещении могущую быть преобразованной тензорную систему. Например, можно задать вопрос, правильно ли при вращений среза У сегнетовой соли вокруг оси X писать, согласно (40),
£бб= ^66 cos2 0 + £55 sin2 О . (274)
I
Ответ положителен, . если £'*>, с*в • и £*s берутся при постоянном смещении относительно поля, составляющего тот же самый угол 6 с осью У. Это условие потребовало бы специальных выражений для сед и £55, и эти выражения менялись бы в зависимости от 6 . Величинам’ £бб и £55 нельзя приписать никаких постоянных значений, не зависящих от 6, таких, чтобы эти выражения можно было использовать в уравнениях для преобразованных осей. То же самое справедливо othoi-сительно всех других коэфициентов сих, включающих пьезоэлектрический член.
Из всего вышеизложенного очевидно, что невозможно вывести группу однозначных упругих констант Chh из наблюдений колебаний по толщине срезов различных ориентаций, возбуждаемых с помощью удаленных электродов (как в опытах с сегнетовой солью Мэзона, описанных в § 77), если только не вводятся надлежащие пьезоэлектрические поправки. Даже и в этом случае каждая величина clh зависела бы от того, является ли направление поля m в уравнении (272а) параллельным X, У или Z. Наблюдениями с широким зазором можно пользоваться для определения коэфициентов при постоянном поле одним из методов, описанных в § 252. Для редукции таких наблюдений вполне пригодны формулы настоящей главы.
§ 208. Упругие коэфициенты при постоянной поляризации. Вывод совершенно одинаков с выводом § 206, причем пользуются Рт вместо Dm и выражением Ej = ^' JmP' т из уравнения (143). В результате получаем:
S^=S«- £ f dJmdmk%„- (275)
/ tn
3 3
Chk Chk ^ £ £ ejmemkX. jm* (276)
/ m
260
Глава XII
В соответствии с уравнениями (271а) для единственного направления / — т, имеем:
(277) Ч т
гр __ rE | emhemk / 970 х
Chk—Chk~\--TJf---• (2/8)
4 m
Если h = k, эти уравнения приводятся к виду
Qp QE d2mk . rP rE \ C^rnk Г97СН
$kk—Skk / > Chk—Chk\~~tf~' • (2/ У J
7i m 4 m
Коэфициенты при постоянной поляризации, выраженные через коэфициенты при постоянной нормальной поляризации. Из уравнений (272), (273), (277) и (278), получаем:
Р Emh^mk , r Р _ । emhemk /О ОГИ
Shk—$hk — р— г-, Chk — Chk -j- ~p • (28U)
к tn 4 m K m
Два члена справа в таких уравнениях, как (273) и (277), соответствуют стрелкам Х-^х и Х^Р-^Е х на фиг. 46. Последний путь обозначает процесс пьезоэлектрической реакции, упомянутый в конце § 202. Существует очевидная аналогия между влиянием пьезоэлектрических реакций на коэфициенты s в уравнении (273) или (277) и их влиянием на диэлектрическую восприимчивость, выражаемым уравнением (262). В обоих случаях имеется член, появляющийся вследствие комбинированного действия прямого и обратного пьезоэлектрических эффектов. Влияние деполяризующего поля на упругие коэфициенты аналогично влиянию механической преграды на диэлектрические постоянные. В первом случае кристалл становится более жестким механически, во втором случае — более жестким электрически.
Кристалл, имеющий большое значение k, является электрически мягким; точно так же большое значение s означает механическую мягкость. • - -
§ 209. Важный особый случай. Если деформация принадлежит к типу L или S фиг. 15, так что h = k, и если пьезоэлектрический класс таков, что в уравнении (191а) Сохраняется только один член, при l = h, то dmh^dmk=emhSh’i, а из уравнения (191) emh = dmhChh. Отсюда = \/Shh и урарнение (271) приводится к виду
D „Е Shh— Shh
Поэтому из уравнения (265), находим:
О Е
Shh __ C^h
~~Ё~
Shh Chh
km
Tm (281)
При тех же условиях, пользуясь уравнениями (277) и (262), получаем:
Shh _ Chh ._ (282)
Е „Р 1 ’ Shh Chh T]m
Вторичные пьезоэлектрические эффекты 261
-Л------А4-. (284 а)
4~Vv kx! r'k'
§ 210. Соотношения между упругими коэфициентами согласно поляризационной теории. Все приведенные выше уравнения можно написать согласно поляризационной теории, применяя те же самые рассуждения к уравнениям, данным в § 192. Здесь следует привести только следующее выражение:
3 3
4s=s«(l V . (283)
ttz J
Отсюда можно вывести уравнения (521) и (521а), специализированные для сегнетовой соли.
§ 211. Специальные случаи сегнетовой соли и кварца. В следующих главах нам придется иметь дело со срезами X сегнетовой соли под действием напряжения Y7 производящего деформацию уг =— s44Y? . Поэтому интересно сравнить значения з41 s44, s44 и этого кристалла. Подобное же сравнение мы сделаем для Зц кварца О.
Для сегнетовой соли из уравнений (271) и (279), находим:
s£ = $£ — 4nd2i4 ‘ „р — sдл — • (284)
44 44 ’ о 44 44 '
Что эти два значения являются практически идентичными, можно видеть, написав:
$£= 4^
Для всех температур эта разность имеет порядок 0,03 • 10—12, как можно проверить по фиг. 143 и 144. Так как з44 порядка 10—п, то очевидно, что s&4 отличается отз44 не больше, чем приблизительно на 0,35%, величину слишком малую, чтобы ее можно было заметить экспериментально. Именно это и оправдывает принятие нами равенства c44=l/s4>4 в § 79, величины, выведенной из наблюдений изолированного кристалла. С другой стороны, разность з^— s44(~s44—s44 ) <>чень велика, что можно видеть, подставляя значения из фиг. 143 и 144 в уравнение (279) или (283). В случае сегнетовой соли уравнение (283) приводится к выражению $44—844 (I + а;4 &14 т\'х^’ Наименьшее значение s44 при 47,5°С в 1,35 раза больше s44 и (при малых напряжениях) приближается к бесконечности в точках Кюри.
Соотношение между Гц и с44 для сегнетовой соли согласно поляризационной теории имеет следующий вид:
2 "
----(285)
гдег]'\ и k"x—значения для зажатого кристалла. Подобным же образом
C55 = f55 (^25^ А)
Ск=сж -
Пьезоэлектрический эффект в кварце так мал, что з^ и sn совпадают между собой с точностью около 1%. Таким образом, согласно (2Т1а), Зц приблизительно на 1,03% меньше, чем на 0,87% больше, чем cfv q другой стороны,
вследствие низкой диэлектрической постоянной кварца разностью sfi —sn по сравнению с пренебречь нельзя, как это,можно делать в случае сегнетовой соли.
0 В рассматриваемых здесь случаях значения при постоянном смещении одинаковы со значениями при постоянном нормальном смещении согласно § 207.
262 Глава XII
Другими словами, со степенью точности, возможной для кварца, коэфициент .$ при постоянной поляризации нельзя рассматривать практически идентичным коэфициенту при постоянном смещении (изолированный кристалл). Однако практическое значение этого обстоятельства невелико, потому что уравнения поляризационной теории обычно к кварцу не применяются.
Пренебрегая влиянием ребер, можно сказать, согласно § 199, что коэфициент sf4 в случае среза X сегнетовой соли наблюдается при зазоре w, разном нулю, тогда как S44 наблюдается в случае изолированной пластинки (щ = °о). То, что коэфици-р D - „ ,
ент S44 практически одинаков с s44 является следствием большой величины kx, вызывающей практически почти полную деполяризацию при w — <х>. Насколько эта деполяризация приближается к полной, можно видеть из уравнения (294), согласно которому чистая поляризация в изолированной напряженной пластинке представляет только 1/&'Лполного значения, достигаемого при w = 0.
§ 212. Примеры пьезоэлектрических реакций. Рассмотрим теперь имеющие место в некоторых специальных случаях вторичные эффекты. Как и раньше, мы будем иметь дело с плоской пластинкой Относительно большой площади. Если электроды параллельны пластинке, то поле перпендикулярно к ней, т. е. паралельно толщине е, которая принята нами проходящей в направлении т. Поляризация вообще не является параллельной е, отчасти потому, что материал анизотропен и имеет диэлектрические поперечные константы J, см, уравнение (141)], а отчасти потому, что любое механическое напряжение вызывает пьезоэлектрическую поляризацию с компонентами, перпендикулярными е. В первом приближении мы рассматриваем площадь пластинки как бесконечную, так что> боковыми компонентами поляризации можно пренебрегать. Повсюду в настоящем вопросе нам придется рассматривать единственную компоненту Рт.
Внутри пластинки поле равно Ет; снаружи, где среда имеет диэлектрическую постоянную kQ— 1, поле равно Е°т. Тогда, если о— поверхностная плотность каких-либо истинных зарядов (т. е. других, чем поляризационные заряды), которые могут быть на поверхностях, а Рт — поляризация пластинки, включая поляризацию как пьезоэлектрического происхождения, так и вызываемую Ет, то можно написать общее уравнение:
Ет = Е«„-^Рт-4^. (286)
Знак а принимается равным знаку на грани, обращенной к положительному направлению оси т. Свободные заряды могут находиться на металлических электродах, соприкасающихся с пластинкой, или же могут представлять собой компенсирующие заряды, появляющиеся вследствие поверхностной или пространственной утечки.
Если мы теперь наложим напряжение Xk, когда кристалл все еще может свободно деформироваться в поле, то можно подставить значение Рт из уравнения (263), что дает:
Ет = Е°т — 4к ( Г1тЕт ~ dmkXk ) - 4ка =
= . (287)
к т
В этой главе все упругие константы, если не сделано оговорки, берутся при постоянном поле.
§ 213. Случай I. Пластинка толщины е в контакте с электродами находится под действием напряжения Xk и разности потенциалов.
Вторичные пьезоэлектрические эффекты 263
V = eEm. В уравнении (287) поле Е& вне электродов не влияет на условия между ними, вследствие чего плотность заряда на электродах имеет видг):
+ (288)
Деформация равна:
(289)
Поляризация остается той же, что и в уравнении (263). Деформацию^ вызываемую напряжением Xk, можно привести к нулю, действуя полем:
Е
F = Skk у m ^mk k'
Это поле обратно пропорционально постоянной пьезоэлектрической деформации, тогда как, по уравнению (263), поле, необходимое для приведения поляризации к нулю, прямо пропорционально этой константе.
Если внешнего напряжения нет, то кристалл механически свободен и ведет себя как диэлектрик, у которого
- k' mEm р г р
6 И т( m Pm .
Для зажатой пластинки поляризация, согласно уравнениям (264) и (266), равна:
6
Pm = Ет = Ет(Ут- У em,dp. (291)
i
Если Ет =0 (замкнутые накоротко электроды), то при напряжении Х^мы имеем просто, на основании уравнений (263), (288) и (289), О = dmiXk, Рт= — dmkXk и xk = — s£k Xk . Это специальный случай, в котором основное уравнение пьезоэлектрической поляризации справедливо без преобразования* 2).
§ 214. Случай II. Подобен случаю I, только электроды отделены промежутком е -f- w, причем полный зазор равен w (последний может находиться по обе стороны кристалла). Как и раньше, оба боковых измерения принимаются большими по сравнению с толщиной. В уравнении (287) свободный заряд о = 0, а Е ти Е°п зависят частично от V и частично от зарядов поверхностной поляризации, вызываемых деформацией xk или напряжением Xk. Величину e-\-k'mw, которую, как и' в -§ 110, можно рассматривать как электрическое расстояние между электродами, мы обозначим символом е'.
Трактовка задачи может быть слегка различной в зависимости от того, действует ли на кристалл единственное напряжение Xk , как в случае I, или единственная деформация xk. Как мы увидим в § 244> задание напряжения лучше подходит для решения задачи о продольных колебаниях бруска, тогда как при колебаниях пластинки по
’) «Физика кристаллов», стр. 918, уравнение (298).
2) «Физика кристаллов», стр., 919.
264
Глава XII
толщине благодаря присутствию боковых преград приходится рассматривать только одну деформацию.
а) На продолговатую пластинку или брусок действует единственное растягивающее напряжение, причем относительно малое измерение—толщина—ориентировано в направлении ш. Единственной деформацией, которую приходится рассматривать, является деформация растяжения в направлении длины бруска. Электрическое поле направлено по т. Например, в случае кварцевого бруска среза X, имеющего длину, параллельную оси У, значок k = 2, Xk = Xу, xk — уу и электрическое поле параллельно X, так что т— 1.
Мы ищем выражение для действующего упругого коэфициента s кристалла в зазоре. На основании уравнений (163) и (164а) полное поле в кристалле, включая приращения, вызываемые V и X k , равно:
р ___ У _4~w(/3OT)_। 4-wd^X^ оно
23rn е' е’ е' ' е ’ (292)
где(Рт) =— dmkXk. Подставляя это значение Етв уравнение (287) и полагая а == 0, находим для поля в зазоре:
р о /иУ । 4тс£(7->/ге^ k тУ 4~e(im^Xi?
тп е' “Г е' е' ег • (2УЗ)
Второй член в правой части уравнения (292) представляет собой деполяризующее поле. По мере увеличения w деполяризующее поле становится все больше, приближаясь к значению, данному ниже для w-^ca, как к пределу.
Когда w 0, уравнения (292) и (293). оба приводятся к уравнению (286). В кристалле поле равно просто V/e, тогда как в (бесконечно малом) зазоре оно равно k'V/e — 4^dmkXk.
Когда w —> оо, причем V остается конечным, Ет-+ 4 ^dmk Xk /k'm и Е % -> 0. Это случай напряженного уединенного кристалла. Легко доказать, что принцип непрерывности смещения удовлетворяется, причем смещение приближается к нулю как внутри, так и вне кристалла. Однако поляризация в этом случае не приближается к нулю. Ее значение при бесконечном зазоре равно
= + (294> к т
или только 1/k'т значения при w —0 и V = 0, как показано в конце рассмотрения случая I. Аналогия с влиянием магнитной деполяризации на магнитный листок очевидна.
В уравнениях (288) и (289) «Физики кристаллов» Фогт рассматривает 'случай кристалла, помещенного во внешнее поле Е^ постоянной напряженности Е^. Его результаты, представленные уравнениями (295) и (296) при соответствующем изменении значков и при предположении, что диэлектрическая постоянная окружающей среды равна единице, можно вывести из уравнений (292) — (294). Кристаллическую пластинку можно рассматривать как находящуюся в очень широком зазор'е, причем V достаточно велико, чтобы давать произвольное Е°т. Тогда легко показать, что:
р _________^-иттг I
hr Т hr к т к т
1295)'
О «Физика кристаллов», стр. 917, уравнение (291).
Вторичные пьезоэлектрические эффекты
265
Р.=^'^М .
(296)
Мы видим, что при постоянном Xk кристалл ведет себя в отношении изменения Е°т, как обычный диэлектрик с диэлектрической постоянной k'm.
Возвращаемся к случаю конечного w. Полная компонента деформации xk частично вызывается двумя составляющими поля в уравнении (292). С помощью уравнения (184) находим:
x . (297)
« £ 1 Q КК К V J
Если, как обычно бывает, V не зависит от xk, можно действующий коэфициент s кристалла с зазором w под напряжения Xk в виде:
написать действием
(298)
дхъ
4W = — = SE
Akk oXk bkk
e'
Подобным же образом можно вывести более общее уравнение:
„w ___ _ ^xh сЕ ______
dhk — ,dXk ~ ™ е'
(298а)
Когда зазор бесконечен, последние два уравнения становятся тождественными уравнениям! (273) и (273а), так как единственное деполяризующее поле параллельно толщине бруска.
Эти уравнения показывают, насколько коэфициент s отходит от значения при постоянном поле при наличии зазора. Например, есл!1 w = 0 или если кристалл не им^ет коэфициента dmk, то skk = skk • По мере увеличения зазора, если dmk ф 0 , коэфициент s падает, и в случае резонатора собственная частота возрастает. При бесконечном возрастании зазора приближается к значению, выражаемому уравнением (273а). Это условие можно с хорошим приближением осуществить, когда w еще имеет порядок величины е. Аналогичные уравнения можно вывести и для других коэфициентов s. Когда w = 0, случай II сводится к случаю I.
§ 215. б) Тонкая бесконечно протяженная пластинка толщины е в направлении m подвергается единственной деформации растяжения хт. Этот случай встречается в теории колебаний пластинок по толщине (§ 243). Здесь мы рассмотрим только статический случай, .когда хт однородно по всей пластинке. Как и в случае а) пластинка лежит между параллельными электродами с зазором w. На электроды действует разность потенциалов V, вызывающая приращение поля в кристалле в направлении т. Величина последнего равна
Е = --т еи
где
e" = e + k"mw .
(299)
Здесь употребляется диэлектрическая постоянная km для зажатого состояния в согласии с § 104, потому что деформация задана заранее. Как и в уравнении (292), здесь также существует деполяризующее поле в кристалле, вызываемое деформацией хт, имеющей
266
Глава XII
величину — 4тw(Pm )/е", где теперь (Рт)=етт хт . Отсюда полное поле в кристалле равно
р V 4м)(Рт) V 4izwemmxm
т е" е" е" е"
Напряжение требующееся для получения заданной деформации х,п при заданном - V, представляет собой сумму двух составляющих, одна из которых вызывается Ет , тогда как другая производит деформацию хт при поле, равном нулю:
ЛЛ г- Е етт V Z A~W(Pmm , Е \
^тт^т ^ттХт р Стт^Хт • ( 300)
Действующий коэфициент с кристалла бесконечной площади толщиной е при зазоре w под статическим давлением,, следовательно, равен:
Стт —Стт. Ч- • (301 )
Когда w=oo, это уравнение становится тождественным уравнению (272а) (полагая k = m), так как при w/ef = w/(ek"mw) стремится к 1/&"от.
§ 216. Случай Ш. Кристалл любой формы, полностью зажатый, под действием поля Ек . Налагается система внешних механических напряжений, таких, что каждая компонента напряжения Xk —— ehkEh нейтрализуется напряжением — Xk, приводящим деформацию к нулю. Это не приводит поляризацию к нулю, так как все еще продолжает существовать поляризация Рк — К\Ек- Во всех рассматриваемых классах кристаллов существует только компонента поляризации Рк при данном поле Eh , поскольку Ек параллельно одной из трех ортогональных кристаллографических осей. В общем случае компоненты Р выражаются уравнением (140) [см. также уравнение (154)].
§ 217. Случай IV. Уравнением (292) можно воспользоваться, чтобы вывести напряженность поля и получающуюся поляризацию в напряженном кристалле, имеющем прилегающие электроды, соединенные с внешней емкостью, как, например, с электрометром или отклоняющими пластинками осциллографа. Необходимо только положить V = 0 и заместить емкость зазора Cw = A/4^w (см. выше случай II) внешней емкостью С. Здесь А — площадь кристалла, а емкость кристалла равна Ce = k'h А/4 тс е. Из этих двух уравнений следует, что Ti){e'= Ce!kfh{CeCw} , откуда, согласно уравнению (292), имеем;
р __Се
k'h се+С •
Получающаяся в результате поляризация равна — dhkXk-j- ч]'кЕк> или
Л = - 1 - ?) (303)
\ Я Л ^е~т Ь /
При С = 0 уравнение (303) приводится к уравнению (294); при С =оо оно превращается в основное уравнение (с') табл. 22.
Вторичные пьезоэлектрические эффекты
267
§ 218. Случай V. Кристаллическая пластинка большой площади А с прилегающими электродами и постоянными зарядами на них + Q. Плотность заряда равна o=QM. Если пластинка зажата, то напряженность поля будет Е\ = — 4тга/^" (специальные значки здесь не нужны). При освобождении пластинки поле приводится к Е2 = = —4тса/^' = — 4 тс о/( 4 тс £ еб/) [см. уравнение (265)]. Можно
сказать, что уменьшение напряженности поля вызывается увеличением действующей диэлектрической постоянной. Было бы одинаково правильно считать, что оно вызывается индуцированным противоположным полем, пропорциональным деформации и имеющим величину Е' — (4тс<з/£") (4 тс £ ed/k'); это соотношение легко проверяется.
Предыдущие параграфы содержат много примеров пьезоэлектрической аналогии закону Ленца, который, как его обычно понимают, заключается в том, что индуцированный ток течет в таком направлении, чтобы противодействовать причине, его порождающей, причем величина противодействия зависит от сопротивления электрического контура. В случае пьезоэлектрического эффекта можно высказать следующее положение: пьезоэлектрически возбуждаемое поле имеет такое направление, чтобы противодействовать порождающему его напряжению, причем величина противодействия зависит от свободы кристалла от механических преград.
§ 219. Численные примеры. Теперь мы приведем численные значения вторичных эффектов, причем в качестве примера относительно слабого пьезоэлектрика возьмем кварц, а в качестве наиболее сильного пьезоэлектрика — сегнетову соль. В обоих случаях мы рассмотрим срез X, представляющий собой пластинку большой поверхности, причем электрическое поле и поляризация действуют в направлении X. Значения du, S44 и kx Для сегнетовой соли взяты из фиг. 143 и 144 при 5°С и являются типичными для малых электрических и упругих напряжений. Кривые для более значительных напряжений вблизи точки Кюри дал л бы гораздо более разительный 6
контраст с кварцем. Символ £ ed обозначает суммирование Е которое для
h
кварца равно 2ец^п + [уравнение 213)], тогда как в случае сегнетовой соли оно просто равно eudu-
Величина Кварц Сегнетова соль
d 4/и = 6,9-10-8 ^=10,4-10-е
е еп=5,2-104 г14=Лц=65-104
ЭЕ —1.30 0-1.2 se =4б- ю-12
2^ 11 0,0069 44 6,75
kX 4,5 190
ri'x 0,282 15
^х 0,276 8,2
kx 4,46 104
SD sD = ],29-10-i2~ 11 =0,992 sn । sD=8,8-10-i2r 544 =0,55 4
Таблица ясно показывает, как мало влияние пьезоэлектрического эффекта на диэлектрическую постоянную и коэфициенты s в случае кварца по сравнению с сегнетовой солью. Рассмотрйм, например, влияние зажатия на диэлектрическую постоянную. В кварце kx" приблизительно на 2% меньше k'x, тогда как у сегнетовой соли в этом случае kx составляет только около половины kx. Если бы поле в сегнетовой соли было таково, что приводило поляризацию к изгибу кривой Р(Е), то между точками Кюри knx представляло бы только малую долю k1 х.
268
Глава XII
§ 220. Пьезоэлектрическое действие на круговой упругий процесс. Для понима- ~ ния пьезоэлектрических реакций полезно рассмотреть расходуемую электрически энергию, когда кристалл проходит процесс напряжения и расслабления, хотя экспериментальные данные и отсутствуют. Здесь мы будем считать проблему скорее статической, чем колебательной, и предположим для определенности, что имеется срез гп с электродами, покрывающими его противоположные грани, причем эти электроды или изолированы, или соединены через сопротивление R. Энергией, теряющейся вследствие внешнего механического трения, можно пренебречь. Действует однородное напряжение Xk, где k тождественно с т. Пьезоэлектрическая поляризация равна Рт=—•cfreifeA#.
Если электроды изолированы (R = эс) и нет внешнего поля, то деформация х k выражается уравнением (268):
Xk=~SkkXk> (304)
где, в силу уравнения (271),
____ ~е___^dmk (304а) bkk dkk ь' • кт
Для поля, вызываемого поляризацией Рт, имеем:
Ет =------(3°4б)
Именно' это деполяризующее поле и вызывает появление второго члена в уравнении (304а).
Когда электроды соединены через сопротивление, то, если это сопротивление не слишком велико, деполяризующее поле Е исчезнет через короткое время после наложения Xk Тогда мы имеем случай, представленный уравнением (289) при У=0: xk = ~SkkXk' (304в)
/Для простоты мы опустим теперь значки k и h и напишем s' — $'£>, s0==s £• х* — hs'X, xn=—s(yX, E=4nbX'k и s'=s0—4кВ2,/г. ki kk
Когда действует напряжение X, то при изолированных электродах (/? =оо) за- ' трачиваемая энергия имеет в;ид:
1 1 1 / 4тгй2 \
Wt — —~x'X = Ь s'X'-=--\ X2 , (304r)
а при замкнутых накоротко электродах (/?=0),
W^-^x.X^Xs.X2, (304д)
Во всех процессах не происходит потери энергии. В случае W; как упругая, так и электрическая энергия накапливается в напряженной пластинке и отдается обратно при удалении X. В случае 1У0 ток течет без затраты энергии, так как R = 0 и электроды все время имеют тот же самый потенциал.
Эти два процесса иллюстрируются фиг. 47, где для ясности отношение х0/х' сильно преувеличено. Линии ОА и ОВ соответствуют уравнениям (304г) и (304д), энергии численно равны площадям треугольников ОАХ и ОВХ. Для электростатической энергии, когда R—<x, из (304 б), находим:
ЬЕ2 W-X*
W- Г- = е к
(304е)
Так как это последнее тождественно со вторым членом правой части уравнения (304г), то энергия, накапливающаяся электрически при R = оо, равна избытку У'о над Wi. Этот избыток представлен площадью треугольника ОВА.
После того как при наложении напряжения достигнута точка А, в то время как R — ©о, если при этом электроды присоединены через конечное сопротивление R, то дополнительная работа при переходе из А в В зависит от R. Если R = 0 и контур безиндуктивен, то заряд и последующая релаксация пластинки мгновенны, так что напряжение сразу падает до нуля (точка х' на фиг. 47). Если снова приложить напряжение так, чтобы его связь с дополнительной деформацией хо = х' была бы линейной, то получается линия х'В, и совершаемая дополнительная работа равна
Вторичные пьезоэлектрические эффекты
269
площади треугольника х'ВА. Но последняя равняется площади ОВА, которая, как доказано, представляет энергию We. Таким образом, в этом, и только в этом, специальном случае полная совершаемая работа такова же, как если бы кристалл был
замкнут накоротко с самого начала.
При любом последующее увеличение работы необходимо для компенсации потерь j \2Rdt в контуре. По мере возрастания R потери увеличиваются от нуля
до некоторого крайнего значения, которое достигается при скорости релаксации такой медленной, что полное напряжение X действует во время всего увеличения деформации от х' до х0. Тогда дополнительная работа равна — (хо—л') X, а это в силу уравнений (303)—(304) как раз вдвое больше We и представляется прямоугольником х'х^ВА,
Следующим естественным шагом, вытекающим из этих соображений, является построение идеального цикла работы, представленного параллелограмом ОАВС на фиг. 47. Вдоль ОА прилагается механическое напряжение при R= оо; вдоль АВ электроды соединены через высокое сопротивление; вдоль ВС снова R >— оо , но без напряжения; и, наконец, присоединяется сопротивление, позволяющее кристаллу вернуться вдоль СО к прежнему напряженному состоянию. Полная потеря энергии равна 2We площади параллелограма. Аналогия с циклом Карно, равно как и существенная разница, достаточно очевидны.
Подобным же образом можно построить петлю гистерезиса в случае, когда на кристалл, имеющий электроды, присоединенные через постоянное сопротивление, действует переменное напряжение.
Аналогичная задача о потерях энергии при наложе-
R настолько большом и
Фиг. 47. Связь между напряжением и деформацией для пьезоэлектрического кристалла.
нии электрического напряжения путем присоединения
электродов к батарее напрашивается сама собой. Механически зажатое и свободное состояния соответствуют, согласно § 199, изолированному и короткозамкнутому состояниям в предыдущем изложении. Можно построить циклы, подобные описанным, причем координатами будут поляризация и напряженность поля. Убыль энергии
объясняется частично диэлектрическими потерями, а частично внутренним трением в кристалле и во внешней системе, производящей зажатие. Примеры этого рода даны в гл. XXII и XXIII.
Для иллюстраций теоремы Липпмана Пойнтинг и Томсон О рассматривают пьезоэлектрический цикл вида, до некоторой степени аналогичного фиг. 47.
О См. [644], стр. 157,
ГЛАВА XIII
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР
§ 221. Введение. В самом общем смысле пьезоэлектрический резонатор, или пьезорезонатор, представляет собой упругое твердое тело, состоящее, по крайней мере частично, из пьезоэлектрического кристаллического материала, способного приходить в состояние резонансных колебаний под действием переменного электрического поля надлежащей частоты. В простейшем случае — это часть кристалла, обычно имеющая заданные размеры, форму и ориентацию, но можно заставить резонировать даже грубый обломок кристалла или весь кристалл полностью. Когда одна или несколько частей пьезоэлектрического кристалла прикрепляются к непьезоэлектрическому материалу, например, к металлическому бруску или пластинке, обычно с целью получить резонанс при относительно низкой частоте, получается составной резонатор. Поле налагается посредством электродов, расположенных таким образом, чтобы направление поля возбуждало желаемую форму колебаний. Во всех типах резонаторов электроды могут или отделяться от кристалла зазорами, или прилегать к нему непосредственно.
Электрическое поле возбуждает резонатор посредством обратного пьезоэлектрического эффекта. При колебании кристалла периодическая деформация вызывает периодические пьезоэлектрические заряды на электродах посредством прямого эффекта, дающего обратное действие на возбуждающий контур. Именно эта реакция, присутствующая только в колеблющемся резонаторе, и делает устройство особенно полезным.
Совместное действие прямого и обратного эффектов аналогично электромотору, приводимому в движение электрическим током, который при работе развивает обратную электродвижущую силу, воздействующую на контур, приводящий его в движение. Особенно близка аналогия с синхронным мотором, так как в нем, как и в случае кристалла, приходится рассматривать как величину, так и фазу реакции. Аналогия не выдерживается в том отношении, что кристалл, в отличие от синхронного мотора, может возбуждаться в заметной степени только при определенной «особой» частоте или вблизи нее Соотношение фаз в случае синхронного мотора зависит от нагрузки. В случае пьезорезонатора нагрузка обычно включает только потери в самом резонаторе. Рассматриваемый в качестве мотора резонатор работает вхолостую. Фазовый угол между реакцией резонатора и приложенной электродвижущей силой определяется разностью -между возбуждающей частотой и собственной частотой резонатора; при данной частоте он зависит также от потерь.
*) В большинстве случаев при изменении возбуждающей частоты резонанс наступает при большом числе отдельных частот, связанных с различными возможными формами колебаний, которые могут возбуждаться полем данного направления. Частоту, соответствующую каждой из этих • форм, можно рассматривать в качестве «.особой частоты».
Пьезоэлектрический резонатор 271
Пьезорезонатор можно также представить как колеблющийся конденсатор. При очень низких частотах, включая нуль, он ведет' себя как чистая емкость, по крайней мере в случае большинства практически применяющихся кристаллов, так как в них при низких частотах диэлектрическими потерями можно пренебрегать. Разумеется, даже- и в низкочастотном поле существуют некоторые пьезоэлектрические деформации, но они незначительны по сравнению с деформацией вблизи резонанса. Можно сказать, что резонатор, подобно всем другим колеблющимся системам, находится в состоянии вынужденных колебаний при всех частотах возбуждающей силы. По мере увеличения налагаемой частоты до значения, соответствующего самой низкой форме колебаний резонатора, амплитуда деформации возрастает, проходит через максимум при некоторой частоте, а затем падает. При дальнейшем увеличении частоты проходится весь спектр максимумов различных амплитуд, соответствующих различным формам колебаний и их обертонам, до значений частот, во много раз превышающих частоту первого максимума.
Механические колебания вблизи резонансной частоты зависят от инерции, упругого коэфициента и затухания колеблющегося кристалла. Подобным же образом его электрическая реакция на любой электрический контур, к которому он присоединен, одинакова с реакцией некоторой «эквивалентной схемы», содержащей самоиндукцию, емкость и сопротивление, соответствующие механической инерции, коэфициенту s и сопротивлению трения кристалла и пропорциональные им.
С технической точки зрения пьезоэлектрический резонатор является электромеханическим! преобразователем
§ 222. Полезность пьезорезонатора для многих практических применений объясняется его крайне острым резонансом, а также тем счастливым обстоятельством, что кристаллы удобных размеров можно заставить резонировать при частотах во всем диапазоне от 50 до 3 • 108 периодов в секунду, что составляет диапазон свыше 20 октав. Наблюдались и еще более высокие частоты, но они, повидимому, еще не находят практического применения.
К этим преимуществам следует добавить, что. кварцевые кристаллы являются пьезоэлектрическим материалом, соединяющим в себе почти идеальные упругие качества с большой механической прочностью и выносливостью. Пользуясь некоторыми косыми срезами, можно изготовить кварцевые резонаторы почти для любой частоты, причем последняя практически не зависит от температуры в очень широком температурном интервале.
Чаще всего пользуются резонаторами в виде прямоугольных параллелепипедов, причем электрическое поле действует в направлении толщины. Если срез является сравнительно длинным и узким, его называют бруском или стержнем и используют главным Образом для относительно низкочастотных продольных колебаний по длине. При данных кристалла и его ориентации основная частота ' обратно пропорциональна длине. Пластинками, имеющими большую по сравнению с толщиной длину и ширину, пользуются двумя способами. Первый из них зависит от того, что некоторые срезы можно заставить колебаться
О Рассмотрение пьезоэлектрического преобразователя как резонирующего, так и нерезонирующего, дано в работе [637].
272
Глава XIII
по толщине, причем резонансная частота обратно пропорциональна толщине; такие резонаторы используются в более высоком диапазоне частот. В прямоугольных пластинках, имеющих ширину, сравнимую с длиной, можно возбуждать колебания сдвига, причем сдвиг происходит в плоскости пластинки (контурные колебания). Частота колебаний —• того же порядка величины, как и частота бруска, имеющего длину, сравнимую с длиной или шириной пластинки. Температурный коэфициент частоты практически равен нулю в широком интервале температур в тех случаях, когда кварцевые пластинки с колебаниями этого типа ориентированы надлежащим образом.
§ 223. До сих пор мы говорили только о пьезорезонаторе, не упоминая пьезогенераторов или пьезостабилизаторов. Вообще всякое пьезоэлектрическое устройство, имеющее собственную частоту колебаний при не слишком сильном затухании, является резонатором, когда приводится электрически в колебательное состояние вблизи этой частоты. Это положение правильно и в тех случаях, когда кристалл регулирует частоту, как в пьезогенераторном контуре. В более ограниченном смысле его иногда называют «резонатором», когда он не выполняет других функций, кроме резонирования. Это условие выполняется, когда он связан с возбуждающим контуром так слабо, что его реакцией на этот контур можно пренебречь. Такие контуры применяются при изучении свойств кристалла и до некоторой степени при измерениях частоты.
Термин пьезогенератор применяется собственно к усиливающему контуру, который сам по себе не способен колебаться вследствие слишком низкой регенерации или неблагоприятного фазового угла, но который колеблется при присоединении к нему пьезорезонатора, причем частота определяется одной из форм колебаний резонатора. Про такой контур говорят, что он является кристаллически регулируемым.
Иногда пьезорезонатор присоединяют к контуру, который способен колебаться сам по себе, с целью стабилизовать его частоту в более узких пределах. Тогда контур называют пьезоэлектрически стабилизированным или кристаллически стабилизованным, а резонатор работает в качестве кристаллического стабилизатора.
Настоящая глава посвящена теории пьезорезонаторов, представляющих собой бруски, колеблющиеся по длине, и пластинки, колеблющиеся по толщине. Она включает рассмотрение изменений диэлектрических постоянных пьезоэлектрического кристалла в зависимости от частоты. В заключение сообщается о влиянии пьезоэлектрических колебаний на диффракцию рентгеновских лучей.
Другие свойства резонатора, включая свойства при возбуждении в них иных форм колебаний, будут рассмотрены в следующих главах вместе с приложением теории к особым кристаллам и некоторыми экспериментальными данными.
§ 224. Замечания к истории пьезорезонатора. П. Ланжевен был первым исследователем, предложившим важное применение пьезоэлектричества. В своих исследованиях кварцево-металлического элемента, описываемых в § 506, он обнаружил резонирующие свойства уже в 1917 г. А. М. Никол|ьсон в ноябре 1919 г. описал опыты с резонансом кристаллов сегнетовой соли, в том числе наблюдения эффективных, соединенных последовательно емкостей в некотором диапазоне частот и минимума тока при резонансной частоте. В работах Ланжевена и Никольсона ничего не говорится о том, что реакция кристалла на контур делает возможным применение кри-
Пьезоэлектрический резонатор.273 сталла, колеблющегося на резонансной частоте в качестве эталона частоты, осциллятора постоянной частоты или фильтра.
Автор наблюдал минимум емкости, а также реакцию пластинки сегнетовой соли на возбуждающий контур в августе 1918 г. и экспериментировал со своим первым кварцевым резонатором в январе 1919 г. В последующие месяцы он исследовал свойства и возможные применения пьезорезонатора, а также методы монтировки кристаллических пластинок. Первый доклад об устройстве был прочитан в американском Физическом обществе 26 февраля 1921 г. В этом докладе упоминалось об использовании резонатора в качестве эталона частоты, фильтра и элемента связи между контурами. На собрании 23 апреля 1921 г. был впервые описан пьезоэлектрический стабилизатор контуров, генерирующих высокую частоту, а 28 декабря 1921 г. появилась первая статья о пьезогенераторе, в котором были использованы продольные колебания кварцевого бруска.
Различные этапы, упомянутые выше, описаны в следующих патентах:
(А) П. Лан^кевен, французский патент 505703, представлен 17 сентября 1918 Г., издан 5 августа 1920 г.; также британский патент 145691 от 28 июля 1921 г.
(Б) П. Ланжевен, патент США 2248870, представлен 21 июня 1920 г., издан 8 июля 1941 г.
(В) А. М. Никольсон, патент США 1495429, представлен 10 апреля 1918 г, издан 27 мая 1924 г.
(Г) А. М. Никольсон, патент США 2212845, частично представлен 13 апреля 1923 г., основан на предыдущем, издан 27 августа 1940 г.
(Д) У. Г. Кэди, патент США 1450246, предс'гавлен 27 января 1920 г., издан 3 апреля 1923 г.
(Е) У. Г. Кэди, патент США 1472583, представлен 28 мая 1921 г., издан 30 октября 19|23 г.
Патент (А) является первоначальным патентом Ланжевена об использовании колеблющегося кварцевого биморфного элемента для сигнализации под водой. В нем Ланжевен упоминает о настройке возбуждающего контура на собственную частоту кварцево-стального преобразователя, но ничего не говорит о реакции или регулирующих свойствах последнего. Первый патент Никольсона (В) относится главным образом к акустическим применениям сегнетовой соли. Одно из таких применений патента, представленное на его фиг. 11, являлось использованием кристалла сегнетовой соли, присоединенного к колебательному контуру, для модулирования несущей волны. Не утверждалось, что контур колеблется в резонанс с кристаллом. Ничего не было сказано об использовании кристалла в качестве резонатора О.
Патент (Д) является первоначальным патентом пьезоэлектрического резонатора, в котором упоминается применение резонатора в качестве эталона частоты, элемента связи и фильтра, а также содержится объяснение различных эффектов. В патенте (Е), последовавшем вскоре за этим, описываются различные пьезогенераторные контуры. Вскоре после появления патента (Д) Никольсон представил частичное добавление, основанное на фиг. 11 в патенте (В); в добавлении доказывалось, что фиг. 11 содержит в себе принцип цьезорезонатора, генератора, связующего звена и фильтра. В результате появился патент (Г). Когда патент (Б) о «пьезоэлектрическом сигнальном приборе» был издан, он содержал утверждения об использовании кварцевого кристалла в качестве элемента, регулирующего частоту. Последовало судебное разбирательство, и решение в пользу Никольсона по патенту (Б), а также и по патентам (Д) и (Е).
§ 225. Обозначение величин, относящихся к переменному току. Мы приводим несколько общепринятых определений и символов, имеющих отношение к настоящей и последующим главам.
*) Недавно Никольсон сообщил автору, что в сентябре 1917 г. он обнаружил, что контур, представленный на его фиг. 11, должен колебаться при частоте, определяемой собственной частотой колебаний кристалла сегнетовой соли. К крайнему сожалению, это свидетельство не было опубликовано. Но, имея его в виду, можно сказать, что Никольсон, повидимому, является первым, построившим кристаллически контролируемый генератор, если только контур Ланжевена не был до некоторой степени кристаллически контролируемым. Такие открытия были совершенно неизвестны автору при его собственных, описанных выше исследованиях.
18 Кэди
274
Глава XIII
Рассмотрим сопротивление R, самоиндукцию L и емкость С при последовательном соединении и переменной электродвижущей силе
V — VQ qos tot, где со = 2тс/.
Реактивное сопротивление X=toL—.
Полное сопротивление (импеданс) Z=(/?2 + (toL—~
Вектор полного сопротивления Активная проводимость Z = /?+yX .(305)
Реактивная проводимость о ^1*
Полная проводимость Вектор полной проводимости Амплитуда тока Y=- z X = g — jb (см. ниже). I — — V у уо — % v °1 *
Электродвижущую силу обычно пишут в экспоненциальной форме, как V — . Вектор тока имеет вид:
V i<»t
I —= VY = Voc7 (g-Jb). (305а)
Действительная часть этого выражения представляет мгновенное значение тока I:
1= V0Fcos {tot — ?) (tg?=^ = ^ • (3056)
Максимальное значение или амплитуда тока есть /о = VoY.
Когда вектор электродвижущей силы выражается в форме V = обычно рассматривает векторную диаграмму с вращением против часовой стрелки и в качестве мгновенного значения V берут действительную часть V: V — К0созшЛ Иногда электродвижущая сила задается в виде V=Voe_-,w. В этом случае вектор вращается по часовой стрелке, но действительная часть остается такой же, как и в случае Vo e+J'wt. Однако ясно, что, когда приходится брать производные по времени, противоположное направление вращения требует, чтобы X, b и ср брались со знаками, противоположными случаю Уо £+yW • Это обстоятельство не всегда достаточно поясняется в работах по переменному току.
Данное положение можно иллюстрировать простым примером. Если контур представляет собой только емкость С, включенную последовательно с электродвижущей силой V = Vo е J“>t, тогда при мгновенном заряде Q
I=dQdt= CdV[dt= —jvCV.
В .случае же V = Vo мы должны были бы писать 1= + j <^СУ. Это расхождение устраняется тем, что в первом случае пишут b — -(-шС. >
§ 226. Теория пьезорезонатора. Точная теория кристаллического резонатора любой формы и ориентации, колеблющегося любым образом, потребовала бы учета всех граничных условий, величины и
Пьезоэлектрический резонатор 75
положения электродов, потерь, вызываемых диэлектриком и монтировкой, нелинейных эффектов, связи между различными формами колебаний, неоднородности электрического поля и, когда электроды отделены от кристалла зазором, влияния зазора, включая возможные резонансные эффекты в самом воздухе. Хотя до сих пор и не было сделано попыток создать такую общую теорию, многие частные задачи, включающие большую часть этих соображений, разрабатывались многими авторами. Ниже мы рассмотрим некоторые из этих специальных случаев.
На практике самыми обычными типами пьезорезонаторов являются брусок, испытывающий продольные колебания по длине, и пластинка, в которой волны распространяются перпендикулярно главным поверхностям, хотя направление колебаний может иметь любую ориентацию. Другие типы относятся к колебаниям изгиба, кручения и к упомянутым выше контурным колебаниям.
Принципиально всегда возможно выразить амплитуду колебания любой частоты через действующее возбуждающее напряжение, физические константы материала и размеры образца. Соответствующей электрической задачей является вычисление эквивалентных электрических констант вблизи резонансной частоты. Как в случае спектроскопии интересуются и частотами и интенсивностью спектральных линий, так и изучение резонатора требует рассмотрения как резонансных частот, так и амплитуд колебаний (или тока). Обычно резонансные частоты лишь в очень малой степени зависят от затухания. С другой стороны, множитель затухания приходится вводить в выражения для таких величин, как острота резонанса или форма резонансной кривой, от которых зависит качество резонатора.
В настоящей главе принимается, что все соотношения между напряжением и деформацией (как электрическими, так и механическими) линейны. Рассмотрение нелинейных эффектов было выполнено только для сегнетовой соли и приводится в гл. XXIII и XXIV.
Мы ограничимся теорией колебаний брусков по длине и колебаний пластинок по толщине. Хотя эти два типа резонаторов имеют много общего, они настолько значительно отличаются друг от друга в деталях, что их лучше рассматривать отдельно. Теории резонаторов с использованием колебаний изгиба и кручения можно было бы развить с позиций, аналогичных теории бруска.
Во всех случаях принимается, что резонатор имеет форму параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат, причем поле параллельно одной из этих осей. Если оси координат являются кристаллографическими осями, то упругие и пьезоэлектрические коэфициенты, с которыми приходится иметь дело, даются непосредственно таблицами в §29 и 131. В случае! косых срезов все параметры должны соответствовать применяющимся особым осям; их можно рассчитать с помощью уравнений преобразования, приведенных в гл. IV, VI и VIII.
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БРУСКОВ ПО ДЛИНЕ
§ 227. Длина бруска I располагается в направлении п, а напряжение и деформация сжатия соответственно обозначаются через Хп и хп. Как и при рассмотрении колебаний по длине в гл. V, за начало координат мы. принимаем центр бруска и обозначаем расстояние от начала вдоль оси бруска через х. Поперечное сечение бруска прямоугольно, и размеры его малы по сравнению с I. Электрическое поле Е действует 18*
276
Глава XIII
в направлении I, перпендикулярном двум боковым граням 1}. Принимается, что электроды покрывают всю поверхность бруска, перпендикулярную оси I, хотя они и могут отделяться от*нее полным зазором w. Ширина и толщина бруска обозначаются через b и е. Мы принимаем, что b < I и что отношение b/е достаточно велико, чтобы возбуждающее поле было достаточно однородным. Для возбуждения необходимо существование такой пьезоэлектрической константы din, чтобы имело место xn = dinEi.
§ 228. Возбуждающее напряжение при колебаниях по длине. Эта величина определяется как такое переменное механическое напряжение [обозначаемое через (Xn)d], которое действует равномерно во всем бруске и возбуждает те самые колебания типа хп, какие возникают в случае переменного поля EL. Напряжение (Xn)d тогда занимает место напряжения X в § 57 и следующих за ним, а вместо модуля Юнга У пользуются символом q' = 1/s ™ ; последняя величина представляет собой действующее значение модуля Юнга при наличии полного зазора между кристаллом и электродами w, как это выражается ниже в уравнении (330).
Et вызывает, вообще говоря, шесть компонент пьезоэлектрического напряжения:
yVi вц Eit...,X^ Et .
Посредством упругой связи каждая из них влияет на (Xa)d. Таким образом, Xh стремится вызвать компоненту деформации SnhXh, а сумма всех шести компонент деформации равна хп = — 2 s„h-Xh = — s^n (Xn~]d. Мы разыскиваем значение действующего коэфициента пьезоэлектрического напряжения е, выражаемого уравнением (Х^д ——s Ег Имеем:
6 6
= Sni.Xi=-^ls^eil, = -eEi. (306)
Snn h $пп h
Отсюда
6
• <307)
Snn h
Если резонатор зажат лишь частично (см. § 372) или если его размеры таковы, что некоторые из шести напряжений не могут действовать в силу инерции, то некоторые члены в суммировании отсутствуют. В тонком бруске, колеблющемся по длине, присутствуют все шесть членов (хотя для большинства применяемых на практике кристаллов некоторые из коэфициентов eih обращаются в нуль). Из уравнения (191а), следует, что при поле, параллельном I,
(308)
Snn
’) При некоторых условиях можно возбуждать колебания по длине, помещая электроды так, чтобы они давали поле, параллельное длине бруска. В этом случае поле направлено распространению волн и теория усложняется вследствие присутствия пространственного заряда. Как будет видно из § 349, кварцевые резонаторы этого типа были описаны Гибе и Шейбе.
Пьезоэлектрический резонатор 277
Мы будем пользоваться этим выражением во всей теории бруска. Его значение не зависит от зазора.
В качестве иллюстрации применения формулы (Xn)d можно взять кварцевый резонатор в виде среза X, длина которого параллельна У представляющий собой самый ранний и все еще широко применяемый тип. Для него при w = 0 е = d^Sm = — ^ц/«п и возбуждающее напряжение (Yy) d = — е Ех = — dnExjsn .
Во всех случаях приходится рассматривать только компоненту поляризации, параллельную полю. Из § ПО видно, что разность потенциалов V, приложенная к электродам, вызывает поле напряженностью Ei = Vlefr—VI{e-\~klew) (kt поясняется в следующем ;разде-ле). Отсюда на основании уравнения (306), полагая V =Й0 е}ш(, имеем:
. (309)
§ 229. Диэлектрическая постоянная при колебаниях по длине. При очень низких частотах диэлектрическая постоянная имеет значение k' для свободного кристалла. Самой низкой по частоте нормальной формой колебаний, не считая колебаний изгиба и кручения, является основная форма колебаний по длине. По мере приближения к частоте этой формы колебаний продольная деформация вызываемая колебательным состоянием, начинает становиться заметной, причем превышает во много раз статическую деформацию хЕ~ dinEi, которую стремится вызвать мгновенная EL. Так как нормальные формы колебаний, соответствующие всем компонентам деформации, за исключением хп, имеют частоты, высокие по сравнению с основной частотой колебаний по Длине, все такие компоненты деформации практически пропорциональны величине Et и находятся с ней в фазе. Следовательно, относительно этих компонент кристалл является свободным, и все они влияют на значение диэлектрической постоянной. С другой стороны, при возрастании частоты статическая деформация хЕ постепенно переходит в колебательную деформацию хп, которая описывается отдельным уравнением. Отсюда поляризацию е хЕ следует вычитать из поляризации, характерной для свободного кристалла, когда пишут выражение для действующей диэлектрической постоянной. Поэтому для поляризации, вызываемой Eit мы имеем:
РЕ = Ъ/Е, - = т1'Е1 - = = , (310)
\ Snn'
где действующая восприимчивость равна '<]i = din . Отсюда действующая диэлектрическая постоянная будет иметь вид
К = 1 + 4irvj/ = = kf
SE &пп
(311)
В кварцевом резонаторе, представляющем собой срез X, kt приблизительно на 1 % меньше, чем k'х . В случае бруска сегнетовой соли
О Это уравнение Для кварцевого бруска, представляющего собой срез X, впервые выведено Вигуре [567]. Подобными же выражениями пользовались Мюллер [378] и Мэзон [340, 637].
278
Глава XIII
45-градусного среза X величина kt равна приблизительно только половине k'x .
Значение kb выражаемое уравнением (311), употребляется повсюду в теории продольных колебаний, за исключением выражения для коэфициента упругости q', как объясняется в § 235. Символ kt обозначает диэлектрическую постоянную, определяющую возбуждающее поле при колебаниях по длине, когда к электродам прилагается разность потенциалов V. «Электрическое расстояние» (§ ИО), выраженное через k., имеет вид:
er'= е k{w . (312)
§ 230. Поляризация и ток в резонаторе. Мгновенная пьезоэлектрическая поляризация на любом расстоянии х от центра и при любой частоте может быть выведена из общего выражения деформации хп (х) в той же самой точке. Направление X, являющееся направлением длины бруска, может иметь любую ориентацию относительно кристаллографических осей. В случае рассматриваемых здесь продольных колебаний по длине хп обозначает деформацию сжатия в направлении длины.
Чтобы найти достаточно общее выражение для хп, мы должны вернуться к § 57, где механическое смещение £ при любом х выражается уравнением (68). С помощью уравнений (71) и (73) мы нахо-дим (подставляя q' вместо q в качестве коэфициента упругости):
. г v'i __ d£(.v) ___
~~ dx ~ q’
ch Iх. ch (7//2)
(313)
где I — длина бруска, qf выражается уравнением (330), a
(Xn}d = {Xn\^‘
— мгновенное возбуждающее напряжение, игравшее выше роль X. При частоте, равной нулю, (X d превращается в статическое напряжение, причем статическая деформация приблизительно равна— (Xn)dlqf Уравнение (313) показывает, что действительная деформация в Любой точке колеблющегося кристалла равна этой статической деформации, помноженной на ch7X/ch(Y//2). Этот множитель показывает1, во сколько раз амплитуда колебаний больше статического удлинения.
С помощью следующих ниже уравнений можно доказать, что при той же возбуждающей силе отношение статической и резонансной амплитуды механического смещения равно 8/4тг, где 8 = а//—логарифмический декремент за один период. То же отношение имеет силу для деформации в центре и для тока.
Максимальное колебательное напряжение, выраженное через максимальное смещение ?о(//2) на конце бруска, равно — тс1/2) .
Пьезоэлектрическая поляризация 0 в любой точке равна PL (х) = = гхя(х). Она вызывает пьезоэлектрическое смещение Dp, которое при наличии зазора равно соответствующему полю [_Ew)p в зазоре и выражается уравнением (164а):
D/%) = (£!„)p(x) = 4nP,.(%)7y.
(3141
1 Вообще говоря, поляризация имеет компоненты, перпендикулярные толщине е, но они не действуют на ток.
Пьезоэлектрический резонатор
279
Полное смещение D(x) при любом х равно сумме Dp(x) и приращения, вызываемого возбуждающим полем Д, а именно, kt V/e'r согласно (1636). Плотность тока при любом х равна dD/4"dt, а полный ток I представляет (собой интеграл этого выражения, взятый ’ по ширине b и длине I бруска, на основании уравнений (309), (313) и (314) находим’:
г/2
т = J<»bV0 м Г Л , 47t£2g ch ух A d i VI 4itg'r J \ 1 ’ q'e'r ch (yl/V) J 0 \ 4ке''r "7
—Z/2
+ 4^th-^-Y (315)
1 g'^'r2 2 J v 7
Это уравнение справедливо при всех частотах колебаний вплоть до частот, при которых связи между обертонными колебаниями по длине и колебаниями в боковых направлениях начинают вызывать осложнения, и при любом затухании, для которого уравнение (74) в § 57 сохраняет свою силу.
Если w — Q (прилегающие электроды), то при f-> 0
7—>а/с, и в силу уравнения (311) kt—>k\ , значению для свободно-
го кристалла.
Величина, заключенная в скобки в уравнении (315), умноженная на /<в , представляет собой полную электрическую проводимость. Первый член является емкостным, а второй представляет собой колебательное приращение, отличающееся по фазе от V. Мы воспользуемся этим при выводе постоянных эквивалентной электрической схемы.
Кривая, связывающая I с частотой, обнаруживает серию максимумов, подобных максимумам на фиг. 20- Относительные высоты последовательных максимумов зависят от природы затухания. Из соотношений между F, а и 3 в уравнении (67) можно показать, что отношение максимума при основной частоте f0 (для которой h — 1) к максимуму при любой гармонической частоте fh = hf0 равняется А2, если F не зависит от частоты; это отношение равно h, если^ не зависит от частоты; ток имеет одно и то же значение при всех гармонических частотах, когда а не зависит от частоты.
О зависимости затухания от частоты известно мало. Обычно вязкость кристалла маскируется потерями, вызываемыми монтировкой, а последние в зависимости от типа монтировки могут изменяться более или менее случайным образом. В целом можно вполне ожидать, что максимумы тока будут уменьшаться с заметной скоростью при увеличении порядка гармоник.
Пользуясь системой h пар коротких электродов, присоединенных надлежащим образом и распределенных равномерно по длине бруска, можно усилить ток, с соответствующей обертону h (см. § 239).
§ 231. Уравнению (315) можно придать удобную приближенную форму: 1) когда можно пренебрегать затуханием; 2) вблизи резонансной частоты.
280
Глава ХШ
1) Когда пренебрегают затуханием, уравнение (74) приводится к виду '[—j^lc—j'^fllfQ, где с — скорость волны, а /0— основная частота при максимальной скорости частицы и максимальном пьезотоке (§ 234). Так как теперь th (у Z/2) = th (/<» Z/2c) =/tg( 7г//2/0), то из уравнения (315) находим:
kl r.f\
1-----<— + 77777% J С 316)
Этим выражением можно пользоваться при всех частотах колебаний, за исключением случая, когда оно обращается в бесконечность, т. е. при f, равном нечетному кратному /0. Частоту при резонансе токов, которую мы обозначим через fp, находим полагая I = 0 и решая уравнение относительно f. Уравнение (398) представляет собой более удобную формулу.для fp, выраженную через эквивалентные электрические константы.
2) Беря приблизительные значения частот вблизи резонанса, обозначим порядок гармоники через h(h = \, 2, 3,...), как в § 58. Основную частоту будем все же обозначать через/о =
= a>o/2ir. Если ширина b бруска не превышает Z/4, где I — длина, то можно предположить, что истинное гармоническое отношение обертонов является приближением первого порядка. Поправка для частот обертонов приведена в § 65. Согласно уравнению (64), постоянная затухания равна — h2a в случае, когда коэфициент трения F в уравнении (61) считается постоянным. Если F изменяется в зависимости от частоты, что вполне возможно, то ah находится экспериментально. ;
Вместо множителя 7 в знаменателе уравнения (315) с достаточным приближением можно писать /2/0/. Вблизи резонанса где nh < <ой , имеем = сол0 — [уравнение (81)]. После очевидных упрощений находим, что
7/ а/г+7(—
th-^4/0---------г1---------^—h------ (317)
2 •/о [Ц-(-1)^]8/02 + [а2^-(-1)^2л]
При четных целых h, это выражение становится чрезвычайно малым, и ток приближается к току, текущему через обыкновенный неколеблю-щийся конденсатор. Другими словами, когда употребляются электроды полной длины, как и предполагается в данном случае, реакция резонатора исчезающе мала по соседству с четными гармониками. О возбуждении четных гармоник короткими электродами см. § 238.
В непосредственно следующем далее изложении мы будем иметь в виду только нечетные гармоники. Когда h близко к нечетному целому чйслу, уравнение (317) принимает вид:
th ^ — 4/ -h+-jnh
U1 2 ~ Vo а2 , 2 • h ^nh
Подставляя последнее выражение в уравнение (315), получаем уравнение для тока:
f a.h+jnh'\
1 е’г V 4к ' T&q'№e’r
Пьезоэлектрический резонатор
281
Перегруппировывая члены и полагая приближенно Vh ~ = Л2(°2о= liWq'ipP ,
находим:
1= Г0е7<ол^ 4s"be
_______ ah । nh
I ~2 i *-2 • J % । 2
?ler \ ah + nh ah + nh
=
~J A4*Z
= V^\g'-jb'-jb") == Voe>^y;, (319)
где g' = №bea.hl?le'? (а2Л + п2Л) , b' = — №benhl?le'? (а2Л + п2л)
b" = — ahklbl[A:'Ke'r.
§ 232. Эквивалентные электрические константы. В уравнении (319), У1 представляет собой электрический вектор полной проводимости, первая компонента которого равна активной проводимости g', тогда как Ь’ и Ь" являются слагаемыми реактивной проводимости V. Так как Ь' и g' содержат величины nh и аЛ , то они должны возникать при колебаниях, тогда как Ь" является параллельной реактивной проводимостью, независимой от колебательного .состояния.
Полное электрическое сопротивление, соответствующее колебательным членам, равно:
где, как легко проверить,
; */ = ^4- (320)
Отрицательный знак вытекает из определения nh — h<oQ — <»h и указывает, что на высокочастотной стороне резонанса, где nh отрицательно, реактивное сопротивление X'h положительно.
Так как близка к /г со о, то реактивное сопротивление X'h , которое должно иметь вид ®hL'h — \/<»hC'h , можно с достаточной точностью представить в виде X'h = — 2L'h nh . Это выражение сразу же приводит к эквивалентной самоиндукции L'h:
= (321)
« ti&be v '
L'h не зависит от значений h совершенно так же, как эквивалентная масса М в § 63.
Значение эквивалентной емкости С'Л, последовательной L'h, определяется из соотношения <о2Л0 L'h C'h = 1 :
h~ i^q'e^h2
(322)
Емкость C'i является параллельной цепи последовательных R'hL'hC'h и выражается последним членом уравнения (319):
, _ kibl
1 4тсе'г
(323
О Символ для реактивной проводимости не следует смешивать с Ь, обозначающим ширину бруска.
282
Г л.а в а XIII
Все предыдущие электрические величины выражаются в абсолютных электростатических единицах.
Чтобы избежать путаницы, мы пользуемся символами q', R'h, L'h и C'h для эквивалентных констант при гармонике h и при наличии зазора, как на фиг. 48. Когда зазор равен нулю, то значки опускаются. Основания пользования значками станут более ясными при рассмотрении двух альтернативных схем, представленных на фиг. 54.
При отсутствии зазора выражения электрических констант принимают вид
а. 4&b Ь’ — . 8е2&’
Ch = 7Г2<7о(?Й2’ С1 = _ kfll 4т.е ’
(324)
где теперь q$ представляет собой коэфициент упругости при нулевом зазоре, имеющий значение l/sEn . Зависимость четырех параметров от зазора w выражается множителем е'г е 4- ktw, а в случае C'h — множителем q'.
Особо следует заметить, что С h уменьшается при возрастании зазора и при бесконечном зазоре приближается к нулю, тогда как L' h приближается к бесконечности. Увеличение частоты при изменении зазора от нуля до бесконечности объясняется поведением коэфициента механической упругости в выражении для C'h, который возрастает от 7о при w = 0 до q' = q*, когда w=<x>. В случае кварца это увеличение мало, в случае же сегнетовой соли (§ 377) оно очень велико.
Из предыдущих уравнений и уравнения (67) видно, что постоянную затухания можно выразить следующими различными путями:
R'h
4 ~~ 2А4
— fhK
J fl fl
— 5^
“ Qh •
Если коэфициент трения F в § 56 был бы постоянным, то Qh и представляли бы константы материала резонатора. Зависимость Qh от частоты,- а поэтому и от размеров резонатора рассматривается в § 296.
Большинство, если не все типы пьезорезонаторов, колеблющихся вблизи своих собственных частот, можно представить электрически посредством последовательной цепи RLC (или R'L'C'), параллельной постоянной емкости. Схема показана на фиг. 48, а поведение резонатора, представленное с помощью круговой диаграммы,, рассматривается в гл. XIV. .
§ 233. Электромеханическое отношение. В § 62 были даны выражения для суммарных механических констант бруска: Wh — ^lbenh] Gh — K%Ybeh.2/2l; Mh = pble/2. Как было указано ранее, в настоящем рассмотрении модуль Юнга У обозначается через q. Сравнение этих величин с выражениями-для R'riC'h и L'hK уравнениях (320), (321) и (322) показывает, что они связаны следующим образом:
= R’h = rWh ; ; L'„ = rMh, (325)
где
г — == (£±2^21 (3261
- ' — 4е2&2^2 ’
Пьезоэлектрический резонатор
283
Фиг. 48- Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора по соседству с гармоникой й.
представляет собой электромеханическое отношение a Zc — полное сопротивление движению. При зазоре, равном нулю,< это отношение равно просто 1/(4е262). Для Любого ./типа пьезорезонаторов, как и в случае любого преобразователя вообще, существует соответствующее отношение, в!ыражающее взаимоотношение двух форм энергии.' Выражение для г в случае колебаний по толщине дано в § 255.
Из предыдущих уравнений ясно, что коэфициент качества Q можно выразить или отношением <»Mh./Wh или отношением ^L'h:R'h.
Электромеханическое отношение может служить мерой активности кристалла в качестве резонатора (о его связи с емкостным отношением Ci/C см. в § 280). Например, амплитуда пьезотока Ih на
фиг. 48 пропорциональна коэфициенту 4г26е/р/е'2г в уравнении (319), а этот коэфициент, согласно уравнению (326), равен i/r'plbe = \/г'М, где М. — эквивалентная масса, определение которой дано выше.
§ 234. Электрическая схема, эквивалентная по своему действию кристаллическому бруску с зазором, колеблющемуся по длине вблизи гармоники h, представлена на фиг. 48. Так как все электрические величины являются функциями свойств бруска и не зависят от частоты, эта схема полностью заменяет кристалл в любом контуре при условии, что частота остается достаточно близкой к fM. При частоте fhO’nh~Q> а реактивное сопротивление X'h=<s>ML'h —- тоже обращается в
нуль. При этой частоте ток имеет максимальное значение. Альтернативная схема, имеющая цепь RhLhChClt соединенную последовательно с емкостью зазора С2, поясняется в гл. XIV.
Две компоненты тока I, представленные двумя членами в правой части уравнения (318), нафиг. 48изображаются токами Л и 1р Компонента 1Р является пьезотоком ветви L'hRrhC'h, пропорциональным и находящимся в фазе с колебательной скоростью. Для частот, близких к основной резонансной частоте, это легко видеть, сравнивая уравнения (319) и (87). С этой целью колебательную часть уравнения (319) удобно представить в виде уравнения:
Г s j А Л
, -2^=^ COS (,
р г2/а2л+п2Л
(327)
где
tg = (—
Скорость на конце стержня выражается уравнением (87), которое при подстановке вместо Х0,(Хп)а —— tVje'r из уравнения (309) при-
нимает вид:
2еУ0
р/е f у a2h n2h
cos(w^ — 6Л)
(328)
, *) В работе 1107] автор пользовался для этого отношения символом г' при наличии зазора между электродами и кристаллом и символом г при нулевом зазоре. Проще пользоваться символом г для всех значений зазора, включая и нуль.
284
Глава XIII
Скорость находится в фазе с Iр и, за исключением очень низких частот, она почти в фазе с полным током I.
Отношение значений I и г?(//2) получается из уравнений (326) — (328) :
1р ___2efeg _ / j
^(//2) ~ ' (329)
Следует подчеркнуть, что схема, представленная на фиг. 48, имеет силу только при условии, что резонатор может считаться имеющим одну степень свободы. Она теряет, силу, когда частота приближается к нулю.
§ 235. Влияние зазора на упругий модуль при колебаниях по длине. Уравнение (298) представляет собой формулу для действующего коэфициента $ при деформации сжатия в направлении k, применимую к бруску, находящемуся между замкнутыми накоротко электродами, отделенными от бруска полным зазором w. Приводя значки в согласие с обозначениями предыдущих параграфов, придаем этому уравнению следующую форму
s™n = sEnn , (330)
е Q где е' = е k'w.
Уравнение (330) дает значение q', пригодное для применения во всех уравнениях колебаний по длине, когда имеется зазор, за исключением случая металлизованного кристалла с зазором, который разбирается в § 286.
Согласно уравнению (330), коэфициент s при нулевом зазоре является чисто упругим модулем sEn. Это положение совпадает с пьезоэлектрической теорией Фогта, утверждающей, что пьезоэлектрические реакции обращаются в нуль, если деформация не оказывает влияния на поле. Что это не является единственной логической точкой зрения, уже было показано в гл. XI, где приведены доводы в пользу рассмотрения «чисто» упругих коэфициентов сегнетовой соли, как коэфициентов, наблюдаемых при бесконечном зазоре. Кроме того, теория колебаний по толщине во всех кристаллах указывает, что имеется больше оснований рассматривать свободным от пьезоэлектрической реакции (§ 251) упругий коэфициент при бесконечном зазоре, чем коэфициент при зазоре, равном нулю. Поэтому стоит представить себе, какую форму принимает уравнение (330), когда поправка на зазор оценивается при w = оо вместо случая w = 0.
При бесконечном зазоре Snn принимает значение при постоянном нормальном смещении, выражаемое уравнением (273а):
О В уравнении (330) надлежащая диэлектрическая постоянная не является ki как повсюду в теории продольных колебаний [см. разбор уравнения (312)], но имеет значение k' для свободного кристалла. Причину этого можно понять из вывода уравнения (298), согласно которому поле, вызывающее появление пьезоэлектрического члена, находится в фазе с мгновенным напряжением и пропорционально ему. По отношению к этому полю кристалл ведет себя как свободный, точно так же как в случае низкочастотного поля, прилагаемого извне.
Пьезоэлектрический резонатор
285
Отсюда и из уравнения (330) находим:
— с* I 4Kd‘2in 4nd^inW __ | 4тг^//ге
пп <пп Г £' е пп -f-- £, •
(331а)
Таким образом, когда Snn берется как чисто упругий коэфициент s, то значение при зазоре w больше, чем $, на 4тга?2Л e/k'e'. При w — 0 коэфициент s О имеет, как и раньше, значение, равное просто s„n .
С помощью уравнения (311) можно найти связь между s„n , snn и диэлектрическими константами k' свободного кристалла и бруска при продольных колебаниях:
S/Ш _ k’
~
Ъпп
Это выражение аналогично уравнениям (281), (282) и (521 б).
§ 236. Так как s^n и s*n обратно пропорциональны квадратам резонансных частот, соответствующих fl при зазоре, равном нулю, и А при бесконечном зазоре, то из уравнения (331) можно вывести следующее уравнение, которым мы ниже воспользуемся как этапом расчета частоты бруска сегнетовой соли при бесконечном зазоре:
J °° 1 • Snn Ч ____ k kl ____ 4ttd-/n Z АЛЛ .
7? ~ ~ = = • (,j33}
J 0 ^nn * Ъпп
Уравнение (333) имеет существенное отношение к частоте fp при антирезонансе, когда зазор равен нулю. Эта частота является высшей из двух частот, при которых реактивное сопротивление обращается в нуль. Когда R мало, ток падает почти до нуля. Поэтому, полагая в уравнении (325) 7 = 0, мы достаточно близко подходим к условиям антирезонанса. При w = 0 мы имеем е'г—е и q' — Цо= l/s^, , что с помощью уравнения (308) дает:
Ур ^fp __ = _ М» (334)
2/„LLK 2/„ kt - A,sf ’
где I обозначает направление поля, а п, направление, перпендикулярное I, обозначает направление длины бруска.
Из уравнений (333) и (334) получаем окончательно:
ctg^ = 1 - . (335)
§ 237. Влияние зазора на частоту колебаний по длине. Как и раньше, fh — резонансная частота (максимальная скорость частицы и максимальный пьезоток) при гармонике h. В случае зазоров w и 0 имеем: '
( yrw )2 =. /" го \2 ________----
4/?psw , (Ao) 4/2pS£ >
i) Для сравнения с действующим коэфициентном с пластинки см. §251.
286
Глава XIII
где s® выражается уравнением (330). Далее следует, что
1 1 ___16nZ-prf2z-rtw
Ш2 ~ (W~
(336)
Когда dt велико, как в сегнетовой соли, следует пользоваться этим строгим выражением без изменений. Оно играет важную роль в определении din . Обычно наблюдения делается сначала при зазоре, равном нулю, а затем при очень широком зазоре (w—>оо); в последнем случае:
1 1 16л/-р сГ[П
№Т2^Ш2--“^
(336а)
Для таких кристаллов, как кварц, f WM отличается от f°M только на несколько десятых процента. Тогда уравнение (336а) можно привести к более простой форме:
fhO —fhO = ^fhO 2^PinW _ JjW
fh0 ~ foh0~ sEne' *' , (3366)
где U = 2r:d2in/Snn является постоянной кристалла, a e' = e-\-k'w.
Следует заметить, что относительное изменение частоты в зависимости от зазора одинаково для гармоники h и для основной частоты (см. § 285).
Случай металлированного кристалла с зазором рассматривается в § 286.
§ 238. Применение коротких электродов при колебаниях по длине. Полноразмерные электроды желательны только при основной частоте, когда при данной переменной разности потенциалов нужно получить максимальную амплитуду колебаний или максимальную реакцию на электрический контур, или иногда при измерении физических констант резонатора, когда вожно, чтобы возбуждающее напряжение было однородно во всех частях кристалла.
При основной частоте укорочение электродов уменьшает реакцию кристалла. Однако при относительно малой потере в реакции можно
Фиг. 49. Возбуждение колебаний по длине короткими электродами.
Фиг. 50. Пьезоэлектрически возбуждаемый брусок, колеблющийся на гармонике h = 3.
значительно укорачивать электроды, когда они расположены симметрично. Это иллюстрируется фиг. 49, на которой концы Xi и х2 электродов длины I' находятся на равных расстояниях от центра. Кривая представляет собой синусоидальное распределение колебательного напряжения с максимумом в центре; вблизи резонанса и при малом затухании кривая падает на концах практически до нуля. Действующее пьезоэлектри
Пьезоэлектрический резонатор
287
ческое напряжение является наиболее эффективным в той части, где колебательное напряжение- имеет наибольшее значение. Если возбуждающее поле вблизи концов бруска отсутствует, амплитуда колебания испытывает только небольшое уменьшение.
Гармонические частоты. В § 58 мы узнали, что при однородном возбуждающем Напряжении по всей длине бруска, как в случае полноразмерных электродов, большие резонансные амплитуды получаются только при нечетном порядке h гармоники. На фиг. 50 кривая показывает распределение напряжения в .бруске при h — 3. Действующее между электродами поле имеет тенденцию возбуждать в трех сегментах АВ, ВС, CD колебания, находящиеся в фазе, а кривая показывает, что, поскольку сегменты являются частями непрерывного бруска, между прилегающими сегментами должна быть колебательная разность фаз, равная 180°. При непрерывных электродах такая разность фаз невозможна. В действительности все сегменты, за исключением одного, нейтрализуют друг друга, отчего получающееся в результате колебание по существу таково, как если бы электроды покрывали только один сегмент.
При четном h нейтрализация была бы полной. Например, можно было бы представить, что брусок существует только в промежутке от А до С, при h = 2 (см. фиг. 50). Тогда в каждом из двух сегментов возникали бы слабые вынужденные колебания, как объясняется в § 61, но пьезоэлектрическая реакция на возбуждающий контур обратилась бы в нуль (см. также § 63).
фиг. 51. Брусок должен
а _ В С D
Г ~ ~ ~
л’ В' С‘ D'
Фиг. 51. Брусок с электродами для возбуждения колебаний на четвертой гармонике.
§ 239. Однако при применении коротких электродов можно обеспечить интенсивные колебания с соответственно сильными электрическими реакциями при любом значении h, как четном, так и нечетном. Например, можно возбудить четвертую гармонику с помощью любой из четырех пар электродов, показанных на " ”
быть закреплен в одном или нескольких узлах движения. Можно пользоваться больше чем одной парой электродов, присоединенных соответственным образом последовательно или параллельно. При данном напряжении получается большая амплитуда, если AB'CD' присоединить к одной стороне линии, a A'BC'D — к другой. Как было указано выше, промежутки между соседними электродами, например, между А и В, вызывают только небольшущ потерю амплитуды. Реакция на электрический контур в четыре раза больше реакции одного короткого сегмента.
Резонаторы с любым числом пар электродов, подобные представленному на фиг. 51, можно изготовить путем серебрения или испарения однородного металлического слоя на противоположных сторонах бруска, растворяя затем металл на нужных участках, чтобы получить желаемое число пар отдельных электродов.
Устройство, подобное представленному на фиг. 51, разбирается Соколовым [473], Хельгансом [217] и Вилья!мсом [587].
Брусок с двумя парами электродов можно использовать в качестве связующего устройства между двумя контурами; в этом случае он работает в качестве фильтра, пропускающего очень узкую полосу частот (§ 500).
2^8
Глава XIII
Пользуясь одной парой коротких электродов на одном конце бруска, как, например, А А' на фиг. 51, можно возбудить основные колебания и большое число гармоник, как четных, так и нечетных. Это устройство было впервые описано автором в 1925 г. [97]. В том же самом году Гибе и Шейбе [163] описали употребление коротких электродов для возбуждения эффектов свечения, упомянутых в § 365- Так как интенсивность реакции на возбуждающий контур уменьшается с возрастанием h (при коротких электродах, расположенных вблизи одного конца бруска), было обнаружено, что реакция при всех h, включая единицу, имеет один и тот же порядок величины, пока длина I' электродов не слишком сильно превышает половину длины волны колебаний в бруске. Благодаря этому такое устройство удобно как эталон для большого числа частот, близких к гармоническим.
§ 240. Теория резонатора, колеблющегося по длине, при коротких электродах. Из (110) видно, что уменьшение длины электродов от полной длины / до (х2— — V (см. фиг. 21) уменьшает амплитуду
колебания основной частоты на множитель Si2) где
о 1 / . TZX-, .
э12 = тг Sin-7- —Sin ~
2 I I I
(337)
Очевидно, что jipn коротких электродах, близких к одному концу, основную частоту все же можно возбудить, хотя она и будет слабой. Легко доказать, что при заданном V величина S12 достигает максимального значения, когда Xi и х2 расположены на одинаковых расстояниях от центра, подтверждая тем самым положение § 238 относительно наиболее эффективного расположения электродов. При таком симметричном расположении электродов значки в> уравнении (337)
можно опустить и писать
о . т:Г
S=sin-2T .
(337а)
Дадим теперь выражения для тока и эквивалентных электрических констант при основной частоте резонатора, имеющего пару симметричных электродов любой длины, отделенных от кристаллического 'бруска полным зазором w. Вывод совершенно такой же, как и для уравнения (315), за исключением того, что: 1) множитель S следует применять к возбуждающему напряжению, 2) интегрирование, нужно производить от — /72 до 4~ /72. В результате имеем:
7 =
° 4пе г 1
4e2feS a -j- Jn ple'r2 а2 -|- п2
(338)
где вместо klt выражаемого уравнением (311), мы теперь имеем для действующей диэлектрической постоянной при коротких электродах и зазоре выражение
kv =ki' - f к-2 cos . (339)
Соответствующие эквивалентные электрические константы, выраженные в абсолютных электростатических единицах, находятся методом, изложенным в § 232:
Пьезоэлектрический резонатор
289
f ple'^a jf ple'2r . pt_______________________ 8z2lbeS2 _ ~,f_____ ki'bl’
R'= 4e2^S2 ’ 8e2teS2 ’ ~2q'e’r2 ’ 1 4~e.' r ’
(340)
где err = e -f- ke' w.
Эти значения согласуются co значениями, выведенными другим способом Старром [476], который, однако, пренебрегает потерями [а и R не учитываются) и рассматривает только случай, когда зазор w = 0. Старр дает формулы для определения надлежащего значения Г, когда нужно избежать возбуждения какой-либо гармоники.
Предыдущее выражение применимо к бруску длины I, колеблющемуся при любой гармонической частоте и имеющему h пар электродов, причем каждая пара имеет длину Можно показать, что в этом случае электрические констаИты для каждого сегмента будут:
П' ______________.
h 4e.2beh sin2 ’
р, 8s.2ble
G h tt2q'e'2h ’
8z2beh sin2 ’
„ = ki'bl\
4ner'
(340a)
При параллельном соединении h пар сегментов значения для всего резонатора имеют вид:
П'= ; i'=4 ; C' = hC'h ; С; = ЛС'. (341)
При зазоре w = 0 необходимо только писать ’ е вместо е' во всех предыдущих уравнениях и опускать штрихи у /?', И С' и С'\.
§ 241. Когда при электродах неполной длины требуется наивысшая точность вычислений, то следует учитывать, что в частях, покрытых электродам’и, упругий коэфициент с нескоЛько меньше, чем в непокрытых частях, как было указано в § 64.
Оптимальная длина электродов зависит от преследуемых целей. Полномерными электродами следует пользоваться для получения максимальной амплитуды колебаний при постоянном переменном напряжении и для оказания максимального воздействйя на пьезбгенератбрный контур при основной частоте. При измерениях; частоты бруска с бесконечным зазором можно приблизиться к идеальным условиям, пользуясь очень короткими электродами. Для возбуждения обертонов рекомендуются короткие электроды, как указано выше.
Остается важный класс случаев, разобранных в § 280, в котором желательно иметь отношение С : С\ насколько возможно большим. Мы теперь покажем, что в случае брусков можно добиться некоторого увеличения, применяя электроды, длина которых равна приблизительно % длины бруска. Из уравнения (340) при нулевом зазоре (е/ = е) и основной частоте (h = 1) находим:
_ _ 3‘2.е2/ JE: , г 349)
G nqok , Г '
где 32 является практически постоянным, a 5 выражается
уравнением (337а). Приравнивая производную д/dl' нулю, находим, что C/Ci имеет максимальное значение при tg к Г/21 = nl'll, откуда /7/^0,75. В этом случае S = 0,92, a C/Ci приблизительно на 20% меньше, чем при I' =1.
19 Кэди
290
Глава XIII
Если сделать Г еще короче, то отношение С/С\ начинает снова падать. С другой стороны, отношение L/C по мере уменьшения I' все возрастает !).
§ 242» Теория резонатора в формулировке Лауэ. Лауэ [309] в 1925 г. опубликовал детальный разбор задачи пьевоэлектрических колебаний по длине в кварцевом бруске среза X, длина которого параллельна Y. Однако этот разбор имеет те же самые ограничения, как и предлагаемая здесь теория, а именно: 1) брусок настолько тонок, что не приходится вносить поправок на конечное поперечное сечение, 2) нет связи с другими формами колебаний и 3) обертонные частоты являются гармониками основной частоты. Принимается, что электроды прилегают к кристаллу. Уравнение движения выводится из рассмотрения поведения величин потенциальной и кинетической энергии. В уравнении содержатся только потери, свойственные кварцу. Введены два коэфициента трения, а именно « как функция коэфициентов трения Фогта ’) и упругих и пьезоэлектрических констант и р как функция коэфициентов bh и упругих констант. Сравнение уравнения (16) Лауэ с уравнением (61) показывает, что фактор трения F в уравнении (61) идентичен отношению Лауэ. Мы не пытались выразить F через основные коэфициенты трения кварца, так как последние обычно играют только очень небольшую роль при определении действительного затухания.
Если бы можно было достаточно точно измерить резонансы в кварцевом бруске, смонтированном без трения в вакууме, то выражения Лауэ несомненно оказались бы полезными для определения коэфициентов трения в кристалле. Следует особенно отметить его уравнение (23) для амплитуды на концах бруска, (25)—для разности фаз между движением и возбуждающим полем и (26)—для пьезоэлектрической емкости.
При сравнении теории Лауэ (как делает сам Лауэ) с теорией автора (статья 1922 г. [93]) следует иметь в виду, что автор занимался тогда только эффектами первого порядка с целью дать приблизительную теорию для нового устройства. В той форме, в которой автор приводит формулы теории теперь, как это изложено' в § 227—231, выводятся уравнения, идентичные уравнениям (23), (25) и (26) Лауэ, ?.а исключением одного пункта: его уравнения (25) и (26) содержат отсутствующие в теории автора члены, зависящие от (.«—|—которые оказывают влияние на фазовый угол и пьезоэлектрическую емкость. Это выражение получено на основании предположения, что на колебания в известной мере оказывают влияние напряжения сдвига У?= — ецЕх . Jcm. уравнение Лауэ (12а)]. Последнее допущение основано на фундаментальной теории и является совершенно здравым. Однако этот член включает только потери в кристалле, которыми в обычных случаях можно совершенно пренебрегать. Допущение совершенной однородности в электрическом поле и пренебрежение поправкой на поперечное сечение, возможно, вводит ошибки, более значительные, чем ошибки вследствие пренебрежения этим выражением.
Метод Лауэ применялся Соколовым [473] при изучении возбуждения обертонных частот колебаний брусков по длине, Бехманом [39] в теории колебаний пластинок по толщине, а также другими авторами.
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК ПО ТОЛЩИНЕ
§ 243. Первое исследование колебаний по толщине в пьезоэлектрических пластинках было выполнено П. Ланжевеном, воспользовавшимся в 1915 г. кварцевыми пластинками среза X для возбуждения высокочастотных акустических волн (§ 506). Именно эта работа Ланжевена и побудила автора исследовать возможности применения пьезоэлектрических кристаллов в качестве резонаторов и осцилляторов.
Использование колебаний по толщине для контроля частоты было’ впервые описано Г. В. Пирсом [423] в 1923 г. Для этой цели он пользовался кварцевой пластинкой среза X. В случае этого среза возбуждаются колебания сжатия (§ 93), причем пластинка поочередно то утолщается, то утоньшается. Экспериментальное доказательство существо-
’) Дальнейшее рассмотрение отношения I'/l можно найти у Мэзона [335] и Старра [476].
2) «Физика кристаллов», стр. 792.
Пьезоэлектрический резонатор
291
вания этой формы колебаний заключается в том, что акустические волны в воздухе испускаются с поверхности пластинки, что малые частицы песка или ликоподия прыгают вверх и вниз на горизонтальной пластинке и что наблюдаются оптические интерференционные картины, как это будет описано в § 367.
Кога [270 и 271] опубликовал в 1931 г. первый общий разбор теории колебаний по толщине для всех кристаллов и всех срезов. Он ввел метод Кристоффеля для расчета упругости и пьезоэлектрического приращения упругости. Обертонные частоты рассматриваются, но как зазор, так и затухание приняты равными нулю.
В теории колебаний по толщине для пьезорезонатора с зазором и затуханием, опубликованной автором [107] в 1936 г., выведены выражения эквивалентных электрических констант, упругих коэфициентов и тока в резонаторе, включая и эффект зазора. Эта трактовка теории не включает обертонов. Было показано, что при основной частоте поляризация, пространственный заряд и электрическое поле имеют приблизительно распределение, представленное на фиг. 52. При выводе поправки на зазор, применяемой к упругой константе, учитывалась остаточная деформация, вызываемая полем на поверхности пластинки. Эта деформация, хотя ее следствием является влияние зазора на частоту, принималась, однако, настолько малой, чтобы оправдать предположение, что в колебательных уравнениях деформацию и пространственный заряд все же можно рассматривать падающими практически до нуля на поверхности пластинки. Как мы увидим, более строгие теории Бех-мана и Лоусона, вполне учитывающие деформацию на границах, пока--зывают, что ранние результаты автора правильны, за исключением эффекта второго порядка, которым можно пренебречь.
В статье Бехмана [39] выводятся общие уравнения для колебаний по толщине в пластинках, представляющих собой срезы -любых пьезоэлектрических кристаллов любой ориентации. Принимаются во внима-1 ние зазор, затухание и обертонные частоты, а также выражается отклонение обертонов от гармонического отношения. Выводятся выражения для эквивалентных электрических констант.
Лоусон [313] занимается только резонансными частотами (нормальные формы колебаний) основных колебаний и обертонов. Влияние зазора включаемся, но затухание не рассматривается. Как и Бехман, Лоусон пользуется методом Кристоффеля при определении действующего коэфициента с любого кристалла и среза.
§ 244. В последующем изложении пластинка считается плоскопараллельной с бесконечными боковыми размерами и бесконечными плоскими электродами, отделенными от поверхностей кристалла полным зазором w.
Это предположение устраняет осложнения, связанные с конечной границей, и в силу существования боковых противодействий, вызываемых инерцией, обеспечивает невозможность всех деформаций, за исключением деформации, получающейся в колебаниях по толщине. Основное различие между теорией колебаний по Длйне и колебаний по толщине заключается в том, что в первом случае мы имеем дело с одним только напряжением, в последнем же случае — с одной только деформацией.
Настоящая теория не учитывает того обстоятельства, что в конечной пластинке граничные условия оказывают заметное влияние на 19*
292
Глава XIII
колебания. Прежде всего, скорость распространения волны неодинакова вблизи краев и в центре пластинки. Кроме того, может существовать связь между колебаниями по толщине и обертонами всех других возможных форм колебаний. Упругие условия настолько- сложны, что можно наблюдать много резонансных частот, причем все они расположены в узкой полосе частот по соседству с идеальной частотой ко-' лебаний по толщине. Спектр частот изменяется в, зависимости от небольшой подшлифовки края, а также в зависимости от температуры. Одной из самых важных и наиболее трудных задач в технике изготовления пьезоэлектрических пластинок для пьезогенераторных контур ров является задача так вырезать пластинку и так отшлифовать ее края, чтобы она давала наиболее интенсивные колебания по толщине желаемой частоты при известной температуре, а также удовлетворяла требованию, чтобы изменение температуры не изменяло, хотя бы и незначительно, собственную частоту пластинки.
При основной частоте f0 механическая длина волны I равна приблизительно 2е (об отклонении от точного равенства см. § 250). Скорость распространения волны (равна /"^/р Vo ~ 2е/0. Величина q представляет собой действующий коэфициент упругости, функцию основных упругих констант, зависящую до некоторой степени от влияния пространственного заряда и присутствия зазора. Величина р есть плотность, а /0 — основная частота, определяемая как частота, при которой скорость движения в кристалле и ток I р в колебательной ветви эквивалентной схемы имеют максимальные значения. Как будет показано в § 255, эквивалентной схемой в данном случае является схема, изображенная на фиг. 48.
Когда пластинка возбуждается на частоте обертона h, то основная формула имеет вид
• (3431
Как будет показано, обертонные частоты не являются точными кратными основной частоты.
Так как не является возможным, в противоположность колебаниям по длине, прилагать электроды к одному из h сегментов, на которые можно мысленно разделить пластинку, то не существует способа возбуждения резонансных колебаний на четных гармониках. Поэтому нужно рассматривать только нечетные значения h, по крайней мере, для идеальных пластинок в однородных полях.
Существуют обстоятельства, при которых можно представить себе колебания пластинки по толщине на четной гармонической частоте или вблизи нее. Форма, величина и расположение электродов могут быть такими, что они будут производить возбуждающее поле в пластинке, изменяющей свою толщину. Кроме того, пластинка может быть сдвой-никованной или иметь другие дефекты, в силу которых возбуждение будет неоднородным. Наконец, пластинка может быть в контакте с электродом значительной массы, так что в результате получится составной резонатор. Представляется, что эти обстоятельства должны были сказываться в недавних наблюдениях Партасарати, Панде и Пан-коли !). При экспериментах с оптической диффракцией по методу Дебая
i) S. Paithasarathy, A. Pan de and М. Р a n с h о 1 у, Новое явление при пьезоэлектрических колебаниях кристалла кварца, Journ. Sci. and Industr. Research 2, № 5, (1944).
______________________Пьезоэлектрический резонатор 293
и Сирса, описанному в § 511, эти исследователи, пользуясь кварцевой пластинкой среза X в качестве источника ультразвуков, обнаружили диффракционные картины (относительно низкой интенсивности) при частотах приблизительно в 2, 4, 6 и 8 раз больше основной.
При рассмотрении колебаний пластинки по толщине возникает некоторое осложнение: тогда как брусок имеет только одно значение .модуля Юнга, пластинка вообще имеет три различных коэфициента упругости при колебаниях по толщине, соответствующие трем различным возможным типам колебаний.
§ 245. Три типа колебаний. Из § 66 мы узнали, что при распространении плоских волн в направлении, перпендикулярном к плоскости пластинки, направление колебания, т. е. направление, в котором частицы перемещаются в простом гармоническом движении, должно совпадать с одним из трех взаимно перпендикулярных направлений, определяемых упругими константами кристалла и направлением распространения волн. Вообще говоря, по каждому из этих трех направлений скорость распространения волн различна. Таким образом, в пла-стинкё данной ориентации теоретически возможен любой из трех возможных типов волн, причем волны каждого типа распространяются с различной скоростью. В самом общем случае пластинка имеет не одну основную частоту по толщине, а три; каждое из этих трех направлений колебания может составлять с направлением распространения косой угол. Только в некоторых специальных случаях, которые, однако, легко осуществляются и широко используются, одно . из направлений, колебания может быть параллельно распространению волн (волны сжатия) или перпендикулярно ему (волны сдвига или поперечные волны).
На практике, когда известны основные упругие константы кристалла и ориентация пластинки, три значения коэфициента q и направляющие косинусы а, |3, y, направления колебаний можно найти из уравнений (117) и (118). Если пластинка ориентирована относительно системы осей X', У', , причем X' — направление измерения толщины, то единственная деформация (принимая площадь бесконечной), соответствующая любому q, равна дЪ/дх', где В — мгновенное механическое смещение в направлении колебаний. Эту деформацию можно разложить на компоненты х' х, z'x и х'у , которые, в свою очередь, можно разложить по осям X, У, Zl>. Если кристалл имеет пьезоэлектрический коэфициент, соответствующий возбуждению по крайней мере одной из этих компонент, то возбуждение данной формы колебаний, возможно. В общем случае действующий пьезоэлектрический коэфициент напряжения, который мы обозначим через е, является функцией всех основных коэфициентов напряжения. Формула для q выражаемся уравнением (344). Численные значения для кварцевых пластинок различных ориентаций уже были приведены в табл. 12.
Пренебрегая ничтожным влиянием затухания, когда поле перпендикулярно длине бруска, можно сказать, что для колебаний по длине при частоте резонанса скоростей деформация на концах обращается в нуль. Иное дело мы имеем у поверхности пластинки при колебании по толщине, за исключением случая, когда зазор между
1) Деформация х'х есть смещение растяжения, перпендикулярное поверхности, тогда как z'x и х'у являются сдвигами в плоскостях, содержащих х'. Боковая инерция мешает всем другим деформациям.
294
Глава XIII
пластинкой и электродами бесконечно велик, по крайней мере ,по одну-сторону пластинки. В случае конечного зазора, как будет показано, электрическое поле, вызываемое пространственным зарядом в кристалле, производит небольшую’ остаточную деформацию при всех частотах, даже при отсутствии затухания. По мере возрастания зазора от нуля до бесконечности резонансные частоты слегка увеличиваются. Удобно представлять себе этот эффект как приращение действующего коэфициента с.
В дополнение к влиянию зазора действующий коэфициент с получает еще приращение благодаря существованию поля внутри кристалла. Это пьезоэлектрическое приращение не зависит от зазора.
Предыдущие общие утверждения легче понять в свете теории, к которой мы сейчас и перейдем.
§ 246. В следующей ниже формулировке теории мы будем пользоваться рассуждением, по возможности параллельным рассуждению, относящемуся к колебаниям по длине, предполагая, что соответствующая упругая константа с известна ’). ,
Пусть толщина пластинки лежит в направлении $, причем направляющие косинусы равны /, т, п. Электрическое поле Е действует в том же направлении. Начало координат находится в центре пластинки, и расстояние от начала в направлении s обозначается через X. Таким образом, ось X совпадает с направлением $; вообще говоря, она не является кристаллографической осью X. Координаты поверхностей пластинки фавны х = + ^/2, где е — толщина.
Из трех возможных типов колебаний обычно выбирают тип с наибольшим значением действующего пьезоэлектрического коэфициента е« согласно уравнению (344). Если мы положим, что $ (х) есть механическое смещение частицы, находящейся на расстоянии х от начала координат, то деформация равна =д% (х)/дх, где значок $ обозначает деформацию, соответствующую изменению $ в направлении X. Согласно уравнению (117), направляющие косинусы направления а отсюда и направления колебаний равны а, (3, у. Направляющие косинусы нормали к пластинке равны I, т, п.
При этих условиях действующий коэфициент пьезоэлектрического напряжения, согласно выводу Бехмана [39], равен:
е = a[en/2+ e26m2+ е35«2 + (е25+ еи]тп + (е31+ е1б) nl + (е21+ е16) 1т] + + + ^22^2 + + (^82 + е24] тп 4- (г14+ е36) nl +
4г (^12+^6 Э Щ + ^24^2 4- ^33«2 + O34 4- е23) тп + (е13 + e^nl 4-
+ (344)
Коэфициент е применяется в выражении для пьезоэлектрической поляризации Р = г х^.
В случае более простых срезов процедура не т,ак сложна, как указано выше. Например, мы знаем, что в случае среза X кварца поле Ех вызывает напряжение — откуда следует, что действующая пьезоэлектрическая постоянная равна ец. Это заключение подтверждается подстановкой в уравнение (344) а= 1 и / =1 с одновременным отбрасыванием тех пьезоэлектрических констант, которые у кварца обращаются в нуль. Также вследствие боковых противодействий в бесконечной
О Об определении упругих констант из измерений частоты см. § 252.
Пьезоэлектрический резонатор
295
пластинке единственной деформацией является хх, в силу чего из уравнения Хх =— сихх мы заключаем, что значение q равно сц. Этот вывод подтверждается применением метода Кристоффеля.
Подобным же образом в кварцевой пластинке среза Z имеет место Z = m = О, п—\, откуда, согласно уравнению (344) и учитывая, что для кварца е35 == е34 = е33 = 0, находим, что е == 0 и что непосредственное возбуждение колебаний по толщине невозможно.
§ 247. Диэлектрическая постоянная при колебаниях по толщине. Эту величину нельзя вывести тем же способом, как в случае колебаний по длине, главным образом потому, что поляризация в направлении поля не является однородной. Вместо этого мы воспользуемся тем, что все деформации, кроме х^, исключаются, в силу чего единственно возможным увеличением диэлектрической постоянной, превышающем значение ее для зажатого кристалла, будет увеличение, вызываемое деформацией х . Согласно принятому здесь методу, полная пьезоэлектрическая поляризация появляется в уравнении в виде функции от Таким образом мы учитываем любое пьезоэлектри--ческое приращение восприимчивости, вызываемой деформацией, имеющее в уравнении (262) вид emidhi, причем в качестве действующей восприимчивости остается только значение ч\" для зажатого кристалла. Тогда действующая диэлектрическая постоянная равна
Г = 1 4- 4kv/' .
Диэлектрическая постоянная зажатого кристалла. Так как электрическое поле, как и измерение толщины, 'лежит в направлении s, а также единственная компонента поляризации, с которой мы имеем дело, действует в том же направлении, мы можем пользоваться уравнением (265) в виде в
*; = *;-4nSesA;. (345)
i
Коэфициент k”s можно вычислить, если известны диэлектрическая постоянная k's, измеренная при низкой нерезонансной частоте, и пьезоэлектрические коэфициенты esi и dsi (преобразованные для повернутой системы осей, если пластинка представляет собой косой срез).
Если пьезоэлектрические константы неизвестны, можно 'измерить k" непосредственно, пользуясь очень высокой частотой, как указано в § 374.
§ 248. Действующая константа упругости q'. Посредством метода, описанного в § 66, упругая константа в случае колебаний по толщине выводится из основных упругих констант. Если, как это обычно и бывает, значения последних измерены при постоянном поле, то получающееся значение коэфициента будет тоже при постоянном поле, и мы обозначим его через qE. Вследствие пьезоэлектрического обратного действия, которое теперь приходится иметь в виду, к q? следует добавлять поправочный член, в результате чего мы получаем qr, действующую константу упругости]).
О Выражение для действующей константы упругости было впервые выведено автором [107] в 1936 г. Вопросом этим независимо занимался Баумгардт [30] в 1938 г., которому, однако, не удалось принять во внимание все факторы.
296
Глава ХШ
Этот вывод не требует допущений относительно распределения деформации, кроме предположения, что единственное пространственное изменение деформации происходит в направлении, параллельном полю. Предполагается, что х^ (х) известно. Пользуясь установленными выше обозначениями, мы полагаем, что х^(х) является деформацией при любом х. В этом случае, вообще говоря, существует пространственный заряд р (х) = — д Р(х)/ дх = — едх^х)/дх. Уравнение Пуассона дагет:
d* 2V(x) дЕ(х) 4тгр(_г) 4ке дх^ (х)
дх'2 дх k" k" дх
откуда
4глхХх)
ад-—(346)
где Е(х) есть поле на «расстоянии х от начала координат, вызываемое пространственным зарядом. Константа С является функцией распределения р от — е/2 до + е/2. Она представляет собой поле на поверхностях пластинки. Вообще, распределение р таково, что на каждой внешней поверхности существует поляризационный заряд с поверхностной плотностью о, а постоянную С можно рассматривать как добавление — 4тсо /k", получаемое полем вследствие существования о.
Поле Е(х) вызывает пьезоэлектрическое напряжение ЛД (х) = = —ejE(x); X't имеет характер пространственного напряжения, уравновешенного равным и противоположным упругим восстанавливающим напряжением Последнее следует прибавлять к упругому напряжению — q Ех, (х) при постоянном поле, где qЕ— соответствующая упругая константа при постоянном поле. Полное напряжение в точке х будет:
XJx) = — qEXz(x]— 4еС = — ^х£(х) + еС, (347) где
<7 = <7* + ^- (347а)
Это выражение справедливо при всех колебаниях по толщине, включая обертоны. Член г С, не содержащий хе (х) в виде множителя, не вносит дополнений в это выражение для действующей константы упругости. Как будет показано ниже, е С включает влияние зазора, а его влияние на частоту можно выразить или как действующее изменение толщины, или, косвенно, как дальнейшее увеличение действующей константы упругости 2\
Выражение (347а) является особым случаем равенства (272а), выражающего упругую константу c^h при постоянном нормальном электрическом смещении, связывающим напряжение Xh с деформацией xh, когда электрическое поле в кристалле имеет направление т.
§ 249. Для оценки напряжения еС необходимо знать распределение поля в пластинке. С этой целью мы примем, что распределение
О См. разбор уравнения (186) и § 126.
2) Сравнение с действующим коэфициентом упругости бруска см. в § 2о1.
Пьезоэлектрический резонатор
297
деформации является синусоидальным в направлении X и проходит
через нуль в интервалах Х/2. Распределение пьезоэлектрической поляри-
зации Р = е Хч имеет подобную же синусоидальную форму, как пока-
зано на фиг. 52. Для узкой полосы частот вблизи резонанса разность между толщиной е пластинки и половиной длины волны слишком мала, чтобы ее можно было заметить на фигуре. Электроды находятся в Л' и В', а полный зазор w равняется А'А В'В. Разность потенциалов на электродах здесь принимается равной нулю. В действительном резонаторе мгновенное возбуждающее поле, вызываемое разностью потенциалов на электродах, следовало бы прибавлять к значениям,
Фиг. 52- Распределение поляризации Р, пространственного заряда р, напряженности поля Е и потенциала И в резонаторе, колеблющемся по толщине. Начало в точке О\ толщина пластинки равна АВ.
показанным на фигуре, но это не влияет на настоящее доказательство. Фиг. 52 изображает распределение при основной частоте. При обертонной частоте участок от Л до В можно считать одним сегментом пластинки. Следующие ниже уравнения
справедливы для основной частоты и не-
четных (приблизительно) гармоник (Л=1, 3, 5..,). В качестве первого приближения принимается, что е = hl, где X — длина волны.
При любом х мгновенная деформация (§ 246) равна (х)=
х, (0) cos (тсЛх/е), где х^ (0) — максимальная деформация (послед-
няя является максимальной в пространстве, а именно, в начале координат, но не максимальной за период). Поляризация, вызываемая деформацией, равна P==sxs (O)cos(tt^x/^) . Пространственное изменение Р производит пространственный заряд1), значение которого равно:
дР Tzhzx^ (0) тг/г г . ~hx
р = =-----------Sin -----= р0 Sin------ •
г дх е е ги е
Поле в кристалле, вызываемое этим распределением пространственного заряда, можно вывести методом, предложенным автором ранее [106] 2\ Значение при любом х в случае кристалла толщиной е, колеблющегося с такой частотой, что длина волны равняется 2e/h, будет:
4рое hk"
ithx
COS-------
е
4ЯсХ;(0) /
—cos
ithx е
ithe' г
где е'г имеет значение:
e'r = е-\- W,!w.
(348)
(348а)
’) Здесь мы встречаемся с основной разницей между колебаниями по толщине и колебаниями по длине, В бруске мгновенная поляризация изменяется синусоидально при резонансе от одного конца бруска до другого, но не меняется в направлении поля (поскольку это поле перпендикулярно бруску). Пространственный заряд присутствует в бруске только в том случае, когда электроды расположены у концов.
2) Влияние пространственного заряда на работу резонаторов, повидимому, было рассмотрено впервые Лауэ [309], который в своей теории продольных колебаний бруска нашел, что им можно пренебречь. Вопрос впоследствии рассматривался в статьях Гибе и Шейбе [169, 171], Кобзарева [265] и Кога [270].
298
Глава XIII
Это выражение является специальной формой уравнения (346) при синусоидальном распределении х^ и р . Сравнение с уравнением (346) показывает, что
_ 8еех£(0) _ / е \ 4тгз
С ~~ hk"e' •
Г /
При бесконечном зазоре С = 0.
Из уравнения (347) находим напряжение, вызываемое С: _ 8е2ех5(0) ~ 4лео
£С ~ hk"e' ~ k"~ •
Г
(349)
Так как зазор включается в е', то ясно, что напряжение е С вызывает влияние зазора на резонансную частоту /о. Пространственный заряд в кристалле действует на f0 в силу существования члена 4тсг2/&" в уравнении (347), тогда как поверхностный заряд на кристалле действует на /о посредством напряжения, е С.
е У Р 4
(по Бехману, чя), (350а)
положительным числом. Множитель
§ 250. Влияние этого напряжения, или поля С, выражалось различными способами. Бекман [39] показывает, что резонансная частота с хорошим приближением выражается (в обозначениях настоящей книги) уравнением
^о = яЛ(1-1й)1/' (350)
где
__ 16г2г izh-k" qe’
и h является нечетным целым
(1 —уЛ) только очень немного меньше единицы. Величина r<h быстро падает при возрастании h и приближается к нулю (благодаря е'г) при бесконечном возрастании зазора. Поэтому при больших? значениях h обертонные частоты приближаются к гармоническим отношениям, что было использовано Атанасовым и Хартом при определении упругих констант кварца (§ 90).
Можно сказать, что влиянием нашей константы С в уравнении (349) является увеличение эффективной толщины пластинки от величины е до е/(1 —. Этим представлением воспользовался Лоусон [313], который вместо е применяет длину sr, приблизительно выражаемую соотношением
-^ = ^-Or-eDf. (351)
где Dr == 16 е2/к h?k"qe'r. Пренебрегая членом eD2r, который обычно исчезающе мал, можно видеть, что Dr Лоусона идентично Бехма-на и что (1 —идентично l/sr . Обозначим через
(352)
эффективную толщину пластинки вблизи резонансной частоты, соответствующей любому целому нечетному значению h. Тогда в согласии и с Бехманом и с Лоусоном можно выразить частоту следующим образом 9.;
*) Теория Бехмана отличается от всех других теорий, где выводится пьезоэлектрическое приращение коэфициента упругости, в одном пункте. Вместо 4~г2/Л" Бехман находит 8 ке2/&", что следует рассматривать как ошибку. Кроме того, поскольку
Пьезоэлектрический резонатор
299
“м = 2*/м = ^1А, (353)
Г Г
где в силу уравнения (347а) q = qE + •
В качестве альтернативы уравнения (350) можно ввести множитель (1 — Чь) под зн'ак корня. Тогда из уравнений (347а) и (351) находим:
/ Е . 4тге2 32е2е \ Уг /---
nh ~^-1 - | = "M/ (354)
"»»- Т 1/ -----р------е \ Р у - г F р
где действующая константа упругости, включающая влияние зазора, равна с хорошим приближением
Я =Q + “р nh?k"e' = 0 ~ 7t2h2e' ) ' (355)
Г \ х г
Это уравнение, при h — I, было выведено автором [107] другим методом для выражения эффективной константы упругости q' для пластинки с зазором. В пределах экспериментальных ошибок оно: дает значения частоты, согласующиеся со значениями, получаемыми из формул Лоусона и Бехмана.
При зазоре, равном нулю, е'г —е, и уравнение (355) приводит к следующему выражению для действующей упругой константы:
__ п- । 4tis2 32s2 _ 32s2
^0 Я "Ь'р = (356)
где q имеет значение, выражаемое уравнением (347а).
При бесконечном зазоре и достаточно высоком порядке гармоники h третий член уравнения (355) обращается в нуль; тогда q' становится идентичным q в уравнении (347а) и выражение для него принимает тот же вид, как (272а), что и должно быть, так как при w = оо электрического смещения, нормального к пластинке, не существует. В общем случае колебаний по толщине было показано (§ 246), что механическое смещение £ может составлять любой угол с осями координат. Поэтому, если обозначить (как и в уравнении 272а) направление толщины через т, то становится ясным, что упругий коэфициент, связывающий деформацию д IIдт с соответствующим напряжением, принадлежит к системе осей, отличающейся от системы, в которой выражены измерения пластинки. В особых случаях, когда £ нормально или параллельно пластинке, уравнение (272а) становится тождественным с уравнением {347а), так как е в этом случае просто равно emh, причем значок h обозначает особый тип деформации. В более общем случае косое направление £ учитывается тем, что величине е придают надлежащее значение с помощью уравнения (344).
Когда упругие константы определяются наблюдением частоты колебаний по толщине, следует учитывать то, что для константы q, встре-
можно судить на основании экспериментальных значений! упругости коэфициента, например, по значениям Атанасова и Харта [12], представляется, что упругая константа при постоянном поле, вычисляемая на основании наблюдаемого’ q с помощью уравнения
qE = q — 4т2/k" .
лучше согласуется со статическими значениями Фогта, чем вычисляемая с помощью уравнения
qE = q __ 8ле2/&" .
300
Глава XIII
чающейся в основной формуле f = (7 р)^/2е, следует пользоваться значением, выраженным через q' в уравнении (355). Каков бы ни был зазор, эта величина q' не является ни величиной при постоянном поле, ни упругой константой при постоянном смещении, но зависит от зазора. Значение q при постоянном поле равно qE , тогда как значение 7* при постоянном смещении равно qE + как мы уже установили в из-
ложении, следующем за уравнением (347а). При известных q', е , k", е, h и w можно найти оба эти значения.
§ 251. Сравнение упругих коэфициентов при колебаниях по толщине и при колебаниях по длине. Прежде всего следует напомнить, что упругое состояние бруска, при колебаниях по длине можно описать с помощью одного только напряжения (§ 57 и 244), тогда как в случае пластинки, колеблющейся по толщине, мы имеем чело только с деформацией. Именно по этой причине коэфициенты s применяются в случае бруска, а коэфициенты с — в случае пластинки.
Основное различие между двумя типами резонаторов в отношении пьезоэлектрической реакции проистекает из того, что в бруске деформация в направлении поля является однородной (принимая, что поле перпендикулярно длине бруска), тогда как в пластинке деформация в направлении поля меняется синусоидально. Для бруска можно- вывести уравнение, подобное уравнению (346), но граничные условия таковы, что постоянная С, зависящая от зазора, принимает при нулевом зазоре значение, сводящее пьезоэлектрическое поле к нулю. По этой причине коэфициент с при зазоре, равном нулю, имеет значение sEfl при постоянном поле. С другой стороны, уравнение (348) показывает, что поле в пластинке не обращается в нуль при зазоре, равном нулю (в этом уравнении следует положить е'г— е); постоянная С такова, что не существует значения w, при котором коэфициент с имел бы значение при постоянном поле.
Уже было показано, что если упругость пластинки выражается через q [уравнение (347а)], то необходимо! ввести в уравнение частоты (353) «эффективную толщину» е ;г вместо действительной толщины е. Подобный же процесс можно было бы применить в случае бруска, если взять, вместо коэфициентов is при всех зазорах, значение s*rm при постоянном смещении, выражаемое уравнением (331); тогда правильная резонансная частота получится при подстановке в уравнение частоты- в § 237 подходящей «эквивалентной длины» 1^ вместо I. В этом случае уравнение примет вид (/дало)2 =^2/4/2/гР?%/г. Когда w = oot lh=l.
Резюмируя, можно сказать, что константа упругости q* при постоянном нормальном смещении [q в уравнении (347а) для пластинок или 1/s *л в уравнении (331) для брусков], когда он применяется в уравнении частоты вдоль эффективных размеров резонатора (е или I ), дает правильное значение резонансной частоты при бесконечном зазоре как для •пластинки, так и для бруска. При уменьшении w от бесконечности до нуля, если в формуле размеры пластинки оставить неисправленными, то уменьшение частоты следует объяснять тем, что' эффективный коэфициент q уменьшается от q* до qE — \]sEn в случае бруска и до значения qo в уравнении (356) в случае пластинки. Против этого объяснения можно сделать возражение, что в этом случае коэфициент q и, следовательно, скорость распространения волны зависят как от зазора, так и от порядка гармоники. Если эту скорость следует рассматривать как внутреннее свойство материала, то становится необходимым рассматривать q* как истинную константу упругости при всех обстоятельствах. Это соображение заставляет нас вводить множитель [(1 — ул) в случае пластинки] в уравнении частоты, чтобы учесть кажущееся изменение упругости; этот множитель можно представлять себе как небольшую поправку к размерам резонатора в направлении распространения волны.
Для практических целей удобно рассматривать эффективную константу q как изменяющуюся в зависимости от зазора и, в случае пластинки, как изменяющуюся с изменением порядка гармоники. Тогда не требуется никакого поправочного множителя для е или I. В случае пластинки применяется q', выражаемый уравнением (355). В случае бруска действующий коэфициент равен s^n , согласно уравнению (330), — значение, которым мы пользовались в теории продольных колебаний.
§ 252. Вывод упругих констант из наблюдений частоты колебаний по толщине. После рассмотрения влияния пьезоэлектрических реакций на константу q в колебаниях по толщине мы можем указать метод
Пьезоэлектрический резонатор 301
расчета основных констант при постоянном поле (или, если нужно, то и констант при постоянной поляризации), пользуясь измерениями частоты.
Желательно избежать необходимости вводить поправку на зазор или на эффективную толщину в уравнении (353). Согласно уравнению (355) можно производить наблюдения или с зазором, настолько широким, что е\^оо, или возбуждая пластинку при высоких гармониках (h = 7 по меньшей мере), или пользуясь и тем и другим. В таком случае, уравнением для эффективной константы q является (347а). Можно пользоваться металлизованными кристаллами (w = 0), хотя металлические оболочки до некоторой степени влияют на частоту. При колебаниях по толщине этот источник ошибки устраняется тем, что экспериментируют при высоких гармонических частотах. Боковые размеры пластинки должны быть достаточно! большими, чтобы избежать связи с другими формами колебаний и чтобы можно было пользоваться теорией для бесконечных пластинок. Безопасным минимальным значением отношения бокового размера к половине длины волны является, невидимому, 20. Форма пластинки и ориентации ее ребер обычно совершенно произвольны, поскольку они не благоприятствуют эффектам связи. Большинство исследователей пользовались квадратными пластинками.
Если не сделано специальных указаний, то принимается, что пластинка находится между двумя электродами с большой поверхностью, так что возбуждающее поле перпендикулярно поверхности.
Может быть нет необходимости указывать, что для точных результатов пластинка должна быть точно плоскопараллельной и что ее толщина и плотность должны быть известны с необходимой степенью точности. Пластинка должна, быть свободной от оптического! и электрического двойникования и должна быть смонтирована так, чтобы внешние напряжения не действовали на ее главные грани. Простой и удовлетворительной монтировкой является просто установка пластинки на ребро. Ориентация нормали к пластинке должна быть определена точно, желательно с помощью рентгеновских лучей.
Генераторный контур должен допускать тонкую регулировку по частоте и быть достаточно устойчивым, чтобы устранить реакцию со стороны кристалла. Поэтому последний должен быть связан с генератором очень слабо. Теоретически наблюдаемая частота fho, из которой мы находим q с помощью уравнения (343), должна быть частотой, при которой ток в ветви LCR эквивалентной схемы является максимальным. Практически достаточное приближение достигается наблюдением: 1) или частоты при максимальном токе в резонаторе, например посредством лампового вольтметра, 2) или частоты у дна «впадины» (§ 316). Чтобы избежать нарушений от изменения температуры, ток через кристалл должен быть чрезвычайно малым.
§ 253. Первый метод. Предполагается, что наблюдаемые значения q имеют вид, выражаемый уравнением (347а), причем влияние зазора устранено. Мы видели, что q является эффективной константой при постоянном нормальном электрическом смещении. Ее значение можно привести к qE с помощью уравнения (344,), в каковом случае решение системы уравнений вида (118) сразу же дает константы при постоянном поле. Должно быть по меньшей мере столько же значений q, сколько' нужно вывести констант. Обычно пользуются одной и той же формой колебаний для срезов, повернутых на различные углы вокруг некоторой оси.
302
Глава XIII
Математическое вычисление проводится тем же способом, как и в приводимом ниже втором методе. Для каждой ориентации необходимо вычислить коэфициент е — процесс, часто являющийся более трудоемким, чем описываемый в 'настоящем случае.
Второй метод. Этот метод состоит в том, что составляют q неисправленным и применяют поправку к константам chk отдельно.
Какой бы метод мы ни избрали, выгодно выражать функции Г в уравнениях (118) относительно системы осей, одна из которых перпендикулярна пластинке. Можно допустить, что в качестве таковой выбрана ось Х'\ тогда она, разумеется, параллельна толщине. Пользуясь символами со штрихом в уравнениях (116), мы имеем V = 1, пг' — п' — 0. Аналогичные и такие же простые выражения под'учаем, полагая гтГ = 1 или п' = 1. Когда V = 1, в уравнениях (116) обращаются в нуль все члены, за исключением первого. Переставив в детерминанте строки и столбцы, получаем вместо ‘(118):
с 11 q с' i$ с 16 £ 15 С 55 q С 56 16 с 56 с 66 q = 0 . (357)
Это уравнение требуется решить относительно q, что, вообще говоря, дает для q три различных выражения, причем каждое из них является функцией от c'hk. Зная пьезоэлектрические свойства кристалла, обычно можно «определить с помощью «осмотра', который из трех коэфициентов q является эффективным в любом данном случае. Это особенно правильно, когда уравнение (357) разлагается на миноры, так что одно «значение q просто является с'п, с'55 или с'6б. В любом случае направление колебаний £, а отсюда и деформацию д^/дх' (§ 67) можно найти из уравнения (117).
Если пользуются первым методом, указанным выше, то к q применяется пьезоэлектрическая поправка. Тогда коэфициенты c'hk в уравнении (357) являются коэфициентами при постоянном поле, и с их помощью можно найти основные константы при постоянном поле посредством формул для преобразованных осей.
Во втором методе каждый c'hk , подобно неисправленному q, имеет значение, соответствующее постоянному нормальному смещению, которое в уравнении (272) обозначено через c*hk :
Chk Chk Н'
k"
(358)
Каждый ко«эфициент c'hk в уравнении (357) следует заменить выражением, стоящим в правой стороне уравнения (358), причем каждый коэфициент c'fk сначала выражается через основные константы при постоянном поле с помощью формул для преобразованных осей. Если всего имеется п таких «основных констант в уравнении (357), то должно наблюдаться по крайней мере п значений q, каждое при иной ориентации.
Пример применения вышеизложенной теории к кварцу дан в § 93, а к сегнетовой соли — в § 77 и 207.
Иногда число основных упругих констант, определяемых с помощью данного набора кристаллических пластинок различных ориентаций, можно увеличить, наблюдая q в возбуждающем поле, параллельном поверх
Пьезоэлектрический резонатор
303
ностям пластинки Таким образом вводятся другие пьезоэлектрические константы кристалла, что приводит к другому из трех возможных решений уравнения (357), остающегося неизменным, каково бы ни было направление возбуждающего поля.
§ 254. Электрические характеристики пластинки при колебаниях по толщине. Механическое возбуждающее напряжение выражается уравнением:
Х£ = -ef, = - ’ (359)
где Ei — возбуждающее поле, V — разность потенциалов на электродах, е выражается уравнением (344), а е'г = е k"w. С помощью этого выражения можно вывести общее уравнение для амплитуды механических колебаний посредством метода, аналогичного методу, указанному в § 57 для бруска. Гораздо интереснее выражение для тока через резонатор, которое мы сейчас и выведем.
Как и в случае бруска, ток через единицу поверхности равен (dD/dt)/4x, где D — векторная сумма двух компонент электрического смещения. В случае пластинки одна компонента равна D\ = k"Ex = = k"Vle'r, смещению в зажатой пластинке, вызываемому наложенным полем. Другая компонента равна D и вызывается состоянием деформации. Из уравнения (348) имеем:
D„=£w= . (360)
где £w — поле в зазоре.
Теперь следует вывести деформацию х» (0) в начале координат с помощью общего уравнения (313). Заменяя хп через х = и I через е и полагая х = 0 с помощью уравнения (359) находим:
Г (Ш - _ Х^“‘ — < IK 1 А
' - <7'сН(т^/2) q'e'rch(iel‘2) ' V 1)
В силу уравнения (74) это уравнение после очевидных аппроксимаций 2) принимает вид:
У ГПА___ j а/г -|- jnh fQfilaA
где основная частота равна /о = “0/2-п:, ал — постоянная затухания при частоте f = fh = 12тг, nh = <oh0 — <од и = —ре-
зонансная частота (максимальная скорость частицы и максимальный пьеэоток) при гармонике h.
Теперь подставляем в уравнение (360) значение х^ (0) из уравнения (361а) и находим D. Из этого и предыдущего выражения для D мы получаем значение мгновенного тока, текущего через пластинку площади А: -
г__ , 16е* 2гсрдо ^h+Jnh \
4та?'г (У “Г itq'e'jJi2 аЪ+~п2)’
О Этим воспользовались Атанасов и Харт [12] в своих наблюдениях кварцевых пластинок.
2) Так как с = 2/0£ = , то уравнение (74) можно писать в виде
7»(n;U>0e) (а-Ь/ш). Тогда легко доказать, что ch ^/2 » (п/2о>0) (n + /а). При гармонике h величина w имеет значение о>Л.
304
Глава ХШ
или, так как <пл^сол0 = 7гсЛ/£, где c — {q'lp}'/2 ,
/ — ^АУ&Г°* / , 16г2с gh 4- jnh \ ,262)
4^7 ' q'e'rh а^-^п2 )’ V J
Можно показать, что это уравнение, за исключением разницы в обозначениях, согласуется с соответствующим выражением Бехмана [40] [его уравнение (55)], если вместо nh писать nh (1 — -\h)2. Для всех практических целей этой разницей можно пренебрегать.
§ 255. Эквивалентные электрические константы при колебаниях па толщине. Как мы поступали в случае уравнения (319) для продольных колебаний,-так и здесь мы напишем уравнения (362) в виде:
-jb' -jb") V^Y\ , где
, = 4е2с2Л«Л .
q'ee'j(
b' — _ ^’c-Anh . q'ee'fc^nfy
ь„_____ chAk'r _ _ &hAk"
\ее' r 4~е'г
Для колебательных членов (членов, содержащих а и п) электрическое полное сопротивление равно
= ~АЧ, =R'h+jX'h,
g—jb rl \ J n 1
где при подстановке q'l? вместо с2 имеем:
(363)
о' __ Рее? _____ ~-h-e‘r2 р .
Kh ~~ 4е2Д 8е2<?Д ’
хл* ?eer it 1
4^4“ nh = (okL h— WhC’h •
Эти два выражения для Rh справедливы, какова бы ни была зависимость постоянной затухания а или коэфициента трения F [уравнения (61) и (67)] от частоты. При постоянном F величина Rh меняется в зависимости от Л2.
Как и в § 232, с помощью уравнения (354) находим для L'h и C'h выражения:
I ' _ Рее'г2 •
Lh~' 8е2Л ’ _____ 8&Ае _ 8е2Де h Tt^h^qe'г2(\—7й)2 f&teq'е'г2
Для неколебательной ветви схемы мы имеем:
С' _ k"A_________
1 4~е' г Ак(еА-к"щ)
(364)
(365)
Рассмотрение эквивалентных электрических констант в § 232—234 применимо равным образом и к колебаниям по толщине. В частности, электромеханическое отношение г при колебаниях по толщине имеет зна-
Пьезоэлектрический резонатор
305
чение, которое мы теперь и выведем. Сначала нам понадобится выражение для сосредоточенных механических констант, а именно, механического сопротивления W h , упругости Gh и массы Mh при любой гармонике h. С помощью метода, изложенного в § 62 и 63, находим, что они равны
Wh~?eAa.h-, Mh=-^ ;
г 2 .л T&Ah2q(l — fft)2 Gh = vhoMh=--------—
2е
(366)
Сравнивая эти значения с эквивалентными электрическими константами из уравнений (363) и (364), находим для электромеханического отношения выражения
г __ h Н ' /г_____” 1 __ L h _~ е А г 4671
(ZJft Wh — C'hGh — Mh 4sM2 ’ '° 7
где Zc — механический импеданс.
Это отношение чер|ез е' г зависит от зазора, но не зависит от порядка гармоники.
Эквивалентная электрическая схема при колебаниях по толщине одинакова со схемой для продольных колебаний, приведенной на фиг. 48 и рассматриваемой более полно в гл. XIV.
В табл. 23 приведены значения механических и электрических кон-стайт при зазорах, равных нулю и бесконечности.
С электрической точки зрения кристалл по мере приближения w к бесконечности становится все более и более слабым резонатором, но произведение L'hC'h всегда таково, что резонансная частота имеет значения, приведенные в таблице.
§ 256. Влияние зазора на частоту колебаний по толщине. Как и в § 237, пусть fwh0 и fh0 обозначают резонансные частоты при зазорах, равных w и нулю. Вместо мы пишем 7 А и 7% . Затем из уравнений (350) и (350а) находим:
д/йо _ 1бг2о> / 1 , О , 7оэ 1 + ъ + 7/г
(368)
Если Д'/Ло представить в виде fho—fho , где /Го при бесконечном зазоре принимается за основную частоту, то уравнение принимает ВИД:
^’fho __ w ____ 16e2g (оспл
f00 ' Tth2k"qelr * 7
Лоусон в своем анализе вводит член второго которому поправка на зазор в наших обозначениях
Д'Ао __ / 16г2е \
izh2k"qe'r\ 1 Т T.h^'qe'r I '
порядка, согласно равна
(369a)
20 Кэд'и
306
Глава XIИ
Таблица 23
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КОНСТАНТЫ ДЛЯ КОЛЕБАНИИ ПО ТОЛЩИНЕ
Константа
wh
peAah
Mh
pAe
pAe ~T
Gh
it2Ah2
2e
32г2
Tte2k"
R'h
Р^3Яь
Rh-^2A
L'h
Lfl~8e2A
C'h
Cfl~ We(q-3‘2z2lnh2k") 8г2 Д it2h.2eq(i
k"A
4k£
fh^
h2 / 32e2 \
4p?2 ith2k" )
Если s не очень велико, то последняя дробь незначительна, так что уравнение (369) годится в любом исследовании, в котором fw принимается в качестве основной частоты.
Для экспериментальных исследований обычно является более удобным пользоваться уравнением (368). Если, как это> имеет место для большинства кристаллов, 7% 1, это уравнение принимает вид:
16e2w , , , w
fha Kh2qe'r h2 e'r 1
(370)
где U — 16г2/—<7 — постоянная кристалла. Как будет показано в § 353, полное изменение частоты для кварца при увеличении w от нуля до бесконечности равно приблизительно одному проценту при основной частоте, когда h= L
Уравнение (370) показывает, что с увеличением h поправка на зазор быстро становится ничтожной. При h, равном 7 или 9, частоту уже обычно можно считать независимой от зазора и, начиная с этого значения, обертоны практически имеют уже гармонические отношения, как объясняется в § 250.
Из наблюдений влияния зазора при колебаниях по толщине можно с помощью уравнения (370) вывести приблизительное значение диэлектрической постоянной.
Пьезоэлектрический резонатор
307
При любом зазоре отношение с хорошим приближением
равно /2Сг'. При w = оо отношение становится равным Ch/2C\, где Ch и Q — значения при зазоре, равном нулю, но, согласно уравнению (401), С/г/2С1 является относительной разностью угловых частот при резонансе токов и резонансе напряжений. Таким образом, предыдущие результаты при колебаниях по толщине иллюстрируют общие положения относительно резонанса напряжения и резонанса токов, приведенные в § 291 после (439а). Дальнейшие выводы, относящиеся к величине C'jJZC'y и ее связи с электромеханическим отношением г, излагаются в § 280.
§ 257. Максимальный безопасный ток через резонатор. Максимальный ток зависит от максимальной деформации, которую кристалл может вынести без разрушения, а величина этой деформации, в свою очередь, зависит от формы колебаний. В качестве примера расчета рассмотрим случай продольных колебаний в кварцевом бруске среза X, длина которого параллельна Y. Из прочности на растяжение 1000 кг/см2, приведенной в § 328, и упругого модуля $ц = 1,30 10—12 находим для предельной деформации yv^ 0,0013. Можно ожидать, что разрыв начнется в центре бруска, где деформация является наибольшей. Соотношение между (у^о в этой точке и пьезотоком 1р можно найти с помощью уравнений (88), (97) и (329). При основной резонансной частоте (Л=1) и зазоре, равном нулю, находим:
Ip = 2ebc(yy)0 эл.-ст. ед. , (371)
где с — у qy и 6 — ширина бруска. Для кварца действующий пьезоэлектрический коэфициент г равен гц = 5,2 104, а с = 5,4-105 см/сек. Отсюда, если (yv )о = 0,0013, получаем 1р =7,3 107 эл.-ст. ед. — = 24b mA. Таким образом, если Ь = 1,5 см, то 7^=36 mA. При резонансе можно считать, что /р равняется току всего резонатора, так как часть, идущая ^ерез п.араллельную емкость Сь относительно мала.
Так как пьезоток 1р приблизительно пропорционален деформации при всех частотах в области резонанса, то вычисленное выше значение справедливо также и в том случае, когда, как в большинстве типов пьезогенераторов, кристалл колеблется вблизи своей антирезонан-сной частоты. Единственной разницей является необходимость более высоких напряжений на кристалле для получения того же самого I р, заставляющая ток через С\ увеличиваться. Поэтому вблизи антирезонанса полный безопасный ток может быть больше, чем при резонансе.
Эта оценка Iр дает максимальное возможное значение при резонансе г идеальных условиях. Значение было- бы другим при иных срезах или формах колебаний. В действительных случаях обертоны различных форм колебаний, а также дефекты в кристалле могут давать местные напряжения, достаточные, чтобы вызвать разлом при токах, значительно более низких, чем идеальное значение.
При колебаниях по толщине можно, вообще говоря, пользоваться более значительными токами на квадратный сантиметр площади электрода, чем при колебаниях по длине. В некоторых резонаторах средней величины, колеблющихся по толщине, можно безопасно доводить токи до 100 mA. Однако экспериментатору не следует допускать 20*
308
Гл йв а ХП1
токов больше 20 mA/см2 при колебаниях по толщине или 10 mA/см2 при колебаниях по длине. Эта предосторожность не только предохраняет кристалл, но также позволяет избежать чрезмерного нагревания и связанного с ним изменения частоты.
§ 258. Аномальная дисперсия в резонаторе. Подобно тому как часто рассматривают кристалл как одну большую молекулу, макроскопические диэлектрические свойства пьезорезонатора при радиочастотах сходны с молекулярным поведением вещества в инфракрасном и оптическом участках спектра. Это сходство до некоторой степени проявляется в таких электромагнитных устройствах, как телефоны, но в случае пьезоэлектрических резонаторов аналогия еще полнее.
Мы видели в § 116, что когда частицы, из которых состоит вещество, имеют в области оптического спектра собственную частоту, то по соседству с этой частотой вещество обнаруживает аномальную дисперсию. Среда становится сильно поглощающей, и показатель преломления, а отсюда и диэлектрическая постоянная возрастают при увеличении частоты до максимума, затем падают до минимума и в конце концов приближаются к значениям, несколько более низким, чем значения на стороне низких частот. Так как с электрической точки зрения колеблющаяся система обладает как реактивным, так и омическим сопротивлением, то принято выражать как показатель преломления, так и диэлектрическую постоянную в виде комплексных величин. В случае диэлектрической постоянной это представлено уравнением (181).
В следующих параграфах мы сначала покажем, как эквивалентную электрическую полную проводимость всего резонатора можно выразить через комплексную диэлектрическую постоянную, а затем проследим зависимость этой постоянной от частоты. Диэлектрическая постоянная и сопротивление (или декремент) резонатора соответствуют показателю преломления и коэфициенту поглощения в оптическом случае. При рассмотрении мы ограничимся колебанием по длине, но в принципе оно приложимо к пьезорезонаторам, имеющим любую другую форму колебаний.
В самой общей форме комплексную диэлектрическую постоянную kc можно написать в виде уравнения (181), причем b (реактивная проводимость,) и g выводятся из уравнения (315). Ввиду того, что такое выражение было бы комплексным более чем в одном отношении, проще воспользоваться очень низким затуханием пьезорезонаторов, выбирая одно выражение, справедливое при частотах,, достаточно далеких от резонанса, и другое — справедливое для участка резонанса.
§ 259. За исключением участка, непосредственно близкого к резонансной частоте, выражением в скобках в уравнении (316) можно пользоваться как формулой для комплексной диэлектрической постоянной. Принимается, что напряженность поля мала. Поэтому нам приходится иметь дело только с начальным значением. Прежде всего, следует заметить, что диэлектрическая постоянная в обычном смысле выражается действительной частью k. В уравнении (316) мнимый член отброшен, так как полное сопротивление кристалла представляет собой почти точно чистое реактивное сопротивление, за исключением
Пьезоэлектрический резонатор
309
очень узкой полосы вблизи резонанса. Тогда kc с хорошим приближением выражается действительной величиной
*<=*<+8-^tg
(372)
Зависимость kc от частоты управляется соотношением h — f/f0, где /0 — основная частота, f — любая частота, превышающая основную, h — любое действительное положительное число, целое или дробное, больше единицы. Это уравнение показывает, что kc при неопред елейном возрастании / уменьшается, причем имеет аномальные значения вблизи частот, для которых h является целым числом. Это kc представляет собой значение, связанное с эквивалентной последовательной емкостью Cs всего резонатора (§271).
Изменение kc в зависимости от частоты при продольных колебаниях в кварце и сегнетовой соли показаны на фиг. 53 для значений Ц др 3.
Отрицательные значения соответствуют индуктивным реактивным сопротивлениям.
В 'Случае сегнетовой соли очевидно, что «аномалия», вызываемая основной резонансной частотой (Л=1;), занимает чрезвычайно широкий диапазон частот. Это является результатом большой пьезоэлектрической постоянной сегнетовой соли. Величину Az, названную нами «действующей диэлектрической постоянной», можно видеть на кривой при И = 2, когда кристалл возбуждается на двойной частоте, как это объясняется в § 321. При частоте, равной нулю, &'= 190. Особенно замечательным является то, что кристалл не возвращается к этому значению после основного резонанса, по крайней мере до тех пор, пока частота не приблизится к значению, при котором h = 3, где ток имеет второй максимум.
Качественно точно так же ведет себя кварцевый резонатор. Основной разницей является то, что кварц при всех частотах, за исключением частоты, очень близкой к резонансу, обнаруживает едва заметное отклонение диэлектрической постоянной от ее статического значения. Этот контраст с более ясно выраженной кривизной в
Фиг. 53. Изменение диэлектрической Постоянной kc в зависимости от частоты колебаний по длине. Кривая Q — для кварца, R—для сегнетовой соли. Кривые вычерчены приблизительно в масштабе, за исключением того, что резонанс для кварца показан менее острым, чем в случае типичного кварцевого резонатора, и ордцнаты для кварца увеличены в десять раз. Данные для сегнетовой соли взяты из наблюдений Мэзона над 45-градусным срезом X при малой напряженности поля и t = 5°С. Потери энергии, ограничивающие значения kc при резонансе, на фигуре не представлены.
случае сегнетовой соли прак
тически не связан с относительными потерями энергии. За исключе-
нием полос частот, слишком узких, чтобы их можно было ясно указать hS фиг. 53, как кристалл кварца, так и кристалл сегнетовой соли по существу представляет собой чистое реактивное сопротивле-
ние.
310
Глава XIII
§ 260. Рассмотрим теперь изменение kc вблизи резонанса. Для этой цели мы можем воспользоваться уравнением (319) и схемой, представленной на фиг. 48. Обозначим полную проводимость ветви RLC, согласно § 2320, через Y = g'— jb', а проводимость — через У1 = — jbl=jc»Ci. Тогда полная проводимость всего резонатора будет:
у\ -jb\ - Т-./(T ~ тбД • (373>
Как в § 232, комплексную диэлектрическую постоянную находим в виде У' 1 = jvbCc=f<sbblkcl^e, откуда с помощью уравнения (373) для частот, близких к резонансу, получаем:
kc= — _ (oCCTi-y-fA . (374)
с М v 1 2 1 7 1 77 o)^/l Z- 1 1 J Z1 I J
С помощью уравнения (320) можно доказать, что- действительная часть этого выражения идентична уравнению (372), поскольку R можно пренебрегать. Вблизи резонанса влияние R становится заметным и определяет форму и конечную высоту пика резонанса.
Зависимость компоненты рассеяния — jAneg'IM квзрца от частоты в масштабе фиг. 53 представляет собой просто горизонтальную прямую линию с очень малой ординатой, внезапно поднимающейся до высоких значений при h = 1 и 3. В случае сегнетовой соли то же самое справедливо, если g' вычисляется только для механических потерь Ч Однако этот процесс не представляет диэлектрического поведения сегнетовой соли правильно вследствие наличия сопротивления (которое Мэзон называет /?0) в ветви С} фиг. 48. Уравнение (63) Мэзона [338] дает выражение комплексной диэлектрической постоянной, но для его полной оценки нет численных данных (см. § 375).
При возрастании частоты за предел, показанный на фиг. 53, встречаются др|угие резонансные значения, при которых чистое значение диэлектрической постоянной с высокочастотной стороны ниже, чем ее значение с низкочастотной стороны. Эти резонансные значения соответствуют нечетным целым значениям h вплоть до точки, где начинают появляться другие высокочастотные формы колебаний сжатия, кручения, изгиба или сдвига. Рассматривая только колебания сжатия по длине, из уравнения (372) можно видеть, что при увеличении частоты диэлектрическая постоянная приближается к значению kt,которое согласно уравнению (311), равно kt = k't -—4т: d‘1inliSnn . Последнее является также значением, измеряемым при всех четных значениях h. При очень высоких частотах колебательной реакцией колебаний сжатия по длине можно пренебрегать, даже при нечетных значениях h.
Если кристалл имеет только одну пьезоэлектрическую постоянную, а именно постоянную, связанную с колебаниями сжатия по длине, то значение kt, приведенное выше, относится к случаю полностью зажатого кристалла; поэтому можно ожидать, что оно остается правильным вплоть до оптической области частот. Однако вследствие присутствия других пьезоэлектрических констант брусок, как указывалось выше, резонирует на другие формы колебаний до достижения чрезвы
*) Для простоты в этом параграфе опущены штрихи и значки h у R, Lf С и Ci, а также у Z.
2) См. Мэзон [338], уравнение (57).
Пьезоэлектрический резонатор
311
чайно больших частот. Пока частота является низкой по отношению к этим другим формам колебаний, пьезоэлектрические деформации, соответствующие этим формам, пропорциональны возбуждающему полю и находятся с ним в фазе, как это указано в § 229. Поэтому они увеличивают поляризацию и действующую диэлектрическую постоянную. Именно поэтому значение kt и бывает несколько больше, чем значение диэлектрической постоянной при зажатом кристалле. Когда с возрастанием частоты эти другие формы последовательно приходят к резонансу, то кристалл в действительности становится все более и более зажатым вследствие инерционных реакций всех форм более низких частот. При очень высоких частотах, имеющих для кристаллов обычных размеров порядок 107, единственными колебаниями являются высокие обертоны ничтожной амплитуды. При достижении этого состояния кристалл можно рассматривать как полностью зажатый. Этим методом получается наилучшее значение диэлектрической постоянной k" в зажатом состоянии. Такие измерения для случая сегнетовой соли рассматриваются в § 442.
Из предыдущих положений ясно, что действующая диэлектрическая постоянная kt правильна для всех частот, при которых требуется рассматривать только колебания сжатия по длине. Теоретические формулы, учитывающие другие формы колебаний, а также эффекты связи, дали бы для kt другие выражения.
Если бы было возможно довести частоту до оптической, то было бы найдено, что диэлектрическая постоянная уменьшится еще больше, претерпевая резкое падение в случаях, когда проходится характерная молекулярная частота1), и значение ее будет порядка 2 в области видимого спектра, где коэфициент преломления приблизительно равен 1,5.
§ 261. Влияния пьезоэлектрических колебаний на диффракцию рентгеновских лучей 2). а) Наблюдения над кварцем. В 1931 г. Фокс и Карр [|8*] обнаружили, что пятна лауэграммы, полученной от кварцевой пластинки. среза X или У, становятся более интенсивными, когда пластинка пьезоэлектрически колеблется. Этот эффект был найден при всех формах колебаний, исследованных названными авторами, и изменялся по величине в зависимости от амплитуды колебаний.
В Последующие годы на этот вопрос обратили большое внимание. Экспериментально тонкую структуру пятен, появляющуюся при колебании кварцевой пластинки, изучал Корк [6*], а также Баррет и Хоу [1*]. Последние исследов(атели снимали лауэграммы цельной пластинки среза X, колеблющейся.по толщине, и обнаружили в высшей степени сложную природу этой формы колебаний. О дальнейших экспериментах по влиянию колебаний по толщине см. в работах [6*], [9*], [16*] и [19*].
Увеличение интенсивности, вызываемое колебаниями по длине пластинок среза X (волны сжатия в направлении У), наблюдали, поль
г) По измерениям интенсивности рентгеновских лучей Штауб [478] вычислил длину волны остаточных рентгеновских лучей в сегнетовой соли, равную приблизительно 100 [а. Валашек [543] предсказал полосу поглощения при 55 р-, а Кобленц (Investigations of Infrared Spectra, Carnegie Institution of Washington, 1905—1908) указал на полосу поглощения при 4,2р. Требуется еще много исследований сегне-товой соли в инфракрасной части спектра.
' 2) В этом параграфе цифры со звездочкой в квадратных скобках относятся к
статьям, приведенным в конце настоящей главы.
312
Глава XIII
зуясь методами Лауэ, Берч [2*], а также Колби и Харрис [5*]. Но Блехшмидт и Боас [2а*] не могли обнаружить изменений интенсивности.
Эти результаты, полученные с помощью лауэграмм, указывают, что причина увеличения интенсивности заключается в объеме кристалла, а не является чисто поверхностным явлением. С другой стороны, когда стараются обнаружить увеличение интенсивности методом Брэгга, то оказывается, как и можно ожидать, что условия на поверхности кристалла, также важны. При отражении от полированной поверхности не наблюдается никакого увеличния интенсивности излучения; но если дефекты поверхности вследствие полировки удаляются с помощью травления плавиковой кислотой, то кристалл обнаруживает увеличение интенсивности при колебаниях при условии, что отражение не происходит от участка поверхности, где имеется узел деформации. Эти заключения подтверждаются наблюдениями Кольби и Харриса [5*]. О наблюдениях с помощью метода Брэга см. также статьи [18*], [19*].
О влиянии шлифовки и травлении поверхностей см. в работах [1*], [4*], [6*], [9*] и [16*]. О пластинках различных ориентаций говорится в работах [12*] и [19*]; в последней статье формы колебаний исследуются с помощью рентгеновских лучей.
Увеличение интенсивности, упомянутое выше, ограничено характеристическим излучением антикатода. По Джонси и Брюсу [14*], колебания не влияют на диффузное Излучение. Кольби и Харрис [5*] нашли, что характеристические линии расширяются и увеличиваются по интенсивности при колебаниях. Теоретическое рассмотрение вопроса дано в статье Вейгля и Бл'ейера [21*].
С самого начала было признано, что увеличение интенсивности диффрагированного луча при колебаниях пластинки вызывается уменьшением экстинкции. Деформации, вызываемые колебаниями, влияют до некоторой степени аналогично деформации, производимой полировкой поверхности, которая разрушает или нарушает расположение решетки з поверхностных слоях и позволяет рентгеновским лучам проникать глубже. Наилучшим доказательством является то, что колебание уменьшает вторичную экстинкцию, производя неоднородные деформации, искажение решетки или вызывая нарушение вследствие неоднородностей, обычно присутствующих в кристалле [10*], [14*], [17*], [48*], [19*].
Имеется указание, что как статические, так и динамические деформации вызывают увеличение интенсивности лауэграмм кристаллов кварца. Этот эффект наблюдали Баррет и Хоу [1 *], а также Фукушима [13*] для случая деформаций, .производимых механически, и Сакисака и Сумото [20*], пользовавшиеся термическими деформациями. Тот же самый эффект наблюдал и Какиучи [15*], когда деформация вызывалась статическим электрическим полем.
Хотя это и не имеет отношения к вопросу об увеличении интенсивности рентгеновских лучей, все же следует упомянуть, что пьезоэлектрические деформации, по их влиянию на отражение по методу Брэгга, были вычислены Долейзеком и Яхода [7*]. Их результаты оказались в согласии со значениями, получаемыми из напряженности поля и известной пьезоэлектрической константы. Применение того же метода к сегнетовой соли упоминается в § 422.
б) Результаты, полученные с другими кристаллами. Как сегнетова
Пьезоэлектрический резонатор
313
соль, так и турмалин дают в колеблющемся состоянии увеличение интенсивности лауэграмм, хотя эффект гораздо слабее, чем у кварца
Применение рентгеновских лучей для точного определения осей кристалла упоминается в § 341.
ЛИТЕРАТУРА
ВЛИЯНИЕ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛОВ НА ВИД РЕНТГЕНОГРАММ
1*. Barrett С. S. and Howe С. Е., Отражение рентгеновских лучей от неравномерно напряженного кварца, Phys. Rev. 39, 889—897 (1932).
2*. Bertsch О. V., Рентгенографическое исследование колеблющихся пьезоэлектрически возбуждаемых кристаллов, ibid. 49 128—132 (1936).
2а*. Blechschmidt Е. und Boas W., Лауэграммы колеблющихся кварцевых стержней, Zs. f. Kristallographie 85, 329 (1933).
3*. В г и с е W. A. and J a u п с е у G. Е. М. Зависимость диффузного рассеяния рентгеновских лучей кварцем от угла между кристаллической осью и плоскостью рассеяния (реферат), Phys. Rev. 49, 418—419 (1926).
4*. Colby М. Y. and Harris S., Влияние травления на относительные интенсивности компонент двойных пятен Лауэ, образуемых кристаллом кварца, ibid. 43, 562—563 (1933).
5*. С о I b у М. Y. and Harris S., Изучение длинного кварцевого среза X, колеблющегося под влиянием поперечного пьезоэлектрического эффекта, ibid. 46, 445—450 (1934).
6*. Cork J. М., Лауэграммы покоящихся и пьезоэлектрически колеблющихся толстых кристаллов, ibid. 42, 749—752 (1932).
7*. Dolejsek V. et Jahoda M., Изменения параметров решетки под действием электростатических сил, Compt. rend. 206, 113—115 (1938).
8*. Fox G. W. and Carr P. H., Влияние пьезоэлектрических колебаний на интенсивность отражений рентгеновских лучей от кварца Phys. Rev. 37, 1622—1625 (1931).
9*. Fox G. W. and Cork J. M., Правильное отражение рентгеновских лучей от пьезоэлектрически колеблющихся кристаллов кварца, ibid. 38, 1420—1423 (1931).
10*. Fox G. W. and Fraser W. А., Затухание рентгеновских лучей в пьезоэлектри-. чески колеблющихся кристаллах, ibid. 47, 899—902 (1935).
11*. Fox G. W. and Frederick J. R., Дальнейшее изучение диффракции рентгеновских лучей в кварце, ibid. 53, 135—136 (1938).
12*. Fox G. W. and Stebbins D. W., Влияние кварцевых фильтров на распределение энергии на лауэграммах, ibid. 55, 405—408 (1939).
13*. Fukushima Е., Связь между механической деформацией и интенсивностью рентгеновских лучей, отражаемых кварцевой пластинкой, Bull. Inst. Phys. Chem. Research (Tokyo) 15, 1—14 (1936).
14*. Jauncey G. E. M. and Bruce W. А., Диффузное рассеяние рентгеновских лучей пьезоэлектрически колеблющимся кварцем, Phys. Rev. 54, 163—165 (1938)-15*. Kakiuchi Y., Усиление отражения рентгеновских лучей кварцем, вызываемое сильным электрическим полем, Phys. Rev. 54, 772 (1938).
16*. Ki a u er F. Лауэграммы пьезоэлектрически колеблющихся кристаллов, Phys. Zs. 36, 208—211 (1935).
17*. Langer R. M., Отражение рентгеновских лучей от колеблющихся кристаллов, Phys. Rev. 38, 573—574 (1931).
18*. Langer R. M., Прохождение рентгеновских лучей через колеблющиеся кристаллы (рефеоат), ibid. 49, 206 (1936).
19*. Nishikawa S.,.Sakisaka Y. and Sumoto L. Исследование рентгеновскими лучами формы колебаний пьезоэлектрических кварцевых пластинок, Sci. Papers Inst. Phys. Chem. Research (Tokyo) 25, 20—30 (1934); Phys. Rev. 38. 1078—1079 (1931); 43, 363-364 (1933).
20*. Sakisaka Y- and Sumoto L, Влияние тепловой деформации на интенсивность отражения рентгеновских лучей некоторыми кристаллами. Proc. Phys.-Math. Soc. Japan 13, 211—217 (1931).
21*. W e i g 1 e J. and В 1 e u I e г К., Теория влияния ультразвуковых волн на диффрак-цию рентгеновских лучей кристаллами, Helv. Phys. Acta 15, 445—454 (1942).
[10*] Ц0^гнетово® соли см- в Работах [6*] и [10*]. О турмалине—в работах
ГЛАВА XIV
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА ПЬЕЗОРЕЗОНАТОРА
§ 262. Введение. В предыдущей ^лаве было показано, что электрические характеристики резонатора при колебаниях по длине или при колебаниях по толщине вблизи любой резонансной частоты можно выразить через четыре постоянных параметра, представленных на фиг. 48. Большинство, если не все, типы пьезорезонаторов можно выразить одной и той же электрической схемой. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые свойства этой схемы, а также других эквивалентных схем, обращая особое внимание на изменение частоты, зазор и постоянные кристалла.
Под «эквивалентной схемой» какой-либо электромеханической системы обычно понимают группу значений R, L и С, независимых от частоты и соединенных друг с другом так, что при их подстановке вместо действительной системы в какой-либо электрический контур их воздействие на контур будет таким же, как воздействие самой электромеханической системы, по крайней мере в некотором диапазоне частот. В случае пьезорезонатора электрические константы эквивалентной схемы выбираются так, что они представляют электрическое поведение резонатора вблизи особой характерной частоты колебаний кристалла. Диапазон частот, в котором эквивалентные электрические «константы» можно считать действительно постоянными, в значительной мере зависит от близости других форм колебаний. Вообще кристаллический резонатор данной формы и ориентации обладает большим числом характерных форм колебаний при различных частотах, при каждой из которых резонатор как бы имеет одну степень свободы и особую группу эквивалентных электрических констант. Эквивалентная схема имеет различные параметры для каждой формы колебаний.
За несколько лет до того, как из пьезоэлектрических кристаллов были изготовлены первые резонаторы, Баттеруор(с теоретически показал, что1 любое механическое колебательное устройство, возбуждаемое периодической электродвижущей силой через конденсатор, представляет по отношению к возбуждающему контуру эквивалентный электрический импеданс, состоящий из сопротивления, самоиндукции и емкости, соединенных последовательно, причем эта группа шунтируется второй емкостью. Статья Баттеруорса была еще неизвестна автору [93], когда он впервые занимался теорией пьезорезонатора в 1922 г.; существование эквивалентной электрической комбинации признавалось, но автор пришел только' к комбинации сопротивления и емкости, соединенных последовательно или параллельно, причем их значения менялись в зависимости от частоты (см. § 271 и 273).
Эквивалентная схема, общепринятая для пьезорезонатора в настоящее время, была выведена из основных уравнений автора ван Дай-
’) S. Butterworth, Proc. Phys. Soc. (London), 27, 410—424 (1915).
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора 315
ком [547], [550], [552], независимо от работы Баттеруорса, но приводила к той же самой схеме, как-представленная на фиг. 48. Эквивалентные электрические константы в схеме ван Дайка, как и в схеме Баттеруорса, не зависят от частоты.
Несколько позже Дай [127] исходя из теоремы Баттеруорса, вывел схему, одинаковую со схемой ван Дайка, и очень полно рассмотрел теорию пьезорезонатора, включающую влияния зазора между кристаллом и электродами. С тех пор появилось много статей по этому вопросу, на часть которых сделаны ссылки в соответствующих местах.
Уже указывалось, что схема Баттеруорса — ван Дайка, представленная на фиг. 48 и 54, приложима как к брускам при колебаниях по длине, так и к пластинкам при колебаниях по толщине», а также, что при надлежащем выборе эквивалентных констант та же схема верна при зазоре любой ширины (ограничение в случае неметаллизованных брусков указано в § 285). Хотя подробная теория для других типов резонаторов и не разработана, едва ли можно сомневаться в общей правильности теоремы Баттеруорса в приложении к пьезоэлектрическим вибраторам, а именно в том, что пьезорезонатор любого типа можно представить эквивалентной схемой одного и того же вида.
§ 263. Мы теперь рассмотрим метод Дая, развитый далее Ватанабе [581], согласно которому электрические константы кристалла с зазором эквивалентны константам кристалла с зазором, равным нулю-, последовательно с которым включен еще другой конденсатор, представляющий зазор. Для большей простоты в настоящее время мы не будем рассматривать обертонных частот. Надлежащее обозначение для обертонов, если желательно, можно ввести в любом пункте.
Кристалл и его эквивалентные схемы представлены на фиг. 54. Полный зазор равен w. Электроды присоединяются к внешней цепи в точках р и q. Эквивалентные константы при учете зазора,, как и раньше, представлены величинами R', С', L' и С'\\ они одинаковы с величинами Rh'^Lh', Ch' и С/ § 232 и 255. R, L, С и Ci— соответствующие значения при w = 0» так что на фиг. 54,в — емкость зазора. Соотношение между постоянными на фиг. 54, б и 54, в даны в § 284.
При рассмотрении вопроса мы принимаем, что R', L', С' и С'\ не зависят от напряженности электрического поля и амплитуды колебаний. Другими словами, предполагается, что основные упругие и диэлектрические константы являются действительно постоянными. Это предположение целиком оправдывается в случае таких кристаллов, как кварц или турмалин, во всем диапазоне напряжений, встречаемых на практике. В случае сегнетовой соли, если, только напряжения не очень малы, следует иметь в виду нелинейность связи между напряжением и деформацией как механической, так и электрической.
Схемы бив представляют два разных способа изображения электрических характеристик кристалла с зазором, показанного на схематическом чертеже а. Как будет показано в § 284, эти две схемы можно сделать эквивалентными надлежащим выбором параметров, поскольку
О В своей статье Дай предлагает в качестве другой возможной схемы сопротивление, самоиндукцию и емкость, соединенные параллельно и представляющие колебательную часть эквивалентной схемы при зазоре, равном нулю, последовательно э которыми включена емкость, соответствующая Ci на фиг. 48, и другая емкость, представляющая зазор. Общее рассмотрение эквивалентных схем см. у Т. Е. Shea, Transmission Networks and Wave Filters, New York, 1929.
316
Глава XIV
поверхность кристалла при w =k 0 всегда является эквипотенциальной поверхностью, потому что в этом случае кристалл ведет себя так, как если бы он имел прилегающие электроды, а зазор являлся бы просто воздушным конденсатором. Такие условия существуют в случае колебаний по толщине, по крайней мере если пренебрегать осложнениями, вызываемыми связью различных форм колебаний. В § 286 будет показано, что такое же положение существует и при колебаниях бруска по длине, когда поверхности в зазоре снабжены проводящей оболочкой;
Фиг. 54. Кристалл с зазором и его две эквива-
если кристалл не металлизо-ван, то необходимо вводить поплавку на емкость зазора С2.
Электрические эквиваленты того же самого кристалла при нескольких частотах можно объединить
лентные схемы. в одну схему. Например,
_ если в дополнение к форме
колебаний, представленной величинами RLC на фиг. 54, имеются другие фЬрмы или обертоны, электрически представленные последовательными цепями R2L2C2,..., то все эти цепи, соединенные параллельно,
можно присоединить параллельно RLC. По соседству с любой резонан-
сной частотой импедансы всех цепей, за исключением одной, практически бесконечны, за исключением случаев, когда две резонансных частоты слишком сближаются друг с другом. Следует напомнить, что значения С\ при каждой форме колебаний немного различны, как можно видеть из уравнений (311) и (323().
§ 264. Частотные характеристики резонатора. Следует рассмотреть несколько случаев, большинство которых имеет практическое значение:
1. Кристалл возбуждается электрически или механически, а затем полюсы р и q на фиг. 54 или выключаются или присоединяются к бесконечному импедансу. Для того чтобы найти частоту свободных колебаний и скорость затухания, можно представить себе, что на конденсатор С' был дан начальный заряд. Разряд совершается через R'L'C', последовательные с С\. Частота бвободных колебаний выражается уравнением — R'^L'2, где Cf= C'CJ(C' •-}- C'i).
При этих условиях была получена осциллограмма скорости затухания колеблющейся кварцевой пластинки, описанной в § 320. Хотя эта частота только немного отличается от резонансной частоты, выражаемой уравнением а>о2 = \!L'C\ все же этим различием пренебрегать нельзя.
2. Кристалл возбуждается так же, как и в случае 1, но колеблется свободно при замкнутых нако|р|отко полюсах р и q. Цепь R'L'C' в данном случае присоединена к импедансу, равному нулю, С' не работает, и частота затухающих колебаний выражается уравнением в)2=1/2/С' — — 7?,2/4L'2, причем ее значение несколько ниже, чем в случае 1.
3. Полюсы р и q присоединены к генератору переменной частоты с внутренним импедансом, равным нулю. Эти условия предполагаются при теоретическом рассмотрении, когда на схему подается переменная разность потенциалов постоянной амплитуды Уо- Они приблизительно осуществляются в некоторых экспериментальных методах. Схема имеет две степени свободы с двумя характерными частотами. Это хорошо извест
Электрическая эквивалентная схема Льёзбр&зонатора
317
ные частоты при последовательном и параллельном резонансе, о которых мы еще будем говорить в дальнейшем.
4. Обычно полюсы р и q присоединяются к контуру, на который резонатор оказывает более или менее сильное обратное действие. Падение потенциала на резонаторе может поэтому сильно изменяться в зависимости от частоты, но характеристики резонатора, а также частоты при резонансе токов и напряжений те же, что и в случае 3.
Дальнейшее рассмотрение электрических свойств пьезорезонатора становится более понятным с помощью графических представлений, к которым мы теперь и перейдем.
§ 265. Резонансная окружность. Применение окружности для изображения полных проводимостей или импедансов резонаторов имеет много преимуществ Д Резонансная окружность дает вполне наглядное представление о работе резонатора при различных условиях и оказывает ценную помощь при составлении или интерпретации уравнений. Вычерченная в масштабе, такая диаграмма часто применяется для получения количественных результатов, что устраняет значительную часть трудоемких вычислений. t
Вообще говоря, резонансный круг правильно отображает работу резонатора в диапазоне частот, в котором резонирующий элемент имеет одну степень свободы. Если устройство имеет несколько резонансных частот, то для каждой из них следует составлять отдельную диаграмму или же путем соответствующего выбора масштабных значений можно применить ту же диаграмму при различных формах колебаний, включающих и гармоники основной частоты.
Характерным электрическим свойством резонатора является наличие эквивалентной последовательной цепи RLC (фиг. 54). Ее полная проводимость очень низка, за исключением частот, близких к резонансной, которая определяется выражением <о0 = 2к/0 — (1/LC) 1/2. Исходя из графического представления цепи RLC при зазоре, равном нулю, мы покажем, как можно распространить этот график на случаи более сложных схем. В последующем рассмотрении все уравнения и диаграммы применимы к любому обертону, если величины R, L, С и С\ имеют соответствующие значения. При подстановке вместо R, L, С и С\ надлежащих /?', L' С'и С'\ они также применимы к кристаллу с зазором. Пределы, в которых приближенные формы уравнений сохраняют силу, даны в § 294.
Импеданс R, L и С, соединенных последовательно, зависит от часто'-ты, как показано на фиг. 55, а, где X = &L — 1/шС=ВС, a Z2 = R2 -f- X2, или в векторном обозначении Z = R + /X. При изменении «> от О дооо/? = АВ остается постоянным, тогда как точка S движется по оси X от X — — сю к X = -{- оо . При резонансной частоте фазовый угол 6=0, X = 0, Z = R. Фиг. 55, б представляет полную проводимость У = 1/Z при той же частоте. Имеем У = g — jb, где активная проводимость равна
а реактивная проводимость равна b = X/Z2 = b'S'. При положительном X угол 6 = arctg = arctg положителен на обеих диаграммах,
О Кеннелли и его сотрудники ввели это представление, изучая в 1912 г. работу телефона. Метод этот рассматривается подробно в работе Кепп ell у, Electrical Vibration Instruments, New York, 1923.
318
Глава XIV
но в случае 55, б он откладывается по часовой стрелке. При резонансной частоте g = 1/R мы будем обозначать эту величину полной проводимости через go.
На фиг. 55, б А'В'о представляет значение go- При любой частоте У — 1/Z = cos 6/7? = go cos 9. Но последнее выражение представляет собой круг диаметром go = 1/R, выраженный в полярных координатах. Этот круг показан на фигуре, и его окружность является геометрическим местом У = A'S' при изменении частоты. Когда f = О, S' находится в А' и У = 0. При возрастании f точка 5' движется по< окружности по часовой стрелке и возвращается в А' при / = оо.
Причина такого подчеркивания полной проводимости заключается в том, что ею приходится пользоваться графически или аналитически, ког-
Фиг. 55- Полные сопротивление и проводимость при последовательном соединении R, L и С.
Фиг. 56- Векторы полных сопротивления и проводимости, объединенные в одной диаграмме.
да любой элемент контура, такой как С} на фиг. 48 или 54, соединен параллельно с RLC. При изучении резонатора мы ищем простой способ исследования его работы в диапазоне резонансных частот, когда, он присоединен к какому-либо переменному контуру. Так как приходится рассматривать как импедансы, так и полные проводимости, то выгоднее пользоваться одной диаграммой для обеих этих величин вместо двух отдельных диаграмм, представленных на фиг. 55.
§ 266. При построении любой векторной диаграммы нужно выбрать единичный вектор, или масштабное значение, физической величины, которую желают изобразить. При надлежащем выборе масштабных значений две диаграммы фиг. 55 можно наложить друг на друга, причем АВ и А'В'о будут совпадать. Результат этого представлен на фиг. 56, где, как и раньше, ЛЗ представляет импеданс при любой частоте /. Круг проведен произвольным радиусом р, выраженным в удобных единицах длины. Если диаметр 2р = АВ представляет R, то масштабное значение будет s — RIAB = R/2 р ом на единицу длины (или абсолютных электростатических единиц сопротивления на единицу длины). Реактивное сопротивление равно s • BS, импеданс равен s • Л3„ тогда как фазовый угол выражается формулой tg 0 = BSIAS.
Чтобы можно было’ представить на той же диаграмме полные проводимости, мы должны выбрать такое масштабное значение полных проводимостей s , чтобы АВ представляло go = 1/R. Это значение равно
. — 1 = *
У АВ 2pR &
(375)
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора 319
обратных единиц сопротивления на единицу расстояния, например, ом на сантиметр. Так как У = cos в /R и cos 6 = АР /АВ, то Y = s АР. Компонентами импеданса будут R = s АВ и X = s • BS\ а компоненты полной проводимости равны g = sy- AM и b = sv - МР.
Геометрически мы выполнили инверсию вектора относительно окружности инверсии г) (не представленной на диаграмме]) с центром в А и радиусом АВ. Согласно принципу инверсии, который в данном случае выражается тем, что (АВ)2 — • АР, лю*бая точка S на линии BS ± АВ
обращается в точку Р, где ЛЗ пересекает к|р!уг, диаметром которого является АВ. Если ЛЗ представляет импеданс цепи RLC, то АР представляет по величине и фазе соответствующую полную проводимость.
Настоящий метод требует одного отступления от обычных графических представлений полных проводимостей: положительная реактивная проводимость, подобно положительному реактивному сопротивлению, откладывается вверх. Это не должно вести к путанице, особенно потому, что знак 0 всегда одинаков как для реактивной проводимости, так и для соответствующего реактивного сопротивления. По мере того как частота возрастает от нуля через значение /0 f = 5 движется
вверх от — ос, через В {минимальный импеданс) к -|- со, тогда как Р движется против часовой стрелки по кругу от Л через В (максимальная полная проводимость) и обратно в Л. Фазовый угол 0 отрицателен ниже линии АВ (f fo, емкостное реактивное сопротивление), переходя через нуль к положительным значениям выше АВ (j > fo, индуктивное реактивное сопротивление) 2\
§ 267. Частотная калибровка резонансного круга. В дальнейшем мы будем, применяя графический метод, рассматривать резонансный круг полный проводимости цепи RLC резонатора как основной круг. Любой вектор, приведенный из точки Л на фиг. 56 в точку на окружности, как например, АР, представляет проводимость У цепи RLC : У — sv • АР. Как будет показано:, параллельную емкость С\ резонатора или любой последовательный или параллельный внешний импеданс можно представить графически так, что можно провести результирующий вектор, представляющий импеданс или полную проводимость всей комбинации. Сам круг может служить в качестве геометрического места полных проводимостей
О Принцип инверсии. Две точки Р и Р' считаются взаимно обращенными относительно круга радиуса а с центром в О, если они расположены на том же самом радиусе, одна внутри, а другая снаружи круга, на таких расстояниях, что ОР.ОР' — — а2. Круг называется кругом инверсии, а его центр — центром инверсии. Если этот принцип применить ко всем точкам любой геометрической фигуры в плоскости круга инверсии, то получится отображенная фигура. Мы легко можем доказать, что при отображении любой круг трансформируется в другой круг, включая и предельный случай прямой линии. Всякая прямая линия превращается в круг, проходящий через центр инверсии О. Нам придется неоднократно пользоваться тем, что любой данный круг превращается сам в себя, когда он касается радиуса круга инверсии в точке окружности последнего. В этом случае любые две точки на данном круге являются взаимно отображенными, когда они лежат на одной и той же прямой, проходящей через центр инверсии.
О применениях принципа инверсии к переменным токам см. Lee, Graphical Analysis of Alternating Current Circuits, Baltimore, 1928. О применениях к колеблющимся системам см. Кепп ell у, Electrical Vibration Instruments, New-York, 1923. О применениях к контурам пьезоэлектрических резонаторов см. Вигурё [652, 653], а также работы [127] и [581].
2) Применение одного резонансного круга для представления как полных проводимостей, так и импедансов было введено автором в 1933 г. [105]. Указанная статья, содержит и некоторые другие применения, не описанные в этой книге.
320
Глава XIV
или же импедансов, а распределение частот по кругу будет меняться согласно общей схеме. Однако частоту, соответствующую любому вектору, как например, частоту при минимальном импедансе данной схемы, можно определить простыми графическими операциями через распределение частот по основному кругу.
Поэтому в данном пункте желательно показать, как можно градуировать основной круг по частотам при данных R, L и С.
Каждой точке на основном круге соответствует особая частота; например, в точке Р на фиг. 56 частота / = со /2л несколько выше, чем резонансное значение /0 = шо/2= 1/2 ^LC в В. Мы покажем, что расстояние BS, измеряемое вверх или вниз от В до точки S, где полученная линия АР пересекает вертикальную ось в точке В, почти пропорционально разности частот f— f0. Поэтому на вертикальной оси, проходящей через тючку В, можно построить линейный масштаб частот.
Искомые выражения лучше всего вывести, исходя из фазового угла 0 на фиг. 56:
tgo=^ * = . (376)
Это уравнение строго выполняется для всех значений со. В случае кристаллов, подобных сегнетовой соли, у которой со очень значительно изменяется в резонансном диапазоне, это уравнение не допускает дальнейших упрощений. BS пропорционально со только при значениях со близких к «о ; при белее высоких значениях со — <о0 , если даны величины L, С, R, р и BS, величину следует находить, решая квадратное уравнение. С другой стороны, при заданной “ легко вычислить BS и отсюда найти положение Р на окружности.
Если со настолько близка к со0 , что допустимо приближение (со<о0) 2<о , то уравнение (376) можно написать в следующей упро-
щенной форме:
BS__ 2L (<п — <0q)_ ‘2 Ln , г 377 )
__ _ = ___ , I j
где
п == со0 — со = 2тг (/0 — /) . (377а)
Отсюда следует, что разность частот можно выразить в виде
, (378)
где масштабное значение частоты равно
о = (Hz/един. расст.). (378а)
Единичное расстояние, измеряемое вверх или вниз от В, соответствует поэтому разности частот а, так что вдоль этой вертикальной линии й можно построить линейную шкалу частот. Вблизи резонанса шкала в высшей степени точна; ошибка равняется 1% при отличии /от/о на 2%. Такая точность вполне достаточна для кварцевых резонаторов при всех частотах, которые когда-либо придется рассматривать.
О Эта линейная шкала описана в работе Е. Mallett, Telegraphy and Telephony, London, 1929, стр. 135.
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
321
Положительное направление BS отсчитывается вверх, соответственно отрицательным значениям п (высокочастотная сторона резонанса).
Серию 1градуиро1вок для отдельного резонатора можно непосредственно нанести на круг, но такая шкала была бы очень редкой вблизи В и все более тесной при- приближении к А с обеих сторон. Гораздо удобнее находить частоту, соответствующую любой точке Р, методом, описанным выше.
§ 268. Во многих случаях необходимо находить частоту, соответствующую точке Р <на левой стороне круга, как это имеет место в действительности у большинства пьезогенераторов. После того как линия APS проведена, точка S может находиться слишком далеко от точки В, выше или ниже ее. Близкую оценку частоты можно тогда сделать, пользуясь следующим искусственным геометрическим приемом: для такой точки, как Р\ на фиг. 56, точка, соответствующая S (предположим, S'), оказалась .'бы на неудобно далеком расстоянии под В на продолжении линии APj. Вместо того чтобы проводить АР}3', можно провести линию BPXV. Затем на основании подобия треугольников получаем: BS'/AB — = АВ/AV, откуда BS' — 4 р2/ЛV и
я п__ dc' 4р3 __ 2ар 2яа' fQ7Q^
tl — 2коВЗ — 8кр£ ’ AV~ L-AV~ AV ~AV’ (379)
где
= 4р2а (Hz/един. расст.). (379a)
Разность частот f0— f(=n/2^), соответствующая любой точке на левой стороне круга, равна o'/AV. Обратно, местоположение на окружности точки, соответствующей данной f, можно найти посредством уравнений (379) или (379а).
При применении о или <з', определяемых уравнениями (378а) и (379а), графический метод дает значение п с точностью до 1%, пока п составляет не больше чем 2% /0- При очень больших и очень малых частотах рабочая точка на -окружности слишком близка к А для надежных измерений расстояния AV. В таких случаях лучше не пользоваться графическим методом, а выводить соотношения между различными параметрами и частотой аналитически, пользуясь геометрическими соотношениями для ориентировки. Выводы обычно очень просты, так как вдали от резонанса можно опустить члены, содержащие R. Численный пример приведен в § 300.
Если в рассмотрении резонансного круга в предыдущих параграфах вместо R подставить R'hf то все выражения становятся применимыми к резонатору, колеблющемуся вблизи гармоники h.
§ 269. Резонансная диаграмма кристаллического резонатора. Мы показали, что импеданс и полную проводимость цепи RLC резонаторной схемы можно представить посредством резонансного круга (фиг. 56). Из этой фигуры можно вывести обычную резонансную кривую, откладывая частоты по оси абсцисс, а полные проводимости — по оси ординат. Круговая диаграмма для одной цепи RLC еще проще, и становится гораздо удобнее включить влияние параллельной емкости Сь
21 Кгди
322
Глава XIV
Полная проводимость емкости CY равна Yi = —jb\ = j <о Сь причем абсолютное значение этой величины есть Векторная полная
проводимость всего резонатора выражается формулой
Y', = Y + V,=g
Мы рассмотрим сначала способ, которым обычно выражали такую, полную проводимость в прошлом. На фиг. 57,aAS' представляет У = = g — jb, причем b в этом особом случае индуктивно. К Y следует прибавить векторно Y1==—jb, емкостную полную проводимость, представленную вектором AF, проведенным вверх. АР, результирующая AF и XS', представляет У\. Если точки S' имеют геометрическое место в виде окружности, в зависимости от изменения частоты, то сложение XS' с AF требует, чтобы геометрическое место передвинулось вверх в положение,
а б
Фиг. 57- Векторная диаграмма полной проводимости резонатора; а—общепринятая; б—по методу, принятому в настоящей книге. Стрелка / указывает направление возрастания частоты.
указанное пунктирным кругом. Такое передвижение резонансного круга недопустимо в резонаторных задачах, в которых меняется положение точки F. Трудность просто преодолевается построением, представленным на фиг. 56, а именно, откладыванием угла 6 вверх, когда он положителен, как показано на фиг. 57,6. Емкостная полная проводимость Y\ попреж-нему направлена вверх. Посредством этого линия FP сразу же выражает результирующую полную проводимость Y\, причем угол представляет фазовый угол величины У'1, отложенной вверх, в случае когда Y'\ индуктивно, и вниз — когда последняя имеет емкостный характер. Теперь мы получаем:
Цепь RLC‘.
R 2pS 2р5у ’ Z — s • XS; g =sy-AM‘,
Цепь С±: gi = 0;
X = sBC",
Y = sy-AP-, b — sy- MP. bx = — <•>(?!= — sy • AF.
(380)
RLCCv. g; = g; b[ = b 4- b, = sy(MP + WM) = sy WP‘, Yx= sy- FP . sy = 4p2s •
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
323
Точка А на фиг. 57,6 является началом векторов, представляющих импеданс или полную проводимость цепи RLC, тогда как F является началом полной проводимости схемы, состоящей из С\, параллельной цепи RLC. Весьма важное значение имеет отношение AF/AB. Рассматривая только его величину и пользуясь соотношением Q = w L/R, мы имеем:
~АВ ~~ ~2р~~ С1# ~ CQ ' (381)
При возрастании частоты от нуля до бесконечности и при движении точки Р по окружности (расстояние AF меняется равномерно' от нуля до бесконечности. Однако в обычном резонансном диапазоне таких кристаллов, как кварц, изменение частоты столь мало, что F можно практически рассматривать как фиксированную точку. Тем самым применение графического метода сильно' упрощается без заметного уменьшения точности.
С другой стороны, кристаллы, пьезоэлектрически очень сильные, например сегнетова соль, претерпевают в рассматриваемом диапазоне изменение частоты, достигающее 50%. В таких случаях при каждой отдельной частоте точке F следует приписывать отдельное положение.
Вообще в этой главе делается предположение, что при графическом представлении частота меняется в рассматриваемом диапазоне так мало, что вместо уравнений (380) можно писать выражение
= — <o0Ci = — sy 4F^const., (382)
где <ор =• (1/ЛС)и.
Полная проводимость резонатора, без приближений, выражается в общем ни де формулой
(383)
В случае резонаторов, имеющих очень узкий диапазон резонансных частот, мы можем положить <о = <о0 — п в выражениях для X и Z и с ничтожной ошибкой писать «>о^1 вместо wCi. Тогда уравнение (383) принимает вид:
+“«с,) •
В случае круга фиксированного радиуса р и заданных L и С, если действующее значение R уменьшается посредством улучшенной монтировки, Sy возрастает, a AF — — <aCJsy уменьшается. Из уравнения (378а) мы видим, что о уменьшается, увеличивая BS при том же самом п, что приводит к более свободной шкале частот в значительной части резонансного круга.
§ 270. Круг полных сопротивлений. Способ, которым тот же самый резонансный круг используется не только для полных проводимостей, но также и для импеданса всего резонатора, представлен на фиг. 57,6. Если ищут графическое представление резонатора с внешним импедансом, включенным последовательно (например, в случае зазора между кристаллом и электродами), то сначала необходимо найти на диаграмме вектор, представляющий Z\ = 1/Y\ , как мы теперь и поясним. Затем Z\ можно векторно сложить с внешним импедансом.
21*
324
Глава XIV
Так как Z\ является величиной, обратной У'ь то для определения точки Р', сопряженной Р, мы можем воспользоваться методом инверсии. Эта вторая инверсия выполняется относительно F, причем круг инверсии (который не нужно вычерчивать) имеет радиус FA и центр в точке F. Здесь мы пользуемся геометрическим соотношением (Zo4)2 = FP2 • FP'. Точка Р обращается в Р', в которой прямая линия FP пересекает круг. Для некоторых положений Р очевидно соотношение FP' FP, соответствующее тому обстоятельству, что меньшая полная проводимость обозначает больший импеданс.
Согласно принципу инверсии, во всех случаях, когда Р находится на окружности, расстояние FP' обратно' пропорционально FP; поэтому оно прямо пропорционально импедансу Z'i. В настоящем случае это очень просто проверить, не обращаясь к теории инверсии, написав:
Z/=
^ = -^ = s -FP' Sy-ГР sy{AF)‘2~ 2 ’
(385;
где
1 = 1 = Sy
Sy(AF)2 2pR^-Cl ш-Cl
(385a)
является масштабным значением импеданса RLCC\. Величина sz является функцией постоянных R и С\ и фиксированного диаметра 2 р ; она является также функцией , но в резонансном диапазоне относительное изменение частоты так мало, что величину sz можно рассматривать как постоянную. По той же причине обычно допустимо рассматривать в резонансном диапазоне как постоянную величину AF, хотя импеданс цепи RLC и меняется чрезвычайно сильно, импеданс Cj остается практически постоянным при всех частотах, с которыми обычно приходится иметь делю).
§ 271. Когда величину sy принимают в качестве единичного вектора, то вся диаграмма на фиг. 57,6 представляет диаграмму полной проводимости, причем AF и АР соответственно представляют полные проводимости (А и RLC; FP представляет полную приводимость RLCCX. С другой стороны, когда в качестве единичного вектора берут sz , то фигура становится диаграммой импеданса, для которой справедливы следующие соотношения, включая и соотношение, выражаемое уравнением (385):
Импеданс Q =—-L-= . (386)
Импеданс RLCCr = Z\— sz • FP' = Rs-\- jXs. (387)
Rs и Xs представляют собой эквивалентные последовательные омическое и реактивное сопротивления всего резонатора RLCC\. Можно показать, чРо их значения1) равны (см. фиг. 57):
R = s - FW' = --------£------— ;
5 z (1 — о>Ср¥)2 -р ^C}R2
s2 W'P’ = , •
5 z (1 —uCRPp+^CiR2
(388)
(389)
’) Эти величины соответствуют величинам, выражаемым уравнениями (ц) и (&) в статье Дая ([127], стр, 403), и величинам R\ и Х\ в более ранней статье автора [105].
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
325
Значения Xs при последовательном и параллельном резонансе рассматриваются в § 276.
Во многих случаях этими формулами удобнее пользоваться в приближенной форме, получаемой при подстановке <о = <о0 — п (где <0%= 1/ЛС):
~ 1 +2со0^С1П)2 + Ш2 С2/?2 ’ (390)
___ 2Z.n (1 -|-2а)0 а>0С]7?2 (391)
s~ (1 + 2со0 ZG/г) 2 + со2С?/?2 J
Когда п лежит вне определенных пределов, зависящих от различных параметров и желаемой точности, то влияние R2 становится ничтожным, и эти формулы принимают вид:
~ (Г-Н 2C0OLG/Z)2 ; (392)
s 1 । о гг * J
1 2coqLCj.^z
Эти выражения справедливы до тех цор, пока п не станет настолько большим, что приближение;, допущенное в знаменателе, уже больше не оправдывается.
Если только R не является чрезвычайно малым, может оказаться, что члены с приходится сохранять во всем обычно рассматриваемом диапазоне частот. Примеры этого даны bi § 301.
Иногда удобно рассматривать резонатор как эквивалент сопротивления Rs, последовательного емкости Cs. Последнюю мы находим из уравнения
С = - —у = - ~Аргр: . (394]
Во всех точках на окружности полной проводимости, лежащих выше линии FW, величина W'P' положительна, a Cs — отрицательна. С помощМо уравнений- (389) и (394) можно показать, что для очень малых R, Cs при любом ад имеет значение
(394а)
§ 272. Шкала частот для окружности импеданса. Возвращаясь к фиг. 57,6, мы находим, что при движении точки Р по окружности полной проводимости против часовой стрелки из точки А снова к точке А обращенная точка Р', положение которой представляет импеданс, движется по часовой стрелке из А обратно в А. Распределение частоты по кругу также отличается от распределения, когда круг рассматри-вают как геометрическое место полной проводимости. Однако нет необходимости строить особую шкалу частот для импедансов, если принять следующий простой метод.
. На окружности импеданса каждой точке Р' соответствует обращенная точка Р, расположенная на прямой линии, проходящей через F и Р'. Точки Р' и Р соответствуют импедансу и полной проводимости резонатора при той же самой частоте. При заданной точке Р' требуетсг
.326
Глава XIV
только определить место обращенной точки Р, провести линию APS (или BP{V, согласно фиг. 56) и найти частоту из уравнений (378) или (379). Этот графический метод достаточно точен для большинства целей и обходит трудоемкие вычисления, которые в противном случае необходимы для определения частоты, соответствующей любому значению резонатора.
§ 273. Резонатор RLCC\ можно также представить как сопротивление Rp , параллельное емкости С . Подобно Rs и С?, величины Rp и Ср зависят от частоты. Из фиг. 57,6 и уравнений (380) мы видим, что при частоте, соответствующей любой точке Р,
<395)
Хр^Ь'\ " sy-WP = — ^С~р ’ (395а)
Величина Ср отрицательна при частотах, лежащих выше пунктирной линии FP на фиг. 57.
При частотах, достаточно удаленных от резонанса, величинами Rs и R можно пренебрегать. При высоких частотах С s и Ср сходятся к общему значению С. При низких частотах они сходятся к общему значению (Ci-J-C). Этот возрос обсуждается в § 300 и 258.
На фиг. 57 и в большинстве нижеследующих диаграмм длина линии AF сильно преувеличена по сравнению со значением, характерным для типичного пьезорезонатора. Отношение AF/AB равно ^C\R. Сопротивление R обычно так мало, что это отношение равно приблизительно 1 : 100. Как будет показано, длина AF увеличивается при наличии зазора, но даже и тогда при обычно применяемых малых зазорах это отношение остается малым. Без преувеличения длины AF было бы трудно иллюстрировать принцип резонатора.
§ 274. Соотношение между точками, взаимно связанными инверсией. В дальнейшем будет применено следующее соотношение. Рассмотрим любые две взаимно отображенные точки на окружности полной проводимости, как, например, Р и Р' на фиг. 58. Полагая соответствующие частоты равными / = <о/2тс и f' = <»72к, мы из уравнения (378) находим п — в>0 — <» =— 2тго • BS и п' = <% — «/ =— 2-5-BS'. Из геометрических соображений с помощью уравнеция №f^LC — 1 можно показать, что SS'= 4р2М7?— 2BS или f' — f — 4^a/AF — — 2(/ — /о), откуда
f +f- +2/«= 2/»(1 + = Const • '3961
Таким образом, сумма частот для двух взаимно отображенных точек является постоянной, поскольку а и AF можно рассматривать как постоянные, что с весьма хорошим приближением справедливо в обычном резонансном диапазоне.
§ 275. Критические частоты резонатора. Рассмотрим теперь критические точки на резонансном круге полных проводимостей, дающие в то же время значительное число полезных приближенных формул, связывающих различные частоты.
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
327
Критические точки представлены на фиг. 59. В точке В частота равна f0 = 1/2к (LC)'1* , соответствуя максимальной проводимости цепи RFC и (при постоянном напряжении) максимальному току Iр в этой цепи. В точке В параллельное сопротивление Rp имеет минимальное значение [см. уравнение (395)]. На окружности импеданса В является точкой максимального значения последовательного сопротивления Rs, так как если В замещает Р' в уравнений (387), то Z' = sz. FB с компонентами R = s?'AB и Xs=s2 -AF; т. е. АВ есть наибольшее значение, которое FW' может иметь в уравнении (388). Частота, соответствующая В на окружности импеданса, не равна f0, но ее значение выше, чем f0, а именно, оно равно значению в точке Р7 на окружности
Фиг. 59. Критические точки на резонансной окружности. Стрелки fy и fz показывают направления возрастания частоты по окружности соответственно для полной проводимости и полного сопротивления.
Фиг. 58. Две взаимно обратных точки на окружности полной проводимости с соответствующими точками 5 и S' на шкале частот.
полной проводимости. Точка Р7 является отображением точки В. Легко показать, что это максимальное значение Rs связано с R уравнением
Рассмотрим затем взаимно сопряженные точки Рз и Р4 на горизонтальной (активное или реактивное сопротивление) оси, проходящей через F. В обеих точках резонатор ведет себя как чистое сопротивление. В точке Рз полная проводимость, в данном случ'ае чисто активная проводимость, имеет большое значение. Частоту в точке Рз обычно называют частотой последовательного резонанса, так как если Сх относительно мало (как это имеет место в типичном пьезорезонаторе|), F близко к Л а А настолько близко к В, что частота лишь чрезвычайно мало отличается от /о, являющегося значением при последовательном резонансе в цепи RLC. С другой стороны, в Р4 мы имеем условие параллельного резонанса (антирезонанса), в котором Сх играет важную роль. Полные проводимости при последовательном и параллельном резонансе соответственно равны sy FP3 и sv • FP4, тогда как импедансы соответственно равны sz FP4 и sz FP3. Если величина AF мала, то отношение FP4 к FP3 крайне мало.
328
Глава XIV
В точках Р3 и Р4, как можно видеть из уравнений (388), (389), (394) и (395), Х5=0, Хр= + со, m , Ср= 0. В точке Р3 Rs =sz • FP4, a R = 1/(5 • FP3) = Rs- в точке P4 Rs — sz FP3, a Rp=U(sy FP4) = Rs.
§ 276. Частоты и реактивные сопротивления при последовательном и параллельном резонансе. Частоты выводят из уравнения (383) или полагая ^=0 в уравнении (389). Решая относительно <о, находим! в первом приближении относительно R:
(О2 5
(397)
9 _ 1 , 1 G + С
®Р ~ LC I LC, L2 С
(398)
где и <х>р являются соответственно значениями при последовательном и параллельном резонансах (точки Р3 и Р4). Отсюда:
____г) f , 1 f i i \ ,
__с) f ~ 1 [ 1 । £ R4C\ + С)
_ С 7?2(2G + C)\
21 /
(399)
(399а)
(400)
Если затухание очень мало, так что R стремится к нулю, то приближается к значению <о0 = (1/АС)’^ , тогда как а>р приближается к (1/LC) * (1 + С/2С1). Тогда имеем также
СО
—
(401)
_ 1 I .
~ LC L4J ’
5
Можно показать, чТо это выражение приблизительно равно \h уравнения (350а).
Чем меньше отношение С/Сь тем ближе друг к другу частоты при последовательном и параллельном резонансах.
Когда имеют дело с такими кристаллами, как кварц, у которых отношение Ci/С превышает 100, то обычно достаточны приближенные уравнения (399) — (400). С другой стороны, могут встретиться случаи, где желательна более высокая точность или где, как у сегнетовой соли, отношение G/C не настолько велико, чтобы ®>р — о\, оставалось малым по сравнению с ч.. Тогда следует пользоваться следующими более строгими выражениями, полученными из уравнений (397) и (398):
(О2 р
— 0)
2 _ _1_
* LC.
№ 2С, + С
(402)
V С
В большинстве случаев, при которых применяют эту формулу, R настолько мало, что
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
329
п п 1 С п С
юр ~~ ~ ZcT = LCC[ = “s "С? ’
СО р —о> J ы2р 1 f^p < , С 01 “S <О2£ У2£ СХ
(403)
Иногда утверждали, что последовательное реактивное сопротивление Xs пьезорезонатора равно нулю при последовательном резонансе и бесконечности при параллельном резонансе. Последняя часть этого утверждения была бы верной только в том случае, если бы сопротивление R было строго равно нулю. Уравнение (389) показывает, что пока R 0, реактивное сопротивление не может обратиться в бесконечность ни при какой частоте, но проходит через нуль как при последовательном, так и при параллельном резонансе.
Если в уравнениях (388) и (389) R = 0, то
R.,-0 , X5 = т * у . (404)
Тогда Xs — 0 при Х = 0и Xs=oo при X = где «а2 = (Ci-f-С)/ЛС1С; это значение <о2 из уравнения (398) при R==0.
Изменение Xs с частотой качественно иллюстрируется фиг. 60. При R = 0 величина Xs = 0 при частоте /о = 1 /2тс (АС) *
изменяется от оо до — оо при частоте f 0, выражаемой формулой:
Фиг. 60. Изменение последовательного реактивного сопротивления Xs резонатора. Сплошная линия проведена для R =0.
Когда 2? 2> 0, то Xs имеет конечный максимум и минимум и обращается в нуль в точках fs и fp. При не слишком малых значениях R разность частот (fp — ) между антирезоНансом и резонансом не отличается заметно от (fp0 — /о).
§ 277. «Квадрантальные» точки находятся вР1иР2. Хотя их и нельзя определить экспериментально удобным способом, однако они имеют известное физическое значение, особенно вследствие их связи с затуханием. Они являются точками, в которых 6 = + 45°, причем омическое и реактивное сопротивления цепи RLC здесь численно равны друг другу. Таким образом, они являются 'также точками, в которых ток в цепи RLC имеет Половинную энергйю, что в силу § 305 справедливо также и для механической энергии колебаний. Это приводит к уравнениям
<о2 ~ Y <о20 а2 а , V а>20 -{-а2 — а , (405 )
где <о2 и coj относятся к точкам Р2 и Pi, a a = P/2L. Когда а мало, имеем!:
t406)
где 8 — логарифмический декремент.
330
Глава XIV
На диаграмме полной проводимости точки Р\ и Р2 представляют точки максимальных положительных и отрицательных значений параллельной емкости Ср (§ 273). На диаграмме импеданса они представляют точки максимальных положительных и отрицательных значений последовательной емкости Cs.
§ 278. Точки максимальной и минимальной полной проводимости всего резонатора RLCC} иногда используются при измерении диэлектрических постоянных. Это точки Р5 и Р6, которые получаются при проведении линии из F через центр круга С. Обозначая через Y m и Yn максимальное и минимальнее значения Y'i, находим:
Ym = syFPb, Yn = sy-FP„ Zm = s2FP5 , Zn = s2FPQ. (407) Частоты, соответствующие Р$ и Р6 на диаграмме импеданса, одинаковы с частотами, соответствующими Р6 и Р5 на диаграмме полной проводимости, так как они являются взаимно сопряженными точками.
§ 279. Уравнения для Ym и Yn. Эти выражения можно вы-
вести, применяя к уравнению (383) условия максимума и минимума полйой проводимости цепи RLCC\ при изменении .«о. Той же точности можно добиться более легким путем, основывая расчеты на построении, показанном на фиг. 59. Предположим, ч*то на этой фигуре F имеет положение, соответствующее <&п для минимальной полной проводимости Yn., так что sv AF =— Сь Тогда Ре, где FC пересекает окружность, отмечает точку на круге, в которой со имеет значение . Пользуясь тем, что / FCA = 20 и что sy 2 р R = 1 (§ 269), находим:
tg 20 = .
ь AC sy . р п 1
Выражение совершенно такого же вида справедливо для частоты максимальной полной проводимости, но здесь вместо со. следует писать <оот; в этом случае 0 и AF несколько меньше, чем в случае <ол, но это можно не учитывать, так как ни 6 , ни AF не присутствуют в окончательном решении. Теперь мы можем написать одно уравнение, справедливое для частот fm и fn:
tg29 = 2coC1/?. . (408)
Два значения со можно найти, исключая 6 из этого уравнения и (376). Отбрасывая члены порядка выше R2, находим:
= С409)
^Ь + с-+ + (409а>
Даже в случае сегнетовой соли, для которой R2CJL значительно выше, чем для кварца, сот чрезвычайно близко к со0.
Обычно членами с R2 можно пренебречь. Тогда
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
331
Для кварца, в котором С с достаточной точностью можцЬ написать:
шп _________ fп f т .—. С (41 Оа)
0)/и fm 2Ci
Уравнения (410) и (410а) идентичны уравнениям (401) и (403) и тем самым показывают, что разность частот между максимальной и минимальной полной проводимостью почти одинакова с разностью между резонансом и антирезонангсом, причем приближение становится тем точнее, чем меньше значение R.
Между прочим, можно заметить, что fn приблизительно равно резонансной частоте контура, состоящего из /?, L, С и Ci, включенных последовательно.
В выводе Y т и Yn можно опять воспользоваться графическими соотношениями фиг. 59. Мы имеем
Г —s .fP6 = sv(FC-p)=sv— •
Принимая во внимание уравнение (408), находим:
Yn^^\C\R (411)
или, согласно (409а), + = (С, + С) . (411а)
Подобный же процесс приводит к выражению
г ___ 1 /1 । C^R2
т ~ R LC
(4116)
Очевидно, что Y п обращается в нуль вместе с R, как это и должно быть при параллельном резонансе, тогда как полная проводимость Zm в высшей степени близка к R, пока R остается малым. У, обычно так мало и минимум является настолько плоским, что точное измерение fn становится трудным.
Разность между двумя полными проводимостями равна:
C.R2
L
/С._3
(с 2
(412)
Когда R мало, то эта разность приближается к 1/R — результат, получающийся также из принципа инверсии при предположении, что расстояние AF на фиг. 59 приблизительно то же самое при каждой Частоте.
Отношение Ym/Yn равно
Ym _ LC _ 1
Yn +Q~ ф2^2С1(С1+С) •
(413)
9 To обстоятельство, что F имеет различные положения при максимальной и минимальной полной проводимости, вследствие чего F, Ре„ С и строго говоря, не коллинеарны, не вносит ошибки в настоящее рассуждение.
332
Глава XIV
Когда Ci5>> С (как в случае кварца), уравнение (413) принимает вид:
Кг» о)20С217?2
(413а)
Мы воспользуемся этим выражением в § 317.
Предыдущие выводы хорошо иллюстрируют полезность графического представления. Тот же процесс можно применить в случае кристалла с зазором любой ширины, пользуясь параметрами R',L',C' и С'ь
§ 280. Отношение емкостей. Когда затухание мало, из уравнений (401), (409) и (410а) можно видеть, что отношение С/2С\, приблизительно равно (fp-fs)!fs, или (fn—fm)!fm. Это отноше-
ние является мерой качества резонатора. Однако вместо 0/201 принято пользоваться отношением Ot/O, которое мы назовем емкостным отношением Как будет показно в § 283, это отношение представляет собой отношение энергий, содержащихся в электрической и механической системах. Малое емкостное отношение означает высокую активность. Из уравнений (322), (323), (364) и (365) находим как для Колебаний по толщине, так и для продольных колебаний, что при гармонике h и зазоре w имеет место соотношение
Ct ____r.kq'/Te'r
32г2е
(414)
При основной частоте и без зазора (Л=1, w = 0) получаем:
Ct ___ nkq0
С ~ 32г2 ’
(414а)
где величина е'г, действующая диэлектрическая постоянная k, коэфициент упругости q и пьезоэлектрическая константа е имеют в каждом случае соответствующее значение. Эти выражения не включают размеров резонатора. Чем больше е , тем больше активность и тем больше расхождение между резонансом й антирезонансом. Если кристаллический срез сдвойникован или имеет другие дефекты, то значения k, q, C'i и частота могут быть нормальными, но малая активность будет обнаруживаться аномально низкими значениями (fp~fs) и соответственно большим значением L' h и электромеханического отношения г.
Связь электромеханического отношения с емкостным отношением. Если значение г сначала при колебаниях по длине из уравнений (326) в § 233, а затем при колебаниях по толщине из уравнений (367) в § 255 скомбинировать с уравнением (414), то в каждом случае следует
Й = (4,5J
где А — площадь пластинки в случае колебаний по толщине и площадь поперечного сечения be в случае колебаний по длине. Так как дробь справа, по существу, постоянна, то г пропорционально емкостному сопротивлению. Когда h = 1 и w = 0, то
Ci izkqA2:
(416)
’) Значение отношения Ci/C было впервые признано Даем ([127], стр. 426), на звавшим его «пьезоэлектрическим отношением». ' •
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
333
Рассмотрение уравнений показывает, что для получения низкого значения отношения CJC следует выбирать кристалл с высоким е и без зазора. Если кристалл нам известен, например кварц, то е зависит от угла среза, причем для большинства срезов!, имеющих низкий температурный коэфициент, угол таков, что е значительно уменьшается по своему значению (§ 351). Тогда возникает вопрос, что можно сделать при заданных е, k и q, чтобы уменьшить отношение Ci/C.
Одним из средств является присоединение к кристаллу самоиндукции таким способом, чтобы нейтрализовать Ci; это применяется в некоторых схемах фильтров. В случае бруска, колеблющегося продольно, можно уменьшить С\/С приблизительно на 20'%;, применяя электроды, длина которых равняется трем четвертям длины бруска, как это показано в § 241. В случае пластинок, колеблющихся по толщине, мы ничего не выигрываем, уменьшая электроды, так как влияние этого уменьшения эквивалентно увеличению зазора.
Следует заметить, что выражение для отношения емкостей не содержит ни R, ни Q. Для одинакового CJC резонатор будет, разумеется, тем селективнее, чем меньше R; R можно уменьшить надлежащей монтировкой и помещением кристалла в вакуум. Уменьшение активности происходит вследствие всех тех причин, которые увеличивают действующее значение как, например, паразитные емкости или последовательный или параллельный конденсатор.
Таблица 24
КРИТИЧЕСКИЕ ЧАСТОТЫ РЕЗОНАТОРА
Точка Обозначение частоты Критические условия Уравнения fo
1 А л макс. Хр (406) 1 и!
2 1/ L
2 А fm макс. У/, мин. Z/, R2Ct
макс. I (409) 2L
3 в fo Х=0, макс. Y, мин. , 1
Rp, макс. 1р, макс. 2 0
скорость R2Cr
4 Рз fs ’ Zy=0, Xp=i:<x> (399) '~2L
tfi/c
5 Р2 Л мин. Хр (406) 2 |/ L
6 А макс. Xs См. § 300
7 А fp Xs=0, Хр=±оо (399 а) С R4C1+C) 2Сг 2L
8 А макс. Rs См. § 300
9 А fп мин. У/, макс. Z/, С' RK\
мин. I (409 а) 2С\ + 2L
10 А мин. Xs См. § 300
§ 281. Сводка данных по критическим частотам. Сводка результатов, выведенных в предыдущих параграфах, дана в табл. 24. Цифры в первом столбце расположены в порядке возрастания частоты, а второй столбец указывает точки на окружности полной проводимости на фиг. 59 и 65. Частоты выражены через относительные разности
334
Глава XIV
Xf/fo— (fc—fo)/fo, причем fc—критическая частота. Токи I и Ip обозначены на фиг. 48.
Взаимно сопряженными являются следующие пары точек: Р\ и Ру, Р5 и Р6, В и Р7, Р3 и Р4, Р2 и Р8.
Следует заметить, что наиболее употребительные при расчетах резонатора критические точки разделяются ца две группы, а именно Р5, В и Рз, частота в которых имеет почти одинаковое значение, приближаясь к /о с уменьшением R, и Р4, Р7 и Р^, так же мало различающиеся между со(бой по частоте. В пределах обычной точности разность частот между Р6 и Рз, Р7 и В или Р4 и Рз можно принимать за интервал между антирезонансом и резонансом. В § 280 уже было указано, что три отношения Un-foV.fo и (fn—fmMfm по существу
равны С/2С1. Строго говоря, расстояние AF на круговых диаграммах, выражаемых уравнением (380), должно быть для антирезонанса больше, чем для резонанса в отношении (1 + С/2С1) : 1. В случае кварцевых резонаторов это отношение приблизительно равно 1,005 и его можно не вводить.
При измерении электрических характеристик резонаторов особенно важны точки Р5 и Р6. Пьезогенераторы, за исключением некоторых последних схем, обычно работают при относительно высокой частоте по соседству с Р4, представляющей антирезонаисную точку (см. § 389 и фиг. 59). Как уже указывалось, для большинства резонаторов отношение расстояния AF к диаметру круга так мало, что при более высоких частотах графический метод служит только для ориентировки при выполнении расчетов. Найример, при очень высокой и очещ> низкой частоте значение Xs можно получить из уравнения (389), в котором с достаточной точностью можно положить R — 0. Тогда получаем значение
Если /2 С “о, то X — — 2Ln\ в этом случае имеем:
— ILn
1
(417а)
В добавление к табл. 24 можно упомянуть еще одну критическую частоту, а именно частоту свободных колебаний, играющую роль в некоторых методах измерений, как будет показано в § 320. Из уравнений (65) или (93) находим выражение для основной частоты свободных колебаний любого резонатора, имеющее вид:
откуда
//—/о
/о
№С 8L
(418)
Когда R достаточно мало, значение этой величины слишком мало, чтобы его можно было обнаружить обычными способами. Оно меньше значения в точке Р$ (табл. 24) в отношении В примере, рас-
сматриваемом в § 298 при Ci = 31,9 см, частота свободных колебаний будет меньше /о приблизительно на 0,0004 Hz.
Табл. 24 показывает, что все частоты более или менее зависят от сопротивления R цепи RLC в схеме резонатора. Однако для хорошо смонтированного резонатора члены с R чрезвычайно малы. Следует
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора 335
заметить, что при приближении Д к нулю частоты в точках Pif Р5, Р3 и Р2 приближаются к общему значению /0; практически мо!жет оказаться, что эти точки лежат в пределах одного герца. При малом R очень сближаются между собой также точки Р4 и Р6, вследствие чего в обеих точках Д flfo^ С/^Сх. Если бы можно было довести значение R до нуля, Xs обратилось бы в точке Р4 в бесконечность, а не в нуль.
Полный диапазон значений Xs при прохождении через резонанс от очень низких до очень высоких частот рассматривается в § 300.
§ 282. Соотношения фаз. Для фазового угла 9 , постоянной поглощения а == P/2L и разности частот nm ~ при максимальной
полной проводимости Ym имеет силу следующее соотношение [см. фиг. 59 и уравнение (376)]:
2р “ 2р ~AF~AF ~ а
Горизонтальная линия, проходящая через F на фиг. 59, является той линией, на которую попадают точки Р3 и Р4 соответственно в случае последовательного и параллельного импеданса. В этих точках резонатор представляет простое сопротивление, и ток I находится в фазе с разностью потенциалов V, действующей на резонатор. Если вектор, представляющий I, провести параллельно FP3, то вектор V при Любой частоте f будет параллелен линии, представляющей полную проводимость Y'i при этой частоте. Например, при частоте, представленной точкой Р5' на фиг. 59, I опережает V на угол P3FP3 — Ток 1р в ветви RLC опережает V на угол 0 ; так как в силу геометрических соображений 6 = ВАР5 = BPqPs, то ясно, что фаза 1р (для точки А) выражается направлением Р6В правильно. Так как, согласно § 234, скорость частицы v находится в фазе с I р (соотношение, справедливое для всех типов пьезорезонаторов), то ясно, что РеВ выражает также и фазу v. Механическая деформация, выраженная символом хп, отстает на 90° от и и поэтому выражается вектором, параллельным Р§А.
Подобные же соотношения справедливы и для всех точек окружности. Вектор тока I параллелен ГР3 во всех случаях. Длины различных линий не являются пропорциональными I, Ip , V, v и деформации эти линии указывают только относительные фазы.
§ 283. Распределение энергии в резонаторе. В § 125 рассматривалось распределение энергии между различными членами уравнения энергии пьезоэлектрического кристалла при совместном действии электрических и механических напряжений. Рассуждение, до некоторой степени аналогичное, можно применить к эквивалентной схеме RLCCx. Простейшим случаем являются колебания по толщине, в которых, как показано в § 247, параллельной емкостью С\ является емкость зажатого кристалла. В любой момент действия поля на кристалл энергия, накопленная в Сь представляет собой электрическую энергию при постоянной деформации, тогда как энергия, накопления в С, представляет собой работу, выполненную при механической деформации. Энергия, теряемая на трение в одну секунду, равна FpR. Если имеются заметные диэлектрические потери, то к схеме следует добавить последовательно с С\ другое сопротивление, как объясняется в § 302; так поступил Мэзон [338] при рассмотрении резонатора из сегнетовой соли.
336
Глава XIV
§ 284. Соотношения между эквивалентными электрическими константами при наличии и при отсутствии зазора. В § 263 было установлено, что электрические свойства пьезорезонатора можно представить посредством одной из двух схем, показанных на фиг. 54. Если А обозначает площадь электродов (равную Ы в случае полноразмерных электродов), то, поскольку поверхности кристалла, находящиеся в зазоре, являются эквипотенциальными, емкость зазора равна
С = А -2 4uw
(420)
Как в случае колебаний по длине, так и при колебаниях по толщине между часто встречающимся отношением е/е'г и емкостями С2 и С\ существует простая связь. Следует напомнить, что е — толщина кристалла, a w — зазор и что е'г = е -ф- kw, где k представлено величинами kt или k" соответственно при колебаниях по длине или при колебаниях по толщине. В случае обоих типов колебаний = kA/4~e. Легко показать, что
е = С2
£ Г С1 + С2
(421)
Мы ищем соотношения между четырьмя константами R'h, L'h, C'h, и С'i при зазоре, равном w, и соответствующими значениями Rh,Lh, Ch и Ci при ау=О. Из уравнений в § 232 и 255 как при продольных
при колебаниях по толщине имеем:
Rh Rh ^h = f — 1 e 'V— /Cj+сЛ2 / \ G / (422)
Ch Ch / e \ — ( ?r J i2?o „ / C*2 \2 С\ + C2 у qf (422a)
С/ _ Ci e _ C, C\~YC2 ’ (423)
где 7о и q' — соответственно коэфициенты упругости при зазорах, равных нулю И W. 1
Уравнения (420) — (423) теоретически верны для всех кристаллов и всех зазоров, поскольку работа резонатора может быть представлена цепью R.LC, параллельной чистой емкости С\. Теперь мы ими воспользуемся для проверки эквивалентности двух схем, показанных в § 263, фиг. 54. Простой анализ контура показывает, что если бы схемы б и в были эквивалентными, то, введя для общности значки /г, мы имели бы
R'h h /С] 4- С2\2 ф С\ Сч .
Rh \ С2 у ’ G Ci+C2 ’
С'ь С2___________с3____
С/г Ci+C2 C/j+Ci+C2 ’
или
С/; / Сг|-С2 \2 । C/g/Cj С,\ \Qjl e_L
C'h~\ Сч ) "* СД С2 е'
(424)
(424а)
"Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
337
Впервые эти уравнения дал Ватанабе [581] Они во всех подробностях сходятся с уравнениями (422), (423) при условии, что зависимость упругого коэфициента от зазора такова, что
£о 6*14- б~2 Ч'
Как мы увидим далее, последнее справедливо в случае колебаний по толщине, но не всегда при колебаниях по длине.
В случае колебаний по толщине из уравнений (421), (355), (356), (364) и табл. 22, пользуясь выражением Ci = kf'Aj\ ~е, находим, что
Чо _ Ci~\-C2
Ч'~ ch+c^c2 • (425)
Из последнего уравнения и (422а) следует, что
C’h_ С2 С,
Ch Ci+Cj (425а)
в согласии с (424).
§ 285. Влияние зазора при колебаниях по длине, выраженное в виде эквивалентной схемы. Рассмотрим сначала случай неметаллизо-ванного бруска. Он обычно встречается в практике, когда неметалли-зованный брусок помещается между электродами с зазором или без зазора. Случай металлированного бруска с зазором рассматривается н'иже. Если зазор равен нулю, то безразлично, металлизованы ли поверхности, обращенные к электродам, или нет.
Прежде всего следует указать, что хотя уравнения в § 232 для эквивалентных констант L'h и C'h в случае бруска, отделенного от электродов зазором w, и являются теоретически вполне правильными при любых целых значениях h, все же эти константы не согласуются с константами, выведенными при рассмотрении резонатора как цепи RLCCi, последовательной с Сг. Другими словами, уравнения (424) не удовлетворяются. Расхождение обусловлено двумя причинами. Первой из них является то, что направление колебаний бруска перпендикулярно электрическому полю и (практически) не зависит от толщины. Действующий коэфициент упругости qf, хотя он и является функцией зазора, не зависит от порядка гармоники, как можно видеть из уравнения (330). Согласно уже уравнению (425), q', являясь функцией С.,, должен был бы содержать h, чтобы удовлетворять уравнениям (424). Таким образом, очевидно, что последние уравнения, если вообще они справедливы для брусков, удовлетворяются только при основной частоте, когда h = 1. Это утверждение справедливо как для металлизованных, так и для неметаллизованных брусков.
Вторая причина указанного выше расхождения имеет особое отношение к неметаллизованному бруску с зазором. Деформация хп, рассмотренная в § 230, а поэтому и пьезоэлектрическая поляризация, а также деполяризующее поле, изменяются вдоль бруска. Вследствие
1 Эквивалентные схемы по существу того же типа рассматривали ранее К. S. J о h п-soh and Т. Е. Shea, Bell System Techn. Journ. 4, 52 (1925). Общее рассмотрение эквивалентных схем приводится в работе Т. Е. Shea. Transmission Networks and Wave Filters, N. Y-. 1929.
22 Кэди
338
Глава XIV
этого поверхности немегаллизованного кристалла не (являются эквипотенциальными, за исключением случая, когда w — 0. Это усложнение не влияет на отношение e'Je, пока h—\. Уравнения (422) и (423) согласуются с соответствующими выражениями уравнения (424). В этом случае схемы R'L'C'C\ и RLCC]C2 являются эквивалентными. Но в случае уравнения (422 а) положение меняется, так как, когда отношение qo/q' вычисляется из уравнения (330), то получается значение, не согласующееся с уравнением (425). Именно, из уравнения (330) находим, что 1/^о = Snn , = Snn (1 — 4тгг2 Snn щ'е') , откуда с по-
мощью уравнения (324) получаем q^lq'=\— ~2Се/8С2е', где С2 = = Ы/4 тс w. В случае таких кристаллов, как кварц, имеющих относительно малую пьезоэлектрическую реакцию, приближенно можно написать:
" = 1+^7- (426)
<7о 1 8С2е v >
Теперь с помощью уравнения (423) уравнение (425) может быть написано в виде:
£=’+£(£)• ^426а|
Уравнение (426а) должно удовлетворяться, когда схема RLCC\C2 эквивалентна R'L'C'C'x, и все же уравнение (426), представляющее отношение действительных упругих коэфициентов, не удовлетворяется ла множитель тс2/8 во втором члене. Этот множитель является следствием синусоидального распределения той части поляризации в бруске, которая вызывается состоянием деформации. Приращение поля в зазоре, вызываемое состоянием деформации, имеет также синусоидальное распределение, которое мЬжню учесть, подставляя вместо С2 в уравнение (426) значение
С2= С, . (427J
При замене С2 на С* в уравнении (426а) эти два выражения приводятся в приблизительное согласие в случае кристаллов, имеющих, как кварц, е’г, приблизительно равное е'.
Отсюда, однако, не следует, что С2 полностью заменяет С2 в эквивалентной схеме. Например, в выражении для е/ег в уравнении (423) следует все же пользоваться соотношением С2 = bl/4nw. Совместное применение и С2 и С*2 является не только затруднительным, но и ведет к серьезным осложнениям при применении' графических методов, описанных ранее в настоящей главе в случае бруска с зазором. Когда имееется зазор, значения R', L' и С' лучше выводить непосредственно из уравнений § 232, которые имеют дополнительное преимущество, заключающееся в том, что они применимы при любом значении h. Если зазора нет, то q' = qo, и обе величины С2 и С2* могут не рассматриваться; в этом случае графический метод полностью применим к брускам.
Мы рассмотрели задачу неметаллизованного бруска с зазором довольно подробно потому, что обычно принималось, что его электрические характеристики описываются посредством цепи RLCC\, последовательной с С2, правильно. Величину получающейся при этом ошибки можно найти из уравнений (426) и (426а). Вообще для . кристаллов с
Электрическая эквивалентная . схема пьезорезонатора
339
малыми пьезоэлектрическими реакциями (q'lq) — 1 — (f2w//20) — 1 ~ где fw представляет собой частоту, когда зазор равен w, а
А/fw— f0. Обозначая через ( Af)i величину из уравнения- (426), которая теоретически правильна, а через (А/)2—величину, получающуюся из теории эквивалентной схемы, выраженной уравнением (426а), находим:
Так как при малой пьезоэлектрической реакции е'— е ktw отличается от е' = е 4- k'w только незначительно, то отсюда следует, что теория схемы предсказывает изменение частоты неметаллизованного бруска с зазором, преуменьшенное приблизительно на множитель тс2/8.
§ 286. Влияние зазора на металлизованный брусок. Чтобы привести две схемы, представленные на фиг. 54, к полной эквивалентности при колебаниях по длине, необходимо, чтобы поверхности кристалла, обращенные к зазору, были бы эквипотенциальными; последнее достигается легким покрытием их металлом. Тогда при любом зазоре w емкость зазора Cz — bl^itw можно использовать в уравнениях (424). Эти уравнения дают /?', L' и С', когда R, L, С и С] известны, а графическими методами, описанными в § 288 и 289, пользоваться нельзя. Как и в случае неметаллизованного бруска, этим методом эквивалентной схемы можно пользоваться только при основной частоте, для которой Л=1.
Зависимость частоты от зазора w в случае металлизованцого бруска удобнее всего можно найти с помощью выражения, выведенного автором [107] для действующего коэфициента упругости q'-.
, / 1 . 32е2о> \ 1
ч =?0 =р-
\ / ьпп
32djnw
Snni2e'
(428)
Различие меж^ду этим q' и коэфициентом в уравнении (330) для неметаллизованного бруска вызывается тем, что, когда поверхности делаются эквипотенциальными, меняется распределение деполяризующего поля. ।
Уравнение (428) дает значение q' для металлизованного кристалла; это значение мы можем использовать в уравнении (322) для С'. Когда зазор равен нулю, этот коэфициент становится равным l/sEnn, Степень приближения в уравнении (428) должна быть вполне, достаточной для кварца, но не для сегнетовой соли.
Методом, применявшимся при выводе уравнения (3366), было найдено, что относительное изменение частоты в зависимости от зазора для бруска, противоположные грани которого сделаны эквипотенциальными путем металлизации, равно.-
Д/о /о
16д?2,-дИ>
“KSrin в
w
е +k'w
(429)
= и е
где
Когда w = oo, то относительное увеличение резонансной частоты по сравнению с частотой при w — 0 для металлизованной пластинки 22*
340
Глава XIV
равно 16 d2 ininsnnki- Это значение 6 больше значения для неметал-лизованного бруска, которое получается из уравнения (3366), в тс2/8 раз.
§ 287. Обзор применений теории эквивалентной схемы к пластинкам и брускам. Резюмируя, можно сказать, что уравнения эквивалентной схемы, включающей С2, вместе с графическим представлением применимы к колебаниям пластинок по толщине при основной частоте или любом обертоне последней, а также при колебаниях металлизованных брусков по длине в случае основной частоты.
Если брусок не металливован, то уравнения эквивалентной электрической схемы резонатора с зазором и графическое представление верны только в первом приближении. Если зазора нет, они полностью справедливы. Но метод эквивалентной схемы рассматриваемого здесь типа ни в коем случае нельзя применять к обертонным частотам брусков.
§ 288. Резонансная диаграмма пьезорезонатора с зазором. До сих пор мы применяли графический метод только к простой схеме RLCCX. Теперь мы обратимся к графическому построению, с помощью которого можно быстро определить эквивалентные значения R'h,Lfh, C'h и C'v
Фиг. 61. Резонансная диаграмма для резонатора с зазором или последовательным конденсатором.
кварцу. При колебаниях по длине,
а также критические частоты в случае резонатора с зазором или с последовательным конденсатором С2, когда даны Rh, Lh, Ch и Ci при зазоре, равном нулю. Предполагается, что фиг. 54, б и в эквивалентны, откуда следует, что уравнения (424) сохраняют силу. Как было показано, это предположение полностью оправдывается как для колебаний по толщине, так и для колебаний по длине, когда поверхности бруска металлизованы. Как показано в § 285, оно приблизительно остается справедливым в случае неметаллизованного бруска, вырезанного из кристалла с относительно низкой пьезоэлектрической постоянной, подобного направление которых перпендику-
лярно к электрическому полю, можно пользоваться только значением h = 1 (§ 285).
В следующих параграфах мы опустим значок h, имея в виду снова им воспользоваться при рассмотрении любой гармонической частоты. Процесс заключается в превращении диаграммы полной проводимости цепи RLCCX в диаграмму импеданса. При этом мы вводим С2 и возвращаемся снова к диаграмме полной проводимости. Как будет показано,
О Уравнение Дая для воздушного зазора (см. [127], стр. 426) можно привести к уравнению (429). Дай не учитывал различия между диэлектрической постоянной свободного кристалла и k i колеблющегося бруска, а также различного влияния зазора на неметаллизованные и металлизованные бруски.
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора 341
эти два обращения приводят к изменению распределения частот по окружности.
Пользуясь тем же обозначением, как и в предыдущих параграфах, мы полагаем, что прлная проводимость емкости Сь представлена на фиг. 61 величиной AF = — <$Cx/sy. Резонансная окружность сначала является геометрическим местом полных проводимостей сочетания RLCC{. На этой окружности частоты в точке В и любой точке Р предполагаются равными соответственно' /о и /. Затем, в согласии с уравнением (387), ту же самую окружность можно рассматривать как геометрическое место импедан'Сов, на котором импеданс RLCCX равен Z' =sz FP'.
Для графического представления последовательного присоединения С2 мы откладываем расстояние FF' так, что sz • F'F — — 1/соС2. Векторная сумма F'F и F'P' равна F'P', а импеданс RLCC{C2 равен
Z'2 — sz- F'P' . (430)
Та же самая окружность, служащая геометрическим местом полных проводимостей RLCCX, теперь рассматривается как геометрическое место импедансов RLCC\C2', каждой точке Р на прежней окружности соответствует точка Р' на второй. Линия,. проведенная из F' к любой точке окружности, дает импеданс RLCC\C2 при некоторой особой частоте.
Из уравнения (386) и указанных выше положений мы видим, что
-sr4F' = -L- + 4- . (431)
z (DC] y
§ 289. Фиг. 61 можно превратить в диаграмму полных проводимостей цепи RLCC\C2, выполняя инверсию относительно точки F' как центра. Операция состоит в том, что линией F'P' пересекают окружность в точке Р". Теперь окружность является геометрическим местом полных проводимостей цепи RLCC\C2 с началом координат в точке F'. Кроме изменения начала, введение С2 приводит к следующим двум изменениям: появляется новое масштабное значение полной проводимости s', выражаемое уравнением
___L_=emi) 2 * *
У sz(AF')2 sy\AF') ’ (432)
а также меняется распределение частоты по окружности. Новое распределение частот объясняется в следующем параграфе
Полную проводимость RLCC]C2 при частоте, соответствующей точке Р на окружности полных проводимостей для RLCCX, мы находим из уравнений (430) и (432), а также соотношения (F'P')(F'P") = (AF)2; она равна
Y'2=^r2^s'y F'P" (433)
i) Предыдущее положение можно обобщить следующим образом: когда приходится менять начало векторов благодаря введению в контур импеданса или пол-
ной проводимости, то масштабное значение остается без изменения. С другой сто-
роны, если мы относительно нового начала выполняем инверсию, чтобы перейти
от полных проводимостей к импедансам или наоборот, то требуется новое масш-
табное значение. Примером этого является введение нового масштабного значения s'у в уравнение (432); другой пример приведен в § 303.
342
Глава XIV
Последнее представляет собой графическое уравнение для Y'z. Аналитическое уравнение имеет тот же вид, как уравнение (383) или (384), причем элементы контура отмечены штрихами, что указывает наличие С2:
“ J • (4зза)
Вблизи резонанса, где о> — <о0 — п, имеем:
Y2~ /?'2_|_4л2Г2 + j ( /?'2+4л2£'2 + Ш0 • ( 4336 )
R', L', С' и С'1 выражаются уравнениями (423) и (424).
У2 является суммой двух полных проводимостей, одна из которых представляет собой вектор F'A, практически постоянный в диапазоне резонанса, тогда как другая равна АР", имеющей геометрическое место в форме окружности. Так как точно такие же условия получаются в случае диаграммы для RLCCX, становится ясным, что новая диаграмма с началом в точке F' представляет последовательную цепь, которую мы обозначаем R'L'C', параллельно соединенную с постоянной емкостью С\ . Из уравнений (431) и (432) находим, значение С'ь
гч __ р { ^_\ с' AF
Cj+C2 vJ”" Sy Ш (434)
в согласии с уравнением (424). Другие соотношения в уравнениях (424) также имеют графические аналогии. Выражение для R'lR проверяется с помощью уравнений (385а), (431) и (432) и равно
D' __ 1 __ п ( 6j+C3 \2
К 2ps'y~~^\ С2 J ‘ (434а)
Когда шкала частот для окружности полных проводимостей цепи RLCCXC2 определена, то можно рассчитать L' и С'. Оказывается, что их значения идентичны значениям из уравнения (424):
j f _ j (Су -4- C3V
L .......’ С? / ’ (4346)
с2
(~Ч_Г' _____е2_______ „
(G+GXC+Q+G) (434в)
Предыдущие утверждения показывают, что диаграмма, подобная фит. 61 с началом векторов в Р, может представлять или схему RLCC\c последовательной емкостью С2, или простую эквивалентную схему R'L'C'C'j. В первом случае AF' представляет со С\С2/(Су 4- С2), а во втором случае а>С' , что в силу уравнения (434) обозначает одно и то же. Все векторы и все частоты являются одними и теми же с обеих точек зрения. Однако следует помнить, что введение С2 изменяет различные масштабные значения, так как последние, как это было показано, являются функциями С2. В § 302—304 мы рассмотрим более общий случай резонатора, включенного последовательно или параллельно с любым произвольным импедансом.
§ 290. Влияние С2 на частоты резонатора. Когда резонатор имеет последовательные зазор или емкость С2 и векторы полной проводимости
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
343
или импенданса откладываются от начала в точке F' на фиг. 61, согласно предыдущим параграфам, то масштабное значение частоты - а, определяемое уравнением (378а), остается неизменным, так как постоянная затухания
_ R _ _R^ Я ~ 2L 2L’
не меняется. Однако все частоты передвигаются по часовой стрелке вдоль окружности. Теперь мы опишем форму этого передвижения. *
В § 267 было указано, что в случае простой схемы RLCCX частоты графически выражаются разностями частот по сравнению с частотой в точке В на окружности, измеряемыми по линейной шкале вдоль вертикальной оси, проходящей через точку В (фиг. 56). При введении С2 частота в точке В уже не имеет прежнего значения, но возрастает на некоторую величину в зависимости от С2 и от того, представляют ли собой векторы импедансы или полные проводимости.
Когда Сг включена, мы будем обозначать частоту в точке В через f'o и искать разность f'o — fo. Детально следует разобрать только построение диаграммы полных проводимостей; диаграмма импедансов находится аналогичным образом. Связь между fo (частота в точке В и случае одной только цепи RLCCf} и % легко находится излагаемым ниже графическим методом. Тот же метод можно применить для определения частоты, соответствующей любой другой точке на окружности полной .проводимости в случае RLCCAC2.
При наличии зазора частота в точке В на диаграмме полной проводимости равна частоте, при которой скорость частицы и ток в цепи R'L'C' имеют максимальные значения, как это имеет место при зазоре, равном нулю, и мы пишем RLC вместо R'L'C'.
На фиг. 61 полная проводимость в точке В на окружности полной проводимости для RLCC\C2 равна s'y-F'B — Y'y, причем частота в этой точке равна f'o- Выполняя инверсии, находим sz- F'P7 = Z'2, sz • FP7 — Z\ и s'y • FP7'— У] . Отсюда P'7 отмечает точку с частотой f'o на окружности полной проводимости для RLCC\. Но эта окружность является масштабной окружностью, калибровка которой пояснялась в § 267. На масштабной окружности частота в точке В равна fo- Разность частот f'o — fo можно найти графически, согласно § 267. Аналитически, так как w0 = 1/LC и “V = 4 тг2/0'2 — 1/L'C', из уравнений (4346) и (434в) находим, что . ..
/;-/„=-1 ) (4351
§ 291. Относительное изменение частоты, вызываемое зазором, равно
Д/ / с
7Г=|/1+сГ+сГ <436>
Если', как в случае кварца, С <<с (Ci С2), то приблизительно находим 1>:
Д/^ С е С
fo (G +С2) “ е’г 2 С3 ’ (436а)
О Это приблизительное соотношение было также дано Даем [1271 в его уравнении (22).
344
Глава XIV
При применении этого уравнения к неметаллизованному бруску следует пользоваться вместо С? выражением С/ =8С2/^2 согласно § 285.
Можно показать, что уравнение (436а) согласуется с (368), за исключением небольшой разницы, вызываемой характером допускаемых приближений.
При частоте f'o скорость частицы и ток в цепи R'L'C' имеют максимальные значения. Как видно из простого графического! построения фиг. 62, /'о лежит между частотами максимальной и минимальной полных проводимостей f'm и' , представленных на фиг. 62. Эту величину можно назвать частотой реакции, когда зазор настолько велик, что уже нет последовательного резонанса в обычном смысле.
При зазоре, достаточно малом, чтобы резонатор обнаруживал как параллельный, так и последовательный резонанс (как поясняется в § 294), если при этом R мало, то f'o практически неотличимо от f's.
Чтобы выразить разность р — s частот параллельного и последовательного резонанса при наличии зазора, можно подставить значения L' и С' из уравнения (424) в уравнение n= XfL'C', принимая, как указывалось выше, что со'5^а)'0 = 2к/0/. В результате получаем:
Из уравнений (398) (все величины в которых снабжены штрихами), (423) и (424) находим, что
откуда
1 > 1
(О z ------------------
Р L'C' L'C
а/2 1
5
СС2
Ci(C + Ci + С2)
ш р 'о) с ___________сс%
< ~ 2С7; ~~ 2СДС + G + С3)
(438)
(438а)
Как объясняется в § 294 и 295, эти выражения для <п'р и справедливы только при малых зазорах и низких диэлектрических постоянных.
Связь между f р и f'o при бесконечном зазоре. Из уравнений (438а) или (401) видно, что при нулевом зазоре, когда С < Сг и величиной R можно пренебрегать,
(439)
При бесконечном зазоре, подставляя в уравнения (435) /«, вместо f'o и полагая С2 равным нулю, находим:
(439а)
/О
Так как , то отсюда следует, что Д •
Другими словами, частота при параллельном резонансе, когда зазор равен нулю, приблизительно одинакова с частотой реакции при приближении зазора к бесконечности.
Однако следует ясно представлять себе, что последнее утверждение справедливо только при малом R и пьезоэлектрической константе, достаточно малой, чтобы имело место C^>Ci. В случае кварца это условие
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
345
оправдывается удовлетворительно. С другой стороны, у сегнетовой соли foo может быть много больше fp , как это будет показано в § 375.
§ 292. Уравнение (438а) достаточно точно выполняется при малых зазорах, обычно применяемых в резонаторах. При более широких зазорах, в которых w одного порядка величины с е, сопротивлением 7? пренебрегать нельзя. Действительно, при возрастании w сверх некоторого предела резонатор становится емкостным при всех частотах. В этом случае уже нет частот последовательного! и параллельного резонанса, так как эти выражения определяются как частоты, при которых реактивное сопротивление превращается в нуль. Однако для всех значений w имеется максимальное и минимальное значение полной проводимости, причем значения fm и fn зависят от
С возрастанием зазора от нуля интервал °>5, имеющий сначала относительно большое значение, постепенно уменьшается, обращаясь в нуль при значении w, которое можно найти, приравнивая нулю числитель в правой части уравнения (389) и выводя условие, при котором X имеет единственное значение. Это условие гласит:
2<dC\7?'= 1 . (440)
С помощью уравнений (422) и (423) можно выразить (440) через С2 и постоянные при зазоре, равном нулю, что дает
с _ 2/?0>С21
— 1 - 2R^Cr или, так как С2 = Ы/4 -с» ,
____ е 7 2лв . W ~ k I R^kbl ~~1
(440а)
(4403)
В качестве примера можно применить уравнение (4406) к кварцевому бруску, упомянутому в § 298. Оказывается, что критическое значение w равно приблизительно 0,5 см. Если зазор больше этого значения, то полная проводимость резонатора имеет вполне емкостный характер.
§ 293. Предыдущие положения можно проверить, рассматривая фиг. 62. В обозначениях § 269, 270, 288 и 289 имеем:
минимальной
= - -Д- , ЕЕ' = - 1 /СА . Sy uCiSz /2г
Когда w — 0, то FF' = 0 и частоты макоимл/бной и
полной проводимости fm и fn попадают в точки Рт и Рп, которые получаются путем проведения линии из F через центр С окружности. При возрастании w от нуля Г' движется вверх из F (обычно F имеет практически одно и то же положение и для fm и для f„). Когда F' совпадает с Fh w принимает критическое значение, выражаемое уравнением (440), а частоты последовательного и параллельного резонанса сливаются в точке Ръ. В этой точке Ym =Уп —s'., • FxP2i где s'v выражается уравнением (432). Соответствующая частота на масштабном круге (§ 267) попадает в точку, где прямая линия из Р2 в F пересекает окружность.
При больших значениях wF' попадает в точки, лежащие выше и уже нет ни последовательного, ни параллельного резонанса. При данном положении F' максимальная и минимальная полная проводимость равны = s'y F'P'm и Yn = s'v • F'P'n , тогда как Z'm = s2 • F'P'^ и
346
Глава XIV
Z'n = sgF'P'n. В случае цепи RLCCX импеданс, соответствующий Р'п, равен Z\ ~sz’ FP п > а не масштабной окружности, проводимость при той же частоте равна Y\ — sv- FP" п. Таким образом, на масштабной окружности частота максимальной полной проводимости, когда w таково, что F' занимает положение, обозначенное на фиг. 62, попадает в точку Р" п. Точно так же частота минимальной полной проводимости попадает в точку Р"т. Введение зазора заставляет точку максимальной полной проводимости двигаться по часовой стрелке из Рт в Р'т , тогда как точка, обозначающая частоту, передвигается против часовой стрелки; частота возрастает от значения в Рт до значения в Р"п. Частота минимальной полной проводимости увеличивается от значения в точке Рп, до значения в точке Р"т
При бесконечном зазоре FF' =сс и Р'т и Р'п совпадают с Pi и Р,. Таким образом, частоты еще больше возрастают до значений, которые могут быть представлены графически способом, описанным выше, или вычислены с помощью уравнения (425), а так-
F у же в зависимости от типа резонатора с помощью уравне-\ ний (330), (336а), (370) или (429).
\ Когда зазор настолько широк, что полная проводи-
\ мость У'2 схемы RLCC^Ci является емкостной при всех .. \ частотах, то изменение Y'z в зависимости от частоты может \ быть качественно представлено фиг. 63,
F_____\ Л на которой f'm и f'n — частоты в точках
’ \ т и п Фиг- ^2. При приближении w к
\ бесконечности разность частот. f'nr~f „
Фиг. 62. Влияние увеличения зазора на максимальную и минимальную полную проводимость резонатора.
Фиг. 63. Изменение полной проводимости резонатора в зависимости от частоты, когда зазор велик.
падает до очень малого, но определенного предела, тогда как У'2 приближается к нулю. Правда, линия, представляющая У'2 на фиг. 62, становится бесконечно длинной, но следует заметить, что масштабное значение s'v изменяется таким образом, что сама величина У'2 стремится к нулю. Хотя реакция резонатора, указываемая методом впадины или щелчка, теоретически при бесконечном зазоре обращается в нуль, однако паразитные электростатические связи могут оказаться достаточными для получения реакции даже тогда, когда резонатор полностью отсоединен от колеблющегося контура. Узкий брусок длиной 2 или 3 см, подвешенный на ниточке по соседству с конденсатором или катушкой настройки, может все же дать слышный щелчок, когда частота генератора проходит через резонансное* значение. Реакция вызывается небольшим изменением емкостной полной проводимости от максимума при/'ш до минимума при Д.
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
347
§ 294. Невозможность применения приближенных уравнений при Широком зазоре. Многие из формул, приведенных в этой главе, включая и формулы, применявшиеся различными исследав1ателям|и при измерении констант резонаторов и кристаллов, являются приближениями. Одним из приближений является предположение, что R равно очень малой величине или что им можно совсем пренебрегать. Второе приближение основывается на предположении, что рассматриваемые резонансные явления происходят в такой узкой полосе частот, что разность частот п = <»0 — <о мала по равнению с <о0.
Нам следует теперь рассмотреть справедливость третьего предположения, упомянутого в тексте, но полностью еще не поясненного. Оно сводится к допущению, что зазор между кристаллом и электродами столь мал, что уравнения § 276 и 278 достаточно точны, т. е.
fn fm f р fs
fm fs
(441)
Электрические константы снабжены штрихами, чтобы указать наличие зазора.
При выводе уравнений в § 276 с помощью биномиальной теоремы, условием достаточного приближения является
4(о’С;2/?'2«1 , т. е.
ojCV?'« 0,5 . (442)
С помощью уравнений (422) и (423) мы можем это выражение представить в виде . ;
+ (442а)
Чем меньше R, тем больше может быть зазор w без нарушения этого неравенства. Во многих практических случаях эти приближенные уравнения точны только, когда w много меньше, чем критическое значение, выражаемое уравнением (4406), при котором шр—обращается в нуль. Другими словами, w должно быть достаточно малым, чтобы расстояние AF' на фиг. 62 было равно только малой доле AF'\. В случае кварца допустимая ширина зазора w равна толщине кристалла е или меньше ее °.
В качестве примера мы рассмотрим кварцевый брусок, описанный в § 298. В данном случае <оС17? равняется 0,03; отсюда в. силу уравнения (442а) ^'<0,5 см. При значениях w, превышающих последнее, следует пользоваться более строгими уравнениями.
Ограничение, налагаемое на уравнения при увеличении w, ни в какой мере не влияет на применимость графического метода. С помощью графического построения можно определить различные частоты и полные проводимости при любых зазорах с точностью, вообще допускаемой графическими методами.
Вернемся теперь к приближенным уравнениям (441). Согласно § 232 и 255 оказывается, что С'/2С\ пропорционально е/е'г и обращается в
О Можно указать следующую причину того обстоятельства, что уравнение (397), например, является точным только при малом зазоре. Хотя R может быть очень малым при нулевом зазоре, все же с увеличением зазора R' быстро возрастает до больших значений (символы со штрихом применяются при наличии зазора).
348 Глава XIV
нуль при бесконечном зазоре. Полная неприменимость уравнения (441) при большом w ясна из предыдущего рассмотрения. Это уравнение предсказывает, что как так и (fo~fs) постепенно прибли-
жаются к нулю при возрастании w, хотя в действительности (/ р — ращается в нуль при некотором конечном значении w, a (f п—fOT) остается больше нуля при любых зазорах.
§ 295. Наконец, четвертое приближение состоит в предположении, что величина С в цепи RLC резонатора мала по сравнению с Сх. Хотя большая часть уравнений не зависит от этого допущения, все же его приходится делать, если нужно, чтобы уравнения в § 284 для эквивалентной схемы бруска при колебаниях по длине выполнялись с любой точностью, как мы это вскоре покажем. Выражения в § 284 точны в случае колебания пластинок по толщине при любых значениях С и w. Последующее рассмотрение относится только к колебаниям бруска по длине.
Как (можно видеть из уравнения (322), отношение C/Ci велико, когда велика пьезоэлектрическая константа. Это мы имеем в случае сегнетовой соли. В случае кварца, как пояснялось в § 288, мы можем пользоваться уравнениями эквивалентной схемы и соответствующими графическими методами с достаточной точностью при всех зазорах, как в случае неметаллизованного, так и металлизованного бруска, так как С/С' очень мало.
Когда С сравнимо с G или, как у сегнетовой соли при некоторых температурах, даже больше Ci, то это приводит к следующим замечательным следствиям: 1) в силу уравнения (401) разность — <jov частот антирезонанса и резонанса относительно велика; 2) частота /оо при бесконечном зазоре, вместо того чтобы, согласно утверждению, приведенному вслед за уравнением (439а), быть приблизительно равной fp, на самом деле гораздо больше fp.
Это второе следствие совсем не вытекает из уравнений (424) для простой схемы. Причина этого уже указывалась в § 284 и заключается в том, что они точны только тогда, когда упругий коэфициент s изменяется особым образом, в зависимости от зазора — условие, не выполняющееся в случае бруска.
Причина того, почему большая пьезоэлектрическая константа приводит к относительно большому значению f<x, становится сразу ясной из рассмотрения уравнения (331). То, что гораздо больше fp, нельзя видеть из упругих уравнений, но это заключение следует из уравнения (335).
Экспериментальное подтверждение этих положений приводится в § 375.
§ 296. Условия резонанса при колебаниях по толщине в очень тонких пластинках или при высоких гармонических частотах. В большинстве типов пьезогенераторов резонатор колеблется с частотой, при которой его реактивное сопротивление является индуктивным. Поэтому следует удостовериться, что влияние зазора или внешнего реактивного сопротивления, как-либо присоединенного к резонатору, не нарушает его диапазона индуктивного реактивного сопротивления. Из последнего параграфа ясно, что для того чтобы резонатор с зазором имел индуктивный диапазон сопротивления, необходимо, чтобы начало векторов полной поово-дймости F' на фиг, 62 лежало ниже точки F\, для которой AF\ — ABJ2.
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
349
Если зазора нет, то начало' лежит в F. Для большинства резонаторов отношение AF/AB относительно очень мало. Теперь мы исследуем некоторые случаи, в которых AF даже при зазоре, равном нулю, может возрасти настолько, что резонатор будет емкостным при всех частотах.
Из уравнений (380) следует, что, вообще говоря, при w — 0 имеет место AF/AB = AFI2p = <s>h c,Rh где приблизительно в h раз больше основной частоты /о, а значение R h дано в табл. 23. Пока < 0,5, имеется диапазон частот, в котором резонатор является индуктивным. Из табл. 23, полагая находим:
7") fak 'tlf' , л 4 f\ \
— ал • (443)
Эту формулу можно также выразить через фактор качества
= S • (443а)
В качестве меры потерь в резонаторе можно брать или Q Л или множитель затухания аЛ. Так как оба они включают потери монтировки и рассеяние энергии в кристалле, то теория не может предсказать ни их величины, ни зависимости от частоты. Очевидно, что если ah не зависит от частоты, то Q h также не зависит от частоты. Если опыт дает, что аЛ постоянно, то уравнение (443) показывает, что C\R пропорциональна произведению he. Резонатор имеет индуктивный диапазон, когда ^hCxRh не превосходит 0,5, другими словами, когда
, , 8е2
he <------7= .
Л"аАУ 4о/Р
(444)
Это выражение кладет предел порядку гармоники h при данном е или самой толщине е при основной частоте; выше этого предела реактивное сопротивление резонатора может быть только емкостным.
С другой стороны, если бы Qh оказалось независимым от частоты., из уравнения (443а) следовало бы заключить, что при <aflC1Rh < 0,5 имеет место
(444а)
itk"q0 1 7
В этом случае резонатор был бы емкостным при сравнительно низком значении А; но при основной частоте он имел бы индуктивный диапазон при всех значениях е, если только Qh не настолько мало«, что h не может даже равняться единице.
В качестве примера рассмотрим кварцевую пластинку толщиной в 1 мм, имеющую основную частоту около 3 106 герц. Мы можем положить, что в круглых цифрах е = 5 • 104, k" = 4,5, qo = 90 • 1010, Р = 2,65. Тогда, если аЛ = 1000 при всех частотах, то уравнение (444) показывает, что h может иметь любое значение, приблизительно до 30, но если значение Q нравно 10 000 при всех частотах, то h не может превосходить 5. Имеющиеся экспериментальные даные показывают, что последняя из этих двух возможностей ближе к истине1). Другими
О См. [341].
350
Глава XIV
словами, пока Q и логарифмический декремент о не зависят от частоты, ай возрастает с частотой.
§ 297. Распределение потенциала в кристалле и зазоре. Ток /, идущий от р к q на фиг. 54, равен
Z =-X =-=£ = V,«>Ca , .(445)
Z-2 Z-i
где Z'2,Z\ и 1>С8 представляют собой соответственно импедансы RLCCyCz, RLCC\ и С2. Падения потенциала 1Л на кристалле и У2 на зазоре, отнесенные к полному падению V, равны
Vt _ . ^2 — 1 .
V ~ zr ' V ~ <*C2Z2' ’
(446)
Z\~ 1/F'j выражается уравнением (383) или (384), a Z'2= 1/У'2—уравнением (433а) или (4336).
Зависимость относительных значений величин Vi и V2 от частоты поясняется резонансной окружностью фиг. 61. В § 288 показано, что при любой частоте, как, например, соответствующей точке Р на окружности полной проводимости для RLCC\, справедливы соотношения Z\= sz'FP', Z2' = s2 - F'P' и co С2 = — 1/(sz-F'F). Приняв это во внимание, получаем •из уравнения (446)
_ FP' V2 _ F^F V ~~ F'P' ' V ~ F'P' •
(447)
Как представлено на фиг. 61, Р подходит в точке В к частоте, очень близкой к резонансному значению /о. При увеличении частоты Р движется против часовой стрелки по окружности, тогда как Р'у точка, обратная Р относительно F, движется по часовой стрелке, вызывая уменьшение F'P' и увеличение FP'. Потому Vi возрастает до тех пор, когда при некоторой частоте отношение FP'/F'P' принимает максимальное значение. Так как положение F' вблизи резонанса заметно не меняется в зависимости от частот, это максимальное значение достигается, когда линия F'P'P проходит через центр круга. Это построение сразу же определяет положение Р, а поэтому и частоту, при которой напряжение на кристалле, а также на зазоре, является максимальным при постоянном V для данной величины С2. Это и есть частота, при которой импеданс всего контура имеет минимальное значение.
При данном V это максимальное отношение V2/V зависит от С2 и имеет наибольшее возможное значение при некотором критическом значении С2. Геометрическая задача состоит в нахождении такого положения F', чтобы отношение FF'/F'Pi имело максимальное значение; причем Р\ есть новое положение Р' на прямой линии из F' к центру круга. Легко показать, что- это условие удовлетворяется, когда FP\ является касательной к окружности, так что угол FPiF' — прямой. Так как в этом случае AF = FPlf то реактивное сопротивление Ci при этой частоте численно равно импедансу RLCC\.
Когда значение Сх относительно мало, а зазор таков, что С2 имеет критическое значение, падение потенциала на зазоре может быть во много раз больше, чем прилагаемая разность потенциалов V. Дай [127], изучавший этот эффект, обнаружил тридцатикратное возрастание. Если
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
351
V имеет значение порядка 50 вольт, то при продольных колебаниях и колебаниях по толщине в пространстве между электродами и кристал* лом может наблюдаться тлеющий разряд.
§ 298. Типичная резонансная кривая. Характеристики типичного резонатора представлены на фиг. 64. Качественно они иллюстрируют работу всех пьезорезонаторов. Численные значения взяты для того же кварцевого бруска среза X № 2 при продольных колебаниях и малом зазоре,
Фиг. 64. Некоторые характерные кривые пьезорезонатора с частотой 89,87 kHz. По оси абсцисс отложены отклонения от резонанса в герцах. Частота возрастает слева направо. Ординаты, показанные на фигуре, следует умножить на 1Пе электростат. ед. для У и У'л на 5-10~9 элек-трос-ат. ед. для X, Xs, Хр, Rs и Rp. Вертикальные пунктирные линии проведены в соответствии с точками на окружности фиг. 65.
который упоминался в прежних статьях [93], [550]. Размеры равны X 1,4 мм, У 30,7 мм, Z 4,1 мм, основная частота fQ =89,87 kHz, = = 5,65 • 105. Эквивалентные электрические константы равны
£ = 137 Н = 1,52 • 10~10 абс. электростат. ед. самоиндукции,
Р = 15 000 2 = 1,67 • 10~8 , „ „ сопротивления,
С — 0,0228 gp./7 = 0,0205 см,
Сх = 3,54 ppF = 3,19 см.
Произведение mC{R, определяющее, согласно уравнению (381), отношение AF/AB на фиг. 65, равно только около 0,03. Хотя это значение гораздо бодьше обычных значений для современных, хорошо смонтированных резонаторов, все же оно настолько мало, что при нем точка Е
352
Глава XIV____________________
весьма близка к А, вследствие чего критические точки вблизи F очень сближаются между собой. Работа резонатора может быть более наглядно представлена путем произвольного умножения Ci на соответствующий множитель. В настоящем случае был выбран множитель, равный 10, так что для целей наглядности значение Ci принято равным Ci = 31,9 см. Результат этого одинаков с влиянием внешней емкости величиной в 28,7 'см, включенной параллельно кристаллу-
§ 299. Графическое построение ординат различных кривых показано на фиг. 65. Чтобы получить эту диаграмму, сначала проводится круг диаметром АВ = 2 р = 16 см. Из приведенных выше данных и р = 8 см с помощью уравнений (375), (385а), (378а) и (379а) находим, что sv = 3,75 • 106, sz = 1,16 • 10-8.
ГД = — = 4,8 см;
sy
а=0,544 Hz-см-1, о'= 96 Hz- см - Г Значения, нанесенные на фиг. 64, получены для критических точек, показанных на фиг. 59, и для нескольких других точек, выбранных так, что можно провести плавные
Фиг. 65. Резонансный круг для получения данных для фиг. 64.
кривые с точностью, достаточной для иллюстрации характеристик резонатора. Например, в случае точки Р5 было измерено расстояние BS и было вычислено п? = о. BS, где nf =fo — fs, причем f0 равно частоте в точке В, a fs частоте в точке Р5. Это значение (2,4Hz) отложено на фиг. 64 в качестве абсциссы. При этой частоте Y =sy • АР$, Y'i — gy-FPs (максимальное значение У\).
Значения Rs , Rp, Xs и Хр (§ 271, 273) для точек Р$ и Ре были получены опусканием перпендикуляров на линию Fx на фиг. 65 из точек Р5 и Р6; последняя является сопряженной с Р5. В обозначениях фиг. 57 эти перпендикуляры равны Р5117 и P6W' (Р5 и Ре соответствуют точкам Р и Р' на фиг. 57,6). Затем, согласно уравнениям (388), (389) и (395а), Rs=s2-FW'f Rp=\/(sy-FW), X=sz-W'P' и Xp=\/(sy-WP).
Электрическая эквивалентная Схема пьезорезонатора 353
Для других точек пользовались тем же способом, за исключением точек на левой стороне круга (например, Рэ); в этом случае более удобно было воспользоваться масштабным значением частоты о' и измерять AV вместо BS, как указано в § 268. В этих случаях значение Пу дается выражением з'/АУ.
§ 300. Как видно из фиг. 64, У имеет максимум при /zz = 0, тогда как максимум УТ наступает при несколько менее высокой частоте. Максимум Rs настуйает при частоте, соответствующей точке Р7, сопряженной с В; для последней FW' — Fx = АВ. Как легко проверить, это максимальное значение- (равно (/?Jmax= 1//?С\2 w2. Rp имеет минимум, когда «у = 0. Xs обращается в нуль в точках Р3 и Р±, где резонатор является чистым сопротивлением; его максимальное значение достигается при частоте, соответствующей точке Ps, сопряженной с Рд, тогда как минимум находится to точке Рд, сопряженной с Pi (см. также фиг. 60). Максимум Хр наступает в Pi, а минимум — в Рд, и эта величина обращается в бесконечность в Р3 и в след Хр, идущий вверх из — оо , можно видеть в нижнем правом углу фигуры.
.П'ри частотах, лежащих значительно за пределами диапазона, представленного на фиг. 64, расстояние AFt — —<aCi/sv остается практически постоянным. На низкочастотной стороне точка R приближается к А, а на высокочастотной стороне движется беспредельно вверх.
Кроме того, при очень высокой и очень низкой частотах расстояние AV, через которое выражаются частоты, становится слишком малым, чтобы его можно было точно измерить. В этом случа'е следует обращаться к алгебраическим уравнениям, которые при частотах, достаточно удаленных от резонанса, становятся очень простыми, так как можно пренебрегать некоторыми членами, содержащими R. Удобно писать ш = h<o0, где К — множитель больше или меньше единицы. Полную проводимость RLC можно писать в виде
yz 1 ____ юдЦИ? 1)
1 ~ X ~ h
Для Y'1}XS и R, пользуются уравнениями (383), (388) и (389). Применяя этот способ, мы получаем следующие значения, представляющие расширение данных фиг. 64, все в абсолютных электростатических единицах.
Таблица 25
ДАННЫЕ РЕЗОНАТОРА ДЛЯ ШИРОКИХ ИЗМЕНЕНИЙ ЧАСТОТ
h f У У/ XJR
0,5 4,494kHz 0,0077-106 9,05-106 -11-10-6 7,750 0,012-Ю-12 32,2
1,02 9,167 0,303 18,1 —5,5 198 4,65 31,5
1,5 13,481 0,0140 27,2 —3,7 4,300 0,0044 31,8
Табл. 25 показывает, насколько отклонение частоты от резонанса действует на различные величины. Полная проводимость У падает до */200 своего максимального значения при удалении частоты от резонанса на 2%. УТ, как и У, постепенно становятся чистыми емкостными 23 Кэди
354
Глава XIV
полными проводимостями. Так как при очень низких частотах Y-+1/X^®C, то из уравнения (383) следует, что (С -f- Ci). На высокочастотной стороне YY->Ci. Величина
г —_____L.
~ uXs
стремится к предельным значениям (Сх —С) и G соответственно на низкочастотной и высокочастотной сторонах. Рассматриваемый в виде конденсатора резонатор имеет последовательную емкость Cs, уменьшающуюся от (Cj -f- С) при низкой частоте до Ci при высокой частоте; это равносильно тому, что диэлектрическая постоянная, выражаемая соотношением k — 4 kCs /А, уменьшается, проходя через область резонанса, с аномальными значениями в самой этой области (см. § 258). Одна1ко следует заметить, что Cs заметно отличается от своих предельных значений (31,92 и 31,9), даже при расстройке, настолько большой, что величины h имеют значения h — 0,5 и h= 1,5. Большое отношение АЛ/7? показывает, что резонатор имеет очень низкий коэфициент полезного действия даже при небольшой расстройке, достигающей всего 2%. В соответствии с этим находятся низкие значения Rs, которыми по сравнению с R можно практически пренебрегать.
В реальном кварцевом резонаторе уменьшение Cs от (Ci + С) до С’1 при возрастающей частоте выражено гораздо сильнее, чем это указывается приведенными выше данными. Но даже и в этом случае уменьшение в кварце меньше 1 %; напротив, у сегнетовой соли уменьшение очень велико.
Произвольное увеличение значения Ci в 10 раз по сравнению с действительным значением для рассматриваемого кристалла помогло нам проследить шаг за шагом применение графического метода. Качественно оно не ухудшило полученных кривых. С количественной точки зрения можно сказать, что если бы С\ было меньше, то максимум У'1 лежал бы ближе к максимуму Y как в отношении величины, так и в отношении частоты. Минимум Y\ был бы ниже и наступал бы при более высокой частоте. Сама шкала частот осталась бы неизменной, но интервал между двумя значениями для Xs — 0 уве-
личился бы почти пропорционально уменьшению Ci. На основании уравнения (400) можно показать, что если бы вместо фиктивного значения 31,9 мы воспользовались для Ci значением 3,19, то fp—fs имело бы значение около 290 вместо значения 23,3, показанного на фиг. 64.
§ 301. Влияние R на работу резонатора. Как было указано в § 269, чем меньше R, тем больше sy (для. круга того же диаметра) и тем меньше а и а'. Поэтому при уменьшении R шкала частот расширяется, на правую сторону круга между «квадрантальными» точками приходится меньше герц, и резонанс становится острее. Максимальные значения Y и Y\ становятся выше, а минимум У'1 — ниже. Разность частот при последовательном и параллельном резонансе увеличивается при ‘уменьшении R, как можно видеть из уравнения (400).
В обсуждении, следующем за уравнением (393), подчеркивается необходимость удерживать R в выражениях Rs и Xs в относительно широком диапазоне частот. Это хорошо иллюстрируется предыдущими примерами. Например, если Xs в точке Pq на фиг. 64 или 65 вычисляется из уравнения (389), то оказывается, что члены с R2 являются
Электрическая эквивалентная' схема пьёзорезонаТорй 355
главными как в числителе, так и в знаменателе. Более простыми уравнениями можно пользоваться только при значительно более высоких или значительно более низких частотах.
§ 302. Графический метод при включении других элементов схемы. Б качестве основной схемы резонатора необходимо рассматривать только комбинацию RLCC\. При наличии зазора следует пользоваться величинами со штрихом, представленными на фиг. 54, б.
В настоящем параграфе мы вкратце изложим этот метод, отложив пока специальные применения.
а) С опротивление R\ последовательно с С\. Этот случай встречается, когда в Ci происходят потери; такие потери в сегнетовой соли рассматривает Мэзон [338Q. Имеем: Zx—Rr—/(1/coCJ, N1=RlIZ'{-\-
До сих пор мы пренебрегали /?1 и полагали, как в уравнении (380), что
Sy
причем <«С1 = и gi = 0. При включении Ri мы уже не можем пользоваться F в качестве начала векторов резонатора. Вместо этого за начало необходимо выбрать новую точку, представленную точкой О" на фиг. 66, такую, что
ЛР' = --^ =------!—O"F"= = • (448)
sy Sy-wCxZi sy sy-Z{
Наличие Ri уменьшает AF" по сравнени1ю c AF в отношении
AF'f _ 1
AF ~ 1 + R^Sy. Z?)
Точкой О" следует пользоваться в качестве начала всех векторов схемы RLCCiRi, так же как мы пользовались точкой F в предыдущих параграфах в случае RLCC\.
§ 303. б) Импеданс Z2, последовательный с RLCC\. Пусть дана точка Р (фиг. 66) на окружности Y для RLC при любой частоте f и пусть требуется найти вектор, представляющий импеданс RLCCXZ2 при этой частоте. Импеданс RLCC\ 'равен ZS = sz- FP'. Проведем линию OF такой длины, что sz- OF = Z2 = R2 + jX2, ’ откуда
szOM = R2, szMF=X2.
Как показано на фиг. 66, Х2 имеет емкостный характер. Если бы оно было индуктивным, то М лежало бы ниже F.
Векторная сумма Z2 и Z'i равна Z'2, выражаемому уравнением Z2' = szOP'. Ее компонентами являются R'2 = &z • OW и Х'2 — sz- WP'. Р' есть точка на окружности импедансов в случае RLCC\Z2, частота в которой одинакова с частотой в Р на первоначальной окружности полных проводимостей для RLC.
Диаграмма полной проводимости в случае RLCC\Z2 получается обращением Р' в Р" с О в качестве центра инверсии и ON (касательной к резонансному кругу в точке N) в качестве радиуса круга инверсии. ON необходимо проводить только в случаях, когда нужно получить 23*
356
Глава XIV
масштабное значение s" для полных проводимостей RLCCiZ2.
s" =____1___ .
х ($у-О№)
Тогда полная проводимость контура RLCCiZ2 при частоте f есть y; = s"- ОР".
Описанный в § 282 метод изображения фазовых соотношений мож-
но приложить и к настоящему случаю. Положим, что и У2 представляют разности потенциалов на RLCCi и RLCCXZ2. При этом обозначении фазовые соотношения будут такими, как указано на фиг. 66.
Относительно распределения частот по окружности полной проводимости в случае RLCC\Z2 следует заметить, что при добавлении Z2 точка А обращается в точку А', которая становится точкой нулевой и
Фиг. 66- Резонансная диаграмма для резонатора с последовательным полным сопротивлением.
бесконечной частоты. В точках Pi и Р2 на продолжении OF частоты одинаковы с частотами на первоначальной окружности полной проводимости в случае RLC. Все частоты, которые на окружности RLC лежат в нижней (низкочастотной) части между А и Р, теперь концентрируются на дугеЛ'Р". (Частоты, соответствующие всем точкам на окружности полной проводимости при отсутствии Z2 (начало в F), при наличии Z2 сдвигаются в обоих направлениях от точки Р2 к точке Pi.
Это распространение графического метода полезно при исследованиях влияния импе-
данса контура, к которому присоединен резонатор на критические частоты и на работу резонатора. Например, максимальный и минимальный импедансы RLCC\Z2 находятся простым проведением линии из О через центр круга. Частоты последо
вательного и параллельного резонанса определяются точками, в которых горизонтальная линия, проходящая через О, пересекает круг. Если AM больше радиуса круга, то эти точки уже не существуют, и контур является емкостным (или индуктивным, если AM проводится вниз)
при всех частотах.
Когда желают найти частоту, соответствующую любой точке Р" на окружности полной проводимости в случае RLCC\Z2, то пользуются в обратном порядке методом, описанным для определения Р" при данной точке Р. Сначала находят точку Р' на линии Р"О, затем проводят FPfP, и искомая частота представляет собой частоту для точки Р на окружности для RLd. Эта частота определяется так, как описано в § 267.
Может случиться, что величину Z2 нельзя рассматривать в этом диапазоне частот как постоянную. Например, как в § 316, Z2 может произвольно меняться, чтобы токи в некоторой части контура имели максимальное значение, или Z2 может содержать элементы как остро настроенные, так и изменяющиеся в зависимости от тока, как в случае
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
357
импедансов электронных ламп. В таких случаях необходимо определить геометрическое место начала О на фиг. 66, в силу чего становится известным положение О при любой данной частоте. Такой метод описывается в § 324.
Графическую обработку легко также распространить на случай, в котором произвольный импеданс соединен параллельно или с RLCCX, или с RLCCXC2. Эти свойства графического метода уже обсуждались автором в другой работе [105].
§ 304. в) Емкость Сз параллельно с RLCCXC2. Как в § 288, емкость С2 последовательно с RLCCX может быть или зазором, или внешним конденсатором. В обоих случаях геометрическое место полных проводимостей представляет собой круг на фиг. 61, причем на основании уравнения (434) s'v-AF' — —соС',, а шкала частот контура RLCCXC2 определяется согласно § 290. Добавление С3 (конденсатор или емкость соединяющих проводов и т. д.) параллельно RLCGXC2 вызывает просто передвижение начала вверх, совершенно так же, как в случае С2, только теперь новое начало F" определяется уравнением sy FF'=— &>Сз или syAF" =— со (С'14-Сз). Распределение частот такое же, как и в случае RLCCXC2, но критические точки при включении Сз передвигаются так, что последовательный резонанс, соответствующий точке Р3 на фиг. 59, проходится при частоте несколько более высокой, чем в отсутствии С3. То же самое справедливо относительно частоты максимальной полной проводимости. Частоты параллельного резонанса и максимального импеданса в присутствии Сз понижаются. Другими словами, параллельная емкость уменьшает частотный интервал между последовательным и параллельным резонансами.
Эти соотношения легкое вывести аналитически. Уравнение в случае последовательного резонанса, аналогичное уравнению (397), имеет вид
со
'2 5
1
ЕС
R,2C3'
Е2С
Cj-f-Cg)
(449)
где L', С' и R' выражены уравнениями (424), С'з = С'х + С3 и Сх2з —
= С1С2-Ь С2С3 + C3Ci; R обычно достаточно мало, приближение
1 । С \
0)5 ^LC^^Ci + С2у •
чтобы оправдать
(450)
Это выражение одинаково с уравнением (437) для RLCCXC2, показывая, что присутствие С3 практически не влияет на частоту при последовательном резонансе.
Частота при параллельном резонансе в случае малого R очень легко определяется из уравнения (383) для контура R'L'C'C'х,ъш. полагаем R' = О и Z' = X' = (<о2L'C' — 1)/соС'. Тогда для Р.ЬССхС2Сз имеет место соотношение
- “Ci - “ С> ) ..
1) Символом пользуются, чтобы не смешивать его с «5, значением для одного только контура RLCCX.
358
Глава XIV
Условием параллельного резонанса является У'з = 0. Пользуясь уравнениями (424), находим затем:
С' \ _ 1 с\+с3) ~ LC
С(С2 + С3)
С\С2 + C2Cs~V C3Ci
(450а)
В последнем выражении мы воспользовались приближением С-4-G + Q^Q + Q.
§ 305. Резонансная окружность для механической полной проводимости. Из уравнения (3/29) видно, что между током 1р в ветви RLC резонатора при колебаниях по длине и скоростью частицы v на концах бруска существует пропорциональность. Ту же связь можно установить и при колебаниях по толщине. Эта пропорциональность выражается в уравнениях (325) и (367) для колебаний по длине и колебаний по толщине как постоянное отношение электрического импеданса Z h цепи RLC к механическому импедансу (Zс'h. Соответствующее отношение должно быть также справедливо для пьезорезонаторов других типов. Отсюда следует, что для механической полной проводимости можно пользоваться той же окружностью полных проводимостей с той же шкалой частот, как и описанная в случае электрической полной проводимости. Так как здесь мы имеем дело только с цепью RLC, то начало векторов находится в точке А на резонансной окружности, например на фиг. 56. Любой электрический вектор, разделенный на электромеханическое отношение г, дает соответствующий механический вектор. Другими словами, масштабное значение для механической полной проводимости равно sc = rsy.
На окружности для механической полной проводимости максимальная полная проводимость попадает в точку В, где скорость частицы максимальна, а частота определяется как /о- В согласии с уравнением (94), частота fa при максимальной амплитуде колебаний ниже /,0 на величину/032/8к2, где 3 —логарифмический декремент за период. Из табл. 23 видно, что частота fa равна только отношению С/4С1, отличаясь от fo так же, как частота максимальной электрической полной проводимости в точке Р^, в точке Р$ частота уже очень близка к f0-
При наличии зазора между кристаллом и электродами пользуются резонансной окружностью на фиг. 61 с точкой F' в качестве начала электрических векторов. Наличие зазора (представленного сдвигом начала из F в F') меняет максимальную скорость частицы, а также распределение частот по окружности. Частота при максимальной скорости частицы, хотя она и выше, чем при отсутствии зазора, попрежнему Проходится в точке В на фиг. 61. В силу § 58 и 234 амплитуда колебаний Во на границе резонатора, выраженная через амплитуду тока (/)0 в цепи RLC, равна
= (451)
§ 306. Электрическая и механическая теории резонатора с зазором. Электрическая теория рассматривает электрические и упругие свойства резонатора как свойства, характерные для зазора, равного нулю, тогда как сам зазор представляется в виде последовательной емкости Сг (фиг. 54, в). Эквивалентной схемой является RLCCiC2.
С другой стороны, механическая теория рассматривает электрические и упругие свойства в зависимости от зазора. Эквивалентная схема представляет собой
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора
359
R'L'C'C'i, как показано на фиг. 54, б, где все четыре параметра являются функциями зазора. Коэфициент q, встречающийся при С', отличается от коэфициента у С при отсутствии зазора. При дальнейшем рассмотрении мы будем пользоваться символом qw для константы упругости при наличии зазора дай символом q$ для значения этой величины при w=0. Согласно электрической теории, упругая константа равна q0 при всех значениях зазора.
Эквивалентность этих двух теорий уже была доказана. Остается только показать, каким образом каждая из них требует несколько отличающихся описаний колебательного процесса.
Пусть /о — резонансная частота контура RLCC\, наблюдаемая в отсутствии зазора, и пусть fw является резонансной частотой, когда зазор равен w. Тогда при постоянной разности потенциалов, если частота /о действует при зазоре, равном w, резонанса нет. Согласно электрической теории, кристалл возбуждается на резонансной частоте, импеданс его низок, но падение напряжения происходит главным образом на зазоре, так что амплитуда колебаний мала. Согласно механической теории, константа упругости кристалла в присутствии вазора так велика, что прилагаемая разность потенциалов вызывает только вынужденные колебания небольшой амплитуды.
Подобным же образом, когда действующая частота равна fw, электрическая теория устанавливает, что.наступает электрический резонанс, хотя кристалл и не находится в механическом резонансе; импеданс кристалла велик, вследствие чего падение напряжения на нем относительно велико, что приводит к вынужденным колебаниям большой амплитуды. С другой стороны, механическая теория устанавливает, что кристалл колеблется в, резонанс при низком импедансе и что большое падение напряжения на нем достигается пьезоэлектрически в силу его собственной деформации.
Различие точек зрения вызывается различными определениями констант упругости. Какую точку зрения принимать, зависит от удобства. Во всяком случае, когда кристалл с зазором находится в резонансе, fw больше /о, так что комбинация RLCC\ является индуктивной, тогда как Сг является, разумеется, емкостью. В некотором диапазоне значений Сг падение напряжения на Сг, а также соответствующее падение на кристалле может быть во много раз больше прилагаемого напряжения.
Условие для максимального напряжения на зазоре показано графически в § 297.
ГЛАВА XV
ДИНАМИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНСТАНТ
§ 307. Хотя изложение техники электрических измерений выходит за рамки этой книги, все же хотелось |бы указать на принципы, на которых основано применение стандартных методов измерения в области радиочастот к кристаллическим резонаторам. Выбор метода зависит от того, насколько велика или мала подлежащая измерений величина и от требуемой точности. Метод должен быть простым и давать возможность быстро и с помощью небольшого числа измерений получать нужные величины.
Измерение упругих коэфициентов было рассмотрено в § 75 и 252, а в § 183 и 184 мы коснулись главным образом измерения пьезоэлектрических коэфициентов статическими методами.
В настоящей главе прежде всего описывается метод «щелчка», в котором использован слышимый отклик резонатора при прохождении наложенной частоты через резонанс. Далее следует описание методов, употребляемых для определения пьезоэлектрических коэфициентов любых кристаллов путем применения различного типа схем, а также методов определения электрических констант эквивалентных цепей для любого пьезорезонатора. В конце мы обсудим итоги этих наблюдений, уделяя особое внимание употреблению графических методов.
Для описанных ниже методов наиболее необходимой частью оборудования является генератор с исключительно тонкой регулировкой частоты в области резонанса кристалла. Генератор должен быть достаточно стабильным, чтобы поддерживать частоту и напряжение постоянными в любом данном положении в течение времени, необходимого для ряда наблюдений. Для точного измерения малых изменений частоты следует брать средние значения, причем генерируемая частота не должна зависеть от меняющегося импеданса кристалла. Источником колебаний может быть или мощный генератор от 50 до 250 W, слабо связанный со вторичной цепью, содержащей кристалл, или маломощный генератор, связанный с кристаллом через усилитель, причем применяемая степень усиления должна предусматривать предотвращение обратной связи. При более точных измерениях возникает необходимость устанавливать частоту с точностью до малых долей герца. В § 379 подчеркивается важность устранения гармоник на выходе напряжения.
§ 308. Методы «щелчка» и замыкания ключа. Прежде чем переходить к количественным измерениям пьезоэлектрических и эквивалентных электрических констант, мы опишем некоторые простые схемы, которые применяются для качественных испытаний пьезоэлектрических кристаллов, упомянутых в § 172. Эти схемы также обеспечива|ют получение средних величин для приблизительного определения частоты кристалла в делениях волномера и для градуировки волномера, когда
Динамическое измерение пьезоэлектрических и эквивалентных констант 361
имеется налицо одиц или большее число резонаторов с известной частотой. Лица, приступающие к изучению кристаллических резонаторов, могут хорошо ознакомиться с их особенностями, экспериментируя с этими простыми приборами.
Для демонстрации принципа метода «щелчка» удобно употреблять маломощные ламповые генераторы с индуктивной обратной связью и с приемным телефоном или громкоговорителем в анодной цепи. Настраивается либо цепь сетки, либо цепь анода. Частота должна непрерывно меняться в достаточно большом диапазоне по обе стороны резонансной частоты кристалла. В качестве резонатора может быть использован небольшой кварцевый брусок среза X (длина параллельна У). Для длин от 10 до 40 мм основная частота колебаний по длине меняется в круглых числах от 300 000 до 75 000 Hz. Если анодное напряжение достаточно низко, чтобы избежать опасности пробоя, то кристалл, который может быть свободно помещен между фиксированными электродами, можно присоединить непосредственно к настроенному контуру. При прохожде-
нии настраивающего конденсатора через положение, соответствующее резонансу кристалла, слышится характерный щелчок, который тем более музыкален, чем ниже частота и чем меньше затухание резонатора. Звук вызывает-
ся тем, ЧТО при достижении кон- 67. Схема для измерения констант
денсатором критического положе- резонатора методом щелчка,
ния резонатор приходит в колеба-
ние и продолжает колебаться долю секунды. В течение этого времени он действует ка<к генератор, накладывающий на цепь лампы переменное напряжение с частотой его собственного резонанса и вызывающий биения с уже существующим переменным током. Амперметр переменного тока в анодной цепи будет также реагировать на резонанс кристалла.
Щелчок может быть также слышен при другом положении кристалла в колебательном контуре, например, последовательно с сеткой, параллельно с большим сопротивлением утечки. Обычно можно слышать внятный отклик при одном отключенном электроде кристалла. Достаточно даже подвесить брусок без электродов на нити близко к катушке или к настраивающему конденсатору. В этом случае погло
щается и излучается достаточное количество энергии для того, чтобы производить биения.
Когда метод щелчка применяется к пластинкам с колебаниями по
толщине, то при прохождении через частоту, которая должна вызвать отклик, слышен не единичный щелчок, как в случае бруска с колебаниями по длине, а скорее целый залп щелчков, т. е. очень большое число откликов в узкой области частот около предполагаемой частоты. Как установлено в § 244, эта сложность обязана главным образом существованию различных упругих связей. В § 352 описывается способ уменьшения числа откликов и получения одной доминирующей частоты резонанса для хороших! пьезогенераторов.
Если колебательный контур уже отградуирован или его мощность слишком высока, лучше поместить кристалл в слабо связанную вторичную цепь, как показано на фиг, 67. L\— катушка выхода генератора. Контур Ь2С3 должен быть приблизительно настроен на собственную частоту кристалла. Щелчок слышен в приемный телефон Т, Вместо
362
Глава XV>
телефона может быть применен миллиамперметр постоянного тока. При желании сеточный конденсатор С4 может быть заменен кристаллом.
В своих ранних экспериментах автор иногда употреблял контактный детектор (галенит или молибденит) и приемный телефон вместо детекторной лампы, показанной на фиг. 67. Кроме того, было найдено, что в качестве L} можно использовать катушку зуммерного волномера; в этом случае Л2 принимает ряд затухающих волн, и звук зуммера, непрерывно слышимый в Т, изменяется, когда волномер настроен в резонанс с кристаллом.
При применении описанных схем может быть достигнута несколько большая точность путем установки конденсатора настройки генераторной цепи по возможности ближе к критическому положению и последующего быстрого изменения его на небольшую величину. Установку конденсатора понемногу изменяют как раз до того положения, в котором слышится щелчок. Выполняя эту операцию путем подхода к критической точке с обеих сторон, можно получить очень точную среднюю величину.
§ 309. Последний способ естественно ведет нас к методу замыкания ключа, при котором можно избежать быстрого поворачивания переменного конденсатора взад и вперед. Для этого параллельно с конденсатором настройки в колебательный контур необходимо включить небольшой вспомогательный переменный конденсатор, соединенный последовательно с ключом. Вспомогательный конденсатор должен быть установлен в таком положении, чтобы при нажиме ключа частота f менялась до значения Д, при котором разность f — fi является звуковой частотой. Ключ должен быть на заземленной стороне, чтобы избежать неприятных стуков при замыкании. Ключ замыкают неоднократно по мере медленного изменения емкости конденсатора настройки. Когда достигается такое положение, что при разомкнутом ключе резонатор приводится в колебание, то при замыкании ключа слышен звук биений большей или меньшей продолжительности. Этот звук имеет очень острый максимум при частоте резонанса. Конечно, и при размыкании ключа также можно слышать максимум громкости биений.
Методы щелчка и замыкания ключа являются полезным дополнением при измерении коэфициентов резонатора способами, описанными в § 315—321. Вследствие исключительной остроты резонанса хорошего кристалла обычно бывает трудно отрегулировать генератор соответственно очень узкой полосе частот, на которые откликается кристалл. Если прослушивание щелчка обеспечено, такая регулировка достигается очень быстро.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЭФИЦИЕНТОВ
Употреблявшиеся методы могут быть классифицированы следующим образом:
а) Метод зазора, состоящий в измерении частоты резонатора при двух различных зазорах, обычно w = 0 и w=oa.
б) Метод антирезонанса, при котором зазор (обычно равный нулю) бстается постоянным, в то время как измеряются частоты при резонансе и антирезонансе.
Динамическое измерение пьезоэлектрических и эквивалентных констант 363
в) Метод резонансной кривой, в котором пьезоэлектрическая константа вычисляется по значениям эквивалентных R, L или С-
г) Метод удлинения, в котором измеряется максимальное удлинение бруска при резонансе.
д) Метод сложного бруска, в котором исследуемый кристалл приводится в колебание посредством второго кристалла с известными константами.
Можно пользоваться либо колебаниями брусков по длине, либо колебаниями пластинок по толщине. Ниже будут приведены основные уравнения для каждого случая. Для обобщения мы принимаем, что брусок или пластинка должны быть косого среза, поэтому все коэфициенты, указывающие преобразованные оси, штрихованы.
§ 310. а) Метод зазора Так как малые зазсфы очень трудно измерить и между наблюдениями и теорией нет достаточно хорошего совпадения, как отмечено в § 349 и 353, то нельзя ожидать достижения большой точности при употреблении иных зазоров, чем 0 и сю.
Бруски. Следует принимать во внимание только основную частоту колебаний по длине.
Для зазоров, равных нулю и бесконечности, имеем:
( Snn) = ^2ру2 ’ ( Snn} ~ ‘
О 00
С незначительной ошибкой /0 и foo могут рассматриваться как частоты при максимальной проводимости резонатора или при максимальной амплитуде колебания.
В случае w = ею решения получаются различными в зависимости от того, будут ли поверхности бруска, нормальные к электрическому полю, иметь металлическое покрытие (чтобы сделать их эквипотенциальными) или нет. Если поверхности бруска не металлизованы, то применяются уравнения (332,) и (333), дающие
—’ (452)
где I указывает направление поля, k' — диэлектрическая постоянная свободного кристалла, измеренная для определенной ориентации при нерезонансной низкой частоте.
Таким образом, когда известно, величина d'in может быть най-деца путем измерения частот при нулевом и бесконечном зазоре. Точность, с которой этим методом может быть измерено (d'in )2, зависит ст точности, с которой измерено k't, и от разности частот (/«,—/0); как и во всех других методах, точность измерения ограничивается тем, что идеальные условия, принятые в уравнениях, никогда не могут быть осуществлены в действительности.
Большая величина диэлектрической постоянной kx сегнетовой соли позволяет для бруска среза А из этого кристалла написать уравнение
’.) Этот метод был впервые использован автором [107] для измерения dzs сегнетовой соли. Вскоре После этого Михайлов [368] использовал его для du сегнетовой соли, получив результаты, хорошо совпадающие с результатами, полученными по методу в,
364
Глава XV
(452а)
(452) в следующей форме:
(гГ )2 —__________L
(«12) ~4/2р^/02 Л2
где vjz = ^74~. Мюллер [378] использовал это уравнение при вычис-
лении di4 для сегнетовой соли по данным Мэзона.
Когда употребляется металлизованный брусок, то константа упру-
гости при бесконечном зазоре выражается согласно уравнению (428):
-
Из этого выражения и соотношений (311) и qo = l/s«n для нулевого зазора находим:
+ 14541
\ J оо J 0 /
Данное приближение допустимо только для кристаллов с малыми пьезоэлектрическими константами, например кварца.
В качестве, примера применения вышеупомянутого метода вычислим dn для кварца, пользуясь наблюдениями автора над кварцевым бруском среза X с размерами X 0,152 см, У 4,04 см и Z 1,40 см. Диэлектрическая постоянная, измеренная для свободного образца, имеет значение k' = 4,5. Когда брусок не металлизован, частота, измеренная для w = 0, составляет /о = 6,65 • 104. Экстраполяция измеренных частот для w — со дает — fo — 298. Аналогично, для того же самого, но металлизованного бруска /о = 6,65-104, /«, —fo = 240. При подстановке этих значений в, предыдущие выражения мы находим для неметаллизованного и металлизованного брусков соответственно 6,45 • 10~8 и 6,42 • 10-8; несмотря на то, что сами эти величины (веро-ятно, благодаря дефектам в бруске) сравнительно малы, они все же показывают, что формулы дают практически одинаковые результаты для металлизованного и неметаллизованного брусков.
Пластинки. Измеряя частоты fo и /«, колебаний по толщине, из формулы (355) для эффективной пьезоэлектрической константы г можно получить следующее выражение:
= ’ (455)
где е — толщина, k" — диэлектрическая постоянная зажатого образца для определенной ориентации. За исключением простейших срезов вывод главных е из = невозможен. Вообще говоря, необходимо производить измерения с несколькими пластинками различной ориентации. Мы уже видели, что k" не может быть вычислено без предварительного определения по крайней мере приближенных значений пьезоэлектрических констант и не может быть измерено без использования исключительно высоких частот (§ 247), а поэтому становится ясным, что в общем не следует пытаться определять пьезоэлектрические константы методом зазора при колебаниях по толщине. Кажется, такие определения никем не производились.
§ 31 1.6) Метод антирезонанса. Частоты f s и fp для последовательного и параллельного резонанса (резонанса и антирезонанса) измеряются при фиксированном зазоре, преимущественно нулевом.
Динамическое измерение пьезоэлектрических и эквивалентных констант 365
Когда пьезоэлектрические константы малы, нужные выражения могут быть выведены из приближенного соотношения (401). Если пьезоэлектрический эффект велик, как, например, в сегнетовой соли, то лучше начинать с более точных соотношений (397) и (398), в которых обычно допустимо для наших целей принять R = 0. Тогда находим с большой степенью точности:
Из соотношений .(324) и табл. 22 находим, что С/Сх имеет один и тот же вид как для колебаний по длине, так и для колебаний по толщине. Если fp и fs измерены на гармонике h, то C/Ci = 32 г2/к Л2^, откуда (принимая во внимание, что qo = 4/2р/2Л./^21) получаем:
_2 nkl2? , _nh-kqo Ch ( 4А7 )
S “ б \J pJ J ~ 32 СГ' [ 1
Для колебаний по толщине мы будем писать k" вместо k и считать, что I представляет собой толщину. Для колебаний по длине (при которых может быть использована только h — 1) k становится kl и I — длиной бруска. Величина е — эффективная пьезоэлектрическая константа для определенной ориентации. Чтобы получить основные пьезоэлектрические константы, обычно необходимы измерения в нескольких различных направлениях. В случае брусков эффективные пьезоэлектрические модули (d'in в предыдущих параграфах) могут быть найдены непосредственно из г по соотношению d'in=t[qQ.
Метод б) прост и достаточно точен. При его применении главная трудность, не считая определения k, заключается в том, что антирезонанс fp не острый. Мэзон [340] пользовался этим методом при измерении du и du для кварца.
§ 312. в) Метод резонансной кривой. В методах а) и б) используются только две наблюдаемые частоты. Метод в) дает возможность получить большую точность. Этим методом с помощью резонансной кривой или резонансного круга можно путем большого числа наблюдений при различных частотах подойти к точному измерению (§ 315) эквивалентных L, R или С. Тогда можнр вычислить г из уравнений (324) или уравнений в та|бл. 23, пользуясь наблюдениями колебаний брусков и’ли пластинок. Проще всего пользоваться выражением для L или С, хотя 'значения, полученные Андреевым, Фредериксом и Казарновским, Фредериксом и Михайловым и ван Дайком в табл. 20, были вычислены из R. Значения du, найденные Нуссбаумер (см. ту же таблицу), были получены методом резонансной впадины (§ 316), который по существу является методом эквивалентной цепи.
Между методами б) и в) нет существенной разницы. Отличие метода в) заключается в том, что в нем используются более удобные для измерения величины. Например, последняя часть выражения (457) написана в применении к методу в). Из этого соотношения можно вывести выражение для d' п через k', приложимое к бруску, колеблющемуся на собственной основной частоте продольных колебаний. Выписывая k = kt = k' — 4тг (6/'Z/l)2/s^, мы видим, что так как
366
Г л а в а XV
s = <.Л!, ™
( / \2_ ~$пп& С
\ain) — 4(8^+7120
2„£
Snn (" ~8bT
(458)
где С и Ci выражены в электростатических единицах.
и (406) с достаточной точностью нахо-эффективной пьезоэлектрической кон-
, ч , .сп,
§ 313. г) Метод удлинения. Этот метод, мало пригодный для пластинок, применялся Т. Фуджимото 9 для кварцевых брусков среза А при определении dn. Метод является динамической аналогией статического измерения пьезоэлектрических констант с помощью обратного пьезоэффекта. Пользуясь оптическим интерферометром, можно измерить амплитуду колебаний Во на конце бруска в резонансе. Из выражений (67), (324), (329), (87) дят следующие формулы для станты:
® = ~2 Део ==- = = 26 Ио 1<°2 ~ )
Можно употреблять одну из этих формул в зависимости от того, какая электрическая величина измеряется. /0 и Уо являются максимальными током и напряжением при резонансе, 7? — сопротивление в эквивалентной цепи, М = р6/е/2 — эквивалентная масса и Q — фактор качества в уравнении (67), а <о2 и — угловые скорости в двух точках квадранта (§ 277). Если производить измерения с числом частот, достаточно большим для построения резонансного круга, то ( oj2— <»i) может быть определена с хорошей точностью.
При применении метода г), кроме электрических приборов, используемых в> методе в), необходимы еще приборы, измеряющие удлинение. Поэтому метод г) применяется только для проверки теоретических данных и данных, получаемых другими методами.
§ 314. д) Метод сложного бруска. Предложен Мэзоном [338] для определения пьезоэлектрической константы ац (по обозначению Мэзона fi4) сегнетовой соли. Мэзон склеивал 45-градусный брусок сегнетовой соли среза X с концом кварцевого бруска, консданты которого были точно известны!. Бруски имели общую резонансную частоту колебаний по длине. Система приводилась в колебание генератором, соединенным с кварцем. На кварц наносились два небольших вспомогательных электрода, которые соединялись с усилителем, имеющим высокий импеданс, для сравнения падения напряжения Eq на кварце с падением напряжения на сегнетовой соли Е$. С этой целью на брусок сегнетовой соли (обычно не имеющий электродов) наносились 2 небольших электрода в центре. Брусок сегнетовой соли приводился в колебание кварцевым бруском. Слой клея приходился на пучность и поэтому подвергался очень малой деформации. При обработке наблюдений необходимо было вычислить отношение деформации yyq и уу$ на обеих сторонах спая. Формула Мэзона может быть написана слёдую-
0 Т. Fujimoto, Proc. World Eng. Congr. Tokyo 20, 399—416 (1929). Значение d\\ — s/sn в табл. 20 было вычислено автором из данных Фуджимото. Г. Остер-берг [399] и С. Г. Кортец [113] разбирают более подробно применение интерферометра для изучения резонаторов. Предварительные наблюдения с помощью этого метода были сделаны Е. М. Торндайком (диссертация, Веслейскиц- университет, 1926).
Динамическое измерение пьезоэлектрических и эквивалентных констант 367 щим образом:
а М4)д((/Д ( S22)/? eqyyqER (460)
kq ( Sn)q ^рУуР Eq
где sz22 — эффективное значение во всех случаях, a eq и —толщина брусков. Употребляя 18,5-градусный кварцевый брусок (§ 357) с известными d'\2 и k', Мэзон нашел, что ai4 = 7,6 • 104 при 30° С. Данные о температурной зависимости можно найти в § 374.
Этот метод, конечно, применим к любому пьезоэлектрическому кристаллу, из которого можно вырезать брусок так, чтобы его пьезоэлектрическая константа выражалась через удлинение .бруска. Большим преимуществом является то обстоятельство, что можно не знать диэлектрической постоянной исследуемого кристалла, поскольку согласно теории поляризации, применяется константа \а[п . Однако, согласно уравнению XI или XII табл. 21, для нахождения di/t из ain должна быть известна диэлектрическая восприимчивость. Например, в случае сегнетовой соли при 30° мы можем употреблять выражение (495). Тогда, если sp44 = 1/ср44 = 1/11,6 • 1010, vj=25 согласно фиг. 144, а п14 = 7,6 • 1011, то du = 16 • ГО-6.
Методом д) довольно трудно получить точные результаты.. Как признавал сам Мэзон, абсолютное значение измеренных величин в этом случае не может считаться точным, но относительные значения для ряда температур могут сравниваться с большой точностью.
§ 315. Определение констант эквивалентной цепи. Приведенные выше методы измерения пьезоэлектрических констант касались свойств вещества кристалла. Опишем теперь методы нахождения электрических констант резонатора заданных размеров. Из этих констант, в свою очередь, могут быть выведены механические и электрические константы вещества.
Приводимые здесь рассуждения применимы к любой форме пьезоэлектрического резонатора, который может быть представлен эквивалентной электрической цепью RLCC\, как показано на фиг. 48 или 54. Мы опускаем штрихи, подразумевая, что символы относятся к предельным значениям, включая и эффект зазора, когда таковой имеется. Вообще говоря, любые изменения зазора и размера или расположения электродов будут изменять R, L, Си Большинство упомянутых ниже экспериментальных работ было проведено с кварцевыми резонаторами.
Параметрами резонаторов, имеющих наибольшее практическое значение,, являются отношения емкостей CJC (§ 280) и Q = ^qL/R = о>= 1/oCR. Эти величины могут быть вычислены, если Clf С и R уже определены или могут быть выражены непосредственно через измеренные величины, как это указано ниже.
Далее приведены различные экспериментальные методы, которые были использованы для определения электрических констант, причем некоторые из них перекрывают друг друга. Мы не можем здесь входить в детали, касающиеся ламп, цепей, экранирования, контроля температуры и других технических вопросов, как бы важны они ни были. Однако следует обратить особое внимание на источник ошибок, который настолько легко проглядеть, что неопытный экспериментатор может и не заметить искажения получаемых результатов. Этим источником является наличие гармоник в электрическом напряжений, приложенном к кристаллу. Гармоника весьма незначительной амплитуды может изменить
368
Глава XV
показания приборов. Кроме того, она может вызвать нежелательные колебания, влияющие на характеристики изучаемого колебания. Крайне желательно знать форму генери|руем>ой волны и обеспечить такие фильтрующие цепи, которые практически давали бы чисто синусоидальное питание кристалла.
Необходимо -упомянуть еще одно неприятное явление, встречающееся в кристаллах, обладающих значительным температурным коэфициентом частоты. По мере приближения к резонансу кристалл колеблется сильнее, и все большая часть подводимой энергии тратится на его нагревание. Хотя резонатор (можно термостатировать, все же это нагревание изменяет константы кристалла, меняя таким образом резонансную частоту. Можно получить непрерывную кривую, но она искажается, так как характеристики кристалла являются функцией ординат кривой. Искажение не препятствует получению правильного значения затухания кривой. С другой стороны, для определения величин R, L и С при любой определенной температуре следует ввести в кривые некоторые поправки или уменьшить ток для предотвращения заметного нагревания. Это явление было изучено Вальстремом в его исследованиях, упомянутых в § 316. См. также работу Хатакейяма [209'].
§ 316. Метод «впадины»’), или параллельного импеданса. Этот метод был впервые использован автором [93] и позднее Даем [127] в его подробном исследовании электрических свойств пьезорезонатора. Следует обязательно ознакомиться с работой Дая, содержащей многие тонкости теории и эксперимента. Ватанабе [581] дает полное описание употребления резонансного круга. Этот метод употреблялся и другими авторами для измерения констант резонатора. Схема дана на фиг. 68. Выходная катушка Lx генератора с точным контролем частоты слабо связана со вторичной цепью, содержащей кристалл. Необходимо, чтобы контур />2С3 можно было настроить, подходя к частоте кристалла с обеих
сторон* 2’. Так как наложенная частота меняется постепенно, то С3 можно изменить таким образом, чтобы ток в L2 был всегда максимальным или имел постоянное значение, при котором контур Ь2С3 находится в резонансе с собственной частотой /о кристалл^. Ток к Ь2 и ток, идущий к кристаллу, можно измерить термоэлементами в точках а и b контура или с помощью лампового вольтметра, присоединенного к кристаллу. Во всех случаях мюжно получить полную резонансную кривую, из которой вычисляются константы кристалла 3\
’) Термин «впадина», впервые употребленный Даем, возник из формы резонансной кривой, как это показано на фиг. 73.
2) Настраивающий конденсатор обозначен через С3, чтобы отличить его от емкости воздушного зазора С2, которая может находиться в эквивалентной цепи кристалла.
3) О применении метода впадины см. сводку литературы в конце главы. Лица, изучающие эти работы с точки зрения применения описанной в них специальной техники, должны быть очень осторожны в вопросе о том, какие малые величины могут отбрасываться как пренебрежимые. Например, выражения, выведенные Шекели
Динамическое измерение пьезоэлектрических и эквивалентных констант 369
Вместо того чтобы помещать кристалл в отдельную вторичную цепь, Бехман [43] и Билд ер [81] присоединяли его непосредственно к настраиваемому выходному элементу самого генератора. Недостатком этого метода является влияние кристалла на частоту генератора.
В нашей лаборатории применяется до сего времени не опубликованный метод Д В нем кристалл соединяется с выходом усилителя таким образом, что на него подается практически постоянное напряжение переменной частоты. Ток, подводимый к кристаллу, измеряется при этом термоэлементом, а результаты вычерчиваются в виде резонансной кривой, на основании которой можно вычислить декремент.
Графическое рассмотрение схемы впадины дано в § 322.
Фиг. 69- Схема для измерения констант резонатора методом последовательного импеданса.
§ 317. Метод фильтра, или последовательного импеданса. К этому виду схем принадлежит простая измерительная схема, описанная Хигне-ром [216]. В своей простейшей форме она состоит из слабо связанной с генератором сменной катушки, кристалла и термоэлемента. С некоторыми усовершенствованиями этот метод был использован в нашей лаборатории Ньюарком и Пибоди2) для измерения максимального и минимального импедансом кварцевых брусков; по этим измерениям были вычерчены резонансные кривые й вычислены эквивалентные константы.
Одним из вариантов ме
тода Хигнера, описанным самим Хигнером, а также Мейснером [359, 3601, является использование триода вместо термоэлемента.
В настоящее время предпочитают помещать кристалл в качестве фильтра между генератором переменной частоты и приемным контуром, которым может быть ламповый вольтметр (предшествуемый, когда это необходимо, подходящим аттенюатором и усилителем) или детектора Последний употребляется в тех случаях, когда нужно измерить только частоты. Различные варианты этого метода были описаны Мэзоном [332], Бусом [69]> а также Мэзоном и Фэйром [341]. С ламповым вольтметром схема имеет вид, изображенный на фиг. 69. Переменная частота генератора О накладывается на сопротивление а падение на У? 2 измеряется ламповым вольтметром V. В целях уменьшения паразитной емкости проводников, подводящих ток к кристаллу, сопротивления и Т?2 сделаны очень малыми и помещены близко к кристаллу. Для определения констант кристалла достаточно измерить частоты fm и fnn записать соответстбу-ющие максимальный и минимальный отсчеты вольтметра Vm и Vn . При этих значениях частот полная проводимость У имеет свои максимальное (407) и фиг. 59
и минимальное значения Ym и Yn видно, что Y m =sy • FP5, Yn =sy
(§ 278). Из выражения FP6.
[500] и использованные Нуссбаумером [395], справедливы только при частотах, настолько далеких от резонанса, что отношение BS/AB велико (фиг. 57).
) J. Е. Wai st гот, диссертация, Веслейский университет, 1934.
2) A. F. Newark, диссертация, Веслейский университет, 1931.
Е. Т. Peabody, диссертация, Веслейский университет, 1933.
24 Кэди
370
Глава XV
По принципу инверсии FP5 FP6 = AF1 2 = (a2C‘*/s2y. Для кварцевого резонатора отношение AF/AB очень мало', и Р$ так близко к В, что можно написать FP.^ АВ = \!s,.R.
Отсюда
Из этого уравнения сразу выясняется значение R. Чтобы определить
CDnZ,
О = -R- ,
необходимо найти L. Для этой цели мы используем уравнение (410а). Так как «0 очень близко к , это уравнение может быть написано в следующем виде:
Отсюда, а также из уравнения (461) следует, что
mqL _____«о Л ГYm — fo / Vm / Л
4 R 2(W/J-com)|/ Кл —2(/„-/от)]/ Vn *
Как показано в § 281, и fo и fm почти совпадают с частотами для последовательного резонанса, a fn почти точно совпадает с частотой параллельного резонанса (антирезонанса).
В другом методе Мэзон и Фэйр заменяют вольтметр детектирующим контуром, с помощью которого определяются fm и f п. Так как fm очень близка к частоте, при которой импеданс кристалла принимает значение R в ветви RLC, то R можно найти подстановкой известного сопротивления вместо кристалла, при этом значение частоты остается равным fm. Когда R известно, Q можно найти с помощью выражения (403)
Q~ > -fj) C.R (462a>
Мэзон и Фэйр описывают другой вариант метода, посредством которого Q находится из Vп, fn , любой частоты f, близкой к резонансу, и соответствующего ей напряжения V.
§ 318. Метод моста. Кристалл образует одну ветвь высокочастотного моста. Его импеданс измеряется при различных частотах. Ван Дайк и Торндайк в своем методе трех кристаллов пользовались мостом с двумя вспомогательными кристаллами, почти одинаковыми с исследуемым. Один вспомогательный кристалл находился в пьезогенераторной цепи и служил стандартом. Другой в отдельной пьезогенераторной цепи — подводил к мосту ток. Путем регулировки этой цепи частота могла меняться в необходимых, очень узких, пределах. Применяемую частоту
1) fm и fn в этом случае принимаются соответственно равными Д и fp в пределах определенной точности. В том, что это справедливо, по крайней мере для кварца, можно убедиться, применяя уравнения (396) к парам взаимно противоположных точек Р3 Pi на фиг. 59. Частота, соответствующая точке Р3, будет fs, точке точке Pb—fm.' точке P6—/n. Из уравнения (396) мы видим, что
fs~rfp~fm-rfn‘
Но для кварца fsxfm, откуда fp^fn>
Динамическое измерение пьезоэлектрически# и эквивалентных констант 371
можно точно определять с помощью смесителя и контура биений. Электрические константы исследуемого кристалла были определены из полученной в результате резонансной кривой 9.
Ван Дайк также применял схему моста [548] при определении эквивалентной цепи кристалла путем изучения фигур Лиссажу, полученных на катодном осциллографе.
§ 319. Метод замещения. Посредством двухполюсного ключа кристалл заменяется переменным сопротивлением или комбинацией из сопротивления и реактивного сопротивления в соответствующей измерительной цепи. Гюнтер [197], применяя* метод Паули, помещал кристалл во вторичную цепь, но вместо того чтобы заменять его известным импедансом, измерял сдвиг резонансной частоты при изменении сопротивления или индуктивности контура на определенную величину. Беккер [45] определил эквивалентные константы кристалла, замещая его известной емкостью и параллельным сопротивлением.
Бехман [43] помещал кристалл между лампами двухлампового колебательного контура. Его метод по существу является методом фильтра. Он определял эквивалентные константы, заменяя кристалл известным сопротивлением или последовательно присоединяя известную индуктивность и емкость.
§ 320. Метод затухания. Его использовали многие экспериментаторы. Ван Дайк [551—554] возбуждал колебания в кристалле и затем давал им затухать. Кристалл был связан через усилитель с катодным осциллографом таким образом, что затухание действительно имело место при нахождении кристалла в разомкнутой цепи. С помощью специального синхронизирующего приспособления можно было сравнивать амплитуды колебания через определенные интервалы времени. Таким образом был непосредственно найден логарифмический декремент затухания. С помощью этого метода ван Дайк наблюдал исключительно низкие декременты, описываемые в § 363. Босхард и Буш [73], Браун [76] и Бейкер [46] применяли аналогичный метод.
Чайкин [111] пропускал ток от колеблющегося кристалла через контактный детектор и баллистический гальванометр. Для того чтобы получитй необходимые интервалы времени, он применял вращающийся диск с контактом и таким образом измерял декремент. Ржанкин [442] и Гоккель .[173] также пользовались этим методом, причем последний заменял вращающийся диск маятником Гельмгольца. Метод баллистического гальванометра страдает тем недостатком, что импеданс, последовательно соединенный с кристаллом, не бесконечен. Благодаря этому измеренная величина не является действительным декрементом разомкнутой цепи.
§ 321. Эффективная параллельная емкость Ci. Обычно определяется измерением емкости кристалла. Частота при этом должна быть порядка 1000 Hz, т. е. достаточно мала, чтобы колебания кристалла были незначительны. Однако измеренная таким образом величина является емкостью свободного (незажатого) кристалла (плюс влияние подводки
О Совершенно очевидны преимущества применения двух спаренных кристаллов, одного в качестве генератора с мало меняющейся частотой и другого в качестве испытуемого кристалла во вторичной цепи. Третий кристалл не нужен, если имеется в распоряжении второй стандарт частоты с приспособлением для точного, контроля градуировки генератора.
24*
372
Глава XV -
и монтировки). Для получения точного результата емкость следует несколько уменьшить, чтобы принять во внимание то обстоятельство, что эффективная диэлектрическая постоянная кристалла, колеблющегося вблизи резонанса, меньше, чем диэлектрическая постоянная свободного кристалла). Степень уменьшения зависит от типа резонатора.
Для неметаллизированного бруска, если известны частоты /о при нулевом зазоре и /<*> при бесконечном зазоре, а также свободная диэлектрическая константа k', эффективную константу можно найти из Уравнения (332):
Е ,,
Snn _ J w # 9
(«3)
kt является, таким -образом, типом диэлектрической константы, используемым в выражениях для эквивалентной цепи резонатора изгиба. В случае брусков, колеблющихся по длине, kt можно измерить, непосредственно меняя переменное напряжение с частотой, равной удвоенной основной частоте (см. § 371).
В случае колебаний по толщине, когда поле приложено в направлении т, эффективная диэлектрическая постоянная есть k"m, так же как и для зажатого кристалла. Можно измерить емкость (С^ ) незажатого кристалла при низкой частоте и написать Ci — k"m (C\)olk'm. О вычислении k"m см. § 247, где также предполагается, что для зажатого кристалла можно 'измерить непосредственно, пользуясь очень высокой частотой.
§ 322. Определение электрических констант из наблюдений. Здесь мы рассмотрим главным образом те методы, которые дают возможность получить импеданс Z/ или проводимость Yf = 1/Z{ всего резонатора при различных частотах. Эти величины определены в § 269. Самым простым и наиболее распространенным способом, в большинстве случаев достаточно точным, является измерение максимального и минимального значений Ym и Yn (§ 278) и соответствующих1 им частот fm и fп. При этих частотах резонатор является чистым сопротивлением.
Прежде чем рассматривать этот особый случай, займемся более общей задачей, в которой делаются измерения и его компонент g'-, и Ь\ при некотором числе известных частот в резонансной области Y'i — g'i — — jb\). Этим способом могут быть получены самые точные результаты.
В настоящей книге термин резонансная частота обычно относится к частоте /о, идентичной с частотой, соответствующей максимальной полной проводимости ветви RLC (§ 275). Однако фактически измеряемой резонансной частотой обычно является fm — величина, соответствующая максимальной полной проводимости всей цепи (§ 279). Единственной другой критической частотой вблизи резонанса, которую легко обнаружить, является fs при последовательном резонансе (§ 276). Здесь реактивное сопротивление Ь\ исчезает, и резонатор становится чистым сопротивлением. Как видно из табл. 24, разности (/о — fm ) и (fs — fo) пропорциональны 7?2, становясь исчезающе малыми для хорошо смонтированных кварцевых резонаторов Эти разности должны быть учтены в резона-
*) Для кварцевого бруска с логарифмическим декрементом затухания 1 -10~5 величина (fo — fm)fo меньше одной тридцатимиллионной. Если бы фиг. 59 была начерчена в масштабе, то для большинства резонаторов точка F должна была бы так близко подойти к А, что точки Р$ и Р3 оказались бы практически неразличимы.
Динамическое измерение пьезоэлектрических и эквивалентных констант 373 тарах, имеющих большие потери на трение в креплениях, на излучение или благодаря природе самого кристалла. Почти во всех случаях достаточно принять, что в пределах ошибок опыта резонансная частота, измеренная волномером, равна /о==/5=/т. Кроме того, как видно из сноски на стр. 370, с той же точностью можно принять fp = fn. С наибольшей точностью должна быть измерена разность частот /о — /, а не абсолютное значение частот /о- Пользуясь данными § 269 и фиг. 57, можно вывести следующие соотношения:
1) для всей цепи RLCCt
t^C^Sy-AF, Y^^Sy-FP, gx'—sy FW, bx'—sy-WP\ (464)
2) 'для ветви RCL Y = g — jb> где
Y=sy'AP , g = sy-AM=g/, Ь — гу-МР; (465)
b — b^— («oCi; (465a)
= (4656)
ol о 51
Хотя теоретически возможно вывести электрические постоянные из наблюдений при любых двух различных частотах, все же лучше использовать большое число измеренных значений g[ и Ь{ и затем вычертить резонансный круг. Удобный масштаб величины sy выбирается произвольно, и для каждой частоты от точки F откладываются отрезки FW и WP. Таким путем отыскивается точка Р для каждой ч’астоты. Все такие точки должны лежать на дуге круга, центр С которого находится ниже горизонтальной оси, проходящей через F на расстоянии AF = oCJSy от нее. Если центр не совпадает с этим уровнем, то это указывает на ошибку в измерении Несмотря на это, соотношение AF/AB обычно так мало, что достаточно даже грубого совпадения. Если дуга не круговая и нельзя найти источник ошибок в электрических измерениях, то расхождение можно отнести за счет меняющейся температуры резонатора. Температура его зависит от изменения амплитуды колебаний и от температуры окружающего воздуха (см. § 315). В случае сегнетовой соли и пьезоэлектрическая и диэлектрическая константы меняются при изменении температуры и тем самым смещают точку Р. Если дуга круга не касается вертикальной оси, проходящей через F, то приходится искать компоненту добавочного сопротивления. Для сегнетовой соли эта компонента может заключаться в самом Сь Графический метод для поправки на сопротивление термоэлемента описан в работе автора [107].
Вычерчивание дуги круга полезно, кроме того, для обнаружения источника ошибок для проверки совпадения измерений.
Когда дуга круга вычерчена, ее диаметр АВ дает величину R согласно соотношению
§ 323. Чтобы найти L, С и Q, пользуются частотными измерениями. Удобнее всего вводить частоту с помощью формулы для частотной масштабной величины а [уравнение (378а)]. Измеряемая частота для максимальной проводимости обычно может быть взята идентичной fo. Если необходима большая точность, то <з нужно определять следующим образом. Пусть /'=а>'/2^ есть частота', для которой Ь\ ближе всего к
374
Глава XV1
нулю. Значения п' = со'— со для различных измеренных частот сводятся в таблицу. Далее, принимая С\ и R подлежащими определению, а Ь\ и g\ — известными для каждой частоты, мы можем выразить а следующей формулой, которая легко выводится:
Sy 7? (со — со') 2n(tg 6' — tg 6)
(467)
Для каждой измеряемой частоты вычисляется и берется среднее значение. Когда с, таким образом, определена и частота fo в точке В на фиг. 57 найдена, то частоту, соответствующую любой точке на круге, можно определить согласно § 267. Все это необходимо для расчета резонатора, если он должен быть связан е данным внешним импедансом.
Из этого среднего значения о по уравнению (378) находим L:
L = — s?~. - (468)
Если нужно очень точно вычислить «0, то можно воспользоваться
следующей формулой для каждого измеряемого со:
<otg 6' — o/tg 0 ------- __________-3—
0 tg О' — tg о
(469)
Среднее из полученных таким образом значений и дает окончательное значение со0.
С должно вычисляться из <о q — \]LC, a Q —из уравнения
/л 7. SyR^o R~~~ Ьто
(470)
Предыдущая операция необходима только в тех случаях, когда требуется достижение максимальной точности. Для большинства практических целей достаточно воспользоваться уравнениями (412) и (410а),
и тогда
Г) _ 1 . р____ 2С! (f п fm) .
-- у у 5 f 5
1 тп 1 п J тп
Q = i- = 2~^L = 2^fmL^Ym-Y^ ,
(471)
причем L можно найти из выражения L = \l^m С.
Если измерения сделаны при наличии зазора, то в выражении (461) следует пользоваться символами R', L' и С'. R, L и С можно вычислить с помощью выражений, приведенных в § 232 и 255.
Даем [127] описан другой, более трудоемкий вариант точного определения электрических констант.
§ 324. В предыдущем параграфе мы касались только круговой диаграммы самого резонатора. Иногда бывает необходимо добавить к этой диаграмме другие константы измерительной схемы. Тогда становится яснее, как составлять схему в целом и какие значения констант схемы являются наилучшими.
В качестве примера рассмотрим схему «впадины» (фиг. 68). Так как индуцированная электродвижущая сила эффективно находится в последо
Динамическое измерение пьезоэлектрических и эквивалентных констант 375
вательном соединении с £2, то схема может быть представлена так, как это изображено на фиг. 70. Т?2 является сопротивлением £2. Электромагнитное поле прикладывается в точках а и Ь, и мы отыскиваем графическое Изображение импеданса контура, находящегося между ними. Качественно диаграмма может быть построена так, как это показано на фиг. 71, и можно сделать необходимые выводы, даже не зная тонных значений различных констант. Для количественного решения задачи
лучше всего начать с известного значе-
ния R и вычертить круг подходящего диаметра АВ. Тогда масштабная величина для полных проводимостей будет sy— 1/(R • АВ), При построении диаграммы для других параметров мы откладываем AF — — <*>oCi/sy и FF'= =—(o0C3/sv, Для любой точки Р на ведущем круге (§ 267), соответствующей некоторой частоте в области резонанса, полная проводимость Y' для RLCC1C3 дается выражением^- F'P~Y'7.
Фиг. 70- Эквивалентная схема метода впадины с элементами RLCC^ представляющими кристалл. Электрическое напряжение приложено в а и Ь.
Фиг. 71. Резонансная круговая диаграмма для схемы метода впадины.
Так как £2 соединена последовательно с RLCCxC3i то необходимо решать теперь задачу относительно импедансов, согласно методу b (см. § 303). Импедансом RLCCXC3 является Z'2 = 1/У'2== sz- F' Р', где
* _ sy
Sz~ a>2(Ci + С3)2 ’
а Р' есть точка, сопряженная точке Р по отношению к F'. К этому нужно векторно добавить внешний импеданс £2/?2, а именно s у - F'F" = <& L2,
Sz-OF" = R2.
Векторная сумма есть OP' = Z3fsz, где Z3 является импедансом цепи RLCC\C3L2R2. При расчете мы опустили поправку на термоэлемент или другое измеряющее приспособление в цепи; обычно она невелика. Об этой поправке см. [107].
Прежде чем рассматривать вопрос о том, что происходит с ОР' в то время, как кристалл колеблется, а частота меняется выше области резонанса, необходимо показать, как выводится сама резонансная кривая настроенного контура L2R2C3Cb Такую кривую можно, конечно, найти экспериментально, зажимая кристалл для подавления его колебаний или временно заменяя кристалл bi цепи известной емкостью, по величине равной Сь Каждая из этих операций заставляет диаметр АВ сокращаться
376
Глава XVi
до нуля, так что полное сопротивление резонатора будет просто — <oCi = sy- AF. Все эти рассуждения трудно распространить на область частот, большую чем 0,01 f0. В хорошем резонаторе при основном круге подходящего размера AF обычно так мало, что его изменениями в зависимости от изменения со можно пренебречь.
Хотя при прохождении частот через область резонанса' колеблющегося кристалла управляющая точка на круге обходит почти всю окружность, а точка F остается практически неподвижной, все же изменениями FF' и F'F" при изменении частоты пренебречь нельзя. С3, повидимому, настолько велико, что FF' во много раз больше АВ и в сотни раз больше AF. Отсюда следует, что если частота возрастает от f\ на низкочастотной стороне резонанса до /2 на другой стороне его, то начало' О
Фиг. 72- Векторная диаграмма для резонансной кривой Ь2В2СъС1.
(по Даю). Частота 44 000+Д/.
не остается, как F, практически неподвижным, а передвигается вниз на величину, составляющую примерно одну десятую часть АВ. Как бы ни была мала эта величина, в явлениях резонанса она играет существенную роль.
Если кристалл не колеблется, импеданс Z3 выражается через sz ОА == Z2. Как изменяется эта величина при изменении частоты, лучше всего видно на фиг. 72, представляющей собой в увеличенном виде часть фиг. 71 около точки А. Предположим, что О передвигается из 01 в О2, в то время как частота 'возрастает внутри резонансной области от /1 до fz. Каждый вектор ОИ, Оп А и т. д. пропорционален импедансу L2R2C3CU и его обратная величина дает полную проводимость у2=]/(5г OF), которая при постоянном приложенном напряжении пропорциональна току /2 в L2. График зависимости 1/ОЛ,У2 или /2 от f будет поэтому резонансной кривой для L2R2C3CX. Пик кривой совпадает с частотой, для которой ОА минимально. Начало О совпадает тогда с Оз и резонансная частота для L2R2C3CX (скажем, /х0 == <о'0/2^) дается выражением o/0L2 = 1/®'о(^'з + G); f побычно лежит близко к fo, но не обязательно равна ему. Действительно, цепь С3Ь2 может быть так расстроена, что f'o окажется далеко за пределами частот, образующих, «область резонанса» кристалла,
Динамическое измерение пьезоэлектрических и эквивалентных констант 377
Такая кривая с различными параметрами, отличными от тех* которые произвольно приняты на чисто схематической фиг. 72, показана на фиг. 73. Последняя основана на экспериментальных данных Дая для 44-килогерцевого бруска среза X при колебаниях по длине. Пунктирная линия является резонансной кривой дляАг/бСзС! при fi = 44000—120, /2 = 44 000-|-120 и f'o около 44 000 — 70, соответственно минимальному импедансу О3А на фиг. 72.
Когда кристалл колеблется, вектор импеданса Z3 для RLCC\L2R2C3 при любой частоте получается путем проведения линии из соответствующего положения О к точке на круге, соответствующей рассматриваемой частоте. Следует помнить, что мы теперь имеем дело с кругом импеданса (§ 270, 303), по которому частота возрастает в направлении движения часовой стрелки. Когда частота возрастает от нижнего значения f\ до верхнего значения /2, рабочая точка на круге передвигается по' часовой стрелке от положения Pi в положение Р2 на фиг. 72. Z3 пропорционально О{Р{ при частоте Л, О3Р3 — при частоте резонанса для L2R2CZCX и, наконец. О2Р2 — при f2 (чтобы избежать путаницы, эти линии на фигуре не показаны). При возрастании частоты от fi она вскоре достигает такого значения, при,котором линия ОпРп проходит через центр круга. Это и является частотой для минимального Z3 или максимального У3* соответствующих минимальному току 1'2 в Ь2 при колеблющемся кристалле.
Полная кривая на фиг. 73 дает /'2 как функцию' от Д Только что упомянутый максимум достигается при fmj около (44 000—90) Hz. Здесь Г2 немного больше 12 в соответствии с тем, что на фиг. 72 OnPn<Z ОпА. Второй максимум 1'2 достигается при (44 000-}-40) Hz, соответствуя О'пР'п на фиг. 72. При этой частоте fm2точки О и Р опять находятся на линии, проходящей через центр круга.
Внутри небольшой области промежуточных частот рабочая точка скользит по кругу, и импеданс Z3 проходит через очень острый максимум при частоте, зависящей от С3 (если Ь2 задана), но всегда очень близкой к f0. Этот максимальный импеданс Z3 определяет минимальный ток Г* на дне впадины, причем в этом случае частота обозначается через Графические построения ясны из фиг. 71. Следует напомнить, что на этой фигуре s z -OP' — Z3 при частоте, для которой Р' находится в ^сложении, показанном на импедансном круге. Теперь, если частота слегка увеличивается, Р' передвигается по часовой стрелке по окружности. О передвигается вниз, и при определенной частоте линия ОР' проходит через центр С круга. Это положение линии отмечается буквами О ^СРт на фиг. 71. Здесь Z3 имеет свое наибольшее возможное значение для данных значений Ь2 и С3. Чем меньше R2, тем острее дно впадины и тем больше величина Г2 в этой точке. Вообще говоря, если для С3 взято относительно большое значение так, что f 'о меньше fo на 2—3%, то дно впадины приходится на частоту, несколько меньшую, чем fo', в этой точке относительно мало. Если уменьшать С3 до тех пор, пока f'o не примет значения, показанного на фиг. 73, то дно впадины попадет на частоту fnn , меньшую чем fo на очень незначительную величину. Частота fnq совпадает с fo в момент, когда f'o почти (но не совсем) равно fo. Здесь минимум Г2 имеет наибольшее возможное значение. По мере того как С3 продолжает уменьшаться далее, f^ становится несколько больше, чем fo, а минимальное значение Г2 опять уменьшается.
О См. [127], фиг. б.
378
Глава XV :
Предыдущие выводы, основанные на графическом методе, совпадают с аналитической трактовкой Дая (см. фиг. 7 его работы).
Для точного определения констант резонатора методом впадины обычно достаточно, чтобы имело место /'0 = fo в пределах нескольких тысячных, а также fnQ — fo в нижней точке впадины.
§ 325. Наложенное напряжение параллельно Ь2. Как видно из §316, в некоторых случаях катушка Ь2 соединяется непосредственно с выходом генератора. Затем напряжение прилагается к катушке, к конденсатору С3 и к резонатору, соединенным параллельно. Вектор, отображающий роль катушки, имеет компоненты sy • F'F" = b2 и s • OF" = g2, rm b2 и §2 являются реактивной проводимостью и активной проводимостью L2R2. В соответствии с изложенным, в диаграмме импеданса нет никакой необходимости. Все можно выразить через полную проводимость, и тогда графический метод значительно упрощается. Каждый вектор, подобный ОР' на фиг. 71, теперь пропорционален полной проводимости Уз всей цепи. Было установлено, что для любых данных Ь2 и С3 при постепенном изменении частоты величина У3 проходит через 2 минимума и один острый максимум между ними. Эти 3 экстремальные значения соответствуют двум минимумам и одному максимуму Z3, когда Ь2 последовательно соединена с остальной частью <цепи. «Впадина» превращается в острую «вершину». <
Можно показать, что разность частот, соответствующих двум минимальным значениям Уз, тем больше, чем выше значение Ь2. Она может быть сделана во много раз больше, чем разность fp — fs между параллельной и последовательной резонансными частотами самого резонатора. Поэтому Бильд ер [81] и пользовался этим методом' для измерения констант резонатора.
ЛИТЕРАТУРА
ИЗМЕРЕНИЯ КОНСТАНТ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЦЕПЕЙ1)
Метод впадины: № 4, 38, 43, 56, 57, 81, 93, 127, 152, 196, 214, 265, 320, 355, 363, 395, 500, 539, 581, 601.
Метод фильтра: № 28, 69, 195, 332, 341, 359. 360.
Метод моста: № 28, 170, 548, 559.
Метод замещения: № 43, 45, 197.
Метод затухания: № 8, 46, 73, 76, 111, 173, 442, 551—554. Другие методы: № 209, 392.
В большинстве приведенных ссылок дана теория метода. Общая теория рассматривается Вигурё [567].
О Цифрами указаны ссылки на общую библиографию.
ГЛАВА XVI
СВОЙСТВА И ТЕХНОЛОГИЯ КВАРЦА
. Благодаря своей физической стабильности и высоким упругим свойствам кварц является единственным пьезоэлектрическим кристаллом, нашедшим себе применение в качестве резонатора. Поведение кварца как резонатора рассматривается в следующей главе. Здесь же мы будем интересоваться только закономерностями, касающимися осей, углов и тех физических свойств, которые не рассматриваются в гл. II, VI, IX, XXX и XXXI. Далее, в настоящей главе описываются методы ориентировки необработанных кристаллов, методы распиловки и доводки пластинок и монтировки их в держателях.
§ 326. Оси и углы для правого и левого кварца. Через всю обширную литературу о свойствах кристаллов кварца проходит, как трещина в прозрачном кристалле, поразительная неясность, касающаяся различия между правым и левым кварцем, положительным значением направлений осей X и Y и положительным значением углов вращения. Эта тема подвергалась довольно пространному обсуждению в двух наших недавних работах '[ИО, 558]. Комитет Института радиоинженеров (ИРИ) пришел к соглашению о системе обозначений, рекомендуемых для общего употребления. Рекомендации комитета, касающиеся этих трех вопросов, находятся в согласии с мнениями ван Дайка и автора [НО] и излагаются в настоящей книге. В § 7 уже говорилось о различии между правым и левым (право- и левовращающим) кристаллами. Нечеткость в определении берет свое начало в работах Гершеля и Биб, которые определяли понятие вращения плоскости поляризации света противоположным образом Теперь принята терминология Биб, согласно которой кристалл называется правым, когда вращение происходит по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего через анализатор по направлению к источнику света (см. также § 538). Это определение имеет следующее преимущество, если, судя по граням s и х (см. фиг. 5 или 74), данный кристалл является правым кристаллографически, то он также является правым и оптически.
Во всем, что касается получения косых срезов кварца для специальных целей или для изучения физических свойств в косых направлениях, необходимо всегда иметь в виду различие между правым и левым кристаллами. Ошибка почти неизбежно поведет к получению неправильных результатов.
§ 327. Система осей, предложенная Институтом радиоинженеров До последнего времени большинство авторов, включая Фогта, употребляли правую ортогональную систему осей для обоих видов кварца. Применение одной системы осей для обоих кварцев имеет следующий
О См. [649], стр. 649.
380
Глава XVI
серьезный недостаток. При переходе от правого к левому кристаллу приходится менять знаки всех пьезоэлектрических констант и некоторых членов уравнений для преобразованных осей. Эти затруднения и возможные источники ошибок полностью устраняются, если принять для правого кварца правую систему координатных осей, а для левого— левую.
Фиг. 74- Деформации хх и ху и поляризация Рх и Ру для левого и правого кварца. 'Положительное значение угла вращения 6.
Еще в 1929 г. Кога отметил преимущества такой системы !). Ту же систему координат предложили позднее Мэзон и Виллард * 2) и независимо от нйх 'Кэди и ван Дайк (НО)3). Эта система осей применялась также Билдером и Бенсоном [82] в 1938 г.
Принятая система обозначений, по которой для левого и правого кварца применяется соответственно левая и правая координатная система, в дальнейшем будет именоваться системой ПРИ (Института р<- • диоинженеров). По этой системе все уравнения, так же как и все направляющие косинусы, в точности одинаковы для обоих кварцев.
О I. Koga, Journ. Inst Electr. Eng. Japan, July, 49—92, (1929); Electroteci). Journ, (Japan), 287—289 (1938).
2) W. P. Mason and G. W. Willard, Proc. Inst. Radio Eng. 28, 428 (1940).
s) Последняя работа была написана в 1939 г., но опубликование ее за держалось.
Свойства и технология кварца
381
В общем, на диаграммах и т. п. достаточно считать правую систему осей относящейся к правому кварцу. Когда же приходится отсчитывать углы на реальном образце, необходимо принимать во внимание энантиоморфизм кварца. Тогда, если образец левый, нужно только изменить направление оси X на обратное и применить данное ниже правило для положительных значений углов.
Переход от правых осей к левым при переходе от правого кварца к левому является логическим следствием соответствующего изменения во внешнем виде и физических свойствах кристалла. Если представить себе фотографию правого кристалла кварца, с правой системой осей XYZ, со всеми уравнениями, кривыми, полярными диаграммами и модулями, иллюстрирующими физические свойства кристалла, включая упругие и пьезоэлектрические, тогда зеркальное изображение этой картины, полученное, например, путем фотографического отпечатка с перевернутой пленки, будет точным воспроизведением левого кварца со всеми его физическими свойствами.
Эти соображения становятся ясными на фиг. 74, где изображен правый и левый кварц в двух проекциях. На верхней фигуре положительные концы оси Z, а на нижней фигуре положительные концы оси X направлены к наблюдателю.
Осям Y и Z уже было дано определение в § 5. Как видно из фиг. 74, положительный конец оси X выходит из кристалла в каждом из трех углов призмы, где могут быть найдены грани s и х. На этом конце и появляется положительный заряд, когда деформация х х положительна, т. е. когда образец растягивается в направлении X. Эти положения справедливы и для правого и для левого кварца.
На фиг. 74 показан срез X, растянутый имеющимся налицо отрицательным растягивающим напряжением в направлении оси X, которое сопровождается сжатием кристалла в направлении оси Y. Стрелка Рх указывает положительное направление, вызываемое этой деформацией электрической поляризации, в согласии с тем определением, по которому положительная деформация связана с появлением положительного заряда на положительном конце оси X. Сжимающие деформации и напряжения не меняют знака при зеркальном отображении.
Положительное значение угла поворота вокруг осей кварца. Общее определение положительных и отрицательных углов, данное в § 38, следует, согласно принятой здесь терминологии, применять к правому кварцу. Для левого кварца угол вращения должен рассматриваться как положительный, если вращение происходит по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего в начало координат от положительного конца оси вращения.
Эти положения могут быть соединены в следующем правиле, применимом к обоим типам кристаллов кварца.
Угол вращения называется положительным, когда направление вращения идет от + к + от + У к-j-Zn от-j-ZK-j-X. В системе ИРИ это определение применимо как к правому, так и к левому кварцу. Согласно обычным правилам для аксиальных векторов, можно сказать, что положительному углу вращения соответствует положительное направление оси вращения, подобно тому как направление вращения винта соответствует направлению движения вперед, причем правый винт является аналогией правого кварца, а левый — левого кварца.
В качестве иллюстрации этого правила для осей вращения на фиг. 74 показаны полярные диаграммы распределения модулей Юнга
382
Глава XVI
в плоскости YZ. Эта величина обратна модулю s'33, полученному вращением осей У и Z на различные углы 6 вокруг оси X. Максимальное ее значение имеет место в направлении, примерно перпендикулярном грани г, а соответствующий угол 6, согласно системе ИРИ, приблизительно равен +48° и для правого и для левого кварца (§ 9&).
В верхней части фиг. 74 изображено сечение пластинки среза У, подвергающейся положительному напряжению сдвига ху вместе со связанной с ней электрической поляризацией Ру. Тангенциальные силы указаны стрелками. Из уравнения Ру = е2еху =— впху и того обстоятельства, что еи, .как указано ниже, имеет отрицательный знак, мы видим, что Ру отрицательна. Пьезоэлектрическое смещение ху, вызываемое полем Еу в положительном направлении оси Y, имеет один и тот же знак как для правого, так и для левого кварца. Подобное положение применимо также ко всем остальным пьезоэлектрическим сдвигам.
Знаки упругих и пьезоэлектрических констант. Согласно обозначениям Фогта, все упругие коэфициенты имеют одинаковые знаки как для левого, так и для правого кварца, но знаки всех пьезоэлектрических констант меняются при переходе от правого к левому. По системе ИРИ фогтовские обозначения для упругих коэфициентов остаются неизменными.
Фогт приписывает отрицательные численные значения коэфициентам dn, еп и е14 для левого кварца и положительное значение модулю dn. Эти знаки соответствуют правой системе осей. Несмотря на то, что другие исследователи получили значения, отличающиеся по величине от фогтовских, разногласия в знаках у них не было. Для правого кварца знаки, согласно Фогту, обращаются: сГц+,^п+» dn~, £i4 + - Согласно системе ИРИ, принимаемой в настоящей книге, знаки пьезоэлектрических констант для обоих типов кварца те же, что у Фогта для правого кварца; они противоположны обычно употребляемым. Утверждение Фогта, что его наблюдения производились на левом кварце, существенного значения не имеет Ч и на него можно не обращать внимания. Позднейшие исследователи, кажется, больше интересовались численными значениями, чем знаками.
§ 328. Некоторые физические свойства кварца 2\ Мы очень мало знаем о влиянии следов загрязнения и предшествующей обработки на физические свойства. Повидимому, это влияние невелико, если не считать электрического удельного сопротивления. Расхождения между результатами, полученными различными исследователями, частично могут быть вызваны разницей между используемыми образцами.
Твердость кварца равняется 7 по шкале Мооса. Ишикава 3> полагает, что поверхность среза, нормального к оптической оси, много мягче, чем поверхность естественных граней. Бриджмен4) нашел, что сопротивление раздавливанию меняется в пределах от 33 000 до 40 000 кг/см2, в зависимости от рода приложенного давления. Когда достигается разрушающее напряжение, то образец превращается в
J) «Физика кристаллов», стр. 861.
2) Все приведенные данные относятся к «-кварцу, если это не отмечено особо. Кое-где в этой книге можно найти некоторые данные для ^-модификации при температуре выше 573°С. Для полного освещения вопроса о p-кварце см. [649].
3) S. Ichikawa, Am. Jour. Sci. 39, 455—473 (1915).
4) P. W. Bridgman, Journ. Appl. Phys. 12, 461—469 (1941).
Свойства и технология кварца'383
тонкий порошок. Сосман [649] полагает, что при атмосферном давлении сопротивление раздавливанию составляет 24 000 кг/см2, а также что для маленьких образов сопротивление разрыву можно ожидать равным 1000 кг/см2 Сопротивление разрыву несколько больше в направлении, параллельном оптической оси, чем в направлении, перпендикулярном ей.
Разрыв. Атомы кварца так тесно связаны во всех направлениях, что в нем нет плоскостей легкого раскалывания. Однако часто можно наблюдать две особенности. Первая — это особая искривленная в виде раковины часть поверхности разрыва, называемая раковистым изломом. Вторая — разрыв, примерно параллельный одной из граней большего ромбоэдра или, в меньшей степени, малого ромбоэдра* 2). Этот вид разрыва встречается иногда при нагревании или в тех случаях, когда пластинка, приведенная в колебание пьезоэлектрически, разрушается вследствие приложения слишком высокого напряжения. Автор впервые наблюдал это явление в 1920 г. Впоследствии его отмечали и другие исследователи, например, Райт и Стюарт [594], Зейдль [455], Бус [69], Грамон [623], ван Дайк [555], Сандерс [446], Шубников [463] и, в особенности, Штраубель [488], Гиббс и Цин [159], наблюдали спиральный разрыв в случае колебаний кручения полого кварцевого цилиндра с длиной, параллельной оптической оси. Ривлин 3) обнаружил, что на пластинке среза Z после грубой шлифовки появляется гексагональная фигура астеризма, если наблюдатель, держа пластинку близко к глазам, смотрит на точечный источник света. Ривлин считает, что это явление вызывается сравнительно легким разрывом в плоскостях, принадлежащих зонам {10- Z}, и считает его средством обнаружения осей X. Фигуру Ривлина можно легко наблюдать с помощью родоскопа, описанного в § 339. Шлифовка поверхности Z производится вручную очень грубым карборундом (45—60 меш )' с водой. Применяется довольно сильное давление и короткие кругообразные нажимы в различных направлениях. Уже в 1930 г. Шубников наблюдал образование небольших треугольных фигур разрушения при ударе стальным острием по поверхности Z. Он нашел, что последующее травление поверхности плавиковой кислотой делает внешние контуры этих фигур удара более различимыми. Хоком упоминается аналогичный эффект, получаемый при падении на поверхность Z стального шарика 4)
Люминесценция наблюдается при ударе двух кристаллов кварца друг о друга ребрами призмы в темном помещении. Эффект не так ярок, как в кристаллах сахарозы.
§ 329. Физические свойства кварца были исчерпывающе описаны Сосманом [649]. Некоторые данные из его книги для плотности, теплопроводности и теплоемкости приведены в табл. 26.
Симметрия кварца такова, что и теплопроводность и электропроводность описываются только двумя главными значениями, параллельно и перпендикулярно оси Z, так же как диэлектрические и оптические константы. Для косых направлений величины меняются эллипсоидально между двумя главными величинами. ‘
]) Из этой цифры и значения модуля упругости кварца можно установить, чтс относительное удлинение кварцевого бруска при разрыве составляет около 0,001.
2) Н. W. Fairbairn, American Mineralogist 24, 3.51—368 (1939).
3) R. S. Rivlin. Nature 146, 806—807 (1940).
9 H. W. N. H a w k, пат. США № 2264380 (1941).
384
Глава XVI
Таблица 26
ПЛОТНОСТЬ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ а-КВАРЦА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Температура в градусах Цельсия Плотность р 3 в г - смт3 Т еплопроводность в кал > см'”1 - сек.г1 Удельная теплоемкость в кал-гН-град. г1
параллельно Z перпендикулярно Z
-50 2,655 40 20,5 0,1412
0 2,651 32 17,0 0,1664
50 2,645 25,5 14,9 0,1870
100 2,641 21 13,1 0,2043
Наилучшим средним значением плотности при 20°С Сосман считает
р = 2,649 + 0,2. Недавно Миллер
Фиг. 75. Тепловое расширение а и кварца (по Джею). Верхняя кривая относится к направлению, перпендикулярному оси Z, нижняя — к направлению, параллельному этой оси. По оси ординат отложено расширение, отнесенное к единице длины. Расширение, при 18° принято за 0.
и Дю-Мон 0 нашли, что р =2,64922 + 0,00005 при 25°. Для большинства вычислений достаточно принять р = 2,65 при обычной темпер ь туре.
Температурный коэфициенг плотности р,как было вычис-
лено Мэзоном и Сайксом [343], равен — 36,4 • 1СН6.
Для p-кварца р= 2,518 пои 600°С2).
Коэфициент теплового расширения был тщательно исследован Джеем 3) методом рентгеновских лучей в широком интервале температур. Полученные им результаты, представленные графически на фиг. 75, содержат в себе данные для p-кварца. Его значения в общем совпадают со значениями, полученными оптическими методами. Согласно данным Джея, при температурах, близких к комнатной, коэфициенты расширения в направ-
лении, параллельном и перпендикулярном оптической оси, равны соответственно 9,0-10—6 и 14,8 • 10~6 на один градус.
Позднее тепловое расширение в направлении, перпендикулярном оптической оси, было измерено Никсом и Мак-Нейром 4) при помощи интерферометрического дилатометра. Их результаты хорошо согласуются с данными Джея.
§ 330. Электрические свойства кварца. Кварц является прекрасным изолятором, за исключением области высоких температур. Его электри
1) Р. Н. Miller, Jr., J. W. M. Du Mond, Phys. Pev. 57, 198—206 (1940).
2) A. L. Day, R. B. S о s m a n and J. C. Hostetter, Amer, Journ. Sei. 37, 1-39 (1914).
О A. H. Jay, Proc. Roy. Soc. (London) A 142, 237—247 (1933).
OF. C. Nix and D. Mac Nair, Rev. Sci. Instr. 12, 66—70 (1941). Описанный в этой работе дилатометр применим для измерения пьезоэлектрического и термического расширений при всех температурах.
Свойства и технология кварца
ческая проводимость в направлении, параллельном оптической оси, мно-го больше, чем в направлении, перпендикулярном ей. Проводимость в направлении, параллельном оптической оси, при высоких температурах является главным образом электролитической и обусловлена наличием следов загрязнения. В помещаемой ниже таблице приведены данные, заимствованные у Сосмана [649], которые дают лишь порядок величины. Измерения проводимости при различных температурах и различных! напряжениях были сделаны- значительно позже Альтгейм V-
Таблица 27
УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КВАРЦА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Температура в градусах Цельсия Удельное сопротивление (ом. см )
параллельно Z перпендикулярно Z
20 1014 200-1014
100 8-10U
1000 5-Ю4 ЮНО4
Иоффе [632] нашел, что при облучении образца его удельная проводимость постепенно возрастает; после нескольких дней начальное значение проводимости увеличивается в несколько раз.
Электрическая прочность кварца параллельно оптической оси, согласно Аустену и Уайтхеду* 2), равна 6,7 • 106 V/см. Это значение совпадает с результатами измерений Гиппеля и Маурера3), которые нашли, что электрическая прочность возрастает почти линейно, начиная с 4-106V/cm при — 80° С до 7 - 106 при-]-60° С. Эти значения несколько больше в направлении, параллельном оптической оси, чем в направлении,' перпендикулярном! ей.
§ 331. Измеренные значения диэлектрической постоянной кварца дают разброс в несколько процентов. Неизвестно, какая часть этого разброса определяется разницей между отдельными образцами. Можно сказать только, что константы в направлении, параллельном оптической оси, несколько больше, чем в направлении, перпендикулярном ей, и что эти константы с точностью до ошибок опыта от частоты не зависят. Найденные Егером 4) 5 значения несколько больше при высокой частоте, чем при низкой. С другой стороны, Доборжинский 5\ в работе которого
О Olga G. von Altheim, Ann. d. Phys. 35, 417—444 (1939). О дальнейших исследованиях по проводимости кварца см. Е. D а г ш о i s and R. Radman^che, Journ. de phys. et rad. 7, 16S, 17S (1936); N. G. R ahi mi, Journ. de phys. et rad. 9, 291—296 (1938); E. G. Rochow, Journ. Appl. Phys. 9, 664—669 (1938); H. Saegusa and T. Matsumoto, Japan Journ. Phys. 11, 61 (1936); H. Saegusa and K. Saeki, Sci. Repts. Tohoku Univ. 18, 231—244 (1929); H. Saegusa and S. Shimizu, Electn. Rev. (Japan) 18, 69*' (1930); H. Saegusa and S. Shimizu, Sci. Repts. Tohoku Univ. 20, 1—35 (1931); Зейдль [456]; S. Shimizu, Phil. Mag. 13, 907—934 (1932).
2) A. E. W. Austen and S. Wh(it ehead, Proc. Roy. Soc. (London) A176, 33-50 (1940)-.
3) A. von Hip pel and R. J. Maurer, Phys. Rev. 59, 820—823 (1941).
4> С о с м а н [649].
5) D. Doborzynski, Bull. Intern. Acad. Polon. Sci. Lettres, ser. A, № 6—8 A, 320—349 (1937).
25 Кэди
з86
Глава Xyi
приведено сравнение результатов, полученных рядом исследователей, вывел из своих собственных измерений, что при 50 Hz k щ = 4,66, £х=4,55, а при 5-106 Hz £„ = 4,58, k± =4,41. Учитывая вое вышеизложенное, мы склонны считать «наиболее вероятными» значения, предложенные Сосманом, а именно:
£„=4,6; £±=4,5. (472)
Значение k „ не зависит от деформации. Для незажатого кристалла £х = 4,5.
Чтобы вычислить диэлектрическую постоянную зажатого кристалла кварца k" j_ для поля, перпендикулярного оптической оси, воспользуемся выражением (265><дз § 204. Применяя значения пьезоэлектрических констант, данные в4} 156, получаем:
£'± = £;+ 4Tt(2e11tZn -Le14^J= £'4 Д- 0,087. (473)
Полагая £'±=4,5, находим:
£"L = 4,41. (474)
Для продольных колебаний кварцевого бруска среза X с длиной, параллельной оси Y, эффективную диэлектрическую постоянную kt выводят из уравнения (311) § 229, пользуясь для s„n значениями, взятыми из § 90, т. е. s!in = Эю— sfi = 1,269- 10-12:
£z = 4,5 — 0,047 = 4,45. (474a)
Диэлектрическая постоянная для поля в любом косом направлении N, имеющем направляющие косинусы I, т и п, дается уравнением (157), т. е.
kN = l2ku + m2£22 -j- л2£33 .
Для кварца £ц — kw~k±, k^ = k\\. Отсюда, полагая п = cos 6, можно вывести, согласно фиг. 17,
kN= (1 — п2)£х ^2£ц =&х 4" (&ii ~ )cos26 . (4746)
Для незажатого кристалла это выражение переходит в следующее:
£'v = 4,5 4-0,lcos20 . (474в)
Диэлектрическая постоянная одинакова во всех азимутах и изменяется лишь с изменением угла высоты
Зависимость диэлектрической постоянной от температуры. Диэлектрическая постоянная в направлении оптической оси почти не изменяется при изменении t от 0°С примерно до 100°С, после чего она возрастает сначала медленно, а затем быстрее, до тех пор, пока при 300° не принимает значения около 13. Отсюда до 750° она практически больше не меняется.
В направлении, перпендикулярном оптической оси, диэлектрическая постоянная не меняется до 300°, очень слабо возрастает от 300° приблизительно до 500°, после чего наблюдается довольно резкий подъем вверх, пока, при 800°, она не становится равной примерно 122).
О То есть индикатриса диэлектрических постоянных представляет собой слегка вытянутый по оси Z эллипсоид вращения. {Прим, ред.)
*) Сосман [649], стр. 524.
• Свойства и технология кварца
387
Зависимость диэлектрической постоянной от напряженности электрического поля. Саегуза и Накамура получили следующие результаты: k ,| не зависит от напряжения поля до 2000 V/см, далее — возрастает. kx не меняется до 12 000 V/cm.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСЕЙ КРИСТАЛЛОВ КВАРЦА
§ 332. В этом разделе рассматриваются методы различения правых и левых кристаллов и методы обнаружения двойниковых областей, а также использование поляризованного света, травления и рентгеновских лучей для определений направления осей.
Как для экспериментальных исследований, так и для промышленных целей важно знать ориентацию препарата по отношению к кристаллографическим осям, будь то брусок, прямоугольная пластинка или образец какой-либо другой формы. Требуемая точность ориентировки зависит от цели, для которой предназначается образец. Для демонстраций, качественных опытов и пьезогенераторов!, когда не требуется большой точности, результат считается удовлетворительным, если ориентировка произведена с точностью до нескольких градусов. Образцы, использованные в первых работах по резонаторам, были далеки от точной ориентировки.
Начиная с 1920 г., требования постоянства частоты в радиопередатчиках стали возрастать. Это привело сначала к термостатическому контролю температуры кристаллов кварца срезов X и Y, которые тогда употреблялись, а затем к использованию различных косых срезов. Эти срезы теперь могут быть изготовлены таким образом, что их частота колебаний почти не зависит от температуры, хотя для некоторых целей все же применяется термостатирование. Ориентировка пластинок с нулевым температурным коэфициентом почти совершенна. В некоторых случаях ошибка не превышает нескольких минут.
Ранее считались годными только кристаллы кварца с хорошо развитыми естественными гранями, опираясь на которые можно было вырезать соответствующие пластинки. Однако даже и тогда необходимо было производить оптические испытания для обнаружения двойниковых областей и для определения, является ли кварц правым или левым. Образцы, совершенно не имеющие двойников, крайне редки.
Спрос на кристаллы кварца в настоящее время настолько возрос, что большая часть сырья состоит из плохо ' ограненных образцов, лишенных естественных граней обломков или из кварца, добытого из россыпей. Этот последний может быть внутри очень хорошего качества, но внешне выглядит как почти непрозрачная окатанная галька.
Было разработано много способов, позволяющих определять направления кристаллографических осей, не пользуясь естественными гранями. Устанавливались следующие данные:
1) направление оптической оси Z;
2) знак вращения кристалла — правое или левое вращение;
3) положительное направление оси X или оси У.
Обычно для разрешения первых двух задач применялся оптический метод. Если оптическая ось уже найдена с точностью до нескольких
г) Н. ^Saegusa and К. Nakamura, Sci. Repts. Tohoku Univ. 21, 411—438 (1932).
25*
388
Глава XVI
градусов, то метод травления дает быстрый и простой способ для более точной ориентировки. Методом травления устанавливается, является ли кристалл правым или левым, выявляются области двойникования на протравленной поверхности и определяются положительные направления поперечных осей. Максимальную точность определения дает применение рентгеновских лучей.'
Для нахождения положения осей X и их положительных Концов часто применялись пьезоэлектрические и пироэлектрические испытания 1}.
Такие методы хороши главным образом для грубой предварительной ориентировки необработанных кристаллов, после того как направление оптической оси приблизительно найдено. Они никак не могут быть названы точными.
§ 333. Оптические исследования кварца. При оптических исследованиях кварца пользуются главным образом явлениями погасания и оптической активности, описанными в гл. XXX. Оптические константы кварца приведены в § 534.
Иммерсионные жидкости. Полированные плоскопараллельные пластинки можно, конечно, исследовать и без применения иммерсии. Если же образец шероховатый и неполированный, то свет отражается и рассеивается при входе в кристалл и при выходе из него. В этом случае кристалл погружают в, прозрачную жидкость, имеющую, по крайней мере приближенно, тот же показатель преломления, что и кварц. Для точных работ, когда оптическая ось должна быть параллельна пучку световых лучей, показатель преломления жидкости должен быть близок к показателю преломления обыкновенного луча {nD= 1,544), а жидкость наливается в сосуд с параллельными стенками из плоского, свободного от внутренних натяжений стекла. Для приближенных исследований нет необходимости в точном соблюдении всех приведенных условий. Во многих случаях достаточно применить прозрачную смазку.
Идеальная иммерсионная жидкость должна быть прозрачной, бесцветной, нелетучей, не воспламеняющейся, не окисляющейся и не ядовитой, а также должна обладать нужным показателем преломления. Жидкости, обладающей всеми этими качествами, не существует. Нитробензол подходит, но он ядовит; несколько лучше мо-нобромбензол и смеси нитробензола с четыреххлористым углеродом или сероуглерода с бензолом. Иногда употребляется тетралин, а также мегилсалицилат или кедровое масло. Хорошие результаты были получены с трикрезилфосфатом* 2). В настоящее время для этой цели применяется особая жидкости с показателем преломления от 1,541] до 1,5473,).
Предварительное просматривание. Предварительное просматривание кристалла можно объединить'с операцией, описанной в следующем абзаце. Оно производится следующим образом. В сильном пучке проходящего света образец исследуется на трещины, на зонарно расположенные, перистые и обыкновенные включения. При этом исследовании желательно опустить кристалл в иммерсионную жидкость. Части кристалла, содержащие даже небольшие дефекты, должны быть забракованы, так как наличие их делает готовую пластинку более хрупкой и может исказить упругие волны при колебании резонатора. Но дымча
0 См., например, [121].
2) Имеется в продаже под названием линдола. Линдол прозрачен, бесцветен, не летуч и не воспламеняется. Его показатель преломления равен 1,561 при 11,5°С и 1,555 при 25°С. Говорят, что на некоторых людей эта жидкость действует как нарывное отравляющее вещество.' Во всяком случае, эта жидкость не должна содержать ортоформы, которая ядовита. Трикрезилфосфат употреблялся в лаборатории Скотта для исследования кварца в течение многих месяцев без каких-либо вредных последствий.
3) Эта жидкость изготовляется фирмой Socony Vacuum Oil Company. См. также список жидкостей, приведенный у В. Л. Бонда [66].
Свойства и технология кварца
389
тый или иначе окрашенный кварц вполне может быть использован. Прежде чем приступить к исследованию гальки кварца, необходимо подшлифовать ее в разных местах или срезать ненужные выступы, чтобы приготовить так называемые окошки, через которые легко смотреть внутрь кристалла.
Грубое определение оптических осей и обнаружение оптических двойников. Кристалл погружается в иммерсионную жидкость и исследуется между скрещенными поляроидами в пучке рассеянного света, который может быть и белым Обычно при вращении кристалла вокруг пучка света происходит четырехкратное погасание за один полный поворот. Оно обусловлено двойным преломлением и интерференцией. Наклоняя кристалл относительно пучка света, можно найти ориентацию, для которой и при вращении поле остается светлым. Тогда оптическая ось примерно параллельна пучку света. Погасание становится менее полным, если оптическая ось составляет с пучком света угол не больше 20°‘* 2\
Если таким образом просматривать кристалл в плоско поляризованном свете в направлении, достаточно близком к оптической оси, то при отсутствии двойников поле выглядит однородным, за исключением различий в окраске или в яркости, вызываемых разностями оптического хода лучей сквозь различные участки кристалла. Если в кристалле имеются оптические двойники, их присутствие выявляется резко определенной интерференционной картиной, имеющей обычно вид нес: кольких близко расположенных друг к другу треугольников или полос, параллельных оси X, имеющих яркую окраску, когда в качестве источника света взят белый свет. Области двойникования чаще видны по краям, чем в центре поля. Глубина их в кристалле может быть иногда установлена его наклоном. Иногда для определения положения двойниковых областей используют стереоскопическое приспособление.
Примерное местонахождение областей двойникования отмечается на самом кристалле, и при распиловке эти* области выбрасываются. В некоторых кристаллах видна граница, разделяющая правую форму кварца от левой. Эта граница отмечается на кристалле, и обе области используются отдельно.
Для того чтобы приблизительно найти в гальке кварца оптическую ось, достаточно грубой шлифовки. Затем на обоих концах кристалла делается срез, грубо нормальный к оптической оси, и кристалл опять погружается в иммерсионную жидкость для исследования на двойники.
О Если выступы уже срезаны по плоским поверхностям, примерно нормальным к оптической оси, то, как и для кристалла, имеющего естественные грани, отыскание двойничных областей может выть произведено без полного погружения. Достаточно наложить на каждую поверхность среза кусок обыкновенного стекла, нанеся мазок иммерсионной жидкости между поверхностью и стеклом.
2) В лаборатории автора для приближенного определения оптических осей без погружения рук в иммерсионную жидкость употребляется мигающий полярископ. Кристалл зажимают в держатель, который вращается вокруг горизонтальной оси при помощи стержней, опущенных в иммерсионную жидкость. Пучок света проходит вертикально вверх через дно стеклянного сосуда, содержащего жидкость. Сверху и снизу сосуда расположены скрещенные поляроиды, вмонтированные в диски, поворачивающиеся синхронно с помощью цепной передачи примерно один раз в секунду. Когда кварц установлен неверно, видны периодические вспышки света. Эти вспышки превращаются в постоянное свечение, когда искомая оптическая ось параллельна пучку света. Легко достигается точность в 2—3°. Более тщательный монтаж позволяет довести точность до Г.
390
Глава XVI
Приблизительное направление оптической оси можно также найти ориентировкой кристалла на максимальное погасание (вместо отсутствия погасания).
Если кристалл длиной в направлении оптической оси не больше 3 см поместить между поляроидами в рассеянном свете (как описано выше), то глаз, приставленный близко к кристаллу, обычно видит в нем следы интерференционных колец, о которых будет итти речь в следующем параграфе.
§ 334. Определение знака вращения кварца в сходящемся пучке поляризованного света. Применяемый прибор очень прост и может не обладать высокими оптическими качествами. Пользуются белым светом со светофильтром или без него. Для больших кристаллов лучше всего применять ртутную или натриевую дугу.
При помощи линзы несколько большего диаметра, чем кристалл, свет собирается в конус с вершиной внутри кристалла, а крайние лучи его должны составлять угол в 15° (или около этого) с оптической осью системы. Кристалл обычно погружают в иммерсионную жидкость. Полированный пласт среза Z, который обычно не применяется, погружения в жидкость не требует. Для больших кристаллов фокусное расстояние собирательной линзы может быть от 12 до 25 см; для этого подходит линза, используемая в театральных прожекторах. Поляризатор помещается между источником света и кристаллом.
Наблюдатель, смотрящий на кварц через анализатор, видит систему более или менее концентрических колец. Для точно вырезанной пластинки среза Z любой толщины, превышающей 0,5 мм, если она плоскопараллельная и не содержит двойников, это будут концентрические круги, центрированные вокруг пучка света, когда оптическая ось параллельна пучку. Кольца искажены, если кристалл ориентирован неправильно. Когда в кристалле имеются двойники, кольца разрываются по контуру с резким изменением в окраске и’яркости.
При поворачивании анализатора кольца, в зависимости от «знака» кварца, либо расширяются, либо сжимаются в соответствии со следующим правилом:
Когда анализатор поворачивается по часовой стрелке и кольца при этом расширяются, то, следовательно, кварц правый, если же они сжимаются — кварц левый. При этом считается, что наблюдатель смотрит по направлению к источнику света Д
При наличии в кристалле оптических двойников некоторые сегменты колец расширяются, а другие сжимаются.
Если применен белый свет и толщина пластинки по оптической оси не превышает 2 см, то знак кварца может быть также определен наблюдением за последовательной сменой цветов в светлом поле внутри кругов при повороте анализатора. При повороте анализатора по часовой стрелке
О Знак вращения пласта среза Z любой толщины (по крайней мере до 2 см) может быть определен без всякого прибора с помощью двух маленьких кусочков поляроида. Если грани пласта не полированы, их легко можно сделать прозрачными простым смачиванием. Кристалл держат близко к глазу, зажав между двумя поляроидами и пользуясь при этом дневным светом или каким-либо другим ярким источником рассеянного света. Вращая анализатор, можно видеть по крайней мере часть системы окрашенных колец и наблюдать их расширение или сжатие. Вместо поляризатора можно использовать частично поляризованный дневной свет. При известном навыке в качестве анализатора можно воспользоваться куском стекла, например линзой от очков.
Свойства и технология кварца
391
правый кварц дает постепенный переход от красного цвета через желтый и зеленый к фиолетовому. Для левого кварца последовательность обратная. Этот способ применяется для очень тонких пластинок, в которых не видно расширения интерференционных колец.
Нахождение ориентировки оптической ори в сходящемся световом пучке. Применяемый для этого прибор в принципе похож на только что описанный, только сконструирован с большей точностью, с добавлением линзы и окуляра между анализатором и глазом. Точной угловой юстировкой кристалла добиваются такого его положения, при котором рисунок колец станет симметричным и положение колец будет соответствовать оси Оптической системы. Такой метод дает точность в Г !). Бус у69] усовершенствовал этот метод, применяя спираль Эйри.
§ 335. Исследование кварца травлением. В качестве травителя обычно употребляется плавиковая кислота H2F2. Большинство других растворителей, например, горячие щелочи, действуют очень медленной не дают лучших фигур травления * 2>. В большинстве случаев подходит техническая 48-процентная кислота при комнатной температуре. Иногда, как мы увидим далее, лучшие результаты дает применение более разбавленной кислоты. Продолжительность травления может меняться от получаса до нескольких часов, в зависимости от ориентировки поверхности, которая должна быть протравлена, и от способа, которым будет в дальнейшем исследоваться протравленный образец.
Среди материалов, на которые H4F2 действует слабо (если действует вообще), можно назвать парафин, резину, свинец и медь. В небольших масштабах травление следует проводить в чашке или подносе, покрытом парафином, или в старом каучуковом аккумуляторном сосуде. Приспособления и подставки для поддержки и подвешивания кристалла изготовляются из меди. Для получения воспроизводимых результатов сосуд во время травления следует покачивать; удобнее всего это покачивание производить с помощью механического привода. Так как в процессе работы кислота теряет свою крепость вследствие испарения и отработки, ее следует часто менять. Фигуры травления, получающиеся при употреблении кислоты, которая содержит значительное количество продуктов растворения, хуже, чем фигуры, получающиеся при употреблении свежеприготовленной кислоты.
Следует предусмотреть приспособление для удаления паров кислоты и для нейтрализации ее в случае необходимости. Надлежит также принять все возможные меры предосторожности для того, чтобы избежать даже самого легкого прикосновения кислоты к коже. Ожоги плавиковой кислотой очень опасны.
Наиболее быстро травление происходит на поверхностях, нормальных к оси Z, медленнее — на концах оси У (призматические грани) и на положительных концах осей X и очень медленно — на отрицательных концах осей X.
Травление применяется: 1) для определения правизны или левизны кристалла; 2) для обнаружения областей оптического или электрического
О A. Biot, Ann. Soc. sci. Bruxelles 58, 98—100 (1938).
2) В последнее время появился новый травитель для кварца (под названием «кварцевый травитель»), не имеющий большинства неприятных свойств H2F2. В основу его, вероятно, положен бифторид аммония. Предварительные испытания в нашей лаборатории показали, что при применении этого травителя фигуры травления и фигуры астеризма получаются хуже, чем при применении плавиковой кислоты.
392
Глава XVI
двойникования на протравленной поверхности; 3) для примерного определения ориентировки любого данного образца или среза по отношению к кристаллографическим осям. Существует несколько способов: а) просматривание под микроскопом; б) получение суммарных фигур травления на кварцевом шаре; в) применение отраженного света; г) применение проходящего света
ческим и электрическим двойникованием.
Фиг. 76. Схематическое изображение типичных микроскопических фигур травления для правого и левого кварца на поверхностях, нормальных к осям X, Y и Z. В верхнем ряду положительный конец оси направлен к наблюдателю, в нижнем—от наблюдателя. Во всех случаях фигуры травления для левого кварца находятся слева от вертикальной оси, для правого — справа от нее. Символ Yl указывает положительное направление оси Y для левого кварца и т. д. Увеличение — порядка 200. Фигуры показаны в их действительной ориентации на поверхности кристалла, а не в таком виде, как они видны под микроскопом.
характер оси X совершенно очевиден. Ось
§ 336. а) Микроскопическое исследование протравленных поверхностей * 2>. Прежде всего мы рассмотрим фигуры травления на поверхностях, нормальных к осям X, У и Z, и их связь со знаком кристалла и с опти-Хотя обычно наблюдаемые фигуры травления сильно различаются по величине и по степени совершенства, все же можно установить определенные характерные их формы. Эти формы лучше всего обнаруживаются после травления в течение целого дня, причем не требуется никакой предварительной обработки поверхности, кроме легкой шлифовки для удаления грубых шероховатостей.
Как показано на фиг. 76, на положительном конце оси X фигуры похожи на узкие петли гистерезиса, которые исчезают, образуя тесно расположенные полоски, параллельные оси Z. На отрицательном конце находятся па-раллелограмы; одна пара сторон каждого из них параллельна оси Z. Полярный У неполярна. Фигуры на ее
концах для кристаллов одного знака вращения совершенно одинаковы, но ориентированы по-разному;' последнее связано с полярностью оси X. Можно отнести те же замечания к фигурам на гранях, нормальных к оси Z. На каждом из 6 чертежей фигуры травления справа и слева от вертикальной оси изображают оптическое двойникование.
Фигуры на концах оси Z (т. е. на поверхностях среза Z) вызываются маленькими пирамидами или углублениями с треугольными основаниями3). Их вид сильно меняется в зависимости от продолжитель
О Способ изготовления препаратов травленых поверхностей, годных для микроскопического исследования, описан Шефером [V. J. Schaefer, Phys Rev 62, 495-496 (1942)].
2) В литературе встречаются сбивающие с толку противоречия. Контуры фигур травления на гранях m (срезы У) у Грота (см. [624], табл. III) не совпадают с контурами, приводимыми О. Мейером и С. Л. Пенфильдом [О. Meyer and S. L. Penfield в Trans. Conn. Aca(d. Arts. Sci. 8, 158—165 (1889)]. И те и другие отличаются от контуров, полученных в результате тщательных опытов, проведенных в нашей лаборатории.
з) [69], plate 6.
Свойства и технология кварца
393
ности травления, от освещения и от фокуса микроскопа. При продолжительном травлении фигуры претерпевают некоторые характерные изменения °.
Если в образце есть электрические двойники (§ 15), то некоторые области того же самого знака повернуты на 180° вокруг оси Z по отношению к остальному кристаллу. Например, левый кварц дает фигуры травления, подобные ai и а2 на одинаковых поверхностях X, и Ь2 на одинаковых поверхностях У и сг и с2 на одинаковых поверхностях Z. Области электрического двойникования обычно ограничены неправильными линиями. Как упругие, так и пьезоэлектрические свойства на противоположных сторонах границы различны. В связи с этим пластинки, имеющие электрическое двойникование, для резонаторов не годятся.
Для оптических двойников существуют две возможности, в зависимости от того, будут ли одинаково направлены положительные концы осей X или осей У обеих двойниковых областей (см. фиг. 74). В первом случае на различных участках поверхности, нормальной к X, можно наблюдать фигуры а{ и а'\, в то время как на соответствующих поверхностях на другой стороне кристалла можно видеть а2 и а'2. Если оси У направлены одинаково, то а\ и а2 видны на одной стороне кристалла, аа\и а'2 — на другой. То же относится к фигурам на поверхностях У. Что касается поверхностей Z, то в случае одинакового направления осей X (или осей У) фигуры всегда являются зеркальными отображениями фигур на поверхностях X (или У). Обычно тот тип двойникования, при котором оси У направлены одинаково, называют просто «оптическим двойникованием», в противном случае применяется термин «комбинированное оптическое и электрическое двойникование» * 2).
Если в оптически сдвойникованном кристалле оси X направлены одинаково, то пьезоэлектрические свойства с обеих сторон линии раздела тоже одинаковы, а упругие свойства различны. Если оси X ориентированы противоположно (в обоих случаях оси У ориентированы подобным же образом), то упругие свойства с обеих сторон границы раздела одинаковы, а пьезоэлектрические — различны. В обоих случаях оптическое двойникование, если только оно не очень мало, мешает использованию такого образца в качестве резонатора 3).
На травленых поверхностях других ориентаций наблюдается большое количество разнообразных характерных фигур, с трудом поддающихся идентификации под микроскопом. Практически лучше классифицировать срезы и оси не под микроскопом, а с помощью отраженного или преломленного света. Преимущество второго способа заключается в следующем: эффекты, производимые множеством граней фигур травления, суммируются, и этим достигаются более надежные результаты, чем при [рассматривании отдельных фигур травления 4)-
§ 337. б) Суммарные фигуры травления на кварцевом шаре недавно были описаны ван Дайком [558]5). На фиг. 77, взятой из его работы,
’) См. [628].
2> «Оптические двойники» обычно называются бразильскими, а «комбинированные»— двойниками Лейдольта. (Прим., ред.)
3) Вопрос использования двойников 'более сложен, чем здесь указывается, и решается различно', в зависимости от того, об иопользовании какого пьезоэлектрического модуля идет речь. (Прим,, ред.)
4) Превосходные микрофотографии фигур травления в разных ориентациях приведены в работе Бонда [63].
5) Ссылки на литературу, относящуюся к этому вопросу, даны в работе ван Дайка [558].
394
Глава XVI
показан вид предварительно отполированного шара после нескольких часов травления его в плавиковой кислоте. Вся поверхность шара в большей или меньшей степени подверглась травлению. Некоторые участки, близкие к отрицательным концам осей X, травятся так мало, что наличие граней фигур травления заметно лишь по «блеску» в отраженном свете под надлежащим углом. С другой стороны, на поверхности шара четко видна своеобразной формы трехлучевая звезда с изогнутыми концами, показанная на фиг. 77, б. Обычно качество фигур определяется не столько степенью травления, сколько блеском, указывающим, что ориентировка граней, получающихся в процессе травления, и скорость растворения в сильной степени зависят от угла, под которым данный участок поверхности шара пересекает решетку структуры.
Фиг. 77. Картина травления на шаре диаметром 50 мм левого кварца, по ван Дайку: а — вид со стороны грани /п, когда грань R расположена над ней; б—вид вдоль оптической оси.
При исследовании поверхности шара в отраженном свете легко различить пять ясно видных участков. Самыми заметными являются указанные выше трехлучевые фигуры на обоих концах оптической оси. Остальные три участка являются параллелограмами, одинаково расположенными по отношению к экватору. Эти параллелограмы связаны протравленными полями, которые шире всего посередине между двумя параллелограмами. Центр каждого поля указывает на шаре полюс положительного конца оси X. Отрицательные концы осей X находятся в центре параллелограмов.
При просматривании тонкой структуры под микроскопом на концах осей видны характерные фигуры, более или менее похожие на показанные на фиг. 76. Блеск создается гранями фигур травления, образующими эти фигуры. Следует отметить, что малые параллелограмы фиг. 76 видны по всей области, очерчиваемой крупными параллелограмами, а треугольные фигуры для срезов Z находятся в полях трехлучевых суммарных фигур.
С помощью отражательного гониометра или родометра можно, количественно изучить, пользуясь методами в или а, характеристики фигур травления на любой части шара.
Показанные на фиг. 78 модели, на которых нанесены контуры основ
Свойства и технология кварца
395
ных протравленных участков, изготовлены ван Дайком; можно видеть, что грани s расположены выше и ниже середины поля (-{-ось X) и что четыре угла параллелограма являются полюсами граней ш и R. Длинные стороны параллелограмов являются дугами больших окружностей, на которых лежат полюсы всех граней. На обоих концах оси Z видны части трехлучевой звезды. Вершины ее закручиваются по часовой стрелке или против нее, в зависимости от того, является ли кристалл правым или левым.
Фиг. 78- Модели левого и правого кварца с контурами фигур травления и полюсами различных граней (по ван Дайку). На левом рисунке — ле-. вый кварц. Оптическая ось совпадает с вертикалью.
§ 338. б) Метод исследования протравленных поверхностей в отраженном свете. Протравленная поверхность дает на экране в отраженном свете характерную фигуру, если пучок света падает на нее в некоторых определенных направлениях. С помощью подходящего отражательного гониометра можно определить ориентацию групп граней фигур травления для данного образца. Этот метод употреблялся для определения осей кварца ГЛ
§ 339. г) Исследование протравленных поверхностей в проходящем свете. Первым, кто наблюдал фигуры астеризма на протравленных кварцевых .кристаллах, кажется, был Наккен $87]. Позднее Херлингер [220] изобрел фотогониометр для изучения фигур астеризма в отраженном и преломленном свете. Уже гораздо позднее и пользуясь другой методикой, эти фигуры изучал Грамон. Хотя к теории Грамона в некоторых ее пунктах нужно отнестись критически, все же его работа наметила пути для разработки методов определения направления осей, а также знака кристалла кварца, не имеющего естественных граней.
Фигуры астеризма чрезвычайно разнообразны по форме, в зависим мости от направления выходящего' луча по отношению к осям кристалла. При любой данной ориентации фигура получается в результате прелом-
г) См., например, [154], [220], [586]; а также Р. D. Gerber, пат. США 2218489.
396
Глава XVI
ления лучей в гранях с различными сферическими координатами. Некоторые грани не плоски, а имеют характерную кривизну (или, возможно, ряд почти параллельных протравленных поверхностей), дающую полосу или продолговатое пятно преломленного света. В образовании фигур астеризма могут также играть известную роль и явления отражения.
Для наблюдения фигур астеризма применяются очень простые приспособления. Можно обойтись и вовсе без них. Протравленную пластинку или брусок, вырезанные в любом направлении, подносят близко к глазу так, чтобы видеть сквозь нее точечный источник света (матовую лампу, удаленную на несколько метров от глаза). Протравленная поверхность может быть обращена к глазу или к источнику света. Если противоположная поверхность не отполирована, ее следует закрыть куском стекла. Между поверхностью кристалла и стеклом помещается капля иммерсионной жидкости.
Усовершенствование метода заключается в помещении кристалла с горизонтально- расположенной протравленной поверхностью между глазом и точечным источником света, расположенным на несколько миллиметров ниже кристалла. Можно применить маленькую дырочку на матовой поверхности лампы. Если нижняя поверхность кристалла, имеющего форму плоской пластинки, не отполирована, ее кладут на кусок стекла, на который наносится капля иммерсионной жидкости. Большие образцы устанавливаются таким образом, чтобы их нижняя часть оказалась погруженной в иммерсионную жидкость. Расходящийся конус света проходит сквозь кристалл, и лучи из любой точки протравленной поверхности достигают глаза, выходя из тех граней, расположенных в этой точке, которые имеют определенную ориентацию. При большом расхождении лучей, выходящих из источника света, и большом размере протравленной поверхности нет необходимости сильно приближать глаз к кристаллу. Фокальная плоскость рассматриваемой фигуры, видимо, лежит приблизительно на сантиметр ниже протравленной поверхности. Это легко можно доказать при помощи простых построений геометрической оптики Д
Резкая и яркая фигура астеризма наблюдается, если световую точку получают, пропуская лучи автомобильной фары снизу вверх через объектив микроскопа с фокусным расстоянием около 2 мм. Из фокуса, находящегося над линзой объектива, лучи расходятся в виде широкого конуса. Этим способом можно изучать кристаллы в несколько сантиметров толщиной, помещая их над фокусом. Глаз может находиться на любом расстоянии над кристаллом, но при изучении толстых кристаллов нужно поворачивать голову, чтобы обследовать всю картину полностью. Приспособление такого рода называется «родоскопом» (от латинского Todere)2).
§ 340. Для более точного изучения фигур астеризма вместо расходящегося конуса применяется узкий пучок параллельных лучей. Пучок проходит через кристалл вертикально снизу вверх, выходя из соответственно отшлифованной и протравленной поверхности. Для предотвраще-
О О фигурах астеризма применительно к только что описанному методу говорится у Р. С. Ривлина [R. С. Rivlin, Proc. Phys. Soc. (London) 53, 409—412, (1941)] и также у Г. В. Вилларда [586].
2) Автор не описывает методов наблюдения фигур астеризма, разработанных в Институте кристаллографии АН СССР и опубликованных в трудах Института за последние 15 лет. (Прим, ред.)
Свойства и технология кварца
397
ния преломления и рассеяния света там, где пучок входит в кристалл, нижняя часть последнего помещается в иммерсионную жидкость. Свет преломляется гранями фигур травления на маленьком участке поверхности, через которую проходит луч, образуя фигуру. Фигуру эту можно сфотографировать или рассматривать визуально на прозрачном экране. Форма фигуры определяется ориентировкой кристаллографических осей по отношению к пучку света и практически не зависит от расположения протравленной поверхности. Наклоняя кристалл вокруг горизонтальных осей и поворачивая его вокруг вертикальной оси, до тех пор пока резкие очертания фигуры точно не совпадут с заранее установленным трафаретом, можно определить направление всех трех осей.
Эту операцию удобнее проводить с образцом, у которого протравленная поверхность нормальна к оптической оси с точностью примерно до 10°. Когда оптическая ось параллельна пучку света, то фигура астеризма имеет вид трехконечной звезды с тремя характерными пятнами и сильно меняется в зависимости от продолжительности травления *>. После того как в процессе травления пятна делаются достаточно ясными, положение их при дальнейшем травлении уже не меняется. Наккен [387] наблюдал эти пятна уже давно, но их значение было оценено лишь в последнее время. Когда оптическая ось параллельна пучку света, три пятна совпадают с вершинами равностороннего треугольника и по их положению определяются оси X и У и их положительные направления. Получающаяся фигура подобна фигуре, видимой в родоскопе, но повернута на 180°.
Прибор, применяющийся для ориентировки кристаллов этим способом, был назван родометром * 2\ При помощи родометра легко и быстро определяются кристаллографические оси любого образца кварца с точностью до градуса. В опытных руках определение «осей может быть произведено с точностью до + 15'- В то же самое время фигура астеризма определяет знак вращения кристалла, выявляет на его поверхности области двойникования и указывает, является ли двойник оптическим или электрическим.
§ 341; Определение ориентировки кварцевых кристаллов и пластинок при помощи рентгеновских лучей. Как мы уже видели, с помощью хороших приборов можно определить оптическую ось с точностью до нескольких минут чисто оптическими методами. Однако этими методами нельзя определить оси X и У. Для приблизительного нахождения этих осей удобно пользоваться пучком света, отраженного или преломленного протравленной поверхностью. Пользуясь родометром, можно быстро определить все три оси, не меняя положения кристалла. Но- ни одним из методов травления нельзя определить ориентацию осей с той точностью, которая необходима для лабораторных исследований и для удовлетворения требований потребителей. Вот почему здесь следует применять рентгеновские лучи, так как с их помощью можно быстро определить ориен
9 Перед травлением поверхность шлифуют карборундом (зерно около 100), нажимая произвольно во всех направлениях. Для того чтобы выявить пятна более отчетливо, лучше применять смесь из трех частей технической (приблизительна 50-процентной) плавиковой кислоты с одной частью воды и травить от 2 до 3 часов.
2) W. G. Cady, Proc. Inst. Radio Eng. 28, 144 (1940) (реферат);
H. H. Hubbell, Jr. Phys. Rev. 59, 473 (реферат). Холтон первым ввел использование пятен для ориентировки кварца и усовершенствовал этот метод (диссертация, Веслейский университет, 1941). Подробности конструкции родометра и его применения см. у Холтона [233].
398
Глава XVI
тировку осей с точностью до нескольких минут. Применяя хорошую рентгеновскую аппаратуру, можно легко достигнуть точности в + 1'.
Методом Лауэ для кварцевых кристаллов пользуются редко, так как он применим только для тонких срезов. Но Кога и Татибана 6 применяли именно этот метод: в их работе приведен перечень атомных плоскостей и две лауэграммы. В некоторых случаях пользуются методом обратного отражения * 2). Метод отражения Брэгга применялся главным образом для лучей К.а медного антикатода. Выбор атомной плоскости в кристалле зависит от ориентации исследуемой поверхности, т. е. от того, является ли она нормальной к X, Y или Z или же имеет некоторое косое направление. Применяются углы «скольжения» до> 30° и более. Исследуемый образец поворачивается до тех пор, пока ионизационная камера или счетчик Гейгера не дадут отброса измерительного прибора. Полное описание метода дано Бондом и Армстронгом [68].
§ 342. Распиловка и доводка кварцевых пластинок. Ранее для распиловки кварца употреблялись пилы, в которых вращающийся диск — медный или из мягкой стали — смачивался влажным порошком карборунда. В настоящее время предпочитают пользоваться дисками, затравленными алмазом, причем режущий край смачивается керосином или специальной охлаждающей жидкостью. В лабораторных условиях распиловка кварца может производиться на подобном диске, укрепленном на оси шлифовального станка. Для небольших работ автор с успехом применял очень тонкий, карборундовый шлифовальный диск, закрепленный на токарном станке.
Не останавливаясь на различных деталях .массового производства, мы прямо перейдем к «заготовке» (в таком виде, как она выходит из-под пилы), имеющей приблизительно правильную ориентировку, но несколько больший, чем это нужно, размер. В этой стадии следует испытать заготовку на двойники, если это не было уже произведено на том пласте, из которого вырезаются заготовки. Заготовка слегка протравливается и просматривается в отраженном свете. Области двойникования обнаруживаются по различию в блеске.
Далее заготовка сошлифовывается до желательных размеров (или частоты) и для уточнения ориентировки подвергается соответствующему рентгеновскому исследованию. Для низкочастотных кристаллов (при колебаниях по длине или по контуру) главное значение имеюг длина и ширина образца.
Для колебаний по толщине определяющим фактором является толщина пластинки. Пластинка должна иметь во всех своих частях одинаковую толщину, обычно с точностью до 0,0005 мм. Нередко употребляют пластинки толщиной до 0,2 мм. Для большей надежности нужно тщательно отшлифовать 4 узких периферических грани. Иногда края их слегка скашиваются. Так как существует связь между различными видами колебаний, то на активность пластинки действуют даже незначительные изменения ее длины или ширины. Окончательная шлифовка контура пластинки производится методом проб и ошибок, за исключением пластинок специальных срезов, для которых наилучший контур устанавливается заранее.
Имеется несколько типов шлифовальных станков. Некоторые из них
О I. Koga and М. Т a t i b a n a, Electrotech. Journ. (Japan), 3, 38—39 (1939).
2) A. B. Greninger, Zs. f. Kristallographie 91, 424—432 (1935).
Свойства и технология кварцй
399
шлифуют только одну сторону группы из нескольких пластинок. Другие станки шлифуют обе стороны сразу. Сверлильный станок легко переделать в шлифовальный, шлифующий одновременно только одну сторону. В этом случае для шлифовки одной или нескольких пластинок нужно приклеить их к плоской металлической пластинке. Шлифовка в небольшом масштабе гцэоизводится на хорошо выверенной стеклянной или лучше чугунной плите. В качестве жидкости употребляется вода, вода с мылом или специальное масло. Процесс проводится в несколько приемов, в зависимости от того, насколько кристалл должен быть сошли-фован. Обычно употребляется карборунд последовательно воз!растаю-щей тонкости (до 600). Заключительная тонкая шлифовка производится наждаком или синтетической окисью алюминия. Как правило, полировка не является необходимой и даже нежелательна. Окончательная доводка производится вручную. Часто для того, чтобы довести пластинку до точной желаемой частоты колебаний, применяют травление. Травление также удаляет лишние частицы кварца, остающиеся на поверхности пластинки после шлифовки, и уменьшает затухание [188].
Снятие одного слоя атомов кремнезема (см. § 540) с пластинки среза X толщиной в 3 мм, имеющей частоту колебаний в 1 000 000 Hz, должно увеличить эту частоту приблизительно на 0,1 Hz, т. е. на величину, имеющую значение для точных генераторов. Счастливой особенностью кварца является то, что его атомы хорошо связаны между собой и отделяются с большим трудом.
§ 343. Монтировка и держатели резонаторов. Так как в большинстве случаев пьезорезонаторы изготовляются из кварца, вполне уместно в
Фиг. /9. Первые держатели кварцевых резонаторов. Бруски Q были все среза X с длиной, параллельной оси Y. Коробки А и крышки D — из эбонита или бакелита с латунными электродами В; а—электроды во всю длину бруска; б — короткие электроды для возбуждения основной частотыjи четного и нечетного обертонов; в —2 небольших резонатора для частот 757 и 860 kHz.
главе, посвященной кварцу, рассмотреть все способы монтировки резонаторов, включая и монтировку пьезогенераторов, тем более что принципы монтировки для всех пьезоэлектриков одинаковы.
В своих ранних опытах автор применял бруски кварца или сегнетовой соли с приклеенной к их сторонам оловянной фольгой. Бруски клались плашмя на стол, подвешивались на тонкой проволоке или помещались на мягкую подстилку из ваты. Скоро было обнаружено, что резонанс получается острее, если оловянную фольгу удалить, а кристалл
400
Глава X Vi
установить на ребро между жесткими латунными электродами с небольшими воздушными зазорами с обеих сторон. В некоторых случаях бруски подвешивались на шелковой нити, обвязанной вокруг них в центре таким образом, чтобы они могли более свободно колебаться в зазоре между электродами. На фиг. 79 изображены кварцевые бруски с типичными держателями, употреблявшиеся в начале 20-х фдов. В то время
не предвидели, что кварцевые пластинки могут иметь резонанс колебаний по толщине, и изучали лишь колебания брусков по длине. Для того чтобы получить возможно более высокочастотные колебания, применялись даже бруски длиной не более 1 мм.
\ На фиг. 80 показаны резонаторы из числа применявшихся автором в 1923 г. для сравнения со стандартными волномерами, употреблявшимися в государственных Лабораториях США, Италии, Франции и Англии. Это были первые международные сравнения частот, осуществлявшиеся посредством кристаллических стандартов.
Фиг. S0. Первые типы пьезорезонаторов; а — 4 кварцевых бруска среза X с длиной 1,76;3,60; 12,02 и 30,3мм, параллельной Y, в общем держателе. Частоты 1523; 762,0; 235,9 и 91,66 Hz; б — 2 стальных бруска длиной 180 и 90,5 мм с поперечным сечением 9,8 х 3,2 мм связаны каждый с парой небольших кварцевых пластинок среза X. Частоты 14,43 и 28,94 Hz. Описание см. § 383.
С тех пор был проведен целый ряд таких сравнений с усовершенствованными резонаторами высокой точности (см. библиографию в конце гл. XIX;). В примитивных монтировках, применявшихся в 1923 г., кварцевые бруски укладывались свободно на дне гнезда между электродами. Затухание было довольно высоким, а при небольшом смешении кристалла изменялась и частота. Кроме того, не существовало и контроля температуры. Точность составляла около 0,1%. В настоящее время минимальные требования к точности увеличились более чем в 10 раз.
Свойства и технология кварца 401
Одновременно с возрастанием требований, предъявляемых к постоянству частоты, происходило усовершенствование кристаллодержателей, а также усовершенствование самого кристалла и схемы его включений. В технических журналах и патентной литературе можно найти много описаний способов монтировки кристаллов и отдельно кристаллодержателей. Здесь мы должны только рассмотреть некоторые основные их черты, останавливаясь главным образом на самых последних типах. Небольшую литературную сводку по этому вопросу можно найти в конце настоящей главы.
Монтировку кристаллов и держателей можно классифицировать в зависимости от того, предназначаются ли они для использования: 1) в генераторах, стационарных или переносных, 2) в качестве фильтров, включая приемные установки, и 3) в качестве стандартов частот. Способы монтировки кристаллов различаются и в зависимости от формы колебаний. Особая монтировка, применяемая для некоторых специальных типов колебаний, например, для колебаний изгиба, светящихся резонаторов и кольцеобразных кристаллов в кварцевых часах, будет рассматриваться в следующих разделах этой книги. Для интересующихся подробностями приведены ссылки на оригинальные работы.
Из четырех параметров R, L, С и С] эквивалентной цепи L и С лишь в минимальной степени зависят от способа монтировки. В последние годы путем внесения различных усовершенствований в устройство держателей величина R значительно уменьшена, причем влияние механических ударов и других условий работы на стабильность этой величины практически .сведено к нулю. Сильно уменьшено влияние паразитных емкостей на Сх. Несмотря на это, держатели последней конструкции не менее прочны и портативны, чем держатели прежних конструкций.
Основными требованиями, предъявляемыми к контролирующим кристаллам в колебательных контурах генераторов, являются постоянство частоты, прочность и способность выдерживать достаточно высокое напряжение. Конечно, постоянство частоты требует высокого Q и, в портативных установках, нечувствительности к тряске. Колебания температуры можно компенсировать различными способами и прежде всего использованием срезов с низким температурным коэфициентом частоты (§ 357). Этот способ, ставший почти универсальным, делает для большинства случаев термостатирование излишним. Если термостатирование необходимо, например, для предотвращения конденсации влаги или для компенсации резких колебаний температуры окружающего воздуха, то в держателе кристалла помещаются небольшие термостаты или подогреватели. Для более точного контроля температур в передатчиках и особенно в стандартах частот держатель монтируется в специальном термостате.
§ 344. Держатели для кристаллов при колебаниях по толщине. Кристаллическим пластинкам обычно придают квадратную, прямоугольную или круглую форму. В держателях старого типа кристалл лежал свободно на одном из электродов и удерживался на нем лишь силой тяжести. Между кристаллом и верхним плоским электродом оставался небольшой зазор, который исчезал, если верхний электрод подвергался некоторому давлению. Хотя такие способы монтировки наиболее удобны для лабораторных опытов, для практического использования в современных условиях работы они оказались неподходящими, так как перемещение пластинки в держателе и стирание металла о пластинку (кристалл 26 Кэди
402
Глава XVI
покрывался распыленным металлом) вызывает изменение частоты и увеличивает затухание. • •
В типичном держателе более современной конструкции применяется монтировка с давлением; кристалл лежит на горизонтальном, тщательно отшлифованном электроде. В одном из применяемых типов держателей нижняя поверхность верхнего электрода, который давит на кристалл, делается слегка вогнутой. Кристалл зажимается по четырем углам (или по окружности, если пластинка круглая), причем между кристаллом и верхним электродом оставляется зазор порядка 0,2 мм. Установлено, что для частот выше 10 мегагерц кристалл можно зажимать болтами, проходящими через отверстия у четырех его углов. Такой способ закрепления предотвращает колебания изгиба. Чем меньше зазор, тем большую мощность можно получить в цепи кристалла, но при этом увеличивается чувствительность частоты к величине зазора.
В другом типе держателя зазор уничтожается тем, что верхний электрод прижимается к кристаллу пружиной. Правда, при таком способе монтировки затухание больше, чем при монтировке с зазором, но даже при монтировке с зазором затухание, вызываемое контактом с нижним электродом, для точных работ все же слишком велико. Даже очень большое давление может не мешать кристаллу колебаться. Например, Бус и Диксон [70] установили, что пьезоосцилляторы с площадью около 6 см2 (среза X или У) будут работать даже в том случае, если сила, действующая на верхний электрод, будет превышать 1,6 кг. Затухание, вызываемое давлением, менее заметно при колебаниях сдвига, чем при колебаниях сжатия по толщине в срезах X.
В только что описанных монтировках, особенно если верхний электрод прижимается к кристаллу, наблюдается «явление порога», т. е. кристалл не удается привести в колебание, пока напряжение не достигнет критического значения, зависящего от силы трения, которую необходимо преодолеть. В монтировках для резонаторов и фильтров особенно важно! предотвратить это явление. В генераторах оно менее опасно.
Существуют и другие типы монтировок с зазором. Например, электроды иногда поддерживаются на нужном расстоянии от кристалла прокладками из изолирующего материала с малым коэфициентом расширения (из плавленого кварца или стекла пирекс). Для этой цели применяется также и кристаллический дварц [358]. Можно употреблять отдельные прокладки или непрерывное кольцо подходящей толщины, на которое кладется кристалл. В некоторых случаях применяется регулировка зазоров Д одного или обоих, микрометрическим путем. Преимуществом этого устройства является возможность изменять по желанию частоту в пределах примерно 0,1%. В течение ряда лет автор пользовался этим приспособлением в своей лабораторной практике. Для цепей с постоянной частотой нет необходимости применять это приспособление, так как нужная частота может быть достигнута и с фиксированным зазором путем подбора кристалла подходящего размера. Частота при этом более устойчива. Кроме того*, монтировка с передвижными электродами имеет большую паразитную емкость и более громоздка.
Чтобы получить более постоянную частоту и меньшее затухание, кристаллическая пластинка, если только она не слишком тонка, иногда зажимается в трех или более точках по ее краям * 2). Надсверливаются
’) Последние данные см. [43].
2) См., например, Л. Эссен [135].
Свойства и технология кварца 403
три маленьких углубления в боковых сторонах пластинки: два с одной стороны и одно — с другой, если пластинка прямоугольная. В эти углубления вставляются острые концы стерженьков, которые закрепляются в стенках футляра. Таким образом, пластинка держится в точках узловой плоскости и не касается электродов. Бехман [43] Ч описал монтировки для кварцевых пластинок с нулевым температурным коэфициен-том, имеющих круглую форму. Края этих пластинок сошлифованы по всей окружности на острое ребро. Ребро это лежит в узловой плоскости и подогнано в пазы трех коротких стержней, два из которых закреплены, а третий давит на кристалл с помощью пружины. Оба электрода передвижные, но после того как регулировка произведена, вся установка помещается в откачанный держатель. Монтировки такого типа применялись для пластинок с частотой от 250 до 10 000 Hz.
В современных монтировках применяются электроды из монель-ме-талла, нержавеющей стали или дюралюминия. Футляр плотно закупорен и водонепроницаем.
§ 345. В последние годы все чаще употребляются металлизованные пластинки * 2), применение которых требует специальных условий монтировки: нанесения металлических электродов на поверхность кристалла испарением, припайки проводов и герметически закупоренного футляра, либо откачанного, либо наполненного сухим воздухом 3). В качестве металлического покрытия обычно употребляется слой алюминия, серебра или золота, толщиной примерно в 0,0005 мм. Поверхности кристалла перед металлизированием протравливаются для удаления остатков материала после шлифовки. Концы проводника из фосфористой бронзы, который одновременно поддерживает кристалл, прочно припаиваются к центрам электродов. Размеры и форма этих проводников определяются предварительно. Подводящие проводники тщательно закрепляютсд/таким образом, чтобы их собственная упругость предохраняла крисТйлл.от сотрясения. В то же- время проводники не поглощают заметного количества энергии высокочастотных колебаний кристалла. Частота, таким образом, делается более устойчивой, а затухание и паразитная емкость снижаются до минимума. Кристалл вместе с проводниками монтируется в стеклянной или металлической трубке со стандартным гнездом в основании. В некоторых случаях в трубку помещаются также небольшие термостаты и подогреватели.
§ 346. Специальные монтировки для низкочастотных кристаллов. Здесь мы остановимся на рассмотрении колебаний брусков по длине и низкочастотных колебаний широких прямоугольных пластинок. Общие требования и основные принципы конструкции кристаллодержателей те же, что и для колебаний по толщине. Кристалл металлизуется с двух сторон, благодаря чему уничтожается зазор. Так как колеблющийся по длине брусок имеет узловую область в центре, в этом месте его можно
0 См. также у Хитона и Лафама [212]. Кварцевые пластинки со скошенными ребрами, укрепленные в точках узловой плоскости, использовались в нашей лаборатории Ван-Дайком в 1935 г.
2) Братья Кюри первыми использовали металлические пленки на кристалле. В некоторых своих более ранних конструкциях они применяли серебряные электроды, нанесенные химически.
3) См., например, A. W. Ziegler, пат. США 2218 735 (22 октября 1940 г.) и 2 275 122 (3 марта 1942 Г.).
26*
404
Глава XVI
крепко зажать, не вызывая слишком большого затухания. До последнего времени в промышленной продукции чаще всего применялся способ монтировки, в котором кристалл зажимается двумя металлическими опорными призмами, расположенными по ширине пластинки по одной с каждой стороны. Иногда для большей надежности с обеих сторон помещают по две опорные призмы, близко располагая их друг к другу. Существует еще один способ зажатия кристалла, предназначенный специально для фильтров. Он состоит в том, что две небольшие металлические полусферы прижимаются к кристаллу с обеих сторон пружинами.
Для предотвращения возможных смещений кристалла был разработан следующий способ монтировки [69]. В кристалле с одной стороны прорезается желобок, в который вставляется опорная призма, а точечный контакт прижимается к кристаллу с другой стороны, там, где высверлено углубление. В одном из вариантов этого способа два небольших стальных шарика прижимаются к коническим углублениям с одной стороны бруска, а один такой же шарик — с другой стороны.
Монтировка опорными призмами применима к брускам не длиннее 1 см (частота около 300 KHz).
У широких пластинок при низкочастотных сдвиговых колебаниях опорные призмы затрудняют свободу колебаний, поэтому такая пластинка поддерживается с обеих сторон одной или несколькими парами прижимающих штифтов.
Самым современным из всех способов монтировки является способ, в котором металлизованный кристалл поддерживается специально предназначенными для этого проводниками, припаянными к его поверхности [188] (см. § 345). Смонтированные таким образом кристаллы, выдержанные в течение достаточно долгого времени, повидимому, дают постоянную частоту с точностью 2—З Ю-6.
§ 347. Старение кварцевых резонаторов. Вскоре после того как начали применять кварц в качестве точного стандарта частоты, было замечено явление так называемого старения. Спустя несколько недель или даже месяцев после того, как пластинка окончательно отшлифована и вмонтирована в держатель, резонансная частота начинает медленно спадать. Твердо установлено, что это спадание не вызывается изменениями в положении электродов, а обусловлено состоянием поверхностных слоев окончательно обработанной пластинки. Оказалось, что в данном случае полезно применять заключительное травление поверхностей кристалла. Бехман [44] установил, что старение кристалла ускоряется повторным нагреванием. В настоящее время вошло в практику подвергать окончательно обработанную пластинку нескольким последовательным циклам нагревания и охлаждения, например, между 25 и 115°С [188].
ЛИТЕРАТУРА
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАРЦА
№ 16, 17, 68, 584, 585, 614, 623, 647, 649, 652, 653, 654 общей библиографии. Hund A., Phenomena in High-frequency Systems, McGraw-Hill, N. Y., 1936.
ИСПЫТАНИЕ, ПРИГОТОВЛЕНИЕ И МОНТИРОВКА ПЛАСТИНОК
№ 47, 62, 67, 126, 188, 462, 499, 519, 564 общей библиографии.
Elbl L. А., Проектирование кристаллодержателей, Electronics 16, 134—138
Свойства и технология кварца
405
(октябрь 1943); Доводка кристаллов кварца, Electronics 17, 122—125, 288, 290 (январь 1944); Техника испытания кристаллов, Electronics 17, 120—123, 380—382 (август 1944).
F1 о г i s s о n С., Усовершенствования в области стабилизаторов частоты, L'Onde elec. 10, 131—135 (1931).
Schaffers Т. W. М., Q-срез, Communications 24, 40—42, 80 (апрель 1944).
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
№ 9, 54, 69, 85, 253, 371, 558, 640, 649, 650, 657 общей библиографии. Литература по травлению кристаллов приведена в конце гл. II.
В 1945 г. вышел из печати сборник Symposium on Quartz Oscillator-plates, Am. Mineral. 30, 205—468 (май-июнь, 1945). Обсудить его в тексте книги не удалось. Все интересующиеся применением кварцевых кристаллов в качестве резонаторов и осцилляторов должны с ним ознакомиться. '
Сборник содержит следующие работы:
F г о n d е 1 С., История производства пьезокварцевых пластинок для стабилизации (1941—1944), стр. 205—213.
Van Dyke S., Пьезоэлектрический кварцевый резонатор, стр. 214—244.
Stoiber R. Е., Tolman С. and Butler R. D. Геология месторождений кристаллов кварца, стр. 245—268.
Gordon S. G., Осмотр и сортировка кварца, стр. 269—290.
L u k е s h J. S., Влияние пороков на пригодность кварца для изготовления пьезопластинок, стр. 291—295.
Parrish W. and Gordon S. G., Определение осей в кварце для производства пьезопластинок, стр. 296—325.
Parrish W. and Gordon S. G., Точный угловой контроль изготовления срезов кварца, осуществляемый с помощью рентгеновских лучей, стр. 326—346.
Gordon S. and Parrish W., Схемы разметки кварца для распиловки, стр. 347—370. Р а г r.i s h W., Методы и оборудование для распиловки кристаллов кварца, стр. 371—388.
Parrish W., Механизированная шлифовка пьезокварцевых пластинок для пьезогенераторов, стр. 389—415.
F г on del С., Окончательная доводка по частоте кварцевых пластинок для стаби-ушзации, стр. 416—431.
Frond el С., Влияние облучения на упругость кварца, стр. 432—446.
F г о n d е 1 С., Вторичное дофинейское двойникование кварца, стр. 447—460.
Словарь терминов, используемых в производстве кварцевых пластинок для стабилизации, стр. 461—468.
ГЛАВА XVII
КВАРЦЕВЫЙ РЕЗОНАТОР
Самые первые резонаторы, грубо вырезанные и грубо смонтированные, могли обеспечить постоянство частоты с точностью около 0,1%. Эта точность была много выше, чем точность большинства волномеров, применявшихся два десятилетия назад. Однако скоро возросли требования, предъявляемые к постоянству частоты в радиопередатчиках. Ответом на эти требования было введение пьезогенератора с контролем температуры кристалла и различными усовершенствованиями в его изготовлении и монтировке. В 1929 г. появился первый кварцевый резонатор с низким температурным коэфициентом. С тех пор интенсивное изучение упругих и термических свойств кварца повело к открытию или предсказанию многих срезов (пригодных для всех радиочастот), у которых резонансные частоты так мало зависят от температуры, что необходимость термостатирования отпадает.
В настоящей главе описаны основные срезы, их свойства и применение с иллюстрирующими цифровыми данными, а также возбуждение в кварце простых форм колебаний. Мы применим здесь к кварцу правила, изложенные в общих чертах в гл. X, для того чтобы показать, как прилагать электрическое поле к образцам различной формы и ориентировки для возбуждения колебаний по длине, по толщине, колебаний изгиба и кручения.
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БРУСКОВ ПО ДЛИНЕ
§ 348. Самые первые резонаторы имели форму брусков, причем использовались колебания по длине. Со времени первых опытов автора, которые были проведены с брусками из сегнетовой соли и кварца, было установлено, что преимуществом этого типа пьезорезонатора является легкость определения его резонансных частот, причем на них не сказывается действие нежелательных форм колебания. Простейший пример — брусок среза X с длиной, параллельной Y, использованный в статическом режиме братьями Кюри и в динамическом — многими другими. Здесь главная деформация yy=dX2Ex-
Если / параллельна X, возбуждение колебаний по длине может быть осуществлено приложением электродов на концах бруска или наложением поля, параллельного X в части бруска, как это делали Гибе и Шейбе (§ 349). Для промежуточных ориентаций / в плоскости XY можно применить этот же способ возбуждения или приложить поле к бруску в плоскости XY так, чтобы оно имело компоненту в направлении X.
В бруске с длиной, параллельной оси Z, колебания по длине не могут быть возбуждены непосредственно. Однако такие колебания можно осуществить через упругую связь приложением переменного поля соответствующей частоты в направлении, параллельном X. Этот опыт,
Кварцевый резонатор
407
поводимому, не производился с тонкими брусками, • но принцип был проверен Хундом [238], который наблюдал колебания сжатия и растяжения в направлении Z в прямоугольной пластинке, к которой прилагалось поле, параллельное X.
Для бруска любой произвольной ориентации эффективная пьезоэлектрическая константа имеет различные значения в зависимости от того, будет ли поле, возбуждающее колебания, параллельно или перпендикулярно длине. Мы сначала разберем первый, менее обычный случай. В нем форма и ориентация поперечного сечения не имеют значения. Хотя полная теория этого способа возбуждения колебаний и не была разработана, все же известно, что пьезоэлектрическая константа должна быть типа d'33, если длина бруска параллельна оси Z'. Уравнение (219) для d' зз показывает, что эта константа включает только Ju. Она исчезает только при с? = + 30° или + 90° (проекция I на плоскость XY параллельна оси У) или когда 6 = 0° (/ параллельна Z).
Обычно, когда возбуждающее поле перпендикулярно /, необходимо учитывать и ориентировку поперечного сечения. Так как не существует общих уравнений для d'hk, пригодных для всех ориентаций, мы должны рассмотреть каждую из главных плоскостей отдельно. Эта проблема аналогична задаче о возбуждении колебаний по длине в брусках косого среза сегнетовой соли (§ 371).
Всегда имеется оптимальная ориентация для Е и, следовательно, для е. Если I лежит в плоскости KZ, только Ех может вызвать возбуждение, поэтому следует употреблять срезы X, повернутые вокруг оси X. Если I выбрана параллельной оси У', образующей угол 0 с осью У, то характеристикой деформации колебаний этого типа является у'у = d'wJEх, где, согласно уравнениям (221),
di2 = — c*dn 4- sc(^i4 • (475)
Когда 0 = 0, d'12 = — dn = мы имеем обычный случай бруска, параллельного У. Когда 0 — 90°, d'\2 = 0 и прямое возбуждение невозможно (/ параллельна Z). В других случаях в cf'12 входят и du и d^.
Если I лежит в плоскости ZX, то толщине е, параллельно которой должно быть приложено поле, можно придать такую ориентацию, при которой поле1 будет Еу, или компонентой Ех, или равнодействующей обоих. Простейшим примером является случай вращаемого среза У, аналогичный упомянутому выше случаю вращаемого среза X: если I параллельна составляющей угол 0 с Z, 'то уравнением деформации будет z'z = &2зЕу, где, согласно уравнению (222),
^2з= — csdu . (476)
Возбуждение ‘колебаний по длине полем, параллельным У, поэтому возможно, за исключением случая, когда I параллельна Z или X. Когда 6 = 45°, то d'23 = — ^н/2, и возбуждение имеет тот же характер, как и для 45-градусного среза X бруска сегнетовой соли [уравнение (203)}. Над брусками с /, косо наклоненной в плоскости ZX, опыты, кажется, не производились, но колебания сжатия-растяжения этого типа в круглых пластинках среза У наблюдались Райтом и Стюартом [594] и были рассмотрены Бехманом [36].
Если I лежит в плоскости ХУ, то мы можем считать I и е соответственно параллельными Y' и Х'3 так что
y'y — di2Ex — — dnEx cos 30 (477)
408
Глава XVII
согласно уравнениям (223), где 6 —угол между У' и У. Когда 0=0, то мы имеем срез X с I, параллельной У. Колебания по длине могут быть возбуждены при любых углах в плоскости XY, за исключением случая, когда / параллельна Z при cos 30 = 0.
Фактором упругости q, вычисленным из измерений частоты узкого бруска известной длины, является измеренный при постоянном поле модуль Юнга при условии, что зазор равен нулю. Деполяризующее действие электрического поля и величину эффективной пьезоэлектрической константы нужно учитывать, согласно уравнению (330), только тогда, когда имеется зазор. Поскольку размеры поперечного сечения не превышают одной десятой длины, то поправкой на конечное поперечное сечение можно пренебречь [340]. О сделанных Бехманом вычислениях модулей Юнга для различных ориентаций из наблюдений над узкими кварцевыми брусками упомянуто в § 96.
Другой величиной, встречающейся в уравнениях колебаний брусков, является эффективная диэлектрическая постоянная kt, определяемая уравнением (311). Эта величина несколько меньше, чем диэлектрическая постоянная k\ для незажатого кристалла. Разница между ними, по крайней мере для кварца, незначительна и некоторыми авторами во внимание не принималась вовсе. Для любой произвольной ориентации k't та же самая, что k' n в уравнении (474в). Для рассматриваемой ориентации обычно достаточно даже грубого приближения в значениях din и sEntl . Величина kt для кварцевого бруска среза X с длиной, параллельной Y, определяется равенством (474а).
Полное рассмотрение эффектов связй различных форм колебаний выходит за пределы настоящей книги. Некоторые из наиболее важных работ по этому вопросу приведены в конце этой главы.
§ 349. Результаты опытов с колебаниями по длине. Работая с прямоугольным кварцевым бруском с длиной, параллельной X или У, Гибе и его сотрудники [462, 169, 171] изучали зависимость частоты от поперечного сечения для основной частоты й различных обертонов 1}. Они получили формулы для частоты и для отклонения частоты обертонов от гармонических соотношений. Теория учитывает действия связей, коэфициент Пуассона и пьезоэлектрическую поправку к упругому сопротивлению. Электроды у них были очень малыми, а бруски имели наклонность давать эффект свечения, описываемый в § 365. Для брусков, имеющих длину, параллельную Y, небольшие электроды помещались в центре, так что поле имело направление X. Когда длина была параллельна X, то применялись две пары электродов (как это показано на фиг. 86,6), дающие поле, параллельное X в центре бруска. Гибе в Блех-шмидт [162] измеряли частоты при различных температурах и вычисляли из них температурные коэфициенты для $ц и s44- Основные результаты всех этих исследований более подробно изложены Шей-бе [647].
Частоты тонких стержней в разных ориентациях и при различной температуре были измерены Бехманом [32]. Из полученных им результатов, уже приведенных в § 96, можно найти динамическое значение модуля Юнга для любой ориентировки в пространстве, а также их температурные коэфициенты (см. Шейбе [647]).
О Мы рассматривали возбуждение обертонов в бруске в § 238. Разработка теории по этому вопросу произведена Соколовым [473].
Кварцевый резонатор
400
Все кварцевые бруски или пластинки, колеблющиеся по длине, какой бы ни была их ориентировка, имеют отрицательные температурные коэфициенты частоты (см. § 357), причем значение этих коэфициентов становится в некоторых особых случаях равным нулю. Для брус-.ка среза X с длиной, параллельной У, эта величина впервые была определена Пауерсом [431], который нашел, что af— — 5-1(Н6. Учитывая, что брусок у Пауерса имел отношение Ь/l около 0,17, мы видим, что его значения ау достаточно хорошо ложатся на кривую фиг. 81, представляющую собой зависимость су от Ь/l, найденную Мэзоном [332]. Аномалия, лежащая между 0,15 и 0,4 вызывается, по Мэзону, связью со второй гармоникой колебаний изгиба в плоскости YZ. Величина су имеет наименьшее значение для очень узких пластинок. Для толстых пластинок ctf меньше, чем для тонких (направление АД Если поперечное сечение— квадрат (е — Ь), то af=Q, когда Ь/l = 0,272. Качественное подтверждение результатов Мэзона можно найти в табл. 13 книги Шейбе [647]. Бус [69] согласен с Мэзоном, считая <xf =— 2 10~6 для очень узких брусов с длиной, параллельной У.
Зависимость частоты от ширины зазора w для бруска при комнатной температуре была исследована Даем 11271 ’) и автором [107]. Согласно уравнению (3366), должна существовать линейная зависимость между w и относительным изменением частоты в зависимости от зазора, причем коэфициент U одинаков для всех зазоров. Экспериментально найдено, что U примерно на 15% меньше, чем значение, предсказанное теорией, и обнаружено постепенное уменьшение U при увеличении зазора. Возможные объяснения этого расхождения (рассмотрены <в работе автора. Наблюдаемая частота
возрастает примерно на 0,5% при возрастании зазора от нуля до очень больших значений.
Фиг. 81- Зависимость температурного коэфициента оу для бруск3 среза X (длина параллельна У) от отношения Ь/l (по Мэзону). Для этого бруска е = 0,05. По оси абсцисс отложено Ь/l, по оси ординат — Яу в миллионных долях на градус.
Колебания по длине кварцевых пластинок, имеющих ширину Ь, сравнимую с длиной Z, изучались Петржилкой [417, 418], Бехманом [36, 41, 42, 44] и Мэзоном [332, 340]. Петржилка пользовался прямоугольными и круглыми пластинками среза Z с электродами, расположенными таким образом, чтобы действующее поле было перпендикулярно Z. В его работе содержатся фотографии полученных фигур колебаний. Он обнаружил при соответствующих частотах трй формы колебаний, предсказанные теорией, и из своих наблюдений вычислил модуль упругости и коэфициент Пуассона * 2).
Мэзон измерял изменение частоты прямоугольной пластинки 18,5-градусного среза X (см. табл. 29), причем отношение Ь/l возрастало от 0,1 до 1. Наблюдалось общее уменьшение порядка 12%,
’) Кроме того, эффект зазора в брусках рассматривается в работах Кога [268], Ватанабе [581], а также Гроссмана и Вина [189], но их данные или недостаточны, или взяты для кристалла в генераторной цепи. Данные, полученные этим последним методом, не характерны для кристалла самого по себе, так как включают посторонние эффекты.
2) Для критического изучения полученных Петржилкой величин см. работы Лонна [319] и Экштейна [131].
410
Глава XVII
вызываемое связью с колебаниями изгиба и со сжатием, параллельным Ь. Аномалия, наблюдаемая при значениях Ь/1 от 2 до 0,3, является следствием сильной связи с колебаниями изгиба. Мэзон указал, что поправка Рэлея на поперечное сечение (§ 65) недостаточна применительно к кварцу, так как при этом не учитываются связанные колебания Ч
Этот вопрос разбирался также Бехманом, который вывел Для прямоугольной пластинки любой ориентировки кубическое уравнение, корни которого дают 3 основных частоты: колебания сжатия-растяжения, параллельные I и Ь, и колебания сдвига. Его теория не рассматривает колебаний изгиба и связи между колебаниями, но из его опытов видно наличие этого эффекта для различных срезов. Его результаты в общих чертах совпадают с данными указанной выше работы Мэзона.
§ 350. Несимметричные эффекты колебаний по длине. Из фиг. 31 (кривая С), 33 (кривая С) и 38 ясно, что для кварца модуль Юнга *У = l/s'33 сильно меняется в зависимости от ориентации. Для’ любого данного полярного угла 6, за исключением 0° и + 90°, У меняется в зависимости от азимута <р. Для всех значений ср модуль Юнга меняется в зависимости от 9. В частности, в плоскости YZ величина У - 10~10 изменяется от 130,2 при 6 = 48°36' до 70,3 при 6 = — 71°4'.
Благодаря комбинированным действиям основных упругих констант, встречающихся в уравнении (55) для модуля Юнга * 2 3), система стоячих волн в колебаниях по длине такова, что при основной частоте узловая плоскость пересекает центр бруска под прямым углом только! если брусок очейь узок, если же он имеет ощутимую ширину Ь, то это имеет место в случае, когда длина лежит в направлении максимального или минимального У. В широкой пластинке узловая линия, выявляемая, например, порошком ликоподия, может иметь ясно выраженный наклон к направлению Ь. Мейснер [361], первым обнаруживший этот эффект, нашел, что в круглых пластинках среза X существуют два направления, вдоль которых распространяются волны сжатия-растяжения. Эти направления составляли углы 6=48° и — 71°, соответствующие направлениям максимального и минимального модулей Юнга. Для прямоугольных пластинок с длиной в направлении 6 = 71° Штраубель [488] нашел, что узловая линия параллельна! ширине.
Только тогда, когда, длина пластинки параллельна направлению максимального и минимального У, амплитуда колебаний одинакова во всех частях конечных граней. Это было установлено Мейснером [359] с помощью порошка ликоподия, а также Бюкоом и Мюллером [79], которые произвели обследование колебаний поверхностей X для пластинок с длиной, параллельной У, и с 6=71°, наблюдая под микроскопом движение маленьких: частиц на посеребренном кварце3).
0 См. также у Шейбе [647], стр. 92, и Гибе и Блехшмидта [161].
2) Величиной, в первую очередь вызывающей наклон узловой плоскости, является S44. Ею обусловлены контурные сдвиговые колебания, как это описано в § 359. Срез под углом 18,5°, упомянутый в § 357, предназначается для того, чтобы исключить э*го сдвиговое колебание.
3) Микроскопический метод применялся в нашей лаборатории Г. В. Скоттом младшим (кандидатская диссертация, 1934), Р. Л. Брауном (магистерская диссертация, 1936) и Р. И. Хульзицером (магистерская диссертация, 1942). Последний измерял направления и амплитуды колебаний в большом числе точек, находя таким образом распределение деформации и пьезоэлектрической поляризации. Из суммарной поляризации выводилась величина электрического тока, которая по порядку величины совпадала с наблюдаемой. Хульзицер применял пластинки среза X с 0=0 и — 71°, а также среза GT, специально наблюдая признаки связи между различными формами колебаний.
Кварцевый резонатор
411
В дальнейшем Мейснер [359] и Тавиль [506] открыли другое явление, показывающее асимметрию фигуры волны. Это явление заключается в том, что образуется струя воздуха, направленная от определенных участков по краям пластинки, главным образом на ее боковых поверхностях. Простое гармоническое колебание на боковых поверхностях пластинки оказывает вентильное действие на молекулы воздуха, двигая их тангенциально, когда боковые поверхности отступают назад,
и отталкивая их нормально, когда эти поверхности двигаются вперед. Это явление уже известно в гидродинамике. Мейснер установил, что струя воздуха достаточно сильна, чтобы погасить свечу или вращать маленькую турбинку. О струях воздуха говорится также у Бюкса и Мюллера [79], Хардинга и Уайта [204], Хайта [225], Штраубеля [485], Ваксмута и Ауэра [577] и Райта и Стюарта [594]. В работе Штраубеля имеется несколько интересных фотографий.
Воздушные струи отходят от концов пластинки симметрично только тогда, когда направление длины совпадает с направлением макси-
мального или минимального модуля Юнга. В других же случаях и особенно, когда I параллельна оси У и по величине приблизительно равна Ь, струя несимметрична, как это показано на фиг. 82.
Для того чтобы продемонстри-
ровать эти несимметричные потоки 82• Воздушные потоки от кварце-воздуха, Мейснер [359] сконструиро- вой пластинки среза X.
вал «кварцевый мотор», состоящий
из пластинки, похожей на ту, которая изображена на фиг. 82; пластинка закреплялась в центре таким образом, чтобы она могла вращаться в своей собственной плоскости. Подобный прибор описан Тавилем [506]. Здесь уместно упомянуть о вращении кварцевого шарика диаметром в
4 см, которое наблюдал ван Дайк [548, 549, 556]. Шарик лежал на
краях трехмиллиметрового отверстия в латунной пластинке, которая служила нижним электродом. При возбуждении в шарике колебаний определенного вида и частоты он поворачивается, как бы выбирая вертикальную ось, а затем вращается вокруг нее. Так как этот эффект наблюдается также и в вакууме, он должен происходить благодаря трению в месте соприкосновения кварца с латунью. Этот факт, наряду с наблюдениями Грамона [181], что укрепленная по способу Мейснера
пластинка вращается в вакууме лучше, чем в воздухе, указывает, что вращение мейснеровского кварцевого мотора, по крайней мере частично, обусловлено1 скорее периодическим трением в точках опоры, чем взаимодействием с окружающим воздухом. Грамон описывает также некоторые другие виды кварцевых моторов.
Ван Дайк [549] нашел, что кварцевый шарик можно заставить скользить по прямому пути или непрерывно двигаться по окружности. Эти движения вызываются главным образом взаимодействием с окружающим воздухом. Ван Дайк нашел также, что отношение основных резонансных частот таково: 1,1,47, 1,61, 1,83, 2,12, 2,18, 4^,12, причем самая низкая частота такая же, как и частота бруска,, параллельного У, с длиной, равной диаметру шара, и имеющего волновой коэфициент Н 2,780 kHz мм. При пониженном давлении он наблюдал и сфотографировал характерные фигуры свечения (§ 365) при различных частотах и заснял на кинопленку изменения фигур свечения при изменении частоты колебаний.
412
Глава XVII
Упомянутые выше эффекты вращения и поступательного движения несомненно имеют связь со стремлением кварцевой пластинки среза X, колеблющейся по длине или по толщине, скользить в том или ином направлениии по горизонтальной поверхности, на которой она находится. Такого рода движения отмечены автором в неопубликованной работе еще в 1923 г. В некоторых случаях при достижении критической частоты кварц полностью выскальзывал из пространства между закрепленными электродами. С того времени и многие другие наблюдали это явление 9.
Эта легкость скольжения на части колеблющейся кварцевой пластинки указывает на уменьшение трения между кристаллом и соприкасающимися с ним поверхностями.
Гиршгорн* 2) наблюдал поступательное движение кварцевого бруска среза X, подвешенного на нити между электродами. Здесь не могло возникнуть вопроса о трении между твердыми поверхностями. Неизвестно, в какой степени этот эффект вызывается пьезоэлектрическим полем, окружающим кристалл, и в какой степени — стремлением самого кристалла, как и всякого другого диэлектрика, перемещаться в область большей напряженности поля между электродами.
Вместо того чтобы наблюдать воздушные потоки, получаемые от колеблющегося кристалла, Н. Г. Вильямс 0587] применял противоположную операцию. Он возбуждал в кварцевом бруске колебания с помощью ультразвуковых воздушных волн, получаемых при помощи струи воздуха, выпускаемой из сопла. Ультразвуковой «шум» возбуждал в бруске с длиной, параллельной Y, одновременно с основными колебаниями много обертонов. Короткие и составные электроды, подобные описанным в § 239, присоединялись к усилителю.
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПО ТОЛЩИНЕ
§ 351. В кварцевой пластинке любой ориентации могут быть возбуждены колебания по крайней мере одного из трех типов, описанных в § 66, 93 и 245. В срезе Z поле должно быть приложено к боковым граням, параллельно X или У, причем деформации будут yz = dl4E'x или zx= d2^E Такие колебания в срезе Z наблюдались Атанасовым и Хартом [12]. Для всех остальных ориентаций поле сможет накладываться параллельно толщине. Уравнение [344] для эффективной пьезоэлектрической константы е (применимое, если поле параллельно толщине) для кварца имеет следующий вид:
s -= ^[е14пЦ- (е12+е26) (el4^-eK)lm. (478)
Когда т = п = 0, мы имеем срез X с а = 1 (колебания сжатия-растяжения параллельны X). Тогда е = еп. Когда I = п = 0, то пластинка — среза У с я = 1 (направление колебаний параллельно X); следовательно, колебания сдвиговые [98], и £ = е26 = — е^. Срезу Z соответствует I = т = 0, причем £=О. Это показывает, что колебания по толщине не могут быть возбуждены полем, направленным по толщине.
’) См., например, исследования Шоу [461].
2) S. I. Hirschhorn, Zs. f. Phys. 44, 223—225 (1927).
Кварцевый резонатор
413
Эффективный фактор упругости дается уравнением (355). Для диэлектрической постоянной зажатого кристалла мы получаем в плоскости XY из уравнения (474) значение k'[ = 4,41 и из уравнения (472) в направлении, параллельном Z, значение k"\\ — k\\ = 4,6. Когда поле имеет косое направление N, соответствующее k”вычисляется из уравнения, подобного (474в):
^ = 4,41 + 0,19 cos29, (.479 )
где 6 — угол между N и Z.
§ 352. Результаты опытов с колебаниями по толщине. При продольных колебаниях брусков по длине нетрудно избежать взаимодействия различных видов колебаний путем соответствующего подбора размеров. Колебания более низкой частоты (колебания изгиба или кручения)
Фиг. 83- Рсзсьгнская кривая кварцевой пластинки среза X (частота 1о00 kHz) для колебаний по толщине [639]. Наблюдается много резонансных частот внутри интервала примерно в 30 kHz.
обычно не доставляют никакого беспокойства, так как частоты всех колебаний другого рода слишком высоки, чтобы внести нежелательные резонансы. Совершенно другая картина получается с колебаниями по толщине, так как даже при тщательном расчете контура трудно избежать влияния обертонов различных низкочастотных колебаний. Для среза X это общеизвестно.
Устранение возмущающих частот является самой трудной задачей при проектировании и конструировании резонаторов с колебаниями по толщине. Нежелательные колебания, если они близки к тем, на которые рассчитан резонатор, на практике могут быть причиной серьезных расхождений между теоретическими и экспериментальными значениями частоты и ее температурного коэфициента. Путем тщательной шлифовки поверхности, расчета и подшлифовки ребер можно получить резкую резонансную частоту, соответствующую тому виду колебаний, который достаточно удален от смежных колебаний, для того чтобы держать частоту осциллятора внутри желательной области температур (см. §244). Косые, срезы, являющиеся наиболее употребительными благодаря их низким температурным коэфициентам частоты, также в значительной степени свободны от эффектов связи, которые вызывают возмущающие частоты.
Пример сложного спектра частот, встречающегося в пластинке среза X, приведен на фиг. 83.
Впервые пластинки среза X для колебаний по толщине были использованы Пирсом. Уравнение деформации имеет вид xx=d\\Ex. В качестве резонатора такая пластинка обычно дает большое число
414
Глава XVII
резонансных частот, сильных и слабых, близких к расчетной величине. В качестве генератора пластинка избирает некоторые из этих частот, но имеет тенденцию при самом слабом воздействии менять эти частоты. Любым из описанных в § 366 методов можно показать, что пластинка при колебании на любой резонансной частоте имеет очень сложную фигуру колебаний вследствие взаимодействия с обертонами различных колебаний низкой частоты. Таким образом, несмотря на то, что номинально пластинка совершает колебания сжатия-растяжения, многие части ее поверхности имеют касательные компоненты колебаний, которые могут не совпадать по фазе с истинными колебаниями сжатия-растяжения. Тем не менее, в целом перемещение главных граней пластинки происходит в направлении толщины. Именно это обстоятельство является причиной того, что срезы X применяются обычно в качестве ультразвуковых излучателей. Благодаря только что упомянутым недостаткам пластинок этого среза и их большому температурному коэфициенту частоты срезы X сейчас мало употребляются в пьезогенераторах. Обычно для «у принимается значение между- —20- 10~6 и —22- 10~А
При наличии зазора между кварцевой пластинкой среза X и одним из электродов возникают устойчивые воздушные волны, когда зазор равен целому числу полуволн звуковых колебаний. Этот эффект положен в основу ультразвукового интерферометра (§ 510). Влияние зазора на характеристику резонатора изучалось Даем [127], Кога [268], Вигурё [652, 653] и др. Потери энергии при критической величине зазора значительны, а взаимодействие кристалла с воздушными волнами влияет на частоту. Конечно, это динамическое действие воздушного зазора исчезает при монтировке в вакууме. Но это явление не имеет ничего общего с действием зазора на частоту, о котором будет сказано ниже.
। Для сре/за У при поле, параллельном У, уравнение деформации следующее:
ху == d^Ey = d^Ey .
В относительно тонких пластинках направление колебаний параллельно X, и колебания являются сдвиговыми [98]. Так как движение, нормальное к поверхности, либо мало, либо совсем отсутствует, пластинка (как и все пластинки сдвигового типа) может быть более прочно зажата без подавления колебаний, чем срез X Д По той же самой причине устойчивые воздушные волны в зазоре доставляют меньше неудобств. Зажимание помогает также устранить связанные колебания типа zx— dzsEz... Все же, как и в случае среза X, имеют место неприятные взаимодействия, и пластинка, используемая в качестве генератора, стремится перескочить от одной частоты к соседней. Кроме того, температурный коэфициент частоты даже больше, чем для среза Х\ в зависимости от размеров и связи с другими видами колебаний значение этого коэфициента изменяется от '4-60 до -ф- 90 • 10~6.
Этот большой температурный коэфициент, который заставил многих исследователей экспериментировать с косыми срезами, достигает максимального значения в срезах, описанных в параграфах, следующих
О Применяя метод интерферометра, описанный в § 313, Штраубель [490] нашел, что в пластине среза У при колебаниях по толщине имеют место небольшие перемещения, нормальные к ее поверхности. Повидимому, это явление вызывается взаимодействием с другими видами колебаний, что можно устранить соответствующим подбором размеров.
Кварцевый резонатор
415
за § 357. Так же как и срез У, эти новые срезы совершают сдвиговые колебания. Обычно употребляющиеся теперь косые срезы дают почти точно постоянную частоту в пределах значительной области температур при одновременно сниженных эффектах взаимодействия.
§ 353. Влияние ширины зазора на частоту. Одним из способов изменения частоты пьезо генератор а является изменение ширины зазора. Этим способом могут быть вызваны изменения частоты в несколько десятых процента. Главным образом это имеет место, когда зазор очень мал. Уравнение (370) показывает, что должна сохраняться линейная зависимость между относительным изменением частоты и w (е -J- k"w), причем коэфициент U является постоянной величиной. Опыты автора [[107} О показывают, что, как и в случае упомянутых выше колебаний по длине, U при увеличении зазора • уменьшается. Отклонение U от теоретического значения, повидимому, имеет наименьшее- значение для пластинок, которые являются хорошими резонаторами, и для пластинок, относительно свободных от связанных колебаний, как, например, для пластинок среза ВТ и АС. Для этих срезов было найдено почти точное теоретическое значение для U при небольших зазорах. При больших же зазорах расхождение достигало 30%. Экспериментальное значение U было значительно ниже теоретического для двух пластинок среза X, которые были довольно плохими резонаторами. Для пластинок среза У расхождение для теоретического и экспериментального значения U оказалось примерно порядка 20%.
Из уравнения (355) видно, что, вообще говоря, необходимы три члена, чтобы выразить эффективный фактор упругости для колебаний по толщине. В качестве иллюстрации относительного значения этих членов можно рассмотреть срез Y, для которого в § 351 было показано, что е = — вц = — 5,2 • 104, в то время как по уравнению (474) k" = 4,41. Этот фактор упругости при постоянном поле следующий:
qE = 4 — 40- 1О10.
Отсюда для зазора, равного нулю, уравнение (355) для пластинки среза У принимает вид:
q’ = f 40 + 0,77 - -^Ю10 . 4 I 1 Л2 J
Второй член здесь составляет 1,9%' от qE при основной частоте, h— 1, и третий член составляет 1,5% от qE. На 5-й гармонике h = 5, и третий член равен только 0,06% от qE.
Наличие зазора уменьшает третий член, который вообще исчезает при бесконечно большом зазоре.
В связи с уравнениями (350) и (350а) в § 250 было указано, что при увеличении порядка h обертонов колебаний по толщине теоретическое отношение между частотами обертонов становится более близким к гармоническому. Это было подтверждено для кварца Атанасовым и Хартом (§ 90), а также Бергманом [53].
О колебаниях по толщине в специальных срезах см. § 358. Использование колебаний по толщине в ультраакустике описано в § 507.
О Дополнительные данные были также получены Бусом и Диксоном [701, Даем [127], Кога [268, 274, 276], Мацумура и Хатакеяма [388] и Вигурё [653]. Они подкрепляют высказываемое автором утверждение.
416
Глава XVII
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИИ ИЗГИБА
§ 354. Согласно § 179, состояние изгиба может быть вызвано воздействием электрического поля в таком направлении, чтобы часть ABFE бруска, показанного на фиг. 84, растягивалась в направлении АВ, в то время как часть его EFCD сжималась. Тот же результат достигается при приложении электрических полей к правой и левой частям бруска так, чтобы вызвать противоположные сдвиги в AGHD и GBCFL В обоих случаях, если поле меняется с соответствующей частотой, в результате получается колебание изгиба.
Соответствующим расположением электродов могут быть также возбуждены и обертоны частот. Например, фиг. 85 показывает состояние деформации для первого обертона, при котором вместо двух узлов
изгиба. Узлы СЕ и О2 отстоят от концов бруска на 0,224 всей его длины.
на второй гармонике. Узел О2 находится в центре, узлы и О3 отстоят от концов бруска на 0,132 всей его длины.
01 и О2 на фиг. 84, имеется три узла Оь О2 и О3. Сколько бы узлов ни было, деформация растяжения в данный момент времени во всем интервале между двумя соседними узлами имеет один знак для верхней и другой знак для нижней половины бруска, в то время как постоянство знака для сдвига сохраняется в интервале между пучностями. На концах растяжение имеет тот же знак, что и в смежном интервале между узлами. Учет этих явлений существенен при выборе места для электродов.
Для достижения лучших результатов брусок должен закрепляться в одном или нескольких узлах. Он будет работать как резонатор, даже если поле приложено лишь в небольшом участке бруска, если только этот участок лежит полностью или главной своей частью в области, имеющей один и тот же знак мгновенной деформации. В генераторе электроды, обычно наносимые металлизацией, должны, конечно, быть относительно велики, а для получения очень низкого декремента затухания брусок должен монтироваться в вакууме, так как потери энергии в окружающий воздух значительны.
Для кварцевых кристаллов могут быть использованы оба модуля dn(= — dl2 =— d26) и dl4(=—d25) для получения растягивающего или сдвигающего напряжений, необходимых для возбуждения колебаний изгиба. При употреблении пластинок или брусков косого среза возможен даже еще больший выбор способов возбуждения. Представление об этих различных возможностях можно получить из фиг. 86. Электроды противоположных знаков обозначаются жирной и тонкой линиями. Электроды одинакового знака обычно^ соединяются параллельно. Стрелками показаны направления полей. Вторая проекция в каждом случае показывает поперечное сечение в форме квадрата с толщиной е, равной ширине Ъ. Колебания всегда происходят в плоскости
Кварцевый резонатор
417
изгиба 1е. Чем больше отношение l/е, тем ниже частота. Ширина b не
оказывает заметного влияния на частоту. Опыт показывает, что колебания изгиба получаются даже при е, равном /, хотя в случае, когда е относительно велико, Требуется видоизменение теории, как указано в § 73. Из фиг. 86 и табл.
это было
Фиг. 86. Расположение электродов для возбуждения колебаний изгиба. В вытянутых прямоугольниках плоскость колебаний совпадает с плоскостью чертежа, за исключением случаев А, Д, Ж, где она перпендикулярна плоскости чертежа.
чаях тот же самый брусок или пластинка могут быть использованы для колебаний больше чем в одной плоскости, в зависимости от того, как расположены электроды. В табл. 28 для каждого случая указан характер пьезоэлектрического возбуждения.
Таблица 28
ДАННЫЕ ПО КОЛЕБАНИЯМ ИЗГИБА
Фиг. 86 * Направление длины Направление поля Плоскость изгиба Число узлов Уравнение деформации
А Б В Г д Е Ж 3 У У X У У (X или Z (У или Z У X X У У X YZ ХУ ZX или ХУ ХУ YZ ХУ ZX YZ YZ Четное Нечетное Четное Нечетное 2 2 2 2 2 Ч: Ч N И ,4: Ч И Че Ч II II II II II II II II II к t?* ю сл о ьз |-к to to
На фиг. 86 А, Б, В и Г схематически представлены резонаторы, описанные Гибе и Шейбе [166—170]. Электроды сделаны весьма короткими, чтобы показать эффект свечения при резонаное на различных гармониках, когда резонаторы используются в качестве стандартов частоты. Поле, параллельное X, которое необходимо для возбуждения колебаний в случаях Б, В п Г, является Х-компонентой паразитного поля, указанного изогнутыми стрелками. Такое возбуждение неизбежно является слабым.
27 Кэди
418
Глава XVll
На фиг. 86, Д приведено расположение электродов по Гаррисону [205|], подобное расположению А Гибе и Шейбе. Гаррисон изобрел такое расположение электродов независимо от них и опубликовал его в том же самом году. Для более эффективного возбуждения основных колебаний изгиба Гаррисон употреблял 2 пары электродов во всю длину пластинки. Применяя 4 пары электродов (каждые две пары покрывали примерно половину длины резонатора), он возбуждал колебания на второй гармонике. Наблюдая основные колебания при пониженном атмосферном давлении, он получил ряд светящихся полос, пересекающих внешнюю поверхность бруска вблизи центра (см. также Гаррисон и Гупер [208]).
£ и Ж фиг. 86 представляют формы колебаний, наблюдавшиеся автором. Они включают изгиб во всех трех главных плоскостях. Как видно из табл. 28, при таком расположении электродов используется скорее пьезоэффект сдвига, чем пьезюэффект сжатия-растяжения. В случае Е центральным электродом является пояс, охватывающий брусок. От этого пояса поле внутри кварцевого бруска простирается в обе стороны по направлению к электродам, соединенным параллельно и расположенным на противоположных концах! бруска. При этом возбуждение сравнительно слабо, тогда как в случае Ж оно гораздо сильнее, так как поле нормально к плоскости изгиба, а не параллельно длине бруска.
На фиг. 86, 3 изображен биморфный элемент Кюри, состоящий из двух кварцевых пластинок среза X, склеенных сторонами противоположных полярностей. Когда прикладывается поле Е, одна пластина расширяется по длине, а другая сжимается. Резонатор совершает колебания изгиба как единое целое. В 1927 г. автор, употребляя 2 пластинки размерами 4 X 1 X 0,05 см, склеенные канадским бальзамом, получил резонанс при частоте около 400 Hz. Наличие резонанса устанавливалось при помощи порошка ликоподия, на слух и по реакции в анодной цепи лампы, ко входу которой присоединялся резонатор. Об использовании элемента Кюри в пьезогенераторе упоминается в § 396. Статическая теория разработана Фогтом 6.
§ 355. Возбуждение колебаний изгиба низкой частоты наиболее эффективно, когда поле параллельно толщине е, так как именно этот размер необходимо уменьшать, если частота должна быть низкой. Ширина пластинки может быть увеличена, что позволит использовать электроды большей площади. Этот случай может быть осуществлен как частный случай фиг. 86, В; это показано на фиг. 87. Возбуждающим полем является не слабая компонента поля, параллельная X, а относительно сильное поле, параллельное У. Каждая половина пластинки подвергается сдвигающему напряжению Ху =— е2бЕу . Так как эти напряжения имеют противоположные знаки, то в результате получается изгиб. При / = 7,4 см, е = 0,1 см, b — 2 см автор получал резонансную частоту в 1050 Hz. Повидимому, эта частота является самой низкой из частот, наблюдавшихся для бруска одинакового поперечного сечения, когда поле приложено в направлении толщины. Еще более низкие частоты были получены Грютцмахером [191], но в его резонаторе кварц на концах был очень толстым, имея форму тонкого бруска лишь в центральной части, т. е. не был бруском в обычном смысле.
’) «Физика кристаллов», стр. 906.
Кварцевый резонатор
419
В срезе, показанном на фиг. 87, четные формы колебаний изгиба можно возбудить с помощью больших электродов, покрывающих грани lb целиком. Это происходит потому, у
что брусок тогда разделяется на не- + __ ~ _ *
четное число сегментов, причем зна- 1-------г—---- — L— х
ки сдвига этих сегментов череду- ~
ются.
Кварцевые резонаторы изгиба могут быть использованы для контроля частоты в схеме пьезогенератора. Например, схема подобная изображенной на
Фиг. 87. Кварцевая пластинка среза Y для низкочастотных колебаний изгиба. Длина I параллельна X, толщина е параллельна Y. Плоскость изгиба совпадает с плоскостью XY.
фиг. 97, предназначалась для возбуждения колебаний
на частоте кристалла с упомянутым выше бруском среза У, колеблющимся с частотой 1050 Hz.
Правила, применявшиеся для кварца, могут быть, конечно, с успехом применены к другим пьезоэлектрическим кристаллам. При достаточно большом отношении l/с частота может быть вычислена по формуле (128).
Ссылки на литературу по вопросам об изгибе и о колебаниях изгиба даны в конце настоящей главы. В § 368 и 396 рассматривается несколько случаев их использования. Теория и применение статического изгиба разобраны Фогтом ’) и Фогтом и Фредериксом [576], теорию колебаний можно найти в работах Дерфлера [124], Мэзона [333], Томсона [518] и Тыкоцинского-Тыкоцинера и Вудруфа [537].
Гибе и Шейбе [647] предложили использовать резонаторы изгиба в качестве стандартов частоты от 1 до 20 kHz.
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИИ КРУЧЕНИЯ
§ 356. Согласно § 180, кручение цилиндра или призмы вызывает противоположные сдвиги на противоположных сторонах оси, причем плоскость сдвига проходит через ось. В кварце колебания кручения были осуществлены по осям образца, параллельным X, Y и Z. Можно, конечйо, выбирать и косые направления. Можно использовать то же расположение электродов, что и на фиг. 86; поэтому мы можем различать методы возбуждения колебаний в соответствии с этим рисунком и табл. 29.
ДАННЫЕ ПО КОЛЕБАНИЯМ КРУЧЕНИЯ
Таблица 29
Метод Фиг. 86 Направление длины Направление поля Число узлов Уравнение деформации
I А X Y Нечетное Ху “ ^26
II А Y Y Четное Ху “ Еу
ш В Y Y Нечетное X у ~ С?26 V
IV Е Z Хи Y V \Zx-d^Ey
V Е Y X V yz = d^Ex
VI Е X Y ZX ~ ^25 Ey
О «Физика кристаллов», изд. 1928 г., стр.
965; см. также [573j.
27*
420
Глава XVII
Методы I, II и III были предложены Гибе и Шейбе [169] ’Г В методе II эффективными являются паразитные поля, простирающиеся и направо и налево вдоль длины бруска.
Методы IV описаны Хундом и Райтом [242], использовавшими круговой цилиндр с длиной, параллельной Z. Поле, входящее в кварц от опоясывающего его электрода, имеет компоненты + Ех и гГ Еу, которые вызывают в соседних областях сдвиги, необходимые для кручения. В некоторых своих опытах авторы использовали вместо электродов на концах цилиндра кольцевые электроды, охватывающие цилиндр на некотором расстоянии от центра.
Метод V был экспериментально осуществлен в нашей лаборатории в 1931 г. Пьезоэлектрические колебания возбуждались входящей в брусок в противоположных направлениях по обе стороны опоясывающего электрода параллельной X компонентой поля, согласно формуле уг — — d^Eх. Вместо кольцевого электрода можно применить 2 небольших плоских электрода на концах оси X. На существование колебаний кручения указывало не только совпадение между наблюдаемой и вычисленной частотами, но также и то, что мелкий песок, насыпанный на колеблющийся брусок, образует по его середине продольную узловую линию.
Метод VI, который еще не испытывался экспериментально, подобен методу V.
Из всех методов возбуждения в бруске колебаний кручения наиболее эффективен метод I табл. 29, в особенности если электроды распо’-ложены вдоль всего бруска, как на фиг. 86, Д. Если брусок имеет прямоугольное поперечное сечение, то поле должно быть параллельно наименьшему размеру е (направление поля показано на фиг. 86, Д параллельным Ь). Для получения в этом случае колебаний кручения кристалл должен быть вырезан так, чтобы поле, параллельное е, вызывало сдвиг в плоскости el относительно осей, параллельных е и I. В кварце, если исключить косые срезы (возможности применения которых еще не исследованы), колебания изгиба этим методом можно получить только при I, параллельной X. В кристаллах, подобных сегнетовой соли, в которых имеются все три модуля —du, d2s и d36, колебания кручения можно легко получить в бруске с двумя парами электродов, как это описано выше. Длина бруска при этом параллельна одной из осей кристалла, а ширина и толщина составляют углы в 45° с двумя другими осями.
Любой брусок, вырезанный так, чтобы он мог совершать колебания кручения при электродах, разрезанных вдоль длины, как на фиг. 86, Д, будет совершать колебания изгиба при электродах, разрезанных поперек, как на фиг. 86, Ж-
Гибе и Шейбе применили метод I для круглых цилиндров. В качестве наиболее эффективного способа возбуждения они применяли 4 вогнутых электрода, идущих параллельно оси. Аналогичное устройство для прямоугольных брусков описано Гибе и Блехшмидтом [162].
Тавиль, Тси-Зе и Тзин, атакже Зацек и Петржилка опысываютопыты с полыми кварцевыми цилиндрами (оси параллельны Z). В этих опытах применялась комбинация внутреннего и внешнего электродов. Производя эти опыты, Тавиль наблюдал явление, которое он приписывал «стрефоэлектричеству». Позднее Ланжевен и Соломон полностью объяс-
9 См. также у Гибе и Блехшмидта [162]. В последней работе приведена теория и рассматривается влияние температуры на частоту.
Кварцевый резонатор
421
нили это явление действием модуля d^- Тси-Зе и его сотрудники использовали свой резонатор также в качестве генератора в схеме Пирса. Бенуа описал опыты с различными формами колебаний сплошных и полых кварцевых цилиндров, применяя последние в цепях пьезогенераторов.
Резонаторы кручения могут закрепляться в одном или нескольких узлах или, согласно Гибе и Блехшмидту [162], брусок или цилиндр могут поддерживаться с обеих сторон заостренными стержнями, входящими в небольшие конические углубления в центре сечения. Как и в резонаторах изгиба, для резонаторов кручения не всегда нужно предусматривать полный набор электродов и не обязательно размещать их в точности согласно фиг. 86. Чтобы вызвать колебания, достаточно местного возбуждения в любой области, где деформация имеет один и тот же характер. В некоторых случаях могут потребоваться сильные переменные поля.
Общие формулы для вычисления частоты даны в § 74. Частные формулы специально для кварца можно найти у Гибе и Блехшмидта [162].
§ 357. Кварцевые резонаторы специальных срезов и форм. Резонаторы, которые мы здесь опишем, предназначены для снижения влияния температуры на частоты или для уменьшения влияния нежелательных форм колебаний. В некоторых' случаях можно решить обе задачи с помощью Одного устройства. Среди большого количества возможных решений проблемы выбор резонатора зависит от частоты, отношения емкостей (§ 280), предела уменьшения эффективной пьезоэлектрической константы при вращении, выносливости по отношению к температурным воздействиям и цели, для которой предназначен резонатор (будет ли он использован в качестве стандарта частоты, мощного генератора, фильтра и т. д.).
Изменения температуры влияют на частоту не только тем, что вызывают небольшие изменения плотности и размеров резонатора, но также главным образом тем, что изменяют величину различных упругих констант, определяющих колебания. Для кварца осе упругие модули типа L или S (фиг. 15), за исключением s66, имеют положительные температурный коэфицйенты, в то время как модули $12 и $1.з имеют отрицательные коэфициенты. Применяя косые срезы, для которых эффективные упругие модули являются определенными функциями оснооных констант, и пользуясь выгодной в некоторых случаях связью между различными формами колебаний, можно нейтрализовать положительные и отрицательные температурные коэфициенты друг другом и таким образом снизить эффективный коэфициент до нуля. Для различных форм колебаний и для различных пределов частот это снижение может быть достигнуто различными путями.
К сожалению, наличие различных температурных коэфициентов в формулах для частоты обычно приводит к тому, что зависимость температурного коэфициента частоты содержит квадрат и более высокие степени разности температур. Следовательно, температурный коэфициент можно путем изменения юриентации сделать равным нулю, строго говоря, только при одной определенной частоте, если это вообще возможно. Только нахождением такой ориентации, при которой коэфициент у члена, содержащего вторую степень, исчезает (члены более высокого порядка относительно малы), частота может быть сделана практически независимой от температуры внутри значительной области температур. Это было достигнуто в упоминаемом ниже срезе GT,
422
Глава XVII
Мы применяем для температурного коэфициента обозначение снабжая его-, когда это необходимо, индексами. Таким образом, температурный коэфициент для модуля 5ц может быть написан в виде а5|1 = (\lsw)dswldt, а температурный коэфициент частоты — в виде a f = где $ц и f берутся для некоторой стандартной темпера-
туры. Кривая зависимости f от температуры может быть выражена уравнением, которое обычно содержит первую и более высокие степени t. При 0^=0 кривая параллельна оси температур. Если горизонтальный участок кривой невелик, то может оказаться необходимым использовать термостат для поддержания постоянной частоты за пределами этого небольшого интервала температур. Чем больше горизонтальный участок, тем меньше необходимость в термостатировании.
Оба среза X и соперничающий с ним с 1927 г. срез У имеют большие температурные коэфициенты и доставляют много неудобств своим стремлением менять частоту. С 1929 г. начинается использование резонаторов с низким значением . В этом году Мэрисон [330] описал пье-эогенерато'р высокой точности, содержащий кольцеобразную кристаллическую пластинку среза У, колеблющуюся при 100 kHz с az<] 10—6. Гибе [160, 167, 168] ввел в употребление кольцевые пластинки еще раньше.
Позднее Эссен [137, 138, 139] применял кварцевое кольцо в качестве стандарта частоты, причем ось его кольца была параллельна оси Z. Использовались колебания растяжения-сжатия по периметру; вдоль среднего периметра кольца укладывались три полные длины волны. При соответствующем отношении внутреннего диаметра к внешнему v.f снижалась до 10;-6 и даже до меньшей величины внутри интервала в 30°С. Частота была 100 kHz.
В 1929 г. Лак [298] описал срез У, предложенный Р. А. Гейзингом, в котором благодаря особым соотношениям размеров колебания сдвига с положительным взаимодействовали с обертоном колебаний изгиба с отрицательным таким образом, что давали при определенной температуре нулевой коэфициент.
В 1932 и 1933 гг. Мацумура и Канзаки [351, 352] показали, что близкое к нулю значение для колебаний по длине бруска среза X может быть достигнуто наклоном длины бруска на угол <?=—20° к оси У, причем для отношения Ь/l выбирается оптимальное значение около 0,5. Критический угол <р=—20° соответствует 6 =+110° для l/5'зз на кривой С (фиг. 31) или 6=4-20° для 1/5'22 на кривой В. Практически этот угол является углом минимального модуля Юнга. Этот угол так близок к углу так называемого среза 18,5°, что указанным авторам можно приписать честь открытия преимуществ этого среза.
Срез под углом —18,5° был впервые описан в 1934 г. Мэзоном [332, 340]. Это была прямоугольная пластинка среза X с длиной, составляющей угол в 18,5° с осью У. Этот угол измерялся в направлении от 4-У к как это показано на фиг. 90. При этом угле исчезает взаимодействие между колебаниями по длине и колебаниями сдвига (§ 349), которое в пластинке с недостаточно малым отношением 6// доставляет много неудобств О. Отношение Ь/l, подходящее для фильтров,
’) Углы +18,5° и —5° для этих двух срезов обозначаются в соответствии с правилом § 51 для вращения вокруг одной оси. В более ранних работах Лаборатории Белла для этих углов были даны значения —18,5° и +5°. Знаки 6 для срезов АТ, ВТ, СТ, DT, GT, МТ и NT, данные в той книге, также находятся в соответствии с § 51.
Характер упомянутого выше взаимодействия определяется выражением
Кварцевый резонатор
423
не отвечает нулевому значению 07. Пластинка совершает колебания сжатия-растяжения в направлении, параллельном одному из более длинных измерений.
Сходными характеристиками обладают — 5°-ные пластинки Мэ-зона [343] (см. схематическую фиг. 90). Из всего ряда брусков среза X с длинами в плоскости YZ этот срез имеет наименьший температурный коэфициент частоты. Это свойство, низкое значение отношения С\/С и тот факт, что этот срез может служить как резонатор колебаний по длине и как резонатор колебаний изгиба, дают возможность применять его в качестве фильтра.
Все описанные до сих пор резонаторы пригодны для относительно низких частот порядка 60—200 kHz.
§ 358. В 1934 г. были введены важные усовершенствования в устройство резонаторов для более высоких частот, в которых используются колебания по толщине. По случайному стечению обстоятельств, как это часто бывает в истории науки и техники, из четырех разных источников, независимо друг от друга, Появились работы о температурных характеристиках колебаний по толщине в кварцевых пластинках, вырезанных та)ким образом, что ось X лежит в плоскости пластинок, а нормали к пластинкам лежат в плоскости YZ под различными углами 9 с осью Уь. Все эти исследователи: Kora [272], Бехман [32;], Штраубель [491], [492] и [493], Лак, Виллард и Файр [299], показали, что равно нулю, если 6 приблизительно равно — 35° или + 49° (см. фиг. 90).
Еще до цитированной работы Кога [270] производил предварительные опыты с колебаниями по толщине в срезах R и R'. Эти срезы параллельны граням R и г кристалла (фиг. 74) и мало отличаются от упоминаемых ниже ориентаций АТ и ВТ. Бехман рассматривал влияние отношения Ь/1 на . Он нашел, кроме того, что af имеет нулевое значение для срезов X, повернутых относительно оси Y на угол от 50° до 70°. Лак, Виллард и Файр исследовали разрывы в частоте колебаний по толщине в срезе Y при изменении температуры. Они нашли, что разрывы вызываются взаимодействием между деформацией ху, которая является основной для колебаний по толщине для этого среза, и обертонами деформации хх . Уравнением напряжения будет — Ху = cwxv~Y ~Yc56Zx, причем мерой связи является Cse- Когда пластинка повернута вокруг X на угол 6, получаем выражение — X'y—c'66x'v-\-c'5li z'x. Лак, Виллард и Файр установили, что при х= —31° или +60° коэфициент с'56 исчезает. Пластинки такой ориентации дают очень чистые колеба-
у'у = — s'nY'z , причем длина, ширина и толщина пластинки параллельны соответственно Y', Z' и X'. Модуль s'u, представляющий собой связь между деформациями У'у и у'г содержит $44 как главную составляющую. Для этого среза характерно исчезновение $'24 при 18,5° (см. кривую L на фиг. 31).
О Символом 9 пользовались в литературе слишком свободно. Им обозначалось, в зависимости от принятой условности, вращение вокруг любой оси и в любом направлении, измеряемое от любого начального положения, причем отдельными авторами эта условность не всегда ясно определялась. В этой книге мы употребляем символ 9 для единственного поворота вокруг одной из 3 кристаллографических осей — X, Y или Z, согласно правилам § 51. В данном случае 9 — угол между осью Y и нормалью к пластинке. Он положителен, когда вращение происходит вокруг X от + Y к +Z. Для общего случая поворота, который описывается тремя углами, мы пользуемся символами 9 и Ф, где 9—угол поворота вокруг оси Y (§ 52). Обычные условности, которыми пользуются различные авторы, даны в сравнительной таблице (см. [ПО]).
424
Г л а в а XVII
ния сдвига x'v свободные от температурных изменений. Благодаря отсутствию паразитных колебаний местные перенапряжения сводятся к минимуму, и, таким образом, не опасаясь разрушения пластинки, можно давать более высокие напряжения. Лак, Виллард и Файр назвали эти срезы соответственно срезами АС и ВС.
Хотя температурные коэфициенты срезов АС и ВС и низки, но они не равны нулю. Однако при 6 = —35°15' ctf исчезает при 45°С, переходя при этой температуре от отрицательного значения к положительному (см. фиг. 88). Согласно Лаку, Вилларду и Файру, теперь принято называть этот срез срезом АТ (см. фиг. 90). При 6=+49° af исчезает при температуре 25°С, меняя в этой точке знак от положительного к отрицательному (срез ВТ). Срезы АТ и ВТ имеют ориентацию, столь близкую к ориентации срезов АС и ВС, что они в значительной степени обладают всеми преимуществами последних и поэтому пользуются большим распространением.
Все только что упомянутые срезы являются примерами «повернутых срезов» или «срезов Y'». Во всех случаях электрическое поле параллельно толщине и составляет угол 6 с осью Y. Осями такой пластинки являются X, Y' и Z', причем Y' параллельна толщине, а X и Z' параллельны I и b (или b и I). Роль эффективной пьезоэлектрической константы г (!§ 246) играет е'2б [уравнение (221)], и действующим напряжением является Х'у— — е'26Е'2, где Е'2— мгновенное значение поля. С возрастанием 6 величина е'26 уменьшается; следовательно, отношение емкостей, даваемое обратной величиной соотношения (414), также уменьшается.
Срез Л Г имеет более высокое емкостное отношение, чем срез ВТ (нормаль к поверхности ближе к оси Y, так что е'26 больше), но срез ВТ для одинаковой толщины дает более высокую частоту. Оба среза АТ и ВТ подвержены взаимодействию между нечетными сдвиговыми колебаниями и четными колебаниями изгиба, происходящими в плоскости XY' 9,
В общем установлено, что пластинки являются наиболее активными, когда их поверхности плоски или слепка выпуклы,. Малейшая вогнутость снижает активность и делает спектр частот более сложным. В качестве праймера можно упомянуть опыты Кога и Татибана [283], которые исследовали поверхность среза ВТ в цепи пьезогенератора, причем один электрод был малого размера и передвигался в различные участки поверхности'. Найдя, что частота ближе к краям слегка повышается, они приготовили пластинку с вогнутой поверхностью, надеясь таким образом
11 Выражение «нечетное сдвиговое колебание» означает колебание по толщине, при котором основные поверхности не передвигаются вперед и назад как целое в направлении X, но подразделяются на нечетное число сегментов, причем соседние сегменты разделены линиями, параллельными Z'. Например, частота может быть частотой трех пластинок, каждая из которых имеет размер b в направлении, параллельном Z', и примерно f/З в направлении X. Как и в случае колебаний по длине бруска на нечетных гармониках частот (§ 238), эти нечетные сдвиговые колебания могут возбуждаться с помощью электродов, покрывающих весь кристалл целиком, и так как частота зависит прежде всего от толщины, то только в этом случае нечетные колебания очень мало отличаются по частоте от основных сдвиговых колебаний по толщине. «Четные колебания изгиба» описаны в § 355, где было показано, что они могут возбуждаться электродами, полностью покрывающими соответствующие грани кристалла. Наблюдается сходство в распределении деформаций от этих сдвиговых колебаний и колебаний изгиба, что объясняется взаимодействием между ними. Это взаимодействие можно устранить соответствующим подбором размеров.
Кварцевый резонатор
425
заставить все части пластинки колебаться более синхронно. Результатом было полное отсутствие колебаний.
§ 359. Низкочастотные резонаторы в форме широких пластинок. В некоторых из рассматриваемых типов используются колебания сжатия-растяжения, параллельные I или Ь, так же как и в случае тонких стержней. В других типах имеются сдвиги в плоскости пластинки, причем частота зависит и от b и от /. Такие формы колебаний называются часто «контурными колебаниями» или «колебаниями сдвига грани» (см. § 71). Благодаря большому значению отношения Ь/l приходится считаться с различными эффектами взаимодействия 0.
Срезы СТ и DT по Хайту и Вилларду [227] являются низкочастотными дополнениями срезов АТ и ВТ. Пьезоэлектрическое возбуждение в них — типа z' х = dC-,E'... Колебания в них главным образом сдвиговые в плоскости пластинки и частота зависит скорее от контура (обычно прямоугольного), чем от толщины. Стороны прямоугольника параллельны X и Z'. Основное уравнение упругости есть z'r =— s55Z\. Для срезов СТ и DT углы 0 при нулевом значении равны соответственно—38° при 41°С и+ 52° при 50°С (см. табл. 30). Эти углы с точностью до нескольких градусов те же самые, что и для срезов АТ и ВТ. Срез СТ имеет лучшее отношение емкостей, чем срез DT, и его обычно предпочитают. Оба среза свободны ют воздействия нежелательных форм колебаний, и их частоты постоянны в интервале температур от 20° до 30°С с точностью до одной миллионной.
Самым замечательным из низкочастотных срезов с малым температурным коэфициентом является срез GT, введенный в 1940 г. Мэзоном [336]. Даже без термостатирования частота остается постоянной с точностью до1 одной миллионной в интервале температур от0° до 100°С. Этот срез можно считать срезом СТ, в котором угол В (см. пояснение к табл. 30) возрастает от—38° приблизительно до—51°, причем это сопровождается поворотом прямоугольной пластинки в ее собственной плоскости до тех пор, пока ее ребра не составят углы в + 45° с осями X и Z. Форму колебаний этих пластинок легче понять, если начинать с узкого бруска) соеза Y под углом в 45°, длина которого1 делит угол между осями X и Z пополам. Пьезоэлектрическая продольная деформация, аналогичная деформации в бруске сегнетовой соли среза У под углом в 45°, есть z', = — d'^Ev. Уравнение упругости имеет вид z'„ = = — S‘\3ZC. Так как, согласно фиг. 33. кривая s'33 симметрична относительно осей Z и X, то угол в 45° может быть взят с любым знаком. У такого бруска отрицателен. Теперь, если ширина b прогрессивно возрастает, то колебания сжатия-растяжения в направлении b и I становятся все более и более связанными. В то же самое время абсолютная величина zf уменьшается, становясь положительной при достаточно большом' значении Ь. Мэзон показал, что не только существует некоторое значение отношения Ь/l, для которого а? — 0, но и что при некотором значении 6 коэфициент "у остается почти равным нулю внутри широкой области температур. Когда 6= — 51°7,5'. и 6//= 0,859, то центр горизонтального участка кривой приходится на 25°С. Сошлифовыванием краев можно независимо друг от друга регулировать как частоту, так и ал а небольшим изменением 6 можно сместить середину горизонтального участка
О Билдер и Бенсон [83] описывают различные контурные колебания пластинки среза У,
426
Глава XVII
Фиг. 88. Зависимость температурного коэфици-ента оу от частоты для некоторых срезов с малым значением оу (по Мэзону [340]). По оси ординат отложены изменения частоты в миллионных долях.
имеет низкий оу при колебаниях изгиба
кривой частота — температура. Подбирая подходящую толщину, можно избегнуть взаимодействия с колебаниями изгиба.1 В вакууме этот срез имеет Q до 330 000. Он используется для стандартов частоты, фильтров и приемников.
Срезы МТ и NT Мэзона и Сайкса [343] являются низкочастотными прямоугольными пластинками и используются в фильтрах и генераторах. Ориентацию их можно себе представить, рассматривая сначала пластинку среза X с длиной под углом 6 к -ф- Y (см. пояснение к табл. 30), равным — 8,5°. Мы можем принять направление длины за ось У', а ширину b — параллельной Z'. Пластинка повернута на угол А вокруг У7 так, что положительный конец оси Z' передвигается к Для срезов МТ и NT угол А соответственно равен 40° и 50°Эти ориентации позволяют срезу МТ совершать колебания по длине при низком о^. в то время как срез NT (согласно Гаррисону, см.
фиг. 86, £). В зависимости от размеров срез МТ используется на частотах от 50 до 100 kHz, а срез NT—от 4 до 50 kHz. Когда пластинка среза NT используется как осциллятор, как, например, в частотной модуляции, при этих низких частотах употребляется схема, аналогичная схеме фиг. 97.
Были описаны и другие срезы с низким температурным коэфициен-том, например срезы ЕТ и FT Хайта, описанные Мазоном [337] и описанный Иода [595, 596] срез YT, похожий на срез ВТ. Иода указывает, что он экспериментировал с пластинкой, настолько тонкой, что ее основные колебания по толщине давали длину волны всего в 4,7 м (64 MHz).
Описанные выше срезы МТ и NT являются примерами срезов, получаемых общим поворотом, при котором но*р|маль к пластинке составляет косые углы со всеми тремя кристаллографическими осями. Общий поворот был рассмотрен Бехмдном [35] и Мэзоном [337]. Примерами являются срезы V Бокового и Болдуина 2 *\ Они похожи на срезы АТ и ВТ, но повернуты на 5° вокруг оси Z.
Температурные 1коэфициенты для некоторых из наиболее важных срезов показаны на фиг. 88. Для всех срезов, за исключением среза GT, коэфициент исчезает или имеет низкое значение только для определен
0 Мэзон и Сайкс в своей работе описывают свойства набора срезов, называемого ими «серией МТ»; в этих срезах 0 лежит между 0° и —8,5°, а А между 34 и 50°.
2) S. A. Bokov оу и С F. Baldwin, австралийский 'патент 21959 (1935)
и британский патент 457342 (1936). См, также Бильдер [80] и Болдуин Боковой [18].
Кварцевый резонатор
427
ного значения температуры. Например, для среза АТ эта температура равна 45° О. Срез GT имеет очень низкий коэфициент во всем интервале температур, т. е. вторая производная частоты по температуре близка к нулю во всей обл|асти.
Z
А
§ 360. Пластинки Штраубеля и кварцевые шары. Круглая пластинка среза X, в которой возбуждены колебания сжатия-растяжения вдоль диаметра, дает сложный спектр частот. Штраубель [484, 486, 488] предложил придавать пластинке среза X такую форму, чтобы радиус в любом направлении в плоскости пластинки был пропорционален корню квадратному из модуля Юнга в этом направлении. Контур этой пластинки изображен на фиг. 89. Волна сжатия, возникающая в центре, достигает одновременно всех точек периметра. Такие радиальные волны можно возбуждать с помощью электродов, покрывающих обычным образом главные поверхности. Штраубель нашел единственную, хорошо выраженную резонансную частоту, свободную от мешающих колебаний. Испытание ликоподием (§ 366) показало единственное узловое пятно в центре. Даже при колебаниях по толщине пла
стинка такой формы более свободна от гармоник, чем круглая или прямоугольная.
В качестве резонаторов испытывались также и кварцевые шары Мы уже говорили в § 350 об опытах ван Дайка. Каменский [250] также исследовал различные формы колебаний и измерял температурный коэфициент частоты. Колебания слишком сложны и изготовление кварцевого шара представляет слишком большие трудности 1 2> для того, чтобы этот тип резонатора представлял интерес для практического применения.
“О
Фиг. 89- Контур Штраубеля.
В
станта в и область ч!астот,
Фиг. 90. Угловая ориентация некоторых косых срезов кварца.
§ 361. В табл. 30 приведены ориентации для некоторых типичных срезов, частотный коэфициент Н, эффективная пьезоэлектрическая кон-пределах которой каждый срез обычно используется. Данные взяты главным образом у Мэзона [3401 и Бонда [66]. Для срезов от АТ до GT величина 6 есть угол между осью У и нормалью к пластинке. Угол 6 положителен, если он отсчитывается от -|- У к -|- Z. Он является также углом между осью Z и плоскостью пластинки, положительным при отсчете от -ф- X к — У, как указано на фиг. 90. Для срезов МТ, NT и под углами 18,5° или —5° 6 является углом между длиной пластинки и осью У, отсчитываемым от + У к -J- Z, как показано на фиг 90.
Углы G, 0 и ф в таблице определяют ориентацию согласно установкам ИРИ, как это объяснено в § 52. По отношению к повернутым
1) Небольшим изменением угла эта критическая температура может быть смещена.
2) Кварцевые шары изготовляются, очень просто, если в качестве шлифовальной чашки применять вращающуюся металлическую трубку. (Прим, ред.)
428
Глава XVII
координатным осям длина, ширина и толщина во всех случаях соответственно параллельны X', Y' и Z'.
Для среза X в табл. 30 первая строка относится к широкой пластинке, совершающей колебания растяжения-сжатия по толщине, вторая строка относится к колебаниям по длине узкого бруска. Аналогично этому первая строка для У относится к сдвиговым колебаниям по толщине, а вторая — к низкочастотным сдвиговым колебаниям в плоскости пластинки. Путем поворота эти две формы колебаний становятся колебаниями по толщине для срезов АТ и ВТ и контурными колебаниями для срезов СТ и DT.
СВОДКА ДАННЫХ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СРЕЗОВ
Таблица 30
Срез Основная деформация 9 0 ф Яв kHz-мм Область в kHz
х Хх 0° 90° 90° 2870 бп = 5,2-104
X Уу 0° £0° 90° 2700 —=5,2-104 •^11
Y X у 90° 90° 90*° 1954 6П=5,2 • 104
Y zx 90° 90° 90° би=1,2-104
АТ ,У —354 5' —90° 54°45' 90° 1662 б'о6=2,9-104 1 000-5 000
ВТ X у + 49° 90° 41° 90° 2549 6'26=2,8 10‘ 2 000—> 13 000
СТ с -38° —90° 52° 90° 3080 б'о5 = 3,0-104 100-1 000
DT Z X +52° —90° —38° 90° 2060 б'25= 1,8 • 104 70-500
GT Z1 г -5Г8' -90° 38°52' ±45° 3292 100-1 000
МТ у' у — 8,5° 6°40' 50°28' 79°36' 50-500
NT У у — 8,5° 9°25' 40’40' 77°40' 4-50
18.5° У' у + 18,5° 0° 90 108° 2554 дГ']2=7,0-10- 8 Фильтр
-5° у'у —5° 0° £0° 85° »
Необходимо добавить несколько слов о содержащихся в табл. 30 пьезоэлектрических константах для повернутых пластинок. Обозначения, относящиеся к этим константам, применимы, если пластинки рассматривать как пластинки среза У' с электрическим полем, параллельным У'. Согласно обозначениям Института радиоинженеров толщина для всех срезов параллельна Z'. Для того чтобы соответствовать этой системе, пьезоэлектрические константы должны были бы иметь различные обозначения. Например, константу для срезов АТ и ВТ следует обозначать через е'35с аналогичным изменением всех других констант, включая и константы для срезов X и У. Цифровые значения, конечно, должны оставаться неизменными.
При использовании высоких обертонов колебаний по толщине, как описано в § 397, область применимых частот для среза АТ простирается до 150 MHz.
§ 362. Числовые данные о кварцевых резонаторах. В табл. 31 приведены взятые из различных источников экспериментальные данные для колебаний брусков по длине и для колебаний пластинок по толщине. Во всех случаях возбуждалось основное колебание. Величины, заключенные в скобки, вычислены автором на основании опубликованных данных. Частотная константа Н определяется как Н = fl для брусков и как Н для пластинок, где f выражена в килогерцах, а I и е — в миллиметрах. Число метров h. на миллиметр может быть вычислено по формуле h — 300 000///. Во всех случаях зазор был равен нулю или
Таблица 31
КОНСТАНТЫ НЕКОТОРЫХ ТИПИЧНЫХ КВАРЦЕВЫХ РЕЗОНАТОРОВ
Срез 1 ь е /о R С с, с, с Q н | <7о
мм ММ мм kHz ОМ । генри | p.p.F P-P-F kHz-мм | дины-см-1-10—10
А Брусок срезаХ 62,2|| Y 7,5 1,5 44 1640 ( : 0,06 8,7 145 (37 000) (2 740) (79,6)
2 » V У 30,7|| Y 4,1 1,4 89,9 15000 137 0,0205 3,54 173 *5 150 2 750 80,6
3 „ „ 79,5° 24,03 2,5 0,502 130,7 — — — — — — 3141 (Ю5)
4 „ „ 18,5° 20,0 2,5 0,502 127,7 — — — — 137 — 2 554 (69,2)
5 “ „ 0,9° 19,97 2,99 0,502 135,2 — — — — — — 2 705 (77,5)
6 1 QO » » у А О 20,02 2,95 0,50 155,4 — — — — — — 3 111 (102,5)
7 —42 6° У У Я IX/, kJ 20,0 2,95 0,50 174,8 — — — — — — 3 495 (129.5)
8 Пластинка среза X 16,401) У 15,64ЦZ 6,15 472 2100 (28,2) 0,004 1,93 460 (40 000) (2 900) (89,0)
9 V » у кругл, диам . 48,5 мм 7,52 389 400 (9,25) 0,018 9,6 530 (57 000) (2 920) (90,8)
10 У У V У У 9,43 „ 0,58 4980 4,6 (0,00725) 0,14 26,3 КО (50 0С0) (2 890) (88,5)
11 V у я У » 25,0 „ 1,89 1500 12,7 0,181 0,0622 (10,2) (164) (134 000) 2 838 85,46
12 Пластинка среза Y V У 25,0 „ 1,28 1500 8,4 0,056 0,2011 (15,0) (75) (63 000) 1919 39,10
13 ВТ У У 25,0 „ 1,66 1500 35,0 0,391 0,0288 (11,9) (413) (105 000) 2 492 65,99
14 АТ У У 25,0 „ 1,10 1500 24,2 0,119 0,0945 (17,9) (189) (46 500) 1 657 29,23
430
Глава XVII
близок к нулю, так что до является эффективным фактором упругости при нулевом зазоре.
В таблице данные № 1, 8, 9 и 10 взяты по Вигурё [653]. № 2 отвечает бруску, описанному в § 298. Большое значение R и низкое значение Q вызваны потерями на трение в примитивном держателе, куда брусок был вмонтирован. № 3 и 7 взяты у Мэзона 0637, 340]. Угловые обозначения дают отклонение 6 длины / от оси Y, как указано на фиг. 90 для срезов — 5° и 18,5° 1*. Эти 5 примеров иллюстрируют изменения Н и д0 в широких пределах для брусков различных ориентаций.
№ И —14 взяты у Бехмана [37]. Высокие значения Q являются доказательством совершенной монтировки этих пластинок. Значение CJC вычислено по теоретической 'формуле (414а) в § 280, в которой принимается, что Ci=kA/4^e в электростатических? единицах. Из отношения CJC и полученных Бехманом значений С вычислено Сх.
В № 4 С\1С есть величина, взятая у Мэзона [340]. Та же величина может быть вычислена по формуле (414а), если воспользоваться его же данными. Очень большие значения С\/С, встречающиеся в таблице, невидимому, вызваны низким эффективным значением пьезоэлектрических кюйстант.
Для резонаторов изгиба величины R, L, С и o=-/Q даны Роде и Хендреном [}438]. Они установили, что для резонаторов на частоты от 1 до 60 kHz R меняется от 22- 105 до 1,6 105 см, С — от 0,005 до 0,0027 pu-F, L, — от 500 104 до 0,26 • 104 генри, о — от 0,00022 до 0,00034. Некоторые из этих резонаторов имеют два узла, другие — три.
§ 363. Высокие Q для кварца. Хорошо известно, что потери энергии в кварцевых резонаторах, как правило, вызываются главным образом трением и воздушными волнами в держателе и колебаниями, которые кристалл ему передает. Ван Дайк [554] показал, что значительная доля затухания вызывается также потерями на поверхностях кристалла благодаря . микроскопическим трещинам и другим дефектам, возникающим при обработке этих поверхностей и заглаженным шлифовкой и полировкой. Если поверхности перед монтировкой протравливались, то потери сильно снижались. Окончательная полировка поверхностей ведет к дальнейшему снижению потерь. Результаты ван Дайка, полученные для брусков среза X (частота 67,5 kHz), приведены ниже. Брусок был посеребрен и подвешен на тонкой проволоке, укрепленной точно в центре и служащей при этом подводкой к серебряному покрытию.
Для шлифованных поверхностей в воздухе при атмосферном давлении Q = 25 000; в водороде при атмосферном давлении Q = 101 000; в вакууме — от 180 000 до 290 000.
Для протравленных поверхностей в вакууме Q = 490 000; для протравленных и полированных поверхностей в вакууме Q = 580 000, чему соответствует логарифмический декремент затухания 5,4 • 10~А
Для кварцевого бруска в первичном стандарте частоты в Reichsan-stalt (§ 399) Шейбе2 3) нашел декремент от 13 10—6 до 18 10—6.
Эти значения декрементов для кварца ниже, чем самые низкие значения, отмеченные для гравитационного маятника 3).
О Для этих 5 срезов углы ориентации, согласно системе Института радиоинженеров (§ 52), следующие: <р=0°, Н=90', ф=90°+0.
я) A. Scheibe und Е. v. F е г г о n i, Phys. Zs. 39, 257—258 (1938).
3) Г. Гокель и М. Шулер [Zs. f. 'Phys. 109, 433—458 (1938)] дают для лога-
рифмического декремента затухания маятника Шулера значение 19,1 • 10—6.
КёарЦевый резонатор
431
Если бы волны сжатия-растяжения с частотой 67,5 kHz были поданы на конец кварцевого бр(уска неопределенной длины, обладающего логарифмическим декрементом 5,4 • 10~6, то они могли бы распространиться на 70 км, прежде чем их амплитуда снизилась до 1 % от амплитуды источника.
Для некоторых форм колебания кварцевого кольца среза У ван Дайк (557) нашел значения Q порядка одного миллиона.
Самое высокое значение Q, отмеченное для камертона, равно примерно 500 000 (для камертона в 480 колебаний в секунду1^).
§ 364. Уменьшение трения на поверхности колеблющегося кристалла. Если кварцевая пластинка среза X совершает колебания вблизи резонанса, то трение между ней и поверхностью твердого тела, находящегося в соприкосновении с нею, значительно уменьшается. Это явление было описано Штраубелем [486] в 1931 г. В том же году экспериментальные исследования трения проводились в нашей лаборатории Хагеном * 2). Эти исследования опирались на более ранние, неопубликованные наблюдения ван Дайка. Хаген пользовался различными методами, в том числе методом измерения тянущего усилия, действующего на-кварц со стороны вращающегося латунного диска, на котором он покоится, а также методом изучения влияния колебаний на угол соскальзывания кварца, лежащего на наклонной плоскости. Когда Хаген производил свои опыты в воздухе, трение уменьшалось примерно до половины нормальной величины. В вакууме эффект почти исчезал. Это указывает на то, что слой воздуха между поверхностями является необходимым условием для уменьшения трения. С другой стороны, Хаген нашел, что в точке опоры, расположенной на колеблющемся кварце, трение между последним и упирающимся в него стержнем снижалось примерно на половину даже в вакууме.
§ 365. Светящиеся резонаторы. В хорошо смонтированном резонаторе приложение напряжения порядка всего нескольких вольт может вызвать настолько большие местные деформации, что сопровождающая их пьезоэлектрическая поляризация дает повышение плотности заряда на поверхности, достаточное для создания вблизи поверхности сильного поля, способного ионизовать воздух. Результатом является видимое свечение. Оно наблюдалось и раньше в нашей лаборатории при атмосферном давлении, но результаты не были опубликованы. В дальнейшем с этим явлением встретились и многие другие исследователи.
Гибе и Шейбе [163] в 1925 г. опубликовали первую из целого ряда работ по светящимся резонаторам. Используя для стержней, параллельных X или Y, очень короткие электроды, согласно § 349, они смогли получить свечение на основной частоте колебаний по длине и на нечетных обертонах вплоть до 33-го порядка. Порядок можно было определить, считая число областей свечения. Таким образом, один и тот же стержень может служить стандартом частоты для большого числа частот. При соответствующем расположении электродов можно также возбудить и четные гармоники. Для области более низких частот (от 1000 до 20 000) авторы использовали колебания изгиба в соответствии с § 354.
О Е. Norrm an, Proc. Inst. Radio Eng. 20, 1715—1731 (1932).
2) J. R. Hagen, магистерская диссертация (Веслейский университет, 1931),
432
Глава XVII
От светящихся резонаторов, используемых в качестве 'Стандартов частоты, требуется точность порядка 1 • 10“~6. Кристаллы монтировались в баллонах, содержащих воздух или для получения большей яркости свечения смесь Ne и Не при давлении в несколько миллиметров.
Светящийся резонатор последовательно соединяется с катушкой, связанной с генератором строго контролируемой частоты. Правильная установка генератора определяется сначала приблизительно при довольно сильной связи. Для окончательной точной настройки связь насколько возможно уменьшается.
§ 366. Фигуры колебаний на кварцевых резонаторах. Исследование колебаний резонатора можно производить, пользуясь зондами, поляризованным светом, оптической интерференцией или же путем наблюдения движения жидких или твердых частиц, находящихся в соприкосновении с поверхностью.
Метод зонда заключается в легком прикосновении тонкого стержня к различным точкам резонатора для обнаружения узловых областей. Когда прикасаются к узлам, то колебания подавляются меньше. Этот метод, которым автор с самого начала широко пользовался, описан Райтом и Стюардом. Использование этого кропотливого метода помогает избежать неправильных заключений о формах колебаний.
В 1922 г. впервые было описано применение порошка ликоподия для испытания кварцевых резонаторов [93]. Порошок, распыленный на поверхности, стряхивается с пучностей движения и собирается в узлах. Можно также использовать тонкий песок или другие порошкообразные материалы. В некоторых случаях видно, что порошок движется завих-ряясь или сильно выбрасываясь с поверхности. Ваксмут и Ауэр [577] описывают опыт, в котором порошок ликоподия выбрасывался на высоту 50 см. В связи с этим могут быть упомянуты опыты Бюкса и Мюллера [79], которые наблюдали отбрасывание дыма от колеблющейся поверхности.
Появилось много работ по изучению фигур колебания кварца с помощью ликоподия. Некоторые из них содержат прекрасные фотографии фигур. На фиг. 91 показаны примеры этих фигур по Петржилке [417]. Снимки а, б, в, г относятся к круглым кварцевым пластинкам среза Z, возбуждаемым электродами, расположенными по окружности. Для сравнения приведены также некоторые фигуры Петржилки, полученные на турмалиновых пластинках [415] (см. § 382). Зная, что упругие свойства кварца и турмалина сходны, можно ожидать сходства и в фигурах колебаний, что до известной степени можно (видеть и на снимках фиг. 91 б. Для детального ознакомления с этими и многими другими фигурами, полученными при экспериментальной проверке теории Лява о радиальных и контурных волнах, следует ознакомиться с оригинальными работами Петржилки.
Сложные узловые фигуры, как, например, фигуры, наблюдаемые на поверхности среза при колебаниях по толщине, можно увидеть, покрывая поверхность маслом или погружая кристалл в неглубокую масляную ванну. Наблюдая в отраженном свете, можно заметить, что поверхность масла покрывается маленькими шероховатостями. Кросслей [116] нашел,
О При сравнении узловых фигур следует учитывать, что формы колебаний для фигуры на пластинке кварца и находящейся под ней фицуры на турмалиновой пластинке не обязательно одинаковы. Снимки подобраны только по внешнему сходству.
Кварцевый резонатор
433
что вода быстро испаряется с поверхности пластинки, а раствор ферро-феррицианида оставляет осадок с четко выраженным рисунком р. Метод масла применялся Тавилем [515]. Бюкс и Мюллер нашли, что капля спирта, помещенная на поверхность кристалла, разбрызгивалась в тонкую пыль, образующую полосы между колеблющейся поверхностью и плоским электродом.
Фиг. 91 Фигуры, образованные порошком ликоподия на колеблющихся различным образом пластинках Z (по Петржилке): а, б, в, г — кварц, д, е, ж, з- турмалин.
§ 367. Метод интерференции был введен Даем в 1927 г. и позднее применялся другими исследователями * 2\ Дай получил рйд интерференционных полос между неколеблющейся полированной кварцевой пластинкой и стеклянной пластинкой, находящейся непосредственно над ней. Когда пластинка колеблется, полосы искажаются и по их виду можно судить о качестве резонатора и об амплитуде колебаний (нормальных к поверхности) в различных точках поверхности. При помощи остроумного стробоскопического приспособления и синхронно вспыхивающей гелиевой лампы были получены ясные и резкие изображения искаженных полос.
Стронг [497] и Штраубель [490, 491] видоизменили метод Дая. Их оптическая система была устроена так, что, когда пластинка не колебалась, все поле оставалось темным. Остерберг [398—402] описывает интерферометрические, основанные на работе Дая, методы изучения различных типов колебаний. Остерберг и Куксон изобрели «многократный интерферометр» [407] для наблюдения фигур колебания на всех б гранях прямоугольного параллелепипеда. Применив этот метод (см. § 313) к кварцевой пластинке, подвергавшейся вынужденным колебаниям в 60 Hz, они использовали его для получения с помощью обратного пьезоэффекта значений величин с?ц и d[A, приведенных в табл. 29.
’) См. также у Сандерса [447].
2) Литература по этому вопросу приведена в конце настоящей главы. Рейнер приводит реферат работы Дая с иллюстрациями.
28 Кэди
434
Глава XVII
Здесь можно также упомянуть об употреблении «метода потоков» (Schlierenmethode) Петржилкой и Заховалом [421] и Шаафсом [450].
§ 368. Метод поляризованного света был впервые применен Тавилем [505], [507], [509—511] и позднее некоторыми другими1). Тавиль помещал свою колеблющуюся кварцевую пластинку последовательно со второй компенсирующей кварцевой пластинкой между скрещенными поляризатором и анализатором таким образом, что поле было темным до тех пор, пока резонатор не колебался. Колебания вызывали просветление в некоторых участках поля, причем узловые области 'оставались темными. Аналогичный эффект может быть вызван также изменением вращения плоскости поляризации напряженным кварцем, как показано в § 538. Тавиль и его ученики исследовали этим методом различные формы колебаний.
Многие из наблюдавшихся узловых фигур колебаний настолько сложны, что совершенно не поддаются анализу. Колебания сжатия — растяжения, сдвига, изгиба и кручения или некоторые из их обертонов при любой данной резонансной частоте могут взаимодействовать самым запутанным образом'. Только путем тщательного изучения полученных узловых фигур можно вывести заключения (главным образом качественные) относительно исходных форм колебаний и взаимодействия между ними.
Наконец, следует коротко упомянуть о том, что распределение амплитуд колебаний в кварцевых пластинках может быть изучено наблюдением воздушных струй, как это описано в § 350, а также посредством ультразвуковых волн [422, 607, 626].
§ 369. Резонаторы из 0 -кварца. Возрастание температуры выше точки превращения 573°С лишает кварц всех пьезоэлектрических коэфициентов, за исключением di4, d25 — — di4, е14 и е25 = — е14. Возможными пьезоэлектрическими напряжениями, как это показано в § 168, будут поэтому Уг= — впДг и Zx—e\4Ey. Срезы и способы возбуждения колебаний аналогичны таковым для сегнетовой соли или для срезов кварца СТ и DT, описанных в § 359.
Такие резонаторы исследовались Остербергом и Куксоном [404]. Эти авторы, а Также Атанасов и Харт, Атанасов и Каммер и Лоусон применяли подобные резонаторы для определения упругих констант кварца при высоких температурах, как описано в § 90, 92 и 101.
Остербергу и Куксону удалось изготовить пластинки из р-квар;ца, работающие как пьезоосцилляторы.
ЛИТЕРАТУРА2)
КОСЫЕ СРЕЗЫ И ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОЭФИЦИЕНТЫ, ПРОСТЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ
Общие вопросы: № 32, 39, 44, 71, 80, 167, 170, 183, 272—274, 276, 332, 337, 340, 389, 447, 491—493, 498, 560, 647, 652, 653.
О К. Eichhorn, Zs. f. tech. Phys. 17, 276—279 (1936) <он употреблял синхронизированную ячейку Керра и вычислял напряжения колебаний изгиба). П. Т. Као [253]; R. Moens et J. Е. Verschaffelt, Compt. rend. 185, 1034—1036 (1927); К. Грант [187], Петржилка [414], Ваксмут и Ауэр [577]; L. Bruninghaus, Journ. de phys. et rad. 6, 159—167 (1935).
2) Цифрами указаны ссылки на общую библиографию.
Кварцевый резонатор
п35
Колебания по длине-. № 42, 44, 86, 127, 162, 167, 172, 350, 352, 359, 388, 431, 447, 623, 647, 652, 653.
Колебания по толщине: № 32, 36, 43, 44, 156, 158, 209, 272, 298,388,526,647,652,653.
Срез АТ, срез ВТ: № 299, 337, 340, 343, 447, 595, 596.
Срез СТ, срез Т: № 226, 227, 343.
Срез Т: № 336, 340.
Срез V: № 18, 51, 80, 447.
Кольцевые резонаторы: № 137, 167, 168, 330, 331, 557.
ЭФФЕКТЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ФОРМАМИ КОЛЕБАНИЙ
№ 16, 43, 44, 84, 131, 162, 165, 230, 298, 299, 317, 332, 340, 345—347, 388, 447, 452,498.
КОНТУРНЫЕ И ДРУГИЕ СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
№ 36, 84, 131, 144, 166, 169, 171, 281, 319, 414, 417, 418, 498.
СВЕТЯЩИЕСЯ РЕЗОНАТОРЫ
№ 21, 45, 50, 51, 153, 160, 163, 165, 170, 172, 208, 217, 248, 370, 373, 374, 388, 470, 471, 5561, 594, 599.
КОЛЕБАНИЯ ИЗГИБА
Теория: № 124, 333, 405, 498, 518, 537, 576.
Эквивалентные электрические параметры: № 437, 438.
Температурные коэфициенты: № 437, 438.
Использование в качестве стандартов частоты: № 45.
Использование в фильтрах: № 437, 438.
Использование в генераторах: № 437, 438.
Светящиеся резонаторы: № 599.
Брусок Кюри: № 185 (частоты ниже 50 Hz).
Различные опыты: № 124, 130, 166—170, 191, 205, 208, 248, 290, 388, 390,400,512,537.
КОЛЕБАНИЯ КРУЧЕНИЯ И СТАТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ КРУЧЕНИЯ
Теория: № 162, 307, 576, 598.
Применение в генераторах: № 49, 242, 527, 530, 536.
Различные опыты: № 49, 159, 162, 166, 167, 169, 170, 242, 515, 528, 529, 533, 598, A. Hund, Phenomena in High-frequency Systems, N. Y. 1936.
Статические эффекты: № 508, 513, 514, 531, 532, 534, 535.
Полые цилиндры: № 49, 525, 527, 528, 529, 530—535, 536, 598.
ОПЫТЫ С РЕЗОНАТОРАМИ В ПОЛЯРИЗОВАННОМ СВЕТЕ № 104, 253, 372, 414, 505, 507, 509,’510, 530, 533, 536, 577.
ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПЛАСТИНОК ОПТИЧЕСКИМ ИНТЕРФЕРОМЕТРОМ № 128, 289, 398—402, 421', 433, 450, 453, 490, 491, 497, 580, 647, 653.
ГЛАВА XVIII
РЕЗОНАТОРЫ ИЗ ДРУГИХ КРИСТАЛЛОВ И СЛОЖНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
Хотя в настоящее время для пьезорезонаторюв применяется почти исключительно кварц, все же много опытов было' проведено и с резонаторами из сегнетовой соли и турмалина. Первый из этих кристаллов нашел применение в фильтрах, второй — в пьезогенераторах очень высокой частоты. Упоминаемые в гл. XXVII фосфаты и арсенаты обладают свойствами, необходимыми для резонаторов, но для окончательного суждения пока нет достаточных данных.
После рассмотрения влияния аномалии сегнетовой соли на ее свойства как резонатора, мы приведем резонаторные уравнения для продольных колебаний брусков 45-градусного среза. Мы ограничимся рассмотрением случая, в котором действующее поле мало, так как при этом условии различные соотношения между напряжением и деформацией линейны. Далее мы разберем поведение резонаторов из сегнетовой соли с переменным зазором при очень высоких частотах, а также рассмотрим некоторые экспериментальные данные, относящиеся не только к колебаниям по длине, но и к другим формам колебаний.
Будут описаны- свойства ряда других кристаллов как резонаторов, в частности свойства турмалина. В заключение мы приведем описание резонатора сложного типа, состоящего обычно из металлического бруска, приводимого в колебание посредством соединенного' с ним бруска из пьезоэлектрического кристалла.
§ 370. Резонатор из сегнетовой соли. Резонаторы из сегнетовой соли могут иметь самую разнообразную форму и ориентацию и работать на различных формах колебаний. Механические и термические свойства кристаллов сегнетовой соли ограничивают практическое применение их в качестве резонаторов,. С другой стороны, экспериментальное изучение резонаторов способствовало изучению физических свойств сегнетовой соли. Необходимо также отметить, что резонаторы из сегнетовой соли легко изготовлять и ими легко управлять. Они очень удобны для поучительных демонстраций.
Так как единственными пьезоэлектрическими модулями кристаллов сегнетовой соли являются ^25 и d36, то прямым пьезоэлектрическим возбуждением невозможно получить в них колебания по длине, параллельные кристаллографическим осям X, Y или Z, а также колебания по толщине в пластинках, нормальных к этим осям V Вообще говоря, оба типа колебаний возможны в любом косом срезе, так как по отношению к косо повернутым осям необходимые пьезоэлектрические коэфициенты всегда налицо, за исключением некоторых особых случаев. Формулы для
О Мы здесь не принимаем в расчет возбуждение слабых колебаний сжатия — растяжения типа хх, у у и zz, являющихся следствием рассматриваемого в § 464 квадратичного эффекта.
Резонаторы из других кристаллов
437
коэфициентов повернутых кристаллов изгиба и Ир1учения можно практически
даны в § 139 и 140. Колебания возбудить в пластинках любого
среза.
Подытоженные в § 402 аномалии сегнетовой соли встречаются только в срезе X или в любом другом срезе при наличии компоненты поля, параллельной оси X. Если поле нормально к оси X, что обычно означает срез Y или срез Z, то не возникает никакого вопроса об изме
нении упругих пьезоэлектрических и диэлектрических констант в зависимости от изменения поля и напряжения. Изменение упругих свойств в зависимости от температуры совершенно равномерное, хотя и дает довольно большой температурный коэфициент частоты. Несмотря на то, что декременты затухания по порядку величины больше, чем в кварце, все же для этих срезов обычно целиком применимы уравнения и приближения, данные в гл. XIII.
Аномалии, по крайней мере в области температур между точками Кюри и в ближайших к ним областях, имеют место, когда поле в резонаторе имеет компоненту, параллельную X, и главным образом, конечно, в срезе X. Некоторых .аномалий можно избежать даже в области между точками Кюри, когда напряженность поля не превышает нескольких вольт на сантиметр. Большинство экспериментальных работ проведено' в слабых полях. При слабом поле зависимость деформации и поляризации от поля весьма близка к линейной, так что упругие и пьезоэлектрические коэфициенты могут рассматриваться как постоянные. «Слабые поля» на основании теории спонтанной ориентации можно определить как такие поля, которые еще не могут вызвать переориентацию областей. Как мы увидим в § 434, переориентация областей, отмечаемая началом крутого участка кривой поляризации, не имеет места до тех пор, пока напряжение поля не превысит 50V/cm. Это не относится к областям, близким к точкам Кюри, где кривая быстро спадает до значения, теоретически близкого к нулю. Между точками Кюри лучше всего поддерживать максимальное значение приложенного поля ниже lOV/см, особенно если между, кристаллом и электродами есть зазор, так как вблизи резонанса поле в кристалле может очень сильно превышать действующее поле. При температурах вне области, заключенной между точками Кюри, все соотношения линейны, так что напряженность поля ограничивается только’опасностью перегрева или пробоя кристалла.
Если поле увеличивается настолько, что соотношения становятся нелинейными, то между точками Кюри упругие, диэлектрические и пьезоэлектрические константы изменяются в течение каждого цикла (см. также § 426)..Тогда действующее механическое напряжение больше не пропорционально полю. Даже если приложенное электрическое напряжение строго синусоидально, появляются обертоны колебаний. Использование этого нелинейного эффекта в умножителях частоты из сегнетовой соли было предложено Вологдиным [590]. Анализ результатов, полученных с резонаторами из сегнетовой соли в сильных полях, очень труден и, кажется, еще никем не производился.
В области температур между точками Кюри, когда колебания достаточно сильны, изменение знака спонтанной поляризации может иметь место в каждой половине цикла, особенно в той области, где деформация максимальна. Электрические и-упругие свойства вследствие этого изменяются так, что можно ожидать аномальных значений частоты и ясно выраженного затухания. Как показал сначала Мюллер [080], а позднее, более подробно, Маттиас [353], частота любой формы
438
Глава XVIII
колебаний, вовлекающей коэфициент s44, возрастает в пластинке с нулевым зазором от приложения постоянного смещающего поля, параллельного оси X, приближаясь к постоянной величине, когда смещающее поле приближается к 1500 V/см. Как было показано Маттиасом, одновременно с этим сильно снижается затухание. Эти явления вызываются, невидимому, тем, что смещающее поле стремится предотвратить перемену знака спонтанной поляризации. К несчастью, кристалл ломается или плавится еще до< того, как приложенное поле становится достаточно большим, чтобы предотвратить переориентацию целиком. Работа Маттиаса рассматривается в § 376.
Даже в слабых полях резонатор из сегнетовой соли не свободен от аномалий, особенно когда электроды находятся в контакте с кристаллом. Тогда упругий коэфициент s44 принимает значение, соответствующее постоянному полю; оно- целиком зависит от температурь! 6. Только при наличии больших зазоров резонаторы среза X почти не зависят от температуры.
Осложнением в резонаторах из сегнетовой соли, на которое в дальнейшем следует обратить внимание, является эффект запаздывания, рассматриваемый в § 427. Из рассмотрения осциллографических данных, приведенных в. гл. XXII, на фиг. 115 и в табл, в § 432, выясняется, что примерно от 500Hz и выше поляризация снижается благодаря запаздыванию, причем с увеличением частоты эффект возрастает. Можно ожидать, что амплитуда, а может быть и другие свойства, вследствие этого также изменяются. Мэзон [338] первым попытался теоретически объяснить это явление.
§ 371. Уравнение резонатора для брусков 45-градусного среза. Большинство экспериментальных работ по резонаторам из сегнетовой соли было проведено с колебаниями по длине в брусках 45-градус-ного среза. Рассмотрением этих колебаний мы здесь и займемся, а остальные формы колебаний будут разобраны позднее. Для других ориентаций нужно только соответственно изменить коэфициенты. В настоящем параграфе величина зазора принимается равной нулю, вопрос же о влиянии ширины зазора рассмотрен специально в § 377. Конечно, общая теория резонаторов должна учитывать и диэлектрические потери и упомянутые выше нелинейные явления, но здесь мы принимаем напряженность поля настолько низкой, чтобы все явления можно было считать линейными. Параллельную емкость можно тогда рассматривать как не имеющую диэлектрических потерь, т. е. считать, что единственное сопротивление в резонаторе находится в ветви RLC.
Символы di4 и е14 означают начальные пьезоэлектрические! коэфициенты, обозначаемые в § 459 и 460 через (di4)o и (ei4)0 или в области температур между точками Кюри через и (ei4)os. Приведенные'
ниже уравнения справедливы для всех температур, хотя параметры сильно меняются в зависимости ст температуры.
Так как здесь речь идет только о срезах X, то индекс х для обозначения электрических величин вполне можно опустить. Если учесть, что зазор равен нулю, то подразумевается, что все упругие коэфициенты имеют значение, соответствующее постоянному полю, хотя об этом специально и не упоминается.
О Об упругих коэфициентах при постоянном поле и об их отношениях к значениям при постоянном смещении и при постоянной поляризации см. § 79, 200, 211 и 466.
Резонаторы из других кристаллов
439
Основные уравнения для 45-градусных брусков сегнетовой соли среза X выводятся из уравнений (186), у183а), (184) и (184а). Если деформация и поле заданы, получаем следующие выражения:
У у = С22<Уу ^12^ == С22Уу “ ^14^5
~ СЗЗ^г~У е13^== C33Zz ^14^» (480)
Pz= rfE + е^у'у + e'X3z’z = т('Е -j- е14 Щ - z'J .
Если заданы напряжение и поле, тогда
У у ~ $22 Уу ^12^ $22 ¥у
Zz = S33^z ^13^“ S33^z “Ь 5 (480а)
р=<е - d^y' - d'lsz;=Ti'£ - ±du(y; - z;>.
т" и v)' являются восприимчивостями для зажатого и незажатого кристалла, как это определяется в § 450 0.
Строго говоря, уравнения (480) и (480а) справедливы для статических условий. Уравнения (480) выражают главные соотношения, на которых основана теория колебаний по толщине, а также частный случай, рассматриваемый в § 372. Уравнения (480а) соответствуют случаю колебаний по длине незажатого бруска, о ротором и идет речь в настоящем параграфе.
Сначала из уравнения (307) мы находим выражение для эффективного пьезоэлектрического коэфициента напряжения е. Принимая длину бруска параллельной оси У', находящейся под углом в 45° к оси У, мы имеем для продольного упругого коэфициента при постоянном поле величину s'22 уравнения (43). Единственными основными пьезоэлектрическими коэфициентами, которые следует принимать во внимание при поле, параллельном X,- являются dl4 и Си = d^/s^. В соответствии с преобразованными осями, мы находим на основании уравнений (203) следующиРжоэфициенты:
В уравнении (307) полагаем п = 2, / = 1, h = 2 и 3, получая с помощью уравнений (43) выражение
£— (s 22е'12 + 5,гз^1з)~277 = 2$'22 ' (481)
Не повторяя промежуточных вычислений, можно, пользуясь уравнением (315), сразу написать следующее выражение для тока:
«7-^ + „-^th4
4ке I s 22 / 2~ies 22 2
(482)
*) Вне области между точками Кюри величины т/' и т\' те же самые, что и т( и г/. В области между этими точками Tq" = Tj"7, а [см. уравнения (499) и
(504а)]. В настоящей главе не следует обращать внимания на эти различия, так как уравнения одинаково справедливы для всех температур.
440
Глава XVIII
Это выражение справедливо для всех частот. Эффективная диэлектрическая постоянная выражается следующим образом:
k, = k'-
(483)
Следовательно, эффективная восприимчивость определяется выражением
7jz = 7j' —
^~14 4s'22
(483a)
Предвосхищая выводы теории поляризации, даваемые уравнениями (495) и (522в), мы видим из уравнения (483а), что обратная восприимчивость в обозначениях теории поляризации выражается следующим образом:
_ 1 _ , , &314
Zz Ч Z 45'^2
Х'Ч-
__fl214___
4?'р ср 2 чд 22 с44
(4836)
Это выражение показывает, что разность /z — так же как и в уравнении (497), является постоянной, не зависящей от температуры, до тех пор, пока flu не зависит от нее.
Уравнение (4836) имеет то преимущество, что все входящие в него величины, за исключением практически не зависят от температуры и напряжения. Можно доказать, что X идентична мэзоновской величине Xzc[338j, которую он называет величиной для «продольного зажатия». Она может быть определена остроумным мэзоновским методом двойной частоты, в чем можно убедиться, если подставить ад = 2 к (2/0) и с = 2/о( в уравнение (74) и полученное таким образом выражение для величины y подставить затем .в (315). Последний член в этом выражении исчезает, и ток принимает такое значение, как если бы кристалл был простым конденсатором с диэлектрической постоянной kt, выведенной из уравнения (483). Постоянная k, совпадает с постоянной Мюллера гн [380].
При частотах, не слишком близких к резонансу, затуханием обычно можно пренебречь. Тогда полная электрическая проводимость У\ для колебаний по длине на основной частоте с достаточной точностью выводится из выражения (316):
(484>
В области резонанса мы применяем для настоящего случая соотношение (319) и находим для полной проводимости следующее выражение:
. _ _______bd\i_____
1 р/ф'22)2(п-’+ Я2)
(481а'
где a=7r//Q=/8) а тг=ад0—ад.
Резонаторы из других кристаллов
441
Эквивалентные электрические параметры следующие:
j РН /22)2
2М?4 ’
с _ rf4bl
г.2^22
p-i/e ( 522)2 Я = --Ч , - ;
rfj4 Ь
blki 1 4тс£ ’
1 522У
Д — wL----------~ ,2
u>t> 7Ш|4
(485)
Значения величин t)z, v(" и k" для некоторых температур при электрических полях в направлении X даны в табл. 32. Они выведены из тех же данных, что и кривые на фиг. 145 и 146. Значения k" = 1 + -J- 4 mj" довольно хорошо совпадают с высокочастотными значениями kx n табл. 25. Вне области между точками Кюри в области
между точками Кюри Величина k" является диэлектрической
постоянной, применяемой в уравнениях для колебаний по толщине (§ 378).
Таблица 32
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ СЕГНЕТОВОЙ
СОЛИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Температура в градусах Цельсия V' k"
5 9,6 8,2 104
24,7 30 22 280
31,0 13 11 140
47,5 5,3 4,9 62
§ 372. 45-градусный брусок сегнетовой соли среза X с боковым зажатием. Если брусок зажат тащим образом, что всякие перемещения в направлении Z' исключаются (зажатие, параллельное X, не имеет значения) и допускаются лишь свободные колебания в направлении У', то поведение этого бруска описывается следующим ниже уравнением. В некоторых видах монтировок эти условия с известным приближением могут быть осуществлены. Если применяется какой-либо боковой зажим, то решение задачи следует искать между решениями для условия полного бокового зажатия и для условия полного отсутствия зажатия, выраженного предыдущими уравнениями.
Так как единственной допускаемой деформацией является у'v, то соответствующим упругим коэфициентом будет скорее с'^ , чем s'E 22, так же как и в случае колебаний по толщине пластинки большой площади. Нужно сделать соответствующие подстановки в основных уравнениях § 228—237: q = c,T7- s=e'i2 — ^ri>a= = 22
Чтобы найти эффективную диэлектрическую постоянную для случая бокового зажатия, мы поступаем так же, как при выводе т)г в уравнении (310). Индекс z, который теперь обозначает направление X, опускаем. Вместо s и пишем ец и
442
Глава XVIII
(у'у)е . Так как деформация z'z исключается, компонента поляризации г'1з(гг)Е, так же как и е\4(у'у}Е должна быть вычтена из поляризации f'E незажатого кристалла, у которого z¥j является d' 13Е (статической деформацией, называемой постоянно приложенным полем Е). Так как единственной деформацией является У'у, то мы имеем !у'у)ь =—(У'у)^1с'^=вцЕ/с'22 причем вместо (310) получается следующее выражение для поляризации:
рЕ=
Скобки в виде вертикальных линий обозначают боковое зажатие. Подставляя eud^2 вместо e'l3d'n и dl4ci4 вместо е14, используя уравнение ?)' —V' 4-e14d14 и выражения для с'22 и с'2з из уравнения (44), находим для восприимчивости при боковом зажатии следующее выражение:
Ы = < (486)
Выражение для диэлектрической постоянной в случае бокового зажатия можно написать в следующем виде:
|£z|=l + 4k|vJ . ’ (486а)
Уравнение для тока, идущего к резонатору, получается из уравнения (315) подстановкой еи, 'ki, с'22 и е вместо г. ki, q' и е':
(486б)
J I 4тсб’1 1 1 уес 22 2 / ' ’
За пределами резонансной области полная проводимость приближенно будет равна
tg?f (486в)
1 4тс£ 1 11 1 T.efc 22 & 2/0
При частотах, близких к резонансу,
\rt 4ct . . у4/Т , . 1^/1 ( ЛО£? Л
г -Г / -гт—+ /“ , (486г)
1 п2У~а- J п2А~ a2 J 4пе ’ v
причем А = 4be2i4/ple.
Выражения для эквивалентных электрических констант можно написать следующим образом:
I = ?1е •
Sbe2,4 ’ о pale . К 4е214Ь ’ v п____________ plen
Л ~ ~ ~А ~ ~ ~4Ьё^~ •
т&ес'22^ ’
, bl \kt\ .
1 4л^ ’
[ (486д)
1
§ 373. Эквивалентные механические константы 45-градусных брусков. Вне зависимости от того, будет ли применено боковое зажатие или нет, эквивалентные механические константы определяются из уравнений (104) — (107). Эквивалентная масса М = pble/2; механическое сопротивление W — 2Ма = 2MAjR [Л такое же как в уравнении (486 г)1; механическое реактивное сопротивление Хг = — 2Л4п = =2МАХ; фактор механического сопротивления G =2МА/С; механическое полное сопротивление ZC=2MAZ. Константа 2МА является обратной электромеханическому отношению г [см. уравнение (326)].
Резонаторы из других кристаллов
443
Сравнение действующих напряжений. Как мы уже видели, действующее напряжение в незажатом бруске равно (Y'y)d—— d\^EI2s'^2, а для бруска с боковым зажатием оно равно (Y'y}d=— е^Е. Отношение их sf^s^npH температуре около 20° по величине примерно равно 1,6, приближаясь к 2 в точке Кюри. Следовательно, действующее напряжение значительно больше, чем в случае свободного (незажатого) бруска.
Сравнение факторов упругости показывает, что резонансная частота для случаев бокового зажатия примерно в 2 раза больше, чем в случае незажатого бруска.
§ 374. Поведение сегнетовой соли при очень высоких частотах. Как мы уже видели, 45-градусный брусок сегнетовой соли среза X имеет 2 пьезоэлектрических модуля d\2 и d'u. Поскольку здесь рассматриваются только колебания по длине, то связь d'i3 с диэлектрической постоянной при любом постоянном напряжении поля та же, что и для статического поля; эффективная восприимчивость резонатора тц дается уравнением (483а). При возрастании частоты влияние колебаний постепенно исчезает, так что наблюдаемый импеданс приближается к импедансу, вызываемому одним
При возрастании частоты до значений, при которых появляются боковые резонансы, включающие d'13, наблюдаемая восприимчивость приближается к восприимчивости зажатого бруска, как это объяснено в § 260. Для сегнетовой соли в области температур между точками Кюри эта величина является величиной для моноклинного зажатого кристалла, которую можно либо получить из наблюдений при очень высоких частотах, либо вычислить по данным о колебаниях по длине на основной частоте. Последнее было проделано путем определения Xs — Ws из Фиг- 143. Из этой фигуры видно, что примерно при 5°С //'имеет максимум, равный 0,128; следовательно, имеет при этой температуре минимальное значение порядка 7,8, причем диэлектрическая постоянная принимает значение около 100. Это значение хорошо согласуется с результатами высокочастотных измерений, описываемых в § 442, и с оценкой Мюллера, к которой он приходит несколько другим путем (см. стр. 473- его работы [380]).
^периментальное изучение резонаторов из сегнетовой соли, яство исследований было проведено с целью определения упругих констант и температурных коэфициентов, для которых необходимо лишь наблюдение резонансных частот. В большинстве ранних работ не уделялось достаточного внимания тем предосторожностям, которые следует принимать при обработке кристаллов и при нанесении электродов, вследствие чего полученным количественным результатам нельзя придавать большого значения.
§ 375. Колебания по длине. Почти все проведенные с резонаторами опыты относились к 45-градусным брускам. Упругие коэфициенты, определенные для таких брусков Кэди, Дэвисом, Хильчером, Мэзоном, Маттиатом и Михайловым, приведены в табл. 6. Хильчер [228] изучал колебания, по длине на основных частотах и на обертонах.
Маттиат [355] изучал зависимость частоты брусков среза Y от отношения Ь/l (ширины к длине), а также зависимость частотных постоянных для брусков срезов X и Y от угла между I и осью Z и получил
444
Глава XVIII
приблизительное совпадение со значениями упругих коэфициентов, вычисленными Манделем, как это показано в табл. 4 и на фиг. 26.
Михайлов [367] измерял du и kt (§ 229) при температурах от О до 40°С методами а) и б) § 310, пользуясь тремя 45-градусными брусками среза X. Он нашел, как и ожидалось, параллелизм между кривыми зависимости du и k z от температуры. Результаты его опытов для й?14 приведены в § 474.
В гл. VI, IX h^XXIV уже сделана ссылка на исследования Мэзона по колебаниям по длине в брусках сегнетовой соли. Эти исследования являются наиболее полными и точными. В § 79 описано применение данных Мэзона, полученных с брусками различной ориентации
для определения точных значений упругих констант сегнетовой соли. В настоящем параграфе использу ются его исследования колебаний по длине отдельного 45-градусного бруска среза X на основной частоте. Эти исследования дают большой материал о поведении сегнетовой соли при различных температурах. Брусок имел следующие размеры: I — 2,014 см, b — 0,418 см, £ = 0,104 см. Электроды были золотыми, нанесен-
.и
-8 о в 16 г* 32 &8 \ ными на поверхность ис-
°С парением в вакууме, за-
Фиг. 92. Зависимость волновой константы Н от зор был строго равен ну-температуры для бруска сегнетовой соли 45-гра- лю. Поле, возбуждающее дусного среза Х(по Мэзону). Н выражена в Hz-мм. колебания огоаничива-Кривые, помеченные символами Hr и На, относят- шранинина
ся к резонансу и антирезонансу при w = 0; Нч — к лось несколькими вольта-резонансу при w = со. ' ми на сантиметр. Благода-
ря этому учитывались только начальные значения упругих электрических коэфициентов; нелинейные эффекты не изучались. Как указывается в § 474, эти наблюдения послужили данными для построения фиг. 144. В работе Мэзона [338] с явлениях гистерезиса есть таблица резонансных и антирезонансных частот и f а (наши fs и /*, которые при малом затухании, как видно из таблицы 24, очень близки к величинам fm и fn ) для температур от — 12° до+ 47,5° С. Таким же образом, «}м—константа» в герцах X X сантиметр относится к тому же самому бруску с бесконечным зазором, 37 = usL/R (соответствует нашему Q).
Умножая fR и fA (выраженные в килогерцах) на длину / в миллиметрах, получаем частотные постоянные Hr и На в килогерцах на сантиметр. Их значения, так же как и значения Нм для бесконечного зазора («1м —константа», деленная н’а 100), показаны на фиг. 92. Наиболее интересными фактами являются низкие значения минимальных частот в верхней точке Кюри, большое различие между резонансными и антирезонансными частотами при со = 0 (благодаря низкому значению емкостного отношения Ci/C, которое, в свою очередь, зависит
Резонаторы из других кристаллов
445
от большого значения d\$) и очень малая зависимость частоты цри бесконечном зазоре от температуры Последняя особенность, впервые наблюдавшаяся Мэзоном, и является экспериментальным обоснованием теории поляризации (§ 189)* 2\
Таблица 33
ЧАСТОТЫ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ * 45-ГРАДУСНОГО БРУСКА
СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ СРЕЗА X
/=2,014 см, 6=0.418 см, 5=0,104 см
Т емпе-ратура в градусах Цельсия Л? в kHz fА в kHz 1 R в омах L в генри 1 С [1U.F С, pu+F R, в омах CJC kl 1 Q
—9,0 7 ,:о 99,51 1300 0,0 6 61,5 Oj.O 649 1,72 148,0 25
+5,0 84,20 100,63 2600 0,0939 33,2 8",2 1в50 2,34 124,8 19
20,5 71,82 95,20 900 0,0537 91,8 121,0 985 1,32 169,0 27
23,7 56,12 84,13 200 0,0415 114,0 156,5 430 0,805 21°,0 73
24,7 52,00 81,60 ' 60 0,0345 271,0 186,0 308 0,685 260,0 188
31,0 82,55 19,00 65 0,0934 40,0 93,0 20) 2,32 130,0 745
47,5 94,15 100,90 2250 0,425 6,8 46,5 1480 6,9 65,0 112
* Числа четвертого столбца взяты из самых последних данных (Мэзон).
Пунктирная линия на фиг. 92 изображает значения константы, вычисленные из наблюдаемых величин fp и /д с помощью уравнения (335) (/?, fA и /и практически идентичны fo, fp и /от). Гычисленные значения Нм полностью совпадают с наблюдаемыми.
В табл. 33 приведены некоторые цифровые данные Мэзона, относящиеся к рассматриваемому в этом параграфе 45-градусному бруску. Следует сравнить значения величин эквивалентных электрических констант с соответствующими значениями для кварца, приведенными в табл. 31, учитывая различие в размерах. Сомнительными являются более низкие значения величин Ci С и Q для сегнетовой соли. Вблизи точки Кюри С становится больше Сь Очевидно, сегнетова соль лучше всего работает в качестве резонатора вблизи 30°, где Q — наибольшее. Выше этой температуры низкое значение величины Q и высокое зн^чёние величины R и Ro вызваны возрастанием электропроводности. \Ro — сопротивление, являющееся, по мэзоновской теории 3> гистерезиса в сегнетовой соли [338], характерным для диэлектрика, отличается от сопротивления R, соответствующего потерям при колебаниях. Ro и R меняются одинаково в зависимости от температуры. Кривые зависимости Ro и kt от температуры приведены на фиг. 6, работы
О Мюллер [381] высказал мысль, что слабый наклон и излом кривой для Нм, возможно, зависит от морфических явлений, описываемых в § 464.
2) Это постоянство частоты подразумевает, что упругий модуль $44, который по уравнению (43) входит в выражение для +22, почти не зависит от температуры. При бесконечном зазоре упругие модули совпадают с модулями при постоянном нормальном электрическом смещении. В § 207 и 211 показано, что для бруска сегнетовой соли среза X значение s*44 при постоянном нормальном смещении в пределах ошибок опыта идентично^ sD44 — значению при постоянном общем смещении и ^44 — значению при постоянной поляризации. Таким образом, мы пришли к заключению, что $4^ почти не зависит от температуры и что с£ (обратное должно приниматься за «истинную» упругую константу сегнетовой соли скорее, чем сД.
3) Литературная ссылка на эту работу приведена в § 428.
446
Гласа XVIII
Мэзона Ro имеет широкий максимум около 5°, снижаясь к плоскому "минимуму около 30° С.
О причине большого расхождения величин fn,fA и /м для сегнетовой соли уже говорилось в § 295. Изменение этих величин в зависимости от температуры Следует сопоставить с основными свойствами этого кристалла, см. далее гл. XX — XXV.
Вернемря) на некоторое время к рассмотрению низких значений Q и соответственно больших значений R в табл. 33. Хотя эти значения R недостаточно' велики, чтобы заметным образом изменить частоты и выведенные из них упругие константы, все же необходимо отметить, что не все исследователи получа!ют такие низкие значения для Q. Например, Маттиат [335] в таблице, содержащей значения R, L, С, и Q для ряда 45-градусных брусков сегнетовой соли срезов X и У различных размеров, дает Q от 1300 до 3600. По данным Гоккеля [173] (см. также § 3:81), Q = 7300 для 45-градусного бруска среза X. По неопубликованным наблюдениям ван Дайка в нашей лаборатории, Q = 2200 для 45-градусного бруска среза X размером 21,3X5,6X2,1 мм при частоте,в 55 kHz. И Мадтиат и ван Дайк производили измерения при комнатной температуре.
Опыты Мэзона приводят к заключению, что практически все явления гистерезиса и утечки связаны с диэлектрическими свойствами зажатого кристалла. Эта точка зрения, по существу совпадающая с точкой зрения Мюллера (как указано в § 468), заключается в том, что аномалии сегнетовой соли являются свойством зажатого кристалла.
§ 376. Маттиас [353] недавно указал, что наличие неустойчивости частоты при высоких потерях энергии связано с наличием упругого коэфициента s44 для данной формы колебаний. Изучая различные формы колебаний с помощью оптического рычага, явлений свечения в неполном вакууме и движения частиц порошка ликоподия, а также наблюдая напряжения в поляризованном свете, Маттиас нашел относительно плоскую кривую резонанса и малое увеличение амплитуды при резонансе для форм колебаний, у которых частота зависит от температуры (т. е. вклюФающи|х $44). Он показал, что 45традус1ный брусок среза X с нулевым зазором (с серебряными электродами1, нанесенными в вакууме) имеет значительно более низкий декремент затухания и частоту более высокую и менее зависящую от температуры, если постоянное смещающее поле в 1500 V/см накладывается на возбуждающее напряжение, как это было установлено в § 370. Без смещающего поля декремент затухания для температур между точками Кюри был при малых возбуждающих напряжениях относительно низок и достигал максимума при напряжении, соответствующем отвесному участку кривой поляризации, а при высоких напряжениях приближался к значению, установленному для температур выше верхней точки Кюри. Читателей, желающих ознакомиться с подробностями опытов и с теорией этого вопроса, отсылаем к работе Маттиаса. Так же, как и Мэ-зон [338], он приписывает затухание в срезах X главным образом диэлектрическим, а не механическим потерям.
§ 377. Влияние зазора в резонаторах из сегнетовой соли. Благодаря большим значениям диэлектрической постоянной сегнетовой соли
О Цифровые данные на фиг. 6 работы Мэзона несколько отличаются от полученных им позднее значений, приведенных в табл. 33.
Резонаторы из других кристаллов 447
частота с увеличением зазора от нуля возрастает с гораздо большей скоростью, чем в кварцевых резонаторах. Уже при зазоре, меньшем, чем толщина пластинки, частота близка к частоте пластинки при бесконечном' зазоре. Обозначая через fw и частоты, соответствующие зазорам w и оо и принимая, что а< 1, можно с помощью уравнения (336) показать что fw= (1—а)/^ при
Если это выражение применить к 45-градусному бруску среза X при 20° С, то получим d'\2 — du/2 = 1,2 • 10~5; $'22 — 3,16 • 10—12; k' = = 480. Тогда ау/в?=^12/а; и еслиа = 0,01, то w/e 0,12. Это значит, что при данной температуре частота с точностью до 1 % совпадает с частотой при бесконечном зазоре, когда величина зазора равна лишь 1/8 толщины бруска.
На 45-градусных брусках сегнетовой соли среза X Хильчер [228] наблюдал видимое свечение, аналогичное свечению кварца, описанному в § 365. Он наносил на бруски небольшие электроды таким образом, что большая часть поверхности кристалла оставалась свободной. При использовании бруска в качестве резонатора в воздухе при давлении от 0,3 до 0,6 мм свечение наблюдалось как на основной частоте продольных колебаний, так и на . обертоне.
§ 378. Колебания пластинок сегнетовой соли по толщине. Пользуясь теорией, изложенной в гл. V, можно вывести специальные уравнения для пластинок сегнетовой соли. В пластинках сегнетовой соли среза, нормального к кристаллографическим осям, нельзя возбудить пьезоэлектрических колебаний по толщин^. Теоретически этот тип колебаний, включающий колебания сдвига и сжатия, может быть возбужден почти во всех косых срезах. Активность резонатора зависит от среза. Для малых углов в1ращенця она очень низка. Мэзон [335]J), а также Такаги и Мияке [501] применили к сегнетовой соли теорию Кристоф-феля. Эти исследователи в своих работах приводят экспериментальные данные по сдвиговым колеб.аниям в пластинке, вырезанной по грани (НО) кристалла.
Колебания сжатия — растяжения по толщине можно возбудить также в пластинках косого среза. Единственное сообщение об этих колебаниях для среза, описанного в § 140, принадлежит автору [108].
§ 379. Контурные колебания пластинок сегнетовой соли. При колебаниях этого типа возбуждающее поле, нормальное к пластинке, вызывает сдвиговые напряжения в плоскости пластинки, подобные «контурным колебаниям» кварца, описанным в § 359. Большинство экспериментаторов работали со сравнительно тонкими прямоугольниками или квадратными пластинками с ребрами, параллельными кристаллографическим осям. В зависимости от того, какая ось выбрана в качестве нормали к главным поверхностям, пьезоэлектрическое напряжение будет иметь вид Yz = — е^Ех> Zx— — dzsEyWin Ху = — е^Ег. Частота главным образом зависит от больших измерений а и Ь, а не от толщины, и выражается уравнением (122). Для срезов X, У и Z величина
0 См. также американские патенты № 2178146 (1939) и 2303375 (1942). Ссылка на экспериментальные работы Мэзона по сдвиговым колебаниям по толщине уже приводилась в § 77.
448
Глава XVIII
Фиг. 93. Пыльные фигуры на пластинках сегнетовой соли среза X, совершающих сложные колебания. Фигуры а, б, в и г относятся к пластинке с размерами: 0,48 см вдоль оси X, 7,8 см вдоль оси Y и 12,0 см вдоль оси Z. Частоты в герцах: 27 300 для а, около 37 000 для б и в и 54 300 для ?. Пластинка д имеет размеры: 0,485 см вдоль оси X, 6,60 см вдоль оси У и 12,0 см вдоль оси Z. Частота 27 500 Hz. В некоторых случаях частицы пыли завихряются. Эта завихренность сохраняется, пока пластинка колеблется.
\/qt обратная фактору упругости, будет соответственно 544, 555 или 5б6- ЕСЛИ ЗЗЗОр рЭ-вен нулю, то применяются значения упругик коэфициентов при постоянном поле, влияние пьезоэлектричества на фактор упругости при наличии зазора до сего времени еще неизвестно, но наличие зазора должно, конечно, вызывать возрастание этого значения, а следовательно и частоты.
Контурные колебания такого типа были описаны Бушем [87], Михайловым [367], Мюллером [379], [382], Н. Такаги с сотрудниками а также Тешеком и Остербергом [540]. Ясно выраженное изменение частоты для пластинок среза X вблизи верхней точки Кюри, общее для всех форм колебаний в сегнетовой соли, в которых играет роль упругий коэфициент 544, впервые наблюдалось в контурных колебаниях Бушем.
В нашей лаборатории проводились опыты с большим числом прямоугольных пластинок всех трех срезов. Полученные результаты хорошо согласуются с формулой (122). Измерялись резонансные частоты, причем пластинки были включены во вторичную цепь. Самая большая из этих пластинок была размером 0,485 см в направлении X, 7,8 см в направлении Y и 12,0 см в направлении Z и имела основную частоту контурных колебаний в 22,6 kHz* 2\ Для дальнейшей проверки формулы (122) длина и ширина некоторых пластинок постепенно уменьшалась. Результаты опытов подтвердили теорию. Упругие коэфициенты вычислялись по размерам пластинок и значениям частот. Полученные значения коэфициентов приближенно совпадали с общепринятыми, но, так как результаты нельзя считать достаточно точными, они здесь не приводятся.
В результате этих исследований, а также опытов, описанных в следующем параграфе, установлено, что подводимое к кристаллу напряжение должно быть чисто синусоидальным. Можно сказать почти наверное, что гармоники частот возбуждают нежелательные формы колебаний и вызывают ложный резонанс. Поэтому во всех последних работах питание от лампового генератора тщательно фильтровалось. При установлении форм колебаний нельзя было полагаться
*) Electrotechn. Journ. (Japan) 4, 95—96, 186, 232—233 (1940).
2) Эти опыты были произведены Зотту в 1928—1932 гг. Тогда же им изучались колебания изгиба и кручения.
Резонаторы из других кристаллов 449
только на одно совпадение между наблюденными и вычисленными частотами. В большинстве случаев изучалась непосредственно узловая фигура. Для этой цели пластинку клали горизонтально на нижний электрод. Между электродом и пластинкой обычно помещали несколько зерен песку, игравших роль шарикового подшипника и уменьшавших трение. На верхнюю поверхность пластинки насыпали порошок ликоподия или тонкий песок, из которого и образовывалась узловая фигура. Верхний электрод помещали непосредственно на порошок. Образование таких узловых фигур можно было наблюдать, пользуясь сетчатым электродом или электродом сравнительно небольшого размера.
Если подводимое напряжение не фильтровалось, фигуры получались очень сложными (некоторые см. на фиг. 93). При хорошо отфильтрованном напряжении питания описанное выше чистое контурное колебание сдвига вызывает образование более или менее неправильной картины узлов в центре пластинки. Эти колебания, как показывают частицы порошка, происходят главным образом в плоскости пластинки. Чистое колебание изгиба узнается по двум или более узловым полосам, идущим поперек пластинки, а колебание кручения — по узловой линии, проходящей вдоль пластинки посередине между ее боковыми ребрами.
Если коснуться пальцем сильно колеблющейся части поверхности пластинки, то кристалл кажется наощупь очень скользким, и кончик пальца ощущает, тепло.
§ 380. Колебания изгиба и кручения в пластинках сегнетовой соли. Колебания изгиба легко возбудить в 45-градусных брусках или в прямоугольных пластинках с ребрами, параллельными кристаллографическим осям, пользуясь одним из трех срезов. 45-градусные бруски снабжаются электродами, как показано на фиг. 86, Е. Длина I и ширина b расположены под углом в 45° к двум осям, а толщина параллельна третьей оси. Изгиб происходит в плоскости 1е. Пьезоэлектрическое возбуждение будет определяться преобразованными модулями d'i2, d'23 или d 31, в зависимости от расположения оси I соответственно в направлениях У', Z' или X'. Автор наблюдал колебания пластинок во всех этих трех ориентациях.
На пластинка^/ вырезанных вторым способом, электроды располагаются так, как показано на фиг. 87. В случае кварца, если ребра пластишйУ параллельны осям кристалла, возможна только одна ориентация, допускающая колебания изгиба с помощью этого типа возбуждения. В сегнетовой соли длину I можно брать параллельной X, У или Z; поле прилагается в направлении Ь, причем знаки в обеих половинах пластинки противоположны. Изгиб происходит в плоскости 1е. Когда I параллельна одной оси, е может быть параллельной любой из двух других осей, давая в общей сложности шесть различных возможностей. В зависимости от среза, действующим напряжением будет Уг— — ецЕх, Z х =— е2$Е „ или X у=— е36Ег. В нашей лаборатории изучение колебаний изгиба производилось на пластинках различных размеров для всех шести случаев. При этом между электродом и кристаллом оставляли небольшой зазор. Конечно, можно было пользоваться и металлизованными электродами.
В нашей же лаборатории изучались и колебания кручения на брусках.с длиной, параллельной X, У и Z. Во всех случаях применялся кольцевой электрод, опоясывающий брусок в центре (см фиг. 86, Е). Как объяснено в § 356, для кварца действующими компонентами поля 29 Кэди
U50
Глава XVIII
являются компоненты, входящие в кристалл из кольцевого электрода в направлении, перпендикулярном длине.
Как установлено в том же § 356, эффективнее всего возбуждать колебания кручения в бруске с длиной I, параллельной одной из кристаллографических осей, но имеющем прямоугольное сечение, повернутое на 45° вокруг этой оси. Электроды располагаются способом, показанным на фиг. 86, Д.
§ 381. Результаты исследований резонаторов из других кристаллов. Применяя упомянутый в § 320 метод, Гокель при комнатной температуре измерил логарифмические декременты затухания резонаторов, приготовленных из следующих кристаллов (числа в скобках являются логарифмическими декрементами затухания, умноженными на Ю4): кварц (0,53), турмалин (1,69), аспарагин (1,63), уротропин (1,80), рамноза (2,62), сегнетова соль (4,30). Эти значения получены с образцами, монтированными в вакууме. Полученные им декременты почти невероятно низки для всех кристаллов, кроме кварца и турмалина.
Павлик [41 Г] вывел уравнения для такой ориентировки пластинок из кристаллов двух моноклинных пьезоэлектрических классов, в которой исключается пьезоэлектрическое возбуждение скалывающих напряжений по отношению к осям пластинок. Павлик описывает опыты, в которых в качестве резонатора применялись пластинки, .вырезанные из кристаллов свекловичного сахара. При использовании результатов его опытов не следует забывать, что явления сдвига появляются благодаря упругим Связям даже в том случае, если они непосредственно не возбуждаются приложенным электрическим полем.
Мандель [329] измерял частоты продольных колебаний в 45-градусных брусках срезов X, У и Z из виннокислого натрия-аммония. Бруски работали в генераторе по схеме Пирса. Расхождение измеренных частот с вычисленными в некоторых случаях было больше 5%. Это не удивительно ввиду наличия в этом случае воздушного зазора, хотя и небольшого (электроды только слегка касались поверхности кристалла). Более того, частоты колебаний брусков в схеме Пирса благодаря большим1 2 значениям пьезоэлектрических констант и соответственно большим разностям между резонансными и антирезонансными частотами были, вероятно, значительно выше истинных резонансных значений. Об опытах с резонаторами, изготовленными из некоторых фосфатов и арсенатов, говорится в § 499.
§ 382. Турмалиновые резонаторы. Плотность турмалина изменяется от 2,94 до 3,24 г/см3 в зависимости от состава образца. Среднее значение равно 3,1. Диэлектрическая постоянная незажатого кристалла в направлении, параллельном оси Z, равна 7,1; в направлении, перпендикулярном оси Z, она равна 6,3 + 0,2 г).
Еосемь пьезоэлектрических констант турмалина дают большее число возможных способов прямого возбуждения, чем пять констант кварца. Наибольшая из них di5 = d24 почти вдвое больше, чем dn кварца. При помощи возбуждения, описываемого уравнением z = d^Eх , в пластинке среза X можно получить колебания сдвига по толщине Ч
О International Critical Tables 6 (1926). Измерения проведены на звуковой частоте.
2) См. вычисления Кога [270]. В этой статье Кога выводит уравнения для ко-
лебаний турмалиновых пластинок по толщине.
..................Резонаторы из других кристаллов............. 45'1
Широко применялись лишь турмалиновые резонаторы с пластинками среза Z. Вызываемые в них колебания сжатия-растяжения по толщине подчинялись уравнению Zz =— еззЕг . Как указали Гибе и Блехшмидт [162], относительно низкие значения упругих коэфициентов, ответственных за эффекты связи, почти освобождают турмалиновые резонаторы от нежелательных форм колебаний.
Турмалиновые резонаторы были введены в 1928 г. Гендерсоном {219]. Их применение в качестве пьезогенераторов описано в § 400, где можно найти соответствующие цифровые данные и ссылки на литературу. Петржилка [415, 416, 419] 9 исследовал различные формы колебаний турмалиновых пластинок с помощью фигур ликоподия и эффектов свечения при низком давлении или путем измерения частот. Его работы содержат много замечательных фотографий узловых фигур. Некоторые из них воспроизведены на фиг. 91. Дальнейшие опыты с турмалиновыми резонаторами описаны Штраубелем [490], Остербургом и Куксоном [406], Модраком [371] и Колем [258, 259].
§ 383. Сложные резонаторы. В числе первых опытов с пьезогенераторами можно упомянуть испытания металлических брусков, в которых с помощью кристаллов возбуждались колебания по длине * 2\ Сначала 45-градусный брусок среза X из сегнетовой соли в 1—2 см длиной приклеивался вдоль стального стержня длиной в 15 см. Когда
ток от лампового генератора подводился к кристаллу и контур настраивался на частоту колебаний по длине стержня, последний колебался как резонатор с энергией, получаемой от кристалла. Успех этих опытов вызвал интерес к дальнейшим исследованиям в этой области. Вскоре было установлено, что плоский стальной брусок длиной от 10 до 20 см может приводиться в колебание с помощью пары пластинок, приклеенных в центре с противоположных сторон. На фиг. 80
Фиг. 94. Кварцево-стальной резонатор 1 23 г. Кварцевые пластинки приклеены широкими сторонами к стальному бруску. Их внешними электродами служат кусочки олоьян-ной фольги, соединенные параллельно. Крючок, на котором подвешен брусок, одновременно служит выводом.
показаны два таких резонатора. Конструкция их видна из чертежа фиг. 94.
Резонаторы, подобные изображенным на фиг. 94, применялись в лаборатории автора для определения динамических величин модуля Юнга брусков из различных металлов, стекла и плавленого кварца. Кварцево-стальной резонатор этого типа использовался в качестве
пьезогенератора путем добавления двух пар кварцевых плаСтийок,
причем эти пластинки присоединялись к входу и выходу усилителя.
Используя вместо кварцевых пластйнки сегнетовой соли, можно было применить в качестве резонатора стальной брусок длиною в 1 м, работающий на собственной частоте. Брусок при этом издавал громкий
И Разбор полученных Петржилкой результатов см. у Е. Лонна [319].
2) Магистерские диссертации Г. В. Бейна (1922) и Г. С. Пальмера (Веслейскйй университет, 1925); В. Г. Кэди, Phys. Rev. 21, 371—372 (1923) (реферат). См. также ссылки [96] и [97] в конце книги. Самым первым из всех пьезоэлектрических приборов, который можно назвать резонатором, был ланжевеновский кварцево-мальной элемент, упоминаемый в § 224 и 506. Ссылки на литературу По сложным резонаторам можно найти в конце настоящей главы.
29* г
452
Глава XVIII
музыкальный тон. В качестве звукового генератора с частотой 2150 Hz для опытов с трубками Кундта особенно подходит зажатая между двумя металлическими кольцами латунная трубка длиной около 1 м, в центре которой помещены четыре 45-градусных бруска сегнетовой соли среза X. Звук излучается латунным диском, закрепленным поперек трубки на ее конце. Электроды из оловянной фольги на двух расположенных друг против друга кристаллических брусках присоединяются к входу усилителя, а выход усилителя через ступенчатый трансформатор присоединяется к другой паре брусков. Таким образом, последняя пара брусков возбуждает колебания в латунной трубке1}.
В описанных выше сложных резонаторах применялись кристаллические элементы сравнительно небольших размеров, для того чтобы частота и затухание были по возможности близки к частоте и затуханию вибратора, с которым кристалл был связан. Хотя такое устройство давало хорошо действующие резонаторы, все же прикрепление кристалла в точке максимального напряжения непригодно для точного измерения характеристик материала испытуемых брусков.
§ 384. В 1925 г. Квимби первым использовал сложный резонатор для точного измерения упругих констант различных твердых тел. Он разработал теорию колебаний в твердом бруске, возбуждаемом кварцевым бруском, приклеенным к одному из его концов. Длина кварцевого бруска была параллельна У, поле действовало в направлении, параллельном X. Первой задачей Квимби было определение вязкости стержней из алюминия, меди и стекла. В его методе соотношение между длинами двух компонент резонатора не имело определенного значения.
Баламут в 1934 г. отметил преимущество, достигаемое склейкой брусков в узлах напряжения. Применяемый Баламутом способ склейки использовался рядом других исследователей (см. литературу в конце главы). В результате были получены данные об упругих константах и об их зависимости от температуры для ряда твердых тел, включая и металлические монокристаллы в форме брусков. В большинстве случаев в испытуемых образцах возбуждались колебания сжатия-растяжения по длине с помощью кварцевых брусков среза X. Ряд других исследователей — Браун, Гуд, Роуз и в некоторых своих работах Гунтер и Зигель — пользовались колебаниями кручения. Они применяли кварцевые цилиндры с длиной, параллельной X. Цилиндры эти снабжались четырьмя электродами по методу Гибе и Шейбе, описанному в § 356. Гриме и Итон (пользуясь колебаниями изгиба) и Шенк (пользуясь колебаниями по длине) применяли кварц только как детектор, а не как возбудитель колебаний. Бойле и Спроуле исследовали пыльные фигуры на конце довольно толстого колеблющегося бруска и нашли, что они походят на хорошо известные фигуры Хладни. Из последней их работы ясно, что правильные заключения относительно упругих констант бруска можно сделать только при работе с достаточно тонким бруском.
Мэзон в своей книге развивает теорию сложного резонатора, рассматривая его как электромеханический преобразователь, отдельно для колебаний по длине и для колебаний кручения. Там же приводятся
О, Прибор, подобный этому, описан в книге R. М. Sutton, Demonstration Experiments in Physics, N. Y„ 1938.
Резонаторы из других кристаллов 453
новые данные об упругих свойствах различных материалов. В числе этих материалов были и высоко вязкие пластмассы, для измерения которых приведено специальное расположение кристаллов и схема.
§ 385. Возбуждение камертонов кристаллами. Автор- приводил в колебание камертон с частотой в 2048 Hz с помощью 45-градусных брусков сегнетовой соли среза X и цепи усилителя [95]. Применялось несколько различных устройств. В первом из них брусок размером 4,6 X 1,5 X 0,4 см приклеивался вдоль ножки камертона вблизи основания. У бруска имелись две пары электродов из оловянной фольги, присоединенных к входу и выходу четырехкаскадного ненастроенного усилителя на сопротивлениях. После приведения камертона в колебание, последний продолжал колебаться (энергия подводилась усилителем) на удвоенной собственной частоте. Во втором методе к каждой ножке камертона приклеивался вблизи конца кристаллический брусок с отдельной парой электродов. Электроды одного бруска присоединялись к входу усилителя, а электроды другого, подводящие энергию к камертону, присоединялись к выходу усилителя. В этом случае камертон после легкого удара также продолжал колебаться. Действующей силой являлась инерция бруска. В третьем способе «патрон», состоящий из упомянутого выше кристаллического бруска с двумя парами электродов, помещенного в небольшой держатель, присоединялся к усилителю и приводил камертон в колебание только в момент контакта с одной из ножек камертона.
Здесь следует еще упомянуть кварцевый камертон Кога [267], Хотя он и не является сложным резонатором. Этот камертон на 1000 Hz, целиком изготовленный из кристалла, приводился в колебание пьезоэлектрически с помощью соответствующих электродов и усилителя.
§ 386. Кварцево-жидкостный резонатор. Фокс и Рок [147] приклеивали кварцевую пластинку среза X к дну цилиндрического сосуда с водой. С помощью колебаний по толщине на частоте около 2,5 MHz возбуждались стоячие волны между кварцем и отражающим поршнем и и^ерялись характеристики полученного таким образом сложного резонатора. При наличии 200 стоячих волн наблюдалось значение Q = 3680, в то время как для кварца в воздухе имело место Q = 418. С уверенностью можно сказать, что это низкое значение Q в воздухе зависит от клея, но, хотя резонанс водяного столба и сильно уменьшает затухание, все же 3680 являлось низким значением для Q и мешало практическому использованию этого резонатора. Попытки упомяну-тыХ^исследователей создать с помощью этого метода резонатор переменной частоты не привели к хорошим результатам, так как отклик становился сравнительно слабым, когда частота заметно отклонялась от собственной частоты кварца.
ЛИТЕРАТУРА
РЕЗОНАТОРЫ ИЗ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
Большая часть работ по этому вопросу уже упомянута в тексте. К ним можно добавить № 103, 108, 335, 475, 637 общей библиографии.
454
Глава XVIII
СЛОЖНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
№ 78, 147, 637 общей библиографии.
Bal am u th L., Новый метод измерения модулей упругости и изменение с температурой главного модуля Юнга каменной соли между 78°К и 273°К, Phjys. Rev. 45, 715—720 (1934).
Ballou J. W. and Silverman S., Определение модуля Юнга нитей и пленок измерение*! скорости звука, Journ. Acous. Soc. Amer. 16, 113—119 (1944).
Boyle R. W. and Sproule D. О., Колебания в ультразвуковых генераторах и скорость колебаний по длине в твердых телах при высоких частотах, Nature 123, 13 (1929).
Cooke W. Т., Изменение внутреннего трения и упругих констант железа в зависимости от намагничивания, ч. I, Phys. Rev. 50, 1158—1164 (1936).
Good W. А., Модуль сдвига монокристаллов (В-латуни, ibid, 60, 605—609 (1941).
Grime G. and Eaton J. E., Определение модуля Юнга из колебаний изгиба, Phil. Mag. 23, 96—99 (1937).
Hunter L. and Siegel S., Изменение с температурой главных модулей упругости NaCl вблизи точки плавления, Phys. Rev. 61, 84—90 (1942).
I d е J. M., Некоторые динамические методы определения модуля Юнга, Rev. Sci. Instr. 6, 296—298 (1935).
Q u i m b у S. L., Об экспериментальном определении вязкости колеблющихся твер-- - дых тел, Phys. Rev. 25, 558 (1925).
Quimby S. L., Новые экспериментальные методы в ферромагнетизме (реферат), Phys. Rev. 39, 345—353 (1932).
Quimby S. L. and Siegel S., Изменение упругих констант кристаллического натрия с температурой между 80° К и 210° К, ibid. 54, 293—299 (1938).
Read Т. А., Внутреннее трение в монокристаллах металлов, ibid. 58, 371—380 (1940).
Rine.hart J. S., Температурная зависимость модуля Юнга и внутреннего трения люцита и каролита, Journ. Appl. Phys. 12, 811—816 (1941).
Rose F. C„ Изменение адиабатических модулей упругости калийной соля с темпе-ратуоой между 80° К и 270° К, Phvs. Rev. 49, 50—54 (1936).
Schenk D., Измерение затухания в колеблющихся стальных стержнях, Zs. f. Phys. 172, 54—67 (1931).
Shear S. К. and F о с k e А. В., Дисперсия ультразвуковых волн в цилиндрических стержнях из поликристаллического серебра, никеля и магния, Phys. Rev. 57, 532—537 (1940).
Siegel S. and Quimby S. L., Изменение модуля Юнга никеля с намагничиванием и температурой, ibid. 49, 663—670 (1936).
Zacharias J., Температурная зависимость модуля Юнга никеля, ibid. 44, 116—122 (1933).
ГЛАВА XIX
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР
Сначала мы рассмотрим стабилизующее действие кристалла на контур, уже совершающий колебания. Поэтому естественно обратиться к прототипу пьезогенератора, в котором кристалл является не только регулятором частоты, но также и существенным элементом для поддержания колебаний. В настоящей главе будут описаны несколько типов пьезогенераторов, причем главное внимание уделено схемам Пирса—Миллера и некоторым их модификациям.
Важнейшим кристаллом для пьезогенераторов является кварц, и большинство данных о схемах, лампах и т. д. основаны на предположении, что в них использован именно кварц. В § 400 рассматриваются генераторы из сегнетовой соли и турмалина. Глава заканчивается краткой сводкой литературы по математической теории пьезогенератора.
§ 387. Кристаллические стабилизаторы. Любой пьезорезонатор, присоединенный к колебательному контуру, стремится стабилизовать частоту. Высказав это довольно смелое утверждение, мы должны уста-новить его пределы. Во-первых, стабилизующее действие всегда ничтожно, за исключением тех случаев, когда частоты близки к частотам, соответствующим собственным формам колебаний кристалла-Если колеблющийся на частоте f ламповый контур содержит кристалл, соединенный, допустим, с конденсатором настройки, и если. кристалл при этом закреплен так, что не может колебаться, то единственным эффектом будет небольшое увеличение о^щей емкости. Прибавляемая величина, по существу, является параллельной емкостью Ci в эквивалентной схеме, изображенной на фиг. 48.
Когда, кристалл не зажат, меняющаяся разность потенциалов вынуждает его совершать механические колебания. Если f далека от любой характеристической частоты резонатора, то амплитуда практически очень мала. Тем не менее фаза механических колебаний и вызванное ими пьезоэлектрическое воздействие кристалла на контур всегда таковы, что делают изменение частоты при случайных изменениях емкости конденсатора настройки или любого другого параметра меньшим, чем оно было^бы при отсутствии кристалла. Этот факт является выражением своего рода закона Ленца для генераторов, стабилизованных кристаллом.
Когда частота колебаний достигает значения одной из характеристических частот резонатора, амплитуда механических колебаний и электрическая реакция возрастают до некоторого определенного максимума, а по другую сторону резонанса кристалла электрическая реакция падает почти до первоначальной небольшой величины. За меру электрической реакции можно взять эквивалентное параллельное сопротивление Хр или емкость Ср (§ 273). Как показано на фиг. 64, Ср
456 Глава XIX
возрастает при возрастании частоты до максимума, за которым следует минимум. Стабилизующее действие возрастает с возрастанием Ср, которая, в свою очередь, тоже возрастает с увеличением размеров резонатора. У очень маленького кристалла максимальная Ср настолько мала по сравнению с другими емкостями контура, что стабилизация очень незначительна. Так, кристаллический брусок размером 1,5 X X 0,5 X 0,2, хотя и прекрасно резонирует на колебания по длине при частоте около 2000 kHz, но дает малый эффект, если его поместить в качестве стабилизатора в схему мощного генератора.
В наших предыдущих заключениях мы пользовались понятием эквивалентной схемы. Для большинства резонаторов параметры схемы практически постоянны, и электрические свойства резонатора могут быть полностью описаны с помощью эквивалентной схемы, независимо от того, используется ли резонатор как генератор или фильтр, или служит для каких-либо иных целей. Любое действие кристалла может выполнить действующая схема, содержащая омическое сопротивление, Индуктивность и конденсаторы, имеющие те же самые значения, что и в эквивалентной схеме. Невозможность сконструировать такую физическую схему, не говоря уже о невозможности сохранить ее постоянство, если бы она могла быть построена, заставляет нас считать кристалл единственно пригодным для этой цели. Цифровые данные для кварцевых резонаторов можно найти в § 362.
Не нужно забывать, что схема генератора имеет различные константы для разных форм колебаний и что для любой данной формы колебаний эта схема применима только в пределах частот, не возмущаемых другими формами. Придумать одну эквивалентную схему, применимую для всех форм колебаний, едва ли возможно.
До сих пор мы рассматривали главным образом стабилизующее действие резонатора в таком контуре, который совершает колебания независимо от присутствия резонатора. Как было сформулировано в § 223, о таком контуре говорят, что он «стабилизован кристаллом», а резонатор, если его используют таким образом, называется «стабилизатором». Рассмотрим теперь подробнее работу стабилизатора.
§ 388. Достаточно разобрать только тот случай, когда кристалл соединен параллельно с конденсатором настройки лампового генератора, как это показано на фиг. 95. Соответствующий опыт очень поучителен и легко осуществим. Изображенный здесь генератор принадлежит к простому типу с индуктивной связью и настроенным сеточным контуром, хотя с одинаковым успехом могут применяться и другие типы. L$ и С2 должны быть такими, чтобы контур мог настраиваться на частоту /о одной из форм колебаний кристалла. Изменения частоты наблюдают, слушая тон биений между этим контуром и слабо связанным с ним генератором постоянной частоты. ‘
Соотношение между частотой / генератора и изменением С2 показано качественно на фиг. 96. Зависимость между общей емкостью Ct~C? -}-Cp и частотой ( эффективным параллельным сопротивлением Rр можно здесь пренебречь) изображена сплошной кривой Если С2 уменьшается, частота возрастает сначала быстро, а затем медленнее
>) Символ С2 на фиг. 95 и 96 не следует смешивать с С2, обозначающим емкость зазора, который может быть между кристаллом и электродами. Если имеется зазор, то его действие нужно считать включенным в величины Rt L, С и С.
Пьезоэлектрический генератор
457
при приближении к fo, становясь почти постоянной вблизи точки А. В А наступает внезапный обрыв, частота резко возрастает до точки В. Начиная отсюда, связь частоты с С2 выражается линией BD. При дальнейшем понижении С2 частота меняется по ветви DBEF, с другой областью стабилизации вблизи Е.
Эти явления можно объяснить или исходя из данных эквивалент-
ной схемы RLCC\, или с помощью эффективных параллельных параметров Ср и Rp. В первом случае считаем схему RLCC\ связанной с настраивающимся контуром C2L2. Если схема имеет малое затухание, то она стремится удерживать контур в совпадении с ее собственной частотой последовательного резонанса /о. Теория этого вопроса рассмотрена Ватанабе
Фиг. 96. Стабилизующее действие резонатора в зависимости от емкости конденсатора настройки С2.
Фиг. 95 Схема, показывающая эффект стабилизации кристалла, включенного параллельно с настраивающим конденсатором С2 некоторого колебательного кон-
тура. б обычная эквивалентная схема кристалла, в представляет кристалл как емкость и сопротивление, соединенные параллельно.
[581], показавшим, что коэфициент связи между двумя настроенными контурами равен приблизительно С!(С2 + СА и что из наблюдений стабилизации можно вычислить величины С и R эквивалентной схемы. Полученные результаты не очень точны благодаря различным влияниям со стороны цепи лампы.
Стабилизующее действие объясняется наиболее просто, исходя из Сп. Как видно из фиг. 64, Ср— \!^Хр меняется с частотой таким образом, как это указано на фиг. 96. /Максимум и минимум тем выше и тем острее, чем меньше величина R и чем больше величина С (т. е. чем больше размеры резонатора). Частоты при этих двух экстремальных значениях Сп достигают квадрантальных точек Р\ и Р2 на резонансном круге, как это показано на фиг. 59 и 65. Если С2 падает до точки А, Ср не может больше возрастать, кристалл теряет способность стабилизовать, а частота возрастает скачком от А до В. То же самое происходит в Е. Между Pi и Р2 колебания невозможны.
Применяя кристалл № 2, упомянутый в § 298, автор нашел, что вблизи точек А и Е фиг. 96 изменение частоты при небольшом изменении С2
458
Глава XIX
(или тока накала, или какой-либо другой переменной) равняется 1/30 изменения частоты в отсутствии кристалла.
Стабилизованный кристаллом контур явился первой ступенью, достигнутой в 1920 г. в поисках генератора, регулируемого кристаллом. Хотя стабилизатор и нашел себе некоторое применение 0, оц все же представляет гораздо меньшую практическую ценность, чем пьезогенератор, к которому мы сейчас и перейдем.
§ 389. Стабилизуемый кристаллом генератор. Хотя в описываемых в следующих параграфах схемах можно использовать любой пьезоэлектрический кристалл, особое внимание все же уделяется кварцу как единственному кристаллу, обычно употребляющемуся для этой цели. Различные срезы кварца и их свойства были рассмотрены в гл. XVI.
Пьезогенератор можно рассматривать как результат развития только что описанного стабилизованного контура. Настроенный контур С2Ь2 фиг. 95 помещается в анодную цепь лампы, заменяя катушку обратной связи и становясь колебательным контуром генератора, как это показано на фиг. 98,а. Единственным реактивным сопротивлением, соединенным с сеткой, является сопротивление Cpt эквивалентное параллельной емкости резонатора. Если колебательный контур рассматривать как состоящий из Ср, соединенного последовательно с емкостью сетка — анод и импедансом Z2 анодной цепи, то колебания будут возникать при условии, что Ср может принимать значение, заставляющее общее реактивное сопротивление исчезать. Обычно это условие требует, чтобы кристалл колебался вблизи резонансной частоты. Для устойчивых колебаний рабочая точка должна быть в той области кривой Ср на фиг. 96, где дСр /д/ положительно, так как иначе возрастание частоты не будет нейтрализоваться соответствующим возрастанием Ср. С первого взгляда может показаться, что лампа будет генерировать колебания с частотой, несколько меньшей, чем в точке Pi, если Z2 имеет индуктивность, лежащую между определенными пределами. В действительности это невозможно, так как на низкочастотной стороне резонанса кристалл колеблется не в обратной фазе. Однако на высокочастотной стороне, чуть выше Р2 (между Р2 и частотой для антирезонанса), могут происходить устойчивые колебания, если сопротивление Z2 чисто индуктивное. Ср здесь отрицательно, и кристалл работает как индуктивность, выбирая автоматически ту точку на кривой, для которой общее реактивное сопротивление равно нулю. Разумеется, Z2 должно лежать между определенными пределами индуктивности, но хороший резонатор имеет такую широкую область отрицательных значений С р, что допуск в Z2 очень велик. Обычно применяется колебательный контур, настроенный на оптимальное индуктивное сопротивление.
Если применить понятие эквивалентного последовательного реактивного сопротивления то условием устойчивых колебаний является положительное значение dXjdf и то, что частота должна находиться между резонансом и антирезонансом. Это соображение сужает рабочую область до участка с низкочастотной стороны точки Р& на фиг. 64 и 65 между точками Р& и Р2. Мы вернемся к этому вопросу в § 392.
Хайт и Виллард показали, что, согласно теории Ллевелина, подтвер^ жденной их опытами, частота почти совершенно не зависит от неболь-
’) См., например, [202], [214], [297], [581].
Пьезоэлектрический. генератор 459
ших изменений реактивного сопротивления контура, от напряжения на аноде и от смены лампы, если реактивное сопротивление колебательного контура численно равно омическому сопротивлению Rp лампы между катодом и анодом и в то же время Rp — (р-4-1 ) Rg, где [а—коэфициент усиления, a Rg—сопротивление сетка—катод. При оптимальном значении С2 частота максимальна. Дальнейшее улучше-ние стабильности достигается изменением емкости небольшого переменного конденсатора, включенного между сеткой и анодом для осуществления дополнительной подстройки на максимальную частоту.
§ 390. Первые типы пьезогеиераторов. Одна из первых схем, изобретенная автором в 1921 г., действует с помощью пьезоэлектрической обратной связи. В сущности, это усилитель, вход и выход которого связаны через кристалл с двумя парами электродов, как это показано на фиг. 97. Сначала применялся трехкаскадный усилитель сопротивления, но ван Дайк в 1922 г. нашел, что совершенно достаточно одной лампы Ч В первоначальной форме кристалл представляет собой брусок сре за X размерами в направлении X—0,15, У—3,9, Z — 0,7 см, имеющий основную частоту колебаний по длине около 70 kHz. При двух парах электродов, надлежащим образом соединенных, контур колебался на первом обертоне с приблизительно удвоенной основной частотой. Присутствие катушки и конденсатора не являлось необходимым, цепь анода содержала только сопротивление в 12 000 ом. Перестановка одной пары электродов вызывала колебания на основной частоте. Ватанабе [581] теоретически исследовал этот тип генератора. Результаты его исследований нахо-
ного кристаллом генератора, состоящий из усилителя с входом и выходом, связанными через кристалл.
частоты колебаний. В
дятся в согласии с предыдущими утверждениями и, кроме того, доказывают, что при индуктивной анодной цепи схема на фиг. 97 дает основную частоту/^перестановка одной пары электродов дает первый обертон. Его исследования также показывают, по какую сторону резонанса лежат
другом типе генератора, впервые описанном автором, применялась настроенная цепь сетки, причем катушка в ней была очень слабо связана с катушкой в цепи анода. Кристалл заменял собой блокирующий конденсатор между настроенным контуром и сеткой. Хортон и МэррисЬн [234] применяли это устройство в несколько измененном
виде.
Автор применял такЖе пьезоэлектрическую обратную связь для возбуждения металлических стержней на звуковых частотах (§ 383). Тот же самый принцип применен в генераторах, описанных Родэ [1436], Родэ и Хандреком [438] и Мэзоном и Сайксом [343].
§ 391. Схемы Пирса и Пирса — Миллера. Эти две схемы, в особенности последняя, имеют очень широкое применение. В схеме Пирса кристалл находится между сеткой и анодом лампы, а в схеме Пирса —
См. также [325].
460
Глава XIX
Миллера он помещается между сеткой и катодом В простейшей форме, без вариантов, к которым мы обратимся позднее, эта схема изображена на фиг. 98. В схеме а кристалл помещается между сеткой и катодом. Роль кристалла как регулятора частоты уже была объяснена в § 389 с помощью эквивалентной параллельной емкости С р. В главнейших чертах схема состоит из цепи настроенной сетки и настроенного анода с кристаллом, заменяющим настраивающие элементы в ветви сетки. Обратная связь осуществляется через емкость между анодом и сеткой, изображенную пунктирными линиями.
6
Фиг. 98. Схемы пьезогенераторов, а — схема-Пирса—Миллера, б — схе-, ма Пирса,
З-аряды, освобожденные колеблющейся пластинкой в результате пьезоэлектрического эффекта, сообщают сетке переменный потенциал.
Должна существовать возможность настраивать колебательный контур Ь2С2 в пределах значительной области с обеих сторон частоты кристалла. Большая величина отношения L2/C2 дает большое количество гармоник, что бывает выгодно для некоторых целей. Если изменять С2, то при наименьшей емкости (фиг. 98,а) схема обычно не генерирует и постоянная составляющая анодного тока велика. При увеличении С2 в определенной точке возникают колебания, и постоянная слагающая тока уменьшается. Колебательный ток возрастает при увеличении С2д$ тех пор, пока не достигнет критического значения, при котором колебания прекращаются.
В только что описанной схеме Пирса — Миллера кристалл колеб-
’) G. W. Pierce, патент США 1789496, заявленный 25 февраля 1924 г., изданный 20 января 1931 г.; J. М. Miller, патент США 1756000, заявленный 10 сентября 1922 г., изданный 22 апреля 1930 г. В работе Пирса [423] описывается только случай включения кристалла между анодом и сеткой, для которого реактивное сопротивление в цепи анода должно быть емкостным, как указано в § 377. Поэтому примененная Пирсом в цепи анода катушка должна иметь достаточную распределенную емкость, чтобы эта цепь действовала подобно конденсатору. Миллер первый отметил это обстоятельство. Он также, независимо от Пирса, построил колебательный контур с кристаллом между сеткой и катодом и, кроме того, ввел настраиваемый элемент в цепь анода (А2С2 на фиг. 98, а) с отводами от А2 для увеличения выходного тока [115, 369, 461].
В литературе обе схемы типов, изображенных на фиг. 98, имеют обычно название «схем Пирса». В настоящей книге это название также иногда применяется как родовое обозначение к схемам обоих типов, но когда специально говорится о кристалле в цепи сетка — катод, то следует понимать, что речь идет о «схеме Пирса — Миллера».
Пьезоэлектрический генератор
461
лется с частотой, несколько меньшей его антирезонансной частоты, в соответствии с утверждением, сделанным в § 389.
Строго говоря, антирезонансная частота, с которой мы имеем дело, является частотой кристалла и всех связанных с ним емкостей, включая емкость, обусловленную самой лампой. Для достижения удовлетворительных результатов импеданс этой системы в антирезонансе должен быть возможно более высоким. Это условие требует, чтобы Q кристалла было как можно выше. При колебаниях лампа обеспечивает отрицательное омическое сопротивление, необходимое для нейтрализации положительной омической компоненты общего сопротивления (импеданса). Чем меньше присоединенные емкости, тем больше анти-резонансный импеданс и тем лучше генератор. Величина этого анти-резонансного импеданса является полезным показателем качества генератора.
Вместо Q для ветви RLC схемы с кристаллом иногда используется антирезонансное Qa, которое является отношением индуктивного сопротивления к эффективному омическому сопротивлению кристалла и присоединенных емкостей при частоте антиреэонанса. Это Q, много меньше, чем Q. Например, для среза ВТ кварца в интервале от 5 до 10 MHz Q может быть порядка 500 000, a Qa только около 10 000.
На фиг. 98, б показана схема с кристаллом между сеткой и анодом. Эта схема ультразвукового типа. Элемент настройки в ней заменен кристаллом. Обратная связь осуществляется через сам кристалл, причем колебательный контур служит для установления оптимального значения реактивного сопротивления (емкостного).
§ 392. Безотносительно к эквивалентной схеме роль колеблющегося кристалла в поддержании колебаний можно объяснить следующим образом. Допустим, что кристалл присоединен согласно фиг. 98, а или 98, б, но не колеблется. Тогда через лампу с фиксированным положительным статическим зарядом на аноде и с отрицательным зарядом на сетке течет неизменный по величине электронный ток. Благодаря разности потенциалов между сеткой и катодом (или между сеткой и анодом) кристалл испытьрзает небольшую статическую деформацию из-за обратного пьезоэлектрического эффекта. Если теперь возникает любое малое мгновенное нарушение, делающее сетку 'Долее отрицательной, то деформация возрастает. Кристалл получает ударное возбуждение, заставляющее его колебаться1- Благодаря прямому пьезоэлектрическому эффекту эти колебания создают переменное напряжение на сетке, которое вскоре затухает, если его ничто не поддерживает. Но это переменное напряжение на сетке вызывает изменение анодного тока, происходящее с той же самой частотой, меняющее при этом анодный потенциал на величину и фазовый угол, зависящие от общего^ сопротивления в цепи анода. Если это общее сопротивление лежит внутри определенной области значений, то эффект становится кумулятивным. При каждой волне тока к сетке анод меняет свой потенциал таким образом, чтобы увеличить интенсивность волны, компенсируя, таким образом, потери энергии в кристалле и в цепи сетки и повышая амплитуду колебаний, вместо того чтобы понижать ее. Это продолжается до тех пор, пока не достигается равновесие, совершенно так же, как в любом другом колеблющемся устройстве. Часть энергии питания анода посредством колебаний кристалла обращается в энергию переменного тока. Если кристалл не колеблется, колебаний в схеме не будет.
Благодаря высокому Q кристалла его резонансная область очень узка. Поэтому генератор, однажды начав работать, поддерживает свою частоту колебаний исключительно постоянной. В широких пределах любое изменение условий в схеме, как, например, изменение температуры катода или анодного напряжения, может воздействовать на частоту только в том смысле, что заставит кристалл колебаться на иной точке резонансной кривой. Равносильным утверждением будет следующее: индуктив-
0 Механическая инерция резонатора играет роль, аналогичную электромагнитной инерции, или самоиндукции, эквивалентной схемы.
462
Глава XIX
ностЬ L резонатора так исключительно велика и его емкость С так мала по сравнению с эффективной индуктивностью и емкостью остальных частей схемы, что ни при каких условиях частота не может сильно отклоняться от (1/2 тг )(LC)“ Ч
§ 393. Минимальные размеры кристалла для пьезогенератора. Для данной частоты длину бруска или толщину пластинки можно считать фиксированными. Вопрос состоит в том, насколько узок может быть брусок или насколько мала площадь пластинки для того, чтобы последняя все еще регулировала частоту в схеме Пирса. Во всяком случае возникает еще вопрос о минимальных размерах электродов, причем предполагается, что они покрывают всю поверхность кристалла. Так как резонатор, как бы мал он ни был, все же обладает индуктивным сопротивлением в определенной области частот, поскольку затухание достаточно мало, то нет теоретических оснований для того, чтобы он не стабилизовал частоту в схеме Пирса. Однако существуют два практических соображения для установления нижнего предела. Первым соображением является трудность монтировки очень малых резонаторов, имеющих достаточно высокое Q. Вторым соображением является необходимость некоторого минимального колебательного тока сетки. При очень малой площади электродов потребовалось бы слишком высокое напряжение на кристалле. Влияние сопротивления кристалла на условия колебаний рассматривается Ватанабе [581] и Вигурё [652, 653].
§ 394. Пьезогенератор может функционировать либо как генератор Хартлея, либо как генератор Колпитса, в зависимости от расположения' кристалла в схеме. Эти два основных типа генераторов схематически
Фиг. 99. а — генератор Гартлея; б — генератор Колпитса.
изображены на фиг. 99, где а соответствует фиг. 98,а. Если кристалл помещен между сеткой и катодом, он колеблется на высокочастотной стороне резонанса и поэтому обладает индуктивным сопротивлением. Кристалл соответствует Lh> а индуктивно настроенный колебательный контур — L\, емкость же сетка—анод соответствует Сн.
Если кристалл расположен между сеткой и анодом, то мы имеем ’ схему Колпитса. Если сеточная цепь емкостная (на практике часто параллельно R\ включается конденсатор), соответствующая Сс, и если колебательный контур также емкостный и соответствует С'с, то колебания могут иметь место на высокочастотной стороне резонанса кристалла. Здесь кристалл заменяет Zc.
Пьезоэлектрический генератор 463
Для области более высоких частот, для которых применяются главным образом колебания по толщине, обычно используется соединение сетка—катод, показанное на фиг. 98, а. Та же самая схема может быть, конечно, применена и для низких частот, хотя для этой цели чаще употребляют соединение сетка — анод.
В простой схеме Пирса — Миллера, как и во всех генераторах, стабилизуемых кристаллом, наилучшие результаты получаются с помощью ламп с большим коэфициентом усиления. Подходящим является триод 801 с анодным напряжением в 300 V или меньше, для того чтобы не подвергать опасности кристалл. Вопрос о максимальном допустимом токе через кристалл рассматривается в § 257.
§ .395. Видоизменения схемы Пирса — Миллера. Показанные на фиг. 98 простые схемы, в которых применена лампа-триод, имеют довольно низкую выходную мощность, а частота их недостаточно постоянна, чтобы удовлетворить жестким требованиям контрольно-измерительной техники. Как и во всех генераторах, при возрастании анодного напряжения возрастает мощность, а также и ток в кристалле. Так как ток кристалла пропорционален амплитуде колебаний, то при анодном напряжении, много большем, чем 250 V, появляется опасность разрушения кристалла. Что касается частоты, то любое медленное изменение или внезапная флюктуация параметров схемы, вызванные, например, изменениями температуры или напряжения питания, могут изменить величину емкости сетка—анод или импеданса анода и, таким образом, для удовлетворения условий возможности колебаний заставить кристалл совершать колебания на другой частоте. Кроме того, даже если резонатор имеет нулевой температурный коэфициент, резонансная частота самого кристалла будет меняться при изменении тока, протекающего через него. Наилучшая стабильность частоты в этой простой схеме получается при использовании сравнительно низкого отношения L2 к С2 в колебательном контуре, особенно для более высоких частот.
Выходная мощность может быть увеличена до многих ватт путем замены сопротивления 7?i на фиг. 98,а 9 ограничивающим фильтром и батареей смещения. Весьма существенным является соответствующий выбор смещений на управляющей сетке, так как ток в кристалле возрастает при увеличении смещения. В качестве варианта способа получения смещения сетки с помощью одного сопротивления введено показанное на фиг. 100 катодное смещение, при помощи которого стабилизуется потенциал между сеткой и катодом благодаря постоянному падейию потенциала на сопротивлении R2, последовательно соединенном с косвенно подогреваемым катодом. Выяснилось, что с этим устройством, которое можно использовать без 7?i, но с дросселем, соединенным параллельно с кристаллом, легче вынудить кристалл совершать колебания. Часто применяется комбинация из гридлика с сопротивлением в цепи катода, по крайней мере для триодов. Одно катодное смещение рекомендуется для частот выше 1500 kHz.
Критериями при выборе ламп являются высокое усиление, низкая емкость сетка — анод, малый ток в кристалле и достаточная выходная мощность.
Из всех различных современных схем пьезогенераторов, являющих*-ся большей частью разновидностями схемы Пирса — Миллера, мы
’) A. Crossley, патент США 1696626 (1928): см. также [115]. Кросслей получил на выходе мощность в 100 w от одной лампы на частотах от 300 до 400 kHz.
464
Глава XIX
приводим на фиг. 100 только одну. Эта схема широко применяется в любительских передатчиках и хорошо подходит для лабораторного употребления. Лампа может быть как тетродом ( в этом случае изображенная на рисунке антидинатронная сетка должна быть опущена), так и пентодом. Эти лампы дают следующие преимущества: высокое усиление, большую мощность без пробоя кристалла и хорошую стабильность частоты в результате действия экранной сетки. При больших значениях отношения ярко выражены гармоники. Когда приме-
няется пентод, антидинатронная сетка может быть заземлена или же для увеличения мощности на нее можно подать небольшой положительный потенциал Как показано на фигуре, использованы как гридликовое, так и катодное смещения. Если емкость сетка — анод не обеспечивает достаточной обратной связи, можно включить между сеткой и анодом небольшой вспомо-
-В0 +SG0 + В0
Фиг. 100. Пентодный пьезогенератор.
гательный конденсатор. Для предохранения кристалла емкость должна быть насколько возможно мала. Отношение L2/C2 обычно больше, чем в схемах триода.
Пушпульный пьезогенератор применяется как с триодами, так и с тетродами * 2). Гаррисон в некоторых своих опытах пользовался кристаллом с четырьмя электродами, причем колебания осуществлялись через обратную пьезоэлектрическую связь, как описано в § 390. В других случаях кристаллы имели два электрода, и колебания поддерживались так же, как в схеме Пирса — Миллера. Генераторы Гаррисона, невидимому, особенно хорошо подходят для низкочастотных колебаний, включая и колебания, стабилизованные пластинками, совершающими колебания изгиба. Гаррисону удалось получить мощность в 5W на выходе с резонатором колебаний изгиба. Мощность, получаемая от 2 ламп в пушпуле, может быть в полтора раза больше, чем мощность от одной лампы. Для пушпульных схем характерно то, что все четные гармоники исключаются.
§ 396. Низкочастотные пьезогенераторы. Для кристаллических стабилизаторов можно использовать любой пьезорезонатор низкочастотного типа, описанный в гл. XVII и XVIII. На практике применяется почти исключительно кварц. Сегнетова соль пригодна главным обра
О Подходящими лампами являются пентоды 41, 42, 6F6 и 802 или тетроды лучевого типа 6L6 и 807. При максимальном анодном напряжении с лампой 807 можно получить мощность по крайней мере 10W для частот выше 1500 kHz. Следующие типовые величины элементов схемы, показанные на фиг. 100, взяты из Radio Amateur’s Handbook: С2 не более 100 рр- F, при L2, рассчитанной для употребляемой частоты; Сз и С$ — по 1000 р-р- F или более; С4 — 0,01.- F; /?1 — от 10 000 до 50 000 й ; R2—от 250 до 400 Й.
2) Пушпульные пьезогенераторы описаны, например, Гаррисоном [207] и Кога [266]. См. также I. F, Byrnes, британский патент 277008 (1927) и патент США 1722196 (1929).
Пьезоэлектрический генератор
465
зом для экспериментальных работ и демонстраций. Различные типы можно классифицировать следующим образом:
1. Бруски и пластинки с колебаниями по длине. Вследствие редкости и дороговизны больших пластинок кварца, а также вследствие невозможности построить генераторы с очень короткими брусками обычные пределы частоты для этого типа равняются 80—300 kHz.
2. Широкие пластинки, обычно вращаемого среза (как описано в § 358), совершающие контурные сдвиговые колебания. Ими можно пользоваться для частот примерно от 70 до 1000 kHz.
3. Бруски с колебаниями изгиба типа, введенного Гаррисоном [205], с двумя или более парами электродов, или одного из типов, описанных в § 354, с одной парой электродов. Областью применения являются частоты от 1 до 100 kHz.
4. Бруски с колебаниями кручения. Область частот примерно та же, что и для колебаний изгиба. Практического применения эта форма колебаний, повидимому, не нашла.
5. Двойные бруски Кюри с колебаниями изгиба. Два очень тонких кварцевых бруска склеены так, как это описано в § 354. С помощью этого метода Грамон и Берецкий [185, 186] получили колебания на частотах вплоть до 50 Hz.
6. Сдвоенные высокочастотные пластинки с биениями. Используются два различных кристалла или один кристалл с двумя участками различной толщины (Хунд [238—241]). Этот метод, повидимому, применяется главным образом при экспериментировании 0, а не в обычной, практике.
Другие типы низкочастотных срезов кварца для пьезогенераторов описываются в § 357 и 359.
Какая бы форма колебательного контура ни применялась, следует помнить, что низкочастотные кристаллы обладают относительно большой массой и довольно низкой активностью и легко пробиваются от перенапряжения. Практика показывает, что для использования маломощных ламп необходимо высокое значение отношения L/C в анодной цепи и высокое сопротивление гридлика.
Среди применяемых схем схема Пирса является наиболее употребительной, хотя «тритет» (см. ссылку к работам Лэмба [300] и [301] в конце главы) и схема моста могут быть также использованы. Грамон и Берецкий упоминают об использовании релаксационных схем для получения очень низких частот* 2). Механически регулируемую обратную связц^применял Гаррисон [207] для генераторов изгиба и Роде [437] для колебаний по длине.
Пьезогенераторы, в которых используются колебания кручения, описали Тси-Зе и Цин [530], Цин и Сун-Хунг [536], а также Хунд и Райт [242].
§ 397. Высокочастотные пьезогенераторы. Для этой цели используются только колебания по толщине, обычно сдвигового типа, и косые
О Пирс [423] первым выдвинул предложение, приведшее к методу 6. См. также '284], [184], A. Wertli, Helv. Phys. Acta 6, 495 (1933) и [182]. Известны случаи, когда пластинка, однородная по толщине, участвует одновременно в двух формах колебаний, близких по частоте, причем на выходе получаются две отдельные частоты, которые можно обнаружить по тону биений. См., например, F. В е d е a u е t J. de Mare, Compt. rend. 185, 1591—1593 (1937), [444], [568].
2> По вопросу об использовании релаксационных генераторов см. также [129], [239] и [252].
30 Кэди
466
Глава XlX
срезы с низким температурным коэфициентом. Для одного и того же среза основная частота меняется обратно пропорционально толщине.
В последние годы попытки увеличить частоту стимулировались частично потребностью в коротких волнах в технике связи и частично успехом Штраубеля, полудившего в 1931 г. очень высокие частоты с помощью турмалиновых генераторов (§ 400). В годы, следующие за исследованиями Штраубеля, экспериментальные работы Фокса и Ундервуда [148], Остерберга и Куксона [403], Иода [596], Грамона и Берецкого [186], Кога [278], а также Уда и Ватанабе [[538] с убедительной ясностью доказали, что кварцевые пластинки могут возбуждать колебания на частотах, практически столь же высоких, как и в случае турмалина. Это обстоятельство, дороговизна даже маленьких турмалиновых пластинок, а также относительно высокий температурный коэфициент частоты турмалина практически исключили турмалин из материалов^, пригодных для возбуждения коротких волн и радио.
В некоторых из только что приведенных опытов использовались кварцевые пластинки толщиной меньше чем 0,1 мм. Камаячи и Ватанабе приводят результаты опытов с пластинками толщиной всего лишь 0,015 мм, дающими длину волны 1,8 м. Грамон и Берецкий указали, что для соответствия со входным импедансом лампы следует употреблять тонкие пластинки с малой площадью. Они рекомендуют отношение диаметра к толщине между 30 и 40.
В общем считается нецелесообразным применять кварцевые пластинки толщиной меньше 0,2 мм, что соответствует 15 MHz для основной частоты. Для еще более высоких частот обычно применяются схемы умножения частоты, причем основная частота стабилизуется кварцевой пластинкой подходящей толщины, например 1 мм.
Можно избегнуть сложности схем умножения частоты, заставляя сам кристалл колебаться на высокой гармонике частоты. Стабилизация этого типа с помощью кристалла с относительно низким порядком гармоник достигнута некоторыми из названных выше исследователей. Тем не менее в прошлом встретились затруднения в том, что порядок гармоник, по крайней мере в отношении обычной схемы Пирса — Миллера, жестко ограничивался соображениями, изложенными в § 296. Совсем недавно эти препятствия были преодолены Мэзоном и Фэйром [141], [341], которые поместили кварцевую пластинку (среза АТ или ВТ) в емкостной мост 9 между сеткой и землей. Этим способом было исключено вредное действие параллельной емкости С]. Для более детального ознакомления с этой схемой следует обратиться к оригинальной работе. Пользуясь 23-й гармоникой среза АТ, Мэзон и Фэйр получали частоту в 197 MHz. Удваивая частоту, они смогли дойти до 300 MHz (Х = 1 м).
§ 398. Другие схемы стабилизации кристаллом. Было описано много схем, большинство из которых является вариациями схемы Пирса — Миллера. Сюда входят передаточные схемы различной мощности и различных частот, первичные и вторичные стандарты частот, мониторы, мультивибраторы, умножители и делители частоты и приемные схемы. В некоторых из них кристалл побуждают колебаться на собственной резонансной частоте, вместо того чтобы он колебался на индуктивной
*) Методы моста для балансировки параллельной емкости Ci были давно известны, особенно для приемных схем. См. также [58].
Пьезоэлектрический генератор 467
стороне резонансной кривой Д В конце настоящей главы приведены несколько ссылок, выбранных из обширной литературы по этому вопросу.
Две формы пьезогенераторов используют иные, не чисто электромеханические, способы связи кристалла с колебательным контуром. Одна из них использует звуковой пучок, другая — световой. Уилер и Бауер [583] описали схему, в которой стабилизующим кристаллом является большой кварцевый брусок, совершающий колебания изгиба, причем колебания поддерживаются звуковыми волнами от телефонной мембраны, которая, в свою очередь^ возбуждается выходным током усилителя, к которому присоединен кристалл. Метод светового пучка, предложенный автором [104], использует колебания по длине кварцевого бруска среза X, через который проходит параллельно оси Z пучок поляризованного света. Свет, модулированный периодическими деформациями в кристалле, попадает на фотоэлемент, ток от которого усиливается и подводится к электродам резонатора * 2 3 *\
В двусторонней телеграфной связи детектор на приемном конце может иметь связанный с ним маломощный пьезогенератор, стабилизованный кристаллом, имеющим частоту, отличающуюся, скажем, на 1000 Hz от частоты отправляющего конца. Таким образом возбуждается звук гетеродина большой частоты.
Следует специально упомянуть о пьезогенераторе «мостовой стабилизации» очень высокого постоянства 3), описанном Мичемом [357]. Кристалл образует одну ветвь моста, остальные три ветви которого являются сопротивлениями. Одна диагональ моста индуктивно связана с входом усилительной лампы, другая — с выходом. Анализ Мичема показывает, что кристалл колеблется на собственной резонансной частоте, действуя как фильтр. Схема стабилизуется от всех флюктуаций тем, что имеет температурный контроль на одной из являющихся сопротивлениями ветвей моста. В течение нескольких часов изменения частоты не превышали + 2-10—8 . В дополнение к практическому ее применению, эта схбмД оказалась лучше хронометра при использовании ее в качестве стандарта времени при гравитационных измерениях.
§ 399. Пьезогенераторы стандартной частоты и кварцевые часы. Под этим заголовком мы объединяем первичные и вторичные стандарты частот, переносные частотные мониторы и кварцевые часы.
5десь мы коснемся только кристаллов, применяемых для этих целей. В конце главы приведен перечень литературы, служащий путеводителем по вопросам о схемах и температурной стабилизации.
Для всех вышеназванных целей главным требованием к кристаллу является очень низкое затухание и небольшой температурный коэфициент частоты. Формы колебаний, иные, чем та, которая выбрана для работы, не доставляют бесцокойства, пока они далеки от нее. С другой стороны, следует обратить большее внимание на монтировку (особенно в первичных стандартах и в кварцевых часах), чем обычно уделяется в других случаях использования кристаллов.
О См., например, работы [58] и [216].
2) В Engineering (London) 124, 841 (1927) опубликован доклад об измерении частоты колеблющейся кварцевой пластинки, помещенной между скрещенными ни-колями таким образом, что пучок света, модулированный кристаллом, отражался вращающимся с определенной угловой скоростью зеркалом.
3> Краткий анализ теории дан в Gen. Radio Experimenter 18, № 2, 6—8 (1944).
30*
468
Глава XlX
Первичный1 * 3 стандарт частоты представляет собой сложный и тщательно разработанный аппарат для стационарной работы. В основном это стабилизованный кристаллом генератор наивысшей точности с усилителем к схемой для умножения и деления частот кристалла. Обычно выход на одной из низких деленных частот, допустим, 1000 Hz, приводит в движение синхронный мотор, связанный с циферблатом таким образом, что можно точно определить интервалы времени и сравнивать показания с другими стабилизованными кристаллом стандартами и с маятниковыми часами. Такое устройство называется кварцевыми часами.
В настоящее время установлено, что • кварцевые часы, по> крайней мере в течение ограниченного промежутка времени, более точны, чем лучшие астрономические маятниковые часы. Путем сравнения с кварцевыми часами были выявлены небольшие изменения скорости хода астрономических часов, вызываемых флюктуациями вращения Земли.
Первичные стандарты обычно состоят из трех или более независимых, стабилизованных кристаллом генераторов. Преимуществами этого устройства является: 1) то, что оно продолжает работать, если даже один генератор остановится, как это бывает при перегорании лампы; 2) возможность обнаружения неправильности в работе любого генератора; 3) высокая точность в течение долгого промежутка времени Р.
Мы не имеем возможности заниматься здесь рассмотрением методов и техники сравнения частот со стандартами.
Вторичные стандарты подобны первичным, но обычно дают меньшую точность, и требования к ним ниже, чем к часам.
Кристаллические мониторы представляют собой небольшие переносные вторичные стандарты малой мощности с ограниченной областью частот. Некоторые их разновидности имеют шкалу для непосредственного отсчета частоты.
При Бюро стандартов имеется семь стабилизованных кварцем первичных стандартных генераторов, из них шесть имеют пластинки среза GT на 100 kHz в мостовой схеме стабилизации и один — брусок специальной формы на 200 kHz в измененной схеме Пирса. Кристалл в каждой ячейке прибора поддерживается при постоянном давлении в небольшом герметически закупоренном металлическом ящике в термостате. Для лучших образцов высокочастотных стандартов при нормальных условиях работы кратковременное отклонение частоты меньше чем 2-10-9. Сползание частоты за месяц меньше чем 2 • 10~9, а за день меньше чем 10—10.
Стабилизуемый кристаллом стандарт при Национальной физической лаборатории в Англии, согласно последним сведениям [139], [69], содержит кольцо на 100 kHz, описанное в § 357. В вакууме при постоянной температуре нестабильность составляет —Н4- 10—10 за часовой период и 1 • 10—8 за месячный период. «Длиннопериодная устойчивость», согласно Эссену 2), составляет 2-10—8.
По Шейбе [647], в четырех кварцевых часах, находящихся в Германии 3), применены кварцевые бруски с длиной, параллельной X или У (§ 349). Частота равна 60 kHz. Бруски отделяются от электродов зазором в 1 мм и монтируются в вакуумном термостате. Для этих часов
См. Е. W. Brown and D. Brower, Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 91, 575—591 (1931).
2) Cm. [69], стр. 131.
3) Physikalisch-Technische Reichsanstalt.
Пьезоэлектрический генератор
469
дневное изменение составляет меньше 2 • 10~10, месячное — около 3 • 10—* 9.
В первичных стандартах General Radio используется 50-килогерцеи вый кварцевый брусок среза X с длиной, параллельной Уп (см. фиг. 101). Размеры: X — 9,4 мм, У — 54,4 мм, Z — 7,0 мм при R, равном приблизительно 2700 ом, и Q около 85 000 ом.
Температурный коэфициент частоты составляет от —0,7- 10—6 до —1,5- 10—6. Электроды состоят из химически нанесенного серебра, защищенного слоем меди или золота или того и другого вместе. При обычном использовании короткопериодная стабилизация имеет порядок от 2 до 3 • 10—9. После 3—4 недель начального периода сползания частоты генератор переходит к медленному сползанию, обычно к увеличению частоты от 1 до 2-10—6 за год.
Фиг. 101. Кварцевый брусок среза X для первичного стандарта частоты. Брусок зажат между двумя упругими прокладками в средних точках поверхности YZ. На обоих! концах бруска поставлены успокоители на резонанс в И волны, которые и устраняют по крайней мере 90% потерь на акустическое излучение с концов бруска. Излучение с граней бруска незначительно.
Повидимому, кристаллы, работавшие в течение нескольких лет, не имеют систематического сползания частоты, а лишь случайные отклонения от неизвестного начального значения на 1—2 - 10—7.
В мониторах General Radio используются пластинки среза А Т с частотой от 500 до 5000 kHz. Пластинки
монтируются в держателях с регу-
лируемым зазором. Электродами служит хромовое покрытие.
§ 400. Пьезогенераторы с кристаллами из сегнетовой соли и турма-лина. Благодаря большому значению пьезоэлектрических констант сег-нецювюй соли бруски срезов X, У или Z из этого материала можно легко заставить колебаться в схемах Пирса — Миллера. Тем не менее, вследствие своих механических и термических свойств эти кристаллы для практического применения непригодны. Было опубликовано много сведений о работе этих кристаллов в качестве резонаторов и в первую очередь для целей определения динамических упругих и пьезоэлектрических констант, а об их использовании в качестве пьезоосцилляторов мы находим в литературе лишь одно единственное упоминание в (работах Пирса [423] и Михайлова [366].
Турмалиновые генераторы^ были введены Штраубелем в 1931 г., когда он получил на выходе 5 W при длине волны, равной 7 м. Ему удалось получить от кристалла стабилизующее действие до длины волны в 2 м. В своей второй работе он сообщает об осуществленной им прямой стабилизации на волне в 80 см (толщина кристалла лишь 0,01 мм), но считает, что лучше использовать стабилизацию кристаллом
’) Кляпп установил, что бруски среза X, вырезанные под углом 9 =+18с и—48° от оси Y, имели более высокие Q, но зато и более высокие температурные коэфициенты. При 9 = — 5° температурный коэфициент в среднем меньше, чем при
9 =0, но Q совсем низко. Когда 50-килогерцевый брусок с длиной, параллельной У, работает на второй гармонике, Q значительно больше и при 60°С температурный коэфициент равен нулю.
, 2) См. список литературы в конце главы.
470
Глава XIX
на 2 м, сопровождаемую троекратным умножением частоты. В своей третьей статье Штраубель описывает стабилизацию магнетрона на волне 1,6 м.
Оуэндер и Буссман, а также Кюнхольд достигли длины волны около 1,6 м.
Экспериментаторы, перечисленные в конце настоящей главы, использовали различные схемы, в том числе схему Пирса, пушпульную и схему стабилизации. Было сделано несколько измерений температурного коэфициента; среднее значение из этих измерений равно 40-Ю-6. При одинаковой толщине турмалин дает частоту примерно на 35% выше, чем кварц. Частотная постоянная равна 3750 kHz • мм.
Надо еще учитывать, что турмалиновые кристаллы имеют вообще высокий температурный коэфициент и что во время колебаний температура их заметно повышается. Хейерле обнаружил повышение температуры на 10° в час (см. также работы Буса и Диксона). Приведенные факты не говорят в пользу применения турмалина вместо кварца при высоких частотах.
Во всех выполненных до сих пор экспериментальных работах применялся турмалин среза Z, причем пластинки имели форму диска в несколько миллиметров диаметром. Колебания по толщине были колебаниями сжатия с деформацией, выражаемой равенством zz = diZEz. Важным преимуществом турмалина, особо отмеченным Штраубелем и Петр-жйлкой, является то, что, благодаря симметричности упругих свойств относительно оси Z, в направлении Z распространяются очень чистые волны сжатия. Поэтому в случае турмалина нежелательные формы колебаний и паразитные частоты доставляют меньше неудобств, чем в случае кварца.
§ 401. Теория пьезогенератора. Самая первая' попытка разрешить задачу кристаллического генератора была сделана Терри [517] в 1928 г. в статье, которая была посвящена главным образом условиям стабильности частоты. В ней учитывается омическое сопротивление контура, но характеристика ла^пы считается линейной. В последующие годы появился целый ряд других вариантов теории каждый из которых содержал определенные упрощающие допущения. Один из наиболее совершенных вариантов принадлежит Вигурё [568], [652], [653], который вывел формулы для частоты и тока в зависимости от данных кристалла, лампы и параметров схемы. Эти формулы хорошо согласуются с опытом.
Следует особо упомянуть о работе Ллевелина 1931 г. [318], содержащей анализ схем Хартлея, Колпитса и других схем, причем значительное внимание уделено условиям стабильности частоты. Выводы применены к стабилизации частоты кристаллом.
Заключения Вигурё и Ллевелина- оказались чрезвычайно полезными для понимания работы схемы Пирса и для предвычисления различных констант.
Ватанабе и Уцуи в своих работах пользовались для анализа резонансным кругом. Ватанабе детально изучал влияние зазора при последовательном соединении с кристаллом.
!) Перечень наиболее важных статей по этому вопросу приведен в конце главы.
П ьезоэлектрический генератор
471
ЛИТЕРАТУРА 1)
ТЕОРИЯ ПЬЕЗОГЕНЕРАТОРА
№ 56, 57, 200, 201, 215, 216, 247, 268, 420, 472, 517, 540, 568, 581, 582, 593, 653.
СХЕМЫ ПЬЕЗОГЕНЕРАТОРОВ
№ 31, 33, 36, 38, 43, 50, 58, 69, 72, 82, 104, 206, 207, 211, 216, 227, 244, 260, 268, 280, 284, 285, 297. 298, 300, 301, а также I. Koga and W. Yamamoto, Electrotechn. Journ. (Japan) 4, 110—115 (1940), 302, 318, 324, 357, 358, 390, 408, 443, 502, 561, 583, 647.
РАБОТА ПЬЕЗОГЕНЕРАТОРОВ, ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТЫ ОТ ДАННЫХ СХЕМЫ
№ 2 3, 6 7, 56, 57, 69, 70, 72, 77, 82, 127, 179, 215, 216, 227, 235, 268, 274, 282, 302, 324,’388, 444, 520, 560, 562, 581, 629, 630, 639, 647, 653.
ПЬЕЗОГЕНЕРАТОРЫ ДЛЯ ОЧЕНЬ ВЫСОКИХ ЧАСТОТ
№ 141, 148, 186, 249, 278, 341, 403, 538.
СТАНДАРТЫ ЧАСТОТЫ И КВАРЦЕВЫЕ ЧАСЫ
№ 139, 182, 248, 277, 330, 331’, 336, 562, 647, 652, 653.
Adelsberger U., Оборудование для передачи эталонных частот с германского передатчика, Hochfreq.-tech. u. El.-akust. 52, 146—150 (1939), Adelsberger U., Очень точные измерения времени и частоты, Elektr. Nachr.-techn. 12, 83—91 (1935).
Clapp J. К., Универсальная стандартизация частот по единому эталону частоты, Journ. Opt. Soc. Amer. 15, 25—47 (1927).
Clapp J. K. and Crawford J. D., Стандартизация частот, QST 14, 9—15 (март 1930).
Decaux В., Измерения частот в Laboratorie National de Radioelectricite, L'Onde electrique 15, 411—439 (1936).
Dobberstein H., Об изготовлении двух промышленных кварцевых часов, Zs. f. Instrumentenkunde 61, 188—191 (1941).
Dobberstein H., Малые кварцевые часы, Zs. f. Instrumentenkunde 62, 296—301 (1942).
Essen L., Международные сравнения частот с помощью эталонных радиосигналов, Proc. Roy. Soc. (London) 149, 506—510 (1935).
GeoZge W. D., Получение точных односекундных промежутков времени, Journ. \Research. Nat. Bur. Stand. 21, 367—373 (1938).
HalFF. L., Heaton V. E. and Lapham E. G., Национальный основной эталон радиочастот, Journ. Research Nat. Bur. Stand. 14, 85—98 (1935).
Harnwell G. P. and Ku per J. В. H., Лабораторный эталон частот, Rev. Sci. Instr. 8, 83—86 (1937).
J a t k a t S. К. K-, Абсолютная частота пьезоэлектрических кварцевых генераторов, Jpurn. Indian Inst. Sci. 22A, 1—17 (1939).
Loomis A. L., Точное измерение времени, Monthly Notices Roy. Astron. Sjoc. 91, 569—575 (1931).
Loomis A. L. and M a r r i s о n W. А., Современное развитие точных хронометров, Electrical Engineering 51, 542—549 (1932).
Meacham L. А., Точные сравнения частот, Bridge of Eta Kappa Nu 36, 5—8 (февраль—март 1940).
Nickey L. and Martin A. D., Развитие передатчиков эталонных частот, Journ. Research Nat. Bur. Stand. 12, 1—12 (1934).
О По вопросу о пьезогенераторах опубликовано несколько сот работ и бесчисленное количество патентов на различных языках. Исчерпывающая библиография была бы настолько длинной, что не достигала бы своей цели. Приведенный здесь распределенный по разделам список литературы (цифрами указаны ссылки на общую библиографию) является перечнем избранных характерных работ, достаточно новых для практического применения. Надеюсь, что из этого перечня не выпало ничего существенного. Дополнительную литературу читатель может найти в руководствах по радио и в многочисленных научных, технических и радиолюбительских журналах. Много полезных сведений содержится в Справочнике радиолюбителя (Radio Amateur’s Handbook), в Радиосправочнике (Radio Handbook) и в бюллетенях фирм.
472
Глава XIX
Rohde L. und Leonhardt R., Кварцевые часы и генератор эталонных частот, Elektr. Nachr.-techn. 17, 117—124 (1940).
S с h е i b е А., Кварцевые часы: конструкция, скорость и частота, Arch. f. tech. Messen, часть 122, листы Т 114—115 (1941).
Scott Н. J., Генератор точных радиочастот, Bell Labs. Record 4, 102—108 (1932).
Stansel F. R., Вторичный эталон частот с применением регенеративных контуров, делящих частоту, Proc. Inst. Radio Eng'. 80, 157—162 (1942).
Tomlinson G. А., Новейшие достижения в точном хронометраже, Observatory 57, 189—195 (1934).
Vigoureux J. E. T. and Stoakes H. E., Полностью электрические часы, Proc. Phys. Soc. (London) 52, 353—357 (1940).
Wheeler L. P. and Bower W. E., Новый тип пьезогенератора эталонной частоты, Proc. Inst. Radio Eng. 16, 1035—1044 (1928).
ПРИМЕНЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ В ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИИ
№ 125, 284, 375.
ТУРМАЛИНОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ
№ 14, 70, 148, 218, 291, 314, 348, 349, 403, 419, 487, 489, 494, 495, 496.
ГЛАВА XX
СЕГНЕТОВА СОЛЬ
ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ТЕХНОЛОГИЯ
§ 402. Описание свойств. Сегнетова соль является настолько важным диэлектриком (как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения техники), что ее следует рассмотреть более подробно. Подобно кварцу, сегнетова соль энантиоморфна, но обычно встречается ее правовращающая форма, получаемая из натуральной винной кислоты виноградных лоз. Винная кислота встречается главным образом в правовращающей форме. Синтетически можно получить левовращающую форму, а также и оптически неактивные- мезовинную и рацемическую кислоты. Вместе с несколькими более или менее сходными с ней кристаллами сегнетова соль обладает настолько своеобразными свойствами, что им приписывается иногда специальное название «сегнетоэлектрики» (в литературе можно также найти термины «ферро-электрики» и «ро-шел-электрики»).
В настоящем описании мы будем рассматривать только самую сегнетову соль. Наиболее исключительной чертой сегнетовой соли, при-ведщей к открытию и других замечательных ее свойств, является колоссальный пьезоэлектрический эффект, недостижимый ни в каких других известных веществах. Несмотря на ее довольно слабую механическую прочность и низкую температуру разложения (55°С), сегнетова срль находит большое техническое применение, особенно в области дкустики. Главный научный интерес представляют ее электрические аномалии.
Эти аномалии связаны с эффектами, наблюдаемыми с полями в направлении X и напряжениями сдвига в плоскости YZ. Пьезоэлектрические модули d.25 и d36, хотя и имеют значения, большие чем у большинства других кристаллов, специальных особенностей не обнаруживают, так же как и диэлектрические постоянные в направлениях Y и Z. Диэлектрические постоянные bi направлениях Y и Z имеют значения порядка 10 и обладают малым температурным коэфициентом.
В электрических полях в направлении X диэлектрические свойства сегнетовой соли обнаруживают часто обсуждаемую аналогию с ферромагнетиками. Точно так же, как железо и другие ферромагнетики характеризуются максимальной магнитной проницаемостью при определенной температуре (точка Кюри), выше которой проницаемость быстро падает, так и сегнетова соль обладает критической температурой, называемой по аналогии «точкой Кюри» 1}, при которой имеют место аналогичные изменения диэлектрической постоянной k 'х незажатого кристалла. Для железа точка Кюри лежит около 770° С, а для сегнетовой соли — около 24° С, т. е. несколько выше комнатной температуры. По аналогии с ферромагнитным и парамагнитным состоянием железа
О Термин «точка Кюри» впервые был применен к сегнетовой соли Валашском [542].
474
Глава XX
ниже и выше 770°С для соответствующих состояний сегнетовой соли применяются термины «сегнетоэлектрическое» и «параэлектрическое» состояния. Однако в 'противоположность железу сегнетоэлектрическое состояние относится к области довольно низких температур, примерно от—18° С до 4- 24° С. Ниж[няя критическая температура называется «нижней точкой Кюри». Подобно верхней точке Кюри, она характеризуется максимальным значением диэлектрической постоянной k'x для незажатого кристалла
В сегнетоэлектрической области связь между поляризацией и полем нелинейна, и кристалл обнаруживает диэлектрический гистерезис. Действительное параэлектрическое состояние, в котором исчезает гистерезис и поляризация становится пропорциональной полю, наблюдается только выше + 32° С и ниже — 26° С. Между этими температурами и точками Кюри свойства кристалла несколько искажены близостью сегнетоэлектрической области. Условимся обозначать верхнюю и нижнюю точки Кюри соответственно буквами 0м и 6Z. Далее будет показано, что значение этих температур меняется от механического сжатия и от приложенного гидростатического давления.
§ 403. Рассмотрим теперь основные особенности пьезоэлектрических и диэлектрических свойств сегнетовой соли.
Прямой пьезоэлектрический эффект. Значения du, полученные с помощью обычно [применяемого статического метода, сильно изменяются не только в зависимости от температуры, но и в зависимости от способа нанесения электродов, поверхностных загрязнений, предистории образца, а также некоторых явлений запаздывания и усталости. Между точками Кюри кривая зависимости поляризации от напряжения при больших напряжениях дает насыщение {эффективное напряжение в данном случае есть Yz, хотя обычно это скалывающее напряжение осуществляется сж'атием образца в направлении биссектрисы угла между осями У и Z). Вблизи точек Кюри значения d^ достигают величины 26 000- IO-®.
Обратный эффект. Экспериментальные данные, относящиеся к обратному пьезоэлектрическому эффекту, более полны и согласованны, чем данные по прямому эффекту. Кривые, связывающие деформацию и поле между точками Кюри, очень похожи на кривые диэлектрической поляризации и гистерезиса. Вне области температур, заключенной между точками Кюри, зависимость между деформацией и полем линейна. В общем величина d^, полученная из обратного пьезоэффекта, в несколько раз больше той же величины, найденной из прямого эффекта.
Диэлектрические свойства. Между точками Кюри на кривой зависимости между Рх и Ех наблюдается гистерезис. Вне этой области обратимый участок (первая или начальная стадия) простирается примерно до + 50У/см для частот от 200 до 10 000 Hz. В этой начальной стадии начальная восприимчивость t\q = PxIEx практически не зависит от £г, а изменяется только в зависимости от температуры * 2). С возрастанием амплитуды Ех кривая переходит во вторую стадию, характеризуемую тем, что области спонтанной ориентации стремятся быть поляризован-
О Как мы увидим далее, максимум k'x в точках Кюри наблюдался только в относительно слабых полях.
2) Для упрощения мы опускаем здесь значок х у т(.
Общие свойства и технология сегнетовой соли 475
ними в одном и том же направлении. Первоначальная кривая резко поворачивает назад, и петля гистерезиса имеет круто спадающие стороны. Здесь диэлектрическая постоянная kx принимает наибольшие значения (до 200 000; наблюдаемая в этом месте величина является дифференциальной величиной kd § 430). Затем при Ех^150 наступает перелом кривой поляризации, сопровождаемый областью насыщения (третья стадия), в которой дифференциальная восприимчивость приме;рно та же самая, что и начальная ?]о- Разные образцы дают при малых Е х различные результаты (возможно, благодаря различию в структуре областей спонтанной ориентации), но результаты для всех образцов прекрасно совпадают в области насыщения. Петли гистерезиса, наиболее широкие вблизи 0°С, постепенно становятся уже и меньше по мере приближения к точкам Кюри, где гистерезис исчезает. Однако в нескольких градусах за точками Кюри соотношение между Р нЕ остается нелинейным. При очень низких частотах и в особенности при статических полях второй участок кривой начинается при меньших значениях Е х. При этих условиях явления запаздывания и усталости наблюдаются как при измерении диэлектрической постоянной, так и при измерении пьезоэффекта (обратного и прямого).
При измерении мостом или осциллографом на высоких частотах было найдено; что1 диэлектрическая постоянная с увеличением частоты постепенно падает, обнаруживая аномалии в каждой резонансной частоте кристалла. Значение диэлектрической постоянной на радиочастотах (настолько высоких, что длина волны становится малой по сравнению с размерами кристалла) может быть принято за меру k"x для зажатого кристалла. В этой области диэлектрическая постоянная принимает значения порядка 100, за исключением температур, близких к точкам Кюри, где значения ее достигают 230. Действие периодических деформаций кристалла тогда практически исключается. Следует пом-ниты^что при частотах, для которых X имеет значение порядка разме-ровГкристалла, последний находится в состоянии вынужденных колебаний даже в том случае, когда он не колеблется в резонансе, и пьезоэлектрическая реакция увеличивает kx до значений, больших, чем у зажатого кристалла. Это та пьезоэлектрическая реакция, которая ответственна за быстрое увеличение kx при возрастании поля вдоль ветви петли гистерезиса.
Если кристаллический образец более или менее сдавлен механическим зажатием, то значения величин dl4 и kx снижаются. Петля гистерезиса становится меньше и сильно деформируется. При достаточно большом напряжении зажатия площадь петли становится равной нулю. Интересно, что наклон начального участка кривой поляризации не изменяется с давлением, хотя при наличии давления этот участок занимает более широкий диапазон электрических полей, чем в случае свободного кристалла. Кроме того, найдено, что чем более совершенно зажат кристалл, тем меньше зависят от температуры его электрические и упругие свойства.
Последнее обстоятельство важно в связи со многими техническими применениями сегнетовой соли, в которых кристалл до известной степени лишен возможности свободно деформироваться в поле. Такое зажатие имеет целью сделать кристалл менее чувствительным к температуре. Хотя при таких условиях исключительно высокие значения cG4, на которые способна сегнетова соль, не могут быть достигнуты, все же для практических целей они еще достаточно велики.
476
Глава XX
Термические, оптические, упругие и электрические свойства сегнетовой соли, особенно в точках Кюри, были предметом многих исследований и теорий. В предыдущих параграфах мы коснулись только некоторых исключительных электрических и пьезоэлектрических свойств. В гл. XXIII и XXIV будет показано, что в точках Кюри пьезоэлектрическая константа диэлектрическая константа k' Y и упругий коэфициент s44 (все при слабых полях) теоретически становятся бесконечно большими.
Области спонтанной ориентации в сегнетовой соли. Вполне очевидно, что кристалл сегнетовой соли, подобно железу, образован из отдельных областей. Каждая из этих областей обладает между точками Кюри спонтанной электрической поляризацией, имеющей плоский максимум порядка 740 эл.-ст. ед. при 5°С и снижающейся до нуля при 6W и 6Г Некоторые из областей поляризованы вдоль оси X в одном направлении, некоторые — в обратном. Размер областей, видимо, должен быть порядка 1 см, т. е. несравненно больше, чем в железе. Спонтанная поляризация сопровождается спонтанной деформацией.
В следующих главах свойства сегнетовой соли будут рассмотрены более детально, а также будет сделана попытка сопоставить основные результаты, полученные различными исследователями. В § 471 подытожены теоретические воззрения на сегнетоэлектрические кристаллы.
§ 404» История открытия свойств сегнетовой соли. В 1672 г. Пьер де ла Сегнет, ацтекарь из Ла Рошели на побережье Франции, получил новую соль винной кислоты. Согласно Химическому словарю Мэкера, изданному в Париже в 1777 г., это вещество было известно под названием сегнетовой соли, sei polycreste, tartarus natrdnatus, или рошель-CKoii соли. Из этого же самого источника мы узнаем следующее V
«Эта соль была сначала получена для употребления в медицине, в замену обыкновенной растворимой виннокислой соли, г. Сегнеттом, аптекарем из Ла Рошели, который создал вокруг нее большую рекламу и сохранял в тайне секрет ее изготовления. После того как Бульдю и Жоффруа открыли и опубликовали ее состав, все аптекари начали изготовлять сегнетову соль, совершенно такую же, как соль, приготовленная в Ла Рошели».
Хотя медицинские достоинства и химические свойства сегнетовой соли становились общепризнанными, ничего замечательного в ее физических свойствах не было обнаружено до 1880 г. В этом году братья Кюри занялись изучением этих свойств в своих первых исследованиях пьезоэффекта.
Первые количественные измерения пьезоэлектрического эффекта в сегнетовой соли были сделаны Покельсом в 1894 г. Результаты его измерений неплохо согласуются с результатами последующих исследователей. Во время своих опытов Покельс открыл в кристалле сегнетовой соли эффект Керра, а также аномальные диэлектрические свойства в направлении а. К несчастью до этого появилась работа Бореля, дававшая низкие и совершенно нормальные значения для всех трех диэлектрических констант, которая задержала на четверть века развитие вопроса об аномалиях.
Интерес к физическим свойствам сегнетовой соли с точки зрения применения их в высокочастотной подводной сигнализации вновь возродился в 1917 г. В США Андерсон, Никольсон и автор проводили исследования по этому вопросу независимо друг от друга.
О Том. 3, стр. 122.
Общие свойства и технология сегнетовой соли 477
В работе Андерсона и автора опыты производились с покрытыми оловянной фольгой пластинками 45-градусного среза X, вырезанными из кристалла, выращенного Муром (§ 412). Каждый из нас измерял отклонения баллистического гальванометра как функцию приложенного электрического и механического напряжения, причем было отмечено, что, существует заметная разница между отдельными пластинками, даже вырезанными из одного и того же кристалла. Андерсон нашел, что поляризация зависит от знака приложенного электрического и механического напряжения. Это были первые наблюдения явления, которое теперь известно под именем униполярности сегнетовой соли (§ 433). Андерсон также первым заметил явление гистерезиса в сегнетовой соли. Среди его наиболее значительных результатов был и тот факт, что отброс баллистического гальванометра, вызываемый наложением данного электрического поля, с увеличением механического давления увеличивается до определенной величины» а выше этой точки отброс при том же самом поле уменьшается.
В нашей лаборатории для разрезания кристаллических пластинок из сегнетовой соли применялся метод влажной нити1). Основные экспериментальные результаты автора состоят в следующем. Прежде всего из наблюдений над колебаниями стержней определялся модуль Юнга для напряжений под 45° к осям У и Z. Было найдено, что диэлектрическая постоянная для пластинок среза X на высоких частотах имеет значение около 80. Выяснилось также, что важно иметь тесно прилегающие электроды. Была подмечена пьезоэлектрическая усталость, вызываемая механическим напряжением, и снятие ее от приложения электрического поля или после отжига при 55°С. Было установлено, что вблизи 23°С (первые наблюдения точки Кюри) пьезоэлектрический эффект уменьшается. Также было найдено, что различные пластинки при различных условиях дают значения du от 3,4 . 10—5 до 40. 10—5, предвещающие, таким образом, аномально высокие значения, найденные позднейшими исследователями.
Аномальное поведение сегнетовой соли, обнаруженное в этих двух исследованиях, в большей своей части становится ясным в свете исследований, рассматриваемых в следующих главах.
Первое описание технических применений кристаллов сегнетовой соли с сообщением о свойствах и методах получения кристаллов было опубликовано Никольсоном в 1919 г. Кристаллы Никольсона были неоднородны (типа «песочных часов») и получались быстрым охлаждением насыщенного раствора. Он проводил свои опыты с целыми кристаллами и придавал большое значение обработке спиртом и теплом. Хотя этот способ приготовления кристаллов в настоящее время и устарел, все же работы Никольсона представляют интерес, поскольку они регистрируют некоторые из первых наблюдений прямого и обратного пьезо-рффекта, зависимость реактивного сопротивления кристалла сегнетовой I соли от частоты, а также данные о гистерезисе.
Вслед за этими ранними исследованиями несколькими годами позднее последовал ряд важных работ Валашека, в которых весьма подробно рассматриваются характерные диэлектрические и пьезоэлектрические свойства сегнетовой соли. Правда, некоторые из заключений Валашека требуют пересмотра, однако именно он ввел понятие «двух точек Кюри» для сегнетовой соли. Самым важным его вкладом была работа об аналогии между диэлектрическими свойствами сегнетовой соли и ферромагнетизмом, мысль о которой впервые, кажется, пришла в голову Сванну.
Примерно с 1928 г. внутренними свойствами и структурной теорией сегнетовой соли стали интересоваться довольно широкие круги ученых. Первый стимул в этом направлении исходил из Физико-технического института в Ленинграде благодаря работам сначала Шульвас-Сороки-ной, а затем И. Курчатова и его сотрудников. Вслед за этими работами последовали многие теоретические и экспериментальные исследования,
’) Предложение, которое привело к этому широко используемому с тех пор устройству,- исходило от одного из студентов.
478
tла в a XX
среди которых выдающимися были работы Шерера и его сотрудников в Цюрихе, Фаулера в Англии и Мюллера и Мэзона в США.
В последнее время исследования распространились на «тяжеловодные» кристаллы сегнетовой соли, содержащие вместо обычной воды окись дейтерия.
§ 405. Основные химические и физические свойства. Сегнетова соль, или четырехводный натрий-калий-тартрат, является калиево-натри-евой солью винной кислоты с четырьмя молекулами кристаллизационной воды. Ее формула — NaKC4H4O6 • 4Н2О.
КО о
\ /
С
н-с-он
| -4Н9О.
Н-С-ОН
// \ !
О ONa
Как показывает структурная формула, молекула, а следовательно, и кристалл энантиоморфны. Так как обычно в природе встречается только правая форма винной кислоты, то в общем справедливо, что все кристаллы сегнетовой соли — правовращающие. Поэтому все представленные здесь данные относятся к так называемой d-сегнетовой соли (правой) и, следовательно, среди кристаллов соли нет двойников бразильского типа, которые так часто встречаются в кварце.
Молекулярный вес сегнетовой соли 282,184; удельный вес при 25Г’С— 1,775 + 0,003 (Мэзон [335]) 0. Растворимость на литр воды: при 0°С—1,50 моля (420 г), при 30°С — 4,90 моля (1390 г). Хедвелл* 2) 3 установил, что скорость растворения в верхней точке Кюри претерпевает резкое изменение. Рост кристаллов из раствора должен иметь место при температуре ниже 40°С, так как выше этой температуры выпадает виннокислый натрий. Сам кристалл при 55,6° переходит в смесь тартратов Na и К и их насыщенного раствора, а при 58° эти соли полностью растворяются в воде 3>. Этот процесс обычно назывался «плавлением» кристалла сегнетовой соли. Процесс необратим.
Об отношении осей и структуре сегнетовой соли см. § 542.
§ 406. Фигуры травления сегнетовой соли. Следующий ряд опытов, проделанных автором, может быть полезным при определении направления осей в пластинках, вырезанных из сегнетовой соли. С помощью легкого увлажнения полированной поверхности кристалла получаются очень характерные фигуры. Найдено, что после высушивания грань, нормальная к оси X, покрывается тонкими полосками, параллельными оси Z. На гранях, нормальных к осям Y и Z, располагаются вверх от
О В пределах возможной ошибки вышеприведенная величина сохраняет свое значение от 15 до! 35°С.
2) См. работу Шерера [451].
3) J. Docters Van Leeuwen, Zs. f. phys. Chem. 23, 33—55 (1897);
J. F. C. Hicks and J. С. H о о 1 e y, Journ. Amer. Chem. Soc. 60. 2994—2997 (1938).
Общие свойства и технология сегнетовой, соли
479
поверхности маленькие прямоугольные пирамиды («холмы травления»), иногда усеченные. На фиг. 102 показаны некоторые характерные для плоскости XY формы. Ось X является биссектрисой проекции на плоскость XY острого угла а, который имеет величину порядка 60°. На грани, нормальной к оси Y, образуются пирамиды того же типа, что и на фиг. 102, причем большее измерение основания пирамид в большинстве случаев параллельно оси Z.
Благодаря сильной полярности в направлении X можно было ожидать заметную разницу в фигурах травления на противоположных сторонах пластинки среза X. В противоположность ожидаемому, в
Фиг. 102. Фигуры травления на поверхности кристалла сегнетовой соли, нормальной к оси Z. Во всех случаях ось X горизонтальна, ось Y вертикальна.
действительности полосы выглядят совершенно одинаковымиг). Надеялись, что структуру областей можно будет обнаружить по расположению фигур травления, в особенности на гранях X. В настоящее время можно только сказать, что поверхностное исследование не дает никаких указаний относительно областей спонтанной ориентации. Возможно, что детальное исследование (может быть, с помощью родометра) даст положительные результаты.
§ 407. Термическое расширение. Измерения Вигнесса [566] указывают м почти точно линейную зависимость от температуры размера вдоль (каждой из трех кристаллографических осей. Единственной особенностью, для которой нет полного объяснения, является изгиб в верхней точке Кюри для направлений У и 2. Коэфициент расширения, по Вигнессу, имеет следующие [значения: в направлении X от 12 до 35° С 58,3- 10—Р; в направлении У от 12 до 24°С 35- 10—6, от 24 до 3,5° 39,7- 10~?; в направлении Z от 14 до 24°С 42,1 • 10-3 и от 24 до 35° 43,6-10—6. Коэфициент объемного расширения, вычисленный по этим данным, приближенно равен 0,00014. Более ранние измерения Валаше-ка [,543] хорошо согласуются с измерениями Вигнесса.
С другой стороны, Хаблютцель [198] не обнаружил этого нормального поведения. В частности, он нашел аномалию в направлении биссектрисы угла между осями У и Z, которую, как выяснится в § 482, можно понимать как обратный пьезоэлектрический эффект вследствие спонтанной поляризации2). Хаблютцель также отметил определенные аномалии в направлении X, возможные объяснения которых можно найти в § 464.
В некоторой степени эти расхождения могут быть также вызваны различными электрическими состояниями кристаллов, использованных разными исследователями при их измерениях термического расширения. Согласно § 199, величина деформации, вызываемой данным напряжением,
0 Ось X обладает полярностью только в каждой отдельно взятой области спонтанной ориентации, но не в целом кристалле. {Прим, ред.) » 2) Эта аномалия была предсказана Гаррисоном [Nature, 120, 770 (1927)].
480 Глава XX
зависит от того, будут ли наклеенные на кристалл электроды короткозамкнутыми или нет. Так как термические деформации могут рассматриваться как результат термических напряжений, то воспроизводимые результаты могут быть достигнуты только тогда, когда образец поддерживается в определенном электрическом состоянии. Обычно принимается, что термические измерения производятся столь медленно, что поверхность образца все время является эквипотенциальной.
Теплопроводность сегнетовой соли в несколько раз меньше, чем теплопроводность кварца 1}.
§ 408. Диэлектрическая постоянная в направлениях У и Z. Согласно табл. 14 кристаллы ромбической системы имеют три главных диэлектрических восприимчивости — vp2 и tj33. Поэтому следует ожидать различных значений диэлектрической проницаемости kx, kv и kz вдоль кристаллографических осей. С kx, являющимся настоящим «.enfant terrible», мы будем иметь дело в следующих параграфах. Относящиеся к ky тг kz данные совершенно надежны и не обнаруживают никаких аномалий. Мюллер [376] дает величины k v = 10, kz = 9,6 с температурными коэфициентами 4~ 0,007 для и-р 0,0003 для kz. Хаблютцель производил измерения внутри широкой области температур. Он нашел, что значения констант для кристаллов сегнетовой соли с обыкновенной и тяжелой водой почти одинаковы. От — 180 до -ф- 40°С найденные им значения ky довольно равномерно возрастали от 6 до 10, образуя плоский участок между точками Кюри. Внутри той же самой температурной области k возрастает примерно от 5,3 до 10. При 20°С имеет место kv 9,4 для обеих форм сегнетовой соли и &z = 9,5 и 9,8 соответственно для сегнетовой соли с обыкновенной водой и для сегнетовой соли с тяжелой водой. Температурные коэфициенты — того же порядка величины, что и найденные Мюллером.
Повидимому, в настоящее время наиболее точными являются значения, найденные Мэзоном [637]. К сожалению, единственными сведениями относительно их температурных изменений являются слова «мало меняются с температурой».
При обычных температурах следует рекомендовать пользоваться следующими значениями Мэзона * 2):
^ = 9,8; ^4 = 9,2. (488)
Штрихи указывают, что эти величины относятся к механически свободным кристаллам. Соответствующие восприимчивости находятся из уравнения k' — 1 4-4™/:
^ = 0,70; 7^ = 0,65. (488а)
Восприимчивости Д' v и Д' z для зажатого кристалла находятся по уравнению (262) и значениям d25, d36, е23 и е33 из § 141:
Д'у = 0,63; Д'г =- 0,64 . (4886)
О По неопубликованным данным Яффе.
2) После написания этого раздела автор получил сообщение от Мэзона, что самые последние измерения k'у дают значения, несколько большие, чем приведенные здесь. Из измерения частоты колебаний бруска среза У 45° он нашел для k'y величину 11,1 при температуре от —10° до + 24°С, линейно возрастающую до 12,5 при 45°С.
бёщие свойства и технология сегнетовой соли
431
§ 409. Аномалии теплоемкости. Совершенно так же, как теория ферромагнетизма предсказывает резкое повышение теплоемкости железа в верхней точке Кюри (§ 556), что полностью подтверждается, некоторые исследователи, из соображений аналогии, ожидали соответствующего эффекта в сегнетовой соли. Легко доказать, что хотя и ожидаются аномальные значения теплоемкости вблизи каждой точки Кюри, теоретически значения этой величины исключительно малы. Как и в случае ферромагнетизма, увеличение теплоемкости с в точке Кюри выше нормального значения определяется выражением
л 7 дР^ ч ,
Дс = 2~эрг • см-3-градус-1, где 7—константа внутреннего поля, Ро— спонтанная поляризация и Т — температура. Из своих данных по изменению Ро в зависимости от Т Мюллер [382] нашел, что это выражение для сегнетовой соли в верхней точке Кюри снижается до
Ьс — 4,07 10* эрг • см-3 • градус-1= 0,157 кал • моль-1 • градус-1.
В нижней точке Кюри теоретическое значение немного больше и имеет обратный знак.
Для любого разумного значения 7 эти теоретические значения величины Дс очень малы. Это было подтверждено очень тщательными измерениями Вильсона [588], который измерял теплоемкость сегнетовой соли от —30 до —30°С. Он нашел, что эту величину можно хорошо представить для отдельных кристаллов уравнением с = 1,290 -1-•ф- 0,0031 t джоулей • г^1 • градус—1 ( в градусах Цельсия); среднее отклонение отдельных точек составляло 0,3%. В нижней точке Кюри была обнаружена небольшая аномалия в требуемом направлении; величина Дс была несколько меньше, чем 1 кал моль—1 • градус—1. Применявшимся калориметрическим методом нельзя было1 обнаружить ника-ких\аномалий в верхней точке Кюри. Эти измерения указывают на то, что если и существует какая-либо аномалия, она должна быть меньше, чем 1 кал • моль—1 • градус—11}. Когда эти результаты сравниваются с приведенным выше мюллеровским выражением для Де, то становится очевидным, что 7 по порядку величины близка к 1 и, конечно, немного больше, чем лоренцовский фактор 4тг/3.
Что касается абсолютных значений с, то вильсоновское значение примерно на 11% меньше, чем значения Рустергольпа [441], но совпадает с точностью до 0,5% со значением, данным Кобеко и Нелидовым [264]. «International Critical Tables» дают для удельной теплоемкости сегнетовой соли значение 1,37 джоулей г-1 • градус-1' + 2%.
Хикс и Хулей2) исследовали удельную теплоемкость сегнетовой соли от 15 до 340° К- Они обнаружили резкое изменение в точке разложения при 328,78° К (55,6° С, см. § 405) и не нашли аномалии ни в одной из обеих точек Кюри.
§ 410. Электропроводность и пробивное напряжение; магнитные свойства. Значения проводимости для направления X, приведенные в'
’) Измерения теплоемкости сегнетовой соли Вильдербергером согласуются с этими данными [см. Вильдербергер, дипломная работа, Цюрих, 1938; цитируется Шеррером, Zs. f. Elektrochem. 45, 173 (1939)].
2) J. F. G. Hicks art|d J. G. H о о 1 e v. Tourn. Amer. Chem. Soc. 60, 2994—2997 (1938).
31 Кэди
482 Глава ........ ....... ........
табл. 34, были получены Валашеком [542, 543], пользовавшимся постоянным током. От —65 до --ф-ЗЗ0 применялась напряженность поля до 10 000 V/см; остальные данные были получены с помощью моста Уитстона при низком напряжении. После того как к хорошо высушенному кристаллу были приклеены шеллаком электроды из оловянной фольги, весь образец покрывался парафином.
Таблица 34
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
Температура в градусах Цельсия
Проводимость в мо/см
—65
—40
—20
0
+20
30
35
43
47
49
51
53
54
57^и выше
2,0 10 -и
3,6-10—14
5,4-10—J4
9,0 и 5,0-10—I4
22,0 и 11,0-10—I4
11-10—13
1,0-10-и
5,0-10-э
3-10-8
5-10—8
5-10-7
6-10—5
1,7-10—4
5-10—4
Переменой знака электродвижущей силы при 0° и при + 20° были получены два значения. Это связывалось с униполярностью кристалла (преобладание областей, поляризованных в одном направлении, см. § 433). Несколько более высокие значения проводимости были получены Б. и И. Курчатовыми [293]. Из данных работы Оплатка [397] видно, что его кристаллы обладали проводимостью в тысячу раз большей, чем кристаллы Валашека. Влажность на поверхности кристалла могла вызвать кажущуюся огромную проводимость. С другой стороны, дегидратированная поверхность или слой клея между кристаллом и электродом могут быть причиной слишком низких значений измеряемой проводимости. Вероятно, в данных Валашека, приведенных в табл. 34, это не имело места, так как его значения для проводимости приближенно совпадают со значениями, полученными в лаборатории фирмы Браш. Кроме того, аномальные значения в области спонтанной поляризации едва ли могли быть столь ярко выраженными, если бы высокое сопротивление определялось главным образом шеллаком. Из табл. 34 следует, что при комнатных температурах при диэлектрической постоянной, равной 103, требуется несколько минут, чтобы заряд снизился до половины начальной величины, если нет другой утечки, кроме обусловленной самим кристаллом.
Возможно, что данные табл. 34 не характеризуют сегнетову соль, выдержанную на воздухе в обычных условиях.
Изучение гистерезиса между точками Кюри можно дополнить явлением проводимости. Если влажность чрезмерна, то возрастают и высота и ширина петли гистерезиса, а вершина петли стремится закруглиться. Последнее явление можно обнаружить на некоторых осцилло
Общие свойства и технология сегнётоёбй соли
4S3
граммах, приведенных в следующих параграфах. Из-за наличия утечки легко получить неправильные значения диэлектрической постоянной, коэрцитивной силы и диэлектрических потерь.
Согласно Вигнессу [566], от облучения рентгеновскими лучами поверхность становится шероховатой и окрашенной в желтый цвет.
Мюллер нашел, что тщательно отожженный и высушенный кристалл (§ 415) имеет пробивное напряжение в воздухе более 20 kV/см. Для недостаточно тщательно приготовленных пластинок такого значения достичь не удается. Естественно, что опасность пробоя сильно возрастает, если в кристалле имеются даже незначительные трещины. Согласно Горелику1),. пластинка сегнетовой соли в масле при высоком гидростатическом давлении выдерживает 600 kV/см.
Магнитные свойства. Сегнетова соль диамагнитна. Единственными измерениями являются измерения Лейна [303], который нашел, что магнитная восприимчивость равна — 0,54-10~6 во всех направлениях, независимо от температуры. Эта величина меняется не больше чем на 0,25% между 10 и 30°С. Таким образом, ферромагнитная аналогия в поведении сегнетовой соли не влечет за собой никакой магнитной аномалии.
§ 411. Условия воспроизводимости результатов. Из перечисленных далее условий 2-е и 3-е следует учитывать всегда. Остальные существенны только при точных измерениях.
1. Однородный кристаллический материал. Кристалл должен быть кристаллографически и оптически Настолько совершенен, насколько это возможно, и свободен от трещин, указанных в § 414.
2. Чистые гладкие поверхности, хорошо высушенные, но не Потерявшие кристаллизационную воду. Сушка необходима во избежание поверхностной проводимости. С другой стороны, части кристалла, близкие к поверхности, не должны превращаться в дегидратированные слои с относительно низкой диэлектрической постоянной. Например, если для кристалла kx — 10 000 и если дегидратированный или поврежденный поверхностный слой толщиной лишь 0,001 мм имеет kx — 10, причем толщина кристалла равна 10 мм, то измеряемые значения kx будут иметь погрешность в 10%.
3. Из предыдущего Параграфа следует, что электроды должны находиться в очень тесном контакте с кристаллом так, чтобы приложенная разность потенциалов в большей своей части действовала на кристалл, а не на поверхностные слои.
4. Отсутствие механических напряжений, создаваемых электродами или держателем. Это требование вызывается пьезоэлектрической чувствительно!стью и сильным взаимюдействием Между пьезоэлектрическими и диэлектрическими явлениями.
5. Постоянная и однородная одинаковая во всех точках препарата температура. Сегнетова соль очень медленно достигает состояния полного равновесия (§ 427). Поэтому для получения воспроизводимых результатов необходимо после изменения температуры выждать несколько часов, прежде чем начать делать измерения.
Теперь рассмотрим способы, наиболее точного выполнения этих условий с дальнейшими техническими подробностями. Игнорирование
ОБ. Горелик, Электрический пробой сегнетовой соли, ЖТФ 10, 369—375 (1940).
31*
4g 4
tлав a XX
этих условий несомненно является причиной многих расхождений между результатами, полученными различными исследователями.
§ 412. Получение кристаллов сегнетовой соли. Кристаллы сегнетовой соли всегда выращиваются из раствора. Пересыщение можно вызывать охлаждением или испарением. В последнем случае раствор помещается в эксикатор или выдерживается при пониженном давлении. Хотя метод охлаждения является более общепринятым и единственно применимым в промышленном масштабе, тем не менее для научных целей предпочтительнее является метод испарения, .так как в этом случае можно поддерживать примерно постоянную температуру, избегая, таким образом, внутренних упругих напряжений.
Кристаллизация охлаждением. Р. В. Мур получал очень красивые и совершенные кристаллы сегнетовой соли, наименьший размер которых равнялся нескольким сантиметрам, подвешивая один или больше маленьких зародышей кристалла сегнетовой соли в сосуд с раствором, который, в свою очередь, помещался в большой соЬуд с водой, снабженный электрическим подогревом и терморегулятором. Скорость падения температуры вначале составляла 0,1 °C в день, увеличиваясь до 0,6°С в день по мере роста кристалла. Тот же процесс подробно описывается Шварцем [454] * 2 3 4>. Для подвешивания обычно пользуются шелковыми нитями, хотя Хильчер [228], например, применял тонкую серебряную проволоку. Хильчер же заставлял зародыш медленно вращаться в растворе.
Большие кристаллы с наименьшим количеством пороков производит фирма Браш 3). Согласно спецификациям патента, зародыши, часто в несколько сантиметров длиной, вводятся в углубление на дне бака с насыщенным раствором, который медленно качается около горизонтальной оси. Рйствор насыщается при 35°С, но затем нагревается до несколько более высокой температуры, прежде чем начинается процесс охлаждения. Кристаллизация идет быстрее, если поддерживать подходящую концентрацию водородных ионов, например, добавлением КОН или NaOH в количестве, соответствующем одной десятой нормального раствора. Иногда также добавляются сахар или формальдегид. Было установлено, что наиболее быстро кристалл растет в направлении концентрационных потоков, поэтому зародыши следует ориентировать так, чтобы длинный размер в конечном кристалле получился параллельным желаемой оси. Зародыши обычно помещают осью X по вертикали, тогда каждый выращенный кристалл будет иметь форму удлиненной призмы, параллельной оси Z. Процесс кристаллизации занимает несколько дней. С помощью терморегулятора температуру постепенно и равномерно снижают. После того как кристалл вынимают из раствора, его нужно промыть разбавленным спиртом и осушить мягкой тканью. Этим методом выращиваются монокристаллы весом более 2 кг.
Можно также упомянуть метод Кристофера 4), согласно которому соответственно ориентированный зародыш помещается в раствор сегне-
0 R. W. Moore, Journ. Amer. Chem. Soc. 41, 1060 (1919); патент
США 1347350.
2) Для сравнения различных методов см. также [229] и П. Вадило, ЖЭТФ, 6, 496—500 (1936).
3) В. Kjellgren, патенты США 1906757 и 1906758 (также второй выпуск 19697 и 19698).
4) J. Н. Christopher, патент США 1746144 (1930).
Общие свойства и технология сегнетовой соли
485
товой соли между двумя параллельными стеклянными пластинками. Окончательный кристалл имеет благодаря этому форму плоского пласта. Например, если желают вырастить пластинку с большими размерами в направлении осей У и Z, то зародыш следует помещать в раствор осью X перпендикулярно к стеклянным пластинкам.
Свойства выращенного кристалла, конечно, не зависит от его формы и от ориентации зародыша. Кристаллическая пластинка, вырезанная в любом данном направлении по отношению к осям кристалла, будет теоретически (а насколько известно, также и практически) давать те же самые результаты, независимо от формы кристалла, определяемой условиями роста
Кристаллизация испарением. Курчатов [634] помещал раствор, содержащий зародыш, в эксикатор с концентрированной H2SO4 иЛи Р2О5 при приблизительно постоянной температуре. Через 5—6 дней получался кристалл весом около 100 г. Метод Буша [87] отличается от этого метода тем, что сосуд с раствором, температура которого с помощью термостата поддерживается постоянной с точностью до 0,01 °C, соединяется сифоном для вымораживания паров воды с твердой СОг. Скорость испарения регулируется изменением давления над раствором. Рекомендуется брать начальное давление равным 50 мм Hg, доводя его к концу процесса до 25 мм. Через две недели из такого раствора получаются несколько кристаллов по 50 г каждый.
Зейдль и Губер [460] применяли аналогичный метод с жидким воздухом вместо СОг. Указанный выше патент Мура содержит описание кристаллизации при постоянной температуре с помощью проходящего над раствором потока сухого воздуха. О методе Стилвела см. § 478.
В работах Блюменталя [55], Буша |]88] и Гинца [229] можно найти дальнейшие подробности о процессе кристаллизации сегнетовой соли и других кристаллов этого типа.
§ 413. Распиловка кристаллов таетГ нецелесообразным разрезать кристаллы, пока не пройдет месяц после кристаллизации. Другие авторы не считают нужным учитывать эту предосторожность. Большинство экспериментаторов пользуются для распиловки влажной нитью или влажной растянутой резиновой лентой. Детали этой операции приведены у Буша [871, Дэвида [119], Штауба [478] и Гинца [229]. Автор, первым применивший этот метод, получал хорошие результаты с аппаратом,
сегнетовой соли. Мандель [326] счи-
Фиг. 103. Пила для распиловки кристаллов сегнетовой соли влажной нитью.
показанным на фиг. 103.
Крепкая бесконечная льняная нить пропускается четыре раза по системе блоков таким образом, что одновременно могут быть сделаны четыре разреза. Наличие большого узла в месте соединения концов нити избегается путем разделения волокон на обоих концах нити на Три тонких пучка. Эти пучки связываются отдельно узлами,
О Это утверждение не совсем верно, ибо, вообще говоря, свойства одного и того же кристалла в пирамидах роста ПОД гранями различных простых форм различны, (Прим, ред.)
486
Г лав a XX
расположенными в шахматном порядке. Ведущий шкив А имеет четыре жолоба и приводится в движение с помощью небольшого мотора с такой скоростью, чтобы нить проходила около 15 см/сек. Расстояние АС равно около 40 см. Если производится одновременно не четыре распила, а меньше, то неиспользованные витки проходят по холостым шкивам D и Е, представляющим собой просто стеклянные трубки на латунных стержнях. Шкив С укреплен на стойке, основание которой скользит по направляющим так, что натяжение нити можно регулировать гирей W. Для того чтобы обеспечить точный распил, нить должна быть довольно сильно натянута. Нижняя часть шкивов В слегка погружена в воду, налитую в плоском корытце Т. Для вытирания избытка воды на краю корытца расположена не показанная на фигуре деревянная планка с куском толстого войлока, о который вытирается нить. Кристалл Сг удерживается на месте регулируемыми зажимами на латунной пластинке Р, прикрепленной к стойке аппарата. Нити направляются с помощью вертикальных латунных стержней GG. Перед закреплением кристалла на месте полезно покрывать его поверхности, в особенности нижнюю, водозащитным слоем. Для получения распила площадью 5X5 см требуется около получаса. У некоторых кристаллов наблюдается вредная тенденция уводить нить с пути, предписанного направляющими стержнями, избегая более твердых и менее нерастворимых областей внутри кристалла. Как было указано в § 404, электрические и упругие свойства также иногда зависят от того, из каких областей кристалла был вырезан образец.
Кристаллы сегнетовой соли можно также распиливать специально сконструированной пилой. Обычные ножовки, тонкие и грубые, не подходят для этой цели, так как дают большие сколы и трещины. Однако для распиловки небольших образцов вполне подходит ювелирная ножовка № 6, сухая или смоченная водой. Можно также использовать ленточную пилу, если зубцы ее остры и хорошо разведены таким образом, чтобы распил был несколько шире толщины пилы. В нашей лаборатории оказалась вполне „годной обычная хорошо разведенная полудюймовая металлорежущая пила с 14 зубцами на дюйм. Хорошие результаты дает также полотно столярной пилы около 6 мм шириной. Во всех случаях после употребления пилы с зубьев должны быть удалены все следы соли1).
§ 414. Включения и пороки в кристалле сегнетовой соли. Когда в кристалле сегнетовой соли имеются видимые пороки и включения, обычно их можно отнести за счет слишком быстрого охлаждения или неоднородной кристаллизации из-за некоторых нарушений правильности в протекании процесса кристаллизации или загрязнения раствора. Пороки могут проявляться в виде мутных нитей и плоскостей внутри кристалла, параллельных одной или нескольким кристаллографическим граням. В сегнетовой соли вполне определенных плоскостей спайности не существует. Однако у весьма совершенных кристаллов фирмы Браш, не имеющих видимых пороков, повидимому, наблюдается спайность по плоскости, приблизительно перпендикулярной оси Z. В менее совершенных кристаллах трещины, повидимому, имеют тенденцию образовываться в плоскости, содержащей ось Z, вследствие чего пластинки среза Z являются наиболее хфупкими * 2). Это особенно справедливо, когда такие пластинки содержат внутренние мутные плоскости, которые, согласно опытам автора, главным образом параллельны оси Z. Возможно, что существует связь между этими фактами и наблюдением, сделанным при распи
0 Описание метода распиловки ленточной пилой, применяемого в большом масштабе фирмой Браш, см. в патенте США 1764088 на имя С. В. Sawyer (а также в канадском патенте № 302528). Описанная в них пила при распиловке больших кристаллов движется со скоростью 150 м/мин.; избыток материала удаляется с зубьев скребком. Важно, чтобы температура пилы была приблизительно равна температуре кристалла.
2) Мандель (см. [326], стр. 632) также отмечал большую хрупкость пластинок среза Z. ...
Общие свойства и технология сегнетовой соли 487
ловке методом влажной нити, производившейся под косым углом к оси Z. Нить в этом случае решительно стремилась следовать по направлению, параллельному этой оси. Более того, было найдено, что растрескивание вдоль мутных плоскостей становится значительно более легким в пластинках, выдерживавшихся в эксикаторе достаточно долго, чтобы произошла поверхностная дегидратация. Повидимому, это указывает, что дегидратация и вызываемое ею разрыхление кристалла происходят вдоль этих почти невидимых трещин.
Бэнкрофт [20] в своих опытах с сегнетовой солью нашел, что резкое, пусть даже и небольшое, изменение гидростатического давления почти неизменно разрушает кристалл.
Вполне возможно, что некоторая неустойчивость результатов, приводимых для сегнетовой соли, вызывается наличием в кристаллах ничтожных трещинок или других пороков, возникающих в процессе роста или обработки. Можно ожидать, что именно такие несовершенства изменяют упругие свойства, а поэтому и электрическую реакцию кристаллов. А поскольку они связаны с местным состоянием гидратации вещества, они могут изменять и диэлектрические его свойства. Различные свойства отдельных участков одного и того же образца могут вызываться изменением температуры или влажности.
Особая причина, способствующая хрупкости кристаллов сегнетовой 2оли, заключается, повидимому, в том факте, что кристаллы состоят из областей противоположной электрической поляризации, имеющих неодинаковые размеры. При изменении температуры эти области претерпевает противоположные скалывающие деформации, вызывающие большие 'напряжения на поверхностях раздела.
§ 415. Шлифовка и доводка образцов. После того как пластинка вырезана из исходного кристалла, ее обычно нужно уменьшить до определенных размеров и формы с учетом точности ориентировки. С большими образцами следует обращаться весьма осторожно, так как известны случаи возникновения трещин от тепла руки.
Для демонстраций, качественных испытаний и ряда технических применений достаточно очень небольшой шлифовки и пригонки. Можно воспользоваться любой из существующих технологий, необходимо только всегда следить, чтобы не было перенапряжений или перегрева образцов. Например, предварительную шлифовку можно производить довольно крупной гранатовой шкуркой и затем более тонкой гранатовой или наждачной бумагой. Для увеличения скорости и точности следует шлифовальную бумагу наклеивать на плоский диск. Диск вращается с помощью мотора или токарного станка со скоростью один — два оборота в секунду. Метод, которым предпочитают пользоваться в нашей лаборатории, состоит в использовании 12-дюймового плоского напильника с наклонной насечкой, предназначенного для обработки мягких металлов. Этим способом можно сделать поверхность настолько плоской и правильной, что в дальнейшем, за исключением тех случаев, когда требуется исключительная точность, не нужно никакой последующей обработки, кроме окончательной полировки.
Для местного выправления поверхностей кристалла можно пользоваться лезвием бритвы. Гинц [229] применял специальный рубанок, в котором режущим острием было острие бритвенного лезвия. Многие исследователи — Кернер [287], Вигнесс [565], Буш Q87] — исправляли свои пластинки трением о влажную поверхность матового стекла.
488
Глава XX
Для полировки кристаллов сегнетовой соли применялось много способов. Наиболее простым является трение пластинки о влажную тонкую шелковую ткань, натянутую на плоскую поверхность. Для оптических целей этот способ нельзя использовать, так как он оставляет поверхность покрытой крошечными фигурами травления Штауб [478] полировал поверхности порошком пемзы, окончательно очищая их чистой водой (для рентгеновских отражений). Шварц [454] пользовался порошком пемзы, замешанным на насыщенном растворе сегнетовой соли. Эванс [140] — тонким порошком карборунда с парафином. Стэмфорд [475] рекомендует шлифовку пластинок на матовом стеклянном круге сначала с тонким порошком пемзы и скипидаром, а затем с метиловым спиртом. Холден и Мэзон [231] полировали поверхность сначала карборундом с машинным маслом, а затем покрытую порошком поверхность подвергали действию нагретого выше точки насыщения раствора, в котором выращивают кристаллы, после чего на свежей поверхности производили кристаллизацию в течение примерно 5 минут.
Существенным преимуществом тонкой полировки является то, что она удаляет мельчайшие неправильности и выкрошенные обломки, которые в противном случае будут образовывать нежелательный слой между кристаллом и электродами.
Для обычных целей нет необходимости применять какой-либо особый измененный процесс. Первые исследователи применяли обработку спиртом. Например, Валашек [544] установил, что кристаллы в его опытах после погружения в спирт давали большое увеличение пьезоэлектрической активности и диэлектрической постоянной. Однако нет указаний на то, что полученные им значения этих констант были сколько-нибудь больше значений, полученных другими исследователями для нормальных кристаллов. Если поверхностные слои дегидратированы или изменены каким-либо иным способом, то возможно, что обработка спиртом может увеличить или проводимость, или диэлектрическую постоянную вблизи поверхности, давая, таким образом, значения, более близкие к значениям, характерным для нормального кристалла.
Для тех, кто экспериментирует с кристаллами, выращенными собственными силами и содержащими заметные на-глаз дефекты, также может оказаться полезным продолжительное выдерживание кристаллов или пластинок в чистом спирте для удаления воды из трещин. В противном случае присутствие воды может сделать кристалл неактивным. Случайные трещины иногда удается залечить (хотя быть может и не навсегда) быстрым приложением давления.
Для того чтобы избежать дегидратации поверхностных слоев, не следует долго держать препараты в эксикаторе или при низком давлении. Несомненно, что ряд невоспроизводимых результатов в литературе связан именно с игнорированием этого обстоятельства. Для количественных исследований наилучшим способом, повидимому, следует считать способ, предложенный Мюллером [376], который выдерживал («отжигал») кристалл в течение нескольких часов при 45°, а затем сушил его в течение 20 минут над пятиокисью фосфора. При этом поверхность высушивается достаточно хорошо без дегидратации. Однако, если есть опасения, что поверхность подверглась дегидратации, перед обработкой наружные слои следует смыть.
О Мюллер сообщил автору, что для оптических работ хорошие результаты дает полировка поверхности оптическим красным крокусом-
Общие свойства и технология сегнетовой соли.
489
При нормальных атмосферных условиях кристаллы сегнетовой соли не расплываются, но и не теряют кристаллизационную воду. Причина этого заключается в том, что при комнатной температуре упругость паров воды над кристаллом составляет всего одну треть упругости паров чистой воды, тогда как упругость паров воды над насыщенным раствором несколько меньше девяти десятых упругости паров чистой воды х). Тем не менее содержание воды в кристалле может колебаться. Согласно Валашеку [541], при изменении влажности окружающего воздуха изменение веса кристалла может достигать 5%. В нашей лаборатории кристаллы и вырезанные из них пластинки, стоящие в течение двадцати лет на полках без всякой защиты, не потеряли ни прозрачности, ни правильности внешней формы. Наблюдавшееся в некоторых случаях разрушение кристаллов связано либо с исключительной сухостью воздуха, либо с химическим или электролитическим воздействием при соприкосновении с другими материалами. Пластинки, к которым приклеены металлические покрытия, а также пластинки, завернутые в обыкновенную бумагу или в дешевый хлопчатобумажный ватин, повидимому, подвергаются разрушению. Влажный воздух не портит кристалла до тех пор, пока его относительная влажность ниже 86%.
При необходимости длительного хранения кристаллов из сегнетовой соли или вырезанных из них пластинок можно рекомендовать обертывание их в очень чистую мягкую или парафинированную* бумагу.
Шлифованную (поверхность пластинок сглаживают, обрабатывая водой, как это было описано выше. Пластинки, которые не иредпо-лаггщт&д использовать в качестве резонаторов, можно покрывать «ам-броидом», шеллаком, резиновым клеем или парафином 2>. Из этих покрытий автор отдает предпочтение «амброиду». Применение такой защиты особенно желательно для пластинок с металлическим покрытием, так как под действием атмосферы покрытые металлом пластинки, повидимому, разрушаются быстрее, чем непокрытые.
/Если желательно хранить ничем не защищенные пластинки в строго постоянных условиях, их можно запаивать в сосуд, содержащий насыщенный; раствор сегнетовой соли [477, 565], или в сосуд, в котором поддерживается определенная упругость паров воды. Шварц [454] применяет для этой цели разбавленную серную кислоту. При применении всех этих способов следует с должным вниманием отнестись к зависимости упругости пара от температуры. В статье, содержащей много полезных технических деталей, Кернер [287] сообщил, что он покрывает свои пластинки клеем, не содержащим спирта, сразу же после того, как они были достаточно высушены в вакууме или в эксикаторе.
§ 416. Электроды для пластинок из сегнетовой соли. Выбор электродов зависит от назначения пластинок. Как мы уже отмечали в § 111, для количественных измерений свойств кристаллов необходимо, чтобы электроды находились в чрезвычайно тесном контакте с поверхностью кристалла. Кристалл при этом должен быть свободен от механических напряжений. Для кристаллов, употребляемых в акустике, первое из этих требований более существенно. Важно также, чтобы электроды покрывали всю рабочую грань кристалла, иначе незакрытая часть
О Ц. Н Lowry and S. О. Morgan, Journ. Amer. Chem. Soc. 46, 2192—2196 (1924).
2) Спе циальная обработка кристаллов сегнетовой соли водонепроницаемым покрытием описана Римом [J. Н. Ream, патент США 2324024 (1943)],
490
Глава XX
поверхности будет уменьшать пьезоэлектрическую деформацию. Различные исследователи применяли перечисленные ниже типы электродов:
1. Мелкодисперсные металлические частицы. Способ заключается в нанесении пульверизатором на кристалл расплавленного металла Вуда или металла Розе (Никольсон) или в нанесении на кристалл серебра испарением в вакууме (Валашек). Ни тот ни другой способ не получил широкого применения.
2. Жидкие 'электроды. Кернер [287], Гедеке pl 74], Шварц [454] и Хаблютцель [199] применяли ртуть; Кобеко и Курчатов [263], а также Эрера [134] пользовались насыщенным раствором сегнетовой соли. Хотя этот метод и устраняет возможность существования слоя с низкой диэлектрической постоянной между электродом и кристаллом, все же при его применении возможны нежелательные механические напряжения.
3. Электроды из металлической фольги. При точных измерениях фольга должна быть чрезвычайно тонкой для того, чтобы избежать механического напряжения. Клея, содержащего спирт, следует избегать. Большинство современных исследователей употребляют раствор канадского бальзама в ксилоле. Сойер и Тоуер [449] применяют пчелиный воск в бензоле с добавлением небольшого количества канифоли. Сойер [патент США 1994487] рекомендует прибавлять порошкообразный уголь к клею из канадского бальзама в ксилоле, для того чтобы сделать слой клея проводящим. Его способ заключается в том, что электрод накладывают, затем притирают до достижения хорошего контакта, все прогревают (разумеется, при температуре значительно ниже 55° С) и потом проглаживают теплой подушечкой. Курчатов, а также Зейдль и Губер [460] высказываются за применение слоя коллоидального графита на кристалле, покрытом металлической фольгой, Валашек же [544] употреблял амальгамированное олово, прикатанное к полированной поверхности кристалла резиновым роликом О.
Много лет тому назад в нашей лаборатории было найдено, что весьма удовлетворительным материалом для электродов является листовое золото. Полированная поверхность кристалла слегка увлажняется дыханием, затем кристалл осторожно накладывается на горизонтально расположенный золотой листок, который гладко и прочно прилипает. Тот же метод позднее был описан Кернером |]287] и Бушем [88]. Цюрихская школа применяет алюминиевый листок Толщиной в 0,003 мм. Электрическое соединение с цепью устанавливается различными способами, например, подводящие провода припаивают к тонким гибким полоскам металлической фольги, которые слегка касаются электрода. Прекрасно работает легкий контакт между электродом из золотого листка и волоском часового балансира. Такой контакт особенно удобен в опытах с высокочастотными генераторами. Мюллер [376] утверждает, что «электроды из проводящей краски, графита или металлической фольги оказались одинаково пригодными и дали одинаковые результаты. Электроды из оловянной фольги оказались наиболее подходящими при правильном их прикреплении».
Новейшим и по всей вероятности наилучшим методом является применение золотых электродов, нанесенных испарением в вакууме, как будет описано в § 444.
Во избежание вторичных эффектов от напряжений вблизи границы
0 Вильямс описал электроды из «графойля» [патент США 2106143 (1938)].
Общие свойства и технология сегнетовой соли
491
пластинки, «о всех’точных измерениях необходимо, чтобы электроды покрывали всю рабочую грань. Другой возможный метод предложен Дэвидом [119]. Для того чтобы обеспечить равномерное электрическое поле и в то же время избежать краевых эффектов, он применяет «охранное кольцо», поддерживаемое при том же потенциале, что и сам электрод. С этой целью внутренняя часть обоих электродов отделяется от внешней части зазором шириной в 0,5 мм. Сравнительные опыты Дэвида показывают, что эта предосторожность имеет некоторое значение. Метод охранного кольца не нужен, если нужно получить равномерное поле, так как вследствие большой диэлектрической постоянной (по крайней мере в направлении оси X) поле достаточно однородно при условии, что электроды покрывают всю поверхность Д
Вследствие взаимодействия между диэлектрическим и пьезоэлектрическим эффектами монтировка кристалла должна быть спроектирована так, чтобы не вводить мешающих напряжений ни до, ни после приложения электрического поля. Этого можно достигнуть, свободно подвешивая пластинку или предоставляя ей покоиться на опорах, расположенных таким образом, чтобы не препятствовать деформации пластинки.
Разумеется, многими из описанных предосторожностей можно1 пренебречь, если пластинки не предназначены для точных измерений.
Хотя пластинки сегнетовой соли различных срезов прекрасно работают как резонаторы и осцилляторы, мало вероятно, что они могут найти применение в качестве стандартов частоты.
’) Способ употребления предохранительного кольца для предотвращения утечки описан Арндтом (патент США 2289954). . ....
ГЛАВА XXI
СЕГНЕТОВА СОЛЬ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
Исследования пьезоэлектрического эффекта можно разделить на две основных группы в соответствии с тем, касаются ли они прямого или обратного эффекта. Экспериментальные исследования разных авторов, описанные в настоящей главе, иллюстрируют некоторые аномалии сегнетовой соли и общую связь между пьезо- и диэлектрическими явлениями. В дополнение к излагаемому здесь определению пьезоэлектрической константы (C/и в различных условиях в последующих главах будут описаны другие определения, полученные из опытов с колебаниями высокой частоты.
ПРЯМОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
В этой главе мы будем иметь дело главным образом с напряжениями в плоскости KZ и с поляризациями в направлении оси X О, Поскольку опубликованный материал является ко большей части лишь качественным, несистематическим или полученным в сомнительных условиях, можно утверждать, что надежные данные для правильно приготовленных образцов в широких пределах напряжений и температур до сих пор отсутствуют. Имея в виду тесную связь между пьезоэлектрическими и диэлектрическими коэфициентами, естественно ожидать сходства между кривыми поляризации в зависимости от давления и поляризации в зависимости от напряженности поля, включая и тот случай, когда напряженность электрического поля или механическое, напряжение описывает полный цикл. Надо заметить, что тогда как зависимость от напряженности электрического поля была изучена более или менее тщательно, на зависимость от механических напряжений было обращено чрезвычайно мало внимание.
§ 417. Методы измерений. Статические измерения производятся как с помощью электрометра, так и с помощью баллистического гальванометра. Динамические методы измерений описаны в § 310 и 375. Для статических определений du, d2$ и d^ употребляются прямоугольные пластинки 45-градусных срезов X, Y или Z. Напряжение сжатия прикладывается параллельно паре ребер, ограничивающих наибольшую поверхность, как описано в § 184. Для среза X длина I пластинки параллельна оси У, вдоль которой направлено напря)жение Y'v— Flbe,vj\e F— сила в динах, параллельная У', b и е —ширина и толщина пластинки в сантиметрах. Если Q(CGSE) есть полный заряд, возникающий при этом, то пьезоэлектрическая поляризация имеет значение Р — Q/bl == = — d'vYY'y = — б/'12Е/6е, где d'12 = — QelFl. Тогда из уравнений (203) получаем f/i4 = 2rf'i2 =— 2QelFl. Аналогичные окончательные уравнения справедливы также для констант d25 и d36.
О Относительно d2$ и t/зз см. § 141 и 418,
Йсследованиё пьёзоэлёКтрйЧеск.Их Свойств СеёнеТовой сблй 493
Метод измерения с помощью гальванометра достаточно чувствителен и не требует знания емкости кристаллического образца. Это представляет большое преимущество ввиду точности определений значений диэлектрических постоянных и их зависимости от силы поля. Данный метод следует особенно предпочитать при достаточно высоких температурах, когда электропроводность становится заметной. Шварц [454] обратил внимание на важность приключение конденсатора большой емкости параллельно испытуемому образцу при измерениях по электрометрическому методу. При такой предосторожности он получал одинаковые результаты обоими методами. Мандель [328] корректировал показания своего электрометра, учитывая ошибки на утечку с помощью экстраполяции до значений в начальный момент времени. Не приняв мер предосторожности подобного рода, работать с кристаллами сегнетовой соли, вообще говоря, нельзя.
В своих ранних исследованиях Покельс наблюдал, что при сжатии бруска 45-градусного среза требуется значительное время для достижения поляризацией по оси X своего полного значения. По данным Шульвас-Сорокиной [465], при давлениях не выше 1 кг/см 2 на это затрачивается от 3 до 4 мин. При больших давлениях такого эффекта не наблюдается совсем. Это пьезоэлектрическое запаздывание сильно напоминает диэлектрический эффект, описываемый в § 431, и наводит на мысль, что основная причина обоих явлений одна и та же (ср. также § 84). Однако Шварц, результаты наблюдений которого по диэлектрическому запаздыванию приведены на фиг. 115, повидимому, не обнаружил аналогичного явления при своих пьезоэлектрических измерениях.
С другой стороны, Покельс установил, что при снятии давления разряд происходит мгновенно. Имея это в виду, трудно понять, почему во всех позднейших исследованиях измерения производились всегда после наложения напряжения.
§ 418. Зависимость прямого пьезоэлектрического эффекта от напряжения и температуры. V Покельса, Валашека и Мэзона, измерения которых для ^25 и d36 хорошо согласуются между собой (§ 141), нет указаний относительно зависимости этих величин от напряжения. По отсутствию аномалий в направлениях Y и Z можно было ожидать их отсутствия вообще. Тем не менее, для брусков 45-градусного среза X Шварц нашел, что d23 и d36 возрастают при возрастании напряжения сжатия до 6 кг/см2. Этому результату Шварца можно было бы придавать большое значение, если бы его данные для d25 и d36 находились в лучшем согласии со значениями Покельса, Валашека и Мэзона.
кривая зависимости d23 и d33 от температуры, по данным Валашека [545], представлена на фиг. 104. Числовые значения d25 и d36 были уже приведены в § 141. Кривая Валашека для б/!4 (напряжение не указано) не обнаруживает ожидаемых максимумов при двух критических температурах, вероятно, вследствие применения сравнительно больших напряжений (§ 180). Эти максимумы наблюдал Шварц [454], который, подобно Валашеку, не указывает величину напряжения. Аналогичные наблюдения Шульвас-Сорокиной обсуждаются ниже О.
Наиболее ранние наблюдения нелинейного характера зависимости пьезоэлектрической поляризации от напряжения (за исключением
*) С приборами Шварца Кернер [288] измерял du. и с?зе, но количественная интерпретация его результатов сомнительна.
494' t лава XXI
области температур вне точек Кюри) принадлежат Изли (см. фиг. 105). Он прилагал напряжения сжатия Y'y (§ 39) к бруску 45-градусного среза X и измерял пьезозаряд с помощью баллистического гальванометра. Нормальное поведение кристалла при более высоких температурах и приближение к насыщению при температурах между точками Кюри совершенно очевидно. Наибольший заряд вознцкал при 22,25°С (приблизительно температура верхней точки Кюри), при напряжении в
Фаг. 104. Зависимость пьезомодуля сегнетовой соли от температуры (по Валашеку).
Фиг. 105. Кривые зависимости плотности заряда а в кулонахХЮ~8/см2 от давления Y'у в кг/см'2 для различных температур (по Изли).
Фиг. 106- Поляризация Рх как функция давления при различных температурах (по Шульвас-Сорокиной). Ординаты выражены в произвольных единицах, не одинаковых для различных кривых.
2225 кг/см2. Дальше этой точки измерения не производились. Значение величины г/н, по данным фиг. 105, оказывается равным 17 ООО • 10-8. Оно должно возрасти еще больше при уменьшении напряжения. Результаты Изли для упругих свойств тех же кристаллов рассматриваются в § 482. На фиг. 105 и 106 представлены почти все опубликованные данные относительно зависимости поляризации от напряжения. Следует также упомянуть работу Шварца [454], в которой приведена кривая, показывающая, в противоположность фиг. 105 и 106, что поляризация при 18,8°С очень мала при давлениях до 1 кг/см2, после чего она постепенно возрастает. С учетом теории, излагаемой в § 480, и формы кривых, связывающих поляризацию и силу поля, а также кривых зависимости деформации от силы поля в обратном эффекте (см. § 422() такой ре
зультат представляется довольно вероятным. К сожалению, он не подтверждается данными других авторов. Результаты измерений Шульврс-Сорокиной [465], представленные на фиг. 106 г\ охватывают широкий интервал напряжений и температур, однако эти кривые обладают тем недостатком, что единица поляризации у них различная. Во всяком случае, можно считать определенно) установленным, что кривая пьезоэлек-
О По данным Шульвас Сорокиной, мы вычислили на фиг. 106 и 108 и на фиг. 108.
Исследование Пьезоэлектрических свойств сегнетовой соли 4 95
трической поляризации достигает насыщения в области спонтанной поляризации и что при низких давлениях может существовать обратный ход кривой (обращение эффекта). Если это имеет место, то аналогия с кривыми поляризации в зависимости от напряженности поля будет полной. Линейная зависимость между РЛ и напряжением вне точек Кюри,
переходящая в кривую насыщения между этими точками, вполне согласуется с теорией. Как будет показано в дальнейшем, начиная с давления в 50 кг/см12, насыщение (вращение диполей) становится практически пол-
ным, а это значит, что дифференциальный пьезоэлектрический коэфициент при больших напряжениях стремится к нулю.
Все эти результаты показаны очень наглядно на фиг. 107, также заимствованной у Шулъ-вас-Сорокиной [465]. Особенно интересными являются: исключительно высокое значение di4 (26 000-10—8) между критическими^ точками при малых давлениях/ эффект насыщения
Фиг. 107. Зависимость d14 от температуры (по Шульвас-Сорокиной). Напряжение Yz для кривых a, Ь*с и d соответственно равно 0,5, 4, 15 и 25 кг/см2.
и низкое постоянное значение cfi4 вне критических температур. Един-
ственной не согласующейся с теорией особенностью этих кривых является их малая кривизна вблизи нижней точки Кюри. Вычисленная по данным фиг. 107 поляризация насыщения равна 1000 эл.-ст. ед. Это величина того же порядка (вдвое больше), что и диэлектрическая поляризация насыщения (см. § 438). В сотрудничестве с Посновой [469] Шульвас-Сорокина определила впоследствии ее величину в 940 эл.-ст. ед.
Фиг. 108. Зависимость rf14 от давления при 3° (по Шульвас-Сорокиной). Yz выражено в кг/см2.
§ 419. Значение 26 000 • 10~8, полученное для с/14 — наибольшее из всех значений этой величины, измеренных в прямом эффекте, за исключением значения, полученного автором из опытов с пластинкой среза L (см. § 140), которое равно 32 500 • 10—8. Результаты
Шульвас-Сорокиной, описанные ниже, для которых численные значения не установлены, должны были бы дать еще большую числовую величину этрй постоянной Чрезвычайно большие значения, определенные из опытов с обратным эффектом, приведены в § 423. Значение Шульвас-Сорокиной, 26 000 • 10~8, в десять раз превышает соответствующее значение Валашека (фиг. 104). Для объяснения такого расхождения
следует принять во внимание зависимость пьезоэлектрических констант от давления, особенности образцов и систематические ошибки, возникающие вследствие неправильного закрепления образца и деполяризующего влияния поверхностных слоев. Все эти источники ошибок могут
496 Глава XXI
только уменьшить значение du', можно сказать, что' в общем случае более высокие ее значения следует считать более правильными.
В более поздней работе [466] Шульвас-Сорокина утверждает, что при тщательной регулировке температуры и приложении давления не выше 2 кг/см2 для du получается очень резкий и узкий максимум при температуре 22,5°С. Высота максимума меньше для толстых пластинок,
что может зависеть от неравномерности распределения температуры в толстом кристаллическом слое. В точности при той же самой температуре появляется максимум и на кривой для kx. При увеличении давления до 38 кг/см2 никакого максимума в точке Кюри обнаружено не было. Соответственно, максимум на кривой kx исчезает при напряженности поля, превышающей 300 V/см. Было установлено, что при давлениях выше 50 кг/см2 пьезоэлектрические свойства остаются постоянны-
ми при всех температурах.
Зависимость пьезоэлектрической поляризации от напряжения представлена на фиг. 108, заимствованной также из работ Шульвас-Сорокиной [465]. Кривая хорошо иллюстрирует необходимость придерживаться малых напряжений для получения значительного пьезоэлектрического эффекта. Резкое падение du от очень большого значения (около 26 000-10-8), наблюдаемое при напряжении в 2 кг/см2 (фиг. 108),
не подтверждено другими исследователями.
Шульвас-Сорокина [467] показала также, что при наложении на
пластинку из сегнетовой соли переменного (периодического) механиче
Фиг. 109. Прямой пьезоэлектрический эффект в сегнетовой соли. Пьезоэлектрический резонанс для разных напряженностей электрического поля, приложенного к кристаллу (по Валашеку). Сила Адля кривых а, в, с и d соответственно равна 880, 660, 3^0 и 140 г.
ского напряжения значения du быстро спадают при увеличении часто-1Ы свыше 10 Hz. Этот результат согласуется с фактами, касающимися «запаздывания», которые будут обсуждаться в § 427. В более поздней работе Шульвас-Сорокиной [468] описаны опыты, в которых применялись периодические напряжения до 10 г/см2 с частотой от 3 до 3000 Hz, причем экспериментальным результатам дана теоретическая интерпретация.
§ 420. Следует привести здесь также более ранние наблюдения Валашека [541] при комнатной температуре, поскольку они качественно подтверждают теорию, изложенную в § 459. Он измерял с помощью баллистического гальванометра заряд Q, возникающий вследствие наложения силы F = Y'ybe на пластинку 45-градусного среза X (см. § 417). Испытуемая пластинка находилась при этом в электрическом поле, напря
женность которого была известна. Полная поляризация Р* в этом случае равна сумме: Р( = Р° •-[- Р Е-[- PF, где Рй — стоптанная поляризация, РЕ и РЕ—поляризации, вызванные полем Е и силой F. Резуль-
таты представлены на фиг. 109, где по оси ординат отложена величина
Исследование пьезоэлектрических свойств сегнетовой соли 497
заряда Q = blPF. Можно видеть, что максимумы PF приходятся на некоторые отрицательные значения Е, которые растут (по абсолютной величине) с ростом механического напряжения. При одном и том же напряжении Рр больше для больших отрицательных Е, чем для больших положительных. Вследствие ли того, что последовательные наблюдения производились через большие промежутки времени, или вследствие того, что значения Е не проходили полного цикла, PF на фиг. 109 представляет собой однозначную функцию Е (пунктирную кривую пока не рассматриваем). В более поздней работе [542] Валашек описал аналогичные исследования, проведенные в быстрой последовательности, причем Е изменялось по полному циклу. Его результат качественно иллюстрируется на фиг. 109 с помощью кривой, соответствующей наибольшему напряжению. Сплошная линия отвечает кривой для возрастающих значений Е, пунктирная — для уменьшающихсяЭтот результат, так же как и другие, может быть объяснен в свете теоретических соображений, излагаемых в § 462, и в связи с результатами, представленными на фиг. 137. При этом предполагается, что напряжение Yz эквивалентно полю с напряженностью — Е/Ьц.
§ 421. Униполярность прямого пьезоэлектрического эффекта. Хотя в последнее время эффект униполярности и изучался в связи с обратным эффектом (§ 422), однако его влиянию на прямой эффект после первой по этом^ вопросу работы Андерсона (см. ссылку в § 404) уделялось мало внимания. Андерсон применял квадратные пластинки, вырезанные перпендикулярно к оси X, с ребрами, составляющими 45° с осями Y и Z. При изменении направления давления на 90° в плоскости YZ знак деформации изменялся на обратный, что уже было отмечено в § 184. Кроме того, в некоторых образцах при перемене знака напряжения поляризация увеличивалась в несколько раз. Более поздние наблюдения Вигнесса описаны в следующем параграфе. Объяснение этого явления на основании наиболее распространенных теоретических представлений можно найти в § 462 и 477.
ОБРАТНЫЙ ЭФФЕКТ
Обратный эффект в кристаллах сегнетовой соли обнаруживает аномалии, аналогичные тем, которые наблюдаются в уже рассмотренном прямом эффекте. Эти аномалии требуют для своего изучения особых экспериментальных и теоретических исследований. Здесь будут рассмотрены главным образом такие пластинки сегнетовой соли, поле которых направлено по оси X. Теоретические соображения будут изложены в § 460.
Для измерения пьезоэлектрических констант кристаллов обратный эффект представляет то преимущество, что в этом случае не надо вводить поправок на утечку заряда через образец или по его поверхности. Как всегда, при этом очень важно, чтобы контакт между электродом и кристаллом был надежным, т. е. чтобы между электродом и кристаллом не было никаких загрязнений, клея или, как в случае сегнетовой соли, продуктов дегидратации кристалла. Для того чтобы удовлетворить
*) Можно сказать, что таким образом фиг. 109 изображает нечто вроде совмести кого пьезо- и диэлектрического гистерезиса. О петлях Пьезоэлектрического гистерезиса в прямом и обратном эффекте см. § 422 и 492..
32 Кэди
498
Глава XXI
этим условиям и не изменить деформации кристалла, следует упо-1реблять очень тонкие электроды, например, распыленное золото.
Основными экспериментальными работами в области обратного эффекта являются работы Сойера и Тоуэра [449], Блюменталя [55], Вигнесса [565], [566], Норгордена [393], [394] и Гинца [229]. В общих чертах можно сказать, что в обратном эффекте наблюдаются большие значения di4, чем в прямом; что механическая деформация, вызванная наложением поля, подобно электрической (поляризация), обнаруживает как насыщение, так и гистерезис и такую же зависимость от температуры, как диэлектрический и прямой пьезоэлектрический эффекты; что наблюдаются явления запаздывания и усталости. Блюменталь и Гинц работали с постоянными полями, тогда как другие измеряли максимальные деформации в переменных полях. В большинстве случаев наблюдалось изменение длины Д/ брусков или пластинок 45-градусного среза X. Основная формула имеет следующий вид:
у ,=2^=4^. (489)
§ 422. Статические поля. Пластинки, с которыми работал Вигнесс, имели длину I по нормали к плоскости (021) кристалла. Это направле-
Волыпы/см
Фиг. ИО-ОЪрьтиът пьезоэлектрический эффект в сегнетовой соли по Вигнессу [565]. Зависимость деформации и dA от величины статического поля. Если 2Дг—общее изменение длины г пластинки среза X, наблюдаемое при изменении направления поля, то относительная деформация, соответствующая напряженности поля, показанной на рисунке, есть У г = 2Дг/г.
ние составляло, следовательно, угол в 40°53/ с осью Z, достаточно близкий к 45°, для того чтобы можно было пользоваться уравнением (489) для Д/. Вигнесс вычислял Д/ по рентгенограммам испытуемого образца. Его работа,
Фиг. 111. Обратный пьезоэлектрический эффект в сегнетовой соли (по Вигнессу [566]). Зависимость d-ц от температуры при.раз-личных напряженностях поля.
невидимому, является единственной, где для измерения пьезоэлектри-, ческих деформаций был использован рентгенографический метод. Me тодика Вигнесса дает надежные результаты при условии достаточной уверенности в том, от каких именно плоскостей решетки происходит отражение. Недостатком ее является образование поверхностных дефектов и даже разрушение кристалла после длительных экспозиций,
Исследование пьезоэлектрических свойств сегнетовой соли.499
что приводит к расширению линий. Вигнесс установил, что данные, полученные рентгенографическим и микроскопическим методами, хорошо согласуются между собой. Его основные результаты представлены кривыми на фиг. НО и 111. Они имеют ту же форму, что и кривые на фиг. 116 для диэлектрического эффекта и на фиг. 104—108 для прямого пьезоэлектрического эффекта. Особенно интересно их характерное поведение вблизи верхней точки Кюри и чрезвычайно большое значение di4 — почти в 10 раз больше соответствующих значений для прямого эффекта. Хотя результаты Вигнесса не дают начального значения dj4, но на основании хода кривой деформации при 20° С (фиг. ПО) можно вывести заключение, что около этой температуры первоначально низкие значения <Л4 начинают расти, если напряженность поля имеет порядок 10 V/см. Это возрастание константы di4 в слабых полях характерно для статических измерений и соответствует тому, что наблюдается для диэлектрических постоянных (см. § 431).
Существенно важное значение учета явлений запаздывания и усталости (§ 427) при истолковании результатов пьезоэлектрических исследований показано следующими наблюдениями Вигнесса [565]. В слабых полях (27 V/см) деформация и ее исчезновение происходят медленно, в течение нескольких секунд. В более сильных полях (165 V/см) деформация почти мгновенно достигает своей полной величины, сопровож-даясь медленным экспоненциально спадающим крипом, который может длитьс^) часами. После продолжительного действия сильного поля возвращение к первоначальному состоянию требует более минуты. После приложения поля в одном направлении противоположно направленное поле вызывает большую деформацию, чем в случае, когда первое поле вообще не накладывалось.
Вигнесс в своих опытах предполагал отыскать экспериментальное доказательство существования трех разных времен релаксации для кристаллов сегнетовой соли. Он предполагал, что существует: 1) время релаксации в малую долю секунды, соответствующее звуковым и высокочастотным колебаниям; 2) время релаксации, достигающее максимального значения в 15 сек. при 164 V/cm, 7,5 сек. при 27 V/см и температурах немного выше 0° 0 и спадающее до нуля в обеих точках Кюри; 3) более длительное время релаксации, измеряемое минутами и даже часами (см. также § 427).
В § 421 и 433 упоминается о наличии униполярности в диэлектрическом и прямом пьезоэлектрическом эффектах сегнетовой соли. Вигнесс [566] нашел, что величина деформации в пластинках среза X при обратном эффекте не всегда остается той же самой, если знак электрического поля меняется на обратный. В одном направлении она может быть в несколько раз больше, чем в цротивоположном. Униполярность деформации в электрическом поле аналогична диэлектрической униполярности, описываемой в § 433. На самом деле в данном случае наблюдалась спонтанная деформация, что и было использовано Яффе (§ 4&2) для первых вычислений действительного значения этой величины.
Блюменталь применял систему оптических и механических рычагов для измерения изменения длины брусков 45-градусного среза X из сег нетовой соли, содержавшей 0,37% примеси C4H40sTlNa • 4Н2О. Напряженность поля Е изменялась ступенями от —400 до +400 V/cm. Кривая yz (Е) образует петлю гистерезиса при температурах, не достигающих верхней точки Кюри. Опыты проводились при температурах от 10 до 35° С. Коэфициент di4 при данной температуре вычисляется 32*
500
Глава XXI
Фиг. 112. Обратный пьезоэлектрический эффект в сегнетовой соли по Гинцу. По оси абсцисс отложены вольты, приложенные к пластинке 45 градусного среза X. Максимальная напряженность поля для 50 V была 255 V/см. Ординаты, умноженные на 0,00145, дают удлинение в миллиметрах. Если ординаты умножить на 435 10~5, то они дают пьезо-электрическую деформагию yz.
по максимальному наклону кривой, аналогичной кривым на фиг. 149. Максимальное значение di4 при 20° С равно 70 • 10~5. Время исчезновения остаточной деформации при снятии напряжения не определялось. Значения d2s и с73б, полученные Блюменталем для чистой сегнетовой соли для температур выше 25° С, сходятся со значениями Валашека, приведенными в § 418.
Петли гистерезиса при обратном эффекте были получены Гинцем [229] по наблюдениям изменения длины пластинки среза X размером 40 X 15 X 1,75 мм. К пластинке была приложена разность потенциалов до 50 V (Е до 285 V/см). Через каждые 10 V напряжение изменялось на обратное. Для измерения удлинения применялся оптический рычаг с вращающимся зеркалом, подобный тому, который употребляется для измерения упругих постоянных (§ 73). Электроды изготовлялись из оловянной фольги и наклеивались с помощью ацетонового лака. Результаты измерений, представленные на фиг. 112, в общем согласуются с результатами Вигнесса и Блюменталя. Полученные экспериментально удлинения пропорциональны деформации y'v, которая связана с другими величинами следующими равенствами: y'v— yz/2 = = d\4E/2—Ь\4Ре12. Из этих равенств совместно с уравнением (500) или (512) можно путем теоретических выкладок определить эффект насыщения, наблюдаемый для температур между точками Кюри. Гинц приводит также кривую, связывающую изменение длины пла
стинки при максимальной напряженности поля (ординаты концов петель на фиг. 112) с температурой. Форма кривой напоминает форму аналогичной кривой Валашека для прямого эффекта (фиг. 104) да соответствующей области температур, но с менее крутым падением в точке Кюри. Последнее обстоятельство может зависеть или от присутствия натяжений в пластинках или от того, что Гинц работал со слишком сильными полями.
Сравнение фиг. 112 с осциллограммами, показанными на фиг. 121, 122 и 123, обнаруживает тесный параллелизм в характере зависимости механической и электрической деформации от напряженности поля. В частности, легко заметить аналогию в зависимости от температуры и в эффектах насыщения.
Как показывает фиг. 112, петли гистерезиса не вполне симметрия-
. Исследование пьезоэлектрических свойств сегнетовой спли
501
ны относительно горизонтальной оси. Это значит, что испытанные пластинки обладали некоторой униполярностью, так как асимметрия слишком велика, чтобы ее можно было объяснить электрострикцией.
С помощью уравнения yz = duE можно вычислить для каждой температуры или дифференциальный модуль d =d yz dE (по наклону кривых фиг. 112), или усредненный d14, соответствующий экстремальному значению Е. Оно уменьшается от 36- 10—5 при 12,5°С до 3,1 • 10—5 при 27,9°С.
Выше точки Кюри можно по теории поляризации (см. § 452) с помощью, формул 614 = У г Р = У zl'f\'E найти числовое значение би-Так, например, г/ при 27,9°С, по данным фиг. 143, приблизительно равно 32, a 6i4, по данным фиг. 112, оказывается равным 6,5-10—7, что хорошо согласуется с его значением 6- 10—\ получаемым из фиг. 144. Ниже точки Кюри аналогичные вычисления производить невозможно, потому что восприимчивость в условиях Гинца неизвестна. Кроме того, трудно, вообще говоря, ожидать воспроизводимости петель гистерезиса (фиг. 112), так как весьма вероятно, как указывает Вигнесс [565], [566], что деформация при пьезоэлектрическом эффекте в сегнетовой соли зависит от самого образца и от способа его испытания, подобно измерениям поляризации в статическом поле. Относительно определения упругой мгновенной деформации у\ по кривым фиг. 112 см. § 482.
§ 423. Переменное поле. Сойер и Тоуэр [449] измеряли сдвиг в пластинках среза X, ребра которых были параллельны осям У и Z. Поверхность, перпендикулярная к
оси Z, была приклеена к металлическому блоку. Максимальное смещение противоположной грани в направлении оси У в переменном поле с частотой в 60 Hz измерялось с помощью микроскопа. Сдвиг уг равен отношению соответствующего смещения к длине пластинки по оси Z. Результаты измерений представлены на фиг. 113. Интересно отсутствие обратного эффекта при напряженности поля ниже 50 V/см. Опыты Норгордена, описание которых мы дадим дальше, показали, что деформация получается и в полях слабее 50 V/см, но что она в этом случае очень мала и не может быть измерена методом Сойера и Тоуэра. Результаты Сойера и Тоуэра для переменного поля и результаты Вигнесса для постоянного поля хорошо согласуются между собой, за исключением области малых напря-
Фиг. 113. Зависимость деформации от поля для пластинки сегнетовой соли среза X nj и различных температурах (Сойер и Тоуэр). Чтобы избежать путаницы, для температуры —1°С показана только верхняя часть кривой.
женностей поля.
Фиг. 113 показывает*, что деформация достигает насыщения при значениях от 4- 10~4 до 9- 10—4, в зависимости от температуры, и зависит от температуры так же, как диэлектрическая постоянная на фиг. 121.
Из наклона кривых фиг. 113 можно вычислить максимальное диф
502_____________Г лав a XXI
ференциальное значение du. Например, при 14° С оно равно 200 • 10-5 и по порядку величины совпадает с данными других авторов. Максимальное значение во- всем интервале, полученное с помощью проведения касательной из начала координат к кривой для 14° С, приблизительно равно 100- 10~4. Оно в четыре раза превосходит максимальное значение для прямого эффекта (см. фиг. 107).
§ 424. Норгорден [393, 394] измерял максимальные изменения длины куба 45-градусного среза X в полях с максимальной напряженностью от 5 до 47 V/см и с частотой от 30 до 4000 Hz. Температура изменялась от 13 до 35° С. Ребро’ куба равнялось 2 см. Для снятия напряжений в кристалле и приключения электродов к граням, перпендикулярным к оси X, Норгорден пользовался методом Мюллера (§415,416). Одна из граней под 45° несла электрод, который служил обкладкой конденсатора. Другая обкладка этого конденсатора помещалась в непосредственной близости к образцу. Обкладки конденсатора, на который накладывалось напряжение в 152,4 V, присоединялись к усилителю. Таким образом, максимальная деформация при колебаниях кристалла могла быть определена по показаниям приборов в цепи усилителя. Вся цепь была тщательно экранирована от внешних полей.
Целью работы Норгордена было определение по уравнению (512) начального значения (^и)о в обратном эффекте. Хотя его опыты имеют большое качественное значение, числовые величины du, полученные им, нельзя считать правильными,- так как они слишком малы. Прежде всего они в сотни раз меньше числовых значений Вигнесса, и это расхождение вряд ли может быть объяснено тем, что Вигнесс работал с постоянными полями. Далее, они составляют около одной трети тех значений, которые получаются из фиг. 144 и с которыми их можно сравнивать, несмотря на различие методов. Такое расхождение можно объяснить тем, что в опытах Норгордена, несмотря на принятые предосторожности, на поверхности кристаллов образовывались слои с низкой диэлектрической постоянной. Для напряженности поля, следовательно, получались слишком высокие значения, и вследствие этого вычисления давали слишком низкие значения du- Механические натяжения, возникавшие при наклейке электродов, влияли на du в том же направлении.
Принимая во внимание все эти замечания, результаты работ Норгордена можно сформулировать следующим образом. Подобно, своему аналогу, начальной диэлектрической постоянной k0 уравнения (434), (^и)о почти постоянно в полях до 50 V/см. Зависимость обратной величины деформации, 1/?/., от величины температурного интервала (Т — 0и) при данной напряженности поля линейна по обе стороны от точки Кюри. В этих результатах мы находим первое и пока единственное доказательство закона Кюри—Вейсса для пьезоэлектрического эффекта (см. §467).
Опыты Норгордена иллюстрируют также тенденцию du к насыщению с увеличением поля, как и следовало ожидать на основании уравнения (512) и по аналогии с диэлектрической постоянной. Помимо этого он нашел почти полную независимость деформации от частоты в области от 100 до 4000 Hz.
СРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО И ОБРАТНОГО ЭФФЕКТОВ
§ 425. Допустим, что на кристалл сегнетовой соли, находящийся при температурах между точками Кюри без внешнего электрического ; оля, наложено механическое напряжение Yz, которое вызывает дефор-
Исследование пьезоэлектрических - свойств сегнетовой соли
503
мацию уг и поляризацию Р. Пусть затем на тот же кристалл накладывается поле Е, которое сводит деформацию к нулю. Посмотрим, каким образом связана поляризация Р', вызываемая полем Е, с поляризацией Р, вызванной напряжением У2. , ; ".
Для прямого эффекта Р = — d\4Yz = dl4yz/s44 = e14yz . Для обратного эффекта у'? — d'\4Е и Р' = т\Е (штрихами отмечены величины при обратном эффекте). Символ d'\4 показывает, что коэфициент пьезоэлектрической деформации может иметь различные значения в прямом и обратном эффекте. Величина т( — эффективная -восприимчивость, которая для обыкновенных пьезоэлектрических кристаллов обозначается через т]' ( постоянное механическое напряжение). Для сегнетовой соли она зависит от Y?, и Е обычно бывает меньше т/. Если считать y'z — — Уг, то
Р e}4d'и
Р' W ‘О
Для обыкновенных кристаллов — d'\4==d\4, и, следовательно,
по уравнению (516)
Отсюда Р/Р' — — (т/— т]") /т/. Так как в большинстве случаев
(^-V')«! ,
то Р Р'.
В кристаллах сегнетовой соли вследствие больших cG4 в некоторых Пределах изменения поля и температуры т/и, следовательно, Р' по своему значению близко к Р. Это значит, что в прямом и обратном эффекте одна и та же деформация связана с почти одной и той же поляризацией. Следует подчеркнуть, что равенство напряжения у. в обоих эффектах определяется внешней конфигурацией кристалла (точнее, только одной области спонтанной ориентации). Однако тот факт, что при прямом эффекте поле может быть равно нулю, чего никогда не бывает при обратном эффекте, говорит о том, что внутренние силы в элементарной ячейке и, следовательно, ориентационное размещение атомов в ней не могут быть одними и теми же в обоих случаях. По дипольной теории в прямом эффекте механическое напряжение поворачивает диполи, в обратном же эффекте вращение диполей во внешнем поле деформирует решетку.
Можно было бы предполагать, что различие конфигураций решетки в обоих случаях приведет к необратимости явления. Таким образом были бы объяснены значительно большие значения di4 в обратном эффекте'при наблюдениях в статических и низкочастотных полях по сравнению со значениями di4 в прямом эффекте. Однако результаты Вигнес-са, получившего одинаковые деформации с помощью измерения под микроскопом и с помощью рентгенографического метода, заставляют сомневаться в справедливости этого предположения. Первичные деформации, т. е. деформации решетки, могут быть обнаружены только рентгенографическим методом. С помощью же микроскопа мы можем регистрировать лишь изменения во внешней конфигурации кристалла. Если оба метода дают одни и те же результаты, то приходится сделать вывод, что решетка испытывает одинаковые деформации в прямом и обратном эффекте. В настоящее время мы можем сказать только, что относительно большие значения dl4 в обратном эффекте могут зависеть
504
Глава XXI
от отсутствия некоторых ошибок измерений, которые в прямом эффекте обусловливают слишком низкие значения этой величины. Если после исключения всех ошибок все-таки окажется расхождение в значениях tZi4 для обоих эффектов, то только тогда можно будет сделать заключение о том, что пьезоэлектрический эффект необратим.
Оба эффекта было бы гораздо удобнее сравнивать, если бы испытания производились с одним и тем же образцом и строились бы кривые зависимости Р от У2 и у2 от Е при различных температурах, особенно при температурах между точками Кюри. Еще лучше добавить сюда кривую зависимости Р от Е, причем значение Р должно определяться одновременно с уz . Имея в виду отсутствие таких данных, мы можем суммировать следующим образом те отрывочные результаты, которые изложены в этой главе. Прежде всего отметим, что пьезоэлектрическая деформация в обратном эффекте, приводящая к большим значениям б/14, чем в прямом, подобно кривым поляризации, состоит из трех стадий. На первой стадии, в полях до 400 V/см и более слабых, yz относительно мало. Затем, как видно из фиг. 112 и 113, наступает быстрый подъем, сопровождающийся переходом к состоянию насыщения. Для прямого эффекта наблюдается только быстрый подъем пьезоэлектрической поляризации и последующее насыщение (фиг. 105 и 106). Только наблюдения Шварца, о которых было сказано в § 418, указывают на существование первой стадии с низкой поляризацией.
§ 426. Эффективное значение di4 в пьезорезонаторах. В слабых полях высокой частоты нельзя получить больших значений d^, подобных тем, которые найдены Вигнессом, Блюменталем и Гинцем из опытов в статических полях или Сойером и Тоуэром в переменных полях (60 Hz) с напряженностью более 50 V/см. Можно скорее ожидать значений того же порядка, как и в опытах, результаты которых изображены на фиг. 144. Следует при этом заметить, что di4, вычисленные из опытов с резонаторами, являются результатом комбинированного действия прямого и обратного эффектов, как это было объяснено в § 221.
Относительно поведения резонаторов в сильных полях почти ничего не известно. В сегнетоэлектрической области можно ожидать, что dl4 изменяется за время полного цикла, причем ход кривой, изображающей это изменение, должен быть таким же, как ход кривых на фиг. 112. О влиянии на поведение резонатора этих нелинейных зависимостей говорится в § 370 и 480. Сильные поля нашли себе практическое применение только в преобразователях некоторых типов, но относительно влияния механической работы на эффективное значение di4 почти ничего не известно.
§ 427. Запаздывание и усталость. В этом параграфе мы дадим сводку наиболее важных экспериментальных результатов, излагаемых в §417—424 и 431—437. Термин запаздывание употребляется для обозначения медленного нарастания электрической или механической деформации под действием электрического поля или механического напряжения. Запаздывание в некоторой степени связано с усталостью, под которой понимают состояние кристалла, появившееся в результате воздействия электрического поля или механического напряжения. Оба термина употребляются главным образом при статических испытаниях.
Наблюдения запаздывания, а) При зарядке конденсатора с прокладкой из сегнетовой соли. Заряд при данной напряженности поля Е^. растет пропорционально времени зарядки
Исследование пьезоэлектрических свойств сегнетовой соли 505
пока t с равно нескольким тысячным секунды. Если же tc составляет от нескольких секунд до нескольких минут, то заряд остается постоянным, и разряд происхрдит достаточно быстро, чтобы можно было определить величину заряда с помощью баллистического гальванометра. В сильных полях (более 400 V/см) процесс зарядки заканчивается (в течение 0,01 сек., тогда как в полях, при которых получается крутой подъем на кривой поляризации, заряд нарастает более постепенно.
В толстых пластинках насыщение поляризации наступает при более слабых полях, чем в тонких, но если напряженность поля меньше той, при которой начинается насыщение, то толстые пластинки требуют для зарядки большего промежутка времени, чем тонкие (Курчатов). Разрядка толстых кристаллов также происходит медленнее.
б) Запаздывание при пьезоэффекте. В прямом эффекте полная поляризация Рх, соответствующая напряжению У., устанавливается в течение нескольких минут. Разряд, однако, происходит мгновенно (§ 417). В обратном эффекте при действии слабого механического напряжения пьезоэлектрическая деформация г/ги исчезновение ее происходят замедленно. При больших полях деформация мгновенна, но исчезновение ее продолжается дольше минуты (§ 422).
в) Запаздывание упругих деформаций. Изли [243] нашел, что при сжатии бруска 45-градусного среза X требуется около 30 сек. для того, чтобы деформация достигла полной величины. Мандель сообщает об аналогичных результатах.
Наблюдения усталости. Наблюдалась как диэлектрическая, так и пьезоэлектрическая усталость (§ 404), но последняя исследована очень мало. Диэлектрическая усталость проявляется в замедлении разряда после длительного действия поля. Возвращение к начальному состоянию идет медленно, но его можно ускорить, приложив обратно направленное поле. Явления усталости можно избежать, если в качестве электродов пользоваться растворами. Это показывает, что возникновение усталости связано с состоянием поверхности, а не внутренних областей кристалла.
Мандель столкнулся с явлением упругой усталости при измерениях упругих констант кристаллов сегнетовой соли и тартрата натрия-аммония (§ 78, 88). К сожалению, он не дает никаких количественных результатов.
Наблюдения в переменных полях. Увеличению поляризации при продолжительном действии статического поля соответствует ее уменьшение в переменном поле. При частотах в 50—100 Hz образуется переходная область, выше которой результаты измерений мало отличаются друг от друга вплоть до частот в 10 000 Hz (см. § 432, 436, 438). Аналогичные результаты получены для обратного пьезоэффекта.
§ 428. Время релаксации. Весьма вероятно,, что в большинстве исследований запаздывания и усталости (если не во всех) электроды были отделены от кристалла сегнетовой соли дегидратированными слоями или прослойкой клея. Вследствие этого поле внутри кристалла снижается (§ 411)/ а в промежуточных слоях между кристаллом и электродом возникает деполяризация. Все это сказывается на результатах измерений. Поэтому, например, расхождение между данными Курчатова и Шварца (фиг. 115) не может служить доказательством того, что эффект запаздывания присущ собственно кристаллу.
506 Глава XXI
Медленность ориентировки в поверхностных слоях представляет собой не единственное явление в кристаллах сегнетовой соли, которое надо иметь в виду при попытке объяснения аномалий этого вещества по теории релаксации Дебая. Нелинейная зависимость Рх от ЕЛ, влияние внутренних взаимодействий (§ 448), гистерезис, задерживающий перераспределение границ между областями спонтанной ориентации — все эти явления зависят от времени, и эта зависимость вполне объясняет большую часть эффектов запаздывания и усталости. Мюллер [380] заходит так далеко, что утверждает, что «существование (времени релаксации, превышающее 10~6 сек., не установлено ни одним опытом».
Теорию релаксации для объяснения явлений, наблюдаемых при пьезоэлектрическом эффекте, развивали Вигнесс [565, 566] (§ 422), Норгор-ден (§ 424), Штауб [477], Шульвас-Сорокина и Поснова (§ 437), Шульвас-Сорокина [467] и Годеке [174]* 2). Последние две работы содержат математический анализ этого вопроса.
В переменном поле сегнетова соль ведет себя как емкость, соединенная с сопротивлением. На коэфициент мощности влияют следующие фак. торы (все вместе или по отдельности): 1) истинные времена релаксации; 2) энергия, идущая на вращение областей спонтанной ориентации; 3) смещение границ областей спонтанной ориентации; 4) утечка заряда через кристалл или по его поверхности; 5) колебания кристалла в целом. Потери мощности представляют настолько сложное явление, что оно не поддается анализу.
Эмпирически этот вопрос разобран Мэзоном [637, 338], который измерял не только диэлектрические, но и пьезоэлектрические константы и их комбинации. Он вывел выражение для импеданса кристалла при любой частоте колебаний, пользуясь дебаевской теорией релаксации, однако не произвел никаких расчетов. Эквивалентная схема кристалла, по Мэзону, была подробно рассмотрена в § 375.
В § 425 мы коснулись вопроса об обратимости пьезоэлектрических явлений в кристаллах сегнетовой соли. Можно надеяться, что этот вопрос будет разрешен с помощью измерения потерь в колеблющихся кристаллах при различных условиях. С одной стороны, между пьезо-и диэлектрическими константами имеется тесная связь. С другой стороны, в уравнение колебания резонаторов входит пьезоэлектрическая константа rfu во второй степени. Этот квадрат представляет собой в действительности произведение значений для прямого и обратного эффектов. Аналитическое и экспериментальное разделение этих двух сомножителей является нелегкой задачей.
В Об аналогии в области магнитных явлений см. в статье С. W. .Heaps, Phys. Rev. 54, 288—293 (1938).
2> Последний получил для времени релаксации величины порядка Ю 4. 10~5 и 10-в сек., которые согласуются с наименьшими значениями Вигнесса (§ 422).
ГЛАВА XXII
СЕГНЕТОВА СОЛЬ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
§ 429. В этой главе мы будем иметь дело главным образом с полями, направленными по оси X. Диэлектрические постоянные в направлениях У и Z, которые не обнаруживают аномалий, были рассмотрены в § 408.
Диэлектрические свойства кристаллов сегнетовой соли в полях, параллельных оси X, весьма сложны. Диэлектрическая постоянная в этом направлении чрезвычайно сильно зависит от температуры, напряженности поля и механических деформаций. Литература по этому вопросу настолько обширна, что приходится ограничиться основными работами и сопоставлением наиболее важных и достоверных данных. Кроме того, что изложено в этой главе, дополнительные сведения можно найти в гл. XVIII и в § 474.
Везде, где опущен индекс х, надо помнить, что поле и поляризация направлены вдоль оси X.
Вследствие больших значений и их влияния на проницаемость, значения k л определяются с трудом, так как нелегко монтировать кристалл с прилегающими к нему электродами так, чтобы он был свободен от внешних механических напряжений. Отчасти по этой причине большинство авторов не смогло получить тех очень больших kxt которых следует ожидать в точках Кюри. Большое количество экспериментальных работ, особенно тех, которые произведены ранее 1934 г., имеют только качественное значение. Было также сделано много попыток бесполезного теоретизирования. Особенно поразительно отсутствие достоверных количественных данных в. статических полях. Это произошло, может быть, потому, что, как было показано экспериментально, лучше воспроизводятся результаты, полученные с переменным током, хотя и они у разных авторов очень далеки от совпадения. Одной из причин такого расхождения является ссылка на «комнатную температуру», точнее не указываемую. Это чрезвычайно неприятное обстоятельство, так как комнатные температуры близки к верхней точке Кюри.. Другими причинами, влияние которых будет рассмотрено в дальнейшем, могут служить различия в толщине и степени униполярности образцов!, история образца, разница в материале электрода и клея между электродами и кристаллом, поверхностные загрязнения на кристалле. Некоторые из этих причин расхождения не играют роли в опытах с переменными полями. Результаты опытов в статических полях, которые могут быть сравнены с результатами опытов в низкочастотных переменных полях, относятся к измерениям в самых слабых и в наиболее сильных полях.
Проницаемость обычно определяется по измерениям Р в полях разной силы при разной температуре и степени механического сжатия кристалла. Наблюдения диэлектрических свойств можно классифицировать следующим образом. 1) Опыты в статических полях, причем
503 Глава XXII
кривые поляризации строятся по точкам, получаемым обычно с помощью баллистического гальванометра. Именно таким способом изучены явления усталости, запаздывания и униполярности. 2) Опыты в полях низкой частоты до 1000 Hz, в отдельных случаях до 10 000 Hz. Все три только что перечисленных эффекта, изменяющиеся от кристалла к кристаллу, в большинстве случаев могут быть исключены. Наиболее хорошо воспроизводимые результаты получаются этим методом с помощью осциллографа или мостика переменного тока. 3) Опыты при высоких частотах, причем кристалл или включен в схему генератора или связан с нею.
Основными возмущающими эффектами во втором и третьем случаях являются резонанс с различными формами колебаний и нагревание кристалла.
Пока частота поля достаточно далека от резонанса с какой-нибудь формой колебаний кристалла, методы 2 и 3 дают приближенно те значения диэлектрической постоянной, которые отвечают точкам заострения петли гистерезиса. В зависимости от примененной схемы, метод мостика позволяет определять или эквивалентную параллельную емкость С резонатора, или последовательную емкость Cs, как это было описано в § 27J и 273. Эти две величины сильно отличаются друг от друга в области резонансных частот и стремятся к равенству за пределами этой области. Поэтому в области достаточно далеких от резонанса , 4тс<? СD 4ке Cs .
частот « — —л == —> где и Д — толщина и площадь пла-
/X /X
стинки, а Ср и Cs выражены в абсолютных единицах. О влиянии резонанса на величину k при частотах, далеких от резонанса, было указано в § 259.
§ 430. Определения и обозначения. Нам придется применять различные выражения для обозначения диэлектрической проницаемости (постоянной) и восприимчивости, которые иллюстрируются фиг. 114 (фиг. 166 дает аналогичные магнитные величины). Прежде всего, существует «нормальная» проницаемость kx в точке А (индекс х может быть опущен, так как рассматривается поляризация только по оси X), определяемая равенством k = 1 -j- 4 тп; , где т] = Р]Е. В некоторых случаях, особенно при рассмотрении петель гистерезиса, пользуются дифференциальной проницаемостью, kd = 1 4тст^ , где rjd = дР/дЕ (наклон кривой в данной точке есть дифференциальная восприимчивость). Точка может быть взята как на начальной кривой, так и на петле гистерезиса. Начальная проницаемость k0 (восприимчивость т;0) есть дифференциальная проницаемость для Е — 0. Проницаемость насыщения kds определяется как дифференциальная проницаемость в сильных полях на линейном участке кривой поляризации или гистерезиса. Величина &^на крутых участках кривой обозначается через kdm . Обратимая проницаемость kr есть предельное значение величины 1 -р4^ 8Р/ЬЕ, получаемое из графика Р, как функции Е, в слабых переменных полях. Исчезающе малые изменения Р в этом случае линейны и не обнаруживают гистерезиса. Наклон короткого отрезка прямой, по которому вычисляется обратимая поляризация в данной точке, тот же, что и наклон кривой гистерезиса; в этой точке отрезок касается кривой. В литературе, к сожалению, далеко не всегда указывается, о какой проницаемости идет речь. Все сказанное о проницаемости разных видов относится также к восприимчивости.
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли 509
Проницаемость любого вида можно вычислить по результатам измерений с баллистическим гальванометром или осциллографом. Изме
рения на мостике переменного тока дают «нормальную» величину, ко-
торая сильно зависит от напряженности поля и в слабых полях переходит в начальную проницаемость. При отсутствии специальных указаний мы будем обозначать через k нормальную проницаемость для свободного от механических напряжений кристалла.
Для сегнетовой соли во многих случаях с достаточной точностью можно считать справедливыми равенства:
k ~ 4iryj = 4тсР/Е (или 4u dPt дЕ).
Большая часть измерений, о которых здесь говорится, относится к области спонтанной поляризации. Вне ее, за исключением непосредственной близости к точкам Кюри, все аномалии исчезают. Наиболее надежные результаты вне точек Кюри были получены с переменным током. Они рассмотрены ниже в этой главе.
§ 431. Опыты в статическом поле. Кривые поляризации, приведенные в более ранних работах, например у Валашека [541] и Курчатова [634], имеют мало
Фиг. 114. Типы диэлектрической проницаемости. „Нормальное значение" в точке А есть 1+4к/>/£'. Дифференциальная диэлектрическая проницаемость обозначена на отрезках а и Ь, обратимая в точках с и d. Дифференциальное и обратимое значения сливаются при больших полях, давая проницаемость насыщения, а при малых полях дают начальную проницаемость.
значения для количественных расчетов вследствие неполноты данных. Мы рассмотрим здесь весьма небогатый материал только для описания наиболее заметных явлений.
Типичная форма кривой поляризации и эффект запаздывания (§ 427) изображены на фиг. 115, взятой из работы Шварца [454]. Отчетливо видно сходство этой кривой с кривой намагничивания и его тремя стадиями. Наивысшее значение поляризации, около 500 CGSE, представляет собой величину того же порядка, что и поляризация насыщения, определяемая другими методами. Начиная с 500 V/см, поляризация не зависит от времени зарядки. Для того' чтобы показать, насколько изменчивы результаты измерений с баллистическим гальванометром, на той же фиг. 115 дана кривая, построенная по измерениям Курчатова. Эта кривая получена при 0°. Время зарядки равнялось 0,07 сек., толщина кристаллической пластинки составляла 7,2 см. Толщина пластинки Шварца неизвестна. Так же как и у Шварца, поляризация в опытах Курчатова воз-
растала с увеличением продолжительности зарядки.
Второй пример приведен на фиг. 116, где время зарядки достигало 10 сек. Отличие его от первого заключается главным образом в том, что поляризация становится несколько больше. На фиг. 116 показана проницаемость k ^г.Р/Е как функция напряженности поля (ср. фиг. 125).
Во избежание ошибок, связанных с запаздыванием и проводимостью, большая часть статических измерений поляризации производилась при разряде конденсатора. Оказалось, что если время зарядки не превышает нескольких минут, то разряд происходит почти мгновенно. Это позволяет производить измерения баллистическим гальванометром.
Когда процесс зарядки длится часами, а не минутами, начинает
510
Глава XXII
сказываться явление усталости. В этих случаях разряд не происходит мгновенно, значительная часть заряда остается и спадает постепенно со скоростью, зависящей от времени зарядки, иногда в течение нескольких дней. Этот эффект зависит также от напряженности заряжающего поля. Так как рано или поздно конденсатор разряжается полностью (т. е. в результате действия поля нет постоянной остаточной поляризации), то можно думать, что в полях низкой частоты петля гистерезиса должна исчезать. Это значит, что если вести наблюдения, увеличивая и
Фиг. 115. Поляризация Р для малого времени зарядки (поле параллельно X). Кривая а — для времени зарядки 0,148 сек., кривая Ь для 0,007 сек., температура 19°С (по Шварцу). Кривая с взята по Курчатову, время заряда 0,07 сек., температура 0° С.
Фиг. 116. Поляризация Рх и диэлектрическая проницаемость k для сегнетовой соли при 20,3° С как фуньции напряженности поля Е (в V/см) в направлении X. Поляризация нанесена в произвольных единицах. При 400 V/см значение поляризации составляет около 18-Ю-8 кулон/см2 (по Оплатка [397])
уменьшая напряженность поля по методу постоянных прибавок или убавок, то никакого гистерезиса обнаружено не будет, потому что каждая ступень занимает достаточно времени для того, чтобы диполи успели полностью ориентироваться. В большинстве случаев измерения ведутся так быстро, что правильная ориентировка в кристалле установиться не может (ср. § 422). Поэтому, например, измерения Валашека [541] с баллистическим гальванометром (промежуток времени между наблюдениями не указан) дают типичные петли гистерезиса в согласии с результатами для пёременных токов.
Поле, необходимое для того, чтобы изменить знак областей спонтанной поляризации на обратный, при медленных измерениях с постоянным током в несколько раз меньше, чем при измерениях с переменным током (§ 436). Наименьшее зарегистрированное значение этого поля, меньше 15 V/см (повидимому, при комнатной температуре), приводят Б. и И. Курчатовы £293]. Это значит, что в статических условиях начальная проницаемость k0 сохраняет свое значение в полях до 15 V/cm.
§ 432. Наблюдения Валашека при 20°С и напряженности заряжающего поля в 900 V/cm [544], приведенные в нижеследующей таблице, хорошо иллюстрируют явления усталости и запаздывания.
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли
611
Время зарядки, сек. Разряд, отклонения гальванометра
0,03 0,50 18) 1 2С0 5 800 2,15 2,46 2,47 2,33 1,94
Первые две строки таблицы сравнимы с данными фиг. 115. Они показывают, что процесс зарядки заканчивается приблизительно в течение секунды. Последние две строки юлюстрщруют явление усталости, так как не весь заряд мгновенно разряжается через гальванометр
Валашек произвел также интересные наблюдения над уничтожением усталости противоположно направленным полем. Действие поля напряженностью в 100 V/см в течение 24 час. можно вполне компенсировать действием такЪго же, но противоположно направленного поля в течение 20 мин. Он показал также, что разряд через баллистический гальванометр после приложения поля определенного направления становится больше после того, как кристалл был сильно «утомлен» полем обратного направления. Другие проявления усталости были рассмотрены Дэвидом [119].
Курчатов [295] объяснил явление усталости миграцией ионов в поверхностные слои кристаллов. Если кристалл коротко замкнут на гальванометр, то ионы очень медленно перемещаются обратно. Он нашел, что усталость не проявляется при употреблении жидких электродов (§ 427).
Следует также сказать несколько слов об особенностях поведения толстых и тонких пластинок, хотя это имеет значение главным образом потому, что заставляет обратить внимание на необходимость уничтожения зазора и поверхностных слоев между кристаллом и электродом. Как было показано в § 111, такие слои образуют области с низкой проницаемостью. Они, следовательно, понижают напряженность поля по сравнению с той, которая определяется разностью потенциалов V и толщиной пластинки е. Кроме того, они вызывают возникновение деполяризующего поля, ускоряющего разряд. Все процессы еще более усложняются, если поверхностный слой представляет собой полупроводник. Эти явления должны проявляться более отчетливо в тонких пластинках, что и было замечено Курчатовым [295] и Курчатовым и Шакировым [296], которые дали и вышеприведенное объяснение их. Некоторые результаты их исследований, иллюстрирующие основные свойства сегне-товой соли и влияние поверхностных слоев, мы вкратце здесь изложим. Они нашли, например, что тогда как в пластинках любой толщины время полной зарядки при данном поле составляет сотые доли секунды (исключение наблюдается только для толстых пластинок в сравнительно слабых полях), разряд в разных пластинках обнаруживает специфические особенности. Если кристалл не оставался под напряжением так долго, что в нем могла проявиться усталость, то для тонких кристаллов времена разряда и заряда оказывались почти равными. Толстые кристаллы, однако, разряжались несколько дольше. Так, например, кристалл толщиной в 7,2 см разряжался 30 сек. Процесс зарядки того же самого
О Аналогичные наблюдения .производил Оплатка [397].
512 Г лав a XXII
кристалла в поле 130 V/см полностью заканчивался в течение 0,02 сек., тогда как в поле 45 V/см в течение 0,07 сек. заряд достигал только одной десятой окончательной величины.
Для 'Серии пластинок от 0,23 до 7,2 см толщиной и времени зарядки от 1 до 2 мин. Курчатов нашел, что для получения насыщения в тонких пластинках требуется гораздо более высокий потенциал, чем в толстых, что согласуется с приведенным выше объяснением этого явления. Он нашел также, что начальная проницаемость при £ = 0,1 V/см равна 1340, тогда как в переменных полях с частотой 50 или 500 Hz она равна только 150.
Из всего сказанного вытекают следующие заключения: 1) специфические свойства кристаллов сегнетовой соли правильнее изучать в толстых, а не в тонких пластинках, если только влияние поверхностных слоев исключено полностью; 2) более надежными и воспроизводимыми, поскольку желательно избежать запаздывания и усталости, представляются измерения с переменными токами; при этом и влияние толщины должно меньше сказываться на результатах измерений. В следующем разделе будет показано, что эти заключения действительно оправдываются.
Повидимому, ни в одной экспериментальной работе нет измерений kx по баллистическому методу в области спонтанной поляризации с кристаллом, так хорошо изготовленным и монтированным, и с напряженностью поля, имеющей такое значение, чтобы получались наиболее высокие значения для kx. Б. и И. Курчатовы [293] определили при 15°С дифференциальное значение этой величины в 190 000 для очень чистого кристалла, насыщение в котором достигалось уже при 15 V/см. В сильном поле (напряженность не указана) Шварц [454] нашел, что kx имеет два максимума, 4000 и 3500, в верхней и нижней точках Кюри с почти равными им высокими значениями в промежутке. Очевидно, его измерения относятся к точкам, слишком далеко расположенным на кривой поляризации, чтобы в них могли иметь место наиболее высокие значения kx. Теоретически можно ожидать, что в любой из точек Кюри даже самое слабое поле должно вызвать сравнительно большую поляризацию и что вычисленные таким образом kx должны быть очень велики. В промежутке между точками Кюри коэрцитивная сила, сама по себе незначительная, все-таки больше, чем при критических температурах, причем соответственно уменьшаются и значения kx. Однако1 и в этих случаях следует ожидать больших дифференциальных значений kx, подобных 190 000 при 15°С.
§ 433. Статические наблюдения униполярности. Это свойство сегнетовой соли было открыто Андерсоном (§ 404). На фиг. 115 и 116 можно заметить, что поляризуемость сегнетовой соли в направлении оси X не симметрична относительно прямого’ и обратного поля, хотя симметрия ромбических кристаллов требует, чтобы оба направления вдоль оси X были равноправными V
Это обстоятельство является следствием спонтанной поляризации кристалла, вследствие которой при температурах между точками Кюри существует естественная перманентная поляризация в отдельных обла-
О Имеется в виду не ромбическая система, а тот класс симметрии (три двойные оси при отсутствии плоскостей и центра симметрии), к которому обычно относят кристаллы сегнетовой соли. (Прим, ред.)
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли
513
стях в направлении оси X. Как будет выяснено в гл. XXV, кристалл в этом интервале температур надо считать моноклинным V В каждом кристалле, если только противоположные области спонтанной поляризации не в точности нейтрализуют друг друга, всегда возникает результирующий электрический момент. В обычных условиях заряды, вызываемые противоположной перманентной поляризацией областей, нейтрализуют друг друга.
Если, далее, к униполярному кристаллу, состоящему из одной области спонтанной поляризации, приключены электроды и приложена внешняя разность потенциалов и если возникающее при этом внутри кристалла поле противоположно по направлению спонтанной поляризации, то последняя испытывает более или менее резкое обращение, когда напряженность поля достигает определенной величины. Для компенсации поверхностных зарядов, о которых говорилось выше, и поляризации кристалла в той мере, в какой это допускает его восприимчивость, через него должно пройти достаточно большое количество электричества. Наоборот, если направление поля совпадает с направлением поляризации, поверхностные компенсирующие заряды остаются, а заряд на электродах становится много меньше. При том же самом вольтаже кажущаяся восприимчивость в первом случае больше, чем во втором. Это явление будет детально обсуждено в связи с фиг. 137. Если, как это бывает в большинстве случаев., образуется несколько областей с противоположной полярностью, то следы этого явления всегда обнаруживаются, за исключением случаев полной компенсации зарядов.
В малых образцах можно ожидать большей степени униполярности, чем в больших. Большие пластинки будут обнаруживать униполярность разных знаков в различных частях поверхности соответственно пьезоэлектрическим ячейкам,, описываемым в § 521. Такие области были выделены Курчатовым [634] на большом кристалле, не обнаруживавшем униполярности. Передвигая маленький электрод по поверхности кристалла, он мог найти области противоположной поляризации.
Валашек [541] и Фрайн [149] тоже обнаружили упиполярность.
Диэлектрическая постоянная сегнетовой соли при низких частотах. Частоты, с которыми приходится работать при этих измерениях, изменяются от 50 Hz и менее до 10 000 Hz. Так как влияние запаздывания и усталости исчезающе мало, результаты таких измерений более устойчивы и лучше воспроизводятся, чем результаты статических измерений. В области этих частот, как правило, можно не опасаться резонансных явлений. По мере увеличения частоты от 50 до 10 000 Hz петли гистерезиса расширяются, как это будет показано в § 436.
§ 434. Определения начальной диэлектрической постоянной свободного кристалла в слабых полях. В достаточно слабых полях поляризация Р представляет собой линейную функцию напряженности поля Е, и петли гистерезиса не появляются. Область значений Р и Е, в которой они связаны линейно, зависит от температуры. Критическая напряженность поля, при которой кривая Р как функция Е начинает загибаться вверх, равна нулю в точках Кюри и быстро возрастает за этими точками. Данные, имеющиеся для кристаллов в сегнетоэлектрической области, показывают, что эта величина имеет порядок 50 V/см для частот от 50 до 10 000 Hz в непосредственной близости к точкам Кюри. В статических
О Не кристалл в. целом, а именно эти его области. (Прим, ред.)
33 Кэди
514
Глава XXII
полях (результаты измерений с баллистическим гальванометром) эта
предельная напряженность поля меньше.
В параэлектрических областях значения k'Q, полученные разными исследователями, хорошо согласуются друг с другом. Это согласие
хуже в сегнетоэлектрической области, особенно в ее середине, где все величины меньше. Из опубликованных данных для k'o (в большинстве случаев измерения производились с мостом} можно привести значения, полученные Фрайном [1491, Эррерой [134], Шварцем [454], Курчатовым и Еремеевым [292], Б. и И. Курчатовыми [293], Дэвидом [1191, Брэдфордом (§ 474), Мюллером [376], Бэнкрофтом [201, Хаблютцелем Q198] и Мэзоном [335]. Ссылка на некото-
рые из этих измерений будет Фиг. 117. Начальная диэлектрическая постоянная сделана в следующих пара-k'n для свободного кристалла сегнетовой соли. , т?
Поле параллельно оси ЛЧпо Мэзону [335]). Напря- графах. Данные Брэдфорда женность поля не превышала 5V/cm. изображены на фиг. 143 и 145, данные Бэнкрофта —на фиг. 130 и Хаблютцеля — на фиг. 13>2 и 133.
Типичная кривая зависимости k' от температуры представлена на фиг. 117. Она получена по методу моста для частоты 1000 Hz.
Наиболее тщательные и полные измерения начальной диэлектрической восприимчивости т/ в слабых полях (менее 10 V/см), главным образом вне точек Кюри, принадлежат Мюллеру [376], который пользовался мостом для частоты в 1000 Hz, и Хаблютцелю (§ 444). Измерения Мюллера, произведенные при температурах от—140° до —18° и от —]—21° до '-f-50°C, подтверждают закон Кюри—Вейсса, о котором будет сказано в § 465. Результаты его измерений для высоких температур представлены на фиг. 118. В области температур от 25 до 32°С справедлива следующая формула:
z'=4=:?+ (490)
где tc = 23,0 + 0,5° и С =178+5; tc-—температура точки Кюри и С —
Фиг. 118- Обратная восприимчивость у/ = 1/V ПРИ высоких температурах (по Мэзону).
так называемая «константа Кюри».
Выше 34° в отношении диэлектрических свойств кристаллы сегнетовой соли ведут себя так, что по аналогии с магнетизмом их можно
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли
515
назвать параэлектрическими. Все зависимости становятся строго линейными. В интервале температур от 34 до 50° Мюллер получил
= 25,3 + 0,05°С и С = 136 + 0,5.
Зависимость между и т/ ниже нижней точки Кюри при температурах от —18° до —28° выражается аналогичным уравнением:
х' = Х = ^( (490а)
со значением постоянных t'c—— 17,9° и С' — 93,8.
Результаты измерений в низкотемпературной области до —140°С
изображены на фиг. 119. Надо заметить, что х' поднимается почти
Фиг. 119. Обратная восприимчивость х' = 1 Д' при низких температурах (по Мюллеру).
прямолинейно до — 160°, после чего она сохраняет постоянное значение 2,1, чему соответствует диэлектрическая постоянная 7.
Аналогично! и для эффекта Керра Мюллером наблюдался легкий изгиб на кривой х' около 33° (фиг. 118). Такие же изгибы получаются на кривых магнитной восприимчивости.
Точки Кюри определяются Мюллером как температуры, при которых получаются наименьшие значения х7- Значения, принятые для точек Кюри автором этой книги, таковы:
6/ = _ 18°С и 6М = + 23,7°С.
Мюллер получил то же значение для , применяя закон Кюри — Вейсса к эффекту Керра.
Следует обратить особое внимание на линейную зависимость ниже тонки Кюри (фиг. 118). В согласии с теорией (§ 465), наклон кривой б нижней части в два раза больше, чем в верхней, выше точки Кюри. За точку Кюри можно1 взять температуру, в которой сходятся обе кривые. Для идеального кристалла в достаточно слабом поле обе кривые должны быть выпуклыми к оси абсцисс, и в точке Кюри восприимчивость должна быть бесконечно большой. Для реальных кристаллов tc и tfc не совпадают с температурой точек Кюри.
Эти результаты Мюллера прекрасно согласуются с результатами Хаблютцеля, приведенными на фиг. 133.
33*
516
Гл а в а XXII__________________________________
Экспериментальное и теоретическое исследование начальной восприимчивости было проведено Шульвас-Сорокиной [468] в полях до 12 V/см при частотах от 3 до 3000' Hz.
Позднейшие данные относительно восприимчивости между точками Кюри будут обсуждены в связи с фиг. 143.
§ 435. Измерения в более сильных полях. Цепь осциллографа. В большинстве измерений с катодным осциллографом, описанных ниже,
горизонтальное отклонение электронного пучка синусоидально зависит
Фиг. 120- Схема осциллографа для спя।ия кривой гистерезиса (по Мюллеру).
от времени и пропорционально приложенному потенциалу, тогда как вертикальное отклонение пропорционально заряду конденсатора, последовательно соединенного с кристаллом, и, следовательно, приблизительно пропорционально поляризации в кристалле. В результате правильной петли гистерезиса не получается, потому что изменяется импеданс кристалла. Кроме того падение потенциала в кристалле не синусоидально и, следовательно, не пропорционально абсциссе. В идеальной схеме Дэвида кристалл должен быть непосредственно соединен с парой отклоняющих пластинок для того, чтобы соответствующее отклонение было пропорций нально полю в кристалле. Это оказалось неосуществимым, и все экспериментаторы применяют схемы такого типа, как схема, изображенная на фиг. 120 х).
Сопротивление R компенсирует потери в кристалле Сг. Так как сопротивление конденсатора С очень велико, на С и Сг возникают почти одинаковые заряды, вследствие чего вертикальный отброс (ординаты кривой) приблизительно пропорционален поляризации Р в кристалле. Если цена деления вертикальной шкалы (чувствительность осциллографа) есть sv=Vc/y V/см, где Vc—напряжение на конденсаторе С
в вольтах и у — отклонение электронного пучка в сантиметрах, то поляризация определяется равенством
Г)_С Vc Csvy
Р А —
Здесь А — площадь кристаллической пластинки в квадратных сантиметрах. Горизонтальный отброс пропорционален падению потенциала на С2, которое, в свою очередь, пропорционально V, если только R достаточно мало. Обозначая через V и Vс вольтаж, возникающий соответственно во всей цепи и на емкости С, мы получаем следующее выражение для падения потенциала на Сг:
I Г _ Т Г х г _ С. + С.
Г= V— Vc = - sxx — syy ,
где sx — цена деления горизонтальной шкалы, х — отклонение. По схеме Сойера и Тоуэра вместо конденсаторов С и С2 включаются сопро<
’) Эта схема предложена Мюллером и представляет собою модификацию схемы Сойера и Тоуэра [449].
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли
517
26° 23,3° 21,8°
f
>5 О' * 8°Г.
Фиг. 121. Гистерезисные кривые сегнетовой соли при 60 Hz (по Сойеру и Тоуэру). Пластинка среза X размерами 85X85X5 мм. Абсциссы — в V/см, максимальное значение составляет 387 V/см; ординаты пропорциональны поляризации
тивления R\ и /?2. В таком случае отношение (Ci -j- Сг)/С\ заменяется отношением (/?i •-]- /?г)//?2. Обозначая последнее через г, получаем общую формулу:
VR = rsxx — Sy у .
Этим уравнением можно пользоваться для определения падения потенциала на кристалле в любой точке кривой с координатами х и у.
§ 436. Типичные петли гистерезиса. Наиболее полную серию петель гистерезиса для температур от —19,5° до +27° С и частот от 100 до 10 000 Hz получил Хаблютцель [198]. В § 444 мы рассмотрим полученные им же петли гистерезиса для кристаллов сегнетовой соли, содержащих тяжелую воду. По лученные им фотографии показывают, что до частот в 104 Hz форма петель очень мало зависит от частоты. Выше этой частоты ширина петли увеличивается, поляризация насыщения уменьшается, и вся петля искажается. Это искажение иногда выявляется в форме ряби, которая может быть обусловлена или собственными частотами или толчками, испытываемыми кристаллом при быстрых переменах направления поляризации.
Записи с помощью осциллографа, изображенные на следующих фигурах, в общих чертах совпадают с петлями гистерезиса, полученными Хаблютцелем в аналогичных условиях,, за исключением того, что в большинстве случаев кривая поднимается не так круто и участок, соответствующий насыщению, не такой пологий. Можно заметить, что наиболее широкие петли гистерезиса получаются в области температур от 0 до 10°С и становятся уже и меньше по мере приближения к точкам Кюри. Для температур выше и ниже этих точек гистерезис исчезает.
Фиг. 121 изображает осциллограммы для 60 Hz, полученные Сойером и Тоуэром. Осциллограммы Дэвида, полученные тем же методом для 50 Hz, представлены на фиг. 122.
Так как проницаемость очень велика, то обычно оказывается возможным даже при употреблении толстых пластинок вычислять ее по формуле конденсатора C — kA/4'ке. Только при особых температурных условиях или при наличии механического напряжения можно было бы рассчитывать на заметное увеличение точности вычислений, пользуясь охранным кольцом [119] или вводя поправку Кирхгофа на граничные условия [87]. Однако Дэвид находит все же некоторое улучшение формы петли гистерезиса при употреблении охранного кольца.
Фиг. 121 показывает влияние температуры на форму петель, фиг. 122 — влияние изменения максимального вольтажа (вероятно, при комнатной температуре).
518
Глава X.X.IL
Рассмотрение имеющихся в настоящее время результатов показывает, что коэрцитивная сила Е растет с изменением ноля от нуля в точках Кюри до максимального значения порядка 200 V/см между 5 и 15° С, как это показано на фиг. 145 (теоретические соображения приведены в § 482). Мюллер находит, что она больше в толстых пластинках, что видно из фиг. 123, тогда как по Дэвиду она зависит от максимальной напряженности поля. Хаблютцель [198] не нашел никакой зависимости Ес от толщины.
Форма кривых на приведенных здесь фигурах вполне согласуется с теорией. Особенно интересны на фиг. 121 исчезновение гистерезиса, малая поляризация и линейная зависимость между поляризацией и напряженностью поля при 26°, т. е. при температуре немного выше верх
Фиг. 122. Гистерезисные кривые сегнетовой соли, несколько идеализированные, при 50 Hz (по Дэвиду). Пластинка среза X 20X20X9 мм. Ребра вырезаны под углом в 45° к осям У и Z при комнатной температуре. Для а, б, в и г максимальная напряженность поля соответственно равна 30,7, 61,4, 123 и 384 V/cm. Остаточная поляризация при нулевом поле равна 0,76, 0,75 23,8 и 23,1Х10~8 кулон/см.
Фиг. 123- Гистерезисные кривые при 500 Hz (по Мюллеру). Кривая а — для пластинки среза X толщиной 3 мм при 0° С; б — для пластинки толщиной 12 мм при 0° и в — при 22°; г — ниже нижней точки Кюри.
ней точки Кюри. Фиг. 122 и 125 показывают, что даже в области спонтанной поляризации величина ее обратима и зависит почти линейно от максимальной напряженности поля до 50 V/см. Здесь мы находимся в первой стадии процесса поляризации, как он описан в § 431. При 61,4 V/см (фиг. 122) гистерезис уже достаточно велик. Эти результаты расходятся с результатами Кобеко и Курчатова [263], которые не обнаружили гистерезиса в своих образцах даже при эффективной напряженности поля в 70 V/cm.
Вторая стадия процесса поляризации характеризуется быстрым возрастанием ее с увеличением напряженности поля. Дифференциальная проницаемость kd достигает здесь наивысшего значения вследствие наличия пьезоэлектрической деформации. Эта стадия заканчивается резким изгибом кривой приблизительно при 150 V/см. От этой точки начинается третья стадия, характеризующаяся приближением к насыщению,
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли 519
причем дифференциальная проницаемость kds имеет тот же порядок величины, что и на первой стадии. Это иллюстрировано кривыми а и г на фиг. 122.
Нормальная проницаемость k — 4 Р/Е и начальная проницаемость ko или дифференциальная проницаемость kd — 1 ^дР1дЕ могут быть вычислены по любой кривой. Так, например, по наклону кривой для 26° на фиг. 121 k определяется как величина порядка 650, что хорошо согласуется с ее значением 740, вычисленным по уравнению (490). Значения k, вычисленные для точек заострения петель гистерезиса на фиг. 121, приведены в следующей таблице, иллюстрирующей зависимость диэлектрической постоянной от температуры при максимальной напряженности поля ib 387 V/см.
Температура в градусах Цельсия................ 26
k ..................... 650
23,3 21,8 15 0
1430 2250 3900 4710
—8
4250
что
при комнатной температуре k вдвое
Эта больше, менее сильно зажаты, чем образцы Сойера и Тоуэра.
Значение проницаемости насыщения kds вычисляется из наклона кривых на той же фиг. 121 в области насыщения. Для 15° она равна 330; при комнатной температуре фиг. 122 она равняется всего 200 1). На всех приведенных кривых поляризации, как это всегда получается для кристаллов сегнетовой соли, полного насыщения не наблюдается. Восприимчивость может достигнуть нулевого значения только в чрезвычайно сильных полях.
В соответствии с тем, что наблюдается для магнитной проницаемости, диэлектрическая проницаемость принимает наибольшие значения на круто поднимающихся участках петель гистерезиса. Так, например, наибольшее значение дифференциальной проницаемости по данным фиг. 121 равно по крайней мере 200 000, по данным фиг. 122—100 000, а измеренное Курчатовым баллистическим методом — 190 000.
Дэвид дал в своей цитированной работе другой способ графического изображения зависимости поляризации от напряженности поля. Кривая на фиг. 124 построена так, что при разных максимальных напряжен-
таблица показывает, чем при более высокой. Возможно, что образцы Дэвида были
по кривым
Фиг. 124. Поляризация сегнетовой соли при комнатной температуре (по Дэвиду). По оси абсцисс отложена максимальная напряженность поля при 50 Hz. По ординате отложена соответствующая поляризация. •
’)' Можно было бы ожидать, что при комнатной температуре она должна быть больше, чем при 15°С. Это уклонение зависит от причин, не имеющих отношения к свойствам сегнетовой соли.
520
Глава XXII
вогол-iai/CM
Фиг. 125. Диэлектрическая постоянная сегнетовой соли как функция поля при 50 Hz (по Дэвиду). Кривая вычислена по фиг. 124.
ностях поля по) оси ординат откладываются конечные точки петель гистерезиса. На ней отчетливо видны три стадии развития поляризации. Эта кривая также имеет своего аналога в области магнитных явлений. Из кривой фиг. 124 Дэвид получил кривую фиг. 125, которая изображает зависимость kx от напряженности поля. Данные, по которым построены эти кривые, получены, вероятно, при комнатной температуре. То обстоятельство, что, пока максимальные значения поля лежат ниже 50 V/см, величина kx мала и не зависит от напряженности поля, весьма многозначительно, на что было уже указано в § 403 и 434. Для начальной проницаемости k в этой области Дэвид дает значение от 400 до 500, причем, гистерезис почти совершенно отсутствует (фиг. 122, а). Это значение ko больше, чем полученное по измерениям других авторов. Так, например, Б. и И. Курчатовы [293] приводят для на-
чальной проницаемости значение 150 и утверждают, что оно остается постоянным до напряженности поля в 70 V/см максимально. Согласно фиг. 117, величина k0 при 15° С принимает значение, равное 250.
Фиг. 126. Влияние температуры на диэлектрическую постоянную сегнетовой соли. Кривая а по Курчатову, b и с — по Шварцу.
§ 437. Другие измерения в переменных полях. Разница между эффектами в слабых и сильных полях иллюстрирована фиг. 126. Кривая а, взятая из работ Б. и И. Курчатовых [293], [634], была получена в полях не выше 15 V/см при 50 Hz, по методу мостика. Величина /г0 изменяется от 100 до 400 на всех участках кривой, за исключением тех, которые расположены вблизи точек Кюри. При—15° и+22,5° получились резкие максимумы. Судя по этому, Курчатовы считали, что они тем самым определили точки температуры отличаются тур —18° и 4-23,7°, полученных Мюллером (§ 434) из оптических и электри
Кюри. Эги несколько от темпера-
ческих измерений. Чрезвычайно резкий максимум в верхней точке Кюри получила также Шульвас-
Сорокина [466], причем форма его вполне аналогична форме максимума для железа. Появления таких максимумов следует ожидать в опытах сэ слабыми полями, потому что коэрцитивная сила, по теоретическим
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли
521
соображениям, должна обращаться в нуль в. точках Кюри. Кривая а удовлетворительно согласуется с кривыми фиг. 145.
Кривая b построена по баллистическим измерениям Шварца [454] в сильных полях и при длительном времени зарядки. В согласии с теорией (§ 455),, значения ko в точках Кюри ниже, чем на кривой а, но в промежутке между ними они выше. Кривая с, тоже по данным Шварца, при максимальном поле в 10 V/см и частоте 500 Hz представляет кривую начальной проницаемости. В области спонтанной поляризации kQ бйизко к 250 и достигает максимальных значений 500 и 800 в нижней и верхней точках Кюри. При 20° k0 равно 350 в хорошем согласии с измерениями Мюллера (§ 434). Трудно сказать, зависит ли отсутствие высоких максимумов k0 в точках Кюри в работах Шварца от того, что он работал в более слабых полях, чем Курчатовы, или от того; что в его опытах образец был сильнее сжат. Последнее предположение более вероятно, так как в опытах Шварца пластинки помещались в зажим с ртутными электродами.
В более сильных полях (100—1200 V/см) Кобеко и Курчатов [263] получили, в согласии с Валашеком и Шварцем [454], почти постоянное большое значение k0 при температурах между точками Кюри, быстро спадающее за пределами области. Теоретическое объяснение этого факта дано в § 470. В этих работах впервые были получены данные относительно насыщения в сильных полях.
• Очень интересная зависимость диэлектрической постоянной от частоты в области низких частот наблюдалась Шульвас-Сорокиной и Посновой [469]. Они нашли резкий максимум k в области частот от 2 до 30 Hz, причем частота, при которой он получается, зависит от напряженности поля, температуры и толщины пластинки. Они дали объяснение этому явлению на основе релаксационной теории; объяснение подтверждается медленным ростом пьезоэлектрической поляризации при малых механических напряжениях (§ 427).
§ 438. Спонтанная поляризация Р°. Наиболее ранние определения этой величины были произведены по величине остаточной поляризации, определяемой из петель гистерезиса, полученных в статических полях методом конечных приращений статического поля. Из данных Валашека [541, 542] и Фрайна [149], а также из фиг. 115 и 116 значения этой величины укладываются в область от 30 до 180 CGSE. Эти значения Достаточно вероятны при температурах ниже точек Кюри, но, вообще говоря, они очень малы, что объясняется утечкой заряда в промежутках между отдельными измерениями. Наиболее надежные данные получаются из осциллограмм петель гистерезиса при частотах от 50 до 1000 Hz. Кривые Мюллера для Р° в зависимости от температуры, полученные тем же методом, приведены на фиг. 145. Они очень хорошо совпадают с кривыми Хаблютцеля (фиг. 134). Хорошее приближение к этим величинам получается из данных Кобеко и Курчатова и из осциллограмм Сойера и Тоуэра, а также Дэвида и Мюллера, которые были приведены ранее.
При температурах, далеких от области спонтанной поляризации, гистерезис не наблюдается, и поляризация пропорциональна полю. При температурах в непосредственной близости к точкам Кюри еще замечается некоторая зависимость от напряженности поля. Этот эффект при низких тфпературах изображен на фиг. 123,г. В чрезвычайно больших магнитных полях проницаемость некоторых парамагнитных веществ зависит от поля подобным же образом.
522
Глава XXII
§ 439. Петли гистерезиса, искаженные механически. Если на кристалл, помещенный в переменное электрическое поле, наложить посто
янное механическое напряжение, которое вызывает постоянную пьезоэлектрическую поляризацию, накладывающуюся на поляризацию, обус-
ловленную полем, то петли гистерезиса становятся асимметричными и искажаются. Этот случай, впервые описанный Валашеком, наблюдался также Сойером и Тоуэром [449], Дэвидом [119], Мюллером и другими.
Баллистические измерения эффектов механических и электрических искажений были произ-
Фиг. 127. Действие механического сжатия на петлю гистерезиса (по Мюллеру). Максимальная напряженность поля 2000 V/см. Кривая а — для свободного кристалла; б — двойное сжатие, давление 1 кг/см2; в — двойное сжатие, давление 7 кг/см2; г — простое сжатие, давление 2 кг/см2; д — простое сжатие, давление 3 кг/см2, приложенное в направлении, составляющем 90® к направлению сжатия в г; е — простое сжатие, давление 7 кг/см2 в том же самом направлении, что и д.
ведены Андерсоном (§404),Валашеком [542] и Шварцем [454].
Часть их результатов представлена на фиг. 127 и 128. Осциллограммы интерпретированы подробнее в § 441. Сойер и Тоуэр заклеивали кристаллическую пластинку между двумя толстыми алюминиевыми пластинками. Другие авторы накладывали давление под 45° к осям У и Z с помощью плоских блоков из прочных материалов 9. Мы будем применять термин «простое сжатие» для давления по одному из двух диагональных (под 45°) направлений и «двойное сжатие» для двух одновременных давлений, по обоим диагональным направ
лениям. При простом сжатии пьезоэлектрическая поляризация накла-
дывается на поляризацию от электрического поля, вследствие чего начало петли гистерезиса смещается. Получающиеся осциллограммы имеют скорее качественное, а не количественное значение, если только напряжение не наложено таким способом, что оно действительно остается постоянным. Если при двойном сжатии оба давления равны, то они производят равные и противоположные влияния на поляризацию. Искажение при этом равняется нулю. В результате симметрия восстанавливается, но поляризация, записанная на осциллюграммах, уменьшается, так как кристалл не свободен.
’) Как было показано в § 139, давление П под 45° вызывает напряжение сдвига уг = П/2. Величина поляризации Р, равная — duYz= duII/2, должна быть исправлена на емкость, приключенную к кристаллу. Все упомянуфе выше экспериментаторы пользовались прямоугольными, во многих случаях квадратными, пластин ками, ориентированными перпендикулярно оси X, с ребрами, наклоненными под углом 45° к осям У и Z.
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли
523
Из фиг. 127 и 128 можно вывести следующие заключения. Всякое сжатие, простое или двойное, сплющивает петли гистерезиса до тех пор, пока под большим давлением поляризация не уменьшается настолько, что петля приближается к прямой линии с наклоном, близким к наклону участка «насыщения» обычной кривой. Эффективная проницаемость при этом совпадает с дифференциальной проницаемостью насыщения, которая по1 § 436 равна приблизительно 200. Диэлектрическая постоянная закрепленного (моноклинно) кристалла представляет собой величину того же порядка, как эго следует из кривых на фиг. 143 при 20° С. Это значит, что в опытах Дэвида кристаллический образец был закреплен очень прочно.
Сойер и Тоуэр [449]
получили также осциллограммы для сжатых пластинок и определили диэлектрическую постоянную при 15°С в 400 CGSE. Это значение достаточно хорошо согласуется с тем, которое получено ими же для ненапряженной пластинки в состоянии насыщения, но оно гораздо больше значения, по-
Фиг. 128. Действие простого сжатия на петлю гистерезиса сегнетовой соли при давлении 8,35 кг/см2 (по Дэвиду). Максимальные напряжения в V/см: а — 383; б — 768; в — 1532. Частота 50 Hz.
лучающегося для зажатого кристалла (см. фиг. 143), а это было далеко не полным.
показывает, что в их опытах сжатие
Характерным результатом простого сжатия является асимметрия петель гистерезиса, что особенно отчетливо видно на кривых фиг. 128,6 и в. Далее, фиг. 128,а показывает, что область напряженностей поля, выше которой начальная проницаемость становится постоянной, очень расширяется при простом сжатии. Максимум напряженного поля для этой кривой равен 383 V/см, тогда как по § 436 эта величина для свободного кристалла доходит только до 50 V/см. С другой стороны, Дэвид находит, что начальная проницаемость уменьшается при
простом сжатии и это уменьшение возрастает при повторном нало
жении нагрузки.
Если напряжение сдвига в опытах с переменными полями должно оставаться постоянным за время полного цикла, то собственная частота системы, производящей механическое сдавливание, должна быть больше собственной частоты кристалла. Если же давление вызывается просто весом некоторой массы, то максимальное ускорение грани кристаллической пластинки должно быть меньше 980 см/сек.2
Простое рассуждение показывает, что если давление изменяется по циклу, то эффективное искажение одного конца петли гистерезиса будет больше, чем другого. Вследствие этого петля деформируется еще сильнее. Кроме того, переменное давление приводит к возникновению переменных пьезоэлектрических зарядов, которые, в свою очередь, образуют возмущающее периодическое поле, если только сопротивление ветвей моста недостаточно мало.
Трение между сдавливающими блоками и кристаллом стремится уменьшить небольшие периодические изменения в размерах и, таким образом, уменьшает поляризацию. Это обстоятельство, вероятно, обусловливает наблюдаемое уменьшение поляризации при двойном сжатии.
524
Глава XXII
Дэвид пробовал накладывать на пластинки гидростатическое давление в 35 кг/см2, погружая их в масло. Осциллограммы, полученные в этих условиях, давали такие же точно кривые, как и для свободного кристалла. Этого и следовало ожидать, хотя гидростатическое давление может, вообще говоря, привести кристалл в другое состояние относительно точек Кюри (§ 443).
§ 440. Опыты, обнаруживающие эквивалентность механического и электрического искажения петель гистерезиса, были поставлены Дэвидом'. Он нашел, что если вместо давления кристалл, включенный в цепь осциллографа, испытывает действие постоянного электрического поля, то получаются такие же асимметричные осциллограммы. Асимметрия механического происхождения может быть полностью удалена, если на кристалл наложить электрическое поле Еь, противоположное направлению пьезоэлектрической поляризации. Некоторое представление о напряженности поля (в V/см), эквивалентного 1 кг/см2, можно получить по степени асимметрии кривых фиг. 127 и 128. Невидимому, его величина лежит в пределах от 70 до 300 CGSE. Величину того же порядка можно получить из уравнения Еь = — Yz/bi4 (см. § 462), где &i4 — коэфициент пьезоэлектрической деформации по общепринятой теории поляризации. Эквивалентное искажение вычисляется по горизонтальному смещению центра петли гистерезиса относительно начала координат. Сумма пьезоэлектрической и чисто электрической поляризации никогда не превосходит значения ее при насыщении.
В связи с этим можно указать на опыты Мюллера [376}, который измерял методом мостика для переменного тока (1000 Hz) емкость кристалла, на который одновременно со слабым переменным полем накладывались гораздо большие постоянные разности потенциалов Е, величина которых доходила до + 800 V/см. Этот потенциал изменялся ступенчато в обоих направлениях по возрастающим и убывающим значениям. Измерения на мостике позволяют определить обратимую проницаемость kr=\-\-4. т:ЪР)ЪЕ (§ 430). Соответствующая кривая (фиг. 22 у Мюллера) зависимости Р от Е обнаруживает гистерезис. Этот результат согласуется с измерениями Валашека по баллистическому методу, упомянутыми в § 431.
§ 441. Происхождение искажения петель гистерезиса. Электрическое или механическое искажение проявляется, как сказано выше, в перемещении начала координат. ,Это показано на фиг. 129, где нормальная неискаженная петля распространяется в направлении напряженности поля от А до, В. Если на тот же кристалл накладывается большая искажающая поляризация ЕГО{, то начало новой кривой смещается в точку, 01, которая, таким образом, определяет сдвиг. Эта точка имеет абсциссу ОЕ1. Величина распространения по оси напряженности поля изображается теперь отрезком и новая петля простирается от A4i до Если бы распространение по напряженности поля было несколько меньше, например от до В'х, то петля простиралась бы от до N\. Точка О2 представляет начало координат для малого искажения, а петля с малой горизонтальной амплитудой отмечена точками M2N2.
Положение начала относительно петли гистерезиса на схематической фиг. 129 не то же самое, что на фиг. 127 и 128. Это происходит потому, что в цепи осциллографа, подобной изображенной на фиг. 120, механическое или электрическое искажение петли не вызывает статиче
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли 525
ского заряда на конденсаторе С. В схеме фиг. 120 сопротивление С, хотя и высокое, препятствует этому. Следовательно, $Vcdt = 0, если интегрирование распространено на полный цикл. Этот результат не зависит от шкалы времени по оси абсцисс, которая обычно синусоидальна. Если петли гистерезиса перечертить по линейной шкале так, чтобы абсциссы были пропорционалыны времени, то> окажется, что по обе стороны горизонтальной оси будут описаны равные площади. При синусоидальной временной шкале это тоже приблизительно верно, что легко видеть из соответствующих кривых. Искаженные петли на фиг. 129 расположены там, где они были бы записаны, если бы искажающая поляризация сопровождалась постоянным зарядом на конденсаторе С в схеме фиг. 120.
Таким петлям соответствуют аналогичные петли магнитного гистерезиса, когда ферромагнитное вещество испытывает одновременные действия постоянного и переменного магнитного поля.
С помощью надлежащего выбора искажающей поляризации и величины горизонтального распространения петли все кривые для однократного сжатия на фиг. .127 и 128 могут быть качественно воспроизведены на фиг. 129. Таким образом, делается очевидной эквивалентность искажений, вызванных механически и электрически. Связь между поляризациями, вызываемыми этими обоими способами, обсуждена в гл. XXIV на оснопе теории поляризации, в частности в § 459 и 462.
§ 442. Диэлектрическая постоянная сегнетовой соли в полях высокой частоты. Если бы можно было производить измерения с образцами таких малых размеров, чтобы они не резонировали механически ни на одну из частот, с которыми производятся измерения, то значение диэлектрической постоянной, полученное в результате измерения, совпадало бы с ее значениями для свободного кристалла. Такой способ измерения, однако, чрезвычайно неудобен, и поэтому во всех опытах с высоко.-частотными установками приходится иметь дело с явлением резонанса.
Мы видели в § 258, что измеренная диэлектрическая постоянная
523
Глава XXII
всегда аномально' велика в области частот ниже резонансной (совершенно аналогично аномальной дисперсии в оптических явлениях) и аномально мала в области частот выше резонансной. Выражение для комплексной диэлектрической постоянной через механические и электрические характеристики кристалла было выведено в § 258. Конфигурация кристалла при наивысших частотах описывается в § 450 как «ромбическое зажатие» вне точек Кюри и «моноклинное» в промежутке между этими точками. Представление о ромбическом зажатии между точками Кюри имеет только теоретическое значение.
Значения диэлектрической постоянной kx сведены в табл. 35. В нее включены для сравнения некоторые из низкочастотных значений, полученных одними и теми же авторами, хотя в большинстве случаев они не типичны для сегнетовой соли при низких частотах.
Таблица 35
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ ПРИ ВЫСОКИХ ЧАСТОТАХ
Автор Т емпература в градусах Цельсия Максимальная напряженность поля в V/cm Частота в kHz kx Электроды
Фрайн [149] ..... Комнатная 3 8 140 Станиоль
40 000 100
Эррера [134] из 0,68 390 Раствор
1 000 100 V
Буш [87] 0 50 20 225 Ртуть
160 120
Бэнтл и Буш [24] . . . 0 ? 6 100 100 Станиоль (?)
750 000 100
Эванс [140] 16—17 45 300 114 Ртуть
2 000 114
Хаблютцель [198] . . . 0 8,5 0,1 200 Распыленное золото
10 200 То же
Мэзон [338] 20 <5 1 460 Накладные
160 140 »
Интересно отметить, что kx стремится к значению 100 по мере увеличения частоты. Таким образом, значение диэлектрической постоянной для свободного кристалла приближается к значению ее для зажатого, которое мы обозначим через k"х. Расхождение в значениях kx, найденных различными наблюдателями для низких частот, можно приписать разнице в частотах, механическом сжатии и напряженности поля, а также, возможно, влиянию поверхностных слоев.
В дополнение к данным табл. 35 можно заметить, что Фрайн,, измерения которого относятся только к начальной проницаемости k$, нашел максимум этой величины в обеих точках Кюри при всех частотах; он нашел также, что ниже 80°С kQ примерно равно 12 при всех частотах, (см. фиг. 119). Эррера наблюдал почти равномерное спадение kx с возрастанием частоты, за исключением, конечно, областей резонанса. Он получил в интервале частот от 1,6 до 20 kHz возрастание kx почти на 100% при возрастании максимальной напряженности поля от 56 до 226 V/см; Это показывает, что в указанной области частот крутые участки кривой поляризации начинаются при более высокой напряженности поля, чем это имеет место для низких частот.
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли
527
Измерения Буша произведены при нескольких температурах от 6 до 36°С. На основании его данных проницаемость принимает значения, близкие к 100 при наиболее высоких частотах; при более низких они изменяются от 110 при 36° до 450 при 23°. Бэнтл и Буш обнаружили при 23° максимум kx, имеющий место даже для наиболее высоких частот.
Значение Мэзона для кх при 1 kHz взято из фиг. 117. Данные Хаблютцеля взяты из его работы с кристаллами сегнетовой соли; содержащей тяжелую воду (см. §444). Эта работа содержит также очень ценные сведения относительно обыкновенной сегнетовой соли.
Зеленый и Валашек [600] произвели измерения проницаемости для частот от 30 до 107 Hz при 0°С. Они обнаружили спадение от 62 до 220 с возрастанием частоты, но их измерения трудно согласовать со всем вышесказанным, потому что полученные ими большие значения kx нельзя связать с низкими значениями напряженности поля 8,75 V/см и, кроме того, они дают отрицательные значения kx при частоте в 107 Hz, хотя эта частота слишком велика, чтобы могло проявиться влияние резонанса. Как предполагают Бэнтл и Буш, такой результат мог быть обусловлен самоиндукцией подводящих проводов.
§ 443. Влияние гидростатического давления на восприимчивость сег-
нетовой соли. Такие измерения производил Еремеев, ссылки на работы
которого можно найти у Курчатова [636] и Бэнкрофта [20]. Еремеев представил свои результаты в форме кривых поляризации, полученных для переменного поля с частотой 50Hz и напряженностью дс 1800 V/см. При 15°С для любой напряженности поля поляризация и, следовательно, восприимчивость возрастают с увеличением гидростатического давления до 500 кг/см2. При более высоких давлениях обе эти величины убывают, причем кривые постепенно становятся круче и, начиная с 8000 кг/см2, поляризация изменяется пропорционально полю. Так как линейность кривой поляризации характерна для температур за точками Кюри, то можно считать, что высокие давления сдвигают эти точки так, что при 15°С кристалл выходит из сегнетоэлектрической области. Аналогичные опыты при 31 °C показали, что хотя Р пропор-
Фиг. 130 . Зависимость обраткой начальной восприимчивости свободного кристалла сегнетовой соли в направлении X от температуры и гидростатического давления (по данным Бэнкрофта). Положительные значения х' соответствуют области вне точек Кюри, где восприимчивость свободного кристалла т(=1/х'. Между точками Кюри х' отрицательна, и наблюдаемая восприимчивость свободного кристалла по уравнению (499) равна Vs=VxT=~W/) Кривая 7 —для атмосферного давления. Цифры рядом с другими кривыми обозначают давление в тысячах кг,см2.
ционально Е до 2000 кг/см2, при более высоких давлениях оно обнаруживает признаки насыщения. При 3000 кг/см2 кривая для 31° С совершенно подобна кривой при атмосферном давлении и при 22,5°С. Таким
528
Глава XXII
Фиг. 131, Зависимость верхних и нижних температур Кюри от гидростатического давления (по Бэнкрофту). U—верхняя точка Кюри, L—нижняя.
образом, давление в 3000 кг/см2 поднимает точку Кюри на 9°. Курчатов интерпретирует эти результаты как доказательство того, что точка Кюри по абсолютной шкале температур пропорциональна концентрации диполей, так как плотность сегнетовой соли по вычислениям упругих констант возрастает при давлении в 3000 кг/см2 на 3% и это приращение к шкале абсолютных температур соответствует 9°.
С помощью метода Бэнкрофта можно точно определить это смещение для обеих точек Кюри. Он работал с переменным током частотой в 1000 Hz при разности потенциалов в 2 V, наложенной на кристалл (напряженность поля около 8 V/см). В этих условиях испытывались три кристалла толщиной в 0,424, 0,356 и 0,313 см. Температура измерялась с точностью до +0,1°С, а давление— до + 10 кг/см*2. Кристаллы среза X подвешивались таким образом, что механическое сжатие исключалось, и это позволяло получить надежные значения начальной восприимчивости т/ и по оси X. Ре
зультаты представлены на фиг. 131, взятой из работы Мюллера [381]. Они уклоняются от результатов Мюллера [376] меньше- чем на 5%. Бэнкрофт вывел следующие приближенные уравнения для зависимости температуры точек Кюри от давления (р в кг/см2):
6„ = 24,5°+ 1,073-10“+, 6/= 19,4°+ 3,769- 10-3р.
При возрастании давления обе точки Кюри повышаются, причем интервал между ними увеличивается, как это видно из фиг. 131. Согласно этой диаграмме, нижняя точка Кюри при 12 000 кг/см2 смещается в точку, которая при атмосферном давлении соответствует верхней точке Кюри. При надлежащем давлении точка Кюри может оказаться в любой точке выше —18°С.
Хотя в работе Бэнкрофта не приведены величины восприимчивости в точках Кюри, из его фиг. 2 ясно, что они имеют конечное, хотя и очень большое, значение и что чем выше температура в точке Кюри, тем больше восприимчивость.
Непосредственное сравнение данных Курчатова и Бэнкрофта невозможно, так как результаты Курчатова не содержат значений восприимчивости для слабых полей. Судя по данным Курчатова для сильных полей, можно сказать^ что совпадение его результатов с результатами Бэнкрофта вполне удовлетворительное.
Бэнкрофт в своей работе, к которой мы отсылаем читателей, приводит теоретическое объяснение своих результатов. Он пользуется уравнением Фаулера [142] для зависимости восприимчивости от тем
Исследование диэлектрические свойств сегнетовой соли 629
пературы и приходит к заключению, что повышение точек Кюри под давлением, есть объемный эффект, вызванный искажением кристаллической решетки. Подробнее этот вопрос рассмотрен в § 470.
§ 444. Сегнетова соль с тяжелой водой. Изучение влияния замены водорода дейтерием в кристаллах сегнетовой соли имеет весьма важное значение для выяснения роли атомов водорода в процессах, протекающих в диэлектриках. Результаты таких опытов впервые были опубликованы Хаблютцелем 1198] и несколько позже Холденом я-Мэзоном [231]. В обоих случаях кристаллы сегнетовой соли, осторожно обезвоженные при нагревании (Хаблютцель — при 40°С, Холден и Мэзон — при 100°С), растворялись в концентрированной тяжелой воде. Из этого раствора выращивались новые кристаллы сегнетовой соли. Согласно Хаблютцелю, не только кристаллизационная вода этих кристаллов состоит из D2O, но даже водородные атомы в группах ОН (§ 405) замещены дейтерием, так что формулу для этих кристаллов
Фиг. 132. Диэлектрическая постоянная сегнетовой соли (кривая 7?) и дейтериевой сегнетовой соли (кривая D) как функции температуры по Хаблютцелю. Ниже 40°С £=§.0 V/cm, /=lkHz. Выше 40°С Е—4 V/cm, /=900 Hz.
следует писать так: NaKC4H2D2O6 • 4D2O. Плотность их, цо данным Холдена и Мэзо'на, равна 1,500 + 0,003. В качестве электродов в этих опытах применялось золото, распыленное в вакууме,, а при высоких частотах Хаблютцель находил необходимым пользоваться ртутными электродами для того, чтобы избежать искрения между золотой пленкой и подводящим ток проводником. Хаблютцель нашел, что. потерей кристаллизационной воды в вакууме во время осаждения золота на кристалл можно пренебречь.
Диэлектрическая постоянная. В обеих, работах применялся метод мостика низкой частоты и настолько низкого напряжения, что измеренная константа представляла собой начальную проницаемость k 0. Для измерений при более высоких вольтажах Хаблютцель пользовался катодным осциллографом.
34 Кэди
530
Глава XXI1
На фиг. 132 представлены результаты Хаблютцеля для начальной диэлектрической постоянной kQ в полях, параллельных оси X, в кристаллах обыкновенной сегнетовой соли и содержащей тяжелую воду. Все данные для обыкновенной сегнетовой соли ложатся несколько ниже, чем приведенные на фиг. 145. Данные для сегнетовой соли, содержащей дейтерий, хорошо согласуются с данными, приведенными на фиг. 5 в работах Холдена и Мэзона.
Хаблютцель определил для сегнетовой соли с дейтерием следующие точки Кюри: —22°С(251°К) и 4~35° С(308° К), Холден и Мэзон дают —23е и 4~35°. Значения k0 в точках Кюри равны 4000 для обыкновенной сегнетовой соли, а для соли с дейтерием составляют 2300 и 1550 в верхней и нижней точках соответственно.
Хаблютцель вычислил из своих опытов обратную восприимчивость X'j, представленную в функции от температуры вне точек Кюри на фиг. 133. Кривая Хаблютцеля для обыкновенной сегнетовой соли полностью совпадает с кривой Мюллера (фиг. 118 и 119). Кривая для сегнетовой соли с дейтерием идет аналогично, причем, в согласии с законом Кюри—Вейсса, вблизи точек Кюри становится почти прямолинейной.
В полях с напряженностью 3,5 V/cm, параллельных оси X, диэлектрическая постоянная k0 обыкновенной сегнетовой соли и соли
Фиг. 133. Зависимость обратной восприимчивости от температуры, иллюстрирующая закон Кюри—Вейсса вне точек Кюри (по Хаблютцелю). R—для сегнетовой соли, В—для дейтериевой сегнетовой соли.
с дейтерием имеет значения, практически не меняющиеся с частотой, как было показано Хаблютцелем при 0°С для частот от 100 до 10 000 Hz. Эти значения — 200 для обыкновенной сегнетовой соли (см. табл. 8) и 65 для соли с дейтерием.
Гистерезис и насыщение. В работах Хаблютцеля приведены две серии очень поучительных осциллограмм. Первая серия получена с полями до 2000 V/см при частоте в 50 Hz для различных температур — от —19,5° до 4-37,5° С для обоих видов сегнетовой соли. Осциллограммы для обыкновенной разновидности в общем согласуются с осциллограммами, приведенными в этой главе. Они отличаются от последних главным образом тем, что крутые участки петель гистерезиса идут почти вертикально, приближаясь таким образом к идеальной петле на фиг. 165. Отчетливо видно отсутствие гистерезиса вне точек Кюри.
Для соли, содержащей дейтерий, петли одновременно и выше и шире, чем для обыкновенных кристаллов, что указывает на большие потери вследствие гистерезиса, большую коэрцитивную силу и большую спонтанную поляризацию. Остаточная поляризация, которая, как видно из § 438, есть мера спонтанной Р°, представлена на фиг. 134. Фиг. 135 дает кривые для коэрцитивной силы в зависимости от температуры. Из фиг. 134 можно видеть, что максимум Р° 735 абс. ед./см2 для обыкно
Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли
венной сегнетовой соли при 3°С, что хорошо согласуется со значением 740 на фиг. 144, найденным Мюллером. Для соли с дейтерием Р° получается приблизительно равным 1100 абс. ед./см2 при 0° С.
Согласно фиг. 135, коэрцитивная сила для обыкновенной сегнетовой соли имеет максимальное значение 200 при 15°С (см. § 436), Хаблют-
Фиг. 134. Остаточная поляризация Р° как функция температуры (по Хаблютцелю). Я—для сегнетовой соли,/)—для дейтериевой сегнетовой соли. Ординаты—в элек тростатических единицах.
Фиг. 135- Зависимость коэрцитивной силы от температуры (по Хаблютцелю). R—для сегнетовой соли, D—для дейтериевой сегнетовой соли.Ординаты—в V/см.
цель нашел, в противоположность Мюллеру, что коэрцитивная сила не зависит от толщины пластинки. Значения Мюллера для этой величины, представленные на фиг. 145, почти в два раза больше значений Хаблютцеля (см. § 479).
Вторая серия осциллограмм Хаблютцеля, полученная при комнатной температуре с полями до 3000 V/см, обнаруживает влияние увеличения частоты на форму петель гистерезиса. В области частот от 100 до 1000 Hz это влияние незначительно. Начиная с 1000 Hz петли расширяются, наклон их уменьшается, для насыщения требуется более высокий вольтаж, и, наконец, при 100 000 Hz максимальная напряженность поля оказывается недостаточной для достижения насыщения, а сами кривые становятся асимметричными. При этом гистерезис наблюдается для всех частот.
Поля, параллельные осям У и Z. Результаты измерений Хаблютцеля приведены в §408. Холден и Мэзон принимают ky равным 18,0 при 30° С. Это значение настолько велико, что вызывает сомнения в его правильности. Для kz они получили 19,4. Пьезоэлектрические коэфициенты приведены в § 143.
ГЛАВА ХХШ
ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ В КРИСТАЛЛАХ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ. ТЕОРИЯ ВНУТРЕННЕГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
В этой и следующих главах после краткого исторического обзора будет рассмотрена так называемая «теория взаимодействия», основанная главным образом на исследованиях Мюллера. Она будет сформулирована по возможности независимо от молекулярно-кинетических представлений, в виде, достаточно общем для того, чтобы ее можно было применять ко всем кристаллам, обладающим свойствами, аналогичными свойствам ферромагнитных веществ. Таким образом, она послужит основанием для рассмотрения более специализированных теорий различных сегнетоэлектриков, наиболее ярким и характерным представителем которых является сегнетова соль.
Напомним, что в истории теоретического исследования ферромагнетизма первая попытка дать количественную теорию была основана на тех представлениях, которые были развиты при изучении взаимодействия электрических диполей. Эта теория, достигнув зрелости, вернулась теперь в область диэлектриков.
Аналогия диэлектрических свойств сегнетовой соли с магнитными свойствами ферромагнетиков была впервые замечена Валашеком [542].
Начало развития теории процессов в сегнетовой соли было положено И. Курчатовым. Измерения диэлектрической постоянной этого кристалла, произведенные им самим и его сотрудниками, привели его к формулировке теории, основанной на более ранних работах Ланжевена, Дебая и Вейсса. По этой теории сегнетова соль рассматривается как кристалл, обладающий диэлектрическими свойствами, аналогичными магнитным свойствам ферромагнитных веществ. Краткий очерк этой теории и подобной ей теории Фаулера будет дан ниже, х:отя эти теоретические исследования основаны на молекулярно-кинетических представлениях.
§ 445. Теория Курчатова. В интересной работе 1930 г. Кобеко и Курчатовым [263] впервые была дана математическая формулировка теории диэлектрических свойств сегнетовой соли, вполне аналогичная математической теории ферромагнетизма, развитой Ланжевеном и Вейссом. Зависимость диэлектрической постоянной от температуры привела упомянутых выше авторов к выводу о том, что сегнетова соль содержит способные поворачиваться диполи. Электрический момент диполя они оценили как величину порядка 10—18 CGSE, а для напряженности молекулярного поля в кристалле получили величину порядка 107V/cm.
Эта молекулярная теория была разработана Курчатовым и его сотрудниками в ряде статей и изложена в его книге. Указания на их экспериментальные работы можно найти в других главах. Теория, как изложено ниже в гл. XXVI, основана на дебаевской теории диполей, которая использует представления Ланжевена о влиянии теплового движения [уравнение (556)]. Они были впервые развиты для парамагнетизма и при
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли 533
менены Дебаем к разрешению аналогичной электрической проблемы. Предполагается, как и в случае парамагнетизма, что диполи, могут свободно вращаться по всем направлениям, подобно молекулам газа. Жесткий диполь приписывается молекуле Н2О, что впервые было предположено Валашеком. Курчатов показал, что электрические взаимодействия между диполями вызывают внутреннее поле, сила которого достаточно велика для того, чтобы вызвать спонтанную поляризацию ниже критической температуры. При этом нет необходимости вводить в рассмотрение обменные силы, как это приходится делать в теории ферромаг-. нетизма.
Теория Курчатова предсказывает существование критической температуры (верхней точки Кюри), при которой диэлектрическая восприимчивость Tjn, параллельная оси X, принимает бесконечно большое значение и ниже которой кристалл переходит в состояние спонтанной поляризации. Для того чтобы объяснить существование нижней точки Кюри, Курчатов постулирует существование «обратного взаимодействия между диполями», которое приводит к образованию взаимно нейтрализующихся цепочек, вследствие чего число диполей, способных вызвать спонтанную поляризацию, уменьшается с понижением температуры. То обстоятельство, что большая часть кристаллических дипольных веществ не обладает свойствами сегнетовой соли, объясняется тем, что в них обратное взаимодействие диполей настолько сильно, что оно препятствует их ориентации внешним полем.
Заметим, что эта теория допускает возникновение отдельных областей поляризации (доменов), аналогично тому, что наблюдается в железе, но она ошибочно предполагает, что эти области, так же как в железе, имеют субмикроскопические размеры. Все те особенности, которые обусловлены доменной структурой -большого масштаба, приписывались Курчатовым дефектам кристалла. Курчатов называет «сегнетоэлектриками» кристаллы сегнетовой -соли и всех ей изоморфных веществ, имеющих аналогичные ей электрические свойства.
§ 446. Теория Фаулера. В основу метода, примененного Фаулером [142, 620] при выводе выражения для диэлектрической постоянной как функции температуры, положен метод «кооперированных состояний». Эта концепция аналогична «кооперированным явлениям» Цвикки и входит, хотя без точного математического выражения, в теорию сегнетовой соли, развитую Курчатовым. По теории Фаулера, для каждого диполя в кристалле сегнетовой соли существуют некоторые предпочитаемые им положения, которые возникают в результате взаимодействия его с соседними диполями. Энергия каждого диполя зависит от присущего ему вращения. Диполи находятся под действием направляющего поля, действие которого становится сильнее с понижением температуры. Все это близко к гипотезе Курчатова об уменьшении эффективного числа диполей.
Предполагается, что диполями являются молекулы кристаллизационной воды. При температуре выше верхней точки Кюри их расположение беспорядочно, так как направляющее внутреннее поле отсутствует. В интервале температур между точками Кюри некоторая часть диполей образует группы или цепочки, причем их моменты ориентированы либо по положительному, либо по отрицательному направлению оси X. Такое состояние Фаулер называет кооперированным. Оно образует поле, господствующее во всей области спонтанной ориентации. Направление
534
Г лава XXIII '
преобладающего поля определяется спонтанной поляризацией, величина которой зависит от температуры. Ниже нижней точки Кюри диполи «замерзают», образуя мелкие местные группы, внешнее поле которых настолько слабо, что не может вызвать спонтанной поляризации. В этой области кооперация заменяется ассоциацией. Постоянная внутреннего поля 7, по Фаулеру, имеет разное значение параллельно и перпендикулярно к оси X кристалла. В области спонтанной поляризации энергия взаимодействия между диполями оказалась (в согласии с Курчатовым) достаточно большой для того, чтобы можно было говорить о существовании сильного внутреннего поля. Фаулер получил выражение для диэлектрической постоянной, которое при подстановке в него приемлемых значений некоторых параметров, количественно неопределимых по этой теории, дает температурную зависимость ее для области температур вне точек Кюри. Эта зависимость качественно согласуется с результатами измерений. Она показывает также, в согласии с теорией Курчатова, бесконечные значения проницаемости в обеих точках Кюри.
Фаулер рассматривает вращение диполей в сегнетовой соли как особый случай превращений, аналогичный переходу от колебаний к вращениям, обнаруженному недавно в различных твердых телах, например, в солях аммония и галоидно-водородных соединениях, только в сегнетовой соли это превращение относится не к отдельным молекулам, как в солях аммония, а к большим группам молекул.
Теории Курчатова и Фаулера, рассматривающие состояние спонтанной поляризации как один из этапов последовательного перехода от полного беспорядка в расположении диполей при высоких температурах до полной упорядоченности при понижении температуры, могут и в настоящее время играть важную роль в теории сегнетоэлектриков. Самый большой недостаток их заключается в том, что они не могут учесть деформацию решетки в электрическом поле. Говоря иначе, они пренебрегают влиянием пьезоэлектрических свойств на диэлектрическую постоянную, на которое указал Кэди [100] и которое было позднее полностью исследовано Мюллером в ряде статей, к рассмотрению которых мы и переходим
§ 447. Теория Мюллера. Приведем здесь важнейший экспериментальный материал, который послужил основой для построения теории.
1. Нормальные диэлектрические и пьезоэлектрические свойства в полях, перпендикулярных оси X, при любых температурах.
Следующие явления связаны с полями и поляризацией по оси X.
2. Для полей определенной напряженности, параллельных оси X, диэлектрическая восприимчивость т1х и пьезоэлектрический модуль du возрастают неограниченно в определенном интервале температур. Они ведут себя вполне нормально вне этой области температур.
3. Внутри этой температурной области диэлектрическая поляризация, а также прямой и обратный пьезоэлектрические эффекты обнаруживают насыщение и гистерезис.
4. Наблюдается запаздывание во времени для действия электрического и механического напряжений и некоторые эффекты, зависящие от предыдущей истории кристалла.
5. Существование спонтанной поляризации Р°, параллельной оси X, сопровождаемой спонтанной деформацией _у% между двумя точно опре-
’> Критический разбор различных теорий поляризации сегнетовой соли можно найти в работах Мюллера [376, 378, 382].
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли
535
деляемыми температурами, нижней и верхней точками Кюри, 6Z и 6Ы Максимумы Р° и tpz наблюдаются около 5°С. ,
6. В интервале температур между точками Кюри деформация хх пропорциональна квадрату поляризации Рх.
7. Вне точек Кюри и в малых участках промежутка между ними существует линейная зависимость между температурой и диэлектрическими, пьезоэлектрическими и упругими коэфициентами (законы Кюри — Вейсса).
8. При слабых полях и напряжениях восприимчивостьт]' свободного кристалла, пьезоэлектрический модуль du и упругий модуль при постоянном поле стремятся к бесконечно большим значениям в точках Кюри, но достигают минимума около 5° С. Таким образом, отношение du т/ остается практически постоянным.
9. Упругий модуль s44 изолированного кристалла (§ 199) почти не зависит от температуры.
10. В области температур между точками Кюри наблюдаются аномалии оптических свойств.
11. Сегнетова соль состоит нормально Из областей размером в несколько миллиметров, причем соседние области характеризуются противоположно направленными спонтанными поляризациями (всегда по оси X). В связи с этим находится свойство униполярности кристаллов сегнетовой соли, наблюдающееся главным образом в маленьких пластинках.
Большая часть свойств сегнетовой соли и ее аналога — железа — связана с одной областью спонтанной поляризации, но некоторые из них требуют допущения существования соприкасающихся между собой областей с противоположно направленной поляризацией.
В вышеприведенном перечне свойств сегнетовой соли пропущено много деталей, имеющих важное значение. Среди других явлений, которые требуют теоретического рассмотрения, можно указать на свойства зажатых кристаллов, на вероятное изменение удельной теплоемкости в точках Кюри, на влияние гидростатического давления на точки Кюри, на влияние изоморфных примесей и тяжелой воды.
Более ранние теории аномальных электрических свойств сегнетовой соли исходили из аналогии с ферромагнитными веществами и приписывали все аномалии вращению свободных диполей. Из этих же представлений выросла и первая теория Мюллера [376], которая объясняет диэлектрические и пьезоэлектрические эффекты возникновением сильного внутреннего поля дипольных молекул, хотя и не говорит прямо об> их электрическом моменте и вращении. В этой форме теория очень хорошо согласовалась с результатами опытов при температурах вне области между тючками Кюри, но не годилась для количественного описания явлений в этой области.
Как было показано Мюллером в его второй статье [378], не существует достаточно веского доказательства наличия свободно вращающихся диполей в кристаллах сегнетовой соли. В гл. XXXI мы увидим, что рентгенографический анализ, проведенный Биверсом и Хьюзом, показал, что в сегнетовой соли молекулярные диполи, существование котор|ых объясняет ее аномалии, связаны между собой связью особого' типа, чувствительной к деформации кристалла. Мы вернемся к вопросу о диполях в гл. XXVI. Ь 1 j
§ 448. В своей последующей работе Мюллер отказался от теории внутреннего поля,, считая, что для удовлетворительного объяснения
536 __ Глава XXIII >
основных явлений во всем температурном интервале достаточно следующих гипотетических положений: ' ; :
1. Пьезоэлектрические напряжения пропорциональны поляризации, а не полю.
2. Напряженность электрического поля Е не связана с поляризацией Р линейной зависимостью. Для получения нелинейной зависимости он вводит в качестве первого приближения член, содержащий Р3„
3. Аномальное поведение кристаллов сегнетовой соли связано главным образом с особыми диэлектрическими свойствами зажатого кристалла.
Принимая во' внимание только эти особенности и не прибегая к аномальным значениям «истинных» пьезоэлектрических и упругих коэфициентов, можно удовлетворительно объяснить особенности диэлектрических, упругих и пьезоэлектрических свойств свободного . кристалла, включая и существование точек Кюри, а также и спонтанную поляризацию в области температур между этими точками. Существенно важное значение имеет критическая’ температура около 5°С, при которой получаются максимумы и минимумы спонтанной поляризации, спонтанной деформации, восприимчивости свободного и зажатого кристалла, пьезоэлектрического модуля du, упругого модуля sf4. При этой температуре изменяются также оптические свойства. ;
Эта теория «внутреннего взаимодействия» Мюллера носит гораздо более феноменологический характер, чем более ранняя его теория. Хотя он предлагает возможную теоретическую интерпретацию [380], но, по существу, его уравнения остаются чисто эмпирическими, основанными на его собственных и других экспериментальных данных. Температурные эффекты выражены легко поддающимися экспериментальной проверке линейными уравнениями между различными физическими постоянными и температурой. Анализ этих уравнений может вскрыть их экспериментальную основу — зависимость восприимчивости закрепленного кристалла от температуры. Эта зависимость имеет тот же вид, что и закон Кюри — Вейсса в учении о магнетизме, а это заставляет предполагать одинаковое их происхождение.
Начала теории внутреннего взаимодействия, изложенные Мюллером еще в его первой работе (1935 г.), были затем развиты в статьях II, III и IV (1940 г.), причем количественные соотношения были распространены также на интервал между точками Кюри.
§ 449. Мы теперь обратимся к последовательному изложению теории внутреннего взаимодействия и прежде всего приведем основные уравнения.
Мюллер основывается на поляризационной теории пьезоэлектричества, которая была развита в гл. XI. В нашем изложении мы пользуемся дальнейшим допущением относительно того, что уравнение, выражающее зависимость поляризации Р от напряженности поля Е, должно содержать еще член Р4, прибавляемый к энергетическим функциям ; и С. Этот член содержит новый коэфициент В, характеризующий насыщение. Кроме того, мы допускаем квадратичность пьезоэлектрического эффекта между точками Кюри, происходящую вследствие моноклинной симметрии кристалла сегнетовой соли в этой области температур. Так как этот эффект зависит от спонтанной деформации, его неудобно рас^-
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли
537
сматривать- вместе) с энергетическими соотношениями. Поэтому он будет рассмотрен в § 464.
Точки Кюри можно определить1 как температуры, между которыми возникают спонтанная поляризация Р° и спонтанная деформация z/° z. Этот интервал является Областью проявления сегнетоэлектрических свойств, и в нем свободный незакрепленный кристалл ведет себя как кристалл моноклинный.
Изложение теории будет более понятным, если мы укажем здесь способ проверки теории с помощью экспериментальных данных. Во всех опытах электрические поля и поляризации параллельны оси X, и наблюдения должны охватывать широкую область температур. Наибольшее значение имеют измерения начальной восприимчивости т/0 свободного кристалла и установление зависимости восприимчивости от поля, из которой получаются значения константы В. Затем идут измерения Р° (по петлям гистерезиса и пироэлектрическим данным), y°z и модулей S44 и 5ц по методу резонирующих стержней. Из этих данных выводятся величины пьезоэлектрических коэфициентов d\4, е14, а14 и bt4, а также формула для коэфициента насыщения В. В частности, диэлектрическая жесткость зажатого кристалла yi получается из у', а\4 и Ь\4. Тем самым может быть проверено утверждение Мюллера, что /1 падает до Очень низкого минимального значения около' 5° С.
В своей теории Мюллер ведет рассмотрение в порядке, обратном только что1 изложенному, теоретически объясняя аномальную зависимость диэлектрической постоянной зажатого кристалла от температуры и показывая затем, что спонтанная поляризация и нее другие аномалии представляют собой естественное следствие этой зависимости. Это означает,1 другими словами, что диэлектрическая постоянная закрепленного кристалла, лишенного всех пьезоэлектрических особенностей, ответственна за аномальное поведение сегнетоэлектрических кристаллов (ср. § 468).
§ 450., Определения. Прежде чем излагать теорию, необходимо' дополнить список определений различных символов, входящих в уравнения (243) — (245а), приведенный в § 194. Возьмем, во-первых, коэфициенты диэлектрической жесткости у" и у'. В нормальных пьезокристаллах они не зависят ни от деформации и напряжения (соответственно), ни от величины поля Е. В сегнетовой соли у" представляют собой функцию деформации, у/ — функцию напряжения, и обе зависят от температуры (зависимость их от поля учитывается членом, содержащим В). Задача упрощается, если ввести величину т|", равную 1/у", определяя ее как восприимчивость зажатого, кристалла при нулевой деформации, а не просто при постоянной деформации. Мы будем также пользоваться специфическим символом т)1=1/у1 для начальной восприимчивости при нулевой ромбической деформации (относительно термина «ромбическое зажатие» см. ниже). Для. свободного кристалла (напряжение равно нулю) '*]'= 1/у' есть начальная восприимчивость вне интервала между точками Кюри. В сегнетоэлектрической области, как сказано ниже, мы должны писать V — 1/ у\- В уравнениях для энергии (243) и (243а) диэлектрические члены представляют собой электрическую энергию при нулевой деформации и нулевом напряжении. 'Предполагается, что влияние деформации и напряжения -на энергию содержится в пьезоэлектрических членах. . ,
538
Глава XXIII
Что касается деформаций, то через у2, если она не будет иначе определена, мы будем обозначать деформацию ромбическогоп кристалла при любой температуре. Причина того, что нам приходится иметь дело только сyz, заключается в следующем. В излагаемой теории рассматриваются только поля Е х, параллельные оси X. В этом направлении единственный пьезоэлектрический модуль сегнетовой соли в области температуры вне интервала между точками Кюри есть dl4. Следовательно, у2 — единственная деформация, связанная с Ех. В моноклинной фазе сегнетова соль имеет еще три других пьезоэлектрических модуля, зависящие от Ех, но они относительно малы. Их влияние на свойства кристалла будет рассмотрено ниже, в § 464. Между точками Кюри, где кристалл следует считать моноклинным, у z представляет собой деформацию моноклинной модификацией, не совпадающую с деформацией ромбической вследствие присутствия спонтанной деформации г/%. Если кристалл закреплен так, что его ромбическая деформация равна нулю, т. е. так, что его, кристаллографические грани b и с составляют прямой угол, то мы будем пользоваться для такого способа монтировки кристалла термином «ромбическое зажатие». Для температур вне интервала между точками Кюри это означает, что кристалл закреплен в ненапряженном состоянии. Между точками Кюри, когда грани b и с при отсутствии напряжения образуют угол, не равный 90°, вследствие спонтанной деформации у<)2, ромбическое зажатие вызывает систему напряжений, действующих так, что грани b и с ранее свободного кристалла вынуждены теперь образовать угол в 90°, независимо от температуры.
С другой стороны, иногда желательно рассматривать кристалл как зажатый при определенной температуре между точками Кюри, когда он находится в моноклинной модификации и когда стонтанная деформация его не скомпенсирована напряжением зажатия. Такой способ зажатия мы будем называть моноклинным, а соответствующую восприимчивость обозначать через т)\(= 1/х%, §456).
Всякое зажатие, ромбическое или моноклинное, называется полным в том случае, когда юно осуществлено столь жестко, что уничтожаются все деформации, вызываемые электрическим полем * 2).
Согласно всему вышесказанному, мы будем придерживаться изложения Мюллера и дадим основные уравнения в такой форме, как если бы сегнетова соль была в ромбической фазе при всех температурах. В температурной области между точками Кюри такое допущение означает, что поляризация Р содержит в себе спонтанную поляризацию Р°и что у z означает деформацию, измеренную при ромбическом закреплении, т. е. тогда, когда грани b и с взаимно перпендикулярны. При этом вместо у" мы будем пользоваться символом хь определенным выше, у/, как мы увидим, обозначается через y's, причем индекс s показывает, что эта величина относится к области между точками Кюри
’> Термин «орторомбический» был бы здесь особенно пригоден, так как он означает, что кристаллографические оси а, b и с взаимно перпендикулярны, как сказано в § 5. ; ' '
2> В более ранней работе Мюллер называет кристалл зажатым, если уничтожается только у 2. Такое состояние может быть названо частичным ромбическим зажатием. В своей четвертой работе [381] он отличает зажатие такого характера от полного ромбического, как оно определено выше. Вне точек Кюри разница между ними исчезает. В моноклинной фазе это различие так мало, что им можно пренебречь при выводе основных уравнений.
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли^
539
(к сегнетоэлектрической области) 4). Такое допущение вполне приемлемо, потому что пьезоэлектрические константы моноклинной фазы кристалла, не проявляющиеся в ромбической фазе, очень малы. Этот способ описания явлений в сегнетовой соли мы (будем называть ромбическим методом. Как будет видно из последующего, его преимуществом является возможность единой трактовки, справедливой при любых температурах. Это преимущество будет особенно заметно при изложении теории Мюллера. Однако при переходе к практическим вопросам, относящимся к области между точками Кюри, несколько неудобно считать деформацию равной нулю„ когда кристалл находится под напряжением, и обратно. До тех пор, пока напряженность поля невелика и все уравнения линейны, такие вопросы лучше решать нормальным методом, описываемым в § 458.
Концепция ромбического зажатия, развитая в настоящей главе, устанавливает некоторое основное диэлектрическое состояние кристалла. Хотя экспериментально оно не может быть реализовано, его можно, согласно теории, охарактеризовать как такое состояние, в котором кристалл обладает (своей основной восприимчивостью, свободной от пьезоэлектрического эффекта.
§ 451. Ниже приведены энергетические уравнения, подобные уравнениям (243) и (243а), для частного ^случая кристалла сегнетовой соли в полях, направленных по оси X. Индекс х при обозначении электрических величин будет опущен. На основании сказанного в § 449 каждое уравнение должно содержать член с Р4. Этот член введен для описания нелинейных соотношений, наблюдаемых в кристаллах сегнетовой соли; его введение приводит к хорошему согласию с экспериментом для не слишком сильных полей, порядка 200 V/см. Расхождения начинаются только в сегнетоэлектрической области и вызываются главным образом сложным расположением многочисленных областей спонтанной ориентации. ( ' !!
Для того чтобы описать пологие участки кривых поляризации в области насыщения в более сильных полях, необходимо ввести в наши уравнения некоторую другую функцию. Можно, например, вместо ВР4 в уравнениях (491) и (491а) ввести f\ (Р), а в уравнениях (492а) и (492в) и следующих заменить ВР3 на /(Р) = df{(P)/dP. Вид /(Р) должен быть определен экспериментально.
Наши уравнения принимают различные формы в зависимости от того, применяется ли ромбический или нормальный метод. Вне сегнетоэлектрической области оба метода совпадают. По любому методу у z обозначает деформацию, причем необходимо помнить, что в ромбическом методе она измеряется для ромбически зажатого кристалла, а в нормальном методе измеряется для ненапряженного кристалла в нулевом поле при заданной температуре.
Из всего сказанного следует, что ромбический метод, которому будет уделено больше внимания, рассматривает сегнетову соль, как если бы она была ромбическим кристаллом при всех температурах. Нормальный же метод рассматривает свободный кристалл сегнетовой соли при температуре между точками Кюри как моноклинный. Каждый метод учитывает спонтанную поляризацию и спонтанную деформацию,
О Не следует смешивать индекс s с индексом ds, принятым для обозначения дифференциальной проницаемости насыщения (§ 430).
540 ' Глава XXIII
но различным образом. Аналогичные методы могут быть с успехом применены к другим сегнетоэлектрическим кристаллам.
Члены, выражающие пьезоэлектрическую энергию сегнетовой соли между точками Кюри, должны содержать пьезоэлектрические коэфициенты, о которых было сказано выше и которые теоретически свойственны моноклинным гемиморфным кристаллам, но не кристаллам ромбического сфеноидального класса, к которым относится сегнетова соль в параэлектрической области. В первом приближении такими членами можно пренебречь «виду их малости. Они учтены в уравнениях § 464.
В этой главе все теоретические рассуждения относятся к идеальному кристаллу с одной единственной областью спонтанной ориентации. Вне точек Кюри домены отсутствуют, и теория хорошо согласуется с экспериментом. Взаимодействия доменов так мало известны, что нет смысла вводить их в основную теорию. Поэтому надо отдавать себе отчет в том, чте теория в ее применении к сегнетоэлектрической области представляет собой скорее качественное, чем количественное описание явлений. Тем не менее, как будет показано ниже, на основании этой теории можно вывести некоторые количественные заключения, а самая теория представляет собой базу для дальнейшего теоретического изучения кристалла с многочисленными доменами.
§ 452. Основные уравнения для сегнетовой соли. Направление поля параллельно оси X. В выражении свободной энергии через деформации, которое 'может быть получено из уравнения {243) в § 192 с помощью добавочного члена, содержащего Р\ упругая деформация должна быть представлена’разностью (г/? —y°z), потому что часть энергии идет на механическое сжатие, необходимое для того, чтобы перевести кристалл в ромбическое состояние. Поэтому, когда yz = 0, влияние зажима компенсирует Р° и последняя величина не входит в выражение для поляризации, которое содержит только РЕ — поляризацию, вызванную наложенным на кристалл полем Е при yz— О1).
Таким образом, получается уравнение
;с4р4(л-у°г + auPEyz. (491)
Выражение свободной энергии через напряжения предполагает кристалл свободным, за исключением приложенной извне деформации yz. Диэлектрическая энергия, выраженная вторым и третьим членами уравнения (491а), обусловлена поляризацией Р при Yz — 0. В эту поляризацию входит и Р°, так как Р° теперь не компенсируется зажатием кристалла. Таким образом,
Р=РЕ-\- рь .
Изменяя уравнение (243а) для нашего случая и вводя член, содержащий Р4, получаем:
C=;sSr?4.'jZ'P2-L^p<_*14Prz. (491а)
’) Так как вследствие присутствия члена РБ уравнение не линейно, мы не можем определить Р ' как поляризацию, вызванную полем Е при постоянной деформации. РЕ имеет определенное значение только при yz = 0. , X.
Теория поляризациив кристаллах сегнетовой соли______541
Производные ют уравнений (491) и, (491а) имеют вид:
= &yU-aitPF- =-(Пк ' (492)
дР£ =--/лРе + ВР^ + аиуг=--{Е}"-, (492а)
д? — SmYz — Ь,,Р- -~ yz- '(4926)
д? дРЕ ^P + BP>-btiY,= (E}'. (492в)
Эти четыре уравнения аналогичны уравнениям (244)—(245а) для частного случая сегнетовой соли. Обозначения (Е)" и (£)' будут объяснены ниже.
Обратимся прежде всего к уравнению (4926), которое определяет деформацию, вызванную совместным действием механического напряжения и электрической поляризации. При отсутствии поля Р — Р°; если также YZ = Q, то
yz = buP°=yQz.
Здесь y°z представляет собой спонтанную деформацию, измеряемую для ромбического зажатия кристалла. Эта часть полной деформации присутствует даже тогда, когда на кристалл, наложены одновременно Yz и Е. Поэтому yz есть полная деформация, измеренная для ромбической модификации, так же как в уравнениях (492) и (492а).
Уравнение (492) можно упростить, заменяя yQz через b^PQ. Кроме того, в то же уравнение (492) вместо (У ) можно ввести внешнее напряжение Yz, изменив знак ацР& на обратный, согласно уравнению (246).
Следует заметить также, что в уравнении (492а) вместо суммы Х\РЕ ВРЕ' можно написать просто Е, так как Р3 есть поляризация при yz = 0. Член a,\4yz эквивалентен полю, a yz вызывает некоторую поляризацию, которая, по Фогту, равна P = e14t/2. Мы обозначим через Pt сумму РЕ и этой добавочной поляризации. Аналогично в уравнении (492в) через Pt можно обозначить полную поляризацию, вызываемую Е, Р° u Yz.
Таким образом, уравнения (492)—(492в) принимают окончательный вид основных уравнений, которыми мы и будем пользоваться в дальнейшем.
-Гг = с{’,Л-а1<(Р’+РЕ); (493)
(£," = Х1^+В^+апЛ = £-|-а14Л = Х1Р,ХВР/; (493а)
Л, . (4936)
(Е)' = -рР Н- BP' - b„Y=E - buYt = y.'P,+ BP;1. (493в)
Некоторые из этих выражений, без нелинейных членов, содержались уже в уравнениях . (252)—(255а). Смысл величин (£)" и (£)' • был
^42 a xxtii .
уже разъяснен в § 194. Ясно, что (Е)" не представляет собой реального поля в кристалле, так как деформация yz сама по себе вызывает поляризацию. Если же yz создает поле, то последнее должно зависеть от граничных условий. Член a.\4yz в уравнении (493а) не входит как составляющая в поле Е, но, будучи прибавлен к Е, он дает эквивалентное поле (Е)" Полная поляризация Pt, содержащая и поляризацию, вызываемую yz, может быть выражена через (Е)". Аналогичное замечание следует сделать относительно эквивалентного поля (Е)' в уравнении (493bi), когда кристалл свободен и задано напряжение.
При дальнейшей интерпретации этих уравнений можно установить, что в уравнении (493) при у 2=0 и Е — 0 величина Yz = а14Р° есть напряжение зажатия, необходимое для того, чтобы перевести кристалл в состояние ромбического зажатия. При Yz=0 кристалл свободен, и с4 yz = й14(Е° 4- РЕ) . Если при этом нет внешнего поля, то cf уz= ai4P°. Из уравнения (4936) следует, таким образом, что у2 = Ь\4Р°. Это yz представляет собой спонтанную деформацию у\, и мы можем написать:
‘ у°г = ЬиР> . (494)
Последнее соотношение вытекает также непосредственно из уравнения (4936). Действительно, так как по уравнению (4956) ati4sр = bi4 и так как, далее, с44 — l/s44 то ясно, что уравнение (4936) представляет собой только другой способ выражения уравнения (493). Относительно числовой величины у°г см. § 482.
В уравнении (493а) эквивалентное поле (Е)" представляет собой сумму реального поля Е и того поля, которое должно получиться в ромбически зажатом кристалле как результат поляризации, эквивалентной той поляризации, которую вызывает деформация yz. Кривая, изображающая связь между Р и (Е)", имеет, в зависимости от температуры, форму, подобную кривым с или е на фиг. 136.
Аналогично этому, (Е)' в уравнении (493в) есть сумма Е и поля, вызываемого в свободном кристалле поляризацией, равной той, которая вызывается заданным напряжением Yz . Кривая, связывающая Pt и i(E)', должна иметь вид кривой а, b или d, фиг. 136.
В уравнении (4936) есть деформация, вызываемая совместным действием внешнего напряжения Yz и поляризации Р = Р° 4- РЕ , где Р— та часть поляризации, которая обусловлена полем ЕприУг=0 При Yz = 0 и Е = 0 имеет место yz= Ь?4Р°, как это видно из уравнения (494). Если у — 0 (ромбические условия), то напряжение зажатия выражается следующим уравнением:
Y=b„P/s^ = (Р» + РЕ).
Согласно уравнениям (493а) и (493в), Е = 0, когда Pt =0. В случае ромбически зажатого кристалла == 0) из уравнения (493а) следует, что Е = 0. Если yz имеет произвольное значение, то Е есть то поле, которое необходимо наложить на кристаллы, чтобы Pt стало равным нулю. Точно так же, согласно уравнению (493в), Е есть поле, приводящее Pf к нулю при заданном Yz и Pt = Q.
Из уравнений (204) и (242) и данных в табл. 21 уравнений IX—XII
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли
54а
для сегнетовой соли получаются следующие равенства:
^14= «и«44 ; (495)
^14=^14S?4 ; (495а)
d^ = b^= ausP4rt'f (4956)
^14 = «14 V' = ^4^", (495в)
а,1 = г14х" = -^ = -^- , (495г)
V <4 7] S44
b,t = dttX' = ^‘ (495д)
В этих уравнениях символы du, е14, т/ = 1 / у/ и т\" \/к”'
написаны так, как это принято для пьезоэлектрических кристаллов вообще. Они представляют собой начальные значения, верные только для малых напряжений и слабых полей. Там, где это оказывается необходимым, во избежание двусмысленности везде будет поставлен индекс 0.
Для кристаллов сегнетовой соли вследствие возникновения спонтанной поляризации и нелинейности в интервале между Точками Кюри выражения, содержащие вышеупомянутые символы, принимают форму, отличную от их формы для параэлектрических областей. В таких случаях мы будем пользоваться индексом s (сверху или внизу) для обозначения сегнетоэлектрической области. Когда этой неопределенности нет, индексы s и 0 могут быть опущены.
В параэлектрических областях, в согласии с § 450, вместо т)"=1/Х" мы будем писать = l/xi, но сохраним У и х' • Как будет сказано в § 454, у' и т/ не соответствуют экспериментальным величинам в области температур между точками Кюри.
Уравнения (495) — (495д) имеют общее значение. Они справедливы и для ромбического и для нормального метода.
§ 453. Применение теории внутреннего взаимодействия. В конце этой главы мы выведем систему уравнений по ромбическому методу, причем величина деформации измеряется в условиях ромбического закрепления кристалла. Основными уравнениями остаются уравнения (493) —(495е).
Прежде всего применим основные уравнения к вычислению через Xi для температур вне области между точками Кюри.
Напишем уравнение (4936) для ненапряженного кристалла. В этом случае Yz — 0 и у2 = ЬцР, причем Р возникает только вследствие действия одного Е. Так как в уравнении (493а) у произвольно, то вместо у2 можно подставить Ь^Р и получить следующее выражение, имея в виду, что Р теперь есть полная поляризация Pt; Е-у-а4 ЬиР^Р+ВР* Отсюда Е= (xi~^bu)P-\-ВР^. Р есть поляризация свободного кристалла, возникающая от действия £. Последнее выражение эквивалентно (493в) при У= 0. Таким образом,
Е = (Xi - «14^4) Р + ВР* = у/Р + ВР\ (496)
где
х'=Х1 — «14^14 - (496а)
В § 461 будет показано, что уравнение (496а) эквивалентно уравнению (264) в § 204. Следует отметить, что так как ai4 и Ьц очень мало
544
Глава XXllt
зависят от температуры, и Xi отличаются друг от друга на практически постоянную величину, как это видно из фиг. 143.
На фиг. 136 6 кривая d графически изображает уравнение (496) для свободного кристалла, кривая е построена по уравнению (493а) для зажатого кристалла при yz=0. Обе кривые относятся к 31,5°С. Из уравнения (496) видно, что значения Е, вычисленные по этим кривым, отличаются друг от друга на величину а^ЬиР- Например, при Р —400 отрезок КН изображает величину а^Ь^Р.
После такого введения мы можем приступить к исследованию зависимости свойств сегнетовой соли от температуры. Соотношения, выраженные уравнениями (493) — (495д), таковы, что если известна температурная зависимость для любого из четырех параметров Хп 7/, S44 и du,
то из нее можно вывести ту же зависимость для всех остальных. Этот вопрос подробнее изложен в § 468 и 472. Пока же мы примем гипотезу Мюллера и будем считать, что все аномальные свойства обусловлены характером диэлектрической восприимчивости 7)1=1/Xi ромбически зажатого кристалла. Кривые зависимости диэлектрической постоянной свободного кристалла от температуры имеют такой же характер, как кривые на фиг. 145 или 141, причем k' и связаны соотношением kf = 1 4- 4к/хл. Если известно; то с помощью уравнения (496а) можно вычислить Xi при любой температуре.
Относительно Xi предполагается, что вследствие структурных особенностей сегнетовой соли зависимость
Фиг. 136. Теоретические кривые поляризации е гнетовой соли. Кривая а—при 15°, кристалл вободен. Кривая b — для верхней точки Кюри вободного кристалла. Кривая с—при 15°, Крита лл зажат. Кривая d — при 31,5°, кристалл вободен. Кривая е—при 31,5°, кристалл зажат.
Xi от температуры изображается верхней кривой фиг. 141, что далее она уменьшается по мере приближения к сегнетоэлектрической области с обеих сторон и принимает конечные значения в точках Кюри. Из уравнения (4Q6a) вытекает, что при Xi=^i4^i4 х'= 0, а следовательно, k' = 00. В сегнетоэлектрической области Xi<Cai4^i4-
На фиг. 136 построены приблизительно в масштабе кривые, связывающие поляризацию Р и поле Е для свободных и зажатых кристаллов * 2) при двух разных температурах. На кривой е для температуры
’) Фиг. 136 и 137 построены для кристаллов с одной областью спонтанной ориентации. Кристаллы со многими областями будут рассмотрены в § 479.
2) Кривые фиг. 136 построены в масштабе по измерениям Мэзона, приведенным в табл. 2 второй работы Мюллера [378] и на фиг. 143 и 144. Для кривой d выбрана температура в 31,5°С потому, что при, этой температуре начальная проницаемость Г свободного кристалла, 0,05, равна начальной проницаемости i's (§ 450) при 15°, как
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли,545
выше верхней точки Кюри наклон ее ОЕ в начале координат дает 411 = 1/Zi •
При более высоких температурах наклон кривых уменьшается. Можно сказать вообще, что при температурах вне интервала между точками Кюри влияние члена, содержащего В в уравнении (496) или (493а), очень мало при любой достижимой напряженности поля. С уменьшением температуры, сопровождающимся уменьшением Хь наклон возрастает, пока при 15°С он не достигает значения, изображающегося отрезком ОС. При 5°С наклон кривой получает максимальное значение (§ 469). Кривая поляризации зажатого кристалла при 15° строится по уравнению (493а) при уг = 0 (кривая с).
Кривые для свободного кристалла претерпевают аналогичные изменения с изменением температуры. Так, в точке Кюри, когда X, = flu&u, имеет место х' = 0, и из уравнения (496) следует, что кривая для свободного кристалла должна совпасть с кривой Ь, изображающей ВР3. Эта кривая в начале координат поднимается почти параллельно оси ординат, а поэтому дР/дЕ стремится к оо, когда Е стремится к нулю. Отсюда следует, что начальная диэлектрическая постоянная свободного кристалла в верхней точке Кюри 6И принимает бесконечно большое значение (аналогичные рассуждения справедливы для нижней точки Кюри 0z). В то же время становится ясным, что очень большие экспериментальные значения этой проницаемости в точках Кюри могут быть получены только в опытах с очень слабыми полями.
§ 454. Особенный интерес представляет случай, когда X] в уравнении (496) становится меньше съ4Ь\4, т. е. когда отрицательно, а температура ниже Кривая для свободного кристалла, касающаяся оси ординат в точке 6И, сдвигается еще больше влево, причем около начала координат образует выгиб в область отрицательных абсцисс. При температурах, близких к точке Кюри, этот отрицательный сегмент мал, и отрицательный наклон кривой велик. С уменьшением температуры отрицательный наклон (1//') уменьшается, а высота отрицательного сегмента возрастает, пока при 15° кривая не примет форму кривой а. Максимальная высота сегмента получается при температурах, близких к 5° С.
Очевидно, X' не может быть обратной величиной восприимчивости свободного кристалла в области температур между точками Кюри, потому что она содержит положительную поляризацию, вызываемую отрицательным полем. Это обстоятельство ставит теорию в затруднительное положение, но ее спасает тот факт, что в точке О' кривая опять переходит в область положительных значений Е. В точке О' в кристалле получается некоторая поляризация, хотя внешнее поле равно нулю. Таким образом, из наших основных уравнений вытекает представление о спонтанной поляризации в сегнетовой соли, возникающей в области температур между точками Кюри. Мы можем, далее, притти к выводу, что любой кристалл, обладающий в зажатом состоянии обратной восприимчивостью X], которая при определенной температуре становится равной Я14&14 (или эквивалентному выражению для кристаллов другого
видно из кривой а. Вследствие этого линии О'А и OD параллельны. Все кривые построены в предположении, что В равна 6,5- 10-9 абс. ед. Истинное значение при температуре выше , вероятно, несколько больше. Кривые а, b и d выражаются уравнением (496) с надлежащим значением Е • Для кривых с и е мы положим в уравнении (493а) Yz=0 и причем 7.1 соответственно равно 0,030 и 0,094.
35 Кэди
546
Глава XXI II (
класса), должен в свободном состоянии иметь при этой .температуре точку Кюри с бесконечно большой восприимчивостью и вместе с тем обнаруживать спонтанную поляризацию при меньших, чем аиЬи. Самая величина может быть совершенно нормальной. Все аномалии вытекают из требования, чтобы уЛ было меньше tZi46i4.
Полагая в уравнении (496) Е = 0 можно выразить спонтанную поляризацию Р° через
Отсюда
BP0' . (497)
Фиг. 137. Качественные кривые, иллюстрирующие теоретическую зависимость Р от Е для свободного кристалла сегнетовой соли, имеющего одну область спонтанной ориентации, при различных температурах. Кривая а — для 5°, а'—для 22°, b — для точки Кюри 6И, с — для 26°, d — для 31,5° и е — для 4С°С.
Вне интервала между точками Кюри PQ принимает мнимые значения, и спонтанная поляризация не возникает. Кривая для Р° как функции от температуры представлена на фиг. 145. Она быстро растет от точек Кюри и образует пологий максимум при 5°С. Величина максимума представляет собой мюллеровское «наблюденное» значение 740 эл.-ст. ед., взятое из его третьей работы [38OJ. Подставляя ее в (497 j и применяя значения В, а14 и би = tZi4sf4 из той же работы, можно вычислить, что 7-1 = = 0,037 при 5°С. Эта величина значительно больше теоретической при 5°, определяемой по фиг. 141, но надо иметь в виду, что и опыт и
теория не дают достоверных результатов.
Кривые фиг. 136 построены только для положительных значе
ний поляризации. Полный график для уравнений (496) и (493в) при У2= 0 представлен на фиг. 137. Кривая а построена для 5°С, максимум Р° на ней равен 00'. Кривые а', b и с соответствуют температурам: 22°, верхней точки Кюри 6Ц (приблизительно 24°) и 26°; кривые d и е —
температурам 31,5° и 40°. Рассматривая кривую а, мы видим, что если
кристалл состоит из одного домена и Р° положительно, то полная поляризация при Е = 0 есть Р°. При возрастании Е в положительную сторону получается отрезок кривой О'С. Наблюдаемая поляризация Ре измеряется отрезком оси ординат от оси абсцисс до точки О'. Уравне-
ние, связывающее РЕ и Е, получается из (496) подстановкой РЕ^-Р° вместо Р. Если начало координат находится в точке О, это уравнение
имеет вид: ^хЧ^т + .
(498)
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли__547
Это уравнение имеет форму (493в) при Yz = 0.
Если Р° = 0, то (498) представляет оо(бой соотношение между напряженностью поля и поляризацией для любой температуры в пара-электрической области. В таком случае есть реальная обратная величина начальной восприимчивости. В сегнетоэлектрической области, где х' отрицательно, наблюдаемая начальная восприимчивость (см. § 450) 7]'^ = 1/ x's {наклон кривой а фиг. 136 в точке О') вычисляется с помощью дифференцирования Е по РЕ, причем в выражении производной РЕ полагается равным нулю:
y!s = х'+ 3№>2 Z1- aubu + ЗВР2 =
= 2((7,Д4-Х1)=-2х'=-^. = 2ВР»2. (499)
с 44
Последнее выражение есть не что иное, как уравнение (Нс) или (17) в третьей работе Мюллера. Du определяется уравнением (522а).
Подставляя в (498)—l'sl^ вместополучаем для сегнетоэлектрической области следующие соотношения:
l'sPE 4- ЪВРе2Р^ + ВРе3 =
= В(2Ро2Р£ + ЗР°Ря2 +Р£3). (500)
Это уравнение связывает РЕ и Е при вычислениях по нормальному методу, описанному в § 458. Р;° есть спонтанная поляризация при данной температуре. Она может принимать одно из двух значений + (х'5/2В) /а , определяемых из (499).
Уравнение (500) дает теоретическое значение РЕ для любого Е, если кристалл, состоящий из одной области, поляризован в положительном направлении ОО'. Начало координат при этом находится в точке О' (фиг. 136 и 137).
Замена через 2BPQ~ в уравнении (500) произведена на основании уравнения (499). Та же подстановка применяется и в последующих уравнениях. С помощью такого преобразования левая часть уравнения выражается через Р°, которое представляет собой единственный параметр, существенно изменяющийся с температурой. Зависимость Р° от температуры достаточно хорошо изучена, как показывают фиг. 145 и уравнение (526). Следует напомнить, однако, что уравнения этого раздела относятся к идеальному кристаллу с единственной областью спонтанной ориентации и с формой петель, гистерезиса, отмеченной на фиг. 137 буквами M'NN'M, причем коэрцитивная сила значительно превышает Ес, определяемое из опыта. 1
Если спонтанная поляризация Р° отрицательна, то для кривой а фиг. 137 начало координат надо перенести из точки О' в точку О'ь а в уравнении (500) приписать величине Р° знак минус. Форма петли гистерезиса не зависит от знака Р°, единственная разница заключается в положении начала координат. Это остается справедливым по существу и для кристалла, состоящего из большого числа областей спонтанной ориентации (см. § 479), как это всегда бывает в реальных случаях.
Восприимчивость Cg'X свободного кристалла (§ 430), равная
35*
548
Глава XXIII
отношению Ре/Е при данном значении Е, вычисляется из уравнения (500):
- (/Л)„ - z's -i- ВРЛ +ЗВРЯР» . (501 )
VI s)n
Эта восприимчивость определяется непосредственно из измерений с баллистическим гальванометром.
Наклон в любой точке кривой Р(Е) определяет дифференциальную восприимчивость согласно уравнению (498) она равна
(Фг= <X',b=-^ = X'+3S(P*+P>P. (501а)
Наблюденная дифференциальная проницаемость, рассмотренная в § 436, должна, согласно теории, равняться 1 + 4
§ 455. Если напряженность Е, наложенная на кристалл с единичной областью спонтанной ориентации, возрастает от нуля в отрицательную сторону от точки О' (фиг. 137), то в точке М получается неустойчивое состояние. Спонтанная поляризация Р° здесь сразу меняет знак, измеряемая экспериментально поляризация испытывает скачок от М к М' и продолжает изменяться по линии М'С' по мере увеличения отрицательного поля Е. При обратном ходе описывается кривая C'M'NN'C. Этот процесс легко сравнить с аналогичным процессом в магнетизме, описываемым в § 555. Вдоль путей ММ' и NN' теоретическое значение /У бесконечно велико.
Как видим, в этом заключается теоретическое объяснение диэлектрического гистерезиса в кристаллах сегнетовой соли. Согласно развитой выше теории, коэрцитивная сила Ес (равная OR' или OR в точках М и N на фиг. 137) определяется из величины поляризации в точках М и N, для которых дЕ/дР = 0. Таким образом, из уравнений (496) и (497) следует, что в точке М имеет место Рм= Ро/1 3 = 0,577Р°.Подставляя эту величину вместо Р в (496), получаем:
Ес =-----^ВР(3 = — 0,385BPj3 . (502)
з у 3
Вычисленные таким образом теоретические значения коэрцитивной силы Ес во много раз превосходят ее экспериментальные значения. Объяснение, заключающееся в легкости изменения направления ориентации в областях, будет дано в § 479, где мы проведем также детальное сравнение экспериментальных и теоретических петель гистерезиса. Пока достаточно указать на следующие выводы, получающиеся из кривых фиг. 136 и 137: 1) так как данные фиг. 136 при 15°С получены из измерений восприимчивости свободного кристалла в слабых полях (§ 453 и фиг. 143), то наклон О'А кривой а в точке О' показывает, каких значений можно ожидать в опытах со слабыми постоянными пли низкочастотными полями, не превышающими 10 V/cm; 2) даже в полях с напряженностью в 10 абс. ед. = 3000 V/см поляризация не слишком сильно превышает Р°; 3) поскольку уравнение (496) применимо к очень сильным полям, можно считать, что полное насыщение, если оно вообще существует, не может наступить раньше, чем поляризация достигнет значений, в несколько раз превышающих Р°.
Фиг. 137 иллюстрирует постепенное уменьшение Р° и Е от максимальных значений при 5° С до нуля в точке Кюри 6М (см. также фиг. 145). Выше температуры 6М поляризация отсчитывается от гори
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли
54°
зонтальной линии, проходящей через начало координат О. В сегнетоэлектрической области начало координат смещено по вертикали на величину Р°. Для отрицательного Р°, например, начало координат находится в точке 0'1 при 5° и в точке 0"{ при 22° С. При 6,г имеет место Х' = 0, так что уравнение кривой b есть просто Е = ВР3.
Выше 6W гистерезис не наблюдается. При возрастании температуры у' возрастает (ср. фиг. 143), роль члена ВР3 становится все меньше и меньше и кривые приближаются по форме к прямым (кривая е фиг. 137). На практике связь Р с Е оказывается линейной для всех возможных значений Е при температурах выше 32°.
Фиг. 137 качественно интерпретирует особенность, отмеченную на фиг. 126 и др.: тогда как в слабых полях восприимчивость
стремится к бесконечности в точке и имеет сравнительно низкие значения по обе стороны от этой точки, в сильных полях величина PIE во всем интервале (для одного и того же Е) непрерывно возрастает от низких значений в параэлектрической области до высоких в области между точками Кюри.
Гистерезис в кристаллах с большим числом областей спонтанной ориентации рассматривается в § 479.
§ 456. Поведение зажатого кристалла между точками Кюри. В этой главе под зажатым кристаллом следует разуметь ромбически зажатый кристалл. Случаи моноклинного зажатия будут указаны особо. На фиг. 136 были уже приведены кривые P = f(E) для зажатого кристалла при 31,5и15°С. Так как по теории поляризации и вытекающим из нее уравнениям (493а) и (493в) кривые для зажатого кристалла (у = 0) отличаются от кривых для свободного кристалла (Yz = 0) только другим начальным наклоном кривой соответственно у, и у/, то ясно, что кривые на фиг. 137 могут быть использованы для качественной иллюстрации зависимости Р от Е для зажатого кристалла. Прямая е изображает эту зависимость при температурах около + 35° и —30°С, кривая d — для температур •Д-.'ЗО0 и —25°С, кривая с — для температур + 28° и —20°С. Никаких особенностей в точках Кюри при этом не наблюдается (см. кривую! для Xi на фиг. 141), но между 'ф-28° и —20° кривые ложатся между с и1 b и идут ближе к b при температуре около 5°С, где у, имеет минимум. Ниже —30° и выше 4-35° кривые переходят в прямые линии, располагающиеся между е и осью Е. Кривые а и а' на фиг. 137 построены для свободного кристалла, и о них здесь ничего сказано не будет.
Так как ромбическое закрепление уничтожает спонтанную поляризацию Р° (§459), то величина Р в уравнении (493а) представляет собой поляризацию, вызываемую одним только Полем Е. Полагая в (493а) у2 ~ 0, мы получаем для ромбически зажатого кристалла при любой Температуре
Я . (503)
В области температур между точками Кюри моноклинное зажатие имеет теоретическое и практическое значение. Состояние кристалла для случая моноклинного зажатия при любой температуре определяется спонтанной деформацией z/°7, измеренной от значения этой величины для
550
Глава ХХШ
ромбически зажатого кристалла и принимаемого равным нулю: = Второе соотношение между у°г и Р° находится из (493а) при Е = 0 подстановкой Р° вместо Pt:
{Ео)" = аиу°^.У^ Р ВР>г . (504|
Это. уравнение графически иллюстрируется фиг. 136, на которой кривую с можно считать типичной для зажатого кристалла в области температур между точками Кюри. На этой фигуре PQ и (£'),,о = «14#% представляют ообой координаты точки О".
Точка О" является началом координат для моноклинно зажатого кристалла, точно так же, как точка О является началом координат кривой Р = f (Е) для ромбически зажатого. Связь между приложенным полем Е и наблюдаемой поляризацией РЕ, которая является частью полной поляризации, обусловленной полем Е, определяется следующим образом. Из (493а) вытекают равенства
(Е)"--=Е + а1<у«=Е+(Е)"0=ъР1+ВР1\ где Рг-Р>+Р':.
Подставляя вышеприведенное значение (E)"Q и раскрывая скобки, получаем уравнение:
Е= (Х1 -Ь ЪВР>2) РЕ 4- ЗВР°Р£2 + ВРе3 =
= y:sPt + ЗВРФ *+ВР*. (504а)
Это уравнение изображается кривой, подобной с на фиг. 136, с началом координат в точке О". Коэфициент при РЕ в первом члене измеряет наклон кривой в О"; он представляет собой обратную величину начальной восприимчивости для моноклинно зажатого кристалла, которая, в свою очередь, определяется уравнением
Х',=Х,Н-:ЗВР»2. (505)
Уравнение (504а) выражает зависимость РЕ от Е по нормальному методу, излагаемому в § 458.
Из уравнений (497) и (499) выражается с помощью следующих равенств:
X " = -1" = x's -h «14^14 = Xi + U's = 3^14 — 2Х1 = Х1 — -^4 . (505a)
5 Tls c44
Величина D]4 определена в § 463 [уравнение (522a)]. Это выражение, связывающее /4 и х^ в области спонтанной поляризации, может быть сопоставлено с уравнением (496а).
Мы найдем также случай использовать выражение для восприимчивости или ее обратной величины в области температур между
точками Кюри при моноклинном закреплении. Из уравнения (504а) следует:
4г = (= Ъ + ЗВР’Р* + ВР?- . (5056)
(U Р
§ 457. Дальнейшие замечания относительно диэлектрической постоянной зажатого кристалла. Если значения диэлектрической постоянной при очень больших радиочастотах приближаются к ее значениям
П Последнее выражение в (505а) совпадает с выражением (9с) в третьей статье Мюллера.
Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли _____551
для зажатого кристалла, то это значит, что речь идет о ромбическом зажатии в параэлектрических областях и о моноклинном в сегнетоэлектрической области. На практике все достоверные экспериментальные значения получены в слабых полях. Представление о зависимости начальной проницаемости от температуры для зажатого кристалла могут дать кривые фиг. 143 для и у/'.
Согласно уравнениям (503) и (504а), диэлектрическая постоянная зажатого кристалла должна убывать при возрастании поля, за исключением температур, далеко отстоящих от точек Кюри. До сих пор имеется только одно косвенное доказательство этого положения, вытекающее из того факта, что восприимчивость т]'г для свободного кристалла стремится к насыщению, а, следовательно, по уравнению (267),
= + eudu, и ч"х должна обнаруживать то же свойство.
Хотя надежные данные, выведенные из начальных кривых, полученных в статических или переменных полях, отсутствуют, все же некоторые заключения относительно диэлектрической достоянной зажатого кристалла могут быть сделаны на основании рассмотрения петель гистерезиса, описанных в гл. XXII. Из линейности участков насыщения этих петель очевидно, что при больших Е дифференциальная проницаемость kds становится постоянной и сравнительно небольшой величиной. Можно с некоторым основанием поставить вопрос о том, не является ли эта kds величиной диэлектрической постоянной зажатого кристалла. Это так и будет, если при большом Е значение с?14 становится настолько малым, что произведение ei4 rf14 уже не влияет заметным образом на величину восприимчивости. То, что поляризация достигает состояния насыщения при больших механических и электрических напряжениях, очевидно из фиг. 106—113. Тем не менее, нет достаточно веских доказательств в пользу того, что в наиболее сильных полях, для которых построены петли гистерезиса, произведением e14d14 можно пренебречь.
Два экспериментальных значения kds были приведены в § 436: при 15°С kds = 330, при 20° (предположительно) kds = 200. Величина константы k" s в зажатом состоянии может быть выведена из кривой для у/' фиг. 143. При 15° k"s 120, при 20° k"ds 195. Эти значения, получены в слабых полях; при больших Е они должны стать меньше. Приведенные данные показывают (правда, не очень отчетливо), что k /Is должна быть несколько больше, чем диэлектрическая постоянная зажатого кристалла.
Теория Мюллера не разъясняет этого вопроса, потому что, как было сказано в § 451, те кубичные уравнения, которые описывают нелинейные зависимости, непригодны для больших значений £ и не могут предсказать постоянства kds при насыщении.
Согласно теории, излагаемой в гл. XXV и, в частности, в § 479, поляризация свободного кристалла в заданном статическом поле и ее изменение с изменением напряженности поля должны в очень большой степени зависеть от доменной структуры образца. Это обстоятельство, несомненно, в большей мере обусловливает широкое разнообразие кривых поляризации и значений k'х, найденных различными авторами. С другой стороны, хотя и невозможно измерить непосредственно диэлектрическую постоянную зажатого кристалла, ее все же следует считать независимой от доменной структуры.
552
Глава XXIII
§ <58. Уравнения для сегнетовой соли по нормальному методу. О нем было упомянуто в § 450, как о методе, который следует предпочитать ромбическому в случае слабых полей и линейности уравнений. Это, попросту говоря, такой метод, который может быть ррименен к любому нормальному пьезоэлектрическому кристаллу, не обнаруживающему аномальных свойств. Деформации при любой температуре измеряются для нормальной модификации кристалла, независимо оттого, ромбическая она или моноклинная. Причину, почему при сильных полях и больших напряжениях нормальный метод менее удобен, чем ромбический, можно выяснить из рассмотрения зависимости поляризации от напряженности поля в свободном кристалле при температурах между точками Кюри. На фиг. 137 кривые, построенные по уравнению (493в) по ромбическому методу, имеют начало координат в точке О. Такие кривые, например, кривая а, имеют в точке О центр симметрии. При Е = 0 в единичной области спонтанной ориентации возникает спонтанная поляризация, равная 4~ PQ или —Р° и изображаемая отрезком 00' или 00'При Е > 0 и положительной поляризации Р° измеряемая поляризация представляет собой ординату, например РЕ, отсчитываемую от горизонтальной оси, проходящей через О. Как было сказано в § 454, наклон кривой в точке О' определяет начальную восприимчивость при данной температуре. Кривая не обнаруживает симметрии относительно какой бы то ни было оси, проходящей через О'. Это отсутствие симметрии соответствует члену Р^2 в уравнении (500). Вследствие асимметричности кривых уравнения для энергии по нормальному методу будут иметь более сложный вид, чем уравнения (491) и (491а) для ромбического метода, за исключением температур вне точек Кюри. Однако в слабых полях, когда достаточно оставить в производных от энергетических уравнений только РЕ в первой степени, все уравнения по любому методу принимают очень простой вид. Вне области между точками Кюри, даже в случае более высоких степеней Р, оба метода тождественны.
Аналогичные рассуждения применяются и к зажатому кристаллу. В этом случае, если считать кривую с фиг. 136 типичной для зажатого кристалла в области между точками Кюри, начало координат при ромбическом методе решения задачи находится в 0 и начальная восприимчивость есть vji = 1/7]. По нормальному методу начало попадает в точку О", и начальная (реально измеряемая) восприимчивость есть т)/'= 1/у/ . Уравнение (504а) для зажатого кристалла соответствует кривой с началом в О" и обнаруживает асимметрию, характерную для нормального метода в области спонтанной поляризации.
Так как нормальный метод имеет дело с реально измеряемой начальной восприимчивостью, он очень удобен для решения практических задач, в которых приходится иметь дело со слабыми полями.
Ниже приведены основные уравнения по нормальному методу для малых йапряжений и слабых полей, аналогичные уравнениям (493) и (49'3в):
- Yz^ йл -о'нР'Ч (506)
(£)"=Х1РЛ’ 4- ВР^+ Я11Л= Е 4- Я,4л = 7..Л4-ВР;' (506а) = (5066)
(£')' = x'P£-4BP^-614r^£--*14n = z'P, + BP; (506в)
ГЛАВА XXIV
ТЕОРИЯ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И УПРУГИЕ СВОЙСТВА, ЗАКОНЫ КЮРИ-ВЕЙССА И ВЫВОДЫ
В этой главе будет закончено изложение теории внутреннего взаимодействия, причем будут рассмотрены характеристики сегнетоэлектрических кристаллов и даны экспериментальные доказательства теоретических выводов.
Пьезоэлектрические свойства сегнетовой соли в полях, параллельных оси X. В § 191 было установлено, что основное экспериментальное подтверждение теории поляризации заключается в почти полной независимости коэфициентов а14 и Ь14 от температуры. Рассмотрим влияние электрического поля и механического напряжения на эти константы, а также на константы Фогта е14 и d14. В уравнениях (493а) и (493в) для прямого эффекта нелинейный характер зависимости, по крайней мере в первом приближении, выражается членом, содержащим В, так что flu и би не должны зависеть от напряжения. В уравнения (493) и (4936) для обратного эффекта В явно не входит, но нелинейность связи Y -(или у2) и Е вытекает из того, что Р не есть линейная функция Е, как это видно из уравнений для прямого эффекта. Мы можем, следовательно, ожидать, и это действительно подтверждается измерениями Мэзона [338], что ai4nbi4 при всех условиях останутся приблизительно постоянными. В силу этого, di4 и ей должны очень сильно изменяться с изменением температуры, поля и механического напряжения.
’ § 459. Прямой эффект. Предположение об эквивалентности действий напряжения Y, и искажающего поля—&14Уг позволяет легко вывести соотношение между У2 и поляризацией, которую оно вызывает при Е =0 в кристалле с единичной областью спонтанной ориентации. Иначе говоря, мы получаем, таким образом, выражение для прямого эффекта через напряжение. В случае сегнетовой соли оно не линейно. В уравнении (493в) Р есть поляризация,' вызываемая полем Е при Yz = 0; следовательно, при £ = 0 имеет место (£)' =— b\4Y 2. Эта величина откладывается по оси абсцисс на фиг. 137 и на фиг. 136 для кривых а и d, причем начало координат находится в точке О. Уравнение кривой во всех случаях, как в области между точками Кюри, так и вне ее, имеет вид 9:
_.у + (507)
z bi4 Ьц
где Pt — сумма • поляризации, возникающей от действия У2 при £ = 0 и спонтанной поляризации Р°. Сегментом MN нафиг. 137 можно пренебречь. Вне точек Кюри PQ = 0.
В сегнетоэлектрической области связь между У2 и поляризацией Р, которую оно вызывает, выражается более просто с помощью переноса
О Оно эквивалентно уравнению (Зс) в третьей статье Мюллера [380] с исправленным знаком.
554
Глава XXIV
начала координат в О' (фиг. 137, см. также фиг. 138). Это производится подстановкой
в уравнение (499):
- > У.- -- /Г -Г ЪВР"Р‘ 4- ВР. ( да )
Следует также отметить сходство уравнения (508) и уравнений (500), (5043), (510) и (511). В § 460 мы выведем аналогичные выражения для б/14 и е14. Все они имеют место для кристаллов с одной только областью спонтанной ориентации. О кристаллах с многими доменами см. § 479.
Эффективная дифференциальная пьезоэлектрическая постоянная дается уравнением
1 _ — = ( у'Д-65Р°Р4-ЗЯРЧ = -______Р
(dl4)d дР Ь}4 ’ _ (d14)^ Ь14
(509)
Для областей температур вне интервала между точками Кюри эта величина равняется (х' + ЗВР2)/Ь14. Начальное значение при малых Yz между точками Кюри выражается следующим образом:
(^)o^f] = Z,i4yb- (509а)
Это форма, которую принимает уравнение (4956) в сегнетоэлектрической области. В параэлектрической области в согласии с уравнением (4956) мы имеем:
(^14) о =7^ — V • (5096)
Из двух последних уравнений следует, что в точках Кюри, где и т]' принимают бесконечные значения, начальная величина пьезоэлектрической постоянной тоже стремится к бесконечности, так как не обращается в нуль. Величина dV4 получается из уравнения (5126), приводимого ниже.
Уравнение для, прямого эффекта в зависимости от деформации представляет собой соотношение между у z свободного кристалла и вызываемой ею поляризацией при Е = 0. Вне области между точками Кюри это соотношение получается из (493а): если положить в последнем Е = 0 и вместо Pf подставить Р, то ct\4y z у, Р + ВР3. За исключением температур, близких к точкам Кюри, второй член сравнительно мал, и искомая зависимость практически линейна. Между точками Кюри Pf=PQ>-\-P, a yz , которое мы теперь назовем yz, измеряется по нормальной или моноклинной конфигурации. Так как во всех предыдущих уравнениях у z измеряется по конфигурации ромбического зажатия, то yz -- yz — _у"г. Далее , из уравнения (493а) при Е = 0 следует «14//% Xi^° + ДД°Н3 . Наконец, из (505) и (493а) мы находим:
auy=fsP-r3BP*P--} ВР3. ' (510)
Последнее равенство графически изображается кривыми, подобными кривой с фиг. 136. Р и у2 измеряются от начала координат О". Р представляет собой величину, вычитаемую из Д° или прибавляемую к ней.
Следует обратить внимание на разницу между уравнениями (510) и (508). В уравнении (510) деформация задана и коэфициент при Р есть
Фиг. 138. Сегнетова соль между точками Кюри. Кривая а— поляризация в единицах механического напряжения; кривая Ь—поляризация в единицах деформации. Абсцисса Е представляет— Yz для кривой а и aI4 yz для кривой Ь.
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства 555
Х"5, тогда как в (508) задано напряжение, а коэфициент при Р есть Х'5. Если у 2 получается в результате действия Уг, то Р имеет одно и то же значение в обоих уравнениях.
Эти соотношения иллюстрируются на фиг. 138, на которой кривая а построена по уравнению (508), кривая b — по уравнению (510). Для произвольной поляризации Р на кривой а имеем ОД = — b^Y 2 А'С == Р. Для кривой b имеем ОВ~ а\\У ул B'D ~ Р. Начала координат расположены в точках О' и О", причем 00' — Р°. Обратные величины наклонов кривых в точках О' и О" представляют собой хЛ и Х^-
Экспериментальная пьезоэлектрическая поляризация Р, измеряемая по Р°, определяется таким образом из (510) через деформацию и из (508) через напряжения согласно нормальному методу. В обоих случаях Е = 0; -следовательно, частное — yz /У2 определяет упругий модуль 5^44 в нулевом поле [см. (517)].
Различие между кривыми а и b на фиг. 138 становится особенно заметным, когда на кристалл, находящийся под механическим напряжением, накладывается электрическое поле. В этом случае абсциссы обеих кривых возрастают на одну и ту же величину Е, но поляризации уже не равны друг другу. Это происходит потому, что кривая а соответствует свободному кристаллу, который, пока напряжение Yz остается постоянным, свободно деформируется полем, тогда как кривая b изображает соотношение для зажатого кристалла при постоянной деформации yz.
С помощью уравнения (510) можно доказать, что при уничтожении деформации до нуля путем зажатия кристалла (ромбического} спонтанная поляризация также исчезает. Имея в виду, что у? в уравнении (510) определяется по z/°7, мы ищем такую величину yz, при которой поляризация Р становится равной —Р° и которая, таким образом, уменьшает полную поляризацию до нуля. Обозначая эту деформацию
через у'z и полагая в (510) Р = — Р\ мы с помощью уравнений (504) и (505) получаем:
а,. уг = - х> -i- 2ВР>’ = - р° (X, + ВР?) = - аи у" . (510а)
Отсюда следует, что y'z — — y°z и деформация приводится к условиям ромбического зажатия.
В § 439 была рассмотрена зависимость формы кривых гистерезиса от механического сжатия. Природа этих явлений выясняется при рассмотрении фиг. 136 и 137. Сжатие может возникать в результате сообщения кристаллу некоторой определенной деформации или напряжения при закреплении кристалла, который в свободном состоянии деформировался бы в электрическом поле, или оно может быть какой-либо другой, более сложной природы. Если считать, что наложение постоянного напряжения или деформации эквивалентно наложению на
556
Глава XXIV
кристалл постоянного искажающего поля, то некоторые выводы можно сделать непосредственно. Напомним, что кривая с на фиг. 136 построена при 15° для зажатого кристалла с у2 — 0 и что при моноклинном зажатии начало теоретической кривой поляризации находится в О" и начальная восприимчивость есть yjrs. Если кристалл зажат и имеет произвольную деформацию 4~ у3, то начало координат смещается в некоторую точку дальше по кривой с, абсцисса которой сдвинута вправо от О" на величину а^у 2. Куда бы ни было передвинуто начало координат, часть описываемой им кривой в не слишком сильных переменных полях близка к прямой линии. Следовательно, для зажатого кристалла в области между точками Кюри кривая поляризации линейна и гистерезис не наблюдается.
Совсем другой результат получается, когда механическое искажение получается вследствие воздействия постбяйного напряжения. Этот случай изображен !на фиг. 127 и 128. В этом случае величине Yz в уравнении (493в) надо приписать некоторое постоянное значение. Кривые поляризации получаются такими же, как на фиг. 137, причем начало координат смещено на bl4Yz вправо или влево, в зависимости от знака Yz. Если начало координат попадает в точку А', то поляризация, включая и ту, которая вызвана напряжением Yz, определяется отрезком А'А (в качестве примера можно привести кривую а при 5° С). Точка А, следовательно, служит началом координат для экспериментальной кривой поляризации. При изменении Е вправо и влево от А получается искаженная кривая, подобная осциллограмме.
Из всего сказанного следует, что слабое механическое искажение, будет ли оно обусловлено постоянным напряжением или постоянной деформацией, должно вызывать увеличение или уменьшение измеряемой восприимчивости, в зависимости от знака искажения. С другой стороны, большое искажение любого знака, выходящее за пределы петли гистерезиса, всегда должно уменьшать восприимчивость.
§ 460. Обратный эффект. Так же, как уравнение (507), связывающее напряжение и вызываемую им поляризацию, описывает прямой эффект, уравнение (500) описывает обратный, причем деформация, производимая полем Е, является функцией последнего. Для этого нужно только подставить вместо РЕ его выражение через соответствующую деформацию, которая при Yz = 0 оказывается равной yjb^ [уравнение (493в)]. Обратный эффект, следовательно, выражается так1):
Отсутствие линейных соотношений между у2 и Е не раз наблюдалось различными авторами, как было упомянуто в гл. XXI.
Для малых Е и У, и любой температуры вне интервала между точками Кюри начальное значение (ан)о определяется из уравнений (495), (497), (509а) и (522а) следующим образом:
= • (5121
О Вместе с уравнением (493в) это выражение можно считать обобщением уравнения (Зс) Мюллера [380] с обратным знаком при Ех-
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства 557
Между точками Кюри, согласно уравнениям (495), (499), (509а) и (522а), имеем
(^14)0 = ^14 ri's=~~’ (512а)
Величина (du)d для. любых Е и Yz вычисляется по уравнению (509). Величина d\4 в области между точками Кюри, которая может быть получена экспериментально из измерений Р в прямом эффекте по методу баллистического гальванометра под действием напряжения Yz, находится из уравнения (508):
и?- -’j-i-jz'..«"4»№'>-
Относительно определения тех же величин для кристаллов с большим числом областей спонтанной ориентации см. § 479. Вне области между точками Кюри уравнение (512) остается справедливым, причем Р° = 0 и заменяется на
На основании (499) и (500) легко показать, что уравнение (5126) имеет место также для обратного эффекта 2). В этом случае Р есть поляризация, вызванная полем Е в свободном кристалле [см. также уравнение (511)].
Выражения для е14, симметричные вышеприведенным, легко могут быть выведены. Прежде всего, имеют место следующие начальные значения:
( *?14 ) 0=Л14^1 И (AJo = «14 , (513)
справедливые соответственно вне области между точками Кюри и внутри ее. Связь между vji = 1/xi и rfs = 1/х\ дана в уравнении (505а). Дифференциальное (e]4)d= а]4 7t"d получается из (510):
' (z''4-35P* 2 *4-6£W>) =
\е nJ а дР ari
(513а) = А + ~ (звр2 + 6№Р) .
(^м)о Л14
Вне области между точками Кюри Р° — 0 и заменяется на Zj .
Из (510) величину (е^и можно найти с помощью соотношения (ем) п — Р/Уг > где Р = (e\4)snyz есть поляризация, вызываемая наложенной деформацией yz любой величины:
«и = х/1 е14) sn + ЗВР»уг (е14) Г + Ву2г (е14)?• (5136)
Решение этого кубического уравнения должно дать значения (еи)\ для любых деформаций у2 через практически постоянную величину а)4. Зависимость е14 от деформации становится здесь более отчетливой,
’) Уравнение (522а) может быть применено здесь по той причине, что его вывод не зависит от приведенных здесь рассуждений.
2) Экспериментальные данные для обратного эффекта, включая и наблюдения
гистерезиса, приведены в гл. XXI.
558 Глава XXIV
зависимость от температуры вносится величинами %"s и Р°. Тут же величину можно выразить через Р следующим уравнением:
-- = Т \ ЗВР’Р) = —- ,-a---(№! + 3BP»Pi. (513в)
<А4 )п 1 14 14
§ 461. Связь между поляризационной теорией и теорией Фогта. Общее уравнение, связывающее восприимчивости свободного и зажатого кристалла по теории Фогта в применении к сегнетовой соли в полях, параллельных оси X, получается из уравнения (264) и имеет вид vj' —-ф' el4d14. Для сегнетовой соли приходится различать начальную, среднюю и дифференциальную восприимчивости. Напишем теперь выражения, связывающие начальную и среднюю восприимчивости зажатого кристалла в интервале температур вне области между точками Кюри и между ними.
На основании уравнений (496а), (501), (505а) и (5056) разность между диэлектрической жесткостью свободного кристалла и средней жесткостью зажатого кристалла в области температур между точками Кюри равна разности между начальными значениями и y"st
(хХ “ (хХ=Х~ Xs = x'—Xi = ~ • (514)
Величину 6Z14614 можно выразить через е14 и бЛ4 с помощью уравнений (509а), (5096) и (513) следующим образом:
в области между точками Кюри ’ Mi4 = (ei4)oy(di4)oYX> (515)
вне этой области ai4b\4 = (еи)0 (diXxX- (515а)
Аналогичное выражение через средние значения можно найти из уравнений (5126) и (513в), но оно гораздо сложнее. Теория Фогта дает простые соотношения только между начальными величинами восприимчивости.
Из уравнений (514), (515) и (515а) можно вывести другим способом доказательство справедливости уравнения (264)—отдельно для температур в области между точками Кюри и вне ее:
между точками Кюри {e44)\(d14yQ, (516)
вне этой области т/ — = (е14)0 (б/14)0. (516а)
Легко видеть, что уравнение (514) по поляризационной теории и уравнения (516) и (516а) по теории Фогта совершенно симметричны. Выбор выражения для разности восприимчивостей является вопросом удобства.
§ 462. Упругие коэфициенты s44 и с44. Экспериментальные исследования показали, что при постоянной поляризации величина s44 1 г44
почти не зависит от напряжения и температуры (§375). С другой стороны, тот же коёфициент при постоянном поле s44 -- 1 /cj4 очень сильно изменяется с изменением температуры и напряжения. Связь между s44 и s44 для больших напряжений проще всего выражается через фогтовокий коэфициент (di4)\, в котором п обозначает среднее значение, определяемое из (5126), справедливого как для .больших, такидля малых напряжений. Вне области сегнетоэлектрических свойств индекс $ опускается. Искомое соотношение получается в предположении, что
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства 559
Р остается равным нулю под действием напряжения Y?, причем у2=^ — s&Yz. Поле, необходимое для того, чтобы привести Р к нулю по уравнению (493в), равно Е = 4" b^Y . Это Е вызывает добавочную деформацию, которую мы обозначим через уЕ= Е — Yz.
При Е = 0 yEz исчезает, и полная деформация тогда равна
у г-УЧ = - К + bu (du PJ П - sj4r,,
ИЛИ
Ph = (517)
1 Z
Здесь Р — поляризация, вызываемая Y? при Е = 0!). Если мало, уравнение (517) совпадает с (522 в), так как в последнем уравнении du представляет собой начальное значение.
Связь между у2 и Yz при Е = 0 можно также получить, комбинируя уравнения (508) и (510) и принимая во внимание (495):
Г 4- btip. |518|
u14
где P дается уравнением (508).
Экспериментальные кривые, форма которых соответствует уравнению (518), изображены на фиг. 140.
С помощью (517), совместно с равенствами уг^ — sf4 1/сД и £44= 1/^44, можно получить следующее выражение для s44 через деформацию, причем связь между Р и у2 определяется уравнением (510):
= сГ«(1 —-у--). (519)
*44 \ /
Если кристалл сегнетовой соли выдержать достаточно долго под достаточно большим напряжением, то величина стремится к с 44. Это вытекает из уравнения (517) или (519), так как вследствие нелинейности’соотношений между напряжением и поляризацией второй член в правой части этих уравнений стремится к нулю при увеличении напряжения.
Уравнение (517), справедливое при любых температурах, утверждает, что деформация прй Е = 0 равна той, которую вызвало бы напряжение Y2 при (постоянной поляризации, плюс некоторый член, пропорциональный поляризации, вызываемой Y . Так как, согласно (517), во всех этих явлениях наблюдаются эффекты насыщения, то, следовательно, кривая, связывающая у? и Y?, должна тоже достигать насыщения. Это, с одной стороны, было найдено Изли экспериментально [243] и, с другой, теоретически показано на фиг. 140. Таким образом, явление насыщения наблюдается не только при действии электрического поля, как это видно из уравнений (500) и (511), но также и при действии механического напряжения.
Несколько позднее [уравнение (528)] будет получено соотношение между у2 и Yг, имеющее место при температурах выше 6И и представляющее собой явную функцию температуры.
Если предположение о том, что Y? вызывает такую же поляриза-
*) Уравнение (517) есть частный случай уравнения (283).
560
Глава XXIV
цию, как поле Е = — справедливо, то при некотором критическом значении Y? поляризация Р° должна внезапно изменить знак на обратный. Если Y? изменяется от положительных до отрицательных значений, то связь между у2 и Y или между Р и Yz будет графически изображаться петлей гистерезиса. При этом коэрцитивное напряжение, выражающееся равенством (Y z\ с =— Ecjb^, имеет порядок 0,2 кг/см2.
Наклон — dt/zIdYz кривой, выражающей зависимость yz от Yz (при постоянном £) в любой ее точке, можно по аналогии с дифференциальной восприимчивостью назвать дифференциальным упругим модулем (s4i)d- Тогда главное значение модуля будет sf4= —г/г/Уг. С помощью того же способа рассуждений, который был применен при рассмотрении механического искажения петли гистерезиса в § 459, можно показать, что наблюденное значение должно быть меньше в том случае, когда кристалл испытывает действие большого искажающего поля. Это действительно наблюдалось Мюллером [380] в опытах с колеблющимися кристаллами сегнетовой соли. Резонансная которую входит sfi, оказалась тем больше, чем больше постоянное поле (см. также § 466).
Повидимому, никаких экспериментальных наблюдений гистерезиса на кривых деформация — напряжение произведено не было. Единственные данные можно найти у Изли (см. § 418). Хотя его кривые имеют ту же форму, что и кривые P = f(E), они ничего не дают для решения вопроса о существовании гистерезиса, слишком далеко проводить аналогию
Yz решетка смещает диполи (или их эквиваленты), тогда как при наложении поля Е происходит обратное явление. Очень простое выражение, связывающее s44 и sp получается для того случая, когда У столько мало, что степенями Р выше уравнений (510) и (508) с помощью малых Yz
частота, в
наложенное
Как бы то ни было, нельзя между Уг и Е. При наложении
г на-пренебречь. Из найти, что для
первой можно
(4956) легко
4' «14 7.
= s''-1
44/
= s р — 44 'G .'
(520)
из (495г). Так как от температуры и
Это же самое соотношение непосредственно следует s44 имеет конечное значение и почти не зависит так как в точках Кюри со, то при малых напряжениях s44 должно стремиться к бесконечности в этих же точках. Этот теоретический вывод подтверждается опытами, описанными ниже в связи с фиг. 139.
Для кристаллов сегнетовой соли s44 и s^= I/C44. Отсюда, согласно уравнениям (520) и (505а), следует, что коэфициенты при постоянной поляризации и коэфициенты при постоянном поле связаны следующими равенствами, имеющими р г п ’
С 44 _ ^44 Уу rls ~р ~р ~ 5Г
с44 S44 7-s 'Ъ
В области температур вне точек
приводят к аналогичным же уравнениям:
место при малых напряжениях:
14 •
(521)
Кюри аналогичные рассуждения
С44 ____ s44 ____7д ____ 7]'
с44 s44 У
(521а)
14 '
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства
561
§ 463. При интерпретации результатов опытов с изолированными пластинками (электроды далеко отстоят от кристалла) нужно учитывать, как сказано в § 190 и 199, что деформация в таком случае происходит при постоянном электрическом смещении D 1}. Отношение между sf4 и S44 при постоянном смещении легко находится с помощью уравнения (281), написанного для поля, параллельного оси X:
= . (5216)
k"
Л44 К
Это уравнение дает отношение упругого модуля при нулевом зазоре между кристаллом и электродом (тесно прикасающиеся электроды) к той же величине для бесконечно большого зазора, при малых напряжениях. Принимая за sf4 величину, которая получается из опытов с большим зазором, мы не обращаем внимания на то, что отношение slrfs в уравнении (521) или в (521а) не равно отношению k'/k" в (5216). Однако в наименее благоприятном случае, когда k' принимает наименьшее значение, порядка 75, разница между ними достигает только 0,5%, т. е. не больше, чем степень точности измеряемой величины (см. также § 211).
С помощью уравнений (499), (505а), (520) и (521) sf4 в области между точками Кюри при малых напряжениях выражается следующим образом:
< z‘+ т)s (522)
с44 Ху а 14 14 4 zc44
где
(522а)
$44^ — «14
Параметр представляющий собой функцию от основных диэлектрических, упругих и пьезоэлектрических констант, играет весьма важную роль в мюллеровской формулировке теории. Третье выражение в уравнении (522) идентично уравнению (На) в третьей работе Мюллера [380].
Вне области между точками Кюри уравнения несколько упрощаются:
sf4=^- = ¥XiSjl ’ (5226)
Последнее выражение эквивалентно уравнению (521а) и уравнениям (4а) и (4е) во второй статье Мюллера.
Из (521) и (4956) можно также вывести общие выражения (275) и, (276) для s44 и с44 в специальном случае сегнетовой соли. Между точками Кюри для малых напряжений
s£=sm+ <=s4₽4+ buri's = dU • (522b)
^ = <4-^45;=^-44/.;=^-^ (522г)
_______ 5
О В настоящей главе рассматриваются только срезы X сегнетовой соли, в которых поляризация и смещение параллельны полю. В этих условиях s^4 тождественно величине S44 получаемой из уравнения (273а).
36 Кэди
562 Глава XXIV
Вне области между точками Кюри удовлетворяются те же уравнения с заменой и х"5 на и Z1.
§ 464. Квадратичный пьезоэлектрический эффект в сегнетовой соли.
В моноклинном кристалле с постоянным углом р (соответствующим yz в кристалле сегнетовой соли) обратный пьезоэлектрический эффект выражается следующими линейными уравнениями *>:
хх = ЬпРх , уу = b^Px , zz = Ь^РХ .
Так как мы здесь рассматриваем только поля, параллельные оси X, то моноклинные коэфициенты &2б и Ь3$ (или d26 и 6/35) в эти равенства не входят. В кристалле сегнетовой соли моноклинный угол не постоянен. Он определяется спонтанной деформацией yz = bi4P° (см. § 456). Кроме того, под действием электрического или механического напряжения деформация может измениться даже больше, чем на y°z. По теории Мюллера [381], степень моноклинности кристалла сегнетовой соли определяется уклонением конфигурации кристалла от ненапряженной ромбической формы. Таким образом, даже вне точек Кюри кристалл получает моноклинный характер, если он испытывает сдвиг*yz. Величины характеризующих моноклинные кристаллы коэфициентов 6ц, Ь\2 и &1з принимаются прямо пропорциональными yz, как показывают уравнения
Ьц = ^12“ ЪРх> ^18 =
где <р2 и <р3— постоянные. Мы приходим, таким образом, к следующим уравнениям для квадратичного пьезоэффекта:
хх = ’ У у = Ър2 , Zz = (523)
В этих уравнениях индекс х опущен, так как рассматривается поляризация только в направлении оси X. Кроме того, существуют также уравнения yz = b14P, z х ~ Ху — 0.
Если на кристалл наложено поле Е в области температур между точками Кюри, то Р = Р° '4- РЕ , где РЕ есть поляризация, вызываемая полем Е. Достаточно рассмотреть только компоненту хх, для которой при Е = 0 получаем (*Л)о=? \Р°2. Если Е 0, хх — (хх)0 +(х^е = = ср i (?о 4- РЕ )2, откуда
{хх}е = ^Ре {2Р^РЕ} . (523а)
Из этого уравнения можно вывести несколько следствий: 1) вне области между точками Кюри, где Р° — 0; имеет место (xx)q = срг ; этот необратимый обратный квадратичный эффект наблюдался Мюллером [381] при 25,5°С; 2) пока Е остается меньше, чем коэрцитивная сила Ес, в области температур между точками Кюри должен наблюдаться обратимый линейный обратный эффект, (х^е = 2 ^\Р°РЕ, очень большой величины; повидимому, этот эффект никогда не наблюдался; 3) если Е'у>Ес, поляризация Р° имеет тот же знак, что Е, и оба члена уравнения (523а), линейный и квадратичный, необратимы.
На основании своих наблюдений Мюллер оценивает cpi как величину порядка 1,2 • 10~9 см3/эрг. Кристалл сжимается в направлении
О Относительно терминологии см. § 450.
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства 563
оси X под действием достаточно большого поля любого знака. Это сжатие при 3000 V имеет ту же величину, что и под давлением в 100 атм (§ 82).
Мюллер находит в этом квадратичном эффекте объяснение аномального термического расширения сегнетовой соли в области спонтанной поляризации, о чем было сказано в § 407. Он рассматривает также аналогичный оптический эффект [081].
Деформации хх, уу и z2 вызывают изменение удельной теплоемкости и небольшие изменения flu, с44ри В в точках Кюри [380, 381].
Для эффектов, аналогичных рассматриваемым в этом разделе, в которых в результате деформации появляются новые физические постоянные, Мюллер употребляет название морфологических эффектов 1J. Доведенная до своего логического конца, эта концепция эквивалентна утверждению, что кристалл только тогда можно относить к определенгг ному классу, когда он свободен от каких бы то ни было напряжений. Если он находится под напряжением, то симметрия его понижается. На это обстоятельство будет обращено внимание в § 531, в связи с пьезооптическим эффектом (см. также § 482). По отношению к большинству явлений морфологический эффект для громадного большинства кристаллов играет, несомненно, большую роль, не поддающуюся учету.
Мюллер замечает, что описанные выше квадратичные эффекты принципиально отличаются от электрострикции, потому что они происходят только тогда, когда уг не скомпенсировано. Кроме того, для сегнетовой соли они в тысячи раз превосходят все известные эффекты электрострикции 2\
§ 465. Законы Кюри — Вейсса. Закон Кюри — Вейсса для ферромагнетиков при температурах выше точки Кюри выражается, как это следует из уравнения (561), следующей формулой:
^ = С/(Т-0).
Здесь km — массовая магнитная восприимчивость, С — постоянная и Т — абсолютная температура выше точки Кюри 6. При надлежащем выборе С вместо km можно подставить объемную восприимчивость. В узком интервале ниже точки Кюри восприимчивость равна km/2, как это будет показано в §j 552.
О Величина du, вычисленная по мюллеровским значениям для хх и Ех с помощью уравнения d^-x./E , чрезвычайно велика, за исключением случая малых полей, порядка нескольких вольт на сантиметр. Таким образом, из мюллеровских денных du, равная 500 10—8 при Ех= 1 эл.-ст. ед., возрастает до 1600 10—8 при напряженности поля 10 эл.-ст. ед. Это величины того же порядка, что и du. Надо заметить, однако, что этот эффект не есть истинный продольный эффект в обычном смысле по следующим основаниям: Г. Так как эффект квадратичен относительно Ех, деформация хх сохраняет свой знак (сжатие) при изменении направления Е х, если Е Е с- 2. Этот эффект, будучи морфологическим, наблюдается только в обратном пьезоэлектрическом эффекте. Не может быть морфологического эффекта, содержащего du, так как ни в ромбической, ни в моноклинной системе нет упругого коэфи-циента Si4. На этом основании морфологический коэфициент du ничего не вносит в величину диэлектрической постоянной при пьезоэлектрическом эффекте при любой температуре, хотя Мюллер настаивает на том, что для зажатого кристалла такое влияние на диэлектрическую постоянную должно наблюдаться. Можно думать, что поскольку сегнетова соль ведет себя при температурах между точками Кюри как моноклинный кристалл, то она в этой области может иметь малые, но измеримые коэфициенты du, di2, di3, d2& и d33, которые не являются морфологическими (см. § 483).
2> См. также [353].
36'
564
XXIV
В. § 552 будет доказано, что линейная зависимость между l/km и температурой выше и ниже точки Кюри не содержит коэфициентов р и q, входящих в обобщенное выражение функции Ланжевена [уравнение (562)]. В первом варианте своей теории сегнетовой соли Мюллер, как это будет видно из § 485, предположил, что зависимость поляризации Р от молекулярного электрического поля F выражается кубическим уравнением и что для сегнетовой соли имеет место выражение, аналогичное уравнению (557) Вейсса. Теория молекулярного поля приводит к закону Кюри — Вейсса для диэлектрической восприимчивости точно таким же путем, как теория магнетизма.
Теория (внутреннего взаимодействия, изложенная в предыдущих разделах, сама по себе не может привести к закону Кюри — Вейсса или другой какой-нибудь зависимости электрических или пьезоэлектрических свойств от температуры. Такого рода зависимость получается только на основании молекулярной теории. Таким образом, базируясь на теории взаимодействия, закон Кюри — Вейсса следует принять как экспериментальный факт. Из него, как это будет показано ниже, можно вывести некоторые другие линейные соотношения, которые имеют важное значение для общей теории.
Открытие закона Кюри — Вейсса в приложении к сегнетовой соли принадлежит Курчатову и Еремееву [292]. Как было сказано в § 434 и 444, он был с большой точностью установлен опытами Мюллера и Хаблютцеля. Согласно (490), начальная обратная восприимчивость при температурах выше 6М определяется формулой
X' (524)
При подстановке этой величины в (498) получается следующее уравнение, связывающее Р и Е для температур, превосходящих на небольшое число градусов
Е = *—^Р^ВР\ (524а)
В своей первой работе Мюллер приводит на фиг. 10 ряд экспериментальных кривых P = f(E) для температур от 24,3 до 31,2°, которые хорошо согласуются с уравнением (524а) для 4 = 23°, С =170 и В =10-10-8. Значения этих трех величин близки к тем, которые входят в уравнение (490}, выведенное с помощью других данных. Кривые принимают различные формы: от подобной кривой с фиг. 137 при наиболее низкой температуре, до кривой е при наивысшей температуре. . | ri*» ! "*
Закон Кюри — Вейсса при температурах ниже , выражаемый уравнением (490а), графически иллюстрируется фиг. 118. Наклон кривой х'(0 в два раза больше, чем в точках выше 0и. Это согласуется с теорией, так как, согласно уравнению (499) , х'5 = — 27', где s — начальное значение восприимчивости в сегнетоэлектрической области.
Так как в силу уравнений (406а) и (505а) /1 = (ромбическое зажатие) и х"5 = х\ + (моноклинное зажатие), то,
следовательно, закон Кюри — Вейсса справедлив как для свободного, так и для закрепленного кристалла в пределах небольших отклонений температуры в обе стороны от .
’) См. [376], уравнение (38).
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства 565
Выше и ниже из (499) и (524) получаются следующие равенства:
v ___h ______________I а1*ЬцС) —18° . г rof Y
Х1 (J "Г ^14^14 (J ' Q 1 IOZO )
” 2(^с t) I L (I ацЬцС/2) , грг Л
Xs = ----Q-----Г ^14^14--------Q2------- •
Наклоны кривых, изображающих эти уравнения (см. фиг. 141 и 143) соответственно равны 1/С и—2/С. Постоянная С имеет одно и то же значение для свободного и зажатого кристалла. О значении температуры 18° в уравнении (525) будет сказано в § 468.
Линейная зависимость между %' (или /1) и температурой приводит к другим линейным уравнениям, которые тоже можно назвать законами Кюри—Вейсса, для . всех физических величин, зависящих от восприимчивости. К их рассмотрению мы и переходим.
§ 466. Для спонтанной поляризации PQ мы можем получить из (497). и (524) следующее выражение:
р"! (526)
где h — постоянная. Это уравнение параболической кривой для Р,° на
вала между точками Кюри
s«- s«= , (527)
t — tc L Lc
где C — «электрическая константа Кюри» и а = Cb'i4—«упругая константа Кюри» (Мюллер). В интервале между точками
Фиг. /59. Закон Кюри—Вейсса для упругого модуля se44 сегнетовой соли (по Мюллеру). Для кривой ординаты должны быть умножены на 10“12 для прямой линии—на 1010. Кружки проставлены по экспериментальным данным Мэзона.
Кюри
Е Р СЬ^
S44 S44 ---------
2(^ -О
(527а)
Мюллер [378] находит, что при /с=23° и СЬм= 66,7 • 10~12 уравнение (527а) хорошо согласуется с экспериментом при температурах выше6ц, что видно из фиг. 139. Кривая для s построена по данным
566
Г лава XXIV
Мэзона х), которые представлены также на фиг. 144. Из этой кривой вместе с равенством s^ — \/c^ можно получить значения величины W44 — $44). Они представляют собой линейную функцию температуры, что подтверждает уравнение (527а). Особый интерес на фиг. 139 вызывает тенденция $f4 принимать бесконечное значение в точке Кюри, согласно с предпосылками в § 462. Физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что в точке Кюри сегнетова соль находится в неустойчивом состоянии, вследствие чего она становится «мягкой» по отношению к малым напряжениям, подобно тому как в слабых электрических полях она становится диэлектрически мягкой, причем диэлектрическая постоянная стремится к бесконечности. В § 455 при объяснении фиг. 126 было показано, что в непосредственной близости к точкам Кюри диэлектрическая постоянная меньше в сильном, чем в слабом поле. Аналогично этому, по мере увеличения напряжения Yz от очень малых значений при температуре, близкой к любой из точек Кюри, кристалл становится жестче (см. § 459 и 462). Это значит, что явление насыщения наиболее резко выражено вблизи точки Кюри. В настоящее время не имеется статических измерений упругих констант, которые обнаружили бы аномально большие значения S44 при малых напряжениях. В согласии с Мэзоном, Буш [87] наблюдал уменьшение резонансной частоты колеблющейся пластинки сегнетовой соли на 30%, когда температура проходит через верхнюю точку Кюри. Величина наблюдаемого эффекта зависит от того, насколько мало поле, а также от других; упругих коэфициентов, кроме $ и, которые входят в выражение для частоты.
Из (527) и общих уравнений поляризационной теории, развитой выше, Мюллер [380] вывел следующее выражение, связывающее Yz и деформацию у2 при поле, равном нулю, и справедливое в пределах 10° выше 9Н :
+ (r, + cWS (^р+1 )-V- (528)
сс44 \aC44 / Х1Л14
Здесь Д/ = t—9Н и <з=С7>44, как в уравнении (527). График этой теоретической кривой представлен на фиг. 140 для нескольких температур.
Экспериментальные данные, которые могли бы служить проверкой этого уравнения, получены только в области слабых напряжений. Измерения Изли [243] с брусками 45-градусного среза X дают связывающие у'у и Y'у кривые того же вида, что на фиг 140. Они, следовательно, могут быть рассматриваемы как качественная проверка эффекта насыщения, выражаемого уравнением (528), так как, согласно (43), $'22 ^—y'ylY'y содержит $44 = 1/с44.
Значения $44, вычисленные по наклону кривых в начале координат на фиг. 140, хорошо согласуются со значениями фиг. 139 при тех же самых температурах.
§ 467. Можно ожидать, что закон Кюри — Вейсса будет справедлив также для пьезоэлектрического коэфициента (<А4)о при малых напряжениях, потому что между du и т/ существует тесная связь. Выше 0и.
О См. § 375 и 474.
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства
567
согласно (4956), имеем — Ь^', откуда, на основании уравнения (524), следует
(4Л = Т^- (529)
Ниже 6И, когда tfs ——>}72, соответствующее выражение имеет вид
1529:1 ’
Эти два выражения отчетливо иллюстрируют связь между фогтовским пьезоэлектрическим коэфициентом c?i4, сильно зависящим от температуры, и пьезоэлектрической константой bи, вводимой поляризационной теорией, -которая, как доказано экспериментально, от температуры почти не зависит. Произведение на константу С, входящую в закон Кюри, называется пьезоэлектрической постоянной Кюри.
Опыты Норгордена, описанные в § 424, довольно хорошо подтверждают уравнения (529) и (529а).
соли выше точки Кюри (по Мюллеру).
Мюллер [378], [381] получил линейные уравнения, аналогичные закону Кюри — Вейсса, для эффекта Керра и для моноклинной деформации хх , описанной в § 464.
В предыдущих параграфах не было сказано почти ничего о применимости закона Кюри — Вейсса ниже нижней точки Кюри. Поскольку этот закон справедлив для диэлектрической восприимчивости при Температурах ниже 9Z, вряд ли можно сомневаться в jom, что аналогичные линёйные соотношения имеют место для других физических величин.
Зависимость диэлектрических, упругих и пьезоэлектрических коэфициентов от температуры по всей температурной области между точками Кюри будет рассмотрена в § 474.
§ 468. Теория сегнетовой соли в области температур между точками Кюри. Из уравнений (4956), (497) и (522в) следует с очевидностью, что в области между точками Кюри спонтанная поляризация Р0-, упругий
568
Глава IV
модуль s44 и пьезоэлектрический модуль (di4)s могут быть выражены уравнениями, в которых единственной величиной, зависящей от температуры, является начальная восприимчивость Следовательно, любая теория, которая дает зависимость от температуры восприимчивости или любой другой из этих четырех величин, должна вместе с тем быть в состоянии описать температурную зависимость трех остальных величин. В § 445 и 446 мы упомянули о попытках Курчатова и Фаулера найти связь между восприимчивостью и температурой. Несколько позднее попытки решения этого вопроса были сделаны Мюллером [376, 378, 380, 381] и Бушем [88]. Подобно Бушу (§ 485), Мюллер в своей первой работе пользовался методом, аналогичным методу Вейсса в ферромагнетизме и основанным на представлении о существовании молекулярного поля F. Мюллеровское объяснение существования точек Кюри и зависимости восприимчивости от температуры, основанное на допущении слабого влияния температуры на поляризуемость молекул; будет рассмотрено в гл. XXVI.
Пока же мы ограничимся более поздней теорией Мюллера, согласно которой сегнетова соль обладает единственной аномалией, присущей зажатому кристаллу. Способ зажатия — тот самый, который мы в § 450 назвали ромбическим. Он уничтожает все деформации, включая, в частности, и спонтанную деформацию в области между точками Кюри. Как видно из (510а), такое закрепление полностью нейтрализует спонтанную поляризацию Р°. Основные диэлектрические свойства сегнетовой соли считаются присущими ромбически зажатому кристаллу, в котором уничтожение упругих деформаций гарантирует отсутствие всяких пьезоэлектрических деформаций.
Специфическое свойство, положенное в основу теории, выражается законом Кюри — Вейсса для /1 [уравнение (525)] и иллюстрируется высокотемпературным участком кривой на фиг. 141. Начиная с наиболее высоких температур, спадает по прямой линии, стремясь к нулю при 18°С. Если бы кристалл не был пьезоэлектрическим, должно было бы исчезать при этой температуре, возрастая опять при температурах ниже 18°С, как показано пунктирной линией V
По уравнению (479), кривая/.' для свободного кристалла проходит на почти постоянном расстоянии а14 bi4 ниже кривой хь вследствие температуры ниже 18°С. Таким образом оправдывается существование двух точек Кюри.
§ 469. По этому поводу необходимо привести цитату из четвертой работы Мюллера, касающуюся вероятной природы предполагающегося превращения вблизи 18°С и объясняющую специфическую форму кривой /1 в^ области точек Кюри, построенной на фиг. 141 по измерениям для свободного кристалла.
’) Бесконечно большое значение восприимчивости для полностью зажатого кристалла, вызывающее исчезновение представляется на первый взгляд парадоксальным, так как большие восприимчивости обычно свойственны только свободному кристаллу. Физическая причина этого заключается, вероятно, в нестабильности состояния зажатого кристалла. Спонтанная поляризация Р°, которой обладал бы свободный' кристалл при 18°О, уничтожается. Совершенно так же, как Нозникновение чрезвычайно малой деформации yz должно было, бы вызвать сравнительно большую поляризацию, слабое поле должно деформировать решетку кристалла и произвести тот же эффект. Такое же объяснение можно дать низкому значению i при 5°G.
Теория_сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие_свойства
569
«Если бы кристаллы сегнетовой соли не были пьезоэлектрическими, они имели бы только одну точку превращения. Существование двух точек Кюри и целого ряда диэлектрических, оптических и термических аномалий свободного кристалла можно объяснить с помощью законов, представляющих собой обобщение законов классической кристаллофизики. Остается, следовательно, выяснить природу превращений в закрепленном кристалле. Это превращение характеризуется высоким максимумом диэлектрической постоянной (ромбическое зажатие), причем нет никаких указаний на изменение структуры или внутренней энергии. Температурный градиент двойного лучепреломления изменяется, но скачка в оптических константах не наблюдается. Эти особенности показывают, что при таких переходах происходит изменение положения или динамики протонов, либо групп ОН, либо, наконец, молекул кристаллизационной воды. Переход аналогичен тому, который наблюдается в HBr, HJ, H2S, РН31). Он отличается от превращений этих кристаллов тем, что при нем удельная теплоемкость сегнетовой соли остается постоянной. Для объяснения этого обстоятельства мы предполагаем, что превращение испытывает торможение, т. е. что с уменьшением температуры кристалл приближается к точке превращения, но никогда не достигает ее, потому что на начальных стадиях превращения возникают вторичные эффекты, которые не дают возможности развиться новой модификации. Кристалл остается в его начальном состоянии, потому что при более низких температурах энергия протонов недостаточно велика для того, чтобы они могли изменить свое положение».
Для объяснения природы этого торможения Мюллер выдвигает
гипотезу о том, что оно связано с пьезоэлектрическим морфологическим
эффектом, рассмотренным дальше, чем это бы по сделано Мюллером, допуская, что морфологические эффекты в зажатом кристалле и в области температур между точками Кюри (развитие деформаций Хх, у у, и Zz под действием поля Е стремятся проявить себя так же, как деформация yz. Хотя напряжения, вызванные закреплением
Фиг. 141- Схематическая диаграмма зависимости обратной восприимчивости от температуры для слабых полей (по Мюллеру). Она основана на измерениях вне области между точками Кюри, показанных на фиг. 118 и 119, и на измерениях yjs между этими точками. Из этих величин была на основании уравнения (499) вычислена величина i’ между точками Кюри и на основании (496а) —величина Xi- Величина Xi ccti> ..диэлек-
трическая жесткость" для ромбической структуры и —для моноклинной структуры; она
вычислена из уравнения (505а). Разности между ординатами x'i-X и Х^-примерно постоянны и равны д14 #14.
кристалла, не позволяют им проявиться во внешней конфигурации кристалла, однако они могут сопровождаться изменениями во внутренней структуре такого характера, что поляризация под действием поля Ех оказывается меньше, чем она могла бы быть, если бы возникла только деформация yz. Вопрос о тенденции за
жатого кристалла к пре-
вращению при 18°С и о торможении не может быть разрешен удовлетворительно до тех пор, пока мы не изучим структуру сегнетовой соли более подробно.
О См. A. Eucken. Zs. f. Elektrochem. 45, 126, (1939). См также J. A. Hed-vall and R. W. Pauly, Zs f. phys. Chem. 29, Abt. B, 225—230 (1935).
570
Глава XXIV
Каков бы ни был механизм превращения, результатом его является закругление линии /1 около минимума при 5° С. При этой температуре, следовательно, по теории Мюллера и Р° должны принимать максимальные значения, а кривые гистерезиса — обнаруживать наибольшие потери энергии и иметь наибольшую ширину.
Если кривая Xi на. фиг. 141 действительно касается горизонтальной оси, то ромбически зажатый кристалл сегнетовой соли должен был бы, подобно ферромагнитным веществам, иметь только одну точку Кюри и бесконечную диэлектрическую постоянную в этой точке. С другой стороны, обе точки Кюри ненапряженного кристалла сегнетовой соли, содержащего тяжелую воду, так далеко отстоят друг от друга, что кривая /1 могла бы пересечь горизонтальную ось дважды Зажатый кристалл, таким образом, имел бы все же две точки Кюри с областью спонтанной поляризации между ними.
§ 470. Одним из выводов, которые можно получить из фиг. 141, является то, что одностороннее механическое сжатие должно сблизить точки Кюри. В § 204 мы показали, что одностороннее сжатие уменьшает эффективную пьезоэлектрическую составляющую восприимчивости, причем получается величина, промежуточная между восприимчивостью свободного и полностью зажатого кристалла. Результатом в этом случае, который изображен на фиг. 141, явится уменьшение вертикального расстояния между кривыми /1 и х'- Если кривая Xi остается на месте, то кривая х' смещается по вертикали вверх, вследствие чего ее точки пересечения с горизонтальной осью при и 6И будут отделены более коротким отрезком. Систематических исследований этого явления произведено не было, хотя Мюллер [376] упоминает о нем, как о возможном объяснении расхождения значений 6Z и 0и, полученных разными авторами. Судя по форме петель гистерезиса на фиг. 127, можно думать, что механическое сжатие приближает форму кривых P = f(E) к той, которую они принимают для полностью зажатого кристалла. Единственные экспериментальные данные относительно точек Кюри частично зажатого кристалла принадлежат Мэзону [335], который, как видно из графиков, получил максимальную восприимчивость колеблющегося «продольно зажатого» кристалла при температуре около 24° С, близкой к соответствующей температуре для свободного кристалла. Мэзон работал с 45-градусными брусками среза X, на которые накладывалось поле с частотой, в два раза большей, чем основная частота их собственных колебаний по длине. Длина электродов в этих опытах равнялась длине бруска. Участие пьезоэлектрического эффекта в поляризации, поскольку оно относится к продольным перемещениям, было, таким образом, исключено (§ 61), но поперечные перемещения имели полную возможность развиваться. Значение диэлектрической постоянной действительно оказалось лежащим между значениями ее для свободного и зажатого кристалла. Трудно сказать, почему такая степень зажатия не сопровождалась заметным понижением температуры максимума диэлектрической постоянной. Возможно, что сжатие, вызываемое инерцией в динамических процессах, отличается по своему влиянию на температурную зависимость диэлектриче-
*) Это можно подтвердить тем фактом, что упругие и пьезоэлектрические свойства обыкновенной и содержащей тяжелую воду сегнетовой соли настолько близки (как показано в § 87 и 143), что вертикальное расстояние между у' и для разновидности с тяжелой водой почти то же, что на фиг. 141.
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства 571
ской восприимчивости от сжатия, вызванного статическим, извне наложенным напряжением при зажатии образца. В связи с этим можно напомнить, что под действием гидростатического давления обе точки Кюри повышаются (§ 443), тогда как рассмотрение фиг. 141 приводит к заключению, что наложенное снаружи механическое сжатие увеличивает 6Z и понижает 6И. Это расхождение исчезает, если вместе с Бэнкрофтом предположить, что повышение точек Кюри под действием гидростатического давления вызвано не механическим сжатием в обычном смысле слова, а скорее дисторсией кристаллической решетки.
§ 471. Что такое сегнетоэлектрик? Мы закончим изложение теории сегнетовой соли кратким обзором основных сегнетоэлектрических явлений, описанных в предыдущих главах. Несмотря на исследования сложных тартратов (§ 491), фосфатов и арсенатов (§ 493), все выводы до сих пор делаются главным образом на основании изучения сегнетовой соли. Исследования сложных тартратов имели значение для дипольной теории (§ 490), но не дали ничего для мюллеровской теории внутреннего взаимодействия. Вследствие отсутствия измерений пьезоэлектрических и упругих коэфициентов для фосфатов и арсенатов нет возможности решить вопрос о приложимости к ним теории внутреннего взаимодействия. Мы можем утверждать, что до настоящего времени нет ни одного наблюдения над кристаллом любого состава, которое бы противоречило следующим положениям.
Поскольку речь идет о макроскопических наблюдениях, сегнетоэлектрик можно определить как кристалл, имеющий критическую температуру, по одну сторону которой диэлектрические свойства обнаруживают гистерезис и все их зависимости выражаются нелинейными уравнениями (сегнетоэлектрическая область), тогда как по другую ее .сторону гистерезиса нет, а связь между поляризацией и напряженностью поля выражается с хорошим приближением линейными уравнениями (параэлектрическая область). Наличие такой критической температуры, или точки Кюри, является основным критерием. Сегнетова соль имеет две такие точки; некоторые из изоморфных смесей, а также фосфаты и арсенаты могут иметь только одну, верхнюю, точку Кюри. Возможно, что когда-нибудь будет найдено кристаллическое вещество с одной только нижней точкой Кюри или такое, которое будет устойчивым только в сегнетоэлектрической области, так что точки Кюри вообще не будут наблюдаться.
Из непосредственно наблюдаемых сопутствующих эффектов, по крайней мере для сегнетовой соли, можно перечислить следующие:
1. Закон Кюри — Вейсса справедлив для диэлектрических, упругих и пьезоэлектрических эффектов по обе стороны от точки Кюри.
2. Кристалл является пьезоэлектрическим по обе стороны от точки Кюри.
3. Имеет место обратимая спонтанная поляризация по одну сторону от точки Кюри, уменьшающаяся до нуля в этой точке.
4. Кристалл обладает пироэлектрическими свойствами в области спонтанной поляризации (см., однако, § 521).
5. В области спонтанной поляризации при некоторых значениях поля и напряжения наблюдаются аномально большие значения диэлектрической постоянной свободного кристалла, пьезоэлектрической постоянной, упругого модуля в постоянном поле, а также большие диэлектрические потери (§ 375). Вблизи точки Кюри эти три величины стремятся
572
[лава XXIV
к бесконечно большим значениям при слабых! полях и небольших напряжениях.
6. При всех температурах диэлектрические и пьезоэлектрические постоянные становятся меньше под действием механического сжатия.
7. За исключением очень малых образцов кристалл в области спонтанной поляризации состоит из большого числа доменов, причем направления поляризации в соседних доменах противоположны.
Теория внутреннего взаимодействия приводит к следующему заключению, которое, по крайней мере отчасти, подтверждено экспериментами.
8. Зажатый кристалл подчиняется закону Кюри — Вейсса. Кроме того, аномальное поведение зажатого кристалла в переменном поле и при изменяющейся температуре таково, что с помощью уравнений этой теории удается описать все остальные аномалии.
В настоящее время еще трудно сказать, все ли перечисленные эффекты от 1 до 8 являются свойствами сегнетоэлектрических кристаллов. Трудно представить, например, что может существовать магнитный аналог сегнетовой соли, не обладающий свойствами 3 и 6. Однако представляется вероятным, что основные черты сходства с ферромагнетиками могут существовать и у кристалла с одной единственной областью спонтанной ориентации, так что пункт 7 можно не считать существенной характеристикой сегнетоэлектрических веществ.
Согласно теории внутреннего взаимодействия, кристалл можно назвать сегнетоэлектрическим, когда он (по § 453) имеет 'q i в
некоторой области температур. Соответствующее условие по дипольной теории (из § 485) выражается неравенством: > 1 /Ч- Это соответ-
ствие будет рассмотрено в § 486. Оба выражения эквивалентны, поскольку каждое из них постулирует существование при определенной температуре критической поляризуемости, превосходящей некоторую величину. Только при этом условии возможна спонтанная поляризация и спонтанная деформация, знак которых может быть изменен на обратный при наложении поля, причем дело обстоит так, как если бы диэлектрические, пьезоэлектрические и упругие коэфициенты принимали бесконечно большие значения.
Можно задать вопрос, почему сегнетоэлектрические свойства не проявляются у большего числа кристаллов. Ответ на этот вопрос отчасти заключается в том, что только очень небольшое число кристаллов исследовано в широких пределах температур и что эти специфические свойства вызываются благоприятным стечением обстоятельств. Прежде всего, поляризуемость должна быть достаточно велика для того, чтобы удовлетворялись вышеприведенные условия. Это требование — необходимое, но не достаточное, потому что, хотя оно предполагает неустойчивость и структурную изменчивость при некоторой температуре, оно само по себе не гарантирует того, что симметрия кристалла при температуре выше или ниже критической будет достаточно низкой и что вследствие этого возникнет спонтанная поляризация. Далее, по обе стороны от критической температуры диэлектрик должен быть в твердом состоянии и иметь однородную кристаллическую структуру.
§ 472. Вследствие невозможности постановки опытов, с идеально зажатым кристаллом мюллеровская теория сегнетовой соли, основанная на допущении, что вблизи 18° С превращение тормозится, должна оставаться в области гипотетических построений. Если, как это было пока
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства
573
зано в начале настоящего раздела, можно вывести теоретическую зависимость от температуры для какой-нибудь из величин Р°, S44, или f\'s, то эта величина, так же как может быть взята за основной параметр при дальнейшем развитии теории.
Так, например, исходя из молекулярной теории спонтанной поляризации Р°, которая дает правильную зависимость Р° от температуры, можно с помощью приведенных выше уравнений получить выражения для различных упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических свойств. Для иллюстрации этого положения приведем ниже таблицу основных уравнений для диэлектриков. Все левые группы этих уравнений выражены через /1, правые — через Р°. Предполагается, что ах4, Ь\4, В и G получены экспериментально и что уравнение (526) обосновано молекулярно-кинетическими* соображениями, которые, в согласии с опытом, приводят к представлению о спонтанной поляризации.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
/.' = 7.(497) / = (497)
ВР°’= а14й14—Z1; (497) Zl =aubu-;BP<*-, (497)
Z's=2(a14&11-Z1): (499) X' = 2BP>- (499)
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
( ^94 A po2— *c t — .’L — 'f-5
1 r — BC — B 2B,
откуда
f_f 2
=—bp* ,
(499) = 2BP°2 ,
f __ 2{tc - t) s r
%! = , (525) Z1 = Я1Д4 - BP*2 ,
(526)
(497)
(499)
(526)
(497)
(499)
(526)
(497)
(499)
(497)
Es = 2{^1^aubu, (525a) + (499), (505a)
§ 473. Существование спонтанной поляризации в области температур по одну сторону от точки Кюри заставляет предполагать, что при переходе через точку Кюри кристалл из пироэлектрического становится непироэлектрическим. С энергетической точки зрения кристалл в каждой из этих модификаций, энергия U которых изображена кривыми А и В фиг. 142, имеет минимум энергии при некоторой температуре. Если бы кривая В при всех температурах лежала ниже кривой А, состояния А вовсе не существовало бы. Если ординаты В )> А только для температур, превышающих некоторую температуру 6И, и становятся меньше А при температурах ниже 6К , то строение решетки и класс кристалла должны измениться при переходе через эту точку. Далее, если В соответствует модификации, в которой может возникнуть спонтанная поляризация, то для нее, следовательно, существует точка Кюри при температуре 6Н. В случае существования второй точки пересече-
574
Гла в а XXIV_____________________
ния кривых А и В при более низкой температуре 6Z, при этой температуре появляется вторая точка Кюри.
Таким образом, если бы имелись теоретические основания для вывода температурной зависимости одного из коэфициентов, , или
бы
Т s , которая могла
Фиг. 142. Два перекрывающих друг друга состояния минимальной энергии.
(^и) s служить основанием теории сегнетовой соли, то можно было бы составить таблицу уравнений, аналогичную вышеприведенной, для* выражения всех остальных параметров. Зная и Р° и располагая экспериментальными значениями для <214, би и В, можно показать, что непосредственными следствиями уравнения (499) являются отсутствие точек Кюри для коэфициента и наличие минимума для него на кривой температурной зависимости. Поведение зажатого кристалла можно при этом рассматривать не как аномалию, а как частный случай.
§ 474. Экспериментальные подтверждения теоретических кривых фиг. 141. Единственные полные данные, имеющиеся в настоящее время, выведены Мюллером [378, 380] из опытов Мэзона. Следуя Мюллеру, мы взяли для диэлектрической постоянной свободного кристалла и для величины спонтанной поляризации данные Брэдфорда 0, которые хоро
для свободного и зажатого кристалла как функции температуры. (Измерения Брэдфорда, приводимые Мюллером.)
шо согласуются с результатами измерений других авторов. Все эти данные представляют собой «начальные» данные, полученные в слабых полях.
О Е. В. Bradford, диссертация. Массачузетский технологический институт, 1934. j
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства 575
На основании проделанных Мэзоном исследований резонанса брусков 45-градусного среза X можно вывести значения du и sf4 для любой температуры. С помощью этих значений, уравнений (497) и (505а) и равенства
с '44 — 11,6* 1010 дин/см2
получаются числовые значения величин, необходимых для построения кривых фиг. 143( и 144. Коэфициент насыщения В вычисляется из значения х^> а Р° определяется из (499). Кривые для и x's на фиг. 143 построены по экспериментальным данным для свободного кристалла при температурах выше и ниже Кривая Xi Для ромбически зажатого кристалла 1}, кривая %"s для моноклинно зажатого и кривая х'
Фиг. 144. Электрические и упругие коэфициенты сегнетовой соли как функции температуры (по Мюллеру), вычисленные из измерений Мэзона. Ординаты должны быть умножены на следующие множители:
Величина Ьи р® В е14 sE 44 rf14
Множитель 104 Ю"? 100 10’8 2-Юз ЦТ11 10"5
в интервале между точками Кюри вычислены с помощью вышеупомянутых уравнений.
Кривые фиг. 143 в основных чертах похожи на кривые фиг. 141, которые построены по теории Мюллера для области температур между точками Кюри. На это обстоятельство следует обратить особое внимание. Единственным резким отличием их друг от друга является отсутствие на фиг. 143 близкого к нулю минимума для кривой Xi- Как известно, Xi вычисляется из уравнения
/.1 = // -Г «14^14 = - + ^14 •
Возможно, что значение ai4bu, заимствованное нами у Мюллера, слишком велико. Поэтому в настоящее время можно только сказать, что предположение Мюллера относительно очень низкого минимума Xi до сих\ пор экспериментально не подтверждено. Вблизи 6И , однако, Xt на фиг. Г43 имеет такой же ход, как у Мэзона [378] на фиг. 7, и х"
') Вне области между точками Кюри тождественно с 1/V'r-
576
Глава XXIV
хорошо согласуется с кривой Мэзона для зажатого (моноклинно?) кристалла.
На фиг. 143 и 144 пунктирными линиями отмечены незаполненные экспериментальными точками промежутки. Стрелками обозначен вероятный ход кривых для значений температур, выходящих за пределы экспериментальных данных. Из величин, изображенных на фиг. 144, и S44 с хорошей степенью точности (до нескольких процентов) характеризуют средний хорошо приготовленный кристалл сегнетовой соли. Из фиг. 140 очевидно, что в случае более сильных полей и, следовательно, более сильных напряжений значения должны быть значительно меньше. Относительно низкие значения полученные Манделем и Гинцем (табл. 4), вероятно, обусловлены тем, что их
опыты произведены в сильных полях.
При вычислениях d\4 Мюллер пользовался методом зазора, описанным в §310 [уравнение (452)], причем исходными данными для этих вычислений служили резонансные частоты /0 и для зазоров w = О и w — со , плотность р, длина / и диэлектрическая постоянная; е14 вычислялось из равенства ei4 = d14/s X а14 и bi4 определялись из уравнения (4956) и s44—по величине /0.
Как было показано в § 142, Мэзон другим методом нашел, что ан
практически не зависит от температуры. Если согласиться с этим, придется притти к заключению, что метод зазора, использованный Мюллером для его вычислений, не может дать правильных результатов для сегнетовой соли. С другой стороны, различные величины, входящие в уравнение (495г), могут оказаться функциями температуры, и, таким образом, iZi4 тоже должно будет обнаруживать изменения с температурой. Пока мы можем утверждать только то, что эти изменения по порядку величины значительно меньше, чем изменения и d\4.
заметить, что ei4 в мень-
Фиг. 145. Диэлектрическая постоянная для слабых полей k', спонтанная поляризация/30 и коэрцитивная сила Ес (в V/см) для сегнетовой соли (по Брэдфорду). Частота 1000 Hz.
шей степени зависит от температуры, чем du. Вместо того, чтобы обращаться в бесконечность в точках Кюри, ей принимает при 6Ц значение а,\4/ /ь В § 546 будут приведены соображения, по которым коэфициент пьезоэлектрического напряжения ehk, вообще говоря, имеет более фундаментальное значение, чем коэфициент деформации dhk.
Результаты Брэдфорда на основании которых построены кривые фиг. 143, в другой форме представлены на фиг. 145, заимствованной у Мюллера. Кривая для k' = 1 -ф- тгт/ соответствует кривым х' = 1/tq' и x's — 1/дф на фиг. 143. Р° изображено той же кривой, что и на фиг. 144. Величину Ес легко сравнить с данными § 436.
Динамическое значение di4 было также определено Михайловым [368] при температурах от 0° до 40° С на брусках 45-градусного среза X с малым зазором в полях от 1 до 2 V/см. Его кривая зависимости di4
’) См. сноску на стр. 574.
Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства Sff
qt температуры подобна аналогичной кривой на фиг. 144, но абсолютные значения составляют только 7з значений, приведенных на фиг. 144, что может быть объяснено наличием зазора между электродом и кристаллом.
В § 426 уже было указано, что du должно принимать небольшие значения в слабых полях при частотах, близких к частотам резонаторов. Сравнение фиг. 144 с экспериментальными данными, полученными в статических и низкочастотных переменных полях и приведенными в гл. XXII, показывает, что это предположение оправдывается в опытах с низкочастотными полями. Согласно § 363, расхождение между кривыми для du на фиг. 144 и фиг. 104, 107 и 113 объясняется просто тем, что в опытах с резонаторами поле и напряжение были настолько малы, что du никогда не превышало своего начального значения. По мере приближения к точкам Кюри начальное значение становится очень большим, посредине между этими точками оно очень мало по сравнению с теми значениями, которые оно принимает при больших напряжениях, особенно в статических полях, как это изображено на фиг. 104. .
§ 475. Заключения по поводу поляризационной теории. В предыдущих параграфах была с некоторыми дополнениями изложена теория внутреннего взаимодействия, развитая Мюллером для кристаллов сегнетовой соли на основе поляризационной теории, которая, в свою очередь, была разработана Мюллером и автором независимо друг от друга с помощью предпосылок Мэзона. Хотя теория внутреннего взаимодействия могла бы быть выражена с помощью фогтовской теории поля, концепция поляризационной теории позволяет дать описание свойств сегнетовой соли (и, конечно, всех прочих сегнетоэлектриков) таким образом, что физическая природа явлений становится понятной. Главное экспериментальное подтверждение теории заключается в том, что коэфициенты и Ьи почти или даже совершенно не зависят от температуры и, вероятно, не зависят от напряжения. Таким образом, аи и Ьи можно считать подлинными пьезоэлектрическими постоянными. Как было показано выше, «константы» du и е14 очень сильно зависят и от напряжения и от температуры.
С другой стороны, если «истинная» диэлектрическая постоянная определяется по измерениям для зажатого кристалла, то эту величину нельзя считать независимой от температуры линейной функцией Е, хотя ее изменения с температурой очень малы по сравнению с изменениями той же величины для свободного кристалла.
Мюллер показал [382], что эффекты, не связанные непосредственно с электрическими свойствами, должны быть связаны с температурой линейной зависимостью, если они вообще зависят от нее. Исключение составляют очень небольшие изменения в точках Кюри и слабые эффекты, вызываемые электрическим полем. Такими свойствами обладает, например, упругий модуль su при постоянном электрическом смещении; S44 есть величина, получающая из измерений упругих коэфициентов совершенно изолированного кристалла (§463). Она очень мало зависит от температуры и обнаруживает очень малую аномалию в верхней точке Кюри (§ 375). Модуль sf4 при постоянной поляризации, играющий важную роль в поляризационной теории, численно равен s«(§211).
37 Кэди
578 Глава XXIV ;
В основных уравнениях поляризационной теории (493) — (493,в) нет никаких указаний на зависимость от напряжения. При постоянной поляризации предполагается линейная зависимость деформации от напряжения. Это предположение оправдывается тем приблизительным согласием опыта с теорией, которое можно получить с помощью имеющихся в настоящее время экспериментальных данных.
§ 476. Сравнение теории Фогта с поляризационной теорией. Как уже было сказано, обе «теории» представляют собой не более как разные способы описания одних и тех же явлений. Если бы упругие коэфициенты И' пьезоэлектрические константы сегнетовой соли не так сильно зависели -от температуры, поляризационная теория могла бы вовсе не существовать. Преимущество поляризационной теории заключается в том, что упругий коэфициент при постоянной поляризации и пьезоэлектрические коэфициенты, выраженные через поляризацию, а не через напряженность поля, практически не зависят от температуры. Поляризационная теория не открывает этих фактов, она их только использует. Далее, она лучше объясняет следующее, весьма важное обстоятельство. С большой степенью приближения пьезоэлектрическая деформация при любых температурах до пределов насыщения пропорциональна поляризации. Математически это положение эквивалентно тому, что Ди и би приблизительно постоянны, тогда как ei4 и di4, связывающие напряжение и деформацию с полем, сильно изменяются с температурой.
При теоретическом рассмотрении практических приложений, когда в качестве параметра удобнее взять поляризацию, а не напряженность поля, поляризационную теорию всегда следует предпочитать. Формулировку .Фогта, вводящую ей и d14, можно применять в тех случаях, когда явление удобнее .описывать с помощью величины наложенного поля. Мы встречаемся с таким случаем, например, при работе с пьезоэлектрическим резонатором. Вопрос о приложении поляризационной теории к другим пьезоэлектрическим кристаллам рассмотрен в § 191.
ГЛАВА XXV
ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
§ 477. В предыдущих главах часто упоминалось о том, что между точками Кюри сегнетова соль, подобно железу, состоит из многих областей спонтанной ориентации (доменов). Рассмотрим теперь экспериментальные доказательства этого и разберем поведение такой структуры при исследовании диэлектрических и пьезоэлектрических свойств. В рассмотрение включается принадлежащая Яффе теория полиморфизма сегнетовой соли, приводящая к заключению, что сегнетову соль следует в области сегнетоэлектрических явлений считать моноклинной.
Дебай указал, что ненамагниченное железо подобно агрегату микроскопических случайно ориентированных кристаллов турмалина. Эта аналогия делается еще более полной применительно к сегнетовой соли.
Предположение о том, что спонтанная поляризация в сегнетовой соли может быть вызвана существованием групп атомов, имеющих в кристаллической решетке различные равновероятцые ориентации, впервые было высказано, повидимому, Дебаем при обсуждении статьи Дорфмана * 2). Эта мысль, принятая Курчатовым и подтвержденная Мюллером и другими, сделала аналогию с ферромагнитными веществами еще более полной.
Имеются различные экспериментальные данные, подтверждающие этот взгляд. Во-первых, существует эффект Баркгаузена, указывающий на скачки в процессе поляризации при постепенном возрастании поля; он примыкает к длинному ряду магнитных явлений, имеющих аналогию в пьезоэлектричестве (§ 555). Такой эффект для сегнетовой соли был описан Кж>ге и Шенфельдом [261], а также Мюллером [376]. Он наблюдается только между точками Кюри.
Во-вторых, могут быть упомянуты пироэлектрические опыты с порошком Бюркера (§ 517), которыми подтверждается существование дискретных участков противоположной полярности. Пироэлектрический эффект равнялся бы нулю, если бы области спонтанной ориентации были очень малы и их полярные оси были одинаково распределены по противоположным направлениям. Одно из доказательств небольшого размера областей спонтанной ориентации в ж;елезе состоит в том, что железо не пиромагнитно.
Основываясь на размерах таких участков, наблюдавшихся в его пироэлектрических опытах (§ 521), Мюллер сделал вывод, что области спонтанной ориентации в сегнетовой соли имеют протяженность порядка 1 см — несравненно больше, че.м в ферромагнетиках. Небольшие кристаллы, с которыми он имел дело, состояли, повидимому, каждый из
* Handbuch der Radiologie, 6, 750 (1925).
2) J. Dorfman, Magnetisme, Rapports 6eme Conseil phys. (Inst. Solvay), 1930- (опубл, в 1932 г.), стр. 381—387.
37/
580
Глава W
единственной области спонтанной ориентации. Что этих областей гораздо меньше, чем в железе, показывает относительно небольшое число «щелчков» Баркгаузена. Однако следует думать, что они все еще достаточно многочисленны, так как полярность одной области едва ли может измениться на обратную одним скачком, если каждая такая область имеет объем порядка 1 см3. Действие такой структуры проявляется только между точками Кюри.
Для объяснения больших размеров областей спонтанной ориентации Мюллер предложил гипотезу, которая может быть сформулирована следующим образом: в процессе роста кристалл постоянно окружен электропроводящей жидкостью, делающей его поверхность эквипотенциальной и предупреждающей возникновение противодействующего поля. В противоположность этому, области спонтанной ориентации в железе, будучи очень невелики, существуют в присутствии противодействующих магнитных полей, предотвращающих дальнейший рост.
Необходимым следствием существования больших областей спонтанной ориентации является униполярность, которая иногда обнаруживается, особенно в небольших кристаллах или, как отметил Курчатов [634], [294], частях большого кристалла. Она подробно рассматривается в. § 433.
Области спонтанной ориентации в сегнетовой соли с замечательным постоянством сохраняют свою индивидуальность. Курчатов установил, что после того как большой кристалл выдерживали несколько часов при 40° С и затем оставляли охлаждаться, уменьшение униполярности было ничтожным. Может показаться, что тепловое движение при высоких температурах не может изменить ни конфигурации областей спонтанной ориентации, ни направлений поляризации, характерных для каждой такой области. При этом, хотя выше точки Кюри спонтанная поляризация исчезает, она Появляется снова, как только температура опустится ниже критической. Этот взгляд подтвеждается указанием Мюллера на то, что он никогда не наблюдал устойчивого изменения спонтанного поля даже при охлаждении кристалла в противоположно направленном поле в 1000 V/см. Представляет интерес вопрос, сохраняются ли также области спонтанного намагничивания в железе после нагревания выше точки Кюри.
Устойчивость полярности отдельных областей спонтанной ориентации можно объяснить большими механическими напряжениями на границах соседних областей спонтанной ориентации, появляющимися, когда кристалл находится в электрическом поле. Эти напряжения стремятся по устранении поля восстановить первоначальную конфигурацию и первоначальные полярности. Напротив, у образца, состоящего из одной единственной области спонтанной ориентации, можно ожидать устойчивого изменения полярности под действием сильного обращающего поля.
Другое ожидаемое следствие наличия напряжений между областями спонтанной ориентации состоит в том, что существование таких напряжений, одинаково значительных как для единственной области спонтанной ориентации, так и для кристалл'а, содержащего много таких областей, скажется на величине упругих коэфициентов при постоянном . поле.
§ 478. Могут ли быть изготовлены большие кристаллы, состоящие из одной единственной области спонтанной ориентации? Если кристалл сегнетовой соли выращивается “из нагретого раствора-путем его охлаж
Доменная структура сегнетовой соли
581
дения, то постепенное понижение температуры может вызвать рост внутренних напряжений. Так как начальная температура раствора обычно значительно выше верхней точки Кюри, то можно ожидать, что напряжения будут особенно велики, когда температура проходит эту точку. Можно думать, что такие напряжения являются важным фактором в разделении кристалла на области спонтанной ориентации. Если это так, то, невидимому, возможно путем выращивания при постоянной температуре между точками Кюри получать кристаллы, состоящие только из одной области спонтанной ориентации, или, по крайней мере, кристаллы с немногими областями значительного размера. Как было указано в §412, некоторые экспериментаторы пользовались кристаллами, выращенными путем испарения раствора при постоянной температуре. Хотя следует допустить, что. свойства таких кристаллов не должны заметно отличаться от свойств кристаллов, выращенных при охлаждении раствора, однако в литературе нет удовлетворительного ответа на вопрос, зависит ли структура, образованная областями спонтанной ориентации, от способа выращивания.
Некоторый свет на эту проблему был пролит Стилуэлом, который сравнивал порошковые пироэлектрические узоры на кристаллах, выращенных путем испарения раствора при постоянной температуре, и на кристаллах, выращенных при охлаждении раствора Зародыши помещались в сосуд объемом в 1500 см3* содержащий насыщенный раствор при температуре 1,8+ 0,02° С. Этот сосуд вместе с большой спиралью из медной трубки, по которой циркулировала ледяная вода, был погружен в большой бак с водой, окутанный хорошей тепловой изоляцией. В этом баке находились, кроме того, нагревательная спираль, термостат и мешалка. Постоянно действующий форвакуумный насос поддерживал давление воздуха над раствором в несколько миллиметров ртутного столба. Вода, испаряющаяся из кристаллизационного сосуда, конденсировалась во втором сосуде, охлаждавшемся смесью толченого льда и спирта.
Наилу*чший кристалл, выросший за 16 дней, имел размеры 18,5X18X12 мм. Трудно сказать, какого рода структура, образовант ная областями спонтанной ориентации, была бы обнаружена у этого образца, если бы он был испытан при той температуре, при которой он рос.. Возможно, что при нагревании до комнатной температуры после удаления из раствора и затем при изменении температуры на несколько градусов. во время пироэлектрического испытания кристалл приобрел структуру, состоящую из множества областей спонтанной ориентации. Во всяком случае, при опылении смесью сурика и серы он обнаружил существование большого числа областей Спонтанной ориентации. Их преобладающей формой была плоская плитка толщиной около 1 мм., своими большими гранями перпендикулярная к оси У. Вместо того, чтобы быть относительно большими, обнаруженные области спонтанной ориентации были в действительности меньше, чем наблюдаемые по тому же методу у кристаллов, выращенных при охлаждении раствора.
Так как эти опыты недостаточно убедительны, они не открывают перспектив выращивания и устойчивого сохранения структуры кристаллов сегнетовой соли, состоящих из одной области спонтанной ориентации.
*) W, S. Stilwell, диссертация, Веслейский университет, 1939,
582
Г ла а а XXV
§ 479. Влияние структуры, образованной областями спонтанной ориентации на петли гистерезиса. На фиг. 137 были изображены идеализированные кривые для кристалла, состоящего из одной единственной области спонтанной ориентации. Напомним, что если спонтанная поляризация Р° представляется отрезком 00', то при действии поля Е наблюдаемая поляризация определяется уравнением (500) и изображается кривой а с началом в О'. Так как область спонтанной ориентации уже поляризована, то в данном случае «первоначальной кривой»
нет.
Если кристалл содержит большое число областей спонтанной ориен
тации, положительные и отрицательные спонтанные поляризации кото-
гистерезиса для кристаллов сегнетовой соли, содержащих много областей спонтанной ориентации.
рых точно уравновешены, то, как целое, он не обнаруживает униполярности. Такой случай теоретически представлен на фиг. 146, где 00' и 00'\ — средние положительные и отрицательные значения Р°. В идеальном случае, который рассматривается до сих пор, положительные и отрицательные области спонтанной ориентации дают раздельные слагаемые наблюдаемой поляризации. При возрас-танйи Е от нуля в положительном направлений слагаемая от положительных областей спонтанной ориентации представляется отрезком O'N'C с началом в О'; слагаемая от отрицательных областей спонтанной ориентации представлена отрезком O'iNN'C с началом в O'i, Участок NN' изображает внезапное обращение отрицательных областей спонтанной ориентации. Полная наблюдаемая
поляризация, которая может быть теперь отйе!сена к началу в О, является полусуммой двух слагаемых, Т. е. OHN'C. Форма «идеальной кривой» получает, таким образом, теоретическое объяснение. Если теперь Е изменяется циклически от положительных значений
к отрицательным и обратно, то результатом будет петля гистерезиса CO'MM'C'O'\NN'C, как на фиг.. 137, где рассматривались только области спонтанной поляризации одного знака. Если средние положитель
ные и отрицательные спонтанные поляризации компенсируют друг друга не полностью, рассмотренная схема нуждается только в перемещении начальной точки в положении несколько выше или ниже точки О на фиг. 146.
Даже в кристаллах, состоящих из одной области спонтанной ориентации, Возможно, что местные неоднородности будут облегчать обращение полярности, так что первоначальная кривая начнет загибаться кверху в точке В и коэрцитивная сила Ес будет равна OS = — OS' вместо OR — — OR'. Углы петли делаются закругленными, что приводит к форме, изображенной на фиг. 146. Уменьшение Ес должно быть еще значительнее в кристалле, состоящем из большого числа областей спонтанной ориентации. В таком кристалле спонтанной деформации каждой области спонтанной поляризации препятствуют соседние области. Поле, наложенное в одном из двух направлений, легче может повернуть области спонтанной ориентации, ориентированные против поля,
Доменная структура сегНетовой соли 583
особенно если одни такие области растут за счет других как это имеет место в железе (§ 555).
Что касается действительно наблюдавшихся значений поля (вспом-ним § 432), то (Насыщение было зарегистрировано в статических условиях при напряженности поля в 15V/cm, в то время как при измерениях с помощью переменного тока от 50 до 1000 Hz коэрцитивное поле Ес (согласно Хабл;ютцелю) меняется от нуля при приблизительно до 200 V вблизи 15° С. Мюллер, как показано на фиг. 145, обнаруживает, что Ес при 5° С имеет максимум приблизительно в 270 V/см. Эти расхождения не являются неожиданными, если учитывать изменчивость структуры, образованной областями спонтанной ориентации. Упомянутые величины имеют порядок одной десятой от вычисленной с помощью уравнения (502). Этот факт не порочит данных фиг. 145, основанных на действительных измерениях. Он только указывает, что уравнение (502); не учитывающее усложнения структуры, вызванного существованием областей спонтанной ориентации, не мржет дать правильных значений коэрцитивной силы.
Из фиг. 126 видно1, что между точками Кюри диэлектрическая постоянная гораздо выше в умеренно сильных пол!ях, чем1 в слабых полях, аналогично проницаемости железа. Как и о случае железа, объяснения следует искать в форме кривой поляризации ОВВ'С на фиг. 146. Ясно, что начиная с точки В отношение Р/Е, а значит и диэлектрическая постоянная свободного кристалла, возрастает с возрастанием Е до перегиба кривой и остается относительно большим до. очень больших значений Е.
Приведенное истолкование диэлектрического гистерезиса сегнетовой соли предполагает, что энергия, теряющаяся за цикл и определяемая площадью петли, переходит в работу, затраченную на обращение областей спонтанной поляризации. Это представление неизбежно является только качественным; сверх того, оно не учитывает тех потерь из-за неупругЪй деформации, которые могут иметь место независимо от обращения областей спонтанной ориентации. Тем не менее, представление о том, что обращение областей спонтанной ориентации играет важную роль в явлении гистерезиса, не является несовместимым с выдвинутой Мэзоном теорией гистерезиса в сегнетовой соли, которая была разобрана в § 375.
На фиг. 146 можно видеть, что начальный наклон при £ = 0в точках О,О' и O'i одинаков. Следовательно, в слабых, полях наблюдаемые диэлектрические свойства сегнетовой соли одинаковы независимо от того, состоит ли образец из одной единственной области спонтанной ориентации, или нет, и все, что было сказано в § 452 относительно явлений при слабых полях и небольших напряжениях, становится приложимым ко всем образцам.
В кристалле, образованном одной областью спонтанной ориентации, или в кристалле, состоящем из множества таких областей и имеющем перевес спонтанной поляризации одного знака, теоретически невозможно благодаря обращений областей спонтанной ориентации найти такую напряженность поля, которая свела бы к нулю действительную поляризацию.
*) Старательно, хотя не вполне убедительно, теория структуры, образованной областями спонтанной ориентации, применялась Дэвидом [119],
584
Глава XXV/
§ 480. Необходимо коснуться влияния структуры, образованной областями спонтанной ориентации, на пьезоэлектрический коэфициент du» Вне области между точками Кюри сегнетов/а соль является всегда ромбической, вращающей плоскость поляризации, и знак dn положителен. В сегнетоэлектрической области, где кристалл является моноклинным энантиоморфным, все еще положителен и сохраняет свой знак независимо от того, имеет ли область спонтанной ориентации положительную или отрицательную поляризацию. Знак d!4 может быть отрицательным только в левом кристалле. Благодаря тесной связи между восприи1мчивостью свободного кристалла и du ясно, что взаимодействие между областями спонтанной ориентации должно влиять как на dH, так и на восприимчивость.
Если диэлектрическая постоянная сегнетовой соли измеряется низковольтным мостиком переменного тока, причем на кристалл действует относительно большое статическое поле, то она уменьшается до величины, зависящей от' статического поля. Фиг. 146 подтверждает это. Указанное явление аналогично эффекту механического воздействия, рассмотренному в § 459 и описанному Эррерой [134] и Мюллером [376].
В § 453 и 459 было показано, что величины а^у? и —ЬыУг в образовании поляризации эквивалентны полю Е. Отсюда следует, что если, как это может иметь место в резонаторах с сегнетовой солью, существуют периодические изменения деформации или напряжения, величина которых достаточна для того, чтобы стали заметными нелинейные эффекты, то кривые поляризация — деформация или поляризация— напряжение должны иметь вид, изображенный на фиг. 146. Некоторые доказательства этого дают фиг. ПО, 112 и 113. К несчастью, нет полученных с одним и тем же кристаллом и могущих быть сопоставленными данных зависимости Рх от механического напряжения Yz, зависимости деформации у от электрического поля Ех и зависимости Рх от Е — установленных в широком диапазоне изменения этих величин.
Теперь мы можем рассмотреть зависимость пьезоэлектрического коэфициента (du)« от напряжения в кристалле, состоящем из множества областей спонтанной ориентации. Согласно (5126), в кристалле, состоящем из одной области спонтанной ориентации, этот коэфициент имеет наибольшее значение при малых напряжениях, если Р мало вплоть до той точки, где напряжение достаточно велико, чтобы вызвать обращение PQ. В обычном случае кристалла, содержащего много областей спонтанной ориентации, если наложены статические напряжения, величина которых варьируется, кривая Р(Ъ) должна быть подобна первойач'альной кривой Р(Е) фиг. 146; при этом (<^14)^ — — PjYz. Очевидно, (du) £ невелико вплоть до точки В и имеет приблизительно постоянное значение, идентичное с величиной (du)2 в уравнении (509а). С увеличением Yz оно очень быстро возрастает до величины насыщения. Этого эффекта нужно ожидать для всего интервала температур, в котором существует гистерезис. О его экспериментальном подтверждении упоминается в § 418. В частности, из зависимости (и, следовательно, размеров петли гистерезиса) от температуры следует, что при больших напряжениях (di4)« имеет наибольшее значение на полпути между точками Кюри и постепенно уменьшается по мере приближения к этим точкам. В точках Кюри, если напряжение велико, (du) л дает ложный максимум, как это иллюстрирует фиг. 104.
Доменная структура сегнетовой соли 585
Теория приводит к подобным же выводам для обратного эффекта, когда координатами петли гистерезиса являются у2 и Е и (di4)n = = yz/E (см. фиг. 112).
Доказательства существования областей ориентации в других сегнетоэлектрических кристаллах (не в сегнетовой соли) можно найти в § 498.
§ 481. Полиморфизм сегнетовой соли. Яффе [246] указал, что всякий раз, когда при определенной температуре имеет м^сто переход от непироэлектрического к пироэлектрическому кристаллическому классу, нужно ожидать при этой температуре бесконечного значения электрической восприимчивости, если только этот переход происходит без скрытой теплоты превращения. В первой работе Яффе [(245] разбирается также вопрос о том, не следует ли рассматривать в'ейссову область в железе скорее как тетрагональную параморфическую, чем кубическую, несмотря на то, что отдельный монокристалл с его случайной ориентировкой областей спонтанной ориентации является по виДу кубическим. Можно добавить, что в 1916 г. Перье [412] пробовал сопоставить превращение высокотемпературного кварца в низкотемпературный с ферромагнитной точкой Кюри и пытался найти острый максимум диэлектрической проницаемости. Отрицательный результат Перье можно теперь понять на основании того’ обстоятельства, что ни тот, ни другой кварц не обладает истинным пироэлектричеством.
В ромбической системе имеются три не эквивалентные друг другу взаимно перпендикулярные оси. До сих пор сегнетову соль всегда относили к ромбическому гемиэдрическому (или бисфеноидальному) классу № 6, исходя из гониометрических измерений, сделанных, вероятно, при комнатной температуре, т. е. в области сегнетоэлектрически'х явлений. В этом классе каждая из трех кристаллографических осей является осью симметрии второго порядка, чем исключается возможность существования полярных осей. С физической стороны это значит, что скалярный агент, как, например, температура или гидростатическое давление, не может вызвать появления таких векторных величин, как магнитная или электрическая поляризация, и быть причиной существования линейного пьезоэлектрического эффекта в этом классе. Следовательно, согласно принципу Неймана в формулировке Фогта, любое пироэлектричество, обнаруживающееся в этом классе, должно считаться «ложным».
Вне интервала существования спонтанной поляризации физические свойства сегнетовой соли полностью согласуются с ее ромбической гемиэдрической симметрией. С другой стороны, внутри этого интервала, как подчеркнул Яффе [245], существует несколько сходных явлений, указывающих, что ось X в физическом смысле является полярной осью; поэтому кристаллограф должен учитывать следующее: спонтанное внутреннее поле, пироэлектричество (§ 521), униполярную проводимость (§ 410), асимметрию поляризуемости (§ 433) и обратного пьезоэлектри-‘ческого эффекта (§ 422) и линейный электрооптический эффект [376].
Все эти явления относятся к характерным свойствам области спонтанной ориентации, точно так же, как таким свойством является большое внутреннее поле в железе. Если бы в сегнетовой соли области спонтанной ориентации были очень малы, как в железе, и их полярности имели бы случайные направления в пространстве, или были бы поровну раздё1-лены между, положительным и отрицательным направлениями оси X,
586 Глава XXV’____________________________________________________
ни один из эффектов, связанных с существованием полярной оси, не мог бы наблюдаться макроскопически и не возникло бы сомнения относительно принадлежности бегнетовой соли к ромбическому гемиэдрическо-му классу. Рассмотрим, например, пироэлектрический эффект вдоль оси X', который, по Мюллеру, является очень сильным в интервале между точками Кюри. Сообразно со сказанным мы должны сделать вывод, что либо этот эффект является только «кажущимся», как результат спонтанной поляризации, либо между точками Кюри сегнетова соль принадлежит, собственно говоря, к классу более низкой симметрии. Последняя Точка зрения кажется более логичной, по крайней мере, в случае кристалла, состоящего из единственной области спонтанной ориентации. Спонтанная поляризация деДает ось X полдрной осью симметрии в физическом смысле. Покажем теперь, что это так и в кристаллографическом смысле. ।
Причисляя с,егнедову соль в интервале между точками Кюри к определенному классу, ограничим свои рассуждения случаем одной области спонтанной ориентации. Единственным пьезоэлектрическим классом ромбической системы, кроме гемиэдрического, является гемиморфи-ческий, но- он исключается из-за отсутствия d\$. Соответствующие предположения Валашека Q543] и Ташека и- Остерберга [504] можно поэтому отбросить. Если теперь принять ось X за полярную ось, то оси У и Z не могут 'больше оставаться осями симметрии. С одной единствен^ ной оставшейся двойной осью симметрии кристалл должен быть моноклинным гемиморфическим. Вспомним, что и в ромбической и в моноклинной системах оси не эквивалентны друг другу, но в ромбической системе они взаимно перпендикулярны, а в моноклинной системе только одна ось перпендикулярна каждой из двух остальных, образующих угол, отличный от 90°. Таким образом, переход от ромбической системы к моноклинной состоит в кристаллографическом отношении только в изменении угла между двумя осями, в данном случае осями У и Z. Таковы рассуждения, приводящие к причислению сегнетовой соли к моноклинному гемиморфическому классу.
Согласно принятому обычаю, как указано в § 5, .моноклинная полярная ось b должна быть названа осью Z. Чтобы избежать путащЩы, примем предложение Яффе называть ее попрежнему осью X. Ромбическая ось У остается неизменной, являясь моноклинной осью У с обратным знаком. Ось а моноклинного кристалла образует тогда небольшой угол Р с отрицательным направлением ромбической оси У. Ромбическая ось Z совпадает с моноклинной осью X (или с).
Это решение Требует пересмотра фогтовского написания пьезоэлектрических констант. Он осуществляется взаимной перестановкой индексов 1 и 3 и индексов 4 и 6. Таблицу модулей, данную в § 131, заменяем тогда следующей:
dij 0 0 0 0 0 0 d2bd2. 0 0 0 0 б/35 f/3g
Дополнительно к t/и, d25 и б?зб эта таблица содержит в себе пять новых модулей. Для их нахождения, повидимому, не было сделано никаких попыток, кроме экспериментов, описанных в § 464 ji 483. Главная трудность их обнаружения и измерения лежит в исключении паразитических действий, вызванных большим d\^
Доменная структура сегнетовой соли 587
’ Угол р между осью с и ортогональной осью Z является просто углом сдвига уг, произведенного при отсутствии внешнего поля в области спонтанной ориентации ее собственным спонтанным полем. Этот угол изменяется при изменении температуры bi интервале между точками Кюри, имея максимум порядка 3' при температуре около 5° С. Перемена полярности области спонтанной ориентации при наложении внешнего поля меняет направление полярной оси и знак р на обратные.
Не представляется неожиданным, что столь незначительное отклонение от ортогональности ускользает от внимания, особенно потому, что гониометрические измерения производились над кристаллами, в которых существовали комплексы областей спонтанной ориентации противоположных знаков. Следует подчеркнуть, t что структура сегнетовой соли является в сущности доменной структурой, для которой р имеет величину, отличную от нуля. В работе Яффе упоминаются другие примеры установленного перехода из одного кристаллического класса в другой, при котором йзменения параметров очень малы.
Из этих рассуждений следует, что между точками Кюри кристалл обыкновенной сегнетовой соли с его комплексом положительно и отрицательно ориентированных областей спонтанной ориентации должен считаться сдвойникованным, причем1 двойникование принадлежит к дофинейскому (ориентационному) типу, как в низкотемпературном кварце, полученном охлаждением высокотемпературного монокристаль-ного кварца (электрическое двойникование).
Точки Кюри являются точками перехода от моноклинной геми-морфной к ромбической гемиэдрической симметрии. В этом повинен пьезоэлектрический эффект. Изолированная элементарная ячейка была бы ромбической при любой температуре, но между точками Кюри взаимодействие диполей (или их эквивалентов) соседних ячеек таково, что создает внутреннее поле и сопровождающую его деформацию и делает всю область спонтанной ориентации моноклинной.
§ 482. В § 436 было указано, что коэрцитивное поле Ес имеет при 0° С значение около 200 V/см, приближаясь к нулю у обеих точек Кюри. Мы мож^м сделать тепефь следующий шаг, понимая Ес как меру энергии, потребной для обращения полярной оси кристалла. Е е так мала при любой температуре потому, что температуры перехода очень близки друг к другу. Когда поле Е достигает критической величины Е с, диполи, являющиеся причиной спонтанной поляризации, из своего стабильного состояния, в котором все они ориентированы в каком-то одном направлении, перевертываются в другое положение с-противоположным направлением ориентации. Когда это происходит, угол р меняет знак. Fla полпути между двумя стабильными положениями существует конфигурация более высокой (ромбической) симметрии, для которой [3 = 0. При приближении к какой-либо из точек Кюри стабильные состояния все более сближаются с этим! состоянием более высокой симметрии. Этим объясняется, почему приближается к нулю энергия, необходимая для того, чтобы вызвать обращение. Конечное изменение деформации и поляризации, вызванное исчезающе малым электрическим полем, означает, что в точках Кюри и ч\х стремятся к бесконечности. Экспериментальные данные (§ 474), невидимому, подтверждают это заключение.
588 Глава XXV
Упомянутый выше угол [Э есть спонтанная деформация у%, рассмотренная в § 403 и 452. Пользуется известностью принадлежащая Вигнессу [566] первая экспериментальная работа, на основании которой могла быть вычислена величина у^. Яффе первым признал характерной особенностью сегнетовой соли и разъйснил ее теоретическое значение так, как было в общих чертах сделано выше. На основании данных Вигнесса Яффе вычислил 8- 10~~4 при температурах от 0° до 10° С, откуда = 2,7'. Кристалл, исследованный Вигнессом, обнаруживал явственную униполярность, однако неправдоподобно, чтобы это был образец, состоявший из одной единственной области спонтанной ориентации. Поэтому указанная выше величина скорее слишком мала, чем слишком йелика.
Из наблюдений Гинца, иллюстрированных фиг. 112, могла быть сделана оценка величины при том предположении, что у® по аналогии со спонтанной поляризацией Р° может быть вычислена из остаточной деформации при Е = 0. Определенное таким способом при 18,5° С значение у° = 0,95 • 10~4 меньше того, которого можно было ожидать на основании данных Вигнесса, даже если принять во внимание большую близость к точке Кюри; причиной может быть существование большого числа областей спонтанной ориентации.
Мюллер [380] произвел прямое измерение изменения угла между гранями Y и Z моноблока сегнетовой соли с температурой. Он не обнаружил действия температуры выше верхней точки Кюри, но наблюдал начинающееся при 6„ изменение угла, достигавшее З'(у° = 8,7 • 10~4) при 11°С и 3'45" (г/о = 10,9 • 10-4) при 0° С.
Наконец, спонтанная деформация может быть вычислена из уравнения (494), у} = Ь\4Р°, если взять 6]4 и Р° из фиг. 144. При 0°С Ь14 = 6,8 • 10-7, = 740, откуда у°г = 5,03 • 1Q-4.
Это значение согласуется с тем, которого можно ждать как на основании данных Вигнесса, так и данных Мюллера, при учете различия в числе областей спонтанной ориентации употреблявшихся образцов.
Хотя исследования спонтанной деформации вблизи нижней точки Кюри 6Z еще не выполнены, все же есть некоторое основание сомневаться, что зависимость между спонтанной деформацией и температурой может быть представлена кривой, подобной кривой для Р° на фиг. 145, с максимумом для у2 порядка 10—3.
С точки зрения теплофизики спонтанную деформацию можно описывать как проявление аномалии коэфициентов термической деформации (§ 407). Подробности о тепловом расширении в моноклинных кристаллах можно найти у Фогта 0 и у Вустера р658].
Искусственная моноклинность. В широком понимании, сегнетова соль проявляет свойства, присущие моноклинным кристаллам, даже за точками Кюри, а именно в электрическом поле. Определение класса, к к которому обычно причисляется тот или иной кристалл, основывается на гониометрических измерениях образцов, не подверженных ни механическим, ни электрическим напряжениям. Об изменении кристаллографической симметрии кристалла в напряженном состоянии упоминается в § 531 и более подробно в § 464. Как на пример эффекта, могущего, согласно теории, быть наблюдаемым в моноклинных, но не в ромбических кристаллах и тем не менее обнаруженного в сегнетовой соли выше
’) «Физика кристаллов», стр. 289—294.
Доменная структура сегнетовой соли 589
верхней точки Кюри, можно указать на линейный электрооптический эффект, рассматриваемый в § 535.
§ 483. Нахождение «моноклинных» коэфициентов с помощью гидростатического давления. Если, как это было указано в примечании к стр. 563, между точками Кюри в моноклинной сегнетовой соли имеет место осязаемый «моноклинный» пьезоэлектрический эффект, не зависящий от «морфических» эффектов, его существование может быть обнаружено с помощью гидростатического давления. Согласно принятой в § 481 системе осей, пьезоэлектрическими модулями, которые должны участвовать в таком эффекте, являются t/ц, d12 и dl3. Однородное гидростатическое давление И должно тогда путем прямого воздействия вызвать поляризацию, выражаемую уравнением (183):
~ ?Х — (А1 Ч- ^12 + ^13 ) П.
Пластинка среза X, погруженная в масло, являющееся электрическим изолятором, и имеющая электроды, соединенные с измерительным прибором, должна реагировать на изменения давления масла. Преимуществом этого метода является полное исключение из наблюдаемой возмущающих воздействий, так как гидростатическое давление не вызывает сдвига.
Предварительное исследование этого рода было выполнено Гросвенором Пластинка сегнетовой соли среза X толщиной 4,2 мм и площадью 8,3 см2 была соединена с усилителем постоянного тока. С другим кристаллом были получены, в сущности, те же результаты, что и с этим. Было нетрудно получить отклонение миллиамперметра, когда на парафиновое масло, окружавшее кристалл в металлическом сосуде, накладывалось давление в несколько кг/см2. Трудность заключалась в истолковании результатов. В исследованной области температур сегнетова соль является пироэлектриком. Адиабатическое нагревание масла и самого кристалла при наложенном давлении вызывало добавочное отклонение пироэлектрического происхождения. Пироэлектрический эффект наиболее силен у точек Кюри, имея в этих точках противоположные знаки и проходя через нуль около 0°С. Следовательно, возможно исключить помехи со стороны пироэлектрического эффекта наложением давления при температуре настолько ниже 0°С, чтобы чисто пироэлектрическая поляризация при возрастании температуры вследствие приложенного давления обратилась бы в нуль.
В настоящее время этим способом получены только предварительные результаты, указывающие для (du + ^12 + ^13) на величину порядка'3-Ю-1’1. •
Наблюдалось также, что при 11,3°С отклонение равнялось нулю. В предположении, что пироэлектрический и пьезоэлектрический эффекты при этой температуре равны и противоположны, было сделано грубое вычисление (*Л1 + ^12 4~ ^13), причем величина пироэлектрического коэфициента р 20 оценивалась по способу, указанному в § 521, и производилось вычисление повышения температуры, вызванного сжатием. Главным образом, благодаря тому обстоятельству, что употреблявшаяся пластинка кристалла имела, вероятно, структуру, образованную многочисленными областями спонтанной ориентации, для которой предполо-
0 А. С. Grosvenor, магистерская диссертация, Веслейский университет, 1940,
590
Рлава
женное значение р может оказаться гораздо большим, можно ожидать, что вычисление должно дать слишком высокое значение для (t/ц -{--1- d\2 + t/i3). Значение, найденное по этому способу, действительно имело порядок в тысячи раз больший, чем полученное по первому методу.
Возможно, что Повторение этих экспериментов с большей чистотой, сочетающееся с полным пироэлектрическим исследованием образца, может оказаться весьма ценным для разрешения проблемы сегнетовой соли. При этом исследователь не должен забывать о необходимости использовать несколько различных образцов.
ГЛАВА XXVI
ТЕОРИЯ ВНУТРЕННЕГО ПОЛЯ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ
§ 484. Хотя значение ориентации свободных диполей для объяснения природы сегнетоэлектриков подвергалось сомнению, все же теория диполей, включая идею внутреннего поля, играла в литературе столь выдающуюся роль (и все еще может играть ее в видоизмененной форме), что есть смысл посвятить настоящую главу краткому обзору этой теории, отсылая читателя за дальнейшими подробностями к работам Курчатова [263, 634], Мюллера [376] и Буша [88]. В конце главы подводится итог попыткам вычисления дийольного момента сегнетовой соли.
Главные различия между теорией внутреннего поля и теорией внутреннего взаимодействия следующие: 1. Поляризация Р выражается кубической функцией внутреннего поля F в первой теории и кубической функцией обыкновенного поля Е = Vie во второй. 2. Существование двух точек Кюри и свойства кристалла в интервале ме>Кду ними первая теория считает следствием небольших изменений молекулярной поляризуемости, а вторая — небольших изменений восприимчивости зажатого кристалла. Детальное сопоставление обеих теорий можно найти в следующих параграфах.
Из уравнений (171) и (174) видно, что поляризация может быть выражена соотношением:
P=N^eaF^P.L{a}, (530)
где L(a).— функция Ланжевена, Ро—поляризация при бесконечно большой напряженности поля, аеа — поляризуемость при деформации атома (электронная плюс атомная) и а = р FIKT. Если L(a) пишется в обобщенной приближенной форме (562), то !):
Согласно (168),
PoQ^ рэ (КТ)3
(530а)
F=E^P •
(531)
О В § 552 установлено, что величина коэфициента р зависит от ограничений, наложенных на свободу диполей принимать' ту или иную ориентацию, т. е. от квантового числа п. Для неограниченной свободы ориентации п — оо, и уравнение переходит в. первоначальную функцию Ланжевена (556) или (556а) при р =1/з- Если ориентация ограничивается параллельным или ант^параллельным положениями по отношению к единственному направлению, та п ='/2 и р=1. Так как аномалия диэлектрических свойств сегнетовой соли связана только с направлением X, то в уравнении (530а) можно положить рПротив этой формы функции есть возражение, что она требует абсолютного квантования относительно одного направления; предположение, которому нет теоретического оправдания в случае твердых диэлектриков. Однако очень возможно, что р =*=1 ближе к истице, чем р —Уз- Численные значения N,
592
Глава XXV/
С помощью этого соотношения уравнение (530а) могло бы быть превращено в теоретическое выражение для поляризации в зависимости от приложенного поля Е, которое включало бы как нелинейность, так и зависимость от температуры. Хотя шаг в этом направлении был сделан еще Бушем, однако различные параметры и зависимость N и Ро от температуры настолько мало известны, что такое выражение нельзя подвергнуть экспериментальной проверке.
§ 485. Теория внутреннего поля Мюллера. Эта теория, переработанная Дебаем и Курчатовым, предполагает существование поля F, связанного с Р эмпирическим уравнением такого же вида, как (530а):
p=aMF— ур , (532)
где &м — поляризуемость элементарного объема в слабых полях (чтобы не смешивать эту величину с молекулярной поляризуемостью, мы пишем «ж вместо мюллеровской а). Величина включает действие, производимое как диполями, так и пьезоэлектрической деформацией; теория настолько феноменологична, что составные части а.м в уравнениях отдельно не проявляются.
Как , так и р зависят от температуры Ядром теории Мюллера является предположение, что «лт может быть выражено соотношением
ал=-®-, (533)
где 7 —константа внутреннего поля из (531), Т — абсолютная температура и 6(Г)—функция, которую Мюллер называет «температурой Кюри». Хотя 6 (Г) имеет природу температуры, будучи равна или
в точках Кюри, однако она может быть с большим основанием названа функцией Мюллера, чтобы избежать путаницы с термином «точка Кюри», к которому часто прибегают для обозначения температуры Кюри. В настоящее время не существует удовлетворительного теоретического выражения для 9(Г), которое могло бы быть подвергнуто количественной проверке '2).
Так как аномалии в сегнетовой соли существуют только в полях, направленных по оси X, мы интересуемся значением 7 только для этого направления. Можно ожидать, что сегнетова соль будет анизотропной по отношению к 7, имеющей, вероятно, различные значения для направлений, параллельных трем осям.
В противоположность Мюллеру, Буш, работа которого основана главным образом на мюллеровской теории внутреннего поля, воспользовался функцией Ланжевена. Если мы последуем здесь методу, описываемому в общих чертах в § 550 для случая ферромагнетизма, то он может оказать помощь как в интерпретации теории, так и в установ-
F и 7 известны слишком неточно, чтобы можно было решить этот вопрос. Пока же мы должны удовольствоваться предположением, что для не слишком больших значений поля зависимость между ;j- и а и соответственно зависимость между поляризацией и полем может быть представлена кубическим уравнением, подобным (530а), константы которого подлежат эмпирическому определению.
О Мюллер указывает, что коэфициент насыщения В в его последней работе идентичен с Т-
2) Буш [88] вывел теоретическое соотношение между ®(Т) и Т, но оно содержит параметры, численное значение которых все же остается неизвестным.
Теория внутреннего поля сегнетоэлектрических кристаллов 593
лении аналогии с ферромагнитными явлениями. Если Р и F в уравнении (532) являются соответственно ординатой и абсциссой, то результатом будет кривая, подобная кривой на фиг. 163. Кривая, соответствующая «линии Вейсса», получается, если записать (531) в форме
-- - А . (534)
7 7
При более высоких температурах, на несколько градусов выше верхней точки Кюри, имеем область чисто параэлектрических явлений. В этой области, как предположил Шеррер [451], система диполей ведет себя как дипольный газ в пространстве между электродами.
Верхняя точка Кюри является температурой, при которой в слабых полях наклон линии Вейсса равен наклону кривой:
dP J_ 6(Г)
др ~~ аМ 70ы
Так как в, точке Кюри О (Г) = , то, следовательно, при этой критиче-
ской температуре о.м = 1/7. Когда температура падает ниже 0и , наклон линии Вейсса уменьшается, объясняя таким образом возникновение спонтанной поляризации; для случая магнетизма это иллюстрируется точкой Р' на фиг. 163.
Для объяснения существования нижней точки Кюри Вг Буш усовершенствовал курчатовскую теорию изменения числа свободных диполей при изменении температуры и вывел различные кривые Ланже-вена для каждой температуры. При этом 0z— та температура, при которой линия Вейсса снова касается кривой в начале координат. Мюллер, не пользующийся в явной форме числом свободных диполей, просто полагает 7 «лт = 1 в каждой точке Кюри Ч
Значение величины 70^ обнаруживается, если, используя уравнения (531) и (532), написать:
(535)
Вне области между точками Кюри 7»^ <С 1, F исчезает, если Е — 0, и сегнетова соль ведет себя как обычный диэлектрик. В области, где внутреннее поле имеет два действительных значения,
отличных от нуля, чем объясняется спонтанная поляризация. Сегнетоэлектрической областью является та, в которой немного больше, чем 1/7. Согласно этой теории, небольшое и постепенное изменение в зависимости от температуры является причиной возникновения аномалий, подобно тому как в теории взаимодействия (§468) этой причиной
’> Дебай (см. [617], стр. 89) предсказал большие значения диэлектрической постоянной полярных жидкостей, когда величина N (^еа + ad) приближается к еди-О
нице. Так как — соответствует 7 и N(aea 4- срответствует , это доказывает, что
предположение Мюллера о том, что в точках Кюри 7^=1, является для сегнетовой соли аналогичным условию Дебая для жидкостей. Мюллеровская пьезоэлектрическая составляющая в доставляет величину, необходимую для удовлетворения равенства 7а = 1, делая тем самым диэлектрическую постоянную бесконечной при
некоторых температурах.
38 Кэди
594
Глава XXVI
считается небольшое и постепенное изменение восприимчивости зажатого кристалла.
Кубическое уравнение (535) эквивалентно (496): Е = Это следует из того, что в равенстве (532) можно принять Р пренебрегая величиной Р 773, а из приводимых ниже уравнений (536) 1 ам
и (537) видно, что V = , в то время как раньше было уста-
новлено, что В = Р74.
Очевидно, что числовое значение <%м зависит от числового значения 7 (или f у Мюллера). Как мы видели в § 113, можно ожидать, что 7 для всех кристаллов должна иметь тот же порядок величины, что и теоретическое значение фактора Лоренца, т. е. /• В настоящее время теоретическое вычисление 7 для сегнетовой соли невозможно; сверх того, как указал Буш, можно полагать, что 7 имеет различные значения для кристаллической решетки и для диполей. Не делая этого различия, Мюллер, как это будет видно, вывел 7 эмпирическим путем из уравнения (536). Следует подчеркнуть при этом, что, в противоположность случаю ферромагнетизма, не нужно приписывать величине 7 очень высоких- значений для объяснения существования сильного внутреннего поля в сегнетоэлектриках. Сверх того, так как рентгеновские исследования Уоррена _ и Краттера [579] не обнаружили изменения структуры сегнетовой соли в непрерывной области температур, можно с уверенностью утверждать, что 7 не подвергается заметному воздействию температуры.
§ 486. Закон Кюри — Вейсса для сегнетовой соли вне области между точками Кюри получается из уравнений (531) и (533). Таким способом находим для свободного кристалла в слабых полях, где может быть отброшен второй член уравнения (532), следующее выражение:
71 Е* т[Г-6(7)] ‘
Оно является частным случаем общей зависимости между диэлектрической восприимчивостью и поляризуемостью, определяемой уравнением (173) 1}. Величина 6 (Г) обозначает «температуру Кюри», которая в § 434 обозначена t с. Величина —теоретический эквивалент экспериментальной величины С уравнений (490) и (524). Для температуры на несколько градусов выше верхней точки Кюри 6и имеет место О (Г) — ®и. Тогда (536) превращается в следующее уравнение:
1 __7(Г-6И)
А *}' 0и
(537)
которое написано в обратных величинах для сравнения с прежним уравнением. При более высоких температурах Ъ(Т) принимает значения, несколько отличные от 6и, как указывалось при разборе уравнения (490).
О Если (536) написать в форме—1/ т[——Е —VaAf’T0 оно будет аналогом уравнения (497): —у/ — Мюллер [380] называет а^Ьц (Ри/сц в его
обозначении) «кажущимся фактором Лоренца». Е — аналог 1/ам. Численного ра-венства ожидать нельзя, так как 7 — фактор внутреннего поля.
Теория внутреннего поля сегнетоэлектрических кристаллов 595
По аналогии с теорией ферромагнетизма можно утверждать следующее. Экспериментальное подтверждение закона Кюри — Вейсса, выраженного Мюллером и Хаблютцелем с помощью уравнения (537) § 465, указывает, что если эффект вызван диполями, то последние должны быть почти все свободны при температурах вне области между точками Кюри.
Так как Мюллер нашел экспериментально, что для всех температур выше 34° С зависимость между 1/^' и Т была с большой точностью линейной, то он смог вычислить из (536) значение константы внутреннего поля а именно 7 = 2,19.
Можно видеть, что теория внутреннего поля, вместе с основным предположением, выраженным уравнением (533), дает теоретическое обоснование закона Кюри — Вейсса [уравнение (536)]. В этом отношении теория внутреннего поля более действенна, чем теория взаимодействия, которая не способна установить теоретическую зависимость между восприимчивостью и температурой, принимая закон Кюри — Вейсса просто как экспериментальный факт (см. § 465).
В сегнетоэлектрической области теория внутреннего поля также предсказывает существование закона Кюри — Вейсса, что согласуется с наблюдениями. Для слабых полей и температур, отличающихся от точек Кюри не более чем на несколько градусов, находим тем же способом, который применен в § 552 при выводе уравнения (566), что начальная восприимчивость имеет вид
= (538)
Из этого выражения вытекает теоретическое уравнение для восприим-чивостей между точками Кюри:
—~о1рТ т\------- ’ (538а)
1 27(6и— Т) у v }
приблизительно согласующееся с экспериментом.
Сопоставление уравнений (538а) и (537) показывает, что ниже верхней точки Кюри начальная восприимчивость изменяется в зависимости от температуры приблизительно вдвое быстрее, чем выше этой точки, как уже было указано в § 465. То же имеет место для случая ферромагнетизма (см. на фиг. 117). Из уравнений (529) и (529а) мы видели, что та же зависимость сохраняется для пьезоэлектрической константы.
бесконечное значение восприимчивости в точках Кюри следует из уравнения (536) или (538), если положить — 1.
§ 487. Теоретические выражения для спонтанного внутреннего поля F° и спонтанной поляризации Р° получаются, если в уравнениях (535) и (531) положить £ ь= 0:
(539)
р02 7^-1 _ 0(Г) — Г .
38*
596
Глава XXVI
Для ознакомления с остроумным способом, которым Мюллер комбинировал результаты диэлектрических и электрооптических измерений при различных температурах и напряженностях поля для того, чтобы определить значения неизвестных переменных величин, надлежит обратиться непосредственно к его работе [376]. Нужно сказать, что в добавление к уже упомянутым данным была сделана оценка величины [3 (2,5-10—9), с помощью которой из уравнений (539) и^539а) могли быть вычислены значения F° и Р° для любой температуры. Например, при 0° С, Т70 2600 эл.-ст. ед. = 770 000 V/см и Р° 1200 эл.-ст. ед.
Последнее значение как нельзя лучше согласуется со значением Р° из пироэлектрических и осциллографических данных.
Основываясь на наблюдениях Мюллера, мы построили кривые зависимости от Т как для 7 = 2,19, так и 7=^ (фиг. 147).
Вообще можно сказать, что теория внутреннего поля Мюллера находится в хорошем количественном согласии с опытом для сегнетоэлектрических областей. Только использование пьезоэлектрических явлений в его теории взаимодействия позволило Мюллеру получить количественное согласие между теорией и опытом в непрерывном интервале температур. Объединение обеих теорий остается задачей будущего.
Фиг. 147. Поляризуемость аМ единицы объема как функция температуры по данным Мюллера.
§ 488. Несмотря на то, что теория внутреннего поля, изложенная выше в общих чертах, явным образом имеет дело только с диэлектрическими свойствами, она может быть использована также для описания упругих и пьезоэлектрических свойств. С этой целью можно использовать метод, предложенный в § 189 при трактовке проблемы с помощью внутреннего поля F, применяя уравнения, аналогичные уравнениям табл. 21. Коэфициентам tzi4 и поляризационной теории, или, по Фогту, би и du, соответствуют пьезоэлектрические константы внутреннего поля, которые могут быть названы йи и Последние, как легко показать, должны быть с большой точностью пропорциональны <714 и би. Величина bF4 связана с d14 уравнением dX4 = (1 + 7Tz)^w где 7 — константа внутреннего поля.
Единственное применение теории внутреннего поля к изучению пьезоэлектрических свойств имело место в работе Норгордена [393], эксперименты которого были описаны в § 424 и работа которого, повидимому, являлась предшественницей теории взаимодействия. Норгорден находит, что bf4 (dx4 в его обозначении) практически не зависит от температуры в интервале от 14° до 33° С и слегка увеличивается при возрастании напряженности поля. В результате, из установленной выше зависимости между и bF4 и соотношения dX4 — ^'bl4 в (4956) следует, что Ь]4 = (~7 -]~ т) bF4 . Так как V велико, a bF в первом приближении не зависит от температуры, то это выражение подтверждает уже сделанное ранее заключение, что существенно постоянно.
Конечно, экспериментальные данные Норгордена могли быть пол-
Теория внутреннего поля сегнетоэлектрических кристаллов 597 костью рассмотрены в рамках поляризационной теории, без обращения к гипотезе внутреннего поля, но это вряд ли необходимо.
§ 489. Соотношение между теориями Мюллера, Курчатова и Фауле -ра. Применяя теорию Дебая (§ 445), Курчатов предполагает, что соотношение Клаузиуса—Мосотти
Г 5401
может быть распространено на случай, когда молекулярная поляризуемость а содержит дипольный член. Величина ko — начальная диэлектрическая постоянная свободного кристалла, N— число молекул в кубическом сантиметре. Чтобы выразить зависимость Na от температуры, он пишет:
^T^-N.T. (540а)
Сравнивая это уравнение с соответствующим уравнением Мюллера (533), вспомним прежде всего, что мюллеровская а (которую мы обозначим ам) есть поляризуемость на единицу объема. Уравнение (533) может быть выражено в форме
6(Г)=уаЛ17'. (541)
Если для константы поля 7 взять величину то уравнение (541) становится идентичным уравнению (540а), а ам = Na .
О превосходном согласии результатов Курчатова и Мюллера в их измерениях 'k0 свидетельствует большое сходство их графиков. Курчатов строит Т как]Гфункцию Т на фиг. 9 своей книги [634], тогда как Мюллер вычисляет ам из уравнения (536) и затем, исходя из (533), строит О (Г) в зависимости от Т (фиг. 25 его статьи[376]). Эта последняя диаграмма содержит две кривые для 6(7) соответственно при 7 = ^ и 7 = 2,19°. Из них только ту, для которой 7=^ , можно сравнить с кривой Курчатова. Предположение Мюллера, что в сегнетоэлектрической области ^ам > 1, отвечает условию у Na > 1 в уравнении (540а) 2). Хотя Курчатов четко не формулирует этого, из его уравнений и графиков явствует, что в сегнетоэлектрической области ~/Va^> 1.
Курчатов не разбирает теоретического значения того обстоятельства, что величина -д-М» в правой части уравнения (540а), делаясь больше единицы, приводит к отрицательным значениям k0. Теория взаимодействия Мюллера также вводит идею об отрицательной диэлектрической постоянной, о зависимости которой от действительной диэлектрической постоянной в интервале между точками Кюри говорится в §454.- “ . .
' Пользуясь данными Курчатова, мы вычислили значения Na для нескольких различных температур. Будучи нанесены на фиг. 147, они очень точно ложатся на кривую Мюллера.
.О Как . было .указано, в .§ 485, численное значение а^(и а) зависит от выбора 7. Значения. &м- в. зависимости рт температуры даны на фиг. 147.
2)Идентичность курчатовскОго 'уравнения (540а) с* мюллеровским выражением легко обнаруживается, если положить в (536) 7= у и k0.^ 1 4 4 л т/.
598 Г лава XXVI
Хотя теория Фаулера не дает данных, могущих быть проверенными опытом, однако можно удостовериться, предсказывает ли она, подобно теории Мюллера, существование зависимости между 6 (Т) и Т. Мюллеровской (>(Т) соответствует у Фаулера T^gV, которая, будучи нанесена на график с Т в качестве абсциссы, дает кривую такого же в общем характера, как кривая Мюллера.
Ограниченность теорий Курчатова и Фаулера состоит в основном в том, что они пренебрегают добавочной пьезоэлектрической составляющей диэлектрической постоянной. Учитывая этот эффект вместе с нелинейными эффектами в сильных полях, Мюллер смог, как мы видели, обнаружить источник диэлектрических аномалий закрепленного кристалла сегнетовой соли.
§ 490. Вычисление дипольного момента сегнетовой соли. Множество теоретических работ по сегнетовой соли сконцентрировано вокруг гипотезы о способных вращаться диполях, которые чаще всего считаются принадлежащими молекулам кристаллизационной воды. Поэтому представляется желательным показать, как можно оценить величину дипольного момента, невзирая на то, что, как это будет показано в § 542, особенности диэлектрических свойств скорее вызываются водородными связями, чем вращающимися диполями.
Для оценки дипольного момента может быть использована только формула для слабых полей. Исходим из мюллеровского уравнения (533), в котором означает поляризуемость на единицу объема. «м может быть выражена с помощью уравнения (177), если через N] и обозначить соответственно число элементов кристаллической решетки и число постоянных диполей в единице объема:
- N.^ . (542)
Соответствующие величины для коэфициента молекулярного поля т и коэфициента р обобщенной ланжевеновской функции (§ 114) будут введены позднее. Для нашей цели нужно установить различие между двумя значениями, которые, принимая во внимание § 485, могут быть приписаны 7 в обоих членах уравнения (542).
Если мы соглашаемся с Курчатовым и другими считать дипольные моменты принадлежащими молекулам Н2О, то можно допустить существование четырех таких отдельных моментов для каждой молекулы сегнетовой соли. Но если молекула сегнетовой соли является единым диполем, то число будет, по крайней мере при достаточно высоких температурах, равно числу молекул в кубическом сантиметре (3,8-1021). Таким образом, N2 будет равно либо 3,8- 10’21 либо 15- 1021, в зависимости от того, равно ли п (число диполей связанных с молекулами) единице или четырем.
В каждой из точек Кюри уравнение (542) становится равным единице. При вычислении р- нужно брать верхнюю температуру 0 — 296,7°К, так как только в этом случае мы вправе приписать указанные выше значения.
Следующим шагом, который нужно сделать, прежде чем будет найдена р является определение величины первого слагаемого в уравнении (54-2).- Это может быть выполнено с помощью данных Курчатова [634] о
') См. [620], стр. 818. ' '
Теория внутреннего, поля сегнетоэлектрических кристаллов
599
восприимчивости кристаллов, выращенных из смеси сегнетовой соли с изоморфным ей виннокислым натрий-аммонием (§ 491). Последний сам по себе не является сегнетоэлектриком. Для смешанных кристаллов Курчатов обнаружил, что если содержание сегнетовой соли в них не превосходит 41%, то величина и в (540а) не зависит от температуры, указывая этим, что налицо имеется только собственная поляризация решетки, представленная первым членом (542). Исходя из опытных данных и предполагая, что поляризация решетки одинакова для всех изоморфных смесей, включая и чистую сегнетову соль, находим, что в. верхней точке ' Кюри JVi 7 аае 0,6. Это значение получается непосредственно из восприимчивости [например, с помощью уравнения (536)] и не требует знания Л/ь 7 или в отдельности.
Вспоминая, что, согласно § 485, в верхней точке Кюри у %м =1, и полагая в уравнении (542) Т — Вк , находим, что N2 W2/Kqh= — 1 — 0,6 — 0,4, откуда
(543)
В табл. 36 приводятся значения р-, вычисленные по формуле (543) для и, равного 1 или 4, на каждую молекулу сегнетовой соли дня 7 = ~ или 2,19 (значение Мюллера) и для р — ~ или 1 (§ 484). Чтобы показать, каков был бы дипольный момент, если бы поляризуемость вызывалась только диполями, прибавлен столбец для р/ = р-]/0,4; эта величина получается, если в (543) опустить множитель 0,4.
Все стоящие ниже значения р- имеют порядок величины, обычно принимаемый для полярных молекул. Значение, напечатанное жирным шрифтом, является, вероятно, для сегнетовой соли наиболее приемлемым.
Таблица 36
ВЫЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДИПОЛЬНЫХ МОМЕНТОВ СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ (в электростатических единицах)
1 р п и' Jb р-
4тс т 1 2,98-10—36 1,73-10-18 2,74-10-18 9
"3 3 4 0,75 0,86 1,37 17
1 1 0,99 1,00 1,58 5
4 0,25 0,50 0,79 10
2,19 1 1 5,69 2,38 3,78 12
3 4 1,43 1,20 1,89 25
1 1,89 1,38 2,18 7
1 4 0,47 0,69 1,09 14
Однако может быть сделана другая оценка величины р., если использовать мюллеровскую величину р = 2,5 • 10—9 [см. § 487 и уравнение (532)]. Предположим, что (532) может быть представлено ланже-веновской функцией вида, приведенного в уравнении (176). Если последнее решить относительно Р и сравнить с (532), то мы найдем» что в точке
600
Глава XXVI
Кюри ам = Np^jKT, р = Nq^/Ю Т 3, откуда г2 — ^pK^qa-M . Значение р. зависит от выбора р и q. Если принимается первоначальная функция Ланжевена, определяемая уравнением (175), то . При
использовании уравнения (176), — (см. § 552, 484). При
= 2,5 10~9, ам = 0,257, К = 1,37 • 10—1€, результатом будет соответственно р.= 12 • 10-18 или 5,2 • 10-18. Эти цифры указывают, по крайней мере, правильный порядок величины, с перевесом в пользу второй формулы.
Исходя из наблюдаемой спонтанной поляризации, может быть произведена оценка р. = P/Nz, т. е. среднего значения слагающей дипольного момента в направлении поля (§ 548). Эта величина является функцией как поля, так и температуры, но принимать во внимание следует только ее значение при 0° С и Е — 0. Тогда Р есть спонтанная поляризация ' Р° при 0° С, где она имеет наибольшее экспериментально найденное значение, именно 740 эл.-ст. ед. Используя данные выше значения TV2, находим р = 0,2-10—18 или р. = 0,049 • 10—18, сообразно с тем, равно ли число диполей на одну молекулу единице или четырем. Приблизительно вдвое большие, чем эта, величины получаются, если для Р° используется теоретическое значение, найденное из уравнения (539а).
Во всяком случае, ясно, что максимальная спонтанная поляризация является только небольшой дробной частью PQ!PUM= р-/р- абсолютного максимума
который должен иметь место, если все диполи лежат в одном направлении, параллельном полю. Обратная величина этой дроби приводится в последнем столбце табл. 36. Из сказанного следует, что на ланжеве-новской диаграмме фиг. 163 подвижная точка никогда не уходит далеко от начала координат, так что даже в сильнейших электрических полях, каким только может противостоять сегнетова соль, будет достаточно двух первых членов в выражении для функции Ланжевена. Это находится в примечательном контрасте со спонтанной поляризацией железа, которая, как излагается в § 553, имеет при комнатной температуре значение, немного меньшее теоретического максимума при' 0°К. Причина этой разницы между сегнетовой солью и железом та, что сегнетова соль имеет нижнюю точку Кюри, лежащую достаточно близко к верхней точке Кюри, так что в области спонтанной ориентации нет температуры, которая не была бы близка к одной из этих точек.
ГЛАВА XXVII
ДРУГИЕ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Кроме сегнетовой соли, единственными известными в настоящее время веществами, которые обладают диэлектрическими свойствами, аналогичными ферромагнетизму, являются некоторые смешанные кристаллы, изоморфные с сегнетовой солью, и несколько тетрагональных фосфатов и арсенатов. Рассмотрим эти две группы кристаллов.
§ 491. Кристаллы, изоморфные с сегнетовой солью, и смешанные тартраты. К настоящему времени исследованы вещества, в которых калий сегнетовой соли замещен на NH4, Rb или Т1. Эти кристаллы имеют достаточно близкие друг к другу молекулярные радиусы и отношения осей, так что смешанные кристаллы могут быть выращены при любых пропорциях составных частей.
Чистые кристаллы NH.jNaC.iH.iOe • 4Н2О, RbNaC4H4O6 • 4Н2О или TlNaC4H4O6 • 4Н2О ведут себя в отношении диэлектрических свойств вполне нормально. С точки зрения ферромагнитной аналогии они вплоть до самых низких температур, при которых производились исследования, являются скорее параэлектриками, чем сегнетоэлектриками. Если у них имеются точки Кюри, последние должны приходиться на предельно низкие температуры. Например, диэлектрическая постоянная kx аммониевой соли приблизительно равна 10 и не зависит от температуры [634]. Как мы видели в § 144, пьезоэлектрические константы этого кристалла, хотя и велики, но не обнаруживают аномалий при понижении температуры, по крайней мере, до —17° С, и из постоянства k х до очень низких температур можно уверенно заключить, что такое же постоянство имеет место для пьезоэлектрических коэфициентов.
Особые эффекты наблюдались у кристаллов, выросших из растворов, которые содержали смеси соли KNa с любой из трех упомянутых выше изоморфных солей. Первыми работами в этом направлении были работы Б. Курчатова и М. Еремеева [133*], [292] в 1932 г. Мы основываемся на* р'аботах этих и следующих авторов: Б. и И. Курчатовых [293], Блюменталя [55], Эванса [140], и особенно на книге И. Курчатова [634]. Исследования производились главным образом над сегнетовой солью, содержащей примесь NH4Na. Насколько можно судить, для солей рубидия и таллия получаются идентичные результаты, по крайней мере в качественном отношении.
Некоторые основные результаты, полученные с кристаллами, содержащими NH4NaC4H4Oe • 4Н2О в различных пропорциях, изображены на фиг. 148 (см. [634]). Так как напряженность поля не дана, то значения диэлектрической постоянной следует рассматривать только как относительные. .Добавление к чистой сегнетовой соли только одного процента аммонийной соли (молярные отношения). сужает температурный интервал- -‘еегнетоэлёктрической- области -приблизительно - вдвое. Добавление 3% (кривая, помеченная «97%») полностью уничтожает сегнетбэлёк-
602
Глава XXVII
трические свойства, оставляя только максимум у кривой. Дальнейшее увеличение содержания NH4 делает максимум более низким и плоским, снова слегка повышая его при содержании 83% сегнетовой соли.
Снижение содержания сегнетовой соли до 79% вызывает появле-
ние сегнетоэлектрической области при низких температурах. Это имеет место до 25%. Объяснение, даваемое Курчатовым такому странному поведению, может быть несколько вольно сформулировано следующим образом. Предполагается, что могущие вращаться диполи принадлежат главным образом сегнетовой соли. Небольшие примеси натроаммониевой соли только слегка повышают нижнюю точку Кюри, но более значительные примеси ослабляют силы, связывающие диполи в отдельные
группы, характеризующие нижнюю точку Кюри, освобождая большое количество диполей, достаточное, чтобы произведение Na стало
О
Фиг. 143. Диэлектрическая постоянная смешанных кристаллов калиевой и аммониевой сегнетовой соли (по И. Курчатову). Проценты указывают относительное число молекул калиевой соли в смеси.
гораздо больше единицы. Можно, кроме того, предвидеть, что большие значения диэлектрической постоянной в этой области сопровождаются соответственно большими значениями бМ
В более общей форме можно сказать, что для некоторого ряда процентных содержаний натроаммониевой соли существуют определенные температуры, при которых переход в состояние с
минимальной энергией (§ 473) сопровождается изменением кристаллической структуры в сторону более низкой
симметрии и появлением спонтанной поляризации, когда температура
падает ниже критического значения.
Позднейшие измерения диэлектрической постоянной в направлении X. Эванс [140] измерял диэлектрическую постоянную для различных процентных (молекулярных) содержаний аммониевой соли в смеси с сегнетовой солью при температурах между 16° и 17° С и .частотах главным образом от 400 до 2000 kHz. При этих частотах помехи со стороны резонансных колебаний отсутствовали. Максимальное приложенное напряжение составляло 45 V, но максимальная напряженность
поля, размеры кристалла и пределы изменения напряженности. поля автором не указаны. Результаты оказались следующими:
О Блюменталь в своей теории смешанных кристаллов описывает действие пьезоэлектрического эффекта на восприимчивость уравнением, подобным (516) и (516а), на его экспериментальные данные недостаточны, чтобы помочь в данном случае.
Другие сегнетоэлектрические кристаллы
603
Молекулярное процентное содержание аммониевой соли 1 ° 10 20 30 40 50 100
Диэлектрическая постоянная . . . | П4,0 25,0 15,8 13,0 •11,8 9,9 8,2
Из замечаний Эванса относительно
точности его наблюдений
явствует, что неопределенность его цифровых данных может достигать по крайней мере 10%. Величина 114 для чистой сегнетовой соли уже зафиксирована в табл. 35. Небольшое по сравнению с величинами,
указанными на фиг. 148, значение диэлектрической постоянной в на-
блюдениях Эванса, получается, конечно, за
Температура, при которой Эванс получил свои цифры, лежит для чистой сегнетовой соли в сегнетоэлектрической области, но за этим исключением содержание аммония было таково, что вещество было пара-электрическим. Единственное сопоставление, которое может быть сделано между работой Эванса и работой русских исследователей, касается величины kv для чистой аммониевой соли: значение 8,2, найденное Эвансом при высокой частоте, достаточно хорошо согласуется с приведенной выше величиной &х=10, найденной Курчатовым.
В русском издании своей книги [634] Курчатов дает несколько значений диэлектрической постоянной для смешанных солей KNa и TINa различного процентного состава, определенных при 500 V/см.. При 0°С были получены следующие результаты:
Процентное содержание Т1 . . . . .
Диэлектрическая постоянная . . . .
0
10 ОСО
0,25 0,5 1
2300 1200 600
2,5
120
счет высокой частоты.
Фиг. 149. Обратный эффект в сегнетовой соли, содержащей 0,37% тартрата TINa при тем-
Результаты, полученные при —10°С и -К Ю°С, существенно друг от друга не отличаются.
пературах ниже и выше точки Кюри (по Блюменталю). Деформация уг вычисляется из наблюдаемого изменения
Диэлектрический гистерезис в. смеси KNa -К NH4Na был обнаружен Еремеевым и Б. Курчатовым [433] Р. Здесь, так же как у
длины бруска 45-градусного среза X.
сегнетовой соли, выше точки Кюри отсутствуют гистерезис, усталость и запаздывание, и отношение PIE становится линейным при температуре немного выше этой точки. .
В низкотемпературных сегнетоэлектрических областях ширина петли гистерезиса и величина коэрцитивной силы Ес возрастают, когда температура опускается ниже тбчки Кюри, и может Потребоваться много секунд для достижения равновесия. Признаков существования нижней
' -См. такж’ё {634].
604 Глава. XXVII
точки Кюри не наблюдается, поскольку значение поляризации насыщения («загиб» кривой поляризации) возрастает с понижением температуры вплоть до самой низкой из отмеченных температур (—190°С), в то время как необходимая для достижения насыщения напряженность поля также растет. Например, в кристалле, содержащем 45 молекулярных процентов соли KNa, насыщающее поле составляло 10 000 V/cm (для сегнетовой соли оно меньше 200), тогда как поляризация насыщения была равна 3000 эл.-ст. ед., в несколько раз меньше, чем в чистой сегнетовой соли.
Курчатов использовал исчезновение Ес для определения точки Кюри, получив величину, согласную с той, которая следует из закона Кюри — Вейсса. При любой температуре в этой области существует такое начальное значение kx, что в пределах некоторого ряда напряженностей поля гистерезис отсутствует. Этот интервал тем шире, чем ниже температура и чем выше процентное содержание аммониевой соли. Гистерезис появляется, как только амплитуда поля превысит это критическое значение (точка В на фиг. 146). Последнее увеличивается с возрастанием содержания NH4Na.
§ 492. Пьезоэлектрические свойства. Проводились не только качественные испытания пьезоэлектрических свойств чистых тартратов RbNa и TINa. Выше упоминалось об измерениях Манделя, сделанных над тартратом NH4Na. Как и для смешанных кристаллов, Еремеев и Курчатов [133] получили петлю пьезоэлектрического гистерезиса ниже точки Кюри bi прямом эффекте, прилагая к пластинке, вырезанной под углом 45° к оси X из кристалла с содержанием 26,7 молекулы виннокислого NH4Na на 100 молекул виннокислого KNa, последовательность напряжений с амплитудой, убывающей от 18 кг/см2 до нуля. Выше точки Кюри отношение поляризация!напряжение было линейным при отсутствии гистерезиса и подчинялось закону Кюри—Вейсса.
Обратный эффект в смешанных кристаллах при температурах от 10 до 35° С исследовался Блюменталем [55] по методу, описанному в § 422, на пластинках 45-градусного среза X, имевших размеры около 30 X 8 X 1 мм и покрытых тонкой оловянной фольгой. Петля гистерезиса, полученная при 14°С, от кристалла, содержащего 0,37% виннокислого TINa, изображена на фиг. 149. Форма ее очень похожа на форму петли для чистой сегнетовой соли при 18,5° (см. фиг. 112), и при одинаковых напряженностях поля изменения ее конфигурации почти одинаковы в обоих этих случаях. Кривая для 35°С, т. е. в параэлектри-ческой области, указывает на практически линейную зависимость между у? и Е без гистерезиса.
Блюменталь получил при разных температурах сходные результаты для чистой сегнетовой соли и для смесей (см. фиг. 150). На этом рисунке cG4 — dyJdE, которая равна уJE при тех температурах, где зависимость уе от Е линейна. В линейной сегнетоэлектрической области
tz14 _ = наклону восходящего участка петли.
Из этого графика становится очевидным как понижение di4 у сегнетовой .соли при добавлении небольшого количества виннокислого TINa, так и понижение верхней точки Кюри с возрастанием содержания этой соли. Соль таллия, невидимому, не производит такого глубокого действия,
Другие сегнетоэлектрические кристаллы
€05
как соль аммония. Например, 1 % виннокислого TINa понижает верхнюю точку Кюри приблизительно до 21°, тогда как, согласно фиг. 148, то же количество виннокислого NH4Na понижает ее до 10°С.
Фиг. 150. Значения d14 для сегнетовой соли и изоморфны^ смесей, полученные из измерений обратного пьезоэффекта (по Блюменталю). Кривая (7) — для чистой сегнетовой соли, (2)— для сегнетовой соли с 0,37% C4H4O6TlNa-4H3O; (3)—для ссгне-товой соли с 1,0% C4H4O6NH4Na-4H2O и (4)— для сегнетовой соли с S^/q C4H4O6TlNa-4H2O.
§ 493. Сегнетоэлктрические свойства фосфорнокислых и мышьяковокислых солей. До сих пор мы рассматривали диэлектрическую аналогию ферромагнетизма в сегнетовой соли и в кристаллах, изоморфных с нею.
Теперь уделим внимание другой группе кристаллов, у которых
обнаружены аналогичные свойства. Это дигидрофосфаты и арсенаты калия и аммония, изоморфные представители тетрагонального сфеноидального класса 11, симметрии Vd. Пьезоэлектрические модули — те же, что и для сегнетовой соли, т. е. ^14, с?25 и причем в данном случае du = dzs-Особенной осью, для которой имеют место сегнето
КН2РО4 (по Бушу).
I, частота 800 Hz.
электрические аномалии
при направлении поля вдоль нее, является кристаллографическая ось с или Z. Таким образом, аномальным пьезоэлектрическим модулем будет и аномальной восприимчивостью Количественные характеристики пьезоэлектрических свойств КН2РО4
606
Глава XXVII
приведены в § 146. Качественно пьезоэлектрические свойства были обнаружены в NH4H2PO4 Гибе и Шейбе [164] и Элингсом и Терпстра в КН2РО4, KH2AsO4 и в NH4H2AsO4 (см. сноску к § 172). Во всех этих случаях чрезвычайно желательно провести измерения в
широком интервале напряжений и температур.
Для всех четырех солей опубликованы количественные измерения диэлектрический постоянных k х и kz и удельных теплоемкостей, для калиевых солей—измерения спонтанной поляризации Pz° и спонтанного эффекта Керра, а также некоторых упругих свойств КН2РО4. Исследования диэлектрических свойств ка-
Фиг. 152. Диэлектрические постоянные kz и kx KH2AsO< (по Бушу). £=200V/cm. Частота 800 Hz.
лиевой соли были произведены как выше, так и ниже точек Кюри, но для аммониевой соли они были возможны только выше верхней точки Кюри. Во всех случаях аномалии имели место при температуре жидко
го воздуха.
Таблица 3
ЧИСЛЕННЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ФОСФАТОВ И АРСЕНАТОВ
Свойства КН2РО4 KDoPO, KH2AsO4 nh4h2po4 NH4H2AsO4
Молекулярный вес 136,13 138,14 180,02 115,08 158,97
Плотность . . . 2,34 2,34 2,87 1,803 2,311
Точка плавления, °C ... . 252,6 288 -190 *) ~300 *)
Отношение осей ct'a 0,938 0,973 0,938 1,008 1,004
Точка Кюри, °К . 122,0 213 95,6 147,9 216,1
Максимальн. Р° эл.-ст.ед./см* 2 . . 14 100 14 500 15 000 — —
*) Разлагается с выделением аммиака и воды.
Исследования в этой области начались после появления в 1935 г. статьи Буша и Шеррера [90] о «новом сегнетоэлектрическом веществе» (КН2РО4) О. За этой статьей последовало в 1938 г. более полное исследование Буша [88] и в последующие годы — серия статей Буша и его сотрудников в Цюрихе; они будут рассмотрены в дальнейшем 2\
.Цифры, приведенные в табл. 37, взяты из этих статей и из Handbook of Chemistry and Physics. Способ выращивания этих кристаллов описан Бушем [88] и Бэнтлом [22].
О Интересно с исторической стороны, что изоморфизм кристаллов был впервые обнаружен в 1819 г. Митчерлихом между фосфатом и арсенатом калия.
2) В первой статье Буша имеется ошибочное утверждение, что t/25 =
Другие сегнетоэлектрические кристаллы• 607
§ 494. Результаты произведенных Бушем измерений диэлектрических постоянных kx и kz для калиевых солей изображены графически на фиг. 151 и 152. Использовался емкостный мостик. Максимумы kxB точках Кюри являются отличительной чертой сегнетоэлектриков. Максимумы kz являются неожиданными: в сегнетовой соли kv и kz имеют нормальные значения без аномалий близ точки Кюри. Буш объясняет это тем, что число свободных диполей чрезвычайно быстро возрастает при приближении к точке Кюри со стороны низких температур
Буш находит, что калиевые соли, подобно сегнетовой соли, подчиняются закону Кюри — Вейсса.
В более поздней работе [89] Буш и Ганц излагают теорию и результаты измерения комплексной диэлектрической постоянной КН2РО4 и KH2ASO4 в направлении, параллельном Z, которую они обозначают через е * Результаты измерений, произведенных на емкостном мостике при частоте 50 Hz, отличаются от кривых фиг. 151 и 152, для которых е*, практически равная kx вне области между точками Кюри, где можно пренебречь потерями, сохраняет высокое значение в широком интервале температур ниже 6а. Ее значение для КН2РО4 близко к 3 -104 в интервале от верхней точки Кюри приблизительно до80°К, где оно начинает быстро падать приблизительно до 40 при 50°К с постепенным дальнейшим понижением в сторону низких температур. Кривая для KH2AsO4 имеет такой же ход; наибольшее значение г* составляет 1,95- 104.
За меру спонтанной поляризации Буш берет значение насыщения в вершине петли гистерезиса вместо обычно принятой величины остаточной поляризации. В случае КН2РО4 разница между ними невелика повсюду, за исключением непосредственной близости к точке Кюри3), но для KH2AsO4, имеющего гораздо более узкую петлю, остаточная поляризация составляет лишь небольшую часть пикового значения. Если бы для указанной цели была использована величина остаточной поляризации, то для KH2ASO4 была бы значительно меньше, чем для КН2РО4. Во всяком случае, спонтанная поляризация в этих солях гораздо значительнее, чем в сегнетовой соли; отношение соответствующих величин, согласно табл. 37, имеет в случае КН2РО4 порядок 20: 1.
Буш измерил также диэлектрические постоянные аммониевых солей. Измерения могли быть произведены только до — 53° С для арсената и до—118°С для фосфата в сторону низких температур. При этих температурах кристаллы превращаются в негомогенную микро-
О Г. Мюллер считает, что большое значение kx у точки Кюри удовлетворительно объясняется существованием внутреннего поля без какой-либо гипотезы относительно диполей. Отсутствие сколько-нибудь заметного подобного эффекта для ky и kz у сегнетовой соли можно' приписать тому обстоятельству, что в сегнетовой соли внутреннее поле гораздо слабее, чем в фосфатах.
2> Нужно заметить, что наибольшее значение е*с для обеих солей гораздо ниже, чем пиковые значения, изображенные на фиг. 151 и 152. Объяснение несомненно состоит в том, что Буш и Ганц применяли гораздо более высокое напряжение (2400 V/см для КН2РО4, 3300 V/см для KH2ASO4), чем применял Буш в своих прежних измерениях. При высоких напряжениях поляризация приближается к насыщению. Кроме того, соображения, о которых упомянуто в § 480, с очевидностью показывают, что когда приложенное напряжение велико, следует ожидать постоянства относительно большой диэлектрической постоянной в широком интервале температур ниже .
з) Значение Р3 для КН0РО4 в табл. 37 взято из последней работы Аркса и Бентла [10]>
608
Глава XXVII
кристаллическую массу. Буш отмечает следующую зависимость от температуры.
1. NH4H2PO4: kx возрастает от 55 при комнатной температуре до 90 при—118°С; kz возрастает с 14,5 при комнатной температуре до 20 при — 118°С.
2. NH4H2AsO4: kx возрастает от 126 при комнатной температуре до 145 при — 53°; k = 12 от+ 27 до — 53°С.
§ 495. Спонтанная поляризация Р°, коэрцитивное поле Ес и нижняя точка Кюри . Напомним, что у сегнетовой соли Р° и Ес исчезают вне интервала между точками Кюри, имея максимум около 5°С, и что диэлектрическая постоянная имеет острый максимум при 6Z, так же как и при 9М . Сегнетоэлектрические фосфаты и арсенаты имеют критические температуры с такими же свойствами, как верхняя точка Кюри сегнетовой соли. Поскольку можно полагать, что все они имеют нижнюю точку Кюри, эта точка имеет существенные отличия от соответствующей точки сегнетовой соли.
Доказательство этого основывается главным образом на исследованиях КН2РО4. Для этого кристалла Р° очень быстро растет от нуля при до величины порядка 14 000 эл.-стат. ед., не уменьшающейся сколько-нибудь заметным образом до 95°К, наинизшей температуры, при которой производились наблюдения (Арке и Бентл [10]). Ниже 6а диэлектрическая постоянная непрерывно уменьшается с понижением температуры, не имея нигде максимумов. Коэрцитивное поле возрастает в громадной степени при понижении температуры, приближаясь к нулю только при 6И (Бентл, Буш, Лаутербург и Шер-рер [25]). Единственное явление, позволяющее предполагать существование точки Кюри, состоит в исчезновении гистерезиса, обнаруженном Бушем и Ганцом [89] около 58°К. Применяя переменное поле с частотой 50 Hz и амплитудой до 3000 V/см, они обнаружили, что гистерезис имеет место от 58 до 123,5°К, причем петли имеют максимальную площадь около 62°С.
в сегнетовой соли исчезновение гистерезиса при температурах ниже 6Z соединяется с исчезновением коэрцитивной силы при 6Z. С другой стороны, в КН2РО4 коэрцитивная сила все еще очень велика при тех температурах, где гистерезис уменьшается до значений, которые не могли быть измерены в упомянутых выше экспериментальных работах. Пока температура была выше этой точки, амплитуда напряжения, которое применяли Арке и Бентл, была достаточной для обнаружения петли гистерезиса с поддающейся измерению площадью. Ниже этой температуры коэрцитивная сила была так велика, что их аппарат отмечал только небольшую часть всей петли: регистрировалась обратимая диэлектрическая проницаемость kr (§ 43|0). Петля гистерезиса вырождалась в прямую линию, проходящую через начало координат. Если бы они применили более высокое напряжение, то они, конечно, могли бы наблюдать гистерезис при температурах ниже 58°К-
Очевидно, исчезновение гистерезиса нельзя считать признаком существования нижней точки Кюри. Арке и Бентл поступают вполне правильно, воздерживаясь от подобного заявления при истолковании результатов своих опытов.
Все опытные данные подтверждают мнение, впервые выдвинутое Бентлом, Бушем, Лаутербургом и Шеррером, что спонтанная' поляризация не исчезает ни при какой температуре ниже «верхней точки
'Другие сегнетоэлектрические кристалла 609
Кюри», но что,, тем не менее, существует определенная (или, может -быть, неопределенная, так как цюрихские ученые нигде, повидимому, не установили ее с достоверностью) температурная точка, при которой элементарные области спонтанной ориентации теряют способность обращаться под действием наложенного поля. Такое поведение существенно отличается от поведения сегнетовой соли. Спонтанная поляризация как бы замораживается, возможно, до некоторой степени постепенно. Уменьшение kz, возрастание Ес и отсутствие внезапных скачков удельной теплоемкости и аномалий в Керр-эффекте *) — все подтверждает этот взгляд. Насколько это подкрепляется опытными данными, то же справедливо и для KH2ASO4 и KD2PO4 (см. ниже).
В рамках теории внутреннего взаимодействия постоянство Р° указывает, что восприимчивость т]'' зажатого кристалла при всех температурах ниже остается больше, чем произведение а36Ь36' (см. § 453). Согласно же теории внутреннего поля (§ 485), следовало бы сказать, что произведение уам остается больше единицы.
Температуру, при которой Р° «замораживается», не представляется возможным определенно связать с каким-либо физическим явлением. Название «нижняя точка Кюри» для этой температуры представляется произвольным и вводящим в заблуждение* 2).
Спонтанная поляризация Р° и коэрцитивная сила Ес в KD2PO4 мало отличаются от соответствующих величин для КН2РО4. Спонтанный Керр-эффект исследовался Цвиккером и Шеррером [602]; их результаты находятся в согласии с опытными данными Бентла, Буша, Лаутербурга и Шеррера относительно КН2РО4 и KH2ASO4, в которых при 6и имеет место аномальное изменение двойного преломления, отсутствующее при любой более низкой температуре.
§ 496. Дейтериевокалиевый фосфат, KD2PO4. В § 444 мы видели, что замена Н на D в сегнетовой соли повышает верхнюю точку Кюри ‘ приблизительно на 11° С. Одинаково сильный эффект обнаруживает KD2PO4. ‘
Наше изложение основано на работах Бентла [22] и Цвиккера и Шеррера [602]. Бентл измерял kz емкостным мостиком при частоте 1000 Hz и напряженности поля 40 V/см. На верхнюю точку Кюри указывает острый максимум для kz при 213°К (—60° С). По сторонам этого' максимума kz уменьшается приблизительно до 82 при 300°К и до 46 при 100° К- Кривая имеет слабый изгиб при температуре 158° К, которую Бентл принимает за нижнюю точку Кюри. За исключением изменения в точке Кюри, поведение KD2PO4 как диэлектрика имеет тот же характер, что и поведение КН2РО4. Петли гистерезиса имеют измеримые площади только между 105 и 213° К. Значение 213° для 0п, повидимому, установлено достаточно надежно; относительно более низкой температуры может быть сделано то же замечание, как и для КН2РО4 в предыдущем параграфе.
§ 497. Удельные теплоемкости и константы внутреннего поля. В § '409 указывалось, что в сегнетовой соли аномалия удельной тепло
О См. также [602].
2) В качестве примера употребления этого выражения цюрихскими исследователями можно указать на работу Бентла,. Буша, Лаутербурга и Шеррера, в которой авторы называют 70°К нижней точкой Кюри, не приводя обоснований для выбора этого значения. Можно упомянуть также подвергнутую обсуждению в § 496 статью Бентла [22], в которой он говорит о нижней точке Кюри у KD2PO4.
39 Кэди
610
Глава XXVlt
емкости в обеих точках Кюри чрезвычайно мала. Исходя из относительно больших значений Р° для рассмотренных выше фосфатов и наблюдавшейся для Р° зависимости от темпёратуры, можно ожидать для этих соединений более резко выраженной аномалии. Для всех трех фосфатов это предположение было подтверждено работой Бентла [22] и работами Стефенсона и Хулея [481] и Дж. и К. Мендельсонов [364] для КН2РО4. Совсем недавно Стефенсон с сотрудниками [480—483] измерили удельные теплоемкости КН2РО4, KH2AsO4, NH4H2PO4 и KH4H2AsO4 в очень широком интервале температур. Они не нашли аномалии нигде, кроме верхней точки Кюри. Из их данных, которые, вероятно, наиболее точны,, находим следующие значения для нормальной удельной теплоемкости Сп при 6И (получены интерполяцией хода кривой выше и ниже 6И), пикового значения Си при и разности ДС = Cs — Сп (все величины в кал • моль—1 • град—1), а также теплоты превращения Д/7 в кал • моль-'1:
Сп дс дя
КН2РО4 118 16 102 87±6
KH2AsO4 76 15 61 84 ±4
nh4h2po4 274 20 254 154 ±5
NH4H2AsO4 279 29 250 220 ±15
kd2po4*j 134 29 105 100,3
*) Данные для KD2PO4 взяты у Бентла [22].
Как было показано в § 409, константа внутреннего поля 7 может быть вычислена, если известны ДС и изменение Р° с изменением температуры. Бентл находит этим путем следующие значения у: 0,5 для KH2AsO4, 0,37 для КН2РО4 (в противоположность приводимой Стефенсоном и Хулеем величине 0,7), 0,68 для KD2PO4.
Хотя рассмотренные здесь фосфаты имеют исключительно низкие константы внутреннего поля, однако большие значения Р° являются причиной того, что сами внутренние поля должны быть гораздо сильнее, чем в сегнетовой соли. Например, произведение цР° дает для KD2PO4 величину внутреннего поля около 3 000 000 V/cm.
§ 498. Структура, образуемая областями спонтанной ориентации. В § 494 было констатировано, что при охлаждении ниже некоторой определенной температуры NH4H2PO4 (при —118° С) и NH4H2AsO4 (при —53° С) распадаются в микрокристаллическую массу. Если это обстоятельство сопоставить с замечанием Буша о том, что калийные соли имеют тенденцию растрескиваться при нагревании в момент перехода через верхнюю точку Кюри, то представляется вероятным, что указанные выше для аммониевых солей температуры близки к точкам Кюри. Если сделать такое предположение, то расщепление кристаллов можно приписать существованию напряжений, сопровождающих возникновение структуры, состоящей из участков спонтанной ориентации, в момент достижения сегнетоэлектрической области. Температуры, отмеченные .в Табл. 37 как «точки Кюри» аммониевых солей, являются таковыми для максимальных значений удельной теплоемкости, согласно измерениям Стефенсойа и Адамсй [480] й Стефенсона й Цеттльмойера
Другие сегнетоэлектрические кристаллы 611
[83]. Эти температуры на несколько градусов ниже тех, при которых- раскалывались кристаллические пластинки, с которыми работал Буш. Представляется вполне возможным, что если бы удалось избежать этого расщепления, то диэлектрические постоянные (значения которых даны в § 494) могли бы возрасти до высоких значений в точках Кюри.
Дальнейшие доказательства существования подобной структуры, по крайней мере у КН2РО4 и KD2PO4, д'ают эксперименты Цвиккера и Шер-рера [602], в которых при температурах? ниже наблюдалось скачкообразное, подобно эффекту Баркгаузена в железе, изменение двойного преломления под действием электрического поля. Рассматривая этот вопрос, Квервейн и Цвикке|р [432] приходят к выводу, что сами области спонтанной ориентации имеют микроскопические размеры, но что они соединяются в группы размером в несколько миллиметров. Эти авторы обнаруживают, что очень быстрое охлаждение ниже 6И вызывает появление мельчайших перпендикулярных оси Z трещин, исчезающих при нагревании.
§ 499. Техническое применение. Практическое использование упомянутых в предыдущих параграфах солей калия и аммония, повидимому, представляет значительную выгоду. Единственным соединением этой группы, об использовании которого имеется в настоящее время определенное указание в литературе, является КН2РО4. В отношении своих упругих и пьезоэлектрических свойств этот кристалл, подобно другим кристаллам рассмотренной группы, стоит между кварцем и сегнетовой солью. Пьезоэлектрический эффект в нем при -комнатной температуре (§ 146) приблизительно в семь раз больше, чем в кварце. В то же время этот кристалл гораздо прочнее сегнетовой соли и не имеет кристаллизационной воды. Его точка Ккгри лежит настолько ниже обычных температур, что он при этих температурах не должен вести себя таким фантастическим образом, как сегнетова соль около 24° С. Он практически свободен от гистерезиса. Однако некоторые из его упругих температурных коэфициентов значительно больше, чем у кварца.
Эксперименты с резонаторами из КН2РО4 описываются Бентлом и Люди [27], Люди [323] и Бентлом Q23']. Как отмечено в § 89, Люди измерял величины упругих модулей 5ц и «зз- БенТл и Люди изучали колебания тонких стержней подлине, применяя частотную модуляцию, что-»бы помногу раз быстро пробегать резонансную частоту. Пользуясь кривыми, записанными катодным осциллографом, они нашли резонансную частоту, эффективный упругий модуль и затухание при различных температурах, опускающихся до точки Кюри, где некоторые из упругих модулей имеют очень большие температурные коэфициенты. Единственные опубликованные до сих пор цифровые данные содержатся в статье Бентла. Применяя срезы Z, он находит для различных форм колебаний значения температурных коэфициентов частоты, лежащие в пределах'от 205- 10~& до 290- КН6, и допускает возможность получения срезов с нулевым температурным коэфициентом.
Так как матрицы упругих и пьезоэлектрических модулей имеют тот же вид, что и для сегнетовой соли, то законы возбуждения колебаний различных типов в точности одинаковы у обоих кристаллов.
• Маттиас и Шеррер [354] обратили внимание на преимущества использования КН2РО4 для полосовых фильтров.
39*
ГЛАВА XXVIII
РАЗНООБРАЗНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Переходя к изложению технических применений пьезоэлектричества, мы ограничимся главным образом рассмотрением обычно используемых кристаллов, их срезов, электродов и их общего оформления. Недостаток места не позволяет детально описать схемы и конструктивные особенности.
Сначала мы рассмотрим применение пьезоэлектрических кристаллов в электрических фильтрах различных типов. В схемах фильтров кристалл работает как резонатор; превращение электрической энергии в механическую и обратно, хотя и существенное для его действия, является с точки зрения фильтрующего действия только побочным обстоятельством.
Остальная часть главы будет посвящена большой и важной группе технических применений пьезоэлектричества, использующей кристалл в качестве преобразователя, превращающего механическое движение в электрическую энергию или обратно. Эта группа делится на две части, в первой из которых резонансные частоты не используются и кристалл находится в состоянии вынужденных колебаний с частотой, обычно значительно более низкой, чем любая из его собственных частот. В устройствах второй подгруппы кристалл обычно колеблется с резонансной или близкой к ней частотой и используется для излучения или приема высокочастотных звуковых колебаний. Среди устройств этой подгруппы можно перечислить подводную сигнализацию и эхолот, звуковой интерферометр; сюда же надо отнести применение интенсивных ультразвуковых лучей для физических, химических, биологических исследований и для промышленных целей.
Одним из наиболее интересных действий ультразвуковых волн является их способность вызывать диффракцию света. Мы опишем некоторые применения этого эффекта, особенно для измерения упругих модулей, световых реле и телевидения.
§ 500. Кристаллические фильтры. Использование пьезоэлектрических кристаллов в качестве элементов связи и остро настроенных контуров схемы впервые предложено в 1921 г.1) Для использования в качестве пьезоэлектрического элемента связи кристалл снабжается двумя парами электродов, соединяющих выход одной схемы со входом другой. Кристалл действует тогда как фильтрующий элемент, передающий энергию только на резонансной частоте. Теория таких элементов связи была разработана Ватанабе [581]. Их применение для остро настроенной связи между электронными лампами описывается Роде и Хандреком [438]. Наибольшее значение имеет их применение в электри
б См. [91], а также Кэди, патент США 1450246 (1923-) и переизданный па-
тент 17355 (1929). '
Разнообразные применения пьезоэлектричества 613
ческих фильтрах, к описанию которых мы теперь и переходим. Фильтры, использующие кристаллы, были впервые описаны Эспеншидом Эволюция фильтра описана Бакли (см. ссылку в конце главы).
Качество работы всех электрических фильтров зависит от изменения реактивного сопротивления внутри некоторой полосы частот. Фильтры, состоящие из катушек и конденсаторов, ограничены в этом отношении отчасти изменчивостью своих параметров в зависимости от температуры’, отчасти же тем обстоятельством, что ширина полосы частот не может быть в этом случае достаточно сужена, чтобы удовлетворить современным требованиям, предъявляемым к связи в схемах, вследствие сопротивления катушек, неизбежно вносимого в контур. Соответствующим образом рассчитанные кристаллические фильтры позволяют избежать обеих трудностей. Действительно, селективность кристаллов так велика, что полоса частот является для многих целей слишком узкой, и для ее расширения требуется применение катушек одновременно с кристаллами.
Б полосовом фильтре ширина полосы пропускания приблизительно равна интервалу частот (/р —/*), изображенному на фиг. 60. Согласно (401), этот интервал приблизительно равенС/2СЬ Отношение Ci/C является, следовательно, мерой качества фильтра. При взгляде на уравнение (450а) можно заметить, что как емкость С2, включенная последовательно с резонатором RLCC\, так и емкость С3, параллельная ему, вызывают уменьшение величины Это обстоятельство
используется при расчете фильтров с очень узкой полосой пропускания.
Большинство кристаллических фильтров, применяющихся в настоящее время в фильтрующих схемах, состоит из кварца с нулевым зазором и тонкими металлическими электродами, наложенными непосредственно на кварц. Кварцевые пластины могут поддерживаться свинцовыми проволоками, которые припаяны к электродам в узловых точках. Некоторые схемы фильтров требуют применения двух одинаковых кристаллических элементов с одинаковыми собственными частотами. В таких случаях можно использовать пластинку, вырезанную из одного кристалла и снабженную двумя парами электродов. Много изобретательности было проявлено конструкторами в расположении электродов и соединении их между собой, а также в устройстве охватывающих кристалл узких металлических полосок, предназначенных служить экраном между парами электродов. Такие конструкции описываются Мэзоном и Сайксом [342], [343], Мэзоном [637] и Роде [436], 1[437].
Для наиболее высоких частот приходится использовать колебания по толщине. От 50 до 500 kHz обычно' используются Продольные колебания пластинки по ее длине или ширине. Для более низких частот используют колебания изгиба; описанный в § 359 срез NT может быть применен для получения колебаний от 50 до 4 kHz, а Роде и Хандрек [438] описывают фильтр с кристаллами, работающими на изгиб, для частот порядка 1000 kHz.
В качестве примера кристаллического фильтра без применения вспомогательных конденсаторов можно указать на срез под углом 18,5°, для которого, согласно табл. 31, С\1С — 138. Отсюда находим ifр fs)/fs — 0,36%. Об этом срезе, а также о срезе —5° см. § 357.
в 1931 ^атент США 1795204, зарегистрированный в 1927 г. и опубликованный
614
Глава XXVI11
В некоторых кристаллических фильтрах применяются два кристалла с несколько отличными частотами, так что резонансное значение fs одного совпадает с антирезонансным значением f другого. В таких случаях ширина полосы удваивается по сравнению с шириной полосы одного кристалла.
Элементы фильтров изготовляются также из сегнетовой соли. Одно время пытались применять составные резонаторы, состоящие из металлических брусков и кристаллов сегнетовой соли, но этот способ был оставлен. Для низких частот можно применять 45-градусные срезы; чтобы избежать аномалий, сопровождающих срез X, срезы можно делить нормально к оси У или Z. В фильтрах высокой частоты предпочтительно использовать колебания сдвига по толщине пластинок косого среза 9; в § 77 приведено несколько соответствующих формул.
"Какой бы род кристалла ни был выбран, Наиболее важным требованием является отсутствие вредных резонансных частот в возможно более широком интервале.
Попытка Гербильского* 2) 3 расширить полосу пропускания путем применения клинообразных кристаллов была основана на ошибочном представлении о характере колебаний в твердых телах. Опыты Зачека И Петржилки [597] показали, как и следовало ожидать, что такой резонатор обладает большим числом близких друг к другу частот; этот вопрос разбирался также Вагнером [578].
Кристаллы могут служить элементами в высокочастотных, низкочастотных или полосовых фильтрах. Они находят себе применение в фильтрах аэронавигационных радиомаяков, для систем стабилизации несущей частоты и для отделения несущей частоты от частот боковой полосы в радиотехнике. Они нашли применение также в акустике для разложения звуков сложного состава на компоненты. Наконец, можно напомнить об их использовании в радиоприемных устройствах, где их обычно ставят в мостиковую схему усилителя промежуточной частоты.
Участок коаксиального кабеля для проводной связи, полностью оборудованный на 400 контуров, требует 12 800 кристаллов для фильтров каналов связи, дополнительно к требующимся для фильтров подводящих каналов 3>-
§ 501. Кристаллы в качестве механических и акустических преобразователей. Для измерения давлений применяются главным образом пластинки или бруски кварца или сегнетовой соли и в меньшей степени — турмалин. Существует множество разнообразных приборов, начиная от кварцевых и турмалиновых пластинок, применяемых по отдельности или в виде стопки для измерения громадных давлений, развивающихся при взрыве, и кончая тонкими приборами для записи давления крови. В библиографии, помещенной в конце главы, можно' найти описания пьезоэлектрических методов измерения давлений в двигателях внутреннего сгорания и в различных типах огнестрельного оружия и артиллерийских орудий, приборов для измерения давлений, развиваемых режущими инструментами, мгновенных давлений при ударе, пьезоэлектрических осциллографов, а также описания применения пьезоэлектри
. ’) W. Р. Mason, патент США 2303375. См. также Z. Kamayachi, Т. Ishikawa and Е. К a m i z е k i, Nippon Elec. Comm. Eng., январь 1941, 195, и M. Monji and I. Kawayama, Electrotech. Journ. Japan 4, 235 (1940).
2) A. Guerbilsky, Journ. de phys. et rad. 8, 165—168 (1937).
3) A. J. Gil 1, cm. [69], обсуждение. '
Разнообразные применения пьезоэлектричества 615
ческих манометров в биологии. Некоторые из приведенных статей содержат подробные литературные ссылки. Использование оптических явлений, имеющих место в колеблющихся кристаллах, будет освещено несколько позднее.
Пьезоэлектрические приборы нашли себе широкое применение для измерения вибраций, особенно в машиностроении, и для испытания степени гладкости обработанных поверхностей. Благодаря своему большому пьезоэлектрическому эффекту сегнетова соль хорошо подходит Для этих целей. В конце главы помещено несколько литературных ссылок.
Недостаток места не позволяет описать всевозможные срезы и монтировки, применяемые для измерения напряжений и вибраций. Достаточно сказать, чт*о в приборах, в которых применяется кварц, обычно используются срезы X с продольным или поперечным эффектом. Приборы с кристаллами сегнетовой соли описываются в § 503. За небольшими исключениями, как в одиночном кристалле, так и в кристаллическом агрегате стараются избегать резонанса. Обычно это нетрудно, так как в большинстве случаев частота собственных колебаний кристалла гораздо выше любой из частот, связанных с исследуемым эффектом. Кроме того, монтировка может быть выполнена таким образом, чтобы она глушила любые колебания кристалла.
Некоторые из работ, приведенных в конце главы, содержат теорию приборов для измерения давлений и колебаний, например работы Гольке, Клюге и Линка, Вебстера и Целлера.
§ 502. Безрезонансный преобразователь с кристаллом сегнетовой соли. В настоящее время в электроакустических и электромеханических приборах сегнетова соль применяется чаще, чем какой-нибудь другой кристалл. Рабочие частоты обычно достаточно удалены от резонансных частот кристаллических элементов, и во всяком случае конструкция устройства такова, что все резонансы подавлены. Выдающимся преимуществом сегнетовой соли, по крайней мере обычно применяемого среза X, является, конечно, большой пьезоэлектрический коэфициент. Это достоинство вместе с тем влечет за собой и ряд трудностей вследствие большой чувствительности пьезоэлектрических свойств к механическому воздействию, изменчивости в зависимости от температуры, а также из-за существования гистерезиса и большой диэлектрической постоянной. Счастливым обстоятельством является то, что воздействие, оказываемое на кристаллические элементы клеем, электродами, зажимами и предохраняющим от влаги слоем, не только подавляет резонансные частоты, но в то же в^емя и значительно, уменьшает действие температуры и гистерезиса и понижает диэлектрическую постоянную до величины, приблизительно равной ее значению для полностью зажатого кристалла. За это приходится платиться значительным уменьшением эффективных значений бЛ4 и ец.
Одни сегнетоэлектрические преобразователи действуют как моторы, другие—как генераторы. Устройства первого типа наиболее чувствительны близ точки Кюри, т. е. при 24° С. Однако соответствующей монтировкой можно ограничить чувствительность в пределах нескольких децибел во всем допустимом интервале температур от —40° С до 4-54° С. Чрезвычайно важно никогда не допускать возрастания температуры выше этого верхнего предела вследствие распада сегнетовой соли при 55,6° С. Верхним пределом полезной рабочей области является 45° С, так как выше этой температуры утечка делается опасной.
616
Глава XXVIII
Диэлектрическая постоянная зажатого кристалла сегнетовой соли в направлении X имеет порядок 100. Вызванная этим высокая параллельная емкость тонкой пластинки была бы серьезной помехой, если бы целью было превращение возможно большего количества механической энергии в электрическую. Однако в большинстве устройств, в которых кристалл действует как генератор электрической энергии, он соединяется с очень большим электрическим сопротивлением. Это почти всегда имеет место в незамкнутом контуре, й так как напряжения и температура воздействуют на диэлектрическую постоянную приблизительно так же, как они воздействуют на пьезоэлектрический коэфициент, то, следовательно, при любых обстоятельствах зависимость разности потенциалов, создаваемой в замкнутом контуре данным механическим напряжением кристалла, при всех обстоятельствах близка к прямой пропорциональности этому напряжению. Кроме того, емкость длинных проводников доставляет меньше хлопот, чем низкое значение диэлектрической постоянной. Отдача этих генерирующих приборов практически не зависит от температуры.
То обстоятельство, что при большом внешнем электрическом сопротивлении кристалл практически является частью незамкнутого контура, важно для .теории этого вида преобразователя. Если кристалл находится в незамкнутом контуре при частотах, много меньших резонансной, то под действием механического напряжения он находится в состоянии, в электрическом отношении эквивалентном тому, в котором находился бы кристалл со свободной поверхностью, помещенный между бесконечно удаленными электродами. Поляризация остается близкой к нулю при любых деформациях. Так как жесткость при бесконечно больших зазорах между кристаллом и электродами, как это показано в § 375, можно с большой точностью считать не зависящей от температуры, то отсюда следует, что кристалл, соединенный с большим внешним электрическим сопротивлением, сравнительно свободен от действия обычных для среза X аномалий. Это остается справедливым и в том случае, когда кристалл находится в состоянии частичного сжатия.
В теории сегнетоэлектрических преобразователей удобно пользоваться уравнениями поляризационной теории, содержащими вместо е14 и dl4 сравнительно мало изменяющиеся от температуры коэфициенты «и и &14. Этому методу фактически следовал Мэзон [637] в своем решении данной задачи, хотя он и применял «теорию зарядов». Как показано в § 190, теория поляризации и теория зарядов приводят почти к одинаковым результатам.
§ 503. Если оставить в стороне некоторые опыты 1917 и 1918 гг. над производимыми кристаллами звуковыми действиями, то, повидимому, первой опубликованной работой в этом направлении была работа Никольсона [391], относящаяся к 1919 г. Он применял целые, нераспи-ленные кристаллы размерами 5 или более сантиметров с электродами, расположенными различным образом. Хотя строение кристаллов и электрическое поле далеко не были однородными, все же Никольсон оказался в состоянии использовать относительные смещения грани, нормальной к оси Z, для того чтобы заставить кристаллы служить в качестве микрофонов или репродукторов. Последовавшие вскоре за работой Никольсона неопубликованные опыты в лаборатории Скотта показали, что можно изготовлять элементы одинаковой чувствительности в виде тонких брусков среза X, вырезанных по способу Покельса, так, что они своей длинной стороной делят на две равные части угол
Разнообразные применения пьезоэлектричества 617
между осями У и Z. Эти пластинки имели от 1 до 2 см в длину, от 0,4 до 1 см в ширину и от 0,1 до 0,2 см в толщину. Когда их концы закреплялись с одной стороны в диафрагме, а с другой — в жесткой задней стенке, то эти пластинки действовали как микрофоны и репродукторы. Такие пластинки были также с успехом испробованы в качестве граммофонных адаптеров 0.
Гораздо более эффективны двойные «биморфные» пластинки сегнетовой соли Сойера [448Д. В общих чертах они представляют собой две пластинки сегнетовой соли среза X, склеенные одноименными плоскостями друг к другу, обычно с заложенным между ними тонким металлическим электродом.
В пьезоэлементах, где пластинки работают на изгиб, они прямоугольны, квадратны или трапецеидальны, причем большая ось пластинки образует угол + 45° с осями У и Z. Оси X обеих пластинок ориентированы так, что если одна пластинка расширится в каком-либо направлении, другая сжимается. Элемент такого типа поэтому несколько похож на описанную в § 354 «пластинку Кюри». Однако между ними имеется то важное различие, что, тогда, как в кварцевой пластинке Кюри с длиной, параллельной оси У, деформация происходит только по длине (небольшое изменение толщины составляющих ее пластинок игнорируется) и совсем не имеет места по ширине, пьезоэлектрический эффект в сегнетовой соли таков, что оказывает влияние и на длину и на ширину (если элемент имеет форму квадрата, то любое из его больших измерений может быть названо «длиной»). Если наложенное электрическое поле стремится удлинить и сузить одну пластинку, то другая пластинка стремится стать короче и шире. В результате элемент как целое стремится принять седлообразную, а не цилиндрическую форму. Когда одна поверхность становится выпуклой по длине, она делается вогнутой по ширине.
Предыдущие замечания применимы к несжатому элементу. Если один конец прямоугольника зажат и наложено переменное поле, то другой конец движется взад и вперед (простое зажатие). Если зажаты оба конца, то кривизна по ширине значительно уменьшается и центральная часть колеблется как диафрагма (двойное зажатие). Чтобы заставить пьезоэлемент действовать как преобразователь, превращающий электрическую энергию в механическую и обратно, можно применить любой из этих способов монтировки.
Вторым типом биморфных элементов является элемент, работающий на кручение («twister»). Две составляющих его пластинки срезаХ являются квадратами или прямоугольниками с ребрами, параллельными осям У и Z, или трапецией (клинообразный элемент) с ребрами АВ и CD (фиг. 153), параллельными направлению У или Z. Если на эту комбинацию наложить электрическое напряжение, обе пластинки будут стремиться сдвинуться в противоположных направлениях согласно формуле yz = 'd^Ex . Если элемент закреплен с одного конца, например АВ, то, так как пластинки склеены друг с другом, его узкий конец CD вращается в собственной плоскости. Конец Р стрелки указателя, прикрепленного к CD, движется по дуге круга в плоскости этого конца элемента. Пьезоэлементы, работающие на кручение, часто монтируются и используются по такому способу. По другому употребительному способу сборки такой элемент закрепляется в.трех углах, четвертому же углу предоставляют свободно двигаться.
’) См. также [454].
618
Глава XXVIII
Принцип действия пьезоэлемента, работающего на кручение, показан на фиг. 154, изображающей сегнетоэлектрический мотор, оказавшийся полезным для демонстраций. Соответствующим расчетом храповика и собачки можно заставить это устройство служить синхрон* ным мотором небольшой скорости.
Элементы, работающие на изгиб и кручение, изготовляются в промышленных масштабах под торговым наименованием «биморфы» размерами от 5,5 X 5,5 X 0,038 мм до 6,25 X 6,25 X 0,625 мм, в зависимости от их назначения. Из применений таких элементов можно указать адаптеры и рекордеры для звукозаписи, микрофоны, телефонные трубки, измерители вибраций, осциллографы, световые затворы, стетоскопы и адаптеры, помещаемые непосредственно на музыкальные инструменты. Кристаллы из сегнетовой соли применялись также для громкоговорителей, но в настоящее время они вытесняются более
А • 7 надежными электродинамическими устройствами.
fc":А 5 Прибор, известный под именем «анализатора /// , поверхности», состоит из кристаллического адап-К ' ' тера, усилителя и пьезоэлектрического осцилло-
I;! г графа, непосредственно вычерчивающего черни-
. /,'/ 1; лами контур поверхности исследуемого образца.
/,'t 7,7 В кристаллических микрофонах и телефон-
. р 7,7 * ных трубках обычно используют либо элемент,
у/ **—(7 \ работающий на кручение, закрепленный в трех
С ~^в р ’ углах, либо длинный и узкий элемент с закреп-
’ Фиг 153. Биформный ленными концами, работающий на изгиб. Сво-«твйстер». бодный угол первого или центр второго элемента прикрепляются к небольшой звуковой диафрагме.
Другой тип микрофона известен под названием «ячейкового» микрофона. Звуковая ячейка состоит из двух двойных -пластин приблизительно квадратной формы, работающих на изгиб, расположенных близко друг к другу, чтобы образовалась плоская воздухонепроницаемая ячейка с .узким зазором между стенками. Пьезоэлементы поддерживаются в центрах двух • противополЬжных ребер так, что они могут свободно принимать седлообразную форму. Эти два элемента электрически соединены в параллель и ориентированы так, что создаваемое ими напряжение находится в фазе со звуковыми волнами, воздействующими на ячейку, в то время как все устройство не чувствительно к механическим сотрясениям или вибрациям. Две или более ячеек могут быть скомбинированы в один микрофон; число ячеек в одном из типов такого микрофона доходит до 24. Типовая звуковая ячейка имеет элементы размером 11 X 11 X ОД мм с равномерной чувствительностью от 30 до 10 000 Hz. В лабораторном типе элементы имеют размеры только 5,5 X 5,5 X 0,38 мм с резонансной частотой 45 000 Hz и равномерной чувствительностью до 17 000 Hz.
В приборах для измерения вибраций по принципу смещения применяются пьезоэлементы, работающие на сдвиг или кручение, смонтированные на соответствующей опоре и снабженные приспособлением для приведения рабочей части элемента в движение вибрирующим объектом. В приборах, работающих по принципу ускоряющего действия, также применяются пьезоэлементы обоих указанных типов, причем деформация элемента происходит за счет его собственной инерции, когда ускоряющая сила приложена к держателю элемента. Устройство этого типа особенно полезно при изменении г .механических
Разнообразные применения Пьезоэлектричества
619
колебаний относительно высокой частоты. Электрическое напряжение,
генерируемое пьезоэлементом, пропорционально ускорению; для одной и той же амплитуды колебаний оно возрастает пропорционально квадрату частоты. Исследуемые часто-
ты должны быть значительно ниже резонансной частоты пьезоэлемента с его держателем.
Электрические напряжения, возникающие при работе биморф-ных пьезоэлементов, варьируют в широком интервале, в зависимости от назначения пьезоэлемента. Напряжение, развиваемое лабораторным ячейковым микрофоном, может быть меньше 1 mV, а на ^выходе стандартного граммофонного адаптера оно может достигать 10V. Для создания достаточной звуковой мощности в пьезоэлектрических телефонных трубках достаточно 1—2V, тогда как для самозаписывающего пьезоэлектрического осциллографа при полной амплитуде требуется около 700 V.
Фиг. 154. Сегнетоэлектрический «мотор». Биморфный «твистер», состоящий из 2 пластинок среза X, каждая толщиной 4,5 мм, склеенных вместе с электродом из оловянной фольги между ними, который присоединен к переменному напряжению H5V, 60Hz. Длина, параллельная Z, равняется 25см; ширина, параллельная У,—7,5 см. Два внешних электрода из оловянной фольги
§ 504. Совсем особым типом сегнетоэлектрического пьезоэлемента является срез L [108]. Это пластинка, образующая равные углы с тремя кристаллографическими осями (см. § 140). Поле, нормальное к пластинке, вызывает изменение толщины, а нор-
мальное давление вследствие прямого пьезоэлектрического эффекта вызывает возникновение поляризационных зарядов. Пластинки этого типа применялись в различных экспериментах как излучатели и приемники звуковых волн и как генераторы ультразвуковые волн. Недавно Грот
соединяются вместе и подводятся к другой питающей клемме, для надежности — через большое сопротивление. Нижний конец «твистера» закрепляется. Когда прикладывается поле, верхний конец крутится вокруг вертикальной оси, вращая плечо В и легкую пружину С, которые действуют как собачка на зубчатую окружность колеса D. Переменное поле заставляет D медленно вращаться.
и Либерман [190] нашли им применение в качестве микрофонов в опы-
тах по измерению скорости звука.
§ 505. Ультразвук. Изучение звуковых волн, имеющих частоты, лежащие выше области слухового восприятия человека, началось в конце девятнадцатого столетия. В 1874 г. появились стальные стержни Кенига, совершавшие колебания по длине, а в 1899 г. — его же ультразвуковые камертоны. Другими источниками очень коротких звуковых волн были тогда свисток Гальтона (1883 г.) и предложенный в 1907 г.
620
Глава XXVIII
Альтбергом колебательный искровой разряд; с его помощью были получены звуковые частоты свыше 300 000 Hz. Длина волн обычно измерялась с помощью пыльных фигур Кундта. \
Хотя некоторые из этих источников были достаточно интенсивны, все же они могли излучать только затухающие группы волн и практически являлись точечными источниками, излучающими во всех направлениях.
Оставляя в стороне несколько предпринимавшихся во время первой мировой войны попыток вызывать высокочастотные звуковые 'волны электростатическим путем с помощью колеблющихся пластин конденсатора, можно считать, что современное учение об ультразвуке ведет свое начало от введения Ланжевеном совершенно нового источника звуковых колебаний высокой частоты — устройства, служащего также и для обнаружения этих колебаний. У Ланжевена явилась блестящая идея использовать пьезоэлектрические свойства кристалла кварца и заставить последний излучать непрерывный поток незатухающих звуковых волн, соединив его с высокочастотным электрическим генератором. Кроме того, путем применения составленной из кристаллических пластинок мозаики с большой площадью он оказался в состоянии вызывать излучение системы приблизительно плоских волн, складывающихся в ультразвуковой пучок лучей большой интенсивности, обладающий небольшим углом расхождения.
Непосредственной целью изобретения Ланжевена было обнаружение и установление с помощью эхо местонахождения удаленных предметов, находящихся под водой. Столь новый и многообещающий принцип не мог не возбудить интереса у многих физиков. Были начаты многочисленные исследования, приведшие к некоторым применениям этого метода, имеющим большое значение как в чистой, так и в прикладной науке.
Вторым источником непрерывных ультразвуковых волн является магнитострикционный генератор, предложенный Пирсом в 1928 г.;2\ в дальнейшем усовершенствованный им и многими другими исследователями. Он может создавать более интенсивное излучение, чем колеблющийся кристалл, но практически осуществимый для него • верхний предел частоты достигает приблизительно 60 kHz, и он не так хорошо подходит для осуществления некоторых описанных ниже эффектов. Описания магнитострикционного генератора и его применений можно найти в книгах, перечисленных в конце главы.
§ 506. Кварцево-стальной генератор Ланжевена. В предыдущих главах было указано, что кварцевая пластинка среза X расширяется или сокращается по толщине, когда в направлении X накладывается электрическое поле, создаваемое с помощью электродов, покрывающих ее лицевую и тыльную поверхности. Было указано также, что, накладывая переменное электрическое поле соответствующей частоты, можно возбудить в ней резонансные продольные колебания по толщине. Кварцевые пластинки средней толщины имеют слишком высокие резонансные частоты для того, чтобы быть пригодными для подводной сигнализации и эхолота. Чтобы преодолеть это затруднение, Ланжевен
’) Выражение «сверхзвуковой» широко употребляется как синоним «ультразвука». Имеется два основания для применения последнего термина: слово «ультразвук» аналогично «ультрафиолету» в оптике и употребительно в других языках.
2) G. W. Pierce, Proc. Amer. Acad. Arts. Sci. 63, 1—47 (1928).
Разнообразные применения ПъёйбэлекТричесФёй 621
вклеивал кварцевую пластинку в несколько миллиметров толщиной между двумя массивными стальными плитами. Толщина этих плит была выбрана так, чтобы общая частота всего «сандвича» достигала желаемой величины. Плиты служили, кроме того, электродами. Когда такой элемент, совершающий колебания с резонансной частотой, определяемой его толщиной, находится в воздухе, в последнем возникает система стоячих волн; толщина элемента соответствует половине длины волны продольных колебаний. Если этот элемент погружен в воду, то одна стальная плита находится в непосредственном контакте с водой и • Излучает ультразвуковые колебания, а другая плита, находящаяся в контакте с воздухом, отражает энергию волн без ощутимых потерь.
В первых своих опытах Ланжевен применял в качестве источника высокой частоты дуговой генератор Паульсена. Этот тип генератора был вскоре вытеснен генератором с электронными лампами. Для того чтобы устройство излучало больше энергии и чтобы в то же время сконцентрировать энергию в узкий пучок лучей, Ланжевен увеличивал боковые размеры стальных плит до 20 и более сантиметров и вклеивал между ними мозаику из кварцевых пластинок среза X, тщательно сошлифованных до одинаковой толщины. Таким образом, маленькие куски кристалла могли быть использованы для изготовления ультразвукового излучателя любой желаемой площади.
Хотя излучение в воду вызывает сильное затухание колебаний, все же важно возбуждать генератор на его резонансной частоте или на частоте, близкой к ней. Например, если при частоте, далекой от резонанса, для получения требуемой амплитуды колебаний необходимо прилагать до 50 000 V, то при резонансе было бы достаточно 2500 V. Кроме того, так как генератор обычно служит и для обнаружения волн, отраженных отдельными объектами, его точная настройка на излучаемую .частоту имеет громадные преимущества.
Наиболее выгодная частота подводного источника концентрированного излучения определяется следующими условиями: подобно всем другим средам, вода поглощает звуковую энергию, причем степень поглощения зависит от проходимого звуком расстояния и от его частоты. Поглощение возрастает пропорционально квадрату частоты. Волны слышимого спектра претерпевают очень небольшое поглощение. Ланжевен указывает, что при частоте 40 000 Hz энергия падает до ,/3 первоначального значения на расстоянии около 30 км, тогда как i при 100 000 Hz такое же снижение имеет место уже на расстоянии 5 км. Если бы излучение происходило в воздухе, а не в воде, то при столь высокой частоте 2/з энергии поглощалось бы уже через несколько метров.
Второе условие связано с тем обстоятельством, что плоский источник звука должен излучать плоские волны и, следовательно, концентрированный пучок лучей, что достигается увеличением боковых размеров источника по сравнению с длиной звуковой волны. Генератор, рассчитанный на частоту 100 000 Hz и дающий в воде при диаметре мозаики 20 см длину волны около 1,5 см, будет испускать пучок лучей с очень острой направленностью. Для получения эхо от отдаленных предметов такой пучок был бы неудобен из-за своей узости. Кроме того, при этой частоте имело бы место нежелательное относительно большое поглощение энергии в воде. Для обнаружения эхо желательно, чтобы большая часть энергии была сосредоточена в конусе с углом раствора около 20°. Это требование удовлетворяется, если диаметр
622 Г л а в a XXV1H
излучающей поверхности приблизительно в шесть раз больше длины волны в среде.
Следует найти золотую середину между высокой проникающей способностью акустических колебаний низкой частоты/ и требованием относительно большой площади излучателя, нужной /для получения достаточной направленности пучка. Наиболее удачное решение находим для частот около 40 000 Hz. В этом случае длина волны равна 3,5 см, а соответствующий диаметр излучающей поверхности — около 20 см. Вычисления Ланжевена показали, что для излучения колебаний мощностью в 1 W/см2 амплитуда колебаний должна составлять около 5 • 10—5 см. Возвращающееся эхо может иметь амплитуду 10—10 см, т. е. только 7зоо диаметра молекулы. Даже такие ничтожные колебания могут быть обнаружены, если их частота совпадает с резонансной частотой генератора. Были разработаны разнообразные приборы для установления и автоматической регистрации направления, в котором находится погруженный в воду объект, и расстояния от него до наблюдателя. Последнее определяется промежутком времени между излучением короткого сигнала и его возвращением. Дальность действия приборов с использованием эхо, разумеется, ограничена законом обратной пропорциональности четвертой степени расстояния.
Во время своих опытов Ланжевен передавал сигналы на расстояния до 9 км и принимал эхо от объектов, находящихся под водой на расстоянии 2000 м от генератора. Он описал применение небольшого кристалла кварца в качестве «зонда» для исследования звукового поля вблизи генератора. Излучаемая мощность достигала 10 W/cm2.
Поворачивая погруженный в воду генератор так, чтобы последний излучал волны вертикально вниз, Ланжевен получил эхо от дна океана. Даже на мелководьи, при глубинах порядка 1 м, могли быть получены записи. Этот прибор имеет очень большое значение для изучения глубин, так как он дает возможность производить съемку дна, обнаруживая местонахождение рифов и песчаных отмелей. Кроме того, он может действовать во время движения корабля.
Более полное описание кварцево-стального генератора, его теории и его применения для обнаружения эхо и исследования глубин сообщается в источниках, перечисленных в конце настоящей главы.
§ 507. Пьезоэлектрические излучатели ультразвуковых волн. Как и в только что описанном генераторе Ланжевена, чаще всего применяются плоские кристаллические пластинки, совершающие продольные колебания по толщине. Для большинства устройств, описываемых ниже, нужны такие высокие частоты, что можно применять очень тонкую пластинку, колеблющуюся на своей основной частоте или на ее нечетных обертонах. Для наиболее высоких частот пластинки возбуждаются на очень высоких обертонах. Вместо массивных металлических плит Ланжевена употребляются описанные ниже различные типы электродов. Применялись частоты до 50 000 Hz. Однако для частот ниже 200 Hz применяются колеблющиеся по длине одиночные пластинки или стопки пластинок.
Если бы в природе чаще встречались крупные и совершенные кристаллы турмалина, то многие из трудностей, связанных с практическими применениями пьезоэлектричества, были бы устранены. Это особенно справедливо для ультразвука, так как большие пластинки турмалина среза Z были бы почти идеальными излучателями.
.. ......Разнообразные применения пьезоэлекТричёстёё 623
Как бы то ни было, турмалин редко использовался для получения ультразвука. Хильчер [228] и Кэди [108] говорили о сегнетовой соли, как о возможном излучателе. По механическим и термическим соображениям сегнетова соль не годится для получения очень интенсивных излучений. Для демонстрации описываемых ниже явлений диффракции света, а равно и [для других целей, где достаточно небольшой мощности, автор с большим . успехом применял срез L сегнетовой соли (см. § 140 и 504). Подобно кварцу, этот срез может совершать продольные колебания по толщине, которые рекомендуется использовать там, где нужна большая площадь как излучателя, так и приемника. О применении этого среза для обнаружения звуковых волн см. § 504.'
Почти все описанные в литературе работы по ультразвуку были проведены с кварцевыми пластинками среза X, за исключением некоторых, относящихся к 'магнитострикционному генератору. Пластинка имеет обычно форму диска, хотя в немногих случаях применялся контур Штраубеля (см. § 360), так как при этом имеет место несколько более равномерное распределение излучения по поверхности и можно накладывать более высокие электрические напряжения без опасения разрушить пластинку1).
Простейшее устройство для опытов с непроводящими жидкостями, например, с ксилолом, трансформаторным и парафиновым маслами, состоит из лежащей на дне сосуда на' свинцовом листе или плитке кварцевой пластинки, причем свинец служит одним из электродов. При свинцовой подушке вероятность поломки кварца меньше, чем при опоре из твердого металла. Вторым электродом является лежащий на кварце тонкий лист металла, сквозь который излучение проходит с небольшими потерями. Это устройство применяли в своих опытах Вуд и. Лумис [657]. Линдберг применял в качестве верхнего электрода проволочную сетку. Лицевая поверхность кристалла может быть также окантована по окружности узким латунным кольцом.
Значительно более полное использование энергии колебаний кристалла имеет место, если одна из его сторон находится <в контакте со слоем воздуха. Волны сжатия и растяжения в кристалле практически полностью отражаются от границы между кристаллом и воздухом, и все потери через заднюю поверхность генератора будут таким образом исключены. Возможны различные устройства, причем некоторые из них очень просты и удобны для демонстрации и приближенных измерений скоростей и длин волн ультразвука.
§ 508. Нафиг. 155,а изображен кристаллический брусок С, предназначенный для колебания по длине с низкими ультразвуковыми частотами. Брусок имеет электроды из фольги и приклеен к металлической мембране толщиной в несколько десятых миллиметра. Эта мембрана закрывает конец стеклянной или металлической трубки Т. R ~ подвижной поршень для отражения излучения и создания стоячих волн. Эффективное электрическое сопротивление кристалла изменяется при изменении положения поршня, проходя от одного максимума к другому, когда поршень передвигается на полволньг. Это периодическое изменение сопротивления наблюдается в виде циклов изменений анодного тока электронной лампы, приводящей в действие кристалл. Этот опыт
См. [607], стр. 39.
624
Рлава XXVlll
иллюстрирует -принцип ультразвукового интерферометра. Он может быть также выполнен прямо на воздухе, не заключенном в трубу. Но выгода применения трубы состоит в том, что, если она содержит тонкий порошок, частицы порошка собираются в узлах, как в хорошо известных опытах Кундта, давая видимое глазами доказательство короткости длин волн.
Фиг. 155, 0 изображает прибор, подобный вышеописанному, но для того чтобы покрывать более широкую область частот, кристалл С имеет форму пластинки, колеблющейся по толщине. Тыльным электродом может служить оловянная фольга или тонкий лист прокатанного металла. При частоте 106 Hz длина волны в воздухе имеет порядок 0,03 см, так что для высоких частот необходимо микрометрическое управление движением поршня 7?.
Если средой является жидкость, а не газ, то труба Т с кристаллом на дне может стоять вертикально. Этот способ удобен для демонстрации
описываемых в дальнейшем эффектов диффракции света. Если пользуются поршнем, то для предотвращения прохождения излучения он должен представлять собой воздушную камеру в форме цилиндрической коробки с тонкой металлической передней стенкой.
Эксперименты с жидкостями могут быть также выполнены в открытом жолобе или баке вместо трубы. Кристалл, как показано на фиг. 155, в, может быть прикреплен с внутренней стороны небольшой плоскостной коробки из тонкого металла, которая по желанию может передвигаться в жидкости. Так как пучок, испускаемый таким генератором, имеет значитель-
Фиг. /55.\Простые приспособления для получения ультразвуковых волн а и б используют в качестве среды воздуха. Сосуды, показанные на фигурах виг, употребляются при по-
гружении в жидкость. ную расходимость, то происходит
отражение от боковых стенок, так что сосуд заполняется трехмерной системой максимумов и минимумов интенсивностей. Это звуковое поле можно исследовать с. помощью второго кристалла в небольшой открытой коробке. Еще лучше, если этот кристалл, служащий микрофоном, представляет собой небольшой стержень или брусок сегнетовой соли 45-градусного среза X размерами около 0,5 X 1 X 1 см, снабженный электродами из оловянной фольги и помещенный в масло внутри резиновой или тонкостенной металлической трубки, дном которой служит пробка (см. фиг. 155, г). Этот кристалл включается между сеткой и нитью накала лампы маломощного генератора, работающего на частоте, достаточно удаленной от частоты ультразвукового излучателя, чтобы в телефоне или громкоговорителе возникал слышимый тон биений.
Даже с маломощным генератором можно получить «пыльные фигуры» в трубе или жолобе с жидкостью. Во время своих опытов 1918 г. автор однажды заставил небольшой генератор, расположенный в конце жолоба длиной в несколько метров, наполненного несколько мутной водой, в течение нескольких часов непрерывно излучать частоту около 25 000 Hz. Взвешенные в жидкости частицы, находившиеся в узлах,
Разнообразные применения пьезоэлектричества 62§
осели на дно сосуда. Аналогичный эффект был отмечен Арденне (см. ссылку в конце главы) и Бойлем [74].
Как показано на фиг. 155, б и в, можно осуществить непосредственный выход излучения из кристаллической пластинки в жидкость с помощью почти равного пластинке по площади отверстия в листе металла, к которому извне прижат кристалл. Передняя поверхность металлизируется и электрически соединяется с этим металлическим листом.
Изоляция одной стороны кристаллической пластинки от окружающей жидкости имеет то большое преимущество, что сама жидкость может тогда не быть изолятором.
Некоторые экспериментаторы делали ’ попытки закрепить кристалл по средней линии между его лицевой и тыльной сторонами, как это иногда делается с кварцевыми резонаторами (см. § 344). Если пластинка не излучает равномерно в обоих направлениях, что бывает в редких случаях, эти попытки представляют собой напрасную трату сил, так как средняя плоскость пластинки уже не является узловой плоскостью, если сопротивления сред, соприкасающихся с двумя излучающими поверхностями, различны. Излучение с поверхности кварца обычно далеко не однородно как по интенсивности, так и по направлению. Усложнение, вносимое этим обстоятельством в количественные опыты, несколько уменьшается при применении упомянутой выше пластинки Штраубеля. Значительное число исследований было посвящено изучению звукового излучения в непосредственной близости от генератора.
Теоретически пьезоэлектрическую пластинку можно возбудить до любой желаемой амплитуды колебаний при любой частоте, как бы далека от резонанса она ни была, при условии, что накладывается достаточно высокое электрическое напряжение. Оставляя ' в стороне опасность пробоя диэлектрика в сильном поле, можно утверждать, что опасность механического разрушения при вынужденных колебаниях под высоким электрическим напряжением не больше, чем при резонансных колебаниях при низком напряжении. Несмотря на это, если бы было выгодно возбуждать кристалл сильным полем нерезонансной частоты, кристалл, даже при затухании вследствие излучения в жидкость, почти наверное был бы разрушен, если бы частота по какой-либо несчастной случайности прошла через резонанс. На практике обычно используются резонансные частоты. Экспериментатор должен помнить, что резонансное напряжение безопасно, если кристалл соприкасается с жидкостью; в воздухе кристалл может легко разрушиться.
Для концентрации больших количеств ультразвуковой энергии на небольших участках можно использовать вогнутый кварцевый генератор Грютцмахера [192], [193] (см. также в конце главы ссылки на Линна, Цвемера и Чикка и на Туманского). Излучающая поверхность большой круглой пластинки среза X делается слегка вогнутой, вследствие чего излучаемый пучок получается сходящимся. С ее помощью Туманский получал при частотах от 638 до 1000 kHz струи до 70 см высотой, бьющие вверх с поверхности жидкости.
Для получения ультразвуковых эффектов в воздухе, кристалл можно включать в схему Пирса, но в жидкостях колебания кристалла затухают слишком сильно, чтобы можно было работать по этому способу. Для этой цели более пригодным и употребительным является ламповый генератор Гартлея. В некоторых случаях использовались две лампы в пушпульной схеме. С выходом генератора индуктивно связывается катушка, присоединенная к кристаллу. При надлежащем выборе индуктив-40 К»ди
626
Глава XXVIII
ного сопротивления контур можно заставить работать как трансформатор Тесла, питающий пьезокристалл высоким напряжением.
Мюллер и Крафт [383] описали интересный метод демонстрации интерференции между волнами от двух источников ультразвука. В двух кварцевых пластинках несколько различных размеров возбуждаются колебания по длине с помощью независимых источников. Пластинки раздвинуты на несколько сантиметров и обращены излучающими поверхностями друг к другу; разность частот лежит *в области слухового восприятия. При этих условиях можно слышать тон биений. Если изменять расстояние между пластинками, то высота этого тона будет изменяться в общем пропорционально их относительной скорости, демонстрируя тем самым эффект Допплера.
Крайние границы частот, достигнутые до сих пор с помощью ультразвуковых волн, составляют 20 и 500 000 Hz. В этом интервале укладывается приблизительно 15 октав. В воздухе соответствующий интервал длин волн простирается от 1,6 см до 6- 10~5 см. Предельная мощность, излучаемая без разрушения кристалла, зависит от его оправы, частоты и окружающей среды. Вуд и Лумис получали для нее цифру 35 W/cm2. Это предельный случай; обычно верхний предел считают равным 10 W/см2, но даже и в этом случае имеется опасность разрушения кристалла. Десять ватт на квадратный сантиметр — это в 109 раз больше выходной мощности громкоговорителя обычного типа (80 децибел). При такой мощности и частоте 3- 108 амплитуда давления в среде составляет 4- 5 атм, максимальное ускорение в 105 раз больше ускорения силы земного притяжения, максимальная скорость равна 40 см/сек. и давление излучения составляет 1300 дин/см2 = 0,0013 атм.
§ 509. Действия, производимые интенсивным ультразвуковым излучением. Хотя некоторые из упоминаемых ниже явлений наблюдались уже с генераторами ланжевеновского типа, но подробное исследование возможностей нового орудия науки было произведено только Вудом и Лумисом. Эффектный успех их экспериментов был следствием сочетания большой интенсивности и высокой частоты.
Одним из важнейших следствий такого сочетания является возникновение в облучаемой среде больших напряжений; это ясно из следующих соображений. Как мы видели в предыдущем параграфе, возникают чрезвычайно большие ускорения и соответствующие' им большие силы, действующие на частицы среды или на небольшие предметы, находящиеся в ней. Эти силы вызывают сжатия и растяжения среды; поскольку длина волны очень мала, напряжения велики.
Важным следствием существования больших напряжений в жидкости является наличие кавитации. Существование ее в жидкостях, пересеченных ультразвуковыми волнами, было впервые обнаружено Бойлем и его сотрудниками. Термин «кавитация» применяется как к высвобождению из жидкости пузырьков воздуха или иных абсорбированных газов, так и к разрыву самой жидкости с возникновением пустот, заполненных паром. Эти пустоты, имеющие вид слоев, толщиной в длину волны, стремительно спадаются вследствие действующего на них внешнего давления, что в известной мере происходит и с пузырьками абсорбированного газа. Кавитация сопровождается возникновением интенсивных местных электрических полей — процесс, которым, надо думать, можно объяснить ускоряющее действие интенсивных ультразвуковых
Разнообразные применения пьезоэлектричества
627
полей на некоторые химические реакции, а также наблюдаемую иногда люминесценцию.
При давлении, равном нулю, и при высоком гидростатическом давлении кавитация отсутствует. Для получения ясно выраженных явлений кавитации оптимальное давление составляет около 2 атм. При атмосферном давлении расслоение наступает при мощности порядка 0,03 W/cm2.
1 Примерами применения интенсивных ультразвуковых волн являются приготовление высокодисперсных эмульсий, разрушение бактерий и другие биологические эффекты, ускорение химических реакций, освобождение жидкостей от газов, применение в металлургии, а также рассеивание туманов. Эмульсия образуется в ничтожных количествах и в некоторых случаях совершенно не образуется, если в жидкой среде нет абсорбированного газа.
§510. Ультразвуковой интерферометр. Образование в воздухе стоячих волн между колеблющейся кварцевой пластинкой и отражающей поверхностью впервые наблюдалось в 1925 г. Пирсом [424], измерившим длины волн в воздухе и СОг и впервые наблюдавшим высокое поглощение ультразвуковых волн в СО2. Прибор Пирса был превращен Хаббардом, Пилемейером и другими [607], [626] в инструмент высокой точности для измерения скорости и поглощения звука в газах и жидкостях.
§ 511. Оптические действия ультразвуковых колебаний и волн. Первым оптическим методом, примененным для изучения колеблющихся кристаллов, было использование пьезооптического эффекта, заключающегося в том, что световой поток, проходящий через оптическую систему, содержащую колеблющийся кристалл между поляризатором и анализатором, изменяется в зависимости от деформации кристалла. С его помощью Тавиль [505] в 1926 г. исследовал деформации бруска кварца (см. § 368). Уже тогда он предвидел использование оптических эффектов в световых реле и телевидении. Пьезооптический метод был применен Тавилем [516] для измерения и регистрации очень коротких интервалов времени, Хаустоном, по предложению Гранта, для измерения скорости света и Мак-Кинли для измерения слабых оптических активностей. См. также статью Брауна 0.
В своем втором методе наблюдения [511] Тавиль применял кварц, колеблющийся с частотой, достаточно высокой для того, чтобы создать в окружающем воздухе систему очень коротких волн. Уже давно известно, что звуковые волны можно наблюдать и фотографировать, пользуясь разницей показателей преломления с&атых и разреженных участков. Этот метод, предложенный Теплером и известный под названием «метода потоков» (Schlierenmethode), .был применен Тавилем к ультразвуковым волнам. Для более низких частот он применял составной кварцево'-стальной резонатор. «Метод потоков» в дальнейшем был развит и улучшен Тавилем и другими специально для исследования звукового поля в окрестности излучателя.
Дебай и Сирс [122] и Люка и Бикар [321] независимо друг от друга и почти одновременно предположили, что близко отстоящие друг от друга участки сгущения и разрежения могут повести к тому, что среда будет служить оптической диффракционной решеткой. Простейшим случаем является прозрачная жидкость, в которой создается система
’) Работы упомянутых авторов перечислены в конце главы.
40*
628 Г'j а в а XXVIII
плоских волн, движущихся или стоячих. Узкий пучок света, вырезанный щелью, параллельной фронту волн, проходит через жидкость в направлении, нормальном к направлению распространения волн, и претерпевает диффракцию, как от одномерной плоской диффракционной решетки. Если прошедший свет фокусируется на экране, то наблюдается система параллельных полос, состоящих из неотклоненного \ изображения щели и из спектров различных порядков по обеим сторонам его, а при монохроматическом свете — из диффракционных полос. Этот эффект легко продемонстрировать, если взять в качестве жидкости ксилол и использовать колебания по толщине кварцевой пластинки среза X или пластинки сегнетовой соли среза L. На фиг. 155,6 изображен простой способ установки и крепления кристалла. Зная частоту, геометрию системы и расстояния между полосами, можно вычислить скорость звука в жидкости и адиабатическую сжимаемость.
§ 512. Метод диффракции, расширенный и видоизмененный многими способами, стал важным орудием исследования. С его многочисленными применениями можно познакомиться по литературе, приводимой в конце настоящей главы. Большим преимуществом метода диффракции по сравнению с методом интерферометра является то, что почти такие же точные результаты могут быть получены в очень короткое время и с очень небольшими образцами веществ. При применении высоких частот длина »волн так мала, что даже в образцах объемом не более одного кубического сантиметра волны ведут себя, как в бесконечной среде, так что можно пренебречь граничными условиями.
Шефер и Бергман с большим успехом применили метод диффракции для измерения упругих коэфициентов прозрачных твердых тел, как аморфных, так и кристаллических. Если ультразвуковые волны проходят через кристалл, то может быть сфотографировано диффракционнос изображение, выявляющее симметрию упругих свойств кристалла и существование трех видов упругих волн, которые могут передаваться по кристаллу. Из фотографий, сделанных при соответствующих ориентациях звуковых и световых пучков, можно вычислить упругие коэфициенты. Кубик подлежащего изучению вещества возбуждается кварцевой пластинкой, приклеенной к одной из его сторон или просто прижатой к ней с промежуточным слоем масла. Еыбирается частота, близкая к резонансной частоте кварца, при которой в кубике возникает система стоячих волн. Сочетая действие колебаний кварца, происходящих по длине и толщине, можно возбудить в кубике все возможные вцды колебаний.
Даже в случае непрозрачных твердых тел упругие коэфициенты можно определить оптическим путем, что было доказано экспериментально Шефером и Бергманом, следовавшими теории метода, разработанной Лудловом. Здесь используется то обстоятельство, что поверхность, подвергающаяся действию ультразвукового излучения, находится в состоянии колебаний, вызывающих при отражении от нее светового пучка появление характерной диффракционной картины.
§ 513. Пьезоэлектрическое световое реле. Управление интенсивно стью светового пучка с помощью колеблющегося кристалла кварца было впервые применено Тавилем обоими описанными в § 511 способами. Второй способ применялся в стробоскопическом устройстве для наблюдения движущихся волн Ч.
*) См. [626], стр. 210.
Разнообразные применения пьезоэлектричества 629
В более эффективном типе реле, описанном впервые независимо друг от друга Бикаром и Каролусом J), используется диффракционный эффект (см. § 511). Световой пучок проходит через жидкость, находящуюся под действием ультразвукового излучения, как в опытах Дебая — Сирса. При амплитуде, равной нулю, вся световая энергия сосредоточена в центральном изображении (спектр нулевого порядка). При увеличении амплитуды интенсивность спектра первого и более высоких порядков возрастает до интенсивности центрального изображения. В световом реле центральное изображение вырезается узким непрозрачным экраном, так что количество прошедшего света зависит от суммарной интенсивности дцффрагированной части. Таким образом, количество прошедшего света с большой степенью точности пропорционально амплитуде колебаний кристалла, и его интенсивность можно изменять, модулируя ток, приводящий кристалл в состояние колебаний. Для осуществления быстрой модуляции колебания кристалла должны быть сильно затухающими, что достигается применением демпфирующей жидкости. Наиболее пригодной жидкостью, сочетающей нужные для этого особенности с высокой прозрачностью, является четыреххлористый углерод.
В Отношении управления световыми пучками пьезоэлектрические реле имеют существенные преимущества перед ячейками Керра. Они хорошо реагируют при более высоких частотах и могут применяться при ультрафиолетовом свете, потребляя гораздо меньшую мощность при более низком напряжении. Их главным недостатком является то, что, если желательно иметь на кристалле относительно низкое электрическое напряжение, частота должна быть близка к резонансной.
Другой тип светового реле с использованием электрооптического эффекта кварца описан в 1939г. Арденне (см. ссылку в конце главы).
§ 514. Применение ультразвука в телевизионных приемных устройствах. Телевизионные изображения, получаемые на флуоресцирующих экранах с помощью катодных лучей, очень ограничены как в отношении размеров, так и в отношении яркости. Весь исходящий от экрана свет порождается быстро движущимся катодным лучом, и каждый элемент изображения обладает очень малой продолжительностью свечения. Применяя в качестве источника света мощную электрическую лампу и модулируя световой пучок в точном соответствии с телевизионными сигналами соразмерно яркости различных элементов картины, можно увеличить размеры и яркость телевизионных изображений в огромной степени. Одним из способов такой модуляции света, использующим ультразвуковой модулятор, является способ, известный под названием Scophony Supersonic Television System, первоначально предложенный Джеффри2). Вдоль столба жидкости от кварцевой пластинки, находящейся в одном из его концов, распространяется вереница бегущих волн, как в опыте Дебая—Сирса. В другом конце столба жидкости волны поглощаются, чтобы предотвратить отражение и образование стоячих волн. Кварцевая пластинка, служащая излучателем, возбуждается близко к ее резонансной частоте переменным напряжением, модулированным принимаемыми сигналами. При этом ультразвуковые волны в жидкости модулированы соответственно модуляции кварца. Данному элементу изобра-
’) Р. В i q u а г d, французский патент 752910 (1932); А. К а г о 1 u s. патент США 2084201 (1931).
г) См. ссылку [20*] в конце настоящей главы.
630
Глава XXVIII
жения соответствует короткая череда волн с определенной амплитудой, которая с небольшим ослаблением пробегает вдоль столба жидкости.
Параллельный пучок света от лампы, проходя поперек ячейки с жидкостью параллельно фронту волн, претерпевает диффракцию. Центральное изображение задерживается небольшим препятствием, так что проходит только диффрагированный свет; количество этого света приблизительно пропорционально амплитуде колебаний кварца и, следовательно, яркости соответствующего элемента. В любой момент времени различные количества света, проходящие в различных участках ячейки, отвечают’сериям следующих друг за другом элементов картины. С помощью системы линз увеличенное изображение ячейки преобразуется в некоторое плоское изображение, проектирующееся на экран. Так как серия волн для данного элемента пересекает всю ячейку, то изображение, которое она порождает, тянется через весь экран.
Чтобы фиксировать положение отдельных элементов картины на экране, на пути света помещается* быстро вращающийся небольшой барабан, на боковой поверхности которого укреплен ряд плоских зеркал; при своем вращении зеркала отражают свет так, чтобы нейтрализовать движение изображения и удержать каждый элемент картины в надлежащем месте на прямой, проектирующейся на экране.
Из предыдущего описания видно, что изображение отдельного элемента картины, вместо того чтобы проектироваться только в течение чрезвычайно короткого времени, когда принимается элемент, продолжает проектироваться в течение всего времени, нужного серии волн для того, чтобы пробежать всю длину ячейки (порядка одной пятой микросекунды для изображения в 525 строк). В продолжение этого времени изображение нарастает в ячейке и продолжает добавлять картине яркость. Таким образом, в любой момент времени одновременно сохра^ няется много элементов изображения, число которых соответствует числу строк.
Для того чтобы разложить следующие друг за другом линии в действительное изображение, применяется второе зеркало, вращающееся с относительно низкой скоростью.
Столбики жидкости в ультразвуковых ячейках могут иметь в длину от 2,5 до Ю см. При ультразвуковой' частоте 18 MHz, если жидкостью служит вода, длина волны составляет около 0,08 мм (скорость звука в воде около 1,5 • 105 см/сек.). Одновременно могут сохраняться несколько сот элементов изображения. В качестве быстро движущейся системы зеркал применяется ЗО-сторонний многогранник около 5 см в диаметре из нержавеющей стали, совершающий 31 500 оборотов в минуту при изображении в 525 строк. Применялись и стеклянные многогранники. При использовании в качестве источника света высокоинтенсивной дуговой лампы на экраны телевизионных кинотеатров проектировались кадры до 5,4 м шириной. Для ознакомления с различными деталями и видоизменениями следует обратиться к литературе, помещенной в конце настоящей главы.
ЛИТЕРАТУРА
ПРИМЕНЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ В ФИЛЬТРАХ
Книги № 637, 652, 653 общей библиографии.
Starr А. Т., Electric Circuits and Wave Filters, London, 1944, 475 стр.
V i 1 b i g F., Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Leipzig, 1937, 775 стр.
Разнообразные применения пьезоэлектричества 631
Журнальные статьи
№ 37, 38, 69, 71, 342, 365, 436, 437 общей библиографии.
Buckley О. Е., Эволюция кристаллического фильтра, Journ. AppI Phys 8 40—47 (1937).
Builder G., Балансировка сопротивлением в фильтрах A. W. A. Techn. (Rev 3, 83—100 (1938).
Burns G. К., Производство кварцевых фильтров,, Bell Syst. Techn. Journ 19, 516—532 (1940).
C h a k r a v a r t i S. P. и Dutt N. L., Об эффекте Пропускания широких полос частот кристаллами, связанном с элементами отрицательного импеданса, и разработке широкополосных кристаллических фильтров с малыми потерями, Indian Journ. Phys, 14, 295—310 (1940).
D'H e e d e n e A. R., Влияние погрешностей производства на кристаллические элементы для фильтров, Bell Syst. Techn. Journ. 23, 260—281 (1944).'
Flint W. А., Новые полосовые фильтры из двойного кристалла, Electronics and Television and Short-Wave World 13, 552—554 (1940).
Gardiner E. L., Кристаллические полосовые фильтры, Wireless World and Radio Rev. (London) 43, 382—384, 407—408, 447—448, 463—464 (1938);
T. и R. Bull. (London) 15, 75—79, 141—144, 178—179, 213—216, 251—253 (1939).
Hu dec E., Расчет и конструирование кварцевых фильтров и их различные схемы, Elektr. Nachr.-techn. 18, 265—276 (1941); 19, 16—25 (1942).
KamayachiZ. и Ishikawa Т.. О кварцевых кристаллических вибраторах в качестве элементов электрических волновых фильтров, Nippon Electr. Comm. Eng. № 18, 103, 106 (1939).
Kamayachi Z. и Ishikawa T., Колебания по длине, Electrotechn. Journ. (Japan) 4, 243—246 (1940).
Kautter W., Регулируемые широкополосные кварцевые фильтры, Telef. Hausmitt. 18, 42—50 (1937).
Knox R. E., Применение кварцевых кристаллов в волновых фильтрах, Electronics 13, 78- (ноябрь 1940).
Lane С. Е., Ограничения при конструировании полосовых фильтров, Bell Labs. Record. 16, 56—61 (1937).
Lane С. E., Кристаллические каналовые фильтры для кабельных несущих систем, Elec. Eng. 57, 245—249 (1938).
Mason W. P., Кристаллические кварцевые фильтры, Bell Labs. Record. 13, 305—311 (1935).
Mason W. P., Полосовые кристаллические фильтры с компенсацией сопротивлений для применения в несбалансированных контурах, Bell Svst. Techn. Journ. 16, 423—436 (1937).
Pohl m an n W., Исследования кристаллических полосовых фильтров, Telegr. Fernspr. Techn. (Berlin) 30, 285—295, 324—329 (1941).
Stanesby H„ Простой узкополосный кристаллический фильтр, >Post Office Electr. Eng. Journ. 35, 4—7 (апрель 1942).
Stanesby H. и Broad E. R., Узкополосовой фильтр с применением кристаллических резонаторов, Post Office Electr. Eng. Journ. 33, 176—182 (1941).
Waltz W. W., Проектирование кристаллического фильтра, Radio Engineering 16, 7—10 (яйварь), 14—17 (февраль), 16—17 (март), 12—14 (апрель) (1936).
White G. J., Кристаллические фильтры и связь промежуточной частоты, Proc. Inst. Radio Eng. Australia 1, 50—56 (1938).
Willis E. S., Каналовые кристаллические фильтры для широкополосовых несущих систем, Bell. Labs. Record. 17, 62—65 (1938).
Wilson J. E., Кристаллический фильтр как контур, шунтированный полным сопротивлением, Communications 21, 18, 20 (апрель, 1941).
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ ПРИЕМНЫХ УСТРОЙСТВ
Книги
Document du comite consultatif international des radio communications, 3eme reunion, Lisbon, 1934; Bern, 1935.
Radio Amateurs' Handbook, American Radio Relay ' League.
Журнальные статьи
Bacon D., Улучшение кристаллических фильтров, QST 24, 88 (декабрь 1940).
Batcher R. R., Применение пьезоэлектрических кристаллов в приемниках, Electronics 3, 57—58 (август 1931).
632
Глава XXVIII
Benson J. E., Кристаллическая стабилизация смесителя в супергетеродинном приемнике, A. W. A. Techn. Rev. 4, 127—137 (1939); 5, 29—40 (1940).
Benson J. E., Заметка по истории пьезоэлектрических кристаллических фильтров, A. W. A. Techn. Rev. 5, 191—192 (1941). ,
Builder G. и Benson J. E., Простые кварцево-кристаллические фильтоы с переменной шириной полосы пропускания, A.W.A. Techn. Rev. 5. 93—103 (1941); Wireless Eng. and Exper. Wireless (London) 20, 183—189 (1943).
Colebrook F. M., Теоретическое и экспериментальное исследование приемных контуров высокой селективности с исправленной частотной характеристикой, Radio Res. Board. Nat. Phys. Lab. Spec. Rept. 12, London, 1932.
Crosbv M. G., Связь с помощью фазовой модуляции, Proc. Inst. Radio. Erg. 27, 126—136 (1939),
Fischer H. В.-, Супергетеродинный поиемник с кристаллической стабилизацией, Bell Labs. Record 11, 273—278 (193°).
Grammer G„ Кристаллический фи"втп и устранитель шума для супергетеродина, QST 20, 28 и след, (октябрь 1936).
Kautter W., Кварцевые фильтры с непрерывно меняющейся шириной полосы, Telefunken Zng. 18, 22—41 (1937).
К е а 11 О. Е., Анализ шунтирующих контуров для гУьезоэлект; ических кварцевых резонатооов. Marconi Rev. No. 59, 19—29 (1936).
Lamb J. J., Селективность копотково"нового приемника, соответствующая* современным условиям, QST 16, 9—20, 90 (август 1932).
Lamb J. J„ Усовершенствования кристаллических фильтров для супергетеродинов, QST 17, 21—24 (ноябрь 1933).
Lamb J. J., Характеристика селективности приемника, QST 19^ 37—41 (1935).
Lamb J. J., Новая система связи промежуточной частоты для супергетеродинов, QST 21. 28—30 (апрель 1937).
Lamb J. J.. Теперь достигнута супергетеродинная селективность во всем диапазоне, QST 21, 161 и след, (июнь 1937).
Millen J. и Bacon D., Современная конструкция высокочастотных каскадов в любительском супергетеродине, OST 19. 131 и след, (январь 1935).
Mi z oka mi К. и Fujita Т., Автоматическая стабилизация настройки с помощью кисталла кварца, Nippon Electr. Comm. Eng. 443—444 (ноябрь 1937). Morrison H.. Десятичастотный приемник, Bell Labs. Record. 19, 307—309 (1941). Oram D. К., Селективность во всем диапазоне с помощью кварцевых кристаллических фи петров с частотой пропускания 455 kHz, QST 22, 33 й след, '(декабрь 1938).
Radio News Staff, Современный коротковолновой приемник, Radio News 16, 603 и слеп. (1935).
Radio News Staff, Ультоаселективноеть с помощью кристаллических фильтров, Radio News 15, 477 и слеп. (1934); 16, 603 и слеп. (1935).
Robinson J., Стенодный радиостат, Ra^io News 12 590 и след. (1931). Литературу по этому вопросу можно найти в журналах Electronics, Radio News, Wire’ess Eno’ Exner. Wire’less и Wire’ess World c 1931 r.
Roeschen E., Измерения и исследования криоталлов кварца для стабилизации приемников, Elektr. Nachr.-tecbn. 13, 187—197 (1936).
Т h i 11 е К.. Новое в развитии .супергетеродинного приемника, Funktechn. Мо-natshefte. 19—23 (январь 1938).
Yoda Н. и Kato В.. Фильтры с ппименением кварцевых срезов УТ, Electrotechn. Journ. (Japan) 3, 142—143 (1939).
Ziegler A W.. Каналовые кристаллические фильтры для птирокопплоси’-’х несущих систем: физические свойства, Bell Labs. Record. 17, 66—70 (1938).
ПРИМЕНЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ В АКУСТИКЕ
№ 95, 391 обшей библиографии.
Aldous D. W.. Головка лля пезания кристаллов с температурной компенсацией, Electronic Eno-. 14. 605 (1942).
Ballantine S„ Пьезоэлектрический громкоговоритель для верхних звуковых частот Proc. Inst. РаДо Eog. 21. 1300—1408 (1033).
Ballantine S, Высококачественные тттип^ксвешятелвиые передача и прирм (^звуковая я”ойка» из сргн^тпво’” сопи). Proc. Inst. Radio Eng. 22, 564—6°9 (1934).
Beerwald P. и Keller H.. Пьезоэлектрические кристаллические элементы для электроакустических целей (включая биморфы из сегнетовой соли: эквивалентные схемы и количественные результаты), Funktechn. Monatshefte. No. 11, 345—348 (1938).
Разнообразные применения пьезоэлектричества
633
beerwald Р. и Keller Н., Теория и практика микрофонов с Пьезоэлектрической «звуковой ячейкой», Funktech. Monatshefte No. 12, 187—190 (1941).
Begun S. J„ Некоторые задачи дисковой записи. Proc. Inst. Radio Eng. 28, 389—398 (1940); Journ. Soc. Metion-Picture Eng. 36, 666—674 (1941).
Bird J. R., Новейшие усовершенствования конструкций кристаллических адаптеров, Proc. Inst. Radio Eng. 25, 660 (1937).
Cellerier J. F., О научном анализе музыкальных звуков, Compt. rend. 190, (45—47 (1930).
Cook R. К., Калибровка микрофонов по абсолютному давлению (применение турмалинового диска), Bur. Stand. Journ. Research 25, 489—505 (1940).
Ellis W. G., Новые электрофоны для точного воспроизведения звука, Radio Eng. .13, 18 и след, (октябрь, 1933).
Ferrari А., Проблема фортепианного туше, Alta Frequenza 4, 582—602 (1935).
Goldsmith F. H., Граммофонный репродуктор с регулируемой частотной характеристикой, уменьшающий шум и износ, Journ. Acoust. Soc. Amer. 13, 281—283 (1942).
Keller H., Пьезоэлектрическая «изгибающаяся полоска» в качестве электромеханического преобразователя, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 60, 5—10 (1942). Lynch Т. F, и Begun S. J., Общие соображения о кристаллическом резце (рекордере), Communications, 20, 9 и след, (декабрь 1940).
Pierce G. W., Песни ^насекомых, Journ. Frankl. Inst. 236, 141—146 (1943). [См. также Racio Rev. Australia 5, 303 (1937).l
Sawdey R. S. Jr., Биморфные пьезоэлементы из сегнетовой соли и их применения, Radio 23 и след, (сентябрь, 1943).
Sawyer С. В., Применение кристаллов сегнетовой соли для электрических репродукторов и микрофонов. Proc. Inst. Radio Eng. 19, 2020—2029 (1931).
Schaefer О., Электрическая эквивалентная схема пьезоэлектрических приемников звука, Akust. Zng. 6, 326—328 (1941).
Sengewitz L., Кристалл сегнетовой соли и его применение в телефонии, Electro-techn. Zng. 62, 463—465 (1941).
S i v i a n L. J., Абсолютные измерения давления звука с помощью турмалина (реферат), Journ. Acoust. Soc. Amer. 92, 462 (1941).
Sugimoto T., Микрофон из кристалла сегнетовой соли и подводный акустический приемник. Rep. Radio Research Japan 6, 9—10 (1936).
Tibbetts R. W., Устройства из кристаллов сегнетовой соли, имеющие низкое полное сопротивление (громкоговоритель и осциллограф), Electronics 16, 88 и след, (апрель 1943).
Vermeulen R., Перспективы усовершенствования скрипки, Philips Techn. Rev. 5, 36—41 (февраль 1940).
Williams A. L., Пьезоэлектрические громкоговорители и микрофоны, Electronics 4, 166—167 (май 1932); Journ. Soc. Motion-picture Eng. 25, 196 и след. (1934); Proc. Inst. Radio Eng. 23, 1420—1421 (1935).
Williams A. L. и Arndt J. P., Конструирование кристаллических микрофонов направленного действия, Electronics 8, 242—243 (август 1935).
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ,
УСКОРЕНИЙ И ВИБРАЦИЙ
A m Ь г о n n R., Новый измеритель — регистратор ускорения с применением кварцевых пластинок, Z. Feinmechanik Precision 39, 199—204 (1931).
Андреевский Н., Пьезокварцевый динамометр для измерения напряжения удара, ЖТФ 9, 680—686 (1939).
Bartels Н., Применение пьезоэлектрических методов к измерению напряжений в машинах, Werkstattstechn. 31, 187—188 (1937).
Baumzweiger В., Применение пьезоэлектрических вибрационных адаптеров для измерения ускорения, скорости и смещения, Journ. Acoust. Soc. Amer 11, 303—307 (1940).
Baxter M. W., Инструмент для регистрации меняющихся давлений, Electrician 113, 121—122 (1934).
В ё к ё s у G. von, О пьезоэлектрическом измерении абсолютного порога слышимости при костной проводимости, Akust. Zng. 4, 113—125 (1939).
Bernard Р.. Обратимость пьезоэлектрических явлений (кварцевый, манометр), Compt. rend. 199, 1388—1389 (1934). См. также 200, 222—223 (1935).
В i s a n g L., О разработке кварцевого индикатора и его применении, Krafttahrtech. Forschungsarb. No. 8, 82—90 (1937) (Stuttgart).
634
Глава XXVIII
Bloch А., Новые методы измерения механических напряжений при повышенных частотах, Nature 136, 223—224 (1935); см. также Electronics 8, 212—213 (1935). Davy N., Litlewood’J. H. и McCraig М., Закон «сила j— время», управляющий ударом молоточка по натянутой струне, Phil. Mag. 27, 133—143 (1939). Е b i h а г а К-, Исследования поршневого кольца, Sci. Pap. Inst. Phys. Chem. Research (Tokyo) 10, 107—185 (1929).
Ervin С. T., Пьезоэлектрический измеритель для записи мгновенных давлений в ружьях, Journ. Frankl. Inst. 213, 503—514 (1932).
Fahrentholi S., Kluge J. и Linckh H. E. Кварцевые пьезоэлектрические измерители давлений, Phys. Zs. 38, 73—78 (1937).
Fehr R. О.. Кварцевый кристаллический измеритель ускорения, Gen. Elec. Rev. 45, 269—272 (1942).
G о h 1 k e W., Измерение собственной частоты пьезоэлектрических измерителей давления, Zs. f. Instrumentenk. 61, 197—198 (1941); Z. Ver. deut. Ing. 84, 663—666 (1940).
Gomez M. и Langevin А., О применении пьезокварца к изучению 'некоторых биологических явлений и особенно к изучению изменений давления в кровеносных сосудах, Compt. rend. 199, 890—893 (1934).
Gondet Н. и Beaudouin Р., Пьезоэлектрический виброграф-акселерограф, Rev. gen. elec. 37, 499—508 (1935); см. также Genie civil 109, 552—554, 574—577 (1.936).
Gravley С. K-, Прибор для измерения шероховатости поверхности, Electronics 15, 70—73 (1942),
Guerbilsky А., Пьезоэлектрические динамометры резонансного типа, Compt. rend. 197, 399—401 (1933).
Haynes J. R., Прибор для непосредственного измерения характеристик сила — смещение механических систем при звуковых частотах, Journ. Acous. Soc. Amer. 13, 332 (1942).
Heldt P. M., Пьезоэлектрические индикаторы, Automotive Ind. 70, 657—658, 660 (1934).
Hellmann R. K-, Пьезоэлектрические измерительные приборы, Archiv. ‘f. techn. Messen 85, J. 766—1 (1938).
Herrmann А., Пьезоэлектрические сейсмографы, Beitrage angew. Geophysik 4, 296—301 (1934).
Herrmann А. и Meisser О., Пьезоэлектрический акселерометр, Zs. f. Geophysik 11, 152—153 (1937).
Herrmann P. K-, Пьезоэлектрический измерительный прибор (для моторов). AEG Mitt. No. 12, 497—502 (1939).
H u 1 i G. F., Некоторые применения физики к задачам артиллерии, Journ. Frankl. Inst. 192, 327—347 (1921).
I i d а К., .Определение модуля Юнга и коэфициентов вязкости пород вибрационным методом. Bull. Earthquake Inst. Japan. 17, 79—91 (1939).
111 g e n H., Последние применения пьезоэлектрических методов в баллистике, Zs. f. techn. Phys. 18, 470—474 (1937).
Jungnickel H., Пьезоэлектрический индикатор для быстроходных двигателей внутреннего сгорания, Z. Ver. deut. Ing. 80, 80—81 (1936).
К а г с h е г J. С., Пьезоэлектрический метод мгновенного измерения высоких давлений, Journ. Frankl. Inst. 194, 815—816 (1922).
Kato Y. и Nakamuia S., О пьезоэлектрическом акселерометре и его применении для измерения скорости упругих волн, возникающих вследствие искусственных сотрясений, Sci. Repts. Tohoku Univ. 19, ser. 1, 761—772 (1930); ~ Proc. Imp. Acad. (Tokyo) 6, 272—274 (1930).
№ 255 общей библиографии.
Kent R. H., Пьезоэлектрический измеритель, его применение к измерению давлений в орудиях, Army Ordnance (Washington) 18, 281 и след. (1938); см. также Trans. A. S. М. Е. 61, 197 и след. (1939).
Keys D. А., Пьезоэлектрический метод измерения давлений при взрывах, Phil. Mag. 42, 473—488 (1921).
Kluge J. и Linckh H. E., Измерение сжатия и ускорения .пьезоэлектрическими методами. Z. Ver. deut. Ing. 73, 1311—1314 (1929); см. также 74, 887 (1930); 75, 115 (1931); Zs. f. techn. Mechanik u. Thermodynamik 2, 153—164 (1931); Arch, techn. Messen 2, Lieferung 15, V132—133 (1932); Electrotechn, Zs. 54, 158—159 (1933); Forsch, Gebiete Ingenw. 2, 153—164 (1931); реферат см.
Electronics 3, 115 (1931), и 4, 177—182 (1933).
I angevin А., Применение пьезоэлектрического кварца для изучения переменных давлений и высокочастотных колебаний, Rev. gen. elec. 37, 3—10 (1935).
Разнообразные применения пьезоэлектричества
635
Langevin А., М и г а о и г Н. и Atinis G., Изучение методов измерения взрывных давлений, Journ. de phys. et rad. 7, 448—452 (1936).
Lawson A. W. и Miller P. H. Jr., Пьезометр для переменных давлений (кристаллы винной кислоты, турмалина и сахарозы), Rev. Sci. Instr. 13, 297—298 (1942).
Lund H., Измерение ускорений моторов и пр. с помощью пьезоэлектрических приборов, AEG Mitt. 27, 694—697 (1931).
Mason С. А. и Ray В. В., Пьезоэлектрический измеритель колебаний: его применение для обнаружения колебаний подшипников, Electrician 117, 565—567 (1936).
Meurer S., О конструкции пьезоэлектрических индикаторов, Forsch. Gebiete In-genw. 8, 249—360 (1937).
Mu r a ou r H., Langevin А. и Aunis G., Сравнение кривых давление — время, получаемых: а) раздавливанием в прессе, б) регистрацией с помощью пьезокварца, Journ. de Phys. 7, 450—452- (1936).
Nielsen H., Пьезоэлектрический индикатор, Arch, techn. Messen. 5, T. S—10, J. 137—3 (1936).
N о 1 z e n H., Пьезоэлектрическое измерение давлений, Deutsche Techniker 6, 4—6 (1938).
О k о c h i M., Hashimoto S. и Matsui S., Быстроходный двигатель внутреннего сгорания и пьезоэлектрический индикатор давлений, Bull. Inst. Phys. Chem. Research (Tokyo) 4, 85—97 (1925).
Okochi M. и Ebihara К., Испытатель поршневых и уплотняющих колец, Sci. Papers Inst. Phys. Chem. Research (Tokyo) 6, 67—80 (1927).
Okochi M. и Okoshi M., Новый метод измерений режущего усилия инструментов и некоторые экспериментальные результаты, Sci. Pap. Inst. Phys. Chem. Research (Токуо) 5, 261—301 (1927); 12, 167—192 (1930).
Okochi M. и Okoshi M., Прогиб сплошного бруса и усилие, производимое на опору движущейся нагрузкой, Bull. Inst. Phys. Chem. Research (Tokyo-) 7, 659—667 (1928).
Okochi M. и Miyamoto T., Балансировочный механизм с применением пьезоэлектричества, Bull. Inst. Phys. Chem. Research (Токуо), 7, 383—391 (1928); 9, 6—10 (1930).
Разумихин В., Измерение переменного давления пьезоэлектрическим методом, ЖТФ 8, 447—452 (19’8).
Rothe Е., Пьезоэлектрический кварцевый сейсмограф. Union geodes, geophys. intern, travaux scientiffques, No. 15, 152—164 (1937).
Sawdey R. S., Jr., Пьезоэлектрический анализатор поверхности, Radio 20—23 (март 1943).
Schilling W., Измерения амплитуды и ускорения вибраций с помощью кристал. лического передатчика, AEG. Mitt., No. 3—4, 86—87 (1940).
Scott H. H., Универсальный измеритель колебаний, Journ. Acous. Soc. Amer. 13, 46—50 (1941).
Seidl F., Пьезоэлектрическое определение прочности тонких металлических, стеклянных и кварцевых нитей, Zs. f. Phys. 75, 735—740 (1932).
Seifert E., Пьезоэлектрический индикатор давлений, Automobil techn. Z. 40, 144—146 (1937).
Sigrist W. и Meyer С., Баллистические исследования с применением регистрирующего пьезокварцевого измерителя давлений, Helv. Phys. Acta 9, 646—648 (1936).
Те Lehmann Н.. Методы определения скорости снарядов, Electrotechn. Z. 58, 627—628 (1977).
Thompson L., Ударные волны в воздухе и характеристики приборов для их измерения (выстрел тяжелой артиллерии, применение кварца, сегнетовой соли и турмалина), Journ. Acous. Soc. Amer. 12, 198—204 (1940).
Thomson J. J., Пьезоэлектричество и его применения (кварц и турмалин для измерений взрывных давлений), Engineering 107, 543—544 (1919).
Tschappat W. Н„ Новые приборы для физических измерений (измеритель давлений для внутренней баллистики), Meeh. Eng. 45, 673—678 (1923); 48, 821—825 (1926).
Watanabe S., Новая конструкция катодного осциллографа и его применения для пьезоэлектрических измерений, Sci. Pap. Inst. Phys. Chem. 'Research (Токуо) 12, 82—98 (1929); Proc World Eng. Ccngr. Tokyo 5, Paper No. 632.
Watanabe S., Изучение ударов с помощью пьезоэлектрика и катодного осцилло-графа, Sci. Pap. Inst. Phys. Chem. Research (Токуо) 12, 99—112, 251—267 (1929—1930); см. также Bull. Inst. Phys. Chem. Research (Toky)/ 8, 735—745 (1929).
636 • Глава XXVIII
Watson Н. G. I. и Keys D. А., Пьезоэлектрический метод измерения изменений давления в двигателях внутреннего сгорания, Can. Journ. Research 6, 322—331 (1932).
Webster R. А., Пьезоэлектрический измеритель и усилитель (стопка из 21 квар-. цевой пластинки для давлений до 30 000 фунт/дюйм2), Journ. Frankl. Inst. 211, 607—615 (1931).
Webster R. А., Пьезоэлектрический измеритель давлений по сравнению с механическим пружинным измерителем, Journ. Appl. iPhys. 10, 890—891 (1939). .
Wood H. О., О пьезоэлектрическом акселерографе, / Bull. Seismol. Soc. Amer1. 11, 15—57 (1921).
Yamaguchi К., Акселерометр с применением пьезоэлектричества, Bull. Inst. Phys. Chem. Research (Tokyo) 8, 157—163 (1929).
Zeller W., Экспериментальное и теоретическое исследование измерителей колебаний, вызываемых движением транспорта, Z. Bauwesen 80, 171—184 (1930).
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Bazzoni С. В., Пьезоэлектрический осциллограф, Radio News 7, 142—143, 233—237 (август. 1925).
Becker Н. Е. R., Н a n 1 е W. и М а е г с k s О., Модуляция света с помощью колеблющегося кварца, Phys. Zs. 37, 414—415 (1936).
Curie J. и Curie P., Гемиэдрические кристаллы с косыми гранями в 'качестве постоянных источников электричества (электрометр), Compt. rend. 93, 204 (1881) (а также «Oeuvres», стр. 22).
Galitzin В., Прибор для непосредственного определения ускорений, Proc. Roy. Soc. (London), 95, 492 (1919).
№ 178 общей библиографии.
Gruetzmacher J., Пьезоэлектрические реле (электростатическое притяжение между колеблющимся кристаллом и его электродом), Aren. Elektrotechn. 30, 122—126 (1936).
Hartley J. J. и Rinaldi R. H., Демонстрация применения пьезоэлектрических свойств кристалла сегнетовой соли и трехэлектродной лампы к определению напряжений удара в зернистом материале, Proc. Phys. Soc. (London) 38, 273 (1926).
Houstoun R. А., Новый метод измерения скорости света. Метод Физо с применением кристалла кварца, Nature 142, 833 (1938); см. также Proc. Roy. Soc., Edinburgh A61, 102—114 (1941); 62, 58—63 (1943—1944); Phil. Mag. 35,
192—202 (1944).
Hubbard J. С., Явление «впадины» в пьезоэлектрическом кварце и его применение к физическим измерениям (ультрамикрометр), Journ. Acous. Soc. Amer. 10, 87—88 (1938).
Казанский В., Пьезокварцевый осциллограф, ЖТФ 9, 673—679 (1939).
Muth Н. и Roosenstein Н., Метод генерации электрических волн (колебания от порошкообразных частиц кварца), герм. патент 706799 (1941);
Hochfreq.-techn. u. El.-akust.ik 59, 30 (1942).
Myers L. M., Пьезоэлектрический вольтметр для измерения амплитуд. Marconi Rev. 4—8 (ноябрь—декабрь 1934).
ОI f n е г F., Регистратор электрических потенциалов. Затухание пьезоэлектрических систем, Journ. Appl. Phys. 11, 347—352 (1940).
Philipp off W., Пьезоэлектрический осциллограф, Arch, techn. Messen 2, 184 (декабрь 1932); Electrotechn. Zs. 53, 405—408 (1932).
Pl as en ci a H. T., Испанский стандарт для рентгена (пьезоэлектрическое устройство для получения эталоннсго заряда), Radiology 34, 82—94 (1940).
Stevens Н. С. и Snodgrass J. М., Пьезоэлектрический миограф для измерения сокращающегося мускула. Proc. Soc. Exptl. Biol. Med. 30, 939—943 (1933).
Synge E. H., Применение пьезоэлектричества к микроскопии, Phil. Mag. 13, 297—300 (1932).
Takenaka S., О пьезоэлектрическом методе исследования сокращения мышц, Japan. Journ. Phys. 12, 81—82 (1938).
516 общей библиографии.
Tibbetts R. W., Устройства из кристаллов сегнетовой соли с низким полным сопротивлением (громкоговоритель и осциллограф), Electronics 16, 88 (апрель 1943).
Вологдин В., Умножение частоты посредством конденсатора с сегнетовой сол<ью в качестве диэлектоика (использование нелинейных свойств), Zs. f. techn. Phys. 13, 82—84 (1932).
Wood А. В., Пьезоэлектрический осциллограф, Phil. Mag. 50, 631—637 (1925).
Разнообразные применения пьезоэлектричества
637
Wood А. В., Tomlinson G. А. и Essen L., Влияние сокращения Фитцджеральда—Лоренца на частоту колебаний стержня по длине (два кварцевых осциллятора: один стационарный, а другой — вращающийся), Proc. Roy. Soc. (London) A158, 606—633 (1937).
W v n n-W i 11 i a m s С. E., Пьезоэлектрический осциллограф, Phil. Mag. 49, 289—313 (1925).
УЛЬТРАЗВУК
Бблыиая часть литературы до 1938 г. приведена в книгах Бергмана [607] и Хидемана [626]. В дополнение к этой литературе мы приводим более поздние статьи, интересные с точки зрения применения пьезоэлектричества.
Цифры без звездочек являются ссылками на общую библиографию, помещенную в конце книги; цифры со звездочками — ссылками на специальную литературу по ультразвуку, помещенную в конце настоящей главы.
Книги и общие статьи: 74, 607, 626, 657, 15*, 30*, 34*, 41*, 42*. 46*, 51*.
Кварцевый «сандвич» для подводного дела: 653. 11*, 23*, 24*.
Приборы и контуры: 145, 146, 192, 228, 445, 474, 511, 607, 626, 657, 1*, 5*, 6*; 7*, 10*. 25*, 28*, 31*, 38*, 40*, 48*, 49*, 51*.
Теория ультразвукового осциллятора как преобразователя: 474, 637.
Акустическое поле близ кристаллического генератора: 145, 192, 422, 445, 511, 607, 626, 9*, 22*. 28*, 36*, 49*.
Кавитация: 42*.
Ультразвуковой интерферометр: 190, 236, 424, 12*, 17*, 18*, 19*, 37*, 41*. Пьезооптические эффекты: 505, 511, 516, 8*, 16*. 32*, 33*.
Явления диффракции: 122, 321, 27*, 42*, 47*.
Измерения скоростей и абсорбции: 145, 190, 1*, 4*, 13*, 14*, 25*, 42*, 45*, 48», 50*.
Измерение упругих констант: 3*, 13*, 27*.
Световые реле: 505, 511, 2*, 21*.
Телевидение: 640, 2*, 20*, 29*, 35*, 39*, 43*, 44*.
У льтравысокие звуки в природе: 26*; см. также Pierce G. W., Песни насекомых, Journ. Frankl. Inst. 236, 141 —146 (1943).
Специальная литература по ультразвуку
*1*. Ardenne М. von, Конструкция прибора для генерации ультразвуковых волн, Funktechn. Monatshefte No. 8, 285—288 (1935).
2*. А г d е n n е М. von, Новое световое реле с большой поверхностью для контроля интенсивности, цвета или плоскости поляризации, Telegraphen Fernsprech Techn. (Berlin) 28, No. 6, 226—231 (1939).
3*. Bar R., Ультразвуковые измерения упругих констант изотропных твердых тел, Helv. Phys. Acta 13, 61—76 (1940).
4*. Bender 15., Ультразвуковые скорости в азоте, окиси азота и окиси углерода между 20° и 200°С, измеренные новым способом (излучение от обеих поверхностей кварцевой пластинки), Ann. d. Phys. 38, 199—214 (1940).
5* Bosch W. С. и Allee W. G., Jr., Детали схемы малого ультразвукового генератора пьезоэлектрического типа, Amer. Phys. Teacher 6, 272—273 (1938).
6*. В о у 1 е R. W., Lehmann J. F. и М о г g a n S. С., Некоторые измерения ультразвуковых скоростей в жидкостях, Trans. Roy. Soc. Can. 22, sec. 3, 371—378 (1928).
7*. Briggs H. В., Флюорометр с ультразвуковой ячейкой, Journ. Opt. Soc. Amer. 31, 543—549 (1941).
8*. Browne С. О., Демонстрация высокочастотных флюктуаций интенсивности луча света, Proc. Phys. Soc. (London) 40, 36 (1927).
9*. Cerovska J., Ультразвуковые оптические явления в круглом отверстии в кварцевой пластинке, Journ. de phys. et rad. 10, 97—103 (1939).
10*. Cokchran D. и Sam sei R. W., Ультразвуки — метод определения акустических свойств. Поглощения и скорости в материалах, применяемых в качестве ультразвуковых окон, линз и рефлекторов, Gen. Elec. Rev. 47, 39—41 (1944).
11*. Florisson С., Ультразвук и его применения, Bull. Soc. beige Electriciens 52, 165—170, 263—278, 339—348 (1936).
12*. Fox F. E., Ультразвуковая интерферометрия для жидких сред, Phys. Rev. 52, 973—981 (1937).
13*. Fox F. E. и Rock G. D., Ультразвуковой стробоскоп для измерения длины волны звука в жидкостях, Rev. Sci. Instr. 10,- 345—348 (1939).
638 Г ла в а XXVIII
14*. Fox F. Е. и Rock G. D., Поглощение ультразвуков в воде, Journ. Acoust. Soc. Amer. 12, 505—510 (1941).
15*. Freehafer J. E., Ультразвуковые колебания, Newark Eng. Notes 5, No. 1, 18—19 (декабрь 1941).
16*. Grant К., Высокочастотное прерывание света, Nature 120, 586 (1927).
17*. Her get С. M., Акустический интерферометр с постоянной длиной пути для газов под переменным давлением, Rev. Sci. Instr. 11, 37—39 (1940).
17а*. Houstoun R. А., Ультразвуковая дифракционная решетка, Phil. Mag. 35, 192—202 (март 1944). I
18*. Hubbard J. С., Определение скорости звука <и поглощения с помощью ультразвуковой интерферометрии, Phys. Rev. 59, 935 (1941).
19*. Hubbard J. С. и Z artman I. F., Акустический интерферометр с постоянным пробегом для изучения вещества, Rev. Sci. Instr. 10, 382—386 (1939).
20*. J е f f г е е J. Н., Световая модуляция, Television and Short-wave World 9, 260 (1936); см. также англ, патент 439236 (1934).
21*. X а р и з о м е н о в В. К., Модуляция света ультразвуковыми волнами, ЖТФ 7, 844—860 (1937).
22*. Lab aw L. W., Определение фронта волны в ультразвуковом луче (реферат), Phys. Rev. 66, 354 (1944).
23*. Langevin Р., Измерение глубин с помощью звуковых волн, Bur. hydrogr. internat. Spec. Pub. 3, Monaco (1924).
24*. Langevin P. и Chilowsky С., Эхолот, Nature 115, 689—690 (1925); Bur. hydrogr. internat., Spec. Pub. 14, Monaco (август 1926).
25*. Lindberg А., Поглощение ультразвуков в жидкостях, измеренное оптически, Phys. Zs. 41, 457—467 (1940).
26*. Little Е. Р., Ультразвуки в природе, Gen. Radio Experimenter. 9, 5—8 (февраль, 1935).
27*. Lu d loft H. F., Ультразвуки и упругость, Journ. Acous. Soc. Amer. 12, 193—197 (1940).
28*. Lynn J. G., Z w e m e r R. L. и Chick A. J., Биологическое применение фокусированных ультразвуковых волн, Science 96, 119—120 (июль 1942); см. также Sci. American 168, 115 (март 1943); Journ. Gen Physiol, 24, 179—193 (1942).
29*. Maercks О., Ультразвуковые волны в качестве оптического затвора, Zs. f. Phys. 109, 598—605 (1938).
30* Mayberry W„ Ультразвуки, Electronics 10, 7—9 (июль 1937).
31*. McGrath J. W. и Kurtz A. R., Изоляция ультразвукового кристаллического излучателя от проводящих жидкостей, Rev. Sci. instr. 13, 128 (1942).
32*. McKinley D. W. R., Применение кристаллов кварца для модуляции света, Can. Journ. Research, А16, 77—81 (1938).
33*. McKinley D. W. R., Измерение малых оптических активностей с помощью кв<арцево-кристаллического модулятора света, Can. Journ. Research 17, 202—207 (1939).
34*. Metschl Е. С., Природа и применение ультразвуковых волн (обзор), Elektrotechn. Zs. 60, No. 2, 33—40 (1939).
35*. Okolicsanyi G., Волновая щель, оптическая телевизионная система, Wireless, Eng. a, Exper. Wireless (London) 14, 527—536 (октябрь 1937).
36*. Osterhammel К., Оптическое исследование звукового поля кварцевой пластинки, колеблющейся, как поршень, Akust. Z. стр. 73 (март 1941).
37*. Pielemeier W. Н., Saxton Н. L. и Telfair D., Ультразвуковые эффекты водяного пара в СО2 и их связь с молекулярными колебаниями, Journ. Chem. Phys. 8, 106—115 (1940).
38*. Pitt А. и Jackson W. J., Измерение скорости ультразвуков в жидкостях при низких температурах, Can. Journ. Research 12, 686—689 (1935).
39*. Погодаев К. Н„ Связь между потенциалами, действующими на кристалл кварца, и распределением интенсивности света в диффракционных спектрах, вызываемых производимыми таким образом ультразвуковыми волнами, ЖТФ 11, 474—478 (1941).
40*. Porter В. Н., Ультразвуковой генератор, Ind. Eng. Chem. 12, 748—749 (1940).
41*. Richards W. T., Новейшие достижения в области ультразвука, Journ. Appl. Phys. 9, 298—306 (1938).
42*. Richards W. T., Ультразвуковые явления, Rev. Mod. Phys. 11, 36—64 (1939).
43*. Robjnson D. M., Ультразвуковое управление светом и его применение в телевидении, Proc. Inst. Radio Eng. 27, 483—486 (1939); там же см. статьи следующих авторов: Sieger J., 487—482, Wikkenhauser G., 492—496, Lee H. W., 496—500.
Разнообразные применения пьезоэлектричества 639
44*. Rosenthal А. Н„ О телевизионном приеме, Electronics 14, 46 (октябрь 1941); также Electronic Eng. (British), стр. 578 (январь 1942).
45*. Шапошников И. Г., Распространение звука в кристалле с пьезоэлектрическими свойствами, ЖЭТФ 11, 332—339 (1941).
46*. Siegel S., Обзор ультразвуковых методов измерения упругих и рассеивающих свойств твердых тел, Journ. Acous. Soc. Amer. 6, 26—30 (1944).
47*. Smith A. W. и Ewing L. M., Диффракция света ультразвуковыми волнами в жидкостях; прибор для демонстрации и для непосредственного лабораторного эксперимента, Amer. Journ. Phys. 8, 57—59 (1940).
48*. Telfair D. и P i e m e i e r W. H., Усовершенствованный прибор для измерений скорости и поглощения ультразвуков, Rev. Sci. Instr. 13, 122—126 (1942).
49*. Ту м а н с ки й С. С., Генерирование ультразвуковых колебаний пьезокварцевыми линзами, ЖТФ 7, 2049—2052 (1937).
50*. Willard G. W., Измерения поглощения и скорости ультразвуков во многих жидкостях, Journ. Acous. Soc. Amer. 12, 438—449 (1941).
51*. Zwikker С., Колеблющиеся кристаллы кварца и их применение в ультраакустике, Nederland Tijdschr. Natuurkunde 8, 311—326 (1941); Tijdschr. Nederland Radiogen. 9, 107—122 (1941).
ГЛАВА XXIX
ПИРОЭЛЕКТРИЧЕСТВО
§ 515. Ранняя история пироэлектричества уже изложена в главе I. Среди более поздних исследователей, как экспериментаторов, так и теоретиков, могут быть упомянуты Фридель и Ж- Кюри (которые в 1883 г впервые установили различие в действии равномерного и неравномерного нагревания), Аккерман, Богуславский, Гоген, Ханкель, Хаяши, Траубе, Кундт, Рикке, Рентген и Фогт. Ссылки на некоторых из них, так же как и на других авторов, упомянутых в тексте, находятся в конце главы.
Термин «пироэлектричество» может обозначать любое из целого ряда явлений. Прежде всего необходимо делать различие между векториальным и тензориалъным пироэлектричеством.. Векториальное пироэлектричество — обычно встречаемый тип, и формы его являются главным содержанием этой главы. Математически — это зависимость между скаляром (температурой) и вектором (поляризацией). Физически — это изменение в зависимости от температуры положительных и отрицательных поляризационных зарядов на некоторых частях кристаллов, принадлежащих к некоторым классам. Это явление — прямой пироэлектрический эффект — изображено стрелкой $->Р на фиг. 10. Обратный, или электрокалорический, эффект, описанный в § 524, изображен стрелкой Е' 8 Q.
Практически незначительный тензориальный эффект описан в § 525?
Векториальный эффект усложняется тем фактом, что каждый пироэлектрический кристалл является также и пьезоэлектрическим: изменение температуры нестесненного ничем кристалла вызывает деформацию, а последняя, в свою очередь, порождает вторичную поляризацию пьезоэлектрического происхождения, налагающуюся на первичную пироэлектрическую поляризацию. Выражения первичная и вторичная лучше обычно употребляемых «истинная» и «ложная». Первичное пироэлектричество — то, которое наблюдалось бы в полностью закрепленном кристалле.
Вторичный пироэлектрический эффект должен быть подразделен сообразно тому, равномерен нагрев или нет. Для неравномерного нагрева иногда употреблялось выражение «ложное пироэлектричество первого рода», в то время как вторичный эффект при равномерном нагреве назывался «ложным пироэлектричеством второго рода». Выражение «вторичный» мы ограничим случаем эффекта «второго рода», а для случая неравномерного нагрева предлагаем выражение третичное пироэлектричество, хотя это только особое проявление вторичного типа.
Такое разграничение нисколько не тривиально. Рее 10 классов, указанные ниже как обладатели первичного пироэлектричества, конечно, обладают также вторичным и третичным эффектами. С другой стороны, те кристаллы, например кварц, которые не включены в какой-либо из этих 10 классов, могут обнаруживать только третичный эффект. При нагре-
Пироэлектричество 641
вании и охлаждении они поляризуются только в тех областях, где существует температурный градиент. Обоснование этому следует из того факта, что такие (кристаллы не имеют особенной полярной оси (направление спонтанной поляризации) в противоположность кристаллам 10 «истинно»'"пироэлектрических классов. Например, кварц имеет три эквивалентные полярные оси, но ни одна из них не является особенной. В то время как приложение скалярной действующей силы, какой является равномерный Нагрев, не может положить начало поляризации в особенном неполярном направлении, градиент -температуры является векторной величиной, которая может произвести поляризацию, зависящую от направления градиента.
При истолковании обширной литературы, описывающей эксперименты по пироэлектричеству, важно помнить эти различия. В качественных экспериментах, повидимому, равномерный нагрев имеет место чрезвычайно редко. Поэтому результаты в большинстве случаев должны были соответствовать в значительной степени, если не главным о.бразом, третичному эффекту, показывая только, что кристаллы были пьезоэлектрическими. Кроме того, часто имеются основания подозревать, что эффект электризации трением и появление слоя ионов, нанесенного пламенем или другим нагревающим агентом, могут быть приняты за пироэлектри-чество. Даже когда все такие вводящие в заблуждение явления исключены, нельзя ожидать большего, чем грубых качественных результатов, если образец не имеет определенной геометрической формы (параллелепипед или шар), свободной от дефектов, трещин и двойниковых образований, и не вырезан в известной ориентации по отношению к осям кристалла.
Нет даже уверенности, что первичный эффект достаточно силен, чтобы его можно было наблюдать в любом кристалле. Его отделение от вторичного эффекта чрезвычайно затруднительно, так как требует точного знания упругих и пьезоэлектрических коэфициентов (§ 520)
§ 516. Теория векториального, пироэлектрического эффекта. Векториальный эффект, в его наиболее широком понимании, включает первичное, вторичное и третичное пироэлектричество и обратный, или электрокалорический, эффект. Теория, как она здесь излагается, не включает третичного типа. Теоретически первичный и вторичный эффекты могут иметь место в следующих 10 классах, обозначенных символом Р в табл. 1: классы 1, 3, 4, 7, 10, 14, 16, 19, 23 и 26 с симметрией Сь C2,Cih. C2v, С4, C4vt Cs, CSv, CG и C6v. В этих классах симметрия такова, что имеется единственная полярная Или «электрическая» ось, с возможностью постоянной спонтанной поляризации вдоль этой оси 0.
В своем изложении мы последуем введенному Кельвином и принятому Фогтом методу, согласно которому пироэлектрический кристалл ведет себя так, как если бы он имел постоянную поляризацию, изменения которой в зависимости от температуры определяют первичный пироэлектрический эффект. То, что это не просто возможная гипотеза, мы увидим в § 545.
Следуя тем же приемам, как и в случае упругих и пьезоэлектрических явлений, берем уравнение (1) за отправной пункт для формулировки прямого и обратного пироэлектрического эффектов. Эксперимен-
’) В «Физике кристаллов», стр. 252, ошибочно указано 11 пироэлектрических классов вместо 10.
41 Кэди
642
Глава XXIX
тально найдено, по крайней мере в пределах небольшого интервала температур, что у пироэлектрических кристаллов величина поляризационных зарядов пропорциональна изменению температуры: Д Г ^0. При этом) предполагается, что кристалл всегда равномерно нагрет, так что температурного градиента нет ни приi начальной, ни при конечной температуре. Преполагается, что при начальной температуре поляри-зационные заряды нейтрализованы медленной утечкой или искусственными средствами, так что вся поверхность имеет нулевой потенциал. Величина зарядов соответствует изменению поляризации с температурой; пусть коэфициент пропорциональности равен Рт .
Берем производные по Е и Т от энергии С , заключенной в элементарном объеме [уравнение (1)]. Вторая из этих производных приводит к электрокалорическому эффекту (§ 524). Рассматривая сначала производную по Е, имеем (см. § 105):
' 3 6
- - Рт = S Ет - У dm„X,t йр'т , ( 544)
т k h
где р'т — первичная пироэлектрическая константа.
На языке электростатики Ет является компонентой любого случайного поля, включая деполяризующее поле, вызванное самими поляризационными зарядами.
В уравнении (544) Xh является компонентой механического напряжения, соответствующего изменению температуры. Сопоставляя уравне-
6 Е
ние (544) с (6), пишем: Xh —— Л- Так как xt является i
компонентой теплового расширения, то Затем, согласно
(191), пьезоэлектрическая часть уравнения (544) принимает вид
^^Xwzz^z • i
Если пироэлектрические константы определены экспериментально, поле Ет может быть исключено соответствующей компенсацией. Поэтому в дальнейшем первое слагаемое в уравнении (544) опускается, Рт тогда соответствует совместному действию механического напряжения и изменения температуры. С заменой S на АТ уравнение (544) теперь запишется:
,6 .
ЛР„г = ^Т\^ет1а^ рт j = ДР (р"т + рт} , (545)
6
где p"m=^iemjai—компонента пироэлектрической константы, соот-
i
ветствующая деформации. Эта пьезоэлектрическая часть всей пироэлектрической поляризации и есть вторичный пироэлектрический эффект, изображенный на фиг. 10 переходом Первичный пиро-
электрический эффект, не зависящий от действия деформации, изображается переходом >Р.
Мы будем называть рт = ргт р" т полной пироэлектрической константой, в которой р'т и р"т —первичная и вторичная константы для направления т, а т — направление одной из кристаллографических осей X, Y, Z. Величина рт не включает третичного эффекта, так как предполагается равномерный нагрев. В самом общем случае значения Рт для т = 1, 2 и 3 все отличны от нуля, и направление «пироэлектри
Пироэлектричество.
643
ческой оси», так же как величина рт, изменяется с температурой. Те кристаллы, для которых была измерена рт, в том числе турмалин и сегнетова соль, имеют, по крайней мере для первичного эффекта, только единственное значение т.
Величина пироэлектрического коэфициента рт (электрический момент в единице объема) соответствует степени изменения температуры. Коэфициент р т положителен, если возрастание температуры вызывает пироэлектрическую поляризацию в направлении, принятом за положительное для кристалла, о котором идет речь.
Уравнение для рт следует из (545):
- др
Рт=Рт \~ Рт = ^р.
(546)
Экспериментально наблюдаемый рт будет слишком мал, если не скомпенсирована противоположная поляризация, которая вызывается полем, созданным поляризационными зарядами [первый член в уравнении (544)]. Вычисление поправки для Ет было бы в таком случае затруднительно, так как она находится в сложной зависимости от граничных условий.
§ 517. Турмалин. Турмалин являлся объектом изучения больше, чем любой другой пироэлектрический кристалл. Если обратить внимание на
изменчивость химического состава этого кристалла, то кажется удивительным, что количественные результаты различных исследователей^ имевших дело с различными образцами, обнаруживают такие незначительные расхождения. Обычно находят, что пироэлектрическая константа для светлой разновидности меньше, чем для темной, и что проводимость черного турмалина так велика, что с ним не могут быть сделаны пироэлектрические наблюдения. Наибольшие величины наблюдаются у яркорозовой разновидности (Аккерман, Хаяши).
При обычных температурах аналогичный ‘ конец (§ 13) при нагревании становится положительным. Направление спонтанной поляризации — от аналогичного к антилогичному концу, так поляризацию.
Фиг. 156. Пыльные ореолы от кристаллов турмалина. Фотография показывает белые пятна на полке Минералогического кабинета в Веслей-ском университете после удаления кристаллов турмалина. Кристаллы лежали неподвижно много лет и только один раз были переложены. Последним объясняются эффекты перекрывания. Длинный кристалл у края рисунка был разбит на несколько кусков, к концам которых притягивались частицы пыли.
что нагревание уменьшает спонтанную
Пироэлектрические явления могут быть продемонстрированы различными способами. При всех таких опытах поверхность кристалла должна быть чистой и сухой. 41*
644
Глава XXIX
1. Метод Кундта, состоящий в опылении нагретого кристалла смесью порошкообразной серы и сурика1) или порошком Бюркера2); положительные ^участки становятся желтыми, отрицательные — красными. Эти заряженные участки находятся на концах кристалла, но они обнаруживаются повсюду, где/имеются трещины вдоль граней, происходящие от местных напряжений.
2. Можно сделать «электрический компас», подвесив на тонкой нити или волокне образец удлиненной формы в горизонтальном положении, подвергая его перемене температуры и держа его вблизи заряженного тела или между пластинами конденсатора, соединенного с электростатической машиной.
3. Если кристалл охладить в жидком воздухе, то от влажности воздуха на обоих его концах образуются ледяные нити, подобно тому как у концов магнита скапливаются железные опилки.
Мелкие частицы льда иногда перескакивают от одного конца кристалла к другому3).
Даже небольшие колебания температуры комнатного воздуха могут с течением времени вызвать появление пыльных фигур у концов кристалла турмалина. Примером этого является фиг. 156. Частицы пыли в своем движении стремятся в области наиболее сильного электрического поля. Коснувшись кристалла, они отталкиваются, как бузинный шарик от эбонитовой палочки, и оседают на соседних частях полки, на которой лежит кристалл.
Если кристалл турмалина положен на белый картон в том месте комнаты, где воздух застаивается, подвергаясь в то же время обычным колебаниям температуры, то через несколько месяцев на картоне у концов кристалла можно заметить тусклое грязное пятно.
Цифровые данные для турмалина будут рассмотрены ниже.
§ 518. Пироэлектрические константы различных кристаллов. Количественные измерения были сделаны многочисленными исследователями, из которых наиболее выдающимися являются Аккерман [1], Хаяши [210], Рикке [20], Рентген [439] и Вин [563]. Справки об их работах и о работах других авторов, содержащих количественные данные, имеются в Международных критических таблицах 4) [631]. Здесь необходимо рассмотреть только несколько выдающихся результатов.
Наиболее полными являются исследования Аккермана. Он измерял рт (первичный плюс вторичный эффекты; были приняты меры предосторожности, чтобы температура образца была всегда одинаковой во всех, его точках) от начала до конца интервала температур, простирающегося в нескольких случаях от —250° до 4-375оС для турмалина, Li-сульфата,
’) О подробностях см. «Физика кристаллов», стр. 230.
2) К. В й г к е г, Ann. d. Phys. 1, 474 (1900). 1 часть кармина и 5 частей серы растираются вместе и затем смешиваются с 3 частями ликоподия (по объему). См. «Физика кристаллов», стр. 232.
3) L. В 1 е е к г о d е, Ann. d. Phys. 12, 218—223 (1903); М. Е. Maurice, Proc. Cambridge Phil. Soc. 26, 491—495 (1930); С. M. Foe ken, Nature 129, 168 (1932). Морис нашла также, что у турмалина, нагретого до 140°С. освобожденного от зарядов проведением его сквозь пламя и оставленного затем охлаждаться в дыму NH4C1, происходит образование подобных нитей.
4> Подраздел пьезоэлектрических и пироэлектрических явлений, помещенный в Международных критических таблицах, был опубликован также в Proc. Inst. Radio Eng. 18, 1247—1262' (1930). Среди ссылок в конце этих изданий встречаются следующие ошибки: ссылка (43.5) должна быть такой же, как (43), где должен быть указан 1882 г. вместо 1884 г. В Международных критических таблицах имеются также следующие ошибки, исправленные в Proc. Inst. Radio Eng.: в ссылке (18) следует читать: «444, 471 страницы»; в ссылке (39) следует читать: «46, 607, 1928». Proc. Inst. Radio Eng. допустил ошибку в ссылке (80), в которой должно быть сделано указание на журнальную статью 188 (Nachr. Gottingen, math.-phys. KI ), a Me на 88. [Сделанная автором настоящей книги библиографическая ссылка на Международные критические таблицы (International Critical Tables) заменена нами ссылкой на их дополненное русское издание — Справочник физических, химических и технологических величин [631], являющийся приложением к Технической энциклот педии. (Прим, ред.)]
Пироэлектричество
645
селената лития, тартрата калия, ЫЫаз-селената, KLi-сульфата, тартрата аммония, LiNa-сульфата и SrH-тартрата. Во всех случаях было замечено, что рт, повидимому, должно было стремиться к нулю у абсолютного нуля температуры. С возрастанием температуры рт возрастало сначала медленно, затем более быстро и в некоторых случаях при наивысших температурах приближалось к величине насыщения. Теория наблюдений Аккермана дана Богуславским [60], [61], который обсуждает сходство кривых рт(Т) с кривыми температурной зависимости удельной теплоемкости и коэфициента теплового расширения. Работы Аккермана и Богуславского были позднее разобраны Борном 0.
Все цифровые данные, приводимые ниже, даны в абсолютных электростатических единицах.
§ 519. Турмалин. Пироэлектрическая ось лежит в направлении Z; поэтому символ р обозначает р3.
Аккерман получил следующие значения р:
Температура в градусах Цельсия Цвет
желто-зеленый розово-красный сине-зеленый
—250 0,08 0,08 6,04
+ 20 1,28 1,31 1,06
+648 1,86 1,94 1,52
Данные Хаяши для 18° С хорошо совпадают с данными Аккермана. Он нашел для желто-зеленого кристалла р— 1,275; для яркорозового 1, 324, для сине-зеленого 1,057. Как Хаяши, так и Аккерман, работы которых были сделаны под руководством Фогта, пользовались бразильскими турмалинами.
Рентген производил исследования при температуре от —252,5 до 4-40,5° С над светлозеленым бразильским кристаллом. Полученные им значения для кристаллов различных цветов несколько ниже, чем у Аккермана. При комнатной температуре светлозеленый образец показал р = '1,03.
Рикке [631] измерял р и его температурный коэфициент для различных бразильских кристаллов при температурах, близких к обычной комнатной. Пользуясь средними, полученными из его данных, Фогт составил уравнение
р = 1,13 -г 0,0104(Z — 18°С).
В «Физике кристаллов» * 2> встречается утверждение, основанное на имевшихся в то время в распоряжении Фогта данных, что р изменяет знак при температуре жидкого воздуха. Это утверждение явно не подтверждается измерениями Аккермана и Рентгена, которые были сделаны несколько лет спустя после выхода в свет «Физики кристаллов».
Спонтанная поляризация турмалина. Если турмалин разломить поперек оси Z, всегда должно пройти некоторое время, прежде чем заряды будут скомпенсированы эффектом проводимости. Главным экспери-
')М. Born, Phys. Zs. 23, 12" —128 (1922).
2) Стр. 245.
646
Глава XXIX
Ментальным подтверждением гипотезы постоянной спонтанной поляризации Р° является тот факт, что заряды, наблюдаемые при таком разломе кристалла, пропорциональны величине обнажившейся поверхности и не зависят от длины обломка. /
Фогт оценил величину Р° при 24°С быстрым погружением в ртутные чашки, соединенные с электрометром, двух кусков, на которые был только что разломан кристалл. Найденная величина составляет приблизительно 33 абс. эл.-стат. ед. Согласно взгляду Фогта, эта величина является только нижним пределом, особенно потому, что турмалин не обнаруживает явной спайности, так что на различных частях поверхности излома могут находиться элементарные заряды противоположных знаков. Противоречащая этой точке зрения теория пироэлектричества Лармора изложена в § 545.
§ 520. Обладает ли турмалин измеримым первичным пироэлектричеством? С каким бы кристаллом, теоретически обладающим первичным пироэлектричеством, мы ни имели дело, ответ на вопрос относительно величины первичной pz m и вторичной р"m требует оценки пьезоэлектрической части уравнения (545). Поэтому необходимо знать пьезоэлектрические константы, константы упругости и теплового расширения, так же как и полную константу р m . Кроме того, эти консЛанты должны быть измерены у тех же самых образцов, или, по крайней мере, у образцов от того же самого материнского кристалла.
Вообще можно полагать, что в самом наблюдении полной пироэлектрической константы рт лежит неопределенность. Если первичная р'т невелика, то при очень низком значении рт можно притти к ошибочному заключению, что р'т ничтожно мала.
Измерения Фогта с турмалином в 1898 г. [570] показали, что первичный эффект составляет приблизительно одну пятую пироэлектрической константы 9. В 1914 г. Рентген на основании своих цитированных выше наблюдений, в которых рт была найдена относительно малой, пришел к заключению, что все пироэлектричество, которое можно наблюдать в турмалине, является вторичным. Это заключение было вскоре опровергнуто Фогтом [572], который продолжал отстаивать свои прежние результаты. Позднее этот вопрос был рассмотрен Линдманом * 2), который, заменив величины, употреблявшиеся Фогтом, коэфициентами расширения, найденными им из собственных измерений, пришел к заключению, что первичный эффект составляет около 12% всего пироэлектрического эффекта. Вообще лучшие современные данные подкрепляют взгляд, что хотя для турмалина первичный эффект и мал, но пренебрегать им не следует.
§ 521. Сегнетова соль. Как уже было упомянуто в гл. I, пироэлектрический эффект в сегнетовой соли был открыт Брюстером 3) 4. Качественные испытания были также опубликованы Ханкелем и Линдербер-гом. Валашеком и Кернером 4\ Единственными количественными измерениями были измерения Мюллера [382] и его учеников. Общий обзор
О Подробности см. в «Физике кристаллов», стр. 924.
2) К. F. Lin dm an, Ann. d. Phys. 62, 107—112 (1920). См. также [621] 13, 315.
3) D. Brewster, Edinburgh Journ. Sc. (1824).
4) W. G. Hankel and H. Lindenberg, Sachs. Abh. 18, 359—406 (1892); Валашек [543]; H. Korner, Zs. f. Phys. 103, 170—190 (1936).
Пироэлектричество
647
предмета сделан Мюллером [382]. На нем основано большинство утверждений, приводимых ниже.
Первичное пироэлектричество может существовать только между точками Кюри, где сегнетова соль моноклинна, и даже в этой области замеченные явлении порождаются главным образом вторичным пироэлектричеством, возможно, вызванным третичным эффектом.
Пироэлектрические испытания дают убедительнейшие доказательства существования в сегнетовой соли областей спонтанной ориентации противоположных знаков и позволяет оценить как их размеры и распределение, так и величину спонтанной поляризации Р°х.
Качественные испытания были выполнены Яффе и автором в обоих случаях с целыми кристаллами в несколько с'антиметров размером (форма кристалла показана на фиг. 2), а также с пластинками срезаХ. При нагревании получались лучшие результаты, чем при охлаждении, вероятно, вследствие конденсации влаги, имеющей место при охлаждении. После того как кристалл выдерживался в течение двух или более часов при низкой температуре (от 15° до 20°С), он нагревался приблизительно до точки Кюри, а затем посыпался смесью серы с суриком.
В случае целого кристалла ось Z должна быть вертикальной. На грани с может обнаружиться, но может и не обнаружиться характерный рисунок, который представляет собой чередующиеся полосы красного и желтого цвета, проходящие вдоль призматических граней параллельно оси Z. Соответствующие полосы с чередующимися цветами могут часто быть обнаружены на противоположных концах оси X. Есть указание на то, что области спонтанной ориентации имеют форму пластинок от 1 до 8 мм толщиной в направлении У и размерами в 1 см или более параллельно осям X и Z. Повторные испытания одного и того же образца дают в общем одну и ту же картину. Небольшая пластинка среза X размером около 1 см может содержать одну единственную область спонтанной ориентации. Большие пластинки могут дать рисунок, подобный шахматной доске. Каждая клетка такого рисунка, находящегося на одной стороне, имеет антипод с противоположным знаком на другой стороне.
Пылевые фигуры дают убедительное доказательство перманентной поляризации в направлении X пока только между точками Кюри. Направление поляризации в каждой области не может быть навсегда изменено на обратное, даже если кристалл охлаждался от высокой температуры в сильном противоположном электрическом поле или между последовательными опытами нагревался почти до точки разложения.
Полная пироэлектрическая константа р и ее зависимость от температуры были измерены Л. Тарнополем и Саундерсом в лаборатории Мюллера с применением видоизмененного метода Аккермана. Небольшие кристаллы даю^г результаты, отличающиеся друг от друга в пределах 20%. Константа имеет экстремальное значение в точках Кюри, уменьшаясь до нуля и изменяя знак около 5° С.
С помощью уравнения (546), пользуясь значением р, наблюденным для ряда малых значений ДГ между точками Кюри, можно построить кривую зависимости Р3 от Т. При этом предполагается, что Р° = 0 для каждой из точек Кюри. Таким путем Мюллер [376], [382] пришел к хорошему согласию с кривой Р° (Т4), изображенной на фиг. 145.
Максимальное значение Р° в сегнетовой соли — около 640, т. е. более, чем в 10 раз выше найденного Фогтом для турмалина, Чтобы вызвать
648
Глава XXIX
такую поляризацию с помощью внешнего поля в обычном изоляторе с низкой диэлектрической постоянной, потребовалось бы поле порядка 106 V/cm.
Первичный пироэлектрический эффект в сегнетовой соли. Для точного определения относительных значений р’х и р"х [уравнение (545)], таких, как полученные Фогтом для турмалина, данных не имеется. Тем не менее, может быть сделана заслуживающая внимания грубая оценка, хотя она и не является окончательной. Если обратиться к сегнетовой соли, то (545) перепишется следующим образом:
“д /• e\iC}i~VP' X
Для малыхДТ значение ^Р°Х/^Т может быть найдено из наклона кривой для Р° на фиг. 145. Значение е^ 'берем из фиг. 144. Величина ац представляет собой термический коэфициент сдвига у г Он может быть вычислен по скорости изменения спонтанной деформации у°z с температурой. ]Мы берем значение Мюллера у°г— 10-9-10—4 при 0°С (§ 482) и предполагаем, что кривая зависимости у° z от температуры подобна кривой для Рйх.
Таким способом находим для малых ДТ вблизи 18°С:
Рх-±Рхп^Т^Л; 5-10-5; ги^9,1 • 1С5; е^.а^р" х^\\
и окончательно р'х = рх — р"х ~ С.
Это вычисление неизбежно является приближенным. Почти полное совпадение получаемого отсюда значения для рхх!рх с найденным Фогтом значением той же величины для турмалина, очевидно, ecfb простая случайность. Несмотря на все это, полученные нами результаты указывают, что пироэлектричество в сегнетовой соли в большей своей части является вторичным.
§ 522. Другие кристаллы. Сернистый цинк. Это вещество упоминалось уже в связи с необходимостью исправить ошибку в Международных критических таблицах, где указано, что сфалерит является одновременно пиро- и пьезоэлектриком. Сернистый цинк существует в двух модификациях. Вюрцит, или a-ZnS, кристаллизуется в гексагональном гемиморфическом классе 26 с симметрией С6г, . Эта модификация устойчива выше 1020° С и неустойчива при более низких температурах. Сфалерит, или [З-ZnS, называемый также цинковой обманкой, кристаллизуется в кубическом гемиморфическом классе 31 с симметрией Тд. Это — более обычная форма, устойчивая при обычной температуре 9. Обе формы являются пьезоэлектриками, только вюрцит одновременно также и пироэлектрик. Если значение р = 0,13, приведенное в Международных критических таблицах, было получено Вином для сфалерита, то он должен был применять неравномерное нагревание.
Кварц не принадлежит к пироэлектрическому классу. Поэтому он обладает только третичным пироэлектричеством, которое наблюдается при неравномерном нагревании. Для объяснения пироэлектрических фигур на кварце, приведенных в некоторых книгах, необходимо всегда принимать во внимание направление температурного градиента. Некоторые результаты, полученные при однородном нагревании, должны быть приписаны не пироэлектричеству, а другим причинам, как это, например, сделал Рентген [439], объяснив свои данные расширением серебряной оболочки кристалла. Предосторожности, которые должны соблюдаться при исследованиях пироэлектричества, описаны ван Дай-ком [J558].
Топаз обычно относят к ромбическому голоэдрическому классу симметрии Vh и считают, что он не может обладать ни пьезо-, ни пироэлек-
!) 9 двух формах ZnS см. [621], т. 24, ч. 2, стр. 269 (1933).
Пироэлектричество
649
тричеством. Тем не менее, различные авторы сообщали о пироэлектрик ческих свойствах топаза, характеризуя их как «беспорядочные и из* менчивые», а также о том, что у различных образцов полярные оси лежат в различных направлениях1). Последнее утверждение наводит на мысль о том, что если топаз вообще пироэлектрик, то эффект является третичным, зависящим от направления температурного градиента, и тогда, согласно принципу Неймана, топаз должен быть отнесен к классу 6 симметрии V, подобно сегнетовой соли вне интервала между точками Кюри. Может также возникнуть вопрос, не являются ли эти пироэлектрические явления, не подчиняющиеся установленным правилам, так же как и голоэдрическая внешняя форма, результатом двойникования 2 3 * 5Л
Точно установлено, что несогласующиеся результаты для некоторых кристаллов, например для пикриновой кислоты, отвечают изменениям степени двойникования 3). То же самое справедливо и для аксинита4).
Среди работ последних лет могут быть упомянуты статьи Мартина, а также Орелкина и Лонсдейла 5), где описана экспериментальная техника, а также изложены результаты изучения различных кристаллов.
Практическое применение пироэлектричества для обнаружения слабого излучения, особенно инфракрасных лучей, было предложено Ю-Та Ч На основании опытов с турмалином и виннокаменной кислотой 7), пироэлектрические свойства которой в несколько раз сильнее, чем у турмалина, Ю-Та считает, что он может обнаружить повышение температуры облучаемой грани кристалла на величину порядка 10—6 °C.
§ 523. Электрокалорический эффект. Когда Кельвин в 1877 г. применил принципы термодинамики к пироэлектрическому эффекту, то предположение об обратимости привело его к предсказанию обратного эффекта. Это — так называемый электрокалорический эффект, или изменение температуры пироэлектрического кристалла, вызванное изменением электрического поля. Подобно магнетокалорическому эффекту (§ 556), он очень мал и упоминается здесь главным образом потому, что принадлежит к свойствам сегнетовой соли.
Выразим дТ/дЕ через пироэлектрический коэфициент р = дР/дТ. Изменение энергии элементарного объема, сопровождающее небольшие изменения электрических и термических условий, является полным дифференциалом: dU = EdP-}-TdS, где S— энтропия. Из этого выражения, вводя плотность р, механический эквивалент / = 4,18- 107 и удельную теплоемкость С в джоулях г-1 • град.-1, получаем следующее уравнение для электрокалорического коэфициента:
__дТ___— рТ град.
Ц дЕ рС J см*стат. вольт- * (547)
’) См., например N. A. Alston and J. West, Proc. Roy. Soc (1928).
2) Cm. [658], стр. 230.
3) L. В r u g n a t e 11 i, Zs. f. Kristallographie 24, 274—280 G. Greenwood, Zs. f. Kristallographie 96, 81—84 (1937); Вуд и
121, 358—367
(1894—1895); M а к-Кэ й л
<) См. [658], стр. 230.
5) A. J. Р. Martin, Mineral. Mag. 22, 519—523 (1931); В. О г е 1 k i n and К. Lonsdale, Proc. Roy. Soc. 144, 630—642 (1934).
6> Ye ou Ta, Compt. rend. 207, 1042—1044 (1938).
7) О виннокаменной кислоте см. Международные критические таблицы или Хаяши [210],
650 Глава XXIX
Это уравнение можно также получить, взяв производную от уравнения (1) по температуре [коэфициенты уравнения (544)]. Уравнение (547) показывает, что когда р положительно, q отрицательно, так что положительное приращение А Е напряженности по^я ведет к уменьшений температуры. Это верно, например, для турмалина, спонтанная поляризация которого параллельна положительному направлению оси Z (от антилогиЧного к аналогичному полюсу) и возрастает с повышением температуры. Плотность турмалина приблизительно равна 3, С = 0,2, р — 1,2 (§ 519), откуда при 300° К теоретическое значение q приблизительно равно —1,4- 10—5 градуса на электростатическую единицу напряженности поля. Эта величина подтверждена Ланге с точностью до нескольких процентов. Электрокалорический коэфициент для сегнетовой соли вблизи точек Кюри во много раз больше, чем для турмалина, как будет показано в следующем параграфе.
§ 524. Электрокалорический эффект сегнетовой соли. Кобеко и Курчатову [263] принадлежат самые ранние наблюдения линейного эффекта. Эти исследователи были также первыми, предсказавшими указанный эффект в сегнетовой соли, основываясь на теории. Как сформулировано в § 515, он является обращением пироэлектрического эффекта, и его присутствие в сегнетовой соли (предполагая обратимость) есть необходимое следствие зависимости спонтанной поляризации сегнетовой соли от температуры. Так как q в уравнении (547) пропорционально р, то очевидно, что электрокалорический коэфициент, подобно пироэлектрическому, достигает наибольших положительных значений как раз между точками Кюри, переходя через нуль вблизи 0°С.
Кобеко и Курчатов наблюдали при различной напряженности поля (до 1200 V/см) пропорциональное повышение температуры у верхней точки Кю*ри (несколько сотых градуса для самых сильных полей, независимо от направления поля) и понижение температуры того же порядка величины у нижн'ец точки Кюри, как это и следует из теории.
Теоретически в сегнетовой соли, как и во всех диэлектриках, должен существовать квадратичный электрокалорический эффект, связанный с электрострикцией, который, повидимому, был экспериментально обнаружен Дебаем и Заком [618]. Порядок величины его ниже, чем у линейного эффекта, по крайней мере в полях, не превышающих 30 000 V/cm.
§ 525. Тензориальное пироэлектричество. Это чрезвычайно слабый эффект, который теоретически может наблюдаться во всех классах кристаллов, кроме кубических. Он выражается в появлении, при неравномерном нагревании кристалла, небольших зарядов одинаковых знаков на ребрах по концам определенных осей. В случае кристаллов, обладающих векториальным (обыкновенным) пироэлектричеством, эти два эффекта накладываются друг на друга, делая обнаружение тензо-риального пироэлектричества особенно затруднительным.
В кристалле с полярной осью поляризация, вызванная изменениями температуры или механическими напряжениями, является вектором. Вообще же кристаллы имеют также квадрупольные моменты, которые под влиянием температуры или напряжений дают поляризацию, являющуюся скорее тензориальной, чем векториальной, и имеющую центросимметричный характер. Неравномерное нагревание вызывает появление зарядов в поле действия квадруполей в непосредственной близости к ним, в результате чего на поверхности появляются двойные слои электрических зарядов. Расширение, сопровождающее нагревание, вызывает тензориальный пьезо
’) F. Lange, диссертация, Иена, 1905. Дальнейшие подробности приведены в «Физике кристаллов», стр. 259.
Пироэлектричество
651
электрический эффект, который, по аналогии с векториальным пироэлектричеством, может быть назван вторичным тензориадьным пироэлектрическим эффектом. Наблюдаемое суммарное тензориальное пироэлектричество является, следовательно, суммой первичного эффекта, соответствующего только нагреванию, и этого вторичного эффекта.
Фогт О искал этот эффект в экспериментах со следующими непьезоэлектрическими кристаллами, применение которых должно было исключить мешающие эффекты: в кальците, доломите, берилле, топазе, барите и целестине, и вывел заключение, что реальное существование искомого эффекта «очень вероятно».
В «Физике кристаллов»* 2) Фогт кратко разбирает тензориальный пьезоэлектрический эффект, который хотя и слаб, но теоретически возможен во всех кристаллах и даже в изотропных диэлектриках. Подобно тензориальному пироэлектричеству и упругости, он содержит в себе зависимость между двумя тензорами, а именно — тензориальным электрическим полем и упругим напряжением. Фогт указывает, что теоретически существование этого эффекта возможно и что желательно доказать это на опыте3).
§ 526. Актиноэлектричество. Это выражение было введено Ханкелем4) для обозначения наблюдавшейся им электризации по призматическим рёбрам кристалла кварца, подвергавшегося действию теплового излучения. Фридель и Кюри5) вскоре со всей убедительностью доказали,, что наблюдаемый эффект может быть полностью объяснен как следствие пьезоэлектрической деформации (третичное пироэлектричество, § 515).
Недавно это выражение возродилось в связи с возникновением в некоторых кристаллах под действием света электродвижущей силы6). Подобные явления должны иметь причиной скорее внутренний фотоэффект, чем пьезоэлектричество.
ЛИТЕРАТУРА7)
Общая: 569—572, 574, 575, 621, т. 13, 622, 631, 644, 654, т. 10, 655, 656, т. 4, ч. 1.
Теория: 59—61, 213, 308, 618, 619, т. 5, ч. 2, 621, т. 24, ч. 2, 622, т. 1.
Измерения: 1, 315, 382, 439, 591, 621, 654, 658.
Турмалин: 362, 434, 592, 627.
Кварц: 286.
Многочисленные исследования Ханкеля по пиро- и пьезоэлектричеству описаны в сборнике его трудов: Hankel, Elektrische Untersuchengen, Leipzig, 1856—1899 (3 тома). Частичный список его трудов дан в ссылке [203]. Исследования Ханкеля имеют главным образом качественный характер и теперь представляют лишь исторический интерес.
Несколько дополнительных литературных ссылок на различных авторов дано в сносках к настоящей главе.
’) [571]; «Физика кристаллов», стр. 303.
2) Стр. 944.
3) См. также последние работы Фогта [574], [575]. Позднее этот вопрос рассматривался Покельсом [619], Фалькенгагеном [621] и Борном [608], а также в Problems of Atomic Dynamics, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, AA.3.SS 1926
Ь W. G. Hankel, Wiedemann's Ann. 10, 618 (1880); 19, 818—844 (1883); Sachs. Ber. 33, 52—63 (1881); Sachs. Abh. 12, 457—548 (1883).
5) C. Friedel et J. Curie, Bull. soc. fran. mineral. 5, 282—296 ,(1882); Compt. rend. 96, 1262, 1389 (1883). См. также W. C. Roetgen, Wiedemann’s Ann. 19, 513—518 (1883).
6) См., например, J. J. Brady and W. H. Moore, Phys. Rev. 55, 308—311 (1939).
7) Цифрами указаны порядковые номера общей библиографии.
ГЛАВА XXX
ПЬЕЗООПТИЧЕСКИЕ, ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 527. Введение. Хотя предполагается, что читатель знаком с принципами физической оптики, все же может оказаться полезным кратко сформулировать основные ее положения для того, чтобы указать путь изучения тех особых свойств кристаллов, которые будут рассматриваться. Подробных доказательств следует искать в специальных руководствах. Мы будем иметь дело главным образом с законами двойного преломления для различных кристаллических систем, представленными оптическими эллипсоидами. Рассмотрение волновых поверхностей в кристаллах здесь опускается, так как оно для нашей цели несущественно, хотя и имеет большое значение в кристаллооптике.
Обратимся сначала к прозрачным кристаллам в нормальном состоянии, свободным от механических и электрических напряжений. Вспомним, что электрический вектор
Е перпендикулярен к лучу и к магнитному вектору Н, в то время как электрическое смещение D перпендикулярно к волновой нормали и к Н. Направление колебаний в материальной среде совпадает с D. Обычно оптические свойства кристаллов описываются с помощью эллипсоида Френеля или эллипсоида показателей преломления (эллипсоид Флетчера). С представлением физических свойств кристаллов эллипсоидальной поверхностью мы уже встречались при обсуждении диэлектрических свойств (§ 112) и упругости (§ 28), Действительно, между этими свойствами и оптическими явлениями существует далеко идущая аналогия. Уравнения
Фиг. 157. Эллипсоид Френеля. Ось с перпендикулярна плоскости чертежа. Луч Or нормален к эллиптическому сечению, главные оси которого представлены прямыми Od и Ое.
для оптических эллипсоидов даны ниже.
Эллипсоид Френеля. Для любого данного кристалла, для данной длины волны и температуры, существует некоторая эллипсоидальная поверхность с осями, так ориентированными по отношению к кристаллической решетке, что длины большой и малой полуосей эллипса, образованного пересечением этой поверхности с плоскостью, проходящей через центр, пропорциональны скоростям двух поляризованных лучей, которые могут распространяться в направлении, нормальном к упомянутой плоскости. Это — явление двойного преломления. Электрические векторы обоих лучей паралельны большой и малой полуосям эллипса. Этот эллипсоид называется эллипсоидом Френеля. В общем случае он является трехосным; его главные полуоси а, Ь, с называются главными
Пьезооптические и электрооптические явления
653
скоростями света в кристалле; символы выбраны так, что а > b > с. Обычно за единичный вектор берут скорость света в вакууме, откуда а, b и с можно рассматривать как относительные скорости, не имеющие размерности.
Уравнение эллипсоида Френеля следующее,-
21 । 21 21— 1 а- ' Ь- 1 с2
(548)
Оси эллипсоида соответственно параллельны главным скоростям а, b и а В недсформированном кристалле, за исключением кристаллов триклинной и моноклинной систем, эти оси идентичны с кристаллографическими осями а, b и с (или X, Y, Z), но не обязательно в том же порядке; нет никакой определенной зависимости между относительными длинами главных осей эллипсоида и отношениями кристаллографических осей.
§ 528. Главные показатели преломления, обозначаемые через /2], п2, п3 или « , Р , 7, соответственно обратны величинам а, b и с. Из них 7 имеет наибольшее значение для кристалла и а— наименьшее. Так как для прозрачных кристаллов магнитная проницаемость •d = l, эллипсоид Френеля идентичен с эллипсоидом, описанным концом вектора, обратного квадратному корню йз диэлектрической постоянной при оптических частотах (§ 112).
На фиг. 157 представлен эллипсоид Френеля, в котором Or — луч любого произвольного направления. Плоскость, проходящая через О нормально к Or, пересекает эллипсоид по эллипсу. В соответствии со сделанными выше утверждениями, главные оси Od и Ое этого эллипса пропорциональны скоростям двух поляризованных лучей, которые могут распространяться вдоль Or, тогда как направления Od и Ое совпадают с направлениями электрических векторов обоих лучей.
Фиг. 157 может быть использована также для иллюстрации других свойств эллипсоида Френеля, а именно: все лучи, лежащие в данной плоскости, например в плоскости, перпендикулярной вектору Or, разделяются на две категории: поляризованных так, что их электрический вектор лежит в этой плоскости, и так, что их электрический вектор перпендикулярен этой плоскости и параллелен Or. % Для всех лучей последней группы, какие бы направления в плоскости они ни имели, имеет место одна общдя скорость, равная длине Or. Это свойство объясняет, почему в таблицах главных показателей преломления помещены символы па, пь, псаля всех лучей, имеющих направления колебаний параллельно а, b и с. В общем случае лучи, параллельные, например, с, могут иметь один из двух показателей, па или пь. Если, как это имеет место в недеформированных кристаллах сегнетовой соли, оси эллипсоида а, b и с совпадают с осями X, Y, Z кристалла (хотя необязательно в том же порядке), то главные показатели преломления могут быть обозначены через пх , пу и nz. Величина (па — п^'к является мерой двойного преломления в направлении с при длине волны X.
В недеформированном кубическом кристалле оси эллипсоида Френеля равны, эллипсоид превращается в шар, и все направления
О В этой главе символы а, b и с обозначают, вообще говоря, главные скорости, а не кристаллографические оси, как в предыдущих главах.
654
Глава XXX
становятся эквивалентными как в отношении оптических, так и в отношении упругих свойств, так же как в изотропных средах.
Иногда удобно выразить оптические свойства кристалла с помощью эллипсоида показателей, «обратного» эллипсоиду Френеля; главными полуосями эллипсоида показателей являются 1/а, 1/Ь и 1/с; иначе говоря, полуосями этого эллипсоида являются три главных показателя преломления. Для волн, нормали к которым лежат в направлении любого радиуса-вектора, двумя показателями преломления являются главные полуоси эллипса, по которому эллипсоид пересекается с плоскостью, перпендикулярной радиусу-вектору. Направления главных полуосей совпадают с направлениями электрического смещения, т. е. с направлениями колебаний.
Уравнение эллипсоида показателей имеет вид
а2х2 + b2y2 + c2z2 = 1. (549)
Все символы имеют здесь тот же смысл, как для эллипсоида Френеля.
Число параметров, необходимых для установления длины и ориентации осей эллипсоида Френеля и эллипсоида показателей, понижается с повышением кристаллической симметрии. Этими параметрами являются поляризационные константы, рассматриваемые ниже. Для триклинных кристаллов число этих параметров равно 6 (три для длин осей и три для ориентации). Моноклинные кристаллы требуют четырех параметров; ромбические кристаллы — трех. Эти три системы охватывают двуосные кристаллы, для которых скорости а, b и с все различны.
§ 529. Ограничиваясь в данный момент тремя системами низшей симметрии, установим различие между первичными и вторичными оптическими осями. Две первичные оптические оси имеют те направления, для которых равны между собой обе скорости волн; есть также две вторичные оптические ори, обычно очень близкие к первичным, для которых равны между собой обе лучевые скорости. Первичные оси являются нормалями к двум круговым сечениям, которые могут быть проведены через центр эллипсоида показателей, тогда как вторичные оси нормальны к двум круговым сечениям эллипсоида Френеля Ч Прямая, делящая пополам острый угол (осевой угол минералогов) между первичными (или вторичными) оптическими осями, называется острой биссектрисой. Она обязательно параллельна оси а или оси 7 эллипсоида показателей. Кристалл называется положительным или отрицательным соответственно тому, параллельна острая биссектриса 7 или а.
Перейдем к рассмотрению одноосных кристаллов, к которым относится кварц. Подобно двуосным кристаллам, они являются двоякопре-ломляющими по всем направлениям, кроме одного, называемого оптической осью. Мы игнорируем здесь вращение плоскости поляризации, которое рассматривается ниже. Все кристаллы тетрагональной, тригональной и гексагональной систем одноосны. Две оси эллипсоида равны, и две оптические оси сливаются в одну. Эллипсоид Френеля и эллипсоид показателей превращаются в эллипсоиды вращения; лучи, отве-
') Первичные оси обычно называются просто оптическими осями или бинормалями, а вторичные — бирадиалями. (Прим, ред.)
Пьезооптические и электрооптические явления 655
чающие двум осям, сливаются в один обыкновенный луч, всякий другой луч является необыкновенным 1?.
§ 530. Оптические поляризационные константы. При описании явлений, возникающих под влиянием внешних воздействий на оптические свойства кристаллов, желательно употреблять ортогональную систему осей. Для всех систем, кроме триклинной и моноклинной, уравнение (549) может употребляться в прежней форме; для этих двух систем необходимо преобразование, приводящее к уравнению для эллипсоида показателей, выраженному через шесть параметров. Для полноты картины выражения для этих параметров будут взяты полностью, хотя не все они нужмы при рассмотрении тех кристаллографических классов, которыми мы здесь интересу емся.
Ортогональные оси X, Y, / выбираются так, чтобы они совпадали с кристаллографическими осями всех классов симметрии выше ромбической. В общем виде в обозначениях Покельса уравнение (549) превращается в
а°пхг -J- а%2у2 + #33z2+ 2^3yz 2a^zx 4- 2а°2ху = 1 .
Приписанный сверху знак 0 означает недеформированное состояние кристалла; а°ц...а012— шесть поляризационных констант, выраженных через а, Ь, с и направляющих косинусы ад .. . с помощью уравнений (550), помещенных ниже.
X Y Z
Z' 71 12 7з
_В этой матрице даны направляющие косинусы. В общем случае, как уже было отмечено, для полного определения эллипсоида нужно шесть параметров:
^з^^з + ^з + ^з; 1 j
a3i = + с27з71 ;
°?2 =Уа1а2 + ^1^2 + f27172 •
Величины cYmn являются компонентами симметричного тензора, аналогичного тензорам упругой деформации и напряжений и тензору диэлектрической восприимчивости.
Содержащееся в § 527 утверждение, что во всех системах, за исклю-нием триклинной и моноклинной, направления главных скоростей а, Ь, с совпадают с тремя прямоугольными кристаллографическими осями, справедливо, пока кристаллы не деформированы. Последние три уравнения (550) тогда исчезают, в то время как первые три приводятся
О Автор смешивает здесь радиус эллипсоида с лучом света. Общепринято называть обыкновенным лучом тот, в котором колебания совершаются по радиусу кругового сечения эллипсоида Френеля. Все прочие лучи называются необыкновенными. (Прим, ред.)
656
Глава XXX
каждое к одному члену, который представляет собой квадрат обратной величины главных показателей преломления в соответствующих направлениях, а именно «°п = а2, а°22 = Ь2 , а°33 = с2. Как будет видно,
под действием упругих и электрических напряжений оптический эллипсоид кристалла может претерпевать как деформацию, так и вращение, которые могут заставить поляризационные коэфициенты принять значения, отличные от нуля. Параметры «2з, «31 и «]2 тогда не исчезают, а делаются параметрами нового эллипсоида.
Оставляя в стороне моноклинную и триклинную системы (они могут быть включены в рассмотрение совмещением осей координат X, Y, Z с направлениями а, Ь, с), мы можем написать для остающихся членов уравнений (550) для-недеформированного кристалла выражения сги ~ ~a2Q,a{)22=b2(j,a'1ss=c20. Величины а0, Ьо и с0— главные полуоси эллипсоида Френеля, параллельные (хотя и не обязательно в алфавитном порядке) ортогональным кристаллографическим осям.
Для одноосных систем (тетрагональной, гексагональной и тригональной) «о, Ьо, с0 в порядке их написания совпадают по направлению с осями кристалла X, Y, Z, и aQ = Ьо. Далее, обозначая через о= 1/по и е=11пе скорости обыкновенного и необыкновенного лучей, где я0 и будут соответствующими показателями преломления, имеем aQu = = «°22 = о2 = 1 //г02 и «°83 = е2 = 1 )п2 .
Параметры оптических эллипсоидов являются, вообще говоря, функциями длины волны и температуры.
§ 531. Пьезооптический эффект. Этот эффект выражается в изменении показателей преломления вещества при механической деформации. Вещества с простым преломлением становятся двоякопреломляющими, а у двоякопреломляющих веществ оптические константы при деформации изменяются. Это явление было открыто Брюстером в 1815 г. как в кристаллических, так и в аморфных веществах, и под именем фотоупругости приобрело большое значение в технике. Для кристаллов оно обычно носит название фотоупругого или пьезооптического эффекта. Оно существует во всех кристаллах. Построение теории явления, а также эксперименты с некоторыми кубическими и одноосными кристаллами осуществлены Покельсом в 1889 и 1890 гг. Краткое изложение работ Покельса имеется в его книге по кристаллооптике [643]. Было высказано предположение, что оптические эффекты являются линейными функ циями деформации.
Полный обзор пьезооптических явлений был бы очень Сложен и выходит за пределы настоящей книги. Мы можем только суммировать и объяснить главные черты явления, для того чтобы могла быть лучше понята природа электрооптического эффекта.
В общем случае механическое напряжение и деформирует и вращает эллипсоид показателей, следствием чего является изменение двойного преломления и направлений оптических осей. Электрическое поле, как будет показано ниже, оказывает подобное же действие, но в то время как пьезооптические эффекты присущи всем кристаллам, линейный электрооптический эффект возможен только в кристаллах-пьезоэлектриках.
Основными уравнениями являются соотношения между компонентами двух тензоров, а именно, поляризационными константами атп и либо компонентами хь упругой деформации, либо компонентами Xh упругого напряжения. Пьезооптическая деформация и коэфициенты напряже
Йьезооптические и электрооптические явления 657
ния обозначаются Покельсом соответственно ртп и . Матрицы этих коэфициентов для различных классов те же, что и матрицы упругих коэфициентов, за исключением того, что не всегда выполняется условие Ртп~Рпт- Последнее равенство получено из термодинамических соображений, которые неприложимы к пьезооптическим явлениям. Максимальное число независимых констант (триклинная система) возрастает таким образом с 21 до 36. Ниже диагонали матрицы упругости § 26 или § 29 появляется 15 дополнительных величин с переставленными индексами. Для всех систем, кроме триклинной, моноклинной и ромбической, Покельс установил, однако, что рг\ — Р\2, откуда k2i — тс12, и, кроме того, что для кубической системы p3i = Р13, откуда ^31 = ^13- Это утверждение Покельса основано на молчаливом допущении, что симметрия кристалла заметным образом не изменяется под давлением.
Из многих современных наблюдений над кубическими кристаллами 9 стало несомненным, что предположение Покельса не подтверждается. Объяснение этого, по Мюллеру, состоит в том, что деформация понижает симметрию, повышая число неисчезающих коэфициентов phk и nhk . Величина этих вносимых упругой деформацией коэфициентов не постоянна, а пропорциональна напряжению. Для явлений такого рода Мюллер предложил выражение «морфический» (§ 464). Отсюда следует, что пьезооптический эффект, который, согласно уравнениям (551) и (551а), должен был бы быть строго линейным, требует (по крайней мере для систем высокой симметрии) поправочных членов, куда входят квадраты напряжения. Наша трактовка пренебрегает этим эффектом второго порядка.
Приводим уравнения, выражающие зависимость пьезооптического эффекта от деформации:
«22-^°22=p21^+p22^+p23^+p24^+P25^+P26-S’ ^33—^0зз—Рз1^+Рз2^+Рзз^+р34л+Рз5^+Рзб-^5 ^23-^023=Р41^+Р42Л+^3^+Р44Уг+Р45^+Р46^; «31-^031—Р51^+Р52^4-Р53^+Р54^4-Р55^+Рб6^; «12-«°12=Рб1^+Рб2^+РбЗ^+Рб4^+Рб5^+Рб6^,
где а —значение параметра а тп для недеформированного кристалла, т. е. величина, определяемая уравнениями (550).
Уравнениями, выражающими те же величины в зависимости от напряжения, являются:
(#11 #1°1) ~ ТС11^5^.г~1~ТС12 И^4“ТС13^2,Н~ТС14^?Ч~'Т’:15-^х'4’'Т’:16у5^у-
(551)
(#23 #2°з) ТС41^х"4“ТС42 ^y4-7t43^H-7t44 Иг-р'^45^л.-|-7Г46^'_у
(551а)
Коэфициенты ртп безразмерны, тогда как имеют размерность, обратную упругому напряжению.
Первые три уравнения в системах (551) и (551а) выражают изменения главных скоростей, которые могут быть измерены путем наблюдений над лучами, соответственно параллельными трем осям; при этом
он. В. Maris, Journ.’Opt. Soc. Amer. 15, 194—200 (1927), и Y. Kidanj, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan 21, 457 (1939); см. также обзор Мюллера [301].
42 Кэди
658__________________________ Глава JX.XX.
пользуются обычными методами измерения малых изменений коэфициента преломления. Например, если является единственным приложенным напряжением и если тс14 Ф 0, то произведение тс14 Yz может быть интерпретировано как величина, выражающая изменение показателя преломления /п, вызванное напряжением Yz, в соответствии с соотношением (ап — а®г J — 1/п2— 1 'п02 тг1, Yz, где П\ и п" —• значения этого главного показателя преломления при приложенном напряжении и без него. Три 'последних уравнения в (551а) выражают вращение оптического эллипсоида вокруг его осей. Это вращение определяют, измеряя изменение показателя преломления под действием механического напряжения для света, идущего по направлению, перпендикулярному любой оси и рассекающему пополам угол между двумя другими. По изменению длины соответствующего радиуса-вектора эллипсоида вычисляется величина вращения, из которой могут быть определены коэфициенты 9.
Пьезооптические коэфициенты связаны с упругими коэфициентами с и s при помощи уравнений
6 6
Phk=S Vki ’ = £ Phiski (552)
i l Г1
Параметры оптических эллипсоидов являются, вообще говоря, функциями длины волны и температуры.
§ 532. Кубические кристаллы становятся одноосными при наложении давления, перпендикулярного грани куба или октаэдра, и двуосными при всех видах напряжений* 2). Кристаллы тригональной системы становятся двуосными под давлением, непараллельным оптической оси. Если давление нормально к первоначальной оптической оси, то одна из главных осей эллипсоида показателей параллельна давлению, тогда как вторая остается очень близкой к первоначальной оптической оси. Две оптические оси лежат в плоскости этих двух главных осей, если разность пьезооптических констант тс12 — имеет тот же знак, что и разность скоростей о — е. Для кварца при давлении 1 кг/мм2 Покель-сом был найден образуемый осями угол, равный 5О54'.
Следующие пьезооптические константы кварца и сегнетовой соли даны Покельсом [428], [643], который пользовался светом натрового пламени. Значения, данные Покельсом в мм2/г, преобразованы в см2/дины.
Кварц (относительно оптических констант см. § 534):
“11 ТС12 *13 *14 *31 *33 *41 *44
1,11 2,50 1,97 -0,097 2,77 0,183 -0,320 -1,015
(все значения следует умножить на 10~13).
Сегнетова соль (оптические константы см. в § 535). Экспериментальные трудности были так велики, что приводимые значения указывают только порядок величины. Данные Покельса для ~пп , преобразованные в см2/дины, следующие:
я44= — 9 • 10~14, к55 = х ig.lO-1^ % =
О [643], стр. 468.
2) Пьезооптические свойства кубических кристаллов описаны в теоретической статье Мюллера (см. литературу в конце настоящей главы).
ftьезооптические и электрооптические явления
659
На основании данных Гинца для оптических констант (табл. 4) находим, применяя уравнения (552):
р44= — 0,009; /?55 = Ц- 0,006 ; р66 = —0,015.
Исследования пьезооптических свойств кварца были проведены также Гюнтером [194]. В своих исследованиях он ограничился определением разности фаз необыкновенного и обыкновенного лучей в направлении У при механическом напряжении Xх до 30 кг/см2 и ввел величину, которая в обозначениях Покельса должна иметь вид nJeK3|/2—п3о^ц/^. Численное значение этой величины, около 10-10—13 см2/дин, находится в превосходном согласии с теорией Гюнтера О, но оно приблизительно в три раза больше, чем вычисленное из коэфициентов, экспериментально найденных Покельсом.
Пьезооптический эффект кварца может быть продемонстрирован следующим образом. Установим полированную пластинку среза Z в сходящемся свете между поляризатором и анализатором так, что видны обычные концентрические круговые кольца. Если пластинку сжимать в любом направлении, нормальном к оптической оси, круги превращаются в эллипсы, ориентировка осей которых зависит от направления давления. Если в местах, подвергавшихся сжатию, наложить электрическое поле, нормальное к оптической оси, наблюдается такой же результат, демонстрирующий электрооптический эффект.
§ 533. Электрооптические явления. Эти явления заслуживают краткого описания, поскольку существует некоторый параллелизм между пьезоэлектричеством и электрострикцией. Исследуем сначала вопрос отом, каким способом статическое электрическое поле может влиять на оптическое поведение прозрачного кристалла. Явление описывается соотношениями, выражающими действие электрического вектора на симметричный тензор оптических поляризационных констант (§ 530).
Наиболее общим является предположение, что поле может изменить как величины, так и направления главных осей этого тензора. Одноосный кристалл становится двуосным. Разность между первоначальным и деформированным тензором также представляет собой симметричный тензор. Электрооптический эффект есть симметрично-тен-зориальное действие электрического поля. Теория показывает, что можно ожидать линейного электрооптического эффекта с точно теми же условиями симметрии, как у обратного пьезоэлектрического эффекта и квадратичного электрооптического эффекта (эффект Керра, § 536), соответствующего квадратичной электрострикции.
Линейный электрооптический эффект. Этот эффект возможен во всех пьезоэлектрических кристаллах, и только в них. Родство между линейным пьезооптическим эффектом и пьезоэлектричеством так близко, что Кундт и Рентген, которые в 1883 г. первые предприняли тщательное изучение линейного пьезооптического эффекта, были уверены, что это только вторичный результат пьезоэлектрической деформации. Действие деформации на показатели преломления — это пьезооптический эффект, разобранный выше.
Вопрос был решен Покельсом в классическом исследовании 1894 г., которое все еще является основным источником наших знаний о линейном пьезооптическом эффекте. Покельс обнаружил прямое влияние электрического поля на оптические константы, а именно: показатели преломления кристалла, деформированного электрическим полем,
О Гюнтер разработал теорию пьезооптического и электрооптического эффектов, основанную на различных свойствах кварца, в том числе на существовании собствен-' ных частот в инфракрасном и ультрафиолетовом участках спектра. Его теория предсказывает величину обоих эффектов. Так как его исследования были проделаны с одной пластинкой, то они не могут рассматриваться как подтверждение его теории, особенно ввиду того, что для электрооптического эффекта (§ 534) его теоретическое значение константы Гц на 60% выше найденного экспериментально.
42*
660 ^ава ххх
отличны от показателей преломления кристалла, в той же степени деформированного механическим воздействием.
Покельс вычислил «прямой» эффект путем вычитания из наблюденного полного эффекта вторичного, или «косвенного», эффекта, вызванного деформацией, используя при этом известные пьезоэлектрические и пьезооптические константы. Взаимоотношение этого косвенного и прямого эффектов аналогично взаимоотношению между «ложным» и «истинным» пироэлектричеством, отмеченному в § 520.
Теория Покельса связывает изменение оптических поляризационных констант с электрической поляризацией Р с помощью 18 коэфициентов. Как и в § 530, предполагается, что координатные оси параллельны главным осям исходного эллипсоида. Уравнения, выражающие вызванное электрическим полем изменение оптических поляризационных констант, могут быть написаны тогда с членом вместо и т. д.,
в соответствии с § 530. В теории Покельса этими уравнениями яв-
ляются: аи
^41 ^33 bl = r2lPx cl~=r^Px fl23 = ri\^x ^12 ~ r61Px ^22^V Ч- ^*28^5 + Г^Ру + 4“ f"4.lPy~\~r43^5 + r^Py + A; r^Pу ^63^2 (553)
Эти уравнения аналогичны .уравнениям (190) или уравнениям VII в табл. 21 для обратного пьезоэлектрического эффекта *?. Величины, стоящие в левой части уравнений, можно установить из определений показателей преломления обычными способами в поляризованном свете. Исходя из этих величин и известного значения напряженности электрического поля могут быть вычислены коэфициенты гтп.
Матрицы этих коэфициентов в точности подобны матрицам пьезоэлектрических коэфициентов в § 131. В общем случае существует 18 электрооптических констант.
В следующих параграфах мы будем пользоваться символом г для наблюдаемого или суммарного электрооптического эффекта. Косвенный эффект будет обозначаться через г', а прямой эффект — через г" — г — г'\ г" — истинный электрооптический коэфициент.
§ 534. Опытные данные в электрооптике. Имеющиеся данные относятся только к кварцу, турмалину, каменной соли и сегнетовой соли. До недавней работы Ни Тси-Зе и Гюнтера по кварцу и Мюллера по сегнетовой соли единственными исследованиями, кроме ранней работы Рентгена, Кундта и Жермака, были работы Покельса (1890 г.). Во всех случаях исследования зависимости двойного преломления от напряженности поля давали суммарные значения электрооптических коэфициентов гпт, включая действие пьезоэлектрической деформации (косвенный эффект). Второе слагаемое, которое мы назовем г'тп , вычисляется
О Следуя обозначениям, принятым Мюллером [381], пишем гтп вместо покель-совской ет для того, чтобы не смешивать* эти величины с пьезоэлектрическими константами. Порядок следования индексов тот же, что у Покельса: второй индекс указывает направление поляризации. В своих опытах Покельс наблюдал поле Е — г'Р; следовательно, величина Р, фигурирующая в уравнениях (553), требует знания диэлектрической восприимчивости V свободного кристалла. До сих пор во всех экспериментах Р была параллельна Е.
Пьезооптические и электрооптические явления
661
из пьезоэлектрических, упругих и пьезооптических констант, точно так же, как в случае пироэлектричества. Прямые электрооптические коэфициенты могут быть тогда выражены соотношением rmn — rmn — г mn-Пользуясь уравнениями (551), (551а), (189) и (190), очень легко показать, что
6 6
Г'п„ = Е Рп! = Е е^‘- (-554)
Z = 1
Кварц. Электрооптическими константами его являются Гц = = — /21 = — Гб2 И Г41 = — Г52-
Главные показатели преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей (Na, 18° С): по= 1,54425, пе= 1,55336. Об оптической активности кварца см. § 538.
Действующей является только компонента поля, перпендикулярная оптической оси. Кристалл становится двуосным, угол между оптическими осями и величина эффекта определяются коэфициентом Гц. Коэфициент г41 имеет влияние только на лучи, наклонные ко всем трем осям. Согласно § 5, для кристаллического класса, к которому принадлежит кварц, уравнения (550) приводят к выражениям ап — о2 = = ГцРх; а22 — о2 = — гпРх\ «33 = е2 = 0; а23 = r4iPx; a3i = — r41Pv; Oi2 = — г\\Ру. Как и в § 530, символы о и е обозначают главные скорости света, обыкновенную и необыкновенную.
Уравнение для Гц принимает вид:
_дап д 1 ____1 Дп0
Гп -dPx-dPxWo~~ 5g Ж ’
(555)
где по — показатель преломления для обыкновенного луча и Лпо— изменение п, наблюдаемое при изменении поляризации на величину АРЛ .
Для суммарного эффекта, употребляя свет желтой линии Na, Покельс нашел, что х =1,40- 1О’~8 и r4i т]'х =0,59 • 10—8. Действие квадратичной электрострикции на результаты исключалось, будучи малым по сравнению с ошибками наблюдений. Прямой эффект был найден вычитанием из этих величин вычисленного эффекта, вызванного одной деформацией. Полученные таким образом прямые коэфициенты имеют значения г=0,73 • 10-8 и r4iirfx = 0,14 • 10—8. Для суммарного эффекта изменение п0 на электростатическую единицу напряженности поля (300 V/см), параллельного оси X, составляет только Ьпо / ЬЕХ — 3,3 • 10—8; для прямого эффекта вычисленное значение равно 1,74 - 10Ь8.
Единственными исследованиями электрооптического эффекта в кварце были работы Тси-Зе и Гюнтера б. Измерения Гюнтера, приведенные к употреблявшимся нами ранее единицам, дали для суммарного эффекта гцт]'х= 1,45 • 10—8 в хорошем согласии с Покельсом. В своей статье Тси-Зе находит несколько окольными вычислениями
гп< = -1,1810-8.
’> Майерс [L. М. Myers. Marconi Rev. No. 52, 16—25 (1935); No. 53, 9—18, (1935)] также описал опыты по оптическим явлениям в деформированном электрическим полем кварце. Очевидно, не зная работ Покельса, Майерс приписывает свои результаты исключительно механическим причинам, т. е. пьезоэлектрическим деформациям. Он приходит к заключению, что электрическая деформация кварца ниже, чем в обычной ячейке Керра, применяемой для управления интенсивностью света. По этому поводу см. § 513, касающийся ультразвукового светового реле,
662
Глава XXX
Если игнорировать противоположность знаков, которая может соответствовать противоположным направлениям полей или энантиоморфизму, то данные Тси-Зе имеют по крайней мере тот же порядок величины, что и данные других исследователей Г. Хотя сделанные Гюнтером й Тси-Зе вычисления косвенного эффекта оставляют открытым вопрос о теоретических обоснованиях, они по крайней мере подтверждают заключение Покельса о реальности прямого эффекта.
Можно прибавить, что Тси-Зе опубликовал также исследование электрооптического эффекта для необыкновенного луча в кварце, находящееся в противоречии с теорией Покельса, так как у Тси-Зе этсг эффект включает в себя коэфициенты г31, Г32, Лзз, которые для кварца равны нулю.
§ 535. Сегнетова соль. Главные показатели преломления пх ~ = у = 1,4954, пу = |3 = 1,4920, пг = а = 1,4900. Валашек в своих исследованиях [543] не нашел больших изменений этих величин в пределах от — 70° до + 40°С, но его измерения были недостаточно точны для того, чтобы зарегистрировать небольшие отклонения, о которых сообщал Мюллер [376]. Сегнетова соль оптически активна: вращение плоскости поляризации для желтой линии Na составляет 1,35 град./мм для каждой оси 3\ Оси а, Ь, с эллипсойда Френеля соответственно параллельны осям Z, Y, X кристалла. Плоскостью оптических осей является плоскость XZ (010), ось X является острой биссектрисой. Угол между оптическими осями составляет 69°40' (Грот, для «желтого» света).
Электрооптические коэфициенты для кристаллов этого класса (класс 6, симметрия V) равны: ап = а^ = I/72, ai2 = bl — 1/^2, = = = 1/а2, ау, = г41Рх, а31 = Гг^Ру, й12 = гбз^ .
Подобно тому как три пьезоэлектрических коэфициента сегнетовой соли связаны со сдвигами по трем кристаллическим осям, так в линейном электрооптическом эффекте поле, параллельное любой из этих осей, несколько поворачивает эллипсоид Френеля вокруг этой оси, не изменяя его формы. Поскольку главные оси эллипсоида совпадают с осями кристалла, из этого следует, что показатели преломления для света, параллельного любой из осей, должны оставаться неизменными.
При электрических полях, параллельных осям У и Z, для желтой линии Na Покельс нашел: — 5,1 10~8 и гб3 = -J- 0,95 10—8.
Согласно § 408, можно положить vj'v=0,70, т]'г == 0,65. Тогда для двух электрооптических констант получаем значения г52 =— 7,3 10-8 и гбз = 4-1,5- 10“8, включающие как прямой, так и косвенный эффекты. Чтобы вычислить коэфициент косвенного эффекта г , нужно найти йз1 из уравнений (551) для пьезоэлектрической деформации zx, помня при этом, что для ромбических кристаллов срх = 0. Называя эту величину а'р имеем
г52 РУ = а'з1 = р5^х = р55 Еу, откуда г'52 = рЪ5 d^r^.
]) Отбор данных из табл. XI Тси-Зе, сделанный Гюнтером для сравнения со своими собственными данными (и для того, чтобы показать, что Тси-Зе заблуждался), основан, повидимому, на недоразумении. Данные, подлежащие использованию, находятся в табл. VII Тси-Зе. Противоречие между результатами обоих исследователей в этом случае значительно уменьшается. Гюнтер также сделал небольшую числовую ошибку при преобразовании данных Покельса.
2) L ап dolt-Вбгп stein, Tabellen, 5-е издание. (Данные при 20°С для желтой линии Na.)
®) Н. Dufet, Journ. de phys. et rad. 3, 757—765 (1904),
Пьезооптические и электрооптические явления
663
Подобным же образом
' _Рб6^36
63 “ у/
Ч z
Значения р55 и р6в даются в § 532, тогда как для d2s и г/36 мы используем величины из уравнения (207). Таким образом, получаем г' =-1,4 10-8, □2 7
г63=0,8- 10-8.
Вычитанием этих величин из указанных выше значений г52 и г63 получаем для прямого эффекта:
Г"2 = — 5,9 • 10-« ,
г'^ + 2,3.10-8 .
Тот факт, что электрооптические константы включают в себя и диэлектрическую восприимчивость и пьезоэлектрические константы, делает Очень неточным определение r4i для сегнетовой соли. Единственной опубликованной работой по измерению этого коэфициента является исследование Покельса, который нашел т]'х — 6 • 10Н8, т. е. число того же порядка величины, как Г52 и г6з. Точное определение r4i и r'i} потребовало бы такого же пристального внимания к поддержанию постоянной температуры, к конструкции электродов и к обеспечению свободы от внешних механических воздействий, какое необходимо при исследованиях диэлектрических и пьезоэлектрических свойств сегнетовой соли. Без точного знания условий опытов Покельса можно только полагать, что величина du имела порядок 500 1СМ, так что т/ должно было быть приблизительно равным 10. Используя эти значения, находим r4i — 0,56 * IO—8 и г 41^ — 0,42- 10~8. С большим запасом коэфициент истинного электрооптического эффекта сегнетовой соли можно считать равным
г" _ г =-0,14- 10—8. 41 '41 '41 ’
Косвенный эффект, выражаемый величиной г^, повидимому, очень велик. Этот вывод согласуется с данными Мюллера, рассматриваемыми в § 536; по крайней мере качественно он согласуется также и с данными Манделя (326}.
§ 536. Квадратичный электрооптический эффект. Это хорошо известный эффект Керра, имеющий место во всех веществах. Среди всех до сих пор исследованных кристаллов сегнетова соль является единственным, в котором этот эффект достигает больших значений, чем это требует эффект второго порядка. В этом кристалле эффект Керра приблизительно в миллион раз сильнее электрического двойного преломления в большинстве жидкостей. Резко выраженный эффект был недавно найден в других сегнетоэлектриках (см. § 496).
В сегнетовой соли этот эффект был впервые обнаружен Покельсом. В своем исследовании линейного эффекта, направляя электрическое поле вдоль оси X и световой луч под углом 45° к осям Y и Z, он нашел, что значения электрооптического эффекта при противоположных направлениях поля весьма отличаются друг от друга. Для того чтобы отличить этот несомненно нелинейный эффект от линейного, он приготовил пластинку среза X с двумя парами граней, нормальными к осям У
664 Глава XXX _______________________:_______
и Z кристалла. Он нашел, что поле в направлении X оказывает заметное влияние на разность фаз света, идущего в направлениях Y и Z. Этот эффект не менял своего знака с изменением направления поля и поэтому был истолкован как квадратичный, или Керр-эффект. Условия симметрии для Керр-эффекта идентичны с условиями симметрии для пьезооптического эффекта (зависимость тензора от тензора) и допускают возможность изменения показателя преломления для направлений вдоль всех трех осей при поле, параллельном одной оси.
Керр-эффект в сегнетовой соли был очень полно исследован Мюллером [376], [381], который нашел тесное соответствие между оптическими и диэлектрическими свойствами, в том числе и существование гистерезиса. Его наблюдения были сделаны при поле, направленном по оси X. Он исследовал разность показателей преломления па — , пь — пс и пс — па для света, параллельного осям Z, X и X, как функцию поля и температуры. Среди результатов его опытов наиболее интересны следующие: 1) разность фаз на сантиметр пути имеет порядок величины 0,1 ^при напряженности поля 5000 V/cm; 2) эффект не меняет знака при перемене направления поля; 3) он квадратичен при температурах выше верхней точки Кюри, имеет сложный характер вблизи точек Кюри и приблизительно линеен между точками Кюри, за исключением случая, когда напряженность поля меньше коэрцитивной силы Ес.
Яффе [245] было указано, что этот линейный эффект между точками Кюри может рассматриваться как истинный линейный электрооптический эффект, если в этом интервале температур сегнетову соль считать моноклинной (§ 481). С этой точки зрения неизменность знака эффекта при перемене знака поля, направленного по кристаллографической оси а, на обратный связана с обращением направлений спонтанной ориентации.
В первой из своих двух статей Мюллер дает теоретическое истолкование Керр-эффекта в рамках своей теории внутреннего' поля. В более поздней статье [381] Мюллер заменяет свою теорию внутреннего поля теорией поляризации (изменение двойного преломления зависит скорее от Рх, чем от Fx). Он принимает в принципе взгляд Яффе, что сегнетову соль в области существования сегнетоэлектрических свойств следует считать моноклинной. Вводя вторую степень поляризации, он получает выражение, которое удовлетворительно объясняет особенности зависимости электрооптического эффекта от температуры и электрического поля. Даже в отсутствии внешнего поля он нашел между точками Кюри спонтанный Керр-эффект, вызываемый внутренней спонтанной поляризацией Д
Мюллер доказывает, что Керр-эффект в совершенно свободном кристалле сегнетовой соли по крайней мере частично вызывается деформацией (пьезооптический эффект). Единственные измерения фото-упругих констант сегнетовой соли принадлежат Покельсу, предполагавшему, что сегнетова соль ромбична. Они не годятся для вычисления пьезооптической слагаемой Керр-эффекта, если кристалл является моноклинным.
§ 537. Погасание и оптическая активность. Определение направления осей по погасанию. Этот метод полезен для предварительного испы-
*) Экспериментальным доказательством этого эффекта является излом в каждой точке Кюри кривой зависимости двойного преломления от температуры.
Пьезооптические и электрооптические явл&ния 665
тания неправильных кусков двоякопреломляющего кристалла и для грубого определения направления осей. Он применим к кристаллам всех систем, кроме кубической.
Вообще говоря, когда двоякопреломляющий прозрачный кристалл рассматривается между скрещенными поляризатором и анализатором, поле зрения более или менее освещено. За исключением случаев наблюдения при некоторых особых условиях, обнаруживается, однако, что при вращении образца вокруг луча, как вокруг оси, минимумы освещенности повторяются через каждые 90° поворота, чередуясь с максимумами. Практически в большинстве случаев, даже в белом свете, минимумы представляют собой области полной темноты; это — положения погасания. Как мы увидим ниже, при использовании белого света поле зрения в промежуточных положениях кристалла может быть окрашенным.
В § 527 было показано, что вдоль любого направления в кристалле могут распространяться две волны различной скорости, причем направления колебаний будут параллельны большой и малой ося!м эллипса, образованного сечением эллипсоида показателей плоскостью, проходящей через его центр и нормальной к направлению волны, а два показателя преломления будут пропорциональны длинам этих осей. Когда направления колебаний параллельны направлению колебаний в поляризаторе или в анализаторе, то имеет место полное погасание. Если два показателя оказываются равными, как это имеет место для света, параллельного оптической оси любого оптически неактивного кристалла (§ 538), поле зрения остается темным при всех углах поворота кристалла.
Если линейно поляризованный свет с длиной волны X и интенсивностью /о падает нормально на плоскопараллельную пластинку толщины е, вырезанную в любой ориентации и имеющую показатели преломления П\ и и2 для света, проходящего в данном направлении, то, если поляризатор и анализатор скрещены, проходящий свет имеет интенсивность 0.
/=/osin2 2 a sin2
к ^(Пз-nO
где а—угол между направлением колебаний, соответствующим пь и направлением колебаний в поляризаторе. Исследование этого уравнения подтверждает сделанное выше общее утверждение и, кроме того, показывает, что для любого а освещение периодически меняется при по^ степенном увеличении е. Изменение / с длиной волны X вызывает упомянутый выше эффект изменения цвета, если используется белый свет. Очень тонкие пластинки [толщина зависит от величины (п2—rti)] не дают изменения цвета, потому что разность фаз двух волн слишком мала. Если пластинка достаточно толста, то цвета различных порядков перекрывают друг друга настолько, что свет, проходящий сквозь кристалл при любых его положениях, кроме положения погасания, воспринимается как белый. При рассматривании таким способом кварцевой пластинки, вырезанной параллельно оптической оси, цвета видны только при толщине менее миллиметра; для пластинки сегнетовой соли среза X предельные значения толщины составляют приблизительно 0,2 мм и 3 мм.
Как кварц, так и сегнетова соль имеют прямое погасание. Это означает, что,' когда оптическая ось кварца или любая из трех кристал-
0 См. [643], стр. 213.
666
Глава XXX
лографических осей сегнетовой соли образует прямой угол с лучом, погасание имеет место, если эта ось при скрещенных поляризаторе и анализаторе параллельна направлению колебаний в одном из них.
Погасание может наблюдаться в целых кристаллах и в неправильных обломках; оно может быть использовано для приблизительного определения направлений (но не для различения друг от друга) кристаллических осей. Применение такого способа к кварцу рассмотрено в § 333. Если известно, что пластинка сегнетовой соли вырезана перпендикулярно к одной из осей кристалла, испытания по методу погасания быстро дают приблизительные направления двух других осей, так как поле зрения остается темным, когда какая-либо из этих осей параллельна или образует прямой угол с направлением колебаний в поляризаторе. Вообще же таким опытом нельзя установить различия между двумя осями без использования вспомогательных приспособлений.
По крайней мере в одном специальном случае возможно установить такое различие. Автор наблюдал, что, если пластинку сегнетовой соли среза X (юлщина которой такова, что при помещении ее в белом свете между поляроидами появляются цвета) поворачивать вокруг оси У из положения, при котором ось X параллельна лучу, цвета сохраняются до угла поворота, почти равного 90°, тогда как при вращении вокруг оси Z они исчезают после поворота на 20°.
§ 538. Оптическая активность. Это явление, именуемое также «круговым двойным преломлением» и «вращением плоскости поляризации», является особым свойством некоторых кристаллов, которое нельзя получить, исходя из эллипсоида Френеля. Оптическая активность наблюдается с помощью поляризатора, когда линейно поляризованный свет проходит сквозь кристалл параллельно оптической оси (или параллельно любой из двух оптических осей двуосного кристалла). Если скорости двух поляризованных в противоположном направлении по кругу лучей, на которые может быть разложен падающий свет, заметно отличаются друг от друга, то плоскость поляризации проходящего света оказывается повернутой на величину, зависящую от вращательной способности (угол в градусах на миллиметр пути для некоторых определенных длин волн) и от толщины образца. Если падающий свет — белый, то проходящий свет оказывается окрашенным в хорошо известные характерные оттенки (вращательная дисперсия, т. е. изменение вращающей способности с длиной волны). Вращение кристалла вокруг его оптической оси не действует на проходящий свет.
Оптической активностью могут обладать кристаллы, принадлежащие к 15 классам Они лишены центра симметрии. Все они являются пьезоэлектриками, за исключением одного (кубический энантиморф-ный гемиэдрический, симметрия О). Однако многие кристаллы этих 15 классов обладают активностью, слишком малой для того, чтобы быть обнаруженной. Все энантиоморфные кристаллы оптически активны; правые и левые формы вращают плоскость поляризации в противоположных направлениях.
С молекулярной точки зрения существует два типа кристаллов, обладающих оптической активностью. Кристаллы первого типа образованы из молекул, не имеющих центра симметрии. Если такой кристалл расплавить или растворить, жидкость также обнаруживает вращение плоскости поляризации. Степень вращения зависит от концентрации.
О [641], стр. 316. ,
Пьезооптические и электрооптические явления 1
Наоборот, смесь, расплав или раствор которой вращает плоскость поляризации, должна кристаллизоваться в энантиоморфном классе (закон Пастера). Примером первого типа является сегнетова соль. Кристаллы второго типа имеют молекулы или ионы с высокой собственной симметрией. Закон симметрии кристалла будет соответствовать строению кристаллической решетки; а-кварц и NaC103 — примеры этого типа. Из раствора левых кристаллов НаСЮз с равной вероятностью вырастают правые и левые кристаллы.
В правом кристалле вращение плоскости поляризации направлено по часовой стрелке по отношению к наблюдателю, смотрящему в анализатор (против луча, § 326); в тдм же направлении нужно было бы поворачивать анализатор, чтобы поле зрения оставалось темным, если бы толщина кристалла постепенно увеличивалась при скрещенных вначале анализаторе и поляризаторе.
Наблюдения оптической активности кварца оказываются полезными для определения направления оптической оси в пластинке, для обнаружения бразильских двойников и для того, чтобы отличить правый кристалл от левого. Как установлено в § 15, оптическими испытаниями могут быть обнаружены только бразильские (оптические) двойники. Испытания лучше всего производить в монохроматическом свете, для чего достаточно применения светофильтра. Испытания кварца по этому способу, а также в сходящемся свете описаны в § 333.
Истинная вращающая способность одноосных кристаллов не зависит от механической деформации. Тем не менее, при некоторых видах деформации кажущаяся вращающая способность изменяется, но этот эффект вызван тем, что кристалл под действием напряжения становится двуосным, так что появляется двойное преломление в направлении первичной оптической оси, в соответствии с законами пьезооптики, рассмотренными ранее. Те же самые явления должны иметь место в неактивных кристаллах. Имеется объяснение оптических явлений, данное Тавилем (§ 368) ддя поляризованного света, параллельного оптической оси колеблющихся кварцевых пластинок. Действие «оптически управляемого пьезогенератора» автора (§ 398) также основано на двойном преломлении, вызванном механической деформацией.
ЛИТЕРАТУРА
№ 64, 194, 376, 377,381,524, 609, 621, 643, 646, 649,650,658 общей библиографии. Bhagavantam S., Фотоупругий эффект в кристаллах, Proc. Indian Acad. Sci. 16, 359—365 (1942).
ГЛАВА XXXI
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО; В СВЕТЕ АТОМНОЙ ТЕОРИИ
Несмотря на то, что молекулярные или атомные теории пьезоэлектричества стали появляться вскоре после открытия Кюри, вряд ли можно сказать, что попытки удовлетворительного теоретического истолкования явления вышли из начальной стадии. Средства современной динамики кристаллической решетки все еще недостаточны для предсказания чего-либо большего, чем грубое приближение к порядку величины пьезоэлектрического эффекта, даже для простейших структур; однако, будучи еще весьма несовершенной, она представляет большой интерес как с теоретической, так и с экспериментальной Стороны.
Пьезоэлектрический эффект, конечно, тесно связан с самим существом кристаллической структуры. Поэтому мы рассмотрим сначала атомные структуры некоторых из наиболее важных пьезоэлектрических кристаллов, определенные с помощью рентгеновских лучей, и затем поступим так же, как это делалось при объяснении пьезоэлектрических свойств. Литература дается в конце главы.
§ 539. Силы связи в кристаллах. Могут быть перечислены следующие главные типы химической связи: -
1. Ионные связи, называемые иначе полярными или гетерополярными. Частицы вещества связаны друг с другом кулоновским притяжением между ионами противоположных знаков. Каждый положительный ион окружен отрицательными ионами, и отдельных молекул не существует. Если вещество находится в твердом кристаллическом состоянии, то совершенный кристалл может рассматриваться как одна единственная молекула. Пример.ом является NaCl, в котором связи являются чисто ионными. Много простых минералов принадлежит к этому типу.
2. Валентная связь, называемая также ковалентной или электронной связью. Пара электронов разделена между двумя электроположительными или двумя электроотрицательными атомами. Первым случаем, т. е. металлами, мы не интересуемся. Валентная связь между двумя электроотрицательными атомами называется гомеопо-лярной (или неполярной) связью. Эти связи обладают свойством насыщения и имеют тенденцию образовывать отдельные и устойчивые молекулы. Например, в органических соединениях углерод связывается своими четырьмя валентными электронами с четырьмя другими атомами. Такие соединения могут принимать форму цепей, слоев или трехмерных структур неограниченно больших размеров, как это бывает с различными минералами, силикатами и прозрачными материалами.
3. Ван-дер-ваальсовы связи. Между молекулами действуют сравнительно слабые силы, вызванные взаимной поляризацией молекул. Если существуют только силы этого типа, то в результате вещество является (при обычных температурах) газом или жидкостью или же механически непрочным твердым телом с низкой точкой плавления. Кристаллы с такими связями называются молекулярными кристаллами.
4. Водородные связи. В последние годы установлено, что два электроотрицательных атома могут быть связаны находящимся между ними ионом водорода. Связь между Н+ и каждым из отрицательных атомов часто имеет ионный характер и тем сильнее, чем более электроотрицательны атомы. Этот тип связи существует во многих соединениях и играет роль в теории таких физических констант, как диэлектрические коэфициенты и точки плавления и испарения. В некоторых случаях, как, например, у льда, это единственный связующий агент.
Очень часто в одном и том же веществе существует два или более различных типов связей. В «-кварце предполагается существование как ионного, так и валентного типа связи (Вей, Паулинг), тогда как ₽-кварц—чисто ионный кристалл.
Пьезоэлектричество в свете атомной теории
б6&
Ниже рассматривается как рол|ь, которую играют водородные связи в фосфатах --сегнетоэлектриках, так и проблема сегнетовой соли.
Соотношения между кристаллической структурой и пьезоэлектрическими свойствами. Если молекула асимметрична, то весьма вероятно, что кристалл будет обладать асимметрией, делающей его пьезоэлектрическим. Например, если в молекуле имеются асимметричные атомы углерода, как в винной кислоте или в сегнетовой соли, в кристалле должен отсутствовать центр симметрии. Единственным исключением из этого правила будут такие кристаллы, как мезовинная или рацемическая винная кислота, в которой асимметричные атомы или молекулы компенсируют друг друга.
Нельзя ожидать, чтобы простые ионные кристаллы были пьезоэлектрическими, если только ионные радиусы не отличаются друг от друга весьма значительно.
Простые, наполовину полярные соединения (содержащие как ионные, так и валентные связи) имеют тенденцию быть пьезоэлектрическими. Кристаллы типа цинковой обманки подпадают под это правило. Определенно гомеополярные соединения (со слабыми ионными связями или без них) часто имеют высокосимметричные структуры, как, например, пирит. Этот случай подробно рассмотрен Вустером £628].
Обратимся теперь к тем особенностям структур кварца и сегнетовой соли, которые имеют отношение к задачам настоящей книги. С литературой по рентгенографии, использованной для определения структур, читатель может ознакомиться в конце этой главы.
§ 540. Структура кварца. В 1914 г. У. Г. Брэгг опубликовал первое рентгеновское исследование кварца и предложил гипотезу трех вставленных друг в друга решеток, упоминаемую ниже. Первое определение относительных положений атомов в а- и р-кварце с помощью рентгеновских лучей было сделано Брэггом и Гиббсом в 1925 г. Эта работа
Фиг. 158. Элементарная ячейка а- и ₽-кварца с одним из трех атомов кремния,
Фиг. 159. Проекция трех взаимнопроникающих гексагональных простых решеток на плоскость, перпендикулярную к оптической оси, показывающая атомы кремния в конфигурации для ^-кварца
была продолжена Гиббсом (1926 г.) и особенно Уайкоффом (1926 г.), которые полностью определили параметр структуры |3-кварца; Р кварц имеет один такой параметр и а -кварц — четыре. Литература по всем позднейшим определениям параметров дается в конце настоящей главы V.
О Изложение работы Брэгга и Гиббса с пояснительными чертежами см. у Сосмана [649]. '1
670
Глава XXXI
Пространственные группы двух энантиоморфных форм кварца — это DyH D^. Для а-кварца имеем соответственно Dj и D%.
О кристаллизации SiO2 в трех главных формах: кварца (включая а- и ^-модификации), тридимита и кристобалита, было упомянуто в § 10. Все три формы имеют один и тот же базис структуры, а именно
тетраэдрическую группу четырех атомов кислорода с атомом кремния в центре. Одна форма отличается от другой расположением этих групп. Мы интересуемся а - и р- кварцами. Структура каждой из этих модификаций основана на трех вставленных одна в другую гексаго
нальных решетках. .
Для того чтобы представить себе этот тип архитектуры кристалла,
начнем с элементарной ячейки одной из трех составляющих решеток, как показано на фиг. 158. Элементарная ячейка имеет форму правиль-
Фиг. 160. * Элементарная ячейка ^-кварца в проекции и плане. Большие черные кружки изображают атомы кремния, принадлежащие к этой ячейке, границами которой является внешний ромб. Большие белые кружки изображают атомы кремния соседних ячеек. Маленькие черные кружки изображают атомы кислорода, принадлежащие к этой ячейке. Маленькие белые кружки изображают атомы кислорода соседних ячеек.
ной призмы с высотой с0, имеющей в основании ромб с углом 60°. Вертикальные ребра параллельны . главной оси Z, тогда как стороны базиса параллельны двум осям X. Она содержит один атом Si и два атома О. Мы произвольно поместили атом Si на расстоянии со/3 выше центра базиса, для того чтобы получить соответствие окончательной схемы. Положение атомов кислорода будет рассмотрено позднее.
Предположим, что ячейки этого типа должны в строгом порядке прилегать друг к другу во всех трех измерениях, образуя решетку. Проекция на плоскость базиса, если смотреть сверху, выглядит, как на фиг. 159, на которой проекция каждой элементарной ячейки имеет в своем центре атом кремния, обозначенный малой точкой соответствующей Si на фиг. 158. Такое расположение точек Si обладает гексагональной симметрией и образует гексагональную решетку. Теперь представим себе две другие решетки, идентичные первой, но повернутые вокруг одного из призматических ребер, скажем DD' на фиг. 158, соответственно на 120° и—120°. На фиг. 159 ось вращения можно считать перпендикулярной плоскости чертежа. В проекции атомы
кремния окажутся в положениях, показанных большими точками S/ и белыми кружками Sj. Пусть затем эти две решетки смещены по вертикали, первая вниз на величину с0/3 и другая вверх на то же самое расстояние (забегая вперед, укажем, что в
результате получится решетка правого или левого кварца, в зависимости от того, которая из двух решеток смещена вверх). Проекция каждой элементарной ячейки теперь имеет, кроме Si в центре, еще четыре другие по ребрам, расположенные на двух различных уровнях. Из пяти атомов кремния любые три, расположенные на различных уровнях, могут быть отнесены к одной элементарной ячейке. Для ячейки, обозна
Пьезоэлектричеётво в Рвете атомной теории
671
ченной жирными линиями, мы произвольно выбираем три атома кремния, обозначенные через Sb S2 и S3; два других атома кремния принадлежат соседней ячейке, хотя связаны с кислородами рассматриваемой ячейки.
Окончательно структура представлена системой вставленных одна в другую гексагональных решеток, характерной для р-кварца. Элементарная ячейка полной структуры попрежнему имеет форму и размеры, показанные на фиг. 158, но содержит теперь три атома Si и шесть атомов О, как указано на фиг. 160.
Положения атомов О не были установлены с определенностью. Согласно работе Вея и Махачки, наиболее вероятны следующие их положения. Как для а-, так и для ‘p-кварца их проекции на плоскость базиса находятся на расстояниях а0/4 по каждую сторону от Si в
Фиг. 161. Проекция на плоскость, перпендикулярную оптической оси, решеток ^-кварца и а-кварца по Брэггу и Гиббсу.
направлении а0. В р-кварце, имеющем гексагональную симметрию, все атомы кислорода находятся на высоте, кратной £о/6, над плоскостью базиса, как изображено на фиг. 160.
Брэгг и Гиббс показали, что изменение структуры в точке перехода а — р , несмотря на физические и кристаллографические различия а- и р-кварца, состоит только в небольшом смещении атомов. Смещение атомов составляет около 0,3 А. Для того чтобы, исходя из модификации, изображенной на фиг. 160, построить элементарную ячейку а-кварца, требуется повернуть соседние треугольники из атомов Si (см. фиг.' 160) в противоположных направлениях на угол около 8° в плоскости чертежа. В верхней части фиг. 160 атомы кислорода слева от центра поднимаются на величину с0/18; атомы кислорода справа от центра опускаются на с0/18. Гексагональная симметрия p-кварца переходит, таким образом, в тригональную симметрию а-кварца. Размеры элементарной ячейки также подвергаются небольшим изменениям. Для а -кварца существуют два современных определения. Согласно Брэдли и Джею, а0 — 4,90288 А, с’о = 5,39328 А. Миллер и дю Мон О нашли:
«0 =4,91267 ± 0,00009 А
J) Р. Н. Miller, Jr., and J. M. Du M’ond, Phys. Rev. 57, 198—206 (1940).
672 Глава XXXI ,
и с0 — 5,40459 + 0,00011 А при 25° С. Для (3 -кварца Уайкофф нашел aQ = 5,01 A, Cq = 5,47 А.
Полная решетка ^-кварца изображена в проекции на фиг. 161,а, где контуры элементарной ячейки обозначены пунктирными линиями. В соответствии с тремя положениями атомов кремния в плоскостях, параллельных чертежу, атомы первого или самого низкого уровня (наиболее удаленного от наблюдателя) изображены большими белыми кружками, а атомы третьего или самого высокого уровня — большими . черными кружками. Среднему уровню соответствуют заштрихованные кружки. Атомы кислорода находятся в слоях, лежащих между атомами кремния. Каждый атом кислорода связан с двумя ближайшими атомами кремния. Каждый атом Si связан с четырьмя атомами О, два из которых лежат выше него и два — ниже него. Указанные четыре атома кислорода образуют тетраэдрическую группу, о которой говорилось выше. Эта взаимная связь всех тетраэдров образует трехмерный каркас большой жесткости.
На фиг. 161,6 дана соответствующая проекция для а-кварца, на которой изображены только атомы Si. Структура стала симметричной относительно оси X, но не симметричной относительно оси У. Ось X стала полярной осью, и кристалл приобрел пьезоэлектрические модули t/ц, d\2 И 6^26-
Если считать, что число слоев атомов неограниченно велико в направлении, перпендикулярном чертежу, из фиг. 160 становится очевидным, что атомы Si, кажущиеся в проекции расположенными в вершинах любого из малых треугольников (фиг. 161), образуют спираль с осью, параллельной главной оси кристалла. Кристалл — правый или левый, соответственно тому, является ли спираль право- или левовинтовой 0. Структура, изображенная на фиг. 160, принадлежит правому кварцу, так как наблюдателю, смотрящему на рисунок, спираль представляется вращающейся по часовой стрелке. Это соответствует тому обстоятельству, что в левом кварце вращение поляризованного луча, параллельного главной оси, направлено против часовой стрелки, как это видно, если смотреть сквозь анализатор навстречу источнику света.
Махачки указал, что спиральная структура обнаруживается более явно, если за ось спирали взять прямую, проходящую через центр гексагона на фиг. 161. Вокруг этой оси имеется непрерывная спираль тетраэдров, вращающаяся в направлении, противоположном кремниевой спирали.
§ 541. Теория пьезоэлектрического эффекта в кварце. Первой пробой атомной теории была попытка Кельвина, который в 1893 г. предложил модель, где группы по три атома кремния были собраны в гроздья. Его предположение о геометрическом расположении и о действии механического давления на внутреннюю структуру нашло замечательное подтверждение в фактах, открытых тридцать лет спустя с помощью рентгеновских лучей. Вопрос о вероятной причине пьезоэлектрического эффекта рассматривали на основании своих 'рентгеновских исследований Брэгг и Гиббс (1925 г.) и Гиббс (1926 г.). Они высказали взгляд, что механическое давление в направлении X или У искажает
О Это утверждение преждевременно, так как до настоящего времени нет прямых доказательств, что правовинтовой структуре отвечает правый, а не левый кварц. (Прим, ред.)
Пьезоэлектричество в свете атомной теории
673
треугольники, изображенные на фиг. 161, результатом чего является поляризация, параллельная X. Гиббс пытался оценить величину эффекта, считая кварц ионным кристаллом, обладающим явно выраженной дипольной структурой. Такая оценка неизбежно таит в себе погрешности, так как кварц более не считается чисто ионным. Несмотря на это, Гиббс сумел получить правильный порядок величины. Его анализ пироэлектрического эффекта кварца страдает отсутствием разграничения вторичного и третичного пироэлектричества.
§ 542. Структура сегнетовой соли. Кристаллическая структура была полностью определена Биверсом и Юзом путем применения к их рентгеновским исследованиям методов Фурье и Паттерсона. Для ознакомления с деталями и чертежами, изображающими проекцию структур на плоскость (001), следует обратиться к оригинальной статье. Элементарная ячейка содержит четыре молекулы. Структура ощутимо не изменяется при прохождении через точки Кюри; имеет место только изменение положения водородных ядер. Существенный интерес представляет предположение Биверса и Юза, касающееся происхождения аномалий, которые они приписывают зигзагообразным цепям, содержащим группы О (или ОН) и Н2О, проходящим в направлении X.
Из их рассуждений можно сделать следующие выводы: особые диэлектрические свойства приписываются действию приложенного электрического поля на эти цепи; в частности, нормальное направление связей может быть изменено полем на обратное. Предполагают, что исчезновение аномалий вне интервала между точками Кюри должно быть вызвано разрывом некоторых звеньев цепей.
Эти авторы не упоминают о спонтанной поляризации. Действительно, их чертежи изображают соседние цепи элементарной ячейки поляризованными в противоположных направлениях. Можно распространить их рассуждения с помощью предположения Яффе, что элементарная ячейка является ромбической вне интервала между точками Кюри и остается таковой между точками Кюри, если рассматривать ее изолированно от других ячеек. Между точками Кюри каждая элементарная ячейка в области спонтанной ориентации стремится поляризоваться и слегка деформироваться под влиянием близлежащих ячеек. В сегнетоэлектрической области большинство цепей в данной области спонтанной ориентации поляризуется таким же путем, как предполагается в теориях Курчатова и Фаулера (диполи способны вращаться, устанавливаясь параллельно друг другу). Так могло быть обосновано существование спонтанной поляризации и ее зависимость от температуры.
Придерживаясь изложенных взглядов, все же возможно применить в основном Миллеровскую теорию внутреннего поля, рассмотренную в гл. XXVI. Функция, соответствующая функции Ланжевена, может по-прежнему применяться к диполям, квантованным в направлении X.
Пространственная группа сегнетовой соли /V3. Элементарная ячейка — ромбическая, содержащая четыре молекулы. По Биверсу и Юзу, элементарная ячейка имеет следующие размеры: aQ = 11,93 А, О о
6о= 14,30 А, с0 = 6,17 А. Эти значения можно сопоставить с данными Уоррена и Краттера, которые нашли: а0= 11,85 A, bQ — 14,25 А, Со = 6,21 А. Из этих цифр следуют отношения осей а: b : с = = 0,8343 : 1 : 0,4315 по Биверсу и Юзу и 0,8316 : 1 : 0,4358 по Уоррену и 43 Кэди
674
Глава XXXI
Краттеру. Из измерений Штауба находим а : b : с ==0,8317 : 1 : 0,4330.
Среднее значение отношения осей из только что упомянутых источников
а -.Ь: с = 0,8325:1:0,4334.
Грот [[624] дает значения 0,8317 : 1 : 0,4296.
Дальнейшие рентгеновские исследования сегнетовой соли. Киркпатрик и Росс* 2) сделали вывод, что кристаллы сегнетовой соли имеют очень простую структуру, так как ширина кривых рентгенограмм качания так же мала, как у высокосортного кальцита. Штауб и Немет изучали действие электрического поля на интенсивность линий рентгенограмм, полученных методом Брэгга, а Штауб измерял также интенсивность при различных температурах 3\ Штауб нашел, что между точками Кюри отражения от плоскости (111) (параллельной любой из граней, обозначенных буквой о на фиг. 2) усиливались на 10% при наложении поля порядка 500 V/см. В более сильных полях эффект отсутствовал, что происходило, как думал Штауб, от разрушения кристаллической решетки под действием поля. Интенсивность не менялась, когда кристалл находился в состоянии колебаний на резонансной частоте (см. §261).
Наблюдения Немета производились над отражениями от граней^ нормальных к осям X, У и Z. В каждом случае накладывалось поле до 700 V/см. Все наблюдения производились при комнатной температуре. Во всех случаях кривые, связывающие интенсивность с напряженностью поля, обнаруживали насыщение при наиболее сильных полях и тенденцию интенсивности к понижению с возрастанием поля, в согласии со Штаубом. Эффект был резче всего выражен у грани (100), тогда как максимальное возрастание интенсивности доходило до 40%. Нормальное давление на пластинку 45-градусного среза X не изменяло интенсивности отражений. Высокая чувствительность сегнетовой соли к электрическому полю находится в резком контрасте с кварцем, который, как нашел Немет, дает обратный результат, и со льдом, который обнаруживает возрастание интенсивности на 2—3% в поле 1300 V/cm.
Штауб исследовал изменение интенсивности отражения от плоскости (111) в широком интервале температур в отсутствии внешнего поля 4) 5. Между точками Кюри интенсивность возрастает приблизительно на 10%. Штауб рассматривал этот эффект как доказательство существования большого внутреннего поля, которое делает решетку устойчивой по отношению к влиянию термического возбуждения. Для ознакомления с теоретической стороной его исследования, основанной на теории‘Дебая, следует обратиться к первоисточнику.
§ 543. Полное исследование .диэлектрических и пьезоэлектрических свойств сегнетовой соли с помощью модели Биверса — Юза потребовало бы объяснения возникновения всех трех пьезоэлектрических модулей du, d2- и d36. В этой связи интересно рассмотреть модель расположения диполей в элементарной ячейке по Штаубу [479], одновременно считая сегнетову соль содержащей свободные диполи5). Эта
О Н. Staub, Helv. Phys. Acta 7, 3—45 (1934).
2) P. Kirkpatrick and P. A. Ross, Phys. Rev. 43, 596—600 (1933).
3> H. Staub, Phys. Zs. 34, 292—296 (1933); 35, 720—725 (1934); Helv. Phys. Acta
7, 3—45, 480—482 (1934). A. N e m e t, Helv. Phys. Acta 8, 97—116, 117—151 (1935).
4) См. также S. Miyake, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan 23, 378—395 (1941).
5) О более раннем рассмотрении «электрических осей» сегнетовой соли см. статью Рикке [622]; также W. G. Н a n k е 1 und Н. Lindenberg, Zs. f. Kristallographie 27, 515—517 (1897).
Пьезоэлектричество в свете атомной теории
.675
Фиг. /62. Модель элементарной ячейки сегнетовой соли (по Штаубу).
модель изображена на фиг. 162; она приложима ко всем ромбическим кристаллам дигонального голоаксиального класса и имеет простейшее распределение зарядов, совместимое с этим типом симметрии. Давая простую качественную интерпретацию пьезоэлектрических и диэлектрических явлений в сегнетовой соли, эта модель является только моделью и как таковая должна быть принята со значительными оговорками. Предполагаются четыре диполя в направлении диагоналей. Положительное направление каждого из них показано стрелкой. При наложении механического напряжения или электрического поля диполи могут вращаться.
Вне интервала между точками Кюри действия диполей, подвергающихся термическому возбуждению, нейтрализуют друг друга, так что постоянная поляризация ячейки отсутствует. Сжатие вдоль любой оси не вызывает при данной температуре поляризации. Но сжатие, приложенное диагонально в плоскости, перпендикулярной любой оси, порождает поляризацию, параллельную этой оси. Например, пусть сжатие таково, что сближает ребра ЕН и ВС. Это порождает деформацию сдвига, причем деформация такова, как если бы грань EFGH скользила параллельно самой себе в направлении EF. Первоначально прямоугольные грани ABFE и OCGH превращаются в параллелограмы, и диполи поворачиваются таким образом, что ячейка поляризуется >в направлении ОА и грань ABFE получает положительный поляризационный заряд. Это объясняет прямой пьезоэлектрический эффект, выражаемый уравнением Рх — —d^Y z (du положительно, и напряжение Yz отрицательно, если деформация, как было предположено, положительна). Что касается обратного эффекта, то чертеж показывает, что поле, приложенное в направлении от О к А, повернет диполи так, что появится положительная деформация сдвига в плоскости YZ. чем больше диэлектрические модули.
В действительности зависимость (между деформацией и положением диполей не может быть такой простой. Например, симметрия фиг. 162 такова, что три коэфициента du, d25 и d36 должны иметь одинаковые знаки. Покельс нашел, что du и dse положительны, ноd25 отрицателен. Это можно «объяснить», только предположив, что расположение атомов в ячейке и силы между ними таковы, что положительная деформация сдвига в плоскости ZX соединяется с' отрицательной поляризацией вдоль оси Y или что эффект вызван взаимодействием соседних ячеек.
Чтобы примирить модель со свойствами сегнетовой соли между точками Кюри, можно постулировать, что конфигурация ячеек и их взаимодействие таковы, что диполи имеют тенденцию выстраиваться рядами, по направлению более или менее близкими к оси X, а не к диагоналям. Затем, если температура достаточно низка, появляется спонтанная поляризация, сопровождаемая спонтанной деформацией. Она принимает форму сдвига Yг и является основанием для высказанного в § 481 взгляда, что в области спонтанной поляризации сегнетова соль должна по справедливости квалифицироваться скорее как моноклинная, чем как ромбическая. Спонтанная деформация, однако, так мала, что структура кажется ромбической при всех температурах, что и показывают рентгеновские исследования.
Та же модель может быть использована для иллюстрации продольного эффекта, когда поле наклонно ко всем трем осям (§ 140). Например, если сжатие направлено вдоль OF, деформация будет поворачивать диполи, производя поляризацию в направлении FO.
Диполи вращаются тем свободнее,
§ 544. Структура дигидрофосфата калия, КН2РО4. Рентгеноструктурный анализ этого кристалла был проведен в 1930 г. Вестом который нашел фосфатные группы, состоящие каждая из атома фосфора, окруженного четырьмя атомами кислорода в тетраэдрическом расположении. Каждая группа окружена тетраэдром, составленным из четырех других групп. Соседние группы РО4 связаны водородными связями.
’) J. West, Zs. f. Kristallographie 74, 306—332 (1930). См. также М. A v г a m i, Phys. Rev. 54, 300—303 (1938).
43*
676 .
Глава XXXI
Недавно этот анализ был продолжен Слэтером с использованием статистических методов. Он рассматривает возможные размещения атомов Н, находя, что каждая фосфатная группа должна удерживать два из соседних с ней атома водорода, об'разуя диполи (Н2РО4)“. При низких температурах в состоянии наименьшей энергии диполи стремятся ориентироваться тем или другим способом вдоль оси c(Z), чем и объясняется спонтанная поляризация. Выше точки Кюри (см. § 445) диполи принимают беспорядочные ориентации. Слэтер получил выражение для диэлектрической восприимчивости в слабых полях, предписываемое законом Кюри — Вейсса.
Теория Слэтера утверждает, что превращение в точке Кюри является фазовым превращением первого рода со скрытой теплотой превращения и прерывным скачком от поляризованного состояния при низких температурах к неполяризованному состоянию при более высоких. С другой стороны, эксперименты, описанные в § 497, указывают, что это превращение, ограниченное узким интервалом температур, не является внезапным. Слэтер полагает, что противоречие между теорией и экспериментом вызвано тем, что теория, подобно фундаментальной теории сегнетовой соли, изложенной в гл. XXIII и XXIV, применяется только к единственной области спонтанной ориентации. Как только температура опускается ниже точки Кюри, кристалл распадается на множество областей спонтаннрй ориентации с противоположной поляризацией и противоположными спонтанными напряжениями сдвига в соседних областях. Результатом является появление напряжений переменной величины на границах между этими областями, которые стремятся понизить точку превращения на разные величины и являются причиной замедления процесса превращения вместо внезапного изменения. Доказывая, что это превращение будет превращением первого рода, Слэтер указывает, что аналогичные превращения в арсенате калия и в фосфате аммония протекают гораздо быстрее, чем в фосфате калия.
Из своих наблюдений над теплоемкостью KH2AsO4, КН2РО4 и KD2PO4 Бентл нашел, что изменение энтропии в верхних точках Кюри имеет порядок величины, предсказанный теорией Слэтера. Считая комбинацию О—Н—О диполем, ответственным за сегнетоэлектрические свойства, и предполагая присутствие двух диполей в молекуле, Бентл вычисляет для молекулярного электрического момента значение р= 0,74 •’ 10~18.
§ 545. Атомная теория пьезоэлектричества. Теория пьезоэлектрического эффекта является частью теории твердого состояния. Этот предмет слишком обширен, чтобы рассматривать его здесь. Мы можем только указать несколько исторических вех на пути, который все еще далеко не завершен.
До открытия пьезоэлектричества молекулярная теория пироэлектричества была предметом многих размышлений (см. литературу в конце гл. XXIX). Первый вклад был сделан Ж. и П. Кюри 9, принявшими предположение Кельвина о перманентно поляризованных молекулах.
Теория пьезоэлектричества Кельвина (1892 г.) уже была изложена в § 541. Он провел грубое количественное определение пьезоэлектрического эффекта, основанное на предположении, что разности
’> J. et Р. Curie, Compt. rend. 92, 350 (1881): Journ. de phys. (2) 1, 245 (1882).
Пьезоэлектричество в свете атомной теории
677
потенциалов между молекулами имеют тот же порядок, как и макроскопические контактные разности потенциалов между разными металлами. Таким способом он получил для dn в случае кварца правильный порядок величины.
Приблизительно тогда же Рикке (в 1892 г.) опубликовал тщательно разработанную в отдельных частях молекулярную теорию пьезоэлектричества для кристаллов всех симметрий (см. статью Рикке [622]). Он считал, что пьезоэлектрический эффект вызывается изменением в электрическом кулоновом взаимодействии между молекулами, производимым механической деформацией кристаллической решетки. В свете последующих исследований, описанных ниже, эта теория должна теперь считаться устарелой. Это была остроумная теория, включавшая пять типов «полюсных систем» для расчета пьезоэлектрических констант всех классов кристаллов. Полярная система Рикке для кристаллов симметрии V приводит к модели, сходной с моделью Штауба, изображенной на фиг. 162.
Еще шаг вперед в связи с прогрессом физики сделан был Шредингером в 1912 г. Он распространил кинетическую теорию диэлектриков Дебая на анизотропные твердые тела. Несмотря на то, что его работа имеет дело главным образом с точками плавления, в ней рассматриваются пьезо- и пироэлектричество, причем особое внимание уделено кварцу и турмалину; в некоторых отношениях эта работа служит точкой опоры для теории сегнетоэлектриков. Сделанная Шредингером оценка величины dn для кварца имеет правильный порядок. С помощью приближенной функции Ланжевена он достигает правильного порядка величины пироэлектрических констант турмалина. Наиболее слабым местом его теории является предположение о существовании свободно вращающихся диполей во всех кристаллах.
Теория пьезо- и пироэлектричества была также разработана в 1921 г. Лармором. Главное значение этой работы для нас состоит в том, что в ней особо подчеркнута необходимость правильного понимания роли поверхностного слоя в пьезо- и пироэлектрическом эффектах. Борн (см. ниже) имеет дело с бесконечной кристаллической решеткой, игнорируя условия на поверхности. Теория Лармора указывает, что для объяснения пироэлектрического эффекта не нужно постулировать существования спонтанной поляризации. Он указывает, что если положительные и отрицательные ионы в кристалле разделены неодинаковыми промежутками, изменение температуры изменит их взаимные расстояния. Хотя это изменение очень мало, его достаточно для объяснения наблюдаемых поверхностных зарядов, без допущения существования перманентной внутренней поляризации. Заряд, наблюдаемый на свежесколотой поверхности, зависит от того, каких ионов выходит на поверхность больше, положительных или отрицательных.
Лармор зашел так далеко, что отрицал существование спонтанной поляризации во всех кристаллах. Не принимая этого утверждения, мож-но по крайней мере допустить, что если существуют кристаллы, обладающие спонтанной поляризацией, что, повидимому, надежно установлено, например в случае сегнетовой соли, то тем не менее суммарный заряд’ наблюдаемый на свежесколотой поверхности, может в значительной степени измениться при точной ориентации поверхности скола по отношению к кристаллической решетке. Возможность этого была указана В § 519 для турмалина.
678
Глава XXXI
Тем же соображением можно объяснить неудачу автора, пытавшегося обнаружить заряд на свежесколотых поверхностях бруска сегнетовой соли, длинная ось которого совпадала с направлением X.
§ 546. Пьезоэлектрический эффект согласно динамике решетки. Современная атомнаЛ динамика ведет свое начало от работ Маделунга (1909 г.). В 1912 г. вышла первая работа М. Борна в соавторстве с Карманом по колебаниям в кристаллической решетке. Первая трактов-^ ка пьезоэлектрического и пироэлектрического эффектов была дана Борном в его «Динамике кристаллической решетки» в 1915 г. Восемь лет спустя появилась его «Атомная теория твердого состояния» в расширенном и упрощенном изложении. Глава о динамической теории кристаллической решетки, написанная Борном и Гепперт-Мейер во втором издании «Handbuch der Physik» [621], практически является новым изданием «Атомной теории».
Теория Борна предполагает чисто центральные силы, действующие между центрами атомов. Принимая во внимание успехи, сделанные за последние годы атомной динамикой, замечательно даже то, что его пьезоэлектрические вычисления могли привести к правильному порядку величины.
Только для очень простых решеток Борн нашел возможным сделать количественную оценку зависимости между деформацией и электрическим полем. Он применял свою теорию к кристаллам кубической системы, 'имеющим диагональную решетку, в которой все частицы лежат на диагоналях элементарного куба. Примером этой структуры является цинковая обманка, ZnS, симметрии Td (см. § 170). Кристаллы этой симметрии имеют только одну независимую пьезоэлектрическую константу е14 = е25 = ^зб- Для такой структуры Борн нашел следующее соотношение между вп, диэлектрической постоянной k при низких частотах, k0 при оптических частотах (ko = и2) и упругими константами с12 и с44:
Для ZnS Борн вычислил таким способом ei4-------23 • 104, что приблизи-
тельно в пять раз больше наблюдаемой величины — 4,2 104, приведенной в § 170. По предложению Борна, Хекман в 1925 г. пытался усовершенствовать теорию, приняв во внимание поляризуемость ионов, но это не приблизило вычисленного значения е14 для ZnS к экспериментально найденной величине. Кроме того, необходимо^ подождать дальнейших успехов атомной динамики, прежде чем надеяться на совпадение теоретического и экспериментального значений пьезоэлектрических констант.
Вообще коэфициент пьезоэлектрического напряжения ehk можно считать имеющим более фундаментальное значение, чем коэфициент деформации d,,k . Это не только константа, даваемая атомной теорией, но и коэфициент, связывающий механическое и электрическое напряжения в уравнении Х\ = —ehkEh и механическую и электрическую деформации в уравнении Р =ebkxk \ сверх того, как указано в § 474, у сегнетовой соли величина <?,4 остается конечной при всех температурах, вместо того чтобы делаться бесконечной в точках Кюри, как.в случае коэфициента пьезоэлектрической деформации.
Пьезоэлектричество в свете атомной теории 679
ЛИТЕРАТУРА
№ 48, 75, 157, 308, 579, 605, 616, 621, 649 общей библиографии.
Kelvin, Baltimore Lectures, London, 1904; Mathematical and Physical Papers 5, London, 1911; Phil. Mag. 36, 331, 342, 384, 414, 453 (1893).
Па ул инг Л., Природа химической связи, М.—Л., 1947, 440 стр.
Bradley A. J. и Jay А. Н., Кварц в качестве эталона для точных измерений параметров кристаллической решетки, Proc. Phys. Soc. (London) 45, 507—522 (1933).
Bi ill R., Hermann С. и Peters С., Синтез Фурье кварца, Ann. d. Phys. 41, 233—244 (1942).
Heckmann G., О теории решетки из деформирующихся ионов, Zs. f. Phys. 31, 219—223, 1925; Zs. f. Kristallographie 61, 250, 292 (1925).
H у 11 e r a a s E. А., Положение равновесия атомов, двойное лучепреломление и вращательная способность Р-кварца, Zs. f. Phys. 44, 871—886 (1927).
Machatschki F., Кристаллическая структура низкотемпературного кварца SiO2 и мышьяковокислого алюминия A1AsO4, Zs. f. Kristallographie 94, 222—230 (1936).
M a u g u i n С., Возможное использование диффракционных картин, полученных с помощью рентгеновских, лучей, для полного определения структуры кварца, Compt. rend. 173, 719—724 (1921).
Schrodinger Е., Исследования кинетики диэлектриков, точки плавления, пиро-и пьезоэлектричества, Sitzber. Akad. Wiss. Wien (math.-naturw. KI.) 121, 1937 (1912).
Slater J. С., Теория фазовых превращений в КН2РО4, Journ. Chem Phys. 9. 16—33 (1941).
U.b belohde A. R. и Woodward L., Изотопический эффект в дигидрофосфате калия. Nature 144, 632 (1939).
Wei P’ei Hsiu, Структура а-кварца, Zs. f. Kristallographie 92, 355—362 (1935).
Wyckoff R. W. G., Кристаллическая структура высокотемпературной (ft) модификации кварца, Amer. Journ. Sci. 11, 101—112 (1926); Критерии гексагональных пространственных групп и кристаллическая структура Р-кварца, Zs. f. Kristallographie 63, 507—537 (1926).
. О -Мы . не -пытались составить полный список литературы, относящейся к затронутым в настоящей главе вопросам. Приводимые здесь книги и журнальные статьи представляют собой-выборку из литературы, оказавшейся наиболее полезной при подготовке этой главы.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
§ 547. При обсуждении свойств сегнетовой соли и других сегнетоэлектриков в гл. XX—XXVII часто упоминалось об аналогиях между этими диэлектрическими явлениями й магнитными свойствами веществ, подобных железу. Здесь в качестве «заднего плана» этого обсуждения приводятся соответствующие главные характерные черты теории парамагнетизма и ферромагнетизма ’). Основной 'упор делается на зависимость магнитных свойств от температуры, особенно по отношению к точке Кюри, и от природы тех маленьких участков спонтанного намагничивания, которые известны под названием «областей спонтанной ориентации». Мы рассмотрим некоторые влияния, оказываемые механической деформацией на магнитные свойства, а также магнитный гистерезис. Для более подробного ознакомления с теорией ферромагнетизма можно обратиться к литературе, цитируемой в подстрочных примечаниях.
Со времен старой теории Вебера и успешной попытки Эвинга качественно объяснить остаточный магнетизм и гистерезис с помощью модели микроскопических элементарных магнитов, в основу математического оформления изучаемого материала положены уравнения Г. Лоренца для внутреннего поля (§ 113), которые одинаково приложимы к диэлектрикам <и к магнитным веществам. В то же время П. Кюри экспериментально установил закон зависимости восприимчивости парамагнетиков от температуры (известный теперь под именем закона Кюри) и произвел свое знаменитое исследование температуры перехода из ферромагнитного‘состояния в парамагнитное (точка Кюри), которая для железа лежит около 770°С.
Закон Кюри в его первоначальной форме выражал зависимость между удельной восприимчивостью и абсолютной температурой Т с помощью уравнения km = =С]Т. где С — константа* 2).
Для многих веществ найдено, что эта зависимость более точно выражается соотношением krn=C'(T—0), где константа В является для парамагнитных веществ небольшой положительной или отрицательной величиной. Положительное 6 предполагает возможность ферромагнитного состояния; в ферромагнитных металлах имеет относительно большие положительные значения.
§ 548. Папамагнетизм. Современная теория парамагнетизма разработана главным образом Ланжевеном. По Ланжевену, степень намагничивания парамагнитного вещества выражается отношением у-,ф., где р. — магнитный момент элементарного диполя и р — среднее значение составляющей р- по направлению наложенного поля3). Из классической статистической механики Ланжевен нашел выражение для как функции величины p-FiKT. Числителем этой величины является мера направляющего влияния молекулярного поля F, действующего на диполь, а знаменатель (К = = 1,37-10=16 эрг • град.—1—константа Больцмана, Т— абсолютная температура) является мерой стремления диполей оставаться в состоянии беспорядка под действием термического возбуждения. Для парамагнитных веществ, находящихся при обычных условиях, F практически идентично с напряженностью поля Н.
’) По теории ферромагнетизма см., например: С. В. Вонсовский, Ферромагнетизм М. — Л., 1948; Н. С. Акулов. Ферромагнетизм, М. — Л., 1940; Ф. Блох, Молекулярная теория магнетизма, М. — Л., 1938; Р. Беккер, Электронная теория, М. — Л., 1936; F. Bitter, Introduction to Ferromagnetism, N. Y., 1937. {Прим, ped.)
2) Обычно узаконивают применение символа k для объемной восприимчивости, определяемой как магнитный момент единицы объема, деленный на напряженность поля. Закон Кюри обычно выражается с помощью удельной восприимчивости, определяемой какх = ^Р. Так как в настоящей книге символ Y используется для обратной величины Диэлектрической восприимчивости, то удельную магнитную восприимчивость мы будем обозначать k.„.
3) Символ ц нельзя смешивать с магнитной проницаемостью — величиной, в которой не существует надобности в нашем изложении.
Ферромагнетизм
681
Обозначая y-F/KT через а, получаем уравнение Ланжевена для парамагнетиков, в котором символ L используется для обозначения функции Ланжевена:
= A(a)=ctgh а (556)
где Io = N[i —значение насыщения интенсивности намагничения / = Ар. (магнитный момент в единичном объеме); N — число диполей в кубическом сантиметре. Уравнение (556) справедливо как для парамагнитных, так и для ферромагнитных веществ, а также и для диэлектриков. Оно графически представлено на фиг. 163.
Если а < 1, что обычно имеет место в случае парамагнитных веществ, уравнение (556) может быть записано в приближенной форме:
' 1 z. 1 1 ,
T=V~ia~T5a <556а>
Малость а означает, что в парамагнитных явлениях, по крайней мере при обыкновенных полях и температурах, эффект действия теплового движения велик по сравнению с направляющей силой магнитного поля. Управление (556) и фиг. 163 указывают на приближение к насыщению при чрезвычайно больших полях. Этот эффект обнаружен в сульфате гадолиния.
Важно отметить, что форма функции Ланжевена в уравнениях (556) и (556а) основана на предположении, что в отсутствии внешнего поля все ориентации диполей равновероятны. Если предполагается пространственное квантование направлений диполей, это допущение больше не имеет силы, и функция должна быть видоизменена. Тогда мы обратимся к форме функции, представленной в § 552. В границах же общих основ ферромагнитной теории достаточно принять функцию Ланжевена в ее первоначальной форме.
§ 549. Ферромагнетизм. Ланжевеновская теория парамагнетиков была применена Дебаем к его теории электрических диполей. Перейдем теперь к воззрениям Вейсса, чья теория ферромагнетизма в соединении с дебаевской теорией диполей стала основой теории сегнетовой соли.
Теория Ланжевена имела дело только со слабо намагничивающимися веществами, для которых можно допустить, что магнитные диполи не взаимодействуют друг с другом, но, подобно молекулам газа, могут легко ориентироваться в поле Н, несмотря на то, что они подвержены, кроме того, действию термического возбуждения. Теории требует безграничного возрастания магнитной восприимчивости с понижением температуры — это заключение подтверждается экспериментально, по крайней мере до самых низких температур, достижимых в настоящее время. Главными проблемами, с которыми столкнулся Вейсс, были: объяснение высокой намагничиваемости ферромагнитных материалов и объяснение существования высоких температур Кюри, при которых вещество переходит из ферромагнитного в парамагнитное состояние. Он сделал важное предположение, что эффективная напряженность магнитного поля F, действующая, на элементарную магнитную частицу, выражается уравнением
F = H+^I, (557)
В котором 7—вейссова постоянная молекулярного поля, достигающая величины нескольких тысяч, вместо того чтобы иметь порядок 4л/3, как в диэлектриках (§ 113) или в диамагнитных веществах. В теории ферромагнетиков 7 иногда рассматривается как имеющая различные значения по различным направлениям в кристалле. В § 485 указано, что то же самое справедливо для сегнетовой соли. Для нашей цели мы можем пренебречь возможной анизотропией/.
Величина F при обычных условиях определяется главным образом вторым членом, который пропорционален интенсивности уже существующего намагничивания /’). Коэфициент у имеет одно и то же значение в пара- и ферромагнитной обл астях.
Требование того, чтобы 7 было большим, вытекает из высокой поляризации, возникающей в ферромагнитных материалах уже при наложении полей средней силы. Это доказывает, что такие поля должны быть способны ориентировать магнитные диполи в очень значительной степени. Это возможно только в том случае, если в ланжевеновском параметре а величина м F не слишком мала по сравнению с КТ. Если взять, например, железо, то и- можно приписать пооядок величины 2-10—20. Так как при комнатной температуре КТ=4 10~эрг, то F должно иметь порядок
’> Мы будем называть / также магнитной поляризацией или просто поляризацией.
682
Приложение
величины 2-106 эрстед. Подставляя это значение в уравнение (557) вместе с характерным значением 2000 для / (Н относительно мало), видим, что 7 должна иметь порядок по крайней мере 1000.
Это аномально большое значение 7 оставалось без теоретического объяснения до 1928 г., когда Гейзенберг приписал его происхождение действию обменных сил, аналогичных тем, которые имеют место в теооии молекулярной связи. За элементарный магнит принимается спиновый магнитный момент электрона, равный одному маг-1|етону Бора О. Согласно квантовой механике, спины в соседних атомах 'должны быть или параллельны, или антипараллельны. В ферромагнитных материалах относительные расстояния и расположение электронов в атоме и расстояние между атомами таковы, что спины и заряды электронов могут действовать друг на друга, пока не приведут к параллельной ориентации. Электроны, ответственные за электромагнетизм, всегда принадлежат к незаполненным оболочкам.
Гейзенберг находит, что эти обменные силы («силы взаимодействия») обеспечивают молекулярному полю F величину, достаточную для преодоления термического возбуждения, и таким образом объясняют явление ферромагнетизма. F можно, следовательно, представить себе как эквивалентные магнитному полю параллельных спинов силы, устанавливающие спины параллельно и имеющие скорее электростатическое, чем магнитное происхождение. В парамагнитных материалах электроны, конечно, также обладают спинами, но обменные силы незначительны и поляризация вызвана всецело правильным расположением магнитных диполей под действием магнитного поля. Чисто магнитные силы взаимодействия между диполями очень слабы; с другой стороны, как указано в гл. XXVI, электрические силы взаимодействия диполей в сегнетоэлектриках достаточны для полного объяснения сильного внутреннего поля.
§ 550. Следуя изложению Вейсса, заменяем 1 в уравнении (557) его эквивален-
том и N, где N— число элементарных магнитов (диполей) в единице объема. Если затем обе части уравнения (557) разделить на 7;-»- V, a F заменить на KTahf, то
Фиг. 163. Функция Ланжевена. Кривая L есть график уравнения (556). Линии Wp и Wf построены по уравнению (558). Их наклон зависит от Т, тогда как отрезки, отсекаемые ими от оси ординат, пропорциональны Н.
КТ Н
fj. ~ 7^.2 • <558>
Аналитически, путем использования (557) и выражения / =•> N, можно избавиться от уравнений (556) и (558), в то время как;-1/р- или 1 могут быть выражены прямо через Н,р. , Г и 7. Процедура аналогична упомянутой в § 484 в случае сегнетоэлектриков. Проще и более наглядно использовать обычный графический метод, иллюстрированный фиг. 163. На этой фигуре кривая представляет функцию Ланжевена, тогда как прямые и W/, построенные согласно (558), проводятся для температур, отвечающих соответственно случаям парамагнетизма и ферромагнетизма. Для краткости, линии, определяемые уравнением (558), называем линиями Вейсса. Линия Wf проводится через начало координат для того, чтобы изобразить состояние при //'=0. Уравнение (556а) показывает, что у начала координат, где а = F/КТ стремится к нулю, наклон кривой равен ’/з-
Значение р/р и, следователь-
но, интенсивность намагничивания при любых данных условиях определяются пересечением прямой линии с кривой. Чем выше температура, тем больше наклон КТ/ ^р2 прямой линии, данной уравнением (558).
Ч Обсуждение .теории Гейзенберга. . можно . найти . в литературе, указанной в § 547 и литературной ссылке [651].
Ферромагнетизм 683
Для наклонов, превышающих 1/3, вещество парамагнитно (линия Wр ). Отрезок Oh—H/^N^. представляет собой наложенное поле, величина р- соответствует точке Р. Если бы Н равнялось нулю, прямая соприкасалась бы с кривой только в начале координат, в котором [л =0, указывая, что парамагнитные материалы в отсутствии внешнего поляризующего поля не поляризованы.
Когда температура понижается от высоких значений, для которых вещество парамагнитно, наклон линий Вейсса, уменьшается и, начиная с некоторой критической температуры, линии для Н=0 начинают пересекать кривую Ланжевена в точках по ту сторону начала координат. Ниже критической температуры материал имеет ферромагнитные свойства и характеризуется спонтанным намагничиванием. больше не исчезает в отсутствии внешнего поля. Например, спонтанное намагничивание для температуры, соответствующей линии Wf, определяется точкой Р'.
Критическая температура, называемая температурой Кюри и обозначаемая через 6, может быть определена, если коэфициент а в уравнении (558) приравнять '/з, т. е. наклону кривой Ланжевена в начале координат. Отсюда
Для железа 6~ 770°, в то время как у ~ 3500.
Согласно (559), высокие значения точек Кюри для ферромагнитных веществ вызваны высоким значением у. Для парамагнитных материалов, у которых у имеет порядок 4те/3, точка Кюри, если она вообще существует, может быть обнаружена при предельном приближении к абсолютному нулю температуры.
Дебай предсказал, что такие материалы при очень низких температурах должны делаться ферромагнитными. Недавно Кюрти, Ленэ и Симон1) нашли такое превращение у железных квасцов. Это соединение обнаруживает гистерезис и характерные аномалии удельной теплоемкости (§ 556) при температурах ниже 0,034°К, которая рассматривается как точка Кюри.
§551. Закон Кюри—Вейсса. Рассмотрим следующее характерное уравнение, играющее, кроме того, роль в теории сегнетовой соли. При температурах, достаточно превышающих точку Кюри, вторым членом в правой части уравнения (556а) при обычно достижимых полях можно пренебречь, и тогда из (556а), (558) и (559) следует: _
7 = ЗК(Г—б) ’ (56°)
и для удельной восприимчивости имеет место закон Кюри — Вейсса: ~N р2дг о
Кп1=~ н = (М7-_ 0) = 7(Г-0) ' (561)
Линейная зависимость, выраженная уравнением (561), изображена прямой линией на фиг. 164. Этот закон обычно пишется в форме, упомянутой в § 547, т. е. Кт =С/(Т — 9). Значение!), удовлетворяющее этому уравнению для значений km, наблюдаемых в ферромагнитных материалах выше точки Кюри, часто на несколько градусов отличается от действительной точки перехода, при которой исчезает ферромагнетизм. Уравнение (560) показывает, что при таких высоких температурах поляризация линейно изменяется с изменением Н. С другой стороны, при температурах, только немного превышающих точку Кюри, зависимость поляризации от напряженности поля нелинейна. Для температур ниже точки Кюри уравнению (561) соответствует ур-авнение (566).
Наиболее примечательно то, что (561) предсказывает бесконечную восприимчивость в точке Кюри, где Г—0 . В'этой точке действительно наблюдается острый и очень высокий максимум. Выше точки Кюри термическое возбуждение преобладает над обменными силами и значение a=y.FlKT в уравнениях (556) и (556а) относительно мало. Состояние беспорядка сменяется состоянием относительной упорядоченности ниже точки Кюри, где преобладает внутреннее поле. Вблизи критической температуры существует узкая область неустойчивости, где очень малая напряженность наложенного поля может вызвать большой поворот диполей. В этом состоит физическое объяснение крутого подъема восприимчивости у точки Кюри. При этой критической температуре слово «восприимчивость» в обычном понимании теряет смысл. В наблюдаемых же магнитных явлениях ни при какой температуре не происходит
ON. Kurti, Р. Laine et F. Simon, -Compt. rend. 204, 675—677, 754—756 (1937).
684
Приложение
внезапных изменений. Действительно, точка Кюри обычно находится экстраполяцией измерений восприимчивости или магнетокалорического эффекта при температурах, значительно удаленных от этой критической температуры, и поэтому до некоторой степени зависит от температуры, при которой были сделаны наблюдения.
Вообще можно сказать, что важнейшим свойством ферромагнитных материалов является спонтанная поляризация, исчезающая выше некоторой • критической температуры. Из этой предпосылки следуют в логической последовательности все другие особенности. В этом состоит также сущность аналогии с сегнетовой солью.
§ 552. Обобщение функции Ланжевена. Выражение «функция Ланжевена» приложимо вообще к любой функциональной зависимости, связывающей а из уравнения (556) с р/р- . Число вариаций первоначальной функции ограничивается определенными условиями квантования направлений. Действительно, из всего семейства уравнений (556) таково, что для него квантовое число равно бесконечности и ориентации диполей ничем не ограничены.
В наиболее общем виде наша функция может быть написана так:
£л(д)= '
и А»
v $_ е (Sin)а
Zj п
s-=—n
2 е (s!n)a s= —п
(s=—п,—п+1, —/г+2, . . . ,п).
где a=pF/KT и I \j., п—квантовое число, могущее быть любым целым числом, умноженным на !/г- Для п— оо это выражение сводится к уравнению (556), тогда как для п—’/г оно соответствует параллельной или антипар аллельной ориентации в одном единственном направлении.
Для любой формы поляризационной функции, если она разлагается в степенной ряд, два первых члена всегда могут быть написаны в виде ра—qa3, где р и q— постоянные коэфициенты. Легко доказать, что коэфициент р, являющийся начальным
1 । 1
наклоном кривой, выражается через п с помощью уравнения Например,
если п—\ (§ 484), то р=1 и q= § •
Для а 1 можно поэтому написать следующее приближенное уравнение, специальным случаем которого является уравнение (556а)—первоначальная функция Ланжевена:
f- = —=Ln (d)—pa—qa3. (562)
7о 'х
В уравнении (556а) коэфициенты р и q равны соответственно $ и у,.
Мы будем рассматривать только общее выражение для закона Кюри — Вейсса при слабых полях и температурах вблизи точки Кюри. Наши рассуждения имеют отношение к сегнетоэлектрическим явлениям так же, как и ,к магнетизму.
а) Легко доказать, что выше точки Кюри вне области, для которой действительно уравнение (562), функция Ланжевена имеет вид
I р. [)Н
70 = 7 =РК(Т~й)
(563)
Это уравнение является обобщенной формой уравнения (560). Легко видеть, что объединение уравнения Вейсса (557) с любой формой функции Ланжевена (т. е. с любыми значениями р и q в кубическом уравнении (562), связывающем интенсивность намагничивания I с молекулярным полем F) приводит к закону Кюри — Вейсса выше точки Кюри. Из
1 km.
Последняя часть формулы
пение (561), иллюстрируется прямой линией на фиг. 164.
б) В точке Кюри обобщенной формой уравнения (559) является
находим
величину
восприимчивости:
Т—6 =7-0-.
Н K(T-V)
= +V = следует из (565). Это отношение, так
(561)
же как и урав-
ж
(565)
Ферромагнетизм
685
9
Фиг. 164. Обратная величина начальной магнитной восприимчивости вблизи точки Кюри.
Для любой данной функции Ланжевена следует, что найденная для р- (или для 7 ) величина должна зависеть от р.
в) Ниже точки Кюри имеет место закон Кюри — Вейсса, действительный для малых значений Н (это условие вызывается тем обстоятельством, что ниже точки Кюри явление насыщения при* больших Н делает восприимчивость функцией Н) для температур не намного ниже точки Кюри. Найдем выражение для начальной восприимчивости k° Она равна д!/дН при Я->0. и для ее нахождения следует взять производную от уравнения (562). Тогда из уравнений (557), (558) и (565) находим:
Лот~27 ЗТ-29 • (5 )
В“ противоположность зависимости, имеющей место при Т > 9 , это уравнение выражает нелинейную зависимость от Т и представлено кривой на фиг. 164. Подобно (561), оно не зависит от специальной формы функции Ланжевена. Должно быть отмечено, что уравнение (566) действительно только для температур, немного меньших 6, и, кроме того, оно характеризует одну обособленную область спонтанной ориентации, являясь недостаточным для точного согласования с наблюдаемыми величинами.
.Наиболее интересным с точки зрения сегнетоэлектрической аналогии является сходство фиг. 164 с фиг. 118, особенно в том, что касается относительных наклонов прямой выше и ниже точки Кюри в непосредственной к ней близости. Согласно (566), начальный наклон при Т — для кривой в левой части фиг. 164 равен — 2 численно розно вдвое больше, чем при Т > 6, и не зависит от специальной формы функции «Ланжевена.
Вопрос, каким образом теория областей спонтанной ориентации объясняет высокие наблюдаемые значения магнитной восприимчивости ферромагнитных материалов, будет рассмотрен ниже.
'§ 553. Области спонтанной ориентации. Ни изложенная выше в общих чертах теория Вейсса, ни теория Гейзенберга не предсказывают существования дискретных областей спонтанной ориентации. Необходимо было объяснить высокое намагничивание железа и то обстоятельство, что ненамагниченное железо не обнаруживает внешней полярности. С этой целью Вейсс сделал дополнительное предположение, что железо состоит из маленьких участков, каждый из которых намагничен до предела насыщения, зависящего только от температуры, причем полярности участков имеют случайные ориентации в отсутствии намагничивающего поля. В настоящее время имеется убедительное доказательство их реальности. Их происхождение является объектом множества догадок, особенно в отношении проблемы вторичной кристаллической структуры и конфигурации с минимальной энергией.
Что касается железа, то в настоящее время существуют данные, указывающие, что каждое из кристаллических зерен, составляющих обыкновенное железо, состоит из микроскопических областей спонтанной ориентации, имеющих объем порядка 10~« см3 и содержащих от 1014 до 1015 атомов 0. Три кубические оси железа являются «направлениями легкого намагничивания», и в каждой области спонтанной ориентации спины, связанные с различными атомами, стремятся стать рядами параллельно одному из этих направлений, согласно теории Гейзенберга. Результатом является спонтанная поляризация. В поликристаллическом материале отдельные кристаллы сами имеют случайные ориентации. ‘
Спонтанная поляризация внутри каждой области спонтанной ориентации, равная нулю при температуре Кюри, сначала быстро возрастает с уменьшением температуры и затем постепенно приближается к величине насыщения при 0°К, где все атомы ориентированы одинаково.
Функция Ланжевена [уравнение (556)] приложима только к одной индивидуальной единичной области спонтанной ориентации. Для железа при комнатной температуре поляризация такой области недалека от полного насыщения. Это состояние представлено точкой Р' на фиг. 163. Если теперь наложить намагничивающее поле Н, представленное отрезком Oh" на фиг. 163, поляризация возрастает от Р' до Р". Это приращение мало благодаря уже существующей высокой поляризации, а также
О R. М. Bozorth, Bell System Techn. Journ. 19, 1—39 (1940).
686 Приложение
из-за того, что расстояние Oh" в том масштабе, в котором начерчены такие диаграммы, очень мало даже для больших наложенных полей. Из этих соображений следует, что, за исключением окрестностей точки Кюри, восприимчивость единичной области спонтанной ориентации очень низка. Наблюдаемая высокая проницаемость ферромагнитных веществ не является поэтому свойством области спонтанной ориентации, а вызвана, как будет разъяснено в § 555, переменами в направлениях поляризации этих областей.
Как было видно в § 521, такая структура в случае сегнетовой соли может быть исследована с поверхности опылением только что нагретого кристалла порошкообразной серой и свинцовым суриком. Существует некоторое сходство между этим способом и современной экспериментальной техникой, примененной Биттером и другими и состоящей в осаждении высокодисперсного ферромагнитного порошка в коллоидальном состоянии на поверхность ферромагнитного вещества. Этот метод обнаруживает чрезвычайную сложность кристаллической структуры, причем размеры тончайших деталей этой структуры согласуются с теми, которые на других основаниях приписываются магнитным областям спонтанной ориентации. Типичная магнитная область спонтанной ориентации, повидимому, существует в виде вытянутой палочки или тонкой пластинки. То обстоятельство, что в опытах с сегнетовой солью должно применяться изменение температуры (пироэлектрический эффект), тогда как при исследовании магнетизма в этом нет необходимости, вызывается, конечно, электрической проводимостью в кристалле соли, которая, если температура остается неизменной, вскоре вызывает появление компенсирующих зарядов, маскирующих заряды, создаваемые спонтанной поляризацией. Ничего похожего нет в явлениях магнетизма.
Когда мы переходим от рассмотрения единичной области спонтанной ориентации к рассмотрению агрегата многих областей, что необходимо для объяснения формы кривых намагничивания и гистерезиса, мы не можем больше пользоваться одной только функцией Ланжевена. Ее значение в теории ферромагнетизма, так же как в теории сегнетовой соли, заключается главным образом в помощи, оказываемой ею в объяснении природы точки Кюри, которая несомненно является свойством области спонтанной ориентации.
§ 554. Магнетизм и деформация. Так же как в пьезоэлектрических кристаллах и особенно в сегнетовой соли диэлектрические свойства зависят от деформации, так и в ферромагнитных материалах магнетизм тесно связан с деформацией. Магнето-стрикционный эффект, открытый Джоулем, считается теперь деформацией области спонтанной ориентации под действием наложенного поля. Обратный эффект — изменение магнитных свойств при деформации материала — имеет большое значение для понимания природы намагничивания. На первый взгляд эти явления могут казаться аналогами соответственно обратного и прямого пьезоэлектрических эффектов. Правда, эти эффекты до некоторой степени аналогичны, но зависимость между деформацией и поляризацией как по величине, так и по направлению в магнитных явлениях гораздо более сложна.
Аналогом пьезоэлектричества является пьезомагнетизм, рассматриваемый в § 557. Этот линейный эффект теоретически отсутствует в кристаллах того класса, к которому принадлежит железо.
§ 555. Петля гистерезиса. Рассмотрим теперь вкратце форму кривых намагничивания и гистерезиса. Наблюдались поразительно похожие кривые электрической поляризации сегнетовой соли, что прежде всего и привело к идее «ферромагнитной аналогии». Простейшим возможным случаем является случай идеального кристалла, состоящего из единственной области спонтанной ориентации с единственной осью легкого намагничивания; восприимчивость вдоль других осей очень мала. Согласно теории Вей.сса, такой кристалл обладает перманентной спонтанной интенсивностью намагничивания /ь величина которой является функцией температуры, но не зависит от действующей Н, тогда как направление может быть либо положительным, либо отрицательным. Начиная с отрицательной Ц, имеем критическую Hi, при которой магнитная полярность внезапно меняется, как показано на фиг. 165. При действии поля, меняющего знак, появляется прямоугольная петля гистерезиса. Петли, приближающиеся к этой форме, наблюдались для некоторых кристаллов пирротита и для пермаллоя. В большом числе различных веществ были найдены различные степени магнитной анизотропии.
В большинстве ферромагнитных материалов имеется много областей спонтанной ориентации, полярности которых взаимно нейтрализуются, когда образец находится в размагниченном состоянии.
Как хорошо известно, в этом случае начальная кривая состоит нз трех частей, как изображено на фиг. 166. Форма первого участка. ОА. соответствующего «началь-
Ферромагнетизм
687
ной проницаемости», зависит от магнитострикционного эффекта между соседними областями спонтанной ориентации, ведущего при наложении слабого внешнего поля к росту числа тех областей, которые намагничены в направлении поля. Возрастание количества таких областей происходит за счет их соседей. Этот процесс называется «трансляциональной магнетизацией» (передающимся намагничиванием). Вдоль второго участка, АВ, направления спонтанного намагничивания группы областей спонтанной ориентации изменяются скачкообразно от одного стабильного положения к Другому, доказательством чего служит эффект Баркгаузена. При приближении к насыщению мы имеем дело с третьим участком, ВС, где при действии большой И направление поляризации каждой области отклоняется от направления легкого намагничивания и устанавливается более или менее параллельно направлению И. По аналогии можно считать, что в сегнетовой соли направление спонтанного на-
Фиг. 166. Типичная кривая намагничивания и петля гистерезиса.
фиг. 165. Три фазы намагничивания в идеальном ферромагнитном кристалле.
магничивания действительно изменяется на обратное в сильных полях, хотя для сегнетовой соли имеется указание, что этот обратный ход является только временным. В противоположность железу, сегнетова соль имеет только одну ось легкой поляризации и ее области спонтанной поляризации имеют громадные размеры по сравнению с областями ферромагнитных веществ.
Форма петли гистерезиса, полученной при переменном магнитном поле, подобная форме начальной кривой, сильно изменяется при изменении химического состава, при термической обработке, под действием внешних и внутренних напряжений и других факторов. В монокристаллах играет роль также направление поля по отношению к осям кристалла. Баркгаузеновские скачки, имеющие место на крутых участках кривой, находят простое объяснение в рамках теории областей спонтанной ориентации. В согласии с теорией находится и то, что изменение намагничивания с температурой происходит плавно. Полезной характеристикой магнитных свойств является коэрцитивная сила, представленная на фиг. 166 отрезками OD и OD', которую считают зависящей от неоднородной деформации. Например, пермаллой, имеющий состав FeNia, имеет коэрцитивную силу порядка только 0,05 эрстед, тогда как для его проницаемости, благодаря отсутствию внутренних деформаций, наблюдались значения свыше 1 000 000. Хотя воздействие механической деформации на магнитное состояние весьма сложно и затрагивает соображения, не связанные с диэлектрическими явлениями, однако оно выявляет удивительную аналогию между ферромагнитными и сегнетоэлектрическими веществами.
§ 556. Существует два тесно связанных между собой термических эффекта, играющих важную роль в теории ферромагнетиков, нечто подобное которым имеет место в случае сегнетовой соли. Первым является аномалия теплоемкости железа, приводимая теорией в связь с изменением спонтанной поляризации с температурой. Вейсс и его сотрудники обнаружили, что она имеет резкий максимум в точке Кюри. Вторым является магнетокалорический эффект, также открытый Вейссом. Он состоит в небольшом росте температуры при наложении магнитного поля, и обратно — в изменении магнитного момента с температурой. Последнее явление аналогично пироэлектрическому эффекту, тогда как первое соответствует электрокалорическому эффекту, рассмотренному в § 523. За магнитный аналог любого пироэлектрического
688
Приложение
кристалла можно взять либо единичную область спонтанной ориентации, либо постоянный магнит.
Изменение температуры при наложении намагничивающего поля характерно как для ферромагнитных, так и для парамагнитных веществ. Действительно, для некоторых парамагнитных веществ имеет место падение температуры при исчезновении намагничивающего поля, что используется теперь для достижения температур, близких к абсолютному нулю. Согласие между теорией магнетокалорического эффекта и экспериментальными результатами является убедительным доказательством правильности идеи Вейсса о внутреннем поле. Из экспериментальных результатов получены очень надежные значения константы внутреннего поля у и температуры Кюри. ,
§ 557. Пьезомагнетизм. Ввиду теоретического интереса, возбуждаемого пьезомагнетизмом, и ввиду его аналогии с пьезоэлектричеством мы кратко коснемся этого предмета. Пьезомагнетизм определяется зависимостью между аксиальным вектором Н и симметричным тензором упругости. С помощью метода термодинамического потенциала Фогт1) вывел основные уравнения для пьезомагнитных «констант» п и «модулей» т. Они аналогичны пьезоэлектрическим константам и модулям е и d. Однако матрицы для различных кристаллических классов отличаются от пьезоэлектрических матриц и принадлежат к матрицам для групп упругости; они включают в себя все классы, за исключением № 29, 31 и 32. Теория Фогта предполагает, что изменения молекулярной ориентации, вызванные деформацией, сопровождаются небольшой поляризацией,
Фогт предпринял экспериментальную проверку своей теории на кварце и пирите: ожидаемый эффект был меньше, чем ошибки наблюдения, так что мог быть установлен только верхний предел величин коэфициентов.
’) «Физика кристаллов», стр. 938.
ОБЩАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
Библиография разделена на две части.
В первой содержатся статьи из периодической печати. Она была бы много длиннее, если бы содержала всю литературу, имеющую отношение к предмету данной книги, в том числе сообщения из различной технической, популярной и радиотехнической периодики, отчеты научных и технических конгрессов и ежегодные отчеты лабораторий. Во второй части помещен список книг, на большинство которых были сделаны ссылки в тексте.
В конце некоторых глав приведены списки литературы, сгруппированные по отдельным вопросам и снабженные подзаголовками. Эти списки частично содержат в себе повторение названий, помещенных в общей библиографии, частично же в них помещены книги и статьи по 'тем специальным темам, о которых трактует данная глава.
Полная библиография по пьезоэлектричеству была опубликована автором в 1928 г. [99]. Значительная часть содержащейся в ней литературы здесь опущена. Сохранены указания на литературу, имеющую большой исторический интерес, а также на ту, на которую сделаны ссылки в тексте.
Библиография 1928 г. содержала также список патентов, касающихся данного предмета. С тех пор в разных странах появилось множество патентов, касающихся .как изобретений, имеющих большое значение, так и незначительных деталей. Некоторые из них упомянуты в тексте.
ЖУРНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
1. Ackerman W., Зависимость пироэлектричества от температуры, Ann. d. Phys. 46, 197—220 (1915).
2. Amari S., Об измерении частоты коротковолновых передатчиков, стабилизованных кварцем. Rep. Radio Researches a. Works Japan 6, 9 (1936).
3. A n d e r s о n J. F., Частотные характеристики пьезогенераторов, 'Electironics 11, 22—24 (1938).
4. Андреев А., Фредерикс В. и Казарновский Я., Зависимость диэлектрических постоянных кварца от температуры, Zs. f. Phys. 54, 477—483 (1929).
5. A n g г i s а п о G., Экспериментальное устройство для получения резонансных кривых пьезоэлектрических резонаторов, L’Elettrotechnica (Milan) 17, 678—679. (1930).
6. Анцелович Е. С„ О стабильности генераторов, Изв. электропром. сл. тока № 6, 28—39 (1935).
7. Анцелович Е. С., Устойчивость частоты ламповых генераторов, стабилизуемых кварцем, Изв. электропром. сл. тока № 9, 1—9 (1935).
8. Архангельская А., Измерение параметров кварцевых пластинок, Изв. электропром. сл. тока № 8—9, 28—35 (1938).
9. Arnulf А., Обследование необработанных кристаллов кварца иммерсией,
Rev. d’optique 10, 453—473 (1931).
10. А г х А. и В a n 11 е W., Поляризация и теплоемкость КН2РО4, Helv.
Phys. Acta 16, 211-214 (1943).
11. Агх А. и Bantie W., Обратный пьезоэлектрический эффект в КН2РО4, Helv. Phys. Acta, 16, 416—418 (1943).
12. Atanasoff J. V. и Hart, Динамическое определение упругих констант кварца и их температурных коэфициентов, Phys. Rev. 59, 85—96 (1941).
13. A t a n a s о f f J. V. и Kammer E., Определение упругой константы бета-кварца, Phys. Rev. 59, 97—99 (1941).
14. A wend er H. и Bussman Е., Гетеродинный адаптер для волны 1,6 м с кристаллической стабилизацией и без нее, Funktech. Monatshefte No. 12, 441—442 (1936).
44 Кэди
690
Общая библиография
15. Bahrs S. и Engl J., О пьезоэлектрическом эффекте у кристаллов хлористого аммония с точкой перехода при 30,5°, Zs. f. Phys, 105, 470—477 (1937).
16. Baldwin C. F., Кристаллы кварца, G. Е. Rev. 43, 188—194* 237—243 (1940).
17. Bald win C. F., Применение кристаллов кварца в радиотехнике, Communications 22, 20 (октябрь 1942).
18. Baldwin С. F. и Bokovoy S. А., Практические преимущества работы с кристаллами, имеющими низкий температурный коэфициент частоты, QST Amer. 19, 26, 27, 92 (январь 1935).
19. В а 1 z е г К-, К проблеме многоволнистости пьезоэлектрических кварцевых пластинок, Zs. f. techn. Phys. 18, 169—170 (1937).
20. Bancroft D., Влияние гидростатического давления на 'восприимчивость сегнетовой соли, Phys. Rev. 53, 587—590 (1938).
21. Bancroft D., Скорость продольных волн в цилиндрических брусках, Phys. Rev. 59, 588—593 (1941).
22. В a n 11 е W., Теплоемкость сегнетоэлектриков. Диэлектрические измерения на кристаллах KD2PO4, Helv. Phys. Acta 15, 373—404 (1942).
23. В a n 11 е W-, Искусственные кристаллы КН2РО4 в качестве стабилизаторов частоты, Helv. Phys. Acta. 16, 207—209 (1943).
24. В a n 11 е W. и Busch G., Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли, Helv. Phys. Acta 10, 261—264 (1937).
25. Bantie W., Busch G., Lauterburg В. и Scherrer P., Спонтанный эффект Керра в кристаллах, Helv. Phys. Acta 15, 324—325 (1942).
26. Bantie W. и Cafldsch ,C., Пьезоэлектрический эффект в кристалле КН2РО4, родственном сегнетовой'соли, Helv. Phys. Acta 16, 235—250 (1943).
27. В a n 11 е W. и L й d у W., Упругие свойства сегнетоэлектриков, Helv. Phys. Acta 15, 325—327 (1942).
28. В a n 11 е W., Matthias В. и Scherrer Р., Зависимость пьезоэлектрических резонансных частот сегнетоэлектриков от напряженности поля, Helv. Phys. Acta 16, 209—211 (1943).
29. В a n 11 е W. и Scherrer Р., Аномалия теплоемкости КН2РО4 в верхней точке Кюри, Nature 143, 980 (1939).
30. Baumgardt Е., Скорость распространения упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах, Compt. rend. 206, ,1887—1890 (1938). ,
31. Bechmann R., Разработка кварцевой стабилизации для мощного передатчика Телефункен, Telefunken Zng. 14, 17—29 (1933).
32. Bechmann R., Температурные коэфициенты собственных частот пьезоэлектрических кварцевых пластинок и брусков, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 44, 145—160 (1934).
33. В e c h m a n n R., Кристаллическая стабилизация передатчиков, Wireless Eng. a. Exper. Wireless 11, 249—253 (1934).
34. Bechmann R., Измерение скорости звука в анизотропных средах, особенно в кварце, с помощью пьезоэлектрического возбуждения, Zs. f. Phys. 91, 670—678 (1934).
35. Bechmann R., Упругие колебания электрически возбуждаемых кварцевых пластинок, Zs. f. techn. Phys. 16, 525—528 (1935).
36. Bechmann R., Кварцевые генераторы, Telefunken Zng. 17, 36—45 (1936).
37. В e c h m a n n R., Кварцевые резонаторы, Telefunken Zng. 18, 5—15 (1937).
38. В e c h m a n n R., О схемах пьезоэлектрических кварцевых генераторов и резонаторов для стабилизации частоты и фильтров, Telefunken Hausmitt. 19, 60—69 (1938).
39. Bechmann R., Колебания по толщине кристаллических пластинок, возбуждав мых пьезоэлектрически, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 56, 14—21 (1940).
40. В е с h m a n n R., Упругие колебания анизотропного тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, Zs. f. Phys. 117, 180—197 (1941).
41. Bechmann R., Колебания по длине квадратных кварцевых пластинок. Zs. f. Phys. 118, 515—538 (1942).
42. В е dim ann R., Колебания по длине прямоугольных кварцевых пластинок. Zs. f. Phys. 120, 107—120 (1942).
43. Bechmann R., Свойства кварцевых генераторов и резонаторов в диапазоне от 300 до 5000 Hz, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 59, 97—105 (1942),
44. Bechmann R., Кварцевые, генераторы и резонаторы в диапазоне от 50 до 300 Hz, Hochfreq.-techn.» u. El.-akust. 61, 1—12 (1943).
45. В e c k e r H. E. R„ Реакция окружающей жидкости на колебания кварцевой пластинки, Ann. d. Phys. 25, 359—372 (1936).
46. Becker H. E. R., О механизме колебаний кварцевой пластинки в жидкостях, Ann. d. Phys. 26, 645—658 (1936).
Общая библиография
691
47. В е с к е г a t h Н., Колеблющийся кварц в технике связи, ч. I, Механические и электрические свойства колеблющегося кварца (обзор), Elektr. Nachr.-techn. 19, 45—62 (1942).
48> В е е v е г s С. А. и Hughes W., Кристаллическое строение сегнетовой соли, Proc. Roy. Soc. 177, 251—259 (1941).
49. Benojt J., Различные формы колебаний пьезоэлектрического кварца, L’Onde elec. 18, 22—36 (1938).
50. Benson J. E., Пьезоэлектрический калибратор, A. W. A. Techn. Rev. (Sydney) 5, 47—50 (1940).
51. Benson J. E., Формы колебаний и проектирование кварцевых срезов V для средних радиовещательных частот, A. W. A. Techn. Rev. (Sydeney) 6, 73—89 (1943).
52. Bergmann L., Простой метод обнаружения пьезоэлектрических свойств кристаллов, Phys. Zs. 36, 31—32 (1935); Zentralblatt f. Mineral. (A) 213—222 (1935).
53. Bergmann L., О собственных частотах пьезоэлектрических кварцевых пластинок, возбуждаемых по, толщине, Ann. d. Phys. 21, 553—563 (1935).
54. Biot А., Испытание кварцевых пластинок, вырезанных перпендикулярно оптической оси, Ann. soc. sci. Bruxelles 58, 98—100 (1938).
55. В 1 о о m e.n t h al S., Обратный пьезоэлектрический эффект в смешанных кристаллах, изоморфных с сегнетовой солью, Physics 4, 172—177 (1933).
56. В о el la М., О характеристике пьезогенератора в связи с резонансной кривой кварца, L’Elettrotechnica (Milan) 17, 672—678 (1930).
57. В о el la М., Влияние декремента кварца на частоту колебаний пьезогенер авторов, L’Elettrotechnica (Milan) 17, 734—736 (1930); Proc. Inst. Radio Eng. 19, 1252—1273 (1931).
58. В о e 11 a M., Пьезогенераторы с нейтрализацией кварца, Alta frequenza 8, 512—515 (1939).
59. Boguslawski S„ Теория диэлектриков; температурный коэфициент диэлектрической постоянной; пироэлектричество, Phys. Zs. 15, 283—288 (1914).
60. Boguslawski S., Пироэлектричество, Phys. Zs. 15, 569—572 (1914).
61. В о g u's 1 a w s k i S., Об измерениях температурного коэфициента пироэлектрического возбуждения, выполненных В. Аккерманом, Phys. Zs. 15, 805—810 (1914).
62. В о к о v о у S. А., Кристаллы кварца — приготовление и применение, Electjf. Commun. 21, 233—246 (1944).
63. Bond W. L., Фигуры травления кварца, Zs. f. Kristallographie, 99, 488—498 (1938).
64. В о n d W. L., Математика физических свойств кристаллов, Bell Syst Tech?i. Journ. 22, 1—72 (1943).
65. В о n d W. L., Обзор минералов, годных в качестве пьезоэлектрических материалов, Bell Syst. Techn. Journ. 22, 145—152 (1943).
66. Bond W. L., Методы обозначения ориентации кварцевого кристалла и ее определение оптическими средствами, Bell Syst. Techn. Journ. 22, 224—262 (1943)-
67. Bond W. L., Обработка кварца, Bell Laborat. Record 22, 359—361 (1944).
68. В о n d W. L. и Armstrong E. J., Применение рентгеновских лучей при определении ориентации кварцевых кристаллов, Bell Syst. Techn. Journ. 22, 293—337 (1943).
69. Booth C. F., Применения кварцевых кристаллов в связи, Journ. Inst. Ejectr. Eng. (England) 88, ч. 3, 97—128 ,(1941).
70. Booth C. F. и Dixon E. J. С., Кристаллические генераторы для радиопередатчиков; отчет об экспериментальной работе почтового ведомства, Wireless Eng. a. Exper. Wireless 12, 198—200 (1935).
71. Booth С. F. и Sayers С. F., Производство кварцевых резонаторов для системы коаксиальных кабелей Лондон—Бирмингам, Post Office Electr. Eng. Journ. 32, 7—15, 88—93 (1939).
72. В о r s a r e 11 i С., Новый пьезогенератор, Alta frequenza 5, 763—772 (1936).
73. В о s s h a r d W. и Busch G., Затухание пьезоэлектрических колебаний, Helv. Phys. Acta 10, 329—330 (1937); Zs. f. Phys. 108, 195—199 (1938).
74. Boyle R. W., Ультразвук, Science Progress 23, 75—105 (1928).
75. Bragg W. и Gibbs R. E., Структура альфа- и бета-кварца, Proc. Roy. Soc. 109, 405—427 (1925).
76. Brown H. А., Осциллограммы затухающих колебаний кварцевых пластинок и измерения Q при затухающих колебаниях, Proc. Inst. Radio Eng. 29, 195—199 (1941).
77. Brown S. L. и Harris S., Измерения температурного коэфициента и коэ-фип^иента давления кварцевых генераторов, Rev. Sci. Instr. 2, 180—183 (1931).
44
692 Общая библиография
78. Brown W. F., Jr., Интерпретация частот крутильных колебаний кристаллических образцов, Phys. Rev. 58, 998—1001 (1910).
79. Riicks К. и Muller Н., О некоторых наблюдениях колеблющихся пьезокварцевых пластинок и поле их акустического излучения, Zs. f. Phys.. 84, 76—86 (1933).
80. Builder G., Кварцевые кристаллы для стабилизации и измерения частоты, A. W. A. Techn. Rev. (Sydney) 2, 104—105 (1936).
81. Builder G., Заметки об определении эквивалентных электрических параметров кварцевого резонатора, A. W. A. Techn. Rev. (Sydney) 5, 41—45 (1940).
82. В u i 1 d е г G. и Benson J. E., Оборудование для точной стабилизации частоты с помощью кристаллов кварца, A. W. A. Techn. Rev. (Sydney) 3, 157—214 (1938); Proc. World Radio Convention Sydney. Australia (1938).
83. В u i 1 d e r G. и Benson J. E., Контурные колебания в кварцевых пластинках среза У, Proc. Inst. Radio Eng. 29, 182—185 (1941); A. W. A. Techn. Rev. (Sydney) 5, 181—189 (1941).
84 Builder G. и Benson J. E., Простые кварцевые фильтры с переменной полосой пропускания, A. W. A. Techn. Rev. (Sydney) 5, 93—103 (1941).
85. В u i s s о n H., Метод наблюдения оптической чистоты кристаллов кварца, Journ. de phys. et rad. 8, 25—31 (1919).
86. В u n i n g De С., Кристаллы кварца с низкими температурными коэфициентами, Radio-Centrum 1, 25—28 (1935).
87. Busch G., Аномальная дисперсия диэлектрических постоянных сегнетовой соли, Helv. Phys. Acta 6, 315—336 (1936).
88. Busch G. Новые сегнетоэлектрики, Helv. Phys. Acta 11, 269—298 (1938).
89. В u s c h G. и G a n z E., Диэлектрические измерения KH2PO4 и KHaAsCU при низких температурах, Helv. Phys. Acta 15, 501—508 (1942).
90. Busch G. и Scherrer P. Новый сегнетоэлектрик, Naturwiss 23, 737. (1935).
91. Cady W. G., Пьезоэлектрический резонатор (реферат), Phys. Rev. 17, 531 (1921).
92. C a d у W. G., Теория колебаний по длине вязких стержней, ' Phys. Rev. 19, 1—6 (1922).
93. С a d у W. G., Пьезоэлектрический резонатор, Proc. Inst. Radio Eng. 10, 83—114 (1922).
94. C a d у W. G., Метод испытания пластинок из пьезоэлектрических кристаллов, Journ. Opt. Soc. Amer. 6, 183—185 (1922).
95. C a d у W. G., Пьезоэлектрически возбуждаемые камертоны и стержни, Phys. Rev. 21, 371—372 (1923).
96. С a d у W. G., Международное сравнение эталонов длин радиоволн с помощью пьезоэлектрических резонаторов!, Proc. Jnst. Radio Eng. 12, 805—816 (1924).
97. Cady W. G., Пьезоэлектрические эталоны высокой частоты, Journ. Opt. Soc. Amer. ?10, 475—489 (1925).
98. Cady W. G., Колебания сдвига в кристаллах (реферат), Phys. Rev. 29, 617 (1927).
99. Cady W. G., Библиография по пьезоэлектричеству, Proc. Inst. Radio Eng. 16, 521—535 (1928).
100. Cady W. G., Некоторые электромеханические свойства кристаллов сегнетовой соли (реферат), Phys. Rev. 33, 278—279 (1929).
101. Cady W. G., Электроупругие и пироэлектрические явления, Proc. Inst. Radio Eng. 18, 1247—1262 (1930).
102. Cady W. G., Терминология пьезоэлектричества, Proc. Inst. Radio Eng. 18, 2136—2142 (1930).
103. Cady W. G., Низкочастотные колебания в пластинках сегнетовой соли и кварца (реферат), Phys. Rev. 39, 862 (1932).
104. Cady W. G., Кварцевый генератор с оптическим контролем, Compt. rend, congres intern, d'electr. 11, sec. 9, 40—48, Paris (1932).
105. Cady W. G., Применение методов геометрической инверсии к решению некоторых задач электрического резонанса, Proc. Amer. Acad. Arts Sci. 68, 383—409 (1933).
106. Cady W. G., Распределение потенциала между параллельными пластинками и концентрическими цилиндрами, вызываемого' произвольным распределением пространственного заряда, Physics 6, 10—13 (1935).
107. Cady W. G., Пьезоэлектрический резонатор и влияние зазора между электродами на частоту, Physics 7, 237—259 (1936).
108. Cady W. G., Продольный пьезоэлектрический эффект в кристаллах сегнетовой солц, Proc. Phys. Soc. 49, 646—653 (1937).
Общая библиография
693
109. Cady W. G., Обзор по пьезоэлектричеству, Amer. Phys. Teacher 6, 227—242 (1938).
110. C a d у W. G. и Van Dyke K. S., Предлагаемые стандартные условия для выражения упругих и пьезоэлектрических свойств правого и левого кварца, Proc. Inst. Radio Eng. 30, 495—499 (1942).
111. Chaikin S., О прямом методе измерения малых декрементов пьезоэлектрических резонаторов, Hochfeq.-techn. u. El.-akust. 35, 6—9 (1930).
112. Clay J. и Karp er J., Пьезоэлектрическая постоянная кварца, Physica 4, 311—315 (1937).
113. Cortez S. H., Интерферометрический метод измерения амплитуды колебаний кварцевых кристаллических брусков, Journ. Opt. Soc. Amer. 24, 127—129 (1934); исправление 24, 194 (1934).
114. Coster D., Knol K- S. и Prins J. А., Различие в интенсивности отражения рентгеновских лучей от двух граней (111) цинковой обманки, Zs. f. Phys. 63, 345—369 (1930).
«15. Crossley А., Передатчик, стабилизуемый пьезоэлектрическим кристаллом, Proc. Inst. Radio Eng. 15, 9—36 (1927).
116. Crossley А., Формы колебаний пьезоэлектрических кристаллов, Proc. Inst. Radio Eng. 16, 416—423 (1928).
117. Curie J. и Curie P., Образование полярного электричества шри сдавливании гемиэдрических кристаллов с косыми гранями, Bull. Soc. fran. de mineral.
3, 90—93 (1880).
118. Ch erm a k P., Об электрическом поведении кварца. Sitz-Ber. Akad. d. Wiss. Wien (math.-naturw'iss. KI) 96, 121’7—1244 (1887).
119. David R., Зависимость диэлектрических свойств сегнетовой соли от механических условий, Helv. Phys. Acta 8, 431—484 (1935).
120. Davies R. M„ Об определении некоторых упругих констант сегнетовой соли динамическим методом, Phil. Mag. 16, 97—124 (1933).
121. Dawson L. H., Пьезоэлектричество кристаллов кварца, Phys. Rev. 29, 532—541 (1927).
122. Debye Р. и Sears F. W., Рассеяние света ультразвуковыми волнами, 'Proc. Nat. Acad. Sci. 18, 409—414 (1932).
123. Dijl В. van, Применение исчисления Риччи к решению уравнений колебания пьезоэлектрического кварца, Physica 3, 317—326 (1936).
124. Doerffler Н„ Колебания изгиба и сдвига в пьезоэлектрически возбуждаемых кварцевых пластинках, Zs. f. Phys. 63, 30—53 (1930).
125. Doherty W. H., Синхронизованный частотно-модулированный передатчик, Freq. Modul. Mag. 1, 21—25 (1940).
126. Druesne M. А. А., Кристаллы кварца, Communications 23, 46 и далее (1943).
127. Dye D. W., Пьезоэлектрический кварцевый резонатор и эквивалентная электрическая схема, Proc. Phys. Soc. 38, 399—457; обсуждение 457—458 (1926).
128. Dye D. W., Формы колебаний кварцевых пьезоэлектрических пластинок, обнаруживаемые интерферометром, Proc. Roy. Soc. 138, 1—16 (1932).
129. Eccles W. H. и Leyshon W. А., Некоторые новые методы связывания механических и электрических колебаний. Proc. Phys. Soc. 40, 229—232 (1928).
130. Eichhorn К., Фотоупругие исследования пьезоэлектрически возбуждаемых колебаний изгиба кварцевых пластинок, Zs. f. Techn. Phvs., 17. 276—279 (1936).
131. Ekstein H., Свободные колебания анизотропных тел, Phys. Rev. 66, 108—118 (1944).
132. Engl J. и Leventer J. P.. О новом методе измерения пьезоэлектрического эффекта в кристаллических порошках, Ann. d. Phys. 29, 369—385 (1937); реферат см. Naturwiss. 24, 217—218 (1936).
133. Еремеев М. и Курчатов Б., Электрические свойства изоморфных кристаллов NaKC4H40e • 4Н9О и NaNH4C4H4O« • 4Н2О. Phys. Zs. d. Sowjetunion 3, 304—320 (1933); ЖЭТФ 2, 329—338 (1932).
134. Err er a J., Дисперсия волн Герца в твердых телах, Phys. Zs. 32, 369—373 (1931).
135. Essen L., Описание кварцевой стаблизации передатчика пои 1785 kHz. Journ. Inst. Electr. Eng. (England) 74. 595—597 (1934); Proc. Wireless Sec., Inst. Electr. Eng. (England) 9, 167—169 (1934).
136. Essen L.. Примеры электрического двойникования кварца, Journ. Sci. Instr. 12, 256—257 (1935).
137. Essen L., Колебания полых кварцевых цилиндров, Nature 135,4076 (1936).
138. Essen L., Кварцевый кольцевой генератор Дая в качестве эталона частоты и времени, Proc. Roy. Soc. 155, 498—519 (1936).
139. Essen L.. Новая форма эталона частоты и времени, Proc. Phys. Soc. 50, 413—423; обсуждение 423—426 (1938).
694
Общая библиография
140. Evans R. С., Диэлектрическая постоянная смешанных кристаллов натрцево-аммониевых и натриево-калиевых тартратов, Phil. Mag. 24, 70—79 (1937).
141. Fair J. E., Использование высоких гармоник кристалла для контроля генераторов, Bell Laborat. .Record 21, 237—242 (1943).
142. Fowler R. H., Теория вращения молекул в твердых телах и диэлектрические постоянные твердых и жидких тел, Proc. Roy. Soc. 149, 1—28 (1935).
143. Fox G. W. и Fink G. А., Пьезоэлектрические свойства кварца и турмалина Physics 5, 302—306 (1934).
144. F о х G. W. и H u 11 о n W. G., Экспериментальное .изучение параллельных срезов пьезоэлектрического кварца, Physics 2, 443—447 (1932).
145. Fox F. Е. и Rock G. D., Поле ультразвукового излучения кварцевого диска, излучающего в жидкие среды, Phys. Rev. 54, 223—228 (1938).
146. Fox F. E. и Rock G. D., Усовершенствованный ультразвуковой источник: оптическое исследование ультразвуковых волн в жидкостях, Rev. Sci. Instr 9, 341—345 (1938).
147. Fox F. Е. и R о c k G. D., Кварцевая пластинка, связанная с жидким* столбом, в качестве переменного резонатора, Proc. Inst. Radio Eng. 30, 29—33 (1942).
148. Fox G. W. и Underwoo'd M., О пьезоэлектрических свойствах турмалина, Physics 4, 10—13 (1933)
149. Frayn е J. G., Обратимая индуктивность кристаллов сегнетовой соли, Phys. Rev. 21, 348—359 (1923).
150. Фредерикс В. и Михайлов* Г., Зависимости пьезоэлектрической постоянной кварца от температуры, Zs. f. Phys. 76, 328—336 (1932).
151. Friedel G., О формах кристаллов кварца, Bull. Soc. Iran, de mineral 46, 79—95 (1923).
152. Fujimoto T., Об определении пьезоэлектрической константы кварцевого резонатора при высокой частоте, Proc. World Eng. Cong. Tokyo, paper 369, 399—416 (1929).
153. Galotti F., Светящиеся кварцевые резонаторы, Alta frequenza 6, 809—924 (1937).
154. Gaudefroy С., Ориентация кристаллов, особенно кварца, по фигурам травления, Compt. rend. 192, 1113—1116 (1931).
155. G a u g a i n J. M., Заметка об электричестве турмалина, Ann. de chim. et de phys. 57, 5—39 (1859).
156. Gerth F. и Ro chow H., Зависимость частоты кварцевых резонаторов от температуры, Elektr. Nachr.-techn. 5, 549—551 (1928).
157. Gibbs R. E., Структура альфа-кварца, Proc. Roy. Soc. 110, 443—455 (1926).
158. G i b b s R. E. и Thatte W. N., Температурное изменение частоты пьезоэлектрических колебаний кварца, Phil. Mag. 14, 682—694 (1932).
159. Gibbs R. E. и Tsien L. С., Получение пьезоэлектричества кручением, Phil. Mag. 22, 311—322 (1936).
160. Giebs E., Светящиеся пьезоэлектрические резонаторы в качестве эталонов высокой частоты, Zs. f. techn. Phys. 7, 235 (1926).
161. G i e b e E. и В 1 e c h s c h m i d t E., Экспериментальные и теоретические исследования колебаний растяжения стержней и трубок, I, Ann. d. Phys. 18, 417—456; II, Ann. d. Phys. 18, 457—485 (1933).
162. Giebe E. и Blechschmidt E., О крутильных колебаниях кварцевых стержней' и их использовании в качестве эталонов частоты, Hochfreq.-techn. и. El.-akust. 56, 65—87 (1940).
163. Giebe Е. и Scheibe А., Эффекты свечения при высокочастотных колебаниях пьезоэлектрических кристаллов по длине, Zs. f. Phys. 33, 335—344 (1925).
164. Giebe E. и Scheibe А., Простой метол качественного обнаружения пьезоэлектричества в кристаллах, Zs. f. Phys. 33, 760—766 (1925).
165. Giebe E. и Scheibe А., Светящиеся пьезоэлектрические резонаторы в качестве эталонов высокой частоты, Elektrotechn.. Zs. 47, 380—385 (1926).
166. Giebe Е. и Scheibe А., Пьезоэлектрическое возбуждение упругих колебаний, Zs. Hochfreq.-techn. 30, 32—33 (1927).
167. Giebe Е. и Scheibe А., Деятельность германской физико-технической палаты мер (Reichsanstalt) в 1926 г., Zs. f. Instrumentalkunde 46, 269—297 (1927).
168. Giebe Е.* и Scheibe А., Пьезоэлектрические кристаллы в качестве эталонов частоты, Elektr. Nachr.-techn.' 5, 65—82 (1928).
169. Giebe Е. и S с h е i b е А., Пьезоэлектрическое возбуждение колебаний растяжения, изгиба и кручения в кварцевых стержнях, Zs. f. Phys. 46, 607—652 (1928).
Общая библиография
695
170. Giebe Е. и Scheibe А., Светящиеся резонаторы с колебаниями изгиба как эталоны частот в диапазоне от 100 до 20 000 Hz, Zs. f. Hochfreq.-techn. 35, 165—177 (1930).
171. Giebe E. и Scheibe А., О соотношениях в ряде собственных упругих частот кварцевых стержней, Ann. d. Phys. 9, 93—175 (1931).
172. Giebe E. и Scheibe А., О светящихся резонаторах в качестве эталонов высокой частоты, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 41, 83—96 (1933).
173. Gockel Н., Декремент затухания пьезоэлектрических кристаллов, Phys. Zs. 37, 657—659 (1936).
174. Goedecke Н., Диэлектрическая постоянная сегнетовой соли в электрическом ' поле как функция времени, Zs. f. Phys. 94, 574—589 (1935).
175. ,Goens E., Определение модуля Юнга по колебаниям изгиба, Ann. d. Phys. 11, 649—678 (1931).
176. Goens_E., О колебаниях кручения и изгиба в тонких кристаллических стержнях любой ориентации, Ann. d. Phys. 15, 455—484 (1932).
177. Goe.ns E., О расчете скорости распространения упругих волн в кристаллах, Ann. d. Phys. 29, 279—285 (1937).
178. G о 1 а у М. J. Е., Электрометр из сегнетовой соли, Rev. Sci. Instr. 8, 228—230 (1937).
179. Goodman В., Налаживание кристаллического осциллятора, QST Amer. 25, 10—13 (1941).
180. G г am о n t A de, О движениях кристалла кварца в электростатическом поле, Compt. rend. 196, 1705—1707 (1933).
181. Gr a mo nt A. de, О различных формах колебаний кварцевого параллелепипеда, Compt. rend. 197, 101—103 (1933).
182. Gramont A. de, .Стабилизация хода часов посредством пьезоэлектрического кварца, An. fran. chronom. No. 1, 37—43 (1937).
’83. Gramont A. de и Beretzki D., Новый метод термостатирования кварцевых кристаллов, Elektrotechn. Zs. 53, 1039—1040 (1932).
184. Gramont A. de и Beretzki D., Стабилизация частоты биений компенсацией температурного коэфициента, Compt. rend. 200, 1558—1560 (1935).
185. Gramont A. de и Beretzki D., О возбуждении акустических волн с помощью пьезоэлектрического кварца, Compt. rend. 202, 1229—1232 (1936).
186. Gramont A. de и Beretzki D., Определение площади пьезоэлектриче-
ской пластинки как функции частоты (оптимальное отношение диаметра к толщине для высокочастотных пьезоосцилляторов), Compt. rend. 204, 459—462 (1937).
187. Grant К., Высокочастотное прерывание света, Nature 120, 586 (1927).
188. G г ее nidge R. М. С., Монтировка и изготовление металлизованных кварцевых элементов, Bell Syst. Techn. Journ. 23, 234—259 (1944).
189. Grossman E. и Wien M., О влиянии окружающей среды на частоту кварцевого резонатора, Phys. Zs. 32, 377—378 (1931).
190. Groth Е. J. и Liebermann L. N., Точное измерение скорости ультразвука с помощью микрофона (реферат), Phys. Rev. 65, 350 (1944).
191. Gruetzmacher J., Пьезоэлектрический кристалл с очень низкой собственной частотой, Elektr. Nachr.-techn. 12, 257 (1935).
192. Gruetzmacher J., Пьезоэлектрический кристалл для получения сходящегося пучка ультразвуковых волн, Zs. f. Phys. 96, 342—349 (1935).
193. Gruetzmacher J., Направленный ультразвуковой излучатель, Zs. f. Techn. Phys. 17, 166—167 (1936).
194. Gunther N., Исследование влияния механических и электрических сил на двойное преломление кварца, Ann. d. Phys. 13, 783—801 (1932).
195. Gunther R. Об измерении эквивалентных электрических параметров пьезоэлектрических кристаллов, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 45, 185—186
(1937).
196. Gunther R., Эквивалентные электрические параметры пьезоэлектрических кристаллов и их измерение, Hochfreq -techn. u. El.-akust. 50, 200—203
(1935) . . I
197. Gunther R., Внутреннее трение в кристаллах кварца, Elektr. Nachr.-techn. 16, 53—62 (1939).
198. Habliitzel J., Аномальное расширение сегнетовой соли, Helv. Phys. Acta 8, 498—499 (1935).
199. H a b 1 ii t z e 1 J., Диэлектрические исследования сегнетовой соли на тяжелой воде, Helv. Phys. Acta 12, 489—510 Д939).
200. Handel P, Исследования колебаний, стабилизуемых кварцем, Elektr. Nachr. Techn. 7, 34—40 (1030).
201. Handel P., Исследования поведения передатчиков с кварцевой стабилизацией, Luftfahrtforschung 8, 121—140 (1930).
696
Общая библиография
202. Handel Р„ Kruger К- и Plendl Н., Стабилизация частоты квардем в коротковолновых приемниках, Proc. Inst. Radio Eng. 18, 307—320 (1930); Hochfreq.-techn. u. E).-akust. 34, 12—18 (1929).
203. H a n k e 1 W. G. (Приводятся ссылки на несколько наиболее важных работ по пиро- и пьезоэлектричеству.) Рефераты по всем работам имеются в Zs. f. Kristallographie и Neues Jahrb. Miner., Geol. u. Palaont: a) Abh. Sachs. Aka’d. d. Wiss. (math.-phys. KI.) 10, 345 и далее (1872); b) ibid. 12, 457—548 (1881); c) ibid. 12, 549—596 (1882); d) ibid. 24, 467—497 (1899); e) Ber. Sachs Ges. d. Wiss. '(math.-phys. KL) 33, 52—63 (1881); f) Ann. d. Phys. 10, 618 и далее (1880); g) ibid. 19, 818—844 (1883). В работах b) и e) впервые был введен термин «пьезоэлектричество».
204. Harding J. W. и White F. W. G., О формах колебаний кристалла кварца, Phil. Mag. 8, 169—179 (1929).
205. Harrlison J. R., Резонанс и явления при колебаниях изгиба в кварцевых пластинках, Proc. Inst. Radio Eng. 15, 1040—1054 (1927).
206. Harrison J. R., Схема пьезоэлектрического генератора с четырехэлектродными лампами, Proc. Inst. Radio Eng. 16, 1455—1467 (1929); обсуждение 1467—1470.
207. Harrison J. R., Пушпульные схемы' пьезоэлектрического генератора, Proc. Inst. Radio Eng. 18, 95—100 (1930).
208. Harrison J. R. и Hooper J. P., Полосатое свечение пьезоэлектрического кварцевого резонатора при частотах колебаний изгиба, Phys. Rev. 55, 674 (1939).
209. Hatakeyama К., Изменение частоты кварцевого резонатора, вызываемого его нагреванием вследствие кблебаний, Journ. Inst. Telegr. Teleph. Eng. (Japan) No. 109, 522—532 (1932); Rep. Radio Researches a. Works 2, snppl. 6 (1932).
210. Hayashi F. и Akasi S., Наблюдения по пироэлектричеству (диссертация), Gottingen, 1912.
211. Hayashi T. и Akasi S., Быстрая сборка кварцевого генератора с электронной связью, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. (Japan) 3, 219—222 (1939).
212. Heaton V. E. и Lapham E. G., Монтировка кварцевых дластинок и температурная стабилизация пьезогенераторов, Proc. Inst. Radio Eng. 20, 261—271 (1932); обсуждение 1064; Journ. of Research Nat. Bur. Stand. 7, 683—690 (1931).
213. Heckmann G., Теория кристаллической решетки, Ergeb. exakt. Naturwiss. 4, 100—153 (1925).
214. Heegner К., Об измерениях с пьезоэлектрическими кристаллами, Zs. Hochfr.-techn. 29, 177—180 (1927).
215. Heegner К., О кристаллическом генераторе Пирса, Elektr. Nachr.-techn. 10, 357—371 (1933).
216. Heegner К., Связанные самовозбуждающиеся контуры и кристаллические генераторы, Elektr. Nachr.-techn. 15, 359—368 (1938).
217. Hehlgans F. W., О пластинках пьезокварца в качестве генераторов и при емников высокочастотных звуковых волн, Ann. d. Phys. 86, 587—627 (1928).
218. Heierle J., Устойчивость частоты ультракоротко волновых передатчиков, стабилизованных турмалином, Helv. Phys. Acta 10, 345—346 (1937).
219. Н е n d е г s о n J. F., Свойства кристаллов турмалина, применяемых в качестве пьезоэлектрических резонаторов, Trans. Roy. Soc. Canada 22, 127—131 (1928).
220. Herlinger E., О новом фотогониометре, Zs. f. Kristallographie 66, 282—296 (1927).
221. Hettich А., Пьезоэлектрические опыты по методу Гибе и Шейбе, Zs. f. Phys. 65, 506—511 (1930).
222. Hettich А., О солях аммония при низких температурах, Zs. f. phys. Chem. A168, 353—362 (1933). 1
223. Hettich А. и Schleede А., Полярность и пьезоэлектрическое возбуждение, Zs. f. Phys. 46, 147—148 (1927).
224. Hettich А. и Schleede А.. К вопросу о методах определения классов кристаллов, Zs. f. Phys. 50, 249—265 (1928).
225. Hight S. С., Ветер от кристаллов кварца, Bell Laborat. Record 14, 121—123 (1935).
226. Hight S. С., Кварцевые пластинки в качестве вторичных эталонов частоты, Bell Laborat. Record 16, 21—25 (1937).
227. Hight S. С. и Willard G. W., Упрощенная схема вторичных эталонов частоты с применением нового типа низкочастотного кварцевого кристалла с нулевым температурным коэфициентом, Proc. Inst. Radio Eng. 25, 549—563 (1927).
228. H i 11 s c h e r R., Опыты по пьезоэлектрическим колебаниям с кристаллами сегнетовой соли, Zs. f. Phys. 104, 672—680 (1937).
Общая библиография
697
229. Н i n^; Н., Упругие деформации сегнетовой соли, Zs. f. Phys. 111,617—632 (1939).
230. Н i t с h с о с к R. С., Размеры низкочастотных кварцевых осцилляторов, Rev. Sci. Instr. 1, 13—21 (1930).
231. Holden A. N. и Mason W. P., Постоянные сегнетовой соли на тяжелой воде, Phys. Rev. 57, 54—56 (1940).
232. Holman W. F., Пьезоэлектрическое возбуждение тростникового сахара, Ann. d. Phys. 29, 160—178 (1909).
233. Holton C. J., Родометрическое испытание кристаллов кварца, Electronics 17, 114 и далее (1944).
234. Horton J. W. и M a г r i s о n W. А.. Точное определение частоты, Proc. Inst. Radio Eng. 16, 137—154 (1928).
235f Hovgaard О. M., Применение кварцевых пластинок в радиопередатчиках, Proc. Inst. Radio Eng. 20, 767—782’ (1932).
236. Hubbard J. С., Акустический резонаторный интерферометр, I, Phtys. Rev. 38, 1011—1019 (1931); II, Phys. Rev. 41, 523—535 (1932); исправл. 46, 525 (1934).
237. Hubbard J. С., Ультразвук (обзор), Amer. Journ. Phys., 8, 207—221 (1940).
238. Hund А., Применение и возможности пьезоэлектрических генераторов, Proc. Inst. Radio Eng. 14, 447—469 (1926).
239. Hund А., Заметки о кварцевых пластинках, влиянии воздушного зазора и генерации звуковых частот, Proc. Inst. Radio Eng. 16, 1072—1078 (1928).
240. Hund А., Генератор токов регулируемых звуковых частот с пьезоэлектрической стабилизацией, Sci. Pap. Bur. Stand. 22, 631—638 (1928), (No. 569); QST fran. 9, 16—19 (1928).
241. Hund А., 'Заметка о пьезоэлектрическом генераторе звуковой частоты, Jour'n. of Research Nat. Bur. Stand. 2, 355—358 (1929).
242. Hund А. и Wright R. В., О колебаниях кварцевых цилиндров, вырезанных вдоль оптической оси, Proc. Inst. Radio Eng. 18, 741—761 (1930); Journ. of Research Nat. Bur. Stand. 4, 383—394 (1930).
243. Iseley F. Q, Соотношение между механическими и пьезоэлектрическими свойствами кристалла сегнетовой соли, Phys. Rev. 24, 569—574 (1924).
244. Jackson С. Н., Разработка усовершенствованного кристаллического пьезоэлемента, Civil Aeronautics Authority (USA), Techn. Development Rept. 26, Г—14 (июль 1940).
245. Jaffe H., Полиморфизм сегнетовой соли, Phys. Rev. 51, 43—47 (1937).
246. Jaffe H., Кристаллические превращения и диэлектрическая постоянная (реферат), Phys. Rev. 53, 917 (1938).
247. J е f f е г s о n Н., Пьезоэлектрический генератор Пирса, Wireless Eng. а. Ехрег. Wireless 18, 232—237 (1941).
248. Jimbo S., Международное сравнение частот с помощью светящегося кварцевого резонатора, Proc. Inst. Radio Eng. 18, 1930—1934 (1930); Elec. Rev. (Japan) 18, 185—194 (1930); Researches Electrotechn. Lab. Tokyo (март 1930).
249. Kam ay a chi Z. и Watanabe H., Об ультракоротковолновых кварцевых кристаллических вибраторах, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. 5, 19—20 (1941).
250. Kami en s ki S., Сферические пьезоэлектрические резонаторы, Wiadomosci i Prace (WPPIT) 7, 54—58 (1936).
251. Kammer E. W. и Atanasoff J. V., Определение упругих констант бета-кварца, Phys. Rev. 62, 395—400 (1942).
252. Kao P. T., Релаксационные колебания, производимые кварцевым пьезоэлектрическим генератором-, Compt. rend. 191, 932—934 (1930).
253. Као Р. Т., Явление, вызываемое колеблющимся кварцем в поляризованном свете, Compt. rend. 200, 563—565 (1935).
254. К а г с h е г J. С., Пьезоэлектрический метод мгновенного измерения высоких давлений, Sci. Pan. Bur. Stand. 18. 257—264 (1922) (No. 445); Journ. Frankl. Inst. 194, 815—816 (реферат), T922.
255. Ke.ller H., Пьезоэлектрическая изгибающаяся полоска в качестве электромеханического преобразователя, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 60, 5—10 (1922).
256. Kelvin, О пьезоэлектрических свойствах кварца, Phil. Mag. 36, 331, 342, 384, 453 (1893).
257j ! Keys D. А., Адиабатические и изотермические пьезоэлектрические константы турмалина, Phil. Mag. 46, 999—1001 (1923).
258. Khol F., Метод измерения упругих констант, Zs. f. Phys. 108, 225—231 (1938).
259. Khol F., Упругие константы и фазовые скорости поперечных и продольных волн, Zs. f. Phys. Ill, 450—453 (1939).
260. K'ishpaugh A. W. и Coram R. E., Маломощные радиопередатчики для целей широковещания (от 100 до 1000 ватт), Proc. Inst. Radio 21, 212—227 (1933).
698 Общая библиография
261. Kluge М. и Schonfeld Н., Электрический эффект Баркгаузена в кристаллах сегнетовой соли, Natu'rwiss. 21, ,194 (1933).
262. К п о 1 К. S., Измерение пьезоэлектрических модулей цинковой обманки, Konink. Akad. Amst. 35, 99—106 (1932).
263. Кобеко П. и Курчатов И., Диэлектрические свойства кристаллов сегнетовой соли, Zs. f. Phys. 66, 192—205 (1930); Журн. русск физ.-хим. общ. 62, 251 (1930).
264. Кобеко И. и Нелидов И. Г., Скачок в теплоемкости сегнетовой -соли, Phys. Zs. d. Sowietunion 1, 382—386 (1932).
265. Кобзарев И., О параметрах пьезоэлектрических резонаторов, Журн- прикл. физ. 6, 17—37 (1929).
266. Koga I., О пьезоэлектрическом генераторе, Denki Hyoron 15, 547 (1927).
267. Koga I., Камертон, изготовленный из кристалла кварца, Journ. Inst. Electr. Eng.* (Japan) 48, 100 (1928); Rep. Electr. Research Inst. Tokyo, series' 1 213—221 (1928). ' ,
268. Koga I., Характеристики пьезоэлектрических кварцевых генераторов, Proc. Inst. Radio Eng. 18, 1935—1959 (1930).
269. Koga I., Заметка о пьезоэлектрическом колеблющемся кристалле кварца, рассматриваемом с точки зрения принципа подобия, Proc. Inst. Radio Eng. 19, 1022—1023 (1931).
270. Koga I., Колебания пьезоэлектрических кристаллов по толщине, Physics 3, 70—80 (1932); Rep. Radio Researches Works (Japan) 2, 157—173 (1932); Jour. Inst. Telegr. Teleph. Eng. (Japan) No. 115, 1223—1253 i(1932).
271. Koga I., Колебания пьезоэлектрического кристалла, Phil. Mag. 16 275—283 (1933).
272. Koga I., Тепловые характеристики пьезоэлектрических колеблющихся кварцевых пластинок, Proc. Gen. Assemb. Intern. Sci. Radio Union, Document 33, Comm I, London, 1934; Rep. Radio Researches a. Works '(Japan), 4, 6Г—76 ;(1934).
273. Koga I., О температурных коэфициентах кварцевых пластинок для длинных волн, Elektr. Nachr.-techn. 12, 1—2 (1935).
274. Koga I., Заметки о пьезоэлектрических кристаллах кварца, Proc. Inst. Radio Eng. 24, 510—531 (1936).
275. Koga I., Модуль Юнга кристалла в любом направлении, Proc. Inst. Radio Eng. 24, 532—533 (Г936).
276. Koga I., Колеблющиеся пьезоэлектрические кварцевые пластинки, не изменяющие частоты с температурой, L’Onde elec. 15, 457—468, 498—507 (1936).
277. Koga I., Переносный генератор эталонной частоты, Rep. Radio Researches а. Works (Japan) 7, 219—225 (1937).
278. Koga I., Ультракоротковолновой кварцевый генератор, Rep. Radio Researches a. Works (Japan) 7, 227—229 (1937).
279. Koga I., Эквивалентность двух пьезоэлектрических колеблющихся кристаллов кварца симметричной формы относительно плоскости, перпендикулярной электрической оси, Phil. Mag. 27, 640—643 (1939).
280. Koga I., Устройство с переменным сопротивлением и его применение, особенно к частотной модуляции кварцево-кристаллического генератора, Electrotechn.
Journ. Min. of. Comm. (Japan) 4, No. 5, 99—-107 (1940).
281. Koga I. и Shoyama M., Контурные колебания прямоугольной пластинки
кварца среза X, Journ. Inst. Electr. Eng. (Japan) 56, 852 (1936).
282. Koga I. и Shoyama M„ Переходящие изменения частоты кристалличе-
ского генератора (реферат), Rep. Radio Researches a. Works (Japan) 8, 6 (1938)
283. Koga I. и Tatibana M., Аномалии колебаний по толщине кварцевых
пластинок, вызываемые неравномерностью толщины, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. (Japan) 3, 81—85 (1939).
284. Koga I. и Yamamoto W., Гетеродинный кварцевый генератор, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. (Japan) 4, 134—137 (1940).
285. Koga L, Yamamoto W., Hisio H., Harasima О. и Ikezava S., 250-ваттный пентодный кристаллический генератор, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. (Japan) 3, 92—94 (1939).
286. Kolenko В., Пироэлектричество кварца в связи с его кристаллической системой, Zs. f. Kristallographie 9, 1—28 (1884).
287. Korner H., Выращивание кристаллов сегнетовой соли для воспроизводимых измерений, Zs. f. Phys. 94, 801—807 (1935).
288. Korner H., Диэлектрическая постоянная, проводимость и пьезоэффект кристаллов сегнетовой соли, Zs. f. Phys. 103, 170—190 (1936).
289. Котляревский М. Л. и Пумпер Е. Я., Исследования колебаний пьезокварцевых птастинок интерферометрическим методом, Journ. of Phys. USSR 4, 67—78 (1941).
Общая библиография
699
290. Krista F., Зависимость скорости распространения колебаний изгиба от частоты, Zs. f. Phys. 112, 326—338 (1939).
291. Kuhn hold W., Стабилизация посредством турмалиновых кристаллов ультракоротких волн, возбуждаемых в схемах любого типа, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 46, 82—85 (1935). '
292. Курчатов Б. и Еремеев М., Об электрических свойствах смешанных кристаллов сегнетовой соли, Phys. Zs. d. Sowjetunion 1, 140—154 (1932).
293. Курчатов Б. и Курчатов И., Нижняя точка Кюри в сегнетовой соли, Phys. Zs. d. Sowjetunion 3, 321—334 (1933)..
£94. Курчатов И., Униполярность поляризации в кристаллах сегнетовой соли, Phys. Zs. d. Sowjetunion 4, 124—129 (1933).
295. Курчатов И., Сегнетова соль в области спонтанной ориентации, Phys. Zs. d. Sowjetunion 5, 200—211 (1934).
296. Курчатов И. и Шакиров А., Явления инверсии в поляризации сегнетовой соли, Phys. Zs. d. Sowjetunion 7, 631—638 (1935).
297. Kusunose Y. и Ishikawa S., Стабилизация частоты 'радиопередатчиков, Proc. Inst. Radio Eng. 20, 310—339 (1932); Rep. Radio Researches a. Works 1. 157—183 (1931).
298. Lack F. R., Наблюдения форм колебаний и температурные коэфициенты кварцевых кристаллических пластинок, Proc. Inst. Radio Eng. 17, 1123—1141 (1929); Bell Syst. Techn. Journ. 8, 515—535 (1929).
299. Lack F. R.; Willard G. W. и Fair T. E., Некоторое усовершенстйования контуров кварцевых элементов, Bell Syst. Techn. Journ., 13, 453—463 (1934).
300. Lamb J. J., Более устойчивый кристаллический генератор, работающий на высоких гармониках, QST Amer, 17, 30—32 (июнь 1933).
301. Lamb J. J., Тритетная многополосная кристаллическая стабилизация, QBT Amer. 17, 9—15 (октябрь 1933).
302. Lamb J. J., Практическое исследование пентодных и Ьлектронно-лучевых кристаллических генераторов, работающих на основной частоте и второй гармонике, QST 21, 31—38, 106, 107 (апрель 1937).
303. Lane С. Т., Магнитные свойства сегнетовой соли, Phys. Rev. 45, 66 (1934).
304. Langevin А., Об изменении пьезоэлектрического модуля кварца в зависимости от температуры, Journ. de Phys, et rad. 7, 95—100 (1936).
305. Langevin А., Абсолютное значение главных пьезоэлектрических модулей кварца, Compt. rend. 209, 627—630 (1939).
306. Langevin А. и Moulin А., Об изменении пьезоэлектрических модулей кварца в зависимости от температуры, Journ. de phys. et rad. 8, 257—259 (1937).
307. Langevin А. и Solomon J., О законах появления электричества при кручении пьезоэлектрических тел, Compt. rend. 200, 1257—1260 (1935).
308. L а г m о u г J., Электрокристаллические свойства, обусловливаемые атомными решетками, Proc. Roy. Soc. 99, 1—10 (1921).
309. Laue M., Возбуждаемые пьезоэлектрически колебания кварцевых стержней, Zs. f. Phys. 34, 347—361 (1925).
310. Lawson A. W., Пьезоэлектричество бета-кварца, Science 92, 419 (1940).
311. Lawson A. W., Определение упругого модуля Si3 бета-кварца, Phys. Rev. 59, 608—612 (1941).
312. Lawson A. W., Замечание об упругих постоянных альфа-кварца, Phys. Rev. 59, 838 (1941).
313. Lawson A. W., Колебания пьезоэлектрических пластинок, Phys. Rev. 62, 71—76 (1942).
314. Leithauser G. и Petrzilka V., Об эталонах для измерения ультракоротких волн, Funktechn. Monatshefte (1932).
315. Le Q’u ere H., Прибор для определения пироэлектрического эффекта, Bull. Soc. fran. de mineral 59, 137—142 (1936).
316. Lippman G., Принцип сохранения электричества, Compt. rend 92, 1049—1051, 1149—1152 (1881); Journ. de phys. et rad. 10, 381—394 (1881); Ann. de chim. ct de phys., ser. 5, 24, 145—178 (1881) (предсказание обратного пьезоэлектрического эффекта).
317. Liss u tin А., Колебания кварцевой пластинки, Zs. f. Phys. 59, 263—273 (1930).
318. Llewellyn F. В., Генераторы постоянной частоты, Bell Syst. Techn. Journ. 11, 67—100 (1932); Proc. Inst. Radio Eng. 19, 2063—2094 (1931).
319. Lonn E., Теория колебаний кристаллических пластинок, Ann. d. Phys. 30, 420—432 (1937).
320. Lucas H. J., Некоторые усовершенствования пьезоэлектрического кристалла в качестве эталона частоты, Journ. Inst. Electr. Eng. (England) 68, 855—872 (1930); имеется перепечатка этой статьи в Wireless Section 5, 151—163 (1930); обсуждение — стр. 163—168.
700
Общая библиография
321. Lucas R. и Biquard Р., Новые оптические свойства жидкостей, подвергаемых воздействию ультразвуковых волн, Compt. rend. 194, 2132—2134 (1932); более полно в Journ. de phys. et rad. 3, 464—477 (1932).
322. Liidy W., Пьезоэлектричество фосфата калия, Zs. f. Phys. 113, 302—305 (1939); Helv. Phys. Acta 12, 278—279 (1939).
323. L ii d у W., Влияние температуры на динамическое упругое поведение веществ, сходных с сегнетовой солью, Helv. Phys. Acta 15, 527—552 (1942).
324. М а с К i n п о п К. А., Кристаллическая стабилизация динатронного генератора, Proc. Inst. Radio Eng. 20, 1689—1714 (1932).
325. Mallett E. и Terry V. J., Кварцевый генератор, Wireless World a. Radio Rev. 16, 630—636 (1925).
326. Mandell W., Определение упругих модулей пьезоэлектрической кристаллической сегнетовой соли статическим методом, Proc. Roy. Soc. 116, 623—636 (1927).
327. Mandell W., Изменение упругих свойств при замещении атома калия в сегнетовой соли группой аммони'я, Proc. Roy. Soc. 421, 122—130 (1928).
328. Mandell W., Определение пьезоэлектрических модулей аммониевой сегнетовой соли, Proc. Roy. Soc. 121, 130—140 (1928).
329. М a n d е 11 W., Резонанс в кристаллических брусках натриево-аммониевой сегнетовой соли, Proc. Roy. Soc. 165, 414—431 (1938).
330. Marrison W. А., Эталон частоты высокой точности, Proc. Inst. Radio Eng. 17, 1103—1122 (1929); Bell Sysrt. Techn. Journ. 8, 493—514 (1929).
331. Marrison W. А., Кристаллические часы, Proc. Nat. Acad. Sci. 16, 496—507 (1930).
332. Mason W. P., Фильтры электрических волн с элементами из кварцевых кристаллов, Bell Syst. Techn. Journ. 13, 405—452 (1934).
333. Mason W. P., Движение бруска при колебаниях изгиба и влияние вращательной и боковой инерции, Journ. Acous. Soc. Amer. 6, 246—249 (1935).
334. M a s о n W. P., Электромеханическая интерпретация пьезоэлектрического кристалла, используемого в качестве преобразователя, Proc. Inst. Radio Eng. 23, 1252—1263 (1935). Bell Syst. Techn. Journ. 14, 718—723 (1935).
335. Mason W. P., Динамическое измерение упругих, электрических и пьезоэлектрических постоянных сегнетовой соли, Phys. Rev. 55, 775—789 (1939).
336. Mason W. P., Новая кварцевая кристаллическая пластинка, обозначенная через GT и обладающая весьма высоким постоянством частоты в широком интервале температуры, Proc. Inst. Radio Eng. 28, 220—223 (май 1940).
337. Mason W. P., Кристаллы кварца с низким температурным коэфициентом, Bell Svst. Techn. Journ. 19, 74—93 (1940).
338. Mason W. P., Определение явлений гистерезиса в кристалле сегнетовой соли, Phys. Rev. 58, 744—756 (1940).
339. Mason W. P., Электрические и механические аналогии, Bell Syst. Techn. Journ. 20, 405—414 (1941).
340. Mason W. P., Применения кварцевых кристаллов, Bell Syst. Techn. Journ. 22, 178—223 (1943).
341. Mason W. P. и Fair J. E., Новый ультракоротковолновой генератор с не-' посредственной кристаллической стабилизацией, Proc. Inst. Radio Eng. 30, 464—472 (1942).
342. Mason W. P. и Sykes R. А., Фильтры электрических волн с применением кристаллов, снабженных нормальными и разделенными электродами, Bell. Syst. Techn. Journ. 19, 221—248 (1940).
343. Mason W. P. и Sykes R. А., Низкочастотные срезы кристаллов кварца с низкими температурными коэфициентами, Proc. Inst. Radio Eng. 32, 208—215 (1944).
344. Matsumura S. и Hatakeyama K-, Сравнение коротковолновых колебаний кварцевого резонатора с учетом влияния воздушного зазора, Journ. Inst. Telegr. Teleph. Eng. (Japan) No. 87. 575—580 (1930).
345. Matsumura S. и Hatakeyama К., О прерывном изменении длин вОлн кварцевого резонатора среза X в зависимости от размеров, Journ. Inst. Telegr. Teleph. Eng. (Janan) No. 91, 946—952 (1930).
346. Matsumura S. и Hatakeyama К., О прерывном изменении длин во пн прямоугольных кварцевых пластинок среза X и методе определения наиболее попхопятцих размеров, Journ Inst. Telegr. Teleph. Eng. (Japan) No. 97, 469—477 (1931).
347. Matsumura S. и Hatakeyama К., Соотношение межпу длиной волны и размерами кварцевого резонатора прямоугольного среза X, Journ. Inst. Telegr. Teleph. Eng. '(Janan) No. 101, 984—989 (1931).
348. Matsumura S. и Ishikawa S., О турмалиновых генераторах, Rep. Radio Researches a. Works (Japan) 3, 1—5 (1933).
Общая библиография
701
349. М a t s u m u г a S., Ishikawa S. и Kanzaki S., Влияние температуры на пьезоэлектрические колебания турмалиновой пластинки, Journ. Inst. Electr. Eng. (Japan) 53, 199 (1933); Monthly Bibliographical Ref. Intern. Sci. Radio Union, стр. 10 (май 1933).
350. M a t s u m u r a S. и Kanzaki S., О температурном коэфициенте собственных частот волн Y в срезах X кварца, Rep. Radio Researches a. Works (Japan) 2, 35—48, 157—173 (1932).
351. M a t s u m u г a S. и Kanzaki S., О методе уменьшения температурного коэфициента пьезорезонатора, Journ. Inst. Telegr. Teleph. Eng. (Japan) No. Ill, 834—842 (1932); Journ. Inst. Electr. Eng. (Japan) 52, дополн. выпуск, 172—174, 929 (1932).
352. Matsumure S. и Kanzaki S., Кварцевые пластинки с очень малым
температурным коэфициентом частоты, Proc. Gen. Assemb. Intern.
Sci. Radio Union, Document 34, Comm. 1, London, 1934; Electr. Rev. (Japan) 21, 24 и далее (1933); Rep. Radio Researches a. Works (Japan) 4, 105—108 (1934); реферат в Journ. Inst. Electr. Eng. (Japan); 52, 932 (1932); 53, 201 (1933).
353. Matthias В., О пьезоэлектрическом эффекте ДЕ в сегнетоэлектриках, Helv. Phys. Acta 16, 99—135 (1943).
354. Matthias В. и Scherrer Р., Кристаллические полосовые фильтры, Helv. Phys Acta 16, 432—434 (1943).
355. М a 11 i a t О., О колеблющихся кристаллах сегнетовой соли, Hochfreq.-techn. и. El.-aKust. 50, 115—120 (1937).
356. Me Skimin Н. J., Теоретический анализ форм колебаний изотропных прямоугольных пластинок со свободными поверхностями, Bell Syst. Techn. Journ. 23, 151—177 (1944).
357. Meacham L. А., Генератор, стабилизованный по схеме мостика, Proc. Inst. Radio Eng. 26, 1278—1294 (1938); Bell Syst. Techn. Journ. 17, 574—591 (1938); краткий отчет в’ Bell Laborat. (Record, дополнение к т. 18 (январь 1940).
358. Me a hl Н. R., Схемы генераторов со стабилизацией кварцем 22, 732—737 (1934).
359. Meissner А., Пьезоэлектрические кристаллы при высокой частоте, Zs. f. techn. Phys. 7, 585—592 (1926); 8, 74—77 (1927); Electr. Nachr. Techn. 3, 401—408 (1926); Zs. Hochfr.-techn. 29, 20—24 (1927).
360. Meissner А., Пьезоэлектрические кристаллы при радиочастотах, Proc. Inst. Radio Eng. 15, 281—296 (1927).
361. Meissner А., Исследования по кварцу, Phys. Zs. 28, 621—625 (1927).
362. Meissner А. и Bechmann R., Исследование и теория пироэлектричества, Zs. f. techn. Phys. 9, 175—186 (1928).
363. Меликян А. Б. и Петрова E. K-, О методе определения параметров пьезорезонаторов. Изв. электропром. сл. тока № 3, 40—51 (1935).
364. Mendelssohn J. и Mendelssohn, К-, Теплоемкость ’вещества, обладающего спонтанной электрической поляризацией, Nature, 144, 595 (1939).
365. М е t s с h 1 Е. С., Сущность и применения пьезоэлектричества, Electrotechn. Zs. 59, 819—825 (1938).
366. Михайлов Г., Влияние температуры на частоту пьезоэлектрических колебаний сегнетовой соли, ЖТФ 3, 511—518 (1936).
367. Михайлов Г., Исследования упругих колебаний пьезокристалла сегнетовой соли. Techn. Phys, of USSR 3, 652—661 (1936).
368. Михайлов Г., Влияние температуры на динамический пьезомодуль сегнетовой соли, Techn. Phys, of USSR Ч, 461—465 (1937).
369. Miller J. M., Кристаллические кварцевые генераторы, U. S. Navy Radio Slund Rept., выП. от 1 апреля, 1 мая, 1 июня 1925, 53—64.
370. Mitsui Н., Приемник, контролирующий частоту широковещательных станций, с применением светящегося кварцевого резонатора, Nippon Electr. Comm. Eng. (Japan) No. 1, 86—87 (сентябрь 1935).
371. Modrak P., Кварц и турмалин, Wireless E)ng. a. Exper. Wireless, 14, 127—134, 175—183 (1937).
372. Moens R. и V, erschaffelt J., Оптические движения в пьезоэлектрически колеблющемся кварце, Compt. rend. 185, 1034—1036 (1927).
373. Мб gel Н., Стабилизация коротковолновых передатчиков, Electr. Nachr.-techn. 7, 333—348 (1930); Telefunken Zng. И, 8—21 (1930).
374. M 6 g e 1 Н., Стабилизация коротковолновых передатчиков, Proc. Inst. Radio Eng, 19, 214—232 (1931).
375. Morrison J. F., Проект новой схемы широковещательного передатчика с частотной модуляцией, Proc. Inst. Radio Eng. 28, 444—449 (1940).
376. Mueller H., Свойства сегнетовой соли, Phys. Rev. 47, 175—191 (1935).
702 Общая библиография
377. Mueller Н., Определение упруго-оптических констант с помощью ультразвуковых волн, Zs. f. Kristallographie 99, 122—141 (1938).
378. Mueller H., Свойства сегнетовой соли, II, Phys. Rev. 57, 829—839 (1940).
379. Mueller Н., Влияние электростатических полей на упругие свойства сегнетовой соли, Phys. Rev. 57, 842—843 (1940).
380. Mueller Н., Свойства сегнетовой соли, III, Phys. Rev. 58, 565—573 (1940).
381. Mueller Н., Свойства сегнетовой соли, IV, Phys. Rev. 58, ,805—811 (1940).
382. Mueller Н., Диэлектрические аномалии сегнетовой соли, Ann. IN. Y. Acad. Sci. 40, 321—356 (1940).
383. Mueller H., и Kraefft Т., Осуществление эффекта Допплера с помощью пьезоэлектрического кварца, Phys. Zs. 33, 305—306 (1932).
384. Murphy Е. J. и Morgan S. О., Диэлектрические свойства изоляционных материалов, Bell Syst. Techn. Journ. 16, 493—512 (1937); 17, 640—669 (1938).
385. Myers L. M., Применение триодного электрометра к определению пьезоэлектрических констант, Brit. Radio Ann. 15—20 (1934—1935).
386. N а с h t i k а 1 F., Пропорциональность между пьезоэлектрическим моментом и давлением, Nachr. Ges. d. Wiss.. Gott, (math.-phys. KJ.), 109—118 (1899).
387. Nacken R., Опыты травления кварцевых шаров и о-кварца, Neues Jahrb. Miner, Geol. u. Palaont. I, 71—82 (1916).
388. Namba S. и Matsumura S., Пьезоэлектрические свойства кварца и его значение в качестве эталона частоты, Journ. Inst. Telegr. Teleph. Eng. (Japan) No. 70, 817—833 (ноябрь 1928); Researches Electrotechn. Lab. (Tokyo), No. 248 (апрель 1929) (на англ, яз.); также в сюкр. виде в Zs. Hochfr.-techn. 34, 198—200 (1929).
389. Namba S., и Matsumura S., Пьезоэлектрический кварцевый резонатор малым температурным коэфициентом, Journ. Inst. Electr. Eng. (Japan) 49, дополнительный выпуск, 9—10 (1929).
390. Nelson E. L., Широковещательные передатчики и явления, наблюдающиеся при передаче, Bell Syst. Techn. Journ. 9, 121—140 (1930).
391. Nico Ison A. M., Пьезоэлектрический эффект в сложном кристалле сегнетовой соли, Trans. Amer. Inst. Electr. Eng. 38, 1467—1485 (1919); Proc. Amer. Inst. Electr. Eng. 38, 1315—1333 (1919); Electrician (London) 83, 32 и далее (1919).
392. N i e s s e n K- F., Устойчивость частот некоторых резонаторов, Physica 8, 1077—1093 (1941).
393. Norgorden О., Пьезоэлектоические свойства сегнетовой соли при звуковых частотах, Phys. Rev. 49, 820—828 (1936).
394. Norgorden О., Пьезоэлектрические свойства сегнетовой соли, Phys. Rev. 50, 782 (1936) (письмо к редактору).
395. Nussbaumer В., Измерение первого пьезоэлектрического модуля кварца, Zs. f. Phys. 78, 781—790 (1932).
396. Onnes H. К. и Bechman А., Пьезоэлектрические и пироэлектрические свойства кварца при низких температурах, Konink. Akad. Amst. 15, 1380—1383 (1913); Communication Phys. Lab. Leyden, No. 132 f.
397. О p 1 a t k a G., Новый метод определения статических диэлектрических постоянных полупроводников и «измерения диэлектрической постоянной сегнетовой соли, Phys. Zs. 34, 296—300 (1933).
398. Osterberg Н., Интерферометрический метод наблюдения колебаний кварцевой пластинки, Proc. Nat. Acad. Sci. 15, 892—896 (1929).
399. Osterberg H., Интерферометрический метод изучения колебаний кварцевой пластинки, Journ. Opt. Soc. Amer. 22, 19—35 (1932).
400. Osterberg H., Тройной интерферометр, позволяющий различать колебания изгиба и колебания по длине в кварце, Journ. Opt. Soc. Amer. 23, 30—34 (1933).
401. Osterberg H., Многократный интерферометр для анализа колебаний кварцевой пластинки, Phys. Rev. 43, 819—829 (1933).
402. Osterberg Н., Преломляющий интерферометр для изучения форм колебаний кварцевых пластинок, Rev. Sci. Instr. 5, 183—186 (1934).
403. Osterberg H. и Cookson J. W., Пьезоэлектрическая стабилизация высоких частот, Rev. Sci. Instr. 5, 281—286 (1934).
404. Osterberg H. и Cookson J. W., Некоторые .пьезоэлектрические и упругие свойства 3 -кварца, Journ. Frankl. Inst. 220, 361—371 (1935).
405. Osterberg H. и Cookson J. W., Теория двухмерных колебаний по |ц,лине и колебаний изгиба в прямоугольных изотропных пластинках, Physics 6, 234—246 (1935).
406. Osterberg И. и Cookson J. W., Формы колебаний по длине, по толщине, а также колебаний сдвига в кварце и турмалине, Physics 6, 246—256 (1935).
Общая библиография
703
407. Osterberg Н. и Cookson J. W., Интерференционный метод измерения пьезоэлектрических модулей альфа-кварца: модули, Rev. Sci. Instr. 6, 347—356 (1935).
408. Pavlik В., Две схемы передатчиков с применением октодов, Elektr. Nachr.-techn. 12, 53—54 (1935).
409. Pavlik В., О теоретическом и экспериментальном исследовании колебаний изгиба в прямоугольных пластинках со свободными поверхностями, Ann. d. Phys. 27, 532—542 (1936).
410. Pavlik В., Об исследовании колебаний изгиба пластинок в форме параллело-грамов со свободными гранями, Ann. d. Phys. 28, 353—360 (1937).
411. Pavlik В., Возможность возбуждения простых форм колебаний в пьезоэлектрических кристаллах низкой симметрии, Zs. f. Kristallographie 100, 414—419 (1938).
412. Perrier А., Гипотезы о спонтанной диэлектрической поляризации и некоторые экспериментальные результаты, Arch. sci. phys. et nat. (Geneva) 41, 414—419 (1938).
413. Perrier А. и de Mandrot R., Упругость и симметрия при высоких температурах, Mem. societe vaudoise sci nat. 1, 333—363 '(1922—1924); Compt. rend. 175, 622—624, 1006 (1922); реферат в Arch. sci. phys. et nat. (Geneva) 4, 367—369 (1922).
414. Petrzilka V., О соотношении между оптическими и пьезоэлектрическими свойствами колеблющихся кристаллов кварца, Ann. d. Phys. 11, 623—632 (1931).
415. Petrzilka V., Турмалиновые резонаторы для коротких и ультракоротких волн, Ann. d. Phys. 15, 72—88 (1932). ,
41;6 . Petrzilka V., Колебания по длине и колебания изгиба турмалиновых пластинок, Ann. d. Phys. 15, 881—902 (1932).
417. Petrzilka у., Колебания по длине круглых 'кварцевых пластинок, Anfi. d. Phys. 23, 156—168 (1935).
418. Petrzilka V., ;Колебания по длине прямоугольных пластинок кварца, Zs. f. Phys. 97, 436—454 (1935).
419. Petrzilka V., Стабилизация передатчиков с помощью колебаний по длине турмалиновых пластинок, Hochfr.-techn. u. El.-akust. 50, 1—5 (1937).
420. Petrzilka V. и Fehr W., Об условиях устойчивых колебаний в одно- и двухконтурных передатчиках с кварцевой стабилизацией, Elektr. Nachr.-techn. 9, 283—292 (1932).
421. Petrzilka V. и Zachoval L., Непосредственное наблюдение колебаний пластинки кварца шлирен-методом, Zs. f. Phys. 90, 700—702 (1934).
422. Pielemeier W^ H., Акустическое обнаружение электрически слабых колебаний в кварцевых пластинках, Journ. Acous. Soc. Amer. 9, 212—216 (1938).
423. Pierce G. W., Пьезоэлектрические кристаллические резонаторы и кристаллические генераторы, применяемые для точной калибровки волномеров, Proc. Amer. Acad. Arts. Sci. 59, 81—106 (1923).
424. Pierce G. W., Кристаллические генераторы, применяемые для точного измерения скорости звука в воздухе и углекислоте при высоких частотах, Proc. Amer. Acad. Arts. Sci. 60, 277—302 (1925).
425. Pinciroli А., О новом пьезоэлектрическом генераторе, Alta frequenza И, 341—343 (1942).
426. Pitt А. и McKinley D. W. R., Изменение пьезоэлектрического эффекта в кварце в зависимости от температуры, Canad. Journ. of Research A14, 57—65 (1936).
427. Pockels F., Об изменениях оптического поведения и упругих деформаций диэлектрических кристаллов в электрическом поле, Neues Jahrb. Miner., GeoL u. Palaont. 7 (дополнит том), 201—231 (1890).
428. Pockels F., О влиянии электростатического поля на оптическое поведение пьезоэлектрических кристаллов, Abh. ges. d. Wiss. Gott. 39, 1—204 (1894)
(также в виде книги, см. [642]).
429. Pontecorvo Р., Получение высокоустойчивых по частоте пьезогенераторов прйменением положительной и отрицательной обратной связи, Alta frequenza 7, 365—381 (1938).
430. Poppele J. R., Cunningham F. W. и Kishpaugh A. ,W-, Проект и оборудование 50-киловаттной широковещательной станции, Proc. Inst. Radio Eng. 24, 1063—1081 (1936).
431. Powers W. F., Температурный коэфициент частоты кварцевых резонаторов (реферат), Phys. Rev. 23, 783 (1924).
432. Quervain М. de и Zwicker В., Наблюдения элементарных областей (спонтанной ориентации в сегнетоэлектриках, Helv. Phys. Acta 16, 216—218 (1943).
704
Общая библиография
433. Rayner Е. Н., Исследования колебаний кварца Д. В. Даем, Journ. Inst. Electr. Eng. (England) 72, 519—527 (1933); Proc. Wireless Sec. Inst. Electr. Eng. 8, 99—107 (1933).
434. Riecke E., Молекулярная теория пьезоэлектричества турмалина, Phys. Zs. 13, 409—415 (1912); Nachr. Ges. d. Wiss. Gott, (math.-phys. KI) 253—266 (1912).
435. Riecke E. и Voigt W., Пьезоэлектрические константы кварца и турмалина, Nachr. Ges. d. Wiss. Gott, (math.-phys. KI) 247—255 (1891); Wiedemann's Ann. 45, 523—552 (1892).
436. Rohde L., Новые типы кварцевых задающих генераторов и фильтров, Zs. f. Techn. Phys. 20, 75—80 (1939).
437. Rohde L., Кварцевые генераторы и фильтры звуковой частоты, Zs. f. techn. Phys. 21, 30—34 (1940).
438. Rohde L. и Handrek H., Свойства кварцевых резонаторов при звуковых и промежуточных частотах, Zs. f. Techn. Phys. 21, 401—405 (1940).
439. Rontgen W. С., Пиро- и пьезоэлектрические исследования, Ann. d. Phys. 45, 737—800 (1914).
440. Rontgen W. С. и J о f f ё А., Об электрической проводимости некоторых кристаллов и влиянии излучения на , последнюю, Ann. d. Phys. 41, 449—498 (1913).
441. Rus ter hoi z А. А., Аномалия теплоемкости сегнетовой соли, Helv. Phys. Actla 7, 643—644 (1934); 8, 39—54 (1935).
442. P ж ан кин А. Г., Затухание колебаний в пьезоэлектрических кристаллах кварца, ЖТФ 4, 1282—1294 (1934).
443. Sabaroff S., Высокочастотный кристаллический генераторный контур со стабилизованным напряжением, Proc. Inst. Radio Eng. 25, 623—629 (1937).
444. Sabbatini А., Сложные колебания пьезоэлектрических кристаллов и их зависимость от данных контура, Dati е mem. radiocomun. 2, 618—636 (1930).
445. Salisbury W. W. и Porter C. W., Эффективный пьезогенератор, Rev. Sci. Instr. 10, 269—270 (1939).
446. Saiiders E. W., Виды изломов пьезоэлектрических кристаллов, QST Amer. 21, 17—18, 84 (1937).
447. Sanders E. W., Распространение волн в кварцевых высокочастотных генераторах, работающих на колебаниях сдвига, Journ. Appl. Phys. 11,299—300 (1940).
448. Sawyer С. В., Применение кристаллов сегнетовой соли в репродукторах и микрофонах, Proc. Inst. Radio Eng. 19, 2020—2029 (1931).
449. Sawyer С. В. и Tower С. H., Сегнетова соль как диэлектрик, Phys. Rev. 35, 269—273 (1930).
450. Schaaf fs S., Исследование колебаний тонкой кварцевой пластинки шлирен-методом, Zs. f. Phys. 105, 576—578 (1937).
451. Scherrer P., Исследования диэлектрических свойств сегнетовой соли и сходных материалов, Zs. f. Electrochem. 45, 171—174 (1939).
452. Schiff, ermiHe f R., О разнообразии колебаний тонких пьезоэлектрических кварцевых пластинок, Zs. f. techn. Phys. 19, 469—475 (1938).
453. Schumacher R. О., Исследования поперечных колебаний в кварцевых пластинках, Telefunken Zng. 18, 16—21 (1937).
454. Schwartz Е., Экспериментальные исследования пьезоэлектрических и диэлектрических свойств сегнетовой соли, Elektr. Nachr. Techn. 9, 481—495 (1932).
455. Seidl F., Интересный случай растрескивания пьезоэлектрического кварца, Naturwiss. 17, 781—782 (1929).
456. Seidl F., Проводимость пьезоэлектрического кварца под нагрузкой, Zs. f. Phys. 75, 488—503 (1932).
457. Seidl F., Действие радия и рентгеновских лучей на пьезоэлектрический кварц, Sitz.-ber. Akad. d. Wiss. Wien (math.-naturwiss. KI) 142, 467—469 (1933).
458. Seidl F., Электрическое поведение монокристаллов сегнетовой соли, полученных из насыщенного раствора в электрическом поле, Anz. Akad. d. Wiss. Wien (math.-naturwiss. KI) 11, 92—93 1936).
459. Seidl F., Аномальный заряжающий ток в кристаллах сегнетовой соли, Phys. Zs. 39, 714—716 (1938).
460. Seidl F. и Huber E., Влияние рентгеновских лучей и у-лучей на пьезоэлектрические кристаллы, Zs. f. Phys. 97, 671—680 (1935).
461. Shaw H. S., Колеблющиеся кристаллы, QST Amer, 7, 30 и далее (июль 1924).
462. Shore S. X., Серия статей по сортировке и ориентации кварцевых кристаллов и по распиловке, полировке, доводке и испытанию кварцевых пластинок, Communications 23, (октябрь—декабрь 1943); 24 (январь—февраль, 1944).
463. Шубников А. В., О фигурах удара на кварце, Zs. f. Kristallographie 74, 103—104 (1930).
Общая библиография
705
464. Ш у л ь в а с-С о р о к и н а Р. Д., Возможно ли определить пьезоэлектрическую постоянную при высокой температуре статическим методом, Phys. Rev. 34, 1448—1450 (1929).
465. Шу льва с-С о р о к и н а Р. Д., Пьезоэлектрические свойства кристаллов сегнетовой соли, Zs. f. Phys. 73, 700—706 (1932).
466. Ш у л ь в а с-С о р о к и н а Р. Д., О характеристической температуре кристаллов сегнетовой соли, Zs. f. Phys. 77, 541—546 (1932).
467. Ш у л ь в а с-С о р о к и н а Р. Д., Время релаксации в кристаллах сегнетовой соли, II, ЖЭТФ 7, 1440—1447 (1937); Phys. Zs. d. Sowjetunion 12, 685—700 (1937).
468. Ш у л ь в а с-С о р о к и н а Р. Д., Поляризация кристаллов сегнетовой соли при низких напряжениях, ЖТФ 11, 947—958 (1941).
469. Ш у л ь в а с-С орокина Р. Д. и Поснова М. В., Время релаксации в кристаллах сегнетовой соли, Phys. Rev. 47, 166—174 (1935).
470. S k e 11 e 11 A. M., Визуальный метод изучения форм колебаний кварцевых пластинок, Journ. Opt. Soc. Amer. 17, 308—317 (1928).
471. Skellett M. M., Формы колебаний круглой пластинки, вырезанной из кристалла кварца, Journ. Opt. Soc. Amer. 20, 293—302i (1930). г
472. Смирнов В. А., Влияние параметров пьезоэлектрического кварцевого генератора на его работу и определение максимальной допускаемой мощности в случае такого генератора, ЖТФ 6, 493—513 (1936).
473. Соколов С. Я., Колебания пьезоэлектрических кварцевых стержней в неоднородных полях, Zs. f. Phys. 50, 385—394 (19)28).
474. Speight J. W., Электродинамические характеристики кварцевого пьезоэлектрического генератора, Canad. Journ. of Research 12, 812—819 (1935).
475. Stamford N. С., Изготовление пьезоэлектрических резонаторов из сегнетовой соли, обладающих чистой формой колебаний по длине, Proc. Inst. Radio Eng. 25, 465—471 (1937).
476. Starr A. T., Электроакустические реакции, Wireless lEng. a. Exper. Wireless 17, 247—256, 303—309 (1940).
477. Staub H., Исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли с помощью рентгеновских лучей, Helv. Phys. Acta 7, 3—45 (1934); Phys. Zs. 34, 292—296 (1933); диссертация, 1934.
478. Staub H., Доказательство с помощью рентгеновских лучей сущ в-мания внутреннего электрического поля в сегнетовой соли, Helv. Phys. Acta 7, 480—482 (1934); Phys. Zs. 35, 720—725 (1934).
479. Staub H., Диэлектрические аномалии сегнетовой соли, Natutfwiss. 23, 728—733 (1935).
480. Stephenson G. С. и Adams Н. Е., Теплоемкость дигидроарсената аммония в интервале от 15° до 300° К. Аномалия в точке Кюри, Journ. Amter. Chem. Soc. 66, 11.409—1412 (1944),
481. Stephenson С. С. и Hooley J. G., Теплоемкость дигидрофосфата калия в интервале от 15° до 300°К. Аномалия в точке Кюри, Journ. Amer. Chem. Soc. 66, 1397—1401 !(1944).
482. Stephenson С. G. и Zettlemoyer А. С., Теплоемкость дигидроарсената калия в промежутке от 45° до 300°К- Аномалия в точке Кюри, Journ. Amer. Chem. Soc. 66, 1402—1405 (1944). f \
483. Stephenson С. С. и Zettlemoyer A. G., Теплоемкость дигидрофосфата аммония в интервале от 15° до 300°К. Аномалия в точке Кюри, Joifrn. Amer. Chem. Soc. 66, 1405—1408 (1944).
484. 'Straubel H., Пьезоэлектрические кварцевые генераторы, Phys. Zs. 32, 222 (1931).
485. S t r a u b e 1 H., Некоторые опыты по ультразвуку, Phys. Zs. 32, 379—381 (1931).
486. Straubel H., Пьезоэлектрические генераторы, Phys. Zs. 32, 586—587 (1931).
487. Straubel H., Непосредственная кристаллическая стабилизация ультракоротких, волн, "Phys. Zs. 32, 937—941 (1931).
488. Straubel H., Форма колебаний и температурный коэфициент кварцевых генераторов, Zs. Hochfr.-techn. 38, 14—27 (1931).
489. Straubel Н., Кристаллическая стабилизация ультракоротковолновых передатчиков, Zs. d. Ver. Deut. Ing. (Berlin) 76, 873—874 (1932).
490. Straubel H., Формы колебаний пьезоэлектрических кристаллов, Phys. Zs. 34, 894—896 (1933).
491. Straubel H., Температурный коэфициент, форма колебаний и амплитуда пьезоэлектрических генераторов, Phys. Zs. 35, 179—181 (1934).
492. Straubel Н., Температурный коэфициент кварцевых генераторов, Phys. Zs. 35, 657—658 (1934).
45 Кэди
706
Общая библиография
493. S t г a u b е 1 Н., Температурный коэфициент кварцевых генераторов, Zs. f. techn. ' Ph(ys. 15, 627—629 (1934).
494. S t r a u b e 1 H., Кристаллическая стабилизация дециметровых волн, Zs. f. techn. Phys. 16, 627—629 (1935).
495. S t r a u b e 1 H., Кристаллическая стабилизация ультракоротких волн, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 46, 4—6 (1935).
496. S t r a u b e 1 H., Кристаллическая стабилизация дециметровых волн, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 47, 152—154 (1936).
497. Strong J. А., Новый метод исследования форм колебаний кварцевых кристаллов, Nature 129, 59 (1932).
498. Sykes R. А., Формы движения в кварцевых кристаллах, влияния связи и методы проектирования, Bell Syst. Techn. Journ. 23, 52—Фб (1944).
499. Sykes R. А., Принцип монтировки кварцевых пластинок, Bell Syst. Techn. Journ. 23, 178—189 (1944).
500. S z ё k e 1 у А., Простой метод определения первого пьезоэлектрического модуля кварца измерениями на кварцевом резонаторе, Zs. f. Phys. 78, 560—566 (1932).
501* . Takagi N. и Miyake Y., Колебания по толщине ^пластинки сегнетовой соли, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. (Japan) 4, 120 (1940).
502. Takagi N. и (N i k a s e H., Новые характеристики пентодного кварцевого генератора, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. (Japan) 2, 22—23 (1938).
503. T a m a r u T., Определение пьезоэлектрических констант кристаллов винной кислоты, Phys. Zs. 6, 379 (1905).
504. Taschek R. и Osterberg H., Кристаллическая симметрия и сдвиговые постоянные сегнетовой соли, Phys. Rev. 50, 572 (1936).
505. Tawil Е. Р., Об изменении оптических свойств пьезоэлектрического кварца под воздействием высокочастотных электрических полей, Compt. rend. 183, 1099—1101 (1926).
506. Tawil Е. Р., Наблюдения пьезоэлектрического кварца при резонансе, Compt. rend. 185, 114—116 (1927).
507. Tawil Е. Р., Колебания пьезоэлектрического кварца, видимые в поляризованном свете, Bull. soc. fran. de mineral. 129S (16 ноября 1928).
508. Tawil E. P., Новый метод получения электричества кручением кварцевых кристаллов, Compt. rend. 187, 1042—1044 (1928).
509. Tawil Е. Р., Колебания пьезоэлектрического кварца, видимые в поляризованном свете, Rev. gen. de 1’electr. 25, 58 (1929).
510. Tawil E. P., О колебаниях вдоль оптических осей в колеблющемся пьезоэлектрическом кристалле кварца, Compt. rend. 189, 163—164 (1929).
511. Tawil Е. Р., Стоячие ультразвуковые волны, наблюдаемые визуально методом полос, Compt. rend. 191, 92—95 (1930).
512. Tawil Е. Р., Появление электричества в кварцевых кристаллах при изгибе, Compt. rend. 192, 274—277 (1931).
513. Tawil Е. Р., Законы образования электрических зарядов в кварце при кручении, Compt. rend. 199, 1025—1026 (1934).
514. Tawil Е. Р., Замечания о появлении электричества в кварце при кручении, Compt. rend. 200, 1088—1090 (1935).
515. Tawil Е. Р., Замечания о появлении электричества в кварце при кручении и об обратном явлении, Compt. rend. 200, 1306—1308 (1935).
516. Т awil Е. Р., О пьезоэлектрическом хронографе, Compt. rend. 202, 1016—1018 (1936).
517. Terry Е. М., Зависимость частоты кварцевых пьезоэлектрических генераторов от постоянных контура, Proc. Inst. Radio Eng. 16, 1486—1506 (1928).
518. Thomson W. T., Влияние вращательной и боковой инерции на колебания изгиба призматических брусков, Journ. Acous. Soc. Amer. 11, 198—204 (1939).
519. Thurston G. M., Плоскопараллельность кварцевых пластинок, Bell Laborat. Record 22, 435—439 (1944).
520. Thurston G. M., Установка для испытания кристаллов, Bell Labor. Record 22, 477—480 (1944).
521. Tolansky S., Топография грани кристалла кварца, Nature 153, 195—196
(1944).
522. Tournier M., История и применения пьезоэлектричества, Electr. Commun. 15, 312—327 (1937); Elecktr. Nachr. techn. 15, 320—334 (1937).
523. Tsi-Ze N у, Электрические деформации кварца, Compt. rend. 184, 1645—1647 (1927).
524. Tsi-Ze N у, Экспериментальное изучение деформаций и изменений оптических свойств кварца под влиянием электрического поля, Journ. de phys. et rad. 9, 13—37 (1928).
Общая библиография
7 07
525- . Т s i-Z е N у, Поперечные круговые колебания пустотелого кварцевого цилиндра, Compt. rend. 204, 226—228 (1937).
526. Tsi-Ze Ny и Ken g-Y i, Колебания кварцевых пластинок, вырезанных по различным плоскостям относительно оптической оси, Compt. rend. 204, 1059—1069 (1937). ь
527. Tsi-Ze Ny и Chung Min g-S a n, (Состояния колебаний пустотелого кварцевого цилиндра, Journ. de phys. et rad. 9, 52—56 (1938).
528. Tsi-Ze N у и S u n-H u n g F., О периферийных колебаниях пустотелого цилиндрического кварцевого осциллятора, Chinese Journ. of Phys. 2, 145—153 (1936).
529. Tsi-Ze N у и S u n-H u n g F., О поперечных круговых колебаниях пустотелого кварцевого цилиндра, Compt. rend. 203, 461—463 (1936).
530. Tsi-Ze N у и Lin g-C h а о T s i e n, Колебания пустотелых кварцевых цилиндров, вырезанных вдоль оптической оси, Nature 134, 214—215 (1934).
531. Tsi-Ze Ny и Ling-Chao Tsien, Электризация 'при кручении кристаллов кварца, Compt. rend. 198, 1395—1396 (1934).
532. Т s i-Z е N у и Lin g-C h а о Tsien, Законы образования электрических зарядов при кручении кристаллов кварца, Compt. rend. 199, 1101—1102 (1934).
533. Tsi-Ze Ny и Ling-Chao Tsien, Колебания пустотелого кварцевого ци-
линдра, Compt. rend. 200, 565—567 (1935).
534. Tsi-Ze N у и Lin g-C h a о Tsien, О законах электризации при кручении
кварца, Compt. rend. 200, 732—733 (1935).
535. Tsi-Ze N у и Lin g-C h a о Tsien, Электризация при закручивании кри-
сталла кварца, Chinese Journ. of Phys. 1, 41—53 (октябрь 1935).
536. Tsi-Ze N у, Lin g-C hao Tsien и Fang S u n-H u n g, Колебания пусто-
телых кварцевых цилиндров, вырезанных вдоль оптической реи, Proc. Inst Radio Eng. 24, 1484—1494 1(1936).
537. Tykocinski-Tykociner J. и Woodruff M. W., Колебания изгиба пьезоэлектрических кварцевых брусков и пластинок, Univ. Illinois ВиЧ. 34, No. 291 (1937).
538. Uda Н. и Watanabe Н., Ультракоротковолновой кварцевый генератор, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. (Japan) 2, 94—95 (1938).
539. У с т ь я н о в В. И., О влиянии слоя золота на кристалле кварца на его логарифмический декремент, Изв. электропром. слабого тока № 4, 44—48 (1938).
540. Usui R., Круговые диаграммы кварцевого генератора. Journ. Inst. Electr. Eng. (Japan) 54, 201—213 (1934); английское резюме стр. 21—24.
541. Valasek J., Пьезоэлектричество и связанные с ним явления в сегнетовой соли, Phys. Rev. 17, 475—481 (1921).
542. Valasek J., Пьезоэлектрическая активность сегнетовой соли при различных условиях, Phys. Rev. 19, 478—491 (1922).
543. Valasek J., Свойства сегнетовой соли, связанные с пьезоэлектрическим эффектом, Phys. Rev. 20, 639—664 (1922).
544. Valasek J., Диэлектрические аномалии кристаллов сегнетовой соли. Phys. Rev. 24, 560—568 (1924).
545. Valasek J., Заметка о пьезоэлектрическом эффекте в кристаллах сегнетовой соли, Science 65, 235—236 (1927).
546. Valasek J., Поглощение инфракрасных лучей кристаллами сегнетовой соли, Phys. Rev. 45, 654—655 (1934).
547. Van Dyke К- S., Электрическая скема, эквивалентная пьезоэлектрическому резонатору (реферат), Phys. Rev. 25, 895 (1925).
548. Van Dyke К. S., Применение катодного осциллографа при изучении явлений резонанса в пьезоэлектрических кристаллах (реферат), Phys. Rev. 31, 303 (1928).
549. Van Dyke К. S., Некоторые опыты с колеблющимися кварцевыми сферами (реферат), Proc. Inst. Radio Eng. 16, 706—707 (1928); Phvs. Rev. 31, 1113, 1133 (192&).
550. Van Dyke K. S., Пьезоэлектрический резонатор и его эквивалентная схема, Proc. Inst. Radio Eng. 16, 742—746 (1928).
551. Van Dyke K- S., Измерение декремента пьезоэлектрических резонаторов (реферат), Proc. Inst. Radio Eng. 18, 1989 (1930).
552. Van Dyke K. S., Электрическая схема, эквивалентная пьезоэлектрическому резонатору (реферат), Phys. Rev. 40, 1026 (1932).
553. Van Dyke К. S., Температурное изменение вязкости и пьезоэлектрической константы кварца (реферат), Phys. Rev. 42, 587 (1932).
554. Van Dyke К- S., Определение некоторых свойств пьезоэлектрического кварцевого резонатора, Proc. Inst. Radio Eng. 23, 386—392 (1935), Document AG No. 24, Comm. I, Proc. Gen. Assemb. Intern Sci. Radio Union (1934).
45*
708
Общая библиография
555. VanDyke К. S., Заметка об особенном случае излома кварцевого резонатора, Journ. Appl. Phys. 8, 567—568 (1937).
556. Van DykeJC S., Некоторые необычные опыты с пьезоэлектрическими резонаторами (реферат), Phys. Rev. 53, 686 (1938).
557. Van Dyke К. S., Формы колебаний с низким декрементом в случае кварцевого кольца (реферат), Phys. Rev. 57, 945 (1938).
558. Van Dyke К. S., О правизне и левизне кварца и их связи с упругими и другими свойствами, Proc. Inst. Radio Eng. 28, 399—406 (1940).
559. Van Dyke K- S. и Thorndike A. M., Метод трех кристаллов при измерениях кварцевого резонатора (реферат), Phys. Rev. 57, 560 (1940).
560. V е с с h i а с с h i F., Частотная устойчивость пьезоэлектрических эталонов, L’Elettrotecnica (Milan) 15, 462—468 (1928).
561. V е с с h i а с с h i F., Пьезогенераторы с большой частотной устойчивостью, L’Elettrotecnica (Milan) 18, 79—89 (1931); Livorno Publication 55.
562. Vecchiacchi F., Успехи в области изготовления пьезоэлектрических эталонов частоты и стабилизаторов, Rass. poste, telegr. е teleph. (Rome) 10, 5—8 (октябрь 1931).
563. Veen A. L. W. E. van der, Симметрия алмаза (диссертация), Delft, 1911; Zs. f. Kristallographie 51, .545—590 (1913).
564. Венков M. M., Принцип проектирования кристаллодержателя для пьезокварцевого стабилизатора, Изв. электропром. сл. тока № 6, 39—44; № 7, 35—41 (1935).
565. V i g n е s s J., Обратные пьезоэлектрические свойства сегнетовой соли, Phys. Rev. 46, 255—257 (1934).
566. Vigness J., Расширение сегнетовой соли, Phys. Rev. 48, 198—202 (1935).
567. V i g о u г е u х J. E. P., Вывод формул постоянных эквивалентной электрической схемы кварцевого резонатора, выраженных через упругие и пьезоэлектрические константы, Phil. Mag. 6, 1140—1153 (1928).
568. V i g о u г е u х J. E. P., Ламповый кварцевый генератор, Journ. Inst. Electr. Eng. (England) 68, 265—295 (1930); обсуждение—стр. 867—872; Proc. Wireless
Section, Inst. Electr. Eng. 5, 41—71 (1930).
569. Voigt W., Общая теория пьезо- и пироэлектрических свойств кристаллов, Abh. Ges. d. Wiss. Gott. 36, 1—99 (1890).
570. Voigt W., Можно ли пироэлектричество кристаллов приписывать всецело пьезоэлектрическим эффектам? Nachr. Ges. d. Wiss. Gott. (math.-phys. KI) 166—194 (1898); Ann. d. Phys. 66, 1030—1060 (1898).
571. Voigt W., О пироэлектричестве центросимметричных кристаллов, Nachr. Ges. d. Wiss. Gott, (math.-phys. KI) 394—437 (1905).
572. Voigt W., Замечания о некоторых новых исследованиях пиро- и пьезоэлектричества турмалина, Ann. d. Phys. 46, 221—230 (1915).
573. Voigt W., Теория и опыты пьезоэлектрического возбуждения цилиндра кручением и изгибом, Ann. d. Phys. 48, 433—448 (1915).
574. Voigt W„ Вопросы пиро- и пьезоэлектричества кристаллов, Phys»» Zs. 17, 287—293, 307—313 (1916).
575. Voigt W., Пиро- и пьезоэлектричество. Экспериментальное определение перманентных центросимметричных моментов, Phys. Zs. 18, 59—67 (1917).
576. Voigt W. и Fredericksz JV., Пьезоэлектрическое возбуждение цилиндра кручением и изгибом, Ann. d. Phys. 48, 145—176 (1915).
577. Wachsmuth R. и Auer H., Механические колебания пьезоэлектрически возбужденного кварца, Zs. f. Phys. 47, 323—329 (1928).
578. Wagner К- W., Клинообразные пьезоэлектрические резонаторы, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 47, 28 (1936).
579. Warren В. E. и Krutter H. M., Рентгенографическое исследование кристаллического строения сегнетовой соли и влияния температуры (реферат), Phys. Rev. 43, 500 (1933).
580. Wataghin G. и S ас er dote G., Оптическое исследование поверхности колеблющегося пьезоэлектрического кварца; эффект Допплера при ускорении, Alti accad. sci. Torino 66, 424—427 (1930—1931).
581. Watanabe Y., Пьезоэлектрический резонатор в высокочастотных колебательных контурах, Proc. Inst. Radio Eng., 18, 695—717, 862—893 (1930); Elektr. Nachr.-techn. 6, 45—64 (1928).
582. Wheeler L. P., Анализ схемы пьезоэлектрического генератора, Proc. Inst. Radio Eng. 19, 627—646 (1931).
583. Wheeler L. P. и. Bower ,W. E., Новый тип пьезоэлектрического генератора эталонной частоты, Proc. Radio Eng. 16, 1035—1044 (1928).
584. Willard G. M., Сырой кварц, его дефекты и осмотр, Bell Syst. Techn. Journ. 22, 338—361 (1943).
Общая библиография
709
585. Willard G. М., Обследование и определение направления осей кристаллов кварца, Bell Labor. Record 22, 320—326 (1944).
586. Willard G. M., Применение техники травления для определения ориентации и двойникования в кристаллах кварца, Bell Syst. Techn. Journ. 23, 11—51 (1944).
587. Williams N. H., Формы колебаний пьезоэлектрических кристаллов, Proc. Inst. Radio Eng. 21, 990—995 (1933).
588. Wilson A. J. С., Теплоемкость сегнетовой соли между —30° и Ц- 30°С, Phys. Rev. 54, 1103—1109 (1938).
589. Wolf К., Колебания изгиба в тонком стержне, Sitz.-her. Akad. d. Wiss. Wien (math.-naturwiss. KI) 143, 79—86 (1934).
590. Вологдин В., Умножение частоты применением конденсатора с диэлектриком из сегнетовой соли, Zs. f. techn. Phys. 13, 82—84 (1982).
591. Wood R. G. и McCale G. H., Простой прибор для обнаружения пироэлектрического эффекта в кристаллах, Journ. Sci. Instr. 17, 225—226 (1940).
592. Воробьев В., Кристаллографическое исследование турмалина с Цейлона и из некоторых других месторождений, Zs. f. Kristallographie 33, 263 и далее (1900). ‘
593. Wright J. W., Генератор с пьезоэлектрическим кристаллом, Proc. Inst. Radio Eng. 17, 127—142 (1929).
594. Wright R. В. и Stuart D. M., Некоторые опытные исследования колебаний кварцевых пластинок, Journ. of Research Nat. Bur. Stand. 7, 519—553 (1931).
595. Yoda H., Термические характеристики колебаний пьезоэлектрических срезов AT, YT, Rep. Radio Researches a. Works (Japan) 5, 77—87 (1935).
596. Yoda H., Кварцевые срезы YT, Journ. Electrotechn. Lab. Min. of Comm. (Jqpan) 2, 96 J1938).
597. Zacek А. и Petrzilka V, О клинообразных пьезоэлектрических резонаторах, Hochfreq.-techn. u. El.-akust. 46, 157—159 (1935). __
598. Zacek А. и Petrzilka V., Радиальные и крутильные колебания кварцевых пластинок кольцеобразной формы, Phil. Mag. 35, 164—175 (1938).
599. Закс Е. О. и У с т ю ж а н и н о в В. П., Низкочастотные светящиеся пьезокварцевые резонаторы, Изв. электропром. сл. Цока № 1, 32—40 (1934).
600. Z е 1 е и у А. и V а 1 a se k J., Изменение диэлектрической постоянной кристаллов сегнетовой соли в зависимости от частоты и напряженности поля, Phys. Rev. 46, 450—453 (1934).
601. Зеляк Е. Б. и Великин И. И., Эквивалентные схемы четырехэлектродного кварцевого резонатора, Изв. электропром. сл. ^ока, № 3, 46—50 (1938).
602. Z w i с к е г В., Scherrer Р., Электрооптическое поведение кристаллов КН2РО4 и KD2PO4, Helv. Phys. Acta 16, 214—216 (1943).
КНИГИ
603. Auerbach F. and Hort W., Handbuch der Physikalischeri und technischen Mechanik 3, Leipzig, 1927, 468 стр.
604. Barton E. H., A Text-Book on Sound, London, 1919, 687 стр.
605. В e d e a u F., Le Quartz piezo-electrique et ses applications datas la technique 'des ondes hertziennes (Memorial des sciences physiques, Fasc. VI), Paris, 1928, 64 стр. 1
606. Bergmann L., Schwingeride Kristalle und ihre Ariwendung in der Hochfrequenz-und Ultraschalltechnik, Leipzig, 1937, 47 стр.
607. Bergmann L., Der Ultraschall und seine Anwendung in Wissenschaft und Technik, Berlin, 1937, 230 стр.; 2-е изд., 1939, 358 стр.; 3-е изд., 1942, 445 стр.
608. Борн М. и Гепперт-Мейер, Теория твердого тела, 'Л.—М., 1938, /364 стр.
609. Борт М., Оптика, Харьков—Киев, 1937, 794 стр. (глава, посвященная кристаллооптике) .
610. Bragg W. L., Atomic Structure of Minerals, Ithaca, New York, 1937, 292 стр.
611. Crandall I. B., Theory of Vibrating Systems and Sound, New York, 1926, 272 стр.
612. Curie P., Oeuvres de Pierre Curie, Paris, 1908, 621 стр.; содержит следующие работы по пьезоэлектричеству (страницы по Oeuvres de Pierre Curie указаны курсивом): (a) Compt. rend. 91,234 (Т880), 6; (б) Compt. rend. 91, 383 (1880), 10; (в) Compt. rend. 92, 186 (1881), 15; (r) Compt. rend. 92, 350 (1881); Journ. de phys., 2 ser. 1, 245 (1882), 18; (д) Compt. rend. 93, 204 (1881); Joutn. de phys., 2 ser. 1, 245 (1882), 22; (e) Compt. rend. 93, 1137 (1881) 26; (ж) Gom/pt.
rend. 95, 914 (1882), 30; (з) Bulletin des seances de la societe framjaise de physique, стр. 47 (1887), 33; (и) Compt, rend, 106, 1287 (1888); Jotirn, de phys.,
710
Общая библиография
2d sen 8, 149 (1889), 35; (к) Anri, de chim. et de phys., 6 ser. 17, 392 (1889), 554; (л) Journ. de phys., 3 sen 3, 393 (1894), Ч\18. Работы (з) и принадлежат П. Кюри, (к) — Ж. Кюри, остальные — П. и Ж. Кюри.
613. Кюри Мария, Радиоактивность, М.—Л., 1947, 520 стр.
614. Dake Н. С.. Fleener F. L. and Wilson В. Н., Quartz Family Minerals, New York, 1938, 304 стр.
615. Dale A. B., The Form and Properties of Crystals. Cambridge — London, 1932, 186 стр.
616. D a v e v W. P., A Study of Crystal Structure and its Applications, New York, 1934, 695 стр.
617. Дебай П., Полярные молекулы, М.—Л., 1931, 247 стр.
618. Debye Р. and Sack Н., Theorie der elektrischen Molekulareigenschaften, Haridbuch der1 Radiologie, 2-е изд., т. 6, ч. 2, стр. 69—204, 1934; выпущена также отдельной книгой (Leipzig, 1934).
619. Encyclopadie der mathematischen Wissenschafteri, под ред. А. Зоммерфельда, т. 5, Leipzig, 1903—1926.
620. Fowler R. H., Statistical Mechanics, 2-е изд., London, 1936, 864 стр.
621. Geiger H. und Scheel K-, Handbuch der Physik, Berlin. T. 6, 1927: Pfeiffer F., Теория колебаний, в1 том числе колебаний кристаллов, стр. 334—403; Geckeler J. W., Упругость кристаллов (указана литература и числовые данные), стр. 404—427. Т. 8. 1927: Lichte Н„ Пьезоэлектрические генераторы звуковых волн. стр. 332—335. Т. 12, 1927: Giintherschulze А’., Электрострикция, стр. 555—559. Т. 13,Т928: Falkenhageri Н., Пиро- и пьезоэлектричество (с некоторыми практическими применениями), стр. 291—331.
622. Graetz L., Handbuch der Electricitat und des Magnetismus, т. 1. Leipzig, .T918; H i r s c h R. von, Электрострикция, стр. 262—270; Riecke E., Пиро- и пьезоэлектричество, стр. 342—419.
623. Гр а м о н А. де, Исследование пьезоэлектрических свойств кварца, Москва, 1938, 92 стр.
624. Грот П., Физическая кристаллография и введение к изучению кристаллографических свойств важнейших соединений, СПБ, 1897; также Groth Р., Elemente der physikalischen und chemischen Krystallographie. Munich — Berlin, 1921, 363 стр.
625. Handel P. von, Grundlagen der Kurzwell-Sendung в книге Hochfrequenztech-nik in der Luftfahrt (редактор H. Fassbender), Berlin, 1932, стр. 228—248.
626. H i e d e m a n n E., Grundlagen und Ergebnisse der UJtraschallforschung, Berlin. 1939, 257 стр.
627. Hintze G., Handbuch der Mineralogie, Leipzig, 1897—1933.
628. Hon ess A. P., The Nature, Origin and Interpretation of the Etch Figures on Crystals, New York, 1927, 171.
629. Hund A., Hochfrequenzmesstechriik. 2-е изд., Berlin, 1928, 526 стр.
630. Hund A., High-frequency Measurements, New York, 1933, 491 стр. &
631. Справочник физических, химических и технологических величин (прилож. к Технической энциклопедии), т. 5, стр. Ill—Т18; Кэди В. Г., Электроупругие и пироэлектрические явления, Москва, 1930.
632. Иоффе А. Ф., Физика кристаллов, М.—Л., 1929, 192 стр.
633. Koga L, Elements of Piezoelectric Oscillating Crystal Plate, Institute of Electrical Engineers of Japan, 1933, 76 стр. (на японском языке).
634. Курчатов И. В., Сегнетоэлектричество, Москва, 1933, 104 стр.
635. Lamb Н., The Dynamical Theory of Sound, London. 1910, 303 стр.
636. Л я в А. Э., Математическая теория упругости, М.—Л., 1935, 674 стр.
637. Mason W. Р., Electromechanical Transducers and Wave Filters, New York, 1942, 333 стр.
638. Marx E., Handbu'dh der Radiologie, Leipzig, 2-е изд., т. 6, Die Theorien der Radiologie, 1934.
639. Moullin E. B., The Theory and Practice of Radio Frequency Measurements. 2-е изд., London, 1931, 487 стр.
640. Myers L. M., Television Optics. An Introduction, New York, 1936, 338 стр.
641. Petr zil ka V. and Slavik J. B., Piezoelektrina — A Jeji Pouziti v Tech'nicke Praxi, Praha, 1940, 117 стр.
642. Pockets F., Uber den Einfluss des Elektrostatischen Feldes auf das optische Verhalten piezoelektrischer Krystalle, Gottingen, 1894, 204 стр.
643. Pockels F., Lehrbuch der Kristalloptik, Leipzig—Berlin, 1906, 519 стр.
644. Роу noting, J. H. and Thomson J. J., A Textbook of Physics, t. 4, Electricity and Magnetism, part I, London, 1920, Pyroelectricity and Piezoelectricity, стр. 148—163.
Общая библиография
711
645. Рэлей, Теория звука, т. I, М.— Л., 1940, 499 стр.; т. II, М.— Л., 1944, 476 стр.
646. Rogers A. F. and Kerr Р. F., Optical Mineralogy, New York, 1942, 390 стр.
647. Scheibe A., Piezoelektrizitat des Quarzes, Dresden — Leipzig, 1938, 233 стр.
648. Шубников А. В., Кварц и его применения, М. — Л., 1940, 194 стр.
649. S osman R. В., The Properties of Silica, New York, 1927, 856 стр.
650. Tu.tton A. E. H„ Crystallography and Practical Crystal Measurement, 2-е изд., London, 1922, 2 тома, 746 и 699 стр.
651. Van Vleck J. H., The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities, New York, 1932, 384 стр.
652. Vigoureux P., Quartz Resonators and Oscillators, London, 1931, 217 стр.
653. Vigoureux P., Quartz Oscillators and Their Applications, London, 1939, T31 стр.
654. Voigt W., Lehrbuch der Kristallphysik, Leipzig, 1-е изд., 1910, 964 стр.; 2-е изд., 1928, 978 стр., совпадающее с 1-м, за исключением сделанного во 2-м изд. добавления о вторичных эффектах при изгибе и кручении круговых цилиндров, основанного на работах [573] и [576].
655. Wien W. und Harms F., Handbuch der Experimentalphysik, ,Leipzig, t. 10, 1930: Hoffmann G., Электрострикция, стр. 262—267; Пиро- и пьезоэлектричество (с кратким изложением практических применений), стр. 327—345; т. 13, ч. 2, * 1928: Rothe Н., Кварцевые резонаторы, стр. 437—453; т. '.17, ч. 1, 1934: Schmidt Н., Колебания твердых тел (в том числе кристаллов), стр. 285—454; Grossmann Е., Ультразвук, стр. 469—534.
656. Winkelman n A., Hanldbuch der Physik, Leipzig, т. 4, ч. IF, 1905; G г а е t z L., Электрострикция, стр. 162—168; Pockels F., Пиро- и пьезоэлектричество,
стр. 766—791.
657. Wood R. W., Supersonics, the Science of Inaudible Sounds, Charles K- Colver lectures, 1937, Blrown University, Providence, R. I., 1939, 158 стр.
658. Woos ter W. A., A Text-book on Crystal Physics, London, 1938, 295 стр.
659. Wyckoff R. W. G., The Analytical Expression of the Results of the Theory of [Space-group]s, Carnegie Institute of Washington, 1922, 180 стр.; 2-е изд.,
1930, 180 стр.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Активность оптическая 666, 667
— резонатора 283
Актиноэлектричество 17, 651
Альфа-кварц (см. Кварц)
Аналогичный конец 41
Антилогичный конец 41
Антирезонанс 327, 334, 364, 370, 458, 461
Бензил 215
Бета-кварц 36, 42, 139, 153, 384, 670, 671
Биморфный пьезоэлемент 229, 617
Бравэ символы 40
— система 29
Брусок сложный 366
Восприимчивость 156— 159, 255
—, определения 508, 509
— сегнетовой соли 440 — 442, 514, 515, 527, 530, 547- 548, 564
Впадины метод 368, 374
Гексагональные кристаллы 29, 33
— —, оптические свойства 656
— —, пьезоэлектрические свойства 218, 219
Гидростатическое давление, пьезоэлектрические эффекты 187, 217
— —, — — в случае сегнетовой соли 527—529, 589
Гистерезис 269
— в случае сегнетовой соли 474, 500, 517-525, 547, 582
— в смешанных тартратах 603, 604
— в фосфатах и арсенатах 608, 609
Группы 45
Двойникование 42—44
— кварца 389, 393, 405
— сегнетовой соли 587
Декремент логарифмический 96, 99
Деформация 57—62
—, правила знаков 57
Диэлектрическая постоянная 156, 508
— — комплексная 170, 607
Диэлектрические свойства кристаллов 156-171
— — —, потери 169, 446
— — —, сравнение с упругими свойствами 248
Емкость резонатора параллельная 314—
315 321—325
Зсж- тьш кристалл 249, 252
Зазор, резонансная диаграмма с зазором 340
—, схема с зазором 315
Зазора влияние на эквивалентные постоянные 336—339, 346, 363 — — в случае сегнетовой соли 446 — — на поляризацию 162 — — на частоту 285, 305, 306, 409, 415
Зазора широкого влияние 346
Закон Кюри—Вейсса 683
— — — для сегнетовой соли 514, 515, 563—565, 571, 594, 595
— — — для смешанных тартратов 604
— — — для фосфатов и арсенатов 607
Закон Ленца 267
Зона 28
Изгиб 67—69, 228
Изоморфизм 44, 601
Изотропное твердое тело 54, 64, 109
Индексы рациональные 27
— Бравэ 29, 30
— кварца 39, 40
— Миллера 27—30
Инерция боковая 108
Кварц 35, 36, 48, 134—152
— , влияние облучения 405
— , вторичные пьезоэлектрические эффекты 262, 267
— , высокий фактор качества Q 430
— , геология 405
— , диэлектрическая постоянная 385— 387
— искусственный 37
—, колебания изгиба 416—419, 435
—, колебания кручения 419—421, 435
—, колебания сдвига 414, 415, 422
—, люминесценция 383
—, монтировка и держатели 399—403
—, оптические исследования 388—397, 405
—, оси 379—382, 387—398, 405
— , осмотр 405
— , плотность 384
— правый и левый 38, 379—382
— , прочность на раздавливание 382
— , пьезоэлектрические коэфициенты 208-215
— , разрыв 383
— , распиловка и доводка 398
— , расширение тепловое 384
— , свойства 379—398, 403
— , структура 669—672
— , твердость 382
— , температурный коэфициент частоты 414, 421—430
Предметный указатель
713
Кварц, теплопроводность 383, 384
—, технология 398—404
—, травление 391—397
—, удельная теплоемкость 383, 384
—, упругость 134—152
—, электропроводность 385
Кварцевые часы 467, 471
Кварцевый шар 393—395, 411, 427
Керра эффект 663, 664
Классы кристаллов 26, 30, 32, 62
— — пироэлектрические 641
— — пьезоэлектрические 185—187
Колебания 92—118
— вынужденные 97
— • затухающие свободные 101
— изгиба 94, 115—117, 228
— контурные 425
— — сегнетовой соли 447
— кручения 94, 117—118, 229, 465
—, нормальные формы 94
—, обертоны 99, 114, 116, 416
— по длине 95—108, 118, 228, 271, 275—290, 337, 363, 406—412, 443
— — — в сегнетовой соли 575—577 — по толщине 109—113, 118, 228, 272, 290—307, 336, 337, 348, 364, 372
— — — затухающие 112
— — — кварца 140, 412—414, 423— 425
— — — сегнетовой соли 128, 447
— свободные 334
— сдвига 94, 113, 414, 422, 424
— сдвига граней 425
— сжатия 94, 227
Константы механические резонатора 104, 442
— эквивалентные электрические 281, 288, 289, 314—359
— — — сегнетовой соли 441,442, 445
Контур Штраубеля 427
Коэфициент внутреннего трения 95
Коэфициенты пьезоэлектрические 53, 119—155, 193—225
— —, измерения 231—232, 362—367, 492
— — кварца 144, 208—215, 382, 672,
— — поперечные 187
— — сегнетовой соли 197—199, 504,
553, 575—577
— — турмалина 217, 218
Коэфициенты упругие 49, 58, 62
— —, измерение 120—121, 300—303
— — адиабатические 71, 122, 143, 152
154
— — кварца 134—152
— — поперечные 67
— —, преобразования уравнений 73— 87, 259
— — при колебаниях по длине 300
— — при колебаниях по толщине 300
— — при постоянной поляризации 256, 259, 260
— — при постоянном нормальном смещении 257, 296, 301, 445
— — при постоянном поле 51, 250, 300
Коэфйциенты упругие при постоянном смещении 250, 251, 256
— —, пьезоэлектрические приращения 256
— — сегнетовой соли 121—133, 575— 577
— — тартрата натрия-аммония 127
— — турмалина 152, 153
Кручение 69, 229
Кубические кристаллы 29, 33
— —, оптические свойства 653, 658
— —, пьезоэлектрические свойства 219—221
— —, упругие свойства 154, 155
Ланжевена функция 167, 591, 681—685
Масштабная окружность 318, 346 t
Масштабное значение импеданса 324
— — полной проводимости 318
— — частоты 320, 373
Метод замыкания ключа 360
— порошка 221
— щелчка 221, 360
Множители перевода единиц 183, 242
Модель пьезоэлектрических коэфициентов кварца 207
— упругих коэфициентов сегнетовой соли 129
— элементарной ячейки сегнетовой соли 674—675
Модуль Юнга 80, 95, 116, 126—127, 151
Моноклинные кристаллы 29, 32
— —, оптические свойства 654—657, 664
— —, пьезоэлектрические свойства 193 — — сегнетовой соли 536, 586, 589
Напряжение 55—57, 59—61, 73
влияние на упругие коэфициенты 129 — возбуждающее 97, 276,303 —, правила знаков 56, 59
Неймана принцип 24
Оси Бравэ 29
— кварца 379—382, 387, 397
— кристалла 27, 29
— Миллера 29
— оптические 654, 658
— ортогональные 29—30
— полярные 28, 41
— по системе Института радиоинженеров (ИРИ) 208, 379-382, 427
— пьезоэлектрические 188
Отношение осей 27
— — кварца 39
— — сегнетовой соли 34, 674
— — турмалина 42
— электромеханическое 282
Отображение 319
Парамагнетизм 680
Параэлектрики 474, 515, 543, 547
Пироэлектричество 640—651 . -
714
Предметный указатель
Пироэлектричество кварца 648, 651
— первичное 640, 642, 646, 647
— вторичное 640, 642
— третичное 640, 642
— сегнетовой соли 585, 646—648
— тензориальное 650, 651
—, теория 641—642
— турмалина 643—646, 651
—, электрокалорический эффект 649, 650
Поворот осей 73—91
— — в случае кварца 140—150, 160, 381
— —, определение положительного направления 75, 381
— —, пьезоэлектрические коэфициенты 188 — 191, 195, 196, 204 — 205, 214 — 217
Поляризация 156—162
—, молекулярная теория 165—169
— поперечная 191
— при однородном давлении 205
— при однородном поле 207
— продольная 191
— спонтанная 168, 184, 241, 243, 437
Поляризованный свет, применения при работе с кварцем 389—391, 434, 435
Поляризуемость 165, 592, 597
Постоянная внутреннего поля 165, 534
— — — магнитного 681, 688
— — — фосфатов и арсенатов 609 Постоянные диэлектрические 156—172 — — действующие 311
— — зажатого кристалла 295, 386, 537
— — кварца 385—387
— — комплексные 308—311, 607
— —, определения 508, 509
— — поперечные 158
— — при колебаниях по длине 277, 288
— — при колебаниях по толщине 295
— —, пьезоэлектрические приращения 254
— — резонатора 288
— — смешанных тартратов 601—603
— — фосфатов и арсенатов 605—608
Потенциал термодинамический 51—53, 235, 240
Превращение ар у кварца 139
Преобразователь 271, 614—630
— акустический 616, 619, 632—633
— для измерения давлений, ускорений и колебаний 614, 615, 633—637
— из сегнетовой соли 615—619
— , различные применения 636—637
Пространственные группы 26
— напряжения 179, 296
— решетки 26
— силы 55
Пространственный заряд 297
Пьезогенератор 272,455—472
— высокочастотный 465
— из сегнетовой соли 469
— низкочастотный 464
— по схеме Пирса 459—464
Пьезогенератор по схеме Пирса — Миллера 459—464
— пушпульный 464
— , разновидности 463
— , ранние типы 459
— со звуковой регулировкой 467
— со световой регулировкой 467
— стабилизованный по схеме мостика 467
—, теория 470
— турмалиновый 466, 470, 472
— эталонной частоты 467—469, 471
Пьезомагнетизм 45, 688
Пьезоэлектрические классы 45, 184—186
Пьезоэлектричество, возбуждение 226 — 230
—, восприймчивость 178
—, качественные испытания 232
— , коэфициенты деформации 178
— , коэфициенты напряжения 178
— некристаллических материалов 223
— , обратный эффект 19
— , основные уравнения 54, 177—182, 235—241
— , открытие 17
— тензориальное 650
— , теория Фогта 176—183, 238, 245
—, другие формулировки теории 234— 247
Радий, его влияние на кварц 214
Размерности пьезоэлектрические 178, 183, 242
Расстояние электрическое 263
Реактивное сопротивление механическое 105
— — эквивалентное параллельное 326
— — эквивалентное последовательное 324
Резонанс 101, 103, 104
—, кривая 351
—, окружность импеданса 325, 327,
375—377
— параллельный 317, 327—331, 344, 345
— последовательный 317, 327, 328, 329, 344, 345
Резонансная окружность 317—358, 375, 376
— —, квадрантальные точки 329
— —, частотная калибровка 319
Резонатор 270—313
— из сегнетовой соли 436—449, 453
—, импедансы 325, 355, 356, 357
—, исторические замечания 272
—, источники ошибок 230
— кварцево-жидкостный 453
—, колебания изгиба 228, 372, 449
—, колебания кручения 449
—, ' колебания по длине 275—291
—, монтировка и держатели 399—404
—, полная проводимость 330, 331, 346, 355
—, поляризация 278—281, 297
— при силах, приложенных в некото. рых точках 106
Предметный указатель
715
Резонатор, распределение потенциала 350
— сложный 450—454
— с параллельной емкостью 342
— , сравнение теорий 358
— с {5-кварцем 219, 434
— турмалиновый 450
— , энергия 335
Резонатор кварцевый 406—435
— — кольцеобразный 422, 435, 468
— —, пыльные фигуры 432—434
— — светящийся 431, 435
— —, специальные срезы 421—429
4— —, старение 404
— — с уменьшенным трением 412, 431
— —, цифровые данные 428, 429
— —, эффекты вращения 411
Рентгеновские лучи, ориентация кристаллов с их помощью 397, 405
— —, исследование структуры сегнетовой соли 594, 674
Решетка 23, 669—671
— , динамика 678
Родометр 397
Родоскоп 396
Ромбические кристаллы 29, 32, 81—83
— —, оптические свойства 657
— —, пьезоэлектрические свойства 194
— —, упругие свойства 121 — 134
Связи элемент пьезоэлектрический 612
Сдвиг 59—62
— , правило знаков 59
— , пьезоэлектрическое возбуждение 228
Сегнетова соль, аномалии 437, 473, 534— 535
— —, времена релаксации 170, 483, 499, 505, 506
— —, вторичные эффекты 262, 267
— —, выращивание кристаллов 484, 485, 581
— —, высокочастотные срезы 443
— —, дефекты 486
— —, диэлектрическая постоянная 440—442, 480, 513—516, 525—527, 529, 583
— —, диэлектрические свойства 474
— —, загрязнение поверхности 511
— —, запаздывание и усталость 504, 505, 510—512
— —, история 476
— —, квадратичный эффект 562—563
— —, коэрцитивная сила 518, 530, 548, 576, 583, 587
— —, коэфициент насыщения 539 и сл.
— —, кристаллография 34, 47
— —, моноклинное зажатие 538
— — на тяжелой воде 133, 199, 529— 531
— —, нормальный метод 539, 552
— —, области спонтанной ориентации 437, 476, 535, 579-590, 647, 673
— —обратимость 503
— —, обратный эффект 474, 497—504
— —, общие свойства 478—483
— —, ориентация 197
Сегнетова соль, полиморфизм 585
— —, поляризационная теория 244, 536, 540, 558, 577, 578, 616
— —, прямой эффект 474, 492 — 497, 502—504
— —, пьезоэлектрические коэфициенты 197—199, 504, 554, 575
— —распиловка 485
— —, расширение термическое 479, 588
— —, ромбический метод 539, 543
— —, ромбическое зажатие 537, 538, 541—545, 568
— —, спонтанная деформация 241,
499, 536, 541, 568, 588
— —, спонтанная поляризация 476, 521, 545—550, 565, 582, 586
— —, срез L 196, 619
— —, стереографическая проекция 47
— —, структура 673—675
— —, температурные эффекты 130, 444 , 493 - 497 , 517-531, 543-550
— —, теория внутреннего взаимодействия 532— 552
— —, точка Кюри 473, 524, 536, 545, 587, 592, 593
- - удельная теплоемкость 481
— —, униполярность 497, 499, 512, 513, 580
— —, фигуры травления 478
— —, шлифовка и доводка 487—489
— —, электроны 489—491 Сегнетоэлектрики 22, 473—611 —, происхождение термина 533
— , теория для интервала между точками Кюри 567—573
Симметрия кристаллов 30, 31
Система Бравэ—Миллера 29
Системы кристаллографические 28, 29, 32, 158
Скорость волн 94, 96, 115
— на конце бруска 283
Смеси изоморфные 44, 601— 606
Смещение механическое 96, 111
— электрическое 156—159, 162, 164, 236, 239
Сопротивление, влияние на резонатор 354
— механическое 105
— эквивалентное параллельное 326
— эквивалентное последовательное 324
Спайность 39, 383, 486, 646
Срезы кварца косые 421—429, 434
____ _ 424
— — АТ 423—428, 429, 435, 466, 468
— — ВС 424
- — ВТ 423—428, 429, 435, 466
— — СТ 425 , 428 , 434
— — DT 423, 425, 427, 428, 435
— — ЕТ 426
- - Т7 426
— — GT 422, 425, 427, 428, 468
— — МТ1 422, 426, 428
— ' - NT 422, 426, 428
- - V 426, 435
- — -¥ 413, 414, 429, 469, 614, 615
— — У 414, 422, 429
716
Предметный указатель
Срезы кварца YT 426
— • - под углом —5° 423, 427, 428, 613
— — под углом 18,5° 423,” 427, 428, 613
Срезы кристаллов 88
Стабилизатор 272, 455—458
Стереографическая проекция 40, 46, 47 Схема эквивалентная 283, 367, 456, 457
Тартрат аммония 194, 645
— аммония-натрия 200, 450, 601—605
— бария-антимонила 201
— калия 194, 645
— натрия 194
— смешанный 599, 601—605
— —, диэлектрические постоянные 602-604
— стронция 645
— рубидия 215
— таллия-нат| ия 601—605
Тартратов пьезоэлектрические свойства 604, 605
Температурные коэфициенты 130—133, 136-140, 422
Теорема взаимности 236
Теория внутренних полей 236—239, 591—600
— заряда 238, 239
— поляризации 198, 211, 236—247, 261, 439
— смещения 237—240
Тетрагональные кристаллы 29, 32, 200, 201
— —, оптические свойства 655, 656
Толщина эффективная 298
Точечные группы 26
Трение внутреннее 45, 290
Тригональные кристаллы, оптические свойства 655, 656, 658
— —, пьезоэлектрические свойства 202—218
Триклинные кристаллы 29, 32, 174
— —, оптические свойства 653—656
Турмалин 17 , 41, 48 , 215,217 , 433 , 450, 650, 660
—, диэлектрическая постоянная 450
—, плотность 450
—, пыльные фигуры 433, 450
—, температурный коэфициент 470
Удельная теплоемкость фосфатов и арсенатов 609
Ультразвук 619—629, 637—639
—, влияние интенсивного излучения 626
— в телевидении 629, 637
—, генератор Ланжевена 620—622
—, интерферометр 624, 627, 637
—, кристаллический генератор 622—626, 637
—, оптические эффекты 627—630, 637
—, световые реле 628, 637
Упругость 45, 49—72
— , геометрическое представление 87
— , коэфициенты 57, 58
— и сжимаемость 71, 128
Упругость, сопоставление с диэлектрическими свойствами 248
фактор качества Q 96, 97
— — кварца 430
Ферромагнетизм 680—688
—, восприимчивость 680, 683
— , гистерезис 686, 687
— , закон Кюри 680
— , закон Кюри-Вейсса 683—685
— , магнетокалорический эффект 687
— , магнетострикция 686
— , области спонтанной ориентации 685, 687
—, спонтанное намагничивание 683, 687
— , точка Кюри 683
Ферромагнитная аналогия 473, 687
Фигуры травления 44
— — кварца 392—395
— — сегнетовой соли 478
Фильтр 369, 612-614, 631, 632
Формы колебаний нормальные 94
Фосфаты 201, 605-611, 675
— , структура КН2РО< 675
Частота 95
— гармоническая 99, 111, 287, 288, 348
— критическая 101, 326, 333, 334
— основная 99
— резонансная 372
— , температурный коэфициент 421
Частотная константа 428
— характеристика 316
Шенфлиса символы 31
Эквивалентная масса 104
Электреты 223—225
Электрическая эквивалентная схема 314—359, 457
Электроды, расположение их на кристалле 226—229
— короткие 227, 286—289
—, оптимальная длина 289
Электромеханическое отношение 282
Электрострикция 19, 192, 563
Элементарная ячейка 23, 25, 669 — 671,
673, 675
Эллипсоиды 61, 112,164, 165
— оптические 652—654, 656, 658, 665
Энантиоморфизм 33, 38, 42,
379—382, 473, 478, 666
Энергии уравнения 53—54, 179, 238, 240, 540, 642
Энергия в диэлектриках 169—170, 268, 573
Эффект вторичный 50
— — пьезоэлектрический 248—269
— квадратичный 536, 562—563
— обратный 19, 173, 181
— первичный 50, 640, 642, 648
— поперечный 175, 186
— продольный 175, 186
— прямой 19, 173, 181
— теплового расширения 45
— термоупругий 50, 53
Предметный указатель 71?
Эффект третичный 640, 648
— электрокалорический 50, 649, 650
Эффекты оптические 652—667
— — в 661 двуосных кристаллах 654, 658,
— — В кварце 658, 660—662
— — В одноосных кристаллах 654,
656, 658
— — в сегнетовой соли 658, 660, 662,
663
Эффекты оптические, константы поляризации 655, 656, 660
Эффекты пьезооптические 45 , 656—659, 664
— электрооптические квадратичные 663—664
— электрооптические линейные 45, 659-663
— связи 408, 422, 424, 435
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ...........................
Из предисловия автора.............................
Пере ч ень табли ц...................................
Символы и Глава I. Глава II. Глава III. Глава IV. Глава V. Глава VI. Глава VII. Глава VIII. Глава IX. Глава X. Глава XI. Глава XII. Глава XIII. Глава XIV. Глава XV.
Глава XVI. Глава XVII. Глава XVIII. Глава XIX. Глава XX. Глава XXI. Глава XXII. Глава XXIII.
Глава XXIV.
Глава XXV.
Глава XXVI.
Глава XXVII.
сокращения...............................................
Введение ............................................
Кристаллография........................................
Упругость кристаллов ..................................
Повороты осей и преобразование упругих коэфициентов . .
Колебания кристаллов ..................................
Упругие коэфициенты кристаллов.........................
Диэлектрические свойства кристаллов.........'..........
Основы пьезоэлектричества ..............................
Пьезоэлектрические свойства некоторых кристаллов........
Получение и измерение пьезоэлектрических эффектов ....
Различные формулировки пьезоэлектрической теории ....
Вторичные пьезоэлектрические эффекты...................
Пьезоэлектрический резонатор ...........................
Электрическая эквивалентная схема пьезорезонатора ....
Динамическое, измерение пьезоэлектрических и эквивалентных электрических констант .................................
Свойства и технология кварца ..........................
Кварцевый резонатор • ..................................
Резонаторы из других кристаллов и сложные резонаторы . . . Пьезоэлектрический генератор . . .......................
Сегнетова соль. Общие свойств^ и технология.............
Сегнетова соль. Исследование пьезоэлектрических свойств . . Сегнетова соль. Исследование диэлектрических свойств- . . . Теория поляризации в кристаллах сегнетовой соли. Теория внутреннего взаимодействия и диэлектрические свойства . . Теория сегнетовой соли. Пьезоэлектрические и упругие свойства, законы Кюри—Вейсса и выводы ..................• . .
Доменная структура сегнетовой соли .......................
Теория внутреннего поля сегнетоэлектрических кристаллов .
Другие сегнетоэлектрические кристаллы ....................
Глава XXVIII. Разнообразные применения пьезоэлектричества...............
Глава XXIX. Пироэлектричество..........................................
Глава XXX. Пьезооптические, электрооптические и другие оптические
явления .................................................
Глава
XXXI. Пьезоэлектричество в свете атомной теории................
Приложение. Ферромагнетизм........................•...............
О б щ а я б и б л и о г р а ф и я.................................
Предметный указатель ............................
5 И 13 14
17 23 49
73 92
119 156 172 193 226 234 248 270 314
360 379 406 436 455 473 492 507
532
553 579 591 601 612 640
652 668 680 689
712
Редактор ЛГ. С. Бобров
Технич. редактор Б. И. Корнилов Корректоры: Б. А. Ерусалимский и М. М. Шулименко
*
Сдано в производство 4/IX 1948 г.
Подписано к печати 25/V 1949 г.
А-05870. Печ.л. 45 Уч.-изд. л. 61,8
Формат 70х 1081/1G. Издат. № 2/174. Цена 59 руб. Зак. № 1005.
*
20-я типография «Союзполиграфпром» Главполиграфиздата при Совете Министров СССР Москва, Ново-Алексеевская, 52
книги,
ВЫПУЩЕННЫЕ ИЗДАТЕЛЬСТВОМ ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ПО ФИЗИКЕ
АРДЕННЕ М. Физические основы применения радиоактивных и стабильных изотопов в качестве индикаторов. Перевод с немецкого. 104 стр. Ц. 8 р. 85 к.
БЕРГМАН П. Введение в теорию .относительности. Перевод с английского. 380 стр. Ц. 20 р.
БОДЕ Г. Теория цепей и проектирование усилителей с оборотной связью. Перевод с английского. 641 стр. Ц. 38 р. 90 к.
ДЕ-БРОЙЛЬ Л. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах. Перевод с французского. 107 стр. Ц. 8 р. 20 к.
ВАТСОН Ф. Архитектурная акустика. Перевод с английского. 206 стр. Ц. 11 р. 40 к.
ГАЙТЛЕР В. Элементарная квантовая механика. Перевод с английского. 136 стр. Ц. 8 р. 85 к.
Научные и технические основы ядерной энергетики. (Под редакцией К. Гудмана.) Перевод с английского. 340 стр. Ц. 22 р. 60 к.
Нейтронные эффективные сечейия элементов. (Атлас. Составлен Г. Гольдсмитом, Г. Ибсером и Б. Фельдом). Приложение к книге „Научные и технические основы ядерной энергетики". Перевод с английского. 128 стр. Ц. 16 р.
ЗОММЕРФЕЛЬД А. Механика. Перевод с немецкого. 391 стр. Ц. 20 р.
ЛЬЮИС В. и ЭЛЬБЕ Г. Горение, пламя и взрывы в газах. Перевод с английского. 446 стр. Ц. 26 р. 45 к.
ПРИНГСХЕЙМ П. и ФОГЕЛЬ М. Люминесценция жидких и твердых тел. Перевод с английского. 262 стр. Ц. 15 р. 15 к.
СЕМАТ Г. Введение в атомную физику. Перевод с английского. 438 стр. Ц. 19 р.
ФЕРМИ Э. Молекулы и кристаллы. Перевод с немецкого. 266 стр. Ц. 15 р. 50 к.
ХАРВЕЙ А. Ф. Высокочастотные электронные лампы. Перевод с английского. 292 стр. Ц. 16 р. 70 к.
ЧАНДРАСЕКАР С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. Перевод с английского. 168 стр. Ц. 12 р.
ШРЕДИНГЕР Э. Статистическая термодинамика. Перевод с английского. 88 стр. Ц. 8 р. 25 к.
ЭЙРИНГ Г., УОЛТЕР Д. и КИМБАЛЛ Д. Квантовая химия. Перевод с английского. 527 стр. Ц. 29 р. 65 к.
БЕТЕ Г. Лекции по теории ядра. Перевод с английского. 152 стр. Ц. 9 р. 80 к.
Книги продаются в книжных магазинах и киосках КОГИЗ’а и других книготорговых организаций, высылаются почтой наложенным платежом без задатка всеми отделами „Книга—почтой" областных, краевых и республиканских отделений КОГИЗ’а.
В случае отсутствия книг на мест®, можно заказы направлять по адресу: Москва, Кузнецкий мост, 18, магазин № 64 МОГИЗ’а.
ОПЕЧАТКИ
Страница Строка Напечатано Следует читать
32 11 сн. 14 Р 14Р
45 10 сн. в табл. 3 5 9
63 3 сн. $ц —$14 0 Sn 0 2$25 $14 ~$14 0 $44 0 2$25
78 20 сн. 4 ^$22 4^ is22
79 14 св. 2с3$1е 2c3$$i6
136 1 сн. в табл. 10 4-199 г • •
136 I 2 сн. в табл. 10 4-90,2 -90,2
6
177 2 сн. м 2 *л
h h
199 22 св. —2,3.10-7 625=_23-Ю"*
349 10 св. Л р ^о7
429 Табл. 31, столбец 8, головку следует читать 1 L —
| генри
448 14 св. [540] [504]
52-7 23 св. [636] [634 и
598 23 сн. Р И3
КТ КТ
660 15 сн. каменной соли NaClO3
Кроме того на стр. 445 в табл. 33 первую сверху строку следует читать: —9,0 79,10 99,51 1300 0,066 61,5 106,0 649 1,72 148,0 25
Зак. 1005