Санкт-Петербург
"Судостроение"
1QQR

ББК 39.42-01
Г61
УДК 629.12:624
Головешкин Ю. В.
Г61 Теория тонких оболочек. — СПб.: Судостроение, 1996.
46 с, ил.
ISBN 5-7355-0516-5
Построена новая модель, позволяющая представить напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние оболочки в виде двумерного потенциального потока в
тонком слое и решать ряд задач теории тонких оболочек, для которых аппарат
классической теории либо непригоден, либо недостаточно обоснован.
Для инженерно-технических и научных работников, занимающихся рас-
расчетами прочности, а также аспирантов и студентов, изучающих строительную
механику.
„ 2705140300—004 „ , ББК 39.42-01
Г 048@1)-96 Бе3 0бъЯВЛ-
ISBN 5-7355-0516-5 © Ю. В. Головешкин, 1996
© Оформление, 1996

ОТ АВТОРА
Настоящая работа посвящена одному из возможных
подходов к построению теории тонких оболочек (ТТО),
основанному на принципиально новой модели. Исследо-
Исследование построено следующим образом. Проанализированы
основные допущения, положенные в основу классической
ТТО, а также неустраняемые в ее рамках противоречия,
модель оболочки и ее математическая обоснованность.
Построены новая модель ТТО и следующая из нее схема
оболочки. Затем рассмотрены возможности, к которым
приводит эта схема. Сформулированы основные исходные
положения и решена поставленная задача — построено
разрешающее уравнение. Приведены примеры техниче-
технических приложений предложенного варианта теории, в ча-
частности для изгиба стержней, пластин, призматических
оболочек, в том числе со сложными отверстиями, а также
для распределения напряжений в оболочках сложной фор-
формы при нормальном давлении.
Все замечания и пожелания просим направлять по
адресу: 191186, С.-Петербург, ул. М. Морская, 8. Изда-
Издательство «Судостроение».

ВВЕДЕНИЕ
Теория тонких оболочек (ТТО) в настоящее время достаточно
хорошо развита. На основе использования ее методов получены
значительные результаты, позволяющие применять их в качестве
технических приложений во многих областях,техники. И тем не
менее анализ состояния дел свидетельствует о незаметном, на
первый взгляд, но упорно напоминающем о себе при пристальном
внимании нарастающем кризисе теории. Внешними признаками
этого являются:
работоспособность предложенных методов на ограниченном ряду
поверхностей;
обилие вариантов теории, которые зачастую противоречат другу
другу;
не устраняемые в течение почти столетия противоречия в ис-
исходных предпосылках теории;
разрыв между общетеоретическими работами и увеличивающим-
увеличивающимся числом работ с использованием численных методов (МКЭ, МГЭ,
МСЭ).
Основные допущения классической ТТО:
1) {и, v, w} « t, где {...} — компоненты перемещений оболочки,
t = 2Л — толщина оболочки;
2) 1 + К^ = 1; 1 — Кгх\ = 1; хг е [—А; +А],
где Ки К2 — кривизны оболочки, (х\ х2, х3) = (а, /3, и) — коорди-
координаты;
3) х^даК^ = 0; хгдаК2 = 0, где да — символ дифференцирования;
4) / = A2da2 + В2dp2 = dx2 + d/, где А, В — коэффициенты
формы II = Ksds2 = KxA2da2 + K2B2d02;
5) поперечные волокна оболочки не изменяют свою длину;
6) | е | « 1, е — относительное удлинение;
7) j iOi | ся е « 1, и); — характеристика углов поворота.

Основные противоречия теории тонких оболочек:
1) нет единого подхода к выбору соотношений упругости [8,
11, 20, 28];
2) при решении задач в перемещениях, усилиях и моментах
используются разные соотношения упругости;
3) при решении задач в усилиях и моментах не удовлетворяется
уравнение VI неразрывности, т. е. в общем виде перемещения по-
построены быть не могут [20];
4) уравнения неразрывности в перемещениях не точны, так
как нельзя указать никакого варианта соотношений упругости [20];
5) сходимость результатов метода Коши—Пуассона разложе-
разложения перемещений и напряжений в ряд по нормальной координате
не выяснена [28 ];
6) метод Кирхгофа не может быть развит в точную теорию
[28];
7) приближенность самой теории допускает большие произволы
[8];
8) зачастую не удовлетворяется теорема взаимности [28 ];
9) в теории используются интегральные зависимости для уси-
усилий Т,; S,; Nt; Gt\ Ht, т. е. произведена замена истинных величин
их статическими эквивалентами;
10) четвертое допущение не удовлетворяет соотношениям Пе-
терсона—Кодацци.
Анализ упрощений ТТО позволяет заключить, что приведение
задачи к срединной поверхности оболочки вынудило исследователей
допустить одно из, казалось бы, незначительных противоречий
теории между выводами ТТО и выводами теории сопротивления
материалов (гипотеза Журавского) и тем более теории упругости
о подходах к определению нормальных к срединной поверхности
усилий. Допустимость этого противоречия объясняется тем, что в
реальных оболочечных конструкциях нормальные тангенциальные
напряжения <г, настолько велики по сравнению с тл что эта неточ-
неточность не отражается на величине наибольшего главного напряжения.
Исследователи, естественно, чувствуют ситуацию. Поэтому на
XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин
(Н. Новгород, 1993 г.) общим вопросам теории было уделено при-
пристальное внимание. Одному из возможных путей исследований и
посвящается настоящая работа.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Возможности классической модели. В основу теории оболочек
положена модель, представленная на рис. 1.1. Как отмечено выше,
эта модель ТТО привела к появлению ряда неустранимых проти-
противоречий в рамках теории. В настоящее время появились работы,
относящиеся к общим вопросам теории оболочек [6, 8, 11, 18, 21,
22, 23, 29, 33, 34, 40 ]. В некоторых из них, например, в работе
[8 ], системы разрешающих уравнений сведены к системе Коши—
Римана, в [21 ] трехмерные задачи и теории упругости (ТУ) сведены
к двумерным задачам теории оболочек, работа [33 ] содержит вывод
о принципиальной невозможности точного приведения трехмерных
уравнений ТУ к двумерным задачам теории оболочек.
В то же время анализ классической модели ТТО [18] свиде-
свидетельствует о возможностях, заложенных в ее метод, уже позволя-
позволяющих перейти к инвариантным разрешающим уравнениям.
Однородные (общее решение [28 ] всегда сводится к решению
однородного уравнения, если найдено одно частное решение) урав-
уравнения равновесия и неразрывности запишутся следующим образом:
~Щ~ + "Ж — ш^ = 0; "a? W~~Ni=0'
ИГ +Ив "Ni = 0> -щг + -$ N2 =0;
7* _l 7* — Л' Cj^C ItT i ЦН -П A.1)
ЗЯ2 дтх дш2 дех
~W + ~w ~ W - °» if + rw ~ ^ = и-
%+Ъ{Н1 +Н2) =0; t! +хг-Ъ{щ +ш2) = 0, A-2)

где Tit Sh Git #,, Ni — компо-
компоненты усилий и моментов, Hit т;,
&, (oiy Et — компоненты деформа-
деформаций, b — компонент второй квад-
квадратичной формы, ?, в — гауссовы
параметры.
При рассмотрении систем
A.1), A.2) следует отметить, что
они идентичны: первые четыре
уравнения систем отличаются па-
параметром Ъ. Продифференцировав
первую и вторую пары уравнений
по ? и в и сложив, получим
Рис. 1.1. Классическая модель
оболочки
A.3)
т. е. пятое уравнение не добавляет к первым четырем дополни-
дополнительной информации при {S^; Нг} = {S2't #2}2, как Эт0 принимается
в ряде вариантов теории [20].
Учитывая изложенное, решение систем A.1), A.2) не обяза-
обязательно приводит к виду, предложенному в [28 ] — к системе трех
уравнений для комплексных функций действительного переменного.
Отнормировав параметр Ъ (Ъ=\), придем к единому разрешающему
уравнению первого порядка
?<¦••).
?(•••)«= 0,
A.4)
В случае же G ^ 1 в A.4) появляются члены типа Sfi или
Htb. Однако и этого можно не делать, используя сопряженно-изо-
сопряженно-изометрическую систему координат. Тогда получим Ь = V'К- а (К —
гауссова кривизна, а — дискриминант 1-й квадратичной формы).
Использование 3-й квадратичной формы приводит к возможности
принять сразу Ъ = 1 (для криволинейной поверхности) и Ь = 0 (для
плоскости).
Приняв физический закон
(-)l
дФк
;
дФи
получим
V2<P* = 0,
A.5)
A.6)
7

где V2 — оператор Лапласа.
Построение детерминанта системы уравнений A.1), A.2), за-
записанной в виде, аналогичном A.6), приводит к /г-гармоническому
уравнению
0 v _ n
dznd?~ <!-7>
Обратимся к общим представлениям решения /i-гармонического
уравнения
Vu = 0.
Как показано в [7], решение уравнения A.7) представляется
в виде
п —
Фн = <Pn-l (Z) + <рХ„-1 (г) + 2
о v '
где ^„_i(z), <pxn-i(z) —гармонические функции [7]. Обозначим
dx =
... 0 ^
Можно записать
1 (z) = const
ztf-1 (z) = const (z) яТ1 (z) = Glfr1 (z) = Кл'1 (z). A.10)
Сопоставим решение A.10) с решением Гурса [7, 27] бигармо-
нического уравнения, записанного в комплексной форме относи-
относительно переменных z = x + iy; z = x—iy:
dz2di2
и6 = fi (z) + <р2 (г) + ~г%\ (г) + z/,2 (z), A.11)

где <pi (z); <p2 (I); %\ (z); Хг (z) — произвольные функции одного ар-
аргумента соответственно z и I.
Аналогично и решение уравнения Лапласа представляется в
виде
"г =ЛИ +/2A). A.12)
Приведенная цепочка решений соответствует выводу [7 ] о воз-
возможности представления решения /i-гармонического уравнения че-
через гармонические функции
и» =/(«»*(*, У)), A-13)
где шк (х, у) — гармонические функции.
Следующим шагом в исследовании является сопоставление ре-
решения n-гармонического уравнения и эллиптического уравнения
вида
2 1У, A.14)
к = 0 т - 0 °Z OZ
частным случаем которого является уравнение Гельмгольца,
использующееся в ТТО. Решение уравнения A.14) представляется
зависимостью [7]
z
u(z,~z) = uH (z,l) +J Г, (z,I, t)uK (t, l)dt +
+ / Г2 (i, z, t)uh (z, t) dr + / dtfr (z, z, <, t)uh (<, r) dr, A.15)
где Гь Г2, Г — аналитические функции своих аргументов; и„ —
решение /i-гармонического уравнения.
Обозначим в A.15) интегралы в виде некоторых функций вида
u (z, I) = uH (z, z) + Fl (z, I = const (z)) +
+ F2 (z, z = const (I)) + F3 (z = const (I), z = const (z)). A.16)
Отсюда следует, как отмечено в [7], что решение уравнения
A.14) через решение уравнения A.7) приводится к голоморфным
функциям одной переменной. Следующим, еще более важным яв-
является вывод о теоретической возможности решения задач механики
деформируемого тела с помощью единого подхода, основанного на
использовании универсальных свойств инвариантных уравнений
полностью в комплексной форме с применением (обобщенных)
аналитических функций.

В работах [7, 18, 27, 37] анализируются особенности исполь-
использования комплексных переменных в задачах механики твердого
деформируемого тела. Эти результаты позволяют делать прогноз
возможностей снижения порядка разрешающих уравнений, запи-
записанных в комплексной форме. Принятие в качестве математических
моделей сложных исходных уравнений. обусловливает и сложные
пути их решения. Как известно, задачи плоской теории упругости
и ТТО в общем виде можно описать уравнениями типа
или в комплексной форме относительно переменных z, z
п A.18)
°
dz дг dz дг
Форма записи A.18) может относиться как к гармонической,
бигармонической, так и к задачам ТТО. Поэтому в математическом
отношении эти задачи можно считать аналогичными (тождествен-
(тождественными) .
Рассмотрим вначале ретроспективу задач плоской теории упру-
упругости. В 1899 г. А. Н. Крылов в обществе корабельных инженеров
в Лондоне обобщил экспериментальные результаты Хел-Шоу (пло-
(плоское обтекание цилиндров) и Бруна (вырезы в плоской задаче
теории упругости), охарактеризовав их как гидродинамическое и
механическое «решение той же самой обобщенной задачи Дирихле»
[27]. Этот вывод, однако, не нашел в последующем своего теоре-
теоретического обоснования и развития. Совершенствование методов ре-
решения задач плоской гидромеханики и теории упругости пошло по
совершенно различным путям. Задачи обтекания, действительно,
решались как задачи Дирихле (разрешающее уравнение Лапласа),
а задачи плоской теории упругости — как бигармонические.
Краевые задачи связаны со значительным разнообразием кон-
контуров. Это приводит к необходимости при их решении использовать
конформное отображение. Для решения подобных задач Г. В. Ко-
Колосовым и Н. И. Мусхелишвили разработан, Г. Н. Савиным развит
мощный аппарат с использованием потенциалов Колосова—Мусхе-
Колосова—Мусхелишвили. Однако, как отмечает Л. И. Седов [38 ], использование
конформных отображений в плоской задаче теории упругости от-
отлично от такового в задачах гидродинамики. Это происходит потому,
что бигармонические функции при конформном отображении пе-
перестают удовлетворять бигармоническому уравнению. Но, поскольку
природа процессов одна, естественно продолжить поиски решения
задач плоской теории упругости как задач Дирихле.
Классическое решение Кирша о концентрации напряжений около
кругового отверстия в комплексной форме можно записать так:
10

\, d-19)
где a — коэффициент концентрации напряжений; ? — комплексная
переменная.
Несколько преобразовав A.19), представим эту зависимость в
виде
т. е. для нахождения а необходимо знать некоторую потенциальную
функцию <р (?) и отображающую функцию со (?) рассматриваемого
контура на круг.
В этой связи рассмотрим общее представление решения /г-гар-
монического уравнения с использованием метода итераций. Имеем
В этом случае
Fn (Z, Z) = =/,(„_!) (z) 4-/2(„-1) (i), /j nix
где/ц,,-!) (z); ^(«-l) B) — произвольные функции своих аргументов.
Но, в свою очередь, функция Fn (z, z) =/i(«-i) (z) +/2(n-i) (i) —
общее решение гармонического уравнения. Продолжая этот процесс
до /1=1, получаем уравнение A.6) и его решение A.12) в виде
^l (z, z) = /10 (z) + /20 (i).
Таким образом, этот пошаговый процесс приводит к стабильному
результату: решение «-гармонического уравнения любого порядка
является и гармонической функцией. Следовательно, любая бигар-
моническая задача при определенных условиях может решаться и
как задача гармоническая.
В соответствии с этим выводом решим задачу Кирша с исполь-
использованием теории потенциала. Исходные положения:
— решается гармоническая задача;
— частными решениями гармонического уравнения в цилинд-
цилиндрических координатах являются функции вида <р = 1; <р сл(9;
<р ел г cos в; <р ел cos в/г;
— все параметры в пластине без отверстия на его контуре
равны нулю, в общем их можно представить так:
11

п,«. [l -
sin2 в
cos2 в
sin 9- cos
A.22)
где г, Го — значения текущего и радиуса контура отверстия;
— суммарные значения параметров определяются из суперпо-
суперпозиции решений гармонической задачи и задачи для пластины без
выреза.
Решение этой задачи дает, в частности, для компоненты на-
напряжений около отверстия 0в следующую аналитическую зависи-
зависимость
«» A - 4) A - cos2 9) + 2 4 (sin2 9 - cos2 9) + 4-
г г г
A>23>
Проверка соответствия полученного решения результатам ре-
решения Кирша по трем компонентам поля напряженного состояния
09; R/, 0, свидетельствует о расхождении в результатах в пределах
10 % в диапазоне соотношения 0 < г/г0 < 20.
Таким образом, разработанное направление, основанное на вы-
выводе А. Н. Крылова о единой природе процессов, подтверждается
работоспособностью новой модели, нетрадиционной для теории уп-
упругости, во всем диапазоне изменения параметров г и 9. Значения
же максимальных коэффициентов концентрации, полученные с ис-
использованием двух подходов, представлены зависимостями
а = —A—2 cos 20) и а = 1—4 sin2 9. A.24)
Как видим, эти зависимости идентичны.
Обращаясь к разрешающим уравнениям ТТО, видим, что они
могут быть приведены к уравнениям вида A.18). С учетом линей-
линейности задачи и результатов итерационного анализа уравнение A.18)
представим так:
-^ (Fn + *>,/;_, + A2Fn_2 + ... + ЬЛ) = 0. A-25)
Последняя зависимость позволяет поставить вопрос о попытке
решения задач теории тонких оболочек методами теории потенци-
потенциала.
Для механики твердого деформируемого тела характерно не-
непрерывное возрастание сложности изучаемых объектов. Одна из
черт сложных объектов, к которым можно отнести и тонкие обо-
оболочки, это их многомерность. В данном случае под сложным объ-
объектом понимается объект, обладающий многомерностью, многопа-
раметричностью, разнотипностью свойств, противоречивостью раз-
разработанной модели.
12

При изучении сложных объектов неизбежно постулирование
потенциально полезных признаков. Поэтому в исходную систему
входит много «дублирующих» и «шумящих» признаков. Как пока-
показывают теоретические исследования [25], уменьшение числа при-
признаков исходной системы часто улучшает качество решения. Пол-
Получение того или иного результата (теоретического или эксперимен-
экспериментального) можно формализовать такой зависимостью [35]:
§=A-f + v, A.26)
где ? — результат; А — оператор, задающий математическую мо-
модель; /— приходящий сигнал; v — шум.
Задача исследователя — построить зависимость A.26), миними-
минимизирующую погрешность (шум) v (редуцировать к новой модели):
Щ =RAf + Rv. A.27)
Известно, что построенные модели могут быть как физическими,
так и феноменологическими. Последние строятся при недостатке
знаний о физических процессах, определяющих поведение объекта.
В свою очередь они могут быть детерминированными (отношение
сигнала к шуму велико) и вероятностными (это отношение мало)
[4]. Редукции должна предшествовать проверка гипотезы о том,
что начальная модель не противоречит результату ?.
Надежность модели можно определить как вероятность ошибочно
ее отвергнуть на основании результата ?. Обоснование достоверности
модели в математически последовательной постановке можно сфор-
сформулировать следующим образом:
— введем допущение о том, что не установлена четкая связь
между величинами, определенными как параметры модели и как
переменные;
— построим стохастическую модель как наиболее общую для
всех видов моделей (крайними случаями являются либо установ-
установление полной независимости исследуемых характеристик, либо де-
детерминированная аналитическая зависимость);
— построим логически зацепленные операции:
1) установим формы связи, в частности, методами механики
твердого деформируемого тела;
2) определим тесноту связи, в частности, с использованием
корреляционного и регрессионного анализа;
3) спрогнозируем общие тенденции, позволяющие, с одной сто-
стороны, предсказать характеристики, которые не перекрываются име-
имеющимися экспериментально-теоретическими данными, с другой, —
оценим работоспособность на высшем уровне.
Применительно к ТТО сформированная методология построения
надежной модели требует следующей интерпретации:
— тонкая оболочка — сложный объект;
13

— в модели оболочки количество параметров соизмеримо с
количеством переменных или больше их числа;
— операторы Ah задающие математическую модель оболочки,
— уравнения в частных производных восьмого—четвертого по-
порядка, общая теория решения которых не создана [24 ], а решения
представляются некоторыми произвольными функциями;
— параметры ТТО в целом недостаточно увязаны между собой
(например, параметры уравнений неразрывности, равновесия и со-
соотношений упругости),
— подавляющее число используемых методов решения задач
ориентированы на один тип шкалы (в частности, координаты в
линиях кривизны);
— математическая модель ТТО детерминированная, так как в
рамках принятой методологии считается, что отношение сигнала к
шуму велико;
— математическая модель ТТО теряет работоспособность при
усложнении формы оболочки и устремлении к нулю кривизны на
некоторых ее участках, т. е. возможны резкое падение отношения
сигнала к шуму и, как следствие, возникновение необходимости
построения стохастической модели, не говоря о третьем этапе про-
проверки ее надежности — прогнозировании;
— построенные варианты ТТО представляют собой по сути
варианты первого этапа построения надежной модели — установле-
установления формы связи с частичной проверкой ее экспериментальными
методами.
Как отмечено выше, установление связи между компонентами
напряженно-деформированного состояния (НДС) и гауссовыми па-
параметрами в ТТО представляет собой весьма сложную задачу.
Однако накопленный в настоящее время экспериментальный и те-
теоретический материал можно считать достаточным для того, чтобы
построить довольно общую модель, учитывающую недостатки мо-
модели, представленной на рис. 1.1.
Математическая постановка задачи. Двумерная случайная ве-
величина {(НДС)безм; в} в результате независимых экспериментов
получила реализации {(НДС);; в} (г'= 1, 2), которые изображаются
точками в системе прямоугольных координат ({НДС}; в). В данном
случае допускается, что не установлена четкая зависимость между
{НДС}6"" и в. При принятой постановке задачи необходимо построе-
построение статистического ряда значений компонент {НДС}, соответствую-
соответствующих в. Предлагаемое распределение одной из компонент безмомент-
ного НДС цилиндрической оболочки приведено в корреляционной
табл. 1.1 для четверти осесимметричного сечения. Из таблицы вид-
видно, что для оболочки кругового профиля Тх <*> cos в. Поэтому примем
общую модель распределения 7\ в безмоментной оболочке в виде
7\ «Re« (?), A.28)
14

Таблица 1.1. Корреляционная таблица величин Т1 - в
т-т/ъ
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
44
0,3
0,2
0,1
О
исх
122]
\
N
№
л
Л'
ч
•\
\
\ о \
ч \ \
\
л
\-\
\\
о
0
\
[
\
10 20 30
50 60 70 вО 90 в
о -2
_ Примечание: 1 — Т = / (в) для круговой цилиндрической оболочки; 2 —
Т = /(в) для прямоугольного профиля при варьировании отношения HI В.
где, в частности, для кругового сечения
71! en Re Z = С ¦ COS в.
A.29)
Корреляционная таблица свидетельствует о том, что граничными
точками для оболочек прямоугольного профиля являются прямые
1) Н/В-* оо: 71! и1-с-в;
2)
; ;
_d). o<0<9O°.
Обращаясь к классической модели ТТО, видим, что для пря-
прямоугольных профилей с любым отношением Н/В она дает один и
тот же тривиальный результат: 7\ = 0, т. е. неработоспособна. И
лишь для кругового профиля результат совпадает с эксперимен-
экспериментальным: 7\ и> cos 9. Поэтому и появились методы расчленения
15

призматических оболочек, использующие результаты решения пло-
плоской задачи теории упругости [1, 10].
В соответствии с постановкой задачи следует искать такую
математическую модель, которая:
во-первых, давала бы по возможности все варианты распреде-
распределения компонент НДС для любого кусочно-линейного контура;
во-вторых, включала бы в себя и точки 7\ <z> cos в;
Ti (в = 90°) = 0.
Это — задача прогнозирования. Методология прогнозирования
применительно к задачам механики твердого деформируемого тела
изложена, в частности, в [19]. Рассматривая поле эксперименталь-
экспериментальных данных, приводящее к стохастической модели для получения
компонент НДС безмоментной оболочки, видим, что уровень от-
отношения «сигнал/шум» для модели Тх и> Re a> (С) близок единице
(коэффициент корреляции велик), т. е. можно построить детерми-
детерминированную математическую модель ТТО, удовлетворяющую экс-
экспериментальным данным и включающую на основе прогноза как
классические, так неклассические аналитические результаты для
кусочно-линейных контуров.
По всем признакам при построении такой модели должны быть
— использованы методы исчисления бесконечно малых;
— использована изометрическая система координат;
— разрешающее уравнение (уравнения) инвариантно относи-
относительно преобразования координат;
— разрешающая функция потенциальна;
— компоненты НДС — вещественная и мнимая части некоторой
голоморфной разрешающей функции.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Рассмотрение основ теории пластин и тонких оболочек свиде-
свидетельствует о внесении в них со времени создания неустранимого
противоречия между дифференциальным характером зависимостей
для элементов поверхностей, используемых в теории, и конечно-
разностным — для элементов, в которых рассматривается напря-
напряженно-деформированное состояние. Это противоречие, незаметное
до определенного момента, начало вызывать постепенно нарастаю-
нарастающие трудности в теории, которые выражаются в неустраняемых в
течение многих лет ее противоречиях, в работоспособности методов
для ограниченного круга поверхностей, а также в увеличивающемся
количестве работ с использованием численных методов. Последнее
обстоятельство является особенно заметным проявлением отмечен-
16

ного противоречия, так как дифференциальное исчисление — метод
определения отношения исчезающих приращений, полученных фун-
функциями, когда их аргументам даются исчезающие приращения.
Конечно-разностные методы, лежащие в основе использования
современных численных методов, реализуемых с помощью ЭВМ,
сохраняют связь с методами дифференциального исчисления. Но,
как отмечается в литературе, нет исчерпывающего обоснования
математического анализа, с одной стороны, нет и оценок границы
взаимопроникновения в пространственно-временном континууме
дифференциальных и конечно-разностных методов.
Настоящая часть работы посвящена анализу математических
основ теории тонких оболочек и пластин, исследованию границ
применимости дифференциальных и конечно-разностных методов в
теории, исследованию следствий применения интерполяционной
формулы Ньютона, формулы Тейлора, а также исследованию мо-
моделей теории тонких оболочек.
Рассмотрим математические следствия интерполяционной фор-
формулы Ньютона
f(a+nAx) =/(e) +nAf(a) ^
+ П(П~111CП~2)а3/И +- +Д"/И, B.D
где п — целое положительное число; Д/(а), ..., Д"/(а) —последо-
—последовательные конечные разности функции / {х) при х = а.
Следствие 1 (формула Тейлора). Тейлором введено соотношение
п- Ах = А, B.2)
где шаг h — конечная величина.
Он положил Ах —>0, и, следовательно, п—* со.
Зависимость B.2), как известно, следует из теории бесконечно
малых и, в частности, из соотношения бесконечно малой и большой
величин. В этом случае получаем зависимость
h(h-Ax)(h- 2hx) A3/(a) B.3)
1-2-3 дЛз •
из которой следует формула Тейлора.
Следствие 2. Известно, что п- Ах = h — конечно. Положим
п < оо и, следовательно, Ах > 0. В этом случае получим
2 Зак. 1372 17

// u\ 11 \ — и A/(q) h(h — Ax) ... (Л — NAx) Anf (a) B.4)
j (a + a)—j (a) - n ^ + ... ч— j.2.3 ...n д/'
т. е. приходим к конечному числу членов ряда в зависимости для
приращения функции.
Производную в этом случае можно представить как
u~f(a + h)-f(a) _
Ах
Л - N
(А — (п —
= 2
п\
Эта производная в рамках принятой методологии является точ-
точной, но отличной от классической и может быть определена как
«конечная» производная.
Следствие 3. Положим в зависимости B.2) Ах -* оо и, следо-
следовательно, я-*1. В этом случае
/<а+А)-Ж«А?. B.6)
Отнеся B.6) к Ах -* оо, получим
lim /(« + *)-/(«> = lim ^ = аЛ. <2.7)
Обозначим зависимость B.7) как асимптотическую производ-
производную.
Рассмотренные следствия интерполяционной формулы Ньютона,
теоретически равноценные, приводят к разным возможностям их
использования и к необходимости приведения в соответствии с ним
аппарата и моделей теорий, использующих эти следствия. Напри-
Например, если в той или иной задаче механики твердого деформируемого
тела применяется понятие и -*¦ оо или Ах -* 0 и, следовательно,
понятие классической производной, то и математическая модель
задачи должна соответствовать этому условию (следствие 1). Если
же задача использует модель, в которой и < оо, следует использовать
математический аппарат, соответствующий следствию 2, и «конеч-
«конечную» производную.
В механике твердого деформируемого тела возможен и вариант
использования следствия 3 (Ах -*¦ оо) и, следовательно, асимптоти-
асимптотической производной. Связь асимптотической производной с клас-
классической осуществляется через отношение аргументов [зависи-
[зависимость B.2)].
Рассмотрим соотношение двух форм представления аргумента:
Ах, dx. При этом предполагается в соответствии с теорией, что
Ах малая, но конечная величина: dx -* 0, т. е. бесконечно малая.
18

Отношение этих двух величин и его предел
lim ^ = lim Ax lim D-) = ». B.8)
Поскольку отношение двух величин стремится к бесконечности,
в ряде случаев удобно положить Ах -* оо (в противовес dx -* 0).
Итак, сочетание признаков — Ах — конечная величина и
lim ? = т _ B.9)
d
приводит к непротиворечивому допущению Ах -*¦ оо. Условие B.9)
приводит к следствию 3 и зависимости B.7).
В свете полученных выводов с учетом зависимостей B.1)-1—B.9)
рассмотрим модели ТТО и пластин, поскольку в них используются
разновеликие параметры ds -* 0, t — конечная величина, R » t;
ds »t [10, 20, 28, 31].
Современная ТТО построена на введении следующих исходных
положений:
1) при определении формы оболочки за основу принимается ее
срединная поверхность [1, 5, 20, 26, 28];
2) оболочка — тонкое искривленное тело, ограниченное двумя
лицевыми поверхностями [21 ];
3) модель оболочки принимается в виде, представленном на
рис. 1.1 [26];
4) соотношения для построения теории базируются на подобии
криволинейных фигур (треугольников, образованных лицевыми по-
поверхностями и радиусами) [28 ];
5) зависимости для деформаций построены для лицевых или
параллельных им поверхностей [1, 5, 20, 26, 28];
6) средние усилия и моменты сопоставляются с деформациями
для лицевых или параллельных им поверхностей, т. е. усреднен-
усредненные — с дифференциальными [20, 28 ];
7) в основных зависимостях отношение п/ Rt (и — нормальная
координата, Rt — радиус кривизны) принимается малым по срав-
сравнению с единицей [5, 20, 28].
Рассмотрим степень внутренней связи элементов системы! об-
образующей основу ТТО. Модель оболочки (рис. 1.1) свидетельствует
о том, что в теории негласно допускается
{ДSi, 2 -* 0} » {t = 2А » 0}, B.10)
т. е., по определению, Д$ — бесконечно малые величины; t —
конечная величина.
Тем самым в теорию вносится неустранимое противоречие, за-
заключающееся в допущении о том, что бесконечно малая величина
2* 19

много больше конечной. В свою очередь это противоречие приводит
к выводу, что элемент оболочки имеет достаточную протяженность
вдоль гауссовых параметров а, 0 и его нельзя считать окрестностью
точки (As; — 50.
В этой связи отметим следующее:
— на криволинейной поверхности евклидово пространство су-
существует только в малой окрестности точки [38 ];
— уравнения совместности деформаций существуют только тог-
тогда, когда состояние среды соответствует евклидову пространству
[38];
— в неевклидовой геометрии нарушается подобие треугольников
[36 ], т. е. при ASi > t ничего нельзя сказать о зависимостях, свя-
связывающих параметры ТТО (компоненты напряженного, деформи-
деформированного состояния, перемещения, длины линий, радиусы) [5, 28 ].
Отсюда следует, что система взглядов ТТО, построенная на
подобии фигур в малом, рассыпается, и нужна система, построенная
на других посылках.
Проследим взаимосвязь элементов системы ТТО далее. Поло-
Положения 2—4 обосновывают исходное положение / о срединной по-
поверхности оболочки как опорной и определяющей ее геометрию.
Но эти положения диктуют конечность размеров элемента оболочки
ASj (ASi > t). Только в этом случае можно принимать положение 1.
Отсюда следует вывод: положения 2—4 ТТО приводят не к диф-
дифференциальному, а к конечно-разностному характеру всей системы
взглядов ТТО.
Посмотрим, как должна выглядеть модель ТТО и вся система
взглядов при действительном удовлетворении условию
ds,
ds2
При выполнении условия B.11) имеем
{Asl2->0}«{t =2A»0}.
B.11)
B.12)
Рис. 2.1.
«Стержне-
«Стержневая» модель
оболочки
Модель элемента оболочки уже принимает вид, от-
отличный от представленного на рис. 1.1 (рис. 2.1). Это
уже стержневой элемент, пределом которого является
отрезок геометрической линии, т. е. площадь попереч-
поперечного сечения элемента стремится к нулю (по опреде-
определению [2] — к одномерному элементу). Но у одномер-
одномерного элемента нет срединной поверхности, так как она
стягивается в точку. В этом случае мы можем говорить
лишь о середине стержня, ведь его торцы нулевой тол-
толщины имеют большой набор кривизн, в том числе и
нулевую.
Такая дифференциальная модель ТТО дает возмож-
возможность видоизменить постановку задачи и построить диф-
20

ференциальные уравнения равновесия, как и для стержней [3].
Таким образом, более детальное рассмотрение исходных поло-
положений ТТО приводит к выводу о двух возможных вариантах ТТО:
— конечно-разностном (положения 1—4, зависимость B.10),
рис. 1.1),
— дифференциальном (рис. 2.1, зависимости B.11), B.12)).
Сопоставление положений 5—7 и результатов их применения
в ТТО свидетельствует об отличиях в методологиях ТТО и теории
плоского напряженного состояния [30, 38], так как в последней
связываются интегральные характеристики. Кроме того, построение
средних моментов Мср относительно поперечных осей ё,, ё2 [5, 20,
28 ] оправданно только в конечно-разностном подходе (As, » t); в
дифференциальном — по определению стержня [30 ] даже в МКЭ
[39] величину Мср не рассматриваем, и при условии B.12) приходим
либо к безмоментной теории, либо к теории плоского напряженного
состояния и к возврату в евклидово пространство.
В свою очередь, это позволяет ввести понятие «потенциального
двумерного потока», подготовленное, с одной стороны, теорией пло-
плоского напряженного состояния, с другой, — ТТО, так как средние
величины F и М символизируют распространение потока НДС в
тонком теле, ограниченном лицевыми поверхностями. Этот поток
делится на две составляющие: нулевого порядка Мср = 0 (изгибная)
и первого Fcp (осевая).
Посмотрим, к чему приводит вариант, используемый в класси-
классической теории оболочек:
Д5нар,внутр ~ д^нар.внутр >> ^ ^^
который констатирует, что Д«а,^—конечные величины.
Отсюда следует — оперировать с ними, как с бесконечно малыми
величинами, нельзя, нельзя и составлять дифференциальные урав-
уравнения равновесия и неразрывности.
Поскольку в исходные системы входят производные первого
порядка, запишем, например,
% Lx), B.14)
где О (Ах) определяет порядок погрешности,
или ?|,-(Л+1-*»)/Д*. <2.15)
Разрешающие уравнения в конечных разностях представятся
О. B.16)
21

Следовательно, исходные разрешающие уравнения ТТО и пла-
пластин в классическом варианте (в соответствии с моделью рис. 1.1)
должны быть записаны не в дифференциальной, а в конечно-раз-
конечно-разностной форме. Но это, в свою очередь, требует, с одной стороны,
оценки размеров конечного элемента оболочки (пластины), с дру-
другой, — оценки границы работоспособности дифференциальной и ко-
конечно-разностной форм. Как следствие, следует спрогнозировать
появление какого-то нового варианта теории, удовлетворяющего
классической дифференциальной форме представления зависимо-
зависимостей.
Рассмотрим перечисленные вопросы в порядке их постановки.
В соответствии с B.15) и B.16) запишем систему уравнений без-
моментной оболочки (обозначения по [20]):
ж
^LS +ABY =
B.17)
В соответствии с классической моделью (рис. 1.1) необходимо
решать систему конечно-разностных B.17), а не дифференциальных
уравнений. Отождествление же системы B.17) с аналогично вы-
выглядящей системой дифференциальных уравнений требует матема-
математического обоснования и разрешения противоречий в соотношениях
B.10) и B.12). В классической ТТО и пластин этот анализ отсут-
отсутствует.
В этой связи рассмотрим со-
соотношение между «конечно-раз-
«конечно-разностными» и дифференциаль-
дифференциальными производными (рис. 2.2).
Отличие «конечных» производ-
производных вперед, назад и центральных
в соответствии с B.14) от диф-
дифференциальной является функ-
функцией О (Ах). И тем не менее,
несмотря на конечно-разностный
характер разрешающих уравне-
уравнений B.17) использование диффе-
дифференциальных соотношений, не
следующих из принятой модели
оболочки, дает достаточно устой-
устойчивые результаты. Это может быть следствием комплекса причин:
— устойчивостью определения (см. рис. 2.2) величин разных
производных в районе точки А;
Рис. 2.2. К определению производных
функций <р (х)
22

— достаточно большой нечувствительностью теории оболочек к
флюктуациям многих составляющих ее элементов, отмеченной
И. Н. Векуа [8],
— ограничением соотношения t/R < 1/50, принятом в теории.
Действительно, для элемента оболочки принимается sin a — а.
Отсюда As = RAa при R > 50t. Соотношение sin a — а справедливо
в пределах а > 0,09 и не более. Таким образом, As — St. Отсюда
элемент с линейным размером 5/ допускается самой теорией. При
пользовании теорией с таким широким допуском следует иметь в
виду, что t — конечная величина и, следовательно, разрешающие
уравнения должны быть конечно-разностными.
Подобный вывод приводит к необходимости исследовать пове-
поведение функций во всем диапазоне изменения Ах вплоть до
Ах -* оо, т. е. асимптотическое поведение функций. Такой асимп-
асимптотический анализ свидетельствует о том, что используемые в ТТО
функции делятся всего на три класса:
Иш^=0; <2.18а)
lim ^= const; B.186)
ДЖ-. оо Д*
lim |? = оо. B.18в)
На основании зависимостей B.8), B.9) можно сделать вывод,
что модель классической ТТО (рис. 1.1) приводит к следствию
As"'B » ds и можно считать
AsHap'BHyTprfs-» оо. B.19)
Из этого вывода и вывода B.18) следует, что классическая
модель ТТО приводит к необходимости использования асимптоти-
асимптотического представления функций, описывающих НДС элемента. Из
B.18) нужно отбросить третьи функции. Рассмотрим случай B.18а):
На базе элемента As — st геометрические характеристики по-
поверхности могут принимать значения
—\ ' / = 0; —^ ' „' = const. B.20)
В случае B.18а)
23

В случае B.186) вид B.17) сохраняется. Для удовлетворения
условию B.186) аналогично случаям B.20) для компонент НДС
имеем
Л_[НДС} А {НДС} _ B.22)
A (a,/?) U> А(в.Д) -COI1St-
Для условия B.18а) преобразуем B.17) в зависимости от вида
А(А,Д) _-
А («. Л "•
J.+J+Z=o. B.23)
- 0,
Для условия B.186) получаем систему, аналогичную B.21).
Воспользовавшись обозначением B.7), запишем разновидности
системы разрешающих уравнений, приняв дополнительно следую-
следующие обозначения:
а {А, В}' = const; а {НДС}' = const;
аАр'; аВ;\ аТь„; aSa'e. B.25)
1 А (А, в) _0.
А («^) '
. . А {НДС} _ 0. ]\ Т2 _
1.2. Ax"^p! = const: оД/Г, + aA^S — аВ;тг + ABX = 0;
laB^S + aA^Tx + aApT2 + ABY = 0;
H + — + Z = 0 B-26)
24

'^ + AaSj + ABX = 0;
BaSJ +АаТ2'ц + ABY = 0;
Z± + Zl + z = 0; B.27)
о т Д {НДС}
2.2. V д/ = const:
Д (or, /S)
flBaTi + BaTia + aAJS + AaSp — aB^T2 + ABX = 0;
2aBJS + BaSa + aApTi + aA^T2 + AaT2'p + ABY = 0;
II + Ii + z = o. B.28)
Как видим, в асимптотическом представлении все дифференци-
дифференциальные уравнения перешли в алгебраические. Полученные резуль-
результаты позволяют сделать несколько выводов:
1. Классическая модель ТТО приводит к возможности исполь-
использования асимптотических преобразований.
2. Асимптотические преобразования переводят дифференциаль-
дифференциальные уравнения в алгебраические.
3. Разрешающие уравнения разделяются на уравнения затуха-
затухающего НДС и линейно изменяющегося.
4. Для использования аппарата дифференциального исчисления
необходимо построение новой модели оболочки.
С учетом полученных результатов о неизбежной конечности
элемента оболочки в рассматриваемой модели (рис. 1.1) исследуем
вопрос о выполнении условий неразрывности деформаций. В этом
случае зависимости должны выглядеть следующим образом:
B.29)
(обозначения приняты, как в работе [20]).
Уравнения неразрывности являются условиями интегрируемости
системы дифференциальных уравнений. В частности, для оболочек
в традиционной постановке этой системой является
± (Вх2) +^ - А (ЛгО) - М„ + АВ (| + ?, = 0;
25

? (Ве2) + М „<>> _ ? (Ав(Ц) _ || ?1 + ^ = 0;
Выполнение соотношений B.30) означает обеспечение геомет-
геометрической сплошности. Учитывая конечность элемента оболочки,
зависимость B.30) должна быть записана в виде
=0,
B.31)
Как видим, система уравнений неразрывности не обеспечивает
сплошности континуума. Для того чтобы уравнения сплошности
выполнялись, необходимо уменьшить размеры элемента оболочки
до dst << t (dst-*0), что противоречит классической модели ТТО.
Этот вывод свидетельствует о том, что конечно-разностной системе
уравнений равновесия, внешне похожей на классическую форму
записи, не соответствует условие сплошности, и система приводит
к разрывам в оболочке.
Итак, классическая модель включает в себя неустранимое про-
противоречие между системой уравнений равновесия и неразрывности.
Это означает, что она может привести к внутренней неустойчивости
всей системы взглядов в некоторых случаях, о которых говорилось,
к примеру, выше. Для преодоления этого противоречия и придания
всей системе ТТО внутренней устойчивости необходимо построение
модели, которая позволит обоснованно использовать аппарат диф-
дифференциального исчисления.
С учетом изложенного представим модель оболочки в ином виде
(рис. 2.1). В данном случае мы приходим к «стержневой» модели
теории оболочек. В ней выполняются все условия существования
оболочки [21 ]: это тонкое упругое тело; ограничено двумя лицевыми
поверхностями; t — малая, но конечная величина, t/R < 1/50). Рас-
Рассмотрим следствия, к которым приводит переход к новой модели.
1. Основной элемент оболочки — стержень, соотношение ребер
г» {dsu ds2], т. е. t/dsj^- <».
2. Ввиду малости лицевых граней элемента (dsi 2 -* 0) возможно
использование третьей квадратичной (дифференциальной) формы
[9].
3. Поле НДС «стержневой» модели с t/dst -*¦ оо и w = w (/г)
можно трактовать как некоторое обобщенное деформированное со-
26

стояние по аналогии с плоским деформированным состоянием, в
котором ет - О (что и наблюдается в оболочках).
4. Поле НДС оболочки можно трактовать как обобщенный по-
потенциальный двумерный поток.
Проследим, в частности, эти выводы на базе теории П. Ф. Пап-
ковича о плоской деформации. Применительно к модели, показанной
на рис. 2.1 (весьма длинное призматическое тело, загруженное
нормальными к его оси силами), запишем
и = и(х, у, п); v=v(x, у, п); w=w(n). .B.32)
Зависимости для (и, v, w) в гармонических функциях
П. Ф. Папковича примут вид
Ф1 = <&1 (х, у, п); Ф2 = Ф2 (х, у, п);
Ф3 = Ф3 (и); Фо = Фо {х, у) + Фо (я); B.33)
и = ф1 —
v = ф2 —
или
1
4A -,
1
4A-,
1
4A-/
U = й\
v = bi
д
ц) дх
д
д
(х,
(х,
W =
[хф
¦[>
и
У)
У)
с
:Ф
:Ф.
+
+
+
1 + У®
_|- уф
. _|- уф
а2 {х,
Ь2 (х,
с2п.
'2 +
у)п
у)п
Фо {х
Фо(х
мФз -
¦, У) У,
, у) ];
f Фап
B>34)
B.35)
В конечном итоге компоненты деформации ет = 0; напряжение
п„ не оказывает существенного влияния на е„, ew. Остаются су-
существенными компоненты Хх, Yy, Ху, затем Уя, Х„. Распределение
усилий Хх и Уу в этом случае позволяет вывести закон
{Хх, Yy} ел const, (n) +const2 (n)n. B.36)
На основании анализа, проведенного в первой и второй главах
[уравнения для оболочек A.6), A.25), B.12)], построим один из
возможных вариантов математической модели ТТО с учетом сле-
следующих исходных положений:
— используется изометрическая система координат;
— ТТО — двумерный аналог задачи теории упругости на по-
поверхности;
27

— в качестве исходных соотношений берутся соотношения те-
теории упругости для бесконечно малого элемента модели рис. 2.1:
= 0; 2 #")]*») = 0; 2 Э(з*)/хз*) = о, B.37)
где д — дифференциальный оператор первого порядка; Р — компо-
компоненты НДС;
— толщины, кривизны поверхности оболочки и внутренних
контуров учитываются параметром /3 (III), в который входит третья
квадратичная форма поверхности. Этот параметр, учитывая диф-
дифференциальный характер соотношений, входит в потенциальную
функцию как независимый, позволяя тем самым задавать соотно-
соотношения толщин, радиусов оболочки и внутренних контуров на по-
поверхности ее независимо:
<р =p(a,jS)/S<III). B.38)
Заменив параметры Р по физическому закону д2 (<рк), где д2 —
дифференциальный оператор второго порядка; <р — потенциальная
функция, и перейдя в комплексную форму относительно параметров
z, I, получим разрешающее уравнение в виде- п-гармонического, а
с использованием итерационного метода [зависимости A.7),
A.20) —в виде гармонического уравнения A.6)]. Здесь /j (z);
/2 (z) — произвольные функции своих аргументов z, z, на которые
при решении задачи накладываются свойственные ей граничные
условия. Поскольку составляющие потока НДС удовлетворяют урав-
уравнению A.6), их определяют из соотношений [18, 27, 32]
{НДС}! « Re у (z); {НДС}2 « Im <p (z). B.39)
Изложенный подход применим и к выводам исследователей,
формулировавших методологию решения задач механики деформи-
деформируемого тела, в частности, теории оболочек, а именно:
A. Н. Крылова о единой природе задач гидромеханики и теории
упругости (отсюда — принципиальная возможность снижения по-
порядка уравнений),
Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили о потенциалах в мате-
математической теории упругости,
Л. И. Седова о необходимости поиска инвариантных разреша-
разрешающих уравнений,
B. 3. Власова, А. Л. Гольденвейзера, В. В. Новожилова о
необходимости использования потенциальных функций, снижения
порядка уравнений,
И. Н. Векуа о необходимости использования в теории оболочек
теории обобщенных аналитических функций и построении на этой
основе новых моделей, в том числе без соотношений упругости.
28

Технические приложения теории
В соответствии с теорией потенциала, перейдя к комплексной
форме записи разрешающих уравнений и их решений, получим
комплексный потенциал
W = Ф +№. C.1)
Рассмотрим частные случаи.
1. Прямолинейный поступательный поток характеризуется
Ф = кйх; У = kQy; W = Ф + № = kQz. C.2)
2. Неравномерный поступательный поток
ко = ко + ку; ф = (ко1 + Щх\
? = (ki + ky)y; W = (ki+JLlm Z)z. C.3)
3. Сдвиговой поток
Ф = *оУ, ? = кох; W = ikoz. C.4)
4. Равномерный поток со сдвигом
W = ko{\ +i)z. C.5)
5. Неравномерный поток со сдвигом
W = [ко'{1 +i) +AImz]z. C.6)
6. Источник
ф =к0 V4; * = —Аь V4; ^ *о 7
7 C'7)
7. Диполь
ф =
8. Экспоненциальный источник
Ф = е* cos у; ^ = 6х sin у; W = е2. C.9)
9. Обобщенный экспоненциальный источник
Ф = хе? cos у — ye* sin у = е* (х cos у — у sin у);
29

Ч? = ye* cos у + xe* sin у = е* (у cos у + x sin y);
Ж = ze*. C.10)
10. Экспоненциальный диполь
ф = ka (x + xe* cos у —ye* sin y);
"^ = &o (У + ye* cos у + xe* sin y);
W =kuz(\ +<?). C.11)
В приложении к частным задачам W означает:
W = kaz — одноосное растяжение—сжатие;
W = (ко + к Im z)z — изгиб;
W = ikQz — сдвиг;
W = ко A + i)z — растяжение—сжатие со сдвигом;
цг _ ^ I — всестороннее растяжение—сжатие;
W z= к (z + —) — концентрация напряжений при растяжении—
z сжатии около отверстия;
W = е* — изменение напряжений в районе особенностей
конструкции типа прерывистой связи;
W = ze? — обобщение предыдущего случая;
W = kz A + ег) — обобщение предыдущего случая.
Изометрические координаты на поверхности обладают важным
свойством: при конформном отображении семейство изометрических
координатных систем инвариантно. Это означает [9], что если
W(z) = ф + № = <р (W), (W = Ф' + №'); C.12)
то
ds2 = Л2 (</Ф'2 + <W2). C.13)
Благодаря этому можно анализировать свойства сетки координат
на широком круге поверхностей. В частности, на поверхности по-
положительной кривизны (К > 0, К — гауссова кривизна) вторая квад-
квадратичная форма
II = KJs2 = Л, [dx2 + dy2) (Л, * 0). C.14)
Относительно этой системы координат
Ьц = Ьгг = Л, и Ах = ± VKa. C.15)
При конформном отображении соблюдается соотношение
AJzdz =Atfz'dz'. C.16)
30

В случае торсов воспользуемся соотношением, связывающим
среднюю кривизну поверхности Н и метрические коэффициенты
второй квадратичной формы Ьи, Ъгг
2Н = Ьп + Ьгг. C.17)
Отсюда Ах = Н, поэтому можем записать
C.18)
т. е. изометрическая сеть на поверхности торсов не зависит от
формы их поперечного сечения.
Основываясь на уравнениях Гаусса и Петерсона—Кодацци,
получаем соотношения для кривизны К в функции от Л для торсов.
Имеем
?о C.19)
dz Л аг ¦
в тензорной или скалярной форме
Н =К2/2 и <2 = #. C.20)
Учитывая, что для торсов [9] Л =1, получаем
M = _i?=o C.21)
dz dz
Отсюда
Зависимость C.22) свидетельствует о том, что из уравнения
Петерсона—Кодацци следует инвариантность Кг при выводе и ис-
использовании разрешающих уравнений. Последующее конформное
преобразование учитывает фактическую кривизну сечения торсов.
В качестве примера можно привести решение полубезмоментной
задачи [ 1 ].
Для возможности решения задач на более широком круге по-
поверхностей введем следующее положение: образом данной поверх-
поверхности, учитывающим как характеристики линий на ней самой, так
и параметры ее кривизны, является зависимость
z=w(C), C.23)
где z = zx + iz2; ? = Ci + ?г-
31

Рассмотрим последовательный ряд поверхностей и проследим
изменение зависимостей, связывающих их образы C.23). Имеем:
плоскость
z =«(?); C.24)
поверхность нулевой гауссовой кривизны
z =c? + ic2; C.25)
сферическая поверхность
z=cib(Ci+0; <3-2б)
поверхность вращения
z=c,o> (k)(&+i); C.27)
любая регулярная поверхность
z =с,й>2(С2) [о», (Ci) +i]. C.28)
В частности, для торса Л = 1. Для сферической поверхности
Л = 2R2. Сопоставление полученных зависимостей с данными, при-
приведенными в [8] для случая пологой сферической оболочки
(Л = 4Л2), свидетельствует об их совпадении с точностью до по-
постоянного множителя.
На этой основе запишем: обобщенным образом поверхности
является зависимость для коварианта поверхности
zz = c, C.29)
где z сопряжена с z; с — некоторая константа, характеризующая
данную поверхность.
Частными случаями C.29) являются: при с = О — плоскость, при
с = 1 — торс, при с = 2 — сферическая поверхность. Из рассмотрения
следствий C.29) приходим по сути дела, с одной стороны, к понятию
третьей квадратичной формы поверхности, с другой — к ковариант-
ной форме записи уравнения поверхности, обобщающей понятие
индикатриссы Дюпена.
Таким образом, предлагаемая трактовка позволила выявить чет-
четкую связь между понятием третьей квадратичной формы поверх-
поверхности и ее характеристикой — индикатриссой. Условие C.29) удов-
удовлетворяет теореме о существовании изометрической системы коор-
координат на любой поверхности [9], т. е. системе Коши—Римана,
которая в комплексной форме записывается так:
# = 0 C.30)
дг
32

Рассмотрение общих методов решения задач теории оболочек
[3, 4, 15] позволяет сделать вывод о том, что для данных видов
тонких или пологих оболочек (класса TS) разрешающее уравнение
можно свести к уравнению C.30) или его эквиваленту. Эти урав-
уравнения инвариантны относительно конформного отображения коор-
координат. Последнее обстоятельство во многом усиливает теоретиче-
теоретическую обоснованность использования преобразования координат при
решении задач ТТО.
Отнесем тонкую упругую оболочку к гауссовым параметрам (z,;
z2). Проанализируем два варианта подхода к решению задач о ее
НДС. В качестве первого применим метод [8] с разделением НДС
на поперечное и тангенциальное. В этом случае запишем
А =п- C.31)
где q = а — дискриминант метрической формы поверхности; а' —
усилия.
Уравнение C.31) в применении к торсу примет вид
-4~ dz [Vg (Р" -Р22 — ИР12) - А(Рп — Р22- ИР12) —
vg
_ ЩР11 — Р22 — ИР12) =0, C>32)
где А = dz In VgVK; B = b\
b=\ (Г22 - Г}, + 2Г?2) - { (Г}, - Ца + 2Г!2);
Р*' — компоненты тангенциального поля напряжений; Г? — символы
Кристофеля; В — главный символ Кристофеля.
Для дальнейшего воспользуемся свойствами торсов: Тп = 0;
Гц = Г22 = 32Л; Л = 1. Следовательно, Гп = Г22 = 0. В этом случае
для цилиндрической оболочки получим А = 0, так как К = 0; В =
= 0, но в изометрических координатах В = 0. Следовательно, урав-
уравнение C.32) принимает вид
4~ dz [Vg {Р11 -Р22- 2iPn) ] = 0. C-33)
Vg
Введя обозначение Vg (Ри — Р22 — ИР12) = <р, получим
д/р = 0, C.34)
т. е. уравнение равновесия для тонкой, цилиндрической оболочки
тождественно уравнению Коши—Римана.
3 Зак. 1372 33

Рассмотрим подход, основанный на выводе о возможности вве-
введения в теорию третьей квадратичной формы. Введем критерий
толщины в виде
1 ±А(Ш) =1,
C.35)
где Ъ (III) — коэффициент третьей квадратичной формы.
Приняв аналогично сказанному во второй главе физический
закон A.5) и учтя локальность свойств третьей формы, придем к
зависимостям второй главы B.37)—B.39).
Проанализируем чистый или поперечный изгиб цилиндрической
оболочки прямоугольного профиля (безмоментное состояние). Из-
Изложенный подход приводит к такой схеме решения этой задачи.
Для круговой оболочки потенциальная функция Ф (С) запишется
в виде
Ф @ «> Щ;
C.36)
компоненты напряженного состояния определяются зависимостями
B.39).
Для призматической оболочки
Ф (С) = Ф [о) (С) ],
C.37)
где а) (?) — отображающая функция контура поперечного сечения
оболочки на круг.
Распределения нормальных напряжений вдоль периметра сече-
сечения прямоугольного профиля показаны на
рис. 3.1.
Рассмотрим направление решения за-
задач ТТО, начиная с задач длинных стер-
стержней, на основе разработанного подхода.
Их предстоит решать в такой последова-
последовательности: длинный стержень, круглая
пластина (сферическое изображение пла-
пластины — точка) с переходом на другие
формы пластины, круговая оболочка ну-
нулевой гауссовой кривизны (сферическое
изображение — дуга большой окружности
единичной сферы) с переходом к оболоч-
оболочкам со сложным контуром, сферическая
оболочка с переходом к оболочкам двоякой
кривизны (сферическое изображение —
окрестность некоторой точки на сфере),
оболочки (пластины) с круговым отвер-
отверстием с переходом к отверстиям со сложным контуром.
Длинные стержни. Зависимости для нормальных и касательных
а, х напряжений имеют вид
Рис. 3.1. Распределение нор-
нормальных напряжений по пря-
прямоугольному периметру по-
поперечного сечения оболочки
34

C.38)
где Р, М — проекции равнодействующих краевых сил; / — момент
инерции.
В качестве канонической формы поперечного сечения прини-
принимается круг. Для стержня любого профиля имеем зависимости
<г eo[...]Reo>(?); т и [...] Im o> (?). C.39)
Тонкие пластины. В качестве исходных положений при постро-
построении этого раздела примем следующие:
последовательный переход от стержня к пластине можно осу-
осуществить конформным отображением, представив w (?)в виде
о, (?) = i + с,С + с2С2 + СзС3 + ... + с?" C-40)
и подобрав соответствующим образом коэффициенты разложения
моделью пластины является балка-полоска,
каноническая форма пластины — круговая.
Поскольку балка-полоска в пластине занимает один из секторов,
используется суперпозиция, а НДС оболочки эквивалентно НДС
балки-полоски. Результаты расчетов сведены в табл. 3.1. В соот-
соответствии с принятой методологией, используя решение для круговой
пластины как канонической, решение для пластин иных очертаний
получаем отбражением заданного контура на круг. С учетом данных
табл. 3.1 и операторного соотношения (z (к)I-"' = к"и> (? (к)) находим
характеристики изгиба пластин иных очертаний. В табл. 3.2 при-
Таблица 3.1. Коэффициенты
углов
моментов, напряжений, прогибов,
поворота
Метод
расчета
Балка-
полоска
[31]
Балка-
полоска
[311
Моменты
центр
0,17
0,206
0,044
0.08
опора
1 1 1 1
центр
0,17
0,206
0,044
0,08
опора
III!
Напряжения
центр
1,02
1,24
опора
1 1 1 1
центр
1,02
1,24
опора
1 1 1 1
Про-
Прогибы
К
0,69
0,69
0,16
0,17
Углы
пово-
поворота
К-
0,083
0,096
35

Таблица 3.2.
Форма
пластины
Квадрат Щл^
Прямоугольник A:3)
/С (Галеркин)
Эллипс A:3)
К(Галеркин)
Прямоугольник A:5)
/С (Галеркин)
Коэффициенты моментов, прогибов и углов
в функции от <о (?)
Момент
0,17
0,206
0,45
0,476
0,5
0,433
0,76 (>0,5)
0,498
0,17
0,206
0,1
0,162
0,09
0,188
0,1
0,15
Прогиб
KW
0,69
0,69
1,84
2,14
2,1
1,88
3,1 B,28)
2,27
поворота
Угол поворота
%
0,83
ведены соответствующие результаты для свободно опертых пластин
с квадратным, прямоугольным и эллиптическим контурами.
Тонкие торсы. В соответствии с постановкой задачи положим
далее сферическое изображение поверхности в виде дуги большого
круга единичной сферы. В этом случае от пластины переходим к
цилиндрической оболочке. Переход к решению задач ТТО с ис-
использованием изометрических координат и третьей квадратичной
формы разобран в работах [13—17]. Этим способом определяются:
НДС не только в цилиндрических, но и в конических оболочках,
так как по отмеченным в [13] разрешающим уравнениям для торсов
можно придать аналогичный вид;
коэффициенты концентрации напряжений около отверстий
сложной формы в круговых цилиндрических и конических оболочках
при разных условиях нагружения (поверхностная нагрузка, изгиб,
растяжение—сжатие) [13, 15, 16],
коэффициенты концентрации напряжений около отверстий
сложной формы в некруговых (призматических) оболочках, решение
для которых аналитически было затруднительным по указанным
выше причинам.
Перейдем к конкретному примеру, иллюстрирующему возмож-
возможности предлагаемого подхода: концентрации напряжений около от-
отверстий в призматических оболочках. Для такой оболочки харак-
характерно влияние обобщенного краевого эффекта на коэффициент
концентрации напряжений. Особенно сильным это влияние стано-
36

вится при пересечении вырезом
асимптотической линии (рис. 3.2).
Это влияние может быть учтено сле-
следующим образом:
C.4D
Рис. 3.2. Вырезы в призматической
оболочке
где пH (?) — отображающая функ-
функция для круговой цилиндрической
оболочки; <о, (?) — отображающая
функция контура поперечного се-
сечения конкретной оболочки.
Известно, что зависимость для коэффициентов концентрации
напряжений в круговых оболочках, для которых решено основное
количество задач, можно представить в виде
C.42)
где /? (III) — безразмерный параметр, характеризующий относитель-
относительную величину размера отверстия;
(Ш) =
Rt'
C.43)
Здесь г0 — приведенный радиус отверстия; R — радиус оболочки;
<р (?) — потенциальная функция суммарного поля около отверстия,
определяемая из решения гармонической задачи [13]; ю (?) —ото-
—отображающая функция контура выреза.
Для призматической оболочки, в которой существенно влияние
обобщенного краевого эффекта, зависимость для а видоизменяется
с учетом этого обстоятельства:
а = а0 [1 + Дш (?) ] = а0 [1 + <п, (?) - Шо (?) ],
C.44)
где а0 — коэффициент концентрации напряжений для плоской за-
задачи (вырождение третьей квадратичной формы в точку); Ш (?) —
безразмерная отображающая функция.
37

Величина Дш (?) может рассматриваться как характеристика,
учитывающая работу оболочки, в составе которой пластина приоб-
приобретает новые качества, отличные от тех, что она имеет при работе
изолированно. Сопоставление зависимости C.44) с зависимостью
C.42) свидетельствует о том, что в данном случае выражение C.44)
эквивалентно /8 (III):
C.45)
C'46)
C.47)
[1 +Дш(?)] с»,
Для оболочки квадратного профиля сечения [371
«1 (С) ел С —0,167^ + 0,08 -у — 0,006 4г
? ? ?
и трапециевидного профиля [12]
e>i (С) «> ? + 0,264 ? — 0,082 \ — 0,094 -^
На рис. 3.3 и 3.4 приведены контуры сечений оболочек и
графические зависимости Re Дсу (?) = / @)для двух случаев нагру-
жения (растяжение и изгиб) горизонтального пояска (П — палуба)
и вертикальной стенки оболочки (Б — борт)..
<7,3
0,2
0,1
ч
/
f
30 20 10 0
Рис. 3.3. Зависимости Re Ыо (?) =
= / (в) для растяжения оболочки
0,3
0,2
0,1
50 W 30 20 10 0 В
Рис. 3.4. Зависимость Re Дсп (?) = / (в)
для изгиба оболочки
30
п
-^
0
I
Тонкие оболочки двоякой кривизны. Сферическое изображе-
изображение — окрестность некоторой точки на сфере. Сведения об образе
такой оболочки приведены выше [см. C.28) ]. В табл. 3.3 даны
результаты определения мембранного коэффициента концентрации
напряжений в оболочке двоякой кривизны, находящейся под нор-
нормальным давлением, около кругового и эллиптического отверстий.
Построение модели в соответствии с принятой методологией
должно завершиться оценкой стохастической модели на предмет ее
детерминированности. Для этого оценим с помощью зависимостей
A.26), A.27) отношения «сигнал/шум» 2f =t;/v, принимая за кри-
38

Таблица 3.3. Мембранные коэффициенты концентрации напряжений
в оболочке двоякой кривизны
Параметры
эллиптического
отверстия alb
1
2
3
1,09
4,18
6,28
7,3
jS (III) = /»
2,3
6,17
10,37
13,35
ro (' = 'о)
3,18
8,35
13,35
17,31
3,77
9,53
15,34
19,97
тическое значение ? = 1. Удовлетворение условию 2f» 1 будем
считать достаточным условием детерминированности модели.
Определим в качестве примера значение ? для призматической
оболочки квадратного профиля. Исходные данные: Н = В = 10 см,
W= 47,3 см3; Мизг = 16 445 кгс- м; ашсп = 35 МПа.
Отображающая функция контура поперечного сечения принята
в виде
«(С)=?-01{\ C.48)
В этом случае нормальные напряжения при ее поперечном
изгибе представятся в форме
а =
16 445-1,1 (cos 9 — 0,1 cos 39)
47,27
Значения напряжений приведены ниже
0°... О 10 20 30 40
о, МПа... 35 34,7 34,7 34 31,9
а графики о = f (в) — на рис. 3.5.
Для трапециевидного контура попереч-
поперечного сечения
= ? + 0,264? - 0,082?2 - 0,094?3. C.50)
Экспериментально полученное соотноше-
соотношение напряжений верхней и нижней фибр
реальной призматической оболочки трапеци-
евидного профиля составляет <гвф/<гнф =0,86.
Из расчета по C.50) также получаем это
отношение - 0,86.
45
30,9
C.49)
90
0
рис 3 5 Теоретическое
и экспериментальное рас-
пределения а\ =f(9) в
поперечном сечении
призматической оболочки
39

,мем
20
15
10
X
1
/
/
— 1
х 2
b=alb
Рис. 3.6. Сопоставление рас-
расчетных G) и эксперименталь-
экспериментальных B) значений амем = / (/=
- a, b\ a, b — полуоси эллип-
эллиптического отверстия)
Видим, что в обоих случаях отно-
отношение X» 1, т. е. модель позволяет
достичь результатов, близких к детер-
детерминистическим.
На рис. 3.6 приведены значения
а"™ в функции от k =a/b (a, b — полуоси
эллипса). Как видим, и здесь ? » 1. На
рис. 3.7 приведены величины a =f(fi,),
где а' = {амем, а1", а1}, полученные
расчетным и экспериментальным путем
для изменяющихся в широком диапазо-
диапазоне изменения отверстий в оболочке раз-
различных относительных размеров. И в
этом случае f » 1.
Сопоставление результатов оценки
параметра f свидетельствует о том, что
для принятой математической модели
отношение сигнал/шум велико. Это по-
позволяет принять гипотезу о детермини-
детерминированности построенной математиче-
математической модели.
В качестве последнего шага проверки
надежности модели спрогнозируем ре-
результаты, которые должны быть получе-
получены при применении любой теоретически
построенной системе взглядов.
Теоретически в соответствии с по-
построенной системой взглядов характер
эпюр W (в) и М (в) для оболочек раз-
различных типов должен быть таким, как
5 10 12,25
1, Д 2, х 3, + U
Рис. 3.7. Сопоставление расчетных G) и экспериментальных
значений а = +фг) B — амем; 3 — аизг; 4 — а1)
40

показано в табл. 3.4, и уже, опираясь на эти прогнозируемые
данные, можно предсказать распределение компонент НДС в обо-
оболочках сложного профиля при нормальном давлении.
Таблица 3.4. Характер эпюр w(B) и М(в) для конструкций разных типов
Параметр
Характер зпюр
для конструкции вида
М(в)
В качестве еще одного приме-
примера прогноза определяем нормаль-
нормальные напряжения на контуре тра-
трапециевидного выреза в верхней
палубе корпуса корабля при его
общем изгибе на волне.
Распределение их показано на
рис. 3.8.
'норм
Рис. 3.8. Трапециевидный вырез в верх-
верхней палубе и распределения нормальных
напряжений по его периметру при из-
изгибе корпуса корабля

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Модель теории тонких оболочек, предложенная в настоящей
работе, позволяет представлять НДС оболочки в виде двумерного
потока в слое, ограниченном поверхностями (+Л; —Л), а также
вводить меньшую по сравнению с классической моделью ТТО сте-
степень усреднения компонент НДС. При этом становится возможным
использовать действительно локальные свойства математической
модели (Д^-*0), перейти к теории, рассматривающей третью квад-
квадратичную форму поверхности и упростить разрешающие уравнения,
снизить их порядок, привести к инвариантному относительно пре-
преобразования координат виду.
Таким образом, мы подходим к решению ряда задач ТТО, для
которых аппарат классической теории либо непригоден, либо не-
недостаточно обоснован (входит в область конечных разностей), либо
требует специальных приемов расчленения оболочки.
Естественно, все подводные камни, которых в теории оболочек
множество, в настоящей работе не выявлены и тем более не убраны.
Неообходимы поиски новых путей совершенствования методов те-
теории тонких оболочек, что подтверждает комплексный анализ уров-
уровня теории и ее духа.

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аксельрад Э. Л. Гибкие оболочки. М: Наука, 1976. 376 с.
2. Амиро И. Я., Заруцкий В. А., Поляков П. С. Ребристые цилиндрические
оболочки. Киев: Наукова думка, 1973. 248 с.
3. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. 607 с.
4. Богданофф Дж., Козин Ф. Вероятностные модели накопления повреждений.
М.: Мир, 1989. 343 с.
5. Ван Цзи-Де. Прикладная теория упругости. М.: Физматгиз, 1959. 400 с.
6. Васильев В. В. О теории тонких пластин//Изв. РАН МТТ. 1992. № 3.
С. 26—47.
7. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.—Л.:
Гостехиздат, 1948. 296 с.
8. Он же. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории
оболочек. М.: Наука, 1982. 185 с.
9. Он же. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.
296 с.
10. Власов В. 3. Общая теория оболочек. М.—Л.: ГИТТЛ, 1949. 784 с.
11. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих
оболочек. М.: Наука, 1989. 373 с.
12. Головешкин Ю. В. Об одном методе получения функции отображения для
несимметричных кусочно-линейных контуров на внутренность единичного круга//Де-
понирована: МРС «ТТЭ», Сер. «0», 1983. Вып. 11.
13. Он же. Концентрация напряжений около круговых и эллиптических отвер-
отверстий в тонкой конической оболочке при ее растяжении//Проблемы прочности. 1988.
№ 6. С. 123.
14. Он же. Решение задачи о концентрации напряжений около отверстий в
тонких оболочках нулевой гауссовой кривизны с использованием приведения раз-
разрешающего уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению отности-
тельно комплексного переменного//Проблемы прочности. 1989. № 11. С. 114—118.
15. Он же. К расчету стрингерных цилиндрических оболочек с помощью метода
усреднения//Прикл. механика. 1989. Т. 25. № 11. С. 116—119.
16. Он же. Теоретические основы определения концентрации напряжений около
отверстий в тонких оболочках//Проблемы прочности. 1990. № 8. С. 42—46.
17. Он же. Об одном приложении теории потенциального двумерного потока
к задачам теории пластин и оболочек//Проблемы прочности. 1990. № 10. С. 81—85.
18. Он же. Методы теории тонких оболочек в строительной механике надводного
корабля. СПб.: Судостроение, 1992. 174 с.
19. Головешкин Ю. В., Тузлукова Н. И. Трещиностойкость корпуса корабля.
СПб.: Судостроение, 1993. 102 с.
20. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: ГИТТЛ, 1953.
544 с.
21. Он же. Общая теория тонких упругих тел (оболочки, покрытия, проклад-
ки)//Изв. РАН МТТ. 1992. № 3. С. 5—17.
22. Он же. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек//Изв. РАН
МТТ. 1990. № 5. С. 126—133.
43

23. Гольденвейзер А. Л., Каплунов Ю. Д. Динамический погранслой в задачах
колебаний оболочек//Изв. АН СССР МТТ. 1988. № 4. С 152—162.
24. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.—Л.: ГИТТЛ,
1951. Т. 2. 544 с.
25. Лбов Г. С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных.
Новосибирск: Наука, СО, 1981. 160 с.
26. Методы расчета оболочек//А. Н. Гузь, И. С. Чернышенко, В. Н. Чехов и
др. Киев: Наукова думка, 1980. Т. 1. 635 с.
27. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории
упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1954. 647 с.
28. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 431 с.
29. Павилайнен В. Я. Комплексная форма уравнений Муштари—Доннелла—
Власова в теории оболочек//Новожиловский сборник/Под ред. Н. С. Соломенко.
СПб.: Судостроение, 1992. С. 11 — 17.
30. Папкович П. Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. 640 с.
31. Он же. Строительная механика корабля: В 2-х ч. Л.: Судпромгиз, 1941.
Ч. 2. 960 с.
32. Патрашев А. Н. Гидромеханика. М.: ВИ ВММ СССР, 1953. 719 с.
33. Пикуль В. В. К проблеме построения физически корректной теории обо-
лочек//Изв. РАН МТТ. 1992. № 3. С. 18—25.
34. Понятовский В. В. Об одном методе построения двумерной теории оболочек
с помощью полиномов Лежандра//Новожиловский сборник/Под ред. Н. С. Соло-
Соломенко. СПб.: Судостроение, 1992. С. 27—38.
35. Пытьев Ю. П. Математические методы интерпретации эксперимента. М.:
Высшая школа, 1989. 350 с.
36. Рыбников В. В. История математики: В 2-х т. М.: Изд-во МГУ, 1963. Т. 2.
333 с.
37. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий. М.—Л.: ГИТТЛ,
1951. 494 с.
38. Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2-х т- М.: Наука, 1973.
39. Справочник по строительной механике корабля: В 3-х т/Под ред. О. М. Па-
Палия. Л.: Судостроение, 1982. Т. 2. 462 с.
40. Schieck В., Pietrszkiewicz W. and Stumpf H. Theory and numerical analysis
of shells undergoing large elastic strains//Int Journal solids structures. 1992. Vol. 29.
N 6. P. 689—709.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ АВТОРА 3
ВВЕДЕНИЕ 4
Постановка задачи теории тонких оболочек 6
Дифференциальная теория тонких оболочек 16
Технические приложения теории 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ' . . 42
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 43

Научная литература
Головешкин Юрий Валентинович
ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Редактор Т. Ильичева
Художественный редактор А. Миронов
Технический редактор В. Никитичева
ИБ № 1753
ЛР № 010282 от 25.01.1993 г.
Подписано в печать 24.05.96. Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 3,0. Усл. кр.-отт. 3,25. Уч.-изд. л. 2,8. Изд. № 4619—94.
Тираж 300 экз. Заказ № 1372.
Издательство «Судостроение»,
191186, С.-Петербург, ул. М. Морская, 8.
Санкт-Петербургская картофафическая фабрика ВСЕГЕИ
199178, Санкт-Петербург, Средний пр., 72.
fTPj Ш Нри изготовлении книги использованы печатные краски
^|*J % "Торжокского завода полиграфических красок"