/
Автор: Кривошапко С.Н. Иванов В.Н. Халаби С.М.
Теги: геометрия топология математика аналитическая геометрия дифференциальная геометрия точные науки
ISBN: 5-02-035747-2
Год: 2006
Текст
С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
ПОВЕРХНОСТИ
Материалы по геометрии 500 поверхностей
и информация к расчету на прочность
тонких оболочек
Научное издание
С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби
Аналитические
поверхности
Материалы по геометрии 500 поверхностей
и информация к расчету на прочность
тонких оболочек
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Допущено Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлениям «Математика, прикладная математика»,
«Теоретическая физика», «Строительство»
е
Москва
Наука
2006
УДК 514.12/. 16
ББК 22.151
А64
Рецензенты:
А. И. Шафаревич, доктор физико-математических наук;
В. А. Костин, доктор физико-математических наук.
Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и ин-
А64 формация к расчету на' прочность тонких оболочек / С. Н. Кривошапко,
В. Н. Иванов, С. М. Халаби. — М.: Наука, 2006. — 544 с.
ISBN 5-02-035747-2
Книга является справочным изданием по аналитической и дифференциальной геометрии
регулярных аналитических поверхностей. Справочник поможет выявить и решить научно-
технические проблемы, связанные с развитием теории формообразования тонкостенных кон-
струкций на основе геометрических исследований срединных поверхностей оболочек. Все ста-
тьи справочника по геометрии каждой поверхности изложены в объеме одной страницы.
Для студентов-математиков, инженеров и архитекторов, аспирантов, преподавателей и
специалистов по геометрии поверхностей, а также специалистов, работающих в других от-
раслях знаний, но применяющих в своей работе геометрические образы.
УДК 514.12/.16
ББК 22.151
ISBN 5-02-035747-2
© С. Н. Кривошапко, В. Н. Иванов,
С. М. Халаби, 2006
© ООО Издательство «Наука», 2006
ОТ АВТОРОВ
Данная книга является справочным изданием по
аналитической и дифференциальной геометрии регу-
лярных аналитических поверхностей, нашедших приме-
нение в тех или иных разделах математики и в различ-
ных отраслях техники и строительства. Справочник из-
дается впервые, и книги, аналогичной по содержанию и
манере изложения материала, в мире не существует.
Основное требование к статьям справочника -
возможно полное изложение материала по геометрии
каждой поверхности в объеме одной страницы. В кон-
це каждой статьи приводится библиография из 1-3
названий, преимущественно обзоры, где можно найти
сведения для дальнейшего изучения проблем, связан-
ных с геометрией представленной поверхности и рас-
четом на прочность оболочек в форме этой поверхно-
сти. В начале или конце большинства разделов приве-
ден одностраничный список литературы по геометрии,
применению и расчету оболочек на прочность, очер-
ченных по соответствующим поверхностям.
В справочник вошли только те поверхности, кото-
рые можно изобразить средствами начертательной
геометрии и компьютерной графики.
Материал книги сгруппирован по классам поверх-
ностей. В основу классификации положены признаки
формы образующих и направляющих линий, законы их
расположения по отношению к базовым плоскостям и
линиям. Учитывается порядок уравнений поверхно-
стей, гауссова кривизна и кинематика образования по-
верхностей. Перед описанием поверхностей, принад-
лежащих к одному классу, следует одностраничная
общая характеристика поверхностей этого класса.
В справочник вошли как классические поверхно-
сти, известные геометрам уже несколько столетий, так
и поверхности, известные только узкому кругу специа-
листов. В книгу включены также поверхности, пред-
ложенные и исследованные авторами.
Тонкостенные гладкие конструкции являются наи-
более экономичными конструкциями. С геометриче-
ской точки зрения оболочки характеризуются формой
их срединной поверхности. Но традиционно использу-
ется довольно ограниченный круг этих конструкций:
сферические, цилиндрические, конические, пологие
оболочки переноса и некоторые оболочки вращения,
что составляет доли процента от существующего мно-
гообразия геометрических форм, разработанных гео-
метрами, но неизвестных инженеру-строителю или
машиностроителю.
Основной целью справочника является помощь в
выявлении и решении научно-технических проблем,
связанных с развитием теории формообразования тон-
костенных конструкций на основе геометрических ис-
следований срединных поверхностей оболочек.
Создание нетрадиционных эффективных конст-
руктивных форм безопорного пространства для обес-
печения максимальных уровней гибкости производства
(возможность трансформации внутреннего простран-
ства здания, его внешнего развития, перестановки и
замены оборудования без реконструкции строительной
части и т.д.) будет способствовать выполнению ком-
плекса фундаментальных и прикладных задач, постав-
ленных перед наукой в архитектурно-строительной
сфере. Наличие большого выбора разнообразных форм
и поверхностей позволит решить ряд проблем и в ма-
шиностроительной сфере.
Авторы считают, что в книге удалось избежать
повторения некоторых ошибок, переходящих из одно-
го издания в другое, и удалось устранить разночтения
в определениях некоторых поверхностей. Большая
часть представленных в книге формул проверена авто-
рами. Авторы старались не включать в книгу формулы,
вызывающие сомнения или спорны. Все рисунки вы-
полнены членами авторского коллектива. Многие ри-
сунки опубликованы впервые.
Материалы справочника будут интересны студен-
там-математикам, инженерам и архитекторам, аспи-
рантам, преподавателям и специалистам по геометрии
поверхностей, а также специалистам, работающим в
других отраслях знаний, но применяющим в своей ра-
боте геометрические образы. Справочник окажет по-
мощь соответствующим специалистам в поиске необ-
ходимых материалов для расчета и проектирования
тонкостенных пространственных конструкций, изде-
лий и сооружений.
Справочник заканчивается словарем геометриче-
ских терминов на русском, английском, французском и
немецком языках.
В конце издания помещен предметный указатель.
.Страницы 124-126, 128, 129 написаны доц.
Я.С. Пульпинским (Пенза, ПГУАС); страницы 118-
120, 244-249 написаны к.т.н., с.н.с. В.А. Никитюком
(Хотьково, ЦНИИ спец, машиностроения); страницы
430-433 - к.т.н. Г.С, Рачковской (Ростов-на-Дону);
страни-цы 31, 89, 153-155, 158, 159, 168, 187-192, 203-
209, 212-218, 230-235, 250, 254-259, 263, 268-273, 276,
277, 279, 283, 288, 292-294, 300, 301, 315, 319, 334-337,
352-354, 358, 368, 369, 372, 373, 380, 386, 388, 394, 397,
406, 412—416, 457-459, 480 подготовлены и написаны
к.т.н., проф. В.Н. Ивановым (Москва, РУДН). Матери-
алы для страницы 318 подготовлены М.М. Усачевой.
Все остальное написано д.т.н., проф. С.Н. Кривошапко
(Москва, РУДН).
Все рисунки в системе Mathcad выполнены к.т.н.
С.М. Халаби и к.т.н., проф. В.Н. Ивановым. Рисунки в
системе Word выполнены проф. С.Н. Кривошапко.
3
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СПРАВОЧНИКОМ
Книга «Аналитические поверхности» - это не
учебник по геометрии или расчету на прочность про-,
странственных конструкций оболочечного типа. По-
этому она не предназначена для чтения подряд всего
содержащегося в ней материала. Справочный материал
по геометрии кривых и поверхностей содержится
только в начальных разделах «Плоскость», «Поверхно-
сти» и «Выборка основных формул по дифференци-
альной геометрии пространственных кривых и поверх-
ностей», которые и рекомендуется прочесть или про-
смотреть вначале.
Книга предназначена для подготовленного читате-
ля, имеющего представление о дифференциальной
геометрии. Она может быть интересна и читателям,
увлекающимся построением различных пространст-
венных геометрических образов или ищущих матема-
тические аналоги для моделирования природных объ-
ектов живого или неживого миров.
Книга может помочь найти геометрический образ
для дальнейшего углубленного математического ана-
лиза. Она дает возможность выбрать тонкостенный
объект в форме предложенной поверхности для иссле-
дования его напряженно-деформированного состояния
под действием внешней нагрузки с целью его даль-
нейшего внедрения в соответствующие сферы дея-
тельности человека.
Справочная или научная литература, дополняющая
каждый раздел книги, облегчит поиск необходимой
литературы по геометрии, применению или расчету на
прочность оболочек, очерченных по рассмотренным
поверхностям.
Фамилии исследователей, приведенные в конце
книги, очерчивают круг людей, занимавшихся или за-
нимающихся проблемами, связанными с теорией
поверхностей.
Содержание книги - справочника отражено в раз-
деле «Поверхности, представленные в справочнике»,
который в ряде случаев сразу может помочь найти ин-
тересующий материал. Если читателю известно только
название поверхности, то сразу искать эту поверхность
в этом разделе иногда бывает не рационально. Тем бо-
лее здесь она может быть указана под другим названи-
ем - синонимом. В этом случае поиск лучше начать с
раздела «Предметный указатель», где приведены все
названия кривых и поверхностей, встречающиеся в
книге, а рядом на той же строчке указаны номера стра-
ниц, где эти поверхности и кривые упоминаются.
Если читателю необходимо узнать о вкладе опре-
деленного человека в теорию поверхностей, то ему .
рекомендуется воспользоваться разделом «Именные
указатели», где после фамилий стоят номера страниц,
где эти фамилии упоминаются. Если же искомой фа-
милии в «Именных указателях» нет, то это не означает,
что этот исследователь не занимался теорией поверх-
ностей, так как он может быть упомянут в списках ли-
тературы работ, представленных в справочнике.
В справочнике принято за правило не упоминать
библиографию, содержащуюся в списке литературы
процитированного исследователя. Указывается в скоб-
ках только количество названий литературы, содержа-
щихся в библиографии указанного в справочнике ис-
точника. Это позволило авторам справочника, не уве-
личивая объема книги, дать возможность заинтересо-
ванному лицу найти десятки и сотни названий
опубликованных работ по определенной теме.
Авторы книги очень осторожно подходили к ис-
пользованию материалов по геометрии поверхностей,
содержащихся в сети «Интернет». Во-первых, эти ма-
териалы содержат много ошибок; во-вторых, трудно
подтвердить авторство текстов; и в-третьих, эти мате-
риалы недолговечны и допускают исправления после
ввода их в «Интернет». Ссылки на результаты из сети
«Интернет» давались только в случае крайней необхо-
димости.
Условные обозначения
Если нет дополнительных разъяснений или указа-
ний, то в справочнике используются следующие ус-
ловные обозначения:
х> у, z — прямоугольные координаты
i,j,k - единичные векторы (орты), направленные по
направлению координатных осей х, у, z соответ-
ственно
к - кривизна пространственной или плоской кривой
к - кручение пространственной кривой
и, v; а, Р - криволинейные координаты на поверхности
г (и, у) - радиус-вектор точки поверхности
р(и) - радиус-вектор точки пространственной или
плоской кривой
ки, kv (kw k/j) - кривизны координатных линий и, v; а, Р
Ru, Rv (Rw Rp) - радиусы кривизны координатных
линий и, v; а, р
X - угол между координатными линиями и, v; а, Р на
поверхности
ki, кг - главные кривизны поверхности
R\, Rz - главные радиусы кривизн поверхности
Е, F, G - коэффициенты первой квадратичной формы
поверхности
L, M,N ~ коэффициенты второй квадратичной формы
поверхности
А2 = Е; В2 = G - коэффициенты Ламе в теории
криволинейных координат
К - к\кг ~ гауссова кривизна поверхности
Н = (к] + кг)/2 - средняя кривизна поверхности
4
ПЛОСКОСТЬ И ПОВЕРХНОСТИ
плоскость
Поверхность в пространстве тогда и только тогда представляет собой плоскость, когда она
является алгебраической поверхностью первого порядка. Верно и обратное, то есть, что любая
поверхность первого порядка является плоскостью. Плоскость - бесконечна. Основные свойст-
ва плоскости принимаются аксиоматически, то есть без доказательства, например: а) если две
точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой прямой принадлежит плоскости;
б) если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через
эту точку; в) через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и
притом только одну; г) в пространстве всегда существует четыре точки, не принадлежащие од-
ной и той же плоскости. Для трех плоскостей в пространстве возможны восемь существенно
различных типов их взаимного расположения.
Формы задания плоскости:
1) Линейное (общее) уравнение плоскости Р\
F(x,y,z) = Ах + By + CZ + D = 0,
где хотя бы одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Вектор п(А,В,С) перпендикулярен плос-
кости. Вектор а(1,т,п) тогда и только тогда параллелен плоскости Р, когда А/ + Вт + Сп = 0. Ра-
венство нулю одного или нескольких коэффициентов А, В, С, D указывает на специальное по-
ложение плоскости относительно координатных осей, например, если А = 0, то плоскость па-
раллельна оси Ох; если D = 0, то плоскость проходит через точку 0(0, 0, 0)
Две плоскости Р и Р\ будут параллельны друг другу, если выполняются соотношения:
_А _ В__С_
А] В] С,
Параллельные плоскости совпадают, если они имеют хотя бы одну общую точку, при этом
будут выполняться соотношения:
_A_J_
А| 5, Cj О,
Один из углов в между плоскостями Р и Р\ можно определить по формуле:
cos д _ + ^1^2 + ^1^-2
Аг + В( + (7]“ А; + В; + С;
Плоскость Р разбивает пространство на два полупространства, одно из которых состоит из
всех точек М- (х, у, z), для которых F(x,y,z) > 0, другое - из всех точек М = (х, у, z), для которых
F(x,y,z) < 0. Первое полупространство называется положительным, второе - отрицательным по
отношению к данному уравнению плоскости Р. Вектор п(А,В,С) направлен в положительную
сторону плоскости Р.
V у 7
2) Уравнение плоскости в отрезках: — Н--Е — = 1.
а b с
Плоскость пересекает координатную ось Ох в точке (а, 0, 0), ось Оу в точке (0, Ь. 0) и ось Oz
в точке (0, 0, с). Здесь а = -D/А., b = -D/В, с = -D/C.
3) Нормальное уравнение плоскости: xcosa.r + ycosoy + zcosa, - р = 0,
где р > 0 - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость; cosa.v, cosoy,
cos аг - направляющие косинусы перпендикуляра к плоскости, началом которого служит начало
координат, а концом - точка плоскости.
4) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку B|(xi, yi, zi):
А(х - xi) + В(у - у,) + C(z - z0 + D = 0.
5
ПЛОСКОСТЬ И ПОВЕРХНОСТИ
5) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Р\(х\, уь zi), Р-фхг, уг, Zz) и
6) Параметрическая форма задания: х = xi + ахи + bxv, у = yi + ауи + byv, z = zi + azu + bzv.
Ниже даны определения плоскостей, которые будут встречаться в энциклопедии. Сначала
приведены определения некоторых плоскостей из теории линейной перспективы, а затем из
курса дифференциальной геометрии.
Картинная плоскость - вертикальная или наклонная плоскость., на которую проектируются
предметы.. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая расположена на-
клонно ко всем плоскостям проекций. Плоскость проекций - это плоскость, на которой полу-
чают изображение оригинала при проектировании. Горизонтальная плоскость, на которой рас-
полагаются изображаемые предметы, называется предметной плоскостью. Отсек плоскости -
это часть плоскости, ограниченная каким-либо контуром.
Секущая плоскость пересекает другую плоскость или поверхность. Она применяется для
выполнения разреза или сечения в качестве вспомогательной плоскости. Плоскость, параллель-
ная основной плоскости, называется плоскостью уровня. Проектирующая плоскость перпенди-
кулярна какой-либо плоскости проекций (горизонтально-проецирующая, фронтально-
проецирующая и профильно-проецирующая плоскости). Фигуры называются симметричными
относительно плоскости Q, если их точки попарно симметричны между собой, а сама плоскость
Q называется плоскостью симметрии.
Нормальная плоскость пространственной кривой в точке М -- это плоскость, проходящая
через М перпендикулярно к касательной прямой в этой же точке. Нормальная плоскость содер-
жит все нормали к кривой, проходящие через данную точку. Соприкасающаяся плоскость кри-
вой в точке М проходит через касательную прямую и главную нормаль пространственной кри-
вой в точке М. Спрямляющая плоскость кривой содержит бинормаль и касательную кривой.
Спрямляющая, нормальная и соприкасающаяся плоскости кривой взаимно перпендикулярны.
Касательная плоскость к поверхности 5 в точке М - плоскость, проходящая через точку М
и характеризующаяся тем свойством, что расстояние от этой плоскости до переменной точки
Мо поверхности S при стремлении Мо к М является бесконечно малым по сравнению с
расстоянием ММ0. Касательная плоскость в особой точке поверхности перестает быть
оирёдЕлинфшпостроении некоторой поверхности все ее образующие остаются параллельными
заданной плоскости, то эта плоскость называется плоскостью параллелизма.
Проективной плоскостью называется всякое множество Р, состоящее из элементов двух
родов, называемых соответственно «точками» и «прямыми», и связанных между собой некото-
рым отношением, называемым отношением инцидентности между какой-нибудь «точкой» и
какой-нибудь «прямой». При этом требуется, чтобы существовало сохраняющее инцидентность
взаимно однозначное соответствие между «точками» и «прямыми»проективной плоскости Р, с
одной стороны, и лучами и плоскостями связки, с другой стороны: «точка» и «прямая» проек-
тивной плоско сти Р инцидентны между собой тогда и только тогда, когда инцидентны соот-
ветствующие им луч и плоскость связки. В частности, проективной плоскостью является и сама
связка, если ее лучи называть «точками», а плоскости - «прямыми». Проективную плоскость с
выделенной на ней несобственной прямой называют аффинно-проективной плоскостью.
Дополнительная литература
1. Маркаров С.М. Краткий словарь-справочник по черчению. - Л.: Изд-во «Машиностроение», 1970. - 160 с.
2. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: «Наука», 1973. - 752 с.
6
ПЛОСКОСТЬ и ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТИ
Дифференциальная геометрия рассматривает поверхность как геометрическое место точек,
определяемых векторным уравнением г - r(u,v), где и и v - независимые параметры. Для того,
чтобы поверхность, заданная векторным уравнением г = г (и, v) была гладкой, достаточно, чтобы
функция г(и,г) имела непрерывные производные ги и г, в области задания параметров и в этой
области г„ х 0. Поверхность может быть задана тремя параметрическими уравнениями
х = х(и,т), у = y(u,v), z = z(w,v),
в неявной fix,у,z) = 0 или явной форме z = z(x,y). Локально-простой поверхностью называется
связное множество в пространстве Е2, у каждой точки которого есть окрестность, представ-
ляющая собой простую поверхность.
Метрическая дифференциальная форма или первая основная квадратичная форма поверх-
ности, выражающая квадрат линейного элемента поверхности записывается в форме:
ds2 = (or/du)1 + 2(dr/du) (dr/dv) + (dr/dv)2 - Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 = A2du2 + 2ABcosydudv + B2dv2.
Поверхности, имеющие одинаковые первые квадратичные формы и, поэтому имеющие
одинаковую внутреннюю геометрию, называются изометричными поверхностями.
Вторая основная квадратичная форма поверхности записывается в форме: '
-drdn = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2, где n = [rKr,]/[A2B2 - F2]1/2.
Поверхность своими двумя основными квадратичными формами (первой и второй) опреде-
ляется с точностью до движения.
Через каждую неомбилическую точку поверхности проходят две линии кривизны и они об-
разуют единственную на поверхности сеть, одновременно ортогональную (F = 0) и сопряжен-
ную (М = 0). Геодезическая линия может быть линией кривизны только в том случае, если эта
линия - плоская. Координатная сеть u,v, в которой противоположные стороны каждого обра-
зуемого ею криволинейного четырехугольника имеют одинаковую длину, называется чебышев-
ской координатной сетью. Получебышевской называется такая координатная сеть, в которой в
каждом четырехугольнике две противоположные стороны равны, а две другие не равны.
В особых точках поверхности векторное произведение обращается в нуль. Если это
произведение отлично от нуля, то точки поверхности - обыкновенные. В эллиптической точке
поверхности (К > 0) нет асимптотических направлений, в гиперболической (К < 0) - их всегда
два, а в параболической (К = 0) - одно. Поверхность может иметь как эллиптические точки, так
и гиперболические. Граница между областями эллиптических и гиперболических точек будет
состоять из параболических точек. В омбилической точке поверхности каждое направление яв-
ляется главным. Омбилические точки характеризуются уравнением Н2 - К = 0 (Эйлерова раз-
ность). В точке уплощения поверхности (плоскостной точке} L = М = N = 0. Если у поверхно-
сти тождественно равны нулю К и Н, то эта поверхность является плоскостью или ее частью, а
точка, в которой К = Н = 0, является плоскостной точкой.
Приведем без комментарий определения некоторых классов поверхностей, которые не вы-
делены в энциклопедии отдельной главой, а поверхности этих классов распределены по другим.
Лиувиллевая поверхность имеет линейный элемент поверхности ds2, выражающийся в виде
ds2 = [<р(и) - i//(v)](du2 + dv2).
Центральные поверхности второго порядка принадлежат к числу лиувиллевых поверхностей.
Полярная поверхность данной кривой - огибающая семейства нормальных плоскостей этой
кривой L. Согласно определению полярной поверхности всякая кривая L пересекает все каса-
тельные плоскости своей полярной поверхности под прямым углом. Полярная поверхность
плоской линии есть цилиндрическая поверхность. Полярная поверхность всякой сферической
линии есть коническая поверхность, вершина которой совпадает с центром сферы. Разверты-
вающаяся поверхность, огибающая семейство спрямляющих плоскостей линии L, называется
7
ПЛОСКОСТЬ И ПОВЕРХНОСТИ
спрямляющей поверхностью линии L. При изгибании спрямляющей поверхности линии L на
плоскость кривая L становится прямой линией.
Поверхность нормалей кривой (нормалия кривой), расположенной на поверхности, образо-
вывается нормалями к поверхности, проведенными во всех точках кривой. Согласно определе-
нию эта поверхность - линейчатая. Нормалия каждой линии кривизны является развертываю-
щейся поверхностью. Геометрическое место ребер возврата нормалий линий кривизны поверх-
ности S называется эволютной поверхностью, или просто эволютой поверхности S, или по-
верхностью центров. Одна полость поверхности центров порождается одним семейством ли-
ний кривизны поверхности .S'. Поверхность S по отношению к своей эволюте называется эволь-
вентной поверхностью (или просто эвольвентой). Поверхность Р называется параллельной по-
верхности Р, если в ее уравнении /= г + zn параметр z имеет постоянное значение h. Абсолют-
ное значение числа h называется расстоянием поверхности Р1 от Р. Поверхности, на которых
тензор Дарбу обращается тождественно в ноль, называются поверхностями Дарбу.
Средней эволютной (или средней огибающей) поверхностью Б данной поверхности 5 назы-
вается огибающая плоскостей, параллельных касательным плоскостям поверхности S и прохо-
дящих через середину М отрезка между центрами нормальных кривизн линий кривизны. Для
поверхностей Бонне их средняя огибающая вырождается в плоскость. С понятием средней оги-
бающей поверхности связана и поверхность Гурса. Минимальная поверхность является част-
ным случаем поверхности Гурса. У поверхностей Бианки (поверхностей В) гауссова кривизна
вычисляется по формуле К = -1/[{7(и) + V(v)]2, где и, v - асимптотические параметры поверхно-
сти. Иногда в отдельные классы выделяют поверхности с двумя семействами плоских линий
кривизны и поверхности с одним семейством плоских линий кривизны. Между поверхностями с
одним сферическим семейством линий кривизны и поверхностями с одним плоским семейством
линий кривизны существует тесная связь, позволяющая каждую из них получить некоторым
преобразованием другой. Общую поверхность Уэдла W в трехмерном проективном пространст-
ве определяют как геометрическое место вершин конусов 2-го порядка, содержащих шесть
данных точек [7]. Порядок ее равен четырем. Сопряженная и геодезическая сеть называется се-
тью Фосса, а поверхность, допускающая такую сеть, - поверхностью Фосса. Минимальная по-
верхность является поверхностью Фосса. Невырождающаяся поверхность второго порядка не
может быть поверхностью Фосса. Не существует также поверхностей Фосса постоянной отри-
цательной кривизны. Прямой геликоид есть поверхность с бесконечным числом сетей Фосса.
Есть поверхности, которые используются, в основном, для знакомства с топологическими
объектами и теоремами, или применяются для иллюстрации топологических работ и идей. К
таким поверхностям можно отнести улиткообразный шутовской колпак, яйцо Дунса, кубик
Кэйли, бутылку Уитни, поверхности Морэна, Зейферта, Хакена и ряд других. Эти поверхности
описаны в статьях и книгах по топологии (см., например, книгу Дж. Франсиса [4]).
Дополи и тельная литература
1. Бортовой В.В., Коломак В.Д. К вопросу о коэффициентах второй квадратичной формы срединной поверхно-
сти деформированной оболочки// Динамика и прочность машин: Респ. межвед. темат. научно-техн. сб. - 1974. -
Вып. 19.-С. 42-44.
2. Blach A., Bogacki SI. Example of the lecture about covers of buildings with Catalan’s surfaces// The IO11' Interna-
tional Conference on Geometry and Graphics: Proc., Vol. 1. - Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Kyiv, 2002. -
P.202-205 (библ.: 3 назв.).
3. Вагнер В.В. К вопросу об определении инвариантной характеристики поверхностей Лиувилля// Труды семи-
нара по вект. и тенз. анализу. - М., 1941. - Вып. V. - С.246-249.
4. George К. Francis. A Topological Picturebook. - New York Berlin: Springer-Verlag, 1987-1988. - 240 p.
5. Hunt B. The Geometry of Some Special Arithmetic Quotients. - New York: Springer-Verlag, 1996.
6. Tolke Jurgen. Orthogonale Doppelverhiiltnisscharen auf Regelflachen// Sitzungsber. Osterr. Akad. Wiss. Math.-
naturwiss. KI. - 1975. - Abt. 2, 184, № 1-4. - S. 99-115.
7. Edge W. L. Non-singular mogels of specialized Weddle surfaces// Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1976. - 80, №
3.-P. 399-418.
8
ВЫБОРКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
ВЫБОРКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этом разделе даются определения плоских и пространственных кривых, приводятся фор-
мулы из дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей, которые не-
обходимо знать для понимания основного текста справочника или которые будут в дальнейшем
использоваться.
Способы задания кривой
Жордан дал следующее определение: кривой в пространстве называется множество точек
пространства, координаты которых х, у, z являются непрерывными функциями
х = x(t), у = y(t), z = z(r)
от некоторого параметра t, изменяющегося на отрезке [а, Ь\ числовой оси.
1) Параметрические уравнения кривой: х = x(t), у'= y(f), z = z(0> где f ~ переменный пара-
метр.
2) Векторное уравнение кривой: г = r(t) = (x(t), y{t), z(t)} = x(t)i + y(ttf + z(t)k.
Если кривая взаимно однозначно проектируется на некоторый отрезок координатной оси х,
то для кривой можно указать особенно простое задание: г = r(x) = {х, у(х), z(x)).
3) Кривая определяется своими кривизной к(з) и кручением к(з) однозначно с точностью до
ее движения в пространстве, поэтому возможно задание кривой с помощью двух уравнений
к = k(s) и к = k(s),
которые носят название натуральных уравнений кривой. Это задание не зависит от выбора осей
координат. Если заданы натуральные уравнения, то нахождение кривой состоит в интегрирова-
нии уравнений Френе.
4) Задание плоской кривой в полярных координатах: г = r((p) = r(^)cos<p i + r(#>)sinp j.
Полярная система координат на плоскости задается точкой О (полюс) и направленной прямой
Ох (полярная ось); <р - полярный угол; г(<р) - полярный радиус.
5) Линия пересечения двух поверхностей = 0 и F2>(x,y,z) = 0 представляет собой
кривую, точки которой удовлетворяют каждому из двух уравнений. Линия пересечения может
иметь более одной ветви.
Обыкновенные и особые точки плоской кривой
Если в данной точке Мо(хо,уо) плоской кривой F(x,y) = 0 значения частных производных
F,(xu,yo), Fy(xo,yo) не обращаются в нуль одновременно, то точка Мо(хо,уо) - обыкновенная. Сле-
Точка возврата Точка возврата
второго рода первого рода
Рис. 1
под своей касательной.
довательно, особыми точками могут быть только те точки кривой
F(x,y) = 0, в которых Fx(xo,yo) = Fs(xo,yo) = 0, то есть обе частные про-
изводные обращаются в нуль одновременно. На рис. 1 показаны два
примера двойных особых точек плоской кривой.
Вблизи обыкновенной точки кривая может быть представлена
уравнением у = у(х).
В точке распрямления Мо, где у% = у/7(хо) = 0, кривая неотличима
от своей касательной с точностью по крайней мере 2-го порядка.
Точка Мо называется точкой перегиба, если в одну сторону от точки
Мо кривая расположена над своей касательной, а в другую сторону -
Встречаются случаи, когда в достаточно малой окрестности точки Мо(хо,уо) вообще нет то-
чек кривой, кроме самой точки A/о, тогда эта точка называется изолированной точкой кривой.
9
ВЫБОРКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Асимптоты плоской кривой
Асимптотой кривой х = x(t), у = y(t) называется такая прямая, что расстояние от точки М
на кривой до .этой прямой стремится к нулю при движении точки М по кривой в бесконечность.
В случае существования асимптоты, не параллельной оси Оу, ее угловой коэффициент к есть
предел отношения y(t)/x(f). Если асимптота параллельна оси Оу, то уравнение асимптоты имеет
вид х - а = 0, где а = const. Параметр а находится как предел x(t) при t Т.
Обыкновенные и особые точки пространственных кривой
Если в данной точке t = to производные/(to), /(to), /(?о) не обращаются в нуль все одновре-
менно, то точка t = to - обыкновенная.
Если на кривой г = r(t) - x(f)i + y(t)/ + z(i)k имеются точки, где г" || г1, то эти точки будут
точками распрямления, где касание кривой с ее касательной будет по крайней мере 2-го поряд-
ка.
Касательная, главная нормаль и бинормаль кривой
Касательную в данной точке кривой M(t) можно рассматривать как прямую, проходящую
через эту точку y(r), ,z(t)] по направлению вектора /(t) = /(t)i + /(t)/ + z!(f)k, поэтому ра-
диус-вектор точки на касательной прямой имеет вид:
г(Л) - r(t0) + A/fro).
Уравнение касательной прямой к пространственной кривой можно записать также в форме:
X-x(t) _E-y(t)_Z-z(t)
/(t) yz(t)' z(t)
где X, Y,Z- текущие координаты.
Бинормаль кривой направлена по вектору [/, г"].
Главная нормаль кривой задается вектором [/, [/, /]] =г(у1, г")
Длина дуги кривой
Длина ломаной линии, вписанной в кривую r(t), стремится при бесконечном измельчении
разбиения к пределу
ь
S = j|r/(t)|<it.
(I
Этот предел называется длиной кривой. Выражение для вычисления длины кривой можно пред-
ставить в виде
ь ________________________________________________________
s = s(t) = ^x,2(t) + y/2(t) + z'2(t)dt.
a
Кривизна и кручение кривой
Дважды дифференцируемая кривая г - r(s) имеет в каждой точке кривизну к, которая вы-
числяется по формуле: Л = |г//ф)|.
Если кривая задана в произвольной параметризации г = r(t), тогда ее кривизна к находится
по формуле
10
ВЫБОРКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Кривизна к и радиус кривизны R кривой - величины взаимно обратные, то есть к = —.
Трижды дифференцируемая кривая г = r(s) в каждой точке с отличной от нуля кривизной к
имеет кручение к, вычисляемое по формуле
(r\s),r" (s),rm (s))
При произвольной параметризации кривой г = r(t) ее кручение к вычисляется по формуле
(г; (г),г/; (0,г;// (ф)
: У Z
"у" z"
JU JU JU
(y'z" -z'y")2 + (z7 -x'z")2 + (x'y" -y'x")2'
Кривизна кривой, заданной в полярных координатах rjp\
\г 2
dr \ dr
--- ~ г---7
d<p) d(p
Формулы Френе
Пусть кривая г = r(s) отнесена к параметру s (длина дуги кривой), тогда единичные векторы
сопровождающего трехгранника (рис. 2) также будут однозначно определенными функциями у:
t = t(s), п - n(s), b = b(s).'
Аналитическое содержание формул Френе заключается в разложении производных от век-
торов /, п, b по дуге s по самим этим векторам:
dt , db dn . ,
— = kn, — = -т, — = Kb-kt.
ds ds ds
Спрямляющая, нормальная и соприкасающаяся плоскости к кривой (рис. 2)
В данной точке кривой будет бесчисленной множество нормалей. Все они перпендикуляр-
ны к касательной в этой же точке и лежат в нормальной плоскости кривой
Рис. 2
х1 (г)[Х - х(г)] + у‘(г)[Г - у(?)] + z! (?) [Z - z(r)] = 0.
Соприкасающаяся плоскость к кривой проходит через век-
торы /(?) и ^(t). Для плоской кривой соприкасающаяся плос-
кость совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая. Урав-
нение соприкасающейся плоскости можно представить в виде
смешанного произведения трех векторов:
(7f-r(r0),r/(f0),r//(f0)) =
X-x(r0) x'(t0)
К-Ж) У(г0)
У У)
у 4t0)
= 0.
Z-z(r0) zz(f0)
Соприкасающаяся плоскость кривой, проходящая через точку М, имеет наивысший возможный
порядок касания с кривой в этой точке М. Плоскость, имеющая с кривой в данной ее точке М
касание 2-го порядка, называется соприкасающейся плоскостью. Кривая в каждой своей точке
имеет только одну и только одну соприкасающуюся плоскость.
11
ВЫБОРКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Касание 1-го порядка с данной кривой в данной точке М имеют те плоскости, которые про-
ходят через касательную в точке М. Такие плоскости называются касательными к кривой.
Пусть пространственная кривая задана как линия пересечения двух поверхностей ^(x,y,z)
= 0 и 1^\х,у,г) = 0. Тогда уравнение нормальной плоскости к кривой пересечения двух поверх-
ностей будет .
X х0 Y у0 Z Zq
F<2)
Уравнение касательной прямой к линии пересечения двух поверхностей:
X *0
/А1’ /А»
/А2> рт
Y~y0
р^>
рт рт
% го
рв) pW
pm pm
Цилиндрическая винтовая линия
Линиями одинакового ската называют пространственные кривые, у которых все касатель-
ные составляют одинаковые углы с определенной плоскостью. Касательными торсами этих
кривых являются торсовые поверхности одинакового ската.
Цилиндрическая винтовая линия одинакового ската (гелиса) расположена на цилиндре и
может быть задана векторным уравнением:
г = r(t) = acosti + asintj + btk,
где a - радиус кругового цилиндра; L = 2лЬ - шаг винтовой линии.
Уравнение касательной к цилиндрической винтовой линии:
г = г(и) = {acosf- nosinf; nsinf + wacosz; b(t + w)}.
Уравнение нормальной плоскости: oxsinr - aycost - bz + b~t = 0.
Уравнение бинормали цилиндрической винтовой линии:
г -r(u) = {acosr + wbsinz; nsinz- ubcosf, bt + au}.
Уравнение соприкасающейся плоскости: bxsint - bycost + az- abt = 0.
Уравнение главной нормали цилиндрической винтовой линии:
г = г(и) = {(а + и)со8Ц (а + u)sinr; bt}.
Уравнение спрямляющей плоскости: tcosz + ysin/ + bz - (а + b2t) = 0.
Конические винтовые линии
Конические винтовые линии располагаются на круговом конусе. Наиболее известны кони-
ческие винтовые линии с постоянным шагом и конические винтовые линии одинакового ската.
Шагом конической винтовой линии называют величину прямолинейного перемещения точ-
ки в направлении оси конуса при полном ее обороте вокруг оси.
Коническая винтовая линия с постоянным шагом проецируется на плоскость, перпендику-
лярную к оси конуса, в виде спирали Архимеда, полюсом которой является проекция вершины
кругового конуса. Спираль Архимеда в полярных координатах задается уравнением р = с<\(р + щ,
где со и ci - постоянные.
Коническая винтовая линия одинакового ската х = acostp ek,p, у = nsin^ ekv, z = bekv имеет
горизонтальную проекцию в виде логарифмической спирали с полюсом в точке, совпадающей с
горизонтальной проекцией вершины конуса вращения. Логарифмическая спираль пересекает
все лучи, выходящие из полюса, под постоянным углом <ро, причем sincpo = I/(A2 + l]l/z.
12
ВЫБОРКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Линии на сфере
Касательные к сферической линии одинакового ската имеют постоянный угол наклона к
плоскости, перпендикулярной к оси сферической линии одинакового ската.
Сферическая локсодромия - кривая, пересекающая все меридиа-
ны сферы под одним и тем же углом.
Для сферической кривой должно выполняться условие
к d ( 1 d f 1 Vi „
— + —--------- =0.
k ds\K ds \ k ))
Пусть Г - замкнутая кривая длиной L, лежащая в шаре радиуса R
(рис. 3), тогда будет существовать следующее неравенство
/ \2"
Рис. 3
Уравнения некоторых плоских кривых, используемых в справочнике
Парабола Нейля (полукубическая парабола): у = ах.
локон Аньези: х2у = 4а2(2а - у);
2/3 2/3 2/3
астроида: х +у = а ;
цепная линия: у = ach(x/a);
спираль Архимеда: р = а/р;
параболическая спираль: р~ = 2р<р;
логарифмическая спираль: р = aebv',
циклоида: х = at - bsmt, у = a- bcost;
трактриса: х = a[cosr + lntg(t/2)], у = asinr;
эллипс: х = асози, у = A>sin«;
гиперболическая спираль: р - а/<р\
эвольвента окружности: х = a(cost + rsinf), у = «(sin/* - tcosf).
Касательная плоскость к поверхности
Пусть поверхность задана неявным уравнением вида F(x,y,z) = 0. В этом случае уравнение
касательной плоскости к поверхности будет иметь вид:
Fx(х, у, z)(X - х) + Fy (х, у, г)(У - у) + F: (х, у, z)(Z- г) = 0,
где X, Y,Z- текущие координаты. Обозначая через X, Y, Z текущие координаты для касательной
плоскости к поверхности г = r(u,v), можно записать уравнение этой плоскости в виде:
X-xY-yZ-z
Нормаль к поверхности
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке каса-
ния. Уравнение нормали легко составить как уравнение прямой, проходящей через данную точ-
ку M(x,y,z) в заданном направлении:
Х—х _ У —у _ Z-z
Fx(x,y,z) Fy(x,y,z) F,(x,y,z)'
где X, Y,Z- текущие координаты.
Пусть поверхность задана своим радиус-вектором г — r(u,v), тогда векторное произведение
J к
У и
У. zv
13
ВЫБОРКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
указывает направление нормали к поверхности в данной точке, а единичный вектор нормали т
к поверхности определяется по формуле:
^EG-F2
Формулы для вычисления коэффициентов основных квадратичных форм поверхности
Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности г = r(u, v):
F = А2 = г„г„ = х2 + у2 + z2, F = г,Л = xuxv + уvу„ + zrzv, G = В2 = = х2 + у2 + z2.
Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности г = г(и, у):
(ГуТЛ) = 1
К xrJ 7а252 -F2
Лу Zvv
У„
yv zv
Шесть коэффициентов основных квадратичных форм поверхности подчинены двум урав-
нениям Петерсона - Кодацци
—= Г1,2Г-[г’1-Г'2]м+Г'^; —= Г’2#4г“-Г;2]м-Г“Л;
dv ди ди dv
где Г/* - символы Кристоффеля, и уравнению Гаусса
LN-M2
А2В2 sin2 /
д2^ д
—— + —
ABsin^f диду ди
-1
дВ дА
-----— cos^
ди ду_____
Asm/
+ —
dv
дА дВ
-------cos %
dv ди--
Bsin/
Длины кривых и углы между кривыми на поверхности
Первая квадратичная форма поверхности позволяет определять длины кривых на поверхно-
сти. Пусть задан отрезок какой-нибудь кривой и = u(f), v = v(7), < t < t2 на поверхности. Тогда
точная длина этого отрезка определяется по формуле:
X duX xdu dv XdvX ,
s- L E(u,v) — + 2F(w,v)--------fG(u,v) — dt.
• у \dt) dt dt \dtJ
Углы между произвольными кривыми на поверхности можно найти по формуле:
. . _. Edudu +F(dudv + dvdu) + Gdvdv
cos( dr, <r) = - - --->_ .
dEdu2 + 2Fdudv + Gdv2 4Edu2 + 2Fdudv + Gdv2
Если ищется угол / между криволинейными координатными линиями и, v то используется
формула:
F F
cosz = ±-_~ =±-----.
4eg АВ
Длина криволинейной координатной линии и, принадлежащей поверхности г = r(u,v)-.
14
ВЫБОРКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
su = fAdu.
"i
Длина криволинейной координатной линии у, принадлежащей поверхности г = г(и,У):
sv = ^Bdv.
Площадь поверхности
Для вычисления площади всей поверхности или ее фрагмента применяется формула:
5'= tfjEG-F2dudv=: jpA2#2 -F2dudv.
D О
Кривизны линий на поверхности и кривизны поверхности
Кривизна нормального сечения поверхности в точке М:
к _ Ldu~ + 2Mdudv + Ndv2
Edu2 +2 Fdudv-Gdv2
Если известны главные кривизны к[, кг поверхности, то для определения нормальной кри-
визны к„, в произвольном направлении применяют формулу Эйлера:
кт = /с |Соч2Д + fc2sm2f.
Кривизны криволинейных координатных линий и, v на поверхности г = r(u,v):
, L L , N N
к = — = к = — = —г-
“ Е A2 G В2
„ „ , , LN-Мг LN-M2
Гауссова (полная) кривизна поверхности: К - кф2 =
Знак гауссовой кривизны определяется выражением LN - М2. Гауссова кривизна положи-
тельна в эллиптических точках, отрицательна в гиперболических точках и равна нулю в пара-
болических точках и точках уплощения.
„ Е+к, ILB2-2MF + NA2
Средняя кривизна поверхности: Н = —!-- =-------— --.
2 2 А В — F
Главные кривизны к\, кг поверхности есть корни квадратичного уравнения:
L-кА2 М-kF
= 0.
М-kF N-кВ2
Дифференциальное уравнение линий кривизны поверхности:
dv2 - dudv du2
Е F G = 0
L М N
Дополнительная литература
1. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. - М.: «Наука», 1987. - 160 с. (библ.: 60
назв.).
2. Feldman Е.А. Deformations of closed space curves// J. Diff. Geom. - 1968. - Vol. 2. - P. 67-75.
3. Weiner J. Global properties of spherical curves// J. Diff. Geom. - 1977. - Vol. 12. - P. 425-434.
4. Archibald R.C. Notes on the logarithmic spiral, golden section and the Fibonacci series// Dynamic Symmetry. - Jay
Hambidge, Yale University Press, New Haven. - 1920.-N 16-18.-P. 146-157 (библ.: 101 назв.).
5. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - Изд. 4-е. - М.: Изд-во УРСС, 2003. - 432 с.
15
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Поверхность, описанная непрерывным движением прямой линии, называется линейчатой.
Поверхность называется элементарной линейчатой поверхностью, если через каждую точку Р
этой поверхности проходит прямая, которая имеет с поверхностью общий отрезок, содержащий
точку Р, причем концы этого отрезка могут не принадлежат поверхности. Прямые, принадле-
жащие линейчатой поверхности, называются прямолинейными образующими. Кривая, пересе-
кающая все прямолинейные образующие поверхности, называется направляющей кривой.
Векторное уравнение линейчатой поверхности, можно представить в форме:
г = r(u,v) = а(у) + ub(v),
где а(у) - радиус-вектор направляющей кривой, b(v) - направляющий вектор прямолинейной
образующей. Для поверхностей Каталана справедливы условия Z?"(v) 0 и (Ь, Ь', Ь") = 0(см.
«Поверхности»). Линейчатая поверхность не может быть поверхностью положительной гауссо-
вой кривизны. Гауссова кривизна линейчатой поверхности отрицательна или равна нулю. Ли-
нейчатые поверхности, за исключением плоскости и прямого геликоида, не могут иметь посто-
янную среднюю кривизну. Прямолинейные образующие являются асимптотическими линиями.
Если все точки линейчатой поверхности - параболические, то прямолинейные образующие яв-
ляются линиями кривизны. Следовательно, неторсовая образующая никогда не будет линией
кривизны линейчатой поверхности. Если нетривиальное изгибание некоторой поверхности F\ в
поверхность Fl является параболическим, то поверхности Fi и Fi - линейчатые.
Линейчатые поверхности нулевой гауссовой кривизны (развертывающиеся поверхности)
1. Торсовые поверхности (торсы) - поверхности касательных к своему ребру возврата.
2. Цилиндрические поверхности.
3. Конические поверхности.
4. Плоскость является единственной минимальной развертывающейся поверхностью.
Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны
1. Косые линейчатые поверхности второго порядка:
-Гиперболические параболоиды (дважды линейчатые поверхности).
- Однополостные гиперболоиды (дважды линейчатые поверхности).
- Однополостные гиперболоиды вращения (дважды линейчатые поверхности).
2. Косые линейчатые поверхности выше второго порядка и неалгебраические косые линей-
чатые поверхности, в том числе:
- Коноиды (линейчатые.поверхности из семейства поверхностей Каталана).
- Косые и прямые геликоиды. Прямые геликоиды - единственная линейчатая поверхность
из семейства минимальных поверхностей.
- Цилиндроиды (линейчатые поверхности из семейства поверхностей Каталана)
- Поверхности косого перехода.
- Поверхности косого клина.
- Поверхности дважды косого коноида.
- Поверхности косого цилиндра и поверхности дважды косого цилиндроида.
Единственными линейчатыми поверхностями вращения являются однополостный гипербо-
лоид вращения, прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус. Последние две поверхно-
сти - единственные развертывающиеся поверхности вращения. Геодезическая ортогональная
система координат может быть установлена только на развертывающихся поверхностях.
Дополнительная литература
1. Рекач В.Г. Основная библиография по строительной механике. - М.: УДН, 1968 - 304 с.
2. Рекач В.Г'., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176 с.
3. Подгорный А.Л., Обухова В.С. Формообразование оболочек из отсеков косых и торсовых поверхностей
высших порядков// Shells in Architecture and Strength Analysis of Thin-Walled Civil-Engineering and Machine-Building
Constructions of Complex Forms. - Москва, 4-8 июня 2001 г. - M.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 324-329 (библ.: 8 назв.).
16
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
(РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ)
Приведем без доказательств общеизвестные теоремы, относящиеся к вопросам геометрии
линейчатых поверхностей нулевой гауссовой кривизны.
Всякая развертывающаяся поверхность есть либо цилиндрическая, либо коническая, либо
поверхность касательных произвольной кривой. Поверхности главных нормалей и поверхно-
сти бинормалей ни для какой неплоской линии не могут быть развертывающимися. Поверх-
ность бинормалей кривой представляет собой поверхность нулевой гауссовой кривизны только
в случае, когда кривая - плоская. Линейчатая поверхность в этом случае будет цилиндрической.
Поверхность касательных плоской кривой - плоскость. Для заданной пространственной замк-
нутой кривой существуют только две поверхности нулевой гауссовой кривизны, опирающиеся
на нее, и такие, что каждая их образующая пересекается с данной кривой в двух точках. Из всех
развертывающихся поверхностей только плоскость представляет собой минимальную поверх-
ность. Если поверхность образована непрерывным семейством линий, вдоль каждой из кото-
рых касательная плоскость остается неизменной, то эта поверхность является либо цилиндри-
ческой, либо конической, либо поверхностью касательных, а каждая из упомянутых линий есть
прямолинейная образующая. Если две развертывающиеся поверхности касаются друг друга
вдоль некоторой линии, то эта линия представляет собой общую образующую.
Развертки развертывающихся поверхностей общего вида (торсов) отличаются от цилиндров
и конусов тем, что их прямолинейные образующие не пересекаются в одной точке, как в раз-
вертке конуса, и не параллельны, как в развертке цилиндра. Для того, чтобы изгибание развер-
тывающейся поверхности было параболическим, необходимо и достаточно, чтобы оно было
изгибанием с сохранением образующих.
При изгибании развертывающейся поверхности на плоскость все ее геодезические линии
становятся прямыми. На каждой развертывающейся поверхности через любую ее точку в лю-
бом направлении можно провести геодезическую линию. Никакая другая поверхность, кроме
линейчатых поверхностей нулевой гауссовой кривизны, не допускает такого изгибания, при ко-
тором все асимптотические линии переходят в асимптотические.
' Нормали к поверхности вдоль линии кривизны и только вдоль линии кривизны образуют
развертывающуюся поверхность, ребро возврата при этом описывает соответствующий центр
кривизны. Если задана прямая и пересекающая ее ортогональная кривая а, то существует един-
ственная поверхность Ф с параболическими точками, содержащая эти линии, для которых они
являются линиями кривизны. Если все образующие развертывающейся поверхности Ф норма-
лей линии а повернуть в соответствующих нормальных плоскостях на постоянный угол, то но-
вая поверхность также будет развертывающейся.
Если плоскость и развертывающаяся поверхность соприкасаются по прямой, то для того,
чтобы это касание имело второй порядок гладкости, необходимо и достаточно, чтобы эта обра-
зующая прямая состояла из омбилических плоскостных точек. Это возможно лишь на особых
образующих, состоящих из точек уплощения, которые характеризуются тем, что в них кривизна
нормальных сечений равна нулю во всех направлениях. Если на развертывающейся поверхно-
сти в какой-то точке одно из нормальных сечений, не совпадающих с главным направлением,
имеет особую точку с кривизной, равной нулю, то и все нормальные сечения в этой точке име-
ют кривизну, равную нулю.
Дополнительная литература
1. Утшиев Е.Г. Обвод развертывающихся поверхностей// Таганрог: Таганрог, радиотехн. институт, 1983. - 15с.
- Деп. в ВИНИТИ 23.02.1983, № 971-83Деп.
2. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с. (библ.:
275 назв.).
17
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ (ТОРСЫ)
Торсовые поверхности являются линейчатыми развертывающимися поверхностями, то есть
они могут быть развернуты на плоскость всеми своими точками без разрывов и складок. Для
того, чтобы поверхность была развертывающейся, необходимо и достаточно, чтобы у нее гаус-
сова кривизна всюду была равна нулю (К = 0).
Поверхность, образованная однопараметрическим семейством плоскостей, является развер-
тывающейся поверхностью. Вдоль прямолинейных образующих касательная плоскость к тор-
совой поверхности не меняется.
Невырожденные торсовые поверхности образовываются касательными к своему ребру воз-
врата. Поверхность касательных называют касательным торсом. Любую пространственную
кривую можно принять за ребро возврата, касательные к которому будут образовывать торсо-
вую поверхность. Торсовую поверхность удобно задавать в векторной форме:
г = г( и, v) = а( v) + ul( v),
где а(у) - текущий радиус-вектор ребра возврата, Z(v) - единичный касательный вектор, задан-
ный в каждой точке ребра возврата. Координатные линии и совпадают с прямолинейными об-
разующими.
Г. Монж в 1805 г. установил, что можно построить по крайней мере одну развертываю-
щуюся поверхность движением прямой линии по двум произвольным кривым. Используя это
положение, можно вывести уравнение однопараметрического семейства касательных плоско-
стей М(х, у, z, г) = 0, а затем и уравнение торса в неявном виде или уравнение ребра возврата:
a(v) = xi + yj+ zk = x(v)i + y(v)/ + z(y)k.
Если есть параметрические уравнения ребра возврата, то коэффициенты основных квадра-
тичных форм можно вычислить по формулам:
А = 1; F = ^x'2+y'2 +z'2, В2 = F2 + u2[f2(x"2 + у"2 + z"2)- (х'х" + у у" + z'z")2]/ F4,
L= М =0, N = и2
x'"y"'z"'
x'y'z'
х" у" z"
или В2 = F2(l + u2k2),N = uF2kK,
где к - кривизна, а к - кручение ребра возврата исследуемой торсовой поверхности.
Если ребро возврата задано как функция элемента его дуги s, то для коэффициентов квад-
ратичных форм получаем:
А2 = 1; F= 1; В2 = 1 + u2k2; L = M = 0; N = икк.
У конуса ребро возврата вырождается в точку - вершину конуса, а у цилиндрической по-
верхности эта точка удаляется на бесконечность.
Уравнение торса можно получить, не определяя предварительно уравнений ребра возврата.
Если задана пара направляющих кривых г\ = гДи) иг2 = г2(т) относительно общего полюса О, то
вычислив зависимость v = v(u), уравнение торса можно представить в виде:
г(и, Я) = п(и) + Я[г2(г) - Г1(и)] = r\(u) + Хт(и),
где 0 < Я < 1, причем угол между координатными линиями и, Я не зависит от параметра Я.
Торсовую поверхность одинакового ската можно запроектировать как огибающую однопа-
раметрического семейства конусов вращения. Известен способ конструирования торсов, опи-
рающихся на пространственные замкнутые кривые.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с. (библ.:
275 назв.).
2. Кривошапко С.Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек: Реферат, информация. - Изд-во АСВ, 1995. -
273 с. (библ.: 333 назв.)
18
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ТОРСОВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
\. Кривошапко С.Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек: Реферативная информация, - М.: Изд-во АСВ,
1995 273 с. (библ.: 333 назв.).
2. Абдельсалям М.А. К вопросу о построении разверток с линиями сечения торса-геликоида однопараметриче-
ским семейством плоскостей// Расчет и проектир. гражд., пром, и гидротехн. сооружений: Межвуз. сб. трудов. -
М.; МБК «Биоконтроль», 1994. - Вып. 3. - С. 11-15 (библ.: 1 назв.).
3. Александров А.В., Косш/ын С.Б., Косицын А.С. Нетрадиционные модели конечных элементов высоких по-
рядков// Теоретические основы строительства. - Warszawa 2.07.96 - 5.07.96. - М.: Изд-во АСВ, 1996. - С.26-30.
4. Бабенко В.И. Устойчивость трехслойных развертывающихся оболочек// Докл. АН УССР, 1986, А, № 11. -
С..19-22.
5. Бескопыльная С.В. Прикладные вопросы моделирования торсовых поверхностей одинакового ската. - Авто-
реф. дис. канд. техн. наук. - Н. Новгород: НГАСА, 1996. - 18 с.
6. Ванин В.В. О построении тангенциальных полос эвольвентной поверхности по характеристикам ее линий
кривизны. - Нац. техн, ун-т Украины «Киевский политехи, ин-т», Киев, 1995. - 10 с. - Библ.: 2 назв. - Деп. в ГНТБ
Украины 20.06.95.-№ 1592-Ук95.
7. Амиров М. Графо - аналитический способ развертки торса// Волпросы геометрии: Сб. научных трудов. -
Самарканд: СГУ, 1979. - С. 31-38 (библ.: 5 назв.).
8. Замятин А.В. Прикладные аспекты кинематики поверхностей 2-го порядка. - Автореф. дис. канд. техн. наук.
- Н. Новгород: НГАСА, 1996. - 23 с.
9. Кашина И.В., Замятин А.В. Торсы, получаемые в результате качения сферы по скрещивающимся прямым. -
Рост. гос. строит, ун-т. - Ростов н/Д. - 1999. - 25с. - Библ.: 7 назв. - Деп. в ВИНИТИ 31.05.99. - № 1723-В99.
10. Кривошапко С.Н. Применение полуаналитического метода малого параметра для расчета тонкой оболочки
в форме длинного торса-геликоида// Математические методы решения инженерных задач. - М.: МО РФ, 1998. -
С.61-67 (библ.: 5 назв.).
11. Кривошапко С.Н., Крутов А.В. Ребра возврата, линии раздела и самопересечения некоторых технологиче-
ских поверхностей откоса// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Инженерные исследова-
ния». - 2001. ~№ 1. - С. 98-104 (библ.: 5 назв.).
12. Кривошапко С.Н. Результаты расчета пологого торса-геликоида на действие квазисимметричной распреде-
ленной нагрузки// Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строит,
конструкций. - М.: МГСУ, 2001. - С. 53-56 (библ.: 2 назв.).
13. Кривошапко С.Н. Исследование торсовых оболочек, получаемых изгибанием тонких плоских заготовок//
Монтажные и специальные работы в строительстве. -2003. -№ 9. - С. 22-24 (библ.: 2 назв.).
14. Кривошапко С.Н., Халаби С.М. Четыре типа винтовых линейчатых поверхностей для проектирования пан-
дусов автомобильных стоянок// Вторая конференция Минатома России «Методы и программное обеспечение рас-
четов на прочность»: Сб. докл,- г. Геленджик, 30 сент.-5 окт.2002 г,- М.: Изд-во ГУП НИКИЭТ, 2003. - С.325-334.
15. Кривошапко С.Н. Применение асимптотического метода малого параметра для аналитического расчета
тонких упругих торсов-геликоидов// Пространственные конструкции зданий и сооружений: Сб. статей МОО «Про-
странственные конструкции». - Вып. 9. - Москва: ООО «Девятка Принт», 2004. - С. 36-44 (библ.: 3 назв.).
16. Мартиросов А.Л., Рачковская Г.С., Баринов В.В, Обобщенная задача качения конуса по торсам. - Ростов,
инж.-строит. ин-т. - Ростов. н/Д, 1991. - Деп. в ВИНИТИ 08.05.1991, № 1878-В91.
17. Мартиросов А.Л., Замятин А.В., Титомиров Н.Н. Применение торсовых поверхностей в архитектурно-
строительном проектировании. - Ростов, инж.-строит. ин-т. - Ростов. н/Д, 1994. - Деп. в ВИНИТИ 24.11.94, №
2715-В94.
18. Euler Leonard. Novi commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1771. - P. 3-34.
19. Kienzle Otto. Erzeugurig raurn licher Blechgebilde mittels Flachenbiegung// Ber. Inst. Umfortechn. Univ. Stuttgart,
1970, № 17-18.-S. 9-95, S. 97-175.
20. Krivoshapko S.N. Static analysis of shells with developable middle surfaces// Applied Mechanics Reviews (USA).
- Vol.51. - No 12, Part 1. - December 1998. - PP. 731-746 (97 ref.).
21. Krivoshapko S.N. Geometry of developable surfaces with cuspidal edge// Proceedings of the 10th Internationa.'!
Conference on Geometry and Graphic (1SGG, JSGS). - Vol. 2. - Ukraine, Kiev, 2002, July 28 - August 2. - P. 29-35.
22. Tenca Luigi. Sulla risoluzione pratica di problemi geometrici sulle super fici rigate sviluppabili// Archimede, 1957,
9, № 2. - P. 62-66.
23. Wunderlich W. Uber ein abwickelbares Mobiusband// Monatsh. Math., 1962, 66, № 3. - S. 276-289.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Торсовые поверхности
(торсы)».
19
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ (ЭВОЛЬВЕНТНЫЙ) ГЕЛИКОИД
Рис. 1
Развертывающимся геликоидом (торсом-геликоидом) назы-
вается торсовая поверхность, образованная касательными к
винтовой линии постоянного шага на круговом цилиндре ра-
диусом а. Разверткой торса-геликоида на плоскость будет
кольцевая область, ограниченная соосными окружностями.
Формы задания поверхности торса-геликоида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и, v) = a cos v — аи sin v / т,
у = у(и, v) = a sin v + аи cos v I т,
z = z(u,v) = bv + bu / т, где m = ya2 + b2,
b - шаг винтовой линии и = 0 (ребра возврата), v - угол, отсчитываемый от оси Ох.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1, F = т, В2 = т2 + и2а2 / т2, N = uab / т2, L = М = 0, ku = к, =0, kv = N / В2, к2 = Ы (аи).
Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими геликоида, а линии v
представляют собой соосные винтовые линии. Применена сопряженная, но неортогональная
система криволинейных координат.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
s аи s s аи s b
х = x(u,s) = acos----sin—, у = y(u,s) = asin—(-—cos—, z = z(u,s) = (s + u) —,
m m m m m m m
где .v - длина дуги винтового ребра возврата, 5 = mv.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = F = l, В2 =1 + и2а2 /т\ N=abu!mi, L=M = 0, ku=kt=O, ks = N / В2, k2=b/(au).
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = acosv - ucosg sinv, у = y(u,v) = asinv + wcos^cosv, z = z(u,v) = avtg<p+ using),
где <p - угол наклона прямолинейных образующих геликоида к плоскости хОу, причем tg</> = b/a.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = 1, F - a /cos/л В2 = F2+ u2cos2<p, В2 -F2 = u2cos2q>, L = М = 0, N = usintpcostp.
4) Параметрическая форма задания
х = x(u,s) = ап cos2 «(cos— — —sin—), у = y(u,s) = a„ cos2 «(sin—+ —cos—), z(u,s) = (s + u)sing>,
m m m m m m
где m = aocos <p, a = a0cos2 (p, b = a0sin<pcos<p, где a0- радиус развертки винтового ребра воз-
врата торса-геликоида на плоскость.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = F = 1, В2 = 1 + и2 /«д = (а„ + и2)/а„, N = utgcp/ а2й, L= М = 0.
Поверхность торса-геликоида, ограниченную двумя соосными винтовыми координатными
линиями ui и «г называют винтом Архимеда или винтовым торсом. В сечении торса-геликоида
плоскостью, перпендикулярной к его оси, получается эвольвента окружности.
Дополнительная литература
I. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДИ, 1991. - 287 с.
2. Krivoshapko S.N. Stress-strain analysis of thin elastic open helicoidal shells// Shells in Architecture and Strength
Analysis of Thin-Walled Civil- Engineering and Machine-Building Constructions of Complex Forms: Proc. Int. Conf., June
4-8,2001, Moscow, Russia. - Moscow: RPFU, 2001. - P. 193-200 (библ.: Юназв.).
20
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
РЕЗНАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ МОНЖА
С КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Резная линейчатая поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью
описывается прямой линией, принадлежащей плоскости Р, при наматывании без скольжения
плоскости Р на направляющий круговой цилиндр радиусом г (рис. 1). Плоскость Р в любом
произвольном положении касается кругового цилиндра. Полученная поверхность будет по-
верхностью нулевой гауссовой кривизны. Она представляет собой часть поверхности разверты-
вающегося геликоида, ограниченную линиями кривизны. Семейство прямых линий называют
меридианами, а ортогональные траектории точек образующей прямой - параллелями. Меридиа-
ны и параллели являются линиями кривизны. В ряде работ эта поверхность встречается под на-
званием цилиндрическая линейчатая ротативная улитка.
Формы задания резной линейчатой поверхности Монжа
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и, v) = rcosw - rsinw, у = y(u,v) = rsinw + tcosu, z = z(v) = v.
где и - угол между осью х и нормалью к плоскости Р, отсчитываемый в направлении против
часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z; t, v - прямо-
угольные координаты произвольной точки образующей прямой (t = cv + b - ги), ось v совпадает
с линией касания цилиндра и плоскости Р.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = cv + b-ru, F=0, В2 = 1+с2, Ь = АЛВ, М = N = 0, ku = ki = 1/(АВ), kv = k2 = 0.
Параметрические уравнения ребра возврата рассматриваемой торсовой поверхности имеют
вид: х = х(и) = гсози; у = у(и) = rsinw; z = z(u) = (ru - b)lc, которые есть уравнения винтовой
линии на круговом образующем цилиндре радиуса г.
2) Уравнение резной поверхности в обобщенных цилиндрических координатах г, и, t:
v = (t- b + ги)/с, которое равноценно параметрическим уравнениям
х = x(u,f) = rcosM - fsinw, у = y(u,f) = rsinw + tcosu, z = z(u,f) = v.
3) Векторная форма задания (рис. 3): r(a,p) - ае + («0 - а + /3cos0)g + /?sin0fc, где е, g -
векторные круговые функции; р = ае + (а0 - a)g - уравнение параллели, которая представляет
собой эвольвенту окружности радиусом г = а; а - натуральный параметр, /7 = |Л|, & - угол ме-
жду векторами g и Л; Л = ficos&g + p-smQk - уравнение меридиана в произвольном положении.
Криволинейная координата а совпадает с параллелями поверхности, а /j-линии - ее прямоли-
нейные образующие.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = («0 - а + /?cos0)/« = С„ + Ci« + Сг/?; В = 1, L = -Asin0/a, F = M = N=Q,k\= sin0/(«A), k2 = 0.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
21
Рис. 1 Рис. 2
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ КОНИЧЕСКИЙ ГЕЛИКОИД
Развертывающийся конический геликоид име-
ет в качестве ребра возврата коническую спираль'.
х = х(<р) = r0 sin 2cos^9
У = У(<Р) = r„ sin Л sin <р- ekv, z = z(^) = r„ cos 2 ekv
(рис. 1), лежащую на круговом конусе, где А -
угол между осью Oz и образующей конуса; дол-
гота <р - угол между плоскостью xOz и подвиж-
ной плоскостью осевого сечения; к - некоторое
положительное или отрицательное постоянное
число; г о - постоянная величина. Если не дается никаких пояснений, то считают, что рассмат-
ривается конический геликоид одинакового ската.
Формы задания поверхности развертывающегося конического геликоида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
| кш fccos^-sin^l | £sin^9 + cos0|
х - х(и,<р) = sinxJ roe v cos<p + и-у , , у - y(u, <p) = sin 2 roe * sm.<p-+u—j= ,
V V^2+sm22/ < л/£2 + sin2 Л /
z = z(u,(p) = cos 2 + uk cos Л / yk2 + sin2 2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = l, F = г^у/к2 + sin2 2, В2 = F2 + и2 sin2 2(1+ Р)/Г2,
L=M = Q. N = usin/LcosAkr0eklf у]1 +к2 / (к2 +sin2 2).
Развертка геликоида на плоскость показана на рис. 2. Развертка ограничена плоским ребром
возврата (и = 0), криволинейной координатой и = щ и прямыми образующими <р = 0, <р = 2тт.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,s) = ra(as+1)sin2cos(ln|a.s +1| I к) + usin2[/:cos(ln!a.s’ +1| / к) -sin(ln|ay +1|/&)]/-у] к2 +sin2 2,
у = y(u,s) = r0(as + l)sin2sin(ln|ns +1| / к) + изш2[л sin(ln|as +1| / к) + cos(Inins' +1| / к)]/ yjк2 +sin2 2,
z = z(u, s) = r0 (as +•1) cos 2 + uk cos 21 у к2 + sin2 2,
где s - длина дуги конической спирали (ребра возврата), |и|- расстояние от ребра возврата
вдоль касательной к нему до произвольной точки на поверхности конического геликоида. Ко-
ординатная линия и = 0 - ребро возврата.
3) Параметрическая форма задания:
х = x(<p,f) = vsin2cos</> - fsin^o; у = y(<p,t) = vsindsin^ + teosp; z = z((p,f) = vcos2;
где v = kt + = kt + ceau; t - расстояние от прямой линии - линии касания конуса и его ка-
сательной плоскости до точки на прямой образующей геликоида, лежащей в этой касательной
плоскости; <р, t - гиперболические координаты конического геликоида, конструируемого кине-
матическим методом.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
. А2 = с2е2"" sin2 2(1 + £2) + r2(l + £2 sin2 2); F = [се"“ (1 + Л2).+?(Л - l)]sin2; В2=1 + Л2;
L= t2k(l+k2 sin2 2)cos2/Va2B2 -F2, M = N=0.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек: Реферативная информация. - М.: Изд-во АСВ,
1995.-273 с.
22
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ ГЕЛИКОИД
С РЕБРОМ ВОЗВРАТА НА ПАРАБОЛОИДЕ ВРАЩЕНИЯ
Рис. 1 Рис. 2
Развертывающаяся винтовая поверх-
ность одинакового ската с различным за-
коном изменения шага образовывается
касательными к винтовой кривой
х = x(t) = a cost + at sin t,
У = у(0 = flsinf -at cost,
Z = z(f) = (at2 /2)tg/?,
где P = const - угол наклона прямолиней-
ных образующих торса к плоскости хОу\ t - параметр. Проекция ребра возврата на плоскость
хОу - эвольвента окружности радиуса а. Само ребро возврата расположено на параболоиде
вращения, осевое сечение которого плоскостью yOz описывается уравнением z = tg/?[y2/(2a) -
о/2), где а - радиус окружности, полученной сечением параболоида вращения плоскостью z = 0.
Вершина параболоида имеет координаты z = -(a/2)tg/?, х = у = 0.
Формы задания развертывающегося геликоида с ребром возврата
на параболоиде вращения
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(ид) = a(cost + tsint + utcosf),y = y(u,t) = a(sint-tcost + wtsint),z = z(w,t) = a(O,5t2 + nt)tg/?.
Параметрические уравнения плоской развертки геликоида одинакового ската можно пред-
ставить в виде:
a cos(t cos/?) [ 1 | at sin(t cos/?) a sin(t cos/?) | 1 ] at cos(t cos /?)
p = 7, T7> + Ut H--------y~y , Y = ~ y~~ + ut - -y-z .
' cos/? Vcos p ) cos p ' cos/? \cos p J cos p
Развертка на плоскость геликоида с ребром возврата на параболоиде вращения показана на
рис. 2. Развертка ограничена плоским ребром возврата, координатной линией и = и, = const и
прямолинейными образующими t = 0, t = 2п.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = at/cosft, F = a^tif + a)/cos2/?, В2 = a2[(f + a)2/cos2/? + и2/2], L = M = 0, N= autsinfl.
2) Параметрическая форма задания:
х = x(t,p) = at sin Г ± costyip2 -a2t2, у = y(t,p) = -at cost ± sintpjp2 -a2t2,
z = 0,5atg/?(t2 - 2) ± tgP^p2 -a2t2,
где p - расстояние от точки на образующей до оси Oz, и = (-а ± у]р2 -a2t2) / (at). Наличие
двух знаков соответствует двум полам торса.
Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:
( \2 ( \
, 2 , а / , , , _ > \ -atp a l р
А = 1+ ,- (a t tg /3+р };F = у — ? +1 —т~р,В =----------у-. —
I yjp -a t ) yjp2 -a2t2 \ylp2 -a2t2 Jcos P cos/?7p -a2t2
3) Параметрическая форма задания: x = x(y,f) - acost + arsint + vcostcos/?;
У = у(ч t) = asint - atcost + vsintcos/?; z - z(y,f) = (at2tg^)/2 + vsin/?.
Коэффициенты квадратичных форм приведены в разделе «Торсовые поверхности (торсы)».
Дополнительная литература
1. Пилипака С.Ф. Конструирование винтовых поверхностей из торсов одинакового ската// Прикладная геомет-
рия и инженерная графика. Вып. 43. - Киев, 1987. - С.39-41.
23
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Рис. 2
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ТОРС
Торс четвертого порядка, полученный обкаткой двух
парабол
(?-<7)2 „ „ Z2
х --------, у = 0 и х = 0, у =-,
2р2 2р,
лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, бу-
дет параболическим, так как любая касательная плос-
кость
М = z(v-q)-xp2 -ypx(v-q)/(v + q)-(v2 -q2)/2 = 0
к обеим направляющим кривым содержит параболу. Ос-
новываясь на этом положении, В.С. Обухова и Р.И. Во-
робкевич предложили называть эту торсовую поверх-
ность параболическим торсом. Уравнение ребра возвра-
та параболического торса получено в виде
г a (v-q? , А О + <7)3 , 4 3 q
x = x(v) = —-----, y = y(v) = —--, z = z(v) = -v + -
4<7P2 4qpx 2 2
где v = z параболы, лежащей в плоскости xOz', у = v + q\ у = z параболы, лежащей в плоскости
уОг. Как видно из формул, ребром возврата параболического торса является пространственная
кривая третьего порядка. При q = 0 будем иметь поверхность наклонного параболического
цилиндра.
Формы задания поверхности параболического торса
1) Неявная форма задания:
4<?2z4 -4pxqz3y + 4p2qz3x + 2pxp2z2xy + p2z2y2 + pfz2x2 -8q3z3 ~2p3y3 -2p^x3 -4pxq2z2y +
+ %p2qzy2 - {(>p2q2z2x-lOpfqzx2 -6p2p2xy2 -6p}p2yx2 -2pxp2qxyz~8p2q2 y2 +4q4z2 +
+ plq2x2 + I6plq3zy + 4p2q3xz + 20pxp2q2xy - Spjt/y = 0.
Касательная плоскость пересекает параболический торс по параболе и двойной прямой.
2) Уравнения непрерывного каркаса прямолинейных образующих параболического торса
, 14 (v + q)2p2 (v + q)2 2qp.
(v-<7) р, 2р,
3) Векторная форма задания:
( ч (v-q)3 . (v + q)3 .
r(u, v) = - —— I +
4qp2
2
— = к(у)х + /(у), z = -—2 л + (у + я) = т(у)х + и(у).
(v - q)
4<7Р,
z3 <к, -(v-q)2 pxi + (v + q)2 p2j + 2qptp2k
(— v + —)k + и ---------------------------т[77.
2 2 [(v - q)4 p2 + (v + q)4 pl + 4q2p2 pl\
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности А = 1, L = М = 0 показывают,
что координатная линия и совпадает с прямолинейными образующими поверхности.
4) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(у,2) =(1 - 2)(v - g)2/(2p2), У = y(v,2) = 2(v + <z)2/(2/?i), z = z(v,2) = v + Xq,
где 0 < Я < 1, A = AfvJ, N - М = 0, v = z параболы, лежащей в плоскости уОг. Координатные ли-
нии А = 0 и 2 = 1 совпадают с направляющими параболами.
Дополнительная литература
1. Обухова В.С., Воробкевич Р.И. Параболический торс// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып.
31.-Киев, 1981.-С. 22-26.
2. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
24
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С РЕБРОМ ВОЗВРАТА НА ЭЛЛИПСОИДЕ ВРАЩЕНИЯ
Торс с ребром возврата х = х(и) = 2п(п cos и cos пи + sin и sin пи)1 т,
fy = у(и) = 2п(п sin и cos пи - cos и sin пи) / т, z = z(u) = —(2т2 / п) cos пи
х2+у2 Z2
на эллипсоиде вращения -------------------------- Н------г = 1 является поверхностью
(2п/т)2 (2т/не-
одинакового ската. Все касательные линии к ребру возврата образовыва-
ют постоянный угол у с координатной осью Oz, причем
п = siny; т = cosy; п2 + /п2 = 1.
Кривизна к и кручение к ребра возврата вычисляется по формулам:
k = п /(2т sin пи), к = 1/(2 sin пи).
Из последних выражений видно, что к/ к - т/п = const, следовательно,
ребро возврата является линией откоса.
Формы задания торсовой поверхности
1) Векторная форма задания (рис. 1):
Рис'1 г = г (и, v) = x(u)i + y(u)j + z(u)k + vl(u),
где x(u), y(u), z(u) - координаты ребра возврата поверхности, приведенные выше; |у| - расстоя-
ние от точки ребра возврата до произвольной точки на торсе, взятое вдоль прямой образующей
поверхности; 1(и) единичный касательный вектор к ребру возврата, определяемый по форму-
ле:. l(u) = [x'(u)i + y'(u)j + z'(u)k]/у]х'2(и)+ у'2(и) + z'2(u) = ncosui + «sinuj + mk .
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = 4m2 sin2 пи + v2n2, F = 2msin пи, B = l, А2В2 - F2 = v2n2,
L = nmv, M - N = 0, ku = nmv/(m2 sin2 nu + v2n2), k, = 0, К = 0.
Интересные свойства рассмотренной торсовой поверхности изучаются в статье [1].
Дополнительная литература
1. Wunderlich Walter. Kurven konstanter ganzer Kriimmung und fester Hauptnormalenneigung// Monatsh. ath. - 1973.
- 77, № 2.-S. 158-171 (библ.: 12 назв.).
ТОРС С РЕБРОМ ВОЗВРАТА НА ОДНОПОЛОСТНОМ ГИПЕРБОЛОИДЕ ВРАЩЕНИЯ
В. Вундерлих [1] исследовал торс с ребром возврата
, х (1-п)т п ч (1 + п)т
х = х(и) =------cos(I + п)и -I---cos(l - п)и,
2(1 + п) 2(1 - п)
. ч (l-n)m . . (\ + п)т . ,,
у = у (и) =-----sm(l + п)и Н-----—sin(l - п)и,
2(1 + п) 2(1 - п)
z - z(u) = -(т2 jn) cos пи
к - х2+у2 Z2 ,
на однополостном гиперболоиде вращения--------------= 1, где
(2п/т)~ 4
п + т2 - 1; п = siny; т = cosy.
Формы задания торсовой поверхности
1) Векторная форма задания (рис. 2): г = r(u, v) = x(u)i + y(u)j + z(u)k + vl(u),
где .l(u) = (n cos и sin nu - sin и cos nu)i + (cos и cos пи + nsmusinnu)J + msinnuk-, причем |Z(«)| = 1.
Дополнительная литература
1. Wunderlich Walter. Kurven konstanter ganzer Kriimmung und fester Hauptnormalenneigung// Monatsh. ath. - 1973.
-77, №2.-S. 158-171 (библ.: 12 назв.).
25
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С РЕБРОМ ВОЗВРАТА, ЗАДАННОМ В ВИДЕ х = e4cost, у = e‘sint, z = е4
Пусть пространственная кривая х = e’cost, у = e‘'sint, z = е4, представляющая собой кони-
ческую спираль, лежащую на круговом конусе с А = 45°, где 2 - угол между осью z и образую-
щей конуса (см. «Развертывающийся конический геликоид»), является ребром возврата торсо-
вой поверхности. Наличие уравнения ребра возврата торсо-
вой поверхности однозначно задает саму торсовую поверх-
ность и ее основные квадратичные формы (см. «Торсовые
поверхности (торсы)»). Длину дуги ребра возврата можно
вычислить по формуле: 5 = 73(1 - е~').
Выражение для вычисления кривизны ребра возврата
получено в форме:
Параметрические уравнения развертки ребра возврата на плоскость:
е-7з72₽
где принято (р - -л/2/~31п(7з-^).
Перейдя в полярную систему координат, можно получить уравнение логарифмической
спирали: р = Фз/5е.
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
sinf + cos? . cosf-sinr и
x = x(u,t) = e cosf-и---------, y = y(u,t) = e sinr + w-----, z = z(u,t) = e
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, 2и1 2 Ф2 'flu
А = 1, F = V3e-', 52=3е“2'+ —, L=M = 0, N = -—и, ku=0,
1
k. =0, k, = —j=, K = 0.
1 wV2
Система криволинейных координат и, t является неортогональной, но сопряженной. Угол
между координатными линиями и и t определяется по формуле:
cosjfc' = Зе-' / л/9е“2' +2и2.
Эта торсовая поверхность является поверхностью одинакового ската с углом наклона /?
прямых образующих к оси z; tg/> =- . Проекция ребра возврата на плоскость z = 0 представ-
ляет собой логарифмическую спираль р = е4, следовательно, направляющей плоской кривой по-
верхности одинакового ската будет эвольвента логарифмической спирали'.
X = ~е~‘ sin?, y = e“'cosr.
Дополнительная литература
1. Кардашевская Ю.Г., Горбатович Ж.Н. Конструирование поверхности плужного отвала по заданной раз-
вертке методом изгибания// Сб. научных трудов: Техническая механика в сельскохозяйственном производстве. -
Том 13.- Вып. 9.-М.: изд. МИИСП, 1976. - С.9-14.
26
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
2 | У*
y = V , z =
V3
ТОРС С РЕБРОМ ВОЗВРАТА х = v - —,
3
Рис. 1
Рис. 2
Пусть пространственная кри-
вая
V3 2 р3
x = v- — ,y = v ,z = a(v + —)
является ребром возврата тор-
совой поверхности. .
Длина дуги пространствен-
ной кривой, принимаемой в ка-
честве ребра возврата, опреде-
ляется по формуле 5 = Vl + a2 (v + v3 / 3). Если ввести обозначение а = tga,
то полученная зависимость принимает вид
5 = г(у) /sina,,
где z = z(v) - координата ребра возврата. Кривизну к и кручение к ребра
возврата можно вычислить по формулам:
2
2а
(l + fl2)(l + v2)2 ’ K'~ak~ (l + a2)(l + v2)2 '
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
г3 и(1-г2) , 2иг
х = x(u, v) = v - — +---—,-----, у = у(и, v) = V +----у-—у,
3 (1 + v )V 1 + а" (1 + v )'vl + ^
v аи
z = z(H,v) = a(v + —)+ .---. .
3. Vl + a2
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы(см. «Торсовые поверхности (торсы)»). Пара-
метр |и| определяет расстояние от ребра возврата до произвольной точки на поверхности, взя-
тое вдоль прямолинейной образующей. Таким образом, координатные линии и совпадают с
прямолинейными образующими торсовой поверхности, а координатные линии v - линии рав-
ноотстоящие от ребра возврата. На рис. 1 показан один и тот же торс, для которого 0 < и < и0,
а на рис. 2 - торс, для которого параметр и изменяется в пределах - ио <и<и0.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, I-----7 , „ 4и2 4аи
А = 1, F = (l + v2)Vl + a , В =F +-------2-----r-т, L-M = 0, N =----------2----5-7,
(l + a2)(l +v2)2 (1 + fl )(l + v )
ku = kt =0, кг = a I u.
Система криволинейных координат и, v является неортогональной, но сопряженной (М = 0).
Эта торсовая поверхность является поверхностью одинакового ската. Угол наклона <р прямых
образующих к оси z можно найти из формулы: tg<^ = 1/д.
Дополнительная литература
1. Wunderlich W. Uber die von der kubischen Boschungstorse algeleitete Pirondini-Schar windschiefer Regelflachen//
Sitzungsberichte. Osterreichische Akademie der Wissenschaften. Math.-naturwiss. Klasse, 1980. - Abt. 2. Bd. 189. - No 4-
7.-S. 149-169.
2. Кривошапко C.H. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
27
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С РЕБРОМ ВОЗВРАТА В ФОРМЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ЦИЛИНДРОВ
С ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ОСЯМИ
Линией пересечения двух цилиндров будет
х1 + у2 = г21
кривая четвертого порядка: , , , К
х2 +z" = R \
Если принять ее за ребро возврата, то полу-
чим торсовую поверхность, в сечении которой
плоскостью z = 0 получается кривая четверто-
го порядка
y2(r2x2 -R4)-x2(r2 -R2)2 =0.
Эта кривая является кривой Ламе. Она имеет четыре асимптоты.
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания, предложенная А.Н. Ворониной (рис. 1):
UV I—у--у UV
х = x(u,v) = v + и, у = у(и,г) = ±yr" - v~ + , , z = z(w,v) = VR -v — —. ,
Vr2-v2 <R2-v2
где — r < v < г и |v| < R. Параметр v показывает абсциссу x ребра возврата. Координатные линии
и совпадают с касательными к линии пересечения двух цилиндров.
Рис. 3
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, г2 г2 , Г г2 R2
r2-v2 R2-v2 (г2-г2)2 (R2-h2)2
L=M = 0, N =
3u2vr2R2(r2 - R2)
—===.-------Ь----L------1 k - о, = 0.
7a2R2 -F2(r2 -v2)5/2(R2 ~v2)5/2
На рис. 1 показана торсовая поверхность с г = 10 м и R = 20 м;
0 < и < 12 м; -8м < v < 8 м. Если принять г = R, то рассматри-
ваемая торсовая поверхность выродится в две плоскости.
2) Векторная форма задания:
г = r(f,v) = w±x/r2 - v2y + 7r2-v2fc + r z+ ! ~ У У--/=/== fc I /f (v),
V Vr 2-v \R2-v~ )/
где/(г) = д/l + v2 / (г2 - v2) + v2 / (R2 - v’j - длина вектора, касательного к ребру возврата; t -
расстояние от ребра возврата до произвольной точки поверхности, взятое вдоль прямолинейной
образующей.
3) Параметрическая форма задания (рис. 2; рис. 3): 0 < а < 2лг; - о» < и <
R2 - г2 cos2 a R2 - г2 cos2 а
х - х(и,а) = г cos а - и sin сц—=-;-?—, у = у(и,а) = г sina + ncosaJ——=-т—,
VR -r‘cos a \R -г cos а
z = z(u,a) = x/r2 - г2 cos2 а + wrsin2o(R2 - г2 cos4 а] 1/2 12,
Дополнительная литература
1. Воронина А.Н. Построение торсов с ребром возврата в виде кривой четвертого порядка// Прикладная гео-
метрия и инженерная графика. - Вып. 5. - Киев, 1967.-С. 103-105.
28
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Рис. 1
Рис. 2
ТОРС С РЕБРОМ ВОЗВРАТА В ВИДЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ
На рис. 1 и рис. 2 представлен один и тот же торс с ребром воз-
врата в виде гиперболической линии х = x(f) = achf; у = y(t) = asht;
z = z(t) = at. Торсовая поверхность образовывается касательными к
своему ребру возврата, в рассматриваемом случае - касательными
к гиперболической винтовой линии. Длина дуги s ребра возврата,
заключенной между точками 0 и t равна
s = aV2shz.
Кривизна к и кручение к гиперболической вин-
% товой линии определяется по одной формуле:
, _ _ 1___________а
К 2ach2t 2а1 + s2 '
Формы задания торсовой поверхности и ее кривизны
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
shr и и
х - x(u,t) = acht+ —^—и, у = y(u,t) = asht+~р=, z- z(u,t) = at + —j=—,
y2chf У2 V2chr
где и - длина прямолинейной образующей торсовой поверхности от ребра возврата до произ-
вольной точки; -
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А = 1, F = ajlcht, В2 = F2 +~^г, А2В2 - F2 = , L= М = 0, N = ~рр,
2ch2f 2ch2t 2ch2t
и 1 1
k =kt-0, k = 2 .---p, k2=—, K=0, H = —~.
" 1 ' 4a2ch t + u и 2u
Торсовая поверхность задана в криволинейных неортогональных сопряженных координа-
тах и, t. Координатная линия и = 0 является ребром возврата. Координатные линии и (t = const)
совпадают с прямолинейными образующими поверхности.
В сечениях торсовой поверхности плоскостями z = z<> = const лежат кривые
и = и(Г) = (zo - at) -J2 cht.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
US S и
, у = y(u,s) = -^ + —f=
л/2а2 + s2
х = x(u,s) =-,=-т г- I--
э/2 VwZ2
5 аи
z = z(u,s) = aArsh —т= + .— —,
пУ2 У2а2+.s’-
где г - длина дуги ребра возврата; s = aj2sht.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
2 2 2 2 2
э и а по о и а иа
A = F = \, В2 =\+ -р 2чГ, AB-F=~-----р-р, L= М =0, N=—2----р-р,
(2а2+s2)2 (2а2+s2)2 (2а2 +s2)2
К=^=0, ks=—p=-p-p-p, k2=~, К = 0, Н = ^~.
(2а + 5 ) D и &U
В этом случае поверхность отнесена к криволинейным неортогональным сопряженным ко-
ординатам и, 5-.
2
иа
29
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С ЗАДАННОЙ ЛИНИЕЙ КРИВИЗНЫ В ФОРМЕ
ПАРАБОЛЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть торсовая поверхность имеет линию кривизны в форме параболы второго порядка
х = 0, у = v, z = -av2.
Параметрические уравнения ребра возврата этой торсовой поверх-
ности имеют вид:
(4aV+l)3/2 , 23 о 2 1
х -------------, у = -4а v , z = -3av----.
с 2а
При изменений произвольной постоянной с уравнения ребра воз-
врата будут задавать семейство торсовых поверхностей, инцидентных
наперед заданной линии кривизны. Параметр с функционально связан
с углом <р между главной нормалью параболы и образующей торса,
проходящей через вершину параболы, формулой вида с = 2actg tp.
На рис. 1 изображен отсек торса для конкретного значения посто-
янной с = 2actg(zr/6). Рассматриваемая торсовая поверхность является
торсом одинакового ската по отношению к плоскости х = const (см.
«Торс одинакового ската с направляющей параболой»).
Формы задания торсовой поверхности
1) Уравнения непрерывного каркаса прямолинейных образующих торса (рис. 1):
VC с 2
у = . = х + у, z =-. - х - av ,
Vl + 4a2v2 2aVl + 4a2v2
где параметр v равен ординате у параболы, лежащей в плоскости х = 0.
2) Параметрическая форма задания торса при заданном ребре возврата (рис. 1):
(4a2v2 + 1)3/2 2аи , , 2acuv
x = x(u,v~) = ------------- , , у = y(u,v) = -4a v - , ,
с ^4а +с \(4а + с )(1 + 4a v )
2 1 CU
z = z(u,v) = -3av - — --j
2« V(4« +c 2)(l + 4a v2)
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы(см. «Торсовые поверхности (торсы)»). Линия
и = 0 на торсовой поверхности есть ребро возврата этой поверхности.
В сечении поверхности плоскостью х = 0 будет кривая
(4aV+l)3/274a2+c2 к „ 2.
и =--------------------, которая является параболой у = v; z = -av (рис. 1).
2ас
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1,
F = +c2)(l + 4a2v2), В2
С
2 _______4а2с2и2_______
F + (с2+4a2)(l + 4a2v2)2 ’
16а3си
4а(1 + 4а2и2)
L = М = 0, N = - , л - и 2 2 . к, = ки =0, к2=
(с“+4а )(1 + 4а v ) си
Дополнительная литература
1. Алимов Р.У. Алгоритмизация конструирования и развертывания торсовых поверхностей в приложении к
автоматизации построения разверток фасонных частей трубопроводов. - Автореф. дне. канд. техн. наук. - М.:
МАИ, 1984.- 19 с.
2. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
30
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С ОБРАЗУЮЩИМИ ПРЯМЫМИ, ЛЕЖАЩИМИ В
НОРМАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ СФЕРИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
6 = п!Т. -л < и < -л<и<7С\ -л / 1<и<л / 2; в = тг/4; -л<и<л;
Рис. 1 (а = 10; -3 < v < 3; р = 1)
Торсовую поверхность с направляющей сферической линией
Е0(и) - аео(и) = a(icosu + ysinw)cosco + kasinco, со = ри; р = const,
расположенной на поверхности сферы радиусом а можно построить, если образующие прямые
расположить определенным образом в нормальных плоскостях этой сферической линии. По-
строенная таким образом торсовая поверхность называется торсом с образующими прямыми,
лежащими в нормальных плоскостях сферической линии.
Формы задания торсовой поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = аео(и) + vl(u) = аео(и) + v[cos0eo(w) +sin0go(M)], где
go(u) = [eo(u)/s х во(и)] = [sincocosfflft + рп- cos2 cok]ls\h = h(u) = icosu + y'sinu; n = n(u) = -isinw +
ycosw; 5 = [co12 + cos2o>]l/2 = [p2 + cos2cl>] 1/2. Единичный вектор ео(и) является нормалью сферы, на
которой расположена направляющая линия.
2) Параметрическая форма задания (рис.1; 2):
х = x(u,v) = (а + vcos0)cos<ycosw + vsin^sintocoscocosH - psmu)ls,
у = y(u,v) = (а + vcos6)coso>sinw + vsin0(sin®cos<asinw - pcosu)!s,
z = z(u,v) = (a + vcos0)sino> - ('vAjsin^cos26j.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
/ 2 X
>s (9) + 1 + А- vsin<ysin#,
\ s )
s sin 9-\ 1 + Aj-
\ s
= М = А = 0,
'A2, k2=kv=0, К = 0.
sin® cos (9
Пользуясь формулами дифференциальной геометрии можно вывести векторное уравнение
ребра возврата рассматриваемой торсовой поверхности:
ае„(и)//(и)
г (и) = ае0(н)-----------/(и) = ае0(и)-а5
Z - (и)
( 2 I
s'cos б1-!- 1 +A- sinaisin#
I s2 )
(cos0eo + sin ).
Если взять 9 = тг/2, то прямые образующие торсовой поверхности будут лежать в касатель-
ных плоскостях к сфере и одновременно в нормальных плоскостях направляющей сферической
линии, то есть будут совпадать с линиями пересечения этих плоскостей.
31
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ДВУМЯ ПЛОСКИМИ
НАПРАВЛЯЮЩИМИ КРИВЫМИ
По крайней мере одну развертывающуюся поверхность можно построить движением пря-
мой линии по двум произвольным кривым. Пусть даны две пространственные кривые:
n(z) + F^z}j + zk и r2(z) =/2(z) + F2(z)/’ + de.
В дальнейшем будем обозначать через z - /3 точку на первой кривой, через z = у - точку на
второй кривой, а вышеприведенные уравнения будем записывать в виде:.
г\(Р) + Д и r2(y) =fi<y) + Ffyti + ук.
Чтобы подвижная плоскость, огибающая которой есть искомая торсовая поверхность, од-
новременно касалась двух выбранных направляющих кривых, необходимо выполнять условие
//(/?) Г/(Д) 1
А'(£) #(/) 1
/,(Д)-Л(г) W-W) л-/
= 0
для точек z = ft и z = у. Штрихами обозначены обыкновенные производные по соответствующе-
му параметру. Из этого условия единственности можно выразить у = <p(j3) или /3 = Ф(у).
Если две направляющие кривые плоские и лежат в параллельных плоскостях, которые па-
раллельны координатной плоскости xOz, то уравнения двух направляющих кривых будут в виде
х = У1(/3), у = а и х = f2(y), у = Ь, а условие единственности примет вид: Геомет-
рический смысл этого соотношения состоит в том, что прямолинейная образующая торса про-
ходит через две соответствующие точки плоских кривых, касательные в которых параллельны.
Если две направляющие кривые заданы в параметрической форме:
х = Л|(Г|); у = У1(б); z = Zi(4) и х = x2(t2); у = y2(f2); z = z2fe),
то условие единственности будет выглядеть следующим образом:
Xl(?,)-X2(f2) y,(f|) -у, (r2) z^r,) - z2(r2)
х.Чч) у'a,) z;n,)
x2(f2) y2(f2) z2(f2)
--0.
Если две направляющие плоские кривые - плоские и лежат в параллельных плоскостях, ко-
торые параллельны координатной плоскости xOz, то уравнения двух направляющих кривых
примут вид: х = xi(f|), у = a, z = z2(f2) и х = x2(j2), у = b, z = z2(?2), а условие единственности
упростится: z!x (t\)I х{ (Ч) = z2 (?2) / х‘г (Г2).
Ребро возврата торса, построенного на двух выпуклых (вогнутых) направляющих кривых,
находится за пределами отсека, ограниченного этими кривыми. Если одна из направляющих
кривых - выпуклая, а другая - вогнутая, то ребро возврата находится внутри отсека, ограни-
ченного направляющими кривыми.
При каркасно-параметрическом методе конструирования торсов поверхность задается
уравнениями своего непрерывного каркаса: у — кх У- I', z — тх У п, где k, I, т, п - непрерывные
функции от одного и того же параметра, удовлетворяющие условию mopcoeocmw. l'Ik! = n!hn.
Условие единственности для кривых, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях,
показывает, что соответствие между точками двух кривых заключается в требовании, чтобы ка-
сательные к кривым в этих точках, пересекались на линии пересечения плоскостей, содержа-
щих эти кривые.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
32
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С ДВУМЯ ПАРАБОЛАМИ, ОСИ КОТОРЫХ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ
Рис. 1
Торсовая поверхность содержит в качестве направ-
ляющих кривых две параболы второго порядка (рис. 1)
cos^j 2 sin^ 2
I: * = fi(z) = —-z , у = Д(г) = —-z и
2p, 2p,
H:x = /,(z) = ^z2^, y =
2p2 2p2
пересекающиеся в точке С (рис. 2).
Прямолинейные образующие торса будут проходить
через точки z = Р первой параболы и z = у второй пара-
болы,
В а [аР ~Вг
г=2+^^+т+ь’ :де
p/Zcos^ -z/sin^j) 2p2(/cos^ + dsin^)
a =-----—--------——, b = a ---—------— ------,
sm(^+^2) sm(^+^)
знак (+) перед квадратным корнем брать при Д < О, знак (-) - приД > 0.
Параметрические уравнения ребра возврата торсовой поверхности имеют вид:
_ /32/2(sin^, +sin^2)-2y(p, cosr/v/2 - р,/T’/cos^,) , _ 2pj3 + Д3 sinff|(2/2 -уу")р2
2р!/2 sin^?,+2p2^2//sin^>1 ’ 2p}p2(2/ty'2 ~2уу' - у/ty"')
Р р2 sin^(x-ctg^y) р, sin<p,(x + ctgp2y)
£ =--------------------_|---------------.
2 /sin(^>! + <р,) /?sin(^9] + (р2)
Ребро возврата торса имеет точку возврата первого рода, которая лежит на прямой, соеди-
няющей вершины парабол. Уравнение однопараметрического семейства касательных плоско-
стей рассматриваемого торса можно записать в виде:
p2(x-yctg^)-
sin(<p, +<p2)( р\ р^х+yctgtpp
1^1 Ш г?
sin д\ 2) р$тд\
/ = 0.
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания торса при заданном ребре возврата.
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы (см. «Торсовые поверхности (торсы)»).
Координатная плоскость z = 0 является плоскостью симметрии торсовой поверхности.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
cos <д, . (cos о ) sin <р, _ ( sin <э, . ]
х = х(Л,Д)= —^Д3(1-2) + 2 —^f-d , у = у(Л,Д) = —^Д2(1-Л) + Л ,
2р, У 2р2 J 2р} < 2рг J
г = г(Я,Д) = Д(1-Л) + 2/, 0<Я<1.
Зависимость у = у(рр приведена выше. Координатные-линии А = 0 и 2 = 1 совпадают с на-
правляющими параболами. Система криволинейных координат Д, А является неортогональной и
сопряженной (А = А(Д), F Ф 0, L = 0, М = 0), причем d(Bcos/)/dA = дА/др, где / - угол между ко-
ординатными линиями р и А.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н, Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
2 - 5391
33
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С ДВУМЯ ПАРАБОЛАМИ, ЛЕЖАЩИМИ В
ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПЛОСКОСТЯХ, НО С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ
двух заданных параболах можно построить
врата имеют вид (рис .1):
Торсовая поверхность содержит в качестве на-
правляющих кривых две параболы:
I: х = /j (z) = J2pz, у = 0 и
II: х = /2(z) = ^2pt(z + d) sin<р,
у= Рг(,г) = 1-^2p^z + d) cos<p.
Прямолинейные образующие торса будут про-
ходить через точки z = /? первой параболы и z = у
второй параболы, у > -d,
j£=^P.± Ь^ + 2а + у-^^1.
^2р V 2р /^cos^
Последнее соотношение показывает, что на
два торса. Параметрические уравнения ребра воз-
х = х(/) = -
'y + d-n/2) J2p J2p{ .---- п ,
----------------------+ ltg<p + —— f\y)-, у = у(у) =—— cos^y + d -~)J;
ч---------ч ч.
r s 2/4(Г) + е/3(/)-27777(77Т7-п/2)3 !---ч t
z = z(y) =--------------------------------^Jy + d^y + d -n)-d,
I-------;==---- [2 nI 2 3 e2 -y/21 .
где f(y) = Jy + d—ndy+d+m; e = +ltg^> —; r] = m — —; m = — + d; n = ,—-.
v у p 4 4 cos^
Формы задания торсовой поверхности
1) Векторная форма задания (рис. 1): г = г(у, 2) = Г](Д)(1 - 2) + 2r2(v) =
= (1 - A)[-j2p/3i + A\_^2p}vsm(pi + (l-^2pl v cos + (v2 -d'jk],
где 0 < A < 1; v = ^y+d’, тогда Д = (// 2 + yjv2 -nv + m) .
2) Векторная форма задания: г = r(u,y) = а(у) + «/(/), где а(у) - текущий радиус-вектор
ребра возврата, /(у) - единичный касательный вектор, заданный в каждой точке ребра возврата.
Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими.
Уравнения первой направляющей параболы, лежащей в плоскости у ~ 0, и второй направ-
ляющей параболы можно записать в виде:
F<4y + d - 0,5и) у + d - n-Jy + d + т
и.(у) = -------Z------- и и,(/) = ------1 .......... F, соответственно.
3 2 z ЗС^/у + й! -0,5rc)
Длины L прямолинейных образующих торса от одной до другой параболы можно вычис-
лить по формуле: L = их - иг = -§Ф, где
Ф — (2р} + 2р + е2 + п2)(у + d) — 2п(рх + р + 2d + У d + р^п2 / 2 + 2pm-I- 4ш2 + е2т +
+ f (7)(+4л/рр1 sin<p~2en)yjy + d ± 2yfpplпsin(р- 4ет).
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
34
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С ДВУМЯ ЭЛЛИПСАМИ, ЛЕЖАЩИМИ В
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ, И С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ
Торсовая поверхность содержит в качестве направляющих кривых два эллипса
(у-т)* 1 2 (z-и)2 У2 z2
----5--1----т:-= 1, X = I И —у + —г = 1, X = 0.
с d bl а
Прямолинейные образующие торса будут проходить через точку z = Р эллипса, лежащего в
плоскости х = /, и соответствующую точку z = у второго эллипса, лежащего в координатной
плоскости yOz,
а2с(/7-н)
7 JbW+(j3-n)2(a2c2 ~b2d2)
Параметрические уравнения ребра возврата имеют вид:
b2d4a2cl [b2 d4 п -/U(P - пу]х d3a2mc +p[d2 ~(Д-и)2]3/
b2d4a2c-[b2d4 + д(/?-и)2] d I ' dad
где // = а2с2 -b2d2. Ребро возврата при а = b и d = с вырождается в точку - вершину конуса, а
при а = d, b = с торс будет представлять собой цилиндр.
Ребро возврата торса является замкнутой кривой и имеет 4 точки возврата первого рода.
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания при заданном ребре возврата.
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы(см. «Торсовые поверхности (торсы)»). На рис.
1 изображена проекция торса со своим ребром возврата на плоскость х = 0 для случая т = п = 0,
с = Ь.
2) Параметрическая форма задания:
х = х(2) = XI, у = у(Х,и) = bsiniz[ 1 -X + Xa/f(u)], z = z(X,u) = cosu[a - aX + лД2//Гн)],
где /(и) = d2cos2u + a2sin2«, 0< Л< 1. Координатные линии X = 0 и X = 1 совпадают с направ-
ляющими эллипсами (рис. 2), заданными в форме:
х = 0, у = bsinw, z = acosu и х = I, у = bsinv, z = dcosv.
Эти эллипсы, по сравнению с эллипсами более общего вида, имеют с = Ь, т = п = 0. Усло-
вие единственности торсовой поверхности принимает вид: dtgv = c/tgu. Система криволинейных
координат и, X является неортогональной и сопряженной (А = А(и), F ф Q,L = 0, М = 0), причем
d(Bcos%)/dX = дА/ди, тд,е х - угол между координатными линиями и, X. Этой поверхностью мож-
но перекрыть прямоугольный план 2b х /, лежащий в координатной плоскости z = 0 (рис. 3).
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
35
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС С ДВУМЯ ПАРАБОЛАМИ, ИМЕЮЩИМИ ОБЩУЮ ОСЬ,
НО ЛЕЖАЩИМИ В ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПЛОСКОСТЯХ
и = const
в = const'
р = о
Рис. 1
Рис. 2 W
Торсовая поверхность с двумя пара-
болами, имеющими общую ось, но ле-
жащими в пересекающихся плоско-
стях, содержит в качестве направляю-
щих кривых две параболы I: х = az', у = bz и II; х = dz2 + с, у = 0.
Координатная ось Ох совпадает с линией пересечения двух плоскостей с направляющими
параболами. Прямолинейные образующие торса будут проходить через точки z = Р первой па-
раболы и z - у второй параболы, лежащей в координатной плоскости xOz,
Параметрические уравнения ребра возврата имеют вид (рис. 1):
яЬ d (а сЛ а
х = За pi +2с, у- -—/3 , z = ±~ — Д + — Р .
с c\d dJ с
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания.
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы (см. «Торсовые поверхности (торсы)»).
На рис. 1 показана поверхность с ребром возврата. Торс ограничен направляющей парабо-
лой х = az, у = bza координатными линями и = 0 (ребро возврата), р = 0, /? = а.
2) Векторная форма задания: г = r(u,/3) = a(J3) + ul(J3),
где а(р') - текущий радиус-вектор ребра возврата; Up) - единичный касательный вектор, задан-
ный в каждой точке ребра возврата. Координатные линии и совпадают с прямолинейными об-
разующими.
Уравнения первой и второй направляющих парабол можно записать в виде:
2 / I----------\ - э I ( I \ 2
Ь~ В 1 ( . 1а с аВ , , , I „ а , с 1
4+ j + ~/7+J—/?' +~7 ’ и~ ~---------\ 4с~ + b р/~ +[ Р+J—р/ + ~
с с < V d dJ с U \ \d dJ
3) Параметрическая форма задания (рис.2):
х = л(А,Д) = aft2 +2<?Л, у = у(2,Д) = Ьр)(1 - Л), z = ?(ЛД) = ±aJ—/32 +— + Д1 - Л), 0<Л<1.
yd . d
Система криволинейных координат р, А является неортогональной и сопряженной (Л = А (/>),
F Ф 0, L = 0, М = 0), причем cOcosyj/dZ = дА/др, где % - угол между координатными линиями р
и А, Координатная линия А-0 совпадает с первой параболой, а линия А = 1 - со второй парабо-
лой, то есть с параболой, лежащей в координатной плоскости у = 0.
Дополнительная литература '
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
36
ТОРС С ДВУМЯ ПАРАБОЛАМИ ВТОРОГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА,
ЛЕЖАЩИМИ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ, И С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ
держит в качестве направ-
ляющих кривых две параболы: х = 0, у = az4 и х = I, у = bz
Прямолинейные образующие торса будут проходить через точ-
ку z = Р параболы 4-го порядка и соответствующую точку z = у
параболы 2-го порядка, у = 2сфРЬ.
Параметрические уравнения ребра возврата имеют вид:
- bl , - _ 4аД3
b — Ьа/З1’ Ь-6аРг’ Ь — ба/З1
Ребро возврата имеет точку возврата первого ро да с координатами: х = I, у = z = 0 (рис. 1).
Разрыв ребра возврата происходит при значении параметра Д = +y]b / (6«). Координатная плос-
кость z = 0 будет плоскостью симметрии торсовой поверхности.
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1).
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы(см. «Торсовые поверхности (торсы)»).
2) Векторная форма задания: г = r(u,p) = a(J3) + ul<J3), где а(Д) - текущий радиус-вектор
ребра возврата; 1(ф) - единичный касательный вектор, заданный в каждой точке ребра возврата.
Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими торса. Уравнения направ-
ляющих парабол четвертого и второго порядков можно записать в виде:
^Ь212 + (а£Д4 -4а2Д6)2 + (Ь/3-2а/33)2
и — . ---------------------------------—
_7зба2/2Д4 +(6п2Д6 -24«3Д8 /Д)2 + (баД3 - 12а2Д5 /б)2
"2 =+ ь^ф2
3) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(Л) = 1Л, у = у(Л,ф) = аф4 1-Л+^-Л , г = г(Л,Д) = Д(1-Л) + ^-Д3Л, 0<Я<1.
У о J b
Система криволинейных координат Д, А является неортогональной и сопряженной (А = А(Д),
F О, L = О, М = 0). Координатная линия 2 = 0 совпадает с параболой четвертого порядка, а
линия Л = 1 - с параболой второго порядка, которая лежит в плоскости х = I. На рис. 3 показана
развертка рассматриваемого торса на плоскость.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
2. Кривогиапко С.Н. Торсовые поверхности для перекрытия заданного прямоугольного плана// Вестник РУДН.
- Серия «Инженерные исследования». - 2002, № 1. - С. 47-51.
37
ТОРС С ПАРАБОЛОЙ И ОКРУЖНОСТЬЮ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Рис. 2
Торсовая поверхность содержит в качестве направляющих кри-
вых окружность и параболу.
^2
х = ->] R2 — z2, у = 0 и х = —, у = li-
lp
Прямолинейные образующие торса будут проходить через точку
z = Р окружности радиусом R, лежащей в координатной плоскости
xOz, и соответствующую точку z = у параболы,
Г=ррЦп2-Р\ P<R.
Параметрические уравнения ребра возврата имеют вид:
- h - р. 12 + 2^~
У pR2 ’ Х 2^
(R2-/32)212
pF
z (R2-F)3I2-pF'
Точка на ребре возврата с координатами
х = pR/(R - р), у = hR/(R-р), z = О,
то есть при р = 0, будет точкой возврата первого рода. В двух точках ребра возврата с
/3=+^R2-(pR2)2'2 происходит разрыв ребра возврата. Торсовая поверхность имеет плос-
кость симметрии z = 0.
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания поверхности при заданном ребре возврата.
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы (см. «Торсовые поверхности (торсы)»).
Уравнение однопараметрического семейства касательных плоскостей рассматриваемого
торса можно представить в виде:
гД-^>-/?2+yfe-----------Г==тг] = °-
h IhyjR2 -F J
2) Уравнения непрерывного каркаса прямолинейных образующих торса (рис. 1):
2ptgw + 27?sin« ptg2u(ptgu +Rsinu) 2hx 2hRcosu
у =-----------2— x-------!i~ P^gu, z =------------2--------—---у-----:---.
2Rcosu-ptg и 2Rcosu-ptg'u ptg'u - Rcosu ptg u-2Rcosu
Уравнения окружности и параболы, принятых в качестве направляющих кривых, необхо-
димо в этом случае записывать в виде: х = Rcosu, у = 0, z - Rsmu и х = v2/(2p), z = v, у = h. Пара-
метры и и v связаны соотношением: v = -ptgu.
3) Параметрическая форма задания (рис.2):
х = л-(2,Д) = (2-1)7л2 -F + бу, y = y(A) = Ah, z = = /1 - 2 + ~ ,
2(Я -Д ) Jr2_02)
0 < 2 < 1. Координатная линия 2 = 0 совпадает с окружностью, а линия 2 = 1 - с параболой.
Система криволинейных координат Д 2 является неортогональной и сопряженной.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
2. Рыжов Н.Н., Алимов Р. У. К вопросу конструирования торсов по наперед заданным условиям // Прикл. гео-
метрия и инж. графика. - Киев, 1979. - Вып.27. - С.15-17.
38
ТОРС С ПАРАБОЛОЙ И ЭЛЛИПСОМ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Торсовая, поверхность включает в
себя эллипс и параболу второго по-
рядка (рис. 1), лежащие в параллель-
ных плоскостях:
Г1(м) = acosui + bsmuk (эллипс),
Г2(у) = 2cvi + lj + (b- с\2)к (парабола).
Из условия единственности торсо-
вой поверхности можно найти зави-
симость v от и в виде v = (Ь/ a)ctgu.
Канонические уравнения направляющих эллипса и параболы будут иметь вид:
—+ —=1, у = 0 (эллипс); y = l, z = b~ — (парабола).
а‘ Ь~ 4с
Формы задания торсовой поверхности
1) Векторная форма задания (рис. 1):
cb
2bc ( cb , )
г (Л, и)- асози(1 — Л) +--Actgw i + Xlj + b (1 -2)sinw + Л 1 yctg’w k,
a ' " '
a
0 < Л < 1. Координатная линия Я = 0 совпадает с эллипсом, а линия Я = 1 - с квадратной парабо-
лой. Система - криволинейных координат и, X является неортогональной и сопряженной (А =
А(и), F ф 0, L = 0, М - 0), причем д(5соз/)/Э2 = дА/ди, где / - угол между координатными ли-
ниями и и 2.
2) Торсовая поверхность с направляющими кривыми в виде параболы и эллипса (рис. 2)
bz2 Ic2(2b-с')2 ' be2 z2 с1
x = 0, у = ——~ + b; х = 1, у = 1---- - -----—-------•
а' у 4(Ь-с)~ а"(Ь-с) 2(Ь-с)
будет перекрывать заданный прямоугольный план 2а х I, лежащий в плоскости у = 0, причем
две контурные прямолинейные образующие Су = 0, z - ±а) торсовой поверхности будут парал-
лельны оси Ох и будут лежать в горизонтальной плоскости у = 0.
Прямолинейные образующие торса будут проходить через точку z = /( параболы, лежащей в
координатной плоскости yOz, и соответствующую точку z = у эллипса, лежащего в плоскости
.г = I. Условие, связывающее параметры fin у можно записать в виде:
г, / Г? 4Ь(Ь ~ с)
y=(2b- с) (5! Ас +----.
/V а~
Параметрическая форма задания (рис. 2): z = z(fi,X) = /?(1 -2) + Ху,
( b 2 ( 1с2 (2b-c~)2 bc2v2 с2
X = х(0,Л) = А1, у = у(А2) = (b - — Р2 (1 - Л) + 2 с _.—L _ ,
\ a J CV 4(Ь-с} а (b-с) 2\Ь-с\)
Таким образом, задаваясь независимыми геометрическими параметрами а, I (рис. 2) и Ь, с
(стрелы подъема параболы и эллипса), можно построить торсовую поверхность, перекрываю-
щую заданный прямоугольный план 2а х I, и содержащую параболу и эллипс на противопо-
ложных параллельных торцах.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
2. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности для перекрытия заданного прямоугольного плана// Вестник РУДН.
- Серия «Инженерные исследования». - 2002, № 1. - С. 47-51.
39
ТОРС С ГИПЕРБОЛОЙ И ПАРАБОЛОЙ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Рис. 1
Торсовая поверхность содержит в качестве на-
правляющих кривых плоскую гиперболу и параболу
второго порядка:
I: х = 0, -----5—----7 = 1 (гипербола);
к т
II: х = 1, у = ргг + с- (парабола)
на торцах. Если необходимо перекрыть торсовой по-
верхностью прямоугольный план 2ах/ с условием,
чтобы гипербола и парабола лежали на противопо-
ложных торцах х = 0 и х = I, а контурные прямолинейные образующие лежали на плоскости у =
О и совпадали со сторонами плана z = +а, то должны выполняться следующие зависимости ме-
жду постоянными параметрами направляющих кривых:
Уравнения направляющих кривых в форме гиперболы и параболы необходимо записывать
I z2 с
в виде: I: х = 0, у = b + к - kyil + —x, II: х = I, у = -~z2+c,
V иг а
, а"с к Ь \ b\b~2<\
где следует брать т =---- 1 - — , тогда к =------г----г >0, b > с.
Ъ- с\ 2с) b - \Ь - 2с|
Таким образом, для построения торсовой поверхности, перекрывающей, заданный прямо-
угольный план, необходимо задаться четырьмя геометрическими параметрами: a, b, с, I.
Из условия единственности торса получаем:
ка1 Р
, I Р"
2ст~ у 1 + —г
V т
где р = z гиперболы, а у = z - параболы.
Формы задания торсовой поверхности с гиперболой и параболой
в параллельных плоскостях
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
( I б2"] ( с А
л = x(j3,Л) = 1Л, у = у(Р,Л) = b + к- к-\1 н—7 (1 - Л) + Л с-—г/2 , z = z(P,^)) = Р<Л ~ Л) + Лу.
( V т ) \ а~ )
Уравнение однопараметрического семейства плоскостей, огибающей которых является рас-
сматриваемая торсовая поверхность, можно представить в виде:
f к'а~р2 Ik ( zp\ „ I ~pi~
M(x,y,z,P) = b + к -с-——---—т—2 —x + yl + —— l-i—7 \ -l(b + k') = 0; u(B) = Jl + *~y.
Дополнительная ли тература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности для перекрытия заданного прямоугольного плана// Вестник РУДН.
- Серия «Инженерные исследования». - 2002, № 1. - С. 47-51.
2. Халаби С.М. Торсовые поверхности для перекрытия заданного трапецеидального плана// Строительная ме-
ханика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч, трудов. -Вып. 11. -Изд-во АСВ, 2002. -С.66-72.
40
ТОРС С ДВУМЯ ЭЛЛИПСАМИ, ЛЕЖАЩИМИ ВО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ
ПЛОСКОСТЯХ, ОСИ КОТОРЫХ СОВПАДАЮТ С КООРДИНАТНЫМИ осями
Рис. 1 (а = с = I = 2d; b = 3d)
Рис. 2 (с = / = 2d; а = 1,5d; b = 3d) Рис. 3 (а = с = 2d; I = 0; h = 3d)
Торсовая поверхность содержит в качестве направляющих кривых два эллипса;
х = I + dV1 - z2/с2, у = 0 и х = 0, у = b-Jl — z2 /а2.
Прямолинейные образующие торса будут проходить через точку z = Д эллипса, лежащего в
плоскости у - 0, и соответствующую точку z = у второго эллипса, лежащего в плоскости yOz,
у = pda1 /\^2d + с/д/с2 -Д2), где -с<Р<с, ~а<у<а.
Параметрические уравнения ребра возврата имеют вид:
___________4/2(Д)-о2Д^2]3;2 ' d^c2 -р1 у f(p)(lc + djc2 -Д2)
У~ f4P)-<Pc+d^-p1)lca'1p1d-a1f\p)d’ Х с be Jf\p)-a2p2d2
, „с2 у lf2(P) 2 2 р—р
z = ~---уу.--(х-/)+-тг-— —-у—-а , гдепринято = c d + lc^c .
pd р~ b у р~а
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания торса при заданном ребре возврата.
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы(см. «Торсовые поверхности (торсы)»).
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-3):
х = Х(Л, p) = [l +—Jc2 -Д2 |П - Л), у = у(Л, Р) = ЛЬ J1 - = ЛЬ 1-^.1=а2-,=---,
к с ) V а у (c2d + cly/c2 -Р1)2
г = г(Л,Р) = (1-Л)Р + Лу = Р(1~Л) + Л--^===, -с<Р<е, 0<Л<1.
c2d + clyc2 - р2
Помимо условия ~с< Р <с переменный параметр /5 должен удовлетворять также условию:
c(cd + /д/с2 — р2 j> adp.
Координатная линия 2 = 0 совпадает с эллипсом, лежащем в плоскости у = 0, а линия 2=1-
с эллипсом, лежащем в плоскости х = 0. Система криволинейных координат Д 2 является неор-
тогональной и сопряженной (А = А (/>'), F Ф 0, L = 0, М = 0), причем <)(5cos/)/d2 = дА/др, где % -
угол между координатными линиями р и 2. Прямолинейная образующая торса проходит через
две соответствующие точки Р\ и Р2 направляющих эллипсов (рис. 1). Касательные, проведен-
ные к эллипсам в этих точках, будут пересекаться на координатной оси Oz.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки; Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991,- 287 с.
41
ТОРС С ДВУМЯ КУБИЧЕСКИМИ ПАРАБОЛАМИ,
ЛЕЖАЩИМИ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Торсовая поверхность содержит в качестве направляющих кривых две кубические параболы
x = t{, у=0, z = a3t, + a2t^ + altl + ад и
x —t2, у = b, z = c3t2 + c2t2 +ctt2 + cg. '
Прямолинейные образующие торса будут проходить
через точку с fj кубической параболы, лежащей в коор-
динатной плоскости xOz, и соответствующую точку ty
второй кубической параболы,
— а2 + p-yjal -За3(ах -ct — 3c3t2 -2c2t2)
tx- — - , p-_ .
Параметрические уравнения ребра возврата имеют вид
[2]:
_ а2Е(у2) -+За3(ах - с3 -с212) _ bc2+3c3bt2
За3[с2+3c3t2 - E(t2)] ’ с2+3c3t2 - E(t2)’
- v 3 . 3
z = —~ E 2) + £ Cf2 ,
о i=U i=0
где обозначено
E(t2) = ±^ja2 - 3a3 (a, - q - 3c3t2 - 2c2t2).
Проекции ребра возврата имеют асимптоты
с3Ь
параллельные осям х и z соот-
ветственно, а сама торсовая поверхность имеет асимптотическую плоскость, описываемую тем
же уравнением, параллельную плоскости xOz. Установлена область существования ребра воз-
врата, которая определяется следующими условиями:
а2 - За3 (а, - q - 3c3tl — 2c2t2) > О, с2 + 3c3t2 у ^а2 -За3(ах - сх -3c3t2 -2c2t2 Ф 0.
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания:
Наличие уравнения ребра возврата торсовой поверхности однозначно задает саму торсовую
поверхность и ее основные квадратичные формы(см. «Торсовые поверхности (торсы)»).
2) Векторная форма задания (рис. 1 - 3): гЩ^) = (1 -+ &i[h = tittf)],
что равносильно заданию поверхности при помощи параметрических уравнений:
х = x(t2, Л) = (1 - Л)Г2 + Л(,, у = t(t2, Л) = Ь(1 - Л),
z = г(12,Л) = (1 -Л)(с3(2 + c2t2 + cxt2 + Сд) + Л(а3(3 + a2tx + a}tx + а0),
где fi = fi(t2); 0< Л < 1.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с:
2. Анпилогова В.А., Кухарчук И.Г. О построении торсовой поверхности с направляющими кубическими пара-
болами// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 27. - Киев, 1979. - С. 80-82.
3. Кухарчук Н.Г. Исследование области существования торсовой поверхности с направляющими кубическими
параболами, лежащими в параллельных плоскостях. - Донецк: Донецк, ин-т сов. торговли, 1979. - 7 с. - Деп. в
УкрНИИНТИ 27.06.1979, № 1547.
42
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 3 И 4-ГО ПОРЯДКОВ
Простейшими торсами после конусов и цилиндров 2-го порядка (вырожденные торсовые
поверхности) являются торсы 3 и 4-го порядков.
Торсовой поверхностью третьего порядка может быть только коническая или цилиндриче-
ская поверхность. Например, существует пять видов конических поверхностей, направляющи-
ми которых являются расходящиеся параболы с уравнением вида у2 - ах3' + bx2 + сх + d. По
классификации Ньютона существует 72 вида кривых 3-го порядка. Все их можно получить в
сечении одного (но не любого) из конусов, направляющими которых служат пять расходящихся
парабол.
Торсовые поверхности 4-го порядка бывают двух видов: конусы и цилиндры, у которых на-
правляющими служат кривые 4-го порядка, и торсы 4-го порядка 3-го класса Т,4. Торсы Т4-
поверхности более сложного образования. Ребрами возврата у них являются пространственные
кривые 3-го порядка. Эти кривые можно построить как линии пересечения линейчатых поверх-
ностей 2-го порядка, имеющих одну общую прямую. Две параболы, лежащие в параллельных
плоскостях, также являются определителем торсовой поверхности 4-го порядка.
Дополнительная литература
1. Михайленко В.Е., Обухова В.С., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. - Киев: «Бу-
д!вельник», 1972. -208 с.
2. Обухова В.С., Булгаков В.Я. Об одном приложении торсов 4-го порядка// Прикладная геометрия и инж. гра-
фика. - Киев, 1972. - Вып. 15. - С. 76-81 (библ.: 6 назв.).
3. Мартиросов А.Л. О развертках торсов 4-го порядка// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. -
Вып. 22. - С. 93-97 (библ.: 3 назв.).
4. Булгаков В.Я. Об одном способе конструирования торсов 4-го порядка// Прикладная геометрия и инж. гра-
фика. - Киев, 1971.-Вып. 13.-С. 37-40.
ТОРС С РЕБРОМ ВОЗВРАТА В ВИДЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА И КРУГОВОГО КОНУСА
Торс с ребром возврата в виде линии пересечения кругового цилиндра (х - З)2 + (у + 4)2 = 52
и кругового конуса с вершиной (0; 0; 0) и направляющей окружностью (х - З)2 + (у - 4)2 = 52 в
плоскости z = -8 будет поверхностью 4-го порядка. Таким образом, два уравнения определяют
ребро возврата торса:
(х - З)2 + (у + 4)2 = 52,
4х2 + 4у2 + 3xz + 4yz = 0.
Формы задания торсовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
,., .- . 16 х 4"6х-Е2(3 х) / _ т : 7
X = Х(х,А) = х + Л, У = У(х,Л) =-----------------4, где е = -Дб-х2 +6х,
±е
- 4х2+4(±е-4)2 4(±3е-4х + 12)[2х2+2(±е-4)2]-(Зх-16±4<?)[32х + 24(±е-4)]
Z —2дХ,/lj — -f- Д, , ...
Рис. 1
Зх —16±4е ±ё(3х —16+ 4е)2
где 2 - параметр, представляющий собой проекцию на ось х отрезка, от-
ложенного от точки ребра возврата вдоль касательной к нему в этой же
точке; х - второй независимый параметр; 0 < х < 6 . На рис. 1 показана
торсовая поверхность, ограниченная плоскостями z = 8 и z = -8. Ребро
возврата проходит через начальную точку с координатами (0; 8; 8) и ко-
нечную точку линии пересечения цилиндра и конуса (6; 0, -8).
Дополнительная литература
1. Булгаков В.Я. Аналитическое исследование торсов 4-го порядка// Прикладная гео-
метрия и инженерная графика. - Киев, 1972. - Вып. 14. - С. 68-73 (библ.: 2 назв.).
43
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТИ ОДИНАКОВОГО СКАТА
Поверхности одинакового ската - это линейчатые поверхности, имеющие постоянный
угол « между своими прямолинейными образующими и соответствующими главными норма-
лями плоской направляющей кривой. Поверхности одинакового ската являются поверхностями
нулевой гауссовой кривизны, в общем случае, с ребром возврата. Касательные к ребру возврата
совпадают с прямолинейными образующими поверхности одинакового ската. Прямая круговая
коническая поверхность также относится к поверхностям одинакового ската с направляющей
окружностью. Цилиндрическую поверхность произвольного поперечного сечения можно счи-
тать поверхностью одинакового ската с а = л/2.
Если считать, что плоская направляющая кривая х = х(г), у = у(г) лежит в горизонтальной
плоскости, то прямолинейные образующие поверхности одинакового ската будут расположены
в вертикальных плоскостях, проходящих через главные нормали направляющей кривой, и бу-
дут составлять постоянный угол о. с горизонтальной плоскостью. В этом случае векторное
уравнение поверхности одинакового ската можно записать в виде:
cos ос г л
rsr(u,v) = x(v)i + }’(v)j + u , — —= у (y)i-x (v)j -usinflK.
yjx' - (v) + у' - (г)
Для вычисления коэффициентов Ламе и главных кривизн поверхности одинакового ската
получены следующие соотношения:
А = 1, F = О,
В =
х'(у)у"(у) - х"Му'М \ I—z-—-: г
1 + “C0Sa P(vH/W~ И ~W + y ’(V) =
+ ucostx- f(v)}7x,2(v) + y/2(v),
sin a /—т-----------
kv ~ k2 = -—tCv^x "(v) + > “(v).
Таким образом, поверхность задана в линиях кривизны и, v, где координатная линия и = О
совпадает с направляющей кривой. .
Ребро возврата поверхности одинакового ската проецируется на плоскость направляющей
кривой в эволюту этой направляющей. Точка ребра возврата поверхности одинакового ската с
плоской направляющей кривой, ортогональной образующей прямой, проецируется вместе с
центром главной кривизны (не равной нулю) данной поверхности в центр кривизны направ-
ляющей кривой в соответствующей ее точке. Отношение кручения к кривизне ребра возврата
есть величина постоянная и-равная тангенсу угла ската а поверхности. Ребро возврата поверх-
ности одинакового ската является также линией откоса. Поверхности одинакового ската могут'
быть построены как огибающие всех положений кругового конуса, если его вершина переме-
щается по заданной направляющей линии, а ось сохраняет неизменное направление. Если на-
правляющая линия - цилиндрическая винтовая линия постоянного шага, а ось конуса парал-
лельна винтовой оси, то образуется торс-геликоид (см. «Развертывающийся (эвольвентный) ге-
ликоид»), Торс-геликоид является наиболее известной поверхностью одинакового ската. Он
получается, если в качестве направляющей кривой взять эвольвенту окружности.
Дополнительная литература
1. Обухова В.С., Питтака С.Ф. Конструирование поверхности одинакового ската как огибающей однопара-
метрического семейства круговых конусов// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1988. - Вып. 46. -
С.13-18 (библ.: 5 назв.).
2. Крутов А.В. Стрикционные линии некоторых поверхностей откоса в связи с пластическим деформировани-
ем// Информационные технологии и системы. - Воронеж: Межд. Акад. Информатизации, 2001. - Вып. 4. - С. 167-
171 (библ.: 9 назв.)
3. Копытко М.Ф., Савула Я.Г. Об одном возможном расширении класса оболочек нулевой гауссовой кривиз-
ны// Проблемы машиностроения. - Киев: «Наукова Думка», 1982. - Вып. 17. - С. 61-65.
44
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Рис. 1
ТОРС ОДИНАКОВОГО СКАТА С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ПАРАБОЛОЙ
Рассматривается торсовая поверхность одинакового ската, все об-
разующие которой проходят через параболу
у = ах2, z = 0,
где коэффициент а считается определенным. Для сокращения вводится
коэффициент k = tga; а - угол наклона образующих прямых к плоско-
сти 2 = 0.
Формы задания торсовой поверхности одинакового ската
с направляющей параболой
1) Неявная форма задания:
16а4[/:2(х2 + у2) -z2']3 -8a2fc2(1 — 2ay)2[/c2(х2 + y2)-z2]2 + fc4(l-2ay)[fc2(x2 +у2)-
- z2 ][36а2х2 + (I - 2ау)3]-А'бх2[27а2х2 + (1-2ау)3] = 0.
По виду уравнения видно, что поверхность торса является алгебраической поверхностью
шестого порядка, причем х и у имеют четную степень, откуда следует, что поверхность симмет-
рична относительно координатных плоскостей yOz и хОу.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
2av , и cosа
х = х(и,г) = v + wcoscr .— -- у = y(u,v) = av —, - -, z = г(и) =-wsina.
yi + 4a2v2 yl + 4a2v2
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
2aucosa
(kVvf
2а sin а
, L = М = 0, N = —i-=-'^=p
У 1 + 4а2г2
2awcosa
А = 1, F = 0, B = -Jl + 4crv2
2а sin а
fc, = k„ =0, k2 = kv = , К = 0,
(l + 4a v J +2aucosa
Поверхность задана в линиях кривизн и, г. Координатная линия и = 0 совпадает с заданной
направляющей параболой.
3) Параметрическая форма задания:
х = х(и, s) = хр (у) + их'р (s), у = у(и, у) = ур (у) + иу' (у), z = z(u, s) = z„ (j) + иг' (J),
где у - длина дуги ребра возврата, уравнение которого можно представить в виде:
xp(.s) = — [/(у+ С/sin а)2'3 -Д] , /=l-C/sincr, = I sin2 af / (4a2),
ур(у) = Зд/Д(у + С/ sinar)23 / 2 + Cv, z/; (у) = у sina + C.
Здесь С определяется из краевых условий на поверхности, Су - произвольная постоянная
интегрирования. Знаком .. / показано дифференцирование по параметру 5.
Та же поверхность, но при другой постановке задачи, представлена в разделе «Торс с за-
данной линией кривизны в форме параболы второго порядка».
Дополнительная литература
1. Варварица А.Г. Аппроксимация топографической поверхности поверхностью одинакового ската// Приклад-
ная геометрия и инженерная графика. - Вып. 21. - Киев, 1976. - С. 39-42.
2. Копытко М.Ф., Савула Я.Г. Об одном возможном расширении класса оболочек нулевой гауссовой кривиз-
ны// Проблемы машиностроения. - Вып. 17. - Киев: Наукова думка, 1982. - С. 61-65.
3. Горбатович Ж.Н. Кривые второго порядка как плоские сечения торсовых поверхностей одинакового накло-
на//Минск: Белорус, технологический ин-т, 1991.-7с. - Деп.. в ВИНИТИ 04.01.91, № 107-В91.
45
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС ОДИНАКОВОГО СКАТА С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЦЕПНОЙ ЛИНИЕЙ
Все прямолинейные образующие торса одинакового ската с направляющей цепной линией
у = ach(Va) наклонены к плоскости, в которой лежит цепная линия, под постоянным углом а.
Рис, 1
Формы задания поверхности одинакового ската
1) Параметрическая форма задания (рис. 1): z = z(w) = -usin«,
, , v , . , v cos«
х = x(u,v) = v + ucosath — , у = y(u,v) = аса-и-.
a a ch(y/a)
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее главные кривизны:
, . , v и cos а , ,
А = 1, F = О, В = ch —+------, L = М = 0, к = к, =0,
a ach(vM)
( ,7 V А.
асп — + и cos a sin а
a J , sin а Т. п
N = -----—------------, kv = к, =-----------------, К = 0.
a ch'(у/а) “ ach (у / а) + и cos а
Поверхность задана в линиях кривизн и, v. Координатная линия
и = 0 совпадает с направляющей цепной линией, которая лежит в координатной плоскости z = 0.
В сечении поверхности плоскостью х = 0 лежит образующая прямая у = а + zctga. Линии пере-
сечения рассматриваемой поверхности с плоскостями z = z0 = const представляют собой пло-
ские кривые: х = x(v) = v-zoth(v/a)ctga; у = у(у) = ach(v/а) + zosech(v/zz)ctg«.
Дополнительная литература
1. Копытко М.Ф., Савула Я.Г. Об одном возможном расширении класса оболочек нулевой гауссовой кривиз-
ны// Проблемы машиностроения. - Вып. 17. - Киев: Наукова думка, 1982. - С. 61-65.
ТОРС ОДИНАКОВОГО СКАТА С РЕБРОМ ВОЗВРАТА
НА ОДНОПОЛОСТНОМ ГИПЕРБОЛОИДЕ ВРАЩЕНИЯ
Пусть однополостный гиперболоид вращения задан уравнением %2 + у2 - a2z2 = с2, где с -
радиус горловой окружности; а = tg^; ср - угол между осью гиперболоида и его прямыми обра-
зующими. В зависимости от угла со между касательными к линии откоса и осью гиперболоида
(угол- откоса со) на гиперболоиде можно расположить три типа линий откоса: 1) прямые обра-
зующие гиперболоида, когда <р = со', 2) когда ср > со; и 3) когда ср < со. Параметрические уравне-
ния линии откоса на однополостном гиперболоиде вращения при ср ,< со (tgco > tg(s) имеют вид:
х(и) = c(mshmu cos и + chmwsin и), у (и) = c(mshmu sin и — chmucosu), z(u) = (с! a)-yl + m2shmu,
где т = а/^jtg2co-a2.
Принимая эту линию откоса за ребро возврата торсовой поверхности,
можно построить торс одинакового ската с ребром возврата на однопо-
лостном гиперболоиде вращения.
Форма задания торсовой поверхности одинакового ската
1) Векторная форма задания:
ч /ч. , ,. , с!л/1 + т2 (cosui + sinui) + mk
r = r(u,v) = x(u)i + y(u)j + z(u)k + v--> - J,
\a2(.i + m2) + m2
c-5- —-k/8 u’v~ криволинейные неортогональные сопряженные координаты (рис. 2).
0<v<30' -2^<и<2я Дополнительная литература
рис 2 ' Кирищиеб Р.И. Линии откоса на поверхностях вращения второго порядка.и их про-
екции// Математика, некоторые ее приложения и методика преподавания. - Ростов-на-
Дону, 1972. - С. 80-94 (библ.: 2 назв.).
46
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ТОРС ОДИНАКОВОГО СКАТА С НАПРАВЛЯЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ
Торс одинакового ската с направляющим эллипсом - это линейчатая поверхность, имеющая
постоянный угол а между прямолинейными образующими и соответствующими главными
нормалями направляющего эллипса.
Формы задания поверхности одинакового ската с направляющим эллипсом
1) Параметрическая форма задания (рис. 1): z = z(«) = -nsina,
иЬ cos a COST wncosasin V
х = х(и, v) = a cos v + , -р - --=^= ’ У = У^11, г) = b sin v + —, у-' " ~ — •
ya2 sin2 v + b2 cos2 v ya2 sin2 v + b2 cos2 v
При этом способе задания торсовой поверхности одинакового ската предполагается, что
направляющий эллипс задан параметрическими уравнениями х = x(v) = acosv, у = y(v) = ismv
или в неявной форме х2/а2 + у2//?2 = 1. Координатная линия и = 0 совпадает с направляющим эл-
липсом, а семейство линий и - прямолинейные образующие торса одинакового ската.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
/—:--;----;---:— ab COS а
А = 1, F = О, В = У a2 sin' v + b~ cos' v + и рр-:---—г, L = M = 0,
(a sin v+b cos v)
ab sin a
ab sin a
N = pp--------------pp В, ku = k, = 0, k„ = k,= , , , К = 0.
[a sin' v + b' cos' v) B[a~ sin' v +b~ cos v)
В сечении торсовой поверхности плоскостями z = z„ = const лежат замкнутые кривые
z„bcosa 1 |
—--------, - cos V,
sin a ya2 sin2 v + b2 cos2 vJ
1
z„acosa . .
У = y(v) = I b - —:----, " - sin v.
у sina д/д2 sin2 v + b2 cos' vJ
Ребро возврата поверхности - пространственная
замкнутая кривая, которая будет являться линией отко-
са. Направляющий эллипс (и = 0) - эвольвента проек-
Рис-1 ции ребра возврата на плоскость хОу. Параметрические
уравнения проекций ребра возврата на плоскость хОу имеют вид:
х = л'(у) = [(a2 - b2)/a]cos3v, у = y(v) = -[(а2 - й2)/(?]8пГг.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
„ ub2 cos a cos В ~ ab
х = х(и,р) = r(B) cos В + , =, где г = r(ff) = , - - =,
sin2 /3 + ЬА cos2 /3 -ja2 sin2 P + b2 cos2 P
~ „ «a2 cos a: sin/?
У = у(и,Р) = r(P')smp+ i - , z = z(«) = -iisina,
•д/a4 sin2 p + b cos' P
P - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу, p+v, г = г(/б) - расстояние от центра на-
правляющего эллипса до произвольной точки на нем.
При этом способе задания торсовой поверхности одинакового ската предполагается, что
направляющий эллипс задан параметрическими уравнениями х = х(р>) = rcos/?, у = у(/?) = rsinp
или в неявной форме х2/а2 + y2/b2 = 1. Линия и = 0 совпадаете направляющим эллипсом.
Дополнительная литература
1. Копытко М.Ф., Савула Я.Г, Об одном возможном расширении класса оболочек нулевой гауссовой кривиз-
ны//Проблемы машиностроения. - Вып. 17.-Киев: Наукова думка, 1982. - С. 61-65.
2. Крутов А.В. Стрикционные линии некоторых поверхностей откоса в связи с пластическим деформировани-
ем// Информационные технологии и системы. - Вып. 4. - Воронеж: Межд. Академия информатизации, 2001. - С.
167-171 (библ.: 9 назв.).
47
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Цилиндрическая поверхность образовывается движением образующей прямой, остающейся
параллельной некоторой заданной прямой и пересекающей заданную направляющую кривую
линию. Таким образом, линейчатая поверхность, обладающая семейством прямолинейных об-
разующих, параллельных некоторой фиксированной прямой, называется цилиндрической по-
верхностью. Направление фиксированной прямой называется осевым направлением цилиндра.
Цилиндрическая поверхность задается уравнением гЦ,Г) - p(s) + Ле, где р(Ц - радиус-вектор
направляющей кривой; е - единичный вектор, совпадающий с осевым направлением цилиндра.
Цилиндрические поверхности являются поверхностями нулевой гауссовой кривизны. Ребро
возврата у цилиндрической поверхности удаляется на бесконечность.
Цилиндром называется объем, ограниченный цилиндрической боковой поверхностью и
двумя основаниями. Цилиндры подразделяются на наклонные и прямые цилиндры. Прямой ци-
линдр - это цилиндр у которого образующие боковой поверхности перпендикулярны основани-
ям, у наклонного цилиндра образующие боковой поверхности не перпендикулярны основаниям.
Уравнения вида fix,у) = 0, f(x,z) = O,/(y>,z) - 0 определяют боковые поверхности прямых ци-
линдров, прямые образующие которых параллельны соответственно осям Oz, Оу и Ох.
Касательная плоскость цилиндрической поверхности fix,у) = 0 будет иметь уравнение:
Д(<'-х)+Л(’7-У) = 0.
где С Ц ~ координаты х, у точки касания. Эта плоскость параллельна оси Oz и ее положение не
зависит от координаты z точки касания. Линия откоса, расположенная на цилиндрической по-
верхности, переходит в прямую при развертывании этой поверхности на плоскость. Простран-
ственная кривая линия называется линией откоса, если отношение кручения к и кривизны к не
меняется вдоль кривой (к/к. = const Ф 0). Касательный вектор линии откоса образует постоянный
угол с неизменной плоскостью, поэтому ее еще называют линией постоянного угла наклона.
Линейчатую поверхность, образуемую касательными линии откоса, называют поверхностью
одинакового ската (см. «Торсовые поверхности (торсы)»).
Линия, расположенная на цилиндре, называется его направляющей, если любая прямоли-
нейная образующая цилиндра пересекает ее в одной и только в одной точке. Плоскость также
можно рассматривать как цилиндрическую поверхность с прямой направляющей. Геодезиче-
ские линии на цилиндрической поверхности есть линии откоса.
В цилиндрических поверхностях второго порядка направляющими кривыми являются кри-
вые второго порядка. Прямые цилиндры с боковыми поверхностями второго порядка подразде-
ляются на следующие типы цилиндров: 1) эллиптический цилиндр; 2) гиперболический ци-
линдр; 3) параболический цилиндр. Поверхность второго порядка:
ац.т2 + аууу2 + a^yz + 2<3i уху + 2я13лг + 2a33yz + 2щ4А + 2д24? + 2ам + ам = 0,
аНЯ12й13
будет цилиндрической поверхностью, если
^11^12^13^14
я2|аиа23а24
fl3ia32fl33fl34
^41 ^42^43^ T1
= 0.
Д =
Дополнительная литература
1. Soldatos К.Р. Mechanics of cylindrical shells with non-circular cross-section: A survey// Applied Mechanics Re-
views. - Vol. 52 (8). Aug. 1999. - P. 237-274.
2. Soldatos K.P. Review of three dimensional analysis of circular cylinders and cylindrical shells// Applied Mechanics
Reviews. - Vol. 47 (10), Oct. 1994. - P. 501-516.
3. Simitses J.G. Buckling and postbuckling of imperfect cylindrical shells// Applied Mechanics Reviews. - Vol.
39(10), Oct. 1986.-P. 1517-1524.
48
Цилиндрические поверхности, представленные в справочнике:
Цилиндрическая
с направляющей лога-
рифмической спиралью
с направляющей гипер-
болической спиралью
Прямая цилиндрическая
поверхность с направляющей
полукубической параболой
с направляющей спиралью
Архимеда
с направляющей Синусоидальная цилиндрическая
спиралью Ферма поверхность
круговой
цилиндр
Цилиндро-сферическая
спиралевидная полоса
Прямой цилиндр
с направляющей
цепной линией '
Прямая волновая
цилиндрическая
поверхность
На этом листе представлены цилиндрические по-
верхности, наиболее часто встречающиеся в научно-
технической литературе. Любую плоскую кривую
можно принять за направляющую кривую и построить
на ее основе прямую или наклонную цилиндрическую
поверхность. Практически можно создать неограни-
ченное количество цилиндрических поверхностей.
За направляющие кривые можно принимать также
и пространственные кривые, что еще больше расширит
класс цилиндрических поверхностей.
49
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВИНТОВАЯ ПОЛОСА
Цилиндрическая винтовая поверхность {полоса) образовывается движением прямой обра-
зующей постоянной или переменной длины по винтовой направляющей, причем прямолиней-
ная образующая во всех положениях должна быть параллельна оси винтовой направляющей, а
ее длина должна быть меньше шага винтовой направляющей. Таким образом цилиндрическая
винтовая полоса является частью цилиндрической поверхности, ограниченной двумя соосными
винтовыми линиями, поэтому она является поверхностью нулевой гауссовой кривизны.
Формы задания поверхности цилиндрической винтовой полосы
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(v) = acosv, у = y(v) = asinv, z = z(u,v) = cv + и.
Координатные линии v = const есть прямолинейные образующие винтовой полосы, а коор-
динатные линии и = const - винтовые линий с одинаковым постоянным шагом, лежащие на
прямом круговом цилиндре радиусом а. Криволинейные контуры полосы постоянной ширины
совпадают с винтовыми координатными линиями и = 0 и и = Ь, где b - ширина полосы; b < 2лс.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1, F = с, В2 = а2 + с2, L = М =0, N = a, ku = kt = 0, kv = а/В2, k2 = \/а.
Параметрические уравнения плоской развертки полосы можно представить в виде:
хр = Xp(v) = av, zp = zp(v) = cv + b.
На рис. 2 показана развертка на плоскость поверхности цилиндрической винтовой полосы
постоянной ширины b\ tg<p - с/а.
2) Параметрическая форма задания (рис. 3):
х = x(v) = acosv, у - y(v) = flsinv, z = z(u,v) = cv + tvu +u.
Координатные линии v = const есть прямолинейные образующие винтовой полосы, а коор-
динатные линии и = const - винтовые линии с разным шагом, лежащие на прямом круговом ци-
линдре радиусом а.
На рис; 3 криволинейные контуры полосы совпадают с винтовыми координатными линия-
ми и = 0 и и = Ь. На рис. 4 показана развертка на плоскость поверхности цилиндрической вин-
товой полосы переменной ширины; b - ширина полосы при v = 0, tgp = с/а.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1 + tv, F = (1 + tv){c + tu), В1 = a2 + {c + tu)2, L= М =0,.N = a, ku = k] =0, kv =a I B2, k2 =1/ a.
Дополнительная литература
1. Mansfield E. On finite inextensionai deformation of a helical strip// Int. J. Non-linear Mechanics. - 1980. - Vol. 15,
No 6. -P. 459-467.
50
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
Эллиптическая цилиндрическая по-
верхность - боковая поверхность пря-
мого эллиптического цилиндра. Эл-
липтический цилиндр - тело, ограни-
ченное эллиптической цилиндрической
поверхностью и двумя основаниями,
образованными при сечении тела дву-
мя плоскостями, перпендикулярными
его прямым образующим (рис. 1). Час-
то в научной литературе эллиптическую цилиндрическую поверхность называют просто эллип-
тическим цилиндром. Любое сечение эллиптического цилиндра плоскостью, непараллельной
его образующим прямым, является эллипсом. Любой эллиптический цилиндр обладает плоской
направляющей окружностью. На основании этого утверждения эллиптические цилиндры ино-
гда называют косыми или наклонными круговыми цилиндрами. Эллиптические цилиндрические
поверхности принадлежат к классу алгебраических поверхностей второго порядка и являются
поверхностями нулевой гауссовой кривизны (см. «Цилиндрические поверхности»).
Формы задания эллиптической цилиндрической поверхности
1) Неявная форма задания: х2 /а2 + у2 lb2 = 1 (каноническое уравнение),
Эллиптический цилиндр тогда и только тогда является прямым круговым цилиндром, когда
в его каноническом уравнении а = Ь.
2) Явная форма задания (рис. 1): у = ±byl - х2 /а2; -а<х<а; -b<y<b;
3) Параметрическая форма задания (рис. 1): х = x(J3) = acos/?; у - у(/?) = bsin/3; z = z,
где /3 - угловой параметр, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; 0 < р < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = n2sin2/? + b2cos2/?, F = 0, B=l, L = -ab/A, М = N = 0,kp = k\=-ab/A3, к2 = к2 = 0, К=0.
4) Параметрическая форма задания (рис. 1): х = х(а) = rcosa; у = у(а) - rsin«; z = z,
где г = ab / ya2 sin2 a + b2 cos2 a . Поверхность задана в линиях главных кривизн «, z.
5) Явная форма задания (рис. 2):
b (с / 2 - х)
tgz = к = —/ 9 ---=,
а ^а2— (х — с/2)2
cb
2jf(2b-f)’
где у - угол наклона касательной к эллиптическому контуру, отсчитываемый от оси Ох в сторо-
ну положительного направления оси Оу. Приведенная форма задания поверхности используется
три расчете пологих оболочек в форме эллиптической цилиндрической поверхности на прямо-
угольном плане с х I.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, b2(x-c/2)2 ab
А = 1 + -- —— В = 1, F = 0, L = —,-------------г-ру, M = N = 0,
а2[а2-(х-с/2)2] [а2-(х-с/2)2]3'2
=/^ = А/А2, к, = к2 = 0, К = 0.
Дополнительная литература
1. Фидровская Н.Н., Ковальский Б.С. Устойчивость эллиптической оболочки// Подъемно - транспортное обо-
рудование (Киев). - 1989. -№ 20. - С. 47-49.
2. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. - М.:
Наука», 1979. - 384 с.
51
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
Рис. 1
Рис. 2
Прямая параболическая цилиндриче-
ская поверхность образовывается движе-
нием образующей прямой, которая остает-
ся параллельной некоторой фиксированной
z прямой и пересекает заданную направ-
ляющую параболу, расположенную в плос-
кости, которая перпендикулярна фиксиро-
ванной прямой (рис. 1). Часто в научной
литературе параболическую цилиндриче-
скую поверхность называют просто пара-
болическим цилиндром.
Любая плоская направляющая параболического цилиндра является параболой, т. е. в любом
сечении цилиндра плоскостью имеем параболу. Причем подразумевается, что секущая плос-
кость не параллельна осевому направлению цилиндра.
Формы задания параболической цилиндрической поверхности
1) Явная форма задания (рис. 1): у2 = 2рх, где р > 0.
Каноническое уравнение параболической цилиндрической поверхности совпадает с кано-
ническим уравнением ее направляющей параболы. Число р называется параметром параболи-
ческого цилиндра. Это число определено самим цилиндром и в свою очередь определяет пара-
болический цилиндр с точностью до положения в пространстве.
2) Векторная форма задания: г = r(x,z) = xi + ^2рх j + zk.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 =1 + — , F = 0, В = 1, L =
2х
Р1
(2рх)3'2 А
, M = N = 0, kx = к, =
Р2
(2рх)3'2 А3
к. =к2=О, К = 0.
4f . 4f
3) Явная форма задания (рис. 2): у = —т-х(с-х), tg^=y =—г(с-2х),
с ' с~
где/- стрела максимального подъема поверхности, с - ее пролет, у - угол наклона касательной
к параболическому контуру, отсчитываемый от оси Ох в сторону положительного направления
оси Оу. Приведенная форма задания поверхности используется при расчете пологих оболочек в
форме параболической цилиндрической поверхности на прямоугольном плане с XI.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, 16/2, ч2 8/ 8/
А2 =1 + -4-(с-2х)2, Г = 0, В = 1, L = —y—, М = N = Q,k=k.=-p~y, к =к2=0, К = 0.
с с А с А
Длина параболической направляющей поверхности на участке 0 < х < с (рис. 2):
— с
s = Jc2 + 16/2 + — In , .=---
V 4/ ^с2+16/2-4/
Дополнительная литература
1. Tarnai Т. Existence and uniqueness criteria of membrane state of shells. П. Parabolic shells// Acta techn. Acad. sci.
hung. - 1981,92, No 1-2. - P. 67-88 (библ.: 10 назв.).
2. Андрушков В.И. Развитие метода А.Р. Ржаницына применительно к расчету прямоугольных в плане оболо-
чек// Сопротивление материалов и теория сооружений: Респ. межвед. научн.-техн. сб. - Киев, 1981. - Вып. 39. - С.
89-90 (библ.: 2 назв.).
3. Minakawa Couichi, Maehata Tatumi. Linear analysis of shallow translational shells with point support// Res. Repts.
Eng. Kagoshima Univ. - 1985, No 27. - P. 103-117.
52
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
Поверхность называется прямой гиперболической цилиндри-
ческой поверхностью, если в некоторой системе прямоуголь-
ных координат х, у, z она имеет следующее каноническое
уравнение (рис.1):
л2/д2 - у1/Ьг - 1, причем а > О, b > 0.
Часто в научной литературе гиперболическую цилиндриче-
скую поверхность называют просто гиперболическим цилин-
дром. Вместе с некоторой точкой Mq гиперболический ци-
линдр содержит всю прямую, проходящую через эту точку
параллельно оси Oz. Семейство прямолинейных образующих
будет параллельно некоторой фиксированной прямой, назы-
ваемой осевым направлением цилиндра. Линия, расположенная на гиперболическом цилиндре,
называется его направляющей, если любая прямолинейная образующая пересекает ее только в
одной точке. Любая плоская направляющая гиперболического цилиндра является гиперболой.
Формы задания гиперболической цилиндрической поверхности
1) Параметрическая форма задания одной полы гиперболического цилиндра:
р Р
х = х{<р) =--------cos<р, у = у(^) = ------sin ср, z = z,
l-ecosp ' ' l-ecos<p
где р/(1 - ecos^) = г - полярный радиус точки Мо направляющей плоской гиперболы, которая
перпендикулярна осевому направлению гиперболического цилиндра; р = Ь2 / а - фокальный
параметр направляющей гиперболы; <р - угол, отсчитываемый от оси Ох против часовой стрел-
ки; 0<<р<л + 0, cos 0 = 1 / е, 20 - угол между асимптотами гиперболы, е = -yl + b2/а1 - ли-
нейный эксцентриситет гиперболы; а и b - действительная и мнимая полуоси гиперболы. При
этом способе задания поверхности ось Oz проходит через фокус F направляющей гиперболы.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, , l~2ecosffi> + e2 р2 L
А =р----------5 = 0, 5 = 1, L = —-------------г, M = N=0, k=k.=—, k2=0.
1 (1-ecos^)4 . A(l-ecos^)3 9 A 2
2) Если взять в качестве направляющих кривых две одинаковые равносторонние гиперболы
z = 0, у = а/х и z = I, у = а/х, то уравнение однопараметрического семейства плоскостей, фор-
мирующих цилиндрическую поверхность, будет М(х,у,ф) = ах - 2а[> + /?2у- = 0 (см. «Торсовые
поверхности с двумя плоскими направляющими кривыми второго порядка»). После чего из ре-
шения системы двух уравнений М(х,у,[Г) = 0 и дМ/dft = 0 определяется уравнение поверхности в
явной форме: у = а/х. Таким образом, параметрические уравнения боковой поверхности гипер-
болического цилиндра можно записать в виде: х - х, у = у(х) = а/х, z = Z.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности й ее главные кривизны:
, а' 2а 2а
А2 =1 + —г, 5 = 0, 5 = 1, L = -—г, М = N = 0, k, =к = ---=г-г, к, = к, =0, К = 0.
а4 Ах3 1 4 А3х3 2
Дополнительная литература
1. Бергман Р.М. Исследование свободных колебаний некруговых цилиндрических оболочек// Прикл. матема-
тика и механика. - 1973. - Том 37, вып. б. - С. 1125-1Г34.
2. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. - М.:
«Наука», 1979. - 384 с.
3. Munch Mechthild. Beleuchtungsgebiete auf dem hyperbolischen Zylinder bei geometrischer Zentralbeleuchtung aus
mehreren Lichtquellen//Wiss. Beitr. M. Luther-Univ. Halle - Wittenberg. - 1986. M.-№42.S. 95-102.
53
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПРЯМАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПОЛУКУБИЧЕСКОЙ ПАРАБОЛОЙ В СЕЧЕНИИ
Рис. 1
Все точки этой цилиндрической поверхности на оси х-ов
являются особыми. Особая прямая, принадлежащая цилинд-
рической поверхности и расположенная на оси х-ов называ-
ется ребром возврата поверхности. Каждая плоскость, пер-
пендикулярная ребру возврата, пересекает поверхность по
полукубической параболе, для которой точка ребра возврата
является особой точкой - точкой возврата.
Формы задания цилиндрической поверхности
3
1) Явная форма задания (рис. 1): z = Fay- (полукубиче-
ская парабола - парабола Нейля). Полукубическую параболу в работах по алгебраической гео-
метрии называют также каспидалъной кубикой (cuspidal cubic).
2) Параметрическая форма задания: х = и, у = a2v2, z = nV.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = 1, F = 0, 52 = 4aV + 9aV, L = M=(j, N = 6aW4 + 9aV.
Дополнительная литература
1. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М.: «Наука», 1974. - 176 с.
2. Горбатович Ж.Н. Кривые второго порядка как плоские сечения торсовых поверхностей одинакового ската//
Белорусский технологический институт. - Минск, 1991. - 7с. - Деп. в ВИНИТИ 04.01.91, № 107-В91.
ПРЯМАЯ АСТРОИДАЛЬНАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Прямая астроидальная цилиндрическая поверхность имеет четыре особые прямые (рис. 2).
Каждая плоскость, перпендикулярная оси цилиндрической поверхности пересекает эту по-
верхность по астроиде - плоской алгебраической кривой шестого порядка, которая описывает-
Рис. 2
ся точкой окружности радиуса г, катящейся по внутренней стороне окруж-
ности радиуса а = 4г. Астроиду называют также четырехугольной гипоцик-
лоидой. Она огибает семейство эллипсов, у которых сумма полуосей имеет
постоянную величину.
Формы задания цилиндрической поверхности
1) Неявная форма задания: х2/3 + у2/3 = а213.
2) Параметрическая форма задания поверхности (рис. 2):
х = x(f) = acos3/, у = y(t) = asin3/, z = z..
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = 3asinfcosr, F = 0, 5=1, L = 3asin/cosf, Л7 = А' = 0, kt - 2/(3asin2f).
Координатные линии z совпадает с прямолинейными образующими цилиндра. Координат-
ные линии t = 0; t = кН', t = 7r,t = Зя/2 - ребра возврата цилиндрической поверхности.
Длина всех четырех дуг астроиды равна ба. Площадь, ограниченная астроидой равна ЗлтГ/З.
Дополнительная литература
1. Математическая энциклопедия/ Гл. ред. И.М. Виноградов. - Том 1. - М.: «Сов. Энциклопедия», 1977. -
1152 с.
2. Гильберт Д„ Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - М.: «Наука», 1981. - 344 с.
54
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЦЕПНОЙ ЛИНИЕЙ
Наименьшее расстояние от прямой цилиндрической поверхности с на-
правляющей цепной линией, заданной в виде у = ach(x/a), до оси Ох равно
а. В сечениях цилиндрической поверхности плоскостями z = const будут
цепные линии у = ach(x/a), длины которых на участках 0<х<х будут
равны 5 = ash(Vn).
Уравнение цепной линии получено практически одновременно Лейб-
ницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли.
Форму цепной линии нить под действием силы тяжести принимает од-
нородная гибкая нерастяжимая тяжелая нить, подвешенная за концы. По
закону цепной линии провисают тяжелые провода, тросы подвесных до-
рог и т.п. Форма цепной линии зависит не только от геометрических параметров, но и от веса
нити. Параметру а можно дать простую интерпретацию. Тяжелая однородная нить, лежащая на
двух бесконечно малых блоках, будет в равновесии, если ее свободные концы опущены ниже
вершины на расстояние а.
Формы задания цилиндрической поверхности
1) Явная форма задания (рис. 1): у = ach—.
а
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
х 1
A = ch—, F=0, В = 1, L = —, M = N=Q,
а а
1
- к, = -—-т-——, к. = к-, = 0, К = 0.
псп (х /а)
С х У
2) Явная форма задания: у = al ch— -1 .
При этом способе задания одна из прямолинейных образующих цилиндра совпадает с ко-
ординатной осью Oz, а цилиндрическая поверхность касается координатной плоскости xOz
вдоль этой прямолинейной образующей.
3) Параметрическая форма задания поверхности:
5 I—jY
х = x(s) = aArsh —, y = y(s) = ya + s , z = Z,
a
где s - длина участка цепной линии от точки х = 0 до точки х = х.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = В=1, F=0, L = —-г—-у, M = N = ki=kx = L, k2 = kz = 0, К=0.
a +s
4) Параметрическая форма задания поверхности:
( 5 / 5 Г~2----Г
X = x(s) = fl In — 4-д 14-—f , y = y(s) = yla .4-5 , z = z,
I fl V fl J
где 5 - длина участка цепной линии от точки х = 0 до точки х = х.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные.кривизны:
А = B=l, F=Q, L = - , , M = N = 0, kx = kx = L, k2 = k? = Q, K=0.
Cl +5
Дополнительная литература
1. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. - М.: «Наука», 1980. - 240 с.
55
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ СПИРАЛЬЮ
Прямая цилиндрическая поверхность с направляющей логарифмической
спиралью, заданной в полярных координатах уравнением р - ae"v, имеет
цилиндрически-коническую винтовую линию откоса
г = r(yp) = ^[acoscpi + asintpj +bk\, b = const.
Логарифмическая спираль пересекает все свои радиус-векторы под по-
стоянным углом в: ctg0 = т. Длина дуги логарифмической спирали
Формы задания цилиндрической поверхности
1) Параметрическая форма задания поверхности:
х = х(<р) = aem,f cos $9, у = у(<р) = ае'"4’ sin (р, z = Z.
Пусть т имеет положительное значение, тогда при (р -» °°, р —> а при <р —> р —> 0.
Таким образом, цилиндрическая поверхность закручивается вокруг оси Oz, никогда ее не дос-
тигая. На рис. 1 показана цилиндрическая поверхность для случая 0 <т< 1; 0 < ^ < 4тг.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
I---- 1 - e“mf’
А = ае""Ч\ + т2, F = 0, В = 1, L = -А, М = N = 0, k = к{ = -— = —j==, к„ = к2 = 0, К = 0.
А ауХ + т2
Дополнительная литература
1. Гирш А.Г. Построение логарифмической и архимедовой спиралей по наперед заданным условиям// Научные
труды. Омск. с.-х. ин-т. - Омск, 1974. - 127. - С. 112-115.
ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СПИРАЛЬЮ
Направляющая кривая этой прямой цилиндрической поверхности есть гиперболическая
Рис. 2
спираль, которая является плоской трансцендентной кривой с уравнением в
полярных координатах в виде: р = а/<р. На рис. 2 показан прямой цилиндр, по-
лучающийся при (р > 0. Полюс является асимптотической точкой. Длина ду-
ги гиперболической спирали между двумя точками \ф(р\,<р\) и Мг(ръЧ>2)'-
s = а
эй
Гиперболическая спираль является частным случаем алгебраических спиралей.
Формы задания цилиндрической поверхности
1) Параметрическая форма задания поверхности:
х = х(<р) = — cos®, у = у(т) = — sin®, z-z.
<Р <Р
Направляющая гиперболическая спираль, лежащая в сечениях цилиндрической поверхно-
сти плоскостью z = const, состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Оу. Гипер-
болическая спираль имеет асимптоту - прямую, параллельную полярной оси (оси Ох) и от-
стоящую от нее на расстоянии а.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A=-^-Jl + ®2, F = 0, В = 1, L = —-^—у, M = N=0, k, = k=- —, k2 =k. =0, A = 0.
p v Acp 1 v (\ + (p~)A
Дополнительная литература
1. Савелов A.A. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. - М.: Физматгиз, 1960. - 293 с.
56
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ СПИРАЛЬЮ ФЕРМА
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Направляющая кривая этой прямой
цилиндрической поверхности есть пара-
болическая спираль, которая является
плоской трансцендентной кривой с урав-
нением в полярных координатах в виде:
р = +a-J<p + l, I > 0. Если I - 0, то пара-
болическая спираль называется спиралью Ферма. Каждому значению <р соответствует положи-
тельное и отрицательное значение . На рис. 1 показана цилиндрическая поверхность со спи-
ралью Ферма в качестве направляющей кривой, для которой принимаются только положитель-
ные значения , на рис. 2 - только отрицательные значения -^ср. На рис. 3 изображена ци-
линдрическая поверхность с направляющей параболической спиралью р = +aj<p + 1, 1>0.
Параболическая спираль является частным случаем алгебраических спиралей.
Формы задания цилиндрической поверхности
1) Параметрическая форма задания поверхности (рис. 1):
х = x(jp) = ^2р<р cosip, у = у((р) = yjlptp sin <р, z = z.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, ( 1 . р(3 + 4сг) 3 + 4е?2
А2 = р\ 2<р +— , F = 0, В = 1. L = ~—-M = N = О, к, = к=----------к2 = k=Q.
Ч 2<pJ ' 2срА, 1 9 А(1 + 4^2) 2
2) Параметрическая форма задания поверхности (рис. 3):
х = х(ур) = (ajip + Z)cos<p, у = )’(£>) = (<7-/^ + /)sin£2, z = z.
ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ СПИРАЛЬЮ АРХИМЕДА
Направляющей кривой этой цилиндрической поверхности является Архимедова спираль -
плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид: р = а<р
(рис. 4). Архимедова спираль описывается точкой Р, движущейся равномерно по прямой, кото-
рая вращается вокруг точки О, принадлежащей этой прямой. При <р = 0 точка Р совпадает с цен-
тром вращения прямой. Длина дуги между двумя точками P\(p\,<pi) и Pi(P2,<P2)-
s = [<p^i + <p2 + ln(<р + Jl + p2)] ’.
Спираль Архимеда относится к алгебраическим
спиралям. Неоида, уравнение которой в полярных ко-
ординатах р = aip + I, является обобщением спирали
Архимеда.
Формы задания цилиндрической поверхности
1) Параметрическая форма задания поверхности (рис. 4):
х = х(<р) - a<pcos<p, у = у{<р) = atpsincp, z = z-
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
I у 2 + (р~ 2 + (р~
A = ad\ + <p2, F = 0, В = 1, L = - ^--а, M = N = 0,k. = к=-----м-ру, к2 = к, =0, К = 0.
yjl + ip2 v a{\.+tp~y
2) Параметрическая форма задания поверхности (рис.5):
х = х(^) = (аср +l)cos<p, у = у(<р) = (а(р + Г)sin<р, z = Z.
Здесь в качестве плоской направляющей прямой цилиндрической поверхности принята неоида.
57
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ГИБКОГО БУНКЕРА
ДЛЯ ХРАНЕНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ
Гибкий бункер представляет собой цилиндрическую незамкнутую тонкостенную оболочку
с горизонтальной осью, которая подвешивается к двум продольным несущим балкам, опираю-
щимся на колонны здания или на отдельно стоящие стойки. Гибкие бункера относятся к числу
наиболее экономичных по расходу стали емкостей для хранения сыпучих материалов. Направ-
ляющая кривая оболочки гибкого бункера принимается из условия максимального соответствия
очертанию стенок бункера при полном его загружении.
Из множества формул для определения формы гибкого бункера наиболь-
шее распространение получила зависимость [1]:
У = 2/
рис 1 где b - максимальная ширина бункера (рис. 1); -Z?/2<x<ft/2;0<y<y.
Обычно принимается b < 4 м. Площадь А поперечного сечения
бункера и его объем V определяются по формулам:
A = 5fb/8, V=5JbL/8, где L - длина бункера.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее
главные кривизны:
А2 = 1 + 144/2х2(1-х/Ь)2/Ь4, F=0, В = 1,
L = -Y2f(\.-2xlb)l(b2 A), M=N = 0.
На рис. 2 показана поверхность гибкого бункера при b = 4 м; f= 3,2 м; L = 12 м.
Дополнительная литература
1. Металлические конструкции: Справочник проектировщика. - Изд. 2-е, под ред. Н.П. Мельникова. - М.:
Стройиздат, 1980. - С. 465-466.
ЭВОЛЬВЕНТНАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
У эволъвентной цилиндрической поверхности криволинейной
направляющей является эвольвента окружности, которую можно
задать в виде: х = a(cosf + rsinz), у - a(sinf - rcosr), где t - угол, от-
считываемый от оси Ох в сторону оси Оу, 0 < t < оо .
Формы задания эвольвентной цилиндрической поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = x(t,u) - a(cost + rsin?) + zycos<tjcos/1,
рис' 3 у = у(1,и) = a(sin? - fcosf) + wcos^sin/?, z - z(u) = wsin^>,
где tp - угол наклона прямых образующих цилиндрической поверхности к плоскости z = 0; ft -
угол между осью Ох и проекцией прямолинейной образующей цилиндрической поверхности на
плоскость z = 0. Если угол <р Ф л 12, будет получаться наклонная эволъвентная цилиндрическая
поверхность. При <р = я/ 2 будет прямая эволъвентная цилиндрическая поверхность (рис. 3).
Коэффициенты основных квадратичных форм:
А = at, F = at cos ^2cos(r - Д), В = 1, L = -at sin <p I - cos2 ^cos2 (r - Д), M = N = 0.
Прямой эвольвентной цилиндрической поверхностью ограничена боковая поверхность
зубьев цилиндрических зубчатых колес с прямыми зубьями.
2) Параметрическая форма задания (при <р = л 12 - рис. 3):
х = x(t,z) = a(cosf + fsinf) + zcos/tetgp, у = y(?,z) = a(sinr - fcosf) + zsin/fctgip, z = z.
58
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЦИЛИНДРО-КОНИЧЕСКАЯ ВИНТОВАЯ ПОЛОСА
Цилиндро-коническая винтовая полоса (поверхность) образовывает-
ся движением прямой образующей постоянной длины по конической
спирали, причем прямолинейная образующая во всех положениях оста-
ется параллельной оси конической спирали
х = х(<р) = ro sinAcos^i- ek</>,
У = у(<Р) - r0 sin Asin <р-е^, z = z(<p) = rr. cosA-ei(°
(рис. 1), лежащей на круговом конусе, где Л - угол между осью Oz и об-
разующей конуса; долгота <р - угол между плоскостью xOz и подвижной
плоскостью осевого сечения; к - некоторое положительное или отрица-
тельное постоянное число; г0 - постоянная величина. Цилиндро-
коническая винтовая полоса является частью прямой цилиндрической поверхности с направ-
ляющей логарифмической спиралью (см. «Прямой цилиндр с направляющей логарифмической
спиралью»), так как проекция конической спирали на плоскость хОу представляет собой лога-
рифмическую спираль р = r.P'wF. Коническая спираль является линией откоса на поверхности
прямого цилиндра с направляющей логарифмической спиралью. Угол ф между касательной к
конической спирали и плоскостью хОу (плоскость перпендикулярная оси спирали) можно оп-
ределить по формуле:
У cos А
sin р = -р-- =.
у k2 +sin2 А
Формы задания цилиндро-конической винтовой полосы
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(<р) = r0 sinAcos^?- ekip, у = у(<р) = r0 sin Asin <р- ек<р, z = z(<p,u) = ro cos A - ekv + и.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
A = roek^k2 +sin2 A, F = kroekv cos А, 5 = 1, L = -ra sin Ае* V1 + &2, М = N = О,
71 +Л2 sin А 1
^ = roe*(sin2A + ^2)’ *'‘=*2=0’ kl = J1 + el^’ К = °-
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
/х / , fln|as+l|'l . . |/1п|да+ 1П
х = x(s) = ro(as+ l)sm Асоя-- , у = y(s) - г(as + 1) sin Asin -1 ,
У к } \ к )
z = z(j,w) = r0(as + l)cosA + w,
к sin В
где 5 - длина дуги конической спирали; а = —; = =--------г; В - угол наклона каса-
r„V^2+sin2A rflcosA
тельных конической направляющей спирали к плоскости хОу; s - (ekv - 1 )/<я. Координатная ли-
ния и = 0 совпадает с направляющей конической спиралью.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
х тх а2г2(к2 +l)sin2 А
А = В = 1, F = ar cos А = sin В, L = --:------—, M = N=0,
к (as +1) cos Р
ks = L, ku = k2 = 0, k, = Ы cos2 P, K = Q.
59
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
НАКЛОННЫЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР
Наклонная круговая цилиндрическая поверхность образовывается
прямыми образующими, пересекающими направляющую окружность,
при этом оставаясь параллельными осевому направлению цилиндра, ко-
торое образует с основанием цилиндра острый угол <р. Наклонным кру-
говым цилиндром называется объем, ограниченный цилиндрической бо-
ковой поверхностью и двумя круговыми основаниями (рис. 1).
Наклонную круговую цилиндрическую поверхность можно получить
как огибающую однопараметрического семейства плоскостей, касаю-
щихся одновременно двух направляющих окружностей радиусом а:
(у - т)2 + (’ - л)2 = л2, х = I и у2 + z2 = а2, х = 0.
Эти окружности лежат в параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно I. В
этом случае уравнение однопараметрического семейства касательных плоскостей имеет вид:
M(x,y,z,v) = x[nv + m4a2 — v2 ] + la2 -lvz~ly4a2 - v2 =0,
где v = z окружности, лежащей в плоскости х = 0; -a<v<a,v - ft -п, где /> = z другой на-
правляющей окружности.
Рассматриваемая поверхность находит применение в машиностроении, например, она явля-
ется геометрической моделью наклонной цилиндрической течки бункерного устройства.
Формы задания наклонной круговой цилиндрической поверхности
1) Неявная форма задания: (lz - хп)2 + (/у - тх)2 = а212.
Центр нижнего кругового основания лежит в точке с координатами (0, 0, 0), а верхнего ос-
нования - в точке с координатами (/, т, п). Угол наклона прямых образующих к координатной
плоскости х = 0 определяется из формулы:
‘ tgcp = I /4т2 + п2.
Длина прямых образующих цилиндра между двумя круговыми основаниями:
s = 4l2 + т2 + п2.
В сечении наклонного кругового цилиндра плоскостью, перпендикулярной осевому направ-
лению цилиндра, будет эллипс с полуосями ан b-al! 42 + т2 + п2 = a sin <р.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
, . т , . п
х = х, у = у(х,а) = asina +—х, z = z(x,a) = acosa + — x,
где а - угол, отсчитываемы от оси Oz в сторону оси Оу.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
4l2+m2+n2 1 s а
А =------------=-----= —, г = —(mcosa-wsmof), В = а,
I sin^> / I
L = M=0, N =----, . -:= , k<=ki=Q, ka='—:
4 A2 a2 — F2 ' 4 A2 a2 — F2
До пол ните л ь h а я литература
1. Николаевский Г.К., Панов П.В., Ситников В.С., Томаревская Е.С. Обязательный практикум по начертатель-
ной геометрии. - Харьков: Изд-во ХГУ, 1963. - 124 с.
60
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
НАКЛОННЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
Наклонная эллиптическая цилиндрическая поверхность обра-
зовывается прямыми образующими, пересекающими направ-
ляющий эллипс и остающимися параллельными осевому направ-
лению цилиндра, которое образует с основанием цилиндра ост-
рый угол <р. Наклонным эллиптическим цилиндром называется
объем, ограниченный цилиндрической боковой поверхностью и
двумя эллиптическими основаниями (рис. 1).
Наклонную эллиптическую цилиндрическую поверхность
можно получить как огибающую однопараметрического семей-
ства плоскостей, касающихся одновременно двух направляющих эллипсов:
(y-m)2 (z-w)2 у2 Z2
——----1-----— =1, х = I и —г + —у = 1, х = 0.
/г а" Ь~ а
Эти эллипсы лежат в параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно I. В
этом случае уравнение однопараметрического семейства плоскостей имеет вид:
М(х, у,z, v) = x^bnv + тал/а2 — v2 j + bla2 — Ibvz — lay-ja2 - v2 = 0,
где v=fl-n;-a<v<a, /? = z эллипса, который расположен в плоскости х = I; v = z эллипса,
который лежит в плоскости х = 0.
Формы задания наклонной эллиптической цилиндрической поверхности
1) Неявная форма задания: b2(lz - хп)2 + а2(1у - тх)2 = а2Ь212.
Приняв b = а, можно получить неявное уравнение наклонной круговой цилиндрической
поверхности (см. «Наклонный круговой цилиндр»). Взяв т = и = 0, получим прямую эллипти-
ческую цилиндрическую поверхность (см. «Эллиптический цилиндр»).
Центр одного эллиптического основания лежит в точке с координатами (0,0,0), а центр дру-
гого - в точке с координатами (/, ти, и). Угол наклона прямых образующих к координатной
плоскости х = 0 определяется из формулы: tg(p = U ^т2 +п2. Длина прямых образующих ци-
линдра между двумя эллиптическими основаниями s = -Jl2 + т2 + п2. В сечениях цилиндра
плоскостями х = const будут эллипсы с полуосями как у направляющего эллипса.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
т п ab
х = х, у = у(а,х) - rsina + —х, z = z(a,x) = rcoscr + — x, где г = ,.--.
I I -Ja2 sin2 a + b2 cos2 a
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, a2b2(b4 cos2 tx + a4 sin2 а) , l2+m2+n2 s2 , ab(b2mcosa-a2nsina)
А = ~ГУ-----ii> в =----------------л----= ~Г = sin2 q>, F = —,
(ft-cos a+a2sm~a) l~ I" i(b2 cos2 a + a2 sin2 a)
L =----------------------==================================, м = N = 0, К = 0.
/ 2 • 9 « 7 7 \^>l~ / ,7 / 4 . 2 j 4 2 \ ( 2 • г "> \ 2
sm“ oc + b~ cos a) ^r\a sm a + b cos a) + (ma sina + mr cosa)
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
/7 \ I • 7 / 7 \ 7
X = X, у = = DSinA + yх, z = z(a,x) = «cosZ + ух,
где А - угловой параметр, 0 < Я < 2я.
Дополнительная литература
1. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - Киев: «Буди-
вэльнык», 1990. - 192 с.
61
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
НАКЛОННЫЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
Наклонная параболическая цилиндрическая поверхность образовывает-
ся движением прямой образующей, которая пересекает направляющую
параболу, все время оставаясь параллельной осевому направлению цилин-
дра. Осевое направление цилиндра образовывает с плоскостью, где рас-
положена направляющая парабола, острый угол <р (рис. 1). Часто в науч-
ной литературе наклонную параболическую цилиндрическую поверх-
ность называют просто наклонным параболическим цилиндром.
Наклонную параболическую цилиндрическую поверхность можно по-
лучить как огибающую однопараметрического семейства плоскостей, касающихся одновремен-
но двух направляющих парабол:
х = 0, z = y~
2а
и х = I, z =
(.у-т)2
2а
+ п.
Эти параболы лежат в параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно I. В
этом случае уравнение однопараметрического семейства касательных плоскостей имеет вид:
M(x,y,z,P) = x\j3m- ап\ + zal + lyp + /Д2 / 2 = 0,
где Р = у параболы, которая расположена в плоскости х = 0; у = Д + т; у - у параболы, лежа-
щей в плоскости х = I.
Формы задания наклонной параболической цилиндрической поверхности
1) Неявная форма задания: (ly -хт)2 + 2al(nx - lz) = 0.
Вершина одной направляющей параболы лежит в точке с координатами (0,0,0), а вершина
другой - в точке с координатами (/, т, п). Угол наклона прямых образующих к координатной
плоскости х = 0 определяется из формулы: tgcp = //л/m2 + п2. Длины прямых образующих ци-
линдра между двумя параболическим направляющими у = л//2 + т2 + п2. В сечениях цилиндра
плоскостями х = const будут параболы с параметром а, как у направляющих парабол.
Взяв т = п = 0, получим прямую параболическую цилиндрическую поверхность (см. «Па-
раболический цилиндр»),
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х, у = у(х,/3) =/3 + тх 11, z = г(х,Д) = 0,5Д2 /а +пхН.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2 I2 + т2 + п2 if п Д 2 а2 У- В~ 1
А2 =------у---, F = - m + -Д , В2 =---L=M = 0, N = .----= , К = 0.
I а ) a2 a^A2B2-F2
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и) = us'mtp, у = y(ii,p) = Р + ucos^sinA, z = г(и,Д) = 0,5Д2 la + wcos^cosA,
где и - длина участка прямолинейной образующей от параболы, лежащей в плоскости х = 0, до
соответствующей точки цилиндрической поверхности; /. - угол между осью z и проекциями
прямолинейных образующих на плоскость х = 0, отсчитываемый от оси z в сторону оси у.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1, F = cos^[sin2 + (Д/<7)созЛ], В2 - (а2 + Д2)/а2, L=/W = 0, N = sinp/^aVs2 - F2 j,
k}=ku=V, k^NIB2, k2 =sin^/[a(B2 -F2)3/2], К = 0. '
Дополнительная литература
1. Лакирев С.Г., Чиненое С.Г. Математическое моделирование и новые принципы формообразования некруг-
лых поверхностей. Ч. 1. - Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1995. - 156 с.
62
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
НАКЛОННЫЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
Наклонная гиперболическая цилиндрическая поверхность образовывается движением пря-
мой образующей, которая пересекает направляющую гиперболу, все время оставаясь парал-
лельной осевому направлению цилиндра. Осевое направление цилиндра
образовывает с плоскостью, где расположена направляющая гипербола,
острый угол ср (рис. 1). Часто в научной литературе'наклонную гипербо-
лическую цилиндрическую поверхность называют просто наклонным
гиперболическим цилиндром.
Наклонную гиперболическую цилиндрическую поверхность можно
получить как огибающую однопараметрического семейства плоскостей,
касающихся одновременно двух направляющих гипербол:
х = —з/z2 + b2, у = 0 и х = —J(z-ni)2 + b2 + п, у = I.
b о
Эти гиперболы лежат в параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно I. В
этом случае уравнение однопараметрического семейства касательных плоскостей имеет вид:
М(х,у,г,Д) = xbl^J/32 + b2 + у[ат/3 - nbyl р2 + b2) -a/v(z - Д) -<з/(Д2 + Ь2)=0,
где р = z гиперболы, которая расположена в плоскости у = 0; у = В + т\ у = z гиперболы, ле-
жащей в плоскости у = I.
Формы задания наклонной гиперболической цилиндрической поверхности
1) Неявная форма задания: b2(lx - уп)2 - a2(/z - ту)2 - а2Ь212 = 0.
Вершина одной направляющей гиперболы лежит в точке с координатами (а,0,0), а вершина
другой - в точке с координатами (а + п, I, т). Угол наклона прямых образующих к координат-
ной плоскости у = 0 определяется из формулы:
I
. tg<p=
рт +п
Длины прямых образующих цилиндра между двумя гиперболическим направляющими
v = уг +т2 +п2. Взяв т = п = 0, получим прямую гиперболическую цилиндрическую поверх-
ность (см. «Гиперболический цилиндр»). В сечениях цилиндрической поверхности плоскостя-
ми у = const получаются гиперболы, идентичные направляющим гиперболам.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
„ а —г п „ „ т
х = х(у,Д) = ~7Д +Ь +-у, у = у, з = г(у.Д) = Д+ —у.
b l I
N =
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
I2 + т2 +п2 11 па[3
Т2 ' "" —
А2
а2р2
’B2=l + V^’L=M = °’
(Z2 + т2 +n2)ab
Ьу[/Зг + Ь2
A ......7„„
(J32 + Ь2')212А2В2 - F2 ’ В2’ k2~ l2(^+b2y/2(A2B2-F2)2l2’K~°-
ab
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
1 + f2 п 2t т
x = x{y,t') = a-—y + -y, у —у, z = z(y,t)=b-^—^ + —у,
где - 1 < t < 1.
63
КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Коническая поверхность - поверхность, образуемая движением прямой (образующей), про-
ходящей через данную точку (вершину конической поверхности) и пересекающей данную ли-
нию (направляющую). Коническая поверхность имеет две полости, расположенные симметрич-
но относительно вершины (рис. 1). Справедливо утверждение: всякая алгебраическая поверх-
ность, которая состоит из прямых, проходящих через одну точку, есть коническая поверхность.
Согласно этому утверждению, любая плоскость является конусом с вершиной в произвольной
точке. Конические поверхности являются поверхностями нулевой гауссовой кривизны (К = 0).
поэтому они могут быть развернуты на плоскость без разрывов и складок.
Конус - тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сто-
рону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины.
Часть плоскости, лежащая внутри конической поверхности, называют основанием конуса, г
часть конической поверхности, заключенная между вершиной и основанием, - боковой поверх-
ностью конуса. Подмножество конусов, заключенное между двумя параллельными плоскостя-
ми, называют усеченными конусами, или коническими слоями.
Действительную коническую поверхность второго порядка (см. «.Поверхности второго
порядка») можно рассматривать как вырождение однополостного или двуполостного гипербо-
лоида. К коническим поверхностям второго порядка относятся: коническая поверхность враще-
ния, наклонная круговая коническая поверхность, прямая и наклонная эллиптические кониче-
ские поверхности и мнимая коническая поверхность, каноническое уравнение которой
х2/а2 + у2!Ь2 + z2/c2 =. 0.
Единственная действительная точка мнимой конической поверхности - точка с координа-
тами (0, 0, 0). Любой конус второго порядка обладает плоской направляющей, являющейся ок-
ружностью. Конус называется прямым, если его высота совпадает с его осью, в противном слу-
чае его называют наклонным. Высота конуса - длина отрезка перпендикуляра, опущенного из
вершины на плоскость основания конуса. Прямая, проходящая через вершину конуса и точку
пересечения осей основания называется осью конуса.
Пусть вершина конуса находится в начале координат, а направляющая кривая расположена
в плоскости z = 1 и имеет уравнение /(х,у) = 0, тогда уравнение F(x,y,z) = 0 будет уравнением
конической поверхности, если F(x,y,l) =f(x,y).
Пусть дано уравнение поверхности второго порядка:
ацх2+ а22у2+ азз?2 + 2ai2xy + 2«i3xz + 2a23yz + 2ацх + 2а24У + 2a34Z + «44 = 0,
которое будет определять коническую поверхность только в случае, когда
^11^12^ 13^ 14
Ct э j Cl 9 Ct 2 j Ct 'у
Ct 2 ] Ct 2^ Cl 22 ^t 2^
Я41Д42й!43а44
Конической поверхностью п-го порядка называется алгебраическая поверх-
ность, задаваемая в системе координат х, у, z уравнением/(т,у,z) = 0, где/(х,у,х) есть однород-
ный многочлен n-й степени от переменных х, у, z. Вершина конуса будет в начале координат О.
Коническая поверхность может быть получена как частный случай торсовой поверхности
(см. «Торсовые поверхности (торсы)»), у которой ребро возврата вырождается в точку - вер-
ч
Рис. 1
а11й12Я13
4^21 2 $ ^3
= 0.
Ф 0 и А =
5 =
шину конуса.
Дополнительная литература
1. Polanski Stanislaw and Pianowski Leslaw. Rozwini^cia powierzchni w technice. Konstrukcje wspomagane
komputerowo// Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001. - 412p.
64
КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Конические поверхности, представленные в энциклопедии:
Коническая поверхность Наклонная круговая коничс- Эллиптическая коническая Наклонная эллиптическая Параболическая
вращения ская поверхность поверхность коническая поверхность коническая поверхность
Прямая коническая синусоидаль- направляющей кривой в форме поверхность в линиях кривизн с коническая полоса
пая волновая поверхность круговой синусоиды внутренней вершиной
Коническая поверхность с паправ- коническая Эвольвентпая коническая ' Сотовая коническая
ляющей линией па сфере поверхность поверхность поверхность
Дополнительная л ит ер а тура
1. Малеев М.В., Саченков А.А. Устойчивость конических и цилиндрических оболочек эллиптического
сечения// Тр. XIV Всес. конф, по теории пластин и оболочек, том II. - Кутаиси, 20-23 сент. 1987,- Тбилиси:
Изд-во Тбил. ун-та, 1987. - С 181-186 (библ.: 3 назв.).
2. Образг/ов И.Ф., Очаков Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. - М.: «Ма-
шиностроение», 1973. - 670 с.
3. Климанов В.И., Макаров А.И. Расчет пологих конических оболочек,'лежащих на упругом основании,
при осесимметричном нагружении за пределами упругости// Исследования пространственных конструк-
ций. - Вып. 3. - Свердловск, 1981. - С. 36-45 (библ.: 9 назв.).
4. Маап Н. Jawacl. Design of Plate and Shell Structures. - New York: ASME, 2004. - 476 c.
5. Renton J.D. Characteristic response of hollow cones// J. Elast.- 1997- 49(2). - P. 101-112(библ.: 10 назв.).
6. Teng J.G. Collapse strength of complex metal shell intersections by the effective area method// J. Pressure
Vessel Tech. - 120 (3), Aug 1998. - P. 217-222 (библ. 18 назв.).
7. Кукуджанов С.Н. О собственных .колебаниях предварительно напряженных конических оболочек//
Тр. XIV Всес. конф, по теории пластин и оболочек, том II. - Кутаиси, 20-23 сент. 1987,- Тбилиси: Изд-во
Тбил. ун-та, 1987. - С 121-126 (библ.: 6 назв.).
65
3 - 5391
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3.
Рис. 4. Усеченный
эллиптический
конус
Эллиптическая
коническая поверх-
ность является дей-
ствительным кону-
сом второго порядка
(см. «Поверхности
второго порядка»),
который образуется
движением прямой,
проходящей через
данную точку и пересекающей направляющий эллипс (рис. 1). Перпендикуляр к плоскости на-
правляющего эллипса, опущенный из вершины эллиптического конуса, проходит через точку
пересечения осей направляющего эллипса, поэтому эллиптическую коническую поверхность
иногда называют прямой эллиптической конической поверхностью.
Формы задания эллиптической конической поверхности
2 2 2
х у Z
1) Неявная форма задания: —у + — - -к- = 0 (каноническое уравнение).
а Ь~ с
Плоскость z = h^O пересекает конус по эллипсу с полуосями a\h\/c и b\h\/c (рис. 1). Плос-
кость z = 0 пересекает конус в одной точке (0, 0, 0). Плоскости у = и х = h^O пересекают
конус по гиперболам (рис. 2). Плоскости у = 0 и х - 0 пересекают конус по паре пересекающих-
ся прямых. При а = b эллиптический конус является прямым круговым конусом (см. «Поверх-
ности вращения»),
2) Явная форма задания (рис. 2): z1 = х2 / р2 + у2 /<?2, где принято р2 =а2 /с2, q2 = b2 /с2.
3) Параметрическая форма задания (рис. 3):
х = x(u,v) = awcosv; у = y(u,v) = Zwsinv; z = z(w) = cu,
где и = z/c- безразмерная величина, равная высоте конуса, деленной на параметр с, 0 < v < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = a2 cos2 v +b2 sin2 v + с2, F = wsin2v(/?2 - а2) / 2, В2 = а2и2 sin2 v + b2u2 cos2 v,
L=M=0, N = abcu2 / jА2В2 - F2; ku = kx = 0, kv = N / B2, k2 = A2 NI (A2 B2 - F2), X = 0.
4) Возьмем два подобных эллипса, лежащих в параллельных плоскостях (рис. 4):
у2 /с2 + z2 /d2 = 1, х = I и у2 lb2 + z2 /а2 = 1, х = 0, где ас = bd.
Тогда уравнение однопараметрического семейства плоскостей касательных к эллиптиче-
скому конусу будет иметь вид:
М — М{х,у,z,P) = (c-b)x ! I - cfiz!d2 — d)2 y+b = O,
где р = z - ордината эллипса, лежащего в плоскости х = I. Вершина эллипса находится в точке с
координатами х = Ы/(Ь - с), y = z = Q.
Неявное уравнение поверхности эллиптического конуса: [х(с - Ь)Н + /?]2 - у2 - c2z2ld2 = 0.
Дополнительная литература
1. Кантор Б.Я., Меллерович Г.М., Науменко В.В. Исследование напряженного состояния оболочек типа эллип-
тического конуса//Динамика и прочность машин. - 1982. - Вып. 31. - С. 19-34.
2. Павилайнен В.Я., Подаров К.А. Расчет оболочки в форме эллиптического конуса// Вторые Поляховские чте-
ния: Всероссийская научная конф, по механике. - С.-Петербург, 2-4 февраля 2000 г. - СПб.: Изд-во НИИХ СпбГУ
2000.-С. 131.
66
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
НАКЛОННАЯ КРУГОВАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
х> Наклонная круговая коническая поверхность
К является конической поверхностью второго по-
рядка (см. «Поверхности второго порядка»), ко-
Шж торая образуется движением прямой, проходя-
К гАу ще^ чеРез определенную точку и пересекающей
v z WlsiSBy) направляющую окружность (рис. 1). Перпенди-
'i1 ''т 'А-д; куляр к плоскости направляющей окружности,
п 'J' опущенный из вершины конической поверхно-
Рис' 1 Рис'2 Ри2' 3 сти, не проходит через центр направляющей ок-
ружности. Наклонным круговым конусом называется объем, ограниченный его боковой кониче-
ской поверхностью и круговым основанием, причем высота конуса не совпадает с осью конуса.
Наклонную круговую коническую поверхность можно получить как огибающую однопа-
раметрического семейства плоскостей, касающихся одновременно двух направляющих окруж-
ностей с радиусами а и с:
(у - m)2 + (z - л)2 = с2, х = I и у2 + z2 = а2, х = О,
где / - расстояние между плоскостями с направляющими окружностями (рис. 2). В этом случае
уравнение однопараметрического семейства плоскостей имеет вид:
M(x,y,Z,v) = x[nv + m-7c2 - г2 + с(с - а)] + lac — Izv — с~ -v2 у = О,
где г = р - л; - с <v < с ; fi = z. направляющей окружности, лежащей в плоскости х = /;
у = a(J3- п) I с = av ! с,
где у = z направляющей окружности, лежащей в плоскости х = 0.
Координаты вершины наклонного кругового конуса можно определить по формулам:
ха = я/ / (я - с), ув = ат! (я - с), z, = ап / (а - с).
Наклон оси конуса к плоскости х = 0: tgcp = l / ут2 + п2.
Формы задания наклонной круговой конической поверхности
1) Неявная форма задания: (fe - хи)2 + (/у - тх)2 = [al +х(с - я)]2.
В сечениях наклонного конусах = h получаются окружности с радиусами:
г = я - (я - c)h /1.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
cos<2 т-(я-с)со8Й
х = х, у = у(х,Л) =--х + rcosz. =-----------X + flCOSZ,
tg^ I
sin a п-(а-с)$тЛ
Z = z(x,A) =--x + r sin Л =-----------x + я sin Z,
tg<p I
где 0 < Z < 2л, a = const - угол между проекцией оси конуса на плоскость х = 0 и осью Оу:
sin а = и / -Jm2 +п2, cos а = т / ylm2 +и2 .
На рис. 2 показан усеченный наклонный круговой конус для случая 0 < х < I, I < хв. Если
взять 0 < х < xe = al / (я - с), то получим коническую поверхность с вершиной (рис. 3).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = 1 + [т2 +и2 + (я-с)2-2(n-c)(mcosZ + nsinZ)]/Z2, В = -х(а-с) / 1+а = г,
F = -B(msinZ-ncosZ) /1, L = М = 0, N = В2 / Ja2B2-F2, kx = =0, k2 = А2 В2 ! (А2 В2 - F2y12.
Дополни те льная литература
1. Варшавский И.П., Тарасов А.Г. Особенности сводообразований в конических бункерах с вертикальной стен-
кой// Строительная механика и расчет сооружений. - 1981. - №5. - С. 12-15 (библ.: 9 назв.).
67
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
НАКЛОННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Наклонная эллиптическая коническая поверх-
ность является конической поверхностью вто-
рого порядка (см. «Поверхности второго поряд-
ка»), которая образуется движением прямой,
проходящей через определенную точку и пересе-
кающей направляющий эллипс (рис. 1). Перпен-
дикуляр к плоскости направляющего эллипса,
опущенный из вершины конической поверхно-
сти, не проходит через центр направляющего эл-
липса. Наклонным эллиптическим конусом называется объем, ограниченный его боковой кони-
ческой поверхностью и эллиптическим основанием, причем высота конуса не совпадает с осью
конуса (см. «Конические поверхности»).
Наклонную эллиптическую коническую поверхность можно получить как огибающую од-
нопараметрического семейства плоскостей, касающихся одновременно двух направляющих эл-
липсов с полуосями а, b и d, с. Для того, чтобы получилась коническая поверхность, необходи-
мо, чтобы отношение полуосей двух направляющих эллипсов было одинаковым, т.е. a/b - d/c
(рис. 2). Если принять в качестве независимых параметров а, Ь, с, тогда d =ac/b. В этом случае
уравнения двух направляющих эллипсов можно записать в виде:
(у-m)2 Ь2(у-п)2 у2 z2
х = I, --5---+-----—----=1 и х = 0, — + -у- - 1,
с а'с" Ь~ а
где I - расстояние между плоскостями с направляющими эллипсами. Уравнение однопарамет-
рического семейства плоскостей имеет вид:
M(x,y,z,v) - х[ст + md^ d2 -v2 +d2(c-b)] + lbd2 - clzv - Id^ld2 - г2 у = 0,
где v = p - n\ - d < v < d , Д = z направляющего эллипса, лежащего в плоскости х- I; d = ac/b,
7 = b(J3 - п) / с = bv / с,
где у = z направляющего эллипса, лежащего в плоскости х = 0.
Координаты вершины наклонного эллиптического конуса можно определить по формулам:
хв = bl / (Ь - с), уя = Ьт/(b - с), za = bn! (а - с).
Наклон оси конуса к плоскости х = 0: tgcp = I /ут' + п2.
Формы задания наклонной эллиптической конической поверхности
1) Неявная форма задания: b\lz - хп)2 + а2(1у - тх)2 = а2[Ы +х(с - Ь)]2.
В сечениях наклонного конусах = h получаются эллипсы с полуосями:
р — а[Ы - х(Ь - с)] / (W) и f = [bl - x(b - с)] /1.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х, у = у(а,х) = тх/1 + rsina, z = z(<z,x) = пх/1 + rcosa,
где a - угол, отсчитываемый от оси Oz в сторону оси Оу, 0 < а < 2л",
г - г(а,х) = а[Ы - x(b - с)] / ^b2 cos2 а + а2 sin2 а).
3) Параметрическая форма задания (рис. 2):
т Ы-х(Ь~с) п bl-x(b-c)
х-х, v = у(Л,х) =—х +-----------sinZ, z = z(/,x) = —х + а----—-----cos/.,
I I I bl
где 2 - угловой параметр, 0<Л< 2л,
Дополни те льная литература
1. Курамин В.П. Распределение давления сыпучих материалов по глубине конических бункеров специальной
формы// Строительная механика и расчет сооружений. - 1980. - №3. - С. 48-52 (библ.: 5 назв.).
68
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ В ФОРМЕ АНЬЕЗИАНЫ
Коническая поверхность
Рис. 1
с направляющей кривой в форме анъезианы
2В-Т
Z =--;----- ~ 1 ,
4у+В2
где -В/2<у<В/2, G<z<T, образуется движением прямой,
проходящей через вершину поверхности (L; 0; 0) и пересекающей
заданную направляющую аньезиану (рис. 1). Направляющая кри-
вая лежит в координатной плоскости yOz.
Формы задания конической поверхности
2B2T(L-.v)3 T(L-x)
1) Явная форма задания: z =-\;-------------------->
F L[4y2L2 + 83(L-x)2] L
где L - высота конической поверхности. Коническая поверхность с направляющей аньезианой
является алгебраической поверхностью 3-го порядка.-
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
v) । 25”
Х=Х, у = у(х,а) = (L-x)tga, z = z(x,a) = - ----—-1
L \4L-\%~a+В-
где а - угол в плоскости хОу с вершиной в точке (L; 0; 0), отсчитываемый от оси Ох;
-8/(2L) < tg«< 8/(28).
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.Я., Протодьяконов С.М. Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей
высших порядков// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 108-120 (библ.: 2 назв.).
КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ В ФОРМЕ ЛИСТА ДЕКАРТА
Алгебраическая поверхность 3-го порядка, образованная пря-
мыми линиями, проходящими через точку А с координатами (L,
0,з/зТ /3) и направляющую кривую в форме листа Декарта
, В l3(T-z)
у ~ ±2,5426— zJ-------,
называется конической поверхностью с направляющей кривой в
форме листа Декарта (рис. 2 - 3).
Форма задания конической поверхности
1) Явная форма задания:
_ _„.B(Lz-V3xT/3) ЫтЬ-Тх-Ьх + у/ЗхТ/з}
у = ±2,5426---------------—f-------—------j=—т2,
Т L \ [TL-xT + 3Lz-j3xT)
где L - длина перпендикуляра, опущенного из вершины конуса на
плоскость yOz; 0 < х < L; утах = В при z = 71 т/з .
2) Параметрическая форма задания (рис.2 - 3):
х = л'(и) = Lu, у = у (и, v) = ±2,5426.8(1 -и)д/(1 - v)/(1 /3 + v) ,
z = z(u, v) = Bui 7з + 8(1 -и),
гдеО < z S Т; - В < у < В; 0 < х < L. Поверхность на рис. 3 построена для 0 < и < 1; -0,3 < v < 1;
L = 4 м; Т= 2 м; В = 0,5 м.
69
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Гиперболическая коническая по-
верхность является незамкнутой
конической поверхностью второго
порядка, которая образуется пря-
мой, проходящей через вершин}7
конической поверхности (рис. 1) и
пересекающей направляющую ги-
перболу. Гиперболическую кониче-
скую поверхность можно получить как огибающую однопараметрического семейства
плоскостей, касающихся одновременно двух направляющих гипербол
х = nVz2 + b2 / Ь, у = 0 и х — п + c^](z- in)2 +d~ Id, y = l,
при условии, что cb = ad', I - расстояние между плоскостями с направляющими гиперболами
(рис. 2). Направляющие гиперболы имеют параллельные оси. Перпендикуляр к координатной
плоскости у = 0, опущенный из вершины гиперболы, лежащей в плоскости у = /, проходит через
точку С с координатами С(с + n; /; т). Если c^adtb, то огибающая однопараметрического
семейства плоскостей, касающихся одновременно двух гипербол, будет представлять собой
торсовую поверхность с ребром возврата, которая вырождается в коническую поверхность при
выполнении условия с = ad/b. Из условия единственности для торсовой поверхности можно по-
лучить следующее соотношение: у = т + a/3d2 /у]/З2(c2b2 -a2d2) + с2/?4, которое для кониче-
ской поверхности вырождается в соотношение у = fld/b + т , где /3 = z гиперболы, лежащей в
плоскости у = 0; а у = z гиперболы, лежащей в плоскости^ = I.
Координаты вершины конической поверхности можно определить по формулам:
хв --bni(b-d), ув = Ы / (b - d), zs=bml (Ь-d').
Формы задания гиперболической конической поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
л = л(Ду) =|U^2 + b2[^-y-y + l\ +~-у; у = у, z = z(/3,y) =[^/3-/3 + т\у +/3.
Ы \Ь 3 1 \Ь 3 1
Координатные линии Д = const - прямолинейные образующие конической поверхности, ли-
нии у = const совпадают с линиями сечения конической поверхности плоскостями у = const.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
//? Ч laid ,2 -С, , Z, У.-У „
х = х(/3,у)-—-----^/3 +Ь + — у, у-у, z = z(p,y) = —у +-------р.
Ьув У„ У, У»
Эта форма задания удобна, если известны координаты вершины конической поверхности и
параметры а, b направляющей гиперболы, лежащей в плоскости х = 0.
3) Коническая поверхность получается, если взять в качестве направляющих кривых две
равносторонние гиперболы х = 0; у = a/z и х = I; у = b/z (рис. 3). Уравнение однопараметриче-
ского семейства плоскостей, касающихся одновременно этих двух направляющих гипербол, за-
пишется в виде: М = М (х,у ,z, /3) = zl + 2/3(х -1 - x-JbTa} + ly/321 a = 0, где /3 = z гиперболы,
лежащей в плоскости х = 0; [3 = у-Jalb, у = z гиперболы, лежащей в плоскости х = I. Координа-
ты вершины конической поверхности определятся по формулам: х„ = al l(a- 4ab}‘, уе = ze- 0.
Если принять а = Ь,то поверхность станет цилиндрической.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. -287 с.
70
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПРЯМАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПЛОСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ В ФОРМЕ КРУГОВОЙ СИНУСОИДЫ
Ах, Прямая коническая поверхность образуется движением прямой линии,
одна точка которой неподвижна, а другая описывает синусоиду относи-
тельно базисного круга радиусом г = ztg0o в плоскости, перпендикулярной
оси К0НУса (рис. 1). При и = 0 образующая прямая наклонена к оси конуса
под углом V о.
Формы задания конической поверхности
• 1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и,у) = v/5(u)cosu, у — y(u,v) - v/S(u)sinw, z = v,
где. введены обозначения: S(u) = 1 + д8т(/им); д - амплитуда синусоиды относительно единич-
ного круга, находящегося в сечении z = ctg(90; т - число волн синусоиды; t = tg60; 0 < и < 2я.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = Гv2[s2 (и) + р2 т2 cos2 (/пи)], F = -v/2S(w)^/ncos(/nw), В2 = 1 + /2№(и),
L = ~—|[s(w) + рпг sin(nw)]S(w)-2д2/п2 cos(/nu)], /И=0; У = 0;
где о-2 = (А2В2 - F2)/(tv)2 = S2(m) + t2S4(u) + т2 р2 cos2(/nw). На рис. 1 изображена прямая
коническая поверхность при т = 5; на рис. 2 - при т = 2; на рис. 3 - при т = 3. На рис. 4 пока-
зана усеченная прямая коническая поверхность с параметром т = 4; на рис. 5 - коническая по-
верхность с параметром т = 7.
ЭВОЛЬВЕНТНАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Эвольвентная коническая поверхность имеет в качестве направляющей кривой эвольвенту
окружности х = o(cosf + /sin/), у = n(sin/ - /cos/), где / - угол,
отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу (рис. 6); 0 < / < <» .
Эвольвентную коническую поверхность можно задать в виде:
z х х„ — «(cos/+/sin/) г . '
х = х(/, z) = —--------------z + «(cos t +1 sin /),
z%c
/ ч У% -«(sin/-/cos/)
У = y(t, z) = — --------------+ a(sin / -1 cos /), z — z,
A...
где x„, ye, Ze - координаты вершины конической поверхности.
Эвольвентная коническая поверхность ограничивает боко-
вую поверхность зубьев конических зубчатых колес с прямыми зубьями.
71
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
СПИРАЛЬНАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОЛОСА
Спиральная коническая полоса
расположена на конической по-
верхности вращения. Она пред-
ставляет собой часть боковой по-
верхности прямого кругового ко-
нуса. Спиральная коническая по-
лоса ограничена с двух сторон
коническим спиралями, лежащи-
ми на направляющем конусе.
Формы задания спиральной конической полосы
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и,у) = (roe"'“ + v)sin(9cosw, у = y(u,v) = (roe"'“ + v)sin0sinn, z = z(u,v) ~ (roe"'M + v)cos0,
где в - угол между прямолинейными образующими конической поверхности вращения и осью
вращения; го и т константы.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = r2m2e2m“ + {гое'"“ + г)2 sin2 в, F = готе’"“, 3 = 1, Ja2B2-F2 = (ре""1 + v)sin<9,
L =-sin(20(r„e""‘ + у)/2, M =N = 0, ku =-L! A2, k,,=k2 =0, k{ = -ctg0/(r„e"m + v), К = 0.
Поверхность задана в криволинейных неортогональных сопряженных координатах и, г.
Проекции координатных линий и на плоскость хОу - логарифмические спирали. Координатные
линии v совпадают с прямолинейными образующими спиральной конической полосы, а, следо-
вательно, с и прямыми образующими конической поверхности вращения.
Площадь поверхности спиральной конической полосы, ограниченной координатными ли-
ниями и,, иг и Vi, vi можно определить по формуле:
S = (га/in)sin 0(е'"“' - е'"“2 ду( - v2) + 0,5(и, -и2)(v2 - v2_ )sin 0.
Если в параметрических уравнениях поверхности положить 9 = тг/2, то получится плоская
область, ограниченная двумя логарифмическими спиралями (рис. 2).
2) Явная форма задания: х2 + у2 = z2tg20.
КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЛИНИЕЙ НА СФЕРЕ
а = 10;
а= 10;
р= 1/2
Рис. 3
Вершина конической поверхности с направляющей линией на сфере лежит в центре опор-
ной сферы. Направляющая линия располо-
жена на поверхности этой же сферы радиу-
сом а и задана векторным уравнением:
||| со = во(и) = «(icosw + jsinn)cos<y + kaki пт,
яр причем co = pu; p = const.
Формы задания конической поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) = (а + v)coscocosn,
у = y(u,v) = (а + v)coscosinw,
z = z(u,v) = (а + v)sin<y.
Если взять у < 0, то коническая поверх-
ность будет помещаться внутри опорной
сферы (рис. 3), а при у > 0 - вне опорной сферы (рис. 4). В обоих случаях направляющая линия
лежит на сфере радиусом а. Поверхность задана в линиях главных кривизн и, у.
Рис. 4
72
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Линейчатая поверхность отрицательной гауссовой кривизны - двумерная линейчатая по-
верхность трехмерного евклидова пространства, которая в каждой своей точке имеет отрица-
тельную гауссову кривизну К < 0. Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны
называют также косыми линейчатыми поверхностями, или линейчатыми седловыми поверхно-
стями. Коноиды, гиперболические параболоиды, однополостные гиперболоиды являются два-
жды линейчатыми поверхностями. Однополостный гиперболоид вращения — единственная ли-
нейчатая поверхность вращения отрицательной гауссовой кривизны. Коноиды и цилиндроиды
принадлежат также к семейству поверхностей Каталана. Гиперболические параболоиды и од-
нополосные гиперболоиды являются поверхностями второго порядка. Прямой геликоид -
единственная линейчатая поверхность из семейства минимальных поверхностей.
Из линейчатых поверхностей выше второго порядка наиболее детально изучены поверхно-
сти 3-го и 4-го порядков. Существует два вида поверхностей 3-го порядка. Первый вид имеет
две скрещивающиеся прямые, пересекающие все образующие, одна из которых - двойная. Вто-
рой вид имеет одну двойную прямую. Обе поверхности несут на себе двухпараметрическое
множество конических сечений, лежащих в пучках плоскостей, проходящих через каждую об-
разующую. Линейчатые поверхности 4-го порядка имеют на себе в общем случае двойную кри-
вую 3-го порядка. Вместе с общим случаем существует 12 видов поверхностей 4-го порядка. Из
них 6 видов имеют на себе однопараметрическое множество конических сечений. В качестве
контуров отсеков косых поверхностей 3-го и 4-го порядков могут быть избраны пространствен-
ные кривые на поверхности или плоские сечения в виде кривых 3-го или 4-го порядков.
Приведем определения некоторых косых линейчатых поверхностей, которые можно уви-
деть в очертаниях некоторых промышленных изделий. Поверхность косого перехода - это ли-
нейчатая поверхность с тремя направляющими, из которых две - дуги окружностей одинаково-
го радиуса, лежащих в параллельных плоскостях, а третья - прямая линия, перпендикулярная
плоскостям окружностей и проходящая через середину отрезка прямой, соединяющего центры
этих дуг окружностей. Поверхность косого перехода применяется в архитектуре и строительст-
ве. Поверхность косого клина образовывается движением прямолинейной образующей по трем
направляющим, расположенным в параллельных плоскостях, причем две криволинейные на-
правляющие - гладкие кривые, а третья - прямая линия. Эта поверхность используется при соз-
дании крыла летательного аппарата. Поверхность дважды косого коноида содержит три на-
правляющие, из которых одна направляющая - кривая линия, а две другие - прямые. Поверх-
ность косого цилиндра образовывается движением прямолинейной образующей по трем криво-
линейным направляющим. Дважды косой цилиндроид - линейчатая поверхность, образованная
при трех направляющих, из которых две - кривые, а третья - прямая линия.
Способы построения приближенных разверток косых линейчатых поверхностей гораздо
сложнее построения разверток торсовых поверхностей. Развертки косых поверхностей не точ-
ны и почти невозможно избежать последующих исправлений и подгонок готового изделия. Раз-
вертку приходится выполнять по частям из отдельных листов, которые затем соединяются ме-
жду собой тем или иным способом. Во многих случаях представляется возможным изменить
запроектированную листовую конструкцию элементами развертывающихся поверхностей.
Дополнительная литература
1. Wetp Giinter, Jank Walter. Spezielle erzeugendentreue isometrien torsaler und windschiefer Flahen; ein Bericht//
Proc. Cong. Geom., Thessaloniki. - 1-6 Jimi, 1987. - Thessalonili, 1988. - S. 241-245.
2. Подгорный А.Л., Обухова B.C. Формообразование оболочек из отсеков косых и торсовых поверхностей
высших порядков// Shells in Architecture and Strength Analysis of Thin-Walled Civil-Engineering and Machine-Building
Constructions of Complex Forms. - Москва, 4-8 июня 2001 г. - M.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 324-329 (библ.: 8 назв.).
73
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ЛИНЕЙЧАТЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
1. Коротич А.В. Принципы формообразования составных линейчатых оболочек в архитектуре. - Урал. гос.
архит.-худож. акад., Екатеринбург, 2000. - 223 с. - Библ.: 106 назв. - Деп. в ВИНИТИ 10.08.2000. - №2218-В2000.
2. Петропавловская И.А. Гиперболоидные конструкции в строительной механике. - М.: «Наука», 1988. - 230 с.
(библ.: 684 назв.).
3. Рассказов А.О. Расчет оболочек типа гиперболических параболоидов. - Киев: Изд-во КГУ, 1972. - 176 с.
(библ.: 48 назв.).
4. Трухина В.Д. Моделирование и анализ линейчатых технических поверхностей (на примере сельскохозяйст-
венного машиностроения). - Барнаул: Изд-во АлтГТУ им. И.И. Ползунова, 1996. -65 с.
5. Замятин А.В. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной
геометрии по линейчатым поверхностям. - Элиста: АПП «Джангар», 2002. -
6. Кашина И.В. Формообразование и конструирование покрытий зданий и сооружений на основе аппарата ка-
чения сферы по опорным элементам. - Автореф. дис. канд. техн, наук (Ростовский гос. строит, ун-т). - Нижний
Новгород, 1999. - (библ.: 12 назв.).
7. Белое К.М. Об изгибаниях линейчатой поверхности// Сибирский математический журнал. - 1970. - Том 11.-
№2. -С. 464-467.
8. Кущ Н.В. Конструирование линейчатых поверхностей, аппроксимирующие тентовые на основе выделения
их из множества линий// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1973. - Вып. 16. - С. 56-59.
9. Манашеров Э.Э. Конструирование технической формы линейчатой поверхности по заданному условию//
Вопросы начертат. геометрии и инж. графики. - Вып. 59. - Ташкент: Таш. ин-т инженеров железнодорожного
транспорта, 1970. - С. 95-103.
10. Обухова В.С. Линейчатые поверхности как модели семейства сечений поверхностей каналов// Прикладная
геометрия и инженерная графика. - Киев, 1985. - Вып. 40. - С. 10-17 (библ.: 2 назв.).
11. Рыбаков В.Н. Натуральная геометрия линейчатых поверхностей// Ученые записки. Вопросы дифференци-
альной геометрии и неевклидовой геометрии. - М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1965. - Вып. 243. - С. 121-152.
12. Кривошапко С.Н., Халаби С.М. Исследование форм винтовых линейчатых пандусов многоэтажных автога-
ражей и стоянок// Монтажные и специальные работы в строительстве. - 2002. - № 9. - С. 18-20 (библ.: 5 назв.).
13. Knabel J., Lewinski Т. Selected equilibrium problem of thin elastic helicoidal shells// Arch. Civil Eng. - 1999. - 42
(2). - P. 245-257.
14. Stavridis L.T., Armendkas A.E. Analysis of shallow shells with rectangular projection: Applications// Journal of
Engineering Mechanics. - Vol. 114 (166), June 1988. - P. 943-952.
15. Stavridis L.T. Dynamic analysis of shallow shells of rectangular base// J. Sound and Vib. - Dec. 1998. - 218 (5). -
P. 861-882.
16. Saleh H. Sardar Amin. Computer aided design of shell structures// Leet. Notes Eng. - Leuven Katholic University,
1987, 26. - P. 29-37 (библ.: 6 назв.).
17. Waszczyszyn Z., Pabisek E., Pamin J., Radwanska M. Nonlinear analysis of a RC cooling tower with geometrical
imperfections and a technological cut-out// Eng. Struct. - May 2000, 22 (5). - P. 480-489.
18. Aumann Gunter. Untersuchungen uber verallgenneinerte Regelflachen in euklidischen Raum Eln// RAD Jugosl.
Akad. znan. i umjetn. Mat. znan. - 1986. - № 5. - P. 1-7.
19. Barbagelata Andrea. A general solution for the ruled membrane shell// Meccanica. - 1983. - 18, № 3. - P. 169-
173 (библ.: 5 назв.).
20. Klamkin Murray S. On ruled and developable surfaces of revolution// Math. Mag. - 1954. - 27, № 4. - P.207-208.
21. Meirer Klaus. Der Drall windschiefer Flachen mit gegenbener, insbesondere konstant geboschter Zentraltorse//
Sitzungsber. Osterr. Akad. Wiss. Math.-naturwiss. KI. - 1970. - Abt. 2, 178. - № 4-7. - S. 125-145.
22. Sachs Hans. Die Strahlflachen, auf denen die Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden Boschungslinien sind//
Math. Ann. - 1971, 191, № 1. - S. 44-52.
23. Wei/" Gunter, Jank.Walter. Spezielle erzeugendentreue Isometrien torsaler und windschiefer Flahen; ein Bericht//
Proc. Cong. Geom., Thessaloniki, 1-6 Juni, 1987. -Thessaloniki, 1988. - P. 241-245.
24. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N., Rachkovskaya N.S. The computer modelling of kinematic linear surfaces
(based on the complex moving a cone along a torse)// Proc, of the Intern. Conf, on Computing, Communications and
Control Technologies (CCCT 2004). - Austin (Texas), USA, August 14-17, 2004.
25. National Information Service for Earthquake Engineering, University of California, Berkeley, Structural Engineer-
ing Slide Library, http://nisee.berkelev.edu/godden/index.html (E 45-E65 - hypars, E 67 - conoidal surface)
Дополнительная литература
Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах разделов «Линейчатые поверхности
отрицательной гауссовой кривизны», «Линейчатые винтовые поверхности» и «Поверхности второго порядка».
74
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
КОСОЙ ГЕЛИКОИД
____~--—____ Косым (наклонным) геликоидом называется винтовая линейчатая
C'X'X'Vt—поверхность (рис. 1), описываемая прямой, которая пересекает ось
геликоида под постоянным углом а, не равным 90°, вращается с по-
стоянной угловой скоростью вокруг этой оси и одновременно пере-
мещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой же оси.
^ХХ\ Скорости этих движений пропорциональны.
^^|Ь^/Х>(ХУХ Прямолинейные образующие косого геликоида параллельны об-
разующим его направляющего конуса. Из определения следует, что
если угловая скорость прямой образующей равна нулю, то прямая
опишет плоскость. Если равна нулю скорость переносного (поступа-
тельного) движения, то прямая образующая опишет коническую по-
верхность вращения. В общем случае всякая точка образующей прямой описывает винтовую
линию. В пересечении соосных круговых цилиндров с косым геликоидом получаются винтовые
линии одного и того же шага.
Возможно осуществить приближенное развертывание витка косого геликоида на основе его
изгибания на поверхность однополостного гиперболоида вращения, причем винтовые линии
геликоида накладываются на параллели гиперболоида, а прямолинейные образующие геликои-
да - на прямолинейные образующие однополостного гиперболоида вращения. Ось геликоида
обертывает горловую окружность гиперболоида.
Формы задания поверхности косого геликоида
1) Явная форма задания: z = carctg(y / х) + kyjx2 + у2,
где с - смещение образующей прямой при повороте ее на 1 рад; k = ctga.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(r,v) = rcosv, у = y(r,v) = rsinv, z = cv + kr.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + к2, F = ск, В2 = г2 + с2,Ь = 0, М = -с/ x/б2 - F2 , N = kr2!хМ2 -F2 ,
кг = 0, X = N/В2, К < 0, cosy = ск / л/г2+сг .
где к - угловой коэффициент, к = ctga; % - угол между координатными линиями гиг. Торце-
вое сечение геликоида при z = 0 дает р = cvtga, то есть архимедову спираль.
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = wsinacosv, у = y(u,v) = wsinasinv, z = cv + wcosa,
где a - острый угол между осью геликоида (осью z) и прямой образующей.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = l, F = ccosa, В2 = и2 sin2 а + с2, L = 0, М = -csintz/уи^+с2, N - и2 sinacosa/уи2 +с2,
N с2 и2+2с2
к = 0, к„ = —г, К =---:--< 0, Н =------1щ-ctgcr.
“ ' В (и2+с2)2 2(и+с) s
4) Векторная форма задания: г(и,р) = p(u)er +[lp(u) + aq>]ez,
где величина а связана с шагом L винтовой направляющей соотношением L = 2тш, I = ctga оп-
ределяет угол наклона образующей, р(и) = ти. Угол у между координатными линиями и и <р
можно определить из формулы cosy = lap(u)'tAB - lam/AB.
Дополнительная литература
1. Krivoshapko S.N. Geometry and strength of general helicoidal shells// Applied Mechanics Reviews (USA). - Vol.
52. - No 5. -May 1999. - P. 161-175 (библ.: 181 назв).
75
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
а = 20; р = 1/40.
Рис. 2 (-20л < и < 20я )
ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПРЯМЫМИ ОБРАЗУЮЩИМИ,
ПРОХОДЯЩИМИ ЧЕРЕЗ ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ СПИРАЛЬ
И ПЕРЕСЕКАЮЩИМИ ФИКСИРОВАННУЮ ОСЬ ПОД ПОСТОЯННЫМ УГЛОМ
Линейчатую поверхность с прямыми образующими, проходящими через логарифмическую
спираль и пересекающими фиксированную ось под постоянным углом в
(рис. 1) можно задать параметрическими уравнениями:
х = x(u,v) = (ае,т + vsin0)cos«, у = у(ищ) = (ает“ + vsin0)sina, z = z(v) = vcos/Z
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Рис. 1 А2 = а2т2е2""‘ + (ае""‘ + v sin ff)2, F = ame"" sin 0, B = \,
A2B2-F2 = a2m2e2'"“ cos2 0 + (ae"“l + vsin0)2, M = -Fcose/4A2B2 - F2 , N = 0,
L = ~cogf + vsin + V" (ae"m - vsin 0)| k = 0, К = T < 0.
-Ja2b2-f2 l v ab~~f2
Линейчатая поверхность задана в неортогональных несопряженных криволинейных коор-
динатах и, г. Она является частным случаем спиральной поверхности с прямыми образующими
в плоскостях пучка (см. «Спиральные поверхности»),
СФЕРИЧЕСКИЙ ГЕЛИКОИД
Сферический геликоид имеет направляющую сферическую линию
Е0(и) - aeg(u) = a(icosu + jsinwjcos® + Aasin®, со = рщ р = const,
расположенную на поверхности сферы радиусом а. Чтобы сфе-
рическая линия имела спиралевидную форму (рис. 2) необходимо
брать р = 1/л, где п - целые числа. Прямые образующие сфериче-
ского геликоида пересекают плоскость z = const под постоянным
углом 0 и расположены в плоскостях пучка с фиксированной
прямой, совпадающей с осью геликоида Oz.
Формы задания сферического геликоида
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = а«о(и) + vcosOh(u) +
+vsin0fc = («cos® + vcosd)h(u) + (asin® + vsin0)Zt, где h = h(u) -
icosu + jsinw. Единичный вектор во(и) является нормалью сферы,
на которой расположена направляющая линия.
2) Параметрическая форма задания (рис.З, а):
х = х(и, v) = (acosfit + v cos 0) cos и, у = у(и,у) = (acosft) + v cos 0) sin и, z = z(u, v) = a sin a) + vsin0.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 =a2p2+(acos®+ycos0)2, 0 = 1,
F = apsin(0-®),
L = {-2a2p2 sin/ocos(tu — 0)-
- sin 0(a cos <y + vcos0)[ap2 cos<y +
+ (acosco+vcos0)]}/-JA2 - F2 , N = 0,
M =apcos0cos(® - 0)/Va2 — F2 ,
k = -m2/[a2 -02)<O.
Поверхность строго отрицательной
гауссовой кривизны. При 0 - я/2 сферический геликоид вырождается в цилиндро-сферическую
спиралевидную полосу с К = 0 (см. «Спиралевидные поверхности»), а при 0-0 сферический ге-
ликоид становится прямым сферическим геликоидом (рис. 3, б).
76
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТИ КАТАЛАНА
Поверхностями Каталана называют линейчатые поверхности, прямолинейные образую-
щие которых параллельны одной и той же постоянной плоскости {плоскости параллелизма).
Стрикционная линия поверхности Каталана - плоская. Векторное уравнение поверхностей Ка-
талана можно представить в виде г = r(u,v) = />()/) + vl(u), причем /"'(и) Ф О, (Z, 1!, I1') = 0. Если все
образующие поверхности Каталана пересекают одну и ту же прямую, то эта поверхность будет
коноидом (см. «Коноиды»), Цилиндроиды также относятся к поверхностям Каталана, так как
прямолинейные образующие цилиндроида пересекая две заданные кривые, остаются парал-
лельными некоторой плоскости параллелизма (см. «Цилиндроиды»),
Поверхность Каталана - косая линейчатая поверхность, то есть она является поверхно-
стью отрицательной гауссовой кривизны. Определение исключает из этого класса цилиндри-
ческие поверхности, образующие которых параллельны не только постоянной плоскости, но и
постоянной прямой.
Дополнительная литература
1. Catalan Е. Memoire sur les surfaces gauches a plan directeur. - P., 1843.
2. Анпилогова B.A, Представление поверхностей Каталана номограммами// Прикладная геометрия и инженер-
ная графика. - Киев, 1973. - Вып. 17. - С. 89-92 (библ.: 2 назв.)
3. Гуревич И.И. Тени линейчатых поверхностей// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1974. -
Вып. 18. - С. 133-137 (библ.: 2 назв.)
ЗОНТИК УИТНИ (ЗОНТИК КАРТАНА)
Зонтик Уитни является линейчатой поверхностью отрицательной гауссовой кривизны. По-
верхность содержит двойную линию. Зонтик Уитни имеет и другое название - зонтик Картана.
Можно изготовить соответствующую бумажную модель
зонтика, изогнув квадрат с разрезом и сомкнув края раз-
реза через лист бумаги (рис. 1).
Формы задания зонтика Уитни
I) Неявная форма задания: zy2 - х2 = 0 (канониче-
ское уравнение).
В сечении поверхности плоскостями у = -b = const
лежат параболы z = хПЪ". Когда у переходит через нуль,
парабола «складывается», проходя через двойную ли-
нию, и снова «раскрывается», по мере того как ее плоскость у = b движется вперед вдоль оси у.
В сечении поверхности зонтика Уитни плоскостями z = с > 0 = const лежат две пересекаю-
щиеся на оси z прямые у = +х / л/с? Можно сказать, что при движении этой плоскости вдоль
эси Oz вниз до положения z = 0, а затем снова вверх, прямая поворачиваются вокруг оси Oz, все
время оставаясь параллельной плоскости z = const. Таким образом, зонтик Уитни относится к
семейству поверхностей Каталана и может быть назван прямым коноидом (см. «Прямой коно-
ид с направляющей параболой, ось которой параллельна оси коноида»).
2) Параметрическая форма задания (рис. 1): х = x(r,f) = rt, у = y(r) - г, z = z(f) = Г.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2=1 + г, F = rt, B2=r2+4t2, L = 0, М = 2t I Vr2 +4t2 + 4/4, N = -2r / Vr2 + 4r + 4f4,
A2B2 - F2 = г2 +4Г +4t4, kr = 0, k, = -2г/л/г2 +4/2 +4f4,
F = -4/2 /(r +4r +4?)<0, H = -r(l + 3r) / (r2 +4? +4/4)3'2 a 0.
Дополнительная литература
1. Francis George K. A topological picturebook. - New York-Berlin-Tokyo: Springer-Verlag, 1988. - 240 c.
Рис. 1
77
Рис. 1
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПСЕВДО-РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ ГЕЛИКОИД
Пусть имеем в качестве направляющей кривой I винтовую линию по-
стоянного шага L = 2itb на цилиндре радиусом а. Будет считать, что коор-
динатная ось z совпадает с осью кругового цилиндра. За прямолинейную
образующую примем прямую линию, один конец которой находится на
кривой I, а сама образующая при движении все время должна совпадать с
проекцией соответствующей касательной к винтовой линии на плоскость
хОу. В этом случае прямолинейные образующие будут параллельны плос-
кости хОу и при своем движении не будут пересекать ось получаемого
геликоида. Образованная описанным способом поверхность называется
псевдо-развертывающимся геликоидом (рис. 1). Другими словами, псев-
до-развертывающийся геликоид образовывается проекциями касательных винтовой линии по-
стоянного шага на плоскость, перпендикулярную к оси винтовой линии. Эта поверхность явля-
ется частным случаем конволютного геликоида (см. «Линейчатые винтовые поверхности»).
Угол р между касательной к винтовой линии I и прямолинейной образующей поверхности
можно определить по формуле: tg^ = b/a.
Формы задания поверхности псевдо-развертывающегося геликоида
1) Параметрическая форма задания (рис.1):
х = x(u,v) = acosv-wsinv, у = y(u,v) = cisinv + ncosv, z = z(v) = bv,
где |и| — расстояние от винтовой направляющей до соответствующей точки на поверхности,
взятое вдоль прямолинейной образующей; у - угол, отсчитываемый от оси Ох в направлении
оси Оу. Координатные линии и (v = const) совпадают с прямолинейными образующими поверх-
ности, а линии у (и = const) являются винтовыми линиями равноотстоящими (эквидистантными)
по отношению к винтовой направляющей ( и = 0). На рис. 1 показан псевдо-развертывающийся
геликоид, для которого 0 < v < 4#.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
b ab
, N = - -- = аМ,
4b2+u2
а ~ уа2 + 4£2 + 4и2
2(b2+и2)3/2 Ь’
А = 1, F = a, В2 =а2 +b2 +и2, L = 0, М = - -----
yb2 + и2
, а + -Ja2 +4Ь2 + 4и2
к =0, к =—------, к, =------;---------Ь, к, =
B24^F^ 1 2(£>2 + и2)3/2
b2 ab
К = -—р~—ГТ <0, Н = ---ГЗ/Г*0'
(Ь + и ) (Ь 4- и )
Значения коэффициентов основных квадратичных форм поверхности показывают, что ли-
нейчатая поверхность задана в неортогональной (F 0) несопряженной (М 0) системе кри-
волинейных координат и, v. Средняя кривизна Н поверхности удостоверяет, что псевдо - раз-
вертывающийся геликоид в отличие от прямого геликоида не является минимальной поверхно-
стью. Угол % между координатными линиями и и v определяется по формуле: cos/ -а / В.
Z Z
2) Неявная форма задания: лсоз— + ysin— = а.
b ' b
Дополнительная литература
1. Халаби С.М. Расчетные уравнения моментной теории винтовых псевдо-торсовых оболочек// Труды молодых
ученых, часть 1. - Санкт-Петербург: СПбГАСУ, 2000. - С.108-112 (библ.: 4 назв.).
2. Халаби С.М. Моментная линейная теория тонких винтовых псевдо-торсовых оболочек// Строительная меха-
ника инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2001. - Вып. 10. - С.61-67 (библ.: 4 назв.).
ab
78
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЛИНЕЙЧАТЫЙ РОТОРНЫЙ ЦИЛИНДРОИД
Поверхность линейчатого роторного цилиндроида представляет собой траекторию сложе-
ния двух винтовых движений, оси которых перпендикулярны и скрещиваются, а скорости вра-
щений характеризуются параметрами и и пи. Если п - рациональное число, то поверхности тра-
екторий будут замкнутыми и алгебраическими [1].
Формы задания линейчатого роторного цилиндроида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1-3):
х = x(u,y) = (а + b sin пи) cos и - v sin и, у = y(u,v) = (а + b sin пи) sin и + v cos и, z - z(u) = bcos пи,
где 0 < и < 2п , криволинейные координатные линии у представляют собой прямые линии, па-
раллельные координатной плоскости хОу. Следовательно, рассматриваемая поверхность при-
надлежит к поверхностям Каталана, а в более узком смысле, к цилиндроидам.
a = 2;b = 2;n=V, 0<v<2
а = 1; b = 1; п- 1; -3 < v 2 3 а = 1; b = 2; п = 1; -3 < у <3
Рис. 1
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 = b2n2 +v2 - 2bnv cos пи + (а + b sin пи)2, F=a + bsinnu, 5 = 1,
АгВ2-F2 = А2 - F2 =b2n2 +v2— 2bnvcosnu,
г Uli . 1 . J . х . ,, LV4O111111Л .Т п
L - — [bn' +(a + b sm пи) sin пи ~ nv cos пи], М = —. /V = О,
Va2-f2 Ja2-f2
а = 1; b = 2; п = 2;
Рис. 2 (0 < v < 2 )
-b2n2 sin2 пи
FY ~ т p 2 — О j
(b'n~ +v" — 2bnvcosnu)
rr bn Г/ , 4 ,2 1 r.
H =---------, (a + 5 sin ни) sm пи -bn + nvcosnu h* 0.
2(A2-F-)21-
2) Неявная форма задания: (xz — ab)2 - (b2 - z2)(b - y)2 =0 при и = 1.
При n = 1 линейчатый роторный цилиндроид является алгебраической
поверхностью 4-го порядка (рис. 1).
3) Неявная форма задания:
X2(z + b) y2{b-z) 1 2 2.
---------1------------a — (b — z )
2b 2b
-2 z -.2
I —(fe2 - Z2)| 2aI =0
I b J
a = 2; ft = 1,5; n = 5;
Рис. 3 (-1 < v < 1)
при п = 2.
При и = 2 линейчатый роторный цилиндроид является алгебраиче-
ской поверхностью 6-го порядка (рис. 1).
Все поверхности, представленные на рисунках, имеют параметр п в
виде рациональных чисел, поэтому эти поверхности - замкнутые.
Дополнительная литература
1. Glaeser Georg. Die konoidalen Rotoidenstrahlflachen// Sitzungsber. Oster. Akad.
Wiss. Math.-naturwiss. KI. - 1982, Abt. 2, 191, № 4-7. - S. 241-251.
79
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
КОНОИДЫ
Коноид - поверхность Каталана, все прямолинейные образующие которой пересекают фик-
сированную прямую - ось коноида. Поверхность Каталана - линейчатая поверхность, прямо-
линейные образующие которой параллельны одной и той же плоскости параллелелизма.
Таким образом, коноид - это линейчатая поверхность (рис. 1), образованная движением
прямой, которая остается параллельной фиксированной плоскости Р, пересекает неподвижную
прямую АВ (ось коноида) и неподвижную направляющую кривую С. Предполагается, что пря-
мая АВ не пересекает кривую С, но пересекает плоскость Р. Простейшим коноидом является
гиперболический параболоид, который образуется прямой, которая движется по двум скрещи-
вающимся прямым, оставаясь параллельной неподвижной плоскости. В некоторых публикаци-
ях коноиды называют клиновидными поверхностями.
Если точку пересечения Р и АВ принять за точку пересечения координатных осей Ох, Оу и
Oz, плоскость Р принять за координатную плоскость z = 0, ввести направляющий вектор прямой
АВ\ а = {х„, у0, 1}, а уравнение направляющей кривой С принять в виде r(v) = {fly), g(y), h(y)},
то параметрические уравнения коноидальной поверхности можно записать как
х = х(и, v) = xoh(y) + flfiy) -Xoh(y)]; у = у(и, v) = y0/?(v) + w[g(v) -уой(г)]; z = z(v) = h(y).
Координатные линии v = const совпадают с прямолинейными образующими коноида, а ко-
ординатная линия и = 0 есть ось коноида АВ.
Коноиды можно задать также при помощи параметрических уравнений
х = х(и,у) = ucosv + cfl(v), у = y(u,v) = usmv + ff (у), z = z(v) = fl(v),
где {a, fl /}- единичный вектор, имеющий направление оси коноида; fly) - некоторая функция.
Если принять а = /> = 0, у = 1, то получим прямые коноиды. Коноид, у которого фиксированная
прямая (ось) перпендикулярна плоскости параллелелизма, называют прямым коноидом. Ось
прямого коноида есть стрикционная линия. Прямой коноид с fly) = av есть прямой геликоид.
Предположим, что прямая АВ совпадает с координатной осью Oz, а кривая С лежит в плос-
кости х = I (рис. 2), то есть I - расстояние от оси коноида до плоскости, где лежит направляю-
щая кривая С. Пусть flz) - уравнение направляющей кривой С, тогда поверхность коноида
можно задать в явной форме: y = xf(z)//.
Дополнительная литература
1. Weift Giinter. Die algebraishen Konoide mit ebener Striktionslinie// Monatsh. Math. - 1976. - 81, № 1. - S. 69-81.
2. Рекач В.Г. Основная библиография по строительной механике. - М.: УДН, 1969. - 304 с.
3. Кривошапко С.Н., Басов Ю.К.. Якушина А.А. Исследования по расчету и применению коноидальных оболо-
чек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч, трудов. - М.: Изд-во
АСВ, 2001Вып. 10. - С. 7-14 (библ.: 51 назв.).
4. Чиненков Ю.В. О проектировании бочарных сводов// Строительная механика и расчет сооружений. - 1973. -
№6. - С.11-16 (библ.: 6 назв.).
5. Vanek Jiri. The construction of asymptotic lines on some conoids// Sb. VUT Bme. - 1977. - № 1-4. - P. 45-57.
6. Bottema O. Die Direktrixkongruenz der Kegelschnitte des pliickerschen Konoids// Gias. mat. - 1974. - 9, №1. - S.
105-108.
80
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ КОНОИД
Рис. 4
прямую и неподвижную направляющую параболу (рис. 1).
Образующая прямая остается параллельной фиксированной
плоскости. Причем фиксированная плоскость перпендику-
лярна плоскости, в которой находится направляющая парабо-
ла и проходит через ось параболы. Направляющая прямая
перпендикулярна фиксированной плоскости.
Формы задания поверхности параболического коноида
1) Явная форма задания (рис. 1, рис. 2, рис. 3): z = с (у2 * -b2)(a-xj/tab1), a,b,c* 0.
Плоскость параллелизма задается уравнением у = у0 = const. В сечении параболического
коноида плоскостью х = I, получаются параболы:
с(я - Г) , , f , ,
г = -\г2(У2-й2) = 7г(у--^2),
ab b
где/- расстояние от вершины параболы, получающейся в сечении плоскостью х = I, до плоско-
сти z = 0 (стрела подъема). Коноид перекрывает прямоугольный план с размерами 2Ьха.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2с~ v 4с2 v2
А2 =1+^-т(у2-/>2)2, F = -^(y2-b2)(a-x), В2 = 1 + ^~(а-х)2, L = 0,
ап а'Ь а~Ь
2су 2с(я - х)
М = - ... 7 N= , ..."---- , 7^<0.
-Ja2b4 * * + с2(у2 -Ь2')2 + 4с2у2(а - х)2 у)а2Ь4 + с2(у2 -Ь2)2 + 4с2у2(а-х)2
2) Явная форма задания (рис. 4): z = -с(1 - gx//)(l - у2/Ь2\ где g = \-flc, с > /.
Здесь коноид задан двумя направляющими параболами с координатами их вершин: (0;0; -с)
и (/; 0; -/), где I - расстояние между плоскостями, в которых лежат направляющие параболы.
Параболический коноид перекрывает прямоугольный план 2bxl.
хс I 4у2 |
2) Явная форма задания: z = - — 1 - —~
а \ сГ J
В этом случае, в отличие от рис. 1, начало декартовой системы координат (точка О) распо-
лагается на направляющей прямой, a d = 2b. Коноид перекрывает прямоугольный план dxa.
Угол наклона прямой образующей, проходящей через вершину направляющей параболы,
можно найти по формуле: tgry = da = (c-f)/l.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Коноидальные оболочки// Монтажные и специальные работы в строительстве. - 1998. - №
- С. 22-24 (библ.: 40 назв.).
2. Sonja Gorjanc. Some examples of using Mathematica in teaching geometry// The 10,h International Conference on
jeometry and Graphics, Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Vol. 2. - Kyiv, 2002. - P. 89-93 (библ.: 7назв.).
3. Nayak A.N. and Bandyopadhyay J.N. Free vibration and design aids of stiffened conoidal shells// Journal of Engi-
neering Mechanics. - 2002. - 128 (4). - P. 419-427.
81
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
КОНОИД С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ
2[f(2a
Рис. 1
Рис. 4
Рис. 2 Рис. 3
Коноид с направляющей окружностью — линейчатая поверх-
ность, образованная движением прямой, которая пересекает не-
подвижную прямую (ось коноида) и неподвижную направляю-
щую окружность (рис. 1). Образующая прямая остается парал-
лельной фиксированной плоскости (плоскости параллелелизма).
Причем фиксированная плоскость перпендикулярна плоскости,
в которой находится направляющая окружность, и перпендику-
лярна оси коноида, то есть коноид с направляющей окружностью является прямым коноидом!.
Формы задания поверхности коноида с направляющей окружностью
1) Явная форма задания (рис. 1):
7 =
где а - радиус направляющей окружности; у< a; f - расстояние от вершины окружности, ле-
жащей в плоскости х = I, до плоскости z = 0 (стрела подъема). Коноид перекрывает прямо-
угольный план с размерами / х 2^f(2a-f); - -Jf(2a - f) < у < ^f(2a-f) . Плоскость па-
раллелизма задается уравнением у = Уо = const. На рис. 1 показан коноид cf< а, 0 < х < I; на
рис. 2 - с f = a, z = +х^а2 - у2 /1, 0 < х <1; на рис. 3 - с/< а, -I < х< /; на рис. 4 - cf = а,
z = +x-yja2 — у2 II, -1< х<1 .В сечении коноида с направляющей окружностью, изображенно-
го на рис. 2, плоскостью х = ха, получаются эллипсы z2l2 /(а2х2)+ у2 la2 = 1 с полуосями а и
ах,/1. В сечениях у = у„ = const лежат образующие прямые z - х[а - f - ^а2 - у2) /1.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
1 1 I Г~1------xyf a~f J , х2у2
A =l+~(a-f-^a2-y ) , F = —В = + /2(д2 _ ^2) ,
2
А2В2 - F2 = А2 + В2 -1, L = 0, М = . У , , N =-----------Я , =,
/д/я2 -У2х/Л2 +52 -1 1(а2 - у )7 А + В2 -1
2
г____________-У____________ .п
l2(a2 ~у2)(А2 +В2 -I)2
Коноид с направляющей окружностью является поверхностью отрицательной гауссовой
кривизны, которая задана в криволинейных неортогональных несопряженных координатах х, у.
Дополнительная литература
1. Lisowski A., Szefer G. Stan naprezenia i wyboczenia konoidy kotowey// Inzynieria i Budownictwo, 10, 1957. - S.
360-365 (библ.: 6 назв.).
2. Soare M. Zur Membrantheorie der Konoidschalen// Der Bauingenieur, h. 7, 1958. - S. 256-265 (библ.: 18 найм.).
3. Кривошапко C.H., Басов Ю.К., Якушина А.А. Исследования по расчету и применению коноидальных оболо-
чек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч, трудов. - М.: Изд-во
АСВ, 2001. - Вып. 10. - С. 7-14 (библ.: 51 назв.).
82
о Archil +j/a)
Рис. 1
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
КОНОИД С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЦЕПНОЙ ЛИНИЕЙ
Коноид с направляющей
цепной линией - линейчатая
поверхность, образованная
2 движением прямой, которая
пересекает неподвижную
прямую (ось коноида') и не-
подвижную направляющую
цепную линию (рис. 1). Обра-
Рис-2 зующая прямая остается па-
раллельной фиксированной плоскости (плоскости параллелелизма). Фиксированная плоскость
перпендикулярна плоскости, в которой находится направляющая цепная линия, и перпендику-
лярна оси коноида, то есть коноид с направляющей цепной линией является прямым коноидом.
Формы задания поверхности коноида с направляющей цепной линией
Рис. 3
1) Явная форма задания (рис. 1): z = flCh— - а - f .
I V a J
Коноид перекрывает прямоугольный план с размерами I х 2aArch(l + f I а). Плоскостью
параллелизма может быть любая из плоскостей у = у0 = const.
В сечении прямого коноида плоскостью х = ха = const бу-
ахв у а + f
дут лежать линии z - z(y) = —— ch — - —-—х0.
В сечениях прямого коноида плоскостями у = у0 = const
будут лежать прямолинейные образующие поверхности
( у
Z = z(x) = — «ch — - а - f J = -xtga,
l\ a J
где a - угол наклона прямой образующей коноида к плоскости z - 0.
На рис. 1 коноид построен в пределах 0 < х < /; на рис. 2 - в пределах -1 < х < 1\ на рис. 3 -
в пределах с < х < I, причем с < I.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2 / \ „2
, 1 ( у
А2 = 1 + — «ch—
Г \ а
а
1
А252 - F2 = А2 + В2 -1, L = 0, М = -.-^=sh~, N = —-г * ch~,
НА2 + В2 -1 a aly А2 + В2 -1 а
-1
2Z
а
кх = 0, К =
Коэффициенты основных квадратичных форм показывают, что коноид относится к поверх-
ностям отрицательной гауссовой кривизны, а задан в неортогональной несопряженной системе
криволинейных координат х, у.
Дополнительная литература
1. Scare М. Zur Membrantheorie der Konoidschalen// Der Bauingenieur, h. 7, 1958. - S. 256-265 (библ.: 18 найм.).
2. Кривошапко C.H., Басов Ю.К., Якушина А.А. Исследования по расчету и применению коноидальных оболо-
чек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч, трудов. - М.: Изд-во
АСВ, 2001.-Вып.10. - С. 7-14 (библ.: 51 назв.).
83
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПРЯМОЙ СИНУСОИДАЛЬНЫЙ коноид
ляющая синусоида и перпендикулярна фиксированной прямой.
Прямой синусоидальный
коноид (рис. 1) образовыва-
ется движением прямой,
которая пересекает непод-
вижную прямую г (ось ко-
ноида) и неподвижную на-
правляющую синусоиду У
Образующая прямая все
время остается параллель-
ной фиксированной плос-
кости. При этом фиксиро-
ванная плоскость (плос-
кость параллелизма) пер-
пендикулярна плоскости, в
которой находится направ-
Формы задания поверхности прямого синусоидального коноида
1) Явная форма задания (рис. 1-4):
(Л плу)
a sin — + —— + с
А 2 b )
- х I плу ।
— a cos------+ с ,
I V b J
где а - амплитуда синусоиды; п - число целых полуволн синусоиды, помещающихся на отрезке
длиной £>; / - расстояние от оси коноида до плоскости с направляющей синусоидой. Направ-
ляющая синусоида расположена в плоскости х = 0, ось коноида совпадает с координатной ли-
нией х = I. В сечении прямого синусоидального коноида плоскостью х = d = const лежит сину-
соида с амплитудой a(l- d)/l, которая в сечении х = d = I вырождается в прямую - ось коноида.
Плоскость параллелизма задается уравнением у - уо - const.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, 1 ( пт V (I — х)апл плу( плу) , . (I - х)2а2п2л2 , пт
А =1 + — acos—+ с , F = ------г----sin— c + acos— , В2 =1 +---------------sm2—^,
l2\ b) l2b b \ b ) l2b2 b
, , , >! апл плу -ап2 л2 (l-х) плу
А2В2 - F2 = А2 + В -1, L = О, М = —,'.=^= sin — , N=------, -= cos—2-.
IbJA2 + В2 -1 b b2NA2 + В2 -1 b
Криволинейные координатные линии у = const совпадают с прямолинейными образующими
поверхности, а координатные линии у = 0 + ib/n, где i - целые числа, являются также и линиями
кривизны поверхности коноида. Ось прямого синусоидального коноида пересекает все криво-
линейные координатные линии х под прямым утлом, но она не является линией кривизны.
На рис. 1 показан прямой синусоидальный коноид, который накрывает прямоугольный
план 2Ь х I. С торцов поверхность ограничена осью коноида 5 и направляющей синусоидой 5;
О а, п = 3:, 0 < х <1.
На рис. 2 показаны две полы синусоидального коноида, 0 < х < 21, о а, п = 3. Синусои-
дальный коноид, ограниченный с торцов двумя синусоидами, лежащими в параллельных плос-
костях х = 0 и х - d < I, изображен на рис. 3. На рис. 4 коноид имеет с = 0.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н., Басов Ю.К., Якушина А. А. Исследования по расчету и применению коноидальных оболо-
чек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч, трудов. - М.: Изд-во
АСВ, 2001. - Вып.10.-С. 7-14 (библ.: 51 назв.).
84
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПРЯМОЙ КОНОИД С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ПАРАБОЛОЙ,
ОСЬ КОТОРОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНА ОСИ КОНОИДА
Прямой коноид с направляющей пара-
болой, ось которой параллельна оси ко-
ноида, можно построить, если за плос-
кость параллелизма взять любую коор-
динатную плоскость, за фиксированную
прямую (ось коноида) принять прямую,
перпендикулярную этой координатной
плоскости и расположенную в другой
координатной плоскости, а за направ-
ляющую параболу взять параболу, расположенную в оставшейся третьей координатной плоско-
сти. Ось параболы должна быть параллельна фиксированной прямой.
Формы задания поверхности прямого коноида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
v2
х = х(Л) = аЛ, v = y(A,v) = v(l-Л), z = z(v)=—.
2р
где v = у направляющей параболы; а - расстояние от координатной оси Oz до оси коноида; Л -
безразмерный параметр.
При этом способе задания фиксированная прямая задается уравнениями х = а, у = 0, то
есть она расположена в координатной плоскости xOz. За плоскость параллелизма принята коор-
динатная плоскость хОу (z = 0). Направляющая парабола х - 0, у~ = 2pz расположена в коорди-
натной плоскости zOy (х = 0).
На рис. 1 показан коноид, построенный в пределах 0 < Л < 1, -b<v<b,b = const. Коноид,
построенный для 0 < Л < 2, представлен на рис. 2. Координатная линия z. = 1 совпадает с осью
коноида, а координатная линия А = 0 - с направляющей параболой.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2=a2+v2, F = -v(\-A), В2 =(1-Я)2+-^г, А2В2 - F2 = а2(1-Л)2 + +2—v2,
Р' Р
av а(1 — Л) -crv2
L = 0, М=—, , N =—. к, =0, К = ~----------т~т<0.
р^1 А2 Вг - F2 pjA2B2-F2 Л p2(A2B2-F2)2
Поверхность прямого коноида задана в неортогональной несопряженной системе криволи-
нейных координат. Поверхность коноида с направляющей параболой, ось которой параллельна
оси коноида, является поверхностью отрицательной гауссовой кривизны (К < 0). Только вдоль
линии v = 0 (координатная ось х) расположены параболические точки (К = 0).
2) Неявная форма задания: д2у2 = 2pz(x - а)2.
В сечениях коноида плоскостями х = b = const лежат параболы у2 - 2р~(Ь - а)2/а2.
Если положить, что р = 0,5; а = 1, то получившееся уравнение у2 = z(x- I)2 будет канони-
ческим уравнением зонтика Уитни (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой
кривизны»).
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н., Басов Ю.К., Якушина А. А. Исследования по расчету и применению коноидальных оболо-
чек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч, трудов. - М.: Изд-во
АСВ, 2001. - Вып. 10. - С. 7-14 (библ.: 51 назв.).
85
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
КОНОИД ПЛЮККЕРА
х = х(г,0) = г cost?, у = у(г,0~) = rsint?,
Принимая координатную плоскость хОу за
плоскость параллелизма, ось Oz за ось коноида, а
пространственную замкнутую кривую на круглом
плане х = х(0) = tcos0, у = y(ff) = tsaid, z = z(fi) =
sin(;i0) за направляющую кривую, можно постро-
ить коноиды, показанные на рис. 1-2.
Формы задания поверхности коноида
1) Параметрические уравнения:
z = z(t?) = sin(n0), где 0<#<2л:; 0< г
п - любое целое число, - 1 < z < 1. На рис. 1 показан прямой коноид при п = 2, который называ-
ется коноидом Плюккера. Прямой коноид при п = 3 изображен на рис.2
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = 1, F = О, В2 = г2 + п2 cos2 (nt?), А2В2 - F2 = В2, L = 0,
ncos(n^) rn2sin(nt?) л N n2cos(w6l) m2 sin(nt?)
M = _, N = --------------------, kr = 0, k„ = —p, К = -----г---, H = -----—д-----
В В e В2 В 2B3
Рассматриваемые коноиды являются поверхностями отрицательной гауссовой кривизны,
только вдоль криволинейных координатных линий 0 = л/(2п) + Ып (к - 1; 2;.., к) располагаются
параболические точки с К = 0. В сечении коноида Плюккера плоскостями z = const, что равно-
сильно 0 = до = const, будут лежать две пересекающиеся прямые у = -rtgf?o.
2) Неявная форма задания коноида Плюккера (рис. 1): (х2 + y2)z = 2ху.
В сечениях коноида Плюккера плоскостями z = d будут лежать две пересекающиеся прямые
у = ±л/1-<?2)/d, где -1 <d < 1.
Дополнительная литература
1. Gray A. Modem Differential Geometry о f Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed.). - Boca Raton, FL: CRC
Press, 1998. - 1053 p.
КОНИЧЕСКАЯ КРОМКА УОЛЛИСА
Коническая кромка Уоллиса (рис. 3) является прямым коноидом,
для которого осью коноида служит координатная ось Oz, плоско-
стью параллелизма - любая плоскость, параллельная координатной
плоскости z = 0, направляющей кривой - пространственная замкну-
тая волнистая линия на круговом плане
х = х(и) = tcosu, у = у(и) = tsinu, z = z(w) = с(а2 - b2 cos2w)l/2.
Формы задания поверхности конической кромки Уоллиса
1) Параметрические уравнения:
х = х(и,v) = vcosm, у = y(u,v) = vsinu, z - сУа2-b2 cos2 и, где 0 < и < 2тг; 0<у
а, Ь, с - константы; су a2 ~b2 <z^ac, где а>Ь.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
„ , c2fe4 sin2 и cos2 и cb2 sin и cos и
А2 = у2 +—т---5---;---, F = 0, В = 1, М = —,
(« ~Ь cos и) Aya2-b2 cos2 и
cb2 v[a2 cos2(2w)-£>2 cos4 u] c2b4 sin2(2n)
Рис 4 L= A(a2-b2 cos2 M)3'2 ’ N = °’ K = ~ 4A\a2-b2 cos2 u) ~ °’
Поверхность отрицательной гауссовой кривизны, но вдоль линий и = 0 +
кя/2, где к = 1; 2; ...к: расположены параболические точки.
2) Неявная форма задания: c2b2^ - (а2с2 - z2)(x2 + у2) = 0.
86
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЦИЛИНДРОИДЫ
Цилиндроид - линейчатая поверхность, образованная движением прямолинейной образую-
щей по двум криволинейным направляющим, причем во всех положениях образующая прямая
параллельна некоторой плоскости параллелизма. Цилиндроиды являются поверхностями отри-
цательной гауссовой кривизны (К < 0), поэтому их нельзя развернуть на плоскость без разрывов
и складок. Они принадлежат к семейству поверхностей Каталана. Цилиндроиды, за исключе-
нием винтового цилиндроида (прямого геликоида) не могут иметь постоянную среднюю кри-
визну (Н const). Цилиндрические поверхности (К = 0) могут быть получены как частные слу-
чаи цилиндроидов, см. например, «Цилиндроид с двумя направляющими окружностями во вза-
имно перпендикулярных плоскостях».
Цилиндроид, у которого одна из двух направляющих линий является прямой, называется
коноидом (см. «Коноиды»), Таким образом, коноид является частным случаем цилиндроида.
Например, если в качестве направляющих кривых цилиндроида взять две параболы
х = 0, z = с(у2-b2)/b2 и x = l, z = (y2 ~b2)f /b2,
где с, f- расстояния от вершин парабол, лежащих в плоскостях х = 0 и х = / соответственно, до
плоскости z = 0 (стрелы подъема), а за плоскость параллелизма плоскость у = 0, то получится
параболический коноид (см. «Параболический коноид»).
Винтовой цилиндроид - поверхность, образованная прямой линией, которая движется в
пространстве, параллельно плоскости параллелизма, все время пересекаясь с винтовой линией и
касаясь поверхности прямого кругового цилиндра. Ось винтовой линии и цилиндра совпадают.
} _ j _. Образующая прямая и ось скрещиваются под прямым углом, следователь-
— но, плоскость параллелизма перпендикулярна оси.
ггЦ)/\ Если даны две направляющие кривые
/Гг(у) rl=ri(u)=xi(u)i+yl(u)j + zi(u)k и r2 = r2(v) = x2(y)i + y2(v)j + z2(v)k,
I гДи)', 74 то векторное уравнение цилиндроида, построенного на этих двух направ-
i /• ляющих кривых, можно записать в виде (рис. 1):
г R =R(u,X) = п(и) - Л[Г1(и) - r2(v = /(«))],
ис’ где 0 < Я < 1. После того как выбрана плоскость параллелизма (направ-
ляющая плоскость) ищется зависимость v = f(u). Например, если за плоскость параллелелизма
принята координатная плоскость хОу , то должно выполняться условие zi(«) - z2(v) = 0, откуда и
находится зависимость v = fiu). Если плоскость yOz (х = 0) взята в качестве плоскости паралле-
лизма, то необходимо выполнить условие Xi(w) -x2(v) = 0, а затем найти v =f(u).
За условную развертку цилиндроида можно принять любую развертку, построенную по
способу триангуляции, то есть плоскую фигуру, ограниченную замкнутой ломаной линией и
разделенной на треугольники так, чтобы отрезки ломаных были сторонами треугольников, а
концы этих отрезков являлись бы вершинами не более четырех треугольников [7].
Дополнительная литература
Г. Perez A., McCarthy J.M. Bennett’s linkage and the cylindroid// Mechanism and Machine Theory. - April 2002. -
P.1-19.
2. Brandner G. Rauemliche Verzahnungen// Maschinenbautechnik. - Berlin, 1983, № 8. - S.369-372.
3. lancau V., Gtnsca I., Ticlete G. Asupra reprezentarii conoizilor ?i cilindroizilor in proiectie cotata// Bui. §ti. Inst,
rolitehn. Cluj.-1972.-15.-21-26.
4. Коган Б.Ю. Приложение механики к геометрии. - М.: «Наука», 1965. - 56 с.
5. Суслов ГК. О цилиндроидах Ball’ я// Труды Общества любителей естествознания, 1894.
б. Дружинский И.А. Сложные поверхности: Математическое описание и технологическое описание. - Л.: Ма-
-иностроение, 1985. - 263 с.
7. Хаустова Н.Д. О свертывании разверток, построенных по способу триангуляции, в многогранные поверхно-
:ти, аппроксимирующие цилиндроиды// Доклады VIII научно-техн. конф. инж. ф-та. - М.: УДН им. П. Лумумбы,
/72.-С. 11-13.
87
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Рис. 2
ЦИЛИНДРОИД С ДВУМЯ НАПРАВЛЯЮЩИМИ ЭЛЛИПСАМИ
у2 Z" у~ Z
Пусть два эллипса I: х = а, + —=1и II: х - 0, —г+—г=1
с ас
являются направляющими кривыми для цилиндроида, а плоско-
стью параллелизма служит координатная плоскость хОу.
Формы задания поверхности цилиндроида
с двумя направляющими эллипсами
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х - т(А) = а-аЛ, у = у(и,Л) = [Ь - Л(Ь - d)]cosw, z = z(u) = с sin и, где 0 < Л < 1, 0 < и < 2тг.
При этом способе задания полагают, что эллипсы заданы уравнениями:
I: Г] = Г|(и) = (a; bcosw, csinu) и II: г-у = гг(у) = (0; rfcosv; csinv).
2) Неявная форма задания: а2с2у2 = (с2 - г2)[ай + (х - a)(b - d)^.
ЦИЛИНДРОИД С ДВУМЯ НАПРАВЛЯЮЩИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ
ВО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ плоскостях
Пусть две окружности с одинаковым радиусом
у = 0, (х - а)2 + z2 = а2 и (у - а)2 + z = а, х = 0
являются направляющими кривыми для цилиндроида, а плоско-
стью параллелизма служит координатная плоскость хОу. Окруж-
ности радиусом а в начале координат имеют общую касатель-
ную.
Формы задания поверхности цилиндроида
с двумя направляющими окружностями
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и,Л) = а(1 + cosw)(l -Л), у = у(и,Л) = аЛ(1 + cosw), z = г(и) = я sin и, где 0 < Л < 1; 0 < и < 2л.
При этом способе задания полагают, что окружности заданы уравнениями:
I: r\ =ri(u) ~ [а(1 + cosu); 0; asinu] и II: Гг =^2(г) = [0; а(1 + cosv); asinv].
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = а2[2Л(Л- 1)sin2 и + 1], F = a2(l-2A)(l + cos«)sinK, В = я(1 + cosm)V2,
А2В2- F2 =a4(l + cos«)2[2 + (42-5)sin2.M], Т = «/^2 + (4A-5)sin2 и, М = N = 0, К = 0.
Таким образом, этот случай цилиндроида с окружностями во взаимно перпендикулярных
плоскостях будет эллиптическим цилиндром, то есть поверхностью нулевой гауссовой кривиз-
ны (К = 0).
2) Для тех же направляющих окружностей возможен
второй случай цилиндроида.
Параметрическая форма задания (рис. 3):
х = х(и,Л) = я(1 — Я)(1 + cosw), у = у (и, Л) = аЛ(1 — cosu),
z = z(u) = asinu, где 0 < A < 1, 0 < и < 2л.
Цилиндроид имеет отрицательную гауссову кривизну
Рис'3 (КЧО).
Дополнительная литература
1. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. -
М.: Физматлит, 2001. - 352 с.
88
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
z
Рис. 1
ДВАЖДЫ КОСЫЕ ЦИЛИНДРОИДЫ
Дважды косой цилиндроид - линейчатая поверхность, образованная при трех направляю-
щих, из которых две - кривые, а третья - прямая линия.
ДВАЖДЫ КОСОЙ ТРОХОИДНЫЙ ЦИЛИНДРОИД
Дважды косой трохоидный цилиндроид образуется путем
вращении прямолинейной образующей I вокруг оси J при
одновременном поступательном движении этой оси вдоль
прямой линии (ось Ох). Образующая прямая / и ось враще-
ния J пересекаются в точке S (рис. 1) под углом а. Ось вра-
щения J расположена в координатной плоскости xOz, и в
_ общем случае, не перпендикулярна линии поступательного
v движения (ось Ох).
Дважды косой трохоидный цилиндроид образуется при
нарезании зубчатых колес с арочным зацеплением.
Формы задания поверхности дважды косого трохоидного цилиндроида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = си + vising + tgacos<pcos0), у = у(и,г) = v/gasin#,
z = z(u, v) = Н + v(tg a sin g)cos0-cos g>), где 0 = 0(u) = pu + 0O,
p = far,k- целое число; -1 < и < 1; параметр во определяет начальное положение образующей
прямой. Поступательное движение оси вращения характеризуется параметром с.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
? ? 9 I *ur
A =cl-cos </>sin 6* + l-----cos<^sin0
F = c(b cos <p cos 0 + sin <p), B2=i+b2
{1-2pbv cos <рsin в\ + v2b2р2;
1
—5—, где b = tga,
cos" а
A2В2 - F2 = c1
1 i \2
? ----5—+ I cos® cos б1-/? sin® I ,
) cos a
- COS® sin 9
J cos" a
6p2v i х bpc г х
2 2 =^[vpb —с cos <р sin 0), M = 2\cosg>cos0-bsin<p), N =0,
(Ьрс)2 ! x2
K = ------------^(cos^costf-bsin^) .
Рис. 2
Н= I; с = 2;а = 0,05л-; 0 < и < 1; р = 2я: Н = 1; с = 5; а = 0,033л:; р = 8л-;
Дважды косой трохоидный
цилиндроид является поверхно-
стью отрицательной гауссовой
кривизны. Координатные линии
v совпадают с прямолинейными
образующими цилиндроида.
На рис. 2-3 изображены ци-
линдроиды с различными гео-
метрическими параметрами.
Дополнительная
литер ат ура
1. Буланов С.Н.. Буланов ГС. Исследование поверхности дважды косого трохоидного цилиндроида с наклон-
ной осью вращения// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1985. - Вып. 40. - С.55-58.
Рис. 3
89
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Поверхность вращения получается вращением плоской кривой z = fix) вокруг оси Oz. Та-
ким образом, явное уравнение поверхности вращения можно представить в виде:
z = f(fi) = f(^x2 + у2),
где г = tJ.y2 + у2 - расстояние от точки поверхности до оси вращения.
Меридианы - линии пересечения поверхности вращения с плоскостями, проходящими че-
рез ось вращения. Все меридианы одной поверхности вращения конгруэнтны вращаемой кри-
вой. Параллели - линии пересечения поверхности с плоскостями, ортогональными оси враще-
ния. Меридианы и параллели поверхности вращения являются линиями кривизны и образуют
изотермическую сеть. Любая нормаль поверхностей вращения пересекает свою ось вращения.
Поверхность вращения, имеющая более одной оси вращения, есть сфера или плоскость.
Омбилические точки поверхности вращения расположены на тех широтах, на которых
центр кривизны меридиана лежит на оси вращения. Сфера есть омбилическая поверхность. Со-
гласно теоремы Клеро, произведение радиуса параллели на косинус угла, под которым геодези-
। ческая линия пересекает параллель, постоянно вдоль геодезической. * I
--------° i \ Поверхность вращения допускает изгибание также в поверхность враще-
уХ г ! Ц ния, при котором сеть линий кривизны сохраняется.
У г Параметрическое уравнение произвольной, поверхности вращения:
г = r(r,/3) = rcos/J + rsin$ + f(fi)k.
f a </« Если взять уравнение меридиана в виде г - г(а), где а - угол между нор-
малью к поверхности, проходящей через рассматриваемую точку и осью
z V вращения (рис. 1), тогда г - R2 sin а, а коэффициенты основных квадра-
Рис. 1 , ,
тичных форм поверхности вращения можно определить по формулам:
А= А(а) = Ri(a'), В = В(а) = г =J?2sin a, F = 0; L = Rfia), М = 0, N = AVsin а,
где R-, - главный радиус кривизны меридиана (координатная линия a), Ri - главный радиус кри-
визны параллели. Линии а = const - параллели, а линии /? = const - меридианы.
Если уравнение меридиана задано в виде г = rifi) (рис. 1), то уравнение поверхности враще-
ния можно задать тремя скалярными уравнениями:
х = rsin/J, у = rcos.fi z = z
I // I I
и тогда A = Vl + r'2, Г = 0, В = r(z), ^=—- = кг= —= —{==,
*4 (1 + Г 2 ] ^2 ГУ 1 + Г 2
где штрихами показаны производные по z, a к\, кг- главные кривизны поверхности.
Нормальная кривизна поверхности в направлении меридиана равна кривизне меридиана, то
есть ki. Меридианы поверхности вращения являются геодезическими линиями.
Единственной минимальной поверхностью вращения является катеноид. Единственными
линейчатыми поверхностями вращения являются однополостный гиперболоид вращения, пря-
мой круговой цилиндр и прямой круговой конус. Последние две поверхности - единственные
развертывающиеся поверхности вращения. Если начало и конец незамкнутой вращаемой линии
лежат на оси вращения, то поверхность вращения получится замкнутой.
Дополнительная литература
1. Рекач В.Г. Основная библиография по строительной механике. - М.: УДН, 1968 - 304 с.
2. Кривошапко С.Н, Оболочки вращения ненулевой гауссовой кривизны// Монтажные и специальные работы в
строительстве. - 1998. - № 10. - С. 28-31 (библ.: 41 назв.).
3. Noor А. К. Bibliography of books and surveys on shells// Applied Mechanics Reviews. - 43 (9), Sept., 1990. - P.223
-234
90
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Поверхности вращения, представленные в справочнике
Поверхности вращения
параболы
Поверхность вращения
параболы Нсйдя
Двуполостным гиперболоид
вращения
91
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
эвольвенты круга
Поверхность вращения
гиперболы общего положения
92
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
Рис. 1
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
Однополостный гиперболоид вра-
щения получается вращением гипер-
болы х2/а2 - ?2/с2 = 1 вокруг оси Oz
(рис. 1). Это - дважды линейчатая
поверхность. Через каждую точку
поверхности проходят две прямые,
лежащие целиком на гиперболоиде
(рис. 2). Гиперболоид можно полу-
чить вращением прямолинейной об-
разующей вокруг оси Oz, причем
образующая и ось должны быть скрещивающимися прямыми (рис. 3, рис. 4). Поверхность яв-
ляется единственной линейчатой поверхностью вращения отрицательной гауссовой кривизны.
Параллель, лежащая в плоскости z = 0, имеет радиус г = а и называется горловой окружностью,
которая представляет собой геодезическую линию. Все остальные геодезические линии, кроме
экватора, идут из бесконечности, приближаясь к экватору. Одни из них пересекают экватор и
уходят на другую половину поверхности, другие не доходят до экватора а касаясь некоторой
параллели, поворачивают обратно, третьи приближаются к экватору асимптотически.
Формы задания поверхности однополостного гиперболоида вращения
х2 + у2 ' Z1
1) Неявная форма задания:----;— - — = 1.
я' с"
Если а = с, то гиперболоид называется правильным.
2) Параметрическая форма задания (рис. 3; рис. 4):
х = х(и,v) = -asinw±avcosw, у = у(и,у) = flcos«±avsinw, z = z(v)=±cv.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = п2(1+у2), Вг = аг + с2, E^ycii,L=+ccr(\+v2)K^B1-F2fyM = ci2cl(A1lf--F1f1, N=Q.
Координатные линии v (и = const) совпадают с одним семейством прямых линий, а линии и
являются параллелями однополостного гиперболоида вращения. На рис. 3 гиперболоид показан
с учетом верхних знаков в параметрических уравнениях поверхности, а на рис. 4 - с учетом
нижних знаков.
3) Параметрическая форма задания (рис.,1):
х = х(г, Р) = rcos/?, у = y(r, Р) = rsinp, z = z(r) = суг2 - а2 /а.
Координатные линии г и р (параллели и меридианы) - линии главных кривизн.
4) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(z,fl)=—yc +z sin/?, y = y(z,/?)=—vc‘+z cos/?, z = z.
с с
Координатные линии z и р (параллели и меридианы) - линии главных кривизн.
5) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(р, а) = achacosP, у = у(Р, а) = achasin/?, z = z(v) = csh«.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = acha, F = Q, В2 = a2sh2a+c2ch2«, L = -acdt2a/В, M = Q, N = ac/В, к,=-с/(aB), к2=ас/В3.
Дополнительная литература
1. Krivoshapko S.N. Static, vibration, and buckling analyses and applications to one-sheet hyperboloidal shells of
revolution//Applied Mechanics Reviews (USA). - Vol.55. - No 3. - May 2002. - С.241-270 (библ.: 261 назв.).
93
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ОБТЕКАТЕЛЬ ЦИКЛОИДАЛЬНОГО ТИПА
Поверхность обтекателя циклоидального типа образовывается вращением циклоидальной
кривой х - x(t) = a(t + sin/), z - z(f) = c(l + cos/) вокруг оси Oz (рис. 1). Если принять а = с, то
образующая кривая становится обыкновенной циклоидой. При конструировании обтекателей их
Рис. 1
форма определяется формой меридиана, которая задается обычно
с помощью сплайнов. В настоящем разделе за образующую кри-
вую поверхности вращения (меридиан)' принята кривая, образуе-
мая траекториями точек оси симметрии улитки Паскаля при ее
качении по циклоиде.
Формы задания поверхности обтекателя циклоидального типа
1) Параметрическая форма задания (рис. 1-3):
х = x(z,/?) = r(z)sin Д у - y(z, Д) = r(z)cos/7, z = z,
где г = r(z) = a[x/z(2c-z)/c + arccos(z/c-l)], [J - угол, отсчиты-
ваемый от координатной оси Оу в сторону оси Ох\ 0 < Д < 2л\ 0 < z 2с. На рис. 1 - с = 2а.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
= 1 + —5———-, F = 0, В = r(z), k, =k.
c~(2c-z)
r"(z) ______az______
A2 ~ A2(2cz~ z2)212
1
“ AB
M =0, k2=k
А2
Рис. 2 (c = 4a)
Граничная параллель z = 0 будет единственной геодезической параллелью
на поверхности, так как касательные к меридианам в ее точках параллельны
оси вращения. Подбирая параметры а и с, можно добиться необходимых для
обтекателя характеристик, которыми являются отношение максимальной
высоты поверхности Н к диаметру геодезической параллели (2rraax = 2ал) и
радиус кривизны меридиана в лобовой точке (z = 2с). Радиус кривизны R ме-
ридиана в лобовой точке поверхности определяется по формуле: R = bcf/c.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-3): 0 < у < 2д: 0 < /< л ;
х - х(г, у) = a(t + sin t) cos у, у = y(t, у) = a(t + sin t) sin y, z = z(f) = c(l + cos /),
где у - угол, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону оси Оу.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = а2 (1 + cos /)2 + с2 sin2t, F = 0, B = a(/ + sin/), L =-ac(l + cost) / A, M =0, N = -c(B/A)sinr,
Рис. 3 (c = a)
k} =k, = -ac(l + cost)/ A3, k2 = k7 = -csin t/(AB).
3) Параметрическая форма задания (рис. 3). Если принять с = а, то по-
лучится поверхность вращения обыкновенной циклоиды вокруг оси Oz:
х = x(t, y) = a(t + sin t) cos у, у = y(t, y) = a(t + sin t) sin y,
Z = z(t) = a(l + cosf).
Коэффициенты, основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A2 = 2a2(l + cos/), F=0, B = a(/ + sin/), L = -A/2, M =0, N = -а(В/A)sin/,
k} = k,=-l/(2A),k2 = kr=-asint/(AB), К = asmtK2A2B) > Q.
Дополнительная литература
1. Крутов А.В. О движении, определяемом центроидно-траекторными парами// Известия вузов. Машинострое-
ние. - 2001. - № 2-3. - С. З-б (библ.: 11 назв.).
2. Крутов А.В. Формообразующие кривые обтекателей// Известия вузов. Машиностроение. - 2002. - № 5. - С.
78-80 (библ.: 3 назв.).
94
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПСЕВДОСФЕРА
„ Для псевдосферической поверхности (рис. 1, рис. 2) pa-
ll хтА*,. диусом а гауссова кривизна К = кфо во всех точках равна
Й| постоянному отрицательному числу К = -1 / а2.
йИ Псевдосфера, или поверхность Белътрами, образовывает-
Ж!М ся вращением трактрисы (лат. trahere - тянуть), эвольвенты
цепной линии г = ach(z/a), относительно оси Oz.
Уравнение трактрисы имеет вид:
„ х = asinw, z = a|cosw + Intg(u/2) , 0 < и < я,
Рис. 1 Рис. 2 L 454 J
где и - угол между осью Oz и касательной к трактрисе.
Уравнение трактрисы можно записать также как z = a In^a ±7a2 - г2 j / г] + 7a2 - г2, где верх-
ние знаки относятся к положительной ветви z > 0, нижние - к отрицательной z < 0 (рис. 2). Дли-
на отрезка касательной к трактрисе от точки касания до точки пересечения с осью z - постоянна
и равна а > 0. Линия сечения псевдосферы плоскостью хОу (ребро псевдосферы) - окружность
радиусом а, для всех остальных параллелей г < а. Объем одной полы псевдосферы: V = та3/3.
Внутренняя геометрия псевдосферы локально совпадает с геометрией Н.И. Лобачевского.
Формы задания поверхности псевдосферы
1) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) = a sin и cos г, у = у (и, г) = a sin и sin v, z = z(h) = afcosw + ln tg(u/ 2)],
где и - угол между осью Oz а касательной к меридиану. Для ребра псевдосферы имеем и = тг/2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и главные кривизны:
А = actgn, F = 0, В = a sin w, L= -actgu, М = 0, N = a sinncosn, kt = -tgw/a, k2 = ctgw /a.
Линии кривизны - меридианы v и параллели и, кроме ребра псевдосферы (и = л И).
2) Параметрическая форма задания:
х = x(r,/3) = г cos/?, у = y(r,p) = г sin/?, z - z(r) = aln^a + 7a2 - r2 j / rj- 7a2 - r2,
где r - расстояние от оси вращения до соответствующей точки псевдосферы (г < а), окружность
г = а - ребро псевдосферы. Площадь зоны между параллелями г = ап г = r0: S = 2т(а - г„).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
a a r'ja2 - г2 г
А = —, F = 0, B = r, L= . —' , М = 0, N =---, к, = —у==
r гуа2-г2 а ауа2—г2
3) Параметрическая форма задания:
х = х(у,Г) = —-cosaf, у = y(y,t) = — sinaf, z = z(y) = alnfa/ + 7<г2/2 -1}-^а2 - I//2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Здесь подстановкой у = 1/г и t - fi/a линейный элемент поверхности приведен к изотерми-
ческому виду.
Дополнительная литература
1. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176с.
2. Кривошапко С.Н. Каплевидные, катеноидальные и псевдосферические оболочки// Монтажные и специаль-
ные работы в строительстве. - 1998. - №11-12. - С. 28-32 (библ.: 33 назв.).
95
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
Рис. 2. Построение параболоида
Рис. 1. Параболоид вращения как поверхности
вращения переноса
Параболоид вращения обладает оптическим свойством: световые лучи, исходящие из фо-
куса, после зеркального отражения от поверхности параболоида пойдут параллельно оси пара-
болоида вращения.
Параболоид вращения образовывается враще-
нием параболы л-2 = 2pz вокруг оси z (рис. 1). Па-
раболическую поверхность можно также получить
движением подвижной параболы у2 = 2pz вдоль
неподвижной х2 = 2pz (рис. 2). При этом необхо-
димо, чтобы вершина подвижной параболы сколь-
зила по неподвижной, а плоскость и ось подвиж-
ной параболы оставались параллельными. Обе
параболы должны быть обращены вогнутостью в
одну сторону (см. «Поверхности переноса»).
Формы задания поверхности параболоида вращения
1) Явная форма задания (рис. 2): 2z = (л2 + у2)/р.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и кривизны координатных линий:
А2=1 + —у, F=~, В2=1 + ^р, L = -p 1^==А, М-0, к=-^р, к=^р,
р2 Р2 Р2 ^р2+х2+у2 А у В2
kl = L, к2 = р2Ь\
Координатные линии х, у на поверхности параболоида вращения (рис. 2) образуют чебы-
шевскую сеть, т.е. у любого четырехугольника, образуемого' линиями криволинейной коорди-
натной сети, противоположные стороны равны. Координатная сеть - неортогональна (FpG), нс
сопряженная (М = 0).
При расчете пологих оболочек частные производные dz/dx и д~/ду будут намного меньше
единицы и, поэтому их квадратами можно пренебречь. Следовательно, полученные формулы
для пологих оболочек примут вид:
А = В = 1, F = 0, L = l/р = N, М = 0, кх=кх=\/р.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(r,/J) = rcos/7, у = y(r,/7) = rsin/?, z = z(r) = г2 / (2р).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A2 =l + r2 t р2, F = 0, B = r, L=\/(pA), М=0, N = r2/(pA), к.,^\/(рА3у к2 - L.
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = aju/ h cos г, у = у(и, г) = а^и/ h sin.v, z = z(u) = u; где и> 0; 0< v<2zr.
На высоте z = h параболоид имеет радиус г = а. Площадь боковой поверхности параболои-
да вращения S = па[(а2 + 4й2)3/2 - а3]/(6/г2), его объем V = mi:’h/2, если 0 < v < 2тг, 0 < и < h.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
,, , а2 „ „ а2и а 2аи L N
А2=1 + —-, F = 0, В L =----. „. , М=0, N=-r к.=—у, к,
h 2u\a2+Auh 4a2+‘Auh A ~ В2
Дополнителънаялитература
1. Кривошапко С.Н. Параболические оболочки вращения// Монтажные и специальные работы в строительстве.
- 1999. - №12. - С.5-12 (библ.: 63 назв.)
96
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
КРУГОВОЙ ТОР
(Открытый тор) (Закрытый тор) (Сфера) (Закрытый тор)
Круговой тор (лат. torus - узел) получается вращением окружности (х - а)2 + z = Ь2 вокруг
оси Oz- Открытый тор - тор (рис. 1), образованный вращением окружности вокруг оси, лежа-
щей за пределами этой окружности (а > Ь'). Закрытый тор - тор, образованный вращением ок-
ружности вокруг оси, касающейся (а = Ь, рис. 2) или пересекающей окружность (а < Ь, рис. 4).
Внутренняя часть поверхности открытого тора относится к поверхностям отрицательной
гауссовой кривизны, а внешняя - к поверхностям положительной гауссовой кривизны.
Формы задания поверхности кругового тора
1) Неявная форма задания: (х2 + у2 +z2 + а2 - Ь2)2 = 4а2(х2 + у2).
2) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) = (a +bcosv)cos«, у = у(и,г) = (а + b cos v) sin w, z = z(v) = bsinv,
где a - радиус центров образующих окружностей, b - радиус образующей окружности, угол и
называют внутренней широтой точки тора; 0 < и < 2л, 0 < г < 2л; отношение b/а - эксцентри-
ситет тора. На круговом торе кроме параллелей и меридианов существует еще два семейства
плоских окружностей, называемых окружностями Виларсо. Они получаются пересечением то-
ра его касательной плоскостью, касающейся тора в двух точках. Радиус окружностей Виларсо
равен а. Площадь всей поверхности тора - Дл2аЬ, объем тора - 2я2аЬ".
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = a+bcosv, F = 0, B = b, L =-(а+6 cos v) cos v, М =Q, N = —b, К = cosv / (ЬА).
Если а < b (рис. 4), то угол у изменяется в пределах - arccos(- а / bj < у < arccos(- а / b), а
если необходим тор, показанный на рис. 4, б, то arccos(- а /b) < v < 2л + arccos(- а /b).
3) Параметрическая форма задания:
а[^аг + 01 -bj а^а2 + 01 -bj вр
х = х(и,Р) =——-соей, у = у(и,0) =------------, „ —-sinw, z = ==,
7«2+^2
где ft = atga; а - угол между прямой, соединяющей центр образующей окружности радиусом b
: произвольной точкой тора, и плоскостью z = 0.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
п(7а2 + Л“ -К) ab a2(Ja2 + р2 -Ь) а2Ь
А = У , F = 0, Д= , L = ----------------------, М = 0, -2 ,
-Ja~ + Р~ а + Р а + р (а + Р )
k} = ки = -1 / ф2 + р2 -Ь), к2=р,=\/Ь.
4) Параметрическая форма задания кругового тора при а = b (рис. 2):
a(chy ± 1) a(chy ± 1)
х = х(у,и) =--------cosw, у = у(/,и) =-------sinn, z = athr.
СП/ СП/
Дополнительная литература
1. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - Киев: Буди-
зэльнык, 1990. - 192 с.
2. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. - Л.: «Политехника»,
1991.-656 с.
97
- - 5391
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ТОР
Эллиптический тор получается
вращением эллипса произвольногс
положения
х - x(v) = а + rcosv,
Z = z(v) = Г sin v, где
cb
г = r(v) = ,
y]b2 sin2 fi + c2 cos2 ft
a p = v - в, вокруг оси Oz (рис. 1):
в = const - угол наклона полуоси эллипса с к плоскости хОу (z = 0). Открытый эллиптических'.
тор - тор, образованный вращением эллипса вокруг оси Oz, лежащей за пределами этого эл-
липса (рис.1, рис. 2). Закрытый тор - тор, образованный вращением эллипса вокруг оси Oz.
касающейся (рис. 3) или пересекающей эллипс (рис. 4).
Эллипс касается оси вращения, если выполняется условие dx/dv = 0 или
r2(c2 - h2)sin(2(v - #)] = 2c2fe2tgv.
Формы задания поверхности эллиптического тора
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и, v) = (а + г cos v) cos и, у = y(u,v) = (а + г cos v) sin и, z = z(v) = г sin v,
где а - радиус точки пересечения осей и т/ образующего эллипса (рис. 1); г - расстояние от
точки пересечения осей эллипса до произвольной точки Мо, принадлежащей эллипсу; Ь, с - по-
луоси эллипса; 0 < и < 2я, 0 < v < 2 я; и - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.
Если одна из осей образующего эллипса (например, ось О параллельна оси вращения Oz, тс
необходимо взять 9 = тг/2. Если принять b = с, то получим г = b, v = fl, а эллиптический тор об-
щего вида выродится в круговой тор (см. «Круговой тор»), где а будет радиусом центров обра-
зующих окружностей с радиусом Ь.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = а + rcosv, F = 0, В2
(b* sin2 /3 + с4 cos2 /3)г6
/1 С — и 2
L = -—r -г sin 2 о sin v +cos v
В 2с2Ь2
Косой эллипсоид вращения можно построить, если принять а = 0 (рис. 5, а, б, в).
Дополнительная литература
1. Clark R.A., Girloy T.I., and Reissner E. Stresses and deformation of toroidal shells of elliptical cross section// J
Appl. Meeh. - 1953. - Vol. 20. - No 4.
2. Авдонин A.C. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение
1969.-402 с.
98
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
Рис. 2
Двуполостный гиперболоид вращения получается
вращением гиперболы -хДа2 + z2/c~ = 1 вокруг оси Oz.
Сечение гиперболоида плоскостью z = h > с = const
дает окружность радиусом г = aV/г2 — с2 /с (рис. 1).
При пересечении его плоскостью у = t = const в сечении
получаются гиперболы z - ±с^1а2 + t2 + х2 / а (рис. 2),
а при пересечении гиперболоида плоскостью х = р = const получаются ги-
перболы z = +с^а2 + р2 + у2 / а (рис. 2).
Вершины двух полостей гиперболоида расположены в точках с коор-
динатами (0, 0, ±с). Знаки соответствуют двум полостям гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид вращения относится к классу незамкнутых
центральных поверхностей второго порядка. Он является частным случаем двуполостного ги-
перболоида (см. «Поверхности второго порядка»).
Рис. 1
Формы задания поверхности двуполостного гиперболоида вращения:
1) Неявная форма задания: -;---+ — = 1, где а и с - полуоси гиперболоида вращения,
а" с~
;| > с; а!с = р - фокальный параметр меридиана. Если а = с, то гиперболоид называется пра-
вильным. Он образовывается вращением равнобочной гиперболы. Асимптотический конус дву-
полостного гиперболоида вращения определяется уравнением: (х2 + у2) / а2 - z2 /с2 =0.
с г~;--------у
2) Явная форма задания: z = ±~уа~ + х~ + у~ (рис. 2).
а
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и, v) = ashwcosv, у = у(и,у) = oshusin v, z = ±cch«.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А~ =a2ch2u + c2sh2u, F = 0, В = ashu, L =+—~, М = 0, N =+—-sh2«, k,=+—y, кг=+—~.
A A A aA
Координатные линии и, v являются линиями главных кривизн.
4) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(z, /3) = rsin /3, у = y{_z,P) = г cos Д z = z, где r = —yz'-c .
с
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
I----ТУ 1 г" 11
A = yl + r2, F = 0, B = r(z), кх=- = --------—
(1 + Г ) “2 ГУ 1 + Г
где штрихи при г означают первые или вторые производные по параметру z.
5) Параметрическая форма задания (рис. 1) при помощи полярных координат меридиан:
х = х(ср,Д) = рзш^зтД у = у(<^, Д = рзт^созД z = z{<p) = рсо&ср,
где р = р I (1 - ecos Д), р = а2 / с, е- у/1 + а2 / с2, в < ср < п + в, cos# = 1 / е.
Дополнительная литература
1. Васильев А.Н. Устойчивость анизотропного двуполостного гиперболоида вращения с заполнителем// Казань:
КФЭИ, 1991. - 14 с. - Библ. 6. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 8.7.91, № 2887-В91.
99
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ СОПРЯЖЕНИЯ ДВУХ СООСНЫХ ЦИЛИНДРОВ
РАЗНЫХ ДИАМЕТРОВ
Поверхность сопряжения двух соосных цилиндров разного диаметра может быть включена
как в класс циклических поверхностей, так и в класс поверхностей вращения. Она образовыва-
ется вращением косинусоиды вокруг общей оси двух сопрягаемых цилиндров (рис. 1).
Формы задания поверхности сопряжения двух соосных цилиндров разного диаметра
1) Параметрическая форма задания (рис. 1-2 ):
х = М«,Д) = На) cos Д у = у(а, Д = r(a)sin Д z = a,
R2 — R:
г = r(a) = 2
где
1 - COS---
, + R. = (Д -tf.)sin2 — + R. -
2b J 1 V 2 . 4b 1
закон изменения радиуса рассматриваемой по-
верхности сопряжения вдоль оси Oz (оси враще-
ния); R2 > Ry, 0 < а < 2b\ 2Ь - длина участка меж-
ду двумя цилиндрами разного диаметра; Р - угол в
плоскостях параллелей поверхности, отсчитывае-
мый от оси Ох в сторону оси Оу, 0 < Д < 2л.
Две параллели, расположенные в сечениях z = С
и z = 2Ь являются геодезическими линиями, так как
касательные к меридианам в точках этих паралле-
лей параллельны оси вращения. Все меридианы
поверхности вращения также являются геодезиче-
скими линиями.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = 1 + ^--(Д-Д)2 sin2 —, F = 0, В = г(а),
16b2 2 1 2b
n2(R-,—R\) ла В
L =----—у,---—cos —, М =0, N =—,
%b A 2Ь А
, , n2(R2-R}) ла 1
“ 8/?А 2b АВ
. ла „ л2(В, -Д){Д -Д -(Д +Д)соз[я-а/(2Ь)]}+16Ь2
2Ь У2Ь~АЪВ
Криволинейная координатная сеть поверхности отнесена к лини-
ям главных кривизн а, р. На участке 0 < а < b поверхность имеет
отрицательную гауссову -кривизну, а на участке b < а < 2Ь - поло-
жительную (приД > Д). На рис. 2 показана поверхность сопряже-
ния с Д = ЗД; b = 3Ry, 0 < а < 2Ь; 0 < Д < 2л.
Рассматриваемая поверхность сопряжения двух соосных цилинд-
ров разного диаметра является частью гофрированной поверхность
вращения обгцей синусоиды (см. «Поверхности вращения»). Если
принять R\ = Rz, то поверхность сопряжения выродится в цилиндри-
ческую поверхность вращения.
Дополнительная литература
I. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - Киев: «Буди-
вэльнык», 1990. - 190 с.
8Ь2А4В
Рис. 2
100
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Рис. 1
ПОВЕРХНОСТЬ СОПРЯЖЕНИЯ СООСНЫХ ЦИЛИНДРА И КОНУСА
Поверхность сопряжения соосных цилиндра и конуса представляет собой фрагмент гофри-
рованной поверхности вращения общей синусоиды (см. «Поверхности вращения»). Она образо-
вывается вращением кривой у = «[1 — cos(2^z/c)] + Rt вокруг оси Oz.
Чтобы рассматриваемая поверхность вращения была поверхностью
сопряжения соосных цилиндра радиусом Д и кругового конуса с уг-
лом (р в вершине и основанием радиусом R2 (рис. 1), необходимо для
констант поставить два условия:
1) (2ла/с)зт(2л/1/с) = tg^> и 2) д[1 -соз(2лй/с)]+ R; = R2.
Таким образом, имея шесть констант Ri, R2, а, b, с и <р, можно за-
дать любые четыре константы, а два оставшихся геометрических па-
раметра вычислить из приведенной выше системы двух уравнений.
-При этом необходимо брать а < 0, если R\ > R2.
Например, если считать, что заданны Rx, R2, с и <р, то остальные
два параметра а и b вычисляются по формулам:
; b = ----arcsin при <р > 0, Ri > Rj (рис. 1) или (р <0, R2< Rt
2л 2ла
а =
Л, -R.
-1 |~0,, c2tg> .
8д2
с с с\.£(р
и b =-------arcsin—— при <р < О, R2 > Ri или <р > О, R? < Ri.
2 2л- 2ла
Формы задания поверхности сопряжения соосных цилиндра и конуса
1) Параметрическая форма задания: х = x(pz,/3) = г cos /3, у = y(z, Д) = rsin Д z
где г = r(z) =я[1-со5(2ж/с)] + Л,; 0<z</?; b<c; 0 < j3 < 2л- (pi
Рис. 2‘
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
4л-2аг . , 2лг „ л „ ... 4дд2 2/с .. „ г
----—sin’---, F-0, В = r(z), L =--i—cos-----, M =0, N = —.
c~ с c~A c A
, , 4ад-2 2лг , , 1 „ 4ад-2 2лг
к, = к, = ;——cos , к, =кя=— , К =—-—-cos .
' - с~А3 с - р гА с гА с
На поверхности сопряжения соосных цилиндра и конуса все меридианы, а
также параллели z = 0, z = с/2 и z = с будут геодезическими линиями. Поверхность сопряжения
при а > 0 содержит участки положительной гауссовой кривизны в пределах с/4 < z < Зс/4 и уча-
стки отрицательной гауссовой кривизны в пределах 0 < z < с/4 и Зс/4 < z < с.
На рис. 1 изображена поверхность сопряжения, для которой R2 = 1,5Rt, с = 4R2 и <р = М. На
рис. 2 поверхность имеет R\ = 1,5Лг, с = 4/6 и <р = л/6.
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 3
2) Параметрическая форма задания: х = x(z,0) = г cos [ф
г = r(z) = а[1 - созЩят/с)] + R); а = Л» - R\, где b = с/4; с = 2ira/tgg), если <р > 0, а > 0 (рис. 3) или
<р < 0, а < 0 (рис. 4) и b = Зс/4; с = -2m/Xg<p, если <р < 0, а > 0 (рис. 5) или <р > 0, а < О (рис. 6). Ко-
эффициенты основных квадратичных форм поверхности вычисляются по формулам, приведен-
ным выше. Поверхности, изображенные на рис. 1 - 6, построены для | ср | = тг/6.
2
101
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ, ОБРАЗУЕМАЯ ВРАЩЕНИЕМ МЕРИДИАНА
В ФОРМЕ ПОЛУКУБИЧЕСКОЙ ПАРАБОЛЫ
Поверхность образовывается вращением полукубической параболы z = bx2li (параболы Ней-
ля) вокруг оси-Oz. Поверхность вращения имеет особую точку с координатами (0, 0, 0).
Формы задания поверхности
Рис. 1
2
1) Явная форма задания:
2) Параметрическая форма задания поверхности:
х = и3, у = v3, z = Ь(и6 + гб)1/3.
3) Параметрическая форма задания поверхности (рис. 1):
2
х = x(r,fi) = гсозД у = y(r,/J) = г sin/?, z = z(r) = br3.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее главные кривизны:
, 4Д -- 2Ь Л
А2 =1 +---г 3, F = 0, B = r, L = -—г 3, М = 0,
9 9А
2Ь | 2Ь 3 2Ь 3
N =—г3, к, =-----уг 3, =----г 3.
ЗА 1 9А3 2 ЗА
Поверхность отрицательной гауссовой кривизны (К < 0).
Дополнительная литература
1. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - Изд - во “Наука”, 1974. - 176с.
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ z = b/x ВОКРУГ ОСИ Oz
Формы задания поверхности
b
1) Явная форма задания: z = , =.
Рис. 2
Поверхность вращения гиперболы z = b/x вокруг оси Oz можно при-
числить также к поверхностям Цицейки с центроаффинным инвариан-
том / = -4/(2762).
2) Параметрическая форма задания поверхности (рис. 2):
х = х(г,Р) - г cos Р, у = y(r,P) = г sin /?, z = z(r)=Ыг, где л > 0, у > 0,
г = Ы г.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее главные кривизны:
2b b
А =1 + —г, F = Q, B = r, L =—г, M-Q, N = —~,
г Аг Аг
Ь2
— з ,з > кг — —
ь
г3А3’"2 г3 А'
Поверхность вращения гиперболы является поверхностью строго отрицательной гауссовой
кривизны (К < 0). Ни одна из ее параллелей не будет геодезической линией.
Дополнительная литература
1. Tzitzeica G, Sur une nouvelle classe de surface// Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris, 144 (1907). - P. 1257-1259 .
102
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ АСТРОИДЫ
Поверхность врагцения астроиды можно получить вращением
астроиды хт + zM = а2/3 вокруг любой из двух ее осей Ох или Oz.
Рассмотрим поверхность вращения астроиды вокруг оси Oz (рис. 1).
Формы задания поверхности
1) Явная форма задания: z = ±[a2/3 ~(х2 + у2)'/3]2.
Поверхность имеет две особые точки в полюсах поверхности при
х = у = 0, z= ±а и ребро возврата - параллель г = а при z - 0 .
2) Параметрическая форма задания:
х = x(r.fi') = rcosf), у = y(r,fi) = rsin/?, z = ± (а2/3 - г2/3)3/2, где 0 < г < а.
,1П
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
/ \ 1/з 1/з
( а ) а
А = - , F = Q, В = г, L =----/===
=, м = о, n = -
,2/3
aw
2/3 _ г2/3 |
1
к, =----------; '-= = Д = -
* 3(ar)1/3Va2/3-r2/3
3) Параметрическая форма задания:
х = x(t,/3) = п sin3 teas fl, у = у(г,Д) = a sin3 sin Д z = z(r) = a cos31.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 3asinrcosr, F = 0, B = asin3f, L = 3asinrcost, М = О, А =-a sinJ Г cos Г,
к} = 2 / (За sin2r), к2 - -cost I (a sin3 г), К < 0.
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ЛОКОНА АНЬЕЗИ
Если вращать локон Аньези Fy = 4а2(2а - у) вокруг его асимптоты (ось ?), получим поверх-
ность вращения локона Аньези. Поверхность интересна тем, что ее меридианы
пересекают плоскость z = 0 под прямым углом (рис. 2). В сечении поверхности
вращения локона Аньези координатной плоскостью z = 0 будет окружность ра-
диусом 2а. Эта параллель будет являться геодезической линией.
Формы задания поверхности
з 2 2а
1) Неявная форма задания: z = 4а , =
Рис. 2
-1 .
2) Параметрическая форма задания:
х = x(r,P) = rcosfl, у = y(r,fi) = rsmp, z = z(r) = 2a(2a/r -1)1/2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
2 4а4 2а2 (За-2г) 2а2
г4 (2а/г-1) Аг4 (2а / г- I)3" А/Д2а - 1
L N
k\ — kr — , k2 — kp — < 0.
Таким образом, К> 0, если г > 1,5а; К < 0, если г < 1,5а, и К = 0 на параллели г =1,5а.
103
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ПАРАБОЛЫ
Рис. 1. (а > 0)
Рис. 3. (Ь>0) Рис. 4
Параболоид вращения образо-
вывается вращением параболы
вокруг ее оси симметрии - оси
параболы. Поверхность вращения
параболы получается при враще-
нии параболы вокруг прямой, па-
раллельной ее директрисе (от лат.
directrix - направляющая). Пара-
бола имеет одну директрису, отстоящую от ее фокуса на расстоянии 2р.
Формы задания поверхности вращения параболы:
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(r,p) = rcosfl, у = у(г,Д) = г sin/3, z = z(r) = Л//2р(г-а),
где г = а - радиус горловой окружности, р - расстояние между фокусом и директрисой парабо-
лического меридиана, |х| > а , |у| > а , 0 < /? < 2лг. Поверхность получена вращением параболы
Z2 = 2р(х - а) вокруг оси z. На рис. 1 показана поверхность вращения при а > 0. Если принять,
что а = 0, то получим поверхность, представленную на рис. 2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, р р1 рг
А3=1 + -—, F=0, B = r, L = ---------------рх, М-0, N-—,=£ = ,
2(г-а) А[2р(г-<7)]3 А^2р(г-а)
р Р
к. — к, — 1 Г' / \->3/2 ’ ^*7 — /1 — I— ’ К < б*
А3[2р(/--п)]3/2 2 р Аг^2р(г-а)
При а > 0 поверхность вращения параболы принадлежит к классу поверхностей отрица-
тельной гауссовой кривизны. Если принять а = р, то осью поверхности вращения становится
директриса семейства меридианов (образующих парабол).
2) Параметрическая форма задания (рис. 1, рис. 2):
х = t(z,/7) = [a + z2/(2p)]cos/7, у. = y(z,/J) = [a + z21 (2p)]sin/?, z = z.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
Д2=1 + —у, F = 0, B = r = a+ —, L = —, М = 0, N = -~,
р2 2р рА А
kt = П =1/(м’)> к2 =kfi =-ЩАВ), К = -1/(рА4в)<0.
3) Параметрическая форма задания (рис. 3, рис. 4):
х = x{z,fi)
—— — b cos В,
_2р J
у = y(z,/J) =
sin/?,
z-z,
где b>0 - расстояние от вершины параболы до оси вращения. Если b = 0, то получим поверх-
ность, показанную на рис. 2. На рис. 3 представлена поверхность при b > 0. Если принять b > 0.
а - -^2pb < z < ^2pb , будем иметь бочкообразную поверхность вращения (рис. 4).
Дополнительная литература
1. Даревский В.М. Метод расчета оболочек вращения на устойчивость при кручении// Изв. АН СССР. Мех
тверд, тела. - 1989.- №6.-С. 169-176.
2. Недешев Ю.Б., Попов А.Ю. Способ определения особых размеров оболочек вращения// Изв. АН СССР, МТТ
-1991,- №3,- С.118-126 (библ.: 5 назв.).
104
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Рис. 1
ПАРАБОЛО-ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ
Параболо-логарифмическая поверхность вращения (рис. 1) положительной га-
уссовой кривизны образовывается вращением плоской кривой
г - r(z) = aHcz + b ln(cz + b) вокруг оси z.
Формы задания параболо-логарифмической поверхности вращения:
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(z,fi) = r(z)sin/?, y = y(z,/7) = r(z)cos/?, z = z.
Появляющаяся в точке Zo (czo + b = 0) неопределенность вида 0 °° раскрыва-
ется и приводится к равенству r(z,,) = 0. Параллель, лежащая в плоскости z - 0,
имеет радиус г0 = а£>1/2 lnb.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и.ее главные кривизны:
ас1 ln(cz + b)
4A(cz + fe)37F’
2
2 2
, a c
A2 = 1 +-------
cz + b
ln(cz+Z>) " I-----
— + 1 , Г = О, В = r(z) — a-Jcz + b ln(cz + b"), L-
,, n ''(z) , nc‘In(cz + b) ' 1
M = 0, N =-------, k, =-----;--------nr, /с, =-------
a ^(cz + b)1,2 ’ r(z)A
4A4(cz + fe)
2
Дополнительная литература
1. Назаров Г.И., Пучков А.А. Равновесие параболо-логарифмической оболочки вращения// Прикл. мат. и мех.
(Москва). - 1991. - 55. - № 5. - С. 867-869 (библ.: 3 назв.).
Рис. 2
ГИПЕРБОЛО-ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Гиперболо-логарифмическая поверхность вращения от-
рицательной гауссовой кривизны имеет меридианы
г = r(z) = a(z + b)2 ln(z + b),
где a > 0 - постоянная, характеризующая форму поверхно-
сти (рис. 2). Постоянная b на форму поверхности не влияет,
от нее зависит положение начала координат. При Ь = 0 на-
чало декартовой системы координат будет расположено в
вершине поверхности вращения. Ось Oz является осью вращения. Возникающая здесь неопре-
деленность при z = —Ь вида 0 раскрывается по правилу Лопиталя. При этом получается:
r = r(z = -b~) = 0.
Формы задания гиперболо-логарифмической поверхности вращения:
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(z,fi) = r(z)sinJ5, у = у(г,Д) = r(z) cosД z = z.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, , , , , a[21n(z + b) + 3]
А2 = l + «2(z + b)2[l + 21n(z + b)]2, Г = 0, В = r(z) = a(z + b)2ln(z + 6), L = -
A
A M r'Z) 1 «[21n(z +b) + 3] 1 3 + 21n(z+b)
A A3 ’ r(z)A (z+b)~ ln(z + b)A
На рис. 2 показана гиперболо-логарифмическая поверхность вращения при а = 0,25; b = 0;
0 < z 2 4 м, rmax = 5,55 м при z = 4 м.
Дополнительная литература
1. Назаров Г.И., Пучков А.А. Обратная краевая задача для оболочки вращения отрицательной гауссовой кри-
визны//Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1990.-№ 12.-С. 22-24(библ.: 2 назв.).
105
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Рис. 1
Рис. 2
Параболоид вращения четвертого порядке.
образовывается вращением биквадратной па-
раболы л'4 = cz вокруг оси z (рис. 1). В англоя-
зычной литературе эту поверхность называют
квартоидом (Quartoid).
Формы задания поверхности параболоида
вращения четвертого порядка
1) Явная форма задания: cz = (л2 + у2)2.
В сечении поверхности вращения плоско-
стями z = h = const получаются окружности с
радиусами
2) Параметрическая форма задания (рис. 1, рис. 2):
х = x(r,ft) = гсоув, у = y(r,p) = rsin/?, z = z(r) = r4/c.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, г6 Рг2 4г4 12г2 4г2
А2 = 1 + 16 — , F = 0, B = r, L =-, М =0, W =-, k = k, =—r, k„=k, =----,
c2 cA cA cA2 1 - cA
K=^>0, H=^fl + 4)
c2A4 cA A J
Поверхность вращения задана в линиях кривизны г, р. Параболоид вращения четвертого
порядка является поверхностью положительной гауссовой кривизны, только в одной точке г = 0
поверхность имеет нулевые гауссову и среднюю кривизны (К = Н = 0). Следовательно, вершина
параболоида вращения четвертого порядка - плоскостная точка.
3) Параметрическая форма задания (рис. 1, рис. 2):
х = x(z,P) = Vcz cos Д у = y(z,p) = vczsmp, z = z-
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
2 с2 л/— Зс2 В
А =|+тгб+’ F-Q'
= .. 3- № -
1 16А357 л 2 АВ
16А458 (V^ + 16z3/2)2 '
Из полученных формул очевидно, что поверхность вращения биквадратной параболы зада-
на в линиях кривизны z, Д а параболоид вращения четвертого порядка является поверхностью
положительной гауссовой кривизны, только в одной точке z = 0 (плоскостная точка) поверх-
ность имеет нулевые гауссову и среднюю кривизны.
Дополнительная литература
1. Sun Bo-Hua, Zhang Wei, Yeh Kai-Yuan, Rimrott F.P.J. Exact displacement solution of arbitrary degree paraboloidal
shallow shell of revolution made of linear elastic materials// Int. J. Solids and Struct. - 1996. - 33, no 16. - P. 2299-2308
(библ.: 14 назв.).
2. Fan S.C., Luah M.H. New spline element for analysis of shell of revolution// J. Eng. Meeh. - 1990. - 116, № 3. -
P.709-726.
106
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ С ЗАТУХАЮЩИМИ ОКРУЖНЫМИ ВОЛНАМИ
Рис. 1
В технической литературе при исследовании свободных
колебаний с затуханием зависимость амплитуды колеба-
ний от времени ищется в виде функции
z = z(x) = ae‘“sin(<yx + ср).
Поверхность вращения с затухающими окружными
волнами получается вращением кривой z = z(x) вокруг оси
Oz.
Форма задания поверхности вращения с затухающими окружными волнами
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(r,u) = rcosu, у = y(r,u) = rsinu, z = z(r) = ae~"r sin(<2ir + еру
где со = тл/b, т - число целых полуволн, помещающихся на отрезке длиной Ь; ср = const.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = l + a2e“2'"'[-nsin(69r + ^) + &)cos(tar + ^)]2, F = 0, В~г,
L = ae~"r[(n2 -(P2)sin(fflr + ^)-2n<ycos(tUr + ^)]/ А, М = О,
N = rae~'lr[- nsin(cor + ср) + t»cos(<w + ср)\ / А.
На рис. 1 показана поверхность вращения ст = 4,/> = 4м;а=1м;и = 0,2; 0 < г < Ь\ <р = 0.
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ «ПАДАЮЩАЯ КАПЛЯ»
Поверхность вращения «Падающая капля» является алгеб-
раической поверхностью пятого порядка. Она получается при
вращении кривой х = x(z) = z2(l - z)l/2 вокруг оси Oz. В англоя-
зычной литературе эту поверхность называют «Kiss Surface».
Формы задания поверхности «Падающая капля»
1) Неявная форма задания: х + у2 = (1 - z)z4, где - »<z< 1.
2) Явная форма задания: х = ±-J(l- z)z4 - у2.
3) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = x(u,z) = z2 Vl-zcosw, у = y(u,z) = z2Vl-zsin«, z-z.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2(1-z)z2 15z2-24z + 8
>/4(1-z) + z2(4-5z)2 ’ 2(1-z)V4(1-z) + z2(4-5z)2 ’
к _ __ 4(15z2 -24z + 8)
~z2[4(1-z) + z2(4-5z)2]2'
Поверхность содержит участки положительной и отрица-
Рис-2 тельной гауссовой кривизны. Параболические точки с К = 0
расположены в сечении поверхности плоскостью z = 0,8 - 0,4(2/3)1й = 0,473. На рис. 2 изобра-
жена поверхность вращения при -1 < z < 1; 0 < и < 2 л-.
107
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ГЛОБОИД (ТОРОИД)
Глобоид - поверхность, образо-
ванная вращением дуги окружно-
сти т вокруг оси z, лежащей в
плоскости этой дуги. Способ обра-
зования поверхности глобоида по-
казывает, что мы имеем дело с ча-
стью поверхности кругового тора,
имеющей отрицательную гауссову
кривизну (рис. 1). Линия на гло-
боиде, образованная равномерным
движением точки вдоль оси гло-
боида при одновременном равномерном вращении глобоида вокруг своей оси, называется гло-
боидной винтовой линией. Глобоидная червячная передача - пример применения глобоида в
технике.
Формы задания поверхности глобоида
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = x(u,v) = (a +b cos v) cos и, у = y(u,v) = (а + b cos v) sin и, z = z(v) = bsinv,
где a - радиус центров образующих окружностей, b - радиус образующей окружности,
О < и < 2л, л!2<v < (3/ 2)я. На рис. 3 показан фрагмент поверхности, ограниченный линиями
главных кривизн 0 < и < л и бл / 6 < у < (3 / 2)л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = a+bcosv, F = 0, B=-b, L =-(я+bcosv)cosv, М = 0, N=—b, К = cosv/(ЬА').
2) Параметрическая форма задания:
а(^/а2 + Д2 -bj a{^Ja2 + Д2 - b)
х = х(и,Д) =------, =-- —cosw, у = у(и,Р) =---------—sinu, z = , -,
-у«'+Д2 -^в"+Д2 \а~ + Д'
где /> = at да: а - угол между прямой, соединяющей центр образующей окружности радиусом b
с произвольной точкой тора, и плоскостью z = 0. Положительное направление отсчитывается
против часовой стрелки; -л/2 < а < тг/2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
a(Ja2 +Д2 -b) ab
А = У г——------, Г = 0, В = ~2—~
Ja2 + Д2 а + Р
L = -
a2(ja2 +Р2 -b)
а2+/32
a2b
(а2+р2У'
M = 0, W =
k, = = - ДД? + Д2 -b), k2=kr = l/b.
Координатные линии и, у и и, Д являются линиями главных кривизн. Они совпадают с ме-
ридианами и параллелями поверхности вращения.
4) Параметрическая форма задания:
a(chy-l) a(chy-l)
x = x(y.v) =-------cosv, v = y(y,v)=---;----sinv, z = athy, < у <+»=,
chy ' chy
Глобоид имеет вырожденную точку с координатами (0, 0, 0) или при у = 0; а - Ь.
Дополнительная литература
1. Blachut J. and Jaiswal O.R. Instabilities in torispheres and toroids under suddenly applied external pressure// Int. J.
Impact. Eng. - 22 (5), 1999. - P. 511-530 (библ.: 16 назв.).
108
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ОБЫЧНОЙ ЦИКЛОИДЫ
Поверхность вращения обычной циклоиды образовывается вращением обычной циклоиды
z = at - asint, хц = a- acos t
вокруг оси гц- Обычная циклоида описывается точкой, отстоящей на расстоянии а от центра
круга радиуса а, катящегося без скольжения по оси zv. Рассмотрим более общий случай. Пусть
циклоида вращается вокруг оси z, которая параллельна оси z« и отстоит от нее на расстоянии с.
Формы задания поверхности вращения обычной циклоиды
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(/, /?) = (а + с - a cosr)cos/?, у = y(t,/3) = (а + с — a cos Г) sin Д z = z(f) = at - a sin t.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
г , t А АВ
A=2z7sin— F ~ 0, 5 = c + 2«sin~—, L = —, М - О, N =-,
2' 2 2 2а
1 1 к, - к, - - , А, 1 ' 2А Л . t ’ 2 4<з sm — 2 . t A Sln2 1 1 = к^2аВ = ( „ \tVK=.aB= ( „ c+2i7Sin‘— 4« c + 2asin — k 2/ I 2)
Координатные линии Д и t (параллели и меридианы) - линии главных кривизн.
Длину меридиана от параллели t = 0 до параллели t = const вычисляют по формуле
ц = 4а(1 -cos(r/2)).
На рис. 2 показан фрагмент поверхности, ограниченной параллелями t = 0, t = 2тт и мери-
дианами Р = 0 , Д = л. На рис. 3 изображены три отсека поверхности вращения обычной циклои-
ды при условии, что с = 0, а на рис. 4 - при с > 0. Две секции поверхности, представленной на
:ис. 3, относятся к категории замкнутых поверхностей вращения, так как начало и конец не-
замкнутой вращаемой обычной циклоиды лежат на оси вращения.
Площадь поверхности вращения дуги меридиана (t0 < t < f,) в форме обычной циклоиды
:ожно определить по формуле:
2а .t'1
S = —cos —
3 2,
t
- (с + 2а) c°s— ,
f0
0< Д<2д.
Например, площадь одной замкнутой секции поверхности, показанной на рис. 3:
5 = 64а2л/3, 0 < t < 2л:, 0<Д<2л:.
Дополнительная литература
1. Barra Mario. The cycloid// Educ. Stud. Math. - 1975. - 6, № 1. - P. 93-98.
2. Чуркин Г.М. Свойство точек циклоиды. - Ин-т хим. кинет, и горения СО АН СССР. - Новосибирск, 1989. -
. J с. - Библ.: 3 назв. - Ден. в ВИНИТИ 06.01.89, № 156-В89.
109
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПСЕВДОКАТЕНОИД
Катеноид образовывается вращением цепной линии х = ach(z/a) вокруг оси Oz (рис. 1). Ка-
теноид является единственной минимальной поверхностью вращения, то есть средняя кривизна
Рис. 1
его поверхности во всех точках равна нулю. Псевдокатеноид образо-
вывается вращением кривой х - bch(zZa) вокруг оси Oz. Псевдокатено-
ид - поверхность вращения строго отрицательной гауссовой кривизны,
но она не является минимальной поверхностью.
Формы задания поверхности псевдокатеноида
1) Явная форма задания (рис. 2; 3): z = аАгсйдДх2 + у2)/Ь2.
2) Параметрическая форма задания:
х = x(r, р) = rcos.fi, у = у(г, р) = rsmp, z = z(r) = aArch(r/fe),
где p - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.
А2
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
г2 -Ь2 + а2 —аг га
=---5---2—, F = О, В = г, L =-;===, М = 0, N = , -
г2-b2 -b2^r2 -b2 +а2 Jr2-b2+a2
— аг а —а2 а(а — Ъ)
,=—;--5---2 , к.., ——, --- —- , К — -----у < О, Н —— -------
(г — b +а ) r^Jr2 — b2 + а2 [г2 — b2 + а2] 2г(г2 -Ь2 + а2)
Рис. 2(а>Ь)
Рис. 4
Рис. 3 (а < &)
Координатные линии г и Д (параллели и меридианы) - линии главных
кривизн (рис.1 - 3). На рис. 2 псевдокатеноид имеет а > Ь. Поверхность
вращения, представленная на рис. 3, построена для случая а < Ь. Только при
а = b (рис. 1) псевдокатеноид становится мини-
мальной поверхностью (Н = 0) и может быть на-
зван катеноидом. Подставляя а = b в формулы
для вычисления коэффициентов основных квад-
ратичных форм псевдокатеноида, можно полу-
чить соответствующие значения этих коэффици-
ентов для катеноида (см. «Катеноид»),
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ «ГРУША»
Поверхность вращения «Груша» образовывается вращением кривой Ну1 = z(a - z) вокруг
своей координатной оси Oz.
Формы задания поверхности вращения «Груша»
1) Параметрическая форма задания (рис.4):
х = x(z,P) = r(z)sin/?; у = y(z,P) - r(z)cos^; z = z, где г = r(z) = z^z(a-z)jb;
а и b - произвольные константы; 0<z£«; 0 < г < Зд/За2 /(16/>). Параллель
z = За/4 с г = rmax = Зл/За2 /(16й) является геодезической линией.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее глав-
ные кривизны можно вычислить по формулам, приведенным на странице
«Поверхности вращения».
2) Неявная форма задания: z3(a - z) - /Ас2 + у2) = 0, то есть рассматри-
ваемая поверхность вращения является алгебраической поверхностью четвертого порядка.
Дополнительная литература
1. Gustavo Gordillo. A collection of famous plane curves// http.7/curvebank.calstatela.edu/famouscurves/famous.htm .
- August 14, 2001 (библ.: 1 назв.)
НО
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ОБЩЕЙ СИНУСОИДЫ
Поверхность вращения общей синусоиды z = awx(nnx/R + п/2) = acosfjwx/R') вокруг оси Oz
находит применение в технике. Общая синусоида по сравне-
нию с обыкновенной синусоидой (z = sinx) вытянута вдоль оси
Oz в |«| раз, сжата вдоль оси Ox RKrm) раз, где п - целое чис-
ло, R - размер, в который укладывается целое число п полу-
волн синусоиды, и сдвинута влево на отрезок RK2n). Период
функции Т = 2R/n, точки пересечения функции с осью Ох
имеют координаты [(к + l/2)R/n, 0].
Поверхность вращения общей синусоиды имеет кольцевые
участки как положительной гауссовой кривизны, так и отри-
цательной.
Формы задания поверхности вращения общей синусоиды
Рис
Рис. 2
1) Явная форма задания: z = a cos|
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(r,/3) = rcos/З, у = y(r,/J) = rsin/?, z = z(r) = acos~—.
R
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, а2п2л2 , плг ап2л2 плг апл плг
А2=1 +----;—sin2-----, F = 0, B = r, L = ---cos-—, M = 0, N =-—— rsin—-,
R- R AR2 R AR R
an2 л2 плг апл плг a2 n3 Л3 2плг
Криволинейная координатная сеть поверхности отнесена к линиям главных кривизн.
3) Параметрическая форма задания (рис. 2):
Л, - к,
плг
х = x(r,p) = rcosp, у = y(r,p) = rs’mp, z = z(r) = asin——.
R
Общая образующая синусоида по сравнению с обыкновенной синусоидой (z = sinx) вытяну-
та вдоль оси Oz в |я| раз и сжата вдоль оси Ox RKmt) раз, где п - целое число, R - размер, в ко-
торый укладывается целое число п полуволн синусоиды. Период функции Т = 2R/n, точки пере-
сечения функции с осью Ох имеют координаты [kR/n, 0]. Рассматриваемую поверхность враще-
ния можно задать в неявной форме:
z = a sin
плг апл плг
sin---, М = 0, N=------г cos---,
R AR R
а2п3л3 2плг
sin----------.
R
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, а2 п2 л2 плг ап2л2
А"=1 +----—cos'-----, F = 0, B = r, L=---J-.
R R AR2
ап л~ плг апл плг .............
Параллели р и меридианы г поверхности вращения общей синусоиды совпадают с линиями
главных кривизн.
Л, — к,
111
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ГОФРИРОВАННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ОБЩЕЙ СИНУСОИДЫ
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Гофрированная поверх-
ность вращения общей
синусоиды
nitz
х = asm—— + с
b
вокруг оси Oz содержит
кольцевые участки как
положительной, так и от-
рицательной гауссовой
кривизны. Общая сину-
соида по сравнению с
обыкновенной синусоидой
(х = sin z) вытянута вдоль
оси Ох в |а| раз и сжата
вдоль оси Oz Ы(пл) раз.
где п - целое число, b -
размер, в который укладывается целое число п полуволн синусоиды. Период функции Т = 2Ь/п.
Формы задания гофрированной поверхности вращения общей синусоиды
1) Явная форма задания:
b 7х + У "с
z = — arcsin-------------
пл а
2) Неявная форма задания:
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(г,Д) = г(г)созД у = y(z,/7) = r(z)sinД z(z) = z,
, . . nnz
где г = r(z) = a sin-+ с.
b
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
2 а2п2л2 -упта. , ап2л2 . плг. r(z)
А = 14--—cos'——, F = 0, В = r(z), L =-т—sin-, М = 0, N =--,
b b Ab2 b A
, ан2л2 nftz , 1 , ап2тг2 . плх,
k,=k =—rrsm—ki=kR=------------, K~—r-rsin .
1 г A2b2 b 2 p r(z)A rA b2 b
Криволинейная координатная сеть поверхности отнесена к линиям главных кривизн /?, z. На
рис. 1 показана гофрированная поверхность Вращения обычной синусоиды при а < с, на рис. 2 -
при а > с, на рис. 3 - при с = 0, а на рис. 4 показана поверхность вращения при а = с.
Поверхности вращения, показанные на рис. 1; 2 и 4, имеют участки положительной и отри-
цательной гауссовой кривизны. Поверхность вращения, представленная на рис. 3, - поверх-
ность положительной гауссовой кривизны.
112
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ПАРАБОЛЫ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Поверхность вращения параболы общего положения образуется вращением вокруг оси Oz
параболы У(/)= ct2, ось У которой повернута относительно оси вращения Oz на угол 0. Вершина
параболы.находится на расстоянии а от оси вращения.
а = и,8 м; с = г м ; о = и,гл а = и.э м; с = 1 м ;р=-Л7Э а = и,ом, c-im =
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 4
Формы задания поверхности вращения параболы общего положения
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
x(u,t) = (я +1 cos0 + ct2 sin#)cos« ;
у (и, 0 = (я +1 cos# + ct2 sin #)sin и ; z(u,t) = -t sin# + ct2 cos# .
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = (я + tcos# + ct2 sin б); F = 0; В2 = 1+4с2Г;
I z, > • .\2cfcos#-sin# ,, _
L = [a + tcos# + ct' sin#)-—------; M = 0;
/ , \2c 2ctcos#—sin# 2c
N = (a +1 cos #+ ct" sin # — ; k, = k, —------, k. = k, = —г.
\ 7 5 AB 2 B2
На рис 2 показана поверхность вращения положительной гауссовой кривизны при а = 0,8 м;
; = 2 м-1; # = 0,2тг. На рис. 3 представлены поверхности вращения отрицательной гауссовой
кривизны. Поверхность вращения, показанная на рис. 3, а, имеет 0 = я/2, а = 0, с = 1 м-1, а по-
верхность, изображенная на рис. 3, б, имеет # = —тт/2, a = 0,8 м; с = 1 м-1. Эти поверхности вра-
щения рассмотрены подробно в разделе «Поверхность вращения параболы».
На рис. 4 показаны еще два вида поверхностей вращения параболы общего положения.
Если принять угол наклона оси параболы к оси вращения равным нулю (# = 0) и расстояние
?т вершины параболы до оси вращения тоже равным нулю (а = 0), то поверхность вращения
щраболы общего положения выродится в параболоид вращения, который рассмотрен в разделе
Параболоид вращения».
Дополнительная литература
1. Иванов. В.Н. Геометрия и конструирование оболочек на основе поверхностей с системой координатных ли-
ний в плоскостях пучка// Пространственные конструкции зданий и сооружений: Сб. статей. - М.: ООО «Девятка
Принт», 2004. - Вып.9. - С. 26-35 (библ.: 13 назв.).
ИЗ
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ БИКВАДРАТНОЙ ПАРАБОЛЫ
Рис. 1 (а > 0)
Рис. 4 ( b > 0)
Параболоид вращения четвертого порядка образовывается вращением биквадратной пара-
болы вокруг ее оси симметрии - оси параболы. Поверхность вращения биквадратной параболы
получается при вращении биквадратной параболы вокруг прямой, перпендикулярной ее оси.
Формы задания поверхности вращения биквадратной параболы
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(г, В) = г cos/?, у = y(r,/J) = г sin/5, z = z(r) = ^/с(г-а),
где г = а - радиус горловой окружности, |х| > а , [у| > а , 0< /? < 2#. Поверхность получена
вращением параболы четвертого порядка z4 = с(х - а) вокруг оси z. На рис. 1 показана поверх-
ность вращения биквадратной параболы при а > 0. Если принять, что а = 0, то получим поверх-
ность вращения, представленную на рис. 2. При а > 0 поверхность вращения биквадратной па-
раболы принадлежит к классу поверхностей отрицательной гауссовой кривизны.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
.1/4
Зс|м
А2=1 + ~~: Гз7Г > F = 0’ B = r, L = — Гт7Г> Л/= 0, N= ... ,3/4 >
16(г-«) 16А(г-а) 4А(г-а)
Зс|/4 с1'4 Ъ4~с
k'~kr^~16A\r-a)7,i’ k'~kP - 4Ar(r-a)3/4’ К~ 64M4(r-a)5/2
2) Параметрическая форма задания (рис. 3, рис. 4):
z Гг4 .1 „ . ,
л = х(г,/?) = —-b cos/?, у = y(z,0) = —-b sin/?, z = z,
L с J . с J
где Ь>0 - расстояние от вершины параболы до оси вращения z. Если b = 0, то получим поверх-
ность, показанную на рис. 2. На рис. 3 представлена поверхность при b > 0. Если принять b > 0,
а - be < z4 < Ьс, будем иметь бочкообразную поверхность вращения положительной гауссовой
кривизны (рис. 4). Поверхность имеет две конические точки: х = у = 0, z = + (сД)1/4. При z4 > |bc|,
поверхность вращения становится поверхностью отрицательной гауссовой кривизны.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = 1 + 16^-, F = 0, В2 = (-—1>)2, L = М=0, П=4’
с с сА А
k =k, =-12~, К = -Щ-.
1 ~ сА3 2 АВ сА2 В
114
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ
а) Сжатый эллипсоид в) Вытянутый эллипсоид эллиптическим отверстием,
вращения-(а > Ь) (сфероид) б) Сфера (а = Z?) вращения (а < Ь) ио <и< Л
Рис. 1
Эллипсоид вращения - поверхность, получаемая вращением эллипса +7«2 + zlb2 = 1 вокруг
его оси симметрии Oz. Сжатый (сплюснутый) эллипсоид вращения (сфероид) образуется при
вращении эллипса вокруг его малой оси (рис.1, а). Вытянутый эллипсоид вращения образуется
при вращении эллипса вокруг его большой оси (рис. 1, в). Эллипсоид вращения лежит внутри
прямоугольного параллелепипеда, ограниченного гранями — а<х<а\ - а< у < a; - b < z < 6.
Геодезическая линия совпадает с экваториальной параллелью эллипсоида. Геодезическая ли-
ния, проходящая через круговую точку эллипсоида, проходит также через противоположную
круговую точку.
Объем, заключенный внутри поверхности сжатого эллипсоида вращения: V = Ат^ЫЗ.
Формы задания поверхности эллипсоида вращения
х2+у2 Z2
1) Неявная форма задания: -—5— + — - 1.
а' о'
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(а,Р) = acosacos/3, у = у(а,/3) = asinacos/?, z = z(P) = bsinД
0<а<2д-; ~л/2</3<л!2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А - acos ф, F = 0; В2 = a1sin2ф + &2cos2/?; L = аЬсо&2ф/В', М = 0; ^ = -ab/B.
Координатные линии а и ф (параллели и меридианы) - линии главных кривизн.
3) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и, г) = psinwcosv, у = y(u,v) = />sin«sinv, z = z(u) = pcosu,
где p = bl VI + cysin2 wcos2 v; co = b21 a2.
Коэффициенты первой квадратичной формы и главные кривизны поверхности:
I 7 X 2 I / \ 2
( СО у , ) / СО у \
А = /?,! + \-р~гр~ sin 2и cos" v ; F = 0; В = psinn, 1+1—~ Р“ sin 2v sin и ;
у \2а J , у \2а~ J
к аЬ к 1
[b2 +zy(/?sinwcosv)2]3/2 2 ру/1-(1-а4 lb4)sin2 и cos2 v
Координатные линии и, v образовывают географическую систему координат, но не являют-
ся линиями главных кривизн.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Эллипсоиды вращения в конструкциях зданий и сооружений. - М.: Госстрой России, ВНИ-
ИНТПИ, 1999. - Сер. «Строительные материалы и конструкции». - Вып. 4. - 40 с. (библ.: 130 назв.).
115
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ «ДИНЬ-ДОН»
Рис. 1 (-0,5< v < 1)
Поверхность вращения «Динь-дон» (Ding - Dong Surface) по форме по-
хожа на поверхность вращения «Падающая капля».
Формы задания поверхности вращения «Динь-дон»
1) Неявная форма задания: х2 + у2 = (1 - z)z2.
Таким образом, рассматриваемая поверхность вращения является алгеб-
раической поверхностью третьего порядка. Она получается вращением
кривой х = x(z) = z(l - z)1/2 вокруг оси Oz.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х — x(ii, у) = r(v)cosit, у = у(и, у) = r(y) sin и, z = z(v) = V,
где r(y) = v-Jl-v; -°°<v <1; 0<u < 2л.
Дополнительная литература
1. Hauser H. The Hironaka theorem on resolution of singularities// Bull. Amer. Math. Soc. - 2003. - Vol. - P.323-403.
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ «ВОСЬМЕРКА»
Рис. 2
Поверхность вращения «Восьмерка» (Eight Surface) свое название
получила от цифры 8, чье начертание напоминает форму рассматри-
ваемой поверхности. Поверхность получается при вращении кривой
х = x(z) = 2z(l - z2)1/2 вокруг оси Oz.
Формы задания поверхности вращения «Восьмерка»
1) Неявная форма задания: х2 + у2 = 4(1 - z2)z2.
Таким образом, рассматриваемая поверхность вращения является
алгебраической поверхностью четвертого порядка.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х - х(и. v) = cosh sin 2v, у = у(и, v) = sin и sin 2v, z = z(v) = sin v,
где -л/2 < v < л/2\ 0<и<2л.
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ «ЯЙЦО»
Наиболее распространенный тип пространственных природных систем - скорлупы-
оболочки. Это - раковины моллюсков, панцири насекомых, скелеты морских ежей. Одна из со-
Рис. 3
вершенных природных форм - скорлупа птичьего яйца.
Уравнение математической модели меридионального сечения птичье-
го яйца можно получить, исследуя замкнутые двухфокусные кривые
четвертого порядка. Например, Г.В. Брандт считает, что форма яйца хо-
рошо описывается неявным уравнением четвертого порядка:
Z2 + у2 = Зх(2а - х)[1 - с2 /(х + а)2 ]/ 4 ,
где 2а - длина большой оси (ось вращения поверхности); с - межфокус-
ное расстояние; (а - с)/2 - расстояние от начала координат до первого
фокуса меридиональной кривой.
Параметрические уравнения поверхности вращения «Яйцо» можно представить в виде:
х = х, у = у(х,^>) = r(x)cos^, z = z(x,<p) = r(x)sinp, где r(x) = — х(2а-х)
a" ft2
(х + а)2
, р = с/а -
коэффициент, характеризующий форму меридиана. На рис. 3 - /? = 0,75 (перепелиное яйцо).
Дополнительная литература
1. Брандт Г.В. Исследования уравнения поверхности оболочки, образованной двухфокусной кривой// Сб. тр.
ВЗПИ. Сер.: Строительство и архитектура. - М.: ВЗПИ, 1973. - С. 76-86.
116
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА ПО РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК, ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ВРАЩЕНИЯ
1. Ганеева М.С., Косолапова Л.А., Моисеева В.Е. Численное исследование деформирования гибких упруго-
пластических оболочек вращения с полюсом при неосесимметричном термосиловом нагружении// Актуальные
проблемы механики оболочек: Тр. Межд. конференции. - Казань, 26-30 июня 2000 г. - Казань: «Новое знание»,
2000. - С. 151-157 (библ.: 10 назв.).
2. Митюков М.М. Проектирование и строительство железобетонной монолитной оболочки покрытия аквапар-
ка в Ясенево, г. Москва// Пространственные конструкции зданий и сооружений. - Вып.9. - М.: ООО «Девятка
Принт», 2004. - С. 177-183.
3. Ер'хов М.И., Старов А.В. Динамика жесткопластической пологой оболочки вращения с шарнирно непод-
вижным краем с учетом больших прогибов// Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строи-
тельных и машиностроительных конструкций сложной формы: Тр. Межд. конференции. - Москва, 4-8 июня 2001.
- М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 115-120 (библ.: 4 назв.).
4. Бандурин Н.Г, Николаев А.П. К расчету МКЭ осесимметрично нагруженных оболочек вращения с учетом
физической и геометрической нелинейности// Расчеты на прочность. - Вып. 31. - Москва, 1990. - С. 135-144.
5. Мамай В.И. Нелинейное деформирование эллипсоидальных оболочек при локальном нагружении// Тр.
Межд. конференции по судостроению. - СПб., 8-Г2 окт. 1994. - СПб: «Судостроение», 1994. - Том С. - С. 242-249.
6. Криканов А.А. Равновесная форма меридиана оболочки, образованной намоткой несколькими семействами
лент// Мех. композит матер, и конструкций. - 2001. - 7, № 4. - С. 423-426 (библ.: 6 назв.).
7. Прохоренко Ф.Ф. Определение собственных частом сферической оболочки с помощью смешанного вариа-
ционного принципа// Исслед. и расчет строит, конструкций энерг. сооруж. - Л., 1987. - С. 132-142 (библ.: 7 назв.).
8. Заруцкий В.А., Сивак В.Ф. Экспериментальные исследования динамики оболочек вращения// Прикл. мех. -
35, № 3. - Киев, 1999. - С. 3-11(библ.: 47 назв.).
9. Костыренко В.В., Никитин А.П. Способ определения критических усилий статически нагруженных оболо-
чек вращения: Авт. свид. 1821670 РФ, МКИ G01N3//00. - Днепропетр. ун-т. - Заявл. 26.12.89г., Опубл. 15.6.93,
Бюл. №22.
10. Хорошун Л.П., Козлов С.В., Патлашенко И.Ю. Напряженно-деформированное состояние термочувстви-
тельных оболочек переменной толщины// Прикл. мех. - 24, № 9,- Киев, 1988. - С. 38-44.
11. Каиров А.С. Влияние формы меридиана и присоединенных тел на собственные колебания оболочек враще-
ния// Теор. и прикл. механика. - № 29. - Киев, 1999. - С. 117-122 (библ.: 3 назв.).
12. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С. Нелинейные задачи колебаний тонких оболочек (Обзор)// Прикл. мех. - 34, №
8. - Киев, 1998. - С. 3-31 (библ.: 223 назв.).
13. Hen Куе J., Gould Ph.L. Quadrilateral shell element for rotational shells// Eng. Struct., 1982, 4, № 2. - P. 129-131
(библ.: 3 назв.).
14. Cook W.A. A finite element model for nonlinear shell of revolution// Intern. J. Num. Math, in Eng., 1982, vol. 18.
no 1. - P. 135-149 (библ.: 19 назв.).
15. Jin Gon Kim, Yoon Young Kim. Higher-order hybrid harmonic shell-of-revolution elements// Comput. Methods
Appl. Meeh. Eng., 182 (1-2), Feb. 2000. - P. 1-16.
16. Farshad M. On the shape of momentless tensionless masonry domes// Build, and Environ. - 1977. - 12, no 2. - P.
81-85.
17. Yeom D.J., Robinson M. Numerical analysis of elastic-plastic behaviour of pressure vessels with ellipsoidal and
torispherical heads// Int. J. Pressure Vessels Piping. - Vol. 65, n 2, 1996. - P. 147-156 (12 ref.).
18. Yasuzawa V. Structural response of underwater half drop shaped shell// Proc. 3rd Int. Offshore and Polar Eng.
Cong., Singapore, June 6-11, 1993. - Vol. 4. - Colden (Colo), 1993. - P. 475-481 (библ.: 6 назв.).
19. Qatu M.S. Theory and vibration analysis of laminated barrel thin shells// J. Vib. and Control. - 5(6). - Nov. 1999. -
P. 851-889.
20. Reissner E. On finite axi-symmetrical deformations on thin elastic shells of revolution// Comput. Meeh. - 1989. -
4, no 5. - P. 387-400 (библ.: 16 назв.).
21. Behr Richard A., Mehta Kishor C., Kies ling Ernst IP. Strength and stability of earth covered dome shells// J. Struct.
Eng., 1984, 110, no 1.-P. 19-30 (библ.: 8 назв.).
22. Ramaswamy G.S., Suresh G. R. A new shell for foundation and transitions and footings// Int. Symp. “Innov. Appl.
Shells and Spat. Forms”, Bangalore, Nov. 21-25, 1988: Proc., vol. 1. - Rotterdam, 1989. - P. 137-150 (библ.: 17 назв.).
23. Maan H. Jawad. Design of Plate and Shell Structures. - New York: ASME, 2004. - 476 p.
24. Teng J.G. Buckling of thin shells: Recent advances and trends// AMR. - 49(4), Apr. 1996. - P. 263-274.
25. Guggenberger W. Heal conduction in ring-stiffened shells of revolution: A structural mechanics analogy//Adv. in
Struct. Eng., 2 (2), Feb. 1999.-P. 87-102.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Поверхности вращения».
117
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
СРЕДИННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ДНИЩ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ,
ОБРАЗОВАННЫХ НАМОТКОЙ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА НИТЕЙ
ПО ЛИНИЯМ ПРЕДЕЛЬНОГО ОТКЛОНЕНИЯ
Оболочки вращения, образованные намоткой одного семейства нитей по линиям предель-
ного отклонения, применяются в баллонах давления из композиционных материалов. Они со-
стоят из цилиндрической части и днищ, которые гладко сопряжены между собой по торцам.
Днища заканчиваются полюсными отверстиями, в которые могут устанавливаться металличе-
ские фланцы для крепления крышек. Баллон давления из композиционных материалов, полу-
ченный методом намотки высокопрочных нитей, более технологичен в изготовлении и на
30+50% легче металлических аналогов.
Внутренние усилия, возникающие в днище при действии внутреннего давления, должны
быть ориентированы вдоль нитей в каждой его точке. Уравнение срединной поверхности днищ
оболочек вращения, образованных намоткой одного семейства нитей по линиям предельного
отклонения, получается из решения нелинейного обыкновенного дифференциального уравне-
ния
у" _ 2r tgy
у'(1 + /2) Г2-г Г
полученного на основании безмоментной теории расчета оболочек из нитей. В уравнении ис-
пользованы обозначения: у =Д(г) - уравнение меридиана срединной поверхности днища обо-
лочки вращения; г - радиальная координата образующей линии днища (меридиана); штрихи
означают дифференцирование по координате г; <р - угол между нитью и меридианом поверхно-
сти днища. В каждой точке поверхности оболочки нити с углом +<р соответствует нить с углом
-<р\ параметр t равняется нулю для полюсного отверстия, закрытого крышкой, или радиусу от-
верстия в крышке гр.
Траектории нитей оболочки должны удовлетворять условию технологической реализуемо-
сти, при котором тангенс угла между нормалью к траектории нити и нормалью к поверхности
по абсолютному значению не должен превышать коэффициента трения к нити о поверхность в
процессе намотки, то есть
r<p' cos <р + sin <р
,/ 2 —
ry cos ср ,
“777r“+ysin^
Для оболочки вращения, образованной намоткой одного семейства нитей по линиям пре-
дельного отклонения, уравнение образующей поверхности у =fi(r) и уравнение траекторий ни-
тей tp = Д(г) вычисляются численно из решения задачи Коши для системы двух дифференци-
альных уравнений (уравнение образующей кривой поверхности вращения и уравнение техноло-
гической реализуемости при знаке равенства в правой части со значением к0 <к). Из условия
непрерывности автоматизированной намотки угол <р нити в полюсе должен равняться 90°.
Приведенные дифференциальные уравнения позволяют находить форму образующих
поверхности днищ и траекторию нитей баллона давления с максимально различающимися ра-
диусами полюсных отверстий.
Дополнительная литература
1. Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотт В.В. и др. Композиционные материалы: Справочник / Под общ. ред.
В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
2. Образцов И. Ф„ Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композици-
онных материалов. - М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.
118
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
СРЕДИННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ДНИЩ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ,
ОБРАЗОВАННЫХ ПЛОСКОСТНОЙ НАМОТКОЙ НИТЕЙ
Оболочки вращения, образованные плоскостной намоткой, применяются в баллонах давле-
ния из композиционных материалов. Они состоит из цилиндрической части и гладко сопря-
гающихся с ней двух днищ по торцам. Днища заканчиваются полюсными отверстиями, в кото-
рые могут устанавливаться металлические фланцы для крепления крышек. Баллон давления из
композиционных материалов, полученный методом намотки высокопрочных нитей, более тех-
нологичен в изготовлении и на 30 - 50% легче металлических аналогов.
Внутренние усилия, возникающие в днище оболочки при действии внутреннего давления,
должны быть ориентированы вдоль нитей в каждой его точке. Уравнение образующей средин-
ной поверхности днищ оболочек вращения, образованных плоскостной намоткой нитей, полу-
чается из решения нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения
У" _ 2r tg>
У(1 + У2) г2 -t2 г ’
полученного на основании безмоментной теории расчета оболочек из нитей. Здесь приняты
следующие обозначения: у = у(г) - уравнение меридиана срединной поверхности днища обо-
лочки вращения; г - радиальная координата образующей кривой поверхности вращения днища.
Штрихи означают дифференцирование по координате г; <р - угол между нитью и меридианом
поверхности вращения днища. В каждой точке срединной поверхности оболочки вращения ни-
ти с углом +<р соответствует нить с углом -р; параметр t равняется нулю для полюсного отвер-
стия, закрытого крышкой, или радиусу отверстия в крышке гр.
При плоскостной намотке нити укладываются на поверхность вращения в плоскостях,
касательных к полюсным отверстиям обоих днищ, в соответствии с уравнением
гу'-у
№Р = ГГ~7Г П~ 2 ' ’
д/1 + у \r~ctg у-у‘
где у - угол между плоскостью, в которой лежит нить, и осью вращения поверхности днища. Из
условия непрерывности намотки угол нити в полюсе должен равняться 90°.
Для оболочки вращения, образованной плоскостной намоткой, уравнение меридиана сре-
динной поверхности у = у(г) находится из решения задачи Коши для нелинейного обыкновен-
ного дифференциального уравнения
У" _ 2г ОУ-у)2
У(1 + У2) ~ r(l + y'2)(r2ctg2y-y2) ’
второе получается приравниванием соответствующих частей двух приведенных ранее диффе-
ренциальных уравнений.
Приведенное дифференциальное уравнение позволяет находить форму образующих кривых
: рединных поверхностей днищ и траекторию нитей баллона давления, как с одинаковыми, так и
: различающимися радиусами полюсных отверстий двух днищ. Рассчитанная траектория ук-
ладки нити при плоскостной намотке должна удовлетворять условию технологической реали-
.уемости, при котором тангенс угла между нормалью к траектории нити и нормалью к поверх-
-:эсти по абсолютному значению не должен превышать коэффициента трения нити о поверх-
ность при намотке (см. раздел «Срединные поверхности оболочек вращения, образованных на-
моткой одного семейства нитей по линиям предельного отклонения»).
Дополнительная литература
1. Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотин В.В. и др. Композиционные материалы: Справочник / Под общ. ред.
3 В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
119
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
СРЕДИННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ДНИЩ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ,
ОБРАЗОВАННЫХ НАМОТКОЙ НИТЕЙ
ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ЛИНИЯМ
Оболочки вращения, образованные намоткой нитей по геодезическим линиям, применяют-
ся в баллонах давления из композиционных материалов. Они состоит из цилиндрической части
и двух днищ, гладко сопряженных с цилиндрической частью. Днища заканчиваются полюсны-
ми отверстиями одинакового радиуса, в которые устанавливаются металлические фланцы для
крепления крышек. Баллон давления из композиционных материалов, полученный методом на-
мотки высокопрочных нитей более технологичен в изготовлении и на 30 - 50% легче металли-
ческих аналогов.
Устойчивое положение нитей при намотке обеспечивается укладкой их на поверхности
вдоль геодезических линий в соответствии с уравнением Клеро: rsinip = гц, где ср - угол между
нитью и образующей кривой поверхности вращения. В каждой точке срединной поверхности
оболочки вращения нити с углом +<р соответствует нить с углом -<р\ го - радиус полюсного от-
верстия. Форма образующей кривой у = у(г) срединной поверхности вращения днища обеспе-
чивает направление внутренних нормальных усилий, возникающих в оболочке днища при дей-
ствии внутреннего давления, вдоль нитей. Образующая поверхности днища с фланцем вычис-
ляется в результате последовательного решения двух дифференциальных уравнений:
dy, г(гг - г )4аг - г2
dr Р^-r^a1 -(У-Ла1 ~ЛЛ ЛЛ
dy2 r(b2 - г2 )д/(а 2 - г2 )(г - г02)
---= - — .. -L- 1 при гп < г < Ь,
dr у) а2 Л - г02 )2 (а2-г2)2- г2 Л - г2 -г2 г2)
где у = у(г) - осевая координата образующей кривой днища; а - радиус цилиндрической части
оболочки вращения; b - максимальный радиус фланца; параметр t равняется нулю для полюс-
ного отверстия, закрытого крышкой, или радиусу отверстия в крышке гр.
Задача Коши для первого дифференциального урав-
нения решается с начальным условием yi = 0 при г = а,
для второго дифференциального уравнения - с началь-
ным условием у>2 = >1 при г = Ь. Первое и второе диф-
ференциальные уравнения допускают решение в эл-
липтических интегралах. Максимальный радиус фланца
для выпуклой поверхности днища должен удовлетво-
рять условию
I 8?
It1i
V 9г0
На рис. I приведен вид рассматриваемой срединной поверхности вращения днища, для
которой уравнение меридиана у = у(г) было получено численно по точкам при помощи приве-
денных дифференциальных уравнений. Решение задачи проводилось для поверхности враще-
ния, заданной параметрами а = 3 м; b = 1,3 м; /д = 1 м, t = 0, и гладко сопряженной с цилинд-
рической частью поверхности вращения.
Дополи ительпая литература
1. Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотин В.В. и др. Композиционные материалы: Справочник / Под общ. ред.
В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
2. Образцов И. Ф„ Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композици-
онных материалов. - М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.
120
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
СРЕДИННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
Большое число работ посвящено отысканию формы меридиана срединной поверхности
тонкостенной оболочки вращения с наперед заданными свойствами. Критерием выбора опти-
мальной формы оболочки вращения может быть ее стоимость, минимальный вес [1], отсутствие
изгибающих моментов и растягивающих нормальных усилий [2], заданное напряженное со-
стояние для действующей внешней нагрузки [3], заданная несущая способность при оптималь-
ной пологости [4], максимальная внешняя нагрузка; минимальный вес при ограничениях на
значения собственной частоты и максимальных перемещений [5]; отсутствие изгибающих мо-
ментов при учете внутреннего давления, собственного веса и центробежных сил [6]; максимум
критической нагрузки [7; 8] или выбор формы с учетом всех предъявляемых требований.
В основу расчета каплевидного резервуара для жидких продуктов положено условие равно-
прочности тонкостенной оболочки резервуара [9], то есть геометрия срединной поверхности
оболочки выбирается таким образом, чтобы под воздействием основной расчетной нагрузки в
меридиональном и кольцевом направлениях растягивающие усилия были равны между собой и
постоянны (Ai =Ni - N = const). Это означает, что должно быть выполнено условие
1//ф + 1/Rz = у(й +.y)/N = pN,
вытекающее из условия равновесия элемента оболочки (формула Лапласа). Здесь R\ и AS - ра-
диусы кривизны соответственно в меридиональном и кольцевом направлениях. Основная рас-
четная нагрузка р = у(/г + у) складывается из гидростатического давления жидкости и равно-
мерного избыточного давления; у - расстояние по вертикали от вершины до рассматриваемой
точки оболочки; у - плотность продукта; h - высота расчетного столба жидкости.
Э. Аннабердыев [10] предлагает метод выделения единственной поверхности вращения
среди проходящих через заданные окружности (параллели) при заданных значениях коэффици-
ентов первой основной квадратичной формы ds" = Edu" + Gdv". Поверхность вращения не опре-
деляется тогда, когда задано только конечное число ее параллелей. Для обеспечения гладкости
меридиана он строится как кривая, проходящая через две точки и имеющая общие касательные
на стыках кривых.
Дополнительная литература
1. Столярчук В.А. Определение формы некоторого класса оболочек вращения минимального веса, нагружен-
ных внутренним равномерным давлением// Прикл. проблемы прочности и пластичности. -1977. -№ 7.- С. 104-108.
2. Farshad М. On the shape of momentless tensionless masonry domes// Build, and Environ. - 1977. - 12, № 2. - P.
81-85.
3. Бодунов A.K., Бодунов H.A. Некоторые случаи интегрируемости дифференциального уравнения, определяю-
щего форму меридиана осесимметричной безмоментной оболочки// Расчет пространственных строительных кон-
струкций. - Куйбышев: КГУ, 1977. - № 7. - С. 47-52.
4. Дехтяръ А. С. Оптимальная оболочка вращения// Строительная механика и расчет сооружений. - 1975. - №
2.-С. 11-15 (библ.: 10 назв.).
5. Mota Soares С.М., Mota Soares C.A., Barbosa J. Infante. Sensitivity analysis and optimal design of thin shells of
revolution// 4th А1АА/ USAF/ NASA/ OAI Symp. Multidiscip. Anal, and Optimiz., Cleveland, Ohio, Sept. 21-23, 1992:
Collect. Techn. Pap. Pt 2. - Washington (D.P.), 1992. - P. 701-709
6. Kruzelecki J. Pewne problemy ksztaltowania powlok osiowo-symetrycznych w stanie blonowym// Mechanica teor. i
stosowana, 1979. - 17, № 1. - C. 75-92 (библ.: 27 назв.).
7. Blachut J. Optimal barrel-shaped shells under buckling constraints// AIAA Journal. - 1987. - 25, no 1. - P. 186-188.
8. CmymiutuH Л.Ю. Исследование оптимальных форм пологих оболочек вращения с помощью принципа мак-
симума Л.С. Понтрягина. - Курск: КПИ, 1993. - 14 с. - Библ. 16 назв. - Деп. в ВИНИТИ 21.01.94, № 172-В94.
9. Кривошапко С.Н. Каплевидные, катеноидальные и псевдосферические оболочки// Монтажные и специаль-
ные работы в строительстве. - 1998. -№ 11-12. - С. 28-32 (библ.: 33 назв.).
10. Аннабердыев Э. Об одном способе выделения единственной поверхности вращения среди всевозможных,
проходящих через данные окружности// Кибернетика графики и прикл. геометрия поверхностей. - М.: МАИ, 1971.
- Том VIII, вып. 231. - С. 47-48 (библ.: 2 назв.).
121
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
С ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРЕЛОЙ ПОДЪЕМА
B прикладной геометрии поверхностей неоднократно возникал интерес к методам оптими-
зации геометрической формы поверхностей вращения по наперед заданным критериям. Счита-
ется, что наиболее актуальной является задача, как при меньшей площади S оболочки, а значит,
при меньшем расходе материала и весе оболочки, покрыть максимальный объем V. Для этого
был введен критерий n = V/S.
Площадь срединной поверхности 5 квадрики вращения и покрываемый ею объем V опреде-
л _______________________________________________________ л
ляются общими уравнениями: S = 2тг lx(z)-Jl +x(z)'2 dz, V = 7t ^x(z)2dz, где x =
_ о 0
х(г) - уравнение меридиана; h - стрела подъема поверхности (максимальное воз-
^Д-вышение поверхности над плоскостью хОу). Меридиан вращается вокруг оси Oz.
Для конкретных поверхностей вращения вышеприведенные формулы дают:
(1) усеченная сфера: х - x(z) = yja2 -(z + ^Ja2 -R2)2; a = ^(R2 -h2 -r2)2 l(4h2) + R2; S = 2Ttah\
h(R2+h2/З + r2) _R
^сферы ’
О
Рис. 1
Рис. 2
h~
3
и — _________________
сф. с e г.м. I ~ 2 2 X
2^J(R- -h2 -r2)2 +4h2R-
(2)усеченный конус: x = x(z) = R~(R~ r)z/h; S = Tt(R + r)^(R-r)2 +h2;
V=^+^+rR\n. - h(R2+r2+rR) „ _ hR .
3 k 7
ус.кон / "" - Г" ’ ^koh. I n
3(R +r)^(R-r)~ + h2 3-\IR2
(3) круговой цилиндр: 5 = 2trRh; V = +R21t,
(4) усеченный параболоид вращения: x = x(z) = ^R2 - z(R2 - r2)/h ;
(7?2-r2)2
^НИЛ- — ^/2.
^усеч.пар.
_ 47th
, , R2 +
3(R2-r~) L
3(T?4-r4)
4Й2
(Л2-г2)
-13/2
4Л:
T. 7th о л,
>; V -—(R+r)-,
8[л2+(7?2-r2)2/(4/i2)]3/2-§[r2+(7?2 —г2)2/(4й2)]3'2 ' И"араб' [(4Й2
3Rh3
+ R2)3'2
(5) усеченный эллипсоид вращения: x = л
h
2 2 п2.
> -- Z7 __ /? '
,, 2r (h + km)3 km3
; V=Tra2h~-------^- +----
3
.2. -
3k2
,2_ 1
-R
где для сжатого эллипсоида с полуосями а :
,2 /а2 г>2 . к2а2
I -md—--R -I---— In --------
b к(т + \а2 / b2 — R2
S = 7tb
h + km kAa2
h + кт + yjk^a2 / b2 + (h + km)2
- = k =
a
2
_ V
” S’
для вытянутого эллипсоида с полуосями а
кг \ к 1
а2 к2 ( .h + km .mt
—-— arcsm----— /-arcs in —
t I ak2 ak
S =7tt
Кривые, показывающие изменения отношения п - V/S при изменении стрелы подъема h,
позволяют при заданной форме оболочки выбрать оптимальные параметры меридиана (рис. 2).
Дополнительная литература
I. Михайленко В.Е., Обухова В. С., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре.- Киев, 1972.-208с.
122
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
СРЕДИННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ БЕЗЫЗГИБНОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДАВЛЕНИИ
Под действием равномерного давления при соответствующих граничных условиях строго
без изгиба деформируются не только сферическая и круговая цилиндрическая оболочки, но и
бесконечное .двупараметрическое семейство оболочек вращения, которое включает в себя, как
частные случаи, сферу и цилиндр. При осесимметричной деформации оболочки вращения все
нормали к срединной поверхности не поворачиваются, то есть их угол поворота в меридио-
нальной плоскости равен нулю. Кроме того, равны нулю углы сдвига между меридианами и па-
раллелями, угол между ними при осесимметричной деформации остается равным 90°.
Основываясь на этих положениях и используя первое условие Петерсона - Кодацци
dR,/d0 = (R} -7?3)ctg6»,
Гуревич В.И. и Калинин В.С. [1] получили условие безызгибности оболочек вращения в усили-
ях в форме (Я, /Rl)d(N2 -vNi)/d0 + (l + v)(N2 -A,)ctg6* = 0,где R\, R2- главные радиусы кри-
визны меридиана и параллелей соответственно; 6 - угол между нормалью к меридиану и осью
вращения поверхности; v - коэффициент Пуассона в теории упруго-
сти; Ni и N2 - нормальные растягивающие или сжимающие усилия на
единицу длины координатных линий, действующие в тангенциальной
плоскости срединной поверхности оболочки вращения,
A, = pR2 12, А, = pR2(2 - R2 / Я,)/2.
Условие безызгибности справедливо для любой осесимметричной
нагрузки. Подставляя значения нормальных усилий в это условие,
можно получить его новую интерпретацию:
R}) de d0^R})
определяющую радиусы кривизны оболочки вращения, деформи-
рующейся без изгиба под действием равномерного давления. Из ново-
го уравнения видно, что ему удовлетворяют радиусы кривизны не
только сферы и кругового цилиндра, но и оболочки с постоянным отношением R-JRi = 3. В этом
случае Ni = N2. Пусть z - уравнение искомого меридиана, тогда
Rt =-(1 + /'~У,21Г, Я, = x/sinfi1 = Хд/1 +/'2/у'.
Из решения дифференциального уравнения безызгибности, после подстановки в него зна-
чений R[ = Ri(f) и R2 = R2(f), находится уравнение левой ветви меридиана в виде интеграла
1 = f (х) = - [ 2С| С2^ Где = ^1 sin . R1 s R. j = 1; 2,
47(С, -С2х2)2 -4С2С,2х6
который через элементарные функции не выражается. Здесь С,- - константы.
На рис. 1, взятом из статьи [1], из всего бесконечного семейства меридианов безызгибных
оболочек вращения представлены лишь те, у которых при х = угол в = я/2, то есть R'2 = г,,
еде ri - радиус опорной окружности. Представленные на рис. 1 поверхности, делятся сферой на
замкнутые и незамкнутые в вершине. Последние, в свою очередь, разделяются круговым ци-
линдром на поверхности с отрицательной и положительной гауссовой кривизной вблизи опор-
- эго участка. Меридианы построены при условии, что
С, =RlJ[rSrl -ЗЯ,1)], С2 = Я‘/[г,3 * * (г, -Я,1)].
Дополнительная литература
1. Гуревич В.И., Калинин В.С. Формы оболочек вращения, деформирующихся без изгиба при равномерном
явлении// ДАН АН СССР. - 1981. - Том 256, № 5. - С. 1085-1088.
123
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ
Поставим задачу следующим образом: найти такую плоскую кривую г = r(z) (рис.1), прохо-
дящую через заданные точки, известной длины L , которая при вращении
вокруг оси Oz образовала бы поверхность заданной площади S, ограничи-
вающую вместе с двумя плоскостями, перпендикулярными к оси вращения,
наибольший объем V. Это - классическая вариационная задача на условный
экстремум: если кривая г = r(z) дает экстремум интегралу: V = Jtc • r2dr при
/)
условиях L = ^1 + r'2dz и S = \2тп-у!\ + г'2 dz. , то существуют постоянные
О D
Ло, и Х (множители Лагранжа) такие, что кривая г = r(z), дает экстремум
интегралу Q = \Hdz. , где Н = Х0лг2 + X, Vl + г'2 + 2Х,лтл/1 + г'2 .
D
По принципу взаимности эта задача эквивалентна двум другим задачам
на условный экстремум:
1) Найти такую плоскую кривую г - r(z) заданной длины L, которая при вра-
щении вокруг оси Oz образовала бы поверхность минимальной площади, огра-
ничивающую заданный объем V.
2) Найти такую плоскую кривую г = r(z) минимальной длины L. которая при
вращении вокруг оси Oz образовала бы поверхность данной площади S, ограни-
чивающую заданный объем V.
Так как функция Н не зависит явно от z, то есть Н = Н(гУ), то уравнением Эйлера для
функционала Н будет уравнение Н - дН/дФ = С.
После преобразований получаем уравнение z = z(r) в интегральной форме:
z = J (C-^r2)dr +
z ;74(A+V)2 -(с-v2)2
Этот интеграл в общем виде можно выразить через эллиптические интегралы. Однако воз-
можны (при определенных значениях Яр, Ai, /.-> и С) случаи интегрирования в элементарных
функциях. При этом получается сфера и тор (когда X? - С.Х) =0). Таким образом, сфера и тор
удовлетворяют всем экстремальным условиям.
Выражения для гауссовой и средней кривизн экстремальных поверхностей имеют вид:
я,(с-зуг)-2ЛЛ^
4г(Я, + Ар-)3 ’ 2г(Л1+Л2г)2
Задавая различные значения постоянных Лагранжа, можно получать различные виды по-
верхностей, обладающие экстремальными свойствами. Среди этих поверхностей есть хорошо
изученные (цилиндр, сфера, тор, катеноид), мало известные и недостаточно изученные (нодоид
тлундулоид), а также недавно полученные («пенка» и поверхность катеноидного типа).
Дополнительная литература
1. Пулылинский Я.С. Уравнения образующих оболочек вращения оптимальных форм// Архитектура оболочек и
прочностной расчёт тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды
Международной научной конференции. - Москва, 4-8 июня 2001 г. - М.: Изд-во Российского университета друж-
бы народов, 2001. - С. 342-347 (библ.: 3 назв.).
2. Пульпинский Я.С. Классификация поверхностей, обладающих экстремальными свойствами// Проблемы оп-
тимального проектирования сооружений: Сб. докладов IV-ro Всероссийского семинара. - Новосибирск: НГАСУ,
2002.-С. 302-312 (библ.: 3 назв.).
3. Залгаллер В.А. Одно семейство экстремальных веретенообразных тел// Алгебра и анал. - 1993. - 5, № 1. - С.
200-214.
124
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЬ КАТЕНОИДНОГО ТИПА
Если в общем выражении для образующих кривых поверхностей вращения, обладающих
с (С' - A^r'^dr
экстремальными свойствами z = I — = + у, положить Л, = О, Л А О,
% * 0, то задачу можно поставить в следующем виде: найти поверхность, получающуюся при
вращении кривой г - гф) вокруг оси Oz, ограниченную двумя перпендикулярными к этой оси
плоскостями, и имеющую наименьшую поверхность при заданной длине образующего мери-
диана г = r(z). По принципу взаимности такая поверхность эквивалентна поверхности заданной
площади, получающейся при вращении вокруг оси Oz линии z = z(r), имеющей наименьшую
длину. Тогда приведенное выше выражение для образующих кривых будет иметь вид:
г Д* С*
z - —/ — ~ , где введены обозначения д = —С = —др.
/У4(Д+г)2-С2 Л 2Д
Делая преобразования, можно получить уравнение меридиана г = r(z), выраженное в эле-
ментарных функциях
Рис. 1
г = С -ch-—--Л,,.
С
Полученное уравнение есть уравнение цепной линии,
над которой осуществлен параллельный перенос на величи-
ну по оси Oz. Как известно, цепная линия получается в ре-
зультате качения параболы по оси Ох. Эту линию описывает
фокус параболы. Параметр параболы - величина С. Величи-
на у определяется начальным положением фокуса параболы.
Классический катеноид (см. «Катеноид») получается
при вращении цепной линии лишь в том случае, когда эта
линия находится на определенном расстоянии от оси враще-
ния. Если цепную линию сместить из этого положения, то
получающаяся поверхность вращения уже не будет, вообще
говоря, минимальной. Так, например, если цепная линия с
малым провисанием почти касается оси Ох, то при её враще-
нии точка, ближайшая к оси вращения, описывает окруж-
ность малого радиуса. Следовательно, один из радиусов кривизны - очень мал, а второй - ве-
лик. Сумма главных кривизн участка поверхности, расположенного около горловины поверх-
ности вращения отлична от нуля.
Параметрические уравнения поверхности катеноидного типа можно записать в виде:
х = х(г,Д) = r(z)cos/3, у = у(гД) = r(z)sin/?, z~z.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
Z~7 1 В. -1 1
А = ch--F = 0,B = r, L =------, М =±0, N =—, k. = k, =---r, k„ = k, = —,
С C A - ' CA2 p 2 AB
-1 - c2 c
K =-----? =-----—-t-<0, 2H =-------—r^O.
СВА г(г + АУ г(г + Л,)2
Дополнительная литература
1. Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. - М.: «Наука», 1987. - 312 с.
2. Пульпинский Я.С., Черевацкий В.Б. Моделирование экстремальных поверхностей мыльными пленками// Ма-
териалы международной научной конференции «Моделирование как инструмент решения технических и
гуманитарных проблем». - Часть 1. - Таганрог: ТРТУ, 2002. - С. 62-65 (библ.: 4 назв.).
125
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПЕНКА
Если в общем выражении для образующих кривых поверхностей вращения, обладающих
экстремальными свойствами (см. «Поверхности вращения с экстремальными свойствами»)
12
положить Ло А 0; Д # 0; 2, = 0, то задачу можно поставить в следующем виде: найти кривую
г = r(z) заданной длины L, при вращении которой вокруг оси Oz образуется поверхность, огра-
ничивающая, вместе с двумя плоскостями, перпендикулярными к оси Oz наибольший объём.
Если ввести обозначения 2 = AjZlo, С - С /2о, то интегральное выражение для образующего
меридиана поверхности вращения принимает вид:
_ г(с-г2> ......
12
Гауссова и средняя кривизны, радиусы кривизны в этом случае имеют вид
к_ (С~П. .„С-Зг2 . _2 _ 2Лг
22 22г г - (С-г2)
В зависимости от вида граничных условий находится Л и С. Уравнение образующего мери-
диана может быть выражено через эллиптические интегралы в зависимости
от величин X, Си условий на концах:
z = 2л/±2[е(А:, <р) - Е(/с, <pQ)] + T±I[F(/:, <р) - F(k, <р0)],'
г = у\2А ± С| cos ср,
z='
или
r=^|22±C|^l-£2 sin2 <р,
где р(А;у>) и Е(/с;^) - эллиптические интегралы I и II рода, к - модуль, а <р -
-==№ <р)-F{k, %)]+7|2Л± С| [Ж <р) -Ж %)];
J|2z±q
Рис, 1 амплитуда эллиптических интегралов, фо - начальная амплитуда, соответст-
вующая г = а . При А = ±С / 2 и при С = 0 интегральное выражение для об-
разующей кривой решается в квадратурах:
[С -/2C+j2C-r2 г
при 2 = ±С/2 (рис. 1): z = J— In---------- , —_ —
*2 sl2C+yl2C-r2 г,'
+ ^2C-r2 -^2C-r2,
а
г . а
arcsm----arcsm —
22 22
при C = 0: z =-^-рд/(22)2 - г2 -о-^(22)2 - а2
Зная уравнение образующей кривой поверхности вращения, легко построить саму поверх-
ность вращения с экстремальными свойствами при помощи параметрических уравнений
х = х(г,Р) = rcos/Л у = y(r,P) = rsin/?, z = z(r).
Поверхность вращения при 2 = ±С/2 известна под названием «пенка» (рис. 1) [1].
Дополнительная литература
1. Пулъпинский Я.С. Уравнения образующих оболочек вращения оптимальных форм// Архитектура оболочек и
прочностной расчёт тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды
Международной научной конференции. - Москва, 4-8 июня 2001 г. - М.: Изд-во Российского университета друж-
бы народов, 2001. - С. 342-347 (библ.: 3 назв.).
126
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТИ ДЕЛОНЕ
В 1841 г. астроном и математик К. Делоне (С. Delaunay) выделил в отдельную группу неко-
торые поверхности вращения, которые он описал в статье [1]. В приложении к этой статье М.
Sturm указал, что получение уравнений поверхностей Делоне является вариационной задачей
на условный экстремум. Суть задачи, например для ундулоида и нодоида, заключается в сле-
дующем. Найти функции у(х), которые отождествляются с меридианами поверхностей враще-
ния, объем которых вычисляется по формуле
V(y) = л |у2<£т,
-ч -я ______
при условии экстремума площадей их боковых поверхностей 5(у) = 2л jycfc =2л \уф + у'2dx,
Го -я>
и, считая края поверхности вращения закрепленными.
Эта задача приводит к уравнению Эйлера - Лагранжа у2 +—^?. = + Ь2 = 0, связанного с
ф + у'2
интегралом Е(у) - л j(y2dx + 2ayds) =л |(у2 + 2ay-h + y’~)dx.
Здесь а - подходящий действительный параметр; b - второй параметр.
Общепринято, что поверхности Делоне - это поверхности вращения с постоянной средней
кривизной. За исключением сферы, они образовываются рулеттами при вращении их вокруг
прямой, по которой катятся соответствующие коники [2]. Рулетты образуются фокусами пара-
болы, эллипса и гиперболы, которые катятся без скольжения по прямой линии - оси поверхно-
сти вращения. Поверхности Делоне включают в себя 5 поверхностей вращения: катеноиды, ун-
дулоиды, нодоиды, сферы и прямые цилиндрические поверхности вращения. Для каждого типа
поверхностей вращения уравнения Эйлера - Лагранжа принимают вид [4]:
у > 1 у ч 1
. - с = 0; с > 0 (катеноид); у'-----, + Ь~ =0, ----> b > 0 (ундулоид);
7IT77 н 7177^ 2н
у2 ——= -Ь2 =0, b > 0 (нодоид); у2 =0, Н > 0 (сфера);
н 7+У'2 Ял/1+у'2
1 У 2 1
у-------+Ь =0, Н > 0, Ъ >--------------(круговой цилиндр).
Н 7 + уп- 2Н
Таким образом, поверхности Делоне входят в группу поверхностей вращения с экстре-
мальными свойствами (см. страницу «Поверхности вращения с экстремальными свойствами»).
Поверхности Делоне находят применение в газовой динамике, при исследовании поверхно-
стей мыльных пленок и пузырей.
Дополнительная литература
1. Delaunay С. Sur la surface de revolution dont la courbure moyerme est constante// J. Math. Pures et Appl. - 1841.—
Ser. 1,6,-P. 309-320.
2. Eells James. The surfaces of Delaunay// Math. Intell. - 1987. - 9, № 1. - P. 53-57 (библ.: 9 назв.).
3. Hano Jun-ich, Nomizu Katsumi. Surfaces of revolution with constant mean curvatures in Lorentz - Minkowski
space//Tohoku Math. J. - 1984. - 36, № 3. - P. 427-437.
4. Koiso Miyuki. On the surfaces of Delaunay// Kyoto kyoiku daigaku kiyo = Bull. Kyoto Univ. Educ. - Ser. B, No 97.
- 2000. - P. 13-33 (яп.)(библ.: 4 назв.).
5. Mladenov I.M. Delaunay surfaces revisited// Докл. Бълг. АН, 2002. - 55, № 5. - С. 19-24 (библ.: 12 назв.).
127
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
НОДОИДНЫЕ И УНДУЛОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Если в общем выражении для образующих кривых поверхностей вращения, обладающих
экстремальными свойствами
(С-ЛдГ2)^
^4(2,+Дг)2 -(С-^г2)2
положить Ао Ф О, X, = О, X, Ф 0, то можно получить интегральное уравнение образующей:
р (С — 20 г") ,
Z = . 0 / -г-, dr + у.
' JV4(A2r)2-(C-20r)2
Интегральное уравнение описывает семейство кривых Штурме
- линий, которые описывают фокусы параболы и гиперболы при
качении соответствующих линий по прямой. В этом случае зада-
ча ставится следующим образом: найти такую плоскую кривую г
= r(z), при вращении которой вокруг оси Oz образуется тело за-
данного объема V, ограниченное поверхностью минимальной
площади S. Задача относится к классу изоэпифанных задач. По принципу взаимности эта задача
эквивалентна следующей задаче: найти такую плоскую кривую г = r(z), при вращении которой
вокруг оси Oz образуется тело минимального объёма V, ограниченное поверхностью заданной
площади 5 (рис. 1). Замечательным свойством нодоидов и ундулоидов является их постоянная
средняя кривизна
2Н =-------= const, а К = 4——
2, 42) г
В 1828 году Пуассон показал, что поверхность раздела двух сред, находящихся в равнове-
сии (при условии, что пренебрегаем силой тяжести), является поверхностью постоянной сред-
ней кривизны. Такие поверхности можно моделировать мыльными пленками. Физический
принцип, формирующий мыльные пленки, регулирующий их поведение, локальные и глобаль-
ные свойства, достаточно прост: физическая система сохраняет определённую конфигурацию
только в том случае, когда она не может легко изменить её, заняв положение с меньшим уров-
нем энергии. Интеграл в общем виде приводится к эллиптическим интегралам I и II рода:
х =-CF(k\(p)/г+ rE(k',<р), у = r-jl — k'2 sirup, где k=m/r, к' = у1-к2
- дополнительный модуль интеграла. В предельных случаях интеграл для рассматриваемых по-
верхностей можно привести к уравнению сферы и кругового цилиндра.
Аналогом геометрических свойств оболочек вращения, при определенных условиях, явля-
ется свойство равнопрочности, то есть равенство окружных и меридиональных усилий в каж-
дом сечении: для того, чтобы оболочка вращения находилась в равнопрочном состоянии под
действием внутреннего давления Р и осевого усилия на единицу длины окружности края
/ 2ТСГ, = Х2 Р sin 0О.
Дополнительная литература
1. Черевацкий В.Б., Григорьев А.М. К исследованию нодоидных и ундулоидных оболочек// Исследования по
теории пластин и оболочек. - Казань, КГУ, 1970. - №6. - С.251-274 (библ.: 8 назв.).
2. Крейчман М.М., Черевацкий В.Б. Об оптимальных формах оболочек вращения// Казан, ун-т, Казань. - 1977
- Рук. деп в ВИНИТИ 28 марта 1977г., № 1197-77Деп. - Библ.: 5 назв.
3. Крейчман М.М. Исследование НДС оболочек нодоидного типа, нагруженных несимметричной быстро изме-
няющейся нагрузкой// Казан, ун-т, Казань,- 15с. -Рук. деп. в ВИНИТИ 2 апр. 1982., № 1539-82Деп (библ.: 6 назв.).
4. Городов Г.Ф., Гагарин Ю.А., Митенков Ф.М., Пичков С.Н. Использование нодоидных и ундулоидных обо-
лочек при проектировании ядерных установок// Прикл. пробл. прочности и пластичности. - 2000. - № 61. - С.61-
63 (библ.: 1 назв.).
128
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
НОДОИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ,
СОЕДИНЯЮЩАЯ ДВА КРУГОВЫХ КОНУСА
Для однозначного задания кривой, определяемой уравнением
(C-V)^
г = J I <----= + Y ,
^(ЛуУ -(.С-^г'У
необходимо знать постоянные множители Лагранжа 2о, Уи посто-
янную Эйлера С и постоянную интегрирования у. Эти величины мож-
но определить, не используя интегральные условия для площади и
объёма поверхности. Для теории интересен случай соединения нодо-
идной поверхности вращения с двумя круговыми конусами, радиусы
которых Г1 и rj, а углы наклона прямолинейных образующих ai, аг
соответственно (рис.1). При этом длина поверхности вдоль оси Oz
получается автоматически. Интегральное уравнение преобразовыва-
ется к виду
f (С*-г2) , С . А.,
z = I ,—--dr + y, где С =—, Х = --.
^4-(V)--(C'-r2)2 S
При этом величины ri и гг, ои и а? должны быть связаны между собой.
Рассмотрим мыльный пузырь, находящийся под действием внутреннего давления q. В се-
чениях а и b происходит контакт мыльной пленки с плоскостями оснований круговых конусов.
В этих сечениях действуют силы поверхностного натяжения, направленные вдоль прямолиней-
ных образующих круговых конусов. Эти силы соответственно равны:
Fi = ul\ = 2лгу1 и /А = ph = 2лгтр,
где р - коэффициент поверхностного натяжения, - длины контуров
а контакта.
Из Услс,вий равновесия получается, что nsinai = /двшаг. По форму-
ле Лапласа для поверхностного натяжения можно получить: Ар = 2Нр.
Таким образом, возможно получение поверхностей вращения как по-
ложительной, так и отрицательной средней кривизны. Для получения
* коэффициентов 2 и С необходимо использовать выражение для произ-
водной
Рис.2 ,, , _ у/4Я2/-~-(С -г2)2
Г(г)“ (С*-г2)
и граничные условия: при z = 0 - г = и и г' = tga,; а при г = /д - г' = tg«2. При этом
г,2 - r22 . г, r2 (г, cos а. - r2 cos а2)
Л — , С — .
2(r2 cosa, - cosa,) (г, cos^ - г, cosa2)
С достаточной степенью точности можно считать купола многих православных церквей
нодоидными оболочками. На рис 2. показаны медные нодоиды, изготовленные методом гальва-
нопластики.
Дополнительная литература
1. Черевацкий В.Б. Некоторые соображения об оболочках максимальной вместимости в стыке с конусом// Во-
просы динамики и прочности: Труды РКИИГА. - Вып.158. - Рига, 1970. - С. 94-101 (библ.: 2 назв.).
.2. Пу.пытнский Я.С. Купол русской церкви как оболочка оптимальной формы// Труды Международного Фору-
ма по проблемам науки, техники, образования. - Том I / Под редакцией В.П. Савиных, В.В. Вишневского. - М.:
Академия наук о Земле, 2001. - С. 95-97 (библ.: 4 назв.).
5 - 5391
129
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
Поверхности переноса - поверхности (рис. 1), образованные параллельным (поступатель-
ным) переносом кривой одного направления (образующая L\) так, что определенная ее точка
Мо, скользит по другой кривой (направляющая L2). Ту же поверхность можно получить, если
принять L-. за образующую кривую, a Li - за направляющую. Если Г[(и) и Гг(г) - радиус-векторы
кривых L] и Lt соответственно, то радиус-вектор поверхности переноса есть
r = r(ii,v) =Г1(и) + гг(т) - п(ио)>
. гДе Г1(ио) - Г>(го) - радиус-вектор точки Мо (рис. 1). Линии и и v обра-
зуют сеть переноса.
\ \ Поверхность переноса, как показал С. Ли, можно рассматривать
х, X \ \ \ как геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на
£4 \ \ ДВУХ опорных кривых р(а) и t(J3). В этом случае уравнение поверхно-
1 \ сти переноса будет иметь вид: R = [/>(«) +
Рис 1 'г Поверхности переноса можно разделить на поверхности прямого
переноса, поверхности диагонального переноса и велароидалъные по-
верхности. Наиболее простой поверхностью переноса является цилиндрическая поверхность.
Она может быть, получена параллельным переносом любой лежащей на ней кривой, которая пе-
ресекает все образующие цилиндрической поверхности.
Направляющая и образующие кривые поверхности прямого переноса лежат во взаимно
перпендикулярных плоскостях. Поверхности прямого переноса можно задавать уравнением
z = z(x,y) = zi(x) + Z26O,
где z = Zi(x) - уравнение плоской образующей кривой Lf, z = zi(y) - уравнение плоской направ-
ляющей кривой L2 (рис. 1). Образующая и направляющая кривые могут быть произвольными,
но в большинстве случаев их выбирают однотипными: параболы, дуги окружностей, эллипсов и
др. Развертывающаяся поверхность переноса может быть только цилиндрической или плоско-
стью. Инвариантным признаком поверхностей переноса является существование сопряженной
чебышевской сети (сети переноса). Поверхность переноса называется специальной, если ее сеть
переноса изотермически сопряженная.
Поверхности диагонального переноса образуются параллельным переносом плоской кри-
вой так, что две ее симметричные точки непрерывно касаются плоского контура. Эти поверхно-
сти можно задать уравнением вида z = g(w - v) + й(и + v), где z = g(u - v) - уравнение плоской
образующей кривой Li; z = h(u + v) - уравнение плоской направляющей кривой L2.
Велароидальной (велароидной) называют поверхность переноса с образующей кривой, ко-
торая меняет при движении свою кривизну так, чтобы в результате получалась поверхность на
плоском прямоугольном плане. Некоторые вместо термина «велароидная поверхность» исполь-
зуют название «фуникулярная поверхность».
С. Ли (S. Lie, 1878) так преобразовал координаты на прямом геликоиде, что стало возмож-
ным отнести поверхность, заключенную внутри круглого цилиндра, имеющего с геликоидом
общую ось, к поверхностям переноса. Н.Г. Чеботарев (1937) исследовал обобщенные поверхно-
сти переноса, которые обладают семейством кривых, удовлетворяющих условиям: а) через ка-
ждую точку поверхности проходит только одна кривая семейства, б) каждая из этих кривых
может быть переведена в каждую другую кривую семейства посредством преобразования неко-
торой группы Ли. Группа параллельных перенесений обеспечивает образование поверхностей
прямого переноса.
Дополнительная литература
1. Волков ГФ. Оболочка переноса отрицательной кривизны// Армоцементные конструкции в строительстве. -
Ленинград: Госстройиздат, 1963. - С. 48 - 58 (библ.: 2 назв.).
2. Ramaswamy G.S. Innovative applications to finicular shells// Shells, Membranes and Space Frames. Proc. IASS
Symp. Membrane Struct, and Space Frames, Osaka, 15-19 Sept., 1986, Vol. 1. - Amsterdam e.a., 1986. - P. 313-320.
130
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
Поверхности прямого переноса, представленные в справочнике:
Велароидальные поверхности
Параболический вслароид
Эллиптический вслароид
Синусоидальный вслароид
131
5-
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОГО ПЕРЕНОСА
Направляющая £ди образующая L\ кривые поверхности прямого (параллельного) переноса
лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеют только одну общую точку Мо (рис. 1).
Поверхности прямого
переноса можно зада-
вать уравнением вида
Z = z(x,y) = Zl(.r) + Zl(y),
где, например, z = Zi(x;
- уравнение плоской
образующей кривой Ц,
a z = zi(y) - уравнение
плоской направляющей
кривой Li. Поверхно-
стей переноса с постоянной гауссовой кривизной К = const Ф 0 не существует.
К наиболее известным поверхностям прямого переноса относятся параболоиды:
параболоид вращения (направляющая и образующая кривые - одинаковые параболы):
х2 у2
z = z(x, у) = — + -— (см. «Параболоид вращения»),
2р 2р
эллиптический параболоид (направляющая и образующая кривые - параболы с разными фо-
кусными расстояниями):
7 9
х~ у
z = z(x,y) =— + —, р>0. q > 0 (см. «Эллиптический параболоид»),
2р 2q
гиперболический параболоид (направляющая и образующая кривые - параболы с ветвями,
направленными в разные стороны).
X2 V2
z = z(x,y) = —- д--, Р > 0> Q > 0 (см. «Гиперболический параболоид»).
2р 2q
Развертывающаяся поверхность прямого переноса может быть только цилиндром или
плоскостью. Если взять уравнение направляющей кривой в виде z = zi(y), а в качестве обра-
зующей взять прямую с уравнением z = zi = а = const, то полученная поверхность прямого пе-
реноса (рис. 2) будет прямой цилиндрической поверхностью, уравнение которой есть
z = z(y) = а + z2(y),
см. «Цилиндрическая поверхность вращения», «Эллиптический цилиндр», «Параболический
цилиндр» и «Гиперболический цилиндр».
Если же взять уравнение направляющей кривой в виде z = z»(у), а в качестве образующей
взять прямую с уравнением z = zi(x) = xtg<j9, то полученная поверхность прямого переноса будет
наклонной цилиндрической поверхностью (рис. 3), уравнение которой запишется в виде:
z = z(x,y) = xtg<p + z2(y),
см. «Наклонный эллиптический цилиндр», «Наклонный параболический цилиндр» и «Наклон-
ный гиперболический цилиндр». Здесь tp - угол наклона образующей прямой к положительному
направлению оси х.
Дополнительная литература
1. Современные пространственные конструкции (железобетон, металл, дерево, пластмассы): Справочник/ Под
ред. Дыховичного Ю.А., Жуковского Э.З. - М/. «Высшая школа», 1991. - 543 с.
2. Рекач В.Г. Основная библиография по строительной механике. - М.: УДН, 1969. - 304 с.
3. Minakawa Couichi and Maehata Tatumi. Linear- analysis of shallow translational shells with point support// Res.
Repts. Fac. Eng. Kagoshima Univ. - 1985, No 27. -P. 103-117.
132
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
КРУГОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА
переноса образовывается при движении образующей окружности,
Круговая поверхность
например, с радиусом /С по направляющей окружности с радиусом R\ (рис. 1).
Формы задания круговой поверхности переноса
1) Явная форма задания (рис. 1):
, д'
R2 —
1 4
z \ 2
i Я
I а
Здесь
b2
4 ’
b4
— = R~ - уравнения на-
= С
правляющей и образующей окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях,
причем Я, > а /2; R2>b/2. Центры окружностей лежат по одну сторону поверхности.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
R2 (х —а/2)(у - b / 2) , R2
А2 = —----!-----г, F = -г ...-------' , Д' = —----2-----т, М = О,
Л;-(х-д/2)' J/?2 - (х - п / 2)2 J Y - (у - b / 2)2 R2-(.y-bl2f
R2-(y-b/2)2 - R2
N =----
ь V , f ь
R2 - y--
27 2 V 2.
R; — (х — а/2)'
-> ( Д I „ I 0 0 I U
r-2J F1*2 Y~2
R2 - (у - b / 2)2
к ' K.
\R2R;-(x-a/2)2(y^b/2f’
R2-(х-а! 2)2
Д2Я2
(х-а/2)2(у-5/2)2 ’
2) Явная форма задания: z - z(x, у) - R}- fR2 - х2 ± ^R, - -^R; ~ У2),
где при знаке (+) центры обеих окружностей расположены по одну сторону круговой поверхно-
сти прямого переноса, а при знаке (-) - по разные (рис. 2).
3) Векторная форма задания (рис. 3): г = r(u, v) = Ri[siny - sin(y - u/R\)}i +
+ 7?2[sinp - sin(0> - vZR2)]Z + {^i[cos(y - u/R\) - cosy] +52[cos(^ -v/T?2) - cos<p] }fc;
где и, v - длины дуг направляющей и образующей окружностей; 0 < и < 2 Ry. 0 < v < 2<pR2;
fi - Rfl - cosy), fi = Я2(1 - cosY - стрелы подъема этих окружностей (рис. 3), а 2 <р, 2у - их
центральные углы. Стрела подъема поверхности в точке с х = а/2 и у = Ы2 будет z = fi +fi-
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
{ и | \ у ] cos(®-v / Rf) cos(r - и IR.)
4 = 5 = 1; F = sin /-— sin <3-— ; L = --Y==^ = кM = 0; N = ------ ,-----1 =k.
V Rj r rJ’ a.YTYF "
133
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТЬ КЭЛИ
рии пучков бинарных квадратичных форм.
Поверхность Кэли -
алгебраическая линей-
чатая поверхность пере-
носа отрицательной га-
уссовой кривизны. На-
звана в честь А. Кэли
(A. Cayley), рассматри-
вавшего эту поверх-
ность как геометриче-
скую иллюстрацию сво-
их исследований по тео-
Формы задания поверхности Кэли
1) Явная форма задания (рис. 1): z = ху - л-3 / 6.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
Х~ ] ( X2 I 7 , X 1
2 7 V 2) 7а2В2 -F2 Va2B2 - F2
А = 0,
кх
L
—р, к=о, К = -
А
1
(д2В2 -F2)3'2
0, Н = -
х(1 + 2у)
2(А2В2 -F2)3'2 '
Криволинейные координаты х, у на поверхности - неортогональные и несопряженные. Ко-
ординатные линии у (х = const) совпадают с прямолинейными образующими поверхности Кэли.
На рис. 1 поверхность построена в пределах - 3 < л < 3 и - 3 < у < 3. Последовательные сече-
ния кубической поверхности Кэли параллельными плоскостями во всех трех направлениях об-
ладают интересными двумерными интерпретациями. Плоскости, ортогональные к оси Оу де-
монстрируют превращения функции с двумя Экстремумами в функцию без экстремумов. Сече-
ние поверхности плоскостью у = Ь дает кривую с двумя экстремумами в точках х = +^2Ь . В
сечении поверхности плоскостью у = 0 будет лежать кривая z = -л3/6. Кривая, лежащая в сече-
нии поверхности плоскостью у = -Ь, не имеет экстремумов.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
x = x(u,v) = u + v,
+ v2)+a(v-w),
z = z(u,v) =— (и3 + v3)+a(v2 -и2).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = 1 + (и - а)2 + и2 (и — 2а)2, F = 1 + (и - а)(г + а) + (и - 2а)(у + 2a)uv,
2/ о -л т (и - v)~ + 4a(v + а - и) _
В" =l + (v + a)‘ +v (v + 2a)', L-------=====----------= ~N, M =0,
ylA2B2 -F2
A =-[(и - v)2 + 4a(v + a-и)]2/(а2В2 - f)2 < 0.
Здесь поверхность отнесена к сопряженной неортогональной системе криволинейных коор-
динат и, V. На рис. 2 поверхность построена в пределах - 2<и<2 и - 2 < v <2 при a = 1.
Дополнительная литература
1. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 540с.
2. Cayley A. Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1858, vol. 148. - PP. 415-427.
3. Hasty M. Uber eine symmetrische Schrotung mit einer Cayleyflache als Grundflache// Stud. sci. math. hung. - 1987.
-22, № 1-4.-S. 463-469.
134
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА ЦЕПНОЙ ЛИНИИ ПО ЦЕПНОЙ
Поверхность прямого переноса цепной линии по гуепной образовывается параллельным пе-
реносом цепной линии так, что определенная ее точка скользит по другой цепной линии. На-
правляющая и образующая цепные линии лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Формы задания поверхности переноса цепной линии по цепной
1) Явная форма задания (рис. 1):
х - b b у - с с
z = z(x,y) = -nch-+ ach— -rfch-—— + dch—,
a a d d
где 0 < x < 2b', 0 < у < 2c. Поверхность накрывает прямоугольный план 2b х 2с.
Стрела подъема fa цепной линии z = -ach[(x - b)/a] + och(A>/n), лежащей в плоскости у = 0 и
у = 2с, определяется из формулы:/! = a[ch(b/a) - 1].
Стрела подъема /2 цепной линии z = -c?ch[(у - c)/d] + dch(c/d), лежащей в плоскости х = 0 и
х = 2Ь, определяется из формулы: /> = d[ch(c/d) - 1].
Коэффициенты основных квадратичных форм и ее кривизны:
х-Ь х-b у-с у-с э , У-с х-Ь
А = ch---, F = sh---sh-——, В = ch-——, А"В" - F" = ch" -+ sh"-,
a a d d da
x - b ^y-c
ch----ch----
----3-----— >0,
ad(A2B2 -F2)"
x-b
-ch----
L =----а М = 0, N =
, у-С , X-b I , > - с , л - и
a-Jch"-----+ sh"---- d-dch~-----+ sh"----
a \ d a
-1
------1 ’ =----------r=
x-b , v-c x-b ' у -с 2 у -c 2 x-b
ach---- -Jch"---+ sh"---- dch--------------------+ sh ---
a d V d a
Поверхность задана в криволинейных неортогональ-
ных сопряженных координатах х, у.
2) Явная форма задания: -°°<х< оо‘ — сю у сю,
Рис. 1
Рис. 2
~лАг
-1
( x | IT
z = z(x, y) = a ch— -1 + d ch— - 1 ,
V a J \ d >
Поверхность, ограниченная координатными линиями
х = -b, х = b и у = -с, у = с, накрывает прямоугольный
план 2Ь х 2с. Начало координат расположено в вершине
поверхности (рис. 2). Поверхность образовывается дви-
жением цепной линии z = z(x) = a[ch(x/a) - 1] по другой
цепной линии z = z(y) = aTch(y/d) - 1]. В сечении по-
верхности переноса плоскостью z = h будет замкнутая
кривая ach(x/d) + dch(y/d) = h +а + d.
Коэффициенты основных квадратичных форм и ее кривизны:
у , , , , у , х
5 = ch-, А1 В' -F- = ch2~ + sh2—,
d d а
chW
а d 2> 0.
A = ch —, F = sh—sh^;
a d
а
ch~
а
L-
I 9 / T л
a Jclr —+ sh" —
V d a
ch—
а
, и = о, — 11 к-
„ у 1 X
d - л ch"' — + sh" —
V d а
135
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА ОКРУЖНОСТИ ПО ПАРАБОЛЕ
Поверхность прямого переноса окружности по параболе образовывается при движении
образующей окружности постоянного радиуса а по направляющей параболе, или наоборот,
можно считать окружность направляющей кривой, а
параболу - образующей (рис. 1).
Формы задания поверхности переноса
окружности по параболе
1) Явная форма задания (рис. 1):
4/ I 0 ( М7 П
z = z(x, у) = — у(у - с) +, а' - х-- -л а" - — ,
с~ \ \ 22 V 4
где/- стрела подъема параболы (расстояние от вершины параболы до плоскости z = 0) на краях
х = 0 и х = Ь; 0 < х <b\ Q<y<c\ Ь< 2а. Поверхность накрывает прямоугольный план b х с.
Коэффициенты основных квадратичных форм и ее кривизны:
, а2 4/(х-Ь/2)(с-2у) , с4 + 16/2(с-2у)2
А’=~-— -----у, F = --. .- , В' =----7--:—,
a--(x-b/2)- -(х-ЬНУ с
-а2 -8/
L = --------, = , М=0, N =---,
[а- -(х-й/2)2] 'Уа2 +В2с2уА2+В2-1
------------, -----------------8/г2-----------
— — _ - IX —_ _
Х -ja2 -(x-b/2'f У А2 + В2 -1’ ' р+16/2(с-2у)2]х/А2+й2-1’
Х = 8/а2Др — (х-Ь/2)2]ЗИ(А2 +В2 -1)Д.
На рис. 1 показана поверхность переноса окружности по па-
раболе, на которой нанесена криволинейная неортогональная не-
сопряженная система координат х, у. Только координатные ли-
нии х = Ь/2 и у = с/2 совпадают с линиями кривизны.
у
2) Явная форма задания: z = z(x. у) = —— ± л/я2 — х2 — а.
. 2р
Коэффициенты основных квадратичных форм и ее кривизны:
7 У2 + Р2
В = -—У~~
Р~
— 1 1 — р
N = —, =, к = + —,.....-...— , k - —=-----------------,
руА2+В~-1 y.A2 + В2-1 уа2 — х“ '' у А2 + В2 - 1 (у2 + р2~)
К = ±а2Д р(а2 - х2)3/~(а2 + В2 - 1)" j.
Поверхность переноса, показанная на рис. 2, содержит участки положительной и отрица-
тельной гауссовой кривизны, разделенные линией с параболическими точками. Поверхность
переноса окружности по параболе одновременно принадлежит и к классу циклических поверх-
ностей к группе циклических поверхностей с плоскостью параллелизма. За плоскость паралле-
лизма можно принять любую плоскость у = const.
Дополнительная литература
1. Mbakogu F.C. and Pavlovic M.N. Interaction of bending and streching actions in shallow translational shells with
various Gaussian curvature types// Eng. Struct. - 21 (6), June 1999. - P. 538-553.
136
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА СИНУСОИДЫ ПО ПАРАБОЛЕ
или наоборот, можно считать синусоиду направляющей
кривой, а параболу - образующей. Синусоида и парабо-
ла должны лежать во взаимно перпендикулярных плос-
костях. Поверхность переноса синусоиды по параболе
содержит участки как положительной так и отрица-
Рис. 3
тельной гауссовой кривизны.
Формы задания поверхности переноса синусоиды по
параболе
п плу
1) Явная форма задания (рис. 1): z = z(x, у) = -а(х-Ь')" - ccos—}~ + ab~ +с.
а
Если принять, что 0 < х < 2Ь, а 0 < у < d , то поверхность будет перекрывать прямоуголь-
ный план 2Ь х d, ~ < акт + 2 с.
В сечении поверхности переноса плоскостью z = h будут лежать две кривые
, h с ( плу\
x-b±db~ - — + — 1-cos---- .
] а d J
Например, если принять z = h = ab~, то уравнение линий пересечения плоскости с поверх-
ностью переноса будет иметь вид: х -Ь + ^2с ! a sin[«7zy / (2d)}, рис. 2. На рис. 3 показаны ли-
нии пересечения поверхности переноса с плоскостью z = h = 0.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
,, 9 , х — Ь плу с2 п2 л2 , плу
А2 = 1 +4а2 (x — b)~, F =-2аспл-sin--, В'=1 +----;—sin'----,
d d d~ d
r — cn2 л2 пт 2аспгл2 плу
L = — =. M = 0, N =------, --- = cos:, К = - —7—=------?----т cos ——.
Va2 +B2 -1 d2VA2 +S2 -1 d .d (A +B'-1)2 d
Поверхность переноса отнесена к неортогональной сопряженной системе криволинейных
координат х, у. Только координатные линии у = 0 + kd/n. (к-0", 1; п) пересекают линии у под
прямыми углами. Координатная линия х = b тоже пересекает линии х под прямым углом.
2) Явная форма задания (рис. 4; рис. 5): z = z(x,y) = -a(x-b)2 + С5ш(плу / d} +ab2.
— 2а
137
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА
Эллиптическая поверхность прямого переноса образовывается параллельным переносом
эллипса так, что определенная его точка скользит по другому эллипсу. Направляющий и обра-
зующий эллипсы лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Формы задания эллиптической поверхности переноса
1) Явная форма задания (рис. 1):
1 I < I / А 2
Ь с m , ( а ]
Z = + - х-- + /2-т + ~ д п' - у-~ ,
а \ \ 27 п у \ 22
be md
27/, (2/,-/,) 27л (2m-Л)
где/ - стрела подъема эллипсов, лежащих в плоскостях y = Qny = d(fi< 2Ь); /) - стрела подъ-
ема эллипсов, лежащих в плоскостях х = 0 и х = с \f2 < 2m); 0 < х < с; 0 < у < d ; а, b - полуоси
эллипсов, получающихся в сечениях поверхности плоскостями у = const; п, т~ полуоси эллип-
сов, лежащих в сечениях поверхности плоскостями х = const. Поверхность накрывает прямо-
угольный план с х d, с < 2а; d < 2п.
72 -(у-^/2)2 ’
— ab
Коэффициенты основных квадратичных форм и ее кривизны:
, b2(c/2-x)2 m.b(c/2-x)(d/2-у)
А - 1 + —7 -7-------ут, F =-----, = --------------
а [а -(х-с/2) J ап\а2-(х-с
, m2 (d / 2 - у)2 , , , , ,
,2=1 + —j— -----А2 В2- F2 = А2 + В2-1, L= - 13/, ,-------
л2[л2-(y-rf/2)2] [а2 -(х-с/2)2] "7а2 +52 -1
[п2 - (у - d / 2)2 ]3/2 7а2 +S2 -1 ’
abnm
[л2 - (у - d / 2)2 Г [а2 -{х-с/ 2)2]372 (А2 + В2 -1)2
Таким образом, поверхность переноса отнесена к неортогональной сопряженной системе
криволинейных координат х, у. Этот вариант записи параметрических уравнений поверхности
переноса используется обычно при рассмотрении пологих оболочек, очерченных по рассматри-
ваемой поверхности. В этом случае принимается А ~ 1, В ~ 1, F- 0.
2) Явная форма задания (рис. 2): z = —7<з2 - х2 +—Jc2 -у2 -b-d,
а с
где а, b и с, d - полуоси эллипсов.
Начало системы координат расположено в вершине оболочки, -а< х<а; -с < у < с.
138
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
БАШМАЧНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Башмачная поверхность представляет собой поверхность
прямого переноса образующей параболы по направляющей
кубической параболе. Обе параболы лежат во взаимно пер-
пендикулярных плоскостях.
Формы задания поверхности переноса параболы
по кубической параболе
1) Явная форма задания (рис. 1): z = х3 / 3 - у2 / 2.
Рнс- 1 В сечениях поверхности плоскостями х = const лежат па-
раболы, а в сечениях поверхности плоскостями у = const - кубические параболы.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2х -1
L = , = , М = 0, N=-f=
л . ..4 , _.2 , . ..4
-2х
rr 2x(l + y2) — x4 — 1
Рис. 2
При х > 0 башмачная поверхность является поверхностью отрицательной гауссовой кри-
визны, при х < 0 - поверхностью положительной гауссовой кривизны, а криволинейная коорди-
ната х = 0 содержит только параболические точки (К = 0).
ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА ПАРАБОЛЫ ПО ГИПЕРБОЛЕ
Поверхность прямого переноса параболы по гиперболе образовывается параллельным пере-
носом параболы так, что определенная ее точка скользит по гиперболе. Та же самая поверх-
ность получится, если перемещать гиперболу по параболе.
Формы задания поверхности переноса
1) Явная форма задания (рис. 2):
2а - х П /, (2с + f2) Г
z = — Jyx-dc2 + ~ 2—— (у-d)' + c + f2,
а' v а
где fi - расстояние от координатной плоскости хОу до вершины образующей параболы, лежа-
щей в плоскости xOz', fi - расстояние от плоскости хОу до вершины направляющей гиперболы,
лежащей в плоскости yOz, 0<х<2а; 0< y<2d. Рассматриваемая поверхность переноса пере-
крывает прямоугольный план 2а х 2d. Ветви параболы и гиперболы направлены в одну сторону.
Асимптоты гиперболы пересекают координатную плоскость хОу под углом /?:
' tg/3 = d/^f2(2c + ff).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, 4/,\ -2/,Л(2с + ЛХа-х)(у-^ „2 , , f2(2c + f2)2(y-d)2
А = 1 + —— (а-х) , F = ——, — —==, В = 1 + - г—------------------77,
а a'd^c'd~ + /2(2с + ff)(y-d)’ d~[c d + fг{2с+f2){y - d)'\
-c2f2(2c + f2)d .. LN
-2/,
L =---, J1 , M = 0, N = 7---------—---- ' , , К = —J—-г——у > 0.
а2э/А2 +B2 -1 [d2c2+/2(2с + /2)(у-О2] л/А2 + В2 -1 М +в -1)
2) Явная форма задания (рис. 3):
2а - х Г f2 (2с + Л ) ~
Z —----—fiX~y\c2+^ 2fy-df~ + c + f2.
ci \ ct
При этом способе задания поверхности ветви образую-
щей параболы и направляющей гиперболы направлены в
разные стороны. Поверхность будет иметь К < 0.
Рис. 3
139
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА СИНУСОИДЫ ПО СИНУСОИДЕ
Рис. 1
Поверхность переноса
синусоиды по синусоиде
} формируется параллель-
ным переносом синусои-
ды zi = csin(nWa) по си-
нусоиде Z2 = dsmtmxy/b'),
где п, т - число целых
Рис. 2
полуволн, содержащихся
на отрезках длиной а и Ь, соответственно; с и d - амплитуды синусоид. Можно и, наоборот,
считать синусоиду zi = Zi(x) направляющей кривой, а синусоиду гг = z?(y) - образующей. На-
правляющая и образующая синусоиды лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Формы задания поверхности переноса синусоиды по синусоиде
1) Явная форма задания (рис. 1-2): z = z(x, у) = с$т(плх! а) + dsmfjnny / Ь).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2 , с2л2л"2 плх „ cdnmft2 плх тлу , d2in2Tt2 > тт
А =1-1-------—cos"---, F =-------cos----cos—— , В =1 +-------—cos"—
а~ a ab a b b b
.2г1-> г,2 , с2п2л2 - плх д2т2л2 ,тщ л2 <
А В- — F =1 +---j—cos"------+---------cos"—--А +В -1,
a a b~ b
, -сп~л~ . плх -dm2л2 . тлу
L =---===== sm---------, М = О, N -- ... = sin ——,
а2л/А2+52-1 а ЬЧА2+В2-\ Ъ
„ edit1 т2 л4 . плх . тлу
К =—:— ---------—sin------sin---•
a2b2[A2 +В2 -1)‘ а Ь
Криволинейная координатная сеть на поверхности переноса является неортогональной и
сопряженной. Только координатные линии, проходящие через вершины поверхности, пересе-
каются под прямым углом (рис. 1 - 2). Поверхность имеет участки положительной и отрица-
тельной гауссовой кривизны. На рис.1 изображена поверхность переноса с с = d = 0,1 м; а = b =
3 м; п = т = 6; на рис. 2 - с = d = 0,3 м; а = b = 3 м; п = т = 6.
Дополнительная литература
1. Kheyfets A.L., Galimov D., Shleykov I. Kinematic and analytical surfaces programming for solution of architectural
designing tasks// GraphiCon’ 2001 (http://www.graphicon.ru/2001/pdl/Khevfets.pdf). - N. Novgorod, Sept. 10 - Sept. 15,
2001. - P. 283-286 (библ.: 2 назв.).
ЦИКЛОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА
Циклоидальная поверхность переноса образовывается па-
раллельным переносом одной циклоидальной кривой
ri = г,(0 = a(t +sin/ + ri)i + с(1 + cost)k
по другой г2 = rz(n) = b(u + sinn + л-)/ + d(l + cosu)k.
Формы задания циклоидальной поверхности переноса
1) Векторная форма задания: г = r(u,t) = гЦ) + гг(и)-
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = &2(1 + cos«)2 + d2 sin2 и, F = rfcsinwsinf, В2 = a2(l + cosf)2 +c2 sin21,
_ abd(l + cos 7)(1 + cos и) д^-о _ abc(l+ cosO(l + cosw)
x/a2B2 -F2 ’ ’ Ja2B2 -F2
140
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ПРЯМОГО ПЕРЕНОСА
1, Васильков Б.С., Леонтьев Н.Н., Минаев Л.С., Макаров Г.И. Расчет на прочность и устойчивость пологих
оболочек на прямоугольном плане. - М.: «Диалог - МГУ», 2000. - 78 с. (библ.: 35 назв.).
2. Мартыненко М.Д., Гариб М.Г., Мороз С.В. Оптимальные по равнопрочности формы тонкостенных пологих
оболочечных конструкций// Гидроаэромех. и теория упругости. Теор. и эксперим. методы гидроаэромех. и теории
упругости: Межвуз. сб. тр. - Днепропетровск, 1990. - С.104-106.
3. Милейковский И.Е. Расчет оболочек на прямоугольном плане, очерченных по круговой поверхности перено-
са, методом перемещений (вариационный метод)// Практические методы расчета оболочек и складок покрытий. -
М.: «Стройиздат», 1970. - С. 7-53 (библ.: 118 назв.).
4. Варвак М.Ш., Дехтярь А. С., Шапиро А.В. Оптимальная поверхность оболочек-покрытий// Строительная ме-
ханика и расчет сооружений, - 1972.-№ Г-С.58-61.
5. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - Киев: Буди-
вэльнык, 1990. - 192 с. (С. 113) (библ.: 104 назв.).
6. Мартыненко М.Д., Гариб Муса Ибрагим Г. Геометрические формы упругих оболочек переноса с заданным,
безмоментным напряженным состоянием// Докл. АН Беларуси. - 1993. - 37, № 3. - С. 109-113 (библ.: 2 назв.).
7. http: //wwvv.scadgroup.com/download/NEWS.2.pdf Примеры использования аналитического задания поверх-
ностей. - Новости SCAD (SCAD news). - Ноябрь 1997. - С. 5-7.
8. Бланк Я.П. Поверхности переноса и их обобщения. - Дис. д-ра техн, наук, Харьков: ХГУ, 1950.
9. Морозов А.П., Василенко О.В., Миронков Б.А. Пространственные конструкции общественных зданий. - Изд.
2-е. - Л.: Стройиздат, 1977. - 168 с.
10. Варвак М.Ш., Дехтярь А.С. Несущая способность ортотропной оболочки// Строительная механика и расчет
сооружений,- 1968.-№3.-С. 14-17 (библ.: 4 назв.).
И. Тесля В.А. Метод коллокаций в системе относительных координат при определении усилий в круговой
трансляционной оболочке// Вестник Кузбас. гос. техн, ун-та. - 2001. - № 3. - С. 76-78.
12. Мартыненко М.Д., Гариб Муса Г, Мороз С.В. Равнонапряженные по толщине термоупругие пологие обо-
лочки переноса// Инженерно-физический журнал. - Беларусь: Ин-т тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова НАН
Беларуси. - Том 56, № 5. - Май 1989. - С. 819-823.
13. Лантух Л.Г. Исследование работы прямоугольных пластин и безмоментных оболочек переноса с учетом
приспособляемости. - Автореф. дис. канд. техн. гаук. - Киев: Киев, автомоб.-дорож. ин-т, 1971. - 18 с.
14. Чегодаев А.И. Стереографическая проекция поверхности Кэли на плоскость// Уч. зап. Ярославского пед.
ин-та. - Ярославль, 1967. - Вып. 61, «Геометрия». - С.
15. Кондрашов А.Н. Минимальные поверхности переноса в псевдоевклидовом пространстве// Межд. конфе-
ренция - школа по геометрии и анализу. - Новосибирск, 9-20 сент. 2002 г. - Новосибирск, 2002. - G. 51-52.
16. Садовничий А.Ф. Поверхности переноса// Труды Рижской научно-метод. конференции, июнь 1957. - Рига,
1960. - С. 167-171 (библ.: 3 назв.).
17. Fliigge И< Static und Dynamik der Schalen, Auflage 1. - Springer-Verlag, 1934. - 91s.
18. Li IV. Y., Tham L.G., Cheung Y.K., Fan S.C. Free vibration analysis of doubly curved shells by spline finite strip
method// J. Sound and Vibr. - 1990. - 140, no 1. -C.39-53 (библ.: 28 назв.).
19. Mhakogu F.C., Pavlovic M.N. interaction of bending and stretching actions in shallow translational shells with
various gaussian curvature types// Engineering Structures. - 1999. - P. 538-553 (библ.: 21 назв.).
20. Samartin A. Practical dynamic analysis of translational shells// Proc, of the Int. Symp. “Shells and Spatial Struc-
tures: Computational aspects”. - Vol. 26. - Springer- Verlag, 1987. - P. 208-220.
21. Tarnai Tibor. Edge disturbances of second-order shallow translational shells on a rectangular base// Acta Technica
Acad. Sci. Hung., Hung., 77. - 1977. - P. 399-418.
22. Yang T.Y. High order rectangular shallow shell finite element// Journal of the Engineering Mechanics Division. -
Vol. 99. - No 1, January/ February 1973. - P. 157-181.
23. Csonka P. Results on shells of translations// Acta technica Acad. Scientiarum Hungar., 10, 1955.
24. Minakawa Youichi. Sakao Keishi. Linear analysis of shallow translational shells with point supports on free edges//
Res. Repts. Fac. Eng. Kagoshima Univ., 1984, № 26. - P. 19-28 (библ.: б назв.)(япон.).
25. Minakawa Couichi, Maehata Tatumi. Linear analysis of shallow translational shells with point support// Res.
Repts..Fac. Eng. Kagoshima Univ., 1985, № 27. - P. 103-117 (библ.: 8 назв.)(япон.).
26. Lenza Pietro. Volte di traslazione soggette a carico simmetrico od emisimmetrico// G. genio civ. - 1977, 115, №
7-9. - P. 245-254 (итал.).
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Поверхности переноса» и
в разделе «Литература по геометрии, применению и расчету оболочек, очерченных, по поверхностям конгруэнтных
сечений».
141
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА С КОНГРУЭНТНЫМИ
ОБРАЗУЮЩИМИ И НАПРАВЛЯЮЩИМИ КРИВЫМИ
Поверхности переноса с плоским опорным контуром, у которых образующая и направляю-
щая - конгруэнтные кривые, называются поверхностями переноса с конгруэнтными образую-
щими и направляющими кривыми. К названию таких поверхностей рекомендуется добавлять
приставку «би».
Например, бикруговая поверхность переноса 4-го порядка (рис. 1) задается явным уравне-
нием: z = 2г - -Jr2 - х2 - -Jr2 — у2, или х - rsinw, у = rsinv, z = r(cosw + cost - 2), где г - радиус
образующей и направляющей окружности; и, v -центральные углы направляющей и образую-
щей окружностей. Начало координат совпадает с высшей точкой поверхности. Форма горизон-
тальных сечений поверхности при h^r приближается к квадрату
со скругленными углами.
Уравнение горизонтальных сечений записывается в виде:
х = ±^4rh — 4r2-h2+у2+2(2r-h)y[r2-у2 ,
где h > 0 - расстояние от начала координат до горизонтальной се-
кущей плоскости.
Биэллиптическая поверхность переноса 4-го порядка задается уравнением:
Рис. 1
Рис. 2
Z = 2.b-b\Ja~ - у" - усг - х~ /а,
где а - большая полуось; b - малая полуось эллипса; образующего поверхность. В сечении по-
верхности плоскостью z = b получается кривая х -+-J у2 -а2 + 2a-Ja2 - у2.
Бипараболическая поверхность переноса (параболоид вращения) задается явным уравнени-
ем: z = (у2 + х2)/(2р~). В сечении бипараболической поверхности переноса горизонтальной
плоскостью лежит окружность x = +-j2ph- у2, где, как и рань-
ше, h > 0 - расстояние от начала координат до горизонтальной
секущей плоскости.
Бигиперболическая поверхность переноса показана на рис. 2.
Ее уравнение имеет вид:
Z = -2а + а {^Ь2 + у2 + -Jb2 + х2 ^/b,
где а - размер действительной полуоси, а b - размер мнимой полуоси гиперболы. В случае, ко-
гда h = а, уравнение линии пересечения поверхности и плоскости z = h будет
х = ±-^9Ь2 + у2 - 6b-jb2 + у2.
Биверзьерная поверхность переноса 5-го порядка пред-
ставлена на рис. 3, а ее явное уравнение записывается в виде:
а3 а3
z = 2а--------------------г---г--------,
Рис. 3
где а - диаметр, образующей
плоскостью z = h дает кривую 4-го порядка:
х = ±а^(у2Ь + а2Ь-ау2)/{2ау2 +а3 - y2h-a2hj.
План ограничен кривой, имеющей точки перегиба.
Дополнительная литература
1. Михайленко В.Е., Шеин В.Т. Поверхности переноса, образующие и направляющие которых являются кон-
груэнтными кривыми// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1972. - Вып. 14. - С. 15-20.
верзиеру окружности. Сечение поверхности горизонтальной
142
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПОВЕРХНОСТИ ДИАГОНАЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
Поверхности диагонального переноса образуются по принципу переноса плоской кривой по
направляющей так, что при скольжении образующей кривой по плоскому неподвижному кон-
туру две ее симметричные точки непрерывно его касаются (рис. 1).
В принципе такая поверхность может быть образована на контуре самого произвольного
очертания. Наибольший интерес представляют поверхности, образованные на контуре с сим-
метрией (окружности, эллипсы, квадраты, прямоугольники).
Рис, 3
Если рассматривается диагональная поверхность переноса, построенная для плоского ром-
бического контура, то могут быть полезны следующие соотношения между декартовыми коор-
динатами х, у и косоугольными координатами и, у:
(и + у)с (и + v)c (v - u)d (v - u)d
х =-------— с - , - — с, у =-----— , .
а yc2+d2 а yjc2 +d2
Если использовать косоугольные координаты и, у в качестве криволинейных координат на
поверхности диагонального переноса с ромбическим плоским контуром, то две стороны плос-
кого контура будут совпадать с криволинейными координатными линиями у = а и и = а.
Иногда, используя метод построения поверхностей диаго-
нального переноса, можно получить уже хорошо известные
поверхности. Например, если взять в качестве плоского кон-
тура эллипс, в качестве диагонали - ось эллипса, а в качест-
ве подвижной образующей кривой - квадратную параболу
(рис. 3), то получим эллиптический параболоид (см. «По-
верхности второго порядка»),
В научно-технической литературе описываются случаи
применения поверхностей, образованных параллельным пе-
реносом плоской образующей кривой с непрерывным каса-
нием контура, для которых две координатные плоскости яв-
ляются плоскостями симметрии (рис. 1; рис. 3). Поверхно-
сти диагонального переноса могут быть применены как в
варианте с плоским граничным контуром (рис. 1), так и с
усеченными границами (рис. 4). В последнем случае будут
отсутствовать излишки кубатуры сооружения.
Дополнительная литература
1. Волков Г.Ф. Оболочка переноса отрицательной кривизны// Армоце-
ментные конструкции в строительстве. - Ленинград: Госстройиздат,
2. Рекач В.Г. Основная библиография по строительной механике. - М.: УДЫ, 1968. - 302 с.
контур
Рис. 4
1963. - С. 48 - 58 (библ.: 2 назв.).
143
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ДИАГОНАЛЬНАЯ КРУГОВ АЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА ВОЛКОВА
Диагональная круговая поверхность переноса Волкова образуется параллельным движени-
ем плоской круговой кривой вдоль диагонали квадратного контура (рис. 1). При этом две сим-
метричные точки круговой образующей скользят по плоскому неподвижному квадратному кон-
туру. Поскольку две координатные плоскости служат плоскостями симметрии поверхности,
достаточно исследовать только часть ее в пределах изменения переменной х от 0 до с.
Формы задания диагональной круговой поверхности переноса Волкова
z4 - 2z2 [2г2 - у2 - (с - х)2 ] + [у2 - (с- х)2 ]2 = О,
где г - постоянный радиус образующей окружности; 2с - длина
диагоналей квадратного контура; а = Л с - длина стороны
квадратного контура; г > с. Рассматриваемая поверхность явля-
ется алгебраической поверхностью четвертого порядка.
2) Явная форма задания: z = т/r2 ~У ~ Jr2 ~(с- х)2
Диагональная круговая поверхность переноса Волкова - по-
верхность прямого переноса окружности по окружности. В
плоскости z = 0 лежит плоский квадратный контур у = ±(с - х).
В сечениях поверхности плоскостями х = хо = const лежат образующие окружности радиу-
сом г: (z + ф'2 - (с -х„)2) + у2 = г2, центры которых расположены в плоскости xOz, но ниже
координатной плоскости хОу на величину т = ф-2 - (с - хо)2. В сечениях поверхности плоско-
стями у = у0 = const получаются окружности радиусом г: fz - -Д2 - у2 j + (с - х)2 = г2, центры
1) Неявная форма задания:
Подвижная
Рис. 1
которых расположен в плоскости х = с, и . выше координатной плоскости хОу на величину
и = V'"2 У» • Ордината наивысшей точки поверхности zmax = z(x = 0, у = 0) = г - л/r2 - с2. Вол-
ков Г.И. считает, что наиболее перспективным с технической точки зрения будет вариант по-
верхности с усеченным граничным контуром, квадратным в плане, со сторонами в направлении
оси х равными t - cfl и в направлении оси у равными b = с.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 F = —=^> =
Г -(с-х) ^г- _(с-х)2 т/г2 - у2 . г -У [г'-(с-х) ][г--у‘]
г2[Д2 В2 - Г2]’"2 .. „ ~г2[А2В2-F2Y1'2 -г^г2 -у2 ^г2 -Д-х)2
L = Z ,,, - , М = 0, N - -------------5----у-Щ-----, К = -------7---7-----7—:-----
[Г-(с-х)2]3'2 [г2-у2]3'2 [г4-у2(с-х)2]2
Рассматриваемая поверхность является поверхностью отрицательной гауссовой кривизны.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
I 7 У I / V
и + v v — u , (у - и) 1 и + v
х = х(и,у) = —— у = y(u,v) =—т=-, z = z(w,v) = Д' ---------Jr' - 2с-—т=- ,
где необходимо взять 0 < и < а; 0 < у < а (см. рис. 2 раздела «Поверхности
диагонального переноса» при d - с). Вторая часть поверхности будет симмет-
рична первой относительно плоскости х = 0 (рис.1). Уравнение линии раздела
двух частей поверхности будет v = -J2c - и.
Дополнительная литература
1. Волков Г.Ф. Оболочка переноса отрицательной кривизны// Армоцементные конструкции
в строительстве. - Ленинград: Госстройиздат, 1963. - С. 48 - 58 (библ.: 2 назв.).
144
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ДИАГОНАЛЬНАЯ ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА
Диагональная параболическая поверхность переноса образуется параллельным движением
плоской параболы вдоль диагонали ромбического контура (рис. 1 раздела «Поверхности диа-
гонального переноса»). При этом две симметричные точки параболической образующей сколь-
зят по плоскому неподвижному контуру.
Формы задания диагональной параболической поверхности переноса
Л
d/2
Рис. 1
d (с — х)" у
1) Явная форма задания: z =----;— - —,
2рс~ 2р
где 2с и 2d - размеры диагоналей ромбического плоского конту-
ра в направлении осей х и у соответственно (см. рис. 2 раздела
«Поверхности диагонального переноса»); р - геометрическая ха-
рактеристика образующей параболы. В сечении поверхности
А2>-плоскостью у = 0 лежит парабола z = d\c - х')~/(2рс~'), а в сечении
поверхности координатной плоскостью х = 0 находится обра-
зующая парабола z = (d~ - у~)К2р). Максимальное превышение
поверхности над плоскостью z = 0 будет равно zmax - d2/(2p).
На рис. 1 показана усеченная диагональная параболическая поверхность переноса,
ограниченная линиями х = ±с/2 и у = ±d!2.
Из приведенной формулы поверхности видно, что две полости диагональной параболиче-
ской поверхности переноса будут являться гиперболическим параболоидом (см. «Линейчатые
поверхности отрицательной гауссовой кривизны»). Две координатные плоскости (х = 0 и у = 0)
служат плоскостями «симметрии поверхности, поэтому достаточно исследовать только часть ее
в пределах изменения переменной х от 0 до с.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
(и + v)c (v - u)d
x = x(u,v) =-------с. y=v(w,v) =----------
а ’ а
2d2 ( и + v т
I + ~Г
р к а а
где а = у с2 + d2 -длина стороны ромбического контура.
Коэффициенты основной квадратичной формы поверхности и ее кривизны:
4«/3 М2
L = N = 0, М =----г- —- , к, = к = 0, К =-------- < 0.
pa^A2B2-F2 A2B2-F2
Координатные линии и, у являются прямыми линиями и совпадают с
двумя семействами прямолинейных образующих гиперболического пара-
болоида. На рис. 2 изображен фрагмент диагональной параболической
поверхности переноса, построенный в пределах 0 < и < а = л/с2 У d2;
0 < v < а = л/с2 + . Только половина изображенного фрагмента поверх-
ности, отсекаемого плоскостью х ~ 0, войдет в качестве одной полости в
диагональную параболическую поверхность переноса. Другая полость
поверхности будет ей зеркально симметрична. Обе симметричные полос-
ти будут опираться на ромбический плоский контур. Координатные ли-
нии и = а и v = а совпадают с двумя сторонами плоского ромбического
контура. Проекция линии v = а - и, лежащей на диагональной поверхно-
сти переноса, на плоскость z = 0 совпадает с координатной осью у.
145
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ВЕЛАРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 1
Велароидальной называется поверхность переноса на плоском
прямоугольном плане с образующей кривой переменной кривизны.
Таким образом, поверхность ограничена четырьмя взаимно ортого-
нальными контурными прямыми (кх = ку = 0), лежащими в одной
плоскости.
В настоящее время известны три вида велароидальных поверхно-
стей: параболический (рис. 1), эллиптический и синусоидальный
(рис. 2) велароиды.
Дополнительная литература
1. Mihailescu М„ Horvath I. Velaroidal shells for covering universal industrial halls//
Actatechn. Acad. sci. hung. - 1977, 85 (1-2).-P. 135-145.
2. Hadid Hassoun A., Lynn Paul P. Bending analysis of parabolic velaroidal shells// J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc.
Civ. Eng., 1980, 106,No 7.-P. 1609-1621.
3. Гогоберидзе Я,А. Перекрытия «Дарбази». - Тбилиси: «Техника да шрома», 1950. - 278 с.
4. Штаер.ман Ю.Я., Бастатский Б.Н. Изгиб вспарушенной плиты. - М. - Л.: Госэнергоиздат, 1960 - 37 с.
СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ВЕЛАРОИД
Синусоидальный велароид образовывается двумя се-
мействами полуволн синусоид, лежащих во взаимно
перпендикулярных плоскостях и обращенных выпукло-
стями в одну и ту же сторону (рис. 2). Каждое семейство
синусоид имеет одинаковый период. Синусоидальный
велароид ограничен плоским прямоугольным контуром.
Форма задания поверхности синусоидального велароида
ЛХ Лу
1) Явная форма задания: z = f sin—sin—,
a b
где a, b - размеры плоского прямоугольного контура в плане. Максимальный подъем У поверх-
ности над плоскостью z = 0 будет в точке с координатами х — а/2\ у = Ь/2. В сечениях поверхно-
сти плоскостями х = хс = const будут синусоиды с амплитудами fsm(7txc/а), в сечениях поверх-
ности плоскостями у = ус = const - синусоиды с амплитудами fsin(7cyc/b). Плоский прямоуголь-
ный контур совпадает с координатными линиями х = 0, х = а и у = 0, у = Ь.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
л1 лх лу „ л2 . 2лх . 2лу ,
— cos2—sin2—, F = f2----sin---sin-2-, B2=l + /2
a~ a л ~~ ''
4аЬ
2
7Г . п 2 Tiy
—V Sin —cos —,
b~ a b
— /л~ лх лу
L =--. = sin—sm —,
a2VA2+B2-l a b
Т7Г ЯХ Tty a~
M =---, . —cos—cos—, N = — L,
abyA2+B2-l a b b’
— /л2 лх лу
к =-------------= sin—sm —
й2А2л/а2 +52 -1 a b
a2 A2 -f2^ ( 2лх 2лу'
к = —лкг, К = Z—: ;----5---7 cos—--E COS-
b-B2 x 2a2b-(A- +B2 -1)4 a b.
-A2
2a2b2(A2 + B2 -1)3/2
. ЛХ , Лу 2 , '
sm — sm— a +b' + f л
a b
2 1 2 7ZX 2 Tty
' COS-------h COS ---
k a b.
. 2лх . 2лу
b
a b
r 2 _.1
-f Л
Средняя кривизна на контуре Н = 0. Кривизны координатных линий кх, к? на всем контуре
также равны нулю. Гауссова кривизна поверхности принимает как положительные, так и отри-
цательные значения. Например, область поверхности около вершины имеет К > 0, в угловых
точках К < 0, в серединах сторон контура К = 0.
146
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ВЕЛАРОИД
Параболический велароид относится к классу поверхностей переноса положительной гаус-
совой кривизны на плоском прямоугольном плане с образующими параболами переменной
кривизны, лежащими в параллельных плоскостях. Таким образом, поверхность ограничена че-
тырьмя взаимно ортогональными контурными прямыми (кх = ку = 0). В некоторых работах па-
раболический велароид называют поверхностью ЮЛ. Штаермана с плоским контуром.
Формы задания параболического велароида
/ 2 2 2 2)
X V X у
1) Явная форма задания (рис. 1): z = с — + , 2 ,
\а~ о а'Ь )
где а. b - полупролеты поверхности в направлении коорди-
натных осей х, у, соответственно, с - стрела подъема по-
верхности в ее центре. Параболический велароид ограничен
контурными прямыми, совпадающими с координатными
линиями х = ±а; у = ±Ь. В сечениях поверхности плоскостями х - const или у = const лежат па-
раболы, у которых стрелы подъема меньше стрелы подъема с поверхности в центре.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2с ( у2>! 4-с.ху 2с (
----г— — ~ 1 - , М = --------г = . = , А = 7== 1 -
аЧА2+В~-\\ b-J д2Ь2у/.42+В2-1 />2-М2+В2-1< а '
4с'
а2Ь2(А2 + В2 -1)2
2) Явная форма задания (рис. 2):
z = 2f
4у2") 4~
3b2 9/
При этом способе задания поверхности а, b - пролеты
поверхности. Поверхность со стрелой подъема в центре
/о = 5/Z3 перекрывает прямоугольный план а х Ь. На
краях х = ±(а/2) и у = ±(Ь/2) поверхности будут параболы
4 _4 /1. 2*2
ЗД2 ЗЬ2) И Z 'У\2 За2
с одинаковыми стрелами подъема fc = 2/73. Рассмотренная поверхность называется «поверхно-
стью Дарбази». Это название произошло от названия древнегрузинского перекрытия. Поверх-
ность Дарбази является внутренней областью параболического велароида. Координатные линии
х = +43а / 2 и у ~ +4зЫ2 имеют нулевую кривизну (4 - ку = 0). Плоский прямоугольный
контур лежит в сечении поверхности плоскостью z = -4/73.
Дополнительная литература
1. Hadid Hassoun A.,Lynn Paid Р. Bending analysis of parabolic velaroidal shells// J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc.
Civ. Eng., 1980, 106, No 7.-P. 1609-1621.
2. Hadid H.A. Analysis of parabolic velaroidal shells with simply supported boundary conditions// J. Struct. Eng.-
1982.-8, No 4,-P. 111-118.
3. Friaa Ahmed, Zenzri Hatem. On funicular shapes in structural analysis and applications// Eur. J. Meeh. A. - 1996. -
15, № 5. - P. 901-914 (библ/. 7 назв.).
4. Штаерман Ю.Я., Бастатский Б.Н. Изгиб в.спарушенной плиты. - М. - Л.: Госэнергоиздат, 1960. - 37 с.
5. Гагоберидзе Я.А. Перекрытия «Дарбази». - Тбилиси, «Техника да шрома», 1950. - 278 с.
147
ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ВЕЛАРОИД
Эллиптический вслароид относится к классу поверхностей переноса на плоском квадратно».:
плане с образующими эллипсами переменной кривизны, лежащими в параллельных плоско-
стях. Поверхность ограничена четырьмя взаимно ортогональными
контурными прямыми.
Формы задания эллиптического велароида
1) Явная форма задания (рис. 1):
Рис. 1
где а - полупролеты поверхности в направлении координатных осей х, у; (/- с) - стрела подъ-
ема поверхности в ее центре. В сечении поверхности плоскостью z = с лежит квадрат 2ах2а.
Таким образом, эллиптический велароид перекрывает квадратный план 2ах2а и ограничен пря-
мыми, лежащими в плоскости z = с, и совпадающими с координатными линиями х = ±а; у = ±а.
В сечениях поверхности плоскостями х = 0 или у = 0 лежат одинаковые эллипсы с полуосями/и
а//-//2 - с2. Если принять/ - с2 = а2, то эллипсы выродятся в окружности с радиусом/(рис.2).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
x2(f2-с2)2(у2-a2)2 (f2-c2)2(x2-a2)(y2-a2)xy
--------------------F = —р-----------
8 г 2
a f -
А2 =1 +
а'
а
В2 =1 +
н, L=
с = 0;
f-a
y2(/2 -c2)2(x2 -a2)2
Рис. 3
.2
.2 __________
-44 Va2 + г2 -1
гис. 2
(f2-c2)(/-a2)|fZ-
у]А2 + В2 -1
(/2-с2)(.г-п‘) /2-
М =
(рис. 3), можно задать уравнением z =
.2
а~ J
Эллиптический велароид в центральной части имеет К > 0,
а в угловых зонах - К < 0.
Эллиптический велароид, образованный полуэллипсами
а4 -а2(х2 + у2') + х2у2, то есть необходи-
мо положить с = 0. Стрела подъема поверхности в ее центре будет равна/. В сечениях поверх-
ности плоскостями х = 0 или у = 0 лежат эллипсы с полуосями auf.
Дополнительная литература
1. Mihailescu М. and Horvath I. Velaroidal shells for covering universal industrial halls// Acta techn. Acad. sci. hung.
- 1977,85 (1-2).- P. 135-145 (библ.: 9 назв.)
148
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Резными называются поверхности, у которых плоскости одного семейства плоских линий
кривизны ортогональны поверхности. Семейство плоских линий кривизны резной поверхности
будет геодезическим, следовательно, нормали этих линий совпадают с нормалями поверхности.
Таким образом, резную поверхность можно охарактеризовать как поверхность с геодезическим
семейством линий кривизны.
Резная поверхность, одной из эволют которой служит торс, называется резной поверхно-
стью Монжа, по имени геометра, который первый обратил внимание и исследовал поверхно-
сти этого типа (1807 г.). Эволютную поверхность (эволюту) резной поверхности называют ее
направляюгцей поверхностью.
Резную поверхность Монжа можно построить кинематическим методом качения без
скольжения плоскости с плоской линией (.меридианом') по развертывающейся поверхности. Ес-
ли взять произвольную плоскую кривую на касательной плоскости Р развертывающейся по-
верхности S, а затем начать качение этой плоскости Р без трения по поверхности неподвижного
направляющего торса 5 (неподвижный аксоид), то образующая кривая будет очерчивать резную
поверхность Монжа. Таким образом, поверхность Монжа образовывается ортогональными
траекториями однопараметрического семейства плоскостей. Ортогональные траектории точек
меридиана называются параллелями. Все меридианы резной поверхности конгруэнтны. Мери-
дианы и параллели составляют два семейства линий кривизны резной поверхности. Простей-
шим примером поверхности Монжа служит поверхность вращения, которую можно рассматри-
вать как вырождение поверхности Монжа. Здесь однопараметрическое семейство плоскостей,
несущих меридиан, вырождается в пучок плоскостей, проходящих через ось вращения поверх-
ности. Кинематический метод построения резных поверхностей дает возможность разделить их
на три группы в зависимости от типа направляющей поверхности (неподвижного аксоида)'. рез-
ные поверхности с цилиндрической, конической и торсовой направляющими поверхностями.
Пусть о.(и)х + /?(и)у + y{u)z = р(и) будет уравнением однопараметрического семейства плос-
костей; х = х(и), у = у(и), z = z(u) - параметрические уравнения ортогональной траектории, от-
несенные к тому же параметру и. Условие ортогональности заключается в выполнении сле-
дующих условий вдоль кривой:
dx dy dz dy /?(и) dz y(u)
— = Ла(и), —— = лв(и), — = Лг(и), или — =-------, — =------.
du du du dx a(u) dx a(u)
Следуя утверждению, что резная поверхность образуется движением плоской образующей
кривой вдоль другой произвольной направляющей кривой, так что образующая кривая лежит в
нормальной плоскости направляющей кривой и жестко с ней связана, векторное уравнение рез-
ной поверхности можно записать в виде:
r(u,t) = р(и) + x(t) е(и) + y(t)g(u), где е(и) = vcos0 + hsinO; g(w) = -vsin0 + bcosO;
e(u), g(u) - орты подвижной декартовой системы координат в нормальной плоскости направ-
ляющей линии р(и); х = x(t), у = y(t) - параметрические уравнения образующей кривой в той же
подвижной декартовой системе координат; v - v(u), b = b(u) - нормаль и бинормаль направ-
ляющей кривой; в = - ^xsdu + 0а - угол между v и е или между b и g; к - кручение направляю-
щей кривой; ()., - константа интегрирования (начальный угол между векторами гие); s = |pz[.
Дополнительная литература
1. Саву.иа Я.Г. Применение полуаналитического метода конечных элементов к расчету оболочек с монжевой
срединной поверхностью// Докл. АН УССР, 1983. - Сер. А, №2. - С.39-42 (библ.: 8 назв.).
2. Иванов В.Н., Ризван Мухаммад. Геометрия резных поверхностей Монжа и конструирование оболочек//
Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2002. - Вып. 11. - С. 27-36.
3. Савула Я.Г., Флейман Н.П. Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями. - Львов:
«Выща школа», 1989. - 170 с.
149
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Резные поверхности, представленные в справочнике
Резная поверхность Монжа с цилинд-
рической направляющей поверхностью
и меридианом в форме гиперболы
синусоидой
Резная поверхность с направляющим
эллипсом и образующей синусоидой
Резная поверхность Монжа с цилиндри-
ческой направляющей поверхностью и
синусоидой в качестве меридиана
Резная поверхность с направляю- Резная поверхность с направляю- Резная поверхность с направляю-
щей циклоидой и образующим щей синусоидой и образующей щИМ эллипсом и образующей па-
эллипсом параболой раболой
Резная поверхность с на-
правляющей синусоидой и
образующей циклоидой
Резная поверхность Монжа с цилиндри-
ческой направляющей поверхностью и
синусоидой в качестве меридиана
Резная линейчатая поверхность Монжа с круговой
цилиндрической направляющей поверхностью
Линейчатая коническая улитка
вращения
150
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ МОНЖА
С КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Если направляющая поверхность резной поверхности Монжа - цилиндрическая, то все ее
параллели будут плоскими линиями, расположенными в параллельных плоскостях, ортого-
нальных образующим направляющего цилиндра. В точках одной параллели все меридианы (об-
разующие кривые) имеют равные кривизны. Каждые две параллели отсекают на геодезических
линиях кривизны (меридианах) равные дуги. Если точки одной из
параллелей принять за начала отсчета дуг на всех меридианах, то
кривизны плоских меридианов будут одинаковыми функциями их
дуг. Так как направляющая поверхность - круговая цилиндриче-
ская, то для получения уравнения резной поверхности Монжа мож-
но воспользоваться обобщенными цилиндрическими координатами.
Прямоугольные координаты выражаются через обобщенные ци-
линдрические координаты по формулам:
х = х(а,/3) = г cos лsin о, у = у(а,/3) - rsin« + ucosa, z = Д
где г - радиус образующего цилиндра (рис. 1); и = и(а,Р) - га.
Функция/- и(0Д) задается по форме меридиана. Исходя из представленных выше параметри-
ческих уравнений поверхности, можно получить ее коэффициенты первой и второй квадратич-
ных форм:
A = (/-ra), F=0, В1 = 1 +/'2, L-A/B, М = 0, N = -f"/B,
а для определения главных радиусов кривизны использовать выражения: 7?2 = -В3If'1, R\ =АВ.
Приняв г = 0, будем иметь поверхность вращения. Если меридиан взять в виде прямой ли-
нии, т.е. / = cfi + b, тогда и = cf + b - га. В этом случае, уравнение резной линейчатой поверх-
ности Монжа можно представить в виде:
х = х(а,Д) = rcosa-(c/?+b-ra)sina, у = у(а,Д) = rs\na + (cp+b - ra)cos«, ? = Д
Имея эти уравнения поверхности, легко подсчитать ее коэффициенты основных квадратич-
ных форм: А = cP + b - га, F = О, В~ = 1 + с2, N - М = О, L = A/В, a R, = АВ, R2= «>.
Ортогональные траектории (параллели) точек образующей плоской кривой при круговой
цилиндрической направляющей поверхности радиусом г будут эвольвентами окружности ра-
диуса г. Векторное уравнение параллели можно записать в виде (рис. 1):
/>(«) = г[е + («0 - a)g], где е(а) = icosa + jsina; g(a) = -zsina + jcosa - круговые вектор-функции.
Тогда векторное уравнение резной поверхности Монжа с круговой цилиндрической на-
правляющей поверхностью будет иметь вид (рис. 1):
r(a,f) = r[e + (a0 - a)g] + x(t)p(a) + y(t)q(a), гдеp(a) = g(«)cos#0 + k&mdy, q(a) = -g(a)sin#o + kcosOrj.
Для этого случая задания резной поверхности Монжа, формулы для вычисления коэффици-
ентов основных квадратичных форм поверхности примут вид:
А - r(a0 - a) + x(f) cos 0О - y(f)sin 0О, F = 0, В = ^x,2(f) + у'2 (О,
L = -[x'(r)sin0o + y'(r)cos$0]A IB, M = 0, N = ~[x'(t)y"(t) - х"(1)у'(1)\/ В,
=[x'(f)sin#0 +yz(f)cose0]/(AB), fc2 =[x/(r)y"(f)-x//(f)y'(r)]/B3.
Векторное уравнение резной линейчатой поверхности Монжа приведено в разделе «Резная
линейчатая поверхность Монжа с круговой цилиндрической направляющей поверхностью».
Дополнительная литература
1. Скидан И.А. Обобщенные цилиндрические координаты и их применение к расчету оболочек//Доклады УШ
научно-техн. конф. инж. ф-та. - М.: УДН, 1972. - С. 21-23.
2. Мартыненко М.Д., Мороз В.С., Фам Хонг Мга. Модельный анализ некоторых обратных задач безмоментной
теории монжевых оболочек// Доклады АН УССР, А, 1988. - № 11. - С.49-53.
151
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ МОНЖА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ И ПАРАБОЛИЧЕСКИМ МЕРИДИАНОМ
0=0
Рис. 1
0=л12
Рис. 2
0=-л/2
Рис. 3
б^-л/4
Рис. 4
Резную поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и параболиче-
ским меридианом можно определить как поверхность, образованную движением параболы,
плоскость которой катится без скольжения по круговому цилиндру. Называя параболу обра-
зующей кривой, а эвольвенту окружности - направляющей кривой, можно дать иное определе-
ние рассматриваемой резной поверхности. Резная поверхность Монжа с цилиндрической на-
правляющей поверхностью и параболическим меридианом образуется движением образующей
параболы вдоль направляющей эвольвенты окружности так, что образующая кривая лежит в
нормальной плоскости направляющей линии и жестко с ней связана.
Формы задания резной поверхности Монжа
1) Параметрическая форма задания (рис. 1-4):
х = x(a,t) = rcosa-[r(aa - а) + tcosQ - at2 sin 0O ] sin a,
у = y(<z, t) = r sin a + [r(aa - a) +1 cos# —at2 sin^]cosa, z = z(0 = t sin 67 + at2 cos0,
где r - радиус направляющего кругового цилиндра; 0tJ - угол наклона оси параболы к оси на-
правляющего цилиндра; 0 < « < ==; - °о < Г < <*> (см. рис. 1 раздела «Резные поверхности Монжа
с круговой цилиндрической направляющей поверхностью»).
При этом способе задания векторное уравнение направляющей эвольвенты окружности с
радиусом г записывается в виде: р(а) = г[е + (а0 - a)g], или при помощи параметрических урав-
нений: х = х(а) = r[cos« - («„ - a)sina], у = y(a) = rfsina + («„ - ajcosa.j. Параметрические урав-
нения образующей параболы в местной системе координат представляются в виде: х = t, у - at2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = r(ao-<z) + rcos<9„ -at2 sim9„, F = 0, 52=l + 4a2/2,
sin 6? + 2a/cos6( 2a sin f) + 2at cos 0, 2a
L =-----°---------A, M = 0, N = —, k.=-----------------°-, k7 =-r.
В В ’ AB В2
Поверхность задана в линиях кривизн t, а. Одно семейство плоских линий кривизны t сов-
падает с образующими параболами, а второе семейство плоских линий кривизны а - эвольвен-
ты окружности радиусом г.
На рис. 1 - 4 изображены резные поверхности Монжа с цилиндрической направляющей по-
верхностью и параболическим меридианом, для которых г = 1 м; ао = 0; а = 0,5 м'1;
- 2м < t < 2м; я72<«<9л72. Значение параметра (1О указано на соответствующих рисунках.
2) Параметрическая форма задания в цилиндрических координатах (рис. 2):
о. (РУ (\
х = х(а, р) = г cos а- —- га + с sin а, у = у(а, В) = rsin«+ —- га + с cos а, ~=-В.
\.2р J \2р )
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А-/31 /(2р) + с-га, Е = 0, В2 =(р2 + Д2)/р2, L=A/B, М = 0, А =-1 / д/р2 +/?2.
Дополнительная литература
1. Фарес М.Ж. Расчет безмоментных оболочек в виде резных поверхностей Монжа// Строительная механика и
расчет сооружений. - №3. - 1974.
152
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ МОНЖА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ И СИНУСОИДОЙ В КАЧЕСТВЕ МЕРИДИАНА
Резную поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и синусоидой в
качестве меридиана можно определить как поверхность, образованную движением синусоиды,
плоскость которой катится без скольжения по круговому цилиндру. Называя синусоиду обра-
зующей кривой или меридианом, а эвольвенту окружности - направляющей кривой или парал-
лелью, можно дать иное определение рассматриваемой резной поверхности. Резная поверх-
ность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и синусоидой в качестве мери-
диана образуется движением образующей синусоиды вдоль направляющей эвольвенты окруж-
ности так, что образующая кривая лежит в нормальной плоскости направляющей линии и жест-
ко с ней связана.
Формы задания резной поверхности Монжа
I) Параметрическая форма задания (рис. 1-3):
л- = x(a,r) = г cosa-[r(ao -a) + tcos9ri - сsin(rfr) sin £?] sin <а,
у - y(a,f) = r sin a + \r(ao - a) + zcos0. -csin(rfr)sin^,]cosa, z = z(t) = fsin^ + csin(<5?z)cos6’),
где r - радиус направляющего кругового цилиндра; 0,_, - угол наклона оси синусоиды к коорди-
натной плоскости хОу, 0 < « < °°; - < 7 < = (см. рис. 1 раздела «Резные поверхности Монжа с
круговой цилиндрической направляющей поверхностью»).
При этом способе задания векторное уравнение направляющей эвольвенты окружности с
радиусом г записывается в виде: р(а) = г[е + (а„ - a)g], или при помощи параметрических урав-
нений: х = х(а) = rjcosa - (a„ - a)sina]; у = y(a) = r[sina + («0 - a)cosa].
Параметрические уравнения образующей синусоиды в местной системе декартовых коор-
динат q,p представляются в виде: х =x(t) = t, у = y(t) = csin(dt).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = r(ao -a) + rcos0o-csin(t//‘)sin6)o, F = 0, В2 =1 +c2d2 cos2(dt),
sin0O + cdcos(fifr)cosQo , _cd2sin(dt')
Li —----------------------------A, M — U, IN — ------------
в в
_ sm(90 + cd cos(dt) cos 0O _cd2sm(dt)
КI — , K’S — r .
53
AB
Поверхность задана в линиях кривизн t, а. Одно семейство плоских линий кривизны t сов-
падает с образующими синусоидами, а второе семейство плоских линий кривизны а - эволь-
венты окружности радиусом г.
На рис. 1 - 3 изображены резные поверхности Монжа с цилиндрической направляющей по-
верхностью и синусоидой в качестве меридиана. Значения геометрических параметров указаны
на соответствующих рисунках.
153
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ МОНЖА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ И МЕРИДИАНОМ В ФОРМЕ ГИПЕРБОЛЫ
6а = 0; г = 1 м; с = d = 1 м; в„ = л/4-
Рис.1
Резную поверхность Монжа с цилинд-
рической направляющей поверхностью и
меридианом в форме гиперболы можно оп-
ределить как поверхность, образованную
движением гиперболы, плоскость которой
катится без скольжения по круговому ци-
линдру.
Можно дать иное определение рассмат-
риваемой резной поверхности. Резная по-
верхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и меридианом в форме ги-
перболы образуется движением образующей гиперболы вдоль направляющей эвольвенты ок-
ружности так, что образующая кривая лежит в нормальной плоскости направляющей линии и
жестко с ней связана.
Формы задания резной поверхности Монжа
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 2):
х = x(a,t) = rcosa-[r(ao - а) + cchr cos#,, -</shrsin#o]sina,
у = y(a,t) = rsina+[r(a0 - a) + cchr cos0O -dshrsin#o]cosa, z = z(f) = cchr sin 0o + dsht cos0o,
где r - радиус направляющего кругового цилиндра; 0О - угол наклона оси гиперболы к коорди-
натной плоскости хОу; 0 < а < <*>; (см., рис. 1 раздела «Резные поверхности Монжа с круговой
цилиндрической направляющей поверхностью»).
г = 6 м; с = d = 1 м; Уо = л74
Рис. 2
При этом способе задания векторное уравнение направляю-
щей эвольвенты окружности с радиусом г записывается в виде:
р(а) = г[е + (а„ - cc)g],
или при помощи параметрических уравнений:
х = х(а) = r[cosa - (ct0 - a)sina]; у = у(а) = rfsina + («0 - «)cosa].
Параметрические уравнения образующей гиперболы в мест-
ной системе декартовых координат q,p представляются в виде:
х = x(t) = cchr, у =у(t) = dsht.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = r(ao-a) + cchrcos#,-rfshrsin#o, F = 0, В2 = c2sh2r + d2ch2r,
cshr sin 0 + dcht cos 0 cd cshr sin #, + rfchr cos 0,
L = -------------------------A, M = 0, N= —, k. = -
В 1
AB
кг
cd
'в2'
В
Поверхность задана в линиях кривизн г, а. Одно семейство плоских линий кривизны г сов-
падает с образующими гиперболами, а второе семейство плоских линий кривизны а - эвольвен-
ты окружности радиусом г.
На рис. 1-2 изображены резные поверхности Монжа с цилиндрической направляющей по-
верхностью и меридианом в форме гиперболы. Значения геометрических параметров указаны
на соответствующих рисунках.
Дополнительная литература
1. Иванов В.Н., Ризван Мухаммад. Геометрия резных поверхностей Монжа и конструирование оболочек/.
Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2002. - Вып. 11. - С. 27-36.
154
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ МОНЖА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ И МЕРИДИАНОМ В ФОРМЕ ЦИКЛОИДЫ
г = 1 м; с = 1 м; = тг/2; г = 1 м; с = 1 и; 9^ = 0; г = 1 м; с = 1 м; = - тг/4;
Рис.1
Резную поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и меридианом
в форме циклоиды можно определить как поверхность, образованную движением циклоиды,
плоскость которой катится без скольжения по круговому цилиндру. Называя циклоиду обра-
зующей кривой или меридианом, а эвольвенту окружности - направляющей кривой или парал-
лелью, можно дать иное определение рассматриваемой резной поверхности. Резная поверх-
ность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и меридианом в форме циклоиды
образуется движением образующей циклоиды вдоль направляющей эвольвенты окружности
так, что образующая кривая лежит в нормальной плоскости направляющей линии и жестко с
ней связана (рис. 1).
Формы задания резной поверхности Монжа
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
x = x(a,t) = rcosa-[r(a„ -a) + c(r-sinf)cos<90 - с(1 - cos г) sin6( ] sin си,
у = y(cc,r) = rsin«' + [r(a0 - a) + c(t-sinr)cos0O -c(l-cosr)sin0o]coscc,
z = z(f) = c(t - sinr) sin 0O + c(l -cosr)cos0„,
где r - радиус направляющего кругового цилиндра; в0 - угол наклона линии качения окружно-
сти радиуса с, точка на которой образует циклоиду, к координатной плоскости хОу, 0 < а < <*>;
0 < t < 2я (см. рис. 1 раздела «Резные поверхности Монжа с круговой цилиндрической направ-
ляющей поверхностью»).
При этом способе задания поверхности векторное уравнение направляющей эвольвенты
окружности с радиусом г записывается в виде: р(а) = г[е + («0 - a)g], или при помощи парамет-
рических уравнений: х = х(а) = r[cos« - (а0 - a)sina]; у = у(«) = r[sina + (а0 - «)cos«].
Параметрические уравнения образующей циклоиды в местно й системе декартовых коор-
динат q,p представляются в виде: х = х(/) = c(t- sinr), у = y(f) = с(1 - cosf).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = r(a„-a)+ c(t-sin г) cos -с(1-cos t) sin F = 0, В2 - 2c2(l-cosr),
(1 - cos 0 sin 0 + sin t cos 0, c^l 1 - cos t
L = -------------°----------cA, M = 0, N =---------,
В -Jl
(l-cosr)sinft + sin r cos (9 -1
ki = ~C AB ’ =
Поверхность задана в линиях кривизн t, а. Одно семейство плоских линий кривизны t сов-
падает с образующими циклоидами, а второе семейство плоских линий кривизны а - эвольвен-
ты окружности радиусом г.
155
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ МОНЖА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ И МЕРИДИАНОМ В ВИДЕ ЦЕПНОЙ ЛИНИИ
Резную поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и меридианох.
в виде цепной линии можно определить как поверхность, образованную движением цепной ли-
нии x(t) = t, y(f) = ach(t/a), плоскость которой катится без скольжения по круговому цилиндру.
Называя цепную линию образующей кривой или меридианом, а эвольвенту окружности
х(а) - r[cos« - («„ - a)sina], y(a) = r[sina + (a0 - a)cosa]
направляющей кривой или параллелью, можно дать иное опреде-
ление рассматриваемой резной поверхности. Резная поверхность
Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и мери-
дианом в виде цепной линии образуется движением образующей
цепной линии вдоль направляющей эвольвенты окружности так,
что образующая цепная линия лежит в нормальной плоскости на-
правляющей линии. При движении цепная линия не вращается во-
круг касательной к направляющей кривой.
Формы задания резной поверхности Монжа
1) Параметрическая форма задания резной поверхности Монжа
с цилиндрической направляющей поверхностью и произвольным
меридианом:
х = x(a,t) - rcosa-[r(a„ - a) + x(r)cos$0 - y(f)sin do]sin a,
у = y{a,t) = r sin a + [r(ao -a) + x(t)cos0a - y(r)sini9o]cosa
z = z(r) = x(t) sin 0o + y(r) cos ,
где r - радиус направляющего кругового цилиндра; 0о - угол наклона оси образующей кривой г
координатной плоскости хОу, 0<а<°°; -=«</< с-= (см. рис. 1 раздела «Резные поверхности
Монжа с круговой цилиндрической направляющей поверхностью»).
Если в вышеприведенные общие параметрические уравнения подставить x(f) = t, y(t) =
ach(t/a), то получатся параметрические уравнения рассматриваемой резной поверхности:
х = x(a,t) = rcosa-[r(afl -a) + tcos0o -ach(t / «) sin sin a,
у = y(ar,f) = rsina + [r(ao - a) + fcos#0 -ach(f /a)sin$o]cosa, z = z(0 = rsin6*o + ach(f/a)cos^o.
Формулы для вычисления коэффициентов основных квадратичных форм поверхности при-
ведены в разделе «Резные поверхности Монжа с круговой цилиндрической направляющей по-
верхностью». Эти формулы для рассматриваемой резной поверхности упрощаются.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = r(«0--a) + fcosB„-nch(f/n)sinB[,, F = О, В = ch (г /а),
L = _sinBo+sh(r/a)cosB N = _l_
В а
, sin0„+sh(f/a)cos0„ , 1
1 АВ ' ach2(f/a)
Поверхность задана в линиях кривизн ?, а. Одно семейство пло-
ских линий кривизны t совпадает с образующими цепными ли-
ниями, а второе семейство плоских линий кривизны а - эвольвенты окружности радиусом г.
На рис. 1 - 3 изображены резные поверхности Монжа с цилиндрической направляющей по-
верхностью и цепной линией в качестве меридиана. Приняты следующие значения геометриче-
ских параметров: ао — 0; г - 0,5; а = 0,4; л <а< Ъл. Угол Во указан на соответствующем рисунке.
156
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ МОНЖА
С КОНИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Резная поверхность Монжа с конической направляющей поверхностью образуются пло-
ской кривой, лежащей в плоскости, которая катится без скольжения по круговому конусу. Та-
ким образом, в определитель рассматриваемой поверхности входит прямой круговой конус в ка-
честве неподвижного аксоида и плоскость в качестве подвижного. Способ образования поверх-
ностей позволяет сделать вывод, что эти поверхности можно считать также коническими улит-
ками вращения (см. «Ротативные поверхности»), которые принадлежат к классу кинематиче-
ских поверхностей общего вида, или отнести их к классу поверхностей конгруэнтных сечений.
И.А. Скидан [1] предлагает для задания резных поверхностей Монжа с конической направ-
ляющей поверхностью использовать гиперболические координаты м, t, v (рис. 1), где t - пара-
метр подвижной плоскости Q", t = const - плоскость -О"; и, v - прямоугольные координаты на
плоскости. Ось v совмещена с прямой касания плоскости QP и конуса Q\ v = const - плоскость,
перпендикулярная к оси конуса Q''-. ось и направлена в сторону возрастания г; и = const - одно-
полостный гиперболоид вращения, для которого конус является асимптотическим.
Функции вида х = р(/, и, v), у = и, v), z = £(г, и, г) выражают зависимости декартовых
прямоугольных координат от гиперболических. Их можно получить, отнеся одну и ту же точку
А резной поверхности к прямоугольной и гиперболической системе координат:
х = x(u,t) = vsinacost - wsint; у = у(и,() = vsinasint + «cost; z = vcosa.
Обратная зависимость гиперболических координат от декартовых будет выглядеть сле-
дующим образом:
t = 2arctg|y-д/х2 + у2 + z2tg2cr)/(x + ztgcc)} и = -jx2 + у2 -z2tg2cc, v = zsect?.
Гиперболическая система координат дает возможность задать резную поверхность, непод-
вижный аксоид которой - круговой конус, а подвижный - плоскость, функцией v = v(u, t).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
, . \2 /. \2 z . \2
Ул
Рис. 1
А2
, x dv dv
, F - (v - u) sm.cc H-----,
du dt
(dxY C dy Y (dzY fdvY _ . dv , 2 • 2
B~ = — + — + — = — -2Hsincc----------------t-u'+v sm a,
ydt J ydt) \dt J ydt J dt
d2v . f dvY . dv dv
и-----и sin cn — + v sin a-----
dudt \du) du dt
-Ja2B -F2
d2v
и cos ст—-
L = —. =^==, M=cosa
-U2B2-F2
d2v . . dv dv dv
и —- — 1м sin a-1--
A = cosa-^------dt_du du
dv
vsina—
dt
7a2B2 - Г2
Нормальные плоскости параллелей резной поверхности Монжа с конической направляющей
поверхностью, как касательные плоскости конуса, проходят через его вершину. Параллели, та-
ким образом, являются сферическими кривыми, расположенными на концентрических сферах с
центрами в вершине направляющего конуса. Верно и обратное утверждение: поверхность, одно
семейство линий кривизны которой располагается на концентрических сферах, есть резная по-
верхность с конической направляющей.
Дополнительная литература
1. Скидан И.Л. Кинематические поверхности в гиперболических координатах//Прикладная геометрия и инже-
нерная графика. - Киев, 1972. - Вып. 14. - С. 78-82.
157
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИНЕЙЧАТАЯ КОНИЧЕСКАЯ УЛИТКА ВРАЩЕНИЯ
Резная поверхность Монжа с конической направляющей поверхностью образуются пло-
ской кривой, лежащей в плоскости, которая катится без скольжения по круговому конусу. Та-
ким образом, в определитель рассматриваемой поверхности входит прямой круговой конус в ка-
честве неподвижного аксоида и плоскость в качестве подвижного. Способ образования поверх-
ности позволяет считать эту поверхность также конической улиткой вращения (см. «Ротативные
поверхности»), которая принадлежат к классу кинематических поверхностей общего вида, или
отнести рассматриваемую поверхность к классу поверхностей конгруэнтных сечений.
Если в качестве образующей кривой на подвижной плоскости взять прямую линию, то бу-
дет получаться линейчатая коническая улитка вращения.
Форма задания произвольной конической улитки вращения
1) Параметрическая форма задания
х(и, v) = [l + ^(v)](sin 0 cos и cos w - sin и sin w) - ^(v)(sin в cos и sin w + sin и cos w);
y(u, y) = [l + ^(v)](sin 0 sin и cos w + cos и sin w) - (Z/(vXsin 0 sin и sin w - cos и cos w);
cos 0 cos w - ^(v)cos 0 sin w,
где I - расстояние вдоль линии касания конуса и плоскости от вершины ко-
нуса О до начала Oi подвижной системы координат OiXY, относительно ко-
торой задана плоская производящая кривая X = X(v), Y = У(у).
Подвижная система координат расположена в катящейся плоскости, а ее
координатные оси СкХ, Oi Y повернуты на угол со по отношению к взаимно
ортогональным единичным векторам е(и), g(u) (рис. 1);
<p(v)=X(v) cosffl-y(v)sin&>, ydy} = X(v)sin® + y(v)cos<y;
и'(и) ~‘Ru/l = ри= sind-w, р = R/l = sinft где 0 - угол Между образующей кру-
гового конуса и его осью, и - угол, характеризующий качение плоскости.
На рис. 1 показано начальное положение конуса и плоскости (и = 0).
Координатные линии и описывают сферические линии, а координатные линии v совпадают
с образующими плоскими кривыми т (рис. 1).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = [/sin >у + ^(v)sin w + ^(v)cos w]2(l-p2F = 0, В2 = ф2 +y/2 - X2 + У2,
ь = _фуА M=Q N = -(xY-Xy), = k„ = =
В В' ’ ' A AB ' 53 0
где ко - кривизна плоской производящей кривой т (рис. 1). Точками над функциями обозначено
дифференцирование по параметру у.
2) Параметрическая форма задания линейчатой конической улитки вращения (рис. 2):
х(и, v) = [l + ^(v)](sin 0 cos и cos w — sin и sin i-v) — ^(v)(sin 0 cos и sin w + sin и cos w);
у (и, у) = [l + 9?(v)](sin 0 sin и cos w + cos и sin w) - (y(vXsin 0 sin и sin w - cos и cos w);
z(k,v)= [/ + ^(v)]cos6lcosw-^(v)cos6,sinM', где <p(y) = vcosoj - bvsina>; y/(y) = vsin® + bvcosa.
Параметрические уравнения линейчатой конической улитки вращения
получены из общих параметрических уравнений для произвольной кониче-
ской улитки вращения после подстановки в них значений X = у, У = bv.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = [/sinw + ^(v)sinvv + ^z(v)cos>v]2(l-р2)’, F = 0, В2 =1 + £2,
Ь = -фу/А1В, М =0, N =0, kx=LIА2 =~фуМ(АВ'), к2=0, К = 0.
Линейчатые конические улитки вращения будут поверхностями нулевой
Рис. 2 (0 < и < 2ря-) гауссовой кривизны.
1АА
Рис. 1
158
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА
Г. Монж ввел в обращение резные поверхности, которые формируются плоской образую-
щей кривой, лежащей на плоскости, которая, в свою очередь, катится без скольжения по ци-
линдру или конусу. При этом в любой момент времени каждая точка образующей кривой со-
вершает движение ортогональное этой плоскости. Таким образом, резной поверхностью общего
вида можно считать поверхность, формируемую плоской образующей кривой при движении
одной ее точки по произвольной направляющей кривой. Причем образующая кривая должна
все время находиться в нормальной плоскости направляющей кривой. В этом случае все коор-
динатные линии одного семейства будут конгруэнтными кривыми, а другое семейство коорди-
натных линий будет им ортогонально. Полученная система криволинейных координат будет
сопряженной.
Формы задания резных поверхностей общего вида
Пусть р(и) = x(u)i + y(u)j + z(u)k - радиус-вектор направляющей кривой, а .: = ^х12 + у'2 + z/2.
Тогда к =
т = (x'i + y'j + z'k)! s - единичный касательный вектор направляющей кривой;
z/)2] - ее кручение,
- кривизна направляющей кривой,
fj =[(/?' -y"z')i + izx" - zx )j + {х'у’ -x’y')k}l(ks2')- ее единичный вектор бинормали;
т = {[ у'(х 'у " - х"у') - z'iz'x" - z'x')]i + [z'(y ’z" -y”z') - x'ix'y" - x"y')]j +
+ [x'iz'x" - z"x} ~ y\yz ~ y"z')]k} /(fcs4) - единичный вектор нормали направляющей кривой.
Штрихами показано дифференцирование по параметру и, то есть
= d.J dir, = d2.../du1.
1) Векторная форма задания: г = r(ii, v) = р(и) + Х(у)ео(и) + F(v)go(w),
где «о(и) = vcos0 + /7sin0; goiii) = -vsinff + flcosd, в = 0(u) = -^Ksdu + в,. - угол между нормальным
вектором v(u) направляющей кривой и вектором ео(и~); X = X(v), Y = Y(y) - параметрические
уравнения образующей плоской кривой, заданной в подвижной местной системе координат
XoY. Угол в(и) зависит от кручения направляющей кривой. Для плоской направляющей кривой
9 = во = const, то есть образующая плоская кривая движется в нормальной плоскости направ-
ляющей кривой без вращения.
Коэффициенты квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны
А = 41 + &(% cos#-У sin#)]; F=0; В = о]х2 +Y2 ;
, /v • й о ш , А п .. XY-XY d... d2...
L = (X smd+ Y cosdjsk —; M=Q; N =--------; где ... =-, a... = —
' ’ В В dv dv
, , / . . .\sk , , XY-XY
к. = k, = (X sm в + Y cos в I-; k,=k, =----.
1 “ v AB В
Дополнительная литература
1. Иванов B.H., Ризван Мухаммад. Геометрия резных поверхностей Монжа и конструирование оболочек//
Строительная механика строительных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2002. - Вып. 11. - С. 27-36.
159
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ СИНУСОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Резная синусоидальная поверхность формируется плоской образующей синусоидой
X = А(у) = v, У = У(у) = csindv,
при движении одной ее точки по плоской направляющей синусоиде
х = х(и) = и, у = у(и) = asinbu.
При движении образующая синусоида все время находится в нормальной плоскости на-
правляющей синусоиды. Резную синусоидальную поверхность можно причислить также к
классу волнообразных поверхностей.
а = с = 1; й = 0,5; г/= 0,5 а = 2; b = d = 0,5; с = 1 а = 1; b - d = 0,5; с = 2 а = с = 2; b = d = 0,5
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
Формы задания резной синусоидальной поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = р(и) + Х(у)во(и) + y(v)gp(u),
где необходимо принять
е0(и) =р = к‘, go(w) = -V = - (у' i ~xj)ls\ s - ^.v'2 + у'2 = 71 + a2b2 cos2 bu ; р(и) = id + asiniwj;
в = тг/2. Здесь р - единичный вектор бинормали направляющей кривой; v - единичный вектор
главной нормали; ...' = d...ldu . Формулы получены на основании общих формул, приведенных
на странице раздела «Резные поверхности общего вида».
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-4):
X = х(и, V) = х(и)----Y(y) - и-----Г (у), У = у(и, у) = у(и) +-У (у), z = Z(v) = А (у) = V.
5 .V 5
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КУБИЧЕСКОЙ ПАРАБОЛОЙ И ОБРАЗУЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ
Для задания резной поверхности с направляющей кубической параболой х = х(«) = и, у =
у(и) = аи3 и образующим эллипсом X = Х(у) = ccosv, У = У(у) = dsnw можно использовать общие
формулы, приведенные на странице раздела «Резные поверхности общего вида», при 0 = 0.
При движении образующий эллипс все время находится в нормальной плоскости направ-
ляющей кубической параболы.
Формы задания резной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 5):
х = х(и, у) = х(и) + X (у) = и + X (у), у = у(и, у) = у(и) - Х X (у), z = z(v) = У(у).
5 у 5
2) Векторная форма задания: г = г(и,у) = р(к) + Х(у)е0(и) + У(у)£о(и)>
где необходимо принять е0(«) = v = (y'i-x'j~)/s; glj(u)=p=k:
s = ^x2 + y'2 = 71 + 9aV ; р(и) = ui + au3J.
Здесь p - единичный вектор бинормали направляющей кривой; v - еди-
ничный вектор главной нормали направляющей кривой. Штрихами обо-
значено дифференцирование по параметру и.
160
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЦИКЛОИДОЙ И ОБРАЗУЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ
Для задания резной поверхности с направляющей гр/клоидой
х = л'(п) = а(и - Sinn), у = у(и) = а(1 - cosh)
_____________ и образующим эллипсом
X = A(v) = ccosv,
= = ^smi;
I&SAv v-B?' А?-ЙМ "тдл| можно использовать об-
, , , „ , . щие формулы, приве-
a=l;c = 4;d = 2 а =1; с = 4; d = 2 а =1; с = 4; d = 2 а- н ? н
Рис. 1(Й=О) Рис. 2(0=л/4) Рис. 3(0=л/2) денные на странице раз-
дела «Резные поверхно-
сти общего вида». Учитывая, что циклоида - плоская кривая, общие уравнения упрощаются и
принимают вид: р(и') = x(u)i + у(ир - радиус-вектор направляющей! кривой, .г = -Jx12 + у'2;
к = (.г у"- y'x")ls1 - кривизна направляющей кривой, к = 0 - ее кручение, т = (x'i + уу)/s -
единичный касательный вектор направляющей кривой; P-k-ez единичный вектор бинормали;
v = (y'i - x'j) I s - единичный вектор главной нормали направляющей кривой.
Штрихами показано дифференцирование по параметру и, то есть = cl.../du; = d2...7du2.
Формы задания резной поверхности
1) Векторная форма задания: г = г(и,г) = р(и) + Х(г)со(и) + E(v)go(«), где
со(и) = vcos0 +/7sin0 = ———cos# + ZcsinT?; gotii) = -vsin# + /?cos# = ——sin# + kcos0;
s s
0 - const - угол между нормальным вектором v(w) направляющей кривой и вектором ео(и);
X = X(v) = ccosv, Y = Y(v) = dsinv - параметрические уравнения образующего эллипса, заданно-
го в подвижной местной системе координат XoY. Для плоской направляющей кривой 0 = const,
то есть образующий эллипс движется в нормальной плоскости направляющей циклоиды без
вращения.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 3):
. . . X(v)y'cos#-y(v)y'sin# z . . г Л , • • /11 и
х = x(yi,v) - х(и) Н-1-----------------= а(и -sin и) + [ccosv cos 0 - d sin vsm#Jcos—,
5 - 2
. . . X(v)x'cos#-y(v)x'sin# .. r „ , . . „1 . и
у = у (и, v) = у(и)--------------------= <7(1 - cos и) - [с cos v cos 0 - d sm v sm 0 J sin —,
5 2
z = z(v) = X (v) sin 0 + E(v) cos 0 = ccos v sin 0 +al sin vcos#, где принято 5 = 2asin(i</2).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны
А = х[1 + Л(Х cos# - Y sin 6*)]; F = 0; В = у X2 + У2 ;
L = (х sin 0 + У cos 0)sk —; Л/=0; N =^~—где .:. = -^г:, а
V 'В В dv dv2
, , (с /> о ХХк , , XY-XY , 1 1
к, — к, = (л sm# + У cost?-; К, = к . =-;-.причем к =--------=----.
V 1 АВ - 1 В3 4nsin(n/2) 2s
При движении образующий эллипс все время находится в нормальной плоскости направ-
ляющей циклоиды.
Дополнительная литература
1, Ризван Мухаммад. Конструирование оболочек в форме резных поверхностей Монжа//Строительная механи-
ка инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2003. - Вып. 12. - С. 63-68 (библ.: 7 назв.).
161
6 - 5391
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ СИНУСОИДОЙ И ОБРАЗУЮЩЕЙ ЦИКЛОИДОЙ
Для задания резной поверхности с направляющей синусоидой х = х(и) = и, у = у(и) = asinta
и образующей циклоидой X =X(v) = c(v - sinv), Y = Y(v) = с(1 - cosv) можно использовать общие
формулы, приведенные на странице раздела «Резные поверхности общего вида». Учитывая, что
направляющая синусоида - плоская кривая, общие уравнения упрощаются и принимают вид:
р(и) = x(u)i + у(иф' - радиус-вектор направляющей кривой, к - (х’у” - ух"')/ s3 = у" / s3- кривизна
направляющей синусоиды, s = *Jx/2 + у'2; к = 0 - ее кручение, г = (xi + у'/)/s - единичный ка-
сательный вектор направляющей кривой; р = к-ес единичный вектор бинормали;
v = (y'i-x'j)/ s - единичный вектор главной нормали направляющей кривой.
Штрихами показано дифференцирование по параметру и, то есть - d...t dw,= d2.../du2.
Рис. 1 Рис. 2
Формы задания резной поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = р(и) + X(v)eo(«) + Y(y)go(u), где
/• /. /. /.
ео(и) = vcos# +/?sin# = ———cosd + fcsin#; go(u) =-vsin# +/fcos# = - ——— sinff + kcosO’,
s s
в = const - угол между нормальным вектором v(u) направляющей кри-
вой и вектором ₽о(и); X = Х(у) - с(у - sinv), У = У(р) = с(1 - cosv) - па-
—kA раметрические уравнения образующей циклоиды, заданной в подвиж-
/А1Е/Ж н°й местной системе координат XoY. Для плоской направляющей кри-
вой в = const, то есть образующая циклоида движется в нормальной
плоскости направляющей синусоиды без вращения.
Рис. 3 (а-5,/>-0,5, с-5) 2) Параметрическая форма задания (рис. 1 -3):
. , . . X(v)y'cos#-K(v)v'sin# (v-sinv)cos#-(I-cosv)sin# ,
x = x(u, v) = х(и) + —---------—--------= и + -------------------------abccosbu,
s s
. . . . X(v)x'cos#-K(v)x'sin# . , (v - sin v) cos #-(l-cosv) sin#
у = у (и, v) - у (и)--------------------= asm bu- с----------------------------,
5 S
z = z(v) = X(v)sin# + y(v)cos# = c[(v-sin v) sin#+ (1-cosv) cos#], где j = ^\ + a2b2 cos1 bu .
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны
А = 41 +^(Х cos#-У sin#)]; F = 0; # = Vx2 +У2 = 2csin(v/2);
r (V /> v а\,А с, лг XY - XY . v d... d1...
L = IXsm# + УcosBlsk—; M=0; N--------------= -csin —; где .:.=—, a ... = —
' - В В 2 dv dv2
, , f-7 . . sk , , XY - XY 1 , ab2 sin bu
v JAB 2 ' В3 4csin(v/2) j3
При движении образующая циклоида все время находится в нормальной плоскости направ-
ляющей синусоиды. Резные поверхности, показанные на рис. 1 - 3, имеют # = тг/2.
Дополнительная литература
1. Barra Mario. The cycloid// Educ. Stud. Math. - 1975. - 6, № 1. - P. 93-98.
162
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ СИНУСОИДОЙ И ОБРАЗУЮЩЕЙ ПАРАБОЛОЙ
Для задания резной поверхности с направляющей синусоидой х = х(и) = и, у = у(и) = asinbu
и образующей параболой X =
X(v) = У Y = У(г) = cv2 можно
использовать общие форму-
WvrTffv' лы, приведенные на страни-
це РазДела «Резные поверх-
е = л/4 ности общего вида». Учиты-
„ ,, „ _ , ,, вая,чтонаправляющаясину-
Рис. 1 (а = 0,5; 6 = 0,33; с= 1) * ’’
соида - плоская кривая, оо-
щие уравнения упрощаются и принимают вид: р(и) - x(u)i + y(u)j - радиус-вектор направляю-
щей кривой, 5 = у]х'12 + у'2; к = (ху'-у х*)/с3 - кривизна направляющей кривой, к = 0 - ее
кручение; /? = к - ее единичный вектор бинормали;
v = (y'i - х'])! s - единичный вектор главной нормали направляющей кривой.
Штрихами показано дифференцирование по параметру и, то есть ...' = d.Jdu;- d2 ...Idu2.
Формы задания резной поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = р(и) + Х(и)во(и) + Y(y)go(u), где
«о(и) = vcos# +/?sin# = ———cos# + fcsin#; g0(u) = -vsin# + /?cos# = ——sin# + kcos0;
s s
0 = const - угол между вектором v(«) направляющей кривой и вектором ео(и); X = v, Y - cv2 -
параметрические уравнения образующей параболы, заданной в подвижной местной системе ко-
ординат XoY. Для плоской направляющей кривой 0 = const, то есть образующая парабола дви-
жется в нормальной плоскости направляющей синусоиды без вращения.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
, ч , X(v)y'cos#-y(v)v'sin# cos#-cvsin# ,
x = x{u, v) = x(u) -I----------------= и H-----------abv cosbu,
s s
, . , , X(v)x cosd-Y(v)x sin0 . , cos#-cvsin#
у = у(и, v) = y(u)------------------= a sm bu - v---------,
5 У
z = z(v) = X(v)sin#+ T(v)cos# = vsin# + cv2 cos#, где s = yl +a2b2 cos2 bu .
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ И ОБРАЗУЮЩЕЙ ПАРАБОЛОЙ
Резная поверхность формируется образующей параболой X = v, Y = T(v) = cv при движе-
нии одной ее точки по направляющему эллипсу х = х(и) = acosu, у = у(и) = bsinu. При движении
а = JO; Ь =7; 0=л/2;с = 2
Рис. 2
образующая парабола все время находится в нормальной
плоскости направляющего эллипса (рис. 2, а).
Формы задания резной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2, а, б):
\ Г \ VI \ у'М г
х = х(и, v) = х(и)--У(у) = a cos и--су v,
s s
у = y(u,v) = у(г<) + Х- —У(у) = bsinu + Х ^-c4v, z = z(-v) = X(v) = v; 4 = 7д2 sin2 u+b2 cos2 u.
s s
Дополните льнаялитература
1. Ризван Мухаммад. Конструирование оболочек в форме резных поверхностей МонжаУ/Строительная механи-
ка инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2003. - Вып. 12. - С. 63-68.
163
6*
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ СИНУСОИДОЙ И ОБРАЗУЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ
Для задания резной поверхности с направляющей синусоидой х = х(и) = и, у = у(и) = asinbu
и образующим эллипсом X = Х(у) = ccosv, У = E(v) = rfsinv можно использовать общие формулы,
приведенные на странице раздела «Резные поверхности общего вида» при в = тг/2. Учитывая,
что направляющая синусоида - плоская кривая, общие уравнения упрощаются и принимают
вид: р(и) = id + y(u)j - радиус-вектор направляющей кривой, к = у"/s3 - кривизна синусоиды,
s = -J1 + у'2; к = 0 - ее кручение, v = (y'i-j)ls - единичный вектор главной нормали направ-
Рис. 2
ляющей кривой; = d...ldu; ..." - d2...Idu2.
Формы задания резной поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = р(и) + Х(г)со(и) + T(v)go(w),
где ео(и) - к; go(u) = -v. Образующий эллипс движется в нормальной
плоскости направляющей синусоиды без вращения.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 2):
х = x(u,v) = и - (abd cos busin v)/s, у = y(u, v) = asinbu + (d sin v)/s,
z = c cos v.
Рассматриваемая резная поверхность может быть также отнесена к
классу волнообразных поверхностей. При с = d поверхность вырожда-
ется в трубчатую поверхность с плоской синусоидальной линией цен-
тров (см. «Нормальные циклические поверхности»).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = -kY]; F = 0; В = ^Х2+У2 ; L = skX~; М=0; X=XY~XY =—
В В В
где
d2... , , sk , , XY - ХУ cd
—kt=k = X; k2=k=------------= —-
dv2 “ AB 2 ’ В2 B2
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПРАВЛЯЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ И ОБРАЗУЮЩЕЙ СИНУСОИДОЙ
Для задания резной поверхности с направляющим эллипсом х = х(и) = acosu, у = у(и) =
bsirw и образующей синусоидой X =Х(у) = v, У = E(v) = csint/v можно использовать общие фор-
мулы, приведенные на странице раздела «Резные поверхности общего вида» при 0 = тг/2. Учи-
тывая, что направляющий эллипс - плоская кривая, общие уравнения упрощаются и принимают
вид: р(и) = x(u)i + y(u)j - радиус-вектор направляющей кривой, к = (х'у" - у'х’)/s2 = аЫ s2- ее
кривизна, 5 = yjx'2 + у'2; к = 0 - кручение плоской кривой, v = (y'i - xj) Is- единичный вектор
главной нормали направляющей кривой. Штрихами показано дифференцирование по парамет-
ру и, то есть ...' = d.../du; ..." = d2.../du2.
Формы задания резной поверхности
„ 1) Векторная форма задания: г = г(и,г) = р(и) + Х(г)«о(и) +
= о 5- d = 0 5 ^(г)£о(и), где е0(и) - к; g0(i<) = -v. Образующая синусоида движется
'38****^ Рис з в нормальной плоскости направляющего эллипса без вращения.
2) Параметрическая форма задания (рис. 3):
х = х(и, v) = a cos и - (cb cos и sin dv) I s, у = y(u, v) = bsinu -(ac sin и sin dv)/ s, z = v.
Рассматриваемую поверхность можно включать в класс волнистых поверхностей. При а =
b резная поверхность вырождается в гофрированную поверхность вращения общей синусоиды.
164
РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ, ПРИМЕНЕНИЮ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО РЕЗНЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
1. Скидан И.А. Применение новых координат в теории упругости// Прикладная геометрия и инженерная гра-
фика. - Киев, 1973. - Вып. 17. - С. 81-85.
2. Скидан И.А. Обобщенные цилиндрические координаты и их применение к расчету оболочек// Доклады VIII
научно-технической конференции инженерного факультета. - М.: Университет дружбы народов им. П. Лумумбы,
1972. - С.21-23 (библ.: 1 назв.).
3. Фарес Милад Жорж. Расчет безмоментных оболочек в виде резных поверхностей Монжа// Строительная
механика и расчет сооружений. - 1974. - №3. - С.
4. Савула Я.Г. Представление срединных поверхностей оболочек резными поверхностями// Прикладная меха-
ника. - Киев, 1984. - Том 20, № 12. - С.70-75 (библ.: 5 назв.).
5. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Параметризация и расчет оболочек типа резных// Тр. XY Всесоюзной конф, по
теории оболочек и пластин. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. - С.533-538.
6. Обухова В.С., Пилипака С.Ф. Качение отсеков торсов по своему изгибанию// Прикладная геометрия и инже-
нерная графика. - Киев, 1986. - Вып. 41. - С. 12-14.
7. Абдельсалям М.А., Иванов А.С., Трушин С.И. Расчет оболочек в форме резных линейчатых поверхностей
Монжа вариационно-разностным методом// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М.:
МБК «Биоконтроль», 1994. - С. 47-57 (библ.: 5 назв.).
8. Корнишин М.С., Наймушин В.Н. К вопросу о параметризации срединных поверхностей пластин и оболочек
со сложной границей// Прочность и устойчивость оболочек: Тр. семинара. - Казань, 1977. - Вып. 9. - С. 17-25.
9. Копытко М.Ф., Муха И.С., Савула Я.Г. Задачи статики и динамики для оболочек сложной геометрии// XIII
Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек. - Часть 3. - Таллин, 1983. - С. 66-71 (библ.: 3 назв.).
10. Копытко М.Ф., Савула Я.Г. Свободные колебания оболочек сложной геометрии с конечной сдвиговой же-
сткостью// Мат. методы и физ.-тех. поля. - Киев, 1989. - № 30. - С. 13-17 (библ.: 14 назв.).
11. Монж Г. Приложение анализа к геометрии. - ОНТИ, 1936. -
12. Муха И.С., Савула Я.Г. Численное решение задач теории оболочек типа Тимошенко методом конечных
элементов. - Львов: ЛГУ, 1982. - 32 с. - Рук. деп. в ВИНИТИ 02.07.82. -№ 3463-82.
13. Рекач В.Г, Рыжов Н.Н. Некоторые возможности расширения круга задач по конструированию и расчету
оболочек// Строительная механика. - Труды УДН, том XLVI1I. - М.: УДН, 1970. - Вып. 6. - С. 3-8.
14. Юханио Маруланда Ар. Расчет оболочек в форме резных поверхностей Монжа. - Дис. канд. техн. наук. -
М.: УДН, 1970. - 154 с.
15. Якупов Н.М. Расчет оболочек типа резных// Актуальные проблемы механики оболочек: Тез. докл. - Казань:
КазИСИ, 1988.-С.242.
16. Сдвижков О.А. Резные поверхности К,,,1.в FJI Геометрический сборник. - Томск, 1980. - № 21. - С.
32-36.
17. Иванов В.Н., Ризван Мухаммад. К расчету покрытия спортивного сооружения оболочкой в форме резной
поверхности Монжа// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2003. -
С. 42-46 (библ.: 8 назв.).
18. Иванов В.И., Ризван Мухаммад. Пример расчета покрытия в форме резной поверхности Монжа вариацион-
но-разностным методом// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ,
2003. - С. 48-53 (библ.: 5 назв.).
19. Рекач В.Г, Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176 с.
20. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 288 с. (библ.:
275 назв.).
21. Иванов В.Н. Некоторые вопросы теории поверхностей с семейством плоских координатных линий// Расчет
оболочек строительных конструкций: Труды УДН. - М.: УДН, 1977. - Том 83. -Вып. 10. - С. 37-48 (библ.: 4 назв.).
22. Копытко М.Ф., Савула Я.Г. Об одном возможном расширении класса оболочек нулевой гауссовой кривиз-
ны// Проблемы машиностроения. - Киев, 1982. -№ 17. - С. 61-65.
23. Фарес Милад Жорж. Безмоментная теория расчета оболочек в форме резных поверхностей Монжа двой-
ной кривизны. - Дис. канд. техн. наук. - М.: УДН, 1974. - 152 с.
24. Наймушин В.Н. Краевые задачи механики деформирования оболочек сложной геометрии. - Автореф. дис.
д-ра физ.-мат. наук. - Казань, 1980. - 38 с.
25. Monge G. Memoire sur 1’integration de quelques equation aux derivees partielles. - Mem. Ac. sci. - 1787. - 309 p.
26. Paukowitsch Hans Peter. Eine Kennzeichnung der Regel- und Gesimsflachen // J. Geom. - 1980. - 15, № 2. - S.
182-194.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Резные поверхности».
165
ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЭНТНЫХ СЕЧЕНИЙ
ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЭНТНЫХ СЕЧЕНИЙ
Поверхностью конгруэнтных сечений называется поверхность, несущая на себе непрерыв-
ное однопараметрическое семейство плоских линий. Получается такая поверхность в результа-
те перемещения какой-либо плоской линии (образующей). Однопараметрическому семейству
сечений поверхности соответствует однопараметрическое семейство плоскостей а - носителей
этих линий. Выделение рассматриваемых поверхностей в отдельный класс упростило изложе-
ние методов построения этих поверхностей средствами начертательной геометрии.
Простейшими видами поверхностей конгруэнтных сечений являются поверхности плоско-
параллельного переноса относительно плоскости проекций л. Плоскопараллельным переносом
фигуры относительно плоскости проекций называется такое ее перемещение в пространстве,
при котором каждая из ее точек перемещается в своей плоскости уровня. Горизонтальная про-
екция фигуры f при ее плоскопараллельном перемещении относительно плоскости тс изменяет
свое положение, но не изменяет своей величины. Фронтальные проекции точек фигуры/пере-
мещаются при этом по прямым, параллельным оси чертежа.
Поверхность прямого переноса (см. «Поверхности переноса») также представляет собой
поверхность конгруэнтных сечений. Плоскопараллельное перемещение меридиана /поверхно-
сти вращения представляет собой вращение вокруг фиксированной .прямой - оси. Следователь-
но, поверхности вращения также могут быть причислены к классу поверхностей конгруэнтных
сечений.
Плоские образующие /резной поверхности Монжа являются од-
новременно геодезическими линиями и линиями кривизны. Одно-
параметрическое семейство плоскостей-носителей а с образующи-
ми кривыми/ будет.ортогонально плоской направляющей кривой
(см. «Резные поверхности»). Таким образом, резные поверхности
Монжа (рис. 1) подходят под определение поверхностей конгру-
энтных сечений.
Все циклические поверхности с образующей окружностью / по-
стоянного радиуса (рис. 1) можно включать в класс поверхностей конгруэнтных сечений.
Ротативные поверхности входят в одну из групп поверхностей конгруэнтных сечений (см.
«Кинематические поверхности общего вида»).
Винтовые поверхности (рис. 2, а) образовываются винтовым движением какой-либо линии
(см. «Винтовые поверхности»). Следовательно, они также могут быть включены в класс по-
верхностей конгруэнтных сечений.
Поверхности конгруэнтных сечений общего вида можно получить из по-
верхностей плоскопараллельного переноса различными их деформациями.
Простейшим видом деформации является непрерывное вертикальное смеще-
ние образующих /. При такой деформации поверхности прямого переноса пе-
реходят в поверхности прямого переноса, поверхности вращения (рис. 2, б) - в
винтовые поверхности переменного или постоянного шага (рис. 2, а). Рота-
тивные поверхности деформируются в спироидалъные поверхности.
Можно осуществить деформацию поверхности плоскопараллельного пере-
носа в поверхность конгруэнтных сечений путем непрерывного вращения
плоскостей а вокруг их следов а]. При этом величина угла вращения должна
^^Ю/тБЗч^^быть задана как функция того же параметра, что и однопараметрическое се-
^^^^^^^йд]мейство плоскостей с кривыми/.
Дополнительная литература
б ^‘^£=4=2=^ 1. Котов И.И. Начертательная геометрия: Курс лекций для слушателей факультета повы-
рис 2 шения квалификации преподавателей. - М.: МАИ, 1973. - 200 с. (библ.: 2 назв.).
166
ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЭНТНЫХ СЕЧЕНИЙ
БИКОСИНУСОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА
Поверхность прямого переноса, образованная параллельным движением образующей коси-
нусоиды по такой же направляющей косинусоиде, называется бикосинусоидальной поверхно-
стью переноса. Направляющие и образующие косинусоиды лежат во
взаимно перпендикулярных плоскостях.
Форма задания бикосинусоидальной поверхности переноса
1) Явная форма задания (рис. 1): z = з(х, у) = с cos — + ccos — -2с,
а а
где с - амплитуда косинусоиды. Поверхность накрывает квадратный
план а х а. В сечении поверхности плоскостью z = -h, получается кри-
а f h ях') ,
вая у = —arccos----t-2-cos— , которая при п = 2с распадается на 4
г ( с a J
прямые линии у = ±х ± а (рис. 2). В этом случае поверхность переноса будет накрывать квад-
ратный план ~J2 а х -J2 а; -а < х<а\ - а < у < а1,.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
нс - Поверхность задана в криволинейных неортогональных сопряжен-
ных координатах х, у. Бикосинусоидальная поверхность переноса является частным случаем
поверхности переноса синусоиды по синусоиде (см. «Поверхности переноса»). Поверхность,
изображенную на рис. 2, можно также назвать диагональной косинусоидальной поверхностью
переноса (см. «Поверхности диагонального переноса»).
Дополнительная литература
1. Михайленко В.Е., Амиров М. Ортогональные сети на поверхностях переноса// Прикладная геометрия и инж.
графика. - Киев, 1973. - Вып. 16. - С. 49-54 (библ.: 3 назв.).
БИПОЛУКУБИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА
Поверхность переноса, образованная параллельным движением полукубической параболы
Нейля по такой же параболе Нейля называется биполукубической поверхностью переноса.
Форма задания биполукубической поверхности переноса
1) Явная форма задания (рис. 3): z = ^/у2 /с2 + Vx2 /с2 .
Направляющие и образующие параболы Нейля лежат во взаимно перпендикулярных плос-
костях. Сечение поверхности плоскостью z = h дает кривую х = ±c(h-\/ у2 /с2 ]' (рис. 4). В
этом случае плоский контур поверхности переноса с 4-мя
вертикальными плоскостями симметрии имеет ярко выра-
женные вогнутости.
Дополнительная литература
1. Михайленко В.Е., Шеин В.Т. Поверхности переноса, образующие и
направляющие которых являются конгруэнтными кривыми// Приклад-
ная геометрия и инж. графика. - Киев, 1972. - Вып. 14. - С. 15-20.
167
ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЭНТНЫХ СЕЧЕНИЙ
ЗАКРУЧЕННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С КОНГРУЭНТНЫМИ ЭЛЛИПСАМИ
В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Закрученная поверхность с конгруэнтными кривыми в параллельных плоскостях образуется
вращением плоской кривой X = Х(у), Y = У(г), расположенной в плоскости, перпендикулярной
оси вращения. Начало подвижной системы координат oXY расположено на неподвижной коор-
динатной оси Ох на расстоянии а от оси О;. Если за образующую кривую взять эллипс
X = X(v) = Zzcosv; Y = У(г) = csinv,
то будет получаться закрученная поверхность с конгруэнтными эллипсами в параллельных
плоскостях.
Формы задания закрученной поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(zz,v) = [а + X(v)]/z(zz) + У(т)и(и) + tuk, где и - угол пово-
рота, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; h(u') = icosu + ysinzz, и (и) = -z’sinzz + jcoszz - еди-
ничные векторы в координатной плоскости хОу, направление которых совпадает с направлени-
ем подвижных координатных осей оХ и оУ; г - параметр, характеризующий скорость поступа-
тельного движения образующей кривой вдоль оси вращения Oz.
2) Параметрическая форма задания:
л = x(u,v) = (а + Xjcosw — У sin и, у = у(и, v) = (а + X)sinw + У cos и, z = z(zz) = ut.
При этой форме задания за образующую кривую можно взять любую плоскую линию, в том
числе, и эллипс X = X(v) = bcosv; У = У(г) = csinv (рис. 1 - 5).
а = е = (Ь~ - с2)ш = 1,73 а = 0 a = b а --1 а = 2,5
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Если в качестве образующей кривой взята прямая линия X = v, У = 0, а - 0, то параметриче-
ские уравнения поверхности примут вид: х = x(u,v) = vcoszz, у = y(zz,v) - vsinzz, z = z(u) = ut. Эти-
ми уравнениями задается поверхность прямого геликоида. Если образующая прямая задана
уравнениями X - О, У = v, то параметрические уравнения закрученной поверхности примут вид:
х = х(иу) = acoszz - vsinzz, у = y(zz,v) = «sinw + vcoszz, z = z(u) = ut. Эти уравнения задают поверх-
ность псевдо-развертывающегося геликоида.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = (а + Х)2 + Y2 +г, F = (a + X)Y'-X'Y, В2 =X'2+Y'2,
А2В2-F2 =[(a + X)X'+YY']2+t2B2,
l = , -tF , ‘-F „ыи.ГлАП.
Ja2B2-F2 -Ja2b2-f2 Уа2в- -f2
Все закрученные поверхности с конгруэнтными эллипсами в парал-
лельных плоскостях изображенные на рис. 1 - 6, имеют b = 2; с = 1; t = 1;
а = 1 а = 0,5 о < v < 2л:; 0 < и < Зл'. Параметр а указан непосредственно на рисунках.
На рис. 6 образующий эллипс задан уравнениями X = X(v) = csinv, У =
У(г) = ccosv. Прямая круговая винтовая поверхность (см. «Круговые винтовые поверхности»)
получится, если взять Ъ = с. Поверхность, показанная на рис. 7, имеет b = с — t - 1.
Дополнительная литература
1. Mammana Carmelo, Micale Biagio. Quando due figure congruenti sono direttamente congruenti// Boll. Unione mat
ital. A. - 1992. - 6, № 3. - P. 425-430.
168
ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЭНТНЫХ СЕЧЕНИЙ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ, ПРИМЕНЕНИЮ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ КОНГРУЭНТНЫХ СЕЧЕНИЙ
1. Кобко В.П., Кобко В.П. Конструирование некоторых поверхностей с конгруэнтными параллельными сече-
ниями// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1974. - Вып. 18. - С. 49-50 (библ.: 2 назв.).
2. Грабко С.М., Маркелов Н.А., Михайленко В.Е. Паркетирование пологой оболочки в виде поверхности пере-
носа плоскими плитами// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1972. - Вып. 15. - С. 51-56.
3. Узаков X. К вопросу оптимизации геометрических параметров срединной поверхности оболочки// Приклад-
ная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1972. - Вып. 15. - С. 66-69 (библ.: 3 назв.).
4. Гуревич И.И. Построение теней на сложных поверхностях при произвольном направлении солнечного осве-
щения// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1975. - Вып. 19..- С. 64-67 (библ.: 2 назв.).
5. Михайленко В.Е., Амиров М. Ортогональные сети на поверхностях переноса// Прикладная геометрия и инже-
нерная графика. - Киев, 1973 - Вып. 16. - С. 49-56 (библ.: 3 назв.).
6. Гуревич И.И. Построение контура собственной тени на некоторых поверхностях переноса// Прикладная гео-
метрия и инженерная графика. - Киев. 1973. - Вып. 16. - С. 133-136 (библ.: 2 назв.).
7. Нарзуллаев С.А. Кинематические способы конструирования некоторых классов поверхностей с использова-
нием двух систем координат// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1977. - Вып. 23. - С. 77-83
(библ.: 2 назв.).
8. Мельник В.И. Конструирование циклических поверхностей с конгруэнтными линиями каркаса// Прикладная
геометрия и инженерная графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 165-168 (библ.: 2 назв.).
9. Мельник В.И., Свистов А.Я. Конструирование поверхностей выделением из множеств конгруэнтных кривых
с помощью ЭВМ// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1975. - Вып. 20. - С. 86-89(библ.: 4 назв.).
10. Мельник В.И. О конструировании каркаса поверхностей технических форм из конгруэнтных кривых// При-
кладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1973. - Вып. 16. - С. 76-79 (библ.: 3 назв.).
11. Седлеикая И.И. О трансверсальных поверхностях конгруэнций одного вида// Прикладная геометрия и ин-
женерная графика. - Киев, 1975. - Вып. 19. - С. 25-28 (библ.: 2 назв.).
12. Михайленко В.Е., Шеин В.Т. Поверхности переноса, образующие и направляющие которых являются кон-
груэнтными кривыми// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1972. - Вып. 14. - С. 15-20.
13. Мочернюк Н.Т. Кубикальные поверхности и конгруэнции// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. -
ВИНИТИ, 1986. - Вып. 18. - С. 143-164 (библ.: 50 назв.).
14. Жарикова Л.А. О некоторых геометрических свойствах конгруэнции парабол// Дифференциальная геомет-
рия многообразий фигур. - Калининград, 1986. - № 17. - С. 30-33.
15. Корнева И.П. Конгруэнции коник, принадлежащих одномерному многообразию квадрик// Дифференциаль-
ная геометрия многообразий фигур. - Калининград, 1986. - № 17. - С. 43-46.
16. Корсакова Л.Г. Характеристическая пара конгруэнций коник//Дифференциальная геометрия многообразий
фигур. - Калининград, 1986. - № 17. - С. 47-50.
17. Тевлин А.М. Квазивинтовые поверхности и вопросы их конструирования и отображения// Кинематические
методы конструирования технических поверхностей. - М.: МАИ, 1970. — Вып. 213. - С. 112-114 (библ.: 5 назв.).
18. Синченко Л.Д. Структурная система торидовых поверхностей. - Краснодар: Кубан. гос. ун-т. - 1985. - 8 с. -
Библ.: 5 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 1 июля 1985 г., № 4709-85Деп.
19. Михайленко В.Е., Обухова В.С., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. - Киев: «Бу-
Д1вельник», 1972. - 208 с.
20. Асеев В.И., Асеев В.В. Циклические поверхности вращения. - Материалы научн.-техн. конф. Новомоск.
фил. Моск, хим.-технол. ин-та. - Новомосковск, 6-11 февраля 1984, ч. 3. - М., 1984. - С. 174-178. - Библ.: 4 назв. -
Рук. деп. в ВИНИТИ 28 ноября 1984 г., № 7581-84 Деп.
21. Кочеткова А.Л., Наумович И.В. Конструирование линейчатых поверхностей из прямолинейных конгруэн-
ций по заданным условиям. - Прикладная геометрия и графика. - Ростов н/Д, 1980. - Библ.: 5 назв. - С. 38-52. -
Рук. деп. в ВИНИТИ 5 мая 1981 г. ,№ 1960-81 Деп.
22. Наумович Н.В., Куприянова Г.Я. Исследование свойств кинематических поверхностей с различными типа-
ми образующих кубик. - Прикладная геометрия и графика. - Ростов н/Д, 1980. - Библ.: 1 назв. - С. 64-75. - Рук.
деп. в ВИНИТИ 5 мая 1981 г. , № 1960-81Деи.
23. Papantoniou B.J. Special categories of rectilinear congruencies// Tensor. - 1986. - 43, № 1. - P. 19-24.
24. Xenos Ph. J. On the rectilinear congruencies establishing a conformal representation// Tensor. - 1986. - 43, № 1. -
P. 37-41.
25. Vogel W. Eine Klasse von Ellipsenflachen// Abh. Braunschweig, wiss. Ges. - 1980. - 31. - S. 73-81.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах разделов «Поверхности конгру-
энтных сечений», «Поверхности вращения», «Резные поверхности», «Трубчатые поверхности», «Поверхности
прямого переноса», «Винтовые поверхности» и «Спиральные поверхности».
169
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 1
Рис. 2
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ
И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Топографическими поверхностями называются поверхности, заданные дискретным множе-
ством их горизонталей. Такое задание топографической поверхности применяется главным об-
разом в горном и строительном деле, в топографии.
Непрерывно-топографическая поверхность - это топографическая поверхность, задаваемая не-
прерывном множеством линий уровня (рис. 1). Непрерывно-топографические поверхности применя-
ются в основном в самолете- и кораблестроении. В этих слу-
чаях поверхность конструируется тремя семействами линий:
1) сечения горизонтальными плоскостями (линии широт), 2)
сечения фронтальными поверхностями (линии батоксов) и 3)
сечения профильными плоскостями (линии шпангоутов). Су-
ществуют понятия: поверхности одной серии - непрерывно-
топографические поверхности, образованные распределением
одного и того же семейства линий уровня и поверхности раз-
ных серий - непрерывно- топографические поверхности, обра-
зованные распределением разных семейств линий уровня.
Если две непрерывно-топографические поверхности одной серии пересекаются, то они пе-
ресекаются по горизонталям (фронталям, профильным линиям). Линия пересечения двух не-
прерывно-топографических поверхностей разных серий строится методом вспомогательных
плоскостей уровня или по точкам с использованием ана-
литической, формы задания линии пересечения.
Поверхности вращения можно рассматривать как не-
ДА прерывно-топографические поверхности, исходным се-
' ‘ мейством линий которых является множество концентри-
ческих окружностей (рис. 2). Соосные поверхности вра-
щения являются поверхностями одной серии, так как если
соосные поверхности вращения пересекаются, то они пе-
ресекаются по параллелям. Поверхности вращения с параллельными осями есть непрерывно-
топографические поверхности разных серий. Если такие поверхности пересекаются - то их ли-
нии пересечения определяются аналитически или с помощью графическо-
го метода вспомогательных поверхностей уровня.
К непрерывно-топографическим поверхностям можно относить алгеб-
раические поверхности, заданные в явной форме z = z(x,y), поверхности
параллельного переноса (рис. 3), циклические поверхности с плоскостью
параллелизма (рис. 3), поверхности Каталана (см. «Линейчатые поверхно-
) сти отрицательной гауссовой кривизны»), поверхности одинакового ската
(см. «Линейчатые поверхности нулевой гауссовой кривизны»).
Известные геометрические свойства поверхности одинакового ската по-
Рис’ 3 зволяют использовать ее для аппроксимации топографической поверхно-
сти. А.Г. Варварица предлагает для вычисления среднего угла ската местности на данном уча-
стке применять формулу о. = Lhl(Q,\'l5s), где L - длина всех имеющихся на данном участке го-
ризонталей, h - высота сечения рельефа, м; 5 - площадь участка, га.
Дополнительная литература
1. Котов И.И. Начертательная геометрия: Курс лекций для слушателей факультета повышения квалификации
преподавателей. - М. МАИ, 1973. - 200 с. (библ.: 2 назв.),
2. Варварица А.Г. Аппроксимация топографической поверхности поверхностью одинакового ската// Приклад-
ная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 39-43 (библ.: 4 назв.).
170
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ЗАДАННЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ
В некоторых случаях конструировать технические формы и строительные оболочки пред-
почтительнее при наличии сетчатого каркаса будущей поверхности. Для построения поверхно-
сти задаются однопараметрическим семейством плоских и-линий, исходя из некоторых наперед
;А
Рис. 1
заданных требований, а затем строится сеть у-линий.
Для построения топографической поверхности с задан-
ными эллиптическими сечениями задаются однопараметри-
ческим семейством плоских соосных эллипсов, лежащих в
параллельных плоскостях с наперед заданными отметками.
Например, однопараметрическое семейство эллипсов можно
задать уравнениями
х = vcosm, у = Z?sinM,
где и - линии семейства эллипсов с одинаковым размером
полуоси b', v - линии семейства кривых, проекции которых на
плоскость хОу параллельны оси Ох.
Пусть эллипсы v = Vk лежат в плоскостях z = Zk, соответст-
венно; 1 < к < п, где п - целое число наперед заданных плос-
костей с эллипсами. Так как наперед заданные линии каркаса
(эллипсы) лежат в параллельных плоскостях, то координата z
линий уровня будет зависеть только от параметра у, то есть
z = z(v).
Функцию z = z(y) можно представить в виде полинома Лагранжа, где число членов ряда п
должно быть равно числу наперед заданных плоскостей с заданными эллипсами:
у- ®(v) v (v-v1)(v-v2)(v-v3)...(v-v„) , dco(v)
z = z(y) = X;-----77—----------------------—7—-----------C9(H) = —— •
*=1 (v-H)ffl(vJ (v-vt)69(H) dv
Пусть эллипсы c Vi = 1, V2 = 3, Уз = 4, уд = 6 лежат в Плоскостях z = zi = 2, z = Zi = 4, z = Z3 =
5, z = Z4 = 7 соответственно, то есть n = 4.
Формы задания топографической поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 2):
х = х(и,у) = vcosi/, у =у(и) = bsmu,
(у- 3)(у -4)(у -6) 2(у - 1)(у -4)(у -6) 5(у-1)(у- 3)(у-6) 7(у -1)(у-3)(y-4)
z = z( v) =---------------+---------------------------------------h-----------------.
15 3 6 30
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = у2 sin2 и + b2 cos2 и, F = -vsinwcosw, В2 = cos2 и + zz(v),
А2В2- F2 = &2 cos4 и + z/2(v)A2, zM = dz/dv,
. bvz'M ,, bz'Msinucosu z"Mb cos2 и
L = —, =, M = —=^~, N = —, =,
-Ja2B2-F2 7a252 -F2 ^Ia2B2-F2
v /rz'fvjcos2 :<[vz"(v)-z'(v)sin2 и] „ d2 z
A —-------------— --— ----------, Z (.V) — .
(A2B2-F2)2 dv2
Поверхность задана в криволинейных неортогональных несопря-
женных координатах и, у. Поверхность, показанная на рис. 1 - 2, имеет b = 4; 0 < у < 7 .
Допол нательная литература
1. Амиров М., Михайленко В.Е. К вопросу,конструирования сетчатого каркаса// Прикладная геометрия и инже-
нерная графика. - Киев,1974. - Вып. 18. - С.10-16 (библ,: 3 назв.).
171
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КАССИНИ
Непрерывно-топографическая поверхность Кассини содержит в качестве линий уровня
овалы Кассини
(х2 + у2)2 — 2с2(х2 — у2) = а4 - с4, или, что то же самое (х2 + у2 +с2)' -4с2х2 = а4,
где а - параметр изменения формы овалов; с - параметр изменения оси непрерывно - топогра-
фической поверхности.
Овалы Кассини представляют собой геометрическое место точек, для которых произведе-
ние расстояний до точек (-с, 0) и (с, 0) равно а~. При сл/2 < а овал Кассини представляет собой
овальную линию, при с < а < c^l- кривую с «талией». При с > а будут получаться пара замк-
нутых овалов с центрами в точках (~с, 0) и (с, 0).
Если при постоянном значении а менять параметр с, то будет получаться однопараметриче-
ское семейство овалов Кассини. Распределяя это семейство в пространстве по произвольной
направляющей линии, можно получать поверхности различной формы.
В англоязычной литературе поверхностями Кассини называют непрерывно-
топографические поверхности, заданные неявным уравнением
[(х-а)2 + у2][(.т + а)2 т у2] = z4, или, что то же самое (х2 -а2)2 + 2у2 (х2 + а2) + у4 = z4.
Эта поверхность симметрична относительно всех трех координатных плоскостей. Две по-
лости этой поверхности касаются друг друга в точках х = ±а; у = z = 0.
Формы задания непрерывно-топографической поверхности Кассини
1) Неявная форма задания [1]:
(х2 + у2)' -2f2(z)(A2 - у2) = а4 -f,4(z),
где с - функция, описывающая форму оси поверхности.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,z) = rcosu, у = y(u,z) = rcosu, z = z,
где г = r(u,z) = Vc2 cos2h —c4 sin2 2u, c =/i(z).
На рис.1 изображена рассматриваемая поверхность при с = fi(z) = 3z; а = 8. В этом случае
уравнение поверхности запишется в виде:
(.г2 + у2 )2 - 18z2 (х2 - у2) = 84 - 81Z4.
В сечении поверхности плоскостью z = 0 лежит окружность радиусом R = 8. При z = 8/3 по-
лучается лемниската Бернулли. Поверхность содержит два разветвляющихся канала.
Дополнительная литература
1. Кириллов С.В. О конструировании непрерывно-топографических поверхностей со сложными сечениями//
Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. - М.: МАИ, 1972. - Том IX. - Вып. 243. - С. 118-124
(библ.: 3 назв.).
2. Мулъдеков И. Приближенное построение кратчайшей линии на топографической поверхности с использова-
нием линии нормальных сечений// Труды Моск, авиац. ин-та. - М.: МАИ, 1971. - Вып. 232. - С. 84-90.
172
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С РАСПРЕДЕЛЯЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ
Пусть требуется распределить однопараметрическое семейство родственных кривых и,-
вдоль заданной распределяющей кривой г = /г(х). Уравнения проекций однопараметрического
семейства родственных кривых т на координатную плоскость xOz можно записать в виде
Заданная таким образом непрерывно-топографическая поверхность задается уравнением
z = *,f2(x)/l(y).
Непрерывно-топографическая линейчатая поверхность с распределяющим эллипсом имеет
Рис. I
в качестве распределяющей линии эллипс
(х-с)2 z2 / / х
-----— + — = 1, то есть z = f2(x) ~(х~с)~,
а' Ь~ ~ а
а в качестве однопараметрического семейства родственных
кривых П[ принимается пучок плоскостей
2 = Vi (?) = —(}’„-}’)
Уо
Все геометрические параметры указаны на рис. 1.
Формы задания непрерывно-топографической линейчатой поверхности
1) Явная форма задания: z•= —Г——— Са2 - (х — с)2.
а у0 )
где 0 < х < а + с; - °° < у < °°; На рис. 2 представлена поверхность с геометрическими парамет-
рами: а = 2 м; b = 1 м; с = 1,3 м; у„ =2 м; 0 < х < 3,3 м; О < у < у0.
В сечении поверхности плоскостью у = 0, лежит распределяющий эллипс
В сечениях поверхности плоскостями у = ус. получаются эллипсы ——--1—--—-- = 1.
а' ЪЛуу-уХ
Прямые, получающиеся в параллельных сечениях поверхности плоскостями х = хс
z = (b/«)[(уо - у)/ уо ]р2 ~(хс -с)2,
проходят через прямую z = 0; у = у„, лежащую в плоскости хОу. Рассматриваемая поверхность
является коноидом, следовательно, принадлежит к семейству поверхностей Каталана.
2) Неявная форма задания: z2 — —т| “—~ I [а2—(х~с)2]
«Ч Уо )
Рассматриваемая линейчатая поверхность является алгебраической поверхностью четверто-
го порядка с плоскостью параллелизма yOz.
Дополнительная литература
1. Кириллов С.В. Об одном способе конструирования непрерывно-топографических поверхностей// Кибернети-
ка графики и прикл. геометрия поверхностей. - М.: МАИ, 1972. - Том IX. - Вып. 243: - С. 69-75 (библ.: 3 назв.).
2. Кучкарова Д.Ф. О теории топографических поверхностей// Современные проблемы геометрического моде-
лирования: Материалы Украинско - российской научно - пр. конф. - Харьков, 2005. - С. 130-136 (библ.: 3 назв.).
173
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ,
ЗАДАННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ
Аэрогидродинамические поверхности - это поверхности плавающих тел, созданных приро-
дой и человеком. Эти поверхности задаются своими главными сечениями, лежащими в коорди-
натных плоскостях. Форма линий в главных сечениях и их параметры выбираются из наперед
заданных условий к будущей поверхности.
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.А., Протодьяконов С.М, Исследование геометрии некоторых поверхностей высших порядков//
Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1975. - Вып. 20. - С. 138-142 (библ.: 3 назв.).
АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ,
ЗАДАННАЯ НЕПРЕРЫВНЫМ КАРКАСОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ШПАНГОУТОВ
Конструктивная ватерлиния рассматриваемой поверхности имеет форму обобщенной анье-
зианы у = + L2) — BI2 (в сечении плоскостью хОу), мидельшпангоут выполняется в
форме эллипса 4у2/52 + zIT2 = 1 (в сечении плоскостью yOz), а главный батокс имеет параболи-
ческую форму z = Т- AT:Cll3 (в сечении поверхности плоскостью xOz). Здесь Т - осадка по-
верхности, В - ее максимальная ширина вдоль оси Оу, L - ее длина вдоль оси Ох.
Форма задания поверхности 10-го порядка
1) Неявная форма задания (рис. 1):
,,2 „2
= 1.
Г l2b в}2
(4.V+L2 2)
Поверхность 10-го порядка с аньезианой, эллипсом, парабо-
лой в 3 -х главных координатных сечениях имеет
Рис [ три плоскости симметрии, совпадающие с координатными
плоскостями; -LI2 < х< L/2; -В/2 < у < В/2; -Т < ziT.
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.А., Протодьяконов С.М. Исследование геометрии некоторых поверхностей высших порядков//
Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1975. - Вып. 20. - С. 138-142 (библ.: 3 назв.).
АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ЗАДАННАЯ НЕПРЕРЫВНЫМ
КАРКАСОМ ВАТЕРЛИНИЕЙ В ФОРМЕ ОБОБЩЕННЫХ АНЬЕЗИАН
0<у<В/2; -L/2<x<L/2; 0<z<T.
Рассматриваемая поверхность имеет те же кри-
вые в главных сечениях, что и аэрогидродинамиче-
ская поверхность, заданная непрерывным каркасом
эллиптических шпангоутов.
Форма задания поверхности 6-го порядка
1) Неявная форма задания (рис.2):
T[4xT + L2(T~z)] 2Т
Поверхность 6-го порядка с аньезианой, эллип-
сом, параболой в 3-х главных координатных сече-
ниях имеет одну плоскость симметрии yOz;
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.А., Протодьяконов С.М. Исследование геометрии некоторых поверхностей высших порядков//
Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1975. - Вып. 20. - С. 138-142 (библ.: 3 назв.).
174
НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Аэрогидродинамические поверхности с непрерывным каркасом плоских кривых,
с аньсзиапой, эллипсом, Эллипсом в
4-го порядка, кривой Ламе 4-го порядка, эллип-
зиаиой, эллипсом,параболой в 3-х
3-х главных координатных сечениях
сом в 3-х главных координатных сечениях
главных координатных сечениях)
175
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Винтовая поверхность образовывается кривой Лири ее винтовом движении. При винтовом
движении образующая кривая L равномерно вращается вокруг оси вращения и одновременно
совершает поступательное перемещение в направлении этой же оси, называемой винтовой
осью. Если отношение величины скорости по прямой к величине угловой скорости постоянно,
то винтовое движение называется обыкновенным. Поверхность, образованная обыкновенным
винтовым движением называется обыкновенной винтовой поверхностью. Траектории точек в
обыкновенном винтовом движении будут представлять собой цилиндрические винтовые линии
постоянного шага, лежащие на разных, но соосных круглых цилиндрах. Если в винтовом дви-
жении отношение поступательной к угловой скорости есть величина переменная, то траектории
точек кривой L будут представлять цилиндрические винтовые линии с переменным шагом, а
сама винтовая поверхность будет называться винтовой поверхностью переменного шага.
Каждая линия, лежащая на винтовой поверхности, может быть принята за образующую ли-
нию L. Не ограничивая общности, можно считать, что образующая кривая лежит в плоскости
оси вращения. По крайней мере, на любой винтовой поверхности, образованной 'винтовым
движением произвольной линии L, всегда можно найти плоскую кривую /, лежащую в плоско-
сти оси вращения, которая при винтовом движении будет образовывать ту же винтовую по-
верхность. Если образующая L является прямой линией, то винтовая поверхность называется
линейчатой. Если образующая L - окружность, то винтовая поверхность называется круговой.
Принимая координатную ось Oz за ось вращения и, задавая плоскую образующую кривую I
уравнением z = можно записать векторное уравнение винтовой поверхности в виде:
г = r(r, <р) - rcoscpi + rsin®/ + [f(r). + acp]k = re(<p) + [f(r) + ci<p]k
или явное уравнение в форме: z - f(Jx2 + у2) + nArctg(y I х). Линейный элемент примет вид:
ds2 = (1 + f‘ 2')dr2 + 2af'drd<p+ (г2 -ya2)d(p2.
Если векторное уравнение винтовой поверхности представить в форме:
г - r{z,(p) = r(z)cospi + r(z)sin^/ + [z + a<p\k.
то линейный элемент поверхности будет записываться как
ds1 = (у/" + l)<fe2 + 2д dzdcp + (г 2 + a^dip2.
При а = 0 винтовая поверхность становится поверхностью вращения. Из теоремы Бура сле-
дует, что метрика винтовой поверхности есть метрика вращения, и винтовую поверхность мож-
но наложить на поверхность вращения так, что винтовые линии - траектории винтового движе-
ния наложатся на параллели. Например, поверхность прямого геликоида (винтовая поверх-
ность), можно развернуть на поверхность катеноида (поверхность вращения), см. «Прямой ге-
ликоид». Если г (г) обращается в постоянную, то это означает, что кривая, винтовым движением
которой образуется винтовая поверхность, лежит на круглом цилиндре, ось которого совпадает
с осью движения. Получаемая поверхность в этом случае совпадает с цилиндром (см., например,
«Цилиндрическая винтовая полоса»).
Дополнительная литература
1, Меерсон Б.М. Теоретическое исследование НДС винтообразной оболочки. - Уфим. авиац. ин-т, Уфа, 1988. -
22с. - Библ. 6. - Рук. деп. в ВИНИТИ 12.07.88, № 5593-В88.
2. Tigaryev V.M. Automated shaping of conjugate ruled surfaces with use of the system AUTOCAD 2000UI The 10lh
International Conference on Geometry and Graphics, Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Vol. 2. - Kyiv, 2002. - P.
200-204 (библ.: 6 назв.).
3. Люкшин В.С. Теория винтовых линий и поверхностей. - М.: Московский станкоинструментальный ин-т,
1963.-217с.
4. Carclou A. anil Jolicoeur С. Mechanical models of helical strands// Appl. Meeh. Rev. - Vol. 50, no 1, January 1997.
-P. 1-14 (библ.: 107 назв.).
176
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ОБЫКНОВЕННЫЕ ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Обыкновенные винтовые поверхности, представленные в справочнике
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Развертывающийся
геликоид
Винтовая поверхность,
образованная бинормалями
цилиндрической винтовой линии
КРУГОВЫЕ ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
образующей окружностью,
лежащей в соприкасающейся
плоскости винтовой линии
Трубчатая винтовая
поверхность
Прямая круговая вин-
товая поверхность
Круговая винтовая поверхность с оора-
зующей окружностью, лежащей в плос-
кости, Проходящей через винт, ось
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ПЛОСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ КРИВЫМИ
(Геликоиды общего вида)
177
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Линейчатая винтовая поверхность образовывается произвольно расположенной прямой
образующей при ее обыкновенном винтовом движении (см. «Винтовые поверхности»).
Линейчатые винтовые поверхности, как и всякие линейчатые поверхности, можно разде-
лить на развертывающиеся и неразвертывающиеся поверхности, или, что то же самое, на ли-
нейчатые поверхности нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. Развертывающейся вин-
товой поверхностью может быть только эволъвентная винтовая поверхность (см. «Разверты-
вающийся (эвольвентный) геликоид»). Линейчатых поверхностей положительной гауссовой
кривизны не существует.
В технике существует еще одна классификация в зависимости от положения прямолиней-
ной образующей L относительно оси винта и от торцевого сечения. Если прямая L пересекает
винтовую ось, то линейчатая винтовая поверхность называется закрытой, а если L не пересека-
ет ось, то винтовая поверхность называется открытой. Закрытые линейчатые поверхности все-
гда неразвертывающиеся. Открытые бывают как развертывающимися, так и неразвертывающи-
мися поверхностями. Закрытые линейчатые винтовые поверхности еще называют архимедовы-
ми. В сечении закрытой винтовой поверхности плоскостью, перпендикулярной винтовой оси,
получается спираль Архимеда, а в сечении открытой линейчатой винтовой поверхности - эволь-
вента окружности.
Конволютный и эвольвентный геликоиды относятся к семейству открытых линейчатых
винтовых поверхностей. Прямой и косой геликоиды составляют семейство закрытых линейча-
тых винтовых поверхностей.
Уравнения линейчатой поверхности, образованной обыкновенным винтовым движением
прямой АВ, можно представить в виде:
х = x(t,v) = acosv-rsin/sinv, % = .x(/?,v) = acosv-[/?'-а2]1/2 sinv,
у = y(t,v) - asinv + r sin у cosv, или у = y(p,v) = a sin v + [p2-a2]172 cosv,
z = z(r,v) = pv + rcos/; z = [p2 -a2]172ctgy+ pv,
где a - кратчайшее расстояние между прямой АВ и осью Oz; у - угол между образующей пря-
мой АВ и винтовой осью Oz; р - радиус проекции траектории движения точки М поверхности
на плоскость хОу, параметр t определяет положение точки М на прямолинейной образующей.
Закрытая линейчатая винтовая поверхность получится, если принять a = 0. По теореме Шаля
угол наклона <р касательной плоскости в какой-нибудь точке (г, у) винтовой поверхности к цен-
тральной плоскости в точке (f = 0; у) определяется по формуле: tg^ = t/(p - actgy).
Иногда за криволинейные координаты берут величины п = p/а и zo = уЯ/(2тг), где Я - шаг
винтового движения. В этом случае параметрические уравнения линейчатой винтовой поверх-
ности примут вид:
х = x(n,z0) = a cos——
п
--- 1
-Ism—-, y = y(n,zo) = a sin
ri
2ж,
Я
—
-1с°пг
z = z(n,z0) = ayn2 - ictgy + z„.
Во всех видах параметрических уравнений винтовой поверхности два семейства коорди-
натных линий на поверхности состоят из прямолинейных образующих и винтовых линий.
Уравнение линейчатой поверхности в явной форме:
z = ±7*2 + у2 -a2ctgy + pArctgiy I х) + pArctg^^:2 У у2 - а2 / а).
Линейчатые винтовые поверхности можно видеть в очертании различных резьб, винтовых
лестниц, винтовых гребных винтов, винтовых конвейеров и спусков.
178
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КОНВОЛЮТНЫЙ ГЕЛИКОИД
Конволютный геликоид образовывается прямой линией АВ, которая движется в пространст-
ве, все время пересекаясь с винтовой линией и касаясь боковой поверхности прямого кругового
цилиндра радиусом а. Ось винтовой линии и цилиндра совпадают, а образующая прямая и ось
скрещиваются не под прямым углом (рис.1).
В сечении конволютного геликоида плоскостью, перпендикуляр-
н°й винтовой оси, получается укороченная или удлиненная эвольвен-
та окружности, в отличие от сечения плоскостью эвольвентного гели-
коида. где получается обыкновенная эвольвента. Конволютные вин-
товые поверхности - неразвертывающиеся и только одна единствен-
ная линейчатая открытая эвольвентная винтовая поверхность является
развертывающейся поверхностью (см. «Развертывающийся (эволь-
вентный) геликоид»). Прямой конволютный геликоид, получаемый
винтовым движением прямой, перпендикулярной к винтовой оси, на-
зывают также псевдо-развертывающимся геликоидом (см. «Линейча-
тые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»).
Формы задания поверхности конволютного геликоида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(f,v) = acosv-1sin/sinv, у = y(r,v) = asinv + rsin/cosv, z = z(f,v) = pv + fcosy;
где a - кратчайшее расстояние между прямой АВ и осью Oz; у - угол между образующей пря-
мой АВ и винтовой осью Oz; параметр t определяет положение точки М на прямолинейной об-
разующей. Уравнения дают обе полости геликоида при t > 0 и t < 0.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = 1, F = «sin/ + pcosy, 52 = a2 + р2 + Г2 sin2
sin/(r/ctg/-p) [c(actg/-p) + r sin/cos/] (actg/-/?)2 .
L = 0, M = ^== —----—, N =------=====------------, к = --------у--тд- < 0.
^/(actgy-p)2+r ^(actg/-p)2 +t2 [(actg/-p) + r]
Угол / между координатными линиями гиг вычисляется по формуле:
cos % = (asin/ + pcosy)/-^2 + р2 +t2 sin2 у.
Прямолинейные образующие будут ортогональны к винтовым линиям v, если постоянный
угол у принять по формуле: tgy = -p/а. Прямой конволютный геликоид можно получить, приняв
У = Tt/l.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = (р,<р) = pcosip, у = у(р,<р) = psintp, z = z(p,<p) - iyjp1 -a2ctg/ + p<p + parccos(a Ip),
a < p< +=°, 0 + v = <p. Два знака соответствуют значениям 0 от 0 до тг/2 и от 0 до —яг/2.
Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:
д2 _ j + (/rctgr-ap)2 F = p(p2ctg/-ap) г = 2
/Х(р'-а') р^р1 - а2 ?
Угол/ между координатными линиями р и <р вычисляется по формуле:
cos^= р(р2ctgy-ар) / y][p4p2 -a2) + (,p2ctgy-ap)2][p2 + р2].
Дополнительная литература
1. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Изд-во «Ма-
шиностроение», 1968. - 372 с. (библ.: 35 назв.).
2. Pylypaka S.F. Control of bending of ruled surfaces on an example of a screw conoid// Прикладка геометр!я та
инженерна графжа. - К.: КНУБА, 2002. - Вып. 70. - С. 180-186.
179
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ОБРАЗОВАННАЯ БИНОРМАЛЯМИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ
Поверхность бинормалей цилиндрической винтовой линии р = р(ср) = aco&ipi + asin^y + ptpk
является конволютной винтовой поверхностью, векторное уравнение которой имеет вид:
Г = r(ll, (р) - р(цр) +ufl,
где р - единичный вектор бинормали;
„ nsinc? о cose? а
Р = / , i ~ j + -7=v==v к или
yja2 + p2 -^a2+p2 yja2 + p2
P = I y—vk ~ I 2 2g’
-yja' + p~ yja + p
g - единичный вектор, направленный по касательной к проекции вин-
товой линии на плоскость хОу. Уравнение бинормали в точке М(р)
винтовой линии можно представить в форме:
~~ x-acos<p y-asin<p z~ pep
Рис 1 • ~ ‘
psin<p - pcosp a
a
Бинормаль образует постоянный угол у с осью винтовой поверхности: cosy = ,
Vo2 + р~
Формы задания винтовой поверхности бинормалей цилиндрической винтовой линии
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
. х psine? , , . pcosffl
х - х(и,<р) = acos^ + H- . -, у = у(и,ф) = asm<p-u : =,
\a2+p2 -Ja2 + p2
Z = z(h,<p) = p<p + ua/^a2 + p2 ,
где и - параметр, определяющий положение текущей точки на бинормали. Проекции бинорма-
лей на плоскость хОу располагаются по касательным к основной окружности, которая, в свою
очередь, являются проекцией цилиндрической винтовой линии и = 0, на ту же плоскость хОу.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
, , , и2р2 р аВ а
А = 1, Г = 0, В2=а2+р2+ L = 0, М = -^, , , , kv = ---= ,
а' + р' В + р7- + р2
кИ =0, К = -р2 / В4 <0.
Полученные значения основных квадратичных форм подтверждают, что линейчатая по-
верхность бинормалей цилиндрической винтовой линии есть поверхность отрицательной гаус-
совой кривизны, а криволинейная координатная сеть и, ср является несопряженной ортогональ-
ной. Уравнение соприкасающейся плоскости, в которой лежит касательная и главная нормаль
цилиндрической винтовой линии, можно записать в виде: xsmcp— ycos,<p + az I р-а<р = 0. Би-
нормаль перпендикулярна соприкасающейся плоскости. На соприкасающейся плоскости в точ-
ке М главная нормаль винтовой линии как прямая, параллельная плоскости хОу, является гори-
зонтальной прямой. Касательная к винтовой линии в точке М является прямой наибольшего
ската на соприкасающейся плоскости.
Дополнительная литература
1. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Изд-во «Ма-
шиностроение», 1968. - 372 с. (библ.: 35 назв.).
2. Sachs Hans. Die Strahlflachen, auf denen die Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden Boschungslinien sind// Math
Ann. - 1971, 191, № l.-S. 44-52.
180
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КРУГОВЫЕ ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Круговая винтовая поверхность получается при обыкновенном винтовом движении произ-
вольно расположенной образующей окружности с постоянным радиусом г относительно винто-
вой оси Oz. Круговые винтовые поверхности входят также в класс циклических поверхностей
(см. «Классификация циклических поверхностей»).
В зависимости от положения образующей окружности круговые винтовые поверхности S
можно классифицировать следующим образом:
1. Круговая винтовая поверхность с образующей окружностью, лежащей в плоскости,
которая проходит через винтовую ось.
2. Трубчатая винтовая поверхность - плоскость образующей окружности совпадает с
нормальной плоскостью направляющей винтовой линии.
3. Прямая круговая винтовая поверхность - плоскость направляющей окружности пер-
пендикулярна винтовой оси.
4. Круговая винтовая поверхность с образующей окружностью, лежащей в соприкасаю-
щейся плоскости винтовой линии центров окружностей.
Принимая во внимание величину расстояния а от центра С образующей окружности до
винтовой оси, круговые винтовые поверхности 5 можно разделить на 3 группы:
1. Винтовая ось находится вне поверхности 5; а > г.
2. Винтовая ось находится на поверхности 5: а = г.
3. Винтовая ось находится внутри поверхности 5; а < г.
Любая окружность в пространстве задается определяющим вектором окружности, начало
которого совпадает с центром окружности, направление совпадает с направлением нормали к
плоскости окружности, а длина равна длине радиуса окружности. Любой циклической поверх-
ности можно соотнести в пространстве базисную линейчатую поверхность, образованную пе-
ремещением прямой линии, несущей на себе определяющие векторы ее круговых образующих.
Начала определяющих векторов определяют на базисной поверхности линию центров, а концы
этих векторов - линию радиусов. Базисной поверхностью трубчатой винтовой поверхности бу-
дет являться развертывающийся геликоид. Круговая винтовая поверхность с образующей ок-
ружностью, лежащей в плоскости, которая проходит через винтовую ось, в качестве базисной
поверхности будет иметь прямой конволютный геликоид (псевдо-развертывающийся геликоид').
Базисной поверхностью прямой круговой винтовой поверхности будет являться цилиндриче-
ская винтовая полоса. Для круговой винтовой поверхности с образующей окружностью, лежа-
щей в соприкасающейся плоскости винтовой линии центров окружностей, базисной поверхно-
стью будет поверхность бинормалей цилиндрической винтовой линии.
Параметрические уравнения круговой винтовой поверхности S можно представить в виде:
х = x(u,v) — г cos/и + vj sin у/ + хо cos v - у0 sin v; у = y(u,v) = rsin(« + v)sin у/ + x0 sin v + y0 cosv;
z — z(y) = rcos у/ + pv + z0,
где xo, y0, z0 - координаты центров С образующей окружности; параметр уз выражается через и
из соотношения /ncosusiw + n2sinnsiny/ + njcosiy = 0; ;ц, п», пз - направляющие косинусы опре-
деляющего вектора образующей окружности в подвижной системе координат, совершающей то
же винтовое движение. При v = const на поверхности S получается образующая окружность, а
при и = const - винтовая линия на 5.
Дополнительная литература
1. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Изд-во «Ма-
шиностроение»; 1968. - 372 с. (библ.: 35 назв.).
2. Котов И.И. Об одном методе исследования циклических поверхностей// Труды ВЗЭИ. - Вып. 13. - М., 1958.
-С. 52-61.
181
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КРУГОВАЯ ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ,
ЛЕЖАЩЕЙ В ПЛОСКОСТИ, КОТОРАЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ВИНТОВУЮ ОСЬ
Будем считать, что круго-
вая винтовая поверхность S
с образующей окружностью
радиусом г, лежащей в
плоскости, которая прохо-
дит через винтовую ось Oz,
имеет направляющую вин-
товую линию центров:
х = ,v(v) = acosv,
У = }'(v) = osinv,
z = z(v) = pv.
Формы задания круговой винтовой поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(y,yi) = (а + rsiny/)e(v) + (rcosy + pv)k,
где е(у) - единичная круговая вектор-функция; уг - центральный угол образующей окружности,
отсчитываемый от направления оси Oz; 0 < у/ < г-радиус образующей окружности.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(г,(у) = (а + г sin ^)cosv, у = y(v, 1/z) = (а + г sin ^)sinv, z = z(v,^) = r cos yr + pv.
Осевым сечением поверхности S является образующая окружность радиусом г. Торцевое
сечение получится, если принять z = 0, то есть при v = -rcosyrlp. При р - 0 винтовая поверхность
S вырождается в круговой тор (см. «Поверхности вращения»). При р = 0 и а = 0 поверхность
вырождается в сферу радиусом г.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
,, 7 , . (а + гsini/)2 sinу/
A' =(a + rsm{/)‘ + р~, F = -rpsmyr, B = r, L = — ..---,
-y(a + rsin^)2 + p2 cos2 yr
,, rpcos2 yr 1F r(a + rsini/)
M = - . — N =— --
y(a + rsiny/)2 + p2 cos2 yr -y(a + rsinyr)2 + p2 cos2 yr
-(a + rsin^Z) -sin(/(« + rsin(/<)2 (fl + rsinj/)3 s'vayr-rp2 cos4 yr
k^ r— ~ , kv ~~~ - ,,, , ? . 2 ? 22 *
r^ta + rsmyr)2 + p2 cos2 yr A2 (a + r sinyr)2 + p2 cos2 yr r[(a + rsin}/)' +p cos y/\
Угол у между неортогональными несопряженными криволинейными координатами v, у/
вычисляется по формуле: cos^ = psin yr I дДа + r sin yr)2 + p2.
Имеются только две винтовые линии (при у/ = 0 и у/ = it), которые ортогональны ко всем
образующим окружностям. На винтовой поверхности будут зоны как с гиперболическими точ-
ками, так и с эллиптическими. Эти зоны разделяются четырьмя линиями с параболическими
точками. Если принять а = г, то винтовая ось будет находиться на поверхности 5 (рис.2). Вин-
товая ось будет находиться внутри поверхности S, если а < г (рис. 3). Пересечение винтовой
оси поверхности S с образующей кривой будет иметь место в точке, для которой а + rsini// = О,
или при у/ = yro\ siny/0 = -о/r; а < г.
Дополнительная литература
1. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Изд-во «Ма-
шиностроение», 1968. - 372 с. (библ.: 35 назв.).
2. Simmonds J.G. General helicoidal shells undergoing large, one-dimensional strains or large inextensional deforma-
tions// Int. J. of Solid and Structures.- Pergamon Press, 1984. - Vol. 20, No 1. - P.13-30 (библ.: 17 назв.).
3. Погребецкая M.H О кривизне винтовых поверхностей// Известия вузов. Машиностроение. - 1965. - № 4. -
С. 5-15.
182
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Трубчатая винтовая поверхность образовывается при обыкновенном
винтовом движении образующей окружности постоянного радиуса, при-
чс'! плоскость окружности должна совпадать с нормальной плоскостью
направляющей винтовой линии
х - x(v) = acosv, у - у(у) = asinv, z = z(v) = pv.
Трубчатые винтовые поверхности относятся к классу циклических по-
верхностей, где они входят в групп}' каналовых поверхностей. Образую-
\S33$$j щие окружности составляют одно семейство линий кривизны поверхно-
сти. Вектор нормали нормальной плоскости винтовой линии, образован-
Рис ( ной центром образующей окружности, направлен по касательной к винто-
вой линии центров. Угол подъема винтовой линии fl можно найти из фор-
мулы: tg.fi - p/а. Трубчатая винтовая поверхность является огибающей семейства шаров с по-
стоянным радиусом г, центры которых находятся на винтовой линии.
Формы задания трубчатой винтовой поверхности
1) Векторная форма задания:
г = г( г) ,v) = (а + rcos г? )tf(v) + rsin д sinfig(y>)+ (pv - rsin тЭ cosffik,
где е(у), g(y) - единичные круговые вектор-функции; тЗ - центральный угол образующей ок-
ружности; 0 < г? < 2я; г - радиус образующей окружности; fi - угол наклона касательной винто-
вой линии центров к плоскости z = О,
р а
sinfi = , cosp = ,=-э=- -у.
' у]р2 +а2 fip2 +а2
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(t5,v) = (a + rcosz9)cosv- r sin sin у? sin v, у = y(i?,v) = (a + r cos sin v + rsin 13 sin/icosv,
z = z(z?, v) = pv-rsinz?cos/7.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А = г, F = r2sin/?, В2 = г2 sin2 zJsin2 fi + (a + rcosz>)2 + p2,
rp rp2 + a cos i}(a2 + p2 + ar cos г?) , 1 N
L = -r, M = —r- — — -, N =------;----------5----------, k,, = —, k = —г,
7777 - 7+7) * r’ v в1’
tz a cos z?
^\. ~~ —2 •
r(arcosz9+a + p )
Угол у между неортогональными несопряженными криволинейными координатами v, г?
вычисляется по формуле:
cosjjf = г sin. /7 / 7г2 sin2 z?sin2 fi+(a + rcos&)2 + р2.
Трубчатые винтовые поверхности используются при проектировании винтовых сплошных
и пустотелых пружин, в змеевиках круглого сечения.
Дополнительная литература
1. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Изд-во «Ма-
шиностроение», 1968. - 372 с. (библ.: 35 назв.).
2. Пыстогов А.С. К расчету винтовых пружин трубчатого сечения// Уральск, политехи, ин-т, Свердловск. 1978.
12 с., Рук. деп. в НИИинформтяжмаш, 26 апр. 1978, № 305.
3. Швиденко Ю.З., Панасюк Л.С. К вопросу ленточной аппроксимации каналовых поверхностей// Прикл. геом.
и инженерная графика. - Киев, 1985. - Вып. 40. - С. 33-35.
4. Равеля С.П., Сысоев Ю.А., Рыжкова Т.Г. К исследованию НДС трубчато-винтовой оболочки// Прикл. задачи
чат. физики.-Вып. 1.-Киев, 1980, с. 154-166. - Рук. деп. в ВИНИТИ 18сент. 1980, № 4102-80Деп.
183
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПРЯМАЯ КРУГОВАЯ ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Прямая круговая винтовая поверхность образовывается при обыкновенном винтовом дви-
жении окружности постоянного радиуса, расположенной в плоскости, перпендикулярной вин-
товой оси (рис. 1). Эта плоскость с нормалью, направленной вдоль винтовой оси, будет являть-
ся плоскостью параллелизма винтовой поверхности. Поверхность можно отнести также к клас-
су циклических поверхностей, к группе циклических поверхностей с плоскостью параллелизма.
Параметрические уравнения винтовой линии центров образующих окружностей:
х = x(v) = acosv, у = y(v) = asinv, z = z(v) = pv.
Формы задания прямой круговой винтовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(z5, г) = a cosv + rcos(z9 + v), у = y(z5, v) = a sin v + rsin(z5 + v), z = z(v) = pv,
где t? - центральный угол образующей окружности; 0 < z? < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = г, F = r(r + a cos г?), В2 = г2 + а2 + 2га cos г? + р2,
гр p(r + acosz?) ap2 cos г?
л = — . ' = л/, п = — > — • —, к — ~ 2 2 ; z 2 •
4 р2 +а2 sin2 г/ р2 + a2 sin2 г? rCP +а sln
Поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволинейных координат
г?, V. В точках параболических линий К = 0, в остальных точках поверхности К > 0 или К < 0.
Ортогональность координатных линий имеет место только для точек, определяемых условием:
r + acosz? = 0.
На рис. 1 показана прямая круговая винтовая поверхность при а > г, на рис. 2 - при а = г.
на рис. 3 - при а < г. На рис. 1 винтовая ось находится вне пределов винтовой поверхности, на
рис. 2 прямая винтовая ось лежит на поверхности, а на рис. 3 винтовая ось находится внутри
прямой круговой винтовой поверхности.
Угол / между криволинейными координатами v, 0 вычисляется по формуле:
cos / = (г + a cos г?) / ф2 + а2 + 2racosz? + р2.
2) Параметрическая форма задания:
х = х(рур) = pcoscp, у = у(р,(р") = psincp, z = z(p,(p) = р(<р-&), где cost? = (р1 +а2 - г2)/(2a/?).
Представленная параметрическая форма записи уравнений прямой круговой винтовой по-
верхности применяется, если образующая окружность задана в полярных координатах р, 0:
р" - 2apcos0 + а2 - г2 = Q или р = аcos0±4r2 -a2 sin2 0.
Неявное уравнение осевого сечения прямой круговой винтовой поверхности имеет вид:
2czcos(z / р) = х + (а2 - г2) I х.
В торцевом сечении поверхности лежит образующая окружность (рис. 1).
3) Векторная форма задания: г = r( Р ,v) = (a + rcos Р )e(v) + rsin P g(v) + pvk,
где e(y), g(y) - единичные круговые вектор-функции; P - центральный угол образующей ок-
ружности; 0 < 0 < 2л; 0 < v < 2л.
184
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 1
КРУГОВАЯ ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ,
ЛЕЖАЩЕЙ В СОПРИКАСАЮЩЕЙСЯ ПЛОСКОСТИ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ
ЦЕНТРОВ ОКРУЖНОСТЕЙ
Круговая винтовая поверхность с образующей окружностью,
лежащей в соприкасающейся плоскости винтовой линии цен-
тров образующих окружностей, относится также к классу цик-
лических поверхностей. Определяющий вектор образующей ок-
ружности направлен по бинормали винтовой линии центров об-
разующих окружностей (см. «Круговые винтовые поверхно-
сти»).
Параметрические уравнения винтовой линии центров обра-
зующих окружностей:
х = х(у) = acosv, у = у(п) = asinv, z = z(v) = pv.
Формы задания винтовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = л(г?,у) = (а + г cos z?) cos у - rsmz?sin/7siny, у = y(z?,v) = (а + г cos z?) sin v + rsinz9sin/7cosv,
z - z(zM’) = pv-rsinz?cos$
- центральный угол образующей окружности; 0 < t) < 2лг; 0 < у < 2?г; г - радиус образующей
окружности; /3 - угол между бинормалью винтовой линии и плоскостью z = 0:
а « - р „ л р
= sinр - , =, cosp = -у=====, р = —+ arctg—.
P -ь]р2+а2 Jp2+a2 2 а
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
гл;-------аг | , r2a~ sin2 г? , 2
А = г, F-rPa'+p'\—^---y + cosz? , В" =-;----i— + (a + rcosz?)" +р ,
\.а + р~ ) а' + р~
г3 р cos г? г2р\ , га cos г?
L = —— , М = -— sin" —----у
А-]а2 + р2 д < а' + р
г2 р , га2 cos & + rp2 cos3 -&
N = ——, а --2а cos" г?------5----j-----
Ayja2 + р" L а + р
где Д2 = А2В2 - F2 = г2
2 2
ГР -у Ч -> ->
-----тcos" t?+(a" + р )sin г? .
а" + р~
Координатные линии г) совпадают с образующими окружностями. Угол / между неорто-
гональными несопряженными криволинейными координатами у, г? вычисляется по формуле:
гп-----г| га ]
Ла~ + р~\ —----у + cos у
Уа" + р )
cosZ = । у , ' , (' ----------
r"a~ sin" г? , ,
J----5----5---Н (а + г cos &)' + р
у а~ + р~
Дополнительная литература
1. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Изд-во «Ма-
шиностроение», 1968. - 372 с. (библ.: 35 назв.).
185
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ
ПЛОСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ КРИВЫМИ
(ГЕЛИКОИДЫ ОБЩЕГО ВИДА)
Геликоидом общего вида называется всякая поверхность, образованная некоторой линией
{профилем), вращающейся около оси и одновременно поступательно движущейся по направле-
нию этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны.
ГЕЛИКОИД ДИНИ
Геликоид Дини образовывается обыкновенным винтовым движением трактрисы (рис. 1).
Если скорости поступательного и вращательного движения произвольны, то поверхность назы-
Рис. 1
вается винтовой поверхностью переменного шага с плоской обра-
зующей кривой в виде трактрисы, а если отношение скоростей по-
стоянно, то поверхность называется геликоидом Дини. Одно се-
мейство линий кривизны геликоида Дини состоит из сферических
линий. Трактрисы поверхности, образуют второе семейство ее ли-
ний кривизны. Поверхность пересекается с плоскостью трактрисы
под постоянным углом, в частности, для псевдосферы этот угол
равен прямому. Псевдосфера есть частный случай геликоида Ди-
ни. Одной из полостей поверхности центров геликоида Дини яв-
ляется геликоид, профиль которого есть параллельная проекция
цепной линии (см. раздел «Поверхности»),
Формы задания поверхности геликоида Дини
1) Параметрическая форма задания (рис. 1)?
I м
х = х(и,у) = a sin и cosv, у = у (и, v) = a sin и sinv, z = z(u,v) = а cos и + aln^tg—J +bv,
где и - угол между винтовой осью и касательной к трактрисе.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А = actgu, F = ab------, В2 = b2 + a2 sin2 и, А2В2 - F2 = а2 {а2 + Z?2)cos2 и,
sin и
a2cte« cosh a2sin«cosw
L = - М = -ab^=y=y, N =—т ; ,
у/a2 +b2 у/a2+b2 y/a2+b2
tgu a2 sin и cos и ctgw
y/a2 + b2 ' (b2 + a2 sin2 u)y/a2 + b2 " у/a2 +b2
1 ctg2«
К = —г—-у = const <0; И = ,—= Ф 0.
a + b~ -Ja2+b2
Поверхность геликоида Дини отнесена к неортогональной несопряженной системе криво-
линейных координат и, v. Координатная линия и совпадает с одним семейством линий кривиз-
ны поверхности. Площадь элемента поверхности, ограниченного координатными линиями,
можно вычислить по формуле: ds = а (а2 + b2)l/2cosu dudv. Геликоид Дини входит также в класс
поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны.
Дополнительная литература
1. Gray A. Modem Differential Geometry о f Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed.). - Boca Raton, FL: CRC
Press, 1998.- 1053 p.
186
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Винтовая поверхность с параболической образующей общего положения образуется обык-
новенным винтовым движением параболы Y(f) = сг, ось У которой повернута на угол в к вин-
товой оси Oz. Вершина параболы находится на расстоянии а от винтовой оси и перемещается
вдоль этой оси пропорционально угловой скорости (рис 1). Шаг цилиндрических винтовых ли-
ний, лежащих на поверхности будет ТлЬ.
о = 4 м; b = 0,5 м;
с = 0,6 м”1; 0 = 0
Рис. 6
Формы задания винтовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,t) = (а + f cos#+ с/2 sin#)cosw,
у = y(u,f) = (а + Г cos6* -+- ct2 sin,#)sinu,
z = z(u,t) = bu - г sin 61 + ct2 cos0.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = (а +1 cos в + ct2 sin#)" + b2; F = b(2ctsm0 - sin #); 52 = 1 + 4c2/2;
r / z, > . z,V 2c/cos#-sin# b, „ „ . -v-
L-(a + rcos# + cr sm#) ---—-----; M =-—(cos# + 2cfsin#) ;
N = (a +1cos# + ct2 sin#)^-; где Z2 = B2 (a + /cos# + ct2 sin#)" +b2 (1 + 2c/sin#)2.
На рис. 2-6 показаны различные варианты винтовых поверхностей с параболической об-
разующей общего положения. Эти поверхности могут быть как поверхностями положительной
гауссовой кривизны (рис. 4), так и отрицательной (рис. 2, рис. 3, рис. 5, рис. 6).
Винтовые поверхности заданы в криволинейных неортогональных несопряженных коорди-
натах и, t. Только поверхность, показанная на рис. б (# = 0), отнесена к ортогональным (Г = 0)
несопряженным криволинейным координатам.
Если принять b = 0, то винтовые поверхности выродятся в поверхности вращения параболы
общего положения (см. «Поверхность вращения параболы общего положения»). При b = 0, в = 0
и а = 0 винтовая поверхность вырождается в параболоид вращения (см. «Поверхности враще-
ния»).
Дополнительная литература
1. Иванов В.И. Геометрия и конструирование оболочек на основе поверхностей с системой координатных ли-
ний в плоскостях пучка// Пространственные конструкции зданий и сооружений: Сб. статей. - М.: ООО «Девятка
Принт», 2004. - Вып.9. - С. 26-35 (библ.: 13 назв.).
187
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С СИНУСОИДАЛЬНОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Винтовая поверхность с синусоидальной образующей образуется
обыкновенным винтовым движением синусоиды K(v) = csin(90° + пт/d')
= ccos(mw/d), X(v) = v. Местная ось У пересекает винтовую ось под уг-
лом Q. Начало местной декартовой системы координат X, У находится
на винтовой направляющей на расстоянии а от винтовой оси и переме-
щается вдоль этой оси пропорционально угловой скорости. Шаг цилин-
дрических винтовых линий, лежащих на поверхности, будет постоян-
Рис. б
Рис. 7
Рис. 8
ным и равным 2тсЬ.
Формы задания винтовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
пт
х = x(u,v) = (а + v cos 0 +с cos--sin б1) cos и,
а
пт
у = y(w,v) = (a + v cos <9 +с cos-sin0)sinu,
а
пт
z = z{u,v) = bu-vsin0+ccos—~cos0,
а
где и - число целых полуволн синусоиды, помещающихся на отрезке длиной d.
На рис. 2 показана винтовая поверхность при а р 0, 0 = 0; на рис. 3 - при 0 = 0, а = 0. На
рис.4 показана поверхность вращения синусоиды, которая получается, если принять 0 = 0, b = 0.
а ^0. Поверхность вращения общей синусоиды представлена на рис. 5 (см. в разделе «Поверх-
ности вращения»). Для ее построения необходимо принять а = 0, 6 = 0, b = 0. Поверхность вра-
щения наклонной синусоиды показана на рис. 6, здесь а р 0, b = 0, 0 0. Если положить а Р 0.
Ьрд, 0 = zd2, то получится винтовая синусоидальная полоса, рис. 7 (см. раздел «Винтовая сину-
соидальная полоса»). Используя приведенные формулы при b - 0, 0 = л/2, а Р 0, можно полу-
чить гофрированную поверхность вращения общей синусоиды, показанную на рис. 8 (см. в раз-
деле «Поверхности вращения»).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = [а + усозб’-ь ccos(/cv) sin#]2 + b2, F = -&[sin^ + c/csin(/cv)cos0], В2 = 1 + c2k2 sin2 (/cv),
A2В2 - F2 = [a + vcos6* + ccos(/cv)sin6)]' B2 + 62[cos6l- ck sin(Zcv) sin в]', где к -пл I d,
L = [« + vcos0 + ccos(/cv)sin6l]‘'[sin6,+ ck sin(/cv) cos #]/VA2B2 - F2,
Af = -/======== [cos 0-c/c sin(/cv)sin6)]2, N - у =у[я + vcos6* + ccos(Zcv)sin6*]cos(/cv).
Поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных координатах и, v.
188
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ
Винтовая поверхность с образующим эллипсом образуется обыкновенным винтовым дви-
жением эллипса хо(у) = ccosv, yo(v) = dsinv, ось уа которого пересекает винтовую ось Oz поверх-
Рис. 1
ности под углом 0 (рис. 1). Центр эллипса находится на расстоянии а от винто-
вой оси и перемещается вдоль этой оси пропорционально угловой скорости.
Шаг цилиндрических винтовых линий, лежащих на поверхности будет 2пЬ.
Формы задания винтовой поверхности с образующим эллипсом
х = х(и, г) = (д т ccosvcos#+ d sin г sin cos и,
у - у (к, v) = (a + с cosy cos# + d sin v sin в) sin и,
z = z(.u,v) = bu- c cos у sin в + d sin v cos в.
На рис. 2-4 показаны винтовые поверхности с образующим эллипсом при
следующих значениях геометрических параметров: d > с, а О, b Ф 0, но на
рис. 2 угол в между местной осью уа и винтовой осью Oz равен тг/4: на рис. 3 - в= тг/2; на рис. 4
-<9=0. Винтовая поверхность с образующим эллипсом, изображенная на рис. 5, построена при
d > с, а = d, b * 0, 6 = л/2. Все образующие эллипсы в этом случае касаются винтовой оси по-
верхности, а винтовая ось полностью лежит на поверхности. На рис. 6 представлена винтовая
поверхность, для которой d > с, а < d, Ь^О, 0 = л/4.
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
Если принять d> с, a ?Q,b =0, 0= 0, то можно построить эллиптический тор (см. в разде-
ле «Поверхности вращения»), рис. 7. При d = с винтовая поверхность с образующим эллипсом
вырождается в круговую винтовую поверхность с образующей окружностью, лежащей в плос-
кости, которая проходит через винтовую ось (см. в разделе «Круговые винтовые поверхно-
сти»), Если же положить, что d = с, а b = 0, то можно получить круговой тор (см. в разделе
«Поверхности вращения»).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = (а + ccosvcos# + d sin vsin#)2 + b2, F = b(csinvsm# + dcosvcos#), B' = c2 sin2 v + d2 cos2 v,
A2 B2 - F2 = (a + ccosv cos#+ </ sin v sin в)2 B2 + #2(csin vcos# — d cos v sin O')2,
F , b
L =----: - = - =(a + c cosy cos # + d sin vsin#)', M = -—..(csin vcos#-d cos vsin#)2,
byA2B2-F2 Ja2B2-F2
N = -cd (a + ccos v cos# + d sin v sin#)/7A2#2 - F2 ,
cd(a + ccos v cos# +d sin v sin #)3 (csin vsin # + d cos vcos#) —b2 (c sin v cos 0-d cos rsin#)4
К =--------------------------------------------------------------------—————_
{(a + c cos v cos # + d sin v sin #)2 B2 + d2 (c sin v cos 0-d cos v sin #)2} ’
Винтовая поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных коорди-
натах и, у. Она содержит области положительной и отрицательной гауссовой кривизны.
189
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВАЯ СИНУСОИДАЛЬНАЯ ПОЛОСА
Винтовая, синусоидальная полоса образуется обыкновенным винтовым движением сину-
соиды У(у) = csin(90° + tirtv/d'} = ccos(mtv/d), X(y) - v. Местная ось Y пересекает винтовую ось
под углом тс/2,, а ось X параллельна винтовой оси. Начало местной декартовой системы коорди-
нат X, Y находится на винтовой направляющей на расстоянии а от винтовой оси и перемещается
вдоль этой оси пропорционально угловой скорости. Шаг цилиндрических винтовых линий, ле-
жащих на поверхности, будет постоянным и равным 2лЬ.
Формы задания винтовой синусоидальной полосы
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
пт пт
х = х(и, v) = (а + сcos-)cos«, у = у (и, v) = (а + с cos—— )sin«,
а а
z = г(и, у) = bu — v,
где п - число целых полуволн синусоиды, помещающихся на отрезке длиной d:
с - амплитуда синусоиды; - < и < 0 < v < d; d < 2лй.
Принимая d = 2лй, можно получить сплошную винтовую поверхность без
разрывов между полосами поверхности шириной d. Если принять d > 2itb, то
полосы шириной d будут располагаться с нахлестом друг на друга. Если поло-
жить с = 0, то винтовая синусоидальная полоса выродится в цилиндрическую винтовую полосу
(см. в разделе «Цилиндрические поверхности»).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = [а + ccos(^v)]' + b2, F = -Ь, В2 = l + c2k2 sin2 (A:v),
L л1а2в2 -f2
А2В2 -F2 = [а + ccos(b0]2[l + с2k2 sin2 (£v)] + b2c2k2 sin2(kv), где k=nftld,
Г ' ,, bc2k2 sin2(kv) ck2 cos(Zcv) r .
, M = , —=-, N = , (a + ccos(fcv) ],
\lA2B2 -F2 Ja2b2-f2
[a + ccos(fcv)]3 cos(^y) -b2c2k2 sin4(^v)
к = ck2
+ c2k2 sin2(/;y)] + b2c2k2 sin2(£v)}
Поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволинейных координат
и, v. Она содержит участки положительной и отрицательной гауссовой кривизны.
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ КРИВОЙ
В ВИДЕ ЭВОЛЬВЕНТЫ КРУГА
Винтовую поверхность с образующей кривой в виде эвольвенты круга (рис. 2
можно задать следующими параметрическими уравнениями:
х - x(u,v) = [й + xo(y)cos0 + yo(v)sin0]cos«;
egfejSgl У - У (их) = [a + x„(v)cos0 + y0(y)sin(9]sinw; z = z(m,v) = bu- xo(v)sin0 + yo(v)cos0,
где = c(cosv + vsinv), y0(v) = c(sinv - rcosv). Местная ось y0 пересекает вин-
товую ось под углом в. Начало местной декартовой системы координат х0, у0 на-
ходится на винтовой направляющей на расстоянии а от винтовой оси и пере-
мещается вдоль этой оси пропорционально угловой скорости. Шаг цилиндри-
ческих винтовых линий, лежащих на поверхности, будет постоянным и рав-
Рис-3 ным 2кЬ. Если в параметрических уравнениях взять в = b = 0, то винтовая по-
верхность выродится в поверхность вращения эвольвенты круга (рис. 3).
190
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ЦИКЛОИДОЙ
Винтовую поверхность с образующей обычной циклоидой можно задать следующими пара-
метрическими уравнениями:
х = x(u,v) = [а + x„(v)cos<9 + yo(v)sin0]cos«;
у = у(н, v) = [а + ,т„(1 jcostf + yo(v)sin0]sinz<; z = z(u, v) = bu - x0(v)sin# + yo(v)cos<9,
где a-„(v) = c(y - sinv), y0(v) = c(l - cosv). Местная ось y0 пересекает винтовую ось под углом в.
Начало местной декартовой системы координат х0, у0 находится на винтовой направляющей на
расстоянии а от винтовой оси и перемещается вдоль этой оси пропорционально угловой скоро-
сти. Шаг цилиндрических винтовых линий, лежащих на поверхности, будет постоянным и рав-
ным 2лЬ.
На рис. 1 показана винтовая поверхность с образующей циклоидой при 6> = 0. Если принять
в = -л/2, b Ф 0, а Ф 0, то получится винтовая поверхность, представленная на рис. 2. На рис. 3
показана винтовая поверхность с образующей циклоидой при 6 = л/2, b Ф 0, а Ф 0; на рис. 4 -
при 9 = к. Винтовая поверхность с наклонной образующей циклоидой дана на рис. 5, где приня-
то в = -тг/4, b Ф 0, а Ф 0. На рис. 6 показана винтовая поверхность при а = 0, О = —тс/4, b Ф 0.
Принимая b = 0, можно получать поверхности вращения циклоиды. Например, на рис. 7 да-
ны поверхности вращения циклоиды при в = л и при в = -л/2.
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ КРИВОЙ В ВИДЕ ГИПЕРБОЛЫ
Рис. 8 Рис. 9
Винтовая поверхность с образующей кривой в виде
гиперболы задается параметрическими уравнениями:
х = а(и, v) = [а + a„(v)cos<9 + yo(v)sm6,]cosw;
у = y(.u,v) = [а + x„(v)cos0 + yo(v)sin0]sinw;
Z = z(u, v) = bu~ xo(y)sm0 + yo(v)cos0,
Рис. 10 где можно принять x0(v) = cchv, yo(v) = Jshv или, на-
пример, x„(v)=v, yo(v)= e/v. Местная ось yo пересекает винтовую ось под
углом в. Начало местной декартовой системы координат хо, у0 нахо-
дится на винтовой направляющей на расстоянии а от винтовой оси и перемещается вдоль этой
оси пропорционально угловой скорости. На рис. 8 показана винтовая поверхность при 0 = -тс/4-,
на рис. 9 - при в = -л/2. Образующие гиперболы заданы ги-
перболическими функциями. Если взять в = -л/2, а b = 0, то
винтовая поверхность (рис. 9) выродится в поверхность вра-
щения гиперболы (рис. 10). Винтовые поверхности, изобра-
женные на рис. 11 и 12, имеют 9 = 0 и в = —тг/2 соответственно;
v > 0. Здесь образующие гиперболы заданы в виде у0 = е/х0.
Шаг цилиндрических винтовых линий, лежащих на по-
верхности, будет постоянным и равным 2яЬ.
191
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕМЕННОГО ШАГА
Винтовую линию I переменного шага можно задать уравнениями:
х = х(у) = acosv, у = y(v) = asinv, z = z(v) =fiy).
Цилиндр с радиусом а, на котором лежит винтовая линия I, называется основным. При f(y) = pv
получается обыкновенная винтовая линия; приДу) - hsmv - случай Маннгейма - Дарбу; при
Ду) = Asinnv 1) - случай Каутного. Ортогональной проекцией винтовой линии переменного
шага на плоскость z = 0 является окружность радиуса а. Кривизна к и кручение к винтовой ли-
нии вычисляются по формулам:
к = ар + f'2 +f"- / (а2 + / '2, K=(f' + fI (а1 + f '2 + f "2).
Угол подъема <р винтовой линии I определяется из формулы: tg^ = f '(г) /а.
Винтовое движение переменного шага некоторой кривой образует винтовую поверхность
переменного шага. Пусть относительно подвижной системы координат O'XyZ. задана образую-
щая кривая: X = Y -fYd), Z =fa(t). Точка O' находится на неподвижной координатной оси
Oz, а ось Oz совпадает с подвижной осью dZ. В этом случае параметрические уравнения вин-
товой поверхности переменного шага запишутся в виде:
х = x(t, v) = A (Г) cos v - A (г) sin г, у = у (г, у) = /, (f) sin у + А (г) cost, z = z(t, v) = f (v) + А (r).
Координатная линия t - образующая кривая, линии у - винтовые линии переменного шага,
лежащие на круглом цилиндре радиусом V/rw+Aw-
Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности можно представить в виде:
Е = А2 = 2 (г) + d2 (О + /з 2 W, Е = -А (г) А/ (г) + А (г) А (0 + f ’ (v) А (О,
G = в2 =A(0 + A2(0 + A2(v),
где .. / означает дифференцирование по t или по у.
Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности можно получить по формулам:
1
А2В2 - F2
1
Va2B2 -F2
А"-А' о
d A d
d d А
Линейчатые винтовые поверхности переменного шага получаются винтовым движением
прямой, параметрические уравнения которой записываются в виде: X = a, Y = fsiny, Z = /cosy.
Открытые линейчатые винтовые поверхности определяются уравнениями:
х - x(t,v) = a cosy - f sin у sin у, у = y(r,v) = asinv + rsin/ cost, z = z(t, v) = /(v) + rcos/,
или r = r(r,v) = ae(y) + rsinyg(v) +fc[/(y) + fcosy].
Торцевое сечение линейчатой винтовой поверхности получится при пересечении ее плос-
костью z - 0: Г = -Av)/cosy. Открытая прямая линейчатая винтовая поверхность переменного
шага задается теми же уравнениями, но при у = 90°. Закрытая линейчатая винтовая поверх-
ность переменного шага получается, если взять а = 0. При введении обозначения rsiny = и
уравнения закрытой линейчатой поверхности несколько упрощаются:
х = x(ii,v) = ucosv, у = у(и,у) = wsinv, z = z(«,v) ~ ucXgy +f(y).
Коэффициенты квадратичных форм линейчатых винтовых поверхностей имеют вид:
, , , ,, , , sin yfactgy-А(А]
A = l, F = asin/ + f/(v)cos/, В2 = а- + f ‘(у) + г sin /, L = 0, М - .— • .......---.
A/'W-actg/]2+Г2
N = {a[actgy-f'(v)] + t2 sin/cos/ +Г sin/"(у)} /-Jtd (F)-actg/]2 +12.
192
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Винтовые поверхности переменного шага, представленные в справочнике
шагом полоса переменного шага
Цилиндрическая
винтовая полоса с
наперед заданны-
ми углами накло-
на касательных в
начале и конце
направляющей
цилиндрической
винтовой линии
переменного шага
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С НАПЕРЕД ЗАДАННЫМИ УГЛАМИ
НАКЛОНА КАСАТЕЛЬНЫХ В НАЧАЛЕ И КОНЦЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВИНТОВОЙ
ЛИНИИ ЦЕНТРОВ ПЕРЕМЕННОГО ШАГА
Для практических целей в качестве линии центров цикли-
ческой поверхности с окружностями в плоскостях пучка ис-
пользуется цилиндрическая винтовая линия переменного ша-
га, параметрические уравнения которой записываются в ви-
де:
, , , . ( tga, - tgef.
.х(^) = rcostp, y(ip) = rsmtp, z = rm tga, +-=--<p ,
I 1(Pk )
где r - радиус цилиндра, на котором располагается винтовая линия центров; а, - заданный угол
наклона касательной к плоскости хОу в начале винтовой линии центров при <р = 0; а? - задан-
ный угол наклона касательной в конце винтовой линии центров при <р = tpk-, 0 < <р < <pt.
На рис. 1 показана развертка цилиндрической поверхности радиусом г с тремя возможными
линиями центров: линия 7 построена при о.\ < ау, линия 2 - при о.\ > ау линия 3 - линия одина-
кового ската с углом откоса аз, причем tga. = (tgtz, + tga2)/2.
Рис. 2
Формы задания циклической винтовой поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = х(ср, /3) = (г + R cos Д) cos <р, у = у(<р. /3) = (у + Rcos Д)sin
z = z(^, Д) = rm tea, | + 7? sin Д,
где <р - угол, отсчитываемый в плоскости хОу от оси Ох в сторону оси Оу;
0 < <р < <рк; Д - угол в плоскости образующей окружности, отсчитываемый от
плоскости хОу в сторону оси Oz; 7? - радиус образующих окружностей, лежа-
щих в плоскостях пучка, проходящих через координатную ось Oz.
На рис. 2 изображена циклическая винтовая поверхность с линией центров
переменного шага при = 4тг; г = 1 м; «1 = 20°; ai = 30°; 7? = 0,5 м; 0 < Д < 2яг.
В качестве направляющей линии принята цилиндрическая винтовая линия пе-
ременного шага 7 (.рис. 1).
193
7 - 539-1
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 1
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВИНТОВАЯ ПОЛОСА ПЕРЕМЕННОГО ШАГА
Цилиндрическая винтовая полоса переменного шага имеет постоянную ширину вдоль пря-
молинейных образующих прямого кругового цилиндра, на котором она расположена. Углы на-
клона а касательных к направляющей линии винтовой полосы к координатной плоскости хОу
изменяются в пределах 0 < а < л/2 . Направляющая цилиндрическая линия переменного шага
х(и) = a cos тли, у(и) = asini-пли, z(w) = Ьт/1-(1-и)2
лежит на круговой цилиндрической поверхности радиусом а (рис.1). Параметрические уравне-
ния направляющей линии содержат постоянный геометрический параметр т/2 - число витков
на участке Q<z<b, то есть при 0 < и < 1.
Формы задания цилиндрической винтовой полосы переменного шага
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и) = a cos тли, у = у(и) = a sin тли, z = г(и, у) = йд/1-(1-и)2 + v,
где линия v = 0 совпадает с направляющей цилиндрической винтовой лини-
ей переменного шага.
Касательные прямые к координатным линиям v (рис.1) пересекают коор-
динатную плоскость хОу под углом а = 90° - ср, где
атл I——----г
—-----^(2-и).
Ь(1 - и)
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2-т2а2л2 + Ь2(1-и)2/[1-(1-и)2Ъ F = 6(1-и)Д/1-(1-и)2 , 5 = 1,
A2S2-Е2 =mW, Ь = -т2ал2, М =N = К = 0, kt=Q, k2=k,
= 2;
= 10;
= 10
а = 2;
/? = 20;
= 16;
Рис. 2
= -1/а.
ПРЯМАЯ ГЕЛИКОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ
Прямолинейные образующие прямой геликоидальной поверхности с переменным шагом па-
раллельны плоскости, перпендикулярной оси поверхности Oz, и проходят через цилиндриче-
скую винтовую линию переменного шага
х(и) = a cos тли, у (и) = a sin тли,
z(«) = 6д/1-(1-и)2
и ось поверхности Oz. Углы а между касатель-
ными к направляющей винтовой линии и коор-
динатной плоскостью хОу изменяются в преде-
лах <д<а<л/2 (рис. 1).
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 3-5
х = л'(и) = (п + v) cos тли, у = у(и) = (a+ v)sin тли, z - z(yi, v) = b^l-i(1 -и)2,
где т/2 - число витков на участке 0 < z 2 b, то есть при 0 < и < 1, -a<v<°°.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2=т2Ц + ^2л2+^и')\ , F =0, 5 = 1, L= bm^a + *\n , М = , N = 0.
[1-d- и)2] Д[1-(1-и)2]3/2 А[1-(1-и)2]/2
т2Ь2л2(1-и)2 _ Ьтл(а + с)
А4[1-(1-н)2] - ” 2А3[1-(1 -и)2]3/2
194
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ ПЕРЕМЕННОГО ШАГА
Циклическая винтовая поверхность с линией центров переменного шага образовывается
окружностью постоянного радиуса, центр которой при винтовом движении движется вдоль
винтовой линии центров L переменного шага (рис. 1)
&-----j x(ii) = a cos тли, у(и) = asinmmi, z(i<) = - и)2 .
Образующая окружность все время будет оставаться в плоскостях пучка с фикси-
рованной прямой, совпадающей с осью винтовой линии - координатной осью Oz.
Цилиндрическая винтовая линия центров L лежит на круговой цилиндрической по-
верхности радиусом а; да/2 - число ее витков на участке 0 < z < />, то есть при
( L 0<и<1.
ч. Касательные прямые к цилиндрической винтовой линии L переменного шага пере-
\ секают координатную плоскость хОу под углом а = 90“-<э, где
mh ~ ! Г атЯу/и(2-и)
ь = 10; te® =---—-------.
а = 2 Ь<Л~и)
Рас. 1 Угол а изменяется от а = 0 при и = 1 (z = b) до а = л/2 при и = 0 (z = 0).
Рассматриваемую поверхность можно отнести как к классу винтовых поверхностей, так и к
классу циклических поверхностей к группе циклических поверхностей с окружностями в плос-
костях пучка.
Формы задания циклической винтовой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и, г) = (а + г cos г) cos тли, у = y(u,v) = (а + г cos v) sin тли,
z = z(u,v) = b^u(2—u) + rsin v,
где r = const - постоянный радиус образующей окружности. На рис. 2 показана
циклическая поверхность, для которой геометрический параметр и изменяется
в пределах '0 < и < 1. Если геометрический параметр и изменяется в пределах
0 < и < 2, то поверхность будет замкнутой.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, 2 •> ->, ,5 р (1-и)2 Г- rb(l-u)cosv п
А = т~л~(а + rcosv)' + b~----, F =—. -------- В = г,
и(2-и) Ju(2 — u)
Рис. 2
г = 0,5;а = 2;
b = 10; т = 10;
, т--> 2 2 2/ ч’ Ь2г2(1-и)2 sin2 v
А"В -F~ =т л~г (а + rcosv)' +
и(2-и)
, — гтл(а + г cos v) I , > , , Z>sinv
L =---= —— (m л' (a + r cos v) cos v d----—
7a252-F2 l [и(2-и)]3/2
M_ r2mzzb(i — z/)sin2 v г2тл{а + rcosv)
Ja2B2-F2Ju(2-u) ’ -Ja2B2-F2
Циклическая винтовая поверхность с линией центров переменного шага
задана в криволинейных неортогональных несопряженных координатах и, v. Причем коорди-
натные линии v совпадают с образующими окружностями. Торцевая окружность и = 1 будет
линией кривизны. Поверхность содержит участки положительной и отрицательной гауссовой
кривизны.
195
7*
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВИНТОВАЯ ПОЛОСА С НАПЕРЕД ЗАДАННЫМИ УГЛАМИ
НАКЛОНА КАСАТЕЛЬНЫХ В НАЧАЛЕ И КОНЦЕ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ ПЕРЕМЕННОГО ШАГА
Винтовые-поверхности переменного шага можно видеть в резьбах различных типов, в фор-
мах винтовых конвейеров и червячных прессов, где обычно делают сравнительно плавные из-
Рис. 1 S = r<P
Рис. 2
Рис. 3
менения шага винта.
Для практических целей используется направляющая ци-
линдрическая винтовая линия переменного шага, парамет-
рические уравнения которой записываются в виде:
/х / х ( tga.-tga )
x(^) = rcos^, у(^) = rsin^x z~r<p tgaj +--------(p .
I 2(pk )
где r - радиус цилиндра, на котором располагается винтовая
линия; «1 - угол наклона касательной к плоскости хОу в на-
чале винтовой линии при ср = 0; а2 - угол наклона касатель-
ной в конце винтовой линии при tp = ipk, 0 < <р < <рк.
На рис. 1 показана развертка цилиндрической поверхности ра-
диусом г с тремя линиями: линия 1 построена при ср < «2; линия 2 -
при at > аэ; линия 3 - линия одинакового ската с углом откоса а-
причем tga3 = (tga, + tga, )/2..
На рис. 2 представлены те же три типа цилиндрических винтовых
линий У - З1, которые образовываются при наматывании плоскости
с тремя линиями 1-3 (рис. 1) на круговой цилиндр радиусом г.
Формы задания цилиндрической винтовой полосы
1) Параметрическая форма задания:
I tga, - tga,
x = x{(p) = r cos (p. у = у (др) - rsin ср, z = z(p,u) = rm tga, 3-=---
I M
А2 = г2
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
tg^-2 ~tg-'-J, В = 1, А2 В2 — F2 = г2
, tga, - tga,
1+ tga, -----------— <р
I <Рк
L = —r, М = N = 0, к=
v А
<Рк
, ки = к2 =0, к} =-, К =0.
, tga, - tga,
г 1+ tga, +-=——-р
<Рк
1
Рассматриваемая цилиндрическая винтовая полоса является фрагментом цилиндрической
поверхности вращения радиусом г. Криволинейные координаты и, v - неортогональные и со-
пряженные. Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими цилиндриче-
ской поверхности.
На рис. 3 изображена цилиндрическая винтовая полоса переменного шага при 0 < <р < <рк
<рк = 4лг; г = 1 м; а, = 10°; а2 = 30°; 0 < и < 1 м. В качестве направляющей линии принята цилинд-
рическая винтовая линия переменного шага /'(рис. 2).
Дополнительная литература
1. Дружинский И.А. Сложные поверхности: Математическое описание и технологическое описание. Справоч-
ник.-Л.: «Машиностроение», 1985. -263 с.
196
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИТЕРАТУРА ПО ПРИМЕНЕНИЮ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ВИНТОВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
1. Гречишников В.А. Профилирование инструмента для обработки винтовых поверхностей деталей по методу
совмещенных сечений. - М.: Мосстанкнн, 1979. - 21 с.
2. Строганов В.Л. Элемент снасти для рыбной ловли. - Российский патент на изобретение № 2158082 от 2000.
10.27, Россия.
3. Верховский А.В. Геометрическое моделирование при синтезе и анализе червячных передач общего типа. -
Дис. д-ра техн. наук. - М.: ИММАШ. 2000. - 254 с.
4. Кривошапко С.Н., Халаби С.М. Четыре типа винтовых линейчатых поверхностей для проектирования панду-
сов автомобильных стоянок,'/ Вторая конф. Минатома России: «Методы и программное обеспечение расчетов на
прочность». - г. Геленджик, 30 сект. - 5 окт. 2002 г. - М.: Изд-во ГУП НИКИЭТ, 2003. - С. 325-334 (библ.: 6 назв.).
5. Кривошапко С.Н. Применение асимптотического метода малого параметра для аналитического расчета тон-
ких упругих торсов-геликоидов.'/ Пространственные конструкции зданий и сооружений: Сб. статей МОО «Про-
странственные конструкции». - Вып. 9. - Москва: ООО «Девятка Принт», 2004. - С. 36-44 (библ.: 3 назв ).
б. Севрюк В.Н. Контакт круго-винтовых поверхностей// Труды ХПИ. — Харьков, 1961. — № 35. - С. 46-53.
7. Гавеля СП., Рыжкова Т.П. О применении схемы разделения переменных к расчету НДС трубчато-винтовых
оболочек// Допов. д. АН УССР. - 1975. - X» 7. - С.587-603.
8. Александров П.В., Немировский Ю.В. Исследование напряженного состояния армированных геликоидаль-
ных оболочек^/ Известия вузов. Строительство. - 1994. -№ 11. - С. 48-55 (библ.: 15 назв.).
9. Якупов Н.М. Прикладные задачи механики упругих тонкостенных конструкций. -Казань: ИММ, 1994. -124с.
10. Кантор Б.Я., Чубукина Л.П. К задаче оптимизации винтовых трубчатых манометрических пружин// АН
УССР. Ин-т проблем машиностроения. - Харьков, 1979. - 24 с. - Деп.-в ВИНИТИ 25.02.80, Ха 681-80.
11. Зубов Л.П. О больших деформациях изгиба и кручения упругих оболочек, имеющих.форму винтовой по-
верхности// Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. сб. к 70-летию акад. Н.Ф. Морозова. -
СПб: Изд-во СпбГУ, 2002. - С. 130-136.
12. Щегольков Н.Н. Алгоритм определения погрешности профилирования винтовых поверхностей инструмен-
том с аппроксимированным профилем// Вестник машиностроения. -2001. -№7.
13. Щуров И.А. Расчет профиля дискового инструмента для обработки винтовой поверхности// СТИН. - 1996.
- № 1.-С. 19-21.
14. F.Y.M. Wan. Final axial extension and torsion of elastic helicoidal shells// Asymptotic and Computational Analy-
sis: Conf, in Honor of Frank W.J. Giver’s 65!h Birthday, 1989. - Ed. by R. Wang, Marsel Dekker, New York and Basel,
1990.-P. 491-516 (библ.: 7 назв.).
15. Ivanov V., Nankov G. Profiling of rotation tools for forming of helical surfaces// Ini. J. Machine Tools Manuf. -
Sep. 1998.-38 (9).-P. 1125-1148 (библ.: 12 назв.).
16. Fardis Michael H., Skouteropoulou Anna-Maria O., Bousias Stathis N. Stiffness matrix of free-standing helical
stairs// J. Struct. Eng. (USA). - 1987. - 113 (1). - P. 74-87 (библ.: 5 назв.)..
17. Krivoshapko S.N. Geometry and strength of general helicoidal shells// Applied Mechanics Reviews (USA). - Vol.
52. - No 5. - May 1999. - C. 161-175 (библ.: 181 назв.).
18. Roberts A.W., Manjunath K.S., Mcbride IT. The mechanics of screw feeder performance for bulk solids flow con-
trol//Nat. Conf. Publ., Inst. Eng., Austral. - 1992, Xs 92/7. -P. 333-338 (библ.: 6 назв.).
19. Shrivastava N.K. Effect of boundary restraints on curved spatial forms// Int. Symp. “Innov. Appl. Shells and Spat.
Forms”, Bangalore, Nov. 21-25, 1988: Proc. Vol. 1. - Rotterdam, 1989. - P. 217-226.
20. Teraoka Atsuo. Analysis del husillo de alta plastificacion para el moldeo por inyeccion// Rev. plast. mod. - 1995. -
46, № 463.-P. 55-64.
21. Wen-Guang Jiang and J.L. Henshall. Development and applications of the helically symmetric boundary condi-
tions in FE analysis// Commun. Numer. Methods Eng., 15(6), June 1999. - P. 435-443.
22. Knabel J., Lewinski T. Statics of thin helicoidal shells// The 6,h Conf. “Shells Structures, Theory and Applications”.
- Gdansk - Jurata, 12-14 October 1998. - T2B4. - P. 1115-1120.
23. Wan F.Y.M. Pure bending of shallow helicoidal shells// J. of Applied Mechanics: Trans, of the ASME. - June 1968.
- P. 387-392 (библ.: 6 назв.).
24. Mallett R.L. Circumferentially sinusoidal stress and strain in helicoidal shells. - Thesis for the degree of DPh. -
Massachusetts Institute of Technology, September 1970. - 136 p. (библ.: 20 назв.).
25. do Carmo M., Dajczer M. Helicoidal surfaces with constant mean curvature// Tohoku Math. J. - 1982. - 34. - P.
425-435.
26. L. Richard Hitt, Jaonnis M. Roussos. Computer graphics of helicoidal surfaces of constant mean curvatures// Anais
da Academia Brasileira Ciencias. - 1991.-63 (3). - P. 211-228.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Винтовые поверхности».
197
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Если кривая, совершая винтовое движение, одновременно подвергается подобному преоб-
разованию с коэффициентом подобия, пропорциональным углу поворота, и с постоянным цен-
тром подобия, расположенным на оси вращения, то она описывает спиральную поверхность.
J Траектории точек кривой при указанном движении будут располагаться
на конусах х2 + у2 = z2tg2<p, где <р - угол пересечения оси кругового конуса ;
) его прямолинейными образующими. Параметрические уравнения траекторий
точек кривой имеют вид (рис. 1):
х = x(t) = се1" cos(b + ох), у = y(t) = се1" sin(b + ox), z = de'",
b, с, d - произвольные постоянные; h = const. Проекции траекторий точен
кривой на плоскость хОу - логарифмические спирали (рис. 1). Если за Ь, с,
Рис. 1 принять произвольные функции переменного и, то приведенные выше пара-
метрические уравнения траекторий кривой определят произвольную спиральную поверхность.
Сеть, составленная из траекторий спирального движения и их ортогональных траекторий, будет
спиральной сетью. В параметрах спиральной сети линейный элемент спиральной поверхности
приводится к виду ds1 = U2 (u)e2v (du2 +dv2).
Если представить параметрические уравнения конической спирали в виде
х — х(и) = ae"mcosu', у = у(и) = ae""‘smu; z = z(u) = аХети,
z’k ' Ч X то параметрические уравнения спиральной поверхности, образуемой
Vo/'ч°/’кртВ'^ил движением произвольной плоской кривой p(v) = х0(у)р + y0(v)q (рис. 2).
Д/ /V лежащей в плоскости пучка, проходящей через координатную ось О:.
'' можно записать как
// л«
•=* А х = x(u,v) = [ае'”“ + x„(y)cos0 + yo(v)sin#]cosM;
Ч> 1
1 У = y(.u,v) = [ае'т‘ + xo(v)cos0 + y„(v)sin6']sinH;
z = z(u, v) = аЛети - x0(v)smd + ya(v)cos0.
Здесь x0 = x0(v), Vo = y0(v) - уравнение образующей кривой в местной системе координат,
оси которой совпадают с ортами р, q (рис. 2), а начало координат лежит на направляющей ко-
нической спирали; tg^ = 1/2, где <р - угол между прямолинейной образующей направляющего
конуса и осью Oz', 2 = ctg^; а = rosin^; r0 = const.
Коэффициенты первой основной квадратичной формы произвольной спиральной поверхно-
сти с образующей кривой в плоскостях пучка имеют вид:
А2 = а2т2 (1 + Л2)е2""‘ + (ае”'“ + х0 cos(9+ у0 sin#)2, В2 = х'2 + у'2,
F = ате"'“ [х'о (cos в - 2 sin в) + у' (sin в + 2 cos #)].
Поверхность отнесена к неортогональной несопряженной системе криволинейных коорди-
нат и, v, где линии и совпадают с траекториями спирального движения, а линии г - с образую-
щими плоскими кривыми. Если принять, что параметр 2 = 0, то есть <р = тг/2, тогда коническая
спираль выродится в плоскую логарифмическую спираль.
Дополнительная литература
1. Джашиашвили Т.Г., Карагашев Д.А. Методика расчета частот собственных колебаний металлической спи-
ральной камеры// Исследование рациональных и экон, конструкций гидро- и теплоэнерг. сооружений для горных
условий (ГрузНИИЭГС). - М.: 1992.-С. 135-145.
2. Шуликовский В.И. Инвариантная характеристика метрики спиральной поверхности//ДАН, 99.-1954.-С.35-36
3. Вайнберг Д.В., Гуляев В.И. Устойчивость механических и физических полей в оболочках сложной формы
Успехи мех. деформир. сред. - М.: «Наука», 1975. - С. 96-104.
198
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Спиральные поверхности, представленные в справочнике:
Круговая спиральная поверх-
ность с образующей окружно-
стью постоянного радиуса, ле-
жащей в плоскостях пучка
Цилиндро-коническая
винтовая полоса
Развертывающийся
конический геликоид
Торс с ребром возврата, заданном в виде
х = е' cost; у - e'sinf; z = е'
ОСпиральпая поверхность
с параболической
образующей общего
положения
Спиральная поверхность Спиральная
с образующим эллипсом коническая полоса
Спиральная поверхность
с гиперболической
образующей
Спиральная поверхность
с образующей в форме
циклоиды
Спиральная линейчатая поверхность с прямой
образующей, перпендикулярной к оси направляющей
конической спирали и к касательной этой же спирали Прямая круговая спиральная поверхность
Спиральная поверхность с направ-
ляющей логарифмической спиралью
и параболической образующей
Циклическая поверхность с образующей окружно-
стью в плоскостях пучка и с плоской линией цен-
тров в.видс логарифмической спирали
логарифмическую спираль и пересе-
кающими фиксированную ось под
постоянным углом
199
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ, ПРИМЕНЕНИЮ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО СПИРАЛЬНЫМ И СПИРАЛЕВИДНЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
1. Петрова А.Т. Об одном способе образования трансцендентных поверхностей// Прикладная геом и инж. гра-
фика. - Киев, 1978. - Вып. 26. - С. 49-52 (библ.: 3 назв.).
2. Юрасов С.Ю. Совершенствование геометрических параметров инструментов с коническими винтовыми по-
верхностями на основе моделирования режущих кромок. - Дисс. канд. техн. наук. - МГТУ «Станкин», 2000, 05.24.
- 133 с. (библ.: 164 назв.).
3. Медведев В.И., Шевелева Г.И. Определение формы поверхностей спирально-конических зубчатых колес г:
параметров зубообрабатывающих станков из условий контактной прочности зубьев// Проблемы машиностроения и
надежности машин. - 2001. - № 1 (библ.: 7 назв.). - (http://w'wwr.gears.ru/medv_s8.htm).
4. Оглобля А.И. Численный анализ напряженного состояния оболочек спиральных камер гидротурбин с учетом
отпора бетона. - Киев, инж.-строит. ин-т, Киев, 1984. - 16 с. - Рукопись деп. в УкрНИИНТИ 21 июня 1984г., Л2
1110 Ук-84 Деп. (библ.: 8 назв.).
5. Лисичкин С.Е., Рубин О.Д., Ивонтьев А.В. Исследование напряженного состояния и прочности турбинногс
блока со спиральной камерой различной конструкции// Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. — 2002. - Том 241. -
С. 230-238.
6. Седов Владимир. Мусульманский поворот. Минарет в Самарре// Проект. Классика. - 2004. — № X-MMIV. -
С. 75-79.
7. Проскуренко Д.А. Технологические схемы проходки стволов, их недостатки и возможные пути их совершен-
ствования// Совершенствование технологии строительства шахт и подземных сооружений: Сб. научн. тр. - До-
нецк: ООО «НОРД Компьютер», 2003. - 75 с.
8. Bipuu С.О. Вилучення сшрально/ поверхш з конгруенцп кошчних гвинтових л!н1й// Геометричне та
комп’ютерне моделювання. - Харкав: ХДУХТ, 2005. - Вип. 9. - С. 28-31 (библ.: 4 назв.).
9. Слав Л.И., Тевлин А.М. Геометрические основы конического винтового проецирования// Преобразования
геометрических фигур и их практические приложения. - М.: МАИ, 1968. — Вып. 184. - С. 104-113 (библ.: 3 назв.).
10. Тевлин А.М. Некоторые снециальные виды спирально-винтового проецирования// Кинематические методы
конструирования технических поверхностей. - М.: МАИ, 1973. - Вып. 270. - С. 3-7 (библ.: 2 назв.).
11. Михайленко В.Е., Кагценко А.В. Геометрический анализ форм живой, природы// Прикладная геометрия ;
инженерная графика. - Киев, 1977. - Вып. 23. - С. 30-34 (библ.: 5 назв.)
12. Петрова А.Т. К заданию поверхности типа корпуса центробежного насоса// Прикладная геометрия и инже-
нерная графика. - Киев, 1977. - Вып. 23. - С. 94-96 (библ.: 2 назв.)
13. Ефстифеев М.Ф., Ковалев С.Н., Петрова А.Т. Образование спиральных кривых методом деформации пло-
ской системы координат// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1978 - Вып. 25. -С. 21-23 (библ.: 2 назв.).
14. Тевлин А.М. Квазивинтовые поверхности и вопросы их конструирования и отображения// Кинематические
методы конструирования технических поверхностей. - М.: МАИ, 1970. - Вып. 213. - С. 112-114 (библ.: 5 назв.).
15. Сулюкманов Ф.С. К вопросу аналитического задания квазивинтовой поверхности// Кинематические методы
конструирования технических поверхностей. - М.: МАИ, 1970. - Вып. 213. - С. 115-117 (библ. 4 назв.).
16. Аронсон А.А., Зубрицкая М.А., Соколов В.В. Спиральная камера турбин Бурейской ГЭС// Расчет предел
состояния бетон, и железобетон, конструкций энерг. сооружений. - «ПРЕДСО-90»: Всес. научно-техн, совещание.
Усть-Нарва, 22-24 мая 1990.-СП6, 1991.-С. 123-129.
17. Мирошниченко А.В. Конструирование циклических поверхностей типа «улитки» по заданным размерам.'
Мат. методы анализа динамических систем. - Харьков, 1978. - № 2. - С. 149-153.
18. Минц Л.И., Минц И.Я. Уравнение эллиптической спирали// Мат. методы анализа динамических систем. -
Харьков, 1978,-№2.-С. 32-35.
19. Brauner Н. Die Schraubflachen und Spiralfiachen mit Boschungs - Schmieglinien/ Glass, mat. - 1990. - 25, № 1.
-S. 157-165.
20. Rottmann H., Lee 1.К., Randrup T. Reconstruction of kinematic surfaces from scattered data// Proc. Symp. for
Geotechnical and Structural Engineering. - Eisenstadt, Austria, 1998. - P. 483-488.
21. Weiss Gunter, Horst Martini. On curves and surfaces in illumination geometry// Journal for Geometry and Graph-
ics. - 2000. - Vol. 4. - No 2. - P. 169-180.
22. John Sharp. Spirals and the golden section// Nexus Network Journal. - Vol. 4, no. 1 (Winter 2002). -
http://www.nexusioumal.com/Sharo v4n 1 -intro.html (библ.: 10 назв.).
23. Brent Collins. Abstract spiral sculpture// Ashland Hardwood Gallery. - http://www.HardwoodGallery.com
24. Xah Lee. Seashell. - http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves dir/Seashell dir/ (библ.: 18 назв.).
25. Junior Science Book of Seashells by Sara and Beryl Epstein. - Garrard Publishing Co., 1963. - 64 p.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах разделов «Спиральные поверхно-
сти» и «Спиралевидные поверхности».
200
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЬНАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПРЯМОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ОСИ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КОНИЧЕСКОЙ СПИРАЛИ
И К КАСАТЕЛЬНОЙ ЭТОЙ ЖЕ СПИРАЛИ
Пусть имеется направляющая коническая спираль
х = х(ср) = sin Я cos <р • у = у((э) = ri; sin Asin <р • ek<f, z = г(ф) = ru cos A - etf>,
где Z - угол между осью Oz и прямолинейной образующей конуса; долгота <р - угол между
плоскостью xOz и подвижной плоскостью осевого сече-
ния; го, к - константы. Пусть с(^) - единичный вектор,
перпендикулярный единичным векторам Ь(ур) и к, то есть
с(<р) =Ь{(р) х к,
c{(p) = i -j /'= , - J~ ,
д/.Т ’ + у ’ д/.Х ‘ + у ’
где Ь(у) - единичный вектор, совпадающий с проекцией
касательного вектора к конической спирали на плоскость хОу, к - единичный орт, совпадаю-
щий с осью Oz; х, у, z - координаты направляющей конической спирали; ...' = д.. ./д<р. Спираль-
ная линейчатая поверхность с прямой образующей ис(г), перпендикулярной к оси направляю-
щей конической спирали и к касательной этой же спирали будет линейчатой поверхностью от-
рицательной гауссовой кривизны (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кри-
визны»). Поверхность принадлежит к семейству поверхностей Каталана (см. «Поверхности»).
Плоскость z = const будет являться плоскостью параллелелизма.
Формы задания спиральной линейчатой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
„ k cos <р+ k sin <р , sin <р- к cos <р
х = х(и,<р') = ru sin л cos <р е 9 + и-,—, v = у (и,<р) = ru sin rising - +и-? —,
yjl + k- ” л/1 + А2
z = z((c) = r0 cos A ek<p,
где | и | - расстояние от направляющей конической спирали до соответствующей точки на
поверхности, взятое вдоль прямолинейной образующей.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = 1, F ~ О, В2 = rl2e2tv(sin2 А + /с2) + и2 +2иг0 sin/te^x/l + V ,
Е = 0, М = -r0 cosAek,lk / В, N = r0 cosАекрик2 / В, ки0, к? = r0 cosAe^uk2 / В3,
М2 г2 cos2 Ae2kf> , N кш
К = --------------------к <0’ H = =
D D AD Z
Спиральная линейчатая поверхность является поверхностью отрицательной гауссовой кри-
визны. Она задана в криволинейных ортогональных (F = 0) несопряженных (М^ 0) координатах
и, ср. Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими спиральной поверх-
ности, линии ср - спиральные линии на круговых конусах. Угол ф между касательной к направ-
ляющей конической спирали и плоскостью z = 0 можно найти из формулы:
tg/7 = kctgA I Vl + Л2 •
Дополнительная литература
1. Кожевников А.Ю. Геометрические исследования новых видов линейчатых поверхностей// Труды молодых
ученых. - Часть I. - Санкт-Петербург: СПбГАСУ, 2000. - С.103-107 (библ.: 4 назв.).
2. Якупов Н.М., Галимов Ш.К., Хисматуллин Н.И. От каменных глыб к тонкостенным конструкциям. - Казань:
Изд-во «SOS», 2001. - 96 с.
201
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПРЯМЫМИ ОБРАЗУЮЩИМИ
В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА
Рис. 1
Рис. 4
Пусть имеется направляющая коническая спираль х = х(и) = ae'"“cosu, у = у(и) = aem“sinu,
Z = z(u) = aXe'n“, где 2 = ctg^; <р - угол между осью Oz и прямолинейной образующей конуса, на
котором лежит коническая спираль; долгота и - угол между плоскостью xOz и подвижной
плоскостью осевого сечения; а, т - константы. Спиральная поверхность с прямыми образую-
щими в плоскостях пучка образовывается при винтовом движении прямой линии, пересекаю-
щей ось вращения под углом в (см. раздел «Спиральные поверхности»), а другим концом дви-
жущейся по конической спирали (рис. 1). Все точки прямых образующих будут описывать ко-
нические спирали, которые являются линиями откоса.
Форма задания спиральной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = (ае""‘ + vsin #) cosh, у = y(u,v) = (ае"'“ + vsin 0) sin и, z = z(u,v) = аЛет‘ + vcos#.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = а2т2е2,"“ (1 +Л2) + (ае"'“ + vsin#)2, F = ame‘m(sin0 + Acos#), 5 = 1,
A2B2-F2 = й2т2е2"'“ (cos#-Asin#)2 +(ae"‘“ + vsin#)2,
L= .---- 1' {(ae""‘ + vsin#)2 cos# + (cos#-Asin0)nm2e"'“(ae""‘ -vsin#)},
7a252 -F2
ame""‘ sin0 . , , L - M2
M=—. =(cos#~ Asin#), N = 0, k, =—-, k =0, K = ——5------= < 0.
Va2#2-f2 A2’ ‘ A2B2-F2
Коэффициенты основных квадратичных форм показывают, что спиральная линейчатая по-
верхность является поверхностью отрицательной гауссовой кривизны, и задана в криволиней-
ных неортогональных несопряженных координатах и, v. Проекции координатных линий и на
плоскость хОу - логарифмические спирали. Координатные линии v совпадают с прямолиней-
ными образующими спиральной линейчатой поверхности.
Если в параметрических уравнениях поверхности принять, что Q = <р, то рассматриваемая
спиральная поверхность отрицательной гауссовой кривизны выродится в спиральную кониче-
скую полосу (рис. 2) нулевой гауссовой кривизны (см. «Конические поверхности»).
Приняв # = тг/2, можно получить спиральную коническую поверхность с плоскостью па-
раллелизма хОу (рис. 3). Эта поверхность отрицательной гауссовой кривизны - из класса по-
верхностей Каталана. При <9 = 0 рассматриваемая спиральная поверхность становится цилинд-
рической поверхностью, рис. 4 (см. «Цилиндрическая винтовая полоса»).
Положив 2 = 0, можно получить линейчатую поверхность с прямыми образующими, прохо-
дящими через логарифмическую спираль и пересекающими фиксированную ось Oz nod постоян-
ным углом (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»). Все прямоли-
нейные образующие будут лежать в плоскостях пучка.
202
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ
ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Рис, 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
Пусть имеется направляющая коническая спираль
х = х(и) = ae"'“cosu, у = у(и) = ae"“‘sinu, z = z(u) = аАе"ш,
где Л = ctg^; ср - угол между осью Oz и прямолинейной образующей конуса, на котором лежит
коническая спираль; долгота и - угол между плоскостью xOz и подвижной плоскостью осевого
сечения; а = rosin^, го, т - константы.
Спиральная поверхность с параболической образующей в плоскостях пучка образовывается
при винтовом движении параболы, ось которой пересекает ось вращения под углом в (см. раз-
дел «Спиральные поверхности»), а начало местной системы координат, в которой задана обра-
зующая парабола (уо = Ьх2о'), движется по спиральной линии. Все точки образующих парабол
будут описывать конические спирали, которые являются линиями откоса.
Форма задания спиральной поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х - х(и,г) = (ее™" + vcos0 + fov2 sin 9) cos и, у = у(и,у) = (ае""‘ + vcos0 + bv2 sin в) sin и,
z = z(u,v) = аЛе"т -vsin0 + bv2 cos#.
На рис. 1 представлена спиральная поверхность с b < 0, 0 > л/2, или можно принять b > О,
но в < 0. На рис. 2 показана спиральная поверхность, для которой b > 0, 0 = л/2; на рис. 3 ось
образующей параболы параллельна оси вращения, поэтому b > 0, 0 = 0. Чтобы построить спи-
ральную поверхность, изображенную на рис. 4, необходимо положить Ь < 0, 0 = тг/2, или b > 0,
но 0 = -л/2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
A2 = r2m2e2"“‘ + D2, F = ame""‘[cos0-2sin# + 2fcv(sin# + 2cos#)], В2 = 1 + 4Z>V,
А2 В2 - F2 = D2B2 +d2, где d = a/ne"'"[sini9+2cos6,-2i'v(cos6,-2sm6))];
L = —r-. . !---= {D[D(sin0-2bvcos0) - md] + 2ame"'“d], D = ae"'“ +vcos,0+ bv2 sin#,
Ja2b2-f2 1 1 J J
d , , 2bD
M = —; ---- (cos# + 2Z?vsin#), N = —, — =.
Ja2b2-f2 Ja2b2-f2
Спиральная поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных коор-
динатах и, V. Проекции координатных линий и на плоскость хОу - логарифмические спирали.
Координатные линии v совпадают с образующими параболами спиральной поверхности.
203
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩИМ ЭЛЛИПСОМ
Направляющая коническая спираль может быть задана уравнениями
х = х(и) = ае cosu. у = у(и) = ае smu, z = z\u) = aA.e ,
где Л = ctg^; <р - угол между осью Oz и прямолинейной образующей конуса, на котором лежит
коническая спираль; долгота и - угол между плоскостью xOz и подвижной плоскостью осевого
сечения; а = r„sin®, г0, т - константы.
Спиральная поверхность с образующим эллипсом, лежащим в плоскостях пучка, образовы-
вается при винтовом движении эллипса, центр которого движется по конической спирали. Все
точки образующих эллипсов будут описывать конические спирали, которые
являются линиями откоса.
Форма задания спиральной поверхности с образующим эллипсом
1) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) = (ае”'“ + £>cosvcos6’+csinvsin6')cosu,
У = уОдр) = (ае™“ +£>cosvcos# + csinvsin(9)sinu,
Рис. 1 z = z(u,v) = аЛет“ ~bcosvsin0 + csinvcos0,
где в - угол между осью вращения z спиральной поверхности и осью у„ эллипса (см. раздел
«Спиральные поверхности»). В местной системе координат хо, уо направляющий эллипс задан
уравнениями х„ = bcosv, уо = csinv.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности;
A2 = r2m2e2"‘“ + D2, F = ame""‘[-bsinv(cos$-Asint?) +ccosv(siji0 + 2cos(9)],
В2 = b2 sin2 v + c2 cos2 v, где D = ae""‘ +fecosv cos 0 + csinv sin в,
A2В2 - F2 = D2B2 +cl2, где d - -ome"'"[bsinv(sin6 + 2cos0) + ccosv(cos0-Asin#)],
L = . = { D[ D(-b sin v sin 0 — c cos v cos 0) — md 1 + 2ame"'“d\,
dA2B2 -F2
d bcD
M = , = (-b sin v cos 0 + c cos v sin 0), N = —, —.
-Ja2b2~f2 -Ja2b2-f2
Спиральная поверхность отнесена к неортогональной несопряженной системе криволиней-
ных координат и, v. Координатные линии v совпадают с образующими эллипсами. Поверхность
содержит участки положительной и отрицательной гауссовых кривизн.
Если принять <р = тг/2, то есть Л = 0, то спиральная поверхность с образую-
щим эллипсом (рис. 1) выродится в спиральную поверхность с образующим
эллипсом в плоскостях пучка и с плоской линией центров эллипсов в виде ло-
гарифмической спирали.
Если положить, что b = с, а 0 = 0 или 0 = nil, то можно построить круговую
спиральную поверхность с образующей окружностью постоянного радиуса,
WSsgSa лежащей в плоскостях пучка (см. «Циклические поверхности с окружностями в
Рис з плоскостях пучка»), рис. 2.
Приняв b = с и <р = Т02, то есть 2 = 0 можно получить циклическую поверх-
ность с образующей окружностью в плоскостях пучка и с плоской линией центров в виде лога-
рифмической спирали (см. «Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка и с
плоской линией центров»).
204
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ
Рис. 1
Пусть имеется направляющая коническая спираль
л = х(и) = ae'"“cosu, у - у(и) = ae""'sinw, z = г(и) = ale'"",
где л = ctgip; <р - угол между осью Oz и прямолинейной образующей ко-
нуса, на котором лежит коническая спираль; долгота и - угол между
плоскостью xOz и подвижной плоскостью осевого сечения; а, т - кон-
станты. Спиральная поверхность с гиперболической образующей в плос-
костях пучка образовывается при винтовом движении гиперболы
хо = x„(v) = bchv, у„ = y0(v) = cshv,
заданной в местной системе координат х„, ув, по конической спирали. Ось уо пересекает ось
вращения под углом в (см. раздел «Спиральные поверхности»), а начало местной системы ко-
ординат движется по заданной конической спирали. Все точки образующих гипербол будут
описывать конические спирали, которые являются линиями откоса.
Форма задания спиральной поверхности с гиперболической образующей
I) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = (ае""‘ + bchvcos# + cshv sin#) cos к, у = y(u,v) = [ae“ + #chvcos# + cshv sin#) sin и,
z = z(n,v) = aAe'"“ - bchv sin # +cshv cos#.
Спиральная поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных коор-
динатах и, к. Проекции координатных линий и на плоскость хОу - логарифмические спирали.
Координатные линии у совпадают с образующими гиперболами спиральной поверхности.
СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ В ФОРМЕ ЦИКЛОИДЫ
Спиральная поверхность с образующей в форме циклоиды в плоскостях
пучка образовывается при винтовом движении циклоиды
х„ = ха(у~) = b(y - sinv), уо = y„(v) = b(l - cosv),
УЙЕд/ заданной в местной системе координат х,„ у„, по конической спирали. Ось
уи пересекает ось вращения под углом # (см. раздел «Спиральные поверх-
ности»), а начало местной системы координат движется по заданной спи-
ральной линии
х = х(и) = ae"'“coszz, у = у(и) = ae"'"sin«, z = z(«) = аХет“,
Рис 2 где 2 = ctg^>; <р - угол между осью Oz и прямолинейной образующей кону-
са. на котором лежит коническая спираль; долгота и - угол между плоско-
стью xOz и подвижной плоскостью осевого сечения: а, т - константы. Все точки образующих
циклоид будут описывать конические спирали, которые являются линиями откоса.
Форма задания спиральной поверхности с образующей в форме циклоиды
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и,у) = [ае"‘“ + b(v - sin v) cos#+ #(1 - cosv) sin#]coszz,
у = y(u,v) = [ae"“‘ + #(v-sinv)cos# + #(l-cosv)sin#]sinn,
z = z(u,v) = аЛе"’" -b(y - sin v)sin# + b(l - cosv) cos#.
Спиральная поверхность задана в-криволинейных неортогональных несопряженных коор-
динатах и, V. Проекции координатных линий и на плоскость хОу - логарифмические спирали.
Координатные линии v совпадают с образующими циклоидами спиральной поверхности.
205
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 1
СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С СИНУСОИДАЛЬНОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ
Спиральная поверхность с синусоидальной образующей в плоскостях пучка образовывается
при винтовом движении синусоиды
хо = хо(у) - v, уо = уо(у) = bsin(90° - v) = fecosv,
заданной в местной системе координат х„, у0, по
конической спирали. Ось у0 пересекает ось вра-
щения под углом 0 (см. раздел «Спиральные по-
верхности»), а начало местной системы коорди-
нат движется по заданной конической спирали
х = х(и) - aem“cosu, у = у(и) = ае'т‘ыгш,
Z = z(u) = аХети,
Рис. 2
где л = ctgp; <р - угол между осью Oz и прямоли-
нейной образующей конуса, на котором лежит коническая спираль; долгота и - угол между
плоскостью xOz и подвижной плоскостью осевого сечения; а, т - константы. Все точки обра-
зующих синусоид будут описывать конические спирали, которые являются линиями откоса.
Форма задания спиральной поверхности с синусоидальной образующей
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(«,v) = (ае""‘ + v cos # + # cosv sin#) cos и, у = y(n,v) = (ае""‘ + v cos# + b cosv sin#) sin u,
z = z(u,v) = aAe'"“ - v sin 0+t> cosv cos#,
где b - амплитуда образующей синусоиды.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = а2т2 (1 + А2 )е2"'“ + D2, F = nme"1"[cos# - 2sin #-sinv(sin# + Acos#)], B2 = 1 + b2 sin2 v,
A2 B2 - F2 = D2B2 + d2, где D = ae""‘ + v cos 0 + b cosv sin#,
d = ame"“[sin#+2cos# + #sin v(cos#- Asin#)],
1 r r . , i J(cos#-#sinvsin#)
L=—j—— — £)[E>(sin# + #sinvcos#)-m#] + 2nwe d\,M =---, =-----,
4a2b2-f2 ca2b2-f2
bD cosv
N = -r =- =.
Va252 -F2
Спиральная поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных коор-
динатах и, V. Проекции координатных линий и на плоскость хОу - логарифмические спирали.
Координатные линии v совпадают с образующими синусоидами спиральной поверхности.
На рис. 1 показана спиральная поверхность при в = 0. Спиральная поверхность, изображен-
ная на рис. 2, имеет в = тг/2.
Если в формулах принимать b = 0, то спиральная поверхность с синусоидальной образую-
щей выродится в спиральную поверхность с прямыми образующими в плоскостях пучка (см.
«Спиральные поверхности»). Если принять 9 = <р, то есть 2 - ctg#, то это будет означать, что
местная ось х0 направлена по нормали к конической поверхности вращения, на которой лежит
заданная коническая спираль, а ось уа в этом случае будет совпадать с прямолинейными обра-
зующими конуса. При а = 0 и 0 = 0 спиральная поверхность выродится в поверхность вращения
общей синусоиды (см. «Поверхности вращения»).
206
СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ В ФОРМЕ ЭВОЛЬВЕНТЫ КРУГА
Спиральная поверхность с образующей в форме эвольвенты круга в плоскостях пучка обра-
зовывается при винтовом движении эвольвенты круга
Хо = X0(v) = b[cosv + (v0 + v)sinv],
Уо - Уо(у) = i’lSinv - (vo + v)cosv],
заданной в местной системе декартовых координат хо, у(„ по ко-
нической спирали; v - угол, отсчитываемый от оси хо в сторону
оси у0; vo = const. Ось у0 пересекает ось вращения под углом в
(см. раздел «Спиральные поверхности»), а начало местной сис-
темы координат движется по заданной конической спирали
х = х(и) = ae"“‘cosi<, у = у(и) = ae'nusmu, z - z(u) = akemu,
Рис' 1 где z = ctgp; <p - угол между осью Oz и прямолинейной обра-
зующей конуса, на котором лежит коническая спираль; долгота и - угол между плоскостью xOz
и подвижной плоскостью осевого сечения; а, т - константы. Все точки образующих эвольвент
круга будут описывать конические спирали, которые являются линиями откоса.
Форма задания спиральной поверхности с образующей в форме эвольвенты круга
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = + #[cosv + (v0 + v) sin v]cos# + b[sin v — (vo + v) cosv] sin cosw,
у = y(u, v) = [ae’"“ + #[cosv + (v0 + v)sin v]cos# + #[sinv - (vo + v) cosv] sin#} sin и,
z - z(u,v) - aAe"'“ -bfcosv + (vo + v) sinv]sin # + i>[sin v - (v„ + v)cosv]cos#.
Спиральная поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных коор-
динатах и, v. Проекции координатных линий и на плоскость хОу - логарифмические спирали.
Координатные линии v совпадают с образующими эвольвентами круга спиральной поверхно-
сти.
СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
СПИРАЛЬЮ И ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ
Рис. 2
Рис. 5
Спиральная поверхность с направляю-
ч щей логарифмической спиралью, задан-
ной в полярных координатах уравнением
р = ает“, и параболической образующей,
заданной в местной системе координат
Рис- 4 уравнениями x0(v) - v; y„(v) = bv2, может
Рис. 3
быть задана следующими параметрическими уравнениями:
х = х(и,у) [ае'”и + vcos# + #v2sin#]cosH;
у = y(u,v) = [ ае"ш + vcos# + #v2sin#]snw; z - z(v) = -vsin# + bv2cos#.
Ось y0 пересекает ось вращения под углом # (см. раздел «Спиральные
поверхности»), а начало местной системы координат движется по заданной логарифмической
спирали; а, Ь, т - константы. Рассматриваемую спиральную поверхность можно получить как
частный случай спиральной поверхности с параболической образующей общего положения, по-
ложив Я = 0.
На рис. 2 показана спиральная поверхность с направляющей плоской логарифмической
спиралью при # = 0, на рис. 3 - при # = -тг/2; на рис. 4 - при # = тг/2, а на рис. 5 - при # = тг/4.
207
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Спиралевидные поверхности внешне похоже на спиральные поверхности, но их нельзя от-
нести к одному классу, так как спиральные поверхности имеют в качестве направляющей кри-
вой только спираль на круговом конусе, а образующая кривая в процессе движения вдоль кони-
ческой винтовой направляющей кривой не изменяет свою форму. За направляющую кривую
спиралевидной поверхности можно взять любую спираль на любой поверхности.
Спиралевидные поверхности, представленные в справочнике
Развертывающийся геликоид
с ребром возврата иа
параболоиде вращения
Циклическая поверхность с
образующей окружностью в плоскостях
пучка и с плоской линией центров
в виде спирали Архимеда
Спиралевидная поверхность
«Ракушка без вершины»
Цилиндро-сферическая
спиралевидная полоска
208
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Спиралевидные поверхности, представленные в справочнике (продолжение)
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
НА ОДНОПОЛОСТНОМ ГИПЕРБОЛОИДЕ ВРАЩЕНИЯ
Пусть однополостный гиперболоид вращения задан уравнением х2 + у2 - az = с2, где с -
радиус горловой окружности; а = tg(»; ср - угол между осью гиперболоида и его прямыми обра-
зующими. В зависимости от угла а> между касательными к линии откоса и осью гиперболоида
(угол откоса и) на гиперболоиде можно расположить три типа линий откоса: 1) прямые обра-
зующие гиперболоида, когда ср = оу, 2) когда <р> со; и 3) когда ср < со. Параметрические уравне-
ния линии откоса на однополостном гиперболоиде вращения при ср < со (tg® > tgp) имеют вид:
х(«) = cfjnshmit cos и + ch/nusin к), у(и) = c(msh/w«sin и — ch/ии cos и), г(и) = (с/а)71 + 'п2 sh/ип,
Рис. 1 Рис. 2
где т = а / л/tgTy - а2 (рис. 1).
Принимая эту линию откоса за линию центров трубчатой поверхно-
сти поверхности, можно построить трубчатую поверхность с линией
центров на однополостном гиперболоиде вращения.
Форма задания трубчатой поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х(и, у) = cfmshmu cos и + ch/ии sin и] - r((m I s') sin v cos и + cos v sin и),
y(u,v) = cfznshmu sin и -ch/ии cos u] + r(- (m/s)sinvsin« + cost cos и),
z(u, v) = 71 + /и2 [(с/a~)shmu + (a/ s) sin v], где 5 = 7я 2 П + /n2) + /и2,
u, v - криволинейные координаты. Трубчатая поверхность, изобра-
женная на рис. 2 имеет с = 5 м; со = тг/3; ср = л/8; г = 5 м; -2/г < и < 2я.
Дополнительная литература
1. Кирищиев Р.И. Линии откоса на поверхностях вращения второго порядка и их
проекции// Математика, некоторые ее приложения и методика преподавания. - Ростов-на-Дону, 1972. - С. 80-94
(библ.: 2 назв.).
209
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 2
Рис. 3
ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ПРЯМЫХ ОБРАЗУЮЩИХ ТОРСА-ГЕЛИКОИДА
ПРИ ЕГО ПАРАБОЛИЧЕСКОМ ИЗГИБАНИИ
Задавшись плоской
кольцевой областью, раз-
резанной вдоль прямой
линии, касательной к
внутреннему круговому
контуру с радиусом до,
можно построить весь
спектр торсов - геликои-
дов (см. «Развертываю-
щийся (эвольвентный)
геликоид») с углами наклона их прямолинейных образующих в пределах
i 0 < <р < п / 2, используя параболическое изгибание исходной заготовки.
При таком изгибании не будут появляться разрывы и складки. Чтобы
i обеспечить параболическое изгибание торса-геликоида в другой торс-
геликоид необходимо, чтобы его прямые образующие двигались по стро-
го определенным траекториям, которые представляют собой спиралевид-
ные линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны.
Формы задания линейчатой поверхности траекторий
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и,<р) = а0 cos' ^>[cos(mx) - ionsin(mx)],
у = х(и,(р) = а0 cos2 ^[sin(77!5) + umcos(ms)], z = z(u,(p) = (s +u)svA<p, m= l/(aocos(p),
Рис.1
где x = const - длина дуги винтового ребра возврата, и - криволинейная координата, совпадаю-
щая с прямолинейными образующими поверхности траекторий. Если взять и = 0, то можно по-
строить траекторию движения произвольной точки (5 = const) внутреннего кругового контура
плоской кольцевой заготовки при изгибании ее в торс - геликоид. Параметр 5 меняется.для пол-
ной кольцевой разрезанной пластинки в пределах 0 < х < 2жг0. На рис. 1 показана поверхность
траекторий прямолинейной образующей 5 = 2тгао, совпадающей с линией разреза кольцевой за-
готовки, при изгибании плоской заготовки в торс-геликоид с <р = 75°; 0 < и < 4 м . Если взять
первую прямую образующую s = 0, то траектория будет представлять линейчатую поверхность:
х = х(и,<р) = aocos'cp, у = у(и,<р) = ucosip, z = z(u,<p) = nsin® (рис. 2).
Коэффициенты первой основной квадратичной формы:
А - 1, F = xsin2^2, В2 = a2 sin2 2(р+ tg2<pu2s2/а„ + (х + и)2, L = 0.
2) Параметрическая форма задания (рис. 3, х = 2тгао, 0 < ср < 65°):
х = х(и,^) = а0 cos2 ^[cos(mx) - Mmsin(mx)] + а0(1 - cos2 <р),
у = х(и, <р) = aQ cos3 ^>[sin(mx) + итcosf/n.sj] + sin2 cp(s + и),
z = z(u,(f>) =a0cos2 ^>sin^’(sin(mx) + wmcos(mx)) + sin^>cos^’(x + w).
Представленные параметрические уравнения дают возможность построить траектории
движения прямых образующих при неподвижном положении начальной прямой х = 0.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н., Ку харчу к А.И. О траекториях движения концов прямолинейных образующих торса - гели-
коида при его конформных преобразованиях// Строит, механика инженерных конструкций и сооружений. - М.:
МБК «Биоконтроль», 1995. - Вып. 5. - С. 3-6.
210
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТ ШТЕЙНБАХА
Поверхность, называемая винтом Штейнбаха, содержит прямую линию, вокруг которой
она расположена. Винт Штейнбаха (Steinbach screw) можно отнести к классу спиралевидных
поверхностей (рис. 1 - 3).
О < v < 2л\ 0 <и <2 Q<v< 2тг, - 4 < и < 4 0 < v < 2я; - 4 < и < 4
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Формы задания поверхности винта Штейнбаха
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х - х(к,у) = «cosv, у = y(n,v) = «sinv, z = z(u,v) = vcosn.
Криволинейная координатная линия и = 0 (z = у) совпадает с координатной линией Oz.
Криволинейная координатная линия у = 0 (х = и) совпадает с осью Ох (рис. 1).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + v2 sin2 и, F = -vsinncoSH, В2=и2+соз2и, А2 В2 - F2 — и2 +cos2 и + и2у2 sin2 и,
-uvcosu -cosw-wsin« -jrysinw
L = -===============, M = ------, A = ^======= ’
yu2 + cos2 u+ u2v2 sin2 и yu2 +cos2 u + u2v2 sin2 и yu2 +cos2 и + и2?2 sin2 и
0 < v < 2x;
-X / 2 < и < л 12
Рис. 4
n3v2 sinucosw — (cosw + и sin и)2
(и2 + cos2 и + и2v2 sin2 и)2
и(1 + и2 + sin2 и) cos и + (и2 +2 cos2 и + u2v2 sin2 и) sin и
2(u2 + cos2 н + и2у2 sin2 u)212
Вдоль координатных линий и = 0 и v = 0 средняя кривизна поверх-
ности равна нулю (Н = 0). Координатные линии у (и = const) проеци-
руются на плоскость хОу в виде окружностей с радиусами и = const
(рис. 4). Проекции координатных линий и (v = v0 = const) на плоскости
xOz и yOz'.
z - v„cos(x/cosv„) и z = v0cos(y/cosv„),.pHC. 2.
211
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ГЕЛИКОИД
Гиперболический геликоид можно отнести к классу спиралевидных или к классу винтооб-
разных поверхностей.
Формы задания поверхности гиперболического геликоида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 4):
г ч shv . . shv . z shwchv
х = x(u,v) =--------cos/и, v = v(u,v) =-------suite, z = z(h,v) =------,
1 + chwchv ' ' l + chuchv 1 + chnchv
0,25 <v< 3,5; 0<v<3,5;
f = 2; (=1
Рис. 4
где t - постоянный параметр; tu - угол, отсчитываемый от коорди-
натной оси Ох в сторону оси Оу, и, v - криволинейные координаты.
Координатные линии v (и = const) - плоские линии, лежащие в плос-
костях пучка с фиксированной прямой, проходящей через ось гипер-
болического геликоида. Ось геликоида - прямая линия, совпадающая
с криволинейной координатной линией v = 0, которая лежит на ко-
ординатной оси Oz.
Семейство криволинейных координатных линий v проектируются
на координатную плоскость хОу в виде пучка прямых
у = xtgtu,
проходящих через точку х = у = 0 (рис. 1 - 3).
Координатная линия и = 0 лежит в сечении поверхности гипербо-
лического геликоида плоскостью у - 0 и представляет собою прямую
линию, которая совпадает с координатной осью Ох (рис. 5).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2
rsh v + ch v г 1
---------—; f = 0; В = -------
(l + chwchv)’ (l + chwchv)
, tshvshw , ,, tB2
L = —-----------г A; M =----
(l + chKchv) A
.. tshwshv
N =--------------4
A(l + chuchv)
52; K-^fslrvslra—L
A I A2
r = 6; 0<и<л’
Рис. 5
Поверхность гиперболического геликоида задана в криво-
линейных ортогональных несопряженных координатах и, v.
На рис. 1 - 5 изображены гиперболические геликоиды, гео-
метрические параметры которых указаны на подписях к соот-
ветствующим рисункам.
Дополнительная литература
1. JavaView. “Classic Surfaces from Differential Geometry: Hyperbolic
Helicoid”. - www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common /PaSurface_HyperbololicHelicoid.html.
212
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ «РОГ ИЗОБИЛИЯ»
р = 0,1; m = 0,2;
О < и < 4л; 0 < v < 2л
Рис. 1
р = 0.15; т = 0,1;
0 < и < 5л; 0 < г < 2л
Рис. 2
Поверхность «Рог изобилия» (Cornucopia) является частным случаем
спиралевидной поверхности «Ракушка без вершины» (см. «Спиралевид-
ные циклические поверхности с окружностями переменного радиуса в
плоскостях пучка»). Чтобы получить рассматриваемую поверхность,
необходимо в формулах для поверхности «Ракушка без вершины» при-
нять а = b = 1; 2 - 0. Таким образом, «Рог изобилия» является цикличе-
ской поверхностью с образующими окружностями переменного радиу-
са /?(«) = в плоскостях пучка. Фиксированная прямая пучка плоско-
стей проходит через координатную ось Oz. Линией центров этой цикли-
ческой поверхности является плоская логарифмическая спираль р - ети.
Формы задания поверхности «Рог изобилия»
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 2):
х = x(u,v) = [е""‘ cosv]cosw, у = y(u,v) = [е"'“ + ер“ cosv]sin«,
Z = z(u,v) = ер“ sin V.
Если в параметрических уравнениях поверхности принять р = 0, то
будет получена циклическая поверхность с плоской линией центров в
виде логарифмической спирали и образующим окружностями постоян-
ного радиуса г — 1 м в плоскостях пучка (см. «Циклическая поверхность
с образующей окружностью в плоскостях пучка и с плоской линией
центров в виде логарифмической спирали»).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = [тет“ + ре!Ж cos v)2 +(«'"“+е₽“ cosv)2 + р2е2р" sin2 v, F =-терае""‘ sinv, В = ер“,
A2B2—F2 = е2р“ cos v + pep,‘ )2 + (e""‘ + ep“ cos v)2]
L = —.. =J=.=[2(mem“ + pep“ cosv)(pe'’" +me"'“ cosv)-(e"'“ + ep“ cosv)(m2em“ cosv + p2ep“ )+
Va2s2-f2
+ (e"'" + ep" cos v)’ cos v]
— i \ e2pu / \
M =-H=. “ _-(pgp“ +me”,u cosv), N = -r=====(em“ +ep“ cosv)
Va2f2-f2 Va2b2-f2
p = m = 0,1; 0 < и < 5л
Рис. 3
Поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряжен-
ных координатах и, v. Координатные линии v - 0 и v - п бу дут линиями
кривизны.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности «Рог изоби-
лия» можно получить из общих формул, приведенных в разделе «Спира-
левидные циклические поверхности с окружностями переменного радиу-
са в плоскостях пучка», положив а - b = 1; 2 = 0.
На рис. 3 показана рассматриваемая поверхность при р = т. В этом
случае поверхность «Рог изобилия» становится каналовой поверхностью
Иоахиме толя (см. «Циклические поверхности»).
Дополнительная литература
1. von Seggern D. CRC Standard Curves and Surfaces. Boca Raton. - FL: CRC Press, 1993. - P. 304.
213
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИЛИНДРО-СФЕРИЧЕСКАЯ СПИРАЛЕВИДНАЯ ПОЛОСА
Цилиндрическую поверхность с направляющей сферической линией
-л /2<и< л /2\ ki= 2/'а; -л<и<л
Рис. 1 (а = 20; р =1; -6 < v < 6)
Е0(и) = аео(и) = a(icosu + jsin«)cosa> + kasinco,
где со = ри; р = const,
расположенной на поверхности сферы радиусом а можно
построить, если все образующие прямые расположить
параллельно оси сферы. Построенная таким образом по-
верхность называется цилиндро-сферической спиралевид-
ной полосой.
Формы задания цилиндро-сферической
спиралевидной полосы
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = ае$(и) + vk.
Единичный вектор ефи) является нормалью сферы, на которой расположена направляющая
линия.
2) Параметрическая форма задания (рис.1 - 3):
х = х(и,г) = acoscacosw, у = y(u,v) = acoscosinzz, z = z(w,v) - flsinai + v.
-2л <u< 2л\ -2,5л <u< 2,5л; -Зл <u< Зл; -Ал <и< 4л; -5л <и<5л;
р=1/4; р=1/5; р = 1/6; р=1/8; р=1/10;
Рис. 2 (а = 20; -4<v<4)
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
p = 1/40; -1 < v< 1;
-20л < и < 20л;
p = 2/3; -4<v<4;
-2л < и < 2л
Рис. 3 (а = 20)
А2 = а2(р2 +cos2 со), F = арcosco, В = 1,
А2В2 - F2 = а2(р2 sin2 to + cos2 со),
т_ 4(l + sinMp2+cosM, M=N = a
у]p2 sin2 69 +cos2 CO
, a (1 + sin2 co)p2 + cos2 co\ , , .
<„ = —L—7-------------....= k2=0
A2^Jp2 sin2 69 +cos2 69
1^ = L./(A2 - F2), K = 0.
Чтобы цилиндро-сферическая полоса имела спи-
ралевидную форму (рис. 2; 3, а) необходимо брать
параметр р - 1/п, где п - целые числа. В против-
ном случае будут получаться поверхности более сложной формы (рис. 3,6).
Проекция цилиндро-сферической спиралевидной полосы на плоскость z = const представля-
ет собой спиральную кривую р = acosco = acos(pu).
214
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ДВУМЯ СЕМЕЙСТВАМИ
ПЛОСКИХ ИЗОТРОПНЫХ КООРДИНАТНЫХ ЛИНИЙ
Трансцендентная поверхность с двумя семействами плоских изотропных координатных
линий характеризуется тем, что изотропное сферическое изображение ее асимптотических ли-
ний образуют два ортогональных пучка изотропных окружностей. В сопряженном изотропном
пространстве этим поверхностям Ф соответствуют изотропные минимальные поверхности Ф* с
плоскими линиями кривизны. При этом поверхности Ф* оказываются трансцендентными изо-
тропными минимальными поверхностями [1].
Формы задания трансцендентной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 5):
х = x(u,v) = и + chvsin«, у = у(и,у) = v+ shvcosu, z = z(«,v) = shvsinw,
где и, v- изотропные асимптотические параметры.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = (icosu +chv + chvcos2 njchv, F = shvchv sin u cosu, B2 =-sh2vcos2 w + 2chv(cosw + chv),
A2В2 - F2 = 2chv[(cos2 и + 3ch2v)cos« + (ch2v + 3cos2 i<)chv],
. (cosn + chv)2 M -M
L-0, M =~==i=r, A =0, k, =k=0, k, ------------------, k. =------,
Ja2B2-F2 AB + F - AB-F
M MF
----<0, H =--
A"B2-F‘ A2B--F2
Поверхность задана в криволинейной
неортогональной несопряженной системе
координат. Координатные линии и и v
являются плоскими линиями.
Координатные линий и (у - vc = const)
проектируются на плоскость уОг в виде
кривых z2 = (у - vc)2 - sh2vc.
На рис. 1-5 показана рассматриваемая поверхность, ограниченная координатными линия-
ми и и г. На всех рисунках поверхность ограничена контурными линиями v = -2 и v = 2, а пре-
делы изменения координаты и указаны на рисунках..
Дополнительная литература
1. Strubecker Karl. Uber die Minimalflachen des isotropen Raumes, welche zugleich Affinminimalflachen sind//
Monatsh. Math. - 1977. - 84. № 4. - S. 303-339.
215
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЕВИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ
И ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ ПОСТОЯННОГО ШАГА НА КРУГОВОМ КОНУСЕ
Рис. 1 (а = 0,8; 2 = 0,2; Ь = 4; с = 3; t = 0,1; е = Ш; 0 < и < 4^ )
Поверхность образуется эллипсами, лежащими в плоскостях пучка с фиксированной пря-
мой, проходящей через ось конуса. Линия центров постоянного шага на круговом конусе про-
ектируется на плоскость, перпендикулярную оси конуса, в виде спирали Архимеда.
Формы задания поверхности
I) Векторная форма задания: r-r(ii,v) = [an +p(v)]fi(u) + [аЛи + i//(v)]A:,
где й(и) = icosw + jsinu - единичный вектор в плоскости хОу е(и) - коэффициент подобия обра-
зующих эллипсов, выбираемый согласно заданных условий конструирования;
<p(v) = A(v)cos#-K(v)sin#, ip(y) = X(v)sin# + У(у)со50,
X = X(v), Y = У(у) - параметрические уравнения образующих кривых, заданных в местной сис-
теме декартовых координат, начало координат которой расположено на направляющей кривой;
0 - угол, поворота местной оси oZ относительно оси Oz Для поверхности с эллиптическими
образующими: X = Х(у) = bcosy, Y = У(у) = csinv.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и, у) = \аи + г(и)р(у)]со5и, у = у(и, v) = [аи + f(w)^(v)]sinи ; z = ?(и, у) = [аЛи + е(и)^(у)].
Дополнительная литература
1. Тевлин А.М., Сулюкманов Ф.С. Некоторые дифференциально-геометрические характеристики нелинейчатой
квазивинтовой поверхности// Вопросы прикладной геометрии. - М.: МАИ, 1972. - Вып. 246. - С. 110-114.
СПИРАЛЕВИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ И
НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЛИНИЕЙ ПОСТОЯННОГО ШАГА НА КРУГОВОМ КОНУСЕ
Поверхность образуется параболами, лежащими в плоскостях пучка с фиксированной пря-
мой проходящей через ось конуса. Вершины парабол лежат на направляющей линии, которая
проектируется на плоскость, перпендикулярную оси конуса ъ виде спирали Архимеда.
Рис. 2 (а = 0,3; 2=4;/? = 1; с = 2; t = 0,1)
Формы задания поверхности
1) Векторная форма задания:
г (и, у) = [аи + 9?(у)]/г(и) + [аЛи + у/(у)}к,
где Л(и) = /соей + jsinu - единичный вектор в плоскости
хОу, e(u) - коэффициент подобия образующих парабол,
<р(у) = X (v) cos 0 - У (v) sin в, ;д(у) = X (v) sin в + У (v) cos 0,
X = Х(у), У = У(у) - параметрические уравнения образую-
щих кривых, заданных в местной системе декартовых ко-
ординат, 0 - угол, поворота местной оси oZ относительно оси Oz Для поверхности с параболи-
ческими образующими: X = у, У = У(у) = bv2.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2 с е = tu):
х = x(u,у) = [аи + £(и)^(у)]со8 и, у = y(u,v) = [аи + f(«)^(y)]sinw ; z = z(n,y) = [аЛи + г(и)^(у)].
216
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ С
ОКРУЖНОСТЯМИ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА
Спиралевидные циклические поверхности с окружностями переменного радиуса в плоско-
стях пучка могут быть причислены как к классу циклических поверхностей, так и к классу спи-
ралевидных поверхностей. В качестве направляющей кривой они имеют коническую винтовую
линию р = р(и) = aemu[h(ii) + zfc], где h(u) = icosw + jsinzz - окружность единичного радиуса в
плоскости хОу. Образующие окружности переменного радиуса R('u) лежат в плоскостях пучка.
Фиксированная прямая пучка совпадает с координатной осью Oz-
Формы задания спиралевидной циклической поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = р(и) +R(u)e(u,v), где e(u,v) = 7z(n)cosv + fcsinv.
2) Параметрическая форма задания: х = х(и, v) = [ае'"“ + R(u)cos v]cos;/.
у = у (и, г) = [ае”"‘ + R(u) cos v] sin и, z = z(w, v) = ate""' + R(u) sin v.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = а2т2 (1 + Л2)е2"ш + R'2 +[ает‘ + R(«)cosv]2 + 2ame"'"R'(cosv + Asinv), В = R(u),
F = — «me""‘R(«)(sin v - Acosv), A2B2 — F2 = R^jame"”' (cosv + Asinv) + R'] + (ae"'" + R(«)cosv) j,
L= .------{[д(1-т2)е'"" cosv + R(u)cos2 v-am2Ae""‘ sinv -R"](ae""' + R(n)cosv)+
Va252 -F2
+ 2(ame"“‘ + R'cosv)[czme"'“(cosv + Asinv) + R']},
R(u)2 sinv г i -R(u)2[ae”“‘ + R(w)cosv]
M = =^\R'+ ame"m (cosv + Asinv) , N =--
у A2B2 — F2 jA2B2-F2
где R1 и Rl/ означает дифференцирование по параметру и.
СПИРАЛЕВИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ «РАКУШКА БЕЗ ВЕРШИНЫ»
а = 1,-2 = 4; Ь = 1,5;
Рис. 1
Спиралевидная поверхность «Ракушка без вершины» получается как.
частный случай спиралевидных циклических поверхностей с окружно-
стями переменного радиуса в плоскостях пучка при R(u) — Ьёш.
Формы задания поверхности «Ракушка без вершины»
1) Параметрическая форма задания (рис.1):
х = x(u,v) = [ае”т + bep“ cosvjcosw, у = у (и, v) = [ае”т + bepu cosv] sin«,
Z = z(u,v) = аЛе”"‘ + bep“ sinv.
Поверхность отнесена к криво-
линейным неортогональным не-
сопряженным координатам и, v.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверх-
ности можно получить по формулам, приведенным в раз-
деле «Спиралевидные циклические поверхности с окруж-
ностями переменного радиуса в плоскостях пучка». На
рис. 1 и рис. 2 показаны три спиралевидные поверхности,
задаваемые одними и теми же параметрическими уравне-
ниями, но с разными геометрическими параметрами. У
всех показанных поверхностей отсутствует вершина, где
R(u) - 0, а 0 < v < 2л.
т = р = 0,08;
т = р = 0,1;
а= 1; ). = 4; b = 1;
Рис. 2
217
СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРАЛЕВИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ «РАКУШКА С ВЕРШИНОЙ»
О < и < 8тт ; 0 < и< Ьл b= 1; р = 0,05; 0 < « < 4>Г р = 0,1; 0 < к < 2л
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Спиралевидная поверхность «Ракушка с вершиной» получается как частный случай спира-
левидных циклических поверхностей с окружностями переменного радиуса в плоскостях пучка
при R(u) = h(e'u ~ 1).
Формы задания поверхности «Ракушка с вершиной»
1) Параметрическая форма задания (рис.1 - 3):
х = x(u,v) = [ае”“‘ +b(ep“ - l)cosv]cos«, у = y(u,v) = [ае"'“ + b(epu - 1) cos v] sin и,
z = z(w,v) = аЛе""‘ + b(ep“ — l)sinv.
Поверхность отнесена к криволинейным неортогональным несопряженным координатам и,
V. Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности можно получить по формулам,
приведенным в разделе «Спиралевидные циклические поверхности с окружностями переменно-
го радиуса в плоскостях пучка», подставляя в них значение А(и) = b(epu - 1). На рис. 1 - 3 пока-
заны четыре спиралевидные поверхности, задаваемые одними и теми же параметрическими
уравнениями, но с разными геометрическими параметрами. У всех показанных поверхностей
имеется вершина, где R(u) = 0, а 0 < v < 2л.
Рис. ч- Рис. 5
МОРСКАЯ РАКУШКА
Поверхность «Морская ракушка» (Seashell), относится к
спиралевидным циклическим поверхностям с окружно-
стями переменного радиуса, лежащими в плоскостях пуч-
ка. Фиксированная прямая пучка плоскостей совпадает с
осью направляющей конической спирали.
Формы задания поверхности «Морская ракушка»
1) Параметрическая форма задания (рис.4):
х = х(и,р) = 2[1 - е"/(б;г) Jcoskcos2 (г/2),
у = у(и,р) = 2[-1 + e“/(6;r,]sinHCOs2(v/2), z = z(«,y) = 1-е“/<ад - sin г + e“KW sinv.
2) Параметрическая форма задания, предложенная Т. Nordstrand (рис.5):
х = x(u,v) =
cosИР,
у = y(u,v) =
1 -— (1 + cosh) + с
2л2
sinnv,
bv ( v \
z = z(u,v) = — + a sin и 1 - — .
2л \ 2л/
Дополнительная литература
1. Nordstrand Т. Conic Spiral or Seashell. - http://www.uib.no/people/nfyth/shelltxt.htm.
218
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Винтовая поверхность образовывается жесткой кривой, которая равномерно вращается во-
круг винтовой оси, находящейся в одной плоскости с образующей кривой, и одновременно со-
вершает поступательное движение в направлении этой же оси. Траектории точек при винтовом
движении будут представлять собой цилиндрические винтовые линии, лежащие на соосных
круглых цилиндрах (см. «Винтовые поверхности»).
К винтообразным поверхностям будем относить поверхности, построенные образующими
кривыми, которые помимо простого винтового движения относительно винтовой оси соверша-
ют какое-либо дополнительное движение или деформируются по определенному закону. При
этом траектории точек образующей кривой при винтообразном движении не будут цилиндри-
ческими винтовыми линиями. Винтообразные поверхности при определенном подборе геомет-
рических параметров будут вырождаться в винтовые поверхности.
Винтообразные поверхности, представленные в справочнике:
Эллиптический геликоид
Винтовая предварительно
закрученная поверхность
кругового поперечного
сечения
Гиперболический геликоид
219
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Винтообразные поверхности, представленные в справочнике (продолжение)
Прямой волнистый
геликоид
Развертывающаяся винтообразная
поверхность с углами наклона пря-
мых образующих, изменяющихся от
О1’до 90°
Псевдоразверты вающаяся
винтообразная поверхность с
переменным шагом
Трубчатая винтообразная
поверхность с линией
центров переменного шап
РОТАТИВНЫЙ КОСОЙ ГЕЛИКОИД
Ротативный косой геликоид образовывается прямолинейной образующей конуса О, кото-
рый катится без скольжения по плоскости, а плоскость в свою очередь поступательно переме-
п = 4; 2 = 1; sina = 1/п;
0<v</?/tg«;
0 < и < 2тг
Рис. 1
щается вдоль оси геликоида.
Форма задания ротативного косого геликоида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = v cos «cos и - v(cos^sinacosa + sin^sin w)tga,
у = у(и,v) = v cos «sin// - v(cos^>sin«sin и sin <yc<)s//)tg«,
z = z(u,v) = v(l + cos (p) sin a + Au,
где tp = nw; n = l/sin«; a - угол между осью подвижного кругового конуса Г.
и его прямыми образующими; R = vtg«; R - радиус основания катящегося
конуса £2; v = const - высота конуса £2.
Угол между неподвижной осью Ох и проекцией подвижной оси конус;
£2 на плоскость хОу, возникающий при качении конуса, обозначен через
А - параметр, характеризующий скорость поступательного движения вер-
шины конуса £2 вдоль оси геликоида. Ось геликоида совпадает с коорди-
натной осью Oz. При л = 0 рассматриваемая поверхность вырождается с
ротативную поверхность с аксоидами «плоскость - конус», образованную
прямой, совпадающей с прямой образующей подвижного конуса (см. «Рс-
Рис. 2 (2 = 0) тативные поверхности»), рис. 2.
220
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНАЯ ЗАКРУЧЕННАЯ ПОЛОСА
С ПРЯМЫМИ ОБРАЗУЮЩИМИ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА
Пусть имеется винтовая линия I и прямая, проходящая
через две точки .S’ и Р, причем точка X расположена на
винтовой линии I, а точка Р-на винтовой оси. Линейча-
тая поверхность в форме винтообразной закрученной по-
лосы с прямыми образующими в плоскостях пучка обра-
зуется при движении точки 5 вместе с прямой образую-
щей по винтовой линии I при одновременном вращении
этой прямой образующей в плоскостях пучка, проходящих через винтовую ось гелисы I (рис. 1).
Формы задания поверхности винтообразной закрученной полосы
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = [а + wcos(nv)]cosv, у = у(и, v) = [а + wcos(nv)]sinv, z = z.(u, v) = bv + и sin(/tv),
где и - расстояние, отсчитываемое от точки 5, расположенной На винтовой направляющей ли-
нии, вдоль прямолинейной образующей; v - угол, отсчитываемый от координатной оси Ох в
сторону оси Оу, п = const.
Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими поверхности. Если
принять, что а = 0, п = 0, то винтообразная закрученная полоса выродится в прямой геликоид
(см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»). Координатная линия и = О
совпадает с направляющей винтовой линией.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = 1, F = bsinnv, В2 = (un+bcosnv)2 + (a + wcosnv)2 + b2 sin2 nv,
A2В2 - F2 - (un + bcosnv)2 + (a + ucosnv)2,
an-ft cos2 nv sinnv f ,1
L = 0, M =—, =, N = ", = [2un(un + bcosnv) + (a + ucosnv) ,
y/A2B2-F2 \A2B2-F2
(an -6cos2 nv)2
Линейчатая поверхность отрицательной гауссовой кривизны отнесена к криволинейным
неортогональным несопряженным координатам и, v.
На рис. 2 показана рассматриваемая
поверхность при п =1; b =1/тс м; а - 2,.м;
— 0,5 м < и < 0,5 м; 0 < v < Ал.
Винтообразная закрученная полоса с
п = 0,5; а = 2 м; 0 < и < 1 м; 0 < v < Ал;
b =1/л м изображена на рис. 3.
Дополнительная литература
1. Pylypaka S. Motion of а mass point on a heli-
cal ruled surface// The 10lh International Confer-
ence on Geometry and Graphics. - July 28 - Au-
gust 2, 2002, Kyiv, Ukraine. - Vol. 1. - Kyiv,
2002. - P.53-55.
2. Иванов В.Н. Геометрия и конструирование оболочек на основе поверхностей с системой координатных ли-
ний в плоскостях пучка// Пространственные конструкции зданий и сооружений: Сб. статей. - М.: ООО «Девятка
Принт», 2004. - Вып.9. - С. 26-35 (библ.: 13 назв.).
221
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНАЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ЗАКРУЧЕННАЯ ПОЛОСА
Винтообразная предварительно закрученная полоса в качестве направляющей кривой име-
ет винтовую линию одинакового ската на цилиндре и подвижную прямолинейную образую-
щую, которая при движении все время находится в нормальной плоскости винтовой линии.
Прямолинейная образующая пересекает винтовую линию в точке 5, которая движется по вин-
товой направляющей при одновременном вращении прямолинейной образующей вокруг этой
точки 5 в нормальной плоскости винтовой линии.
Формы задания винтообразной предварительно закрученной полосы
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 -3):
( b ) ( b \
х = x(u,v) = a cost/ + v cos и cos # + — sin wsin# , у = у (и, v) = a sin и + v sin и cos#- — cos и sin б? ,
\ S 2 \ S 2
Ci I 2 2
z = z(w,v) = bu + — vsin#, где s' = ya~ +b~, 0=0(u)~pu + 0,
s
0 - функция, определяющая закон вращения прямой образующей вокруг ее точки пересечения 5
с винтовой линией; 9О = const; р = const; а - радиус цилиндра, на котором расположена направ-
ляющая винтовая линия; h = 2nb - шаг направляющей винтовой линии.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Э I О-V I ~Л U \ П -з -> з -з
A2-- s + — cos# +v ~-р , F = О, В2 = 1, АВ -F =А ,
\ s / \s J
sin#, M = —
1 (b V a
— — - p 5 + 2?—cos#
Ms J\ s
A = 0,
lio I ( a I
K--—г — -p s + 2v—cos# <0,
A \s J \ s J
L
2A2 '
Рассматриваемая поверхность отнесена к ортогональной несопряженной системе криволи-
нейных координат и, V. Координатные линии v совпадают с прямолинейными образующими по-
верхности. Криволинейная координатная линия v = 0 совпадает с направляющей цилиндриче-
ской винтовой линией. На рис. 1 изображена винтообразная предварительно закрученная поло-
са при а = 2 м; b = 1м; р - 0,5; 0< v < 2 м; но на рис. 1, а - 0< и < 2л, а на рис. 1,6-
0<и<4л. Показанная на рис. 2 поверхность имеет а = 2 м; F = 1 м; р = 1; 0<?<2м;
О < и < 4л; Изображенная на рис. 3 поверхность имеет те же значения геометрических парамет-
ров, что и поверхность на рис. 2, но только р = 2.
Если принять я = 0 (рис. 4), то винтообразная предварительно закрученная полоса выродит-
ся в прямой геликоид {предварительно закрученная полоса, см «Линейчатые поверхности отри-
цательной гауссовой кривизны»). Если положить р = b/s, то рассматриваемая поверхность вы-
родится в поверхность нулевой гауссовой кривизны (рис.5).
222
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ГЕЛИКОИД
Эллиптический геликоид является линейчатой поверхностью строго
отрицательной гауссовой кривизны. Его можно отнести как к классу
винтообразных поверхностей, так и к классу линейчатых поверхностей
к группе линейчатых поверхностей отрицательной гауссовой кривиз-
ны.
Формы задания поверхности эллиптического геликоида
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х - х(и,v) = avcosu, у = y(u,v) = bvsinu, z = z(u) = cu,
Рис- 1 где а, b- константы.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = a2v2 sin2 u + b2v2 cos2 и + с2, F = v(b2 - a2') sin и cos и, В2 = a2 cos2 и + b2 sin2 и,
А2В2 - F2 = a2b2v2 + с2(а2 cos2 u + b2 sin2 и),
abc
L = Q, М = ' , W=0, ku = kv=Q,
y]a2b2v2 + с2 (а2 cos2 u + b2 sin2 и)
-a2b2c2 abcF abcv(b2-a2)sinncos«
K= ----------tr <0, H = - -----------yx- =----7------——pi-----.
(a2b2-f2)' (a2b2-f2)~ (a2b2-f2)
Эллиптический геликоид отнесен к неортогональной несопряженной системе криволиней-
ных координат и, г. Прямолинейные образующие поверхности лежат в плоскостях, параллель-
ных координатной плоскости хОу. Прямые образующие расположены в плоскостях одного пуч-
ка. Фиксированная прямая пучка плоскостей совпадает с координатной осью Oz.
В сечении поверхности геликоида плоскостью z = 0 лежит прямая образующая, совпадаю-
щая с координатной осью Ох. В сечениях эллиптического геликоида
плоскостями z = za = const лежат прямые образующие поверхности:
bx z„
У = у(х) = —tg—.
а с
На рис. 1 эллиптический геликоид построен в пределах 0 < и < 4#
и 0 < v < 2. На рис. 2 границы эллиптического геликоида совпадают
с координатными линиями и = 0; и = 4л; v = 2 и у = 4. Угол наклона
Рис. 2
касательных к координатным линиям и можно найти по формуле
cos(nz) = с / А,
следовательно, координатные линии и не являются линиями откоса. Проекции криволинейных
координатных линий и (у = vo = const) на координатную плоскость
хОу представляют собой эллипсы (рис. 3)
2) Явная форма задания: z = carctg —.
Если принять а - Ь, то эллиптический геликоид выродится в пря-
мой геликоид (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»).
223
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПЕРЕМЕННЫМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ СЕЧЕНИЕМ
Линия иеитров поперечных эллиптических сечений винтообразной поверхности с пере-
Рис. 1
менным эллиптическим сечением лежит на круговом ци-
линдре. Эта линия центров является линией откоса на
цилиндре (рис. 1).
Формы задания винтообразной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 2):
х = x(u,v) = [R + c(h)cosv]cosh,
у = y(u,v) = [R; + c(«)cosv]sin«,
Z = z(u, v) = d («)sin v + pu,
. x u ... _.... .it / dc(u) 2 f ,/
где c(u) = r + 2(C-r)—, d(u) = r + 2(D - r)—, c =-= — (С-r), d -
n Я dll Я
R - радиус кругового цилиндра, на котором лежит линия центров эллипти-
ческих сечений; г - радиус кругового поперечного сечения, лежащего в ко-
ординатной плоскости xOz (и = 0); и - угол отсчитываемый от оси Ох в
сторону оси Оу; 0 < и < v - угол, отсчитываемый от координатной
плоскости хОу в сторону оси Oz; 0 < г <2я; С, D - полуоси эллиптическо-
го поперечного сечения, лежащего в плоскости yOz (и = я/2); 2ря- шаг
винтовой линии центров эллиптических поперечных сечений поверхности
(рис. 2). Эллиптические поперечные сечения винтообразной поверхности
лежат в плоскостях пучка, фиксированная прямая которых проходит через
координатную ось Oz.
(R; 0; г) В сечении поверхности плоскостью у = 0 лежит ок-
ружность (рис. 1):
{x-R)2 + z2 = Г,
а в сечении поверхности плоскостью х - 0 - эллипс:
у = R + Ccosv; z = Dsinv, или ——+ — = 1.
С2 D2
Рис' 3 Если принять р = 0, то получится торообразная по-
верхность с переменным эллиптическим сечением с круговой линией центров (рис. 3).
Рис. 2
(0; R;.D)
-D)
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = с2 cos2 v +[7? + c(w)cosv]2 +[z/sin v + p]2, F = -c(u)c sin rcos v + d(u)(d'sin v + /?)cosv,
B2 = c2(u)sin2 v + d\u)cos2 v, A2B2—F2 = d(.u)c'cos2 v[d(u)c cos2 v-2c(iT)d’sin2 v-2c(w)/?sin v]-
+ [/? + c(«)cosv]2[c2(«)sin2 v + d2 (и)cos2 y] + (rf'siny + p)c2(n)sin2 v,
L = - = r~ d(u)[2c'2 cos2 v + (R + c(u)cos v)2]- 2c(n)c'sm v(<7'sin v + p) t
Va2b2-f2
2sinv [ flpsinvYl ,, -с(и)б/(и) r„ z , i
M =—-;====( r^(Z) — C)cosv + c (и) D — r-t--------->, N =—====[7? + <?(w)cosv|
zr\A2B2-F2 I < 2 /J VA252-F2
Дополни тельная литература
1. Григоренко Я.М., Тимонин А.М. Об одном подходе к численному решению краевых задач оболочек сложно!
геометрии в неортогональных криволинейных системах координат// Доклады АН Украинской ССР, 1991, № 4. -С
41-44 (библ.: 4 назв.).
224
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ
ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА, ЛЕЖАЩАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Линия центров винтообразной поверхности с образующей окружностью переменного радиу-
са, лежащей на плоскости, расположена на круговом цилиндре ра-
диусом R (рис. 1). Все образующие окружности рассматриваемой
винтообразной поверхности расположены в плоскостях пучка и бу-
дут касаться базовой плоскости вдоль окружности с радиусом R.
Эти винтообразные поверхности можно считать также цикличе-
скими поверхностями с окружностями в плоскостях пучка.
Формы задания винтообразной поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = .г(и, v) = (7? + г sin v) sin и, у = у (и, у) = (7? + г sin v) cos и,
Рис- 1 Z = Z(ll,v) = r(l + COSV),
где г = г(п) - функция изменения радиуса образующей окружности; R = const, у - угол в плоско-
сти образующей окружности, отсчитываемый от положительного направления оси Oz в сторону
координатной плоскости z = 0; 0 < у < 2я; и - угол в координатной плоскости z = 0, отсчиты-
ваемый от координатной оси Оу в сторону оси Ох.
Линия центров х = A’sin;<, у = Rcosu, z = r(u) = pit-линия одинакового ската. Координатные
линии и = const совпадают с образующими окружностями. Координатная линия у = я представ-
ляет собой окружность радиусом R, которая располагается на координатной плоскости z = 0.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = (7? + г sinv)2 + 2г'2 (1 +cos v), F = -rr’sinv, B = r(u),
A2B2 - F2 = r2\{R + rsin y)2 +2r'2(l + cos v) - r'2 sin2 v],
r r, . 2 . ] r2/(1 +cosv)cosv r2(/? + rsinv)
L = ---...-— r (1 + cos v)(7? + r sin v) - A sin у I M =-, =—, N =----------,
Ja2b2-f2 Ja2b2-f2 Ja2b2-f2
, r"(l + cos v)(7? + rsin v) - A2 sin у , 7? + rsinv , dr „ d2r
K„ =r----------1 -------> S =—i где r = —, r =—5-.
A2Ja2B2-F2 -Ja2B2 -F2 du du
Рис. 2
Таким образом, поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволи-
нейных координат и, у. Она имеет участки как положительной так и отрицательной гауссовой
кривизны. Если взять г = const, то рассматриваемая винтообразная поверхность выродится в
круговой тор (см. «Поверхности вращения»).
Если принять г = г(и) = ри, где р = const, тогда значения коэффици-
>, ентов основных квадратичных форм поверхности примут вид:
А2 = (7? + rsinv)2 +2/72(l + cosv), F = -prsinv, В = г(и) = ри,
. rA2sinv ,, pr2(l + cosv) cosv ,, r2(?? + rsinv)
L - ===== , M = - = =—, N =-----'===::= ,
yA2B2-F2 dA2B2-F2 -Ja2B2-F2
_ rsinv _ 7? + rsinv
-Ja2B2 -F2 ’ ’’ -Ja2B2-F2 '
На рис. 1 показана винтообразная поверхность с г = г(м) = ри = и/2;
R = 4 м; 0 < и < 2л", 0 < у < 2л:. Поверхность, изображенная на рис. 2,
имеет?? = 10/7, 0 < v < 2/Г ,0 < т < 5л72.
r sin v
225
8 - 5391
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
к = 2 м;
а = 1 м;
й = 0,5м;
р = а/(2л) м
Рис. 1
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ В ЦИЛИНДРЕ
Циклическая поверхность в цилиндре образовывается окружностями
переменного радиуса г = г(и), лежащими в плоскостях пучка. Фиксиро-
ванной прямой пучка плоскостей является ось направляющей винтовой
линии, расположенной на круговом цилиндре с постоянным радиусом R
(рис. 1). Наиболее удаленная от оси направляющей винтовой линии
точка образующей окружности при этом перемещается по этой винто-
вой линии: х = х(и) = Rcosw, у = у(и) = 7?sinw; г - г(и) = Ьи.
Формы задания циклической поверхности в цилиндре
1) Параметрическая форма задания:
х = x(ii, v) = [7? - r(l - cos v)]cosw, у = y(u,v) = [R- r(l - cos v)]sinw,
z = z(u, v) = bu + r sin v,
где и - угол, отсчитываемый в плоскости хОу, v - угол, отсчитываемый
в плоскости образующей окружности. Координатная линия v = 0 совпа-
дает с направляющей винтовой линией на цилиндре радиусом R = const.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = г'2 (1-cos v)2 + (b + r'sinv)2 + [7? - r(l - cos у)]2, В -г,
F = r(r'sin v + bcosv),
А2В2 - F2 = г2 {[/(!-cos v) + Z? sin г]2 + [7?-r(l-cosv)]2}
_ r{2r'(l - cos v)[/(l - cos v) + b sin v] — [7? - r(l - cos v)]2 cos v + r"(l - cos v)[7? - r(1 - cos v)]}
Д/ —
^a2b2-f2
_ r2[/(l-cos v) + fesin y]sin v r2[T?-r(l-cosv)] _ L _ [7? - r(l - cos v)]
Ja2B2-F2 ’ *Ja2B2 -F2 ’ “ Л2’ ’’ ^A2B2-F2
Если принять г = г(и) = а - ри, где а и р - константы, то формулы для вычисления коэффи-
циентов основных квадратичных форм поверхности примут следующий вид:
А2 = р2(1 - cosv)2 + (7>- psin v)2 +[7?-r(l-cosv)]2, В = r, F = r(-psinу + £>cosv),
A2B2 - F2 = r2{[-p(l-cosv) + Z7sinv]2 + [/?-r(l-cosv)]2}
A = rb(l - cos p)[p(l - cos V) - b sin V] - [/? - r(l - cos у)]2 cos v}
7а252 -F2
Рис. 2
R = 2 м; а = 1 м;
b - 0,5 м;р — 0,1 м
Ja2b2-f2
M _ r2[-p(l-cosv) + T?sin v]sin v _ r2[R - r(l -cos v)]
' ~ ’ 7a2B2 -F2
При и - а/p радиус образующей окружности
будет равен нулю (рис. 1; 2). Параметрические
уравнения линии центров циклической поверх-
ности в цилиндре можно записать как:
х = х{и) = (R-r)cosu, у = у(и) = (7?-r)sinw,
z = z(u) = bu.
Если принять закон изменения радиуса обра-
зующей окружности в виде г = г(и) = а - ри, где
а и р - константы, то проекцией линии центров
на плоскость хОу будет неоида. Следовательно,
в этом случае линия центров лежит на прямом цилиндре с направляющей неоидой.
226
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КВАЗИВИНТОВАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С НАПЕРЕД ЗАДАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ ОКРУЖНОСТЯМИ
Циклическая поверхность с образующими окружностями переменного радиуса в плоско-
стях пучка и с винтовой линией центров х = x(v) = rcosv, у = y(v) = rsinv, z = z(v) = bv имеет на-
перед заданные значения радиусов начальной (7?i) и конечной (7?э) образующих окружностей с
наперед заданным углом между начальным и конечным положением плоскостей пучка. Фикси-
рованная прямая пучка плоскостей совпадает с неподвижной координатной осью Oz. Такая
циклическая поверхность называется квазивинтовой циклической поверхностью с наперед за-
данными граничными окружностями.
Формы задания квазивинтовой циклической поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1-3):
х = х(и, v) = rcosv + N(v)cosucos v, у = y(u,v) = rsin v + 7?(v)cos«sin v, z = z(u, v) = R(y) sin и + bv,
RM = + 222i.r2 , = = ZLzA
Vl ~V2 V, — V1 V2 - V1
где и - центральный угол в плоскостях образующих окруж-
ностей; 0 < и < 2л; v - угол, отсчитываемый от оси Ох в сто-
рону оси Оу; V] - угол, определяющий положение плоскости
пучка с начальной окружностью радиусом Ry. V2- угол, оп-
ределяющий положение плоскости пучка с конечной окруж-
ностью радиусом Ri; г - радиус кругового цилиндра, на ко-
тором расположена винтовая линия центров окружностей.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = R(y), F-bR(y) cos и, В2 = [г + 7?(v)cosw]2 + R'2(y) + 2bR'(y)&inu + b2,
A2B2-F2 = T?2(v){[r + /?(v)cosw]2 +[7?'(v) + fcsinw]2}
r T?2(v)[r +7?(v)cosm] A>2(v)[7?/(£O + ^sinw] .
L =------... =-----, M =---------, =-----smu,
Ja2B2-F2 y/A2B2-F2
N = {27?z(v)[7?'(v) + fcsin w] + [r + 7?(v)cos«]2}.
Va252 -F2
Рассматриваемая циклическая поверхность задана в не-
ортогональной несопряженной системе криволинейных
координат и, V.
На рис. 1 показана поверхность с Ri = 60 см; v? = л!2; Ri = 20 см;
Vi = 0; г = 80 см; 0 < и < 2тг; 0 < v < л/2; b = 10 см. Поверхность,
представленная на рис. 2, имеет 7?i = 10 см; V2 = л; Т?2 = 40 см; vj = 0;
0 < и < 2л; г = 80 см; b = 10 см. На рис. 3 изображена поверхность с
Ri = 10 см; /Ц = 40 см; г = 80 см; 0 < и < 2л; 0 < v < Ъл!2; b = 10см.
Если R\ - Ri, то получится круговая винтовая поверхность с об-
разующей окружностью, лежагцей в плоскости, которая прохо-
дит через винтовую ось (см. «Круговые винтовые поверхности»).
Дополнительная литература
1. Нарзумаев С.А. Каркасный способ конструирования циклических поверхностей с использованием двух сис-
тем координат// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1978. - Вып. 25. - С. 65-67 (библ.: 3 назв.).
227
8'
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РАЗВЕРТЫВАЮЩАЯСЯ ВИНТООБРАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С УГЛАМИ НАКЛОНА
ПРЯМЫХ ОБРАЗУЮЩИХ ОТ 0° ДО 90°
Развертывающаяся винтообразная поверхность с углами наклона прямых об-
разующих от 0° до 90‘ образовывается касательными к винтовой линии перемен-
ного шага (рис. 1)
х(и) = acosmxu, у(и) = а&ттли, z(u)=b^\-({-u)2 ,
лежащей на круговой цилиндрической поверхности радиусом а; т/2 - число вит-
ков на участке 0 < z < b, то есть при 0 < и < 1.
- Касательные прямые к цилиндрической винтовой линии переменного шага
(ребру возврата развертывающейся винтообразной поверхности) пересекают ко-
ординатную плоскость хОу под углом а = 90° - (р, где
tgp = аттг-у1и(2-и)/[b(i - и)].
Угол а. изменяется от « = 0 при и = 1 (г = Ь) до « = л/2 при и = 0 (z = 0).
fa = 2; Рассматриваемую поверхность можно отнести как к классу винтообразных по-
I Ь = 10; верхностей, так и к классу линейчатых поверхностей к группе торсовых поверх-
| т = 20 ностей (торсов). Если известно ребро возврата торсовой поверхности, то задание
Рис’ 1 поверхности и вычисление ее основных квадратичных форм не представляет
трудности. Для этого можно воспользоваться общими формулами, приведенными на странице
«Торсовые поверхности (торсы)».
Формы задания развертывающейся винтообразной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2; 3):
amzrdl - (1 — и)2 sin тли
X = х(и, у) = х(и) — V . ,
y]a2m2K2 [1 - (1 - и)2 ] + b2 (1 - и)2
атлм!-(1-и)2 cos тли
У = у(и, V) = у (и) + V, ---------........
у)а~т2л2[) - (1 — и)2] + Ь2(1 - и)2
< — v} — '-ЛУЧ 1 v I—-—-—--------—-------------— 1
a' m~ n~ [1 - (1 - и)" ] + b~ (1 - u)~
где x(u), y(u), z(u) - координаты ребра возврата рассматриваемой разверты-
вающейся поверхности, приведенные выше.
Рис. 3
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
., a2m2K2v2 I 2 . , b2 I
А' = F' -I---( т nF' -I------------—
F 1 [1-(1-и)2]31
7n2mV[l-(l-M)2] + ^2(l-M)2 „ ,
F = -------. =-------, В ~1,
fl2mVbv2(l-zO г 22 ;
L = , --------~~ (3 + [1 - (1 - и) ] т
F3VA2-F2[1-(!-«)]
м = N = К = 0.
На рис. 3, а показана развертывающаяся поверхность, для
которой геометрический параметр и изменяется в пределах 0 < и < 1, а на рис. 3, б - в пределах
0 < и < 2. Если параметр и изменяется в пределах 0 < и < 2, то поверхность будет замкнутой.
228
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПСЕВДОРАЗВЕРТЫВАЮЩАЯСЯ
ВИНТООБРАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ
Псевдоразвертывающаяся винтообразная поверхность с переменным шагом образовыва-
ется прямыми, которые параллельны координатной плоскости хОу и проходят через винтовую
линию переменного шага L (рис. 1)
х{и) = acosrnmt, у(и') = asinmffli, z(u) — Ьт/1 —(1 — и)2 ,
, все время оставаясь касательными к проекции этой винтовой линии на плоскость,
Л перпендикулярную оси рассматриваемой винтообразной поверхности (координатной
плоскости хОу). Направляющая винтовая линия переменного шага L лежит на круго-
f вой цилиндрической поверхности радиусом а; т/2 - число ее витков на участке
( L 0 < z < 6, то есть при 0 < и < 1.
х. Касательные прямые к цилиндрической винтовой линии переменного шага L пере-
\ секают координатную плоскость хОу под утлом а = 90°-с>, где
т = 1V; ' г-д-----
Z>=10;
0 = 2 6(1-и)
Угол о. изменяется от о. = 0 при и = 1 (z = Ь) до о. = тг/2 при и - 0 (z = 0).
Рассматриваемую поверхность можно отнести как к классу винтообразных поверхностей,
так и к классу линейчатых поверхностей к группе линейчатых поверхностей отрицательной
гауссовой кривизны, а в более узком смысле, к группе поверхностей Каталана.
Формы задания псевдоразвертывающейся винтообразной поверхности
1) Векторная форма задания:
г = r(u,v) = аЫ/пли) + vntmmi) + z(ii)k,
где h(mmi) = icostymru) + Jsin(w7rw); п(тш) = -ism(mmi) + jcos(m^w); v - криво-
линейная координата, совпадающая с прямыми образующими поверхности.
L 2) Параметрическая форма задания (рис. 2; 3):
х = x(z<,v) = x(«) — v sin гили, у = у(и,г) = у(и) + vcosmnu., z = z(u),
где х(и), у(и), z(u) — координаты направляющей цилиндрической винтовой ли-
нии переменного шага рассматриваемой линейчатой поверхности, приведенные
0< и < 1,Ж выше. На рис. 3, а показана псевдоразвертывающаяся поверхность, для которой
~т - 10- геометрический параметр и изменяется в пределах 0 < и < 1, а на рис. 3, б - в
0<г<2 пределах 0<и<2. Если геометрический параметр и изменяется в пределах
Рис. 2 0 < и < 2, то поверхность будет замкнутой.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Рис. 3
А2 = тг7Г(а2 + г2) + 62(1-и)2 К2и — и2), Р'-аттг, В = 1,
А2В2 — F2 = т2лгу2 +62(1 -и)2 /(2и — и2);
_ , v + атли(1- и)(2- и)
L = mm . ——-----------,
эМ2В2 -Е2[и(2-и)]3/2
тл6(1-н) Л;_Л1
М ---------
4 А2 В2 - F2 Ju(2-u)
Псевдоразвертывающаяся винтообразная поверхность
с переменным шагом будет линейчатой поверхностью
отрицательной гауссовой кривизны, только вдоль пря-
мой линии и = 1 будут параболические точки ( К = 0).
229
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ЗАКРУЧЕННЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ КРИВОЙ
Винтообразные предварительно закрученные поверхности с плоской образующей кривой
относятся к классу винтообразных поверхностей, так как имеют направляющую кривую в виде
винтовой линии постоянного ската на цилиндре. Плоская образующая кривая расположена в
нормальной плоскости винтовой линии и помимо движения вдоль этой линии вращается в ее
нормальной плоскости. Ось вращения образующей кривой совпадает с касательной к винтовой
линии.
Формы задания винтообразных предварительно закрученных поверхностей
с плоской образующей кривой
1) Векторная форма задания:
r(n,v) - р(и) + [X(v)cos# - K(v)sin#]v + [X(v)sin# + У(у)соз#]/? =
= {b - [X(v)cos# - y(v)sin#]}h(u) + [X(v)sin# + y(v)cos#][-cn(w) + bk]/-jb2 + c2 + cuk,
где р(и) = bh(u) + cuk - радиус-вектор направляющей винтовой линии, лежащей на цилиндре
радиусом b', X - Х(у), У = У(у) - параметрические уравнения плоской образующей кривой отно-
сительно местных осей X, У; й(и) = icosu + jsinu - единичный вектор, расположенный в плоско-
сти хОу, v = -h(u); /1 = [-сп(и) + bk]/-Jb2 +с2 - единичный вектор бинормали направляющей
винтовой линии; и(и) = -isinw + jcosu. Введем новую константу t = xY2 + с2.
2) Параметрическая форма задания:
х = х(и, у) = {b - [X(v)cos# - У (v) sin #]}cos и + csin«[X(v)sin# + У(y)cos#]/f;
у = у(и, v) - [b - [X (v) cos 0 - У (у) sin #]}sin и - с cos и [X (у) sin 0 + У (v) cos #]/ Г;
z = z(«, v) = си + b[x (v) sin 0 + У (у) cos #]/1,
где и - угол в плоскости хОу, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу, 0 = 0(и) - угол закру-
чивания образующей кривой в нормальной плоскости направляющей винтовой линии.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
г ' Л 2 z \ 2 /\Г
А2 = ]?- —[X(v)cos#-y(v)sin#][ +|— + -| [Х2(у) + У2(у)1 F =[-+-} Х(у)—-У(у)—
[ t J у du t) у du t Ji dv dv
D, (dX}2 fdY}2 v / 2 D, f, b~Z . v. J2 (d0 cVf <УХ ,dY}2
ydvjydvj у If’ j ydu tJ у dv dv J
r -lYd# c'YdX dY'fbi d& cYv . „ ,z ( d0 cY b ,v „ ,z . A
L = —----у— X---1-У— — 2----Б— (X sin# + У cos#)--t — (Xcos#~ysm#)
E К du t Jy dv dv Jity du t J ydu t Jy t J
+ f Г——(X cos#-У sin#)
I t
h( i-> A /7 2/9
- r-—(Xcos#-ysin#) —YY(Xsin# + ycos#)
t I t J du
dX . . dY >
—sm#-l---cos# >,
dv dv J\
t-—(X cos#-У sin#)
t
b-X^ + Y^
ty dv dv
dY . A\(d0 c
— sin# Ы — + -
dv J К du t
1 (dX d2Y
X dv dv~
dY d2X
dv dv2
b
t — (Xcos#-ysin#) .
t
В общем случае поверхности заданы в криволинейных неортогональных несопряженных
координатах и, у; Е2 =-А2#2 - F2.
230
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНАЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ЗАКРУЧЕННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Винтообразная предварительно закрученная поверхность эллиптического поперечного се-
р = 0 р = -c/r р - 1 р = -c/t р = 1
О < и < 4лг; <7 = 2; b = 6; с = 2; d = 1;
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
липса'совпадает с касательной к винтовой линии.
нения относится к классу вин-
тообразных поверхностей, так
как имеет направляющую кри-
вую в виде винтовой линии по-
стоянного ската на цилиндре.
Образующий эллипс распо-
ложен в нормальной плоскости
винтовой линии и помимо дви-
жения вдоль этой линии враща-
ется в ее нормальной плоскости.
Ось вращения образующего эл-
Формы задания винтообразной предварительно закрученной поверхности
1) Векторная форма задания (рис. 1-6):
г = r(u,v) = р(и) + [acosvcos# - dsinvsin#]v + [acosvsin# + dsinvcos#]// =
= {b - [ncosvcos# - rfsinvsin#] }й(и) + [acosvsin# + #sinvcos#][-c«(«) + bk]/\lb~ + c2 + cuk,
где />(«) = bh(u) + cuk - радиус-вектор направляющей винтовой линии, лежащей на цилиндре
радиусом b; X = acosv, Y = dsinv - параметрические уравнения образующего эллипса относи-
тельно местных осей X, У; й(и) = icosa + jsinn - единичный вектор, расположенный в плоскости
хОу; v = -й(и); Р = [-сл(и) + bk\!4b2 + с2 - единичный вектор бинормали направляющей вин-
товой линии; п(й) = -isinu + Jcosu. Введем новую константу t = Jb2 + с2.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-6):
х = x(u,v) = {b - [a cos v cos в - d sin vsin #]}cosa + csinnfacos vsin# + #sin vcos#]/f;
у = у(и, v) = {b - [a cos v cos в - d sin v sin #]}sin и - c cos u [ci cos v sin в + d sin v cos d\l f,
z = z(p, v) = cu + #[acos vsin# + d sin v cos#]/t,
где и - угол в плоскости хОу, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; в = #(и) - угол закру-
чивания эллипса в нормальной плоскости направляющей винтовой линии.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности при #(и) = ри;
b С eV
— [acosvcos#-#sinvsin#]> +fp+ —j [a2 cos2 v + d2 sin2 v],
= ad p + — , B2 = a2 sin2 v + d2 cos2 v, X - -JA2B2 - F2,
I t J
Рис. б
2nd, { n j Д " ( C\I ,2 2\2Sin22v
t В <1—-[acosvcos#-asmvsin#]> + p + —\ [d -a I ----------,
1 1 V t J 4
b , 2. sin2v z . л
)-----(я sin v cos # +
t ' 2
b
t
М =^р32 t — (acosvcos#-# sin vsin#) —(d2-a2')
+ # cos vsin #)Xp + c/<), = а#[<-#(a cos vcos#-# sin vsin #)/<]/Z.
Коэффициент L второй квадратичной формы поверхности определяется из формулы, при-
веденной на предыдущей странице. На рис. 2, 4 поверхности показаны в линиях кривизн.
231
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 3
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 4
Рис. 5
р = 0,5
в
Рис. 6
ВИНТОВАЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ЗАКРУЧЕННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Винтовая предварительно закрученная поверхность кругового поперечного сечения отно-
сится к классу винтообразных
поверхностей, так как имеет
направляющую кривую в виде
винтовой линии постоянного
ската на цилиндре и является
частным случаем винтооб-
разной предварительно закру-
ченной поверхности эллипти-
ческого поперечного сечения.
Образующая окружность
расположена в нормальной
плоскости винтовой линии и помимо движения вдоль этой линии вращается в ее нормальной
плоскости. Ось вращения образующей окружности совпадает с касательной к винтовой линии.
Рассматриваемую поверхность можно считать также трубчатой винто-
вой поверхностью (см. «Круговые винтовые поверхности»)
Формы задания винтовой предварительно закрученной поверхности
1) Векторная форма задания (рис. 1-6):
г = r(u,v) = p(ii) + acos(v + ff)v + asin(v +0)p =
~[b - acos(v + 0)]/г(и) + asin(v + 0)[-сп(и) + bk]/-Jb2 + c2 + cuk,
где p(u) = bh(u) + cuk - радиус-вектор направляющей винтовой линии, ле-
жащей на цилиндре радиусом b; X = acosv, Y = asinv - параметрические
уравнения образующей окружности относительно местных координатных
осей X, Y; h(u) = z'cosz< + jsiruz - единичный вектор, расположенный в плос-
кости хОу; v = -h(u); р = [-сл(и) + bk}lt - единичный вектор бинормали
направляющей винтовой линии; л(и) = -isinw + jcosu; t = [b2 + с2]1/2 = const.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-6):
х = х(и, v) = \b-a cos(v + £2)]cos и + са sin и sin(v + О') /t;
у = у (и, v) = [b-acos(v + <9)]sin м -cacosMsin(v + 0)/t;
z = z(u,v) = cu + basin(y + 0~)/t,
где и - угол в плоскости хОу, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу;
в = <9(и) - угол закручивания окружности в нормальной плоскости направ-
ляющей винтовой линии. Образующие окружности - линии кривизны.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности при 0(и) = ри:
Г ab , ^.Т >( eV
А' = f----cos(v + 0) +fl‘ р+— ,
t)
Г cos(v + 0) cos(v + 0), M =a\ p + — I, N = a,
t । . ।
42 . ab ’
L t ' 'J I
cib
'X = a\t------cos(v + 0) , L = -
t
, s = Ja2b~-f2,
t
t
b
t
L I (b I f)[r ~(аЫ r)cos(v + i9)]cos(v + 0) + q(p + c / r)2
A~ a a[t-(ab/t)cos(v + £)J
Поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных координатах и, v.
На рис. 2 и рис. 4 поверхности показаны в линиях кривизн. На рис. 6 поверхности имеют с = 0.
232
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНЫЕ ЗАКРУЧЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С ПЛОСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ КРИВЫМИ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА
Винтообразные закрученные поверхности с плоскими образующими кривыми в плоскостях
пучка относятся к классу винтообразных поверхностей, так как имеют направляющую кривую
в виде винтовой линии постоянного ската на цилиндре. Плоская образующая кривая располо-
жена в плоскостях пучка с фиксированной прямой пучка, совпадающей с осью направляющей
винтовой линии. Помимо простого винтового движения вдоль этой линии образующая кривая
вращается в плоскостях пучка. Ось вращения образующей кривой совпадает с касательной к
проекции винтовой линии на координатную плоскость, перпендикулярную оси винтовой линии.
Формы задания винтообразных закрученных поверхностей
с плоскими образующими кривыми в плоскостях пучка
1) Параметрическая форма задания:
х - х(щ, v) = {h + [X (г) cos в - Y(v) sin в]}cos и; у = у(и, у) = {b + [х (v) cos в - У (v) sin #]}sin и;
z - z(u,v) = c« + [X(v)sin# + y(v)cos#],
где и - угол в координатной плоскости хОу, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону
оси Оу; 0 = б(и) - угол закручивания плоской образующей кривой в плоскости пучка с фикси-
рованной прямой, совпадающей с осью Oz; X = X(v), Y = Y(y) - параметрические уравнения
плоской образующей кривой относительно местных осей X, У, расположенных в плоскости
пучка. Начало местных координат расположено на направляющей винтовой линии.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 = {i + [X(v)cos#-y(v)sin#]}2 + с2 +2с—[X(v)cos<9 — У(v)sin<9] + [ | [х(у)2 + У(у)2],
du ydu J
„ rfX(y) . „dY(v)
F - с--------sin в -I------cos o'
dv dv
+ ^[х(у)^-У(у)^Ъ2
du dv A1 J k dv J у dv
E2 = {& + [X(v)cos#-y(v)sin#J}2B2 +] —
I du
X(v)^+y(v)^
dv dv
^X(y) a dY(y) . o
cos в sm в
dv-----------dv
{b + [X (y) cos 0 - У (у) sin [b + X (v) cos в - У (у) sin 0\ sin 0 + -cos 0
1 dv dv
+ 4[хМ^ + УМ^ + И[х(^-УМ^
du" dv dv j ydu) [ dv dv
~d0r . . vr 4 Ad0\v/^dX(y) vdY(y)\ Г</Х(у) Q dY(v). 1]
+ 2—|X(y)sin0 + y(v)cos#H— X(y)---+Y(v)----- +c-------cos#----sin# k
du [ du L dv ' dv J dv dv J J
м V( xdX(-v) v< ,dY{v)\ ( dX(y) n dY(v) . AT</X(y) . dY(y) . J
M =—< — X(y)----— + y(v)—— +c -----—cos#----——sin# ----—cos#----—sin# -
E du у dv dv ) у dv dv у_|L dv dv J
, rv/ X а V/ X n\d0 D’ll x, fe + [X(v)cos#-y(v)sin#]rdX(y) d2Y
b + (X(y)eos0-Y(y)sm0)—B~ k N = ——-----------------— ——
du JJ E dv dv"
d2X dY(y)
dv2 dv
Поверхности общего вида заданы в неортогональной несопряженной системе координат и, у.
233
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТООБРАЗНАЯ ЗАКРУЧЕННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА
р = 0 р = 0,5 р - -0,5 р = 1 р = -1
0 < и < Зя'; а = 1; cl = 1,5; b = 2,5; с = 1; 0 < v < 2л;
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Винтообразная закрученная по-
верхность эллиптического попе-
речного сечения в плоскостях пуч-
ка относится к классу винтооб-
разных поверхностей, так как
имеет направляющую кривую в
виде винтовой линии постоянного
ската на цилиндре. Образующие
эллипсы расположены в плоско-
стях пучка с фиксированной пря-
мой пучка, совпадающей с осью направляющей винтовой линии. Помимо простого винтового
движения вдоль этой линии образующий эллипс вращается в плоскости пучка. Ось вращения
образующего эллипса совпадает с касательной к проекции винтовой линии на координатную
плоскость (окружность), перпендикулярную оси винтовой линии.
Формы задания винтообразной закрученной поверхности
эллиптического поперечного сечения в плоскостях пучка
1) Параметрическая форма задания (рис. 1-5):
х = x(ii,v) = {# + [a cos v cos # - d sin v sin #]}cos и; у = y(u,v) = {b + [acos vcos# -d sin vsin #]}sin«;
z = z(u,v) = cu + [acosv sin # + dsinv cos#],
где и - угол в координатной плоскости хОу, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону
оси Оу; в = 3(и) - угол закручивания плоского образующего эллипса в плоскости пучка с фик-
сированной прямой, совпадающей с осью Oz; X = X(v) = acosv, Y = X(v) = dsinv - параметриче-
ские уравнения образующего эллипса относительно местных осей X, У, расположенных в плос-
кости пучка. Начало местных координат расположено на направляющей винтовой линии.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности при # = ри:
А2 = (b + аcosvcos#-dsin vsin#)2 + с2 + 2cp(acos vcos#-d sin vsin #) + p2(a2 cos2 v + d2 sin2 v
F = c(-asin vsin# + d cos vcos#) + adp, B2 = a2 sin2 v + d2 cos2 v,
£2 = A2B2 —F2 = (d + acosvcos#-dsinvsm#)2S2 +
p(d2-a2)
2
- 2
sin2v-c(asinvcos# + dcosvsin#) ,
a cos v cos в - d sin v sin #)[(# + a cos v cos # - d sin v sin #X~ a sin v sin # + d cos v cos #) +
+ p2 ad\ + 2p{a cosv sin# + d sin vcos#)
p(d2 - a~ )
2
sin 2v - c(a sin v cos#+ d cos vsin#) >,
M = --
Z
fl-.) sin 2v - c(a sin v cos # + d cos v sin #)
(a sin v cos в + d cos v sin #) +
4
+ b + pB2 (a cos vcos# -d sin vsin
„ , b + acosvcos#-dsinvsin#
N = -ad ---------------------
(sin2 v-cos2 v)
X
Если в формулах принять р = 0, то получится винтовая поверхность с образующим эллип-
сом (см. «Винтовые поверхности с произвольными плоскими образующими кривыми»), рис. 1.
На рис. 2-5 показаны рассматриваемые поверхности с различными значениями параметра р.
234
ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВИНТОВАЯ ЗАКРУЧЕННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ОКРУЖНОСТЯМИ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА
Винтовая закручен-
ная поверхность с ок-
ружностями в плоско-
стях пучка является
частным случаем вин-
тообразной закручен-
ной поверхности эл-
липтического попереч-
ного сечения в плоско-
стях пучка при а = d, и
поэтому относится к
классу винтообразных
пучка с фиксированной
р = 0 р=1 Р = -1 р = и р=1 Р = -1
О < и < 4я; а - 1; b - 2,5; с = 1; 0 < v < 1л 0 < и < 4я", а = 1; b = 2,5; с = 1
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
поверхностей. Образующие окружности расположены в плоскостях
прямой пучка, совпадающей с осью направляющей винтовой линии. Помимо простого винтово-
го движения вдоль этой линии образующая окружность вращается в плоскости пучка. Направ-
ление оси вращения образующей окружности совпадает с направлением касательной к проек-
ции винтовой линии на координатную плоскость, перпендикулярную оси винтовой линии.
Формы задания винтовой закрученной поверхности с окружностями в плоскостях пучка
1) Параметрическая форма задания (рис. 1-6):
х = х(и, v) = [й + acos(v + 0)]сози; у = y(u,v) = [b + acos(v + ^)]sin и; z = z(u, v) = cu + asin(v + 0),
где и - угол в координатной плоскости хОу, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону
оси Оу; 9 = 0(и) - угол закручивания образующей окружности в плоскости пучка с фиксирован-
ной прямой, совпадающей с осью Oz; X = X(v) = acosv, Y = E(v) = asinv - параметрические
уравнения образующей окружности относительно местных осей X, У, расположенных в плоско-
сти пучка. Начало местных координат расположено на направляющей винтовой линии.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности при 9 = ри1.
А2 = [& + acos(v + 6*)]2 + с2 + 2cpacos(v + #) + р2а2, F = cacos(v + 0) + a2р, В2 = а1,
X2 =A2B2-F2 =a2{[i> + acos(v + i9)]2 + с2 sin2(v + 6>)}
_ [b + acos(v + (9)]{[fe + acos(v + #]cos(v + 0) + ар2}-2apcsin2(у + 0)
--а - ,
М = ~са~ sin2(у + g) + fe + pa3 cos(v + 0) N = _д2 fe + acos(v + g) /.^ x
X ’ X ' h
Если в формулах принять р = 0, то получится круговая винтовая поверхность с образующей
окружностью, лежащей в плоскости, которая проходит через винтовую ось (см. «Круговые
винтовые поверхности»), рис. 1. На рис. 2-6 показаны рассматриваемые поверхности или их
фрагменты с различными значениями геометрических параметров. При изменении параметра р
изменяется только форма криволинейных координатных линий и, лежащих на рассматриваемой
поверхности, а сама поверхность остается круговой винтовой поверхностью с образующей ок-
ружностью, лежащей в плоскости, которая проходит через винтовую ось.
2) Векторная форма задания: г = r(u,v) = [b + acos(v + 0)]й(и) + [си + asin(v + 0)]fc,
где h(u) = icosu + jsmu; p(u) = bh(u) + cuk - векторное уравнение направляющей винтовой линии
на цилиндре радиусом b; Н = 2лс - шаг направляющей винтовой линии.
235
ПОВЕРХНОСТИ БЛЮТЕЛЯ
ПОВЕРХНОСТИ БЛЮТЕЛЯ
Поверхность Блютеля образовывается однопараметрическим семейством коник и одно-
временно огибает двухпараметрическое семейство конусов второго порядка.
Если кривые, составляющие вместе с семейством образующих коник сопряженную сеть,
также являются кониками, то плоскости образующих коник проходят через фиксированную ли-
нию g. При этом все образующие коники проходят через две (возможно совпавшие или ком-
плексно сопряженные) точки на g. Аналогично, все плоскости сопряженных коник проходят
через линию h а все сопряженные коники - через две точки на h.
Поверхности Блютеля, разумеется, включают в себя квадрики и циклиды Дюпена. Полная
классификация поверхностей Блютеля приведена в статье [5]. Все они являются алгебраиче-
скими поверхностями, в основном, 4-го порядка. Кроме того, за исключением квадрик и неко-
торых вырожденных поверхностей, они представляют собой группу поверхностей проективно
эквивалентную циклидам Дюпена.
Дополнительная литература
I. Degen IV. Die Blutelschen Kegelschnittflachen, deren konjugierte Kurven ebanfaiis Kegelschnitte sind// Ber. math.-
statist. Sek. Forschungszent. Graz. - 1984. - № 1-2. - S. 215-226.
2. Degen W. Surfaces with a conjugate net of conics in projective space// Tensor. - 1982. - 39, Commem. Vol. 3. - P.
167-172.
3. Ivey Thomas. Surfaces with orthogonal families of circles// Proc. Amer. Math. Soc. - 1995. -123, № 3,- P. 865-872.
4. Бочилло Т.П. Поля квадратичных конусов и распределения на многообразии всех гиперплоских элементов
PJ! Дифферент геометрия многообразий фигур. - Калининград, 1988. - № 19. - С. 15-19:
5. Degen W. Die zweifachen Blutelschen Kegelschnittflachen// Manuscr. math. - 1986. - 55, №1. - S. 9-38.
ПОВЕРХНОСТИ ВЕРОНЕЗЕ
Пусть M есть двумерное многообразие, о есть М —> S4(l), то есть М - погружение в 4-
мерную единичную сферу действительного Евклидова пространства /?5.
С каждой точкой m0 е М связан подвижный ортогональный каркас {/и;г,,..., г5} простран-
ства R5, так что m = cr(m0); v1;v2 е Тга(сг(М)). Фундаментальные уравнения подвижного карка-
са будут иметь вид: dm = a/vj + Тогда cr(/W) с .S’4(1) сг 5Л’(1) есть поверхность Веронезе
при К = 1/3; Д'- гауссова кривизна.
Поверхность Веронезе можно определить следующим образом. В 3-мерном пространстве
R‘‘ существуют ортогональные координаты (х, у, г) и отображение №(7з) —> 54(1), заданное
выражениями [1]
«1 =7->/3-уг, и2 = |Тз-хг, и3 = ^-л/Зху, и4 = ^д/з (х2-у2), и5 = р(х2 + у2 -2z2),
3 э 3 6 о
(«1, ..., 115) - ортогональные координаты в R5. С каждой точкой поверхности Веронезе связан
ортогональный каркас dm = co'vi + co2V2 с со2 = -й)* = л[3а>2 /3; <у4 = а>2 = -/За>/Зх; /у4 = -2<у2. В
этом случае поверхность Веронезе будет иметь К - 1/3 и к = -2/3, где к - кривизна нормальной
связки.. Гауссова кривизна К и кривизна нормальной связки к определяются уравнениями
da>2 = -Ксо' ла>2,da>* = -ках лаг.
Проекции поверхностей Веронезе в трехмерное измерение называются поверхностями
Штейнера. В статье [1] устанавливаются некоторые свойства поверхностей Веронезе, доказы-
ваются условия, при которых сг(А/) является поверхностью Веронезе.
Дополнительная литература
1. Svec Alois. On Veronese surfaces// Czechosl. Math. J. - 1988. - 38, № 2. - P. 231-236 (библ.: 2 назв.).
2. Chen Bang-Yen. On the mean curvature of submanifolds of euclidean space// Bull. Amer. Math. Soc. - 1971. - 77,
J65.-P. 741-743.
236
ПОВЕРХНОСТИ ЦИЦЕЙКИ
ПОВЕРХНОСТИ ЦИЦЕЙКИ
Центроаффинный инвариант
d”
где К - гауссова кривизна поверхности Z, a d - расстояние от произвольной точки поверхности
L до касательной плоскости к этой поверхности, был введен Георге Цицейкой [1]. Г. Цицейка
(Gheorghe Titeica, 1873-1939) - основатель румынской школы дифференциальной геометрии.
Поверхности 2'. для которых отношение К/d' постоянно, называются поверхностями Цицейки.
В качестве примера поверхности с постоянным отношением Kid* Г. Цицейка рассмотрел
поверхность, заданную уравнением Цл'~ + у") = 1.
Если поверхность задана в явном виде
z = z(x,y),
то гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле
к =
а расстояние d от произвольной точки поверхности 27 до касательной плоскости к 27 можно оп-
ределить из формулы
71+гл+z?
При ненулевом центроаффинном инварианте I, условие
приводится к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных
Z.„Z,v - Z", = /(.XZ- + yzy - z)4,
причем z„zvv — zyy /0; xz. +yzv - z 0.Приведенное дифференциальное уравнение является
уравнением Монжа - Ампера:
zxvzyy —zyy = H(x,y,z,zx,zy).
Таким образом, дифференциальное уравнение
-z;y =/(xz: + yzv-z)4
может быть названо уравнением Монжа - Ампера - Цицейки.
Емил Попа (Рора Emil М.) получил дифференциальное уравнение, определяющее поверх-
ности Цицейки вида
z = Л«(х) + h(y)].
Дополнительная литература
1. Tzitzeica G. Sur une nouvelle classe de surface// Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris, 144 (1907). - P. 1257-1259 .
2. Остиану H.M. Румынский геометр Георге Цицейка (К 100-летию со дня рождения)// Труды Геометрическо-
го семинара. Всес. ин-т научн. и техн, информ. - 1974. - 6. - С. 25-36.
3. Рора Emil М. Asupra suprafetelor Titeica// Proc. Colloq. Geom. and Topol., Cluj-Napoca, Sept. 22-24, 1978. -
Cluj-Napoca, 1979. - P. 246-247.
4. Vranceanu G. Tzitzeica fondateur de la geometrie centro-affine// Rev. roum. math, purcs et appl. - 1979. - 24, № 6.
-P. 983-988.
5. Putinar Mihai. Un invariant centro-affine associe a quelques sousvarietes de 1’espace euclidien// Rev. roum. math,
pures et appl. - 1979. - 24, № 4. - P. 647-649.
e.Udripe C., BUa N. Symmetry group of Tzitzeica surfaces PDE// Balkan J. of Geometry and Its Applications. - Vol.
4, No. 2.- 1999.-P. 123-140.
237
ПОВЕРХНОСТИ ЦИЦЕЙКИ
ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЦЕЙКИ 3-ГО ПОРЯДКА
С ЦЕНТРО АФФИННЫМ ИНВАРИАНТОМ I = 1/27
Дифференциальное уравнение
zxvz,.v - z^. = I (xz, + yzy - z)4,
где центроаффинный инвариант I = 1/27 , имеет решение z =
1/(ху). Используя теорему, доказанную в работе [1], можно
установить, что уравнения
1'1 1
z=---Р£Х, Z =-t-Sy, z----------F£2X,
xy xy (x -E}y)y
где e, Et, £2- константы, также задают поверхности Цицейки с
I = 1/27.
Формы задания поверхности Цицейки cl = 1/27
1) Явная форма задания (рис. 1): z = z(x, у) = 1 /(ху).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 — 1 + 1/(х4у2), F = 1/(ху)3, В2 = 1 + 1/(х2 у4),
А2 В2 - F2 = (х4у4 +х2 +у2)/(х4у4),
Рассматриваемая поверхность является алгебраической
поверхностью .3-го порядка положительной гауссовой кри-
визны.
2) Явная форма задания (рис. 2): z = — + Ex.
xy
3) Явная форма задания (рис. 3): z =-h £у.
xy
4) Явная форма задания: z =-----------Н f2x.
(x-£,y)y
Дополнительная литература
1. Udriste С., Bila N. Symmetry group of Tzitzcica surfaces PDE// Balkan J. of Geometry and Its Applications. - Vol.
4, No. 2. - 1999. - P. 123-140 (библ.: 29 назв.).
ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЦЕЙКИ 2-ГО ПОРЯДКА
С ЦЕНТРОАФФИННЫМ ИНВАРИАНТОМ I = -а2
Поверхность Цицейки 2-го порядка с центроаффинным инвариан-
том I = -сГ бывает трех видов [1].
Формы задания поверхности Цицейки с I = -а2
1) Явная форма задания (рис. 4): z = z(x, у) = ^/1 + аху.
Эта поверхность отрицательной гауссовой кривизны (К < 0) является
гиперболическим параболоидом. На рис. 4 принято, что с = сП'1.
2) Явная форма задания: z = z(x, у) = ^/1 + аху + £х.
3) Явная форма задания: z = z(x, у) = Л/1 + а(х-£1у)у + е2х.
Дополнительная литература
1. Udrifte С., Bila N. Symmetry group of Tzitzeica surfaces PDE// Balkan J. of Geometry and Its Applications. - Vol.
4, No. 2. - 1999. - P. 123-140 (библ.: 29 назв.).
238
ПОВЕРХНОСТИ ЦИЦЕЙКИ
ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЦЕЙКИ 3-ГО ПОРЯДКА
С ЦЕНТР©АФФИННЫМ ИНВАРИАНТОМ I = -4/27
Рис. 1 Рис. 2
Поверхность Цицейки 3-го порядка с центроаффинным
инвариантом I = -4/27 бывает трех видов [1].
Формы задания поверхности Цицейки с I = -4/27
1) Явная форма задания (рис. 1): z = z(x, у) = 1/(х2 + у2).
Эта поверхность отрицательной гауссовой кривизны является
поверхностью вращения гиперболы z - 1/х вокруг оси Oz (см.
«Поверхности вращения»). Цицейка Г. [2] первым установил
наличие постоянного центроаффинного инварианта у этой по-
верхности вращения.
2) Явная форма задания (рис. 2):
z = z(x, у) = —--- + ЕХ.
X- + у
3) Явная форма задания (рис. 3; 4):
, \ 1
z = z(x, у) = --------- + егх.
(х-£,у)- +у-
Все поверхности, представленные на рис. 1-4,
построены в границах: - 4 < х< 4; -4 < у <4.
Дополнительная литература
1. Udripe С., Bila N. Symmetry group of Tzitzeica surfaces PDE// Balkan J. of Geometry and Its Applications. - Vol.
4, No. 2. - 1999. - P. 123-140 (библ.: 29 назв.).
2. Tzitzeica G. Sur une nouvelle classe de surface// Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris, 144 (1907). - P. 1257-1259 .
ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЦЕЙКИ 2-ГО ПОРЯДКА
С ЦЕНТРОАФФИННЫМ ИНВАРИАНТОМ I = а2
Дифференциальное уравнение z.„z?,v - z^. = l(xz, + yzv - z)4, где центроаффинный инвари-
ант I = а1 = const, имеет решение z = +ф-а(х2 + у2), которое задает
поверхность Цицейки второго порядка. Используя теорему, доказан-
нУю в работе [1], можно установить, что уравнения
\/\у'а = 0,5 z = +ф - а(х - £у)2 + у2 , z = +^1-а(х2 + у2) + ех .
\j -ах\у<с где е - константа, также задают поверхности Цицейки с/= я2.
Рис' 5 Формы задания поверхности Цицейки с I = а2
а = 0,5; 1) Явная форма задания (рис.5): z = +-у]1-а(,х2 + у2), где z > 0.
2 ~ Эта поверхность положительной гауссовой кривизны является
фрагментом эллипсоида вращения, который ограничен гранями
~ Vl/a < х < а/1 /а, — V1/а < у < Vi/а, 0 < z 1.
На рис. 5 принято с - (2д)-1/2.
Рис. б (-0,755 <х;у <0,755) 2) Явная форма задания (рис. 6): z = +^\-а{х-£у)2 + у2 ; z > 0.
3) Явная форма задания: z = +-/1-а(х2 + у2) + ex ; z - ex > 0.
Дополнительная литература
1. Udripe С., N. Bila N. Symmetry group of Tzitzeica surfaces PDE// Balkan J. of Geometry and Its Applications. -
Vol. 4, No. 2. - 1999. - P. 123-140 (библ.: 29 назв.).
239
ПОВЕРХНОСТИ ПЕТЕРСОНА
ПОВЕРХНОСТИ ПЕТЕРСОНА
Поверхность Петерсона - поверхность, обладающая сопряженной сетью конических или
цилиндрических линий, являющихся главным основанием изгибания. Например, поверхностя-
ми Петерсона являются резные поверхности Монжа с круговой цилиндрической направляющей
поверхностью, соответствующие поверхности переноса и поверхности вращения. Индикатриса
вращений поверхностей Петерсона есть прямой коноид, в частности, для резной поверхности
ею является прямой геликоид, для поверхности переноса - равносторонний гиперболический
параболоид.
Впервые этот класс поверхностей был рассмотрен К.М. Петерсоном как пример поверхно-
стей, допускающих изгибание на главном основании. В своей работе [1] К.М. Петерсон указал
на класс поверхностей способных изгибаться так, что два определенных семейства линий оста-
ются сопряженными в течении всего изгибания. По его терминологии, эти линии служат на
рассматриваемых поверхностях главным основанием изгибания.
Изгибание на главном изгибании - изгибание F, поверхности F, при котором направления
экстремального изгиба остаются неизменными. Сеть, образованная линиями, имеющими на-
правление экстремального изгиба, является сопряженной на каждой из поверхностей F, и назы-
вается главным основанием изгибания. В 1892 г. Э. Гурса показал, что семейство плоско-
параллельных сечений на поверхности Петерсона остается плоско-параллельным и после изги-
бания. Л. Бианки доказал, что каждому бесконечно-малому изгибанию поверхности соответст-
вует другая поверхность, «связанная» с первой таким образом, что нормали в соответственных
точках обеих поверхностей параллельны и асимптотическим линиям второй поверхности соот-
ветствуют на первой сопряженные линии - основания изгибания [2].
Поверхность Петерсона несет на себе коническую сеть, то есть сопряженную сеть, образо-
ванную линиями касания конусов, описанных около поверхности. Вершины этих конусов лежат
на двух пространственных кривых. Если обе эти кривые - плоские, а одна из них лежит в не-
собственной плоскости, тогда сеть становится цилиндро-конической. Установлено, что среди
этого вида поверхностей Петерсона единственной минимальной поверхностью является кате-
ноид [3]. Одним из классов квазивинтовых поверхностей составляют поверхности, задаваемые
уравнением зависящим от четырех функций одного аргумента
7?(/(,у) = [/(v) + + [F(ii) + Ф(у)]А, где e(v) = icosv + jsinr,
F(u) - уравнение меридиана поверхности в начальный момент времени, то есть при у = 0. Неко-
торые квазивинтовые поверхности при частных значениях функций Ду) и Ф(у) можно причис-
лить к поверхностям Петерсона. Например, при/(у) = 0 получаются обобщенные поверхности
Петерсона, производные от обыкновенных винтовых поверхностей, а при /(г) = 0 и Ф(у) = 0 -
поверхности Петерсона, производные от поверхностей вращения [4].
Дополнительная литература
1. Петерсон К.М. Об отношениях и сродствах между кривыми поверхностями// Математический сборник. -
1866.-Том 1.-С. 391-438.
2. Млодзиевский Б.К. О поверхностях, связанных с поверхностями Петерсона// Мат. сборник. - Том 21, 1900. -
С. 450-460 (библ.: 8 назв.).
3. Королев Е.А. Минимальные поверхности Петерсона, несущие конико-цилиндрическую сеть. - Горловка:
Горл. фил. Донец. ПИ. - 1987. - 49 с. - Библ. 6 назв. - Рук. деп. в УкрНИИНТИ 30.06. 87, № 1783-Ук87.
4. Тевлин А.М. Квазивинтовые поверхности и вопросы их конструирования и отображения// Кинематические
методы конструирования технических поверхностей. - М.: МАИ, 1970. - Вып. 213. - С. 112-114 (библ.: 5 назв.).
5. Королев Е.А., Фомина Т.Н. Минимальные поверхности Петерсона// Укр. геом. сборник. - Харьков, 1979. - №
22. - С. 92-96.
6. Королев Е.А., Семикина Э.Е. Линии, порождающие конико - цилиндрическую сеть на минимальных поверх-
ностях Петерсона. - Горловка: Горл. фил. Донец. ПИ. - 1989. - 6 с. - Библ. 5 назв. - Рук. деп. в УкрНИИНТИ 29.05.
89, № 1408-Ук89.
7. Бланк Я.П. Конгруэнция осей конической сети// Укр. геом. сборник. - 1975. - Вып. 18. - С. 16-20.
240
ПОВЕРХНОСТИ ПЕТЕРСОНА
ИЗГИБАНИЯ ТРЕХОСНОГО ЭЛЛИПСОИДА
Последняя работа Петерсона «Об изгибании поверхностей второго порядка» появилась в
печати в 1882 году уже после смерти ее автора. Статья посвящена более подробному исследо-
ванию изгибаний поверхностей второго порядка, которые были даны в его первой работе [1].
Согласно Петерсону, если имеется трехосный эллипсоид
4r + A- + ^- = l,
а" Ь~ с'
то его изгибания представляются уравнениями [3]
х = x(w,v) = rcos^cosn, у = y(w,v) = rsin^cosu,
z = z{u,v) = ы/а2(1 -/д jsin2 и + с2 cos2 udu,
где
г = г(р) = jerk2 - (а2 — b2)sin2 v,
?aJk2(a2 sin2 v + b2 cos2 v)-(«2 -b2)sin2 v
= ------------П~7 Г .~2------------------dv-
J a к -(a — b )sin v
Здесь к - параметр изгибания, и и у - криволинейные координаты, сопряженные на всех по-
верхностях данного семейства, линии и = const - конические, линии v = const - цилиндрические.
Первоначальной поверхности соответствует к = 1.
Очевидно, что, меняя роли осей можно получить для каждого эллипсоида три семейства
подобных изгибаний, меняя знаки при а2, Ь2, с2 можно найти изгибания и других центральных
поверхностей второго порядка.
Петерсон останавливается на изгибании тех поверхностей второго порядка, длины осей ко-
торых получают предельные значения. Эти значения могут быть трех видов: ось может обра-
титься в бесконечность, или в нуль, или сделаться равной другой оси.
При обращении осей поверхности второго порядка в бесконечность кривизна точек, уда-
ляющихся в бесконечность, будет стремиться к нулю. В этом случае поверхность обращается в
плоскость. Но есть три случая, когда кривизна стремится не к нулю, а к конечному пределу. Это
будет в случаях, когда 1) b/а2, с/а2, имеют конечные пределы; 2) когда ad(bc) имеет конечный
предел и 3) когда b/а, с/а имеют конечные пределы. В первом случае получаются обыкновен-
ные параболоиды, изгибания которых были найдены Петерсоном. В двух других случаях по-
верхность второго порядка обращается в плоскость, но вследствие выбора порядков бесконеч-
ности осей, кривизна удаляющейся части поверхности не стремится к нулю.
Если отнести точки поверхности эллипсоида к эллиптическим координатам на поверхно-
сти, то линейный элемент поверхности примет вид:
,, u — v udu~ vdv2
ds~ ------------------------------------------------- .
4 -u)(b~-и)(с~-и) (а‘-и~)(Ь~ — и)(с' — и)
Все действительные точки поверхности получатся при а2 > и > Ь2, Ь2 > г > с2.
Дополнительная литература
1, Петерсон К.М. Об изгибании поверхностей// Историко-математические исследования. - 1852. - Вып. 5. - С.
87-133.
2. Млодзиевскнй Б.К. О поверхностях, связанных с поверхностями Петерсона// Математический сборник. -
Том 21,1900. - С. 450-460 (библ.: 8 назв.).
3. Млодзиевский Б.К. Об изгибании поверхностей Петерсона// Математический сборник. - Том 24, 1904. - С.
16-21.
4. Млодзиевский Б.К. Карл Михайлович Петерсон и его геометрические работы// Математический сборник. -
1903.-Том 24.-Вып. 1.-С. 1-21.
241
ПОВЕРХНОСТИ БЕЗЬЕ
ПОВЕРХНОСТИ БЕЗЬЕ
Элементарная поверхность Безье определяется при помощи векторного уравнения
т п
0 < w < 1; 0< v <1,
i=o j=0
где Р = {/< }, z=0,l,...,m; j = 0,1,..., п - заданный массив;
( пг\ . (п\ .
В”'(и)= и'(1-н)"''. B'.'(v) = vJ(l-v)" 1 - многочлены Берштейна.
V )
Параметрические уравнения поверхности Безье, можно представить в матричной форме:
у(и,г)
4z(zz,v)?
р
т0
где М = (иц) и N = (ту) - квадратные матрицы соответственно порядка тип:
Поверхности Безье могут состоять из прямоугольных или треугольных областей. В случае,
когда область изменения параметров и и v - произвольные прямоугольники вида R = {(и,у)}, где
а < и < Ь, с <v <d , векторное уравнение поверхностей Безье принимает вид
b-a d-c
Элементарные поверхности Безье обладают рядом интересных свойств, в том числе [9]:
1) они являются гладкими поверхностями, 2) граничные кривые элементарных поверхно-
стей Безье суть кривые Безье соответствующих степеней, их опорные ломаные образуют грани-
цу опорной многогранной поверхности (опорного графа), 3) элементарная поверхность Безье -
аффинно инвариантна, 4) она «повторяет» опорную многогранную поверхность, 5) если все
вершины массива Р лежат в одной плоскости, то определяемая этим массивом поверхность Бе-
зье представляет собой плоский криволинейный многоугольник, лежащий в этой плоскости, 6)
изменение хотя бы одной вершины в массиве приводит к заметному изменению всей поверхно-
сти Безье, 7) априорные сведения о поверхности Безье являются достаточно грубыми.
Дополнительная литература
1. Ding Youdong. The convexity of the B-B surfaces over rectangle and the invariance of degree elevation for strong-
by convex net// J. China Univ. Sci. and Technol. - 1994. - 24, № 2. - P. 202-206.
2. Xu Wei. An investigation of the weights in rational Bezier curves / surfaces// Math. Numer. Sin. - 1991,- 13, № 4. -
P. 79-88.
3. Guid Niko, Likar Matjaz, Zalik Borut. Representation of polyhedra and round solids by rational Bezier surfaces//
Automatika. - 1988. - 29, № 1-2. - P. 41-44.
4. Gansca I., Coman Gh., Tambuled L. On a Bezier surface (III): Leet. PAMM’s Steyarian Border Meet. (SBM’ 18’
91), Seggauberg, 14,h-20‘h Aug., 1991 and Year-Close Meet. (YCM’ 80’ 91), God, 25"’-27,h Oct., 1991// Bull. Appl. Math.
- 1991.-60B, №762-778.-P. 191-198.
5. Aumann Gunter. Zum Entwurf abwickelbarer Bezier-Flachen// Proc. 3rd Int. Cong. Geom., Thessaloniki, 1991. -
Thessaloniki, 1992. - P. 49-60.
6. Degen Wendelin L.F. Explicit continuity conditions for adjacent Bezier surface patches// Comput. Aided Geom.
Des. - 1990. - 7, № 1-4. - P. 181-189. (библ.: 7 назв.).
7. DeRose Tony D. Necessary and sufficient conditions for tangent plane continuity of Bezier surfaces// Comput. Aided
Geom. Des. - 1990. - 7, № 1-4. - P. 165-179. (библ.: 7 назв.).
8. Liu Dingyuan. GCl continuity conditions between two adjacent rational Bezier surface patches// Comput. Aided
Geom. Des. - 1990. -7, № 1-4. - P. 151-163. (библ.: 20 назв.).
9. http://www.rus-lib.ru/book/28/gr/55/165-176.html
242
ПОВЕРХНОСТИ БЕЗЬЕ
БИКУБИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ БЕЗЬЕ
Если в векторном уравнении поверхности Безье
Я(И,у) = £^В"1(«)Б"(у)^.,
i=o j=0
положить т = п = 3, то будет получаться элементарная бикуби-
ческая поверхность Безье, которая определяется 16 вершинами:
(р р р р }
г 00 > 1 01 ’ 1 02 ’ 1 03
Р Р Р Р
'1(1 ’ 1 И > '12 > 1 13
Ав ’ Al ’ Аг , Аз
\Ао> А, > Аз> Аз,
Используя многочлены Берштейна (см. страницу «Поверхно-
сти Безье»), эту поверхность можно задать в виде
R(u, v) = £ 53 (и )| % В] 0 < и < 1; 0 < г < 1,
i=o \ ;=о J
или в матричной форме:
R{u, v) = (в3 (и)Bl (и)Bf (u)Bl (и),
р р р р >
1 00 ’ г01 ’ 1 02 » J 03
Р р р р
40’ Г11 ’ 42’ 43
Р р р р
Г20’ Г21 Г22- Г23
Р р Р р
1 30’ ^31 ’ 1 32 ’ г33 7
4W
B,3(v)
В»
UTMTPMV,
где
Р =
(р Р р р \
1 00 ’ 1 01 ’ 1 02 ’ 1 03
Р р Р р
40’ 4 1 ’ 42’ 43
Р р Р р
р р Р р
/30’41’ г32 ’ г33 J
3 1 '
-6 3
3 -3 '
0 ъ
0
о
о
о
Матрица М называется базисной матрицей бикубической поверхности Безье.
Составная бикубическая поверхность Безье - это «С»-гладкая (непрерывная) поверхность,
являющаяся объединением элементарных бикубических поверхностей Безье.
Элементарная бикубическая рациональная поверхность Безье порождается массивом из 16
вершин и описывается векторным уравнением:
7?(щг)=—^£w,B3(n)B3(v)^, 0<и<1; 0<г<1,
Н’(и, V) " у=0
3 3
где w(u,v) = / w17 В3 (и)В3 (v); wg - неотрицательные числа, сумма которых положительна,
i=o j=0
называются весами. В случае, если веса юд равны между собой, получается стандартная эле-
ментарная поверхность Безье.
Свойства рациональной бикубической поверхности Безье вытекают из свойств элементар-
ных поверхностей Безье. Кроме того, поведение проективно-инвариантной рациональной би-
кубической поверхности Безье определяется не только массивом вершин, но и набором свобод-
ных параметров - весовых множителей wg при заданном наборе вершин. Меняя весовые коэф-
фициенты можно влиять на форму рациональной бикубической поверхности Безье.
Дополнительная литература
1. httD://www.nis-lib.ru/book/28/gr/55/l 65- I76.html (Изд-во «Диалог - МИФИ»)
243
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Формообразование квазиэллипсоидных поверхностей основано на математических преобра-
зованиях, применяемых к каноническому уравнению эллипсоида (см. «Поверхности второго
порядка»). В.А. Никитюк выделяет три группы квазиэллипсоидных поверхностей.
1) Квазиэллипсоидные поверхности с тремя значениями полуосей задаются уравнением
ГЫ¥- П-ЧТ" ,
— + — + — =1, где п, т, к- положительные числа.
\aJ \о) \с J
Квазиэллипсоид этого типа имеет замкнутую поверхность с максимальными размерами
вдоль осей х, у, z равными 2а, 2Ь, 2с, соответственно.
2) Квазиэллипсоидные поверхности с шестью значениями полуосей, задаются уравнением
( \х\ ' + ( |у[ +Г м к _ t
la^C-.xj + a^CrJ + уЬх9(-у) + Ь,в(у')) + <c10(-z) + c20(z)J
где п, т, к - положительные числа, 0(f) - функция Хевисайда; 0(f) = 0, если f < 0 и 0(f) = 1, если
f > 0. Использование функции Хевисайда позволило ввести шесть различных значений полу-*
осей квазиэллипсоидной поверхности: при х < 0 и а2 при х > 0; Ь\ при у < 0 и 02 при у > 0 ; ст
при z < 0 и с-i при z 0. Аналогично эллипсоиду квазиэллипсоид имеет замкнутую поверхность
с.максимальными размерами вдоль осей х, у и z, равными сумме полуосей Я1 + я2, Ь\+Ьг и <?i+c2,
соответственно. При различных значениях полуосей a,-, bi, с,- квазиэллипсоидная поверхность не
симметрична относительно координатных плоскостей yOz, xOz и хОу. Значения показателей
степеней п, т, к определяют знак кривизны участков поверхности и наличие ребер.
3) Квазиэллипсоидные поверхности с цилиндрическими вставками вдоль оси z можно задать
одним уравнением
f N " + f Ь1 + f <g(z) + |(z + co)0(-z-co)n" = i
<a|0(-x)+ a20(x)J (b^-y) + b20(y)j c,0(-z)+ c,0(z) J
где n,m,k- положительные числа, 0(f) - функция Хевисайда; 0(f) = 0, если f < 0 и 0(f) = 1, если
> 0. Использование функции Хевисайда позволило ввести шесть различных значений полу-
осей квазиэллипсоидной поверхности: Я] при х < 0 и а2 при х > 0; bi при у < 0 и 02 при у > 0; ст
при z < 0 и с2 при z й 0. Квазиэллипсоид с цилиндрической вставкой имеет замкнутую поверх-
ность с максимальными размерами вдоль осей х, у и z, равными сумме полуосей ai+ я2, bi+ bi и
Ci+с2 + Со, соответственно.
Квазиэллипсоид этого типа может содержать цилиндрическую вставку длиной я», ориенти-
рованную вдоль вдоль оси х; длиной Ьо, ориентированную вдоль вдоль оси у, и длиной со, ори-
ентированную вдоль вдоль оси z. Направляющая линия цилиндрической части, ориентирован-
ной вдоль оси х, совпадает с линией пересечения поверхности квазиэллипсоида плоскостью
yOz. Аналогично, направляющие линии цилиндрических частей, ориентированных вдоль осей у
и z, совпадают с линиями пересечения поверхности квазиэллипсоида плоскостями xOz и хОу,
соответственно. Возможности 12 параметров, определяющих поверхность квазиэллипсоида с
цилиндрической вставкой, могут быть значительно расширены заданием их как функций коор-
динат х, у и z.
Дополнительная литература
1. Никитюк В. А. Сосуд давления. - Патент России № 2109203 от 20 апреля 1998 года.
2: Никитюк В. А. Квазиэллипсоидные поверхности// Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостен-
ных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды Международной научной конфе-
ренции, Москва, 4-8 июня 2001. - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 315 - 318.
244
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ТРЕМЯ ЗНАЧЕНИЯМИ ПОЛУОСЕЙ
Квазиэллипсоидная поверхность с тремя значениями полуосей является замкнутой поверх-
ностью, которую можно задать неявным уравнением
. - - (НМ 1,
— + — + — =1. где п. т, к - положительные числа.
\а; \b) \cj
' -
... Квазиэллипсоид этого типа имеет максимальные размеры вдоль
;- 'у: <;$!.осей д, у, т равные 2а, 2Ь, 2с, соответственно, где а, Ь, с - три полуоси
квазиэллипсоида. На рис. 1 показана квазиэллипсоидная поверхность с
-(.д’- ' '/(..(.ту../, полуосями а = 2 м, Ь - 1 м, с = 3 м и показателями степеней п = т =
С - 2,5; к = 0,5. Сетка на поверхности образовывается параллелями, полу-
' чаемыми при сечении поверхности плоскостями, перпендикулярными
оси Oz, и меридианами, получаемыми при сечении поверхности пуч-
ком плоскостей, проходящих через ось Oz.
Рис' На рис. 2-6 представлены проекции квазиэллипсоидов с полуосями
а = 2 м, b = 1 м, с - 3 м и показателем степени к = 0,5 на координатную плоскость уОх. При по-
казателях степеней меньше единицы квазиэллипсоид имеет вогнутые участки поверхности (рис.
2; п = т = 0,5), при показателях степени равных единице квазиэллипсоид принимает форму ок-
таэдра (рис. 3; п = т = 1), при показателях степеней больше единицы квазиэллипсоид имеет
выпуклые участки поверхности (рис. 4—6; п = т = 1,5; 3,0; 10,0, соответственно ).
Если показатели степени больше двух или равны двум, то квазиэллипсоид имеет гладкую
поверхность. При показателях степени, стремящихся к бесконечности, поверхность квазиэл-
липсоида стремится к поверхности прямоугольного параллелепипеда (рис. 6). Квазиэллипсоид-
ная поверхность при п = т = к называется суперэллипсоидом.
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
п = т = 0,5 п = т = 1,0 п = т = 1,5
Параллели квазиэллипсоид-
х\\ \ д .у’z.ных поверхностей, изображен
' г , ,г ных на рис. 1 - 6, представляют
(Нт ууДЖ/уу. jИ Ид/ собой, так называемые, суперэл-
липсы. Эти замкнутые кривые,
задаваемые в декартовой сйсте-
Рис 5 ' ‘ Рис 6 ” ме координат, уравнением вида
л = ™=3,° « = т=10,0 |х/гГ+|у/р|"' =1,
впервые начал изучать Ламе в 1818 году. Суперэллипсы с t = р известны также под названием
кривые Ламе или овалы Ламе.
Дополнительная литература
1. Никитюк В. А. Квазиэллипсоидные поверхности// Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостен-
ных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды Международной научной конфе-
ренции, Москва, 4-8 июня 2001. - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 315 - 318.
2. Gridgeman N.T. Lame ovals// Math. Gaz. - 1970. - № 54. - P.31 -37.
245
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ШЕСТЬЮ ЗНАЧЕНИЯМИ
ПОЛУОСЕЙ
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ВОГНУТЫМИ УЧАСТКАМИ
МЕЖДУ РЕБРАМИ
Квазиэллипсоидные поверхности с шестью значениями полуосей и вогнутыми участками
поверхностей между ребрами, задаются уравнением
[_____Й_____Lp_____________Pf—_ULpp
\.ai6(-x) + a20(x)J \Ь}0(-у) + Ьг0(у)) + c20(z)J
где 0 < n < 1; k - положительные числа, 0(£) - функция Хевисайда; 0(0 = 0, если ф < 0 и 0(0 = 1,
если > 0. Использование функции Хевисайда позволило ввести шесть различных значений
полуосей квазиэллипсоидной поверхности: д; при х < 0 и д2 при х > 0; Ь\ при у < 0 и bi при
у > 0 ; с\ при z < 0 и с2 при z > 0. Аналогично эллипсоиду квазиэллипсоид имеет замкнутую по-
верхность с максимальными размерами вдоль осей х, у и z, равными сумме полуосей а\ + аг,
bi+bi и С| + С2, соответственно. При различных значениях полуосей а;, bi, а квазиэллипсоидная
поверхность не симметрична относительно координатных плоскостей yOz, xOz и хОу.
«I = Дг = 1; bi = 1,5; bi = 0,5; Ct = 1; сг = 1,5; п = 0,5; £ = 0,7
На рис. 1 и 2 показаны проекции квазиэллипсоидных поверхностей на координатные плос-
кости хОу и yOz. Квазиэллипсоидные поверхности с шестью значениями полуосей при показа-
телях степеней 0 < н < 1 и 0 < /с < 2 имеют ребра в местах пересечения с координатными плос-
костями и вогнутые гладкие участки поверхностей между ребер (рис. 1). Квазиэллипсоидные
поверхности с показателями степеней 0 < п < 1 vt к > 2 имеют ребра в местах пересечения с ко-
ординатными плоскостями, гладкую поверхность с вогнутыми параллелями и меридианами,
меняющими знак кривизны (рис. 2).
Рис. 2
а> = а2 = 1; bi = 1.5; bi = 0,5; с, = 1; с2 = 1,5; п = 0,5; к = 3,5
246
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИНЕЙЧАТАЯ КВАЗИЭЛЛИПСОИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Линейчатые квазиэллипсоидные поверхности задаются уравнением
/______Ы_______¥ f______|у|____'j Г______у_____¥ _!
{al0(-x)+a26>(x)J+{bl&(-y)+b2&(y)J \.с1в{-г) + c2e{z)J
где к - положительное число, 0(g) - функция Хевисайда; 5(f) = 0, если < 0 и 0(g) = 1, если £ >
0. Использование функции Хевисайда позволило ввести шесть различных значений полуосей
квазиэллипсоидной поверхности: а\ при л- < 0 и а? при х > 0; Ь\ при у < 0 и Ь-2 при у > 0 ; С| при z
< 0 и л при z > 0. Аналогично эллипсоиду квазиэллипсоид имеет замкнутую поверхность с
максимальными размерами вдоль осей х, у и z, равными сумме полуосей а; + аг, £>i + Ьг и о+ Сг,
соответственно. При различных значениях полуосей ab bi, с, квазиэллипсоидная поверхность не
симметрична относительно координатных плоскостей yOz, xOz и хОу.
На рис. 1-3 показаны проекции линейчатых квазиэллипсоидных поверхностей на коорди-
натные плоскости хОу и yOz. Линейчатые квазиэллипсоидные поверхности с показателем сте-
пени к < 1 имеют ребра в местах пересечения с координатными плоскостями и гладкую поверх-
ность между ребрами. Параллели между продольными ребрами прямолинейны, а меридианы
вогнуты (рис. 1). Если к =1, то линейчатая квазиэллипсоидная поверхность выродится в окта-
эдр (рис. 2). Линейчатые квазиэллипсоидные поверхности с показателем степени к > 2 имеют
ребра в местах пересечения с координатными плоскостями xOz, yOz и гладкую поверхность
между ребрами. Параллели на участках между продольными ребрами прямолинейны, а мери-
дианы выпуклы (рис. 3).
oi =а2 = 1; Ь\ = 1,5; b2 = 0,5; с, = 1; с2 = 1.5; к = 3,5
247
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ВЫПУКЛЫМИ УЧАСТКАМИ
МЕЖДУ РЕБРАМИ
Квазиэллипсоидные поверхности с шестью значениями полуосей и выпуклыми участками
поверхностей между ребрами задаются уравнением
1*1 1" + ( Ы 1 + ( kl
al6(-x)+a26(x)J \6t&(—y)+b2&(y)J y^&C-z)+c2&(z)
где n > 1, k - положительные числа, в(£) - функция Хевисайда; 0(c) = 0, если с < 0 и 0(£) = 1, ес-
ли § > 0. Использование функции Хевисайда позволило ввести шесть различных значений по-
луосей квазиэллипсоидной поверхности: Я| при х < 0 и а2 при х > 0; Ь\ при у < 0 и fez при у > 0;
ci при z < 0 и С2 при z > 0. Аналогично эллипсоиду квазиэллипсоид имеет замкнутую поверх-
ность с максимальными размерами вдоль осей х, у и z, равными сумме полуосей а\+ аг, Ь\+Ьг и
С1+С2, соответственно. При различных значениях полуосей я,-, fe,-, с,- квазиэллипсоидная поверх-
ность не симметрична относительно координатных плоскостей yOz, xOz и хОу.
На рис. 1-3 показаны проекции квазиэллипсоидных поверхностей с выпуклыми участками
на координатные плоскости хОу и yOz. Квазиэллипсоидные поверхности этого типа с показате-
лями степеней 1 < п < 2 и k < 1 имеют ребра в местах пересечения с координатными плоскостя-
ми и гладкую поверхность между ребрами. Параллели выпуклы, а кривизна меридианов меняет
знак (рис. 1). Если к > 1, а 1 < п < 2, то квазиэллипсоид имеет форму, показанную на рис. 2.
Приняв п > 2 и к > 2, можно получить квазиэллипсоидную поверхность с выпуклыми участка-
ми, показанную на рис. 3. При показателях степеней, стремящихся к бесконечности, поверх-
ность квазиэллипсоила стпемится к повепхности прямоугольного параллелепипеда.
Рис. 1
о, = а2 = 1; bi = 1.5; Ь2 = 0,5; Ci = 1; с2 = 1,5; п = 1,5; к = 0,7
Рис. 2
at = 2,5; а2 = 0,2; bt - b2 — 3;
с, = 2,5; с2 = 15; п = к = 2
248
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ВСТАВКАМИ
КВАЗИЭЛЛИПСОИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ВЫПУКЛЫМИ УЧАСТКАМИ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВСТАВКОЙ
Квазиэллипсоидные поверхности с выпуклыми участками и цилиндрическими вставками
вдоль оси z можно задать одним уравнением
f И " + Г Ы 'j" + ГZ^ + Icz + Coj^-Z-Cp)^ _ J
Ya^-x'j+a^etx)) + b20(y)j \ c}0(-z) + c20(z) J
Рис. 1
где n > 1, k - положительные числа, 0(р) - функция Хевисайда; 0(c) = 0, если с < 0 и 0(c) = 1, ес-
ли > 0. Использование функции Хевисайда позволило ввести шесть различных значений по-
луосей квазиэллипсоидной поверхности: при х < 0 и аг при д > 0; bi при у < 0 и Ьг при у > 0 ;
ct при z < 0 и сг при zSO. Квазиэллипсоид с цилиндрической вставкой имеет замкнутую по-
верхность с максимальными размерами вдоль осей х, у и z, равными сумме полуосей ai + аг,
bi+Ьг и ci+ сг + со, соответственно.
Квазиэллипсоид этого типа может содержать цилиндрическую вставку длиной ао, ориенти-
рованную вдоль вдоль оси х; длиной Ьц, ориентиро-
ванную вдоль вдоль оси у, и длиной во, ориентиро-
ванную вдоль вдоль оси z. Направляющая линия ци-
линдрической части, ориентированной вдоль оси х,
совпадает с линией пересечения поверхности квази-
эллипсоида плоскостью yOz- Аналогично, направ-
ляющие линии цилиндрических частей, ориентиро-
ванных вдоль осей у и z, совпадают с линиями пере-
сечения поверхности квазиэллипсоида плоскостями
xOz и хОу, соответственно.
На рис. 1 показана квазиэллипсоидная поверхность с цилиндрической вставкой со = 5 м
вдоль координатной оси z; п = 1,8; к = 3; д1 = 10 м; аг = 3 м; bi = 5 м; Ьг = 1 м; сг = сг = 2 м.
На рис. 2 построена квазиэллипсоидная поверхность с выпуклыми участками (п = к = 2) и с
цилиндрической вставкой длиной со = 30 см вдоль координатной оси z. Размеры полуосей при-
няты следующие: <7| = 1,5 см; аг = 20 см; Ь\ = Ьг = 20 см; ci = 120 см, сг = 50 см.
Дополнительная литература
1. Никитюк В. А. Сосуд давления. - Патент России № 2109203 от 20 апреля 1998 года.
2. Никитюк В. А. Квазиэллипсоидные поверхности// Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостен-
ных строительных и'машиностроительных конструкций сложной формы: Труды Международной научной конфе-
ренции, Москва, 4-8 июня 2001. - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 315 - 318.
249
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Циклическая поверхность образуется движением окружности переменного или постоянного
радиуса по произвольному закону в пространстве (рис. 1). Уравнение циклической поверхности
в векторной форме имеет вид
г = r(u,v) = р(и) + R(u)e(u, v),
где г(и,г) - радиус-вектор циклической поверхности; р(и) - радиус-вектор направляющей кри-
вой (линии центров образующих окружностей); R(u) - закон изменения радиуса образующих
окружностей; e(u,v) - вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости образую-
щей окружности с нормалью п(и) (рис.2); во(и), go(u) - орты прямоугольной системы координат
в плоскости образующей окружности; у - полярный угол в плоскости образующей окружности.
Коэффициенты основных квадратичных форм циклической поверхности:
Е = s2 + 2s[(te)R' +(tg)R(e,ogo)-R(tnyenl-)] + R12 + fl2[(ezg0)2 + (enz)2],
G = R2, F = R[s(tg) + R(e'ogo)], <T = ^[s(te) + /?z]' + [^(Ги) - A(en')]2; s = |pz|;
L = {[(/e)5 + Az]7] ~[s(tn) - R/en1)]//)} / ct, N = R.[(tn)s- R(en')]/ct;
T} = s1 (tn) + s2k(nV) + 2R1 (en!) -R\_(en") + 2(el(,g0)(gnl)], s' = ds/ du;
T2 = s'(te) + s2k(ev) - A[(ezga)2 + (enz)2] + R";
M = R[[(pn)s- (еп1 )R](e'ogo) - [(Je)s + R'^gn')r] / ct;
где t-p'/s; t,v- единичные векторы касательной и нормали к линии центров.
Из циклических поверхностей наиболее широко используются поверхности вращения, кру-
говые винтовые поверхности и трубчатые поверхности с произвольной линией центров.
Дополнительная литература
1. Ivanov V.N. The problems of the geometry and the architectural design of shells based on cyclic surfaces// Spatial
Structures in New and Renovation Projects of Buildings and Construction. Theory, Investigation, Design, Erection: Pro-
ceedings of International Congress ICSS-98, June 22-26, 1998, Moscow, Russia. - Vol. 2,- M.: CSRCR, 1998. - P. 539-
546 (библ.: 20 назв.).
250
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КЛАССИФИКАЦИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Классификация циклических поверхностей включает в себя как наиболее известные группы
так и отдельных представителей циклических поверхностей. Подразумевается, что некоторые
циклические поверхности не вошедшие в классификацию, должны занять место в соответст-
вующих пустых ячейках. Полный перечень известных циклических поверхностей приведен в
оглавлении в разделе «Циклические поверхности». Некоторые циклические поверхности одно-
временно входят и в другие классы поверхностей. Например, подгруппа циклических поверх-
ностей «Поверхности вращения» одновременно составляет отдельный класс одноименных по-
верхностей.
Дополнительная литература
1. Иванов В.Н. Циклические поверхности: геометрия, классификация, конструирование оболочек// Архитекту-
ра оболочек и прочностной расчет тонкостенных строит, и машиностроительных конструкций сложной формы: Тр.
Междун. научной конференции. - Москва, 4-8 июня 2001 г. - М.: Изд-во РУДН, 2001- С. 126-134 (библ.: 18 назв.).
2. Иванов В.Н. Некоторые вопросы теории поверхностей с семейством плоских координатных линий// Расчет
оболочек строительных конструкций: Труды УДН. - Вып. 10, сер. «Строительство». - М.: УДН, 1977. - С. 37-48.
251
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИТЕРАТУРА ПО РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК, ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ЦИКЛИЧЕСКИМ ПОВЕРХНОСТЯМ
1. Кришна Редди Г.В. Безмоментная теория расчета оболочек в форме циклид Дюпена третьего порядка// Из-
вестия вузов. Строит, и архитектура. - 1967, № 7. - С. 47-55.
2. Бойков И.К. Геометрия циклид Дюпена и их применение в строительных оболочках// Расчет оболочек
строительных конструкций. - М.: УДН, 1982. - С. 116-129(библ.: 3 назв.).
3. Иванов В.И., Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Алгоритм расчета эпитрохоидальной оболочки по безмоментной
теории// Вопросы прочности пространственных систем. - М.: РУДН, 1992. - С. 58-63 (библ.: 3 назв.).
4. Иванов В.Н., Жилъ улбе-Матъе. Пример расчета перемещений эпитрохоидальной оболочки от собственного
веса по безмоментной теории// Теоретические и эксперим. исследования прочности и жесткости элементов строит,
конструкций. - М.: МГСУ, 1997. - С. 82-86(библ.: 5 назв.).
5. Якубовский А.М. Циклические каркасы из линий кривизны// Труды УДН. - Том 26 «Прикладная геометрия».
- Вып. 3. - М.: УДН, 1967. - С. 85-90.
б. Стасенко И,В. Влияние начальных неправильностей на напряженное состояние тонкостенных криволиней-
ных труб// Тр. МВТУ. - М., 1980. - № 332. - С. 146-160 (библ.: 13 назв.).
7. Муха И.С., Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. К расчету трубчатых оболочек с произвольной криволинейной
осью// Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев, 1981. - Вып. 39. - С. 71-74 (библ.: 4 назв.).
8. Сахабутдинов А.Ж. Модель для изучения нелинейной динамики трубопровода при кольцевом течении жид-
кости// Тр. XVII Межд. конф, по теории пластин и оболочек. - Том 2. - 15-20 сент. 1995, Казань. - Казань: КГУ,
1995.-С. 36-41.
9. Иванов В.Н. Каналовые поверхности Иоахимсталя с плоской линией центров// Исследование пространст-
венных систем. - М.: Изд-во РУДН, 1996. - С. 32-36 (библ.: 3 назв.).
10. Джашиашвили Т.П, Карагашев Д.А. Методика расчета частот собственных колебаний металлической спи-
ральной камеры// Исслед. рац. и экон, конструкций гидро- и теплоэнерг. сооружений для горных условий. - Груз-
НИИ энерг. и гидротехн. сооружений. - М. ГрузНИИЭГС, 1992. - С. 135-145.
11. Ашури К. Собственные колебания циклических оболочек с плоской криволинейной линией центров// Со-
противление материалов и теория сооружений. - 1984. - Вып. 44. - С. 96-103.
12. Аронсон А.А., Зубрицкая М.А., Соколов В.В. Спиральная камера турбин Бурейской ГЭС// Расчет предел,
состояния бетон, и железобетон, конструкций энерг. сооружений: «ПРЕДСО - 90». - Всес. научно-техн, совет.,
Усть-Нарва, 22-24 мая 1990.-СП6., 1991.-С. 123-129.
13. Иванов В.Н., Наср Юнее А.А. Влияние двух форм системы уравнений оболочек на напряженно-
деформированное состояние каналовых поверхностей Иоахимсталя при расчете вариационно-разностным мето-
дом// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвуз. сб. тр. - Вып. И. - М.: Изд-во
АСВ, 2002. - С. 17-26 (библ.: 7 назв.).
14. Иванов В.Н., Наср Юнее А.А. Архитектура и конструирование оболочек в форме волнистых, зонтичных и
каналовых поверхностей Иоахимсталя// Монтажные и специальные работы в строительстве. - 2002. - № 6. - С. 21-
24 (библ.: 11 назв.).
15. Круглякова В.И. К расчету тонкостенных труб с криволинейной осью// Изв. АН СССР. МТТ. - 1972. - № 6 .
-С. 160-170.
16. Palman Dominik. Zykliden 3. Ordnung des galileischen Raumes G3// Math, pannon. - 1995. - 6, № 2. - S.285-295.
17. Cardou A. and Jolicoeur C. Mechanical models of helical strands// AMR. - 50(1), Jan. 1997. - P. 1-14.
18. Wen-Guang Jiang and Henshal J.L. Development and applications of the helically symmetric boundary conditions
in FE analysis// Cornmun. Numer. Methods Eng. - 15 (6), June 1999. - P. 435-443.
19. Galletfy G.D. Elastic buckling of imperfect circular toroidal shells under external pressure// Proc. Inst. Meeh. Eng.
-E212(E3), 1998.-P. 197-209 (библ.: 9 назв.).
20. Smith T.A. Numerical analysis of rotationally symmetric shells by the modal superposition method// J. Sound Vibr.
- 233 (3), June 2000. - P. 515-54з'(библ.: 33 назв.).
21. Naboulsi S.K., Palazotto A.N., Greer J.M. Jr. Static-dynamic analysis of toroidal shells// J. Aerospace Eng. - 13
(3), July 2000. - P. 110-121 (библ.: 33 назв.).
22. Soh C.K., Chan T.K., Yu S.K. Limit analysis of ultimate strength of tubular x-joints// J. Struct. Eng. -126(7), July
2000. - P. 790-797 (библ.: 12 назв.).
23. Whiston G.S. Use of screw translational symmetry for the vibration analysis of structures// Intern. J. Num. Meth, in
Eng. - 1982.-Vol. 18, N3.-P. 435-444 (библ.: 2 назв.).
24. Whathan J.F., Tompson J. J. The bending and pressuring of pipe with flanged tangents// J. of Nucl. Eng. Desg. -
1979. - Vol. 54. - № 1. - P. 17-28.
25. Bantlin A. Formanderung und Beauspruchung Ausgleichsrohren// Z. Ver. Deut. Ing. - 1910. - No 54. - S. 43-49.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Циклические поверхности».
252
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Качаловой поверхностью называется поверхность, одно семейство линий кривизны которой
состоит из окружностей. Плоскость каждой такой окружности пересекает поверхность под по-
стоянным углом. Это положение следует из второй формулы Форсайта: «Если плоскость пере-
секает поверхность под постоянным углом, то линия их пересечения есть линия кривизны по-
верхности». Нормалия каждой круговой линии кривизны будет конусом, а одна полость эволю-
ты каналовой поверхности вырождается в кривую Г, которая представляет собой геометриче-
ское место вершин этих конусов. Каналовые поверхности являются также поверхностями Пе-
терсона, которые обладают сопряженной сетью конических или цилиндрических линий.
Каналовая поверхность является огибающей поверхностью однопараметрического семейст-
ва сфер с центрами в точках кривой Г. Векторное уравнение семейства сфер имеет вид:
(г -р)2 = /?2,
где р = p(s) - радиус-вектор кривой Г; R = R(s) - радиус соответствующей сферы;.? - длина дуги
кривой Г — геометрического места центров сфер семейства; г = r(s) - радиус-вектор произволь-
ной точки на соответствующей сферической поверхности. Чтобы огибающая каналовая поверх-
ность была вещественна, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство |/?'| < 1.
К частным случаям каналовых поверхностей относятся:
1. Трубчатые поверхности, которые являются огибающими однопараметрического семей-
ства сфер постоянного радиуса. За кривую Г можно принять любую пространственную или
плоскую кривую (см. «Трубчатые поверхности»). Круговые линии кривизны лежат в нормаль-
ных плоскостях кривой Г.
2. Циклиды Дюпена. Оба семейства линий кривизны циклид состоят из окружностей, то
есть циклиды это - дважды каналовые поверхности (см. «Циклиды Дюпена»).
3. Каналовые поверхности Иоахимсталя. Линия центров Г каналовых поверхностей Иоа-
химсталя есть плоская кривая. Круговые линии кривизны поверхности лежат в плоскостях од-
ного пучка (см. «Каналовые поверхности Иоахимсталя»).
4. Поверхности вращения. Здесь геометрическое место центров сфер (кривая Г) вырождает-
ся в прямую - ось вращения (см. «Поверхности вращения»).
Произвольное семейство окружностей единичной сферы является сферическим отображе-
нием семейства линий кривизны бесконечного числа каналовых поверхностей. Если t = t(si) -
радиус-вектор кривой Г\ - сферической индикатрисы произвольного семейства окружностей
единичной сферы; .ц - длина дуги кривой Л, то радиус-вектор г кривой Г определяется квадра-
турами: Г = fi/(5l)fl's1,
где/ЦО - произвольная функция. Пусть cosp = dR/ds, где <р - угол пересечения плоскости ок-
ружности с огибающей Качаловой поверхностью; ds =f(si~)dsi‘ тогда
R = jcos tpfts^dsi-
Если семейство окружностей сферического отображения дано, то задавая произвольно
функцию/(5|), можно найти кривую Г, радиусы сфер R и искомую каналовую поверхность.
Дополнительная литература
1. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. - М.: Физматгиз, 1963. - 540 с.
2. .Скидан И.А. Каналовые поверхности в обобщенных цилиндрических координатах// Прикл. геометрия и ин-
женерная графика. - Киев, 1980. - Вып. 29. - С.22-24.
3. Иванов В.Н. Условия образования каналовых поверхностей// Строит, механика инженерных конструкций и
сооружений. - М.: МБК, 1995. - Вып. 5. - С.7-16.
4. Иванов В.Н. Об одном классе каналовых поверхностей// Вопросы прочности пространственных систем. -
М.: РУДН, 1992.-С.54.
5. Скидан И.А. Квазивинтовые, циклические и каналовые поверхности// Прикл. геометрия и инженерная гра-
фика. - Киев, 1980. - Вып. 30. - С.31 -34.
253
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ
Поверхностью Иоахимсталя называется поверхность с семейством плоских линий кривиз-
ны, лежащих в плоскостях пучка (см. «Поверхности Иоахимсталя»), Каналовой поверхностью
называется циклическая поверхность с семейством окружностей, являющихся линиями кривиз-
ны поверхности (см. «Каналовые поверхности»).
Если окружности каналовой поверхности лежат в плоскостях пучка, то поверхность являет-
ся каналовой поверхностью Иоахимсталя. Каналовая поверхность Иоахимсталя относится так-
же к подклассу циклических поверхностей с окружностями в плоскостях пучка. Линия центров
каналовых поверхностей Иоахимсталя - плоская кривая, поэтому каналовые поверхности Иоа-
химсталя входят в группу циклических поверхностей с окружностями в плоскостях пучка и с
плоской линией центров (см. «Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка и
с плоской линией центров»). Чтобы циклическая поверхность с окружностями в плоскостях
пучка и с плоской линией центров была каналовой поверхностью, должно выполнятся условие:
[г2(и) —7?2(и)]/ =0, или г2(и)~R2(u) = [/'(«)-А(и)]-[г(и)+ 7?(и)] = г\ (и)-г2(и) = ±с2 ,
где с = const.
Из этого условия получаем три способа образования каналовой поверхности Иоахимсталя.
I) Поверхность образуется вращением окружности переменного радиуса так, что расстоя-
ние от полюса до точки касания с образующей окружностью остается постоянным и равным с,
то есть r(u)>R(u), r2(it)-R2(p) = +c2 (рис.1,а).
II) Поверхность образуется вращением окружности переменного радиуса вокруг общей
хорды с длиной равной 2с (рис. 1, б), тогда r(u)<R(u), r2(u) — R2(u) = -с2 (рис.1, б).
Ш) Поверхность образуется вращением окружности переменного радиуса вокруг общей
касательной (рис. 1, в). В этом случае r(w) = 2?(u), г\(и) = О, г2(и) = 2-7?(и), с = 0 (рис.1,в).
Рис. 1
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности определяются по формулам,
приведенным в разделе «Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка и с
плоской линией центров» с учетом связи между функцией радиуса линии центров г(и) и функ-
цией радиуса образующих окружностей R(u). Криволинейная система координат не будет орто-
гональной, так как координатные линии v = const не являются линиями кривизны.
Уравнение каналовых поверхностей Иоахимсталя в линиях кривизны и формулы для вы-
числения коэффициентов основных квадратичных форм поверхности приведены в разделе «Ка-
наловые поверхности Иоахимсталя в линиях кривизны».
Дополнительная литература
1. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе каналовых поверхностей Иоахимсталя// Вестник Россий-
ского университета дружбы народов/ Серия: «Инженерные исследования»/ Специальный выпуск: «Геометрия и
расчет тонкостенных пространственных конструкций», № 1. - М., 2002. - С. 12-21 (библ.: 4 назв.).
254
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ В ЛИНИЯХ КРИВИЗН
В качестве направляющей кривой каналовых поверхностей Иоахимсталя может быть:
а) линия центров образующих окружностей, г(и) - расстояние от полюса поверхности до
центра образующей окружности. Тогда уравнение поверхности можно представить в виде:
r(u,v)=
г(и) + R (и)
£),, (и, у)
fc(u) + 2R(u)
£>22 (u,v)_
r2(u)f(v)
—---------к;
б) линия, очерчиваемая внутренней точкой образующих окружностей, лежащей в плоскости
линии центров, п(и) = г(и) - R(u) (см. рис. 1 раздела «Каналовые поверхности Иоахимсталя»), В
этом случае векторное уравнение поверхности записывается в виде:
Дил) = —у——\G2(y')rl(ii)h(ir) + aGtl(u)/(y)*];
в) линия, очерчиваемая внешней точкой образующих окружностей, лежащей в плоскости
линии центров, г2(и) = г(и) + А(и) (см. рис. 1 в разделе «Каналовые поверхности Иоахимсталя»),
Векторное уравнение поверхности будет иметь вид:
г(и, v) = —~—-[G, (у)г, (ц)й(и) + «GP (и)/(у)*].
£>2, (и, г) '
При записи векторных уравнений использовались обозначения:
л2(м) , Г2 (и) п >/(«) С1 с2 ,
DVl=l-^f\v), =l + -4Zf2(v), G1;=^-V-(±—), G2(v) = l + (±—)f (v); i = 1;2,
a a' a a a
a - константа - характерный размерный параметр поверхности; /(у) - произвольная кососим-
метричная функция, изменяющаяся в пределах - оо < v < оо. Например, если принять /(v) - у,
тогда - < у < о». Если же положить, что Ду) = tgy, тогда - л / 2 < у < л / 2; с - константа, на-
значаемая из условия образования каналовой поверхности Иоахимсталя:
г2 (и) - R2 (и) = г, (и)г2(и) = г2 - R2 = г10г20 = ±с2, где г0 = ДО), Ro = К(0).
Знак ± при с2 определяет способ образования каналовой поверхности Иоахимсталя (см.
рис. 1 из раздела «Каналовые поверхности Иоахимсталя»).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности определяются по соответст-
вующим формулам (см. «Поверхности»), которые можно привести к виду:
G2 г~,------т--- G„ df(y)
A = -^r'W + r (и), F = Q, М=0,
D2i D2i dv
G2 Lf2,x. ,2nl <(м)Ггл. - G^df/dv)2
L = - , r\= ==, = )2[r (и) + г; (u)J-------[/] (u) + r,(u)J£>2( k A =77 =7, =,
2(и) + г'2(и) l « J D2^2 (u) + r'\u)
2[/;2(и) + Д2(и)]-/;.^+Д)£>2; G„. , • -
k!=--------j—-----------------> Дг=“7б («) + б (и).
G2[^2 (и)+ <-(«)] г.,
Если принять i = 1, то получим значения основных квадратичных форм и главные кривизны
поверхности, образуемой согласно пункту б; если же / = 2, - то для поверхности, образуемой
согласно пункту в. В приведенных формулах подразумевается, что г,(и) - уравнение любой
плоской кривой, заданной в полярной системе координат.
Дополнительная литература
I. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе каналовых поверхностей Иоахимсталя// Вестник Россий-
ского университета дружбы народов/ Серия: «Инженерные исследования»/ Специальный выпуск «Геометрия и
расчет тонкостенных пространственных конструкций», № 1. - М.: 2002. - С. 12-21 (библ.: 4 назв.).
255
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЭПИТРОХОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Точка М, расположенная на плоскости окружности с радиусом а, которая катится без
скольжения по другой неподвижной окружности с радиусом Ь, описывает эпитрохоидальную
линию,. Причем’плоскости этих двух окружностей образовывают постоянный угол у. Расстояние
от точки М до центра подвижной окружности равно pa (р = 1, или р < 1, или р > 1). Изменяя па-
раметр у от 0 до 2п, можно получить совокупность эпитрохоидальных кривых, которые будут
формировать эпитрохоидальную поверхность Ф. Поверхность Ф обертывает систему шаровых
поверхностей и соприкасается с ними по окружностям (рис. 1). По теореме Иоахимсталя семей-
ство окружностей эпитрохоидальной поверхности является линиями кривизны, следовательно,
поверхность Ф есть частный случай каналовой поверхности Иоахимсталя.
А = 0 Д = 0,3 д = 0,5 /z = 0,7 И=1 /2=3,0
Рис. I
Формы задания эпитрохоидальной поверхности
1) Неявная форма задания: (х2 + у2 + z2 -2рах] =4д2(х2 + у2).
Приведенная неявная форма задания эпитрохоидальной поверхности получена В.Г. Стеб-
лянко для случая а = Ь. Плоскость хОу пересекает эпитрохоидальную поверхность по эпитро-
хоиде, которую также называют улиткой Паскаля.
2) Параметрическая форма задания:
х = x(a,v) = 27?(cr)cos2 vcosa, у - у(а, v) = 2R{a)cos2 vsina, z = z(a, v) = R(a) sin2v,
где R(a) = a(l+pcosa) - радиус образующей окружности, a - угол между осью Ох и плоскостью
образующей окружности; 0<«<2/r; г = у/2 - угол между радиус-вектором поверхности и
плоскостью неподвижной окружности; -я’/2<г<лг/2. При этом способе задания исходят из
того, что поверхность образовывается вращением подвижной окружности с радиусом а вокруг
ее касательной в точке касания с неподвижной окружностью с радиусом b = а. Образующие ок-
ружности поверхности лежат в плоскости одного пучка. Начало координат помещено в двойную
коническую точку эпитрохоидальной поверхности.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
А2 = 4(/?2 cos2 г + а2р2 sin2 a)cos2 v, F = 2apRsin2vsina, В2 = AR2, N = -y ? -- - ---,
^R2 + a~p sin2 a
apRcosa + R2 cos2v + 2a2 p2 sin2 a 2apRsin2vsina
L = —2--------.— — — - -------cos v, M = — -= - —
у/R2 + a2p2 sin2 a pR2-У a2p2 sin2 a
Поверхность отнесена к неортогональной несопряженной системе криволинейных координат.
3) Векторная форма задания поверхности в линиях главных кривизн (рис. 1):
г = r(a,[3) = 2/?(a)[cosca + sinog + R(a)f(JP)k]/D{a,p), где D{a,/J)= 1+ R.2(a)f2(JP) la2, за
f(fi) можно принять любую дважды дифференцируемую функцию, например f(p) = tg ft.
Дополнительная литература
1. Krivoshapko S.N., Gil-oulbe Mathieu. Geometrical and strength analysis of thin pseudo-spherical, epi trochoidal,
catenoidal shells, and shells in the form of Dupin’s cyclides// Shells in Architecture and Strength Analysis of Thin-Walled
Civil-Engineering and Machine-Building Constructions of Complex Forms: Proc. Int. Conf., June 4-8, 2001, Moscow.-
M.: Izd-vo. RUDN, 2001. - P, 183-192 (библ.: 14 назв.).
256
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КОСИНУСОИДАЛЬНЫЕ КАНАЛОВЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ 1-ГО ТИПА
Косинусоидальные каналовые поверхности Иоахимсталя 1-го типа образуются окружно-
стями переменного радиуса, лежащими в плоскостях пучка. При этом внешние наиболее уда-
ленные от полюса точки образующих окружностей лежат в плоскости,
перпендикулярной оси пучка и описывает плоскую круговую косину-
соиду. Расстояние с от точки пересечения оси пучка с плоскостью коси-
нусоиды (полюс) до точки касания прямой, проходящей через полюс, с
образующей окружностью остается постоянным (см. рис. 1, а из раздела
«Каналовые поверхности Иоахимсталя»).
Круговая косинусоида - плоская кривая, описывающая косинусоиду
вокруг окружности 7д(и) = а{ 1 + //[I + cos(p«)]} (рис. 1), /I - отношение
амплитуды косинусоиды к радиусу окружности а\р- целое число волн
косинусоиды.
Уравнение косинусоидальной каналовой поверхности Иоахимсталя 1-го типа в линиях кри-
визны (см. «Каналовые поверхности Иоахимсталя в линиях кривизны»):
г(и,г)=
77—7—г[бч (v)r, (и)Л(н) + aGvf(y)k],
D22(u,v)L
h(u) = icosii + jsinu;
1 2
-y, G2(v) = 1 + -t/2(v); i = 1;2; /(v) = tgv.
a cr
Виды косинусоидальных каналовых поверхностей Иоахимсталя в зависимости от парамет-
ров р,стлр приведены на рис. 2.
/2=0,1; с = 0,8; // = 0,2; с = 0,9; Д = 0,2; с = 0,7; /2=0,3; с = 0,8;
Д = 2;а=1 р = 3;о=1 Р = 4; а = 1 р = 5;а=1
Рис. 2
/2 = 0,1; с = 0,5;
р = 8; а = 1
D„
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
G,(v) ;--- aG,,(n)
А = п (и) + гГ («), F = О, В = \, М = О,
Z)2?(h,v)cos v
L = ------, ' 2' — fyr2 (и) + г'2 (и)] - р (и)[г, (и) + г,''('г/)]о,, ), М =0,
D^^r^u^ + p2^) 1
-G.уф cos '4 2[r22 («) + г'_2 (и)] - г,(м)[г2(и) + г2"(и)]1Э22 г22(и)
И — т I т 7т ’ ~ Г Т -|3/2 ’ ^2 _ т / 2 2 ’
В2‘2-фг2" (и) + г2 (и) С2|г,'(и) + г2'Чи)] a’G12A/r2’(t2) + r2-(w)
где штрихами обозначены производные по параметру и.
Дополнительная литература
1. Иванов В.И. Исследования геометрии каналовых поверхностей Иоахимсталя// Проблемы теории и практики
в инженерных исследованиях/ Труды ХХХШ научной конференции РУДН. - М.: Изд-во РУДН, 1977. - С. 115-118.
2. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе каналовых поверхностей Иоахимсталя// Вестник Россий-
ского университета дружбы народов/ Серия: «Инженерные исследования»/ Специальный выпуск «Геометрия и
расчет тонкостенных пространственных конструкций», № 1. - М., 2002. - С. 12-21 (библ.: 4 назв.).
9 - 5391
257
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КОСИНУСОИДАЛЬНЫЕ КАНАЛОВЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ 2-ГО ТИПА
Косинусоидальные каналовые поверхности Иоахимсталя 2-го типа образуются окружно-
стями переменного радиуса, лежащими в плоскостях пучка, причем фиксированная прямая, че-
рез которую проходит множество плоскостей, совпадает с общей хордой
всех образующих окружностей. Внешние наиболее удаленные от полю-
са точки образующих окружностей лежат в плоскости, перпендикуляр-
ной оси пучка и описывает плоскую круговую косинусоиду (см. рис. 1,
б в разделе «Каналовые поверхности Иоахимсталя»),
Круговая косинусоида - плоская кривая, описывающая косинусои-
ду вокруг окружности гг(и) = а{ 1 + /т[1 + cos(pw)]} (рис. 1), где р - от-
ношение амплитуды косинусоиды к радиусу окружности а; р - целое
число волн косинусоиды. Векторное уравнение косинусоидальной ка-
наловой поверхности Иоахимсталя 2-го типа в линиях кривизны (см.
«Каналовые поверхности Иоахимсталя в линиях кривизны») записывается в виде:
г(и,у) =
1
©22 («, V)
[G2 (v)r, (и)й(и) + aGn (u)f (v)fc];
h(u) = icosu + jsinw;
г2(и) , г,2 (и) с2 с2 2
О22 =l + -^tg2(v), Gl2 =^4Z + (—), G2(v) = l-(—)tg2(v); i = 1;2,
Cl Cl Cl Cl
Виды косинусоидальных каналовых поверхностей Иоахимсталя в зависимости от парамет-
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
G, гд-----------------------------д-- aG„ (и)
А = ^—^2(и) + г'2(и), F = О, В = --12; ,
£>22(k,v) v D22(u,v)cos v
L = -----, ? 2 - {2[г22(и) + г2'2(и)]- г,(и)[г2(и) + r2(u)\D22}, М =0,
Е>22Л/г22(и) + г22(и)
- G (m)G,2 cos~4 2[г2 (и) + г/2 (и)] - г2 (и)[г2 (и) + г"(и)]Р22 __г2 (и)_____
D2iylr2 (и) + г2/2(и) G2[r2(u) + r22(u)]3'2 a2Gi2^r2(u) + r22(u)
где г2'(и) = -appsm(up); r"(u) = -ар2pcos(up).
Дополнительная литература
1. Иванов В.Н. Исследования геометрии каналовых поверхностей Иоахимсталя// Проблемы теории и практики
в инженерных исследованиях: Труды XXXIII научной конференции РУДН. - М.: Изд-во РУДН, 1977. - С. 115-118.
2. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе каналовых поверхностей Иоахимсталя// Вестник Россий-
ского университета дружбы народов/ Серия: «Инженерные исследования»/ Специальный выпуск «Геометрия и
расчет тонкостенных пространственных конструкций», № 1. - М., 2002. - С. 12-21 (библ.: 4назв.).
258
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КОСИНУСОИДАЛЬНЫЕ КАНАЛОВЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ 3-ГО ТИПА
Косинусоидальные каналовые поверхности Иоахимсталя 3-го типа образуются окружно-
стями переменного радиуса, лежащими в плоскостях пучка, причем фиксированная прямая, че-
рез которую проходит множество плоскостей, совпадает с общей каса-
тельной всех образующих окружностей.
Внешние наиболее у даленные от полюса точки образующих ок-
ружностей лежат в плоскости, перпендикулярной оси пучка и описыва-
ет плоскую круговую косинусоиду (см. рис. 1, в в разделе «Каналовые
поверхности Иоахимсталя»), Плоская круговая косинусоида описывает
косинусоиду вокруг окружности г2(и) = а{1 + р[1 + соз(ри)]} (рис. 1),
где и - отношение амплитуды косинусоиды к радиусу окружности а; р
- целое число волн косинусоиды. Векторное уравнение косинусоидаль-
ной каналовой поверхности Иоахимсталя 3-го типа в линиях кривизны
(см. «Каналовые поверхности Иоахимсталя в линиях кривизны») записывается в виде:
г, (и) Г г, (и) г22 (и) 2
r(u,v)=—------ h(u)+—----tg(v)& , h(u) = icoszz +jsinw; £>„=! + —2—tg (v),
D„(m,v)|_ a J ~ a
Виды косинусоидальных каналовых поверхностей Иоахимсталя в зависимости от значений
параметров р и р приведены на рис. 2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
1 ГУ----------У---- И (и)
А = ~К~У---Г^г2(и) + г2'(и.), F = 0, в= - ----------—,
ZJ22(w,v) a£>22(w,v)cos v
L = ——; , Ыд (zz) + z-,'2 (и)] - г, (и)[г, (и) + г"(и)]о„ }, M =0,
D22^r2(и) + р2(и)1
- r2 (и)cos-4 v 2[r22 (и) + r'2 (zz)] - r2 (и)[г2(и) + r"(u)]D22 1
/V = ~—~—I ------------тур----------, k2 = ,
a~D22^r2(u} + r^(u) |r2(zz) + r2'2(w)j ’ 7r2 (u) + r'2(u)
где r2'(u) = -appsm(up)-, r2(u) = -ap2//cos(zzp).
Дополнительная литература
1. Иванов В.Н. Исследования геометрии каналовых поверхностей Иоахимсталя// Проблемы теории и практики
в инженерных исследованиях: Труды XXXIII научной конференции РУДН. - М.: Изд-во РУДН, 1977. - С. 115-118.
2. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе каналовых поверхностей Иоахимсталя// Вестник Россий-
ского университета дружбы народов/ Серия: «Инженерные исследования»/ Специальный выпуск «Геометрия и
расчет тонкостенных пространственных конструкций», № 1. - М., 2002. - С. 12-21, (библ.: 4 назв.).
3. Иванов В.Н., Жиль-улбе Матье. К вопросу о геометрии и конструировании оболочек в форме каналовых
поверхностей Иоахимсталя// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский
сборник научных трудов. - Вып.З. - М.: МБК «Биоконтроль», 1994. - С. 6.8-75.
259
9*
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИДЫ ДЮПЕНА
Циклидой Дюпена или просто циклидой называют поверхность, оба семейства линий кри-
визны которой состоят из окружностей, причем радиус одного семейства.окружностей зависит
только от одного параметра, а радиус второго семейства окружностей - только от другого пе-
ременного параметра. Циклида является частным случаем каналовой поверхности. Обе эво-
лютные поверхности (см. «Поверхности») циклиды вырождаются в плоские кривые Г\ и Г?, по-
этому ее можно получить как огибающую семейства сфер с центрами в точках кривой Д, либо
как огибающую сфер с центрами в точках кривой Г?.
Пусть Г[(и) и Г2(г) - радиус-векторы кривых Д и Д соответственно, тогда уравнения двух
семейств сфер будут иметь вид:
(г - Г])2 = А2(и), (г - г2)2 = В2(и).
В каждой точке циклиды ее касается одна сфера первого семейства и одна сфера второго
семейства, поэтому, любые две сферы различных семейств касаются друг друга. Условие каса-
ния сфер различных семейств (ri -r2)“ = (А + By показывает, что кривые Д и Д есть фокальные
кривые второго порядка. Циклида является огибающей семейства сфер, касательных к трем
фиксированным сферам. Если взять три произвольные сферы первого семейства, то любая ка-
сающаяся их сфера будет принадлежать второму семейству. Циклиды Дюпена бывают трех ти-
пов.
У циклиды первого типа эволюты представляют собой фокальные эллипс и гиперболу:
y-b, z = 0, x = ccosv и у = 0, z = bshu, x = +achu, сответственно, причем Zx = .
Как видно из уравнений, эллипс и гипербола лежат во взаимно перпендикулярных плоско-
стях. Фокальные эллипс и гиперболу можно задать также их каноническими уравнениями
х2 у2 х2 z2
— + 74-= 1, г = 0 и — - —=1, у = 0.
С Ь~ СЮ Ь~
Уравнения двух семейств сфер могут быть записаны как
(у -bsinv) + z2 + (.х-с cosv)2 = (acosv +d)“ и у2 +(z-bshn)2 + (х + achn)2 = (+ cchu — d)2.
Эволютами циклиды второго типа являются фокальные параболы:
- р2 -2v2 + р2
х = и, у = О, z =------ и х = 0, у = v, z —---------
4р 4р
Фокальные параболы циклиды второго типа можно задать также в виде:
х .--(), у2 = 4/(z + /) и х2 = -4lz, у = 0.
Для циклиды Дюпена третьего типа эволютами служат фокальные окружность и прямая:
х = a со$и, у = a sin и, z = 0 и х = 0, у = 0, z = v, соответственно.
В этом случае параметрические уравнения циклиды третьего типа будет
х = [(уХ/2 + v2 - bja cos и / Va2 + v2 ] у = [(?«2 + v2 -b^psmul-Ja2 + v2 j z = bv / ~Ja2 + v2,
b = const. Исключая параметры и, v из этих уравнений, можно получить неявное уравнение цик-
лиды третьего типа:
(х2 + у2 + z2 + а~ - Ь2)~ = 4<т2(х2 + у2),
которое показывает, что циклида Дюпена третьего типа есть круговой тор, полученный враще-
нием окружности (х - а)" + z~ = b~; у = 0 вокруг оси Oz.
Дополнительная литература
1. [Пуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. - М.: Физматгиз, 1963. - 540 с.
2. Ivanov V.N. On Dupin’s cyclide, as Joachimsthal’ chanel surfaces// The 10"’ Int. Conference on Geometry and
Graphics. - Vol. 1, July 28 - August 2, 2002, Kyiv, Ukraine. - Kyiv, 2002. - P. 350-354 (библ.: 17 назв.).
260
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИДЫ ДЮПЕНА ПЕРВОГО ТИПА (ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА)
Ребра возврата нормами двух семейств линий кривизны циклиды образуют две эволютные
поверхности, которые для циклиды Дюпена первого типа вырождаются в фокальные эллипс и
гиперболу, лежащие в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (см. «Циклиды Дюпена»).
Формы задания поверхности циклиды Дюпена первого типа
1) Неявная форма задания: (х2 + у2 + ?2 — р2 + Ь2)2 = 4(сх — ар}2 + 4Ь2 у2, где а2 = с" - Ь2.
Циклиды Дюпена первого типа являются алгебраическими поверхностями четвертого по-
рядка.
2) Параметрическая форма задания:
ccosv(—d + cchn) ±nchn(<7cosv — d) (±cchn + rf)bsinv
x = x(u, v) =----------------z—;--------------, у = у (и, v) = ——-— ---------
- acosv -t- сспн ± сспи + acosv
(acosv - d)bshu , , ,
z = z(u,v) = —-------;--, где b'=C-a~; d - const.
+ acosv -сспи
Поверхность циклиды задана в линиях кривизн и, v. Если а, Ь, с - постоянные заданные ве-
личины, a d = 0, тогда циклида (рис. 1) будет иметь две конические точки с координатами (О, Ь,
0) и (0,-Ь, 0). На рис. 2 показана циклида, для которой принято 0 < d < а. Циклида имеет две ко-
нические точки с координатами (ad /с; уЬ^с* -a2d2 /с2; о). Если взять d = а, то циклида
(рис. 3) будет иметь одну коническую точку с координатами (с, 0; 0). При а < d < с конических
точек нет (рис. 4). Одна вырожденная коническая точка с координатами (а, 0; 0) появится, если
принять d = с (рис. 5). При d > с будет две конические точки (рис. 6) с координатами
(ad / с; 0; + b^ld2 - с2 /с). Если взять а = 0; b = с, d - с, то получится круговой тор с одной
вырожденной точкой, а при d > с - тор с двумя коническими точками.
3) Параметрическая форма задания:
. ср b2(p + acos0) х b(c + pcosyp} . п , Ь(р + a cos 0) .
хД,\р) = — —----------------, у(0,у} = --------------sin#, z(0,ip) =-----------sin ул
a a(c~ acosv cosip) c-acos0cosip c-acos0cosyp
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные радиусы кривизн:
b2 (с + рcosур)2 р q р1- b2 (p + acos0)2
(c-acos0cosp')2 ’ ’ (с - a cos0cos ур)2 '
Ri = р + «cos 0, R\ = р + с /cos у.
Координатные линии 9, у - линии кривизны. При а = 0 получается тор, а при с = а = 0 -
сфера.
Дополнительная литература
1. Krivoshapko S.N., Gil-oulbe Mathieu. Geometrical and strength analysis of thin pseudo-spherical, epitrochoidal,
catenoidal shells, and shells in the form of Dupin’s cyclides// Shells in Architecture and Strength Analysis of Thin-Walled
Civil- Engineering and Machine-Building Constructions of Complex Forms: Proc. Int. Conf., June 4-8, 2001, Moscow,
Russia. - Moscow: RPFU, 2001. - P. 183-192.
2. Иванов В.Н. Некоторые аспекты геометрии циклид Дюпена// Вестник Российского университета дружбы
народов. - Сер. «Инженерные исследования», 2002. -№ 1. - С. 12-21 (библ.: 29 назв.).
261
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИДЫ ДЮПЕНА ВТОРОГО ТИПА (ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА)
о
Рис. 1 Рис. 2
Ребра возврата нормалий двух семейств ли-
ний кривизны циклиды образуют две эволют-
ные поверхности, которые для циклиды Дюпена
второго типа вырождаются в две фокальные
параболы, лежащие в двух взаимно перпенди-
кулярных плоскостях (см. «Циклиды Дюпена»),
Линии кривизны циклиды Дюпена второго
типа лежат на двух пучках плоскостей, то есть
циклиды являются Кононовыми поверхностями
Иоахимсталя. В каждой плоскости лежат по
два круга. Можно показать, что циклиды второго типа являются предельным случаем циклид
первого типа.
4p(D,+D,)
Формы задания поверхности циклиды Дюпена второго типа
1) Параметрическая форма задания (рис. 1; рис. 2):
иО, vD, D2 (2и2 - рг~) — D, (2v2 - р1)
>,=у(и’у)=5^б? г=^=-------------------------------
2и" + р2 + q 2v2 + р2 — q
где D. =----------, О, =----------; q - const; р - параметр фокальных парабол (см.
4р ‘ 4р
«Циклиды Дюпена»). Поверхность циклиды отнесена к линиям кривизны и, v.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1; рис. 2): р = const,
210г-2и0 2l(\ + 01')t + 2ut д(Г+02-l)-/(l-r2+6>2)
х = X(f, 0 =--—5-, у = y(t Q) = -2---Д- z = z(t 0 = ------------А—!_---------L
v l + t2+02 } 24 l + f+02 v 1 + t2 + 02
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные радиусы кривизн:
2(u + l + l02) 2(u-lt2') ,
А = ^=—;-----Д~, F = 0, В = -^-2-R, = и + 1(\ +02), Д=а-12.
1 + Г + 02 1 +12 + 02 1 2
Поверхность циклиды отнесена к линиям кривизны t, в. В плоскости сечения х = 0 лежит
круг у2 + z2 = (и + /)2 и прямая z = р-l', в плоскости у = 0 - круг х2 + (z + /)2 = у2 и прямая z = р + /.
В случае р >0 прямая пересекает круг и образовываются две конические точки (рис. 1). В слу-
чае р < 0 прямая не пересекает круга (рис. 2). Обе поверхности продолжаются в бесконечность.
3) Неявная форма задания:
z(x2 + у2 + z2) + (у2 + z2)(/ - Д) - х2 (Z + д) - (z + /-//)(/ + Д)2 = 0.
Циклиды Дюпена второго типа являются алгебраическими поверхностями третьего по-
рядка.
4) Параметрическая форма задания (рис. 1; рис. 2):
G, (Д) G, (Д О, (в) н
гдеD(a,(3) = 1 + г22(а)/2(Д); G,(a) = г2(а)-(±с2), G,(/?) = 1±с2f2(J3), ДД) - любая дважды
дифференцируемая функция. Например, можно принять Д0 = tg/?, тогда - п < Д < п.
На рис. 1, а показана циклида при с > д; на рис. 1,6- при с = ц; на рис. 2, а - при с = 0, а на
рис. 2, б - при с < р.
Дополнительная литература
I. Иванов В.Н. Некоторые аспекты геометрии циклид Дюпена// Вестник Российского университета дружбы
народов. - Сер. «Инженерные исследования», 2002. - № 1.-С. 12-21 (библ.: 29 назв.).
262
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НОРМАЛЬНЫЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Нормальная циклическая поверхность образовывается движением окружности переменного
R(u) или постоянного R радиуса вдоль произвольной направляющей кривой р(и) (линии
центров), при этом образующая окружность должна все время находиться в нормальной плос-
кости линии центров. Нормальные циклические поверхности являются подклассом цикличе-
ских поверхностей (см. «Классификация циклических поверхностей»). Нормаль п(и) к плоско-
сти образующей окружности совпадает с касательной линии центров t(u), то есть п(и) = t(u).
Векторное уравнение нормальной циклической поверхности можно представить в виде:
г = r(u,v) = р(и) + R(u)e(u,v),
где r(u,v) - радиус-вектор циклической поверхности; р(и) - радиус-вектор линии центров обра-
зующих окружностей; R(u) - закон изменения радиуса образующих окружностей;
e(u,v) - eo(w)cosv + go(«)sinv
- вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости образующей окружности с нор-
малью и(и); ^о(и) и go(u) - орты прямоугольной системы координат в нормальной плоскости ли-
нии центров образующих окружностей. Если вектор ео(и) образует с нормалью линии центров
v(u) угол в, определяемый по формуле в - - \icsdu, то координатная сеть нормальной цикличе-
ской поверхности будет ортогональной. Для плоской линии центров будет: 0 = 0; ео(и) = г(и).
Для вычисления основных квадратичных форм нормальной циклической поверхности
можно использовать следующие формулы:
Е = А* 1 2 * * * * = R'2 (и) + 52[1 - W?(«)cos®]", F = 0, G = B2=R2(u), где s = | р!\ = \др/ди\; со = v + 0;
R'(u')[s'-[2skR'(u)+(sk')'R(u)]cosa)-s2kKR(u)sina^ - -./?(«)& cos ®]{[1-./?(и)& cos®] As2 cos®+/?"(n)}
^7?/2(M)+?[1-7?(m)Acos®]2
, R(u)R'(и)sk sin co 7?(m).sAcos®]
где s = os/ou; M = —- - , N = — -- ,
-JR'2 (u) + s2[1 - R(u)k cos®]" yjR’2 (u) + s2 [1 - R(u)k cos®]2
где k, к- кривизна и кручение линии центров.
Образующие окружности нормальных циклических поверхностей в общем случае не явля-
ются линиями кривизны ( М 0), следовательно, нормальные циклические поверхности не яв-
ляются каналовыми поверхностями (см. «Каналовые поверхности»). Возможны два случая, ко-
гда нормальные циклические поверхности одновременно являются каналовыми:
1) М = 0, если R'(u) = 0, то есть при R = const. В этом случае получается трубчатая по-
верхность (см. «Трубчатые поверхности»),
2) М= 0, если к = 0, то есть линяя центров должна быть прямой линией. В этом случае нор-
мальная циклическая поверхность вырождается в поверхность вращения с осью вращения z.
Функция R(u) = R(z) определяет меридиан поверхности вращения (см. «Поверхности враще-
ния»), Формулы для вычисления коэффициентов основных квадратичных форм нормальных
циклических поверхностей для поверхностей вращения упрощаются и принимают вид
, , R"(u) R(u)
А2 = 1 + Я 2 (и), F = 0, B = R(u), L = —r—^=, M=0, N = v 7 = ,
Vi+az2(«) 71+^'2(и)
, 1
[1 + (и)] " R(u)^]l +R'2 (и)
Дополнительная литература
1. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176 с.
263
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Трубчатые поверхности относятся к нормальным циклическим поверхностям, рассмотрен-
ным в разделе «Нормальные циклические поверхности», но необходимо положить, что
R(u) = R = const, следовательно, dR(u)/du = О,
тогда векторное уравнение трубчатой поверхности можно представить в виде:
г = r(u,v) = р(и) + Re(u,v),
где r(w,v) - радиус-вектор циклической поверхности; р(и) - радиус-вектор линии центров обра-
зующих окружностей; e(u,v)~ вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости об-
разующей окружности с нормалью t(u) = р1 /s', где 5 = | р' | = \др/ди\.
Формулы для вычисления коэффициентов основных квадратичных форм нормальных цик-
лических поверхностей и ее главных кривизн (см. «Нормальные циклические поверхности»)
для трубчатых поверхностей упрощаются и принимают вид:
Е = А2 = №[l-^cos(v + 6’)]', F = О, G = В~ - R1, где со = v + в', 0 = 0(и) =-fadu + 0„;
L = -s2k\l-Rkcos(v + 0)]cas(y + 0), М = О, /V = R, к. =.kcos(0 + v) Ас = —,
L v J J 1 1 - A7?cos(v + 0) 2 R
где к, к - кривизна и кручение линии центров. Таким образом, образующие окружности в труб-
чатых поверхностях совпадают с одним семейством линий кривизны, а координатная сеть и, v
является сетью линий кривизн.
Вектор нормали трубчатых поверхностей лежит в плоскости образующих окружностей.
Образующие окружности являются геодезическими линиями. Поверхности с семейством пло-
ских линий кривизны, которые одновременно являются геодезическими линиями, относятся к
классу резных поверхностей Монжа (см. «Резные поверхности»). Таким образом, трубчатые
поверхности можно считать и циклическими, и резными поверхностями.
Если трубчатая поверхность имеет плоскую линию центров, то 0 = 0, так как кручение ли-
нии центров к - 0, а коэффициенты основных квадратичных форм и ее главные кривизны мож-
но определить по формулам:
Е = A2 = r[l-Aflcosv]2, F = 0, G = B2=R2,
r , /ccosv 1
L = —5-2Zc[l - Rk cosv]cosv, M = 0, N - R, k, =------, k^ = —,
1-kRcosv) * R
где k - кривизна плоской линии центров.
В настоящее время из класса трубчатых поверхностей наиболее известны круговые торы
(см. «Поверхности вращения»), которые являются трубчатыми поверхностями вращения и
трубчатые винтовые поверхности (см. «Круговые винтовые поверхности»), которые можно
отнести одновременно к классу винтовых поверхностей (см. «Винтовые поверхности»).
Дополнительная литература
I. Синицын Е.Н., Чирков В.II., Сахаров В.10., Шмелев Д.Н., Власов Д.В. Колебания трубных пучков в потоке
теплоносителя// Вторая конф. Минатома России: «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность»:
Сб. докладов. - г. Геленджик, 30 сент. - 5 окт. 2002 г. - М.: Изд-во ГУП НИКИЭТ, 2003,- С.56-64 (библ.: 8 назв.).
2. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176 с.
3. Martin Ph., Dumas J.C., Girard J.P. Thermomechanical stresses in the dryout zone of slightly inclined helically
coiled heat exchange tubes// Boiler Dyn. and Contr. Nucl. Power Stat. - Proc. 3rd hit. Conf., Harrogate, 21-25 Oct., 1985. -
London, 1986. - P. 29-36 (библ.: 11 назв.).
4. Whatham J.F. Thin shell analysis of circular pipe bends// Transl. Institution of Engineers, Australia. - 1981. - Vol.
CE23, No4.-P.234-245.
5. Соболева О.Г. Поперечный изгиб тонкостенной трубы с криволинейной осью// ЛИСИ. - Л., 1989. - Ден. в
ВИНИТИ 21.07.89, № 4894-В89. - 18 с. (библ.: 20 назв.).
264
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Трубчатые поверхности, представленные в справочнике:
тельиозакрученная
поверхность кругового
поперечного сечения
Трубчатая спиральная
поверхность
Трубчатая поверхность с плоской пара-
болической линией центров
Трубчатая поверхность,
обматывающая сферу
Волнообразный тор на сфср(
поверхность с линией центров па од-
нополостном гиперболоиде вращения
петров в виде логарифмической
спирали
265
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
а = 1; b = 1; А = 0;
а = 1; Ь = 1;Я = 3;
р = 0,12; 2л< и < 6л
Рис. 1
Трубчатая спиральная поверхность имеет линию
центров в виде конической спирали и относится к нор-
мольным циклическим поверхностям с образующей ок-
ружностью постоянного диаметра.
Формы задания трубчатой спиральной поверхности
1) Векторная форма задания:
г = r(p,v) = /»(и) + ае(и, г),
где r(u,v) - радиус-вектор трубчатой спиральной по-
верхности; р(и) - радиус-вектор конической спирали,
принятой за линию центров образующих окружностей
радиусом а;
р(и) = /?си1'(гео5и + jsinu + )k) = be‘>l,\h(u) + kk],
Рис. 2
е(и,г)- вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости образующей окружности с
нормалью t(n) = р‘ /s; где s = |pz| = |др/ди|;
рЛи
е(и,г) = vcosco + /Zsinca; co = v~~, — — = v - си, где с = const,
-h+pn - pk(ph + п) + (1+ p2~)k
v = -? ; р = —п = —i sin и + j cos и.
yjl+ Р~ д/1 + (1 + /Т)р2 -^/1 + р“
2) Параметрическая форма задания:
= х(и, v) = bep“ cos и —
a = 3\b = 1;Я = 0;
р = 0,2; 2л< и <5~
Рис. 3
= у (и, v) = bepu sin и —f===
•71+ р
р- + Р2
^/1 + (1 + Л2)р2
/ . ч pAlsinw - pcosw) .
(р sm и + cos и Jcos со-.= —. =-'sm со
д/1 + (1 + Я2)р"
/ . ч рЛ(р sin н + cos и) .
(sm и - р cos и) cos со -I-. - ---—-- sm со
у/1 + (1 + 2') р'
a-Jl + р2 sin со
Z = z(u,v) = bkep" + -, == -===—.
А = Ьериф + (1 + Лг')р2
cosco, М = О, N = а, kt = к,
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее главные кривизны:
Ji + p2acosco
- *-----F = 0, в = а,
71 + (1 + А2)р2
J1 + р1 COStP 1
= —v г — k = к =~
' А^\ + (\. + Х-)р2 ’ 2 ' а
Трубчатая спиральная поверхность задана в линиях кривизн и, г. На рис. 1 изображена
трубчатая спиральная поверхность с конической спиралью в качестве линии центров образую-
щих окружностей. На рис.2 и 3 показаны трубчатые спиральные поверхности с плоской линией
центров в виде логарифмической спирали, которая является проекцией конической спирали на
плоскость, перпендикулярную оси спиральной поверхности.
266
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПЛОСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ В ФОРМЕ ЭВОЛЬВЕНТЫ КРУГА
Трубчатая поверхность с плоской линией центров в форме
эвольвенты круга
х = х(а) = rcosa - r(«o - a)sin«, у = у(«) = rsina + r(«o - a)cos а
образовывается движением окружности постоянного радиуса,
лежащей в плоскости (подвижный аксоид), которая катится
без скольжения по круговом)' цилиндру (неподвижный аксо-
ид) радиусом г.
Способ построения рассматриваемой трубчатой поверхно-
сти показывает, что ее можно отнести к классу циклических
поверхностей, или к классу резных поверхностей Монжа (см.
«Резная поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и меридианом в
виде окружности»), или к классу кинематических поверхностей общего вида (см. «Ротативные
поверхности»).
Формы задания трубчатой поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. Г2):
х = х(а, ф; = г cos а - [г(а0 - а) + a cos /?] sin а, у = у (а, ф~) = г sin а - [г(а0 - а) + a cos /?]cos а,
z = z(Z?) = a sin/?,
где а - радиус образующей окружности; а - угол, отсчитываемый от
координатной оси Ох в сторону оси Оу, ф - угол в плоскости обра-
зующей окружности, отсчитываемый от координатной плоскости
хОу, 0< ф < 2п.
На рис. 1 изображена трубчатая поверхность с плоской линией
центров в форме эвольвенты круга радиусом г = 2 м; при «о = тг/2; с
образующей окружностью радиусом а = 2 м; л72<«<3л"; д< ф <2л. На рис. 2 показана
трубчатая поверхность с г = 2 м; а = 2 м; «о = 0; л72 < ф < Зя/2; я/2<а< Зтг/2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = (acos ф - га)2, F =0, В = а, L = -(a cos ф - rcz)cos ф, М =0, N = -а,
tl ............ t2=-l,
(acosф-га) а а(асо$ф — га)
Трубчатая поверхность с плоской линией центров в форме эвольвенты круга содержит уча-
стки положительной (рис. 2) и отрицательной гауссовой кривизны, разделенные криволиней-
ными координатными линиями ф = я/2 и ф = Зя/2, на которых располагаются параболические
точки с гауссовой кривизной К = 0. Поверхность отнесена к линиям кривизн фма.
2) Параметрическая форма задания через обобщенные цилиндрические координаты:
х - х(а, у) = rcosa-{^а2 -у2 + с- г czjs in а, у = у (а, у) = г sin а + Qa2 -у2 + с - rajcos a, z = y,
где с = const. Если взять г = 0, то рассматриваемая трубчатая поверхность выродится в круговой
тор с уравнением
х - х(а, у) = ~Qa2 - № + сjsin а, у = у(а, у) - (фа2 - у2 + c)cosa, z = y.
Положив в последних уравнениях с = 0, можно получить параметрические уравнения сфе-
ры.
Дополнительная литература
1. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176 с.
267
НИКОИ ЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПЛОСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ В ФОРМЕ ЦИКЛОИДЫ
Трубчатая поверхность с плоской линией центров в форме цик-
лоиды .г = х(и) = b(cosu + usinu), у = у(и) = Z?(sinw - исози) образо-
вывается движением окружности постоянного радиуса, все время
остающейся в нормальной плоскости циклоиды. Трубчатые по-
верхности относятся к нормальным циклическим поверхностям.
Общие сведения о трубчатых поверхностях приводятся в раз-
деле «Трубчатые поверхности» где указывается, что векторное уравнение трубчатой поверхно-
сти можно представить в виде:
г = r(u,v) = + Re{u, г),
где г(и,у) - радиус-вектор трубчатой поверхности; р(и) - радиус-вектор линии центров обра-
зующих окружностей; e(u,v)- вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости об-
разующей окружности с нормалью t(u) = р1 !\р \.
Формы задания трубчатой поверхности с плоской линией центров в форме циклоиды
1) Параметрическая форма задания:
Х = Х(м) = х(«)+ Ry'^^ , г = y(»)c°sv , z = z(v) = /?sinv>
t/V2 (w) + у'2 (и) фх'2 (н) + у'2 (и)
где R - постоянный радиус образующей окружности; у - угол в плоскости образующей окруж-
ности, отсчитываемый от координатной плоскости хОу в сторону оси Oz; 0 < у < 2я.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
,2 [|и_[Ли)/(«)-/(и)^(и)]ЛС08у1‘ ,2 ,2
А = 11-1-------р-------р---тр----Г [т (и)+у («)], г =0, В = R,
[ [х'2(М) + у‘(и)]3'2 J
L = _ [Дгфу^и) - y,(«)./(n)]Acos у = (J N = _R
[x'2 (и) + у'2 (и)]
k IaPO/W ~ У'(«)Am)]cos v k = _J_ K = kk
[х'2(и) + у'2 (и)]А ~ ' R 12
p~cU’2 Трубчатая поверхность с плоской линией центров задана в линиях
кривизн и, у. Представленные формулы могут быть использованы для
трубчатых поверхностей с любой плоской линией центров, заданной параметрическими урав-
нениями
х = л-(и), у = у(и).
2) Параметрическая форма задания при
х(и) = Ь(сози + wsinw), у(и) = Z?(sinH - исози) (рис. 1-2):
X = Х(и, г) = й(сози +и sin и) + R cos у sin и, Y = У (и, v) = b(sin« - и cos и) - Л cos у cos и,
Z = Z(v) = /2 sin у.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = bu +Rcosv, F = Q.B = R,L = -Acosv,M =0, N = -R,k = k,=-^^,k = k„ = -—,K = £222
A R AR
Трубчатая поверхность содержит участки положительной и отрицательной гауссовой кри-
визны, разделенные криволинейными координатными линиями у = тг/2 и у = Зтг/2, на которых
располагаются параболические точки с гауссовой кривизной К = 0.
268
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПЛОСКОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
Трубчатая поверхность с плоской параболической линией центров у = Ьх~ образовывается
движением окружности постоянного радиуса, все время остающейся в нормальной плоскости
параболы. Трубчатые поверхности относятся к нормальным циклическим поверхностям. Общие
сведения о трубчатых поверхностях приводятся в разделе «Трубчатые поверхности», где ука-
зывается, что векторное уравнение трубчатой поверхности можно представить в виде:
г = r(u,v) = р(и) + Ае(и,у),
где r(z/,v) - радиус-вектор трубчатой поверхности; р(и) - радиус-вектор линии центров обра-
зующих окружностей; е(и,у)- вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости об-
разующей окружности с нормалью ((«) = р!/\ р11.
Формы задания трубчатой поверхности с плоской параболической линией центров
1) Параметрическая форма задания:
V V/ х / х , Ay'(n)cosv A./(h)cosv
X = Х(и,v) = . . Y = Y(u,v) = y(u)— Z = Z(v) = Asmv,
7-х'2 (и) + у'2 (и) 7Л'/2 + у'2 ОФ
где R - постоянный радиус образующей окружности; у - угол в плоскости образующей окруж-
ности, отсчитываемый от координатной плоскости хОу в сторону оси Oz. О < v < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
Рис. 1
,2 , [х\и)у"(и)- у'(и)лФи)]Аcos vl ,, ,,
А = (1 +----------г-,--л,---щэ------ГЫ (гф+v (u)J, F =0, B = R,
[ [/-(«) + }'20ФГ/2 J
[.r'(zHyV)-y/(z<).r''(zn]Acosv
L =----------—--------------------, Lvi = U, /V — — а,
[л- “ (и) + )>'-((()]
, , [.г'(и)ул(и)-у'(н).х'(н)]с08У 1 , ,
/с, = к, =---------, к, = к„ =---------------------, К =к,к^.
[/-(«)+ у'2 (гф]А А
Трубчатая поверхность с плоской линией центров задана в линиях
кривизн и, V. Представленные формулы могут быть использованы для
трубчатых поверхностей с любой плоской линией центров, заданной па-
раметрическими уравнениями х = х(и), у = у(и).
2) Параметрическая форма задания при х(и) = и, у(и) = Ьи2 (рис. 1 - 2):
26«Acosv v v. . , 2 Acosv
X = л(и,у) = и+— Y = Y(u,v)=bu —= . . Z = Z(v) = Asinv.
yl + 4b2u2 \l + 4b2u2
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
W = -R, ku = 6, =
2bR cos v
(1 + 462и2)ЗЛ
(1 + 462и2), F =0, B = R, L = i 2ЬАС°\\, Л4 = 0,
(1 + 46 ir)
-26 cosv
а(1 + 462и2)
= k2
1 _ 26cosv
A’ “ Аа(1 + 462и2)'
Трубчатая поверхность содержит участки положительной и отрица-
тельной гауссовой кривизны, разделенные криволинейными координат-
ными линиями v = тг/2 и у = Зтг/2, на которых располагаются параболические точки с К = 0.
Дополнительная литература
1. Стасенко И.В. Влияние начальных неправильностей на напряженное состояние тонкостенных криволиней-
ных труб//Тр. МВТУ. - М.: МВТУ, 1980. - № 332. - С. 146-160 (библ.: 13назв.).
269
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПЛОСКОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
t Трубчатая поверхность с плоской гиперболической линией центров образовывает-
ся, движением окружности постоянного радиуса, все время остающейся в нормальной
плоскости гиперболы х = х(и) - bchu, у = у(и) = cshw. Трубчатые поверхности отно-
сятся к нормальным циклическим поверхностям. Общие сведения о трубчатых по-
верхностях приводятся в разделе «Трубчатые поверхности», где указывается, что
векторное уравнение трубчатой поверхности можно представить в виде:
г = r(u,v) = р(и) + Re(u. v),
Рис. 1 где r(u,v) - радиус-вектор трубчатой поверхности; р(и~) - радиус-вектор линии цен-
тров образующих окружностей; е(м,у)- вектор-функция окружности единичного ра-
диуса в плоскости образующей окружности с нормалью /(и) = р1 !\ //1.
Формы задания трубчатой поверхности с плоской гиперболической линией центров
1) Параметрическая форма задания:
„ v, . . Rv\u~)cosv „ Rx'(u)cosv „ х
X = X(u,v) = х(и) +-. -.г - =. _ г, Y = Y(и, v) = у(u)—-Z = Z(v) - Rsm v,
^x'2 (и) + у'2 (и) ^x2 (и) + у'2 (и)
где R - постоянный радиус образующей окружности; v - угол в плоскости образующей окруж-
ности, отсчитываемый от координатной плоскости хОу в сторону оси Ор 0 < v < 2л:.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
[x(u)y"(ii)-y'(p)x''(it)]Rcosv\ ,г
-----------------------------i (tz) + у F = о, В = R,
Рис. 2
|х'2 (и) + у'2 (и)]
L = ~ yXu)x"{u)]Acos,г м = 0 N = _R
[/2(и) + у'2 (и)]
[x/(H)/(«)-y(u)Z(w)]cosv 1 „ ,
k,=k =------------------------------, k,=k =-----, K = k.k2.
[x'2(ii) + y'2(u)]A - R
Трубчатая поверхность с плоской линией центров задана в линиях кривизн и, v. Представ-
ленные формулы могут быть использованы для трубчатых поверхностей с любой плоской ли-
нией центров, заданной параметрическими уравнениями х = х(и), у = у(и).
2) Параметрическая форма задания при х(и) = dchn, у(и) = cshw (рис. 1 - 2):
Rcchucosv v v. , , Abshwcosv
X = X(u,v) = bchu + -у......, Y = Y(u,v) = cshu —=====, Z = Z(y) = R sm v.
\b2sh2u + c2ch2u yb2sh2u + c2ch2u
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
cbR cosv
(^slTu + c2ch2w)3/2
/, 2 .2 , 2 , 7 ( r- n r> Dr eMCOSV , .
\b sh u + c ch u), F = 0, В = R, L = -ry—-5——т, M =0,
[b2sh'u + c"ch’«]
,, „ , , cbcosv , , 1 -cbcosv
N = -R, ku=k{= — -----------—, kv = k2 =---, К =----— ---------—r-r.
A(Zrsh’n + c2ch~u) R AR\b2sh"u +cch2u)
Трубчатая поверхность содержит участки положительной и отрицательной гауссовой кри-
визны, разделенные криволинейными координатными линиями у = л/2 и v = Зл/2, на которых
располагаются параболические точки с гауссовой кривизной К= 0.
Долил ни тельная литература
1. Иванов В.Н. К расчету трубчатых оболочек по безмоментной теории// Доклады VIII научно-техн. конф. инж.
ф-та. - М.: УДН, 1972. - С. 26-28.
270
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
Трубчатая поверхность с плоской эллиптической линией центров образовывается движе-
нием окружности постоянного радиуса, все время остающейся в нормаль-
ной плоскости эллипса х(и) = bcosu, у(и) = csinu. Трубчатые поверхности
относятся к нормальным циклическим поверхностям. Общие сведения о
Irffl трубчатых поверхностях приводятся в разделе «Трубчатые поверхно-
сти», где указывается, что векторное уравнение трубчатой поверхности
можно представить в виде: г = г(и,у) = р(и) + Re(u,v), где г(и,у) - радиус-
вектор трубчатой поверхности; р(и) - радиус-вектор линии центров обра-
Ь = 4; с = э зующих окружностей; e(u,v)- вектор-функция окружности единичного ра-
Рис. 1 / .1 / j
диуса в плоскости ооразующеи окружности с нормалью t(u) = р /| р |.
Формы задания трубчатой поверхности с плоской эллиптической линией центров
1) Параметрическая форма задания:
V V/ -, / х , 7?y'(w)cosv 7?/(w)cosv
X = X(u,v) = x(ii) + .—г, У = У(и,у) = у(и)—. ------- .. , Z = Z(y) = Rsmv,
х'2 (у) + у'2 (и) -J х2 (и) + у'2 (и)
где R - постоянный радиус образующей окружности; у - угол в плоскости образующей окруж-
ности, отсчитываемый от координатной плоскости хОу в сторону оси Or, 0 < у < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
Ь = 4; с = 3; R = 1
Рис. 2
Jl + - y'Wx\u)]RC0Svy 2 + 2
[х "(и) + у "(и)]3'2 J
L = [-/(и)/(и) - y''(K)Z(w)]Acos V м = = _R
[х'2(и) + у'2(и)]
k =k [x'(.u)y’(,u)-yXu)x\u)]cosv к =к = _J_ K = kk
1 “ [/2(и)+У2(и)]А ’ 2 V R’ 12-
Трубчатая поверхность с плоской линией центров задана в линиях кри-
визн и, V. Представленные формулы могут быть использованы для труб-
чатых поверхностей с любой плоской линией центров, заданной парамет-
рическими уравнениями х = х(и), у = у(и).
2) Параметрическая форма задания при х(и) = bcosu, у(и) = csinn (рис. 1 - 2):
... . , cRcosvcosu „ ,,z . . bflcosvsinn
X = Х(и,у) = pcosh + =, У = Y(u,v) = csmn + —. .. =,
yb2 sin2 u + c2 cos2 и yb2 sin3 и + c2 cos2 и
Z = Z(v) = 7?siny.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2
bcR cos v
(b2 sin2 и + c2 cos2 и)'~
1,2 . 2 , 2 2 1 n „ о , — bcAcosv
[b sm u + c cos u), F = О, В = R, L = -ру-52—v
\b~ sin" и + c" cos u)
M =0, N = —R, ku = k{ = -r-.-------v-т, kv = k2 =-, К =----T------------—r.
A[b sin" и + c~ cos" u) R AR[b sin и + c'cos u)
Трубчатая поверхность содержит участки положительной и отрицательной гауссовой кри-
визны, разделенные криволинейными координатными линиями v = тг/2 и у = Зл/2, на которых
располагаются параболические точки с K=Q.
271
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ПЛОСКОЙ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
Трубчатая поверхность с плоской синусоидальной линией
j/SSWy. центров образовывается движением окружности постоянного
радиуса, все время остающейся в нормальной плоскости сину-
соиды х(и) = и, у(и) = bsincu. Трубчатые поверхности относятся
t> = 1; с = 0,8; R = 1 к нормальным циклическим поверхностям. Общие сведения о
Рис’ 1 трубчатых поверхностях приводятся в разделе «Трубчатые
поверхности», где указывается, что векторное уравнение трубчатой поверхности можно пред-
ставить в виде: г = г(н,у) = р(и) + Re(u,v), где г(н,у) - радиус-вектор трубчатой поверхности; pin)
- радиус-вектор линии центров образующих окружностей; e(u,v)- вектор-функция окружности
единичного радиуса в плоскости образующей окружности с нормалью /(и) = р11\р'\.
Формы задания трубчатой поверхности с плоской синусоидальной линией центров
1) Параметрическая форма задания:
v Vf . , . , 7?v/(h)cosv Rx'(u)cosv
X = X(u,v) = x(u) + . ....-...Y - Y(u, v) = y(u)—. . ----, Z = Z(v) = Rsmv,
yjx'2 (u) + y'2 (u) x'2 (u) + у'2 (и)
где R - постоянный радиус образующей окружности; v - угол в плоскости образующей окруж-
ности, отсчитываемый от координатной плоскости хОу в сторону оси Oz; 0 < v < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
[/(и) у"Хи)-у'(и) x"(u)]R cos v]' „ ,2
' [х (и) + у (и)], г =0, В = R,
Рис. 2
К -k,k2.
[ [х 2 (и) + у'2 (и)]
[х'(и)у'(и)-у'(и)х'(«)]АС08У
Ь —------------; ——7------------, М — U, /V = — К.
[./-(«) + у- (и)]
k =k [х'(и) у'(и) - у'(w)Z(m)] cos у k _k =
1 " [х'2(и) + у'2(и)]А ’ 2 v R’
Трубчатая поверхность с плоской линией центров задана в линиях
кривизн и, V. Представленные формулы могут быть использованы для
трубчатых поверхностей с любой плоской линией центров, заданной па-
раметрическими уравнениями х = х(и), у = у(и).
2) Параметрическая форма задания при х(и) = и, у(и) = bsincu (рис. 1):
,z ,zz . cbRcosvcoscu ,z ,zz , , . 7?cosv
X = X(u,v) =u+ . .. . ., Y = Y(u,v) = bsincu —. ,
Vl + c2b2 cos2 cu 71 + c2b2 cos2 cu
Z = Z(v) = 7?sinv.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
be2 R cos vsin си
7 77? i йт
(1 + с b cos си)
(. , 2,2 2 i г- n D п г be2 Acosvsincu
(1 + с b cos си), F = 0, В = R, L = --—------—г
(l + c’/r cos си)
п , c2bcosvsincu , 1 -c2bcosvsinси
М = 0, N = -R, ки = кх = —1-—------—г, kv = к, =-, К =---1----—-----ъ?
А(1 + cb~ cos' си) ~ R AR\i +с"b cos'си)
Трубчатая поверхность содержит участки положительной и отрицательной гауссовой кри-
визны, разделенные криволинейными координатными линиями v = лг/2 и v = Зтт/2, на которых
располагаются параболические точки с К = 0. На рис. 2 изображены фрагменты трубчатой по-
верхности с плоской синусоидальной линией центров при b = 8; с = 0,5; R = 1.
272
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ НА СФЕРЕ
Линия центров трубчатой поверхности на сфере расположена на сферической поверхно-
сти. Единичные нормали е/, к линии центров совпадают с нормалями к сферической поверхно-
сти. Векторное уравнение окружности единичного радиуса, расположенной в нормальной плос-
а = 10; b =1,5; р = 1; 1 = 1;
-0,5тг < и < 0,5/г; -л < и < Л';
Рис. 1 Рис. 2
а = 10; 6= 1;р = 2;
t = 1; -л < и < л\
Рис. 3
а — 10; b = 1; р- 1/6;
г = -1; -Зл’ < и < Зя;
Рис. 4
а = 10; 6 = 1; р = 1/10;
t = 3; -5л <и<5л
Рис. 5
кости линии центров трубчатой поверхности будет иметь вид:
e(u,v) = cosveo + sinvgo, где ео = ефи) = (icosu + Jsinu)cosco + fcsinco,
причем со = ри; р = const; go =go(n) = [eo/s x e0J; 5 - [co12 + cos2to]1/2.
Формы задания трубчатой поверхности на сфере
1) Векторная форма задания (рис. 1 - 6): г(и,у) - аео(и) + be(u,v), где а - радиус опорной
а= 10; 6= 1 ;р = 5/3;
-Зл < и < Зл
Рис. 6
сферической поверхности, на которой лежит линия центров; b = const
- радиус образующей окружности трубчатой поверхности.
2) Параметрическая форма задания (рис; 1 - 6):
.г = х(и, v) = (а + bcos v)costycos« + —sin v(smtycostocos« - о/sin и),
b ,
у = y(u,v) = (<3 + £’cosv)cos<z>sini( + —sinv(sin0cos«ysini( + <y cost/),
s
z = z(u,v) = (a + bcos v)sin<y-—sin vcos2 co, где co = ри, co' = p,
v - угол, отсчитываемый в нормальной плоскости линии центров
трубчатой поверхности на сфере.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = s(a +bcosv) + b\ 1 + —3- sin <ysin v, F = 0, В - b. L- A
\ j
f co'2 I .
3Cosv+ 13—— smtysinv
I s* J
M=0,N = b, k,=kH=L/A2, k2=kv=l/b.
Можно принять, что a = as + bt, где as - радиус выбранной сферы. При t = 1 трубчатая по-
верхность лежит на внешней поверхности выбранной сферы (рис. 1 - 3), при t = -1 трубчатая
поверхность касается внутренней поверхности сферы с радиусом as (рис. 4). Если принять t > 1,
то трубчатая поверхность будет находиться вне выбранной сферы (рис. 5), а при t < -1, трубча-
тая поверхность будет помещаться внутри этой сферы, не касаясь ее. При t = 0 выбранная и
опорная сферы совпадают. Все трубчатые поверхности, показанные на рис. 1 - 6 совместно с
выбранными сферами радиусом а.,-, имеют 0 < v < 2лг.
Трубчатые поверхности, изображенные на рис. 1; 4; 5, можно отнести также к классу спи-
ралевидных поверхностей (см. раздел «Спиралевидные поверхности»).
273
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРУБЧАТАЯ ВИНТООБРАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ ПЕРЕМЕННОГО ШАГА
Трубчатая винтообразная поверхность с линией центров переменного шага образовывает-
ся окружностью постоянного радиуса, центр которой движется вдоль винтовой линии центров
L переменного шага (рис. 1)
А'(и) = acosmmi, у(и) = a sin тли, z(u) - b^jl - (1 - и)2 = b(p(u).
< Образующая окружность все время будет оставаться в нормальных плоскостях
винтовой линии центров. Цилиндрическая винтовая линия центров L лежит на кру-
у' говой цилиндрической поверхности радиусом я; т!2 - число ее витков на участке
( 0 < z < fe, то есть при 0 < и < 1.
Касательные прямые к цилиндрической винтовой линии L переменного шага пере-
\ секают координатную плоскость хОу под углом а = 90° - <р, где
т = 1Р ; „ г~7й с
й=10. _ аш7Гд/и(2-и)
Угол « изменяется от а = 0 при и = 1 (z = b) до а = тг/2 при и = 0 (z = 0).
Рассматриваемую поверхность можно отнести как к классу винтообразных поверхностей,
так и к классу циклических поверхностей к группе нормальных циклических поверхностей, а
точнее к трубчатым поверхностям.
Формы задания трубчатой винтообразной поверхности
1) Векторная форма задания (рис. 2): г = r(u,v) = р(и) + rZ(n,v),
где р(и) = ah(mmi) + z(u')k - радиус-вектор винтообразной линии центров образующих окружно-
г = 0,5;а = 2;
Ь = 10; т = 10;
0<u < I;
0 < v s 2л
Рис. 2
стей постоянного радиуса г;
hXmxu) = icosinmu) +jsin(mmt); п(ттш) = -isin(mmi) +jcos(mmi);
t(u,v) = h(mxu)cosv + ^(m7T«)sinv
- единичный вектор, лежащий в нормальной плоскости линии центров; v -
угол, отсчитываемый в нормальной плоскости линии центров;
q(mnu) = (It хт) = [~z!(u)n + тлак] ]/s; j = ~/а2т2л:2 + b2(i-u)/ (p,
т(и) = p^u)^ p'tuti = p^ulls = [mnan + zZ(w)fc]/.s
- единичный касательный вектор к линии центров. Штрихами показано диффе-
ренцирование по параметру и.
На рис. 2 показана циклическая поверхность, для которой геометрический
параметр и изменяется в пределах 0 < и < 1. Если геометрический параметр и
изменяется в пределах 0 < и < 2, то поверхность будет замкнутой.
2) Параметрическая форма задания:
. х / - ГЬ X
х = x(u,v) = (а + г cos v) cos тли Н-<р (и) sm тли sin у,
5
гЬ спилу
у = у(и, v) = (а + г cos v) sin тли-----ср'(и) cos тли sin v, z = z(u, v) = Ь(рЛ-------sin v.
5 5
Трубчатая винтообразная поверхность с линией центров переменного шага задана в криво-
линейных неортогональных несопряженных координатах и, г. Причем координатные линии у
совпадают с образующими окружностями. Поверхность содержит участки положительной и
отрицательной гауссовой кривизны.
Дополнительная литература
1. Матузок Г.А., Мирошниченко А.В., Суркова Г.И. Алгоритм автоматизированного проектирования трубчатых
поверхностей// Мат. модели и системы обраб. инф. и применения решений. - Харьков, 1988. - С. 123-127.
274
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НОРМАЛЬНЫЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА
Трубчатые поверхности и нормальные циклические поверхности с образующей окружно-
стью переменного радиуса относятся к одной группе циклических поверхностей, а именно, к
нормальным циклическим поверхностям (см. «Нормальные циклические поверхности»). Но
трубчатые поверхности имеют постоянный радиус образующих окружностей, а сами образую-
щие окружности совпадают с одним семейством линий кривизны поверхности. У нормальных
циклических поверхностей с образующей окружностью переменного радиуса образующие ок-
ружности не являются линиями кривизн.
Нормальные циклические поверхности с образующей окружностью
переменного радиуса, представленные в справочнике
переменного радиуса
Нормальная циклическая поверхность
с эллиптической линией центров и
с образующей окружностью
переменного радиуса (тип 1)
окружностью переменного радиуса и с плоской лини-
ей центров в виде логарифмической спирали
го радиуса и с линией центров в виде
конической спирали |7?(м) = аеС!‘]
радиуса и с линией центров в виде кониче-
ской спирали [К(и) ~ «(1 + csin/w)]
275
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НОРМАЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЛИНИЕЙ
ЦЕНТРОВ И С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА
Нормальная циклическая поверхность с плоской круговой линией центров и с образующей
окружностью переменного радиуса R(u) = а(1 - dcospu} может быть отнесена как к группе цик-
лических поверхностей с окружностями в плоскостях пучка и с плоской линией центров, так и к
группе нормальных гщклических поверхностей с образующей окружностью переменного радиу-
са. При плоской круговой линии центров ее нормальные плоскости вырождаются в плоскости
пучка с фиксированной прямой пучка, проходящей через центр круговой линии центров.
р = 0,5 р = I р = 2 р = 3 р = 4
а=1; й = 2; d =0,3; 0 < и < 2п; 0 < v < 2к
Рис. 1
Формы задания нормальной циклической поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 3):
л = х(и, v) = [b + /?(w)cosv]cosn, у = у(и,г) = [b + /?(w)cosv]sinn, z = z(.u,v) = R(u) sin v,
где b - радиус круговой линии центров (направляющая окружность); v - угол в плоскости обра-
зующей окружности, отсчитываемый от плоскости хОу; 0 < г < 2лг; и - угол, отсчитываемый от
оси Ох в сторону оси Оу, 0 < и < °°; 7?(«) = п(1 - dcospii) - переменный радиус образующей ок-
ружности. Если принять R = const, то рассматриваемая поверхность выродится в круговой тор.
Р = 0,5
а = 1;/> = 8; </= 0,3;
р = 7; 0 < и < Зя-
Рис. 3
р = 3 р = 4 р = 6
а=Г, b = 5; d=l; 0<и<2я; 0<v<2tt, 0<й<л72;
Рис. 2
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A1 =R'~ + [fe + 7?(n)cosv]2, F = 0, В = R(u), А2 В2 - F2 = A2 R2 (и),
L ~ — {1R'2 cosv - R"[b + E(n)cosv] + [b + R(u)cosv]2 cosv},
R(u)R' R(u)
M =-----—sinv, N ~-~—^~~[b+R(u)cosv].
Циклическая поверхность задана в криволинейных ортогональных не-
сопряженных координата-х и, v. Она содержит участки положительной и
отрицательной гауссовой кривизны. Координатные линии v совпадают с
круговыми образующими поверхности.
276
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НОРМАЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ВИНТООБРАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ,
СОСТОЯЩ АЯ ИЗ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Нормальная циклическая винтообразная поверхность, состоящая из тождественных эле-
ментов, образовывается движением окружности переменного радиуса вдоль винтовой линии
постоянного ската. При этом образующая окружность должна все время находиться в нормаль-
ной плоскости винтовой линии центров, а ее радиус изменяется
по синусоидальному закону, чем объясняется появление тождест-
венных участков поверхности.
Формы задания нормальной циклической поверхности
1) Векторная форма задания: г =r(u,v) = р(и) + R(u)e(u,v),
где р(и) = bh(u) + cuk; г (tty) - радиус-вектор циклической по-
верхности; р(и) - радиус-вектор винтовой линии центров обра-
зующих окружностей; 7?(и) = а(1 - cfcospu) - закон изменения ра-
диуса образующих окружностей; и - угол, отсчитываемый от оси
Ох в сторону оси Оу; b - радиус цилиндра, на котором располо-
жена винтовая линия центров; 2пс - шаг винтовой линии центров;
/г(и) = zcoszz + jsinw;
e(u,v) = -hcosco + (-cn/s + bkls'fsmco =
Рис.
а = 1; b = 2; с = 1;
Рис. 2
c . . ( c . . \ b ,
-cosncos® + —sinzzsin® z - —cosz/sin® + smz<cos® / + — к
s ) \s ) s
- единичный вектор, лежащий в нормальной плоскости винтовой
линии центров; и(и) = -zsinzz + j'cosm; s2 = b2 + с2; к = bls2 - кривиз-
на винтовой линии центров; со = v + 0(и); 0(и) = -си / з.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 3);
x = x(u, v) = b cos и + /?(и) -cos и cos (У + — sin и sin <59 i,
I s )
у = y(u,v) = bs'mu — 7?(«) sinwcos® + —cos и sin® ,
z = z(u,v) =cu+ — R(u) sin ®.
s
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Г д2
А2 = (apd sin ри)2 + (Ь2 + с2) 1 - cos со , F = О, В = А(и),
д - 'Jb2 4
А
bjR.(ii')
abpd
cR(ii) sin® .
sm pu +
2apd sin pu cos co H-.— - .
Jb2 + c2
, b2R(u) cos2 co , 2 i
cos® bcos®--------—-----;----"radp cos ри >,
,2
_ apdbR(u)sm pwsin® _ R(u)yb’ +с2
‘ ‘ ~ А
A-Jb2 + с2
bR(u)
—----- cos® ,
Рис. 3
a = c= 1;
</ = 0,3; 6 = 2
p = 2; p = 0,5;
Циклическая поверхность задана в криволинейных ортогональных несопряженных коорди-
натах и, г. Образующие окружности не являются линиями кривизны.
277
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НОРМАЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА
И С ПЛОСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ В ВИДЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ СПИРАЛИ
Логарифмическая спираль является горизонтальной проекцией конической винтовой линии.
Следовательно, рассматриваемая нормальная циклическая поверхность является частным слу-
чаем нормальной циклической поверхности с образующей окружностью переменного радиуса и
с линией центров в виде конической спирали. Логарифмическая спираль пересекает все лучи,
выходящие из центра под постоянным углом.
Формы задания поверхности
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = р(и) + R(ii)e(u, у),
где р(и) - радиус-вектор логарифмической спирали, приня-
той за. линию центров образующих окружностей с законом
изменения радиуса R = 7?(и);
р(и) = be!’u(icosu + jsiniz) = be!’“h(u),
Рис.1 (а 0,5,b 1,0<и<4лг) вектор-функция окружности единичного радиуса в
плоскости образующей окружности с нормалью t(ii) = р! /s', где s = | р> | = |Эр/Эи|;
e(u,v) = vcosv + &sinv;
о = 0,5; b= 1; 0<и< 4я; а = 5; b = 1; Зл< и S 6я',
р = 0,3; с = 0,3 р = 0,2; с = 0,25
Рис. 2 Рис. 3
-h + рп
v=—г — ; п = -I sm и + у cos и.
Тлу
2) Параметрическая форма задания:
х = х(и,v) = bepu cosuu —R-U^ (psin» + cosh)cosv,
71+ р2
у = y(«,v) = bepu sinw —ДА*) (sint< - pcosu)cosv,
Д+л
z = z(u, v) = R(u) sin v.
Если принять радиус образующих окружностей постоянным (R = const), то будут получать-
ся трубчатые поверхности с плоской линией центров в виде логарифмической спирали (см.
«Трубчатая спиральная поверхность»).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = (1 + р2) Ьери
/?(и)созу „,г, . „ п .. dR(u)
. +R 2(и), F =0, В = R, где R (и) =——,
71 + р2 J du
2/?'(k)cosv
зА + Х у
R(u) cosv
Ф + Р2 j
фйгк cosv+rw ,
уу J
м = 7?(t<)7?'(w)sinv N = 71 + Р2
А ’ А
Я(и) Ьер“
R(u)cos v
71+р2 .
где
R’(u) = d"R-^
du~
Образующие окружности совпадают с координатными линиями v, но не являются линиями
кривизны. На рис. 1, а, б показаны поверхности с законом изменения радиусов образующих ок-
ружностей в виде R = R(u) = аи. Поверхность, изображенная на рис. 2, имеет R = R(u) = аеси. На
рис. 3 показана поверхность с образующими окружностями R = /?(и) = а(1 + csinto). Задаваясь
функцией изменения радиуса образующих окружностей Я(и) можно строить разнообразные
нормальные циклические поверхности с линией центров в форме логарифмической спирали.
278
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
а = 0,5;/)= 1;
р = 0,25; А = 0,5
Рис. 2 (0 < и < 1п)
а = \-,b = 1; р = 0,2; Л = 1
Рис. 1 ( 2л: < и < бтг)
НОРМАЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСК АЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА
И С ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ В ВИДЕ КОНИЧЕСКОЙ СПИРАЛИ
Линия центров рассматриваемой поверхности лежит на круговом конусе, является линией
постоянного уклона и проецируется на плоскость, перпендикулярную оси конуса, в виде лога-
рифмической спирали. Поверхность относится к нормальным циклическим поверхностям.
Формы задания поверхности
1) Векторная форма задания:
г = r(u,v) = р(и) + 7?(и)е(и, v),
где р(и) - радиус-вектор конической спирали, при-
нятой за линию центров образующих окружностей
с законом изменения радиуса R = R(u);
р(и) = ^“(icosw + j'sinn + 6k) - bep“[h(u) + Лк \.
e(u,v)~ вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости обра-
зующей окружности с нормалью 7(и) = pz/s; где s = |р!\ = \др/ди\,
р/м
е(и,г) - vcosco + /isinco; а> = v - -, — = ==
а = 0,5; b = 1; А= 0,5;
р = 0,3; с = 4;
Рис. 3 (0 < и < 4л-)
- си, где с = const,
и= ю
Ь = 1,5
2=2;
р = 0,18; с = 0,3; / = 3
Рис. 4 (1л < и i 6л')
= y(u,v) = bepu sin и —.^+‘9
-h+pn - pA(ph+ п) + (1+ p2)k
-^1 + р~ у/1 + (1 + Л~)р~ д/1 + р2
2) Параметрическая форма задания:
= x(u,v)=be‘ cosh—==
п = -г sin и + j cos и.
а = 0,5; Л= 0,5; с = 0,28;
Ь = 1,5; р = 0,25
Рис. 5 (0 < и < 6л )
/ . \ pMsinu — pcosu) .
(psinii + cosu)cosa>-J—~====^-sinai ,
yjl + (1 + Л~)Р~
i . s pXpsinw + cosw) .
(smn - p cos и) cos 62 + -—-+£=—
д/l + (1 + A2)p"
, \ hl p:1 p2 sinoj
-\/l + (1 + Л~)р2
На рис. 1 - 2 показаны поверхности с законом изменения радиусов обра-
зующих окружностей в виде R = R(u) = аи. Поверхности, изображенные на
рис. 3 и рис. 5, имеют R = R{u) = аеси. На рис. 4 показана поверхность с
образующими окружностями R = R(u) = а(1 + csinfw). Поверхность это-
го типа можно считать также волнистой поверхностью (рис. 4).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кри-
визны можно вычислить по формулам, приведенным в разделе «Нор-
мальные циклические.поверхности».
Задаваясь функцией изменения радиуса образующих окружностей
Е(и) можно строить разнообразные нормальные циклические поверхно-
сти с линией центров в форме конической спирали.
При 4 = 0 поверхности будут вырождаться в нормальные циклические
поверхности с образующей поверхностью переменного радиуса и с пло-
ской линией центров в виде логарифмической спирали. Если принять
радиус образующих окружностей постоянным (7? = const), то будут получаться трубчатые по-
верхности.
к ^=:
279
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
СОЕДИНИТЕЛЬНЫЙ КАНАЛ ДЛЯ ДВУХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ
Соединение двух трубопроводов кругового
сечения с параллельными осями можно выпол-
нить при помощи переходника в форме соедини-
тельного канала для двух цилиндрических по-
верхностей с параллельными осями. В общем
случае, соединительный канал относится к нор-
мальным циклическим поверхностям с образую-
щей окружностью переменного радиуса и с пло-
ской линией центров в форме кривой косинусои-
дального очертания (рис. 1):
, , f па Г
z = «, у =у\рл> - -d cos-1 .
у 2b J
Формы задания поверхности
соединительного канала
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 2):
х = х(а,Д) = r(a)cos/?,
у = у(а,/3) = ~d\ cos-—- —1 + r(a)sin /7cos<p(a), z = a - r(jx) sin /?sin <p(a),
(R, -/?,)(. ла}
где r - r(a) = —=--— 1 - cos — + /у - закон изменения радиуса соединительного канала,
2 у 2b J
/ - 1
cos <р(а) = . -------
, л2й2 . > ла
,1-1---—sin'—
V 4/г 2b
, х R-------2 ГТ , /х nd . ла
sm(Z>(a) = д/1 —cos <р(а); tg<p(a) =—sin —,
^>(«) - угол между касательной к линии центров циклической поверхности и координатной осью
Oz (рис. 1); 2d - расстояние между параллельными осями
соединяемых цилиндров с радиусами Ri и Ry, R2> /?, ; 2b -
расстояние между торцами соединяемых цилиндров; /7 -
угол в плоскости образующих окружностей, отсчитываемый
от координатной оси Ох; 0<а<2Ь; <д< f}< 2л. Семейство
координатных линий fd совпадает с образующими окружно-
стями переменного радиуса.
На рис. 2 представлена поверхность соединительный ка-
нала, для которой
/?2=2A1,d = 27?1,fe = 3/?i, 0 < а < 2Ь; 0<А<2л.
Если взять R\ = Ri, то получится трубчатая поверхность
с плоской синусоидальной линией центров (см. «Трубчатые
поверхности»). При а = 0 (рис. 1) поверхность соединительного канала вырождается в поверх-
ность сопряжения двух соосных цилиндров разного диаметра (см. «Поверхности вращения»).
Дополнительная л и т ер а т у р а
1. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гсщуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - Киев: «Буди-
вэльнык», 1990. - 190 с.
280
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НОРМАЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ И С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ
ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА (тип 1)
Нормальная циклическая поверхность с эллиптической
линией центров и с образующей окружностью перемен-
ного радиуса (тип 1) может быть применена в качестве
модельной поверхности соединительного участка двух
трубопроводов разных диаметров с осями, пересекающи-
мися под прямым углом (рис. 1). Рассматриваемая цикли-
ческая поверхность имеет плоскую эллиптическую ли-
нию центров, заданную параметрическими уравнениями
х - 0, у = у(«) = p(a)cosa, z = z(a) = p(a)sina,
где p(a) = bd/^d2 sin2 a+b2 cos" a - полярный радиус
эллипса у1 lei2 + z2/^2 = i
Формы задания циклической поверхности (тип 1)
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 -2):
X = 7?(a)sin fl, Y = у(а) +R(a) cos fl cos <р(а), Z = z(a) + R(a) cos fl sin <p{a),
где угол ф(«) показан на рис. 1; R(a) = 2a(Rb - Rfllit + Rd- линейный закон изменения радиуса
образующих окружностей: Rd, Rb - радиусы образующих окружностей в начальном (« = 0) и ко-
нечном (а = тг/2) положении; 0 < /7 < 2тг; 0 <а <п / 2 . Единичный касательный вектор /(a) к
эллиптической линии центров г = r(«) = y(u)j + +a)k задается уравнением
t(a) = -a~- = cos — + <р(а) j + cos<р(а)к - —= = -=~x_g^
кН L2 J У 4y'2(a) + z'\a) Т/Ч^ТТ2^) да
а параметрические уравнения циклической поверхности можно за-
писать в виде:
„ w/ а, ч о „ ,,, , ч R(a)cos fl z(a)
X = X (a, fl) = R(a) sm fl, Y = Y(a, fl) = y(a) + —- . =. Г = =<,
v./2 (a) + z'2 (a)
7y/2(«) + z'2(a)
Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:
А2 = R'2 (а) + [1 + R(a) cos fl (y'z" - zy',)l{yn + z'2| (y'2 + z2 \ F = 0, В = R(a).
Поверхность задана в криволинейной ортогональной системе координат а, fl. Координат-
ные линии fl совпадают с образующими окружностями. Если предположить, что R(a) - const, то
получится трубчатая поверхность с плоской эллиптической линией центров.
Последние параметрические уравнения рассматриваемой циклической поверхности (тип 1)
можно представить в развернутой форме:
v Vz ох п/ х о ,/ wz ox bdcosa b~R(a) cos fl cos a
X = X(a,fl) = R(a)smfl, Y = Y{a,fl) = -====== +______________=.. =.-,
yd2 sin2 a + b2 cos2 a yd* sin2 a + b* cos2 a
Z = Z(a,fl) =
bd sin a d2 R(a) cos fl sin a
jd2 sin2 a+b2 cos2 a 4d* sin2 a+b* cos2 a
Дополнительная литература
1. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдагнук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - Киев: «Буди-
вэльнык», 1990. - 190 с.
281
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НОРМАЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ И С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ
ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА (тип 2)
Рис. 1
Нормальная циклическая поверхность с эллиптической
линией центров и с образующей окружностью перемен-
ного радиуса (тип 2) имеет плоскую эллиптическую ли-
нию центров, заданную параметрическими уравнениями
х = 0, у = у(и) = dcosu, z = z(w) = fosinw, 0 < и < я72
где b.d- полуоси эллипса y2/d2 + z2/b2 = 1.
Формы задания циклической поверхности (тип 2)
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 2):
X = X (и,/3) = R(u) sin/3,
Y = Y(u, /3) = у (и) + R(u) cos Д cos <p(u),
Z = Z(u,j3) = z(u) + R(,u) cos/3 sin <p(u),
где угол <p(u) показан на рис. 1; А(и) = 2и(/?& -Rd)!n + Три-
линейный закон изменения радиуса образующих окружностей; R,i, Rb - радиусы образующих
окружностей в начальном (и = 0) и конечном (и = тт/2) положении (рис. 1); 0 < Д < 2л.
Принимая во внимание, что единичный касательный вектор /(и) к эллиптической линии
центров г = г(и) = y(u}j + z(u)fc задается уравнением
, X л г ч
г(м) = ГУТГ = С03 7Г + <г’(“)
Нм)| I2
z{u)k
j + cos<p(u)k = - . , .
7 у'2 (и) + z'2 (и) у'2 (u~) + z'~ (и)
d.„
du
параметрические уравнения циклической поверхности можно записать в виде:
X = Х(и, Д) = R(u)sinД, Y = У(и, Д) = у(и)+-^^£=^1,
7у'2(и) + г'2(и)
7 7, п. , ' R(u) cos/3 у\и)
Z = Z(u,[3) = z(u) —, =
Vy"'(w) + z' (и)
Коэффициенты первой основной квадратичной формы поверхности:
d/?(u)Y
ди J +
dbR(u) cos Д
2
(у'2 +z'2), F = 0, B = R(u).
Поверхность задана в криволинейной ортогональной системе коорди-
нат и, Д. Координатные линии Д совпадают с образующими окружностями.
Если предположить, что R(u) = R = const, то получится трубчатая поверхность с плоской
эллиптической линией центров (см. «Трубчатые поверхности»).
Последние параметрические уравнения рассматриваемой циклической поверхности (тип 2)
можно представить в развернутой форме:
X = X(ii, fi) = R(u) sin/3,
Y = Y(u,/3) = dcosu +
bR(u) cos Д cos и
Jd2 sin2 и + b2 cos2 и
7 r,, , d • R(u) cos /3 sin и
Z = Z(u, p) = bsmu + — =
yd2 sin2 u+b2 cos2 и
Дополнительная литература
1. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - Киев: «Буди-
вэльнык», 1990. - 190 с.
282
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА
Циклические поверхности с плоскостью параллелизма получаются движением образующей
окружности переменного или постоянного радиуса параллельно произвольной плоскости -
плоскости параллелизма. Уравнение циклической поверхности в векторной форме имеет вид
г = r(u,v) = р(и) + R(u)e(u,v),
где г(и,г) - радиус-вектор циклической поверхности; р(и) - радиус-вектор направляющей кри-
вой (.линии центров образующих окружностей)', R(u) - закон изменения радиуса образующих
окружностей; e(n,v) - вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости образую-
щей окружности с нормалью п = const (рис.2 раздела «Циклические поверхности»); ео(и), £о(и) -
орты прямоугольной системы координат в плоскости образующей окружности; v- полярный
угол в плоскости образующей окружности. Так как п = const, то
dn d~n
— = —г = 0,
du du"
следовательно, формулы для вычисления коэффициентов основных квадратичных форм, при-
веденные в разделе «Циклические поверхности», упрощаются.
Коэффициенты основных квадратичных форм циклической поверхности
с плоскостью параллелизма:
Е = А2 = № + 2s[(te)R' + (<g)i?(u)(e'g0)] + R12 + R2 (w)(e„g0)2,
G = В2 = R2, F = R[s(tg) + tf(u)(e'g0)], <г = JAW^/r^u) = ^[s(te) + R'\~ + s2 (tn)2s = |pz|;
T = ^{[(te)y+ 7?'(/;)][./(to) + s2k(nv)]~ s(tn)\s'(te) + s2k(ev) - 7?(«)(e'go)2 + R"(и)]},
R(u)s . R(u)s
M = —2~^-(tn)(eogti); N=-^(tn).
<y a
где t = p/!s', t,v- единичные векторы касательной и нормали к линии центров.
Выбор вектор-функции еа (и) не влияет на вид циклической поверхности, поэтому можно
взять так, чтобы (e'oga) = 0. Тогда получится, что М = 0, то есть будет сопряженная координат-
ная сеть и, г. Имея е‘о = (e'oga)g- (еоп')п ~ 0, можно доказать, что е0 = const, go = п х е„ = const.
Таким образом, репер е„, g<>; п не меняется при движении вдоль линии центров и можно поло-
жить g„ = i, п = j, е0 = к, где i, j, к - орты прямоугольной декартовой системы координат. В этом
случае формулы для определения коэффициентов основных квадратичных форм примут вид:
Е = A2 ~ s2 +2s(te)R' + R'2,
G = В2 =R2, F = Rs(tg), <y = 7a2B2 -F2A(w) = + Л']2 + s2 (tj)2; s = \p' |;
L = —[[(te)s'-b ][/(#) + № /с (yv)] -- 5(t/)[y/(te) + s2k(ev) + M= 0, N = - -• (tj).
Наиболее известны два частных случая циклических поверхностей с плоскостью паралле-
лизма: а) когда линия центров есть прямая линия и вектор п параллелен этой прямой, тогда по-
лучается поверхность вращения', б) когда радиус образующей окружности постоянный, то есть
R = const, в этом случае будет получаться циклическая поверхность переноса.
Дополнительная литература
1. Рекач В.Г, Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176 с. (библ.:
71 назв.).
2. Григоренко Я.М., Гуляев В.И., Гоцуляк Е.А., Ашури К. Напряженно-деформированное состояние трубчатых
оболочек под действием равномерно распределенного давления/У Прикладная механика. - Киев, 1983. - № 8.
283
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. I
ПРЯМАЯ КРУГОВАЯ СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Прямая круговая спиральная поверхность (рис. 1)
образовывается движением окружности постоянно-
го радиуса, лежащей в плоскости, перпендикуляр-
ной оси вращения поверхности, вдоль конической
спирали
х = х(и) = ekur0 sinlcosu, у = у(и) = ek“r0 sinAsinw,
z = z(w) = ek"ro cos2,
где ru - постоянная величина, k - некоторое поло-
жительное или отрицательное постоянное число, 2 -
угол между осью Oz (ось конуса) и образующей прямой конуса, на котором расположена кони-
ческая спираль, и - угол между плоскостью xOz и подвижной плоскостью осевого сечения. Ко-
ническая спираль является линией центров образующих окружностей постоянного радиуса (см.
раздел «Циклические поверхности»). Любую из плоскостей z = const можно принять за плос-
кость параллелизма рассматриваемой поверхности. Прямая круговая спиральная поверхность
может быть одновременно включена в класс циклических поверхностей (см. «Циклические по-
верхности с плоскостью параллелелизма») и в класс спиральных поверхностей.
Форма задания прямой круговой спиральной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и, v) = ekura sinAcosH + 2?cosv, у = у (и, v) = в’'“ги sin Л sin и + 7? sin v, z = z(u) = ek“ro cos 2,
где R - постоянный радиус образующих окружностей; v - угол, отсчитываемый от направления
оси х в сторону оси у. Этот параметр определяет положение точки на образующей окружности;
О < v < 2я. В сечениях поверхности плоскостями z = const лежат координатные линии г, совпа-
дающие с образующими окружностями постоянного радиуса R.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = r2e2k“(k2 + sin2 Л), F = ro/?sin2fiZ,"[sinv(sin«-Z:cosw) + cosv(cosH + i:siniz)], В = г,
kr cos Л ,, kr R~ cos Л ,
L = -T=^=ekuF, М-0, N =--—== еки,
4а2В2 -F2
kF cos Л кгасоьЛ ки k2r2FR2 cos2 Л 2ки
А^А2В2 - F2 4k2 + sin2 Л у/а2В2 -F2 (А2В2 - F1)'
Прямая круговая спиральная поверхность задана в неортогональных сопряженных криво-
линейных координатах и, v. Поверхность включает в себя участки как положительной, так и от-
рицательной гауссовой кривизны К. Знак гауссовой кривизны поверхности зависит от знака ко-
эффициента F первой квадратичной формы. Этот коэффициент F входит в формулу для вычис-
ления гауссовой кривизны поверхности. Участки спиральной поверхности с разными значе-
ниями гауссовой кривизны разделяются линией
( cos и + к sin и
у = у(и) = arctg --------
\ к cosu - sin и
вдоль которой гауссова кривизна равна нулю (К = 0).
284
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА ОКРУЖНОСТИ ПО СИНУСОИДЕ
Поверхность прямого переноса окружности по синусоиде образовывается параллельным
переносом окружности так, что определенная ее точка скользит по синусоиде. Направляющая
синусоида и образующая окружность лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. По-
верхность переноса окружности по синусоиде можно построить также, если принять синусоиду
х = x(z) - a sin(n® / Ь) за плоскую линию центров образующих окружностей постоянного ра-
диуса. Рассматриваемую поверхность можно причислить как к классу поверхностей переноса
(см. «Поверхности прямого переноса»), так и к классу циклических поверхностей (см. «Цикли-
ческие поверхности с плоскостью параллелизма»).
Формы задания поверхности переноса окружности по синусоиде
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
«ле
х = ,x(z,г) = a sm-1-rcosv, у = y(v) = rsin v, z = z,
b
где n - число целых полуволн, содержащихся на участке длиной Ь\г- постоянный радиус обра-
зующих окружностей.
Координатные линии v совпадают с образующими окружностями, 0 < v < In. Образующие
окружности лежат в сечениях поверхности плоскостями z = const.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, <з2л2л" , nnz пп nnz
А =1-1----;—cos-----, F = -аг—sinvcos---, B = r,
b~ b b b
г -у , Г- n i-ii t i nnz
A B~ - F =— b" +a n n' cos" vcos"------ ,
ь~ L ь _
rb
M=0, N= =,Vv =" у = = r= = =
y]b2 + a2n2n2 cos2 v cos2 (nnz I b)
an“n~cosv nnz
L = —t= ==== = - - =.=.-==..=sin ——,
Ь-цЬ2 + a2n2n2 cos2 vcos2(nnz Ib) b
an2n2b2 cosv nnz
К = —:------------------------prsin——-
r\b2 + a2n2n2 cos2 vcos2 (nnz! b)\ b
Поверхность переноса окружности по синусоиде отнесена к неортогональной сопряженной
системе криволинейных координат и, v. Окружности, лежащие в сечениях поверхности плоско-
стями z - bi/n (i = 0; 1; .., и), являются линиями кривизны. Синусоиды v = 0 и v = п также совпа-
дают с линиями кривизны. Поверхность содержит участки положительной и отрицательной га-
уссовой кривизны К, которые разделены плоскими координатными линиями v = п/2 и v = Зтг/2,
содержащими параболические точки с К = 0.
Если принять <з = 0, то поверхность выродится в цилиндрическую поверхность вращения
(см. «Цилиндрические поверхности»).
На рис. 1 показана поверхность переноса с п = 3, г < а, 0 < v < 2л, 0 < z < Ь. Поверхность
переноса с п = 3, г = а, 0 < v < In, 0 < z < изображена на рис. 2. На рис. 3 показана поверх-
ность переноса с п = 3, г < a, 0<v<n, Q<z^b.
285
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕНОСА ОКРУЖНОСТИ ПО ЭЛЛИПСУ
Поверхность прямого переноса окруж-
ности по эллипсу можно построить, если
принять эллипс
за плоскую линию центров образующих
Рис'1 Рис’ ~ окружностей постоянного радиуса а, а ко-
ординатную плоскость хОу за плоскость параллелелизма (рис. 1). Эта поверхность переноса яв-
ляется частным случаем эллиптической поверхности переноса. Рассматриваемую поверхность
(рис. 2) можно причислить как к классу поверхностей переноса (см. «Поверхности прямого пе-
реноса»), так и к классу циклических поверхностей (см. «Циклические поверхности с плоско-
>стью параллелизма»). Если принять а = Ь = с, то получится поверхность
переноса окружности по окружности, которую называют также «Богем-
ским куполом» (рис. 3).
Формы задания поверхности переноса окружности по эллипсу
1) Параметрическая форма задания (рис. 1; 2):
х = х(и) = а cosw, у = y(u,v') = й cosv + л sin и, z = z(v) = csin v,
где a - постоянный радиус образующих окружностей, b и с - полуоси эл-
липса (линия центров образующих окружностей); 0 < и < 2л\ 0 < v < 2я;
Рис-3 - а < х < а; - с < zi с.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = а, F =-- -afesinvcosm, В2 = b2 sin2 v + с1 cos2 v, А2В2 - F2 = a2(b2 sin2 vsin2 и + c2 cos2 v),
-accosv -fee sin и
Vfe2 sin2 vsin2 и + c2 cos2 v x/fe2 sin2 vsin2 и + c2 cos2 v
fee2 sin и cosv
n(fe2 sin2 v sin2 и + c2 cos2 v)’
Поверхность переноса содержит участки положительной и отрицательной гауссовой кри-
визны, разделенные координатными линиями и = 0 и и = тг с параболическими точками. Богем-
ский купол, показанный на рис. 3, построен при следующих геометрических параметрах:
а = b = с = 10 м, -я! 2 < и < л/2; 0 < v < л.
2) Явная форма задания: у = feVc2 - z2 /с + у/аг - х2.
Явная форма задания доказывает принадлежность рассматриваемой циклической поверхно-
сти к поверхностям переноса; — а < х i а; - с < z i с..
3) Неявная форма задания: (х2 + у2 +b2z2 /с2 -b2 - а2)2 = 4fe2(c2 -z2)(a2 -х2)/с2.
Таким образом, поверхность прямого переноса окружности по эллипсу является алгебраи-
ческой поверхностью четвертого порядка (см. «Алгебраические поверхности выше второго
порядка»).
Дополнительная литература
1. Gray A. Modem Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. - Boca Raton, FL: CRC Press. -
2"d ed. - 1998. - 1053 p.
2. Корниенко А.В. Сечения поверхностей переноса одного типа однопараметрическим семейством вертикаль-
ных плоскостей// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1972. - Вып. 15. - С. 49-50.
286
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ ВИНТОВОГО СТОЛБА
Поверхность винтового столба является частным случаем прямой круговой винтовой по-
верхности (см. «Круговые винтовые поверхности»). Поверхность можно включать как в класс
__ циклических, так и в класс винтовых поверхностей. Параметрические уравнения
винтовой линии центров образующих окружностей постоянного радиуса:
л = x(v) = 2cosv, у = y(v) = 2sinv, z = z(v) = 2v.
JzFzg? Формы задания поверхности винтового столба
Г) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = .т(г?,г) = 2cosv + 2cos(?9 + v), у = y(z?,v) = 2sinv + 2sin(z? + v), z = z(v) = 2v,
где г? - центральный угол образующей окружности; 0 < z5 < 2я. Таким образом, по-
ЧшТЬ. верхность винтового столба является прямой круговой винтовой поверхностью при
jgppyip а = г = р = 2 м.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = 2, F = 4(1 + cosг?), В2 = 4(3 + 2cosz?), А1 В2 - F2 = 16(1 + sin2 г?),
wL L =_____________________°-____= м, n = к =_____э..
л/1 + sin2 г? 71 +sin2 & 4(1 + sin" г?)‘
Поверхность задана в неортогональнои несопряженнои системе криволинейных
координат г? , у. Ортогональность координатных линий имеет место для точек, определяемых
условием 1 + cos & =0.
Дополнительная литература
1. Поверхность винтового столба. - http://www.geometrie.h 10.ru/plocha/olocha.3R.htm
ПРЯМАЯ КРУГОВАЯ СПИРАЛЕВИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА
Прямая круговая спиралевидная поверхность с образующей окружностью переменного ра-
диуса образовывается окружностями переменного радиуса, лежащими в параллельных плоско-
стях. Линия центров образующих окружностей совпадает с конической спиралью
х = х(и) = eh‘ro sinZcosiz, у = у(и) = sinXsinw, z = z(u) - ekllr0 cos2,
--=где r° ~ постоянная величина, k - некоторое положительное или от-
рицательное постоянное число, 2 - угол между осью Oz (ось конуса)
и образующей прямой конуса, на котором расположена коническая
спираль. Поверхность может быть включена в класс циклических
или поверхностей.
Форма задания прямой круговой спиралевидной поверхности
- : Рис. ? р Параметрическая форма задания:
х = х(и,у) = eK“r0 sinAcosH + Rcosy, у = y(u,v) = ekur0 sin2sin;/ + Fsinv, z = z(w) = ek“ro cos2,
где R = R(u) - радиус образующих окружностей; v - угол, отсчитываемый от направления оси х
в сторону оси у. Параметр v определяет положение точки на образующей окружности;
0 < v < 2%. В сечениях поверхности плоскостями z = const лежат координатные линии у, совпа-
дающие с образующими окружностями. На рис. 2 показана поверхность с R(u) = и/2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = r2e2k“(k.2 +sin2 2) + 2ro sin 2ей‘_/?'[(& cos и - sin z<) cos v + (k sin и + cos и) sin v] + R'2,
F = ro sin 2 <?fa‘7?[(/csinzz + cos и) cos v - (kcosu - sinw)sin v], В = R,
rllRkek“ cos 2
7a2£2-F2
ruR2kek“ cos2
^1a2b2-~f2
L =
— + kR'-R"\, M =0, N =
R )
287
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
С ОКРУЖНОСТЯМИ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА
Циютческая поверхность с окружностями в плоскостях пучка образуется окружностями
постоянного или переменного радиуса, центр которых перемещается по заданной линии цен-
тров поверхности, а образующие окружности лежат в плоскостях пучка. К этому классу по-
верхностей относятся винтовые циклические поверхности, каналовые поверхности Иоахимста-
ля, циклиды Дюпена. Векторное уравнение циклической поверхности с окружностями в плоско-
стях пучка имеет вид (рис. 1): r(w,v) = p(u)h(u) + z(u)k + 7?(и)е(и,г), где r(u,v) - радиус-вектор
циклической поверхности; p(u)h(u) - проекция радиус-вектора линии центров образующих ок-
ружностей на плоскость, перпендикулярную фиксированной прямой пучка плоскостей; z(u) -
закон перемещения центра образующей окружности параллельно фиксированной прямой пучка
плоскостей; R(u) - радиус образующих окружностей; й(и) - вектор-функция окружности еди-
ничного радиуса в плоскости, перпендикулярной фиксированной прямой пучка (рис. 2, a); e(u,v)
- вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскостях пучка (рис. 2, б).
h(u) = cosh i + sinu j;
n(u) = -sinui +cosuj
e(u,v) = cosveo(w)+ sinvgo(w) =
= h(u)cos® + fcsin®
Рис. 2
Коэффициенты основных квадратичных форм циклических поверхностей с окружностями
в плоскостях пучка:
А2 = р'2 + z'2 + R'2 + R2B'2 + (р+ tfcos®)2 + 2p'(7?cos®)' + 2z'(Asin®)', В = R,
F = R(R6’ - p'sin® + z'cos®), где co = v + 6(u), см. рис. 2, 6; - д.../ди;
L - {[(/?+ R cosco- p") cosa>-z"sin co + Rd'2 - A"'"](/2+ 7?cos®) +
+ l[p' + (R cos co)'](// cos co + z' sin co + R'i}/il/, N = R(p+R cos co)/у/,
M = {R0'(p + Rcosco) - (//cos® + z'sin® + sin ®]Д/, (A2В2 - F2) / R2 =
= y/2 = p'2 + z'2 + R'2 + (p + R cos co)2 + 27?'(//cos® + z'sin®) - (//sin®- z cosco) .
Дополнительная литература
1. Иванов В.Н. Циклические поверхности: геометрия, классификация, конструирование оболочек// Архитекту-
ра оболочек и прочностной расчет тонкостенных строит, и машиностроительных конструкций сложной формы: Тр.
Междун. научной конференции. - Москва, 4-8 июня 2001 г- М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 126-134 (библ.: 18 назв.).
288
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка,
Круговой тор
представленные в справочнике:
Циклическая поверхность с окружностями в
плоскостях пучка, с прямой направляющей и
фиксированной прямой пучка, лежащими по
одну сторону от плоской линии центров
Циклическая поверхность с окружностями перемен-
ного радиуса в плоскостях пучка и с тремя прямыми
параллельными направляющими линиями
окружностью в плоскостях пучка и
с плоской линией центров в виде
логарифмической спирали
щей окружностью в плоскостях пучка
и с плоской линией центров в виде
спирали Архимеда
щими окружностями переменного ра-
диуса и с плоской линией центров, по-
строенная вокруг кругового цилиндра
Поверхность
святого Ильи
Круговая спиральная поверхность с
образующей окружностью постоянного
радиуса, лежащей в плоскостях пучка
Круговая винтовая поверхность с образую-
щей окружностью, лежащей в плоскости,
которая проходит через винтовую ось
Ко с и I гусо идал ь и ая
Эпитрохоидальная
289
10-5391
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
КРУГОВАЯ СПИРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ
ПОСТОЯННОГО РАДИУСА, ЛЕЖАЩЕЙ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА
Рис. 1 Рис. 2
Пусть имеется направляющая кониче-
ская спираль
х = х(и) = ae",ucosu, у = у(и) = aem“sinw,
z = z(k) = аХе"ш,
где X = ctg</>; <р - угол между осью Oz и
прямолинейной образующей конуса, на
котором лежит коническая спираль; дол-
гота и - угол между плоскостью xOz и
подвижной плоскостью осевого сечения;
а = rosin^, г„, т - константы.
Круговая спиральная поверхность с образующей окружностью постоянного радиуса, ле-
жащей в плоскостях пучка, образовывается при винтовом движении окружности, центр кото-
рой движется по спиральной линии. Все точки образующих окружностей постоянного радиуса
R будут описывать конические спирали, которые являются линиями откоса. Эта поверхность
может быть включена как в класс циклических поверхностей, так и в класс спиральных поверх-
ностей (см. «Спиральные поверхности»).
Форма задания спиральной поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) = (ае'"и + 7?cosv)cosw, у = y(u,v) = (ае"т + /?cosv)sini<,
z = z(u,v) = аЛе"'“ + R sin v,
где R - постоянный радиус образующих окружностей.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = г2т2е2л"‘ + (ае"'“ + 7?cosv)2, F = -aRme""‘(sm v - Acosv), В = R,
A2В2 - F2 = R2[(aem“ + Rcosv)2 + a2m2e2mu (cosv + 2sin v)2 ],
L = , =[(ae"1" + A1 cosv)2 cosv + am2e'm(cosv + Asinv)(aem“ - Rcosv)],
Ja2b2-f2
amR2e"'“ sinv . , (ae"'“ + 7?cosv) ,
M = -7-^---= (cosv + 2sinv), N = - R2.
-JA2B2 - F2 -Ja2B2-F2
Циклическая спиральная поверхность отнесена к неортогональной несопряженной системе
криволинейных координат и, v. Координатные линии v совпадают с образующими окружностя-
ми. Поверхность содержит участки положительной и отрицательной гауссовых кривизн.
Если принять <р = тг/2, то есть X = 0, то круговая спиральная поверхность (рис. 1) выродится
в циклическую поверхность с образующей окружностью в плоскостях пучка и с плоской линией
центров в виде логарифмической спирали (см. «Циклические поверхности с окружностями в
плоскостях пучка и с плоской линией центров»), рис. 2.
Дополнительная литература
1. Вайнберг Д.В., Гуляев В.И. Устойчивость механических и физических полей в оболочках сложной формы//
Успехи мех. деформир. сред. - М.: «Наука», 1975. - С. 96- 104.
290
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ СВЯТОГО ИЛЬИ
Поверхность святого Ильи является частным случаем круговой винтовой поверхности с
образующей окружностью, лежащей в плоскости, которая проходит через винтовую ось (см.
«Круговые винтовые поверхности»). Поверхность может быть включена в класс циклических
или в класс винтовых поверхностей. Она образовывается винтовым движением окружности по-
стоянного радиуса. Линией центров поверхности святого Ильи является круговая
винтовая линия постоянного ската х = х(у) = 2cosv, у = у(у) = 2sinv, z = z(v) = v.
Формы задания поверхности святого Ильи
1) Векторная форма задания: г = r(v,y/) = (2 + siny/)e(v) + (cosy/ + v)k,
где е(г) - единичная круговая вектор-функция; у/ - центральный угол образую-
Щей окружности, отсчитываемый от направления оси Oz.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(v,y/) = (2+ siny/)cos v, у = у(уру) = (2 +sin у/) sin v, z = z(y,y/) = cosy/ + v.
Поверхность святого Ильи является круговой винтовой поверхностью с обра-
зующими окружностями в плоскостях пучка при а = 2м;г = р = 1м. Осевым се-
чением поверхности является образующая окружность радиусом г = 1 м. Торце-
вое сечение получится, если принять z = 0, то есть при v = -cosy/.
Рис' 1 Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
,2 , г, . ,, , , (2 + sin у/)2 sin у/ ,, cos2 у/ ,, (2 + siny/)
А2 = (2 +sin у/)’+1, F=-smyz, B = l, L=-~— М ....... N = —)_........
д/б + Дзту/ i/5 + 4siny/ ^/5 + 4siny/
-(2 + siny/) -siny/(2 + siny/)2 (2 + siny/)3 sin у/-cos4 у/
к ----------— , kv=----. =—, К —-------------.
75 + 4sinyz A275 + 4siny/ (5 + 4siny/)’
Допол ни тельная литература
1. Поверхность святого Ильи. - http://www.geometrie.hlO.ru/plocha/plocha3R.htm
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОКРУЖНОСТЯМИ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА и
ВОЛНИСТОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ НА ЦИЛИНДРЕ
ип-. Если принять параметрические уравнения линии центров в виде
%- - Ди) = Rcosu, Y = У(и) = Bsinw, Z = Z(u) = bu + asinpu
и вдоль нее перемещать в плоскостях пучка окружность постоянного ра-
диуса г, то получится рассматриваемая циклическая поверхность. Счита-
Рис.,2 ется, что плоскости пучка проходят через фиксированную прямую, сов-
падающую с осью линии центров. Эту поверхность можно включать так-
же в класс волнообразных поверхностей.
Формы задания циклической поверхности
"**££? 1) Параметрическая форма задания (рис. 2): х = х(и,г) = (В + rcosv)cosw,
Рис' 3 у = у(и,г) = (В + rcosv)sinw, z = z(w,v) =(bu + asinpw) + rsinv,
где 2лЬ - шаг волнистой линии центров, v - угол, отсчитываемый от плоскости z = const в сто-
рону оси z; 0 < v < 2дг; и - угол, отсчитываемый от оси х в сторону оси у.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 =(R + rcosv)2 + (b + ар cos puf, F = r(b + ap cos pw)cosv, B = r,
T - r(B + r cosv) Г/_ x , . . 1 r2(b + apcospu) . , ,, -r2(B + rcosv)
L = —.... — (B + r cos vlcosv + qp' sm pusmvlM =—Ar-^sm v, N = —, 4 =+-.
Va2b2-f2 7a2b2-f2 7a2b2-f2
Координатные линии v = zr/2 и v = Зтг/2 ортогональны образующим окружностям. Если
принять b = 0, то можно получить волнообразный тор (рис. 3), который будет касаться плоско-
сти z = -а - г в р точках.
ю*
291
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОКРУЖНОСТЯМИ В плоскостях
МЕРИДИАНОВ СФЕРЫ И С ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ НА ЭТОЙ ЖЕ СФЕРЕ
a = 20; p = 1/40,
Рис. 1 ( -20л < и < 20л )
Фиксированной прямой пучка плоскостей с окружностями постоянного радиуса, которые
образовывают циклическую поверхность с окружностями в плоскостях меридианов сферы и с
линией центров на этой же сфере, служит ось сферы, которая совпадает с координатной осью
Oz. Таким образом, циклическая поверхность имеет направляющую сферическую линию
Eq(u) = лво(и) = a(icosu + jsinnjcosw + Azzsinco,
где со = ри + с (р = const, с = const),
расположенную на поверхности сферы радиусом а. Чтобы сфе-
рическая линия имела спиралевидную форму (рис. 1) необходимо
брать р = 1/п, где п - целые числа. Единичный вектор «о(«) явля-
ется нормалью сферы, на которой расположена направляющая
линия.
Образующие окружности постоянного радиуса b задаются в
местной системе координат X(v) = bcosv, T(v) = bsinv, располо-
женной в плоскостях меридианов сферы. Начало координат раз-
мещается на направляющей сферической линии.
Формы задания циклической поверхности
1) Векторная форма задания:
г = r(u,v) = («cosco + bcosv)h(u) + (osinco + bsinv)A:, где h = h(ii) = icosu + /sinu.
2) Параметрическая форма задания (рис.2-4):
х = х(и, v) = (a cos а + bcosv) cos и, у = y(n,v) = (ci costs + b cos v)sin и, z = z(u, v) = a sin ft)+ b sin v.
Рис. 2 Рис- 3
Ha рис. 3 показана циклическая поверхность, имеющая следующие геометрические пара-
метры: а =10; b = 2; р =1/2; -л < v < я; ~2л < и < 2л.
Поверхность, изображенная на рис.4, построена для а =10; b = 2; р = 2
- тг < v < я; - л< и < л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = а1 р2 + (a cos ft) + bcosv)2, B = b, F = abpcos(y — ft)),
A2 B2 - F2 = [a cos ft) + bcosv]2 + a2 p2 sin2 (v- ft)),
L = — {2a2 p2 sin &)cos(v - ft)) +(a cos ft) + b cos v~)[ap2 cos(v — ft)) +
+ (a cos ft) + b cos v)cos v]}/7A2b2 - F2 ,
M = —ftbpsinvcosv/VA2b2 - F2, N = - b(a cos ft) + bcosv)/-J A2b2 - F1.
Поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных координатах и, v.
292
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ОКРУЖНОСТЯМИ
В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА И С ПЛОСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
Для описания циклических поверхностей с окружностями в плоскостях пучка и с плоской
линией центров можно воспользоваться формулами раздела «Циклические поверхности с ок-
ружностями в плоскостях пучка», положив в них z(u) = 0, 77(и) = 0, со = г. В этом случае, вектор-
ное уравнение циклической поверхности с плоской линией центров будет
г(и,у) = p(u)h(u) + R(ii)e(u,v),
где г(и,у) - радиус-вектор циклической поверхности; р(и)Л(и) - проекция радиус-вектора линии
центров образующих окружностей на плоскость, перпендикулярную фиксированной прямой
пучка плоскостей; R(u) - радиус образующих окружностей; Л(и) - вектор-функция окружности
единичного радиуса в плоскости, перпендикулярной фиксированной прямой пучка (рис. 1);
е(и,г) - вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскостях пучка.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 - р'2 + 7?'2 + (p + 7?cosy)2 + 2//7?'cosv, В = R, F = -Rp'sinv, где ...' = д.../ди;
(А2В2 - F2) / R2 = ip2 = (р + Fcosv)2 + (p'cosv + 7?')'
L - —{[(р+ Rcosv -р") cosy - /?"](/?+ 7?cosv)+ 2[p' + 7?/cosv](//cosv + A1')},
7?(p,cosv + 7?')sinv R(p+ Rcosv)
M =---------------------, N =-------------.
V
Точки 1 и 2 образующих окружностей описывают в плоскости линии центров две кривые с
гфи) = р(и) - R(u) и >2(и) - р(и) + R(u), см. рис. 1,
где р(и) - расстояние от полюса О до линии центров обра-
зующих окружностей, R(u) - радиус образующих окружно-
стей. Полюс О - точка пересечения фиксированной прямой
пучка плоскостей с плоскостью линии центров образующих
окружностей. Контурные кривые с ri(u) и г2(и) можно при-
нимать за направляющие циклических поверхностей с пло-
ской линией центров (рис. 1).
Векторное уравнение циклической поверхности с направ-
ляющей кривой с rt(u) имеет вид
г(и,у) = Г1(и)й(и) + 2R(u)cosve(u,v),
где 2cosve(«,v) - полярное уравнение окружности единичного радиуса с началом координат на
окружности в точке 1 (рис. 1); у = у 12; —тг/2 < у < тг/2.
Коэффициенты основных квадратичных форм:
A2 = r,'2 + 4R'(r'+R')cos2v + (p+2Rcos2v)2, F = -27?(r,'+ R') sin2v, B=2R,
(A2 В2 - F2) / R2 = r/2 -4(rt'+ R')(.i\ sm2 v-7?'cos2 v)cos2 у + (Г] + 2Fcos2 y)2,
L = {(л; + 27? cos2 v)[(r! +27? cos2 у — r,')cos2v — 27?" cos2 v] +
+ 2(r1' + 2/?'cos2 v)(r|'cos2y + 27?'cos2
i , , \sin2v 4/?(r,+27?cos2 v)
M = -27?(r. cos2v + 27? cos2 vl---, N =------------------.
293
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ
В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА И С ПЛОСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
В ВИДЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ СПИРАЛИ
Циклическая поверхность с образую-
окружностью в плоскостях пучка и с
плоской линией центров в виде логариф-
ff мической спирали
W М х = х(и) = ae'"“cosu, у = у(и) = ae"'“sinu
W ЖЖ л
ЙЕЗ<^ образовывается при движении окружно-
ста постоянного радиуса вдоль логариф-
Рис 9 мической спирали (рис. 1; рис. 2). При
этом центр окружности скользит по на-
правляющей логарифмической спирали, а сама окружность все время остается в плоскостях,
проходящих через координатную ось Oz, которая принимается за фиксированную прямую пуч-
ка плоскостей.
Рассматриваемая циклическая поверхность является частным случаем круговой спиральной
поверхности с образующей окружностью постоянного радиуса, лежащей в плоскостях пучка
(см. «Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка»). Поверхность может
быть причислена как к классу циклических поверхностей, так и к классу спиральных поверхно-
стей (см. «Спиральные поверхности»).
Форма задания циклической поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) - (ае""‘ + г cosv) cos и, у = y(w,v) = (ае’"" + г cosv) sin и, z = z(v) = rsin v,
где г - радиус образующих окружностей, пит- константы, - °° < и < <*>; 0 < v < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = а2е2""‘т2 + (ае""' + rcosv)2, F = -amre"'“ sinv, В = г,
А2В2 - F2 = a2m2r2e2"'“ cos2 v + г2 (ае'"“ + rcosv)2,
— rcosv г , , 1 amr2e'“" sinvcosv
L= r-— ——|(ae +rcosv)~+am~e (ae”'“ - rcosv)], M =---, =—,
VA252-F2 VA2B2-F2
- r2(ae""‘ + rcosv) L (ae""‘ + rcos v)
N =---1 =—, k„ = -~y, k,, = -—i =^.
Ja2b2-f2 a- 7a2b2 -f2
Циклическая поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволиней-
ных координат и, V. Плоские координатные линии v = 0 и v = л, лежащие в сечении поверхности
плоскостью z = 0, будут линиями кривизны. Координатные линии v = const — плоские логариф-
мические спирали, координатные линии и = const - образующие окружности радиусом г.
На рис. 1 циклическая поверхность с геометрическими параметрами а = 0,57 м; т - 0,12; г =
1 м; Зл < и < 8тг, не имеет точек самопересечения, а на рис. 2 циклическая поверхность с гео-
метрическими параметрами а = 0,5 м; т = 0,089; г = 1 м; Зл < и < 8я, пересекает саму себя.
Дополнительная литература
1. Manselli Р„ Pucci С. Risultati di unicita per curve evolute ed evolventi di se stesse// Boll. Unione mat. ital. A. -
1991. - 5, № 3. - P. 373-379.
294
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ
В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА И С ПЛОСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
В ВИДЕ СПИРАЛИ АРХИМЕДА
Циклическая поверхность с образующей окружностью в плоскостях пучка и с плоской ли-
Рис. 1
нией центров в виде спирали Архимеда
р = а(р, или л' = х(ур) = асрсеыр, у = у(ср) = a^sin^
образовывается при движении окружности постоянного радиуса
3вдоль спирали Архимеда (рис. 1). При этом центр окружности
скользит по направляющей спирали Архимеда, а сама окружность
все время остается в плоскостях, проходящих через координатную
ось Oz, которая принимается за фиксированную прямую пучка
плоскостей.
Форма задания циклической поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х= x(<p,v) - (аср + г cos v) cos <р, у = y((p,v) = (а<р + rcosv)sin^, z = z(v) = rsinv,
где г - радиус образующих окружностей, а - константа, 0 < ^ < °°; 0 < v < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 =а~ + <щ(р +rcoscp)2, F = -arsinv, В = г, А2В2 - F2 = r2\a2 cos2 v + (аср + rcosv)2],
-rcosv г , «r2sinvcosv г2 Цкр + rcosv)
L= ,— 2д~ + (де> +rcosv)- , M = —/= -, N = ——, — ,
<А2В2-Г2 yA2B2-F2 ^A2B2-F2
L (a <p + rcosv)
= A7’ k'’ = ~^A2B2-F2 '
Циклическая поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволиней-
ных координат <р, V. Плоские координатные линии v = 0 и v = л, лежащие в сечении поверхности
плоскостью z = 0, будут линиями кривизны. Координатные линии v = const - плоские неоиды,
координатные линии и = const - образующие окружности радиусом г.
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩИМИ
ОКРУЖНОСТЯМИ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА И С ПЛОСКОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ,
ПОСТРОЕННАЯ ВОКРУГ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
Рис. 2 Рис. 2
Циклическую поверхность с образую-
щими окружностями переменного радиу-
са и с плоской линией центров, построен-
ную вокруг кругового цилиндра, можно за-
дать параметрическими уравнениями:
х = х(и, v) = [7? + аи(1 + cos v)] cos и,
у = у(и,v) = [7? + аи(1 + cosv)]sinw,
Z = z(v) = awsinv,
где аи = г(и) - закон изменения радиуса
образующих окружностей, лежащих в плоскостях пучка, проходящих через фиксированную
прямую (координатную ось Oz); R - постоянный радиус внутренней круговой области (рис. 2),
очерчиваемой точкой образующей окружности с криволинейной координатой v = л; 0 < v < 2л;
0<и<°°. Рассматриваемая циклическая поверхность имеет плоскую линию центров:
х = х(и) = (7? + аи) cos и, у = у(и) = (R + au) sin и, z = 0.
295
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С ОКРУЖНОСТЯМИ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ
Циклическая поверхность с окружностями в плоскостях
пучка и с прямой линией центров образовывается окружно-
стью постоянного радиуса при движении ее центра по пря-
мой линии. Причем окружности должны оставаться все вре-
мя в плоскостях пучка, проходящих через фиксированную
прямую, которая перпендикулярна прямой линии центров.
Формы задания циклической поверхности-
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(n,v) = (а / cosn + rcosv) sin и, у = y(u,v) = г cos vcos и,
z = z(v) = rsin v,
где г - постоянный радиус образующих окружностей, а -
кратчайшее расстояние от прямой линии центров образую-
щих окружностей до фиксированной прямой пучка, которая параллельна координатной оси Oz;
О < v < 2тг; ~л12<и<л1'2.
Фиксированная прямая проходит через точку с координатами (0; -л; 0).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, а~ 2arcosv , , arsinusinv
А”----7—I----------+ r"cos v, F = ------т---, В = г,
cos и cosh cos" и
А2 В2 -F2 = г2
а
-----1- rcosv
COSH
a2 sin" и cos" v
cos4 и
r~ cos" v Г a 2a sin" и
L = г — = r cos v +-----------------5—
ф A2B2 ~ F2 V cosh cos и .
r*a sinv cosv sin и
cos2 u4A2 B2 - F2
A2B2
I a
= -----1- rcosv
_ p2 kcosw
Поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволинейных координат
и, V, На рис. 2 показана циклическая поверхность с прямой линией центров при г < | а
0< v < 2л:; -л:1А<и<л1А. При а = 0 поверхность становится сферической. Координатные
линии и = 0, v = 0hv = tt являются линиями кривизны.
2) Неявная форма задания: х2у2 = (а + у)2(г2 - у2 - г2).
Рассматриваемая циклическая поверхность симметрична относительно координатных
плоскостей yOz и хОу.
В сечениях поверхности плоскостями х = d = const (рис. 1) будут лежать замкнутые кривые
(а + у)
симметричные относительно координатной оси Oz. В сечениях рассматриваемой поверхности
плоскостями у - с = const, с< г, (рис. 1) будут лежать эллипсы
2 2 2
= 1.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка и с прямыми направляю-
щими// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. научных трудов. - М.: Изд-
во РУДН, 2004. - Вып. 13.-С. 8-13.
296
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОКРУЖНОСТЯМИ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА,
С ПРЯМОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ И ФИКСИРОВАННОЙ ПРЯМОЙ ПУЧКА,
ЛЕЖАЩИМИ ПО РАЗНЫЕ СТОРОНЫ ОТ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ ЦЕНТРОВ
Циклическая поверхность с окружностями в плоскостях пучка, с прямой направляющей и
фиксированной прямой пучка, лежащими по разные стороны от плоской линии центров, обра-
зовывается окружностью постоянного радиуса при дви-
жении ее точки, наиболее удаленной от фиксированной
прямой пучка, по прямой линии. Причем окружности
должны оставаться все время в плоскостях пучка, про-
ходящих через фиксированную прямую, которая пер-
пендикулярна направляющей прямой (рис. 1).
Формы задания циклической поверхности
1) Параметрическая форма задания:
X = Л'(щг) =
а
-----r(l-cosv) sin и,
cos v
у = y(«,v) = r(l-cosv)cosu, z = z(v) = rsinv,
где г - постоянный радиус образующих окружностей; а -
кратчайшее расстояние от направляющей прямой для
образующих окружностей до фиксированной прямой
пучка, параллельной координатной оси Oz (рис.1); 0 < у < 2 Д’; - л !2 <и <71! 2 . Направляющая
прямая совпадает с координатной осью Ох (рис. 1).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
бГ
cos4 и
2ar(l-cosv) , ,
------------+ r'(l-cosv)' =
cos и
"12 э . 2
а . ci sm и
--------/•(!- COSV) +-----------------;-----,
COS И COS LI
яг sin u sin v
COS2 Li
\ 2 2-2 2
a j a sm и cos v
-----r(l-cosv) +----------4-----
.COS U J COS Li
r1 cosv(l — cosv)
L ^A2B2 -F2
a 2asin" и
— r (1 — cos v) 5-
cos и----------------------cos и
Vasin vcos vsin и
cos2 u^A2B2 -F2 ’
- r~ a
N = , = ---------- r(l - cos v)
фА2В2 -F2 Lcosa
Поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволинейных координат
и, v. На рис. 2 показана циклическая поверхность при 0 < v < 2тг, — я/4<и<я/4. Криволи-
нейная координата и - 0 совпадает с образующей окружностью и лежит в плоскости симметрии
(х = 0) циклической поверхности. Криволинейная координата v = 0 совпадает с прямой направ-
ляющей циклической поверхности. Координатные линии v = 0 и v = п лежат в другой плоско-
сти симметрии (плоскость z = 0) циклической поверхности.
2) Неявная форма задания:
Vy2[.Vy2 +2(a —у)2(у2 +z2 -2г2)] + (а - у)4[(у2 + z2) - 4г2у2] = 0.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка и с прямыми направляю-
щими// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. научных трудов. - М.: Изд-
во РУДН, 2004. - Вып. 13.-С. 8-13.
297
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОКРУЖНОСТЯМИ В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА,
С ПРЯМОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ И ФИКСИРОВАННОЙ ПРЯМОЙ ПУЧКА,
ЛЕЖАЩИМИ ПО ОДНУ СТОРОНУ ОТ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ ЦЕНТРОВ
Рис. 2
Циклическая поверхность с окружностями в плоско-
стях пучка, с прямой направляющей и фиксированной
прямой пучка, лежащими по одну сторону от плоской
линии центров, образовывается окружностью постоян-
ного радиуса при движении ее точки, наиболее при-
ближенной к фиксированной прямой пучка, по прямой
линии. Причем окружности должны оставаться все
время в плоскостях пучка, проходящих через фиксиро-
ванную прямую, которая перпендикулярна направ-
ляющей прямой и плоскости, в которой лежит эта на-
правляющая прямая и плоская линия центров обра-
зующих окружностей (рис. 1).
Формы задания циклической поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) =
------1- r(l + cost)
cos и
sin и, у = y(u,v) = r(l +cosv) cos w,
= z(v) = rsinv,
где г - постоянный радиус образующих окружностей; а - кратчайшее расстояние от направ-
ляющей прямой для образующих окружностей до фиксированной прямой пучка, параллельной
координатной оси Oz; 0 < v < 2л; -я72<и<л72. Направляющая прямая совпадает с коорди-
натной осью Ох (рис. 1).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, a' 2ar(l + cosv) , , arsini/sinv
А2 =----— +-----2--------- + г2 (1 + cos v)2, F = --5----, В =
cos и cosu cos' и
a2 sin2 и cos2 v
а
-----+ r(l + cosv)
cos и
А2 В2 - F2 = г2
cos и
г2 cosv(l + cosv)
L Ja2B2-F2
r2«sinvcosvsinw
M = -------======, N =
cos2 u^A2B2 -F2
а
r(l + cosv)-l--------
cos и
1
2а sin2 и
cos и
, ' = ---------+ г(1 + cos v) .
ФА2 В2 - F2 Lcosw J
Поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволинейных координат
и, V. На рис. 2 показана циклическая поверхность с прямой линией центров при 0 < v < 2л;
-я/4<и<л/4. При а - 0 поверхность становится закрытым круговым тором (см. «Поверх-
ности вращения»). Координатные линии v = 0, v = л и и = О являются линиями кривизны.
2) Неявная форма задания: х2у2 +(я + у)2 (г2 + у2 -2г2) = 2г(а + у)2х/г2 - г2.
Координатные плоскости х = 0иг = 0- плоскости симметрии циклической поверхности.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка и с прямыми направляю-
щими// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. научных трудов. - М.: Изд-
во РУДН, 2004.-Вып. 13.-С. 8-13.
298
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОКРУЖНОСТЯМИ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА
В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА И С ТРЕМЯ ПРЯМЫМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
НАПРАВЛЯЮЩИМИ ЛИНИЯМИ
Рис. 2
Циклическая поверхность с окружностями переменного
радиуса в плоскостях пучка и с тремя прямыми параллель-
ными направляющими линиями образовывается окружностя-
ми переменного радиуса при условии, что их центры лежат
на прямой направляющей. Прямые линии, соединяющие точ-
ки, наиболее удаленные от фиксированной прямой и наибо-
лее приближенные к ней, параллельны линии центров. Ок-
ружности должны оставаться все время в плоскостях пучка,
проходящих через фиксированную прямую, которая перпен-
дикулярна плоскости, в которой лежит три направляющие
параллельные прямые (рис. 1).
Формы задания циклической поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
л = х(и,v) = (а + rcosv)tgu, у = y(v) = rcosv, z = z(u,v) = rsinv/cosu,
где r - минимальный радиус образующей окружности, лежащей в плоскости х = 0; а - кратчай-
шее расстояние от прямой линии центров до фиксированной прямой пучка, параллельной коор-
динатной оси Oz; 0 < v < 2тг; - л / 2 <и < л / 2 . Прямая линия центров образующих окружно-
стей совпадает с координатной осью Ох (рис. 1). Радиусы R образующих окружностей вычис-
ляются по формуле: R = R(u) - r/cosu.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2 (а + rcosv)2 + г2 sin2 vsin2 и ar sin и sinv г
А2 = --------------j------------, F = ---------3---, В =-----
cos и cos и cos и
А2 В2 - F2 =----7— (а + rcosv)2 + (г2 - а2) sin2 vsin2 и I,
cos и
г2 sin2 v(a + rcosv) г2 (г + acosv) sin vsinи г2 (а + rcosv)
L = ----, =-, М = ------, =—, N ------ -------=,
cos3 иф А2 В2 - F2 cos4«VA252-F2 cos3 u^A2B2 - F2
(<7 + rcosv) -r4sin2v Г , , 9 0 1
k =------1..., . ==, K =---z - о-----. , о (a + rcosv) cos" и + (r + acosv)" sin" и < 0.
cosuVA-В2 - F cos w(A 5"-F")" 1
Поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволинейных координат
и, V. На рис. 2 показана циклическая поверхность с тремя прямыми направляющими линиями
при 0 < v < 2л; -л/4<и<л/4. Координатные линии v = 0, v = л и и = 0 являются линиями
кривизны. Рассматриваемая циклическая поверхность является поверхностью отрицательной
гауссовой кривизны (К < 0). Только вдоль координатных линий v = 0 и v = л расположены па-
раболические точки (К = 0).
2) Неявная форма задания: х2(г2 - у2) -(а + y)2(z2 + у2 - г2) = 0.
Координатные плоскости х = 0 и z = 0- плоскости симметрии циклической поверхности. В
сечении поверхности плоскостью у = 0 лежат две ветви гиперболы -x2/a2 + z2/r2 = 1.
Дополнительная литература
Г. Кривошапко С.Н. Циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка и с прямыми направляю-
щими// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. научных трудов. - М.: Изд-
во РУДН, 2004. - Вып. 13. - С. 8-13.
299
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Циклические поверхности вращения образовываются вращением произвольно расположен-
ной окружности относительно оси вращения. Плоские сечения этих поверхностей - бицирку-
лярные эллиптические и рациональные кривые четвертого порядка, имеющие исключительно
важное значение в технике [1]. Наиболее интересными являются плоские сечения с двумя вза-
имно перпендикулярными осями симметрии. Например, на торе - это сечения Персея. Каждой
циклической поверхности вращения общего вида можно подобрать некоторый органически с
ней связанный параболоид вращения, называемый параболоидом Персея. Всякая плоскость, ка-
сательная к параболоиду Персея, пересекает циклическую поверхность вращения по кривой,
имеющей две взаимно-перпендикулярные оси симметрии. Такие кривые называют сечениями
Персея [3].
Векторное уравнение линии центров образующих окружностей: bh(u) = bdcosu + J sin к),
где b - радиус линии центров. Положение образующей окружности определяем с помощью уг-
лов Эйлера: 9- угол между вектором /г(и) и следом пересечения плоскости с образующей ок-
ружностью радиусом а и координатной плоскости хОу (угол поворота вокруг оси Oz); со - угол
между плоскостью с образующей окружностью и осью вращения.
Формы задания циклических поверхностей вращения
1) Векторная форма задания: г =r(ii,v) = bh(u) + ae(u.,v), где р(и) = -isinu + jcosu,
e(u, v) = /z(cos в cos v - sin 9 sin co sin v) + p(si n 9 cos v + cos # sin (0 sin v) + /с cos co sin v.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-3): z(w, v) = acosfijsin v ;
x(ii, v) = bcosu + a[(cos#cosv - sin# sin ю sin v)cosu - (sin#cos v + cos#sin 69 sin v)sin«];
y(u, v) = hsm и + o[(cos#cosv -sin#sinft)sin v)sirm + (sin#cos v + cos # sin ta sin v)cos«].
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Е = b2 + 2<7#(cos#cos v - sin9sin easin v) + a2 (1 - cos2 <z>sin2 v}, G = b2;
F = -a#(sin#sinv-cos#sin69cosv) + a2 sinca;
L = [b(sin # cos v + cos #sin co sin viT, + (b cos # + a cos v)cos co\l a;
M =a[-(#cos# + flcosv)sin&) + Z?(sin#cosv + cos#sin&)sinv)sinv]cosffl/c;
N = -a(b cos 9 + a cos v)cos col a;
7) = -[#sin # + a(cos co - 2sin ta)sin v]cos CO;
T2 = -#(cox#cosv-sin#sina>sinv)-a(l-cos2 ©sin2 v);
cr2 = Z?2 (sin#cos v-l-cos#sin easin v)2 +(#cos# +acosv)" cos2 co.
22Й При # = co = 0 циклическая поверхность вращения вырождается в кру-
Wговой тор (рис. 1). .
Дополнительная литература
1. Асеев В.И., Асеев В.В. Циклические поверхности вращения. - Материалы научи.-
техн. конф. Новомоск. фил. Моск, хим.-технол. ин-та. - Новомосковск, 6-11 февр. 1984,
Рис. 2 (0- 0) ч з _ м , 1984. _ С. 174-178. - Библ.: 4 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 28 ноября 1984., №
7581-84 Деп.
2. Асеев В.И., Асеев В.В. Графическое решение задачи Вилларсо для циклических
поверхностей вращения. - Материалы научи.-техн. конф. Новомоск. фил. Моск, хим.-
технол. ин-та. - Новомосковск, 6-11 февр. 1984, ч. 3. - М., 1984. - С. 179-184. - Библ.: 2
назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 28 ноября 1984., № 7581-84 Деп.
3. Асеев В.И., Асеев В.В. Обобщенные сечения Персея циклических поверхностей
вращения. - Материалы научн.-техн. конф. Новомоск. фил. Моск, хим.-технол. ин-та. -
Новомосковск, 6-11 февр. 1984, ч. 3. - М., 1984. - С. 191-194. - Библ.: 3 назв. - Рук.
деп. в ВИНИТИ 28 ноября 1984., № 7581-84 Деп.
300
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ, ОСЬ ВРАЩЕНИЯ КОТОРОЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНА ПЛОСКОСТЯМ С ОБРАЗУЮЩИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ
6 = 2; а=1; 0=л/2;
b = 2; а= 1; в=п/6 Ь = Г, а = 1; 6= л/3 0<и<2ж; 0<и<л\ 0<u<l,5tf
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Циклическая поверхность вращения, ось врагцения которой параллельна плоскостям с об-
разующими окружностями постоянного радиуса а, является частным случаем циклических по-
верхностей вращения при со = 0 (см. раздел «Циклические поверхности вращения»).
Формы задания циклической поверхности вращения (с со = 0)
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = bh(u) + ae(u,v), где
e(u,v) = hcosffcosv + psin^cosv + Zcsinv ; p(u) = -isinu + j cos и .
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-3): z(w, v) = a sin v ,
х(и, v) = 6 cos и + fl[cos0cosz< -sin0sinu]cos v, y(u, v) = b sin и + «[cos#sin и + sin(?coszz]cos v.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности можно получить из общих фор-
мул, приведенных на странице «Циклические поверхности вращения», приняв в них со = 0.
Поверхность, показанную на рис. 3, а, иногда называют циклической поверхностью враще-
ния '«Обручальное кольцо». Поверхности, представленные на рис. 3, б, в, называют «Браслет».
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ,
ОСЬ ВРАЩЕНИЯ КОТОРОЙ ПЕРЕСЕКАЕТ ПЛОСКОСТИ
С ОБРАЗУЮЩИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ ПОД ПОСТОЯННЫМ УГЛОМ
ш=п/У, а>=л/Ь\ аз-л/ь ц = 2; а = 1; т= тЛ
Рис. 4 (6 = 2; а = 1) Рис. 5 (пластинка)
Циклическая поверхность вращения, ось вращения которой пересекает плоскости с обра-
зующими окружностями под постоянным углом со = const, является частным случаем цикличе-
ских поверхностей вращения при 0 = 0 (см. раздел «Циклические поверхности вращения»).
Формы задания циклической поверхности вращения (с 0 = 0)
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = bh(u) + ae(u,v), где
е(и,г) = hcosv + psin®sinv + A:cos®sinv; р(и) = -isinu + j cos и.
2) Параметрическая форма задания (рис. 4-5): z(u,v) = a cos®sin v ;
x(u, v) = ft cos и -I-л [cos vcos и - sin® sin vsin w]; y(u, v) = b sin и + a[cos vsin и + sin® sin vcos и].
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности можно получить из общих фор-
мул, приведенных на странице «Циклические поверхности вращения», приняв в них 0 = 0.
301
ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Односторонние и двусторонние поверхности - два типа поверхностей, различающихся по
способу их расположения в пространстве. Более точно односторонние и двусторонние поверх-
ности - два-типа многообразий, различающихся способом вложения их в объемлющее про-
странство. Например, цилиндр представляет собой двустороннюю поверхность, а лист Мёбиуса
- одностороннюю, несмотря на то, их физические модели можно изготовить из одной и той же
вытянутой прямоугольной полоски. Характерное отличие этих поверхностей - граница цилинд-
ра состоит из двух кривых, а граница листа Мёбиуса - из одной кривой.
Двусторонность и односторонность связаны с ориентируемостью и неориентируемостью,
но в отличии от последних не являются внутренними свойствами поверхности и зависят от объ-
емлющего пространства. Современный взгляд на ориентацию дается в рамках обобщенных тео-
рий когомологий. В классическом случае ориентация - выбор одного класса систем координат,
связанных между собой положительно в некотором определенном смысле.
Пусть вдоль замкнутой кривой на гладкой поверхности, погруженной в некоторое про-
странство, обносится нормальный вектор так, чтобы он оставался нормальным. Если при воз-
вращении в исходную точку направление нормали совпадает с исходным независимо от выбора
кривой, то поверхность называется двусторонней, в противоположном случае - односторонней.
Д. Гильберт считает, что всякая односторонняя замкнутая поверхность должна пересекать
саму себя. Не существует замкнутых двусторонних поверхностей четной связности. В то время
как замкнутые односторонние поверхности бывают с четной и нечетной связностью. На замк-
нутой /z-связной поверхности можно провести h - 1 замкнутых кривых не разбивающих по-
верхность, но всякая система, состоящая из h подобных кривых, непременно разбивает поверх-
ность. Модель проективной плоскости получают из шаровой поверхности. Вообще, со. всякой
односторонней поверхностью можно привести в соответствие некоторую двустороннюю по-
верхность. Доказано, что для произвольной односторонней поверхности существует двусто-
ронняя поверхность, являющаяся для первой поверхности двулистной накрывающей поверхно-
стью.
Простейшей односторонней поверхностью является лист Мёбиуса и гептаэдр, который со-
гласно теореме Эйлера о многогранниках является двусвязным. Листу Мёбиуса посвящены две
гравюры голландского художника М.К. Эшера. О. Roeschel построил механизм Мебиуса, ис-
пользуя свойства физической модели ленты Мебиуса без самопересечений. Модель составлена
из плоских пластин. Он установил, что не все существующие физические модели ленты Мебиу-
са могут быть использованы в качестве базовой формы для создания его механизма. Гептаэдр
строится на основе правильного октаэдра с добавлением трех квадратов, расположенных в
трех плоскостях, определяемых диагоналями октаэдра. Затем удаляются четыре треугольника:
по два на верхней и нижней половине. Полученная фигура будет иметь семь граней, двенадцать
ребер и шесть вершин. Гептаэдр имеет связность h = 2. Его можно деформировать в римскую
поверхность (см. «Римская поверхность»).
Действительная проективная плоскость есть неориентируемая поверхность, также как по-
верхность Боя, лист Мебиуса, бутылка Клейна, скрещенный колпак и римская поверхность. Все
они гомеоморфны действительной проективной плоскости.
Дополнительная литература
1. Gray A. Modem Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica: 2nd ed. - Boca Raton. FL: CRC
Press.- 1998,- 1053 p.
2. BanchoffT. Differential Geometry and Computer Graphics// Perspectives of Mathematics: Anniversary of Oberwol-
fach. - Ed. W. Jager, R. Remmert, and J. Moser. - Basel, Switzerland: Birkhauser, 1984.
3. Эшер М.К. Графика. - Taschen / Арт-Родник. - Предисловие и аннотации художника. - 2001. - 96 с.
4. Roeschel Otto. New model of moveable polyhendra// The 10'h International Conference on Geometry and Graphics.
- Vol. 1. - Jily 28-August 2, 2002, Kyiv, Ukraine. - Kyiv, 2002. - P. 127-131 (библ.: 20 назв.).
302
ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ОДНОСТОРОННЯЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (ЛИСТ МЕБИУСА)
Лента закрученная один раз, называется лентой Мебиуса, или листом Мебиуса. В отличии
от своей модели, лист Мебиуса не имеет толщины. Лист Мебиуса - неориентируемая поверх-
ность, у которой эйлерова характеристика равна нулю, а край представляет собой замкнутую
линию. Неориентируемость листа Мёбиуса означает, что если внутри листа будет двигаться
плоская несимметричная фигура, то, вернувшись в исходную точку, эта фигура превратится в
свое зеркальное изображение. Попытка окрасить только одну сторону листа Мёбиуса обречена
на неудачу. Лист Мебиуса в евклидовом пространстве Е3 является односторонней поверхно-
стью. Лист Мебиуса был рассмотрен независимо друг от друга А. Мёбиусом и И. Листингом в
1858-65 годах. Возле Музея науки и техники в Вашингтоне вращается на пьедестале стальная
лента Мебиуса. Если разрезать лист Мебиуса вдоль его оси, то получится ориентируемая лента,
закрученная на 2д. Если же разрезать полученную ленту еще раз вдоль оси, то получатся две
ленты, зацепленные в Е3. Нельзя реализовать лист Мёбиуса в виде гладкой поверхности всюду
положительной кривизны.
М.Я. Громов разработал конструкции односторонних развертывающихся поверхностей, на
которых намечены отсеки, подобные листу Мёбиуса, ограниченные замкнутыми геодезически-
ми линиями, которые при развертке переходят в общем случае в параллельные стороны равно-
бочных трапеций, а в частном случае - в параллельные стороны прямоугольников. Лист Мё-
биуса должен быть замкнутой регулярной системой торсов, а его кромка должна пересекать
дважды каждую из образующих системы торсов.
Формы задания листа Мёбиуса
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x[t,(p) = [1 + rsin(^/ 2)]cos<^, у = y(t,cp) = [1 +1 sin(^>/ 2)] sin 9?,
z = z(t,cp) = rcos(^>/2).
При -1 / 4 <t <114 отображение листа Мёбиуса в трехмерное
пространство является вложением. Лист Мёбиуса бесконечной ши-
рины с плоской метрикой в Е3 не вкладывается.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, г2 ( ср}2 -1 1 (О t1 ( ср'
А = 1, F = О, В = — + 1 + Гsin— , L = О, М = —, N =— cos- — + 1 + rsin-
4 I 2> 25 5 2 2 V 2>
N
2B- '
H =
K =
2) Параметрическая форма задания эллиптического в плане листа Мёбиуса:
[ ср} / ср}
х = x(t,cp) = +1sin—J cos^, у = y(t,cp} = + rsin—J sinp, z = z(t,cp) = t
<Р
COS —.
2
3) Неявная форма задания [4]: y(x2 + у2 + z2 - a2) - 2z(.r + y2 + ax) = 0 для листа Мёбиуса на
круглом плане.
Дополнительная литература
I. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. - М.: Изд-во
Моск, ун-та, 1992.-620 с.
2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Изд-во Московского
университета, 1980.-439 с.
3. Эшер М.К. Графика. -Taschen/ Арт-Родник. - Предисловие и аннотации художника. - 2001.
4. Dedonder Willy. La surface de Moebius ... une bande a part// Industries et sciences. - 63. - №2. - 1987. - P. 2-8.
5. Громов М.Я. К геометрии односторонних развертывающихся поверхностей// Вопросы начертательной гео-
метрии и инж. графики. - Ташкент: Таш. ин-т инж. железнодорожного транспорта, 1963. - Вып. XXVI. - С. 21-34.
303
ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
СКРЕЩЕННЫЙ КОЛПАК
Скрещенный колпак является односторонней поверхностью. Скрещенный колпак представ-
ляет модель мебиусовой поверхности, имеющую круговую границу. Несмотря на односторон-
ность, скрещенный колпак, очевидно, может служить крышкой сосуда. Это возможно потому,
что эта поверхность обладает линией самопересечения. Если разрезать скрещенный колпак
вдоль линии самопересечения, то можно получить путем соответствующей деформации круг с
четырехугольной или круглой дырой. Рассматриваемая модель проективной плоскости имеет
две особые точки, а именно две конечные точки линии самопересечения. Бой построил другую
модель проективной плоскости, которая не имеет особых точек и искривлена повсюду (см.
«Поверхность Боя»),
Формы задания поверхности скрещенного колпака
1) Поверхность с особенностями, параметрически задаваемая уравнениями (рис. 1):
х = x(J),(p) = (1 + cos2(9) cos2(р, у = у{в,(р) - (1 + cos2#)sin2</>, z = z(O,<p~) = sin26*sin^,
где - л 12 < 0< я / 2; 0<^<2лг, является одной из моделей проективной плоскости. Если от
этой модели проективной плоскости от-
резать плоскостью небольшой диск, то
оставшаяся часть будет скрещенным
колпаком.
Линия самопересечения колпака со-
ответствует <р = 0. Точками пинча явля-
ются точки (О,ср) = (0;0) и в = тг/2 (рис. 1).
2) Неявная форма задания:
-0.5
COS0COS4?
Рис. 1
где кх Ф к2.
3) Параметрическая форма задания:
--------------------------„ cos^sin®
х = х(в, <р) ~---i-----i—, у = у(0. <р) = 2---------5—,
к, cos’ <р+ к2 sin’ tp kxcos <p + k2sin <р
1 + sin 6*
Z = z(f), (р) = -;--———, кх * к2.
кх cos’ (р + к2 sin’ <р
°Приведенные формулы задают
гладкую регулярную параметри-
зацию вне особых точек. На рис.2
показана часть скрещенного кол-
пака, построенная в границах
Ад = 2. На рис. 3 изображена дру-
гая часть скрещенного колпака,
Рис-4 здесь ki = 1; ki = 2, 0<3<л;
Q<(p< к. Часть поверхности скрещенного колпака, ограниченная
пределами -л!2<0<л12, показана на рис. 4.
Дополнительная литература
I. Cray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica: 2“J ed. - Boca Raton, FL: CRC
Press. - 1998.-1053 p.
304
ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
РИМСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Моделируя или рисуя римскую поверхность, необходимо помнить, что она помещается
внутри тетраэдра, соприкасаясь с каждой из его граней по окружности. Возле этих четырех ок-
ружностей кривизна поверхности меняет знак. В окрестности точки положительной кривизны
поверхность изогнута в одну сторону от своей касательной плоскости. В точке отрицательной
кривизны поверхность пересекает свою касательную плоскость.
Коффман относит римскую поверхность к первому из 10 типов поверхностей Штейнера.
Центральная точка римской поверхности - обыкновенная тройная точка с координатами
(±1,0,0) = (0,±1,0) = (0,0,±1). Шесть конечных точек трех линий самопересечений являются осо-
быми точками пинча.
Формы задания римской поверхности
1) Неявная форма задания: х1 + у2 + z2 + 2ху -2xz~2yz = (x + y~z)2 SO.
2) Неявная форма задания: y2z2 + z2x2 + х2у2 + 2kxyz = 0.
3) Неявная форма задания:
Рис. 1
4) Параметрическая форма задания (рис. 1):
1 , 1
х = х(и,у) = — sin2«sin v, у = y(u,v~) — —sin«cos2v,
1
z = z(m,v) = ycosMsin2v,
5) Римскую поверхность и поверхность Боя можно задать одними и теми же
параметрическими уравнениями:
Vicos2 0cos2^ + sml(?cos^> Vicos2 #sin2^>-sinl(?sin^>
x = x(cp, в) =--------7=----------------, у = y(g>, 0) =--------r=-------;-------
2 — by2 sin3<psin2<9 2-by2 sin3^sin2$
2
z = z(<p, 0) =-r=---------, - л!2 < m < #72; Q<0<n.
2 - b Vl sin 3g) sin 20
face. - http.7/www.uib.no/people/nfytn/steintxt.htm.
При b = 0 будет получаться
римская поверхность (рис. 2), а
при b = 1 - поверхность Боя (см.
«Поверхность Боя»), Изменяя па-
раметр b от 0 до 1, можно плавно
трансформировать римскую по-
верхность в поверхность Боя.
Дополнительная
литература
1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. На-
глядная геометрия,- М.: «Наука», 1981-
344 с.
2. Nordstrand Т. Steiner’s Roman Sur-
3. Geometry Center: The Roman Surface. - http://www.geom.umn.edu/zoo/toptype/pplane/roman.
4. George K. Francis. A Topological Picturebook. - New York • Berlin: Springer-Verlag, 1987- 1988. - 240 p.
305
ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ КЛЕЙНА
Рис. 1
Наиболее известный вариант бу-
тылки Клейна представляет собой
изогнутую трубу переменного диа-
метра (рис. 1). Более узкий конец
проходит через стенку трубы и выхо-
дит в другое более широкое отвер-
стие трубы, так, чтобы оба гранич-
ных круга расположились концен-
трично. Изгибая широкий.конец трубы внутрь, а узкий - наружу, можно соединить оба конца
трубы так, чтобы не получилось особенностей.
Бутылка Клейна (поверхность Клейна) получается склейкой двух листов Мебиуса по их
Рис. 2
границе. Другими словами, разрезая бутылку Клейна по подходя-
щей окружности, можно получить два листа Мебиуса. Имеется
лемма, что бутылка Клейна гомеоморфна сфере, заклеенной двумя
пленками Мебиуса. Поверхность Клейна является замкнутой одно-
сторонней поверхностью без особых точек. Она топологически
вкладывается в 4-мерное евклидово пространство и не вкладывает-
ся в 3-мерное евклидово пространство. Эта поверхность (рис. 2) -
трехсвязна так же как и тор (h = 3). Поверхность Клейна введена в
рассмотрение Ф. Клейном (F. Klein) в 1874 году.
Формы задания поверхности Клейна
1) Параметрическая форма задания:
и
.... и ] | и и \ ,
х = x(u,v) = уг + cosy sinv — sin у sin 2 vj cosh, у = у (и, v) = |^а + cosy sin v - sin у sin 2 vj sin и,
2
и и
z -z(u,v) = sinysinv + cosysin2v,
0 < и < 2л\ 0 < v < 2л,
где а > 2.
2) Векторная форма задания: г = r(u,v) = (Rx, Ry, Rz), где Rx, Ry, R- - компоненты в декарто-
вых координатах следующей вектор-функции: R(u,v) - Ro(u) + p(n)[ej(«)cosv + ezsinv],
C asin2u''
R0(u)= 0
et(u)
Jo cos и
% sin и '
0 Г~
o. cos2u J1
1 ,p = p(u) = Pu+Pi sin2" (и-и0),
w
где Ci и «2 - единичные векторы, ортогональные R',. Здесь, например, можно положить до = 0,1;
pi = 0,6; а = 0,25; b - 1; ио = 0,3; п = 4; 0 < и < л\ 0 < v < 2л .
Дополнительная литература
1. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Изд-во Московского
университета, 1980. -439 с.
2. Geometry Center: The Klein bottle. - http://www.geom.umn.edu/zoo/toptype/klein.
3. Матвеев В.С. Геодезические потоки на бутылке Клейна, интегрируемые полиномом по импульсам четвер-
той степени// Регулярная и хаотическая динамика. - 1997. - Том 2. - № 2.
4. Матвеев В.С. Квадратично интегрируемые геодезические потоки на торе и бутылке Клейна// Регулярная и
хаотическая динамика. - 1997. - Том 2. - № 1.
5. Болейнов А.В., Фоменко А.Т. Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхно-
стях.-РХД2, 1999.-328 с.
6. Gobel М„ Tramberenil Н., Klimenko S„ Nikitin I. Visualization in topology: assembling the projective plane// Proc,
of Visualization in Scientific Computing Conference, Boulogne-sur-Mer, France, April 1997. - Springer-Verlag, 1997. -
P.95.
306
ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ БОЯ
Поверхность Боя - неориентируемая односторонняя поверхность. Она - одна из трех по-
верхностей, которые получаются пришиванием листа Мебиуса к краю диска. Двумя другими
поверхностями являются скрещенный колпак и римская поверхность. Поверхность Боя - модель
проективной плоскости, которая не имеет особых точек и искривлена всюду непрерывно. Эта
поверхность обладает также трехкратной осью симметрии.
Поверхность Боя имеет всюду непрерывное сферическое изображение. Вследствие одно-
сторонности поверхности Боя всякой точке поверхности при сферическом отображении соот-
ветствует пара диаметрально про-
тивоположных точек шара.
Поверхность можно построить,
совмещая противоположные точки
границы шестиугольника, вырезан-
ного из поверхности шара. Кривая
самопересечения поверхности Боя
состоит из трех петель, проходящих
через одну точку. Через эту же точ-
ку проходят три полости поверхно-
сти (рис. 1). Для того, чтобы эти
три полости имели в одной точке
непрерывную касательную плос-
кость, необходимо и достаточно, чтобы шесть концов петель, сходящихся в этой точке, имели в
этой точке три попарно перпендикулярных касательных.
Поверхность названа в честь Вернера Боя (Werner Boy), открывшего ее в 1901 г. Математи-
ческая модель поверхности Боя размером 2 м х 2 м, построенная студентами из проволоки, на-
ходится в McConnell Hall, Smith College Fhttp://www.math.smith.edu/patela/boysurface/index.html.
Формы задания поверхности Боя
1) Поверхность Боя и римскую поверхность можно задать одними и теми же параметриче-
скими уравнениями:
Д2 cos2 $cos2® + sin2(9cos0 V2cos2 0sin2®-sin2Asin<w
X = х(Д>, 0) = --------7=----------------, у = у {<p, ff) = ------7=-----------------,
2-6V2 sin3^stn2$ 2-6V2 sin3<psin2#
3cos2 в
z = z{m,0) =------t=---------:--, - д/2 < ср < n/2; 0<6<n.
2-6V2 sin 2><psin 26
При b = 0 будет получаться римская поверхность (см. «Римская поверхность»), а при 6=1-
поверхность Боя (параметризация Апери). Изменяя параметр b от 0 до 1, можно плавно транс-
формировать римскую поверхность в поверхность Боя.
Дополнительная литература
1. Гильберт Д„ Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - М.: «Наука», 1981. - 344 с.
2. Apery F. The Boy Surface// Adv. Math. -61. - 1986. - P. 185-266.
3. Apery F. Models of the real projective plane: Computer graphics of Steiner and Boy Surfaces. - Braunschweig,
Germany: Vieweg, 1987.
4. Boy W. Uber die Curvatura integra und die Topologic geschlossener Flachen// Math. Ann., 57. - 1903. - P. 151-184.
5. Brehm U. How to build minimal polyhedral models of the Boy surface// Math. Intell., 12. - 1990. - P. 51-56.
6. Ахметьев П.М., Малешич И., РеповшД. Об эйлеровой характеристике кратных точек самопересечения по-
груженных многообразий// Сибирский математический журнал. - 2003, март-апрель. - Том 44. - № 2. - С. 256-262
(библ.: 19 назв.).
7. Cromwell Peter R., Marar W.L. Semiregular surfaces with a single triple-point// Geom. dedic. - 1994. - 52, № 2. -
P. 143-153.
307
ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ ОДНОСТОРОННИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Ворончихин М.А., Крапивина Г.И. Раскрытие односторонности сложных поверхностей в цилиндрических
координатах. - Владивосток: Дальневост. высш. инж. мор. училище, 1984. - 19 с. - Библ. 10 назв. - Рук. деп. в
ВИНИТИ 22 мая-1984 г. - № 3260-84Деп.
2. Ворончихин М.А., Крапивина Г.И. Метод описания и проецирования сложных поверхностей в цилиндриче-
ских координатах. -- Владивосток: Дальневост. высш. инж. мор. училище, 1986. - 43 с. - Библ. 13 назв. - Рук. деп. в
ВИНИТИ 10.12.1986 г. - № 8397-В86Деп.
3. Сердюк В.Е. Научная объективность методов начертательной геометрии (на примере исследования «пара-
доксальности» листа Мебиуса). - Сумы: Сум. фил. Харьков. ПИ, 1986. - 5 с. - Рук. деп. в УкрНИИНТИ 10.12.
1986г.-№ 2784-Ук.
4. Дмитриева Н.П. О возможном использовании новых геометрических образов в архитектуре// Прикл. геом. и
инж. графика. - Л., 1984. - С. 34-39. - Библ.: 2 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 14 ноября 1984 г., № 7329-84Деп.
5. Золотухин Ю.П., Гецевич Е.К. Построение моделей и изображений неориентируемых поверхностей// 6
Конф. мат. Беларуси, 29 сент.-2 окт. 1992: Тез. докл. Часть 1. - Гродно: Гродн. гос. ун-т, 1992. - С. 73.
6. Ворончихин М.А., Крапивина Г.И. Аналитическое описание односторонней поверхности в криволинейных
координатах. - Владивосток: Дальневост. высш. инж. мор. училище, 1984. - 10 с. - Библ. 6 назв. - Рук. деп. в ВИ-
НИТИ 25 янв. 1984 г.-№476-В84Деп.
7. Никитина Л.Д., Никитин И.И., Клименко С.В. Математическая визуализация в виртуальном окружении//
Электронный журнал «Исследовано в России».-2003.-6.-С.557-566,-http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2003/048.pdf
8. Богопольский О.В. Разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции.
- Новосибирск, 2000. - 27 с. - Препринт РАН. Сиб. отд. Ин-т математики. - № 72.
9. Смирнов С. Прогулки по замкнутым поверхностям. - Изд-во МЦНМО, 2003. - 28 с.
10. Матвеев В.С. Пример геодезического потока на бутылке Клейна, интегрируемого полиномом по импуль-
сам четвертой степени// Вестник Моск, ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. - 1997, № 4 (июль - август). - С. 47-
48 (библ.: 8 назв.).
11. Викентьев И.Л., Ефремов В.Н. Кривая, которая всегда вывезет. Геометрия для изобретателей// Правила
игры без правил. - Петрозаводск: Изд-во «Карелия», 1989. -С. 122-127.
12. Ворончихин М.А., Крапивина Г.И. К вопросу приложения криволинейных координат в начертательной гео-
метрии. - Владивосток: Дальневост. высш. инж. мор. училище, 1991. - 16 с. - Библ. 5 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ
20.08 1991 г. - № 3505-В91.
13. Бушмелев А,В. Изометрические вложения бесконечно плоского листа Мебиуса и плоской бутылки Клейна
в R4// Вестник МГУ. Мат., мех. - 1988. -№ 3. - С. 38-41.
14. Дмитриева Н.П., Клепикова Л. С. Графическая и математическая модели геометрии линейчатых неориенти-
руемых поверхностей// Теория и прил. начертат. геометрии. - Ленинград: ЛИСИ, 1988. - С. 16-20. - Библ.: 4 назв.
- Рук. деп. в ВИНИТИ 14.06.88, №4672-888.
15. Wunderlich VV. Uber ein abwickelbares Mobiusband// Monatsh. Math. - 1962. - 66, № 3. - S. 276-289 (библ.: 4
иазв.).
16. Chapman S.J. The dissection of rectangles, cylinders, tori, and Mobius bands into squares// Duke Math. J. - 1993.
-72, №2,-P. 467-485.
17. MacDonnel Josef. Ruled Moebius surface enclosed in a cylinder// Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol. - 1986. -
17, № 2.-P. 179-183.
18. Schulz Ch., Wills J.M. Kleinste kleinsche Flaschen mit Rand// Geom. dedic. - 1979. - 8, № 4. - S. 395-406.
19. MacDonnell Joseph. A family of unifacial surfaces// Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol. - 1979. - 10, № 2. - P.
159-164.
20. Ishihara Torn. Complete Mobius strips minimally immersed in /77/ Proc. Amer. Math. Soc. - 1989. - 107, № 3. -
P. 803-806.
21. Pong Chia-kwei. On the spectrum of the flat tori and the Klein bottles// Kexue tongbao. - 1975. - 20, № 4. - P.
173-174.
22. Bavard C. Inegalites isosystoliques conformes pour la bouteille de Klein// Geom. dedic. - 1988. - 27, № 3. - P.
345-355.
23. Sakai Takashi. A proof of the isosystolic inequality for the Klein bottle// Proc. Amer. Math. Soc. - 1988. - 104, №
2. - P. 589-590.
24. Apery Francois. La surface de Boy// Revue du Palais de la decouverte. - 1987. - 16, 153. - P. 24-37.
25. Petit Jean-Pierre, Souriau Jerome. Une representation analytique de la surface de Boy// C. r. Acad. sci. - 1981,
ser. 1, 293. - № 4. - P. 269-272.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Односторонние поверх-
ности».
308
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Минимальная поверхность - это поверхность, у которой средняя кривизна Н равна нулю во
всех точках, следовательно, минимальная поверхность является поверхностью отрицательной
гауссовой кривизны. Обширная информация о начальных этапах исследования минимальных
поверхностей приведена в Математической энциклопедии, том 3 [1]. Здесь отмечено, что пер-
вые исследования минимальных поверхностей были выполнены Ж. Лагранжем, который рас-
смотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натяну-
тую на заданный контур. Задавая искомую поверхность в виде z = z(x,y), Ж. Лагранж получил,
что функция z(x,y) должна удовлетворять уравнению
a z
-д-v = 0 (уравнение Эйлера - Лагранжа).
ау"
Данное выражение представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в част-
ных производных и описывает все минимальные поверхности в декартовой системе координат
при задании соответствующего контура. Минимальные поверхности могут быть построены на
жордановых не имеющих самопересечений опорных контурах произвольного очертания.
Позднее Г. Монж (1776) Установил, что условие минимальности площади приводит к усло-
вию Н = 0. Первые общие методы интегрирования уравнения Эйлера - Лагранжа были предло-
жены Г. Монжем (1784) и А. Лежандром (1787). С. Пуассон (1832) анонсировал решение им ва-
риационной задачи Лагранжа в случае, когда край поверхности близок к плоской кривой.
Честь открытия первых минимальных поверхностей в форме катеноида (см. «Поверхности
вращения») принадлежит Л. Эйлеру (1774) и Ж. Менье (1776), а в форме прямого геликоида (см.
«Линейчатые седловые поверхности») - Ж. Менье (1776). Затем была открыта третья мини-
мальная поверхность - поверхность Шерка (1834). Э. Каталан (1842) доказал, что прямой гели-
коид является единственной линейчатой минимальной поверхностью, а О. Бонне (50-е гг. 19
века) пришел к выводу, что катеноид - единственная минимальная поверхность вращения.
Параметрические представления минимальных поверхностей предлагались Б. Риманом
(1860), А. Эннепером (1864), К.М. Петерсоном (1866) и др. В своих опытах Ж. Плато (1849) фи-
зически реализовал минимальные поверхности в виде мыльных пленок, натянутых на прово-
лочные каркасы различной формы, поэтому нахождение минимальной поверхности по ее за-
данному контуру стали называть задачей Плато. При решении этой задачи была открыта по-
верхность Римана - Шварца. Если одна поверхность семейства параллельных поверхностей
есть минимальная поверхность, то и все остальные поверхности семейства - минимальные.
Задача Жергонна (1816) состоит в отыскании минимальной поверхности, если задана часть
ее границы, а остальная часть должна располагаться на некоторой заданной поверхности. Эту
задачу называют также задачей о минимальных поверхностях со свободной границей.
Для практических целей в строительстве и машиностроении требуются тонкостенные обо-
лочки в форме минимальных поверхностей прямоугольного, ромбовидного, трапециевидного,
треугольного, круглого и эллиптического очертаний в плане. Геометрия большинства из них в
общем случае не поддается аналитическому описанию, поэтому наиболее часто используются
вариационные, графические, конечно-разностные, конечно-элементные методы ее описания.
Дополнительная литература
1. Математическая энциклопедия/ Гл. ред. И.М. Виноградов, том 3. - М.: Изд-во «Советская энциклопедия»,
1982.-С. 683-690.
2. Salman al-Duheisat. Results and perspectives of scientific researches of thin minimal shells// Shells in Architecture
and Strength Analysis of Thin-Walled Civil-Engineering and Machine-Building Constructions of Complex Form: Proc. Int.
Sci. Conf., Moscow, June 4-8, 2001. - M.: Peoples’ Friendship Univ, of Russia, 2001. - P. 360-365 (библ.: 35 назв.).
3. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - Киев: «Буди-
вэльнык», 1990. - 192 с.
309
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
КАТЕНОИД
Рис. 1
Катеноид (лат. catena - цепь и греч. eidos - вид) образовывается вра-
щением цепной линии х = ach(z4z) вокруг оси Oz. Катеноид является един-
ственной .минимальной поверхностью вращения, то есть средняя кривизна
его поверхности во всех точках равна нулю: Н = (Ау + ^)/2 = 0.
Форму катеноида принимает мыльная пленка «натянутая» на 2 прово-
лочных круга, плоскости которых перпендикулярны оси вращения (линии,
соединяющей их центры). Честь открытия минимальной поверхности б
форме катеноида принадлежит Л. Эйлеру (1774 г.) и Ж. Менье (1776 г.).
Функция Вейерштрасса для катеноида имеет вид: F(g) = -1/(2^2), см. «Поверхность Шварца».
Формы задания поверхности катеноида
1х2 + у2
1) Явная форма задания: z = aArchJ--;—,
V а'
где а - радиус параллели (горловой окружности), лежащей в плоскости хОу (z = 0).
2) Параметрическая форма задания (рис.):
х = х(г, /?) = rcos/?, у = у(г, /?) = rsin/?, z = z(r) = aArch(r/a),
где ft - угол, о тсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = ,-------, F = 0, B = r, L = -~——р, М = 0, N =а, К=—к.=—.
Уг2-а~ г--а г'
Координатные линии ги р (параллели и меридианы) - линии главных кривизн (рис.).
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
Z Z
х = x(z./J) = ach—cos/J, у = y(z,/?) = ach—sin/?; z = z.
a ' a
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = ch(z/a), F = 0, B = ach(z/a), L = -l/a, М = 0, N-a, к2 = -к, = 1/ (ach2 (z / я)).
Координатные, линии z и р (параллели и меридианы) - линии главных кривизн (рис.).
4) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и,/3) = 7a2 + и1 cos/?, у = (и,/?) = Va2 + и2 sin в, z = z(u) = aArsh—,
а
где a2 + и2 = г2; и - длина дуги меридиана (цепной линии). Линия и = 0 - горловая окружность.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1, F = 0, В2 = а2 + и2, L = -а/( а2 + и2), М = 0, N = а, к{=-к2 = L.
5) Параметрическая форма задания:
х = х(/,Д) = achrcos/?, у = у(г,Д) = achrsinД z = z(f) = at.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = В = acht, F = 0, L = -a = -N, М = 0, к, = к{ = -1 / (ach2f), кр = кг = l/(ach2f), К < 0, Н = 0.
Здесь показано, что заменой z/a = t линейный элемент поверхности катеноида приведен к
изотермическому виду.
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н. Каплевидные, катеноидальные и псевдосферические оболочки// Монтажные и специаль-
ные работы в строительстве. - 1998. - №11-12. - С. 28-32 (библ.: 33 назв.).
310
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПРЯМОЙ ГЕЛИКОИД
Рис. 1 Рис. 2
Прямым геликоидом называется винтовая ли-
нейчатая поверхность, описываемая прямой, ко-
торая пересекает ось геликоида под прямым уг-
лом, вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг этой оси и одновременно перемещается
поступательно с постоянной скоростью вдоль
этой же оси. Скорости этих движений пропор-
циональны. Если подъем сопутствует вращению
вокруг оси против часовой стрелки, то прямой
геликоид называется правосторонним (рис. 1, рис. 2), в противном случае - левосторонним.
Прямолинейные образующие прямого геликоида параллельны его плоскости параллелелиз-
ма, которая перпендикулярна оси геликоида, поэтому прямой геликоид можно отнести к се-
мейству коноидов и называть прямой винтовым коноидом. В общем случае всякая точка обра-
зующей прямой описывает винтовую линию. Геликоид образовывается главными нормалями
винтовой линии, лежащей на нем.
Честь открытия этой минимальной поверхности принадлежит Ж. Менье (1776 г.). Е. Ката-
лан (1842 г.) доказал, что прямой геликоид является единственной линейчатой минимальной по-
верхностью ( Н = 0). Если считать, что прямой геликоид формируется с помощью двух соосных
винтовых линий и плоскости параллелелизма, то ее можно назвать винтовым цилиндроидом.
Возможно осуществить приближенное развертывание витка прямого геликоида его изгиба-
нием на поверхность катеноида, причем винтовые линии прямого геликоида накладываются на
параллели катеноида, а прямолинейные образующие геликоида - на меридианы катеноида.
Впервые это было отмечено Дини (U. Dini) в 1865 г.
Формы задания поверхности прямого геликоида
1) Явная форма задания: z = carctg(y / х),
где с - смещение образующей прямой при повороте ее на 1 рад.
2) Параметрическая форма задания: х = x(r,v) = rcosv, у = y(r,v) = rsinv, z - cv.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные Кривизны:
А = 1, F = 0, В2 = г2 + с2, L = N = 0, М = -с /В, kr = Q, kv = 0, ki = кг = ± с/(г2 + с2),
К = -с2/(г2 + с2)2 <0, Н = 0, / = тг/1.
где х - угол между координатными линиями гиг. Главные направления делят угол между на-
правлениями образующей прямой v и винтовой линией г пополам. На рис. 1 прямой геликоид
ограничен координатной линией г = и = const, на рис. 2 - линиями г = и и г = -г\.
3) Векторная форма задания: г(и,г) = rer +cve,:
где величина с связана с шагом L винтовой поверхности соотношением L = 1нс.
4) Параметрическая форма задания: х = x(u,v) = cshwcosv, у = y(u,v) = cshwsinv, z = z(v) = cv,
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = В = cchu, F = L = N = д, М = 1/(есЬи2и).
При этом задании поверхности ее координатные линии и, г становятся изотермическими.
Координатные линии г, v и и, г на прямом геликоиде ортогональны между собой и являют-
ся асимптотическими. Прямой геликоид - поверхность отрицательной гауссовой кривизны.
Дополнительная литература
1. Krivoshapko S.N. Geometry and strength of general helicoidal shells// Applied Mechanics Reviews (USA). - Vol.
52.-No 5.-May 1999.-P. 161-175 (библ.: 181 назв).
311
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ ШЕРКА (первая)
Рис. i
Минимальная поверхность Шерка (H.F. Scherk) бы-
ла открыта в 1834г. Это единственная минимальная
поверхность, которая принадлежит к классу поверхно-
“ сшей переноса.
Формы задания поверхности Шерка (первой)
Рис. 2
1) Явная форма задания (рис. 1):
)
COS"-
, а
Z = а In----= а
х
cos-
а
I У ] ( X
In cos— - In COS—
\ aJ \ a>
где параметр a = Ь/(лл) связан с размером b квадратной
проекции поверхности Шерка на координатную плоскость хОу; п - произвольное целое число.
На рис. 1 изображена поверхность Шерка при следующих геометрических параметрах:
п = 1; b = 2л; 0 < х<Ь; 0 < у <Ь.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
cos—
а
X у 1
E = -tg-tg-, В =------
а а У
a cos2 — 4 А2 В2 - F2 a cos2 — 7 А2 В2 - F2
а а
х у
COS —COS—
М = 0, кх= —. - а а- = = -к„, к, = -к,
.. 2Х 2 У
ал 1-sm — sm —
V а а
х у
COS—COS —
_________а а
Г, 2 Х 2 ''7
а\ 1-sm — sm —
к а аУ
Н = 0.
Поверхность отнесена к неортогональной сопряженной системе криволинейных координат х, у.
cos у
2) Явная форма задания (рис. 2): z = In-—.
cos.x
На рис. 2 поверхность построена в пределах -9я720< у < 9я720 и - 9/?7 20 < у < 9л7 20.
Для этого случая задания поверхности Шерка известны и параметрические уравнения по-
верхности:
с71 + И* 1 2 3 VI + V2
х = х(и,v) = arctgK + arcctgv, у = у(и,г) = arctgcn + arcctgcv, z = z(w,v) = In—? ——'===
yl + c и yl + c v
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2 1 + с2 (1 + с2)(1 —иг)(игс2 — 1)-2c2(m + v)2 2 1 + с2
(l + u2)(l + c2w2) ’ (1 + h2)(1 + v2)(1 + c2u2)(1 + c2v2) ’ (l + v2)(l + c2v2) ’
-с(1-с2)2(и +у)2(А2Д2 - F2)~1;2 с(1-с2)2(и +v)2(A2.B2 - F2)~1/2
(1 + и2)2(1 + у2)(1 + с2и2)2(1 + с2г2) ’ ’ (1 + и2)(1 + v2)2(1 + c2w2)(l + c2v2)2
K<0, ff = 0.
Дополнительная литература
1. [Пуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 540 с.
2. Оссерман Р. Минимальные поверхности// УМН. - 1967. - Т. 22, № 4. - С. 55-136.
3. Strubecker Karl. Uber die isotropen Gegenstiicke der Minimalflache von Scherk// J. reine und angew. Math. - 1977.
-№293-294.-S. 22-51.
312
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ ЭННЕПЕРА
Поверхность Эннепера - единствен-
ная алгебраическая минимальная по-
верхность 9-го порядка, которая имеет
плоские линии кривизны. Ее можно
наложить на поверхность вращения.
Функция Вейерштрасса для поверх-
ности Эннепера имеет вид: F(g) = 1, см. «Поверхность Шварца».
Формы задания поверхности Эннепера
1) Параметрическая форма задания (рис.1):
х = x(u,v) = Зи + Зиг2 - и3; у = = г3 - Зг - Зи2г; z - z(u,v) = 3(и2 - г2).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = 52 = 9(и2 + г2+I)2; F=0; Д = -А = -6; М = 0;
к\=ки = L/A~ = -к2 = -ку, К = -4/[9(и2 + г2 + I)4] < 0; Н = 0.
Поверхность задана в линиях главных кривизн и, г. На рис. 1, а поверхность Эннепера по-
строена в пределах - 0,5 < и < 0,5 и - 0,5 < v < 0,5; на рис. 1, б - в пределах -1,5 < и < 1,5 и
- 1,5 < v < 1,5; на рис. 1, в - в пределах - 3 < и < 3 и - 3 < v < 3. На рис. 1, б видно, что поверх-
ность Эннепера на виде сбоку обладает контуром в виде астроиды.
2) Векторная форма задания (рис. 2; рис. 3):
( 'f Г гг
г = r(r,ff) = I г cos#- — cos 36*\i -I r sin 6* + — sin 36*\j + r2 cos2#t.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее кривизны:
A = l + r2, F = 0, B = r(l + r2), -2 cos 20,
М= 2r sin2#, A=2r2cos2#, Н = 0,
: 2cos2# , 2cos2# 2
r=~(l + r2)2’ e = (l + r2)2’ 12 =±(l + r2)2'
В этом случае поверхность Эннепера задана в криволинейных ортогональных несопряжен-
ных координатах г, 0, поэтому kr + ко = ki + к2. На рис. 2 поверхность Эннепера построена в
Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1975.
пределах - 3 < г < 3 ; 0 < # < 2л:, а на рис. 3 - в преде-
лах 0 < г < 3; 0 < # < 2zr.
Дополнительная литература
1. Гайдарь О.Г. Поверхности оболочек, отнесенных к сети ли-
ний кривизны// Архитектура оболочек и прочностной расчет
тонкостенных строительных и машиностроительных конструк-
ций сложной формы: Тр. Международной конференции, Москва,
4-8 июня 2001 год. - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 65-69.
2. Nitshe Johannes. Vorlesungen liber Minimalflachen. - Berlin-
313
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ ШВАРЦА
Поверхность Шварца можно построить, если в качестве граничного контура взять четыре
ребра правильного тетраэдра (рис. 1), то есть, эта минимальная поверхность ограничена че-
тырьмя прямолинейными отрезками. Рассматриваемая поверхность
впервые была открыта Г.А. Шварцем (1866) и независимо от него Б.
Риманом, поэтому часто в научной литературе поверхность Шварца на-
зывают также поверхностью Римана - Шварца. Г.А. Шварц воспользо-
вался методом Вейерштрасса и Римана.
Как и все минимальные поверхности, поверхность Шварца удовле-
творяет следующим двум свойствам:
Рис~1 1) если часть границы минимальной поверхности М содержится в не-
которой прямой линии, то отражение поверхности Л? относительно этой линии также является
минимальной поверхностью, а объединение М и Л/ образует гладкую минимальную поверх-
ность без излома на прямолинейном участке границы;
2) если минимальная поверхность М встречает плоскость под прямым углом, то ее зеркаль-
ное отражение Ivi относительно этой плоскости также является минимальной поверхностью и
объединение Me tsi образует гладкую минимальную поверхность.
Применяя эти свойства к поверхности Шварца, можно построить сцепленные периодические
минимальные поверхности (triply periodic minimal surfaces). Базовая ячейка поверхности Швар-
ца умещается в регулярном кубе с отверстиями во всех гранях куба и имеет кубическую сим-
метрию (см. раздел «Сцепленные периодические минимальные поверхности»).
Это обстоятельство сегодня широко используется в архитектуре. Например, олимпийский
стадион в Мюнхене (1972 г.) был создан с использованием минимальных поверхностей, близ-
ких к поверхности Шварца.
Классическое представление Вейерштрасса - Эннепера для минимальной поверхности име-
ет вид:
2gdg
J71-14g4+g8 '
пересекаются под прямым углом.
х = Re |F(g)(l- g2)dg + а,, у = Ret Jr(g)(l + g2)dg + a,, z = Re fap(g)gdg + a},
где E(g) - функция Вейерштрасса; g - комплексная аналитическая функция в экваториальной
плоскости. Если функцию Вейерштрасса принять в виде
E(g) = 1/71- 14g4 + g8 ,
то получится уравнение поверхности Шварца:
х=Re [ у=Re .,
J 71-14g4 + g8 J71-14g4 + g8
Асимптотические линии на минимальной поверхности
Поверхность Шварца хорошо аппроксимируется поверхностью с неявным уравнением
cost + cosy + cosz = 0.
Дополнительная литература
1. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. - М.: Изд-во
Моск, ун-та, 1992. - 620 с.
2. Polthier Konrad. Geometric data for triply periodic minimal surfaces in spaces of constant curvature// Geometric
Analysis and Computer Graphics: Proc, of a Workshop held May 23-25, 1988/ Paul Concus, Robert Finn, David A. Hoff-
man, editors. - Springer-Verlag New York Inc.. 1991. - P.139-145 (библ.: 9 назв.).
3. Schwarz H.A. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. - Vol, 1, Julius Springer, Berlin, 1890.
4. Аминов Ю.А. Минимальные поверхности. - Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1978. - 126 с. (библ.: 37
назв.).
5. Polthier К., Wayne Rossman. Index of discrete constant mean curvature surface, 2000, preprint 484, submitted
http://www-sl~b288.math.tn-berlin.de/~konrad/articles.himl.
314
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОВЕРХНОСТЬ КАТАЛАНА
Минимальная поверхность Каталана была введена в рассмот-
рение Е. Каталаном в 1855 году.
Формы задания поверхности Каталана
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(w,v) = и-sin«chv, у = y(w,v) = l-cosnchv,
z = z(u, v) = 4sin(«/2)sh(v 12).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее кривизны:
А2 =в- =(l + chv)(chv-cosM), F = Q,
М =
и и | V ( У V ] и
2 sin и sin — + cos и cos — ch — + chvch—- 2shvsh — cos—
2 2J 2 V 2 27 2
chv-cos zz и С у v7
L =-:-sin— 2chvch— - shvsh— , к =~k„
A 2 k 2 27 “
sm(«/2) f v 1Л
------------------- 2chvch— - shvsh— ,
(1 + chv)'(chv-cos и) k 2 27
7 L + M' L' + M
N = -L, k.=-k„ =--,K = --гл—<0, H = 0,
A' A
При этом способе задания поверхность отнесена к изотермическим ортогональным несо-
пряженным криволинейным координатам и, v. На рис. 1 минимальная поверхность изображена
в границах 0 < и < 2я; - 1 < v < 1. На рис. 2 показан контур поверхности, ограниченный линией
v = 0,5; а 0 < и < 2л. Поверхность Каталана в границах - 2л < и < 2л; -1 < v < 1 изображена на
рис. 3. На рис. 4 показан увеличенный фрагмент поверхности, представленной на рис. 3.
2) Параметрическая форма задания (рис. 6):
/ 2 Л / 2 \
V V
х = x(r,<p) = al sin2^-2^ + — cos2^>J, у = y(r,<p) = -all +"J_J cos2^, z = z(r,^) = 2avsin^,
где v = 1 / r — r.
На рис. 6 минимальная поверхность построена в пределах
0,5 < г < 2; - л < <р < л.
Дополнительная литература
1. Catalan Е. Memoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque
point, sont egaus et les signes contraires// Comptes Rendus Acad. Sci., Paris, 41. -
1855.-P. 1019-1023.
2. do Carmo M.P. Mathematical Models from the Collections of Universities
and Museums/ Ed. G. Fischer. - Braunschweig, Germany: Vieweg. - 1986. - P. 45-46.
3. Gray A. Modem Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica: 2"J ed. - Boca Raton, FL: CRC
Press. - 1997.-P. 692-693.
315
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ БОРА
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Минимальная поверхность Бора задается параметрическими уравнениями
г2 г2 4 ,,, 30
х = х(г,0) = rcos0~—cos20, у = y(r,ff) = -rsm0- — sin26l, z = z(r,0) =^r cos—.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = l + r, F=0, B = r(l + r); А2 В2 - F2 = г2(1 + г)4;
1 30 г- 30 30 -1
L = —j=cos—, М= л/r sin—, N = г3 cos—, К =---------г<0, Н = 0.
л/7 2 2 2 г(1 + г)4
Минимальная поверхность Бора отнесена к ортогональным несопряженным криволиней-
ным координатам г, 0. На рис. 1 изображена минимальная поверхность Бора, построенная в
границах 0 < г < 5; Q<0< 2л. Поверхность, показанная на рис. 2, имеет Ал.
Фрагмент поверхности, изображенный на рис. 3, построен в границах 0 < г < 2; - л < 0 < л.
Дополнительная литература
1. Maeder R. Programming in Mathematica: 3rd ed. - Addison-Wesley, 1997 . - P.29-30.
ПОВЕРХНОСТЬ НЕОВЙУСА
Поверхность Неовйуса (Е. Neovius’ surface) может быть построена во всем пространстве
без особенностей. Она не пересекает сама себя и обладает такой же симметрией как простран-
ственная решетка алмаза.
Единичная кубиковая ячейка представляет собой полость с
выходами из середины каждого ребра кубика (рис. 4).
Формы задания поверхности Неовйуса
1) Неявная форма задания:
3(cosx + cosy + cosz) + 4cosx-cosy-cosz — 0.
2) Параметрическая форма задания (рис. 5):
Л' = И, у = V,
, ( „ cos и + cos V
z = xarccos - 3--------------
у 3 + 4 cos и cos у
Поверхность Неовйуса, представ-
Рис 4 г
ленная на рис. 5, построена в преде-
лах -л12<и<л12\ ~л /2<г <л 12. Поверхность, показанная на
рис. 4, взята на сайте [2].
Дополнительная литература
1. Neovius E.R. Bestimmung Zweier Speciellen Periodishe Minimalflachen.
Helsingfors, 1883.
2. http://www.susqu.edu/brakke/evolver/examDles/periodic/periodic.htnil
Рис. 5
316
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ГИРОИД
Гироид - бесконечно простирающаяся минимальная поверхность, не содержащая прямых
Рис. 1
линий, была открыта А. Шоеном (А.
Schoen) в конце 1960-х годов.
Гироид - единственная известная
погруженная сцепленная периодиче-
ская минимальная поверхность с
тройным пересечением. К. Gro[3e-
Brauckmann установил, что гироид не
имеет отражательной симметрии.
В англоязычной литературе иногда
гироид (Gyroid) называют G - поверх-
ностью (the G Surface).
Гироид хорошо аппроксимируется
поверхностью
cos х sin у + cos у sin z + cos z sin x - 0.
Представленное неявное уравнение
можно записать в явном виде:
cos .vcos у sin у + sin xJsin' х + cos2 у - cos2 .vsin2 у
z = arcsin--------------- - - -------- - - - —
sin1 x + cos2 у
Используя последнее уравне-
ние, можно построить некоторые
отсеки аппроксимирующей по-
верхности, представленные на рис.
1-3, которые дают представление о
строении минимальной поверхно-
сти гироида.
Дополнительная литература
1. Schoen A.N. Infinitive periodic minimal
surfaces without selfintersection// NASA
Tech. Note. - 1970. - No D-5541. Washing-
ton, DC.
2. GrofSe-Brauckmann K. Gyroids of constant mean curvature// Experiment. Math. - 1997. - No 6. - P. 33-50.
3. Paul J.F. Gamely and Jacek Klinowski. Exact computation of the triply periodic G (“Gyroid”) minimal surface//
Chemical Physics Letters. - 2000. - Vol. 321. - No 5-6, May. - P. 363-371.
4. Mackay A.L. Periodic minimal surface// Nature. - 1985. - Vol. 314. - P. 604-606.
317
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ХЕННЕБЕРГА
Функция Вейерштрасса для минимальной неориентируемой поверхности Хеннеберга имеет
вид: F(g) = 1 -1/g4, см. «Поверхность Шварца». Эта поверхность является двойной алгебраиче-
ской поверхностью 15-го порядка.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Формы задания минимальной поверхности Хеннеберга
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 3):
2 2
х = х(и, г) = 2shwcosv-ysh3«cos3v; у = y(u,v) = 2sh«sin v + — sh3wsin3v,
z = z(w,v) = 2ch2w cos2v.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 16ch2w(sh22« + sin2 2v); F = 0, В2 = 16ch2M(sh22« + sin2 2v),
L = 4cos2vsh2«, M = -4ch2tzsin2v, A =-4cos2vsh2«,
ku = ~kv =---Д2—hj±--------; = = _1—, к =------<0, H = 0.
4ch'«(sh'2M +sin" 2v) ' chuA A2cnu
Минимальная поверхность задана в ортогональной несопряженной системе криволинейных
координат и, v. Минимальная поверхность Хеннеберга является по-
верхностью строго отрицательной гауссовой кривизны.
2) Параметрическая форма задания (рис. 4):
, _ 2(г2 -1)cos<р 2(r6-l)cos30
г Зг
, . 6г2 (г2 -l)sin0 + 2(r6 -l)sin3<z>
У = У(г,<р) =-----------r--------------
Рис. 4
А2 =4
Зг
, , 2(r4+l)cos2«
z = z(r,<p) = ----1-----т-.
2
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2 "I
+ 4sin22(i7 , F =0, В2 =4
2
+ 4sin2 2<p ,
F = -Д-cos 20, sin 20, A = -2-^—Д-cos 20, H = 0.
r4(r2+l) r3(r2+l) r (r +1)
318
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРИНОИД
Eric W. Weisstein [1] отмечает, что эта минимальная поверхность была открыта L.P.M. Jorge
и W. Meeks III в 1983 году. Параметризация Эннепера - Вейерштраса для триноида имеет сле-
дующий вид:
Поверхность задается параметрическими уравнениями:
ге'в 41п(ге'в-1) 21п(1 + ге'в + гге2,в
3(1 + reiff + г2 е2,в) 9 + 9 ’
+ 4л/3
arctg
1 + Зге
3(г3ем-1)
где 0 < в < 2тг, 0 < г < 4.
На рис. 1-3 представлены фраг-
менты триноида, построенные в
разных границах. Полностью по-
верхность изображена на стр. 323
«Примеры минимальных поверхно-
стей, приведенные на сайтах в сети
Интернет».
Дополнительная литература
1. Eric W. Weisstein. “Trinoid”. From
MathWorld - - A Wolfram Web Resource. ©
1999-2004 Wolfram Research, Inc. —
http://mathworld.wolfram.com/Trinoid.html
(библ.: 3 назв.).
2. Ogawa A. The Trinoid Revisited// Ma-
thematica J. - 1992. - № 2. - P. 59-60.
О < г < 4; 0</><2тг 0 < г < 0,88; 1,12 < г <4; О<0<2л
Рис. 2 Рис. 3
319
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КОСТЫ
Д. Хоффман и У. Микс, используя компьютерную графику, доказали, что поверхность Кос-
ты является погруженной поверхностью. Она объединила классические примеры плоскости,
катеноида и прямого геликоида, единственные известные примеры полных погруженных ми-
нимальных поверхностей конечного топологического типа. Поверхность не пересекает сам}'
себя. Была открыта А. Костой в 1984 г.
Рис. 1
Впервые изображение минимальной поверхности Косты появилось на обложке книги Р.
Оссермана [2] в 1986 г. А. Греем [4] было установлено, что поверхность Косты может быть за-
дана параметрическими уравнениями:
. ч 1 гл I / -л Я , . 1 X / . 1 -л
х = х(и, v) = —Re} - f (и + tv) + ли -I-1---f(и + tv —)- + iv —i)
2 [ 4et 2e, 2 2
. , It-, -/ . . Л Г. / ' 1 / • / • 1 ..
у = y(u, v) = —Ref —(£(и + tv) + Ж’-l------+ iv----------) - tff.u + iv-1)
2 [ 4e, 2ei [ 2 2
z = z(u, v) = — У 2д In-----------,
4 (p(u + iv) + gj
где <f(z) - ^-функция Вейерштрасса; p (g?, gs; z) - эллиптическая p -функция Вейерштрасса с
(g2, g3) = (189,072772..., 0) - инвариантами, соответствующими полу периодам 1/2 и (72;
в! = р(1/2; 0; §з) = (1/2| 1/2; (72) = 6,87519 - первый корень, a p(z; gz, gi) = p(z|cwi, off)- эллип-
тическая p -функция Вейерштрасса.
P.S.: Все формулы, приведенные в настоящем разделе, и рис. 1 взяты без проверки и изме-
нений на сайте [7].
Дополнительная литература
I. Costa A. Example of a complete minimal immersion in R3 of genus one and three embedded ends// Bull. Soc. Bras.
Mat. - 1984. - № 15. - P. 47-54.
2. Osserman Robert. A Survey of Minmal Surfaces. - New York: Dover, 1986. - P. 149-150.
4. Ferguson H., Gray A., and Markvorsen S. Costa’s Minimal Surface via Mathematica. - Mathematica in Educ. Res. -
1996.-No 5.-P. 5-10.'
5. Hoffman D. and Meeks III W. A complete embedded minimal surface with genus one, three ends and finite total cur-
vatures// J. Differ. Geom. - 1985. - No 21. - P.109-127.
6. Michael J. Callahan. From sketches to equations to pictures: Minimal surfaces and computer graphics// Geometric
Analysis and Computer Graphics: Proc, of a Workshop held May 23-25, 1988/ Paul Concus, Robert Finn, David A. Hoff-
man, editors. - Springer-Verlag New York Inc., 1991. - P.49-61 (библ.: 13 назв.).
7. Eric IV. Weisstein. Costa Minimal Surface. From MathWorld - - A Wolfram Web Resource © 1999-2004 Wolfram
Research, Inc. — http://mathworld.wolfram.com/CostaMinimalSurface.html (библ.: 12 назв.).
320
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЛИХТЕНФЕЛСА
Геодезические линии минимальной поверхности Лихтенфелса имеют форму лемнискат.
Форма задания минимальной поверхности Лихтенфелса
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
z = z(u, v) = Re
где F(x,x) - неполный эллиптический интеграл первого рода; <; - и + iv - комплексный пара-
Рис. 1
метр. Лемниската есть линия пересечения
поверхности с плоскостью хОу. Мини-
мальная поверхность является периоди-
ческой поверхностью в направлении ее
оси с периодом
а = 2'[-----= 2xf -Ц
J _____ (Г t о J
У 2
К(х) - полный эллиптический интеграл первого рода.
P.S.: Параметрические уравнения поверхности и рисунок взяты без изменений на сайте [2].
Дополнительная литература
1. Lichtenfels О. Notiz uber eine transcendente Minimalflache// Sitzungsber. Kaiserl. A Wiss. Wien. - 1889. - 94. - S.
41-54.
2. Eric W. Weisstein. “Lichtenfels Minimal Surface”. - From MathWorld- - A Wolfram Web Resource (библ.: 2 назв.)
http://mathworld.wolfram.com/LichtenfelsMinimalSurface.html
ВТОРАЯ МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ШЕРКА
0<г<0,95; О<0<2л-
Рис. 1
В 1834 г. Г.Ф. Шерк (Scherk H.F.) открыл две минимальные
поверхности. Это были две новые минимальные поверхности,
представленные к рассмотрению со времен Л. Эйлера (1774) и
Ж. Менье (1776).
Первая минимальная поверхность Шерка была рассмотрена
ранее в разделе «Поверхность Шерка (первая)».
Форма задания второй минимальной поверхности Шерка
1) Параметрическая форма задания:
х = x(r,G) = 2Re[ln(l + re":') - ln(l - ге!1,)\: у ~ у (.г, в) = Re[4tarctg(re"’)];
Z = z(r,G) = Re{2/[ln(l + rV'*)-ln(l- rV"’)]},
где 0 < в < 0 < г < 1. На рис. 1 построен фрагмент второй минимальной поверхности Шер-
ка. Параметрические уравнения поверхности взяты на сайте [4] без проверки.
Дополнительная литература
1. Dickson S. Minimal surfaces// Mathematica J. - 1. - 1990. - P. 38-40.
2. Scherk H.F. Bemerkung liber der kleinste Flache innerhalb gegebener Grenzen// J. reine Math. - 1834. - 13. - S.
185-208.
3. Thomas E.L., Anderson D.M., Henkee C.S., and Hoffman D. Periodic area-minimizing surfaces in block cololymers//
Nature. - 1988. - 334. - P. 598-601.
4. Eric W. Weisstein. “Scherk’s Minimal Surfaces”. - http://mathworld.wolfram.com/ScherkMinimaISurfaces.html
321
11 -5391
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, НАТЯНУТЫЕ НА ЖЕСТКИЙ
ОПОРНЫЙ КОНТУР, ЗАДАННЫЕ ТОЧЕЧНЫМ КАРКАСОМ
Определение формы минимальной поверхности, натянутой на жесткий опорный контур,
сводится к интегрированию дифференциального уравнения
(1 + z; )z.K - 2zxzyzw + (1 + zx )zyy = 0,
где z = z(x,y) - уравнение искомой минимальной поверхности, с краевым условием z|r = <р(х,у).
Задача по определению минимальной поверхности с заданным контуром называется первой
краевой задачей, или задачей Дирихле. Поскольку получить функцию z = z(.x,y) в общем случае
в квадратурах невозможно, ищутся ее дискретные значения zij путем решения приведенных
уравнений методом конечных разностей. Подставив в уравнение вместо производных их разно-
стные аналоги, можно получить нелинейный конечно-разностный оператор
[4/г2 + (г;л+, — ) ](z;+u — + z,(z;+lt. — Z/_l t)(z,j.+i ~ zj jU)(z;+lit+1 — +
+ z,- zMik_})/ 2 + [4/zf + (z;+u - z,-_u. )2 1 (z,-.A.+1 - 2zik + z;,Д1) = 0,
где hi, hi - шаги разностной сетки в направлениях а, у. Прямоугольник разностной сетки ох-
ватывает контур Г, а сам контур заменяется ломаной линией проходящей через узлы сетки.
Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений можно применить метод
продолжения решения по параметру в сочетании с методом Ньютона - Канторовича [1]. По-
грешность численного построения точечного каркаса минимальной поверхности может быть
оценена по принципу Рунге. Для этого расчет проводится на двух сетках с шагом /г и 2h. По-
грешность решения определяется по формуле eh(x,y) = zn~ Zih- По погрешности решения опре-
деляется более точное значение ординаты z минимальной поверхности z = 2zh - zih-
Дополнительная литература:
1. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. ~ Киев: «Буди-
вэльнык, 1990. - 192 с.
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Задача о минимальной поверхности со свободной границей (задача Жергонна) появилась в
1816 году. Она формулируется следующим образом: найти минимальную поверхность, если
часть ее границы задана, а остальная часть должна располагаться на некоторой заранее задан-
ной поверхности. Первые результаты были получены, когда заданная часть границы состоит из
отрезков прямых, а остальная часть должна находиться на заданных плоскостях [1].
Много сведений о минимальных поверхностях со свободными границами содержатся в об-
зорных лекциях С. Гильдебрандта [2], где представлен обзор работ автора в области исследова-
ний граничных задач для минимальных поверхностей, среди которых граничная задача со сво-
бодной поверхностью занимает значительное место. Рассматривается задача нахождения ми-
нимальных поверхностей, граница которых расположена на поддерживающем многообразии, и
задача о минимальной поверхности с передвигающейся границей заданной длины. Изучаются
минимальные поверхности, имеющие полностью или частично свободные границы на заданных
поддерживающих поверхностях, и граничная задача со свободной поверхностью для поверхно-
стей постоянной средней кривизны. Описываются последние результаты, полученные в области
исследования поведения поверхности на ее свободной границе, в частности, указывается оценка
длины следа минимальной поверхности на свободной части границы.
Дополнительная литература
1. Курант Ф. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. - Пер. с англ. - М.,
1953.
2. Hildebrandt S. Minimal surfaces with free boundaries and related problems// Asterisque. - 1984. - № 118. - P. 69-
88 (библ.: 22 назв.).
322
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИМЕРЫ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,
ПРИВЕДЕННЫЕ НА САЙТАХ В СЕТИ ИНТЕРНЕТ
Гироид
Минимальные поверхности Шерка
323
11*
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИМЕРЫ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,
ПРИВЕДЕННЫЕ НА САЙТАХ В СЕТИ ИНТЕРНЕТ (продолжение)
Поверхность Римана
Минимальная поверхность Лопеса - Роса
Волновая поверхность Двойная поверхность
Эннепера
Эннепера
Закрученная поверхность Шерка
(Twisted Scherk)
(Wavy Enneper Surface) (Double Enneper)
Skew 4-noid
Symmetric 4-noid
Saddle Tower
Модели минимальных поверхностей, приведенные на с. 323-324, взяты на сайтах:
1. Eric И< Weisstein “Giroid”, “Trinoid". From MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/Gvroid.html
2. http://rsp.math.brandeis.edu/surface/gallery.html
Дополнительная литература
1. Fogden A., Haeberlein M„ and Lidin S. Generalization of the gyroid surface/ J. Phys. I France. - 1993. - № 3. - F
2371-2385.
2. Еованцов Н.И. Об одном обобщении минимальных поверхностей/ Украинский геометрический сборник.
Харьков, 1977. - Вып. 20. - С. 48-56.
324
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПОЛНЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Под полными минимальными поверхностями понимаются минимальные поверхности, пол-
ные как метрические пространства относительно своей внутренней метрики. Полные мини-
мальные поверхности бывают компактные (без границы) и некомпактные, или открытые.
В исследованиях полных минимальных поверхностей интерес направлен на изучение свя-
зей, существующих между глобальными метрическими, геометрическими и топологическими
свойствами поверхностей.
Наиболее продвинуто изучение двумерных полных минимальных поверхностей в Е3, п > 3,
для которых большинство результатов получается при применении методов теории функций
комплексного переменного. Найдены поверхности, полностью определяемые их интегральной
кривизной и топологическим типом. Это - катеноид и поверхность Эннепера.
Результаты о компактных минимальных поверхностях относятся в основном к полным ми-
нимальным поверхностям, расположенным в сферах S" с Е"+}. Интерес именно к этим мини-
мальным поверхностям объясняется, помимо трудностей случая общего риманова пространст-
ва, еще и наличием важных связсй между минимальными конусами в En+l и минимальными по-
верхностями в 5". Каждый гиперконус в Е"+|, определяемый своей вершиной О и пересечением
со сферой S” с центром в О, является минимальным тогда и только тогда, когда его пересечение
с S" будет минимальной поверхностью в S". Дополнительные сведения об исследованиях в этой
области можно взять из Математической энциклопедии [1],
Полные абелевы минимальные поверхности рассматриваются в статье [2]. Находится гео-
метрический признак этих поверхностей. Устанавливаются некоторые их глобальные свойства.
Доказывается теорема о том, что сферическое изображение рассматриваемых поверхностей по-
крывает всю сферу с возможным исключением не более, чем 4-х точек.
В статье [4] доказывается, что полная минимальная поверхность в EJ с представлением
Вейерштрасса g(z) = г3, со = cfe/(z4 -1)2 - изолирована. Строится пример неизолированной
полной минимальной поверхности в Е3. Она имеет представление Вейерштрасса
и моделируется на сфере, пунктированной в точках а\, аг, аз, где щ являются кубическими
корнями из -1/2.
Г. Розенберг [5] утверждает, что катеноид, поверхность Эннепера и полная минимальная
поверхность М конечной полной кривизны, моделированная на «-пунктированной сфере 'и
имеющая представление Вейерштрасса
, ч ,,-1 dz
являются изолированными. Поверхность М является подмногообразием риманова многообра-
зия N. Детальное доказательство приводится для п = 2, когда Месть катеноид, и для п = 3.
Дополнительная литература
1. Математическая энциклопедия/ Гл. редактор И.М. Виноградов. - Том 3. - М.: Изд-во «Советская энцикло-
педия», 1982. - С. 690.
2. Gackstatter Fritz. Uber Abelsche Minimalflachen// Math. Nachr. -1976. - 74. - S. 157-165.
3. Bers L. Abelian minimal surfaces// J. d’Analyse Math. - 1951. - № 1. - P. 43-58.
4. Rosenberg Harold, Toubiana Eric. Some remarks on deformations of minimal surfaces// Trans. Amer. Math. Soc. -
1986. - 295, № 2. - P. 491-499.
5. Rosenberg Harold. Deformations of complete minimal surfaces// Trans. Amer. Math. Soc. - 1986. - 295. № 2. - P.
475-489.
325
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЕТЕРСОНА
Поверхность Петерсона - поверхность, обладающая сопряженной сетью конических или
цилиндрических линий, являющихся главным основанием изгибания. Например, поверхностя-
ми Петерсона являются резные поверхности Монжа с круговой 'цилиндрической направляющей
поверхностью, соответствующие поверхности переноса и поверхности вращения. Индикатриса
вращений поверхностей Петерсона есть прямой коноид, в частности, для резной поверхности
ею является прямой геликоид, для поверхности переноса - равносторонний гиперболический
параболоид (см. страницу «Поверхности Петерсона»),
Если поверхность Петерсона несет на себе коническую сеть, то сопряженная сеть образо-
вывается линиями касания конусов, описанных около поверхности. Вершины этих конусов ле-
жат на двух пространственных кривых Л и Л. Если обе эти кривые - плоские, а одна из них
лежит в несобственной плоскости, тогда сеть становится цилиндроконической. Установлено,
что среди этого вида поверхностей Петерсона единственной минимальной поверхностью явля-
ется катеноид [1]. Е.А. Королев Е.А. и Т.Н. Фомина [2] предлагают уравнение поверхности с
сопряженной сетью конических линий (поверхности Петерсона) записывать в виде:
а, (и) - Ьх (у)
«4 (и)-Л О) ’
а2(и)~ЛО)
------------5 2 —-----------
а4(и)-й4(г) aXuj-bEv')
В этом случае уравнения линий Л и Л будут иметь вид:
Л (и) Л (и) Л(«)
Л ' х~~—< У = ~— > — >
а4(и) а4(и) л4(и)
Г х = Ь'^ v = Ь'~
2- b4(v)' ? Ь'4(у')' ' Л О)
В случае цилиндроконической сети, а4 О, Ь\= 0, поэтому а4 & const, Ьц = const. Не
нарушая общности, можно считать, что а.) = и; Л = г; Л = 0. При этом уравнение поверхности с
сопряженной сетью конических линий упростится:
_а,(и)-г _а2(и)-Л(г) _а3(и)-Д,(г)
и и и
По условию эта поверхность должна быть минимальной, то есть коэффициенты ее
квадратичных форм должны удовлетворять уравнению EN - GL = 0, которое для рассматривае-
мого случая запишется в виде:
(а'и -а +Ь'у (Ь",а'и-а +Ъ,Ь') = Ь'1 (а’и2,а'и -а+b, Ь').
Выполнение этого функционального уравнения необходимо и достаточно, чтобы рассмат-
риваемая поверхность была минимальной.
Если функция Ь-х(у) линейна, то поверхность, удовлетворяющая функциональному уравне-
нию, будет развертывающейся, а именно, плоскостью. Для нелинейной функции Ьг(у) получе-
ны параметрические уравнения х = -v/u; у = --\Jl-v2 /и, z - arch(l/w), которые описывают
катеноид. Другие варианты решений функционального уравнения приводят только к разверты-
вающимся поверхностям [2].
Дополнительная литература
1. Королев Е.А. Минимальные поверхности Петерсона, несущие конико-цилиндрическую сеть. - Горловка:
Горл. фил. Донец. ПИ. - 1987. - 49 с. - Библ. 6 назв. - Рук. деп. в УкрНИИНТИ 30.06. 87, № 1783-Ук87.
2. Королев Е.А., Фомина Т.Н. Минимальные поверхности Петерсона// Украинский геометрический сборник. -
Харьков, 1979. - № 22. - С. 92-96.
3. Королев Е.А., Семикина Э.Е. Линии, порождающие конико - цилиндрическую сеть на минимальных поверх-
ностях Петерсона. - Горловка: Горл. фил. Донец. ПИ. - 1989. - 6 с. - Библ. 5 назв. - Рук. деп. в УкрНИИНТИ 29.05.
89, № 14О8-Ук89.
326
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ТОМСЕНА
Г. Томсен (G. Thomsen) определил минимальные поверхности евклидова пространства, ко-
торые одновременно являются метрически и аффинно-лшншюлъными поверхностями [1].
Если поверхность обладает двумя из следующих трех свойств: 1) поверхность - минималь-
на; 2) она - аффинно минимальна; 3) ее асимптотические линии являются линиями откоса, то
она обладает и третьим свойством [2].
В статье [3] параметрические уравнения поверхностей Томсена преобразуются к форме, ко-
торая позволяет объединить известные семейства этих поверхностей в однопараметрические
циклы, отличающиеся только преобразованием подобия и описывающиеся угловым парамет-
ром у, 0 < у < Тп. Цикл включает в себя плоскость - «бесконечно удаленную» поверхность
Томсена, правую винтовую поверхность, поверхность Эннепера, левую винтовую поверхность
и возвращается обратно к плоскости. В этой статье цикл поверхностей Томсена представляется
наглядно с помощью последовательности изображений, полученных на ЭВМ.
Дополнительная литература
1. Blaschke И/ Vorlesungen iiber Differentialgeometrie. II. Affine Differentialgeometrie. - Berlin, 1923.
2. Schaal Hermann. Die Affinminimalflachen von G. Thomsen// Arch. Math. - 1973. - 24, № 2. - S. 208-217 (библ.:
20 назв.).
3. Barthel Woldemar, Volkmer Reinhard, Haubitz Imme. Tomsensche Minimalflachen - analytisch und anschaulich//
Result. Math. - 1980. - 3, № 2. - S. 129-154.
МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ТОМСЕНА,
ДОПУСКАЮЩАЯ ПЕРЕХОД К ПОВЕРХНОСТИ ЭННЕПЕРА
Минимальная поверхность Томсена, допускающая переход к поверхности Эннепера, одно-
временно является аффинно-минимальной поверхностью.
Форма задания минимальной поверхности Томсена
1) Параметрическая форма задания [1,2]:
, х си + slw cos v , s v + cchu sin г . , shu sin v
x = x(u,v)=--- - , y = y(n,v) =-------—, z = z(n,v) =------------,
k2Vl- c2 k2\l — c2 k.
где k, |c| < 1 - константы. При с = 0 рассматриваемая поверхность вы-
rf'-' рождается в прямой геликоид. Сравнивая параметрические уравнения
‘зй’ -‘М минимальной поверхности Томсена при k" = 1 и параметрические
. уравнения трансцендентной аффинно-минимальной поверхности (см.
IaMSM«Аффинно-минимальные поверхности»), можно сделать вывод, что
<) они описывают одну и ту же поверхность.
‘ " Рис- 1 Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = В = -C-0Sv+~h F = L = N = Q, М К= —-Ц-, Н = 0, ки = kv =0, к} = к2 = ±-хЦ-.
к-у/Т^2 к ' к А ' к2А2
Schaal Hermann [2] показал, что при надлежащем предельном переходе по константам, со-
держащимся в уравнениях поверхности Томсена, получается минимальная поверхность Энне-
пера. На рис. 1 показан фрагмент минимальной поверхности Томсена при с = 1/^2; к2 = 1;
— 2/3<и<2/3; — 7t<v<tc.
Дополнительная литература
1. Schaal Hermann. Die Affinminimalflachen von G. Thomsen// Arch. Math. - 1973. - 24, № 2. - S. 208-217 (библ.:
20 назв.).
2. Schaal Hermann. Die Ennepersche Minimalflache als Grenzfall der Minimalflache von G. Thomsen// Arch. Math. -
1973. - 24, № 3. - S. 320-322 (библ.: 4 назв.).
3. Thomsen G. Uber affine Geometrie XXXIX. Uber Affinminimalflachen, die gleichzeitig Minimalflachen sind// Abh.
Math. Sem Univ. Hamburg, 2. - 1923. - S. 71-73.
327
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Для задания алгебраической минимальной поверхности параметрическими уравнениями
можно воспользоваться методом Вейерштраса. Согласно этому методу любая аналитическая
функция/(т), удовлетворяющая условию /"(т)?=0, определяет минимальную поверхность,
обобщенные параметрические уравнения которой можно записать в виде:
х = л-(„, г) = /?{(! - 72)/'(7) + 2^/7) - 2/(7)},
у = у(и, V) = 4’(1 + Т- - 2itf'(r) + 2/(7)},
z = z(u, V) = /?{2т/77)-2/,(7)},
где R - действительная часть функции комплексного переменного.
Для получения алгебраической минимальной поверхности необходимо задать аналитиче-
скую функцию fir) степенным полиномом с комплексными коэффициентами
/(7) = +а,7+а,72 + «4г3 + ... + ajr1~',
где т = и + iv; «j = oj + iby, j = 1,2, 3, 4, ..k. Подставляя значения/(г), //т), и f"(T) в обобщен-
ные параметрические уравнения, можно получить параметрические уравнения семейства алгеб-
раических минимальных поверхностей, отвечающих выбранному полиному.
Для иллюстрации метода Вейерштраса зададим аналитическую функцию fir) полиномом
третьей степени с комплексными коэффициентами /(7) = а, + а2Т + а2т2 + а4т3, где 7 = и + iv;
«j = «j + ibs; j = 1, 2, 3, 4; /'(7) - «, + 2а,7+3а472, /"(г) = 2а3+6а4т.
Подставляя найденные значения Дт), /'(г), и’ f"(T') в обобщенные параметрические урав-
нения, можно получить параметрические уравнения семейства алгебраических минимальных
поверхностей, отвечающих полиному третьего порядка [I]:
х = х(и,г) = (-2м3 + биг2 + 6м)д4 + (6м2v — 2г'3 - 6у)Ь4 — 2ах + 2а3;
у = y(«,v) = (2v3 — 6уи2 — 6v)a4 + (6v2m - 2м3 — 6и)Ь4 - 2Ь} —2Ь3;
z = z(u,v) = (би2 -6щ)а4 -12муй4 -2аг.
При изменении параметров «1 и аз минимальная поверхность движется без деформации па-
раллельно плоскости хОу. При изменении действительной части параметра az минимальная по-
верхность движется параллельно оси Oz. На основании вышеизложенных свойств можно сде-
лать заключение, что форма минимальной поверхности, отвечающей выбранному полиному
третьей степени, зависит от коэффициента при старшем члене полинома. Во всех остальных
случаях получается одна и та же минимальная поверхность, определенная в пространстве с
точностью до переноса и подобия. Окончательно параметрические уравнения минимальной по-
верхности при выборе полинома третьей степени запишется в виде:
х = х(м, у) = (—2м3 + би?2 + 6и)я4 + (6м2у — 2v3 - бг)й4;
у ~ у(м,v) = (2v3 - 6vm2 -6v)a4 + (6v2h -2m3 — 6u)b4; z = z(u, v) = (fin1 -6v2)o4 - 12nvb4.
Для минимальной поверхности, отвечающей полиному fifi) = г’ уравнения запишутся в ви-
де: х — х(и, 1') = -2и3 + бму2 + 6м: у = у(м, у) = 2v3 - бум2 — 6v; z = z(u, у) = 6м2 - 6r2. Найденные
уравнения показывают, что в этом случае полученная аналитическая минимальная поверхность
является минимальной поверхностью Эннепера (см. «Минимальные поверхности»).
Дополнительная литература
1. Курек Г.К. Формообразование некоторых алгебраических минимальных поверхностей линейным каркасом
специальных линий// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев,1975. - Вып. 20. - С. 99-102 (библ.: 1 назв.).
2. Курек ГК, Федив И.Я. К вопросу исследования параметрического уравнения минимальной поверхности//
Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев,1978. - Вып. 26. - С. 25-27.
328
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО МИНИМАЛЬНЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
1. Борисенко А.А. О явно заданных минимальных поверхностях// Украинский геом. сборник. - Харьков, 1982. -
Вып. 26.-С. 6-7.
2. Королев Е.А., Фомина Т.Н. Минимальные поверхности Петерсона// Украинский геом. сборник. - Харьков,
1979. - Вып. 22. - С. 92-96.
3. Волошин Е.И., Гуляев В.Н. Упругое равновесие оболочек минимальной поверхности с трапециевидным в
плане опорным контуром// Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев, 1985. - № 46. - С. 51-56.
4. Волошин Е.Л. Численное исследование геометрии оболочек с минимальной срединной поверхностью мето-
дом продолжения решения по параметру// Автоматиз. проектир. объектов гражд. стр-ва. - Киев, 1984. - С. 11-16.
5. Гоциридзе А. Ф. Модельное испытания железобетонных оболочек в виде мыльной пленки// Строит, мех. про-
странственных конструкций, 2, Тбилиси, 1974. - С. 34-37.
6. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. - М.: «Наука», 1987. - 312 с.
(библ.: 428 назв.).
7. Завриев К.С., Мухадзе Л.Г., Гоциридзе А.Ф. Пространственные покрытия в виде оболочек минимальной по-
верхности// Исследования по теории сооруж. - Вып. 21. - М.: «Стройиздат», 1975. - С. 92-95 (библ.: 5 назв.).
8. Королев М.Е. Минимальные поверхности. - Горл. фил. Донецк, политехи, ин-та. - Горловка, 1991. - 18 с. -
Деп, в УкрНИИНТИ 12.08.91, № 115О-Ук91.
9. Лобов С.А. Расчет минимальных оболочек на персональном компьютере// Матер. 47 н.-т. конференции
ВГАСА. - Воронеж, 1994. - С. 22-24.
10. Трушин С.И., Сальман Аль-Духейсат. Применение вариационно-разностного метода к расчету пологой
прямой геликоидальной оболочки// Вопросы прочности пространственных систем. - М.: РУДН, 1992. -- С. 24-28.
11. Александров П.В., Немировский Ю.В. Исследование напряженного состояния армированных геликоидаль-
ных оболочек// Известия вузов. Строительство. - 1994. - № 11. - С. 48-55 (библ.: 15 назв.).
12. Нартова Л.Г. Исследование дифференциально-геометрических характеристик поверхностей номографиче-
скими методами// Электронный журнал «Прикладная геометрия». - М.: МАИ (ГТУ), июль 2000. - Вып. 2, № 2. -
5с. (библ.: 2 назв.).
13. Plateau J. Statique Experimentale et Theorique des Liquides Soumises aux Seules Forces Moleculaires. - Paris:
Gauthier. - Villars, 1873.
14. Darboux G. Lemons sur la theorie generale des surfaces. Premiere partie. - Paris: Gauthier. - Villars, 1941.
15. Osserman R., SchifferM. Doubly-connected minimal surfaces// Arch. Rational Meeh. Anal. - 1975. - Vol. 58, N 4.
- P. 285-307.
16. Bohme R., Tromba A. The index theorem for classical minimal surfaces// Ann. Math. -1981.-Vol. 113,- P. 447-499.
17. Hagen H. Die minimalen (k + 1)-Regelflachen// Arch. Math. - 1984, 42, N 1. - S. 76-84.
18. Hasanis Thomas, Koutroufiotis Dimitri. A property of complete minimal surfaces// Trans. Amer. Math. Soc., 1984,
281, N 2.-P. 833-843.
19. Isenberg Cyril. Minimum-area surfaces, soap films and soap bubbles// Math. Spectrum. - 1983-1984, 16, № 3. - P.
85-93.
20. Suzuki Toshio, Hangai Yasuhiko. Shape analysis of minimal sur face by the finite element method// Spat. Struct.
Turn. Millennium: Proc. IASS Symp., Copenhagen, 2-6 Sept. 1991, vol.2. - Copenhagen, 1991. - P. 103-110 (библ.: 11
назв.).
21. Erechet Maurice. Determination des surfaces minima du type a(x) + h(y) = c(z)// C. r. Akad. Sci., 1957, 244, № 2.
-S. 145-147.
22. Vincensisi Paul. Sur une transformation des surfaces minima// C. r . Akad. Sci., 1955, 241, № 2. - S. 153-154.
23. Yan Gao Zhang and A. Tabarrok. Generation of surfaces via equilibrium of forces// Comput. Struct. - 70 (6), Mar.
1999.-P. 599-613.
24. lura Masashi, Hiroshima Masaharu. Fourier analysis of shallow right helicoidal shells// Trans. Jap. Soc. Civ. Eng.
- 1984,- 14.-P. 55-59.
25. Popov E.V. On some variation formulations for minimum surface// The Transactions of the Canadian Society for
Meeh. Engineering. - 20 (4), 1996.
26. Bers L. Abelian minimal surfaces// J. Analyze Math. - 1951. - Vol. 1. - P. 43-58.
27. Ulrich Pinkail and Konrad Polthier. Computing discrete minimal surfaces and their conjugates// Experimental
Mathematics. -7, 1993. - P. 15-36.
28. Meeks William H., III. A survey of the geometric results in the classical theory of minimal surfaces// Bol. Soc. bra-
sil. mat. - 1981. - 12, №1. - P. 29-86 (библ.: 120 назв.).
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Минимальные поверхно-
сти».
329
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СЦЕПЛЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Сцепленные периодические минимальные поверхности представляют собой минимальные
поверхности, симметричные относительно трех независимых направлений. Общим свойством
этих поверхностей является наличие базового куска поверхности, который можно расположить
в многограннике так, что границы этого куска будут лежать на гранях многогранника и вдоль
всей границы соприкосновения минимальная поверхность пересекает многогранник под пря-
мым углом. Несколько базовых кусков минимальной поверхности
могут быть объединены в базовую ячейку. Эта ячейка также будет
помещаться в многогранник, который обычно представляет собой
регулярный многогранник. Первым примером сцепленной периоди-
ческой минимальной поверхности можно считать минимальную по-
верхность Шварца (рис. 1, взят без изменений на сайте [3]).
12 минимальных поверхностей рассматриваемого типа были
предложены и реализованы в пластмассовых моделях А. Шоеном
(А. Н. Schoen) в 1970 году. Затем им же в 1988 были предложены
для рассмотрения еще восемь новых сцепленных периодических
минимальных поверхностей, построенных с применением принципа
отражения Г.А. Шварца. Существование этих поверхностей было подтверждено исследования-
ми Г. Кархера, который, в свою очередь, ввел в обращение много новых минимальных поверх-
ностей рассматриваемого типа, используя конструкции из сопряженных поверхностей. Г.
Кархер изучал также изгибание сцепленных периодических минимальных поверхностей в сце-
пленные периодические поверхности постоянной средней кривизны.
На рис. 2 изображена базовая ячейка одной из минимальных поверхно-
стей А. Шоена, помещающаяся в кубоид и состоящая из 16 конгруэнтных
базовых кусков поверхности. Верхняя и нижняя грани кубоида - квад-
ратные. Изменяя высоту кубоида, можно получить однопараметрическое
семейство минимальных поверхностей. К. Полтиер считает наиболее ин-
тересными для исследований сцепленные периодические минимальные
поверхности, разделяющие пространство на две необъединяющиеся об-
ласти. Эти области можно представить как проникающие друг в друга
два лабиринта, разделенные минимальной поверхностью.
Подавляющее большинство известных в настоящее время сцепленных
периодических минимальных поверхностей получено эксперименталь-
ными методами с использованием мыльных пленок, вакуумным форми-
рованием модели из пластмассовой плоской заготовки, или формируются на пространственном
контурном каркасе из термопластичных полимерных материалов.
Сцепленные периодические минимальные поверхности будут представлять интерес для
кристаллографии и химии при исследовании пространственных структур атомов и их соедине-
ний в кристаллических решетках. А. Шоен отмечает сходство между рассматриваемыми по-
верхностями и поверхностями известкового скелета некоторых морских микроскопических су-
ществ.
Дополнительная литература
1. Polthier Konrad. Geometric data for triply periodic minimal surfaces in spaces of constant curvature// Geometric
Analysis and Computer Graphics: Proc, of a Workshop held May 23-25, 1988/ Paul Concus, Robert Finn, David A. Hoff-
man, editors. - Springer-Verlag New York Inc., 1991. - P.139-145 (библ.: 9 назв.).
2. Schoen A.H. Embedded triply-periodic minimal surfaces and related soap film experiments// Geometric Analysis
and Computer Graphics: Proc, of a Workshop held May 23-25, 1988/ Paul Concus, Robert Finn, David A. Hoffman, edi-
tors. - Springer-Verlag New York Inc., 1991. - P. 147-157 (библ.: 3 назв.).
3. http://www.susqu.edu/brakke/evolvei7examples/periodic/periodic.litml
330
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИМЕРЫ СЦЕПЛЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Starfish Minimal Surfaces
Schoen's F-RD Surface Schoen's Batwing Surface
Schwarz' Р Surface
Batwina Family
Schoen's Manta Surface
Schoen's Complementary D Surface
Hybrids
Schoen’s Manta Surface of
Genus 35
Fischer-Koch Y Surface
Schwarz' H Surface
Schoen's unnamed Surface 14
of Genus 19
Fischer-Koch S Surface
Schoen's 1-9 Surface
Schoen's Complementary
Schoen's Hybrid-1[P,F-RD] Surface D Surface
P.S. Поверхности взяты на сайте httpiwww.susqu.edu/facstaff/b/brakke/examples/periodic/periodic.html
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ И ВИЗУАЛИЗАЦИИ
СЦЕПЛЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Мифтахутйинов ИХ., Лгьмалов И.Р. Комбинированные купольные сооружения из пластмасс// Монтажные
и специальные работы в строительстве. - 2001. - № 8-9. - С.49-51.
2. Barnes Ian S. A useful trigonometric approximation to periodic minimal surfaces?// Austral. Math. Soc. Gaz. -
1990. - 17, №4,-P. 99-105.
3. Periodic Minimal Surfaces Gallery. - Univ, of Cambridge,.http: www-klinowski.ch.cam.ac.uk./pmsgal 1 .htm . -
Group Web Page, 2002.
4. Brakke Ken. Triply periodic minimal surfaces. - Susquehanna University. Mathematics Department. - 12.21.2000.
- httpV/www.susqu.edu/facstaff/b/brakke/
5. Karcher H. The triply periodic minimal surfaces of Alan Schoen and other constant mean curvature compagnions//
Manuscripta Math., 64. - 1989.
331
АФФИННО-МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
АФФИННО-МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Аффинно-минимальная поверхность - это поверхность, средняя аффинная кривизна кото-
рой равна нулю. В отличие от обычных минимальных поверхностей, состоящих лишь из седло-
вых точек, аффинно-минимальная поверхность может содержать эллиптические точки. Так, эл-
липтический параболоид состоит целиком из эллиптических точек и является аффинно-
минимальной поверхностью.
Из наиболее известных обычных минимальных поверхностей одновременно и к аффинно-
минимальным поверхностям относится поверхность Эннепера (см. «Минимальные поверхно-
сти»), скульптурное изображение которой выставлено в новом здании Математического инсти-
тута университета г. Вюрцбурга.
Минимальные поверхности Томсена также являются одновременно и аффинно - минималь-
ными поверхностями [3]. Семейство этих поверхностей включает в себя плоскость («бесконеч-
но удаленную» поверхность Томсена), правую прямую винтовую поверхность, поверхность
Эннепера и левую прямую винтовую поверхность.
Аффинно-минимальные поверхности характеризуются тем, что вдоль любой асимптотиче-
ской линии касательные к асимптотическим линиям другого семейства параллзяьны некоторой
плоскости. Для поверхности, отнесенной к асимптотическим координатам, вводится понятие
ковариантного вектора v„r
Д„. -2ДЛ
2:
[п.'Л,.], где 2 = -у|и„|" - скалярный параметр, равный
длине вектора nu(u,v), являющийся коэффициентом линейного элемента сферы ds1 = X 2(du2 +
t/v~), имеющей изотермическую сеть.
Для аффинно-минимальных поверхностей ковариантный вектор vM1, = 0. Следовательно,
сферические образы асимптотических линий рассматриваемых поверхностей - плоские кривые,
состоящие из ортогональной сети окружностей.
К. Струбеккер (Karl Strubecker) [1] в трехмерном изотропном пространстве определил все
минимальные поверхности Ф, которые одновременно являются аффинно-минимальными. По-
верхности Ф характеризуются тем, что изотропное сферическое изображение асимптотических
линий этих поверхностей образуют два ортогональных пучка изотропных окружностей. В зави-
симости от типа этих пучков поверхности Ф разделяются на три класса.
Krauter Р. [5] доказал, что в трехмерном аффинном пространстве А3 существует всего 4 типа
аффинно-минимальных поверхностей. Аффинно-минимальная поверхность вращения в А3 име-
ет строго большую аффинную площадь, чем любая другая аффинная поверхность вращения с
той же осью и с той же границей.
Дополнительная литература
1. Strubecker Karl. Uber die Minimalflachen des isotropen Raumes, welche zugleich Affinminimalflachen sind//
Monatsh. Math. - 1977. - 84, № 4. - S. 303-339.
2. Нартова Л.Г., Джураев Т.К. Об одном свойстве минимальной поверхности Эннепера// Кибернетика графи-
ки и прикладная геометрия поверхностей. - М.: МАИ, 1971. - Том VIII, вып. 231. - С. 86-88 (библ.: 2 назв.).
3. Barthel Woldemar, Volkmer Reinhard, Haubitz Imme. Thomsensche Minimalflachen - analytisch und anschaulich//
Result. Math. - 1980. - 3, № 2. - S. 129-154.
4. Blaschke W Vorlesungen liber Differentialgeometrie. II. Affine Differentialgeometrie. - Berlin. - 1923.
5. Krauter Peter. Affine minimal hypersurfaces of rotation// Geom. dedic. - 1994. - 51, № 3. - P. 287-303.
6. Онищук H.M., Коваленко И.Б. Об аффинной геометрии минимальных поверхностей// Сибирская геом. конф.,
Томск, 26-28 июня 1995 г.: Тез. докл. - Тлмск, 1995. - С. 39-41.
7. Buvske Steven G. An algebraic representation of the affine Backlund transformation// Geom. dedic. - 1992. - 44, №
l.-P. 7-26.
8. -Погорелов А.В. Полные аффинно-минимальные гиперповерхности// Докл. АН СССР. - 1988. - 301, № 6. - С.
1314-1316.
9. Gldssner Ekkehart. Ein Affinanalogon zu den Scherkschen Minimalflachen// Arch. Math. - 1977. - 28, № 4. - S
436-439.
332
АФФИННО-МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ АФФИННО-МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Трансцендентная аффинно-минимальная поверхность одновременно является обычной ми-
нимальной поверхностью. Рассматриваемую поверхность называют также минимальной по-
верхностью Томсена, допускающей переход к поверхности Эннепера (см. «Минимальные по-
верхности Томсена»),
Форма задания трансцендентной аффинно-минимальной поверхности
, ч cv + shvcosi( , х и + csini/chv z
x = x(u,v) =-----—. y = y(u,v) =-----=—, z = z(w,v) = -sin«shv, гдестЧ.
71 — c~ — c
При c = 0 трансцендентная аффинно-минимальная поверхность вы-
рождается в прямой геликоид (см. «Минимальные поверхности»).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
=д2 = (chw£cosw)^ F = o, _F2 = Л4 ^ = /V = 0; м=1;
1-с"
к- — (1~с-1 <0, Н = 0.
(chv т с cos и)
Поверхность задана в криволинейных ортогональных несопря-
женных координатах и, v. Коэффициенты второй квадратичной
формы поверхности показывают, что криволинейные координат-
ные линии и, v являются плоскими. Коэффициенты первой квад-
ратичной формы поверхности подтверждают, что координатная
сеть - изотермическая [ds2 = A~(clu~ + dv2)].
Единичный вектор нормали п(и,у) к поверхности можно представить в виде:
. . 71 - с2 I . . . cosu + cchv,
п(и, у) =----------(8шш + shy/ -I-=—к
chv + сcos и I 71-с2
па(и, у) = — = -------— --— {(с + cos«chv)i + cshvsinuj -71 — c2 sinwchvA:}
du (chv + c cos u)
Скалярный параметр Я, равный длине вектора и„(и, г) определя-
ется по формуле:
откуда
-2л: <и<2л
Рис. 3 (с = 0,25)
1 ft Д 71-с2 1
Л = Д и, I =----------= —.
chv + ccosw А
Определив Лип можно убедиться, что
v„„ = ~42/^[ДА.] =0.
Таким образом, трансцендентная аффинно-минимальная по-
верхность относится к классу аффинно-минимальных поверхно-
стей.
На рис. 1 - 3 показаны фрагменты рассматриваемых поверхностей, ограниченные коорди-
натными линиями и и г. На всех рисунках поверхность ограничена контурными линиями у = -2
и v = 2, пределы изменения координаты и и значения параметров с указаны на рисунках.
Дополнительная литература
1. Нартова Л.Г., Джураев Т.К. Об одном свойстве минимальной поверхности Эннепера// Кибернетика графи-
ки и прикладная геометрия поверхностей. - М.: МАИ, 1971. - Том VIII, вып. 231. - С. 86-88 (библ.: 2 назв.).
333
ПОВЕРХНОСТИ СО СФЕРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ
ПОВЕРХНОСТИ СО СФЕРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ
Поверхности со сферической направляющей кривой имеют в качестве направляющей кри-
вой сферическую линию Ефи) = аефи) = a(icosn + jsinw)cos® + kasinco, со = со(и) на поверхности
сферы радиусом а. Единичный вектор ефи) является нормалью сферы, на которой расположена
направляющая линия.
Образующая плоская кривая задается в местной системе координат с началом координат на
сферической направляющей линии: X = Х(у), Y = У(у).
Обычно применяются два типа поверхностей со сферической направляющей кривой:
1) образующие кривые располагаются в плоскостях меридианов сферы (тип 1); и 2) обра-
зующие кривые лежат в нормальных плоскостях сферической направляющей кривой (тип 2).
Формы задания поверхностей с образующей кривой в плоскостях меридианов сферы
1) Векторная форма задания: г = г(и,у) = [acosco + ср(и, v)]h(u) + [osincy + i//{u, v)]A,
где cp(u,v) = X(v)cos0 - y(v)sin6l; y(j.i,v) = X(v)sin0 + y(v)cos0; причем co = co(u) = pu + с; рис-
константы; в - 0(u) = d + tu - угол, характеризующий поворот местной системы координат от-
носительно оси сферы: d и г - константы.
2) Параметрическая форма задания:
х = х(и, v) = [acos® + ^(«,v)]cos«, у = у(и, v) = [a cos о + ^(«,y)]sinn, z = z(u, у) = asin® + y/(u, y).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности (тип 1):
А2 = а2О)2 + (Х2 + Y2)0'2 +(«cos<y + £>)2 + 2асо'0'ф; F = аа> ф + 0\XY - XY); В2 = X2 + Y2,
_ _ (a cos со + ср)\асо’2ф + в'2 (XY - ХУ) + (a cos со + <р)ф]+ 2(a®'sin со + д'у)\асо'ф + 0\ХХ - УУ)]
-]а2В2 -F2
м _\асо'ср + 0фХХ-YYy\p-0\acosco + cp)B2 _ (a cos со + cp)(XY - ХУ)
7а252 -Е2 ’ у1а2В2 -F2
где ф = фсозсо +ус sin со; ф = -ф sin со + усcos со.
Формы задания поверхностей с Образующей кривой в нормальных плоскостях
сферической направляющей кривой
1) Векторная форма задания: г = r(u,v) = аефи) + ^(и,у)е0(и) + ^(n,v)g(«),
где во = ефи) = A(n)cosco + fcsin®; g = g(u) — [ejls x e0] - единичный вектор, ортогональный век-
тору ефи); h = й(и) = icosw + jsinn; <p(u,v) = X(v)cos0 - y(v)sin0; (z/(«,v) = X(v)sin0 + y(y)cos0; при-
чем 0 = 0(u) = d + tu; d и t константы; 0 - угол, характеризующий поворот местной системы ко-
ординат относительно оси сферы; 5 = [со/2 + cos2®]1/2; со = со(и) - заранее выбранная функция.
2) Параметрическая форма задания:
х = х(и, v) = [а + <р(и, v)] cos со cos и + уфи, v)(sin®cos®cosw -<y'sin«)/i,
у = y(u,v) = [a + срф, v)]cos®sinu + уфи, v)(sin®cos®sin и + co'cos и)/ s,
z - z(u,v) = [a + <p(u, v)]sin£У- цгфи,v)cos2 col s.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности (тип 2):
14—р- k/sin69 +—cos® у/, F = 0, В = фX2 +У2,
X" ) s~
A — s(a + cp) +
T A •
L = -<syc-
B\
1 + ^-p- U'sin co + —y-cos co ср У M - 0, N =
S' J s-
фу/-срус _ XY-XY
В
B
Во всех формулах обозначение означает дифференцирование по параметру и, а обозна-
чение дифференцирование по параметру у.
334
ПОВЕРХНОСТИ СО СФЕРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ
Поверхности со сферической направляющей кривой, представленные в справочнике:
Сферический геликоид
Коническая поверхность с
направляющей линией па сфере
Циклическая поверхность с окружностями
в плоскостях меридианов сферы и е линией
центров на этой же сфере
Торсе образующими прямыми,
лежащими в нормальных плоскостях
сферической кривой
Поверхности со сферической направляющей кривой и параболической образующей в
плоскостях меридианов сферы
Поверхности со сферической
направляющей кривой и эллиптической
образующей в плоскостях меридианов
сферы
Волнообразные торы на сфере
335
ПОВЕРХНОСТИ СО СФЕРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ
ПОВЕРХНОСТЬ СО СФЕРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ
И ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ В ПЛОСКОСТЯХ МЕРИДИАНОВ СФЕРЫ
Поверхность со сферической направляющей кривой и параболической образующей в плос-
костях меридианов сферы имеет в качестве направляющей кривой сферическую линию
Ео(и) = аео(и) = a(icosu + jsinzz)cos<jj + kasinco, со = со(и)
на поверхности сферы радиусом а. Образующая парабола задается в местной системе коорди-
нат с началом координат на сферической направляющей линии: X = Х(у) = у, Y = У(у) = bv".
a = 5; b= 1; p =1/5; 0=ri2;
Рис. 1 (-1 < v < 1; -5л/2 < и < 5л72)
o = 5; 6=1; p =1/10; 6=лт2;
Рис. 2 ( -1 < v < 1; -5л <и <5л)
а = 10; Ь= 1;р = 1/10; 0 = лт2;
Рис. 3 ( -2 < у < 2; -5л < и < 5л)
Формы задания поверхности с параболической образующей
1) Параметрическая форма задания (рис. 1-3):
х = x(«,v) = [a coso + <р(и, у)] cos/с, у = у(и, у) = [a cos о + ср(и, v)] sin zz, z = z(u, v) = a sin о + ц/(и, у),
где cp(u,v) = vcos# - #v2sin6>; у/(и,у) = vsin# + bv2cos0; со = со(й) = ри; р = const; в = d = const; в -
угол, характеризующий поворот местной системы координат относительно оси сферы.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности можно вычислить по формулам,
приведенным на странице «Поверхности со сферической направляющей кривой» в разделе
«Формы задания поверхностей с образующей кривой в плоскостях меридианов сферы».
ПОВЕРХНОСТЬ СО СФЕРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ
И ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ В ПЛОСКОСТЯХ МЕРИДИАНОВ СФЕРЫ
Поверхность со сферической направляющей кривой и эллиптической образующей в плоско-
стях меридианов сферы имеет в качестве направляющей кривой сферическую линию
Ео(и) = дво(и) = «(icosu + jsinn)cos® + kasinco, со = со(и)
на поверхности сферы радиусом а. Образующий эллипс задается в местной системе координат
с началом координат на сферической направляющей линии: X = Х(у) = bcosv, Y = У(у) = csinv.
Формы задания поверхности с эллиптической образующей
1) Параметрическая форма задания (рис. 4):
х = х(и, v) = [a cos/а + ср(и, г)] cos и, у = у (и, v) = [a cos су + <р(и, v)] sin и, z = z(u, v) = asin&) + i//(u, v),
p =1/5; 0=0; /> =1/5; (9=л/2; p =1/5; (9=л/4;
Рис. 4 (a = 10; 6=1; c = 2; -5л/2 < и < 5л /2 ; -1 < у < 1)
где cp(u,v) = bcosvcos# - csinvsin//;
(б(и,у) = bcosvsin# + csinvcos#;
су = pu; p = const; Q = d = const -
угол, характеризующий поворот ме-
стной системы координат относи-
тельно оси сферы.
Коэффициенты основных квадра-
тичных форм поверхности вычисля-
ются по формулам, приведенным на
странице «Поверхности со сфериче-
ской направляющей кривой» в разделе «Формы задания поверхностей с образующей кривой в
плоскостях меридианов сферы».
336
ПОВЕРХНОСТИ СО СФЕРИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ
ТРУБЧАТАЯ ЛОКСОДРОМА
Трубчатая локсодрома имеет в качестве направляющей кривой сферическую линию
Eq(u) = аео(и) = aiicosti + jsinu)cosco + kasinco, со - со(и) = -тсТ1 + ZarctgC'’", р = ctg«
на поверхности сферы радиусом а. Здесь а - угол между локсодромой и меридианом сферы.
Единичный вектор со(и) является нормалью сферы, на которой расположена направляющая ли-
а = 10; b - 2; а = 0,45л?
Рис. 1
ния. Образующая окружность постоянного радиуса b задается в мест-
ной системе координат с началом координат на сферической направ-
ляющей линии: X = Х(у) = bcosv, Y = T(v) = Zxsinr. Окружности Лежат в
нормальных плоскостях сферической направляющей кривой.
Формы задания трубчатой локсодромы
1) Параметрическая форма задания при в = 0:
х = х(и, V) = [а +6 cos v)] cos tacos и + Z?sin v(sinta costa cosu-crf$mu)l s,
у = y(u, v) = [« + 6cosv] cos/asinu + £>sin v(sin tacos tasinu + co' cosu)/5,
z = z(u,v) = [a+ /’cosv]sinta-bsin vcos2 ta/s; где 5 = -J co'2 + cos2 co.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
. / 1 X Г/, X • .
А = s(a + b cos у) + [(1 + —т-) sm 69 +—cos co\b sin v,
s s
F =0, B = b, L = ^-^-A, M =0, N = b,
b
k„=k} k = 1.
" 1 bA ' - b
Трубчатая локсодрома задана в линиях кривизны.
а = 0,48л- а = 0,49л Координатные линии v совпадают с образующими
Рис. 2 (а = 10; b = 0,8; -1 Отт < и < 1Отт; 0 < v < ) окружностями.
ТРУБЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ОБМАТЫВАЮЩАЯ СФЕРУ
а = 10; b = 1; г = 1; р = 1;
d - 0,25л; — 8 < и < 8
Рис. 3
а = 10; b = е = 1; р = 1/5;
<1 = 0; -15 < и < 15
Рис. 4
Трубчатая поверхность, обматывающая сферу радиусом а, имеет в
качестве направляющей кривой сферическую линию
Eq(u) = аео(и) = a(icosu + jsinu)cos® + kasinco, со = <a(u) - d + earctg(pu),
d, p и £ - постоянные параметры. Единичный вектор е$(и) является нор-
малью сферы, на которой расположена направляющая линия. Образую-
щая окружность постоянного радиуса Ь задается в местной системе-ко-
ординат с началом координат на сферической направляющей линии:
X = X(v) = teosv, Y = T(v) = teinv.
Окружности лежат в нормальных плоскостях сферической направ-
ляющей кривой.
Формы задания трубчатой поверхности, обматывающей сферу
1) Параметрическая форма задания при 0 = 0 (рис.3—4):
х = x(u,v) = [a + b cos v)]costacosu 4- Zzs in v(sin tacos tacos и - co'sin и)/s,
у = y(u,v) = [a + b cos v] costa sin и +Z?sin v(sin tacos tasinu + co'cosu)/ s,
z = z(u,v) = [я+ £cos v)sin ta-6 sin vcos2 ta/s; где j = yjco'2 +cos2 co.
Трубчатая поверхность задана в линиях кривизны. Координатные ли-
нии v совпадают с образующими окружностями. Варьируя постоянными
параметрами, можно получать разнообразные формы трубчатых поверх-
ностей на сфере (рис. Ъ-d).
337
ПОВЕРХНОСТИ ВЕЙНГАРТЕНА
ПОВЕРХНОСТИ ВЕЙНГАРТЕНА
Поверхность Вейнгартена - это поверхность, средняя кривизна Н которой связана с ее га-
уссовой кривизной К функциональной зависимостью
жю = о.
Часто поверхность Вейнгартена называют поверхностью W. Можно сказать также, что по-
верхность И7 характеризуется функциональной зависимостью
ЖЛ0 = О,
где R\, R-i - главные радиусы кривизны. Линии кривизны поверхности Вейнгартена определя-
ются квадратурами.
В зависимости от знака производной dkjdkx, где к\ и Ад - главные кривизны, поверхности
Вейнгартена разделены на 3 класса [2].
Для того, чтобы поверхность была поверхностью Вейнгартена, необходимо и достаточно,
чтобы обе полости ее эволюты были наложимы на поверхности вращения, а ребра возврата
нормалей линий кривизны поверхности W налагались на меридианы. Так, например, наложи-
мыми являются поверхности постоянной средней или постоянной,гауссовой кривизны.
Для того, чтобы поверхность была поверхностью Вейнгартена, необходимо и достаточно,
чтобы асимптотические линии на полостях ее эволюты соответствовали. Поверхность V/ в этом
случае является либо поверхностью вращения, либо принадлежит к более общему классу по-
верхностей с одним семейством плоских линий кривизны.
Произведение гауссовых кривизн двух полостей эволюты (см. раздел «Поверхности») по-
верхности Вейнгартена обратно четвертой степени расстояния между соответствующими точ-
ками этих полостей.
Если линии кривизны на двух полостях эволюты поверхности S соответствуют, то поверх-
ность S будет поверхностью Вейнгартена. Расстояние между соответствующими точками по-
лостей в этом случае постоянно, а сами полости имеют равные постоянные гауссовы кривизны.
Поверхность W характеризуется тем, что ее четвертая квадратичная форма имеет нулевую
гауссову кривизну.
Доказано достаточное условие того, что поверхность W трехмерного евклидова пространст-
ва с границей из омбилических точек является частью сферы [4, 5]. Это условие заключается в
существовании четырех функций, удовлетворяющих вместе со средней и полной кривизнами
поверхности одному дифференциальному уравнению и одному неравенству.
Поверхности W введены Ю. Вейнгартеном в связи с задачей отыскания всех поверхностей,
изометрических с данной поверхностью вращения. Эта задача сводится к задаче отыскания всех
поверхностей Вейнгартена того же класса.
Дополнительная литература
1. Weingarten J. И J. reine and angew. Math. - 1861, Bd. 59. - S. 382.
2. Van-Brunt B., Grant K. Hyperbolic Weingarten surfaces// Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1994. - 116, № 3. -
P. 489-504.
3. [Пуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. - М.: Физматгиз,
1963. - 540 с.
4. Afwat М. On generalized Weingarten surfaces// Cas. pestov. mat. - 1976. - 101, № 3. - P. 263-270.
5. Afwat M. Generalized Weingarten surfaces// Czechosl. Mat. J. (CSSR). - 1977. - 27, № 2. - P. 246-249.
6. Martinez A., Milan F. Complete linear Weingarten surfaces of Bryant type. A Plateau problem at infinity// Trans.
Am. Math. Soc. - 356, no. 9. - 2004. - P. 3405-3428^
7. Martinez A., Milan F. Linear Weingarten surfaces in Я7/ Monatsh. Math. - 138. - 2003. - P. 133-144.
8. Sa Earp Ricardo, Toubianna Eric. Sur les surfaces de Weingarten Speciales de type minimal// Bol. Soc. Brasil. Mat.
(N.S.). - 26, no. 2. - 1995. - P. 129-148.
9. Corro A.V., Ferreira W„ and Tenenblat K. Ribaucour transformations for constant mean curvature and linear Wein-
garten surfaces// Pasific J. of Mathematics. - Vol. 2, no. 2. - December, 2003. - P. 265-296.
10. Jolies S. Julius Weingarten// Sitzungsber. der Berliner Math. Gesellschaft. - 19. - 1911. - S. 8-11.
338
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Гауссова или полная кривизна поверхности К вычисляется по формулам:
Полная кривизна К вполне определяется при задании первой квадратичной формы поверх-
ности, а следовательно, принадлежит к внутренней геометрии и остается инвариантной при из-
гибании. Это нельзя усмотреть непосредственно из определения полной кривизны К = так
как к\ и кл_ по отдельности при изгибании меняются. Таким образом, поверхности постоянной
гауссовой кривизны при изгибании переходят только в поверхности постоянной гауссовой кри-
визны с тем же ее значением. Итак, две поверхности S и S* одной и той же постоянной гауссо-
вой кривизны К всегда можно изогнуть одна в другую так, что наперед заданная на S точка Мо с
направлением t0 в ней переходит на S* в любую наперед заданную точку А/J с направлением t’
в ней.
Координатная система на поверхности называется полугеодезической, если координатные
линии различных семейств попарно ортогональны и одно из семейств состоит из геодезических
линий. Пусть L - произвольная гладкая кривая на поверхности 5, проходящая через точку X.
Пусть через каждую точку кривой L проходит только одна геодезическая линия и, образующая
с кривой L в точке пересечения прямой угол. Кривая L на поверхности 5 является геодезической
линией только в том случае, когда главная нормаль в каждой точке кривой L, где ее кривизна
отлична от нуля, совпадает с нормалью поверхности 5 в этой точке. Второе семейство коорди-
натных линий г будет состоять из ортогональных траекторий построенных геодезических ли-
ний и. В этом случае, первую квадратичную форму поверхности, заданной в полугеодезической
системе координат можно привести к виду.
els" = du" + B~(n.y)dv'.
При такой параметризации гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле К = -Ви1/В,
где параметр Ламе В должен удовлетворять дифференциальному уравнению: В,,,, + КВ = 0. Для
поверхностей постоянной гауссовой кривизны возможны три варианта.
1. К = 0, тогда В = 1 и ds2 = du2 + dv2.
2. К = к2 > 0, тогда В = cosku и ds2 = du2 + cos2kudv2.
3. К = -к2 < 0, тогда В = chku и ds~ = du1 + ch2kudv2.
Все поверхности постоянной положительной гауссовой кривизны накладываются на сферу,
все поверхности постоянной отрицательной кривизны - на псевдосферу, а поверхности нулевой
гауссовой кривизны (см. «Торсовые поверхности») локально изометричны плоскости. Речь идет
о достаточно малых кусках поверхностей постоянной кривизны.
Теорема Гаусса - Бонне утверждает, что если a, fl, у - внутренние углы треугольной облас-
ти Д, ограниченной на гладкой поверхности тремя геодезическими линиями, то
а + /3+у = я+ ft KdS,
А
то есть для поверхности постоянной гауссовой кривизны второе слагаемое в правой части равно
произведению гауссовой кривизны К на площадь треугольника Д.
Неразвертывающаяся линейчатая гладкая регулярная поверхность не может иметь постоян-
ную гауссову кривизну.
Единственной минимальной поверхностью с постоянной гауссовой кривизной является
плоскость.
Дополнительная литература
1. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фо.менко А. Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. -
М.: Физматлит, 2001. - 352 с.
2. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с. (библ.: 11 назв.).
339
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТИ
ПОСТОЯННОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле
К = кф2 = (lN -М2)/{а2В2 - F2),
а если поверхность задана в явном виде z = z(x,y), то приведенное уравнение приобретает вид
К = (р.луу - z2„ )/(1 + z2 + z2)2.
Таким образом, задача нахождения уравнения поверхности z = z(x,y) постоянной гауссовой
кривизны (К > 0) сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения Монжа -
Ампера в частных производных
- z2. = к2 (1 + z2 + z2)2, где принято к2 = К.
Наиболее известной поверхностью постоянной положительной гауссовой кривизны являет-
ся сферическая поверхность, а достаточно малые куски всех остальных поверхностей постоян-
ной положительной гауссовой кривизны накладываются на сферу. Поверхностей переноса с по-
стоянной гауссовой кривизной К = const* 0 не существует.
Две поверхности 5 и 5* одной и той же постоянной полной кривизны К всегда можно изо-
гнуть одна в другую так, что наперед заданная на $ точка М с направлением /0 в ней переходит
на S* в любую наперед заданную точку М'о с направлением t’o в ней. Подразумевается, что
речь идет об изгибании поверхности 5 не обязательно в целом, а хотя бы в некоторой окрестно-
сти точки Мд на некоторую окрестность точки М'о. Следовательно, все поверхности данной по-
стоянной положительной кривизны К имеют в малом одну и ту же внутреннюю геометрию. Та-
ким образом, путем изгибания окрестности в другую окрестность можно отобразить первую в
любое другое место поверхности с сохранением всех длин и углов.
Для поверхностей постоянной положительной гауссовой кривизны, заданной в полугеоде-
зических координатах и, v, первая квадратичная форма поверхности записывается в виде:
ds2 =du2 +[<yvcos(V7tw)]2,
то есть она совпадает с первой квадратичной формой сферы радиуса \/ 4~К , причем 4Ки слу-
жит широтой, a -/Kv - долготой.
Трехмерное квазириманово пространство постоянной кривизны в зависимости от знака
кривизны является галилеевым, квазиэллиптическим или квазигиперболическим пространст-
вом. Н.Е. Марюкова доказала, что радиус кривизны специальных линий и угол между асимпто-
тическими линиями на поверхности постоянной положительной гауссовой кривизны в квазиги-
перболическом пространстве являются решениями одномерного уравнения Клейна - Гордона.
Дополнительная литература
1. Baldes Al. and Wohlrab Or. Computer graphics of solution generalized Monge - Ampere equation// Geometric
Analysis and Computer Graphics: Proc, of a Workshop held May 23-25, 1988/ Paul Concus, Robert Finn, David A. Hoff-
man, editors. - Springer-Verlag New York Inc., 1991. - P. 19-30 (библ.: 4 назв.).
2. Марюкова Н.Е. Поверхности постоянной кривизны в квазиримановом пространстве постоянной кривизны и
уравнение Клейна- Гордона// Фундаментальная и прикладная математика. - 2000. -Том б, вып. 1. - С. 299-303.
3. Ионин В.К. О диаметрах выпуклых поверхностей с ограниченной снизу гауссовой кривизной// Сибирский
математический журнал. - 1995. -Том 36, № 1. - С. 93-101 (библ.: 2 назв.).
4. Кузеев Р.Р., Сингатулпин Р.С. Об электрическом поле диполя в пространствах положительной кривизны//
Гравитация и теория относительности. - Казань, 1980. - № 16. - С. 95-98.
5. Martiner A. Estimates in surfaces with positive constant Gauss curvature// P, Am. Math. Soc. - Vol. 128, no. 12.
2000. - P. 3655-3660.
6. Shibata Choko. On Finsler spaces of constant positive curvature// An. $ti. Univ. Ia.yi. - 1984. - Sec. la, 30, № 4. - P.
79-82.
7. Нашенский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - M.: Изд-во УРСС, 2003. - 432 с.
340
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Сферическая поверхность (шаровая поверхность) образовывается вращением окружности
постоянного радиуса R вокруг своей оси. Сферу можно рассматривать как частный случай эл-
липсоида вращения (см. «Эллипсоид вращения») или кругового тора (см. «Круговой тор»).
Площадь поверхности сферы радиуса R: S = 4тг7?2, объем сферы: V - 4тгЛ73.
Формы задания сферической поверхности
1) Неявная форма задания: х2 + у2 + z = R2 - уравнение сферы с центром в точке С(0, 0, 0).
2) Неявная форма задания: (х - а)2 + (у - b)2 + (z - с)2 = R2 - уравнение сферы с центром в
точке D(a, b, с).
3) Параметрическая форма задания (рис. 1, рис. 2):
х = х(а,Р) = flsinasin/?, у = у(а,Д) = ftsinacos/?, z = z(a) = Rcosa.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = R, F = 0, B = /?sina, L = R, M = 0, N = Rsin2 a, ka=kfi = k1=k2=l/R, K=l/R2.
4) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х ~ x(u,v) = 27?smucosMCOsv, у = y(w,v) = 27?sini<cosusinv, z = z(u) = 2/?sin2 u.
Здесь в качестве криволинейных координат введены углы и и г, показанные на рис. 3.
Центр сферы располагается в точке с координатами (0, 0, R).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 2R, F = 0, В = 2/?sinwcosi< = /?sin2w, L = 47?, М = 0, N = 7?sin2 2u,
kti = k{-kv = кг=\! R, K = l/R2, H = UR.
5) Параметрическая форма задания:
x = x(J3, у) = -д/л2 - Г2 зшД у = у(/в, у) = д//?2 - у2 cos# z = z(/) = у.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = Jr2 - у2, F = 0,B = R/^R2-у2, L = -(R2 -у2)/R, М=0, N = -R / (R2 - у2),
kp = к., - к\ =к2 --{/ R.
6) Явная форма задания: z = дЦ?2 - х2 - у2.
При помощи этой поверхности можно перекрыть прямоугольный план 2а х 2Ь (рис. 4),
но должно выполняться условие: а2 +Ь" < Л2.Здесь сеть криволинейных координат на поверх-
ности является неортогональной и несопряженной.
Дополнительная литература
1. 'Секач В.Г Основная библиография по строительной механике. - М.: УДН, 1968. - 304 с.
341
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТЬ РЕМБСА
Поверхность Рембса (Rembs’ Surface)
является поверхностью постоянной поло-
жительной гауссовой кривизны (К = const,
К>0).
Форма задания поверхности Рембса
1) Параметрическая форма задания:
х = ,х(и, у) = a(U cos и - U'sin и),
у = у (и, v) = -a(U sin и + U' cos и),
z = z(y) = v - aV',
0,5 < и < 1,2; -v0 < v < v0; -1,5 < и < 1,5; -vc < v < vc
Рис. 2 (С =2)
На рис. 1 - 3 представлены поверхности
Рембса с различными геометрическими пара-
метрами, которые указаны ниже соответствующих видов поверхностей.
Коэффициенты первой основной квадратичной формы поверхности:
А? _ 16С(1 + С)cos2(ул/С + l)ch2(и-х/С) p-Q
[1 - С cos(2vVc +1) + (С + l)ch(2«Tc )]2 ’
2 _ [1 + 2С + С соз(2уУсТГ) + (С + 1)сЬ(2иУС)]2 к _ 1
[1 - Ccos(2vVC + 1) + (С + l)ch(2i<Vc)]2
Все формулы, приведенные на этой странице, взяты без изменений и проверки на сайте [3].
С = 5;
Рис. 3
Дополнительная
литература
1. Rembs Е. Enneperische Fla-
chen konstanter positiver Kriim-
mung und Hazzidakissche Trans-
formationen// Jahrber. DMV, 39,
1930.-S. 278-283.
2. Чумаков ГА. Конформная
параметризация криволинейных
четырехугольников с помощью
геодезических четырехугольни-
ков на поверхностях положитель-
ной постоянной кривизны// Си-
бирский математический журнал.
-1993.-34, №1,- С. 193-203.
3. Eric \V. Weisstein. “Remb’s Surface”. - http://mathworld.wolfrain.com/RembsSurface.html From MathWorld - A
Wolfram Web Resource, (библ.: 3 назв.).
342
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТЬ СИВЕРТА
Поверхность Сиверта (Sievert’s Surface) является поверхностью постоянной положитель-
ной гауссовой кривизны (К = const, К > 0).
-0,95л- < v < 0,95л-; С = 1; -0,995л < v < 0,995л; С
Рис. 1
Форма задания поверхности Сиверта
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
/ \ \ \ г \ f \ \ / \ lntg(v/2) + a(«,vXC + l)cosv
х = х(и, v) = г (и, ijcos ф\и); у = у(и, vj - r\u, v)sm <p(u); z = z(u, v) =-'-----------
где p(u)=—?=L= + arctg(7c+T-tgiz), a(u,v} = -——,
VC + 1 C + l-Csm'vcos" и
r\u. v) = +1)(1 + Csin* 2 a)sin v,
причем - я 12 < и < я/2; 0 < v < л. Если брать другие пределы изменения параметра и, то бу-
дут получаться самопересекающиеся поверхности зонтичного типа (рис. 2). На рис. 1 - 2 пред-
ставлены поверхности Сиверта с различными геометрическими параметрами, которые указаны
ниже соответствующих видов поверхностей.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
,, 64acos2 acos2 v _ „
А~ =---------------------------5-----F = О,
[4 + За - a cos(2a) + 2а cos и cos (2v)]
64[(1 + a) esc v + a cos2 и sin v]2
С = 5; -2,5л < и < 2,5л
N =
С = 2; -3,5л < и < 3,5л
Рис. 2 (0,005л < v < л / 2)
В2 =----------------------------------------r,
4a[4 + 3a -acos(2tz) + 2a cos' acos‘(2v)]“
8acos3 wsin(3v) -4cosw[8 + 1 la + 3acos(2a)] _
[4 + 3a - a cos(2w) + 2a cos2 и cos2 (2v)]2
2 j V \ [ V
[4 + 5a + a cos(2a) - 2a cos и cos(2v)J cscl — I seel —
[4 + 3a - a cos(2a) + 2a cos2 и cos2 (2v)]2
1
К=1, Н= , .
1 + (а + 1)tg и
Все формулы, приведенные на этой странице, взяты без изме-
нений и проверки на сайте [1].
Дополнительная литература
1. Eric W. Weisstein. “Sievert’s Surface”. From MathWorld - A Wolfram Web
Resource. — http://mathword.woifram.com/SieveiTsSurface.html (библ.: 4 назв.).
2. Sieved H. Liber die Zentralflachen der Enneperschen Flachen konstanten
KriimmungsmafJes. - Dissertation, Tubingen, 1886.
343
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Гауссова кривизна поверхности А'определяется по формулам
LN - Мг
К = к, к, = —т-з—~г,
12 A^B'-F''
следовательно, для поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны должно вы-
полняться условие: К - ~k~ = const. Так как вид первой квадратичной формы поверхности по-
стоянной гауссовой кривизны зависит только от того значения, которое принимает эта кривиз-
на, то все поверхности заданной постоянной отрицательной гауссовой кривизны локально изо-
метричны псевдосфере с радиусом 1/к.
Поверхности вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны, полученные Ф.Г.
Миндингом, не имеют на регулярных своих частях внутреннюю геометрию, совпадающую с
геометрией частей плоскости Лобачевского, но имеют особенности: ребра, острия и, главное, в
целом не представляют полной плоскости Лобачевского. К поверхностям Миндинга постоян-
ной отрицательной кривизны относятся «фонарики», «катушки» и псевдосфера.
В 1901 г. Д. Гильберт доказал, что в пространстве Е2 не существует полной и регулярной
поверхности, внутренняя геометрия которой представляет геометрию полной плоскости
Лобачевского. Доказательство Гильберта основано на анализе свойств решений уравнения
синус-Гордо на
d2z .
—= sm z.
охду
Если на поверхности постоянной гауссовой кривизны К = -1 координатные линии и = const
и v = const являются асимптотическими линиями поверхности, то в этих координатах первая
основная квадратичная форма имеет вид ds2 = du2 + 2coscodudv + dv2, то есть F = cos®, где ® -
угол между асимптотическими линиями, который называют также сетевым углом. В этом слу-
чае сеть координатных линий и, у является чебышевской, а уравнение «sin-Gordon» принимает
вид ®ln, = sin со. С геометрической точки зрения решение уравнения синус-Гордона связано с
задачей построения чебышевских сетей на поверхностях, гауссова кривизна которых равна -1.
Более того, каждому решению уравнения синус-Гордона на такой поверхности отвечает чебы-
шевская сеть. Если гауссова кривизна поверхности равна отрицательной постоянной -к2 , то пу-
тем подобного преобразования пространства всегда можно добиться того, чтобы кривизна пре-
образованной поверхности была равна -1.
Для поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны, например с К = -1, мож-
но ввести такие локальные регулярные координаты р и q, что ее коэффициенты первой квадра-
тичной формы будут удовлетворять соотношениям:
dE dG
—- = — = 0, то есть Е = А" = Е{р), G = В" = G(o).
dq dp
А.Г. Попов предложил физическую интерпретацию поверхностей постоянной отрицатель-
ной гауссовой кривизны. Основная идея заключается в следующем. Поверхности постоянной
отрицательной кривизны, равной -1, используются в качестве фазовых поверхностей, описы-
вающих эволюцию физического процесса, задаваемого уравнением синус-Гордона. Фазовая по-
верхность представляет собой аналог фазового пространства в классической механике, то есть
каждая точка фазовой поверхности полностью характеризует состояние исследуемых физиче-
ских величин для соответствующих значений координат фазовой поверхности.
Дополнительная литература
1. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с. (библ.: И назв.).
2. Попов А.Г. Геометрический подход в некоторых задачах, связанных с уравнением sin-Гордона. - Автореф.
дис. канд. техн. наук. - М., 1988. - 16 с.
344
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТЬ КУЕНА
Поверхность Куена (Kuen’s surface) имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну.
2л<и< 5л;
-0,15л- < v < 0,85л
Формы задания поверхности Куена
1) Векторная форма задания:
г = r(u,v) =-----;—[е(и,г)-ии(и)]+1п| tg— \k ; где
l + u'sin’u у 2J
h(u) = icosu + jsinu; и(и) = —isinu + jcosu; e(u,v) = ft(u)sinv + fccosv.
2) Параметрическая форма задания:
, 2(cosu + и sin//) sinv , „ 2(sinu-//cosu)sinv
л- = х(и, v) =-----у—;-------, у = y(u, V) =-------у—5--------,
1 + u'sin'v 1 + u'sin'v
. , v 2 cosv
z = z(u,v) = Intg— +-------
2 1 + и" sin' v
Рис. 1
2л Г и < 8л;
-0,15л < v < 0,85л
Рис. 2
где 0 < v < яг; 0<и< 2я.
3) Параметрическая форма задания:
, . 2s/l + и1 2 3 4 cos(u-arctgn)sinv
х - х{и, v) = -—------------—2------
1 + и sin v
. х 2у/1 + u2 sin(u-arctgu)sinv
у = у (и, V) =---------5—5----------
1 + и" sm' v
Z , , V
z(u,v) = Intg—+
2 cos v
1 + u2 sin2 v
где 0 < v < п\ 0 <и < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее главные кривизны:
2 4u2sin2v 2 (1—u2sin2v)2
/х 7 у 7 ? ** ~ 7 э э 7 5
(l + u"sin v) (1 + и" sin" v)‘sin v
(l-u2sin2 v)usinv „ n ,, 4u(l-u2 sin2 v)
------ -----—-—, M = 0, N =--------—-—
(1 + u'sin v)' (1 + u sin" v)" sinv
, (l-w2sm2v) , -4«sinv
, k, ------------------------—,
4«sinv (1-u'sin v)
16
cscv и
r, r-r VOV V 1Л 4
X = -l; H =-------sinv 1+ , .
8и 8 (1 —u"sin2v)
P.S.: Главные кривизны k\ и kt поверхности Куэна взяты без
0<и <5л; -о,2л<г<о,8л проверки на сайте [5].
Рис-3 Дополнительная литература
8u 8
1. NordstrandT. Kuen’s Surface. - http://www.uib.no/people/nfytn/kuentxr.htm.
2. Gray A. Modem Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd cd. - Boca Raton, FL: CRC
Press, 1997. - P. 496-497 (§21.6, «Kuen’s surface»).
3. Reckziegel H. Mathematical Models from the Collections of Universities and Museums (Ed. G. Fischer). - Braun-
schweig, Germany: Vieweg, 1986. - P. 38 (§3.4.4.2, «Kuen’s Surface»).
4. Kuen T. Uber Flachen von constantem Kriimmungsmaass. - Sitzungsber. d. konigl. Bayer. Akad. Wiss. Math.-phys.
Classe, Heft II, 1884. - P. 193-2.06.
5. Eric W. Weisstein. Kuen Surface. - http://mathwortd.wolffam.com/KuenSurface.html
345
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ И РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК, ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ
ПОСТОЯННОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
1. Грибков И.В. Построение некоторых регулярных решений уравнения «синус — Гордона» с помощью поверх-
ностей постоянной отрицательной кривизны// Вестник Моск, ун-та. Мат., мех. - 1977. - № 4. - С. 78-83.
2. Розендорн'Э.Р. Гладкая особая дуга на поверхности постоянной отрицательной кривизны//Докл. АН СССР.
- 1976.-229, №6.-С. 1321-1323.
3. Макарова К.П. О поведении геодезических на замкнутых ориентированных поверхностях с метрикой посто-
янной отрицательной кривизны// Исслед по дискретной геометрии. - Кишинев: «Штиинца», 1974. - С. 136-140
(библ.: 5 назв.).
4. Pyifyn И.С. Об одной серии компактных трехмерных многообразий постоянной отрицательной кривизны//
Докл. АН СССР. - 1979. - 248, № 2. - С. 283-286.
5. Пелипенко В.В. О поверхностях отрицательной кривизны в псевдоевклидовом пространстве. - М.: МГУ. -
8с. - Библ. 8 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 16 февр. 1983, № 858-83Деп.
6. Филин А.П. К построению теорий обобщенных сферических и псевдосферических оболочек// Строительная
механика и расчет сооружений. - 1990. - № 5. - С. 43-46.
7. Кованцов Н.И. Поверхности отрицательной кривизны с прямолинейным ребром возврата// Укр. геом. сбор-
ник. - Харьков, 1981,-№24.-С. 57-70.
8. Макарова К.П. Об одной геодезической на неориентируемой компактной поверхности постоянной отрица-
тельной кривизны// Общ. алгебра и дискретная геометрия. Мат. науки. - Кишинев, 1980. - С. 51-53.
9. Киров В.С., Ерхалев В.И. Рабочий орган для внесения извести и минеральных удобрений. - Пермская сель-
скохоз. академия им. акад. Д.Н. Прянишникова. - Номер публикации патента 21 18878 RU, код МПК: А01С017/00.
10. Никаноров С.В., Паринов Р.М. Кривизна и кручение локсодром на поверхности вращения// Научные труды
Ивановского Государственного Ун-та. Математика. - 2002. - Вып. 5. - С. 71-76.
И. Степанов С.Е. О кройке одежды по Чебышеву// Соровский образовательный журнал. - 1998. - № 7. - С.
122-127.
12. Марюкова М.Е, Поверхности постоянной отрицательной кривизны в галилеевом пространстве-и уравнение
Клейна-Гордона//Успехи мат. наук, - 1995.-50, № 1.-С. 203-204.
13. Совертков П.И., Гайдаловин В,Г. Трактрисы и псевдосферы в псевдоевклидовом пространстве// Задачи
геом. в целом для погруж. многообразий. - С.-Петербург: Рос. гос. пед. ун-т, 1991. - С. 128-130.
14. Гордиенко В.М. О четырехугольниках на поверхностях постоянной кривизны// Тр. Ин-та мат. СО РАН. -
1992.-22.- С. 124-133.
15. Чумаков ГА. Риманова метрика гармонической параметризации геодезических четырехугольников на по-
верхностях постоянной кривизны// Тр. Ин-та мат. СО РАН' - 1992. - 22. - С. 133-151.
16. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Поверхности отрицательной кривизны// Алгебра. Топология. Геометрия (Итоги
науки и техн.). - М. 1974.-С. 171-207.
17. Мысиков Б.Р. Выпуклые поверхности с данной внешней кривизной в неодносвязных пространствах посто-
янной отрицательной кривизны. - Южно-Сахалинск: Юж.-Сахалин, гос. пед. ин-т, 1983. - 12 с. - Библ.: 7 назв. -
Рук. деп. в ВИНИТИ 19 окт. 1983 г., № 5749-83Деп.
18. Johnston М.Е., Rogers С., Schief W.K., Seiler W. On moving pseudospherical surfaces: A generalized Weingarten
system and its formal analysis// Lie Groups and their Applications. - № 1. - 1994. - P. 124-136.
19. Svoboda Karel. On surfaces in E3 with constant Gauss curvature// Comment, math. Univ, carol. - 1978. - 19, № 4.
-P. 755-761.
20. Pollicott Mark. Some applications of thermodynamic formalism to manifolds with constant negative curvature//
Adv. Math. - 1991. - 85, № 2. - P. 161-192.
21. Krivoshapko S.N., Gil-oulbe Mathieu. Geometrical and strength analysis of thin pseudo-spherical, epitrochoidal,
catenoidal shells, and shells in the form of Dupin’s cyclides// Shells in Architecture and Strength Analysis of Thin-walled
Civil-engineering and Machine-building Constructions of Complex Forms: Труды Межд. конф. - Москва, 4-8 июня
2001. - Москва: Изд-во РУДН, 2001.-С. 183-192 (библ.: 51 назв.).
22. Werner D. Verleich der Schnittkraftverteilung bei animetrish und symmetrised belasteten Rotaionsschalen// Wis-
senschaftliche Zeischrift der Technischen Universitat, Dresden. - 16, 4. - 1967.
23. Bhattacharyya B. Shell-type foundations for R.C. chimneys// Indian J. Power and River Valley Develop. - 32. - №
5-6,- 1982.-P. 80-85.
24. Voss K. Uber dieSingularitaten der Flachen mit konstanter negativer Kriimmung im dreidimensionalen Raurn//
Sitzungsber. Berlin. Math. Ges. 1969-1971.-S. 1., s.a., 35.
25. Hopf Heinz. Differential Geometry in the large. - Lecture Notes Math. , Springer, 1983. - 1000, VIII. - 184 p.
Дополнительная литература
E.5 .: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Поверхности постоянной
отрицательной гауссовой кривизны».
346
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
«Мыльный пузырь» может быть назван физической системой, которая моделируется по-
верхностью постоянной средней кривизны в Евклидовом трехмерном пространстве R\ Средняя
кривизна Н поверхности вычисляется по формулам:
к.+к-, \LB--2MF + NA~
Н = -----=-----------—------;----.
2 2 A-B--F-
Поверхности постоянной средней кривизны являются изотермическими.
Линейчатые поверхности, за исключением плоскости и прямого геликоида, не могут иметь
постоянную среднюю кривизну. Если замкнутая поверхность имеет неравную нулю постоян-
ную среднюю кривизну и положительную гауссову кривизну, то она - сфера. Сфера является
наиболее известным представителем поверхностей с Н = const. Полная средняя кривизна сферы
- наименьшая среди выпуклых поверхностей одинаковой площади.
Поверхность постоянной средней кривизны в сфере S'', имеющая одно семейство линий
кривизны, лежащих во вполне геодезических 2-сферах, есть поверхность вращения.
Торы постоянной средней кривизны в А3 открыл Уент (Wente Н.С.) в 1984 г. Его примеры
решили давно стоящую на повестке дня проблему Хопфа, которая заключалась в вопросе: торо-
вая поверхность постоянной средней кривизны в Л3 должна ли быть обязательно круглой сфе-
рой? В классической теореме А.Д. Александрова доказывается, что единственная компактная
вложенная поверхность постоянной средней кривизны в R3 - это стандартная сфера. Хопф по-
казал, что если поверхность есть сфера в топологическом смысле, тогда она должна быть круг-
лой. В теореме Барбосы и до Кармо отмечается, что компактная устойчивая поверхность сред-
ней кривизны - стандартная сфера. В 1985 г. Абреш (U. Abresch) классифицировал все торы по-
стоянной средней кривизны, имеющие одно семейство плоских линий кривизны. Новые при-
меры закрученных торов были открыты Уентом и изучены Абрешом. Последний показал, что
эти новые примеры получены решением конечной системы эллиптических интегралов.
Дополнительная литература
1, Rob Kusner. Bubbles, conservation laws, and balanced diagrams// Geometric Analysis and Computer Graphics:
Proc, of a Workshop held May 23-25, 1988/ Paul Concus, Robert Finn, David A. Hoffman, editors. - Springer-Verlag New
York Inc., 1991.-P. 103-108 (библ.: 8 назв.).
2. Osserman Robert. Curvature in the eighties// Amer. Math. Mon. - 1990. - 97, №8. - P. 731-756.
3. Sterling I. Constant mean curvature tori// Geometric Analysis and Computer Graphics: Proc, of a Workshop held
May 23-25, 1988/ Paul Concus, Robert Finn, David A. Hoffman, editors. - Springer-Verlag New York Inc., 1991. - P.
175-180 (библ.: 16 назв.).
4. Abresch U. Constant-mean curvature tori in terms of elliptic function// J. reine u. angew. Math. - 1987. - 374. - P.
169-192.
5. Hopf H. Differential Geometry in the large. - Lecture Notes in Mathematics. - Springer, 1983. - 184 p.
6. Wente H.C. Counterexample to a conjecture of H. Hopf// Pacific Jour, of Math.- Vol.121, No 1,- 1986. - P.193-243.
8. Alexandrov A.D. Uniqueness theorems for surfaces in the large// Vestnic Leningrad. Univ., Math., 1956. - № 11. -
P. 5-17.
9. Schiiffler Karlheinz. Jacobifelder zu Flachen konstanter mittlerer Krummung// Arch. Math. - 1983. - 41, № 2. - S.
176-182.
10. Collin Pascal, Hauswirth Laurent, Rosenberg Harold. .The geometry of finite topology Bryant surfaces// Ann.
Math. - 2001. - Vol. 153. - № 3. - P. 623-659 (библ.: 22 назв.).
11. Масальцев Л.А. Поверхности Иоахимсталя в 53// Математические заметки. - 2000. - Том 67. - Вып. 2. - С.
221-229 (библ.: 9 назв.).
12. Нотт В.К. Неравенства между радиусами сфер, связанных с выпуклой поверхностью пространства посто-
янной кривизны// Сибирский математический журнал. - 2001. - Том 42. - № 3. - С. 553-558 (библ.: 4 назв.).
13. Fath el Bab Н. On surfaces with constant mean curvature// Comment, math. Univ, carol. - 1975. - 16, № 2. - P.
245-254.
14. Seaman Walter. Helicoids of constant mean curvature and their Gauss maps// Pacif. J. Math. - 1984, 110, № 2. -
C. 387-396.
347
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСТОЯННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
1. Михайлов Н.П. О поверхностях постоянной средней кривизны// Дифференциальная геометрия многообразий
фигур. - Калининград, 1982. -№ 13. - С. 65-70.
2. Михайлов Н.П. К геометрии поверхностей постоянной средней кривизны// Геометрия погруж. многообразий.
- М., 1980. - С. 62-66 (библ.: 2 назв.).
3. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В., Червяков А.М. К теории мировых поверхностей постоянной средней кри-
визны// Объедин. ин-тядерных исследований. Дубна. Сообщ. - 1979, № Р2-12946. - 15 с.
4. Погорелов А.В. Вложение «мыльного пузыря» внутрь тетраэдра// Мат. заметки. - 1994. - 56, № 2. - С. 90-93.
5. Артыкбаев А., Гаюпов Г.Н., Ильхамов У. Изгибание поверхностей постоянной средней кривизны ~Sfl Труды
Ташкент, политехи, ин-та. - Ташкент, 1974,-Вып. 130.-С. 26-31.
6. Залгаллер В.А. Одно семейство экстремальных веретенообразных тел// Алгебра и анал. - 1993. - 5, № 1. - С.
200-214.
7. Azevedo Tribuzy Renato de. A characterization of tori with constant mean curvature in space form// Bol. Soc. brasil.
mat. - 1980. - 11, № 2. - P. 259-274.
8. Carmo Manfredo P. do, Dajczer Marcos. Helicoidal surfaces with constant mean curvature// Tohoku Math. J. -
1982. - 34, № 3. - P. 425-435.
9. Dorfineister J., H. Wu. Constant mean curvature surfaces and loap groups// J. reine angew. Math. - 1993. - 440. - P.
43-76.
10. Wake G.C. Bubbled, drums and bombs// N. Z. Math. Mag. - 1979. - 16, №3. - P. 102-112.
11. Lopez Rafael, Montiel Sebastian. Constant mean curvatures discs with bounded area// Proc. Amer. Math. Soc. -
1995,- 123, №5,-P. 1555-1558.
12. Kapouleas Nicolaos. Constant mean curvature surfaces in Euclidean space// 1CM’94: Int. Cong. Math., Zurich, 3-
11 Aug. 1994: Abstr. - Zurich, 1994. -S. 43.
13. Alencar Hildrio, Carmo Manfredo do. Hypersurfaces with constant mean curvature in spheres// Proc. Amer. Math.
Soc. - 1994. - 120, № 4. - P. 1223-1229.
14. Sauvigny Friedrich. Apriori estimates of the principal curvatures for immersions of prescribed mean curvature and
theorems of Bernstein-type// Math. Z. - 1990. - 205, № 4. - P. 567-582.
15. Wang Al t-lung. Constant mean curvature surfaces on a strip// Pacif. J. Math. - 1990. - 145, № 2. - P. 395-396.
16. Collin Pascal. Deux exemples de graphes de courbure moycnne constante sur une bande de J?2// C. r. Acad. sci.
Ser. 1,- 1990. - 311, № 9. - P. 539-542.
17. Serrin J. On surfaces of constant mean curvatures which span a given space curve// Math. Z. - 1969. - Bd. 112. -
S.77-88.
18. Ruchert Hartmut. Ein Eindeutigkeitssatz fiir Flachen konstanter mittlerer Kriimmung// Arch. Math. - 1979. - 33,
№ I. - S. 91-104.
19. Wole Joseph Albert. Spaces of constant curvature// Publisher Weekly. - 1974. - 206, № 4. - P. 93.
20. Yau Shing-Tung. Submanifolds with constant mean curvature// Amer. J. Math. — 1974. — 96, № 2. - P. 346-366.
21. Tomi Friedrich. A perturbation theorem for surfaces of constant mean curvature// Math. Z. - 1975. - 141, № 3. -
P. 253-264.
22. Smyth B. Mean curvature// Global Anal, and Appl. Leet. Int. Semin. Course, Trieste 1972, Vol. 3. - Vienna, 1974.
-P. 163-166.
23. Spruck Joel. Gauss curvature estimates for surfaces of constant mean curvature// Communs Pure and Appl. Math. -
1974. - 27, № 4. - P. 547-557.
24. Ros Antonio, Vergasta Enaldo. Stability for hypersurfaces of constant mean curvature with free boundary// Geom.
dedic. - 1995. - 56, № 1. - P. 19-33.
25. Aiyama Reiko. On complete space-like surfaces with constant mean curvature in a Lorenlzian 3-space form// Tsu-
kubaJ. Math. - 1991. - 15, № l.-P. 235-247.
26. Huang Wu-Hsiung. Syperharmonicity of curvatures for surfaces of constant mean curvature// Pacif. J. Math. -
1992.- 152, №2,-P. 291-318.
27. Earp Ricardo Sa, Rosenberg Harold. Some structure theorems for complete constant mean curvature surfaces with
boundary a convex curve// Proc. Amer. Math. Soc. - 1991. - 113, № 4. - P. 1045-1053.
28. Tamura Michiko. Surfaces which contain helical geodesics// Geom. dedic. - 1992. - 42, № 3. - P. 311-315.
29. Fornari Suzana, Frensel Katia, Ripoil Jaime. Hypersurfaces with constant mean curvature in the complex hyper-
bolic space// Trans. Amer. Math. Soc. - 1993. - 339, № 2. - P. 685-702.
30. Wente Henry C. Complete immersions of constant mean curvature// Differ. Geom.: Part. Differ. Equat. Manifolds:
Proc. Summ. Res. Inst. Differ. Geom., Los Angeles, Calif., July 8-28, 1990. - Providence (R.I.), 1993. - P.497-512.
Дополнительная литература
P.S. Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Поверхности постоянной
средней кривизны».
348
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ
Волнообразные поверхности формируются поступательно-колебательным движением же-
стких образующих кривых, колеблющихся относительно заранее выбранных базовых поверх-
ностей, плоскости или линий. Таким образом, образующие кривые волнообразных поверхно-
стей конгруэнтны между собой. Следовательно, эти поверхности могут быть включены также в
класс поверхностей конгруэнтных сечений. В литературе встречаются и другие названия вол-
нообразных поверхностей, например, волновые.
Волнистые поверхности формируются поступательно-колебательным движением обра-
зующих кривых, которые не только колеблются относительно выбранных базовых поверхно-
стей, плоскости или линий, но и сами деформируются, оставаясь в одном в одном и том же
классе кривых.
Рифленые поверхности свое название получили от английского слова «riffle - желобок, ка-
навка». Таким образом, рифленые поверхности - это поверхности с закономерно расположен-
ными на них углублениями или впадинами. Рифленые поверхности наиболее широко применя-
ются в машиностроении. Гофрированные изделия получают изгибанием листовых металличе-
ских и неметаллических материалов для придания их поверхностям волнообразной формы раз-
ных профилей с целью увеличения прочности.
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ, РАСЧЕТУ И ПРИМЕНЕНИЮ ОБОЛОЧЕК,
ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ВОЛНООБРАЗНЫМ, ВОЛНИСТЫМ И ГОФРИРОВАННЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
1. Якупов Н.М., Галимов LU.K., Хисматуллин Н.П. От каменных глыб к тонкостенным конструкциям. - Казань:
Изд-во «SOS», 2001. - 96 с.
2. Павилайнен В.Я. Расчет оболочек в многоволновых системах,- Л.: Стройиздат, 1975 - 136 с. (библ.; 45 назв.).
3. Цейтлин А.А., Колчунов В.И. Исследование сборных волнистых покрытий// Бетон и железобетон. - 1978. -
№ 7. - С. 23-24 (библ.: 3 назв.).
4. Васильков Б.С., Власов В.Г, Бозиев И.А. Расчет многоволновых ненарушенных ребристых складок на прямо-
угольном плане// Практические методы расчета оболочек и складок покрытий. - М.: «Стройиздат», 1970. - С. 54-96
(библ.: 118 назв.).
5. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Расчет круглых гофрированных мембран// Механика и процессы управления:
Сб. научи, тр. - Вып. 7. - Ульянов, гос. техн. ун-т. - Ульяновск: Изд-во УлГТУ, 2002. - С. 76-79 (библ.: 5 назв.).
6. Коробов Л.А., Чиненков, Ю.В. О работе многоволновых оболочек на сосредоточенные нагрузки, приложен-
ные к диафрагмам// Строительная механика и расчет сооружений. - 1972. -№ 4. - С. 7-10 (библ.: 3 назв.).
7. Сабитов И.Х. О жесткости «гофрированных» поверхностей вращения// Мат заметки. - 1973. - 14, № 4. - С.
517-522..
8. Рабинович А.И. Сборные волнистые своды. - М.: Госстройиздат, 1962. - 113 с. (библ.: 9 назв.).
9. Бурцева С.В. Численный пример расчета волнистой конической оболочки// Исследования по расчету пла-
стин и оболочек. - Ростов н/Д, 1982. - С. 120-123 (библ.: 3 назв.).
10. Еремин В.Д. Основные уравнения для определения частот свободных колебаний тонкой волнистой оболоч-
ки// Неклассические задачи теории пластин и оболочек. - Ростов н/Д, 1979. - С. 125-131.
11. Андрианов И.В., Дисковский А.А., Прусаков А.П. К расчету гофрированных оболочек// Прочность и надеж-
ность элементов конструкций. - Киев, 1982. - С. 3-12 (библ.: 6 назв.).
12. Якупов Н.М. Прикладные задачи механики упругих тонкостенных конструкций.-Казань: ИММ,1994.-124 с.
13. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. К решению задачи о напряженном состоянии полых цилиндров с гофриро-
ванным эллиптическим поперечным сечением// Прикл. мех. (Киев). - 2004. - 40, № 2. - С. 67-73 (библ.: 14 назв.).
14. Михайленко В.Е., Обухова В.С., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. - Киев: «Бу-
д!вельник», 1972. - 208 с.
15. Fan Da-jun. Analysis of deformation and stress of circular arc coiTugated shell// Acta mech. solida sin. - 1984. -
№ 2. - P. 244-249 (библ.: 3 назв.) (кит.)
16. Reichhart Adam. Specyfika powlok z plaskich arkuszy blach profilowanych// Konferencja о geometrii. -
Czestochowa: WPC, 1999. - P. 200-208.
Дополнительная литература
P.S.’. Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Волнообразные, волни-
стые и гофрированные поверхности».
349
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Волнообразные и волнистые поверхности, представленные в справочнике
350
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Волнообразные, волнистые и гофрированные поверхности,
представленные в справочнике (продолжение)
щей синусоидой и образующим
эллипсом
с аксондами «плоскость - цилиндр»
СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ГЕЛИКОИД
Синусоидальный геликоид представляет собой закрученную поверхность с конгруэнтными
синусоидами в параллельных плоскостях. Рассматриваемая поверхность образовывается враще-
нием синусоиды X = v, У = Y(y) = hsinmv, расположенной в плоскости, перпендикулярной оси
вращения. Начало подвижной системы координат оХУ расположено на неподвижной коорди-
натной оси Ох на расстоянии а от оси вращения Oz. Подвижная координатная ось оХ все время
пересекает ось вращения Oz.
Форма задания поверхности синусоидального геликоида
1) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) = (й + X)cosu -У sin и, у - у(м,у) = (о + X)sinw + У cos и, z = z(u) = ut.
При этой форме задания за образующую кривую можно взять любую плоскую линию, в том
числе’ и синусоиду X = v, У = Y(y) = bsinmv (рис. 1-2).
Поверхности, представленные на рис. 1-2, имеют
&'= Г,= 2; г = 1; 0 < и < Зя", 0<у<2лг.
Коэффициенты основных квадратичных форм можно вы-
числить по общим формулам, приведенным на странице «За-
крученная поверхность с конгруэнтными эллипсами в парал-
лельных плоскостях». Синусоидальный геликоид может быть
Рис. 1 (а = 0) Рис. 2 (а = 1) причислен также к поверхностям конгруэнтных сечений.
351
ВОЛНООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПРЯМАЯ КОНИЧЕСКАЯ СИНУСОИДАЛЬНАЯ ВОЛНОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Рис. 1
Прямая коническая синусоидальная волновая
поверхность образуется движением прямой линии,
лежащей в плоскостях пучка и совершающей ко-
лебательные движения вокруг кругового конуса с
углом v0 наклона образующей к оси. При и = 0 об-
разующая прямая наклонена к оси конуса под уг-
лом v0', и - угол, определяющий полоение плоско-
сти пучка (рис. 1); 0 < и < 2тг.
Формы задания конической поверхности
Рис. 3
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х — x(«,v) = vsin#cos«, у = y(u,v) = vsin#sinu,
z = z(v) = vcos#,
где в = #<>5(и); <S(m) = 1 + //sin(mu); p - амплитуда
колебаний угла наклона образующей прямой вол-
нового конуса; т - число волн колебаний.
Коэффициенты основных квадратичных форм
поверхности и ее главные кривизны:
А2 = v2[cos2 0 + 0pn2p2 cos2(лги)]; В = 1, F = О,
L = — lcos#sin#-6' т2psm(mu) + 2#,m/zcos(miz)cos#], М = N = О,
ст
<Т = cos2 0 + 02т2р1 cos2 (та),
kt =—r[cos#sin#--# m2//sin(mi/)+2# m//cos(mt<)c°s#], k„ =0.
ii/TJ *- -*
На рис. 1 показана коническая волновая поверхность при т - 5; на рис. 2 - при т - 4; на
рис. 3 - при т = 6.
2) Параметрическая форма задания (рис. 4):
х = x(u,v) = vcos#cosn, у = y(u,v) = vcos#sin«, z = z(v) = vsin#,
где: # = #[5(и); #i = я72 - #0; S(u) = 1 + //sin(mzz); p - амплитуда колебаний угла наклона обра-
зующей прямой волнового конуса; т - число волн колебаний.
На рис. 4 показана коническая волновая поверхность при т = 2, #0 = 0, то есть при #] = тг/2;
р = 0,35.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = v2[sin2 #+ 0pn2 р2 cos2(лги)]; 5 = 1, F = 0,
L = — [cos#sin#-#1m2//sin(m«) + 2#1m/zcos(mM)sin#], М = N = 0,
ст = sin2 # + 02т2 р2 cos2 (mu),
1
Zcj з
ver
[cos#sin#-#1m2/csin(mM) + 2#1/7i//cos(mH)sin#], кг = 0.
352
ВОЛНООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВОЛНИСТАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ В ЛИНИЯХ КРИВИЗН
С ВНУТРЕННЕЙ ВЕРШИНОЙ
Волнистая коническая поверхность в линиях кривизн с внутренней вершиной образуется
движением прямой линии, проходящей через неподвижную точку (вершину конической по-
верхности) и совершающей колебательные движения относительно плоскости, в которой лежит
вершина конической поверхности. Вершина конической поверхности лежит в точке с коорди-
натами х = у — z = 0.
Формы задания волнистой конической поверхности в линиях кривизн
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и, у) = vsin^cosi;, у = у(м,у) = у sin 0 sin и, z = z(v) = vcos#,
где 0 = (jtll^Siyu)-, S(u) = 1 + /zsin(ww); p - амплитуда колебаний угла наклона образующей пря-
мой волнистого конуса; т - число волн колебаний (целые числа). При и = 0 образующая прямая
лежит в плоскости с вершиной; и - угол, определяющий положение плоскости пучка, проходя-
щей через ось Oz и содержащей образующую прямую (рис. 1 - рис. 4); 0 < и < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 - v2[cos2 0 + (л I2.)т2 р2 cos2 (яш)]; В = 1, F = 0,
У t Q
cos в sin 0 - — т" р sin(»iu) + лтр cos(mz<) cos 0 ,
М = N = 0,
2 | У * | 9 0 1
<7 = cos 0 +1 — I пТр~ cos' (ти),
1 л 1 1
к[ =—у cos0sm0-—m'psin(mii) + 7nnpcos(mu')cos0 , к2 = 0.
На рис. 1 показана волнистая коническая поверхность в линиях кривизн при т = 3; р = 0,08;
на рис. 2 - при т - 4; р - 0,08; на рис. 3 - при т = 6; р = 0,2; на рис. 4- при т = 7; р = 0,05. При
четном значении параметра т в каждой плоскости пучка будут лежать две образующие прямые
конической поверхности (рис. 2; 3), а при нечетном значении т - только одна (рис. 1; 4).
353
12-5391
ВОЛНООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СОТОВАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Сотовая коническая поверхность в линиях кривизн с внутренней вершиной образуется
движением прямой линии, проходящей через неподвижную точку (вершину конической по-
верхности) и совершающей колебательные движения относительно плоскости, в которой ле-
жит вершина конической поверхности. Вершина конической поверхности лежит в точке с ко-
ординатами л = у = z = 0.
Формы задания сотовой конической поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 3):
х = х(и,у) = vsin(9cosM, у = y(u,v) = vsin^sinw, z = z(v) = vcosO,
где в = (тг/2)5(и); S(u) = 1 + ;zsin(win); p - амплитуда колебаний угла наклона образующей пря-
мой волнового конуса; т - число волн колебаний. Параметр т может быть любым нецелым
числом. Если за параметр т взять целое число, то будут получаться волнистые конические по-
верхности в линиях кривизн с внутренней вершиной. При и = 0 образующая прямая лежит в
плоскости с вершиной; и - угол, определяющий положение плоскости пучка, проходящей через
ось Oz и содержащей образующую прямую (рис. 1 - рис. 4); 0 < и < о». Первые соты конической
поверхности будут образовываться при и > 2тг (рис. 1).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = у2 [cos2 £+(л72)т2//2 cos2 (/ли)]; В = 1, F = 0,
L = — [cos6*sin в - (п / ijm2psin(mu) + 7mipcos(mu)cos0], М = N = 0,
<7 = cos2 в + 12)2 m2 cos2 (mu),
k} = ——f [cos^sin# —(я/2)/w2,z/sin(/mz) + zz»j/zcos(mM)cos<9], k^ =0.
На рис. 1 показана сотовая коническая поверхность в линиях кривизн при т = 2,5; ц = 0,08;
0 < и < Зя; на рис. 2 - при т =2,25; ц = 0,15; 0 < и < 8я;на рис. 3 - при т = 2,1; ц = 0,12:
0 < и < 20я.
354
ВОЛНООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПРЯМАЯ ВОЛНОВАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Прямая волновая граиндрическая поверхность образовыва-
ется прямыми образующими, пересекающими направляющую
замкнутую волнистую линию, построенную на основе базовой
окружности. Прямые образующие остаются параллельными
осевому направлению цилиндрической поверхности, которое
составляет с основанием цилиндра прямой угол (рис. 1).
Замкнутая волнистая линия, заданная в полярных коор-
динатах г, и в виде г = а + bsin(zw), в качестве базовой окруж-
ности имеет окружность радиусом а. Амплитуда колебаний
волнистой линии относительно базовой окружности обозна-
чена через Ь;п- число целых волн синусоиды, помещающихся на участке длиной 2яа; и - угол,
отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.
Формы задания прямой волновой цилиндрической поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,z) = [а + Z>sin(«w)]cosn, у = y(u,z) = [а + bsin(nti)]sin«, z = z.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = b2n2 cos2 (пи) + [а + bsin(n«)]2, F - О, В = 1,
А2 + bn2 [b + a sin(nu)] А2 + bn2\b + a sin(nw)]
L = ---------------------, М = N = 0, к = ----------------------, к. = О, К = 0.
А А
В сечениях поверхности плоскостями z = const лежат направляющие замкнутые волнистые
линии. Криволинейные координаты и, z - ортогональные и сопряженные.
На рис. 1 - 3 представлены цилиндрические поверхности сл = 2,п = 3ии=4 соответствен-
но. Эти поверхности имеют b < а. Цилиндрические поверхности, показанные на рис . 4; 5, по-
строены при а = Ь, но с п = 2 и п = 4 соответственно. На рис. 1-5 поверхности содержат целое
число волн в окружном направлении, а 0 < и < 2я;.
Можно конструировать цилиндрические поверхности и с нецелым числом волн в окружном
направлении. В этом случае цилиндрическая поверхность будет иметь линии самопересечения.
Например, на рис. 6 показана прямая волновая цилиндрическая поверхность с b < а и п = 4,5;
0 < и < 4л:; а на рис. 7 - с п = 1,5; 0 < и < 4л:.
Прямая волновая цилиндрическая поверхность может быть отнесена как к классу волнооб-
разных поверхностей, так и к классу цилиндрических поверхностей.
2) Явная форма задания; х2 + у2 =
a +osml narctg—
355
12*
ВОЛНООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИНЕЙЧАТАЯ поверхность скидана
Рис. 3
И.А. Скидан предложил исполь-
зовать для задания поверхностей
специальную параметризацию
х =f(u,v,f); у = (p(u,v,t); z-tp(u,v,f),
где и = н(г); v = v(r); v = v(u). В об-
щем случае линейчатая поверх-
ность Скидана является поверхно-
стью отрицательной гауссовой
кривизны и может быть причисле-
на к классу волнообразных или
зонтичных поверхностей. Для за-
дания поверхности применяются
нормальные конические координа-
Рис. 4
ты.
Формы задания линейчатой поверхности Скидана
1) Параметрическая форма задания поверхности в нормальных конических
координатах:
х = -х(и,г) = (wsina + vcos«)cosr, у = y(u,t) = (nsinct + vcosa)sinf,
z = z(w,0 = ucosa - vsinct,
где v = /t|cosnf|; a - угол между прямолинейными образующими и осью Oz; п -
число волн поверхности; h = const.
На рис. 1-4 изображены линейчатые поверхности Скидана при h = 2 м; п = 4;
О < t < 2л; но на рис. 1: ct = тт/4; 0 < и < 4 м ; на рис. 2: а = тг/4; - 2 м < и < 4 м ;
на рис. 3: о. = тг/2; 0 < и < 6 м ; на рис. 4: а = 0; 0 < и < 6 м. При а = 0 линейчатая
поверхность Скидана вырождается в цилиндрическую поверхность (рис. 4).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А = 1, F = 0, В2 = h2n2 sin2 nt + (ttsina+ /t|cosnrlcosa)2,
/t/isincdsin/td
L = -----b~’
A = Mln-h2
В
sin" nt cos a — /wt2|cos/tzj(«sin<T + /t|cos/t/|cosa) + (wsina + Ajcosn/lcosa)2 cos a],
n2h2 sin2 asin2 nt N N
K = ---------j------, k =0, k=—r, H = -—
В “ ’ В 2B-
Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими поверхности.
Дополнительная литература
1. Skidan 1. General analytical theory of applied formation// The 10,h International Conference on Geometry and
Graphics. -Vol. 1. - July 28 - August 2, 2002, Kyiv, Ukraine. - Kyiv, 2002. - P. 104-107 (библ.: 4 назв.).
2. Kolomiets Е.А. Mathematical and Computer Models of Surfaces in Special Normal Coordinates. - Thesis of PhD,
1999. - 16 p.
356
ВОЛНООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПРЯМОЙ ВОЛНИСТЫЙ ГЕЛИКОИД
Прямым волнистым геликоидом называется линейчатая по-
верхность, описываемая прямой, которая пересекает ось гели-
коида под прямым утлом, вращается с постоянной угловой ско-
ростью вокруг этой оси и одновременно перемещается поступа-
тельно вдоль этой же оси, проходя одновременно через волни-
стую линию
X = Х(и) = Rcosu, Y = Y(ii) = Asirw, Z = Z(u) = bit + asinpu,
лежащую на круговом цилиндре радиусом R; 2л b - шаг волнистой линии; и - угол, отсчитывае-
мый от оси х в сторону оси у; р = const; а - амплитуда колебаний направляющей волнистой ли-
нии относительно базовой винтовой линии одинакового ската
Рис. 2
Хн = Xh(u) = Rcosu, Yh = Yh(u) = Rsinu, Zh = ZKu) = bu
на цилиндре радиусом R.
Прямолинейные образующие прямого волнистого геликоида парал-
лельны его плоскости параллелизма, которая перпендикулярна оси гели-
коида, поэтому прямой волнистый геликоид можно также причислить к
семейству поверхностей Каталана. По способу построения эту линейча-
тую поверхность можно отнести к группе коноидов.
Формы задания прямого волнистого геликоида
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и, v) = vcosw, у = y(w,v) = vsinw, z = z(u) = bu + asin ри,
где R < v < +°o . Линия v = 0 - ось геликоида. Координатные линии v совпадают с прямыми об-
разующими прямого волнистого геликоида.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = v2+{b +ар cos ри)2, F =0, В = 1, А2 В2 - F1 = А2 = v2 +{b + apcos ри)",
L = др2 г sin ри м = b + ар cos ри д, _ q
А ’ А
«p2vsin ри (b + apcospu)' ар2 г sin ри
к —--------------- к,. = О, А =----------------------< (J, п —---------------Ф О.
" А3 ‘ А4 2А3
Как показывают коэффициенты основных квадратичных форм поверхности, прямой волни-
стый геликоид задан в ортогональной несопряженной системе криволинейных координат и, г.
Прямой волнистый геликоид является поверхностью строго отрицательной гауссовой кри-
визны. При а - 0 или при р = 0 поверхность вырождается в прямой ге-
ликоид (см. «Минимальные поверхности»).
На рис. 1 прямой волнистый геликоид построен для р = 3; Ь = 0,5 м;
а = 1 м; R -5 м; 5 м < v < 7 м; 0 < и < 2я. Поверхность, изображенная
на рис. 2, имеет а = b = 1,5 м; р = 4; 5 м < v < 12 м ;0 < и < 4-71.
Если принять b - 0, то прямой волнистый геликоид будет находить-
ся между параллельными плоскостями z = а и z = -а. Если р - целое
число, то эта поверхность не будет иметь самопересечений, а в каж-
дой ограничивающей плоскости будет лежать по р прямых образую-
щих геликоида (рис. 3).
Проекция поверхности прямого волнистого геликоида, построенно-
го в пределах р <v< г2, где п < г2, будет представлять собою коль-
цевую область, а проекции криволинейных координатных линий и -
концентрические окружности (рис. 4).
357
ВОЛНООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
а = 10; й= 1;/> = 5;/? = 0,2
ВОЛНООБРАЗНЫЙ ТОР НА СФЕРЕ
Волнообразный тор на сфере имеет в качестве направляющей кривой сферическую линию
Ец(и) = аефи) = a(icosu + jsinu)cosco + kasinco, со = со(и) = d + esinpu, d = «тг/2; e = [ini'!,
где а, фнр - константы. Направляющая сферическая линия расположена на поверхности сферы
радиусом а. Единичный вектор ео(и) является нормалью сферы, на которой расположена на-
правляющая линия. Образующая окружность постоянного радиуса b задается в местной систе-
ме координат с началом координат на сферической направляющей линии:
X - X(v) = ftcosv, Y = E(v) = ftsinv.
Окружности лежат в нормальных плоскостях сферической направляющей кривой.
Волнообразный тор на сфере, помимо волнообразных поверхностей, может быть причислен
также к поверхностям со сферической направляющей кривой или к трубчатым поверхностям .
Формы задания волнообразного тора на сфере
1) Векторная форма задания: г = г(и,у) = аефи) + ftcosveo(it) + ftsinvg(u),
где g = g(u) = [edls x e0] - единичный вектор, ортогональный единич-
ному вектору вектору ео(и). Векторное уравнение поверхности волно-
образного тора на сфере получено на основании общего векторного
уравнения поверхностей с образующей кривой в нормальных плоско-
стях сферической направляющей кривой (см. «Поверхности со сфери-
ческой направляющей кривой») при условии, что 0 = 0.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-3):
х = x(u,v) = [а + bcos v]cos®cosw + ftsin v(sin®cos®cosi< -®'sinw)/ 5,
у = y(u,v) = [л + ft cos v] cos® sin и + ft sin v(sin®cos®sinw + co'cosu)/ s,
z = z(u,v) = [a + ftcos v]sin®-ftsin vcos2 co/s; где 5 = V®/2 +cos2 co.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее главные кривизны:
/7 ff
. , , X г/, 0) X Ь0 ,, .
А = s(a + ft cosv) + [(1з——)sin® + — cos®]ftsm v,
5" s’
F = 0, В = ft, L = A~aS A, M = 0, N = ft,
ft
A - as 1
k -k. =------, ft,, =ftx = —.
" 1 ftA ft
Волнообразный тор на сфере задан в линиях кри-
визны и, v. Координатные линии v совпадают с образующими окружностями.
Принимая во внимание, что со = со(и) = d + esinpw, где d, р и е - константы, параметрические
уравнения волнообразного тора на сфере можно записать в более развернутом виде (рис. 1-3):
. . , , sin®cos®cosh -ерcos pusinu .
x = хул, v) = [a + ft cos v J cos co cos и + ft----------sm v,
а = 0;/7 = 0,25;
а = 0,25;/? = 0,5
a = и
/5 = 0,1
a = 10;ft = 4;/> = 3
, . , , , sincocoscosinu + Epcos pucosu .
у = y(u,v) = [я + b cos v]cos®smi/ + b-------------------------sm v,
S'
, . r , , . , cos’- co
z = z(u, v) = [a + b cos v]sin co- b------,
s
где 5 = doo'2 + cos2 co = ^£2p2 cos2 ри + cos2 co.
Поверхность касается сферы радиусом а - b вдоль замкнутой сфериче-
ской линии (рис. 3): Е1(и) = (а - ft)eo(u).
358
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СИНУСОИДАЛЬНАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Синусоидальная ци.ншОрическая поверхность образовывается движением прямой, пересе-
кающей заданную плоскую синусоиду (рис. 1, рис. 2). Причем прямолинейные образующие в
Рис. 1 Рис. 2
соида имеет период Т =2Ып.
своем движении все время остаются перпен-
дикулярными к плоскости, в которой распо-
ложена синусоида.
Формы задания поверхности
1) Явная форма задания (рис. 1):
у - азт[плх IЬ),
где п - число целых полуволн синусоиды,
помещающихся на участке шириной Ь\ а -
амплитуда синусоиды. Направляющая сину-
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
, а'п'л' , пл ап~л~ пл
А'=1 +----—cos'— х, F = 0, B = l, L =-— sin—х, M = N = 0,
b~ b Ab' b
ап'л пл
kr — к, = —д-^-sm—x, k. = k-, = 0, К = 0.
1 A3b2 b ' 2
Поверхность задана в линиях кривизн х и z. В сечениях синусоидальной цилиндрической
поверхности плоскостями z = .xtg{z> + с будут синусоиды с увеличенным по сравнению с направ-
ляющей синусоидой периодом Tv = T/costp. Амплитуда синусоид в сечениях останется прежней
и равной а. В сечениях цилиндрической поверхности плоскостями z = const будут направляю-
щие синусоиды. Линии пересечений цилиндрической поверхности с плоскостями х = const бу-
дут совпадать с прямолинейными образующими этой поверхности.
СПИРАЛЕВИДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ОБРАЗУЮЩИМИ СИНУСОИДАМИ
И НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЛИНИЕЙ ПОСТОЯННОГО ШАГА НА КРУГОВОМ КОНУСЕ
а = 0,3; Л =4; b = 1; с = 2; t = 0,1
Рис. 3 <£ = Ги)
Поверхность образуется синусоидами, лежащими в
плоскостях пучка с фиксированной прямой, проходящей
через ось конуса. Направляющая линия постоянного шага
на круговом конусе проектируется на плоскость, перпен-
дикулярную оси конуса, в виде спирали Архимеда.
Формы задания поверхности
1) Векторная форма задания:
г = г(и,у) - [an +<p(v)]h(u) + [aku + <у(у)]А:,
где й(и) = icosu + jsinw - единичный вектор в плоскости
хОу; е(и) - коэффициент подобия образующих синусоид, выбираемый согласно заданных усло-
вий конструирования;
9?(v) = X (v) cos в - Y(y) sin в, = X(v)sin# + E(v)cos0,
X = X(v), У = У(у) - параметрические уравнения образующих кривых, заданных в местной сис-
теме декартовых координат, начало координат которой расположено на направляющей кривой;
в - угол, поворота местной оси oZ относительно оси Oz Для поверхности с образующими си-
нусоидами: X = у, У = У(у) = bsincv.
2) Параметрическая форма задания (рис. 3):
х = х(и, у) = [аи + £(m)^(v)]cosи, у = у(и,v) = [аи + £(«)^(v)]sinи ; z = z(u,v) = [а Ли + f(u)^(v)].
359
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВОЛНИСТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПСЕВДОВЕРЗИЕРАМИ
(ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТИПА)
В основу конструирования волнистой поверхности с псевдоверзиерами цилиндрического
типа положен принцип волнистости поверхности ряда природных тонкостенных биоконструк-
ций. Поверхность образовывается движением непрерывно изменяющейся псевдоверзиеры т,
лежащей в плоскости, параллельной координатной плоскости xOz (рис. 3). Вершина кривой пе-
ремещается вдоль оси Оу, а одна из ее точек - по заданной линии h, лежащей в плоскости z = -
d. Волнистость поверхности достигается при помощи управления свободным параметром R
формы псевдоверзиеры. В рассматриваемом случае выбрана функция управления параметром
базовой окружности псевдоверзиеры
R - А + /icosfpv).
с = 2; </=1,5; -7t<y<!C, -с<х<с\ р = 2', В = I;
А = 2; А = 2,5; А =1,76
с = 2; </=I,5; -?r<y<iT; -с<х<с; р = 2; В = -1;
А = 2; А = 2,5; А=1,76
Рис. 2
с = 2; </=1,5; -я<у<л\ -с<с<с, р = 2', В=1;
А = -1,2; А = -2; А = -1,01
Рис. 3
Форма задания волнистой поверхности с псевдоверзиерами цилиндрического типа
|п Л , 1 2dx1[A + Bcos(py)]
1) Явная форма задания (рис. 1-3): z =----;--;------------------,
d(x' -с') + 2с'[А +Bcos(py)]
где d - стрела подъема поверхности, 2с - пролет поверхности в направлении оси Ох (рис. 2); А,
В, р - константы; - <? < х < с; -d < z 0; - < у .
На рис. 1 - 3 показаны волнистые поверхности с псевдоверзиерами (цилиндрического типа)
при различных значениях геометрических параметров, которые указаны на рисунках. При. по-
строении поверхностей необходимо учитывать, что если А > 0, то необходимо брать
А > d!2 - |В|,
а если А < Одо необходимо брать А < |В|. Это позволит избежать деления на ноль.
Дополнительная литература
1. Кащенко А.В. Геометрическое моделирование поверхностей некоторых биоформ - конструкций// Приклад-
ная геометрия и инж. графика. - Киев, 1978: - Вып, 26. - С. 46-48 (библ: 4 назв.).
360
ВОЛНООБРАЗНЫЕ. ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВОЛНИСТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПСЕВДОВЕРЗИЕРАМИ НА КРУГЛОМ ПЛАНЕ
В основу конструирования волнистой поверхности с псевдоверзиерами на круглом плане
положен принцип волнистости поверхности природных тонкостенных биоконструкций - дву-
створчатых моллюсков. Поверхность образовывается вращением непрерывно изменяющейся
псевдоверзиеры т, лежащей в плоскостях пучка с фиксированной прямой, совпадающей с осью
Oz. Волнистость поверхности достигается при помощи управления свободным параметром R
формы псевдоверзиеры. В рассматриваемом случае выбрана функция управления параметром
базовой окружности псевдоверзиеры R = А + Bcostptp).
А = -1,2; А = -2; А = -1,01
Рис. 2
Форма задания волнистой поверхности с псевдоверзиерами на круглом плане
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 3):
х = х(р,<р) = р sirup,
у = у(р,ф) = pcostp, Z = z(p,(р) = -
2dp~[A + Scos(p^)]
dtp2 -c~) + 2c2[A + Вcos(p^)]
где d - максимальная стрела подъема поверхности над плоскостью z = -d; с - радиус круглого
с = 2; <-/=1,5; -л < <р < тг, 0 < р < с.
В= 1;А = 2; д = 4
Рис. 3
плана поверхности на плоскости z = -d; А, В, р - константы;
О < р < с\ Q<<p< 2 л-; - d < z < 0; р, <р — цилиндрические коор-
динаты волнистой поверхности. Начало координат расположе-
но в вершине поверхности.
При построении поверхности необходимо учитывать, что
при А > 0 необходимо брать А > d/2 - |В|, а если А < 0,то необ-
ходимо брать А < |<В|. Это позволит избежать деления на ноль.
Рассматриваемая волнистая поверхность может быть также
причислена к классу поверхностей зонтичного типа.
Дополнительная литература
1. Кащенко А.В. Геометрическое моделирование поверхностей некоторых
биоформ - конструкций// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев,
1978. - Вып. 26. - С. 46-48 (библ: 4 назв.).
361
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ГОФРИРОВАННЫЙ ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
Гофрированный параболоид вращения (рис. 1) имеет в основании круговую синусоиду
Рис. 1
Рис. 2
х = (R + a cos nep) cos ср, у = (R + acosncp)sm<p, z = 0,
где и - число вершин синусоиды на круговом плане, а - амплитуда гофров
в основании поверхности, R - радиус базовой окружности параболоида в
основании, относительно которой построена круговая синусоида.
Гофрированный параболоид вращения с наружными гофрами (рис. 2)
имеет в основании круговую волнистую кривую
x = (7? + a|cosn^|)cos^,. у =(7? + o|cos/i^|)sin^, z = 0
с вершинами, направленными из центра кругового основания.
Гофрированный параболоид вращения с внутренними гофрами (рис. 3)
имеет в основании круговую волнистую кривую
х = (/?-a|cosn^|)cos<p, у = (R-a|cosn^|)sin^, z = 0
с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания.
Формы задания гофрированного параболоида вращения
1) Параметрическая форма задания гофрированного параболоида вращения (рис. 1):
. . Л arcosncp) r х ( arcosncp) . , ч , г2 ]
х = х(г, ср) = г 13--—— cos ср, v = у(г, ср) = г 13-;—— sm ср, z = z(r) = h 1-л ,
k R J \ R ) [ R1 j
где 0 < z < /г, 0<ср< 2л; 0< г < R, h- высота гофрированного параболоида вращения.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
_ 2rh (, arcosncp) 2r2hans\nncp
L =------. .... J 13---------— , M =--------, =
R2^A2B2-F2 I R' ) r4a2B2 -F2
2r3h
R2^A2B2 -F2
2a2r2n2 sin2 nep arn2cosncp(\ arcosncp
- + S3 I + r2
\ 2
arcosncp j
7?2 )
R
R
2) Параметрическая форма задания гофрированного параболоида вращения с наружными
гофрами (рис. 2):
| arcosH^I | ( <7r|cosn^>l] ( гг
х = х(г, ср) = г! 1 3-1 cos ср, у = у(г, ср) = г 1 + —1 sin ср, z = z(r) = h\ 1 - —у ,
R2
где 0 < z < h; 0 < ср <2л; 0 < г < R.
3) Параметрическая форма задания гофрированного параболоида вращения с внутренними
гофрами (рис. 3):
( arlcosnd ) ( arlcosnd'l ( гг
х = x{r,cp)-r II---—L cos^>, y = y(r,cp) = r 11----------1 sin^, z - z(r) - h\\--~у I.
362
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ГОФРИРОВАННАЯ СФЕРА
Рис. 2
Гофрированная сфера (рис. 1) имеет в основании круговую синусоиду
х = (R + a cos пср)cos ср, у = (R + acos пер) sin ср, z = О,
где п - число вершин синусоиды на круговом плане, а - максимальная ам-
плитуда гофров в основании поверхности (на экваторе), R - радиус окруж-
ности сферы на экваторе, относительно которой построена круговая сину-
соида, <р - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.
Гофрированная сфера с наружными гофрами (рис. 2) имеет в основании
круговую волнистую кривую
х = (7? + a|cosn^|)cos^, у = (R + a|cosnp|)sinср, z-0
с вершинами, направленными из центра кругового основания.
Гофрированная сфера с внутренними гофрами (рис. 3) имеет в основа-
нии круговую волнистую кривую
х-(7?-a|cos«^|)cos<^, у = (7?-a|cosn^|)sin^, z = 0
с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания.
Формы задания гофрированной сферы
1) Параметрическая форма задания гофрированной сферы (рис. 1):
х - х{ср,г) = [Лcos v + a(l-sin v)cos/i^]cos^,
у = y(^,v) = [7?cosv + a(l — sin v)cos/i^i]sin^>, z = z(v) = 7? sin v,
где v - угол, отсчитываемый от плоскости хОу в сторону оси <9z; 0 < z < /?;
О < ср < 2^; 0 < г < тс. В сечениях гофрированной сферы плоскостями z =
const, то есть при v = v0 = const, получаются круговые синусоиды
х = х(ур) = [7?cosvo + а(1 - sinvu)cos«<p]cos<p, у = у(ср) = [7?cosv0 + a(l - sinvo)cos«^]sin^, z = 7?sinv0.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 = a2/i2(l-sinv)2 sin2 пср + [7?cosv + а(1 -sinv)cosncpf,
• F = an(l - sin v)[7? sin v + a cos v cos nep] sin n <p,
B2 = R2 + 2a/?sinvcosvcosn^ + a2 cos2 vcos2 nep,
-7?COSV f 2 T ,, \2 2
L = —2====== [2a n‘ (1 - sm v) sm nep +
\a2b2-f2
+ [7? cos v + a(l - sin v)cosn^]- [a(l - sin v)(l + n2) cos nep + 7?cos v]},
.. R2ancos vsinnep 4 - -7?2|7?cosv + a(l-sin v)cos/wl
Рис. 3 M = y-(l - sm v), У =--1\
^a2b2-f- -Ja~b2-f2
2) Параметрическая форма задания гофрированной сферы с наружными гофрами (рис. 2):
х = x(ep,v) = [т? cos v + a(l - sin v)|cos n<p|]cos ср, у = y(cp,v) = [t?cos v + a(l - sin v)|cosw^|]sin cp,
z = z(v) = 7? sin v,
где 0 < z S 7?; Q<cp< 2тг, 0 < v < n.
3) Параметрическая форма задания гофрированной сферы с внутренними гофрами (рис. 3):
х = х{ср,у) = [т? cos v - a(l - sin v)|cosn^|]cos^>, у = y(^,v) = [7?cosv-a(l-sinv)|cos«^|]sin^,
z - z(v) = R sin v,
где 0 < z < R; 0 < ^ < 2%; 0 < v < я.
Гофрированные сферы, показанные на рис.1-3, имеют R = 1 м; а = 0,24 м; п = 6;0 < v < те/2.
363
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 7
Рис. б
ЛИНЕЙЧАТАЯ РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - ЦИЛИНДР»
Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость - цилиндр» образовывается произволь-
ной кривой L при качении без скольжения цилиндра с радиусом г по Щ
плоскости. Производящая кривая L, заданная в подвижной системе ко- |
ординат ОРХ, TiZi параметрическими уравнениями
Xi =Xj(«), У1 = У!(И), Z^ZKw),
жестко связана с подвижным аксоидом - круговым
цилиндром. Если производящая линия L является
прямой, то параметрические уравнения этой прямой 4$
L можно записать в виде:
z . С — .. . , 1 \
Л!(и) =----и + а, Ypu) =----u+b, ZI(u) = u,
Н Н
где а, Ь, с, d - константы, показанные на рис. 1, Bs
этом случае поверхность называется линейчатой ротативной поверх-1
ностыо с аксоидами «плоскость - цилиндр».
Формы задания ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х(и,<р) - r(p+X} (u)cos^ + Y} (w)sin^, y(u,q>) = r-X{ (и) sin <p + (u) cosip, z(u) = Z, (и),
где ip - угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох в сторону положительного
направления подвижной оси О^Хр, х,у, z - декартовые координаты произвольной точки кривой
L относительно неподвижной системы координат Oxyz.
2) Если взять производящую прямую X] = 0; У] = г; Zi = и, то по-
лучится прямая цилиндрическая поверхность с направляющей цик-
лоидой (рис. 2). Производящей прямой будет одна из прямолиней-
ных образующих кругового подвижного цилиндра. В этом случае
принято b = d = г, а - с = 0. Параметрические уравнения получен-
ной поверхности (рис. 2) будут иметь вид:
х = х(и,<р) = r{<p +sin^), у = у(и,<р) = г(1 + cos^), z = z(u) = и.
3) На рис. 3 представлена линейчатая ротативная поверхность,
для которой Xi = 0; Y\ = nr, Z\ = и; n > 1. Представленная прямая ци-
линдрическая поверхность в качестве направляющей кривой имеет
Ж® удлиненную циклоиду. Если п < 1, то получится прямая цилиндриче-
ская поверхность с направляющей кривой в виде укороченной цик-
лоиды (рис. 4). Поверхность на рис. 3 имеет b = d = 2г, а = с = 0, a
поверхность на рис. 4 построена при b = d = nr = г/2, а = с = 0.
4) Линейчатая ротативная поверхность с аксоидами «плоскость -
цилиндр» отрицательной гауссовой кривизны с геометрическими
параметрами b = -г, d = г, а = с - 0 изображена на рис. 5. На рис. 6
показана поверхность, которая имеет b = г, d = а = с - 0.
5) Линейчатая ротативная поверхность с аксоидами «плоскость - цилиндр» отрицательной
гауссовой кривизны получится, если принять а = d.= 0, b = г, с = -г (рис. 7), что равносильно
заданию образующей прямой уравнениями: Xi = -ru!H', Yi =-ru/H + r;Zi - и.
6) Новый вид линейчатой ротативной поверхности с аксоидами «плоскость - цилиндр» от-
рицательной гауссовой кривизны получится, если принять a=d=0wb = r, с = 2г (рис. 8). По-
верхность формируется прямой Xi = 2rulH\ Yi = -ru/H + r; Z\ = и.
Рис. 5
Рис. 8
364
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 1
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - ЦИЛИНДР»
Параболическая ротативная поверхность с аксоидами «плоскость - цилиндр» образовыва-
ется плоской параболой т при качении без скольжения цилиндра с радиусом г по плоскости.
Производящая парабола т, заданная в подвижной системе координат oXYZ параметрическими
уравнениями X = Х(и), Y = Y(ii), Z = Z(n), жестко связана с подвижным ак-
соидом - круговым цилиндром. Если производящая парабола т расположена
в подвижной координатной плоскости oYZ, а ось параболы совпадает с осью
oY, то параметрические уравнения этой параболы т (рис. 1) можно записать
в виде:
Y = У(и) = а + bu2, Z - Z/и) = и, где а,Ь- константы.
Формы задания параболической ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х(и,ср) = r<p + X(«)cos^ + T(n)sin^, у/и,(р) = г- X(n)sin^ + T(n)cos^, z(w) = Z(n),
где ср - угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох в сторону положительного
направления подвижной оси оХ; г - радиус катящегося цилиндра; х, у, z - декартовые координа-
ты произвольной точки кривой т относительно неподвижной системы координат Oxyz. Пред-
ложенные параметричческие уравнения могут быть использованы для задания ротативной по-
верхности с аксоидами «плоскость - цилиндр» с любой производящей кривой, жестко связан-
ной с подвижным цилиндром.
2) Параметрическая форма задания ротативной поверхности, если производящая кривая -
произвольная плоская линия, которая лежит в подвижной плоскости oYZ'.
х = х(и,<р') = r(p + К(«)sinу = у(.и,(р) = г + У(и)cos rp, z = z(«) = Z(«),
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = Y’2 + Z'2, F = гУ'sin ^9, В2 = (гcos<р + У)2 + г2 sin2 <р,
А2В2 - F2 = А2 /г cos rp+Y у + Z'2 sin2 ср,
pA2B2-F2 aa2b2-f2 Pa2b2~f2
Штрихами обозначено дифференцирование по параметру и.
3) Параметрическая форма задания ротативной поверхности, если
производящая кривая - плоская парабола У = а + bu2, Z = и, которая
лежит в подвижной плоскости oYZ (рис. 1 - 6):
х = х/и, (р) = г (р +(а + Ьи2) sin ср, у = у (и, <р) = г + (о + Ьи2) cos (р, z= z( и) = и.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 4b2u2 +1, F = 2brusin <р, В2 = (rcostp + а + Ьи2)2 + г2 sin2 (р,
А2В2 - F2 = А2/г cos ср + a + bu2)2 + sin2 гр,
r (rcos® + а + bu2~) ,, — 2brusm<p ,, (rcos(p + a + bu2)(a + bu2')
L = 2b -—, 2 , M = = tN = - L r---------32-----L
aJA2B2-F2 a!A2B2-F2
_ 2b[(a + 5n2)(rcos^> + a + bu2')2 + 2br2u2 sin2 <p]
а = 0; ,
b = r/L'
Рис. 2
Рис. 3
а = 0;
b = - r/L2
а = г,
/> = - r/L2
Рис. 4
а - -г,
b= r/L2
Рис. 5
у/А2 В2 -F2
(А2В2~Г2У
Все ротативные поверхности, представленные на /
рис. 2-6. построены для L = г, г = 1 м; 0 < <р < 2д; - L<u < L . Геомет-
рические параметры а и b даны на рисунках. Еще одна ротативная по- а = г, b = -2r/L2
верхность с а = -г; Ь = 2г/1} приведена на странице 351. Рис. б
365
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СФЕРА С ЦИКЛОИДАЛЬНЫМИ ГОФРАМИ
Встречаются 2 типа сфер с циклоидальными гофрами. Сфера с наружными циклоидальны-
ми гофрами (рис. 1) имеет в основании эпициклоиду
х - хфр) = (R + r)cos<p- rcos(l + п)<р, у = у(<р) = (R + г) sin ср - rsin(l + п)<р, z = О,
где п - число вершин эпициклоиды на круговом плане; п = R/r; 2г - максимальная амплитуда
гофров в основании поверхности (на экваторе), R - радиус окружности сферы на экваторе, по
которой снаружи катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает эпи-
циклоиду; <р - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.
Сфера с внутренними циклоидальными гофрами (рис. 2) имеет в основании гипоциклоиду
х = хфр) = (R- r)cos^ + rcos(n-l)^, у = у(^) = (A-r)sin^-rsin(H-l)^, z = О,
с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, п - число вершин гипоцик-
лоиды на круговом плане; п = R/r; 2г - максимальная амплитуда гофров в
основании поверхности (на экваторе), R - радиус окружности сферы на эк-
ваторе, по которой внутри катится окружность радиусом г, произвольная
точка которой описывает гипоциклоиду; - угол, отсчитываемый от оси
Ох в сторону оси Оу.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания сферы с наружными циклоидальны-
ми гофрами (рис. 1):
х = х(и,<р) - [(А + г)cos^ - rcos(/i + 1)^]cosm,
у = у(и,<р) = [(7? + r)sin^>- rsin(/2 + l)^]cos«, z = z(w) = A1 sin и,
где и - угол, отсчитываемый от плоскости хОу в сторону оси Oz; 0 < z^ R;
0<<р< 2л; 0<и <л/2. В сечениях рассматриваемой поверхности плоско-
Рии 1 стями z = const, то есть при и = и„ = const, получаются эпициклоиды
= л(<р) = [(R + r)cos® - rcos(n + 1)^]cosm„ , у = у{<р) = [(А + r)sin <р - rsin(/i + l)<p]cosu
с п = const.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 2r(A + r)(l-cosn^>)sin2 и + R2, F = -R(R +г) sin и cos и sin п<р, В2 = 2(А + r)2(l-cosn<p)cos2 и,
Rr(R + r)(2 + n)cosn. А(А + г)2 (2 + я) cos3 и
L------- =---(l-coszi^), М =0, N=-------. - ----(l-cos«^),
Ja2B2-F2 -\Ia2B2—F2
„ A2r(A + r)3(2 + /i)2 cos4 и , л
К =---------------ф------(1 - cos и ю) > 0.
(А2В2-А2)2
2) Параметрическая форма задания сферы с внутренними циклоидаль-
ными гофрами:
х = х(и,^) = [(А - r)cos^> + rcos(« -l)^]cosw,
у = у(и,<р) = [(А - г) sin q> - г sin(n - l)^]cosw, z = z(w) = Asinn,
гдеО<с^А; 0<^<2л:; 0<х<л/2.
Гофрированные сферы, показанные на рис.1-2, имеют А = 1 м;
0 < v < л/2. Параметр п указан на соответствующих рисунках.
Дополнительная литература
1. Чуркин Г.М. Свойство точек эпициклоиды. - Ин-т хим. кинет, и горения СО АН
СССР. - Новосибирск, 1989. - 10 с. - Библ.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ 06.01.89, № 157-
В89.
2. Чуркин Г.М. Свойство точек гипоциклоиды. - Ин-т хим. кинет, и горения СО АН
СССР. - Новосибирск, 1989. - 10 с. - Библ.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ 06.01.89, № 155-В89.
366
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВОЛНИСТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ИЗ КУБИЧЕСКИХ ПАРАБОЛ
Волнистая поверхность из кубических парабол имеет в опорном сечении z = 0 волнистую
линию, заданную в полярных координатах
v(ep) — -Jr2 + р(1 -cosnep) ,
где v(ep) - полярный радиус, п = R/r; п - целое число; ер - полярный угол.
Если взять р = 2r(R + г), то на опорной окружности будут располагаться внутренние вер-
шины волнистой линии, то есть R < v(ep) < R + 2r. При р = -2r(R — г) на опорной окружности
будут лежать внешние вершины волнистой линии, то есть
R - 2r < v(p) < R, рис. 1. Кроме того, при р = 2г(7? + г) все вер-
шины волнистой линии будут лежать на эпициклоиде, полученной
при наружном качении окружности радиусом г по окружности
радиусом R, а при р = -2r(R - г) все вершины располагаются на
гипоциклоиде, полученной при внутреннем качении окружности
радиусом г по окружности радиусом R.
Форма задания волнистой поверхности
1) Параметрическая обобщенная форма задания:
т = х(ер,и) = n1/3v(^>)cos^, у = у (ер, и) = w1/3v(^)sin^, z = z(u) = /г(1 - и),
где и - безразмерный параметр; 0 < и < 1; 0 < z Л; (3<ер< 2л. В любом сечении волнистой
поверхности плоскостью, проходящей через ось Oz, лежит кубическая парабола. Поверхность,
изображенная на рис. 1, имеет h = 1 м; R = 1 м; п = 8.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
,/3 р2п2 sm2 пер , . .
L 4у-((?>)
/wsinnp 2
L- hl‘2li
3p2n2 sin2 я® pn2 г, y .. n
___________ —------------— - —— cos nep + v (ер) , M = 0, N =
\Ia2B2 -F2 L 2
В вершине поверхности при и = 0 будет К = 0, Н = 0.
2hv2(ep)
9uwy/A2B2 -F2
ВОЛНИСТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ИЗ ПОЛУКУБИЧЕСКИХ ПАРАБОЛ
Волнистая поверхность из полукубических парабол имеет в качестве
опорной волнистой линии ту же линию, что и волнистая поверхность
из кубических парабол.
Форма задания волнистой поверхности
1) Параметрическая обобщенная форма задания:
х = х(ер,и) = w3/2v(^)cos^, у = у(ер,и) = n3/2v(^)sin^>, z = г(и) = й(1 - и),
где и - безразмерный параметр; 0 < и < 1; 0 < z < Л; 0 < ер < 2л. Ос-
тальные обозначения приведены в разделе «Волнистая поверхность из
Рис- 2 кубических парабол». В сечении поверхности плоскостью, проходя-
щей через ось Oz, лежит полукубическая парабола. В вершине поверхности находится особая
точка. Поверхность, изображенная на рис. 2, имеет й = 3м;/?=1м;л = 5;р = 2r(R + г).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
з D2«2sin2«0 7, ,
---------~ + v(ep) , F =
Зрпиг smnep _9uv2 (ep) -2
4 ’ ~ 4
- 3huv2 (ep)
4л/а252 -F2
А2 = и
L~
4v2(^)
о 2 2 2 2
3p n sm nep pn
4a2B2 -E2 L 4v2(^9) 2
!/ fi,
--------cosn^o + v" (ер) , М = 0, N =
367
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВОЛНИСТЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ,
ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ 2-ГО ПОРЯДКА
Волнистые цепи с эллиптическими сечениями образовываются поступательным движением
эллипса вдоль, прямой линии, которая совмещается с координатной осью Oz. Эллипс все время
лежит в плоскости, перпендикулярной оси Oz. При движении эллипса вдоль оси Oz меняются
по выбранному закону величины полуосей эллипсов (£> и с) и их отношение (Ь/с).
Формы задания волнистых цепей
1) Параметрическая форма задания:
.г = x(u,v) = [a + Z>^(v)]cos«, у = у(и, v) = [а + c^(v)]sinw, z = z(y) = co(v~),
где а, b и с - константы. При ср(у) = y/(v) = г(у) получаются классические поверхности 1-го по-
рядка с эллиптическими сечениями. В зависимости от вида функции г(у) можно получить эл-
липтический цилиндр, эллиптический конус, эллипсоид и др.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 - (а + by>)~ sin2 и + (а + су/)~ cos2 и; F - [~b(a + Ь<р)ср' У-с)а + c^){y']sinwcosw;
В'’ = b~<p2 cos2 и + c2y/2 sin2 и + co'2;
A2В2 - F2 = [(n + bcp)~ sin2 u + (a + cyr)2 cos2 и\я2 + [с(я + Z?^)^'sin2 и +b(a + cy/)<p'cos2 и]";
L-—==^====={ci +b<p\a +cy/\ M = ------L [c(a + b<p)y/-b(a-y cy/)<p'\sm и cosw,
Ja2b2-f2 -Ja2b2-f2
N = ____!__=[c(a + b(p\y/'a)' - ^'®")sin2 и + b(a + cy/)(<p"co' - ip'co")cos2 u]
ylA2B2-F2
Штрихами в формулах обозначено дифференцирование по параметру у.
ВОЛНИСТАЯ ЦЕПЬ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ,
ОГРАНИЧЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ЦИЛИНДРОМ
Волнистая цепь с эллиптическими сечениями, ограниченная эллиптическим цилиндром, по-
лучится, если в общие параметрические формулы волнистых цепей с эллиптическими сечения-
ми подставить функции ср = <р(у) = rcos pv, у/ = у/(у) = rsin pv, со = tv, где г, p,t - константы.
fl = 0;fc = 2;c= 1; а = 1; b = 2; с = 1; а = 2; b = 2; с = 1; а = 3; b = 2; с = 1;
О < v < 15; t =1; р = л/5 0 < у < 15; t- 1; р = л/5 0 < v < 20; t = i;p = л/5 0 < v < 20; r= I ,p = л/5
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и, v) = [а + br cos py]cosw, у = y(u,v) = [а + crsin pv]sinw, z - z(v) = tv,
где a, b и с - константы. Различные формы волнистых цепей с эллиптическими сечениями, ог-
раниченные эллиптическим цилиндром, представлены на рис. 1 - 4. Геометрические параметры
указаны на соответствующих рисунках. Значения коэффициентов основных квадратичных
форм поверхности можно вычислить, используя общие формулы, приведенные в разделе «Вол-
нистые цепи с эллиптическими сечениями, ограниченные поверхностями 2-го порядка».
368
ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВОЛНИСТАЯ ЦЕПЬ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ,
ОГРАНИЧЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ КОНУСОМ
Волнистая цепь с эллиптическими сечениями, ограниченная эллиптическим конусом, полу-
чится, еслив общие параметрические формулы волнистых цепей с эллиптическими сечениями
подставить функции ср = <р(у) = r(v)cos pv, у/ = = r(v)sin pv, co = tv, r(y) = dv, где p, t, d ~
константы.
a = 0; ft = 2; c = 1; 0< v < 15;
t = 1; p = л/5; d - 0,2
Рис. 1
й = 1; ft = 2; c = 1; 0 < v < 15;
t = 1; p = л/5; d = 0,2
Рис. 2
и = 5; ft = 2; 0 < v < 25;
c = t = 1; p = л/5; d = 0,2
Рис. 3
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и, г) = [я + Mvcos pvjcosw, у - y(u,v) = [a + a/vsin pv]sinw, z = z(v) = tv,
где a, b и с - константы. Различные формы волнистых цепей с эллиптическими сечениями, ог-
раниченные эллиптическим конусом, представлены на рис. 1-3. Геометрические параметры
указаны на соответствующих рисунках. Значения коэффициентов основных квадратичных
форм поверхности можно вычислить, используя общие формулы, приведенные в разделе «Вол-
нистые цепи с эллиптическими сечениями, ограниченные поверхностями 2-го порядка».
ВОЛНИСТАЯ ЦЕПЬ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ,
ОГРАНИЧЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ПАРАБОЛОИДОМ
Волнистая цепь с эллиптическими сечениями, ограниченная эллиптическим параболоидом,
получится, если в общие параметрические формулы волнистых цепей с эллиптическими сече-
ниями подставить функции ср = ср(у) = r(v)cos pv, у/ = }/(v) = r(v)sin pv,a> = tv2, r(y) - dv, где p,
о = 0; ft = 2; c = 1; 0<v < 15; a = 0; ft = 2; c = 1;
1 = 0,5;/? = Td5-d= 1 0 < v < 15; t = 0,3;
Рис. 4 Рис. 5 (p = л/5; d = 1)
ные поверхностями 2-го порядка».
t,d- константы.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) - [a + bdvcos pv]cosw,
у = у(и, у) = [а + cdv sin pv]sinu, z = z(v) = tv2,
где a, b и с - константы. Различные формы волни-
стых цепей с эллиптическими сечениями, ограни-
ченные эллиптическим параболоидом, представ-
лены на рис. 4-5. Геометрические параметры
указаны на соответствующих рисунках. Значения
коэффициентов основных квадратичных форм по-
верхности можно вычислить, используя общие
формулы, приведенные в разделе «Волнистые цепи с эллиптическими сечениями, ограничен-
369
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
Зонтичным куполом называется циклически симметричная пространственная конструкция,
образованная из нескольких тождественных элементов, в результате пересечения срединных
поверхностей которых получаются кривые, являющиеся образующими некоторой куполообраз-
ной поверхности вращения. Контурной поверхностью называют куполообразную поверхность
вращения, на которую «укладываются» контурные кривые элементов купола. Контурные кри-
вые элемента - кривые, ограничивающие контур срединной поверхности элемента купола.
Зонтичные оболочки обладают повышенной жесткостью, устойчивостью, архитектурной выра-
зительностью.
Поверхностями зонтичного типа называются циклически симметричные поверхности, со-
стоящие из нескольких тождественных элементов. Причем полная поверхность зонтичного ти-
па и все поверхности составляющих ее тождественных элементов описываются одним и тем же
явным, неявным или параметрическими уравнениями.
Поверхности зонтичного типа, представленные в справочнике:
Гофрированный параболоид вра- Параболоид вращения с Поверхность зонтичного типа на циклоидальном
щения (с внутренними гофрами) радиальными волнами плане, образованная кубическими параболами
Волнистая поверхность из
кубических парабол
370
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ, ПРИМЕНЕНИЮ И РАСЧЕТУ ЗОНТИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК
И ОБОЛОЧЕК, ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
1. Пряник М.В., Ломан В.И. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа, - М.: «Радио и связь», 1987.
-72 с.
2. Кащенко А.В. Геометрическое моделирование поверхностей некоторых биоформ - конструкций// Приклад-
ная геометрия и инж. графика. - Киев, 1978. - Вып. 26. - С. 46-48 (библ: 4 назв,).
3. Лебедев В.А. Тонкостенные зонтичные оболочки. - Л.: Госстройиздат, 1958. - 172 с. (библ.: 27 назв.).
4. Морозов А.П., Василенко О.В., Миронков Б.А. Пространственные конструкции общественных зданий. - Изд.
2-е. - Л.: Стройиздат, 1977. - 168 с.
5. Капра М. Изучение гиперболических зонтичных оболочек с контурными брусьями// Межд. конф, по облег-
ченным пространств, конструкциям покрытий для строительства с обычных и сейсмических районах: Доклады. -
Алма-Ата, 13-16 сент. 1977. - М.: Стройиздат, 1977. - С. 418 (Библ.: 3 назв.).
6. Иванов В.Н., Наср Юнее Ахмед Аббуши. Архитектура и конструирование оболочек в форме волнистых, зон-
тичных и каналовых поверхностей Иоахимсталя// Монтажные и специальные работы в строительстве. - 2002. - №
6.-С. 21-24.
7. Наср Юнее Ахмед Аббуши. Волнообразные купола// Строительная механика инженерных конструкций и
сооружений. - 2002. - Вып. 11. - С.49-58 (библ.: 7 назв.).
8. Бранков Г.Й. Вълнообразни черупкови конструкции. - София: Изд-во на Българската академия на науките. -
1961. - 80 с. (библ.: 4 назв.).
9. Лебедев В.А. Способ образования и принцип расчета тонкостенного зончатого купола// Труды ЛИСИ. -
1954.-№ 17.-С. 134-158 (библ.: 7 назв.).
10. Ярин Л,И. Пневматические зончатые купола// Труды ЦНИИпромзданий. - 1964. - Вып. 1. - С.
И. Кривошапко С.Н. Геометрические исследования поверхностей зонтичного типа/'/ Строительная механика
инженерных конструкций и сооружений. - 2005. - № 1. - С. 11-17 (библ.: 4 назв.).
12. Михайленко В.Е., Обухова В.С., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. - Киев: «Бу-
д!вельник», 1972. -208 с.
13. Липницкий М.Е. Купольные покрытия для Строительства в условиях сурового климата. - Л.: Стройиздат.
Ленинградское отделение, 1981. - 136 с. (библ.: 20 назв.).
14. Mirza J.F. Stresses and deformations in umbrella shells// Proc. ASCE, 93, N CT2, Apr. 1967. - P. 271-286.
P.S.-. Дополнительная литература приведена на страницах раздела «Поверхности зонтичного типа».
ПОВЕРХНОСТЬ ЗОНТИЧНОГО ТИПА С ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ
И ОТВЕРСТИЕМ В ВЕРШИНЕ
Рассматриваемая поверхность образовывается однопараметрическим семейством парабол,
лежащих в плоскостях пучка, проходящих через координатную ось Oz. Причем оси парабол на-
ходятся в горизонтальной плоскости z = 0, а вершины парабол расположены на окружности ра-
диусом а и центром в точке О (0; 0; 0). Поверхность имеет в вершине z = h эпициклоиду (рис. 1)
х = = (7? + г) cos ср - г cos(l + п)<р, у = у(^>) = (R + г) sin ср - г sin(l + п)ср,
где п - число внешних вершин эпициклоиды; п = R/r, R - радиус окружности, по которой сна-
_ _ ружи катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описы-
вает эпициклоиду; ср - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу,
2?/или гипоциклоиду
/ЦПЗДтлк х = = г) cos (S’+ rcos(« -1~)ср, у = у(ср~) = (R - г) sin ср- rsin(« -1)р,
Шт /л—ГШпЛ и - число вершин гипоциклоиды; R - радиус окружности, по которой внут-
пЦ.' ри катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает
гипоциклоиду.
L-L»' Формы задания поверхности зонтичного типа
Рис'1 1) Параметрическая форма задания:
х = x(z, <р) = {a-[a- v(.<p)]z2 /h2}x(<p) I у(срУ, у = y(z, <р~) = {а - [а - v(<p)]z2 / h2 }у(<р) / v(^); z = z,
где v(cp) = ^R2 + р(1-созпф>). Необходимо брать р - 2r(R + г); а > R + 2г, если отверстие в
вершине принято в форме эпициклоиды (рис. 1), и р = -2г(7? - г), а > R, если отверстие имеет
форму гипоциклоиды.
371
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ПОВЕРХНОСТЬ С РАДИАЛЬНЫМИ ВОЛНАМИ,
ЗАТУХАЮЩИМИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТОЧКЕ, ОБРАЗОВАННАЯ ПАРАБОЛАМИ
Поверхность с радиальными волнами, затухающими в центральной точке, образованная
параболами, формируется плоскими параболами, вершины которых совпадают с центральной
фиксированной точкой, а другая точка, принадлежащая параболе, движется по кругу, изменяя
ординату по закону синуса. Касательные, проведенные к параболам в центральной точке все
время должны оставаться в одной плоскости. Плоскость, образованная касательными к парабо-
лам в центральной точке, называется базовой плоскостью. В любом сечении поверхности плос-
костью, проходящей через центральную точку и перпендикулярной базовой плоскости, будет
лежать парабола.
Формы задания поверхности с радиальными волнами
1) Параметрическая форма задания:
х — x(u,v) = ucosv, у = у(и,г) = Hsinv, z = z(u,v) = аи2 sin(nv),
где v - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; а = const; п - любое число.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + 4я2и2 sin2(nv), F = 2a2i?nsin(nv)cos(nv), В2 = и2[1 + п2а2и2 cos2(иг)],
А2В2 - F2 = и2[1 + 4а2 к2 sin2 (nv) + п2а2и2 cos2 (nv)],
2flwsin(nv) au2ncos(nv~) aw3(2-n2)sin(nv)
7a2B2 -F2 Ja2B2 -F2 л/а2В2 -F2
& я2 [2(2 -/г2) sin2 (nv) - n2 cos2 (nv)]
[1 + 4а2и2 sin2 (nv) + n2a2u2 cos2 (иг)]
[(4 - и2 )(1 + 2a2 и2 sin2 (nv)) -2a2u2n2]
H = a~r------~-------------FFF-----9----p^sin(nv).
2[1 + 4а'и' sin" (nv) + n~a u~ cos'(nv)]
Поверхность отнесена к неортогональной несопряженной системе криволинейных коорди-
нат и, V. Если брать за п четное целое число, то поверхность не будет иметь точек самопересе-
чения поверхности при v > 2тг. Если же брать за п нечетное целое число, то при 0 < и < и0 само-
пересечений поверхности не будет, но при -и0 < и < ий будут появляться «соты». На рис. 1
показана поверхность при п = 1, 0 < v ; — 1 < и < 1. При п = 2 получится седло в барабане
(см. «Седловые поверхности»). Поверхность с п = 3, 0 < v < 2л ; -1 < н < 1 изображена на рис. 2.
На рис. 3 представлена поверхность с п = 3, 0<v<2#; 0<и<1. Если принять п = 5;
О < v < 2тг ; = 1 < и <1, то получится поверхность, показанная рис. 4. «Соты» будут также у по-
верхностей с дробными значениями параметра п при г > 2л.
372
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ВОЛНИСТАЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Эллипсоидальные волнистые поверхности образовываются при вращении эллипса с одно-
временным изменением его осевого отношения. Одна из главных осей эллипса совпадает с
осью вращения й остается неизменной, а вторая главная ось эллипса своим концом описывает
круговую синусоиду г(«) = а[1 + /zcos(pw)], где р - отношение амплитуды синусоиды к радиусу
круга а;р - число волн синусоиды.
Векторное уравнение эллипсоидальной волнистой поверхности можно записать в виде:
p(u,v) =д{[1 + pcos(pu)]cosvh(ii) + ysinv^},
где й(и) = icosu + jsinzz; у = b/a - отношение полуосей образующих эллипсов. Волнистые эллип-
соидальные оболочки при различных параметрах у, р, р представлены на рис 1.
у = 1,2; р = 0,8; у = 0,8; д = 0.5; у = 0,7; р = 0,2; у = 1; р = 0,3; у = 0,8; р = 0,1; у=0,9;р=10
р = 1 р=2 р = 4 р=5 р = 8 р = 0,05
Рис. 1
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = а2(г2 + г/2) cosv, F = а2 г г'sin vcos v,. В2 = a2(r2 sin2 v + у2 cos2 v),
L = — [r(r " - r) - 2r '2]cos2 v, M = 0, N = --г, где о-2 = y(r2 + r'2)cos2 v + r4 sin2 v,
<T <7
r = г (и) = 1 +//cos(pzz), r ' = dr I du = -ppsin(pu), r" = d2r/du2=-pp2cos(pu).
Поверхность отнесена к неортогональной сопряженной системе криволинейных координат.
Эллипсоидальную волнистую поверхность можно задать в сферической системе координат:
p(u,v) = 7?(zz,v)e(zz,v), где e(zz,v) = /z(n)cosv + fcsinv, a R(u,v) = Ыv),
2/э
g(«,v) = sin v + ^cos v.
А2
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Р2Г'2 , 'i , „ Tff'R2 , ч 3 7
~g2~2 cos" v + 1 7?" cos" v, F = - (Д -//Jsin vcos v, В
Зг'2 "I
sin2 v cos2 v,
nr 'R
M = -
^Olll V I
pR
sinvcosv, N =—-
air at
~/2\
2 2 2 Г 2
ст = sin" v + T] 1 + —p- cos" v.
L =
При этом способе задания поверхности используется неортогональная несопряженная сис-
тема криволинейных координат и, v.
Дополнительная литература
1. Бранков Г.Й. Вълнообразни черупкови конструкции. - София: «Болгарска Академия на науките», 1961,- 80с.
2. Насер Юнее Аббуши. Волнообразные купола// Строительная механика инженерных конструкций и сооруже-
ний: Межвуз. сб. научных трудов. - Вып. 11. - М.: Изд-во АСВ, 2002. - С. 49-58 (библ.: 7 назв.).
373
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ С РАДИАЛЬНЫМИ ВОЛНАМИ
а = Ь=\\ п = 4 а = 1; b = 1,5; п = 5 а = 0,8; b = 0,5; п = 8
а = 0,8; Ь= 1,5; п = 2
а = 0,5; b = I; п = 3
Рис. 1(0<и<1) Рис.2(0<«<1)
Рис. 3(0<и<1)
Рис. 4 (-1 < и < 1)
Рис. 5 (-1 < и < 1)
Параболоид вращения с радиальными волнами формируется плоскими параболами, верши-
ны которых совпадают с центральной фиксированной точкой. Касательные, проведенные к па-
раболам в центральной точке все время должны оставаться в одной плоскости. В любом сече-
гЪ А нии повеРхности плоскостью, проходящей через ось Oz, будет лежать парабола.
Формы задания параболоида вращения с радиальными волнами
'Шаг Параметрическая форма задания:
\ I ’ хСкЛ» • 2
wyvnxXftr x = x(u,v) =mcosv, у = у(и, v) = «sin v, z = z(u,v) = [asin(nv) + b]u ,
где v - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; а = const - амплитуда
а = 1;Ь= 1,5; волны; п - число вершин волн; b - постоянный параметр базового параболоида
и = 3; 0 < и < 1 вращения.
Рис- 6 Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = l + 4w2[asin(Hv) + b]2, F — 2auin[asin(nv') +&]cos(hv), В2 = и2[1 + п2а2и2 cos2(hv)],
А2В2 - F2 = u2[a2 + п2а2и2 cos2(hv)J
2«[asin(nv) + b] _ au2ncos(nv) _ u3 [2(a sin nv + b)-an2 sinwv]
Ja2B2 -F2 ’ -Ja2B2-F2 ’ yA2B2 -F2
К _ 2(asinnv + £)[2(asinnv + b)-an2 sinnv]-a2«2 cos2 nv
[a2 + n2a2u2 cos2(nv)]“
a = u,8;t>= г, п = ь При b - 0 рассматриваемая поверхность становится поверхностью с ра-
Рис. 7(0_и<1) Опальными волнами, затухающими в центральной точке, образованной па-
раболами (см. «Поверхности зонтичного типа»). Если принять а - Ь, то нижние вершины волн
поверхности будут лежать на плоскости хОу (рис. 1). Если b > а, то рассматриваемая поверх-
ность будет лежать в области положительных значений ординаты z (рис. 2). Если Ь < а, то по-
верхность будет иметь как положительные, так и отрицательные значения ординаты z (рис. 3).
При а = 0 параболоид вращения с радиальными волнами выродится в параболоид вращения.
Если брать за п четное целое число, то поверхность не будет иметь точек самопересечения
поверхности при v > 2л. Если же брать за п нечетное целое число, то при 0 < и < и0 самопересе-
чений поверхности не будет, но при - и0 < и < и0 будут появляться «соты».
На рис. 4 показана поверхность при п = 2, 0 < v < 2п; - 1 < и < 1. Поверхность с п = 3,
0<г<2д;-1<и<1 изображена на рис. 5. На рис. 6 представлена поверхность с п = 3,
0 < v < 2д; 0 < и < 1. Если принять п = 6; 0 < v < 2я; 0 < и < 1, то получится поверхность, пока-
занная на рис. 7. «Соты» будут также у поверхностей с дробными значениями параметра п при
v > 2п. Все поверхности, показанные на рис. 4-7, имеют b > а.
Дополнительная литература
1. Базилевич И.А. Вычерчивание поверхностей с помощью ЭЦВМ// Прикладная геометрия и инженерная гра-
фика. - Киев, 1975. - Вып. 20. - С. 157-162 (библ.: 2 назв.).
374
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ПОВЕРХНОСТЬ ЗОНТИЧНОГО ТИПА С ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ
И КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ В ВЕРШИНЕ
Рассматриваемая поверхность имеет в опорном сечении z = О эпициклоиду (рис. 1, а)
X = Х(^) = (R + r)cos^>-rcos(l + «)^, У = Y(<p) = (R + r)sin^>-rsin(l + п)<р, Z = О,
где п - число внешних вершин эпициклоиды; п = R/r; 2г - максимальная амплитуда гофров в
основании поверхности, R - радиус окружности, по которой снаружи катится окружность ра-
диусом г, произвольная точка которой описывает эпициклоиду; <р - угол, отсчитываемый от оси
Ох в сторону оси Оу, или гипоциклоиду (рис.1, б)
X = Х(ур) = (А - г) cos + rcos(rc-l)^, У = Y(yp) = (Л-г) sin rsin(w-l)^, Z = О,
с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, п - число вершин гипоцик-
лоиды; R - радиус окружности, по которой внутри катится окружность радиусом г, произволь-
ная точка которой описывает гипоциклоиду.
В любом сечении рассматриваемой поверхности плоскостью, проходящей через ось по-
верхности, совпадающей с координатной осью Oz, будут лежать параболы z = h - b(yp){x - а)2,
0< z< h; Ыу>) - переменный параметр парабол. Верхняя граница поверхности представляет со-
бой окружность радиусом а с центром, расположенном в точке с координатами (0; 0; К). Таким
образом, вершины образующих парабол лежат на граничной окружности.
Формы задания поверхности зонтичного типа
1) Параметрическая форма задания:
, ч I ьГ < ч 1 I Х(ур) Ч [ , Г / Ч 1 /й-х] Y((p)
х = x(z,^) = <a + [v(^)-aL у - y(z,<p) = (а + [v(^)-a L —z = z,
[ V h j v(yp) V h ] v(/p)
где v(cp) - ^R2 + p (\ - cos nep) - полярный радиус гипоциклоиды или эпициклоиды, лежащих в
основании поверхности; причем г(^) = -jx2 (<р) + У2 {ср) ;д< z<h; угол ср не является полярным
углом; 0 < <р < 2д ; h - максимальная высота поверхности зонтичного типа.
Рис. 1 (R = 1 м; п = 5)
Необходимо принимать р - 2r(R + г), а < R, если основание принято в форме эпициклоиды
(рис. 1, а) или р = -2r(R -г), а < R- 2г, если основание имеет форму гипоциклоиды (рис. 1, б).
Таким образом, в сечениях рассматриваемой поверхности плоскостью z = 0 лежит эпициклоида
или гипоциклоида, в зависимости от значения параметра р и координат Х{<р) и У(р).
В сечении поверхности плоскостью z = h, лежит граничная окружность х2 + у2 = а2.
Если принять а = 0, то рассматриваемая поверхность выродится в параболоид вращения с
циклоидальными гофрами (рис. 1, е).
Если же принять р = -2г(А - г), а> R - 2г, то получится поверхность, представленная на
рис. 1, г, с гипоциклоидой в основании.
375
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТНОЙ ТОЧКОЙ
ПОВЕРХНОСТЬ С РАДИАЛЬНЫМИ ВОЛНАМИ, ЗАТУХАЮЩИМИ
В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТОЧКЕ, ОБРАЗОВАННАЯ КУБИЧЕСКИМИ ПАРАБОЛАМИ
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Поверхность с радиальными волнами, затухающими в централь-
ной точке, образованная кубическими параболами, формируется
плоскими кубическими параболами, точка перегиба которых совпа-
дает с центральной фиксированной точкой, а другая точка, принад-
лежащая кубической параболе, движется по кругу, изменяя ордина-
’ ту по закону синуса. Касательные, проведенные к кубическим пара-
болам в центральной точке все время должны оставаться в одной
плоскости. Плоскость, образованная касательными к кубическим
параболам в центральной точке, называется базовой плоскостью. В
любом сечении поверхности плоскостью, проходящей через цен-
тральную точку и перпендикулярной базовой плоскости, будет лежать кубическая парабола.
Формы задания поверхности с радиальными волнами
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и, v) = и cost, у = y(u,v) = и sin г, z = z(u, v) = au3 sin(nv),
где v - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; а = const; п - любое число.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + 9а2и4 sin2 (nv), F = 3a2w5Hsin(nv)cos(/iv), В2 = и2 +п2а2и6 cos2 (иг),
А2В2 - F2 = и2[1 + 9«2и4 sin2 (иг) + п2а2и4 cos2 (иг)], L = баи2 sin(nv)/А2В2 - F2 ,
М = 2аип cos(nv)/VA2B2 -F2 , N = аи4 (3 - и2) sin(ziv)/-x!a2B2-F2 ,
X = 2<72M6[3(3-/z2)sin2(иг)-2/г2 С052(лг)]/(А2В2 - F2')2 ,
Н = 0,5ам4 sin(/iv)[9 - 6а2п2и4 - и2 + 27а2к4 sin2 (nv) - За2и4и2 sin2 (пг)]/(а2В2 - F2)
Поверхность отнесена к неортогональной несопряженной системе криволинейных коорди-
нат и, г. В центральной точке с координатой и = 0 гауссова и средняя кривизны поверхности
равны нулю (X = Н = 0). Следовательно, центральная точка является изолированной плоскост-
ной точкой. На рис. 1 показана поверхность при п = 2, 0 < г < 2я. При п = 3 получится обезья-
нье седло (см. «Седловые поверхности»). Поверхность с и = 4, 0 < г < 2тг изображена на рис. 2,
при и = 5 - на рис. 3. Если брать за п нечетное целое число, то поверхность не будет иметь то-
чек самопересечения поверхности при г > 2тг. Если же брать за и четное целое число, то при
0 < и < и0 самопересечений поверхности не будет, но при — и0 < и < и0 будут появляться «со-
ты» (рис. 4; п = 2; — 1 < и < 1). «Соты» будут также у поверхностей с дробными значениями па-
раметра п при г > 2тг. На рис.5 изображена поверхность с и = 4,5; на рис 6 - при п = 3,25.
376
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
КРЕСТООБРАЗНЫЙ ЖЕЛОБ
Рис. 1 Рис. 2
Крестообразный желоб состоит из че-
тырех одинаковых лепестков, разделен-
ных взаимно перпендикулярными пря-
мыми линиями, лежащими в одной плос-
кости. Крестообразный желоб является
поверхностью четвертого порядка.
Формы задания поверхности
крестообразного желоба
1) Явная форма задания (рис. 1):
В сечениях поверхности координатными плоскостями х = 0 и у = 0 лежат прямые линии,
совпадающие с координатными осями Оу и Ох. В сечениях желоба плоскостями z = Zo = const
будут лежать равнобочные гиперболы
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = l + 4cVy4, F = 4c2x3y3, В2 = i + 4c2x4y2, А2В2 - F2 = 1 + 4с2х2у2 (х2 + у2),
Icy2 4сху lex2
L= . М= .—А =-=======,
-^/1 + 4с2х2у2(х2 + у2) -^1+4с2х2у2(х2 + у2) д/1 + 4с2х2у2 (х2 + у2)
-12с2х2у2 с(х2 + у2 -8с2х4у4)
[1 + 4с2х2у2(х2 +у2)]’ [1 + 4с2х2у2(х2 +у2)Г
В центральной точке с координатами х = 0, у = 0 поверхность имеет К - Н = 0, следова-
тельно, эта точка - плоскостная. Вдоль координатных осей Ох и Оу гауссова кривизна поверх-
ности равна нулю.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
cw4sin2(2v)
х = х(и,у) - usinу, у = у(и,v) = «cosv, z = z(w,v) =-----------
где 0 < v < 2х; с - константа.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + с2и6 sin4(2v), F = с2и7 sin3(2v)cos(2v), В2 = и2 +с2и8 sin2 (2v) cos2 (2v),
А2В2 - F2 = и2[1 +с2и6 sin2(2v)],
-Зси2 sin2(2y) -Зси3 sin(2y)cos(2y) c«4[sin2(2y)-2cos2(2v)]
д/1 + с2 и6 sin2(2v) д/1 + с2и6 sin2(2v) д/1 + с2и6 sin2 (2v)
3c2u4 sin2 (2v)
[1 + с2и6 sin2(2v)]~
Криволинейные координатные линии у = 0 и г = тг/2 являются прямыми. Вдоль них гауссо-
ва кривизна поверхности равна нулю.
377
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ЗОНТИЧНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АСТРОИДАЛЬНЫМИ ЛИНИЯМИ УРОВНЯ,
ОБРАЗОВАННАЯ БИКВАДРАТНЫМИ ПАРАБОЛАМИ
Пусть в плоскости хОу лежит астроида
х = acosJf, у = asin3r,
тогда ее полярный радиус будет р = aVsin61 + cos6 г, где параметр t равен углу между осью Ох
и прямой, соединяющей центры неподвижной окружности с радиусом R и изнутри катящейся
по ней окружности с радиусом г, точка которой образовывает астроиду; R/r = 4.
Формы задания зонтичной поверхности:
1) Параметрическая форма задания:
х = x(tyu) = аи"4 cos3 t, у = y(t,u) = аиш sin31, z = z(u) = H(l-u),
где и - безразмерный параметр; 0 < и < 1; Q<t <2л; Н ~ стрела подъема поверхности, то есть
расстояние от основания поверхности до ее высшей точки (вдоль оси Oz).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
,, 9 , I . „ Зп . , 2 и ~
A = —cT\usin~2t, F =----=sin4f, В -----
4 16уи
о
А2В2 - F2 = —a2 sin21cos21
4u
9a2H4u . ya n . 2
sin"2r, M =0, N=--------, -=sin 2t,
, ... , 9Язш22г
к, = —===, кu =---------------------------—=====
VA2B2-F2 4(8ш6г + соз6Г + 16Я2и3/2/а2)7А2В2 - F2
-162иЯ2
Рис. 1
,,, (sin61 + cos6 ф + Я2,
16//3/2
Cl . ? 7 ТТ 2
—sm“ 7 cos’ t + Н и
16
9п2Я
4л/а252 - Я2
-9Я
(a2 sin1Г cos2t + 16Я2и3/2)2
Рассматриваемая поверхность отрицательной гауссовой кривиз-
ны задана в неортогональной сопряженной системе криволинейных
координат и, и. Только в точке и = о поверхность имеет нулевые
значения гауссовой и средней кривизн, следовательно, вершина
поверхности является плоскостной точкой.
На рис. 1 показана поверхность при а = 1 м; Н = 2м; 0,05 <//<!;
2) Явная форма задания:
1-
а)
z = 7
'6-1
уя.
а
3) Параметрическая форма задания:
х = х(г, (р~) = г cos <р, у = у {г, ср) = /-sin <р,
z-z{r,(p}~ 1-
— (cos2/3 <р + sin2/3 (pf Н.
я )
Рис. 2
На рис. 2 показана поверхность при а = 1 м; Н = 2м; 0 < г < а;
О < (р < 2л ; д> - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу.
q>*t.
378
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ПОВЕРХНОСТЬ ЗОНТИЧНОГО ТИПА НА ЦИКЛОИДАЛЬНОМ ПЛАНЕ,
ОБРАЗОВАННАЯ КУБИЧЕСКИМИ ПАРАБОЛАМИ
n = &,h = 2,R = 1
Рис. I
Поверхность зонтичного типа на циклоидальном плане, образованная кубическими парабо-
лами, имеет в опорном сечении z = 0 эпициклоиду (рис. 1)
х = х{<р~) = (/? + r)eos<p- rcos(l + п)<р, у = у(<р) — (R + г)sin <р - г sin(l + п)<р, z - О,
где п - число внешних вершин эпициклоиды; п = R/r; 1г - максимальная амплитуда гофров в
основании поверхности, R - радиус окружности, по которой снаружи катится окружность ра-
диусом г, произвольная точка которой описывает эпициклоиду; <р - угол, отсчитываемый от оси
Ох в сторону оси Оу. или гипоциклоиду (рис. 2)
х = х(^) = (/?- r)cos<p + rcos(n - 1)<р, у = y(ip) = (R- г) sin (р- rsin(« -1)<р, z = О,
с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, п -
число вершин гипоциклоиды; R - радиус окружности, по которой
внутри катится окружность радиусом г, произвольная точка которой
описывает гипоциклоиду.
В любом сечении рассматриваемой поверхности плоскостью, прохо-
дящей через ось поверхности, совпадающей с координатной осью Oz,
будут лежать кубические параболы z = h- а(<д)х3, 0 < z < /i; а(^) - пе-
ременный параметр кубических парабол.
Формы задания поверхности зонтичного типа
1) Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с
эпициклоидой в основании (поверхность с внешними гофрами, рис. 1):
х = х(и,<р) + r)cos^-rcos(H + l)^],
у = y(u,cp) = uv\(R + r)sin<p — rsin(«+ \}<р], z = z(u) =
где 0 < u < 1; и - безразмерный параметр; 0 < z 5 й; h - максимальная
высота поверхности; 0<^<2л’. В любом сечении поверхности плос-
костью и = const лежит эпициклоида. Координатная линия и = 1 совпа-
дает с опорной эпициклоидой.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 =u-l,i[R2 + 2r(R + r')(l~cosn<p')]/9 + h2 ,F = -iOlli R{R +г)зтп(р/Ъ,В2 =2u2'\R + r)2(l-cosn(p),
n = 8;/?= !;/? = 1
Рис. 2
, -2h(JR + O(R + 2r) n ч . v hu2l\R + f)2(R + 2O
L = < (1 - COS Л^2), M = 0, N =-= =—C(]-cosncp),
9u4'4A2B2-F2 ryA2B2-F2
K(u^ = 0, H(u ~0) = 0.
9u2lir(A2B2-F2)2
2) Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с гипоциклоидой в осно-
вании (поверхность с внутренними гофрами, рис. 2):
х = х(и,<р) = иш[(/?-г)со8<р+ rcos(« у = у(и,<р) = и|/3[(7?- г)sin — rsin(zi-l)^],
z = z(n) = Л(1 -и),
0 < и < 1; 0 < z S h; h - максимальная высота поверхности; п Ф 2; 0 < <р < 2л\ В любом сечении
поверхности плоскостью и = const лежит гипоциклоида.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 = u~i,3[R2 -2r(R - r)(l~cosn<p)]/9 + h2, F — -и"'13 R(R- r)sinn<p/3, В2 =2«2/3(Z?-r)2(l-cosH^),
L = [~2irwh(R~ r)(R-2r)l9^\-cosn<p')I&, M =0, А = [и2В/г(7?-г)2(л-2)](1-со8н^)/сг, К <0.
где о2 = А2В' - F2. Плоскостная точка находится в вершине поверхности (рис. 2).
379
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
С ОСОБОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ
ПОВЕРХНОСТЬ ЗОНТИЧНОГО ТИПА С СИНУСОИДАЛЬНОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ
Рис. 1 ( 0 < и < л, 0< v S2^, n = 1) Рис. 2 (0 < и < л/2 , 0 < v < 2л, п - 5) Рис. 3 (0 < и < л/2 , 0 < v < 4л-; п = 1,5)
Рис. 4
(0 < и < л, 0<у<2л,п = 3)
Рис. 5
(0 < и < 2л/5 , 0 < v < 4л, п = 2,5)
Поверхность зонтичного типа с
синусоидальной образующей форми-
руется синусоидами, точки перегиба
которых проходят через неподвижную
точку в центре поверхности, в то вре-
мя как другая точка образующей си-
нусоиды движется по кругу, изменяя
ординату и свою амплитуду по закону
синуса. Плоскость, образованная чи-
словыми прямыми образующих сину-
соид и, проходящая через центральную точку, называется базовой плоскостью поверхности.
Любая плоскость, проходящая через центральную точку поверхности перпендикулярно базовой
плоскости, пересекает поверхность по синусоиде.
Форма задания поверхности зонтичного типа с синусоидальной образующей
х = x(u,v) = ucosv, у = y(u,v) = «sin v, z = z(u,v) = a sinnsin(nv),
где a - максимальная амплитуда образующей синусоиды; - а < z < а.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + а2 cos2 Msin2(nv), F = 0,25/ш2 sin(2v)sin(2nv), В2 = и2 +п2а2 sin2 ncos2(nv),
А2 В2 - F2 = и2[1 + а2 cos2 «sin2 (nv)] + п2а2 sin2 и cos2 (n v),
-a«sinusin(nv) an cos(nv)(« cos и - sinи) ansin(nv) ,
L = —7- — — —. M =------------4=====----------, N = (и cos и - n2 sm и),
Va2b2-f2 ' Va2b2-f2 \Ia2b2-f2
— u2 (ucosu — n2 sin и) sin и sin2 (nv) — n2 (и cosh - sin и)2 cos'(nv) ,
X =--------j—---------;-------------—--------;----уз------a
{ u1 [1 + a2 cos2 «sin2 (nv)] + n2a2 sin2 и cos2 (nv)j
Если брать за n нечетное число, то рассматриваемая поверхность не будет иметь самопере-
сечений при v > 1л (рис. 1; 2; 4). Если п - четное или нецелое число, то поверхность будет пере-
секать саму себя при v > 2л (рис. 3; 5).
В центральной точке поверхности (и = 0) гауссова кривизна поверхности становится неоп
ределенной.
380
ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОГО ТИПА
ПОВЕРХНОСТЬ ЗОНТИЧНОГО ТИПА НА ЦИКЛОИДАЛЬНОМ ПЛАНЕ,
ОБРАЗОВАННАЯ ПОЛУКУБИЧЕСКИМИ ПАРАБОЛАМИ
Поверхность зонтичного типа на циклоидальном плане, образованная полукубическими па-
раболами, имеет в опорном сечении z - 0 эпициклоиду (рис. 1)
х = х(<р) = (R + rjcostp- rcos(l+ п}<р, у = у(^) = (/? + г)sin <р- rsin(l + п)<р, z = О,
где п - число внешних вершин эпициклоиды; п = R/r; 2г - максимальная амплитуда гофров в
основании поверхности, R - радиус окружности, по которой снаружи катится окружность ра-
диусом г, произвольная точка которой описывает эпициклоиду; <р - угол, отсчитываемый от оси
Ох в сторону оси Оу, или гипоциклоиду (рис. 2)
х = х(<р) = (7? - r)cos<p + rcos(n- 1)<р, у = у(ур) = (R— r)sin^- rsin(n-l)^, z = 0,
с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, п -
число вершин гипоциклоиды; R - радиус окружности, по которой внутри
катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает
гипоциклоиду.
В любом сечении рассматриваемой поверхности плоскостью, прохо-
дящей через ось поверхности, совпадающей с координатной осью Oz,
будут лежать полукубические параболы х = а(^)(й - z)3/2, 0 < г < Л; а{<р)
- переменный параметр полукубических парабол.
Формы задания поверхности зонтичного типа
1) Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с
эпициклоидой в основании (поверхность с внешними гофрами, рис. 1):
х = х(и,<р) = u3/2[(R + r)cos^>- rcos(n +
у = у(и,<р) = и3'2 [(Д' + r)sinq> — rsin(« +1)^], z = z(u) = h(l -u),
где 0 < и < 1; и - безразмерный параметр; 0 < z 5 h; h - максимальная
высота поверхности; 0 < ср < 2л. В любом сечении поверхности плоско-
стью и = const лежит эпициклоида. Координатная линия и = 1 совпадает с
опорной эпициклоидой. Особая точка находится в вершине поверхности.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 9и[Я2 +2r(R + r)(l-cos«<p)]/4 + /z2., F = 3u2R(R + r)smncpl2, В2 = 2u3(R + r)2(l-cosntp),
Зий(Я + r)(R + 2r) u3 h(R + r)2 (R + 2r)
L =----, r.-.=-4(l-cosna>), M =Q, N =-, =-4(1-cosnxp),
4^A2B2-F2 r^A2B2-F2
„ 3w4/i2(R + r)3(R+2r)2(l-cosnp)2 n
Ar(A2B‘-F2')2
2) Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с гипоциклоидой в осно-
вании (поверхность с внутренними гофрами, рис. 2):
х ~ х(и,<р) = и3/2[(/?-г)со8(3 + rcos(w-l)^], у = у(и,(р) = и3/2[(Т? - r)sin^-rsin(w-l)^],
z = z(u) = h(l - и),
О < и < 1; 0 < z< h; h- максимальная высота поверхности; п Ф 2; 0 < <р < 2л. В любом сечении
поверхности плоскостью и = const лежит гипоциклоида.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 9и[7?2 -2r(R- r)(l -cos/i^)]/4 + h2, F = -Зи2R(R - r)sin ntp/2, В2 =2u3(R- r)2(l-cosn^),
L = [3m/z(R-r)(R-2r)/4](l-cosn(p)/o', M =0, N = [w3/i(R-r)2(n-2)](l-cosn^)/cT, К > 0.
где о-2 = A2В2 - F2. Особая точка находится в вершине поверхности (рис. 2).
381
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
В строительстве и различных отраслях машиностроения широко используются цилиндри-
ческие изделия с разнообразными поперечными сечениями - профилями.
Все профили по условиям применения подразделяются на две группы: профили общего на-
значения и профили специального назначения.
К наиболее массовым относятся профили общего назначения. В эту группу входят двутав-
ровые балки,.швеллеры, зетовые профили, С-образные и корытные профили, тавры, уголки,
трубы, а также листовая, универсальная, полосовая, рифленая и волнистая сталь.
К профилям специального назначения относятся профили, форма и размеры которых опре-
деляются функциональным назначением и особенностями конструкций. В эту группу входят:
гофрированные профили, двутавровые балки для путей подвесного транспорта, крановые рель-
сы и другие изделия.
Для производства различных профилей (волнистое железо, тонкостенные уголки, балки,
швеллеры и др.) из полосового металла путем продольной гибки в холодном состоянии приме-
няются профилировочно-гибочные и ролико-гибочные машины.
Формы некоторых профилей получены экспериментальными методами, для получения
формы профилей других изделий потребовалось знание методов дифференциальной геометрии
или методов аэродинамики.
В этом разделе приведены некоторые профили специального назначения, интересные с ма-
тематической точки зрения.
ТРЕУГОЛЬНЫЙ ПРОФИЛЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ФРАГМЕНТА ВАЛА
ДЛЯ ПРОФИЛЬНОГО РАЗЪЕМНОГО СОЕДИНЕНИЯ
Рис. 2
D = 1 м; е = 0,05 м.
Профильными называются разъемные соединения, у которых кон-
такт ступицы и вала осуществляется по гладкой некруглой поверхно-
сти фасонного профиля.
По сравнению со шпоночными и шлицевыми соединениями про-
фильные соединения имеют ряд преимуществ: они обеспечивают
лучшее центрирование соединяемых деталей и отличаются большей
усталостной прочностью из-за отсутствия концентрации напряжений.
Недостаток этих соединений - потребность в специальном обору-
довании для изготовлении профильных отверстий.
Треугольный профиль цилиндрического фрагмента вала для про-
фильного разъемного соединения задается параметрическими уравне-
ниями:
х = x(t) = -у cos Г -ecos3rcosf -3esin3fsinf,
у = y(t) = ysinr-ecos3fsinr + 3esin3rcosr,
где геометрические параметры D и е показаны на рис. 1.
На рис. 1 и 2 треугольный профиль цилиндрического фрагмента ва-
ла для профильного разъемного соединения построен для 0 < t < 2п,
Дополнительная литература
1. Дружинский И.А. Сложные поверхности: Математическое описание и технологическое описание: Справоч-
ник. - Л.: «Машиностроение», 1985. - 263 е.
382
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
ДВА ТИПА АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРОФИЛЕЙ
Аэродинамика (от аэро... и греческого dynamis - сила) - раздел аэромеханики, изучающий
законы движения газообразной среды и ее силовое
взаимодействие с движущимися в ней обтекаемыми
х твердыми телами. Является теоретической основой
авиации и метеорологии. Основные задачи, решаемые
аэромеханикой - определение подъемной силы и силы
сопротивления, распределения давления и направления струй на поверхности твердых тел, на-
ходящихся в воздушном потоке.
Аэродинамический профиль - форма очертания тела, при
которой во время движения его в воздухе возникает подъ-
емная сила, превосходящая силу сопротивления движению.
Оптимальные аэродинамические профили различны для
разных скоростей движения.
Аэродинамический профиль, представленный на рис. 1 и
рис. 2, описывается параметрическими уравнениями:
х = x(t) = ! - cos f - 0,05(1 - cos 2t) - 0,0166(1 - cos 4r),
у = y(t) = 0,09(1 - cos It) - 0,004(1 - cos 4f) -
- (0,1114sin t + 0,0156 sin 'It) - 0,014sin 3r + 0,0022 sin 4t,
где 0 < t < In.
Аэродинамический профиль, представленный на рис. 3
Рис. 4
Изд-во «Советская энциклопедия», 1977 . - С. 41.
и рис, 4, задается параметрическими уравнениями:
х = х(а) = 10 sin а,
у = у(а) = 0,509 cos а -0,133 sin 2а+0,05 cos За,
0 < а < 2л.
Дополнительная литература
I. Политехнический словарь/ Под рёд. И.И. Артоболевского. - М.:
2. Дружинский И.А. Сложные поверхности: Математическое описание и технологическое описание: Справоч-
ник. - Л.: «Машиностроение», 1985. - 263 с.
СУПЕРЭЛЛИПСЫ
Суперэллипс - это замкнутая кривая, задаваемая в декар-
товой системе координат уравнением
а Ь
Суперэллипс можно задать параметрическими уравнения-
ми: х = x(f) = acos2'r t, у = y(t) = bsin2lr t.
Суперэллипсы с а - b называют кривыми Ламе, или ова-
лами Ламе. Суперэллипс с г = 2/3 при а - b называют астроидой; с г = 2 при а Ф b - эллипсом; с
г = 2 при а = b - окружностью; с г = 5/2 - суперэллипсом Пита Хейна (Piet Hein’s “super-
ellipce”). Чем больше значение параметра г, тем точнее форма суперэллипса приближается к
прямоугольному контуру. Суперэллипсы можно видеть в очертаниях профилей ряда промыш-
ленных цилиндрических изделий. На рис. 5 приведены формы суперэллипса при следующих
значениях параметра г: г = 2/5; г = 2/3; г = 10/7; г = 10/3; г = 10 (считая от центра), но при а = 1 м;
b = 1,5 м.
383
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
ОБОБЩЕННЫЕ СУПЕРЭЛЛИПСЫ
Дж. Гайлис (J. Gielis) ввел в обращение замкнутые кривые с несколькими осями симметрии,
названные затем обобщенными суперэллипсами.
Уравнение обобщенного суперэллипса в полярной системе координат имеет вид:
тв
cos---
4
а
. т0
sm---
4
b
«3 = 0,5; «3 = 2
Рис. 1 (m = 2; «[ = «2 = 0,5)
Приведенная формула, которую в некото-
рых научных публикаций называют «суперформулой», дает возможность аппроксимировать
некоторые биологические формы математическими кривыми. Наличие шести свободных пара-
метров позволяет создавать большое количество замкнутых кривых с заданным числом осей
симметрии (рис.1-10). На рис.1-5; 7-9 принято а = b = 1.
Рис. 2 (т = 3
Рис. 6 (т = 4; «| = 1/5; и2 - 3; а = 1; b = 1,5)
Рис. 5 1т = 4)
«з = 2;
Рис. 4 (т = 4; л, = 1/5; «2 = 3)
= 2;
ni = 1/5;
«I = 1/2; =3
Рис. 8 (т = 5; «з = 3)
пг = «з=1;
«1 = 4;
Рис. 7 (т = 5; пг = «3 = 1)
iii - 1/2;
«з = 1,5; «з = 1
Рис. 10 (т = 8; а - 1; b = 1,2)
«1 = 1/3; «2=1;
«з = 1; «з = 2;
Рис. 9 (т = 8)
Дополнительная литература
1. Gielis J. A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes// Amer. J. Bot
any. - 2003. - Vol. 90. - P. 333-338.
384
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
СОСТАВНЫЕ ПРОФИЛИ, ОБРАЗОВАННЫЕ КРИВОЙ
И ЕЕ ЗЕРКАЛЬНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ
В некоторых научных изданиях суперэллипсы называют частным случаем составных про-
филей, образованных кривой и ее зеркальным отражением.
Формы задания составных профилей, образованных кривой и ее зеркальным отражением
1) Неявная форма задания:
И + И =1>
где р > 0, q > 0 - произвольные константы.
2) Явная форма задания (рис. 1-4): у = ±(1 — , где -1<х<1.
Рис. 1
1. Гарасов 13.М., Батурин А.И. Художественные профили из алюминиевых сплавов//
Состояние, проблемы и перспективы развития металлургии и обработки металлов давле-
нием. - М.: МГВМИ, 2003. - Вып. 3. - С.303-305 (библ.: 6 назв.).
385
13-5391
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
ПРОФИЛИ ДЕТАЛЕЙ ТРОХОИДНЫХ РОТАЦИОННЫХ МАШИН
Трохоида (грен, trochos - колесо, eidos - вид) - укороченная или удлиненная циклоида
(эпициклоида или гипоциклоида). Трохоида образуется точкой, которая находится на радиусе
или на продолжении радиуса круга, катящегося без скольжения по прямой или по окружности.
Если круг катится по выпуклой стороне окружности, то кривая называется эпитрохоидой, если
по вогнутой - то гипотрохоидой.
1) Пусть окружность радиусом R катится вогнутой стороной по выпуклой стороне окруж-
ности радиусом г (R > г), тогда уравнение эпитрохоиды, образованной точкой, находящейся на
расстоянии d = pR от центра катящейся окружности, будет иметь вид (рис. 1):
. . J cos рср ] , , J sin рср
х = х(<р) = 7? --— + р cos ср , у = у {ср) = 7? --+ р sm ср
I Р ) \ Р
где введены обозначения р = R/(JR -г), г = R - а, или р = R/a; <р = в - со; в - угол от коорди-
натной оси Ох до линии, соединяющей центр О неподвижной окружности с точкой С касания
двух окружностей; со - угол от координатной оси Ох до линии, соединяющей центр О\ подвиж-
ной окружности с точкой С касания двух окружностей; 0 < ср < 2/Г.
Рис. 1 ( а = 1; г = R - о; 1 < р < 2; с шагом Ди = 0,2)
2) Пусть окружность радиусом г катится выпуклой стороной по вогнутой стороне окружно-
сти радиусом R (R > г), тогда уравнение гипотрохоиды, образованной точкой, находящейся на
расстоянии d = рг от центра катящейся окружности, будет иметь вид (рис. 2):
. . „( cos рср , J sin рср
х = х(ср) = 7?----t-o- + р cos ср , у = у{<р) = 7? -— + //sin ср
\ Р У I Р
где введены обозначения р = г/(R - г), г = R- а, или р = (7? - а)/а; ср = со - в; в - угол от коор-
Рис. 2 (а = 1; г = R- а; \<р<2; с шагом Ди = 0,2)
динатной оси Ох до линии, со-
единяющей центр О неподвиж-
ной окружности с точкой С ка-
сания двух окружностей; со -
угол от координатной оси Ох
до линии, соединяющей центр
Oi подвижной окружности с
точкой С касания двух окруж-
ностей; 0 < ср < 2л.
Рассматриваемые профили используются при проектировании теоретических контуров де-
талей трохоидных ротационных машин [1].
Дополнительная литература
1. Рева В.Г., Кущенко Л.М., Васильев О.Б. Геометричне моделювання взае моспряжених профиле poTopie i кор-
пусов як обвщних ciM’i трохо'щ. - Кшв, 2003. - 150 с. (библ.: 116 назв.).
2. Маркаров С.М. Краткий словарь - справочник по черчению. - Л.: Изд-во «Машиностроение», 1970. - 160 с.
386
ПОВЕРХНОСТИ БОННЕ
ПОВЕРХНОСТИ БОННЕ
Поверхностью Бонне называется поверхность, допускающая изометрическое преобразова-
ние с сохранением средней кривизны. Впервые термин «поверхности Бонне» ввел V. Lalan [1].
При изометрическом преобразовании поверхности сохраняется расстояние между точками
поверхности. Изометричные поверхности - поверхности в евклидовом или римановом про-
странстве такие, что между ними можно установить взаимно однозначное точечное соответст-
вие, при котором каждая спрямляемая кривая одной из поверхностей имеет своим образом тоже
спрямляемую кривую и той же длины. Важнейшим примером изометричных поверхностей яв-
ляется совокупность поверхностей, полученных изгибанием данной поверхности.
Если квадрат линейного элемента поверхности, заданной в изотермических координатах и,
v, имеет вид
ds1 = A(du2 + dv2), Л(и,г)>0,
то удовлетворение дифференциальным уравнениям в частных производных
(X2 +Y2)e2K -Rm-Rn =0, Х„-Уг=0, X...+F„=0,
где X = H J A(H2 - К), Y = НЦЛ(Н2-К), R = Шл/я2 - Я),
Н, К - средняя и гауссова кривизны поверхности, является необходимым и достаточным усло-
вием принадлежности этой поверхности к поверхностям Бонне [2].
Для развертывающейся поверхности, отнесенной к геодезическим координатам и, v, квад-
рат линейного элемента поверхности может быть записан в виде
ds2 = du2 + g2dv2, g(w,v)>0.
Принимая во внимание, что для развертывающихся поверхностей
К=0; ЬП-М2 = 0, H=(g2L + N)/2£,
Richard Blum доказал [2], что необходимым и достаточным условием принадлежности развер-
тывающихся поверхностей к поверхностям Бонне, является удовлетворение системы уравнений
Я„„ = 2Я2/Я, Я„„ = 2HuHJH+(gJg)Hv, H„.=2H2/H+(gtJg)Hv-ggaH,„
1 _ сги + Д о ,
что приводит к соотношениям — = аи + р и g = ' .. =, где аир- функции от параметра г,
Н J^-a2
ас- действительная константа.
Дальнейшие исследования показали, что развертывающиеся поверхности с невырожден-
ным ребром возврата (см. страницу «Торсовые поверхности (торсы)») не могут быть поверхно-
стями Бонне. Коническая поверхность будет поверхностью Бонне, если кривизна и кручение ее
сферического отображения равны
, д/а +cos2 г я sin v
ks =---------- r s = -p---—,
cosv a +cos v
где a - константа; v - длина дуги (-л72 < v < л72). Цилиндрическая поверхность есть поверх-
ность Бонне, если ее ортогональное сечение - окружность, либо логарифмическая спираль.
Поверхность постоянной гауссовой кривизны отличной от нуля не может быть поверхно-
стью Бонне.
Roussos I. [3] подтвердил, что винтовые поверхности могут принадлежать к классу
поверхностей Бонне.
Дополнительная литература
1. Lalan V. Les formes minima des surfaces d’ Ossian Bonnet// Bull. Soc. Math. France. - 1949, 77. - P. 102-127.
2. Blum Richard. Surfaces of Ossian Bonnet with constant Gaussian curvature// Tensor. - 1972. - Vol. 26. - P. 390-
396 (библ.: 10 назв.).
3. Roussos ioannis M. The helicoidal surfaces as Bonnet surfaces// Tohoku Math. J. - 1988. - 40, № 3. -- P. 485-490.
387
13'
ПОВЕРХНОСТИ ЭДЛИНГЕРА
ПОВЕРХНОСТИ ЭДЛИНГЕРА
Поверхностью Эдлингера называется косая линейчатая поверхность, соприкасающиеся
гиперболоиды которой являются гиперболоидами вращения. Поверхности Эдлингера характе-
ризуются постоянным параметром распределения и тем, что стрикционными линиями являются
линии кривизны. Sachs Hans [1] доказал одно из условий, сформулированных Эдлингером без
аналитического доказательства, и получил новые условия, при выполнении которых линейчатая
поверхность будет поверхностью Эдлингера.
Дополнительная литература
1. Sachs Hans. Einige Kennzeichnungen der Edlinger - Flachen// Monatsh, Math. - 1973. - 77, № 3. - S. 241-250
(библ.: 5 назв.).
2. Tolke JUrgen. Orthogonale Doppelverhaltnisscharen auf Regelflachen// Sitzungsber. Osterr. Akad. Wiss. Math.-
naturwiss. KI. - 1975. - Abt. 2, 184, № 1-4. - S. 99-115.
ПОВЕРХНОСТИ КУНСА
Поверхность Кунса на 4-х произвольно заданных линиях
контура определяется суммой двух линейчатых поверхно-
стей, которые строятся движением прямой линии по соот-
ветствующим двум противоположным контурным линиям,
за вычетом косой плоскости, проведенной через угловые
точки контура (рис. 1).
Пусть <f; ^tiK (j = 1; 2; 3; 4) - векторные урав-
нения контурных линий (нумерация контурных линий против часовой стрелки). При этом
Pl(fJ= Р4(Г4н) = Pi ; = Р2^2И^ Рг'< Р2^= Р}’ />3 Ю =/>4 (f4k ) = ^4 >
где рх (z = 1; 2; 3; 4) - векторы угловых точек контура. Противоположные линии контура пара-
метризуются через общие параметры и, v е (0,1):
Г,- =Г,(и) = Г,н(1-и)+Г/ки , i = 1; 3 и ti =r;(v) = r.H(l-v) + f;.Kv, У = 2; 4.
В этом случае векторное уравнение поверхности Кунса можно представить в виде:
Г (и, г) = Г] (и, г) + г, (и, г) - г (и, г),
где г,(и, v) = «1 - v) + Рз(?3(и))г; r2(u,v) = p2(t2 (v))(l -u)+ р4(г4(и))и - уравнения линейча-
лсинусоида
s
Рис. 2
тых поверхностей, полученных движением прямой линии по противоположным контурным ли-
ниям; гр (и,г) = [р1(1-и) + р2и](1 - у)+[р4(1-и)+p3u\v - уравнение косой плоскости.
На рис. 2 показана поверхность Кунса, которая ограничена плоскими контурными линиями:
р2 - i + VJ + l,5sin(wv/2) • k , р. =ui + j + l,25 + cos(2fli<)£/4 -синусоиды;
Pi = ui + (1 - и2 )fc , р4 = vj + (1 + и2 / 2)fc - параболы.
Векторное уравнение поверхности Кунса с граничными кривыми в
виде рациональных кривых Безье, управляющие точки которых полу-
чены с помощью методов интерполяции исходных точек поверхности,
записывается в виде:
r(u,v) = -----------,
1,1 11 ,n "
2^В'"(и) '^wJB"(u) YYwiJB"‘^BJ^
i=0 7=0 i=0 7=0
0 < и < 1; 0 < v < 1; В.", В" - полиномы (многочлены) Бернштейна ( см.
«Поверхности Безье»); и'у - весовые коэффициенты.
388
ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
Группа поверхностей отрицательной гауссовой кривизны, задаваемых в явном виде уравне-
нием z = fix,у), гдеДг + fyy = 0, относится к классу поверхностей, задаваемых гармоническими
функциями. Действительная функция fix,у), определенная в точках .г, у области G, имеющая не-
прерывные частные производные по двум переменным до 2-го порядка включительно (класса
C"(G)) и являющаяся решением уравнения Лапласа
d2f ! d2f ! д-f
дх~ ду1 dz"
4f(x,y) =
= 0,
где х. у, z - декартовы прямоугольные координаты произвольной точки, называется гармониче-
ской в области G. Всякая гармоническая функция бесконечно дифференцируема, то есть имеет
производные всех порядков, которые в свою очередь являются гармоническими функциями.
Две функции, гармоничные в замкнутой ограниченной области G с кусочно-гладкой гра-
ницей, принимающие одинаковые значения на границе, совпадают всюду в G . Если функция
fix,у) является гармоничной в области G, то она не может нигде внутри этой области принимать
свое наименьшее либо наибольшее в этой области значение, за исключением того случая, когда
fix,у) = const. Гармоническую функцию считают регулярной в бесконечности, если fix,у) = 0 на
бесконечности. Имеется тесная связь между гармонической функцией двух переменных (лу, хг)
и аналитическими функциями комплексного переменного z = х, + Действительная и мнимая
части аналитической функции являются многозначными сопряженными гармоническими
функциями, то есть связаны условиями Коши - Римана.
Коэффициенты первой основной квадратичной формы поверхности, заданной в явном виде
z =fix,y), вычисляются по формулам
А2= 1 + Д2, F = fxfy, B2=l + f2.
Коэффициенты второй квадратичной формы для поверхностей, заданных в виде z = fix,у),
можно вычислить по формулам:
Д, Д Д
^i + z2x+Zy ^ji + z;+z'y Д + г;+<;
которые для поверхностей, задаваемых гармоническими функциями, принимают вид:
f -f f
L = -N =-Т=^==^ = -Г==^==, M =-j====.
1 + Z( + Z~ у] 1 + z~ + Zy у] 1 + Z( + Zy
Поверхности, задаваемые гармоническими функциями, имеют отрицательную гауссову кри-
визну
f f — f2 f~ + f2
J XX J yy J xy J XV J xy „
К — э V — — э о < t),
d+Д+Д)2 d+Д+Д)2
a среднюю кривизну поверхности можно вычислить по формуле:
(1+Д ) Д -2ДДД + d+Д) Д _ (Д-ДДЦ~Д.ДД
2(1 + Д+Д)3/2 “ 2(1 + Д+Д)3/2 •
Дополни те л ьная литература
1. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. - М.: «Наука», 1987. — 312 с.
(библ.: 428 назв.).
2. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии,- М.:«Наука», 1987,-432с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики: 2-е изд. - М.: «Наука», 1976. - 512 с.
4. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. - М.: «Наука», 1968. - 207 с. (библ.:
20 назв.).
389
ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ,
ЗАДАННАЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ z = In[x2 + у2]1/2
Гармоническая функция z = 1пдх2 + у2 - наиболее известная гармоническая функция. По-
верхность, описываемая гармонической функцией z = In^x2 + у2 , является поверхностью вра-
щения. Она получается вращением кривой z = hu', вокруг координатной оси Oz-
Формы задания поверхности вращения, заданной гармонической функцией z = in^x2 + у2
1) Явная форма задания (рис. 1): z = ln-^з:2 + у2 .
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
------ъ---— <0, Н= ------------=---------------тьО.
(1 + .х“+у’)‘ 2^хг +у2 (1 + х2 +у2)3/2
Рассматриваемая поверхность вращения является поверхностью строго отрицательной га-
уссовой кривизны, но ее средняя кривизна ни в одной точке не обращается в нуль.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = xtr.cp') = rcoscp, у = уС.г.ср) = rsin#>, z = z(r) = lnr.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее
кривизны:
При этом способе задания поверхность вращения отнесена к линиям главных кривизн г, <р.
Площадь кольцевого элемента поверхности можно определить по формуле
S =
2
Дополни те л ьная литература
1. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. - М.: «Наука», 1987. - 312 с.
390
ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПРЯМОГО ПЕРЕНОСА
СИНУСОИДЫ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ АМПЛИТУДОЙ
В настоящее время наиболее изучены поверхности, задаваемые гармоническими функция-
ми, относящиеся к классам винтовых поверхностей, поверхностей вращения и переноса.
Одной из поверхностей, которую можно условно назвать поверхностью переноса, является
гармоническая поверхность прямого переноса синусоиды с изменяющейся амплитудой.
Рис. 1
Форма задания гармонической поверхности
1) Явная форма задания [1] (рис. 1):
z = е- cos а.
Функция, описывающая поверхность, является решением
уравнения Лапласа (см. «Поверхности, задаваемые гармо-
ническими функциями»),
В сечениях рассматриваемой гармонической поверхности
плоскостями у = у0 = const лежат синусоиды
z = е'° COS А
с одинаковым периодом, но с переменными значениями ам-
плитуд, равными еу°. При у —> значения амплитуд обра-
зующих синусоид стремятся к бесконечности. При у —> -°о
значение амплитуды стремится к нулю, то есть синусоида
вырождается в прямую линию (рис. 2).
В сечениях гармонической поверхности плоскостями х = х0 = const лежат кривые
z = еу cosa^,,
задаваемые показательными функциями.
Сечения поверхности плоскостями
х = х0 = = const (k ~ 1; 3; 5; ...)
представляют собой прямые линии (рис. 1), расположенные в плоскости z = 0.
Рис. 2
Коэффициенты, основных квадратичных форм поверхности:
А2 - 1 + е2у sin2 х, F = -е2у sin a cos а, В2 = 1 +е2,‘cos2 а,
А2В2 - F2 = 1 + е2у,
Т ~еу cos а ,, -e ' sinA ,, e ' cosA т
L = - . М =— , N = то есть L = -N,
\ll + e2y \1 + е2у у1 + е2у
еЪу cos а
2(l + e2-v)3/2 '
Рассматриваемая гармоническая поверхность является по-
верхностью строго отрицательной гауссовой кривизны (К < 0). Вдоль параллельных прямых
линий z = 0, х = х0 = ±лМ1 = const (к - 1; 3; 5;...) поверхность имеет нулевую среднюю кривизну.
Дополнительная литература
1. Стефанова Ст. Повърхнини подчинени на диференциални връзки// Научн. тр. Висш. ин-т хранит, и вкус,
пром-ст. - Пловдив, 1973 (1975). - 20, № 3. - С. 315-320 (библ.: 3 назв.).
391
ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПРЯМОГО ПЕРЕНОСА
Как установила Ст. Стефанова [1] единственными поверхностями прямого переноса, кото-
рые одновременно относятся к классу поверхностей, задаваемых гармоническими функциями,
являются поверхности, задаваемые явным уравнением:
z = .r2 - у2.
Это уравнение определяет поверхность гиперболического параболоида (рис. 1).
В этой же статье [1] Ст. Стефанова исследовала,
уравнение поверхности вида
cos(y + mx)yjl + п2
cos(x + ny')y 1 + m2
Рис. 1
которое можно привести к виду [1]
(-х/1 + т2 - т\1 + п2 к +
------In
1 — тп
где п и т - константы. Подстановкой производных
d~z/dx~ и d~zldy" в уравнение Лапласа
джу)=4+4+^=о
дх2 ду2 dz
получено соотношение:
COS" (т + Ну)л/1 + нГ _ 1
cos2 (у + тх)у1 + п2
2 )у - 2к.л = 0, где к = 0; 1; 2; ... .
Таким образом, Ст. Стефанова установила, что единственными гармоническими поверхно-
стями переноса являются поверхности, удовлетворяющие последнему приведенному в данном
разделе условию, и гиперболические параболоиды z = х2 -у2
В статье [1] отмечается, но без ссылок на соответствующую литературу, что Н.И. Кованцов
нашел гармонические поверхности среди минимальных поверхностей.
Дополнительная литература
I. Стефанова Ст. Повърхнини подчиненн на диференциални връзки// Научи, тр. Виеш. ин-т хранит, и вкус,
пром-ст. - Пловдив, 1973 (1975). - 20, № 3. - С. 315-320 (библ.: 3 назв.).
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Фоменко А.Т. Индексы минимальных и гармонических поверхностей// Методы топологии и риман. геомет-
рии в мат. физике: Материалы 2 научн. шк. - Друскининкай, 23-27 мая 1983 г. - Вильнюс, 1984. - С. 95-108.
2. Dorfimeister J., McIntosh J., Pedit F., Wu H. On the meromorphic potential for a harmonic.surface in a ^-symmetric
space//Manuscripta Math. - 1997.-92.-P. 143-152.
3. Talenti Giorgio. A note on the Gauss curvature of harmonic and minimal surfaces// Pacif. J. Math. - 1982. - 101, №
2.-P. 477-492.
3. Weiner Joel L. Affine differential geometry of surfaces in Л7/ Geom. dedic. - 1994. - 53, № 1. - P. 25-48.
4. Kifer Yuri. Harmonic functions on Riemannian manifolds// Contemp. Math. - 1988. - 73. - P. 159-172 (Библ.: 15
назв.).
5. Kasue Atsushi. Harmonic functions with growth conditions on a manifold of asymptotically nonnegative curvature//
RecentTopics Differ, and Anal. Geom. -Tokyo; San Diego (Calif.), 1990. - P. 283-301.
392
ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ
ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ
Если одно семейство линий кривизны v поверхности лежит в плоскостях одного пучка, то
эту поверхность называют поверхностью Иоахимсталя. Второе семейство линий кривизны w
поверхности состоит из линий ее касания с конусами, вершины которых принадлежат оси пучка
плоскостей. Линии w являются ортогональными траекториями образующих своих конусов и,
следовательно, лежат на сферах с центрами в различных точках оси пучка. Линии кривизны v
являются ортогональными траекториями этих сфер.
Все поверхности Иоахимсталя можно найти как поверхности, образованные траекториями
однопараметрического семейства сфер с центрами на одной прямой. Если эту прямую принять
за ось Oz, аппликату центра сферы обозначить через и, а радиус сферы через R = Я(и), то ради-
ус-вектор г = г(и) произвольной точки A/сферы можно записать в виде:
г = r(u) = ик + R(xi +yj + zk), (1)
где х = х(и), у = у(и), z = z(n) - координаты орта, направленного из центра сферы в точку М,
должны удовлетворять равенству х + у + z = 1.
Отыскание ортогональных траекторий семейства сфер приводит к решению уравнения
dr х у z +1/R
— = Л{х1 + yj + zk) или — = — =--------.
du ' х у z
Отсюда у = сх (с = const). Координаты орта, направленного из центра сферы, можно найти
из формул:
1 с
z = thr, T=J—- + С|, c,=const; х =-----, у =----------, "===. (2)
л chr-yl + c' chr-vl + c
Уравнения (1) и (2) определяют двупараметрическое семейство ортогональных траекторий.
Параметрами служат постоянные с и ст.
Если принять с = tgv, ci - V(v), то можно получить параметрические уравнения произволь-
ной поверхности Иоахимсталя, зависящей от двух произвольных функций R = R(u) и V = V(v):
Rcosv Rsinv tdu
x —-----— y =-------- z = u + Rthr, где т = J-hV(v).
ch-г ch г R
Поверхность впервые изучалась Ф. Иоахимсталем в 1846 году [2].
Поверхность, у которой одна сеть линий главных кривизн состоит из окружностей, называ-
ется каналовой. А если эта сеть окружностей лежит еще и в плоскостях пучка, то эту цикличе-
скую поверхность можно назвать каналовой поверхностью Иоахимсталя (см. «Циклические
поверхности»).
Дополнительная литература
1. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. - М.: Физматгиз, 1963. - 540 с.
2. Joachimsthal F.H J. reine und angew. Math, - 1846. - Bd. 30. - S. 347-350.
3. Масалъцев Л.А. Поверхности Иоахимсталя в S3// Математические заметки. — 2000. - Том 67. - Вып. 2. -
С.221-229 (библ.: 9 назв.).
4. Наср Юнее Ахмед Аббуши. Геометрия, конструирование и исследование напряженно-деформированного
состояния оболочек в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя. - Автореф. дис. канд. техн. наук. - М.: РУДН,
2002. - 16 с. (библ.: 13 назв.).
5. Иванов В.Н. Каналовые поверхности Иоахимсталя с плоской линией центров// Исследование пространст-
венных систем. - М. Изд-во РУДН, 1996. - С. 32-36 (библ.: 3 назв.).
6. Иванов В.Н., Жнль-улбе Матье. К вопросу о геометрии и конструировании оболочек в форме каналовых
поверхностей Иоахимсталя// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. научн.
тр. - М. МБК «Биоконтроль», 1994. - С. 68-75 (библ.: 2 назв.).
7. Иванов В.Н. Об уравнениях равновесия безмоментной теории оболочек в форме каналовых поверхностей
Иоахимсталя// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. научн. тр. - М. МБК
«Биоконтроль», 1994. - С. 83-85 (библ.: 4 назв.).
393
ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВИРИЧА
Циклическая поверхность Вирича является замкнутой поверхностью с тремя плоскостями
симметрии. Поверхность образовывается окружностями переменного радиуса, лежащими в
плоскостях -пучка, проходящих через фиксированную прямую. Фиксированная прямая пучка
плоскостей с окружностями проходит через точку пересечения трех плоскостей симметрии
перпендикулярно одной плоскости симметрии, в которой расположена плоская линия центров
a = 1,5 m ; b = 3 м; c - 2 m; d = 4 м
Рис. 1 (0 < t < 2л; 0 < v < 2л)
образующих окружностей.
Формы задания циклической поверхности
1) Параметрическая форма задания [1]:
x = x(t,v) = ^- /(v)(l + cos?)+(i/2-с2)
y = y(r,v)=^- /(v)(l + cosf)+ (d2 -c2)
1-cosi
/(v) .
1 - cos t
cosv,
sin v,
z = z(r,v)=|- /(v)-
d' — c~
sin Г,
ab
где /(г) = ----------------—
\Ja~ sin' v + b cos v
, 0 < t < 2я; 0 < v < 2л"; a, b,c,d- константы.
a = 1,5 m; b = 3 м; c = d = 2 м
Рис. 2 ( 0 < v < 2л)
0<v<2fl-; 0<v<zc;
a= 1,5 м; b = 3 м; c = 2 m; d = 1 м
Рис. 3 ( 0 < t < 2л)
На рис. 1-3 изображены циклические
поверхности Вирича и их фрагменты при
разных значениях констант с и d.
2 ) Векторная форма задания:
г = r(t,v) = [7?(t,v)&(v) + $i/(v)A:]/2,
где ft(v) = icosv + jsinv; p = d2 - c2;
R(t,v) = ip{y) + y/(v)cosf;
<P -<p{v}=f(y)+plf{v)\
'A = (Kr) =/(v) -plfiy)-
Коэффициенты основных квадратичных
форм поверхности:
A2 = [(p + ^cost)2 +ср'2 +у/2 + 2ср'у cost]/4,
F = -^';/sinf/4; B2=^2/4;
L = {((p+ ^cost)[^" + у" - (p+^cosi)]cost +
+ 2(cp' + y' cos t)(y' + <p' cos r)}/(2<7);
M = y(y'+ <p'cost) sin t/(,2a);
N = -y{<p + ycost)/{2cy),
где ст2 = (^7 + ^cosr)2 + (у/ + <р'cos t)2.
Координатные линии v (t = const) совпадают с образующими окружностями и формируют
одно семейство линий кривизны. Следовательно, циклическая поверхность Вирича может быть
причислена к каналовым поверхностям Иоахимсталя. Координатные линии Г (v = const) не яв-
ляются линиями кривизны.
Дополнительная литература
1. Bipw С.О. Параметризащя циюпчнси noiiepxni// ГеомеТричне та комп’ютерне моделювання. - Харкав:
ХДУХТ, 2004. - Вип. 7. - С. 88-92 (библ.: 3 назв.).
394
СЕДЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СЕДЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Седловая поверхность - это обобщение поверхности отрицательной гауссовой кривизны.
Часть произвольной поверхности трехмерного евклидова пространства, отсекаемой произволь-
ной плоскостью, с компактным замыканием контурного сечения называется горбушкой. По-
верхность называется седловой, если от нее нельзя отсечь горбушки никакой плоскостью. Для
того, чтобы дважды непрерывно дифференцируемая поверхность была седловой поверхностью,
необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке поверхности ее гауссова кривизна было непо-
ложительна. Среди седловых поверхностей в Е3 нет замкнутых поверхностей.
Можно дать еще несколько определений седловых поверхностей. Например, поверхность,
все точки которой седловые точки, является седловой поверхностью. Седловая точка - точка
гладкой поверхности, вблизи которой поверхность лежит по разные стороны от своей касатель-
ной плоскости. Седловая точка является обобщением гиперболической точки (см. «Поверхно-
сти»), Примерами седловых поверхностей являются однополостный гиперболоид, гиперболи-
ческий параболоид (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»), ми-
нимальные поверхности, поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны (см.
«Поверхности постоянной гауссовой кривизны»), А.Л. Вернер [2] дал классификацию сфериче-
ски однолистных седловых поверхностей. В этом разделе справочника собраны поверхности, в
названии которых присутствует термин «седло», остальные седловые поверхности указаны в
оглавлении.
Дополнительная литература
1. Шефе.чь С.З. Исследования по геометрии седловых поверхностей. - Новосибирск, 1963. - 22 с.
2. Бакельман И.Я., Вернер АЛ., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». - М, 1973.
-440 с.
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ СЕДЛОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Перельман ГЯ. Метрические препятствия к существованию некоторых седловых поверхностей// Ленинград,
отд. Мат. ин-т АН СССР. Преп. - 1988, № 1. - С. 3-17.
2. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Поверхности отрицательной кривизны// Алгебра. Топология. Геометрия (Итоги
науки и техники). - М., 1974. - С. 171-207.
3. Борисенко А.А. О внешне геометрических свойствах параболических поверхностей и топологических свой-
ствах седловых поверхностей в симметрических пространствах ранга один// Мат. сб. - 1981. - 116, № 3. - 440-457.
4. Крячков Ю.П. Порядок седлообразности и индекс регулярной точки гладкой двумерной поверхности в Е4//
Соврем, геометрия. Исслед. по дифференциальной геометрии. - Л.: 1981. -С. 96-99.
5. Чернышева Н.Г. Условие существования предельного конуса седлового рога, состоящего из одной прямой//
Соврем, геометрия. Исслед. по дифференциальной геометрии. - Л.: 1981. - С. 140-144.
6. Насрулаев Ф.С., Ярахмедов Г.А. К вопросу о строении плоских сечений нерегулярных сужающихся поверх-
ностей. - Махачкала: Даг. ун-т, 1981. - 10 с. - Библ.: 6 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 7 сент. 1981 г., № 4344-81 Деп.
7. Лийва Т. О послекритической стадии оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны при крученйи//
Уч. записки Тарт, ун-та, 1985. - № 675. - С. 18-28.
8. Борисенко А.А. О седловых поверхностях в сферическом пространстве// Укр. геом. сборник. - 1975. - Вып.
18.-С. 25-27.
9. Кузнецова Н.Г. Неограниченность седлового рога в пространстве Лобачевского Н3Н Сб.: «XXVI Герценовск.
чтения. Математика. Кратк. содерж. докл.». - Л., 1973. - С. 64-70.
10. Розендорн Э.Р. Некоторые достаточные условия регулярности поверхности с постоянной отрицательной
внутренней кривизной// Докл. АН СССР. - 1972. - 207, № 2. - С. 296-299.
11. Вернер А.Л. Конечность множества точек ветвления сферического отображения сужающейся седловой по-
верхности// Матем. заметки. - 1972. - 12, № 3. - С. 281-286.
12. Basar К, Ding Y. Finite-rotation elements for the nonlinear analysis of thin shell structures// Int. J. Solids and
Struct. - 1990. - 26, No 1. - P.83-97.
13. fshakov V.I. Stability analysis of viscoelastic thin shallow hyperbolic paraboloid shells// Int. J. Solids Struct. - Oct.
1999. - 36 (28). - P.4209-4223.
14. Krames J. Zur mittleren Kriimmung einschaliger Hyperboloide// Anz. Osterr. Akad. Wiss. Math.-naturwiss. KI. -
1971 (1972). - 108, № 1-5.-S. 1-3.
395
СЕДЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СЕДЛО В БАРАБАНЕ
Поверхность, называемая «седло в барабане» (рис. 1), является гиперболическим парабо-
лоидом (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой
кривизны»), заданным в полярных координатах.
Форма задания поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х - x(r,t) = rcost, у = y(r,t) = rsinf, z = z(r,f) = 0,5r2 sin(2/).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + r2 sin2(2r), F = 0,5г' sin(4r), В2 = r2[l + r2 cos2(2r)],
А2 В1 - F2 = r2(l + r2),
Рис. 1
sin(2r)
L=7^>
rcos(2f) -r2sin(2r)
M - . , N = —7====—
л/1 + r2 Vl + r2
1
X = ------pp
(1 + r2)2
<0.
Поверхность строго отрицательной гауссовой кривизны отнесена к неортональным несо-
пряженным криволинейным координатам г, г.
СЕДЛОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КЛАССА £
Рис. 2
а = 3\
b= 1;
/ = 0,5;
т = 1
Седловая поверхность класса г, задаваемая неявным уравнением а2х2 + Ь2 у2 = etv+"'>+:,где
a, b и I, т»ч - параметры, применяется при. решении одного
трансцендентного уравнения [ 1 ].
Формы задания седловой поверхности класса е
1) Неявная форма задания: а2х2 + Ь2у2 = е1х+ту+г,
где а, b -р 0 и I, т Ф 0 - параметры.
2) Явная форма задания: z = 1п(а2л2 + Ь2у2) -1х-ту.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
2а2х Л _ ( 2а2 х V 2Ь2у
:2 +b2y2 ~ J ’ 1/ГГ +Ь2у2 ~ Ха2х2 +Ь2у2
Д2 =1 + |\ У, 2 ~т"\ ,
А2 =1 +
~т\,
-4д2/У2.уу
L =
-2а1{а1х2-Ь2у2) -4а2Ь2ху
-------------. / . , М =------------, , N = b-,
(а2х2 +Ь2у2)ЧА2 +В2(а2х2 +b2y2)2^A2 +В2-1 а
_________— 4а2Ь2________
(а2х2 +b2y2)2(A2 +В2-I)2
При а = b рассматриваемая седловая поверхность строго отрицательной гауссовой кривиз-
ны становится поверхностью, задаваемой гармонической функцией (см. «Поверхности, зада-
ваемые гармоническими функциями»).
Дополнительная литерату ра
1. Ашурбеков К.Д., Насрулаев Ф.С. Применение строения плоских сечений седловых поверхностей класса s к
решению одного трансцендентного уравнения// Функц. анал., теория функций и их прил. - Махачкала, 1986. - С.
42-43.
396
СЕДЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СЕДЛО ПЕАНО
Седло Пеано является аналитической гладкой поверхностью четвертого порядка (рис. 1).
Плоскость yOz - плоскость симметрии поверхности. В явном виде седло Пеано можно задать
уравнением: z = (у - х2)(у - Зх2) = (у - 2х2 )2 - х4. В сечении поверхности координатной плос-
костью у = 0 лежит парабола четвертого порядка z = Зх4. Плоскость х = 0 пересекает поверх-
ность по обыкновенной параболе z = у2. В сечении поверхности координатной плоскостью z = О,
лежат две квадратные параболы с общей вершиной: у = Зх‘ и у = х’.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 = 1 +16х2(3х2-2у)2, F = 8х(у-2х2)(3х2 -2у), В2 = 1 + 4(у-2х2)2,
4(9х2-2у) ,, -8х „ 2 8(х2-2у)
, =, М = . , N = --г ---=. К = ----------у.
•Ja2+b2 — { Va2 + b2-i Va2 + 52-i (a2+b2-i)
Седло Пеано содержит участки как положительной так и отрицательной гауссовой кривиз-
ны. Гауссова кривизна меняет знак в точках параболы 2у = х2. На рис. 2 показано седло Пеано,
построенное в пределах -0,5 < х < 0,5; 0 < у < 1. На рис. 3 поверхность ограничена координат-
ными линиями х = -0,5; х = 0,5 и у = -0,4; у = 1; на рис. 4 - координатными линиями х = -0,8;
х = 0,8 и у = -0,5; у = 1,5.,
СУЖАЮЩАЯСЯ СЕДЛОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ РОЗЕНДОРНА
Впервые примеры сужающихся седловых поверхностей
привел Э.Р. Розендорн. Полные седловые поверхности, все
трубки на которых будут рогами, называются сужающими-
ся. Сужающейся седловой поверхностью будет, например,
поверхность Н, четвертого порядка (рис. 5; а = 16;
| -4 < х,у < 4): х2у2 + y2z2 + z х2 = а2. Ее гауссова кривиз-
УЛч на в точке (x,y,z) е Ео вычисляется по формуле
о о . _ о о " о 1
Рис. б
К=-
2
Рис. 5
и обращается в нуль лишь в восьми точках, где |х| = |у| =|z|.
На рис. 6 показана сужающаяся поверхность Розендорна, заданная в ко-
ординатах г, v; 0 < г < 2 л:; 0,5 < г < 5; а = 16,
х = х(г, v) = rcosv; у = y(r,v) = rsinv; z = z(r, v) = -Ja2 - r4 cos2 vsin2 v / r.
^Полная поверхность приведена на рис. 7. Сужающиеся седловые поверх-
ности не могут иметь взаимно однозначное сферическое отображение.
рис Дополнительная литература
1. Розендорн Э.Р. О полных поверхностях отрицательной кривизны К < — 1 в евкли-
довых пространствах Е3 и Е4// Математический сборник. - 58 (4). - 1962. - С. 453-478.
397
СЕДЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ОБЕЗЬЯНЬЕ СЕДЛО
Обезьянье седло имеет точку, которая одно-
временно является параболической и омбиличе-
ской, три хребта и три склона, так что поверх-
ность при повороте на угол 2тг/3 совпадает сама с
собой. Очевидно, что в этом случае против каж-
дого хребта расположен склон. Всякое нормаль-
ное сечение имеет здесь точку перегиба и, сле-
довательно, нулевую кривизну. Название по-
верхности вызвано тем, что человек для верхо-
вой езды нуждается только в двух склонах седла, в то время как обезьяне нужен еще третий
склон для хвоста.
Поверхность обладает параллельными нормалями в точках, которые расположены диамет-
рально противоположно по отношению к точке перегиба. Следовательно, замкнутой, не имею-
щей двойных точек кривой, проведенной вокруг параболической изолированной точки, соот-
ветствует на шаре замкнутая кривая, дважды обходящая сферическое изображение этой точки.
Поверхность с изолированной параболической точкой можно построить вращением кривой
Ди), проходящей через начало координат/(0) = 0 и трансформирующейся при вращении по за-
кону синуса с нечетным числом волн: /(i/)sin(nv); п = 1, 3, 5, .. .;и > 0 или и < 0; 0 < v < In.
Обезьянье седло получается при п = 3.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = «cosv, у = y(u,v) = wsinv, z = z(u,v) = awJsin(3v).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 - 1 + 9о2н4 sin2(3v), F = 9а2и5 sin(3v)cos(3v), Вг = и2[1 +9а2и4 cos2(3v)],
, , , , э , баи sin(3v) баи2 cos(3v) -6aw3sin(3v)
yl-bdcru^ yl + 9a2u4 yl + Эа''и^
k 6awsin(3v) -6awsin(3v) 36а2и2
А2л/1 + 9а2и4 [1 + 9a2w4 cos2(3v)]x/l +9а2к4' (1 + 9а2и4)
— 27л3н5 sin(3v)
Н= (1 + 9ЛТ '
Обезьянье седло является поверхностью отрицательной гауссовой кривизны. Значения ко-
эффициентов основных квадратичных форм показывают, что поверхность задана в неортого-
нальных, несопряженных криволинейных координатах и, г. Только в изолированной точке и = 0
гауссова К и средняя кривизна Н поверхности равна нулю.
2) Явная форма задания: г = х3 - Эху2,
что равносильно заданию поверхности в параметрической форме:
х = x(u,v) = «cosv, у = у(и,v) = usinv, z = z(u,v) = w3cos(3v).
Дополнительная литература
1. Гильберт Д, Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - 3-е изд. - М.: «Наука», 1981. - 344 с.
2. Мининский В.И. Дифференциальная геометрия. - Л.: Изд-во «Кубуч», 1934. -332 с.
398
СЕДЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СЕДЛОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С НУЛЕВЫМ ВРАЩЕНИЕМ РОГА
Седловая поверхность с нулевым вращением рога - это полная поверхность отрицательной
гауссовой кривизны F с рогом Т (рис. 1). Полная седловая поверхность неограничена в £3. Для
рассматриваемой поверхности <у(7) = 0, где со(Т) - вращение рога Т. Оно будет равно вращению
__________поля касательных на любом сечении рога Т плоскостью Q, если Q не
ШТЖтТО» пересекает края рога Т.
Формы задания седловой поверхности с нулевым вращением рога
ТУАЗкА 1) Задание седловой поверхности, имеющей рог, в цилиндрических
гНттТТ координатах z, р, <р:
Р ~ е~~ 7cos2 si1*2 <p/(cos2 (p + e2; sin2 <p].
Седловая поверхность (рис. 1) имеет однолистное сферическое
j изображение. Плоские пояса на роге Т имеют самопересечения.
Дополни те льная литерату ра
1. Бакель.ман И.Я., Вернер Л.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». - М.:
«Наука», 1973. -440с.
УПЛОЩЕННОЕ СЕДЛО В БАРАБАНЕ
Уплощенное седло в барабане напоминает по внешнему виду седло с практически плоской
областью в центре поверхности (рис. 2). На виде сверху поверхность ограничена круговым кон-
туром, поэтому она помещается в круговом цилиндре. В центре
поверхность имеет точку, которая одновременно является пара-
болической и омбилической.
Рис. 2
Формы задания поверхности уплощенного седла в барабане
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = x(r,v) = rsinv, у = y(r,v) = rcosv,
= z(r,v) = у sin(2v),
где 0 < г < °о, 0 < v < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = 1 + 4r6 sin2 (2v), F = г7 sin(4v), й2 = г2 + г8 cos2 (2v), А2В2 - F2 = г2 + r8[l + 3sin2(2v)],
-6r3sin(2v) - 3r4cos(2v) -6r3sin(2v)
L = ,— M = —p= N =0, k -----, =, k - 0,
JA2B2-F2 ylA2B2-F2 A4a2B2-F2
-9r4cos2 (2v)
К = 7----------- T2' °-
{l + r6[l + 3sin2(2v)]}
Поверхность уплощенного седла является поверхностью отрицательной гауссовой кривиз-
ны, только вдоль линий v = djr/4 расположены параболические точки с К = 0, а точка с коорди-
натами v = г = 0 является параболической и омбилической.
2) Явная форма задания (рис. 3): z = ху(х2 + у2).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = 1 + у2(3.х2+у2)2, F = ду(х2+3у2)(3х2 + у2), В2 = 1 + х2(х2 +3у2)2,
бху 3(х2+у2) -9(х2-у2)2 6ху[1-(х2-у2)2(х2+у2)]
L — N = -. , М = , .—, К = —sS 0, Н =-----------------5-----тле-----•
7a2B2-F2 7a2F2-F2 (A2B2-F2)‘ (A2B2-F2)3/2
При этом способе задания поверхности видно, что на линиях х = +у расположены парабо-
лические точки, а точка с координатами х - у = z = 0, лежащая на поверхности, будет парабо-
лической и омбилической. Вдоль линий х = 0 и у = 0 средняя кривизна равна нулю.
399
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА
Производящая кривая кинематической поверхности общего вида, перемещаясь в каждое
последующее положение, может сохранять определенный характер движения, но параметры
перемещений, положения осей и направления бесконечно малых слагаемых перемещений про-
изводящей линии непрерывно изменяются. Эти перемещения могут быть следующих видов:
1) поступательное перемещение переменного направления;
2) вращательное перемещение с непрерывно изменяющимися в пространстве положением и
направлением оси вращения;
3) винтовое перемещение с непрерывно изменяющимся положением и направлением вин-
товой оси и непрерывно изменяющимся параметром винтового движения.
В зависимости от вида перемещений производящей кривой кинематические поверхности
общего вида подразделяются на 1) поверхности переноса; 2) ротативные поверхности и 3) спи-
роидальные поверхности.
Поверхность переноса может быть задана образующей линией в начальном положении и
некоторой направляющей кривой, определяющей направление переноса (см. «Поверхности пе-
реноса»). Если одна из опорных линий прямая, то поверхность переноса имеет вид цилиндра.
Если опорными линиями являются две скрещивающиеся прямые, то поверхность переноса вы-
рождается в плоскость.
Движение образующей линии называют ротативным, если ее бесконечно малые последова-
тельные перемещения являются вращательными вокруг осей, пересекающихся под бесконечно
малыми углами. Ротативное движение можно получить при качении торса по торсу. У обоих
торсов ребра возврата в соответствующих точках должны иметь равные кривизны. Другими
словами при ротативном движении торс должен катится по своему изгибанию. С подвижным
торсом можно жестко связать образующую кривую. При качении такого торса без скольжения
по неподвижному торсу будет получаться ротативная поверхность общего вида. Торсы, с по-
мощью которых образуются кинематические поверхности, называют аксоидами. Таким обра-
зом, ротативную поверхность можно задать двумя соприкасающимися аксоидами и образую-
щей кривой, неизменно связанной с подвижным аксоидом.
Ротативную поверхность называют регулярной, если ее подвижным аксоидом является
плоскость. Регулярную ротативную поверхность называют улиткой вращения, если образую-
щая плоская кривая принадлежит плоскости (подвижному аксоиду). Цилиндрические или кони-
ческие улитки вращения можно получить, если за неподвижные аксоиды принять соответствен-
но цилиндрические или конические поверхности (см. «Резные поверхности Монжа»). Если за
образующие линии принять прямую или окружность, то можно получить соответственно ли-
нейчатые или циклические улитки вращения (см. «Трубчатая поверхность с плоской линией
центров в форме эвольвенты круга»).
Движение образующей линии называют спироидальным, если ее бесконечно малые после-
довательные перемещения являются винтовыми перемещениями, а оси двух последовательных
бесконечно малых перемещений пересекаются и составляют между собой бесконечно малые
углы. Если с подвижным торсом (аксоидом) жестко связать образующую кривую, то при прока-
тывании его со скольжением по неподвижному торсу можно получить общий случай винтового
(спироидального) движения образующей линии. Поверхность, образованную спироидальным
движением образующей линии, называют спироидальной поверхностью (см. «Спироидальные
поверхности»).
Дополнительная литература
1. Бубенчиков А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия: Изд. 2-е. - М.: «Высшая школа», 1973. -416 с.
2. Ябгаров Д.Я., Шоломов И.Х. Применение дифференциальных уравнений к конструированию ротативных
поверхностей с аксоидами торс-торс// Исслед. в области теории дифференциальных уравнений и теории прибли-
жений.-Ташкент, 1982. - С. 96-100.
400
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ РОТАТИВНЫХ И СПИРОИДАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Дружинский И.А. Сложные поверхности: Математическое описание и технологическое описание: Справоч-
ник. - Л.: «Машиностроение», 1985. - 263 с.
2. Ефременко А.В. Исследование линейчатых и нелинейчатых поверхностей на основе новых видов
преобразования Пространства. - Дис. к.т.н. наук (Ростов, гос. строит, ун-т). - Н. Новгород, 2000. - 169 с. (библ.: 119
назвЗ). Кох В.Н. Построение некоторых спироидальных поверхностей// Вопросы теории, приложений и методики
преподавания начертательной геометрии: Труды Рижской научно-метод. конференции, июнь 1957. - Рига, Риж-
ский ин-т ГВФ, 1960.-С. 172-180.
4. Галета Е.А., Золотухин В.Ф. Вычисление площадей конических и торсовых линейчатых винтовых улиток. -
Волгоград ПН. - Волгоград, 1986. -7 с. - Библ.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ 27.08.86, № 6200-В86.
5. Бубенников А.В., Громов М.Я...Начертательная геометрия: Изд. 2-е. - М.: «Высшая школа», 1973. - 416 с.
6. Ябгаров Д.Я. Некоторые вопросы конструирования ротативных и спироидальных поверхностей. - Ташкент:
Фан, 1991. - 91 с. (библ.: 21 назв.).
7. Ябгаров Дж.Я. К вопросу образования некоторых ротативных поверхностей// Прикладная геометрия и ин-
женерная графика. - Киев, 1976. - Вып. 22. - С. 42-44 (библ.: 2 назв.).
8. Кирилов С.В. Параметрические уравнения некоторых спироидальных поверхностей// Кибернетика графики и
прикл. геометрия поверхностей: Тр. МАИ. - Вып. 296. - М.: МАИ, 1972. - С. 81-85.
9. Яковлев В.А. Конструирование кинематической поверхности общего вида// Прикладная геометрия и инже-
нерная графика. - Киев, 1969. - Вып. 8. - С. 71-73.
10. Золотухин В.Ф. Классификация поверхностей. - Волгоград: Волгоград, политех, ин-т, 1979. - 11 с. - Библ.:
13 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 17 марта 1980 г., № 1007-80 Деп.
11. Скидан И.А. Геометрическое моделирование кинематических поверхностей в специальных координатах. —
Автореф. дис. д-ра техн. наук. - М.: МАДИ, 1989 (Дисс. выполнена в Донецком политехническом ин-те). - 36 с.
(библ.: 29 назв.).
12. Рачковская Г.С. Геометрическое моделирование качения конуса по развертке торса// Прикладная геомет-
рия и инженерная графика. - Киев, 2001. - Вып. . - С. 95-98.
13. Мартиросов А.Л., Рачковская Г.С. Аналитическое описание качения конуса переменной геометрии по раз-
вертке торсовой поверхности// Известия РГСУ. - Ростов-на-Дону: РГСУ, 1998. - Вып. 3. - С. 173-176.
14. Скидан И.А. Математическое моделирование кинематических поверхностей в специальных координатах//
XIII Международная конференция «Модели в проектировании и конструировании машин». - 25-28.04.1989. - За-
копане. - Серия «Механика», том. 92. - С.213-221.
15. Асеев В.И. Линейчатые поверхности 4-го порядка с направляющей плоскостью и двойными прямыми. - М.:
МХТИ, 1962. - 32 с. (библ.: 19 назв.).
16. Бубенников А.В. Спироидальные поверхности// Труды ВЗПИ. - М.: ВЗПИ, 1974. - Вып. 93. - С. 19-23.
17. Золотухин В.Ф. К вопросу о параболических точках на спироидальных поверхностях и спироидальных
улитках// Начертат. геометрия и ее прил. - Саратов, 1979. - № 3. - С. 75-77.
18. Мартиросов А.Л., Баринов В.В., Рачковская Г.С, Качение конуса переменной геометрии по торсу. - Ростов,
инж.-строит. ин-т. - Ростов н/Д, 1990. - 10с. - Библ.: 3 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 13.08.90, № 4599-В90.
19. Мартиросов А.Л. О качении развертываемых поверхностей друг по другу// Прикладная геометрия и инж.
графика. - Киев, 1977, — Вып. 23. - С. 64-67 (библ.: 2 назв.).
20. Ефимов М.И. Об определении объемов отсеков, ограниченных некоторыми ротативными поверхностями//
Начертательная геометрия и ее прил. - Саратов, 1979. - № 3. - С. 103-105.
21. Мартиросов А.Л., Рачковская Г.С., Баринов В.В. Обобщенная задача качения конуса по торсам. - Ростов,
инж.-строит. ин-т. - Ростов н/Д, 1991. - 7 с. - Библ.: 2 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 08.05.91, № 1878-В91.
22. Скидан И.А. Кинематические поверхности в гиперболических координатах// Прикладная геометрия и ин-
женерная графика. - Киев, 1972. - Вып. 14. - С. 78-82.
23. Золотухин В.Ф. Способ нахождения точки касания касательной плоскости с линейчатой спироидальной
улиткой, заданной сетью. - Волгоград: Волгоград, политехи, ин-т, 1980. - 7 с. - Библ.: 5 назв. - Рук. деп. в ВИНИ-
ТИ 26 февраля 1980 г. ,№710-80 Деп.
24. Pottmann И., Lee I.K., Randrup Т. Reconstruction of kinematic surfaces from scattered data// Proc. Symp. for Geo-
technical and Structural Engineering. - Eisenstadt, Austria, 1998. - P. 483-488.
25. Pottmann H., Lee I.K., Wallner J. Scattered data approximation with kinematic surfaces// Sampling Theory and
Application “99”: Proc. - Loen, Norway, 1999. - P. 72-77.
Дополнительная литература
P.S.'. Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Кинематические поверх-
ности общего вида» и разделов «Резные поверхности Монжа с круговой цилиндрической направляющей поверх-
ностью» и «Резные поверхности Монжа с конической направляющей поверхностью».
401
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Ротативная поверхность образовывается произвольной пространственной кривой L в слу-
чае качения без скольжения подвижного торса, с которым жестко связана производящая кривая
L, по неподвижному торсу. В этом случае говорят, что производящая кривая L совершает рота-
тивное движение. Ротативным движением линии L называется такое движение, при котором
бесконечно малые ее последовательные перемещения будут перемещениями вращения вокруг
непрерывно изменяющейся оси. Торсовые поверхности (торсы), при помощи которых происхо-
дит движение производящей кривой линии, называются подвижным и неподвижным аксоида-
ми. Плоскость, цилиндр, конус и прямая линия являются частными видами торса. Не любое со-
четание аксоидов дает возможность осуществить ротативное движение. Торс может катиться
без скольжения только по своему изгибанию. Существует десять возможных сочетаний непод-
вижного и подвижного аксоидов: 1) прямая - плоскость; 2) плоскость - конус; 3) плоскость -
цилиндр; 4) плоскость - торс; 5) конус - плоскость; 6) конус - конус; 7) цилиндр - плоскость; 8)
цилиндр - цилиндр; 9) торс - плоскость; 10) торс - торс. В то же время конус и цилиндр, ци-
линдр и торс не могут составить пар аксоидов для ротативного движения.
Семейство нормальных плоскостей пространственной кривой линии
огибает некоторую поверхность - полярный торс. Следовательно, при
качении без скольжения плоскости по полярному торсу некоторая ее
точка опишет в пространстве заданную кривую.
Если принять за подвижный аксоид круговой цилиндр с расположен-
ной на нем гелисой, то при его качении по плоскости каждая точка гели-
сы опишет плоскую циклоиду. Геометрическое место циклоид, образо-
ванных всеми точками гелисы, составит поверхность переноса (см.
«Поверхности диагонального переноса»).
Косой геликоид также можно считать ротативной поверхностью. В
этом случае за подвижный аксоид необходимо принять плоскость, ко-
торая будет катиться по неподвижному круговому цилиндру (непод-
вижный аксоид). Образующая (производящая) прямая должна быть па-
раллельна подвижной плоскости, пересекать ось прямого кругового ци-
линдра под заданным острым углом (рис. 1) и быть жестко связанной с подвижной плоскостью
S. При качении плоскости S по цилиндру £2 производящая прямая т будет пересекать ось ци-
линдра в различных ее точках, то есть будет образовываться косой геликоид (см. «Линейчатые
поверхности отрицательной гауссовой кривизны»). Линии пересечения образованной поверх-
ности с одноосными цилиндрами представляют собой гелисы. Если производящая прямая I
(рис. 1) параллельна катящейся плоскости S, но находится на некотором расстоянии от оси не-
подвижного аксоида (кругового цилиндра £2), то при качении плоскости будет образовываться
конволютный геликоид (см. «Линейчатые винтовые поверхности»).
Принимая в качестве аксоидов конусы, можно получать винтовые поверхности переменно-
го винтового параметра. Рассматривая наружное и внутреннее обкатывание поверхности не-
подвижного конуса можно получать ротативные поверхности двух типов. Один из куполов со-
бора Василия Блаженного в Москве очень близок по форме к поверхности, образованной рота-
тивным движением производящей винтовой линии, лежащей на поверхности тела вращения в
форме веретена, которое жестко связано с подвижным конусом с диаметром основания во мно-
го крат ( в целое число раз) меньшим диаметра неподвижного конуса. При этом необходимо
производить обкатывание наружной поверхности неподвижного конуса.
Дополнительная литература
1. Луста Г.И. Обзор ротативных поверхностей// Труды Московского научно-метод. семинара по начертатель-
ной геометрии и инженерной графике. - Вып. 2. - Москва, 1963. - С. 120-124 (библ.: 4 назв.).
402
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ПЛОСКОСТЬ»
Ротативные поверхности с аксоидами «цилиндр - плоскость» имеют в качестве неподвиж-
ного аксоида круговой цилиндр, а подвижным аксоидом является плоскость. Для задания рас-
сматриваемой ротативной поверхности вводятся две системы декартовых координат: непод-
вижная система координат Олух и подвижная оЛУй. Ось Oz не-
подвижной системы совпадает с осью цилиндра (рис. 1). В перво-
начальном своем положении начало подвижной системы координат
си располагается в точке с координатами х = R-, у = 0; z = 0, где R -
радиус неподвижного аксоида - кругового цилиндра, а ось ojZi
совпадает с прямолинейной образующей цилиндра.
При качении плоскости Q по цилиндру без скольжения обра-
зующая линия L, заданная в подвижной системе координат уравне-
ниями вида
Х1 = Х1(и), Yi = Г1(и), Z = ZjOO,
будет формировать ротативную поверхность с аксоидами «цилиндр
- плоскость». В общем случае кривая L может быть любой про-
странственной линией.
Формы задания ротативной поверхности с аксоидами «цилиндр - плоскость»
1) Векторная форма задания (рис. 1):
г = r(u,<p) = ЖсозЫ + sin^/) + Rtp(sirupi - costpj) + Yt(u) (sintpi - cosipj) + Xi(w)(cos^i + sin^/) +Zi(u)k,
где ip - угол, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону' оси Оу.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и,<р) = Л(соз^+ ^sinp) + Х1(и)со5 9? + У1(и)з1п^,
у = у(и,<р) = R(sin <р - <р cos <р) + X, (w)sin^?- yi (и) cos ср, z = ?(и) = Z/и).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = X'2 + Y'2 + Z'2, F = R<pX'x+X'xYx-XxYx, В2 = R2<p2+2RipYx + X2+Y2,
л1а2В2 - F2
Xfcos ср + К, "sin ср
X х cos (p + Yx sin <р
Rcpcoscp- X, sin <p+ Yx cos<p
Xfsin <p - y’cos <p
Xxsin<p-Y'cos(p
Z'x , где
Ripsin<p+Xxcos<p + Yx sin<p 0
d...
du
Z' Z'
M=lV' =~(R<pXx + Х'У, -Х.У,'), N~—^ .. A(R<P + YX)2 + X,(X, -Й)].
7a .s2-f Va2s -f2
Если образующая кривая L - плоская и лежит в плоскости Y\oiZi, то при качении плоскости
по цилиндру будет получаться резная поверхность Монжа с круговой гщлиндрической направ-
ляющей поверхностью (см. «Резные поверхности»), которая является поверхностью нулевой
гауссовой кривизны. Если за образующую кривую L взять прямую линию, то можно получить
четыре группы линейчатых поверхностей: цилиндрические поверхности, резные линейчатые
поверхности Монжа с круговой цилиндрической направляющей поверхностью, плоскость и ли-
нейчатые ротативные поверхности общего вида с аксоидами «цилиндр - плоскость» (см. раздел
«Линейчатая ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр - плоскость»).
Дополнительная литература
1. Ядгаров Дж.Я. Конструирование некоторых поверхностей цилиндрических улиток вращения графо- анали-
тическим способом// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1978. - Вып. 26. - С. 90-93 (библ. 4 назв.).
403
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИНЕЙЧАТАЯ РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР-ПЛОСКОСТЬ»
Линейчатая ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр -
плоскость» имеет неподвижный аксоид в виде кругового цилиндра и
плоскость - подвижный аксоид. Поверхность образовывается произ-
вольно расположенной прямой линией, жестко связанной с катящей-
ся без скольжения плоскостью. Линейчатую ротативную поверхность
с аксоидами «цилиндр - плоскость» называют также регулярной ли-
нейчатой цилиндрической ротативной поверхностью.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и,<р) = R(cosp + cps'm <р) + ucoscp,
у = у(и,ср) = 7?(sin^-^cos^) + wsin^, z = z(w) = ntg<z,
где R - радиус неподвижного цилиндра, а - угол наклона прямой обра-
зующей Ц к подвижной координатной оси о\Х\. При этой форме задания
ротативной поверхности образующая прямая Li (рис. 1) расположена в
плоскости XjoiZi, а параметрические уравнения прямой Li, заданной в
подвижной системе координат, имеют вид: ХДи) = и, У) = 0, Zi(n) = wtga.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 3 = l/cos2a, F = R<p, В2 -R2<p2 + и2, А2В2 - F2 = и2А2 + R2<p2tg2a,
r _n . R<figa v _tgo[/?V +и2-uR] /?Vtg2a
7a2B2 -F2 7a2B2 -F2 (a2B2-F2)
При расположении образующей прямой в плоскости XiOiZ, будет полу-
чаться линейчатая поверхность отрицательной гауссовой кривизны. На
рис. 2 изображена рассматриваемая поверхность при R = 1м, а = тг73, 0 < и < 1м; 0 < ср < 2л.
2) Параметрическая форма задания:
х = х(и,<р) = F(cos^ + ^sin^>) + wcos^, у = у(и,<р) - F(sin^-^cos^)-Fusing, z — z(«) = (b - ujigp,
где p - угол наклона прямой образующей к подвижной координатной оси о\Х\ (рис. 1). Обра-
зующая прямая Е2 расположена в плоскости ХууХ,. Параметрические уравнения этой прямой
имеют вид: Xi(w) = и, Yi = 0, Zi(w) = (b - u)tgP. На рис. 3 показана линейчатая ротативная по-
верхность при р = я/3, R = Ь = 1м, 0 < и < 1м; 0<ср< 2л.
3) Параметрическая форма задания:
х = х(и,<р) = i?(cos(Z> + sin + :/sin<3, у = у(и,ф) = B(sin^-(3cos<p) -ucoscp, z = z(u) = utgy,
где у - угол наклона прямой образующей к подвижной координатной
оси oiYi (рис. 1). Образующая прямая Ез лежит .в плоскости Y\O\Z\ и за-
дана уравнениями: Хри) = 0, Ури) = и, Zpu) = utgy.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 =1/cos27, F=0, В2 = (R<p + u)2, L = М = 0,N = Bsin/, K = 0.
Рис-4 При расположении образующей прямой Ез (рис. 1) в катящейся
плоскости будет получаться поверхность нулевой гауссовой кривизны, которую называют ли-
нейчатой цилиндрической улиткой вращения, или резной линейчатой поверхностью Монжа.
Если взять а = л/2 или у = л!2 (рис. 1), то получится цилиндрическая поверхность с направ-
ляющей линией в форме эвольвенты круга радиусом R (рис. 4 - жирная линия). При р = л/2 так-
же получится цилиндрическая поверхность, но с направляющей кривой эквидистантной эволь-
венте круга радиусом R (рис. 4). При а = 0, или у = 0 будут получаться фрагменты плоскости.
404
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИКЛИЧЕСКАЯ РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ПЛОСКОСТЬ»
Циклическая ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр — плос-
кость» имеет неподвижный аксоид в виде кругового цилиндра и плос-
кость в качестве подвижного аксоида. Поверхность образовывается про-
извольно расположенной окружностью, жестко связанной с катящейся
без скольжения плоскостью. Циклическую ротативную поверхность с
аксоидами «цилиндр - плоскость» можно называть также регулярной
циклической цилиндрической ротативной поверхностью.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и,<р) = R(cos<p + ^>sin <р) + (b + г cos и) cos <р,
у = у(и,(р) = A(sin ср- (pcoscp) + (b + г cos и) sin ср, z = z(u) = а + г sin и,
где R - радиус неподвижного цилиндра, г - радиус образующей окружно-
сти, лежащей в плоскости XiOiZp, Xi = b, Z\ = а- координаты центра обра-
зующей окружности в. подвижной системе координат (рис. 1). Параметри-
ческие уравнения образующей окружности, заданной в подвижной системе
координат, имеют вид: ЛДи) = b + rcosu, Yi = 0, Zi(u) = а + rsinu.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = г, F--rRfpsmu, В* 2 3 = (Ь + rcosu)2 + R2cp2,
r2(b + rcosu) м г2 Rcpsmucosu _ rcosu[R2<p2 -R(b + rcosu) + (b + rcosu)2]
4a2B2 -F2 ’ у1а2В2-F2 ’ Ja2B2-F2
Поверхность задана в неортогональной несопряженной, системе криволинейных координат
и, <р. На рис. 2 показана циклическая ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр - плос-
кость», для которой r=R=a=b= 1м; 0 < и < 2яг; 0 < (р < 2тг.
Если b = г = R, то коэффициенты квадратичных форм поверхности принимают вид:
А = г, F = -r2/psinu, В2 = г2[(1 + cosw)2 + ^2], А2В2 - F2 = г*[(р2 cos2 и + (1 + cosu)2],
r(l + cosu) r^?sinucosu n _ + cosu(l + cosu)]cosu
yj<p2 cos2 и + (1 + cosu)2 «]<р2 cos2 и + (1 + cosu)2 y!(p2 cos2 и + (1 + cosu)2
2) Параметрическая форма задания: x = х(и,ф) = R(cos<p + <psinq>) + (b + r cosu)sin rp,
у = y(u,<p) = R(sm<p- (pcoscp) - (b + rcosu)cos<p, z = z(u) = a + rsinu,
где R - радиус неподвижного цилиндрического аксоида, г - радиус образую-
щей окружности, лежащей в катящейся плоскости YjOiZr, Yi = b, Zi = а - ко-
ординаты центра образующей окружности в подвижной системе координат.
Параметрические уравнения образующей окружности, заданной в подвижной
системе координат, имеют вид: Xi = 0, Ki(u) = b + rcosu, Zt(u) = а + rsinu.
При этом варианте расположения образующей окружности будет получаться
резная поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и
меридианом в виде окружности, которую также можно называть циклической цилиндрической
улиткой вращения.
3) Параметрическая форма задания: х = х(и,<р) = R(cos <р + ср sin <р) + b cos <p + (d + rcosu)sin^>,
у = y(u,<p) = /?(sin<p— cpcos<p) + bsin<p-(d + rcosu)coscp, z = z(u) = a + rsinu.
На рис. 3 показана поверхность ca = d = r = R- 1м; b = 4м. Жирной линией показана тра-
ектория движения точки О] - эвольвента окружности радиусом R.
405
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»
Пусть задана пара аксоидов - цилиндры вращения с радиусами оснований R и г, где R = пг,
и некоторая линия I, жестко связанная с подвижным аксоидом - цилиндром с радиусом г.
Ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр - цилиндр» образовывается линией I при каче-
нии без скольжения подвижного цилиндра Q„ по неподвижному Q„. На
рис. 1 показано положение аксоидов в начальный момент времени.
Образующая линия I задается параметрическими уравнениями
X, = Xi(u), У1 = У1(и), Z, = Zi(u)
в подвижной системе координат OiXiY^Zi, ось O\Z\ которой совпадает с
осью подвижного цилиндра Q„. Начало неподвижной системы координат
Oxyz расположено в центре основания О неподвижного прямого цилиндра
QH, а координатная ось Oz совпадает с его осью. Перед началом движения
оси обеих координатных систем будут параллельными.
Если точка М принадлежит кривой I, ее координаты в двух системах будут соответственно
(х, у, z) и (Xj, Уь Zi). После некоторого ротативного движения подвиж-
ный аксоид займет положение, показанное на рис. 2. Из рассмотрения
этого рисунка можно получить следующие геометрические соотноше-
ния: R<p = rt, или пер = t, п = R/r, <р + t = (1 + п)(р, NM = Z{k, где ср -
угол, отсчитываемый от неподвижной оси Ох в направлении качения до
прямой, соединяющей центр О неподвижного цилиндра с точкой D. В
точку D проецируется линия касания двух аксоидов; угол г показан на
рис. 2.
Формы задания ротативной поверхности с аксоидами «цилиндр - цилиндр»
1) Параметрическая форма задания при внешнем обкатывании неподвижного цилиндра
(рис. 1 - 2):
х = х(и, <p) = (R + г') cos <р + X. (и)cos(« + 1)<р - У, (и) sin(/i +1)<р\
у = у(и,<р) = (R + ?-)sin <р + X] (w)sin(n + Y)(p + Yl (w)cos(n + Y)(p, z = z(u) = Z, (и).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = X'2 + Y'2 + Z'2, F = (R + r)(X; sin п<р + У/cos и.?) + (1 + п)(Х.^-Х/Е,),
В2 = (R + г)2 + (1 + п)2(Х2 + У,2) + 2(1 + n)(R + r)(X, cosп<р - Y, sin пер),
- Z,z[(R + r)(X/cosnff + У/sin nep) + (1 + n)(X,X/+ У,У/)]+ Z/[(R + r)(X, cos и 7 - У/sin nep') +
Ja2B2-F2
yK . + (1 + н)(Х,Х1ЧУ1У/)], M = <Ш££=,где
у1 ------------------- y/A2B2-F2 “u~
Q'l 'i м Z{[(R + r)2 + (1 + д)3(Х/ + У/) + (2 + «)(! + n)(R +r)(X t cos nep — У, sin nep)\
J OJpfVL -------------------------------------7=," г.. v-------------------------
rWfo Va-b2-f2
x/ i F Параметрическая форма задания при внутреннем качении подвижного
—। цилиндра по неподвижному (на рис. 3 дано начальное положение аксоидов):
Рис- 3 х = х(и,^) = (R - r)cos^>+ Xj (k)cos(h- 1)^> + У; (w)sin(n-l)^;
у = у (и, <р) = (7? - г) sin ер - X, (и) sin(« -!_)<£> + Y} (и) cos(n - 1)р, z = z(u) = Z, (и).
Здесь ер - угол, отсчитываемый от оси Ох до прямой OD, соединяющей точку О и точку ка-
сания аксоидов после начала качения, г- угол от нового положения оси O|Xi до прямой OD.
406
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЛИНЕЙЧАТАЯ РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЛУСТЫ
Для получения линейчатой ротативной поверхности Лусты необходимо взять неподвиж-
ный круговой цилиндр радиусом R и подвижный цилиндр радиусом R/2. Образующая прямая
АВ, лежащая в .меридиональной плоскости подвижного цилиндра (рис. 1), при внутреннем об-
катывании поверхности неподвижного аксоида будет составлять постоянный угол а с коорди-
натной плоскостью z = 0. Во время качения без скольжения точка Л будет
все время находиться на верхних основаниях цилиндров, а точка В - на
нижних. Причем точка А будет перемещаться вдоль оси у\ верхнего ос-
нования, а точка В - вдоль оси Ох нижнего основания.
Формы задания линейчатой ротативной поверхности Лусты
х2 У2
1) Неявная форма задания: + ",----Т = 1,
(R-Rz/H)2 (Rz/НУ2
где Н - высота цилиндров (рис. Г). Линейчатая ротативная поверхность
Лусты является алгебраической поверхностью четвертого порядка.
Длины отрезков всех составляющих ее образующих прямых между двумя
горизонтальными сечениями равны между собой. Горизонтальные сече-
ния поверхности представляют собой эллипсы. Эллипс среднего сечения
поверхности при z = Н/2 вырождается в окружность радиуса R. Эллипсы нижнего и верхнего
сечений вырождаются в прямые с углом перекрещивания равным 90°. Сечения горизонтальны-
ми плоскостями, равноудаленными от среднего сечения, дают одинаковые эллипсы, поверну-
тые один относительно другого на 90°. Сумма осей каждого эллипса, полученного сечением го-
ризонтальной плоскостью, есть величина постоянная и равная 2R. Горизонтальная проекция
поверхности вписывается в четырехвершинную гипоциклоиду (астроиду), являющуюся оги-
L = 0, !
бающей проекций образующей прямой линии. Фронтальная и профильная
проекции поверхности представляются очерковыми положениями образую-
щей, аналогично очерковым образующим конической поверхности.
Если образующую прямую продолжить в сторону точек А и В, то каждая
точка образующей, лежащая вне отрезка АВ также опишет эллипс. Семейство
этих эллипсов характерно тем, что разности осей каждого из них равновели-
ки и равны 2R.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = x(u,v) = Т?(1-и/Я)со8г, у = y(u,v) = (uR I H)sinv, z = и.
Координатные линии v совпадают с эллипсами, получаемыми горизон-
тальными сечениями поверхности плоскостями; 0 < v < 2л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
, R 1
А* - 1 + 2 “ 2 ’
Н sin а
F = —sinvcosv, В2 = R2
н
2и\ , и2
- R2 sinvcosv
Н^А2В2 -F2
N~ Н-J А2 В2-F2^ н)’ k'~Q’ К~ H2(A2B2-F2)2
Линейчатая ротативная поверхность Лусты является поверхностью отрицательной гауссо-
вой кривизны, только вдоль координатных линий у = 0; тг/2; л-, Зтг/2 лежат параболические точ-
ки. Рассмотренная линейчатая поверхность может быть рекомендована для применения в каче-
стве стержневой конструкции для передачи нагрузки от одной балки на другую, накрест лежа-
щую. Стержни при этом будут работать на сжатие или растяжение.
Дополнительная литература
1. Луста Г.И. Обзор ротативных поверхностей// Труды Московского научно-метод. семинара по начертатель-
ной геометрии и инженерной графике. - Вып. 2. - Москва, 1963. - С. 120-124 (библ.: 4 назв.).
407
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЭПИЦИКЛОИДНЫЙ ЦИЛИНДР
Эпициклоидный цилиндр, или эцициклоидная прямая цилиндрическая поверхность, форми-
руется прямой образующей подвижного
аксоида - цилиндра с радиусом г, кото-
рый катится без скольжения по внешней
поверхности неподвижного аксоида -
цилиндра с радиусом R.
Используя обозначения и формулы,
привед/нные на странице «Ротативные
поверхности с аксоидами «цилиндр - ци-
Рис. 1(Я=1м;0<и<4м) линдр»», параметрические уравнения об-
разующей прямой, заданной в подвижной системе координат, можно представить в виде:
%! = -Г; = 0; Zi = и.
Формы задания эпициклоидного цилиндра
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и,<р) = (R + r)cosp - rcos(l + п)<р, у = у(и,<р) = (R + r)sin(p- rsin(l + п)<р, z = и,
где п = R/r, <р - угол, отсчитываемый от неподвижной оси Ох в направлении качения до прямой,
соединяющей центр О неподвижного цилиндра с точкой D. В точку D проецируется линия ка-
сания двух аксоидов - цилиндров. При целом значении модуля п цилиндрическая ротативная
поверхность не пересекает саму себя (рис. 1).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = l, F =0, Вг = (R + r)1 + г2(1 + и)2-2r(R + r)(l + «)cosn^>,
L = M=0, N = [(R + r)2 +r2(l + /i)3 -r(R + r)(l + >i)(2 + /i)cosnp]/B, K = Q.
ГИПОЦИКЛОИДНЫЙ ЦИЛИНДР
Гипоциклоидный цилиндр, или ггтогцлклоидная прямая цилиндрическая поверхность, фор-
мируется прямой образующей подвижного аксоида - цилиндра с радиусом г, который катится
без скольжения по внутренней поверхности неподвижного аксоида - цилиндра с радиусом R.
Используя обозначе-
ния и формулы, приве-
денные на странице
«Ротативные поверхно-
сти с аксоидами «ци-
линдр - цилиндр»», па-
раметрические уравне-
ния образующей пря-
мой, заданной в под-
вижной системе коор-
динат, можно представить в виде: Xi = г; Y\ = 0; Z( = и.
Формы задания гипоциклоидного цилиндра
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и,(р) = (R- r)cos<p + rcos(« — 1)^9, у = у(и,<р) = (R- r)s'm<p- rsin(n -1)^7, z = и,
где п = R/r, ср - угол, отсчитываемый от неподвижной оси Ох в направлении качения до прямой,
соединяющей центр О неподвижного цилиндра с точкой D. В точку D проецируется линия ка-
сания двух аксоидов - цилиндров. При целом значении модуля п цилиндрическая ротативная
поверхность не пересекает саму себя (рис.2). При п = 2 цилиндрическая ротативная поверхность
вырождается в прямоугольный участок плоскости у = 0, ограниченный прямыми х - ~R', х = R.
Прямая астроидальная цилиндрическая поверхность получается при п = 4.
408
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, НЕ ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ
ПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА, ПРИ НАРУЖНОМ ОБКАТЫВАНИИ
Рис. 2 (R = 1 м; Н = 4 м; а = - b = г)
Пусть образующая прямая задана в подвижной системе координат
OiXiYtZi в виде: X! = и, У, = Ь(\-и/a), Z, = Я(1-и/а), где константы
a, b, Н указаны на рис. 1. В этом случае параметрические уравнения ли-
нейчатой ротативной поверхности, образуемой прямой образующей при
внешнем качении без скольжения подвижного цилиндра с радиусом г по
цилиндру с радиусом R, можно представить в виде:
х = х(и, (р) — (X + г) cos <р + и cos(n + 1)<р — 6(1 — и/ a) sin(zz + 1)9?;
у = у(и,<р) = (R + г) sin <р + и sin(n + 1)9? + b(l -и/ a)cos(n + {)<р,
Z = H(i-u/a).
• Представленные уравнения поверхности получены на
j основании общих уравнений, приведенных на странице
3 «Ротативные поверхности с аксоидами «цилиндр - ци-
й линдр»». На той же странице даны формулы, по кото-
1 рым можно вычислить коэффициенты основных квадра-
тичных форм рассматриваемой поверхности.
Рассматриваемые линейчатые ротативные поверхно-
сти являются поверхностями отрицательной гауссовой
кривизны. На рис. 2 приведены ротативные поверхности при разных значениях модуля п = R/r,
причем на рис. 2, а- - Н/2< z^ 1,5 Н , а на рис. 2, б, в - 0 < z < Я .
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, НЕ ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ
ПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА, ПРИ ВНУТРЕННЕМ ОБКАТЫВАНИИ
Рис. 3
п = 2; b = -г/2 п = 3; b = -г
Рис. 4 (R = 1 м; Н = 2 м; а = г)
Пусть образующая прямая задана в подвижной системе координат
OiXiTiZ1 в виде: X, -и, У, =Ь(1-и/а), Z, = Н(1-и/о), где кон-
станты a, b, Н указаны на рис.З. В этом случае параметрические
уравнения линейчатой ротативной поверхности, образуемой прямой
образующей I при внутреннем качении без скольжения подвижного
цилиндра с радиусом г по цилиндру с радиусом R, можно предста-
вить в виде:
х = х(ц,<р) = (R - г)со$9? + wcos(« -1)97 + 6(1 - и /.a) sin(n -1)9?;
у = у (и, 9?) = (R - г) sin <р — ;<sin(n -1)92 + 6(1 — и/ a)cos(n -1)92,
z~ Н(1-и/а'), где n = R/r
Представленные уравнения поверхности получены на основании
общих уравнений, приведенных на странице «Ротативные поверхно-
сти с аксоидами «цилиндр - цилиндр»». На той же странице даны
формулы, по которым можно вычислить коэффициенты основных
квадратичных форм рассматриваемой поверхности.
На рис. 3 показано начальное положение двух цилиндрических
аксоидов. На рис. 4 приведены ротативные поверхности при разных
значениях b и и; на рис. 4, а - 0<?<Я, на рис. 4,6-
-///2 < - < !,5Я. Рассматриваемые линейчатые поверхности явля-
ются поверхностями отрицательной гауссовой кривизны.
409
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ ПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА,
ПРИ НАРУЖНОМ ОБКАТЫВАНИИ
Пусть образующая прямая I задана в подвижной системе координат
OiX^YiZi в виде: X, = и, У, =0, Z, = Н(а -и)/(а + Ь), где константы а,
b, Н указаны на рис. 1. В этом случае параметрические уравнения ли-
нейчатой ротативной поверхности, образуемой прямой I при внешнем
качении без скольжения подвижного цилиндра Qn с радиусом г по не-
подвижному Q„ с радиусом R, можно представить в виде (рис. 2):
х = х(и, <p) = (R + f) cos <р + и cos(h + 1)<с;
у = у(и,(р) = (R + г)sin <р + и sin(n + 1)р, z = Н(« - и) /(« + Ь), где п = R/r.
а-Ь = г.п=3\ п = 5; а =- b - 2г. п — 3
Рис. 2 (Я = 1 м;Н = 4м;0<г<Я)
Представленные уравнения поверхности получе-
ны на основании общих уравнений, приведенных на
странице «Ротативные поверхности с аксоидами
«цилиндр - цилиндр»».
Коэффициенты основных квадратичных форм
поверхности при а = b = г:
А2 = 1 + Н2 КДг2), F = (R + г') sin tup,
В2 = (У? + г)2 + и2 (n +1)2 + 2и(и + 1)(Я + r)cosn^2,
т п t.t (n + l)ff(R + r) .
L = 0, М =-----—sm п<р,
2r^A2B2~F2
//[(?? + г)2+н2(и+1)3+и(п + 1)(7? + г)(2 + и)со8п<£>]
2гу1а2В2-F2
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ ПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА,
ПРИ ВНУТРЕННЕМ ОБКАТЫВАНИИ
Рис. 3
п = 5;
Рис. 4(/?= 1 м;Н = 2м)
Пусть образующая прямая I задана в подвижной системе координат
O^XiYiZi в виде: Xt = и, Yt =0, Z, = Н(а — и)/(а + Ь), где константы а,
b, Н указаны на рис. 3. В этом случае параметрические уравнения ли-
нейчатой ротативной поверхности, образуемой прямой I при внутрен-
нем качении без скольжения подвижного цилиндра Q„ с радиусом г по
неподвижному QH с радиусом R, можно представить в виде (рис. 4):
х = x(it,(p) = (R~ г) cos <р + и cos(n -1)^>;
у — у(и,<р) = (A-r)sin(3-Msin(n-l)^>, z = Н(а-u)Ra + b), rnen = R/r.
Уравнения поверхности получены
на основании общих уравнений, при-
веденных на странице «Ротативные
поверхности с аксоидами «цилиндр -
цилиндр»». Ротативная поверхность с
параметрами а = г, b = 0, п =2 называ-
ется линейчатой ротативной поверх-
ностью Пусты. На рис. 4 она по-
и. = 8; а= г, Ь = 0, п = 2 строена в пределах -/7/2 < z < 1,5/7.
410
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 1
где
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С АКСОИДАМИ «КОНУС - КОНУС»
Пусть задана пара аксоидов - конусы вращения и некоторая линия I, жестко связанная с
подвижным аксоидом Q„. Ротативная поверхность с аксоидами
«конус - конус» образовывается линией I при качении без сколь-
жения подвижного конуса Qn по неподвижному Q„. Образующая
линия I (рис. 1) задается параметрическими уравнениями
Xi = Х1(и), yi = уКи), zi = zi(u)
в подвижной системе координат Opciyizi, ось Oizi которой совпа-
дает с осью подвижного конуса. Начало неподвижной системы
координат Oxyz расположено в центре основания О неподвижно-
го кругового конуса £3Н. Начало подвижной системы координат
O^iyizi совпадает с центром основания О, подвижного конуса Q„.
Если точка М принадлежит кривой I, ее координаты в двух
системах будут соответственно (х, у, z) и (х\, yi, zi).
Параметрические уравнения кривой, описываемой точкой М
образующей кривой I, получены Дж. Я. Ядгаровым [1] в виде:
х = х(^>) = (R + г cos a) cos <р - х, (cos a cos п <р cos <р - sin (psinncp) +
+ ^(cosacos^sinn^ + cosrc^sin<р)~ zt sintzcosiy:
У = y(.<p) = (R + г cos a) sin <р - jq (cos«cos n^sin <p + smncpcoscp) +
+ y, (cosasinn^sin^-cos«<pcos <p) - z{ sin «sin
z = z(<p) = rsina-%, sinacosn^+ y, sintzsin«<p+ Zj cosa,
R - радиус основания неподвижного конуса; г - радиус основания подвижного конуса; -о. -
угол между осями конусов; п = R/r; <р - угол, отсчитываемый в плоскости хОу от оси Ох до ли-
нии, соединяющей точку О с точкой А (рис. 1). Для получения параметрических уравнений по-
верхности, описываемой кривой I, достаточно подставить xt = Aj(w), yi = yi(«), zi = zi(«).
Если за образующую кривую I взять отрезок прямой, соединяющий две любые точки под-
вижного конуса £2п, то этот отрезок прямой образует некоторую линейчатую поверхность. Кон-
цы прямой должны принадлежать двум различным образующим подвижного аксоида. Если в
качестве образующей кривой I взят отрезок прямолинейной образующей подвижного аксоида
Qn, то при его ротативном движении будет образовываться коническая поверхность.
В.Н. Иванов предложил размещать начала обеих систем координат oxyz и oXYZ в точке о,
где сходятся вершины двух аксоидов QH и Q„ (рис. 2). В этом случае параметрические уравне-
ния ротативной поверхности с аксоидами «конус - конус» принимают вид:
х = х(и,<р) = X(w)[cosacos^cosn^ + sin (psinn^] -
- Y(u)[sin<z?cosn<p ± cosacos (psin n(p} + Z(w)sin <7 cos <p,
у = y(u,<p) = X(u)[co$asin^cos«^±cos0>sinn^] +
+ Y(m)[cos cp cos n cp + cos a cos cp sin n <p\ + Z(u) sin a sin cp,
z = z(u,(p) = [-X (it) cos nep ± Y (u) sin «(p]sin a + Z(u) cos a,
где верхние знаки берутся при качении подвижного конуса Q„ по
внешней поверхности неподвижного конуса (рис. 2), а нижние - при
качении по внутренней поверхности неподвижного конуса Q„; п - sinai/sina2. Производящая
кривая I задается в подвижной системе координат oXYZ в виде: X = Х(и), Y = Y(u), Z = Z(w).
Дополнительная литература
1. Ядгаров Дж. Я. К вопросу образования некоторых ротативных поверхностей// Прикладная геометрия и ин-
женерная графика. - Киев, 1976. - Вып. 22. - С. 42-44 (библ.: 2 назв.).
411
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «КОНУС - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ОБЩУЮ ВЕРШИНУ АКСОИДОВ
Рис. I
(НАРУЖНОЕ ОБКАТЫВАНИЕ)
Ротативная поверхность с аксоидами «конус — конус», образо-
ванная прямой, проходящей через общую вершину аксоидов, при на-
ружном обкатывании является конической поверхностью. Парамет-
рические уравнения всех разновидностей этой поверхности можно
получить, подставляя параметрические уравнения соответствующей
образующей прямой, заданной в подвижной системе координат
oXYZ (рис. 1), в общие параметрические уравнения ротативных по-
верхностей с аксоидами «конус - конус» (см. «Ротативные поверх-
ности с аксоидами «конус - конус»»).
Возможны четыре варианта расположения образующей прямой,
проходящей через общую вершину конусов о: Д < «э (прямая 1\ на
рис. 1); Р > аг (прямая 12 на рис. 1); р = а» (прямая /3 на рис. 1) и р = 0 (ось подвижного конуса
J2„); «2 - угол между осью подвижного конуса и его прямыми образующими; Д - угол между
осью этого же конуса и образующими прямыми р.
Параметрические уравнения образующих прямых Ц можно представить в виде:
X = Х(и) = изтД, У = О, Z = Z(m) = исозД,
где |и| - длина участка образующей прямой р, начиная от точки о до произвольной точки на
Рис. 4
Формы задания линейчатой ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 4):
х = х(и,ср) = u[cos«cos^9cosn^>-sin </rsin п<р\ sin Д + и cos Д sin «cos <р,
у = у(и,<р) = «[cos «sin <pcosn<p + cos^>sin«^>]sin Д + и cos Д sin arsing,
z = z(,u,<p) = -«sin Д cos ncpsma + ucos /3 cos a,
где n = sinaj/sinaj; a = «i + ay, <p - угол, характеризующий качение подвижно-
го конуса по неподвижному (см. рис. 1 раздела «Ротативные поверхности с
аксоидами «конус - конус»»). При изменении угла <р в интервале 0 < ср < 2я
происходит полное обкатывание неподвижного конуса.
На рис. 2 изображены три рассматриваемые ротативные поверхности, образованные прямой
образующей /3 подвижного конуса Q„ (J3 - аг). Две ротативные поверхности, при построении
которых принято р < аг, показаны на рис. 3. На рис. 4 представлена ротативная поверхность
сформированная прямой 12 (рис. 1), то есть при Д > ay, U\<u<u-,', ut АО.
412
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Р
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «КОНУС - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ОБЩУЮ ВЕРШИНУ АКСОИДОВ
(ВНУТРЕННЕЕ ОБКАТЫВАНИЕ)
Ротативная поверхность с аксоидами «конус — конус», образо-
ванная прямой, проходящей через общую вершину аксоидов, при
внутреннем обкатывании является конической поверхностью. Па-
раметрические уравнения всех разновидностей этой поверхности
можно получить, подставляя параметрические уравнения соответст-
вующей образующей прямой, заданной в подвижной системе коор-
динат oXYZ (рис. 1), в общие параметрические уравнения ротатив-
ных поверхностей с аксоидами «конус - конус» (см. «Ротативные
поверхности с аксоидами «конус - конус»»).
Возможны четыре варианта расположения образующей прямой,
проходящей через общую вершину конусов о: fl < «2 (прямая /1 на
на рис. 1); fl = «2 (прямая /3 на рис. 1) и fl = 0 (ось подвижного конуса
\ z
Рис. 1 '
рис. 1); fl > а2 (прямая /2
С„); а2 - угол между осью подвижного конуса и его прямыми образующими; fl - угол между
осью этого же конуса и образующими прямыми /,.
Параметрические уравнения образующих прямых /, можно представить в виде:
X = Х(и) = usinfl, Y = О, Z = Z(«) = ucosfl,
где |м| - длина участка образующей прямой начиная от точки о до произвольной точки на
этой же прямой.
Рис. 3 (Р > а2)
Рис. 2 (д = а2)
Формы задания линейчатой ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 4):
х = х(и,<р) = w[cos«cos^cos«^ + sin <р sin п <р] sin fl + и cos fl sin a cos <p,
у = у (и, (p)= «[cos a sin (p cos n <p - cos <p sin n (p\ sin fl + и cos fl sin a sin cp,
z = z(w,^) = -usin flcosn<psina + ucos flcosa,
где n = sin«i/sin«2; a = aj + ay, <p - угол, характеризующий качение подвижно-
го конуса по неподвижному (см. рис. 1 раздела «Ротативные поверхности с
аксоидами «конус - конус»»). Если известны радиусы оснований двух кону-
сов с одинаковой высотой, тогда п = R/r, где R - радиус неподвижного конуса
QH, г - радиус подвижного конуса Qn. При изменении угла <р в интервале
О < (р < происходит полное обкатывание изнутри неподвижного конуса.
На рис. 1 изображены три рассматриваемые ротативные поверхности, образованные прямой
образующей /3 подвижного конуса Q„(fl = afl. Две ротативные поверхности, при построении
которых принято fl > «2, показаны на рис. 3. На рис. 4 представлена ротативная поверхность
сформированная прямой Ц (рис. 1), то есть при fl <о.у 0 < и < и2
Рис. 4
413
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «КОНУС - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ ПОДВИЖНОГО КОНУСА,
ПРИ НАРУЖНОМ ОБКАТЫВАНИИ
Пусть образующая прямая I задана в под-
вижной системе координат oXYZ в виде:
X = Х(и) = wsin/3, У = О, Z = Z(w) = а + usin/i,
где а - константа, равная расстоянию от вер-
шин конусов до точки пересечения образую-
щей прямой с подвижной осью oZ; /3 - угол
между образующей прямой I и осью подвиж-
ного конуса (рис. 1). Рассматриваемая ротативная поверхность образовывается производящей
прямой I, жестко связанной с подвижным круговым конусом Q„, катящимся без скольжения по
неподвижному круговому конусу £2И. В процессе качения вершины конусов все время будут на-
ходиться в одной точке о.
Форма задания линейчатой ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2-3):
х = х(и,(р) = X(и)[cos «cos ^9cos и<z> -sin^sin п<р] + Z(u)sinacos<p,
у = = X(w)[cos«sin^9cosn^ + cos^sinn^] + Z(H)sin«sin^9,
z = z(u,<p) = —X (и) cos n<p sin a +Z(u) cos a,
Рис- 3 где n = sinai/sin«2; a = a\ + ay, углы ai, «2 и /? показаны на рис.1.
Рассматриваемая линейчатая ротативная поверхность будет поверхностью отрицательной
гауссовой кривизны. На рис. 2 изображена поверхность при ф = 30°; «1 = 20°; п = 4; 0 < и < 3 м;
а = 3 м, а на рис. 3 - при 8 - аг = arcsin(sin«i/«); а = 0,5 м; «1 = 20°; п = 4; 0 < и < 1,2 м. Таким
образом, поверхность, представленная на рис. 3, формируется прямой, которая параллельна од-
ной из образующих подвижного конуса.
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «КОНУС - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ ПОДВИЖНОГО КОНУСА,
ПРИ НАРУЖНОМ ОБКАТЫВАНИИ
Рис. 4
Пусть образующая прямая I задана в подвижной системе коорди-
нат oXYZ в виде: X = b, Y = 0, Z = Z(w) = и, где b - константа, равная
расстоянию от подвижной оси oZ до образующей прямой / (рис. 4).
Рассматриваемая ротативная поверхность образовывается произ-
водящей прямрй I, жестко связанной с подвижным круговым кону-
сом Q„, катящимся без скольжения по неподвижному круговому ко-
нусу QH. В процессе качения вершины конусов все время будут на-
ходиться в одной точке о.
Форма задания линейчатой ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 5):
х = х(и,<р) = b[cos a cos <р cos п<р - sin <р sin п<р] + и sin a cos ср,
у = у(и,<р) = b[cos«sin^cosn^ + cospsin п(р] + и sin «sin (р,
z = z(u,<p~) = -bcosn<psina + ucosa,
где п = sinaj/sinaz; а = ai + ay, углы at и аг показаны на рис. 4. Рассматривае-
мая линейчатая ротативная поверхность будет поверхностью отрицательной
гауссовой кривизны. Поверхность, показанная на рис. 5, имеет следующие
геометрические параметры: ai = 30°; и = 4; b = 1 м; 0< <р< 2я; -8м<и<8м.
414
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «КОНУС - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПАРАБОЛОЙ ПРИ НАРУЖНОМ ОБКАТЫВАНИИ (тип 1)
Рис. 1
Пусть образующая парабола I задана в подвижной системе коорди-
нат oXYZ в виде:
X = Х(и) = аи\ Y=Q,Z = Z(u) = и,
где а - константа (рис. 1). Рассматриваемая ротативная поверхность
образовывается производящей параболой /, жестко связанной с под-
вижным круговым конусом Q,„ катящимся без скольжения по внеш-
ней поверхности неподвижного кругового конуса QK. В процессе ка-
чения вершины конусов все время будут находиться в одной точке о. Все точки, принадлежа-
щие параболе, будут описывать сферические линии. Вершина параболы находится в начале обе-
их систем координат - в точке о (рис. 1).
Форма задания ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и,<р) = X(«)[cosa!cos^cosrt^>-sin^sinw^] + Z(M)sinacos^,
у =у(и,ср) = X'(M)[cosasin^cosn^ + cos^sinn^] + Z(w)sinasin^,
z = z(u,<p) = -X(w)cos?i^sina+ Z(u) cos а,
где п = sin«i/sin«2; а = сц + гъ; углы «i и «2 показаны на рис. 1.
На рис. 2 изображена ротативная поверхность с образующей
параболой при оу = 20°; п = 4, а = 0,25 м-1; 0 < и < 2м; 0 < ср < 2л.
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «КОНУС - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПАРАБОЛОЙ ПРИ НАРУЖНОМ ОБКАТЫВАНИИ (тип 2)
Рис. 3
Пусть образующая парабола I задана в подвижной системе коорди-
нат oXYZ в виде: X = Х(и) = -Ъ(и - с )2/с1 + b, Y = 0, Z = Z(«) = а + и,
где а, Ь, с ~ константы (рис. 3). Образующая парабола при Z = а + с
имеет стрелу подъема по отношению к оси oZ равную Ь, то есть
Х(и = с) = Ь.
Рассматриваемая ротативная поверхность образовывается произво-
дящей параболой I, жестко связанной с подвижным круговым кону-
сом Q„, катящимся без скольжения по внешней стороне неподвижного
кругового конуса й„. В процессе качения вершины конусов все время
будут находиться в одной точке о. Все точки, принадлежащие пара-
боле, будут описывать сферические линии.
Форма задания ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 4-5):
х = х(и,ер) = X(w)[cos<2fcos^cosn^-sin^sinn^] + Z(«)sinacos^,
у = у(и,<р) = X(w)[cosasin(3cosn^ + cos^sinn^] + Z(u)sinasin <р,
z = z(u,cp) = -Х (и) cos п<рsin а + Z(w) cos а,
где п = sinai/sin«2; a = сц + «г; углы су и «2 показаны на рис. 4.
Поверхность, показанная на рис. 4, имеет следующие геометриче-
ские параметры: оц = 20°; п = 4; b - 1 м; а - 0; с = 2 м; 0 < <р < 2л\
0<и <2с. Если же взять а = 5 м, то получится поверхность, пред-
ставленная на рис. 5.
415
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - КОНУС»
Ротативные поверхности с аксоидами «плоскость - конус» в качестве неподвижного ак-
соида имеют плоскость, а в качестве подвижного - прямой круговой конус. Ротативная поверх-
ность образовывается произвольной кривой, жестко связанной с подвижным конусом, который
катится без скольжения по плоскости. На рис. 1 изображены оба аксоида в начальный момент
времени, когда качение конуса еще не началось.
-"A z Д Z] Образующая линия I задается параметрическими уравнениями
---ri = <v)> zi = ZfvJ
д- Д в подвижной системе координат OXi/jZ], координатная ось OXi ко-
w торой совпадает с осью подвижного конуса. Начало неподвижной
________системы координат Oxyz совпадает с началом подвижной системы
У- И OX\Y}Z\. В этой же точке О располагается вершина подвижного ко-
Рис'* 1_нуса (рис. 1). Угол между высотой конуса и его прямыми образую-
щими обозначен через а. Угол между неподвижной осью Ох и проекцией подвижной оси ОХ<
на плоскость хОу, возникающий при качении конуса, обозначен через и. При качении конуса по
плоскости его основание радиусом г будет вращаться вокруг оси конуса. Когда между осью Ох
и проекцией оси ОХ, на плоскость хОу будет угол и, основание конуса повернется вокруг оси
OXi на угол ср. Между геометрическими параметрами существуют сле-
дующие соотношения:
„ R R 1
Ru = гср, откуда (р = —и = пи, то есть п = —, или и =-,
г г sin а
1 4п -1 1
sm« = —, cos« =-------, tg« = —
н я V/r-l
Формы задания ротативной поверхности «плоскость - конус»
1) Параметрическая форма задания:
х = х(и, г) = X, cos «cos и + У, (sin <р sin a cos и — cos ^7sin и) — Zx (cos ср sin a cos и + sin^sinw),
у = у(и, v) = X, cos «sin и + У, (sin ср sin «sin и + cos ср cos и) - Z, (cos ср sin «sin и - sin ср cos и),
z = z(w,v) = X, sincr-У, cos«sin<p + Z, coscpcosa.
Рис. 3
Расстояние от центра О до произвольной точки на образующей кривой
I и в подвижной и в неподвижной системе координат одно и то же, сле-
довательно
х2 * * * * * B + у2 + z2 — Х|" + У," + Z(.
Таким образом, при качении кругового конуса по плоскости любая
точка образующей кривой будет описывать сферическую линию.
Коэффициенты первой основной квадратичной формы поверхности:
A2 -cos2« [X2 + Y2(n2 -sin2 cp~) + Z2(n~ -cos2 cp)-2nXx(Y} sin^-Z, cos<p)cos«+ YXZ} sin(2^>)],
E =[(X । Z,' - X ,'Z,) sin (» + (X! У/ - У, X') cos - л(У, Zj' - У/Z,) cos «] cos «,
B2 = X2 +Y2 +Z2.
Принимая различные направляющие кривые I, можно получать интересные поверхности.
На рис. 2 и 3 показаны две ротативные поверхности с прямыми направляющими линиями I.
416
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - КОНУС», ОБРАЗО-
ВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ВЕРШИНУ ПОДВИЖНОГО КОНУСА
Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость — конус», образованная прямой, прохо-
дящей через вершину подвижного конуса, является конической поверхностью. Параметрические
уравнения всех разновидностей этой поверхности можно получить, подставляя параметриче-
ские уравнения соответствующей образующей прямой, заданной в подвижной системе коорди-
нат OXtEiZt (рис. 1), в общие параметрические уравнения ротативных поверхностей с аксоида-
ми «плоскость - конус» (см. «Ротативные поверхности с аксоидами «плоскость - конус»»).
Возможны четыре варианта расположения образующей прямой, прохо-
дящей через вершину конуса О: ft < а (прямая Ц на рис. 1); /? > а (прямая h
на рис. 1); = а (прямая /3 на рис. 1) и /? = О (прямая Ц на рис. 1). Введены
обозначения: а - угол между осью кругового конуса и его прямыми обра-
зующими; р - угол между осью конуса и образующей прямой
Формы задания линейчатой ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2; 3):
х - x(u,v) = v cos a cos и - v(cos^ sin a cosu + simp sin u)tg/?,
у - y(u,v) = vcosasinu - v(cos<psinasinu -simpcosu)tg/?,
z = z(u,v) = vsina +vcos^cosatg/?,
где <p = nu; a - угол между осью подвижного кругового конуса и
его прямыми образующими (рис. 1); п = 1/sina = R/r; /! - угол между
осью подвижного конуса и образующей прямой; и, v - криволинейные
координатные линии на ротативной поверхности. В рассматриваемом
случае образующая прямая (Zi или /2) задана в подвижной системе коор-
5 динат параметрическими уравнениями: X, = v, У, = 0, Zi = vtg/?.
' Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Рис.3(« = 4) А2 = v2[(i + ntg/?cos^cosa)2+u2tg2/?sin2 <p]cos2 a, F = 0, В = 1/созД,
V COS ОС COS Q Г f-. r /2 л . 2/4x2 m
L =-------------((l + ntgpcos^cosa)[-sina + (n -2)tgpcos^cosa+(smacos ^-2n)tg p] +
A.
+ u3tg2/?sin2 <p\, M-N-K-0.
Рис. 1
Рис. 2 ( п = 6)
2) Параметрическая форма задания (рис. 4):
х - ,x(u, v) = v cos a cos и — v(cos^>sinacosu +sin ^>sinu)tga,
у = y(u,v) = vcosasinu - v(cos<v?sin asinu -sin^>cosu)tga,
z = z(u, v) = v(l + cos <p) sin a.
При этом способе задания поверхность формируется прямой
образующей Z3 (рис. 1), то есть принято fl = а. Прямая обра-
зующая /з совпадает с образующей подвижного конуса.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
Рис. 4(и = 8) А2 = v2[(l + cos<p)2 cos2 a + sin2 ср], F = 0, 5 = l/cosa,
. v2cos3ar, чг 2 „
L =---------[(1 + cos^>)[-sma--2sinacos^ + cos ^>sinotg"a + ncos^-2tga,cosa] +
A
+ «sin2 ^/cos2 a}, M = N = K = Q.
3) Параметрическая форма задания: x(u, v) = vcosacosu, y(u,v) = vcosasinu, z(v) = vsina.
При этом варианте задания поверхность (прямой круговой конус) формируется прямой об-
разующей Ц (рис. 1), совпадающей с осью подвижного конуса ОХ\, то есть принято /? = 0.
417
14-5391
РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ ПОДВИЖНОГО КОНУСА
у л ioj/ Л
Рис. 1
Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость - конус», образованная прямой, пересе-
кающей ось подвижного конуса будет линейчатой поверхностью отрицательной гауссовой
кри.визны. На рис. 1 представлены различные возможные положения прямой образующей, ко-
торая при качении без скольжения кругового конуса по плоскости будет формировать ротатив-
ную поверхность. При этом варианте качения вершина конуса все время
'будет находиться в точке О, а любая точка производящих прямых /, будет
описывать сферическую линию.
Параметрические уравнения произвольной производящей прямой в под-
вижной системе координат OX1Y1Z1 можно представить в виде:
Xi = v, F1=0, Z| =(v-a)tgA
где ф - угол между осью конуса OXi и образующей прямой Z/ (рис. 1).
Формы задания ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = x(u,v) = Xt cos a cos и - Z, (cos^sinacosM + sin^sinw),
у = y(u, v) = X, coscrsinw -Z, (cos^sinasinw - sin $9cos и),
z = z(u,v) = X] sintz+Zj cos^cosa,
где ip = пи; а - угол между осью подвижного кругового ко-
Рис. 2 (л = 4) Рис. 3 (л = 4)
нуса и его прямыми образующими (рис. 1); п - 1/sina = R/r. Криволинейные
координатные линии v совпадают с прямыми образующими ротативной по-
верхности.
На рис. 2 показана ротативная поверхность, получаемая при качении без
скольжения кругового конуса с производящей прямой Zi, на рис. 3 - с про-
изводящей прямой Z2, на рис. 4 - с производящей прямой /3.
РОТАТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ ПОДВИЖНОГО КОНУСА
Qi R х
Рис. 5
Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость - конус», образованная прямой, парал-
. ц лельной оси подвижного конуса будет линейчатой поверхностью отрица-
\, ^тельной гауссовой кривизны. На рис. 5 показано положение прямой обра-
зующей Z|, которая при качении без скольжения кругового конуса по плос-
кости будет формировать ротативную поверхность. При этом варианте ка-
чения вершина конуса все время будет находиться в точке О.
Параметрические уравнения производящей прямой в подвижной систе-
ме координат <9X|FtZ| можно представить в виде: Х( = v, Tj = 0, Zi = a = const.
Рис. 6 (и = 2; а = 2)
Форма задания ротативной поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 6; 0 < v < 3):
х = x(u,v) = vcos ct cos и -a(cos<psinacosu + sin^sinw),
у = y(u,v) = vcosasinw -a(cos^>sinctsinw -sin^cosw),
z = z(u,v) = v sin a + a cos cpcos a.
Представленные уравнения получены подстановкой выражений Х| = v,
Fi - 0, Zi = а в общие параметрические уравнения ротативных поверхно-
стей с аксоидами «плоскость - конус», приведенные на странице «Ротатив-
ные поверхности с аксоидами «плоскость - конус»». При а - 0 рассматриваемая ротативная по-
верхность вырождается в прямую коническую поверхность вращения с осью Oz.
418
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Спироидалъные поверхности образовываются образующей кривой, которая Совершает вин-
товое перемещение с непрерывно изменяющимся положением и направлением винтовой оси и
непрерывно изменяющимся параметром винтового движения. Спироидальньге поверхности
входят в класс кинематических поверхностей общего вида (см. «Кинематические поверхности
общего вида»). Спиройдалъная поверхность может быть задана двумя соприкасающимися по
общей образующей неподвижным и подвижным аксоидами (торсами), и жестко связанной с
подвижным аксоидом образующей линией в начальном ее положении.
Спироидалъные поверхности называют регулярными, если подвижным аксоидом является
плоскость. Образующая кривая регулярной спироидальной поверхности неизменно связана с
подвижным трехгранником Френе ребра возврата,неподвижного аксоида-торса. Вместе с трех-
гранником винтовые перемещения совершает и образующая линия. Регулярная спироидальная
поверхность называется винтовой улиткой в случае, если образующая плоская линия лежит в
плоскости, катящейся со скольжением по неподвижному торсу-аксоиду.
Если винтовая улитка с произвольным торсом в качестве неподвижного аксоида образовы-
вается прямой или окружностью, то эта кинематическая поверхность называется линейчатой
винтовой улиткой или циклической винтовой улиткой, соответственно. Ввиду кинематической
особенности образования, линейчатая винтовая улитка состоит из бесконечно большого числа
бесконечно малых косых геликоидов, поэтому площадь линейчатой винтовой улитки можно
получить как сумму площадей бесконечно малых отсеков поверхностей косых геликоидов. Об-
разующие неподвижного цилиндра, конуса или торса служат поочередно мгновенными винто-
выми осями бесконечно малых косых геликоидов.
Цилиндрические или конические винтовые улитки можно получить, если за неподвижные
аксоиды принять соответственно цилиндрические или конические поверхности. Если непод-
вижным аксоидом винтовой улитки является цилиндрическая поверхность, а образующей ли-
нией - прямая, то поверхность будет называться линейчатая цилиндрическая винтовая улитка.
А если за образующую линию взять окружность постоянного диаметра, то цилиндрическая
винтовая улитка будет называться циклической цилиндрической.винтовой улиткой.
Спироидальную поверхность с аксоидами «конус - плоскость» и производящей прямой,
лежащей в подвижной плоскости, называют линейчатой конической винтовой улиткой. А если
же за образующую кривую принять окружность, то будем иметь циклическую коническую вин-
товую улитку. Обыкновенную винтовую поверхность (см. «Винтовые поверхности») можно
назвать вырожденной цилиндрической винтовой улиткой, если принять, что неподвижный ак-
соид-цилиндр выродился в свою ось (в прямую линию).
Пусть образующая плоская кривая задана в местной системе координат Xi, yi виде х/ = хЦ),
У1 = уЦ)- В этом случае параметрические уравнения цилиндрической винтовой улитки можно
записать как
х = х(а, t) = r cos а - [г(а„ -а) + х, (?) cos 0о - у, (/) sin ва ] sin а,
у - y(a,f) = г sin а + [г(а0 -«) + xl(,t')cos0o - у, (t) sin ва ] cos а,
z = z(t) = xt (r)sin + yt (/)cos6(, + /(a),
где r - радиус неподвижного аксоида-цилиндра; во - угол наклона местной оси х/ к плоскости
хОу; а - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; ао = const; Да) - функция скорости
поступательного движения образующей кривой вдоль оси неподвижного аксоида-цилиндра.
Дополнительная литература
1. Ядгаров Д.Я., Шоломов И.Х. Аналитический способ конструирования спироидальных поверхностей с аксои-
дами торс-торс// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1983. - Вып. 35. - С. 102-105.
2. Яковлев В.А. Построение некоторых спироидальных поверхностей// Прикладная геометрия и инженерная
графика. - Киев, 1965.-Вып. 1.-С. 137-143.
419
14*
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ПЛОСКОСТЬ»
Спироидальные поверхности с аксоидами «-цилиндр - плоскость» имеют в качестве непод-
вижного аксоида круговой цилиндр, а подвижным аксоидом является плоскость. Спироидаль-
ные поверхности с аксоидами «цилиндр - плоскость» можно называть также регулярными ци-
линдрическими спироидальными поверхностями (см. «Спироидаль-
ные поверхности»). Для задания рассматриваемой спироидальной
поверхности вводятся две системы декартовых координат: непод-
вижная система координат Oxyz и подвижная О1Х1У1Х|. Ось Oz не-
подвижной системы совпадает с осью цилиндра (рис. 1). В перво-
начальном своем положении начало подвижной системы координат
О] располагается в точке с координатами х = R: у = 0; z = 0, где R -
радиус неподвижного аксоида - кругового цилиндра, а ось oiZi
совпадает с прямолинейной образующей цилиндра.
При качении плоскости Q по цилиндру со скольжением вдоль
образующих прямых цилиндра образующая линия L, заданная в
подвижной системе координат уравнениями вида
Xi = Х1(и), У1 = У1(и), Z = Zi(u),
будет формировать спироидальную поверхность с аксоидами «цилиндр - плоскость». В общем
случае кривая L может быть любой пространственной линией.
Формы задания спироидальной поверхности с аксоидами «цилиндр - плоскость»
1) Векторная форма задания (рис. 1):
г = r(u,<p) = R(cos<pi + sin</)j) + R<p(sm<pi - cospj) + Yi(u) (sinpi - cosipj) + Xi(«)(cos^i + sin^y')
+ [Zi(u') + k(p}k,
где <p - угол, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону оси Оу, Л = const. Обычно /.у
называют винтовым параметром спироидальной поверхности.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и,<р) = F(cos <р + psin ср) + X, (и)cos <р + Y} (и) sin <р,
у = y{u,qY) = 7?(sin cp-<pcos<p) + Хх (и)sin <р - У, (и)cos <р, z = х(и) = Z,(w) + Zip.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = Х[2 + У/2 + z;2, F = R(pX{ + X'xY} - XxY;+ ZZ,', Вг = (R<p + У])2 + X2 + Л2,
Va2B2-F2
Xfcos^ + y'sin^i
X't cos (p + Y'sin <p
R<pcos<p- X, sin (p + Y, cos<p
X "sin cp - У/cos <p Zf
Xx sin tp - У/cos <p
Z[ , где ..
F^>sin^+X, cos^>+У, sin^ Л
d...
du
_ z'^Rpx; + x;y, - х.у.^-зд2 + y/2)
Va2B2 -F2
_ Z[[(F^ + y,)2 + X,(X, -ед + ЖДХ, - 7?) - x,w + У,)]
Va2F2 -F2
Если образующая L - прямая линия, которая лежит в плоскости YppZi (А) = 0), то при каче-
нии плоскости по цилиндру со скольжением будет получаться линейчатая цилиндрическая
винтовая улитка. Спироидальная поверхность называется циклической цилиндрической винто-
вой улиткой, если образующая окружность постоянного радиуса лежит в плоскости Q, катя-
щейся со скольжением по неподвижному цилиндру.
420
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 3
РЕГУЛЯРНАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СПИРОИДАЛЬНАЯ
ПОВЕРХНОСТЬ
Линейчатая спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр -
плоскость» имеет неподвижный аксоид в виде кругового цилиндра и
плоскость - подвижный аксоид. Поверхность образовывается произ-
вольно расположенной прямой линией, жестко связанной с катящейся
со скольжением плоскостью (А = const). Скольжение происходит вдоль
линии касания цилиндра и плоскости. Линейчатую спироидальную
поверхность с аксоидами «цилиндр - плоскость» называют также ре-
гулярной линейчатой цилиндрической спироидальной поверхностью.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания:
х = х(р,ср) = Ricos <р + <£>sin <р) + hcos^,
у = у(и,(р) = X(sin(p — <pcos(p) + sinz = z(h,</>) = wtga + A(p,
где R - радиус неподвижного цилиндра, а - угол наклона прямой об-
разующей L\ к подвижной координатной оси срА); А = const. При этой
форме задания спироидальной поверхности образующая прямая L\
(рис. 1) расположена в плоскости XiOiZi, а параметрические уравнения
прямой L|, в подвижной системе координат, имеют вид:
Х1(и) = и, У] = 0, Zi(«) = wtg«.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 /cos2 a, F = R<p + Atget, В2 = R2<p2 + и2 + А2,
А2В2 -F2 = и2А2 +(R<ptga-Z)2,L = Q,
Riptga-Л tga[R2<p2+и2 ~uR]~R<pd „ iR<ptga-А)2 _
Iri , •• — , Гу i----— = , ix. . — U.
Va2b2-f2 pa2b2-f2 [aC-b2-f2}~
При расположении образующей прямой в плоскости XiOtZi будет получаться линейчатая
поверхность отрицательной гауссовой кривизны. На рис. 2 изображена рассматриваемая по-
верхность при R = 1 м, а = тг/З, А = 0,5 м; 0 < и < 1м; 0 < <р < 2л.
2) Параметрическая форма задания: х = х(и,<р) = Ricoscp + epsincp') + hcos^,
у = yiu,<p) = 7?(sin^- <pcos<p) + wsin^>, z = z(w,^) = (b ~u)tg/3 + A<p,
где p - угол наклона прямой образующей к подвижной координатной оси одХ, (рис. 1). Обра-
зующая прямая L2 расположена в плоскости XyyZt. Параметрические уравнения этой прямой
имеют вид: Х1(и) = и, Yi = 0, Z|(«) = (b - и)Лр. На рис. 3 показана линейчатая ротативная по-
верхность при р = л!Ъ, R = b = 1м, А = 0,5 м; 0 < и < 1м; 0 < <р < 2л.
3) Параметрическая форма задания (рис. 4): х = х(и, <р) = Ricos <р + $7sin <р) + и sin <р,
у = у(ц,<р) = A?(sin<£> — <pcos(p)-ucos<p, z = ziu,<p) = wtgy + Z<p,
где у - угол наклона прямой образующей к подвижной координатной
оси oiY] (рис. 1). Образующая прямая L3 лежит в плоскости Y{O[Zi и за-
дана уравнениями: Х1(и) = 0, Ki(h) = и, Zi(u) = Htgy.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 =1/cos2 у, F = Atgy, В2 = iRcp + u)2 + А2,
Рис-4 L = 0, М =-A/7a2B2 -Fr,A = [(/?^ + M)2tg/-A/?]/7A2B2 -Г2, К < 0.
При расположении образующей прямой L3 (рис. 1) в катящейся плоскости будет получаться
линейчатая цилиндрическая винтовая улитка (рис. 4).
421
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 1
Рис. 2
РЕГУЛЯРНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СПИРОИДАЛЬНАЯ
ПОВЕРХНОСТЬ
Циклическая спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр - плос-
кость» имеет неподвижный аксоид в виде кругового цилиндра и плос-
кость в качестве подвижного аксоида. Поверхность образовывается про-
извольно расположенной окружностью, жестко связанной с катящейся со
скольжением плоскостью (Л = const). Скольжение происходит вдоль ли-
X'i нии касания цилиндра и плоскости. Циклическую спироидальную по-
у верхность с аксоидами «цилиндр - плоскость» можно называть также ре-
гулярной циклической цилиндрической спироидальной поверхностью.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и,<р) = 7?(cos^ + ^sin<p) + (£> + г cos и) cos ср,
у = у(и,<р) = R(sin<p-<pcos(p) + (b + г cos к) sin <р,
z ~ z(u,(p) = а + г sin и + Лер,
где R - радиус неподвижного цилиндра, г - радиус образующей ок-
ружности I, лежащей в плоскости X\O\Zy, X\=b, Z\= а- координаты
центра образующей окружности в подвижной системе координат
(рис. 1); 2 = const. Параметрические уравнения образующей окружно-
сти, заданной в подвижной системе координат, имеют вид:
Xi(u) = b + rcosw, Yi = 0, Z\(u) = а + rsinu.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А = г, F = —rR<psinu + Лгсози, В2 = (b +rcosu)2 + R2ip2 + Л2,
, r2X,(u) Rcpcos u + Asin и , . ,, [7?2®2 - RX, (и) + X.2(k)]cosh + ARcpsinu
L = , = , M = ............ =—r sinw, N = r---------------! , =-------------.
\Ia2B2-F2 . Ja2B2-F2 ylA2B2 -F2
Ha рис. 2 показана циклическая спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр - плос-
кость», для которой r = R = a = b= 1м; 2 = 0,5 м; 0 < и < 2л:; 0 < <р < 2л:.
Если b = г = R, то коэффициенты квадратичных форм поверхности принимают вид:
А = г, F = -г2<рзти + Лгсо5и, В2 = (1 + cosu)2г2 + R2<p2 + А2,
Т r~X,(u) ,, r<p cos и + Л sin и > . 2 И®2 + (l + cos«)cos«]cosz< + A®sinw
L = ——, М = — ,_________suik, N = г —------------------...... -----------_
у]а2В2-F2 Ja2B2-F2 у1а2В2 -F2
2) Параметрическая форма задания: х = х(и,<р) = R(cos <р + <р sin р) + (b + г cos и) sin <р,
у - у(ц,(р) = R(sin ср- rp cos rp) -(b + г cos и) cos (р, z = z(u,(p) - а + rsinu + Л<р,
где R - радиус неподвижного цилиндрического аксоида, г - радиус образующей окружности II,
лежащей в катящейся плоскости YioiZi; Y\ = b, Z\ = a - координаты центра
образующей окружности в подвижной системе координат. Параметриче-
ские уравнения образующей окружности, заданной в подвижной системе
координат, имеют вид: Xi = 0, Y Ли) = b + rcosu, Zi(u) = а + rsinw. При этом
варианте расположения образующей окружности будет получаться цикли-
Рнс- 3 ческая цилиндрическая винтовая улитка.
3) Параметрическая форма задания: х = х(и,<р) = R(cos<p +<psinp) +bcos<p + (d + rcos!<)sin^,
у = y(u,(p) = /?(sin<p-<pcos<p) + bsincp-(d + rcosu) cos (p, z = z(u,<p) = a + rsinw + Л(р.
На рис. 3 показана поверхность с a = <:/=/=/?= 1 м; = 4м, 2 = 1 м. Образующая окруж-
ность задана уравнениями Xi = b, У[(и) = d + rcosu, Z\(u) = а + rsin:/.
422
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВИНТОВАЯ УЛИТКА С ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ
Спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр - плоскость» и параболической обра-
зующей имеет неподвижный аксоид в виде кругового цилиндра и плоскость в качестве подвиж-
ного аксоида. Поверхность образовывается произвольно расположенной параболой, жестко свя-
занной с катящейся со скольжением плоскостью (А = const). Скольжение происходит вдоль ли-
нии касания цилиндра и плоскости. Спироидальную поверхность с аксоидами «цилиндр - плос-
кость» и параболической образующей можно называть также цилиндри-
ческой винтовой улиткой с параболической образующей.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и, <р) = R(cos ср + ipsin <р) + и sin <р,
у - у(и,<р) = 7?(sin^- (pcoscp) -ucostp, z = z(u,cp) = an2 + fap,
где R - радиус неподвижного цилиндра, А и а - константы. Параметриче-
ские уравнения образующей параболы I, заданной в подвижной системе
координат, имеют вид: X] = 0, У](и) = и, Zfai) = аи2. Таким образом, ось
образующей параболы совпадает с подвижной координатной осью O[Z|, а сама парабола распо-
ложена в координатной плоскости TiOiZi.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 =1 + 4а2«2, F = 2aAu, В2 = (R<p +и)2 + fa, А2В2 - F2 =(R<p + u)2 А2 + fa,
Рис. 2
_ 2a(R<p + u) -Л _2au(R<p + u)2 -AR
Ja2B2-F2 ’ -Ja2B2 -F2 ’ >]a B2-F2
На рис. 2 представлена цилиндрическая винтовая улитка с парабо-
лической образующей I. Здесь принято R = 1 м; а = .1 м-1; Л = 0,5 м;
-2м<и<2м;я/2<^9< 2,5л\
2) Параметрическая форма задания (рис. 3):
х = х(и,(р) = 7?(cos^ + </>sin$>) + аи2 sin <р,
у = у(и,<р) = 7?(sin ip-gjcosip) -аи2 costp, z - z6i,<p') = u + A(p,
где R - радиус неподвижного цилиндра, А и a - константы. Парамет-
рические уравнения образующей параболы II, заданной в подвижной
системе координат, имеют вид: А) = 0, Yfai) = аи2, Zfai) = и. Таким
образом, ось образующей параболы совпадает с подвижной коорди-
натной осью oiFi, а сама парабола расположена в координатной плоскости YtoiZi.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 =1 + 4а2и2, F = А, В2 = (R<p + au2)2 +fa,
А2В2 -F2 = (R<p + au2)2 А2 +4а2и2fa,
2a(R(p + au2') -4а2 и2 А _(R<p + аи2)2-2auRA
y/A2B2-F2 ’ л/а2В2-F2 ’ у/а2В2-F2
На рис. 3 представлена цилиндрическая винтовая улитка с пара-
болической образующей II.
Здесь принято R = 1 м; а = 1 м-1; А =0,5м;-2м<и<2м;0<^< 2л.
423
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»
Пусть задана пара аксоидов - цилиндры вращения с радиусами оснований R и г, где R = иг,
и некоторая линия I, жестко связанная с подвижным аксоидом - цилиндром Q„ с радиусом г.
Спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр - цилиндр» образовывается линией I при
качении со скольжением подвижного цилиндра Q„ по неподвижному Й„.
Рис. 1
Образующая линия / задается параметрическими уравнениями
А'1 = Х1(и), У1 = у 1 (и), Z1 = Z1 (и)
в подвижной системе координат Oixjyizi, координатная ось Oizi ко-
торой совпадает с осью подвижного цилиндра Q„. Начало непод-
вижной системы координат Oxyz расположено в центре основания О
неподвижного прямого цилиндра Q,„ а координатная ось Oz совпа-
дает с его осью.
Начало подвижной системы координат Oxiytzi совпадает с цен-
тром основания О[ подвижного прямого цилиндра Q„ (рис. 1). Перед
началом движения оси обеих координатных систем будут парал-
лельными.
Если точка М принадлежит кривой I, ее координаты в двух систе-
мах будут соответственно (х, у, z) и (xi, yi, zi). После некоторого
спироидального движения подвижный аксоид займет положение,
показанное на рис. 1. Из рассмотрения рис. 1 можно получить сле-
дующее геометрическое соотношение: Rtp - rt, или rup - t, где 2 = const - коэффициент про-
порциональности; <р угол, отсчитываемый от неподвижной оси х в направлении качения до
прямой, соединяющей центр О неподвижного цилиндра с точкой D. В точку D проецируется
линия касания двух аксоидов; угол t показан на рис. 1.
Уравнение кривой, которую описывает точка М образующей кривой I можно представить в
параметрической форме:
л = х(<р) = (R + г) cos ср + х, cos(zi + 1)(р- у, sin(« +1}<р;
У = у(<Р) - (К + г) sin (р + х, sin(« + 1)^+ у, cos(h +1)^>, z — z((p) = ^<p + zv
Для получения параметрических уравнений поверхности, описываемой производящей кри-
вой I, достаточно вместо xi, уi, zi подставить xi = хДи), yi = yi(w), zi = zi(w):
х = х(и, <р) = (R + г) cos ср + X] (и) cos(n + 1)<р - уj (и) sin(n +1)(£>;
у = у(и,/р) = (R + г) sin <р + х, (w)sin(n + 1)^>+ у, (w)cos(« + V)<p, z = z(ii,<p) = Л<р+ zt (и).
Рис. 2
Качение подвижного цилиндра Q,, по неподвижному Q„ может происхо-
дить как по внешней стороне неподвижного цилиндра (рис. 1), так и по его
внутренней стороне (рис. 2). В этом случае параметрические уравнения спи-
роидальной поверхности принимают вид:
х х(и,(р) = (R — r)cos£> + x, (w)cos(n — 1)<р+ У| (w)sin(n
у - у(ц,<р) = (R- г)sin <р- x1(«)sin(n -l)ip+ у, (n)cos(n - \)(р,
z = z(w) = /хр + Z|(i<).
Здесь (р - угол, отсчитываемый от оси Ох до прямой OD, соединяющей точку О и точку D
касания аксоидов после начала качения, t- угол от нового положения оси OiXi до прямой OD.
Дополнительная литература
1. Ядгаров Дж. Я. К вопросу образования некоторых спироидальных поверхностей// Прикладная геометрия и
инженерная графика. - Киев, 1977. - Вып. 23. - С. 98-100 (библ.: 2 назв.).
424
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, НЕ ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ
ПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА, ПРИ НАРУЖНОМ ОБКАТЫВАНИИ
Пусть образующая прямая задана в подвижной системе координат
OiXi/iZi в виде: X, = и, У, = Ь(\-и/a), Zx = Н(1-и/а), где константы
a, b, И указаны на рис. 1. В этом случае параметрические уравнения ли-
нейчатой спироидальной поверхности, образуемой прямой образующей
при внешнем качении цилиндра с радиусом г со скольжением по цилин-
дру с радиусом R, можно представить в виде:
х = x(ii,<p) = {R + г) cos <р + u cos(n + \)(р - Ь(1 - н / a) sin(n + 1)<р;
у = у(и,<д) = (R + г)sin<р + w sin(/z + V)<p + b{\ ~и/a)cos(n + 1)р,
Z = z(u,p) = Н(\-и/а') + Хер, где 2 = const: п = R/r.
Представленные уравнения поверхности получены на основании
общих уравнений, приведенных на странице «Спироидалъные по-
верхности с аксоидами «цилиндр - цилиндр»». На рис. 1 показано
начальное положение двух цилиндрических аксоидов. Рассматривае-
мые линейчатые спироидальные поверхности являются поверхно-
стями отрицательной гауссовой кривизны. На рис. 2, б приведена
спироидальная поверхность при 2 = 1 м; R = 1 м; а = -Ь - г; И = 4 м;
п = R/r = 1; - Н /2 < г < 1,5Н . Если взять Я = 0, то спироидальная по-
Рис. 2 (п - 1) верхность выродится в ротативную, то есть будет качение цилиндра
по цилиндру без скольжения (рис. 2, а).
СПИРОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, НЕ ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ
ПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА, ПРИ ВНУТРЕННЕМ ОБКАТЫВАНИИ
2 = 0; 2 = 0,5
Рис. 4 (п = 2)
Пусть образующая прямая задана в подвижной системе координат
OjXiYiZi в виде: X, = и, = h(l-и / a), Z, = ff(l-u/a), где кон-
станты л, b, Н указаны на рис.З. В этом случае параметрические
уравнения линейчатой спироидальной поверхности, образуемой
прямой образующей I при внутреннем качении со скольжением под-
вижного цилиндра с радиусом г по цилиндру с радиусом R, можно
представить в виде:
х = х(и,(р) = (R - r)cos<p + u cos(w -1)^> + />(1 -u/a)sin(n -
у = у(и,<р) = (R- r)sinp-usin(n-l)g> + b(l-u/ a) cos(n - l)<p,
z = z(u,cp) = H(l-и/a) + X<p, где n= R/r, X = const.
Представленные уравнения поверхности получены на основании
общих уравнений, приведенных на странице «Спироидальные по-
верхности с аксоидами «цилиндр - цилиндр»». На рис. 3 показано
начальное положение двух цилиндри.ческих аксоидов.
На рис. 4, б приведена спироидальная поверхность с геометриче-
скими параметрами X = 0,5 м; R = 1 м; а = г; Н = 2 м; п = 2; b = -г/2;
0 < z < Н . Если взять X = 0, то спироидальная поверхность выродит-
ся в ротативную, то есть будет качение цилиндра по цилиндру без
скольжения (рис. 4, а).
425
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ ПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА,
ПРИ НАРУЖНОМ ОБКАТЫВАНИИ
-ь .
Рис. I
2 = 0;
X = 0,5;
а = /; = г; « = .3; Я = I м; Я = 4 м
Пусть образующая прямая I задана в подвижной системе координат
CMjyiZi в виде: х, = и, у, =0, zt = Н(а-и)/(а+Ь), где константы а, Ь,
У Н указаны на рис. 1. В этом случае параметрические уравнения линей-
чатой спироидальной поверхности, образуемой прямой I при внешнем
2^ качении со скольжением подвижного цилиндра Q„ с радиусом г по не-
подвижному QH с радиусом R, можно представить в виде (рис. 2):
х = х(и,р) = (R + r) cos <р + и cos(n +1)^;
у = у(н, <р) = (R + г) sin <р + и sin(n + \)<р,
z = z(u,(p) ~ Н(а-и)1(а + Ь~) + /<р, где п = R/r, X = const.
Представленные уравнения поверхности получены на основании
общих уравнений, приведенных на странице «Спироидальные по-
верхности с аксоидами «цилиндр - цилиндр»».
На рис. 1 показано начальное положение двух цилиндрических
аксоидов. Скольжение при качении цилиндра Qn по цилиндру Q„
происходит вдоль линии их касания.
СПИРОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ
«ЦИЛИНДР - ЦИЛИНДР», ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПЕ-
РЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ ПОДВИЖНОГО ЦИЛИНДРА, ПРИ
Рис. 3
ВНУТРЕННЕМ ОБКАТЫВАНИИ
Пусть образующая прямая I задана в подвижной системе координат
OiXiyizi в виде: xt = и, У] =0, = Н(«-и)/(а + £>), где константы а,
b, Н указаны на рис. 3. В этом случае параметрические уравнения ли-
нейчатой спироидальной поверхности, образуемой прямой I при внут-
реннем качении со скольжения подвижного цилиндра Qn с радиусом г
по неподвижному QH с радиусом R, можно представить в виде (рис. 4):
х = х(и,^>) = (Я - г) cos + и cos(« -1)^>;
у = у(и, <р) - {R - г) sin <р - и sin(n - 1)<р,
z = z(u, (р) = Н(а- и) /(а + Ь) + /Цг>, где п = R/r, X = const.
Уравнения поверхности получены на основании общих уравнений, приведенных на стра-
нице «Спироидальные поверхности с аксоидами «цилиндр - цилиндр»». На рис. 3 показано на-
п = 4; Я = 0; п = 4; Я = 0,5; п = 8; Я = 0; п = 8; Я = 0,5
Рис. 4 (Я = 1 м; И = 2 м; а = b = г)
рованных поверхностей.
чальное положение двух цилинд-
рических аксоидов. Скольжение
при качении цилиндра Q„ по ци-
линдру QH происходит вдоль линии
их касания. На рис. 4 поверхности
построены в пределах 0 < z < Н.
При X = 0 спироидальные по-
верхности вырождаются в рота-
тивные. Спироидальные поверхно-
сти с аксоидами «цилиндр - ци-
линдр» могут быть также причис-
лены к классу винтообразных поверхностей или к классу волнообразных, волнистых и гофри-
42.6
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - КОНУС»
Спироидальные поверхности с аксоидами «плоскость - конус» образовываются произволь-
ными кривыми, жестко связанными с подвижным конусом, который катится со скольжением по
плоскости. Скольжение происходит вдоль линии касания конуса и плоскости. На рис. 1 изо-
бражены оба аксоида в начальный момент времени, когда качение конуса еще не началось.
—ч z | z. Образующая линия I задается параметрическими уравнениями
= ад), Yi = ад, Zi = ад
^i/l в п0Движн°й системе координат O\X\Y\Zi, координатная ось <9[Xi ко-
Л торой совпадает с осью подвижного конуса. В начальный момент
вРемени начало неподвижной системы координат Oxyz совпадает с
у; у, началом подвижной системы O1X1Y1Z1. При качении со скольжением
Рис-1 вершина конуса будет описывать спираль Архимеда. Угол между вы-
сотой конуса и его прямыми образующими обозначен через «. Угол между неподвижной осью
Ох и проекцией подвижной оси ОА1 на плоскость хОу, возникающий при качении конуса, обо-
значен через и. При качении конуса по плоскости его основание радиусом г будет вращаться
вокруг оси конуса. Когда между осью Ох и проекцией оси OiXi на плоскость хОу будет угол и,
основание конуса повернется вокруг оси OiXi на угол <р.
Между геометрическими параметрами существуют следующие соотношения:
Ru = г<р, откуда ср = Ru! г - пи, то есть п = R/г = 1 / sin or, тогда sincr - 1/п, cosa-yn2 -1 / п.
Форма задания спироидальной поверхности «плоскость - конус»
1) Параметрическая форма задания:
x = x(u,v) = Х} cos«cosi( + lz](sm^sina!coSM-cos^sinu)-Z1(cos^sinacosH + sin^sinH) + 2^cosM,
у = y(u, v) = Xt cosasin и + F, (sin ^sinasinn + cos^cosw) - Z, (cos^sinasinw - sin ^cosn) + Z^sinn,
z = z(u,r) = X, sina-X, cosasin^ + Z, cosfPcosa,
где ). - параметр, характеризующий скольжение конуса вдоль линии его касания с плоскостью.
СПИРОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - КОНУС»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ВЕРШИНУ
ПОДВИЖНОГО КОНУСА
Если задать образующую прямую в подвижной системе координат OiXiYiZi параметриче-
скими уравнениями Xi = v, Yi = 0, Zi = vtg/j (рис. 1), то при качении со скольжением кругового
конуса по плоскости будет получаться линейчатая спироидальная поверхность с аксоидами
«плоскость — конус», образованная прямой, проходящей через вершину подвижного конуса. В
зависимости от значения угла /? можно получить четыре варианта расположения образующей
прямой, проходящей через вершину конуса: /?>«,/?< а,/? = «и/? = О, где
а - угол между высотой конуса и его прямыми образующими. Параметри-
ческие уравнения рассматриваемой спироидальной поверхности можно
получить из общих, приведенных в разделе «Спироидальные поверхности
с аксоидами «плоскость - конус»»:
х = x(u,v) = v cos a cos и - v(cos (р sin a cos и + sin <р sin и) tg/З + Лр cos и,
у - у(и, г) = I'coszzsinz/ - y(cos^>sinasinw - sin ^coszz)tg/? + Z^sin и,
z = z(u,v) = vsin or + vcos^cosotg/?.
На рйс. 2 приведена линейчатая спироидальная поверхность, образо-
ванная прямолинейной образующей подвижного аксоида - конуса (р = а).
427
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - ЦИЛИНДР»
Спироидальные поверхности с аксоидами «плоскость - и.илиндр» образовываются произ-
вольной кривой L при качении со скольжением цилиндра с радиусом г по плоскости. Скольже-
с ние происходит вдоль линии касания цилиндра и плоскости. Производящая
^Z| кРивая L, заданная в подвижной системе координат OiX-Y-Z-, параметриче-
z ПЛЧ г скими уравнениями Xi - Xj(u), У, = УДи), Z, = Zi(u), жестко связана с под-
у / L/z; вижным аксоидом - круговым цилиндром. Если производящая линия L явля-
/ -7{/ / / ется пРям°й, то параметрические уравнения прямой L можно записать в виде:
х,(и) = ^-и + й, У,(и)=-^^и + Д Z,(u) = и,
/X // / н н
О х где а, Ь, с, d - координаты концов отрезка прямой в подвижной системе коор-
Рис'1 динат AjOjEi (рис. 1). В этом случае поверхность называется линейчатой
спироидальной поверхностью с аксоидами «плоскость - цилиндр». На рис. 1 показано началь-
ное положение цилиндра, когда качение со скольжением еще не началось.
Формы задания спироидальной поверхности с аксоидами «плоскость - цилиндр»
1) Параметрическая форма задания:
х(и,^>) = rcp+ X, (w)cos^ + yi(z<)sin ср, у(и,ср) = г - Xj(u)sin^ + Yx (u)cos<p, z(u) = Z, (и) + Л<р,
где p - угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох в сторону положительного
направления подвижной оси OiXp А = const - параметр, характеризующий скольжение цилинд-
ра вдоль линии его касания с плоскостью; х, у, z - декартовые координаты произвольной точки
кривой L относительно неподвижной системы координат Oxyz-
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = X'2 + Y'2 +Z;2, F = r(X{cos<p + Y'sm<p)- XxY'+YxX'x+ ЛЛ{,
В2 = г2 + X2 + Y2 + 2г(У| costp- Хх sin ср) + Л2,
_ ху)+r[(z;y;~ y/zf) cos +(x'z;- z;xf) sin +z'<x, x;+ y.y^ - z^x, x; + у/д
xIa2B2 -F2
Л(Х'х2 +Yx'2-) + Z'x[XxY'-X'xYx - r(Xx cos <p + Yx sin p)]
~Ja2B -F2
A, _ Z(X,zy, - Х,УД + Z'[r(Xx sin <p-Yx cos <p) - X'2 - Yx2 ]
•Ja B2 -F2
СПИРОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ КАТЯЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА
Рис. 3
Если взять производящую прямую Х| = 0; У[ = kr; Z\ = и (рис. 1), где к
- константа, то получится полоса постоянной ширины прямой цилинд-
рической поверхности с направляющей циклоидой, если k = 1; с направ-
ляющей удлиненной циклоидой, если k > 1 (рис. 3); или с направляющей
укороченной циклоидой, если k < 1. При к = 1 производящей прямой бу-
дет одна из прямолинейных образующих кругового подвижного цилин-
дра. Параметрические уравнения рассматриваемых поверхностей имеют
вид: х = х(и,р) = r{p + ksinp), у = у(и,р) = т(1 + kcosp), z- = z(u, р) = и + Ар,
для которых А = 1, F = А, В2 - г2(1 + к2 + Akcosp') + A2, L = М = 0, K = Q.
При 2 = 0 будет получаться ротативная поверхность (рис. 2).
428
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - ЦИЛИНДР»,
ОБРАЗОВАННАЯ ПРЯМОЙ, ПЕРЕСЕКАЮЩЕЙ ОСЬ КАТЯЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА
Все необходимые геометрические характеристики спироидальной поверхности с аксоидами
«плоскость — цилиндр», образованной прямой, пересекающей ось катящегося цилиндра, можно
получить из общих формул, приведенных в разделе «Спироидальные поверхности с аксоидами
«плоскость - цилиндр»». Например, производящую прямую можно задать в виде:
Xi = 0, У|(н) = utgfi, Zi(n) = и,
где 0 - угол между производящей прямой и осью катящегося со скольжением цилиндра радиу-
сом г. Ось цилиндра совпадает с подвижной осью O\Z\. До начала процесса качения прямая пе-
ресекает ось подвижного кругового цилиндра в точке с координатами х = 0, у = г, z = 0, или, ес-
ли рассматривать подвижную систему координат, то эта точка имеет Xi = Y\ = Zi = 0.
Формы задания линейчатой спироидальной поверхности
1) Параметрическая форма задания:
= гср-Уи^тср, У’(.и,<Р) = г + wtg/?cosip, х(и) = и + Л<р,
где V ~ Угол’ отсчитываемый от положительного направления оси
в СТ0Р0НУ положительного направления подвижной оси 0<Ху
х = const ~ параметр, характеризующий скольжение цилиндра
вдоль линии его касания с плоскостью; х, у, z - декартовые коор-
йШмг Рис ] динаты произвольной точки производящей прямой относительно
неподвижной системы координат Oxyz.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = l/cos/?, F = Л + rtg/7sin(р, В2 = г2 + i<(irtg/7 + 2rcos</?)tg/7 + /l2,
l=o, м = У-г51п-%д A = к =
«1а2В2-F2 ^A2B2 -F2 (A-B--F)-
Ha рис. 1 изображена спироидальная линейчатая поверхность с /? = тг/б; г = 1 м; А = 1 м.
При 2 = 0 спироидальная поверхность вырождается в ротативную, то есть происходит каче-
ние цилиндра без скольжения (см. «Линейчатая ротативная поверхность с аксоидами «плос-
кость - цилиндр»»).
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СПИРОИДАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
у С АКСОИДАМИ «ПЛОСКОСТЬ - ЦИЛИНДР»
П;уА ziZA п с- л а
Гх. Параболическая спироидальная поверхность с аксоидами «плоскость -
i т'/!//)! цилиндр» образовывается плоской параболой т при качении со скольжением
*-/а- цилиндра радиусом г по плоскости. Скольжение происходит вдоль линии
/Xi касания плоскости и цилиндра. Производящая парабола т, заданная в под-
луХ/ V вижной системе координат OiXiYjZ] параметрическими уравнениями А) = и,
У| = У1(и) = а + bu2, Z| = 0, жестко связана с подвиж-
ным аксоидом - круговым цилиндром; а,Ь- константы.
Парабола т (рис. 2) расположена в плоскости, перпен-
дикулярной оси катящегося со скольжением цилиндра.
Формы задания параболической спироидальной
поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 3):
х(и,<р) = np + ucos<p + (a + Z?w2)sin <р,
у(р,(р) = r-Hsin^ + (fl + Z?H2)cos^, z(h) = Л<р,
где ip - угол между осями Ох и О\X), возникающий после начала процесса качения.
429
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ РАЧКОВСКОЙ - ХАРАБАЕВА
Спироидальные линейчатые поверхности Рачковской - Харабаева формируются выделен-
ной прямой образующей заданного произвольного конуса, принятого за подвижный аксоид, ко-
торый катится со скольжением по другой торсовой поверхности - неподвижному аксоиду.
Вершина конуса все время находится на ребре возврата, а две линейчатые поверхности в каж-
дый момент времени соприкасаются друг с другом по общей для них прямой образующей.
Движение конической поверхности по торсовому неподвижному аксоиду может быть пред-
ставлено в виде поступательного движения вершины конуса вдоль ребра возврата (f) непод-
вижного аксоида при одновременном вращении конуса вокруг своей оси. Условие согласования
этих двух движений выражается при помощи формулы:
, ds
dq> =----
R sin р
где ds - длина дуги ребра возврата, пройденная вершиной
конуса; dtp - угол поворота конуса вокруг своей оси при
его качении; R - радиус кривизны ребра возврата f непод-
вижного аксоида в точке О; /? - угол меду осью конуса и
общей для конуса и неподвижного аксоида прямой обра-
зующей.
Торсовая поверхность (неподвижный аксоид) задается в
основной неподвижной системе координат oxyz через па-
раметрические уравнения ребра возврата
эс = т(/), у = y(t), z = z(f).
Коническая поверхность задается во вспомогательной подвижной системе декартовых ко-
ординат OXYZ, начало которой помещено в вершине движущегося конуса (точка О). Направле-
ния осей OX, OY и OZ заданы с помощью соответствующего трехгранника t, п, Ъ, связанного с
ребром возврата f торса. Ось ОХ направлена по главной нормали п к ребру возврата/непод-
вижного аксоида - торса. Ось OZ совпадает с осью подвижного конуса и составляет угол / с
касательной t к кривой/. Ось ОУ определяется выбором правой декартовой системы координат
OXYZ и составляет угол 0 с бинормалью Ь.
С помощью методов дифференциальной геометрии получено уравнение кинематической
кривой/м[ли(0, Ум(р), описывающей траекторию движения произвольной точки М, зафик-
сированной на поверхности подвижного конуса на расстоянии I от его вершины (рис. 1)
ХМ (Г) = x(f) + ХхХм + YXYU + ZXZM , ум (f) = У(О + ХуХм + YyYM + ZyZM ,
гм(0 = г(0 + хгхм+^Л!+гггм,
где x(t), y(f), z(f) - координаты вершины конуса (точки О); Хх, Yx, Zx, Ху, Yy, Z>,, X,, Y& Z- - направ-
ляющие косинусы осей OX, OY, OZ в системе неподвижных осей oxyz; Хм, Ym, Zm - координаты
движущейся точки Мв системе подвижных осей OXYZ.
По полученной кинематической кривой/// и исходной кривой/(f) можно построить кине-
матическую линейчатую поверхность в виде совокупности отрезков прямых, соединяющих со-
ответствующие точки О и Мна кривых/(f) и//7) для каждого значения параметра f.
Дополнительная литература
1. Rachkovskaya G.S., Kharabaev Yu.N., Rachkovskaya N.S. The computer modelling of kinematic linear surfaces
(based on the complex moving a cone along a torse)// Proc, of the Intern. Conference on Computing, Communication and
Control Technologies (CCCT 2004). - Austin, Texas, USA, 2004. - P. 107-111 (библ.: б назв.).
2. Рачковская Г.С., Харабаев Ю.Н. Компьютерно-графическое моделирование кинематических линейчатых
поверхностей на основе качения конуса по торсу// Международная конференция по компьютерной геометрии и
графике, «ГРАФИКОН-2002». - Н. Новгород, 2002. - С. 118-122 (библ.: 5 назв.).
430
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЧКОВСКОЙ - ХАРАБАЕВА
С АКСОИДАМИ «ТОРС-ГЕЛИКОИД - ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ КОНУС»
Э Аналитическая форма задания кинематической поверхности, обра-
зуемой в результате комплексного движения конуса по торсу (см. раздел
«Спироидальные линейчатые поверхности Рачковской - Харабаева»),
получена для наиболее простого случая - случая движения прямого
кругового конуса по торсу с ребром возврата в виде круговой цилиндри-
ческой винтовой линии.
Построение кинематической кривой /м [x/fit), Ум(3), Zm(0L описываю-
щей в основной системе координат oxyz траекторию движения произ-
Рис j вольной точки М, зафиксированной на поверхности конуса на расстоя-
нии I от вершины конуса, проводится на основании параметрического
задания ребра возврата торса-геликоида fit) в системе координат oxyz'.
f[x(f) = acost, y(t) = с/sin/, z(t) = ct],
где x(t), y(t), z(t) - координаты вершины конуса, и определения направляющих косинусов осей
ОХ, ОУ, OZ в системе координат oxyz:
„ ,, ccosfi + asinfi . „ csinfi-acosfi .
Xv=—cost; Y,=------fi- . sin Г; Zv =-------------- -smt;
4a2+c2 4a2+c2
„ . ccosfi + asinfi csinfi-acosfi
Xv=-smf, Yv =------, —cost; Z„=---------, —cost;
4a2+c2 4a2+c2
csinfi-acosfi _ ccosfi + asinfi
- 0; Y, - 7=д=Т ; “ 7, T ’
ya + c ya~+c
Координаты вращающейся точки M во вспомогательной системе координат OXYZ опреде-
ляются по формулам: Хм = Zsin/3coficp + <pfi ; YM= /sin fisifirp + cpfi ; ZM= Icosfi,
где <p-угол поворота конуса вокруг'своей оси в системе OXYZ [ <р0 = <д(/ = 0) ].
В этом случае уравнение кривой /'^ |хи(/), ум(0, Zw(t)] в системе координат oxyz имеет вид:
г с cos fi + «sin fi . . , . csinfi-acosfi . „
xM(t)= a cos t - [cos t cos(^> + cp0)- — sm t • sm(^> + (p0)-------. . —sin t]l sm fi;
4a2+c2 tgfi4a2+c2
,. . r . . . ccos fi + asin fi . , 4 csmfi-acosfi q, . „
yMW=asmt - [sm t • cos(<£> + срй) 4.....fi —— -cost- sin(<p + <pa) H-. —cosr]/sin fi;
4a2+c2 tgfi4a2+c2
.. rcsinfi-acosfi . , , ccosfi + asinfiq, . „
zMfi)= ct - [--, sm((P + <p0)-----------X /]/ sin fi.
4a~+c2 tgfiya2 +C
Параметр ср (угол поворота конуса вокруг своей оси в системе OXKZ) определяется из усло-
вия согласования двух движений - поступательного движения вершины конуса вдоль ребра
возврата торса-геликоида и вращательного движения конуса вокруг своей оси:
-at
<р = —„ ГУ......-; (<р0=0).
sinfi-ya + с
По полученной в аналитическом виде кинематической кривой ftfit) и исходной кривой fit)
построена кинематическая линейчатая поверхность (рис. 1) как совокупность отрезков прямых,
соединяющих соответствующие точки О и М на кривых fit) и/м(0 для каждого значения t.
Дополнительная литература
1. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. Mathematical modelling of kinematics of ruled surfaces based on conical
transformations of torses// Proc, of The 1011’ Intern. Conf, on Geometry and Graphics. Kyiv. Ukraine. 2002. - Vol.I. - P.
283-286. (библ.: 4 назв.).
431
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНАЯ ЛИНЕЙЧАТ АЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЧКОВСКОЙ - ХАРАБАЕВА
С АКСОИДАМИ «РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ КОНИЧЕСКИЙ ГЕЛИКОИД - ПРЯМОЙ
КРУГОВОЙ КОНУС»
Компьютерное построение кинематических линейчатых поверхностей, получаемых при ка-
чении конуса с произвольной направляющей кривой F по торсовой поверхности со сложным
ребром возврата Дг), позволяет перейти от аналитической формы задания кривой Дг(г) к ее по-
строению по точкам, рассчитанным с использованием численных методов дифференцирования
и интегрирования при решении соответствующих уравнений. Условные обозначения и метод,
позволяющий получить траекторию движения произвольной точки М на поверхности подвиж-
ного конуса, описан в разделе «Спироидальные линейчатые поверхности Рачковской - Хара-
баева». На рис. 1 приведена спироидальная линейчатая поверхность, полученная для случая
комплексного движения прямого кругового конуса по торсу с ребром возврата в виде кониче-
ской винтовой линии.
В соответствии с геометрической моделью комплексного движения конуса по торсу усло-
вие согласования между собой двух движений - поступательного движения вершины конуса
вдоль ребра возврата торса (кривой /(г)) и вращательного движения конуса вокруг своей оси -
определяется на конечном участке кривой/(0 следующим образом:
@71 л 'г К ,
<р= ----ds = --1—dt,
J/Csin/J 'Rsin/3
где <p - угол поворота конуса вокруг своей оси в подвижной системе
координат OXYZ; R - радиус кривизны кривой Д/), заданной парамет-
рическими уравнениями х = x(t), у = y(f), z = z(f), определяется по
формуле:
s](.x'~+y'2+z'2 У
к - -— . ' • = ,
^y'z"~z'y")2 + (z,x"-x'z")2 +(л-’у"-у'У')2
Рис. 1 =y]x'2+y'2+z'2 ; x,y’,z и х", у”, z" - соответственно значения пер-
вых и вторых производных функций x(f), y(t\ z(t) в точке О.
Вычисленные для каждого значения параметра t соответствующие значения параметра <р
позволяют определить координаты вращающейся произвольной точки М, зафиксированной на
поверхности конуса на расстоянии / от вершины конуса, в подвижной системе OXYZ:
Хм- /sin/?cos(<p + p0); Ym= /sin/7sin(^ + <р0); Zm= /сскД,
а, следовательно, поточечно получить кинематическую кривую/м[хм(А Ум(/)> Zw(t)] в основной
неподвижной системе координат oxyz. Здесь ft - угол меду осью конуса и общей для конуса и
неподвижного аксоида прямой образующей. По полученной кинематической кривой fM(t) и ис-
ходной кривой Д/) в системе координат oxyz построена кинематическая линейчатая поверхность
(рис. 1) как совокупность отрезков прямых, соединяющих соответствующие точки Он М на ко-
нической винтовой линии ДО и траектории Д?(0 движения точки М, принадлежащей катящему-
ся конусу, для каждого значения t.
Дополнительная литература
1. Рачковская Г.С., Харабаев Ю.Н. Компьютерно - графическое моделирование кинематических линейчатых
поверхностей на основе качения конуса по торсу// ГРАФИКОМ’ 2002. Н. Новгород. - С. 118-122 (библ.: 5 назв.).
2. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N., Rachkovskaya N.S. Computer graphics of kinematic surfaces// Proc, of the
12-th Intern. Conf, in Central Europe on Computer Graphics, Visualisation and Computer Vision 2004, Plzen, Czech Re-
public. 2004. - P. 141-144 (библ.: б назв.).
3. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N., Rachkovskaya N.S. The computer modelling of kinematic linear surfaces
(based on the complex moving a cone along a torse)// Proceedings of the International Conference on Computing, Commu-
nications and Control Technologies (CCCT 2004). - Austin (Texas), USA. 2004. - Vol. 1. - P. 107-111 (библ.: 6 назв.).
432
СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СПИРОИДАЛЬНАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЧКОВСКОЙ - ХАР АБАЕВА
С АКСОИДАМИ «ТОРС-ГЕЛИКОИД - ПРЯМОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ КОНУС»
Рис. 1
На рис. 1 приведен пример кинематической поверхности, полученной с
использованием численных методов дифференцирования и интегрирова-
ния, для случая спироидального движения прямого эллиптического кону-
са по торсу-геликоиду с ребром возврата в виде цилиндрической винто-
вой линии.
В случае произвольной конической поверхности (рис. 2), заданной
вершиной конуса О и произвольной выпуклой направляющей - кривой F
[X = Х(р), У - У(р'), Z - Z(p)J, проводится, во-первых, переопределение
этой поверхности с помощью вспомогательной сферической направляю-
щей - кривой Fi [X = Xi(p), У = Y\(p), Z = Z^)], точки которой лежат на
пересечении выбранной произвольной конической поверхности и сферы
произвольного радиуса I с центром в вершине конуса О. Во-вторых, необходимо переопреде-
лить выделенную образующую, проходящую через точку N, с помощью точки О и точки М, ле-
жащей на пересечении образующей ON и вспомогательной сферической направляющей F/
(длина отрезка ОМ выделенной образующей равна /).
Проведенные переопределения конической поверхно-
сти и выделенной образующей позволяют при построении
кинематической поверхности, как следствия движения
этой образующей конуса ОМ в процессе рассматриваемо-
го комплексного движения произвольного конуса по тор-
су, использовать соотношения, полученные для случая
движения прямого кругового конуса (см. раздел «Спи-
роидальная линейчатая поверхность Рачковской - Хара-
баева с аксоидами «торс-геликоид - прямой круговой ко-
нус»») с учетом зависимости /3 = Др), где Р - текущее
значение угла между общей для конуса и торса образую-
щей и осью конуса. Величина угла /3 определяется из со-
отношения: sin /3 = R^p')/1, где RXp) - радиус кривизны
вспомогательной сферической направляющей Ft.
Для нахождения уравнения кинематической кривой /м(хм(С> Ум(0, £м(0) и, соответственно,
кинематической линейчатой поверхности необходимо для каждого значения параметра t найти
соответствующее значение параметра р из условия согласования двух движений - поступатель-
ного движения вершины конуса вдоль ребра возврата f(t) торса и вращательного движения ко-
нуса вокруг своей оси:
| [х,(р)<7р= 1—^—£,(0^, где ра = p(t = 0); К,=\Х, +Y, + Z, , к} = Jх'2 + у'2'+ z'2,
1 о RV)
где R(f) - радиус кривизны ребра возврата торса fix = x(t), у = y(t), z = z(t)).
Параметр p определяет координаты точки М в системе OXYZ, текущее значение угла Др),
направляющие косинусы и координаты точки М в системе oxyz для каждого значения t.
Дополнительная литература
1. Рачковская Г.С., Харабаев Ю.Н. Компьютерно-графическое моделирование кинематических линейчатых
поверхностей на основе качения конуса по торсу// ГРАФИКОН’ 2002. Н. Новгород. - С. 118-122. (библ.: 5 назв.).
2. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. Mathematical modelling of kinematics of ruled surfaces based on conical
transformations of torses// Proc, of The 10'h Intern. Conf, on Geometry and Graphics. Kyiv. Ukraine. 2002. - Vol. 1. - P.
283-286. (библ.: 4 назв.).
433
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Поверхности второго порядка (квадрики) определяются алгебраическими уравнениями
второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй
степени имеет вид:
ацх2 + а?2У2+ яззг2 + 2ai2Ay + 2anxz + Zaiiyz + 2ai+r + 2й24У + 2аз4х + а^ = О,
где ад = aip i, k- 1, 2, 3, 4. Это уравнение может и не определять действительного геометриче-
ского образа. В таких случаях говорят, что уравнение определяет мнимую поверхность второго
порядка. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения оно может описывать
17 поверхностей:
Невырождающиеся нераспадающиеся поверхности Вырождающиеся нераспадающиеся поверхности
1) эллипсоид (xHaL + у2/У + z.1!с1 = 1), 2) мнимый эллипсоид (хкб + у2/й2 + z7c2 = -1), 3) однополостный гиперболоид + у2/&2 - г2/с2 = 1) (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны») 4) двуполостный гиперболоид (~.т2/а2 - y2/b2 + z2/c2 = 1), 5) эллиптический параболоид (х~!р + y~lq = 2z', р, q > 0), 6) гиперболический параболоид (х21р - y2/q = 2z; р, q> 0), (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»). Цилиндрические поверхности 2-го порядка (см. «Цилиндрические поверхности»): 7) эллиптический цилиндр (л2/о2 + у2/Ь2 =1), 8) мнимый эллиптический цилиндр (х2/а2 + y2/b2 = -1), 9) гиперболическйй цилиндр (х2/а2-у2/й2 =1), 10) параболический цилиндр (у~ = 2рх). Конические поверхности 2-го порядка: 11) Эллиптическая коническая поверхность (см. «Ко- нические поверхности») (х7а2 + y~/b2 - z2/c2 = 0), 12) мнимая коническая поверхность (х2/а2 + у2!Ь2 + z2/c2 = 0).
Вырождающиеся распадающиеся поверхности
13) пара пересекающихся плоскостей (хЧа2 - у2И? = 0), 14) пара мнимых пересекающихся плоскостей (х2/а2 + у/Ь2 = 0), 15) пара параллельных плоскостей (т2/гг2 = 1), 16) пара мнимых параллельных плоскостей (х" + а2 = 0), 17) пара совпадающих плоскостей (х2 = 0).
При пересечении поверхности 2-го порядка с плоскостью могут возникнуть только сле-
дующие случаи: а) поверхность пересекается с плоскостью по кривой 2-го порядка; б) поверх-
ность пересекается с плоскостью по прямой линии; в) поверхность распадается на пару плоско-
стей, одной из которых является данная плоскость; г) поверхность не имеет с плоскостью ни
одной общей точки. Если прямая имеет неасимптотическое направление, то она пересекает по-
верхность в двух точках - различных (действительных или мнимых) или совпадающих.
Основные инварианты поверхности 2-го порядка
8 = а\\апа\з G 21 27 э 2 = 0, А = ^11^12^13^14 Д 2 ] 7 33 ^34 = 0 , т = ^ц^12 ^21^22 + Я22 ^32 Я23 «33 + Я33Я31 а13Я11 , S — Д11 + С1->2 "1“ ^33
^31 З9 ^33 ^41^47^43^44
определяют свойства поверхности, не зависящие от ее положения в пространстве. Детерминант
А называется дискриминантом общего уравнения.
Поверхности второго порядка, имеющие единственный центр симметрии, называются
центральными поверхностями, для которых 8 Ф 0.
Особые точки имеются у следующих поверхностей 2-го порядка: 1) коническая поверх-
ность (единственная особая точка - ее вершина); 2) пара пересекающихся плоскостей (множе-
ство особых точек, лежащих на прямой пересечения этих плоскостей); 3) пара совпадающих
плоскостей вся состоит из особых точек, каждая из них есть центр поверхности.
Дополнительная литература
1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - Изд-во «Наука», 1974. - 832 с.
434
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Поверхности второго порядка, представленные в справочнике:
Однополостиый
гиперболоид
Эллиптический параболоид
Цилиндрическая поверхность Эллиптический
вращения цилиндр
Гиперболический цилиндр
цилиндр
цилиндр
Эллиптическая коническая
Наклонная эллиптическая
коническая поверхность
Пара пересекающихся плоскостей
Гиперболический
параболоид
435
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД (ГИПАР)
Гиперболический параболоид - дважды линейчатая поверхность отрицательной гауссовой
кривизны - представляет собой геометрическое место точек, принадлежащим прямым, пересе-
кающим три фиксированные скрещивающиеся прямые, параллельные одной плоскости. Любые
две прямолинейные образующие гипара, принадлежащие разным семействам, пересекаются и
потому компланарны. Если угол между прямыми образующими двух систем равен 90°, то гипар
называют прямым., если нет - то косым. Гипар - это коноид с двумя осями (см. «Коноиды»).
Формы задания поверхности гиперболического параболоида
х2 у2
1) Явная форма задания (рис. 1): z = —:-— , р > 0, q > 0 (каноническое уравнение).
2р 2q
Приведенная формула показывает, что гиперболические параболоиды относятся также к
классу поверхностей прямого переноса. Таким образом, гипары можно получить движением
подвижной параболы у2 = -2qz по неподвижной параболе х2 = 2pz или наоборот. Сечения по-
верхности гипара плоскостями z = const - гиперболы.
2) Явная форма задания: z = аусу +aix + а2у + аз-
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + (аоУ + ai)2, F = (floy + ai)(aox + az), В“ = 1 + (а^х+аз)2, L — N — (), М — ао/[А2В2 — F ]
Задавшись отметками четырех углов прямоугольного контура гипара, можно вычислить
коэффициенты с, через значения этих отметок и размеры гипара в плане.
3) Явная форма задания (рис. 2): z = аху.
В точке х = у = 0 {центр поверхности) средняя кривизна Н = 0, а гауссова кривизна К = -а2.
Уравнения семейства линий кривизн на гипаре можно представить в виде:
1п[ау + д/1 + а2у2^ ± ln^a.x + V1 + аг х2 j = const.
4) Параметрическая форма задания (рис. 3): х = -/р(u + v), у = -jq(u-v), z = 2uv.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A2=p + q+4v2, F = p-q + 4uv, B2=p + q + 4u2, L=N = 0, M = -4-jpq /7Д2В2 - F2,
ku = kv = 0, ki = M/(AB + F), kz~ -M/(AB - F), К =-\6pq / ( A2B2 -F2)2,H = -MFI(A2B2 - F2).
5) Параметрическая форма задания (рис. 4): х = -Jpuchv, у = ^[qushv, z = и2 / 2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = pch2v + gsh2^ + и2, F = wshvchvf р + q), В2 = и2( psh2 v + gch2v ), L = uj~pq / у/A2 В2 - F2,
M = 0, N = -u~L.
Дополнительная литература
1. Милейковский И.Е., Купар А.К. Гипары. Расчет и проектирование пологих оболочек покрытий в форме ги-
перболических параболоидов. - М.: Стройиздат, 1977. - 223 с. (библ.: 97 назв.)
436
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Параболическая кониче-
ская поверхность является
незамкнутой конической
поверхностью второго по-
рядка, которая образуется
движением прямой, прохо-
дящей через определенную
точку и пересекающей на-
правляющую параболу (рис. 1). Параболическую коническую поверхность можно получить как
огибающую однопараметрического семейства плоскостей, касающихся одновременно двух на-
правляющих парабол с параметрами а и Ь:
п У2 , (У~т)2 ,
х = 0, z = ~ и x = l, z =—~--+ п>
2а 2Ь
где I - расстояние между плоскостями с направляющими параболами (рис. 2). Направляющие
параболы имеют параллельные оси. Перпендикуляр к координатной плоскости х = 0, опущен-
ный из вершины параболы, лежащей в плоскости х - I, проходит через точку С с координатами
С(0, т, ri). Уравнение однопараметрического семейства касательных плоскостей, имеет вид:
M(x,y,z,p) = х[Ди — па - (а - Ь)р2 / (2а)] + zal - ly/3 +ip2 /2 = 0,
где р = у направляющей параболы, лежащей в плоскости х = 0; / = Ьр/а + т, где у = у направ-
ляющей параболы, лежащей в плоскости х - I.
Координаты вершины конической поверхности можно определить по формулам:
хв = al / (а-b), ув-ат!{а-Ь), z„ = ап / (а - Ь).
Из последних формул очевидно, что при а = Ь коническая поверхность вырождается в ци-
линдрическую параболическую поверхность, так как вершина конуса удаляется в бесконеч-
ность. Угол наклона <р образующей прямой, проходящей через вершины образующих парабол
(рис. 2), к плоскости х = 0 определяется по формуле: tg(p = I! у т2 +пг.
Формы задания параболической конической поверхности
1) Неявная форма задания: (/у - хт)2 + 2(их - lz)[ al - х(а - fe)] = 0.
В сечениях конической поверхности плоскостями х = h получаются параболы:
nh I Г т V
Z~~T~ 2[а(/-/г)+еду ~7у ’
причем вершины получающихся парабол будут лежать на прямой, соединяющей вершины двух
направляющих парабол.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1, рис. 3):
a(l-x)+bx „ т a(l — х) + Ьх п
х = х, у = у(х,р) =---------P+~rx, z = z(x,P)=-----——----Р +-х,
al I 2а I I
На рис. 2 показана усеченная коническая поверхность для случая 0 < х < I, I < хв. Если
взять 0 < х < хе = al / (а - Ь), то получим коническую поверхность с вершиной (рис. 3).
3) Параметрическая форма задания (рис. 2, рис. 3):
х—х у х — х z
х = х, у = у(х,/3)= —---Р + ~х, z = z(x,p)=~-----р- + — х.
х, хв 2ахв х.
Эта форма задания удобна, если известны координаты вершины конической поверхности и
параметр а направляющей параболы, лежащей в плоскости х = 0.
437
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ
Цилиндрическая поверхность вращения получается вращением прямой линии, расположен-
ной параллельно оси Ох, вокруг оси Ох (рис. 1). Радиус кругового цилиндра равен расстоянию
от образующей прямой до оси вращения (г = а). Цилиндрическая поверхность является поверх-
ностью нулевой гауссовой кривизны.
Формы задания боковой поверхности кругового цилиндра
1) Неявная форма задания: у2 + z2 = а~.
2) Явная форма задания: z = iy/a2 - у2 , где - а < у < а, - < х <
3) Параметрическая форма задания (рис. I): х = х, у = у(а) = ocosa, z = z(ct) = asin «.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = l, F = 0, В = а, L = M = 0, N = а, = О, А2 = По-
координатные линии х, а представляют собой криволинейные координаты в линиях глав-
ных кривизн, причем линии х = const совпадают с круговыми поперечными сечениями цилинд-
рической поверхности, а линии а = const - ее прямолинейные образующие.
4) Параметрическая форма задания (рис. 2):
( 5 | ( S j
х - х, у - у(Ц = a sin [&- — , z = z(s) = acos ®-— , где -<p<a<cp,
К aJ \ а/
s - длина дуги кругового поперечного сечения, 0<s<2a^; ср = amax = const; а - <р- s / а -
угол, отсчитываемый от оси z до радиус-вектора точки, лежащей на боковой поверхности ци-
линдра. Площадь поверхности 5 = 2а<р1, где I - длина прямолинейных образующих поверхности.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1, F = 0, В = 1, L = M = 0, N=Va, kt =0, k2 = 1/a.
Координатные линии x, s являются линиями главных кривизн.
5) Параметрическая форма задания (рис. 3):
х = х, у = у, z = 7a2-(у-^/2)2 - ха2 -Ь2 / А, причем 0< х<1; Q< у<Ь.
Круговая цилиндрическая поверхность перекрывает прямоугольный план /х Ь.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
A = l, F=0, В2 = а2/[a2-(y-b/2)2], L=M = 0, N = -a/р ~(у ~b / If}, Ц =0,k2 = -1/а.
Дополнительная литература
1. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. - Киев: «Наук, думка», 1990. - 135 с.
2. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. - Л.: «Политехника»,
1991.-656 с.
438
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4. Усеченный конус
Коническая поверхность вращения образовывается вращением прямой линии х = az/c во-
круг оси z. Прямолинейная образующая пересекает ось вращения под углом ^ причем tg$» = а/с.
Формы задания боковой поверхности кругового конуса
1) Неявные формы задания: х2 + у2 - z2tg2^ - 0, или (х2 + у2)/а2 -z2 /с2 = 0.
2) Явная форма задания (рис. 1): z = ±(с / а)тД2 + у2.
Знаки соответствуют двум полостям кругового конуса (рис. 2).
В сечениях кругового конуса плоскостями z = h (h Ф 0) = const имеем окружности с радиу-
сами г = ah/c = hlgtp. Линия пересечения конуса плоскостью х = b = const будет представлять со-
бой гиперболу a2z2/(bc)2 - у2lb2 - 1, а линия пересечения конуса с плоскостью у = d = const - ги-
перболу a2z"Kdc)2 - xdd' = 1 (рис. 1). В сечениях конуса наклонной плоскостью, не проходящей
через вершину конуса, будут эллипсы. Если наклонная плоскость будет параллельна какой-
либо прямолинейной образующей конуса, то в сечении будет парабола.
3) Параметрическая форма задания (рис. 3):
х = х(а,Р) = asinpcos Д у = у(«,Д) = asin^sin/?, z = z(a) = acoscp,
где « - длина прямолинейной образующей от вершины конуса до точки, лежащей на поверхно-
сти конуса. Координатные линии а совпадает с прямыми образующими конической поверхно-
сти. В сечениях конуса плоскостями z = const имеем окружности с радиусами г = asmip.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1, F = 0, В = asin^, L = М = 0, N = «sin^cos^, Aj =0, k2 = ctgp / a.
Конус вращения является поверхностью нулевой гауссовой кривизны К = к\ к2 = 0, а коор-
динатные линии a, [3 (меридианы, параллели) - линии главных кривизн.
4) Параметрическая форма задания (рис. 3): х = х(г, /3) = rcos/?, у - y(r, fi) = rsin/?, z = rdgip.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = 1/sinip, F = 0, В = г, L = М = 0, N = rcoscp, к\ =0, к2 = cos^/r.
5) Параметрическая форма задания: х = x(u,fi) = ««cos/?, у = у(и, fi) = ausmfi z = z(k) = си.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А2 = а2 + с2, F = 0, В = аи, L = М = 0, N = аси/А, к[ = 0, к2 = сКаиА).
Вблизи вершины конуса теория оболочек неприменима.
Дополнительная литература
1. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. - Л.: «Политехника»,
1991.-656 с.
2. Пикуль В.В. Теория и расчет оболочек вращения. - М.: “Наука”, 1982. -158 с.
3. Григоренко Я.М., Крюков Н.Н., Санаров X. Численное решение двумерных краевых задач статики гибких
конических оболочек?/ Доклады АН СССР, сер. А. - 1983, №2. - С. 29-32.
439
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
Однополостный гиперболоид - незамкнутая центральная
дважды линейчатая поверхность второго порядка (рис. 1) отри-
цательной гауссовой кривизны.
Формы задания поверхности
однополостного гиперболоида
1) Неявная форма задания:
х2 /а2 + у2 / b2 - z2 / с2 = 1 ( каноническое уравнение),
где а, Ь, с - полуоси однополостного гиперболоида. Коорди-
натные плоскости прямоугольной системы являются его плос-
костями симметрии (рис. 2). Если а = b = с, то гиперболоид на-
зывается правильным. Сечение однополостного гиперболоида плоскостями у = h (|й| < Ь) или х
= h (|й| <а~) дает гиперболы. Сечение гиперболоида плоскостями у = +Ь или х = +а есть пары
пересекающихся прямых. В сечениях гиперболоида плоскостями z = h = const лежат эллипсы,
причем эти эллипсы подобны между собой (отношение их полуосей - одно и то же). В сечении
гиперболоида плоскостью z = 0 лежит горловой эллипс. При а = b однополостный гиперболоид
вырождается в однополостный гиперболоид вращения.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2): x = achwcosv, у = bchwsinv, z = cshw.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = sh2w(a2 cos2 v + b2 sin2 v) + c2ch2n; F = (b2 -a2)shwchi<sin vcosv,
B2 = ch2w(n2 sin2 v +b2 cos2 v), L = -abcc\\u I -JA2 B2 - F2, M = 0, N - -ch2uL,
Таким образом, координатная сеть и, v неортогональная, но сопряженная.
3) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = = czcos/?/cosa, у = у(а,/7) = bsin/7/coso, ? = г(а) = ctga.
Поверхность однополостного гиперболоида отнесена к географической системе координат.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = [sin2 а(а2 cos2 (3+b2 sin2 /3] + с2]/cos4 a, F - sin/?cos/?sincr(Z>2 - а2) /cos3 а,
В2 = [a2 sin2 P + b2 cos2/?] /cos2 a, L = -abc / (cos4 <7у/а2В2 - К2) = -N, М = 0.
4) Параметрическая форма задания (рис. 1):
„ А-р „ Аи. +1 , Ар-1
х = х(А,р) = а ——- y = y(A,p)=b z = z(A,p) = с ----- .
Л + р л + р Л + р
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, Ар2 a2 +b2{p2-I)2 +с2{р2 +1)2 _-4рАа2+Ь2(р2-1)(А2-1) + с2(р2+1)(А2+1)
(р + А)4 (р + А)4
4а2Л2 + Ь2 (Л2 — I)2 + с2 (Л2 +1)2 — баЬсрА
(// + Л) 4 (р + А)2, ^а2Ь2(рА-1)2 + а2с2(рА + 1)2 + Ь2с2(р-А)2
L=N=Q, к=к,=О.
’ р л
Координатные линии 2, р совпадают с прямолинейными образующими гиперболоида.
Дополнительная литература
1. Гольденвейзер А.Л. Безмоментная теория оболочек, очерченных по поверхностям второго порядка// ПММ. -
1947. - Том XI, вып. 2. - С. 285-290 (библ.: 6 назв.).
440
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
эллипсоид
Рис. 1. Фрагмент эллипсоида
— а < х < а; 0 < у < Ь; 0 < z < с
Рис.2.Задание эллипсоида в
географических криволинейных координатах
Рис. 3. Линии кривизны
трехосного эллипсоида
Формы задания поверхности эллипсоида
1) Неявная форма задания: х2/а2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 (каноническое уравнение),
где а, Ь, с- полуоси эллипсоида.
При а = b = с трехосный эллипсоид вырождается в сферу с радиусом а, то есть сфера явля-
ется частным случаем произвольного эллипсоида. Если принять, что а - Ь, то получившийся
эллипсоид вращения будет образовываться вращением эллипса х2/а2 + z2/c2 = 1 вокруг оси Oz.
Эллипсоиды вращения можно также получить, принимая а = с или b = с.
Трехосный эллипсоид Красовского с а = 6379,351 км; b = 6356, 863 км; с = 6378,139 км
очень точно описывает форму Земли. Зазор между ним и формой Земли не превышает 100 м.
Эллипсоид целиком расположен внутри прямоугольного параллелепипеда с центром, в точ-
ке (0,-0, 0), с гранями, параллельными координатным плоскостям, и со сторонами, имеющими
длины 2а, 2Ь и 2с. Только координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллип-
соида. В сечениях эллипсоида плоскостями параллельными координатным плоскостям получа-
ются эллипсы. Объем эллипсоида вычисляется по формуле: V = 4лаЬс/3.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1; рис. 2):
х - x(u,v) = a sinucosv; у = y(u,v) = bsinusinv; z = z(u) = ccosu, 0<и<л:, 0 < v < 2n.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, , , , sin2vsin2w , э , , , , , ,
А~ =cos~ и[а' cos v + b sin v) + c sin u; F = (b -a )--; B' =sin" u(a~ sm v + b cos v);
abc sin и
у!а2В2 -F2
М=Ъ, N = -
abcsin3 и
Ja2b2-f2
a2b2c2 sin4 и
K = ——-------—
(A2B2 -F2)2
3) Параметрическая форма задания (стереографическая форма):
z(a,p) =
2с fi
1 + а2 + Р2 ’
4) Параметрическая форма задания (Меркаторова проекция):
x(/,v) = osech/cosv; у = у (у, v) = bsech/sin v; z = z(y)=cthy.
5) Параметрическая форма задания эллипсоида в линиях кривизн и и v (рис. 3):
2 а'(а“-и)(а‘- у) 2 b~ (b2 -u)(b2 — у) , с2 (с2 - и)(с~ - v)
- =—5--т--i, У ——з5й----------т-, z" =—п-j—з---т-, а~ >
(а2 — Ь~)(а2-с2) (Ь~ —а~)(Ь2 — с~) (с* -а~)(с" -Ь2)
Дополнительная литература
1. Кривошапко С.Н., Жиль-улбе Матье. Геометрические и прочностные исследования тонких псевдосфериче-
ских, эпитрохоидальных, эллипсоидальных, катеноидальных оболочек и оболочек в форме циклид Дюпена//
Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2001. - Вып.10. - С.23-35.
441
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
Рис. 2
Рис. 1
Эллиптический параболоид - незамкнутая
нецентральная поверхность второго порядка.
На поверхности эллиптического параболоида
существует бесчисленное множество сетей
переноса.
Формы задания поверхности эллиптического параболоида
1) Явная форма задания: х2 / р + у2 / q = 2z; где р, q > 0 (каноническое уравнение), рис. 1.
Плоскость z = h < 0 не пересекает эллиптический параболоид, плоскость z = h - 0 имеет с
параболоидом одну общую точку. Плоскость z = h > 0 пересекает параболоид по эллипсу с по-
луосями f2hp и -J2hq . Все эллипсы подобны между собой, они имеют одно и то же отношение
полуосей yjq / р . Плоскость у = h пересекает параболоид по параболе с фокальным параметром
р, с вершиной в точке (0, h, h2/(2q)). Плоскость х = h пересекает параболоид по параболе с фо-
кальным параметром q, с вершиной в точке (h, 0, h2/(2p)'). Сечения эллиптического параболоида
плоскостями у = 0 и х = 0 есть соответственно главные параболы х = 2pz, у = 0 и у2 = 2qz, х = 0
параболоида. Эллиптический параболоид не содержит ни одной прямой. При р - q эллиптиче-
ский параболоид вырождается в параболоид вращения, см. «Параболоид вращения».
.2
2) Явная форма задания:
2\а2 b
где h - стрела подъема поверхности.
Плоскость z = 0 пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями /2я и Jib.
3) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и, у) = Jpucos v; у = у(и,v) = Jqusin г;
z = z(«) = и2 /2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = pcos2 v + tysin2 v + u2, F = usin2v(q-р)/2, В2 = и2(psin2 у + <7 cos2 у),
£ = --2 , M = o, N = u2 L, K = u4pq/(A2B2 -F2)2 >0.
Криволинейные координаты и, v являются неортогональными, но сопряженными.
4) Параметрическая форма задания (рис. 1): х = х„ у = у, z = z(x,у) = х2 / (2р) + у2 / (2<у).
Параметрические уравнения показывают,. что эллиптический параболоид - поверхность
прямого переноса, то есть образовывается движением одной главной параболы по другой.
5) Векторная форма задания: г = r(a,v) = aeacosvi + beasinvj + e2ak/2.
Поверхность отнесена к изотермическим сопряженным координатам а, у (L = N; М = 0).
6) Параметрическая форма задания эллиптического параболоида в линиях кривизн и и у:
, b2(b2 -и)(Ь2 - у) 2 с2(с2 — и)(с2 — v) u + v-b2~c2 ,
X- - , У = ^—^2-----> z =---—----’ с <u<b' <v; b- = р, С = q.
Дополнительная литература
1, Zmijewski Krzysztof Henryk. Zginanie sprezystej powloki w ksztalcie paraboloidy eliptycznej podpartej na zebrach//
Meeh. teor. i stosow. - 1980, 18, No 1. - C.87-106 (библ.: 12 назв.).
2. Козлов А.Т. К расчету пологого эллиптического параболоида// Строительная механика: Сб. статей. - Том
LXX1, Вып. 8. - М.: УДН, 1974. - С.119-133 (библ.: 11 назв.).
3. Bele? Aurel A., Soare Mircea V. Elliptic and hyperbolic paraboloidal shells used in constructions. - Buchares, Ed.
acad. Romane London, S.P. Christie and Partners Consulting Eng., 1976. - 751 p.
442
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
Двуполостный гиперболоид - незамкнутая центральная поверх-
’ д ностъ второго порядка, которая состоит из двух не связанных друг
--------- с другом частей. Поверхность не имеет прямолинейных образующих
X. х и! следовательно; состоит из эллиптических точек.
" Формы задания поверхности двуполостного гиперболоида
у 1) Неявная форма задания:
... 2 2 2
Х У Z
_ - —- —+ —=1 (каноническое уравнение).
- - а Ь' с'
р ~ ] Плоскость z = h при |й| < с не пересекает гиперболоид; при \h\ = с
плоскость z = h имеет с гиперболоидом одну общую точку (0, 0, с)
или (0, 0, -с). Плоскость z = h, где |/г| > с, пересекает двуполостный гиперболоид по эллипсу с
полуосями /г2 / с2 - 1, b4h2 / с2 -1. Любая плоскость у = h пересекает гиперболоид по ги-
перболе с полуосями суТ+ h2 7b2, ayll + h2 lb2 , а плоскость х = h пересекает гиперболоид по
гиперболе с полуосями сх/1 + А2 / а2, bjl + h2 /а2 . Координатные плоскости являются плоско-
стями симметрии гиперболоида, а начало координат - его центром симметрии.
Конус, определяемый уравнением х2/а~ + y~/b2 - z/c2 = 0, называется асимптотическим ко-
нусом. При удалении точки по гиперболоиду так, что абсолютная величина ее координаты z
неограниченно возрастает, эта точка неограниченно приближается к асимптотическому конусу.
При пропорциональном неограниченном уменьшении полуосей двуполостный гиперболоид
стягивается к асимптотическому конусу. У двуполостного гиперболоида вещественных прямо-
линейных образующих нет. Приняв а = Ь, получим двуполостный гиперболоид вращения.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = x(u,v) = ashwcosv, у = у(и,г) = bshwsinv, z = z(w) = ±cchu,
где знаки (+) и (-) соответствуют двум полостям гиперболоида.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = ch2и(а2 cos2 v + b2 sin2 v) + c2sh2и; F = sh2«sin2v(b2-a2)/4; B2 = sh2w(a2 sin2 v + b2 cos2 v);
L = +abcshu/ A; M = 0; N = +abcsh2u/ A; К = a2b2c2sh'iu/ A4 > 0, где A = j A2B2 - F2.
3) Векторная форма задания (рис. 1): г = r(a, v) = -«(cosv / shcu)/ — A>(sin v / sha)j - ccthafc.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = csch2cr[cth2c^o2 cos2 v + b2 sin2 г) + с2]; F = csch2acthasin2v(a2 -b2) /2;
, , / , о о \ abc a2b2c~ i—;—;----г
B~ = csch'Cna’ sin’ v + b' cos’ v ; L =-y— = N; M = 0; K = —;—> 0, где A = VA~B' -- F'.
k ' Ash a A sh a
Поверхность гиперболоида отнесена к сопряженным криволинейным координатам а, г.
4) Параметрическая форма задания двуполостного гиперболоида в линиях кривизн и и г:
2 a2(a2-и)(а2 - г) 2 Ь2 (Ь2 + и)(Ь2 + v) 2 с2 (с2 + и)(с2 + г) 2 2
” — ~~ л л , У — -Э П Э , 7 ~~ ”” о о А • Ь И ~~С — V •
(а'+Ь')(а +с ) ' (Ь +а~)(Ь -с) (с + а )(Ь2 - с4)
Дополнительная литература
1. Гольденвейзер А.Л. Безмоментная теория оболочек, очерченных по поверхностям второго порядка// ПММ. -
Том X!, вып. 2. - 1947. - С. 285-290.
2. Тухман Я.И.. Федоренко Н.А., Еремеева Л.Н., Куденко С.М. К вопросу построения различных объектов, каса-
тельных к нелинейчатым поверхностям второго порядка. - Харьков: ХПИ, 1986 . - 22 с. - Библ.: 4 назв. - Рук. деп.
в УкрНИИНТИ 12.11.86, № 2572-Ук.
443
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
КВАДРИКИ
Квадрика (Quadric) - это поверхность второго порядка, задаваемая в форме
а2 + р Ь2 + р с2 + р
где а2 > Ь2 > с2. Фиксируя точку M(x,y,z) и освобождаясь от знаменателя, можно получить урав-
нение третьей степени относительно параметра квадрики р. Это уравнение будет иметь три
вещественных корня u, v, и w, которые заключаются соответственно в границах:
э 2 » 2 » 2
4-оо > и > -с , -с >v> -b , -b > w > -а .
Три числа (и, v, w) называются эллиптическими координатами взятой точки M(x,y,z). Пред-
полагается, что все три координаты точки (х, у, z) отличны от нуля. В противном случае для р
получится уравнение ниже третьей степени. Если, например, z = 0, а х и у отличны от нуля, то
вышеприведенное уравнение даст значения и и v, a w надо считать равным (-с2).
Исследуем теперь координатные поверхности в эллиптической системе координат. Под-
ставляя в вышеприведенное уравнение р = и, где и некоторое число из промежутка (-с", ==),
можно получить поверхность
а2 + и Ь2 + и с2 + и
которая, очевидно, является эллипсоидом (см. «Эллипсоид»), так как в силу первого из нера-
венств все три знаменателя последнего уравнения - положительны.
Полагая р = v, где v взято из промежутка (-Ь2, -с2), можно получить уравнение однополо-
стного гиперболоида (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»)
а2 + v b2 + v с2 + v
так как в данном случае a2 + v>b2 + v>Qwc2 + v<0.
Наконец, при р = w, где w - из промежутка (-а", -/>“), можно получить уравнение двуполо-
стного гиперболоида (см. «Двуполостный гиперболоид»)
а2 + w b2 + w с2 + w
Направляющие косинусы нормалей к поверхностям эллипсоида и однополостного гипербо-
лоида соответственно пропорциональны:
х у z х у z
а“+и b~ +и с'+и а~+v b~ + v с2+v
Поэтому равенство, получаемое почленным вычитанием уравнения эллипсоида из уравне-
ния однополостного гиперболоида
(а2 +и)(аг + г) (Ь2 +и)(Ь2 + г) (с2 + и)(с2 +г)
выражает условие перпендикулярности этих нормалей, то есть дает доказательство ортогональ-
ности поверхностей эллипсоида и однополостного гиперболоида. Точно так же можно доказать
взаимную ортогональность и других координатных поверхностей, то есть полученные три ко-
ординатные поверхности - взаимно ортогональны. Пользуясь теоремой Дюпена, можно утвер-
ждать, что два семейства линий кривизны на эллипсоиде при фиксированном и получается в
результате пересечения этого эллипсоида со всевозможными однополостными и двуполостны-
ми гиперболоидами из вышеуказанных семейств.
Дополнительная литература
1. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - Том II. - Изд. 21, стереотипное. - М.: «Наука», 1974. - С. 656.
444
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ЛИТЕРАТУРА ПО РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК, ОЧЕРЧЕННЫХ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Андрушков В.И., Рассказов А.О. К расчету в перемещениях оболочек произвольной формы// Прикладная
механика. - 1981. - 17, № 11. - С. 118-121 (библ.: 5 назв.).
2. Апраксина Т.Н. Сравнительное исследование напряженного состояния оболочки в форме эллиптического
параболоида по теории пологих и непологих оболочек// Волгоград, инж.-стр. ин-т. - Волгоград, 1983. - 14 с. - Ру-
копись деп. в ВИНИТИ 5 апр. 1984., № 19б1-84Деп.
3. Бабенко В.И., Кошелев В.М., Аведян В.Ш. Закритические деформации пологих эллиптически параболои-
дальных оболочек при внешнем давлении// Физ.-техн, ин-т низких температур НАН Украины. - Харьков, 1997. -
12с. - Библ. 10 назв., русск., Деп. в ГНТБ Украины 27.03.97. - № 245-Ук97.
4. Бабенко В.И., Пуговолок М.М. Экспериментальное определение критического давления для пологой эллип-
тически параболоидальной оболочки// Докл. АН УССР, серия А. - № 1. - 1983. - С. 33-36.
5. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. - М.: Стройиздат, 1977.
- 154с.
6. Дзама М.А., Егармин Н.Е. Процессия упругих волн при вращении некоторых классов осесимметричных обо-
лочек//Изв. АН СССР. МТТ. - 1991.-Я» 1.-С. 170-175 (библ.: 4 назв.).
7. Слезингер И.Н., Барская С.Я. Деформация неоднородной гибкой пологой оболочки, опирающейся на эллип-
тический план// Изв. вузов. Строительство. - 1991. - № 5. - С. 24-27 (библ.: 2 назв.).
8. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. - Киев: Наук, думка, 1990. - 135 с.
(библ.: 264 назв.).
9. Магула В.Э. Проектирование цилиндрических опорных пневмооболочек// Проект, судов и судов, устройств:
Сб. тр. - Николаев, 1989. - С. 17-27.
10. Kopec М.В. Расчет непологих оболочек типа гиперболических параболоидов// Строит, механика и расчет
сооружений. - 1989. -Я» 1. - С. 60-65 (библ.: 8 назв.).
11. Самольянов И.И. Колебания оболочек типа гиперболического параболоида// Строит, механика и расчет
сооружений. - 1988. -Я» 2. - С. 43-47.
12. Сагирашвили Л.И. Расчет ортотропной оболочки в форме гиперболического параболоида, подкрепленной
ребрами// Сообщ. АН ГССР. - 1990. - 137, Я» 2. - С. 345-348 (библ.: 1 назв.).
13. Губарев В.В., Филимонов Э.В. Напряженное и деформированное состояние стеклопластиковой мембранной
оболочки в форме гиперболического параболоида// Новые легк. конструкции зданий. -Ростов н/Д., 1985. - С.75-83.
14. Fareeil Adel, Dawoud R.H. Elliptical parabolic shell of equal curvatures resting on an elastic foundation// Int.
Symp. “Innov. Appl. Shells and Spat. Forms”, Bangalore, Nov. 21-25, 1988: Proc., Vol. 1. - Rotterdam, 1989. - C.239-251
(библ.: 7 назв.).
15. Pavlovic M.N. A statically determinate truss model for thin shells: one-surface analysis (membrane hypothesis)//
Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984, 20, Я» 10. - P. 1841-1861 (библ.: 16 назв.).
16. Ballinger I.A., Lay W.D., Tam W.H. Review and history of PSI elastomeric diaphragm tanks// A1AA Pap. - 1995. -
Ns 2534. - C. 1-20 (библ.: 7 назв.).
17. Fan X.J., Sun J.S., Qian J. Combination of the weight function method and the line spring model: a surface-cracked
cylindrical shell subjected to stress gradients// Int. J. Solids Struct. - Vol. 32, n 20, Oct. 1995, NY, USA. - P. 3037-3046.
18. Stanley A.J., Ganesan N. Dynamic response of cantilever cylindrical shells with discontinuity in thickness sub-
jected to axisymmetric load// Comput. Struct. - Vol. 55, n 4. - May 17, 1995. - NY, USA. - P. 667-685 (библ.: 5 назв.).
19. Kubiak Halina. Analityczne rozwiazanie stanu momentowego powloxi paraboliezno-hiperbolieznej// Zesz. nauk
Bud./ Pczest. - 1990. -Я» 2. - C. 227-235 (библ.: 7 назв.)
20. Ishakov V.I. Stability analysis of viscoelastic thin shallow hyperbolic paraboloid shells// Int. J. Solids Struct. -
36(28), Oct. 1999. - P. 4209-4223.
21. Basar Y„ Ding У. Finite-rotation elements for the nonlinier analysis of thin shell structures// Int. J. Solids and
Struct. - 1990. -26, Я» 1,- C. 83-97 (библ.: 19 назв.).
22. Ringleben W. Eine Entwurfsmethode fur diinne HP-Schalen auf geometrischer Grundlage// Bauingenieur. - 1989. -
64, № 10. - S. 473-481 (библ.: 13 назв.).
23. Pellegrino. On the rigidity of triangulated hyperbolic paraboloids// Proc. Roy. Soc. London. A. - 1988. - 418, Я»
1855.-P. 425-452 (библ.: 36 назв.).
24. Sajtos I. Calculation of hyperbolic paraboloid segmental shell with protruding unsupported edge// Acta techn.
Acad. sci. hung. - 1989. - 102, Я» 1-2. - C. 103-122.
25. Calladine C.R. Natural frequencies of cooling tower shells// J. of Sound and Vibration, 1982. - 82(3). - P. 345-369
(библ.: 16 назв.).
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах разделов «Поверхности второго
порядка», «Конические поверхности», «Цилиндрические поверхности», «Поверхности вращения».
445
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Алгебраическая поверхность - двумерное алгебраическое многообразие. Теория алгебраи-
ческих поверхностей является одним из разделов алгебраической геометрии. Главная особен-
ность алгебраической геометрии - применение исключительно полиномиальных функций. В
дальнейшем будем считать, что поверхности, определяемые в прямоугольных координатах ал-
гебраическими уравнениями, называются алгебраическими поверхностями.
Алгебраическим называется уравнение F(x,y,z) = 0, в котором левая часть представляет со-
бой многочлен относительно х, у, z с численными коэффициентами о,;. Степень многочлена
F(x,y,z) - наибольшая из степеней составляющих его одночленов - называется степенью урав-
нения. Поверхность, которая в некоторой системе прямоугольных координат определяется ал-
гебраическим уравнением степени п, называется алгебраической поверхностью порядка п.
Порядок поверхности не зависит от системы координат, а характеризует саму поверхность,
то есть если поверхность представляется в одной системе прямоугольных координат алгебраи-
ческим уравнением степени п, то она представляется уравнением этой же степени и в любой
другой системе прямоугольных координат.
Плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка. Она задается уравне-
нием ах + by + cz + d - 0, где хотя бы одно из чисел а, Ь, с отлично от нуля (см. раздел «Плос-
кость»),
Поверхности второго порядка (квадрики) определяются алгебраическими уравнениями
второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. В общем виде уравнение
поверхностей второго порядка выглядит как
F(x,y,z) = а\\х2 + аггу2 + аззг2 + 2ацху + 2ai3xz + 2<Т2зуг + 2а]4х + 2<724,у + 2дз4г + 044 = О,
где ад = а/d', i, k = 1, 2, 3, 4. Это уравнение может и не определять действительного геометриче-
ского образа. В таких случаях говорят, что уравнение определяет мнимую поверхность второго
порядка. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения оно может описывать
17 поверхностей (см. раздел «Поверхности второго порядка»).
Прямолинейная конгруэнция - двухпараметрическое множество прямых. Закрепление од-
ного параметра выделяет из всей совокупности прямых однопараметрическое множество, то
есть линейчатую поверхность. . Погружение в прямолинейную конгруэнцию, построенную на
двух скрещивающихся прямых, кривой л-го порядка приводит в общем случае к образованию
линейчатой поверхности порядка 2п. Так, погружая в конгруэнцию кривую второго порядка,
получают в общем случае линейчатую поверхность четвертого порядка. Для получения линей-
чатой поверхности третьего порядка необходимо распадение поверхности 4-го порядка на
плоскость и поверхность третьего порядка. Это произойдет, если одна из направляющих пря-
мых конгруэнции пересечет погружаемую кривую 2-го порядка в некоторой точке.
Совершенно естественно, что алгебраические поверхности одновременно могут входить в
один или сразу в несколько других классов поверхностей. Например, алгебраическую поверх-
ность четвертого порядка - круговой тор можно отнести также к поверхностям вращения или к
циклическим поверхностям. В настоящем разделе представлены алгебраические поверхности
выше второго порядка, не вошедшие в другие разделы. Полный перечень алгебраических по-
верхностей, описанных в энциклопедии, приведен на страницах «Алгебраические поверхности
выше второго порядка, представленные в энциклопедии».
Дополнительная литература
1. Математическая энциклопедия/ Гл. ред. И.М. Виноградов. - Изд-во «Советская энциклопедия», 1977, - Том
1. - С. 149- 154 («Алгебраическая поверхность», библ.: 10 назв.).
2. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: «Наука», 1990. - 672 с.
3. Кочеткова А.Л. Конструирование линейчатых поверхностей высших порядков из прямолинейной конгруэн-
ции// Труды УДН, том XXVI «Математика». - Вып. 3 «Прикладная геометрия». - С. 95-99 (библ.: 3 назв.).
446
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
ПОВЕРХНОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА:
г2 = a2yJ - прямая цилиндрическая поверхность с
полукубической параболой в сечении;
ab2z + с(у2 - /г)(т - а') = 0 - параболический коноид;
2pz(x - а)2 - а2у2 = 0 - прямой коноид с направляю-
щей параболой, ось которой параллельна оси коноида;
гу2 - л2 = 0 - зонтик Уитни;
Z3 - />3У + у2) = 0 - поверхность, образуемая враще-
нием меридиана в форме полукубической параболы
вокруг оси Оу,
(yl - ах +xf)2 = х'(а2 — у2) — коноид с направляющей
окружностью;
У + y2)z = 2ху - коноид Плюккера;
Z — xy- У/6 - поверхность Кэли;
Z = -л3 -ху- кубическая поверхность;
z = х~' - Злу2 - обезьянье седло;
<У + у2 + z2) + (у2 + z2)(/ - //) - л2(/ + pt- (z + I —,«)(/
+ д)~ = 0 - циклида Дюпена второго типа;
z = х3/3 + .ху2 + 2(.г - у2) - поверхность «Платок»;
Z = х3/3 - у212 - башмачная поверхность;
уУ + у2 + z2 - а2) - 2z(x2 + у2 + ах) = 0 - лист Мёбиу-
са на круглом плане;
.г3 + у3 + z3 + I3 - 0 - диагональная кубическая по-
верхность Ферма;
.х2 + у2 +z2 -2лут,= 1 + z2 - кубическая поверхность
Касдагльи;
у = 2fi3x2/b2 - 2|х|3/У) - поверхность цилиндрическо-
го гибкого бункера для хранения сыпучих материалов;
2ВгТ(Ь-х)} T(L—x)
Z =----—;----;-------;------------ КОНИЧеская
Ц4у~ L2 +3“(£-ЛТ1
поверхность с направляющей кривой в форме анье-
зианы;
у = ±2 5426 в У-лТ/Уз) h^L-Tx-Lz + xT^)
Т 2. ]I~^L-xT + 3Lz-^3xt)
- коническая поверхность с направляющей кривой в
форме листа Декарта;
z = 1/(лу) - поверхность Цицейки 3-го порядка с цен-
троаффинным инвариантом / = 1/27;
z = z(x, у) =--------— + е-, х - поверхность
(,Г-£,у)2+у-
Цицейки 3-го порядка с центроаффинным инвариан-
том /=-4/27;
х~ + у2 = (1 - г)У- поверхность вращения «Динь-
дон»;
ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА:
z = суу - крестообразный желоб;
Z = ах4 + т2у - у2 - поверхность Мэнна;
Параболический торс (см. «Линейчатые поверхности
нулевой гауссовой кривизны»)
(т2 + у2 + z2 + а2 - Ь2)2 = АаЧх2 + у2) - круговой тор;
г2(т2 + у2) = Ь~ - поверхность вращения гиперболы
z = b/х вокруг оси Oz;
У + 2ар)~ = 4р2 У + у2) - поверхность вращения
параболы;
cz = У + у2)2 - параболоид вращения четвертого по-
рядка;
z3(a - z) - b2(x2 + у") = 0 - поверхность вращения
«Груша»;
[г + уг/(2р) + а]2 = (а2 - х2) - поверхность переноса
окружности по параболе;
(г ± ах2)' - 2с(у + ах2) = yc'lb2 - поверхность перено-
са параболы z = -аУ по гиперболе (z - с)7с2 - у2//?2 = 1;
z = (3 — У - у -Уу2)!2 - параболическая поверхность
Шроды;
(х1 у2 л2уУ
Z = с —у + —----- параболический велароид;
1а Ь2 a'b J
2 у f2-c2( , , л2у2>|
z =т-----------— ±" + v -I--— -эллиптический
а \ a J
велароид;
г = (у - х2)^ - Зх2) = (у - 2л2)2 - л4 - седло Пеано;
тУ + у2г2 + гУ = а2 - сужающаяся седловая поверх-
ность Розендорна;
х2у2 + y2z2 - z2x2 - 2kxyz = О - поверхность Штейнера
второго типа;
у2 - 2лу2 —ху + У'У + Ух2 - г4 = 0 - поверхность
Штейнера четвертого типа;
у2у + гУ + Уу2 + 2kxyz = 0 - римская поверхность;
У + у2 + У - p2w2)2 = 2[(z - У)2 - 2л2] [(г + И')2 - 2у2] -
поверхность Куммера;
Z = лу(л2 + у2) - уплощенное седло в барабане;
с2Ь2У - (аЧ:2 - г2)У + у2) = 0 - коническая кромка
Уоллиса;
( к,х2 + Уу2 )(у + у2 + г2) = 2z( л2 + у2) - скрещенный
колпак;
У + у2 + г2 - 2рах)2 = 4а2 У + у2) - эпитрохоидаль-
ная поверхность;
У + у2 + z2 - р2 + b2)2 = 4 (сл - ар)2 + 4Ь2у2 - циклида
Дюпена первого типа (а2 = с2 - Ь2)\
У + у2 + Z2 ± 2rR - 2z(r ± Я)]2 = 4(? - л2)(7?2 - у2) -
круговая поверхность переноса;
447
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[(Z + Ъ + dyer с2 - Ьгс2(а2 - х2) - a2d\c2 - у2)]2 =
= 4(яЬ«/)2(а2 - л2)( с2 - Л - эллиптическая поверх-
ность переноса;
х2у2 = (а + у)2(У — у2 — Z2) - циклическая поверхность
с окружностями в плоскостях пучка и с прямой линией
центров;
х2(г - у2) + (я + у)2У - у2 - г2) - циклическая по-
верхность с окружностями переменного радиуса в
плоскостях пучка и с тремя прямыми параллельными
направляющими линиями;
я2с2у2 = (с2 - z2)[ab + (х- a)(b - el)]2 - цилиндроид с
двумя направляющими эллипсами;
25[х3(у + z) + у3(х + z) + z3(x + у)] + 50(?у2 + y2z2 +
z2x2) - 125(x2yz + y2xz + z2xy) + 60xyz-4(xy + xz + yz) = 0
- сливная воронка Нордстранда;
(x2 + у2 + z2 - о£2)2 - £*[(z - к)2 - 2x2H(z + к)2 - 2у2] = О
- поверхность «Кресло»;
х" + у4 + г4 - 50? + у2 + z2) + 11,8 = 0 - спутанный
куб;
х4 + у4 + z4 - (х2 + у2 + z2) = 0 - зубная поверхность;
х4 + у4 + z4 + я(х2 + у2 + z2)2 + й(х2 + у2 + г2) + с = 0 -
поверхность Гурса;
(х2 + у2 + z2)( х2 + у2 ) + 2-(х2 - у2) = 0 - поверхность
четвертого порядка с двойной прямой линией и с
тройной точкой;
(х2 + у2 + z2)2 + 2xyz = 0 - циклиды с тройной точкой;
4Т2у2 + B2z2 = Т2В2(1 - х2/Т2)2 - поверхность 4-го по-
рядка с параболой, эллипсом, параболой в 3-х главных
координатных сечениях;
256В27гх3(х - L) + ПЯТУ/ч- 27B2L4z2 = 0 - поверх-
ность 4-го порядка с кривой 4-го порядка, эллипсом,
кривой 4-го порядка в 3-х главных координатных се-
чениях;
(xz-ab)2 -(b2 -z2)(/>->’)2 =0 - линейчатый ротор-
ный цилиндроид ;
£
2
7 7
X +у +Z
2
а2Ь2(х2+у2) }
Н(Ь2х2+а2у2)
z = 0 - по-
верхность кругов Фейербаха;
7 и\У~У\\ 2 ? 1
z~ =—- —----- [я -(х-с)]-непрерывно-топо-
а \ У о )
графическая линейчатая поверхность с распределяю-
щим эллипсом;
х2 + у2 = 4( 1 - z2)z2 - поверхность вращения «Вось-
мерка»;
Z2 + у2 = 3х(2я-х)[1-с2/(х + я)2]/4 - поверхность
вращения «Яйцо»;
д/х2 + у2 + (г + я)2 -д/у2 + (г-я)2 -Я = 0- эквиди-
станта системы «прямая - сфера»;
-^х2 +у2 -\у2 + Z2 + (х-а)2 - Я = 0 - эквидистанта
системы «точка-цилиндр»;
7х2 + у2 -7(/x-z)2/(l + /2) + (y-a)2 -R = 0- экви-
дистанта системы «прямая - цилиндр»;
(х2 - а)2/У +az2 -cz(x.2 — а) = (Я±г)2 у2-эквиди-
станта системы «прямая - тор»;
(я-z)4г2 -(a-z)2(x2 + у2)я2 +2axyz(a-z)-у2z2 =0
- поверхность 4-го порядка с двумя двойными прямы-
ми линиями;
4х2( х2 + у2 + z2) - у2( 1 - у2 - z2) = 0 - Miter Surface.
ПОВЕРХНОСТИ ПЯТОГО ПОРЯДКА:
х2 + у3 + z5 = 1 - Пиренейская поверхность;
х2 + у2 = (1 - z)z4 - поверхность вращения «Падаю-
щая капля»;
о
z = 2а-----------------— биверзьерная поверх-
у2+а2 х2+а~
ность переноса;
г/2ху4 - 2яУху2 + a2(b + c)(2dy2z + cTz~ - 2a2zel) +
+ яУх = 0 - параболическая поверхность коноидного
типа;
Ву1т2-z2
1 х2
Т L2(z + T)
- поверхность 5-го
порядка с параболой, эллипсом, параболой в 3-х глав-
ных координатных сечениях;
64(x-w)[x4 -4хУ-10х2у2 -4x2w2 +16xw3 -
-20ху У + 5у4 +16w4 -20у2iv2]-5^5-Л(2 z-
-V5-75ti')[4(x2 +у2 +г2)+(1+з75)и,2]2-«Дервиш»;
ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА:
Торс одинакового ската с направляющей параболой
(см. «Линейчатые поверхности нулевой гауссовой
кривизны»)
(г2 + 4я2)2(х2 + у2) = 64я6 - поверхность вращения
локона Аньези;
(х2 + 9у2/4 + z2 - 1У - x2z3 - 9y2z3/80 = 0 - поверхность
«Сердце»;
4(х2 +у2 + z2 - 13)3 + 27(Зх2 + у2 - 4z2 - 12)2 = 0 - по-
верхность Ханта;
а2(г2 -х2 - у2)2 + 4x2y2(z2 - а2) - 0 - синусовая
поверхность;
/ а \ 2
( 2ъ I
z2+y2-T2------------1 =0 - поверхность враще-
У—+L2 )
ния аньезианы;
х2 (q—h г 2Rv2 ? 2Ry2
z=—- —x-У -q + ———^— ---------------по-
те2^ t2 у2 + 4Я2 ) y2+4R2
448
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
верхность 6-го порядка с верзиерой и двумя парабола-
ми в параллельных плоскостях;
jVO + i) + _?)Г
2b 2b j
- линейчатый роторный цилиндроид
i?(T- z)b4t-- в [^—
у 4x2T + L2(T-z) 2Т
2| =о
bj
- аэрогидро-
динамическая поверхность, заданная непрерывным
каркасом ватерлиний в форме обобщенных аньезиан;
, Тзд [4~ г'(z х2) .
±у =-----, — Tz — z---------- поверхность 6-го
2Т \3 [т L )
порядка с параболой, кривой 4-го порядка, параболой
в 3-х главных координатных сечениях;
С 2 pV^y2 Z2 ^1 1,2 2Х л
[х + L I —— ч-----= IL -х I - поверхность 6-го
В2 т-)
порядка с аньезианой, эллипсом, аньезианой в 3-х
главных координатных сечениях;
4(f)V -у2)((Уу2 -z2)(02z2 -x2)-(l + 2(i)(x2 +
+ у2 +z2 - w2)2 w2 =0 - поверхность Барта 6-го по-
рядка (Barth Sextic);
ПОВЕРХНОСТИ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА:
zJ = а(х2 - у3)2у + й(х2 + у2)х - поверхность «Лыжная
горка»;
прямой пучка, лежащими по одну сторону от плоской
линии центров;
-------------н —z—т-----— = 1 - поверхность 8-
L2B bY T2(L‘—4x")
:2+L2 2
LS
го порядка с аньезианой, эллипсом, эллипсом в 3-х
главных координатных сечениях;
16у4
В\Ч-хЧ (Г-У--Х2)
Г
-1 - поверхность 8-
L )
го порядка с кривой Ламе 4-го порядка, кривой Ламе
4-го порядка, эллипсом в 3-х главных координатных
сечениях;
, чЗ/ чХ ,ч2
•> 64 z 3W1 zY. х~ ]
у----В \-----------1----= 0 - гюверх-
27 4Д4 L2 )
ность 8-го порядка с параболой, кривой 4-го порядка,
параболой в 3-х главных координатных сечениях;
ПОВЕРХНОСТИ ДЕВЯТОГО ПОРЯДКА:
4— =0 - поверхность Эннепера;
- по-
В W( L}2
3(L-x)
2,5426—л,--------
L V L+3.X
ПОВЕРХНОСТИ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА:
верхность 7-го порядка с параболой, эллипсом, листом
Декарта в 3-х главных координатных сечениях;
4Вх2 (4у2 + В2 )2 z2 ,
----------F —:-------—- = 1 - поверхность 7-го
L2{B~2y) Т2(В2 -4у2)2
порядка с параболой, аньезианой, эллипсом в 3-х глав-
ных координатных сечениях;
верхность 7-го порядка с параболой, кривой 4-го по-
рядка, параболой в 3-х главных координатных сечени-
ях;
ПОВЕРХНОСТИ ВОСЬМОГО ПОРЯДКА:
{ас + г4)2 - с2(т2 + у2) = О - поверхность вращения
биквадратной параболы;
YW + 2(а — у)2(у2 + z2 -2?)] + (о - у)4[(у2 + ?) -
4г2у2] = 0 - циклическая поверхность с окружностями
в плоскостях пучка, прямой направляющей и фикси-
рованной прямой пучка, лежащими по разные стороны
от плоской линии центров;
[х2у2 + {а + у)2( у* 1 + z2 - 2г2)]2 = 4?(« + у)4(г - Г) -
циклическая поверхность с окружностями в плоско-
стях пучка, с прямой направляющей и фиксированной
J < <
------i.---- -|---------— = 1 - аэрогидроди-
( L2B в"! С 47л2 Y
I44a2+L2 2J I L2 )
намическая поверхность, заданная непрерывным кар-
касом эллиптических шпангоутов;
8(л2-фЧ’Ууг -фЧ2)У -У./-)(х4 + у4 +z4 -
-2х2у2 -2л'2z~ -2y2z2) + (3 + 5(J)(x2 +у2 +z2 --
-w2)2[x2 + у2 + z2 -{2-ф)№2}2 и/2 = 0 - поверхность
Барта 10-го порядка (Barth Decic);
ПОВЕРХНОСТИ
ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА:
у2 - С2В2 (г / Т + г„, 7 [1 - (z / Т + v,„ J5 ](1 - л-2 / Е2 - поверх-
ность 12-го порядка с параболой, кривой 8-го порядка,
параболой в 3-х главных координатных сечениях;
ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА
Алгебраическая поверхность с непрерывным карка-
сом верзиер, проходящих через параболу и две прямые
(см. «Алгебраические поверхности шестнадцатого
порядка»)
449
15-5391
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Обозначим через S неособую кубическую поверхность, заданную однородной кубикой f =
f(X,Y,Z,T), а через I - прямые, лежащие на .S'. Доказано, что через любую точку Р, принадлежа-
щую неособой кубической поверхности S, проходит не более трех прямых, лежащих на S. Если
этих прямых две или три, то они лежат в одной плоскости. Имеется несколько способов доказа-
тельства о существовании, по крайней мере, одной прямой I, лежащей на .S’,
Дополнительная литература
1. Bisztriczky Tibor. On surfaces of order three// Can. Math. Bull. - 1979. - 22, № 3. - P. 351-355.
2. Henderson A. The 27 lines upon the cubic surface. - New York: Hafner Publishing, 1911 (reprint 1960). - 100 p.
3. Гельфанд M.C. О центре симметрии одного типа поверхностей третьего порядка// Тр. Моск, ин-та хим. ма-
шиностроения. - 1975. - Вып. 65. - С. 86-91.
ПОВЕРХНОСТЬ «ПЛАТОК»
Поверхность, носящая название «Платок» (Handkerchief Surface), является алгебраической
поверхностью 3-го порядка, симметричной относительно одной координатной плоскости.
Формы задания поверхности «Платок»
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и~) = и, у = y(v) = v, z = z(w,v) = и3/3 + иг2 + 2(и2 —v").
Поверхность «Платок» задана в неортогональной несопряженной системе криволинейных
координат и, V.
2) Явная форма задания: z = х3 /3 + ху2 +2(х2 - у2).
Рассматриваемая поверхность симметрична относительно координатной плоскости. xOz. В
сечении поверхности плоскостью у = 0 лежит кривая третьего порядка z = x3/3 + 2.rf (рис. 1).
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
А2 = 1 + (%2 + у2 +4х)3, F = 2у(х - 2)(х2 + у2 + 4х), В2 = 1 + 4у2(х-2)2,
А2В2-F2 = 1 + (х2 + у2 +4х)2 + 4у2(х-2)2 = А2 + В2 -1,
2(х + 2) 2у 2(х-2)
L = , =, М = , =, N = , —-==,
х/а2 +52 -1 x/А2 +В2 -1 x/А2 +В2 -1
2(х + 2) 2(х-2) к_ 4(х2-у2-4)
о ' А2х/А2 +В2 -Г ’ S2x/A2 + В2 -1 ’ (А2+52-1)2’
Плоская координатная линия у = 0, лежащая в координатной плоскости xOz,
является линией кривизны. Поверхность содержит уча-
стки положительной и отрицательной гауссовой кривиз-
ны. Параболические точки с К - 0 расположены на двух
линиях у =г - ±х/и2 -4 = +7>2 -4, которые проектиру-
ются на координатную плоскость хОу в форме равносто-
“ ронних гипербол.
а Криволинейная координатная линия и = х = 0 пред-
ставляет собой параболу z = -2у2, а координатная линия
и = х = 2 является прямой линией z = 32/3, так как для нее ку = 0 (рис. 1).
В сечениях поверхности плоскостями у = ±х лежат кубические па-
раболы, проекции которых на координатные плоскости xOz и yOz будут
соответственно z = 4х3/3 и z = 4у3/3. На рис. 1 показана поверхность, по-
строенная в границах - 2 < х <2; - 2 < у < 2. На рис. 2 рассматриваемая
поверхность ограничена координатами - 1 < у < 1 и -1 < х < 1.
450
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
КУБИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ х3 + ху + z = О
Кубическая поверхность х3 + xy + z = 0 обычно рассматривается в статьях
и книгах по теории катастроф.- Это - линейчатая поверхность строго отрица-
тельной гауссовой кривизны. Структура формулы рассматриваемой кубиче-
ской поверхности полностью совпадает со структурой формулы поверхно-
сти Кэли (см. «Поверхности переноса»).
Формы задания кубической поверхности
1) Неявная форма задания (рис. 1): х3 + xy + z = 0.
2) Явная форма задания (рис. 1): z = -а3 - ху.
Полагая х - 0, получаем z = 0, следовательно, прямолинейная образующая
кубической поверхности, лежащая в плоскости х - 0, совпадает с координат-
ной осью Оу. Все прямолинейные образующие кубической поверхности ле-
жат в плоскостях х - хо = const, их проекции на координатную плоскость yOz
определяются уравнениями: z = -х% - хоу.
-2<х<1' । к' i Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
-4<у<0 \lk А2 =1 + (Зх2+у)2, Е = х(3х2+у), В2 = 1 + х2, А2В2 - F2 = А2 + В2 - 1,
< - 6х -1
Рис 1 % L = -, =, м =-F====, N = 0, к =0,
1 Va2+52-1 д/а2+Б2-1
Х = -[1 + (Зх2 + у)2 + х2]'2 <0, Я = х(у - 3)[1 + (Зх2 + у)2 +х2]'3/2.
Дополнительная литература
1. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. - М.: «Мир», 1991. - 151 с.
2. Reid М. Undergraduate Algebraic Geometry. - Cambridge University Press, 1988. - 129 p.
ДИАГОНАЛЬНАЯ КУБИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМА
Алгебраическая поверхность третьего порядка, которую называют диагональной кубической
поверхностью Ферма, обычно используется в алгебраической геометрии для иллюстрации ут-
верждений о наличии прямых на кубической поверхности.
Формы задания кубической поверхности
1) Неявная форма задания (рис. 2): х3 + у3 + z + t3 = 0.
2) Явная форма задания (рис. 2): z = д/- х3 - у3 -13, где t = const.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
4 2 2
7 X XV
А — i + F ~ ----Г77Т>
(х3 + у3 +?) (x3 + y3+t3)
-2х(у3+Г3) м______________2х2у2
(х3 + у3 + t3)S/3y/A2B2 - F2 ’ (х3 + у3 +Г3)5/37А2В2 -F2 ’
-2у(х3+г3) 4г3ху(х3 + у3+t3)1/3
(x3 + y3+f3)5/3VI^7?’ ^=[(x3+y3+f3)4/3+X+y4]2
Точка на кубической поверхности с координатами х = у = 0, z = -t - плоскостная. Плоско-
сти х = -у, х = -t, у = -t пересекают кубическую поверхность по прямым линиям. Вдоль линий
х = 0иу = 0на поверхности расположены параболические точки (К = 0).
451
15*
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
КУБИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КАСДАГЛЬИ
Кубическая поверхность Р. Касдаглъи является алгебраической поверхностью третьего по-
рядка, на которой расположены 24 прямые линии. Поверхность имеет че-
тыре полы, уходящих в бесконечность.
Формы задания кубической поверхности Касдаглъи
1) Неявная форма задания: х2 + у"' + z2 - 2xyz = 1 + А2, где 2 = const > 0.
2) Неявная форма задания: (х - угГ = (у2 - 1)(У - 1) + А2.
3) Неявная форма задания: (z - ух)2 = (у2 - 1)(х2 - 1) + А2.
4) Явная форма задания (рис. 1): z = ху + ^Ду2 - 1)(х2 - 1) + X.
24 прямые, принадлежащие кубической поверхности, лежат в двена-
дцати плоскостях, то есть, по одной паре прямых в каждой плоскости.
Введем новую константу у~ = 1 + А". В сечении кубической поверхности
плоскостью z = д лежат две прямые х = (у ± 2)у. В сечении поверхности
плоскостью z - -у также лежат две прямые х - (-у ± 2)у: в сечении z — 1 -
еще две прямые х - у = ± А. В сечении поверхности плоскостью z = -1
расположена одна пара прямых х + у = ±А.
Следующая пара прямых z = (у ±А)у лежит в плоскости х = у; две пря-
мые z = (-у ±2)у лежат в плоскости х = -у. В плоскостях х = ±1 лежат еще
две пары прямых z - у = + А и z + у = ± А, соответственно. Две пары пря-
мых х = (д ± A)z и х = (-д ± A)z расположены в сечениях поверхности плос-
костями у = ± у, соответственно. Последние две пары параллельных пря-
мых x~z=±Aitx + z = ±A лежат в плоскостях у = ±1, соответственно.
На рис. 1 показана рассматриваемая поверхность, построенная в грани-
цах -71 +-Я2 < и < 71 + 22 и - 71 +Я2 v < 71 + Л2, А2 - 0,5. Та же поверхность, но в границах
-1 < и < 1; — 1 < v < 1, изображена на рис. 2.
ПОВЕРХНОСТЬ 3-ГО ПОРЯДКА С ЛИСТОМ ДЕКАРТА, ЭЛЛИПСОМ,
ЛИСТОМ ДЕКАРТА В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
в сечении по-
верхности плоскостью z = 0, эллипс 4у2/В2 + z/T2 =1 в сечении плоскостью х = L/Тз и лист Де-
. 2,54267х l3(L-x) о э Т ли
карта z = +--~----J——----- в сечении у = 0. Здесь Т - осадка поверхности вдоль оси Oz, В -
г| ее максимальная ширина в сечении х = L/Тз вдоль оси Оу, L - ее
длина вдоль оси Ох.
Форма задания поверхности
1) Неявная форма задания:
4T2(L + 3.r)y2 , Z,2(L + 3.x)z2 = 1
19,395В2х2(L- х) \9.395Т2х2(Д-х) “
Поверхность 3-го порядка с листом Декарта, эллипсом, листом
Декарта в 3-х главных координатных сечениях образовывается се-
мейством эллипсов, лежащих в плоскостях х = const.
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.А.; Протодьяконов С.М. Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей
высших порядков// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 108-120 (библ.: 2 назв ).
, 1,2713Вх 3(L-x)
Рассматриваемая поверхность имеет лист Декарта у = ±----------- I-------
/. V 7. + Зх
452
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
СЛИВНАЯ ВОРОНКА НОРДСТРАНДА
Рис. 1
Сливная воронка Нордстранда (Nordstrand’s weird surface)
задается неявным уравнением:
25[л-3 (у + z) + у3 (х + z) + z3 (х + у)] + 50(х2 у2 + х2 z2 + у 2z2) -
-125Lt2 yz + y'xz + z2.ry) + 60xyz - 4(лу + xz + yz) = 0.
Уравнение поверхности и ее рисунок (рис. 1) взят без изме-
нений на сайте [ 1].
Дополнительная литература
1. Eric IV. Weisstein. Nordstrand’s weird surface. - From MathWorld. - A
Wolfram Web Resource. - © 1999 CRC Press LLC, © 1999-2004 Wolfram
Research, Inc. - http://mathworld.wolfram.com/NordstrandsWeirdSurface.html
© 1999 CRC Press LLC, © 1999-2004 Wolfram Research, Inc.
2. Nordstrand T. Weird cube - http://www.uib.no/people/nfyth/weirdtxt.htm.
ПОВЕРХНОСТЬ КРУГОВ ФЕЙЕРБАХА
Fepl St. [1] исследовал поверхность, которая представляет собой геометрическое место кру-
гов Фейербаха. Круги Фейербаха соответ-
ствуют осевым сечениям некоторого пря-
мого эллиптического конуса.
Формы задания поверхности кругов
Фейербаха
1) Неявная форма задания:
1Г аД2(х2+у2)
2 _H(Jb2х2 + а2у2)
где а,Ь,Н - константы.
0 = 6; b = 3; p = +1;
o = 3; 6 = 6; p = +1;
Рис. 2
Рис. 1
a = 3; b = 4; p =
o = 6; 6 = 3; p =
Рис. 4
2) Явная форма задания (рис. 1-3; Я = 9,9): р = ±1,
= 0,
Рис. 6
2
Рис. 3
z = z(r,v)=-
a2b2
+Н |+р. —I--------~;---------
J р6(Д((Г cos' v+a~ sin" г)
2
if a2b2(x2+y2) 1 [a2b2(x2 + у2')
H(b'x‘ +a~y') ) у 16^Я(й"х2+a"y")
3) Параметрическая форма задания (рис. 4-6; Н = 9,9): р = ±1,
х = x(r,v) = rcosv, у = y(r,v) = rsinv,
a2b2
^\jKb2 cos2 v+a2 sin2 v)
Дополнительная литература
1. Fepl Stanimir. Uber eine Flache// Publ. Elektrotehn. fak. Univ. Beogradu. Ser. Mat. i fiz. - 1971, - № 357-380. - S.
59-62.
453
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ МЕННА
Поверхность Менна (Menn’s Surface), является алгебраической поверхностью 4-го порядка,
симметричной относительно одной координатной плоскости.
Рис. 1
Формы задания поверхности Менна
1) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(и) = и, у = y(v) = г,
Z = z(u,v) = аи4 + u2v - v2.
Поверхность задана в неортогональной несо-
пряженной системе криволинейных координат и,
у.
2) Явная форма задания: z - ахА + х2 у - у2.
Рассматриваемая поверхность симметрична
относительно координатной плоскости yOz. В
сечении поверхности плоскостью у - 0 лежит
биквадратная парабола z = ах4. Координатная
плоскость х — 0 пересекает поверхность по пара-
боле z = -у2' (рис. 2).
В сечении поверхности плоскостью z = 0 будут лежать две параболы:
Рис. 2
~2ах2
1 + Vl + 4г/
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности
и ее кривизны:
А2 - 1+4х2(2ах2 + у)2, F = 2х(2ах2 + у)(х2 -2у),
В2 = 1 + (х2-2у)2,
А2В2 - F2 =1 + (х2 -2у)2 + 4х2(2ах2 + у)2 = А2 +В2 -1,
2(6ях2 + у) 2х - 2
L = г— М = -г===, N = —j— ..= ,
^a2+b2-i Va2+b2-i Va2+b2-i
k 2(6ax2 + y) k-2
' A27a2 +52 -1 ’ y B27a2 +B2 -1 ’
-4(x2 + у + бах2)
1^. -) 'У 'J .
(А2 + В2 -I)2
Плоская криволинейная координата х = 0, лежащая в коорди-
натной плоскости yOz, является линией кривизны. Параболические точки с К = 0 расположены
на линии, которая проектируется на координатную плоскость хОу в виде параболы
у = -(1 + 6а)х2;
на координатную плоскость xOz - в виде биквадратной параболы
z = -(2 + 17а + 36а2)х4.
На рис. 2 показана поверхность Менна, построенная в границах -1,2 < х < 1,2 -1,5 < у < 1,5
при а = 1.
454
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ШРОДЫ
Параболическая поверхность Шроды является алгебраиче-
ской поверхностью четвертого порядка симметричной относи-
тельно двух координатных плоскостей, причем в сечениях по-
верхности плоскостями параллельными эти координатным
плоскостям лежат параболы.
Формы задания параболической поверхности Шроды
1) Явная форма задания (рис. 1): z - (3-х2 -у2 - х2 у2 )/2.
В сечениях поверхности координатными плоскостями х = 0 и
у = 0 лежат одинаковые параболы, соответственно, z = (3 - у2)/2
и z = (3 - х‘)/2; Zmax = 1,5 в точке с координатами х = у = 0.
В сечениях поверхности плоскостями х = ±хо лежат параболы z = [з- х2 - (1 + х2)у2]/2, а в
сечениях плоскостями у = ±у0 - параболы z = [з - у2 - (1 + у2 )а2 ]/2.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A2 =l + .v2(l + y2)2, Е = лу(1 + х2)(1 + у2), В2 = 1 + у2 (1 + х2 )2,
(1 + у2) м _ -2ху (1 + А2) к = 1 + х2 +у2 -Зх2у2
л/а2 + В2 -1 ’ y/А2 +В2 -Г 7а2+В2-Г (А2+В2-1)2
Криволинейные координатные линии х, у являются несопряженными и неортогональными.
Только координатные линии х = 0 и у = 0 совпадают с линиями кривизны. Поверхность имеет
участки как положительной гауссовой кривизны, так и отрицательной. Например, в четырех
угловых точках поверхности с координатами (1; -1; 0), 0), (-1; -1; 0), (1; 1; 0) полная кри-
визна поверхности будет равна нулю (К = 0).
На рис. 1 показана поверхность, построенная в границах -1 < х < 1; - 1 < у < 1; 0<z^ 1,5.
Пространственная замкнутая кривая с параболическими точками (К = 0) проецируется на
координатную плоскость хОу в виде кривой у2 = (1 + а2)/(За2 - 1), на плоскость xOz - в виде
кривой z = 2(х2 - 1 )2/( 1 - Зх2), на плоскость yOz - в виде кривой z = 2(у2 - 1 )2/( 1 - Зу2).
На рис. 2 поверхность ограничена координатными линиями х = ±2; у = ±2.
2) Параметрическая форма задания: х = x(v) ~2v- 1,
у = у(и) = 1 - 2и, z — z(u,г) = 4[( 1 - и)и + (1 - v)v - 2(1 - и)и(1 - v)v].
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 4 + 16(1 - 2и)2[1-2v(l - у)]2, В2 = 4 + 16(1 - 2у)2[1 - 2и(1 - и)]2,
F = 16(1-2и)(1-2г)[1-2у(1-у)][1-2и(1-и)],
А2В2- F2 = 16 + 64(1 -2v)2[l —2м(1 - и)]2 + 64(1 — 2м)[1 —2v(l — v)]2,
32[l-2v(l-v)] 32(1 —2и)(1 —2v) 32[1 - 2и(1 - и)]
L = - —. ——, М = ------, —, N = - —, —,
у1а2В2-F2 у1а2В2 -F2 4а2В2 -F2
322
К = 277~D2 [»(1 - «) + V(1 - V)(l - би + би2 )].
(A D — г )
Поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных
координатах w, у.
Дополнительная литература
1. Sroda Р„ Bozek В. Constructing of Bezier’s curves and surfaces// Konferencja о Geometrii. - Czestochowa
(Poland), 24-25 wrzesnia 1999. - Czestochowa, 1999. - P. 219-226.
455
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ЗАПРЕДЕЛЬНЫЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ВЕЛАРОИД
Алгебраическая поверхность четвертого порядка, носящая название «Параболический ве-
лароид», широко известна и подробно описана в научно-технической литературе (см. раздел
«Велароидальные поверхности»). Параболический велароид
относится к классу поверхностей переноса положительной
гауссовой кривизны на плоском прямоугольном плане с об-
разующими параболами переменной кривизны, лежащими в
параллельных плоскостях. Поверхность ограничена четырь-
мя взаимно ортогональными контурными прямыми (рис. 1)
х = ±а; у - ±Ь. Однако представляет интерес и та часть по-
верхности, которая находится за прямолинейными граница-
ми параболического велароида.
Запредельный параболический велароид может быть построен в
любых границах (- °° < х < - =•= < у < о°,), а часть его поверхно-
сти, находящейся внутри границ — а<х<а, - b < у < b, является
параболическим велароидом.
Формы задания запредельного параболического велароида
Рис. 1
x' у'
1) Явная форма задания (рис. 2): z = с ~ + тт
<а" о'
Рис. 2
где с - стрела подъема поверхности в центре относительно плоско-
сти z = с, на которой лежат четыре прямые х = ±о; у = +Ь.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности sa-
предельного велароида вычисляются по тем же формулам, что и коэффициенты для параболи-
ческого велароида, см. раздел «Параболический велароид».
К>0 К<0 | //>0
К<0 К>0 \~ь ! а х
-а 1 ь' К<0
К>0 у! К<0 Рис. 3 К>0
Из формулы для вычисления гауссовой кривизны поверхности
4с2 ( у2 V х2^
К =----------------г 1-тт 1- —
а2Ь2[А2 + В2-1) V а")
очевидно, что области положительной и отрицательной гауссо-
вых кривизн распределены на поверхности запредельного пара-
болического велароида симметрично относительно координат-
ных плоскостей х = 0 и у = 0, как показано на рис. 3.
ПОВЕРХНОСТЬ «КРЕСЛО»
Название этой поверхности дал Т. Nordstrand в 1970 году, считая, что она похожа иа надув-
Рис. 4
ное кресло. Поверхность «Кресло» обладает четырехгранной сим-
метрией.
Формы задания поверхности «Кресло»
1) Неявная форма задания (рис. 4):
(х2 + у2 + z2 ~ak2}~ -b[(z -к}2 - 2х2]- [(< + к)“ - 2у2]= 0.
Рис. 4 взят без изменения на сайте [I] с к = 5; а = 0,95 и b = 0,8.
Дополнительная литература
1, Nordstrand Т. “Chair”. - http://www.uib.no/people/nfytiVchairtxt.iitm.
456
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ ГУРСА
а = 0; b = -I; с = -1;
-1,19 < .г; у <1,19; 0</< 1,313;
Рис. 2
Рис. 1
Поверхность Гурса является замкну-
той алгебраической поверхностью 4-го
порядка, состоящей из одной или двух
полостей и симметричной относительно
всех трех координатных плоскостей.
Формы задания поверхности Гурса
1. Неявная форма задания (рис. 1):
X4 + у4 + Z4 + а{х + у2 + z2)2 +
+ Мх2 + у2 + z2) + с = 0.
2. Явная форма задания в декартовой
системе координат (рис. 1):
О < и;г < 1л
Рис. 3
где D = (х2 + у2-h/2)1 -(1 + а)[2(х2 + у2)’-2х2у2 +с].Взаимной заменой х, z или у, z мож-
но получить альтернативные формы задания поверхности.
3. Параметрическая форма задания в цилиндрической системе координат (рис. 2):
, х , [?-ы2 + 4Б 1 г 2
х = х(и.г) = tcosu: у = v(n,f) = fsintr; z = z(ii,t) = -J-t ~, где t = x + у ;
V 1 + a
c = —3;/? = 0,2;
a = -0,33;
Рис. 4
D = (t2 -fo/2)2 - (1 + a)[2f4(l - cos2 z/sin2 и)+с].
4. Векторная форма задания: г = r(u,t) = th(u) + z(u,f)k; h(u) = icosu + /sinzr.
5. Параметрическая форма задания в сферической системе координат (рис.З):
х = х(и,р) = R(u,v)cosvcosu', у - у(и,у) = R(u,v’)cosvsinu; z = z(w,v) = R(u, v)sinv,
причем x2 + у2 + z2 = R2’, и - полярный угол в плоскости хОу, v - угол, отсчиты-
ваемый от оси Oz в сторону плоскости хОу; р = ±1;
= : = (я„ • „ + „S4 „)сю, „ + sin, р _
' У 2(a + D(u,v)) ' v '
Рис. 5
В зависимости от значения пара-
метров а, Ь, с существует одна, две
или ни одной действительной ветви
поверхности. Например, при я = О,
b < 0, с < 0, при а = О, b > 0, с < 0 и
при а > О, b > 0, с < 0 будет одна
ветвь поверхности; при а = О, b < О,
О < с < (Ь/2)2 (рис. 6) и при b < О,
а >-0,3333; 0< с < (Ь/2)2/(а + 0,3333)
(рис. 5) - две ветви поверхности.
с = 0,1; а = 0; b = -1
Рис. 6
6. Векторная форма задания:
г = г(и,г) = 7?(«,v)e(w,v); е(и,г) = kcosv + ft(w)sinv; /г(и) = icosu + js'mu.
Поверхность Гурса отнесена к криволинейным неортогональным
несопряженным координатам м, г.
Дополнительная литература
1. Goursat Е. Etude des surfaces qui admettent tours les plans de symmetric d’un polye-
dre regulier// Arm. Sci. Ecole Norm. Sup., 5, 1897. - P. 159-200.
457
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ЗУБНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Зубная поверхность (Tooth Surface) является частным случаем поверхности Гурса (см. «По-
верхность Гурса»), Чтобы получить зубную поверхность необходимо в формулах для поверхно-
сти Гурса принять а = с = 0, b = -1. Таким образом, зубная поверхность является замкнутой ал-
гебраической поверхностью 4-го порядка, состоящей из одной полости и одной изолированной
точки (центр поверхности). Поверхность симметрична относительно всех
трех координатных плоскостей (рис. 1).
Формы задания зубной поверхности
1. Неявная форма задания: х4 + у4 + z - (х2 + у2 + z2) = 0.
2. Явная форма задания в декартовой системе координат:
Взаимной заменой х, z или у, z можно получить альтернативные формы
задания поверхности.
3. Параметрическая форма задания в цилиндрических координатах:
х = x(u,t) = tcosu; у = y(u,t) = rsinw; z ~ z(u,f) = ^1/2 + у[о, где Г = х2 + у2;
D = (г +1/2)’ - 2г4(1 -cos2 «sin2 и).
4. Векторная форма задания: г = r(u,t) = fh(u) + z(u,t)k; h(u) = icosu +jsinn.
5. Параметрическая форма задания в сферической системе координат (рис.1):
х = х(и,у) = R(u, v)cosvcosu; у = y(u,v) - R(u,v)cosvsinu; z = z(u,v) = R(u, v)sinv,
причем x2 + у2 + z = А2; и - полярный угол в плоскости хОу; v - угол, отсчитываемый от оси Oz
в сторону плоскости хОу; R(u, v) = ±71/0; D(u,v)= (sin4 и + cos4 u)cos4 v + sin4 v и R(u,v) = 0.
Поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных координатах и, v и со-
стоит из замкнутой полости (рис. 1) и изолированной точки (О, О, 0).
6. Векторная форма задания:
г = r(u,v) = R(u,v)e(u,v); e(u,v) = kcosv + A(u)sinv; h(u) = icosu + jsinu.
СПУТАННЫЙ КУБ
Поверхность «Спутанный куб» (Tanglecube) является частным
случаем поверхности Гурса (см. «Поверхность Гурса»), Чтобы по-
лучить «Спутанный куб» необходимо в формулах для поверхности
Гурса принять а = О, b = -5, с = 11,8. Поверхность симметрична
относительно всех трех координатных плоскостей.
Формы задания зубной поверхности
1. Неявная форма задания: х + у4 + z - 5(х2 + у1 + z2) + 11,8 = 0.
2. Параметрическая форма задания в сферической системе коор-
динат (рис.2): х = х(и, v) = R(u, v)cosvcosu;
у = у(и,у) = R(u,v)cosvsinu; z = z(u,v) = 7?(u,v)sinv,
причем x2 + у2 + z = R2; и - полярный угол в плоскости хОу; v -
угол, отсчитываемый от оси Oz в сторону плоскости хОу; р = ±1;
, , ю + р^25- 47,2О(и,г) , . / . 4 4 \ 4 -4
к(и,у) = л------------г------; D(u,v) = Ism u + cos и Icos v + sm v.
у 2D\u,v)
На рис. 2 показана поверхность при 0 < и < 2л; 0,1 Ъл < у < 0,32л\
458
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ КУММЕРА
Поверхность Куммера (Kummer surface) является алгебраической поверхностью четвертого
порядка и класса, сама себе взаимная. Большинство поверхностей из семейства поверхностей
Куммера содержат 16 обыкновенных двойных точек, максимально возможных для поверхно-
стей четвертого порядка. Найдена Э. Куммером (Е. Kummer) в 1864 г.
Формы задания поверхности Куммера
1) Неявная форма задания: (х2 + у2 + z2 -fl2w2)~ - Apqrs = 0,
где Я = ——х~,ч = const; р = w-z-Лх', q = w —z + Лх', г = w+z +Лу, s = w+z-^^^y.
ъ-ц-
2) Неявная форма задания: (х2 + у2 + z2 - /z2tv2)2 -A[(z-vv)2 -2х2]- [(z + w)2 -2у2] = 0.
3) Параметрическая форма задания в полярно-цилиндрической системе координат:
х = х(и,г) = г(и,г)со8и; у = y(u,v) = r(u,v)smu; z-z(y) = v,
a(u,v) = 1 - Asin2 2и; b(u, v) = z2 - fl2w2 + A[(v - tv)2 cos2 и + (у + w)2 sin2 и];
Рис. 1
Если взять w = 1; у2 = 1/3, тода 2 = 0, а поверхность Куммера будет представлять собою
сдвоенную сферу (рис. 1) с радиусом R = 1/-Уз. Если принять м = 2/3; у2 = 1, тогда 2 = 1, а по-
верхность Кумера выродится в римскую поверхность (рис. 2). На рис. 3 показан фрагмент по-
верхности Кумера с w - -J2; и.2 = -Уз (л = 3,3094). Если принять iv = 1; у2 = 0,5 тогда 2 = 0,2, и
поверхность Кумера будет иметь вид, показанный на рис. 4. На рис. 5 представлена поверх-
ность с w = 1; у2 = 0,8 (2 = 0,636); а на рис. 6 - с vv = 1; у2 = 0,95 (2 = 0,924).
Рис. 5 Рис. 6
Дополнительная литература
1. Guy R.K. Unsolved problems in numberTheory. - 2nd edition, New York: Springer-Verlag, 1994. - 183 p.
2. Hudson R. Kummer’s quartic surface. - Cambridge, England: Cambridge University Press, 1905, 1990.
3. Kummer E. Uber die Flachen vierten Grades mit sechszech sihgularen Punkten// Ges. Werke, 2, 1864. - P. 418-432.
459
АЛГЕБРАИЧНСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ 4-ГО ПОРЯДКА С ПАРАБОЛОЙ, ЭЛЛИПСОМ, ПАРАБОЛОЙ
В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Рассматриваемая поверхность имеет параболу у = 5/2 - 5x2/(2L2) в сечении плоскостью хОу
(z = 0), эллипс 4y7Bi + z“IT = 1 в сечении плоскостью yOz (х = 0) и параболу z = -Т + Тх2/Ь" в
сечении поверхности плоскостью xOz (у = 0). Здесь Т - осадка поверхности, В - ее максималь-
ная ширина вдоль оси Оу, 2L - ее длина вдоль оси Ох.
Поверхность формируется семейством эллипсов, лежащих в
плоскостях, параллельных координатной плоскости yOz.
2) Неявная форма задания: 472Ф + B2z2 = ТгВ2(1 - x2/L2)2.
Из последней формулы видно, что рассматриваемая поверхность является алгебраической
поверхностью 4-го порядка.
ПОВЕРХНОСТЬ 4-ГО ПОРЯДКА С КРИВОЙ 4-ГО ПОРЯДКА, ЭЛЛИПСОМ,
КРИВОЙ 4-ГО ПОРЯДКА В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
п л _и *Вх Гт------
Рассматриваемая поверхность имеет кривую 4-го порядка у = ±—=—y/Lx-x' в сечении
3V3L2
плоскостью хОу (z = 0), эллипс 4у2/В2 + zIT2 = 1 в сечении х = 3L/4 и кривую 4-го порядка
в сечении поверхности плоскостью xOz (у = 0). Здесь Т - осадка поверх-
ЗуЗЛ2
ности вдоль оси Oz в сечении х - 3L/4, В - ее максимальная ширина вдоль оси Оу в сечении
плоскостью х = 3/74, L - ее длина вдоль оси Ох.
Форма задания поверхности
1) Неявная форма задания:
25652Т2х3(х-5) + 1087’2£4у2 + 2752L4z2 =0,
где 0 < х < L; -5/2<у<5/2; — Г < z < Г. Рассматриваемая поверх-
ность является алгебраической поверхностью 4-го порядка. Она фор-
Рис 9 »
мируется семейством эллипсов, лежащих в плоскостях, па-
раллельных координатной плоскости yOz (рис. 2).
2) Параметрическая форма задания (рис. 3):
, ч 85хл/5х-х2
х = х, у - у (х, а) -;=---cos а,
3V3L2
z х 167х7Дт-х2 .
z = z(x,a) =-- -------sin от,
Рис. 3
зТзв2
где 0 < х < L; о. - угловой параметр; 0 < а < . Поверх-
ность имеет коническую точку с координатами (0; 0; 0).
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.Я., Протодьяконов С.М. Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей
высших порядков//Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 108-120 (библ.: 2 назв.).
460
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ЛИНИЯМИ
Поверхности четвертого порядка с кратными линиями в трехмерном Евклидовом про-
странстве в декартовой системе координат (х: у: z: w)i х-. У, г е £°; гге {0, 1}, (x'.y.z'.w)^ (0:0:0:0),
задаются однородными уравнениями F\x, у. z) = 0 четвертой степени. Поверхности 4-го поряд-
ка (quartics) могут иметь следующие кратные линии:
1) одну тройную прямую линию; 2) одну двойную закрученную кубическую кривую
(cubic); 3) одну двойную конику и одну двойную прямую линию; 4) одну двойную конику; 5)
три двойные прямые линии; 6) две двойные прямые линии; 7) одну двойную прямую линию.
Таким образом, имеется семь типов поверхностей 4-го порядка с кратными линиями.
Поверхности 4-го порядка с одной тройной прямой линией являются линейчатыми поверх-
ностями. Каждое сечение поверхности плоскостью, проходящей через тройную прямую линию,
содержит эту линию и другую прямую линию. Если тройная линия совпадает с осью Oz (х = 0, у
= 0), тогда уравнение линейчатой поверхности 4-го порядка может быть записано в виде:
U4 + ZU3 + WV3 = 0, где щ, из, Уз - полиномы в х и у степени 4, 3, 3 соответственно. Штурм
(Sturm) предложил разделить эти поверхности на 4 класса (IX, X, XI, XII), которые отличаются
числом и видом горловых линий.
Поверхности 4-го порядка с двойной закрученной кубической кривой могут быть только ли-
нейчатыми поверхностями. Они принадлежат к классам III и IV по классификации Штурма. В
сечении поверхности плоскостью лежит плоская кривая 4-го порядка с тремя двойными точка-
ми. Направляющей кривой является закрученная кубическая кривая.
Поверхности 4-го порядка с двойной коникой и двойной прямой линией также являются ли-
нейчатыми поверхностями и принадлежат к классам V и VI. Направляющие кривые - две кони-
ки, пересекающиеся в двух точках и прямая линия, которая пересекает одну из них.
Если за двойную линию поверхности 4-го порядка принять конику, то поверхность будет
нелинейчатой поверхностью 4-го порядка с двойной коникой. Двойная коника может быть дей-
ствительной или мнимой. Наиболее известные поверхности 4-го порядка - циклиды - принад-
лежат к этому типу поверхностей, а действительная коника (х2 + у2 + z - 0, w = 0) является их
двойной кривой. Циклиды Дюпена первого типа представляют собой поверхности, обертываю-
щие семейство сфер, касательных одновременно к трем заданным сферам (см. «Циклиды Дю-
пена первого типа (четвертого порядка)»). Педальная поверхность (pedal surface) поверхности
Ф для полюса Р - это геометрическое место концов перпендикуляров опущенных из какой-
нибудь фиксированной точки Р, называемой полюсом, на касательные плоскости поверхности
и-класса Ф. Перпендикуляры будут пересекать п раз конику и полюс Р. Педальные поверхности
центральных поверхностей 2-го порядка есть циклиды с двойной точкой в полюсе. Педальные
поверхности сферы, однополостного и двуполостного гиперболоидов являются поверхностями
вращения педальных кривых окружности и гиперболы. Циклиды с тройной точкой представле-
ны в разделе «Циклиды с тройной точкой».
Поверхности 4-го порядка с тремя двойными прямыми линиями могут иметь три двойные
прямые линии в двух случаях. Линейчатые поверхности 4-го порядка с тремя двойными линия-
ми принадлежат к классу VII по классификации Штурма. Здесь направляющими кривыми яв-
ляются коника и две прямые линии без общих точек. Ко второй разновидности поверхностей 4-
го порядка с тремя двойными прямыми линиями относятся нелинейчатые поверхности 4-го по-
рядка Штейнера. В этом случае три двойные линии пересекаются в одной точке.
Поверхности 4-го порядка с двумя двойными прямыми линиями рассмотрены в разделе
«Поверхности 4-го порядка с двумя двойными прямыми линиями». Поверхности 4-го порядка с
двойной прямой линией разделяются на педальные поверхности (1,2)-конгруэнций лучей и по-
верхности с двойной прямой линией и тройной точкой (см. «Поверхности с двойной прямой
линией и тройной точкой»),
461
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ 4-ГО ПОРЯДКА С ТРОЙНОЙ ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ
Поверхности 4-го порядка с одной тройной прямой линией являются линейчатыми поверх-
ностями. Каждое сечение поверхности плоскостью, проходящей через тройную прямую линию,
содержит эту линию и другую прямую линию.
Если тройная линия совпадает с осью Oz (х = 0, у = 0), тогда уравнение линейчатой поверх-
ности 4-го порядка может быть записано в виде:
114 + zu3 + IVV3 = О,
где U4, из, V3 - полиномы в х и у степени 4, 3, 3 соответственно. По классификации Штурма су-
ществует четыре группы линейчатых поверхностей 4-го порядка с тройной прямой линией [1].
Эти группы отличаются числом и видом горловых линий.
В статье [2] приведены два рисунка поверхностей этого типа, а в статье [3] даны уравнения
этих линейчатых поверхностей. Поверхности, изображенные на этих рисунках, содержат две
направляющие не пересекающиеся коники и одну тройную прямую, которая пересекает каж-
дую конику в одной точке.
Дополнительная литература
1. Muller Е„ Krames J.L. Konstruktive Behandlung der Regelflachen. - Franc Deuticke. - Leipzig mid Wien, 1931.
2. Gorjanc Sonja. Quartics with multiple lines in £3// The 10lh International Conference on Geometry and Graphics. -
Vol. 1. - Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Kyiv, 2002. - P. 48-52 (библ.: 10 назв.).
3. Gorjanc Sonja. Izvodenje pet tipova pravcastih ploha 4. stupnja// KoG. - 1997. - No 2. - P. 57-67.
ПОВЕРХНОСТЬ 4-ГО ПОРЯДКА С ДВОЙНОЙ КОНИКОЙ И С ДВОЙНОЙ ПРЯМОЙ
ЛИНИЕЙ
Поверхности 4-го порядка с двойной коникой и двойной прямой линией также являются ли-
нейчатыми поверхностями. Направляющие кривые - две коники, пересекающиеся в двух точ-
ках и прямая линия, которая пересекает одну из них. В статье [1] приведен рисунок одной та-
кой поверхности с двумя направляющими окружностями в параллельных плоскостях и двойной
линией, которая пересекает двойную окружность.
Дополнительная литература
1. Gorjanc Sonja. Quartics with multiple lines in £3// The 10,h International Conference on Geometry and Graphics. -
Vol. 1. - Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Kyiv, 2002. - P. 48-52 (библ.: 10 назв.).
ПОВЕРХНОСТЬ 4-ГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ДВОЙНЫМИ ПРЯМЫМИ линиями
Поверхность 4-го порядка с двумя двойными прямыми линиями [1] образовывается конгру-
энцией прямых линий, проходящих через окружность х2 + у2 = г2, z = 0 и прямую z = а, у = 0.
Формы задания поверхности 4-го порядка
1) Параметрическая форма задания [2]:
. . г . ( sinvvA .
х = x(yv,t) = — sm tv + r cos tv-f, у = y(w,t) = it sm w,
a у a J
z = z(r) = a(l-r),
где - oo < t < ==; 0 < tv < 2я. На рис. 3 изображена рассматриваемая
поверхность с а = 1,2; г = 1; -0,5 < t < 1,2; 0 < w < 2яг.
2) Неявная форма задания:
(а - z)4r2 - {а - z)2 (х2 + у2)а2 + laxyzta - z) - y2z2 =0.
Рис. 3 Дополнительная литература
1. Gorjanc Sonja. Quartics with multiple lines in E3// The 10lh International Confer-
ence on Geometry and Graphics. - Vol. 1. - Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Kyiv, 2002. - P. 48-52.
2. Сименко O.B. Утворення поверхнонь проекщюванням ninii променями лшшно!' napaoo.'U'iiioi конгруенцп//
Геометричне та комп’ютерне моделювання: 36. наук. пр. - Харюв, 2005. - Вип. 9. - С. 45-52 (библ.: б назв.)
462
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДВОЙНОЙ КОНИКОЙ
Нелинейчатая поверхность 4-го порядка с двойной коникой может иметь действительную
или мнимую двойную конику. Наиболее известные поверхности 4-го порядка - циклиды - при-
надлежат к этому типу поверхностей, а действительная коника (х2 + у2 + z2 = 0, w = 0) является
их двойной кривой. Педальная поверхность (pedal surface) поверхности Ф для полюса Р - это
геометрическое место концов перпендикуляров опущенных из какой-нибудь фиксированной
точки Р, называемой полюсом, на касательные плоскости поверхности «-класса Ф. Перпенди-
куляры будут пересекать п раз конику и полюс Р. Педальные поверхности центральных по-
верхностей 2-го порядка есть циклиды с двойной точкой в полюсе. Педальные поверхности
сферы, однополостного и двуполостного гиперболоидов являются поверхностями вращения пе-
дальных кривых окружности и гиперболы. Циклиды с тройной точкой, также входящие в рас-
сматриваемую группу поверхностей, представлены в разделе «Циклиды с тройной точкой».
ЦИКЛИДЫ С ТРОЙНОЙ точкой
Циклиды с тройной точкой принадлежат к алгебраическим поверхностям четвертого по-
рядка и могут быть заданы однородным уравнением (х2 + у2 + z2)2 + u-'Чз = 0, где из = 0 - одно-
родное уравнение в х,у и z степени 3. Оно задает касательный конус в тройной точке (0;0;0; 1).
О < v < я; О'< и <л;
0<v<7t/2; Q'<u<2tc
О'< и <2л
Рис. 3
Рис. 1
Рис. 2
Формы задания поверхности циклиды с тройной точкой
1) Неявная форма задания: (л2 + у2 + z2)2 + 2xyz = 0.
Касательный конус степени 3 в точке (0;0;0; 1) выродился в три действительные плоскости
х = 0; у = 0; z = 0.
2) Параметрическая форма задания в полярных координатах (рис. 1 - 3):
х = x(u,v) = cosv sin3 vsm2wcosH, у = y(«,v) = cost sin3 vsin2«sinw,
z = z(w,v) = - cos v sin2 vsin2n.
На рис. 1 - 3 показаны циклиды с тройной точкой, построенные при различных границах
изменения параметров и и v.
Дополнительная литература
1. Gorjanc Sonja. Quartics with multiple lines in £3// The 10lh International Conference on Geometry and Graphics. -
Vol. 1. - Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Kyiv, 2002. - P. 48-52 (библ.: 10 назв.).
2. Harris J. Algebraic Geometry. - New York: Springer, 1992. - 328 p.
463
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
С ТРЕМЯ ДВОЙНЫМИ ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ
Поверхности 4-го порядка с тремя двойными прямыми линиями можно разделить на две
группы. К первой группе относятся линейчатые поверхности, содержащие две действительные
двойные прямые и одну двойную прямую, удаленную на бесконечность. Ко второй группе по-
верхностей причисляют нелинейчатые поверхности Штейнера с тремя действительными двой-
ными прямыми, пересекающимися в одной точке.
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 4-ГО ПОРЯДКА С ТРЕМЯ ДВОЙНЫМИ ЛИНИЯМИ
К линейчатым поверхностям 4-го порядка с тремя двойными линиями относятся уже рас-
смотренные ранее коническая кромка Уоллиса (см. «Линейчатые поверхности отрицательной
гауссовой кривизны») и линейчатая ротативная поверхность Лусты (см. «Ротативные по-
верхности»).
Формы задания конической кромки Уоллиса
1) Неявная форма задания конической кромки Уоллиса: с2й2с2 - (а2с2 - г2)(.т2 + у2) = О,
где а, Ь, с - константы; су/д2 ~b2 <z<ac, где а> Ь.
В сечениях рассматриваемой поверхности плоскостями z = z0 = const лежат две пересекаю-
2) Параметрическая форма задания конической кромки Уоллиса (рис. 1):
х = х(и,v) = vcosu, у = у(и,у) = vsinw, z = суа2 -b2 cos2 и, где 0<и<2я", 0<v<°<=,
где а, Ь, с - константы; cja2 —b2 < z'iac, где а > b.
Формы задания линейчатой ротативной поверхности Лусты
2 2
X У
1) Неявная форма задания: ---------гг + -------г = 1,
(R-Rz/H}2 (Rz/H)2
где R, Н - константы.
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и, V) = 7?(1 - и / H)cosv, у = y(u,v) = (uR / H)sinv, z = и.
Gorjanc S. [1] считает, что третья двойная линия лежит в бесконечности на
горизонтальной плоскости. Она утверждает, что эта двойная линия соединя-
ет точки пересечения двух направляющих прямых линий с плоскостью, в ко-
торой лежит направляющая коника.
Дополнительная литература
1. Gorjanc Sonja. Quartics with multiple lines in £3// The 10th International Conference on Ge-
ometry and Graphics. - Vol. 1. - Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Kyiv, 2002. - P. 48-52 (библ.: 10 назв.).
464
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТИ ШТЕЙНЕРА ПЕРВОГО И ВТОРОГО ТИПОВ
Поверхности Штейнера первого и второго типов по классификации А. Коффмана (А.
Coffman) имеют три двойные прямые линии, пересекающиеся в одной точке. Эти поверхности
являются алгебраическими поверхностями 4-го порядка.
Формы задания поверхности Штейнера первого типа
У
Рис. 1
1) Неявная форма задания поверхности Штейнера 1-го типа:
у2<2 + <2r2 + х2/ - 2kxyz = 0.
Поверхность Штейнера l-ro типа называют также римской по-
верхностью (см. «Односторонние поверхности»). При этом спосо-
бе задания координатные линии х, у, z совпадают с тремя двойны-
ми линиями (рис. 1).
2) Параметрическая форма задания римской поверхности:
1 > 1
х = x(u,v) = — sin2usin~ v, у = j>(w,v) = — sinwcos2v,
1
z = z(w,v) = —coswsin2v,
где 0<и<2л; -л/2 < v < л!2 (рис.1).
Формы задания поверхности Штейнера второго типа
1) Неявная форма задания поверхности Штейнера второго типа:
y2z2 - ’"х2 + х2у2 - 2kxyz = 0.
I I т т
2) Явная форма задания: у= —:--\k + yk + х + z
х + z~
3) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = x(r,v) = rcosv, у = y(r,v) = sin vcos v(k ±4k2 + r2 j z = z(r,v) = rsin v.
Координатные оси x, у, z совпадают с тремя двойными прямыми ли-
ниями. поверхности. На рис. 2 поверхность изображена при к = 0,5 м;
О < v < 2л; 0 < г < 0,5 м. На рис. 3 поверхность имеет к = 0,5 м; 0 < v < 2л; 0 < г < 5 м.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
л2 , г2 sin2 2v _ rsin4v|, , к
А = 1 +--------F =----------— 1±---------
4(k2 + r2) 4 у/к2+г2
В2 = г2 +
cos2 2v,
АгВ2-F2 =В2 + Г Sm 2v ,
4(k2 +г )
, _ _ rk2 sin2v
+ 2у/А2В2 - F2 (к2 + г2)3/2 ’
kcos2v । , , к | ,, rsin2v + г2
М = 1 ±-----.... , N =
у]а2В2 -F2 I, 7k2 +r2 J Va2B2 - Г2 L2х/к2 + г2
+ 2(к ± л/k2 +г2)
Дополнительная, литература
1. Coffman A., Schwarts A., and Stanton С. The Algebra and Geometry of Steiner and Other Quadratically Parametriz-
able Surfaces. - Computer Aided Geom. Design, 13, 1996. - P. 257-286.
465
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
С ДВОЙНОЙ ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ
Поверхности 4-го порядка с двойной прямой линией разделяются на педальные поверхности
конгруэнций лучей и поверхности с двойной прямой линией и тройной точкой. Если двойная
линия поверхности четвертого порядка - прямая линия, то эта поверхность есть нелинейчатая
поверхность, которая содержит простую бесконечную систему конических линий в плоскостях,
проходящих через двойную линию. В восьми плоскостях, проходящих через двойную линию,
коники вырождаются в две линии и, таким образом, на этих поверхностях 4-го порядка распо-
ложены шестнадцать простых линий.
Педальные поверхности (1, 2)-конгруэнций для полюса Р - это геометрическое место кон-
цов перпендикуляров, опущенных из какой-либо фиксированной точки Р, называемой полю-
сом, на лучи (п, т)- конгруэнции. Если конгруэнция первого или второго класса, тогда педаль-
ные поверхности будут поверхностями четвертого порядка с двойной прямой линией. Кроме
действительной коники эти поверхности содержат пару линий на бесконечности. Gorjanc Sonja
дает классификацию педальных поверхностей, принимая во внимание число действительных
простых линий на бесконечности, число и вид их сингулярных точек.
Второй тип поверхностей четвертого порядка с двойной прямой линией представлен в раз-
деле «Поверхности четвертого порядка с двойной прямой линией и с тройной точкой».
Д ополнительная литература
1. Gorjanc Sonja. The classification of the pedal surfaces of (1, 2) congruences: Dissertation. - Faculty of Natural Sci-
ences, Department of Mathematics, University of Zagreb, 2000.
ПОВЕРХНОСТЬ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДВОЙНОЙ ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ
И С ТРОЙНОЙ точкой
Рис. 1
Поверхность с двойной прямой линией и с тройной точкой принадлежит
к алгебраическим поверхностям четвертого порядка. Эта поверхность
может быть задана уравнением
и4 + ил'з = О,
где п; - однородный полином степени 4 для х и у, в то время как v3 = 0 -
однородное уравнение в х, у и z, которое задает касательный конус в трой-
ной точке (0:0:0:1).
Формы задания поверхности с двойной прямой линией
и с тройной точкой
1) Неявная форма задания: (х2 + у~ + z2)(x2 + z2) + 2z(x2 - у2) = 0.
Касательный конус третьего порядка в точке (0:0:0:1) распадается на три
действительных плоскости (х = у; х = -у; z = 0).
2) Параметрическая форма задания в полярных координатах (рис. 1):
х = x(u,v) - cos г/cos 2t< sin v, у = y(u,v) = sinwcos2nsin v,
Z = z(u, v) = (cosv — l)cos2n.
Поверхность, показанная на рис. 1, построена в границах0 < у < я; 0 < и < 2я.
Д ополнительная литература
1. Gorjanc Sonja. Quartics with multiple lines in £3// The 10lh International Conference on Geometry and Graphics. -
Vol. 1. - Ukraine, Kyiv, 2002, July 28 - August 2. - Kyiv, 2002. - P. 48-52 (библ.: 10 назв.).
2. Muller E„ Krames J.L. Konstructive Behandlung der Regelflachen/7 Franc Deuticke, Leipzig und Wien, 1931.
466
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЯТОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЯТОГО ПОРЯДКА
ПИРЕНЕЙСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Пиренейская поверхность (Peninsula Surface) является алгебраической поверхностью 5-го
порядка, симметричной относительно одной координатной плоскости.
Формы задания пиренейской поверхности
1) Неявная форма задания (рис. 1): х2 + у3 + z5 =1.
Поверхность симметрична относительно координатной плоскости yOz.
2) Явная форма задания: у = V1 - х1 - zs.
3) Явная форма задания: z = д/1 - х2 - у3".
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
, 4х2 бху2 , 9/
Л'“1+25[1-х2-у3Г’ F~25[l-x2-y3r5’ 5'"1 + 25[1-х2-у3Г’
, , , 4х2 + 9у4 , ,
А Вг - F2 = 1 + —----= А2 + В2-1,
25[1 — х2 — у3 ]
2(5у3-Зх2-5) ________~24ху2
25[1-х2 -у3]9Лл/а2 +52 -1 ’ 25[1-х2 - y3]’/SVA2 + 52 -1 ’
6у(5т2 - у3-5) = 12у(5у3 - Зх2 - 5)(5х2 - у3 - 5) - 242 х2у4
25[1 - х2 -у3]’/57а2 + 52 -1 ’ 625[1 -.х2 - у3]'8/5(А2 + В2 -1)2
Поверхность задана в криволинейных неортогональных несопряженных координатах х, у.
Плоские криволинейные координатные линии х = 0 и у = 0, лежащие соответственно в коорди-
натных плоскостях yOz и xOz. являются линиями кривизны. Вдоль координатной линии у = О
расположены параболические точки с К = 0.
На рис. 1 показана поверхность, построенная в границах - 4 < х < 4; - 6 < у <6.
У Пиренейской поверхности, показанной на рис. 2, края совпадают с координатными ли-
ниями х - -8; х = 8;у = ^4иу = 4.
467
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЯТОГО ПОРЯДКА
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КОНОИДНОГО ТИПА
Параболическая поверхность коноидного типа накрывает прямоугольный план, три прямо-
линейные стороны которого совпадают с границами поверхности, а четвертая граница поверх-
ности представляет собой квадратную параболу. Поверхность формируется семейством пара-
бол, лежащих в плоскостях, параллельных координатной плоскости xOz, которая является
плоскостью симметрии поверхности (рис. 1 - 3). Рассматриваемые поверхности служили моде-
лью оболочек покрытия заводов машиностроительного профиля с сеткой колонн 6 х 12 м [1].
Формы задания поверхности
1) Неявная форма задания: ,Д - d\ + d2l—----------11 = 0,
у<7‘ - у J \Ь + С J
где 2а х b - размеры поверхности в плане. В сечении у = 0 лежит
коньковая парабола (рис. 1)
(z-d)2 = d2\ 1--= ———‘^—(х-Ь-с).
b + с J с
Уравнение коньковой параболы получено из условия прохождения кривой через начало ко-
ординат О(х = у = z = 0). Коньковая парабола должна также проходить через точку А с коорди-
натами х = Ь; у = 0; z =/(рис. 1). Это условие дает зави-
симость
f = d
В сечении поверхности плоскостью х = b лежит
опорная парабола
(a2-y2)<if Г~с
а V b + с j
В сечениях плоскостями у = +а лежат контурные
прямые. Третья контурная прямая совпадает с коорди-
натной осью Оу. Сечения поверхности плоскостями, параллельными координатной плоскости
xOz, дают параболы с горизонтальными осями, параллельными оси Ох.
„ П , Г Г, —I. У )d I . /, х
2) Явная форма задания (рис. 2-3): z = -;—— 1 - J1-----
a I V b + с
Рис. 3
3) Явная форма задания (рис. 4):
х = (b + с)< 1 -
a2z
(р2 -у2)d
4) Неявная форма задания:
Лу4 - 2a'~d2xy2 + д2(6 + c)(2dy2z + a2z2 - 2a2zd) + с№х = 0.
При этой форме задания видно, что параболическая поверх-
ность коноидного типа является алгебраической поверхностью
5-го порядка.
Дополнительная литература
1. Подгорный А.Л., Хоанг Зуй Тханг. Формообразование некоторых обо-
лочек для промышленных зданий// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1978. - Вып. 25. - С. 12-
15 (библ.: 3 назв.).
468
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЯТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ 5-ГО ПОРЯДКА С ПАРАБОЛОЙ, ЭЛЛИПСОМ, ПАРАБОЛОЙ
В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Рассматриваемая поверхность с параболой, эллипсом, параболой в 3-х главных координат-
ных сечениях имеет
параболу у в сечении плоскостью хОу (г = 0),
4у2 z2
эллипс —т- 4—- = 1 в сечении плоскостью yOz (х = 0)
В2 т-
7У2
параболу г = —Т + —в сечении поверхности плоскостью xOz (у = 0).
Здесь Т - осадка поверхности, В - ее максимальная ширина вдоль оси Оу, 2L - ее длина
вдоль оси Ох.
Наличие уравнений главных сечений позволяет конструировать поверхности по различным
наперед заданным требованиям, предъявляемым к ним. По одним и тем же главным сечениям
можно построить три существенно отличающиеся одна от другой поверхности (см., например,
«Поверхность 4-го порядка с параболой, эллипсом, параболой в 3-х главных координатных се-
чениях»), Для этого, предварительно, нужно задаться непрерывным каркасом плоских кривых
инцидентных семейству плоскостей, параллельных одной из трех координатных плоскостей.
Для практических целей для каждой из полученных поверхностей необходимо подсчиты-
вать коэффициент полноты. Коэффициент полноты - отношение площади (или объема), огра-
ниченной кривой линией (или поверхностью), к площади (или объему) прямоугольника (или
параллелепипеда), имеющего одни и те же габаритные размеры.
Форма задания поверхности 5-го порядка
1) Неявная форма задания (рис. 1):
Вл/Т2 -z2 Вл/Т2 -z2 2
У =--------------;------X ,
2Т 2L\z + T)
где - L< х< Ц - В / 2 < у < В / 2-, -Т < z 0.
Поверхность формируется семейством парабол,
лежащих в плоскостях z = zc = const, параллельных
координатной плоскости хОу.
B^T2-z2. Г 1 X2
У 2 [т l}(zc+T)'
x4z ! 2x2z2
L4 TL2
+ ~-^-4^-4T^- — +z + T-2T^ = 0.
L T2 В В2 T L
Из последней формулы видно, что рассматриваемая поверхность является алгебраической
поверхностью 5-го порядка. Для этой поверхности коэффициент полноты будет равен 2/3 [1].
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.Я., Протодьяконов С.М, Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей
высших порядков// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 108-120 (библ.: 2 назв.).
2. Авдоньев Е.Я. О связи геометрии обводов поверхности с наперед заданными требованиями к ней// Приклад-
ная геометрия и инж. графика. - Киев, 1973. - Вып. 17. - С. 26-30 (библ.: 4 назв.).
469
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
СИНУСОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Синусовая поверхность (Sine Surface) симметрична относительно всех трех координатных
плоскостей и может быть вложена в сферу радиусом а.
Формы задания синусовой поверхности
I) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = ,т(«) = a sin и, у = у(у~) = a sin v, z = z(u,v) = asin(u + v),
где-я<х<я; -a<y<a\ -a<z^a.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = a2[cos2 и + cos" (и + у)], F - a2 cos2(и + у), В2 = а2[cos2 v + cos2 (и + у
А2В2 - F2 - а4 [cos2 и cos2 v + (cos2 и + cos2 v)cos2(« + у)}
-а cos v sin v
д/cos2 it cos2 v + (cos' u + cos2 v
- a cos и cos у sin(it + у)
а = 2 м
, - ........................... ....._
jcos2(w + у) д/cos2 и cos2 v + (cos2 и + cos2 yjcos2 (и + v)
-я cos и sin и
А= -г „ / у-
д/COS2 и cos2 г + (cos2 и +COS2 y)cos2(tr + у)
_ cos и cos v[sin и sin v - cos и cos v sin2 (и + у)]
я2 [cos2 и cos2 у + (cos2 и + cos2 v)cos2(u + y)]~
_ cos2(it + v)sin[2(M + v)]-cos2 vsin2v-cos2 ttsin2«
Рис. I
4a[cos2 и cos2 v + (cos2 и + cos2 v)cos2 (и + v)]3/2
Синусовая поверхность отнесена к неортогональной несопряженной
системе криволинейных координат и, у.
2) Неявная форма задания: я2 (г2 - х2 - у2)2 + 4л:2у2(г2 - а2) = О,
или a2z4 -2z2(fl2x2 +а2у2 -2х2у2) + а2(х2 -у2)2 = 0.
Из представленных формул очевидно, что синусовая поверхность яв-
ляется алгебраической поверхностью шестого порядка. Все три коор-
динатные плоскости будут плоскостями симметрии.
Сечение синусовой поверхности координатной плоскостью z = 0 бу-
дет проектироваться на плоскость хОу в виде двух ортогональных пря-
мых х = ±у (рис.1). Проекция сечения поверхности координатной плос-
костью х = 0 на плоскость zOy будет представлять собой две пересе-
кающиеся ортогональные прямые z = ±у. А линия пересечения коорди-
натной плоскости у = 0 с синусовой поверхностью будет проектиро-
ваться на координатную плоскость zOx в виде двух пересекающихся
ортогональных прямых z = ±х.
На рис. 1-2 изображена одна и та же синусовая поверхность, но построенная в разных
границах. Геометрические параметры, характеризующие поверхности, представлены на соот-
ветствующих рисунках.
Дополнительная литература
1. Gray A. Modem Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. - 2nd ed. - Boca Raton, FL: CRC
Press, 1997. - P 315-316.
470
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ «СЕРДЦЕ»
Г. Таубин (G. Taubin) ввел в рассмотрение алгебраическую поверхность шестого порядка,
напоминающую по форме сердце и поэтому получив-
шую название «Cepdi/е» (Heart surface).
Формы задания поверхности “Сердце”
1) Неявная форма задания:
(х2 + — у2 +z2-11 -x2z3-“У2г3 = 0.
L 4 ) 80
На рис. 1 показана поверхность «Сердце», взятая
без изменений на сайте [5].
Дополнительная литература
1. Taubin G. An accurate algorithm for rasterizing algebraic
curves// Second АСМ/IEEE Symposium on Solid Modeling and Ap-
plications Proceedings. - May 1993. - P. 221-230.
2. Taubin G. An accurate algorithm for rasterizing algebraic curves and surfaces// IEEE Comput. Graphics Appl. - No
14, 1994.-P.14-23.
3. Nordstrand T. Heart// http://www.uib.no/people/nfvth/hearttxt.htm.
4. http://www.mavica.ru/directorv/rus/8792.html
5. Eric И-'. Weisstein. Heart Surface. http://mathworld.wolfram.com/HeartSurface.html . - From MathWorld- A Wolf-
ram Web Resource. - © 1999 CRC Press LLC, © 1999-2004 Wolfram Research, Inc.
ПОВЕРХНОСТЬ ХАНТА
Поверхность Ханта (Hunt’s surface) является алгебраической поверхностью шестого по-
рядка, неявное уравнение которой имеет вид:
4(х2 + у2 + z2 -13)3 + 2?(3х2 + у2 - 4? -12)’ = 0.
На рис. 2 представлена поверхность Ханта, взятая без изменений на Сайте [1].
Дополнительная литература
1, Nordstrand Т. Hunt’s surface// http://www.uib.no/people/nfvtn/hunttxt.htm.
2. Hunt В. Algebraic surfaces// http://www.inathematik.uni-kl.de/~wwwagagZE/Galerie.htmI.
471
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ 6-ГО ПОРЯДКА С ВЕРЗИЕРОЙ И ДВУМЯ ПАРАБОЛАМИ
В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Рис.
Рис. 2
25у2
Алгебраическая поверхность, прохо-
дящая через верзиеру
2Ry2 „ Г -tJt2 -4с/2
Z = -------Г, где R =------------,
у + 4R2 4q
и две симметричные параболы
Z = (q-h)y2 /t2y2 — q,
лежащиев плоскостях х = ±т, будет по-
верхностью 6-го порядка. Поверхность
покрывает прямоугольный план 2т х 2t.
Формы задания поверхности 6-го порядка
1) Явная форма задания (рис. 1; 2):
х2 (q-h г 2Ry2
t2 y'+4R2j y2+4R2
В сечении поверхности у = 0 лежит парабола z = -qx2/m2. В сечении поверхности плоско-
стью х = 0 расположена коньковая линия - верзиера. В сечениях плоскостями у = с = const рас-
с- , , л X2 (q-h 2 2Rc2 2Rc2
положены параболы (рис. 1, a) z =—г —:—с -а+—-------- —------х-.
т ( t с +4R~) с' +4R-
2) Неявная форма задания:
(д —й)х2у4//2 + [4(<у — h)R2 /Г — q + 2R]x2y2 - т2у2z - 4qR2х2 -2т2Ry2 —4m2R2z = 0.
Дополнительная литература
1. Михайленко В.Е., Адилов П. О номограммно-координатном способе образования линий и поверхностей//
Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1976. - Вып. 22. - С. 38-42 (библ.: 3 назв.).
ПОВЕРХНОСТЬ 6-ГО ПОРЯДКА С ПАРАБОЛОЙ, КРИВОЙ 4-ГО ПОРЯДКА,
ПАРАБОЛОЙ В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Рассматриваемая поверхность имеет параболу ±у - В{1 - х2/Д2)/2 в сечении плоскостью z =
Т, кривую 4-го порядка ± у = 4bBz4Tz/ 3 - z2 /(2Г2) в сечении плоскостью yOz (х = 0) и па-
раболу z = х2ТП? в сечении поверхности плоскостью xOz (у = 0). Здесь Т - осадка поверхности,
В - ее максимальная ширина вдоль оси Оу, 2L - ее длина вдоль оси Ох (рис. 3). Плоскость z = Т
проходит через 2 точки кривой 4-го порядка (мидельшпангоут) с координатами (0; ±5/2; Т).
Форма задания поверхности
1) Явная форма задания (рис. 3):
где - L< х< Ц - В / 2 < у < В / 2; 0 < z . Поверхность 6-го порядка с па-
раболой, кривой 4-го порядка, параболой в 3-х главных координатных сече-
ниях имеет одну плоскость симметрии, совпадающую с координатной плос-
костью yOz- Аэрогидродинамическая поверхность имеет две конические
точки (±Г; 0; Т) и параболическое ребро z = x2T/L2, расположенное в плоско-
сти у = 0. Поверхность формируется семейством парабол, лежащих в плос-
костях z = t - const, то есть в плоскостях параллельных координатной плоскости хОу.
2) Неявная форма задания: 352(47z/3 - z2)(z4T- х2/А2)2 = 4Т2у2.
472
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ АНЬЕЗИАНЫ
Поверхность вращения аньезианы (рис. 1) образовывается вращением аньезианы
2L2
вокруг оси Ох. Поверхность имеет две конические точки.
Формы задания поверхности вращения аньезианы
( 2L2 Y
1) Неявная форма задания: z2 + у2 -Т2 —----1 = О,
[х +L )
Т - максимальный радиус параллели поверхности в плоскости zOy. Поверх-
ность вращения аньезианы является алгебраической поверхностью 6-го порядка.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = х(г) = ±L^J(T-г)/(Г + г), у = y(r,<p) = rsinср, z = z(r,cp) - rcoscp, где0<#><2;
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
А2 = 1 + — ~ F = Q,B = r,L = +------—, М = О, N = ±—
(Т2 —г2)(Т +г)2 А(Т2-г2)3/2(Т + г) а/Г-
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
С 21} ( 21} ")
х=х, у = у(х,ср) = Т\ —----1 cos^, z = z(x,(p) = Т —----1 sin^.
rLT
,3/2 ’
ПОВЕРХНОСТЬ 6-ГО ПОРЯДКА С АНЬЕЗИАНОЙ, ЭЛЛИПСОМ, АНЬЕЗИАНОЙ
В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
„ L25 В
Рассматриваемая поверхность имеет аньезиану у = ——— - — в сечении плоскостью хОу
4у2 z2 2L2T
(z = 0), эллипс + = 1 в сечении плоскостью yOz (х = 0) и аньезиану z = Т--—— в се-
чении поверхности плоскостью xOz (у = 0). Здесь Т - осадка поверхности, В - ее максимальная
ширина вдоль оси Оу, 2L - ее длина вдоль оси Ох.
Форма задания поверхности
1) Неявная форма задания:
4y2(x2+L2)2 z2(x2+L2)2
9 V Т2(л--
Поверхность 6-го порядка с аньезианой, эллипсом, анъе-
зианой в 3-х главных координатных сечениях имеет три
плоскости симметрии, совпадающие с координатными
плоскостями, и две конические точки (-/.; 0; 0) и (L; 0; 0).
Рис- 1 Поверхность формируется семейством эллипсов, лежа-
щих в плоскостях х = const, то есть в плоскостях параллельных координатной плоскости yOz.
2) Параметрическая форма задания (рис. 1-2):
1 — и’ 1 — и2
x = x(u) = uL, y = y(u,v) =--— Bcosv, z = z(w,v) =-----Tsinv.
2(1 + и ) 1 + и
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.Я., Протодьяконов С.М. Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей
высших порядков// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 108-120 (библ.: 2 назв.).
473
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 6-ГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ СЕТЯМИ ПЕРЕНОСА
Параметрические уравнения поверхности с двумя сетями переноса в пространстве Е3 мож-
но записать в виде
x = cp(ii) + (p(y), у = ^(t<) + ^/(v), z = /с(и) + к(у),
где
, ч rxdx / . rvdx . . г dx
<Р(х) = J"^’ = J^’ = IV
J Л- J Fy J F..
есть абелевы интегралы; F(x,y) = 0 - уравнение кривой четвертого порядка. Поверхность пере-
носа относительно двух плоскостей может быть как алгебраической, так и трансцендентной.
Наивысший порядок алгебраической поверхности равен шести. Имеются две такие поверхности
шестого порядка.
Формы задания алгебраических поверхностей 6-го порядка с двумя сетями переноса
1) Параметрическая форма задания первой поверхности:
х = х(и,v) = “(и2 + г2)+“'(г<3 + У = У(и>v) = -^-(и4 + v4)+-^
Eisland J. [1] установил, что для этой поверхности кривая F(x,y) = 0 задается уравнением
(у-х2)2±2ху(у-х2) + у3 =0.
2) Неявная форма задания первой поверхности:
z = z(u,v) = u + v.
(1 + z)t = (1 + z) у +'T-
2 3 X2
Z Z
-----1------X
2 3
2 3
Рис. 1
гг 1 1 ,1
Поверхность симметрична относительно точки I —, , II.
3) Неявная форма задания второй поверхности:
z6 - — z4-15.xz3 -45х2 + 45yz+ — = 0.
4 4
Это уравнение второй поверхности получено из неявного уравнения первой переносом на-
fl 1 . 1
чала координат в точку 1J и заменой у на -х+у-— z.
В.Ф. Игнатенко [2] показал, что полученная таким образом поверхность является поверхно-
стью переноса относительно двух плоскостей - несобственной плоскости и плоскости z = 0.
z6-15(z4/4 + xz3 + 3x2)+65/4
45z
На рис. 1 показаны фрагменты второй поверхности перено-
са, построенной в границах:
4) Явная форма задания второй поверхности:
Рис. 2
са, построенной в границах:
5) Явная форма задания второй поверхности:
-z3 ±79z6/5-3z4 + 36yz + 13
6
На рис. 2 показаны фрагменты второй поверхности перено-
ДОПО л нительная литература
1. Eisland J. On a certain class of algebraic translation-surfaces// Amer. J. of Math. - 1907. - Vol. 29. - P. 363-386.
2. Игнатенко В.Ф. Об алгебраической поверхности шестого порядка с двумя сетями переноса// Украинский
геометрический сборник. - Харьков, 1977. - Вып. 20. - С. 46-48 (библ.: 6 назв.).
474
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ 7-ГО ПОРЯДКА С ПАРАБОЛОЙ, АНЬЕЗИАНОЙ, ЭЛЛИПСОМ
В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Рассматриваемая поверхность с параболой, аньезианой, эллипсом в 3-х главных координат-
ных сечениях имеет
В 2Вх.л
параоолу у =--------— в сечении плоскостью хОу ,
аньезиану z = ——у -Т в сечении плоскостью yOz ,
эллипс + ---г = 1 в сечении плоскостью xOz (у = 0).
L‘ Т~
Здесь Т - осадка поверхн ости вдоль оси Oz, В - ее
максимальная ширина вдоль оси Оу, L - ее длина вдоль оси Ох (рис. 1).
Наличие уравнений главных сечений позволяет конструировать поверхности по различным
наперед заданным требованиям, предъявляемым к ним. По одним и тем же главным сечениям
можно построить три существенно отличающиеся одна от другой поверхности (см., например,
«Поверхность 6-го порядка с параболой, аньезианой, эллипсом в 3-х главных координатных се-
чениях»). Для этого, предварительно, нужно задаться непрерывным каркасом плоских кривых
инцидентных семейству плоскостей, параллельных одной из трех координатных плоскостей.
Для практических целей для каждой из полученных поверхностей необходимо подсчиты-
вать коэффициент полноты. Коэффициент полноты - отношение площади (или объема), огра-
ниченной кривой линией (или поверхностью), к площади (или объему) прямоугольника (или
параллелепипеда), имеющего одни и те же габаритные размеры.
Форма задания поверхности 7-го порядка
,. u , 4Вх2 (4y2+B2)V ,
1) Неявная форма задания: —-------1—г—------z-v = 1,
L2(B-2y) Тг(В2-4у2)2
где -L/2<x<L/2; -В/2< у< В/2; -T<z<0.
Поверхность формируется семейством эллипсов, лежащих в плоскостях
у = ус = const, параллельных координатной плоскости xOz;
4Вх2 । (4у2 +52)2;2
L2(В-2ус) + Г2(В2-4у2)2 “ '
2) Параметрическая форма задания (рис. 1 - 2):
2
х - х(у, v) = O,5LJ1 у cos v, у — у,
z = z(y,v) =
Т(В2-4у2)
В2 + 4у2
sin г.
3) Неявная форма задания:
z2(4y2 + В2)2(В-2у)/Т2 +4Вх2(В2 -4у2)2 / L2 - (В2 -4у2)2 (В-2у) = 0.
Из последней формулы видно, что рассматриваемая поверхность является алгебраической
поверхностью 7-го порядка. Для этой поверхности коэффициент полноты будет равен 2/3 [1].
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.Я., Протодьяконов С.М. Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей
высших порядков// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 108-120 (библ.: 2 назв.).
2. Авдоньев Е.Я. О связи геометрии обводов поверхности с наперед заданными требованиями к ней// Приклад-
ная Геометрия и инж. графика. - Киев, 1973. - Вып. 17. - С. 26-30 (библ.: 4 назв.).
475
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ 7-ГО ПОРЯДКА С ПАРАБОЛОЙ, ЭЛЛИПСОМ, ЛИСТОМ ДЕКАРТА
В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Поверхности плавающих тел живой природы, в первую очередь китообразных и некоторых
видов рыб, представляют интерес для конструирования судовых поверхностей. Эти тела обла-
дают совершенной, с точки зрения гидродинамики, формой.
На основании анализа форм обводов поверхностей тел живой природы Е.А. Авдоньев ут-
верждает, что они могут быть построены из дуг алгебраических кривых. Они позволяют опи-
сать весь профиль или его половину единым уравнением. Это имеет существенное значение для
обеспечения гладкости профиля. В частности, для аппрок-
симации наружных поверхностей пеламид и меч-рыб он
предложил поверхность 7-го порядка (ошибочно названной
Е.А. Авдоньевым поверхностью 5-го порядка) с параболой
(грузовая ватерлиния)
в сечении z = О,
обобщенным листом Декарта (главный батокс)
|3(Г —х) .
z = 2,5426—х,------ в сечении у = О
L \ L + 3x
и эллипсом (мидельшпангоут) —-у- + — = 1 в сечении х - ~^=.
Здесь приняты обозначения (рис. 1): В - максимальная ширина поверхности в сечении х =
L/2 в направлении координатной оси Оу; L - длина поверхности вдоль оси Ox; 2Т - максималь-
ная высота поверхности в сечении х = Ыл[з вдоль оси Oz.
Формы задания поверхности 7-го порядка
1) Неявная форма задания (рис. 1; 2):
В 2В( L?
----Н л--
2 ЬЦ 2)
2,5426^^1
L у L + 3x
Варьирование геометрическими параметрами В, Т, L в
уравнениях кривых и поверхности позволяет получить заданные величины аэрогидродинамиче-
ских показателей (угол входа, полнота формы и др.).
Рассматриваемая поверхность формируется семейством эллипсов (шпангоутов), лежащих в
параллельных плоскостях х = с = const. Семейство эллипсов задается уравнением:
В 2В( L?
----— С---
2 13{ 2)
2
2,5426^л^Е1)
Г 1 L + Зс
Д о п о л нательная литература
1. Авдоньев Е.А., Протодьяконов С.М. Применение алгебраических кривых высших порядков к построению
гидроаэродинамических профилей// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1974. - Вып. 18. - С.
111-114 (библ.: 4 назв.).
2. Авдоньев Е.А. Аппроксимация поверхностей плавающих тел алгебраическими// Прикладная геометрия и
инженерная графика. - Киев. 1975. - Вып. 19. - С. 99-102 (библ.: 3 назв.).
476
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА С ПАРАБОЛОЙ, КРИВОЙ 4-ГО ПОРЯДКА,
ПАРАБОЛОЙ В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Рассматриваемая поверхность с параболой, кривой 4-го порядка, параболой в 3-х главных
, В Вх2 л
координатных сечениях имеет параболу ± у = — - —у в сечении плоскостью z = Т, кривую 4-
, -у/зв 14 2~ /П / ПХ Л ^2
го порядка ± у = КффТ zJ-Tz-z в сечении плоскостью yOz (х = 0), параболу z = — % в сече-
нии поверхности плоскостью xOz (у = 0).
Здесь Т - осадка поверхности вдоль оси Oz, 5 - ее максимальная ширина вдоль оси Оу, 2L -
ее длина вдоль оси Ох.
Начало координат расположено на низшей точке главного
J батокса, где одновременно находится низшая точка мидельш-
пангоута. Мидельшпангоут включает в себя не всю замкнутую
Рис. 1
кривую 4-го порядка ± у =
—Tz~z , лежащую в плос-
кости yOz, а только участки в пределах 0 < z < Г. Координата
z для всей замкнутой кривой 4-го порядка изменяется в преде-
лах 0<z^4773. В точке z = Т (рис. 1) кривая будет иметь
максимальное значение у: y,„OT(z = Т) - ±В/2.
Наличие уравнений главных сечений позволяет конструи-
ровать поверхности по различным наперед заданным требованиям, предъявляемым к ним. По
одним и тем же главным сечениям можно построить три существенно отличающиеся одна от
другой поверхности (см., например, «Поверхность 6-го порядка с параболой, кривой 4-го по-
рядка, параболой в 3-х главных координатных сечениях»'). Для этого, предварительно, нужно
задаться непрерывным каркасом плоских кривых инцидентных семейству плоскостей, парал-
лельных одной из трех координатных плоскостей. Для практических целей для каждой из полу-
ченных поверхностей необходимо подсчитывать коэффициент полноты. Коэффициент полно-
ты - отношение площади (или объема), ограниченной кривой линией (или поверхностью^ к
площади (или объему) прямоугольника (или параллелепипеда), имеющего одни и те же габа-
ритные размеры.
Форма задания поверхности 7-го порядка
1) Неявная форма задания (рис. 1 - 2):
V357F
2LT2
Рис. 2
2 [4Т 2 I 2 Т 2
— J — fz-Z , Z-7% Z,
V3 V L2
Поверхность формируется семейством кривых 4-го порядка, ле-
жащих в плоскостях х = t = const, параллельных координатной
плоскости yOz:
7зв7тг-г [4~ ~ I 2 Т2
—Tz~z Jz —yt z.
3 v L2
2LT2
lz2.
, зв2(ь2 -
2) Неявная форма задания: у" =-----—
4/? 7’
Из последней формулы видно, что рассматриваемая поверхность является алгебраической
поверхностью 7-го порядка.
477
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА С АНЬЕЗИАНОЙ, КРИВОЙ ЛАМЭ
3-ГО ПОРЯДКА, ПРЯМЫМИ В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Рассматриваемая поверхность с аньезианой, кривой Ламэ 3-го порядка, прямыми в 3-х
главных координатных сечениях имеет
Ь2В В „ , г.
аньезиану ± у = —--------в сечении плоскостью хОу (z = 0),
х~ + L: 2
4у2
кривую Ламэ 3-го порядка
Л
= 1 в сечении плоскостью yOz,
р 5 '
три прямые х = +L, у = 0 и z = -Т, у ~ 0 в сечении плоскостью xOz.
Здесь Т - осадка поверхности вдоль оси Oz, В - ее максимальная
ширина вдоль оси Оу, 2L - ее длина вдоль оси Ох.
Форма задания поверхности 7-го порядка
1) Неявная форма задания (рис. 1): + у -
13в4тъ + z3
Т7г(х2 +L2)
B-Jt3 + z3
2Т4т
гце-Ь<х<Ц -В/2<у<В/2; -T<z<0.
Поверхность формируется семейством аньезиан, лежащих в плоскостях z = -t = const, па-
раллельных координатной плоскости уОх:
+ _ в4т3 -3 I Ь2-х2 У _ В^Т3-3 Г L2 _
~у 2т4т ух2 + L2 J т4т \х2+1? 2)
2) Неявная форма задания: В2(Т2 + zJ)(T2-х2)2 = 4у2Г3(х2 + L2)2.
Из последней формулы видно, что рассматриваемая поверхность является алгебраической
поверхностью 7-го порядка.
Дополнительная литература
I. Авдоньев Е.Я., Протодьяконов С.М. Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей
высших порядков// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 108-120 (библ.: 2 назв.).
ПОВЕРХНОСТЬ «ЛЫЖНАЯ ГОРКА»
Рис. 2
Поверхность «Лыжная горка» является алгебраической поверхно-
стью седьмого порядка. Внешне она похожа на диагональную кубиче-
скую поверхность Ферма (см. «Алгебраические поверхности третьего
порядка»).
Форма задания поверхности
1) Явная форма задания (рис. 2^4):
z = \1а(х3 - у3')2 у + Ых2 + у2)3х,
где а,Ь - произвольные константы.
На рис. 3 изображена рассматриваемая по-
верхность со следующими геометрическими
параметрами:
а = 0,75; Ь = 0,25; -1,5<х<2; -2<у<2.
Поверхность, представленная на рис. 4, имеет
а = 0,25; fe = 0,75; -1,5 < х <2; -2<у<2.
В сечении поверхности плоскостью х = у ле-
жит кривая седьмого порядка:
х = и; у = и; z3 = 8bv7.
478
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВОСЬМОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВОСЬМОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ 8-ГО ПОРЯДКА С АНЬЕЗИАНОЙ, ЭЛЛИПСОМ, ЭЛЛИПСОМ
В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
„ L2B В
Рассматриваемая поверхность имеет аньезиану у = —:---в сечении плоскостью хОу
4х" + L" 2
(z = 0), эллипс 4у2/В2 + z/T2 = 0 в сечении плоскостью yOz (х = 0) и эллипс z'/T" + 4xz/L2 = 1 в
сечении поверхности плоскостью xOz (у = 0). Здесь Т - осадка поверхности, В - ее максималь-
. ная ширина вдоль оси Оу, L-ee длина вдоль оси Ох.
у Форма задания поверхности
1) Неявная форма задания (рис. 1):
У2 %2
( вгв в? + ТЧС--4Х1} "1'
Рис.1 I44x2+L2 2 J Г2
Объем поверхности можно вычислить по формуле V = лВТЬП. Поверхность имеет три
плоскости симметрии, совпадающие с координатными плоскостями.
Тангенс угла наклона касательной к аньезиане в точках х = +L/2 вычисляется по формуле
tgy = B/L.
При помощи рассмотренной поверхности можно конструировать поверхность типа корпуса
судна, принимая линию z = 0 за ватерлинию. Зная общее уравнение поверхности, выражение
для угла входа ватерлинии у, можно конструировать поверхность данного типа по наперед за-
данным условиям, предъявляемым к корпусу судну, варьируя параметры L, Т, В.
Дополнительная литература
1. Авдоньев Е.Я. Конструирование поверхностей, удовлетворяющих некоторые метрические требования// При-
кладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1972. - Вып. 14. - С. 102-106 (библ.: 5 назв.).
ПОВЕРХНОСТЬ 8-ГО ПОРЯДКА С КРИВОЙ ЛАМЕ 4-ГО ПОРЯДКА, КРИВОЙ ЛАМЕ
4-ГО ПОРЯДКА, ЭЛЛИПСОМ В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
п тт . 16 V4 X4
Рассматриваемая поверхность имеет кривую Ламе 4-го порядка —+ —= 1 в сечении
В L
4 т А
z L
1 бу z
плоскостью хОу (г = 0), кривую Ламе 4-го порядка —— + — = 1 в сечении плоскостью yOz (х =
В Т
z1 х2
0) и эллипс —- + —= 1 в сечении поверхности плоскостью xOz (у ~ 0). Здесь Т - осадка по-
Т В
верхности, В - ее максимальная ширина вдоль оси Оу, 2L - ее длина вдоль оси Ох.
Форма задания поверхности
nu A / о, 16у4Ь4 , Z4L4
1) Неявная форма задания (рис. 2): —•— -— + —-— ----—— = 1.
Л4(Д4-хч) Т4(С2-х2)2
Часть рассматриваемой поверхности нашла применение в качест-
ве поверхности кормовой оконечности корпуса речного грузового
теплохода, спроектированного ПКБ ГУРФ при СМ УССР [1].
2) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = uL, у = у(и,v) = +Вх/1-и47cos7/2, z = z(u,v) = Т71-u2 7sinv.
Дополнительная литература
Аналитическое описание корпусных поверхностей// Прикладная геометрия и инж. графика. -
Рис. 2
1. Авдоньев Е.Я.
Киев, 1972. - Вып. 15. - С. 156-160 (библ.: 3 назв.)
479
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВОСЬМОГО И ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКОВ
ПОВЕРХНОСТЬ 8-ГО ПОРЯДКА С ПАРАБОЛОЙ, КРИВОЙ 4-ГО ПОРЯДКА,
ПАРАБОЛОЙ В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
сечении поверхности плоскостью xOz. Размеры Т, L, В показаны на рис. 1.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
X = X (и, v) = uL, Y = Y(и, v) = ± 8В(1 - и2 )vp(l-v)/(37з), Z = Z(u, v) = Т(у - 3 / 4)( 1 - и2),
где и = л/Z.; v = z/T.
/ >3/ х/ 1 х2
2) Неявная форма задания: у2- —В2| —| 1-Д- =0.
27 И 4) U Т)\ I?
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА
ПОВЕРХНОСТЬ 12-ГО ПОРЯДКА С ПАРАБОЛОЙ, КРИВОЙ 8-ГО ПОРЯДКА,
ПАРАБОЛОЙ В 3-Х ГЛАВНЫХ КООРДИНАТНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Рассматриваемая поверхность имеет параболу у = В( I - x2/L2)/2 в сечении плоскостью хОу,
кривую восьмого порядка у = (CBz / Г)7(г/Г)[1Чг/Г)Д
1 1 । О ( 1 о \ / Р
1 р + 3[ р + 3 ]
[р = 5; С =— J--- ---- ] в сечении плоскостью yOz
2 \ р < 3 J
и параболу z = 37x2/(4L2) в сечении поверхности плоско-
стью xOz- Размеры Т, L, В показаны на рис. 1.
Формы задания поверхности
1) Параметрическая форма задания (рис. 3):
X = X(u,v)=Lu, Y = Y(u,v) = CBvJv(l - v" )(1 - и2), Z = Z(u, v) = T(y - vj(l-и2),
гДе r„, = [3/(p + 3)]7, u = x/L; v = z/T.
2) Неявная форма задания: у2 - C2B2(z/T+ v„, )3[1 -(z!T + - х1 /13Для рассмат-
риваемой поверхности необходимо принять р = 5. Приравнивая параметр р произвольному це-
лому числу, можно получать алгебраические поверхности других порядков.
480
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ШЕСТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА
Поверхность, заданную аналитическими уравнениями, легко изобразить средствами начер-
тательной геометрии. Чем проще способ задания поверхности, тем легче решать различные
технические задачи. С этой точки зрения могут привлечь внимание алгебраические поверхно-
сти высших порядков, формируемые однопараметрическим множеством плоских кривых, ле-
жащих в параллельных плоскостях. Эти плоские кривые включаются в каркас поверхности.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С НЕПРЕРЫВНЫМ КАРКАСОМ ВЕРЗИЕР,
ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ПАРАБОЛУ И ДВЕ ПРЯМЫЕ
q = 2; t = 2; т = 1; с = 0,5
Рис. 1
Алгебраическая поверхность, проходящая через параболу
с - т 1 п
z = —-— у + т , х = 0
Г
и прямые х = ±q, лежащие в горизонтальной плоскости хОу, и
несущая на себе непрерывный каркас верзиер, лежащих в
плоскостях, параллельных координатной плоскости xOz, будет
алгебраической поверхностью 16-го порядка.
Уравнение трехпараметрического множества верзиер будет
иметь вид:
д2(г-л + 2Л) = 47?2(и-г), где
с -т 2
п - —-— у
г
у -q^jq2 -4я2"
+ т , а радиус R =-----!-------
4п
определяется из условия прохождения верзиер
через прямую х = q.
Формы задания поверхности
1) Неявная форма задания (рис. 1 - 3):
х2 (z - п + 2R) = 47?2 (л - г),
где значения параметров п - п(у2) и R указаны выше. Максимальное превышение поверхности
над горизонтальной плоскостью хОу будет равно т [zmax = z(x = 0; у = 0) = т > с].
2) Неявная форма задания:
{(z-n)[2n2(x2 — q2) + q4]+q2nx2J~ -q2(q2 -4n2)[x2n + (z~n)q2]~ =0.
Дополнительная литература
1. Адилов П. Построение некоторых алгебраических поверхностей высших порядков номограммно -
координатным способом// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 60-63 (библ. :
3 назв.).
2. Адилов П. Координатный способ построения алгебраических кривых при помощи многозначного соответст-
вия// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1974. - Вып. 18. - С. 69-71 (библ.: 4 назв.).
481
16 - 5391
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Краснов В.А. Аналоги неравенства Гарнака - Тома для вещественной алгебраической поверхности// Извес-
тия РАН. Серия матем. - 2000. - Том 64. - № 5. - С. 45.
2. Рудницкий О.И. Три класса алгебраических поверхностей с бесконечными группами косых симметрий//
Труды матем. ф-та. - Симферополь: Изд-во Симф. ут-та, 1998. - С. 95-99.
3. Гуревич К.Ю., Компаниег! Л.А., Ушаков В.В. Изображение алгебраических поверхностей в пространстве//
Труды межрегиональной конф. «Проблемы информатизации региона». - Красноярск, 1995. - С. 236.
4. Петровский И.Г. и др. Алгебраические поверхности: Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова. - М.: «Наука»,
1965.-222 с.
5. Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности: Пер. с анг. - М.: Изд-во «Мир», 1968. - 236 с.
6. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Алгебраические поверхности второго порядка: Метод, указ. -
СПб.: СПбГУ, 1993. - С. 1-36.
7. Паршин А.Н. Соответствие Кричевера для алгебраических поверхностей// Функ, анализ и его прил. - 2001. -
Том 35.-Вып. 1. - С. 88-90 (библ.: 14 назв.).
8. Шубников В.Г. Анализ геометрический описаний сложных объектов на базе алгебраических уравнений
высших порядков, их обработка и визуализация. - Дис. канд. техн. наук. - С. Петербург, 2002. - 112 с.
9. Краснов В.А. Вещественные алгебраические GMZ-поверхности// Известия РАН, сер. математическая, 1998. -
Том 62, № 4. - С. 51-80 (библ.: 15 назв.).
10. Обухова В.С. Теоретические основы конструирования технических форм из алгебраических поверхностей//
Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1990. - Вып. 50. - С. 42-47.
11. Обухова В.С. Начертательная геометрия алгебраических поверхностей высших порядков// Вопросы при-
кладной геометрии. Материалы 29-ой научно-техн, конференции. - Киев: НИИСП Госстроя УССР, 1968. - С.21-22.
12. Попова Л.С., Синицына О.В. Определение формы касательной алгебраической поверхности с помощью
коэффициентов уравнения. - Киров: Кир. ПИ, 1994,- 16с. - Библ.: 11 назв,- Деп. в ВИНИТИ 24.03.94,- № 723-В94.
13. Рудницкий О.И. Строение вырожденной диаметральной кубической поверхности алгебраической поверх-
ности. - Симферополь: Симфероп. ун-т, 1994. -7с. - Библ.: 4 назв. - Деп. в РНТБ Украины 10.03.94. - № 473-Ук94.
14. Джандарбекова Д.Д., Иванов Г.С. Исследование к аппроксимации формы капли отсеками алгебраических
поверхностей// Научн. тр. Моск, лесотехнического ин-та. - 1976. - Вып. 85. - С. 41-48.
15. Иванов Г.С., Лисенков В.Т. Получение некоторых специальных видов алгебраических поверхностей// На-
учн. тр. Моск, лесотехнического ин-та. - 1976. - Вып. 85. - С. 54-60.
16. Обухова В.С. Конструктивно-прикладная теория нелинейных осевых отображений и ассоциированных с
ними алгебраических поверхностей. - Автореф. дис. д-ра техн. наук. - Киев: КИСИ, 1991.-41 с. (библ.: 112 назв.).
17. Борисенко А.А., Николаевский Ю.А. Об алгебраических поверхностях, заданных однородным полиномом//
Укр. геом. сборник. - Харьков, 1987. -№ 30. - С. 3-10.
18. Beauville A. Complex Algebraic Surfaces: 2nd ed. - Cambridge Univ., 1996. - 132 p.
19. Friedman R. Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles// Springer, 2000. - 329 p.
20. Mumford D. Introduction to Algebraic Geometry. - 2000. - 442 p.
21. Markovic Miroslav. The 3rd degree rectilinear surfaces in quadric tufts// Facta Univ. Ser. Archit. and Civ. Eng.
Univ. Nis., 1999, 2, № 1. - P. 1-5 (библ.: 5 назв.).
22. Wei/3 Gunter. Algebraische Gebiischregelflachen mit ebenen Schattengrenzen// Sitzungsber. Oster. Akad. Wiss.
Math.-naturwiss. KI., 1976, Abt. 2, 185, № 8-10. - S. 411-441.
23. Murre J.P. Classification of algebraic varieties// Nieuw. arch. wisk. - 1977. - 25, № 3. - P. 308-338 (библ.: 59
назв.).
24. Mandelbaum Richard, Moishezon Boris. On the topological structure of simply-connected algebraic surfaces// Bull.
Amer. Math. Soc. - 1976. - 82, No 5. - P. 731-733.
25. Rath Wolfgang. Kubische Regelflachen als Kreisbewegflachen des Flaggenraumes// Wiss. Reitr. M.-Luther. Univ.,
Halle-Wittenberg. M. - 1988. - № 52. - S. 165-174.
26. Friedrich Th. The classification of algebraic surfaces with small eigenvalue of the Dirac operator// Tagungsber./
Math. Forschungsinst., Oberwolfach. - 1991. - № 45. - S. 2.
27. Mick Sybille. Komplexe Strahlflachen 3. Grades mit konstantem// Ber. math.-statist. Sek. Forschungszent. Graz. -
1985.-№243-254, 250/1-250/13.
28. Krames Josef. Uber die konstant gedrallte windschiefe Flache dritten Grades// Sitzungsber. Osterr. Akad. Wiss.
Math.-naturwiss KI. - 1978, Abt. 2, 187. - №8-10. - S. 297-312.
29. Bisztriczky Tibor. On surfaces of order three// Can. Matn. Bull. - 1979. - 22, № 3. - P. 351-355.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на соответствующих страницах раздела «Алгебраические поверх-
ности выше второго порядка».
482
КВАЗИМНОГОГРАННИКИ
КВАЗИМНОГОГРАННИКИ
Многогранником называют фигуру, ограниченную плоскими многоугольниками. Вершины и
стороны многоугольников являются вершинами и ребрами многогранника. Они образуют про-
странственную сетку. Если вершины и ребра многогранника будут находиться по одну сторону
плоскости любой из его граней, то многогранник называется выпуклым. В этом случае все его
грани - выпуклые многоугольники.
Из многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды,
призматоиды и правильные выпуклые многогранники - тела Платона (тетраэдр, гексаэдр, окта-
эдр, додекаэдр и икосаэдр). Многогранник называют правильным, если его грани представляют
собой правильные и равные многоугольники, а многогранные углы при вершинах равны.
Призма - многогранник, у которого два основания, суть л-угольники, а остальные п боко-
вых граней - параллелограммы. Призмы бывают треугольные, четырехугольные и т. д„ смотря
по тому, лежит ли в основании треугольник, четырехугольник и т. д. Пирамида - многогранник,
основанием которого служит многоугольник, а остальные боковые грани суть треугольники с
общей вершиной. Призматоид - многогранник, две грани которого (основания) лежат в парал-
лельных плоскостях, а остальные являются треугольниками или трапециями. Причем у тре-
угольников одна сторона, а у трапеций оба основания являются сторонами оснований призма-
тоида. Призматоид называют антипризмой, если основаниями его будут равные правильные
многоугольники, центры которых принадлежат общей нормали к ним, но один повернут отно-
сительно другого вокруг нормали на угол <р = 180°/и (и - число сторон многоугольника).
Тетраэдр - правильный четырехгранник, состоящий из четырех равносторонних и равных
треугольников. Треугольники соединены по три около каждой вершины. Тетраэдр представляет
собой частный случай пирамиды.
Гексаэдр - правильный шестигранник (куб), состоящий из шести равных квадратов. Куб
представляет собой частный случай призмы.
Октаэдр - правильный восьмигранник, состоящий из восьми равносторонних и равных
треугольников, соединенных по четыре около каждой вершины. Октаэдр представляет собой
многогранник, составленный из двух четырехугольных пирамид, соединенных между собой
своими квадратными основаниями.
Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных
пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Если принять два параллельных
пятиугольника за основания додекаэдра, то остальные десять пятиугольников образуют его бо-
ковую поверхность.
Икосаэдр - правильный двадцатигранник, состоящий из двадцати равносторонних и рав-
ных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Середины граней икосаэдра
являются вершинами додекаэдра.
Доказано, что существуют три невыпуклых правильных додекаэдра (тела Пуансо): 1) ма-
лый звездчатый додекаэдр; 2) большой додекаэдр; 3) большой звездчатый додекадр [2].
Квазимногогранником называют фигуру, ограниченную неплоскими равными кусками по-
верхностей. Угловые точки и границы кусков поверхностей являются вершинами и ребрами
квазимногогранника. За основу образования квазимногогранника можно взять любой много-
гранник. Например, поверхность Гурса можно считать квазимногогранником, построенном на
базе куба (гексаэдра). Иногда в название квазимногогранника входит название взятого за его
основу многогранника.
Дополнительная литертура
1. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. Многогранники: Конспект лекций. - М.: Изд-во Казанского
университета, 1966. - 28 с.
2. Станиславская Л.А. О построении звездчатых додекаэдров// Начертательная геометрия и ее приложения. -
Л.: ЛИИЖТ, 1963. - Вып. 213. - С. 89-97 (библ.: 6 назв.).
483
16*
КВАЗИМНОГОГРАННИКИ
ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ
В настоящее время известны 75 однородных многогранников и большое число их звездча-
тых форм. Ниже приведены наиболее известные виды многогранников, взятые на сайтах в сети
Интернет. Более подробная информация содержится в книге М. Веннинджера [7].
Тетраэдр и построенный на его основе многогранник
Икосаэдр и построенные на его основе многогранники
Гексаэдр (куб)
Многогранник, составлен-
ный из куба и октаэдра
Многогранник, составленный
из куба и шести четырех-
угольных пирамид
Треугольная призма
Шестиугольная призма Восьмиугольная призма
Пятиугольная призма с
присоединенной четы-
рехугольной пирамидой
484
ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ (продолжение)
Купол
Двойная квадратная пирами,
(октаэдр)
Лодка Домик
Многогранники, полученные соединением призм и пирамид
Усеченный двойной
тетраэдр
Гексагональная
антипризма
Шестиугольная призма
с двумя присоединен-
ными пирамидами
Усеченный куб
Усеченный додекаэдр
P.S.: Рисунки многогранников взятЬ! на сайтах: Eric W. Weisstein - - A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.corn/Tetrahedron.htm И http://mathworld.wollram.com/Tetradecahcdron.htnil
Дополнительная литература
1. Wunderlich Walter. Wackeldodekaeder // Ber. Math.-statist. Sek. Forschungszcnt. Graz. - 1980. - № 140-150. -
149/1-149/8.
2. Hohenberg Fritz. Projektive Eigenschaften des abgestumpften Wiirfels// Elem. Math. - 1981. - 36, № 3. - S. 49-58.
3. Haglund Frederic. Les polyedres de Gromov// C. r. Acad. sci. Ser. 1. - 1991. - 313, № 9. - P. 603-606.
4. Hohenberg Fritz. Besondere Bilder des abgestumpften Wiirfels// Ber. Math.-statist. Sek. Forschungszent. Graz. -
1980.-№ 140-150,- 146/1-146/14.
5. Бараненко В.А,, Перчаник H.E. Моделирование трехмерной структуры многогранных форм и их применение
в стереологии// Современные проблемы геометрического моделирования. Материалы Украино - российской науч-
но-практической конференции. 19-22 апр. 2005 г. - Харьков, 2005. - С. 137- 143 (библ.: 7 назв.).
6. Шангина Е.И. Тела Платона и принципы пропорциональности// Современные проблемы геометрического
моделирования. Материалы Украино - российской научно-практической конференции. 19-22 апр. 2005 г. - Харь-
ков, 2005. - С. 225-232 (библ.: 2 назв.).
7. Венттджер М. Модели многогранников. - Пер. с анг. - М.: «Мир». 1974. - 238 с.
8. Никитенко О.И. Моделирование гранных структур на основе плоских полипаркетов// Прикладная геометрия
и инж. графика. - Киев, 1991. - Вып. 51. - С.52-55.
9. Игнатенко В.Ф. Условия инвариантности кубической поверхности относительно группы симметрий пра-
вильного тетраэдра// Укр. геом сборник. - Харьков, 1979. - № 22' - С. 60-64.
10. Гаджимурадов М..4. Строение граней многогранной сужающейся поверхности// Функи, анал., теория
функций и их прил. - Махачкала, 1986. - С. 65-70.
485
КВАЗИМНОГОГРАННИКИ
АСТРОИДАЛЬНЫЙ ЭЛЛИПСОИД
Астроидальный эллипсоид содержит шесть вершин и восемь непло-
ских граней.
Форма задания астроидального эллипсоида
1) Параметрическая форма задания:
x = x(u,v) = (a cosh cosv)3; у = y(u,v) = (b sin и cosv)3; z = z(v) = (csinv)3,
где a, b, с - постоянные геометрические параметры. Поверхность имеет
три плоскости симметрии (координатные плоскости). При а = b = с аст-
роидальный эллипс вырождается в гиперболический октаэдр. На рис. 1
изображена поверхность с а = 1 м; b = 1,3 м; с = 1,2 м; 0<«<2^;
-я72 < v < я/2.
Дополнительная литература
1. Nordstrand Т. Astroidal ellipsoid. - http://www.uib.no/people/nfyth/asttxt.htm.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ОКТАЭДР
Гиперболический октаэдр - частный случай астроидального эллипсоида при а = b = с.
Форма задания гиперболического октаэдра
1) Параметрическая форма задания (рис. 2):
х = х(и, v) = (a cos и cos v)3; у = у (и, v) = (а sin и cos v)3; z = z(v) = (a sin v)3,
где а - постоянный геометрический параметр; - л/2 < и < тгз/2; - л <v <л.
Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:
9
sin «cos' v, F =~а<3 cos5 vsin vshi(4m),
vsin v-^/cos2 v(cos6 и + sin6 u) + sin2 v,
sin2 2«sin2 2vcos6 //[cos2 vcos2 wsin2 и + sin2 v
За3 cos2 vsin 2//sin2v
. ... : -^r, M =0,
:os2 vcos2 и sin2 и +sin2 v
За3 sin 2usin2v _ L
—;.....д-----у.... — y~ ~ 2 ’
cos" vcos’и sin и + sin’v cos v
2 sin v
вис. i “ о з i 2 , : з ’
3a vcos vcos" «sm’a + sin’v-sin2acos v
, sin 2u
kv='------------;----------------------1 , . ==’
За3 sin2v[cos2 v(cos6 и + sin6 и) + sin2 vjycos2 vcos2 и sin2 и + sin2 v
A2 + 52 cos2 v ± J(A2 - B2 cos2 v)2 + 4F2 cos2 v
k, 2 =---------------------------------------N,
2(A2B--F3')
К = —7----i-----2---^3----2-----> 0.
9a cos v[cos" vcos’ wsin’ и -f-sin’ v]
В сечениях поверхности координатными плоскостями лежат три одинаковые астроиды.
486
КВАЗИМНОГОГРАННИКИ
МОДЕЛИ КВАЗИМНОГОГРАННИКОВ,
РАЗМЕЩЕННЫЕ НА САЙТАХ В СЕТИ ИНТЕРНЕТ
Гиперболический додекаэдр Гиперболический октаэдр
Зубная поверхность (см. «Алгеб- Поверхность Гурса (см. «Алгеб-
раические поверхности четверто- раические поверхности четвертого
го порядка») порядка»)
Первые пять моделей квазимногогранников взяты на сайте:
http://mathworld.wolfram.com/HvperbolicPolvhedron.html
Дополнительная литература
1. Головня Г.И., Молчанов А.Г. Определение вариационным методом формы равновесия мягкой оболочки,
имеющей начальную геометрию в виде правильного тетраэдра//Теория пластин и оболочек: Тр. IX Всес. конф, по
теории оболочек и пластин. 24-28 дек. 1973 г. - Л.: «Судостроение», 1975. - С. 40-42.
2. Gray A. Modem Differential Geometry of Curves and Surfaces, 2"d ed. - Boca Raton, FL: CRC Press, 1997. - P.
396-398.
3. Rivin I. “Hyperbolic Polyhendra Graphics”. - http://Iibrary.wolfram.com/infocenter/Demon/4558/.
487
ЭКВИДИСТАНТЫ ДВОЙНЫХ СИСТЕМ
ЭКВИДИСТАНТЫ ДВОЙНЫХ СИСТЕМ
Множество точек Р\, Рг, , равноудаленных от фигур Ф\, Ф2, в пространстве Rn (п -
число измерений) называется эквидистантой системы «Ф1 - Фг - ...» в Rn. В этом определении
под фигурой понимается любое непустое множество точек, а термин «эквидистанта» не связан
с одноименным понятием в планиметрии Лобачевского, а введен в качестве удобного сокраще-
ния. Систему «Ф1 - Ф2 - ... - Ф„, » называют двойной - тройной - и так далее системой по чис-
лу т составляющих ее фигур. Двойную систему (т = 2) обычно называют просто системой.
Известны эквидистанты пятнадцати двойных систем, образованных точками, прямыми,
плоскостями, сферами и цилиндрическими поверхностями вращения. В пяти случаях эквиди-
стантами оказались поверхности 4-го порядка, в остальных - поверхности 2-го порядка. Под-
робное описание всех эквидистант приведено в статье В.В. Глоговского [1].
Дополнительная литература
1. Г.чоговский В.В. Эквидистанты в /А// Научные записки Львовского политехнического института. - Том XXX.
Сер. физ.-мат. - Вып. 1.-Львов, ЛьвовПИ, 1955. - С. 72-90.
ЭКВИДИСТАНТА СИСТЕМЫ «ПРЯМАЯ - СФЕРА»
Эквидистанта системы «прямая - сфера» равноудалена от прямой и сферы. Здесь воз-
можны три случая: прямая и сфера не пересекаются (рис. 1), прямая касается сферы (рис. 2) и
прямая пересекает сферу (рис. 3).
Формы задания поверхности
1) Неявная форма задания:
у/х2 + у2 + (z + a)2 - 7у2 + (z-a)2 - R = О,
где a,R- константы.
2) Параметрическая форма задания в цилиндрической
системе координат(рис. 1-3):
х = x(r, v) = ±^R2 +2R^r2 cos2 г + (rsin v-я)2 - 4ar sin v,
а = 2,5; R = 5; 0<r<10;
О < v < 2л
Рис. 2
a - 3,7; R = 5; 0 < r < 10; -1,247^ < v < 0,247^ у = y(r, v) = rcos v,
z = z(r,v) = rsin v.
Три изображения на рисунках соответствуют случаям, когда пря-
мая не пересекает (2а > R, рис. 1), касается (2а = R, рис. 2) и пересе-
кает (2а < R, рис. 3) сферу.
3) Неявная форма задания:
47?2у2 = х4 + 2.v(4az - R2) + (4а2-R2)(4z2-R2).
Рассматриваемая эквидистанта представляет собой алгебраиче-
скую поверхность четвертого
порядка. Координатные плос-
кости zOx и Z0y - плоскости
симметрии.
Сечения поверхности плос-
костями х = хс = const, перпендикулярными к прямой, яв-
ляются кривыми 2-го порядка, а сечения у = ус = const и
z = zc = const - кривыми 4-го порядка.
4) Явная форма задания:
x = ±^JR2 + 2R^y2 + (z~ a) -4az.
488
ЭКВИДИСТАНТЫ ДВОЙНЫХ СИСТЕМ
ЭКВИДИСТАНТА СИСТЕМЫ «ТОЧКА - ЦИЛИНДР»
Эквидистанта системы «точка - цилиндр» равноудалена от точки и цилиндра. Здесь воз-
а = 1; R = 0; 0,7072 < г < 5;
-л/4< V < л7 4
Рис. 1
а = 0,8;/? = 5;
0 < г < 2,1;
-/Г< V < л
Рис. 2
можны три случая: точка и прямая (цилиндр
вырождается в прямую, то есть R = 0, рис. 1),
точка и цилиндр (0 < R < рис. 2), точка и
плоскость (цилиндр вырождается в плоскость,
то есть R = о°).
Во втором предельном случае (R = экви-
дистантой системы будет параболоид вращения.
Формы задания поверхности
1) Неявная форма задания [1]:
-^х2 +у2 -yjy2 + z2 + (х-а)2 - R = 0,
где a, R- константы.
2) Неявная форма задания:
Z4-2R2(2x2 -2у2 + z.2) + 2a(a-2x)(z2-R2) + а2(а - 2х)2 + R/' = 0.
Эквидистанта системы «точка - цилиндр» представляет собой алгебраическую поверхность
четвертого порядка. Сечения рассматриваемой эквидистанты плоскостями z = Zc = const, пер-
пендикулярными к оси цилиндра, и пучком плоскостей у = кх, проходящих через ось цилиндра,
являются кривыми 2-го порядка. Сечения у = ус = const ил = лу = const - кривые 4-го порядка.
3) Параметрическая форма задания (рис. 1):
х = л(г,v) = rcosv, у = у (г, v) = г sin у, z = z(r, у) = ±л/л + 2r cos v -2rR — а2.
а = 1;/? = 0; 0,5<л<5;
-5<у<5
Рис. 3
На рис. 1 изображена эквидистанта системы «точка - прямая», которая
представляет собой предельный случай эквидистанты «точка - цилиндр»
при R = 0. На рис. 2 показан фрагмент эквидистанты с цилиндром.
4) Явная форма задания: z = +^R2 + 2ax — 2R^j х2 + у2-а2.
В предельном случае (R = 0) эквидистанта вырождается в параболиче-
ский цилиндр (рис. 3).
Дополнительная литература
1. Глоговский В.В. Эквидистанты// Вопросы теории, приложений и методики препода-
вания начертательной геометрии: Труды Рижской научно-метод. конф., июнь 1957 г. - Рига: РИИГВФ, 1960. - С.
216-226 (библ.: 2 назв.).
ЭКВИДИСТАНТА СИСТЕМЫ «ПРЯМАЯ - ЦИЛИНДР»
/ = 0; R = 1;
Рис. 4
Эквидистанта системы «прямая - гщлиндр» равноудалена от
прямой и цилиндра.
Формы задания поверхности
1) Неявная форма задания [1]:
+ у2 -^(lx - z\ / (\ + /2) + (у-<я)2 -R = 0,
где a, I, R~ константы.
2) Явная форма задания:
z = lx + yl + l2 тД2 + у2 — 2R^x2 + у2 +R2 -(.у—а)2.
На рис. 4 изображена эквидистанта, когда прямая перпендику-
лярна оси цилиндра (1 = 0). Если прямая параллельна оси цилинд-
ра (Z = °° ), то эквидистанта вырождается в гиперболический цилиндр.
489
ЭКВИДИСТАНТЫ ДВОЙНЫХ СИСТЕМ
ЭКВИДИСТАНТА СИСТЕМЫ «ПРЯМАЯ - ТОР»
Пусть имеется тор с радиусом г образующих окружностей и прямая I, параллельная оси то-
ра. Прямая I системы совпадает с координатной осью Ох (рис. 1). Линия центров образующих
окружностей тора имеет форму окружности с радиусом R. Эквидистанта системы «прямая -
тор» формируется точками, расположенными на одинаковом расстоянии от прямой и тора.
Рис. 1
Формы задания поверхности
1) Неявная форма задания [1]:
х~ - 2cz + с2 + (R ± г)2 = ±2(7? ± r)yjy2 + (z-c)2.
2) Неявная форма задания: х2 -2czt -а = ±2(R + r)^y2 + z2,
где а = с2 - (7? ± г)2. Второй вариант неявной формы задания
поверхности получен из первого подстановкой z = zi + с, то
есть осуществлен параллельный перенос координатной систе-
мы Oxyz вдоль положительного направления оси Oz (рис. 1).
3) Неявная форма задания: (л2 -a)2/4±az2 -cz, (х' -a) = (R + r)2 у2. Последнее уравнение
Рис. 2. (7? = 5; r= 1; с = 6,1; р = 1)
показывает, что эквидистанта «прямая - тор» является ал-
гебраической поверхностью четвертого порядка.
4) Параметрическая форма задания [1]:
х = х(р,<р) = +-y]2pp[(R + pr) + pccos^]±a, р = ±1;
У = }'(Д>,^) = /?sin<p, Z = z{p,(p) = р COS ср,
где 0 < ср < 2л. В сечениях поверхности плоскостями х - хс
= const будут лежать кривые
г , х2 - а , с
р =---------, где Г = ±—-----, Е = +-----.
l + £cos<p 2(7? ± г) R + r
При построении эквидистанты «прямая - тор» могут встретить-
ся три случая.
1. Пусть с > R ± г, тогда а > 0; е > 1. Уравнение кривой опреде-
Рис. 3. (Я - 5, г - 1, с- б,р - 1) ляет дае гиперболы, фокальные параметры р которых изменяются
в зависимости от текущей координаты хс. Непрерывное семейство этих гипербол образует две
поверхности двуполостных гиперболических параболоидов 4-го порядка со взаимно соприка-
сающимися в двух точках полостями (рис. 2). Направляющими кривыми для гипербол будут
параболы [1]. На границе х = +-/а гиперболы вырождаются в пары пересекающихся прямых.
2. Пусть с < 7? ± г, тогда а < 0; е < 1. Уравнение кривой определяет непрерывное семейство
эллипсов [1]. В частности, при с = 0 эллипсы вырождаются в окружности с центрами на оси х.
Образуемая поверхность является однополостным эллиптическим параболоидом 4-го порядка
(при с = 0 - круговым). Направляющими кривыми, по которым скользит эллипс своими верши-
нами, есть параболы с теми же уравнениями, что и направляющие параболы для 1-го случая.
3. Пусть с - R ± г, тогда а - 0; е = 1. Уравнение кривой определяет непрерывное семейство
парабол, фокальные параметры которых изменяются с изменением текущей координаты х по
формуле р = 0,5x7(7? ±г). Непрерывное семейство этих парабол образует в пространстве две по-
верхности параболических параболоидов 4-го порядка [1], в которые входит также прямая z
(рис. 3). Вершины образующих парабол при этом перемещаются по направляющим параболам
z = 0,5х2/(7? ± г).
Дополнительная литература
1. Гумен Н.С., Смеричко О.В. Параболоиды 4-го порядка как геометрические места точек, равноудаленных от
тора и прямой, параллельной его оси// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1991. - Вып. 51. - С. 46-52.
490
КРАТКАЯ ИНФОРМАЦИЯ
КРАТКАЯ ИНФОРМАЦИЯ ОБ ИМЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ,
НЕ ВОШЕДШИХ В ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ СПРАВОЧНИКА
Краткая информация о некоторых именных поверхностях, которые не вошли в справочник,
представлена в разделе «Поверхности», где указаны довольно известные группы поверхностей.
В настоящем разделе отмечены менее известные поверхности, которые упоминаются в не-
которых научных статьях. По тем или иным причинам авторы не смогли ознакомиться с перво-
источниками и, поэтому эти поверхности не были включены в основное содержание книги.
Неориентируемые поверхности могут быть представлены как кинематические поверхности
с линейчатыми или криволинейными образующими и заданы на чертеже. Поверхности, пред-
ложенные Л.С. Понтрягиным, рассматриваются в статье [1] как двумерные линейчатые много-
образия. Образующей этой поверхности служит прямая, перемещающаяся в пространстве по
определенному закону.
Тогино Кадзуто [2] находит условия, при которых сопряжение нескольких поверхностей
Куна, специальных алгебраических поверхностей, дает С2-регулярную поверхность. В работе
[3] получено уравнение гиперболоида Бресса в случае общего движения. Исследованы возмож-
ные случаи и установлено, что геометрическим местом точек с нулевыми касательными уско-
рениями в общем случае является однополостный гиперболоид, а в частном случае - конус, ги-
перболический параболоид, круговой цилиндр, гиперболиче-
ский цилиндр, две плоскости, прямая, или его может вообще
не существовать.
Специальные конусы Эйлера упоминаются в статье [4]. В
некоторых научных статьях, посвященных моделированию
механических процессов движения, ссылаются на работу Г.К.
Суслова [5], в которой описывается цилиндроид Болла.
Бергманн Хорст [6] рассматривает эллипсоиды Штейнера,
вписанный и описанный для //-мерного симплекса, удовле-
творяющие требованию экстремального объема. Этим обоб-
щается задача, решенная Штейнером для плоского случая.
У. Барт [7] ввел в обращение две поверхности, впоследст-
вии названные «Barth Decic»:
8(х2 - А2)(Г -^4z2)(z2 -(ZiVXx4 + / + z4 -2х2у2 -2x2z2 -2y2z2) + (3 + 5?>)(x2 + у2 + z2 -
-и'2)2[х2 + у2 + z2 -(2-0)и'2]2w2 = 0 и «Barth Sextic» (рис. 1):
4(^2л2 -у2)(ф2у2 ~ г2')(,ф2г2 - х2)~(1 + 2ф)(х2 + у2 +z2 ~w2)2w2 =0, где ф - золотое отноше-
ние, w - параметр. Поверхность Барта 10-го порядка в комплексном трехмерном проективном
пространстве имеет максимально возможное число обычных двойных точек (345). Поверхность
Барта 6-го порядка (рис. 1) в комплексном трехмерном проективном пространстве также имеет
максимально возможное число обычных двойных точек (65).
Литература
1. Дмитриева Н.П. Графическое задание поверхности Понтрягина// Геометр, проектир. кривых линий и по-
верхностей, 1978. - Л., 1979. - С. 10-18. - Библ. 2 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 31 марта 1980 г., № 1299-80 Деп.
2. Тогино Кадзуто. Поверхность класса С2, составленная из поверхностей Куна// Кикай сикэнсе сехо = J. Meeh.
Lab. - 1970, 24, № 1. - С. 16-22 (япон.).
3. Илиев В. Върху хиперболоида на Брее// Научн. тр. Висш. ин-т машиностр., механиз. и електрифик. селск.
стоп. - Русе. - 1970, 12, № 3. - С. 43-48 (болг.).
4. Fempl Stanimir. Uber spezielle Eulerkegeln/ Матем. вестник. - 1971. - 8, № 4. - С. 363-366 (нем.).
5. Суслов Г.К. О цилиндроидах Ball’ я// Труды Общества любителей естествознания, 1894.
6. Bergmann Horst. Steinerellipsoide// Elem. Math. - 1983. - 38, № 6. - S. 137-142.
7. Barth W. Two projective surfaces with many nodes admitting the symmetries of the icosahedron// J. Alg. Geom. - 5.
- 1996.-P. 173-186.
491
КРАТКАЯ ИНФОРМАЦИЯ
КРАТКАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ПОВЕРХНОСТЯХ,
НЕ ВКЛЮЧЕННЫХ В ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ СПРАВОЧНИКА
Сферическая поверхность 3-го порядка образовывается следующим образом. Пусть имеет-
ся параболоид вращения F и точка Р. Из этой точки опускаются перпендикуляры на касатель-
ные плоскости к F. Основания этих перпендикуляров образуют поверхность 3-го порядка, кото-
рая и называется сферической поверхностью 3-го порядка. В работе [1] проводится исследова-
ние этой поверхности и решаются на ней некоторые позиционные задачи.
В статье Г. Браунера [2] рассматриваются линейчатые поверхности в трехмерном евклидо-
вом пространстве, допускающие конформные отображения, отличные от изометрии и подобия,
сохраняющие их прямолинейные образующие. Доказывается, что этим свойством обладают
только цилиндры, .конусы и ортоидные линейчатые поверхности с постоянным параметром
распределения. Рассматриваются и другие свойства этих поверхностей.
О.И. Светланова [3] изучает аффинные резные поверхности. Н.С. Гумен опубликовал се-
рию статей, в том числе [4; 5], где описал результаты исследований поверхностей, которые он
назвал однополостным и двуполостным эллиптическими параболоидами. Различные типы цик-
лид вращения четвертого порядка и сферические кривые четвертого порядка, лежащие на них,
изучаются в статье [6].
На сайте [7] было обнаружено краткое описание алгеб-
раической поверхности четвертого порядка, задаваемой
неявным уравнением 4,г( х2 + у2 + z2) - у2(1 - у2 - z2) = 0.
"**Ч**^Й^^. На рис. 1 приведено изображение этой поверхности, раз-
' мещенное на этом же сайте. В англоязычной литературе
эта поверхность носит название «Miter Surface».
Известно, что коноид Плюккера несет двупараметриче-
ское семейство эллипсов. Прямые, ортогональные плоско-
стям этих эллипсов и проходящие через их центры, обра-
зуют прямолинейную конгруэнцию, которая является ал-
1 ‘“««вбИКйав®*1"'' гебраической конгруэнцией 4-го порядка 2-го класса. Эта
конгруэнция привлекла внимание Д. Палмана [8], который изучил ее свойства. Учитывая, что
на коноиде Плюккера располагается конических сечений, О. Боттема [9] рассмотрел конгру-
энцию нормалей к плоскостям этих конических сечений, проведенных в их центрах и установил
ряд свойств конгруэнции прямых, порядок которой равен четырем.
Литература
1. Nice Vilko. Uber die konstruktive Behandlung einer Art Kugelflachen 3. Ordnung// Glass, mat. - 1974. - 9, № 2. -
S. 303-315.
2. Brauner H. Die erzengendentreuen konformen Abbildungen aus Regelflachen// Arch. Math. - 1980. - 33, № 5. - S.
470-477.
3. Светланова О.И. Аффинные резные поверхности// Студ. и научно-техн, прогресс. Матер. 25 Всес. научн.
студ. конф. - Новосибирск, 7-9 апр. 1987. Мат. - Новосибирск, 1987. - С. 72-76.
4. Гумен Н.С., Покидышев Г.С. Однополостный эллиптический параболоид 4-го порядка с окружностями, пря-
мой, обобщенными лемнискатами с одной осью симметрии и улитками одновременно. - Коммунарск: Коммунар,
горно-металлург. ин-т, 1991. - 16 с. - Рук. деп. в УкрНИИНТИ 25.04.91, № 604-Ук91.
5. Гумен Н.С. Двуполостный эллиптический параболоид 4-го порядка с однонаправленными и взаимно перре-
секающи.мися в двух точках полостями с общими улитками Паскаля. - Киев: КиевПИ, 1991. - 17 с. - Рук. деп. в
УкрНИИНТИ 03.01.91, № 66-Ук91.
6. Krames Josef. Uber Drehzykliden vierter Ordnung// Monatsh. Math. - 1975. - 80, № 1. - S. 45-60.
7. Eric IV. Weisstein. “Miter Surface”. From MathWorld - A Wolfram Web Resourse.
http://mathworld.wolfram.com/MiterSurface.html
8. Palman D. Uber eine Strahlenkongruenz 4. Ordnung und 2. Klasse// Glass, mat. - 1971. - 6, № 2. - S. 313-324.
9. Bottema 0. Eine dem Pliickerschen Konoid zugeordnete Strahlenkongruenz// Glass, mat. - 1971. - 6, № 2. - S. 307-
312.
492
КРАТКАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Алгебраическая поверхность 5-го порядка, имеющая макси-
мально возможное число обычных двойных точек (31), была
сконструирована У. Бартом [10] в 1994 г. Неявное уравнение
этой поверхности имеет вид:
64(х —w)[x4 — 4x3w — 10х2у2 -4x2vv2 + 16.w3 — 20xy2w +
5у4 + 16и>4-20/цг]-5^5-75 (2г-
- ^5-75w)[4(.r + у2 + z2) + (1 + Зл/5) vv2 ]2,
где w - параметр. На рис. 2, который
взят ' без изменения на сайте [11],
представлена рассматриваемая по-
верхность У. Барта, получившая на-
звание «Дервиш» (Dervish).
Поверхностью Эшера называют
циклическую поверхность, намотан-
ную на поверхность тора. Причем эта
циклическая поверхность образовыва-
ется окружностями постоянного радиуса, линией центров которых является пространственный
трехлистник (рис. 3 [12]).
Поверхности Иоахимсталя имеют одно семейство линий кривизны, принадлежащих пучку
плоскостей. Это семейство можно получить, предварительно задав семейство сфер с центрами
на прямой. В работе [13] обоснованы разные определители семейства сфер с центрами на пря-
мой, соответствующие им способы отыскания конгруэнции ортогональных конгруэнций и раз-
ные способы выделения поверхности Иоахимсталя из конгруэнции.
Семейство полных ориентированных минимальных поверхностей, названных поверхностя-
ми Чена - Гакстатера (Chen - Gackstatter Surfaces) [14, 15], было открыто в 1982 г. Это семей-
ство включает в себя, как частный случай, поверхность Эннепера.
В научно-технической литературе упоминается минимальная поверхность Лопеса (Lopez
Minimal Surface) и минимальная поверхность Оливейры (Oliveira’s Minimal Surface ) [16].
Минимальная погруженная поверхность, состоящая из геликоида с отверстием и ручки, от-
крытая в 1992 году, получила название «Минимальная поверхность Хоффмана» [17]. Эта по-
верхность имеет ту же топологию, что и проколотая сфера с ручкой. Это вторая после геликои-
да, известная полная погруженная минимальная поверхность конечной топологии и бесконеч-
ной полной кривизны.
Литература (продолжение)
10. Endrafi S. Flachen mit vielen Doppelpunkten// DMV-Mitteilungen. - 4, 4.1995. - S. 17-20.
11. Hordstrand T. “Dervish”. - http://www.uib.no/people/nfyth/dervtxt.htm.
12. http://imp-world-r.narod.ru/articles/escher_math/escher_math.html.
13. Фролов O.B. Вынесения поверхонь до ninifi кривини стосовно проектування оболонок. - Авт. дне. канд.
техн. наук. - Донец, нац. техн. ун-т. - Донецьк, 2005. - 15 с. (библ.: 9 назв.).
14. Chen С.С., Gackstatter F. Elliptishe und hyperelliptische Funktionen und vollstandische Minimalflachen vom En-
neperschen Typ// Math. Ann. - 1982. -259. - S. 359-369.
15. Thayer E.C. Higher-genus Chen - Gackkstatter surfaces and the Weierstrass representation of surfaces of infinite
genus// Exper. Math. - 1995. - № 4. - P. 19-39.
16. Eric W. Weisstein. “Oliveira’s Minimal Surface”. - A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.coin/OliveiraMinimalSurface.html
17. Karcher H., Wei F.S., and Hoffman D. The genus one helicoid and the minimal surfaces that led to its discovery//
Global Analysis in Modem. Mathematics. Proc, of the Syrnp. in Honour of Richard Palais’ Sixtieth Birthday held at the
Univ, of Maine. - Orono, Maine, Aug. 8-10, 1991. - 1993. - P. 119-170.
493
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНОГО ТЕКСТА
ИМЕННЫЕ УКАЗАТЕЛИ
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНОГО ТЕКСТА
В именном указателе основного текста указываются фамилии и инициалы ученых,
которые встречаются в основном тексте справочника. Иногда эти фамилии входят в
названия поверхностей, констант или коэффициентов. После фамилий на этой же строке
указываются страницы справочника, где эти фамилии встречаются.
Авдоньев Е.А. 469, 476
Александров А.Д. 347
Аннабердыев Э. 121
Аньези М. (Agnesi М.) 13, ЮЗ
Апери Ф. (Арёгу F.) 307
Архимед (Archimedes) 12, 13
Безье П. (Bezier Р.) 242, 243, 388
Бельтрами Э. (Beltrami Е.) 95
Бернулли И. (Bernoulli I.) 55, 172
Бернштейн С.Н. 243, 388
Бианки Л. (Bianchi L.) 8, 240
Блютель (Blutel) 236
Бой В. (Boy Wemer) 305, 307
Болл (Ball)491
Бонне О. (Bonnet О.) 7, 309, 339, 387
Бор (Вопг) 316
Брандт Г.В. 116
Бресс 491
Варварица А.Г. 170
Вейерштрасс K.(Weierstrass K.T.W.)
310,312,314,318,319, 320, 325,
328
Вейнгартен Ю. (Weingarten J.) 338
Веннинджер М. (Wenninger М.) 484
Вернер А.Л. 395
Веронезе Дж. (Veronese G.) 236
Виларсо 97
Вирич С.О. (В1рич С.О) 394
Волков Г.Ф. 144
Воробкевич Р.И. 24
Воронина А.Н. 28
Гаусс К.Ф. (Gauss C.F.) 14, 339
Гильберт Д. (Hilbert D.) 302, 344
Глоговский В.В. 488
Громов М.Я. 303
Гумен Н.С. 490
ГуревичВ.И. 123
Гурса Э. (Goursat Е.) 7, 240,457,483
Гюйгенс X. (Huygens Ch.) 55
Дарбу Г. (Darboux G.) 8, 192
Декарт 69, 452, 476
Делоне К. (Delaunay С.) 127
Дини У. (Dini U.) 311
Дирихле П. (Dirichlet P.G.L.) 322
Дунс С. (Joannes Duns Scotus) 8
Дюпен Ш. (Dupin Ch.) 253, 260-262
Жергонн Ж. (Gergonne J.) 309, 322
Зейферт Г. (Herbert Seifert) 8
Иванов В.Н. 411
Игнатенко В.Ф. 474
Иоахимсталь Ф. (Joachimsthal F.)
213,253-259, 393,394
Калинин В.С. 123
Канторович Л.В. 322
Картан Э. (Cartan Е.) 77
Кархер Г. (Karcher Н.) 330
Касдаглья 452
Кассини Дж. (Cassini G.) 172
Каталан Э. (Catalan Е.) 77, 87, 309,
311,315
Каутный В. (Kautny W.) 192
Клейн Ф. (Felix Klein) 306, 340
Кованцов Н.И 392
Кодацци Д. (Codazzi D.) 14, 123
Королев Е.А. 326
Коста A. (Costa А.) 320, 324
Красовский Ф.Н. 441
Кристоффель Э. (Christoffel Е.В.) 14
Куен Т. (Kuen Т.) 345
Куммер Е. (Kummer Е.) 459
Кэли A. (Cayley А.) 8, 134
Лагранж Ж. (Lagrange J.) 124, 127,
129, 171,309
Ламе Г. (Lame G.) 245, 383
Лаплас П. С. (Laplace P.S.) 389, 392
Лежандр А.М. (Legendre А.М.)
Лейбниц Г. (Leibniz G.) 55
Ли С. (LieS.) 130
Листинг И. (Listing I.) 303
Лиувилль Ж. (Lionville J.) 7
Лобачевский Н.И. 95, 344
Маннгейм (Mannheim) 192
Марюкова Н.Е. 340
Менье Ж. (Meusnier J.) 309-311, 321
Мёбиус А.Ф. (Mobius August F.)
302, 303
Миндинг Ф.Г. (Minding F.H.) 344
Млодзиевский Б.К. 241
Монж Г. (Monge G.) 21, 149-159,
237,309
Морэн Б. (Bernard Morin) 8
НейльУ. (NeilW.) 13,54, 102,
Неовиус Э. Р. (Neovius E.R.) 316
Никитюк В.А. 244
Ньютон И. (Newton I.) 322
Обухова В.С. 24
Оссерман Р. (Osserman Robert) 320
Паскаль Э. (Pascal Е.)94, 256
494
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНОГО ТЕКСТА
Пеано Дж. (Peano G.) 397
Петерсон К.М. 14, 123,240,241,253,
309,326
Плато Ж. (Plateau J.) 309
Платон 483
Плюккер Ю. (Pliieker J.) 86, 492
Полтиер К. (Polthier К.) 330
Понтрягин Л.С. 491
Попов А.Г. 344
Пуансо 483
Пуассон С. (Poisson S.D.) 123, 128,
309
Рачковская Г.С. (Rachkovskaya G.S.)
430-433
Риман Б. (Riemann В.) 309, 314, 389
Розенберг Г. (Rosenberg Harold) 325
Розендорн Э.Р. 397
Рунге К. (Runge С.) 322
Скидан И.А. 356
Смеричко О.В. 490
Стеблянко В.Г. 256
Стефанова Ст. 392
Суслов Г.К.491
Тевлин А.М. 240
Тогино Кадзуто 491
Томсен Г. (Thomsen G.) 327, 332
Уитни X. (Hassler Whitney) 8, 77
Фейербах 453
Ферма П. (Pierre de Fermat) 57, 451
Фомина Т.Н. 326
Форсайт А.Р. (Forsyth A.R.) 253
Фосс A. (Voss А.) 7
Франсис Дж.К. (George К. Francis) 8
Френе Ф. (Frenet F.) 11
Хакен В. (Wolfgang Haken) 8
Хант Б. (Hunt В.) 471
Харабаев Ю.Н. (Kharabaev Yu.N.)
430-433
Хевисайд O.(Heaviside О.) 244, 247,
248
Хеннеберг (Henneberg ) 318
Цицейка Г. (Tzitzeica G.) 102, 237-
239
Чеботарев Н.Г. 130
Чебышев П.Л. 7, 130
Шварц Г.А. (Schwarz Н.А.) 314, 330,
331
Шерк Г.Ф. (Scherk H.F.) 309, 312,
321,324
Шоен A. (Schoen А.Н.) 317, 330, 331
Шрода П. (Sroda Р.) 455
Штаерман Ю.Я. 147
Штейнбах (Steinbach ) 211
Штейнер (Steiner ) 236, 305, 461,
465,491
Штурм Д. (Sturm J.C.F) 127, 128,
461,462
Эдлингер (Edlinger ) 388
Эйлер Л. (Euler Leonard) 124, 129,
302, 309,310, 321,491
Эннепер А. (Епперег А.) 309, 314,
319,324, 325,327,328,332
Эшер М.К. 302,491
Ядгаров Дж.Я. 411
Abresch U. 347
Apery F. 307
Barth W. (Барт У.) 491,493
BllaN.238, 239
Blutel (Блютель) 236
Blum Richard 387
Ball (Болл) 87,491
Chen C.C. 324, 493
Coffman A. 465
Delaunay C. 127
Dedonder Willy 303
Eisland J. 474
Fepl Stanimir453
Gackstatter Fritz 324, 325,493
Gielis J. (Гайлис Дж.) 384
Gorjanc Sonja 462, 464,466
Gray А. (Грей A.) 320
Grope-Brauckmann K. 317
Hein Piet 383
Hildebrandt S. 322
Hoffman D. (Хоффман Д.) 320, 324
Hofmann L. 305
HopfH. 347
Jorge L.P.M. 319
Karcher J.D. 324
Krauter Peter 332
Lalan V. 387
Lichtenfels O. 321
Meeks William H., Ill (Микс У.) 319,
320, 324
Menn 454
Nordstrand T. 453
Popa Emil M. 237
Rembs E. 342
Roeschel Ot. 302
Roussos loannis M. 387
Sachs Hans 388
Schaal Hermann 327
Sievert H. 343
Sroda P. 455
Strubecker Karl 332
Sturm J.C.F. (Штурм Д.) 127, 128,
461,462
Svec Alois 236
Thomsen G. 327
Udri?te C. 238, 239
Wallis 86
Weisstein Eric W. 319
Wente H.C. 347
Wunderlich Walter 25
495
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Аббуши Наср Ю. 252, 371,373, 393
Абдельсалям М.А. 19, 165
Авдонин А.С. 98
Авдоньев Е.А. 69, 174,452,460,469,
473, 475, 476, 478, 479
Аведян В.Ш. 445
Агьмалов И.Р. 331
АдиловП.0.472, 481
Александров А.В. 19, 347
Александров А.Д. 446
Александров П.В. 197, 329
Алимов Р.У. 30, 38
Аминов Ю.А. 15, 314
Амиров М. 19, 167, 169, 171
Андрианов И.В. 349
Андрушков В.И. 52, 445
Аннабердыев Э. 121
Анпилогова В.А. 42, 77
Апраксина Т.Н. 445
Аронсон А.А. 200, 252
Артыкбаев А. 348
Асеев В.В. 169, 300
Асеев В.И. 169,300,401
Ахметьев П.М. 307
Ашурбеков К.Д. 396-
Ашури К. 252, 283
Бабенко В.И. 19, 445
Баженов В.А. 61, 97, 100, 141,280-
282, 309,322
Базилевич И.А. 374
Бакельман И.Я. 395, 399
Бандурин Н.Г. 117
Бараненко В.А. 485
Барбашов Б.М. 348
Баринов В.В. 19, 401
Барская С.Я. 445
Басов Ю.К. 80, 82-85
Бастатский Б.Н. 146, 147
Батурин А.И. 385
Белов К.М. 74
Бергман Р.М. 53
Бескопыльная С.В. 19
Бланк Я.П. 141,240
Богопольский О.В. 308
Бодунов А.К. 121
Бодунов Н.А. 121
Бозиев И.А. 349
Бойков И.К. 252
Болейнов А.В. 306
Борисенко А.А. 329, 395, 482
Бортовой В.В. 8
Бочилло Г.П. 236
Брандт Г.В. 116
Бранков Г.Й. (Brankov G.Y.) 371,373
Бубенников А.В. 400, 401,483
Буланов Г.С. 89
Буланов С.Н. 89
Булгаков В.Я. 43
Бунаков В.А. 118, 120
Бурцева С.В. 349
Бушмелев А.В. 308
Вагнер В.В. 8
Вайнберг Д.В. 192,290
Ванин В.В. 19
Варвак Л.П. 445
Варвак М.Ш. 141
Варвак П.М. 445
Варварица А.Г. 45, 170
Варшавский И.П. 67
Василенко О.В. 141, 371
Васильев А.Н. 99
Васильев В.В. 118-120
Васильев О.Б. 386
Васильков Б.С. 141,349
Веннинджер М. (Wenninger М.) 484,
485
Вернер А.Л. 395, 399
Верховский А.В. 197
Викентьев И.Л. 308
Bipun С.О. 200, 394
Владимиров В.С. 389
Власов В. Г. 349
Власов Д.В. 264
Волков Г.Ф. 130, 143, 144
Волошин Е.И. 329
Воробкевич Р.И. 24
Воронина А.Н. 28
Ворончихин М.А. 308
Гавела С.П. 183, 197
Гагарин Ю.А. 128
Гаджимурадов М.А. 485
Гайдайчук В.В. 61,97, 100, 141,
280-282, 309,322
Гайдалович В.Г. 346
Гайдарь О.Г. 313
Галета Е.А. 401
Галимов Ш.К. 201,349
Ганеева М.С. 117
Гариб М.Г. 141
Гаюпов Г.Н. 348
Гельфанд М.С.450
Гецевич Е.К. 308
Гильберт Д. (Hilbert D.) 54, 305, 307,
398
Гирш А.Г. 56
Глоговский В.В. 488, 489
ГогоберидзеЯ.А. 146, 147
Головня Г.И. 487
Гольденвейзер А.Л. 51,53, 440, 443
Горбатович Ж.Н.26, 45, 54
Гордиенко В.М. 346
Городов Г.Ф. 128
Гоциридзе А.Ф. 329
Гоцуляк Е.А. 61, 97, 100, 141,280-
283,309,322
Грабко С.М. 169
Гречишников В.А. 197
Грибков И.В. 346
Григоренко Я.М. 224, 283, 349, 439
ГригорьевА.М. 128
Громов М.Я. 303, 400, 401
Гряник М.В. 371
Губарев В.В. 445
Гуляев В.И. 61,97, 100, 141, 198,
280-283, 290, 309, 322, 329
Гумен Н.С. 490, 492
Гуревич В.И. 123
Гуревич И.И. 77, 169
Гуревич К.Ю. 482
Гуцул И.С. 346
Дао Чонг Тхи 125,329,389, 390
Даревский В.М. 104
Дехтярь А.С. 121, 141
Джандарбекова Д.Д. 482
Джашиашвили Т.Г. 198,252
Джураев Т.К. 332, 333
Дзама М.А. 445
Дисковский А.А. 349
Дмитриева Н.П. 308, 491
Дружинский И.А. 87, 196, 383, 401
Духейсат С.А.А. (Duheisat S.A.A.)
309, 329
Дыховичный Ю.А. 132
Егармин Н.Е. 445
Еремин В.Д. 349
Еремеев В.В. 482
Еремеева Л.Н. 443
Ерхалев В.И. 346
Ерхов М.И. 117
Ефимов М.И. 401
Ефременко А.В. 401
Ефремов В.И. 308
Ефстифеев М.Ф. 200
Жарикова Л.А. 169
Жиль У. Матье 252, 256, 259, 261,
346, 393,441
Жуковский Э.З. 132
Завриев К.С. 329
496
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Залгаллер В.А. 348
Замятин А.В. 19, 74
Заруцкий В.А. 117
Зенкевич Н.А. 482
Золотухин В.Ф. 401
Золотухин Ю.П. 308
Зубов Л.М. 197
Зубрицкая М.А. 200, 252
Иванов А.С. 165
Иванов В.Н. (Ivanov V.N.) 113, 149,
154, 159,165, 187,221,251-255,
257, 259, 261,262, 270, 288, 371,
393
Иванов Г.С. 482
Ивонтьев А.В. 200
Игнатенко В.Ф. 474, 485
Илиев В. 491
Ильхамов У. 348
Ионин В.К. 340, 347
Каиров А.С. 117
Калинин В.С. 123
КалраМ. 371
Кантор Б.Е. 395, 399
Кантор Б.Я. 66, 197,438,445
Карагашев Д.А. 198, 252
Кардашевская Ю.Г. 26
Каталан Е. (Catalan Е.) 77
Кашина И.В. 19, 74
Кащенко А.В. 200, 360, 361,371
Кирилов С.В. 172, 173,401
Кирищиев Р.И. 46, 209
Киров В.С. 346
Клепикова Л.С. 308
Климанов В.И. 65
Клименко С.В. 308
Кобко В.П. 169
Кобко В.П. 169
Ковалев С.Н. 200
Коваленко И.Б. 332
Ковальский Б.С. 51
Ковальчук П.С. 117
Кованцов Н.И. 324, 346
Коган Б.Ю. 87
Кожевников А.Ю. 201
Козлов А.Т. 442
Козлов С.В. 117
Коломак В.Д. 8
Колчунов В.И. 349
Компанией Л.А. 482
Кондрашов А.Н. 141
Кон-Фоссен С. (S. Cohn-Vossen) 54,
305, 307, 398
Копытко М.Ф. 44-47, 165
Kopec М.В. 445
Корн Г. (Кот G.) 434
Корн Т. (Korn Т.) 434
Корнева И.П. 169
Корниенко А.В. 286
Корнишин М.С. 165
Коробов Л.А. 349
Королев Е.А. 240, 326, 329
Королев М.Е. 329
Коротич А.В. 74
Корсакова Л.Г. 169
Косицын С.Б. 19
КосолаповаЛ.А. 117
Костыренко В.В. 117
Котов И.И. 166, 170, 181
Кох В.Н. 401
Кочеткова АЛ. 169, 446
Кошелев В.М. 445
Крапивина Г.И. 308
Краснов В.А. 482
Крейчман М.М. 128
Кривошапко С.Н. 17-22, 24, 27, 30,
32-42, 70, 74, 80-85, 90, 95, 96, 115,
121, 165, 197,210,263,264, 267,
283,296- 299,310, 371,441
Криканов А.А. 117
Кришна Редди Г.В. 252
Круглякова В.И. 252
Крутов А.В. 19, 44, 47,94
Крюков Н.Н. 439
Крячков Ю.П. 395
Кубенко В.Д. 117
Куденко С.М. 443
Кузеев Р.Р. 340
Кузнецова Н.Г. 395
Кузютин В.Ф. 482
Кукуджанов С.Н. 65
Купар А.К. 436
Куприянова Г.Я.169
Курамин В.П. 68
Курант Ф. 322
Курек Г.К. 328
Кухарчук А.И. 210
Кухарчук Н.Г. 42
Куценко Л.М. 386
КучкароваД.Ф. 173
Кущ Н.В. 74
Лакирев С.Г. 62
Лантух Л.Г. 141
Лебедев В.А. 371
Леонтьев Н.Н. 141
Лидский В.Б. 51,53
Лийва Т.О. 395
Липницкий М.Е. 371
Лисенков В.Т. 482
Лисичкин С.Е. 200
Лобов С.А. 329
Ломан В.И. 371
Луста Г.И. 402, 407
Люкшин В.С. 176, 179, 180-183, 185
Магула В.Э. 445
Макаров А.И. 65
Макаров Г.И. 141
Макарова К.П. 346
Малеев М.В. 65
Малешич Й. 307
Мамай В.И. 117
Мамфорд Д. (Mumford D.) 482
Манашеров Э.Э. 74
Маркаров С.М. 6, 386
Маркелов Н.А. 169
Мартиросов А.Л. 19, 43, 401
Мартыненко М.Д. 141, 151
Марюкова Н.Е. 340,346
Масальцев Л.А. 347, 393
Матвеев В.С. 306, 308
Матузок Г.А. 274
Махмуд Хуссейн Аль-Хадж 252
Медведев В.И. 200
Меерсон Б.М. 176
Меллерович Г.М. 66
Мельник В.И. 169
Меркин Д.Р. 55
Милейковский И.Е. 141, 436
Милинский В.И. 398
Минаев Л.С. 141
Минц И.Я. 200
Минц Л.И. 200
Миронков Б.А. 141, 371
Мирошниченко А.В. 200, 274
Мисиков Б.Р. 346
Митенков Ф.М. 128
Митюков М.М. 117
Мифтафутдинов И.Х. 331
Михайленко В.Е. 43, 122, 142, 167,
169, 171,200, 349, 371,472
Михайлов Н.П. 348
Михайловский Е.И. 97, 438, 439
Мищенко А.С. 88, 303, 306, 339
Млодзиевский Б.К. 240, 241
Моисеева В.Е. 117
Молчанов А.Г. 487
Монж Г. (Monge G.) 165
Мороз В.С. 151
Мороз С.В. 141
Морозов А.П. 141, 371
Мочернюк Н.Т. 169
Мульдеков И. 172
МухаИ.С. 165,252
Мухадзе Л.Г. 329
Назаров Г.И. 105
Нарзуллаев С.А. 169, 227
Нартова Л.Г. 329, 332, 333
Насрулаев Ф.С. 395, 396
Науменко В.В. 66
Наумович Н.В. 169
497
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Недешев Ю.Б. 104
Немировский Ю.В. 197, 329
Неовиус Э. Р. (Neovius E.R.) 316
Нестеренко В.В. 348
Нецветаев Н.Ю. 446
Никитенко О.П. 485
Никитин А.П. 117
Никитин И.Н. 308
Никитина Л.Д. 308
Никнтюк В.А. 244, 245, 249
Николаев А.П. 117
Николаевский Г.К. 60
Николаевский Ю.А. 482
Никоноров С.В. 346
Новиков С.П. 389
Новожилов В.В. 97, 438, 439
Образцов И.Ф. 65, 118, 120
Обухова В.С. 16, 24, 43, 44, 73, 74,
122, 165,169,349, 371,482
Оглобля А.И. 200
Онанов Г.Г. 65
Онищук Н.М. 332
Оссерман Р. (Osserman R.) 312
Остиану Н.М. 237
Павилайнен В.Я. 66, 349
Паймушин В.Н. 165
Панасюк Л.С. 183
Панов П.В. 60
Паринов Р.М. 346
Паршин А.Н. 482
Патлашенко И.Ю. 117
Пелипенко В.В. 346
Перельман Г.Я. 395
Перчаник Н.Е. 485
Петерсон К.М. 240, 241
Петрова А.Т. 200
Петровский И.Г. 482
Петропавловская И.А. 74
Пикуль В.В. 439
Пилипака С.Ф. (Pylypaka S.F.) 44,
165
Пичков С.Н. 128
Погорелов А.В. 54, 102, 332, 348
Погребецкая М.Н. 182
Подаров К.А. 66
Подгорный А.Л. 16, 43, 73, 122, 169,
349,371,468
Позняк Э.Г. 339, 344, 346, 395
Покидышев Г.С. 492
Попов А.Г. 344
Попов А.Ю. 104
Попова Л.С. 482
Постников М.М. 6
Проскуренко Д.А. 200
Протодьяконов С.М. 69, 174, 452,
460, 469, 473, 475, 476, 478
ПрохоренкоФ.Ф. 117
Прусаков А.П. 349
Пуговолок М.М. 445
Пульпинский Я.С. 124-126, 129
Пучков А.А. 105
Пыстогов А.С. 183
Рабинович А.П. 349
Рассказов А.О. 74, 445
Рачковская Г.С. (Rachkovskaya G.S)
19, 401,430,432,433
Рашевский П.К. 15, 340
Рева В.Г. 386
Рекач В.Г. 16, 80, 90, 95, 132, 143,
165,263,264, 267,283,341
Реповш Д. 307
Рид М. (Reid М.) 451
Ризван Мухаммад 149, 154, 159, 161,
163, 165,395
Рожок Л.С. 349
Розендорн Э.Р. 346, 395, 397
Рубин О.Д. 200
Рудницкий О.И. 482
Рыбаков В.Н. 74,
Рыжкова Т.Г. 183, 197
Рыжов Н.Н. 38, 165
Сабитов И.Х. 349
Савелов А.А. 56
Савула Я.Г. 44-47, 149, 165,252
Сагирашвили Л.И. 445
Садовничий А.Ф. 141
Самольянов И.И. 445
Санкин Ю.Н. 349
Сапаров X. 439
Сахабутдинов А.Ж. 252
Сахаров В.Ю. 264
Саченков А.А. 65
Светланова О.И. 492
Свистов А.Я. 169
Сдвижков О.А. 165
СеврюкВ.И. 197
Седлецкая Н.И. 169
Седов В. 200
Сименко О.В. 462
Семикина Э.Е. 240, 326
Сердюк В.Е. 308
Сивак В.Ф. 117
Сингатуллин Р.С. 340
Синицын Е.Н. 264
Синицына О.В. 482
Синченко Л.Д. 169
Ситников В.С. 60
Скидан И.А. 151, 157, 165, 253, 356
Слав Л.И. 200
Слезингер И.Н. 445
Смеричко О.В. 490
Смирнов В.И. 444
Смирнов С. 308
Соболева О.Г. 264
Совертков П.И. 346
Соколов В.В. 200, 252
Соловьев Ю.П. 88, 339
Станиславская Л.А. 483
Старов А.В. 117
Стасенко П.В. 252, 269
Степанов С.Е. 346
Стефанова Ст. 391
Столярчук В.А. 121
Строганов В.Л. 197
Ступишин Л.Ю. 121
Сулюкманов Ф.С. 200, 216
Суркова Г.И. 274
Суслов Г.К. 87,491
Сысоев Ю.А. 183
Тарасов А.Г. 67
Тарасов В.М. 385
Тевлин А.М. 169, 200, 216, 240
Тесля В.А. 141
Тиман А.Ф. 389
Тимонин А.М. 224
Титомиров Н.Н. 19
Товстик П.Е. 51,53
Тогино Кадзуто 491
Томаревская Е.С. 60
Трифанов А.Е. 349
Трофимов В.Н. 389
Трухина В.Д. 74
Трушин С.Н. 165, 329
Тухман Я.П. 443
Узаков X. 169
Утишев Е.Г. 17
Ушаков В.В. 482
Фам ХонгМга 151
Фарес Милад Жорж 152, 165
Федив И.Я. 328
Федоренко Н.А. 443
Фидровская Н.Н. 51
Филимонов Э.В. 445
Филин А.П. 346
Флейман Н.П. 149
Фоменко А.Т. 88, 125, 303, 306, 314,
329, 389, 390, 392
Фомина Т.Н. 240, 326, 329
Франсис Дж.К. (George К. Francis) 8,
79
Фролов О.В. 493
Халаби С.М. (Halabi S.M.) 19,40,74,
78, 197,
Харабаев Ю.Н. (Kharabaev Yu.N.)
430,432,433
Хаустова Н.Д. 87
Хисматуллин Н.И. 201, 349
498
ИМЕННОМ УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Хоанг Зуй Тханг 468
Хорошун Л.П. 117
Чегодаев А.И. 141
Червяков А.М. 348
Черевацкий В.Б. 125, 128, 129
Черных К.Ф. 97, 438, 439
Чернышева Н.Г. 395
Чиненков Ю.В. 80, 349
Чиненов С.Г. 62
Чирков В.П. 264
ЧубукинаЛ.П. 197
Чумаков Г.А. 342, 346
Чуркин Г.М. 109, 366
Шангина Е.И. 485
Шапиро А.В. 141
Шефель С.З. 395
Швиденко Ю.З. 183
Шевелева Г.И. 200
ШеинВ.Т. 142, 167, 169
Шикни Е.В. 339, 344, 346, 395
Шинкаренко Г.А. 252
Шмелев Д.П. 264
ШоломовИ.Х. 400,419
Штаерман Ю.Я. 146, 147
Шубников В.Г. 482
Шуликовский В.И. 134, 198, 253,
260, 312, 338, 393
Щегольков Н.Н. 197
Щуров И.А. 197
Эшер М.К. 302, 303
Юрасов С.Ю. 200
Юханио Маруланда Ар. 165
Ядгаров Д.Я. 400, 401, 411,419, 424
Яковлев В.А. 401,419
Якубовский А.М. 252
Якупов Н.М. 165, 197, 201,349
Якушина А.А. 80, 82-85
Ярахмедов Г.А. 395
Ярин Л.И. 371
Abresch U. 347
Afwat М. 338
Aiyama Reiko 348
Alencar Hilario 348
Alexandrov A.D. 347
Anderson D.M. 321
Apery Francois 307, 308
Archibald R.C. 15
Armenakas A.E. 74
Aumann Gunter 74, 242
Azevedo Tribuzy Renato de 348
Baldes Al. 340
Ballinger I.A. 445
Banchoff T. 302
Bandyopadhyay J.N. 81
Bantlin A. 252
Barbagelata Andrea 74
Barbosa J. Infante 121
Barnes Ian S. 331
Barra Mario 109, 162
Barth W. 491
Barthel Woldemar 327, 332
BasarY. 395,445
Bavard C. 308
Beauville A. 482
Behr Richard A. 117
Bcles Aurel A. 442
Bergmann Horst 491
Bers L. 325, 329
Bhattacharyya B. 346
Bila N. 237-239
Bisztriczky Tibor 450, 482
Blach A. 8
Blachut J. 108, 121
Blaschke W. 327, 332
Blum Richard 387
Bogacki SI. 8
Bohme R. 329
Bottema O. 80, 492
Bousias Stathis N. 197
Boy W.307
Bozek B. 455
Brakke Ken 331
Brandner G. 87
Brauner H. 200, 492
Brehm U. 307
Brent Collins 200
Buyske Steven G. 332
Calladine C.R. 445
Callahan Michael J. 320
CardouA. 176,252
do Carmo Manfredo P. 197, 315, 348
Catalan E. 77,315
Cayley А. (Кэли. A.) 134
ChanT.K. 252
Chapman S.J. 308
Chen Bang-Yen 236
Chen C.C. 493
Cheung Y.K. 141
Clark R.A. 98
Coffman A. 465
Collin Pascal 347, 348
Coman Gh. 242
Cook W.A. 117
Cordillo Gustavo
Corro A.V. 338
Costa A. 320
Cromwell Peter R. 307
CsonkaP. 141
Dajczer Marcos 197, 348
Darboux G. 329
Dawoud R.H. 445
Dedonder Willy 303
Degen Wendelin L.F. 236, 242
Delaunay C. 127
DeRose Tony D. 242
Dickson S. 321
Ding Youdong 242, 395, 445
Dorfineister J. 348, 392
Duheisat S.A.A. 309
Dumas J.C. 264
Earp Ricardo Sa 348
Edge W. L. 8
Eells James 127
Eisland J. 474
Endrap S. 493
Epstein Sam and Beryl 200
Euler Leonard 19
Fan Da-jun 349
FanS.C. 106, 141
Fan X.J. 445
Fardis Michael N. 197
Fareed Adel 445
FarshadM. 117, 121
Fath el Bab H. 347
Feldman E.A. 15
Fepl Stanimir 453, 491
Ferguson H. 320
Ferreira W. 338
Fliigge W. 141
Fogden A. 324
Fomari Suzana 348
Francis George K. 8, 77, 305
F rechet Maurice 329
Frensel Katia 348
Friaa Ahmed 147
Friedman R. 482
Friedrich Th. 482
Gackstatter Fritz 325, 493
Galimov D. 140
Galletly G.D. 252
Ganesan N. 445
GanSca I. 242
Gielis J. 384
Gmsca I. 87
Girard J.P. 264
Girloy T.I. 98
Glaeser Georg 79
Glassner Ekkehart 332
Gordillo Gustavo 110
Gorjanc Sonja 81, 462-464, 466
Gould Ph.L. 117
499
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Goursat Е. 457
Grant К. 338
Gray А. 86, 186,286, 302, 304, 315,
320, 345, 470, 487
Gro(3e-Brauckmann К. 317
Gobel М. 306
Greer J.M. Jr 252
Gridgeman N.T. 245
Guggenberger W. 117
Guid Niko 242
Guy R.K. 459
Hadid Hassoun A. 146, 147
Haeberlein M. 324
Hagen H. 329
Haglund Frederic 485
Hangai Yasuhiko 329
Hano Jun-ich 127
Harris J. 463
Hasanis Thomas 329
Haubitz Imme 327, 332
Hauser H. 116
Hauswirth Laurent 347
Henderson A. 450
HenkeeC.S. 321
HenKyeJ. 117
HenshalJ.L. 197,252
Hildebrandt S. 322
Hirashima Masaharu 329
Hitt L. Richard 197
Hoffman D. 320, 321,493
Hohenberg Fritz 485
Hopf Heinz 346, 347
Horst Martini 200
Horvath I. 146, 147
Huang Wu-Hsiung 348
Hudson R. 459
Hunt B. 8,
Husty M. 134
lancau V. 87
Isenberg Cyril 329
Ishakov V.I. 395, 445
Ishihara Toru 308
lura Masashi 329
Ivanov V. 197
Ivanov V.N. 250, 260
Ivey Thomas 236
Jaiswal O.R. 108
Jank Walter 73, 74
Jin Gon Kim 117
Joachimsthal F. 393
John Sharp 200
Johnston M.E. 346
JolicoeurC. 176,252
Jolies S. 338
Kapouleas Nicolaos 348
Karcher H. 331, 493
Kasue Atsushi 392
Kharabaev Yu.N. (Харабаев Ю.Н.)
74, 430-433
Kheyfets A.L. 140
Kienzle Otto 19
Kiesling Ernst W. 117
Kifer Yuri 392
Klamkin Murray S. 74
Klimenko S. 306
Klinowski Jacek 317
Knabel J. 74, 197
Koiso Miyuki 127
Kolomiets E.A. 356
Koutroufiotis Dimitri 329
Krames Josef. L. 395, 462, 466, 482,
492
Kxauter Peter 332
Krivoshapko S.N.(Кривошапко С.Н.)
19,20, 75,93, 197,256,261,311,
346
Kruzelecki J. 121
Kubiak Halina 445
Kuen T. 345
Kummer E. 459
Kusner Rob 347
Lalan V. 387
Lay W.D. 445
Leel.K. 200,401
Lenza Pietro 141
Lewinski T. 74, 197
Lichtenfels O. 321
Lidin S. 324
Likar Matjaz 242
Lisowski A. 82
LiW.Y. 141
Liu Dingyuan 242
Lopez Rafael 348
LuahM.H. 106
Lynn Paul P. 146, 147
MaanH. Jawad 65, 117
MacDonnel Josef 308
Mackay A.L. 317
Maeder R. 316
Maehata Tatumi 52, 132, 141
Mallett R.L. 197
Mammana Carmelo 168
Mandelbaum Richard 482
Manjunath K.S. 197
Manselli P. 294
Mansfield E. 50
MararW.L. 307
Markovic Miroslav 482
Markvorsen S, 320
Martin Ph. 264
Martiner A. 340
Martinez A. 338
Mbakogu F.C. 136, 141
McbrideW. 197
McCarthy J.M. 87
McIntosh J. 392
Meeks William H„ III 320, 329
Mehta Kishor С. 117
Meirer Klaus 74
Micale Biagio 168
Mick Sybille 482
Mihailescu M. 146, 148
Milan F. 338
Minakawa Couichi 52, 132, 141
Minakawa Youichi 141
Mirza J.F. 371
Mladenov I.M. 127
Moishezon Boris 482
Monge G. (Монж Г.) 165
Montiel Sebastian 348
Mota Soares C.A. 121
Mota Soares C.M. 121
Muller E. 462, 466
Mumford D. 482
Munch Mechthild 53
Murre J.P. 482
Naboulsi S.K. 252
Nankov G. 197
Nayak A.N. 81
Neovius E.R. 316
Nikitin I. 306
Nice Vilko 492
Nitsche J. 313
Nomizu Katsumi 127
Nordstrand T. 218, 305, 345,453, 456,
471,486,493
Noor A.K. 90
Ogawa A. 319
Osserman Robert 320, 329, 347
Pabisek E. 74
Palazotto A.N. 252
Palman Dominik 252, 492
Pamin J. 74
Papantoniou B.J. 169
Paul J.F. Gandy 317
Paukowitsch Hans Peter 165
Pavlovic M.N. 136, 141,445
Pedit F. 392
Pellegrino 445
Perez A. 87
Petit Jean-Pierre 308
Pianowski Leslaw 64
Pinkail Ulrich 329
Plateau J. 329
Polanski Stanislaw 64
500
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Pollicott Mark 346
Polthier Konrad 314, 329, 330
Pong Chia-kwei 308
Popa Emil M. 237
Popov E.V. 329
Pottmann H. 401
Pucci C. 294
Putinar Mihai 237
PylypakaS.F. 179, 221
QatuM.S. 117
Qian J. 445
Rachkovskaya G.S. 74, 430-433
Rachkovskaya N.S. 74, 430, 432
Radwanska M. 74
Ramaswamy G.S. 117, 130
Randrup T. 200,401
Rath Wolfgang 482
Reckziegel H. 345
Reichhart Adam 349
Reid M. (Рид M.) 451
Reissner E. 98, 117
Rembs E. 342
Renton J.D. 65
Rimrott F.P.J. 106
Ringleben W. 445
Ripoll Jaime 348
Rivin I. 487
Roberts A.W. 197
Robinson M. 117
Roeschel Otto 302
Rogers C. 346
Ros Antonio 348
Rosenberg Harold 325, 347, 348
Rottmann H. 200
Roussos Jaonnis M. 197, 387
Ruchert Hartmut 348
Sachs Hans 74, 180,388
Sajtos I. 445
Sakai Takashi 308
Sakao Keishi 141
Saleh H. Sardar Amin 74
SamartinA. 141
Sauvigny Friedrich 348
Schaal Hermann 327
Scherk H.F. 321
SchiefW.K. 346
Schiffer M. 346
Schoen A.H. 317, 329
Schiiffler Karlheinz 347
Schulz Ch. 308
Schwarts A. 465
Schwarz H.A. 314
Seaman Walter 347
von Seggem D. 213
Seiler W. 346
Serrin J. 348
Shibata Choko 340
Shleykov I. 140
Shrivastava N.K. 197
Sievert H. 343
Simitses J.G. 48
Simmonds J.G. 182
Skouteropoulou Anna-Maria O. 197
Smyth B. 348
Smith T.A. 252
Scare Mircea V. 82, 83, 442
Soh C.K. 252
Soldatos K.P. 48
Souriau Jerome 308
Spruck Joel 348
Sroda P. 455
Stanton C. 465
Stavridis L.T. 74
Stanley A.J. 445
Sterling I. 347
Strubecker Karl 312, 332
Sun J.S. 445
Sun Bo-Hua 106
Suresh G.R. 117
Suzuki Toshio 329
Svec Alois 236
Svoboda Karel 346
Szefer G. 82
Tabarrok A. 329
Talenti Giorgio 392
Tam W.H. 445
Tambulea L. 242
Tamura Michiko 348
Tamai Tibor 52, 141
TaubinG. 471
Tenca Luigi 19
Tenenblat K. 338
Teng J.G. 65, 117
Teraoka Atsuo 197
Ticlete G. 87
Tigaryev V.M. 176
ThamL.G. 141
Thayer E.C. 493
Thomas E.L. 321
Thomsen G. 327
Tolke Jiirgen 8, 388
Tomi Friedrich 348
Tompson J.J. 252
Toubianna Eric 325, 338
Tramberend H. 306
Tromba A. 329
TzitzeicaG. 102,237, 239
Udri^te C. 237-239
Van-Brunt B. 338
Vanek Jiff 80
Vergasta Enaldo 348
Vincensisi Paul 329
Vogel W. 169
Volkmer Reinhard 327, 332
Voss K. 346
Vranceanu G. 237
Wake G.C. 348
WallnerJ. 401
WanF.Y.M. 197
Wang Al Nung 348
Waszczyszyn Z. 74
Wayne Rossman 314
Wei F.S. 493
Weiner Joel L. 15,392
Weingarten J. 338
Weip (Weiss) Gunter 73, 74, 80, 200,
482
Weisstein Eric W. 319-321, 323, 324,
342, 343, 345, 453, 471,492, 493
Weip Gunter
Wen-Guang Jiang 197, 252
Wente Henry C. 347, 348
Werner D. 346
Wills J.M. 308
Whathan J.F. 252, 264
Whiston G.S. 252
Wohlrab Or. 340
Wole Joseph Albert 348
Wu H. 348, 392
Wunderlich W. 19, 25, 27, 308, 485
Xah Lee 200
Xenos Ph. J. 169
Xu Wei 242
Yan Gao Zhang 329
YangT.Y. 141
Yasuzawa V. 117
Yau Shing-Tung 348
Yeh Kai-Yuan 106
YeomD.J. 117
Yoon Young Kim 117
Yu S.K. 252
Zalik Borut 242
Zenzri Hatem 147
Zhang Wei 106
Zmijewski Krzysztof Henryk 442
501
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Поверхности)
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПОВЕРХНОСТИ
Если название поверхности состоит из двух г/ более слов, то в предметном указателе «По-
верхности» оно дается в наиболее распространенном виде или на первое место выносится
главное по смыслу слово.
Если в название поверхности входит собственное имя, то оно выносится на первое место.
Алгебраическая конгруэнция 4-го порядка 2-го класса
492
- поверхность б-го порядка с двумя сетями переноса 474
Алгебраические поверхности 170, 236, 446
Антипризма 483, 484
Антисфера (см. «Псевдосфера»)
Архимеда винт 20
Астроидальный эллипсоид 486
Аффинно-минимальная поверхность 327, 332
---вращения 332
---трансцендентная 327, 333
Аффинные резные поверхности 492
Аэрогидродинамическая поверхность, заданная непре-
рывным каркасом ватерлинией в форме обобщенных
аньезиан 174
-------эллиптических шпангоутов 174
Аэрогидродинамические поверхности, заданные
алгебраическими плоскими кривыми 174
— с непрерывным каркасом плоских кривых 175
Базисная линейчатая поверхность 181
Барта поверхность 6-го порядка 491
— 10-го порядка 491
Башмачная поверхность 139
Бельтрами поверхность (см. Псевдосфера) 95
Безье поверхности 242
- бикубическая поверхность 243
---составная 243
- элементарная бикубическая рациональная
поверхность 243
- стандартная элементарная поверхность 243
Бианки поверхности 8
Биверзьерная поверхность переноса 142
Бигерболическая поверхность переноса 142
Бикруговая поверхность переноса 142
Бипараболическая поверхность переноса 142
Биэллиптическая поверхность переноса 142
Блютеля поверхности 236
Богемский купол 286
Болла цилиндроид 87, 491
Бонне поверхность 8,387
Бора минимальная поверхность 316, 323
Бочкообразная поверхность вращения 104, 114
Боя поверхность 305, 307
«Браслет» 301
Бресса гиперболоид 491
Вейнгартена поверхности 338
Велароидальная поверхность 130, 146
Велароидная поверхность 130
Велароид параболический 147
-синусоидальный 146
-эллиптический 148
Веронезе поверхности 236
Винтовая закрученная поверхность с окружностями в
плоскостях пучка 235
- поверхность 166, 176, 177, 186, 387, 391
— круговая 176, 181,250
---с образующей окружностью, лежащей в плоско-
сти, которая проходит через винтовую ось 181, 182,
189
---с образующей окружностью, лежащей в соприка-
сающейся плоскости винтовой линии центров окруж-
ностей 181, 185
— линейчатая 176,178,192
— , образованная бинормалями цилиндрической
винтовой линии 180
— обыкновенная 176
— переменного шага 176, 186, 192
---винтового параметра 402
— прямая круговая 168, 181, 184
— развертывающаяся 178
— с образующей кривой в виде гиперболы 191
— с образующей кривой в виде эвольвенты круга 190
— с образующей циклоидой 191
— с образующим эллипсом 189, 234
— с параболической образующей общего положения
187
— с синусоидальной образующей 188
— трубчатая 181, 183,232
- синусоидальная полоса 188, 190
Винтовая улитка 419
— коническая 419
— линейчатая коническая 419
— линейчатая цилиндрическая 419-421
— циклическая коническая 419
— циклическая цилиндрическая 419, 420, 422
— цилиндрическая с параболической образующей 423
Винтообразная закрученная поверхность эллиптическо-
го поперечного сечения в плоскостях пучка 234
— полоса с прямыми образующими в плоскостях
пучка 221
- поверхность с образующей окружностью переменно-
го радиуса, лежащая на плоскости 225
— с переменным эллиптическим сечением 224
- предварительно закрученная поверхность эллиптиче-
502
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Поверхности)
ского поперечного сечения 231
----кругового поперечного сечения 232
--полоса 222
Винтообразные поверхности 219, 220, 230, 233, 274
Вирича циклическая поверхность 394
Волнистая коническая поверхность в линиях кривизн с
внутренней вершиной 353, 354
- поверхность с псевдоверзиерами на круглом плане
361
— с псевдоверзиерами (цилиндрического типа) 360
- эллипсоидальная поверхность 373
Волнистые поверхности 164, 279, 349, 350, 367
Волнообразные поверхности 164, 291,349, 426
Волнообразный тор на сфере 358
Вращения поверхности 90-92, 121, 149, 170, 253, 326,
391
Второго порядка поверхности 16, 73
- центральные 241
Гармонические поверхности (см. «Поверхности, зада-
ваемые гармоническими функциями»)
Гексаэдр 483, 484
Геликоид гиперболический 212
- конволютный 78, 178, 179, 402
- конический одинакового ската (см. « Геликоид раз-
вертывающийся конический »)
- косой 16, 75, 178, 402
— ротативный 220
- общего вида 186
- прямой 8, 16, 73, 87, 130, 168, 176, 178, 221-223, 309,
311,326,333
— волнистый 357
— сферический 76
- псевдо-развертывающийся 78, 168, 179, 181
-развертывающийся 20, 44, 178, 181, 210, 431-433,
— конический 22
- синусоидальный 351
- сферический 76
— конический
— с ребром возврата на параболоиде вращения
- эвольвентный (см. «Геликоидразвертывающийся»)
- эллиптический 223
Гептаэдр 302
Гипар ( см. Параболоид гиперболический)
Гиперболическая коническая поверхность 70
Гиперболический параболоид (см. Параболоид гипер-
болический)
Гиперболоид вращения двуполостный 99, 443
--однополостный 16, 25, 46,75, 90, 93, 209, 388, 440
- двуполостный 64, 443, 444
- однополостный 16, 64, 440, 444
- правильный 93
Гироид 317, 323
Гладкая поверхность 7
Глобоид 108
Гофрированная поверхность вращения общей
синусоиды 100, 101, 112, 164, 188
Гофрированные поверхности 349
Гурса поверхность 8, 457, 487
Дарбази поверхность 147
Дарбу поверхности 8
Дважды косой коноид 16, 73
— трохоидный цилиндроид (см. Цилиндроид дважды
косой трохоидный)
— цилиндроид 16, 73,89
- линейчатая поверхность 16, 73
Декарта лист
Делоне поверхности 127
«Дервиш» 493
Диагональная косинусоидальная поверхность переноса
(см. «Переноса поверхность бикосинусоидальная»)
167
- круговая поверхность переноса Волкова 144
- параболическая поверхность переноса 145
Диагонального переноса поверхности 130
Дини геликоид 186
Додекаэдр 483
- большой 483
— звездчатый 483
- гиперболический 487
- малый звездчатый 483
- невыпуклый правильный 483
Дунса яйцо 8
Дюпена циклида первого типа (четвертого порядка)
260, 261,461
— второго типа (третьего порядка) 260, 262
— третьего типа (четвертого порядка) 260
- циклиды 236, 253, 260
Закрученная поверхность с конгруэнтными кривыми в
параллельных плоскостях 168, 351
Закрытая линейчатая поверхность 178
- прямая линейчатая винтовая поверхность перемен-
ного шага 192
Замкнутая поверхность вращения 109
Запредельный параболический велароид 456
Зонтичного типа поверхности 343, 370, 371
Зонтичный купол 370
Зубная поверхность 458, 487
Изометричные поверхности 7, 387
Икосаэдр 483, 484
- гиперболический 487
Ильи Святого поверхность 291
Иоахимсталя каналовые поверхности 213, 253-259, 394
--в линиях кривизн 255
- косинусоидальные каналовые поверхности 1-го типа
257
------2-го типа 258
------3-го типа 259
- поверхности 254, 262, 393, 493
Каналовые поверхности 183, 240, 253
Каплевидная оболочка 121
Картана зонтик (см. «Уитни зонтик») 77
503
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Поверхности)
Касдагльи кубическая поверхность 452
Кассини непрерывно-топографическая поверхность 172
Каталана поверхности 16, 77, 79, 80, 87, 173, 201, 357
Каталана поверхность 315
Катеноид 90, 110,124, 125, 176,240, 309,310, 323,325,
326
- волнистый 323
«Катушка» 344
Квадрики 236, 444
Квазивинтовая поверхность 240
- циклическая поверхность с наперед заданными
граничными окружностями 227
Квазимногограниик 483
Квазиэллипсоидные поверхности 244-249
Квартоид (см. Параболоид вращения 4-го порядка) 106
Кинематические поверхности общего вида 157, 400
Клейна бутылка 306
- поверхность (см. Клейна бутылка)
Клиновидные поверхности (см. Коноиды) 80
Конгруэнтных сечений поверхности 157, 158, 166
Коническая поверхность вращения 43, 417, 418, 439
— мнимая 434
— прямая с плоской направляющей кривой в форме
круговой синусоиды 71
— с направляющей кривой в форме аньезианы 69
-------листа Декарта 69
— с направляющей линией на сфере 72
Конические поверхности 16, 35, 64, 65, 236, 387, 412,
413,417
Коноид 16, 80, 87, 357
- параболический 81,87
- прямой 77, 82, 83, 326
— прямой винтовой (см. «Геликоид прямой»)
— синусоидальный 84
— с направляющей параболой, ось которой параллель-
на оси коноида 85
- с направляющей окружностью 82
- с направляющей цепной линией 83
Контурная поверхность 370
Конус асимптотический 99
- направляющий 75, 198
- прямой круговой 90
— эллиптический 453
— усеченный 64, 12?
Косая линейчатая поверхность 73,77,388
Косого клина поверхности 1 б
- перехода поверхности 16,73
- цилиндра поверхности 16
Косты минимальная поверхность 320
Косты - Хоффмана - Микса минимальная поверхность
324
Красовского трехосный эллипсоид 441
Крестообразный желоб 377
Куб 483, 484
- гиперболический 487
Кубикальные поверхности 169
Кубическая поверхность ,т3 + ху + z = 0 451
— Касдагльи 452
— неособая 450
Кубоид 330
Куена поверхность 345
Куммера поверхность 459
Куна поверхности 491
Кунса поверхности 388
Кэли поверхность 134, 451
Линейчатая квазиэллипсоидная поверхность 247
- коническая улитка вращения 158
- цилиндрическая винтовая улитка 421
Линейчатые поверхности 16
— нулевой гауссовой кривизны 16, 228
— отрицательной гауссовой кривизны 16, 73, 229, 462
Лихтенфелса минимальная поверхность 321
Лиувиллевая поверхность 8
Локально-простая поверхность 7
Лопеса минимальная поверхность 493
Лопеса - Роса минимальная поверхность 324
Лусты линейчатая ротативная поверхность 407, 464
Мебиуса лист 302, 303, 306
Менна поверхность 454
Минимальная поверхность вращения 310
— переноса 312
— со свободной границей 309
- погруженная поверхность 493
Минимальные поверхности 8, 309, 329
— алгебраические 328
— , заданные точечным каркасом 322
— Петерсона 326
— полные 325
---компактные 325
---некомпактные 325
---открытые 325
— со свободными границами 322
— сцепленные периодические 330, 331
Многогранник 483
- выпуклый 483
- правильный 483
Монжа резная линейчатая поверхность с круговой ци-
линдрической направляющей поверхностью 21, 151
- резная поверхность с конической направляющей
поверхностью 157
---с цилиндрической направляющей поверхностью и
меридианом в виде окружности (см. «Трубчатая
поверхность с плоской линией центров в форме
эвольвенты круга»)
---с цилиндрической направляющей поверхностью
и меридианом в виде цепной линии 156
— -с цилиндрической направляющей поверхностью
и меридианом в форме гиперболы 154
---с цилиндрической направляющей поверхностью
и меридианом в форме циклоиды 155
---с цилиндрической направляющей поверхностью
и параболическим меридианом 152
---с цилиндрической направляющей поверхностью
и синусоидой в'качестве меридиана 153
504
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Поверхности)
- резные поверхности с конической направляющей
поверхностью 157
----с круговой цилиндрической направляющей
поверхностью 21, 151,267, 403, 404
Морская ракушка 218
Морэна поверхности 8
«Мыльный пузырь» 347
Наклонная круговая коническая поверхность 67
- эллиптическая коническая поверхность 68
Неовиуса поверхность 316
Неориентируемая поверхность 302
Непрерывно-топографические поверхности 170, 173
----одной серии 170
----разных серий 170
Нодоидная поверхность, соединяющая два круговых
конуса 129
Нодоидные поверхности вращения 124, 128, 129
Нордстранда сливная воронка 453
Нормалия кривой 8
Нормальная циклическая поверхность с плоской
круговой линией центров и с образующей
окружностью переменного радиуса 276
— винтообразная поверхность, состоящая из тождест-
венных элементов 277
— поверхность с эллиптической линией центров
и с образующей окружностью переменного радиуса
(тип 1)281
— поверхность с эллиптической линией центров
и с образующей окружностью переменного радиуса
(тип 2) 282
Нормальные циклические поверхности 263
----с образующей окружностью переменного радиуса
275,280
Обтекатель циклоидального типа 94
Одинакового ската поверхность с направляющей ок-
ружностью (см. «Коническая поверхность вращения»)
----с ребром возврата на параболоиде вращения (см.
«Геликоид развертывающийся с ребром возврата на
параболоиде вращения»)
Однополостный гиперболоид 16, 64, 440, 444
— вращения 16, 25, 46, 75, 90, 93, 209, 440
Односторонние поверхности 302, 308
Односторонняя линейчатая поверхность 303
Октаэдр 245, 247, 302, 483, 484
- гиперболический 486, 487
Оливейры минимальная поверхность 493
Омбилическая поверхность 90
Ориентируемая поверхность 302
Ортоидные линейчатые поверхности 492
Открытая прямая линейчатая винтовая поверхность пе-
ременного шага 178, 192
Параболическая коническая поверхность 437
- спироидальная поверхность с аксоидами «плоскость -
цилиндр» 429
- поверхность коноидного типа 468
Параболоид вращения 23, 96, 113, 122, 132, 187, 374,
489, 492
— гофрированный 362
— с радиальными волнами 374
— с циклоидальными гофрами 375
— четвертого порядка 106
- гиперболический 16, 80, 132, 145, 238, 240, 392, 396,
436, 491
— двуполостный 4-го порядка 490
— равносторонний 240, 326
- 4-го порядка 490
-эллиптический 132, 143, 332, 369,442
— двуполостный 492
— однополостный 492
Пеано седло 397
Педальная поверхность 461, 463
Пенка 124, 126
Переноса поверхности 130, 131, 166, 240, 326
— с конгруэнтными образующими и направляющими
кривыми 142
Переноса поверхность 392, 400
— бикосинусоидальная 167
— бикруговая 142
— биполукубическая 167
— бицепная (см. «Переноса поверхности с конгру-
энтными образующими и направляющими кривыми»)
- - бициклоидальная (см. «Переноса поверхности с
конгруэнтными образующими и направляющими
кривыми»)
— биэллиптическая 142
— круговая 133, 286
— обобщенная 130
— окружности по окружности (см. Переноса поверх-
ность круговая) 144
— окружности по параболе 136
— окружности по синусоиде 285
— окружности по эллипсу 286
— параболы по гиперболе 139
— развертывающаяся 130
— синусоиды по параболе 137
— синусоиды по синусоиде Г40, 167
— специальная 130
— цепной линии по цепной 135
— циклоидальная 140
— эллиптическая 138
Персея параболоид 300
Петерсона поверхности 240, 253
- минимальные поверхности 326
Пирамида 483, 485
Пиренейская поверхность 467
Плюккера коноид 86, 492
Поверхности В (см. Бианки поверхности)
Поверхности вращения 90-92, 121, 149, 170, 253, 326
— нодоидные 124, 128, 129
— соосные 170
— с геометрически оптимальной стрелой подъема 122
— с экстремальными свойствами 124, 127
— ундулоидные 124, 128
505
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Поверхности)
— циклические 300
- второго порядка 16,73, 434, 435, 445
- диагонального переноса 130
задаваемые гармоническими функциями 389-392
- изометричные 7, 387
- косого клина 16, 73
— перехода 16, 73
— цилиндра 16,73
- минимальные 8, 309, 329
- одинакового ската 25, 44, 170
- параллельного переноса 132, 170
- плоско - параллельного переноса 166
- постоянной гауссовой кривизны 338, 339, 387
— отрицательной гауссовой кривизны 95, 186, 344—346
— положительной гауссовой кривизны 340 - 343
— средней кривизны 338, 347
- прямого переноса 130,132
- со сферической направляющей кривой 334-337
Поверхность бинормалей 17
— цилиндрической винтовой линии 181
- винтового столба 287
- вращения аньезианы 473
— астроиды 103
— биквадратной параболы 114
— «Восьмерка» 116
— гиперболо - логарифмическая 105
— гиперболы 191,239
— гиперболы z = Ь/х вокруг оси Oz 102
— гиперболы общего положения 191
— «Груша» 110
— «Динь-дон» 116
— , заданная гармонической функцией < = In [.г + у2]ш
390
— замкнутая 109
— коническая (см. Коническая поверхность вращения)
— локона Аньези 103
— наклонной синусоиды 188
— общей синусоиды 111, 188, 206
— обычной циклоиды .94, 109
— «Падающая капля» 107
— параболо - логарифмическая 105
— параболы 104
---общего положения 113, 187
— с затухающими окружными волнами 107
— циклоиды 191
— цилиндрическая (см. Цилиндрическая поверхность
вращения)
— эвольвенты круга 190
— «Яйцо» 116
- главных нормалей 17
- катеноидного типа 124, 125
- «Кресло» 456
- локально-простая 7
- нормалей кривой 8
образуемая вращением меридиана в форме полуку-
бической параболы 102
- «Платок» 450
- простая 7
- «Сердце» 471
- с одним семейством плоских линий кривизны 8, 338
- сопряжения двух соосных цилиндров разных
диаметров 100,280
— соосных цилиндра и конуса 101
- строго отрицательной гауссовой кривизны 76, 102,
357, 390
- центров (см. Эволютная поверхность)
- цилиндрического гибкого бункера для хранения
сыпучих материалов 58
Полная абелева минимальная поверхность 325
- ориентированная минимальная поверхность 493
Полярная поверхность кривой 8
Понтрягина поверхности 491
Призма 483, 484
Призматоид 483
Прямая волновая цилиндрическая поверхность 355
-геликоидальная поверхность с переменным шагом 194
- коническая синусоидальная волновая поверхность 352
- круговая спиральная поверхность 284
— винтовая поверхность 168, 287
Прямого переноса поверхности 130, 166
Псевдокатеноид 110
Псевдосфера 95, 186, 344
Пуансо тела 483
Развертывающаяся поверхность (см. Торсовая поверх-
ность, Линейчатые поверхности нулевой гауссовой
кривизны, Цилиндрическая поверхность, Конические
поверхности)
Рачковской - Харабаева спироидальные линейчатые
поверхности 430-433
Регулярная ротативная поверхность 400
- линейчатая цилиндрическая ротативная поверхность
409
- спироидальная поверхность 419
- циклическая цилиндрическая ротативная поверхность
405
- цилиндрическая спироидальная поверхность 420, 421
Резная поверхность Монжа 149, 166
---с конической направляющей поверхностью 157
---с круговой цилиндрической направляющей по-
верхностью 151
---с цилиндрической направляющей поверхностью
151
----------и меридианом в виде окружности (см.
Трубчатая поверхность с плоской линией центров в
форме эвольвенты круга)
----------и меридианом в виде цепной линии 156
----------и меридианом в форме гиперболы 154
----------и меридианом в форме циклоиды 155
----------и параболическим меридианом 152
----------и синусоидой в качестве меридиана 153
Резная поверхность с направляющей кубической пара-
болой и образующим эллипсом 160
------синусоидой и образующей параболой 163
------синусоидой и образующей циклоидой 162
------синусоидой и образующим эллипсом 164
506
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Поверхности)
---циклоидой и образующим эллипсом 161
— с направляющим эллипсом и образующей парабо-
лой 163
---эллипсом и образующей синусоидой 164
Резная синусоидальная поверхность 160
Резные поверхности 149, 150,264
— аффинные 492
— общего вида 159
Рембса поверхность 342
Римана - Шварца поверхность (см. Шварца поверх-
ность)
Римская поверхность 305, 307, 459, 465
Рифленые поверхности 349
«Рог изобилия» 213
Розендорна сужающаяся седловая поверхность 397
Ротативная поверхность с аксоидами
---«плоскость - цилиндр» линейчатая 364
---«цилиндр - плоскость» линейчатая 404
---«плоскость - цилиндр» параболическая 365
---«-цилиндр - плоскость» циклическая 405
---«плоскость - конус» линейчатая 364, 417, 418
Ротативные поверхности 166, 400, 402
— с аксоидами «конус - конус» 411
— с аксоидами «плоскость - конус» 220, 416
— с аксоидами «плоскость - цилиндр» 364
— с аксоидами «цилиндр - плоскость» 403
— с аксоидами «цилиндр - цилиндр» 406
Седловая поверхность с нулевым вращением рога 399
Седло в барабане 396
- обезьянье 398
- уплощенное в барабане 399
Седловые поверхности 395
Сиверта поверхность 343
Синусовая поверхность 470
Синусоидальная цилиндрическая поверхность 359
Скидана линейчатая поверхность 356
Скрещенный колпак 304, 307
Сотовая коническая поверхность 354
Спиралевидная поверхность «Ракушка без вершины»
217
— «Ракушка с вершиной» 218
Спиралевидные поверхности 208, 209, 217, 273, 359
Спиральная коническая полоса 72, 202
Спиральная поверхность 198-201
- - - с гиперболической образующей 205
— с направляющей логарифмической спиралью и па-
раболической образующей 207
— с образующей в форме циклоиды 205
— с образующей в форме эвольвенты круга 207
— с образующим эллипсом 204
— с параболической образующей общего положения
203, 207
— с прямыми образующими в плоскостях пучка 76,
202, 206
— с синусоидальной образующей 206
Спироидальные поверхности 166, 419
— с аксоидами «плоскость - конус» 427
— с аксоидами «плоскость - цилиндр» 428
— с аксоидами «цилиндр - плоскость» 420
— с аксоидами «цилиндр - цилиндр» 424
Спрямляющая поверхность линии 8
Спутанный куб 458
Средняя огибающая поверхность 8
- эволютная поверхность 8
Суперэллипсоид 245
Сфера (см. «Сферическая поверхность»)
- гофрированная 363
- с циклоидальными гофрами 366
- усеченная 122
Сферическая поверхность 90, 124, 128, 182, 253, 273,
341
— 3-го порядка 492
Сфероид (см. Эллипсоид вращения сжатый) 115
Сцепленные периодические минимальные поверхности
314,317,330, 331
Тетраэдр 483, 484
- гиперболический 487
Томсена минимальные поверхности 327, 332
Топографическая поверхность 170
— с заданными эллиптическими сечениями 171
Тор волнообразный 291
- круговой 97, 98, 124, 182, 189, 225, 260, 261,490
- закрытый 97, 98
- открытый 97, 98
- циклоидальный (см. «Винтовая поверхность с
образующей циклоидой»)
- эллиптический 98
Торидовые поверхности 169
Тороид(см. «Глобоид»)108
Торообразная поверхность с переменным эллиптиче-
ским сечением 224
Торс (см. «Торсовая поверхность»)
Торс-геликоид (см. Геликоид развертывающийся)
Торс винтовой ( см, Архимеда винт)
- касательный 12
- одинакового ската 12, 18, 25, 26, 27, 44-47
с направляющей параболой 45
с направляющей цепной линией 46
---с направляющим эллипсом 47
---с ребром возврата на однополостном гиперболои-
де вращения 46
---с направляющей кривой в форме эвольвенты ок-
ружности (см. «Развертывающийся (эвольвентный)
геликоид» и «Резная линейчатая поверхность
Монжа с круговой цилиндрической направляющей
поверхностью»)
- параболический 24
- полярный 402
- с гиперболой и параболой в параллельных плоскостях
40
- с двумя кубическими параболами в параллельных
плоскостях 42
- с двумя параболами второго и четвертого порядка,
лежащими в параллельных плоскостях, и с парал-
507
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Поверхности)
дельными осями 37
------, которые лежат во взаимно перпендикулярных
плоскостях, а вершины расположены на одной коор-
динатной оси (см. «Параболический торс»)
------, оси которых пересекаются 33
------, лежащими в пересекающихся плоскостях, но с
параллельными осями 34
------, имеющими общую ось, но лежащими в пересе-
кающихся плоскостях 36
- с двумя эллипсами, лежащими в параллельных
плоскостях, и с параллельными осями 35
- с двумя эллипсами, лежащими во взаимно перпенди-
кулярных плоскостях, оси которых совпадают с коор-
динатными осями 41
- с заданной линией кривизны в форме параболы вто-
рого порядка 30
- с образующими прямыми, лежащими в нормальных
плоскостях сферической кривой 31
- с параболой и окружностью в параллельных плоско-
стях 38
- с параболой и эллипсом в параллельных плоскостях
39
- с ребром возврата в виде гиперболической винтовой
линии 29
- с ребром возврата в виде линии пересечения кругово-
го цилиндра и кругового конуса 43
- с ребром возврата в форме линии пересечения двух
цилиндров с перпендикулярными осями 28
- с ребром возврата на однополостном гиперболоиде
вращения 25
- с ребром возврата на эллипсоиде вращения 25
Торсовая поверхность 16-47, 228
— 3-го порядка 43
— 4-го порядка 24, 43
Торсовые поверхности с двумя плоскими направляю-
щими кривыми 32
— 3 и 4-го порядков 24, 43
Трактрисоид (см. «Псевдосфера»)
Трактроид (см. «Псевдосфера»)
Трансверсальные поверхности конгруэнций кривых 169
Трансцендентная афинно-минимальная поверхность
327,333
Трансцендентная поверхность с двумя семействами
плоских изотропных координатных линий 215
Триноид 319, 323
Трубчатая винтообразная поверхность с линией цен-
тров переменного шага 274
- локсодрома 337
- поверхность на сфере 273, 358
— с'линией центров на однополостном гиперболоиде
вращения 209
— с плоской линией центров в форме циклоиды 268
---------в форме эвольвенты круга 267, 405
— с плоской гиперболической линией центров 270
— с плоской параболической линией центров 269
— с плоской синусоидальной линией центров 164, 272,
280
— с плоской эллиптической линией центров 271, 281,
282
- спиральная поверхность 266
Трубчатые поверхности 250, 253, 263, 264, 265, 337
У итни бутылка 8
— зонтик 77, 85
Улитка винтовая 419
— коническая 419
— линейчатая коническая 419
— цилиндрическая 419, 423
---линейчатая 419-421
---циклическая 419, 420, 422
Улитка вращения 400
— коническая 157,400
— линейчатая коническая 158
— линейчатая 400
---цилиндрическая 404
— циклическая 400
---цилиндрическая 405
— цилиндрическая 400
Улитка цилиндрическая линейчатая ротативная ( см.
Монжа резная линейчатая поверхность с круговой
цилиндрической направляющей поверхностью)
Ундулоидные поверхности вращения 124, 128
Уоллиса.коническая кромка 86, 464
Уэдла общая поверхность 8
Фейербаха поверхность кругов 453
Ферма диагональная кубическая поверхность 451, 478
«Фонарики» 344
Фосса поверхность 8
Фуникулярная поверхность 130
Хакена поверхности 8
Ханта поверхность 471
Хеннеберга минимальная поверхность 318, 323
Хоффмана минимальная поверхность 493
Центральная поверхность второго порядка 7, 434
------незамкнутая 99
Центров поверхность (см. Эволютная поверхность)
Циклида вращения 4-го порядка 492
- с тройной точкой 463
Циклическая винтовая поверхность с линией центров
переменного шага 195
- поверхность в цилиндре 226
Циклическая поверхность с образующей окружностью
в плоскостях пучка и с плоской линией центров
в виде логарифмической спирали 2046 2906 294
— с образующей окружностью в плоскостях пучка и с
плоской линией центров в виде спирали Архимеда
295
— с образующими окружностями переменного радиуса
и с плоской линией центров, построенная вокруг
кругового цилиндра 295
— с окружностями в плоскостях пучка и с прямой ли-
нией центров 296
— с окружностями в плоскостях пучка и с волнистой
508
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Поверхности)
линией центров на цилиндре 291
— с окружностями в плоскостях пучка, с прямой на-
правляющей и фиксированной прямой пучка, лежа-
щими по разные стороны от плоской линии центров
297
— с окружностями в плоскостях пучка, с прямой на-
правляющей и фиксированной прямой пучка, лежа-
щими по одну сторону от плоской линии центров 298
— с окружностями переменного радиуса в плоскостях
пучка и с тремя прямыми параллельными направляю-
щими линиями 299
Циклические поверхности 100, 166, 181, 196, 250,251,
493
— вращения 300
— с окружностями в плоскостях пучка 195, 225, 254,
288,289,293,
— с плоскостью параллелизма!36, 170, 184, 283
Цилиндр гиперболический 53, 489, 491
- гипоциклоидный 408
- наклонный гиперболический 63, 132
— круговой 51,60
— параболический 24, 62, 132
— эллиптический 61, 132, 368
- параболический 52
- прямой круговой 90
— с направляющей гиперболической спиралью 56
— с направляющей логарифмической спиралью 56, 59
— с направляющей спиралью Архимеда 57
— с направляющей спиралью Ферма 57
— с направляющей цепной линией 55
- эллиптический 51, 88
— мнимый 434
— с двумя направляющими окружностями во взаимно
перпендикулярных плоскостях (см. «Цилиндроид с
двумя направляющими окружностями во взаимно
перпендикулярных плоскостях»)
- эпициклоидный 408
Цилиндрическая винтовая полоса 50, 181, 190
---переменного шага 194
Цилиндрическая поверхность 16, 48, 49, 77, 87, 387
- - вращения 43, 124, 128, 132, 403, 406, 420, 424, 428,
438
— второго порядка 48
— прямая астроидальная 54, 408
---волновая 355
---с направляющей циклоидой 364, 428
---с полукубической параболой в сечении 54
— синусоидальная 359
— эвольвентная 58
Цилиндроид винтовой (см. Геликоид прямой)
- дважды косой трохоидный 89
- линейчатый роторный 79
- с двумя направляющими окружностями во взаимно
перпендикулярных плоскостях 88
- с двумя направляющими эллипсами 88
Цилиндроиды 16, 77, 79, 87
- дважды косые 16
Цилиндро - коническая винтовая полоса 59
Цилиндро - сферическая спиралевидная полоса 76, 214
Цицейки поверхность 102, 237-239
Чена - Гакстаттера поверхности 324, 493
Четвертого порядка поверхности с кратными линиями
461
Шаровая поверхность 341
Шварца поверхность 309, 314, 330
Шерка поверхность (первая) 309, 312, 324
- вторая минимальная поверхность 321
- закрученная поверхность 324
Шроды параболическая поверхность 455
Штаермана поверхность с плоским контуром (см. Ве-
лароид параболический)147
Штейнбаха винт 211
Штейнера поверхности 236, 465
- поверхность первого типа 465
- эллипсоиды 491
Эвольвентная коническая поверхность 71
- винтовая поверхность 178
- поверхность 8
- цилиндрическая поверхность 58
---наклонная 58
---прямая 58
Эволюта поверхности S 8
Эволютная поверхность 8, 149
Эволютные поверхности циклиды 260
Эдлингера поверхности 388
Эйлера специальные конусы 491
Эквидистанта системы «прямая - сфера» 488
— «прямая - тор» 490
— «прямая - цилиндр» 489
— «точка - цилиндр» 489
Эквидистанты двойных систем 488
Элементарная линейчатая поверхность 16
Эллипсоид 241, 441, 444
- вращения 25, 115, 122, 239, 441
— косой 98
— вытянутый 115, 122
— сжатый 115, 122
— сплюснутый 115, 122
— усеченный 122
- мнимый 434
- трехосный (см. Эллипсоид) 441
Эллиптическая коническая поверхность 66, 369, 453
Эннепера поверхность 313, 323, 325, 327, 328, 332, 493
- волновая поверхность 324
- двойная поверхность 324
Эпитрохоидальная поверхность 256
Эшера поверхность 493
509
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Пространственные и плоские кривые)
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
Если название кривой состоит из двух и более слов, то в предметном указателе «Про-
странственные и плоские кривые» оно дается в наиболее распространенном виде или на первое
место выносится главное по смыслу слово.
Если в название кривой входит собственное
Аньезиана 69, 174, 473, 475, 478, 479
Аньези локон 13, 103
Архимеда спираль 12, 13, 57, 75, 178, 295,427
Астроида 13, 54, 103, 313, 378, 383, 407, 486
Аэродинамический профиль 383
Безье кривые 242, 388
Бернулли лемниската 172
Верзиера 142, 472, 481
Виларсо окружности 97
Винтовая линия переменного шага 192, 194, 195, 274
Гелиса 12, 402
Гипербола 40, 53, 63, 70, 99, 102,139, 142, 154, 191,205,
239, 260, 261, 270, 440, 443, 490
- равнобочная 99, 102, 377, 450
Гиперболическая винтовая линия 29
Гипотрохоида 386
Гипоциклоида 366, 367, 371,375, 379, 381, 386,407
- четырехвершинная (см. Астроида)
- четырехугловая (см. Астроида)
Глобоидная винтовая линия 108
Двухфокусная кривая 116
Декарта лист 69, 452, 476
Замкнутая кривая с заданным числом осей симметрии
384
Кассини овалы 172
Коники 236, 462
Коническая винтовая линия 12, 59, 72
---с постоянным шагом 12
---одинакового ската 12
имя, то оно выносится на первое место.
- линия 240
- спираль (см. Коническая винтовая линия)
Контурные кривые элемента 370
Кривая второго порядка 32
Кривая сферическая (см. Сферическая линия)
Кривая четвертого порядка 106, 480, 488, 489
Кубика каспидальная (см. Нейля парабола) 54
- однородная 450
Ламе кривая 245, 383
— 3-го порядка 478
— 4-го порядка 479
- овалы 245, 383
Лемниската 321
Линии кривизны 7, 15
Линия геодезическая 7, 17, 48, 90, 110, 120, 264, 321
- одинакового ската 12, 196, 225, 357
- откоса 25, 44, 46, 48, 59, 202-207, 209
- постоянного угла наклона 48
- радиусов окружностей циклической поверхности 181
- пересечения кругового цилиндра и кругового конуса
43
- уровня 378
- центров образующих окружностей 181,209, 250-301
------переменного шага 193
Локсодрома 337
Меридиан 90, 123, 149
Нейля парабола 13, 54, 102, 167, 367, 381
Неоида 57,226
Обобщенный суперэллипс 384
Окружность 38, 82, 88, 108, 133, 136, 142, 143, 166, 172,
510
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Пространственные и плоские кривые)
181-185, 204, 213, 225-227, 232, 235, 250-301, 366, 371,
383,386,387,394, 422,462
- горловая 93,114
Парабола 24, 30, 33, 34, 36-40, 45, 52, 62, 77, 81, 85, 87,
96, 104, 113, 125, 136, 137, 139, 143, 145, 147, 152, 163,
174, 187,207,216,269,371,372,374, 375, 388, 397,415,
423, 429,436,442,454,455, 460,468, 469, 472, 475-477,
480,481,490
- биквадратная (см. Парабола четвертого порядка)
- кубическая 42, 160, 367, 376, 379, 450
- полукубическая (см. Ней ля парабола)
- четвертого порядка 37, 106, 114, 378, 397, 454
Параболы главные 442
- фокальные 260
Параллель 90, 149
- геодезическая 94
Паскаля улитка 94, 256
Пита Хейна суперэллипс 383
Псевдоверзиера 360, 361
Ребро возврата торсовой поверхности 18
Рулетта 127
Синусоида 71, 84, 100, 101, 111, 112, 137, 140, 146, 153,
160, 162-164, 167, 188, 190, 206, 272, 280, 285, 351,359,
380,388, 391
- круговая 363,
- обыкновенная 112
Спираль алгебраическая 56, 57
-гиперболическая 13, 56
- коническая 22,198-207, 266, 287
-логарифмическая 12, 13,26,56,59,72,76, 198-207,
213,266,278,279, 387
- параболическая 13,57
- Ферма 56
Суперэллипс 245, 383
- обобщенный 384
- Пита Хейна 383
Сферическая линия 8, 31, 72, 76, 157, 158, 214, 292, 334-
337 415,416
— одинакового ската 13
-локсодромия 13
Трактриса 13, 95, 186
Трехлистник пространственный 493
Трохоида 386
Уровня линии 378
Фейербаха круги 453
Ферма спираль 56
Цепная линия 13,46,55,83, НО, 125, 135, 156,310
Циклоида 13, 140, 155, 161, 162, 191,205,268, 364, 402,
428
- обыкновенная 94, 109
- удлиненная 364,386, 428
- укороченная 364, 386,428
Цилиндрическая винтовая линия 12
----одинакового ската 12, 44,277
----переменного шага 193-196, 228, 229, 274
----постоянного шага 78
- линия 240
Цилиндрически-коническая винтовая линия откоса 56
Штурма кривые 128
Эвольвента логарифмической спирали 26
-окружности 13,20, 44,58,71, 152-156, 178, 190, 207,
267, 405
Эквидистантная кривая по отношению к эвольвенте
круга 404
Эллипс 13, 35,39,41,47, 54,61, 66, 68, 88,98, 115, 138,
142, 143, 148, 160, 161, 163, 164, 168, 171, 173, 174,
184, 204, 216, 224, 231, 234, 260, 261, 271, 281, 282,
286, 368, 369, 373, 383,407,441-443,452, 460,469,473,
475, 476, 479, 490, 492
- горловой 440
Эпитрохоида 386
Эпициклоида 366, 371, 375, 379, 381, 386
511
РУССКО-, АНГЛИЙСКО-, ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ
РУССКО-, АНГЛИЙСКО-, ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ
ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ
Русский Английский Французский Немецкий
Абелева минимальная поверх- ность Abelian minimal surfaces Abelsche Minimalflachen
Алгебраическая геометрия algebraic geometry geometric f algebrique f algebraische Geometric f
алгебраическая поверхность algebraic surface surface f algebrique algebraische Flache f
аналитическая поверхность analytical surface surface f analitique Analytische Flache f
асимптота asymptote of the curve asymptote f Asymptote f
асимптотическая линия asymptotic line ligne f asymptotique Schmiegtangentkurve f
астроида astroid astroide f Astroide f
аффинно-минимальная поверхность affine minimal surface surface minimale affine Affinminimalflache f
аффинно-минимальные поверхности Томсена affine minimal surfaces of Thomsen surface minimale affine de Thomsen Die Affinminimalflachen von G. Thomsen
Башмачная поверхность shoe surface surface soulicve Schuhflache f
бинормаль binormal binormale f Binormale f
Богемский купол Bohemian dome Dome Bohemian
бутылка Клейна Klein bottle la bouteille de Klein
бутылка Уитни Whitney bottle la bouteille de Whitney
Вектор vector vecteur m Vektor m
велароидальная поверхность velaroidal surface surface velaroidale
вершина конуса vertex of a cone sommet m d’un cone Spitzef, Scheitel m
винт Архимеда Archimedes’ screw vis d’ Archimede Archimedische Schnecke
винтовая линия helix, coil helice f Schraubenlinie f
винтовая поверхность helical surface surface f helicoidale Schraubflache
винтовая трубчатая поверхность helical tubular surface surface f helicoidale tubulaire
винтовое движение screw motion mouvement m helicoidal schraubenformige Bewegtmg
винтовой коноид helical conoid cono'ide helicoidal
винтовой цилиндроид helical cylindroid cylindroide helicoidal
винт Штейнбаха Steinbach screw vis de Steinbach
волновая поверхность Фрешнела Fresnel’s elasticity surface surface ondulatoire de Fresnel
вторая основная квадратичная форма поверхности the second fundamental form of a surface seconde forme f quadratique fondamentale d’une surface zweite Fundamentalform f einer Flache
вытянутый эллипсоид вращения prolate spheroid ellipsoide m de revolution allonge langgestrecktes Rotationsellipsoid n
Гауссова кривизна поверхности the Gaussian (total) curvature of surface courbure/ de Gauss Gaupsche Kriimmung f
гексаэдр hexahedron hexaedre m Hexaeder n
геликоид Дини Dini’s surface helicoide Dini Dinische Helicoid n
географическая система криволинейных координат geographic system of curvilinear coordinates systeme geographique des coordoimees curvilignes
геодезическая кривизна geodesic curvature courbure f geodesique geodatische Kriimmung f
геодезическая линия geodesic line ligne geodesique geodatische Linie f
гипар hypar hypare
гипербола hyperbola hyperbole f Hyperbel m
512
РУССКО-, АНГЛИЙСКО-, ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ 11 КРИВЫХ
гиперболические координаты hyperbolic coordinates coordonnees f pl hyperboliques hyperbolische Koordinaten f pl
гиперболический геликоид hyperbolic helicoid helicoi'de hyperbolique hvperbolisches Helikoid
гиперболический параболоид (гипар) hyperbolic paraboloid paraboloide m hyperbolique hyperbolisches Paraboloid n
гиперболический торс hyperbolic developable surface surface developpable hyperbolique
гиперболический цилиндр hyperbolic cylinder cylindre m hyperbolique hyperbolischer Zylinder
гипоциклоида hypocycloid hypocycloi'de f Hypozykloide f
главная нормаль principal normal normale f principale Hauptnormale f
главная кривизна principal curvature courbure f principale Hauptkriimmung f
главные кривизны поверхности principal curvatures of the surface surface d’incurvation principale Hauptkriimmung f
гладкая кривая smooth curve courbe f lisse glatte Kurve f
глобоид globoid globoide Globoid
горловая окружность waist radius Kehlekreis f
горловой эллипс waist ellipse Kehleellipse f
Дважды линейчатая поверхность doubly ruled surface surface double reglee
двуполостный гиперболоид hyperboloid of two sheets hyperboloide m deux nappes zweischaliges Hyperboloid n
двуполостный гиперболоид вращения two-sheeted hyperboloid of revolution hyperboloide a deux nappes de rotation zweischaliges Drehhyperboloid n
декартовы координаты Cartesian coordinates coordonnees f pl cartesiennes kartesische Koordinaten/ pl
дифференциальная геометрия differential geometry geometric f differentielle Differentialgeometrie f
длина дуги arc length longueur f d’ un arc Bogenlange f
додекаэдр dodecahedron didecaedre m Dodekaeder n
Закрытый тор spindle torus; horn torus tore ferme geschlossener Torus tn
замкнутая пространственная кривая closed space curve courbe fermee gauche raumliche abgeschlossene Kurve
зонтик Картана Cartan umbrella parapluie de Cartan
зонтик Уитни Whitney umbrella parapluie de Whitney
зубная поверхность tooth surface
Изгибание bending deformation f Verbiegung f
изометрия isometry isometric f isometrische Abbildung
икосаэдр icosahedron icosaedre m Ikosaeder n
Каноническое уравнение поверхности the support function of the surface equation canonique de surface kanonische Gieichung einer Oberfache
каналовая поверхность Иоахимсталя canal surface of Joachimsthal surface canale de Joachimsthal
каплевидная поверхность drop shaped surface surface de la goute
касательная плоскость tangent plane plan m tangent Tangentialebene f
катеноид catenoid cateno'ide f Katenoide f
квадратичная поверхность quadric surface surface quadratique quadratische Flache f
класс class classe f Klasse f
конгруэнтность congruence congruence f Kongruenz f
коника conic conique
коническая винтовая линия conical helix, conic spiral spirals f conique konische Schraubenlinie
коническая кромка Уоллиса Wallis’s conical edge bord conique de Wallis
коническая поверхность вращения conic surface of revolution surface conique de revolution Drehkegelfiache f
513
17-5391
РУССКО-, АНГЛИЙСКО-, ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ
коническая спираль conical spiral spirale conique
конический геликоид одинакового ската conic helicoid of constant slope helicoi'de conique de pente constante
коноид conoid conoide m Konoid n, Konoidflache f
коноид Плюккера Pliicker conoid conoide Pliicker Pltickersches Konoid
конус cone cone m Kegel m
косой геликоид oblique helicoid helicoi'de m oblique
косой гипар oblique hypar hypare oblique
коэффициенты первой квадра- тичной формы поверхности coefficients of the first fundamental form of sur- face coefficients de premiere forme quadratique de surface
коэффициенты второй квадра- тичной формы поверхности coefficients of the second fundamental form of sur- face coefficients de deuxieme forme quadratique de surface
коэффициенты Ламе в теории поверхностей Lame’s coefficients in the surface theory coefficient de Lame a la theorie des surfaces
кратные линии multiple lines lignes multiples
крестообразный желоб crossed trough canal croix
кривая второго порядка (коника) quadratic curve, conic courbe de deuxieme orde, conique f Kurve zweiter Ordnung, Kegelschnitt m
кривая Ламе Lame’s curve courbe de Lame Lamesche Kurve f
кривая 3-го порядка cubic (curve) courbe d’ordre trois, cubique f Kurve dritter Ordnung, Kubik f
кривизна кривой curvature of the curve courbure f de la ligne Kriimmung der Kurve
криволинейные координаты на поверхности curvilinear coordinates on the surface coordonnees f pl curvilignes de la surface krummlinige Koordinaten f pl
круговая поверхность переноса circular translation surface surface de translation curculaire
круговой конус circular cone cone m a base circulate Kreiskegel m
круговой тор circular torus tore circulaire Kreistorus m
круговой цилиндр circular cylinder cylindre m de revolution Kreiszylider m, Drehzylinder m
куб cube cube m Wiirfel m
кубическая кривая(кубика) cubic curve (cubic) cubique f Kubik f
кручение кривой torsion of the curve courbe de torsion Schmiegung f einer Raumkurve
кубический торс cubic developable surface surface developpable cubique
кубоид cuboid cubo'ide m
Лемниската lemniscate lemniscate f Lemniskate f
линейчатая винтовая поверхность ruled helical surface Regelschraubflache f
линейчатая поверхность ruled surface surface f reglee Regelflache f
линия кривизны line of curvature ligne f de courbure Kriimmungslinie f
линия центров окружностей the line of centres of circles ligne des centres des cercles die Linie der Kreismittelpunkt
лист Мебиуса Mobius strip ruban m de Moebius Mobiussches Band n
логарифмическая спираль logarithmic spiral spirale f logarithmique logarithmische Spirale f
локон Аньези Agnesi curl boucle Agnesi
локсодрома loxodrome loxodromic f Loxodrome f
Меридиан meridian meridien m Meridian m
Меркаторова проекция the. Mercator parameteri- zation projection de Mercator
минимальная поверхность minimal surface surface / minimale Minimalflache f
514
РУССКО-, АНГЛИЙСКО- ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ
минимальная поверхность Бора Bout’s minimal surface surface minimale de Bour Bohrsche Minimalflache
минимальная поверхность Косты Costa minimal surface surface minimale de Costa
Минимальная поверхность Томсена Thomsen’s minimal surface surface minimale de Thomsen Thomsensche Minimalflache/; Minimalflache/ von G. Thomsen
минимальные поверхности со свободными границами minimal surfaces with free boundaries
многогранник polyhedron polyedre m Poiyeder n, Vielflach n
морская ракушка seashell Coquille f
Наклонная коническая поверхность oblique conic surface surface conique inclinee
наклонный цилиндр oblique cylinder cylindre incline
направляющая кривая directrix curve courbe guide Leitkurve /
начертательная геометрия descriptive geometry geometric f descriptive f darstellende Geometric /
непрерывный каркас прямоли- нейных образующих торса a continuous net of recti- linear generatrices of developable surface carcasse continue des generatrices rectilignes de surface developpable
нормальная плоскость пространственной кривой normal plane of space curve plan normal de courbe spatiale Normalebene f der raumlichen [Curve
нормальная циклическая поверхность normal cyclic surface surface normale cylindrique
Обезьянье седло monkey saddle celle de singe Affenstattel
обобщенный generalized generalise verallgemeinert
образующая окружность generating circle cercle gendratrice erzeugende des Kreislinie
обычная циклоида ordinary cycloid cycloi'de ordinnaire
однопараметрическое семейство плоскостей single-parametric system of planes famille des plans a un parametre
однополостный гиперболоид hyperboloid of one sheet hyperboloids m a une nappe einschaliges Hyperboloid n
однополостный гиперболоид вращения one-sheet hyperboloid of revolution hyperboloide de revolution a une nappe einschaliges Drehhyperboloid
окружность circle cercle m Kreislinie f
окружности Вилларсо cercles de Villarceau
октаэдр octahedron octaedre m Oktaeder n
омбилическая поверхность umbilical surface surface ombilique Nabelflache f
основание цилиндра base of cylinder cylindre de base
особая точка singular point point m singulier singularer Punkt m
ось axis axe m Achse f
ось абсцисс x-axis, abscissa axis axe d’abscisses Abszissenache /
ось аппликат z-axis, applicate axis axe de cotes, axe des Z Applikatenachse f
ось вращения rotation axis axe de rotation
ось ординат v-axis, ordinate axis axe d’ordonnees Ordinatenachse f
ось симметрии axis of symmetry axe m de symetrie Symmetrieachse f
открытый тор ring torus tore ouvert
Парабола parabola parabole f Parabel f
парабола Нейля Neil’s parabola parabole f de Neil Neilsche Parabel f
параболический велароид parabolic velaroidal surface surface velaro’idale parabolique
параболический коноид parabolic conoid conoide parabolique
параболоид вращения paraboloid of revolution paraboloide de revolution Rotationsparaboloid n
515
17'
РУССКО-, АНЕ ЛИЙСКО-, ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ
параболическая точка parabolic point point parabolique parabolischer Punkt
параболический торс parabolic developable surface surface developpable parabolique
параболический цилиндр parabolic cylinder cylindre m parabolique parabolischer Zylinder m
параллель parallel parallele Parallele f
параметрические уравнения поверхности parametric equations of surface equations parametrique de surface
пенка skin plau f
первая основная квадратичная форма поверхности the first fundamental form of a surface premiere forme quadratique fondamentale d’ une surface erste Fundamentalform f einer Flache
перекрученная лента twisting ribbon ruban force iiberdrehendes Band
Пиренейская поверхность Peninsula surface surface Peninsula
плоскость plane plan m Ebene f
площадь поверхности the surface area 1’aire de la surface
плужный отвал mouldboard versoir de charrue Haldenpflug m
поверхности Безье surfaces of Bezier surfaces de Bezier Bczier-Flachen
поверхности Блютеля Blutel's surfaces surfaces de Blutel Die Blutelschen Kegelschnittflachen
поверхности Бонне Bonnet surfaces surfaces d’ Ossian Bon- net
поверхности Вейнгартена Weingarten surfaces surfaces de Weingarten W - Flachen
поверхности Веронезе Veronese surfaces surfaces de Veronese
поверхности Каталана Catalan’s surfaces surfaces de Catalan Katalanischen Flachen
поверхности Петерсона Peterson surfaces surfaces de Peterson Petersonischen Flachen
поверхности Хакена Haken surfaces surfaces de Haken Hackenischen Flachen
поверхности Цицейки Tzitzeica’s surfaces surfaces de Tzitzeica
поверхности Эдлингера Edlinger’s surfaces surfaces d’ Edlinger der Edlinger - Flachen
поверхность Боя Boy surface surface f de Boy Boyische Flache
поверхность вращения surface of revolution surface f de revolution Rotationsflache f
поверхность вращения астроиды surface of revolution of astroid surface de revolution des astroides Rotationsflache der Astroide
поверхность вращения полуку- бической параболы the surface of revolution of semicubical parabola surface semi-cubique des paraboles de revolution Rotationsflache der semikubische Parabel
поверхность вращения циклоиды surface of revolution of cycloid surface de revolution cycloide Rotationsflache der Zykloide
поверхность второго порядка quadratic surface surface quadratique zweiten Grades Flache f
поверхность Гурса Goursat’s surface surface de Goursat Gurssche Flache
поверхность Дарбази Darbazi surface surface de Darbazi Daibazische Flache
поверхность дважды косого клина surface of a double oblique wedge surface d’un coin double- oblique
поверхность дважды косого цилиндра surface of a double oblique cylinder surface d’ un cylindre double- oblique
поверхность Зейферта Seifert surface surface de Seifert
поверхность Куммера Kummer surface surface de Kummer
поверхность Куена Kuen surface surface de Kuen
поверхность Кэли Cayley surface surface de Cayley Cayleyflache
поверхность косого клина surface of an oblique wedge surface d’un coin oblique
Поверхность «Кресло» “Chair" surface «Chaise»
поверхность Мебиуса Mobius surface surface de Moebius
поверхность Морэна Morin’s surface surface de Morin
поверхность косого цилиндра surface of an oblique cylinder surface d’un cylindre oblique
поверхность Мэнна Menn’s surface surface de Menn
поверхность одинакового ската surface of constant slope surface de pente constante
516
РУССКО-, АНГЛИЙСКО-, ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ
поверхность «Падающая капля» "Kiss surface”
поверхность «Платок» “Handkerchief surface”
поверхность прямого переноса translation surface surface de translation
поверхность пятого порядка quintic surface
поверхность Рембса Rembs’ surface surface de Rembs
поверхность «Рог изобилия» “Cornucopia” «Come d’Abondance»
Поверхность «Сердце» Heart surface surface «Coeur»
поверхность Сиверта Sievert’s surface surface de Sievert
поверхность Ханта Hunt's surface surface de Hunt
поверхность четвертого порядка quartic surface; the 4lh order surface surface quatrique
поверхность Шерка Scherk’s minimal surface surface minimale de Scherk Die Scherksche Minimalflache
поверхность Штейнера Steiner surface surface de Steiner Steiner Flache f
поверхность Эннепера Enneper’s surface surface d’ Enneper Die Ennepersche Minimalflache
полиномиальная функция polynomial function fonction polynomials Polynom m
полная минимальная поверх- ность complete minimal sur- face
полукубическая парабола semicubical parabola fcuspidal cubic) parabole f semi-cubique semikubische Parabel f
полуоси semi-axes demi-axes
полярная поверхность polar surface surface polaire Polflache f
полярные координаты polar coordinates coordonees f pl polaires polare Koordinaten f pl
правильный гиперболоид regular hyperboloid hyperboloide regulier
предметная плоскость object plane plan object Grundebene
призма prism prisme m Prisma n
призма усеченная truncated prism tronc m de prisme, prisme m tronque Prismenstumpf m
пролет оболочки span travee Feld
прямой геликоид right helicoid helicoi'de droit
прямой гипар right hypar hypare droit
прямой цилиндроид right cylindroid cylindroide droit
прямолинейная образующая rectilinear generatrix generatrice rectiligne
прямоугольные координаты orthogonal coordinates coordonnees f pl rectangulaires rechtwinklige Koordinaten f pl
псевдосфера pseudosphere, tractroid, tractrisoid pseudo-sphere f Pseudosphiire f
Радиус radius rayon m Radius m
радиус-вектор radius-vector rayon m vecteur Radiusvektor m
развертывающаяся поверхность developable surface surface f developable abwickelbare Flache f
развертывающийся геликоид open helicoid helicoi’de ouvert abwickelbare Helykoid
развертывающийся конический геликоид developable conic helicoid helicoi’de developpable conique abwickelbare Kegelhelikoid
развертка development developpement m entwickelte Flache f
ребро возврата cuspidal edge Г arete de rebroussement Gratlinie/, . Striktionslinie
регулярная поверхность regular surface surface reguliere
резная линейчатая поверхность Монжа Monge’s ruled surface surface reglee de Monge
резные поверхности Монжа двойной кривизны Monge’s surface of double curvature surfaces moulures Gesimsflachen
римская поверхность Roman surface surface romaine
517
РУССКО-, АНГЛИЙСКО-, ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ
рулетта roulette roulette f Rollkurve f
Седло Пеано Peano saddle celle de Peano
сеть переноса translation net
сжатый эллипсоид вращения oblate spheroid ellipsoide m de revolution aplati zusammengedriicktes Rotationsellip-soid n
синусовая поверхность sine surface surface sunicoidale
синусоида sine curve, sinusoid sinuso'ide f Sinuskurve f
скрещенный колпак Штейнера Steiner cross cap
соприкасающаяся плоскость osculating plane plan m osculateur Schmiegungsebene f
сопряженные криволинейные координаты conjugate curvilinear coordinates coordonnees curvilignes conjuguees
спираль Архимеда spiral of Archimedes spirale f d’Archimede Archimedische Spirale f
спиральная поверхность spiral surface Spiralflache
сплющенный эллипсоид вращения oblate ellipsoid of revolution ellipsoide m de revolution aplati zusammengedriicktes Rotationsellipsoid n
спрямляющая плоскость rectifying plane. plan m rectifiant rektifizierende Ebene f
срединная поверхность оболочки middle surface of a shell surface moyenne d’ une enveloppe Schalenmittelflache f
средняя кривизна поверхности the mean curvature of surface courbure f moyenne mittlere Kriimmung f der Flache
стрела подъема rise fleche, mon tee d’enveloppe Pleilhohe f
сфера sphere sphere f S phare f
сферические координаты spherical coordinates coordonnees f pl spherique Kugelkoordinaten f pl
сфероид spheroid spheroide m Spharoid, Rotationsellipsoid
Тетраэдр tetrahedron tetraedre m Tetraeder n
тор torus tore m Torus m
тороид toroid toroide m Toroid n
торс developable surface surface developpable Torse
торс 4-го порядка the forth order developable surface surface developpable de 4-eme ordre
точка возврата первого рода the first type cuspidal point point m de rebroussement Riickkehrpunkt m, erster Art
точка на бесконечности a point at infinity point m a 1’infini Fernpunkt m
точка пинча pinch point point de pinch
трактриса tractrix tractrice f Traktrix f
трактроид tractroid tractroide m
трехосный эллипсоид triaxial ellipsoid ellipsoide triaxiale
триноид trinoid trinoide m
трохоида trochoid, trocoide f Trochoide f
трубчатая поверхность tubular surface, tube surface tubulaire Rohrenflache f
Угол angle angle m Winkel m
улитка Паскаля limapon of Pascal limacon m de Pascal Pascalsche Schnecke f
ундулоид unduloid Unduloid
уравнение в неявной форме implicit equation equation f implicite implizite Gleichung f
уравнение в явной форме explicit equation equation f explicite explizite Gleichung f
усеченный конус truncated cone; conical frustum tronc m de cone Kegelstupf m
условие единственности торсовой поверхности condition of uniqueness of the developable sur- face condition d’unicite de surface developpable
518
РУССКО-, АНГЛИЙСКО-, ФРАНЦУЗСКО-, НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ И КРИВЫХ
условие торсовости necessary condition for the developable surface condition necessaire pour la surface developpable
Фигура figure, configuration figure f Figur f
формула formula formule f Formel f
функция function fonction f Funktion f
Хорда chord corde f Sehne f
Цепная линия catenary catenaire f Kettenlinie f
циклида с тройной точкой cyclide with a triple point cyclide avec le triple point
циклиды Дюпена Dupin’ s cyclides cyclide de Dupin
циклическая поверхность cyclic surface surface cyclique
циклоида cycloid cycloide f Zykloide f
цилиндрическая винтовая линия cjrcular helix, cylindrical helix helice/ cylindrique gemeine Schraubenlinie f
цилиндрическая винтовая полоса cylindrical helical strip barre cylindrique helicale
цилиндрическая линейчатая ротативная улитка cylindrical ruled rotational limacon limacon cylindique regie rotational
цилиндр cylinder cylindre m Zylinder m
цилиндрическая поверхность cylindrical surface surface f cylindrique Zylinderflache f
цилиндрическая поверхность вращения cylindrical surface of revolution surface de revolution cylindrique
цилиндрические координаты cylindrical coordinates coordonnees f pl cylindriques zylindrische Koordinaten f pl
цилиндроид cylindroid cylinroi'de n Zylindroid n
Чебышевская сеть на поверхности Tchebychefs net on the surface
Шар ball, solid sphere boule f Kugel m
шутовской колпак dunce hat bonnet de bouffon
Эвольвента окружности evolvent of the circle evolvente f circulate Evolvente f
эвольвентный геликоид evolvent helicoid helicoi'de d’evolvente
эллипс ellipse ellipse f Ellipse f
эллипсоид вращения spheroid (ellipsoid of revolution) ellipsoi'de m de revolution Rotationsellipsoid n, Drehellipsoid
эллиптический велароид elliptic velaroidal surface surface elliptique velaroidale
эллиптический геликоид elliptic helicoid helicoi’de elliptique
эллиптический конус elliptic cone cone elliptique
эллиптический параболоид elliptic paraboloid paraboloide m elliptique elliptisches Paraboloid n
эллиптический цилиндр elliptic cylinder cylindre m elliptique elliptischer Zylinder m
эпитрохоида epitrohoide
эпитрохоидальная поверхность surface epitrohoide
эпициклоида epicycloid epicycloide f Epizykloide f
Яйцо Дунса Duns egg oeuf de Duns
519
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
СОДЕРЖАНИЕ
(ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ)
• От авторов............................3
• Как пользоваться справочником........4
• Плоскость..........................5-6
• Поверхности........................7-8
• Выборка основных формул по дифференциальной
геометрии пространственных кривых и
поверхностей...........................9-15
• ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 16
• ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 17
• ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ (ТОРСЫ).......18
• Литература по геометрии и расчету оболочек,
очерченных по торсовым поверхностям............19
• Развертывающийся (эвольвентный) геликоид.20
• Резная линейчатая поверхность Монжа с круговой
цилиндрической направляющей поверхностью...21
• Развертывающийся конический геликоид.22
• Развертывающийся геликоид с ребром возврата
на параболоиде вращения....................23
• Параболический торс..................24
• Торс с ребром возврата на эллипсоиде вращения...25
• Торс с ребром возврата на однополостном гипер-
болоиде вращения...........................25
• Торс с ребром возврата, заданном в виде
х = e'cosr; у = e'sinz, z = е‘.............26
• Торс с ребром возврата x = v-v3/3; у = v2;
z = a(v + v3/3)............................27
• Торс с ребром возврата в форме линии пересечения
двух цилиндров с перпендикулярными осями.......28
• Торс с ребром возврата в виде гиперболической
винтовой линии.............................29
• Торс с заданной линией кривизны в форме
параболы второго порядка.......................30
• Торс с образующими прямыми, лежащими в нор-
мальных плоскостях сферической кривой..........31
Развертывающаяся винтообразная поверхность с
углами наклона прямых образующих от 0“ до 90°(см.
«Винтообразные поверхности»)
Линейчатая коническая улитка вращения (см. «Рез-
ные поверхности»)
• Торсовые поверхности с двумя плоскими
направляющими кривыми...................32
• Торс с двумя параболами, оси которых
пересекаются................................33
• Торс с двумя параболами, лежащими в пересекаю-
щихся плоскостях, ио с параллельными осями..34
• Торс с двумя эллипсами, лежащими в параллельных
плоскостях, и с параллельными осями.........35
• Торс с двумя параболами, имеющими общую ось,
но лежащими в пересекающихся плоскостях.......36
• Торс с двумя параболами второго и четвертого
порядка, лежащими в параллельных плоскостях, и
с параллельными осями.........................37
• Торс с параболой и окружностью в параллельных
плоскостях....................................38
• Торс с параболой и эллипсом в параллельных
плоскостях....................................39
• Торс с гиперболой и параболой в параллельных
плоскостях....................................40
• Торс с двумя эллипсами, лежащими во взаимно
перпендикулярных плоскостях, оси которых
совпадают с координатными осями...............41
• Торс с двумя кубическими параболами в
параллельных плоскостях.......................42
Торс с двумя параболами, которые лежат во
взаимно перпендикулярных плоскостях, а вершины
расположены на одной координатной оси (см.
«Параболический торс»)
• Торсовые поверхности 3 и 4-го порядков.43
• Торс с ребром возврата в виде линии пересечения
кругового цилиндра и кругового конуса........43
Параболический торс (см. «Торсовые поверхности
(торсы)»)
• Поверхности одинакового ската....44
• Торс одинакового ската с направляющей
параболой...................................45
• Торс одинакового ската с направляющей цепной
линией......................................46
• Торс одинакового ската с ребром возврата на одно-
полостном гиперболоиде вращения.............46
• Торс одинакового ската с направляющим
эллипсом....................................47
Торс одинакового ската с направляющей кривой в
форме эвольвенты окружности (см. «Развертывающий-
ся (эвольвентный) геликоид» и <<Резная линейчатая по-
верхность Монжа с круговой цилиндрической направ-
ляющей поверхностью»)
Конический геликоид одинакового ската (см. «Раз-
вертывающийся конический геликоид» и «Торс с реб-
ром возврата, заданном в виде x = e 'cosz; y = e'sinz,
Z = е‘»)
Поверхность одинакового ската с ребром возврата
на параболоиде вращения (см. «Развертывающийся ге-
ликоид с ребром возврата на параболоиде вращения»)
Поверхность одинакового ската с направляющей
окружностью (см. «Коническая поверхность враще-
ния»)
Поверхность одинакового ската с ребром возврата
х = v - г3/3; у = г2; г = а(у + т3/3) (см. «Торс с ребром
520
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
возврата л = v - v3/3; у = z = а(у + v3/3)»)
Торс с ребром возврата на эллипсоиде вращения
(см. «Торсовые поверхности (торсы))»
• ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ........48
• Цилиндрические поверхности, представленные в
справочнике..................................49
• Цилиндрическая винтовая полоса..........50
• Эллиптический цилиндр...................51
• Параболический цилиндр..................52
• Гиперболический цилиндр.................53
• Прямая цилиндрическая поверхность с
полукубической параболой в сечении............54
• Прямая астроидальная цилиндрическая
поверхность................................. 54
• Прямой цилиндр с направляющей цепной линией.55
• Прямой цилиндр с направляющей
логарифмической спиралью.....................56
• Прямой цилиндр с направляющей
гиперболической спиралью......................56
• Прямой цилиндр с направляющей спиралью
Ферма.........................................57
• Прямой цилиндр с направляющей спиралью
Архимеда.....................................57
• Поверхность цилиндрического гибкого бункера
для хранения сыпучих материалов............. 58
• Эвольвентная цилиндрическая поверхность.58
• Цилиндро - коническая винтовая полоса...59
• Наклонный круговой цилиндр..............60
• Наклонный эллиптический цилиндр.........61
• Наклонный параболический цилиндр........62
• Наклонный гиперболический цилиндр.......63
Цилиндрическая поверхность вращения (см.
«Поверхности второго порядка»)
Прямая волновая цилиндрическая поверхность
(см. «Волнообразные поверхности»)
Эллиптический цилиндр с двумя направляющими
окружностями во взаимно перпендикулярных плоско-
стях (см. «Цилиндроид с двумя направляющими ок-
ружностями во взаимно перпендикулярных плоско-
стях»)
Эпициклоидный цилиндр (см. «Ротативные поверх-
ности с аксоидами «цилиндр - цилиндр»»)
Гипоциклоидный цилиндр (см. «Ротативные по-
верхности с аксоидами «цилиндр - цилиндр»»)
Цилиндрическая винтовая полоса переменного
шага (см. «Винтовые поверхности переменного шага»)
Синусоидальная цилиндрическая поверхность (см.
«Волнообразные поверхности»)
Цилиндро - сферическая спиралевидная полоса
(см. «Спиралевидные поверхности»)
Цилиндрическая винтовая полоса с наперед задан-
ными углами наклона касательных в начале и конце
направляющей цилиндрической винтовой линии пере-
менного шага (см. «Винтовые поверхности переменно-
го шага»)
Специальные профили цилиндрических изделий
(см. «Специальные профили цилиндрических изделий»)
• КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ...............64
• Конические поверхности, представленные в спра-
вочнике........................................65
• Эллиптическая коническая поверхность......66
• Наклонная круговая коническая поверхность.67
> Наклонная эллиптическая коническая
поверхность.................................. 68
• Коническая поверхность с направляющей кривой
в форме аньезианы..............................69
• Коническая поверхность с направляющей кривой в
форме листа Декарта............................69
• Гиперболическая коническая поверхность....70
• Прямая коническая поверхность с плоской направ-
ляющей кривой в форме круговой синусоиды.......71
• Эвольвентная коническая поверхность.......71
Спиральная коническая полоса..............72
• Коническая поверхность с направляющей линией
на сфере.......................................72
Коническая поверхность вращения (см. «Поверхно-
сти второго порядка»)
Параболическая коническая поверхность (см. «По-
верхности второго порядка»)
Прямая коническая синусоидальная волновая по-
верхность (см. «Волнообразные поверхности»)
Волнистая коническая поверхность в линиях
кривизн с внутренней вершиной (см. «Волнообразные
поверхности»)
Ротативная поверхность с аксоидами «конус - ко-
нус», образованная прямой, проходящей через общую
вершину аксоидов (см. «Ротативные поверхности с ак-
соидами «конус - конус»»)
Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость -
конус», образованная прямой, проходящей через вер-
шину подвижного конуса (см. «Ротативные поверхно-
сти с аксоидами «плоскость - конус»»)
Линейчатая коническая улитка вращения (см. «Рез-
ные поверхности Монжа с конической направляющей
поверхностью»)
Сотовая коническая поверхность (см. «Волнообраз-
ные поверхности»)
• ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ
КРИВИЗНЫ..............73
• Литература по геометрии и расчету оболочек,
очерченных по линейчатым поверхностям отрицатель-
ной гауссовой кривизны.............. 74
• Косой геликоид....................75
• Линейчатая поверхность с прямыми
образующими, проходящими через логарифмическую
спираль и пересекающими фиксированную ось под
постоянным углом......................76
• Сферический геликоид..............76
Прямой геликоид (см. «Минимальные поверхно-
сти»)
Однополостный гиперболоид (см. «Поверхности
второго порядка»)
521
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
Однополостный гиперболоид вращения (см.
«Поверхности вращения»)
Конволютный геликоид (см. «Линейчатые винтовые
поверхности»)
Винтовая поверхность, образованная бинормалями
цилиндрической винтовой линии (см. «Линейчатые
винтовые поверхности»)
Линейчатая поверхность траектории движения пря-
мых образующих торса-геликоида при его параболиче-
ском изгибании (см. «Спиралевидные поверхности»)
Спиральная поверхность с прямыми образующими
в плоскостях пучка (см. «Спиральные поверхности»)
Линейчатые ротативные поверхности отрицатель-
ной гауссовой кривизны (см. «Ротативные поверхно-
сти»)
Поверхности Эдлингера (см. «Поверхности Эдлин-
гера»)
Линейчатые спироидальные поверхности отрица-
тельной гауссовой кривизны (см. «Спироидальные по-
верхности»)
Спироидальные линейчатые поверхности Рачков-
ской - Харабаева (см. «Спироидальные поверхности»)
Винтообразная предварительно закрученная
полоса (см. «Винтообразные поверхности»)
Линейчатая поверхность Скидана (см. «Волнооб-
разные поверхности»)
• ПОВЕРХНОСТИ КАТАЛАНА............77
• Зонтик Уитни (зонтик Картана).........77
• Псевдо-развертывающийся геликоид.....78
• Линейчатый роторный цилиндроид........79
Гиперболический параболоид (см. «Поверхности
второго порядка»)
Седло в барабане (см. «Седловые поверхности»)
Эллиптический геликоид (см. «Винтообразные
поверхности»)
Поверхность Кэли (см. «Поверхности переноса»)
Кубическая поверхность + xy + z = 0 (см. «Ал-
гебраические поверхности третьего порядка»)
Спиральная линейчатая поверхность с прямой
образующей, перпендикулярной к оси направляющей
конической спирали и к касательной этой же спирали
(см. «Спиральные поверхности»)
Прямая геликоидальная поверхность с переменным
шагом (см. «Винтовые поверхности переменного ша-
га»)
Псевдоразвертывающаяся винтообразная поверх-
ность с переменным шагом (см. «Винтообразные по-
верхности»)
Прямой сферический геликоид (см. «Сферический
геликоид»)
Прямой волнистый геликоид (см. «Волнообразные
поверхности»)
• Коноиды.................80
Прямой винтовой коноид (см. «Прямой геликоид»)
Непрерывно-топографическая линейчатая поверх-
ность с распределяющим эллипсом (см. «Непрерывно-
топографические и топографические поверхности»)
• Параболической коноид.................81
• Коноид с направляющей окружностью.....82
• Коноид с направляющей цепной линией...83
• Прямой синусоидальный коноид..........84
• Прямой коноид с направляющей параболой, ось
которой параллельна оси коноида.......... 85
• Коноид Плюккера.......................86
• Коническая кромка Уоллиса.............86
• Цилиндроиды..............87
Цилиндроид Болла (см. «Краткая информация об
именных поверхностях, не вошедших в основное со-
держание справочника»)
• Цилиндроид с двумя направляющими
эллипсами....................................88
• Цилиндроид с двумя направляющими окружностя-
ми во взаимно перпендикулярных плоскостях....88
• ДВАЖДЫ КОСЫЕ ЦИЛИНДРОИДЫ............89
• Дважды косой трохоидный цилиндроид.......89
• ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 90
• Поверхности вращения, представленные в
справочнике...............................91-92
• Однополостный гиперболоид вращения......93
• Обтекатель циклоидального типа..........94
• Псевдосфера.............................95
• Параболоид вращения.....................96
• Круговой тор............................97
• Эллиптический тор.......................98
• Двуполостный гиперболоид вращения.......99
• Поверхность сопряжения двух соосных цилиндров
разных диаметров............................100
• Поверхность сопряжения соосных цилиндра и
конуса......................................101
• Поверхность, образуемая вращением меридиана
в форме полукубической параболы.............102
• Поверхность вращения гиперболы z = b/х вокруг
оси Oz......................................102
• Поверхность вращения астроиды..........103
• Поверхность вращения локона Аньези.....103
• Поверхность вращения параболы..........104
• Параболо - логарифмическая поверхность
вращения................................... 105
• Гиперболо - логарифмическая поверхность
вращения....................................105
• Параболоид вращения четвертого порядка.106
• Поверхность вращения с затухающими
окружными волнами...........................107
• Поверхность вращения «Падающая капля»..107
• Глобоид (тороид).......................108
• Поверхность вращения обычной циклоиды..109
• Псевдокатеноид.........................110
• Поверхность вращения «Груша»...........110
• Поверхность вращения общей синусоиды...111
• Гофрированная поверхность вращения общей
522
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
синусоиды.................................112
• Поверхность вращения параболы общего
положения.................................113
• Поверхность вращения биквадратной параболы..114
• Эллипсоид вращения..................115
• Поверхность вращения «Динь-дон».....116
• Поверхность вращения «Восьмерка»....116
• Поверхность вращения «Яйцо».........116
Сферическая поверхность (сфера) (см. «Поверхно-
сти постоянной положительной гауссовой кривизны»)
Цилиндрическая поверхность вращения (см. «По-
верхности второго порядка»)
Коническая поверхность вращения (см. «Поверхно-
сти второго порядка»)
Катеноид (см. «Минимальные поверхности»)
Трактроид (антисфера, трактрисоид) (см.
«Псевдосфера»)
Поверхность вращения наклонной синусоиды (см.
«Винтовая поверхность с синусоидальной образую-
щей»)
Поверхность вращения, заданная гармонической
функцией z = 1п[х2 + у2]|/2 (см. «Поверхности, задавае-
мые гармоническими функциями»)
Циклоидальный тор (см. «Винтовая поверхность с
образующей циклоидой»)
Поверхность вращения эвольвенты круга (см. «Вин-
товая поверхность с образующей в виде эвольвенты
круга»)
Поверхность вращения гиперболы общего положе-
ния (см. «Винтовая поверхность с образующей кривой
в виде гиперболы»)
Поверхность вращения аньезианы (см. «Алгебраи-
ческие поверхности шестого порядка»)
Циклические поверхности вращения (см. «Цикличе-
ские поверхности»)
• Литература по расчету оболочек, очерченных по
поверхностям вращения....................117
• СРЕДИННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ДНИЩ ОБОЛО-
ЧЕК ВРАЩЕНИЯ, ОБРАЗОВАННЫХ НАМОТКОЙ
ОДНОГО СЕМЕЙСТВА НИТЕЙ ПО ЛИНИЯМ
ПРЕДЕЛЬНОГО ОТКЛОНЕНИЯ....................118
• Срединные поверхности днищ оболочек вращения,
полученных плоскостной намоткой нитей....! 19
• Срединная поверхность днищ оболочки вращения,
образованных намоткой нитей по геодезическим
линиям...................................120
• СРЕДИННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ.121
• Поверхности вращения с геометрически оптималь-
ной стрелой подъема.......................122
• Срединная поверхность безызгибной оболочки
вращения при равномерном давлении.........123
• ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ С
ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ 124
Круговой тор (см. «Поверхности вращения»)
• Поверхность катеноидного тала.......125
• Пенка...............................126
• ПОВЕРХНОСТИ ДЕЛОНЕ..........127
Катеноид (см. «Минимальные поверхности»)
Сферическая поверхность (сфера) (см. «Поверхно-
сти постоянной положительной гауссовой кривизны»)
Цилиндрическая поверхность вращения (см. «По-
верхности вращения»)
• Нодондные и ундулоидные поверхности
вращения...........................128
• Нодоидная поверхность, соединяющая два
круговых конуса.........................129
• ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА во
• Поверхности прямого переноса, представленные
в справочнике...........................131
• ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОГО ПЕРЕНОСА. 132
Цилиндрические поверхности (см. «Цилиндриче-
ские поверхности, представленные в энциклопедии»)
Параболоид вращения (см. «Поверхности враще-
ния»)
Эллиптический параболоид (см. «Поверхности
второго порядка»)
Гиперболический параболоид (см. «Поверхности
второго порядка»)
Поверхность Шерка (первая) (см. «Минимальные
поверхности»)
Поверхность переноса окружности по синусоиде
(см. «Циклические поверхности с плоскостью паралле-
лелизма»)
Поверхность переноса окружности по эллипсу (см.
«Циклические поверхности с плоскостью параллеле-
лизма»)
• Круговая поверхность переноса...........133
• Поверхность Кэли....................... 134
• Поверхность переноса цепной линии
по цепной....................................135
• Поверхность переноса окружности
по параболе................................. 136
• Поверхность переноса синусоиды по параболе ...137
• Эллиптическая поверхность переноса..... 138
• Башмачная поверхность...................139
• Поверхность переноса параболы по гиперболе....139
• Поверхность переноса синусоиды по синусоиде.. 140
• Циклоидальная поверхность переноса......140
• Литература по геометрии и расчету оболочек,
очерченных по поверхностям прямого переноса...141
• Поверхности переноса с конгруэнтными
образующими и направляющими кривыми . 142
Параболоид вращения (см. «Поверхности враще-
ния»)
Бикруговая поверхность переноса (см. «Круговая
поверхность переноса»)
523
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
Бицепная поверхность переноса (см. «Поверхность
переноса цепной линии по цепной»)
Биэллиптическая поверхность переноса (см. «Эл-
липтическая поверхность переноса»)
Бикосинусоидальная поверхность переноса(см.
«Поверхности конгруэнтных сечений»)
Бициклоидальная поверхность переноса (см. «Цик-
лоидальная поверхность переноса»)
Биполукубическая поверхность переноса (см. «По-
верхности конгруэнтных сечений»)
Литература по геометрии поверхностей переноса с
конгруэнтными образующими и направляющими кри-
выми (см. в разделе «Поверхности конгруэнтных сече-
ний»)
• ПОВЕРХНОСТИ
ДИАГОНАЛЬНОГО ПЕРЕНОСА............143
• Диагональная круговая поверхность
переноса Волкова.......................... 144
• Диагональная параболическая поверхность
переноса....................................145
Диагональная косинусоидальная поверхность пере-
носа (см. «Бикосинусоидальная поверхность переноса»)
• ВЕЛАРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ........146
• Синусоидальный велароид............146
• Параболический велароид............147
• Эллиптический велароид.............148
• РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 149
• Резные поверхности, представленные в
справочнике............................150
Трубчатые поверхности (см. «Нормальные цикли-
ческие поверхности»)
• Резные поверхности Монжа с круговой цилиндри-
ческой направляющей поверхностью.....151
Резная линейчатая поверхность Монжа с круговой
цилиндрической направляющей поверхностью (см.
«Торсовые поверхности (торсы)»)
Резная поверхность Монжа с цилиндрической на-
правляющей поверхностью и меридианом в виде ок-
ружности (см. «Трубчатая поверхность с плоской ли-
нией центров в форме эвольвенты круга»)
• Резная поверхность Монжа с цилиндрической
направляющей поверхностью и параболическим
меридианом.................................152
• Резная поверхность Монжа с цилиндрической
направляющей поверхностью и синусоидой в
качестве меридиана.........................153
• Резная поверхность Монжа с цилиндрической
направляющей поверхностью и меридианом в форме
гиперболы..................................154
• Резная поверхность Монжа с цилиндрической
направляющей поверхностью и меридианом в форме
циклоиды...................................155
• Резная поверхность Монжа с цилиндрической на-
правляющей поверхностью и меридианом в виде цеп-
ной линии...................................156
• Резные поверхности Монжа с конической
направляющей поверхностью............157
• Линейчатая коническая улитка вращения..158
• Резные поверхности общего вида.....159
• Резная синусоидальная поверхность.......160
• Резная поверхность с направляющей кубической
параболой и образующим эллипсом........... 160
• Резная поверхность с направляющей циклоидой и
образующим эллипсом.........................161
• Резная поверхность с направляющей синусоидой
и образующей циклоидой......................162
• Резная поверхность с направляющей синусоидой
и образующей параболой......................163
• Резная поверхность с направляющим эллипсом и
образующей параболой........................ 163
• Резная поверхность с направляющей синусоидой
и образующим эллипсом.......................164
• Резная поверхность с направляющим эллипсом и
образующей синусоидой.......................164
• Литература по геометрии, применению и расчету
оболочек, очерченных по резным поверхностям.165
• ПОВЕРХНОСТИ
КОНГРУЭНТНЫХ СЕЧЕНИЙ 166
Кинематические поверхности общего вида (см.
«Кинематические поверхности общего вида»)
Резные поверхности (см. «Резные поверхности»)
Винтовые поверхности (см. «Винтовые поверхно-
сти»)
Поверхности переноса с конгруэнтными образую-
щими и направляющими кривыми (см. «Поверхности
переноса»)
Трубчатые поверхности (см. «Нормальные цик-
лические поверхности»)
Циклические поверхности вращения (см. «Цикличе-
ские поверхности»)
Синусоидальный геликоид (см. «Волнообразные,
волнистые и гофртрованные поверхности»)
• Бикосинусоидальная поверхность переноса.167
• Биполукубическая поверхность переноса...167
• Закрученная поверхность с конгруэнтными
эллипсами в параллельных плоскостях.........168
• Литература по геометрии, применению и расчету
оболочек, очерченных по поверхностям конгруэнтных
сечений.....................................169
• НЕПРЕРЫВНО-ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ И
ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 170
Поверхности вращения (см. «Поверхности враще-
ния»)
Поверхности прямого переноса (см. «Поверхности
переноса»)
524
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
Циклические поверхности с плоскостью паралле-
лизма (см. «Циклические поверхности»)
Поверхности Каталана (см. «Линейчатые поверхно-
сти отрицательной гауссовой кривизны»)
• Топографическая поверхность с заданными
эллиптическими сечениями..................171
• Непрерывно-топографическая поверхность
Кассини...................................172
• Непрерывно-топографическая линейчатая поверх-
ность с распределяющим эллипсом...........173
• Аэрогидродинамические поверхности, заданные
алгебраическими плоскими кривыми..........174
• Аэрогидродинамнческая поверхность, заданная
непрерывным каркасом эллиптических шпангоутов,.174
• Аэрогидродинамнческая поверхность, заданная
непрерывным каркасом ватерлинией в форме
обобщенных аньезиан.......................174
• Аэрогидродинамические поверхности с непрерыв-
ным каркасом плоских кривых, представленные в спра-
вочнике...................................175
Аэрогидродинамические поверхности с непрерыв-
ным каркасом плоских кривых (см. «Алгебраические
поверхности выше второго порядка»)
• ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 176
ОБЫКНОВЕННЫЕ ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
• Обыкновенные винтовые поверхности,
представленные в справочнике................177
• Линейчатые винтовые поверхности.....178
Прямой геликоид (см. «Минимальные поверхно-
сти»)
Косой геликоид (см. «Линейчатые поверхности
отрицательной гауссовой кривизны»)
Развертывающийся (эвольвентный) геликоид (см.
«Торсовые поверхности (торсы)»)
Псевдо-развертывающийся геликоид (см. «Линей-
чатые поверхности отрицательной гауссовой кривиз-
ны»)
Цилиндрическая винтовая полоса (см. «Цилиндри-
ческие поверхности»)
Винтовая поверхность, образованная главными
нормалями цилиндрической винтовой линии (см.
«Прямой геликоид»)
Винтовая поверхность, образованная касательными
цилиндрической винтовой линии (см. «Развертываю-
щийся (эвольвентный геликоид)»)
• Конволютный геликоид.....................179
• Винтовая поверхность, образованная
бинормалями цилиндрической винтовой линии....180
* Круговые винтовые поверхности....181
• Круговая винтовая поверхность с образующей
окружностью, лежащей в плоскости, которая
проходит через винтовую ось...................182
• Трубчатая винтовая поверхность...........183
• Прямая круговая винтовая поверхность....184
• Круговая винтовая поверхность с образующей ок-
ружностью, лежащей в соприкасающейся плоскости
винтовой линии центров окружностей...........185
Поверхность святого Ильи (см. «Циклические по-
верхности с окружностями в плоскостях пучка»)
Поверхность винтового столба (см. «Циклические
поверхности с плоскостью параллелизма»)
Винтовая предварительно закрученная поверхность
кругового поперечного сечения (см. «Винтообразные
предварительно закрученные поверхности с плоской
образующей кривой» и «Трубчатая винтовая поверх-
ность»)
Винтовая закрученная поверхность с окружностями
в плоскостях пучка (см. «Винтообразные поверхности»)
• Винтовые поверхности с произвольными
плоскими образующими кривыми......186
• Геликоид Дини..........................186
• Винтовая поверхность с параболической
образующей общего положения................187
• Винтовая поверхность с синусоидальной
образующей.................................188
• Винтовая поверхность с образующим эллипсом..! 89
• Винтовая синусоидальная полоса.........190
• Винтовая поверхность с образующей кривой
в виде эвольвенты круга....................190
• Винтовая поверхность с образующей
циклоидой..................................191
• Винтовая поверхность с образующей кривой
в виде гиперболы...........................191
• ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПЕРЕМЕННОГО ШАГА.............192
• Винтовые поверхности переменного шага,
представленные в справочнике..............193
• Циклическая винтовая поверхность с наперед за-
данными углами наклона касательных в начале и
конце цилиндрической винтовой линии центров пере-
менного шага...............................193
• Цилиндрическая винтовая полоса переменного
шага 194
• Прямая геликоидальная поверхность с переменным
шагом......................................194
• Циклическая винтовая поверхность с линией
центров переменного шага..................195
• Цилиндрическая винтовая полоса с наперед задан-
ными углами наклона касательных в начале и конце
направляющей цилиндрической винтовой линии пере-
менного шага..............................196
• Литература по применению и расчету оболочек,
очерченных по винтовым поверхностям.......197
«СПИРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ш
• Спиральные поверхности, представленные в
справочнике.............................. 199
525
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
• Литература по геометрии, применению и расчету
оболочек, очерченных по спиральным и спиралевид-
ным поверхностям............................200
Цилиндроконическая винтовая полоса (см. «Цилин-
дрические поверхности»)
Спиральная коническая полоса (см. «Конические
поверхности»)
Развертывающийся конический геликоид (см. «Тор-
совые поверхности (торсы)»)
Торс с ребром возврата, заданном в виде х = е' cost;
у = e'sinr, z = е' (см. «Торсовые поверхности (торсы)»)
Прямая круговая спиральная поверхность (см.
«Циклические поверхности с плоскостью параллеле-
лизма»)
Круговая спиральная поверхность с образующей
окружностью постоянного радиуса, лежащей в плоско-
стях пучка (см. «Циклические поверхности с окружно-
стями в плоскостях пучка»)
Трубчатая спиральная поверхность (см. «Нормаль-
ные циклические поверхности»)
Циклическая поверхность с образующей окружно-
стью в плоскостях пучка и с плоской линией центров в
виде логарифмической спирали (см. «Циклические по-
верхности с окружностями в плоскостях пучка»)
Прямой цилиндр с направляющей логарифмичес-
кой спиралью (см. «Цилиндрические поверхности»)
Линейчатая поверхность с прямыми образующими,
проходящими через логарифмическую спираль и пере-
секающими фиксированную ось под постоянным
углом (см. «Линейчатые поверхности отрицательной
гауссовой кривизны»)
• Спиральная линейчатая поверхность с прямой
образующей, перпендикулярной к оси направляющей
конической спирали и к касательной этой же
спирали.....................................201
• Спиральная поверхность с прямыми образующими
в плоскостях пучка..........................202
• Спиральная поверхность с параболической
образующей общего положения.................203
• Спиральная поверхность с образующим
эллипсом....................................204
• Спиральная поверхность с гиперболической
образующей..................................205
• Спиральная поверхность с образующей в форме
циклоиды....................................205
• Спиральная поверхность с синусоидальной
образующей..................................206
• Спиральная поверхность с образующей в форме
эвольвенты круга............................207
• Спиральная поверхность с направляющей
логарифмической спиралью и параболической
образующей..................................207
• СПИРАЛЕВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
• Спиралевидные поверхности, представленные в
справочнике.............................208-209
Литература по геометрии, применению и расчету
оболочек, очерченных по спиральным и спиралевид-
ным поверхностям (см. «Спиральные поверхности»)
Развертывающийся геликоид с ребром возврата на
параболоиде вращения (см. «Линейчатые поверхности
нулевой гауссовой кривизны»)
Циклическая поверхность с образующей окружно-
стью в плоскостях пучка и с плоской линией центров
в виде спирали Архимеда (см. «Циклические поверхно-
сти с окружностями в плоскостях пучка и с плоской
линией центров»)
Циклическая поверхность с образующими окружно-
стями переменного радиуса и с плоской линией цен-
тров, построенная вокруг кругового цилиндра (см.
«Циклические поверхности с окружностями в плоско-
стях пучка и с плоской линией центров»)
Циклическая поверхность в цилиндре (см. «Винто-
образные поверхности»)
Прямая круговая спиралевидная поверхность с об-
разующей окружностью переменного радиуса (см.
«Циклические поверхности с плоскостью параллелиз-
ма»)
Спиралевидная поверхность с образующими сину-
соидами и направляющей линией постоянного шага на
круговом конусе (см. «Волнообразные, волнистые и
гофрированные поверхности»)
Нормальная циклическая поверхность с образую-
щей окружностью переменного радиуса и с плоской
линией центров в виде логарифмической спирали (см.
«Нормальные циклические поверхности с образующей
окружностью переменного радиуса»)
Поверхности со сферической направляющей
кривой (см. «Поверхности со сферической направляю-
щей кривой»)
• Трубчатая поверхность с линией центров на одно-
полостном гиперболоиде вращения.............209
• Линейчатая поверхность траекторий движения
прямых образующих торса-геликоида при его
параболическом изгибании....................210
• Винт Штейнбаха.........................211
• Гиперболический геликоид...............212
• Поверхность «Рог изобилия».............213
• Цилиндро-сферическая спиралевидная полоса. ..214
• Трансцендентная поверхность с двумя семей-
ствами плоских изотропных координатных линий .. .215
• Спиралевидная поверхность с эллиптическими об-
разующими и линией центров постоянного шага па
круговом конусе........................... 216
• Спиралевидная поверхность с параболическими
образующими и направляющей линией постоянного
шага на круговом конусе.....................216
• Спиралевидные циклические поверхности
с окружностями переменного радиуса
в плоскостях пучка......................217
• Спиралевидная поверхность «Ракушка без
вершины».....................................217
• Спиралевидная поверхность «Ракушка с
вершиной»....................................218
526
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
• Морская ракушка......................218
* ВИНТООБРАЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 219
• Винтообразные поверхности, представленные
в справочнике........................219-220
Нормальная циклическая винтообразная поверх-
ность, состоящая из тождественных элементов (см.
«Циклические поверхности»)
Гиперболический геликоид (см. «Спиралевидные
поверхности»)
Прямой волнистый геликоид (см. «Волнообразные,
волнистые и гофрированные поверхности»)
Трубчатая винтообразная поверхность с линией
центров переменного шага (см. «Нормальные цикличе-
ские поверхности»)
Спироидальные поверхности с аксоидами «цилиндр
- цилиндр» (см. «Спироидальные поверхности»)
• Ротативный косой геликоид.................220
• Винтообразная закрученная полоса с прямыми
образующими в плоскостях пучка................221
• Винтообразная предварительно закрученная
полоса......................................222
• Эллиптический геликоид..................223
• Винтообразная поверхность с переменным
эллиптическим сечением..................... 224
• Винтообразная поверхность с образующей
окружностью переменного радиуса, лежащая на
плоскости...................................225
• Циклическая поверхность в цилиндре......226
• Квазивинтовая циклическая поверхность с наперед
заданными граничными окружностями...........227
• Развертывающаяся винтообразная поверхность с
углами наклона прямых образующих от 0° до 90°.228
• Псевдоразвертывающаяся винтообразная поверх-
ность с переменным шагом....................229
• Винтообразные предварительно закрученные
поверхности с плоской образующей кривой. .230
• Винтообразная предварительно закрученная
поверхность эллиптического поперечного сечения...231
• Винтовая предварительно закрученная
поверхность кругового поперечного сечения.232
• Винтообразные закрученные поверхности
с плоскими образующими кривыми
в плоскостях пучка.........233
• Винтообразная закрученная поверхность эллипти-
ческого поперечного сечения в плоскостях пучка ....234
• Винтовая закрученная поверхность с
окружностями в плоскостях пучка..........235
»ПОВЕРХНОСТИ БЛЮТЕЛЯгзб
Квадрики (см. «Поверхности второго порядка»)
Циклиды Дюпена (см. «Циклические поверхности»)
- ПОВЕРХНОСТИ ВЕРОНЕЗЕ гзб
Поверхности Штейнера (см. «Римская поверх-
ность», «Скрещенный колпак», «Поверхности Штейне-
ра первого и второго типов»)
• ПОВЕРХНОСТИ ЦИЦЕЙКИ 237
• Поверхность Цицейки 3-го порядка с центроаффин-
ным инвариантом 7= 1/27..................238
• Поверхность Цицейки 2-го порядка с центроаффин-
ным инвариантом 1 = -аг..................238
• Поверхность Цицейки 3-го порядка с центроаффин-
ным инвариантом 7 = -4/27...............239
• Поверхность Цицейки 2-го порядка с центроаффин-
ным инвариантом 7 = а~..................239
• ПОВЕРХНОСТИ ПЕТЕРСОНА 240
Резные поверхности Монжа с круговой цилиндри-
ческой направляющей поверхностью (см. «Резные по-
верхности»)
Поверхности переноса кривых второго.порядка
(см. «Поверхности прямого переноса»)
Поверхности вращения кривых второго порядка
(см. «Поверхности вращения»)
Минимальные поверхности Петерсона (см. «Ми-
нимальные поверхности»)
• Изгибания трехосного эллипсоида........241
- ПОВЕРХНОСТИ БЕЗЬЕ 242
• Бикубическая поверхность Безье.........243
• КВАЗИЭЛЛИПСОИДНЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ 244
• Квазиэллипсоидная поверхность с тремя
значениями полуосей........................245
Квазиэллипсоидные поверхности с шестью
значениями полуосей............246
• Квазиэллипсоидная поверхность с вогнутыми
участками между ребрами......................246
• Линейчатая квазиэллипсоидная поверхность.247
• Квазиэллипсоидная поверхность с выпуклыми
участками между ребрами....................248
Квазиэллипсоидные поверхности
с цилиндрическими вставками........249
• Квазиэллипсоидная поверхность с выпуклыми
участками и цилиндрической вставкой........249
• ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 250
• Классификация циклических поверхностей.251
• Литература по расчету оболочек, очерченных по
527
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
циклическим поверхностям..............252
Круговая винтовая поверхность с образующей ок-
ружностью, лежащей в соприкасающейся плоскости
винтовой линии центров окружностей (см. «Круговые
винтовые поверхности»)
Регулярные циклические цилиндрические ротатив-
ные поверхности (см. «Циклические ротативные по-
верхности с аксоидами «цилиндр - плоскость»»)
• КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 253
Трубчатые поверхности (см. «Нормальные цикличе-
ские поверхности»)
• КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
ИОАХИМСТАЛЯ....................254
Циклическая поверхность Вирича (см. «Поверхно-
сти Иоахимсталя»)
• Каналовые поверхности Иоахимсталя
в линиях кривизн....................255
• Эпитрохоидальная поверхность.........256
Косинусоидальные каналовые поверхности
Иоахимсталя 1 -го типа...................257
• Косинусоидальные каналовые поверхности
Иоахимсталя 2-го типа....................258
• Косинусоидальные каналовые поверхности
Иоахимсталя 3-го типа....................259
• ЦИКЛИДЫ ДЮПЕНА..............260
• Циклида Дюпена первого типа (четвертого
порядка)..................................261
• Циклида Дюпена второго типа (третьего
порядка)..................................262
Круговой тор - циклида Дюпена третьего типа,
четвертого порядка (см. «Поверхности вращения»)
• НОРМАЛЬНЫЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ
ПОВЕРХНОСТИ......................263
• Трубчатые поверхности.......264
• Трубчатые поверхности, представленные в
справочнике..............................265
Трубчатая винтовая поверхность (см. «Круговые
винтовые поверхности»)
Круговой тор (см. «Поверхности вращения»)
Волнообразный тор на сфере (см. «Волнообразные
поверхности»)
Винтовая предварительно закрученная поверхность
кругового поперечного сечения (см. «Винтообразные
поверхности»)
Трубчатая локсодрома (см. «Поверхности со сфери-
ческой направляющей кривой»)
Трубчатая поверхность с линией центров на одно-
полостном гиперболоиде вращения (см. «Спиралевид-
ные поверхности»)
Трубчатая поверхность, обматывающая сферу (см.
«Поверхности со сферической направляющей кривой»)
• Трубчатая спиральная поверхность.........266
• Трубчатая поверхность с плоской линией центров
в форме эвольвенты круга...................267
• Трубчатая поверхность с плоской линией центров
в форме циклоиды............................268
• Трубчатая поверхность с плоской параболической
линией центров..............................269
• Трубчатая поверхность с плоской гиперболической
линией центров..............................270
• Трубчатая поверхность с плоской эллиптической
линией центров..............................271
• Трубчатая поверхность с плоской синусоидальной
линией центров............................ 272
• Трубчатая поверхность на сфере........273
• Трубчатая винтообразная поверхность с линией
центров переменного шага...................274
• Нормальные циклические поверхности с обра-
зующей окружностью переменного радиуса..275
• Нормальные циклические поверхности с
образующей окружностью переменного радиуса,
представленные в справочнике...............275
• Нормальная циклическая поверхность с плоской
круговой линией центров и с образующей
окружностью переменного радиуса.............276
• Нормальная циклическая винтообразная поверх-
ность, состоящая из тождественных элементов.277
• Нормальная циклическая поверхность с образую-
щей окружностью переменного радиуса и с плоской
линией центров в виде логарифмической спирали.278
• Нормальная циклическая поверхность с образую-
щей окружностью переменного радиуса и с линией
центров в виде конической спирали...........279
• Соединительный канал для двух цилиндрических
поверхностей с параллельными осями..........280
• Нормальная циклическая поверхность с эллипти-
ческой линией центров и с образующей окружностью
переменного радиуса (тип 1)................281
• Нормальная циклическая поверхность с эллипти-
ческой линией центров и с образующей окружностью
переменного радиуса (тип 2)................282
• ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ С
ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА .283
Прямая круговая винтовая поверхность (см.
«Круговые винтовые поверхности»)
Наклонная круговая коническая поверхность (см.
«Конические поверхности»)
Наклонный круговой цилиндр (см. «Цилиндриче-
ские поверхности»)
Круговая поверхность переноса (см. «Поверхности
прямого переноса»)
Поверхность переноса окружности по параболе
(см. «Поверхности прямого переноса»)
Диагональная круговая поверхность переноса Вол-
кова (см. «Поверхности диагонального переноса»)
• Прямая круговая спиральная поверхность..284
• Поверхность переноса окружности по
синусоиде...................................285
• Поверхность переноса окружности по эллипсу
528
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
(Богемский купол)...................286
• Поверхность винтового столба....287
• Прямая круговая спиралевидная поверхность с
образующей окружностью переменного радиуса.287
• ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
С ОКРУЖНОСТЯМИ
В ПЛОСКОСТЯХ ПУЧКА 288
• Циклические поверхности с окружностями в плос-
костях пучка, представленные в справочнике.289
Круговая винтовая поверхность с образующей ок-
ружностью, лежащей в плоскости, которая проходит
через винтовую ось (см. «Круговые винтовые поверх-
ности»)
Спиралевидные циклические поверхности с окруж-
ностями переменного радиуса в плоскостях пучка (см.
«Спиралевидные поверхности»)
Винтообразная поверхность с образующей окруж-
ностью переменного радиуса, лежащая на плоскости
(см. «Винтообразные поверхности»)
Винтовая закрученная поверхность с окружностями
в плоскостях пучка (см. «Винтообразные поверхности»)
Волнообразный тор (см. «Циклическая поверхность
с окружностями в плоскостях пучка и волнистой лини-
ей центров на цилиндре»)
Циклическая поверхность в цилиндре (см. «Винто-
образные поверхности»)
Квазивинтовая циклическая поверхность с наперед
заданными граничными окружностями (см. «Винтооб-
разные поверхности»)
Циклическая винтовая поверхность с линией
центров переменного шага (см. «Винтовые поверхности
переменного шага»)
Циклическая винтовая поверхность с наперед за-
данными углами наклона касательных в начале и
конце цилиндрической винтовой линии центров пере-
менного шага (см. «Винтовые поверхности переменно-
го шага»)
• Круговая спиральная поверхность с образующей
окружностью постоянного радиуса, лежащей в
плоскостях пучка...........................290
• Поверхность святого Ильи...............291
• Циклическая поверхность с окружностями в
плоскостях пучка и волнистой линией центров на
цилиндре..................................291
• Циклическая поверхность с окружностями в
плоскостях меридианов сферы и с линией центров
на этой же сфере..........................292
• Циклические поверхности с окружностями в плос-
костях пучка и с плоской линией центров....293
Круговой тор (см. «Поверхности вращения»)
Предварительно закрученный круговой тор (см.
«Винтовая предварительно закрученная поверхность
кругового поперечного сечения»)
Эпитрохоидальная поверхность (см. «Каналовые
поверхности Иоахимсталя»)
Циклиды Дюпена (см. «Циклиды Дюпена»)
Каналовые поверхности Иоахимсталя (см. «Канало-
вые поверхности Иоахимсталя»)
Поверхность «Рог изобилия» (см. «Спиралевидные
поверхности»)
• Циклическая поверхность с образующей окружно-
стью в плоскостях пучка и с плоской линией центров
в виде логарифмической спирали..........294
• Циклическая поверхность с образующей окружно-
стью в плоскостях пучка и с плоской линией центров
в виде спирали Архимеда.................295
• Циклическая поверхность с образующими окруж-
ностями переменного радиуса и с плоской линией
центров, построенная вокруг кругового цилиндра.295
• Циклическая поверхность с окружностями в
плоскостях пучка и с прямой линией центров.....296
• Циклическая поверхность с окружностями в
плоскостях пучка, с прямой направляющей и
фиксированной прямой пучка, лежащими по разные
стороны от плоской линии центров........297
• Циклическая поверхность с окружностями в
плоскостях пучка, с прямой направляющей и
фиксированной прямой пучка, лежащими по одну
сторону от плоской линии центров........298
• Циклическая поверхность с окружностями пере-
менного радиуса в плоскостях пучка и с тремя прямыми
параллельными направляющими линиями............299
• ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВРАЩЕНИЯ 300
Круговой тор (см. «Поверхности вращения»)
Сферическая поверхность (см. «Поверхности посто-
янной положительной гауссовой кривизны»)
• Циклическая поверхность вращения, ось вращения
которой параллельна плоскостям с образующими ок-
ружностями............................. 301
• Циклическая поверхность вращения, ось вращения
которой пересекает плоскости с образующими окруж-
ностями под постоянным углом...................301
• ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ 302
Поверхность Штейнера первого типа (см. «Римская
поверхность»)
• Односторонняя линейчатая поверхность
(лист Мебиуса).............................303
• Скрещенный колпак....................304
• Римская поверхность..................305
• Поверхность Клейна (бутылка Клейна)..306
• Поверхность Боя......................307
• Литература по геометрии односторонних поверхно-
стей.................................... 308
‘ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 309
• Катеноид..............................310
• Прямой геликоид.......................311
• Поверхность Шерка (первая)............312
• Поверхность Эннепера..................313
529
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
• Поверхность Шварца....................314
• Поверхность Каталана..................315
• Минимальная поверхность Бора..........316
• Поверхность Неовиуса..................316
• Гироид................................317
• Минимальная поверхность Хеннеберга....318
• Триноид.............................. 319
• Минимальная поверхность Косты.........320
• Минимальная поверхность Лихтенфелса...321
• Вторая минимальная поверхность Шерка..321
Минимальная поверхность Хоффмана (см. «Краткая
информация о поверхностях, не включенных в основ-
ное содержание справочника»)
Трансцендентная афинно-минимальная поверх-
ность (см. «Аффинно-минимальные поверхности»)
Поверхности Чена - Гакстаттера (см. «Краткая ин-
формация о поверхностях, не включенных в основное
содержание справочника»)
• Минимальные поверхности,
натянутые на жесткий опорный контур,
заданные точечным каркасом............322
• Минимальные поверхности
со свободными границами.........322
• Примеры минимальных поверхностей, приведен-
ные на сайтах в сети Интернет.........323-324
• Полные минимальные поверхности.....325
Катеноид (см. «Минимальные поверхности»)
Поверхность Эннепера (см. «Минимальные поверх-
ности»)
Прямой геликоид (см. «Минимальные поверхно-
сти»)
Поверхность Шерка (см. «Минимальные поверхно-
сти»)
• Минимальные поверхности Петерсона...326
Катеноид (см. «Минимальные поверхности»)
• Минимальные поверхности Томсена....327
Поверхность Эннепера (см. «Минимальные поверх-
ности»)
• Минимальная поверхность Томсена, допускающая
переход к поверхности Эннепера............327
• Алгебраические
минимальные поверхности.......328
Поверхность Эннепера (см. «Минимальные
поверхности»)
Литература по геометрии и расчету оболочек,
очерченных по минимальным поверхностям......329
• Сцепленные периодические минимальные
поверхности.............................330
• Примеры сцепленных периодических минималь-
ных поверхностей.............................331
• Литература по геометрии и визуализации сцеплен-
ных периодических минимальных поверхностей....331
• АФФИННО-МИНИМАЛЬНЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ ................332
Поверхность Эннепера (см. «Минимальные поверх-
ности»)
Эллиптический параболоид (см. «Поверхности вто-
рого порядка»)
Минимальные поверхности Томсена (см. «Мини-
мальные поверхности»)
Трансцендентная поверхность с двумя семействами
плоских изотропных координатных линий (см. «Спира-
левидные поверхности»)
• Трансцендентная афинно-минимальная поверх-
ность....................................333
• ПОВЕРХНОСТИ СО СФЕРИЧЕСКОЙ
НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ зз4
• Поверхности со сферической направляющей
кривой, представленные в энциклопедии....335
Сферический геликоид (см. «Линейчатые поверхно-
сти отрицательной гауссовой кривизны»)
Прямой сферический геликоид (см. «Сферический
геликоид»)
Коническая поверхность с направляющей линией
на сфере (см. «Конические поверхности»)
Цилиндро - сферическая спиралевидная полоса
(см. «Спиралевидные поверхности»)
Трубчатая поверхность на сфере (см. «Нормальные
циклические поверхности»)
Циклическая поверхность с окружностями в плос-
костях меридианов сферы и с линией центров на этой
же сфере (см. «Циклические поверхности с окружно-
стями в плоскостях пучка»)
Волнообразный тор на сфере (см. «Волнообразные
поверхности»)
Торс с образующими прямыми, лежащими в нор-
мальных плоскостях сферической кривой (см. «Торсо-
вые поверхности (торсы)»)
• Поверхность со сферической направляющей
кривой и параболической образующей в плоскостях
меридианов сферы.........................336
• Поверхность со сферической направляющей
кривой и эллиптической образующей в плоскостях
меридианов сферы.........................336
• Трубчатая локсодрома................337
• Трубчатая поверхность, обматывающая сферу ...337
• ПОВЕРХНОСТИ ВЕЙНГАРТЕНА зз8
Поверхности вращения (см. «Поверхности враще-
ния»)
Поверхности постоянной гауссовой кривизны (см.
«Поверхности постоянной гауссовой кривизны»)
Поверхности постоянной средней кривизны (см.
«Поверхности постоянной средней кривизны»)
530
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
• ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ
ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 339
• Поверхности постоянной положительной
гауссовой кривизны.................340
• Сферическая поверхность (сфера).....341
• Поверхность Рембса..................342
• Поверхность Сиверта.................343
• Поверхности постоянной отрицательной
гауссовой кривизны.................344
Псевдосфера (см. «Поверхности вращения»)
Геликоид Дини (см. «Винтовые поверхности с про-
извольными плоскими образующими кривыми»)
• Поверхность Куена....................345
• Литература по геометрии и расчету оболочек,
очерченных по поверхностям постоянной отрицатель-
ной гауссовой кривизны...................346
Поверхности постоянной нулевой
гауссовой кривизны
Линейчатые поверхности нулевой гауссовой кри-
визны (см. «Линейчатые поверхности»)
* ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ
СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ з47
Сферическая поверхность (сфера) (см. «Поверхно-
сти постоянной положительной гауссовой кривизны»)
Цилиндрическая поверхность вращения (см. «По-
верхности вращения»)
Минимальные поверхности (см. «Минимальные
поверхности»)
Нодоидные и ундулоидные поверхности вращения
(см. «Поверхности вращения с экстремальными свой-
ствами»)
• Литература по геометрии поверхностей постоянной
средней кривизны.........................348
' ВОЛНООБРАЗНЫЕ, ВОЛНИСТЫЕ И
ГОФРИРОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 349
• Литература по геометрии, расчету и применению
оболочек, очерченных по волнообразным, волнистым
и гофрированным поверхностям................349
• Волнообразные, волнистые и гофрированные по-
верхности, представленные в справочнике..350-351
Прямая коническая поверхность с плоской
направляющей кривой в форме круговой синусоиды
(см. «Конические поверхности»)
Прямой синусоидальный коноид (см. «Коноиды»)
Поверхность переноса синусоиды по параболе
(см. «Поверхности переноса»)
Поверхность переноса синусоиды по синусоиде
(см. «Поверхности переноса»)
Резная синусоидальная поверхность (см. «Резные
поверхности общего вида»)
Резная поверхность с направляющей синусоидой
и образующим эллипсом (см. «Резные поверхности
общего вида»)
Резная поверхность с направляющим эллипсом и
образующей синусоидой (см. «Резные поверхности
общего вида»)
Резная поверхность с направляющей синусоидой
и образующей циклоидой (см. «Резные поверхности
общего вида»)
Циклическая поверхность с окружностями в плос-
костях пучка и волнистой линией центров на цилиндре
(см. «Циклические поверхности с окружностями в
плоскостях пучка»)
Спиральная поверхность с синусоидальной обра-
зующей (см. «Спиральные поверхности»)
Волнообразный тор (см. «Циклическая поверхность
с окружностями в плоскостях лучка и волнистой лини-
ей центров на цилиндре»)
Спироидальные поверхности с аксоидами «цилиндр
- цилиндр» (см. «Спироидальные поверхности»)
• Синусоидальный геликоид....................351
• Прямая коническая синусоидальная волновая
поверхность................................. 352
• Волнистая коническая поверхность в линиях
кривизн с внутренней вершиной.................353
• Сотовая коническая поверхность..........354
• Прямая волновая цилиндрическая поверхность...355
• Линейчатая поверхность Скидана..........356
• Прямой волнистый геликоид...............357
• Волнообразный тор на сфере..............358
• Синусоидальная цилиндрическая поверхность....359
• Спиралевидная поверхность с образующими сину-
соидами и направляющей линией постоянного шага на
круговом конусе...............................359
• Волнистая поверхность с псевдоверзиерами
(цилиндрического типа)........................360
• Волнистая поверхность с псевдоверзиерами на
круглом плане................................361
• Гофрированный параболоид вращения......362
• Гофрированная сфера....................363
• Линейчатая ротативная поверхность с аксоидами
«плоскость - цилиндр»........................364
• Параболическая ротативная поверхность с
аксоидами «плоскость - цилиндр»..............365
• Сфера с циклоидальными гофрами.........366
• Волнистая поверхность из кубических парабол...367
• Волнистая поверхность из полукубических
парабол......................................367
• Волнистые цепи с эллиптическими сечениями,
ограниченные поверхностями 2-го порядка. . . 368
• Волнистая цепь с эллиптическими сечениями,
ограниченная эллиптическим цилиндром........368
• Волнистая цепь с эллиптическими сечениями,
ограниченная эллиптическим конусом...........369
• Волнистая цепь с эллиптическими сечениями,
ограниченная эллиптическим параболоидом......369
531
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
• ПОВЕРХНОСТИ
ЗОНТИЧНОГО ТИПА 370
• Поверхности зонтичного типа, представленные
в справочнике...............................370
• Литература по геометрии, применению и расчету
зонтичных оболочек и оболочек, очерченных по по-
верхностям зонтичного типа..................371
• Поверхность зонтичного типа с параболическими
образующими и отверстием в вершине...........371
• Поверхность с радиальными волнами, затухающи-
ми в центральной точке, образованная параболами...372
• Волнистая эллипсоидальная поверхность...373
• Параболоид вращения с радиальными волнами...374
• Поверхность зонтичного типа с параболическими
образующими и круглым отверстием в вершине...375
Линейчатая поверхность Скидана (см. «Волнооб-
разные поверхности»)
Волнистая поверхность с псевдоверзиерами на
круглом плане (см. «Волнообразные, волнистые и гоф-
рированные поверхности»)
Сфера с циклоидальными гофрами (см. «Волнооб-
разные, волнистые и гофрированные поверхности»)
Поверхности зонтичного типа с центральной
плоскостной точкой........................376
• Поверхность с радиальными волнами,
затухающими в центральной точке, образованная
кубическими параболами.......................376
• Крестообразный желоб....................377
• Зонтичная поверхность с астроидальными линиями
уровня, образованная биквадратными параболами...378
• Поверхность зонтичного типа на циклоидальном
плане, образованная кубическими параболами...379
Поверхности зонтичного типа
с особой центральной точкой.......380
• Поверхность зонтичного типа с синусоидальной
образующей..................................380
• Поверхность зонтичного типа на циклоидальном
плане, образованная полукубическими параболами...381
• СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ 382
• Треугольный профиль цилиндрического фрагмента
вала для профильного разъемного соединения.382
• Два типа аэродинамических цилиндрических
профилей................................383
• Суперэллипсы.......................383
• Обобщенные суперэллипсы............384
• Составные профили, образованные кривой и ее
зеркальным отражением......................385
• Профили деталей трохоидных ротационных ма-
шин........................................386
• ПОВЕРХНОСТИ БОННЕ •
Цилиндрическая поверхность вращения (см. «По-
верхности второго порядка»)
Прямой цилиндр с направляющей логарифмической
спиралью (см. «Цилиндрические поверхности»)
’ ПОВЕРХНОСТИ ЭДЛИНГЕРА 388
Однополостный гиперболоид вращения (см. «По-
верхности вращения»)
• ПОВЕРХНОСТИ КУНСА 388
• ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ
ГАРМОНИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ з89
Прямой геликоид (z = carctg(y/.vj) (см. «Линейчатые
поверхности отрицательной гауссовой кривизны»)
• Поверхность вращения, заданная гармонической
функцией z = InL? + у2]1/2................390
• Гармоническая поверхность прямого переноса
синусоиды с изменяющейся амплитудой.......391
• Гармоническая поверхность прямого переноса...392
• Литература по геометрии гармонических
поверхностей..............................392
• ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ 393
Каналовые поверхности Иоахимсталя (см. «Цикли-
ческие поверхности»)
Поверхности вращения (см. «Поверхности враще-
ния»)
• Циклическая поверхность Вирича........394
* СЕДЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 395
• Литература по геометрии седловых
поверхностей..............................395
Линейчатые седловые поверхности (см. «Линейча-
тые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»)
Поверхности постоянной отрицательной гауссовой
кривизны (см. «Поверхности постоянной гауссовой
кривизны»)
Минимальные поверхности (см. «Минимальные
поверхности»)
• Седло в барабане..........................396
• Седловая поверхность класса с............396
• Седло Пеано..............................397
• Сужающаяся седловая поверхность
Розендорна...................................397
• Обезьянье седло..........................398
• Седловая поверхность с нулевым вращением
рога.........................................399
• Уплощенное седло в барабане..............399
532
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
• КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ОБЩЕГО ВИДА 4оо
• Литература по геометрии ротативных и спирои-
дальных поверхностей........................401
Поверхности прямого переноса (см. «Поверхности
переноса»)
• РОТАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ............402
Поверхности вращения (см. «Поверхности враще-
ния»)
Косой геликоид (см. «Линейчатые поверхности от-
рицательной гауссовой кривизны»)
Конволютный геликоид (см. «Линейчатые винтовые
поверхности»)
Ротативные поверхности с аксоидами «плоскость -
цилиндр» (см. «Волнообразные, волнистые и гофриро-
ванные поверхности»)
Ротативные поверхности с аксоидами «конус -
плоскость» (см. «Резные поверхности Монжа с кониче-
ской направляющей поверхностью»)
• Ротативные поверхности
с аксоидами «цилиндр - плоскость»...403
• Линейчатая ротативная поверхность с аксоидами
«цилиндр - плоскость».......................404
• Циклическая ротативная поверхность с аксоидами
«цилиндр - плоскость».........................405
• Ротативные поверхности
с аксоидами «цилиндр - цилиндр»...406
• Линейчатая ротативная поверхность Лусты.407
• Эпициклоидный цилиндр...................408
• Гипоциклоидный цилиндр..................408
• Ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр -
цилиндр», образованная прямой, не пересекающей ось
подвижного цилиндра, при наружном обкатывании..409
• Ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр -
цилиндр», образованная прямой, не пересекающей ось
подвижного цилиндра, при внутреннем обкатыва-
нии.........................................409
• Ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр -
цилиндр», образованная прямой, пересекающей ось
подвижного цилиндра, при наружном обкатывании.,410
• Ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр -
цилиндр», образованная прямой, пересекающей ось
подвижного цилиндра, при внутреннем обкатыва-
нии 410
• Ротативные поверхности
с аксоидами «конус - конус».....411
• Ротативная поверхность с аксоидами «конус - ко-
нус», образованная прямой, проходящей через общую
вершину аксоидов (наружное обкатывание).....412
• Ротативная поверхность с аксоидами «конус - ко-
нус», образованная прямой, проходящей через общую
вершину аксоидов (внутреннее обкатывание)...413
• Ротативная поверхность с аксоидами «конус - ко-
нус», образованная прямой, пересекающей ось подвиж-
ного конуса, при наружном обкатывании......414
• Ротативная поверхность с аксоидами «конус - ко-
нус», образованная прямой, параллельной оси подвиж-
ного конуса, при наружном обкатывании......414
• Ротативная поверхность с аксоидами «конус - ко-
нус», образованная параболой при наружном обкатыва-
нии (тип 1)................................415
• Ротативная поверхность с аксоидами «конус - ко-
нус», образованная параболой при наружном обкатыва-
нии (тип 2)................................415
• Ротативные поверхности
с аксоидами «плоскость - конус»....416
• Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость -
конус», образованная прямой, проходящей через вер-
шину подвижного конуса.................... 417
• Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость -
конус», образованная прямой, пересекающей ось под-
вижного конуса.............................418
• Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость -
конус», образованная прямой, параллельной оси под-
вижного конуса.............................418
• СПИРОИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ............419
Обыкновенные винтовые поверхности (см. «Винто-
вые поверхности»)
* Спироидальные поверхности
с аксоидами «цилиндр - плоскость»..420
• Регулярная линейчатая цилиндрическая спирои-
дальная поверхность.........................421
• Регулярная циклическая цилиндрическая спирои-
дальная поверхность.........................422
• Цилиндрическая винтовая улитка с параболической
образующей..................................423
• Спироидальные поверхности
с аксоидами «цилиндр - цилиндр»...424
• Спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр
- цилиндр», образованная прямой, не пересекающей
ось подвижного цилиндра, при наружном обкатыва-
нии........................................425
• Спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр
- цилиндр», образованная прямой, не пересекающей
ось подвижного цилиндра, при внутреннем обкатыва-
нии 425
• Спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр
- цилиндр», образованная прямой, пересекающей ось
подвижного цилиндра, при наружном обкатывании..426
• Спироидальная поверхность с аксоидами «цилиндр
- цилиндр», образованная прямой, пересекающей ось
подвижного цилиндра, при внутреннем обкатыва-
нии 426
* Спироидальные поверхности
с аксоидами «плоскость - конус»....427
• Спироидальная поверхность с аксоидами «плос-
кость - конус», образованная прямой, проходящей че-
533
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
рез вершину подвижного конуса............... 427
* Спироидальные поверхности
с аксоидами «плоскость - цилиндр».428
• Спироидальная поверхность с аксоидами «плос-
кость - цилиндр», образованная прямой, параллельной
оси катящегося цилиндра....................428
• Спироидальная поверхность с аксоидами «плос-
кость - цилиндр», образованная прямой, пересекающей
ось катящегося цилиндра.................. 429
• Параболическая спироидальная поверхность с ак-
соидами «плоскость - цилиндр»..............429
• Спироидальные линейчатые
поверхности Рачковской - Харабаева..430
• Спироидальная линейчатая поверхность Рачков-
ской - Харабаева с аксоидами «торс-геликоид - прямой
круговой конус»............................431
• Спироидальная линейчатая поверхность Рачков-
ской - Харабаева с аксоидами «развертывающийся
конический геликоид - прямой круговой конус».432
• Спироидальная линейчатая поверхность Рачков-
ской - Харабаева с аксоидами «торс-геликоид - прямой
эллиптический конус».......................433
• ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 434
• Поверхности второго порядка, представленные в
справочнике................................435
• Гиперболический параболоид.............436
• Параболическая коническая поверхность..437
• Цилиндрическая поверхность вращения....438
• Коническая поверхность вращения........439
• Однополостный гиперболоид..............440
• Эллипсоид..............................441
• Эллиптический параболоид...............442
• Двуполостный гиперболоид...............443
Гиперболический параболоид (см. «Линейчатые
поверхности отрицательной гауссовой кривизны»)
Сферическая поверхность (сфера) (см. «Поверхно-
сти постоянной положительной гауссовой кривизны»)
Однополостный гиперболоид вращения (см. «По-
верхности вращения» и «Однополостный гиперболо-
ид»)
Двуполостный гиперболоид вращения (см. «По-
верхности вращения» и «Двуполостный гиперболоид»)
Параболоид вращения (см. «Поверхности враще-
ния» и «Эллиптический параболоид»)
Эллиптическая коническая поверхность (см. «Кони-
ческие поверхности»)
Наклонная круговая коническая поверхность (см.
«Конические поверхности»)
Наклонная эллиптическая коническая поверхность
(см. «Конические поверхности»)
Параболическая коническая поверхность (см. «Ко-
нические поверхности»)
Гиперболическая коническая поверхность (см. «Ко-
нические поверхности»)
Эллиптический цилиндр (см. «Цилиндрические по-
верхности»)
Гиперболический цилиндр (см. «Цилиндрические
поверхности»)
Параболический цилиндр (см. «Цилиндрические
поверхности»)
Наклонный круговой цилиндр (см. «Цилиндриче-
ские поверхности»)
Наклонный эллиптический цилиндр (см. «Цилинд-
рические поверхности»)
Наклонный гиперболический цилиндр (см. «Цилин-
дрические поверхности»)
Наклонный параболический цилиндр (см. «Цилинд-
рические поверхности»)
• Квадрики.................................444
• Литература по расчету оболочек, очерченных по
поверхностям второго порядка.................445
• АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 446
• Алгебраические поверхности выше второго
порядка, представленные в справочнике....447-449
• АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 450
• Поверхность «Платок»...................450
• Кубическая поверхность л3 + лу + z = 0.451
• Диагональная кубическая поверхность Ферма....451
• Кубическая поверхность Касдагльи.......452
• Поверхность 3-го порядка с листом Декарта, эллип-
сом, листом Декарта в 3-х главных координатных
сечени-
ях.....................................452
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 453
Сливная воронка Нордстранда............453
• Поверхность кругов Фейербаха...........453
• Поверхность Менна......................454
• Параболическая поверхность Шроды.......455
• Запредельный параболический велароид...456
• Поверхность «Кресло»...................456
• Поверхность Гурса......................457
• Зубная поверхность.....................458
• Спутанный куб..........................458
• Поверхность Куммера....................459
• Поверхность 4-го порядка с параболой, эллипсом,
параболой в 3-х главных координатных сечениях.460
• Поверхность 4-го порядка с кривой 4-го порядка,
эллипсом, кривой 4-го порядка в 3-х главных коорди-
натных сечениях..............................460
• ПОВЕРХНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
С КРАТНЫМИ ЛИНИЯМИ.....................461
• Поверхность 4-го порядка с тройной прямой
линией.......................................462
534
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
• Поверхность 4-го порядка с двойной коникой и с
двойной прямой линией.......................462
• Поверхности 4-го порядка с двумя двойными
прямыми линиями.............................462
• Поверхности четвертого порядка
с двойной коникой.........463
Циклиды Дюпена (см. «Циклические поверхности»)
• Циклиды с тройной точкой................463
• Поверхности четвертого порядка
с тремя двойными прямыми линиями....464
• Линейчатые поверхности 4-го порядка с тремя
двойными линиями...........................464
• Поверхности Штейнера первого и второго
типов......................................465
• Поверхности четвертого порядка
с двойной прямой линией........466
• Поверхность четвертого порядка с двойной
прямой линией и с тройной точкой...........466
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ПЯТОГО ПОРЯДКА..............467
• Пиренейская поверхность..................467
• Параболическая поверхность коноидного типа ...468
• Поверхность 5-го порядка с параболой, эллипсом,
параболой в 3-х главных координатных сечениях.469
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ШЕСТОГО ПОРЯДКА 470
• Синусовая поверхность............470
• Поверхность «Сердце».............471
• Поверхность Ханта................471
• Поверхность 6-го порядка с верзиерой и двумя
параболами в параллельных плоскостях..472
• Поверхность 6-го порядка с параболой, кривой 4-го
порядка, параболой в 3-х главных координатных сече-
ниях..........................................472
• Поверхность вращения аньезианы...........473
• Поверхность 6-го порядка с аньезианой, эллипсом,
аньезианой в 3-х главных координатных сечениях ...473
• Алгебраическая поверхность 6-го порядка с
двумя сетями переноса.........................474
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
СЕДЬМОГО ПОРЯДКА 475
• Поверхность 7-го порядка с параболой, аньезианой,
эллипсом в 3-х главных координатных сечениях..475
• Поверхность 7-го порядка с параболой, эллипсом,
листом Декарта в 3-х главных координатных
сечениях..............................476
• Поверхность 7-го порядка с параболой, кривой 4-го
порядка, параболой в 3-х главных координатных
сечениях..............................477
• Поверхность 7-го порядка с аньезианой, кривой
Ламэ 3-го порядка, прямыми в 3-х главных координат-
ных сечениях.................................478
• Поверхность «Лыжная горка»..............478
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВОСЬМОГО ПОРЯДКА....................479
• Поверхность 8-го порядка с аньезианой, эллипсом,
эллипсом в 3-х главных координатных сечениях.479
• Поверхность 8-го порядка с кривой Ламе 4-го по-
рядка, кривой Ламе 4-го порядка, эллипсом в 3-х глав-
ных координатных сечениях....................479
• Поверхность 8-го порядка с параболой, кривой
4-го порядка, параболой в 3-х главных координатных
сечениях.....................................480
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА... .480
• Поверхность 12-го порядка с параболой, кривой
8-го порядка, параболой в 3-х главных координатных
сечениях...................................480
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ШЕСТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА 481
• Алгебраическая поверхность с непрерывным
каркасом верзиер, проходящих через параболу и две
прямые.....................................481
• Литература по геометрии алгебраических
поверхностей...............................482
' КВАЗИМНОГОГРАННИКИ 483
• Виды многогранников................484-485
• Астроидальный эллипсоид................486
• Гиперболический октаэдр................486
• Модели квазимногогранников, размещенные на
сайтах в сети Интернет.....................487
• ЭКВИДИСТАНТЫ ДВОЙНЫХ СИСТЕМ 488
• Эквидистанта системы «прямая - сфера»..488
• Эквидистанта системы «точка - цилиндр».489
• Эквидистанта системы «прямая - цилиндр».489
• Эквидистанта системы «прямая - тор»....490
КРАТКАЯ ИНФОРМАЦИЯ ОБ ИМЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ,
НЕ ВОШЕДШИХ В ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
СПРАВОЧНИКА491
Поверхности Понтрягина...................491
Поверхности Куна.........................491
Эллипсоид Штейнера.......................491
Гиперболоид Бресса.......................491
Специальные конусы Эйлера................491
Цилиндроид Болла.........................491
Поверхность У. Барта 6-го порядка........491
Поверхность У. Барта 10-го порядка.......491
535
ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРАВОЧНИКЕ
КРАТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ПОВЕРХНОСТЯХ, НЕ ВКЛЮЧЕННЫХ
В ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ СПРАВОЧНИКА .492-493
Аффинные резные поверхности............492
Сферические поверхности 3-го порядка...492
Ортоидные линейчатые поверхности.......492
Однополостный и двуполостный эллиптические па-
раболоиды 4-го порядка...................492
Циклиды вращения 4-го порядка..........492
Miter surface..........................492
Алгебраическая конгруэнция 4-го порядка 2-го
класса...................................492
Поверхность У. Барта «Дервиш»..........493
Поверхность Эшера......................493
Поверхности Чена - Гакстаттера.........493
Минимальная поверхность Хоффмана.......493
ПРИЛОЖЕНИЯ
ИМЕННЫЕ УКАЗАТЕЛИ
• Именной указатель основного текста.494-495
• Именной указатель авторов дополнительной
литературы...............................496-501
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
•Поверхности...........................502-509
• Пространственные и плоские кривые...510-511
• РУССКО-, АНГЛИЙСНО-, ФРАНЦУЗОМ-,
НЕМЕЦКИЙ СЛОВАРЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ИКРИВЫХ 512519
• ПОВЕРХНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В СПРА-
ВОЧНИКЕ.......................520-536
536
Научное издание
Кривошапко Сергей Николаевич,
Иванов Вячеслав Николаевич,
Халаби Салем Махмуд
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ: МАТЕРИАЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ
500 ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИНФОРМАЦИЯ К РАСЧЕТУ НА ПРОЧНОСТЬ
ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Зав. редакцией Н. А. Степанова
Компьютерный набор и верстка произведена авторами
Подписано в печать 14.08.06. Формат 70 х 100
Печать офсетная. Печ. л. 34,0. Тираж 1000 экз. Заказ №5391
Издательство «Наука»
Н7997, ГПС-7. Москва В-495. Профсоюзная ул.. 90.
Отпечатано
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат»
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
ПОВЕРХНОСТИ
Материалы по геометрии 500 поверхностей
и информация к расчету на прочность
тонких оболочек
Книга является справочным изданием по аналитической
и дифференциальной геометрии регулярных аналитиче-
ских поверхностей. Справочник поможет выявить и решить
научно-технические проблемы, связанные с развитием
теории формообразования тонкостенных конструкций на
основе геометрических исседований срединных поверхно-
стей оболочек. Все статьи справочника по геометрии каж-
дой поверхности изложены в объеме одной страницы.
Для студентов-математиков, инженеров и архитекторов,
аспирантов, преподавателей и специалистов по геометрии
поверхностей, а также специалистов, работающих в других
отраслях знаний, но применяющих в своей работе геоме-
трические образы.
9 785020 357471