Автор: Трикоми Ф.
Теги: математика дифференциальное исчисление высшая математика издательство иностранной литературы
Год: 1962
Текст
й
DIFFERENTIAL
EQUATIONS
F. G. T R I С О M I
Professor of Mathematics
at the University of Turin
1961
BLACK IE & SON LIMITED
Ф. Т Р и к о м и
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Перевод с английского
А. д. м ы ш к и с А
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962
АННОТАЦИЯ
Книга посвящена теории дифференциальных уравне-
ний— той отрасли математики, которая находит чрез-
вычайно широкие и многообразные применения в физике
и технике. Ее автор, крупнейший итальянский матема-
тик Ф. Дж. Трикоми, хорошо известен советскому чита-
телю по переводам трех его монографий: «Уравнения
смешанного типа», «Лекции по уравнениям в частных
производных» и «Интегральные уравнения». Книга, пред-
лагаемая вниманию читателя, написана со свойственны-
ми автору простотой, ясностью и изяществом. Тщатель-
ный отбор материала и продуманность изложения по-
зволяют при сравнительно небольшом объеме осветить
многие важные задачи, идеи, методы и результаты со-
временной теории дифференциальных уравнений, кото-
рые обычно опускаются в общих курсах.
Книга написана весьма просто. Она может служить
пособием для студентов и аспирантов математиков и
физиков, а также для инженеров. Немало интересного
найдут в ней и специалисты-математики.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Автор этого курса, итальянский математик Франчес-
ко Трикоми, хорошо известен советскому читателю по
трем уже переведенным книгам, а также по его научным
исследованиям, в особенности в области уравнений с
частными производными смешанного типа. Книга, выпу-
скаемая сейчас в русском переводе, выполненном с ан-
глийского издания 1961 г., написана со свойственными
автору простотой, ясностью и изяществом; элементар-
ность изложения и свежесть материала — вот ее харак-
терные черты. По необходимым предварительным знани-
ям и уровню математического развития она соответствует
третьему курсу физико-математических факультетов на-
ших университетов. В то же время тщательный отбор ма-
териала и продуманное изложение дают возможность ав-
тору на сравнительно небольшом объеме осветить многие
важные задачи, идеи, методы и результаты современной
теории, которые обычно в общих курсах опускаются. При
этом с помощью обзора последних научных достижений
в отдельных областях и указания литературы — учебни-
ков, монографий и научных статей — автор по многим
пунктам подводит читателя к современному уровню ис-
следований.
В книге, за исключением теоремы о существовании и
единственности решения начальной задачи, почти не ос-
вещаются те общие факты, которые обычно входят в
учебный курс дифференциальных уравнений (интегриру-
емые типы уравнений первого и высших порядков, общая
теория линейных уравнений, линейные уравнения с посто-
янными коэффициентами и т. п.). В то же время некото-
рые (хотя и простые) сведения об этих фактах автор
время от времени использует. Поэтому можно рекомен-
6
Предисловие переводчика
довать приступить к чтению этой книги после ознаком-
ления с обычным учебным курсом; другими словами, по
нашему мнению, эта книга может служить в качестве
основы спецкурса по дополнительным главам теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим,
что в последней главе книги используются некоторые
простые факты из теории функций комплексного пере-
менного (не далее приложений теории вычетов и анали-
тического продолжения); это также делает целесообраз-
ным чтение книги не ранее третьего курса.
Книга в целом написана тщательно и какой-либо су-
щественной редакторской правки не понадобилось. Неко-
торые небольшие изменения и добавления, уточняющие
и поясняющие текст, мы сочли возможным включить в
текст без особой оговорки. Единственное сколько-нибудь
существенное отклонение от оригинального текста допу-
щено в § 34, где не вполне ясная формулировка леммы
автора нами заменена. Включено также несколько при-
мечаний переводчика с пояснениями и указанием допол-
нительной литературы на русском языке.
Мы надеемся, что эта яркая книга после выхода
на русском языке приобретет еще большее число поклон-
ников, которые при ее чтении испытают такое же удо-
вольствие, какое испытал переводчик при работе над ней.
А. Д. Мышкис
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИТАЛЬЯНСКОМУ ИЗДАНИЮ
Книга такого рода, как эта, может иметь две различ-
ные и почти несовместимые цели. Она может быть спра-
вочником, содержащим краткий обзор всех направлений
в данной области и обширную библиографию. С другой
стороны, она может быть учебником, который предназ-
начен для того, чтобы дать студенту ясное представле-
ние об идеях и методах в теории дифференциальных
уравнений, являющейся одной из важнейших ветвей
анализа.
При написании данного курса имелась в виду вторая
из этих целей, так как в хороших современных справоч-
никах нет недостатка. Книга выросла из университетских
курсов, прочитанных автором, и не претендует на полно-
ту. В ней рассмотрены только те вопросы, которые мож-
но было изложить со строгостью и одновременно с про-
стотой; число таких вопросов ограничено также условием,
чтобы они не требовали математических познаний, отсут-
ствующих у студентов третьего — четвертого курсов.
Недостаток места заставил меня ограничиться обык-
новенными дифференциальными уравнениями (уравне-
ния с частными производными не рассматриваются) и
исключить так называемые элементарные методы инте-
грирования (разделение переменных, интегрирование
линейных уравнений первого порядка, линейные уравне-
ния с постоянными коэффициентами и т. п.). Содержа-
ние книги ясно из подробного оглавления. Глава I яв-
ляется вводной для последующих; главу II, главы III и
IV вместе и главу V (единственную, в которой требует-
ся некоторое знание теории функций комплексного пере-
менного) можно читать независимо друг от друга.
Те читатели, которые знакомы с основными математи-
ческими интересами автора, могут быть удивлены тем,
8
Предисловие к первому итальянскому изданию
что в книге совсем не упоминаются операционные мето-
ды, в частности, интегрирование с помощью определен-
ных интегралов. Однако это потребовало бы больше мес-
та, чем имеется в нашем распоряжении, тогда как сейчас
имеются хорошо известные книги Деча [61], Гиццетти [59]
и другие, посвященные приложению символических мето-
дов (т. е. преобразованию Лапласа) и дифференциальным
уравнениям применительно к теоретической электротех-
нике или другим специальным отраслям.
В процессе изложения я старался все время подчер-
кивать, что в современной теории дифференциальных
уравнений основной целью является вывод свойств реше-
ний непосредственно из уравнения, тогда как ранее
целью было явное интегрирование уравнения. Трудные
случаи всегда сложны, когда с ними имеют дело в их
наиболее общей форме; но если ограничиться простей-
шими случаями, то можно ясно показать фундаменталь-
ные идеи, лежащие в основе применяемых методов.
Читатель, являющийся знатоком в данной области,
оценит пользу и простоту замены переменных Прюфера
при выводе теоремы существования для собственных
значений (глава III), вывод асимптотического представ-
ления решений линейных уравнений второго порядка
(глава IV), а также изучение характеристик для уравне-
ний первого порядка (глава II) — при столь малых огра-
ничениях, как здесь, этот последний вопрос впервые поя-
вляется в учебнике.
Я хотел бы указать, далее, что при «асимптотическом
интегрировании» линейных уравнений по методу Пуанка-
ре (глава V) я смог устранить то ограничение, что неза-
висимая переменная должна стремиться к бесконечнос-
ти, принимая вещественные значения; это позволило мне
получить классические асимптотические ряды для функ-
ций Бесселя способом, который трудно улучшить.
Я надеюсь, что эта книга окажется полезной, в част-
ности, студентам, для которых она предназначается.
Ф, Дж, Т.
Турин, осень 1946 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИТАЛЬЯНСКОМУ ИЗДАНИЮ
Несмотря на короткий срок, прошедший со времени
появления первого издания (1948 г.), новое издание от-
личается от предыдущего в нескольких аспектах; это, в
основном, связано с тем, что материал книги принадле-
жит одной из наиболее живых областей анализа, в кото-
рую за последние годы было сделано много важных
вкладов.
Было внесено несколько существенных усовершенст-
вований в текст и много добавлений в библиографию.
Я хотел бы обратить внимание, в особенности, на следу-
ющие детали:
I. В главе II добавлены применения топологических
методов к изучению релаксационных колебаний и смеж-
ных вопросов, важных для нелинейной механики.
II. В гл. IV сравнительно простое рассмотрение асим-
птотического поведения решений уравнения z/,,+ Q(a:)z/ =
= 0 углублено на основании недавней работы моего кол-
леги Дж. Асколи; это работа и появилась отчасти благо-
даря обсуждению нами этого нового издания.
III. Общий метод исследования дифференциальных
уравнений, который я назвал «методом Фубини», вклю-
чен в основной текст и развит далее; в предыдущем изда-
нии этот метод содержался в добавлении.
IV. Существенно упрощено определение собственных
значений для уравнения Лежандра в главе IV.
В заключение считаю своим приятным долгом выра-
зить благодарность всем тем читателям, которые внесли
вклад в это новое издание, указав опечатки и иные ошиб-
ки или предложив некоторые добавления и усовершенст-
вования. В частности, большую помощь оказали мне мои
коллеги Дж. Асколи, Д. Граффи, Л. А. Мак-Колл,
Э. Персико, Дж. Сансоне, Дж. Скорца-Драгони и мой
ассистент У. Рикард, которым я особенно обязан.
~ к men Ф- Яж. Т.
Турин, октябрь 1952 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее английское издание соответствует третье-
му итальянскому изданию, которое находится сейчас в
процессе печатания.
Основные улучшения в данном издании состоят в сле-
дующем:
(1) теорема Валле Пуссена (§ 17) о минимальном
расстоянии между двумя последовательными нулями ре-
шения линейного дифференциального уравнения второго
порядка изложена сейчас в усовершенствованной форме,
которая принадлежит Хартману и Винтнеру (1955);
(2) добавлен новый параграф (§ 36) об уравнениях
с переходными точками, в котором применен метод, вве-
денный автором в статье 1954 г.;
(3) существенно упрощено применение метода после-
довательных приближений к линейным уравнениям с не-
фуксовыми особыми точками (§ 49).
Я весьма обязан доктору Элизабет А. МакХардж за
ее заботу и усердие при работе над переводом.
Ф. Дж. Трикоми
Турин, октябрь 1960 г.
ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
1. Некоторые элементарные сведения
о дифференциальных уравнениях
Как указано в предисловии, в теории дифференци-
альных уравнений в течение многих лет основной счита-
лась следующая проблема. Пусть дано дифференциаль-
ное уравнение, т. е. уравнение вида !)
Ш у, у(л)) = 0; (1)
требуется проинтегрировать это уравнение в явной фор-
ме, т. е. найти явное выражение у как функции от х и
одной или большего числа произвольных постоянных
Ci, С2, С3,...* 2), тождественно удовлетворяющей соотноше-
нию (1) при подстановке в него и, кроме того, обладаю-
щей достаточной степенью общности.
Второе условие, только что сформулированное, несколько
неясно и требует точного определения; оно было бы, во
всяком случае, выполнено, если бы можно было выписать
формулу, охватывающую все возможные решения (1). Так
можно сделать, например, в случае уравнения с разделя-
ющимися переменными'.
^=А(х)-В(у),
dx
О В этой книге мы не будет иметь дела с уравнениями, содер-
жащими частные производные. Под термином дифференциальное
уравнение будет подразумеваться обыкновенное дифференциальное
уравнение, содержащее одну или более неизвестных функций от един-
ственного независимого переменного-, производные по этому перемен-
ному будут обозначаться штрихами.
2) Функция у может содержать один или более знаков интеграла,
если интегрирование еще не выполнено. Допускаются и неявные функ-
ции в том смысле, как они понимаются в элементарном анализе.—
Прим, перев.
12
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
все решения которого (называемые также его интегралами)
задаются формулой
£-^- = С A(x)dx + С,
)В(у) }
где С — произвольная постоянная. (Предполагается, что
В(У)=/=0.)
Однако, так как не всегда возможно или по крайней
мере не всегда легко найти формулу такого рода, понятие
общего решения дифференциального уравнения вида (1) с
развитием современного анализа постепенно изменилось.
В настоящее время этот термин обозначает функцию
У = ф (я, Ci, С2, С3, .... Сп) (2)
от независимой переменной х и п произвольных постоянных
С\, С2, С3, ... , Сп, входящих в функцию у таким образом,
что если придать им подходящие значения, то можно
удовлетворить тачальным условиям» вида
У = Уо, у' =у'о,... , У(п~1} = Уо{п~1} (3)
в любой выбранной точке х = х0 и для любых произвольно
заданных у0, у'о, у%, , Уо'~1}.
Поэтому мы никоим образом не исключаем возможного
существования решений заданного дифференциального
уравнения, не получаемых из (2) ни при каких частных
значениях произвольных постоянных1), а требуем только,
чтобы общее решение было достаточно гибким, чтобы
удовлетворить начальным условиям (3). * У
О Эти решения, если они существуют, называются особыми реше-
ниями уравнения. Например, уравнение Клеро
У = ху'~ ф(/)
имеет общее решение у = хс—ф(с) и особое решение
х = ф'(0> У = xt—ф(0,
которое изображается огибающей семейства оо 1 прямых линий, пред-
ставляемых общим решением. См., например, Трикоми Ф. [79], ч. II,
стр. 278. (См. также Степанов В. В. [44], стр. 117. Отметим, что
приведенные определения относятся скорее к уравнению (4), разре-
шенному относительно у(п\—Прим, перев.)
1. Некоторые элементарные сведения
13
Знания общего решения дифференциального уравнения
достаточно, вообще говоря, для того чтобы иметь возмож-
ность решать различные задачи, которые могут возникнуть
для данного уравнения, например задачи о нахождении
решения (или решений) уравнения при заданных дополни-
тельных условиях отличного от (3) вида. К несчастью,
явное нахождение общего решения невозможно, за исклю-
чением относительно редких случаев, а иногда, даже когда
оно возможно, приводит к столь сложным формулам, что
из них почти нельзя извлечь пользы. Тем не менее в
современном анализе хоть и продолжают настойчивые поиски
общего решения заданного уравнения1), но предпочитают,
как было указано в предисловии, изучать основные свой-
ства решений непосредственно из уравнения, независимо
от того, рассматривается ли это уравнение самостоятельно
или вместе с условиями вида (3) или иного вида.
В последующих главах мы проиллюстрируем это с достаточ-
ной полнотой.
Другое общее представление из элементарной теории
дифференциальных уравнений, которым мы воспользуемся
дополнительно к представлению об общем решении, состоит
в эквивалентности единичного (т.е. одного') уравнения и
системы дифференциальных уравнений.
Допустим, например, что дано дифференциальное
уравнение порядка п, которое мы для большей простоты
предположим разрешенным относительно производной
высшего порядка, т. е. записанным в форме
У{п} = f(x,y,y\ • • • , У{п~~1})- (4)
Положив
У=У^ У=У^ У"=Уз> •••> У{п~1} = Уп, (5)
мы можем переписать (4) в виде системы п дифференциальных
уравнений первого порядка
О Наиболее полным трудом в области менее современных на-
правлений теории дифференциальных уравнений, связанных с мето-
дами получения общего решения, является сочинение А. Р. Форсайта
[46].
14
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
У1 У2,
Уп—1 -- Уп*
= ... ,Уп)-
(6)
Эта система является частным случаем системы дифферен-
циальных уравнений
У1 = fl (х, ух, уг, ... , уп),
У'г = h (.X, Уг, у2,..., Уп),
(7)
Уп — fn (X, У^, У%, • • • , Уп),
Системы в форме (7) называются нормальными системами
дифференциальных уравнений (первого порядка).
Обратно, если задана система в форме (7), то при
помощи дифференцирования каждого из уравнений п — 1
раз по х и исключения из п2 полученных таким образом
уравнений n2 — 1 неизвестных
у?а у%1 • • • , у! \ Уз> Уз> • • •, Уз \ ; Уп> Ут • • •, Уп.
мы получаем единичное уравнение порядка п для ух
(разрешенное относительно у^) и аналогично для у2, у3,...
. . . , Уп-
Мы не будем заниматься возможными простыми
обобщениями этих последних замечаний — например, их
распространением на системы дифференциальных уравнений
необязательно первого порядка, —а ограничимся замечанием,
что на основании (5) начальные условия для системы (7),
соответствующие условиям (3), приобретают вид
У1 (*о) “ У1, Уz (*о) -- У2 > • • • , Уп (*о) “ Уп* (8)
где Уп у2, • • •, Уп — произвольные постоянные.
2. Подготовка к фундаментальной теореме
Нашей первой целью будет установить теорему, фунда-
ментальную для всей теории дифференциальных уравнений;
эта теорема утверждает, что при довольно слабых ограни-
2. Подготовка к фундаментальной теореме
15
чениях дифференциальное уравнение, разрешенное относи-
тельно производной высшего порядка, обладает одним и
только одним общим решением. Для большей общности мы
рассмотрим нормальную систему дифференциальных
уравнений вида (7)1) и покажем, что при довольно широких
предположениях о функциях flf существует одно
и только одно решение, т. е. одна и только одна система
из п функций г/Дх), ... , z/n(x), тождественно удовлетворя-
ющих системе уравнений и удовлетворяющей начальным
условиям (8).
Мы требуем, чтобы функции fi (х, у19 у2, ... , уп)
(i = 1,2, 3, ... , п) были непрерывными по совокупности
переменных х, yL, ... , уп и чтобы, кроме того, в соответ-
ствующем диапазоне изменения каждой из переменных
х, f/i, Уъ • • • , Уп они удовлетворяли условию Липшица по
всем переменным уг, у2, ... , уп. Это условие несколько
более ограничительное, чем требование непрерывности, но
в то же время менее ограничительное, чем условие
непрерывной дифференцируемости по указанным переменным.
Именно условие Липшица для функции F (х) в некотором
интервале {а, &] состоит в ограниченности в этом интервале
относительного возрастания этой функции, т. е. в существо-
вании положительной постоянной А, такой, что для любых
двух точек xlf х2 интервала [а, &]
1^ (*i) ——ха|. (9)
Если функция нескольких переменных F (хг, х2, ... , хш)
удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих
переменных в соответствующем диапазоне их изменения2),
т. е. если
I F (-^1 > • • • ♦ • • • , Хт) F (Хр ...» Xht • • • » Хт^ |
C/bJxa — x'h\ (h = 1,2, ... , тр (10)
Так как дифференциальное уравнение типа (4) эквивалентно
нормальной системе типа (6), которая является частным случаем
системы (7).
2) Для функций нескольких переменных иногда бывает важно
различать случаи, когда условие Липшица удовлетворяется равно-
мерно и когда это не так. Условие Липшица удовлетворяется равно-
мерно, если постоянная Ah (см. ниже) не зависит от остальных Xk-
Мы будем предполагать здесь и в дальнейшем, что условие Липшица
удовлетворяется равномерно.
16
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
то эта функция удовлетворяет условию Липшица также
по совокупности переменных х19 х2, ..., хт; другими
словами, существует постоянная А, для которой
I F (-^1» -^2, • • • , Хт) F (%i, , Хт) |
< Д (|4 — 4'1 + |4 —4'1 + • • + I х'т — х'^\). (11)
Действительно, из тождества
F (-Vj, %2» • • • 1 %гп) F (%i, %2> • • ’ » Хт) “
= F (4.4, • • •, х'т) — F «• 4, • • • , х'т) +
+ F (Х1, Х'2, ... , Х'т) — F (4', Х2, Х'з, , х’т) +
+..................*...........................+
4“ F Х2, • • • , Хт—1, Xfj^) F (%i, %2» • • • , 1, Хт)
на основе (10) следует неравенство
| F (%х, %2> • • • , Хт) | F (Хь Х%, . . . , Хт)
-^i | х± Xi | 4~ А2 | Х2 х21 4~ • • • 4~ Ат | хт хт |,
и нужно только обозначить через А наибольшую из т
постоянных Лр Л2,.Ат, чтобы получить (И).
3. Теорема о существовании и единственности
для нормальных систем дифференциальных уравнении
Теперь мы можем дать следующую формулировку
фундаментальной теоремы:
Пусть даны система дифференциальных уравнений
вида (7) и начальные условия (8); если можно найти
такие два положительных числа a ub, что в области D>
определенной неравенствамих)
хЛ<х<х04-а; yl — b + Ь,
Уа —6 <уа<г/2 + Ь, ... , Уп—Ь^уп^у°п +Ь, (12)
функции fi, f2, ... , fn непрерывны и удовлетворяют
О Область такого вида иногда называется ячейкой или гиперин-
тервалом.
3. Теорема о существовании и единственности
17
условию Липшица по переменным у19 у2, ..., уп в указан-
ном диапазоне их изменения, то можно определить такое
положительное число б(<^а), что в интервале [х0, х0+б]
система обладает одним и только одним решением,
удовлетворяющим начальным условиям (8).
Для доказательства теоремы начнем с замечания, что
если мы сможем найти каким-либо образом систему п
функций у2 (*), • • • , Уп (*), удовлетворяющую системе п
(нелинейных') интегральных уравнений типа Вольтерра1)
X
У< (X) = y°i 4- ^fi [Л y^t), y2(t),..уп (01 dt
Xq
(/ = 1,2,..., n), (13)
то эта система функций составляет решение нормальной
системы (7), удовлетворяющее начальным условиям (8);
действительно, дифференцируя (13) по х, мы получаем /-е
уравнение системы (7), и остается лишь положить х = х0
в (13), чтобы проверить, что функция, стоящая в левой
части, принимает при х = xG значение yt Легко совершить
и обратный переход от соотношений (7) и (8) к системе
(13).
Решение системы (13), для которого функции z/z(x) могут
не быть всюду дифференцируемыми, называется решением
системы дифференциальных уравнений (7) в смысле Кара-
теодори. Такие решения, от которых всегда требуется
непрерывность, могут иметь лишь уравнения с разрывными
правыми частями.
О Интегральным уравнением называется уравнение, в котором
неизвестная функция (или функции) находится (повсюду или частич-
но в уравнении) под знаком интеграла; см., например, Ф. Трикоми [79].
В данной книге мы не будем систематически иметь дело с такими
уравнениями, хотя они тесно связаны со многими частями теории
дифференциальных уравнений; однако невозможно совсем избежать
рассмотрения интегральных уравнений, в особенности наиболее эле-
ментарного типа (уравнений Вольтерра, для которых область инте-
грирования в интегралах имеет в качестве нижнего предела неко-
торую фиксированную постоянную х0> а в качестве верхнего предела—
независимую переменную х). Мы будем выводить свойства решений
этих уравнений по мере надобности.
18
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
Положив, что индекс / принимает значения 1,2, 3,
построим бесконечную последовательность систем из п
функций по рекуррентным формулам
у°М = у9ь y(7+1,W=yU $ МЛ//Г’(/),уГ)(/),...)уП01Л
хо
(т = 0,1,2,...). (14)
(Заметим, что здесь верхний индекс не означает дифферен-
цирования.) Покажем сначала, что если положительное
число М выбрано так, что во всей области D непрерывные
функции ft удовлетворяют неравенствам
| ул)|<Л1 (г = 1,2,., .,п), (15)
то для значений х в интервале [х0, х0 + б), где 6 — наи-
меньшее из двух чисел а и b/М (т. е. б == min (а, Ь/М)),
функции у»(х),у?(х),... обязательно содержатся между
y9i — b и у9 + Ь.
Действительно, мы имеем последовательно:
| У{д(х) — у91 < \ у9, у9,..y9n)\dt^M(x—x0)<Md<6,
хо
|уГ(х) -у°|< $ |А(Лг/«(О.уГЮ.-. y^(t))\dt^M(x-x0)-^b,
хо
Это важный факт, так как он гарантирует — для х,
принадлежащих интервалу [х0, х0 + б] — что функции fit
аргументом у которых является определенная выше система
(У1т>, уТ\ • • • > Уп"\ удовлетворяют условиям теоремы, и
в частности условиям Липшица.
Покажем теперь, что последовательные системы функ-
ций (14) при т—><х равномерно стремятся к системе
функций
УЛх), У2 (х),..., У„(х),
(16)
3. Теорема о существовании и единственности
19
т. е. что для сколь угодно малого положительного числа
е всегда можно найти т0 так, что если х находится между
х0 и х0 + d, a i — между 1 и п, то для т > т0 имеем
|^(х)-«/!т)(х)|<е. (17)
Действительно, используя первое из установленных
выше неравенств, а именно
I у(д W — У* |< М (х — х0),
и применяя к функции неравенство Липшица (11), можем
написать
X
\у™(х) —^’(х)|< 5 \^,у^),у^),...,у^)]-
хо
- fiit.yl, yl. ; у°п)\ dt < А $ [^’(О - yi 1 +1 yV(t)-y°2\+
Xq
+ • • • + |Л) -Уп |] dt <АпМ J (t - х0) dt = АпМ
X
ло
где А — подходящая положительная постоянная, единая
для всех I. Аналогично
IУ/°(*) — y*2)Wl < J | f, И» yi\t), y(22\t),y<n2\t)] —
xo
- fi U, y?4t),y{2\t),..., y«\t)] I dt <
< A $ [| y?Xt) - y{d(t) I +1y™(t) - ^'(01+... +
xo
+1 yn\t) — ^>(01] dt < AnAnM 5 (Z~^o)2 dt =
xo
= (An)2M(x~T°r
O!
и т. д. Таким образом, вообще,
— ^m-1)(x)| < (An)m-I (An)m-1
20
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
ИЛИ
I W - «|< 4
nA т\
(18)
Отсюда следует, что функциональный ряд
У?+[уГ(х)-у?]+[«/?\х)-у^\х)}+...+[у\т\х) ~у{Г~\х)] +...
(19)
мажорируется сходящимся числовым рядом с положитель-
ными членами
1//П + 4 = k?l + 4<епЛв-1)
nA т\ nA
т=1
и потому абсолютно и равномерно сходится в интервале
[х0, х0 + б]. Так как сумма его т + 1 первых членов равна
y{tm) (х), то отсюда следует, что для любого х из
[х0, х0 + б] и для т, превышающего подходящее /под,
|Г(х)-у<т)(х)|<е,
где Yi(x) означает сумму ряда (19), т. е. предел у*т)(х)
при т —> оо.
Теперь нужно только в качестве т0 выбрать наибольшее
из чисел /п0>1, /и0,2, ... , /и0,п, чтобы получить указанный
выше результат.
Последний шаг, который нужно сделать, состоит в
доказательстве того, что предельная система функций (16)
удовлетворяет системе интегральных уравнений (13), т. е.
что равенства
Yi (X) = Ух + $ fi И» Л (О- У2 (О, • • •. Уп (01 dt
Л'о
(/ = 1,2. ... ,и) (20)
являются тождествами.
3. Теорема о существовании и единственности
21
Чтобы показать это, удобно положить
УЩ)-у(Г\х) = ^т\х).
Тогда рекуррентные формулы (14) дадут
У(х)-Т?!'"+1)(х) =
хо
Преобразуя это равенство и вычитая из обеих его частей
j Ш(ож--лт
хо
получим тождество
*0
^7?'т+1) (%)+${ fz И, Л (0-RT (0,... ,У„(0-/Л01 -
- fzU,r1(0,...,n(01} dt.
Однако в силу условия Липшица и (17) имеем при m>m0
1Ш УхЮ - Rim)(t),... ,У„(0 - яГ’Ю! Y1^> I <
< A 1 + .. • + \R(nm)(f) |] <nAe
и потому, взяв обе части предыдущего равенства по аб-
солютной величине, выводим
\К(х)-у°- J fzU,ri(x),...)K(01^l<
< I /?Г+1>(х) I + пАе J dt < (1 + пАЪ) е.
22
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
Левая часть этого неравенства представляет собой неко-
торую неотрицательную функцию, тогда как правую часть
можно сделать произвольно малой при помощи соответ-
ствующего выбора е; значит левая часть должна равняться
нулю, т. е. (20) тождественно удовлетворяется.
Покажем, наконец, что система п функций (16)
составляет единственное решение системы интегральных
уравнений (13).
Действительно, допустим, что система функций
^(х),У*2(х), ...Х(х) (21)
также образует решение системы (13). Ясно, что функции
Y] (х) должны быть непрерывными, так как таковы
правые части уравнений системы (13); кроме того,
У*(х0) = У1 Поэтому, заменяя (если это необходимо)
интервал [х0, х0 + 6] на меньший интервал [х0,х0+ 6'], мы
можем считать, что
I У7(х) - (f = 1,2, ... ,п).
Применяя теперь (15) и равенство
y*i (х) = у? + J fi [/, Y* (0, У\(0, • • •, Уп (01 dt,
х0
мы ВЫВОДИМ, что
|Г*(х)-у?|<М(х-х0).
С другой стороны, вычитая почленно из предыдущего
равенства рекуррентную формулу (14), получаем
y*i (х) - (х) = J {fi [Л У\ (0,.. •, Уп (01 -
.... y{nm4t)]} dt-,
отсюда, приравняв абсолютные величины правой и левой
частей и применяя неравенство Липшица, выводим, что
1^(х)--уГ+1)(х)|<
A J {| Ух* (0 - у(Т (01 + ... + | Уп (0 - У{Т (01} dt.
х0
4. Дополнительные замечания
23
Полагая здесь т = 0 и применяя предпоследнее неравенство,
получаем
| Y • (х) — (х) | < AnM ? (t — х0) dt = АпМ (х~х°)2 ,
*<> 21
откуда, полагая т = I и применяя только что полученный
результат, выводим
|Г‘(х)-^(х)|<
A J {| Л* (0 - yil} (/) | + ... + | Y*n (0 - у™ (0 |} dt <
х0
X
< АпАпМ (r ~*o)2 dt = (An)2 М dx~x^
у 21 v 3!
и т. д. Таким образом, получаем вообще
|К*(х)-<Г(х)|<^
[nA (x-x^f+i
(« + 1)1
откуда, так как общий член сходящегося ряда должен
стремиться к нулю, вытекает, что
Пт[У*(х) —z/m)(x)] = О,
m->oo
т. е.
Y* (х) = lim ytm)(x) = Yi (х) (i = 1,2.....п);
т—>оо
это показывает, что система функций (21) тождественна
системе (16).
Этим завершается доказательство теоремы о существо-
вании и единственности.
4. Дополнительные замечания
Подчеркнем еще раз важность только что полученного
результата, так как он обеспечивает строгую основу всей
теории дифференциальных уравнений. При этом важен не
только результат сам по себе, но и устанавливающий его
24
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
метод последовательных приближенийг), так как этот
метод можно развить в различных направлениях; кроме
того, он лежит в основе вычислительного процесса, который,
несмотря на свою громоздкость в общем случае, дает
возможность получить эффективно как угодно близкую
аппроксимацию решения, существование и единственность
которого только что установлены. Таким образом, мы имеем
дело с конструктивным методом доказательства. Это будет
проиллюстрировано на нескольких примерах, которые мы
вскоре разберем.
В некоторых случаях мы можем расширить содержание
результата, полученного в предыдущем параграфе. Прежде
всего описание поведения решения справа от точки х0
можно повторить слева от нее; таким образом, если пред-
положения теоремы выполняются в области D', вместо
определенной неравенствами (12) области D, причем при
определении D' пределы переменных у остаются теми же,
тогда как х изменяется в интервале [х0— а', х0] (гдеа'>0),
то утверждение теоремы справедливо в интервале [х0—6', х0],
где 6' — наименьшее из двух положительных чисел а' и
b/М. Поэтому если предположения на самом деле выполняются
при х0 — я' < х < х0 + я, т0 существование и единствен-
ность решения гарантируются в двустороннем интервале
вокруг точки х0, а именно
х0 — б' < х С *о +
Другой важный момент, который надо отметить, состоит
в том, что п функций У/ (х), составляющих решение,
описанное фундаментальной теоремой, можно рассматривать
как суммы равномерно сходящихся рядов (19). В случае
когда функции ft непрерывно зависят от одного или более
параметров X, ц, ..., функции гДт)(х) также, очевидно,
непрерывно зависят от тех же параметров; поэтому функ-
ции Yj(x) должны непрерывно зависеть от К, р, ... , так
как сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных
функций сама является непрерывной функцией.
0 С методом последовательных приближений обычно ассоцииру-
ется имя французского математика Э. Пикара (1856—1941), подчер-
кнувшего его значение. Однако этот метод был применен нескольки-
ми годами ранее Дж. Пеано (1858—1932) и еще ранее Ж. Лиувил-
лем (1809—1882) и другими.
4. Дополнительные замечания
25
Изменяя подобным образом доказательство, можно
получить формулировку фундаментальной теоремы, приве-
денную в следующем абзаце, где допускается изменение
начальных значений для yi в соответствующих интервалах;
поэтому получается, что функции Yi (х) непрерывно зави-
сят от начальных значений у}. Это оказывается очень
полезным.
Наиболее общая формулировка этого варианта фунда-
ментальной теоремы такова:
Пусть даны нормальная система дифференциальных
уравнений вида (7) и постоянные р2» • • • » 3^ если
можно выбрать две положительные постоянные а и b
так, что в области D, определенной неравенствами
*о < *< *о + я; 31 — b < уг < 31 + Ь,
32 — Ь < У 2 < 32 + Ь, ...^п — Ь^Уп^^п + Ь,
(22)
функции f19 непрерывны и удовлетворяют условию
Липшица по переменным у19 у2, ... , уп в указанных
интервалах, то можно найти такое положительное число
6 а), что для любых заданных начальных значений
У1, f/2, Узу • • • > Упу удовлетворяющих неравенствам
(» = 1,2, ...» п), (23)
система уравнений (7) в интервале [х0, х0 + 6] обладает
одним и только одним решением, удовлетворяющим
начальным условиям (8). Если в области D все функции
fi по абсолютной величине не превосходят М, то 6 можно
принять равным наименьшему из чисел а и 6/(2 Л4).
Эту, более общую форму фундаментальной теоремы
можно установить, изменяя соответствующим образом
доказательство, приведенное для ее более слабой формы.
Это проделано, например, в книге Сансоне [42], гл. I.
Туда же можно отослать читателя по поводу следующей
проблемы, о которой мы можем здесь только упомянуть:
Что будет, если функции fi непрерывны, но условие
Липшица по переменным уь не выполняется^
Из наглядных соображений довольно ясно, что и при
этих более общих предположениях та часть теоремы,
26
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
которая говорит о существовании решения, остается
справедливой} однако, вообще говоря, часть теоремы,
говорящая о единственности, уже не верна, как будет
показано на примере, который мы рассмотрим в конце § 8.
Принимая во внимание характер данной книги, мы не
можем детально рассматривать это важное расширение
теоремы существования1), принадлежащее Пеано, которое
требует менее простых рассуждений, чем были применены
здесь, и принадлежит области, которую мы не можем даже
затронуть. Это расширение связано с теоремами о суще-
ствовании и единственности в пелом, т. е. справедливыми
не только в достаточно малой окрестности некоторой точки,
но в целой области, в которой уравнение удовлетворяет
определенным условиям.
В связи с этим заметим, что решение, существование
которого устанавливается фундаментальной теоремой в
интервале [х0, х0 + д], можно, вообще говоря, продолжить
на следующий интервал [х0 + б, х0 + б + 6J, если ту же
теорему применить к точке х, = х0 + б и начальным зна-
чениям, равным конечным значениям только что полученного
решения и т. д. Однако не следует думать, что этот
процесс можно продолжать до тех пор, пока условия,
налагаемые на функции fh не перестанут выполняться, т. е.
что если последовательность чисел х0 + б, х0 + б + бп
*о + б + 6j + б2, ... имеет конечный предел g, то в точке
х = g по крайней мере одна из функций fi (во всяком
случае, для некоторого набора значений уд) перестает
удовлетворять условиям, сформулированным в фундамен-
тальной теореме2).
Чтобы проиллюстрировать это, достаточно рассмотреть
простой пример единичного (нелинейного) уравнения пер-
вого порядка
у’ + у2 = О
(24)
0 См. Сансоне Дж. [42], гл. VIII, где имеются также дальнейшие
ссылки.
2) Однако, как мы увидим в § 43, для линейных уравнений это
имеет место. [Это видно и из доказательства фундаментальной тео-
ремы § 3, где использованы, по существу, лишь возможность построе-
ния приближений (14) и условие Липшица.— Прим, перев}
5. Круговые функции
27
с общим решением
Ясно, что решение
1
х — х0 + 1/Уо ’
(25)
принимающее при х = х0 значение у0, нельзя продолжить
за точку х = х0—1/у0 (где у обращается в бесконечность),
несмотря на то что в этой точке уравнение (24), в которое
х вообще не входит явно, не имеет особенности.
5. Круговые функции
Поучительно с точки зрения общей теории изучить
систему дифференциальных уравнений
= У2 = — У1 (26)
с начальными условиями
У1(0) = 0, у2(0) = 1. (27)
Забудем на время известные свойства функций уг (x) = sinx,
У2 (*) = cos составляющих решение этой системы, и
попытаемся вывести их непосредственно из соотношений
(26) и (27).
Исследуем сначала, как в данном случае выглядит
метод последовательных приближений, примененный при
доказательстве фундаментальной теоремы. Так как в данном
примере
fi (*, Уп У2) — У2^ /г (^, У1> Уг)= У\> У2 1,
то рекуррентные формулы для последовательных приближе-
ний приобретают вид
уГ+1)(х) =^<т)(0Л,
О
уГ’(х)=1-$!Г(И
о
28
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
и элементарные вычисления дают
У(д=х, У1} = х,
_ 1 „(2) _ 1 £2
У 2 — bj У 2 — 1 —
и т. д.
Значит, последовательные приближения равны последо-
вательным частным суммам (каждая из которых повторяется
дважды) рядов
+ У2(х) = 1-^+^-...,(28)
которые всюду сходятся и служат разложениями в степен-
ные ряды функций sin х и cos х. Другими словами, в данном
случае метод последовательных приближений приводит к
разложениям в степенные ряды обеих функций, составля-
ющих решение, и, так как эти степенные ряды сходятся
для всех х, мы заключаем, что и рассматриваемое решение
конечно для всех х.
Некоторые свойства — например, то, что значения sin х
и cos х содержатся между — 1 и +1 или что эти функ-
ции— периодические с периодом 2л; — можно довольно
просто вывестих) из рядов (28); однако, как было уже
указано, интересно найти метод вывода этих свойств
непосредственно из дифференциальных уравнений.
Заметим сначала, что, умножая первое из уравнений
(26) на 2£/х, а второе на 2у2 и складывая, получим
2//1У1 + 2i/2z/' =0.
Но левая часть служит производной от у\ -f- yl, и потому
yl + yl = const.
О Доказательство см. в книге К. Кноппа [63]. [См. также Фих-
тенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления, изд. 4, Физматгиз, М.— Л,, 1959, стр. 480.— Прим, перев.].
5. Круговые функции
29
Вследствие начальных условий (27) отсюда получаем
У1 + УI 1- (29)
Из соотношения (29) вытекают некоторые следствия.
Прежде всего
If/iK 1> Ы<1.
Во-вторых, уг и у2 нигде не обращаются в нуль одно-
временно} кроме того, все их нули простые, так как если
бы у± и у[ обращались в нуль одновременнох) в некоторой
точке (как будет в каждом кратном нуле функции у-^, то
в силу первого уравнения (26) в этой точке было бы у2 = 0.
Но обращаются ли в действительности функции уг и у2
в нуль хотя бы в одной точке?
Функция уг (х) имеет нуль, во всяком случае, при
х = 0, что вытекает как из первого условия (27), так и из
первого ряда (28). Для функции у2(х) утверждение о
наличии нуля может вызвать сомнение, которое, однако,
легко устранить путем доказательства от противного
следующим образом.
Если функция у2 не имеет нулей, то она всюду при
х > 0 положительна, так как у2 (0) = 1; при этом ух (0) = 0
и так что функция ух возрастает при х^>0,
и потому при х^е>0 будет f/i(x)^>T], где у± (е) = ц.
Но так как у2 = — ylt то из последнего неравенства,
очевидно, вытекает, что
\Уг(х) — — в) (Х>е),
а это несовместимо с ограниченностью у2(х). Отсюда и
следует наше утверждение.
Система уравнений (26), как и любая система, в которую
независимая переменная х не входит явно, остается инва-
*) Вообще п функций у\, У2,..., Уп, не все тождественно равные ну-
лю и удовлетворяющие нормальной системе вида (7), правые части
которой удовлетворяют условиям фундаментальной теоремы и тож-
дественно равны нулю при у\ = У2 = ... = Уп = 0, не могут обращаться
одновременно в нуль в некоторой точке-, действительно, если выбрать
эту точку за начальную точку х0, то система уравнений при нулевых
начальных условиях удовлетворяется системой функций у^=у2^
=Уз ... =уп =0, и сделанное выше предположение о наличии функции
Уъ У2,>>>, Уп противоречило бы теореме единственности.
30
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
риантной при преобразовании вида х = % + const; кроме
того, система (26) не меняется благодаря ее специальному
виду при перестановке уг и г/2, если при этом переменить
знак одной из этих переменных. Перенесем начало коорди-
нат в первый положительный нуль (который мы обозначим
через а) функции у2(х), где, в силу (29)х), будет
z/i(a) = l, t/2(a) = 0;
эта замена переменной задается формулой
х = g + а. (30)
Положив теперь
У1 W = *2 (£). У 2 W = — Zi (|), (31)
мы получим, что функции zx(g) и z2(g) удовлетворяют сис-
теме дифференциальных уравнений, аналогичной системе
(26), именно
Zi = Z2, Z2 = 2 j,
а также начальным условиям
21(0) = — y2(a) =0, z2(0) = t/j(a) = 1.
Эти начальные условия, таким образом, полностью анало-
гичны условиям (27), поставленным для системы (26). По-
этому из теоремы единственности с необходимостью сле-
дует, что (g) = f/i (g), z2 (g) = y2 (g); это влечет за собой
— Уг(х) = Z/1U), z/i(x) = y2(g),
откуда следуют формулы
УЛ1 + а) = УЛ$, У2(1 + <х) = -у1{1). (32)
Из полученных только что результатов мы выведем преж-
де всего, что функции yY(x) и t/2(x)— периодические с пе-
риодом 4a; действительно,
У1 (х + 2a) = у2 (х + а) = — уг (х), |
у2(х + 2а) = — у1(х + а)= — z/2(x) /
0 Ясно, что i/i(a) = + 1, так как функция yi(x) возрастает в ин-
тервале (0, а), в котором функция У2(х) положительна. [Это сле-
дует из первого уравнения (26).]
5. Круговые функции
31
и, следовательно,
У1 (х + 4а) = — yt (х + 2а) = yt (х),
у2 (х + 4а) = — у2 (х + 2а) = у2 (х).
Далее, из формул (32) вытекают соотношения
(2а) = у2 (а) = 0, у2 (За) = — уг (2а) = О,
//1(4а) = у2(3а) =0,... .
Таким образом, четные кратные а являются нулями функ-
ции f/i(x), тогда как нечетные кратные того же а слу-
жат нулями у2 (х); и эти кратные, как мы сейчас увидим,
являются единственными нулями этих двух функций.
Так как а является первым положительным нулем чет-
ной1} функции у2(х), т0 эта функция отлична от нуля в
интервале —а«<х<1а; а также, в силу второго равенства
(33), и в интервале а«<х<^3а. Значит, единственно воз-
можными нулями функции у2(х) в интервале [—а, За],
который благодаря периодичности только и нужно рассмот-
реть, служат точки х = — а, х = а и х = За.
Отсюда единственно возможными нулями функции уг (х) =
= у2 (х — а) в интервале [0,4а] служат точки х = 0, х = 2а
и х = 4а. Уравнения (26) показывают, что там, где у2 по-
ложительна (отрицательна), уг возрастает (убывает), а там,
где уг положительна (отрицательна), у2 убывает (возрастает);
кроме того, там где одна из этих двух функций обращает-
ся в нуль, другая проходит через свое максимальное значе-
ние + 1 или минимальное значение —1. Мы выводим, та-
ким образом, что функции z/Дх) и z/2(x) имеют хорошо зна-
комые колебательные формы sinx и cosx соответственно,
если постоянную а отождествить с л/2.
Такое отождествление будет обосновано, если с помо-
щью предыдущих результатов показать, что площадь А кру-
га единичного радиуса равна 2а. Однако
— А = J ]/ 1 — х2 dx,
о
О Так как система уравнений (26) и начальные условия (27) пе-
реходят в себя при замене переменных
X ----1. yi(x)----Z!(g), 1/2 (х)= Z2(g),
то функция //i(x)—нечетная, а 1/2 (х)— четная,— Прим, перев.
32
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
так что, интегрируя по частям, получаем
- Л= — С-7-^Z.1 dx — Г- dx — —А,
4 r J У1 — a-2 J ]/i-x2 4
О о
и потому
2 J У1-Д-2
Производя замену переменных
х = У1 U)
и используя первое уравнение (26), получаем
dx=-y'1(l)d^ = y2(^)dS„
так что
-д== у--У2(£)_,-<д.
2 1 Vi-i/ia)
Однако так как в силу (29) V1 — t/i(S) = УгШ1)* то по-
следняя подинтегральная функция равна 1; поэтому — А = а,
т. е. А ;-= 2а.
Покажем, наконец, как с помощью системы (26) можно
легко вывести теоремы сложения для функций ^(х) и z/2(x),
а именно
У1U + h) = Ух ф у2 (/г) + у2 (g) уг (Л), 1
y^ + h) = y2($y2(h) — z/i(g)r/i(/i). /
Эти формулы, как непосредственно видно, являются ос-
новными в теории круговых функций хорошо известными
формулами сложения для синуса и косинуса.
Воспользуемся уже подчеркнутым свойством, что сис-
тема (26) инвариантна относительно подстановки вида х =
= g + /г, а также другим свойством, что для нормальной
О Равенство по абсолютной величине и по знаку, так как t/2(g)
положительна внутри интервала (0, а), как и радикал.
5. Круговые функции
33
линейной однородной системы, такой, как (26), в общем
случае имеющей вид
У\ = ail(x)y1 + ai2(x)y2 + ... + ain(x)yn (f = 1, 2,..., n)
(35)
(где через ац (x), ai2 (x),..., суп (x) обозначены произвольные
(непрерывные функции независимого переменного х), любое
решение задается формулой
У< = + С2У<2) + ... + CnYf (/ = 1, 2,..., и), (36)
где У,1* (х), У*2) (х),..., У/'г) (х) — п линейно независимых1
решений системы (35), а Сп С2,..., Сп — п произвольных
постоянных.
Функции Yi, представленные формулой (36), очевидно,
удовлетворяют системе (35), так как для всех значений
= 2 Ch [aZ1 (х) y<fe) + ai2 (x) Y™ + ... + ain(x)Y™] =
k=l
= fl/i(*)2 + Hiг(х)2 CkY^-Y ... + ^zn(x)2 CkYn > =
k=^i b=i k=i
= Gii (x) У1 + cii2 (x) Y2 + ... 4- ciinYn
(4=1, 2, ...,/l).
О Совокупность функций называется линейно независимой, если
никакая их линейная комбинация, в которой по крайней мере один
коэффициент отличен от нуля, не равна тождественно нулю. При этом
решение системы уравнений (35) представляет собой систему из п
функций, которую удобно считать векторной функцией скалярного
аргумента х; поэтому при образовании линейной комбинации решений
над ними надо производить действия, как над векторами — Прим,
перев.
34
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
Кроме того, можно добиться того, чтобы эти функции К
удовлетворяли произвольным начальным условиям
У1 (х0) = yl У2 (Хо) = Уч, . . ., Уп (Х0) =
где у°, у2,..., у° — произвольные постоянные; для этого
достаточно в качестве С\, С2,..., Сп выбрать решение сле-
дующей системы из п линейных алгебраических уравнений
с п неизвестными (определитель которой отличен от нуля1)):
С^(1) (Хо) + С2Х(2) (х0) + • • • + CnY^ (х0) = у*
(/ = 1, 2,...,п).
Из указанной инвариантности следует, что пара функций
У± (I + Л) и У2 (£ + Л),
рассматриваемых как функции от g, должна удовлетворять
системе (26); поэтому ее можно записать как линейную ком-
бинацию любых двух линейно независимых решений той
же системы, например, как линейную комбинацию пар функ-
ций
ff/i (£), [Уг (£ + а) = Уч (£),
Ь2(Ю> Ь2(ё + «) = —У1(ё)«
Отсюда
У± (£ Л) = с1Ух (£) 4~ счУч iyj\
У2 (£ + Л) = с1Уч (£) СчУ1 (£),
где сг и с2 означают две не зависящие от g величины, ко-
торые можно немедленно найти, положив g = 0. Это дает
У1(/1)=С2> t/2(/l) = C1.
О Если бы этот определитель равнялся нулю, то существовала бы
система из п постоянных Ць не всех равных нулю, для ко-
торых
И161’ (х0) + ц2У<2’ (х0) + . .. + (х0) =0 (« = 1,2..п),
вопреки предположению о линейной независимости п рассматривае-
мых решений. [Тогда, в силу примечания на стр. 29, было бы
щУ'1’ (х) + ц2У<2> (х) + ... +ц„у<'г) (х) = 0 (Z = 1, 2,. . ., п).
Отметим, что для получения системы из п линейно независимых ре-
шений достаточно выбирать начальные условия так, чтобы они обра-
зовали столбцы какого-либо определителя порядка п, отличного от
нуля.— Прим перев.}
6. Эллиптические функции
35
Достаточно подставить эти значения в (37), чтобы получить
(34).
Заметим в заключение, что, в силу (29), дифференци-
альные уравнения, из которых мы исходили, можно пере-
вести в ф°РмУ уравнений с «разделенными переменными»:
^1= ^ = -рТ^.
dx dx
Следовательно, функции у± и у2 можно изучать как обрат-
ные функции для неопределенных интегралов*,
х = С х _ р dy2
J V^-yl
При таком подходе, однако, довольно затруднительным яв-
ляется доказательство однозначности этих функций.
6. Эллиптические функции
Применим теперь метод, подобный тому, которым мы
воспользовались в предыдущем параграфе, к системе диф-
ференциальных уравнений:
У1 = Оз. У2 = — Оз. Уз = — &уху2 (38)
с начальными условиями:
У1(0) = 0, 4/3(О) = 1, у3(0)= 1, (39)
где k означает постоянную, заключенную между 0 и 1. Эта
система приводит уже не к элементарным функциям, а к
одному из наиболее важных классов неэлементарных транс-
цендентных функций, именно к эллиптическим функциям
Якоби.
В данном примере, где п = 3 и
fi (х, ylt у2, у3) = у2у3, f2 (х, уг, у2, уз) = — Оз.
!з(х, ylt у2, уз) = —k2y1y2,
х() = 0, У1° = 0, 1, у’=1,
36
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
рекуррентные соотношения между последовательными при
ближениями приобретают вид
1/Г+1>(х) = ^Г)(0//Г,(0^
о
y<m+1> (X) = 1 - $ f/Г’ (О У(Г} (О dt,
О
yr+14x) = \-k^yr\t)y^(t)dt.
о
Простые вычисления дают
у{д (%) = X, 1/Г (х) = X,
^1)(х)=1,. ^>(х) = 1-£, .
^’w = i, ^>(Х) = 1 _ ,
' 2! *
уГ(х) = х-(1 + ^)^+6^^'
гД3) (х) = 1 — — 3/г2 -,
2! 4!
^3)(х)= 1—/г2—+ 3&2 —
2! 41
и далее
У1(х) = х — (1 +&)£+ 12£2^ —....
1-^ + (1 + ^2)^-...,
4!
j/l4)(x) = 1 —й2^ + k2(4 + k2)- — ...,
6. Эллиптические функции
37
У? (X) = X - (1 + /г2) £ + (1 + 14&2 + £ - ...,
о I о!
<45М =i-^ + (i + 4^)J-
-^(42+15^)^+...,
y<5)(x) = l-^g + ^(4 + ^)^-
-^(15 + 42^)ii + ....
где многоточия означают члены (число которых конечно) со
степенями х, более высокими, чем выписанные явно.
Таким образом, каждый из коэффициентов при различ-
ных степенях х в конце концов устанавливается, т. е.
становится неизменным в последовательных приближениях;
если с помощью этих установившихся коэффициентов обра-
зовать три ряда по степеням х, то эти ряды будут по край-
ней мере в достаточно малой окрестности начала координат
представлять функции у2, у%, что вытекает из результа-
тов § 42. Эти ряды имеют вид
Л(х) = х-(1 +£2)^ + (1 + Ш2 + ^)£-...,
3! 5!
y2(x)=l-J + (l + 4^)J-
2! 4!
ve
-(1+44₽+16^+..., (40)
К,И=|-^^ + 4>(4 + И^_
2! 4!
—/s2(16 + 44fe2 + ^)^+... .
Однако эти ряды не только более сложны, чем ряды (28),
но и сходятся не всюду (имеют конечный радиус сходимо-
сти), поэтому здесь еще более удобно, чем в предыдущем
примере, вывести свойства функций уи у2, у3, обычно обоз-
38
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
начаемых соответственно символами snx, cnx, dnx, непо-
средственно из соотношений (38) и (39). Умножим первое
уравнение системы (38) на 2г/р а второе на 2у2 и сложим
результаты; затем умножим первое уравнение системы (38)
на 2k2yL, а третье на 2у3 и сложим результаты. Получим
уравнения
+ 2у2у!, =Т(у1 + у1) = о,
ах
2k2y1y'1 + 2y3y's = Y {Ту* + yl) = О
с интегралами
у2 -|- у2 = const, k2y{ + yl=- const.
Если принять во внимание начальные условия, последние
соотношения приобретут вид
^2+f/22 = l, ^ + ^ = 1 (41)
или
sn2x+ сп2х = 1, &2sn2 х + dn2x = 1. (4Г)
Из первого равенства (4Г) немедленно следует, как ив
предыдущем параграфе, что обе функции snx и спх колеб-
лются между —1 и +1 и что, когда одна из них обра-
щается в нуль, другая проходит через свое максимальное
значение +1 или минимальное значение —1. Из второго
равенства (4 Г) следует, с другой стороны, что dn2x колеб-
лется в более узких пределах 1 — k2 и 1, откуда вытекает,
что dnx не имеет нулей, так как мы предположили, что
k2 1 • Поскольку dn 0 = 1 (чем для функции dn х исклю-
чается возможность быть отрицательной), то, обозначив
/1 —£2 = k', (42)
мы выводим немедленно, что функция dnx колеблется
между положительными значениями k' и 1 и достигает
этих значений, когда sn х = + 1 или sn х = 0 соответст-
венно т).
О Положительное число k называется модулем эллиптических
функций, a kf — дополнительным модулем. [То, что рассматриваемые
функции действительно колеблются, будет видно из дальнейшего.
Отметим, что из доказанной ограниченности всех функций ух, у2, Уъ
вытекает, что они определены на всей оси х.— Прим, перев.}
6. Эллиптические функции
39
Введя такой угол ср (называемый амплитудой эллипти-
ческих функций), что
sn х = sin ср, (43)
причем ф, равное нулю при х = 0, непрерывно возрастает
с ростом я, мы выводим в качестве дальнейшего следствия
из (41'), что
сп х = ± cos ф, dn х = ± ]/1 — /г2 sin2 ф
и потому
спя = созф, dnx = l/l—&2зт2ф, (44)
так как dn.r всегда положительна, а знак спя определяет-
ся из одновременно выполняющихся соотношений
sn' х = сп х dn я, sn' я = cos ф .
ах
Так как — > 0, то сп я и cos ф должны всегда иметь одина-
dx
ковый знак1).
Формулы (43) и (44) разъясняют наименования (а также
обозначения), обычно присваиваемые трем рассматриваемым
нами функциям, а именно синус-амплитуда, косинус-
амплитуда и дельта-амплитуда. Обычно функцию
]/1—&2зт2ф обозначают через Дф (дельта ф).
Поставимтеперьвопрос: действительно ли функции зпя и
спя могут обращаться в нуль? Как и в предыдущем слу-
чае, положительный ответ очевиден для функции зпя, ко-
торая обращается в нуль уже при я = 0; но как будет с
функцией спя?
Удобно в соответствии с традицией обозначить через К
первый положительный нуль функции спя; при этом, если
таких нулей нет, то мы будем считать, что К = + 00• По-
пытаемся все же показать, что К конечно (предполагая,
О Из этих двух соотношений следует также, что
dm , ,-----------
= dn х = у 1 — &2 sjn2 ф .
40
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
что&* 2<<1), подсчитав фактически это число с помощью
приема, аналогичного тому, который был применен в пре-
дыдущем параграфе для доказательства равенства
1 л р dx л
а = — А = \ -------- = — .
2 J /1—х2 2
о
С помощью (41) из первого уравнения (38) получаем
dx 1 1 1 ,
— — —----------- —- ... ........ (45)
dyi У[ УгУз
Так как при возрастании х от 0 до К функция спх(т. е. у2)
убывает от 1 до О1), тогда как функция snx (т. е. у±) воз-
растает от 0 до 1, заключаем, что
г» _______^У1_______
к = J • (46)
Эта формула показывает, что при &2 <4 величина /<
будет на самом деле конечной, так как подинтегральная
функция не имеет особенностей на интервале интегрирова-
ния, за исключением бесконечности порядка х/2 в точке
уг=- 1. С другой стороны, если &2 = 1, подинтегральная
функция приводится к (1 — yl )~1 и /< имеет логарифмиче-
скую бесконечность; отсюда легко вывести, что интеграл
(46), который, очевидно, является возрастающей функцией
fe2, стремится к бесконечности при fe2—>1.
В точке х = К, очевидно, имеем
yi(K) = sn/( = l2), у2(К) = спК = 0, f/3(K) = dnK = ^
Аналогия с предыдущим примером наводит на мысль иссле-
довать, что произойдет при переносе начала в точку х = К
с помощью подстановки
х = I + К.
Так как желательно сохранить начальные условия неизмен-
ными, то мы воспользуемся новым преобразованием неиз-
0 В случае /С=оо убывание могло бы происходить и до некото-
рого положительного числа, но тогда из формулы, подобной (46),
легко прийти к противоречию.— Прим, перев.
2) #i(A) = + 1, так как У1(х) в интервале [О, К] является возра-
стающей функцией х [это следует из первого уравнения системы
(38)].
6. Эллиптические функции
41
вестных функций, менее простым, чем в предыдущем параг-
рафе. Это преобразование имеет вид
оно, как легко убедиться, не меняет систему (38), т. е. по-
следнюю можно записать в виде
= z2z3, z2 = — zxz3, z^ = — fe2z1z2.
Далее, начальные условия не меняются, как видно из об-
ратного преобразования
Уз\х)
z(t\ = 2L.
Уз(х) ' у3(х) ’
откуда следует, что при g = 0, т. е. при х = К,
Zi(0)=0, z2(0) = l, г3(0) = 1.
Поэтому из теоремы единственности вытекает, что зави-
симость zltz2,zs от | должна совпадать с зависимостью функ-
ций ylt у2, у3 от х; отсюда мы получаем важные формулы
sn(g + K)=c^l cn(g + K)=-fe'^L,
dn g dn g
dn(g + K) = -£-,
(47)
заменяющие формулы (32) предыдущего параграфа.
Из полученных сейчас формул можно вывести несколь-
ко важных результатов, в частности, как и в предыдущем
параграфе, периодичность рассматриваемых функций.
Непосредственно получаем, что
sn (х + 2К) =
сп(х + К)
dn(x + K)
— sn X,
сп (х + 2К) = — k’ в--^'= — сп х,
v dn(x + K)
(48)
dn (х + 2К) =
k'
dn(x + K)
dn x
и, следовательно,
sn (х + 4К) = — sn (х ф- 2К) = sn х,
сп (х + 4К) = — сп (х + 2К) = сп х.
42
Гл. I. Теорема о существовании и единственности
Таким образом, функции snx и спх—периодические с пе-
риодом 4К, а функция dnx— периодическая с периодом
2К.
С другой стороны, из формул (47) следует, что
sn (2К) = = 0, cn(3K)=-6's^- = 0,
dn К. dn(2/Q
sn (4К) = = о, ....
v ’ dn (ЗК)
Таким образом, четные кратные К служат нулями функ-
ции snx, тогда как нечетные кратные К служат нуля-
ми спх; кроме того, это единственные (вещественные) ну-
ли этих функций, что непосредственно показывается при
помощи того же рассуждения, которое было применено в
аналогичном случае в предыдущем параграфе. Отсюда сле-
дует, далее, что при четных кратных К функция dnx
принимает максимальное значение, а при нечетных крат-
ных k — минимальное.
Рассматриваемые функции ведут себя в общем как по-
казано на рис. 1, где проиллюстрирован случай &2 = 0,8.
Для эллиптических функций имеются также некоторые
теоремы о сложении, подобные теоремам для круговых
функций, но более сложные; вывод этих формул для эл-
липтических функций при помощи методов, примененных в
6. Эллиптические функции
43
предыдущем параграфе, значительно более труден из-за
того, что система (38) в отличие от системы (26) — нели-
нейная.
Заметим в заключение, что эллиптические функции
можно рассматривать как обратные функции для интег-
ралов (называемых эллиптическими интегралами) от ал-
гебраических функций.
Например, из (45) немедленно следует, что функция
sn № (х) является обратной для неопределенного интег-
рала
J V (1-^(1-^) • (49)
Из этой формулы следует (что легко вывести и непо-
средственно из системы дифференциальных уравнений), что
при = О эллиптические функции вырождаются в кру-
говые функции, т. е.
sn х = sin х, сп х = cos х, dn х = 1 (&2 = 0). (50)
С другой стороны, если /е2 = 1, соотношение (49) дает
х =
Z/i
о
= 1п1/1 + У1
1-^ у
откуда следует, что
Применяя гиперболические функции, получаем
snx=thx, cnx = dnx = sechx (fe2=l), (50')
откуда видно, что в случае k2 = 1 эллиптические функции
вырождаются в гиперболические и больше не являются пе-
риодическими (К становится бесконечным).
Для более глубокого изучения эллиптических функций,
которые здесь только затронуты, мы отошлем читателя к
многочисленным специальным работам в этой области, сре-
ди которых имеется и работа автора1).
О Tri comi F„ Funzioni Ellittiche, изд. 2, Bologna, Zanichelli,
1951; на немецком языке, Leipzig, Akad. Verlagsgesell., 1948. [См. так-
же Ахиезер H. И., Элементы теории эллиптических функций, Гос-
техиздат., М.— Л., 1948.— Прим, перев.]
II
ПОВЕДЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
7. Предварительные рассмотрения
Из фундаментальной теоремы о существовании и един-
ственности, установленной в предыдущей главе, следует, в
частности, что для дифференциального уравнения первого
порядка
(1)
через каждую точку (х0,у0) области D, в которой функция
f (х, у) непрерывна и удовлетворяет по у условию Липши-
ца, проходит ровно одна характеристика уравнения. {Харак-
теристиками дифференциального уравнения являются линии,
геометрически изображающие его решения в плоскости (х, у).)
Вообще говоря, такие линии покрывают всю плоскость (или
некоторые ее области) и не пересекаются друг с другом, за
исключением, быть может, особых точек уравнения (1), т. е.
точек, в окрестности которых функция перестает быть не-
прерывной или удовлетворять условию Липшица. Например,
рис. 2 иллюстрирует случай уравнения
&У У /о\
dx 2х [ }
(очевидно, обладающего особой точкой в начале координатх)),
характеристиками которого служат параболы
у2 = сх
О Остальные точки оси у не являются особыми, так как в них
уравнение (2) можно переписать в виде dxldy=2xly.— Прим, перев.
7. Предварительные рассмотрения
45
с общей вершиной в начале координат; в этом можно убе-
диться, интегрируя уравнение при помощи разделения пере-
менных.
В этой главе мы намерены в основном изучить типы
особых точек, наиболее часто встречающиеся при рассмот-
рении уравнений вида (1), так как знакомство с этими осо-
бенностями очень важно для того, чтобы получить пред-
ставление о поведении характеристик таких уравнений в
общем случае.
При исследовании характеристик большую пользу могут
оказать даже самые простые соображения, например то, что
линия
/ММ (3)
очевидно, является геометрическим местом стационарных
точек характеристик, т. е. точек, в которых касательная
горизонтальна и которые, вообще говоря, служат точками
максимума или минимума соответствующих интегральных
линий.
Довольно полезно также рассмотреть геометрическое
место точек перегиба характеристик, которое, в силу
равенства
Й = Мх> y) + fy(x, у) у',
46 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
задается уравнением
fx (X, у) + fy (х, у) f (х, у) = 0. (4)
При переходе через эту линию характеристики, вообще го-
воря, сменяют выпуклость кверху на выпуклость книзу.
Например, в случае линейного уравнения первого поряд-
ка (не имеющего конечных особых точек)
у' = 1 + ху (5)
общее решение задается формулой1)
у = с + е_%г/- dx |. (6)
\ о /
Так как полученный неопределенный интеграл2) не выража-
ется через элементарные трансцендентные функции, то эта
формула не очень удобна при исследовании поведения ха-
рактеристик. Однако достаточно изобразить линии (3) и (4),
которыми служат соответственно равнобочная гипербола
ху = — 1
и кривая третьего порядка
У + х (ху + 1) = 0
(см. рис. 3, где эти две линии нанесены пунктиром), чтобы
увидеть общее поведение характеристик уравнения (5). В че-
тырех областях А, В, С, D, на которые указанные две ли-
нии делят плоскость (х, у), характеристики должны необхо-
димо (при возрастании х)
в Л: идти кверху и быть выпуклыми книзу,
в В: идти книзу и быть выпуклыми книзу,
в С: идти кверху и быть выпуклыми кверху,
в D: идти книзу и быть выпуклыми кверху.
Это показывает (как можно доказать строго при помо-
щи более детального исследования), что имеются два рода
характеристик: (1) те, которые имеют положительный нак-
лон, лежат целиком в областях А и С и пересекают линию
О См. например, Трикоми Ф. [76], ч. II, гл. IX, § 9. [См. также
Степанов В. В. [44], стр. 34—36.— Прим, перев.].
2) Это интеграл вероятности. Дальнейшие сведения см., например,
в книге Я нк е Э. и Эмде Ф. [85].
7. Предварительные рассмотрения
47
точек перегиба и ось х, но не пересекают гиперболу точек
максимума и минимума; (2) те, которые, все время выпуклы
книзу и лежат в областях А и В или все время выпуклы
кверху и лежат в областях С и D, причем пересекают ги-
перболу ху = — 1 ровно в одной точке, где, как можно
убедиться, будет минимум в первом случае и максимум
во втором.
Рис. 3.
Поэтому имеются две специальные характеристики («се-
паратрисы»), показанные на рис. 3 жирными линиями, име-
ющие ось х асимптотой (так же как линия третьего порядка
точек перегиба и гипербола точек максимума и минимума);
эти две характеристики отделяют характеристики первого
рода от характеристик второго рода. Это следует из
интеграла вероятности (6), так как функция у в (6)
стремится к нулю при х —> ± оо только для значений
с = 4= ]/л/2.
Функция f(x, у), участвующая в уравнении (1), часто
представляет собой отношение двух функций Q(x, у)
48 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
и Р (х, у), как в примере (2), так что уравнение приобретает
вид
dy = Q(x,y)
dx Р(х,у) { '
или равносильный вид
dx = dy .
Р(х,у) (Цх.ур
Полезно ввести новую независимую переменную t, диффе-
ренциал которой удовлетворяет соотношению
dx _ dy _ .,
Р(х,у) Q(x,y) ai-
Таким путем уравнение (7) можно заменить нормальной си-
стемой
.ц
-^ = Q(X, у),
в правые части которой переменная t явно не входит.
Однако будет ли система (9) в точности эквивален-
тна уравнению (7)?
Очевидно, эквивалентность имеет место, если Р (х, у) =^=0;
но если Р (х, у) обращается в нуль, например если Р (х, у)
тождественно (по у) равно нулю для некоторого частного
значения х0 переменной х, то система (9) является более
широкой, чем уравнение (7); если для постоянной х = х0
построить функцию у = <р (/), удовлетворяющую уравнению
с разделяющимися переменными-
f = <Ж, у),
то мы получим решение системы (9), которое лишь в обоб-
щенном смысле можно считать решением уравнения (7),
так как последнее для х = х0 теряет смысл.
7. Предварительные рассмотрения
49
Так, для уравнения (2) соответствующая система вида (9)
Zt = ^ Tt = y (10)
обладает решением х = 0 (т. е. осью у), которое было
бы потеряно при рассмотрении только исходной формы урав-
нения.
Поэтому на поставленный выше вопрос ответ таков:
Система (9) не в точности эквивалентна уравнению (7),
являясь более широкой, чем (7), в том смысле, что каж-
дое решение (т. е. каждая характеристика) уравнения (7)
служит решением системы (9), тогда как у системы (9)
могут существовать решения, которые нельзя считать
решениями (7), так как если Р(х, у) обращается в нуль,
то правая часть уравнения (7) теряет смысл.
По этой причине предпочтительнее, как правило, рассмат-
ривать систему (9), а не уравнение (7), и м,ы будем поэ-
тому считать характеристиками уравнения (7) все харак-
теристики системы (9), не исключая, в частности, воз-
можных интегральных линий, параллельных оси у (послед-
ние будем называть характеристиками в широком смысле
в отличие от характеристик в узком смысле).
Заметим, наконец, что в случае, которым мы главным
образом будем заниматься в этой главе, а именно когда
функции Р(х, у) и Q(x, у) обращаются одновременно в
нуль в особой точке (х0, yQ), система (9) обладает констан-
тным решением
х = х0, у = у0, (И)
которому не соответствует реальная характеристика урав-
нения (7), так как этому решению отвечает не линия в
плоскости (х, у), а только одна точка. Однако может слу-
читься, как в показанном на рис. 2 примере, что через точ-
ку (х0, уq) проходят другие характеристики, быть может,
даже бесконечное число характеристик. Это не противоре-
чит общей теореме о существовании и единственности (при-
менимой, вообще говоря, к (9) независимо от того, равны
Р и Q нулю или нет), так как мы увидим, что в точке
(х0, Уо) соответствующее значение t на характеристиках
равно бесконечности.
50 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
Системы типа (9) имеют большое значение в нелиней-
ной механике. Механическая система с одной степенью
свободы х, подверженная действию силы, не зависящей
явно от времени /, описывается дифференциальным урав-
нением вида
d*x _ £ f •
dt* ~ \ ’ dt J ’
полагая dx/dt = у, можно записать соответствующую си-
стему на фазовой плоскости (х, у) как
dx
“ =
at
т. е. как частный случай системы (9).
8. Примеры уравнений с особыми точками
Для уравнения (2), которому отвечает рис. 2, особая
точка в начале координат называется узлом, так как через
нее проходит бесконечное число характеристик уравненияг);
в действительности, для этого частного уравнения все ха-
рактеристики проходят через указанную особую точку. Так
будет также для более общего уравнения
/ у
У = а —
(12)
где а —любая положительная постоянная, так как реше-
нием здесь служит
In | у | = a In [ х [ + const,
что дает
У =с|х|“.
(13)
Если ос , то фазовые траектории около начала коорди-
нат ведут себя подобно тем, которые изображены на рис. 2,
О Обычно узлом называют особую точку, обладающую окрест-
ностью, которая целиком заполнена характеристиками, проходящими
через эту точку и имеющими там определенное направление. —
Прим, перев.
8. Примеры уравнений с особыми точками
51
так как из (13)
у' = + са | х |а-1
и потому, если с=^=0, получаем, как для (2),
lim у' = оо;
X—>0
это означает, что все характеристики (за исключением од-
ной, а именно линии у =0) имеют в начале координат одну
и ту же касательную х =0. С другой стороны, если ос>1,
то, переставляя в (12) х и у и заменяя а на 1/ос, видим,
что графическое представление характеристик около начала
координат получается вращением рис. 2 на девяносто градусов.
В обоих случаях имеется ровно два возможных направ-
ления, касательных к характеристикам в узле, вдоль осей х
и у, такие направления называются исключительными на-
правлениями в этой особой точке.
Наконец, если ос=1, то имеет место особый случай
звездообразного узла, когда каждая характеристика, про-
ходящая через узел (т. е. каждая прямая линия, про-
ходящая через начало координат), имеет в особой точке
свою собственную касательную; поэтому в данном случае
исключительных направлений нет.
До сих пор мы рассматривали случай оо>0. Если, на-
оборот, а <0 х), то результаты коренным образом меняются,
так как тогда из (13) следует, что при с=£=0
lim | у \ = оо,
Л->0
и в этом случае характеристики, за исключением двух, не
проходят через начало координат; этими исключительными
характеристиками служат линии у = 0 (характеристика в
узком смысле) и х = 0 (характеристика в широком смысле).
Эти результаты показаны на рис. 4, где а принято равным
— 1 и потому характеристиками служат равнобочные гипер-
болы ху = с. Так как эта картина несколько напоминает
контурные линии на топографической карте в окрестности
седловой точки, то этот тип особой точки называется сед-
лом * 2). В данном случае также имеются два исключитель-
0 Случай а = 0, когда #=const, представляет малый интерес.
2) См. рис. 12 на стр. 95.
52 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
ных направления, а именно направления осей координат,
так как они служат касательными направлениями тех един-
ственных двух характеристик (здесь прямых линий), которые
проходят через особую точку.
Другим важным уравнением с узлом в начале коорди-
нат является
=*+».. (14)
dx х ' '
Если положить у = xz, это уравнение перейдет в
dz . < .
—\- Z — 1 -р Z,
dx
т. е.
откуда
dz _ 1
dx х ’
Z = In | X | + C,
и потому
у = х(1п|х|+с).
(15)
8. Примеры уравнений с особыми точками
53
В этом случае
lim y = Q
Х->0
И
lim у' = lim (1 + с 4- 1п|х|) = —оо.
X—>0 X—>0
Поэтому все характеристики проходят через начало коорди-
нат и все они (без исключений) имеют там ось у общей ка-
сательной; значит, ось у является единственным исключитель-
ным направлением. Рис. 5, на котором оси координат обозна-
чены через g и т] вместо х и у (как сделано и в двух
последующих рисунках), показывает поведение характеристик
в данном случае.
Совсем иное поведение обнаруживают траектории, отве-
чающие уравнению
*У. = х + аУ. (16)
dx ах —у'
54 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
где а означает постоянную, которую мы временно предпо-
ложим отличной от нуля.
Перейдя к полярным координатам с помощью подстановки
х = pcosO, у = р sin 9,
откуда
р2 = X2 + г/2,
dp , dy
p-~ = x + y-f-
dx dx
0 =arctg —,
x
о dO dy
p2 ~~~ у
dx dx
и, следовательно,
dp_ = x + ytf
dfl xy' — у
мы получаем в данном случае очень простое уравнение
dp
~ =ар,
ао
откуда при помощи разделения переменных имеем
In р = а 6 + const,
т. е.
р = сеаВ,
(17)
Эти характеристики являются логарифмическими спира-
лями, навивающимися на начало координат, которое дости-
гается в пределе при 0 — оо или 6 + оо в зависимости
от того, будет ли а > 0 или а < 0 (рис. 6). Особая точка
такой структуры называется фокусом.
В частном случае, когда а =0, мы выводим непосредст-
венно из (17) или даже прямо из уравнения (16), которое
тогда принимает вид
-^- = ——, (18)
dx у
1
что х dx + у dy — — d (х2 + у2) = 0. Поэтому характерис-
тиками служат окружности с центром в начале координат,
8. Примеры уравнений с особыми точками
55
которое по этой причине называется центром уравнения
(рис. 7).
Рассмотрим, наконец, пример особых точек вида, совер-
шенно отличного от всех предшествующих, именно точек, в
которых функция f (х, у) в правой части уравнения (1) не-
прерывна, но перестает удовлетворять условию Липшица по
переменной у.
Для этой цели рассмотрим уравнение
У' (19)
т. е. положим f (х, у) = ]Л| у\. Эта функция f(x, у) непре-
рывна во всех точках оси х, но не удовлетворяет в них
условию Липшица, так как
f(x, 0) = УГ7Г = + 1
У У ~ ’И7Т ’
что неограничено при у—>0.
56 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
Интегрирование уравнения (19) посредством разделения
переменных дает
С dy
J УТуГ
X + с =
(если у>0),
(—2 )/—«/ (если у <^0),
откуда
у(* + с)2,
4
— т(*+ с)2’
4
8. Примеры уравнений с особыми точками
57
или, при замене с на —х0,
^-(х — хв)2 (х>х0),
у= 1
—-(х —х0)2 (х<х0).
(20)
Таким образом, характеристика Со уравнения (19), прохо-
дящая через точку Ро (х = х0, у = 0) (из этой характеристики
с помощью переносов, параллельных оси х, можно получить
все остальные, за исключением одной’)), составлена из двух
полупарабол, которые касаются оси х в их общей вершине
Ро (см. рис. 8). Ось х также, очевидно, является характе-
ристикой уравнения.
Мы видим, что в данном случае «особенность» точек
оси х проявляется в том, что, хотя теорема существования,
’) Оси х; см. дальнейшее рассуждение.
58 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
доказанная в главе I, в них остается справедливой (см. § 4),
теорема единственности не выполняется; действительно, че-
рез точку Ро, кроме указанной выше характеристики Со и
оси х, проходит бесконечное число других характеристик,
составленных из произвольного отрезка [xv х2] оси х (со-
держащего точку х0) и двух полупарабол
1 1
у =----(х—х,)2 (для х хх); у= — (х — х2)2 (для х^> х2).
4 4
(21)
9. Изучение укороченного уравнения
Примеры, разобранные в предыдущем параграфе, довольно
просты, но они делают очевидной полезность какого-либо
критерия для поведения характеристик уравнения типа (7)
в окрестности точки (х0, у0), в которой Р(х, у) и Q(x, у)
одновременно обращаются в нуль, и, следовательно, теорема
главы I о существовании и единственности полностью не-
применима г).
Работа по исследованию таких особых точек, начатая
А. Пуанкаре в конце прошлого столетия и продолженная
И. Бендиксоном в классическом мемуаре 1901 г. и, в более
недавнее время, несколькими хорошо известными современ-
ными математиками, сначала основывалась на довольно ог-
раничительных требованиях к функциям Р и Q, которые пред-
полагались аналитическими (т. е. разложимыми в степен-
ные ряды) или просто многочленами. Постепенно эти требо-
вания были ослаблены настолько, что в последние годы они
в некоторых случаях свелись к необходимым условиям, а в
других случаях оказались лишь немного более ограничитель-
ными. Однако этого удалось достичь только с помощью
сложных и трудных рассуждений.
Мы изберем средний путь, наложив на функции Р(х, у)
и Q (х, у) условия, достаточно мало ограничительные и в
О Если обращается в нуль только знаменатель, т. е. Р (х,у), то,
переставляя х и у, мы приходим к уравнению, не имеющему особен-
ности, к которому, следовательно, можно применить результаты гла-
вы I. Следует только отметить, что при этом характеристика, прохо-
дящая через точку (х0, г/о), будет иметь в ней вертикальную каса-
тельную.
9. Изучение укороченного уравнения
59
то же время допускающие проведение простого и строгого
исследования. Удобно сначала предположить, что функции
Р и Q — линейные и что особой точкой служит начало ко-
ординат; следовательно, взамен уравнения (7) мы рассмат-
риваем укороченное уравнение
= Cx + Dy-, (22)
dx Ах+Ву ' ’
где
рх (0, 0) = А, Ру (0, 0)=В, Qx (0,0) = С, Qy (0, 0) = D. (23)
В свете рассуждений, проведенных в конце § 7, мы бу-
дем рассматривать в этом параграфе линейную систему
-^- = Лх + Ву, -^-^Cx + Dy, (24)
причем мы предположим, что
AD — ВС =1=0. (25)
Поставим целью исследовать, можно ли привести систе-
му (24) к каноническому виду
= -$- = М (26)
at at
(где Xj и Х2— две подходящие вещественные постоянные)
при помощи линейной подстановки типа
<27>
Если это возможно, то, сравнивая систему (26) с одним
уравнением
которое было уже исследовано в предыдущем параграфе,
мы немедленно получим необходимые результаты.
Заменяя g и г] в (26) выражениями (27) и применяя (24),
найдем
а (Ах + By) 4- Р (Сх + Dy) = (ах + Ру),
Г (Ах + By) + 6 (Сх + Dy) = %2 (ух + бу)
60 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
и, приравнивая коэффициенты при х и у в этих тождествах,
получим
(Л — Aq)а + Ср =0, 1 /90'^ 0 — ^2)Т "Ь Сб =0, 1
Ba + (D — X1)p = 0, J 1 ' BT + (D —Х2)6=0. Р '
Чтобы эти линейные однородные относительно а, р и у, б
уравнения могли удовлетворяться значениями a, р, т, б, не
всеми равными нулю, необходимо и достаточно, чтобы оп-
ределитель из коэффициентов обращался в нуль, т. е. чтобы
Aq и Х2 были корнями характеристического уравнения
т. е.
X2 — (Л + D) X + AD — ВС = 0,
откуда
X = | [ (Л + D) ± ]/(Л — £>)2+4ВС ]. (31)
Поэтому в предположении, что
(Л —Г>)2+4ВС>0,
значения А2, получающиеся из формулы (31), будут ве-
щественными и различными, и можно осуществить переход
к каноническому виду (26) 9-
Если характеристическое уравнение (30) удовлетворяется,
то достаточно рассмотреть лишь первые уравнения в (29')
и (29") (так как вторые уравнения являются следствиями
первых), и потому можно просто написать
a = С, р = А,1—Л, т = С, б = т2 —Л. (32)
Поэтому при С=/=02) будет аб — Рт=/=О, так как, в силу
(32), аб — Рт = (Х2 — Aq) С. Применяя результаты, установ-
ленные в предыдущем параграфе для уравнений типа (28),
0 Заметим, что ни Ai, ни А2 не могут равняться нулю, так как
А1Аг = ЛВ — ВС =/=0.
2) Это можно предположить, так как если С=0, то либо В=0 и
тогда система (24) уже имеет канонический вид, либо же В=/=0 и
тогда достаточно переставить х и у (и потому В и С), чтобы удовле-
творить этому условию.
9. Изучение укороченного уравнения
61
и замечая, что Х2/Хг имеет тот же знак, что 1Х12, т. е.
что AD — ВС, мы можем, таким образом, сформулировать
результат:
Если дискриминант (Д — D)2 + 4SC характеристиче-
ского уравнения положителен, то начало координат слу-
жит узлом или седлом уравнения (22) в соответствии
с тем, будет ли AD — ВС положительным или отрица-
тельным.
Обратимся теперь к случаю, когда дискриминант
(Д— D)2 +4ВС отрицателен и, следовательно, оба корня
характеристического уравнения комплексные сопряжен-
ные, т. е.
Xi = ц + iv, 12 = ц — iv, (33)
где р. и v — две вещественные величины, причем v=^=0.
Так как предыдущие вычисления пригодны и в этом
случае, если пользоваться комплексными величинами g и т],
то (27) вместе с (32) и (33) дает
£ = Сх + (р— A-^iv)y, 1 /044
т] = Сх + (и — A — iv)y.} v 7
Это наводит на мысль применить взамен (27) веществен-
ное преобразование
X = Сх + (ц - 4) у, 1 (35)
Y = vy, J ' '
откуда
Ъ = х + iY, n = X - iY. (36)
Эта подстановка переводит заданную систему (24) в
другую, которая, хотя и является менее простой, чем (26),
тем не менее приводит к исчерпывающим результатам в
силу рассмотрений предыдущего параграфа. В силу (33) и
(36), уравнения (26) приобретают вид
= (ИХ- vK) + i(yX + ИУ),
f “ “ vF) “ Z(vX +
62 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
и, следовательно, удовлетворяются, если просто положить
(37)
Другими словами, в случае когда дискриминант харак-
теристического уравнения отрицателен, удобно вместо под-
становки (27) с коэффициентами (32) воспользоваться ли-
нейной подстановкой (35), которая приводит заданную сис-
тему к новому каноническому виду (37), т. е. к уравнению
dY = X + aY
dX~ aX — Y'
(38)
где а = ji/v. Однако (38) — это как раз уравнение (16) пре-
дыдущего параграфа; поэтому
В случае когда дискриминант (Л— D)2 +4ВС характе-
ристического уравнения отрицателен, начало координат
служит фокусом уравнения (22), если Л D =f=Q *), если
же Л-|-£)=0, то начало координат является центром.
Остается только рассмотреть случай, когда дискрими-
нант равен нулю, т. е.
(Л — D)2+4BC = 0 (39)
и потому
Л1 = Л2= 1(Л + Я).
(40)
Допустим при этом предположении сначала, что по
крайней мере одна из двух величин В и С (мы всегда мо-
жем принять, что С) отлична от нуля; тогда для значения X,
данного формулой (40), мы не можем определить совокуп-
ность значений а, р, у, 6 (для которых аб— ру=/=О) так,
чтобы системы (29') и (29") одновременно удовлетворялись.
Однако можно удовлетворить хотя бы одной из этих двух
’) Из условия Л+£>=0 следует, что ц=0.
9. Изучение укороченного уравнения
63
систем, например (29'). Для этого удобно придать аир
значения
а = С, p = %i — A = j(D — А). (41)
Тогда первое из двух дифференциальных уравнений для |
и т] примет вид (26), т. е.
f = М. (42)
Что касается второго уравнения, то мы попытаемся при-
вести его к виду
^ = М^ + П) (42')
при помощи подходящего выбора у и б. С помощью про-
цесса, подобного примененному выше, мы получаем равен-
ства
(Л — %i) т -ф Сб = А^а,
Вг + (£> — Л1)б = Х1р,
(43)
из которых на самом деле независимым является лишь одно.
Действительно, если A=$=D и потому р =/=0, то общее зна-
чение х)
А - __ С
В ~ D-^
отношений коэффициентов при у и б в левых частях равно
отношению правых частей, так как
%!(Х _ с _ С
М 1(D — Д) D—X/
если же А = D (и потому В = 3 = 0), то второе уравнение
(43) представляет собой тождество.
О Так как Xj является корнем уравнения (30), определитель, со-
ставленный из коэффициентов, равен нулю.
64 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
Отсюда следует, что уравнениям (43) можно удовлет-
ворить, приняв, например,
7 = 0, 6 = ^ = 1(Д + Р).
Таким образом, мы заключаем, что линейная подстановка
S =Сх— ^(A — D)y,
n=|(A + D)i/)
(44)
определитель -^-(Д+ D)C которой заведомо не равен нулю,
так как
С=£0, {(А + D)2 = Xi = AD — BC=f=O,
приводит систему дифференциальных уравнений (24) к ка-
ноническому виду (42) — (42'), т. е. к уравнению
(45)
которое совпадает с уравнением (14) § 8. Таким образом,
мы заключаем, что начало координат является узлом с
единственной касательной вдоль оси т].
Остается, наконец, рассмотреть подслучай, для которого
В = С=0; так как в данном случае очевидно, что А = D,
то уравнение имеет уже исследованный вид
dx х
и совпадает с уравнением (12) § 8 при а = 1. Поэтому мы
имеем звездообразный узел.
Суммируя полученные результаты, мы видим:
Уравнение
dy _Сх+Ру
dx Ах + By
9. Изучение укороченного уравнения
65
с AD — ВС =/= 0 имеет особенность в начале координат}
тип особенности выясняется следующим образом:
(A-DY+IBOQ \AD-BOQ Узел
I AD — ВС < О седло
(Л-О)>+4ВС<0 P+D+°
I А + D = 0 центр
(A —D)2+4BC= О узел {звездообразный узел в
том и только том случае,
когда А = D, В = С = 0).
Полезно отметить следующие моменты.
(1) Чтобы убедиться в том, что особенность является
седлом, достаточно проверить лишь неравенство AD — ВС<^0,
так как тогда
(А — D)2 +4ВС = (А + D)2 — 4 (AD — ВС) >0.
(2) Как в случае седла, так и в случае узла угловые
коэффициенты исключительных направлений служат корнями
квадратного уравнения
Вц2 + (А — D)ii — С = 0,
которое получается из (22), если записать
*У-=У- = Ц.
dx X
(3) В до сих пор исключавшемся случае, когда
AD — ВС = 0,
т. е. С/А = D/В, укороченное уравнение (22) приводится к
виду
где k — общее значение этих двух отношений; поэтому ха-
рактеристиками являются прямые линии с угловым коэф-
66 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
фициентом k, и в начале координат больше нет особенности.
Позже (стр. 99) мы увидим, насколько иным может быть
поведение характеристик в нелинейном случае.
10. Некоторые теоремы общего характера
Основная цель настоящей главы состоит в том, чтобы
показать, как можно результаты, полученные в предыдущем
параграфе для рассмотренного там частного случая, приме-
нить, вообще говоря, без изменения к системе дифферен-
циальных уравнений вида
^- = Р(х,у), %- = Q(x,y) (46)
at dt
при соответствующих ограничениях, наложенных на функ-
ции Р (х, у) и Q(x, у), причем формулы (23) предыдущего
параграфа остаются в силе; другими словами, показать, что,
вообще говоря, структура особенности зависит только от
членов первой степени в разложении функций Р(х, у) и Q(x, у).
Системы вида (46), в правые части которых не входит
независимая переменная t, обычно называются автономными
системами.
Удобно установить сначала некоторые общие свойства
характеристик системы вида (46); помимо самостоятельного
интереса этих свойств, они окажутся полезными при полу-
чении окончательного результата.
Первое из этих свойств говорит о продолжимости ха-
рактеристики с с параметрическими уравнениями
х = ср(О, y = ty(t), (47)
выходящей из точки PQ(xQ, yQ) области D, в которой Р и
Q удовлетворяют условиям, обеспечивающим применение
фундаментальной теоремы главы I1), т. е. они непрерывны
и удовлетворяют в окрестности каждой точки области
условию Липшица (как по х, так и по у). При этих пред-
положениях фундаментальная теорема устанавливает, что
если t0 — значение параметра t, отвечающее точке Ро, то
О Мы не исключаем возможности наличия в области D особых
точек, в которых Р(х, у) и Q(x, у) обращаются одновременно в нуль.
10. Некоторые теоремы общего характера
67
функции ф (/) и ф (/) можно определить для t^tQ по край-
ней мере на некотором интервале [/0, ZJ, длина которого
явно оценивается снизу в главе I, и аналогично для/<^0-
Отсюда следует, что если точка Рг с координатами
*1 = <P(^i), //i = Wi)
также лежит внутри области D, то фундаментальную тео-
рему можно применить вторично около точки (хр г/х) и по-
лучить таким образом продолжение функций ср (/) и ф (/)
на новый интервал [^, /2], следующий за [/0, ^], и т. д.
Таким образом, получается возрастающая последовательность
/0, t2, • • • значений /, которая либо расходится, и тогда
соответствующую характеристику можно продолжать беско-
нечно, либо же стремится к некоторому конечному пределу Г.
Можно показать, что если только мы не преуменьшили
противоестественно размеры интервалов [/0,/J, Ир
то Т (время ускользания) является естественным пределом
продолжения характеристики в том смысле, что при t-*T—0
точка с координатами [ф(0, ф(0] должна уходить к гра-
нице области D. Более точно, это значит, что для любой
конечной подобласти D' строго внутренней по отношению к D,
точки характеристики с при всех t, достаточно близких к Т,
уже не содержатся в D', в частности, если точка харак-
теристики с при t—>T — 0 стремится к некоторой точке
Р, то Р обязательно расположена на границе области D.
Таким образом, мы получаем, что
Каждая полу характеристика1), выходящая из точки PQ
области D, может быть продолжена до значений пара-
метра t = + оо или до тех пор, пока она не уйдет к гра-
нице области D.
Из этих двух возможностей, очевидно, более интересна
первая, так как во втором случае часто бывает, что, после
того как характеристика с покинет область, где функции
Р (х, у) и Q (х, у) удовлетворяют предположениям фунда-
ментальной теоремы или где эти функции, быть может,
только и определены, о с ничего сказать нельзя. Поэтому
поставим вопрос, что происходит с точкой Р, координаты
0 Если, как в данном случае, полезно различать две части, на
которые точка Pq делит характеристику, выходящую из этой точки,
то каждая из частей называется полухарактеристикой.
68 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
которой равны х = ф (/), у = гр (/) при t —> оо или — ос,
предполагая, что эта точка остается внутри области ZZ По-
кажем, что если ф (/) и гр (/) стремятся к конечным пре-
делам а и b при >ос (или при t->— ос), т. е. если
lim ф (?) = a, lim гр (/) = Ь,
t—>-|-oo t—>-|-оо
причем точка (а, Ь) находится внутри области D, то
эта точка должна быть особой точкой системы (46), т. е.
Р(а, b) = Q(a, &) = 0.
В противном случае, если бы по крайней мере одна из
функций Р и Q была отлична от нуля в точке (а, 6), на-
пример
\Р(а, b)\ = ц>0,
то можно было бы найти такое Г, что для всех t
но тогда если tx и /2 — два любых значения /, больших чем
Г, a t'— подходящее значение между и /2, то
|<р(О — ф(у| = |(z2—Оф'(О| > 1 ф2 —У-
Значит, если | Л> — | > 1, то
|Ф(У — Ф(О|> {П,
а это противоречит предположению о том, что ф (/) стре-
мится к определенному пределу при t —> оо.
Обратно, если при характеристика с оканчива-
ется в особой точке (х0, г/0) области D, т. е. если
1ш1ф(О=хо, М(0 = у0, P(xo,yo) = Q(xo,yo) = O,
t—Ho
то tQ = + ос. Действительно, если бы было конечным,
то из теоремы единственности главы I вытекало бы, что
10. Некоторые теоремы общего характера
69
начальным условиям
х = х0, У= Уо
(при t = /0)
или эквивалентным условиям
lim х = х0, lim у = у0
t—>to t—^to
отвечает только тривиальное решение системы (46)
х = х0 = const, у = yQ = const,
которому не соответствует характеристика.
Предыдущее замечание относится как к случаю, когда
характеристика оканчивается в точке (х0, г/0), имея там оп-
ределенную касательную, как будет, например, для узлов
и седел, так и к случаю, когда она оканчивается в виде
спирали, как будет для фокусов. Однако имеются ли какие-
либо иные возможности? Ответ на этот вопрос дает теорема,
принадлежащая Бендиксону, (как и многие другие резуль-
таты этой главы) и устанавливающая, что при довольно
слабых условиях, налагаемых на функции Р и Q, все дру-
гие возможности исключаются. В доказательстве самого Бен-
диксона требовалось, чтобы функции Р и Q были аналити-
ческими; мы здесь дадим новое доказательство этого ре-
зультата при следующих более слабых условиях:
Если функции Р (х, у) и Q (х, у) удовлетворяют сфор-
мулированным ранее требованиям непрерывности и, кроме
того, обращаются в нуль в начале координат х) и допус-
кают представление
Р (х, у) = Н (х, у) + F (х, у), Q(x,y) = К(х, y) + G(x,y),
где Н(х,у) и К (х, у) — два однородных многочлена оди-
наковой степени пг^Л без общих вещественных
множителей* 2), a F (х, у) и G(x,y)— две функции, для
0 Мы опять, как в § 9, предполагаем, что особая точка перенесе-
на в начало координат.
2) Мы предполагаем, таким образом, что оба многочлена не содер-
жат общих делителей вида ах+by, где а и b — вещественные. Дру-
гими словами, ни пара алгебраических уравнений /7(х, 1)=0,
/С(х, 1)=0, ни пара 77(1, г/) =0, 7<(1, г/) =0 не обладают общими ве-
щественными корнями.
70 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
которых
lim = 0, Цт^Д = О (р = Ух2 + г/2); (48)
р->0 р р->0 р
если, далее, однородный многочлен степени т +1
хК (х, у) — уН(х, у) = М (х, у) (49)
не равен тождественно нулю, то каждая характеристика
системы (46), бесконечно приближающаяся к началу коор-
динат х), либо оканчивается там в виде спирали, либо
имеет там вполне определенную касательную, образую-
щую с осью х угол 9*, который удовлетворяет уравнению
(немедленно приводимому к алгебраическому уравнению
степени т + 1 относительно tg 9*)
М (cos 9*, sin 9*) = 0. (50)
Для доказательства перейдем к полярным координатам
х = pcos0, у = р sin 9,
откуда
р2 = х2+ I/2, 9 = arc tgy
и
rfp = dy_ С)2^_ = у^У__
? dt dt ' V dt ' ? dt dt dt
При этом система (46) приобретает вид
Р = хН(х, у) + уК(х, у) + xF(x, у) 4- yG(x, у),
Р2^-=ХК (*. У) — уН(х, у) + xG(x, у) — yF(x, у)
и ее можно записать так:
= Ф(0) + ^(р.0). f = ^(0) +£, (р.9). (52)
Это означает, что для этой характеристики будет limp=0
при либо при
10. Некоторые теоремы общего характера
71
где
Ф (9) = Н (cos 9, sin 9) cos 9 + К (cos 9, sin 9) sin 9,1
Ч7 (9) = К (cos 9, sin 9) cos 9 — H (cos 9, sin 9)sin9= 1 (53)
= M (cos 9, sin 9),
а £\(р, 9) и E2(p, 9) — две функции, равномерно стремя-
щиеся к нулю при р-»0, именно
Ег (р, 9) = [F (р cos 9, р sin 9) cos 9 4-
+ G (р cos 9, р sin 9) sin 9] p“m,
E2 (p, 9) = [G (p cos 9, p s in 9) cos 9 —
— F (p cos 9, p sin 9) sin 9] p-m.
Допустим теперь, что некоторая характеристика с, пред-
ставленная параметрическими уравнениями х = ср (/), у =
= ф(/), оканчивается в начале координат при
т. е.
lim ср (t) = lim ф (/) = 0.
Отсюда следует, что р—>0 при Z—>оо, т. е. для заданного
как угодно малого положительного числа 8 всегда можно
найти такое Г, что р < & для всех t > t\ Другими словами,
рассматривая 9 и р как декартовы координаты на вспомо-
гательной плоскости, мы найдем, что при t > Г характерис-
тика х) все время остается внутри полосы, ограниченной осью
9 и параллельной ей прямой р = 8 (рис. 9).
Что будет с 9 при /-»оо?
Априори имеется три возможности:
(1) 9 при Z—>оо стремится к ± оо;
(2) 9 стремится к конечному пределу 9*;
(3) 9 обладает двумя или более предельными точками
91, 9*2,...2).
О Более правильно говорить «образ характеристики на вспомо-
гательной плоскости».
2) 0* называется предельной точкой (при /—>оо) величи-
ны 6 = 6(/), если для любого как угодно малого положительного
числа е и для любого значения t — tQ можно найти некоторое значе-
ние t — tx справа от /0, для которого 16 (/х) — 6* | < е.
72 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
Покажем сначала, что третья возможность на самом деле
не может осуществиться.
Действительно, допустим, что имеет место третье пред-
положение. Так как функция Ф (0) = М (cos 9, sin 0) не
равна тождественно нулю, то она может обращается в нуль
|Р
о
о
Рис. 9.
не более чем при 2т +2 вещественных различных значениях 9
между 0 и 2л, а также при других значениях 9, полу-
ченных из этих добавлением или вычитанием целого крат-
ного 2л. Эти значения образуют дискретное множество
(т. е. не имеющее конечных точек сгущения) точек оси 9.
Поэтому, если 9j — одно из предельных значений 9 при t -» оо,
то в его окрестности можно найти любое число пар 9', 9"
значений 9, для которых Ф (9')=/=0, Ф (9")=£=0 и, кроме того,
9' и 9" отличаются от 91 на произвольно малую величину,
причем одна из них меньше, а другая больше 9^
Так как второе слагаемое в правой части второго урав-
нения (52) стремится к нулю при р->0, то при любом
фиксированном 9, для которого Чг(9)=^=0, знак dti/dt при
достаточно малых р совпадает со знаком Т (9). Поэтому
при достаточно малом 8 характеристики могут пересекать
каждую из сторон AD и ВС прямоугольника, вырезаемого
из полосы 0 р 8 прямыми 9=9' и 9 = 9", только
в одном вполне определенном направлении; например, если
и Ч1* (9") 0, то характеристики могут пересекать
эти стороны только в направлении, указанном на рис. 9
10. Некоторые теоремы общего характера
73
стрелками. Но отсюда видно, что если характеристика,
начинающаяся внутри прямоугольника ABCD или попавшая
внутрь него, когда-либо покинет этот прямоугольник (если
это возможно), то она никогда не сможет вновь вернуться
в него вопреки предположению, что 0Х является предельной
точкой для 0; значит, в силу этого предположения, харак-
теристика должна, начиная с некоторого t^t*, все время
оставаться внутри прямоугольника ABCD, т. е. при t t
должно быть 9' Так как 9' и 9" можно было
выбрать произвольно близкими к 9Х, то отсюда следует, что
lim 9 = 9Х
/—*—|-оо
вопреки предположению о том, что 91 является лишь одной
из предельных точек 9 при Z—>схэ. Значит, 9 может иметь
лишь единственную предельную точку, конечную или бес-
конечную.
Итак доказано, что любая характеристика, безгранично
приближающаяся к началу координат при t -» оо, оканчива-
ется там, имея либо форму спирали (случай lim 9= ± ос),
либо вполне определенную касательную (случай lim 9 = 9*).
Остается показать, что уравнение (50), легко сводяще-
еся к алгебраическому, должно удовлетворяться, т. е. что
Т(9*) = 0.
(55)
Чтобы показать это, заметим, что при /-»4-оо и р—>0
lim^ = limK(x’jz) + G(x-y) =
р-^о dx р->0 Н(х, у) 4- F(x, у)
__ Um pm/C(cos9, sin 9) + G(pcos 9, psin9) _
P->o pm//(cos9, sin 0) + F(pcos0, psin9)
lim ^(cos®’ sin 9) + p~~mG(pcos9, psinO) __
p->o //(cos 9, sin 9) + p“mF(pcos 9, psin9)
/C(cos 9*, sin 9*)
//(cos 9*, sin 9*)
с оговоркой, что при Я (cos 9*, sin 9*) = 0 надо все участ^
74 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
вующие здесь отношения перевернуть1). По правилу Лопи-
таля имеем
tg 0* = lim — = lim-ФГ
Р->» х dx
и потому
X(COS0*, sin 0*) - ,
Ui n* • ° > ^00 )
H(cos 0*, sin 0*)
т. e. получилось уравнение (50) или (55), записанное в иной
форме.
Из этого важного результата вытекают различные след-
ствия, позволяющие в некоторых случаях без дальнейшего
исследования установить поведение характеристик, безгра-
нично приближающихся к особой точке.
Следствие 1. Если удовлетворяются предположения
теоремы Бендиксона и если уравнение (50) или (что то
же самое) уравнение Т (0) = О не имеет вещественных
корней, то каждая характеристика, безгранично прибли-
жающаяся к началу координат, должна навиваться на
него в виде спирали.
При этих условиях должна иметь место первая из трех
возможностей, указанных при доказательстве предыдущей
теоремы, так как соотношение (55) невозможно.
Следствие II. Если удовлетворяются предположе-
ния теоремы Бендиксона и если имеется характеристика,
обладающая в начале координат определенной касатель-
ной, то и любая характеристика, безгранично приближа-
ющаяся к началу координат, имеет там аналогичный вид.
Спиральной характеристики не может быть, так как она
пересекала бы (бесконечное число раз) указанную характе-
ристику в точках, отличных от особой точки, а этого не
может быть по фундаментальной теореме главы I.
Следствие III. Если при тех же предположениях,
что и выше, функция Т (0) принимает значения с разными
знаками, то ни одна характеристика не может навиваться
на начало координат в виде спирали и потому характе-
0 Если Н (cos 0*, sin 0*) = О, то К (cos 0*, sin 0*) =# 0, так
как в противном случае многочлены Н (х, у) и К (х, у) имели бы
общий вещественный множитель xsin0*— у cos 0* вопреки исход-
ному предположению.
10. Некоторые теоремы общего характера
75
ристики, безгранично приближающиеся к началу коорди-
нат, оканчиваются там с определенной касательной.
При указанных предположениях можно найти два угла
0Х и 02 между 0 и 2л так, что Т (0Х) >• 0 и Т (02) < 0.
Следовательно — так как указанная выше функция Е2(Р> 0)
стремится к нулю при р —> 0, —если выбрать р0 так, что
при р<р0
IЕ. (р, 0i) | < ^(01), | £2 (р, 02) [ < - V (02),
то второе уравнение (52), показывает, что на отрезках ра-
диусов 0 = 9Х и 9 = 02 внутри окружности р = р0 будет соот-
ветственно dft/dt > 0 и dti/dt 0; поэтому при возрастании t
любая характеристика может пересечь первый (второй) ра-
диус только в направлении возрастания (убывания) 9. Но
тогда, если t по абсолютной величине уже настолько велико,
что р Ро> т0 характеристика, раз вошедшая в один из
двух секторов, на которые указанные радиусы делят круг
р р0, не может этот сектор покинуть; поэтому она не
может спиралевидно приближаться к началу координат,
а следовательно, должна оканчиваться там с определенной
касательной, которой служит радиус 9 = 9*, причем
Т (9*) = 0.
Заметим в заключение, что если условие теоремы Бен-
диксона о том, что многочлен М. (х, у) = хК (х, у) — уН (х, у)
не равен тождественно нулю, не выполнено, т. е. если
Т (9) =0, то, вообще говоря, характеристики выходят из
начала координат во всех возможных направлениях, как
это было для уравнения (12) § 8 в случае а = 1 (звездооб-
разный узел).
В следующем параграфе мы вкратце разберем случай
т= 1. По поводу же случая т^>2 мы отошлем читателя
к классическому мему ару Бен диксонах), на который мы уже
ссылались, илина более позднюю работу Лонна* 2), на кото-
рую мы будем часто ссылаться в следующих параграфах.
О В е n d i х s о n I., Sur les courbes definies par les equations dif-
ferentielles. Acta Math., 24, 1—88 (1901). См. в частности, стр. 35—36.
2) L о n n E. R., Uber singulare Punkte gewohnlicher Differential-
gleichungen, Math. Z. 44, 507—530 (1938). См., в частности, § 9. [См.
также Не мы цк ий В. В. и Степанов В. В. [36], гл. II, § 4.—
Прим, перев.].
76 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
И. Индекс Пуанкаре
Мы теперь намерены, как было уже сказано, сузить
условия, налагаемые на правые части рассматриваемых диф-
ференциальных уравнений, чтобы получить простые и эле-
гантные результаты.
Для этой цели мы добавим к требованиям теоремы Бен-
диксона только условие т=1, т. е. предположим, что
правые части Р (х, у) и Q (х, у) уравнений (46) удовлетво-
ряют следующим условиям:
(1) Функции Р (х, у) и Q(x, у) в некоторой окрестности
начала координат непрерывны и удовлетворяют условию
Липшица по х и у.
(2) Существуют такие четыре постоянные Л, В, С, D,
не все равные нулю, что
Р (х, у) = Ах + By + F (х, у),
(56)
Q(x, у) = Сх + Dy + G(x, у),
где F (х, у) и G (х, у) — две малые функции (по необходи-
мости непрерывные'), при х—>0, у—>0, порядка высшего,
чем р = У х2 + г/2, т. е. такие, что
= 0, = 0 *). (57)
р—>0 р р—>0 р
(3) Многочлены Ах А~ By и Сх A- Dy не различаются
лишь постоянным множителем, т. е.
AD — BCA=0.
(58)
Только в одном случае, когда дискриминант А=(Л—£>)2 +
+ 4ВС характеристического уравнения равен нулю, удобно
заменить (57) более сильным условием ограниченности
отношений F (х, у)/р1+е и G (х, z/)/p1+e, где е — фиксирован-
О Из этих условий вытекает, что функции Р и Q в начале ко-
ординат равны нулю и обладают там частными производными пер-
вого порядка, причем Р%(0,0) = Д, ^г/(О,О) = В, Qx(0,0)=C,
Qy (0,0) = D.
11. Индекс Пуанкаре
77
ное положительное число, т. е. в обозначениях Ландаух)
F У) = О G (%, у) = О (pH-*) (р -> 0). (59)
Применяя какое-либо из этих условий вместе с пред-
шествующими предположениями, мы можем определить
важное число, связанное с циклом* 2) у, расположенным в
векторном поле
V =Р(Х, y)i + Q(X, y)j,
где i и j — единичные векторы в направлениях осей х и у
соответственно. Индексом Пуанкаре п цикла у называется
деленное на 2л приращение угла, который v составляет с фик-
сированным направлением, когда цикл у проходится в поло-
жительном направлении. (Предполагается, что у не прохо-
дит через особые точки поля, т. е. точки, в которых v = 0.)
Из определения следует, что индекс Пуанкаре п явля-
ется целым числом (положительным, отрицательным или
нулем) и, очевидно, остается неизменным при непрерывной
деформации у, если при этом у не переходит через особые
точки. Поэтому он должен равняться нулю, если цикл
можно непрерывно стянуть в точку, не пересекая при этом
особые точки поля, т. е. если внутри цикла нет особых
точек. С другой стороны, если у содержит внутри себя
конечное число особых точек Alf А2,..., А/г, то очевидно,
что п равно сумме индексов Пуанкаре этих особых точек,
где под индексом особой точки А понимается индекс цикла,
содержащего внутри себя только одну особую точку А.
Это показывает, что главным в рассматриваемой теории
является нахождение индекса особой точки. Для удобства
допустим, что особой точкой является начало координат.
О Символ О(...), который мы будем в дальнейшем часто упот-
реблять, означает величину, отношение которой к величине, стоящей
в скобках, остается ограниченным при рассматриваемом предель-
ном переходе (здесь при п->0). Реже мы будем употреблять символ
о(...) для обозначения величины, отношение которой к величине, стоя-
щей в скобках, стремится к нулю. Таким образом, утверждение и =
o(v) эквивалентно утверждению lim (w/v)=0.
2) Цикл — это замкнутая кривая, топологически эквивалентная
окружности, т. е. замкнутая жорданова кривая. Другими словами,
цикл — это замкнутая кривая, которую можно непрерывно дефор-
мировать в окружность
78 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
При принятых допущениях формулы (56) устанавливают
топологическое (т. е. взаимно однозначное и взаимно непре-
рывное) отображение достаточно малой окрестности начала
координат в плоскости (х, у) на соответствующую окрест-
ность начала координат в плоскости (Р, Q), где Р = Р (х, у),
Q = Q (х, у); при этом достаточно малой окружности Р2 +
+ Q2 = е2 на второй плоскости соответствует цикл в пло-
скости (х, у), содержащий внутри себя единственную особую
точку О. Однако во второй плоскости вектор v всегда
направлен по внешней нормали к окружности, и потому
угол, который v образует с фиксированным направлением,
возрастает на 2л, когда эта окружность проходится в по-
ложительном направлении; значит, индекс п точки О равен
+ 1 или —1 в зависимости от того, сохраняет ли тополо-
гическое отображение направление вращения или нет, т. е.
в зависимости от того, будет ли якобиан этого отображе-
ния положительным или отрицательным1).
Другими словами, индекс Пуанкаре начала координат
дается формулой
п = sign /дСРДЭ)! = sjgn(др— ВС). (60)
I д (х, у)) х=у=о
Это показывает (ср. § 9), что по крайней мере для уко-
роченных уравнений2) индекс седла равен — 1, тогда как
индекс узла, фокуса и центра равен + 1; действительно,
это вытекает из замечания (1), сделанного в конце § 9.
Из предыдущих рассмотрений следует также, что внутри
замкнутой характеристики системы (46) обязательно
лежит по крайней мере одна особая точка, не являющая-
ся седлом. Действительно, индекс Пуанкаре замкнутой
характеристики обязательно равен + 1, так как вектор v
всегда касателен к характеристике. Следовательно, внутри
замкнутой характеристики должна лежать по крайней мере
одна особая точка, причем все эти точки не могут быть
одновременно седлами, так как тогда индекс получился бы
отрицательным.
о См., например, ТрикомиФ. [76], ч. II, гл. V, § 15. [См. также
Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, III, Физматгиз, М.— JL, 1960, стр. 192.— Прим, перев.}
Это ограничение можно отбросить, как будет показано в сле-
дующих двух параграфах.
12. Узел
79
12. Узел
Теперь мы приступим к рассмотрению различных воз-
можных особых точек нелинейных уравнений, приняв за
основу классификацию, проведенную в § 9, причем начнем
со случая узла, а именно со случая, когда
Д - (Д — D)2 + 4ВС > О, AD — ВС > О
и, следовательно, характеристическое уравнение (30) имеет
два вещественных различных корня и Х2 одинакового
знака. Мы допустим, что Х2 положительны и
(61)
в 1 случае необходимости заменив / на —t (при этом Д, В, С, D
и потому + Х2 = А + D все изменят знак) и переставив
индексы.
В рассматриваемом случае та же замена переменных,
которая была применена в § 9 при подобных обстоятель-
ствах, преобразует систему дифференциальных уравнений
к виду
f = M + F1(g,n)) + (62)
где функции Fi(£, л) и Gi(£, л) удовлетворяют условиям,
полностью аналогичным тем, которые были наложены ранее
на F и G.
Для системы (62) примененные ранее функции Ф и Т
приобретают вид
Ф (9) = 4 + (4 — Xi) sin2 0, V (0) = 1 (4 — 4) Sin 20.
Введя полярные координаты1), можно переписать систему
(62) так:
±^=Х1 + (Х2-Л1) sin2 0 + ^,0),
ла < (63)
= 1(4 - 4) sin 20 + £2(р,0).
at &
О Ясно, что теперь а и 0 означают полярные координаты в пло-
скости (£, ц), а не (х, у). В дальнейшем такого рода оговорки будут
подразумеваться.
80 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
где, как и в предыдущем параграфе, функции ^(р, 9) и
Ё2(р, 9) равномерно стремятся к нулю при р—>0.
Эти уравнения показывают прежде всего, что каждая
характеристика, достаточно приблизившаяся к началу
координат, должна безгранично приближаться к нему,
другими словами, что р—>0 (при /—»—оо) для характе-
ристики, проходящей через любую точку Ро с достаточно
малым полярным радиусом р0.
Действительно, из (61) очевидно, что
Ч "С М + (^2 — Ч) sin2 9 ^2-
Следовательно, если р* — положительное число, такое, что
при р < р*
1^(р. е)|<4>
то, в силу первого уравнения (63), для любой точки внутри
круга радиуса р* с центром в начале координат имеем
9 < < ^2 + V < "5" ’
р dt
т. е.
2
d In р
dt
ЗХ2 ,
отсюда, интегрируя от некоторого значения t = tQ (которому
соответствует какое-либо р0 <С р*) до произвольного t /0,
получаем
- Q > In р - In Ро
Л 4
т. е.
у*
Ро*
Р > Ро^
(64)
Однако экспонента в левой части, очевидно, стремится
к нулю при >— оо; следовательно,
lim р = 0.
t-+—оо
(65)
12. Узел
81
Поскольку Ч7 (9) здесь принимает значения обоих знаков,
например
w(т) = I > °’ w(т) = -1 - х1) < °’
то можно применить следствие III из теоремы Бендиксона
и заключить на основе (65), что в рассматриваемом случае
начало координат является узлом, исключительными на-
правлениями которого (т. е. предельными направлениями
касательных к характеристикам в особой точке) служат
оси £ и т], где Ч7 (9) = О1).
Несколько менее простым является исследование случая,
когда неравенство (58) сохраняет силу, но
д = (Л — D)2 + 4ВС = 0. (66)
Здесь оба корня и Х2 совпадают, и так как функция
Ч7 (9) теперь не меняет знака, то следствие III больше при-
менить нельзя.
Предположим в этом случае, что = Х2 > 0, и примем
сначала, что А— D=f=O (откуда, как мы уже видели, вы-
текает, что B=f=O, СфО). Удобно воспользоваться ли-
нейной подстановкой (44), уже примененной в § 9, и пре-
образовать тем самым заданную систему в
f- = ^ + ^a.n), ^ = M^ + n)+G2(g,n), (67)
где функции F2 и 62 удовлетворяют условиям, аналогичным
тем, которым удовлетворяли функции F и G. Введя полярные
координаты, из (67) получим
417 = + |sin20) +£з(р.е),
de (68)
— = X1Cos29 +E4(p,0),
О С помощью уравнений (63) нетрудно проверить, что оба эти
направления не только возможны, но и фактически реализуются,
причем оси £ касается бесконечное число характеристик. В случае
общей теоремы Бендиксона обязательно реализуются исключительные
направления 0 = 0*, для которых Т (0) при переходе через 9* ме-
няет знак, причем если с возрастанием 0 знак Ф (0) Ч7 (9) меняется
с — на + , то направления 9* касается бесконечное число характе-
ристик. — Прим, перев.
82 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
где £3 и Е4— новые функции от р и 0, равномерно стре-
мящиеся к нулю при р —>0. В данном случае W(0)=X1cos20
и потому, как уже было указано, не меняет знака.
Из первого уравнения (68) вытекают следствия, полно-
стью аналогичные тем, которые были выведены из первого
уравнения (63). Действительно, если р*— положительное
число, для которого внутри круга радиуса р р*
|£з(Р, 6)|<4Х1’
4
то во всех точках этого круга
~~ ^i<4xisin20 + £3(р.0)<4А
и, следовательно,
так что, интегрируя от любого Zo, которому соответствует
значение р= р0<Ср*, до произвольного t мы получаем
Значит, как и в предыдущем случае, полярный радиус р
стремится к нулю при Z—> —ос.
Однако в данном случае весьма трудно доказать с по-
мощью второго уравнения (68), что, как и в случае укоро-
ченного уравнения, начало координат является узлом, а не
фокусом. Трудности заключаются не в методе исследования,
а в том, что при используемых предположениях действи-
тельно могут иметь место обе возможности1). Если тем не
О См. Perron О., Uber die Gestalt der Integralkurven einer Dif-
ferentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singularen
Punktes. Math. Z., 15, 121—146 (1922) и 16, 273—295 (1923). Там,
в частности, рассмотрен интересный пример
dx ___ у dy _______ х
dt х + In р ’ dt У In р ’
где А=—1, В=0, С = 0, D = —1и потому Д = 0; тем не менее
эта система в начале координат имеет фокус.
См. также Lonn Е. R., там же, где даны достаточные условия
для различения особенностей при еще более общих условиях (/п^1).
[См. также Немыцкий В. В. и Степанов В. В. [36], гл. II,
§4. — Прим, персе.]
12. Узел
83
менее, как было уже указано, заменить условия (57) на
более ограничительные условия (59) или даже если добавить
только одно условие1)
£4(р, 0) = o[(lnp)"2]
(р->0),
(71)
то неопределенность исчезнет и начало координат будет, ко-
нечно, узлом.
Чтобы это доказать, мы начнем с замечания, что
sin2 0 02; кроме того, второе уравнение (68) можно запи-
сать в виде
^-= X4cos20 + £4(р, 0) — Х4 sin2(e ± ^Ц-Е4(р, 6).
at \ /
Поэтому, если h — как угодно малое положительное число,
из (71) следует, что при р, меньшем подходящего “р<Ср*
В силу первого неравенства (69)
dp 1 л
dF>4Z1P;
произведя почленное деление неравенства (72) на это нера-
венство, получаем
dd i Г ./fl лЛ2 ।
— 4 в zh т “I Т"9— >
dp р L \ In2 р J
т. е.
d(9±n/2) 1 Г ( я\2 a I
--------<-^±-1 +_ J,
где а означает положительное число 4h/hlf которое, в силу
произвольности й, также является произвольным. Таким
образом, мы пришли к рассмотрению дифференциального
уравнения
lSP=±f4(p24
dp Р \
а
In2 р
О За исключением специального случая, рассмотренного на стр. 86.
84 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
обладающего (как легко убедиться непосредственно) част-
ным решением, стремящимся к нулю при р—>0,
Ь
если а и b связаны соотношением
4&* 2 + Ь + а = 0. (73)
Легко видеть, что если дифференцируемая функция
Y (%) удовлетворяет в некотором интервале неравенству
то ее график может пересекать не более чем один раз-
и притом в определенном направлении, любую интегральную
линию (понимаемую в узком смысле слова) дифференциаль-
ного уравнения
так как, если у = У = у0 при х = х0, то
Г<ЦУ-У)1
L dx JA=_-.V()
-fro.i/oXO.
\ax / x=xQ
и потому непрерывная функция Y — у должна переходить
от положительных значений к отрицательным, когда х,
возрастая, переходит через значение Xq1).
Отсюда следует, что если принять, например, b = — 1/8
(этому значению, в силу (73), соответствует а= 1/16), то
линии2) с полярными уравнениями
л 1 g___ л 1
2 8 In р ’ 2 8 In р ’
О Невозможность повторного пересечения легко установить, если
рассмотреть два последовательных нуля х0 и хх непрерывной функ-
ции Y — у, тогда любое допущение о знаке Y — у в интервале
(х0, Xi) сразу приводит к противоречию.
2) Казалось бы, проще рассмотреть полупрямые 0 = 0О = const и
(л/2 < 0О < л) и 0 = 0О + л; но оказывается, что характеристики
пересекают эти линии в тех же направлениях, что и ось g.
12. Узел
85
обозначенные на рис. 10 буквами Q и С2, могут пересе-
каться характеристиками рассматриваемой системы для убы-
вающего р не более одного раза, и притом в направлении,
указанном стрелками1).
Рис. 10.
С другой стороны, так как Т (0) = cos2 0>О, за исключе-
нием значений 0 = ± л/2 + 2пл, то для любой прямой,
проходящей через начало координат (за исключением оси
т]), ее часть, достаточно близкая к началу, может пересе-
каться характеристиками лишь в направлении убывания О,
потому что из второго уравнения (68) следует, что для
достаточно малых р производная dfydt имеет тот же знак,
что Т (0). В частности, выбрав значения 0 = 0 и 0 = л, мы
О Так как разность 0±n/24-1/sln сг в окрестности точки, где она
обращается в нуль, должна быть убывающей функцией о и, следо-
вательно, при убывании о должна переходить от отрицательных зна-
чений к положительным.
86 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
видим, что участок оси g внутри круга р<Ср, где положи-
тельное число "р настолько мало, что при p<CF
|£4(р. 0)1<Ч
пересекается характеристиками для убывающего t в направ-
лении, показанном на рис. 10 стрелками. Но отсюда видно,
что характеристики, раз вошедшие в какую-либо из заштри-
хованных на рис. 10 областей, не могут ее покинуть; по-
этому не может быть характеристик, навивающихся на
начало координат в виде спирали. Значит, начало коорди-
нат является узлом, что мы и хотели показать.
Остается еще рассмотреть под случай, когда А — D = 0
и, следовательно, ВС = 0; как мы уже знаем, этот подслу-
чай можно разделить на три следующих:
(а) В = 0, С=^=0; (6) B=f=O, С = 0; (с) В = 0, С=0.
Однако в случаях (а) и (6)1) нет ничего нового, так
как единственная разница по сравнению со случаем А —D=f=O
состоит в том, что заданная система дифференциальных
уравнений преобразуется в (67) с помощью линейной под-
становки Сх = у = т], вместо подстановки (44).
В подслучае (с) имеем
Н (х, у) = Ах, К (х, у) = Ау,
и, следовательно, многочлен М (х, у), фигурирующий в те-
ореме Бендиксона, тождественно равен нулю, т. е. Ч7(0)^О,
тогда как Ф(0) = Л^=О2). Если ввести, как и выше, по-
лярные координаты, то система приобретет вид
-Г^- = Л + £1(р,е)1 ^- = £2(р, 6), (74)
р at at
где Ег и Е2 имеют тот же смысл, что и ранее; отсюда,
в силу условия (59), уменьшая в случае необходимости е,
получаем
£2(р,9) = р«£;(р, 0), (75)
где функция Е*ъ(р, б) непрерывна при р—>0.
О Достаточно рассмотреть только первый случай (см. второе при-
мечание на стр. 60).
2) В этом случае AD—ВС=А2, и потому, в силу (58), А=^0.
12. Узел
87
Заменим теперь р новой переменной г = р8, так что
первое уравнение (74) приобретет вид
= Л + £1(р10))
а вся система (74), согласно (75), приведется к одному
уравнению
rf9 = ^(г1/е. 0)
dr е [Л + Е± (г1/8, 0)] ’ '
Здесь при г = 0 правая часть остается непрерывной
(так как знаменатель становится равным еЛ=^=0). Значит,
в силу теоремы Пеано (§ 4), уравнение (76) при любом
начальном условии 0 = 0О для г = 0 обладает по крайней
мере одним решением 0 = 0 (г), т. е. в данном случае из
начала координат в любом заданном направлении 0 = 0О
выходит по крайней мере одна характеристика. Если допол-
нительно известно, что функции Ег и Е% удовлетворяют по
0 условию Липшица (для этого достаточно, например, чтобы
функции F (х, у) и G (х, у) были дифференцируемы и их
первые производные имели порядок 0(р8)), то указанное
решение 0 = 0 (г) будет единственным, т. е. из начала ко-
ординат в любом заданном направлении выходит ровно
одна характеристика. Следовательно, в рассматриваемом
специальном случае начало координат является звездообраз-
ным узлом.
Следует отметить, наконец, что если направление изме-
нения переменной t имеет существенное значение (как будет,
например, в задачах механики, где t может означать время),
то можно проводить различие между устойчивыми узлами
и неустойчивыми узлами в соответствии с тем, приближа-
ется ли переменная точка проходящей через узел характе-
ристики к этому узлу при возрастании t (т. е. при Z —> -фоо)
или при убывании t (т. е. при t —> — оо).
Просмотрев проведенные рассуждения, легко заметить,
что рассматриваемый узел неустойчив, если A + D^Q.
и устойчив, если A + D<^0.
88 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
13. Фокус и седло
Мы рассмотрим сначала случай, когда
(ЛD)* 2 + 4SC < О (77)
и потому два корня и Х2 характеристического уравнения
являются комплексными сопряженными
Ч = Iх + zv, Л2 = ц— iv (v =£=()).
Мы уже видели, что в этом случае удобно воспользоваться
линейной подстановкой
X = Сх + (ц — А) у,
У = vy,
при этом система (46) преобразуется к виду
^=ilX-vY + F3(X, У),
^ = vX + ixY + G3(X, У),
где функции F3 и G3 удовлетворяют условиям, вполне ана-
логичным тем, которым первоначально удовлетворяли функ-
ции F и G. Вновь введя полярные координаты, т. е. напи-
сав
X = pcos0, Y = р sin 0
и заметив, что Ф(0) = |1, W(0) = v, мы приходим к изуче-
нию системы
-Г-^ = (л + £6(р,6), ^ = v4-£e(p,0), (78)
где две новые функции £5 и Е6 равномерно стремятся
к нулю при р—>0.
Исключая из рассмотрения случай, когда = 0, т. е.
когда А + D = 0х), и предполагая, что ц > 02), мы можем
вывести из первого уравнения (78), в точности так же как
в предыдущем параграфе, что в достаточно малой окрест-
ности начала координат р все время убывает при убы-
вании t и стремится к нулю при t—>—оо.
О Ср. (31), § 9.
2) Если ц<0, то можно заменить t на —t.
13. Фокус и седло
89
Действительно, если р* такое положительное число, что
внутри круга радиуса р <р*
|£6(Р>
то
1 , 1 dp
2 р dt
(79)
это неравенство совершенно аналогично неравенству (69)
предыдущего параграфа, и потому из (79) можно вывести
соответствующие следствия.
Однако в этом случае характеристики не оканчиваются
в начале координат, имея там определенную касательную,
а навиваются на него в виде спирали, так что начало
координат является фокусом.
Действительно, так как в данном случае уравнение
Т (0) = 0 не имеет корней, то мы можем применить первое
следствие из теоремы Бендиксона (см. стр. 74).
Следует подчеркнуть, что предыдущий результат имеет
место при условии, что А + D не равно нулю. Если
А + D = 2|i = 0, то (79) уже не выполняется и мы больше
не можем утверждать, что р стремится к нулю при t —оо.
В этом случае не только неприложим метод доказательства,
но и сам результат может быть несправедливым — как это
видно для укороченного уравнения предыдущего параграфа,
которое в случае А + D = 0 имело в начале координат не
фокус, а центр.
Поэтому здесь остается трудность, состоящая в том,
что эти два типа особенностей (которые для неаналитиче-
ских функций даже не являются единственно возможными)
нельзя различить посредством критерия, основанного на
рассмотрении только линейных членов в Р и Q, т. е.
четырех постоянных А, В, С, D; это ясно видно на следу-
ющем примере двух систем:
^=У + 2уз, ^ = у+х{х2 + у^
. (80) .
$ = -х-2%з, $ = _Л-+//(Л2+П
90 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
в которых члены первой степени идентичны и которые, тем
не менее, обладают в начале координат соответственно
центром и фокусом.
Для первой системы имеем
(х + 2х3) dx + (у + 2у3) dy = О,
так что характеристиками служат оо1 алгебраических кри-
вых четвертой степени
х2 + %4 + У2 + У4 = с,
которые (как легко видеть) являются (при с>0) замкну-
тыми кривыми, окружающими начало координат. Чтобы
проинтегрировать вторую систему, удобно ввести полярные
координаты х = pcos0, у = р sin 0, в результате чего задан-
ное уравнение преобразуется в
=_рЗ
dO г
с решением
2 _ 1
Р 20 +с’
Поэтому начало координат, как уже было указано, явля-
ется фокусом уравнения.
С этими примерами поучительно сравнить третью систему
= у — xVx2 + у2 sin . 1 ,
. ______ . (82)
^- = -х -уЛ/^ + у^п
dt if Г I if ух2 + у2
для которой члены первой степени те же, что в предыдущих
примерах, но остальные члены неаналитичны в начале ко-
ординат, т. е. их нельзя разложить около начала коорди-
нат в ряды по степеням х и у. Введя полярные координаты,
преобразуем (82) в
-ЁН. = p2sin— (83)
dQ 1 Р V '
13. Фокус и седло
91
и, заменяя 1 /р на г, получаем
dz
sin z
= -Ж,
откуда
lnltg-jl =-0 + lnlcl’
где с — произвольная постоянная. Таким образом,
tgi=tgi=ce~9’
т. е.
_ 1
Р 2 Arc tg (се"0)’
(83')
Из (83) следует, что dp/d0 = О для р = 1/л, 1/2л,
1/Зл,...; значит, имеется бесконечное число замкну-
тых характеристик, а именно окружностей с центром в
начале координат, радиусы которых равны указанным зна-
чениям.
Что касается прочих характеристик, то из (83') видно,
что они представляют собой спирали, которые при 0->4-оо
или 0—> — оо бесконечно приближаются к двум из указан-
ных окружностей; например, при с>0 к окружностям со-
ответственно радиусов l/(2fcrt) и l/[(2fe + 1) л], если значе-
ния арктангенса берутся между kn и &л+л/2 (fe=0, 1,2,...).
Для тривиального случая k=0 характеристики при 0->4-оо
уходят в бесконечность.
На рис. И показаны некоторые из окружностей радиу-
сов 1/л, 1/2эт, 1/Зл,... (эти окружности, по терминологии
Пуанкаре, называются предельными циклами уравнения) и
некоторые из характеристик, содержащихся между парами
этих последовательных окружностей.
Предельные циклы будут кратко рассматриваться в § 14.
По поводу дальнейших критериев для различения случаев
центра и фокуса мы отошлем читателя к уже цитирован-
92 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
ной работе Перрона1), и к статье Фроммера2), специально
посвященной этому вопросу.
Если в случае фокуса направление изменения t имеет
существенное значение, то можно различать устойчивый и
Рис. 11.
неустойчивый фокусы: первый получается при I —>+оо, а
второй— при /->—оо. Из (79) мы видим, что неустой-
чивость или устойчивость будут зависеть от знака
О Перрон О., там же. См., в частности, 16, стр. 284 и далее.
2) F г о m m е г М.» Uber das Auftreten von Wirbel und Strudel,
(geschlossener und spiraliger Integralkurven) in der Umgebung ratio-
nalen Unbestimmtheitsstellen, Math. Ann., 109, 345—424 (1934).
[См. также Баутин H., Докл. АН СССР (н. с.), 24, 669—672 (1939).
Сахарников Н. А., Прикл. матем. и мех., 12, 669—670 (1948); эта
работа содержит исправления и добавления к цитированной выше ра-
боте Фроммера. См. также Немыцкцй В. В. и Степанов В. В.,
[36], гл. II, § 4:.—-Прим, перев.
13. Фокус и седло
93
ц = 2 (Ч + Ч)> т- е- от знака A^D в точности так же,
как в случае узла.
Наконец, рассмотрим случай, когда укороченное уравне-
ние имеет седло, т. е. когда
(Л — D)2 + 4ВС >0, AD — ВС < 0. (84)
Мы хотим показать, что при сформулированных условиях
характеристики системы (46) в окрестности начала коорди-
нат ведут себя подобно характеристикам, показанным на
рис. 4, т. е. что и для нелинейного уравнения в начале
координат будет седло.
В рассматриваемом случае уравнения (63) остаются спра-
ведливыми и могут быть записаны в несколько измененном
виде:
— = Zqcos29 + A,2sin2 9 + Ех(р,9),
Р dt (85)
=1(х2 - X1)sin26 + Е2(р,0).
at
Второе из этих уравнений приводит к результатам, анало-
гичным тем, которые были выведены в предыдущем пара-
графе; однако теперь первое уравнение приводит к совершен-
но отличным следствиям, так как и %2 имеют противо-
положные знаки (мы предположим, что 0, А,2 > 0), и
потому производная dp/dt меняет знак в окрестности на-
правлений 9 = ± а, где ±а—значения 9, для которых
A,rcos29 + А,2 sin2 9 обращается в нуль, т. е.
= <86>
Первое уравнение (85) можно переписать в виде
?^=и2+м2 + а2 + л2)Е1 =
= (Х1 + Е1)^ + (Х2 + Е1)п2.
Положим теперь
+ Ег = - Л*, к2 + Ех = Л2 (87)
94 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
(учитывая знаки и А,2); тогда
= (А2п-М)(А2ц+М).
Поэтому геометрическое место точек, в которых dp/dt = О,
в окрестности начала координат состоит из частей двух
линий Ci и с2 с уравнениями соответственно
Л2т)-Л^ = 0 и Л2т] + Л1^ = 01). (88)
Касательные к с± и с2 в начале координат имеют угловые
коэффициенты
и потому образуют с осью g углы +а и —а, где а—ост-
рый угол, определенный формулой (86). Поэтому линия с±
лежит целиком (по крайней мере в окрестности начала коор-
динат) внутри первого и третьего квадрантов, а линия
с2 — внутри второго и четвертого квадрантов; в обоих
случаях сами оси исключаются, так как угол 9 на линии
удовлетворяет условиям
k или л + —/г, (89)
а на линии с2 — условиям
J + или ^ + ^<9<2л-^ (89')
где k — некоторый подходящий угол между 0 и . Но
внутри области (89) функция
V(0) = |(Х2 - Хх) sin 29
О Чтобы доказать, что и с2 действительно являются линиями
с непрерывно изменяющимися касательными, надо потребовать не-
сколько большего, а именно непрерывной дифференцируемости пра-
вых частей системы (46). Тем не менее и в основных предположе-
ниях картина поведения характеристик остается той же; однако тог-
да вместо Ci и с2 лучше рассмотреть две пары прямых с угловыми
коэффициентами ± а ± е (где е достаточно малое положительное
число), проходящих через начало координат.— Прим, перев.
13. Фокус и седло
95
имеет положительную нижнюю грань, а внутри области
(89') — отрицательную верхнюю грань; отсюда, так как
Е2(р, 9) равномерно стремится к нулю при р~»0, можно
определить такое положительное число р, что на частях
линий q и с2 внутри круга Г с центром О и радиусом р
будет соответственно
^->0 (на С1), 4<° (на с2).
Отсюда следует, что характеристики системы — которые во
всех точках линий с± и с2 нормальны к радиусам-векто-
рам, так как в этих точках dp/dt = 0 — должны при
Рис. 12.
возрастании t пересекать линии сг и с2 в направлениях, ука-
занных на рис. 12 стрелками.
Это дает нам возможность без труда проследить пове-
дение характеристик, выходящих из точек (отличных
96 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
от начала координат) дуг линий с± и с2 внутри круга Г при
возрастании либо при убывании /; нетрудно видеть также,
что во всех указанных точках р имеет минимальное зна-
чение, так как
n dp
Р dt
(A2n-A1g)(A2i1 + A1g)^
A(Z2 — ZJsin 20 4- E2
и потому, при пересечении с возрастанием 9 линий с± и с2, опре-
деленных уравнениями (88), dp/d9 переходит от отрицатель-
ных значений к положительным. Кроме того, никакая из харак-
теристик, выходящих из точек линий с± и с2, при своем
продолжении внутри круга Г не может вновь пересечь этих
линий (как при возрастании, так и при убывании t) в силу
направления характеристик, указанного на них. Мы видим,
что на каждой полухарактеристике, выходящей из точки
на с± или на с2, полярный радиус должен непрерывно воз-
растать от начального минимального значения и потому сама
полухарактеристика должна заканчиваться (поскольку мы
здесь ограничиваемся исследованием того, что происходит
внутри круга Г) в некоторой точке граничной окружности.
Обозначим через Р1? Р2, Р3,..., Р8 множества точек
пересечения с граничной окружностью следующих полу-
характеристик:
(1) выходящих при возрастании t из точек на сг в первом квадранте
(2) » » возрастании » » » с2во втором »
(3) » » убывании » » » с2 во втором »
(4) » » убывании » » » сг в третьем »
(5) » » возрастании » » » сг в третьем »
(6) » » возрастании » » » с2 в четвертом »
(?) » » убывании » » » с2 в четвертом »
(8) » » убывании » » » сг в первом »
Тогда, так как две различные характеристики могут
пересекаться только в особой точке, то эти восемь групп
точек разделяются в том смысле, что при обходе окруж-
ности в направлении возрастания 9 множества Pi оказы-
ваются расположенными в порядке: начиная, например, с
множества мы встретим, далее, точки Р2, точки Р3,...,
точки Р8 и затем вновь точки Р±. Ясно, что четыре пары
13. Фокус и седло
97
множеств (Р2, Р3), (Р4, Р5), (Р6, Р7) и (Р8, разделяют-
ся четырьмя точками Л, В, С, D пересечения линий с± и с2
с граничной окружностью, причем в окрестности этих то-
чек лежит бесконечное количество концов полухарактери-
стик, выходящих из точек линий с± и с2.
Что касается разделения других четырех пар множеств
(Рр Р2), (Р3, Р4), (Р5, Р6), (Р7, Р8), то здесь априори имеют-
ся две возможности: либо «разделителями» служат четыре
точки Р, S, Т, U на граничной окружности, либо же по
крайней мере в одном из четырех случаев соответствующие
множества разделены конечной дугой R'R", S7S" и т. д.
граничной окружности. Однако, исходя из предположений,
несколько более ограничительных, чем указанные [например,
потребовав непрерывную дифференцируемость правых частей
системы (46)], легко убедиться, что вторая возможность
исключается, поскольку из нее вытекало бы, что в начале
координат оканчивается бесконечное число характеристик]
именно так вели бы себя характеристики, которые выходят
из точек дуг R'R", S'S",... и не могут иметь других ко-
нечных точек1). То, что здесь имеются ровно четыре по-
лухарактеристики, достигающие начала координат, показал
Перрон, и по поводу доказательства мы отошлем читателя
к его работе2). В данном случае это полухарактеристики,
выходящие из точек R, S, Т и U.
Таким образом, из проведенного рассмотрения вытекает,
что при выполнении неравенств (84) начало координат
является седлом] этим заканчивается исследование, начатое
в § И. Мы суммируем результаты следующим образом:
В предположениях (1), (2) и (3), сформулированных в
начале §11, характеристики дифференциального уравнения
dy _ Q(x,y)
dx Р(х,у)
О Характеристика, выходящая из любой точки R* дуги R'R" и
приближающаяся к началу координат, должна оканчиваться в О с
определенной касательной (в некоторых случаях с вертикальной ка-
сательной), так как эта характеристика не может пересечь вне на-
чала координат линии с\ и с2 по определению множеств Р\, Р2. Не-
трудно проверить, что разделительные точки не могут принадлежать
ни одному из множеств Р;.
2) Perron О., там же, 16, 277—280. См. также Lonn Е. R.,
там же, 514. [См. также Немыцкий В. В. и Степанов В. В.,
[36], гл. II, § 4 — Прим, перев}
98 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
в окрестности особой точки х=у=О ведут себя, вообще
говоря, подобно характеристикам укороченного уравнения
dy = Сх + Ру
dx ~ Ах + By ’
где
Рх(0, 0) = Л, РУ(О,О) = В, Qx(O, 0) = С, Qy(O,O) = D.
Исключительные случаи получаются при
k = (A—Dy + ABC<^ A-\-D = Q,
когда укороченное уравнение имеет центр, а нелинейное
уравнение может также иметь фокус или же особен-
ность, имеющую черты как одного, так и другого типа
этих особых точек', а также при А = 0, когда для того,
чтобы нелинейное уравнение (подобно укороченному) име-
ло узел, необходимо (57) заменить более ограничитель-
ными условиями
Р(х, у) =Ах + Ву + О(р1+8), Q(X, у)= Cx+Dy+O(p1+B),
где р = У*2 + У2> а s — любое малое положительное число',
следует отметить, что, за исключением случая, когда В
и С одновременно равны нулю, вместо 0(р1+8) можно
написать
о [р (In р)“2].
Добавим теперь несколько кратких замечаний по поводу
до сих пор исключавшегося случая
AD — ВС = 0, (90)
где А, В, С, D не все равны нулю (так как случай А=В =
= С = D = 0, вообще говоря, приводится к системе диф-
ференциальных уравнений типа, рассмотренного в теореме
Бендиксона при этот тип неоднократно рассматри-
вался в недавних работах, причем результаты этих рассмот-
рений аналогичны результатам, полученным в предыдущих
параграфахх).
О При этом окрестность особой точки состоит, вообще говоря, из
нескольких частей, в каждой из которых характеристики либо вхо-
дят обоими концами в особую точку, либо одним концом входят в
нее, а другим выходят из окрестности, либо же обоими концами
выходят из окрестности. Помимо упомянутых работ Л о н н а и
Фроммера, полезны также следующие работы: F г о ш ш е г М.,
Die Integralkurven einer gewohnlichen Differentialgleichung erster Or-
13. Фокус и седло
99
Случай (90) был также исследован в последние годы,
в частности К. Кайлем и А. Ф. Андреевым1); их работы
показали, что поведение характеристик может в этом слу-
чае быть совершенно отличным от поведения их для любо-
го из до сих пор рассмотренных нами уравнений.
В качестве иллюстрации рассмотрим простое уравнение
с разделяющимися переменными
dy _ За*2
dx 2у *
общее решение которого имеет вид
у2 = х3 с.
(91)
Следовательно, имеется единственная характеристика (соот-
ветствующая значению с=0), которая проходит через нача-
ло координат и имеет там точку возврата, тогда как пове-
дение остальных характеристик показано на рис. 13.
Наконец, укажем коротко на вопрос, который в теории
дифференциальных уравнений первого порядка затронут
недостаточно. Исключая произвольную постоянную из урав-
нения
f (х, у) = с
(92)
линий уровня поверхности z=f(x, у), мы получаем диф-
ференциальное уравнение первого порядка
fx(x, у) dx + fy(x, у) dy = 0,
т. е.
dy______fxO,y)
dx ~ fy(x,y)‘
(93)
dnung in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen, Math. Ann.,
99, 222—272 (1928); Forster H., Uber das Verhalten der Integral-
kurven einer gewohnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in der
Umgebung eines singularen Punktes, Math. Z., 43, 271—320 (1937).
0 Keil K. A., Jahrecber. Deutche Math. Ver., 57,11—132 (1955);
Андреев А. Ф., Вестник Ленинградского унив., 10, 43—65 (1955).
См. также Сансоне Дж. и Конти Р. [43] и Лефшец С. [31].
[См. также Немыцкий В. В. и Степанов В. В. [36], гл. II,
§ 3—4.— Прим, перев.]
100 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
Обратно, уравнение характеристик для уравнения первого
порядка можно, вообще говоря, записать в форме (92), если
разрешить соответствующий общий, интеграл относительно
произвольной постоянной. Поэтому задачи об изучении ли-
ний уровня поверхности z = f (х, у) и об изучении харак-
Рис. 13.
теристик дифференциального уравнения первого порядка
могли бы показаться эквивалентными. Однако эти две зада-
чи, которые, конечно, связаны, не полностью эквивалентны,
так как если функция f(x,y) удовлетворяет достаточным
условиям для перестановки порядка дифференцирования (при
образовании производной второго порядка), дифференциаль-
ное уравнение (93) оказывается менее общим, чем уравне-
ние, рассмотренное в предыдущих параграфах1).
О По поводу параллельного изучения обеих задач со многими
примерами см. Б ул иг ан Г. [9]. Однако даже здесь вопрос об
эквивалентности (или неэквивалентности) обеих задач в явном виде
не рассматривается.
14. Предельные циклы и релаксационные колебания
101
Приравнивая введенные ранее функции Р (х, у) и Q (х, у)
функциям fy (х, у) и — fx (х, у) соответственно и применяя
теорему о перестановке порядка дифференцирования, получим
РХ 4“ Qy — fyx fxy = 0.
Поэтому в особых точках уравнения (93), т. е. в точках,
где fx и fy одновременно равны нулю, автоматически удо-
влетворяется условие А + D = 0, которое характеризует
либо случай седла, либо тот исключительный случай, когда
может иметь место центр.
Этим объясняется то, что особенность, которая для
характеристик дифференциального уравнения первого поряд-
ка общего вида должна рассматриваться как исключитель-
ная, является обычной для линий уровня достаточно пра-
вильной поверхности z--=f (х, у); эти линии уровня обладают
центром в точках максимума и минимума функции f (х, у).
Естественно, что утверждения такого рода, включающие
выражения «исключительный», «обычный» и т. п., не имеют
и не могут иметь точного смысла. Тем не менее мы не ви-
дим причины отказываться от замечаний, подобных сделан-
ному, так как они помогают проиллюстрировать важные
математические факты.
14. Предельные циклы и релаксационные колебания
Замкнутые характеристики, которые могут оказаться у
системы типа (9) и которые, вообще говоря, являются пре-
дельными циклами в смысле, определенном на стр. 91, име-
ют существенное физическое значение, так как они соот-
ветствуют решениям, периодическим по t\ такие решения
могут появиться у механических, электрических и иных
неконсервативных систем, для которых некоторый внешний
источник энергии компенсирует рассеяние энергии, обуслов-
ленное сопротивлением системы. Колебания такого типа
обычно называются релаксационными колебаниями.
С аналитической точки зрения имеет место трудность,
заключающаяся в отсутствии общих методов нахождения
возможных замкнутых характеристик; получены только не-
которые необходимые условия, некоторые достаточные
условия, а также некоторые методы, приложимые лишь к
небольшому числу специальных типов дифференциальных
102 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
уравнений, как мы увидим в дальнейшем. Это, быть может,
и не удивительно, так как существование замкнутых харак-
теристик является не локальным («в малом»), а глобаль-
ным («в целом») свойством векторного поля, ассоциирован-
ного с дифференциальным уравнением, а во всех областях
математики установление глобальных свойств является, вооб-
ще говоря, наиболее трудным.
Так как индекс Пуанкаре цикла, как мы уже видели,
всегда равен + 1, то для существования замкнутой харак-
теристики в некоторой односвязной области необходимо,
чтобы она содержала по крайней мере одну особую точку;
при этом, если имеются только особые точки разобран-
ных выше типов, то по крайней мере одна из них должна
иметь индекс Пуанкаре 4-1, т. е. быть фокусом, цен-
тром или узлом.
Далее, поскольку поток вектора
V = Р (х, у) i + Q (X, у) j
через замкнутую характеристику по необходимости равен
нулю, так как этот вектор всюду касателен к характери-
стике, то мы видим, что граница с односвязной области D
может быть характеристикой (по необходимости замк-
нутой) системы дифференциальных уравнений (9), только
если
у div v dx dy = у dx dy = 0; (94)
действительно, если Р и Q имеют непрерывные первые про-
изводные, то выписанный интеграл как раз равен потоку
вектора v через границу областих). Поэтому из (94) следу-
ет, что замкнутая характеристика не может целиком
лежать в односвязной области, в которой величина дР/дх+
+ dQ/dy имеет постоянный знак.
Предыдущие условия являются необходимыми; доста-
точное условие дает следующая теорема Бендиксона:
0 См., например, Трикоми Ф. [76], ч. II, гл. VI, § 6. [См. так-
же Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, III, Физматгиз, М.— Л., 1960, стр. 179.— Прим,
перев.]
14. Предельные циклы и релаксационные колебания
103
Если на границе некоторой двусвязной области D,
не содержащей особых точек, вектор v направлен всюду
внутрь D (или всюду наружу}, то внутри D существует
по крайней мере одна замкнутая характеристика.
Эта теорема является следствием того, что если вектор
v всюду направлен внутрь области D (или наружу), то
характеристика, проходящая через любую точку Ро области D,
будучи продолженной в направлении возрастания (убыва-
ния) t, не может покинуть D. Поэтому характеристика,
если она не является замкнутой кривой, необходимо должна
иметь вид спирали.
Рис. 14.
Предположим для простоты (хотя теорема Бендиксона
справедлива и в общем случае), что можно выбрать систе-
му полярных координат (р, 9) так, что полюс находится
внутри «пустоты» области D, полярная ось пересекает внут-
реннюю и внешнюю части границы области в точках Аи В
соответственно, а каждая характеристика, начинающаяся в
точке с полярным радиусом р0 отрезка АВ, вновь пересе-
кает этот отрезок в точке Р± с полярным радиусом рх после
обхода полюса в положительном направлении (см. рис. 14).
Тогда доказательство теоремы Бендиксона можно завершить
следующим образом. Так как разность рх — р0 непрерывно
зависит от р0 и так как по условию эта разность в точке А
положительна, а в точке В отрицательна, то в некоторой
точке С отрезка АВ она равна нулю. Но поскольку для
104 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
точки С Pi = р0, характеристика, проходящая через С, будет
замкнутой, что и требовалось доказать. Замкнутую харак-
теристику можно построить также более эффективно сле-
дующим образом. Если положить для определенности, что
Pi > р0, то, обозначая через р2, р3, р4,... последовательные
значения р при пересечении с полярной осью характеристи-
ки, выходящей из Ро, получим возрастающую и ограничен-
ную (так как все ря меньше ОБ) последовательность
Pi, р2, р3,..., которая должна стремиться к некоторому пре-
делу р*. Полагая теперь р0 = р*, получим, что р] = р0=р*,
так как разность рх — р0 стремится к нулю, когда р0 стре-
мится к р*, принимая указанную последовательность зна-
чений.
Вышеизложенные критерии с виду просты, но их одних
редко бывает достаточно, чтобы установить существование
цикла1). Рассмотрим, например, важный случай обобщенного
уравнения Льенара
5-+/М^ + г« = 0, (95)
где f(x) и g(x)— заданные функции, удовлетворяющие
условиям, которые будут коротко сформулированы. Отметим,
что это уравнение приводится к уравнению Льенара в соб-
ственном смысле слова, если g(x) = х, а если, кроме того,
f(x)= ц (х2 — 1), где ц — положительная постоянная, то
получается хорошо известное уравнение Ван дер Поля:
^.+ и(х«-1)^+х=0. (96)
Это уравнение явилось первым нелинейным уравнением,
имеющим реальное физическое значение, для которого суще-
0 В недавних исследованиях И. Г. Петровского и Е. М. Ландиса
было рассмотрено максимальное число циклов (за исключением осо-
бых случаев), которые могут получиться для системы вида (46),
если Р и Q — многочлены некоторой степени п. Даже для случая
п = 2 пришлось преодолеть много трудностей, чтобы установить, что
максимальное число равно трем. См. Петровский И. Г. и Лан-
ди с Е. М., Докл. АН СССР (н. с.), 102, 29—32 (1955); Матем.
Сборник, 37 (79), 209—250 (1955).
14. Предельные циклы и релаксационные колебания
105
ствование периодического решения было первоначально уста-
новлено экспериментальнох).
Мы хотим сейчас доказать, следуя топологическому ме-
тоду Н. Левинсона и О. Смита* 2), что дифференциальное
уравнение первого порядка, к которому приводится уравне-
ние (95), имеет ровно одну замкнутую характеристику
при выполнении следующих трех условий'.
1) Непрерывная функция f(x) и непрерывно дифферен-
цируемая функция g(x) определены на всей оси х, причем
f (х) — четная функция, a g (х) — такая нечетная функция,
что xg(x)>0 для всех х=/=0 и
2) Если положить
F(x)= (97)
О
то нечетная функция Е(х) имеет ровно один положитель-
ный нуль при х = а и отрицательна при 0 < х < а.
3) Функция F (х) при х>а положительна, не убывает
и стремится к +оо, когда х стремится к +оо.
Для доказательства, применяя (97), напишем
и, полагая
^ + F(x) = y, (98)
преобразуем уравнение (95) в систему типа (9)
^=-gW, (99)
О Экспериментально в двояком смысле, поскольку Ван дер Поль
установил существование замкнутого цикла в фазовом пространстве,
ассоциированном с (96), частично из своих опытов с некоторыми
электрическими контурами, подчиняющимися этому уравнению, а
частично с помощью изображения поля касательных направлений по
методу изоклин.
2) См. Минорский Н. [69], стр. 108 и далее. [См. также Н е-
мыцкий В. В. и Степанов В. В. [36], гл. II, § 5.— Прим, перев.}
106 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
или в одно уравнение
dy _ g(x)
dx у — F(x) ’
(100)
это уравнение при указанных предположениях имеет един-
ственную особую точку х = у = 0, для которой (в обычных
обозначениях)
Л£-ВС = £'(0)>0.
Следовательно, индекс Пуанкаре этой особой точки должен
быть равен + 1.
Поскольку обе функции g(x) и F(x) нечетные, то легко
видеть, что для этого уравнения поле направлений в пло-
скости (х, у) симметрично относительно начала коорди-
нат, так как правая часть уравнения (100) не изменяется,
если вместо х и у подставить соответственно —хи —у.
Далее, мы видим, что ось у (являющаяся геометрическим
местом точек, в которых dy/dx = 0) и кривая F с уравне-
нием у = F (х) (являющаяся геометрическим местом точек,
в которых dy/dx = оо) разделяют плоскость на четыре об-
ласти. В этих областях, которые на рис. 15 обозначены
цифрами I, II, III, IV, координаты (х, у) точек любой харак-
теристики уравнения ведут себя при возрастании следую-
щим образом:
(I) х возрастает, у убывает; (II) х возрастает, у возрастает;
(III) х убывает, у возрастает; (IV) х убывает, у убывает.
Ясно, что кривая F, ось у и прямая г, проведенная парал-
лельно оси у через произвольную точку С, взятую на кри-
вой F справа от начала координат, могут пересекаться (при
возрастании t) характеристиками уравнения только в направ-
лениях, указанных на рис. 15 стрелками; это показывают
знаки правых частей уравнений (99).
Рассмотрим две полухарактеристики, выходящие из ука-
занной выше точки С (которой, как мы предположим, соот-
ветствует значение t = Zo). Если t больше Zo, то полухарак-
теристика будет оставаться в области IV левее г, пока не
пересечет ось у в некоторой точке В, лежащей ниже О,
Другая полухарактеристика, взятая для содержится
в области I левее г, пока не пересечет ось у в некоторой
точке Д, лежащей не ниже О,
14. Предельные циклы и релаксационные колебания
107
Для наших целей важно сравнить длины двух отрезков
0 А и ОВ, так как легко видеть, что равенство О А = ОВ
необходимо и достаточно для того, чтобы при продол-
жении двух указанных полу характеристик за точки А и В
в полуплоскость х <^0 получилась замкнутая характери-
стика.
Рис. 15.
Это условие достаточное, так как если О А = ОВ, то
полухарактеристику С А можно продолжить за А при помощи
простого отражения полухарактеристики ВС относительно
начала координат, а полухарактеристику СВ можно про-
должить при помощи аналогичного отражения полухарак-
теристики АС; таким образом будет построена замкнутая
характеристика.
Обратно, условие необходимо, так как любая замкнутая
характеристика (обязательно содержащая начало координат
внутри себя) должна быть симметричной относительно нача-
ла координат О и, следовательно, пересекать ось у (а также
108 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
ось х и вообще любую прямую, проходящую через начало
координат) в таких точках А и В, что О А = ОВх).
Следовательно, мы установим существование и единст-
венность замкнутой характеристики уравнения (100), если
сможем показать, что на расположенной справа от оси у
ветви кривой F имеется ровно одна такая точка С, что
для характеристики с = АСВ будет О А = ОВ.
Введем функцию
%(x,z/) = lz/2 + J g(Qdl
о
и заметим, что на любой характеристике
откуда следует, что
dk = F(x) dy.
В частности, на характеристике с = АСВ
Ic = J F(x)dy = Кв — КА =±(ОВ2 — СМ2),
АСВ
и потому требуется только показать, что существует одна
и только одна точка С, для которой 1С = 0.
Мы начнем с замечания, что если С находится слева
от прямой /г, проведенной параллельно оси у через един-
ственную точку Н (а, 0) пересечения справа от начала коор-
динат линии F с осью у, то /с>0; действительно, тогда
характеристика АСВ содержится в полосе, ограниченной
осью у и прямой /г, так что во всех точках АСВ (кроме
А и В) будет F(x)<0, dy <0 и потому F (%) dy > 0. Ана-
логичное замечание относится к случаю С = Н.
О В противном случае, применяя преобразование симметрии от-
носительно начала координат О к заданной замкнутой характеристи-
ке Сь мы получили бы вторую замкнутую характеристику с2; по-
скольку эти характеристики не могут пересекаться ни в какой неосо-
бой точке, то либо с2 лежит целиком внутри либо с\ — целиком
внутри с2. Поэтому, если через и R2 обозначить длины наиболь-
ших полярных радиусов для точек линий С\ и с2 соответственно, то
R2<R\, если с2 лежит внутри с\ и R\<R2 в противном случае; оба эти
соотношения невозможны, так как, в силу свойства симметрии,
14. Предельные циклы и релаксационные колебания
109
Если же С находится справа от h (рис. 16), то h делит
характеристику с на три дуги AL, LCM, МВ; на первой и
на третьей из них, как и выше, Fdy^O, тогда как на
второй Fdy^O, так как в точках справа от h будет
но F (х) > 0. Кроме того, положительная часть интеграла /с,
отвечающая дугам AL и МВ, непрерывно убывает, когда
абсцисса х0 точки С возрастает, тогда как отрицательная
часть, отвечающая дуге LCM, непрерывно возрастает по
абсолютной величине и стремится к —оо, когда х0~* оо.
Рис. 16.
Чтобы это доказать, рассмотрим, кроме характеристики
с=АСВ, другую характеристику получающуюся,
если абсциссе х0 придать положительное приращение (малое
или большое). Эта вторая характеристика не может пере-
сечь первую; при этом, в силу (100),
_ f (х) g(x) ,
110 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
Поэтому при очевидных обозначениях
F(x) g(x) dx^O
1
Ус — F Р)
и аналогично
В' в
§ Fdy— Fdy <0.
М' м
Легко видеть, что отрицательная часть, отвечающая
дуге LCM, также возрастает по абсолютной величине, ког-
да мы переходим от с к с'; действительно, если точки Lt
и Afj на с' имеют те же ординаты, что L и 7И, то
М' м Ml м
— § Fdy + Fdy > — jj Fdy + § Fdy =
L’ L Li L
УМ
yL
так как в последнем интеграле значения подинтегральной
функции неположительны при каждом у, a
Наконец, заметим, что часть ICt отвечающая дуге LCM,
стремится к —оо, когда х0 —>оо; действительно, проведем
сначала какую-то одну характеристику с, а затем прямую
hG с уравнением х = а + 8 так, чтобы точки пересечения
этой прямой с с лежали по разные стороны оси х; если
теперь зафиксировать 8 и увеличивать х0, то, обозначив
через Lg и Mg точки пересечения с с ft8, получим
М М&
— $ F(x)dy> — J F(x)dz/>F(a + e)(z/£ — у )>
L Lq 8 8
>F(a+ г)-ус = F (a + e)-F(x0)----------------> oo
A'o -> 00
в силу предположения (3).
Таким образом, мы показали, что при возрастании абс-
циссы точки С интеграл 7С, первоначально положительный
15. Периодические решения в фазовом пространстве
111
непрерывно убывает и стремится к —оо при х0 —» + оо.
Поэтому существует одно и только одно значение х0, т. е.
одна и только одна точка С, для которой 1С = О,
т. е. ОА=ОВ\ таким образом, при указанных выше усло-
виях обобщенное уравнение Льенара (95) обладает одним
и только одним периодическим решением.
Среди недавних работ по уравнению Льенара и его обоб-
щениям отметим работу Д. Граффи1), который определил
нижнюю границу для интервала между двумя последователь-
ными нулями любого решения уравнения; а также работу
Дж. Сансоне2), который установил некоторые критерии
существования и единственности замкнутых характеристик
при более общих условиях, чем были применены здесь, и
вывел для уравнения Льенара в собственном смысле слова
теорему сравнения, на которой может быть основан метод
аппроксимации периода релаксационных колебаний.
15. Периодические решения в фазовом пространстве
В некоторых вопросах, например, в связи с теорией
синхронных электрических моторов нас интересуют не толь-
ко периодические решения нелинейных уравнений рассмот-
ренного в предыдущем параграфе типа (таким решениям
отвечают замкнутые характеристики в фазовом пространстве,
но также решения, представимые в виде суммы периодиче-
ских членов и вековых членов (т. е. членов, линейно возра-
стающих со временем Z), которым отвечают периодические
решения в фазовом пространстве.
Заметим прежде всего, что для существования перио-
дического решения с периодом со или даже бесконечного
числа таких решений у дифференциального уравнения пер-
вого порядка
у' = f (X, у)
не обязательно, чтобы функция f(x, у), рассматриваемая
как функция х, сама была периодической с периодом со,
О Graff i D., Mem. Accad. Sc. Bologna, (9) 7, 121—129 (1949);
см. также (9), 9, 83—91 (1942).
2) См. Sansone G., Ann. Mat., (4) 28, 153—181 (1949); Rend.
Seminar io Mat. Torino, 10, 155—171 (1950—1951).
112 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
так как существование решения у = ср(х) сказывается толь-
ко на значениях f(x, у) в точках, близких к точкам соот-
ветствующей характеристики. Однако если мы требуем,
чтобы все решения уравнения (1) были периодическими с
периодом со1), то и функция f(x, у), рассматриваемая как функ-
ция х, должна быть периодической с периодом со; действи-
тельно, если характеристику, выходящую из любой точки
(х0, Уо)> представить уравнением у = ф(х), где функция ср
периодична с периодом со, то
Ф(х0+п«) = ф(х0) = у0, ф'(х0 + шо) = ф'(х0),
откуда следует
f(xo + п®, у0) = f(х0, у0).
Поскольку х0 и у0 выбраны произвольно, это показывает,
что f является периодической функцией х с периодом со.
Обратно, если f является периодической функцией х с
периодом со, то можно было бы думать, что должно иметь-
ся по крайней мере одно решение с периодом со; однако
это не так, что можно показать на простом примере уравне-
ния
у'= А (х)
с общим решением
у = В(х)4 С (101)
где С — произвольная постоянная, а
х
В(х)= $ЛШ^.
Функция (101) периодична (с периодом о) тогда и только
тогда, когда функция В(х) периодична, а для этого необ-
ходимо (поскольку Л(х)=В'(х)), но не достаточно, чтобы
О Для простоты мы не будем исследовать, можно ли условие
«все решения» ослабить (в действительности это так). Мы также бу-
дем требовать, чтобы функция f(x, у) удовлетворяла всем условиям,
необходимым для справедливости фундаментальной теоремы главы I.
15. Периодические решения в фазовом пространстве
113
А(х) была периодической с периодом со; для периодично-
сти В (х) требуется дополнительное условие
х+со
А(№ = 0. (102)
X
Если исключить тот особый случай, когда уравнение ти-
па (1) обладает решением с периодом со, тогда как функция
f не периодична по х с периодом со, то из сказанного выше
очевидно, что довольно важно вывести критерии, которые
отвечают на следующий вопрос:
Если дано уравнение типа (1), где f (х, у) является
периодической функцией х, то обладает ли оно решениями,
которые также периодичны и притом с тем же периодом?
Условие, наложенное на функцию f(x, у), помимо тех,
которые необходимы для справедливости фундаментальной
теоремы главы I, позволяет нам высказать следующее
утверждение:
Чтобы характеристике у = ф(х) уравнения (1), выхо-
дящей из некоторой точки (х0, у0), отвечало периодическое
решение с периодом со, необходимо и достаточно выпол-
нение условия
Ф (Хо + ®) = ф (х0). (ЮЗ)
Условие (103), очевидно, необходимое, является также до-
статочным, так как в результате замены х на х + со (кото-
рая в силу периодичности функции f не меняет заданного
дифференциального уравнения) мы получаем две функции
у=ф(х) и у = ф(х + сд), удовлетворяющие уравнению (1)
и одному и тому же начальному условию у (х0) = у0, где
у о — общее значение обеих частей равенства (103); значит,
эти два решения должны совпадать.
Из предыдущих замечаний можно вывести метод (теоре-
тически правильный, но на практике не всегда полезный
в своей первоначальной форме), который дает ответ на по-
ставленный выше вопрос:
Пусть х0 — любое значение х\ рассмотрим решение
у = ср (х, т]) заданного уравнения, принимающее при х = х0
значение х=1). Тогда каждому корню (если такие имеются)
уравнения относительно л
Ф (т]) = ф(х0+ со, п) — П = 0 (104)
114 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
соответствует периодическое с периодом со решение задан-
ного дифференциального уравнения, и наоборот.
Полезность этого критерия ограничена, вообще говоря,
трудностью явного нахождения функции ф(х, л)-
Однако, поскольку Ф (л) необходимо является непрерыв-
ной функцией л (что следует из теоремы о зависимости
решений от заданных начальных условий, см. стр. 25), с
помощью данного метода можно более просто установить
существование периодического решения, если показать, что
имеются значения л, Для которых Ф(ц)>0, и значения л,
для которых Ф(л)<С0; действительно, тогда должно быть
по крайней мере одно значение л, Для которого (104) удов-
летворяется х).
Критерий существования и единственности, имеющий
существенное практическое значение, дается в следующей
теореме, аналогичной рассмотренной в предыдущем параг-
рафе теореме Бендиксона:
Пусть для дифференциального уравнения у' = f(x, у),
где f — периодическая функция х с периодом со, удовлетво-
ряются условия фундаментальной теоремы о существо-
вании и единственности решения (т. е. нет особых точек)
во всей полосе D, определенной неравенствами
— оо X оо, а (х) у Р (х),
где а (х) и р (х) — некоторые непрерывные периодические
функции с периодом со (которые могут быть и констан-
тами)', пусть, далее, на линиях у = а(х) и у = р(х), со-
ставляющих границу полосы D, вектор v = i + f(x, у) j
направлен всюду внутрь D или всюду наружу. Тогда внут-
ри полосы D существует по крайней мере одно периоди-
ческое с периодом со решение у = у* (х) уравнения* 2).
О Tri со mi F., Periodische Losungen einer Dif f erentialglei-
chung erster Ordnung, Verh. Int. Math. Kongress Zurich, 2, 72—73
(1932).
2) В статье Amer io L., Studio asintotico del moto di un punto
su una linea chiusa, per azione di forze independenti dal tempo, Ann.
Sc. Norm. Sup. Pisa, (3) 3, 19—57 (1949) Америо обобщил преды-
дущую работу автора этой книги; его результаты, на которые мы
позже сошлемся (стр. 117), содержат две леммы (I и II), которые
вместе составляют теорему, аналогичную сформулированной выше.
Вместо того чтобы накладывать условие на вектор v в точках гра-
ницы полосы D, он постулирует существование по крайней мере одной
полухарактеристики, не покидающей эту полосу.
15. Периодические решения в фазовом пространстве
115
Далее, если функция f, рассматриваемая как функция
от у, всюду возрастает или всюду убывает в D, то указан-
ное периодическое решение единственно1).
Как и в случае, рассмотренном в предыдущем параграфе,
теорема основана на том, что если вектор v в каждой точ-
ке границы полосы D направлен внутрь D (или наружу),
то полухарактеристика, выходящая из любой точки (х0, у0)
этой полосы, не может при возрастании (убывании) t поки-
нуть полосу D.
Допустим, что вектор v в каждой точке границы полосы D
направлен внутрь D, и обозначим через уг = ф (у0) значение
при х=со решения, удовлетворяющего начальному условию
у = yQ при х = 0. Тогда разность ф (у0) — у0, непрерывно
зависящая от yQ, положительна при у0 = а (0) и отрицатель-
на при yQ = р (0). Значит, при некотором значении yQ = у\
между а (0) и р (0) она обращается в нуль, чем и доказы-
вается существование периодического решения. Отметим, что
значение у* можно найти в качестве предела ограниченной
монотонной последовательности у0, у1 = ф(у0), У2=Ф(У1), •••
(см. рис. 17).
Если, наконец, наложить дополнительное условие, что-
бы f была всюду возрастающей или всюду убывающей
функцией у, то можно показать, что найденное выше перио-
дическое решение у* (х) является единственным. Действи-
тельно, интегрируя от 0 до со заданное уравнение, в кото-
ром вместо у(х) подставлено у*(х), получим
со
5 f [X, у*(х)] dx = у*(а) — у* (О) = 0,
о
О Очевидно, достаточно проверить условие, наложенное на век-
тор v в интервале ширины со, например в интервале 0<х<(о. Этим
можно значительно ослабить требование периодичности функций
а(х) и Р(х), оставив только условия а(0) = а (со), Р(0) = Р(со).
Впрочем, при первом предположении о направлении v достаточно
потребовать только, чтобы а(0)^а(со), Р(0)^Р(со).
Следует отметить, что если полоса ограничена двумя прямыми,
параллельными оси х, то условие, наложенное на вектор v, равно-
сильно требованию, чтобы функция f(x, у) имела на каждой из этих
прямых постоянный знак, причем на одной +, а на другой —.
116 Гл. II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
так что если имеется два различных периодических реше-
ния урх) и у*(х), то
со со
$ f Г, yi (*)] dx = f [х, у* (х)] dx.
О о
Однако две различные характеристики не могут пересекать-
ся в D, так как в противном случае точка пересечения
Рис. 17.
была бы особой; значит у*(х) будет все время больше чем
у*(х) или все время меньше чем у*(х), а потому, в силу
монотонной зависимости функции f от у, один из этих
интегралов должен быть обязательно больше другого. Полу-
ченное противоречие показывает, что периодических реше-
ний не может быть более одного.
15. Периодические решения в фазовом пространстве
117
Последняя теорема полезна при изучении дифференциаль-
ного уравнения
dy _ он/ + Р + sinx ^g^
dx 2y 1 ' '
где аир положительные постоянные. Это уравнение встре-
чается в электротехнике и в других важных разделах фи-
зики и было тщательно изучено несколькими авторами,
в том числе автором данной книги около тридцати лет
тому назад1) и позже Л. Америо2).
Мы здесь опустим обсуждение наиболее трудного слу-
чая, когда 0 << р 1, и предположим, что Р>1. Так как
Р + sin х > 0 для всех х, то функция
никогда не приобретает формы неопределенности 0/0; кро-
ме того, эта функция при у <^0 периодична по х (с пери-
одом 2л) и является возрастающей функцией у, которая
принимает значения противоположных знаков на границе
полосы (отрицательные на нижней границе и положитель-
ные на верхней)
~~-------8 С У ---h е, —оо<^х<^оо, (106)
где 8 — произвольно малое положительное число. Но отсю-
да следует, что на границе полосы (106) вектор v = i+
+ f(x, y)j направлен всюду во внешность полосы; поэтому
полоса (106), в которой теперь можно даже положить 8=0,
содержит одно и только одно периодическое (с перио-
дом 2л) решение уравнения (105).
О Т г i с о m i F., Sur une equation differentielle de I’electrotechni-
que, C. R. Acad. Sci. Paris, 193, 635—636 (1931); также Integrazione
di un’equazione differenzale presentatasi in elettrotecnica, Ann. Sc.
Norm. Sup. Pisa, (2), 2, 1—20, (1933). Основные результаты этих
статей изложены в книге Андронова А. А., Витта А. А. и
Хайкина С. Э. [55], стр. 489—497.
2) Amer io L., Determinazione delle condizioni di stability per
gli integral! di una equazione interessante 1’elettrotecnica, Ann. Mat.,
(4) 30, 75—90 (1949).
Ill
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
16. Предварительные рассмотрения
В этой главе мы будем рассматривать только линейные
дифференциальные уравнения второго порядка, так как
при этом исследование оказывается более простым; однако
многие свойства, которые мы выведем для этих уравнений,
можно легко перенести на линейные уравнения любого по-
рядка, а некоторые свойства можно даже перенести на не-
линейные уравнения. Тем не менее в данной области, как
и всюду в математике, полезно рассмотреть новые задачи
с присущими им трудностями сначала в возможно более
простой форме, а позже исследовать, до какой степени ре-
зультаты можно обобщить.
Если дано линейное однородное1) уравнение второго
порядка
Л(х)/ + В(%)/ + С(%)у = 0, (1)
то фундаментальная теорема главы I устанавливает, что
это уравнение обладает одним и только одним решением,
удовлетворяющим произвольным начальным условиям
г/(х0) = а, /(х0) = р, (2)
в предположении, что коэффициенты А (х), В (х) и С (х) не-
прерывны в окрестности точки х = х0 и, кроме того,
А (*о) О-
О В этом и последующих параграфах мы будем рассматривать
только однородные уравнения, так как интегрирование линейного
неоднородного уравнения можно свести к интегрированию соответ-
ствующего однородного уравнения с помощью метода Лагранжа
«вариации произвольных постоянных»,
16. Предварительные рассмотрения
119
Дополнительные1') условия вида (2) часто встречаются
в практических задачах, в особенности в задачах механи-
ки, где часто задаются начальные положение и скорость.
Имеются также важные задачи, включающие дополнитель-
ные условия иного типа, например задача о брахистохроне,
т. е. кривой, по которой материальная точка пройдет из
точки А = (а, Л) в точку В(Ь, В) в вертикальной плоско-
сти (х, у) за возможно более короткий промежуток време-
ни2). В связи с этой задачей требуется проинтегрировать
(нелинейное) уравнение
W" + |(l+/2)=0
при краевых условиях
у(а) = А, у(Ь) = В. (3)
В более общем случае краевые условия имеют форму
hy (а) + h'y'(a) = A, ky (b) + k’y\b) = В, (4)
где h, h', k, kf, A, В — заданные постоянные, причем h и
h', а также k и k' не равны одновременно нулю3).
Для линейных уравнений, которые мы сейчас только и
рассматриваем, задачи этого рода легко разрешить в пред-
положении, что нам известны два линейно независимых
решения у^х) и у2(х) заданного уравнения (1).
О Мы будем применять выражение «дополнительные условия»
по отношению к любым добавочным условиям, которые можно по-
ставить в связи с дифференциальным уравнением, независимо от того,
имеют ли они вид (2).
2) См., например, Т р и к о м и Ф., [76], часть II, стр. 327—330. За-
дача о брахистохроне разбирается также в любом курсе вариацион-
ного исчисления.
3) Условия (4) не являются наиболее общими возможными усло-
виями даже линейного типа. Например, условия могут заключаться
в том, что две линейные комбинации величин у (а), у'(а), у(Ь), у' (Ь)
приравнены А и В. К этому более общему случаю можно без тру-
да применить метод интегральных уравнений, излагаемый в § 27. По
поводу дальнейших сведений см. Трикоми Ф. [79].
Примером дополнительных условий, не имеющих формы (4), яв-
ляются условия периодичности:
у(а)=у(Ь), у'(а)=у'(Ь).
120
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Любое другое решение уравнения имеет вид с1у1 (х) +
+ с2у2(х), где сг и с2—произвольные постоянные; поэтому
возможность или невозможность удовлетворить дополни-
тельным условиям (4) зависит от возможности или невоз-
можности решить относительно с± и с2 систему линейных
уравнений
CiFi (а) + c2F2 (а) = А, |
CiGi(&) + c2G2(&) =В, j (4)
где
hyi (х) + h'y't (х) = Fi (х), kyi (х) + k'y'i (х) = G,- (х) (I = 1,2).
Для существования единственного решения системы (4') не-
обходимо и достаточно, чтобы определитель системы
Fi (a) F2(a)
G^b) G2(b)
(5)
был не равен нулю.
С другой стороны, если А = В = 0, т. е. если краевые
условия являются однородными
hy (а) + h'y' (а) = 0, ky (&) + k'y' (&) = 0, (6)
то обращение в нуль определителя А необходимо и до-
статочно для того, чтобы заданное уравнение обладало
решениями (отличными от тривиального решения у == 0),
удовлетворяющими сфор му лированным краевым условиям.
К несчастью, в практических задачах линейно независи-
мые решения у± и у2 очень редко бывают известны, тогда
как предыдущее рассмотрение основано на знании этих
двух решений.
Однако в результате этих простых рассуждений мы
устанавливаем важную теорему:
Теорема. Для того чтобы дифференциальное урав-
нение (1) при произвольных краевых условиях (4) облада-
ло одним и только одним решением, необходимо и доста-
точно, чтобы соответствующая однородная задача, т. е.
задача, для которой А = В = 0, обладала только триви-
альным решением у = 0.
В самом деле, если однородная задача допускает толь-
ко решение у==0, то А=^=0, и наоборот. При этом если
16. Предварительные рассмотрения
121
неоднородная задача имеет два различных решения у и t/*,
то разность у — у* является нетривиальным решением соот-
ветствующей однородной задачи; обратно, если однородная
задача обладает нетривиальными решениями, то неоднород-
ная либо не имеет ни одного решения, либо же (при не-
которых А и В) обладает бесконечным количеством реше-
ний, причем все они получаются из одного добавлением
любого решения однородной задачи.
Далее, с помощью не более сложных рассмотрений, чем
проведенные выше, мы можем доказать, что
(I) Если yL(x)—нетривиальное решение уравнения (1),
равное нулю в точке х0, в которой старший коэффициент
уравнения отличен от нуля1}, то любое другое решение
уравнения, равное нулю в точке х0, дается формулой
у = сух, где с — произвольная постоянная.
Действительно, если решение r/2W равно нулю в х0,
то определитель Вронского
W(x) =
У1(*)
у'1 (х)
Уг(х)
У'ЛХ)
функций у± и у2, очевидно, равен нулю при х=х$, поэто-
му он тождественно равен нулю и, значит, у2 = су±, где
с — подходящая постоянная2).
(II) Если определитель А равен нулю, то уравнение
(1) при однородных условиях (6) имеет ос1 решений’, имен-
но, если уг одно из таких решений, причем нетривиаль-
ное, то все остальные даются формулой у = сур где с —
произвольная постоянная.
В самом деле, если у2 — какое-либо частное решение
уравнения, удовлетворяющее условиям (6), то мы выводим
из первого равенства (6) (второе равенство не требуется),
что система из двух линейных однородных уравнений
&/i(a) + = 0, ^у^а) + ПУзИ = О
обладает по крайней мере одним нетривиальным решением
g = h, v\=h'. Следовательно, определитель этой системы,
О Это условие впредь будет предполагаться выполненным.
2) См., например, Трикоми Ф. [76], часть II, стр. 286. [См. так-
же Степанов В. В. [44], стр. 187. — Прим. перев.\
122
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
равный W (а), должен обращаться в нуль, откуда W (х) О
и У2 = СУ1-
(III) Все нули решений уравнения вида (1) простые1).
Действительно, если у' = 0 в точке х0, в которой г/=О,
то из теоремы единственности гл. I следует, что решение
у (%) должно быть тождественно равно нулю, так как функ-
ция у == 0 удовлетворяет уравнению и начальным условиям
у Го) = у' Го) = О-
17. Теорема Валле Пуссена
Мы предположим, что уравнение (1) записано в приве-
денной форме
У” + Pi (х) у' + р2 (х) у = 0, (7)
которая получается с помощью деления на старший коэф-
фициент.
Если коэффициенты рДх) и р2(х) непрерывны, то, сог-
ласно фундаментальной теореме, ни одно решение у (х) урав-
нения не может иметь двойной нуль (или нуль высшей
кратности) и, следовательно, интервал h между двумя по-
следовательными нулями решения г/(х) не может быть ну-
левым.
Покажем теперь, что можно найти положительную ниж-
нюю границу для значений /г; эта теорема, доказанная пер-
воначально Валле Пуссеном и недавно улучшенная Харт-
маном и Винтнером2), имеет следующий вид:
Если в рассматриваемом интервале коэффициенты
уравнения (7) удовлетворяют условиям
|й(х)|<М1, ]р2(х)|<М2, (8)
то расстояние h между любыми двумя последовательны-
ми нулями любого решения уравнения (7) удовлетворяет
при М2^>0 неравенству
]/9^ + 24М2 — ЗМг (9)
О В теоремах такого рода предполагается, что рассматриваемое
решение не равно тождественно нулю.
2) Hartman Р., W i n t n е г R., On an oscillation criterion de la
Vallee Poussin, Quart. Appleid Math., 13, 330—332 (1955).
17. Теорема Валле Пуссена
123
а при М2 = 0 — неравенству
О')
Мы начнем доказательство с замечания, что для любой
функции ф (%) с непрерывной производной в интервале [0, h]
х h
h
И (х) = $ &>'(£) dZ - $ (h - £)Ф'ф + $ ф (£) dg. (10)
О X о
Действительно, интегрируя по частям, имеем
J £<₽'(£) = %Ф (х) — J Ф (g) dl
О о
И
h h
J (h — £) Ф '(£) d g = — (h — x) ф (x) + J ф (g) d g,
X X
откуда тождество (10) немедленно получается при помощи
почленного вычитания.
Допустим теперь, что некоторое решение у (%) уравне-
ния (7) имеет два последовательных нуля при х = 0 и
х = hг), и применим тождество (10) к функции ф (%) == у' (%),
заметив, что
h h
$<p(M=$ /(g)^ = y(/i)-y(O) = o,
о о
так что
х h
hy'(x) = $ ^"(g) dt, - $ (h - l)y”($ d$.
0 X
О В предположении о том, что один из нулей расположен в на-
чале координат, нет ограничения общности, так как всегда можно
сделать преобразование х = Е 4- а.
124
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Подстановка вместо у” его значения из (7) поэтому дает
hy\x) = -\lPi © y\l) Р1 © у'® dl -
О X
- $ © У © dl + jj (h - g) р2 © у © dt (И)
О X
Пусть теперь ц означает максимум (наверняка положи-
тельный)1) величины |*/'(х)1 в [0, А]; следовательно, так как
у (%) обращается в нуль при х= 0 и при х= Л, в интер-
вале [О, А] удовлетворяются оба неравенства
|*/©|<|© |У©|<Н(/г —ё).
так что каждое из произведений
1у(1) и (/г — ё)у©
по абсолютной величине не превосходит
Применяя неравенства (8), мы выводим из (И), что
h |/(х)| < Mjp
к
+ М2ц^(/г- g)dl,
О
откуда следует
|/(х)|<М1И| + М2И^ (0<x</i), (12)
2 о
так как
О
О Очевидно, что если н = 0, то у'(х) — 0, и потому у(х) долж-
но быть тривиальным решением у(х) ЕЕ 0, что здесь исключено.
17. Теорема Валле Пуссена
125
и
х h .
+ J(/i-g)dg = l-[x2 + (/i-x)2] =
О X
( /I V Д2 А2 Д2 ^2
\ 2/4^44 2
й).
Применяя (12) к точке, в которой |t/z(x)| = |ш (по теореме
Вейерштрасса такая точка наверняка существует) и произ-
водя деление на р (которое отлично от нуля), получаем
1 < Ml - + ,
1 2 2 6
т. е. h должно удовлетворять неравенству
+ 1>о.
6 2
Поэтому h должно лежать вне интервала, концами которо-
го служат корни уравнения
— М2й24--Мхй — 1 =0,
6 2 1
именно
]/9Ж1 + 24ЛГ2 +ЗМх ]/9Ж1 + 24Л42 — ЗМх
2ЛТ ’ 2М2
откуда следует неравенство (9)1). Если М2 = 0, то
О Если воспользоваться неравенством |z/(g)| р, min {g, h — g},
то легко получить более точную оценку
х h
dg + J (ft - g)di < |* ;
О X
h h2
тогда неравенство (12) заменится на |/(x)| + ТИ2ц-тр а не-
равенство (9) — на
h > ]/4М?+8Л42 — 2Л4Х
' лГ2
Можно произвести и дальнейшее уточнение оценки (9).-— Прим, перев.
126
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
- Mrh — 1 > О,
2 1
откуда следует неравенство (9').
Поучительно применить эту теорему к уравнению гар-
монических колебаний
г/" + ^ = 0 (13)
(где k2—заданная постоянная), общее решение которого
можно записать в виде
у = A sin k (% — у),
где А и у — произвольные постоянные. Поэтому нули лю-
бого решения уравнения (13) равномерно распределены на
оси х на расстоянии л/k один от другого. Так как в дан-
ном случае (внутри любого интервала) М1 =0, М2 = k2, то
неравенство (9) дает откуда л/k^y^/k, т. е.
л>/б.
Таким образом, теорема дает явную нижнюю границу (хо-
тя и не близкую) для л.
Из теоремы Валле Пуссена следует, что нули любого
решения уравнения типа (7) не могут иметь точки на-
копления на любом конечном интервале, на котором ко-
эффициенты р± (х) и р2 (х) остаются ограниченнымиг).
Действительно, наибольшее число нулей, которые могут
попасть на интервал длины /, в котором удовлетворяются
неравенства (8), не может более чем на единицу превышать
целую часть числа //г, где г — положительный корень урав-
нения
+ 1 =о.
6 2
Другими словами, если назвать сопряженными с точкой
х0 те точки, в которых решения уравнения (7), обращаю-
0 Этот результат иначе можно вывести из более элементарной
теоремы III § 16.
18. Упрощения заданного уравнения
127
щиеся в нуль при х = х0 г), также имеют нули, то из пре-
дыдущей теоремы вытекает, что точки, сопряженные с лю-
бой заданной точкой х0, образуют дискретное множество* 2),
откуда следует, что можно говорить о первой сопряженной
точке справа или слева от %0, о второй сопряженной и т. д.
Однако имеются ли на самом деле эти сопряженные
точки?
В некоторых случаях, например для уравнения (13),
ответ заведомо положительный. Однако в других случаях,
например для уравнения
/-^ = 0, (14)
их может не быть; действительно, решение уравнения (14),
равное нулю при х = х0, имеет вид
у = A sh& (х —х0),
и потому все такие решения (при произвольном А =f= 0) не
обращаются в нуль при x=[=xQ, так как гиперболический
синус имеет нуль только в начале координат.
Поэтому для решений уравнения типа (7) могут пред-
ставиться два различных случая, значение которых станет
более ясным позже:
(1) либо имеются колеблющиеся решения, т. е. решения,
равные нулю по крайней мере в двух точках рассматривае-
мого интервала; тогда сопряженные точки имеются;
(2) либо же решения не колеблются, т. е. имеют в рас-
сматриваемом интервале не более одного нуля; тогда пар
сопряженных точек нет.
18. Упрощения заданного уравнения
Прежде чем продолжить рассмотрение уравнений типа
(1), заметим, что если В(х)== А' (х), то уравнение (1) мож-
но записать в специальной форме
^[Л(х)/] + С(х)у = 0.
О Чтобы получить любое из таких решений, надо воспользовать-
ся начальными условиями z/(xo) = 0, у'(xQ) = y'Q, где у о — любая
постоянная, не равная нулю.
2) Множество точек называется дискретным, если оно не имеет
конечных точек накопления.
128
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Эта форма называется самосопряженной и является осо-
бенно полезной. Оказывается, можно записать в такой фор-
ме любое заданное уравнение (1), произведя умножение (1)
на подходящий множитель Я (%), который получается с по-
мощью квадратур. Для этого функция Я (%) должна удов-
летворять уравнению
^[Л(х)Я(х)] = в(х)ад,
откуда после разложения и деления на А (х) Н (х) (мы пред-
полагаем, что функция А (х) имеет непрерывную производ-
ную и не равна нулю) выводим
Х(х) = _ А'(х) В(х)
Н(х) Л(х) А(х)
и, интегрируя, получаем
1п|Л(х)| = - 1п|Л(х)|+ ^dx,
так что
[^ldx
Если теперь положить
[^dx
, ч ^Л(х)ах . C(x) j А(х)
p(x)=e , P(x) = -XUe
(15)
то исходное уравнение можно записать в виде
i\pWd£] + pWy = 0- (16>
При этом функция р (х) не только непрерывна (как и Р),
но положительна и обладает непрерывной первой производ-
ной, которую можно получить из первого равенства (15):
,, \ B(x)aiA(x)ax
19. Теоремы о нулях и о максимумах и минимумах решений 129
Если теперь произвести замену независимой переменной
х на новую переменную %, определенную равенством
с. _ С dx
J рй)’
(17)
то уравнение (16) можно привести к случаю, когда р(х) == 1.
В самом деле, из (17) имеем
1 d 1 d
dx p(x)’ dx p(x) d^
и потому (16) приобретает вид
— _d_(dy\ p, . Q
t. e.
^ + Qa)y = o, (is)
где
Q^=p(x)P(x). (19)
Поэтому в подходящих случаях мы будем ссылаться на
уравнение (18), содержащее единственный коэффициент; для
других целей (16) оказывается более удобной формой, при
водящей иногда к таким же простым результатам, что и
18)т). Дальнейшие преобразования будут рассмотрены в § 32.
19. Теоремы о нулях и о максимумах
и минимумах решений
В качестве простого приложения предыдущих преобра-
зований мы докажем следующую теорему, которая являет-
ся важной, несмотря на то что ее доказательство получает-
ся очень просто.
Ни одно решение уравнения (16) не может колебать-
ся в интервале, во всех точках которого Р(х) 0 2).
О Отметим, что если рассматриваются два или более уравнений
вида (16) с различными функциями р(х), то их невозможно приве-
сти к виду (18) с помощью одного и того же преобразования (17).
2) Случай Р(х)>0 будет рассмотрен в § 21 в предположении,
что р(х) =1.
130
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Положим
v(x) = р(х) у'(х) у(х);
тогда, в силу (16),
v'(x) = (руУу 4- РУ'* 2 = ру'2 — Ру2-
Поэтому в любом интервале, где Р 0, имеем у\х)^0.
Значит, если бы у(х), а потому и v(%) имели по крайней
мере два нуля, то в интервале между этими нулями было
бы
V (%) = 0, у'(х) у(х) = ^(у2У = 0, у = const,
откуда у= 0.
Аналогично доказывается, что у' не может иметь более
одного нуля (точнее, если у'(а) = 0 и у'(Ь) = 0, то у(х) =
= : const и Р (%) = 0 при а х Ь) и что если у имеет
нуль, то у' не может иметь нуля, и наоборот1).
Если ссылаться на уравнение (18) вместо (16), то толь-
ко что доказанная теорема приобретает наглядный геомет-
рический смысл, так как в любом интервале, где Р 0 (и,
следовательно, Q<CO), будет, в силу (18),
и потому интегральные кривые обращены выпуклостью к
оси £, а это, очевидно, несовместимо с существованием
более чем одной точки пересечения с осью %.
При помощи метода, подобного тому, который был при-
менен в последней теореме, т. е. при помощи построения
подходящей вспомогательной монотонной функции, анало-
гичной функции v(x), довольно легко установить следую-
щую элегантную теорему Сонина — Пойа2).
О Ср. Р i с о п е М., Miranda С., Esercizi di Analisi Matematica,
стр. 422, изд. 2, Rome, Studium Urbis, 1945. Если вместо самосопря-
женного уравнения (16) мы говорим об исходном уравнении (1), то
условие Р(х)<0 надо заменить С(х)/А(х)<0, что немедленно сле-
дует из второй формулы (15) (в предположении, что А(х) =f= 0).
2) Эта теорема, доказанная первоначально Н. Я. Сониным для
случая р(х) = \, была недавно обобщена Пойа на случай уравнений
вида (16) (ср. Сегё [73], стр. 161) в условиях р(х) >0, Р(х) > 0,
которые можно заменить на Р =f= 0; впрочем, из предыдущей теоре-
мы следует, что в случае р(х)Р(х) <0 ни одно решение не может
быть колеблющимся.
19. Теоремы о нулях и о максимумах и минимумах решений 131
Пусть коэффициенты р(х) и Р (х) уравнения (16) не-
прерывны вместе с их производными первого порядка в неко-
тором интервале [а, &]; пусть произведение р(х) Р(х) яв-
ляется неубывающей (невозрастающей) функцией х в этом
интервале, а функция Р (х) на нем не обращается в нуль.
Тогда возможные максимумы и минимумы любого реше-
ния у(х) уравнения (16) внутри интервала (а, Ь) таковы,
что соответствующие значения |у| образуют невозра-
стающую (неубывающую) последовательность.
Рассмотрим функцию
Ф (X) = у2 (х) + у'2(х) = у2 + -Т (ру')2,
Jr 2 л7*
производная которой равна
ф'(х) = 2уу' + 2-?f(py')' - (ру')2.
С помощью (16), т.е.
(ру'У = -Ру >
последнюю формулу можно переписать в виде
ф'(х) = — [тт?]2/ (Р(х)^(х)],
[_Р(х) J dx
который показывает, что внутри интервала (а, Ь) производ-
ная ф'(х) неположительна, если производная от р(х)Р(х)
неотрицательна, и наоборот. Но в точках максимума и ми-
нимума у, где у' = 0, будет ф = у\ значит, квадраты мак-
симумов и минимумов у, а потому и соответствующие зна-
чения | у [ образуют невозрастающую последовательность,
если р(х)Р(х) не убывает, и наоборот1).
Аналогично проверяется, что на части интервала (а, Ь),
где ф(х)<0, не может быть ни максимумов, ни миниму-
мов у и что наибольшее из трех чисел |z/(g)|, |у(6)| и
где Ф — наибольшее значение (если оно положитель-
0 Если вместо уравнения (16) воспользоваться его исходной
формой (1), то соответствующее условие примет вид
sign фЧ*) = — sign [C'W (х) — С(х) А'(х) + 2 В(х) С(х)]
или 0.
Это легко вывести из (15) в предположении, что А (х) =/= 0.
132
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
но) функции ф(х) в [а, Ь], служит оценкой сверху значе-
ний у(х)| на интервале [я, Ь].
Заметим, далее, что равенство ф = у* 2 имеет место не
только в точках, где у' = 0, но и в точках, где р(х) = О
(если бы такие точки допускались). Следовательно, значе-
ния | у (%) | в таких точках также можно считать включен-
ными в последовательность, монотонность которой была
доказана.
Существенная часть доказательства двух предыдущих
теорем состояла в манипуляциях двумя специальными квад-
ратичными формами относительно у и у' (в первом случае
формой руу', а во втором формой ф), причем эти формы
при определенных предположениях оказывались монотон-
ными. Это наводит на мысль о возможности получения
других теорем такого же типа, если рассматривать вместо
предыдущих форм другие подходящие квадратичные формы
относительно у и у'\ это и было эффективно проделано
бывшим ассистентом автора У. Рикардом1). Среди много-
численных результатов, которые можно получить таким об-
разом, один из простейших выводится из квадратичной
формы
¥ (х) = р (х) Р (х) ф (х) = р (х) Р (х) у2 (х) 4- (х) у'2 (X)
с производной
ч"(х) = ф(х)^[р(х)Р(х)1+
+ <p'W р W р(х) = у2 Г) [р Г)р Г)1-
Отсюда следует, что при тех же предположениях, кото-
рые были сформулированы в теореме Сонина — Пойа, зна-
чения р(х)Р (х)у2(х), подсчитанные в точках, где у'(х)=0
или р(х) = 0, образуют монотонную последовательность
того же характера, что и произведение р(х)Р(х)2).
О Richard U., Sulle succession! di valori stazionari delle soluzi-
oni di equazioni differenziali lineari del secondo ordine, Rend. Semina-
rio Mat. Torino, 9, 309—324, (1940—1950); см. также Alcuni problem!
asintotici per le equazioni differenziali lineari. Там же, 15, 59—64
(1955—1956).
2) T. e. возрастающую, если функция pP возрастает, и убываю-
щую, если функция рР убывает.
20. Теоремы о сравнении и их следствия
133
Для случая, когда решение у (%) уравнения (16) имеет
бесконечное число максимумов и минимумов в точках
хъ х2, • • •, были получены некоторые простые результаты
при рассмотрении асимптотического характера последова-
тельности |y(Xi)|, | у (х2) |> • • • В частности, У. Рикард1),
обобщая предыдущие результаты А. Мийу и А. Вимена2),
недавно доказал следующую теорему; по поводу доказа-
тельства мы отошлем читателя к оригинальной статье.
Если для всех х справа от некоторой точки х = а
будет р(х)>0, Р(х)>0 и если функция
® w=ypw £{[pw^wr1/2}
монотонно стремится к нулю при х->оо, то каждому
решению у (х) уравнения (16) можно поставить в соответ-
ствие такую положительную постоянную k, что если
xlf х2,... — последовательные точки максимума и мини-
мума этого решения, то
[(р/э)1/4|У|Ь=х„ = К + О[®(х„)] (п-*+<х>).
20. Теоремы о сравнении и их следствия
Знаменитая теорема о нулях решений уравнения типа (16)
принадлежит Штурму, пионеру прямого изучения дифферен*
циальных уравнений, которое во многих случаях дает воз
можность вывести важные результаты с помощью сравне-
ния заданного уравнения с другим уравнением того же ти-
па, которое можно явно проинтегрировать или нули реше-
ний которого известны. Мы рассмотрим для простоты два
уравнения, содержащие одну и ту же функцию р (х) 3).
0 Richard U., Rend. Lincei, (8) 12, 382—387 (1952).
2) Mill ou х H., Sur I’equation differentielle x"+A(t)x=0, Pra-
se Mat. Fiz., 41, 39—54 (1934); W i m a n A., Uber eine Stabilitatsfrage
in der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Acta Math., 66,
121—145, (1936).
3) Если вместо преобразования (17) воспользоваться преобразова
нием
С dg f dx
то вместо уравнения (16) получим аналогичное уравнение, в котором
вместо функции р (х) будет стоять Pi (g).
134
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Теорема Штурма о сравнении. Пусть даны два
дифференциальных уравнения
dx dx J
Яр(х)^1 + Р2Ш2 = 0,
dx dx J
(20)
причем Р2 (х) Р± (х); тогда между двумя последователь-
ными нулями решения первого уравнения обязательно ле-
жит по крайней мере один нуль любого решения второ-
го уравнения.
Мы докажем теорему от противного, а именно приведем
к абсурду предположение о том, что а и b—два последо-
вательных нуля некоторого решения у{ (%) первого уравне-
ния (20), причем (х) jPi (х) Для и существу-
ет решение у^(х) второго уравнения, не обращающееся в
нуль при а х Ь.
Поскольку введенные выше решения у{ и у~2 можно ум-
ножать на постоянный множитель без изменения их нулей,
которыми мы только и интересуемся здесь, то можно пред-
положить, что в [а, &] будет у^ (х) >0, (%) > 0. Отсюда
следует, что из двух значений производной i/i'(a) и у[(Ь)
(которые заведомо не равны нулю, так как а и b не явля-
ются кратными нулями для у\) первое должно быть поло-
жительным, а второе отрицательным, т. е.
Z/1 (а) > 0, У1 (Ь) < 0;
(21)
это выводится соответственно из отношений
У1 (*) — У1 (а) Ух (Л — j/i №)
х — а ’ х — b
так как для х внутри интервала (а, Ь)
У1(х)—у1(а) = у1(х)'^0, х — а>0,
У1(х)—у1(Ь)= t/i(x)>0, х — Ь^О-
20. Теоремы о сравнении и их следствия
135
Умножая уравнения (20) соответственно на z/2 и и вычи-
тая одно уравнение из другого, получаем тождество
[Р2 (х) — Р, (х)] уху2 = у2 Т- Гр (х) 1 —
W-ЛГ I CIX I
(22)
откуда, подставляя вместо и у2 соответственно уг и у2
и интегрируя от а до Ь, выводим
ij[P2(x) — Р1(х)]«/1(х)у2(х) б/х = Гр(х) У1^)1Ь >
а а
т. е.
ь
$ [Г2(х) — Р1(х)1 У1 (х) Уг(х) dx =
а
= p(b)y'2(b)y[(b)—p(a)y'2(a)y[(a). (23)
Однако это равенство абсурдно, так как левая часть, в си-
лу условий Р2 (х) Рг (х), (х) 0, z/Дх) > 0, неотрица-
тельна, тогда как правая часть, согласно (21), заведомо
отрицательна. Поэтому функция у~2(х) должна иметь по край-
ней мере один нуль внутри интервала (а, Ь) или в его
концег).
В качестве частного случая можно применить теорему
Штурма, сравнивая уравнение само с собой; это даст след-
ствие:
Между двумя последовательными нулями любого реше-
ния линейного дифференциального уравнения второго по-
рядка находится ровно один нуль любого другого решения,
линейно независимого с первым.
Действительно, если решение уг(х) уравнения имеет два
последовательных нуля в точках х = а и х= Ь, то любое
другое решение у2(х) уравнения либо обращается в нуль
О Следует отметить, что если функция у<^х) не обращается в
нуль внутри интервала (а, Ь), то она должна равняться нулю в
обоих концах интервала и, кроме того, должно быть Pi (%) = Р% (х),
так как в противном случае равенство (23) также невозможно,
136
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
при % = а и тогда оно может отличаться от уг (%) только
постоянным множителем, либо же оно обращается в нуль
внутри интервала (а, Ь) и тогда этот нуль может быть
только один, так как если бы их было два (или больше),
то между двумя такими последовательными нулями должен
был бы находиться по крайней мере один нуль решения
У1(х), а это противоречит предположению о том, что а и b
являются последовательными нулями этого решения.
Это следствие можно более сжато сформулировать так:
нули двух линейно независимых решений линейного диф-
ференциального уравнения второго порядка чередуются
(теорема о разделении).
Прежде чем указать дальнейшие применения теоремы
Штурма, мы докажем следующую теорему о сравнении,
которая позже будет также использована.
Теорема о численном сравнении. Если Р± (%) <С
<</%(%) и если FiW и у~2(х)— решения уравнений (20),
удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям
уЗч) = = У 0, У1(х0) = у'2(х0) = у'о, (24)
то в любой окрестности справа от х0, в которой у~2(х)
нигде не равно нулю (за исключением, быть может, точ-
ки х = х0),
1'/1Г)1>|у2Г)|-
(25)
Более того, отношение У1(х)/у2(х) является функцией х,
возрастающей от значения 1, которое оно принимает
при х = х0.
Действительно, интегрируя тождество (22) от х0 до
и замечая, что
ра)(У2^~У1~}1 = Р (ч) (УоУо — УоУо) = 0-
\ ах ах /jx==Xo
имеем
р(х) (У2^~У1^= —Л(х)]«/1(х)у2(х)^х. (26)
хо
20. Теоремы о сравнении и их следствия
137
Однако интеграл в правой части заведомо положителен
так как и непрерывная функция у[(х) у~2(х)
(которая не может обращаться в нуль и потому не может
менять знак между х0 и х) имеет тот же знак, что и в не-
посредственной окрестности х0, т. е. она положительна,
так как если z/o=^O, то = Уо>О, а если yQ=Q
(тогда у о не может равняться нулю), то
jim ~~ = у'*
Х->Хо (Х *o) X—>Xq X Xq X—>Xq X Л о
Так как р(х)>0, то отсюда следует, что справа от
точки xQ
(27)
ах ах
т. е.
откуда следует, что У1(х)/У^(х) является возрастающей
функцией х. Кроме того, это отношение для уофО равно
единице при х = х0, а для у0 = 0 стремится к единице при
х->х0, так как по правилу Лопиталя
11Ш -=7~ = lim = -7 = 1.
х->х0 Уг(х) Х->Х0 У 2 М Уо
Значит,
Уг (*) \ 1
1 При Х>Х0,
У2 U)
откуда немедленно следует (25).
В заключение следует отметить, что неравенство Р2 (х) >
> Рг (%) можно заменить более слабым неравенством Р2 (*)^
^Рг\х), если только Рг(х) и Р2(х) не равны тождествен-
но ни в какой окрестности х0 справа от х0 (в такой окре-
стности должно было бы быть уг (х) === у2 (х)), так как и в
этом случае интеграл в правой части (26) обязательно
положителен,
138
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
21. Интервал между последовательными нулями
решения
Из теоремы Штурма о сравнении можно получить дву-
стороннюю оценку расстояния между последовательными
нулями решения линейного уравнения второго порядка; эта
оценка значительно уточняет одностороннюю оценку, выте-
кающую из теоремы Валле Пуссена.
Здесь мы предположим, что уравнение приведено к фор-
ме (18)
^ + Q(x){/ = 0
dx2
и что в рассматриваемом интервале коэффициент Q всюду
положителен, т. е. существуют два положительных числа
т и /И, М ^т, для которых
т2 Q (%) /И2.
(28)
Если 6 — расстояние между двумя последовательными
нулями любого решения уравнения, то
Л _с л
— < .
М т
(29)
В силу (28), можно воспользоваться теоремой Штурма
и сравнить заданное уравнение с двумя уравнениями с по-
стоянными коэффициентами
5 + "^ = ° " Й + М1» = 0. (3°)
общие решения которых имеют соответственно вид
у = A sin т (% — у), у = Л* sin М(х — у*).
Поэтому сопряженными с точкой х0 относительно первого
уравнения (30) являются точки х0 + пл/т, где п целое, а
относительно второго уравнения (30) — точки х0 + пл/М.
В силу теоремы Штурма, между двумя последовательными
нулями х0 и хг любого решения у(х) заданного уравнения
должен находиться по крайней мере один нуль любого ре-
шения второго уравнения (30); значит, на интервале [%0, xj
21. Интервал между последовательными нулями решения 139
должна содержаться первая точка xQ + л/М, сопряженная
справа с точкой х0 г); аналогично между точками xQ и х0 + лт,
которые являются последовательными нулями решения пер-
вого уравнения (30), должен находиться по крайней мере
один нуль решения//(%), отличный от %0; поэтому хг попадает
на этот интервал. Отсюда вытекают неравенства
Х0 + ~
Xi
и, полагая хд— х0 = 6, мы получаем (29).
В теореме Валле Пуссена можно положить MY = 0,
/И2 = 7И* 2, что даст вместо (29) оценку снизу д У 6/М2).
Отметим, что мы попутно доказали следующее:
Если (28) удовлетворяется на интервале [а, р], длина
которого не меньше л/т, то все решения заданного урав-
нения должны быть на этом интервале колеблющимися,
т. е. должны иметь там по крайней мере два нуля.
Далее, если обозначить через ЛД число нулей решения
заданного уравнения, лежащих в открытом интервале дли-
ны h, в котором удовлетворяется условие (28) (или даже
только неравенство Q(x)^m2), то
hm \
если----—не целое ,
л )
hm
если —
л
(31)
где квадратные скобки означают целую часть заключенного
внутри них числа. В самом деле, Nh нулей и два конца ин-
тервала (независимо от того, являются ли они сами нулями)
определяют Nh + 1 интервалов, длина каждого из которых
не превосходит л/т, а сумма длин равна h. Следовательно,
(Nh + 1)я//п>Л, откуда вытекает (31).
О Так как х0 + л/М служит первым нулем справа от х0 того
решения второго уравнения (30), которое равно нулю при х = х0,
т. е. решения вида у = A*sin М(х—у*), где у* = х0.
2) Неравенства (29) нельзя улучшить, не накладывая других, по-
мимо (28), ограничительных условий на коэффициент Q(x), так как
выведенные оценки достигаются, когда Q(x) постоянно
140
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
В качестве примера применим (29) к уравнению Бесселя
1 (YdJ.
dx dx
(32)
где v — постоянная (которая здесь предполагается неотри-
цательной). Это уравнение, которое детально будет рассмот-
рено позже, является одним из наиболее важных в анализе.
Его можно преобразовать к приведенному виду с помощью
подстановки
X = Z
У
более простой, чем та, которая была указана в общем ме-
тоде приведения; приведенное уравнение имеет вид
/ 1---V2 \
й+П+-Ц— z=0- да
dx2 \ х2 J
Следовательно, в данном случае
QW = 1 4
и мы должны, очевидно, исключить значения х, близкие к
началу координат, где коэффициент Q(%) становится беско-
нечным. Поэтому удобно рассматривать значения %, не мень-
шие положительной величины т], которая при v2 1 /4 мо-
жет быть произвольной, но при v2> 1/4 мы примем
v2~l.
При этих условиях можно утверждать, что
1 < Q(X) < 1 + 1/4 (если v2 < Г
О < 1 —Q(%) 1 (если v2 > 4
п2 \ 4
Отсюда следует, в силу (29), что при
расстояние б
22. Важная замена переменной
141
между двумя последовательными нулями функции Бесселя1)
удовлетворяет неравенствам
(указанной оценке сверху удовлетворяет также расстояние
т| от первого нуля, лежащего правее ц). В частности, при
v* 2 = 1/4 мы получаем б = л; общее решение уравнения Бес-
селя [см. (32')] тогда приобретает вид
г sin л* . г cos л* 2\
^1 С 2 ~77=~
Ух Ух )
Получив ненулевую нижнюю границу для 6, мы можем
заключить, что во всех случаях при неограниченном возра-
стании х любое решение уравнения Бесселя в конце кон-
цов становится колеблющимся и обладающим бесконеч-
ным числом нулей, причем расстояние между соседними
нулями стремится к л.
Последнее вытекает из того, что левая часть первого
неравенства (33) и правая часть второго неравенства (33)
стремятся к л при ц —>оо.
22. Важная замена переменной
Сравнительно недавно Прюфер3) предложил важную за-
мену переменной, в некоторых случаях чрезвычайно полез-
ную. Она состоит в замене дифференциального уравнения
(16) эквивалентной нормальной системой
%=Нг- <34>
О Любое решение уравнения (32) называется функцией Бесселя.
2) Следует отметить, что частное решение, при котором стоит
множитель Ci, остается конечным и даже стремится к нулю при
х->0, тогда как второе решение стремится к бесконечности.
3) Р г u f е г Н., Neue Herleitung der Sturm — Liouvilleschen Rei-
henentwicklung stetiger Funktionen, Math. Ann., 95, 499—518 (1926).
142
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
и последующей замене у и z полярными координатами
z/ = psin0, z = pcos0. (35)
Отсюда
do dy . dz „ df) dy dz
By = У -г- + Z у- , р2— = гЛ — у —
r dx J dx dx r dx dx dx
Поэтому система (34) заменится системой
р = р2 Г _1_ — р (х)1 sin 0 cos 0,
r dx r LpW J
p2— = p2f —Г- cos2 0 + P(x) sin2 0~1
r dx r LpW J
t. e.
= —Г- cos2 0 + P(x) sin2 0,
dx p(x)
dlnp = 1 Г__1___P(x)l sin 29
dx 2Lp(x) ^Wjsinzo,
(36)
причем в этой форме мы опускаем тривиальное решение
</ = 0.
Важность полученной сейчас системы связана с тем, что
первое уравнение (36) содержит только одну неизвестную
функцию 0(х) и не содержит р(х), так что задача по суще-
ству свелась к интегрированию или исследованию уравне-
ния первого порядка1). Если из первого уравнения (36) най-
ти функцию 0(х), то функцию р(х) можно немедленно по-
О Не удивительно, что интегрирование линейного дифференциаль-
ного уравнения второго порядка можно свести к интегрированию урав-
нения (уже нелинейного) первого порядка. Хорошо известно (см., на-
пример, Бибербах [5], стр. 26 [а также Степанов В. В. [44], стр.
195.— Прим, перев]), что уравнения второго порядка легко преобра-
зовать в уравнения первого порядка типа Риккати, т. е. в уравнения,
в которых производная приравнена многочлену второй степени отно-
сительно неизвестной функции, а первое уравнение (36) можно запи-
сать в виде уравнения Риккати
dt 1
-г-=-—+ Р(х)/2,
dx PU)
если произвести замену переменной t = tg 0.
22. Важная замена переменной
143
лучить с помощью простой квадратуры, именно
In —
Ра
P(g)]sin29(g)d(g),
(37)
где ра — (произвольное) значение р в некоторой точке х = а.
Имеется также еще одно преимущество, состоящее в
том, что из двух произвольных постоянных, получающихся
при интегрировании, только одна (появляющаяся при интег-
рировании первого уравнения (36), которой может служить,
например, значение 9а функции 9Х при х = а) играет суще-
ственную роль. Вторая, получающаяся из (37), указывает
только на то, что если yQ(x) является одним из решений
задачи, то Q/0(x), где С — произвольная постоянная, также
является решением — если только дополнительные условия,
присоединенные к уравнению (16), являются однородными.
Так будет, например, для условий (6) § 16.
Отсюда ясно, что если система Штурма—Лиувилля,
т. е. уравнение вида (16) с краевыми условиями (6), интег-
рируется с помощью замены переменной Прюфера, то по-
стоянная ра, введенная выше, может принимать любое зна-
чение; но для значений 9а и 9&, принимаемых функцией 9 (%)
на концах интервала [а, 6], это не так. Эти значения 9а и
9ь должны быть такими, что
h' k'
h sin 0a + cos 9a = 0, k sin 96 + cos 9ft = 0. (38)
Введя такие углы аир, что
h = Hc.os,a, —^- = Я sin а,
р(а)
k = К. cos р, —^-=/(sinp,
P(b)
где Н и К—множители пропорциональности, равные
Н = ± У Л2 + [h'/p(a)]2, К = ± У К2 + [k'/p(b)]2, (39)
можно переписать краевые условия (38) в виде
sin (9a — a) = 0, sin (9* — Р) = 0,
144
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
т. е.
9а = а + 0ь = Р + П2Я>
где пг и п2 любые целые числа, а а и р определяются фор-
мулами
tga = —-J— tg₽ = --^— (41)
hp (a) kp (о)
и неравенствами
0^а<^л, 0<ХР<^л.
(42)
Так, например, в случае так называемой первой краевой
задачи (т. е. в случае, когда дополнительные условия име-
ют вид (3) § 16 при А = В = 0 и поэтому h' = kf = 0)
имеем
а = 0, р = л.
Таким образом, после введения замены переменных
Прюфера решение системы Штурма—Лиувилля приводится
к интегрированию первого уравнения (36), которое мы здесь
перепишем
= -Г cos2 0 + р (X) Sin2 9, (43)
совместно с двумя условиями (40); как было уже указано
в § 16, отсюда вытекает, что система такого рода, вообще
говоря, не имеет решений, за исключением тривиального
решения у = 0, которое соответствует значению = 0.
Другими словами, функция 0 (%), принимающая при х = а
значение 0а, удовлетворяет первому условию (40), но, вооб-
ще говоря, не принимает значения 0& в точке х = Ь.
Прежде чем перейти к подробному рассмотрению зада-
чи, полезно доказать следующую теорему:
Теорема о сравнении для функции 0 (%).
Пусть даны два уравнения вида (43), содержащие одну
и ту же функцию р(х), но различные функции Р (%):
зг = ^7)cos2 01 + Л Г) sin2 01;
2Г = ^7)cos2 02 + ргГ) sin2 02;
(44)
22. Важная замена переменной
145
если Pt (х) << Р2 (х) для всех х в некотором интервале
[а, Ь] и если 9Х (х) и 92 (*) соответственно решения ука-
занных уравнений, принимающее при х = а одно и то же
значение 9а, то 0! (х) << 92 (*) для и^х^Ь х).
Доказательство этой теоремы может быть основано на то-
пологических соображениях, подобных тем, которые неодно-
кратно применялись в главе II при исследовании характе-
ристик некоторых уравнений первого порядка и поведения
этих характеристик при пересечении некоторых кривых.
Мы докажем здесь, что линия 9 = 92 (х) в плоскости
(х, 9) может пересечь только один раз (и потому только
в точке х = а, в = 6а) линию 9 = 9г(х), для чего мы по-
кажем, что если (х0, 90) — любая точка пересечения интег-
ральных линий, то разность 92 — 9Х обязательно положи-
тельна справа от х0 и отрицательна слева от этой точки.
Это вполне очевидно, если 90 не равно целому кратно-
му л, так как тогда, вычитая почленно одно уравнение
(44) из другого, мы немедленно получаем
^(02-ОР"
dx
х~х0
[Р2 (*0) ^1 (*о)1 sin2 0.
Если же 90 = лп, где п — целое, то мы можем принять
для удобства, что п = 0, т. е. 90 = 0, так как уравнения
(44) не меняются при замене 9г и 92 соответственно на 9j—пл
и 92 — пл. Сопоставим теперь с функциями 9х(х) и 92(х),
определенными уравнениями (44) и начальными условиями
^1 (хо) = 02 (*о) = 0, соответствующие функции рх (х) и р2 (х),
определенные формулой (37), где мы положим а = х0, а в
качестве ра подставим в обоих случаях одно и то же зна-
чение р0. Тогда функции
Ух(х) = PiW sin 9х(х), у2(х) = р2(х) sin 92(х)
аналогичны функциям ух(х) и у2(х), для которых была до-
казана теорема о численном сравнении на стр. 136, так
как ух (х) и у2 (х) удовлетворяют уравнениям (20) с коэф-
0 При этом предполагается, что оба решения существуют на
всем интервале [а, Ь], что заведомо будет, если, например, коэффи-
циенты уравнений (44) непрерывны на этом интервале и р(х) > 0.
146
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
фициентами 7\(х) и Р2(х), для которых /^(х) <ХР2(х); КР°"
ме того, в точке х0,
У1 Го) = Уг Го) = 0. У'ЛХо) = у'^Хо) = .
так как первое равенство (34) и второе равенство (35) дают
Ух(х) = cos 0j(x),
У'Лх) = -^xjZAx) = cos 02(х).
Поэтому к функциям ух (х) и у % (х) можно применить нера-
венство (27), стр. 137 и заключить, что справа от точки
х0 (в достаточной близости от х0)
У 2 Г) У1 (х) — z/j (х) у'г (х) > 0.
После умножения на положительную величину р (х) отсюда
следует, что
z/2 (х) Zi (х) — ух (X) z2 (х) > О,
т. е.
Pi 00 р2 00 [sin 02 (х) cos 0! (х) — sin 0j (х) cos 02 (х)] =
= Pi W р2 00 sin [02 (x) — 0j (x)] > 0.
Напротив, слева от точки х0
Pi W р2 W sin [02 (x) — 0j (x)] < 0.
Однако 0x(x) и 02(x) равны нулю при x = x0; поэтому пре-
дыдущие неравенства дают
02 00 — 9100 > 0 для х > х0, 02 (х) — 0! (х) 0 для х << х0.
Таким образом, и в более трудном случае, когда 0О равно
целому кратному л, линии 0 = 0х(х) и 0 = 02(х) могут пе-
ресекаться только так, как это было описано выше, т. е.
теорема полностью доказана.
23. Теорема о колебании
147
23. Теорема о колебании
Теорема, доказанная в предыдущем параграфе, особенно
полезна, если коэффициент Р (%) в дифференциальном урав-
нении содержит параметр X, т. е. если уравнение прини-
мает вид
(45)
Уравнения такого вида встречаются во многих задачах ма-
тематической физики, и мы позже рассмотрим пример, в
котором зависимость Р от X имеет специальный, линейный
вид
Р (%, X) = q (%) + Кг (%).
(46)
Если Р с изменением К меняется в определенном направ-
лении, как это будет, например, в случае (46) при г (%)
постоянного знака, то предыдущая теорема дает возмож-
ность определить, как ведет себя функция 9 (%) [которую
теперь более правильно обозначать через 9 (%, X)] при фик-
сированном х и изменении К. Эти результаты имеют важ-
ные следствия.
Мы начнем с двух теорем, в которых рассматривается
поведение 9(%, X) в случаях, когда Р(x, X) стремится к
± ос при X, стремящемся к некоторому (конечному или
бесконечному) значению X*.
Теорема I. Если в некотором интервале а^х^Ь
limP(%, X) = — оо
К—
(47)
(равномерно по %), то для удовлетворяющего начальному
условию 9 (а, %) = а решения 9 (%, X) уравнения (43), где
О^а << л, будет
lim 9(6, Х)= 0.
(48)
Мы начнем с замечания, что если 8 — произвольно ма-
лое положительное число (во всяком случае, меньшее л/2
и л — а), то внутри полосы
8 9 Л — 8
148
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
плоскости (%, 0) будет sin2 0 sin2 8. Предполагая теперь,
что X содержится в настолько малой окрестности (А/, X")
точки X*, что, в силу (47),
Р (*, М < — Я2,
(значение постоянной Я2 будет вскоре указано), мы выво-
дим из (43), что если Я2 означает наибольшее (наверняка
конечное) значение функции 1/р(х) в интервале [а, Ь], то
< Я2 — Я2 sin2 9 < К2 — Я2 sin28.
dx
Но отсюда следует (см. стр. 84), что интегральные линии
уравнения (43) могут пересекать интегральные линии урав-
нения
= Я2 —Я2 sin2 8
(49)
[которыми служат прямые с угловым коэффициентом
Я2 —Я2 sin2 8 в плоскости (х, 9)] только так, что разность
между ординатами первых и вторых линий переходит от
положительных значений к отрицательным при возраста-
нии х. Следовательно, интегральная линия уравнения (43),
«начинающаяся» снизу от одной из указанных прямых, не
может никогда при возрастании х пересечь ее, оставаясь
внутри полосы
8<9Сл — 8.
Зафиксируем теперь значение Я2 так, чтобы указанный
угловой коэффициент Я2 — Я2 sin2 8 совпадал с угловым
коэффициентом прямой, соединяющей на рис. 18 точки
А (а, л—8) и В (Я 8), т. е. так, чтобы
е~(я~е) = № — № sin2 8,
Ь — а
откуда
А/2 = Г К2 I я
sin2 8 х r b — а
Следовательно, изучаемая интегральная линия, которая при
при х = а заведомо «начинается» ниже точки А (так как
23. Теорема о колебании
149
8<л— а и потому — 8), не может пересечь отрезок
АВ прямой, когда х возрастает от а до Ь. Но, с другой
стороны, такая интегральная линия не может никогда по-
пасть в полуплоскость 9 < 0, так как, в силу (43), в точ-
ках отрезка [а, Ь] оси х
dQ _ 1
dx ~ р(х) '
Следовательно, рассматриваемая интегральная линия должна
оставаться в заштрихованной на рис. 18 области и потому
при х = b ордината этой линии не может быть ни отрица-
тельной, ни большей, чем ордината точки В, т. е.
О <9(6, Х)<8,
откуда в силу произвольности 8 вытекает предельное соот-
ношение (48).
Теорема II. Если в некотором интервале а<х<6
lim Р(х, X) = <оо
(47')
(равномерно по х), то для удовлетворяющего начальному
150
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
условию 6 (а, X) = а решения уравнения (43), где 0 а <4 л
будет (равномерно по а)
lim 9 (b, X) = -|-оо.
К—уК*
(48')
Доказательство этой теоремы подобно доказательству
предыдущей теоремы в том отношении, что будет построе-
на линия у, ордината которой в точке х = b может быть
как угодно велика, причем рассматриваемая интегральная
линия не может никогда попасть ниже у.
Эта линия у является интегральной линией дифферен-
циального уравнения (интегрируемого элементарными мето-
дами), которое минорируетг) уравнение (43). Мы построим
его следующим образом:
Пусть положительная постоянная о2 такова, что при
а х С Ь
а т2—другая положительная постоянная, которая будет
определена позже; тогда если X содержится в достаточно
узкой окрестности (V, %") точки V, то, в силу (47'),
Р(х, Х)>т2.
Так как cos 9 и sin 9 не могут обратиться в нуль одновре-
менно, из (43) следует
> ст2 cos2 9 + т2 sin 9. (50)
Основываясь на неравенстве (50), мы составляем мигри-
рующее уравнение
= о2 cos2 О’ + т2 sin2 О’, (51)
которое можно непосредственно проинтегрировать, если по-
ложить
tg О = |-z(x).
О Подобная идея была проведена при построении уравнения
(49), мажорирующего уравнение (43).
23. Теорема о колебании
151
Это приводит к уравнению относительно г
~ = ат (1 + z2),
откуда
z = tg сгт (х —С),
где С — произвольная постоянная. Поэтому общее решение
уравнения (51)
О’ = arc tg Гytg <тт (х — С)
‘(52)
Теперь возьмем в качестве у дугу на интервале [а, Ь]
интегральной линии уравнения (51), выходящей из точки
х = а, 0 = 0; эта линия при а^х^Ь определена форму-
лой (52), где С равно а, а значения арктангенса берутся
сначала в первом квадранте (при х + л/2сгг), а
затем во втором, в третьем, четвертом, ... квадрантах, что
следует из соображений непрерывности, когда х переходит
через значения а + л/2вт, а + 2л/2сгг, а + Зл/2от, ...
Эта линия непрерывно идет кверху (так как из (51) видно,
что d^/dx все время положительна) и ее ордината прини-
мает значения л, 2л, Зл, ..., когда х принимает значения
а + л/егт, а -ф 2л/сгт, ... Чтобы при х = b получить ор-
динату пл (где п произвольное целое положительное число),
надо т, до сих пор не определенное, выбрать так, чтобы
а + ил/егг = 6, т. е. положить
пл
Т = 771------7— •
(Ь — а) <5
Рис. 19 иллюстрирует случай п = 4.
Однако интегральная линия, о которой идет речь в фор-
мулировке теоремы, «начинающаяся» (при х = а) не ниже
линии у (так как а^О), не может при b пройти
ниже нее, так как в точке пересечения этих линий, в силу
(50) и (51),
d(O-fl)
dx
>0,
152
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
и потому разность 9 (%, X) — -0 должна при возрастании
х сменить знак с — на +. Поэтому при Сбудет
9 (%, откуда
9 (6, X) > пл.
В силу произвольности п, отсюда вытекает предельное
соотношение (48').
Рис. 19.
Из теоремы II можно немедленно вывести следующую
теорему:
Теорема о колебании. Если коэффициент Р(х, X)
в дифференциальном уравнении (45) равномерно стремит-
ся к +оо, когда Л стремится к некоторому конечному
или бесконечному значению V, а х берется из некоторо-
го интервала [а, Ь], то для любого целого положительно-
го п можно найти такую окрестность точки X*, что
24. Собственные значения и собственные функции
153
если X содержится в этой окрестности, то каждое ре-
шение уравнения (45) обращается в нуль на интервале
[а, 6] по крайней мере п раз.
Действительно, при сформулированных условиях функ-
ция 6 (%, X), отвечающая любому решению уравнения (45),
т. е. решение уравнения (43), принимающее при х = а лю-
бое значение а из интервала 0<^а<\л, достигает при
х = Ь как угодно большого значения (если X достаточно
близко к X*) и, следовательно, значения, большего чем пл.
Однако отсюда следует, что 9 (х, X) как непрерывная функ-
ция х принимает по крайней мере один раз каждое из зна-
чений
л, 2л, Зл, ... пл,
когда х возрастает от а до 6; так как у = р sin 9 и потому
каждый раз, когда 9 равно целому кратному л, функция
у обращается в нуль, каждое решение уравнения (45)
обращается в нуль на интервале [а, Ь] по крайней мере
п раз.
24. Собственные значения и собственные функции
Если бы мы хотели доказать только теорему о колеба-
нии, то довольно длинные рассуждения последних параг-
рафов не были бы необходимыми, так как тот же резуль-
тат можно получить более простыми методами, например
при помощи сравнения уравнения (45) с подходящим урав-
нением с постоянными коэффициентами на основе теоремы
Штурма о сравнении. Примененный здесь метод выбран
потому, что теперь, располагая тремя теоремами § 22 и
§ 23, мы можем изящно закончить исследование, начатое
на стр. 144, доказав следующую фундаментальную теорему:
Теорема существования для собственных
значений. Пусть дано дифференциальное уравнение
;-.Р(х.Ч9 = 0
(45)
с краевыми условиями
hy (а) + h'y'(a) = 0, ky (6) + k'y\b) = 0.
(46)
154
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Пусть Р (%, X) является непрерывной функцией х, К и
возрастающей функцией X в некотором интервале (Л, Л*),
причем равномерно по х
lim Р(х, X) = —оо, lim Р(х, X) = + ©о. (53)
А->Л*
Тогда существует бесконечная (возрастающая) последова-
тельность значений К
Хо, Х2, ...,
содержащихся в интервале (Л, Л*) и называемых соб-
ственными значениями уравнения (при заданных
краевых условиях), таких, что уравнение обладает реше-
ниями, не равными тождественно нулю и удовлетворяю-
щими заданным краевым условиям, тогда и только тогда,
когда X = (п = 0,1,2, 3,...). Такое решение, определенное
с точностью до произвольного постоянного множителя,
обращается в нуль внутри интервала а^х^Ь ровно п
раз и называется собственной функцией и ли, более
точно, (п + 1)-й собственной функцией.
Мы видели в § 22, что решению уравнения (45) соот-
ветствует решение 0 (х, X) уравнения (43) при начальном
условии 0 (а, X) = а, автоматически удовлетворяющее пер-
вому краевому условию (6), тогда как второе из этих ус-
ловий удовлетворяется в том и только в том случае, если
удовлетворяется второе условие (40) т. е. если
0(6, %)= р + шг, (54)
где п целое и 0 < 0 л.
Однако из трех теорем § 22 и § 23 и из предположе-
ний доказываемой теоремы следует, что 0 (b, X) является
непрерывной возрастающей функцией X, которая изменяется
от 0 до + оо, когда X пробегает интервал (Л, Л*); следо-
вательно, для любого целого (п 0) уравнение (54) об-
ладает одним и только одним решением, содержащимся
в интервале (Л, Л*), и, так как соответствующая функция
у (%) = р (%) sin 0 (х) обращается в нуль внутри интервала
(а, Ь) равно п раз [поскольку в интервале (а, р + пл) со-
24. Собственные значения и собственные функции
155
держится ровно п целых кратных л х)], то теорема полностью
доказана.
Почти тривиально отметить, что если Р является убываю-
щей функцией X и пределы (53) переставлены, то достаточ-
но X заменить — %, чтобы удовлетворить условиям теоремы;
поэтому единственным отличием в данном случае будет то,
что последовательность Хо, Хх, %2, ... собственных значений
будет убывающей, а не возрастающей.
Легко видеть, что условия последней теоремы выполне-
ны, если коэффициент Р (х, X) имеет вид (46) с непрерыв-
ными функциями q (%) и г (%), причем г (%) всюду положи-
тельна и А = — оо, А* = + оо. Если, наоборот, г (%) << О,
то X надо заменить —X, как указано выше.
Собственные значения и собственные функции облада-
ют многими важными свойствами, которые будут рассмот-
рены позже. Здесь мы отметим только следующее:
(I) Последовательность Хо, Хх, Х2, ... собственных зна-
чений имеет единственную точку накопления А*.
Если Ах такая точка накопления, то в любой ее окрест-
ности имеются по крайней мере два различных собственных
значения и т. е. два значения X, для которых
6 (Ь, ^/) = Р + я'л, 0 (6, = Р + п"л,
откуда
| 9 (Ь, КП') — 0 (Ь, V) | = | п' — п” | л > л,
и потому функция 0 (Ь, X) при X = Ах не является непре-
рывной. Но так как эта функция непрерывна внутри ин-
тервала (А, А*), то либоА1=А, либо Ах = А*, а по-
скольку последовательность возрастающая, то А исклю-
чено и, значит, Ах = А*.
В частности, в случае когда коэффициент Р (х, 2i) имеет
вид (46), причем г (х) > 0, единственной точкой накопле-
ния собственных значений является точка +оо, и, следо-
0 Заметим, что, когда х возрастает от а до 6, функция 0 (x, X)
может принимать любое значение, целое кратное л, не более одного
раза, так как для таких значений х, в силу (43),
d0 1
dx р(х)
156
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
вательно, отрицательных собственных значений может
быть лишь конечное число.
(II) Все собственные значения простые, т. е. каждому
из них отвечает с точностью до произвольного постоянного
множителя ровно одна собственная функция. Действительно,
если решение 0 = 0(х, Хл) уравнения (43), удовлетворяющее
условиям 0 (а, Хл) = а, 0 (6, Хл) = 0 4- пл, уже определено,
то произвольным остается только постоянный множитель
ра формулы (37)1).
25. Физическое истолкование
Краевая задача для дифференциального уравнения
g + QW9 = 0.
которое, как мы уже видели (§ 18), является- не менее об-
щим, чем уравнение (16), допускает важное физическое
истолкование на примере задачи о колеблющейся струне.
Эта задача состоит в изучении колебаний натянутой струны,
поперечное сечение и плотность которой могут меняться
от точки к точке, т. е. струны, не обязательно однородной.
Если обозначить через z (х, t) ординату z в момент t
центра поперечного сечения струны, соответствующего
абсциссе х, то в предположении, что этот центр в со-
стоянии покоя лежит на оси х, функция z(x,t), как из-
вестно2), должна удовлетворять уравнению с частными про-
изводными второго порядка
d2z 2/ ч д2? А /с-ч
— а2(х) = 0; (55)
дх2 v ' dt2 v 1
здесь коэффициент а2 (%) можно выразить через площадь
о (х) поперечного сечения струны, соответствующего
О Этот результат не тривиален, так как при краевых условиях,
отличных от примененных здесь, например при указанных на стр.
119 условиях периодичности, теорема может оказаться несправедли-
вой; некоторым собственным значениям \п может отвечать собствен-
ная функция, зависящая от двух произвольных постоянных.
2) См., например, Трикоми Ф. [76], ч. II, гл. VIII. [См. также
Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, III, Физматгиз, М.— Л., 1960, стр. 550.— Прим, перев.]
25. Физическое истолкование
157
абсциссе х, локальную плотность 6 (%) струны и натяжение
т с помощью простой формулы
а2(х) = ДДбОО. (56)
Уравнение (55) можно исследовать с помощью разделе-
ния переменных, т. е. с помощью отыскания решений вида
z(x,t) = y(x)T(t). (57)
Подстановка (57) в (55) приводит к уравнению
1 у"(х) _ T"(t)
а2 (х) УМ ~ T(t) ’
которое может удовлетвориться, только если обе части при-
нимают общее постоянное значение, которое мы обозначим
через —X. Другими словами, уравнение (55) можно расчле-
нить на два обыкновенных дифференциальных уравнения
Г (0 + Щ/) = 0, (58')
у"(х) + W(x)y(x) = 0, (58")
где X — постоянная, которая пока еще не определена.
Так как краевые условия обычно основаны на предпо-
ложении, что струна закреплена на концах1), то, если I оз-
начает длину струны, а ее левый конец расположен в на-
чале координат, краевые условия имеют вид
z (0, t) = z (/, /) = 0.
Поэтому дополнительные условия, ассоциированные с урав-
нением (58"), таковы:
z/(O)=y(/) = O. (59)
Интегрирование уравнения (58') с постоянными коэффи-
циентами не представляет затруднений; поэтому задача о коле-
блющейся струне (если смещение z (х, /) имеет вид (57)) в дей-
0 Из других условий для струны вытекает, что следующие ниже
дополнительные условия (59) надо заменить более общими условия-
ми вида (6).
158
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
ствительности сводится к исследованию системы Штурма—
Лиувилля (58") — (59), где, согласно обозначениям преды-
дущего параграфа,
р (х) = 1, q (х) = 0, г (х) = а2 (х), а = 0, b = I.
Легко видеть, что если q (х) = 0 и г (х) > 0, то при
условиях (59) не может быть отрицательных или рав-
ных нулю собственных значений, так как если Л^О, то
Р (х) = q (х) + X г (х) < 0, откуда следует (см. стр. 129), что
ни одно решение уравнения не может обращаться в нуль
более одного раза. Следовательно, существует возрастающая
последовательность положительных собственных значений
A/q = со0, A/j = CD1, А>2 = 0)2, ...
с единственной предельной точкой + оо. Каждому из них
отвечает колебание струны с циклической частотой
vn(n = 0, 1,2,3, ...), определенное уравнением (58'), так
как мы уже видели (стр. 138), что общее решение этого
уравнения при Л = о)« имеет вид
T(t) = A sin о)л(/ — у),
где А и у—произвольные постоянные. Таким образом,
= („ =0,1,2,...). (60)
Следовательно, собственные значения определяют часто-
ты гармонических форм (мод) колебания струны.
В частности, если струна однородная, т. е. если о(х) б(х) =
= const и потому <%(х) = а = const, то (58") становится
уравнением с постоянными коэффициентами и имеет общее
решение следующего вида:
у(х) = Л* sin а(х — у*).
Условия (59) дают
Т’ = 0, ]/Та/ = («+ 1)л,
где п — целое неотрицательное; следовательно,
_ Г(я +1) л у «4-1 Г х , _ п , 0 ,
а/ J, vn—~2/ И ЗУ (п— 0,1,2, ...).
25. Физическое истолкование
159
Следовательно, в данной задаче имеется основная частота
V° — 2/ V <зд ’
тогда как остальные частоты кратны ей, т. е. Vi = 2v0,
v2 = 3v0, ... Поэтому имеется основной тон с частотой v0
и гармоники с частотами 2v0, 3v0, ..в результате их раз-
личных комбинаций возникают различные звуки, которые
может издавать колеблющаяся струна.
Аналогичный результат получается в случае неоднород-
ной струны, с той разницей, что, вообще говоря, частоты
гармоник здесь уже не будут целыми кратными основной
частоты v0 г).
Интересным следствием из предыдущего рассмотрения
является иллюстрация того довольно неожиданного факта,
что в задаче о решении системы Штурма—Лиувилля, все
члены которой являются непрерывными, может получиться
последовательность дискретных собственных значений Хо,
• • •
Рассмотрим для простоты однородную струну и изо-
бразим график смещения
zn = Csin(n + 1)^у- • sin 2 (n 4-1) nv0/,
где C — произвольная постоянная; как было показано выше,
смещение zn получается при гармоническом колебании стру-
ны с частотой = (и 4-1) v0. Полагая п = 0, п = 1,
п = 2, ..., мы получаем фигуры, изображенные на рис. 20.
В каждом из случаев а, &, с, различные синусоидальные
линии отвечают некоторому фиксированному значению С
и равноудаленным значениям t (в случае а при vQt =
= ± Vie, ± Vs, ±3/i6, ± V4).
Если колебания происходят очень быстро, то эти фигу-
ры можно рассматривать как видимые образы струны; от-
0 По поводу приближенного определения собственных значений
в случаях, отличных от тех немногих специальных случаев, когда
возможно точное определение этих значений (как для однородной
струны (см. Коллатц Л. [24] и [25]; HohenemserK- Die Methoden
zur angenahrten Losung von Figenwertproblemen, Ergebnisse der
Math. 1. № 4. Berlin Springer. 1932; Krall G. Finaudi R., Mec-
canica tecnica delle vibrazioni (т. II Bologna. Zanichelli, 1940) и др.
160
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
сюда видно, что струна либо колеблется «как целое»
(рис. 20, а, где п = 0), либо разделяется на два «веретена»,
между которыми находится неподвижная точка, называемая
узлом (рис. 20,6, где /2 = 1), либо на три «веретена»
(рис. 20, с) и т. д. Поскольку эти случаи существенно раз-
личаются и никакой из них нельзя непрерывно преобразовать
ни в один из других, то не удивительно, что этим случаям
соответствует последовательность дискретных величин —
частот v0, vx, v2, ... или собственных значений Хо, %х, Х2, ...
26. Некоторые свойства собственных значений
и собственных функций
В этом параграфе мы предположим, что коэффициент
Р (х, X) в (45) зависит от X линейно (как это и бывает в
наиболее важных конкретных задачах), т. е. имеет вид
Р(х, X) = q (х) 4- Кг (х), (46)
и, кроме того, что функция г (х) всюду положительна.
(Если г (%) << 0, то вместо К надо взять — X.)
26. Свойства собственных значений и собственных функций 161
При этих предположениях мы докажем, что любые две
собственные функции у^(х) и yv(x), соответствующие
различным собственным значениям и Xv, удовлетво-
ряют фундаментальному соотношению ортогональ-
ности, а именно
ь
г(х) Уц(х) У^х) dx = 0. (61)
а
Подставляя в дифференциальное уравнение сначала и
а затем и yv вместо К и у, получаем тождества
(ЛЛ \ (Л Л j
d^p ir) + (q + Мyv = о.
Умножив их на yv и у^ соответственно и произведя почлен-
ное вычитание, выводим
Г / dyд dyv \"1 ।
У Vidic' /J + гУрУч = 0
откуда после интегрирования от а до b следует
ь
(Хр. — Xv) г (х) г/ц(х) уЦх) dx = [р{х)(у^у'„ — у^)\ьа. (62)
а
Кроме того, поскольку системы линейных однородных
уравнений
hy^a) + h'y'^a) = 0, | ky^b) + k'y'^b) = 0, |
hyv(a) + h'y'v(a) = 0, J kyv(b) + k'y'v(b) = 0 )
удовлетворяются соответственно значениями h, h' и k, k', не
равными нулю одновременно, то определители этих систем
равны нулю. Но эти определители равны значениям функции
Ун(*) у;(х) — yv(x)yjl(x)
при х=а и х = 6; следовательно, правая часть (62) долж-
на равняться нулю, и так как — Av=^0, то из (62) не-
медленно получаем (61).
162
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Соотношение (61) показывает, что задачи, рассматривае-
мые в этой главе, тесно связаны с одной из фундаменталь-
ных теорий анализа, именно с теорией ортогональных систем
функций. Система функций, удовлетворяющая соотношению
(61) (например, система, составленная из указанных выше
собственных функций у0(х), УЛХ)>У2(Х)> • • •)> называется ор-
тогональной на интервале [а, Ь\ или, более точно, орто-
гональной с весом (весовой функцией) г(х) на интервале
[а, Ь]. Например, функции
sin х, sin 2х, sin Зх, ...
ортогональны (с весом 1) на интервале [0, л], так как при
л
sin pix sin vx dx = 0 *).
о
Не развивая эту тему дальше* 2), заметим только, что соб-
ственные функции можно нормировать, т. е. при помощи
умножения на подходящий нормирующий множитель до-
биться того, чтобы интеграл (61) при ц = v равнялся еди-
нице, если он отличен от нуля. Для этого надо взять нор-
мирующий множитель
Л^ =
г(х)Уц (х) dx
(Заметим, что интеграл, стоящий под знаком корня, очевид-
но, положителен.)
Нормированная собственная функция определена един-
ственным образом с точностью до знака.
Выведем теперь с помощью теоремы § 22 о сравнении
функций 6 (%) некоторые важные результаты об изменении
О Это соотношение можно получить немедленно как частный
случай соотношения (61), так как функции sin х, sin 2х, ... являются
(как мы видели в предыдущем параграфе) собственными функция-
ми системы Штурма — Лиувилля
у" + Ху = 0, г/(0) = у (л) = 0.
2) В книге Э. Т и тч м а р ш а [45] эта тема тщательно рассмотрена.
В книге Ф. Трикоми [78] разобраны случаи тригонометрических
функций и ортогональных полиномов.
26. Свойства собственных значений и собственных функций 163
собственных функций при изменении функций q (х) и г (%)
[участвующих в (46)], если функция р(х) остается неизмен-
ной. Сначала будет доказана
Теорема I. Если функцию q (х) увеличить, оставив
функции р(х) и г(х) без изменения, то собственные зна-
чения уменьшатся.
Если (в обозначениях § 24) д*(х) означает увеличенную
функцию д(х), а (п = 0, 1, 2, ...) и 0*(х, X) соответст-
венно — собственные значения и функцию 9 (%, X) для нее,
то, в силу (54),
0(6, 1п) = 9*(&, ^) = р+ил.
С другой стороны, так как из соотношения q* (х) > q (х)
следует, что для одного и того же значения %
Р*(х, X) = д*(х) + V (х) > q (х) + V (х) = Р(х, X),
то теорема о сравнении из § 22 дает, что для одинаковых
справа и слева значений х^>а и %
9*(х, Х)> 9(х, X).
В частности, при х = b, % =
9*(&, М> Ж М-
Отсюда
М>о*(б,Гп),
и так как 6*(6, Е) является возрастающей функцией Л, то
что мы и хотели доказать.
Заметим, что при доказательстве было использовано
только неравенство
Р\х, Ю>Р(х, М-
Поэтому доказанный результат остается справедливым и в
том случае, если q (х) не меняется, а г(х) увеличивается,
причем положительно, или если г (х) уменьшается (но тем
164
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
не менее остается всюду положительной), причем Кп отри-
цательно. Таким образом, доказана
Теорема II. Если функция г (%) увеличивается, а
функции р(х) и q (%) остаются без изменения, то поло-
жительные собственные значения уменьшаются, а отри-
цательные увеличиваются.
Из предыдущих теорем можно вывести важные оценки
для собственных значений уравнения (16) при помощи срав-
нения этого уравнения с подходящими уравнениями с по-
стоянными коэффициентами. Однако, прежде чем это сде-
лать, мы рассмотрим явное выражение для собственных
значений элементарного уравнения гармонического осцилля-
тора
у" + Лу = 0 (63)
при краевых условиях общего вида (6), а не специального
вида у (а) = у (&) = 0, примененного в предыдущем параграфе.
Общее решение уравнения (63) при Л>0 имеет вид
у = A sin /Л (х — у),
что дает
у' = У Л A cos /Л (х — у).
Применяя соотношения (41), которые можно переписать
в виде
a = arctgf—4-^ , р = arc tg f----,
[О, я) \ п J (О, Я] \ R J
запишем условия (6):
sin /Л (а — у) cos а — УЛ cos УЛ (а — у) sin а = О,
sin УЛ (Ь — у) cos р — УЛ cos Ул (& — у) sin р = О,
т. е.
tg/A(a —у) = /Atget, tg/A(d —у) = /Л tg р.
Чтобы решить эту трансцендентную систему уравнений,
удобно ввести углы а' и р' (зависящие от а и р соответ-
26. Свойства собственных значений и собственных функций 165
ственно, а также от Л), такие, что
tga' = j/Atga (О «С a'<< я), |
tg3' = VAtg3 (0<₽'<л).|
Тогда предыдущие уравнения приобретают вид
tgl/Л (а —у) = tga', tgl/Л (b — у) = tgP',
откуда немедленно следует
1/Л(а— у) = а', 1/Л(&—т) = 3' (mod л)1).
В частности, для (п + 1)-го собственного значения Лп можно
написать
VX~n(a — у) = а', 1/ЛД& — г) = ₽' + пл,
так как этим обеспечивается, что ]/Л^(х — у) принимает
ровно п раз значения, целые кратные л, когда х возрастает
от а до b (концы исключаются). Теперь, вычитая одно из
двух последних равенств из другого, получаем
ул;= <6S>
откуда, так как — л < р' — а' л, следует
(66)
Предположим теперь для простоты, что заданное урав-
нение имеет вид
g+[t?(x) + V(x)]y = 0, (67)
О Обозначение X = B(mod D), которое читается: «А сравнимо с
В по модулю D», означает, что разность А—В равна целому крат-
ному D.
2) Для Ах и Ао, справедлива, вообще говоря, лишь оценка (66)
сверху, так как они могут быть отрицательными. Обозначим теперь
через %(а) наименьшее значение %>а, для которого tg% = tga +
+ b—а. Тогда при (3>%(а) будет Л0>0; при %(а) — л<Р<%(а) будет
Ло<О<А!; при |3<х(а)—я будет Aj<0. Значение |А0| во втором
случае и |AJ в третьем могут получиться как угодно большими.—
Прим, перев.
166
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
т. е. что редукция (если она была необходима) к случаю
р(х)= 1 уже выполнена. Обозначим через qlt q2 и rlt r2
соответственно наименьшие и наибольшие значения функ-
ций q(x) и г(х) в основном интервале [а, 6], так что
<71 < <7 W < <7а. О < г (х) < г2.
(68)
Из двух последних теорем следует, что положительные
собственные значения уменьшаются, если функции д(х) и
г (%) заменить соответственно постоянными q2 и г2, и Уве‘
личиваются, если заменить q(x) и г (х) соответственно на qx и
гх; отрицательные собственные значения уменьшаются,
если q (х) и г (х) заменить на q2 и t\ соответственно, и
увеличиваются, если q (х) и г (х) заменить на qr и г2 соот-
ветственно.
Рассмотрим теперь положительные собственные значе-
ния Кп уравнения (67) и, кроме того, рассмотрим уравнения
с постоянными коэффициентами
2 + (<71+^Л)у = 0, g + (g2+rr2)z/=O (69)
с теми же граничными условиями, что (67); если (и ф- 1)-е
собственные значения этих уравнений равны соответственно
^*л И ТО
V)-
Однако, в силу (65),
, V 3'1 — а1 + пя и—. V' — — а2 +
Г?1 + — т - . V<7a + — л — а ’
U -- U и и,
О Строго говоря, из предыдущих теорем следует, что Кп<
если неравенства (68) являются строгими (со знаками < вместо ^).
Чтобы обосновать указанное здесь соотношение, рассмотрим две
произвольные возрастающие последовательности чисел q^\ q^\ q^\ ..
и r(f, r^\ r^\ . . . (причем все элементы второй последовательности
положительны), имеющие пределы qr и н соответственно. Тогда
q^ < q (х), < г(х) и потому Кп < ^(/г) для всех k, где рав-
но (п + 1)-му собственному значению уравнения вида (69) с коэффи-
циентом Р = q^ Ц-h'r^. Так как К'п равно пределу при
то Аналогично рассуждаем для 1" .
26. Свойства собственных значений и собственных функций 167
где oci, pi и а2, р'2 означают соответственно введенные ра-
нее углы а', р', взятые для уравнений (69). Следовательно,
1 Ж —а'2+м\2
r2 \ b — а /
1 Ж —а'14-лл\2
I /
г2 Г1 \ Ь — а /
£1
Г1 ’
(70)
откуда, в силу
— л pi — а'х С л, — л Рз — а'3 С' л, (71)
выводим окончательно
1 /(п — 1) JT \2
г2 у Ь — а у
<?г / 1 1 /(» + 1)«\2 <71
--- <С Ли Ж. ---- ---------------------,
<•2 гг ( b — а ) гг’
(72)
причем знак равенства может получиться только в случае
a = ai = a2 = 0, р = pi = р'2 = я, т. е. в случае так назы-
ваемой первой краевой задачи, в которой дополнительные
условия имеют вид у (а) = у (6) = 0 х).
Мы говорили о положительных собственных значениях.
Легко видеть, что при рассмотрении отрицательных соб-
ственных значений требуется только переставить /д и г2.
Двойное неравенство (72) имеет существенное значение.
Например, оно показывает, что при возрастании п величи-
на Кп возрастает как п2, т. е.
hn = O(n2l V = О (/Г2), (73)
так как после деления (72) на п2 получаем
<72 s’
П2Г% П2
<71
п2г1 ’
а при п — > оо левая и правая части этой цепи неравенств
стремятся к конечным положительным величинам, а именно
1 / JT \2 1 / JT \2
— ------- и — ---------- соответственно.
Г2 \Ь — а ) — а )
Отсюда вытекает (73).
О Можно доказать, что знак равенства здесь достигается только
в том случае, когда функции q(x) и г (х) постоянны. — Прим, персе.
168
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Далее, если 1\ = г2, т. е. если функция г(х) сводится
к постоянной г19 можно немедленно заключить, что
или, более точно, что
П2 гДь — а) + и[п)’
т. е.
Л- = "2 + 0|">- *7,Ч
Среди многих следствий, которые можно вывести из
этих асимптотических соотношений, мы отметим только сле-
дующее:
Ряд S (1/4) из обратных собственных значений систе-
мы Штурма — Лиувилля всегда сходится. (Конечно, если
имеется собственное значение, равное нулю, то оно в ряд
не включается.)
Действительно, если на основании (73) обозначить через
А верхнюю грань отношений |ХЛр/^-2, то ряд 2(1/М ма-
жорируется сходящимся рядом 2(Л/м2).
Исследуем теперь кратко вспомогательные углы а' и 0',
которые участвуют в явном выражении (65) для собствен-
ных значений уравнения с постоянными коэффициентами, а
также в оценке (70).
Если а=^=0, то первое равенство (64) можно записать
в виде
. (л Л 1 1 ctg а
) tga' Уд tga /Л
так что
, л ± ctg a
“ = -г-агс‘б-уг-
Разлагая теперь арктангенс в степенной ряд (что заведомо
возможно, если Л > ctg2 а, имеем
26. Свойства собственных значений и собственных функций 169
Подобным образом (если р =}= л и Л > ctg2 Р)
₽' = ^-^ + |(c-W3- ... . (75')
2 У А Д У Л у
Эти последние формулы можно применить в случае
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами, для того чтобы получить более точные, чем (74),
асимптотические формулы для собственных значений с ос-
таточными членами высшего порядка малости.
Поскольку Л71 = О (ft-2), то из (75) следует, что при
ос =f= О
а'= - —4^ + О(п’3).
2 Улп { >
Так как, в силу (74), где теперь надо положить rt == 1,
= [1 +
то из предыдущей формулы получаем
а'=Т“^гс^а + °(п’2)-
Подобным образом, при р =/= л
Достаточно подставить эти формулы в (65), чтобы полу-
чить следующие соотношения:
1) Если ос=^0, Р=^=я, то
укп = п + A. (ctg а - ctg 3) + О(п-2). (76)
2) Если а =£= 0, р = л (откуда следует также, что р' = л),
то
1ЛЛ„ = (п + 4)^ + А.с(б«+О(л-). (76-)
170
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
3) Если а = 0 (откуда следует также, что а' = 0),
£=j£=n, то
= (п + 4) ~ ctg Р + О (п-*). (76")
4) Если а = О, р = л (откуда следует также, что а'= О,
3' = л), то
(76'")
в соответствии (с точностью до обозначений) с результата-
ми стр. 158.
Чтобы показать, что (76) дает улучшение формулы (74),
достаточно возвести (76) в квадрат; это даст
Лл = (ьтЬр2 + ^(ctga-ctgp)+ О(п-1), (77)
тогда как в (74) второе слагаемое имело вид О (и). Пред-
почтительнее, однако, либо оставить формулу в виде (76),
либо же записать ее в форме
(76*)
так как
, 1 h । 1 k
ctga = 7— = —ctga — (78)
ь tg a h b tg 3 k' v ’
В следующей главе мы увидим, как можно распростра-
нить предыдущие формулы на уравнения с непостоянными
коэффициентами.
Сравнивая заданное уравнение с другими подходящими
уравнениями с непостоянными коэффициентами, для которых
собственные значения каким-либо образом найдены, иногда
удается получить границы для собственных значений ис-
ходного уравнения (с помощью теорем стр. 163—164), доста-
точно хорошо аппроксимирующие эти значения.
27. Связь с теорией интегральных уравнений
171
27. Связь с теорией интегральных уравнений
В предыдущем параграфе мы видели, как вопросы, с
которыми мы имеем дело в настоящей главе, связаны с
теорией ортогональных систем функций. Теперь мы покажем,
как эти вопросы связаны с другой фундаментальной теорией
современного анализа, а именно с теорией интегральных
уравнений. Оказывается, что при этом применяются ин-
тегральные уравнения не типа Волыперра, которые рас-
сматривались в главе I, а типа Фредгольма, т. е. уравне-
ния, включающие интегралы с постоянными пределами; эти
уравнения могут быть неоднородными, вида
ь
<p(x) — K^K(x,y)<p(y)dy = f(x), (79)
а
или однородными, вида
ь
ср(х) — X У) Ф(//) dy = °’ (80)
а
где К, f, а и b предполагаются заданными, а ср и, быть
может, X требуется определить1).
Связь, о которой мы упоминали, основана на рассмот-
рении функции Грина для заданной системы Штурма—Лиу-
вилля. Мы будем рассматривать здесь обычные краевые
условия (6) и уравнение (16) с коэффициентом Р = q(x), т. е.
Zx[p^^]+q^y=0- (81)
Таким образом, мы предполагаем сначала, что X в формуле
(46) равно нулю. Кроме того, мы допустим, что
1) значение Х = 0 не является собственным значением
системы, т. е. не существует неравного тождественно нулю
решения уравнения (81), удовлетворяющего краевым усло-
виям (6);
О Эти уравнения называются уравнениями второго рода, в от-
личие от уравнений первого рода, в которых неизвестная функция
Ф содержится только под знаком интеграла. (Уравнения первого ро-
да в этой книге встречаться не будут.)
172
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
2) мы можем найти два линейно независимых решения
Уг(х) и у2(х) уравнения (81), как это можно сделать,
например, при q (х) = 0.
В связи с первым допущениехМ важно подчеркнуть, что
речь идет о решении, непрерывном и обладающем непре-
рывной первой производной, откуда следует (если р и q
дифференцируемы столько раз, сколько требуется), что и
его последующие производные также непрерывны. Если
отбросить одно из этих условий, например условие не-
прерывности производной, то, как мы покажем, ненулевое
решение уравнения (81), удовлетворяющее краевым услови-
ям (6), построить возможно. При этом можно даже задать
величину скачка производной в точке интервала (а, Ь), где
эта производная теряет непрерывность.
Чтобы это показать, обозначим через U (%) и V (х) два
известных частных решения (не равных тождественно нулю)
уравнения (81), удовлетворяющих соответственно первому
и второму условиям (6); так как общее решение уравнения
(81) равно с1у1 (%) + с2у2 (%), то мы получаем для U (%) и
V (х) следующие выражения1):
и(х) = \hy2(a) + h'y'2 (а)] уг(х) — [hy^a) + h'y[(a)]у2(х), |
V(x) = [ky2(b) + k’y'2 (&)] уг(х) — [ky^b) + k'yltb)] y2(x) j
(82)
Пусть теперь £— любая внутренняя точка интервала
(а, Ь), а А и В — две постоянные, не равные нулю одно-
временно, которые мы еще уточним. Рассмотрим функцию
G (х, £), определенную формулами
AU (х) (а<х<£),
BV(x) (|<х<&).
(83)
0 Ни U, ни V не могут тождественно равняться нулю; в самом
деле, если, например,
А//1 (л) + A'//' (я) = 0,
hy2 (а) + h'y'2 (а) =0,
то, так как определитель Вронского функций уг и у2 отличен от нуля
при х = а, мы получаем, что h = h' — 0 вопреки условиям.
27. Связь с теорией интегральных уравнений
173
Такая функция, вообще говоря, разрывная в точке
удовлетворяет следующим условиям: (а) она не равна
тождественно нулю; (б) она удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению в каждой точке х интервала [а, 6], от-
личной от точки (в) она удовлетворяет обоим краевым
условиям (6). Кроме того, благодаря произвольности посто-
янных А и В можно потребовать, чтобы (г) функция G
была непрерывной также в точке (д) чтобы ее производ-
ная испытывала заданный скачок 1 / р (?)т) в точке х = т. е.
(84)
Два последних условия будут удовлетворены, если
выбрать постоянные А и В так, чтобы
AU®-BV® = 0,
AU'^-BV'^
(85)
Существование (и единственность) решения этой системы
вытекает из того, что ее определитель отличен от нуля —
так как в противном случае можно было бы построить
ненулевую функцию G, которая вместе со своей производной
не имела бы скачка в точке а это противоречит допу-
щению, что К = 0 не является собственным значением.
Функция G (%, 5), удовлетворяющая пяти условиям
а, б, в, г и д, указанным выше, называется функцией Грина
для заданной системы Штурма — Лиувилля\ это непре-
рывная функция с разрывной первой производной, опреде-
ленная формулой (83), где постоянные А и В принимают
значения, определенные уравнениями (85).
Покажем, как применить функцию Грина, чтобы свести
краевую задачу для уравнения
d
dx
Р(х)^х + [<7 (*) + М*)] i/= О
(86)
^Многие авторы определяют функцию Грина, задавая скачок
производной равным—1/р (g); это привело бы здесь к замене б
на —G.
174
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
при условиях (6) к интегральному уравнению типа Фред-
гольма; с этой целью удобно воспроизвести преобразование,
уже примененное на стр. 135 и на стр. 161; если написать
I + q (х) у= L(tp,
dx J
то (86) можно записать в виде
L (у) + (х) у = О,
причем
— yL(z) = 7-Гр (z^~УтЦ '
dx L \ ах ах > J
(86')
(87)
Здесь важно отметить, что интеграл от а до &, взятый
от производной функции F(x), имеющей разрыв (или не-
сколько разрывов) первого рода в точке (точках) внутри
(а, Ь), дается не обычной формулой F (6)— F(a), а получа-
ется из нее вычитанием суммы всех скачков F (х) между
а и &1).
Подставляя в (87) G(x, £) вместо z(x), так что Л(г) = 0,
и интегрируя результат от а до 6, получаем
ь
§G(x, £)L(y)dx = \р {G^~ У
а L \ dx дх ) Ja
— lim
£—>0
dG_ Vp+e
дх ) L
/-Ч-е
Так как функции у и G удовлетворяют краевым условиям
(6), то (ср. стр. 161)
О Например, если функция F имеет одну точку разрыва с меж-
ду а и Ь, то
Ь (с— s Ъ \
F'(x) dx = lim I =
а \ а с-{-8/
= F (b) — F (а) — lim [F (с + s) — F (с — 8)].
£->4-0
Ср. Т р и к о м и Ф. [76], ч. II гл. I § 12. (Здесь при вычислении произ-
водной сам разрыв не учитывается, в противоположность тому* как
это делается в теории обобщенных функций. — Прим, перев.)
27. Связь с теорией интегральных уравнений
175
Кроме того, в силу (84),
lim pi G—— у — | =
e-H-o L \ dx dx J J$-E
= — lim [p (% + e) у (g + e) Gx (£ e, g) —
E->+0
— P (I — e) у (£ — e) Gx (g — e, £)] =
= - P & У (I) lim [ G& + 8 Л) - G& - 8, £)] = - у (£).
Следовательно, ь $G(x, l)L(y)dx = y®, а (88)
откуда, в силу (86'), получаем интегральное уравнение
вида (80) У (В) ь + Д 6(х, £) г (%) у (х) dx = 0. (89)
a
Обратно, легко показать, что каждое решение уравне-
ния (89) удовлетворяет уравнению (86) и краевым усло-
виям (6).
Этим заканчивается доказательство того, что дифферен-
циальное уравнение (86) при краевых условиях (6) эквива-
лентно однородному интегральному уравнению Фредгольма
(89); значит, уравнение (89) в случае г(х)>0 обладает не
равными тождественно нулю решениями (определенными с
точностью до постоянного множителя) тогда и только тогда,
когда Л является собственным значением, т. е. когда X
совпадает с одним из элементов определенной выше воз-
растающей последовательности 2с0, %1} 2с2,..., имеющей
единственную предельную точку + 00 •
Для тех читателей, которые знают теорию интегральных
уравнений Фредгольма, последнее утверждение может по-
казаться противоречащим тому, что уравнения Фредгольма
не всегда обладают собственными значениями; например,
уравнения типа Вольтерра, получающиеся из (79) или (80),
если ядро К (х, у) тождественно равно нулю при у > %,
не обладают собственными значениями.
176
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
Это кажущееся противоречие легко устранить, если
показать, что уравнение (89) можно привести к уравне-
нию с симметричным ядром, т. е. ядром, для которого
Д (%, у) = Д (у, %); такие уравнения всегда обладают собст-
венными значениями1).
Мы начнем с доказательства того, что функция Грина
симметрична по своим двум аргументам.
Рассмотрим еще раз тождество (87) и положим
У = G(x, g), z = G(x, n),
где £ и т] — две любые различные точки внутри интервала
(а, &). Поскольку Л(у)=Л(г) = 0, тождество (87) приво-
дится к
£ {р (х) [G (х, n) Gx (х, g) - G (х, g) Gx (x, tj)]} = 0;
и, интегрируя от а до & (заметив, что теперь имеются две
точки разрыва, именно х = £, и х = л), имеем
lim {р (х) [G (х, г]) Gx (х, |) — G (х, g) Gx (х, n)]}^+s +
е-^+о s-e
+ lim {р (х) [G (х, т]) Gx (х, g) - G (х, g) Gx (x, n)]}”+e =
= {p (x) [G (x, n) Gx (x, I) — G (x, g) Gx (x, r])]}* = 0.
Однако первый предел, очевидно, равен
lim [р (х) G (х, т]) Gx (х, =
8->+0 Ъ
= Р © G (I, n) Hm [Gx (х, = G (g, rj),
8->+0 &
тогда как второй предел равен—G(r],£); следовательно,
еа,П)-С(пЛ)= о,
что и требовалось доказать.
О Полезное сжатое изложение теории (линейных) интегральных
уравнений содержится в книгах: Курант Р. иГильбертД. [65],
гл. III; Пиконе М. [72], Hamel G., Integralgleichungen, изд. 2,
Berlin, Springer, 1949. Более подробное изложение можно найти в кур-
се автора [79].
27. Связь с теорией интегральных уравнений
177
Далее, так как г(х)>0, то, умножая уравнение (89)
на У г(|), имеем
ь
у а) + G (X, g) у (х) dx = 0.
а
Если теперь положить
г(х) у (х) = ф (х), - G (ХЛ) У г(х)г© = к (х, g), (90)
то полученное ранее интегральное уравнение можно заме-
нить следующим интегральным уравнением с симметричным
ядром (которое, как легко проверить, можно считать не-
прерывным по совокупности переменных (х, £), где а х
ь
ф (g) — Л Д(%, g) ф (%) dx = 0.
а
(91)
Это преобразование позволяет применять к системам
Штурма — Лиувилля различные методы, разработанные для
приближенного нахождения собственных значений уравнения
Фредгольма с симметричным ядром\ среди этих методов
особенно полезен вариационный метод, основанный на
рассмотрении максимумов соответствующих интегралов.
Сведения об этих методах читатель может найти в работах,
указанных на стр. 159, и в книге [79] автора; можно так-
же воспользоваться замечанием, сделанным в конце пре-
дыдущего параграфа (стр. 170).
Заметим в заключение, что с помощью функции Грина
можно в очень элегантной форме записать решение линей-
ного неоднородного уравнения
(92)
при заданных однородных1) условиях на концах интервала
[а, Ь] без применения метода вариации произвольных по-
стоянных (но в предположении, что интегрирование со-
ответствующего однородного уравнения возможно провести).
178
Гл. III. Краевые задачи для линейных уравнений
В данном случае имеем L(y) =/(%) = известной функции,
откуда, в силу (88), следует
ь
«/(£) = \в(х, £)f(x)dx, (93)
а
где G(x, £) — функция Грина соответствующего однородного
уравнения при тех же (заданных) краевых условиях.
Как было уже указано, переход к интегральному урав-
нению особенно полезен, если мы имеем дело с более
общими, чем (6), краевыми условиями. Этим методом можно
исследовать также случай, встречающийся во многих при-
ложениях, когда краевые условия включают тот же пара-
метр X, который содержится в уравнении; для этого нужно
рассмотреть уравнение с ядром К (х, £, X). Такие уравнения
уже неоднократно изучались, и мы сошлемся, в частности,
на работы Д. Греко2).
О Если условия неоднородные
hy (а) + h'y'(d) = a, ky (b) + k'y'(b) = 3
и если г] (х) — любая функция, удовлетворяющая этим условиям, то
замена переменной z (х) = у (х) — г] (х) преобразует (92) в аналогич-
ное уравнение относительно z (х) с той единственной разницей, что
f (х) теперь заменится
d Г dnl
’I-
Эта подстановка приводит задачу к задаче с однородными условиями
вида (6).
2) Greco D., J. di Mat. di Battaglini, 78, 216—237 (1948—1949);
79, 86—120 (1949—1950).
IV
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
28. Общие замечания
В последние годы в различных ветвях анализа, и в
частности в изучении дифференциальных уравнений, с ус-
пехом использовались асимптотические методы, это методы,
описывающие поведение тех или иных функций, когда
некоторые из параметров, от которых они зависят, стре-
мятся к бесконечности или к каким-либо частным значениям.
Например, когда в § 26 мы показали, что (п + 1)-е собст-
венное значение дифференциального уравнения
^+h7(x) + V (%)]!/= °
при общих однородных краевых условиях на концах интер-
вала [а, Ь\ в случае г (%) = /\ = const удовлетворяет со-
отношению
Кп = —f Г-~У п2 + О(п), П->ОО,
Г1\Ь — a) v 7
(1)
то мы, по существу, воспользовались асимптотическими
методами.
Важность результатов такого рода видна, например, из
того, что из (1) или из менее точной асимптотической
формулы § 26
V =О(п~*)
мы смогли вывести, что ряд 2(1/^) всегда сходится.
Кроме того, формулы типа (1) часто приводят к полезным
приближенным формулам, так как в некоторых случаях
достаточно хорошее приближение к левой части соотноше-
180
Гл. IV. Асимптотические методы
ния получается при рассмотрении только явно выписанных
членов правой части.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений
асимптотические методы применяются в основном к следую-
щим трем типам задач:
(1) Определение, например, с помощью формул типа (1)
поведения всех или некоторых решений заданного диф-
ференциального уравнения, когда независимая переменная х
стремится к бесконечности или к некоторому частному
конечному значению* 1).
(2) Определение поведения некоторых решений у (х)
уравнения или величин, зависящих от этих решений, когда
х не меняется, а некоторый параметр, входящий в уравнение
или в дополнительные условия, стремится к бесконечности
или к некоторому частному конечному значению.
(3) Определение частного решения или решений уравне-
ния, которые имеют заданное асимптотическое поведение,
например остаются ограниченными, когда х стремится к
бесконечности.
Задачи, рассмотренные в последней главе, можно считать
принадлежащими к второй группе.
Рассмотрим одну, особенно важную задачу первой группы.
Для большей ясности и простоты мы будем рассматривать
случай линейного уравнения второго порядка, однако задачу,
очевидно, можно обобщить.
Пусть дано дифференциальное уравнение
у" + Pi (*)«/' + Рг(х)у = 0, (2)
причем
lim рх (х) = а0, lim р2 (х) = Ьо. (3)
х->оо х->оо
Можно ли утверждать, что поведение его решений для
очень больших значений х подобно поведению решений
предельного уравнения
У" + аоу' + Ьоу = 0, (4)
0 Второй случай приводится к первому с помощью замены пере-
1
менной £ — у ; тогда g -> ©о при х -> х0.
28. Общие замечания
181
т. е. подобно поведению некоторой линейной комбинации
двух экспонент
(5)
где и а2 — корни (которые мы для простоты предполо-
жим различными) характеристического уравнения
а2 + аоа + 60 = О (6)
для уравнения (4)?
Без дальнейших рассмотрений на этот вопрос нельзя
дать никакого ответа.
Для иллюстрации этого замечания достаточно рассмотреть
частный случай, когда рДх) и р2(х) являются аналити-
ческими функциями, регулярными на бесконечности, т. е.
они могут быть для достаточно больших |х| представлены
в виде суммы рядов вида
Pi(x) = aQ 4- + • • •, P2W = + у + у +..., (7)
откуда следуют соотношения (3).
В следующей главе мы покажем, что при этих предполо-
жениях можно найти два линейно независимых решения
уравнения (2), представимых (в смысле, который будет опре-
делен) рядами вида
e^xpJ 1 4. £1 4. £| . Y 1 + — +
\ 1 X 1 X2 1 J ’ \ 1 X 1 X2 J
где показатели рх и р2 определяются формулами
Pi = _ja±\ Ра = _01О1±А. {8)
clq -j- 2ах clq 4* 2ос2
Поэтому асимптотическое поведение решений уравнения (2)
аналогично не поведению линейных комбинаций экспонент (5),
а поведению линейных комбинаций функций
еа2*д;Р2, (9)
которые, в силу (8), зависят не только от aQ и &0, т. е.
не только от предельных значений рг (х) и р2 (х) при х -> оо,
182
Гл. IV. Асимптотические методы
но также от коэффициентов и blt участвующих в правых
частях равенств (7). Однако, так как экспоненциальный
множитель, вообще говоря, сильнее степенного, сформули-
рованный результат наводит на мысль, что во многих слу-
чаях утверждения о поведении решений уравнения (2) при
х —> оо можно вывести из предельного уравнения (4), т. е.
в конечном счете из рассмотрения корней характеристичес-
кого уравнения (6). Однако это требует строгого доказа-
тельства и не является очевидным1).
29. Общий метод, применимый к линейным
дифференциальным уравнениям
При исследовании асимптотического поведения, как и
при изучении других свойств, особенно полезным оказывается
метод, который мы назовем методом Фубини2); он состоит
в «сравнении» заданного дифференциального уравнения с
помощью интегрального уравнения типа Вольтерра с подхо-
дящим «приближающим» уравнением, которое можно про-
интегрировать явно или для которого известны некоторые
специальные свойства решений.
Предположим для простоты, что мы имеем дело с ли-
нейным однородным уравнением второго порядка3), записан-
ным в виде
у" + Pl(х)у' + р2(х)у = А (х)у" + В(х)у' + С(х)у. (10)
О Некоторые из результатов, полученных в этом направлении,
например результаты Дини, установлены в предположениях, из ко-
торых в аналитическом случае вытекает, что ах — Ь^ — О. Этим объ-
ясняется отсутствие противоречия между такими результатами и
сказанным выше.
2) Мне указали, что исторические доводы для приписывания это-
го метода Фубини довольно слабы, так как метод, примененный Фу-
бини в 1937 г. (Rend. Lincei (6), 26, 253—259), для изучения асимп-
тотического поведения функций Бесселя, несущественно отличается
от метода Лиувилля — Стеклова, недавно улучшенного Р. Лангером.
(См., например, С е г ё Р. [73], стр. 204.) По-видимому, общий метод
(применимый, когда правая часть уравнения (10) содержит члены с
у' и r/,z) появился впервые в первом издании этой книги и в связан-
ной с ним публикации автора [Rend. Seminario Mat. Torino, 8, 7—19.
(1947—48)]. Тем не менее я продолжаю говорить о методе Фубини
в память о моем дорогом друге и коллеге Дж. Фубини (1879—1943).
3) Метод можно легко распространить на линейные уравнения
порядка п и даже на некоторые типы нелинейных уравнений.
29. Общий метод, применимый к линейным уравнениям 183
Очевидно, это можно сделать бесконечным числом способов,
даже если добавить ограничение, состоящее в том, что
«приближающее» уравнение
У" + р1б)у' + р2(х)у = 0 (11)
можно было бы явно проинтегрировать или что два его
линейно независимых решения
У1 = Pi (я), У2 = ?2 W (12)
обладали бы некоторыми специальными свойствами, например
чтобы они были устойчивыми, т. е. ограниченными, при
к—>оо.
Метод состоит в формальном рассмотрении (10) как
неоднородного уравнения и применении к нему метода
вариации произвольных постоянных; в силу этого мы
полагаем
У = G (х) Л (х) + С2 (х) F2 (х), (13)
где Ci(x) и С2(х) — две такие неизвестные функции, что
c;(x)f1(x) + c;(x)f2(x) = 0. (и)
Из этих формул получаем
у’ = Ci W p'iW) + (9
у" = (\ (х) F'l (х) + С2 (х) F"2 (х) + С[ (х) Л(х) + С'2 (х) X (х).
Подставляя теперь в (10) и пользуясь тем, что Ft и F2
являются частными решениями уравнения (11), получаем
Cj.F1 + C2F 2 =
= Сг (AFl + + CPJ + C2 (API + BF't + CF2) +
+ A (GJ7j + C2F2);
отсюда, делая естественное предположение, что 4=^=1, находим
+ см = С1 + с2.
184
Гл. IV. Асимптотические методы
Это равенство вместе с (14) образует систему двух алгебраи-
ческих линейных уравнений с двумя неизвестными Ci и С'2,
определитель которой отличен от нуля, так как он равен
определителю Вронского
F2
Fi(x) F'2
(Л = 1,2), (15)
для двух решений (12). Следовательно, такую систему не-
трудно решить; написав для удобства
_ А(х) F'h(x) + В(х) F'h(x) + С(х) Fh(x)
[l — A(x)]W(x)
находим
Ci = - f2 + ад, Ci = F^c, +ад. (16)
Отсюда, если х0— какое-либо значение х, a Yi и Тг — про-
извольные постоянные, равные соответственно значениям
Ci (х) и С2 (х) при х = х0, то функции Сх (х) и С2 (х) должны
удовлетворять системе двух интегральных уравнений типа
Вольтерра, именно
(х) = Тх - $ (Ю [#х (5) Сх (?) + & (?) С2 (?)] dt '
Хх° (17)
С2 (х) = Т2 + $ Ft (£) [^х (£) Сх (?) + (?) С2 dt
х0
Умножив их соответственно на ^(х) и $2(х) и сложив
друг с другом, получаем интегральное уравнение
х
ф(х) —$
х0
Л®
&l(x) &(х)
<Р (?) d? = Тх (х) + т2^2 (х),
(18)
содержащее одну неизвестную функцию
Ф (А = (х) Сх (х) + ^2 (х) С2 (х).
Если написать далее
Ф(х) = ТхФх(х) + т2ф2(х),
29. Общий метод, применимый к линейным уравнениям 185
то из интегрального уравнения устраняются произвольные
постоянные, так как (18) распадается на два отдельных
уравнения
= (/г=1.2), (19)
где
К(х, I) =
&(х)
(20)
Решив уравнения (19) и применив (13) и (17), найдем
У = ТхЛ (9 + 12^2 (х) + $ L (х, g) [r1cp1(g> + г2<р2(Ю] dl,
где
L(x, g) =
F&) F&)
F^x) F2(x)
Другими словами,
У(х) = Т1У1 (x) + r2r2(x),
(21)
(22)
где функции и К2 (не зависящие от постоянных и у2)
определяются формулами
Yh (х) = Fh (х) + $ L (х, g) qh (g) dl (h = 1,2). (23)
Сведение задачи к интегральным уравнениям можно
провести несколько иным путем, имеющим некоторые
преимущества. Например (как мы увидим ниже), он при-
водит к одному интегральному уравнению вместо двух,
и неизвестной функцией является та самая функция у(х),
которую нужно определить вместо неизвестных вспомо-
гательных функций, таких, как фДх) и ф2(х). Кроме того,
в некоторых случаях, как, например, в случае Луивил-
ля — Стеклова, когда А(х) = В(х) = 0, ядро нового урав-
нения может оказаться проще, чем построенное выше яд-
ро К(х, %).
Этот новый переход получается, если сложить уравне-
ния (17), умножив их предварительно на Fi(x) и F2(x]
186
Гл. IV. Асимптотические методы
соответственно вместо (х) и это дает уравнение
У ® = ГЛ (х) + (*) + $ L (х, g) ф (?) dl,
Хо
в котором, в силу (15) и того, что F1 и F2 являются
частными решениями уравнения (11), можно заменить <р(£)
выражением
(|) = у M(g) [-pdDF^D-p^DF^)]
+ [1- Л(ё)]течё) 'Сл(ё)
2
= 2 Ch (£) Fh (g) +
+ 2 Ch® Fh® = M®y® + N® y'®,
где
Д/Цх) = Pz(x) N(x) = (24)
V ; [1-4 (*)]№(*) ’ V 7 [l-4(x)]№(x) ’ V 7
Таким образом, мы пришли к интегро-дифференциальному
уравнению
У W = Г1Л(^) + Y2^2W +
+ $ L(x, g) [ М(Ю у (£) + W) у'(Ю1 dl,
Хо
которое немедленно приводится к обычному интегральному
уравнению с помощью интегрирования по частям; так как
L (х, х) = 0, то
J L (х, g) N ® у' ® dl = —L (х, х0) N (х0) у (х0) —
Хо
-(^[L(x, §N®]y®db
Хо
29. Общий метод, применимый к линейным уравнениям 187
и интегральное уравнение задачи приобретает вид
X
у(х) - $ к (х, g) М (?) - Д [L (х, ?) N (?)]} У (?) d? =
ХО 1 S
= Т1Л (х) + Г2^2 (х) — L (х, х0) W(x0) у (х0). (25)
В силу (13) и смысла и у2, правую часть этого урав-
нения можно записать так:
Т11Л(х) — L (х, х0) N (х0) FJXo)] +
+ Г2 [^(х) — L (х, х0) N (х0) F2(x0)J.
В рассмотренном Лиувиллем и Стекловым частном случае,
когда А (х) = В (х) = 0, ядро интегрального уравнения (25)
просто равно
K'(x,?)=L(x,£)^g, (26)
а правая часть уравнения равна ^F^x)y2F2(x).
Любым из этих способов задача сводится к решению
одного или нескольких линейных интегральных уравнений
второго рода типа Вольтерра1), которое, если положить
для удобства х0 = 0 и (по причинам, аналогичным тем,
которые были рассмотрены в случае Фредгольма) ввести
параметр, служащий множителем для интеграла2), можно
записать в стандартной форме
х
ф (х) — А, § к (х, у) ф (у) dy = f (х). (27)
О
Здесь ядро К не обязательно имеет вид (20) или (26).
Уравнения типа (27) можно решить довольно просто
с помощью метода последовательных приближений, наме-
ченного в § 3; в данном случае процесс значительно упро-
щается из-за линейности подинтегральной функции отно-
сительно неизвестной функции ср. Написав3 *)
ф(х) = f(x) + 2 ^Чи(х),
п=1
О Сравните с уравнением типа Фредгольма (79), § 27.
2) Для выведенного выше уравнения 1=1.
3) Более подробное изложение см. в книге Т р и ком и Ф. [79]
гл. I.
188
Гл. IV. Асимптотические методы
группируя, после подстановки в (27), члены с одинаковы-
ми степенями X и приравнивая нулю коэффициент при
X", получаем рекуррентную формулу
X
фл (х) = § /С(х, у) фл-г(у) dy (п = 1, 2, 3, . . . ; ф0 = f),
О
которая немедленно приводит к общей формуле
х
фл (х) = 5 Кп (X, у) f (у) dy;
О
здесь Ki = К, • • • — последовательные итерации
ядра К, определенные рекуррентным соотношением
К„+1(х, у) = К(х, z)Kn(z, y)dz (n = l,2, ...). (28)
У
Если теперь определить резольвентное ядро Н с помощью
ряда
оо
Н (X, у; X) = - 3 ХХ+1 (X, у), (29)
/1=0
то получим
х
^(x) = f(x)-k^H(x,y,K)f(y)dy. (30)
о
По поводу сходимости метода нечего добавить к тому,
что было сказано в главе I, так как линейная функция
всегда удовлетворяет условию Липшица. Из (28) немедлен-
но следует, что если | К (х, у) | Af, тог)
|К„+1(х,г/)|<^+1-^4^<
(n=l,2,...; 0<y<x</i),
О По поводу менее ограничительных условий на К см. следую-
щий параграф, а также Трикоми Ф. [79].
29. Общий метод, применимый к линейным уравнениям 189
чем обеспечивается абсолютная и равномерная сходимость
ряда (29), что и является существенным.
Подставляя соответствующее выражение типа (30) для
решения уравнения Вольтерра (19) в формулу (23), мы по-
лучаем в явной форме фундаментальную систему решений
заданного уравнения (10)
X
Yh (х) = (х) + $ L (х, g) (g) dl +
Xo
00 X %
+ 2$ L(x,g)d^K„(g,ri)^(n)dn (Л=1,2), (31)
n=l Xo Xo
где Kn означает n-ю итерацию ядра К, определенного фор-
мулой (20), a L задано формулой (21).
Соответствующий результат в случае, исследованном
Л иу вил л ем и Стекловым, выглядит проще; здесь
оо х
Yh (х) = Fh (х) + 2 $ К'п (х, g) Fh (Ю dt, (/i = l, 2), (32)
П—1 х0
где /Ci, Ка, К», . . • —последовательные итерации ядра
(26); формулу (32) можно также переписать в виде
X
Yh (х) = Fh (х) - $ Н\х, g) Fh(g) dg, (32')
Xo
где g) означает резольвентное ядро при X = 1, т. е.
00
Я'(хЛ) =-2 К'п+йхЛ\ (33)
п=о
Значение намеченного здесь метода основано главным
образом на том, что (как легко видеть) для его примене-
ния не требуется, чтобы коэффициенты Л(х), В(х), С(х)
в правой части уравнения (10) были «малыми»; достаточно,
чтобы они были конечными. Однако довольно ясно, что
метод особенно эффективен, если А, В, С — и потому так-
же $lf $2> ядро К, заданное формулой (20), и все его
итерации — на самом деле «малы».
190
Гл. IV. Асимптотические методы
Например, если заданное уравнение содержит некото-
рый параметр v, стремящийся к бесконечности, причем в
этом процессе коэффициенты Л(х), В(х), С(х) являются
(равномерно по х) бесконечно малыми порядка не мень-
шего, чем г > 0, по сравнению с v"1, т. е. если
4(x)=0(v-'), B(x) = 0(v~r), C(x)=O(v“0, (34)
то имеем
ад = 0(^9, ^(х, g) = O(v"0, K2(x,g)=O(v“%...
Поэтому из (31) вытекают асимптотические формулы
Yh^ = Fh(x) + 0(y-r} (ft =1,2),
(35)
которые часто бывают чрезвычайно полезными. Если этот
результат недостаточен, можно написать
Yh (х) = Fh (х) + $ L (х, g) (g) dl + 0 (v-H (h = 1, 2)
x0
(35')
И T. Д.
30. Дифференциальные уравнения с устойчивыми
решениями
Во многих вопросах механики и физики важно знать,
будут ли все (или некоторые) решения заданного линейно-
го дифференциального уравнения второго порядка устой-
чивыми или неустойчивыми, т. е. будут ли они ограни-
ченными или неограниченными, когда независимая перемен-
ная стремится к + 00 или — 00 •
Мы предположим для простоты, что уравнение приве-
дено к форме (18) главы III, и начнем с рассмотрения
следующего вопроса:
Пусть все решения уравнения
у" + Qi(x) у = о
(36)
30. Дифференциальные уравнения с устойчивыми решениями 191
устойчивы при х—>4~ос1); какие условия надо наложить
на функцию Q2(x), чтобы все решения уравнения
/ + [QiU) + Q2W]y = 0 (36')
также были устойчивыми при х->+оо?
Хорошо известная теорема Дж. Асколи2) утверждает,
что для этого достаточно, чтобы функция Q2(x) была
абсолютно интегрируема в окрестности точки +°о, т. е.
чтобы интеграл
оо
I = \ IQ2U)I dx
х0
(37)
был конечным, где х0—любая фиксированная точка.
Эта теорема немедленно вытекает из важной оценки
решений уравнения (36'), которую можно легко вывести,
комбинируя метод, указанный в предыдущем параграфе, со
следующей леммой об интегральных уравнениях Вольтерра.
Пусть ядро К уравнения Вольтерра (27) второго рода
можно записать в виде
К(х, у) = К*(х, y)k(y),
где функция К*(х, у) ограничена внутри треугольника
0 у < х < а, конечного или бесконечного, а функция
k(y} (не обязательно ограниченная и непрерывная} абсо-
лютно интегрируема в интервале Тогда ин-
тегральное уравнение (27) можно решить точно
так же, как это было описано в предыдущем параграфе
для ограниченной функции К; кроме того, если N — верх-
няя грань функции |/(*(х, у)\, то решение <р(х) интег-
рального уравнения удовлетворяет неравенству
|ф(х) — f(x)|< |Х| NJ*(x)e[K[NJ(x} (0<х<а), (38)
0 Аналогично рассматривается случай х->— оо.
2) A s с о 1 i G., Sul comportamento asintotico della equazioni dif-
ferenziali del 2° ordine, Rend. Lincei, (6) 22, 234—243 (1935). По по-
воду дальнейших работ Трикоми и других авторов в этой области
см. Сансоне Дж., [42]; см. также стр. 203 и 206 этой книги. Среди
более поздней литературы укажем на две интересные заметки
Prodi G., Rend. Lincei, (8) 10, 447—451 и 11, 30—34 (1951).
192
Гл. IV. Асимптотические методы
где
X X
J(x) = $ \k(y)\dy, J*(x) = \k(y) f(y)|dy.
0 0
(39)
Покажем сначала, что при указанных предположениях
(п +1 )-е итерированное ядро Kn+i удовлетворяет оценке
\Kn+1(x,y)\^N\k(y)\lA^ (п =0,1,2,...). (40)
Оценка (40), очевидно, справедлива при п = 0; допус-
тим, что она справедлива для п— 1, и покажем, что она
справедлива и для п. Так как
^=|ад|.
ТО
I Кп+1(х,«/) I < § I й (z) К*(х, Z) 11 Кп(2, у) I dz <
У
$ Щг)1Г(г)Гг dz =
= (^>г1ад| =
= (^г1ад||ил<1;=
=^1 адшадг - у мл < к I ад I .
что и требовалось доказать. Кроме того, легко проверить,
что если функция К*(х,у) непрерывная, то и все ядра
Kn+i равны произведению k(y) на непрерывные функции.
Из (40) немедленно следует, что ряд (29) для резоль-
вентного ядра Н (х, у, %) допускает мажорантный ряд
N | k(y)| V [WW)r = N | k(y) | e1 W(x).
n\
n=o
30. Дифференциальные уравнения с устойчивыми решениями 193
Отсюда следует справедливость формулы (30) (причем
функция ф(%) получается непрерывной, если f(x) непре-
рывна); кроме того,
\Н(х, у; K)\^N\k(y)\eIKlNJ(x),
откуда с помощью (30) получаем неравенство
X
| Ф(х) - f (х) I < I XI $ /Ve|X|VJW| k (у) f (у) I dy,
о
из которого сразу следует (38).
Применим теперь метод предыдущего параграфа к урав-
нению (36'), записанному в форме
у"+ Qi(x)y = -Q2(x)y.
Это значит, что двум линейно независимым решениям Ft (х)
и F2 (х) уравнения (36) (с определителем Вронского, рав-
ным 1) можно поставить в соответствие два независимых
решения Уг(х) и У2(х) уравнения (36') по формулам
х
Yh(x) = Fh (х) - $ Н(х, g) Fh U) db (/г = 1, 2),
x0
где x0— некоторая фиксированная абсцисса, a H (x, g) —
резольвентное ядро, отвечающее (при X = 1) ядру
К(х, I) = Цх, g) С (В) = (F, (х) F2 (g) - F2 (x) Л (ё)] Q2(g).
Однако все решения уравнения (36), по предположению,
устойчивы, поэтому существуют положительные постоян-
ные и А2, для которых при всех x^xQ (в том числе,
при х—> +оо)
|Л(Х)|<Л1> |Р2(х)|<Л2, (41)
и потому
|Л(х)Г8(?)-Г8(х)Г1Ш|<2Л1Л8.
Поэтому, применяя последнюю лемму и полагая
X
I Q2(y) \dy = J(х),
Хо
(42)
194
Гл. IV. Асимптотические методы
мы получаем
х
Jh(x) = j | Q2(«/) Fh(y) I dy < AhJ(x)
x0
(h = 1, 2)
и, следовательно,
I Yh(x) - Fh(x) | < 2A1A<iAhJ(x) eMJM (Л = 1, 2), (43)
откуда вытекает
|1ЛлСг)|<А/г{1 + 2Л1Л2Дх)е2ЛЛ27<х>} (/г= 1,2). (43')
Из последнего неравенства непосредственно вытекает
сформулированная выше теорема Аскол и. Действительно,
если интеграл (37) конечен, то 7(х) Для всех % и из
(43') следует
|1ЛлСг)|<Л/г{1 + 2Л1Л2/е2Л*Л2/} (/г= 1,2), (43")
откуда видно, что решения уравнения (36') также устой-
чивы.
Из последних неравенств вытекает значительно больше,
чем теорема Аскол и. Например, если J (х) не только огра-
ничена при х —> + оо, но имеет более высокий порядок
малости, чем F/Дх), то из (43) можно немедленно получить
асимптотическую формулу
П(х) = ^(х) + О[Дх)], (44)
имеющую существенное значение. Формулируя этот резуль-
тат иначе, мы можем заключить, что любому решению
У (х) уравнения (36') можно поставить в соответствие такие
постоянные Yi и у2, что при х—>+оо
У(Х) = T1F1(X) + тЛ(х) + О[Дх)]. (44')
Рассмотрим теперь важное приложение этих результатов.
Заметим, что одним из уравнений типа (36) со всеми устой-
чивыми решениями является уравнение гармонического ос-
циллятора
у" + №у = О,
(45)
30. Дифференциальные уравнения с устойчивыми решениями 195
где k2— любая положительная постоянная. Поэтому из
теоремы Асколи немедленно вытекает важное следствие:
Если коэффициент Q(x) в дифференциальном уравнении
у" + (^у = Ъ (46)
стремится к положительному пределу k2 при х~•>+°°
и если интеграл
оо
^\Q(x) — k2\dx
х0
конечен для какой-либо фиксированной абсциссы х0, то
все решения уравнения (46) при х~•>+°° устойчивы.
Применим этот результат к уравнению
х2
_1_ f 1-4- -___— U = 0
dx2 r \ V v2 1 У ’
(47)
которое получается, как было показано в § 21, из уравне-
ния Бесселя путем умножения искомой функции на Ух.
В этом примере k = 1 и линейно независимыми реше-
ниями «приближающего» уравнения (с определителем Врон-
ского, равным 1) служат cosx и sinx; значит, для любого
положительного х0
Следовательно, если Zv (х) — любая функция Бесселя по-
рядка v, т. е. если VxZv(x)—любое решение уравнения
(47), то существуют постоянные Cv и yv, для которых
VxZv(x) = Cv [sinTvY^x) + со8ТуУ2(х)],
где (х) и У2 (х) решения уравнения (47), удовлетворяю-
щие, в силу (43) (где надо положить А1 = А2= 1), нера-
венствам
I ^1(х) — cosх| < 2J(x)e2j(x\ |У2(х) — sinх| 27(х)е2'/(*),
196
Гл. IV. Асимптотические методы
откуда мы немедленно выводим
| Ух Zv(x) — Cv sin (x+Tv) I <4CVJ (x) e2j(%).
Пусть теперь x0 — любое положительное число,
х0 > 1; тогда
причем
е % е е
= А
и предыдущее неравенство можно записать в более про-
стой форме:
| Ух Zv(x) — Cv sin (х {“Yv) | , x^^Xq^^I. (48)
*0
Так как xQ произвольно, отсюда следует, что левая часть
(не зависящая от х0) равна 0(х“х) при х—^Н-оо1). Следо-
вательно, после деления на ]/х, мы получаем важную
асимптотическую формулу
Zv(x) = -^=r sin (х + Tv) + О (х 3/2). (49)
Например, можно показать, что для функции Бесселя
первого рода Jv(x), которую можно представить в виде
суммы всюду сходящегося ряда
оо
w=S
Л=0
(-1)” /xx^+v
л1Г(» + v-H)\2/
где Г — гамма-функция2"), будет
С =1/Т г - — ™ + Д-
bv у я . Ъ - 4 -I- 4 >
О Это рассуждение неточное, так как функции У1(х) и У2(х), а
потому и постоянные Cv и зависят от выбора xQ. Однако нетруд-
но проверить, что в данном случае все рассуждения проходят, если
принять х0= + со. а тогда просто 7(х)=||-—v2|/x.— Прим, перев.
2) Краткие сведения об этой функции см. в книге Ф. Трикоми
[76]; больше подробностей можно найти в книге В. Магнуса и
Ф. Оберхеттингера [66].
30. Дифференциальные уравнения с устойчивыми решениями 197
что дает
т / \ " у' 2 • / VJC . ЭТ \ . л / —»/йч
Jv(x)=y — sin(x— т + у) + 0(х '•).
(50)
Однако определить эти две постоянные не просто1).
Эти формулы ясно показывают затухающий колеба-
тельный характер функций Бесселя, а также то, что рас-
стояние между двумя последовательными нулями стремится
к л, когда х возрастает.
Рис. 21.
На рис. 21 показан график функции JQ(x) в интервале
от х = 0 до х = 25, а также график решения NQ(x") урав-
нения Бесселя, линейно независимого от JQ(x) и называе-
мого функцией второго рода. В формуле (49), соответст-
вующей функции Nv(x), постоянная Cv имеет то же зна-
чение ]/2/л, что и для JVi а постоянная на л/2 боль-
ше, т. е. для Nv (х) должно быть yv = — vn/2 + Зл/42).
Р Для случая целого v см., например, Дж. Сансоне [42], т. II,
стр. 38—42. [См. также Фихтенгольц Г. М., Курс дифференци-
ального и интегрального исчисления, II, изд. 4, Физматгиз, М.— Л..
1959, стр. 754—757.— Прим, перев.]
2) Наиболее обширным трудом по функциям Бесселя является
книга Watson G. N., A Treatise on Bessel Functions, ed. 2, Camb-
ridge University Press., 1945. [Русский перевод: Ватсон Г. Н.,
Теория бесселевых функций, ИЛ, М., 1949.—Прим, перев.]. В табли-
цах функций Янке Э. и Эмде Ф. [85] содержится блестяще напи-
санная часть, посвященная функциям Бесселя.
198
Гл. IV. Асимптотические методы
31. Случай, в котором коэффициент при у стремится
к отрицательному пределу
Если коэффициент Q (х) в уравнении (46) стремится
к отрицательному пределу —k* 2 при х~>4-оо, то боль-
шинство формул последнего параграфа после соответствую-
щих изменений остается справедливым, однако они стано-
вятся неинтересными, так как только одно из двух ре-
шений
F1(x)=ekx, F2(x) = e~kx
«приближающего» уравнения
y"-k2y = 0
устойчиво при X —> + оо.
Можно получить также границы типа (43) — но ценой
наложения очень жестких условий на разность Q (х) —
—(— fe2), чтобы обеспечить сходимость несобственных инте-
гралов от этой разности, умноженной на экспоненциально
возрастающие при х~->оо функции1).
Однако более удобно применить иной метод, для чего
мы рассмотрим, как это уже делалось в § 19, подходящую
квадратичную форму относительно у и у'. Таким путем
легко установить следующую важную теорему, впервые
доказанную Пуанкаре2):
Если для х —> + оо коэффициент Q (х) при у в урав-
нении (46) стремится к отрицательному пределу,
который мы для простоты положим равным—1, то су-
ществует решение {определенное с точностью до произ-
вольного постоянного множителя'}, стремящееся к нулю
при х—> + оо, причем
lim—=— 1, (51)
Х->ОО У
тогда как все остальные решения стремятся к беско-
нечности, причем
lim—=1. (51')
Х->ОО У
О См. Сансоне Дж. [42], т. II, стр. 51
2) Poincare Н., Sur les equations lineaires aux differentialles
ordinaires et aux differences finies, Amer. J. of Math., 7, 203—258
(1885).
31. Коэффициент при у стремится к отрицательному пределу 199
Для доказательства рассмотрим квадратичную форму
v(%) = у(х)у'(х) = ^Ху2(х)
(уже примененную в § 19); тогда
v'(x) = у'2 + у у" = у'2— Q(x) у2, (52)
и потому эта производная наверняка положительна справа
от некоторой точки х0, так как коэффициент Q(x) (стре-
мящийся к —1) должен быть отрицательным, начиная от
некоторого х0. Отсюда следует, что v (х) при х > х0 все
время возрастает, и потому могут представиться только
два случая:
(1) Существует хг^х0, для которого ^(xJ^O и, сле-
довательно, при х>хх будет v(x)>0.
(2) Функция v (х), возрастая, все время остается отри-
цательной справа от х0.
В обоих случаях функция у (х) должна в конце концов
стать монотонной, так как при v(x)=^=0 ни у', ни у не
могут обратиться в нуль; при этом в первом случае | у |
будет возрастать, а во втором убывать. Мы будем го-
ворить о у, а не о \у\, так как предположение, что у
для достаточно больших х положителен, не является су-
щественным ограничением (решения однородного уравнения,
такого, как (46), всегда можно умножить на любой по-
стоянный множитель).
Также и у' (х) при х—>+оо стремится к некоторому
конечному или бесконечному пределу. В самом деле, ум-
ножив (46) на 2у', получим
^у'2 = — 2Q(x)v(x),
откуда видно, что эта производная приобретает в конце
концов постоянный знак (положительный в первом из двух
случаев и отрицательный во втором), так что у'(х), начи-
ная от некоторой точки, становится монотонной.
Рассмотрим теперь первый из двух указанных случаев
и обозначим через X предел, бесконечный или конечный,
но отличный от нуля, к которому стремится у при х—> +
+оо, а через ц— аналогичный предел, к которому стре-
200
Гл. IV. Асимптотические методы
мится функция v(x). С одной стороны, имеем
lim y'(x) = lim = у •
х->оо х->оо У\х) л
тогда как с другой по правилу Лопиталя1)
lim — = lim у\х).
х-->со х х-->со
Отсюда следует, что предел, к которому стремится у, не
может быть конечным, так как тогда бы lim (у/х) = 0 и
потому lim у'(х) = 0, чему противоречит первое из двух
предельных соотношений, поскольку ц/Х при ц =/= 0 не мо-
жет равняться нулю для конечного X.
Поэтому, вновь применяя правило Лопиталя, получаем
lim !г=ПгпВг = — HmQ(x)= 1, (53)
х ->оо У х-->сю ^УУ х-->оо
откуда, так как v(x) = уу' >0, немедленно выводим
(51')-
Мы переходим ко второму случаю: X вновь означает
предел, теперь заведомо конечный и неотрицательный, к
которому у стремится при х —>+°с.
В данном случае X должно равняться нулю, так как
в противном случае из (52) следовало бы
lim v'(x) = lim _ цт [Q(x) У2] = ^ + А.2 > О,
х-->оо х->оо У V / х->оо v
а (по правилу Лопиталя) этот предел должен совпадать с
пределом отношения v(x)/x, заведомо равным нулю, по-
скольку предел функции v(,v) при х —>+ оо конечен.
Далее, мы видим, что у' должно также стремиться к
нулю при х—>+°°; в самом деле, по правилу Лопиталя
О Здесь и в следующих параграфах мы применяем правило Ло-
питаля в форме Штольца: если предел частного u'[vf существует и
функция v стремится к бесконечности, то и предел частного и/v су-
ществует и равен первому пределу. Отметим, что предположение о
пределе и не делается. Доказательство можно найти в книге Ф. Т р и-
к о м и [76], том II, гл. VII, § 4. [См. также Л а н д а у Э., Введение в
дифференциальное и интегральное исчисление, ИЛ, М., 1948, стр. 161
и 166.— Прим, перев.]
31. Коэффициент при у стремится к отрицательному пределу 201
предел уг должен совпадать с пределом отношения у/х,
равным нулю.
Так как у и уг оба стремятся к нулю, то можно вос-
пользоваться равенствами (53) и получить требуемый ре-
зультат (51), так как в данном случае v (%) = ууг 0, и
потому у и у' имеют противоположные знаки.
Покажем теперь, что имеется по крайней мере одно ре-
шение ?/!, для которого выполняется условие первого слу-
чая, и решение г/2, для которого имеет место второй случай.
Для уг это немедленно следует, если рассмотреть любое
решение, определенное начальными условиями:
{/(х0) = а, у' (х0) = а',
где а и а' имеют одинаковые знаки, так как тогда v (х) =
= ууг положительно при х = х0 (а потому и справа от
этой точки).
Из соотношения (5Г), которое можно также переписать
в виде
= 1 + 0(1),
следует, что решение уг можно асимптотически предста-
вить так
f/x(x) = (54)
где е(х)— функция, стремящаяся к нулю при х—> + оо,
а Сх — подходящая постояннаяJ).
Применяя этот результат, а также формулу Лиувилля2),
мы получаем, что для любого линейно независимого с у±
решения у2 уравнения (46) можно написать
У1У2 — УгУ'1 = k,
О Мы пользуемся тем, что если функция ф (х) стремится к нулю
при х —>ос, то
х
Ф (/) dt = о(х).
Хо
Действительно, по правилу Лопиталя предел отношения этого ин-
теграла к х равен пределу ф(х).
2) См., например, Трикоми Ф. [76], ч. II, стр. 301. [См. также
Степанов В. В. [44], стр. 191—192.— Прим, перев.]
202
Гл. IV. Асимптотические методы
т. е.
= А
dx\yj у\
где k — соответствующая постоянная, не равная нулю. Легко
видеть, что, во всяком случае, частное решение г/2, опре-
деленное формулой1)
оо
_ Ъ { dt
(55)
принадлежит второй из указанных выше двух категорий.
В самом деле, так как и интеграл в правой части (55)
и у^2, стремятся к нулю при х—>Ц-оо, то по правилу Ло-
питаля
оо
$ yi2 (0 dt
lim -—_2/ ч
л->оо У1 (*)
lim
х->оо
У?(х)
2уТ3(х)у'1(х)
1 V
= 1Ш1
Л'->00
У1(х) =J_
У1(х) 2 ’
откуда, очевидно, следует, что у2у± стремится к — k/2, и
потому
г/2(х) = [—уй + о(1)] г/Гх(х); (56)
значит, у2(х) стремится к нулю вместе с у^1 (х) при х —>оо.
Заметим, наконец, что поскольку уА и у2 — линейно незави-
симые решения уравнения (46), то любое другое решение у
можно представить в виде
У(х) = С^х) + С2у2(х),
где Сг и С2 — подходящие постоянные; поэтому у будет
«типа г/х» или «типа у2у> в соответствии с тем, будет ли
Сг =/= 0 или Сг = 0.
Закончив доказательство теоремы, сформулированной на
стр. 198, мы уточним теперь асимптотическую формулу (54)
с помощью следующей теоремы, доказанной Асколи2).
’) Из (54) легко проверить, что этот интеграл сходится.
2) Ascoli G., Boll. Unione Mat. Hal., (3), 8, 115—123 (1953).
31. Коэффициент при у стремится к отрицательному пределу 203
Допустим, что Q(%) стремится к —1 при х—>4~°°,
и положим
Q(x) = — [1 +Q2(x)],
r(x) = x + yj QAt)dt, <т(х)= $ УТ+ОИ- (57)
Х0 Хо
Тогда каждое решение у(х) уравнения (46) равно 0(ех)
при %—>4-оо; кроме того, любое решение, стремящееся
к бесконечности, имеет порядок, не меньший е°.
Если функция Q2 удовлетворяет условию
jQl(x)dx<oo) (58)
Хо
то разность т — о стремится к конечному пределу при
х —>4~сю; при этом для любого решения у-Дх), стремя-
щегося к бесконечности,
У1(х) = [/z + o(l)]eT«, (59)
тогда как для любого решения г/2(х), стремящегося к
нулю,
y^x)=\hf +о{\')]е-^\ (59')
где huh' — постоянные, отличные от нуляг).
(Очевидно, что фиксированная абсцисса х0 в интеграле
сг должна быть настолько большой, что 1 + Q2 > 0.)
Для доказательства рассмотрим квадратичную форму от-
носительно у и у'
и (%) = у2 4- /2;
дифференцируя и(х) и применяя дифференциальное урав-
нение получаем
ы'(х) = 2уу' + %у'у" = 4уу'\ 1 + -1 Q2(x)1 .
О Асимптотические формулы (49) и (59') эквивалентны форму-
лам, полученным при том же условии (58), но более сложным мето-
дом, в работе Hartman Р., Unrestricted solution fields of almost-
separable differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., 63, 560—580
(1948).
204
Гл. IV. Асимптотические методы
Так как для любых вещественных чисел а и b
2ай<а2 + &2, (60)
то, в частности,
W < У2 + У'2 = и (х).
Поэтому, считая х настолько большим, что
i + 4q2(x)>0,
мы можем написать
ы'(х) < 2м(х) [1 + yQ2 (X)] ,
и деля на и (которое положительно), получаем неравенство
[In и (х) - 2т(х)] = In [е-^Ми(х)] < 0.
Из него следует, что, по крайней мере для достаточно
больших х, положительная функция
е"2х{х}и(х)
не возрастает и потому при х-> + оо стремится к неко-
торому конечному пределу, положительному или равному
нулю\ этот предел мы обозначим через 2/г2, так что
2h2 = lim (г/2 +у'2) = lim е~~2Ху2 fl + =
х->оо х->оо х У /
= lim e~2V2(l +
х->оо \ У /
Но, в силу (53),
lim(l + ^)= lim(l + =^) = 2,
откуда следует, что функции
е“2Тг/2, е~гху’*
стремятся к общему пределу /г2; следовательно, мы можем
заключить, что если h имеет подходящий знак, то
lime xy = h, lime ху'= Ч-h.
х->оо х->оо
(61)
31. Коэффициент при у стремится к отрицательному пределу 205
Отсюда вытекает, что не только у, но и у' имеет при
х->4-оо порядок, не больший ех (не больший, так как
h может равняться нулю).
Теперь рассмотрим вновь квадратичную форму v(x) =
= уу'\ применяя неравенство (60) к
а = у', Ь = У 1 + Q2(x) у,
имеем
v'(x) = у'2 + [1 + Q2(x)] у2 >
2уу"У 1 + Q2(x) = 2v(x) о'(х).
Разделив на функцию v(x), которую мы будем считать
положительной г), можем написать
_ 2<J'(x) = In l^^)v(x)] > О,
и потому положительная функция
e““2a(x)v(x)
не убывает, по крайней мере начиная с некоторой точки.
Значит, эта функция стремится к пределу, конечному или
бесконечному, но заведомо не равному нулю; обозначив
этот предел через I, получаем
lim e“20v(x) = lim е~ау- e~°yf = Z > 0,
Х->ОО Л'->СО
а так как отношение двух последних множителей стремится
к 1, то у и у' при х->4-оо имеют порядок, не мень-
ший еа.
Первая часть теоремы установлена. Чтобы закончить до-
казательство, воспользуемся тождеством
= 1 + 4 Q2 — V 1 + Q2 =—-------i—
4(1 + 2Q2 4"V 1 + Q2)
из которого следует
X (X) — О (X) = Хо + I \ -----—2 ,
х, 1 4~ 2 Q2C) + V1 + Q2O
(62)
0 Это означает, что исследуется первый из двух ранее рассмо-
тренных случаев, т. е. что у стремится к бесконечности при х —>4~оо.
206
Гл. IV. Асимптотические методы
Допустим теперь, что х0 настолько велико, что при /;>х0
|Q2(0l<C 1/2; тогда
1 + fQ2(O + V1 + Q2(0 > I - { + ]/ I -|> f,
откуда следует
Отсюда вытекает, что при условии (58) разность т (%) —
— о (%) имеет конечный предел при х —> + , и потому
то же верно для отношения ex/e‘J.
Следовательно, на основе (61) мы заключаем, что при
условии (58) для любого решения у±, стремящегося к бес-
конечности при х—имеет место формула (59), где
постоянная h не равна нулю (а также аналогичная фор-
мула, в которой т(х) заменено на о(х)).
Чтобы закончить доказательство, заметим, что из (56)
непосредственно следует, что если для любого решения
«типа у-L» имеет место формула (59) с h 4= 0, то для лю-
бого решения «типа у2» имеет место формула (59х).
Другие асимптотические представления, в которых к
интегралу т(х) добавляется член
X X
х0 h
получены недавно Веллманомх) при менее ограничительных
предположениях, если в (58) интеграл заменен аналогичным
интегралом от | Q2 (х) |3.
О Bellman R., On the asimptotic behaviour etc., Ann. di Mat.
(4) 31, 83—91 (1950). Эта статья содержит незначительную ошибку.
См. также A s с о 1 i G., Sul comportimento asintotico degli integral!
dell’equazione z/"=[l +/(/)]// in un caso notevole, Riv. Mat. Univ. Par-
ma, 4, 11—29 (1953). [См. также Веллман P. [3], русский перевод,
стр. 158.— Прим, перев.]
31. Коэффициент при у стремится к отрицательному пределу 207
В цитированной выше заметке Аскол и доказано, что
если от функции Q2(0 вместо (58) потребовать ограничен-
ность вариации]) на интервале [х0, ос), то формулы (59)
и (59') (с не равными нулю значениями постоянных h и h')
остаются справедливыми, если в них т(х) заменить ин-
тегралом <т(х), так как теперь уже не гарантируется, что
ех и ес имеют при х—> + оо один и тот же порядок.
Мы не будем рассматривать случаи, когда Q(x) стре-
мится к нулю или к бесконечности при х —>оо* 2); ограни-
чимся указанием в качестве иллюстративного примера на
уравнение, в котором Q(x) стремится к нулю, выведенное
из функции
у = ха sin (хр + с),
которая должна служить решением этого уравнения. Так
как
yr = sjn с) p^a+p_1 cos л..
„ Га (a — 1) 32 "I n . / в - 4 .
у = |_ J x sln и + c) +
+ ₽ (3 + 2a — 1) xa+V-2 cos (,v₽ + C),
то, если аир связаны соотношением
р(р + 2а — 1) = 0,
заданная функция удовлетворяет дифференциальному урав-
нению типа (46)
(63)
Этот пример интересен тем, что если 0 р << 1, например
р = х/2 и потому a = х/4, то решение, из которого мы ис-
ходили, является при х—>4-оо колеблющимся; с другой
стороны, так как
О См. в § 33 примечание о функциях ограниченной вариации.
2) По поводу исследования этих случаев см. Сансоне Дж.
[42], глава VII.
208
Гл. IV. Асимптотические методы
то предельное уравнение, соответствующее (63), имеет про-
сто вид у" = 0 и его общее решение у = qx + с2 не содер-
жит колеблющейся части. Поэтому уравнение (63) является
хорошим подтверждением справедливости того положения
(о котором мы уже говорили), что асимптотическое пове-
дение решений дифференциального уравнения не во всех
случаях можно вывести из поведения решений предельного
уравнения.
32. Подготовка к асимптотическому исследованию
собственных значений и собственных функций
Этот и последующие параграфы, продолжая результаты
§ 26, содержат более глубокое исследование с помощью
асимптотического метода собственных значений и собствен-
ных функций для системы Штурма—Л иу вил л я при боль-
ших значениях индекса п.
Иногда удобно видоизменить преобразования, с помощью
которых в § 18 заданное уравнение приводилось к форме,
содержащей только член с у" и член с //, сделав так, что-
бы коэффициент при у в уравнении (который мы будем
всегда считать линейной функцией параметра %) приводился
к виду </(%) +А,, т. е. чтобы функция, ранее обозначенная
через г(х), приводилась к единице. Польза такого преобра-
зования была уже очевидна в § 26.
Рассмотрим сначала сведение общего линейного одно-
родного уравнения второго порядка
Л(х)§ + В(х)| + С(х)// = °
к форме, в которой коэффициент при первой производной
равен нулю.
Положим
y = a(x)z,
где a (%) —- заданная функция, аг — новая неизвестная функ-
ция; тогда получится уравнение, подобное исходному,
а именно
4,(x)g +B1(x)g + CJ(x)z = O,
32. Подготовка к асимптотическому исследованию
209
где
Аг = Ла, Вх = 2Ла' + Ва, = Ла" + Ва' + Са.
Произведем теперь замену независимой переменной
g = ф (%) dx,
откуда
dz / \ dz d2z о / \d2z . ,, ч dz
Тогда заданное уравнение примет вид
А ф2 S + (Аф' + Аф) $ + А? = о,
as “S
и коэффициент при dz/d^ будет равен нулю, если потребо-
вать, чтобы
Л1ф' + В1Ф = О,
т. е. если выбрать функцию ф так, чтобы
ф' _ Bi _ 2Да' + Ва _ % а'__
Ф Лх Дос а А
откуда, интегрируя, получаем
Ф(%) =
1
0С2(х)
В(Х)
. Л(Х)
е
Применим теперь это преобразование к уравнению
+ kW + V(x)jz/ = o,
(64)
для которого
Л(х)= р(х), В(х)= р'(х), С(х) = <?(%)+ V(x),
а2(х)р(х)’
210
Гл. IV. Асимптотические методы
так что
9 = “«г- Е = <65>
Тогда уравнение приобретает вид
+ IP»" + Р'а' + (<7 + hr) a] z = О,
откуда, если разделить на старший коэффициент и поло-
жить
<7* (|) = asp (pa." + р'а' + qa), г* (£) = сСрг,
получим форму
+ [<Г(Ю + V-(£)]z= О
или более простую форму
g + [^a) + Mz = o, (66)
а<э
если функцию а, до сих пор не определенную, выбрать
так, чтобы
r*(£) = a4pr = 1,
т. е.
а(х) = (р(х)г(х)] *. (67)
Этот выбор а всегда возможен в вещественной области,
если, как мы будем предполагать, р(%)>0, г(х)>0.
Итак, если задано уравнение вида (64), где функции
р(х) и г (%) положительны и дважды непрерывно диффе-
ренцируемы, то преобразование (65), в котором функция
а (%) определена формулой (67), т. е.
__ £
y=[p(x)r(x)] *z,
v г гхА/
переводит заданное уравнение в уравнение (66), где функ-
ция g*(g) определена выше.
32. Подготовка к асимптотическому исследованию
211
Поэтому при изучении собственных значений и собствен-
ных функций системы Штурма — Лиувилля можно всегда
считать, что заданное уравнение имеет вид (66); меняя g
на х, q* (£) на —Q (х) и А, на р* 2 х), мы приходим к канони-
ческой форме
/72 ?
n^+[^-Q(x)]z= 0. (68)
Кроме того, можно считать, что основным интервалом
является интервал [0, л], так как в случае необходимости
этого можно всегда добиться с помощью подходящей за-
мены независимой переменной2).
Упрощение, получаемое при замене (64) на (68), видно
при рассмотрении фундаментальных неравенств (72) преды-
дущей главы; теперь [для уравнения (68)] они приобретают
более простой вид:
(п —-1)2 + minQ(х)< р«<(п + I)2 -f- maxQ(х) (69)
(где Кп = р2), откуда немедленно следует, что р2=/г24-О(/г),
т. е. что
р-л — п О (1).
(69')
Сделанное выше предположение о том, что функции
р (х) иг (х) обе положительны, иногда оказывается слишком
ограничительным, и мы кратко познакомимся с примером,
в котором функция г(х) может менять знак.
Если предположить, что функция г(х) имеет единствен-
ный простой нуль в точке х0, и если принять х0 за нижний
предел интеграла, определяющего g (так что значение х = х0
соответствует £ = 0), то можно написать
г(х) = gp (х),
О Эта подстановка обоснована, так как на стр. 156 было показа-
но, что при г(х)>0 может быть только конечное число отрицатель-
ных собственных значений; поэтому п для достаточно большого Ал
заведомо положительно.
Начиная отсюда и далее, мы будем считать, что ц > 0.
х — а
2) Подстановка х! = л преобразует интервал а < х < b в
О < х' < л.
212
Гл. IV. Асимптотические методы
где р(х) — функция, которая всюду отлична от нуля и ко-
торую можно считать положительной, заменив в случае
необходимости, % на —%; следовательно, (67) можно заме-
нить на
а(х)= [р(х)р(х)] 4.
Эта подстановка заменяет (68) на
^ + [%x-Q(x)]z = 0,
где предположение X ^>0 не является ограничением общности
(так как х можно заменить на — х); поэтому, полагая Л = ц2,
получаем каноническую форму
—+ [p,2x-Q(x)]z = 0.
(68')
33. Первая форма асимптотического выражения
для собственных функций
Так как «приближающее» уравнение z" + = 0, соот-
ветствующее уравнению (68), обладает фундаментальной
системой решений (с равным единице определителем Врон-
ского)
то, отождествляя (68) с (10) и, следовательно, C(x)c Q(x),
мы немедленно получаем из (32) два фундаментальных ре-
шения уравнения (68) в виде суммы абсолютно и равно-
мерно сходящихся рядов
со х
1 с
гх(х) = -=- cos + 2 \ К„(х, (-)cos vldl
Г U L
п=1 о
п~ 1 о
33. Первая форма асимптотического выражения
213
где Кп(х, £)— п-я итерация ядра
К (х, I) = [Л (£) F3 (х) - Л (?) Л (х)] Q ф =
= lsinfx(x—g)-Q(g).
Г
Поэтому, если Аг = А, А2, А3, ... — последовательные ите-
рации ядра
А(х, g)= sinp(x —g)-Q(g),
то общее решение уравнения (68) имеет вид
2(х) = (q cos рх + с2 sin рх) +
+ 2 Л„(х, |)(CjCOS|*g 4-c2sinpg)dg, (70)
П=1 о
где q и с2 — произвольные постоянныеJ). С помощью почлен-
ного дифференцирования (которое допустимо), мы получаем,
помимо (70), формулу для производной
z'(x) = р (с2 cos рх — с± sin рх) +
°О X
+ 2 -^-(Cicosfig + ^sinp^dg, (70')
3 ох
п~1 О
так как Д«(х, х) = 0 для всех п.
Чтобы перейти к краевым условиям, мы поступим, как
в § 22; поскольку фундаментальным интервалом служит
[0, л], эти условия можно записать в двух эквивалентных
формах:
Лз(О) + /z'z'(O) = 0, kz(n) 4- k'z'(n) = 0 (71)
или
2(0) cos а — z'(0)sina = 0, z(n;)cosp— z'(n) sin [3 = 0, (7 К)
где углы аир однозначно определены соотношениями
tga= — h’/h (0<а<л), tg р = — k'/k (0<р<л).
О Множитель 1/]7р включен в произвольные постоянные.
214
Гл. IV. Асимптотические методы
Отвлечемся на время от краевого условия на верхнем
пределе х = л; так как из (70) и (70') следует, что
2(0) = с19 z'(0) = рс2,
то ясно, что условие на нижнем пределе х = 0 удовлетво-
рится, если положить q = since, pc2 = cosa, т. е. если
z(x) = sin a cos px H— cos a sin px +
P
/ 1 \
(sin a cos pg Ц-—cosasinpgj dg. (72)
OO X,
n=l 0
Из этой формулы вытекает довольно важный результат
z(x) = sin a cos рх + О(ц-1)1), (73)
который, однако, можно существенно улучшить. Например,
можно получить асимптотическое представление с остаточ-
ным членом О(р~2), а не О(р~1) (как выше); это делается
следующим образом.
Из (72) мы выводим
1
z (х) = sin a cos Рх + “ cos a 8^п +
х
+ Sin I1 ~~ £) C0S (£) + 0 (И-2) =
и «J
• I
= sin a cos px Н— cos a sin px +
x
+ [sin px + sin Ц (x - 2|)] Q (I) dl + О (p~’) =
0
। i г
= sin a cos px + ~ I cos a
x
+ ^- $Q(|)ddsinpx +
o
О Он показывает, что для больших значений ц синусоидальный
член дает первое приближение к собственной функции.
33. Первая форма асимптотического выражения
215
sin a sin цх
2ц
X
$Q(£) cos2n£dg—
О
jj q {S) sin +0 (Ц-*).
2ц J
Но, с другой стороны, если функция Q(x) имеет ограни-
ченную вариацию1'), то
^(^соэгц^^ООл-1),
о (74)
jQ(^)sin2p^^ = 0(p-1)
О
и, следовательно, последние два члена в выражении для
z(x) можно включить в 0(р“2); итак,
I
z(x) = sin a cos цх 4— [cos а + Т (х) sin а] sin цх 4~ О (ц~2),
ц
(75)
где
X
l.\Q^dl = T(x). (76)
0 Так как любую функцию ограниченной вариации можно пред-
ставить в виде суммы двух ограниченных монотонных функций, и
наоборот, то ясно, что достаточно установить (74) для монотонной
функции Q (х); тогда можно применить вторую теорему о среднем
значении, и потому, если число 0 заключено между 0 и 1,
0Х
J Q (g) sin 2Иg dl = Q(0) J sin 2jig d£ + Q (x) J sin 2^ d% =
о о 9x
_ Q(Q) [j — cos 2jiQx] + [cos 2p0x — cos 2jix] = 0(рл1);
2)1 2ji
аналогичный результат получается для интеграла с косинусом.
Чтобы функция на конечном интервале имела ограниченную ва-
риацию, достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Липшица»
216
Гл. IV. Асимптотические методы
Формулы (73) и (75), которым соответствуют формулы
для производной [их можно вывести из (70')]
z'(x) = — ц sin a sin цх 4-0(1), (73')
z'(x) = — ц sin а sin р,х 4"
4- [cos а 4~ Т (х) sin а] cos цх 4" 0 (ц"1), (75')
вообще говоря, более чем достаточны для практических
целей, если а=/=0; они дают первую форму асимптоти-
ческого выражения для собственных функций1). Еслиос=0,
то удобно вместо z(x) подставить z(x)/p, и тогда формула
(72), взятая до члена п = 1, дает
z(x) = sin px 4- —( sin ц (х — g) sin ц(£) 4- О (ц~2) =
о
= sin цх
cos рх
2р
х
\Q(№ +
О
X
+ -Г5 cos ц (х - 2g) Q (g) dg + О (ц-2).
А
Отсюда, в силу (74) и (76), получаем
z (х) = sin цх —- Т (х) cos цх 4- О (ц~2), (75")
н
и
?'(х) = ц cos цх 4- Т (х) sin цх 4- О (ц”1). (75"')
Для любого значения ц (кроме собственных значений,
см. следующий параграф) правая часть (75), умноженная на
произвольную постоянную С, дает в некотором смысле
асимптотическое выражение при ц -> оо для общего реше-
ния, зависящего от двух произвольных постоянных а и С,
уравнения (68).
О Первую форму, так как окончательная форма требует (асимп-
тотического) подсчета собственных значений, т. е. значений р.
34. Асимптотическое выражение для собственных значений 217
34. Асимптотическое выражение для собственных
значений
Теперь мы найдем «собственные значения» р^1) задачи,
воспользовавшись краевым условием на верхнем пределе
х = л, для чего нам надо разрешить относительно р урав-
нение
z (л) cos [3 — z' (л) sin 3 = 0.
Воспользовавшись формулами (75) и (75') и произведя
деление на р, это уравнение можно переписать в виде
sin a sin 3 sin рл 4-
+ ^sin а cos 3 — [cos а + Т (л) sin а] sin з| + О (р“2 3) = 0
или, предполагая, что а > 0, 3 я, и разделив на
sin a sin 3»
sin рл + — [ctg 3 — ctg а — Т (л)] cos рл + О (р~2) = 0. (77)
И
К этому уравнению полезно применить общую теорему
о нулях функции с известным асимптотическим представ-
лением; в простейшем виде эта теорема формулируется сле-
дующим образом2):
Пусть функция f (%) при х0 х сю имеет ограни-
ченную вторую производную и представима в виде
f (*) = go (х) + Xgi (х) 4- О (х~2) (X -> оо),
где функции go(x), gi(x) и gi(x) ограничены^)и \g^x)\ Y
+ I go (х) | т > 0 (т — некоторая постоянная). Пусть
О В действительности, собственными значениями являются квад-
раты pi2, р22, •••> а не pi, р2, - (ср. § 32); но мы для краткости бу-
дем здесь называть pi, р2, - собственными значениями.
2) Здесь не вполне ясная формулировка нами заменена.— Прим,
перев.
3) Из доказательства видно, что функции go , gi, g\ могут
быть ограниченными только на множестве точек, в которых] £о(х)| <
«С е, где е — какое-либо фиксированное положительное число. Кроме
того, условие ограниченности f" можно заменить таким: fx(x) —
—go'(x)~*O при х-*оо.— Прим перев.
218
Гл. IV. Асимптотические методы
далее нули функции gQ(x) при х0<^ х <^оо образуют бес-
конечную последовательность <С х2 х3 <С • • • -> сю.
Тогда при достаточно больших х нули функции f(x)
также образуют бесконечную последовательность х^
xv+i ^v+2 <С • • • , причем
Хп — хп * + О (хп ) (п “> оо). (78)
хп&о'хгд
Обозначим через Мг верхнюю грань функции | /" | и вы-
берем какое-либо положительное число 8 так, чтобы
т т2
—, ----------
2 16МХ
Рассмотрим какой-либо нуль xz- функции gQ(x) при г\>2.
Тогда при увеличении и при уменьшении х неравенство
| go (х) | т/2 остается при | gQ (х) | 8 заведомо справед-
ливым; поэтому можно указать интервал // = [xz— Л/,
Xi + лЛ, внутри которого gQ (х) монотонна, | go (х) | т/2
и I go (Xi — Л/) I = I go (Xi + л") | = 8- Ясно, что тогда
Интервалы следуют один за другим, попарно не перекры-
ваясь, и характер монотонности gQ (х) на последовательных
интервалах — противоположный. Заметим, далее, что всю-
ду вне интервалов Z, (правее /2) будет |g0 (х) | > 8, так как
в противном случае функция | gQ (х) | имела бы положитель-
ный минимум х, в котором g'Q (х) = 0, | gQ (х) |^8, а это
противоречит требованию | gQ (х) | + g'Q (х) | > т.
Будем теперь считать х настолько большим, что | f (х) —
— go (х) I 8/2. Тогда вне интервалов h будет | f (х) | > 8/2,
т. е. функция f(x) нулей не имеет, а на концах каждого
интервала // функция f(x) принимает значения противопо-
ложных знаков, т. е. внутри h эта функция имеет по край-
ней мере один нуль х*.
34. Асимптотическое выражение для собственных значений 219
Убедимся, что этот нуль единственный. Действительно,
если это не так, то f' на Ц имеет по крайней мере один
нуль g. С другой стороны,
(*Z + п?) — (*Z — Hz) 4е//П 4 ’
и потому на It имеется точка g, в которой | f'(g) | >/п/4.
Но тогда между g и g имеется точка g*, в которой
Г(Р~Г(£) W4 > ттг/4 _т* > м ,
что противоречит определению постоянной Мъ
Проверим, наконец, соотношение (78). Для этого обо-
значим б/ = х* — Xi. Тогда
f(xz) = g0(%i + fy) + gi(x> + 6Z) + O(xi ) = 0,
g0(x£) = 0,
откуда
g0(Xi + 6Z) — g0(x£) +—L^gl(Xi + dz) + O(x?2) = 0
и потому, по формуле конечных приращений,
б'=- +0(-1Гь
где 9 — некоторое число между 0 и 1. Отсюда прежде
всего
I fy I < [О(хГЪ + О«2)] =О(хГ1).
772/^
Далее, из предыдущего равенства следует, что
220
Гл. IV. Асимптотические методы
б‘ = +O(6/X-2)')[g1(V+O(6/)]+O(x72)|=
\60K*V/ /k\*z’ / )
= “Цй +°(V)W) + 0(x7x)]+O(x72)|=
\60K*V/ /k\*z’ / )
=-w>w+0(x72)’
что и требовалось доказать.
Применим теперь доказанную теорему к уравнению (77).
Для этого заметим сначала, что, в силу формул (73) и (73')
и неравенств 0 а << л, корни «приближающего» уравнения
sin рл = О
надо занумеровать в порядке
А0)=п (п= 0, 1, 2, ...),
если мы хотим, чтобы (п + 1)-му собственному значению р^1)
соответствовала собственная функция, обращающаяся в нуль
п раз внутри интервала (0, л) (ср. § 24). Обозначая
£0(р) = sin рл, go(p) = л cos рл,
gi(tO = [ctg Р — ctg а — Т (л)] cos цл,
получаем, в силу (78),
Ц„= п + Л-[ctg a — ctg 3 +Т(Л)] + О(п~2) (79)
или
i Г Ь h
+ Л-Л + Т(л) +0(п-^). (79')
jlll, \ FC П I
Эти формулы выведены в предположении, что а7>0, р<^ л.
Если а 0, р = л, то (77) надо заменить уравнением
z (л) = 0, которое после деления на sin а приобретает вид
’) При этом первое собственное значение получается при п=0.
34. Асимптотическое выражение для собственных значений 221
j
cos цл + — [ctg а + Т(л)] sin цл + 0(ц-2) = 0;
отсюда, как и выше, выводится формула
Нп = « + у + жАх/Jctgtt + + 0
Z г /2/
Ее можно записать в любой из двух форм
H«=M+y + ^[ctga4-7'(n)] + O(n-2) (0 = л) (80)
ИЛИ
1 1 Г h “1
Нп=«+у+4- —- + Т(л) Ы-0(/г2) (Р = л). (80')
*)1/4 I
Для случая a = 0, ₽<Сл уравнение, которому нужно
удовлетворить на верхнем пределе х = л, составляется на
основе (75") и (75"'). Если это уравнение разделить на
— psin[3=/=0, то оно приобретает вид
cos рл + [— ctg р + Т(л)] sin рл + О(р~2) = 0.
Как и выше, мы находим отсюда
H«=n+4 + ^[-ctg3 + ^)] + O(n-2) (a = 0) (81)
ИЛИ
1 1 Г k “1
и„=„+±+± - + Т(л) +O(n-2) (а = 0). (8Г)
J t FL К, I
Остается, наконец, рассмотреть случай а = 0, В = л;
здесь, в силу (75"),
j
sin рл---Т(л) cos рл + О(р"~2) = 0,
Р
и при решении «приближающего» уравнения
sin рл = 0
нужно заметить, что вместо р{г0) = п надо принять р„0) =
= п + 1, чтобы соответствующая собственная функция
222
Гл. IV. Асимптотические методы
обращалась в нуль п раз внутри интервала (0, л). Следова-
тельно, мы приходим к формуле
|Л„ = n + 1 + 1 Т(л) + О («"’),
+ 1)
которую можно записать в виде
|Л„ = п + 1 + — Т(л) + О (п~«) (а = О, р = л). (82)
лп
Для запоминания этих результатов полезно заметить,
что формулы для трех подслучаев £ = л, а 0; а = 0,
£=/= л; а = 0, £ = л можно получить из формул для общего
случая, т. е. формул (79)—(79'), если отбрасывать те члены
ctg a, ctg р, h/h', k/k', которые становятся бесконечными,
одновременно добавляя г/2 к первому слагаемому п взамен
каждого из отброшенных членов.
35. Вторая форма асимптотического выражения
для собственных функций
Теперь мы еще раз кратко рассмотрим собственные
функции системы Штурма — Лиувилля с тем, чтобы вывести
асимптотическое выражение для (и + 1)-й собственной функ-
ции z„(x); это легко сделать, если в формулу (75) § 33
вместо ц подставить асимптотическое выражение (79') для
Для краткости удобно положить
1 Г / \ h . k 1
7 (л) _ + _ = с,
л L h k J
откуда
cos [inx = cos [nx + ~ + О (n~2)] = cos (nx + ~ j 4- O(n"2) =
= cosnx— — sin/zx—— (—! COS MX 4" ... +O(n“2) =
n 2! \ П ! v 7
= cos nx — — sin nx + О (n~2)
n
и аналогично
sin [inx = sin nx 4- — cos nx 4- О (n~2\
n
35. Вторая форма асимптотического выражения
223
Однако
Поэтому из (75) мы выводим
zn (х) = sin а cos пх — sin nx^j +
j
+ — [cos а + T (х) sin а] sin пх + О (n~2) =
= sin а {cos пх + у-[Т (х) + ctg а — сх] sin nxj + О (и”2),
т. е.
гп (*) = sin а {cos пх-\- (х) — ~ sin пх} + О (п~2).
(83)
Чтобы от этой формулы, представляющей собственную
функцию, которая отвечает некоторому частному значению
содержащегося в ней произвольного постоянного множителя,
перейти к формуле для нормированной собственной функ-
ции, нужно начать с подсчета соответствующего нормирую-
щего множителя N (§ 26, стр. 162); полагая г(х)=1,
а = О, Ь = л, получаем
АГ-2 = Zn (х) dx.
Этот интеграл можно подсчитать асимптотически, если
возвысить в квадрат, а затем проинтегрировать обе части
(83)1), откуда
о Если
F(x) = f(x) + O(n-h).
т. е.
F(x) = fU) + ^l,
пп
где А(х, п) ™ ограниченная функция, то
ь ь ь ь
F(x) dx = { f(x) dx -]—1— A (x, n)dx= f (x) dx A-O(n~h).
a a nh S a
224
Гл. IV. Асимптотические методы
N 2 = sin2 а (
О
h ~ I
Т (х) — — — сх sin 2пх | dx +
+ О(и~2).
Однако, так как функция Т(х) — — сх непрерывно диф-
ференцируема, то интеграл от ее произведения на sin2nx
равен О (и-1) (ср. стр. 215), откуда вытекает более простой
результат:
№2 = sin2 а cos2 nxdx + O(n~2),
О
т. е.
АГ2 = ± sin2 а + О(п~2).
Поэтому асимптотическая формула для n-й нормирован-
ной собственной функции фЛ(х) имеет вид
cos пх
— сх
sin nxj + О(м“2)
(84)
в предположении, что а=/=0, £ =# л, т. е. h'=f=O, k'=(=0.
Если же k' = 0, но h' =/= 0, то с помощью совершенно ана-
логичных выкладок мы получаем формулу
— с'х sin
(84')
где
±[7'М-Л]=С-.
В случае h' = 0 (будет ли k' = 0 или нет) результаты
несколько отличаются, так как тогда в (75) первый член
35. Вторая форма асимптотического выражения
225
обращается в 0 и надо пользоваться формулой (75"); это
с помощью (8 Г) даст при k'=f=O
(1 \
п + — \х —
— ± [Т(х) — с"х] cos (п +1) X + 0(п-2), (83")
где
В подслучае h' = k' = 0 мы находим из (82)
z„(x) = sin(n + 1)х —
_ 1 [7(Х) _ cr"x] cos (n + 1) x + 0(n-2), (83”)
где
c- = l ?(«).
В обоих этих подслучаях нормирующий множитель удов-
летворяет соотношению
,V-2 = | + O(n-2),
так что
фп(х)= 1/4 [sin ( п + -М х —
—- [T (x) — c"x] cos X} + O(n-2)
(h' = 0, fe'^O) (84")
и
q>n(x) =1/4 {sin(rt + 0 x —
— 4 [T (x) — c”’x] cos (n + l)x| + O(n-2)
(ft' = ft' = 0). (84”)
226
Гл. IV. Асимптотические методы
С помощью (73') и (75') можно вывести аналогичную
систему асимптотических формул для первых производных
от собственных функций; эти формулы имеют вид:
<Р« (*) = ]/ -|-
п sin ПХ +
[ Т(х) — — схj cos пх 1 + О(п-1)
(h' =f=0, k'=f= 0),
(85)
+ [Т(х) — с"х] sin(n+-|jx) 4-O(n~l)
(/i' = 0, k’j=O),
<₽« (*)=+^cos (n+1v+
+ [T(x) — c"x] sin(n + l)x 1 + O(n-1) (h' = k' = O).
Интересно отметить, что, так же как (75') и (75'"), эти
новые результаты можно было бы получить нестрого с по-
мощью дифференцирования асимптотических выражений для
собственных функций и замены остаточного члена О(п~2)
на О (аг-1). Следовательно, указанные преобразования обосно-
вывают такое дифференцирование, которое априори могло
бы показаться сомнительным.
36. Уравнения с переходными точками
Теперь мы кратко рассмотрим асимптотическое поведе-
ние при ц->оо решений канонического уравнения (68')
в окрестности точки х = 0; эта точка не является особой
36. Уравнения с переходными точками
227
для уравнения (68') в обычном смысле слова, но для асим-
птотического представления решений является «исключи-
тельной» точкой; действительно, знак разности
Р(х) = ц2х— Q(x),
который определяет (см. § 19), будут ли решения колеблю-
щимися или нет, для больших значений ц существенно
зависит от члена ц2х, меняющего знак при переходе х
через начало координат. Такая точка будет называться
переходной (transition point)1).
Для прямого изучения уравнения (68') мы воспользуемся
методом Фубини (§ 29); произведем замену переменной
X = 3~1/Зц~2/Зл (86)
которая преобразует уравнение (68') в
^ + |/г=ц-4/^(0г, (87)
где
Q* (/) = 3~2/3Q (3_1/3р_2/30; (88)
поэтому если функция Q(x) ограничена (по крайней мере
в некоторой окрестности начала координат) и t ограничено,
то коэффициент в правой части уравнения (87) равен
О(ц~4/з) Далее, «приближающее» уравнение
—+~te=0 (89)
dt* 3 v '
удовлетворяется функцией Эйри
№П+Ч2(Я”]}
О Для уравнения (64) при условии р(х)>0 переходными точка-
ми служат нули нечетного порядка функции г(х). По этому поводу
см. статью Е г d ё 1 у i A., Proc. Inter. Congress Math., Amsterdam, 3,
92-101 (1956).
228
Гл. IV. Асимптотические методы
и присоединенной к ней функцией1}
( г //43/2-1 Г //\3/2-1х
A2(t) = ^Vt {j_1/3 j|,
линейно независимой с (t) (так как определитель Врон-
ского для этих двух функций равен —л/3).
Применив (35), мы можем теперь утверждать, что ка-
ноническое уравнение (68'), для которого функция Q(x}
непрерывна в окрестности начала координат, обладает
двумя линейно независимыми решениями Zx и Za, имею-
щими асимптотические представления
Zh = Ah(t) + O^-^ (Л =1,2),
т. е.
гЛ = лЛ(з1/3ц2/3х) + О(ц-^).
(90)
Этот результат обосновывает наименование переходная
точка, присвоенное точке х = 0, так как аргумент у Ah
стремится к +оо или к —оо при ц —>оо в зависимости от
того, будет лих>0 или х<^0, а асимптотическое пове-
дение функций Ah(t) при /->4-оо совершенно отличается
от их поведения при t ->—оо.
В первом случае, применяя классические асимптотиче-
ские формулы, которые можно найти в последнем пара-
графе (§ 52) этой книги, для функций Бесселя, мы полу-
чаем результат
ЛЛ(0 = /л(3/)-1/4соз[2Ш3‘% 2S] + 0(Г7/<), (91)
L \ о / 4 J
где знак — относится к случаю h = 1, а знак + к случаю
h = 2. Эта формула ясно показывает (затухающий) колеба-
тельный характер обеих функций при t—>+оо. С другой
стороны, при /->— оо функция A^t) стремится (экспонен-
циально) к нулю, а функция Ла(/) стремится (также экспо-
0 Эта функция была применена автором в его статье Sul com-
portamento asintotico dell’ nesimo polinomio di Laguerre nell’ intorno
delfascissa 4л, Comm. Math. Helvetic^ 22, 150—167 (1949).
36. Уравнения с переходными точками
229
ненциально) к бесконечности-, это видно из формул
Ах(-0 =|У^(3/) 1/4 eXp[-2(|y/2j[l + O(F3/2)],
А2(-0 =У^(3/) 1/4 еХрГ2(|)3/21[Ц-О(Г3/2)],
(92)
которые можно вывести из тех же асимптотических пред-
ставлений функций Бесселя, но наиболее просто — из вы-
ражений
Л1(-О = 1уг ^/з[2(|)3/2],
л2(-0 уг (z_1/8^(|)3/2J + А/з[2(|)8/а]|,
(93)
где Kv и Iv — видоизмененные функции Бесселяг).
Если приближение, даваемое формулой (90), недоста-
точное, то требуется подсчитать последующие члены асим-
птотического разложения функции Zh по методу, указан-
ному в § 29. Например, для получения асимптотической
формулы, содержащей два члена, надо воспользоваться фор-
мулой (35'), которая в данном случае имеет вид
t
Zh = Ah(f") + $ L(t, %)Gh(x)d% + О(ц~8/3),
о
где
0 См., например, Магнус В. иОберхеттингер Ф. [66],
стр. 28. [См. также Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, 1,
ИЛ, М.» 1949, стр. 210—211. — Прим, перев.]
230
Гл. IV. Асимптотические методы
И
L (t, т) = Аг (г) Д2 (0 - А, (О Л2 (г).
Если теперь обозначить
t
^Qt(r)Ah(r)Ak(r)dr = Bh,h(t), (94)
О
то формулу для Zh можно переписать в виде
Zh = Ah (0 + | и-4'3 [Л, (/) Bh,2 (/) - Л2 (/) Вил (/)] + О (р-«/з),
(95)
где еще требуется перейти к исходной переменной х
с помощью (86).
37. Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра
Как было указано в этой главе ранее, в некоторых при-
ложениях теории дифференциальных уравнений, например
к атомной физике, асимптотическое поведение решения рас-
сматриваемого уравнения определяется условиями задачи.
Например, если основным интервалом служит интервал
[О, сю), то может оказаться, что решение должно принять
заданное значение у(0) в начале координат и удовлетво-
рять единственному дополнительному условию ограничен-
ности при х—>Н-оо или роста не быстрее некоторой сте-
пени х и т. д. В других случаях может быть, что основной
интервал (а, 6) конечный, а от решения требуется, чтобы
оно оставалось ограниченным на концах этого интервала,
хотя они являются особыми точками дифференциального
уравнения и т. д.
Из-за многообразия возможных случаев и вытекающей
из него трудности объединения их в общей теории мы огра-
ничимся здесь рассмотрением некоторых частных примеров,
которые, помимо самостоятельного интереса, иллюстрируют
применение разработанных до сих пор основных методов
к исследованию задач такого типа.
Следует отметить, что общее соответствие, которое
имеется между системами Штурма — Лиувилля в собствен-
37. Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра
231
ном смысле слова и системами с дополнительными усло-
виями асимптотического типа, не исключает существования
некоторых отличий; в частности, у систем второго типа
может оказаться непрерывный спектр собственных значе-
ний, т. е. множество собственных значений, целиком по-
крывающее один или несколько отрезков оси X.
Так будет, например, в элементарном случае уравнения
с постоянными коэффициентами
у" + = О,
рассматриваемого в интервале [0, +оо) при условиях
i/(0) = 0 и ограниченности у(х) при х->4~оо.
Общее решение этого уравнения имеет вид
у= CiSinj/Tx + C2cos]/Tx, у = С2,
у = Q shУ—Кх + С2ch]/ —А/х
в зависимости от того, будет ли А, > 0, К = 0 или К 0.
В первом случае, чтобы удовлетворить краевым условиям,
достаточно положить С2 = 0; во втором же и третьем слу-
чаях для выполнения первого краевого условия надо поло-
жить С2 = 0, однако второму условию можно удовлетво-
рить, только положив Q = 0, что приводит к тривиальному
решению у = 0. Следовательно, мы заключаем, что все
положительные значения А, и только они являются собст-
венными значениями рассматриваемой задачи: собственные
значения образуют, таким образом, непрерывный спектр
в указанном выше смысле.
Рассмотрим теперь наиболее интересный, хотя и не самый
простой, пример уравнения Лагеррах), именно
ху" + (а + 1 — х) у' + Ку = 0, (96)
где а—вещественная постоянная, которую мы будем счи-
тать большей —1, а X —вещественный параметр, заранее
0 Это сокращенное наименование для уравнения, которому удов-
летворяют полиномы Лагерра. В следующей главе (§ 52) будет
показано, что уравнение (96) совпадает с дифференциальным уравне-
нием, которому удовлетворяют конфлюентные гипергеометрические
функции.
232
Гл. IV. Асимптотические методы
неизвестный. Уравнение рассматривается в интервале
(О, 4-оо), и ищутся решения у, удовлетворяющие следую-
щим асимптотическим условиям на концах:
(1) регулярность в окрестности точки х = 0, т. е. у
должен быть в некотором интервале справа от начала коор-
динат, представим в виде суммы ряда по степеням х;
(2) алгебраическое возрастание при х—>+оо, т. е.
должны существовать такие положительные постоянные N
и Л, что справа от некоторого х0
\у(х)\<Ах“. (97)
В силу первого условия, напишем
у = с0 + схх 4- с2х2 4- с3х3 + ... (98)
и подставим в заданное уравнение для определения коэф-
фициентов cv. Это даст
4~ (а 4” 1) ci 4" 2 Cv 4"(v4-1) (v-f-ocH- 0cv4-il*^v=
v=l
так что коэффициенты должны удовлетворять рекуррентным
соотношениям
^=-(v+1)X+i)c’ <99>
откуда
л __/ 1 \v %(Х — 1).. .(X — у 4~ 1) /1 лл\
v ( ) v!(a + 1) (a + 2)... (a + v) °* )
Эти результаты показывают, что имеется оо1 решений
уравнения Лагерра, удовлетворяющих первому из постав-
ленных условий, так как из (99) следует, что
lim^L=lim(v + l)(v + « + l)=0o>
V-КЮ ^V-bl V->OO V
и поэтому ряд (98) имеет бесконечный радиус сходимости.
Однако это решение, вообще говоря, не удовлетворяет
второму условию, так как, за исключением случая, когда
X целое не отрицательное и потому ряд (98) конечен и
37. Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра
233
сводится к полиному, такие постоянные N и А, чтобы
удовлетворялось условие (97), найти невозможно.
В самом деле, так как (v + 1) (v + а + 1) > 0 и так
как для любого (вещественного) значения X v — X > О,
начиная с некоторого v0, то из (99) следует, что cv и
при v > v0 имеют одинаковые знаки; значит, можно принять,
что при v > v0 cv > 0 (после перемены в случае необходи-
мости знака с0). Следовательно, если разбить ряд (98) на
две части и написать
v0 оо
P(x)=2cv^v» ?(х) = 2 Cv%V’
v=o v=v04-i
то решение y(x) можно рассматривать как сумму некото-
рого многочлена Р(х) степени v0 и целой функции F (х),
ряд для которой имеет все коэффициенты положитель-
ными. Но сумма такого ряда, очевидно, не может удов-
летворять краевому условию вида (97), так как она больше
каждого из своих слагаемых и содержит слагаемые как
угодно высокой степени. Поэтому и решение у (х) не может
удовлетворять условию (97), так как в противном случае
и функция F (х) = у (х) — Р (х) удовлетворяла бы аналогич-
ному краевому условию (для чего показатель степени х
в правой части достаточно взять не меньшим каждого из
чисел N и v0).
В этом рассмотрении предполагалось, что X не является
целым неотрицательным числом.
Если же Х=п (л=0, 1,2, 3, ...), то Сл-н = = ... = О
и ряд (98) приводится к полиному степени п, который,
очевидно, удовлетворяет краевому условию (97) с N = п.
Отсюда мы заключаем, что рассматриваемая задача
имеет решение тогда и только тогда, когда параметр X
равен одному из значений О, 1, 2, 3, ..., которые будут
также называться собственными значениями.
Собственная функция, отвечающая (п + 1)-му собствен-
ному значению Хл = п, представляет собой многочлен отно-
сительно х степени п, который будет полностью определен
(поскольку он до сих пор содержал произвольный постоян-
ный множитель), если принять
^=-^. (101)
234
Гл. IV. Асимптотические методы
Отсюда1) следует
_ (а + 1)(а + 2)... (а + л)
со — ;
п\
и, в силу (100),
_ / ixv (а+л)(а + п- l)...(a + v + l) = (—l)v/n+a\ 2)
v 1 ' (п — v)! v! v! \л— V/
(v= 0, 1, 2, n).
Полином, который получится после подстановки этих коэф-
фициентов в Р(х), называется полиномом Лагерра (степени п)
и обозначается через Л„а)(х); его явное выражение имеет
вид
ri«w=S(-i)v(2“)^- <102>
У=0
В частности, при а = 0 (это дает классические полиномы
Лагерра) имеем
(Ю2')
v=o
Первые из этих классических полиномов таковы:
L0(x) = 1> М(х) =1 —
Л2(х)= 1 — 2х + ±х2, L3(x)= 1 — Зх + j*2 — у*3.
0 Многие авторы полагают, по определению, сп= (—1)п; тогда
получающиеся полиномы отличаются от рассматриваемых здесь мно-
жителем п\
2) Если а — любое число, а т — целое неотрицательное, то, по
определению,
( а\ а(а — 1)(а— 2)...(a— m + 1) , ( а\ ,
\т) = ----------------т\------------ V) = 1 • -ПРим-
перев.
37. Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра
235
Полиномы Лагерра имеют существенное значение в раз-
личных вопросах чистой и прикладной математики1), их
свойства хорошо изучены, в значительной степени на основе
того, что эти полиномы являются собственными функциями
уравнения (96) при сформулированных выше краевых усло-
виях 2).
Например, эти полиномы удовлетворяют соотношениям
ортогональности, которые легко вывести3), если написать
(96) (заменив X на п) в самосопряженной форме, получен-
ной с помощью умножения на хае~х, именно
•~(ха+1е~хуг) + пхае~ху = О,
откуда следует тождество
L%\x) [xa+ie-*L{na}' (X)] — 4“’ (х) (х)] =
их их
= (т — п) хае-Л%} (х) № (х),
т. е.
^{x“+ie- [Л} (х) Ь(л (х) - L™' (х) Л<а) (х)]} =
= (т — и) х“е—(х) L(n} (х).
О См., например, PersicoE., Fondamenti della meccanica
atomica, (стр. 230 и далее), Bologna, Zanichelli, 1940.
К полиномам Лагерра приводятся полиномы Эрмита Hv(x),
которые можно получить при четном и нечетном v по формулам
По поводу этих полиномов (которые многие авторы исследовали неза-
висимо от полиномов Лагерра) см., например, Витали Дж. и С а н с о-
не Дж. [58] или Сегё Г. [73]. [См. также Леб ед ев Н. Н., Специ-
альные функции и их приложения, Гостехиздат, М., 1953. — Прим,
перев.]
2) Эти условия можно ослабить. По поводу этого см. статьи
Picone М. и Sansone G. с одинаковым названием «I polinomi di
Hermite е di Laguerre come autosoluzioni», Boll. Unione Mat.Ital.,
соответственно (1) 16, 205—218 (1937) и (2) 2, 193—200 (1940).
3 Эти соотношения нельзя вывести непосредственно из резуль-
татов стр. 161, так как здесь основной интервал бесконечен и вид
краевых условий отличен от того, который был применен в гл. III.
236
Гл. IV. Асимптотические методы
Проинтегрируем теперь обе части этого тождества по ко-
нечному интервалу [а, 6], где 0<а<6, а затем устремим
а к нулю, а b к бесконечности. Тогда, в силу первого крае-
вого условия для полиномов Лагерра и так как а 4- 1 > О,
получим
lim [L™ (а) L^' (а) - I™’ (a)I™(а)]} = 0.
Кроме того, в силу второго краевого условия для полино-
мов Лагерра предел при 6—>+оо аналогичного выражения,
в котором вместо а написано Ь, равен нулю, так как экспо-
ненциальный множитель преобладает над полиномиальными.
Отсюда и следует при m=j=n соотношение ортогональности
J xae~xLm\x)L(„a)(x)dx = 0. (103)
о
Из этого соотношения легко вывести, что все нули по-
линомов L^\x) — вещественные, простые и содержатся
внутри основного интервала (0, -f-oo).
В действительности не сложнее доказать более общий
результат, а именно:
Пусть в некотором интервале (а, Ь) (конечном или
бесконечном) полиномы PQ(x), Рг(х), P2W> •••, степени
которых равны их индексам, удовлетворяют соотношению
ортогональности
ъ
г (х) Рт (х) Рп (х) dx = 0 (т=(= п),
а
где функция г (х) имеет в (а, Ь) постоянный знак', тогда
все нули каждого из полиномов Pi — вещественные, раз-
личные и содержатся между а и Ь.
Пусть хг, х2, ..., хт (0 < т п) — вещественные (раз-
личные) нули полинома Рп(х), содержащиеся строго между
а и Ь, которые являются либо простыми, либо кратными
нечетного порядка, так что при переходе через эти нули
Рп (х) меняет знак; тогда при изменении х от а до b Рп (х)
меняет знак одновременно с полиномом степени т
Qm(x) = (x — xl)(x—x2) ... (х — хт).
37. Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра
237
Поэтому произведение
г(х)Рл(х) Qm(x)
не меняет знака во всем интервале (а, 6), откуда
ь
I = r(x)Pn(x)Qm(x)dx=f=O. (104)
а
Но так как степени полиномов Р0(х), Рг(х), ... равны их
индексам, то любой многочлен Qm степени т можно пред-
ставить в виде линейной комбинации функций Ро (х),
Рг (х), ..., Рт (х)х), т. е. существуют такие постоянные
а0, Др ат, что
Qm (я) = а<)Р0 (^) + 1 W + • • • + &тРт ОФ
Отсюда
ъ ъ
I = г(х)Рл(х)Р0+ ^i^W^WPi(x)dx + ...
а а
b
... + аД r(x)Pn(x)Pm(x)dx.
а
При т^п этому противоречит (104), так как тогда, в силу
соотношения ортогональности, все интегралы в правой части
равны нулю, и потому 1 = 0. Следовательно, т = и, откуда
следует теорема, так как если полином степени п имеет п
различных нулей, то все они должны быть простыми.
Из многочисленных формул для полиномов Лагерра ука-
жем только следующие:
(и + 1) (*) — (2/1 + а + 1 — я) (я) +
(п + а) Ln—i (х) = 0,
х А ь(па) (х) = п£ла) (х) - (п + а) (х),
dx
О Если а и Р — коэффициенты при хт в Рт(х) и Qm(x) соответ-
ственно, то разность Qm(x)— ($1а)Рт(х) является полиномом степе-
ни т —1; к нему можно применить аналогичное рассуждение и т. д.
238
Гл. IV. Асимптотические методы
для доказательства которых мы отошлем читателя к рабо-
там, непосредственно посвященным этим функциям1).
38. Асимптотическое поведение полиномов Лагерра
Для большинства задач, в которых появляются полиномы
Лагерра, наибольшее значение имеет их асимптотическое
поведение для больших значений п. Это поведение не про-
стое, так как внутри интервала ортогональности [0, сю)
приходится различать четыре области: (1) окрестность начала
координат, лежащая непосредственно справа от него; (2)
открытый (т. е. с исключенными концами) интервал от начала
координат до переходной точки х = 4/^ = 4я + 2 (а 4- 1);
(3) окрестность точки х = 4nf, (4) часть оси х, лежащая
справа от точки х = 4пг 2). Существенное значение имеет то,
что с помощью указанного в § 29 общего метода можно
из (96) вывести простое асимптотическое представление по-
линомов L^a)(x), справедливое в первой либо в третьей из
четырех указанных выше областей и дающее в необходимых
пределах вполне удовлетворительные результаты.
Мы начнем с окрестности начала координат. Преобра-
зование
у (%) = ehx z (х)
переводит уравнение (96) в уравнение
xz" + [a + 1 + (2/z — 1) х] г' +
+ [(а + 1) h + п — h (1 — h) х] г = О,
которое в частном случае h = V2 приобретает очень простой
вид. Если положить h = % и обозначить
м + 4^ = п1’ (Ю5)
О См. Сегё Г. [73]; также Витали Дж. и Сансоне Дж. [58]
и Трикоми Ф. [78]. [См. также Лебедев И. И., Специальные
функции и их приложения, Гостехиздат, М., 1953.— Прим, перев.]
2) Исчерпывающее изучение этого вопроса, см. в работе Trico-
rn i F., Sul comportamento asintotico dei polinomi di Laguerre, Ann.
di Mat., (4) 28, 263—289 (1949).
38. Асимптотическое поведение полиномов Лагерра
239
то уравнение (96) приобретает вид
xz" + (а+ 1)/—Xxjz = 0.
(Ю6)
Если сделать дальнейшее преобразование х = t,'nx и пере-
нести последний член в правую часть, то (96) получит
окончательный вид
, №г । ,, , . dz , t
t-----F( 1 + а)---F z = — z.
di* y 'dt in}
(Ю7)
Это уравнение имеет форму (10) § 29 и легко иссле-
дуется с помощью указанного в § 29 метода как из-за того,
что коэффициент члена в правой части при п -> сю равен
О(м-2), так и из-за того, что уравнение, полученное при-
равниванием левой части нулю, т. е.
. d2z , z 1 . ч dz . n
t------Ь (1 + a)--------2 = 0,
dt2 v 7 dt
(107')
является хорошо известным преобразованием уравнения
Бесселя [(32) гл. III], в чем легко убедиться, произведя
замену переменных [в (32) гл. III, где v = a]
Х = 2У7, y = ta/~z.
Отсюда следует, что одним из решений уравнения (107')
является функция
Fx{t) = Ea(t)= ГаЛ а(2}Л),
представимая рядом (см. § 30), сходящимся для всех
конечных t
Е 1 1 t 1 /2
a — Г(а + 1) Г(а + 2) 1! + Г(а + 3) 2!
в качестве второго, линейно независимого решения можно
взять
/=’2(/) = Га/гЛ/а(2у7),
240
Гл. IV. Асимптотические методы
где Na означает функцию Бесселя второго рода, упомянутую
в § 30').
Поэтому на основании формулы (35) § 29 можно утверж-
дать, что на любом фиксированном интервале а 4^ t 4^ Ь,
т. е. а/Пх^ х ^b/nlt где 0<(а-<д<^оо, произведение
e~x/iL{A (х) можно представить в виде линейной комбинации
функций
Еа(П1х) + 0(п-*) и (п1х)_а/2^а(2Уп^) + О(п-2). (108)
Более подробное исследование, которого мы проводить не
будем, показывает, что в этом представлении возможно
перейти к пределу при а->0; при этом в линейной комби-
нации вторая функция (108) отсутствует, так как2) при
х—>0 она стремится к бесконечности, a e~x^L(^ (х)—к ко-
нечной величине
(Ю9)
Так как, с другой стороны, Еа (0) = 1/Г(а + 1), то первую
функцию (108) надо помножить на
Г(а + 1)(а + п) = Г(а + 1) «х + 1)(а-Ь2)-(а + п)
Г(а+п+1)
nl
и мы приходим к довольно простому асимптотическому
представлению
£<“>(х) = Г(а + п + 1) ех'2 [Еа (п1Х) + О(п-2)] =
nl
= r(ot + ft + 1) ех/2[(П1х)-а/\1а(2Уъх) + О(п~2)]- (1Ю)
О Если а — не целое, то можно принять F%(t) =t aE_a(t), так
как в уравнении (107') при подстановке z=t~аи меняется только
а на —а.
2) Отметим, что в общем случае функция и ее асимптотическое
выражение не обязаны вести себя одинаково (например, оставаться
конечными) при предельном переходе, отличном от того, при котором
выведено асимтотическое представление.
38. Асимптотическое поведение полиномов Лагерра
241
Его можно еще упростить, воспользовавшись хорошо из-
вестным свойством гамма-функции 1):
г|а + " + ,) = -2-----------Л = [1 + 0(„,-=)|.
nl , 1— а\
Итак,
Л<а> (х) = ех/Х (Еа (П1Х) + О(п% (111)
Это представление имеет место, если а и пхх остаются
ограниченными, когда п стремится к оо.
В следующей таблице несколько точных значений про-
изведения
(случай а = 0) сравниваются с приближенными значениями,
полученными из (111) после отбрасывания остаточного члена.
х = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Точное значение 1,о 0,1970 —0,2232 —0,3865 —0,3900 —0,3033
Приближенное значение 1,0 0,1955 —0,2237 —0,3864 —0,3888 —0,3006
Хотя 10 не является большим значением п, обе системы
значений в“^/2Л10(х) хорошо соответствуют друг другу, и
при графическом представлении в обычном масштабе прак-
тически невозможно отличить точную кривую от прибли-
женной.
О См., например, Tri comi F., Rend. Semin. Mat. Torino, 9,
343—350 (1949—50) или Tri comi F., Er del у i A., Pacific J. of
Math., 1, 133—142 (1951). [Эта формула легко выводится из асимп-
тотического выражения для гамма-функции; см. например: Фих-
тенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального ис-
числения, II, изд. 4, Физматгиз, М.— Л., 1959 г., стр. 796.— Прим,
перев.]
242
Гл. IV. Асимптотические методы
Рассмотрим далее асимптотическое поведение lA1 (х) в
третьей из областей, т. е. в окрестности переходной точки
х = 4пх х).
Для этого произведем замену переменной
х = 4п1—f — пху/3/. (112)
\ 3 J
Тогда уравнение (106) перейдет в
= (IF + (« + 1)^1 (4пх)—2/3 (113)
и соответствующим «приближающим» уравнением будет
уравнение (89) § 36.
Поскольку коэффициенты в правой части при п —> оо
равны О(п-2/3), требуется лишь подставить в формулу (35)
§ 29 решения Лх(/) и Л2(/) уравнения (89), чтобы получить
асимптотическое представление
е-^\х~) = Т1 [Лх (0 + + ь [Л2 (0 + О(п~^)].
Главная трудность здесь состоит в определении постоянных
Yx и у2; по этому поводу мы отошлем читателя к недавней
работе автора2), в которой доказано, что
Ъ = (-1)— (I) ПГ1/3 + O(n-1), г2 = 0(п-1).
Таким образом,
е~^ (х) = (-1)"— (|У/3ПГ1/3 А(0 + 0{гГ"). (114)
Асимптотическое представление (х) во второй из
четырех областей, т. е. в открытом интервале (0, 4/гх), можно
О Эта абсцисса ограничивает область осцилляции для L^(x),
т. е. область, в которой эта функция может иметь нули. Можно по-
казать, что все эти нули лежат слева от абсциссы 4П1—3/2.
2) Т г i с о m i F., Sul comportamento asintotico dell' nesimo, polino-
mio di Laguerre nell’intorno dell’ascissa 4n, Comm. Math. Helvetici, 22,
263—289 (1949).
38. Асимптотическое поведение полиномов Лагерра
243
вывести иным методом (методом седловой точки)] с помощью
этого метода можно показать1), что если
где а и b любые (фиксированные) числа, для которых
О а b <4, то
е-х/2£^>(х) =
(—l)ra(2cos е)~а
]/ 7тх sin 20
sin й
ZQS $
nx sin 20
+ <Ж2)
(115)
где 9 = arc cos у , 'О' = пх (26 — sin 29) + ,
4а)(9) = Т-Г—Ц- — (1— За2) sin2 6 — 1
1 v ’ 12 L4sin30 v '
Эта формула также дает блестящие численные результаты.
Даже если в квадратных скобках в правой части (115) ос-
0 См. примечание2) на стр. 238.
244
Гл. IV. Асимптотические методы
тавить только sin О, то при л = 10, а = 0 получается такое
хорошее приближение, что график левой части можно лишь
с трудом отличить от графика правой части. На рис. 22
(при построении которой была использована аналогичная, но
менее точная формула) показаны как точные, так и прибли-
женные значения е”х/2Л10 (х) в интервале (0,40), причем для
удобства абсцисса взята пропорциональной ]/х, а не х.
За исключением непосредственной окрестности концов (где
приближающая кривая показана пунктиром), аппроксимация
является настолько близкой, что изображен только один
график точных значений, а некоторые из приближенных
значений показаны кружками.
39. Дифференциальное уравнение и полиномы Лежандра
Другой важный пример задач указанного в начале § 37
типа связан с уравнением Лежандра
(116)
рассматриваемого внутри интервала (—1,1), концы которого
являются особыми точками уравнения, так как старший
коэффициент р(х)=1—х2 в них обращается в нуль. Мы
ищем решения, остающиеся ограниченными при х —>+1 и
при х —>— 1.
Так как коэффициенты приведенного уравнения (т. е.
уравнения, полученного после деления на старший коэффи-
циент) являются аналитическими функциями, регулярными
в начале координат1), то мы попытаемся, как в §37, пост-
роить решение в виде
у = с0 + С1Х + с2х2 + ... . (117)
Отсюда
=1-2с2+2(3Сз-с1)х+3(4с4-2С2)^+ ....
О В следующей главе (§ 43) будет установлено, что если коэф-
фициенты приведенного линейного дифференциального уравнения яв-
ляются аналитическими функциями, регулярными в точке х0 (т. е.
представимыми в окрестности Xq в виде ряда по степеням х—х0), то
и все его решения являются аналитическими функциями, регуляр-
ными в точке х = Xq.
39. Дифференциальное уравнение и полиномы Лежандра 245
и, подставляя в (116), получаем
2 {(v + 9 [(v +2) cv+2 — VCV] + %CV} xv = О,
v=o
откуда немедленно выводим рекуррентное соотношение меж-
ду коэффициентами
(’=0.1.2....). (118)
Эта формула наводит на мысль отделить в степенном
ряде (117) четные степени от нечетных (что допустимо);
поэтому мы запишем (117) в виде
у = 4F(x2)+BxG(x2), (119)
где А и В — произвольные постоянные, а
F(x2) = 2 с2тх2т, G(x2) = 2 с2т+1х2т, (120)
т—о т—о
причем коэффициенты cv определяются рекуррентными соот-
ношениями (118) и начальными условиями для этих соот-
ношений с0 = 4°\ ^1 = 40).
Очевидно, что этот процесс действительно приводит к
решению, поскольку построенные ряды имеют отличный от
нуля радиус сходимости, а именно оба ряда имеют радиус
сходимости, равный 1, так как из (118) непосредственно
следует, что
т. е. в обоих рядах для F и для G отношение последова-
тельных коэффициентов стремится к 1 при v—>оо.
Рассмотрим теперь поведение функций F и G, когда х
стремится к +1 или к —1, т. е. когда х2 стремится к 1.
Окажется, что, так же как и в § 37, если рассматривае-
мые степенные ряды не обрываются, превращаясь в много-
члены, поставленные краевые условия не могут удовлет-
вориться. Другими словами, мы увидим, что обе функции
246
Гл. IV. Асимптотические методы
F(x2) и G(x2) стремятся к бесконечности при х2 —>1, за
исключением случая, когда % имеет вид п(п + 1), где п —
целое неотрицательное число, и тогда один из рядов (120)
сводится к многочлену, так как при v = п числитель в
правой части (118) станет равным нулю.
Для того чтобы это доказать, заметим, во-первых, что
на основании соотношения (121) все коэффициенты cv, на-
чиная с некоторого, в каждом из рядов (120) должны иметь
одинаковый знак; можно принять, в силу произвольности
40) и с£0), что эти коэффициенты положительны. Итак, мы
можем допустить, что для всех v, больших некоторого v0,
будет cv>0.
Во-вторых, при v>*A,/2—1
v(v + l) — % v — К/2— 1
(v+l)(v + 2) v-V2+l ’
так как если освободиться от знаменателей, перенести все
члены в левую часть и привести подобные члены, то полу-
чится очевидное неравенство
2(v+ 1) + |%2>0.
Далее, так как при v + 1 > г > Х/2
у — К/2 — 1 у — г — 1
у X/2 -р 1 v — г -J- 1
то, обозначив через 2r^>v0 какое-либо четное целое число,
большее Х/2, мы получим при v>2r
£v-4~2 у (у —1) — К v — 2г — 1
= (у+ l)(v + 2) У — 2г + 1 ’
откуда
(v — 2г + 1) cv+2>(v — 2r — 1)cv.
Но отсюда следует, что последовательность положительных
чисел
^2г+2> ЗСгг-НИ 5С2г+б> * * *
является возрастающей, как и последовательность
2c2rJ-3» 4С2Г-|-5 > 6С2гЦ-7» • • • •
39. Дифференциальное уравнение и полиномы Лежандра 247
Значит, если р — наименьшее из двух положительных чисел
^2Г4“2 И 2б?2г+3 >
^2r+2s т \ » ^2r+2s+i “тг; (s = 1,2, 3,...). (122)
ZS —1
Допустим теперь, что первый из рядов (120) имеет бес-
конечное число членов, и запишем его в виде
F(x2) = 2 с^х™ + FU2),
т=о
где
F*(x2) = х2г 2 cv+2sxis.
S=1
Первая часть представляет собой многочлен, а, в силу пер-
вого неравенства (122),
00 y2S
s=l
Но
2s —1 2 1 — х ’
s—1
откуда
F‘(x2) > х2^1 ;
v 7 2 1 — x ’
и мы видим, что F*(x2), а потому и F (х2), которое отли-
чается от F* только на многочлен, стремится к бесконеч-
ности при х —> + 1.
То же рассуждение можно повторить дляб(х2); следова-
тельно, мы показали, что рассматриваемая задача имеет ре-
шение тогда и только тогда, когда % совпадает с одним из
собственных значений
= п(п + 1) (п = 0,1,2,3,...), (123)
и что соответствующая собственная функция (оп-
ределенная с точностью до постоянного множителя)
248
Гл. IV. Асимптотические методы
представляет собой полином степени п, к которому сво-
дится функция F(x2) или функция xG(x2) в зависимости
от того, будет ли п четным или нечетным.
Чтобы получить собственную функцию явно, подставим
X = п(п 4-1) в (118) и, поменяв v на п—2h, получим
cn-2h _ (П—2/14-1) (П—2/14-2)
сп—2/14-2 2h (2п —2h 4-1)
Аналогично
2/1+2 ____(п — 2Я 4- 3) (п — 2/i 4~4)
^_2/l+4 “ 2(/i—l)(2n —2/i+3) ’
сп-2 (n — l)n
сп 2-1 (2n — 1)
и, перемножая все эти h равенств, выводим
с /-1?___________n(n —1) ...(п —2Я4- 1)________
П 21 ' 2Zx/t!(2zz — 2/t 4-1)(2п — 2Л 4-3).. .(2/г — 1) ’
Зафиксируем теперь значения коэффициентов cv, положив
1.3.5»....(2п —1)
откуда
/ 1x/i п(п — l)...(n — 2/г4-1)1*3.....(2п — 2/г —1) _
^__2ft=(-l) ------------------j—---------------------
Z ПЛП\
= ,_ i \Л п(п ——2/t+l) (2я —2/1)1 =
~ 2hh\nl ^-h(n — h)\
= (_рЛ nl (2n-2h)\ = _2h.
2п h\(n — h)\ (п —2ft)!nl 2л U/\ n )'
Следовательно, мы получаем полином
= F 2 (-V(ft)(2rtn2Ay~2ft’ (124)
ft=o
называемый полиномом Лежандра степени п.
40. Асимптотическое выражение для полиномов Лежандра 249
Первые из этих полиномов, важных во многих вопросах
чистой и прикладной математики, имеют вид
Р0(х) = 1, Р1(х) = х, Р2(х)=|х2-|,
Р3(х) = |х3-|х,... .
Эти полиномы содержат только четные или только нечет-
ные степени х в зависимости от того, будет ли индекс чет-
ным или нечетным.
40. Асимптотическое выражение для полиномов
Лежандра
Полиномы Лежандра обладают многими свойствами, ана-
логичными свойствам полиномов Лагерра и вообще свойст-
вам всех собственных функций.
Рассмотрим прежде всего соотношение ортогональности
+i
J Pm(x)Pn(x)dx = 0 (m=f=n). (125)
—i
Как мы покажем, оно следует из (116). Следует заметить,
что это соотношение не вытекает непосредственно из фор-
мулы (61) гл. III, так как уравнение Лежандра имеет осо-
бенности на концах основного интервала.
Для доказательства формулы (125) заметим, что вычис-
ления, совершенно аналогичные проведенным в § 26, при-
водят к тождеству
+i
[т(т +1) — п(п +1)] Рт(х) Pn(x)dx =
—1
= [(l-X2){Pm(x)P'(x)- Pm(x)P„(%)}]+!.
Так как функция р(х) = 1—х2 обращается в нуль при х =
= +1 и при х = —1, а Рт, Рп и Р'п остаются конечными
в этих двух точках, то отсюда немедленно следует соотно-
шение (125).
Из соотношения ортогональности (125) на основе общей
теоремы, доказанной в § 37, вытекает, что все нули полинома
250
Гл. IV. Асимптотические методы
(129)
Рп(х)— вещественные, простые и расположены между —1
и 1.
Другие важные свойства полиномов Лежандра выража-
ются в следующих формулах, аналогичных тем, которые
были указаны для полиномов Лагерра в конце § 37:
1 дп
<126>
(» +1) Р.+1(х) - (2п +1) хР„(х) + nP.-J.t) = 0, (127)
(х2 — 1) Р„(х) = п [хРп(х) — Рп-1(х)]. (128)
Кроме того,
Р2т(0) = (_
Рп(Д) = 1.
По поводу доказательства этих результатов мы отошлем
читателя к работам, специально посвященным данному во-
просу1). Сейчас же займемся тем, что выведем важную
асимптотическую формулу (Лапласа) для полиномов Ле-
жандра, а именно
Л(со»0) = 14±тгЧ("+т)8 * ~т| + <130>
справедливую в любом интервале, содержащемся в (0, л)
вместе со своими концами. Мы применим, по существу,
метод § 33, хотя уравнение Лежандра имеет особенности в
точках х = + 1.
Начнем с приведения дифференциального уравнения (116)
к форме (68) с помощью преобразования, указанного на
стр. 210; здесь
р(х) = 1 —х2, q(x) = 0, г(х) = 1,
О См. работы, указанные на стр. 238. Среди книг, в которых рас-
сматриваются полиномы Лежандра и связанные с ними функции, от-
метим Lense J., Kugelfunktionen, Leipzig, Akad. Verlagsgessell.,
1950, и Г о б с о н E. В., теория сферических и эллипсоидальных функ-
ций, ИЛ, М., 1952. См. также Лагранж Р. [52]. [См. также Л е-
бедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, Гостехиздат,
М., 1953.— Прим, перев.]
40. Асимптотическое выражение для полиномов Лежандра 251
откуда
/ \ /1 ох"1/4 С dx
а(х) = (1 — х2) , g = \ —=^= = arc sin х,
V 7 V 7 Ъ J VI —Х2
и потому
п* = П1/4 А (= 2~х2 = 1+COS4 _
Ч dxydxj 4(1—х2) 4cos2S
Отсюда, если написать
W1. x = SinE, 9=^2. — (131)
то уравнение Лежандра преобразуется в приведенную форму
~ + [И2-Q№ = 0, (132)
и его надо рассматривать на основном интервале (—л/2,
+ л/2).
Следует отметить, что коэффициент Q(g) имеет особен-
ности на концах основного интервала, и так как
Jq U) d1- = -1$ (1+^) dl = - 4(g + tg £), (133)
a tgg при g—> + л/2 стремится к бесконечности, то этот
коэффициент из-за наличия таких особенностей не инте-
грируем в основном интервале.
Чтобы обойти эту трудность, удобно из основного ин-
тервала вырезать его концы, т. е. ограничить переменную g
неравенствами
2Т s-ч 2
(134)
где е — как угодно малый положительный угол (заведомо
меньший л/2).
Воспользуемся теперь указанным в § 29 преобразованием
дифференциального уравнения в интегральное и заменим
(132) интегральным уравнением
1 е
z (g) = Ci cos pg + с2 sin pg + Q (0 sin p (g — t) z (t) dt.
о
(135)
252
Гл. IV. Асимптотические методы
где постоянные и с2 определяются формулами:
Cl = z (0) = у (0),
ЦС2 = Z' (0)=^- !/(£)]} = /(0).
Отождествляя теперь i/(g) с P„(sing), откуда
ц = /% = Уи(п + 1) = nfl+V1/2 = n+4 + O(n !),
мы выводим из (128) и второго равенства (129)х), что
г — р /л\_(__пт^* • • • • (%т 1)
1) 2.4. _.(2от) ’
У п(«+1) с2 = ?2Ш(0) = 2mP2m-i (0)=0,
Ci = Р 2и4-1 (0) = 0,
У«(п+1) С2 = Р'2т+1 (0) (2т +1) Р2т (0) =
(если n = 2m),
(если n=2m+l).
Однако легко установить* 2), что
1-3-... • (2m —1) 1
2-4- ... • (2m) У лт
ь О (т-3/2);
(136)
О Чтобы избежать применения формул (128) и (129), которые не
были установлены в этой книге, можно подсчитать Р«(0) и Р'п (0)
непосредственно, полагая х = 0 в формуле (124) и в формуле, по-
лученной дифференцированием полинома (124) по х.
2) Для вывода (136) проще всего рассмотреть интеграл
Л/2
In= costlxdx,
о
который удовлетворяет, как это сразу устанавливается с помощью
интегрирования по частям, рекуррентному соотношению
п — 1
Кроме того, /о = л/2 и /1 = 1; отсюда
1*3•...•(2m — 1) л _ 2«4«...*(2т)
= 2-4- ... -(2т) Т’ hm+i ~ 3-5- . .. -(2т + 1)
40. Асимптотическое выражение для полиномов Лежандра 253
следовательно,
(_____
.— + О (tn 3/2), с2 = 0 (если п = 2m),
V Л/П
ci = 0, C2 = ~~zzr+O(m 3/2) (если и = 2m 4-1)
У лт
(137)
так как во втором случае
1-3- .. . »(2m —1) 2т А- 1
2-4-...-(2m) 2т + -| + 0(т~1)
/__nm 1-3- . . •(2т — 1)
V 7 2-4-...-(2т)
Теперь мы покажем, что функции z (£) в интервале (134)
ограничены в совокупности-, именно мы проверим, что если
п больше подходящего и0, то
|4Ю|<2.
(138)
или
г Л^ . _ * 1 _ 1
Чт~ 2/n+i (2m+l)/?m (2rn+2)/?m+1 ’
1.3. ... .(2m — 1)
где Rm означает —2-4-...-(2/n) * Далее»
I-мп—i > > ^2/n+i’
следовательно,
2mRn > 2^^(2m+l)/?m’
откуда, умножая на положительную величину 2mRm, получаем
1
1>я^т>1- 2^+1-
Значит,
л/пТ?^ = 1 + О(т~~х),
откуда вытекает (136), если разделить на л/n и извлечь квадратный
корень.
254
Гл. IV. Асимптотические методы
Внутри интервала (134)
£ л
\\Q(t)\dt = ?|g + tgg|
О
И Гл
<7 —-----8-
^42
Л . 1 .
— + — ctg 8.
8 4s
Кроме того, в силу (137), для достаточно больших ц (т. е.
для и, большего подходящего п0) либо | с± | <1, с2 = 0, либо
q = 0, |с2|<1, откуда в любом случае
| с, cos Hg + С2 sin ng I < VCl + cl < 1.
Отсюда если M — наибольшее значение | z (g) | в интервале
(134), то из (135) следует, что
М<1+1Л4 \\Q(t)\dt <1 + м1(| + |с1ё8
Но, соответственно увеличив п0, можно добиться того, чтобы
так что
1 + -м,
2
откуда Л4<22, т. е. (138) установлено1). Из этого резуль-
тата следует, что
£
Q (Z) sin ц (g — t) z(t) dt
о
<2 2---h —ctg 8 I,
^8 4 S )
и так как ц имеет порядок и, то
Z (g) = Cl cos ng + С2 sin ng + о (гГ1),
т. е.
]/cosg P„(sin g) = q cos ng + c2 sin ng + О (zT1),
О Иным методом можно доказать, что
(-1<*<1),
откуда |2(g)|<l внутри интервала (—л/2, л/2), без какого-либо
ограничения на п.
40. Асимптотическое выражение для полиномов Лежандра 255
что, как мы покажем, равносильно формуле Лапласа.
Меняя g на л/2 — 0 и вспоминая, что ц=и+1/2 + О (и-1),
мы получаем соответственно для п четного (и = 2m) или
нечетного (и = 2m +1)
cos pg = cos
(2m + _(2/n + 4W O(n')| =
= cos
mn + + 0 (n J) =
= (— If cos|j2m —J] + O^-1)
(n четное),
sin pg = зшГ^т+^у+т — (2m+y)e + 0(n 1)1 =
= sin|mn + у — +1)9 — + 0(n-1) =
= (—If cos|j2m —J] + 0(n-1)
(n нечетное).
Комбинируя эти результаты с (137), получаем
]/sin 9 Pn(cos 9) =
-А= cos \(2т + Ц 9 — 41+O(n-3/2)
У кт \ 2 J 4 /
J (п четное),
=cos \(ztn + 419 — 414-О(П-з/2)
лт 2 J 4 J
(и нечетное),
и так как в обоих случаях можно отождествить 1/]/т с
j/2/n с точностью до членов порядка О то окон-
чательно имеем, для четного или нечетного /г,
]/sin0 Pn(cos0) = cos[7/i + ^0 — У]+О(/г 3/2),
что в точности совпадает с формулой Лапласа (130).
На рис. 23 график функции Р7 (cos 0) (показанный сплош-
ной линией) сравнивается с графиком правой части формулы
Лапласа (/г = 7) (показанным пунктирной линией) без оста-
точного члена. Очевидно, что, несмотря на малость и, обе
256
Гл. IV. Асимптотические методы
линии хорошо согласуются друг с другом, за исключением
концов т), как и следовало ожидать. Это еще более под-
Р и с. 23.
черкивает диаграмма ошибок (рис. 24), на которой раз-
ность между значениями, получаемыми по формуле Лапласа,
и точными значениями Р1 (cos 0) представлена в масштабе,
в 25 раз более крупном, чем на рис. 23.
Этот пример, как и пример полиномов Лагерра, подтверж-
дает высказанное ранее утверждение о том, что асимпто-
тические формулы, вообще говоря, дают хорошие прибли-
жения к точным значениям функций.
О По поводу асимптотического представления полиномов Лежан-
дра (и более общих полиномов Якоби), пригодного на концах основ-
ного интервала (—1,1), см. Tri со mi F., Expansions of the hyper-
geometric function in series of confluent ones and application to the
Jacobi polinomials, Comm. Math. Helvetici, 25, 196—204 (1951).
V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
41. Мажорантные функции
До сих пор мы занимались дифференциальными урав-
нениями исключительно в поле вещественных чисел, что
во многих случаях является естественным. Однако имеются
некоторые вопросы — например, рассмотренный в преды-
дущей главе вопрос об асимптотическом поведении, —
которые далее естественно исследовать в комплексном
поле, или, как иногда говорят, в аналитической области,
так как тогда рассматриваемые функции предполагаются
аналитическими, т. е. представимыми степенными рядами.
В качестве первого шага при введении комплексного
поля нам потребуется дополнение к фундаментальной
теореме существования гл. I о том, что если дифферен-
циальные уравнения заданной системы аналитичны, то и
решения также аналитичны; именно мы докажем следу-
ющую теорему:
Пусть задана нормальная система дифференциальных
уравнений вида
...Уп),
^=Мх,у1,уг.....Уп),
(1)
= fn(X,yt,y3......Уп),
где flt f2, ..., fn — аналитические функции от п -j- 1
комплексных переменных х, уи у2, ..., уп, регулярные
258 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
в окрестности точки
% = х0, у± = у{ \ у2 = //2 \ • • • > Уп = Уп^ > (2)
т. е. каждую из этих функций можно разложить в
кратный степенной ряд по (целым неотрицательным)
степеням х — xQ, уг —y[Q\ ... , уп — у„} с невырожденной
областью сходимости. Тогда существует одна и только
одна система аналитических функций у± (х), у2 (х), ... , уп (х),
регулярных в некоторой окрестности точки х = х0
(причем размеры этой окрестности можно указать явно),
тождественно удовлетворяющих системе (1) и принима-
ющих при х = х0 соответственно значения у±\ Уъ^-чУп^
Эту теорему можно доказать с помощью примененного в
гл. I метода последовательных приближений с небольшими
изменениями. Однако полезно применить иной метод, ко-
торым можно также воспользоваться и для систем урав-
нений в вещественном поле (хотя применение его в случае
комплексного поля более естественно)—метод, первоначально
примененный Коши и развитый раньше, чем метод после-
довательных приближений; этот метод дал впервые воз-
можность получать строгие результаты в данной ветви
анализа.
Метод Коши опирается на идею мажорантных функций',
чтобы полностью разобраться в этом понятии, рассмотрим
сначала аналитическую функцию f (х) одного комплексного
переменного х, регулярную в окрестности некоторой точки
х0 комплексной плоскости. Мы будем говорить, что другая
аналитическая функция ср (х) мажорирует f (х) (в окрест-
ности точки х0) и писать
ф (х) > f (х) или f (х) < ср (х),
если для всех целых значений п О
<P<n)(*o) > |Г> (*о) |. (3)
(Из этого определения, в частности, следует, что все
производные от ср (х) в точке х0 являются вещественными
неотрицательными числами.)
41. Мажорантные функции
259
Мажорантную функцию для заданной функции f (х)
легко получитьг); в самом деле, если М означает максимум
функции | f (х) | в круге радиуса г с центром вх0, где f(x)
регулярна, то* 2 *).
1№о)1< («=0,1,2,...). (4)
Поэтому аналитическая функция
ф(х) =---(5)
1 —------
г
которая внутри круга | х — xQ | <С г совпадает с суммой
геометрического ряда
ОО . х П. ОО . / хП
Д4 V (х ) = V М — • * ~ х°
2-J \ г I X-J 1 гп п\ ’
п—о 4 7 п—о
имеет п-ю производную в точке х = xQf равную правой
части формулы (4); значит,
1/(',)ЫКФ('1)М,
т. е.
/(4 < <р(х).
Если f (х) < ср (х) в точке х0 и в некоторой окрестности
этой точки ряд по степеням х — х0 для ср (х) сходится, то
и ряд для f (х) сходится и
1/(41 < I /(*о) I + lfU)l]£TrL+1№)11£^ +... <
< Ф(хо) + + • • • =
= ф(х0 + |х-х0|).
О Ясно, что к заданной функции f(x) имеется бесконечное чис-
ло мажорантных функций; действительно, если фо(х)—любая ма-
жорантная функция для f(x), то мажорантной будет также ф0(х) +
+ ф(х), где ф(х)—какая угодно аналитическая функция, все про-
изводные которой вещественны и неотрицательны в точке х == х0.
2) См., например, Трикоми Ф. [77]. [См. также П р и в а-
л о в И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного,
изд. 10, Физматгиз, М., 1960. Прим, перев}
260 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
В частности, при х0= О
I f(x) j < ф(|х|).
Идею мажорантных функций можно очевидным путем
распространить на функции нескольких независимых пере-
менных; например, если для функции f(x,y) двух незави-
симых переменных х и у, аналитической и регулярной в
области | х — х01 С G | У — У о I "С г' (т. е. когда х меняется
внутри некоторой окружности с в плоскости х, а у — внутри
некоторой окружности с' в плоскости у) и удовлетворяющей
там неравенству | f (х, у) | М положить
Ф(х, у) = --------------------------г-, (6)
1 1 у — уо\
\ г /\ г' /
ТО
f(x, у)
в том смысле, что для любых целых неотрицательных т
и п
дт+п f
дхт дуп
дт^п ф
дхт дуп
в точке (х0, уо).
(7)
Действительно, в силу формулы Коши, для m-й произ-
водной г) от dnf/dyn в Xq внутри окружности с в плоскости х
/ дт+п f \ = m! С 1 \ ,
\дхт 2ni J (х—x0)m+1 \ dtf1)
У=Уо с 'У~Уо
Но неравенство (4), примененное к n-й производной от f по
У, дает
\
\ дуд
1 ' у Д=Уо
и!
<Л1 —,
О См., например, Три ко ми Ф. [77], стр. 41. [См. также При-
валов И. И., Введение в теорию функций комплексного перемен-
ного, изд. 10, Физматгиз, I960, стр. 170—172.— Прим, перев.]
42. Доказательство фундаментальной теоремы методом Коши 261
и потому, если от обеих частей последнего равенства взять
модули, получим
dm+nf\ | т\ С 1 ,,п! Мт\п\
дхпгд^Д=х0 J г^+1 М г'п - гтгт •
z У-=Уо с
С другой стороны, внутри С + С,
оо т оо п
ч(х,у) = м 2 2 Гт^2) =
т==о ' ‘ п=о '
__ Мт\ п\ (х — А'о) (у е/q)
— 2j гт г,п т\ п\
т,п=а
откуда
/ (5m+ncp \ _Мт\ п\
\dxmdt/1)*=х0 ~ гт г'п *
z У=Уо
Следовательно, для функции <р(х,у), определенной форму-
лой (6), имеют место неравенства (7), т. е. ф(х, у) > f(X, у).
Совершенно аналогично осуществляется переход к случаю
трех или более независимых переменных.
Следует отметить, что мажорантная функция не обязана
принимать вещественные значения па вещественной оси х;
но в точке, где происходит мажорирование, мажорантная
функция и все ее производные обязательно вещественны и
неотрицательны.
42. Доказательство фундаментальной теоремы
методом Коши
Теперь мы изложим доказательство сформулированной в
последнем параграфе фундаментальной теоремы по методу
Коши — методу, который он назвал методом пределов, но
который в настоящее время более подходит назвать мето-
дом мажорантных функций.
Перепишем систему уравнений (1) в более кратком виде:
$7 = Ж«/1. Уг, •••. Уд (/1= 1,2, (8)
262 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
а начальные условия (2) — в виде
(0) = О (й= 1.2, (9)
при этом мы приняли, что точка . , z/Г) совпадает
с началом координат. Поскольку функции fh дифференци-
руемы любое число раз, то можно написать
уИО) = (Wo, у'н(О) = (Ж) + S
\ох'о
(10)
где индекс 0 означает, что значения функции и ее произ-
водных берутся в начале координат, т. е. при х = у± =
= У% = • • • =Уп = 0. Важно заметить, что у№ всегда пред-
ставляет собой полином (степени п) относительно функций
fk и их производных порядка не выше п — 1, причем
коэффициенты этого полинома все положительны.
Следовательно, если система (8) с начальными условиями
(9) обладает аналитическим решением, регулярным в окре-
стности точки х = 0, то это решение должно задаваться
формулой
УнГ) = ^(0) + уд(О) £ + гД' (0) £ + ... (ft = 1,2,..., и),
1! &L О*
(11)
где значения y'h (0), y'h (0), ... получаются согласно (10).
Рассмотрим теперь, может ли этот ряд представлять
решение, т. е. будет ли он иметь ненулевой радиус
сходимости.
Для исследования этого вопроса мы воспользуемся
методом мажорантных функций, основная идея которого
42. Доказательство фундаментальной теоремы методом Коши 263
состоит в рассмотрении, вместо системы (8) — (9), другой
системы
= Fh(x, Ylt У2,..., Yn), УДО) = 0 (h = 1,2, ..., ri), (12)
где функции Fh мажорируют fh в начале координат] мы
докажем, что при построении решения этой системы по
формулам, аналогичным (10) — (11), получатся ряды,
мажорирующие только что построенные ряды (И) для уи1)-
Отсюда непосредственно будет следовать, что если решение
системы (12) можно представить в виде ряда по степеням
х, сходящегося в некотором круге с плоскости х с центром
в точке х = 0, то и ряд (11) должен сходиться в том же
круге.
Чтобы доказать сформулированное утверждение, доста-
точно заметить, что значения У/ДО), Уд(0), Yh (0), ... под-
считываются по формулам, полностью аналогичным (10), но
получающимся после замены f на F; и так как Fh > fh, то
мы выводим последовательно
1^(0)| = |(Ш<гЛ(0) = П(0),
1уД0)|
k=l
k
откуда следует неравенства
| yh(O) | = УДО), | уУО) | < Y'h (0), | y"h (0) | < УДО), ...
(h= 1,2,..., n).
Значит, yh(x) <^Yh(x) в начале координат.
Допустим теперь, что п аналитических функций
fh (х, уу..., Уп) регулярны в области а, | уь | Ь
О Говорят, что ряд %ап с неотрицательными членами мажорирует
ркдДЬп, если для любого п будет а^^Ьп]. Отсюда, если первый ряд
сходится, то и второй также.
264 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
(й= 1,2, ... , и); тогда существует такая положительная
постоянная М, что в этой области
Ifh^y^y», ... , (й = 1,2, ... , п).
Следовательно, как показано в предыдущем параграфе,
функция
F(x, у1гу2
мажорирует каждую из п функций fh, и систему (12) можно
выбрать в виде
(h = 1,2, ... э п).
Отсюда, если принять, что
И. (-*0 = ^2W = П(я) = ... = Yn(%)
и что общее значение этих функций равно Y(x), то У (%)
определяется уравнением
dY _________М_________
т. е.
(1 - ^-YdY = М .
К Ь/
а
Интегрируя, получаем
----ТТ (1 — tV+1 = — 1° Г1 — “+ const,
л + 1 \ Ь ) \ а )
ц, следовательно,
У(х) = 6 /1 - [1 + (n+i}aM infl (13)
I L ' а' J J
42. Доказательство фундаментальной теоремы методом Коши 265
где для логарифма берется его главное значение1), а
постоянная интегрирования выбрана так, что Y = 0 при
х = 0.
Отсюда следует, что если ряд для Y (х), полученного
из (13), сходится, то и ряд (11) наверняка сходится.
Однако Y (х) имеет особые точки только при х = а и в
точке х0, для которой
(пД^аМ j Л _ £о\ = _ ।
b \ а I ’
т. е. в точке
ь
Хо = а(\-е
Из этих двух особых точек х0 лежит ближе к началу
координат; следовательно, ряд (11) сходится по крайней
мере в круге с центром в начале координат и радиусом
г = а 1 — е
ь
(/г+1) аМ
(14)
Другими словами, радиус сходимости ряда (И) не менее
положительного числа г, задаваемого формулой (14).
Этим завершается доказательство фундаментальной
теоремы, сформулированной в последнем параграфе, причем
мы даже указали оценку снизу радиуса сходимости разло-
жения решения около начала координат. Внутри соответ-
ствующего круга сходимости решение системы (8) — (9),
существование которого устанавливается в фундаментальной
теореме, является аналитическим.
Следует отметить, что единственность решения установ-
лена в области аналитических функций, регулярных в
начале координат. Из доказательства не ясно, могут ли
существовать также другие решения, не регулярные в
начале координат, например решения вида xaf(x), где f(x)
аналитическая функция, регулярная в начале координат, а
а положительное нецелое число. Для ответа на этот вопрос
требуются дальнейшие рассмотрения; их можно основать
0 То есть значение, вещественное при вещественных положитель-
ных значениях аргумента.
266 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
либо на методе мажорантных функций1), либо же, что
проще, на методе последовательных приближений гл. I,
примененном теперь в поле комплексных чисел. С помощью
этого метода единственность (и существование) решения
можно установить, не требуя заранее его аналитичности,
причем независимая переменная может принимать либо
комплексные, либо же чисто вещественные значения.
Ввиду важности результата целесообразно изложить
фундаментальную теорему для случая единичного уравнения
второго порядка
y” = F(x,y,y') (15)
при начальных условиях
УЫ = г/о> У'(хо) = У'о- (16)
Соответствующая нормальная система имеет вид
| г/1(*о) = Уо>
d-^ = P(x,y1,yi),\ уЦх0) = у'0.
Фундаментальная теорема формулируется следующим
образом:
Если F(x, у, у') является аналитической функцией
своих трех аргументов, регулярной в области
|Х — х0|<а, \у — л|<&, \у'— y'o\<J), (17)
и если в этой области
\F(x,y,y’)\^N,
то уравнение (15) имеет одно и только одно решение,
удовлетворяющее начальным условиям (16); это решение
является аналитической функцией х, регулярной по
О См., например, Пикар Э. [71], т. II, гл. XI, § 4 или, еще лучше,
Бибербах Л. [5], стр. 10.
43. Общие замечания об особых точках решений
267
крайней мере внутри круга с с центром х0 и радиусом
г = а(\_е-ь/^
(18)
где М. — наибольшее из двух чисел N и | у'о | 4- bг).
При этом функция Y (%), заданная формулой (13) (при
/2 = 2), мажорирует как у = утак и у’ = у2 в начале
координат (после соответствующего переноса осей); стало
быть, внутри круга с
\у — Уо| <Г(|х —Хо|), \у'~— х0|), (19)
где
У(х) = ф- [l + ^ln(l-i)]1/3). (20)
Очевидно, что внутри с Y (I х — х01) О Ь, и потому, в силу
(19),
\у — Уо1 <6> \У'~ Уо1<6,
т. е. решение не может выйти из области (17).
43. Общие замечания об особых точках решений
дифференциальных уравнений.
Случай линейных уравнений
Полученные выше результаты дают возможность утверж-
дать, что если дано дифференциальное уравнение вида
у(п) = F(x,y,y',..., у^-Ч),
где F— аналитическая функция, регулярная в точке
х = х0, у = у0, у' = у'о,..., у(п-ъ = у^\
О Для такого М будет
I F (х, //1, г/2) |< М и I у2 I < М,
так как
Ы = \у'\ = \у'0 + (у' — у'0)\ <К1 + < 1Уо1 +ь-
268 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
то его решение, удовлетворяющее начальным условиям
У (Хо) = у0, у' (х0) = у'о, ... , у^-л (х0) = г/ГЛ
является аналитической функцией, регулярной в подходящей
окрестности точки xQ. Как же ведет себя решение вдали
от точки х0?
Уже на простых примерах можно увидеть, что вдали от
точки могут появиться особенности; часто это — подвижные
особенности (положение которых зависит от начальных
условий) решений уравнения, не являющиеся особенностями
самого уравнения. Например, простое уравнение
/ + у2=0 (21)
имеет общее решение (см. стр. 27)
У = (22)
обладающее, как видим, полюсом (первого порядка) в точке
х = с, зависящей от выбора произвольной постоянной с.
Однако это осложнение не возникает для некоторых
важных классов дифференциальных уравнений, обладающих
неподвижными особенностями} это относится, в частности,
к линейным дифференциальным уравнениям. Для последнего
класса уравнений мы установим следующую важную теорему:
Единственно возможными конечными особыми точками
решений линейного дифференциального уравнения, у
которого старший коэффициент1') равен единице, а осталь-
ные коэффициенты являются аналитическими функ-
циями независимой переменной, служат особые точки
самих коэффициентов.
Например, для линейного уравнения второго порядка
У" + Pi W У' + Р% W У = 0, (23)
где р± (х) и р2 (х) — аналитические функции х, особые точки
этих функций являются единственно возможными особыми
точками любого решения уравнения', т. е. если х = х0—
обыкновенная точка как для (х), так и для р2 (х), то
можно построить круг (ненулевого радиуса) с центром в х0,
внутри которого все решения уравнения (23) регулярны.
О Т. е. коэффициент при производной высшего порядка.
43. Общие замечания об особых точках решений
269
Действительно, пусть у0 и У о — значения при х = х(}
некоторого решения у уравнения (23) и его первой произ-
водной, а а—такое положительное число, что как рх(х),
так и р2 (%) регулярны при |х— х0|С^; тогда так как
функция
Г(х, у, у') = — рЩ) у' — р2(х) у
регулярна, то из замечания в конце предыдущего параграфа
следует, что если при любом фиксированном положительном
b число N равно максимуму модуля функции F (х, у, у') в
области
|х — х0|<а. \У— Уо|<^> \У'— Уо|<&- (24)
то функция у (х) регулярна в круге с центром х(| и радиу-
сом
г=а(1 — е~ь/заМ); (25)
при этом М — большее из двух чисел N и | у'о | + b (или
число, большее обоих этих чисел).
Однако этого недостаточно, чтобы установить теорему,
так как хотя b можно выбрать произвольно, но пока не
видно, будет ли нижняя грань значений г (когда у0 и y'Q
меняются) отлична от нуля или равна нулю1); а в последнем
О Легко видеть, что так будет для уравнения (21), где n = i,
М = N = (|z/01 4- b)2 и потому
г=а[1— е-Ь/ж(Ш+Ь)2]'
где а и b —> любые два положительных числа. Обозначив для удоб-
ства g = b/2a (| z/0| + b)2, получаем
__Ь
' = “(*— 6><±/=2(|9о|+6(>'
так как
dr t
— = + >0.
Отсюда
1
Г< 8|</0| ’
270 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
случае нельзя утверждать, что все решения уравнения
регулярны в точке х0.
Мы обойдем эту трудность следующим образом. Пусть
и Р2 означают соответственно максимум модуля функции
рг (х) и р2 (х) в круге | х — х01 а; тогда в области (24)
I — Pi W У' — р2 Г) У | < Л( |У'о\ + Ь) + Р2(|г/01 + Ь).
Поэтому, обозначив
тах(1, Л + Р2) = Р, max1, Pi|^| + Р2|у0|) = Г
мы можем принять1)
М. = РЬ + У,
откуда, в силу (25),
г = а (1 - е~за(Р+у/1»
Правая часть этого равенства, очевидно, является убыва-
ющей функцией Y/b\ и так как, в силу произвольности Ь,
можно принять, что Y/ЬД^Р, т. е. b^Y/P, то для оценки
правой части снизу можно подставить Y/Ь = Р. Следова-
тельно, с помощью соответствующего выбора числа b можно
гарантировать, что г^>р, где
р = а(1 — е-^аР). (26)
Отсюда следует, что нижняя грань значений г равна по
поскольку
д b _ jy0| — Ь
дЬ 2(|г/01+Ь)2 “ 2(|г/01 + Ь)з ’
и потому функция Ь/2 (|#0| + Ь)2 принимает максимальное значение
(равное 37в|#о1) ПРИ = I #ol- отношение ’/sl^/ol можно сделать
как угодно малым, выбрав |г/0| достаточно большим; поэтому ниж-
няя грань значений этого отношения, а значит, и значений г, равна
нулю.
Так как М равно наибольшему из чисел Pi(|#ol+b) +
+ ^2 (l#ol + Ь) и |#0| + Ь, то М не больше чем сумма наибольшей
из двух величин Р1Ы + P2l#ol и 1^61 и умноженной на b наи-
большей из двух чисел Р± + Р2 и 1.
43. Общие замечания об особых точках решений
271
крайней мере определенному выше положительному числу
р, что и доказывает теорему1).
Повторим, что особые точки коэффициентов могут (но
не обязаны) быть особыми точками решений уравнения.
Например, для уравнения
h b
У" + ^У' + ^У=Ь, (27)
где h и k — постоянные (и, следовательно, коэффициенты
имеют особенность в начале координат). Общее решение
имеет вид
у = С1хг* + сгхг\ (28)
где гг и г2 — корни (которые предполагаются различными)
квадратного уравнения
г (г— 1) + йг + /е = О; (29)
это легко показать, подставив в дифференциальное уравне-
ние у = хг. Поэтому решения имеют или не имеют особен-
ности в начале координат в зависимости от значений h и k.
Если, например, h = — 2, k = 2, то r± = 1, г2 = 2 и ни
одно решение уравнения не имеет в начале координат особен-
ности; если же h = 4, k = 2, то гх = — 1, г2 = — 2 и все
решения имеют особенность в точке х = 0. Наконец, если
h = 1, k = — 1, откуда Г1 = 1, г2 = — 1, то оо1 решений
типа сг хг* регулярны (и даже равны нулю) в начале коор -
динат, тогда как остальные решения имеют там особенность.
Последний пример иллюстрирует тот факт, что даже
для линейных уравнений особенности могут некоторым
образом зависеть от начальных условий, но только в том
смысле, что особые точки коэффициентов могут служить
особыми точками одних решений уравнения, но не других.
Заметим в заключение, что особые точки коэффициен-
тов— которые мы будем всегда предполагать изолирован-
О Существенно заметить, что, как вытекает из полученной оцен-
ки г, каждое решение, аналитическое в любой близости от точки х0,
не особой для коэффициентов, аналитично и в самой этой точке. На
основании этого возможно проводить аналитическое продолжение
любого решения вдоль любого пути, не проходящего через особые
точки коэффициентов.— Прим, перев.
272 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
ными точками — могут быть не только полюсами или
существенными особенностями, но и точками разветвления1)
решений уравнения, как это будет, например, для уравнения
(27), если корни 1\ и г2 соответствующего уравнения (29)
не оба целые.
44. Исследование многозначности решений
линейного уравнения
Мы уже подчеркнули, что особые точки коэффициентов
линейного дифференциального уравнения могут служить
точками разветвления некоторых из его решений, т. е. что
эти решения могут быть неоднозначными аналитическими
функциями, хотя коэффициенты уравнения однозначны;
это требует особого внимания, так как привлечение неодно-
значных функций в анализе всегда вызывает серьезные
затруднения и иногда приводит к неясностям и ошибкам.
К счастью, оказывается, что многозначность этих решений
не влечет за собой существенных осложнений, так как она
проистекает из множителей или членов, которые можно
определить явно, тогда как функции, которые в общем
случае найти явно нельзя, остаются однозначными.
Для простоты мы вновь рассмотрим линейное уравнение
второго порядка вида (23) и попытаемся определить поведе-
ние двух линейно независимых решений у± (х) и у2 (х) этого
уравнения в окрестности точки х0 в комплексной плоскости
х, где х0 является особой точкой по крайней мере одного
из двух коэффициентов уравнения. Будем считать, что
переменная точка х вначале совпадает с точкой х = х* в
окрестности о точки х0, все точки которой (за исключе-
нием х0) являются обыкновенными2) для коэффициентов
уравнения, и проведем через х* замкнутую кривую (напри-
мер, окружность с центром х0), которая лежит внутри б и
окружает ровно один раз (в положительном направлении
О Точки разветвления многозначной функции — это точки, при
обходе которых различные значения функции переставляются. См.,
например, Т р и к о м и Ф. [77], стр. 91. [См. также Привалов И. И.,
Введение в теорию функций комплексного переменного, изд. 10, Физ-
матгиз, М., 1960, стр. 88.— Прим, перев.].
2) Существование такой окрестности следует из высказанного
предположения о том, что особые точки изолированные.
44. Исследование многозначности решений линейного уравнения 273
по отношению к заключенной внутри нее площади) особую
точку х0. Когда х меняется вдоль кривой Г, ряды по
степеням х — х*, представлящие (в некотором круге с цен-
тром %*) линейно независимые решения уг (х) и г/2(х),
будут аналитически продолжаться вдоль Г; после ана-
литического продолжения этих двух рядов вдоль всей
замкнутой кривой Г получатся два новых ряда по степеням
х — х*, суммы которых мы обозначим через (х) и У2(х)-
Если известно, что оба решения у±(х) и у2(х) являются
однозначными аналитическими функциями внутри области
о, то, очевидно, (х) = ух (х), Y2 (х) = у2 (х); если же эта
однозначность заранее не известна, то следует, вообще
говоря, ожидать, что у± и у2 изменятся. Тогда можно
утверждать только, что существуют постоянные a, b, с, d,
для которых
и Y^x)^. ау^х)-^ Ьуг(х}, Yt(x)= cy^+dy^x). (31)
Действительно, ясно, что и У2 являются решениями
уравнения (23) — и потому они представимы в виде линейных
комбинаций линейно независимых решений yt и уг — так
как на всех этапах аналитического продолжения вдоль
кривой Г уравнение (23) остается тождественно выполнен-
ным. Кроме того, условие (30) должно удовлетворяться,
так как в противном случае решения КДх) и У2(х) были
бы линейно зависимыми, а продолжая аналитически соот-
ношение (х) + рУ2 (х) = 0 в обратном направлении вдоль
замкнутой кривой Г, мы бы получили аналогичное соотно-
шение между уг(х) и уг(х), т. е. у^х) и уг(х) оказались бы
линейно зависимыми1).
О Постоянные a, b, с, d, вообще говоря, зависят от фундамен-
тальной системы yi и у2, но они не зависят от рассматриваемого
частного цикла Г. Действительно, если, кроме Г, имеется другой
цикл Г', аналогичный Г (см. рис. 25), то линейная подстановка, по-
добная (31) и соответствующая Г', должна совпадать с (31), так
как после обхода Г в положительном направлении, а затем Г' в от-
рицательном направлении мы должны прийти в точке х* к исходным
решениям у\ и у2\ надо учесть, что если в области о провести соот-
ветствующий разрез, например, вдоль указанной на рис. 25 линии
то рассматриваемые решения будут в полученной области однознач-
ными.
274 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Рассмотрим теперь поведение другого решения у урав-
нения, выразив это решение через фундаментальную систему,
состоящую из г/1 и у2. Тогда
У = Ь1У± + k2y2,
где k± и /г2 — постоянные. Пусть Y — решение, полученное
Рис. 25.
с помощью аналитического продолжения у вдоль замкнутой
линии Г, тогда
У = kxYx + k2Y2 = (kxa + k2c) ух + (kxb + k2d) у* (32)
Отсюда непосредственно следует, что для инвариант-
ности некоторого решения у относительно замкнутой кривой
Г, т. е. для того чтобы после обхода Г добавился бы
только множитель пропорциональности X, необходимы
и достаточны соотношения
k±a + ^2С = k±b + k2d = Kk2\
таким образом, и k2 должны удовлетворять двум линей-
ным однородным уравнениям
(а — X) kx + ck2 = 0, 1
bkx + (d — X)fc2 = 0. I 1 J
44. Исследование многозначности решений линейного уравнения 275
Отсюда немедленно выводим соотношение
а — X с
b d — K
= 0,
(34)
которое называется фундаментальным уравнением для
особой точки1) х0. Это уравнение, квадратное относительно
X, имеет два отличных от нуля 2) корня и %2, которые
мы пока предположим различными', для каждого из этих
корней уравнения (33) (которые теперь сводятся к одному
уравнению) определяют значения k± и k2 (с точностью до
пропорциональности), которым отвечают инвариантные реше-
ния дифференциального уравнения.
Значение этих инвариантных решений заключается в том,
что, как мы увидим, они представляют собой произведение
однозначных функций от % в окрестности точки х0 на
множитель, который можно явно выписать.
Полагая
х — х0 = р (cos 0 + i sin 0) = peZG,
имеем
(% — x0)r = prerZ0.
Поэтому функция (x — x0)r (неоднозначная, если г не целое)
при обходе вокруг х0 множится на е2л7г, т. е. множится на
X, если г выбрать так, чтобы
e™ir = X,
т. е.
(35)
Отсюда следует, что если
Г]= 2лг Гз= 2лг ^2 (35)
О Легко показать, что, хотя a, b, с, d зависят от выбора фунда-
ментальной системы г/i, у2, корни уравнения (34) не зависят от этого
выбора. Они зависят только от коэффициентов дифференциального
уравнения и от х0.
2) X\X2—ad—Ьс=рО в силу (30).
276 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
и если г/j и у2 — инвариантные интегралы уравнения (23) с
множителями и Х2, то функции
<₽1(х) = (/1(х)г> ’ ф2 (%) = (/’xV1
не меняются при аналитическом продолжении вокруг х0 и
потому являются аналитическими функциями, однозначными
в окрестности а этой точки.
Поэтому можно заключить, что если фундаментальное
уравнение (34) для особой точки х0 имеет два различных
корня и Х2, то дифференциальное уравнение (23)
обладает двумя линейно независимыми решениями,
которые можно представить в окрестности точки х0 в
виде
У Ах) = (х — х0)г* ф!(х), у2(х) = (х — х0У‘ ф2(х), (36)
где показатели гх и г2 задаются формулами (35'), а
аналитические функции ср1(х) и ф2(х) однозначны в
окрестности точки х0.
Отсюда ясно, что возможная многозначность1) обоих
решений связана только с явно выписанными множителями
(х —х0)г« и (х — х0)Ч
Рассмотрим теперь случай, когда фундаментальное
уравнение (34) имеет двойной корень = Х2.
В этом случае имеется одно инвариантное решение
(со множителем А^), которому мы поставим в соответ-
ствие второе решение у2, линейно независимое от у\. Тогда
подстановка (31) приобретает вид
= ^2 = СУ1 + dy2
или
^2 = СУ1 +^1^2, (37)
так как d = поскольку уравнение (34), имеющее в дан-
ном случае вид
(^— X) (d — Х) = 0,
О Только возможная, так как и и г2 могут быть целыми.
44. Исследование многозначности решений линейного уравнения 277
должно иметь двойной корень Из (37) следует, что
^2 _ У% ।_С
Yi ~ У1 h ’
т. е. изменение частого д^ух при обходе вокруг х0 состоит
только в добавлении постоянной. Но так же ведет себя
функция
W1П <м"> = 1П ।I + аг8 <м">-
Поэтому, обозначив = Д, мы видим, что функция
ф(х) = ~ — A In (х — х0)
У1
не меняется при обходе вокруг х0 и потому однозначна в
окрестности этой точки. Следовательно, мы заключаем, что
если фундаментальное уравнение (34) имеет двойной
корень К = то дифференциальное уравнение (23) обла-
дает двумя линейно независимыми решениями yt (%) и
г/2(х), где первое, как и выше, представимо в окрест-
ности точки х0 первой формулой (36), а у2 (х) можно
представить в виде
У2 (х) = У1 (х) [Л In (х — х0) + ф (х)], (38)
причем аналитическая функция ф (%) однозначна в окре-
стности точки х0, а А — постоянная (которая может
оказаться равной нулю).
Три функции фг, ф2 и ф могут быть либо регулярными в
точке х0, либо же иметь там полюс или даже существен-
ную особенность. Во всех случаях эти функции можно
представить в окрестности точки х = х0 с помощью ряда
Лорана вида
00
2 ап(х — х0)«,
п=—оо
сходящегося в некотором круге с центром xQ (за исключе-
нием, быть может, самой точки х0).
278 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
45. Случай отсутствия существенных особенностей
Несомненно, что случаи, когда функции Ф1, Ф2 и Ф регу-
лярны или имеют полюс в точке х0, более элементарны,
чем случаи, в которых появляются существенные особен-
ности. Поэтому полезно исследовать, можно ли отличить
априори первые два случая от третьего, и мы увидим, что
необходимые и достаточные условия для отсутствия суще-
ственных особенностей оказываются очень простыми и удов-
летворяются во многих важных случаях. Мы докажем сле-
дующую теорему:
Теорема Фукса. Для того чтобы линейное диф-
ференциальное уравнение
У" + Pi(x) у' + р2(х) у = О
обладало фундаментальной системой решений уДх), у2(х),
представимых в окрестности особой точки х = х0 коэф-
фициентов формулами (36) — (38), где однозначные анали-
тические функции Фх(х), <p2(x) и Ф(*) имеют в точке х0
не более чем полюс, необходимо и достаточно, чтобы
коэффициент рДх) имел не более чем полюс первого
порядка, а коэффициент р2(х)— не более чем полюс вто-
рого порядка в точке х0. Если эти условия выполнены,
мы скажем, что точка х0 является несущественной осо-
бенностью для уравнения1').
Мы начнем с доказательства необходимости условий
Фукса.
Подобно тому как коэффициенты алгебраического урав-
нения можно выразить через его корни, коэффициенты ли-
нейного дифференциального уравнения можно легко выра-
зить через решения из фундаментальной системы2). В част-
ности, для рассматриваемого нами уравнения после умно-
жения тождеств
У1 + Р1(х)у[ + р^х) у1= 0, у2 + P1W У2 + р2(х) У2=0
__________ (39)
О Некоторые авторы называют такую точку регулярной особой
точкой-, другие применяют наименование фуксова особая точка.
2) Формальная аналогия, существующая в некоторых отноше-
ниях между теорией линейных дифференциальных уравнений и тео-
рией алгебраических уравнений, была подчеркнута Э. Пикаром
[71], том III, гл. XVII.
45. Случай отсутствия существенных особенностей
279
соответственно на —у2 и уг и сложения, мы получаем
У?У1 — УгУ1 + Pi (х) (г/2'г/х — у2г/1) = О,
откуда, деля на определитель Вронского у2уг — у2у[ систе-
мы, который отличен от нуля, получаем
/ ч У2У1 — У2У1 d 1 .
— Р1 = 77Z---------717 = 1Сп (у*У1 ~ у^ =
У2У1 — У2У1 ах
(40)
Эта формула дает возможность легко подсчитать
если у± и у2 известных). Если р± (%) уже определено, то р2 (%)
можно получить с помощью любого из соотношений (30);
например из первого:
Ул Ул
-Р2(х) = ^ + Л(х)-^.
(41)
Воспользуемся теперь хорошо известным результатом
в теории аналитических функций, что логарифмическая
производная от функции вида
F(x) = (x-x0)aG(x), (42)
где а — любая постоянная, а функция G (х) регулярна
при х = х0, имеет при х = х0 не более чем полюс перво-
го порядка.
О Из (40) легко вывести формулу Лиувилля (см., например, Три-
коми Ф. [76], ч. II. стр. 289), которая дает, с точностью до постоян-
ного множителя, значение определителя Вронского; в самом деле,
из (40)
d
-^\nW(x)=-p1(x),
откуда
— fpiU) dx
W(x) = ce J
[См. также Степанов В. В. [44], стр. 191—192. — Прим, перев.]
280 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Действительно, предполагая для общности, что G(x) име-
ет в точке xQ нуль порядка мы можем написать
G(x) = (х— x^fG^x),
где функция Gx(x) регулярна и не равна нулю при х = х0;
отсюда
F(x)=(x-x0)“+nG1(x)
и последовательно получаем
In F(x) = (a + п) In (х — х0) + In G^x),
F'(x) _ a + n .
F(x) x — xq ‘ Gi(x)’
откуда видно, что Ff (x)/F (x) имеет полюс первого порядка
(если a + п =£= 0) в точке х0.
С другой стороны, отношение F"(x)/F(x), где F(x) —
функция вида (42), имеет при х = х0 не более чем полюс
второго порядка, так как
F'(х) = (а + п) (х - Хо)04-"-1 G,(x) + (х - х0)а+л Gi(x),
F"(x) = (a +n) (а + n — 1)(х — x0)a+n“2G1(x) +
+ 2 (а + п) (х - x0)o+"-1G;(x) + (х - х0)а+лО;'(х),
откуда
F"(x) _ (a+n)(a + n —1) а + п G((x) G[(x)
F(x) “ (х-х0)* ’r x-x0 Gj(x) Gj(x)-
Далее, очевидно, что произведения, отношения и произ-
водные функций вида (42) имеют такой же вид1).
Из этих предварительных результатов можно вывести
необходимость условий Фукса для случая различных кор-
ней фундаментального уравнения следующим образом:
Функции в правых частях формул (36) имеют, очевидно,
форму (42), даже если функции Фх(х) и ср2(х) имеют полю-
’) Но не суммы, если только соответствующие показатели а не
отличаются на целое число.
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса
281
сы (любого порядка) в точке хох); поэтому то же можно
сказать о функциях
У2 ' У£\ и ,.2
*/i’ dx\r/i/ yidx\r/i/’
Но, в силу (40), — pj (х) равно логарифмической производ-
ной от последней из этих функций; значит, Pi(x) имеет
при х = х0 не более чем полюс первого порядка.
Коэффициент р2(х) может иметь в х0 не более чем по-
люс второго порядка, так как первый член в правой части
формулы (41) имеет рассмотренный выше вид, а второй
член, как произведение функций, имеющих не более чем
полюсы первого порядка, имеет не более чем полюс второ-
го порядка.
Этим заканчивается рассмотрение случая, когда фунда-
ментальное уравнение имеет различные корни.
Если фундаментальное уравнение имеет двойной корень,
то и тогда рг (х) имеет не более чем полюс первого поряд-
ка, так как из (38) и (40) следует, что
— Pi(x) = In {у1-^[А 1п(х — х0) + ф(х)]} =
= ^1пИт4т; + W)]}-
Значит, /?1(х) опять является логарифмической производной
от функции вида (42). Для р2(х) предыдущее доказатель-
ство не меняется, так как в правой части формулы (41)
участвует только решение у^х), представимое, как и в
предыдущем случае, первой из двух формул (36).
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса
Мы еще должны показать, что условия Фукса являются
также и достаточными] для этого мы воспользуемся мето-
дом Фробениуса, т. е. классическим методом интегрирова-
ния с помощью рядов с очевидным изменением, которое
подсказывает вид правых частей формул (36) и (38). Этот
О Если, например, дДх) имеет в точке х0 полюс порядка т, то
ф1(х) = (х—.r0) Ф1(х), где функция Ф1(х) регулярна при х=х0,
откуда yi(x) = (х—х0) Г1~т Ф1(х).
282 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
метод имеет то преимущество, что он дает практический
способ нахождения величин i\ и г2 и функций <Pi, <р2 и Ф1)-
Для простоты мы допустим (заменяя в случае необхо-
димости независимую переменную), что особой точкой слу-
жит начало координат, т. е. что х0 = 0; кроме того, допу-
стим, что коэффициенты р± (х) и р2 (х) удовлетворяют усло-
виям Фукса
= (43)
где
оо оо
4(x) = 2«Z = (И<«). (43')
п=о п=о
(Замечание: мы не исключаем возможности, что некоторые
из старших коэффициентов в этих рядах равняются нулю.)
Запишем уравнение в виде
х2у" + Л(х) ху’ + В(х) у = 0 (44)
и допустим, что ему удовлетворяет функция
ОО
у= % 2 ’
п=о
(45)
где постоянные г и сп еще не определены, за исключением
единственного условия с0 02).
Из (45) следует, что
ХУ' = (г + п) СпХп, Х2у" = хг 2 (г + П)(Г + п — 1) спХП,
П=0 П—Ь
О Предыдущие формулы (35') практически мало полезны при
определении величин Г\ и г2 из-за трудности нахождения постоян-
ных а, Ь, с, J, участвующих в фундаментальном уравнении (34).
2) Это ограничение несущественно, так как если, например, со=О,
сх=^0 то, чтобы удовлетворить условию, достаточно только заменить
г на г +1 и сп на cn~i.
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса
283
откуда, после подстановки в (44) и деления на общий мно-
житель, выводим
3 (г 4- п) (г + п — 1) спхп + 2 (г + «) спхп- 2 апхп +
П=0 n—Q n—Q
4- 2 СпХп- 2 Ьпхп = 0.
п-0 П—0
После применения правила перемножения степенных рядов
это дает
оо
2
п—0
п
(г+п) (г4-п—1) С„4- 2 (О' + т) ап_т 4- Ьп_т] ст
т=о
Хп = 0.
Чтобы ряд (45) удовлетворял заданному дифференциальному
уравнению, необходимо и достаточно, чтобы постоянные
г, с0, clf с2, . . . удовлетворяли рекуррентным соотношениям
п
(г 4- п) (г 4- п — 1) с„ 4- 2 [(/ + гп) ап-т 4- bn_m] cm = Q
т=о
(п = 0, 1, 2, ...),
т. е.
[(г 4- п) (г 4- п — 1) 4- (г 4- и) а0 4- &0] сп =
п—1
= 3 К' “И ап—т Н- Ьп—т] Ст.
т=о
Эти соотношения можно записать в более компактном виде,
если ввести вспомогательные функции (зависящие только
от коэффициентов av и bv):
Ш=а^ + Ьу (v = l,2, 3, ...). }
Тогда предыдущие соотношения приобретают вид
п—1
fo(r + n)cn = —H fn-m + m) (47)
m=o
284 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
т. е., в частности, для нескольких первых значений п,
А (0 с0 = о,
/о(с+1)сг= — А (г) Со,
А (г+2)с2 = — А (г) Со — А (г + 1) С1;
А (г+3) с3 = — А (0 Со — А(с+1) Сх — А (с+ 2) с2
(47')
Первое из этих соотношений определяет г, так как со=^=О,
и потому f0 (г) = 0, т. е. г должно быть одним из корней
уравнения
Г (Г — 1) + аог + Ьо = 0, (48)
которое можно также переписать в виде
г2 + [А (0) - 1] г + В (0) = 0; (48')
уравнение (48') называется определяющим (или характери-
стическим) уравнением.
Определяющее уравнение, которое в противоположность
фундаментальному уравнению (34) можно выписать, как толь-
ко дифференциальное уравнение задается, играет основную
роль в изучении фуксовых уравнений. Оно имеет два кор-
ня 1\ и г2, различных или совпадающих, причем мы их
занумеруем так, чтобы вещественная часть корня г1? была
не меньше вещественной части корня г2, т- е- чтобы
Re(r1)>Re(r2), (49)
И положим
Г1 — r2 = $. (50)
Тогда Re(s)^>0. (Возможность s = 0 не исключена.)
Мы покажем, что корню определяющего уравнения
отвечает в любом случае решение вида (45) заданного
уравнения, т. е равно ли s нулю или нет, корню г± соот-
ветствует ряд у спхп с отличным от нуля радиусом сходи-
мости.
Имеем
А(Ю = (1-с1)(?-/-2),
откуда
А(Л + п) = п(п s) (п = 1,2,...).
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса
285
Поэтому f0 (гх + п) не равно нулю ни при каком п, так как
Re [f0 (И + л)] = nRe(n + s)>n2 > 1. (51)
Таким образом, формулы (47') последовательно определяют
значения сп при п 1, если зафиксировать значение с0 *)
(не равное 0). Далее, если регулярные аналитические функции
А(х) и В(х) удовлетворяют в
диусом р а неравенствам
круге с центром х0 и ра-
то (ср. со стр. 259)
। 1 М
1а4 ттг»
г
N
Рп
и потому
Af|g| + ЛГ
Pv
(V>1).
С другой стороны, из (51) следует, что
ИоОТ + п)|>/12,
(52)
а отсюда из рекуррентной формулы (47)
мы выводим, что
п—1
/ Af|гг| 4-TV тМу |cm| (л > 1)
т—о х
рп-т
здесь выражение в скобках не более фиксированного числа
М |гд| + N + М,
которое мы обозначим через К; следовательно,
п—1
/П=0 Р
О Из дифференциального уравнения видно, что искомое реше-
ние определено только с точностью до постоянного множителя.
286 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Допустим теперь, что К не меньше I1), откуда 1 + К
1 + К -)-/(2<ЗК2 ит. д., и мы выводим последовательно
I сз I
Но отсюда видно, что ряд V спхп мажорируется геомет-
рическим рядом
оо
к.12(^Г
/г=о х г
и, следовательно, ряд (45), отвечающий корню г = г19
имеет радиус сходимости, не меньший чем р/К.
При рассмотрении другого корня г = г2 определяющего
уравнения необходимо различать два случая в соответст-
вии с тем, будет или нет разность s= i\ — г2 целым
числом (положительным или нулем). В самом деле
fo (f2 + п) = п(п — S),
и ясно, что если s равно некоторому положительному цело-
му v, то формулы (47') для г = г2 не определяют cv и по-
следующие коэффициенты, так как fQ(r2 + v)=0; если же
s=0, т. е. 1\=г2, то подсчеты можно провести, но они
дадут уже найденный ряд.
Исключив особый случай, когда s целое, легко показать,
что ряд (45), отвечающий г = г2, ведет себя аналогично ряду
для г = и представляет другое решение уравнения (44),
линейно независимое от построенного ранее.
Чтобы это доказать, нужно повторить предыдущие
вычисления и воспользоваться вместо (52) соотношением,
полученным с помощью рассмотрения верхней грани 3 после-
довательности
1 2 3 п
|1 —s|’ [2 —s|’ 13 —s I’ ***’ | n — s | ’
О Если Л4|Г1]+N-pM< 1, можно положить K=\.
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса
287
(эта верхняя грань заведомо конечна, так как все знаменате-
ли отличны от нуля, а предел общего члена при п —> оо
равен 1), откуда
I Ш + п) | = I п(п - S) | = n/”2_s| > £.
Покажем, что решения ух и z/2, отвечающие соответственно
гх и г2, линейно независимы, для чего проверим, что опре-
делитель Вронского для уг и у2 не может тождественно
равняться нулю. В самом деле,
У1 = сохГ1+ у[ = г1сохГ1~1 + ...;
Уг = с*охг> + у'2 = г2с*хГ2~1 + ...,
где многоточиями обозначены члены с высшими степенями х,
чем явно выписанные, а c*Q — начальный коэффициент второ-
го ряда (45); следовательно,
У1 У2
У1 У 2
= Vo(r2 — Г1)хг*+/'2 х + ... .
Остается рассмотреть случай, когда разность s = —г2
корней определяющего уравнения равна целому числу,
положительному или нулю, т. е. когда два корня
= е , л2 = е
фундаментального уравнения (34) совпадают. Тогда следует
ожидать, что второе решение у2(х) заданного уравнения
имеет вид (38); это наводит на мысль ввести в качестве
новой неизвестной функции отношение у2(х)/у1(х), где Z/iW —
ранее определенное решение.
Удобно воспользоваться формулой Лиувилля1), которую
можно переписать в виде
О См. примечание на стр. 279.
288 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Так как
P1W = ~ =-у- + а1+а2х + а3х2 + ...,
ТО
^2 д-3
Р1(х) dx = aQ In x + агх + a2— + a3— + ... ;
& О
подставляя это значение в предыдущую формулу, выводим
d 1Уг\
dx\yj
00
4^“a’exp(-S^") =
У1 п=1
(53)
Последнее частное представляет собой аналитическую
функцию от х, регулярную в начале координат (так как
с0 =/= 0), которую поэтому можно разложить в ряд вида
— ^0 —Н —Н —Н • • • ,
(54)
где коэффициенты а могут быть определены. Кроме того,
так как сумма t\ + г2 корней определяющего уравнения
равна —(aQ — 1), то
— а0— 2rx = гх + г2 — 1 — 2/-J = —(1 + s).
Поэтому (53) можно переписать в виде
^(^)=^?(а° + а1х + а2х2 + ...)
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса
289
или, так как s равно нулю или целому положительному
числу,
d (У 2 \ / Oto I &i I I I I
dx\yj- ~
+ as-H + 0Cs_|_2X +•..).
Интегрируя обе части, мы получаем следующий результат,
в котором с' — новая произвольная постоянная,
У* = с
У1
____а0
sxs
(s—1) A"S1
— 2^-J- _|_ as ln% +
X
+ <*s4-i* H—“h • • • “h •
Zi /
Таким образом, в соответствии с (38)
У 2 W = у Ах) [4 In X + 1р(х)], (55)
где А = cas (так что если as равно нулю, то и А также),
а аналитическая функция ф (х), имеющая в начале коорди-
нат не более чем полюс порядка s, определена формулой
1р(х) = С (— -Ц-
\ Sa
<*1 Ots-i
(s—l)xs-1 * X
4- ocs_|-iX 4
^-x2 +
(56)
причем с и c' — призвольные постоянные (которым можно,
например, придать значения 1 и 0), а коэффициенты as полу-
чаются из (54) 4-
Этими рассуждениями заканчивается доказательство ос-
новной теоремы; кроме того, они дают практический метод
интегрирования с помощью рядов дифференциальных урав-
нений, удовлетворяющих условиям Фукса.
О Легко видеть, что решения у\ и у2 линейно независимы, т. е.
отношение у2/У1 не постоянное (даже если Д = 0), так как в против-
ном случае все а равнялись бы нулю, а этого не может быть, по-
скольку левая часть формулы (54) отлична от нуля.
290 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
С практической точки зрения недостатком рассуждения,
проведенного для случая, когда корни определяющего урав-
нения равны или различаются на целое число, является
неудобство фактического определения функции ф(х) по фор-
муле (56) из-за трудности вычисления коэффициентов as
из (54). Обычно предпочтительнее находить второе решение,
подставив в уравнение (44) вместо у выражение
Ау^х) In х + хГг 2 V", (57)
п=о
после чего коэффициенты определяются с помощью при-
равнивания нулю членов (полученных после приведения подоб-
ных), не содержащих множителя 1пх.
Следует отметить, что найденные выше оценки снизу для
радиусов сходимости рядов, представляющих у± и г/2> не
имеют практического значения, так как если установлено,
что эти радиусы положительны, то их можно немедленно
найти с помощью общей теоремы § 43. Из этой теоремы
легко вывести, что указанные радиусы не менее расстояния
от начала координат до ближайшей из остальных особых
точек коэффициентов заданного уравнения (а по крайней
мере один из радиусов равен этому расстоянию).
Наконец, надо заметить, что функции, на которые множи-
лись Z1 и хГг в представлении решений, регулярны в на-
чале координат (т. е. не имеют там полюса, хотя это перво-
начально допускалось). То же относится к функции ф(х)
в (55), если s = 0.
47. Вполне фуксовы уравнения.
Гипергеометрическое уравнение
Теоретические рассмотрения последних двух параграфов
интересны также с практической точки зрения, поскольку
большинство линейных дифференциальных уравнений, приме-
няемых сейчас в прикладной математике, удовлетворяют
условиям Фукса в своих конечных особых точках. Напри-
мер, уравнение Бесселя (см. стр. 140 и далее) можно запи-
сать в виде
У'+-^'+11-т^ = 0’
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 291
т. е. в точке х = 0, очевидно, условия Фукса выполняют-
ся; то же относится к уравнению Лагерра (стр. 231 и далее)
н । ос - J- 1 — х f I __ л
у “!-----х— у + ~ У = 0
и к уравнению Лежандра с особыми точками при х = ± 1,
которое можно записать в виде
// / । X
(1 — х)(1 + х) ' (1 — х)(1 + х)
Однако при рассмотрении бесконечно удаленной точки
ситуация, вообще говоря, иная; при этом мы будем отож-
дествлять поведение уравнения
y" + Pi W/ + p2Wz/ = о
в окрестности точки х = оо с поведением в окрестности
точки £ = 0 нового уравнения, полученного после замены
переменной х=1/£. Произведя это преобразование, имеем
dy dy d2y f-4 d2y I dy
dx ~ s dg ’ dx2 ~ S d%2 "r- 6 d% ’
и потому уравнение приобретает вид
+ [т - ъ + тг/?2(т)^ = °- (58)
Уравнение (58) будет фуксовым при g = 0, если Pi(l/g)
и р2 (1/^) имеют в этой точке нули, порядок которых не
менее индексов этих функций, т. е. если р±(х) и р2(х)
имеют при х = оо нули таких порядков. Это условие для
уравнения Лежандра выполнено, однако для уравнений Бес-
селя и Лагерра — нет. Это условие не выполнено и для
простейших уравнений с постоянными коэффициентами — по
той причине, что определяемые этими уравнениями транс-
цендентные функции имеют на бесконечности существенную
особенность.
Возникает вопрос, можно ли охарактеризовать (и клас-
сифицировать) каким-либо простым способом линейные диф-
ференциальные уравнения второго порядка, которые, как
уравнение Лежандра, удовлетворяют условиям Фукса
292 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
во всех своих особых точках, включая бесконечно удаленную.
Такие уравнения обычно называются уравнениями «типа Фук-
са», но мы предпочитаем называть их «вполне фуксовыми
уравнениями».
Такую характеристику легко вывести, так как коэффици-
енты рх (х) и р2 (*) являются аналитическими функциями,
регулярными (даже равными нулю) на бесконечности и имею-
щими для конечных х только полюсы (соответственно про-
стые и не более чем двойные), т. е. эти коэффициенты не могут
иметь существенных особенностей и потому должны быть
рациональными функциями. Значит, если а2,..., —
точки (их число по необходимости конечное), в которых
расположены полюсы функций рх (х) или р2 (х) (или же их
обеих), и если
(х — аО (х — а2). . . (х — ап) = Рп (х), (59)
то ясно, что Pi(x) и Рг(х) можно представить в виде част-
ного от деления некоторых подходящих многочленов Q(x)
и R (х) на Рп (х) и Рп (х) соответственно. Поскольку рг (х)
и р2(х) имеют на бесконечности нуль, порядок которого
не менее индекса коэффициента, то многочлены Q (х) и 7?(х)
имеют степень не выше п — 1 и 2п — 2 соответственно.
Отсюда вытекает теорема:
Для того чтобы уравнение (23) было вполне фуксовым,
необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты явля-
лись рациональными функциями вида
= <в°)
Г пУ f гп\х)
где многочлен Рп (х) имеет степень п и все простые нули
(т. е. Рп(х) можно представить в виде (59), причем все
точки а15 а2, . . ., ап различные), а степени многочленов
Qn-i и Rzn-z не превышают их индексов (п^ 1).
Уравнение, коэффициенты которого задаются формула-
ми (60), имеет, вообще говоря, п + 1 особых точек, именно п
точек а2, . . . , аЛ и точку на бесконечности.
Определяющее уравнение для особой точки ah (h =
= 1, 2,. . ., п) можно записать, согласно (48), в виде
г(г — 1)+Д^-г + ^!2=Д^.=0 (61)
P'n^h) Pn^h) 7
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 293
так как
(aft — а,) (aft — а2)... (aft — (ай — aft+1)...
• • • (аЛ Мл) = P
определяющее уравнение для точки на бесконечности имеет,
в силу (58), вид
г (г - 1) + (2 + а) Г + ₽ = О, (6Г)
где
Ит 4-р! Ш = lim xpv(x) = —а,
\ / х-+<х> (о2)
lim 4;Р2 (-7) = Нт х2р2(х) = 3,
£ ->0 \ С / х -> оо
а через —аир обозначены коэффициенты при х"-1 и х2/г-2
в Q/l_1(x) и 7?2/г-2(*), соответственно.
Из полученных формул следует важный результат, что
сумма корней всех определяющих уравнений для вполне
фуксова уравнения с п + 1 особыми точками равна п— 1.
Действительно, если о — это сумма, то, в силу (61) и
(61').
Y Г1 , . .. .
0 “йГ _ -1 -
Но так как отношение
Qn—l (a/i) / Рп (a/i)
равно вычету функции рДх) в точке ah, а а равно вычету
той же функции на бесконечности, то последняя квадратная
скобка равна нулю, поскольку сумма всех вычетов аналити-
ческой функции, все особенности которой изолированные,
равна нулю1)', следовательно, в = п — 1.
В См., например, Трикоми Ф. [77], стр. 35, 75, 78 [См. также
Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного пере-
менного изд. 10, Физматгиз, М., 1960, стр. 242.— Прим, перев.]
294 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Если же уравнение, удовлетворяющее условиям Фукса
в каждой из особых точек 04, а2,... ,ап, не удовлетворяет
этим условиям на бесконечности, то сумма в' корней опре-
деляющих уравнений для точек а2, ... ,ап равна, в силу
предыдущих соображений,
в' = п + а,
где а — вычет функции рг (х) на бесконечности.
Эти рассмотрения приводят к идее классификации впол-
не фуксовых уравнений в соответствии с числом их особых
точек, которых при п 1 будет по крайней мере две.
Вполне фуксово уравнение с двумя особыми точками
(т. е. при п = 1) может быть проинтегрировано элементарно
и не дает ничего нового. Наиболее обшее уравнение этого
типа имеет вид
h b
---------------2—1/= О,
1 х — 1 (х — »1)2^
где h и k — какие угодно постоянные. Это уравнение несу-
щественно отличается от уравнения (27), для которого мы
уже указали общее решение; таким образом,
У = С1 (х — а1)г‘ + с2 (х — ах)г* (гх У= г2),
у = (х — ajp [Cjln (х — ах) + с2] (rx = r2),
где q и с2 — произвольные постоянные, а /д и г2 — корни
квадратного уравнения (которое можно теперь назвать опре-
деляющим уравнением)
г (г— 1) + йг + ^ = 0.
Простейшие вполне фуксовы уравнения, приводящие к
интересным результатам — это уравнения с тремя особыми
точками (к этому классу принадлежит и уравнение Лежан-
дра). Мы детально рассмотрим такие уравнения, поскольку
они непосредственно связаны с одним из наиболее важных
уравнений анализа, именно с гипергеометрическим уравне-
нием.
Вполне фуксово уравнение с тремя особыми точками
имеет вид
, м + ла z + k^ + k2x+k, =
v 1 (х —aOU —a2r [(х — oci)(x — a2)]2^ v 7
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 295
если этими точками служат ат, а2 и оо, и
„ 2х2+й1х + йг , + k\X + k*s
у ' (х — а)(х — Ь)(х — с) у “Г [(х— а)(х— Ь)(х — с)уу ~ и’
(64)
если особыми точками служат три различные конечные точ-
ки а, Ь, с; действительно, чтобы бесконечная точка была
обыкновенной точкой, р2 (х) должен иметь на бесконечности
нуль не ниже четвертого порядка, а рг (х) — нуль первого
порядка, для которого
lim xpt(x) = 2 [см. уравнение (58)].
Х->ОО
Как уравнение (63), так и (64) показывают, что если
положения особых точек зафиксированы, то дифференциаль-
ные уравнения данного класса зависят от пяти параметров,
а именно от неопределенных коэффициентов в многочленах
первой и второй степени, стоящих в числителях функций
ft(x) и р2(х).
Вместо этих параметров можно воспользоваться тремя
парами корней определяющих уравнений; как мы видели,
эти корни связаны тем, что их сумма равна п — 1 (т. е. в
рассматриваемом здесь случае равна 1).
Докажем теперь, что уравнение (64) однозначно опреде-
ляется заданием особых точек а, Ь, с и соответствующих
пар корней (а, а'), (3, Р')> (Т, тЭ определяющих уравнений,
при выполнении условия
+ Р + Р" + Т + Tz = 1. (65)
Разлагая на простейшие дроби рациональные функции,
участвующие в (64), имеем
2х2 + hi* + h*2 А |_ я _| с
(х— а)(х— b)(x— с) х—а । х — Ь' ' х — с
л>+^х+а; А' |_ V _| с
(х— а)(х— Ь)(х— с) х—а । х — Ь' х — с
где Д, В, С и А', В', С' —соответствующие постоянные, при-
чем
А + В + С = 2 (66)
296 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
(так как коэффициент при х2 в числителе первой рациональ-
ной функции равен 2). Поэтому (64) можно переписать в
виде
ff I / А I В I С \ t I
у + + +
+ +т^т+ 7^) (>-д)(ЛЬ)(,-с) = ». (67)
что дает возможность особенно просто записать определя-
ющие уравнения для особых точек а, Ь, с\ в самом деле,
так как
lim (х - а) Р1 (х) = A, lim (х - a? р2(х) = (а_&)(а_с)
то определяющее уравнение для точки х = а имеет вид
А'
г(г~-1) + Л-+[д_|,)|д_с) = О,
откуда
А'
а 4- а' = 1 — Л, аа = ------п----? .
(а—Ь)(а — с)
Аналогично, рассматривая особые точки бис, находим
3 + 3'= 1 — В, 3 3'=7Т----4-----;>
т + т' = 1-С, п' = (с_а)С('_Ь),
и потому
Л = 1—а —а', В = 1 — 3 — 3', С = 1— Г — т','
А'= (а — Ь) (а — с) аа', В'= (Ь — а)(Ь — с) 33',
С'=(с —а)(с —6)тт'-
(68)
Соотношение (66) вытекает из (65); кроме того, теперь мож-
но записать дифференциальное уравнение в форме Паппери-
ца\
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 297
/1 —a —a' 1-3-Р' l-Y-Г\ , +
\ х — а 1 х — b х — с J
/ (а — Ь)(а — с)аа' (Ь — а)(Ь — с)0р' .
“г \ х —а “* х — b г
। (с — о)(с — _________у_________ =
”* х — с ) (х — а)(х — Ь)(х — с)
(69)
чем теорема и установлена. Шесть величин а, а', 0,0', у, у'
называются характ еристическими показателями уравне-
ния.
Если одна из особых точек, например с, находится на
бесконечности, то, исходя из (63) и проводя аналогичные
выкладки, мы придем к уравнению, получающемуся из (69)
в результате предельного перехода при с->оо.
Каждая функция, удовлетворяющая уравнению (69), на-
зывается Р-функцией Римана и обозначается символом
а b с
а 0 у х
а' 0' /
(70)
Это обозначение ясно показывает, что такая функция за-
висит от 9 параметров (кроме- х и двух произвольных по-
стоянных интегрирования), число которых, в силу (65),
можно свести к восьми1).
Это большое число параметров можно уменьшить, если
воспользоваться двумя важными свойствами уравнения (69),
которые получаются, если произвести замену независимой
переменной
№-ВСу=0)
или замену неизвестной функции (при конечных а, Ь, с)
У1= (х — а)х (х — bf (х — c)v у (X + ц + V = 0). (71)
О В силу симметрии уравнения Папперица относительно а, Ь, с
и пар а, а'; 0, 0'; у, у' характеристических показателей ясно, что в
символе (70) можно переставлять столбцы, а в каждом столбце вто-
рой и третий элементы.
298 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Эти преобразования приводят к следующим формулам1):
Р
а b с
а р у х
а' [Г
с\
а р у хг
а' Р' г'
(72)
= Р
и
а b с
а р у х
а' ₽' г'
= (х — а) к (х — Ь) и (х — с) v х
а
хР
а+Х
а-]-Х
b
P+|i
Р'+н
с
Т+v *
r'4-v
(X + ^ + v = 0), (73)
где ar, Ь19 сг — точки, отвечающие точкам а, Ь9 с при ука-
занной дробно-линейной подстановке.
Следовательно, если выбрать подстановку так, чтобы
а, Ь9 с перешли в точки 0, 1, сю2), и воспользоваться фор-
0 Формулу (72) легко установить, если доказать ее сначала для
трех элементарных подстановок Xi==x+h, Xi~kx, = оконча-
тельный результат следует из того, что любую подстановку указан-
ного вида можно представить в виде произведения всех или некото-
рых из этих элементарных подстановок. В справедливости формулы
(73) можно либо убедиться непосредственно (с помощью элементар-
ных, но громоздких выкладок), либо заметить, что функция у\, оче-
видно, удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
второго порядка, конечными (фуксовыми) особыми точками которо-
го служат только а, Ь, с, а при условии X+jx4-v=O (это требует
некоторых подсчетов) это уравнение регулярно на бесконечности.
Если с— оо, то подстановка (71) выглядит так:
У\= (х—а)Х(х—-b^y, v=—X—ц.
Следует отметить, что в формулах (72) и (73) знак равенства
понимается в несколько необычном смысле, так как символ Р {...}
означает не частное решение уравнения (69), а любое решение.
2) Мы пользуемся подстановкой
b — с а — х
X1 ~ а — b х — с *
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 299
мулой (73) при А =—а, ц = — р,
получим
V = а + ₽, ТО МЫ
а
а
а'
b с
р Г
X
' О
О
а'—а
1
О
ОС
а+Р+Т X.,
а+Р+г'
(74)
где
(а' — а) + (Р' - Р) + (а + Р + г) + (« + Р + Т') = 1- (75)
Следовательно, P-функция Римана приводится к форме, в
которой присутствуют только три существенных параметра
Вводя общепринятые обозначения, напишем
а4-р-|-т=а, а-ЬР+т' = b, 1а — а' = с, (76)
так что P-функция приобретает вид
О
О
1—с
1 оо
О а х
с—а—b b
(77)
где, конечно, новые параметры а, Ь, с никак не связаны с
величинами, ранее обозначенными теми же буквами.
Если тремя особыми точками первоначально служили
О, 1 и оо, то формула (74) приобретает вид
0 1 оо 0 1 оо
р а р у х = Ха(1 —х)₽Р' 0 0 а х - (74':
ос' Р' г' 1 — с с—а—b b \ J
где постоянные а, Ь, с определены формулами (76); в этом
легко убедиться, положив в (74) а = 0, b = 1, с = <о и
устремив со к бесконечности, предварительно умножив пра-
вую часть (что допустимо в силу первого примечания на
стр. 298) на постоянный множитель
(— 1)0 (— (0)а+3
300 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Аналогично, чтобы получить уравнение, которому удовле-
творяет функция (77), надо в (69) положить а = 0, 6 = 1,
с = со, а затем
а = р = 0, у = а, а' = 1 — с, р' = с — а — Ь, / = b
и устремить со к бесконечности; получится простое урав-
нение
х (1 — х) у" + [с — (а + b + 1) х] у' — aby = 0. (78)
Это — хорошо известное гипергеометрическое уравнение,
которое мы рассмотрим лишь вкратце, несмотря на его
важностьт).
Мы не будем рассматривать здесь три случая
с целое, с — а — b целое, а—b целое, (79)
когда при решении гипергеометрического уравнения могут
появиться логарифмические члены. Тогда структура пар
фундаментальных решений около каждой из трех особых
точек 0, 1, оо, в силу предыдущих рассмотрений, будет та-
кой: около начала координат решения имеют вид
У1 = Pi (х), у2 = х1-с (я). (80)
Около точек х = 1 и х = сю решения имеют вид
//з = рз(1 — X), z/4=(l— ху-а~ьРЦ\— х) (80')
и
^ = (4)4(1). Ув = №ре(у\ (80")
где Р19 Р2,... ,PQ — суммы рядов по целым неотрицатель-
ным степеням, причем их круги сходимости, простираю-
щиеся до ближайшей из остающихся особых точек, опре-
0 По поводу сведений о гипергеометрической функции см.
Klein F., Haupt О., Vorlesungen uber die hypergeometrische Funk’
tion, Berlin, Springer, 1933; также соответствующие главы книг
Форсайт А. [46], Пикар Э. [71]; Уиттекер Э., Ватсон Дж.
[80] и Sansone G., Lezioni sulla teoria di una variabile complessa,
ed. 3, Padua, Cedam, 1950.
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 301
деляются для каждой пары решений соответственно нера-
венствами
И < 1, |1-х|<1, 11/х|<1. (81)
Следовательно, все степенные ряды имеют радиус сходи-
мости, равный единице.
Первый из этих рядов легко построить, если с не равно
ни нулю, ни целому отрицательному числу1), с помощью
обычного метода подстановки у = S спхп в (78); это при-
водит к рекуррентному соотношению
_ (а+п)(Ь + п)
(1 + П)(с + П)6"’
откуда, полагая с0 = 1, мы выводим соответствующее ре-
шение
F(а, Ь; е- х) = 1 + £
х 1*2*...-п-с (с + 1)...(с4-п—1)
(82)
Это — знаменитый гипергеометрический ряд, впервые изу-
ченный Эйлером и далее Гауссом, Риманом и другими.
Название объясняется тем, что в частном случае, если
а = 1, b = с, гипергеометрический ряд приводится к геоме-
трическому ряду
В современной терминологии символ F (а, Ь\ с\ х) обыч-
но означает аналитическую функцию (вообще говоря, мно-
гозначную), которая вблизи начала координат представима
рядом (82) и получается путем аналитического продолжения
суммы этого ряда на всю комплексную плоскость. Гипер-
геометрическая функция, симметричная относительно а и Ь,
включает в качестве частных случаев многие важные функ-
ции, в том числе некоторые элементарные функции2 * *).
Например, помимо уже указанного частного случая
а = 1, b = с, положив b = с, мы получим более общий
О В противном случае аналогично можно было бы построить
функцию Р2, так как тогда 1 — с было бы корнем определяющего
уравнения с большей вещественной частью.
2) То же можно сказать о конфлюентной гипергеометрической
функции Ф, которая, как мы увидим в § 52, является предельным
случаем функции F.
302 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
результат
оо
F (а, Ь\ Ь\ х) = 1 + 2 (7)(—х)" = (! — хУа-
п—1
Кроме того, легко убедиться в том, что
F(l, 1;2;х) = — | In (1-х)
И
где К — эллиптический интеграл, рассмотренный в гл. I
(стр. 40).
Воспользовавшись функцией F(a, b\ с\ х), можно легко
найти пять других рядов Р2,..., Р6, содержащихся в (80);
здесь мы подсчитаем только Р2(х) и покажем, что
Р2 (*) = (я — с + 1, b — с + 1; 2 — с\ х).
Поэтому, если только с не целое, общее решение гипер-
геометрического уравнения (78) имеет вид
у = CiFia, b\ с\ х) + С2х1~сF(a—с+1, b—с+1; 2—с; х),
(83)
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
Для того чтобы доказать это, заметим, что в левой части
формулы (74') можно менять местами а с а' р с р' и
Y с /; кроме того, при перестановке у и / в (76) проис-
ходит только перестановка а и Ь. Последний результат
равносилен замечанию, что а и b входят симметрично в
гипергеометрическую функцию F (а, Ь; с\ х) и в дифференци-
альное уравнение (78); но другие две перестановки приводят
к более интересным результатам. Переставляя а и а' полу-
чаем
х°(1 — х)₽Р
1 оо
0 а х
с—а—b b
0
= х*' (1 — х)₽ Р
0 1 оо
0 0 а' х
1—с' с'—а’—bf bf
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 303
где
«' = а' + 0 + «— с + 1, b' = а'+ ₽ + т' = & — с + 1,
с' = 1 + а' — а = 2 — с,
так что
О
О
1—с
1 оо
О а
с—а—b b
= хУ~с Р
0 1 оо
0 0 а' х
1 —с' с' — а' — Ь' Ь'
Таким образом, среди функций, представленных единым
символом в левой части, т. е. среди частных решений урав-
нения (78), содержится функция
G (х) = х1-0 F (а — с + 1, b — с + 1; 2 — с\ х),
которая, если с не целое, линейно независима с F(a, b\ с\ х),
так как при х—>0, очевидно,
G(x) = x1"c[l +О(х)].
Поэтому общее решение уравнения (78) имеет вид (83).
Перестановка 0 и 0' приводит к аналогичному резуль-
тату, а именно,
0 1 оо
0 0 а х
1 —с с—а — b b
= (\ — х)с~а~ь Р
0 1 оо
0 0 а" х
1—с" с" — а" — Ь" Ь"
где
а" = a + р' + Т = с — Ь, Ь" = а + [У Ц- у' = с — а,
d' = 1 + a — a' = с.
304 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Следовательно, существуют такие постоянные А и В, что
(1 — x)c~a~b F(c--b, с —а; с- х) =
= AF(a, b\ с\ х) + Bxr~c F(a — с +1, b — с + 1; 2 — с\ х).
В этом тождестве левую часть можно вблизи нуля разло-
жить по целым неотрицательным степеням х, тогда как
правая часть имеет вид
А [1 + 0(х)] + Вхг~с [1 + 0(х)];
отсюда 4 = 1, В = 0 и мы получаем важный результат
F(a, b\ с\ х) = (1 —x)c~a~b F(c—a, c — b\c\ х). (84)
Из соображений непрерывности следует, что эта формула
остается справедливой и в том случае, если с целое не-
отрицательное. Эта формула дает возможность, таким об-
разом, представить функцию F с помощью степенного ряда
новым способом.
Применяя формулы (74') и (83), легко вывести явную
формулу, выражающую общую P-функцию Римана с осо-
быми точками 0, 1, оо через функцию F; именно
Р
О 1 оо
а р y х = (1 —Х)Р х
а'Р' у' х [^“^(a+p+Y, а+р+у'; 1+а—а';х) +
+ C2xa'F(a'+p+Y, а'+р+/; 1+а'—а; %)],
если только разность а' — а характеристических показате-
лей особой точки х = 0 не целая.
Укажем в заключение, что изучение вполне фуксовых
уравнений с п + 1 > 3 особыми точками приводит к одно-
му из возможных обобщений гипергеометрических функций,
именно к обобщенным гипергеометрическим функциям1).
О См., например, Appell Р., Катрё de Feriet J., Foncti-
ons hypergeometriques, et hyperspheriques. Polynomes d’Hermite, Pa-
ris, Gauthier-Villars, 1926; Bailey W. N. Generalized Hypergeomet-
ric Series, Cambridge Tracts № 32, 1935. Другие возможные обобще-
ния гипергеометрических функций приводят к рассмотрению функ-
ций более чем одного независимого переменного, например, функций
Аппеля.
См. также Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F.,
Tri со mi F., Higher Transcendental Functions, I—III. New York,
McGraw-Hill, 1954—55.
48. Предварительные замечания о существенных особенностях 305
Однако здесь возникает трудность, не встречающаяся в слу-
чае и = 2; она состоит в том, что число параметров, от
которых, помимо положения п + 1 особых точек, зависит
дифференциальное уравнение (ср. стр. 292), равно Зп— 1,
тогда как число независимых характеристических показате-
лей равно только 2n+ 1. Таким образом, уравнение содер-
жит п — 2 так называемых дополнительных параметра.
48. Предварительные замечания о
существенных особенностях
Рассмотрения предыдущего параграфа, и в частности
пример гипергеометрического уравнения, ясно показывают
поведение решений линейного дифференциального уравнения
в окрестности несущественной особенности уравнения, т. е.
в окрестности особой точки, в которой выполнены условия
Фукса. Но что будет, если точка является существенно
особой, т. е. точкой, в которой условия Фукса не выполне-
ны?
Предыдущие результаты мало что говорят по данному
вопросу (мы пока отвлекаемся от методов § 29, которые
можно применить). Вообще, здесь оказываются полезными
только формулы (36) — (38); они показывают, что решения
могут быть многозначными функциями, но почти ничего не
говорят об их фактическом поведении (т. е. стремятся
они к конечному или бесконечному пределу или нет и т. д.),
так как функции Ф1(х), <p2W, теперь могут (и по
крайней мере одна из них обязательно должна) иметь су-
щественную особенность в рассматриваемой точке.
Следует продолжить предыдущее исследование и попы-
таться получить ряды, представляющие в соответствующем
смысле пару линейно независимых решений линейного диф-
ференциального уравнения около существенно особой точки.
Оказывается, что эти ряды (если их можно получить) бу-
дут, вообще говоря, расходиться и представлять решения
уравнения только асимптотически, в смысле, который бу-
дет определен позже. Однако мы увидим на примере урав-
нения Бесселя, что такие ряды имеют значение даже для
получения численных результатов.
Мы предположим, что рассматриваемая особая точка
является бесконечно удаленной точкой (для этого в случае
306 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
необходимости надо применить в обратном направлении пре-
образование, указанное на стр. 291) и что коэффициенты
рг (х) и р2 (х) в уравнении обычного вида
у"+рЛх)у' + pdx)y = O
являются аналитическими функциями, регулярными на
бесконечности, т. е. для достаточно больших |х| их можно
представить рядами
Pi(x) = aQ + -у + +..., р2(х) = Ьо + -у + у- +... .
(85)
Отсюда следует, что, вообще говоря, точка х = оо является
существенной особенностью для уравнения; действи-
тельно, из приведенных на стр. 291 условий видно, что,
для того чтобы эта точка была не существенно особой,
должно быть
«о = 0, 60 = Ьг = 0; (86)
для того же, чтобы точка х = оо была обыкновенной точ-
кой уравнения, требуется более сильное ограничение (стр.
295):
aQ = 0, аг = 2, Ьо = Ьг = Ь2 = Ь3 = 0. (87)
Нетрудно представить себе условия более общие, чем
те, которые мы наложили на уравнение1); например, можно
было предположить, что функции р±(х) и р2(х) имеют
в точке х = оо полюсы некоторого порядка. Но хотя метод,
которььм мы воспользуемся, можно приспособить и к этим
более общим случаям2), мы ограничимся приведенными
предположениями о том, что коэффициенты р^х) и р2(х)
можно представить рядами вида (85); эти предположения
довольно существенно упрощают исследование и в то же
время охватывают все важные случаи.
О Для конечной особой точки примененные условия означают,
что Pi(x) имеет не более чем полюс второго порядка, а р2(^)—чет-
вертого порядка.
2) Метод можно приспособить даже к тому случаю, когда ряды
(85) представляют коэффициенты асимптотически, в смысле, который
будет сейчас уточнен.
48. Предварительные замечания о существенных особенностях 307
Существенно определить, в каком смысле ряды, которые
мы выведем, будут асимптотически (при х —>оо) представ-
лять решения заданного уравнения. Мы дадим классическое
определение, принадлежащее Пуанкаре.
Будем говорить, что ряд, сходящийся или нет,
с° + "7 + + • • •
асимптотически (при х—>ос) представляет функцию f(x)
в смысле Пуанкаре, и писать
f(x) — с0 + +... + -р? +.. •» (88)
если для любого целого неотрицательного п
кх)=со+^+Э+--+5[1+т
где функция гп(х) стремится к нулю при х —>оо, т. е.
если
кх)=со+^+Э+--+5+°^
или, что равносильно,
f (X) =Со + -7+Э + -"+Э + (88')
Мы не можем здесь рассматривать общие свойства таких
асимптотических рядов и по этому поводу отошлем чита-
теля к оригинальной работе Пуанкаре г) и к работе Кноппа.
Для наших целей заметим только, что эти ряды можно
складывать, перемножать и даже делить (если свободный
член делителя не равен нулю) на такие же ряды в точности
так же, как это делается с обычными степенными рядами.
Кроме того, их можно почленно интегрировать (но, вообще
О Poincare Н., Sur les integrates irregulieres des equations
lineaires, Acta Math., 8 (1886), 295—344; Кнопп К. [63] § 65. [См
также Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, II, изд. 4, Физматгиз, М.— Л., 1959, стр. 537 —
Прим, перев.]
308 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
говоря, нельзя почленно дифференцировать), так как мы от-
метили (стр. 223 и 226), что асимптотические равенства, содер-
жащие символ 0, можно интегрировать, но, вообще гово-
ря, нельзя дифференцировать Далее, асимптотическое пред-
ставление функции f (х) единственно в том смысле, что если
f W — со + ~ + • • •, f W — со + ~ + • • •>
то необходимо с0 = с'о, сх = с[, с2= с'2, .... Однако эта
единственность не действует в обратном направлении в том
смысле, что ряд вида (88) вполне может асимптотически
представлять две различные функции: например, функции
f (х) и f (х) + е~х имеют одинаковое асимптотическое пред-
ставление, если х стремится к бесконечности так, что
lim Rex = -|-оо.
Покажем теперь, что с помощью преобразования вида
у = e*xx?z = eax+plnxz, (89)
где постоянные аир будут подобраны позже, заданное
уравнение можно, вообще говоря, упростить в том смысле,
что для коэффициентов преобразованного уравнения
^+А‘(*)^ + /Ш)г = °
выполняется хотя бы одно из условий Фукса, а именно рДх)
имеет на бесконечности нуль не ниже второго порядка.
Как легко проверить,
оо
Pi(x) = рДх) -|- 2fос -|- у) = aQ + 2а + р +3 >
V ' п~ 2
р2(х) — P2W + а2 Ч----у- + ~ —
= (а2 + аоа + b0) + (<*<>+2а) р+^+<4 _|_ Р^"1) _|_
ОО
। 2 iP <
п~ 2 Х
48. Предварительные замечания о существенных особенностях 309
Таким образом, чтобы удовлетворить сформулированному
условию, надо в качестве а взять один из корней а1? а2
квадратного уравнения
а2 + аоа + = 0, (91)
которое мы назовем характеристическим уравнением1) (как
в теории дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами).
Если же корни характеристического уравнения — раз-
личные, т. е. если
2ah-\-ao=^O (Л=1,2), (92)
то коэффициент при 1 /х в полученном выражении для
р2(х) можно обратить в нуль, придав р соответствующее
значение
(Л = 1.2). (93)
Что касается первого члена в выражении для Pi(x), то
он не может равняться нулю в силу условия (92), требу-
ющего, чтобы корни уравнения (91) были различны. Но этот
член можно сделать равным — 1, произведя заключительную
замену независимой переменной
Этим уравнение будет приведено к окончательному виду
S-[1-7H^+^gWz = 0 (95)
(здесь мы опустили штрих у х), где аналитические функции
f (%) и g (х) регулярны в бесконечно удаленной точке, т. е.
для |х|, больших некоторого а, они представимы рядами
О Заметим, что (91) совпадает с характеристическим уравнением
для предельного уравнения
у"+аоу'+Ьоу=О,
полученного при переходе к пределу в коэффициентах исходного
уравнения для х-*оо.
310 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
вида
fW = 4 + ^ + ^| + ...,
в в (96)
£(%) = Во + + .. •,
коэффициенты которых можно выразить через коэффициенты
ап и Ьп предыдущих рядов.
Применим теперь описанный в § 29 (второй) метод пере-
хода к интегральному уравнению, заметив, что в обозначе-
ниях § 29
р1(х) = — 1, р2(х) = 0,
Д(х) = 0, В(х) = —х~ 1f(x), С(х) = —x~2g(x)
и, следовательно,
F^x) = 1, F2(x) = ех, W(x) = ех,
L(x, g) = ех — М.(х) = —xr2g(x) е~х,
N(x) = — х-1 f (х) е~х,
ад - ^[Л(х,юад] =
= — (ех — е*) l~2g (g) + А [(ех _ g5) ф е-6] =
= ш+g(i)] - гтш - ех~* {i~2[f (&н m+
+ Г1 [f(&) - fW
Если, кроме того, принять х0 = оо и задаться целью отыс-
кать ограниченное решение z(x), то в правой части интег-
рального уравнения (25) § 29 экспоненциальные члены дол-
жны взаимно уничтожиться и потому она обратится в по-
стоянную, которую мы положим равной единице1). Таким
образом, мы приходим к уравнению
г(х) - $ [Г2 z(g) di- = 1, (97)
О При других значениях этой постоянной получается рассматри-
ваемое решение, умноженное на постоянный множитель.
49. Приложение метода последовательных приближений 311
где для краткости обозначено
f (I) - f'®+Г1 [/(8Ш)1 = f Ш - Г1 F(g) = С(Ю.
Следует заметить, что член gf'(g) является регулярной при
g = оо функцией (и даже равной там нулю), так как
т) = -Аг2-2А2гз-....
Однако к уравнению (97) нельзя непосредственно приме-
нить намеченную в § 29 общую теорию интегральных урав-
нений Вольтерра, так как здесь мы имеем дело с «сингуляр-
ным» уравнением, для которого интервал интегрирования
бесконечен.
49. Приложение метода последовательных приближений
Для возможного упрощения формальных выкладок удоб-
но ввести специальный символ Т для обозначения линей-
ного функционального преобразованияг), осуществляемого
интегралом, участвующим в (97), т. е. операции, которая
действует на функцию (здесь на аналитическую функцию)
Ф(£) и преобразует ее в <p(x) по формуле
ф(х) = Т [Ф (£)] = jj (I) + ф] Ф (У d$. (99)
Это дает возможность записать интегральное уравнение (97)
в символической форме
z(x) = 1 + T[z®]. (100)
Применяя к этому уравнению классический метод последо-
вательных приближений, положим
z0(x)=l, zx(x) = 1+ Т[1], z2(x)=l + T[z1(g)], ... (101)
О Функциональное преобразование Т называется линейным, если
(как, очевидно, будет в рассматриваемом случае)
ЛФ1+ф2]=ЛФ1]+ЛФ2] и т[ сф]=ст[Ф],
где С — любая постоянная.
312 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
и вообще
г„+1(х)= 1+T[zn&] (п=0, 1,2,...), (102)
откуда
zzl+1(x)-zn(x) = T[zn(g)-zzl_1(g)] (л = 1, 2, 3,...). (103)
При исследовании основного вопроса о сходимости или
расходимости последовательности (101) полезно начать с до-
казательства следующей общей теоремы о функциональном
преобразовании Т.
Мы будем рассматривать преобразование функций, ана-
литических, регулярных и ограниченных о области
Dr: —л + л <argx< л —л,
где л — произвольное число, зафиксированное между 0 и л/2
a R таково, что аналитические функции F(g) и G(£) при
I £ I регулярны и ограничены, т. е. | F (g)| , | G (g) |
Путь интегрирования в формуле (99) будем считать прохо-
дящим в Оя и таким, что
$1£Гг1^1<оо, limRe g =-|-оо.
X
Тогда ясно прежде всего, что результат интегрирования не
зависит от выбора пути интегрирования и что получающа-
яся функция ф(х) аналитична и регулярна в Dr.
Если функция Ф(х) удовлетворяет в Dr неравенству
|Ф(х)|<ЛНхГл, (104)
где N и п— неотрицательные постоянные, то функция
Ф(х) = Т[Ф(У] удовлетворяет в Dr неравенству
|(р(х)|<О|х Г"’1, (105)
где положительная постоянная К зависит только от М
и л.
Для доказательства выберем путь Г интегрирования сле-
дующим образом:
(1) Если — л/2 + л < argx л/2 — л» то мы возьмем за
Г полупрямую, выходящую из точки х по направлению ее
радиуса-вектора.
49. Приложение метода последовательных приближений 313
(2) Если л/2—T]<Cargx-<n; — г|, то Г состоит (см.
рис. 26) из дуги окружности | g | = | х | между х и х', где
argx'=jt/2 — г|> и полупрямой, выходящей из х' по на-
правлению радиуса Ох'.
(3) Если —jt + r|<argx< — л/2 + т], то Г строится
как в случае (2), но х' надо заменить точкой х", для кото-
рой I х"\ = I х|, argх" = — л/2 + Г].
Так как точка х была взята в области Dr, то вдоль
пути интегрирования имеют место оценки
|Е(£)|<М, |G(g)|<M, |Фа)|<^ЦГл. (106)
Кроме того, вдоль Г
314 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Поэтому если разбить правую часть формулы (99) на сумму
двух интегралов, то для второго из них, который мы обоз-
начим через /2,
141=
г ,А* г
Но модуль экспоненты равен экспоненте от вещественной
части; поэтому если написать g = и обозначить
через 6 угол, образуемый касательной к Г с вещественной
осью1), то получим
UM — 2),
ё cos 0 sin п
откуда 1/ |< 2 | хГ4"1 sin п JeReW-51d|i = Г = MN г еКе(х)-£1Л1=+оо | хГ+1 sin п £i=Re(x)
т. е.
MN
| x|rt+1 sin п
Рассмотрим теперь первый из двух интегралов — его мы
обозначим через — на которые разбивается правая часть
формулы (99). Здесь, в силу неравенств (106), получаем
в случае (2) — с очевидными изменениями в случаях (1)
И (3)-
1Л1=
г
.^|х| + Л^[
MN
|дТ+2
Я +1
О На радиальной части Г этот угол совпадает с аргументом х,
или х', или х".
2) Если то вместо sin 4 надо поставить cos q. — Прим, перев.
49. Приложение метода последовательных приближений 315
откуда
MN (п.
|х|"+х \2
1 \ < MN
«4-1/ |х|"+1
Следовательно, во всех случаях мы получаем
что доказывает формулу (105), если принять
К = м(1+| 4
-4-У
sin п /
(Ю7)
Воспользуемся теперь этой общей теоремой о линейных
функциональных преобразованиях для доказательства того,
что последовательные приближения (101) стремятся при
п —> оо к предельной функции Z (х), причем эта сходимость
равномерна в области D, определенной неравенствами
— л + Л <argx<^ л — т]> |х|>/С, (Ю8)
где К.*— любое число, большее определенных выше чисел
R и К.
Действительно, z„ (х) равно сумме п + 1 первых членов
ряда
г0 (х)+[zx (х) — z0 (х)] + [z2 (х)—zx (х)] + [z3 (х) — z2 (х)] +... .
(Ю9)
Пусть х — любая точка области О; тогда, применяя для
оценки членов ряда (109) доказанную теорему «из (104)
следует (105)», получаем последовательно на основе формулы
(ЮЗ)
|г1(х)-г0(х)|=|ЛП|<77Г,
I X I
/ is \2
|z2(x)- 21(Х)| = |T[zx(g)- ZO(^)11 < (X) ,
\ |х| /
/ is \3
|z3(x) Z2(x)I = IT[z2(g) zx(^)l I (y) ’
\ |x| /
316 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
и вообще
/ к Д / к Д
|г„(х>-гл-^)|< Д (n = 1,2,3,...). (110)
Но это показывает, что ряд (109) мажорируется геометри-
ческим рядом S (К/К*)п, который сходится, так как К*У> К;
следовательно, ряд (109) абсолютно и равномерно сходится
в области D, т. е. в D последовательные приближения г0,
Zi, z2,... равномерно сходятся к определенной (регулярной
в D) предельной функции Z(x), сумме ряда (109).
50. «Асимптотическое интегрирование»
приведенного уравнения
Установив равномерную сходимость последовательных
приближений к предельной функции Z(x), легко завершить
«асимптотическое интегрирование» приведенного уравнения
(95), показав, что
(I)Z(x) удовлетворяет интегральному уравнению (97), а
следовательно, и дифференциальному уравнению (95) в обла-
сти D.
(II) Z(x) действительно стремится к пределу 1 при х—>оо.
(Ill) Z(x) можно представить асимптотически (в опреде-
ленном ранее смысле) с помощью ряда вида
со + -у + + • • • •
Чтобы проверить свойство 1, напишем
Z(x) — zn(x) = Rn(x).
Тогда рекуррентную формулу (102) можно переписать в
виде
Z(x) - /?„+1(х) = 1 + T[Z($ - Rn&] =
= 1 + лад-тлют
откуда следует
Z(x) - 1 - T[Z(^] = Rn+1(x) - T[Rn(g)].
Но поскольку последовательные приближения равномерно
сходились, то для как угодно малого положительного
50. «Асимптотическое интегрирование» приведенного уравнениями
числа 8 можно найти такое п0, что при
I Rn(x) I < е, I /?„+1(х) I < е
и потому
1лад]|<Я<8-
I X I
Отсюда следует, что при п > м0
| Z(x) — 1 — Т [Z(£)] | <2е,
и так как е произвольно, а левая часть не зависит от п, то
ад-1 - лад = о,
т. е. функция Z(x) удовлетворяет интегральному уравнению
(100).
Аналогично проверяется, что ограниченное решение урав-
нения (100) единственно.
Свойство II можно проверить так же быстро; в самом
деле, в силу (НО),
|Z(x)|
ОО
<1 + 3 |z„(x) — z„_1(x)|<
/1=1
Но так как Z(x) удовлетворяет уравнению (100), то отсюда
| Z(x) - 1 | = | 7-|Z®| | <---i-.
Л — Л 1*1
Отсюда следует не только то, что предел функции Z(x)
при х -+ оо равен 1, но и соотношение
Z(x) = 1 + OQT1). (Ill
Чтобы проверить свойство III, мы начнем с доказатель-
ства второй общей теоремы о функциональном преобразова-
нии Т:
Если функцию Ф(х) (на которую действует преобра-
зование') можно представить в области D асимптоти-
318 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
ческой формулой вида
h h h
Ф(х) = -^ + ^+...+^+О(х-«) (0</n<n),
(112)
то преобразованную функцию <р(х) = Т'[Ф(^)] можно
представить в той же области аналогичной формулой, в
которой все показатели увеличены на 1, именно
ь* k* k*
ч>И = 7=Й- + ^Й + --- + ^- + О(^"*‘>. (ПЭ)
где k*m+lt km+ъ, ..., kn — некоторые постоянные, завися-
Щив От krn.1) • • •, kn—1»
Из установленного ранее свойства преобразования Т
«из (104) вытекает (105)» следует, что
T[O(x~n)] =O(x-"-i).
Поэтому надо лишь показать справедливость нашего утвер-
ждения для преобразования рациональной функции
Ф‘Г) = ^ + ^ + ...+^-
Для преобразованной функции напишем
Ф*(х) = Ф1(х) + <р2(х),
где
Ф1(х) = $ Г2^(Ю dl, ф2(х) = $ Ф‘(§)
Г г
т. е.
1 (114
^w=V--6yw+А+---И’
Г \ ь ь /
где р1? р2,... и Yi, у2,... —соответственно коэффициенты
разложения по степеням 1/g аналитических функций
50. «Асимптотическое интегрирование» приведенного уравнения 319
g“2F(g)O*(g) и имеющих в точке g=oc
нуль порядка т + 2 и соответственно т + 1.
Из первой формулы (114) немедленно следует, что для
Ф^х) справедлива асимптотическая формула вида (ИЗ), а
именно обычное разложение в ряд
Pi/(/n +1) М^+2)
д.т+1 ~Т~ хт+2 “Г • • • •
Функцию ф2(х) можно записать в виде
ФгОО = 2 Tv—тДг(я),
где
/v(x)= \ex~h~vdl.
г
Интегрируя по частям, получаем
Iv(x) = [- ex~4-v 1” - v $ dl = x~v - vlv+1 (x),
Г
откуда непосредственно следует, что
Д,(х) = X~v — vx~(v+1) + V (v + 1) /v+2 (x),
Iv(x) = x~v - vx-(v+1) + V (V + 1) x~(v+2) -
— v (v + 1) (v + 2) /v+3 (x),
/v(x) = x~v — vx”(v+1) + V (v + 1) x-(v+2) - . . . +
+ (- l)”-v V (V + 1)... (n - 1) [x~n- nln+1 (X)].
В то же время аналогично оценке интеграла /2 в предыду-
щем параграфе легко проверить, что
Щх)|< , А
|x|vSinT)
Поэтому при v п можно написать
/v(x) = x"v — vx“(v+1) + V (v + 1) x“(V+2) — . . . +
+ (-l)"”vv (v + 1)... (n - 1) x~n + 0 (x-(n+1));
320 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
отсюда и вытекает возможность представить ф2(х)> а пото-
му и (p*(%) асимптотической формулой вида (ИЗ), что и
требовалось доказать.
Воспользуемся теперь этой теоремой для вывода асимп-
тотического вида последовательных членов ряда (109) по
крайней мере до членов порядка х-"-1 (при фиксированном и).
Для члена zx (%) — z0 (х) = Т[1] формулы (112) —(113)
(в которых надо положить т = 0, kQ = 1, /гх= /г2 = /г3 = ...
... = kn-! = 0) дают
Z1(X) — Zo(x) = Z,(x) — 1 =
= 4 + 4 + 4 + • • + 4 +О(х-Л-1),
где k'±i k'2,...» k'n — соответствующие постоянные (зависящие
от коэффициентов разложения функций F и G). Применяя
теорему второй раз при т = 1, получим (выписывая явно
только члены порядка ниже х_Л-1)
z2(x) — zx(x) = T[zx(£) — z0(g)] =
=4+^ +
где k'2, k’s,k'n — новые постоянные. Подобным образом,
применяя теорему еще раз, мы найдем, что
г3(х) — za(x) = T[za(g) — z1(^)] =
=4 +
и т. д.; в конце концов получаем
z„(x) - Zn-^x) = T[zn-i(^) - Zn_2(g)l = > +О(* п \
Суммируя все эти результаты и полагая
k'i = Ср k'2 + k2 = C2, k3 + k's k3 = C39 . . . ,
k'n + k'n + kn + . . . + k\i > = Cn>
51. Вывод и дальнейшие замечания
321
получаем формулу
zn(x) = 1 + -у + . + -р? + 0(х"п~1) (115)
в которой постоянные с2,..., сп устойчивы в том смыс-
ле, что при переходе от (115) к соответствующей формуле
для zn+1(x) они не меняются, поскольку
zn+1 (х) - zn(x) =
Однако из равенства (111) вытекает, что
Z(x) - z,(x) = T[Z(g) - 1] = О(х~2 * *),
Z(x) - z2(x) = T[Z(£) -Z1a)l = O(x~s),
Z(x) - zn(x) = T[Z(£) = O(x~n-i),
и потому из (115) следует, что
Z(x) = l+^-+^| + ... +^ + О(х—1), (116)
где clf с2,—найденные постоянные; так как п произвольно,
то окончательно
Z(х)~ 1 +-у +. (116*)
51. Вывод и дальнейшие замечания
Применяя результат, полученный в предыдущем параг-
рафе, к уравнению
I Й2 _L \ dV I
dx2 х "Г Х2 “Г • • J dx +
+ (*о + | + ^ + ...)у = 0, (117)
из которого мы исходили, мы приходим к некоторым важ-
ным выводам, на которые уже была сделана ссылка
322 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
в § 28. В силу формул преобразования (89) и (94), эти ре-
зультаты можно сформулировать следующим образом:
Если характеристическое уравнение
а2 + аоа + д0 = О
имеет различные корни и а2 и если
_____________________________________________________Д1<Х2 Ч~ bi
1 2oti clq 9_______________________2а2 4“
(Н8)
(П9)
то уравнение (117) обладает линейно независимыми ре-
шениями х) у± и у2) которые в соответствующих бесконеч-
ных областях Dr и D2 можно представить асимптоти-
чески в смысле Пуанкаре рядами
У1Г)~еа^хР^1 +-^- +^| + ..
№(*) ~ еа!**Р2(1 +-J + 7I + •••)•
(120)
Чтобы определить области D± и D2) обозначим для удоб-
ства
arg(2«i+a0)= arg (2а2 + а0) = р2. (121)
Тогда эти области определяются соответственно неравен-
ствами
— 31 +Т]1<argх<211 — ^ — 111,
— P2 + n2<argx<2n — р2 — т)2,
(122)
где т]! и т)2 — как угодно малые положительные числа, а
Ki и — достаточно большие числа (зависящие от
и т]2 соответственно).
Короче, но менее точно, можно сказать, что области
D± и D2 получаются из окрестности бесконечно удаленной
О Линейная независимость решений следует из того, что их от-
ношение не равно постоянной.
51. Вывод и дальнейшие замечания
323
точки выбрасыванием точек, близких к полупрямым, соот-
ветственно argx = — arg(2^+^) nargx =—arg(2a2+tz0)1).
Но что происходит, если корни характеристического
уравнения совпадают?
Легко понять, что в этом случае может появиться ло-
гарифмический член; оказывается, что решение у± можно,
как и раньше, представить асимптотическим рядом типа
первого ряда (120), тогда как другое решение у2 теперь
представимо рядом вида
у2 (х) ~ Ay! (х) Inx + (X + у- + т? + • • •)• (123)
Однако доказать это здесь мы не имеем возможности2).
Рассмотрим кратко вопрос об определении постоянных
с[, с'г,... и т. д., появляющихся в формулах (120). Их
можно найти, проведя предыдущие вычисления в обратном
порядке. Например, рассмотрим clt равное в формуле
для Ух и с'х в формуле для i/2; постоянная сг равна просто
коэффициенту при 1/х в выражении для Т [1] и потому
равна (стр. 318) сумме
₽1 + Т1 =F (оо) + G(oo),
О Этот общий результат можно применить, в частности, к при-
веденному уравнению (95), (где а0 = — 1, = Ао, b0 = = 0 и,
следовательно, ах =0, а2 = 1; pi = 0, р2 = — Ло; = л, £2 = 0);
это приводит к асимптотическому представлению (116) (справедливо-
му всюду, за исключением точек, близких к вещественной отрицатель-
ной полуоси) и, кроме того, к аналогичному представлению
Z*(x) ~ ехх~А°(1 + “ + “I + • • •) (116**)
(справедливому всюду, за исключением точек, близких к веществен-
ной положительной полуоси) другого частного решения, линейно
независимого от предыдущего, для заданного уравнения.
2) По этому поводу см. Sternberg W., Uber die asymptotische
Integration von Differentialgleichungen, Math, Ann,, 81, 119 —
186 (1926). В этой обстоятельной работе методы, аналогичные рассмот-
ренным здесь, применяются к изучению (для уравнений любого по-
рядка) случаев, указанных в примечании2) на стр. 306, и переносятся
на уравнения с частными производными. См. также Trjitzinski
W. I., Acta Math,, 62, 167—226 (1934); Trans, Amer, Math, Soc, 37,
80-146 (1935).
324 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
которая на основе формул (98) равняется — f (оо) — g (оо) -|_
+ f(°o) = — g-(oo), т. е.
q=-B0 (124)
в обозначениях (96). Однако этот метод — долгий и утоми-
тельный. Во избежание этих трудностей можно воспользо-
ваться обычным методом неопределенных коэффициентов,
т. е. подставить выражения (120) или (123), если это тре-
буется, непосредственно в заданное уравнение или (что
обычно предпочтительнее, так как облегчает вычисления) под-
ставить выражение
2(х)~1 + ^- + ^+... (116*)
в приведенное уравнение (95). Так как при этом требуют-
ся асимптотические выражения для z'(x) и z''(x), то мы
пишем
(не')
^)~^+атг+-^г + .-- • (И6")
Сразу возникает вопрос о законности этого, поскольку
асимптотические формулы, вообще говоря, можно интегри-
ровать, но не дифференцировать. Конечно, можно было бы
объявить вычисления формальными, но это само по себе
не гарантирует правильности результата.
Однако в рассматриваемом случае эту трудность можно
обойти, доказав, что формулу (116*) можно дифференци-
ровать не только один раз, но даже любое число раз. Для
этого достаточно установить, что производную от z можно
представить асимптотически формулой типа (116*), т. е.
z'W~My + |+-.. (125)
Действительно, отсюда непосредственно следует, что коэф-
фициенты в этом представлении такие же, как в формуле
(116'), т. е.
= &i = 0, k2 = — с1; k3 = — 2с2, ...,
51. Вывод и дальнейшие замечания
325
так как в противном случае, интегрируя (125) (что допу-
стимо при необходимых предосторожностях по отношению
к первым двум членам), мы получили бы второе асимпто-
тическое выражение для z(x), отличное от (116*), вопреки
доказанной единственности таких представлений. Далее,
возможность асимптотического представления для z" вытекает
теперь из самого дифференциального уравнения (95), кото-
рое можно переписать в виде
г” = [ 1 — (х)] z' — x~2g-(x) z;
то, что это представление имеет вид (116"), доказывается
с помощью рассуждения, аналогичного только что прове-
денному. Возможность дальнейшего дифференцирования фор-
мулы (116*) получается с помощью дифференцирования
обеих частей последнего равенства.
Чтобы показать, что z' можно представить асимптоти-
ческим рядом вида (125), продифференцируем интегральное
уравнение (97), что даст
z'(x) = J 2(g) dg - [X"2F(X) + x-1GWl z(x).
X
Прибавляя к подинтегральной функции и вычитая из нее
g-2/7 (g)2(g), находим
z'(x) = — [x~2F(x) + x-1G(x)] z(x) -|-
00
X
(126)
откуда, в силу уже полученных результатов и формулы
(116*), вытекает представление типа (125) для функции
z'(x), где, как мы видели, на самом деле k0 = kx = 0.
Таким образом, формулы (116') и (116") обоснованы:
подставляя их вместе с (116*) в левую часть уравнения (95),
объединяя вместе все члены с одинаковыми степенями 1/х
и приравнивая нулю коэффициенты при последовательных
326 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
степенях, мы выводим следующие линейные соотношения:
1 • С1 + Во = О,
2-с2 + (1-2-Д0 + В0)с1+В1 = 01
3 • с3 + (2 • 3 — 2Л0 + Во) с2 + (В] — Лг) Cj Д- В2 = О,
п
(/I ~Н 1) £п-|-1 2 (^^м—т Вп—т) Ст ~Н (Д “1“ 1) Сп~|-—О,
т=1
(127)
Первое из них сразу приводит к значению (124) для а
последующие дают по очереди значения прочих с. (Следует
заметить, что тождественный нуль имеет асимптотическое
представление
0 + 7 + £ + • • • О
В заключение мы хотим подчеркнуть, что один из наиболее
важных результатов, доказанных Штернбергом в цитирован-
ной выше работе, состоит в том, что во всех случаях —
в случае линейных уравнений высшего порядка, в случае,
когда коэффициенты уравнения имеют полюсы, в случае,
когда характеристическое уравнение имеет кратные корни
и т. д. — результаты, полученные с помощью формальных
вычислений, аналогичных проведенным выше, всегда могут
быть обоснованы с помощью асимптотических представле-
ний, т. е. приводят к правильным асимптотическим пред-
ставлениям неизвестных функций и их производных.
52. Приложение к конфлюентным гипергеометрическим
функциям и к функциям Бесселя
Предыдущие результаты, связанные с асимптотическим
поведением решений дифференциальных уравнений, находят
изящное приложение в теории конфлюентных (вырожден-
ных) гипергеометрических функций, включающих в каче-
стве частных случаев функции Бесселя и много других
важных функций.
52. Приложение к гипергеометрическим функциям
327
Такие функции можно рассматривать как предельные
случаи общей гипергеометрической P-функции Римана, ког-
да две или три особые точки стремятся слиться в беско-
нечно удаленной точке. Применив преобразования, с помощью
которых мы в § 47 свели число параметров в Р-функции
к трем, рассмотрим функцию
удовлетворяющую линейному уравнению второго порядка,
которое получается немедленно из уравнения Папперица (69),
если положить а = О, b = а2, с = а3 и а = 0, а' = 1 — с,
Р = О, Р' = с — а — Ь, т = а, г' = &'> тогда уравнение при-
мет вид
z, | Ге_(аз — а2)6 а2 <*з а—с + 1 1—а!
' L % а2а3 а2 — х а3 — х а2 — х а3 — х J
^(аз —а2)& а2 / а8 \81 = q
а2а3 а2—х \а3 — х) х^
Пусть теперь а и с остаются фиксированными, а а2, а3 и
Ъ стремятся к бесконечности таким образом, что
Нт(аз-а2)& =1
а2а3
так получится, например, если положить а2 = 6/2, а3 = b и
заставить b стремиться к бесконечности произвольным спо-
собом. В этих предположениях
lim—^—= lim—
а2 — х а3 — л*
1 lim-—L±J. = lim-i—— = 0
а2 — х и3 — х
и предыдущее дифференциальное уравнение стремится к «пре-
дельному уравнению», именно к конфлюгнтному уравнению
х/+ (с — х)у' — ау = 0. (129)
Этот последний параграф посвящен изучению уравнения (129)
и, в частности, изучению его решений с помощью асимпто-
тических рядов.
328 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Уравнение (129), которое по существу совпадает с рас-
смотренным в § 37 уравнением Лагерра и приводится к нему,
если положить с = а + 1, а = — X, является одним из на-
иболее важных уравнений математического анализа, по-
скольку решения этого уравнения включают многие специ-
альные функции, встречающиеся в чистой и прикладной
математике. Например, помимо полиномов Лагерра и их
частных случаев, к ним приводятся функции Бесселя, так
как уравнение Бесселя
d2z 1 dz i A
dx2 "T" x dx ' V x2 jZ
преобразуется в уравнение
sg + (l + 2v-af-(l + v)s = 0,
если положить
у = х velxz, g = 2ix.
Новое уравнение является частным случаем уравнения (129)
если принять
а = v + у , с = 2а = 2 v + 1.
Другими словами, если обозначить через Zv (х) решение
уравнения Бесселя, а через f (а, с; х) решение уравнения
(129) (т. е. конфлюентную гипергеометрическую функцию),
то мы получаем
Zv(x) = xve~ixf(v + 2v + 1; 2ix^ . (130)
Дифференциальное уравнение (129) имеет особые точ-
ки только в начале координат и на бесконечности. Усло-
вия Фукса, очевидно, выполняются в начале координат, но
не выполняются на бесконечности, так как если разделить
на старший коэффициент, то коэффициенты при у' и у не
будут обладать требуемыми нулями первого и второго по-
рядков при х = оо (ср. стр. 291).
Наиболее важная конфлюентная гипергеометрическая
функция получается, если в (129) вместо у подставить сте-
пенной ряд 2 knxn', легко найти, что этот ряд может удов-
52. Приложение к гипергеометрическим функциям
329
летворять уравнению, только если имеет место рекуррент-
ная формула
” п(сЛ-п— 1) п 1
(мы исключаем здесь случай, когда с равно целому отри-
цательному числу или нулю). Это приводит к ряду Кум-
мера г)
Ф(а, с; х) = 1 +-^т+ a(z°tn + • • • +
v 7 1 с 1! 1 с(с4-1) 2! 1
I а(а+1)... (а-\-п— 1) х^_ (131)
г с(с+1)...(с+п-1) nU’” V 7
с бесконечным радиусом сходимости. Нетрудно проверить,
что функция Ф(а, с; х) получается в пределе из гипергео-
метрической функции F(tz, &; с; х/&)при &->оо (см. стр. 301).
Некоторыми частными случаями функции Ф(а, с; х) яв-
ляются
Ф(а, а\ х) = ех, ф(^> V’ —х2\ = — \e-t2dt,
\ Zu Zu / X J
О
Ф( 1, а + 1; х) = ах~аех J е~{ t^1 dt,
О
£<“>(х)
Ф( — п, а+ 1; х) = + и т.д.
( п, )
(132)
Так как уравнение (129) преобразуется в уравнение то-
го же типа при подстановках
y = x1~cyl, y = exylt (133)
то мы получаем два важных соотношения:
3-(а, с; х) = х1~с $(а — с + 1,2 — с; х) (134)
и
f(a, с; х) = exf(c— а, с; —х); (135)
’) Часто применяется символ iFi(a; с; х).
330 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
если же применить их последовательно, то получится
f(a, с; х) = exxl~cf(\ — а, 2 — с; — х). (136)
Из (134) следует, что если с не целое, то общее решение
уравнения (129) можно записать в виде
у = Cj Ф (а, с; х) + С^х1^ Ф (а — с + 1, 2 — с; х), (137)
где Cj и С2— произвольные постоянные, а Ф — целая транс-
цендентная функция, определенная формулой (131).
Кроме того, формула (135), примененная к функции Ф,
приводит к важной формуле Куммера
Ф (а, с; х) = ех Ф (с — а, с; —х). (138)
После этого краткого обзора общих сведений о кон-
флюентных функциях ’) мы попытаемся определить асимпто-
тическое поведение этих функций для больших значений
| х |, применяя методы последнего параграфа.
Мы начнем с приведения уравнения (129) к виду (95);
применяя подстановку, аналогичную первой подстановке
(133), напишем
у = х~а z.
Тогда уравнение (129) приобретает вид
[1 — у(с—2a)J z'+a(a — с + l)z = О, (139)
О По поводу дальнейших подробностей см. Tri comi F., Funzi-
onihipergeometriche confluenti, Rome, Cremonese, 1954 и Functions
hypergeometriques confluentes, Mem. Sciences Math. № 140, Paris, 1959;
также Уиттекер Э., Ватсон Дж. [80], гл. XVI, где, вместо
функций Ф изучаются функции
Mhnl(x) =х2+те'Х/2ф(-| + т — k, 2m Ц-2; х)
и функции Wk т(л*), являющиеся (за исключением особых случаев)
линейными комбинациями функций А^^Дл*) и А1ь>_П1(л'). Эти функ-
ции изучаются также в книгах. Buchholz Н., Die konfluente hyper -
geometrische Funktion, Berlin, Springer, 1953 и S 1 a t e г L. J., Confluent
Hypergeometric Functions, Cambridge University Press, 1960.
52. Приложение к гипергеометрическим функциям
331
т. е. вид (95), где
f(x)=c — 2a, g (х) = а(а — с + 1),
откуда
Л0=с — 2а, В0 = а(а — с+1), А± = В±= А2 = В2= .. . = 0.
Поэтому, согласно предыдущему, уравнение (139) обладает
решением Z]1), которое можно представить асимптотически
рядом 1 + сух + с2/х2 + ..., т. е.
ZxW-l + 'f + £ + ...
(для всех значений х, за исключением близких к отрица-
тельной вещественной полуоси). При этом постоянные q,
с2,... подсчитываются из линейных соотношений (127), ко-
торые в данном случае имеют вид
С1+ а(а — с + 1) = 0,
(п + 1)Gi+i + [п (п + 1) — (с — 2а) п + а (а — с + 1)] сп = 0
(п= 1, 2,...),
т. е.
_ (п+а)(п + а — с + 1)
Ся+1 “ п + 1 Сп
и, следовательно,
п а(а + 1) ... (а + п — 1) - (а —с + 1)(а—с+2)...(а—с+п)
1 п!
\ п )\ п /
Таким образом, получаем, что в окрестности бесконечно уда-
ленной точки, за исключением точек, близких к отрица-
тельной вещественной полуоси,
п=о \ / \ I
(140)
О В цитированной только что книге автора это решение обозна-
чено символом Т (а, с, х). Оно связано с функцией Уиттекера
так же, как Ф(а, с; х) связано с Mk,tn.
332 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
Чтобы найти асимптотический ряд другого частного реше-
ния у2(х), линейно независимого с первым, воспользуемся
формулой (135), применив в ее правой части к функции $
разложение, полученное сейчас для t/x(x); это даст
z/2(x) ~ е*ха~с
а—с\(а—1\ п\
п Д п
(141)
причем здесь исключаются точки, близкие к вещественной
положительной полуоси.
Отсюда мы заключаем, что любую конфлюентную ги-
пергеометрическую функцию S- (а, с; х) можно предста-
вить асимптотически (за исключением значений, близких
к вещественной оси) в виде
$ ~ с1Х-° f (-1)" (~а)( +
п=о ' ' '
+ С2ехха~с
а—с\(а—1\ п\
п Д п j"*”
где С± и С2 — постоянные, зависящие от рассматривае-
мой конкретной функции.
Следовательно, для важного случая функций Бесселя
мы получаем, что, за исключением точек, близких к мни-
мой оси,
X G (2а)
Zv (%) — xve~ixX
_ __ 10°
+ C2e^(2ix) * 2(-—v
Отсюда, написав
ЛИ • 7tn .
in = e2 , (~i)n = e~ 2
52. Приложение к гипергеометрическим функциям
333
и обозначив через Cv и Yv новые постоянные, определен-
ные формулами
(2г) V * С1 = —(2г) ' 2 С3 =
выводим с помощью простых преобразований, что
- ^2 (-4 v)(“4+’) sin(x + ь - »i)
(Если считать Cv и вещественными, то мы получаем
асимптотическое выражение всех вещественных функций
Бесселя.) Отделяя члены с четным п (п = 2m) от членов с
нечетным п(п = 2т + 1) и замечая, что
sin(x + tv — 2m—j = (— l)msin(%+ Tv),
2 /
sin x + Yv — (2m + 1) — = — (— I)"1 cos (x + Yv)
2 J
и
Zl /
±rMr_V2irm2_V2
«'L\2/ JL\2/
[4v2 — 12J [4v2 — 32]... [4v2 — (2n — I)2],
4 n!
получаем классическое асимптотическое разложение
Zv (*) ~ yj sin (х + Yv)|_ 1 — 21 (8х)2 + 4! (8х)« — +
г г Я(',) /1<V) Л(',) -|
+ уу cos(x + Tv)[i1(8x) — зц^з + 5!(8х)5 — ’ ’J’ (142)
334 Гл. V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
где *)
Л(Л = [4v2_F][4va_3a]...[4v2_(2n —1)а]. (143)
В частности, для функции Бесселя первого рода Jv(x)
из (142) следует результат
Zv(.r) = £= sin (х + yv) + 0(х~3/а),
Рис. 27.
совпадающий с формулой (49) гл. IV (стр. 196); следова-
тельно,
О По поводу порождающей функции для мы отошлем чита-
теля к книге Higher Transcendental Functions, т. Ill, которую мы уже
цитировали на стр. 304.
52. Приложение к гипергеометрическим функциям
335
откуда
На рис. 27 показаны графически функции ошибок Е0(х),
Е1(х) и Е2(х), получающиеся при подсчете JQ(x) с по-
мощью правой части формулы (144), если там оставить
только первый член, или добавить член с х-1, или еще с
х~2 соответственно; значения х лежат между х = 0,6 и
х = 3, и масштаб по оси ординат в двадцать раз крупнее,
чем по оси абсцисс. Ясно видно, что два или три члена
асимптотического ряда дают хорошее приближение не толь-
ко для больших значений х, но даже для значений, боль-
ших чем 2.
ЛИТЕРАТУРА
А. По дифференциальным уравнениям
Айне Э. Л. (Ince Е. L.)
[1] Ordinary differential equations, London, 1927. [Русский
перевод: Айне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные
уравнения, ГНТИ Украины, Харьков, 1939].
Айне Э. Л. (Ince Е. L.)
[2] Integration of ordinary differential equations, Edinburg,
1952.
Веллман P. (Bellman R.)
[3] Stability theory of differential equations, New York, 1954.
[Русский перевод: Веллман P., Теория устойчивости ре-
шений дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1954].
Беннет A. A. (Bennet А. А.), Милн В. (Milne W.), Бейтмен Г.
(Bateman Н.)
[4] Numerical integration of differential equations, New York,
1955.
Бибербах Л. (Bieberbach L.)
[5] Theorie der Differentialgleichungen, Berlin, 1930.
Бибербах Л. (Bieberbach L.)
[6] Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen auf funk-
tiontheoretischer Grundlage, Berlin, 1953.
Бибербах Л. (Bieberbach L.)
[7] Einfiihrung in die Theorie der Differentialgleichungen im
reellen Gebiet, Berlin, 1956.
Б о x e p M. (Bocher M.)
[8] Legons sur les methodes de Sturm, Paris, 1917.
Булиган Г. (Bouligand G.), Дев и см Ж. (Devisme J.)
[9] Lignes de niveau, lignes integrates. Introduction a leur etude
graphique, Paris, 1937.
Бутру П. (Boutroux P.)
[10] Legons sur fonctions definies par les equations differentielles
du premier ordre, Paris, 1908.
Бьянки Л. (Bianchi L.)
[11] Lezioni sulla teoria delle equazioni differenziali lineari.
(Teoria di Fuchs — Riemann, Circolo Mat. Catania, 1924).
Литература
337
Гогейзель Г. (Hoheisel G.)
[12] Gewohnliche Differentialgleichungen, Berlin, 1938. [Русский
перевод: Гогейзель Г., Обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения, Гостехиздат, М.— Л., 1937.]
Голомб М. (Golomb М.), Шэнкс М. (Shanks М.)
[13] Elements of ordinary differential equations, New York, 1950.
Горн И. (Horn J.)
[14] Gewohnliche Differentialgleichungen, Berlin, 1927.
Г о p т B. (Hort W.), Тома A. (Thoma A.)
[15] Die Differentialgleichungen der Technik und Physik, Leipzig,
1954. [Русский перевод: Г о p т В., Дифференциальные урав-
нения техники и физики, Гостехиздат, М.— Л., 1933.]
Гуревич В. (Hurewicz W.)
[16] Lectures on ordinary differential equations, New York, 1953.
Д у л а к X. (Dulac H.)
[17] Curvas definidas por una ecuacion diferencial de primer
orden у de primer grado, Madrid, 1933.
3 а у т e p Ф. (Sauter F.)
[18] Differentialgleichungen der Physik, Berlin, 1950.
Зубов В. И.
[19] Методы А. М. Ляпунова и их применение, изд. ЛГУ, 1957.
Камке Э. (Kamke Е.)
[20] Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig, 1956.
Камке Э. (Kamke Е.)
[21] Differentialgleichungen. Losungsmethoden und Losungen,
Leipzig, 1942. [Русский перевод: Камке Э., Справочник по
обыкновенным дифференциальным уравнениям, ИЛ, М.,
1951.]
К н е ш к е A. (Kneschke А.)
[22] Differentialgleichungen und Bandwertprobleme, Leipzig,
1942.
Коддингтон Э. A. (Coddington Е. А.), Левинсон Н. (Levin-
son N.)
[23] Theory of ordinary differential equations, New York, 1955.
[Русский перевод: Коддингтон Э., Левинсон Н.,
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ,
М., 1958].
Коллатц Л. (Collatz L.)
[24] Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung, Berlin,
1953.
Коллатц Л. (Collatz L.)
[25] Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, Berlin,
1955. [Русский перевод: Коллатц Л. Численные методы
решения дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1953].
Коллатц Л. (Collatz L.)
[26] Differentialgleichungen fiir Ingenieure, Wolfenbiitteler Ver-
lagsanstalt, 1949.
338
Литература
Лаппо-Данилевский И. А.
[27] Применение функций от матриц к теории линейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, Гостехиздат,
М., 1957.
Леви X. (Levy Н.), Бэггот Э. A. (Beggot Е. А.)
[28] Numerical solutions of differential equations, New York,
1950.
Л e ф ш e ц C. (Lefschetz S.)
[29] Lecturos on differential equations. Princeton U. P., 1948.
Л e ф ш e ц C. (Lefschetz S.)
[30] Contributions to the theory of non-linear oscillations, Prin-
ceton. II, P. (1950—1957).
Л e ф ш e ц C. (Lefschetz S.)
[31] Differential equations: geometric theory. New York, 1957,
[Русский перевод: Лефшец С., Геометрическая теория
дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1961].
Либман X. (Liebmann Н.)
[32] Lehrbuch der Differentialgleichungen, Leipzig, 1901.
Мак-Лахлан H. У. (McLachlan N. W.)
[33] Ordinary non-linear differential equations in engineering
and physical sciences, Oxford U. P., 1950.
M e p p e й Ф. Дж. (Murray F. J.), M и л л e p К. C. (Miller К. S.)
[34] Existence theorems for ordinary differential equations, New
York, 1954.
M ы ш к и с А. Д.
[35] Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим
аргументом. Гостехиздат, М.— Л., 1951.
Н е м ы ц к и й В. В., Степанов В. В.
[36] Качественная теория дифференциальных уравнений, Гос-
техиздат, М.— Л., 1949.
Петрович М. (Petrovich М.)
[37] Integrates premieres a restrictions, Paris, 1929.
Петровский И. Г.
[38] Лекции по теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений, Гостехиздат, М.— Л., 1952.
Пул Э. Г. К. (Poole Е. G. К.)
[39] Introduction to the theory of linear differential equations,
Oxford U. P., 1936.
Реддик X. У. (Reddick H. W.)
[40] Differential equations, New York, 1950.
P и т т Дж. Ф. (Ritt J. F.)
[41] Integration in finite terms (Liouville’s theory of elementary
method), New York, 1948.
Сансоне Дж. (Sansone G.)
[42] Equazioni differenziali nel campo reale, Bologna, 1948—1949
[Русский перевод: Сансоне Дж., Обыкновенные диффе-
ренциальные уравнения, ИЛ, М., 1953—1954]
Литература
339
Сансоне Дж. (Sansone G.), Конти Р. (Conti R.)
[43] Equazioni differenziali nonlineari, Rome, 1955.
Степанов В. В.
[44] Курс дифференциальных уравнений, Гостехиздат, М., 1959.
Титчмарш Э. Ч. (Titchmarsh Е. С.)
[45] Eigenfunction expansions associated with second order dif-
ferential equations, Oxford U. P., 1946. [Русский перевод:
T и т ч м a p ш Э. Ч., Разложения по собственным функциям,
связанные с дифференциальными уравнениями второго по-
рядка, ИЛ, М., 1960—1961].
Форсайт А. Р. (Forsyth A. R.)
[46] Theory of differential equations, New York, 1959.
Франк Ф., Мизес P. (Frank P., Mises R.)
[47] Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und
Physik, Braunschweig, 1930—1935. [Русский перевод:
Франк Ф. иМизесР., Дифференциальные и интеграль-
ные уравнения математической физики, ч. II, ОНТИ, 1937.]
Фридрихе К. О. (Friedrichs К. О.)
[48] Advanced ordinary differential equations, New York, 1956.
Шлезингер Л. (Schlesinger L.)
[49] Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen,
Leipzig, 1895.
[50] Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften. Articles:
ПА, 4A (Pa ini eve P.), НА, 4B (Vessiot E.), ПА, 7A
(B ocher M.), IIC, 2, (R u n g e C., W i 11 e г s A.), IIC, 11
(Hi lb E., Szasz O.), HID, 8 (Liebman H.)
[51] Intern. Centro Matem. Estivo (Varenna), Equazioni diffe-
renziali nonlineari, Rome, 1954.
[52] Memorial des sciences mathematiques. Fascicules: 28 (С о t-
t о n E.), 48 (Petrovich M.), 61 (D u 1 a с H.), 90 (T r j i t-
zinski W. I.), 97 (Lagrange R.), 133 (Heilb-
ronn G.).
[53] Proceedings of the Conference on differential equations at
the university of Maryland, 1956.
[54] Studies in differential equations (Davis H. T., Scott W.,
Springer G., Resch D.), Evanston, 1956.
Б. По смежным вопросам
Андронов А. А., ВиттА. А., X а й к и н С. Э.
[55] Теория колебаний, Физматгиз, М., 1959.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.
[56] Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний,
Гостехиздат, М., 1955.
Валле Пуссен Ш. (de la Vallee Poussin С.)
[57] Cours d’analyse infinitesimale, Paris, 1938. [Русский перевод:
Валле Пуссен Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых,
Гостехиздат, Л.—М., 1933]
340
Литература
Витали Г. (Vitali G.), Сансоне Дж. (Sansone G.)
[58] Moderna teoria delle funzioni di variabile reale, V. II. Svi-
luppi in serie di funzioni ortogonali, Bologna, 1952.
Гиццетти A. (Ghizzetti A.)
[59] Calcolo simbolico, Bologna, 1943.
Гуре а Э. (Goursat E.)
[60] Cours d’analyse mathematique, Paris, 1924—1928. [Русский
перевод: Гуре а Э., Курс математического анализа, Гос-
техиздат, М.— Л., 1936.]
Д ё ч Г. (Doetsch G.)
[61] Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Berlin,
1937. [Русский перевод: Дёч Г., Руководство к практиче-
скому применению преобразований Лапласа, Физматгиз,
I960.]
Д ё ч Г. (Doetsch G.)
[62] Handbuch der Laplace-Transformation, Basel, 1950—1956.
Кнопп К- (Knopp К.)
[63] Theory and application of infinite series, Glasgow, 1951.
Крылов H. M., Боголюбов H. H.
[64] Введение в нелинейную механику, Киев, 1937.
Курант Р. (Courant R.), Гильберт Д. (Hilbert D.)
[65] Methodes of mathematical physics, New York, 1953. [Русский
перевод: Курант P., Гильберт Д., Методы математи-
ческой физики, т. I, Гостехиздат, М.— Л., 1951.]
Магнус В. (Magnus W.), ОберхеттингерФ. (Oberhettin-
ger F.)
[66] Formeln und Satze fiir die speziellen Funktionen der mathe-
matischen Physik, Berlin, 1948.
Малкин И. Г.
[67] Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных коле-
баний, Гостехиздат, М.— Л., 1949.
Малкин И. Г.
[68] Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостех-
издат, М.— Л., 1956; Теория устойчивости движения, Гос-
техиздат, М.—Л., 1952.
Минорский Н. (Minorsky N.)
[69] Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947.
Митропольский Ю. A.
[70] Нестационарные процессы в нелинейных колебательных
системах, АН УССР, Киев, 1955.
Пикар Э. (Picard Е.)
[71] Traite d’analyse, Paris, 1922—1928.
Пиконе М. (Picone М.)
[72] Appunti di analisi superiore, Naples, 1946.
Сегё Г. (Szego G.)
[73] Orthogonal polynomials, Amer. Soc. Coll. Publ. № 23,
(1939; 1948).
Литература, добавленная переводчиком
341
С ер ре Ж. A. (Serret J. А.)
[74] Cours de calcul differential et integral, Paris, 1886, Leipzig,
1924.
Стокер Дж. Дж. (Stoker J. J.)
[75] Non-linear vibrations in mechanical and electrical systems,
New York, 1950. [Русский перевод: Стокер Дж., Нелиней-
ные колебания в механических и электрических системах,
ИЛ, М., 1952.]
Трикоми Ф. (Tricomi F.)
[76] Lezioni di analisi matematica, Padua, 1956.
Трикоми Ф. (Tricomi F.)
[77] Funzioni analitiche, Bologna, 1946, 1952.
Трикоми Ф. (Tricomi F.)
[78] Serie ortogonaly di funzioni, Turin, 1948; Vorlesungen iiber
Orthogonalreihen, Berlin, 1955.
Трикоми Ф. (Tricomi F.)
[79] Integral equations, New York, 1957. [Русский перевод: Три-
коми Ф., Интегральные уравнения, ИЛ, М., I960.]
Уиттекер Э. Т. (Whittaker Е. Т.), Ватсон Г. Н. (Watson G. N.)
[80] Modern Analysis, Cambridge U. P., 1927. [Русский перевод:
Уиттекер Э. Т., Ватсон Г. Н., Курс современного ана-
лиза, Гостехиздат, М.— Л., 1933, 1934; готовится к печати
новое издание (Физматгиз)].
X а я с и Т. (Hayashi С.)
[81] Forced osillations in non-linear systems, Osaka, 1953. [Рус-
ский перевод: X а я с и Т., Вынужденные колебания в не-
линейных системах, ИЛ, М., 1957.]
Черчилль Р. В. (Churchill R. V.)
[82] Modern operational mathematics in engineering, 2 ed., New
York, 1958.
Ч e т a e в H. Г.
[83] Устойчивость движения, Гостехиздат, M., 1955.
Эр д ей и A. (Erdelyi А.)
[84] Asymptotic expansions, New York, 1956. [Русский перевод.
Э р д е й и А., Асимптотические разложения, Физматгиз, М.,
1962.]
Янке Э. (Jahnke Е.), Эм де Ф. (Emde F.)
[85] Tafeln hoherer Funktionen, Stuttgart, 1959; Tables of Func-
tions, New York, 1945. [Русский перевод: Янке E.,
Эм де Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, Гос-
техиздат, М.— Л., 1948; Физматгиз, 1959.]
Литература, добавленная переводчиком
Помимо приведенных выше, имеется много других полезных
книг, посвященных полностью или частично дифференциальным
уравнениям и смежным вопросам. Отметим некоторые книги на
русском языке:
342
Литература, добавленная переводчиком
Агранович 3. С., Марченко В. А., Обратная задача теории
рассеяния, Изд. Харьковского ун-та, 1960.
Андронов А. А., Собрание трудов, Изд. АН СССР, 1956.
Баутин Н. Н., Поведение динамических систем вблизи границы
области устойчивости, Гостехиздат, Л.— М., 1949.
Булгаков Б. В., Колебания, Гостехиздат, М., 1954.
Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциаль-
ных уравнений, Гостехиздат, М.— Л., 1941.
Еругин П. П., Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных
дифференциальных уравнений, Изд. Ленинградского универси-
тета, 1956.
Капланский И., Введение в дифференциальную алгебру, ИЛ,
М., 1959.
Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости дви-
жения, Физматгиз, М., 1959.
Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифферен-
циальных уравнений второго порядка, Гостехиздат, М.— Л., 1950.
Манжаловский В. П., К интегрированию некоторых однород-
ных линейных дифференциальных уравнений второго порядка
с переменными коэффициентами в специальных функциях, Изд.
Харьковского ун-та, 1959.
М и к е л а д з е Ш. Е., Новые методы интегрирования дифферен-
циальных уравнений и их приложения к задачам теории упру-
гости, Гостехиздат, М.— Л., 1951.
Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ,
М., 1955.
Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы, Гостех-
издат, М., 1954.
П и н н и Э.» Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения,
ИЛ, М., 1961.
Плисс В.А., Некоторые проблемы теории устойчивости движения
в целом, Изд. Ленинградского ун-та, 1958.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения,
Физматгиз, М. 1961.
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными урав-
нениями, Гостехиздат, М.— Л., 1947.
Рапопорт И.М., О некоторых асимптотических методах в теории
дифференциальных уравнений, Изд. АН УССР, Киев, 1954.
Смирнов В. И., Курс высшей математики, том II и том III,
часть 2.
Стеклов В.А., Об асимптотическом выражении некоторых функ-
ций, определяемых линейным дифференциальным уравнением
второго порядка, и их применении к задаче разложения произ-
вольной функции в ряд по этим функциям, Изд. Харьковского
ун-та, 1956.
Эльсгольц Л. Э., Дифференциальные уравнения, Гостехиздат,
М. 1957.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Агранович 3. С. 342
Айне (Ince Е. L.) 336
Америо (Amerio L.) 114, 117
Андреев А. Ф. 99
Андронов А. А. 117, 339, 342
Аппель (Appel Р.) 304
Асколи (Ascoli G.) 9, 191, 202,
206, 207
Ахиезер Н. И. 43
Баутин Н. Н. 92, 342
Бейтман (Bateman Н.) 336
Беллман (Bellman R.) 206, 336
Бендиксон (Bendixon I.) 75
Беннет (Bennet А. А.) 336
Бибербах (Bieberbach L.) 142,
266, 336
Боголюбов Н. Н. 339, 340
Бохер (Bdcher М.) 336, 339
Булгаков Б. В. 342
Булиган (Bouligand G.) 100, 336
Бутру (Boutroux Р.) 336
Бухгольц (Buchholz Н.) 330
Бэггот (Beggot Е. А.) 338
Бэйли (Bailey W.) 304
Бьянки (Bianchi L.) 336
Ван дер Поль (van der Pol) 105
Ватсон (Watson G. N.) 197, 229,
300, 330, 341.
Валле Пуссен (de la Vallee Pous-
sin Ch.) 340
Вессио (Vessiot E.) 339
Винтнер (Wintner A.) 10, 122
Витали (Vitali G.) 235, 238, 340
Витт A. A. 117, 339
Гамель (Hamel G.) 176
Гаупт (Haupt O.) 300
Гейльброн (Heilbronn G.) 339
Гильберт (Hilbert D.) 176, 340
Гиццети (Ghizzetti A.) 8, 340
Гобсон (Hobson W.) 250
Гогейзель (Hoheisel G.) 337
Голомб (Golomb M.) 337
Голубев В. В. 342
Горн (Horn J.) 337
Горт (Hort W.) 337
Граффи (Graffi D.), 9, 111
Греко (Greco D.) 178
Гуревич (Hurewicz W.) 337
Гурса (Goursat E.) 340
Девисм (Devisme J.) 336
Дейвис (Davis H. T.) 339
Дёч (Doetsch G.) 8, 340
Дулак (Dulac H.) 337, 339
Еругин H. П. 342
Заутер (Sauter E.) 339
Зубов В. И. 337
Кайль (Keil К. А.) 99
Камке (Kamke Е.) 337
Кампе де Ферье (Катрё de Fe-
riet J.) 304
Капланский (Kaplansky I.) 342
Клейн (Klein F.) 300
Кнешке (Kneschke A.) 337
Кнопп (Knopp K.) 28, 340
Коддингтон (Coddington E. A.)
337
Коллатц (Collatz L.) 159, 337
Конти (Conti R.) 99
Коттон Cotton E.) 339
Кралль (Krall G.) 159
Красовский H. H. 342
Крылов H. M. 340
Курант (Courant R.) 176, 340
344
Именной указатель
Лагранж (Lagrange R.) 250, 339
Лангер (Langer R. Е.) 182
Ландау Э. 200
Ландис Е. М. 104
Лаппо-Данилевский И. А. 338
Леви (Levy Н.) 338
Левинсон (Levinson N.) 337
Левитан Б. М. 342
Лензе (Lense J.) 250
Лефшец (Lefschetz S.) 99, 338
Либман (Liebmann Н.) 338,339
Лиувилль (Lionville J.) 24, 189
Лонн (Lonn Е. R.) 75, 82, 97
Магнус (Magnus W.) 196, 229,
304, 340
Мак-Колл (MacColl L. А.) 9
Мак-Лахлан (McLachlan N. W.)
338
Мак-Хардж (McHarg Е.) 10
Малкин И. Г. 340
Манжаловский В. П. 342
Марченко В. А. 342
Меррей (Murray F. J.) 338
Мизес (Mises R.) 339
Мийу (Milloux Н.) 133
Микеладзе Ш. Е. 342
Миллер (Miller К. С.) 338
Милн (Milne W. Е.) 336, 342
Минорский (Minorsky N.) 105,
340
Миранда (Miranda С.), 130
Митропольский Ю. А. 339, 340
Мышкис А. Д. 338
Наймарк М. А. 342
Немыцкий В. В. 76, 82, 92, 97,
99, 105, 338
Оберхеттингер (Oberhettinger F.)
196, 229, 304, 340
Пеано (Peano G.) 24
Пенлеве (Painleve Р.) 339
Перрон (Perron О.) 82, 92, 97
Персико (Persico F.) 9, 235
Петрович (Petrovich М.) 338,
339
Петровский И. Г. 104, 338
Пикар (Picard Е.) 24, 266, 278,
300, 340
Пиконе (Picone М.) 130, 176,
235 340
Пинни (Pinney Е.) 342
Плисс В. А. 342
Пойа (Polya G.) 130
Понтрягин Л. С. 342
Привалов И. И. 259, 260, 272,
293
Проди (Prodi G.) 191
Прюфер (Priifer Н.) 141
Пуанкаре (Poincare Н.) 198,
307 342
Пул (Poole Е. G. К.) 338
Раппопорт И. М. 342
Реддик (Reddick Н. W.) 338
Реш (Resch D.) 339
Рикард (Richard U.) 9, 132
Ритт (Ritt J. F.) 338
Рунге (Runge С.) 339
Сансоне (Sansone G.) 9, 25, 26,
99, 111, 191, 197, 198, 207, 238,
300, 339
Сас (Szasz О.) 339
Сахарников Н. А. 92
Сегё (Szego G.) 130, 182, 235, 238,
341
Серре (Serret J. А.) 341
Скорца-Драгони (Scorza-Dragoni
G.) 9
Скотт (Scott W.) 339
Слейтер (Slater L. J.) 330
Смирнов В. И. 342
Сонин Н. Я. 130
Спрингер (Springer G.) 339
Стеклов В. А. 189, 342
Степанов В. В. 12, 46, 76, 82, 92,
97, 99, 105, 121, 142, 201, 276,
QQQ QQQ
Стокер (Stoker J. J.) 341
Титчмарш (Titchmarsh Е. С.)
162 339
Тома (Thoma А.) 337
Тржицинский (Trjizinski W. J.)
323, 339
Трикоми (Tricomi F.) 5, 12, 17,
43, 46, 78, 102, 114, 117, Ц9,
Именной указатель
345
121, 156, 162, 174, 187, 188,
191, 200, 201, 238, 241, 242, 256,
259, 260, 272, 279, 293, 304,
330, 341
Уиллере (Willers А.) 339
Уиттекер (Whittaker Е. Т.) 300,
330, 341
Фихтенгольц Г. М. 28, 68, 102,
156, 197, 241, 307
Форсайт (Forsyth А. Р.) 13, 300,
339
Форстер (Forster Н.) 99
Франк (Frank Р.) 339
Фридрихе (Friedrichs К. О.) 339
Фроммер (Frommer М.) 92, 98
Фубини (Fubini G.) 182
Хайкин С. Э. 117, 339
Хартман (Hartman Р.) 10, 122,
203
Хаяси (Hayashi С.) 341
Хильб (Hilb Е.) 339
Хохенемзер (Hohenemser К.) 159
Черчилль (Churchill R. V.) 341
Четаев Н. Г. 341
Шлезингер (Schlesinger L.) 339
Штернберг (Sternberg W.) 323
Шэнкс (Shanks М.) 337
Эйноуди (Einaudi R.) 159
Эмде (Emde F.) 46, 197, 341
Эльсгольц Л. Э. 342
Эрдели (Erdelyi А.) 227, 241, 304,
341
Янке (Jahnke Е.) 46, 197, 341
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Примечание: ЛУ2 означает линейное дифференциальное урав-
нение второго порядка.
Амплитуда эллиптических функ-
ций 39
Асимптотическое интегрирова-
ние 316
— поведение 181, 257
----в комплексной плоскости
321
----решений ЛУ2, не содержа-
щих члена с у' 190—208
----собственных функций и
собственных значений 212—
230
— представление конфлюентных
гипергеометрических функ-
ций 332
----максимумов и минимумов
решений ЛУ2 133
----полиномов Лагерра 238—
243
------Лежандра 250—256
----решений ЛУ2 195, 202, 212
----собственных значений и
собственных функций 167—
170, 217—222
----функции Бесселя 194—197,
332—335
Асимптотический ряд 306
Брахистохрона 119
Вековые члены 111
Время ускользания 67
Гамма-функция 196, 241
Гармоники 159
Гармонические моды колебания
158, 159
Гиперболические функции 43, 127
Дельта-амплитуда 39
Диаграмма ошибок 256, 334
Дискретное множество 127
Дифференциальное уравнение
Бесселя 140, 141, 195—197, 239,
290
----Ван дер Поля 104
----вполне фуксово 290
----гармонического осциллято-
ра 126, 164, 194
----для гипергеометрической
функции 300
------конфлюентной гипер-
геометрической функции 231,
326
----Клеро 12
-----Лагерра 91, 231—234
----Лежандра 244—248, 291
----Льенара 104—111
----мажорантное 150
----минорантное 150
----неоднородное 118
----однородное 118
— — Папперица 296
----Риккати 142
----самосопряженное 128
---- укороченное 58—66
Зависимость решений от началь-
ных данных 24
Предметный указатель
347
Зависимость решений от парамет-
ров 24
Замена переменной Прюфера 141
Изменение собственных значе-
ний уравнения с переменными
коэффициентами 163, 164
Индекс особой точки 77, 78
— Пуанкаре 76—78
Интегральное уравнение 17, 171
— — типа Вольтерра 17, 171,
184
------Фредгольма 171
Исключительные направления 51,
65
Канонический вид линейных си-
стем дифференциальных урав-
нений 59, 62, 64
----ЛУ2 210, 211
Колеблющаяся струна 156
Колеблющиеся решения 127, 139
Косинус-амплитуда 39
Краевые условия 119, 143, 178
Круговые функции 27—35
Лемма об интегральных уравне-
ниях типа Вольтерра 191
— о линейном функциональном
преобразовании Т 311—315,
317—320
Максимумы и минимумы реше-
ний ЛУ2 129—133
Метод вариации произвольных
постоянных 118, 183
— Лиувилля — Стеклова 182,
187
— мажорантных функций 258
— последовательных приближе-
ний 17—23, 187
— Фробениуса 281
— Фубини 182, 227
Многозначность решений ЛУ2
272—277
Модуль дополнительный 38
— эллиптической функции 38
Нормирующий множитель 162,
225
Нули круговых функций 31
Нули ортогональных полиномов
236
— полиномов Лагерра 236
---Лежандра 249, 250
— решений ЛУ2 122, 129
— эллиптических функций 42
Общее решение 11
Ортогональная система функций
162
Особенность существенная 277
— несущественная 278
Особое решение 12
Оценки собственных значений
166, 167
О, о (обозначения Ландау) 77
Первая краевая задача 144, 167
Периодические решения в фазо-
вом пространстве 111—117
Периодичность круговых функ-
ций 30
— эллиптических функций 41
Полиномы Лагерра 234—237
— Лежандра 250
— Эрмита 235
Полухарактеристика 67
Предельная функция 315
Предельное уравнение 180, 208
Предельный цикл 91, 101—111
Приведение дифференциальных
уравнений к интегральным
уравнениям 17, 171—178
Приведенная форма ЛУ2 129,
208—212
Простота нулей решений ЛУ2 122
— собственных значений 156
Разделение переменных 11, 157
Расстояние между нулями реше-
ний 111, 112, 138, 141
Регулярная особая точка 278
------ на бесконечности 291
— точка на бесконечности 294
Рекуррентные формулы для по-
линомов Лагерра 238
---------Лежандра 250
Решение системы дифференци-
альных уравнений в смысле
Каратеодори 17
348
Предметный указатель
Ряд асимптотический 305
— гипергеометрический 301
— конфлюентный гипергеомет-
рический 329
— Куммера 329
— обратных собственных зна-
чений 168
Свойство монотонности для соб-
ственных значений 162, 163
Седло 51, 61, 65, 69, 78, 93—97
Симметричное ядро 177
Симметрия функции Грина 176,
177
Синус-амплитуда 39
Система автономная 66
— нормальная дифференциаль-
ных уравнений 14, 257
Системы Штурма — Лиувилля
143
Собственные значения 153
---- для уравнения с постоян-
ными коэффициентами 158, 164
----отрицательные 156
Спектр непрерывный собствен-
ных значений 231
Сумма корней определяющего
уравнения для ЛУ2 294
Теорема Асколи 191, 194, 195
— Бендиксона о структуре осо-
бых точек 69—75
------существовании замкну-
той характеристики 102
— Валле Пуссена 122—127
— сложения для круговых
функций 32
— о колебаниях 147—153
---- нулях функции, заданной
асимптотически 217
----пределе отношения у'!у для
ЛУ2 198
---- разделении нулей 135
----структуре особых точек
69—75
----существовании замкнутых
характеристик 103
------и единственности для
систем дифференциальных
уравнений 16
------ периодических характе-
ристик 114
------ собственных значений
153
----численном сравнении 136,
137
---------дЛЯ функции 0(х)
144—145
— Сонина — Пойа 130, 131
— Фукса 278
— Штурма о сравнении 134
Топологическое соответствие 77
Точки накопления собственных
значений 155
— несущественно особые 278
— особые дифференциального
уравнения 44
— перегиба 45
— переходные 226
— сопряженные 126, 138
— с регулярной особенностью
278
— стационарные 45
— фуксовы особые 278
Узел 50, 52, 61, 64, 65, 69, 79—
87
— звездообразный 51, 65, 75, 87
Уравнение интегро-дифференци-
альное 186, см. также Диф-
ференциальное уравнение, Ин-
тегральное уравнение
— определяющее 284
— «приближающее» 182, 194,
212, 227
— фундаментальное 275
— характеристическое 60, 181,
284, 309, 322
Условие Липшица 15
Условия периодичности 113
— Фукса 278
Физическое истолкование собст-
венных значений 156, 160
Фокус 54, 62, 65, 69, 82, 88—93
Формула Куммера 330
— Лиувилля 201, 279
Формулы преобразования для
гипергеометрических функций
303
Предметный указатель
349
------конфлюентных гипергео-
метрических функций 329
Функции Бесселя 141, 196—197,
229, 239, 328, 332—334
— круговые 27—35
— мажорантные 257
— ограниченной вариации 207,
215
— собственные 153
--- нормированные 223
— Эйри 227
— эллиптические 35—43
Функциональное преобразование
311
Функция гипергеометрическая
301
— Грина 171—178
— конфлюентная гипергеомет-
рическая 231, 301, 326
— обобщенная гипергеометри-
ческая 304
— Римана 297
Характеристики уравнения пер-
вого порядка 44, 66—70
Центр 55, 62, 65, 78, 89, 90, 98
Цикл 77
— предельный 91, 101—111
Частота колебаний струны 158
Эквивалентность единичного
уравнения и системы диф-
ференциальных уравнений 13,
49
— системы Штурма — Лиувил-
ля и интегрального уравнения
171 — 178
Эллиптические интегралы 43
— функции 35—43
Ядро интегрального уравнения
175, 187
— итерированное 188
— резольвентное 188
— симметричное 176, 177
Ячейка или гиперинтервал 16
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловия:
переводчика .......................................... 5
к первому итальянскому изданию...................... 7
ко второму итальянскому изданию....................... 9
к английскому изданию.................................10
I. Теорема о существовании и единственности
1. Некоторые элементарные сведения о дифференциальных
уравнениях ............................................... И
2. Подготовка к фундаментальной теореме.............14
3. Теорема о существовании и единственности для нормаль-
ных систем дифференциальных уравнений .... 16
4. Дополнительные замечания .......................... . 23
5. Круговые функции.................................27
6. Эллиптические функции............................35
II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
7. Предварительные рассмотрения . ................44
8. Примеры уравнений с особыми точками................50
9. Изучение укороченного уравнения.....................58
10. Некоторые теоремы общего характера.................66
11. Индекс Пуанкаре....................................76
12. Узел...............................................79
13. Фокус и седло......................................88
14. Предельные циклы и релаксационные колебания . . . 101
15. Периодические решения в фазовом пространстве . . 111
III. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка
16. Предварительные рассмотрения......................118
17. Теорема Валле Пуссена.............................122
18. Упрощения заданного уравнения ........................127
19. Теоремы о нулях и о максимумах и минимумах решений 129
20. Теоремы о сравнении и их следствия................133
21. Интервал между последовательными нулями решения . 138
22. Важная замена переменной..........................141
23. Теорема о колебании...............................147
24. Собственные значения и собственные функции . . . 153
25. Физическое истолкование...........................156
26. Некоторые свойства собственных значений и собственных
функций...............................................160
27. Связь с теорией интегральных уравнений............171
Оглавление 351
IV. Асимптотические методы
28. Общие замечания.......................................179
29. Общий метод, применимый к линейным дифференциаль-
ным уравнениям.............................................182
30. Дифференциальные уравнения с устойчивыми решениями 190
31. Случай, в котором коэффициент при у стремится к отрица-
тельному пределу...........................................198
32. Подготовка к асимптотическому исследованию собствен-
ных значений и собственных функций ..... 208
33. Первая форма асимптотического выражения для собствен-
ных функций ...............................................212
34. Асимптотическое выражение для собственных значений . 217
35. Вторая форма асимптотического выражения для собствен-
ных функций ............................................. 222
36. Уравнения с переходными точками.......................226
37. Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра . . 230
38. Асимптотическое поведение полиномов Лагерра . . . 238
39. Дифференциальное уравнение и полиномы Лежандра . 244
40. Асимптотическое выражение для полиномов Лежандра . 249
V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
41. Мажорантные функции................................. 257
42. Доказательство фундаментальной теоремы методом Коши 261
43. Общие замечания об особых точках решений дифферен-
циальных уравнений. Случай линейных уравнений . . 267
44. Исследование многозначности решений линейного уравнения 272
45. Случай отсутствия существенных особенностей . . 278
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса . . . 281
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравне-
ние .......................................................290
48. Предварительные замечания о существенных особенностях 305
49. Приложение метода последовательных приближений . 311
50. «Асимптотическое интегрирование» приведенного уравне-
ния .......................................................316
51. Вывод и дальнейшие замечания..........................321
52. Приложение к конфлюентным гипергеометрическим функ-
циям и к функциям Бесселя..............................326
Литература.............................................. 336
Именной указатель.........................................343
Предметный указатель......................................346
Ф. Трикоми
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Редактор И. Л. Никольская
Технические редакторы И. И. Карпов и В. А. Доценко
Сдано в производство 5/11-1962 г.
Подписано к печати 13/VII-62 г.
Бум. л. 5,5. Печ. л. 18,0
Уч.-изд. л. 15,2. Изд. № 1/1017. Тип. зак. 5065
Цена 1 р. 26 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский, 2
2-я типография Издательства АН СССР.
Москва, Г-99, Шубинский пер., 10