1/25

2/25

2021
Рекомендовано Методическим советом
Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по направлениям подготовки
01.03.01 – Математика (бакалавр),
01.04.03 – Механика и математическое моделирование,
02.03 .01 – Математика и компьютерные науки
С.В. Сизый
ЛЕКЦИИ
по
АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
3/25

УДК 514.12
ББК 22.151.54
С34
Сизый С.В
.
Лекции по аналитической геометрии.
—М
.
:
ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 256 с. — ISBN 978-5 -9221-1925-2.
Настоящее учебное пособие представ ляет собой переработанн ый конспек т
лекций по курсу «Аналитическая геометрия» для студентов Департамента
математики, механики и компьютерных наук Уральского федерального уни-
верситета. В пособии представлены три обязательных к изучению в первом
семестре первого курса раздела аналитической геометрии: алгебра векторов,
прямые и плоскости, квадрики. После каждой лекции приводится набор задач
для практических занятий.
Учебное пособие предназначено студентам математических специальнос тей
высших учебных заведений для первоначального, но весьма обстоятельного
знакомс тва с аналитической геометрией.
Рекомендовано Методическим советом Уральского федерального уни-
верситета в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучаю-
щихся по направлениям подготовки 01.03 .01 — Математика (бакалавр),
01.04.03
—
Механика и математическое моделирование, 02.03.01 — Мате-
матика и компьютерные науки.
Рецензенты:
директор Института математики и механики им. Н.Н. Красовского
УрО РАН д.ф.- м .н ., чл.- корр. РАН
НиколайЮрьевич Лукоянов;
заведующий сектором нелинейной вихревой гидродинамики
Института машиноведения УрО РАН д.ф.- м .н .
ЕвгенийЮрьевич Просвиряков
ISBN 978-5-9221-1925-2
c ФИЗМАТЛИТ, 2021
c С. В. Сизый, 2021
4/25

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для преподавате лей . ................................................... 5
Предисло вие для студентов . ........................................................... 12
Глава 1. Векторы .................................................................... 14
Вступление . Знакомство друг с другом . ........................................... 14
Лекция No 1 . ........................................................................... 16
1. Геометрические векторы. Аксиоматическое определение вектора,
линейное пространство . ................................................. 16
Лекция No 2 . ........................................................................... 35
2. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора в данном
базисе. Аффинная система координат . ............................. 35
Лекция No 3 . ........................................................................... 45
3. Деление отрезка в данном отношении . ................................. 45
4. Скалярное произведение векторов. Ломка мировоззренческих
стереотипов, навязанных в школе . ................................... 49
Лекция No 4 . ........................................................................... 61
5. Преобразование координат при замене репера . ....................... 61
Лекция No 5 . ........................................................................... 70
6. Векторное и смешанное произведения векторов в трехмерном
пространстве . ............................................................... 70
Лекция No 6 . ........................................................................... 81
7. Доказательство дистрибутивности векторного произведения от-
носите льно сложения векторов . ....................................... 81
8. Вычисление векторного и смешанного произведений векторов
через координаты сомножите лей в ортонормированном базисе 82
Глава 2. Прям ые и п лоскости .................................................. 88
Лекция No 7 . ........................................................................... 88
9. Семь типов уравнений прямой на плоскости в аффинной системе
ко ординат . ................................................................... 88
10. Теорема о геометрическом образе линейного уравнения Ax +
+By+C=0..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
95
Лекция No 8 . .......................................................................... . 100
11. Уравнение прямой в виде скалярного произведения. Угол между
прямыми . .................................................................. . 100
12. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Нормальное
уравнение прямой . ...................................................... . 102
13. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол от одной
прямой до другой . ........................................................ . 107
5/25

4
Оглавление
Лекция No 9 . .......................................................................... . 113
14. Плоскость в трехмерном пространстве, система координат —
произвольная аффинная . .............................................. . 113
15. Плоскость в трехмерном пространстве, система координат —
декартова прямоугольная. .............................................. . 120
Лекция No 10 . ........................................................................ . 129
16. Прямая в трехмерном пространстве, система координат — про-
извольная аффинная . .................................................... . 129
17. В котором рассматриваются некоторые практически важные
задачи про прямые в пространстве: угол между прямыми,
взаимное расположение прямых в пространстве; расстояние
от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми; об-
щий перпендикуляр к скрещивающимся прямым. Все события
разворачиваются в ортонормированном репере, поскольку он
наиболее привычен для инженеров и чаще всего используется
на практике . .............................................................. . 135
Лекция No 11 . ........................................................................ . 148
18. Пучок прямых на плоскости и пучок плоскостей в пространстве 148
19. Пример простейшей задачи линейного программирования —
максимизация выручки при выпуске двух типов продукции
в условиях ограниченности ресурсов . .............................. . 156
Глава 3. Квадрики на плоскости и в пространстве ................... . 167
Лекция No 12 . ........................................................................ . 167
20. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса . .......................... . 168
21. Директориальное свойство эллипса. Оп тическое свойство эл-
липса . ........................................................................ . 176
Лекция No 13 . ........................................................................ . 186
22. Гипербола . .................................................................... . 186
23. Парабола . ...................................................................... . 196
Лекция No 14 . ........................................................................ . 203
24. Классификация линий второго порядка на плоскости . .......... . 203
Лекция No 15 . ........................................................................ . 217
25. Асимптотические направления. Тип квадрики . .................... . 221
26. (Факультативный, для любопытных студентов.) Диаметры
и центр квадрики . ........................................................ . 230
Лекция No 16 . ........................................................................ . 236
27. Некоторые важные поверхности второго порядка . ................ . 237
Литература . ................................................................................ . 252
6/25

Предисловие для преподавателей
Зачем эта книжка
Учебников и пособий по аналитической геометрии много. Разных,
плохих и хороших, нацеленных на разные аудитории — как для буду-
щих профессионалов-математиков, так и для инженерных специально-
стей. Многие пособия учитывают специфику вуза и будущей специаль-
ности выпускника. Большинство учебников отличаются достаточным
охватом материала и корректным последовательным изложением.
Тем не менее, в условиях значительного уплотнения учебных пла-
нов и сокращения часов на аналитическую геометрию для математиче-
ских специальностей возникает необходимость выбора материала и его
компактного изложения. В учебном плане специальности «Математи-
ка» в Уральском федеральном университете аналитическая геометрия
стоит в первом семестре первого курса (2 часа лекций и 3 часа практи-
ческих занятий в неделю), что, конечно, вынуждает преподавателя «из-
ворачиваться», дабы успеть изложить хотя бы традиционные разделы,
используемые в других предметах и составляющие основу математиче-
ской грамотности будущего математика. Продолжительность первого
семестра 17 недель, где последняя неделя «пропадает» на зачетные
мероприятия, поэтому в семестре удается прочитать 16 лекций — ровно
столько их и содержится в этой книжке. Таким образом, первая при-
чина написания этой книжки — необходимость компоновки материала
и компактного изложения самых необходимых разделов аналитической
геометрии для обучения «математической грамоте» вчерашних школь-
ников, а ныне — первокурсников математических специальностей. Для
целенаправленного ликбеза молодого поколения, если угодно.
Вторая причина носит довольно «бюрократический» характер.
По непонятным мне мотивам при составлении учебных планов,
программ, модулей дисциплин и т. п . введено требование указывать
в списке рекомендованной литературы учебники и пособия возрастом
не старше 5 лет. Такое требование не лишено смысла применительно
к бурно развивающимся дисциплинам технологического и прикладного
характера (в частности, IT-отрасли), но касательно фундаментальных
дисциплин, составляющих незыблемую основу математического
знания, это требование выглядит сомнительно. Вряд ли за последние
пять лет что-либо могло измениться в общем виде уравнения прямой
на плоскости. И тем не менее, в требовании обновлять учебную лите-
ратуру есть и существенный положительный момент: написание новых
учебников приводит к развитию методики преподавания, появлению
7/25

6
Предисловие для преподавате лей
новых удачных способов изложения материала, обмену опытом между
преподавательскими школами различных университетов.
Для кого эта книжка
Во-первых, для студентов-первокурсников, во-вторых, для препо-
давателей. Постараюсь кратко пояснить, что и почему содержится
в книжке для каждой группы адресатов.
1. Эта книжка предназначена студентам, так как лекции читаются
студентам и именно для них они записаны подробно. В книжке содер-
жится не только строгий сухой математический материал (как в боль-
шинстве существующих учебников), но и «много слов», как это должно
быть на живой лекции. Неопытные первокурсники, еще не научив-
шиеся правильно вести конспект, традиционно переписывают в свои
тетрадки только то, что преподаватель написал на доске — формулы,
обозначения, схематичные рисунки, выжатые (в смысле литературного
текста) доказательства. За рамками их конспектов оказывается, порой,
самое важное — причины возникновения понятий, мотивация выполня-
емых действий, разъяснения преподавателя к каждому звену цепочки
математических рассуждений, объяснения рисунков и т. д. Поэтому
именно для студентов в этой книжке вся живая преподавательская
речь сохранена, записаны рассуждения, « лирические» отступления,
эмоциональные фрагменты. Мой преподавательский опыт показал, что
представленные здесь лекции слушаются первокурсниками с большим
интересом 1), поэтому я их и записал. Для первокурсников.
2. Это книжка для преподавателей, в особенности для начинающих
либо уже опытных, но получивших аналитическую геометрию в своем
учебном поручении впервые. Мне хотелось поделиться с вами, уважа-
емые коллеги, своим опытом. В этой книжке фактически приводятся
подбор и компоновка материала, подробно записан пример лекцион-
ного исполнения этого материала, вплоть до того, где и какие слова
говорить во время лекции, на каких разъяснениях заострять внимание,
что в этом предмете воспринимается первокурсниками легко, а что
вызывает затруднение. Преподаватель увидит в этой книжке разбивку
материала по времени, «чтобы все успеть». Облегчить лектору-препо-
давателю исполнение этого курса — одна из основных задач книжки.
Кроме того, после каждой лекции приводится ориентировочный список
задач для практических занятий по теме лекции (об этих задачах чуть
позже в этом предисловии). Этот список — не столько «задачник» для
студентов, сколько ориентир для преподавателей-ассистентов, ведущих
практические занятия. Список является указанием, задачами какого
типа хотелось бы подкрепить материал лекции.
1) Регулярное явление — первокурсники приводят ко мне на лекции своих
друзей, бывших одноклассников, поступивших в другие вузы, чтобы послушать
аналитическую геометрию.
8/25

Предисловие для преподавателей
7
Сразу следует предупредить читателя-преподавателя, что в моей
лекционной речи присутствует довольно много просторечных выраже-
ний, (порой, даже сленг и «новояз»), которыми изобилует общение
представителей современного молодого поколения в социальных сетях.
Русский язык меняется (в лучшую или худшую стороны — не будем
сейчас обсуждать, просто примем трансформацию языка как данность),
первокурсники разговаривают уже не на том языке, на котором мы,
люди старшего поколения, говорили еще лет 30 назад. Вчерашние
школьники гораздо быстрей и комфортней воспринимают математиче-
скую информацию в более привычном для них стиле общения, поэтому
я не гнушаюсь использовать в своей речи «их выражения».
В тексте моих лекций много фрагментов, которые, на первый
взгляд, «к делу не относятся». Как сказали бы педантичные привер-
женцы сухого академического стиля изложения: «в лекциях много
болтовни». Уверяю вас, это сделано намеренно, в силу особенно-
стей психологии восприятия современных первокурсников: невозмож-
ности длительное время сосредоточенно удерживать внимание на труд-
ном (или просто непривычном) материале, особенно в коллективе,
где всегда присутствуют отвлекающие моменты со стороны соседей;
пресловутое«клиповое»мышление,необходимостьчасторасслабля-
ться и т.д.
Психология восприятия первокурсников диктует свои особенности
к оформлению лекции как законченного произведения. Так, например,
в лекции должны быть «точки», которые психологически отмечают ее
начало и конец — своеобразные маркеры, означающие для студентов,
что «все, надо отложить посторонние дела и начинать работать» (а сту-
дент, вошедший в аудиторию после такого маркера, будет всеми вос-
приниматься как опоздавший). Как быть? Звонки ведь в университете
не работают! Я для себя нашел такое решение — в начале каждой
лекции я подчеркнуто громко повторяю одну и ту же фразу: «Здрав-
ствуйте, хорошие дети! Садитесь. Открыли тетрадки, пишем: “Сегодня
ХХ-е ХХ-бря, классная работа, лекция номер ХХ”». На первых лекциях
эта фраза воспринимается комично (как привет из средней школы),
и студенты из любопытства переключают свое внимание с посторонних
дел на меня. Потом студенты привыкают, и комичная фраза в начале
лекции начинает восприниматься просто как звонок на урок, сигнал
к началу работы. Первокурсники легко принимают такие юмористиче-
ские «правила игры» и с готовностью поддерживают их — были случаи,
когда я заходил в аудиторию, немного мешкая с началом лекции,
и слышал из заполненной аудитории чуть ли не хором: «Здравствуйте,
хорошие дети! Мы уже открыли тетрадки. . .» . В записи моих лекций
читатель-преподаватель отметит для себя много подобных моментов,
а уж использовать их или нет в своем общении с аудиторией или
придумать для себя нечто другое (многообразие возможных приемов
9/25

8
Предисловие для преподавате лей
велико) предстоит решать моему уважаемому коллеге. 1) Влюбом
случае современные реальности таковы, что сухое академическое ис-
полнение лекций, принятое у многих лекторов (и, вероятно, ошибочно
ассоциирующееся у них с математической строгостью изложения), во
многих случаях затрудняет как восприятие, так и усвоение материала
значительной долей современных первокурсников.
Я, конечно, далек от прямолинейного и наивного призыва лекто-
ров-математиков к «живому творческому подходу при подготовке и при
исполнении своих лекций». Но согласитесь, что когда живой и инте-
ресный в повседневном общении человек выходит к доске и словно
пораженныйкакой-тобациллойнудностипревращаетсяудоскивмо-
нотонного педанта, который сухо проговаривает доказательства фактов
из математического справочника, а потом еще и требует от студентов
их неукоснительного знания, — это печальное зрелище, вряд ли спо-
собствующее развитию интереса и любви к математике.
Чем объясняется выбор материала этой книжки
Необходимостьюэтифактызнать.Онииспользуютсявовсехсле-
дующих курсах на протяжении всего университетского обучения ма-
тематике. Меньший объем материала, чем изложено в этой книжке,
просто невозможен. Больший объем возможен, но вступает в действие
фактор ограниченности во времени: в рамках одного семестра больший
объем материала разъяснить на лекциях весьма проблематично.
«Привилегированные» столичные университеты страны, в которые
поступают особо одаренные выпускники средних школ, с большим
количеством баллов ЕГЭ, победители различных олимпиад высоко-
го уровня, могут позволить себе отдавать своим студентам на са-
мостоятельное изучение некоторые простые и традиционные разделы
аналитической геометрии либо излагать их на лекциях очень бегло,
полагаясь на уже достаточный уровень подготовки своих слушателей.
Взамен на аудиторных лекциях возникают более «экзотические» темы,
например фрагменты полилинейной алгебры, внешнее произведение,
поливекторы и т. д . При такой схеме преподавания первокурсники
1) Тем более что далеко не все «правила игры в лекцию» с первокурсниками
оказалось возможным записать в этой книжке. Например, каждого опоздав-
шего первокурсника (постучавшегося в дверь после фразы «Здравствуйте,
хорошие дети. . .») я прямо в дверях стараюсь огорошить вопросом типа «Когда
векторы перпендикулярны?» Если он ответил: «Тогда и только тогда, когда
их скалярное произведение равно нулю», он может войти. Иначе я отправляю
его обратно за дверь фразой, сказанной тоном адской школьной учительницы
(ставшей популярным интернет-мемом): «Выйди и зайди как следует!» Уверяю
вас , таким потеш ным способом удается весьма быс тро и эффективно вдолбить
в головы первокурсников базовые понятия аналитической геометрии, посколь-
ку аудитория сама начинает подсказывать правильный ответ опоздавшему
растяпе, и через пару недель уже все крепко запомнили правильные ответы
на подобные вопросы.
10/25

Предисловие для преподавателей
9
за один семестр успевают познакомиться с абстрактными и более
современными разделами математики, а итоговый объем материала
кэкзаменувозрастает.
Уральскому федеральному университету, где я работаю, тоже грех
жаловаться на поступающих абитуриентов; их уровень весьма и весь-
ма высок, но расслоение по степени предварительной подготовки
(да и по уровню увлеченности математикой, и по степени мотивации
к ее изучению, и, наконец, по умению самостоятельно учиться) весьма
значительно. В ответ на раздающееся порой ворчание преподавателей-
мизантропов: «какие тупые нынче студенты пошли, ничего не понима-
ют», я всегда возражаю — других первокурсников у нас нет и не будет,
а стране нужны квалифицированные специалисты, поэтому учить надо
всех, и одаренных, и не очень одаренных, причем учить качественно.
Для усредненного уровня студентов-первокурсников большинства уни-
верситетов страны я считаю неприемлемой схему преподавания предме-
тов, принятую в «привилегированных» вузах, поэтому в своей книжке
добросовестно собрал и старательно разжевал (с многочисленными
повторами) именно классические разделы аналитической геометрии,
самые необходимые, без которых дальнейшее математическое образо-
вание будет немыслимо. Цель курса — разъяснить студентам базовые
факты и обучить их решать именно стандартные задачи аналитиче-
ской геометрии. Не все же выпускники, в конце концов, впоследствии
станут профессиональными учеными-математиками 1):многиепойдут
работать в смежные специальности. А если наш выпускник-математик,
работая, например, в каком-нибудь конструкторском бюро, будет знать
внешнюю алгебру Грассмана, но не сумеет найти объем трехмерного
параллелепипеда с помощью определителя третьего порядка, то грош
цена такому выпускнику (с точки зрения конструкторского бюро).
Именно такими соображениями я и руководствовался при подборе
материала для своего курса.
Немного об устройстве книжки и курса
Хронометрически каждая лекция содержит столько материала,
сколько реально изложить за стандартные полтора часа у доски. Лишь
первая лекция в книжке несколько длиннее остальных — ее продолжи-
тельность — три академических часа. Она проходит в первую неделю
семестра, формально считается «установочной», и деканат выделяет на
нее чуть больше времени в расписании, поскольку в нашем универси-
тете это оказывается технически возможным осуществить — в первую
неделюещенепроводятсяпрактическиезанятияина«установочные»
лекции остается больше времени.
1) Будущих профессиональных математиков-исследователей видно сразу,
опытный преподаватель всегда найдет к ним индивидуальный подход в обу-
чении и не оставит их на уровне общего усредненного университетского
математического образования.
11/25

10
Предисловие для преподавате лей
Первое практическое занятие по аналитической геометрии на осо-
бом положении. Оно отличается от всех следующих практик тем, что
на нем не решаются задачи по теме первой лекции (ведь на тему
«определение вектора» и решать-то, собственно, нечего), а происходит
знакомство с важным техническим аппаратом — определителями вто-
рого и третьего порядка. Предложенный после лекции No1 примерный
список задач на первое практическое занятие демонстрирует, какие
сведения и навыки хотелось бы зафиксировать у первокурсников для
дальнейшего изучения аналитической геометрии.
Поскольку определители не входят в школьную программу, с ними
могут быть знакомы только выпускники каких-нибудь специализиро-
ванных лицеев с углубленным изучением математики, а выпускникам
обычных средних школ они внове. Ассистенту, ведущему практиче-
ские занятия, придется прямо на первой практике рассказать, что
определители — серьезный инструмент для работы с геометрическими
понятиями, что они постоянно возникают как в теоретических по-
строениях, так и при решении практических задач. Предстоит дать
необходимые определения, а затем показывать и обсуждать те свойства
определителей, которые первокурсники будут как бы самостоятельно
«открывать» при решении задач.
Я предпочитаю на первой практике давать детям следующие опреде-
ления. Конечно, определитель второго порядка вводится без вариантов:




a11 a12
a21 a22



 = a11a22 − a21a12;
а вот определитель третьего порядка вводится иначе,





a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33





= a11




a22 a23
a32 a33



−a12




a21 a23
a31 a33



+a13




a21 a22
a31 a32



,
разложением по первой строке.
Выписываяопределения,надопопутнообсудить,чтотакоематрица,
какая диагональ в матрице главная, какой смысл у индексов (номер
строки и номер столбца), когда между индексами запятая не ставит-
ся. Нужно научить правильно читать эти формулы. Особое внимание
предстоит уделить устройству формулы для определителя третьего
порядка и как ее запомнить, показать, что такое минор в определителе,
заострить внимание на том, что знак минус ставится тогда, когда сумма
индексов у элемента строки, по которой раскладываем, нечетная.
Разумеется, для нужд геометрии придется сообщить (пока без
доказательства, пообещав доказать позже) критерий компланарности
трех векторов в пространстве: три вектора компланарны тогда и только
тогда, когда определитель, составленный построчно из координат этих
трех векторов, равен нулю.
Очень полезно для дальнейших занятий показать и обсудить прави-
ло Крамера решения систем линейных уравнений. Естественно, на пер-
12/25

Предисловие для преподавателей
11
вом занятии достаточно будет лишь демонстрации того, как получается
правило Крамера для системы из двух уравнений с двумя неизвест-
ными — первокурсникам интересно будет увидеть, как, собственно,
исторически появились определители в математике. А уже для систем
из трех уравнений достаточно просто продемонстрировать правило
Крамера без доказательства, ссылаясь на аналогию.
Задачи ко всем следующим лекциям (начиная со второй) относятся
непосредственно к теме соответствующей лекции. Следует иметь в ви-
ду, что эти наборы задач носят условный характер и призваны, прежде
всего, показать: какие умения и навыки должны приобрести студенты
в результате изучения материала соответствующей лекции и какого
типа задачи надо научиться решать. Наборы задач после лекций ни-
коим образом не призваны заменить собой задачник по аналитической
геометрии, хотя, безусловно, каждый приведенный здесь набор задач
может составить полноценное практическое занятие. Домашнее зада-
ние все равно придется задавать, указывая номера задач, например
из задачника Моденова–Пархоменко.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему
коллеге и старшему товарищу, профессору кафедры алгебры и фун-
даментальной информатики Уральского федерального университета,
доктору педагогических наук Александру Георгиевичу Гейну. Он взял
на себя труд первого прочтения рукописи этой книжки как с целью
уничтожения первоначальных ляпов и ошибок, так и с целью высказать
общее впечатление от прочитанного. Его позитивные оценки во многом
способствовали моему решению эти лекции опубликовать. Спасибо!
13/25

Предисловие для студентов
Дорогие студенты! Я специально начал с предисловия «для препода-
вателей», зная, что вас разберет любопытство и вы его непременно про-
читаете — что же там такое преподаватели между собой про вас обсуж-
дают? Никаким другим способом заставить вас прочитать предисло-
вие невозможно — это традиционно пропускаемый студентами раздел
учебника, особенно в период лихорадочного пролистывания книжки
перед экзаменом. Если вы прочитали предисловие для преподавателей,
то этого достаточно — больше, собственно, в предисловии мне сказать
нечего. Все по-честному, в открытую. Никаких тайн у преподавателей
от вас нет; вы теперь знаете и цели этого курса, и для чего эти лекции
написаны, и сможете сообразить, как ими пользоваться.
Цель преподавателя — научить, донести до вас знания по пред-
мету, которые накопило человечество к моменту вашего поступления
в университет. У преподавателя нет задачи загнобить студента или
завалить его на экзамене, как ошибочно считают некоторые несмыш-
леные первокурсники и простаки постарше, далекие от образования
вообще. Наслушались глупых анекдотов на тему «профессор и студент
на экзамене» и считают, что в вузе все так и есть. Ребята! Отчислить
студента можно, только вот кто потом в нашей стране будет ракеты за-
пускать, спутниками управлять, связь налаживать, информацию защи-
щать, технологии развивать, науку вперед двигать? Студентов нужно
учить, а не отчислять! Ваша цель — получить знания, наша — донести
их до вас. Наши цели согласованы, поэтому мы с вами и пойдем вместе
по трудному пути университетского образования.
Первокурсники! Образование — это тяжелый труд! Высшее образо-
вание разительно отличается от обязательного среднего образования.
Школьные программы упрощены и адаптированы так, что их, особо
не напрягаясь, может усвоить каждый ребенок, даже весьма сред-
них способностей. Высшее же образование, грубо говоря, призвано
донести до вас всю совокупность знаний, накопленных человечеством
по выбранной специальности, и не важно — сложные эти знания для
освоения или нет. Поэтому среднее образование всеобщее, а высшее —
«для тех, кто смог». Несмотря на отсутствие у преподавателей цели
завалить или отчислить, расслабляться нельзя никак. Планомерные
занятия, самодисциплина, выполнение домашних заданий, постоянные
размышления о математике, о взаимосвязях новых для вас матема-
тических понятий (даже, например, во время поездки в трамвае из
университета домой) могут сделать из вас профессионалов-математи-
ков. В университете не прокатит, как в школе: домашку не сделал,
14/25

Предисло вие для студентов
13
а если вызвали к доске ее рассказать, то прямо у доски задачу решил.
Халява, откладывание заданий «на потом», списывание на экзамене,
разные прочие увертки в настоящем математическом образовании не
проходят, ибо если не усвоил материал сейчас, то не поймешь сле-
дующий предмет, где этот материал будет использоваться как уже
известный. Впрочем, я думаю, вы и сами понимаете, что халява проти-
воречит вашей главной цели пребывания в университете — получению
университетского математического образования. Придется трудиться,
и я полагаю, что многие из вас к этому готовы, поскольку любят
математику и занятия ею будут не в тягость, а в радость.
В конце предисловия добавлю еще только пару стандартных фраз,
традиционных для предисловий, — они информируют читателя об
устройстве дальнейшего текста. Текст настоящей книжки незатейливо
разбивается на три главы, а главы состоят из лекций (их 16 штук).
Каждая лекция содержит один или пару пунктов, общее число пунктов
составляет 27 штук. Каждый пункт освещает свою тему достаточно
полно, примерно так, как я хотел бы услышать эту тему из ваших уст
в ответе на экзамене. Пункты нумеруются подряд сквозь все три главы
и все лекции, а их названия образуют примерный список теоретических
вопросов к экзамену.
В лекциях приведено довольно много упражнений, а после лек-
ций — показательный список задач; именно задачи такого типа и надо
будет уметь решать на экзамене. Не гнушайтесь выполнять упражне-
ния и решать задачки, ибо человек начинает уютно чувствовать себя
в изучаемом материале только после решения нескольких задач.
Все обозначения в книжке совершенно стандартные и объясняются
каждый раз в момент их появления, поэтому приводить предваритель-
ный список нет надобности. Перед некоторыми абзацами в лекциях
встречаются смайлы
разных оттенков серого, они отмечают те
места, на которых автору хочется обратить особое внимание читателя.
Названия определяемых понятий и термины выделяются курсивом.
Бубновый туз , как правило, обозначает конец доказательства или
завершение некоторого важного фрагмента текста.
От всего сердца я желаю вам крепкого здоровья, хорошего на-
строения и успехов в освоении аналитической геометрии! Пусть ваши
первые шаги на пути профессионального изучения математики будут
удачными! В путь!
15/25

Глава 1
ВЕКТОРЫ
Вступление. Знакомство друг с другом
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь. Зовут меня Сергей Викто-
рович, я работаю профессором на кафедре алгебры. Боги послали меня
к вам, чтобы рассказать небольшой курс аналитической геометрии.
Конечно, меня послали не Боги, а деканат, но для вас это одно и то же,
особенно на первых порах обучения в университете.
Для записи конспектов понадобится обычная тетрадь в клеточку,
желательно потолще, 96 листов. Дело в том, что неопытные студен-
ты, записывая лекцию, машинально переписывают в тетрадь только
то, что преподаватель пишет на доске, а этого мало! Преподаватель
проговаривает довольно много объяснений так, что на лекции кажется
все просто и понятно, но потом, через пару–тройку месяцев, во время
подготовки к экзамену, многие объяснения просто забываются и перво-
курсника перед экзаменом охватывает ужас: «Господи, почему это так,
откуда это взялось, как понимать эту строчку в моем конспекте? А-а-а,
паника!» Поэтому желательно в конспект вносить не только формулы
с доски, но и слова преподавателя! Кроме того, надо будет делать
крупные и понятные рисунки (у нас же геометрия, как без рисунков?!),
а для всего этого нужна тетрадочка потолще.
Аналитическая геометрия изучает свойства и взаимосвязи простей-
ших геометрических фигур в разных системах координат с помощью
уравнений. Должен вам признаться, что тот кусок аналитической гео-
метрии, который я вам успею рассказать за один семестр, — это
не наука, а дисциплина. Если угодно, курс аналитической геометрии
является своеобразным ликбезом 1): я расскажу вам набор элементар-
ных сведений, которые постоянно используются в разных разделах
математики, поэтому их просто обязан знать каждый мало-мальски
грамотный математик. Свободное владение фактами из аналитической
геометрии для любого математика считается само собой разумею-
щимся, сродни школьным умениям раскрывать скобки и приводить
подобные.
1) Ликбез — ликвидация безграмотности.
16/25

Список подходящих учебников и задачников приведен в конце этой
книжки. Скажу сразу — для математиков (а не для инженерных специ-
альностей) я считаю самой хорошей книжку П.С. Александрова «Лек-
ции по аналитической геометрии». Идеально будет изучать предмет
по ней, но она толстая! Аж 911 страниц! Там много материала, который
останется за рамками нашего курса, то есть, если вы будете готовиться
к экзамену по этой книжке, то вам еще придется потрудиться найти
нужные разделы и нужные доказательства. Кроме того, я в своих
лекциях многие факты и доказательства расскажу по-другому, иногда
не в той последовательности, постараюсь проделать все быстрее и,
по возможности, проще. Поэтому советую все-таки аккуратно вести
конспект — пусть он и будет основным вашим пособием при подго-
товке к экзамену. А вот задачник на практических занятиях мы как
математики однозначно будем использовать тот, лучше которого пока
никто ничего не придумал: П.С. Моденов, А.С. Пархоменко «Сборник
задач по аналитической геометрии». Это классика.
Договоримся о специальных символах в тексте лекций, которые
призваны привлечь ваше внимание, чтобы вы не пропустили важную
мысль.
Черненькая улыбающаяся рожица (выглядит страшновато, но уж
точно привлекает взгляд) будет отмечать важный абзац, теорему или
еще какое-либо утверждение, на которое нужно обязательно обратить
внимание, остановиться и задуматься.
Белая рожица будет обозначать ответ на вопрос, доказательство
утверждения или теоремы, итог рассуждений, итоговую формулу, ответ
на задачу.
А вот серенький стикер в тексте будет обозначать важное заме-
чание или наблюдение, которое не стоит обходить своим вниманием.
Определяемые термины я буду выделять курсивом. Знак бубнового
туза , прижатый к правому полю страницы, обозначает конец доказа-
тельства.
В своих лекциях я веду сквозную нумерацию пунктов, всего их бу-
дет 27 штук. Название каждого пункта — это теоретический вопрос
на экзамене, поэтому если вы аккуратно ведете конспект и не прогу-
ливаете лекции, то к концу семестра у вас в тетрадке автоматически
сформируется список вопросов к экзамену вместе с ответами на них.
Это придаст вам уверенности и внесет долю порядка в вашу неизбежно
суматошную жизнь перед сессией. Крепитесь! Все мы прошли через
круги сессионного ада на Матмехе 1), и вы пройдете! Радость познания
будетвамиутешениеминаградой!
Давайте начнем.
1) «Матмех» — Математико-механический факультет, таких в России два —
в Санкт-Петербургском университете и у нас, в Екатеринбурге. В МГУ (и кое-
где еще) традиционное название «Мехмат».
17/25

Лекция No 1
1. Геометрические векторы.
Аксиоматическое определение вектора,
линейное пространство
Векторы встречаются в математике на каждом шагу, а в геомет-
рии — через каждые полшага. Давайте с них и начнем.
Если спросить у любого выпускника средней школы: «Что такое
вектор?» , то в ответ прозвучит такое «определение»: «Вектор — это
направленный отрезок, палочка со стрелочкой», а в воображении воз-
никнет рисунок:
То ч к у A называют началом,точкуB — концом вектора, сам вектор
обозначают либо
−
−
→
AB (когда хотят указать его начало и конец), либо
просто одной маленькой латинской буквой со стрелочкой, например, 
a.
Возражений нет, так учат в школе, придется смириться. Однако мы
уже находимся в университете, поэтому можно смело поговорить и про
недостатки школьного определения вектора как «палочки со стрелоч-
кой», никто нас за это ругать не будет. Сделаю несколько замечаний
с целью уточнить школьное определение вектора.
Первое замечание. Честноговоря,самотрезок(какгеометриче-
ская фигура) в определении вектора ни при чем. Сам отрезок можно
нарисовать хоть пунктиром, хоть с дыркой посередине, хоть волнистой
линией или еще как-нибудь — суть не изменится, ведь нам важны
только начало и конец отрезка. Поэтому вектором правильнее было
бы назвать просто пару точек {A, B}, указав, какая из них является
«началом» (а другая автоматически станет «концом»). Загвоздка в том,
чтопростозаписатьвекторкакмножествоиздвухточек{A, B} недо-
статочно — это просто пара точек, не более. Из такой записи неясно,
какая точка является началом, ведь {A, B} = {B, A}, поскольку мно-
жества совпадают тогда и только тогда, когда они содержат одинаковые
элементы. Математики идут на хитрость.
Определение. Упорядоченной парой точек (A, B) называется
множество (A, B)={{A, B} , A}, состоящее из двух элементов: пары
точек {A, B} и отдельного выделенного элемента A, который и объяв-
ляется «началом» в паре {A, B}.
Призадумайтесь. Правда ведь, что теперь (A, B)

=(B, A),если,
конечно, точки A и B различные? Множества (A, B)={{A, B} , A}
и (B, A)={{A, B} , B} очевидно разные, они же содержат разные
элементы! Упорядоченную пару точек (A, B),вкоторойточкаA име-
нуется «началом», а точка B «концом», как раз и следовало бы назвать
18/25

Лекция No 1
17
«направленным отрезком» при школьном определении вектора. А вот
рисовать направленный отрезок в виде реального отрезка со стрелоч-
кой на конце действительно удобно, и мы не будем изменять этой
школьной традиции.
Второе замечание. Меня всегда высаживала школьная фраза
«один и тот же вектор можно отложить от любой точки». Рисуют
картинку
и говорят мне: «Смотри, это один и тот же вектор!» Да я что, похож
на сумасшедшего? Я же своими глазами вижу — тут нарисованы два
разных направленных отрезка, один повыше, другой пониже! Но мне
говорят: «Ты должен видеть, что вектор один!» Что-то тут не то! Сами
же провозглашают вектором направленный отрезок, и сами же имеют
в виду что-то другое. Уточним.
Определение. Два направленных отрезка называются эквивалент-
ными, если они лежат на параллельных прямых, имеют одинаковую
длину и одинаковое направление, то есть их можно параллельным
переносом (не поворачивая) так наложить один на другой, что их
начала и их концы совпадут.
Я прямо в определении попытался разъяснить, что в данном контек-
сте означают слова «одинаковая длина» и «одинаковое направление» ,
поскольку в школе понятия длины и направления не определяются
вовсе и считаются как бы данными свыше — нам еще предстоит с вами
разобраться, что такое длина и что такое направление.
Таквот,насамомделе,когдаговорят,что«вектор—этона-
правленный отрезок», подразумевают не один конкретный отрезок,
а бесконечное множество ему эквивалентных отрезков.
«Определение». Геометрическим вектором называется множе-
ство 1), состоящее из всех направленных отрезков, которые эквивалент-
ны друг другу.
Таким образом, вектором следует называть не один конкретный
направленный отрезок, а целое множество,вкоторомсобранывсе
направленные отрезки данной длины и данного направления. Любой
конкретный отрезок из такого множества называют представителем
1) Часто вместо слова «множество» в этом определении употребляют слово
«класс». Вам буквально на следующей неделе, в курсе основ алгебры, рас-
скажут про бинарные отношения и, в частности, про отношение эквивалент-
ности. Будет доказана теорема, что всякое отношение эквивалентнос ти раз-
бивает множество на непересекающиеся классы эквивалентных между собой
элементов. Это в точности то, о чем у нас сейчас идет речь — геометрический
вектор есть класс эквивалентных между собой направленных отрезков.
19/25

18
Гл. 1 . Векторы
вектора. Ура! Прекрасно, теперь разъяснилась фраза «вектор можно
откладывать от любой точки»: от любой точки можно нарисовать того
представителя вектора, у которого начало как раз в данной точке.
Смотрите рисунок ниже:
P
«Âåêòîð »
—
êëàññ âñåõ íàïðàâëåííûõ
îòðåçêîâ äàííîé äëèíû
è äàííîãî íàïðàâëåíèÿ
a
a
a
®
®
®
«Ïðåäñòàâèòåëü âåêòîðà ,
îòëîæåííûé îò òî÷êè ». Åãî-òî
Ð
â øêîëå è íàçûâàþò ïðîñòî
«âåêòîð », ÷òîáû íå ìóòèòü äåòñêîå
ñîçíàíèå. Â øêîëå ñêðûâàþò
—
îò äåòåé, ÷òî âåêòîð
ýòî
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî
ýêâèâàëåíòíûõ íàïðàâëåííûõ
îòðåçêîâ. Ìû òîæå ÷àñòî áóäåì
íàçûâàòü âåêòîðîì åãî îòäåëüíîãî
ïðåäñòàâèòåëÿ, íî òîëüêî äëÿ
ýêîíîìèè âðåìåíè.
a
®
Однако слово «определение» пока еще взято в кавычки, поскольку
впереди еще одно, третье замечание.
Тре тье заме чан ие . Исторически, конечно, векторы возникли
не в результате работы воспаленного воображения математиков, типа:
«а дай-ка, я что-нибудь такое придумаю, что потом будут изучать
и мурыжить этим студентов на экзамене!» Векторы появились в есте-
ственных науках, при изучении окружающего мира. Перемещение,
скорость, ускорение, сила — вот примеры реальных векторных величин
из физики; и ясно, что без них в науке никак.
А теперь внимание! Давайте пристально присмотримся к поведению
реальных векторов в дикой природе. Если я оденусь по-спортивному,
соберу рюкзачок и пешочком прогуляюсь от Екатеринбурга до Челя-
бинска, то мое перемещение есть вектор
−
→
ЕЧ, длина которого примерно
200 километров, но я опытный турист, и меня не пугают расстояния.
Если после этого, немного перекусив в Челябинске, я еще пройду
от Челябинска до Уфы (примерно 350 километров), то мое перемещение
будет вектор
−
→
ЧУ.Ипустьяпотрачувесьсвойотпускнапешую
прогулку, зато я личным примером продемонстрирую вам: в результате
моего хождения совершится перемещение из Екатеринбурга в Уфу!
Хочу я того или не хочу, будете ли вы «за» или «против», но векторы
перемещений
−
→
ЕЧи
−
→
ЧУ сами собой сложатся, вне зависимости от моих
и ваших желаний! Получится новый вектор
−
→
ЕЧ+
−
→
ЧУ=
−
→
ЕУ,означаю-
щий, что я переместился из Екатеринбурга в Уфу!
Еще пример: вот перед вами я ставлю на парту стул и начинаю
давить на него с силой 10 ньютонов в сторону двери (сила — век-
тор, у нее есть величина и направление). Стул начинает со скрипом
20/25

Лекция No 1
19
двигаться по парте в сторону двери, ничего удивительного. Отдыхаю
2 секунды и начинаю давить на этот стул с силой 10 ньютонов
в сторону доски — стул ползет в сторону доски. Внимание! А теперь
я одновременно начинаю давить на стул в сторону двери и в сторону
доски — куда ползет стул? Правильно! В сторону угла аудитории!
Хотим мы этого или не хотим, вне зависимости от наших желаний
векторы сил самостоятельно сложились 1) и стул поехал по диагонали!
Кчему эти примеры? На уроках физики в школе опыт со стулом
вам наверняка показывали. А вот на уроках математики почему-то
начисто забыли про этот опыт! На уроках математики забывают акцен-
тировать самое главное в понятии вектора — векторы складываются
между собой и еще могут умножаться на числа! На уроках математики
почему-то зациклились только на том, что вектор — это направленный
отрезок, в то время как векторы в природе — вполне самостоятельные
жители, которые складываются между собой и умножаются на число,
ни у кого не спрашивая разрешения. Чтобы стало совсем понятно, куда
я клоню, приведу весьма удручающий, но показательный пример.
Показательный пример. В нашем городе Екатеринбурге довольно
символично сложилось, что одно из зданий Юридической академии
находится напротив тюрьмы, здание бывшего Института народного
хозяйства — напротив цирка, а здание университета расположено на-
против Оперного театра. Я ни на что не намекаю, это просто шутливое
наблюдение, но мне кажется, что наше с вами расположение обязывает
нас держать марку и высоко нести знамя общечеловеческой культуры.
Вот фотография 2) площади перед зданием нашего университета,
сделанная с вертолета (его тень даже видно на фотографии):
1) Векторы сложились по «правилу треугольника» или по «правилу паралле-
лограмма» — можно и так, и так называть это естественное правило сложения
векторов, родина которому — окружающая природа.
2) Фотография 2004 г., автор — екатеринбургский режиссер и фотограф
Василий Голощапов.
21/25

20
Гл. 1 . Векторы
Внизу виден полукруг крыши Оперного театра, напротив — фасад
здания университета с колоннами, между Оперным и университетом
проходит главный проспект города (конечно же, имени Ленина), а спра-
ва на фото, поперек проспекта Ленина, идет улица Мамина-Сибиряка.
Справа внизу виден угол дома, в котором находится обувной магазин.
Ребята! Перекресток Ленина–Мамина-Сибиряка регулируется светофо-
ром! Для того чтобы наладить работу светофора, нужно знать, сколько
машин проезжает в каждую сторону, чтобы подобрать время горения
красного и зеленого сигналов светофора во избежание скопления ма-
шин в пробку. На перекресток выходят специально обученные люди,
которыесчасамиврукеустанавливаютследующее.
Каждый час через перекресток, по улице Ленина слева направо
проезжает 400 машин. Такова загрузка дороги. Смотрите, есть направ-
ление (слева направо на фото, в реале — на восток) и есть величина
400 штук. Вот вам и направленный отрезок, отложенный от перекрест-
ка! Далее. Каждый час через этот же перекресток, по улице Мамина-
Сибиряка сверху вниз (в реале — на юг) проезжает 300 машин. Вот
вам второй направленный отрезок — направление на юг, величина 300,
ионотложенотперекрестка.
Если бы эти направленные отрезки были векторами, то они бы
(вне зависимости от нашего желания, как всякие нормальные векторы!)
сложились и каждый час

3002 + 4002 = 500 машин врезалось бы
в обувной магазин!
Но этого не происходит! А не происходит потому, что эти направ-
ленные отрезки — не векторы! Эти величины (потоки машин) имеют
величину, направление, их можно изображать направленными отрезка-
ми, но они при этом не являются векторами — они не складываются
сами и их нельзя складывать насильно! Между тем наш стул, если бы
на него давили 400 ньютонов на восток и 300 ньютонов на юг, пулей
22/25

Лекция No 1
21
полетел бы с этого перекрестка в обувную витрину! Силы — векторы,
а потоки — не векторы. Вот такой показательный пример.
Из этого примера становится окончательно ясно, что определять
вектор, только описывая его «внешний вид» как направленный отрезок
(упорядоченную пару начало–конец) или даже как класс эквивалент-
ных направленных отрезков, неправильно. Даже если отрезки имеют
величину и направление, но их, например, нельзя складывать, то они
векторами не являются. Вообще, с точки зрения математики, самое
главное в векторах — это операции, которые с ними можно произ-
водить: складывать и умножать на число. А вот что конкретно из
себя представляет сам «вектор» — отрезок ли, волнистую линию, пару
точек, магнитную индукцию, силу, скорость или еще что-нибудь —
совершенно неважно с абстрактной точки зрения математика. Глав-
ное — это операции с рассматриваемыми объектами и свойства этих
операций; ведь без возможности складывать объекты и умножать на
число ты эти объекты, хоть сто раз векторами назови, векторами
считать не можешь. Согласны?
Самое главное в векторах — две операции: операция сложения
векторов (по правилу треугольника или параллелограмма) и операция
умножения на число α ∈ R.
Давайте поэтому дадим окончательное, «исправленное» опреде-
ление школьного геометрического вектора, учитывающее все наши
предыдущие замечания.
Определение. Геометрическим вектором называется множество
(класс) всех эквивалентных друг другу направленных отрезков. Век-
торы складываются между собой и умножаются на произвольное
число α ∈ R 1) по следующим правилам.
1. Чтобы сложить два вектора a и b, нужно отложить подходящего
представителя
−
−
→
QR вектора b от конца произвольно выбранного пред-
ставителя
−
−
→
PQ вектора a;тогдасуммой векторов a и b по определению
будет вектор c = a + b,представитель
−→
PR которого соединяет начало
представителя вектора a с концом представителя вектора b,см.ри-
сунок:
1) Числа, в отличие от векторов, договоримся обозначать греческими буква-
ми — удобно использовать разные алфавиты для обозначения объектов разного
типа, не перепутаеш ь. Жирной буквой R традиционно обозначается множество
всех действительных чисел.
23/25

22
Гл. 1 . Векторы
2. Чтобы умножить вектор a на число α ∈ R, нужно взять произ-
вольного представителя вектора a и рассмотреть прямую , на которой
он лежит. Результатом умножения вектора a на число α ∈ R по опре-
делению является вектор c = α · 
a, представитель которого лежит
на той же прямой , имеет длину |α|·|a|,сонаправленпредставителю
вектора a,еслиα  0, и противонаправлен представителю вектора a,
если α<0, см. рисунок:
Определение закончено.
Ребята! Смотрите, какое получилось развернутое и подробное опре-
деление школьного геометрического вектора! В нем учтены все наши
предыдущие замечания. И, несмотря на всю подробность и тщатель-
ность данного определения, оно все равно вызывает некоторое беспо-
койство, даже тревогу.
Смотрите, что вызывает тревогу. Векторы-то теперь у нас — это
множества эквивалентных направленных отрезков. При определении
суммы векторов a и b мы произвольно (!) выбираем представителя
−
−
→
PQ
из множества a, к его концу пристраиваем подходящего представите-
ля
−
−
→
QR из множества b и объявляем суммой векторов то множество на-
правленных отрезков c, в котором содержится замыкающая сторона
−→
PR
получающегося треугольника. А что будет, если я, например, уеду
во Владивосток, выберу там другого представителя
−
−−
→
PQ

из множе-
ства a, пристрою к его концу подходящий отрезок
−
−−
→
QR

из множества b
и получу третью сторону треугольника
−−→
PR

во Владивостоке? Почему
она тоже окажется в множестве c (которое сначала получилось у меня
в Екатеринбурге), а не окажется в каком-нибудь другом множестве эк-
вивалентных направленных отрезков c

?Почему,еслиявозьмудругих
представителей векторов a и b,тоониопределяттужесамуюсумму
этих векторов, а не другую? Суть моих опасений понятна? Смотрите
рисунок:
Если
−
−
→
PQ,
−
−−
→
PQ

∈ a,
−
−
→
QR,
−
−−
→
QR

∈b и
−→
PR ∈ c,топочему
−−→
PR

тоже
принадлежит c ?
24/25

Лекция No 1
23
Те же самые опасения относятся и к определению произведения
вектора на число — не изменится ли результат, если я выберу для
умножения на число другого представителя данного вектора?
Чтобы избавиться от этих опасений необходимо, как говорят мате-
матики, доказать корректность определения операций с векторами,
а именно: надо доказать, что результат операций не зависит от выбора
представителей, с помощью которых эти операции определены, то есть
каких бы представителей векторов a и b мы не складывали, в резуль-
тате будут получаться представители одного и того же вектора c.
Поскольку вы, надеюсь, поняли суть наших опасений, предлагаю
вам самостоятельно аккуратно доказать следующее утверждение. Это
будет несложное упражнение на вспоминание признаков равенства
треугольников и параллельности отрезков из школьной геометрии.
Ут в е ржд е н и е . Определение операций с векторами корректно,
аименно:
1) если направленные отрезки
−
−
→
PQ,
−
−−
→
PQ

эквивалентны, направлен-
ные отрезки
−
−
→
QR,
−
−−
→
QR

эквивалентны, то и направленные отрезки
−→
PR,
−−→
PR

эквивалентны;
2) если направленные отрезки
−
−
→
PQ,
−
−−
→
PQ

эквивалентны, то и на-
правленные отрезки α ·
−
−
→
PQ,α·
−
−−
→
PQ

эквивалентны.
Вот только теперь, после приведенного утверждения, наши опасе-
ния окончательно рассеялись, и мы можем вздохнуть с облегчением —
определение геометрического вектора дано и оно корректно.
Уфф! Давать определения — это настоящее искусство! Только по-
смотрите, сколько мы потратили сил и времени на одно только опре-
деление казалось бы простого школьного понятия «вектор»! И причи-
на этому состоит не в сложности понятия «геометрический вектор»,
а в ущербности самого выбранного нами пути определения векторов.
Мы постарались дать определение вектора через его «изображение»,
через его «внешний вид», совершенно забыв о его свойствах!
Хорошо, что есть и другие пути конструирования определений
для математических объектов! Представьте себе, что вам нужно дать
определение «что такое обеденный стол». Если вы начнете давать опре-
деление обеденного стола, описывая его внешний вид как «стол — это
кусок плоскости на четырех ножках», то вы сядете в лужу точно так
же, как с определением вектора «вектор — это направленный отрезок».
Вам потребуется куча дальнейших уточнений и разъяснений. Столы
ведь бывают и не на четырех ножках, поэтому придется исправить:
«стол — это кусок плоскости на нескольких ножках». Но под такое
определение вполне подходит и, например, табуретка! Опять уточняем:
«стол — это кусок плоскости на нескольких ножках, высотой не менее
80 сантиметров». Определение обеденного стола разрастается, обрас-
тает новыми подробностями, и конца этому не видно. А если теперь
вспомнить, что для туристов в походе обеденный стол — это просто
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

24
Гл. 1 . Векторы
кусок клеенки, расстеленный на лужайке, куда они выкладывают про-
дукты из рюкзака, чтобы перекусить на привале, то вы, наверное, уже
исамипонимаетепредстоящиетрудности—скольдолгоещепридется
добавлять и уточнять описательное «определение» обеденного стола.
Между тем проблема решается просто! Обеденный стол — это кусок
поверхности, предназначенный для размещения еды.Определение
дано через предназначение стола, то есть через возможные операции
с определяемым объектом! Вовсе не важно, что из себя представляет
стол — столешница на ножках, кусок брезента на лужайке или пара
досок на кирпичах у соседа на даче — главное здесь будет его функци-
ональные операции, он держит на себе еду! Математики давно поняли
преимущества такого подхода — давать определения объектов через
основные свойства операций с ними, абстрагируясь от частных деталей
ивнешнеговида.
Попробуем поступить по-взрослому и применить именно такой под-
ход к определению вектора. Для этого нам понадобится выделить
наиболее важные (математики говорят — определяющие)свойства
векторов и операций с ними. На основании многолетнего практиче-
ского опыта и пристального наблюдения за векторными величинам
математики сошлись на том, что следующие восемь свойств векторов
и операций с ними являются важнейшими 1).
1) ∀a,

b
a+b =

b + a. Свойство называется коммутативность
сложения векторов. Читается: «для любых двух векторов a и b вектор a
плюс b равняется вектору b плюс a», — один раз написал, дальше
сами соображайте, как осмысленно прочитать запись каждого свой-
ства с помощью кванторов. Коммутативность сложения — приятное
и привычное со школьной скамьи свойство, поскольку дети в школе
встречаются только с такими операциями. Между тем в реальном мире
коммутативность — скорее исключение, нежели правило: почти все
действия в природе не коммутативны. Согласитесь, надеть ботинки
и завязать шнурки — это суть не то же самое, что завязать шнурки
и надеть ботинки. В математике яркий пример некоммутативной опе-
рации — суперпозиция функций (например, возвести число в квадрат
и прибавить единицу суть не то же самое, что прибавить единицу
к числу, а потом возвести в квадрат). Но вот векторы и опера-
ция их сложения такие хорошие, что сложение коммутативно, а это,
1) Для записи свойств я традиционно пользуюсь символами ∀ и ∃ (это
перевернутые буквы А и Е), которые вы пока можете воспринимать просто
как стенографические сокращения выражений «для любого» и «существует»
соответс твенно. Буква А — первая буква французского слова aucune (любые),
а буква Е — первая буква французского existe (существовать). Точный смысл
этих символов раскроется в курсе математической логики, а привычку их
использовать вам привьют на нашем факульте те в первый же месяц обучения,
даже если вы этого не хотите.
1/25

Лекция No 1
25
безусловно, приятно. Успевайте насладиться, поскольку уже совсем
скоро вам придется изучать некоммутативные операции с векторами
(например, векторные произведения).
2) ∀a,

b,
c (a + b)+c = a +(b + c). Свойство называется ассоциа-
тивность сложения векторов (в школе, наверняка, говорили «сочета-
тельный закон»). Ассоциативность сложения означает, что скобки при
записи сумм векторов можно ставить где угодно, а значит, в большин-
стве случаев будет разумно их вообще не ставить.
3) ∃x ∀a
x + a = a + x = a.Существуеттакойзагадочныйвек-
тор x, прибавление которого к любому вектору a ничего не меняет,
в результате остается тот же самый вектор a.Наиболеедогадливыеиз
вас наверняка уже поняли — это свойство утверждает существование
нулевого вектора! Сам нулевой вектор чаще всего обозначают не сим-
волом x, а символом 0 и представляют в школе как направленный
отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина нулевого век-
тора, разумеется, равна нулю. Отдельным абзацем вынесу важнейшее
наблюдение.
Наблюдение. Двух разных нулевых векторов быть не может,
нулевой вектор единственен.
Доказательство. Скептически предполагаю — ну пусть нашлось
два нулевых вектора: x1 и x2.Тогдаx1 = x1 + x2 = x2 + x1 = x2 ,ведь
векторы x1 и x2 нулевые, а прибавление нулевого вектора к собрату —
собрата не изменяет. Значит x1 = x2 , и нулевой вектор может быть
только один.

4) ∀a ∃b
a+b =

0—длялюбоговекторасуществуетпротиво-
положный ему вектор. Обычно противоположный вектор обозначают
символом −
a ипишутa +(−
a)=0илиещекороче:a − 
a=0.Это
очень условная запись, ведь мы никакой операции «вычитание» для
векторов не определяли. Но я думаю, такая условная запись всем
привычна еще со школьных времен, и никакого дискомфорта ни у кого
не вызывает.
Перечисленные 4 свойства относились к операции сложения век-
торов. Математики, глядя на эти 4 свойства, говорят: множество всех
векторов с операцией сложения образует абелеву группу 1).Именнотак
математики называют множества любых объектов, для которых опре-
делена операция сложения и выполнены свойства 1)–4). Далее идут
свойства векторов, содержащие еще и операцию умножения вектора
на число.
5) ∀a ∀α, β ∈ R (α + β)a = αa + βa — дистрибутивность сложе-
ния чисел относительно умножения на вектор. В школе сказали бы
1) Нильс Хенрик Абель — выдающийся норвежский математик. В его честь
группы с коммутативной операцией называются «абелевыми».
2/25

26
Гл. 1 . Векторы
«распределительный закон», но «дистрибьютор» в переводе с англий-
ского как раз и есть «распределитель», так что по-взрослому говорят
«дистрибутивность». Обращаю ваше внимание на один тонкий нюанс
в записи этого свойства, который при беглом взгляде обычно усколь-
зает от внимания недавних школьников. Знаки «+»влевойиправой
части равенства — это разные знаки! Они обозначают разные опера-
ции! Слева — обычное сложение чисел, справа — сложение векторов.
Не перепутайте!
6) ∀a,

b ∀α ∈ R α(a + b)=αa + αb — дистрибутивность сло-
жения векторов относительно умножения на число. А вот в этом
равенстве знаки «+» слева и справа означают одну и ту же операцию
сложения векторов.
7) ∀α, β ∈ R ∀a (αβ)a = α(βa) — ассоциативность умножения.
Привычное и понятное свойство.
8)∀a 1·
a = a — единица является нейтральным элементом при
умножении на вектор. Это вообще банальное свойство, и на первый
взгляд кажется, что его даже как-то неудобно включать в список
из восьми важнейших свойств векторов. Но не судите опрометчиво!
Вспомните, мы идем к определению векторов через свойства операций
с ними, и это «банальное» свойство 1 · 
a = a, как ни парадоксально,
является одним из определяющих! Дело в том, что в природе суще-
ствуют объекты, которые обладают свойствами 1)–7), но не облада-
ют свойством 8), и эти объекты совершенно не похожи на векторы!
Их совершенно ни к чему будет потом в предстоящем определении
провозглашать «векторами», а отсутствие у них восьмого свойства как
раз и позволит исключить их из рассмотрения. Сейчас я не буду
приводить примеры таких вычурных объектов — кому любопытно,
подойдите после лекции на переменке, я быстренько расскажу вам про
кольца с нулевым умножением.
Итак, я перечислил 8 свойств геометрических векторов. Строго
говоря, тот факт, что все эти свойства действительно выполняются для
геометрическихвекторов,надоещеаккуратнодоказать.Ноясейчасне
буду этого делать — проверка этих восьми свойств для геометрических
векторов является несложным школьным упражнением. По поводу
таких несложных проверок П.С . Александров писал в своей книжке
так: «Предоставляю это читателю в качестве упражнения (более кани-
тельного, — разбор всех возможных случаев, — чем трудного)».
Вот мы и подошли к реализации нашего плана — дать абстрактное
определение вектора, не использующее описание его «внешнего вида» .
Векторные величины в природе встречаются разные, порой совсем не
напоминающие направленные отрезки! Но свойства, которые делают
их векторами, у них общие!
Определение. Линейным (или векторным) пространством
называется произвольное непустое множес тво L (элементы которого
3/25

Лекция No 1
27
будем обозначать латинскими буквами со стрелками), для элементов
которого определены операции сложения a + b и умножения на произ-
вольное действительное число α · 
a следующим образом.
Во-первых, L замкнуто относительно этих операций. Это означа-
ет, что:
А) если взять два любых элемента a,

b ∈ L,тоихсуммаa + b тоже
будет принадлежать множеству L (замкнутость L относительно
сложения);
Б) если взять любой элемент a ∈ L илюбоечислоα ∈ R,топро-
изведение αa тоже будет принадлежать множеству L (замкнутость L
относительно умножения его элементов на числа).
Во-вторых, выполняются следующие восемь аксиом:
1) ∀a,

b∈L
a+b =

b+a;
2) ∀a,

b,
c ∈L (a+b)+c = a+(b+c);
3)∃x∈L∀a∈L
x+a =a+x =a;
4)∀a∈L∃b∈L
a+b =

0;
5)∀a∈L∀α,β∈R(α+β)a =αa+βa;
6) ∀a,

b∈L∀α∈R α(a+b)=αa+αb;
7)∀α,β∈R∀a∈L(αβ)a =α(βa);
8)∀a∈L1·
a=a.
Определение. Любой элемент a из данного линейного простран-
ства L называется вектором.Операцииa + b и α · 
a, определенные
в линейном пространстве L, называются линейными операциями свек-
торами.
Вот так. Привыкайте. Абстрактное аксиоматическое определение
вектора отражает только то, что векторы можно складывать и умно-
жать на число и что векторы и линейные операции подчиняются свой-
ствам 1)–8), которые провозглашены теперь аксиомами. Все. Больше,
по сути, ничего в векторах нет, только сложение, умножение на число
и восемь аксиом. А вот как векторы выглядят: направленные ли они
отрезки, или они пары точек, или они перемещения, или силы (как
выглядит сила?), скорости ли, столешницы ли они на четырех ножках,
клеенки на лужайке, — все это совершенно неважно. Если с объектами
можно выполнять линейные операции и выполняются восемь аксиом,
то это векторы, а если на них можно ставить готовую еду, то это обе-
денные столы. Почувствуйте прелесть аксиоматических определений!
И вот еще что. Разумеется, множество геометрических векторов
образует линейное пространство, а школьные геометрические векторы
являются векторами в смысле абстрактного аксиоматического опреде-
ления. Но!
4/25

28
Гл. 1 . Векторы
Всякая качественно сделанная работа приносит результатов
больше, чем от нее первоначально предполагалось получить.
Посмотрите внимательно: под абстрактное определение векторного
пространства подходят не только множества из школьных геометриче-
ских векторов, но и различные множества других объектов, изучаемых
в математике — множества функций, многочленов, матриц, движений
пространства и так далее. Рассмотрим, например, множество всех мно-
гочленов — многочлены ведь можно складывать и умножать на число
(определены линейные операции), в результате линейных операций
с многочленами снова получаются многочлены (замкнутость), да и ак-
сиомы 1)–8) для многочленов очевидно выполняются. Следовательно,
множество всех многочленов является линейным пространством —
многочлены тоже можно считать векторами! Такое наблюдение не мо-
жет не радовать! Открывается прекрасная возможность, изучая в гео-
метрии наглядные геометрические векторы, доказывая про них теоре-
мы, одновременно даром получать теоремы и узнавать свойства других
объектов — многочленов, функций, матриц. Это круто! Мы можем
параллельно изучать разные объекты, образующие линейные простран-
ства! Это значительная экономия времени и рациональное использова-
ниенашегоинтеллекта!Неговоряужотом,чтоэтоосуществление
мечты каждого лентяя — поработать поменьше, но даром получить
побольше.
Пойдем далее и начнем, наконец, изучать векторы как элементы
линейного пространства.
Определение. Линейной комбинацией векторов a1, 
a2, ..., 
an∈
∈ L с коэффициентами α1, α2, ..., αn ∈ R называется выражение
α1a1 + α2a2 + ...+ αnan.
Для краткости линейную комбинацию векторов частенько записы-
вают с помощью знака суммы
, означающего суммирование несколь-
ких однотипных слагаемых. Запись
n

i=1
αiai читается: «сумма по i
от единицы до n альфа i-е а i-е». Линейная комбинация, разумеется,
является вектором из L.
Определение. Линейная комбинация называется тривиальной,
если все ее коэффициенты — нули.
Тривиальная линейная комбинация, разумеется, равна нулевому
вектору из L.
Определение. Говорят, что вектор b ∈ L раскладывается по век-
торам a1 , 
a2, ..., 
an∈L(синонимы— «

b линейно выражается через
векторы a1, 
a2, ..., 
an »и
ли«

b представим в виде линейной комби-
нации векторов a1, 
a2, ..., 
an »), если найдутся такие коэффициенты
α1, α2, ..., αn ∈ R,чтоb = α1a1 + α2a2 + ...+ αnan.
Приведу несколько простых, но очень важных для геометрии при-
меров, а заодно потренируемся рисовать картинки.
5/25

Лекция No 1
29
Пример 1. Пусть на плоскости даны два неколлинеарных век-
тора a1 и a2 . Тогда любой третий вектор b с этой плоскости расклады-
вается по данным векторам.
Действительно, смотрите рисунок:
Поскольку векторы a1 и a2 не коллинеарны (не параллельны одной
прямой), то ни один из них не может быть нулевым (сообразите-ка,
почему?). Отложим векторы 1) a1, 
a2 ипроизвольныйвекторb от одной
точки P . Достроим получившуюся фигуру до параллелограмма, как
показано на рисунке. Тогда стороны этого параллелограмма будут
образованы векторами α1a1 и α2a2 для некоторых подходящих чисел
α1, α2 ∈ R. Диагональ этого параллелограмма — вектор b —какраз
и будет являться суммой его сторон b = α1a1 + α2a2,тоестьвекторb
раскладывается по векторам a1 и a2. Поразмышляйте сами над вари-
антами этого рисунка — как он будет выглядеть, если векторы a1 и a2
образуют тупой угол или, если вектор b нарисовать, например идущим
вниз от вектора a1, каких знаков будут тогда числа α1 , α2 ∈ R.
Пример 2. Любой вектор b

=

0, не коллинеарный вектору a1

=

=

0, не выражается через a1.
Действительно, предположим противное. Ну, пусть вектор b

=

0
выразился через вектор a1

=

0, то есть нашлось такое число α1 ∈ R,
что b = α1a1 .Ясно,чтоα1

= 0. Но тогда равенство b = α1a1 означает,
что вектор b коллинеарен вектору a1 — противоречие.
Смотрите, какой вывод следует из первых двух примеров. Любой
вектор на плоскости выражается через два данных неколлинеарных
вектора, а вот одного вектора на плоскости будет недостаточно, чтобы
выразить через него любой вектор с этой плоскости. Запомним этот
факт.
Пример 3. Пусть в пространстве (в котором мы живем) даны
три некомпланарных вектора a1, 
a2 и a3.Тогдалюбойчетвертый
вектор b раскладывается по трем данным векторам.
1) Заметили? Я уже говорю для краткости «отложим векторы. . .» вместо
«отложим представителей этих векторов. . .»
—
мы так раньше договорились
в этой лекции для экономии времени.
6/25

30
Гл. 1 . Векторы
Действительно, смотрите рисунок:
Отложим векторы a1, 
a2, 
a3 ивекторb от одной точки P идо-
строим всю конструкцию до параллелепипеда так, как это показано
на рисунке. Вектор b является большой диагональю этого параллелепи-
педа. Очевидно, что вектор диагонали является суммой векторов-ребер
параллелепипеда b = α1a1 + α2a2 + α3a3;вотвекторb и разложился
по векторам a1, 
a2, 
a3. Опять-таки поразмышляйте сами над воз-
можными вариантами этого рисунка (и при необходимости нарисуйте
их), как будет выглядеть параллелепипед, если, например, вектор b
направлен вниз от плоскости векторов a1 и a2?Линейкаикарандаш
вам в помощь!
Пример 4. Пусть в пространстве даны два неколлинеарных
вектора a1 и a2.Тогданайдетсявекторb,которыйневыражается
через a1 и a2.
Действительно, любая линейная комбинация α1a1 + α2a2 векторов

a1 и a2 обязательно лежит в той же плоскости, в которой лежат и сами
векторы a1 и a2,ведькомбинацияα1a1 + α2a2 является диагональю
параллелограмма со сторонами α1a1 и α2a2.Смотритерисунок:
Если теперь я возьму любой вектор b,нележащийвплоскости
векторов a1 и a2 (то есть не компланарный векторам a1 и a2 ),тоего
будет невозможно линейно выразить через векторы a1 и a2,поскольку
равенство b = α1a1 + α2a2 означало бы, что b компланарен векто-
рам a1 и a2.
7/25

Лекция No 1
31
Смотрите, какой вывод следует из примеров No 3 и No 4. Через
три некомпланарных вектора в пространстве можно выразить любой
четвертый вектор, а вот двух неколлинеарных (а коллинеарных — тем
более!) векторов в пространстве будет недостаточно — всегда найдется
вектор, который невозможно линейно выразить через данную пару
векторов.
Определение. Минимальное количество векторов из вектор-
ного пространства L, через которые можно линейно выразить любой
вектор из L,называетсяразмерностью пространства L иобозначает-
ся dim L.
Таким образом, у плоскости размерность равна двум, а у нашего
пространства, в котором мы живем, размерность равна трем. Плос-
кость суть двумерна, наше пространство — трехмерно. А ведь ничего
удивительного, правда? Мы с детства привыкли, что на плоскости
есть «два измерения», длина и ширина, а в пространстве есть еще
и «третье измерение» , высота; только вот что такое «измерение» нам
никто толком ни в детстве, ни в школе не объяснял. И только теперь
понятие размерности пространства обрело строгий смысл. Кстати, по-
чему прямая линия одномерна?
Определение. Минимальная (в смысле количества элементов)
упорядоченная совокупность векторов из L, по векторам которой рас-
кладывается любой вектор из L,называетсябазисом пространства L.
Таким образом:
базис на плоскости — любая пара неколлинеарных векторов;
базис в нашем трехмерном пространстве —любаятройканеком-
планарных векторов.
Важно! Базис считается упорядоченной совокупностью, то есть
порядок записи базисных векторов важен! Например, базисы (a1 , 
a2)
и (a2, 
a1) на плоскости считаются разными, хотя векторы в этих сово-
купностях одинаковые!
А вот изумительный по своей ясности рисунок:
8/25

32
Гл. 1 . Векторы
Этим изумительным рисунком я и хотел закончить первую лекцию,
но по вашим глазам вижу, что любопытство одолевает вас. Охота
увидеть пример четырехмерного пространства? Да, пожалуйста! Только
надо понимать, что такой пример бесполезно искать среди геомет-
рических векторов! Направленные отрезки, по сути своей, являются
жителями нашего трехмерного мира, и пытаться из них сотворить
нечто невозможное (типа четырех попарно взаимно перпендикулярных
стрелочек, выходящих из одной точки) — бесполезно. Поэтому при-
дется рассматривать линейное пространство, состоящее из каких-то
других объектов.
Пример четырехмерного пространства. Рассмотрим множе-
ство всех многочленов степени не выше тройки:
P={α1x
3+α2x2+α3x+α4|α1,α2,α3,α4∈R}.
Это множество, очевидно, замкнуто относительно линейных операций,
поскольку:
1) сумма двух многочленов степени не выше трех снова является
многочленом степени не выше трех 1);
2) произведение многочлена степени не выше трех на любое число
снова является многочленом степени не выше трех.
Аксиомы 1)–8) линейного пространства для множества многочленов
очевидно выполняются, это обстоятельство мы уже отмечали сразу
после определения линейного пространства и даже восхищались воз-
можностью изучения разнообразных объектов (образующих линейные
пространства) как обычных векторов.
Базис пространства P образуют четыре многочлена: f1(x)=x3,
f2(x)=x2, f3(x)=x и f4(x)=1. Любой многочлен степени не выше
трех очевидным образом линейно выражается через эти четыре век-
тора-многочлена:
α1x
3+α2x2+α3x+α4=α1f1+α2f2+α3f3+α4f4.
Предлагаю вам самостоятельно доказать, что трех многочленов
(степени не выше трех) будет недостаточно, чтобы выразить через них
любой многочлен из множества P . А именно, решите на досуге сле-
дующую задачку, которая пока носит для вас олимпиадный характер,
но уже совсем скоро мы научим вас решать такие задачки вообще
не задумываясь.
1) А вы понимаете, почему я говорю «многочлены степени не выше трех»
и почему нельзя сказать просто «многочлены степени три»? Сумма двух
многоч ленов третьей степени может оказаться многочленом второй степени!
И даже первой или вообще нулевой! Чтобы наше множес тво P было замкнуто
относите льно операции сложения, приходится включать в него все многочлены
степени ноль, один, два и три, то есть «степени не выше трех».
9/25

Лекция No 1
33
Задачка. Какие бы три многочлена g1(x), g2(x), g3(x) степени не
выше трех мы ни взяли, даже среди многочленов f1(x)=x3, f2(x)=
= x2, f3(x)=x, f4(x)=1 найдется такой, который через многочлены
g1(x), g2(x), g3(x) линейно не выражается.
Это означает, что минимальное количество элементов из множе-
ства P , через которые выражаются любые многочлены степени не выше
трех, равно четырем, то есть dim P = 4
.Япоздравляювасспервым
в вашей жизни реальным примером четырехмерного пространства! Как
видите, ничего сумасбродного и фантастического в четырехмерных
пространствах нет, шизофренией не пахнет. В школе вы ходили рядом
сэтиместественныммножествоммногочленовипростонеобращали
на него внимания, а оно, оказывается, является примером четырехмер-
ного пространства! В математике многомерные пространства встреча-
ются на каждом шагу и приносят огромную пользу, поэтому привы-
кайте — с ними вам еще работать и работать. А кстати, пространство
какой размерности образуют многочлены степени не выше десяти?
Давайте этим примером и закончим нашу сегодняшнюю беседу.
Спасибо за внимание! До встречи в следующий понедельник на второй
лекции! Нас ждет много нового и поразительного!
Задачки для практического занятия No 1
Как уже было отмечено в предисловии, тема первого практического
занятия непосредственно к лекции No 1 не относится. Это занятие
является знакомством с необходимым для дальнейшей работы техни-
ческим аппаратом — определителями второго и третьего порядков.
1. Вычислить определители




12
34



,




−23
−37



,




cosx −sinx
sinx cosx



.
2. Доказать, что определитель второго порядка равен нулю тогда
и только тогда, когда его строки пропорциональны.
3. Доказать, что если в определителе второго порядка строки про-
порциональны, то пропорциональны и столбцы.
4. На плоскости даны четыре точки: A(2; −3), B(5; 8), C (21; −4),
D(−7; α). При каком значении α,векторы
−
−
→
ABи
−
−
→
CD коллинеарны?
5. Решить систему по правилу Крамера
2x−3y=5,
x+5y= −4.
6. Почему следующие системы нельзя решать по правилу Крамера?
Сколько решений они имеют?
2x+3y=5,
4x+6y=10,
2x+3y=5,
4x+6y=3.
10/25

34
Гл. 1 . Векторы
7. Вычислить определители





123
− 127
4 −25





,





1 −294 48953
02
−236579
005





,





123
456
789





.
8. Докажите, что определитель третьего порядка можно вычислять
не только по определению (с помощью разложения по первой строке),
но и разложением по второй строке:





a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33





= −a21




a12 a13
a32 a33



+a22




a11 a13
a31 a33



−a23




a11 a12
a31 a32



.
Напишите аналогичные разложения по третьей строке и по всем трем
столбцам проверьте, что все эти разложения дают одно и то же число.
9. Впространстведанычетыреточки
A(2; −3; 1), B(5; 8; 4), C(21; −4; 0), D(−7; α;3).
При каком значении α векторы
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD компланарны?
10. Решите систему уравнений по правилу Крамера
⎧
⎨
⎩
2x+3y+z=11,
x−y+2z=5,
3x−y+z=4.
11/25

Лекция No 2
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь! Сегодня мы с вами продол-
жим знакомство с векторами в смысле общего абстрактного определе-
ния — элементами линейных пространств. Разумеется, все сказанное
ниже будет справедливо и для «школьных» геометрических векто-
ров, поскольку множество геометрических векторов является одним из
примеров линейного пространства, а его элементы — геометрические
векторы — суть векторы в смысле абстрактного аксиоматического
определения.
2. Линейная зависимость векторов.
Координаты вектора в данном базисе.
Аффинная система координат
Сразу приступим к делу.
Определение. Векторы a1, 
a2, ..., 
an ∈ L называются линейно
зависимыми, если существует нетривиальная 1) линейная комбинация
из этих векторов, равная нулевому вектору.
Еще говорят так: «совокупность векторов a1, 
a2, ..., 
an ∈ L линейно
зависима» или «система векторов a1, 
a2, ..., 
an ∈ L линейно зависима».
Термин «зависимая» объясняется следующим простым, но очень важ-
ным наблюдением.
Наблюдение. Система векторов линейно зависима тогда и толь-
ко тогда, когда один из векторов этой системы линейно выражается
через остальные векторы (то есть «зависит» от них).
Доказательство: о-о -о! Пресловутый словесный оборот «тогда
и только тогда» встретится вам в математике еще миллион раз, набьет
оскомину, но станет привычным и естественным выражением матема-
тика-профессионала. Этот оборот означает, что в сформулированном
наблюдении действительно содержатся два утверждения! «Прямое»
утверждение: «если векторы линейно зависимы, то один из векторов
этой системы линейно выражается через остальные». И «обратное»
утверждение: «если один из векторов системы линейно выражается
через остальные, то эта система линейно зависима». Придется доказы-
вать оба утверждения 2).
1) Хотя бы один коэффициент отличен от нуля.
2) Нет нужды разъяснять, что в общем случае из пары утверждений (прямо-
го и обратного) одно может быть ис тинно, а другое нет. Обратное утверждение
не обязано автоматически вытекать из прямого, прямое утверждение не обяза-
но автоматически следовать из обратного. Чтобы всем сердцем прочувствовать
разницу между прямыми и обратными утверждениями, ответьте на вопрос:
«Что верно: если кошка, то мяукает или если мяукает, то кошка?»
12/25

36
Гл. 1 . Векторы
Мы терпеливы. Будем доказывать сначала прямое утверждение,
потом обратное.
Прямое утверждение. Пусть векторы a1, 
a2, ..., 
an ∈ L линейно
зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация из
них, равная нулевому вектору:
α1a1 + α2a2 + ... + αnan =

0.
Вэтойкомбинациине все коэффициенты нули. Можно считать, что
коэффициент в первом слагаемом не ноль (α1

= 0), так как сложение
коммутативно и слагаемые можно менять местами. Перенесем все
слагаемые, кроме первого, направо,
α1a1 = −α2a2 − ...
−
αnan ,
иподелимнаα1

=0,

a1=−
α2
α1

a2− ...
−
αn
α1

an;
вот вам и выражение одного из векторов системы через остальные!
Причем именно того, перед которым был ненулевой коэффициент.
Обратное утверждение. Если один из векторов совокупности

a1, 
a2, ..., 
an ∈ L (например, первый) выражается через остальные,
то есть ∃β2,β3, ..., βn ∈ R такие, что

a1 = β2a2 +β3a3 +...+βnan,
то просто перенесем все слагаемые в этом равенстве в одну сто-
рону и получим нетривиальную линейную комбинацию из векторов

a1, 
a2, ..., 
an , равную нулевому вектору:
1·
a1−β2a2−β3a3− ...
−
βnan = 0. 1)
А это означает, что векторы a1, 
a2, ..., 
an ∈ L линейно зависимы!
Доказательство закончено.

Идем дальше. А дальше — смешное определение. Но смешное оно
только на первый взгляд.
Определение. Векторы a1, 
a2, ..., 
an ∈ L называются линейно
независимыми, если они не являются линейно зависимыми.
Это определение кажется до глупости простым, банальным, но на-
прягитесь! Детально расшифровать, что оно означает, с непривычки
довольно трудно! Вот расшифровка этого определения.
1) Присмотритесь внимательно к этой комбинации, в ней не все коэффи-
циенты равны нулю! Первый коэффициент равен 1 . Комбинация с топудово
нетри виальная!
13/25

Лекция No 2
37
Векторы a1 , 
a2, ..., 
an ∈ L линейно независимы, если для любой
линейной комбинации, составленной из этих векторов, из равенства
этой комбинации нулевому вектору следует, что все коэффициенты
в этой комбинации равны нулю (то есть комбинация тривиальна):
∀α1,α2, ..., αn (α1a1+α2a2+ ...+ αnan = 0)⇒(α1= α2= ... = αn = 0).
Пример. Два любых неколлинеарных вектора (лежащих где
угодно — на плоскости, в трехмерном пространстве, в 12 867-мерном
пространстве и проч.) всегда линейно независимы.
Доказательство. От противного. Ну пусть неколлинеарные век-
торы a и b линейно зависимы. Тогда существует нетривиальная линей-
ная комбинация из них, равная нулевому вектору, αa + βb =

0. Не все
коэффициенты равны нулю. Если α

=0,тоa=−
β
α

b,тоестьвекторы

a и b коллинеарны. Противоречие. Если β

=0,тоb=−
α
β a,тоесть
векторы a и b опять коллинеарны. Опять противоречие.
Рассмотренный пример наталкивает нас на смелую и сильную
мысль! Пара неколлинеарных векторов — это базис на плоскости.
И они линейно независимы. Может быть, векторы, образующие базис
любого пространства, линейно независимы? И, о чудо! Это действи-
тельно так!
Теор е ма . Любая совокупность векторов a1, 
a2, ..., 
an∈L,яв-
ляющаяся базисом пространства L, всегда линейно независима.
Доказательство. От противного. Ну пусть базисные векторы
(a1, 
a2, ..., 
an) оказались линейно зависимыми. Тогда один из них (на-
пример, первый) выражается через остальные: a1 = β2a2 + β3a3 + ...
... + βnan.
Вспоминаем, что базис — это минимальная (!) совокупность векто-
ров, через которую выражается любой вектор b ∈ L:
b= α1a1 +α2a2 +...+αnan.
Слово «минимальная» означает, что через векторы (a1, 
a2, ..., 
an)
можно выразить любой вектор b ∈ L, а через меньшее количество
векторов уже выразить будет нельзя. А теперь смотрите:
b=α1a1+α2a2+...+αnan =
=α1
	β2a2 + ... + βnan





a1
+α2a2 + ...+ αnan =
14/25

38
Гл. 1 . Векторы
(раскрываем скобки и приводим подобные)
=(α1β2 + α2)a2 +(α1β3 + α3)a3 + ... +(α1βn + αn)an .
Получилось выражение вектора b ∈ L через меньшее количество векто-
ров! Только через (a2 , ..., 
an)! Это противоречит тому, что совокупность
(a1, 
a2, ..., 
an) была минимальной! Вектор a1, зависимый от остальных,
оказался лишним! Его можно выкинуть из совокупности (a1, 
a2, ..., 
an ),
но по-прежнему любой вектор b ∈ L будет выражаться, хотя уже через
меньшее количество векторов! Значит, совокупность (a1, 
a2, ..., 
an) бы-
ла не минимальной, то есть не являлась базисом. Противоречие.
Ну, все. Разъяснил, как мог. Хватит. Доказательство закончено. 
Следствие. Если мы составили из векторов базиса какую-
нибудь линейную комбинацию и она вдруг оказалась равна нулевому
вектору, то все коэффициенты в составленной комбинации суть нули!
Доказательство. Базисные векторы линейно независимы. Линей-
ная комбинация из них, равная нулевому вектору, может быть только
тривиальной (по определению линейной независимости векторов).
Идем дальше. Прошу вас осознать и запомнить следующее важней-
шее определение.
Определение. Координатами вектора b ∈ L вб
а
з
и
с
е

a1, 
a2, ..., 
an ∈ L называются коэффициенты (α1 , α2, ..., αn) влинейной
комбинации, которая является разложением вектора b по этому базису
(a1, 
a2, ..., 
an):!

b= α1a1 +α2a2 +...+αnan.
Ох! Как только не обозначают в разных книжках координаты век-
тора! Пишут и b =(α1, α2, ..., αn),и

b(α1, α2, ..., αn),и

b{α1, α2, ..., αn},
а иногда как-нибудь еще оригинальничают. Но все эти записи означают
только одно: b = α1a1 + α2a2 + ... + αnan и ничего другого!
Теор е ма . Координаты вектора в данном базисе определяются
однозначно.
Вы только представьте, как прекрасен этот мир! Как он замеча-
тельно устроен! Не может вектор иметь два разных набора координат
в одном и том же базисе! И совершенно неважно, что это за вектор —
направленный отрезок в базисе из направленных отрезков многочлен
в базисе из подходящих многочленов или матрица в базисе из каких-то
пока совсем незнакомых нам матриц. . . Воистину, ура! Ну и спасибо,
конечно, нашему абстрактному определению вектора как элемента про-
извольного векторного пространства.
15/25

Лекция No 2
39
Но песни песнями, а нужно продолжать.
Доказательство теоремы. От противного. Ну пусть некоторый
вектор b ∈ Lвнекоторомбазисеa1 , 
a2, ..., 
an ∈ L имеет два разных
набора координат

b(α1, α2, ..., αn) и b(β1, β2, ..., βn).
Это означает, что есть два разных раз ложения вектора b по базису:

b= α1a1 +α2a2 +...+ αnan
и

b=β1a1 +β2a2 + ...+βnan.
Вычтем из первого равенства второе:

b−

b =(α1 − β1)a1 +(α2 − β2)a2 + ... +(αn − βn)an.
Ежу понятно, что b −

b = 0 — нулевой вектор, поэтому перед нами
возникает линейная комбинация базисных векторов, равная нулевому
вектору,
(α1 − β1)a1 +(α2 − β2)a2 + ... +(αn − βn)an = 0.
А мы уже знаем, что такая комбинация может быть только тривиальной
(смотрите следствие выше), все коэффициенты в этой комбинации
обязаны быть нулями! Следовательно,
α1−β1=0,α2−β2=0, ..., αn−βn=0,
то есть
α1=β1,α2=β2, ..., αn=βn,
что вопиюще противоречит изначальному предположению о, якобы,
разных наборах координат b(α1, α2, ..., αn) и b (β1, β2, ..., βn)!
Доказательство закончено.

Пусть нам в каком-нибудь базисе даны координаты двух векторов.
Как найти координаты суммы этих векторов? А как найти координаты
произведения вектора на число? Ответ на эти вопросы дает простое
правило, знакомое еще со школьной скамьи для координат геометри-
ческих векторов. Это правило оказывается справедливым и в общем
случае для произвольного линейного пространства.
Прост ое правило. Для того чтобы найти координаты суммы
векторов a + b, нужно сложить соответствующие координаты слагае-
мых a(α1, α2, ..., αn) и b(β1, β2, ..., βn). Для того чтобы найти коорди-
натыпроизведениявектораначислоαa, нужно каждую координату
вектора a(α1, α2, ..., αn ) умножить на число α.
16/25

40
Гл. 1 . Векторы
Доказательство. Ребята, это очевидно! Координаты векто-
ра — это коэффициенты в его разложении по базисным векторам

a1, 
a2, ..., 
an∈L:

a(α1, α2, ..., αn)=α1a1 + α2a2 + ... + αnan,

b(β1, β2, ..., βn)=β1a1 + β2a2 + ... + βnan .
Складываем эти равенства и приводим подобные:

a + b =(α1 + β1)a1 +(α2 + β2)a2 + ... +(αn + βn)an
Это и означает, что сумма векторов имеет координаты (α1 + β1, α2 +
+ β2, ..., αn + βn). Для произведения вектора на число еще проще:
αa = α(α1a1 + α2a2 + ... + αnan )=αα1a1 + αα2a2 + ... + ααnan,
то есть вектор αa имеет координаты (αα1, αα2, ..., ααn ).
Простое правило доказано.

Отдохнем немножко и двинемся дальше. Чтобы не сильно утом-
ляться от непривычных абстракций, давайте снова вернемся в при-
вычный школьный мир направленных отрезков — представителей гео-
метрических векторов. Наш предмет — все-таки геометрия, а не аб-
страктная линейная алгебра (такой предмет ожидает вас уже во втором
семестре, вот там и наиграетесь вдоволь с абстрактными векторами).
Определение. Репер — это совокупность (O; a1 , 
a2, ..., 
an ),где
O — некоторая фиксированная точка, (a1, 
a2, ..., 
an ) — базис линейного
пространства, базисные векторы a1, 
a2, ..., 
an отложены от точки O.
То ч к у O обычно называют начальной точкой.Реп́ер — слово
французское, а во французском языке ударение всегда падает на по-
следний слог! Не режьте мне уши неправильным ударением, особенно
на экзамене — я могу разозлиться! Конечно, двойку на экзамене
из-за неправильного ударения я не поставлю, руки–ноги ломать не
буду, но впечатление от вашего ответа будет испорчено и, как говорят
в известном анекдоте, осадочек останется. Реп ́ер!!!
Вот рисунок на плоскости, который иллюстрирует понятие репе-
ра, и попутно введем еще одно важное понятие — понятие аффинной
системы координат:
Мне кажется, в этом рисунке все ясно. Взяли репер, через ба-
зисные векторы провели оси координат — получилась «аффинная си-
стема координат». Начальная точка O в аффинной системе координат
17/25

Лекция No 2
41
обычно называется «начало координат», а базисные векторы означают
единичные отрезки на осях координат. Чтобы вы чувствовали себя
комфортно, я на рисунке даже обозначил базисные векторы и оси
координат привычными «школьными» буквами x и y.
Таким образом, аффинная система координат отличается от при-
вычной «школьной» декартовой прямоугольной системы тем, что оси
координат не обязательно перпендикулярны, масштабы (единичные от-
резки) на осях могут быть разные. Декартова прямоугольная система
координат — это очень частный (можно сказать — редкий) случай аф-
финной системы координат. Если вы бросите на пол два карандаша —
каковы шансы, что они упадут точно под прямым углом друг к другу?
Нулевые! А попробуйте-ка в тетрадке нарисовать прямые линии точно
под прямым углом да отложить на осях совершенно одинаковые отрез-
ки! Хоть немного да ошибетесь (хоть на микрон, хоть на нанометр),
и это притом, что в тетрадке вы не карандаши на пол небрежно броса-
ете, а специально стараетесь нарисовать прямой угол! Откровенно го-
воря, вы вообще никогда в жизни еще не нарисовали идеально прямого
угла, ведь прямой угол — исключительно математическая абстракция,
а системы координат в жизни используют повсеместно, и (строго гово-
ря) они все аффинные. Конечно, рассуждения о невозможности точно
нарисовать декартову прямоугольную систему — это полушутливые
рассуждения педанта. Однако в реальности, в различных прикладных
и физических задачах действительно очень часто приходится иметь
дело со специально выбираемыми аффинными системами координат,
когда выбор осей координат диктуется условиями задачи (скажем, оси
координат бывает удобно направлять по векторам сил, действующим
на материальное тело, а эти силы не обязательно перпендикулярны
друг другу). Аффинные системы координат используются очень часто
и смотрятся совершенно естественно.
Идем далее.
Определение. Радиусом-вектором точки K в аффинной систе-
ме координат называется вектор, соединяющий начало координат O
иточкуK .
Радиус-вектор точки K обозначается или rK ,или
−
−
→
OK,илиK − O .
Выбирайте. Мне все три способа нравятся. Особенно мне нравится
1
1
2
2
K
Î
x
y
rK
®
обозначение K − O ,еговшколенеупо-
требляют, но именно его в школе ча-
сто проговаривают вслух «. . . из конца
вычесть начало...»
1).Объясняетсяэтот
способ очень просто — смотрите на ри-
сунок.
1) Например, этот оборот встречается во фразе: «Чтобы найти координаты
вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала».
18/25

42
Гл. 1 . Векторы
Если от точки O отложить вектор rK ,тополучитсяточкаK :
O+rK =K.
А теперь берут и переносят точку O вдругуюсторонуотзнака
равенства:

rK=K −O,
да еще приговаривают: «из конца вычесть начало. . .» . Конечно, это
выглядит пока не совсем законно, ведь для точек никакой операции
вычитания не определено. Но так удобно, и все давно привыкли,
а ради упрямого педантизма менять привычки не стоит. Для придания
законности такой записи нам следовало бы ввести понятие аффинного
пространства, в котором строго определяются операции откладыва-
ния вектора от точки и можно определить операцию вычитания точки
из точки, но мы, пожалуй, не будем этого делать в наших лекциях 1).
Все за один первый семестр успеть невозможно, а излишняя зафор-
мализованность простых геометрических понятий может и навредить
пониманию. Просто запомните, что если из точки вычесть точку,
то получится вектор, соединяющий эти точки. Так устоялось.
Определение. Координатами точки K в репере (O; a1,

a2, ..., 
an ) (или, что то же самое, в аффинной системе координат)
называют координаты ее радиуса-вектора rK вбазисе(a1, 
a2, ..., 
an ),
то есть коэффициенты (α1, α2, ..., αn) в разложении rK по базису:

rK = α1a1 + α2a2 + ...+ αnan.
В разных книжках опять-таки пишут, кому как вздумается:
K(α1, α2, ..., αn) или K{α1, α2, ..., αn} итомуподобное.
Координаты точки, разумеется, в данной системе координат
(в данном репере) определяются однозначно.
Наконец,передвамипоследнийвэтойлекциирисунок.Онпре-
красно иллюстрирует, что «школьное» понятие координат вектора (или
точки) в декартовой прямоугольной системе координат и наше опреде-
ление координат вектора в этой лекции для случая аффинной системы,
по сути — одно и то же! Просто аффинная система координат немножко
«кривая», поэтому для нахождения координат нужно действовать не
как в школе — опускать из точки K перпендикуляры на оси координат
и смотреть, в какие числа на координатных осях эти перпендикуля-
ры попадут, а очень аккуратно рисовать параллелограмм с вершиной
вточкеK , то есть проводить через точку K прямые, параллельно
1) Определение аффинного пространства вам уже совсем скоро расскажут
в курсе алгебры, а уже на втором курсе, в дифференциальной геометрии, мы
с вами будем его очень активно использовать.
19/25

Лекция No 2
43
координатным осям и смотреть, в какие числа на осях эти прямые
попадут:
Вот и все на сегодня. Хватит. На следующей лекции будет пункт
No 3, в котором мы решим простенькую, но важную для практического
применения задачу «разделить данный отрезок в заданном отноше-
нии», причем сделаем это в произвольной аффинной системе коорди-
нат. Это особенно удивительно, поскольку в произвольной аффинной
системе координат мы пока даже не знаем, что такое длина вектора
(или длина отрезка), и совсем не умеем эти длины вычислять!
Задачки к Лекции No 2
1. Найдите координаты вектора b(−1; 1) в базисах:
А) a1(3; 4), 
a2 (4; −3);
Б) c1(7; −1), 
c2 (3; −1);
С) d1(97; −148),

d2(−1; 1).
2. Найдите координаты вектора b(12; 6; 5) вбазисеa1(3; 4; 3),

a2(4; −3; 1), 
a3 (2; 1; −2).
3. Дан произвольный треугольник ABC ,точкаM —серединсто-
роны BC.Выразитевекторы
−
−
→
AMи
−
−
→
CM через векторы
−
−
→
ABи
−→
AC.
4. На плоскости дан правильный шестиугольник ABC DEF .Рас-
смотрим репер
	B;
−
−
→
BA,
−
−
→
BC
. Найдите в этом репере координаты точек
D, E , F . Найдите в этом репере координаты векторов
−
−
→
CD,
−
−
→
DF.
5. (No 17* из задачника Моденова–Пархоменко). Докажите, что
сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его
вершинам равна нулевому вектору.
6. (No 22 из задачника Моденова–Пархоменко). Из точки O выходят
два ненулевых вектора
−→
OA=a и
−
−
→
OB = b. Найдите какой-нибудь
ненулевой вектор, идущий по биссектрисе угла AOB.
20/25

44
Гл. 1 . Векторы
7. (No 26 из задачника Моденова–Пархоменко). Дан тетраэдр
OABC. Принимая за базисные векторы a1, 
a2, 
a3 векторы
−→
OA,
−
−
→
OB,
−
−
→
OC,
найти в этом базисе координаты векторов:
А)
−
−
→
AB,
−
−
→
BC,
−→
CA;
Б) вектора
−
−
→
DE,гдеD —серединаребраOA, E —серединареб-
ра BC;
В) вектора
−
−
→
DF ,гдеD —серединаребраOA, F — точка пересечения
медиан грани BOC;
Г) вектора
−
−
→
OM ,гдеM — точка пересечения медиан грани ABC.
8. (No 27 из задачника Моденова–Пархоменко). Даны четыре век-
тора: a(1; 5; 3),

b(6; −4; −2), 
c(0; −5; 7),

d(−20; 27; −35).Подобратьчис-
ла α, β, γ так, чтобы векторы αa, β

b, γc и d образовывали замкнутую
ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совме-
стить с концом предыдущего.
9. Найти вектор, являющийся проекцией вектора a(3; −10) на пря-
мую, параллельную вектору b(2; −4) при направлении проектирования,
параллельном вектору c(−1; 4).
10. (No 31* из задачника Моденова–Пархоменко). Даны четыре век-
тора: a(1; 2; 3),

b(2; −2; 1), 
c(4; 0; 3),

d(16; 10; 18). Найти вектор, являю-
щийся проекцией вектора d на плоскость, параллельную векторам a
и b, при направлении проектирования, параллельном вектору c.
21/25

Лекция No 3
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь. В конце прошлой лекции
я анонсировал важную задачу — деление отрезка в данном отношении,
которую обещал решить в произвольной аффинной системе координат,
не используя понятия длины отрезка, которую пока непонятно как
определять в произвольной аффинной системе координат. Оси-то не
обязательно перпендикулярны, да и масштабы (единичные отрезки)
на осях могут быть разными!
3. Деление отрезка в данном отношении
Когда-тодавнояучилсявсреднейшколеNo110г.Свердловска.
Помню, дело было в начале сентября, должен был быть урок математи-
ки. . . Мы, новоиспеченные шестиклассники, сидели в классе и плева-
лись друг в друга из трубочек жеваными бумажками. Вдруг открылась
дверь, зашла директриса школы и привела с собой пожилого и уже
сухощавого мужчину, хромого, на железной ноге. «Знакомьтесь, это
ваш новый учитель математики, Николай Иванович Слободчиков», —
сказала она и вышла. Мы тогда и знать не могли, что судьба послала
нам великого учителя. Николая Ивановича мы прозвали «Колываныч».
Самым загадочным образом хулиганы и двоечники становились у него
отличниками, а математика − любимым предметом.
Я приведу вам один пример из урока математики Николая Ива-
новича в шестом классе. Тема урока — свойства биссектрисы в тре-
угольнике. Итак, дети сидят и орут, чем-то кидаются друг в друга
(шестой класс, что вы хотите!), никакой возможности привлечь их
внимание к доске не видно, увещевать призывами к порядку бессмыс-
ленно.
А что Николай Иванович? Он выходит к доске и громко объявляет:
«Песня!» Начинает долбать железной ногой по полу и под этот ритм
дурным голосом орать (ну, то есть, разумеется, петь):
От начала до вершины, от вершины до конца!
От начала до деления, от деления до конца!..
N
V
DK
Он стоит лицом к классу, спиной
к доске, отбивает ритм ногой и одновре-
менно умудряется правой рукой (не гля-
дя на доску) рисовать такой рисунок.
Оцените, какие во время песни по-
являются мнемонические обозначения!
«От начала...» — ставит точку N ;«до
вершины...» — ставит точку V ;«отвер-
шины до конца!» — ставит точку K .
22/25

46
Гл. 1 . Векторы
«От начала до деления...» — ставит точку D.Этовамнетрадиционно
безликие A, B, C . . ., а говорящие буквы! 1)
Дети замолкают и начинают с любопытством смотреть на доску —
интересно же, что там такое происходит? Николай Иванович знает, что
дети будут молчать максимум полторы минуты, поэтому он сразу, без
всякой паузы начинает снова орать (ой, петь, конечно). При этом рядом
с треугольником он пишет пропорцию как раз под слова песни:
Все.Песнязакончена.Прошловсегополторыминуты,нодети
поняли и на всю жизнь запомнили то, что трудно уяснить, если го-
ворить строгим и постным языком учебника математики: «биссектриса
делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорци-
ональные двум другим сторонам этого треугольника» . И не просто
запомнили, а вооружились правилом-песней — какой отрезок на ка-
кой надо делить, чтобы не запутаться! Когда я встречаю задачу про
биссектрису или про деление отрезка в данном отношении, я всегда
пою про себя эту песню и представляю, как иду пешочком от точки
к точке (от начала до вершины. . ., или от начала до деления. . .). Эта
песенка позволяет мне не путаться при составлении пропорции и точно
указать, какая именно дробь равна заданному отношению «лямбда».
С первого фото на вас с хитрецой смотрит Николай Иванович,
а на втором фото он, как бы спрашивает меня: «СВС! 2) Ты же зн а -
ешь, как составлять пропорцию, почему не составил?»; после чего
1) Если кто из вас решится после окончания университета посвятить себя
благородному делу — преподаванию математики — и пойдет преподавать
в школу, колледж или в высшее учебное заведение, делайте так же! Уделяйте
внимание обозначениям! Облегчайте вашим ученикам восприятие и запоми-
нание!
2) У Колываныча ученики тоже получали прозвища, забавные и не обидные.
Я у него был СВС — Сергей Викторович Сизый.
23/25

Лекция No 3
47
размашисто пишет в мой дневник красной ручкой свое знаменитое:
«SOS, товарищи родители! Шалил на уроке! Ужас!» и возвращает
дневник с каким-нибудь подарочком, типа маленького календарика или
конфеты.
Я неспроста рассказал вам сегодня о Николае Ивановиче Слобод-
чикове — его песня поможет понять, что значит «отрезок разделен
в данном отношении λ», а потом, на практических занятиях по этой
теме, она позволит не путаться при составлении пропорций. Перейдем
теперь к основной задаче этого пункта. Мнемонические обозначения
я сохраню в дальнейших формулировках.
Задача. В произвольной аффинной системе координат дан от-
резок NK, N —начало,K — конец отрезка. На прямой (NK)надо
найти точку D, которая делит отрезок в отношении λ ∈ R, λ

= −1.
Важно. Отрезок NK подразумевается направленным! Фраза
«точка D делит отрезок NK в отношении λ ∈ R»означает,что
|ND|
|DK|
=λ,
при этом перемещения |ND| и |DK| могут быть и отрицательными,
если они осуществляются против направления отрезка NK.Смотрите
рисунок:
На этом рисунке
|ND1 |
|D1K|
= 1, так как D1 —серединаNK,мыидем
«от начала N до де ления D1, потом от деления до конца», пройденные
перемещения равны, и они оба положительные (в направлении от на-
чала к концу отрезка).
Авот
|ND2 |
|D2K|
= −2, так как «от начала N до деления D2»мы
идем, например, 2 метра, а потом «от деления до конца» возвращаемся
на (–1) метр. Оцените песню Николая Ивановича Слободчикова! Как
легко теперь определять λ!
Упр а жн е н и е : сообразите, почему при отрицательных λ точка
деления D лежит за пределами отрезка NK,априположительных
λ — внутри него? Подумайте, где находится точка деления при раз-
ных λ ∈ R и почему отношение λ не может быть равно –1?
Кстати, результат этого несложного упражнения имеет большое
значение для машинной графики. Как по-вашему безглазый компьютер,
который не рисует внутри себя никаких картинок на бумажке, должен
определять — лежит ли данная точка внутри заданного отрезка или
снаружи? Только вычислениями! А эти вычисления как раз и основы-
ваются на определении знака отношения λ!
24/25

48
Гл. 1 . Векторы
Приступаем к решению задачи. Дан отрезок NK в аффинной систе-
мекоординат—этозначит,чтоданырадиусы-векторыегоконцовrN
и rK . Нужно найти радиус-вектор точки деления rD .
Рисунок-решение задачи. Вычисля-
ем:

ND=rD− 
rN,

DK=rK−
rD,
—
« из конца вычесть начало».
Отношение λ дано, значит,

rD−
rN=λ(rK−
rD ).
Раскрываем скобки и выражаем искомый
вектор rD ,

rD=

rN+λ·
rK
1+λ
,
благо λ

= −1иделитьначисло1+ λ можно, никто нас упрекать
за возможное противозаконие не будет.
Ответ получен. Ура!
Для контроля качества понимания и демонстрации возможностей
полученной формулы приведу два примера.
Пример 1. На плоскости. Найти координаты середины отрез-
ка NK,еслиданыкоординатыN (3; 8), K(7; −4) в каком-то данном
(произвольном) репере.
Решение мгновенно: D — середина, значит λ = 1. (Этот частный
случай общей формулы наверняка вы проходили еще в школе.)

rD=
(3,8)+1 · (7, −4)
1+1
=
(3,8)+(7, −4)
2
=(5, 2).
Пример 2. В пространстве. Найти координаты точки M пе-
ресечения медиан треугольника NV K, волшебным образом висящего
в пространстве, если N (1; 2; 3), V (4; −5; 6), K (4; 3; −3).
V
M
K
ND
Решение в два шага. Смотрите
рисунок.
То ч к а D —серединаотрезкаNK,
поэтому ее координаты — среднее
арифметическое координат концов:
D=
(1; 2; 3)+(4; 3; −3)
2
=
5
2
;
5
2
;0
.
Знаем, что точка пересечения меди-
ан делит медиану в отношении 2 : 1,
считая от вершины, то есть отноше-
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

Лекция No 3
49
ние «от вершины V до деления M , от деления M до конца D»равно
λ = 2. Считаем:
M=
(4; −5; 6)+2
5
2
;
5
2
;0

1+2
=(3; 0; 2).
Пункт 3 закончен.
4. Скалярное произведение векторов.
Ломка мировоззренческих стереотипов,
навязанных в школе
В лекции No 1 мы вдоволь нахлебались трудностей со школьным
определением геометрических векторов и поняли, что гораздо быстрее
и проще давать аксиоматические определения, основанные на свой-
ствах определяемых объектов и операциях с ними. Давайте в этом
пункте поступим «по-взрослому» и сразу дадим аксиоматическое опре-
деление скалярного произведения векторов.
Определение. Скалярным произведением векторов a,

b∈Lна-
зывается любая функция a,

b	, которая берет два вектора и делает из
них число, при этом удовлетворяет следующим четырем аксиомам:
1.∀a,

b∈L a,

b	=

b,
a	 — коммутативность;
2.∀a1,
a2,

b∈La1+a2,

b	 =a1,

b	 + a2,

b	 — дистрибутивность;
3.∀a,

b∈L∀α∈Rαa,

b	 = αa,

b	 —однородность;
4.∀a∈La,
a	  0иa, 
a	 = 0 ⇔ a = 0 — положительная опреде-
ленность скалярного произведения.
Скалярное произведение обозначают еще как a ·

b или как (a,

b).
Последнее обозначение вообще неудобно, так как круглые скобки в ма-
тематике перегружены, их используют в обозначениях многих разных
объектов и сразу непонятно — то ли это упорядоченная пара векторов,
то ли базис на плоскости, то ли еще что. Но тем не менее, во многих
книжках скалярное произведение обозначают и круглыми скобками,
чертяки!
Совсем по-взрослому данное определение говорят еще и так:
«произвольная симметричная положительно определенная билинейная
форма на L называется скалярным произведением». Расшифровка
терминов: симметричная —аксиомаNo1;билинейная —линейная
по первому и по второму аргументу, то есть аксиомы No 2 и No 3;
положительно определенная —аксиомаNo4;терминформа означает
функцию от двух аргументов, область определения которой — про-
странство L, а область значений — R .
Замечание. Школьное «определение» скалярного произведения
для направленных отрезков — произведение их длин умножить на ко-
синус угла между ними — подходит исключительно для направленных
1/25

50
Гл. 1 . Векторы
отрезков!!! Про которые нам кто-то сказал, чему равна их длин а
икакойугол между ними! Конечно, если отрезок коротенький и на-
рисован в вашей тетрадке, то вы можете измерить его линейкой.
А если отрезок примерно от земли до солнца? Или вообще лежит
в десятимерном пространстве? Или вообще не является отрезком,
а является многочленом? Куда вы будете линейку прикладывать? Вся
этакучавопросовненавязчивонамекаетвам,чтопонятие«длина»
для произвольных векторов в школе не определяется, а мыслится как
что-то само собой разумеющееся. Используя неопределенное понятие
«длина» , давать «определение» скалярного произведения векторов —
нечестно! Кроме того, как мы увидим позже, школьное определение —
всего лишь конкретный пример из великого множества возможных
скалярных произведений для пространства, состоящего из «школьных»
геометрических векторов.
Пример: для тех, кому в школе немножко рассказывали про
интегралы. Пусть P — линейное пространство всех многочленов. Возь-
мем два произвольных многочлена f (x), g(x) ∈ P ипосчитаемчисло
1
0
f(x)g(x)dx = f, g	.
Посмотрите внимательно! Это же, на самом деле, функция (форма),
которая берет два многочлена и делает из них число! Посмотрите
внимательно на аксиомы 1)–4). Они выполняются для формы f , g	.
Значит, перед нами — одно из возможных скалярных произведений
многочленов! Ради прикола посчитаю это скалярное произведение для
векторов f (x)=3x2 и g(x)=x3 + 2x:
f,g	=
1
0
f (x)g(x)dx =
1
0
(3x2) · (x3 + 2x)dx =
1
0
(3x5 + 6x3)dx =
=3
1
0
x
5dx+6
1
0
x
3dx=3·
x6
6




1
0
+6·
x4
4




1
0
=3·
1
6
+6·
1
4
=2.
Идем дальше.
Определение. Длиной вектора a ∈ L называется число |a| =
=
a, 
a	.
Длина вектора — корень квадратный из скалярного квадрата этого
вектора! Корень можно извлекать, скалярный квадрат всегда неотри-
цательный, работает аксиома No 4!
Длину вектора часто обозначают как ||a|| и говорят: «норма век-
тора a». Это удобно, когда, например, вектор a — какой-нибудь мно-
гочлен. Ну, чтобы не путать обычный модуль многочлена |f (x)| иего
норму ||f (x)|| (то есть длину многочлена как вектора).
2/25

Лекция No 3
51
Пример. Ради прикола найдем длину (норму) многочлена f (x)=
= 3x2 , если скалярное произведение в пространстве всех многочленов
задано как в предыдущем примере, через интеграл. Считаем:
||f|| =
f,f	 =





1
0
f(x) · f(x)dx =





1
0
(3x2) · (3x2)dx =
=




9
1
0
x4dx=3
x5
5




1
0
=3
1
5
−
0
5
=
3
√
5
.
Определение. Уг ол φ между ненулевыми векторами a,

b∈L
определяется так:
cosφ=
a,

b
|a|·|

b|
=
a,

b
a, 
a	·
b,

b
.
Школьникам-то нормально, для них такое определение угла —
просто переформулировка школьного определения скалярного произ-
ведения a,

b	 = |a|·|

b|·cos φ для направленных отрезков. Но мы-то
с вами взрослые люди! Мы уже поняли, что школьное определение
a,

b	 = |a|·|

b|·cos φ не годится в общем случае произвольного вектор-
ного пространства! Даже для направленных отрезков такое определе-
ние — лишь частный пример скалярного произведения из огромного
множества всевозможных функций a,

b	.
Поэтому, глядя на приведенное определение угла, мы должны опа-
саться возможного подвоха! И наш внимательный критический взгляд
на определение угла сразу засекает, где может быть засада! С чего
это дробь
a,

b
|a|·|

b|
можно взять, да и назвать косинусом угла? А вдруг
эта дробь больше единицы? Ведь функция a,

b	 почти произвольная
(только четырем аксиомам из своего определения удовлетворяет) и кто
ее знает, какие она принимает значения!
Оказывается, что наш мир устроен хорошо. Благодаря аксиомам
No1–No4 функция a,

b	 ведет себя вполне достойно, не хулиганит,
иприлюбыхa,

b ∈ L выполняется следующее неравенство.
Неравенство Коши–Буняковского: a,

b	2a,
a	b,

b	.
Из этого неравенства, конечно, следует, что дробь
a,

b
|a|·|

b|
по модулю
не превосходит единицы и ее можно объявить косинусом угла между
векторами!
3/25

52
Гл. 1 . Векторы
Доказательство. Если один из векторов a,

b ∈ L нулевой,
то неравенство a,

b	2a,
a	b,

b	 очевидно без всякого доказательства.
Пусть даны ненулевые векторы a,

b ∈ L. Рассмотрим перемен-
ный вектор a − x

b∈L,г
деx∈R—п
а
ра
м
е
т
р.А
к
с
и
о
м
аNo4:
a−x

b,
a−x

b	  0. Используя аксиомы No 1, No 2, No 3, слева в этом
неравенстве раскрываем скобки, приводим подобные:
b,

b	x2
−
2a,

b	x+a,
a	0.
Это квадратный трехчлен, коэффициент перед x2 больше нуля; этот
трехчлен неотрицательный, следовательно, его дискриминант D мень-
ше или равен нулю:
D=4a ,

b	2 − 4a, 
a	b,

b	0.
А это и есть неравенство Коши–Буняковского.

Ура!!! Наше определение угла между векторами законно! Дробь
a,

b
|a|·|

b|
—
это косинус какого-то угла, и именно этот угол мы будем счи-
тать углом между векторами! Школьники тоже могут быть спокойны,
их формула для нахождения угла совпадает с нашим определением.
Внимание! Именно через скалярное произведение в линейном
пространстве L определяются длины, углы (а потом и площади, объемы
фигур)! Благодаря скалярному произведению в линейном пространстве
возникают геометрические величины! Запомните хорошенько два ло-
зунга (первый — чистая правда, второй — шутливый, для кричания
во время шествия на Дне Первокурсника университета).
Скалярное произведение — причина геометрии!
Скалярное произведение — это наше все!
Определение. Векторы a,

b ∈ L ортогональны (перпендикуляр-
ны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю,

a⊥b ⇔a ,

b	=0.
Определение. Базис линейного пространства (e1, 
e2, ..., 
en)∈L
(или репер (O; e1 , 
e2, ..., 
en ))называетсяортонормированным (сокра-
щенно «ОНБ»), если:
ei, 
ej	 =
0, i

=j,
1,i=j,
i,j =1,2, ..., n,
то есть базисные векторы (e1, 
e2, ..., 
en ) ∈ L попарно перпендикулярны
и длина каждого равна единице.
В школе ортонормированные реперы на плоскости или в трехмерном
пространстве называли «декартова прямоугольная система координат» .
4/25

Лекция No 3
53
ОНБ — привычное и приятное понятие. В декартовой прямоугольной
системе координат удобно работать — оси перпендикулярны, масштабы
на осях одинаковые. Но прелесть ортонормированных базисов состоит
не в их привычности, а в поразительной простоте формул для
нахождения координат вектора!Смотритедальше.
Пусть в ортонормированном базисе (e1, 
e2, ..., 
en)∈Lвекторb∈L
имеет координаты b =(α1, α2 , ..., αn ).Этоозначаетb = α1e1 + α2e2 +
+ ... + αn en . Хочу найти, например, координату α1.Умножуобечасти
равенства b = α1e1 + α2e2 + ... + αnen скалярно на вектор e1,получится
b, 
e1	 = α1e1, 
e1	 + α2e2, 
e1	+...+ αnen, 
e1	.Нобазис-тоортонор-
мированный! Все произведения справа равны нулю, кроме e1, 
e1	=1.
Значит, α1 = 

b,
e1	. Аналогично находятся и остальные координаты:
αi=

b,
ei	, i =1,2, ..., n.
Вот какие хорошие ортонормированные базисы! Чтобы найти ко-
ординаты вектора в ОНБ, вовсе не нужно решать систему линей-
ных уравнений (как в случае произвольного базиса), а достаточно
будет просто посчитать скалярные произведения! Это гораздо быстрее
ипроще!
А давайте еще немного пофантазируем. Представьте, что век-
тор b ∈ L имеет единичную длину, |

b| = 1. Представили? Каждый
базисный вектор ei тоже имеет единичную длину |ei | = 1. Следите
внимательно, сейчас будет фокус:
e3
j3
j1
j2
b
e1
e2
®
®
®
®
αi=

b,
ei	=

b,
ei
1·1
=
b, 
ei
|b|·|ei |
=cosφi
—
это же косинусы углов между вектором b иосямикоординат!Оказы-
вается, координаты вектора b единичной длины в ОНБ в точности рав-
ны косинусам углов между b и координатными осями! Эти координаты
5/25

54
Гл. 1 . Векторы
(косинусы) называются направляющими косинусами вектора b вОНБ
(e1, 
e2, ..., 
en)∈L.
На рисунке с предыдущей страницы: φ1, φ2 , φ3 —углымежду
вектором b иосямикоординат,сталобыть,если|b| = 1, то координаты
вектора b =(cosφ1, cos φ2 , cos φ3) и, что уж совсем неожиданно,
cos
2φ1+cos2φ2+cos2φ3=1,
хоть это есть обычная школьная формула для квадрата длины векто-
ра |b| = 1 (сумма квадратов координат). Запомните, пожалуйста, что
такоенаправляющиекосинусы—ихзнаниенеоднократнопригодится
вам в курсах матанализа, дифференциальной геометрии, теоретической
механики и много где еще.
Наконец, последнее в этой лекции и, пожалуй, самое важное.
Вопрос вопросов! Как задать скалярное произведение в линей-
ном пространстве? Что нужно знать, чтобы его посчитать?
Ответ ответов на вопрос вопросов! Пусть даны два векто-
ра a,

b ∈ L. Что значит даны? Это значит, что на самом деле задан
базис (a1 , 
a2, ..., 
an) ∈ L иданыкоординатывекторовa,

b∈Lвэтом
базисе:

a = α1a1 +α2a2 + ...+ αnan и b =β1a1 +β2a2 + ...+βnan.
Ну, а как иначе-то векторы дать? Только так — сообщить нам их
координаты в каком-нибудь базисе. Таким образом, координаты векто-
ров, то есть числа (α1, α2, ..., αn) и (β1, β2, ..., βn), мы знаем. Начнем
считать скалярное произведение:
a,

b	=α1a1 + α2a2 +...+ αnan,
β1a1 + β2a2 + ... + βnan	 =
(пользуясь аксиомами No 1–No 4 раскрываем скобки и выносим числа
вперед перед знаком скалярного произведения)
= α1β1a1, 
a1	 + α1β2a1, 
a2	 + ...+ α1βna1, 
an	 +
+ α2β1a2, 
a1	 + α2β2a2, 
a2	 + ...+ α2βna2, 
an	+
.
.
.
+ αnβ1an, 
a1	 + αnβ2an, 
a2	+...+ αnβnan, 
an 	.
Опаньки! Теперь, чтобы продолжить считать дальше и полу-
чить ответ (то есть получить число a,

b	),намнужнознатьчисла
ai, 
aj 	 = gij — всевозможные скалярные произведения базисных век-
торов! Их нам кто-то должен сказать! Хоть родители, хоть школьная
учительница, хоть автор задачи в задачнике, хоть дядя на трамвай-
ной остановке — неважно, лишь бы сказал! Вдумайтесь! Если этот
некий оракул скажет нам эти числа, то он фактически определит
нам скалярное произведение дл я любых векторов a,

b ∈ L! Зная числа
6/25

Лекция No 3
55
ai, 
aj 	 = gij , мы сможем посчитать скалярное произведение по фор-
муле
a,

b	 = α1β1g11 + α1β2g12 + ...+ α1βng1n +
+ α2β1g21 + α2β2g22 + ... + α2βng2n +
.
.
.
+αnβ1gn1 + αnβ2gn2 + ...+ αnβngnn.
(♣)
Я побоялся сразу записать эту формулу (♣) кратко, но посмотрите,
может быть, будет понятно:
a,

b	=
n

i=1
n

j=1
gijαiβj.
Две суммы, два индекса i и j ,обаменяютсяот1доn.Запись
в виде двойной суммы означает, что сначала для каждого i считается
«внутренняя» сумма
n

j=1
gij αi βj — это сумма слагаемых в каждой стро-
ке развернутой записи (♣), а потом суммируются полученные суммы
строк.
Вывод. Чтобы задать скалярное произведение в пространстве L
и получить возможность вычислять его для любых векторов a,

bиз
этогопространства,нужнозадатьчислаai , 
aj 	 = gij —скалярные
произведения базисных векторов.
Определение. Числа ai , 
aj 	 = gij — скалярные произведения
базисных векторов — называются метрическими коэффициентами.
Матрица, составленная из метрических коэффициентов, называется
матрицей Грама:
G=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
g11 g12 ··· g1n
g21 g22 ··· g2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
gn1 gn2
gnn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦, (n =dimL).
Йорген Педерсен Грам — датчанин, математик. Шутка, лежащая
на поверхности: фамилия Грама пишется с одной буквой «м» для
того, чтобы вы не путали его фамилию с одной тысячной килограмма!
На следующей странице я покажу вам его фотографию, поскольку
заметил, что мало кто даже из математиков-профессионалов видел его
благородное лицо, хотя все пользуются его достижениями.
Наблюдение: ai, 
aj	=aj,
ai 	,поэтомувматрицеГрамаобя-
зательно gij = gji. Говорят, что матрица Грама симметрична:если
на главную диагональ поставить зеркало, то она не изменится после
отражения в этом зеркале. На диагонали у матрицы Грама не может
7/25

56
Гл. 1 . Векторы
Йорген Педерсен Грам (1850–1916).
Спасибо ему за матрицу и за процесс ортогонализации
быть нулей, так как скалярный квадрат базисного вектора больше
нуля, ведь базисный вектор не может быть нулевым! Кстати, почему?
Ккакому выводу мы в итоге пришли? А вот к какому. Полу-
чается, что сколько различных матриц Грама вы сумеете придумать,
столько разных (!) скалярных произведений вы сможете задать в од-
ном и том же линейном пространстве L! Соответственно столько же
и получится разных формул для вычисления скалярного произведения
векторов:
a,

b	 = α1β1g11 + α1β2g12 + ...+ α1βng1n +
+ α2β1g21 + α2β2g22 + ... + α2βng2n +
.
.
.
+αnβ1gn1 + αnβ2gn2 + ...+ αnβngnn.
Понимаете? Бесконечно много разных скалярных произведений
можно определить в одном и том же линейном пространстве!
Пример из школы. Ваша школьная учительница взяла на себя
роль Диктатора и молча (!) сказала: «Дети! На всех уроках матема-
тики будем пользоваться только вот такой единичной матрицей Грама
для нахождения скалярного произведения векторов в трехмерном про-
странстве,
G=
⎡
⎣ 100
010
001
⎤
⎦,
где на диагонали стоят единички, остальные элементы матрицы —
нули».
8/25

Лекция No 3
57
Соответственно формула для вычисления скалярного произведения
на школьных уроках математики получилась совсем простой:
a,

b	=α1β1·1+α1β2·0+α1β3·0+
+α2β1·0+α2β2·1+α2β3·0+
+α3β1·0+α3β2·0+α3β3·1 =
= α1β1 + α2β2 + α3β3.
Узнали школьную формулу? Она, конечно, простая, но ведь обя-
занность пользоваться только одной этой формулой — это ущемление
вашей свободы выбора! Вам, по сути, навязали единичную матрицу
Грама и, следовательно, принудили использовать только одно скаляр-
ное произведение! А скалярных произведений в нашем мире много!
Конечно, в школе так делают потому, что:
1) базис всегда подразумевают ортонормированным, а у ортонорми-
рованного базиса матрица Грама как раз единичная;
2) формула для скалярного произведения получается совсем про-
стой, и ее легко запомнить даже тупому школьнику;
3) в школе берегут детскую психику от перегрева: зачем де-
тям знать, что могут быть разные аффинные системы координат
и всякие другие формулы для нахождения скалярного произведения
в этих системах координат, например, a,

b	 = 8α1β1 + 3α2β2 + 5α3β3,
a,

b	 = 8α1β1 + 3α2β2 + 2α2β3 + 2α3β2 + 15α3β3 или еще что-нибудь
подобное и ужасное.
Давайте закончим эту лекцию простым, но поучительным при-
мером.
Пример. Найти угол между векторами a(3, 4) и b(−4, 3)
на плоскости, если скалярное произведение векторов этой плоскости
задано матрицей Грама
G=
12
25
.
Решение. Видно, что в школе эти векторы были бы перпендику-
лярны 1). Но в этом примере другое скалярное произведение! Значит,
в этом примере «другая геометрия»! Давайте подробно посчитаем.
1) Повторяйте мантру: «Векторы перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно нулю!» И будет вам счастье на прак-
тических занятиях и на экзамене!
9/25

58
Гл. 1 . Векторы
Пусть (a1, 
a2) — тот самый базис плоскости, в котором даны ко-
ординаты векторов. Мгновенно пишем a(3, 4)=3a1 + 4a2 ,

b(−4, 3)=
= −4a1 + 3a2.Вычисляем:
a,

b	 =3a1 + 4a2; −4a1 + 3a2	 =
(раскрываем скобки, приводим подобные)
= 3 ·(−4)·a1;a1	+3·3 ·a1;a2	+
+4·(−4)·a2;a1	+4·3 ·a2;a2	=
= 3 ·(−4)·g11+3·3 ·g12+
+4·(−4)·g21+4·3 ·g22.
Роль Диктатора в этом примере играет автор задачи, он дал нам
метрические коэффициенты — берем их из матрицы Грама, g11 = 1,
g12 = g21 = 2, g22 = 5, и подставляем в формулу. Итого:
a,

b	=3 ·(−4)·1+3·3 ·2+4·(−4)·2+4·3 ·5 =
= −12+18−32+60=34.
Видно, что векторы a(3, 4) и b(−4, 3) на плоскости со скалярным
произведением, заданным матрицей Грама G,оказалисьнеперпенди-
кулярны! Их скалярное произведение не равно нулю!
Посчитаем длины векторов. В школьной геометрии эти векторы
были бы длины 5, а здесь:
|a| =
a, 
a	=
3a1 + 4a2,3a1 + 4a2	 =
=

9+2·12+2·12+5·16=
√
137 ,
|b| =
b,

b	=
−4a1 + 3a2, −4a1 + 3a2	 =
=
16−2 ·12−2 ·12+5·9 =
√
13.
Наконец, угол φ между векторами a и b:
cosφ=
a,

b
|a|·|

b|
=
34
√
137 ·
√
13
,
φ = arccos
34
√
137 ·
√
13
≈ 36,3
◦
.
Итак, скалярное произведение — причина геометрии! Все метри-
ческие геометрические величины возникают только благодаря скаляр-
ному произведению — они определяются через него! Разных скалярных
произведений в одном и том же пространстве можно определить беско-
нечно много. Каждому данному скалярному произведению соответству-
ет «своя геометрия», со своими формулами нахождения длин отрезков,
углов между векторами, площадей фигур и прочих геометрических
величин.
10/25

Лекция No 3
59
Вот такая ломка школьных стереотипов про изначальную данность
и неопределяемость геометрических понятий длины и расстояния, ве-
личин углов между векторами произошла у нас сегодня на лекции.
Осмысление узнанного сегодня — процесс не быстрый. Потребуется
время, чтобы осознать: не скалярное произведение определяется через
длины и углы, а наоборот, длины и углы определяются через скалярное
произведение. И это очень важно, поскольку векторные пространства
могут состоять не из геометрических векторов, а из чего угодно, и для
этого «чего угодно» школьные представления о длинах и углах просто
неприменимы. Скалярное произведение — это наше все!
До встречи в следующей лекции!
Задачки к Лекции No 3
1. То ч к и P (2; −1), Q(−1; 4), R(−2; 2) являются серединами сторон
треугольника. Найти координаты его вершин. Система координат аф-
финная.
2. Даны вершины треугольника A(2; −5), B(1; −2), C(4; 7).Найти
координаты точки пересечения биссектрисы его внутреннего угла при
вершине B со стороной AC . Система координат декартова прямо-
угольная.
3. Точка D делит отрезок
−
−
→
NK в отношении λ. В каком отношении
этот отрезок делит точка D
,которая:
А) симметрична точке D относительно середины отрезка
−
−
→
NK,
Б) симметрична точке D относительно точки K ?
4. (No 107* из задачника Моденова–Пархоменко) Доказать, что че-
тырехугольник с вершинами A(1; 2), B(−3; 1), C(−1; −5), D(3; −1) вы-
пуклый. Система координат аффинная.
5. В четырехмерном пространстве даны три точки: A(1; 2; 3; 4),
B(−1; 0; 5; −3), C (3; 1; 1; 2). Найти координаты точки пересечения ме-
диан треугольника ABC.
6. Найти угол между векторами a(2; −3) и b(−6; 4),еслискалярное
произведение задано:
А) единичной матрицей Грама,
Б) матрицей Грама G =
!23
37
".
7. Найти длину вектора a(1; −2; 2),еслискалярноепроизведение
задано:
А) единичной матрицей Грама,
Б) матрицей Грама G =
 120
250
008
.
11/25

60
Гл. 1 . Векторы
8. (No 144* и No 141* из задачника Моденова–Пархоменко) Даны
два вектора a и b.Найтивекторc, являющийся ортогональной про-
екцией вектора b на прямую, параллельную вектору a.Представить
вектор b в виде суммы двух векторов x и y так, чтобы вектор x был
коллинеарен вектору a,авекторy ортогонален вектору a.
9. (No 149 из задачника Моденова–Пархоменко) Найти вектор, яв-
ляющийся ортогональной проекцией вектора c(8; 4; 1) на плоскость,
перпендикулярную вектору n(2; −2; 1). Матрица Грама единичная.
10. (No 150* из задачника Моденова–Пархоменко) Даны три векто-
ра: a(8; 4; 1),

b(2; −2; 1) и c(1; 1; 0). Найти вектор, являющийся орто-
гональной проекцией вектора c на плоскость, параллельную векторам

a и b. Матрица Грама единичная.
11. Найти вектор x, перпендикулярный к векторам a(3; 2; 2)
и b(18; −22; −5),если|x| = 14 и угол между вектором x иосьюOY
тупой. Матрица Грама единичная.
12. Найти координаты вектора b(15; 3; −48) в ортонормированном
базисе

a1
2
3
;
2
3
;
1
3
,

a2
2
3
;−
1
3
;−
2
3
,

a3
1
3
;−
2
3
;
2
3
.
Матрица Грама того базиса, в котором даны координаты всех векторов,
единичная.
13. В трехмерном пространстве дан куб ABCDAB

CD

. Точ-
ка S —серединаребраAB,точкаP —центрграниDAAD

. Найти
угол между прямыми (DS) и (PC). Матрица Грама единичная.
12/25

Лекция No 4
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь. Сегодня на лекции мы по-
говорим о разных системах координат и о том, как, зная координаты
точки в одной системе, найти ее координаты в другой системе.
5. Преобразование координат при замене репера
Даже на примере привычных линейных пространств размерности
два и три, состоящих из геометрических векторов (плоскости и про-
странства), легко усмотреть, что в линейном пространстве существует
тьма-тьмущая разных базисов, аж несчетное количество. Реперов раз-
ных — тоже полна коробушка, где хочешь, там свой репер и устанав-
ливай. Во избежание анархии, нужно навести хоть какой-то порядок
вэтомнеобъятноммножествереперовинаучитьсярешатьследующую
важнейшую практическую задачу.
Задача. Мы живем в репере (O; a1, 
a2, 
a3) —этонашасистема
координат, в ней мы находимся. Точка M (или, что то же самое, ее ра-
диус-вектор rM ) в нашей системе координат имеет координаты (x, y , z ).
Где-то в пространстве висит чей-то другой репер (O ; b1,

b2,

b3).Какие
координаты точка M будет иметь в этом новом репере (O ; b1,

b2,

b3)?
Наверняка, даже в школьном курсе физики эта задача упоминалась:
даны координаты объекта в одной системе отсчета, нужно найти его
координаты в другой системе отсчета.
Детализируем задачу. Напишем аккуратно, что нам дано и что
конкретно мы хотим найти.
Что нам дано: в нашем репере (O; a1, 
a2, 
a3) нам даны координаты
новых базисных векторов

b1(β11 , β12 , β13 ),

b2(β21 , β22 , β23),

b3(β31, β32 , β33)
икоординатыначальнойточкиновогорепераO(x0, y0, z0).Мы,нахо-
дясь в своем репере (O; a1, 
a2, 
a3), знаем координаты точки M(x, y, z).
Итого: 15 чисел мы знаем — все 9 штук бета, три координаты нового
начала O и три координаты точки M .
Что мы хотим найти: какие координаты M (x
,y

,z

) будет
иметь точка M для наблюдателя, находящегося в новом репере
(O; b1,

b2,

b3)? Иными словами, мы хотим найти неизвестные числа
(x
,y

,z

) — координаты радиуса-вектора r

M вбазисе( b1,

b2,

b3).Ито-
го 3 числа не известны.
13/25

62
Гл. 1 . Векторы
А вот изумительный по своей ясности рисунок:
Ðåïåð
—
«íîâûé».
(;,,)
O'bbb
123
Äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷àåì åãî ()
b
O'
O
M
b3
b1
a1
a2
a3
rM
r'
M–?
b2
®
®
®
®
®
®
®
®
®®®
Ðåïåð
—
«ñòàðûé».
(;,,)
O'aaa
123
Äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷àåì åãî ()
a
®®®
Решение задачи. Нам дано:

b1 = β11a1 + β12a2 + β13a3 ,

b2 = β21a1 + β22a2 + β23a3 ,

b3 = β31a1 + β32a2 + β33a3 ,

OO
= x0a1 + y0a2 + z0a3 ,

rM =xa1+ya2+za3.
Мы понимаем, что r

M=x
b1 + yb2 + z b3,хотьпокаинезнаем
чисел (x

,y

,z

).
Очевидно (смотрите на рисунок), что

rM=OO

+r

M
—
это ключевое равенство, которое и приведет нас к решению постав-
ленной задачи!
Подставим в него то, что дано:
xa1+ya2+za3=x0a1+y0a2+z0a3+x
b1+y
b2+z
b3.
Не поленимся и далее подставим выражения векторов b1,

b2,

b3:
xa1+ya2+za3=x0a1+y0a2+z0a3+x

(β11a1 + β12a2 + β13a3)+
+ y(β21a1 + β22a2 + β23a3)+
+z

(β31a1 + β32a2 + β33a3).
Раскроем скобки и приведем подобные:
xa1+ya2+za3=(x0+x

β11+y

β21+z

β31 )a1 +
+(y0+x

β12+yβ22+z

β32)a2 +
+(z0+x

β13+yβ23+z

β33)a3.
Мы не зря в Лекции No 2 доказывали, что один и тот же вектор
неможетиметьдваразныхнаборакоординат!Следовательно,если
14/25

Лекция No 4
63
левая часть равенства равна правой части, то равны и соответствующие
коэффициенты перед базисными векторами (a1, 
a2, 
a3),тоесть
итог:
⎧
⎨
⎩
x=x0+xβ11+yβ21+zβ31,
y=y0+xβ12+yβ22+zβ32,
z=z0+xβ13+yβ23+zβ33,
—
это система из трех уравнений с тремя неизвестными, причем ее
определитель отличен от нуля,
Δ=






β11 β21 β31
β12 β22 β32
β13 β23 β33







=0.
Столбиками этого определителя являются как раз координаты базис-
ных векторов репера (b), а они заведомо не компланарны, следователь-
но, определитель из них — не ноль!
Значит (по правилу Крамера) итоговая система имеет единствен-
ное решение (x
,y

,z

). Решайте и находите его! Хоть по формулам
Крамера, хоть какими-нибудь школьными методами. Главное, что мы
фактически нашли решение поставленной задачи разыскания коорди-
нат точки M в новом репере — написали систему линейных уравнений,
которую осталось решить. А это уже дело не геометрии, а алгебры.
Сама получившаяся система называется «формулы преобразования
координат».
Наблюдение 1. Философское. Реперы (a)и(b) равноправны!
Они только называются «старый» и «новый», хотя им одинаковое коли-
чество лет! Поэтому формулы «обратного перехода», то есть формулы
для нахождения координат точки М в репере (a), если известны ее
координаты в репере (b) имеют точно такой же внешний вид — три
линейных уравнения. Более того, если бы нам изначально дали коорди-
наты (x
,y

,z

) точки M в репере (b), а попросили бы найти координаты
M (x, y , z ) в репере (a), то вообще никакую систему решать было бы
не надо, поскольку наши итоговые формулы дают прямой ответ!
Наблюдение 2. Формулы преобразования координат линейные!
В них нет никаких квадратов неизвестных, нет третьих степеней,
нет квадратных корней и т.д. Все координаты в них входят в первой
степени! Это очень важное наблюдение!!! Из этого наблюдения следует,
что если в репере (a) какая-нибудь геометрическая фигура задается
алгебраическим уравнением n-й степени, то в репере (b) эта фигура
тоже будет задаваться уравнением n-й степени! Если призадуматься,
то это очевидно — ведь если вместо переменных в уравнение фигуры
подставить линейные комбинации новых переменных, раскрыть скобки
и привести подобные, то степень уравнения не возрастет! А может ли
она понизиться? Ответ — нет! Степень уравнения не возрастет как
при преобразовании координат из репера (a)врепер(b), так и при
преобразовании координат из (b)в(a). Если бы степень уравнения
15/25

64
Гл. 1 . Векторы
при преобразовании из репера (a)врепер(b)понизилась,топри
обратном преобразовании (из (b)в(a)) ей пришлось бы возрастать,
а это невозможно! Следовательно, степени уравнений, задающих од-
ну и ту же фигуру в репере (a) и в репере (b)простосовпадают!
Поразительно! Например, окружность в любой аффинной системе ко-
ординат на плоскости задается некоторым уравнением второй степени,
поскольку в декартовой прямоугольной системе координат она зада-
ется уравнением (x − x0)2 +(y − y0)2 = R2 второй степени. Конечно,
в другой системе координат уравнение окружности может оказаться
не таким красивым, в нем будут другие коэффициенты, возможно,
даже возникнет слагаемое, содержащее произведение переменных xy,
но уравнение будет второй степени!
Наблюдение 3. Очевидно, что для плоскости (в пространстве
размерности 2) формулы преобразования координат выглядят попроще:
x =x0+xβ11+yβ21,
y=y0+xβ12+yβ22,
поскольку у точек всего две координаты.
Наблюдение 4. Формулы преобразования координат
⎧
⎨
⎩
x=x0+xβ11+yβ21+zβ31,
y=y0+xβ12+yβ22+zβ32,
z=z0+xβ13+yβ23+zβ33
очень просто запомнить вот в такой записи в виде столбиков:
Координаты точек и координаты новых базисных векторов
(b1,

b2,

b3) в этой записи просто выписаны вертикально в столбики.
Векторы ( b1,

b2,

b3) по какой-то причине при записи преобразования
координат хотят быть столбцами! И они стали столбцами!
Матрица
T(a)(b) =
⎡
⎣ β11 β21 β31
β12 β22 β32
β13 β23 β33
⎤
⎦,
столбцами которой являются столбики из координат новых базисных
векторов (b1,

b2,

b3) встаромбазисе(a1 , 
a2, 
a3),называетсяматрицей
перехода от базиса (a)кбазису(b). Пока запомните название этой
важной матрицы (и как она устроена), а ее свойства и как она исполь-
зуется — это вам расскажут в курсе алгебры.
16/25

Лекция No 4
65
Давайте явно отметим два очень важных частных случая преобра-
зования координат.
Частныйслучай1.Параллельный перенос аффинной системы
координат на плоскости. Посмотрите на рисунок:
Новый репер (O ; a1, 
a2) получается простым сдвигом старого ре-
пера (O; a1, 
a2) на вектор OO

, система координат не поворачивается,
оси новой системы координат параллельны соответствующим осям
старой системы. При параллельном переносе «новые» базисные век-
торы совпадают со «старыми»! Векторы a1, 
a2 имеют в базисе (a1 , 
a2)
очень простые координаты: a1(1; 0), 
a2(0; 1),ибоa1 = 1 · 
a1+0·
a2,

a2=0·
a1+1·
a2 . Поэтому общие формулы преобразования координат
на плоскости
x=x0+xβ11+yβ21,
y=y0+xβ12+yβ22
становятся совсем уж простыми,
x=x0+x
,
y=y0+y
,
а если эту систему решить, то
x
=x−x0,
y
=y−y0.
Смышленые дети! Теперь, когда я написал вам формулы параллель-
ного переноса, сообразите, как в школьной декартовой прямоугольной
системе координат окружность (x − x0 )2 +(y − y0)2 = R2 получается
из окружности x2 + y2 = R2?
Частный случай 2. Поворот декартовой прямоугольной системы
координат на угол φ.Смотритерисунок:
17/25

66
Гл. 1 . Векторы
Как будто бы в начало координат вбили гвоздь, чтобы оно никуда не
сдвинулось, а новый репер получается из старого поворотом базисных
векторов вокруг гвоздя-точки O на угол φ. Еще в школе договарива-
лись, что если угол φ>0, то векторы репера поворачиваем против
часовой стрелки; приговариваем, что это «положительное направление
вращения».
Из рисунка видно, что новые базисные векторы b1,

b2 —векто-
ры единичной длины (их концы лежат на единичной окружности),
поэтомуихкоординатывисходнойсистемекоординатлегконайти:

b1(cos φ, sin φ),

b2(− sin φ, cos φ). Начало новой системы координат сов-
падает с началом старой системы, поэтому x0 = 0, y0 = 0. Получаются
формулы поворота, которые вы найдете в любом справочнике по «выс-
шей» (почему-то!) математике:
x=x

cosφ−y

sin φ,
y=x

sinφ+ycosφ.
Специально для вас, хорошие дети, я решил эту систему в общем
виде и нашел неизвестные координаты (x
,y

):
x
= xcosφ+ysinφ,
y
= −xsinφ+ycosφ.
Впрочем, признаюсь честно, я не сильно напрягался, когда решал
систему, чтобы получить явные формулы, выражающие координаты
точки M в «повернутой» системе через ее координаты в исходной
системе. Я же помню наблюдение No 1 (философское) о том, что «ста-
рый» и «новый» реперы равноправны. Я понимаю, что если новый
получился из старого поворотом на угол φ,тостарыйполучитсяиз
нового поворотом на угол (−φ), поэтому я просто заменил в формулах
x=x

cosφ−y

sin φ,
y=x

sinφ+ycosφ
угол φ на (−φ), а переменные со штрихами — на переменные без
штрихов. Получился правильный ответ.
Впрочем, если кто не верит в силу философского наблюдения No 1
(или вообще в силу философских наблюдений как таковых), тот может
самостоятельно решить систему
x=x

cosφ−y

sin φ,
y=x

sinφ+ycosφ,
например, по формулам Крамера. Благо определитель этой системы
Δ=




cosφ −sinφ
sinφ cosφ



 равен единице, и ответ получается мгновенно:
x
=




x −sinφ
y cosφ



,y

=




cos φx
sin φy



.
18/25

Лекция No 4
67
Формулы преобразования координат очень важны, несмотря на их
кажущуюся простоту. Они связывают между собой координаты точки
в разных реперах. Эти формулы нужны повсюду. Физики рассматри-
вают разные системы отсчета, разные системы координат и, конечно,
хотят уметь переводить различные физические параметры из одной
системы координат в другую. В математике формулы преобразования
координат тоже используются очень часто и в разных местах. Давайте,
под конец лекции, я приведу красивый пример, который покажет, как
и зачем формулы преобразования координат используются в геометрии,
как они помогают решать задачи.
Пример. Нарисовать линию
1
2
x2+xy+
1
2
y2−
√
2
2
x+
√
2
2
y=0.
Решение. Ну, блин, жуть какая! Уравнение всего лишь второй
степени, но попробуй сообразить, что это за линия! Подскажу —
давайте повернем оси координат на 45 градусов. Не спрашивайте, как
я догадался, что нужно вертеть систему координат на 45 градусов;
я научу вас самостоятельно до этого догадываться, но чуть позже,
ближе к концу этого семестра.
Итак, угол φ = 45◦
, cosφ=sinφ=
√
2
2
иформулыповороташколь-
ной декартовой прямоугольной системы координат выглядят так:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x=
√
2
2
(x

−
y),
y=
√
2
2
(x

+ y).
Поворачиваем систему координат. То есть, подставляем выражения
для x и y из формул поворота на 45◦ в исходное уравнение:
1
2
·
1
2
(x

−
y)2 +
1
2
(x

−
y)(x

+ y)+
1
2
·
1
2
(x

+y)2−
−
√
2
2
·
√
2
2
(x

−
y)+
√
2
2
·
√
2
2
(x

+ y)=0.
Это уравнение той же самой линии, но в «повернутой» системе коор-
динат x Oy
.
Раскроем скобки, приведем подобные и . . .
О, чудо!!! Все сокращается и остается совсем простое уравнение
x
2
+y
=0, тоестьy

=−x
2
.
Да каждый школьник знает, что это парабола, ветви которой на-
правлены вниз, поскольку перед «икс квадрат» стоит знак минус!
19/25

68
Гл. 1 . Векторы
В «повернутой» системе координат нарисовать данную линию совсем
просто! Вот рисунок:
Для уточнения рисунка я еще подставил y = 0 в исходное урав-
нение
1
2
x2+xy+
1
2
y2−
√
2
2
x+
√
2
2
y = 0 и нашел точку пересечения
параболы с осью OX — это точка
√
2. Чтобы окончательно сде-
лать то, что просят в задаче (нарисовать линию в исходной системе
координат XOY ), сотрите резинкой вспомогательные штрихованные
оси координат — останется жирная повернутая парабола в исходной
не штрихованной системе.
Видите, как замена системы координат может значительно упро-
стить уравнение изучаемого объекта! В исходной системе координат
уравнение линии было сложным, а в «повернутой» системе координат
оно, конечно, осталось уравнением второй степени, но стало совсем
простым. В новой системе координат стало ясно, что это уравнение па-
раболы, и мы легко нарисовали эту параболу в штрихованной системе
координат, слегка наклонив свою голову вправо, как делают истинные
живописцы в экстазе творчества! Вот как преобразования координат
помогают в геометрии решать сложные задачи!
Пожалуй, на этом лекцию закончим. До встречи в следующей
лекции!
Задачки к Лекции No 4
1. (No 659 из задачника Моденова–Пархоменко). Даны две системы
координат XOY и X O

Y
.
Относительно первой системы начало вто-
рой системы находится в точке O(−4; 2),осьOX

пересекает ось OX
вточкеA(2; 0),аосьOY

пересекает ось OY вточкеB(0; 8). Прини-
20/25

Лекция No 4
69
мая за базисные векторы второй системы векторы
−
−
→
OA и
−
−
→
OB ,выразить
координаты произвольной точки относительно первой системы через ее
координаты во второй системе.
2. (No 693* из задачника Моденова–Пархоменко). Найти формулы
преобразования декартовых прямоугольных координат, если начала
обеих систем различны, а концы соответствующих единичных базис-
ных векторов совпадают.
3. Координатные оси декартовой прямоугольной системы коор-
динат повернуты на угол φ = 60
◦
. КоординатыточекA(2
√
3; −4)
и B(0; −2
√
3 ) определены в новой системе. Найти координаты этих
точек в старой системе.
4. В аффинной системе координат даны точки A(5; 5), B(2; −1),
C(12; 6). Найти их координаты, если система координат параллельно
перенесена своим началом:
А) в точку A;Б
)вт
о
ч
к
у
B.
5. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки
A(5; 5), B(2; −1), C(12; 6). Найти их координаты в новой системе
координат, если начало новой системы перенесено в точку B, а оси ко-
ординат повернуты относительно старой системы на угол φ =arctg
3
4
.
6. (No 689* из задачника Моденова–Пархоменко). Написать фор-
мулы преобразования прямоугольных декартовых координат, если обе
системы имеют общее начало, а косинусы углов между осями коорди-
нат заданы таблицей:
OX OY OZ
OX−
11
15
−
2
15
2
3
OY−
2
15
−
14
15
−
1
3
OZ
2
3
−
1
3
2
3
21/25

Лекция No 5
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь! Начнем сегодняшнюю
лекцию.
6. Векторное и смешанное произведения
векторов в трехмерном пространстве
В этом пункте все события будут разворачиваться в привычном
трехмерном пространстве — хватит нам пока заниматься заоблач-
ными абстракциями, давайте более подробно познаем сначала свое
пространство, в котором мы живем. Предмет у нас — аналитическая
геометрия, и это предмет важен, прежде всего, своими практическими
применениями. Аналитической геометрией пользуются физики, меха-
ники, астрономы, инженеры и прочие уважаемые люди, поэтому все
конструкции, о которых пойдет здесь речь, будут рассматриваться
в привычном трехмерном пространстве именно с прицелом на их по-
следующее практическое применение. Конечно, в математике известны
и обобщения этих конструкций для абстрактных пространств иных
(более высоких) размерностей, но я расскажу вам о них позже, уже
на старших курсах.
Определение. Упорядоченная тройка 1) некомпланарных векто-
ров (a,

b,
c ) называется правой (или имеющей правуюориентацию),
если наблюдатель с конца третьего вектора c видит на плоскости π,
образованной векторами (a,

b ), поворот через меньший угол от первого
вектора a ко второму вектору b против часовой стрелки. В случае если
таковой поворот осуществляется по часовой стрелке, тройка (a,

b,
c)
называется левой.
Вотизумительныйпосвоейясностирисунок:
1) Порядок векторов в тройке очень важен! Поэтому обозначение тройки
взято в круглые скобки.
22/25

Лекция No 5
71
Заметили? Правая тройка векторов расположена на рисунке слева,
а левая тройка — справа! Это шутка! Искрометный преподавательский
юмор! Таких шуток будет еще много! Кстати, на приведенном рисунке
черненькому наблюдателю больно, ибо конец у вектора острый!
Упр а жн е н и е . Потренируйте свое пространственное воображе-
ние! Убедитесь, что если тройка (a,

b,
c ) правая, то тройки (b, 
c,
a),
(c, 
a,

b ) тоже правые, а тройки (b, 
a,
c),(a,
c,

b ) будут левыми. А какими
будут тройки (−
a,

b,
c ), (a,

b, −
c),(−
a,

b, −
c)?
Почему правая тройка называется правой? Посмотрите на верх-
ние руки высокоорганизованного интеллигентного примата вида Homo
sapiens. Одна из них правая, другая левая. Те, кто учились в му-
зыкальной школе играть на клавишных инструментах, хорошо знают,
что пальцы на руке нумеруются: большой палец — первый, указатель-
ный — второй, средний палец — третий и т. д. Смотрите на фото:
первый, второй и третий растопыренные пальцы-векторы на правой
руке образуют базис трехмерного пространства. Именно эта тройка
пальцев-векторов на правой руке суть правая, см. рисунок:
1
2
3
Уж не знаю почему, но на планете Земля большинство хомосапиен-
сов — правши. Братья-физики толкуют нам про «правило правой руки».
При β -распаде ядер атомов бора совершенно независимо от нашего
хотения большинство электронов вылетает из них с правым спином.
Правоориентированные молекулы глюкозы усваиваются организмом,
а левые нет. И таких примеров масса. Почему-то Творец нашего мира
любит больше правое, чем левое. Именно правую ориентацию тройки
векторов в нашем мире принято считать «правильной» и превозно-
сить ее на пьедестал как любимого артиста. Хотя мы, математики,
понимаем, что выбор одной из двух возможных ориентаций — это
чистая условность и предмет договоренности. Видимо, правши просто
переорали левшей на всемирном собрании, посвященном выбору «пра-
вильной» ориентации тройки векторов. Именно в виде правой тройки
23/25

72
Гл. 1 . Векторы
принято рисовать пространственную систему координат в учебниках
по математике:
Именно правые тройки фигурируют в различных физических конструк-
циях, именно правая тройка фигурирует в следующем важнейшем
определении.
Определение. Векторным произведением векторов a,

b называ-
ется вектор c, удовлетворяющий следующим трем условиям:
1) c ⊥ a и c ⊥ b,тоестьвекторc перпендикулярен плоскости π,
в которой лежат векторы a и b;
2) |c| = |a|·|

b|·sin
	$

a,

b
,тоестьдлинавектораc численно 1) рав-
няется площади параллелограмма, построенного на векторах a и b;
3) тройка векторов (a,

b,
c) —правая.
Векторное произведение чаще всего обозначают квадратными скоб-
ками, 
c =[a,

b], но физики и теоретические механики в своих книжках
любят использовать крест, 
c=a×b.
Разглядывание следующего рисунка поможет вашему мозгу пред-
ставить векторное произведение в виде визуального образа, который
засядет в вашей голове на веки вечные!
1) Словечко «численно» тут вставлено потому, что длина вектора измеря-
ется, скажем, в метрах, а площадь параллелограмма — в метрах квадратных,
поэтому будет не совсем правильно сказать «длина вектора равна площади
параллелограмма»: у площади и длины разные физические размерности. Но вот
численное значение длины и площади совпадают.
24/25

Лекция No 5
73
Посмотрите внимательно! Определение векторного произведения
задает вектор c =[

a,

b] однозначно! Условие 1) говорит, что вектор

c =[a,

b] должен лежать на прямой l, перпендикулярной данной плос-
кости π, но векторов на этой прямой бесконечно много. Условие 2)
указывает длину вектора c =[a,

b], и векторов такой длины на прямой l
лежит уже всего два, 
cи−
c. Наконец, условие 3) выбирает из двух
оставшихся противоположно направленных претендентов c и −
c тот
единственный вектор, который образует правую тройку с вектора-
миaиb.
Предупреждение! Векторное произведение — это вектор! Кто
мне заявит на экзамене, что векторное произведение векторов — это
«произведение их длин на синус угла между ними», тот получит два
и пойдет вон из аудитории, возможно, даже со сломанной верхней
рукой и без правого уха, поскольку сидеть во время ответа на экзамене
вы будете слева от меня. Векторное произведение — это вектор, потому
произведение и называется «векторным»! А вот скалярное произведе-
ние — это число! А векторное — вектор! Я понятно объясняю?
Теперь перечислим важные свойства векторного произведения.
Свойство 1. ∀ a,

b [a,

b]=0 ⇔ a||b — векторы коллинеарны то-
гда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому
вектору.
Упр а жн е н и е . Объясните (то есть докажите) это свойство. Оно
почти очевидно. Что представляет из себя параллелограмм, у которого
соседние стороны параллельны, как будто бы эти стороны параллело-
грамма «схлопнулись» в одну линию? Какой между ними угол и синус
угла? Какова его площадь? Что будет, если один или оба сомножителя
в векторном произведении — нулевые векторы?
Свойство 2. ∀ a,

b [a,

b]=−[

b,
a] — антикоммутативность век-
торного произведения. В векторном произведении нельзя менять ме-
стами сомножители! Ну, то есть их, конечно, можно менять местами,
но перед произведением появляется знак минус!
Сейчас поймем это свойство. Смотрите рисунок:
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

74
Гл. 1 . Векторы
Видно, что если поменять местами сомножители, то правая трой-
ка (a,

b,
c) превратится в левую тройку (b, 
a,
c);ачтобыонасновастала
правой, придется у вектора c поменять знак, (

b,
a, −
c).Поэтому,если
[a,

b]=c,то[b, 
a]=−
c.Воттак!
Поздравляю вас с первым в вашей жизни реальным геометрическим
примером некоммутативной операции! Школьная мантра «от перемены
мест сомножителей произведение не меняется» отныне окончательно
утратила силу глубокомысленной философской сентенции, произноси-
мой в любой ситуации! Мы уже рассуждали на первой лекции, что
коммутативность операций в математике (да и в жизни) — скорее
исключение, чем правило. И вот пример: антикоммутативность вектор-
ного произведения.
Свойство 3. ∀ a,

b∀α∈R[αa,

b]=α[a ,

b]. Свойство называет-
ся однородность векторного произведения — число можно выносить
за знак векторного произведения.
Упр а жн е н и е . Объясните это свойство. Что произойдет с площадью
параллелограмма, если его сторону растянуть в α раз? Изменит ли при
этом свое положение плоскость π?
В свойстве No 3 я написал, что число можно выносить за знак
векторного произведения от первого сомножителя. На самом деле,
выносить число можно и от второго сомножителя, поскольку вектор-
ное произведение антикоммутативно и можно записать такую цепочку
равенств: [a, β

b]=−[βb, 
a]=−β[b, 
a]=β[a,

b].
Свойство 4. ∀ a1, 
a2,

b [a1 + a2,

b]=[

a1,

b]+[a2 ,

b]—онона-
зывается дистрибутивность векторного произведения относительно
сложения векторов. В школе сказали бы «скобки в векторном произве-
дении можно раскрывать» .
Ой, ребята! А вот это свойство No 4 векторного произведения прямо
сейчас мы доказать не сможем. И доказывается оно (увы!) не со-
всем просто. Когда вы будете заканчивать 4-й курс, вам придется
сдавать итоговый Государственный экзамен по математике на степень
бакалавра — это экзамен-итог вашего обучения в университете. Так
вот, в программе этого экзамена вопросом No 1 стоит «доказательство
дистрибутивности векторного произведения относительно сложения».
Сейчас просто запомните это свойство и проникнитесь его важностью!
Исполнитесь трепетом ожидания предстоящего доказательства дистри-
бутивности, оно случится уже совсем скоро — в следующем пункте.
А наше дальнейшее изложение здесь будет подготовкой к предстояще-
му удивительному доказательству. Начнем же эту подготовку.
Определение. Смешанным произведением трех векторов a,

b,
c
называется число (a,

b,
c)=[a ,

b], 
c	 — скалярное произведение векто-
ров [a,

b]иc.
1/25

Лекция No 5
75
Смешанное произведение потому и называется смешанным, что
содержит в себе и векторное, и скалярное произведения. Смешанное
произведение обозначают так же, как упорядоченную тройку векто-
ров (a,

b,
c), поскольку порядок сомножителей важен! Конструкция сме-
шанного произведения оказывается очень полезной для всяких прак-
тических применений, хотя, с математической точки зрения, ничего
нового из себя не представляет и является композицией уже известных
нам произведений векторов — векторного и скалярного.
Сразу запишем очевидные свойства смешанного произведения век-
торов, которые непосредственно следуют из уже известных нам свойств
скалярного и векторного произведений векторов.
Свойство 1. (a, λa, 
c)=0, так как [a, λa]=0.
Свойство 2. (a,

b,
c)=−(

b,
a,
c),таккак[a,

b]=−[

b,
a].
Свойство 3. (αa,

b,
c)=(a, α

b,
c)=(a,

b, αc)=α(a,

b,
c),таккак
и скалярное, и векторное произведения однородны.
Свойство 4. (a,

b,
c1 + c2)=(a,

b,
c1)+(a,

b,
c2), так как скаляр-
ное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов.
В принципе таких очевидных свойств можно написать много (бери
свойство векторного или скалярного произведения и переписывай его
в обозначениях смешанного произведения), поэтому пока притормозим
и остановимся на этих четырех.
Самое главное, за что народ всего мира ценит смешанное произве-
дение, заключается в следующем неожиданном и замечательном факте.
Теор е ма . Объем параллелепипеда V(a,

b,
c)
, построенного на век-
торах a,

b,
c 1), равен модулюсмешанного произведения:
V(a ,

b,
c)
= |(a,

b,
c)|.
Доказательство. Если векторы a,

b коллинеарные (то есть

b = λa), то параллелепипед, построенный на векторах a,

b,
c —вы
-
рожденный. В основании такого ущербного параллелепипеда лежит
вырожденный параллелограмм с параллельными смежными сторона-
ми a,

b, площадь основания нулевая, объем такого вырожденного
параллелепипеда нулевой. Но и смешанное произведение нулевое:
(a,

b,
c )=(a, λa, 
c )=0 (по свойству 1 смешанных произведений). Зна-
чит, в этом случае утверждение теоремы верно.
1) То есть ребрами этого параллелепипеда являются векторы a,

b,
c.
2/25

76
Гл. 1 . Векторы
Пусть векторы a,

b не коллинеарны. Смотрите рисунок:
Каждый школьник знает, что объем параллелепипеда равен площа-
ди основания, умножить на высоту,
V(a ,

b,
c)
=Sосн·h.
Площадь основания численно равна модулю (то есть длине) век-
торного произведения (смотри условие No 2 из определения векторного
произведения):
Sосн =

[a,

b]

.
Высота параллелепипеда изображена на рисунке — это проекция
вектора c на вертикальный вектор [a,

b]. Находим ее из прямоугольного
треугольника (чтобы найти катет, нужно гипотенузу умножить на ко-
синус прилежащего угла):
h = |c|·cos φ.
Косинус угла φ между векторами [a,

b] и c —этопоопределе-
нию скалярное произведение векторов, поделенное на произведение
их длин:
cosφ=
[a,

b], 
c

[a,

b]|·|c


.
Давайте посчитаем теперь объем,
V(a ,

b,
c)
=Sосн·h=

[a,

b]

·h =
=

[a,

b]

·

c

·cosφ=

[a,

b]

·

c

·
[a,

b], 
c

[a,

b]

·

c


= [a,

b], 
c	 =(a,

b,
c),
—
это смешанное произведение векторов a,

b,
c!
Вроде бы, мы все доказали, но есть один очень важный нюанс!
В школьном понимании объем не может быть отрицательной величи-
ной! Длины векторов неотрицательны по определению. А вот косинус
угла,
cosφ=
[a,

b], 
c

[a,

b]

·

c


,
3/25

Лекция No 5
77
если угол тупой, величина отрицательная! Тупость угла φ означает,
что картинка вот такая:
Исходная тройка векторов a,

b,
c левая, их смешанное произведение
получается отрицательным числом! А вот модуль этого числа как раз
ибудетравенобъемупараллелепипеда.Еслижетройкавекторовa,

b,
c
правая, то их смешанное произведение — число положительное и равно
объему параллелепипеда. В любом случае модуль смешанного произве-
дения — число неотрицательное, поэтому запишем окончательно, что
объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения,
V(a ,

b,
c)
=

(a ,

b,
c)

,
и доказательство теоремы на этом закончим.

Поскольку мы с вами — умные и пытливые, а главное, аккуратные
ребята, запишем после доказательства теоремы все отмеченные нюан-
сы в виде свойств смешанного произведения, то есть продолжим наш
список.
Свойство 5. Тройка векторов a,

b,
c — правая тогда и только
тогда, когда
(a,

b,
c)>0.
Свойство 6. Тройка векторов a,

b,
c — левая тогда и только
тогда, когда
(a,

b,
c)<0.
Свойство 7. Векторы a,

b,
c компланарны тогда и только тогда,
когда
(a,

b,
c)=0.
Объем параллелепипеда, образованного компланарными векторами, ра-
зумеется, нулевой.
4/25

78
Гл. 1 . Векторы
Упр ажне ни е : проговорите еще раз доказательство этих свойств.
Аккуратно. Разбирая подробно все случаи. Не жульничать!
Дорогие первокурсники! Под конец сегодняшней лекции я задам
вам простой вопрос! Изменится ли объем параллелепипеда, если его
положить набок, то есть опрокинуть так, чтобы основанием стала
боковая грань? Фууу, скажете вы, конечно нет! И будете правы! Потому
что еще Архимед учил нас, что объем параллелепипеда — это объем
воды, вытесненной из ванной, когда в эту ванну погрузили данный
параллелепипед. И совершенно неважно, каким боком его туда погру-
жать! Поэтому под конец сегодняшней лекции как фокусник из рукава
я достану и запишу еще одно очень важное свойство смешанного
произведения.
Свойство 8. (a,

b,
c)=(

b,
c,
a)=(c, 
a,

b) —смешанноепроизве-
дение не меняется при циклической перестановке сомножителей 1).
Упр а жн е н и е . Разглядывая рисунок со страницы 76, объясните
это свойство. Мысленно положите параллелепипед на боковую грань,
чтобы она стала основанием. Посмотрите, сохранится ли ориентация
тройки векторов. Какому из написанных выше смешанных произведе-
ний равен объем вашего опрокинутого набок параллелепипеда?
Давайте теперь, под конец нашей сегодняшней встречи, зафиксиру-
ем основные выводы про смешанное произведение векторов в том виде,
в котором они понадобятся нам в следующей лекции.
При циклической перестановке аргументов смешанное произве-
дение не меняется. Если же в смешанном произведении поменять
местами только два соседних сомножителя, то оно изменит знак,
поскольку тройка векторов поменяет ориентацию.
Смешанное произведение правой тройки векторов положитель-
но, левой отрицательно. Его модуль — объем параллелепипеда.
Смешанное произведение равно нулютогда и только тогда,
когда векторы компланарны (то есть линейно зависимы).
После формулировки и осознания сути этих выводов мы уже совсем
близко подошли к доказательству дистрибутивности векторного про-
изведения относительно сложения (ответу на вопрос No 1 программы
Государственного экзамена на степень бакалавра математики), но это
будет темой следующей лекции.
1) Циклическая перестановка — первый вектор из тройки встает на по-
следнее место, второй и третий векторы сдвигаются вперед, занимая первую
и вторую позиции.
5/25

Лекция No 5
79
Задачки к Лекции No 5
1. Пусть (e1, 
e2, 
e3) — ортонормированный базис правой ориентации.
Определите, какую ориентацию имеют тройки векторов:
А) (e3, 
e2, 
e1),
Б)(e1+e2,
e2, 
e3),
В)(e1+e2,
e1−
e2, 
e3),
Г)(e1+e3,
e1−
e3, 
e2).
2. (No 192* из задачника Моденова–Пархоменко.) Три вектора a,

b,
c
связаны соотношениями: a =[

b,
c],

b=[

c,
a], 
c=[

a,

b ]. Найти длины
этих векторов и углы между ними.
3. (No 193* из задачника Моденова–Пархоменко.) Даны три век-
тора a,

b,
c,средикоторыхестьхотябыоднапаранеколлинеарных.
Доказать, что из равенств [a,

b ]=[

b,
c ]=[

c,
a ] вытекает соотношение

a+b+c =

0 и обратно.
4. (No 195* из задачника Моденова–Пархоменко.) Доказать, что
если векторы [a,

b],[

b,
c],[c,
a ] компланарны, то они коллинеарны.
5. (No 196* из задачника Моденова–Пархоменко.) Из одной точки
проведены три некомпланарных вектора a,

b,
c.Доказать,чтоплос-
кость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна век-
тору [a,

b ]+[b, 
c ]+[c, 
a].
6. (No 203* из задачника Моденова–Пархоменко.) Найти необходи-
мое и достаточное условие, чтобы выполнялось равенство [a, [

b,
c]]=
=[[a,

b],
c].
7. (No 204* из задачника Моденова–Пархоменко.) 1) Даны три
некомпланарных вектора a,

b,
c.Найтивекторx, удовлетворяющий си-
стеме уравнений
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
a, 
x	=α,
b, 
x	 =β,
c, 
x	=γ.
1) Просьба к преподавателям, ведущим практические занятия, обсудить при
решении этой задачи понятие «двойственного» базиса, состоящего из вектор-
ных произведений векторов исходного базиса. Укажите детям на приятную
особенность — простоту нахождения скалярных произведений векторов исход-
ного базиса на векторы « двойственного» .
6/25

80
Гл. 1 . Векторы
8. (No 205* из задачника Моденова–Пархоменко.) Найти необходи-
мое и достаточное условие, чтобы уравнение [a, 
x]=b,гдеa

=

0, имело
решение. Найти общее решение этого уравнения.
9. (No 207* из задачника Моденова–Пархоменко.) Доказать, что
площадь параллелограмма, построенного на векторах a,

b,равна
S=

a, 
a	

a,

b
b, 
a	

b,

b



,
а это корень квадратный из определителя матрицы Грама.
7/25

Лекция No 6
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь! Сегодня у нас состоится
обещанное на прошлой лекции доказательство. Оформим его в отдель-
ный пункт.
7. Доказательство дистрибутивности векторного
произведения относительно сложения векторов
В предыдущей лекции мы приготовили все необходимые инстру-
менты для проведения доказательства дистрибутивности векторного
произведения относительно сложения, а именно, смешанное произве-
дение и его свойства. Напомню только, что все события происходят
в привычном трехмерном пространстве L, dim L = 3.
Вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть a,

b ∈ L — произвольные векторы. Если для лю-
бого вектора x ∈ L выполнено a, 
x	 =

b,
x	,тоa =

b.
Доказательство. Равенство a, 
x	 =

b,
x	 выполнено для лю-
бого x ∈ L, следовательно оно выполнено и для вектора x = a −

b.
Подставим этот вектор в данное условие: a, 
a−

b	=

b,
a−

b	. Перене-
сем правую часть влево: a, 
a−

b	−

b,
a−

b	 = 0. Приводим подобные
(тут работает аксиома No 2 дистрибутивности скалярного произведе-
ния прямо из определения скалярного произведения в лекции No 3):
a−b,a−b	=0.По аксиоме No4получаем, что a −

b=0, то есть

a=b.
Лемму доказали.

Ну а теперь, собственно, обещанное утверждение.
Теорема. ∀ a1, 
a2,

b∈L[a1+a2,

b]=[

a1,

b]+[a2,

b] — дистри-
бутивность векторного произведения относительно сложения
векторов.
Доказательство. Возьмем произвольный вектор x ∈ L ирас-
смотрим смешанное произведение (a1 + a2 ,

b,
x)=[a1 + a2,

b], 
x	.Вы-
числяем:
(a1 + a2,

b,
x)=(в смешанном произведении можно циклически
переставлять сомножители) =(

b,
x,
a1 + a2)=[

b,
x], 
a1+a2	=
(скалярное произведение дистрибутивно) = [

b,
x], 
a1	 +[b, 
x], 
a2	 =
=(

b,
x,
a1)+(b, 
x,
a2 )=(в смешанном произведении можно
циклически переставлять сомножители) =
=(a1,

b,
x)+(a2 ,

b,
x)=[a1,

b], 
x	 + [a2,

b], 
x	 = (скалярное
произведение дистрибутивно) = [a1 ,

b]+[a2,

b], 
x	.
8/25

82
Гл. 1 . Векторы
В итоге получили, что для произвольного вектора x ∈ L выполнено
[a1 + a2,

b], 
x	 = [a1,

b]+[a2,

b], 
x	.
По лемме отсюда следует, что [a1 + a2,

b]=[a1,

b]+[a2 ,

b].
Дистрибутивность векторного произведения относительно сложения
доказана.

Идем далее.
8. Вычисление векторного и смешанного произведений
векторов через координаты сомножителей
в ортонормированном базисе
Ребята! Это очень важный пункт для практики. Результаты требу-
ются инженерам, строителям, механикам, физикам, . . . , короче форму-
лы, которые мы сейчас получим, нужны всем людям, использующим
математику в своей практической деятельности. Грош цена всем тео-
ретическим рассмотрениям, если они в конечном итоге не облегчают
решение практических задач.
Вопрос. Как найти векторное и смешанное произведения, если
знаешь координаты векторов-сомножителей?
В этом разделе мы найдем ответ на этот вопрос только в случае,
когда координаты векторов даны в ортонормированном базисе —
в привычной школьной декартовой прямоугольной системе координат.
Полученные формулы внесем в справочники по математике для всех
нуждающихся. Случай, когда события разворачиваются в произволь-
ной аффинной системы координат, несколько сложнее, и мы его пока
рассматривать не будем — давайте сначала хотя бы в привычном случае
разберемся.
Векторное произведение. Пусть зафиксирован (смотрите рису-
нок) ортонормированный базис (e1 , 
e2, 
e3):
9/25

Лекция No 6
83
Пусть в этом базисе даны координаты векторов

a(α1, α2, α3) и b(β1, β2, β3).
Это значит, что

a=α1e1+α2e2+α3e3 и b =β1e1+β2e2+β3e3.
Посчитаем векторное произведение, пользуясь его свойствами —
квадратные скобки теперь можно смело раскрывать, дистрибутивность
векторного произведения доказана! Числа от сомножителей выносим
вперед (!), порядок сомножителей в векторном произведении важен (!):
[a,

b]=[α1e1 + α2e2 + α3e3; β1e1 + β2e2 + β3e3]=
= α1β1[e1; e1]+α1β2[e1; e2]+α1β3[e1 ; e3]+
+ α2 β1[e2; e1]+α2β2[e2; e2]+α2β3[e2; e3]+
+ α3 β1[e3; e1]+α3β2[e3; e2]+α3β3[e3; e3].
Разглядываем получившуюся «таблицу». Каждый раз, когда видим
векторное произведение базисных векторов, смотрим на картинку выше
и тренируем свое пространственное воображение. Видно, что
[e1, 
e1]=[e2, 
e2]=[e3, 
e3]=0
есть векторное произведение коллинеарных векторов нулевое. Таким
образом, в этой «таблице» на главной диагонали стоят нулевые
векторы.
А вот вам еще одна специфическая прелесть ортонормированного
базиса в трехмерном пространстве:
[e1, 
e2]=e3, [e1, 
e3]=−
e2 (почему минус?), [e2, 
e3]=e1.
Получаем
[a,

b]=[α1e1 + α2e2 + α3e3; β1e1 + β2e2 + β3e3]=
=

0 + α1β2e3 − α1β3e2 +
−
α2β1e3 + 0 + α2β3e1 +
+ α3β1e2 − α3β2e1 + 0
=
= (α2β3 − α3β2)e1 − (α1β3 − α3β1)e2 +(α1β2 − α2β1)e3.
Перед вами не что иное, как координаты векторного произведения
двух данных векторов a(α1, α2 , α3) и b(β1 , β2, β3), поскольку коорди-
наты — это числа, стоящие в скобках перед базисными векторами.
Каждый смышленый читатель узнает в них определители второго
порядка:
[a,

b]=

α2 α3
β2 β3



,
−




α1 α3
β1 β3



,




α1 α2
β1 β2




.
10/25

84
Гл. 1 . Векторы
Это, конечно, ответ. Но в таком виде координаты векторного произ-
ведения запомнить сложно, поэтому все запоминают немножко некор-
ректную мнемоническую запись в виде определителя третьего порядка
[a,

b]=







e1 e2 e3
α1α2α3
β1β2β3






.
Прикольно, да? Так писать незаконно, поскольку элементы в опре-
делителе разного сорта (в первой строке — векторы, остальные —
числа). Но так выглядит красиво и совсем просто запомнить. Именно
такую формулу для нахождения векторного произведения через коор-
динаты сомножителей вы найдете в любом справочнике по высшей
математике. Да ее и без справочников знают все образованные хомо-
сапиенсы, идущие в ногу со временем!
Пример. В пространстве волшебным образом подвесили
треугольник ABC, координаты его вершин A(1, 2, 3), B(3, 5, −2),
C(8, 2, −4).Найтиегоплощадь.
Решение. Смотрим рисунок. Площадь треугольника — половина
площади параллелограмма, построенного на векторах
−
−
→
ABи
−→
AC.
Площадь параллелограмма численно (!) равна модулю (то есть
длине) векторного произведения векторов
−
−
→
ABи
−→
AC .Посчитаемкоор-
динаты этих векторов, посчитаем координаты их векторного произве-
дения и найдем длину векторного произведения.
Координаты векторов:
−
−
→
AB =(2, 3, −5),
−→
AC =(7, 0, −7),—проверяй-
те, не ошибся ли я. Тут работает школьное правило «из конца вычесть
начало».
Векторное произведение:
[−−→
AB,
−→
AC ]=







e1 e2 e3
23−5
70−7






=(−21, −21, −21)=21(−1, −1, −1).
Снова проверяйте меня, поскольку тут я сам удивился, какие хорошие
координаты вектора получились, хотя координаты точек для этого при-
мера я написал «от балды»! Но, вроде, все верно посчитано, посколь-
ку получившийся вектор стопудово перпендикулярен сомножителям
−
−
→
AB=(2,3, −5)и
−→
AC =(7, 0, −7): их скалярные произведения на век-
тор (−1, −1, −1) равны нулю! Посчитайте, пожалуйста, их скалярные
11/25

Лекция No 6
85
произведения, приговаривая мантру: «векторы перпендикулярны тогда
и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю».
Площадь параллелограмма
S=


[
−
−
→
AB,
−→
AC]


=

212+212+212 =21
√
3.
Площадь треугольника ABC
S=
21
√
3
2
.
Быстро! Просто! Эффективно! И никаких тебе синусов-косинусов,
никаких произведений основания на высоту треугольника, как решали
бы в школе! Нам не пришлось даже находить длины сторон данного
треугольника! Вот что такое «сила разума»!
Смешанное произведение. Пустьтеперьвтомжеортонорми-
рованном базисе (e1 , 
e2, 
e3) даны координаты трех векторов:

a(α1, α2, α3),

b(β1, β2, β3),

c(γ1, γ2, γ3).
Посчитаем их смешанное произведение:
(a,

b,
c)=[a,

b], 
c	 = (скалярное произведение в ОНБ находится
по простой школьной формуле, ибо матрица Грама суть 1)
единичная)
=




α2 α3
β2 β3



·γ1+
−




α1 α3
β1 β3




·γ2+




α1 α2
β1 β2



·γ3=
=






α1α2α3
β1β2β3
γ1γ2γ3






.
Витоге(a ,

b,
c)=






α1α2α3
β1β2β3
γ1γ2γ3






.
Феноменально!
И до глупости просто! Очень простая формула, которую легко
запомнить — определитель третьего порядка, его строчки суть коорди-
наты векторов (a,

b,
c).
А теперь внимание!!! Задумайтесь. Окиньте мысленным взо-
ром все те факты, которые мы изучали на лекциях и практических
занятиях по аналитической геометрии в этом первом учебном месяце.
1) «Суть» — архаическая форма глагола «есть».
12/25

86
Гл. 1 . Векторы
Ведь произошло чудо! Весь пазл из сведений предыдущих лекций
и практических занятий сложился в единое целое. Пасьянс сошелся!
Общая картина теперь такова.
Определитель третьего порядка — это смешанное произведение
векторов-строчек.
Определитель третьего порядка — это объем параллелепипеда.
Объем считается ориентированным, то есть у правой тройки векторов
он положительный, у левой тройки отрицательный.
Теперь вы сами легко объясните свойства определителей, которым
не было доказательства в первые практические занятия по аналити-
ческой геометрии, когда вас только познакомили с определителями
третьего порядка.
Определитель, строками которого являются координаты векто-
ров, равен нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
(Каков объем параллелепипеда, у которого все ребра компланарны?)
Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его
строчки линейно зависимы.
Если в определителе поменять местами две соседние строчки,
то определитель изменит знак. (Как в определителе «запрятано» анти-
коммутативное векторное произведение?)
Если в определителе переставлять строки циклически, то он
не меняется.
Если строчку (неважно какую) определителя умножить на чис-
ло α, то определитель умножится на это число α.(Чтопроизойдет
с объемом параллелепипеда, если одно его ребро растянуть в α раз?)
Закончим этот пункт поучительным примером практического при-
менения смешанного произведения.
Пример. Найти длину высоты DH в параллелепипеде, постро-
енном на векторах
−
−
→
AB =(2, 3, −5),
−→
AC =(7, 0, −7),
−
−
→
AD =(1, −1, 1).
Решение. Смотрим рисунок:
Древняя народная мудрость гласит: «Длина дороги равняется ее
площади, поделить на ширину». Золотые слова! Перефразируя их
для нашей задачи, скажем так: «высота в параллелепипеде равна его
объему, поделить на площадь основания».
13/25

Лекция No 6
87
Претворим древнюю народную мудрость в жизнь! Площадь осно-
вания мы уже посчитали в предыдущем примере (я специально, чтобы
не тянуть резину, взял два первых вектора из предыдущего примера):
S=|[
−
−
→
AB,
−→
AC]| =

212+212+212 =21
√
3.
Объем параллелепипеда — смешанное произведение трех векторов,
то есть определитель третьего порядка (при подсчете раскладываю его
по последней строке — проверяйте, не накосячил ли я):
(−−→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD)=






23−5
70−7
1 −11






=(−21) − (−1) · 21 +(−21)=−21.
Конечно, объем V параллелепипеда (как геометрической фигуры) ра-
вен 21, знак минус означает только, что исходная тройка векторов —
левая. Окончательно находим:
|DH| =
V
S
=
21
21
√
3
=
1
√
3
.
И опять никаких дополнительных построений, никаких сечений как
в школе, никаких мутных синусов и косинусов! Четыре арифметиче-
ских действия и извлечение корня — это означает, что для решения
данной задачи достаточно примитивного калькулятора, и это тоже
важно для практики! Для инженеров, строителей и прочих уважаемых
пользователей результатов математики, чем быстрее и проще получа-
ется результат, тем лучше! Подивитесь силе науки!
А мы на этом закончим, до свидания, до следующей лекции!
Задачки к Лекции No 6
1. Даны три вектора a(2; −3; 1),

b(3; −1; 5), 
c (1; 0; −2).Вычислить
координаты векторов [a, [

b,
c]] и[[a,

b], 
c].
2. Найти вектор длины 3, перпендикулярный векторам a(2; −3; 1)
и b(3; −4; 5) иобразующийснимилевуютройку.
3. При каких значениях α объем параллелепипеда, ребрами кото-
рого служат векторы a(2; −3; 1),

b(3; −1; 5), 
c(1; α; −2),равен10?
4. Четыре точки A(2; −1; −2), B(5; 5; 4), C(3; 2; −1), D(4; 1; 3) яв-
ляются вершинами тетраэдра. Найдите:
А) площадь основания ABC;
Б) высоту CK в треугольнике ABC, опущенную из вершины C ;
Б) объем тетраэдра ABC D;
В) высоту DH в тетраэдре, опущенную из вершины D.
5. Докажите тождества для двойного векторного произведения:
А) [a, [

b,
c]]=ba,
c 	−
ca,

b	 — тождество «Бац минус Цаб!»;
Б) [a, [

b,
c]]+[b,[c, 
a]]+[c,[a,

b ]] = 0 — тождество Якоби.
14/25

Глава 2
ПРЯМЫЕИПЛОСКОСТИ
Лекция No 7
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь. В прошлый раз мы закончи-
ли первую главу — знакомство с векторами. Теперь настал черед главы
второй.
Основными персонажами второй главы наших лекций являются
прямые (на плоскости и в пространстве) и плоскости (в пространстве).
Поскольку, как мы увидим ниже, все такие объекты задаются линейны-
ми уравнениями, то содержание этой главы составляет так называемую
«линейную часть» аналитической геометрии.
9. Семь типов уравнений прямой на плоскости
в аффинной системе координат
Между прочим, даже пятикласснику совершенно ясно, что перено-
сом слагаемых в левую часть любое уравнение с двумя переменными
x и y можно привести к виду F (x, y)=0, где F (x, y) — некоторое вы-
ражение (или, если угодно, функция), зависящее от переменных x и y.
Поэтому запись уравнения в виде F (x, y)=0 никак не ограничивает
общность рассматриваемых уравнений.
Прежде всего, надо осознать вот такое общематематическое опре-
деление.
Определение. Пусть на плоскости задана аффинная система коор-
динат XOY . Говорят, что уравнение F (x, y)=0 задает в этой системе
координат линию L,если:
1) координаты (x, y) любой точки, лежащей на линии L, удовлетво-
ряют уравнению F (x, y)=0и
2) координаты (x, y) любой точки, не лежащей на линии L,неудо-
влетворяют уравнению F (x, y)=0.
Несмотря на всю простоту и ясность столь привычного понятия «урав-
нение задает линию», первокурсники на экзамене (как показывает
опыт) из года в год не могут правильно по-русски сказать преподавате-
лю, что означает, что «такая-то линия задается вот таким уравнением
и почему». Беда. Отчасти это последствия отмены устного экзамена
по математике в школе — неумение проговорить свои мысли вслух.
15/25

Лекция No 7
89
Вот, смотрите. Детский пример:
В школе учат, что в декартовой прямоугольной системе координат
окружность радиуса 2 с центром в начале координат задается урав-
нением x2 + y2 = 4. На экзамене надо разъяснить, что это означает
следующее:
1) координаты любой точки с этой окружности подходят в уравне-
ние x2 + y2 = 4 (обращают его в верное равенство);
2) координаты любой точки, НЕ лежащей на этой окружности,
в уравнение x2 + y2 − 4 = 0НЕподходят!
Запомнили, как надо на экзамене разъяснять преподавателю, что
значит «линия задается уравнением»? Кто запомнил — молодец! Кто
не запомнил — не молодец!
Наша задача в этом пункте — познать семь типов уравнений, кото-
рые задают в аффинной системе координат прямую линию. Начнем.
Тип No 1. Векторное уравнение прямой. Смотрите основопола-
гающий рисунок:
Прямая L однозначно и полностью задается, если указана точ-
ка N (x0, y0), через которую она проходит (эту точку называют на-
чальная точка), и ненулевой вектор s

=

0, которому эта прямая
параллельна (этот вектор называется направляющий вектор). Фраза
«однозначно и полностью задается» означает, что согласно аксиомам
Евклида, прямая, проходящая через данную точку параллельно дан-
ному вектору, существует и такая прямая только одна.
16/25

90
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Очевидно, что произвольная точка M (x, y) на этой прямой L по-
лучается откладыванием от начальной точки N (x0 , y0) вектора ts,
пропорционального направляющему вектору s:

rM=rN+ts ,
где t ∈ R — произвольное действительное число, параметр (коэффици-
ент пропорциональности). Полученное уравнение можно написать еще
итак:
M=N+ts.
Уравнениеврамочкеназываетсявекторное уравнение прямой.Урав-
нение тремя строчками ниже — это то же самое уравнение, только
вместо радиусов-векторов точек стоят сами точки: «от начальной точ-
ки N отложили вектор ts и получили точку M ».
Признайтесь, векторное уравнение прямой вы 100 500 раз уже ви-
дели, например, на уроках физики в школе. Братья наши меньшие —
физики — называют это уравнение «уравнение прямолинейного равно-
мерного движения», а направляющий вектор s называют скоростью!
Ну а пара ме т р t ∈ R уфизиковгордоназываетсявремя,поэтому
яивыбралдляегообозначениялатинскуюбуквуt,хотьмыидогова-
ривались раньше обозначать числа греческими буквами. Представьте
себе картинку в движении. Время t идет, параметр t увеличивается,
вектор ts растягивается. Точка M как толстая муха ползет на нашем
рисунке по прямой L со скоростью |s | — на нашем основополагающем
рисунке вправо, в направлении вектора s. Мультики любите?
По сути, векторное уравнение rM = rN + ts является определе-
нием прямой линии. Прямая линия — это множество всех точек,
которые могут быть получены из начальной точки, откладыванием от
нее всевозможных векторов, параллельных данному направляющему
вектору. В школе прямая линия считалась неопределяемым понятием,
воспринималась как интуитивно ясный объект, и все тут. У нас же
прямая является, по сути, одномерным пространством, а (N ; s ) —его
репер (начальная точка и один базисный направляющий вектор).
Векторное уравнение прямой универсально! Будучи фактически
определением прямой линии, оно справедливо не только на плоскости
(dim L = 2), но и в пространствах размерности три, четыре, . . . Просто
в пространствах большей размерности точки и векторы будут иметь
большее количество координат, а сам вид векторного уравнения прямой
(да и сама его суть) не изменятся. Вот эта суть.
Произвольная точка M принадлежит прямой L тогда и только
тогда, когда вектор
−
−
→
NM коллинеарен (пропорционален) вектору s.
Тип No 2. Параметрические уравнения прямой на плоскости.
Пусть текущая (бегающая, ползающая, подвижная, произвольная)
точка M на прямой L имеет координаты M (x, y), начальная точка бу-
17/25

Лекция No 7
91
дет N (x0, y0). Координаты направляющего вектора обозначим s (α, β).
Запишем векторное уравнение прямой в координатах:
x
y
=
x0
y0
+t
α
β

или, как чаще пишут в справочниках по «высшей» математике, в виде
системы
x=x0+tα,
y=y0+tβ.
Уравнения, записанные в таком виде, называются параметриче-
скими уравнениями прямой L,проходящейчерезточкуN (x0 , y0),
снаправляющимвекторомs (α, β). Физики называют эти уравнения
еще и уравнениями равномерного прямолинейного движения.
Опять-таки, эти уравнения в точности означают, что произволь-
ная точка M (x, y) принадлежит прямой L тогда и только тогда, когда
вектор
−
−
→
NM коллинеарен (пропорционален) вектору s (α, β).
Тип No3. Уравнение прямой в форме определителя
Не поленюсь и еще раз повторю нашу мантру (смотрите основопола-
гающий рисунок): произвольная точка M (x, y) принадлежит прямой L
тогда и только тогда, когда вектор
−
−
→
NM коллинеарен (пропорционален)
вектору s (α, β).
Вектор
−
−
→
NMимеет координаты
−
−
→
NM(x−x0,y −y0).
Коллинеарность векторов
−
−
→
NM(x−x0,y −y0) и s(α,β)можно за-
писать с помощью определителя второго порядка, ведь определитель
равен нулю тогда и только тогда, когда его строки пропорциональны:




x−x0 y−y0
αβ



=0.
Это и есть уравнение прямой L, проходящей через заданную точ-
ку N (x0 , y0) в направлении вектора s (α, β), в форме определителя.
Тип No 4. Каноническое уравнение прямой на плоскости
Условие (необходимое и достаточное!) принадлежности точки
M (x, y) прямой L — пропорциональность векторов
−
−
→
NM(x − x0,
y − y0) и s (α, β) — можно записать и «в лоб» в виде пропорции:
x−x0
α
=
y−y0
β.
Такую запись называют каноническое уравнение прямой L,проходя-
щей через заданную точку N (x0, y0) в направлении вектора s (α, β).
Уравнение записано просто и понятно — в виде пропорции.
Такой тип уравнения прямой присутствует во всех «справочниках
по математике для тех, кому она нужна». Но мы как профессиональные
18/25

92
Гл. 2 . Прямые и плоскости
математики понимаем, что каноническое уравнение прямой таит в себе
скрытую угрозу для хрупкой психики инженера или какого-нибудь
иного читателя этих справочников, наделенных утонченной душевной
организацией. Дело тут вот в чем. Направляющий вектор s (α, β),
по условию, не может быть нулевым, обе его координаты одновременно
нулями быть не могут. Но одна-то из координат может! Представьте,
как исказится лицо добропорядочного гражданина, когда он вдруг
увидит перед собой, например, уравнение
x−3
0
=
y−7
5
.
О, ужас! В знаменателе стоит ноль, а на ноль делить нельзя!
Между тем ничего страшного в такой записи нет, ведь такая за-
пись — просто условность. На ноль никто делить не заставляет! Внизу,
в знаменателе, стоят координаты направляющего вектора s (0, 5),ввер-
ху, в числителе, стоят координаты начальной точки прямой N (3, 7).
Такиепрямыевстречаютсявприроде.Смотритерисунок:
Очевидно, если в знаменателе канонического уравнения прямой
стоит ноль, то прямая L параллельна одной из осей координат, посколь-
ку ее направляющий вектор параллелен одной из координатных осей
(какой именно — всегда можно сообразить на месте). Разумно считать,
что если в какой-то из дробей канонического уравнения в знаменателе
стоит ноль, то и числитель этой дроби равен нулю. Это сразу упрощает
понимание «физического смысла» уравнения. Так, в нашем примере
в дроби слева внизу стоит ноль, значит,x −3 =0, то есть x=3, а это
банально означает, что прямая L состоит из всех точек, у которых
первая координата равна тройке. Такая прямая параллельна оси OY .
Вот и все, никаких страшилок от нуля в знаменателе нет! Читатели
математических справочников могут быть спокойны.
Тип No 5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки
Пусть даны две точки N(x0, y0) и K(x1, y1). Великий Евклид учит
нас,чточерездверазныеточкипроходитоднаитолькооднапрямаяL.
Во славу Евклида, составим ее уравнение!
В качестве направляющего вектора прямой L возьмем вектор, со-
единяющий данные точки,
−
−
→
NK(x1 − x0, y1 − y0), а в качестве началь-
ной точки возьмем одну из двух данных, например N (x0, y0):
19/25

Лекция No 7
93
Дальше — кому как больше нравится. Пишем уравнение этой
прямой либо в форме определителя




x−x0 y−y0
x1−x0 y1−y0



=0,
либо в каноническом виде,
x−x0
x1−x0
=
y−y0
y1−y0
.
Вот, собственно, и все с этим типом уравнений. Еще раз по-
вторю их смысл: произвольная точка M (x, y) принадлежит прямой L
тогда и только тогда, когда вектор
−
−
→
NM коллинеарен (пропорционален)
вектору
−
−
→
NK(x1 − x0, y1 − y0).
Тип No 6. Общее уравнение прямой. Самый знаменитый и попу-
лярный тип уравнения прямой линии.
Возьмем уравнение прямой в виде определителя (тип No 3) и рас-
кроем этот определитель:




x−x0 y−y0
αβ



=0,
β(x−x0)−α(y−y0)=0,
βx +(−α)y +(−βx0 + αy0)=0.
Переобозначим коэффициенты в этой записи в соответствии с мно-
голетней традицией:
β=A,
(−α)=B ,
(−βx0 + αy0)=C.
Получится
Ax+By+C=0
—
общее уравнение прямой L.
Очевидно, что коэффициенты A и B в этом уравнении не могут
быть одновременно нулями — направляющий вектор не может быть
нулевым! Этот факт часто записывают кратко, но довольно вычур-
но: A2+B2

= 0. Очевидно, что если C = 0, то прямая L проходит через
начало координат, так как координаты (0, 0) удовлетворяют уравнению
Ax + By = 0. Само уравнение Ax + By + C = 0 называют «линейное
уравнение с двумя переменными». Про линейные уравнения с двумя
переменными мы обязательно еще поговорим в следующем пункте,
поскольку про них есть отдельный вопрос на государственном экзамене
20/25

94
Гл. 2 . Прямые и плоскости
в конце четвертого курса. Пока же зафиксируем в своей памяти вот
такой важный факт, который мы, собственно, только что доказали.
Факт. Всякая прямая на плоскости задается некоторым ли-
нейным уравнением вида Ax + By + C = 0.
Этот факт понятен. Зато пока непонятно другое! А вдруг кроме
прямых линий такими же линейными уравнениями могут задаваться
еще какие-нибудь причудливые фигуры на плоскости? Вот на государ-
ственном экзамене после четвертого курса вас и попросят доказать,
что верно и обратное к сформулированному факту утверждение: всякое
линейное уравнение вида Ax + By + C = 0 задает на координатной
плоскости именно прямую линию! И ничего другого задавать не может!
Но об этом в следующем пункте.
Тип No7. Уравнение прямой «в отрезках»
Это довольно забавный тип уравнений прямой, но для его получе-
ния потребуются дополнительные предположения про саму прямую L.
А именно, пусть прямая L:
1) не проходит через начало координат,
2) не параллельна ни одной из координатных осей.
Смотрите рисунок:
Конечно, прямая с такими дополнительными предположениями
(как и вообще любая прямая) задается некоторым общим уравнением
Ax + By + C = 0. В этом уравнении обязательно C

=0,таккакL
не проходит через начало координат. Оба коэффициента перед неиз-
вестными также не равны нулю, A

= 0иB

= 0, иначе прямая L
оказалась бы параллельна одной из координатных осей. Поколдуем
с общим уравнением — перенесем слагаемое C вправо и разделим все
уравнение на число −C ,благоC

= 0 и делить можно:
Ax+By= −C,
A
−C
x+
B
−C
y=1.
А теперь перепишем вот так:
x
−C/A
+
y
−C/B
=1,
21/25

Лекция No 7
95
благо A

= 0иB

= 0, и на них тоже можно делить. Обозначим
−C/A = a, −C/B = b.Получим
x
a
+
y
b
=1
—
уравнение прямой L «вотрезках». Красиво смотрится, не правда ли?
Какой геометрический смысл уравнения «в отрезках»? Присмот-
ритесь внимательно, точки с координатами (a,0) и (0, b) подходят
в уравнение «в отрезках», а это означает, что прямая L (как, собствен-
но, и нарисовано на рисунке выше) пересекает оси координат в числах
a и b. Принято говорить: прямая L отсекает на осях координат отрез-
ки a и b. Отсюда и название типа уравнение «в отрезках». Разумеется,
числа a и b могут быть и отрицательными, но вот нулями они быть
не могут. Благодаря такому ясному геометрическому смыслу уравнение
в отрезках очень удобно на практике.
Однако еще раз напомню, — не всякая прямая может быть
задана уравнением в отрезках! А только прямая, не параллельная ни
одной из осей координат и не проходящая через начало! Уравнение
«в отрезках» слегка «ущербное», поскольку таким типом уравнения
можно задать не всякую прямую. Специфические типы уравнений, ко-
торые удобно использовать, но при этом такими уравнениями задаются
не всякие прямые, часто называют «неполные уравнения». Так вот,
уравнение в отрезках — неполное уравнение. Но удобное и красивое.
Вотивсевэтомпункте.Передвашимвзоромпрошликакнапа-
раде семь типов уравнений прямых в произвольной аффинной системе
координат.Выучитьнаизустьэти7типов!Спрошунаэкзамене!Кроме
того, знание разнообразных типов уравнений сильно помогает решать
задачи! Если ты знаешь разнообразные типы уравнений, то в решении
задачи ты будешь использовать наиболее подходящую форму записи
уравнения прямой, быстро ведущую к ответу.
10. Теорема о геометрическом образе
линейного уравнения Ax + By + C = 0
В беседе про общее уравнение прямой (тип No 6 в предыдущем
пункте) мы уже доказали, что всякая прямая на плоскости задается
линейным уравнением Ax + By + C = 0, и поставили вопрос о спра-
ведливости обратного утверждения — верно ли, что множество точек,
координаты которых удовлетворяют данному линейному уравнению,
является прямой линией? И хотя название этого пункта подразумевает
доказательство справедливости только этого обратного утверждения,
ответ на Государственном экзамене будет выглядеть очень эффектно
и красиво, если вы приведете формулировки и доказательства как
прямого, так и обратного утверждений. Поверьте, членами Государ-
ственной комиссии это ценится очень высоко! Вы же хотите получить
22/25

96
Гл. 2 . Прямые и плоскости
«пять» сначала у меня на экзамене, а потом и на государственном
экзамене? Думаю, ответ утвердительный.
Поэтому (для цельности изложения) в этом пункте я приведу
общую формулировку теоремы, еще раз повторю доказательство ее
прямого утверждения, а потом расскажу доказательство обратного
утверждения. Перед началом чтения теоремы повторите, пожалуйста,
что значит, что линия L задается уравнением F (x, y)=0.
И еще одно предварительное замечание: прилагательное «линей-
ное» применительно к уравнению Ax + By + C = 0подразумевает,
что это уравнение именно первой степени (а не нулевой!). В этом
уравнении обязана присутствовать хотя бы одна переменная в первой
степени, то есть хотя бы один из коэффициентов при переменных
в уравненииAx+By+C=0 отличенот нуля, A2+B2

= 0. Дурацкие
случаи наподобие 0x + 0y + 38 = 0 нас не интересуют.
Теор е ма . В произвольной аффинной системе координат:
1) любая прямая линия L задается некоторым линейным урав-
нением видаAx+By+C=0;
2) любое линейное уравнение вида Ax + By + C = 0 задает неко-
торуюпрямуюлинию.
Доказательство
Первое утверждение. Пусть прямая L задана начальной точ-
кой N (x0, y0) инаправляющимвекторомs (α, β). Это означает (посмот-
рите на рисунок),
что произвольная точка M (x, y) с нашей плоскости лежит на прямой L
тогда и только тогда, когда векторы s (α, β) и
−
−
→
NM(x−x0,y −y0)
коллинеарны (пропорциональны). Векторы пропорциональны тогда
итолькотогда, когда определитель второго порядка равен нулю,




x−x0 y−y0
αβ



=0.
Раскроем определитель, приведем подобные:
βx +(−α)y +(−βx0 + αy0)=0.
Переобозначим коэффициенты:
β=A,
(−α)=B ,
(−βx0 + αy0)=C.
.
В результате получится требуемое линейное уравнение Ax + By +
+C=0.
23/25

Лекция No 7
97
Очевидно, что A2 + B2

= 0, поскольку s (α, β)=s (−B , A)

=

0.
Ясно, что полученному уравнению удовлетворяют координаты лю-
бой точки M , лежащей на прямой L,посколькувектор
−
−
→
NM окажется
пропорционален вектору s. В то же время координаты любой точки K ,
не лежащей на прямой L, этому уравнению не удовлетворяют, посколь-
ку вектор
−
−
→
NK окажется не коллинеарен вектору s и определитель
второго порядка будет ненулевым.
Предыдущий абзац доказывает, что прямая линия L задается урав-
нением Ax+By+C=0.
Второе утверждение. Пусть дано линейное уравнение Ax +
+ By + C = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов при пере-
менных не равен нулю. Пусть, например, A

=0.
Если сделать замену репера. . . Уже забыли, что это такое? Тогда
быстро смотрите лекцию No 4, вспоминайте! . . .Посмотрели? Вспомни-
ли? Ну, тогда завожу свою песню еще раз.
Если сделать замену репера, то уравнение Ax + By + C = 0вновой
системе координат, разумеется, будет выглядеть по-другому, но оста-
нется линейным и по-прежнему будет задавать то же самое множество
точек на плоскости. Давайте же сделаем замену репера! Да такую заме-
ну, чтобы формулы замены координат выглядели следующим образом:
⎧
⎨
⎩
x=−
C
A
+
1
A
x

−
B
A
y
,
y=0+0·x

+ 1·y

.
На число A можно делить, A

=0.
Сообразительные читатели поймут, что мы перенесли начало ис-
ходной системы координат в точку O(−
C
A
,0),ановымибазисными
векторами стали векторы b1(
1
A
,0) и b2(−
B
A
,1). Помните, мы об этом
говорили в лекции No 4? Столбики коэффициентов в формулах преобра-
зования координат — это координаты нового начала и новых базисных
векторов в старом базисе!
В новой системе координат уравнение Ax + By + C = 0преобра-
зуется (подставляем в него выражения для x и y из формул замены
координат):
A
−
C
A
+
1
A
x

−
B
A
y
+By+C=0.
И вот чудо! После раскрытия скобок и приведения подобных урав-
нение станет совсем простым,
x

=0.
24/25

98
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Совершенно очевидно, что получившееся уравнение задает прямую
линию — координатную ось OY

! Следовательно, линейное уравнение
Ax + By + C = 0 задает в исходной системе координат это же самое
множество точек — ось OY

, то есть задает прямую линию! А это
итребовалосьдоказать.
Вся теорема доказана полностью.

На этой победной ноте мы и закончим лекцию No 7. До встречи!
Задачки к Лекции No 7
Если в условии задачи ничего не указано дополнительно, система
координат считается произвольная аффинная.
1. Прямая проходит через точку N(2; −3) в направлении векто-
ра s (5; 7). Напишите:
А) параметрические уравнения этой прямой;
Б) уравнение этой прямой в форме определителя;
В) каноническое уравнение этой прямой;
Г) общее уравнение этой прямой;
Д) уравнение этой прямой «в отрезках».
2. Вмоментвремениt0 = 0 муха начинает равномерно прямоли-
нейно ползти из точки N (1; 18) со скоростью s (1; −7).Черезсколько
секунд муха окажется на окружности x2 + y2 = 25? В каких точках
траектория мухи пересекает эту окружность?
3. Прямая задана общим уравнением 3x − 2y + 6 = 0. Найдите
ее направляющий вектор. Напишите параметрические и каноническое
уравнения этой прямой.
4. Найдите точку пересечения прямых 2x + 5y − 6 = 0и
x−4
2
=
=
y+3
−1
.
5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(−2; −5)
параллельно прямой 3x − 2y + 6 = 0.
6. Написать уравнения касательных к окружности x2 + y2 = 25
параллельных прямой 3x + 4y − 1 = 0.
7. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами
A(3; 2), B(5; −2), C(1; 0).
8. (No 372* из задачника Моденова–Пархоменко) Через точ-
ку M (4; −3) провести прямую так, чтобы площадь треугольника,
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

Лекция No 7
99
образованного этой прямой и осями координат, была равна 3. Система
координат здесь декартова прямоугольная.
9. (No 377* из задачника Моденова–Пархоменко) Даны уравне-
ния двух сторон треугольника 2x − y = 0, 5x − y = 0 и уравнение
3x − y = 0 одной из его медиан. Написать уравнение третьей стороны
треугольника, зная, что на ней лежит точка K (3; 9), и найти коорди-
наты его вершин.
10. (No 393* из задачника Моденова–Пархоменко) Составить урав-
нения сторон параллелограмма, зная, что его диагонали пересекаются
вточкеM (1; 6),аточкиP (3; 0), Q(6; 6), R(5; 9), S(−5; 4) лежат на его
сторонах (по одной на каждой).
1/25

Лекция No 8
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь! В сегодняшней лекции мы
продолжим собирать в копилку своих знаний различные типы уравне-
ний прямой на плоскости, но уже в привычной декартовой школьной
системе координат. Таким образом, на протяжении всей лекции No 8,
репер на плоскости предполагается ортонормированным, а значит, мат-
рица Грама — единичная и скалярное произведение векторов вычисля-
ется по привычной школьной формуле.
11. Уравнение прямой в виде скалярного
произведения. Угол между прямыми
Наблюдение, похожее на аксиому Евклида. Через данную точку,
перпендикулярно данному ненулевому вектору проходит единственная
прямая. Ну это, конечно, верное утверждение. Давайте составим урав-
нение прямой L, которая проходит через начальную точку N(x0, y0)
перпендикулярно данному вектору n(A, B)

=

0. Векторы, перпендику-
лярные данной прямой, принято называть нормальными векторами.
Рис. 1 . Прямая L,проходящаячерезточкуN снормальнымвекторомn
Произвольная точка M (x, y) с координатной плоскости лежит
на прямой L тогда и только тогда, когда векторы n(A, B) и
−
−
→
NM(x − x0,
y − y0) перпендикулярны!
Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное
произведение равно нулю! Базис на плоскости ортонормированный,
следовательно, формула для нахождения скалярного произведения бу-
дет привычной, школьной, простейшей — сумма произведений соответ-
ствующих координат. Получаем замечательное уравнение — равенство
нулю скалярного произведения векторов,
A(x − x0)+B(y − y0)=0.
Это уравнение называется уравнение прямой L в форме скалярного
произведения. А иногда говорят еще так: «уравнение прямой, проходя-
щей через точку N (x0 , y0) снормальнымвекторомn(A, B)».
2/25

Лекция No 8
101
Раскроем скобки в левой части этого уравнения и приведем по-
добные:
Ax + By +(−Ax0 − By0)




число C
=0,
то есть
Ax+By+C=0,
аэтоужезнакомоенамобщее уравнение прямой. Но в ортонормиро-
ванном репере оно наполнилось особенным смыслом! Коэффициенты
перед неизвестными в нем суть координаты нормального вектора
прямой L.
Кстати! Вектор s (−B , A),получающийсяизвектораn(A, B)
покорным применением указания «поменять местами координаты и пе-
ред первой поставить знак минус» , является направляющим вектором
прямой L. Он же перпендикулярен вектору n(A, B),азначит,па-
раллелен прямой L! Когда векторы перпендикулярны? Посчитайте-ка
сами скалярное произведение векторов n(A, B) и s (−B , A)! Сколько
получается? Объясните теперь своему лучшему другу (а лучше —
подруге), почему прямые
3x+4y+38=0и−4x+3y+257=0
перпендикулярны?
Запишите в тетрадку очевидное условие перпендикулярности
двух прямых A1x + B1y + C1 = 0иA2x + B2y + C2 = 0наплоскости
иобведитеврамочку:
A1A2+B1B2=0.
Запишите в тетрадку очевидное условие параллельности двух
прямых A1x + B1y + C1 = 0иA2x + B2y + C2 = 0наплоскостииоб-
ведите в рамочку:
A1
A2
=
B1
B2
.
Замечание. Пусть дано общее уравнение прямой Ax + By +
+ C = 0. Как мы только что поняли, если базис ортонормированный,
то вектор с координатами (A, B) перпендикулярен к этой прямой и на-
зывается нормальным. А вот если система координат произвольная
аффинная, то вектор с координатами (A, B) уже не обязательно пер-
пендикулярен этой прямой и в этом случае называется главным 1).
Объясните, пожалуйста, самостоятельно, почему главный вектор заве-
домо не может быть коллинеарен своей прямой.
1) Как-нибудь попозже я расскажу вам, что главный вектор даже не явля-
ется вектором, а является линейным функционалом, или « ковектором ».
3/25

102
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Посмотрите на великолепный рис. 2 .
Рис. 2. Угол между прямыми
Наблюдение. Угол между прямыми — это угол между их нор-
мальными векторами. Это означает, что угол φ между двумя данными
прямыми на плоскости A1x+B1y+C1 =0иA2x+B2y+C2 =0
ищется очень просто,
cosφ=
n1, 
n2
|n1|·|n2|
=
A1A2 + B1B2
A2
1+B2
1·
A2
2+B2
2
:
косинус угла между прямыми — это скалярное произведение нор-
мальных векторов данных прямых, поделенное на произведение длин
нормальных векторов.
В этом пункте, пожалуй, все. Идем в следующий пункт!
12. Расстояние от точки до прямой
на плоскости. Нормальное уравнение прямой
Начнем этот пункт, пожалуй, с одной из самых распространенных
задач геометрии.
Задача. На плоскости дана прямая L иточкаK . Найти рассто-
яние от этой точки до данной прямой.
Решение. Смотрите на рис. 3
—
на нем нанесены все необходи-
мые исходные данные: точка K с координатами, прямая L сначальной
точкой N инормальнымвекторомn .
Рис. 3. «Расстояние» от точки K до прямой L
4/25

Лекция No 8
103
После соединения точек N и K вектором
−
−
→
NK возникает серенький
прямоугольный треугольник. Это просто счастье! Но счастье не в его
цвете, а в том, что его вертикальный катет δ как раз и символизирует
расстояние от точки K до прямой L. Этот катет надо найти!
«Дети!!! Катет в прямоугольном треугольнике находится умноже-
нием гипотенузы на синус или на косинус. Если угол ПРИлежащий,
то умножением на КОсинус!!!» (так орал Н.И. Слободчиков). Таким
образом,
δ=|
−
−
→
NK|·cos φ.
По определению угла между векторами
cosφ=
%n,
−
−
→
NK
&
|n|·|
−
−
→
NK|
.
Ну, давайте подставим:
δ=|
−
−
→
NK|·cos φ = |
−
−
→
NK|·
%n,
−
−
→
NK
&
|n|·|
−
−
→
NK|
=
%n,
−
−
→
NK
&
|n|
.
Поскольку векторы имеют координаты n(A, B) и
−
−
→
NK(x∗
−
x0, y
∗
−
y0),
получаем ответ
δ=
A(x∗
−
x0 )+B(y∗
−
y0)

A2+B2
.
Ура! Задача решена! Формула расстояния от точки до прямой
найдена! И она очень простая — скалярное произведение надо поде-
лить на длину нормального вектора! Да еще особенно приятно то,
что мы уже видели числитель этой формулы в предыдущем пункте,
когда выводили уравнение прямой в форме скалярного произведения!
Ну в самом деле: там мы даже раскрыли скобки, обозначили число
(−Ax0 − By0) буквой C и вот, пожалуйста, другая форма записи
формулы «расстояния» от точки до прямой:
δ=
Ax∗ +By∗+C

A2+B2
.
Это же вообще классная формула! Просто взяли общее уравнение
прямой L,
Ax+By+C=0,
подставили в левую часть точку K(x
∗
,y
∗
), разделили на длину нор-
мального ветора |n| =

A2 + B2 и мгновенно получили «расстояние»
от точки K (x∗
,y
∗
) до прямой L!
5/25

104
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Разумеется, если точка K (x∗
,y
∗
) лежит на прямой L,тоAx∗ +
+By∗+C=0иδ=0.А если она НЕ лежит на прямой L,тоAx∗+
+By∗+C

= 0 и «расстояние» от точки до прямой получается равным
δ=
Ax∗+By∗+C

A2+B2
.
Круто!
Однако постойте-ка! Заметили, что я вдруг начал брать слово
расстояние в кавычки? Ожидаете подвох? Правильно, что ожидаете!
Смотрите, а если картинка вот такая? Перед вами рис. 4.
Рис. 4. «Расстояние» от точки K до прямой L
Что на рисунке? Угол φ тупой, его косинус отрицательный! Скаляр-
ное произведение в числителе формулы отрицательное! Но растояние
от точки до прямой — неотрицательная величина! Что же мы тогда
нашли? Что мы натворили?
А натворили мы вот, что.
Определение. Величина
δ=
Ax∗ +By∗+C

A2+B2
называется отклонением точки K (x∗
,y
∗
) от прямой L,заданной
общим уравнением Ax + By + C = 0.
Хорошие дети! Очевидно, что расстояние d от точки K(x∗
,y
∗
)
до прямой L мы все-таки нашли:
d=|δ|=|Ax∗+By∗+C|

A2+B2
есть расстояние от точки до прямой; оно равно модулю отклонения
этой точки от прямой.
Но мы на самом деле нашли гораздо больше! Мы поняли, что
прямая L, заданная начальной точкой и нормальным вектором (или,
6/25

Лекция No 8
105
если угодно, заданная общим уравнением Ax + By + C = 0) делит
плоскость на ДВЕ принципиально разные полуплоскости!
В одну из полуплоскостей «смотрит» нормальный вектор, в другую
он «не смотрит». В той полуплоскости, куда «смотрит» нормальный
вектор, лежат точки, отклонения которых от прямой L положительные!
В другой полуплоскости, в которую нормальный вектор не смотрит,
у всех точек есть отрицательные отклонения от прямой L!
Смотрите рис. 5 .
Рис. 5 . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости — полуплоскость
«плюс» и полуплоскость «минус»
Нет нужды говорить, насколько это важное знание! Мы научи-
лись аналитически распознавать половины плоскости! Простой пример:
в безглазый компьютер загрузили координаты точек и уравнение пря-
мой, после чего задали вопрос.
Вопрос. Дана прямая 5x − 2y + 367 = 0. Точки T(356, 2879)
и R(−341, 2478) лежат с одной стороны от этой прямой или по разные
стороны от нее?
Ответ. Безглазый, но грамотный компьютер говорит: «Вычислим
знаки отклонений точек от данной прямой»,
δ(T )=
5·356 −2 ·2879+367

52+22
<0,
δ(R)=
5·(−341)−2 ·2478+367

52+22
<0;
то есть оба отклонения отрицательные, значит, точки T и R лежат
с одной стороны от прямой, причем с той, куда ее нормальный вектор
«не смотрит». Молодец компьютер! И вы старайтесь быть такими же
молодцами, особенно на экзамене!
Ну и, наконец, определение.
Определение. Уравнение прямой вида
Ax+By+C

A2+B2
=0
называется нормальным уравнением прямой.
7/25

106
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Видно, что нормальное уравнение прямой получается из ее общего
уравнения простым делением левой и правой части общего уравнения
начисло—длинунормальноговектора.Однакоэтапростаяманипу-
ляция оказывает воистину магический эффект! Конечно, если в левую
часть нормального уравнения подставить координаты точки с прямой,
то получится ноль. Зато, если в нее подставить координаты точки,
не лежащей на этой прямой, то нуля не получится, а получится в точ-
ности отклонение точки от прямой, модуль которого есть расстояние
от точки до прямой. Нормальное уравнение не только задает прямую,
но и является готовой формулой для нахождения расстояний от точек
до своей прямой. Аллилуйя!
Маленькое наблюдение. Нормальное уравнение прямой
A

A2+B2
x+
B

A2+B2
y+
C

A2+B2
=0
таит в себе еще вот какую информацию про прямую L иеенор-
мальный вектор. Смотрите: если прямая L задана данным нормальным
уравнением, то ее нормальный вектор n =
A

A2+B2
,
B

A2+B2

имеет единичную длину |n| = 1, а это значит, что его координаты —
направляющие косинусы! Кто забыл, что это такое, смотрите пункт
No 4 из лекции No 3. Вот напоминающе-разъясняющий рис. 6 .
Рис. 6 . Прямая, заданная нормальным уравнением, и ее нормальный вектор
Вспомнили — поняли? Косинусы углов, образуемых нормальным
вектором с осями координат, равны
cosφ1=
A

A2+B2
,
cosφ2=
B

A2+B2
=sinφ1 ,
то есть коэффициенты перед переменными в нормальном уравнении
прямой суть не что иное, как направляющие косинусы! Это может
пригодится при решении задач.
8/25

Лекция No 8
107
13. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом. Угол от одной прямой до другой
Хорошие дети! Посмотрите на прекрасный рис. 7.
Рис . 7. Прямая L под углом φ от положите льного направления оси OX
На этом прекрасном рисунке изображена незатейливая бытовая
сценка: в ортонормированном репере (O; e1, 
e2),декартовойпрямо-
угольной системе координат, задана прямая L,проходящаячерезна-
чальную точку N (x0, y0) иобразующаяуголφ с положительным
направлением оси абсцисс OX. Такой стандартный оборот речи озна-
чает, что угол φ отсчитывают вокруг точки пересечения прямой L
сосьюOX против часовой стрелки (в положительном направлении) от
оси OX до прямой L, как это показано на рис. 7 пунктирной дуговой
стрелочкой.
Составим уравнение, задающее эту прямую. Смотрите снова
на рис. 7
—
на нем возник прямоугольный треугольник NTM
с пунктирными катетами. Он прямоугольный только потому, что
система координат прямоугольная! И угол при вершине N внемравенφ,
ибо пунктирные катеты проведены параллельно осям координат!
Произвольная точка M (x, y) с координатной плоскости лежит
на прямой L тогда и только тогда, когда
MT
NT
=tgφ.
Действительно, если точка M (x, y) лежит выше или ниже пря-
мой L, то отношение катетов в прямоугольном треугольнике NTM
не будет равно tg φ. Посмотрите на неприятный рис. 8: здесь точка M
не лежит на прямой L,значит,гипотенузаNM не лежит на прямой L,
следовательно, отношение катетов
MT
NT
прямоугольного треугольника
равно тангенсу какого-то другого угла, но не угла φ .
9/25

108
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Рис. 8 . Точка М не лежит на прямой L
Поскольку MT = y − y0,аNT = x − x0, получаем соотношение,
задающее прямую L:
y−y0
x−x0
=tgφ.
Тангенс угла наклона прямой L к положительному направлению
оси OX называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают
по традиции k =tgφ. Соотношение переписывают без дробей,
y−y0=k(x−x0),
— этоуравнение прямой L сугловымкоэффициентомk,проходящей
через точку N (x0, y0).Еслираскрытьскобкиинемногопреобразовать,
обозначив число в правой части буквой b,
y=kx+(−kx0+y0)




b
,
то получится привычный школьный вид уравнения прямой с угловым
коэффициентом:
y=kx+b.
Геометрический смысл коэффициента b очевиден — это точка, в ко-
торой прямая L пересекает ось OY (см. рис. 7), ибо эта точка имеет
координаты (0, b) и они подходят в уравнение y = kx + b.
Напоминаю с предыдущей лекции, что про специфические типы
уравнений, которые удобно использовать, но при этом такими уравне-
ниями задаются не всякие прямые, часто говорят — «неп олны е урав-
нения». Ну так вот. Обращаю ваше внимание, что уравнение прямой
с угловым коэффициентом — неполное уравнение! Если угол φ = 90
◦
(прямая L вертикальна, то есть L || OY ), то углового коэффициента
у нее не существует! Тангенс прямого угла не определен! Это озна-
чает, что прямые, параллельные оси ординат, не могут быть заданы
уравнением с угловым коэффициентом! Уравнения вида y = kx + b
10/25

Лекция No 8
109
или y − y0 = k(x − x0) суть простые, понятные, привычные, но слегка
«ущербные», то есть неполные.
Хотя уравнения с угловым коэффициентом и неполные, но они
позволяют решать важные практические задачи.
Приведу пример одной такой задачи. Эта задача довольно тонкая.
Смотрите рис. 9. Пусть на плоскости даны две прямые L1 и L2,которые
пересекаются в точке P .
Рис . 9 . Угол от одной прямой до другой
Определение. Уг ол φ12 от первой прямой L1 до второй прямой
L2 — это наименьший угол, на который надо повернуть против часовой
стрелки (в положительном направлении) первую прямую L1 вокруг
точки пересечения P , чтобы она совпала со второй прямой L2.
Индексы в обозначении угла φ12 соответствуют тому, от какой
докакойпрямойизмеряетсяугол.Внимательноглядянарис.9,почув-
ствуйте разницу между углами:
φ12 —уголотпервойпрямойдовторой,
φ21 —уголотвторойпрямойдопервой.
Вобщемслучаеφ12

= φ21 ! Это разные углы! В школе сказали бы,
что это «смежные углы», их сумма равна 180◦
.
Понятие угла от одной прямой до другой более тонкое, нежели
понятие просто угла между двумя прямыми! Угол от одной прямой
до другой иногда назы вают «направленным»или«ориентированным».
Найдем важную (например, для применения в компьютерной век-
торной графике) формулу нахождения угла от одной прямой до другой.
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:
прямаяL1:y=k1x+b1,
прямаяL2:y=k2x+b2.
Это означает, что tg φ1 = k1, tg φ2 = k2.Очевидно,чтоφ12 = φ2 − φ1.
11/25

110
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Поднимите правую руку те, кто учился в средней школе! Не опус-
кая правую руку, поднимите левую руку те, кто помнит формулу
тангенса разности углов!
tg(φ2 − φ1)=
tgφ2−tgφ1
1 +tgφ1 tg φ2
.
Приятно видеть, что поднято четное число рук! И особенно приятно,
что это число равно удвоенному количеству присутствующих!
Мгновенно получаем формулу для нахождения конкретного направ-
ленного угла от первой прямой до второй через угловые коэффициенты
даных прямых:
tgφ12 =
k2−k1
1+k1k2
.
Обратите внимание, в этой формуле важен порядок коэффициентов!
Нельзя поменять местами k1и k2 — у дроби изменится знак! А это
ипонятно,ведь
tgφ12 = − tgφ21.
Задачи на использование этой формулы мы с вами обязательно
порешаем на практике, а сейчас отметим важное следствие. Знамена-
тель 1 + k1k2 дроби в полученной формуле может обращаться в ноль!
Что это значит?
Знаменатель дроби равен нулю, значит, тангенс tg φ12 не определен
(или, если угодно, ctg φ12 =
1+k1k2
k2−k1
= 0). А это просто-напросто озна-
чает, что угол от первой до второй прямой линии прямой, φ12 = 90
◦
!
Получается необходимое и достаточное условие перпендикулярности
двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами:
k1k2 = −1.
Давайте, наконец, подытожим.
Подводим итог. На сегодняшней лекции мы узнали еще три
типа уравнений прямой в ортонормированном базисе, обладающих по-
лезными свойствами. Продолжим нумерацию типов из предыдущей
лекции.
Тип No 8. В форме скалярного произведения:
A(x − x0)+B(y − y0)=0.
Тип No 9. Нормальное уравнение прямой:
A

A2+B2
x+
B

A2+B2
y+
C

A2+B2
=0.
Тип No10. Уравнение прямой сугловымкоэффициентом:
y−y0=k(x−x0) или y=kx+b.
12/25

Лекция No 8
111
С чувством глубокого удовлетворения закончим на этом лекцию.
Спасибо за внимание, до следующей лекции!
Задачки к Лекции No 8
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(2, −5),
перпендикулярно вектору n(3, 7).
2.При каких значениях α,β∈R прямые αx+8y+β=0и2x+
+αy−1 =0:
А) параллельны;
Б) совпадают;
В) перпендикулярны?
3. Найти угол между прямыми
А)3x−y+5=0и2x+y−7 =0,
Б)x−2y+8=0и
x=1−2t,
y=2+3t.
4. Найти проекцию точки P(−6;4) на прямую 4x − 5y+3 =0.
5. Найти расстояние от точки K(−2, 3) до прямой 3x − 4y − 2 =
= 0. По одну или по разные стороны от этой прямой лежат точки
B(−265, 239) и C(−297, 386)?
6. Найти расстояние между параллельными прямыми
3x−4y−10=0и9x−12y+7=0.
7. Написать уравнения обеих прямых, проходящих через точ-
ку P (2, 7) и проходящих на расстоянии 5 от точки Q(1, 2).Этузадачу
можно сформулировать и так: написать уравнения двух касательных
кокружности(x − 1)2 +(y − 2)2 = 25, проходящих через точку P (2, 7).
8. Написать уравнения прямых, параллельных прямой 8x − 15y −
−
25 = 0 и проходящих от нее на расстоянии 2.
9. Написать уравнения обеих биссектрис между прямыми 3x + 4y −
−
1=0и5x+12y−2 =0.
10. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми
x+2y−11 =0и3x−6y−5 =0, в котором лежитточкаM(1, −3).
11. Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми
3x+4y−5 =0и5x−12y+3=0.
12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2, 1),
уголоткоторойдопрямой2x + 3y + 4 = 0равен45◦
.
13.Лучик света идет по прямой x−2y+5=0 и, дойдя до прямой
3x − 2y + 7 = 0, отражается от нее как от зеркала. Составить уравне-
ние прямой, по которой пойдет отраженный луч.
13/25

112
Гл. 2 . Прямые и плоскости
14. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин A(2, 6), а также уравнения высоты, x − 7y + 15 = 0, и биссек-
трисы, 7x + y + 5 = 0, проведенных из одной вершины.
15. (No 434* и No 435 из задачника Моденова–Пархоменко) Осно-
ванием равнобедренного треугольника служит прямая 2x − 5y + 1 = 0,
а боковой сторной — прямая 12x − y
−
23 = 0. Написать уравнение
другой боковой стороны треугольника, зная, что на ней лежит точ-
ка K(2; 6). Решите еще раз эту же задачу, но с другими данными:
основание 2x + 3y = 0, боковая сторона 5x − 12y = 0, точка на другой
боковой стороне (2; 6).
16. Найти расстояние от точки K(2, 1) до прямой 10x + 56y −
−
37 = 0, если скалярное произведение на плоскости задано матрицей
Грама G =
!48
825
".
14/25

Лекция No 9
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь! Лекция девятая. В этой лек-
ции мы встретим различные типы уравнений плоскости в трехмерном
пространстве. Если вы внимательно читали две предыдущие лекции
про прямую на плоскости, то вы увидите сейчас много повторов.
Признаюсь, при написании я иногда просто делал Ctrl+C—Ctrl+V,
до такой степени в некоторых местах идеи и рассуждения одинако-
вы. В трехмерном пространстве (по сравнению с плоскостью) про-
сто добавляется еще одна, третья, координата, а сами рассуждения
и получающиеся формулы, по сути, одни и те же. Причина такого
феноменального совпадения будет ясна чуть позже из курса алгебры.
Но приоткрою тайну! Дело в том, что прямая на плоскости и плос-
кость в пространстве — примеры подпространств, размерность которых
на единицу меньше размерности пространства в котором они нахо-
дятся. Такие объекты, задаваемые в пространстве одним линейным
уравнением, называют подпространства коразмерности один (запо-
минать не надо, вы еще маленькие!) или, иначе говоря, гиперплоско-
стями. У гиперплоскостей в пространствах любой размерности масса
общих свойств — они делят свое пространство на две непересекающи-
еся «половинки», они могут быть заданы начальной точкой и одним
нормальным вектором и так далее и тому подобное. Далее . . .
14. Плоскость в трехмерном пространстве, система
координат — произвольная аффинная
Тип No 1. Векторное уравнение плоскости
Наблюдение, похожее на аксиому Евклида. Плоскость в трех-
мерном пространстве задается двумя неколлинеарными направляю-
щими векторами a и b и начальной точкой N ,черезкоторуюона
проходит. Такая плоскость существует и только одна. Смотрите рис. 1 .
Рис. 1 . Плоскость π с начальной точкой N (x0 , y0 , z0 ) и направляющими векто-
рами a(α1, α2, α3) и b(β1, β2, β3)
На этом рисунке показаны: плоскость π,жирныенаправляющие
векторы a ∦ b и не менее жирная начальная точка N .Координатывек-
торов и точки заданы в некоторой аффинной системе координат OXY Z
в трехмерном пространстве.
15/25

114
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Произвольная точка M (x, y , z ) из пространства принадлежит
плоскости π тогда и только тогда, когда вектор
−
−
→
NM компланарен
векторам a и b, то есть является их линейной комбинацией:
∃u,v∈Rтакие,что
−
−
→
NM=ua+vb.
Это очевидно, ведь (N ; a,

b) — репер на плоскости π.Какуюбы
точку M (x, y , z ) сплоскостиπ мы не взяли, вектор
−
−
→
NM можно разло-
жить по базису (a,

b).ЕслижеточкапространстваM (x, y , z ) на плос-
кости π не лежит, то вектор
−
−
→
NM окажется не компланарен (a,

b)
и тройка векторов (a,

b,
−
−
→
NM) окажется базисом уже всего трехмерного
пространства. А базис — линейно независимая совокупность векторов,
следовательно,
−
−
→
NM невозможно представить в виде линейной комби-
нации векторов a и b (смотри пункт No 2).
Уравнение
−
−
→
NM=ua+vb
или, если угодно,
M=N+ua+vb
называют векторным уравнением плоскости π, с начальной точкой N
и направляющими векторами a и b.
По сути, векторное уравнение плоскости является ее определе-
нием, то есть плоскостью называется множество точек, которые могут
быть получены из начальной точки N откладыванием всевозможных
линейных комбинаций двух направляющих векторов a и b.Вшколе-то
ведь плоскость была неопределяемым понятием. А вот у нас, пожалуй-
ста, — определение плоскости через ее векторное уравнение.
Коэффициенты u, v ∈ R в векторном уравнении плоскости π
незатейливо называются произвольными параметрами. Однако у них
есть и другое, более содержательное название. Смотрите на рис. 1 .
Поскольку (N; a,

b) — репер на плоскости π,то(u, v) —координа-
ты точки M ∈ π в этом репере. Поэтому пару (u, v) называют еще
плоскостные координаты точки M . Прикольно, да? В простран-
ственной аффинной системе координат OXY Z точка M имеет три
координаты M(x, y, z), а в плоскостном репере (N; a,

b) —всегодве
координаты M (u, v). Не запутайтесь!
Плоскостные координаты точки порой куда более интересны, неже-
ли пространственные. В самом деле, мы же говорим: «Город Екатерин-
бург имеет координаты u = 60,6122◦ восточной долготы и v = 56,8519◦
северной широты» , и нам совершенно наплевать на его коорди-
наты (x, y , z ) в нашей вселенной, то есть в пространственной системе
координат с началом где-то в центре галактики Млечный Путь.
16/25

Лекция No 9
115
Тип No 2. Параметрические уравнения плоскости
Распишем векторное уравнение M = N + ua + vb плоскости π вко-
ординатах,
⎛
⎝x
y
z
⎞
⎠=
⎛
⎝x0
y0
z0
⎞
⎠+u
⎛
⎝α1
α2
α3
⎞
⎠+v
⎛
⎝β1
β2
β3
⎞
⎠,
или, как чаще пишут в справочниках, в виде системы
⎧
⎨
⎩
x=x0+uα1+vβ1,
y=y0+uα2+vβ2,
z=z0+uα3+vβ3.
Этот тип уравнений называется параметрические уравнения плоско-
сти π,снаправляющимивекторамиa(α1, α2, α3 ) и b(β1, β2, β3),прохо-
дящей через точку N (x0 , y0, z0). Переменные (x, y , z ) суть простран-
ственные координаты текущей или произвольной точки M плоско-
сти π,апараметры(u, v) —еежеплоскостныекоординаты.
Между прочим, параметрические уравнения плоскости можно еще
рассматривать как своеобразные «формулы перехода» из плоскостной
системы координат в пространственную и обратно. Об этом обязатель-
но поговорим на практике.
Тип No3. Уравнение плоскости в форме определителя
Вновь повторяю главную мантру в надежде, что ее стандартная
форма западет вам в голову навечно! Произвольная точка простран-
ства M (x, y , z ) принадлежит плоскости π тогда и только тогда, когда
вектор
−
−
→
NM компланарен векторам a и b. Векторы компланарны тогда
и только тогда, когда определитель третьего порядка, составленный
из их координат, равен нулю,






x−x0 y−y0 z−z0
α1
α2
α3
β1β2β3






=0.
Это и есть уравнение плоскости в форме определителя. Сравните
с уравнением прямой на плоскости в форме определителя (пункт No 9,
тип No 3). Тут добавить нечего, аналогия полная, делайте выводы сами.
Тип No4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные
точки
Когдаяучилсявшестомклассеивертелсяпосторонамнауроке
математики, учитель математики Колываныч (Николай Иванович Сло-
бодчиков) подкрался ко мне и заговорщическим шопотом спросил: «Три
мухи слетели с кончика пера. Через сколько секунд они будут в одной
плоскости?».Непомню,чтояответилтогдасиспугу,носкорейвсего
просто приоткрыл рот и погрузился в эвфеминистичную форму априор-
ного внутреннего созерцания. Сейчас же, после обретения богатейшего
17/25

116
Гл. 2 . Прямые и плоскости
жизненного опыта я понимаю, что три мухи всегда находятся в одной
плоскости, а Николай Иванович просто таким способом угомонил
непоседливого ученика. Поэтому приведу простое, но сильное.
Наблюдение, похожее на аксиому Эвклида: через три точки,
не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна.
Составим уравнение такой плоскости. Пусть даны координаты трех
точек: N (x0, y0, z0), P (x1, y1 , z1), Q(x2, y2, z2).Смотритенанезатейли-
выйрис.2.
Рис. 2 . Плоскость π ,п
рохо
дящаячерезто
ч
к
иN(x0, y0, z0), P(x1, y1, z1),
Q(x2, y2, z2)
«Три точки не лежат на одной прямой» — это означает, что векторы
−
−
→
NP(x1−x0,y1−y0,z1−z0)
и
−
−
→
NQ(x2−x0,y2−y0,z2−z0)
не коллинеарны, то есть их координаты не пропорциональны, то есть
выполненохотябыодноизтрехантиравенств
x1−x0
x2−x0

=
y1−y0
y2−y0
,
x1−x0
x2−x0

=
z1−z0
z2−z0
,
y1−y0
y2−y0

=
z1−z0
z2−z0
,
которые легко проверить в случае, если вам дали координаты каких-то
трех точек и спросили: «Не лежат ли они на одной прямой?».
Далее, раз уж векторы
−
−
→
NPи
−
−
→
NQ не коллинеарны, то их можно
взять в качестве направляющих векторов плоскости π,авкачестве
начальной точки взять любую из трех данных, например N (x0, y0, z0)
и мгновенно написать уравнение нужной плоскости в форме определи-
теля:






x−x0 y−y0 z−z0
x1−x0 y1−y0 z1−z0
x2−x0 y2−y0 z2−z0






=0.
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точ-
ки, которое вы найдете в любом справочнике по математике. Сравните
с уравнением прямой на плоскости, проходящей через две данные
точки (пункт No 9, тип No 5),




x−x0 y−y0
x1−x0 y1−y0



=0,
и ухмыльнитесь.
18/25

Лекция No 9
117
Получается, что в двумерном пространстве гиперплоскость
(то есть, прямая) задается двумя точками, в трехмерном пространстве
гиперплоскость (обычная двумерная плоскость) задается тремя
точками. . . Чувствуете закономерность? А угадайте, что это такое
написано:








x−x0 y−y0 z−z0 w−w0
x1−x0 y1−y0 z1−z0 w1−w0
x2−x0 y2−y0 z2−z0 w2−w0
x3−x0 y3−y0 z3−z0 w3−w0








=0?
Тип No 5. Общее уравнение плоскости
Возьмем уравнение плоскости в форме определителя (тип No 3)






x−x0 y−y0 z−z0
α1
α2
α3
β1β2β3






=0
и раскроем этот определитель по первой строке:
(x−x0)




α2 α3
β2 β3








A
+(y − y0)(−1)




α1 α3
β1 β3








B
+(z − z0)




α1 α2
β1 β2








C
=0.
Получается уравнение:
A(x − x0)+B(y − y0)+C(z − z0)=0,
Ax+By+Cz+(−Ax0 −By0−Cz0)




D
=0,
Ax+By+Cz+D=0
—
общее уравнение плоскости.
Ребята! Это воистину линейное уравнение, то есть A2 + B2+
+C2

= 0. Действительно, поскольку направляющие векторы

a(α1, α2, α3) и b(β1, β2, β3) не коллинеарны, то:
либо
α2
β2

=
α3
β3
,тоесть




α2 α3
β2 β3








A

=0,
либо
α1
β1

=
α3
β3
,тоесть(−1)




α1 α3
β1 β3








B

=0,
либо
α1
β1

=
α2
β2
,тоесть




α1 α2
β1 β2








C

=0.
19/25

118
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Хотя бы один определитель второго порядка отличен от нуля, следова-
тельно, в уравнении Ax + By + Cz + D = 0 хотя бы один коэффициент
при переменной не равен нулю. Уравнение, действительно, линейное,
то есть именно первой степени, а не нулевой!
Мы только что поняли и доказали, что всякая плоскость задается
линейным уравнением. Оказывается, верно и обратное! В трехмерном
пространстве образом любого линейного уравнения с тремя перемен-
ными является плоскость! Никаких других фигур линейное уравнение
задавать не может! Доказательство теоремы об образе линейного урав-
нения — это вопрос на государственном экзамене в конце четвертого
курса!
Теорема. Всякое линейное уравнение вида Ax + By + Cz +
+ D = 0 задает плоскость в трехмерном пространстве.
Доказательство. Дано линейное уравнение Ax + By + Cz +
+ D = 0, в котором, например, A

= 0. Пусть оно задает в нашей
системе координат какое-то множество точек
1).Сделаемзамену
репера:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x=
1
A
x

−
B
A
y
−
C
A
z

−
D
A
,
y=y

,
z=z

.
Легко увидеть, глядя на столбики коэффициентов в этих формулах
перехода, что новое начало координат имеет в исходном («старом»)
репере координаты O
−
D
A
,0,0
, а новые базисные векторы имеют
в исходном репере координаты

b1
1
A
,0,0
,

b2
−
B
A
,1,0
,

b3
−
C
A
,0,1
.
Подставляем выражения для старых переменных в наше линейное
уравнение:
A·
1
A
x

−
B
A
y
−
C
A
z

−
D
A
+By+Cz

+D=0.
Раскрываем скобки, приводим подобные и. . . о, чудо! В новом репере
исходное множество точек
задается совсем простым уравнением
x

=0.
1)
—
это буква «ju» тамильского алфавита (тамильский язык — один
из 22 государственных языков Индии). Столь вычурная буква специально
выбрана мной для того, чтобы подчеркнуть изначальную не яснос ть, что из
себя представляет множество решений линейного уравнения, какой фигурой
оно является в пространстве. Вдруг оно эту букву и напоминает?
20/25

Лекция No 9
119
Теперь очевидно, что
—
это плоскость, а именно — координатная
плоскость Y O

Z
.
Ну, значит, исходное уравнение в исходной системе
координат задает именно плоскость.
Теорема доказана.

Тип No6. Уравнение плоскости «вотрезках»
Пусть плоскость π задана общим уравнением Ax + By + Cz + D =
= 0 и удовлетворяет следующим ограничениям:
1) π не проходит через начало координат, то есть D

=0;
2) π не параллельна ни одной из осей координат, то есть все три
коэффициента A, B, C отличны от нуля.
Не вздумайте в этом месте погрузиться в пучину интеллектуаль-
ной лени и просто тупо проглотить прочитанные два условия! Объясни-
те себе (другу, подруге), почему, например, плоскость 2x − 3y + 4z = 0
проходит через начало координат, а плоскость 2x + 4z − 8 = 0па-
раллельна одной из координатных осей. Какой, кстати? Не ленитесь,
проговорите свои объяснения вслух, я все равно спрошу их во время
вашего устного ответа на экзамене, и там вам поневоле придется
поделиться со мной своими мыслями!
Возьмем теперь общее уравнение Ax + By + Cz + D = 0плоско-
сти π, удовлетворяющей условиям 1) и 2). Преобразуем это уравнение
точно так же, как делали в пункте No 9 тип No 7 при получении
уравнения прямой на плоскости в отрезках.
Перенесем свободный член направо,
Ax+By+Cz= −D,
затем разделим на −D изапишемкак
x
−D/A
+
y
−D/B
+
z
−D/C
=1,
после чего переобозначим числа, стощие в знаменателях, чтобы полу-
чилось
x
a
+
y
b
+
z
c
=1
—
уравнение плоскости вотрезках. Смотрите на изумительный рис. 3 .
Этот изумительный рисунок демонстрирует геометрический смысл
величин a, b, c: в этих числах-точках плоскость π пересекает оси коор-
динат, поскольку точки (a,0,0), (0, b,0) и (0, 0, c) очевидно удовлетво-
ряют полученному уравнению плоскости π вотрезках.
Напомню, наконец, что уравнение в отрезках — это непол-
ное уравнение, поскольку не всякая плоскость может быть задана
уравнением в отрезках. Уравнением в отрезках может быть задана
только такая плоскость, которая не проходит через начало координат
и не параллельна никакой из осей координат. Но, хоть уравнение
21/25

120
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Рис. 3. Клетчатая плоскость пересекает оси координат в точках a, b, c
и неполное, тем не менее оно красивое само по себе и удобное для ре-
шения практических задач. Поэтому его непременно помещают во все
справочники по математике.
15. Плоскость в трехмерном пространстве,
система координат — декартова прямоугольная
Тип No7. Уравнение плоскости в виде скалярного произведения
Наблюдение, похожее на аксиому Евклида: через данную точку,
перпендикулярно данному вектору проходит плоскость, причем только
одна.
Составим уравнение такой плоскости, проходящей через данную
точку N , перпендикулярно данному вектору n. Разумеется, мы вос-
пользуемся приятностью ортонормированного базиса — легкостью
и простотой формулы нахождения скалярного произведения в нем.
Матрица Грама единичная, скалярное произведение векторов находит-
ся по школьному правилу — «перемножь первые координаты, пере-
множь вторые, перемножь третьи и все сложи».
Рис. 4 . Плоскость π ,проходящаячерезточкуN перпендикулярно вектору n
Смотрите рис. 4 . Он есть пространственное обобщение плоского
рис. 1 из пункта No 11 (лекция No 8).
Мантра. Произвольная точка пространства M (x, y , z) принад-
лежит плоскости π тогда и только тогда, когда векторы n(A, B , C )
22/25

Лекция No 9
121
и
−
−
→
NM(x − x0 , y − y0, z − z0) перпендикулярны. Векторы перпендику-
лярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно
нулю,
A(x − x0)+B(y − y0)+C(z − z0)=0,
аэтоиестьуравнение плоскости в форме скалярного произведения.
Подробно его именуют так: уравнение плоскости с нормальным векто-
ром n(A, B , C),проходящейчерезначальную точку N (x0, y0, z0).
Чем полученное уравнение плоскости в пространстве отличается
от уравнения прямой на плоскости в форме скалярного произведения?
Вопрос почти что риторический, ответьте на него сами.
Как и в случае уравнения прямой на плоскости в виде скалярного
произведения, раскрыв скобки, мы опять-таки придем к общему урав-
нению
Ax+By+Cz+(−Ax0 −By0−Cz0)




D
=0,
Ax+By+Cz+D=0,
но в ортонормированном репере оно наполнилось особенным смыслом!
Коэффициенты перед переменными в этом уравнении суть координаты
нормального вектора, которому плоскость π перпендикулярна. В произ-
вольной аффинной системе координат вектор с координатами (A, B , C )
не обязательно перпендикулярен плоскости π, но не может быть ей
параллелен (почему?). Для плоскости π , заданной общим уравнением
в произвольной аффинной системе координат, вектор (A, B , C) называ-
ется не нормальным, а главным 1).
Дальше я просто поработаю справочником по математике.
Угол между плоскостями A1x + B1y + C1z + D1 = 0иA2x + B2y +
+ C2 z + D2 = 0 — это угол между их нормальными векторами (смот-
рите рис. 5, который я рисовал ранее — добивался композиционной
гармонии и цветового комфорта, но, похоже, не добился, поскольку
рисунок-то все равно черно-белый).
По определению угла между векторами:
cosφ=
n1, 
n2
|n1|·|n2|
=
A1A2 + B1B2 + C1C2
A2
1+B2
1 +C2
1·
A2
2+B2
2+C2
2
.
1) Еще раз такая же сноска, как и в лекции No 8, пункт No 11. Конечно,
главный вектор можно изобразить направленным отрезком, и он будет как-то
расположен относительно своей плоскости. Но, строго говоря, главный вектор
и вектором-то не является, а является линейным функционалом (или ковек-
тором). Но об этом речь пойдет тогда, когда вы станете постарше.
23/25

122
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Рис . 5 . Угол между плоскостями
Плоскости π1 и π2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда их
нормальные векторы перпендикулярны,
A1A2+B1B2+C1C2=0.
Плоскости π1 и π2 параллельны тогда и только тогда, когда их нор-
мальные векторы коллинеарны:
[n1, 
n2]=0либотак:
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
.
Думаю,чтоэтихочевидныхсведенийпропараметрывзаимного
расположения плоскостей, заданных общими уравнениями в ортонор-
мированном репере, пока достаточно. А сообразите сами, плиз, какое
еще условие к последним пропорциям надо добавить, чтобы плоскости
оказались не просто параллельны, а совпадали? А?
Тип No 8. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки
до плоскости
Задача. Дана плоскость π снормальнымвекторомn(A, B , C )
и начальной точкой N (x0 , y0, z0). А еще дана какая-то точка
K(x∗
,y
∗
,z
∗
), волшебным образом висящая в пространстве. Найти
расстояние от точки K до плоскости π.
Рис. 6. Расстояние от точки до плоскости
24/25

Лекция No 9
123
Решение. Аккуратно нарисуйте все объекты, о которых идет
речьвэтойзадаче,иподпишитепрямонарисункевсеисходные
данные. У вас в тетрадке получится рис. 6, который является простран-
ственным обобщением плоского рис. 3 из пункта No 12 лекции No 8 (там
речь шла о расстоянии от точки до прямой). Смотрите!
После соединения точек N и K вектором
−
−
→
NK возникает серенький
клетчатый прямоугольный треугольник. Это просто счастье! Но счастье
не в его цвете, а в том, что его вертикальный катет δ как раз дает
расстояние от точки K до плоскости π. Этот катет надо найти!
Цитата: «Дети!!! Катет в прямоугольном треугольнике находится
умножением гипотенузы на синус или на косинус. Если угол ПРИле-
жащий, то — на КОсинус!!!» (так для семиклассников орал «Колыва-
ныч», он же Н.И. Слободчиков). Таким образом,
δ=|
−
−
→
NK|·cos φ.
По определению угла между векторами
cosφ=
n,
−
−
→
NK
|n|·|
−
−
→
NK|
.
Ну, давайте подставим:
δ=|
−
−
→
NK|·cos φ = |
−
−
→
NK|· n,
−
−
→
NK
|n|·|
−
−
→
NK|
=
n,
−
−
→
NK
|n|
.
Поскольку векторы имеют координаты n(A, B , C) и
−
−
→
NK(x∗
−
x0,
y∗
−
y0, z
∗
−
z0),получаемответ
δ=
A(x∗
−
x0)+B(y∗
−
y0)+C(z ∗
−
z0)
√
A2+B2+C2
.
Ура! Задача решена! Формула расстояния от точки до плоскости
найдена! И она очень простая — скалярное произведение надо поделить
на длину нормального вектора! Да еще особенно приятно то, что
мы уже видели числитель этой формулы в предыдущем пункте, ко-
гда выводили уравнение плоскости в форме скалярного произведения!
Ну в самом деле, там мы даже раскрыли скобки, обозначили число
(−Ax0 − By0 − Cz0 ) буквой D ивотпожалуйста—другаяформа
записи формулы «расстояния» от точки до прямой:
δ=
Ax∗+By∗+Cz∗+D

A2+B2+C2
.
Это вообще классная формула! Мы просто взяли общее уравнения
плоскости,
Ax+By+Cz+D=0,
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

124
Гл. 2 . Прямые и плоскости
подставили в левую часть точку K (x∗
,y
∗
,z
∗
), разделили на длину
нормального ветора |n| =

A2 + B2 + C 2 и мгновенно получили «рас-
стояние» от точки K (x∗
,y
∗
,z
∗
) до плоскости π!
Разумеется, если точка K(x
∗
,y
∗
,z
∗
) лежит на плоскости π,
то Ax∗+By∗+Cz∗+D=0иδ=0.А если она не лежит
на плоскости π,т
оAx∗+By∗+Cz∗+D

= 0и«
расс
т
о
я
н
и
е
»
получается равным
δ=
Ax∗ +By∗+Cz∗ +D
√
A2+B2+C2
.
Круто!
Однако постойте-ка! Заметили, что я вдруг начал брать слово рас-
стояние в кавычки? Ну конечно же! Как и в случае прямой на плоско-
сти (смотри пункт No 12), величина δ может оказаться и отрицатель-
ной, если угол φ на рис. 6 окажется тупой.
Ну конечно же, ситуация с плоскостью в пространстве точно такая
же, как и в случае прямой на плоскости — там прямая делила плос-
кость на две полуплоскости, а здесь плоскость π делит пространство
на два полупространства! Оформим разные случаи расположения точ-
ки K(x∗
,y
∗
,z
∗
) отностительно плоскости π желтенькими рожами.
Если точка K (x∗
,y
∗
,z
∗
) лежит в том полупространстве, куда
«смотрит» нормальный вектор n,тоδ>0.
Если точка K (x∗
,y
∗
,z
∗
) лежит в том полупространстве, куда
«НЕ смотрит» нормальный вектор n,тоδ<0.
Если точка K (x∗
,y
∗
,z
∗
) лежит на самой плоскости π,то,разу-
меется, δ = 0.
Для полного понимания приведенного списка случаев смотрите
на рис. 7.
Рис. 7. Плоскость π делит пространство на два полупространства. В том
полупространстве, куда смотрит нормальный вектор, отклонения точек поло-
жительные
1/25

Лекция No 9
125
Определение. Величина
δ=
Ax
∗
+By∗+Cz
∗
+D

A2+B2+C2
называется отклонением точки K(x∗
,y
∗
,z
∗
) от плоскости π: Ax +
+By+Cz+D=0.
Ну, а расстояние d от точки K(x
∗
,y
∗
,z
∗
) до плоскости π равно
тогда модулю отклонения:
d=|δ|=|Ax∗+By∗+Cz∗+D|

A2+B2+C2
.
Все точно так же, как и в случае прямой на плоскости, только
координат три штуки. Наконец — ожидаемое.
Определение. Уравнение плоскости вида
Ax+By+Cz+D

A2+B2+C2
=0
называется нормальным уравнением плоскости.
Видно, что нормальное уравнение плоскости получается из ее обще-
го уравнения простым делением левой и правой части общего уравне-
ния на число — длину нормального вектора. Как и в случае прямой на
плоскости, эта простая манипуляция оказывает воистину магический
эффект! Если в левую часть нормального уравнения подставить коор-
динаты точки с плоскости, то получится ноль — отклонение нулевое.
А если в нее подставить координаты точки, не лежащей на этой
плоскости, то нуля не получится, а получится некоторое ненулевое
отклонение точки от плоскости, модуль которого есть расстояние от
точки до плоскости. Нормальное уравнение не только задает плоскость,
но и является готовой формулой для нахождения расстояний от точек
до плоскости. Аллилуйя!
Маленькое наблюдение. Нормальное уравнение плоскости,
A

A2+B2+C2
x+
B

A2+B2+C2
y+
+
C

A2+B2+C2
z+
D

A2+B2+C2
=0,
таит в себе еще вот какую информацию про плоскость π иеенормаль-
ный вектор. Смотрите, если плоскость π задана данным нормальным
уравнением, то ее нормальный вектор

n=(
A

A2+B2+C2
,
B

A2+B2+C2
,
C

A2+B2+C2
)
2/25

126
Гл. 2 . Прямые и плоскости
имеет единичную длину |n| = 1, а это значит, что его координаты —
направляющие косинусы:
cosφ1=
A

A2+B2+C2
,
cosφ2=
B

A2+B2+C2
,
cosφ3=
C

A2+B2+C2
где φ1, φ2, φ3 — углы между нормальным вектором n иосямикоорди-
нат (первой, второй и третьей осью соответственно). Кто забыл, пусть
внимательно смотрит на «напоминательный» рис. 8.
Рис. 8 . Напоминание, где же находятся эти бесячие углы «фи» между векто-
ром и осями координат, местоположение которых некоторые читатели никак
не могут запомнить
Ну, вот и все на сегодня. Мы добросовестно прошли эту лекцию про
плоскости в пространстве, проводя аналогии с прямыми на плоскости.
Гиперплоскости — они и в Африке гиперплоскости, у них масса общих
свойств, поэтому в сегодняшней лекции было много уже знакомого!
Спасибо за внимание, до встречи в следующей лекции!
Задачки к Лекции No 9
1. Плоскость проходит через точку A(1, 2, −3) параллельно векто-
рам a(3, −1, −5) и b(1, 2, 4). Напишите:
А) параметрические уравнения этой плоскости;
Б) уравнение этой плоскости в форме определителя;
В) общее уравнение этой плоскости;
Г) уравнение этой плоскости в отрезках;
Д) нарисуйте эту плоскость в декартовой прямоугольной системе
координат и найдите ее нормальный вектор.
3/25

Лекция No 9
127
2. Плоскость задана параметрическими уравнениями
⎧
⎨
⎩
x=3 −2u+2v,
y= −1+4u−v,
z=5−u+3v.
Напишите общее уравнение этой плоскости. В ортонормированном
репере найдите нормальный вектор этой плоскости.
3. Плоскость задана общим уравнением 3x − 2y + 4z − 24 = 0.
Напишите какие-нибудь параметрические уравнения этой плоскости.
Репер аффинный.
4. (No 505* из задачника Моденова–Пархоменко) В плоскости
2x + 3y − 4z + 12 = 0 выбрана аффинная система координат, начало
которой находится в точке C пересечения этой плоскости с осью OZ,
а концы базисных векторов a и b находятся соответственно в точках A
и B пересечения этой плоскости с осями OX и OY .
А) Найти пространственные координаты (x, y , z ) точки E этой плос-
кости, плоскостные координаты которой u = 1, v = 1.
Б) Проверить, что точка F (3, 2, 6) лежит на данной плоскости
и найти ее плоскостные координаты (u, v).
В) Написать в плоскостной системе координат уравнение прямой
пересечения данной плоскости с плоскостью 5x + 3z − 8 = 0.
5. (No 509 из задачника Моденова–Пархоменко) Найти объем тет-
раэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходя-
щей через точку K (3, 5, −7) иотсекающейнаосяхкоординатравные
отрезки. Репер ортонормированный.
6. Даны две плоскости
⎧
⎨
⎩
x=1+u+v,
y=2+u,
z=3+u−v
и
⎧
⎨
⎩
x= −1+2u+v,
y=u+2v,
z =1+3v.
Установите: эти плоскости пересекаются, параллельны или совпа-
дают? Репер — какой хотите.
7. Найдите угол между плоскостями
+x=1+u+v,
y=2+u,
z=3+u−v
и5x−y+3z−8 =0.
Репер ортонормированный.
8. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точ-
ку N(3, −2,5) параллельно плоскости 5x − y + 3z − 8 = 0. Репер
произвольный аффинный.
9. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точ-
ку K(3, −2, 5) перпендикулярно двум плоскостям x + y + z − 1 = 0
и2x − 3y + 5z − 2 = 0. Репер ортонормированный.
4/25

128
Гл. 2 . Прямые и плоскости
10. Найти расстояние от точки K (−1, 1, −2) до плоскости, про-
ходящей через точки A(1, −1, 1), B(−2, 1, 3) и C(4, −5, −2). Репер
ортонормированный.
11. Дана плоскость 3x − 4y − 2z + 5 = 0иотрезок[AB],где
A(3, −2, 1), B(−2, 5, 2). Данная плоскость пересекает отрезок? Репер
ортонормированный.
12. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости
2x−2y−z
−
3 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 5. Репер орто-
нормированный.
13. Составьте уравнения биссекторных плоскостей двугранных уг-
лов междуплоскостями 2x−14y+6z−1 =0и3x+5y−5z+3=0.
Выберите из двух найденных биссекторных плоскостей ту, которая
проходит через двугранный угол, в котором лежит начало координат.
Репер ортонормированный.
14. Найдите расстояние между параллельными плоскостями
16x+12y−15z+50=0и16x+12y−15z+25=0.
Репер ортонормированный.
5/25

Лекция No 10
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь! В сегодняшней лекции мы
узнаем различные типы уравнений прямой в трехмерном пространстве
и рассмотрим примеры важных практических задач.
16. Прямая в трехмерном пространстве, система
координат — произвольная аффинная
В предыдущих нескольких пунктах про прямую на плоскости
и плоскость в пространстве (пп. No 9 –15) мы говорили про подпро-
странства, размерность которых на единицу меньше размерности про-
странства, в котором они находятся, то есть про гиперплоскости. У ги-
перплоскостей много общих свойств — они задаются одним линейным
уравнением, делят свое пространство на две непересекающиеся «по-
ловинки», могут быть заданы начальной точкой и одним нормальным
вектором и так далее и тому подобное. А вот теперь будет не так!
В трехмерном пространстве прямая (одномерное подпространство)
не является гиперплоскостью, к ней нужен особый подход. Прямая как
капризная барышня требует к себе повышенного внимания. Прежде
всего, рассмотрим уже знакомое.
Тип No 1. Векторное уравнение прямой
Наблюдение, похожее на аксиому Евклида. Через данную точку
параллельно данному вектору проходит единственная прямая.
Прямая L однозначно и полностью задается, если указана точка
N (x0 , y0), через которую она проходит (эту точку называют начальная
точка), и ненулевой вектор s

=

0, которому эта прямая параллельна
(этот вектор называется направляющий вектор). Смотрите рис. 1 .
Рис . 1 . Прямая L,проходящаячерезточкуN (x0 , y0 , z0 ) параллельно век-
тору s(α, β, γ)
Собственно говоря, этот рисунок вы уже видели в пункте No 9
(лекция No 7), когда он иллюстрировал смысл векторного уравнения
прямой на плоскости. Разница с рисунком из пункта No 9 состоит лишь
6/25

130
Гл. 2 . Прямые и плоскости
в том, что у точек и векторов добавилась третья координата. Поэтому
и следующий абзац будет копией абзаца из пункта No 9:
Очевидно, что произвольная точка M (x, y , z) на этой прямой L
получается откладыванием от начальной точки N (x0 , y0, z0) вектора ts,
пропорционального направляющему вектору s,

rM=rN+ts ,
где t ∈ R — произвольное действительное число, параметр (коэффици-
ент пропорциональности). Можно написать еще и так:
M=N+ts.
Уравнениеврамочкеназываетсявекторное уравнение прямой.
Уравнение тремя строчками ниже — тоже векторное уравнение, только
вместо радиусов-векторов точек написаны сами точки: «от начальной
точки N отложили вектор ts и получили точку M ».
Напоминаю некоторые факты.
1. По сути, векторное уравнение rM = rN + ts является опреде-
лением прямой линии. Прямая линия — это множество всех точек,
которые могут быть получены из начальной точки, откладыванием от
нее всевозможных векторов, параллельных данному направляющему
вектору.
2. Физики называют векторное уравнение прямой «уравнением пря-
молинейного равномерного движения», направляющий вектор s на-
зывают скоростью,параметрt ∈ R называют время или момент,
поэтому мы обозначаем его латинской буквой t, хоть и договаривались
раньше обозначать числа греческими буквами.
3. Векторное уравнение прямой универсально! Будучи фактически
определением прямой линии, оно справедливо не только на плоскости
и в трехмерном пространстве, но и в пространствах большей размер-
ности с той лишь разницей, что в пространствах большей размерности
точки и векторы будут иметь большее количество координат, а сам вид
векторного уравнения прямой, да и сама его суть не изменятся. Вот
эта суть:
произвольная точка M принадлежит прямой L тогда и только
тогда, когда вектор
−
−
→
NM коллинеарен (пропорционален) вектору s.
Тип No 2. Параметрические уравнения прямой в пространстве
Смотрите рис. 1. Текущая (бегающая, ползающая, подвижная, про-
извольная) точка M на прямой L имеет координаты M (x, y , z ),началь-
ная точка — N (x0, y0, z0). Координаты направляющего вектора обозна-
чим s (α, β , γ). Запишем векторное уравнение прямой в координатах:
,x
y
z
-=,
x0
y0
z0
-+t
,α
β
γ
-
7/25

Лекция No 10
131
или, как чаще пишут в справочниках по «высшей» математике, —
ввидесистемы:
⎧
⎨
⎩
x=x0+tα,
y=y0+tβ,
z=z0+tγ.
Уравнения, записанные в таком виде, называются параметриче-
скими уравнениями прямой L,проходящейчерезточкуN (x0, y0, z0)
снаправляющимвекторомs (α, β , γ). Физики называют их уравнени-
ями равномерного прямолинейного движения,авекторs (α, β , γ) —
вектором скорости.
Опять-таки эти уравнения в точности означают, что произволь-
ная точка M (x, y , z ) принадлежит прямой L тогда и только тогда, когда
вектор
−
−
→
NM коллинеарен (пропорционален) вектору s (α, β , γ).
Тип No 3. Канонические уравнения прямой в пространстве
Условие (необходимое и достаточное!) принадлежности точки
M (x, y , z ) прямой L — пропорциональность векторов
−
−
→
NM(x − x0,
y−y0, z −z0) и s(α,β,γ), что можно записать «в лоб», в виде двух
пропорций
x−x0
α
=
y−y0
β=
z−z0
γ
.
Такую запись называют канонические уравнения прямой L,про-
ходящей через заданную точку N (x0, y0, z0) в направлении векто-
ра s(α,β,γ).
Внимание! Здесь два уравнения! Канонические (множественное
число!) уравнения прямой фактически являются системой из двух
линейных уравнений! Прямая в пространстве не является гиперплос-
костью, она не может быть задана одним линейным уравнением! Было
бы одно линейное уравнение — задавалась бы плоскость! Мы же это
доказывали!
Канонические уравнения являются простой и понятной записью
факта коллинеарности векторов, то есть в виде равенства отношений
координат. Канонические уравнения прямой в пространстве приводятся
во всех справочниках по «математике для тех, кому нужно применить
ее в реальной жизни». Но мы понимаем, что канонические уравнения
прямой таят в себе скрытую угрозу для психики потребителей, слепо
следующих школьной догме «на ноль делить нельзя!» Направляющий
вектор s (α, β , γ) по условию не может быть нулевым, но одна или
даже две его координаты спокойно могут оказаться нулями! Ничего
страшного в этом нет, канонические уравнения прямой — условная за-
пись пропорциональности векторов, не более того. Если в знаменателе
стоит ноль, то пусть себе стоит, делить на него никто не заставляет.
Например, запись
x−3
2
=
y−7
5
=
z−5
0
8/25

132
Гл. 2 . Прямые и плоскости
просто означает, что координаты направляющего вектора s (2, 5, 0),
а начальная точка прямой имеет координаты N (3, 7, 5).Такоебывает
в природе. Очевидно, если в знаменателе канонического уравнения
прямой стоит ноль, то прямая L параллельна одной из координатных
плоскостей (в нашем примере плоскости XOY ,посколькуеенаправ-
ляющий вектор s (2, 5, 0) параллелен этой плоскости). Какой именно
координатной плоскости будет параллельна прямая — всегда можно
сообразить «по ситуации», гл ядя на координаты направляющего век-
тора. Более того, если в знаменателях канонических уравнений стоят
два нуля, то направляющий вектор имеет две нулевые координаты. Это
будет означать, что прямая L, оказавшись параллельна сразу двум ко-
ординатным плоскостям, будет параллельна и линии их пересечения —
какой-то координатной оси.
Тип No 4. Уравнения прямой, проходящей через две заданные
точки
Пусть даны две точки N(x0, y0, z0) и K(x1, y1, z1). Великий Евклид
учит нас, что через две разные точки проходит одна и только одна
прямая L. Во славу Евклида, составим ее уравнение!
В качестве направляющего вектора прямой L возьмем вектор, со-
единяющий данные точки,
−
−
→
NK(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0),авкачестве
начальной точки возьмем одну из двух данных, например N (x0 , y0, z0).
Смотрите рис. 2.
Рис. 2 . Прямая, проходящая через две данные точки K и N
Сразу пишем ответ в каноническом виде
x−x0
x1−x0
=
y−y0
y1−y0
=
z−z0
z1−z0
.
Вот, собственно говоря, и все с этим типом уравнений. Еще
раз повторю их смысл: произвольная точка M (x, y , z) принадлежит
прямой L тогда и только тогда, когда вектор
−
−
→
NM коллинеарен (про-
порционален) вектору
−
−
→
NK(x1−x0,y1−y0,z1−z0).
Тип No 5. Общие уравнения прямой
А вот это, пожалуй, самый важный тип уравнений прямой в про-
странстве, поскольку он очень естественный, популярный в употребле-
нии и подчеркивает отличие прямой от гиперплоскости в пространстве.
Внимание! Прямая в трехмерном пространстве — это пе-
ресечение двух плоскостей! Запомните этот простой факт! Он ясен,
он очевиден! Смотрите рис. 3.
9/25

Лекция No 10
133
Рис. 3 . Прямая есть пересечение двух плоскостей
Пусть две плоскости π1 и π2 заданы своими общими уравнениями:
π1: A1x+B1y+C1z+D1=0,
π2: A2x+B2y+C2z+D2=0.
Произвольная точка пространства M (x, y , z ) принадлежит пересечению
π1 ∩ π2 (то есть, принадлежит прямой) тогда и только тогда, когда ее
координаты удовлетворяют одновременно и уравнению плоскости π1,
и уравнению плоскости π2, то есть удовлетворяют системе уравнений
A1x+B1y+C1z+D1=0,
A2x+B2y+C2z+D2=0.
Обозначим эту систему символом ( ). Вот именно эта система ( )
иназываетсяобщими уравнениями прямой в прос транс тве. Множе-
ственное число! Уравнений два!
Разумеется, чтобы система ( ) задавала прямую, плоскости π1
и π2 должны быть не параллельны и, в частности, не должны совпа-
дать! Как узнать, не параллельны ли плоскости, если они даны нам
своими общими уравнениями? Это очень просто! Смотрите небольшой
разбор случаев.
Если все коэффициенты уравнений π1 и π2 пропорциональны,
то есть:
∃λ∈R(λ

= 0) A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2,D1=λD2,
то первое уравнение системы ( ) получается из второго уравнения
умножением на число λ

= 0. Это значит, что первое и второе урав-
нения равносильны, множества их решений совпадают. В этом случае
плоскости π1 и π2 совпадают, и прямую, разумеется, не задают.
Если коэффициенты при переменных в уравнениях π1 и π2 пропор-
циональны,
∃λ∈R(λ

= 0) A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2,
ивэтожесамоевремяD1

= λD2 то система ( ) вообще не имеет
решений! Действительно, если во второе уравнение подошли координаты
10/25

134
Гл. 2 . Прямые и плоскости
какой-то точки K (x∗
,y
∗
,z
∗
),тоестьA2x∗ + B2y∗ + C2z∗ + D2 = 0,
то уж точно координаты этой точки K(x∗
,y
∗
,z
∗
) не могут подойти
в первое уравнение:
A1x
∗
+ B1y
∗
+ C1z
∗
+D1=
= λ(A2x
∗
+B2y∗+C2z
∗
+D2




равно 0
)−(λD2 −D1




не равно 0
)

=0.
В этом случае система ( ) решений не имеет, плоскости π1 и π2
не пересекаются, то есть они параллельны.
Таким образом, чтобы плоскости π1 и π2 пересекались,оста-
ется случай, когда тройки коэффициентов (A1 , B1, C1) и (A2 , B2, C2)
не пропорциональны, то есть главные векторы плоскостей π1 и π2
не коллинеарны:
∀λ∈R (A1,B1,C1)

= λ(A2, B2, C2).
Разжую непропорциональность векторов до последнего: «векторы
(A1, B1, C1) и (A2, B2 , C2) не пропорциональны» означает
либо
A1
A2

=
B1
B2
,т
ое
с
т
ь




A1 B1
A2 B2





=0,
либо
A1
A2

=
C1
C2
,т
ое
с
т
ь




A1 C1
A2 C2





=0,
либо
B1
B2

=
C1
C2
,т
ое
с
т
ь




B1 C1
B2 C2





=0.
Ах, если бы на алгебре вам уже рассказали ранг матрицы, мне
бы не пришлось делать эту нудную работу! Я бы тогда просто сказал,
что плоскости π1 и π2 пересекаются по прямой тогда и только тогда,
когда ранг матрицы
!A1 B1 C1
A2B2C2
"
равен двум,тоестьвнейимеютсядвелинейно независимые строчки.
А ранг матрицы «по строкам» совпадает с рангом матрицы «по мино-
рам» — в этой матрице просто обязан быть ненулевой минор (опреде-
литель) второго порядка!
Ну, вот и все с типами уравнений прямой в пространстве. Пять
штук. Конечно, у пытливого читателя обязательно возникнет есте-
ственный вопрос — если даны уравнения прямой какого-то одного
типа, то как написать уравнения этой же прямой, но другого типа? Это
разумныйиважныйвопрос,сответананегомыобязательноначнем
практические занятия по теме «прямые в пространстве».
11/25

Лекция No 10
135
17. В котором рассматриваются некоторые
практически важные задачи про прямые
в пространстве: угол между прямыми, взаимное
расположение прямых в пространстве; расстояние
от точки до прямой, расстояние между двумя
прямыми; общий перпендикуляр к скрещивающимся
прямым. Все события разворачиваются
в ортонормированном репере, поскольку он наиболее
привычен для инженеров и чаще всего используется
на практике
Среди писателей конца XIX века была забавная мода на длин-
ные названия глав, воплощающие в себе то ли завлекательные анонсы,
то ли жирные спойлеры. Вот пример: «Глава 5. Белый носорог.
—
Он поднимает и коня и всадника. — «Подожди ты у меня!» — Неплохая
коллекция заноз.
—
Африканский слон.
—
Как устроены бивни.
—
Взрыв.
—
Лечение слона.
—
Как измерить рост слона.
—
Жареные
ноги. — Жаркое из хобота. — Вес бивней и цены на слоновую кость. —
Прекрасное место для цилиндрической пули восьмого калибра.
—
Су-
шеное мясо. —
Тревога» (Луи Буссенар, «Похитители бриллиантов»).
Вот и название этого пункта No 17 таково, что заранее ясно —
он будет содержать важные рецепты нахождения углов и расстояний
до прямых в пространстве, причем в привычной школьной декартовой
системе координат. Мы уже говорили, что с прямыми в пространстве
всегда отдельная возня. Они не являются гиперплоскостями! У прямой
в трехмерном пространстве бесконечно много нормальных векторов
разных направлений (аж целая плоскость!), прямая не задаются одним
линейным уравнением и так далее. Все общие рецепты для гиперплос-
костей (прямых на плоскости и плоскостей в пространстве) — формулы
отклонения точки от гиперплоскости, расстояния от точки до гипер-
плоскости, нормальные уравнения гиперплоскости и тому подобные,
совершенно не подходят для прямых в пространстве! Нужны новые
идеи для разыскания стандартных геометрических величин, перечис-
ленных в названии настоящего пункта. Приступим.
Угол между прямыми. Смотрите рис. 4. Баба Клава натянула
во дворе две веревки L1 и L2 и хочет посушить белье. И вдруг подобно
Рис. 4. Две прямые в пространстве
12/25

136
Гл. 2 . Прямые и плоскости
молнии ее мозг пронзил вопрос: «А какой получился угол между
натянутыми веревками?».
Баба Клава не может сушить белье, пока не узнает ответ! Между
тем ответ на вопрос бабы Клавы очевиден! Угол между прямыми
в пространстве — это угол между направляющими векторами этих пря-
мых. Поэтому если, например, прямые L1 и L2 заданы каноническими
уравнениями
L1:
x−x1
α1
=
y−y1
β1
=
z−z1
γ1
;
L2:
x−x2
α2
=
y−y2
β2
=
z−z2
γ2
,
то их направляющие векторы имеют координаты s1(α1, β1, γ1)
и s2(α2 , β2, γ2), следовательно, косинус угла φ между этими прямыми
находится через скалярное произведение (базис ортонормированный,
матрица Грама единичная, формула нахождения скалярного произве-
дения школьная привычная):
cosφ=
s1, 
s2
|s1|·|s2|
=
α1α2 + β1β2 + γ1γ2
α2
1+β2
1+γ2
1
α2
2+β2
2+γ2
2
.
Эту формулу можно найти в любом справочнике (как по матема-
тике, так и по бельевым веревкам), и с углом между прямыми мы
разобрались. Суши белье спокойно, баба Клава!
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Элек -
трик Василий натянул в своем дворе два оголенных электрических
провода L1 и L2 и хочет узнать: ровно ли они висят, не замыкают ли
они?
Пусть направляющие векторы прямых L1 и L2 суть s1(α1, β1, γ1)
и s2(α2, β2, γ2) соответственно, а N1(x1, y1, z1) и N2(x2, y2, z2) —их
начальные точки.
Если направляющие векторы коллинеарны, 
s1||s2 (пропорцио-
нальны), то прямые L1 и L2 параллельны и очевидно лежат в одной
плоскости. Смотрите рис. 5.
Рис. 5. Две параллельные прямые в пространстве
Если прямые параллельны (но не совпадают!), то вектор
−
−−
→
N1N2,
соединяющий начальные точки данных прямых, не может оказаться
параллелен этим прямым. Это означает, что координаты вектора
−
−−
→
N1N2
и например вектора s1, заведомо не пропорциональны.
13/25

Лекция No 10
137
Если же s1  s2, при этом еще и начальная точка одной прямой
подходит в уравнение другой прямой (например, N2(x2 , y2, z2) подходит
в канонические уравнения прямой L1),
x2−x1
α1
=
y2−y1
β1
=
z2−z1
γ1
,
тоэтоозначает,чтопрямыеL1 и L2 не просто параллельны, а даже
совпадают! Ну так ведь! Если даны две параллельные прямые и хотя бы
одна точка со второй прямой лежит на первой прямой, то эти прямые
совпадают! Сообразите! Между прочим, запись
x2−x1
α1
=
y2−y1
β1
=
z2−z1
γ1
означает, что
вектор
−
−−
→
N1N2 оказался
пропорционален s1,
то есть
−
−−
→
N1N2  s1. Опустите мысленно на рис. 5 первую прямую
на вторую так, чтобы прямые совпали — и вы все сами увидите.
В школе учат, что две скрещивающиеся прямые в пространстве
можно заключить в параллельные плоскости.
Пусть теперь направляющие векторы s1 и s2 не коллинеарны
(не пропорциональны). В этом случае прямые L1 и L2 впространстве
могут или скрещиваться, или пересекаться. Посмотрите на великолеп-
ный рис.6.
Рис. 6 . Две скрещивающиеся прямые в пространстве, заключенные в парал-
лельные плоскос ти
Направляющими векторами этих плоскостей служат как раз на-
правляющие векторы s1 и s2 прямых L1 и L2, а в качестве началь-
ных точек плоскостей π1 и π2 можно взять начальные точки прямых
N1(x1, y1, z1) и N2(x2, y2, z2) — это способ явно написать уравнения
этих параллельных плоскостей, например, в форме определителя (смот-
рите лекцию No 9, тип No 3).
Очевидно, что прямые L1 и L2 скрещиваются (но не пересекают-
ся!), тогда и только тогда, когда плоскости π1 и π2 не совпадают! Если
эти плоскости совпали (опустите мысленно на рис. 6 верхнюю серую
плоскость на нижнюю кирпичную), то прямые L1 и L2 пересекутся
и будут лежат в одной плоскости! В случае совпадения плоскостей π1
14/25

138
Гл. 2 . Прямые и плоскости
и π2 натянутые оголенные провода коснутся друг друга, случится
короткое замыкание, из точки пересечения прямых полетят красивые
искры, а электрика Василия шарахнет током! Вот к каким печальным
последствиям может привести незнание аналитической геометрии!
Давайте соединим начальные точки прямых вектором
−
−−
→
N2N1.Если
плоскости π1 и π2 не совпадают, то, где бы ни находились на-
чальные точки N1(x1, y1, z1)и N2(x2 , y2, z2) на своих прямых, вектор
−
−−
→
N2N1(x1 − x2 , y1 − y2, z1 − z2) не может оказаться компланарным век-
торам s1 и s2. Он не может быть параллелен плоскостям π1 и π2!
От выбора начальных точек на прямых ничего, по сути, не зависит.
А три вектора не компланарны тогда и только тогда, когда их смешан-
ное произведение отлично от нуля! Вспоминаем выражение смешанного
произведения через координаты сомножителей (лекция No 6) и получа-
ем далее.
Утверждение. Прямые L1 и L2 скрещиваются в пространстве
тогда и только тогда, когда определитель третьего порядка отличен
от нуля,






x1−x2 y1−y2 z1−z2
α1
β1
γ1
α2
β2
γ2







=0.
Если же этот определитель окажется равным нулю, то не парал-
лельные прямые L1 и L2 пересекаются.
Вот теперь все стало абсолютно ясно с взаимным расположением
двух прямых в пространстве.
Условие параллельности и несовпадения: s1  s2 плюс
еще s1
−
−−
→
N1N2.
Условие совпадения: s1  s2 плюс еще
x2−x1
α1
=
y2−y1
β1
=
=
z2−z1
γ1
.
Условие скрещивания: s1 ∦ s2 плюс еще






x1−x2 y1−y2 z1−z2
α1
β1
γ1
α2
β2
γ2







=0.
Условие пересечения: s1 ∦ s2 плюс еще






x1−x2 y1−y2 z1−z2
α1
β1
γ1
α2
β2
γ2






=0.
15/25

Лекция No 10
139
Ура! Электрик Василий будет жить! Он разобрался со своими про-
водами во дворе и со своими тараканами в голове! А мы разобрались
с взаимным расположением двух прямых в пространстве!
Расстояниеотточкидопрямойвпространстве.Оказывается,
существует готовая и очень простая формула для нахождения рассто-
яния от точки до прямой в пространстве. Сейчас мы ее узнаем. Пусть
Рис. 7. Расстояние от точки прямой
впространстве
прямая L задана своей началь-
ной точкой N (x0, y0, z0) инаправ-
ляющим вектором s (α, β , γ).Где-
то в пространстве висит точка
K(x∗
,y
∗
,z
∗
), расстояние от которой
до прямой L надо найти. Обозначим
это расстояние h.Смотритерис.7
.
На этом рисунке мы соедини-
ли вектором
−
−
→
NK начальную точку
N(x0, y0, z0) сточкойK(x∗
,y
∗
,z
∗
),
направляющий вектор s (α, β , γ) от-
ложили от начальной точки и достроили получившуюся фигуру до па-
раллелограмма, который игриво заштриховали серыми кирпичиками.
Высота h в этом параллелограмме как раз и будет искомым рассто-
янием от точки K (x∗
,y
∗
,z
∗
) до прямой L.
Высота в параллелограмме равна его площади, деленной
на длину основания! Это и есть искомая формула. Осталось только
записать ее через координаты данных точек и векторов! Смотрите.
Площадь параллелограмма численно равняется длине векторного
произведения. Векторное произведение:
[s,
−
−
→
NK]=







e1

e2

e3
αβγ
x∗
−
x0 y∗
−
y0 z∗
−
z0






.
Его длина:

[s,
−
−
→
NK]

=
=

βγ
y∗
−
y0 z∗
−
z0




2
+




αγ
x∗
−
x0 z∗
−
z0




2
+




αβ
x∗
−
x0 y∗
−
y0




2
.
Основанием параллелограмма служит направляющий вектор s (α, β , γ),
длина которого
|s|=
α2+β2+γ2.
16/25

140
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Окончательно получаем расстояние:
h=

[s,
−
−
→
NK]


|s|
=
=

βγ
y∗
−
y0 z∗
−
z0




2
+




αγ
x∗
−
x0 z∗
−
z0




2
+




αβ
x∗
−
x0 y∗
−
y0




2
α2+β2+γ2
.
Такую формулу, разумеется, никто не запоминает, она подробно
выписана исключительно для помещения в музей — справочник по ма-
тематике. Разумные люди просто помнят рецепт: чтобы найти рассто-
яние от точки до прямой (то есть высоту), надо разделить площадь
параллелограмма на длину основания. А находить в ортонормирован-
ном репере длину вектора и площадь параллелограмма мы научились
в предыдущих лекциях. Вот и все.
Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Ох, это
последняя тема, анонсированная в названии пункта No 17. Мы ее быст-
ро пройдем, поскольку уже знаем все нужное.
Пусть в пространстве заданы две прямые L1 и L2,направляю-
щие векторы которых суть s1(α1, β1, γ1) и s2(α2, β2, γ2) соответственно,
а N1(x1, y1, z1) и N2(x2, y2, z2) — их начальные точки. Как найти
расстояние между этими прямыми?
Возможны два принципиально разных случая:
1) прямые L1 и L2 параллельны (в частности, совпадают);
2) прямые L1 и L2 не параллельны, то есть скрещиваются или даже
пересекаются в некоторой точке.
Рассмотрим эти два случая отдельно.
Случай 1. Прямые L1 и L2 параллельны (или, в частности, сов-
падают). Это бывает тогда и только тогда, когда векторы s1(α1, β1, γ1)
Рис . 8 . Две паралле льн ые прямые
впространстве
и s2(α2 , β2, γ2) пропорциональны, что
легкопроверить,имеяихкоординаты
перед глазами. Расстояние между па-
раллельными прямыми — это рассто-
яние от любой точки прямой L1 (на-
пример, от точки N1)допрямойL2.
Смотрите рис. 8.
В этом случае все просто — на-
до взять точку N1(x1, y1, z1) спервой
прямой и найти расстояние h от нее
до второй прямой по готовой формуле «расстояние от точки до прямой»
с предыдущей страницы (как высоту в параллелограмме):
h=

[s2 ,
−
−−
→
N2N1]|
|s2

.
17/25

Лекция No 10
141
Больше в этом случае добавить нечего, расстояние между парал-
лельными прямыми найдено.
Случай 2. Прям ые L1 и L2 не параллельны, то есть скрещи-
ваются или пересекаются. Это бывает тогда и только тогда, когда
их направляющие векторы не коллинеарны, 
s1 ∦ s2 .Имеяпередгла-
зами координаты направляющих векторов этих прямых s1(α1, β1, γ1)
и s2(α2, β2, γ2), легко установить их неколлинеарность. А теперь смот-
рите на великолепный рис. 9, который я рисовал битых два часа.
Рис. 9 . Две скрещивающиеся прямые в пространстве, заключенные в парал-
лельные плоскос ти
В школе учат, что скрещивающиеся прямые L1 и L2 всегда можно
заключить в параллельные плоскости. На рис. 9 как раз показаны
эти параллельные плоскости: нижняя π2 — темно-серенькая, и верх-
няя π1 — светло-серенькая. Плоскость π1 содержит прямую L1 ,аплос-
кость π2 содержит прямую L2. Заметили? Первая плоскость содержит
первую прямую, вторая — вторую. Нумерация и обозначения просты
и выполнены без претензий на подростковую оригинальность!
Обычно первокурсники, услышав вопрос «что такое расстоя-
ние между скрещивающимися прямыми в пространстве?», начинают
потешно морщить лоб и формулировать некие соображения про об-
щий перпендикуляр к этим прямым. Это, конечно, верное направление
мысли, но можно обойтись и без построения общего перпендикуляра,
который сразу-то и непонятно, как строить! Если смотреть на рис. 9
широко открытыми глазами, то становится совершенно понятно, что
расстояние между прямыми L1 и L2 в точности равно расстоянию
между плоскостями π1 и π2 впространстве!
Снова смотрите на великолепный рис. 9. От начальных точек каж-
дой прямой отложим направляющие векторы этих прямых s1 и s2.
Соединим начальные точки прямых вектором
−
−−
→
N2N1.Пунктирными
линиями достроим полученную раскоряку из векторов до параллеле-
пипеда. Основание этого параллелепипеда образовано векторами s1
и s2,абоковымребромслужитвектор
−
−−
→
N2N1, он соединяет нижнюю
плоскость с верхней. Ребята! Расстояние между плоскостями π1 и π2
равно высоте этого параллелепипеда! Вот ключ к простой формуле для
нахождения расстояния между прямыми!
18/25

142
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Ну и все, дальше как по маслу. Высота параллелепипеда равняется
его объему, разделенному на площадь основания:
h=
V
S
.
Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения
векторов-ребер (модулю определителя третьего порядка):
V=|(
−
−−
→
N1N2, 
s1, 
s2)| =












x1−x2 y1−y2 z2−z1
α1
β1
γ1
α2
β2
γ2












.
Площадь основания параллелепипеда численно равна модулю век-
торного произведения векторов-сторон параллелограмма:
S=|[s1,
s2]| =

β1 γ1
β2 γ2




2
+




α1 γ1
α2 γ2




2
+




α1 β1
α2 β2




2
.
Вот и пожалуйста, перед вами готовая формула для нахождения
расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве:
h=
V
S
=










x1−x2 y1−y2 z1−z2
α1
β1
γ1
α2
β2
γ2











β1 γ1
β2 γ2




2
+




α1 γ1
α2 γ2




2
+




α1 β1
α2 β2




2
,
()
пользуйтесь на здоровье!
Наблюдение. Рядовой пользователь математического справоч-
ника, не желающий глубоко проникать в суть вопроса, увидев эту фор-
мулу, обрадуется, подставит в нее все данные координаты s1(α1, β1 , γ1),

s2(α2, β2, γ2), N1(x1, y1, z1), N2(x2, y2, z2) и тупо посчитает фактически
два определителя третьего порядка (в числителе и в знаменателе). Это
долго!
Более разумный пользователь, чтобы поменьше считать, сначала
раскроет определитель в числителе по первой строке, чтобы сразу
вычислить и запомнить определители второго порядка, стоящие в зна-
менателе. Это, конечно, сэкономит время. А вот настоящий мысли-
тель-математик увидит в формуле (
) не что иное, как нормальное
уравнение плоскости! Точнее — формулу нахождения отклонения точки
N1(x1, y1, z1) от плоскости π2!
Действительно. В числителе формулы ( ), после раскрытия опре-
делителя по первой строке получится выражение вида A(x1 − x2)+
+ B(y1 − y2)+C(z1 − z2),аэтоестьскалярноепроизведение(вор-
19/25

Лекция No 10
143
тонормированном репере), которое как раз и находится в числителе
формулы отклонения точки (x∗
,y
∗
,z
∗
) от плоскости π2:
δ=
A(x∗
−
x2)+B(y∗
−
y2)+C(z∗
−
z2)

A2+B2+C2
.
В знаменателе формулы стоит длина нормального вектора n =[s1, 
s2]
плоскости π2 (или плоскости π1 , без разницы, они параллельны). Кто
подзабыл эти детали, смотрите лекцию No 9 — расстояние от точки
до плоскости и нормальное уравнение плоскости.
Из наблюдений про устройство формулы ( )следует,пожа-
луй, наиболее быстрый практический алгоритм нахождения расстояния
между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве.
1. Найти нормальный вектор n2 =[s1, 
s2] плоскости π2 — это потре-
бует один раз вычислить определитель третьего порядка.
2. Составить общее уравнение плоскости π2 вформескалярного
произведения (тип No 6, лекция No 9) как плоскости с нормальным век-
тором n2 =[s1, 
s2],проходящейчерезначальнуюточкуN2(x2 , y2, z2).
3. Перейти к нормальному уравнению плоскости π2,разделивее
общее уравнение на длину нормального вектора |n2 |.
4. Подставить в полученное выражение вместо переменных коорди-
наты точки N1(x1 , y1, z1) и не забыть навесить модуль — получится
расстояние от точки N1(x1, y1, z1) до плоскости π2.Аэтоиесть
искомый ответ! Расстояние между скрещивающимися прямыми готово!
Такой алгоритм потребовал вычислить определитель третьего по-
рядка всего лишь один раз. Это приятно, поскольку считать определи-
тели — нудное занятие.
Общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым. Опыт
показывает, что если закончить лекцию рассказом про расстояние меж-
ду прямыми в пространстве, то наиболее любопытные первокурсники
уходят разочарованными. Они остаются не совсем удовлетворенными
изадаютсявопросом—агдежеобщий перпендикуляр кпарескре-
щивающихся прямых в пространстве, длину которого мы научились
находить? Интуитивно-то ведь при нахождении расстояния хотелось
увидеть своими глазами тот загадочный и вожделенный общий перпен-
дикуляр к двум прямым L1 и L2,которыйяспециально не нарисовал
на рис. 9, поскольку для вычисления расстояния он не нужен!
В последней части лекции я удовлетворю любопытство пытливых
первокурсников и расскажу, как можно разыскать общий перпендику-
ляр к двум скрещивающимся прямым в пространстве. Поучительное
будет знание!
Пусть две скрещивающиеся прямые L1 и L2 заданы своими началь-
ными точками N1(x1, y1 , z1), N2(x2, y2, z2) и своими направляющими
векторами s1(α1 , β1, γ1), 
s2(α2, β2, γ2). Смотрите, как смело я модерни-
зировал рис. 9 , в результате чего возник невероятно красивый рис. 10.
20/25

144
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Рис. 10. Две скрещивающиеся прямые в пространстве и общий перпендикуляр
к ним — пересечение двух вертикальных плоскос тей
Прямые L1 и L2 я заключил в параллельные плоскости π1 и π2.
Прямую L1 с верхней плоскости спроектировал на нижнюю плоскость.
Прямую L2 с нижней плоскости спроектировал на верхнюю плоскость.
Все проекции — ортогональные! Перпендикулярно плоскостям π1 и π2
я нарисовал вертикальную серую плоскость ν1, она проходит через
первуюпрямуюL1. Другая вертикальная темно-серая плоскость ν2
так же перпендикулярна плоскостям π1 и π2 ,нопроходит через вто-
руюпрямуюL2.
Внимание! Смотрите на рис. 10. Линия пересечения вертикаль-
ных плоскостей ν1 и ν2 как раз и есть наш вожделенный общий
перпендикуляр кскрещивающимсяпрямымL1 и L2! Очень поучи-
тельно! Прямая в пространстве (общий перпендикуляр) — это пере-
сечение двух плоскостей! Посмотрите в пункте No 16 тип No 5 —
общие уравнения прямой. Они представляют собой систему из двух
линейных уравнений пересекающихся плоскостей. Именно в таком
виде мы и напишем уравнения общего перпендикуляра к двум прямым
в пространстве. Давайте действовать по шагам, поглядывая на рис. 10.
Шаг 1. Найдем нормальный вектор плоскостей π1 и π2 —
это векторное произведение направляющих векторов s1(α1, β1, γ1)
и s2(α2, β2, γ2):

n =[s1, 
s2 ]=







e1 e2 e3
α1β1γ1
α2β2γ2






.
Найденные таким образом координаты вектора n (определители
второго порядка) обозначим n(A, B, C).
Шаг 2. Напишем уравнение плоскости ν1 ,перпендикулярнойπ1
и π2 ипроходящейчерезпрямуюL1 . Направляющими векторами
плоскости ν1 служат только что найденный нормальный к π1 и π2
вектор n(A, B , C) инаправляющийвекторs1(α1 , β1, γ1) прямой L2,
21/25

Лекция No 10
145
а начальной точкой служит точка N1(x1, y1, z1) — начальная точка
первой прямой. Рекомендую водить по рис. 10 пальцем, чтобы отыскать
на нем все упомянутые объекты. Вот уравнение плоскости ν1 вформе
определителя:






x−x1 y−y1 z−z1
α1
β1
γ1
ABC






=0.
Шаг 3. Напишем уравнение плоскости ν2 ,перпендикулярнойπ1
и π2 ипроходящейчерезпрямуюL2 . Направляющими векторами
плоскости ν2 служат нормальный вектор n(A, B , C ) инаправляющий
вектор s2(α2 , β2, γ2) прямой L2, а начальной точкой служит точка
N2(x2, y2, z2) — начальная точка второй прямой. Вот уравнение плос-
кости ν2 в форме определителя:






x−x2 y−y2 z−z2
α2
β2
γ2
ABC






=0.
Шаг 4. Пишем окончательный ответ: Уравнения общего перпенди-
куляра к прямым L1 и L2 :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩






x−x1 y−y1 z−z1
α1
β1
γ1
ABC






=0,






x−x2 y−y2 z−z2
α2
β2
γ2
ABC






=0,
—
пересечение двух плоскостей ν1 и ν2.Вотивсе.
Желающие могут самостоятельно раскрыть эти определители
по первой строке и красиво записать общие уравнения общего
перпендикуляра в виде системы из общих уравнений плоскостей.
Каламбур, да и только!
С удовлетворением закончим теперь лекцию No 10. Она получилась
довольно длинной и насыщенной новыми сведениями, но мы не боимся
узнавать новое! Именно новые знания в математике приносят радость
и делают математику любимой наукой!
До встречи в следующей лекции!
22/25

146
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Задачки к Лекции No 10
1. Прямая проходит через точку A(1, 2, −3) параллельно векто-
ру a(3, −1, −5). Напишите:
А) параметрические уравнения этой прямой;
Б) канонические уравнения этой прямой;
В) какие-нибудь общие уравнения этой прямой.
2. Прямая задана общими уравнениями
3x+2y−z+4=0,
x−y+z+2=0.
Найдите ее направляющий вектор и напишите ее канонические урав-
нения.
3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
A(1, 2, −3) параллельно прямым
x−3
2
=
y
1
=
z+4
7
и
3x+y−z+4=0,
2x−y+5z+2=0.
4. (No 500* из задачника Моденова–Пархоменко.) Система коорди-
нат аффинная. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости
y + 2z = 0 и пересекающей прямые
⎧
⎨
⎩
x=1−t,
y=t,
z=4t
и
⎧
⎨
⎩
x=2−t,
y=4+2t,
z=1.
5. (No 513 из задачника Моденова–Пархоменко.) Система координат
аффинная. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
⎧
⎨
⎩
x=2+3t,
y= −1+6t,
z=4t
параллельно прямой
x+1
2
=
y
3
=
z
−1
.
6. (No 520 из задачника Моденова–Пархоменко.) Система координат
аффинная. Составить уравнения проекции прямой
x−2
3
=
y−1
−2
=
z
1
из точки K(1,2,1)на плоскость y−2z+4=0.
7. (No 516* из задачника Моденова–Пархоменко.) Репер аффинный.
Напишите уравнения прямой, проходящей через точку A(1, 2, 3) ипе-
ресекающей одновременно две прямые:
x
2
=
y+1
−2
=
z−2
1
и
x
4
=
=
y+2
0
=
z
3
.
23/25

Лекция No 10
147
8. Репер аффинный. Докажите, что прямые
⎧
⎨
⎩
x=1+2t,
y=7+t,
z=3+4t
и
⎧
⎨
⎩
x=6+3t,
y= −1
−
2t,
z=−2+t
пересекаются, найдите их точку пересечения и напишите уравнение
плоскости, в которой они лежат.
9. (No 580 из задачника Моденова–Пархоменко.) Репер ортонорми-
рованный. Найти ортогональную проекцию точки A(1, 2, −3) на плос-
кость6x−y+3z−41 =0.
10. (No 581 из задачника Моденова–Пархоменко.) Репер ортонор-
мированный. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точ-
ки B(9, 6, 4) на прямую
x−1
4
=
y−2
0
=
z−3
3
.
11. Репер ортонормированный. Найти расстояние от точ-
ки K(3, −7, 1) до прямой
x−1
2
=
y+2
−2
=
z−3
1
.
12. Репер ортонормированный. Найдите расстояние между пря-
мыми
x+5
3
=
y+5
2
=
z−1
−2
и
⎧
⎨
⎩
x=9+6t,
y= −2t,
z=2−t.
13. Репер ортонормированный. Найдите расстояние между пря-
мыми
2x+2y−z
−
10=0,
x−y
−
z−22=0
и
x+7
3
=
y−5
−1
=
z−9
4
.
14. (No 585* из задачника Моденова–Пархоменко.) Репер ортонор-
мированный. Напишите уравнения общего перпендикуляра к двум пря-
мым
x−1
8
=
y−2
4
=
z−3
1
и
x−1
2
=
y
−2
=
z+1
1
.
Найдите расстояние между этими прямыми и точки пересечения об-
щего перпендикуляра с данными прямыми.
24/25

Лекция No 11
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь. В сегодняшней лекции мы,
наконец, завершим «линейную» часть аналитической геометрии. Сна-
чала я расскажу вам немного про причудливые фигуры, состоящие из
прямых или из плоскостей, которые называются пучками. А потом, под
занавес «линейной» части, мы поговорим про применение в народном
хозяйстве ранее рассказанной теории о прямых и плоскостях. Пора уже
знать, зачем все это нужно! Пора осознать, что все математические
построения, которые мы проделали, — не просто забавные абстрактные
вещи, придуманные только для того, чтобы помучить студентов на
зачетах и экзаменах. Это реально нужные вещи, которые помогают
решать практические задачи и делать жизнь людей лучше.
18. Пучок прямых на плоскости и пучок плоскостей
впространстве
В качестве наводящих соображений рассмотрим такую простенькую
задачку. Систему координат опять-таки для простоты будем считать
декартовой прямоугольной.
Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку K(−3, 4) ито
чк
уT пересечения прямых 3x − 2y + 1 = 0
и5x−y
−
3=0.
Рис. 1 . Пунктирная прямая проходит через точку T пересечения данных пря-
мых и данную точку K
«Фу-у», — скажете вы: «препод пичкает нас легкотней!» Решил рас-
слабиться после сложной лекции No 10. Ну что тут решать? Схематично
зарисовываем в тетрадках рис. 1. Данные прямые пересекаются, так
как их нормальные векторы n1(3, −2) и n2(5, −1) не пропорциональны.
Мгновенно ищем точку T пересечения прямых!
Молитва. Точка пересечения прямых лежит на каждой из дан-
ных прямых, следовательно, ее координаты одновременно подходят
в уравнение первой и в уравнение второй прямой, то есть являются
решением системы
3x−2y+1=0,
5x−y
−
3=0.
Решаем любым способом эту систему и находим точку пересече-
ния T (1, 2). Проверьте, правильно ли я решил систему, подходит ли
эта точка в уравнения прямых? Кажется, правильно. Теперь мгновенно
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

Лекция No 11
149
пишем уравнение прямой, проходящей через две точки T и K (смот-
рите лекция No 7, тип No 5):
x−1
−3
−
1
=
y−2
4−2
.
После раскрытия пропорции и приведения подобных, получаем
ответ,
x+2y−5 =0,
—
общее уравнение искомой пунктирной прямой. Проверьте, не ошибся
ли я при приведении подобных и подходит ли в это уравнение данная
точка K? Кажется, я все правильно посчитал.
Ну и к чему такая простая задача? Неужели преподаватель считает,
чтодетинесмоглибыеесамирешить?Он—что,считаетпервокурс-
ников идиотами? Хорошие дети! Я ни на секунду не сомневался, что
вы сами решите такую задачку! Она действительно простая, а вы —
умные! Но, чтобы учеба на матмехе не казалась медом, я немножко
изменю формулировку этой задачки и добавлю изюминку в ее условие.
Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку K(−3, 4) ито
чк
уT пересечения прямых 3x − 2y + 1 = 0
и5x−y
−
3 = 0, НЕ находя координаты точки пересечения T .
Опа! Нежданчик! Даже слегка попахивает самодурством препода-
вателя — взять и усложнить простую задачу, запретив очевидный ход
решения! Но ничего не делается просто так. Решение этой задачи
по новому пути приведет нас к важным геометрическим понятиям,
с которыми должен быть знаком любой грамотный математик! Дальше.
Новое решение. Новое решение похоже на фокус, поэтому
будьте внимательны! Рассуждаю. Нам запрещено искать координаты
точки пересечения.
Точка пересечения T лежит как на первой прямой, так и на второй
прямой, поэтому ее координаты подходят как в первое уравнение 3x −
−
2y+1=0, так и во второеуравнение 5x−y
−
3 = 0. Значит, они
являются решением системы
3x−2y+1=0,
5x−y
−
3=0.
()
Умножу первое уравнение системы ( ) на произвольное число
α ∈ R, второе уравнение умножу на произвольное число β ∈ R исложу
уравнения:
3x−2y+1=0|·α
5x−y
−
3=0|·β +
α(3x−2y+1)+β(5x−y
−
3)=0.
Координаты точки пересечения подходят в первое уравнение систе-
мы ( ) и подходят во второе уравнение, значит, они подходят в сумму
1/25

150
Гл. 2 . Прямые и плоскости
этих уравнений! Таким образом, при любых множителях α, β ∈ R
координаты точки пересечения T подходят в получившееся уравнение:
α(3x−2y+1)+β(5x−y
−
3)=0.
Конечно, если α = β = 0, то получается уравнение 0 = 0ивнего
вообще все подходит. Координаты любой точки плоскости удовлетво-
ряют этому уравнению. Предавшись угару философского обобщения,
я бы даже сказал, что уравнение 0 = 0 — это уравнение нашей вселен-
ной, поскольку ему удовлетворяют вообще любые объекты, но я буду
сдержан в своих фантазиях.
А вот если потребовать, чтобы хоть один из параметров α, β ∈ R
был отличен от нуля (то есть потребовать, чтобы α2 + β2

= 0),топосле
сложения уравнений системы ( )получитсялинейное уравнение
(3α + 5β)x +(−2α − β)y +(α − 3β)=0
—
это я раскрыл скобки и привел подобные. « Линейное уравнение» —
это значит, что оно заведомо первой степени! Хотя бы один из коэффи-
циентов при переменных отличен от нуля! Действительно, нормальные
векторы n1(3, −2) и n2(5, −1) у данных прямых не пропорциональны
(линейно независимы), поэтому система α
3
−2
+β
5
−1
=
0
0
,
означающая равенство нулю получившихся коэффициентов, может
иметь только нулевое решение α = β = 0, а мы договорились, что
α2+β2

=0.
Мы когда-то доказывали (смотрите лекцию No 7), что всякое ли-
нейное уравнение вида Ax + By + C = 0 задает на плоскости прямую
линию. Значит, получившееся линейное уравнение
(3α + 5β)x +(−2α − β)y +(α − 3β)=0
задает прямую, и эта прямая обязательно проходит через точку пере-
сечения T !
А теперь смотрите. Если менять параметры α, β ∈ R,тонор-
мальный вектор этой прямой n(3α + 5β; −2α − β) будет меняться!
Прямая при изменении параметров α, β ∈ R «вертится» вокруг точки T !
Смотрите на рис. 2
—
это модернизированный рис. 1 .
Рис. 2 . Жирная пунктирная прямая проходит через точку T иповорачивается
вместе со своим нормальным вектором вокруг нее при изменении α и β
2/25

Лекция No 11
151
A давайте найдем такие числа α, β ∈ R, чтобы жирная пунктирная
прямая проходила через точку K(−3, 4)! Подставляем координаты точ-
ки K в уравнение
(3α + 5β)(−3)+(−2α − β) · 4 +(α − 3β)=0,
и получаем, после раскрытия скобок и приведения подобных соотно-
шение
−16α−22β=0.
Из этого соотношения мы не можем однозначно найти α и β ,
а можем только найти их отношение:
α
β=
−22
16
=
−11
8
.
В таком случае говорят, что параметры α и β определяются с точно-
стьюдо пропорциональности. Ничего страшного или удивительного
вэтомнет,ведьα, β ∈ R изначально появились у нас как числа,
на которые умножаются уравнения системы ( )передихсложением.
Но ведь уравнения системы ( ) можно умножить не на α и β ,
а, например, на 392α и 392β соответственно. Тогда после сложения
уравнений системы ( ) получится уравнение той же самой жирной
пунктирной прямой, только умноженное на 392. Нам и не надо знать
точные значения α и β, нам достаточно знать только их отношение!
Нас устроят любые α и β, отношение которых равно
−11
8
.
Дальше все просто:
α
β=
−11
8
.
Не оригинальничая, я возьму
α= −11,β =8.Подставляю эти α и β вуравнение (3α+5β)x+
+(−2α − β)y +(α − 3β)=0, раскрываю скобки, привожу подобные
иполучаю
7x+14y−35 =0, то есть x+2y−5 =0.
Ребята! Это и есть та самая прямая, которую просили найти
в задаче! И мы нашли ее, не находя координаты точки T пересечения
данных прямых! И ответ совпал с ответом, полученным при старо-
модном решении, когда мы находили координаты точки пересечения
прямых T ! Фантастика!
Но на самом деле мы сделали гораздо больше, чем просто решили
задачу 2! Мы впервые увидели уравнение «вращающейся» прямой!
Коэффициенты ее уравнения меняются в зависимости от двух пара-
метров α, β ∈ R,ноэтапрямаяупрямо проходит через одну и ту
же точку T ! При изменении параметров α и β прямая поворачивается
вокруг точки T ,какбудтоеевэтомместепригвоздилигвоздиком
и она может только крутиться вокруг гвоздя как пропеллер.
Определение. Множество всех прямых на плоскости (или в про-
странстве), проходящих через фиксированную точку T ,называется
3/25

152
Гл. 2 . Прямые и плоскости
пучок прямых.ТочкаT называется центр пучка.Еслизаданыдвепе-
ресекающиеся прямые L1 и L2,томножествовсехпрямых,проходящих
через точку их пересечения T = L1 ∩ L2 ,называетсяпучком прямых,
порожденным (или определяемым) прямыми L1 и L2 .Смотритерис.3
.
Рис . 3 . Пучок прямых на плоскос ти с ценром T . Рядом для сравнения — пучок
травы. Похоже?
Ничего более понятного, чем рис. 3, автор нарисовать не в силах.
Да и никто не в силах.
Дальше все быстро, поскольку мы поняли решение задачи 2.
Пусть пучок прямых определяется пересекающимися прямыми
L1:A1x+B1y+C1=0иL2:A2x+B2y+C2=0.
Прямые L1 и L2 пересекаются тогда и только тогда, когда




A1 B1
A2 B2





= 0 — нормальные векторы прямых L1 и L2 не пропорцио-
нальны.
Пусть переменные параметры α, β ∈ R таковы, что α2 + β2

=0,
то есть не нули одновременно. Тогда уравнение
α(A1x + B1y + C1)+β(A2x + B2y + C2)=0
(♣)
или, после раскрытия скобок,
(αA1 + βA2)x +(αB1 + βB2)y +(αC1 + βC2)=0
(♣♣)
является линейным и задает при каждой фиксированной паре парамет-
ров α, β ∈ R некоторую прямую, проходящую через точку T = L1 ∩ L2.
Ур а в н е н и е (♣♣) воистину линейно, поскольку оба коэффициен-
та перед переменными не могут одновременно оказаться нулями ни при
каких α, β ∈ R. Действительно, пусть вдруг оказалось, что
αA1+βA2=0,
αB1+βB2=0.
4/25

Лекция No 11
153
Определитель этой системы




A1 A2
B1 B2



=




A1 B1
A2 B2





= 0, следова-
тельно (по правилу Крамера) эта система имеет единственное решение
α = β = 0. А мы-то договаривались, что α2 + β2

= 0! Противоречие.
Таким образом, уравнение (♣) линейное, и оно задает некоторые
прямые, проходящие через точку T = L1 ∩ L2.
А теперь важно! Покажем, что уравнение (♣) задает вообще все
прямые, проходящие через точку T L1 ∩ L2, а именно, что уравнение
любой прямой, проходящей через точку T = L1 ∩ L2 ,получаетсяиз(♣)
при некоторых конкретных α, β ∈ R.
Для этого достаточно показать, что какую бы (отличную от точ-
ки T = L1 ∩ L2)точкуK (x∗
,y
∗
) мы бы ни поставили на плоскости,
мы всегда сможем подобрать подходящие α, β ∈ R так, что прямая (♣)
сэтимиα и β будет проходить через точку K (x∗
,y
∗
).Логично?
Логично. Ну так давайте подбирать α и β .
Если точка K(x∗
,y
∗
) лежит на прямой L1 ,топодойдутα = 1, β =
= 0. При таких α и β из (♣) получается уравнение прямой L1 .Если
точка K (x∗
,y
∗
) лежит на прямой L2,топодойдутα = 0, β = 1, ибо
при таких α и β из (♣) получается уравнение прямой L2 .
Пусть теперь точка K(x∗
,y
∗
) не лежит ни на L1 ,нинаL2.Подста-
вим координаты точки K(x∗
,y
∗
) в уравнение (♣):
α(A1x
∗
+ B1y
∗
+ C1)+β(A2 x
∗
+ B2y∗ + C2)=0.
Так как точка K(x∗
,y
∗
) не лежит на прямых L1 и L2 , линейные
трехчлены в скобках отличны от нуля! А из этого следует, что α

=0
иβ

= 0 — сразу оба параметра не равны нулю! Теперь перенесем
слагаемое влево,
α(A1 x
∗
+ B1y
∗
+ C1)=−β(A2 x
∗
+ B2y∗ + C2),
и законно запишем полученное равенство в виде пропорции, не опаса-
ясь нулей в знаменателях:
α
β=−
A2x∗+B2y∗+C2
A1x∗+B1y∗+C1
.
Мы нашли отношение параметров α/β. Теперь, не мудрствуя лука-
во, можно взять
α = −(A2x
∗
+B2y∗+C2) иβ=A1x
∗
+ B1y
∗
+ C1.
Легко проверить, что при таких значениях параметров α и β коор-
динаты точки K(x∗
,y
∗
) подойдут в уравнение (♣),посколькупосле
подстановки в него координат точки K (x∗
,y
∗
) получится
−(A2x
∗
+ B2y
∗
+ C2)




α
(A1 x
∗
+ B1y
∗
+ C1)+
+(A1 x
∗
+ B1y
∗
+ C1)




β
(A2x
∗
+ B2y∗ + C2)=0.
5/25

154
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Таким образом, уравнение (♣) действительно задает все возмож-
ные прямые, проходящие через точку T = L1∩ L2 . Красиво получилось.
Определение. Уравнение
α(A1x + B1y + C1)+β(A2x + B2y + C2)=0
или, что то же самое,
(αA1 + βA2)x +(αB1 + βB2)y +(αC1 + βC2)=0
называют уравнением пучка прямых.
Пуч ок прям ых — это семейство прямых, а поскольку его урав-
нение зависит от двух параметров α, β ∈ R, то пучок прямых являет
собой пример двупараметрического семейства прямых.
Замечание. Часто из двупараметрического уравнения пучка
прямых,
α(A1x + B1y + C1)+β(A2x + B2y + C2)=0,
делают однопараметрическое. Просто делят обе части этого уравнения,
например, на α, считая, что α

= 0. Получается уравнение, зависящее
уже только от одного параметра γ =
β
α
:
(A1x + B1y + C1)+γ(A2x + B2y + C2)=0.
()
Это однопараметрическое семейство прямых, проходящих через точку
T = L1 ∩ L2, а один параметр при решении задач типа «искать легче»,
чем два, — не требуется глубинного понимания, что исходные парамет-
ры α, β ∈ R определяются с точностью до пропорциональности.
Конечно, для инженерных приложений и так сойдет. Но мы
должны понимать, что уравнение () пучка прямых неполное!Оно
задает не все прямые, проходящие через точку T = L1 ∩ L2!Видно,
что ни при каком γ ∈ R, из уравнения () не получается уравнение
второй прямой L2, A2x + B2y + C2 = 0, хотя прямая L2, разумеется,
тоже проходит через точку T . Убедитесь самостоятельно, что при
однопараметрической записи () уравнения пучка прямых из всего
пучка теряется лишь одна прямая L2 . Поэтому потери незначительные,
изапись() имеет право как на размещение в справочниках по мате-
матике, так и на практическое применение.
Про пучки прямых на плоскости достаточно. Перейдем теперь
ктрехмерномупространству.
Определение. Множество всех плоскостей в пространстве, про-
ходящих через фиксированную прямую L,называетсяпучок плоско-
стей.ПрямаяL называется осьюпучка. Если заданы две пересекаю-
щиеся плоскости π1 и π2, то множество всех плоскостей, проходящих
6/25

Лекция No 11
155
через прямую линию их пересечения L = π1 ∩ π2,называетсяпучком
плоскостей, порожденным (определяемым)плоскостямиπ1 и π2.
Смотрите рис. 4 .
Рис. 4 . Слева — пучок плоскостей с осью L.Справа—этотжепучок,новид
с торца, и плоскостей нарисовано побольше
Признаюсь честно, я впервые в жизни нарисовал пучок плоско-
стей! И меня хватило только на три плоскости, проходящие через
прямую L — нежно-серую, темно-серую и штрих-кирпичную. Обычно
на лекциях я рисовал вид пучка плоскостей «с торца» (как бы он
выглядел), если смотреть на него из аудитории, а его ось L идет точно
в глаз смотрящему. При таком ракурсе прямая L выглядит точкой!
Не хихикать! Такое изображение пучка плоскостей в пространстве по-
казывает его родство с пучком прямых на плоскости, хоть и выглядит
карикатурно!
Ребята! Намек на родство понятий «пучок прямых на плоскости»
и«пучок плоскостей в пространстве» не случаен! Рассказывая про
пучок плоскостей, можно дословно повторить весь рассказ про пучок
прямых, заменяя термин «пучок прямых» на «пучок плоскостей» и до-
бавляя в уравнения третью пространственную координату z.Различие
между пучком прямых на плоскости и пучком плоскостей в простран-
стве, по сути, заключается только в этом! Поскольку про пучок прямых
мы уже все поняли, нет смысла повторяться. Поэтому весь рассказ
про пучок плоскостей я изложу в виде одной теоремы, доказательство
которой вы напишите в своих тетрадках самостоятельно! Это будет
полезным упражнением!
Теор е ма . Пусть в пространстве заданы две пересекающиеся
плоскости
π1: A1x+B1y+C1z+D1=0иπ2: A2x+B2y+C2z+D2=0.
Тогда:
1) при любых значениях параметров α, β ∈ R таких, что α2 +
+β2

= 0, уравнение α(A1x + B1y + C1z + D1)+β(A2x + B2y + C2z +
+ D2)=0 задает плоскость, проходящуючерез прямуюL = π1 ∩ π2;
7/25

156
Гл. 2 . Прямые и плоскости
2) всякая плоскость, проходящая через прямую L = π1 ∩ π2, за-
дается уравнением α(A1x + B1y + C1z + D1)+β(A2x + B2y + C2z +
+ D2)=0 при некоторых конкретных подходящих значениях пара-
метровα,β∈R.
Определение. Уравнение
α(A1x + B1y + C1z + D1)+β(A2x + B2y + C2z + D2)=0
называется уравнением пучка плоскостей, определяемого плоскостя-
миπ1иπ2.
Уравнение пучка плоскостей — двупараметрическоеуравнение,
поэтому пучок плоскостей представляет пример двупараметрического
семейства плоскостей. Отмечу, что однопараметрическое уравнение
пучка плоскостей,
(A1x + B1y + C1z + D1)+γ(A2x + B2y + C2z + D2)=0,
также пригодно к использованию на практике и встречается в спра-
вочниках, но оно является неполным. Объясните, какая плоскость
из пучка в нем отсутствует?
Закончим на этом пункт No 18 про пучки. В заключение скажу —
кто хорошо понял этот пункт, тот будет комфортно себя чувствовать
не только на экзамене, но и после него. Пучки прямых и плоскостей
понадобятся вам в более зрелом возрасте при изучении проективных
пространств.
Давайте теперь перейдем к рассказу об одном из возможных прак-
тических применений геометрических идей в народном хозяйстве.
19. Пример простейшей задачи линейного
программирования — максимизация выручки при
выпуске двух типов продукции в условиях
ограниченности ресурсов
Сказка
В некотором царстве, в некотором государстве, среди сосен и как-
тусов раскинулся уездный город Нижние Дыни, а в нем гудит как
улей, работает и пыхтит завод бытовых электроприборов «Нижнедын-
моторс». И выпускает этот завод не что-нибудь, а необходимые в хо-
зяйстве каждого уездного жителя холодильники и утюги. Не хихикать!
Одно нагревает, другое охлаждает, все гармонично!
Заводик небольшой (заводоуправление да один цех), в подвале —
гардероб и зеркало. Ну что поделать, «Нижнедын-моторс» — не Урал-
вагонзавод, на территории которого есть даже своя железная дорога
8/25

Лекция No 11
157
и аж 40 железнодорожных станций для перевозки сырья и продукции
между цехами предприятия. Но Нижнедынское производство очень
нужно людям, оно несет в их дома радость холодильного холода и гор-
дость утюжного тепла!
Производственные мощности завода «Нижнедын-моторс» тако-
вы, что максимум за день в заводском цехе можно сделать 100 холо-
дильников. Больше — никак. И это если завод совсем забьет на утюги
и все силы бросит на производство одних только холодильников.
Если же наоборот, «Нижнедын-моторс» будет делать только одни
утюги, то максимум в день у него получится 300 штук нагревательных
гладилок, на большее силенок не хватит. А 300 утюгов в день — это
означает вообще ни одного холодильника, все силы на утюги!
Просматривается пропорция трудовых затрат: для завода сделать
один холодильник — это тоже самое, что сделать три утюга. Наиболее
сообразительные читатели уже наверняка поняли, что завод максимум
за один день может делать не 100 холодильников, а, например, 99 хо-
лодильников и 3 утюга. Или 98 холодильников и 6 утюгов. Ну и так
далее.
Разумеется, на заводе есть еще отдел технического контроля, со-
кращенно — ОТК. Завод хочет, чтобы его продукция пользовалась
спросом и заслуженной славой у потребителей! Завод не может себе
позволить выпускать некачественную продукцию, иначе ее не будут
покупать и завод умрет. Так вот, в отделе технического контроля сидит
одна-одинешенька легендарная баба Клава — та самая, что в пункте
No 17 лекции No 10 натягивала веревки во дворе и сушила белье! Сидит
она там с незапамятных времен и проверяет качество готовых изделий.
Включает утюг или холодильник в розетку: если лампочка «Power»
загорелась, значит такой утюг или холодильник, очевидно, качествен-
ный — в нем явно что-то работает! Его можно выпускать в продажу!
Баба Клава ставит на коробку печать «проверено ОТК» и дает добро на
вывоз изделия. Вот такая нелегкая доля у бабы Клавы — покупателей
от бракоделов защищать, нервы людям беречь!
Так вот, фишка в том, что баба Клава уже сильно пенсионного
возраста и за один день она может проверить максимум 150 изделий,
не больше! Как бы завод ни тужился, сколько бы он аппаратов за день
ни изготовил, наружу из ворот завода в день может выйти не больше
150 штук чего угодно. Просто больше баба Клава не успеет проверить
и точка. Бабу Клаву ускорить нельзя, уволить нельзя, убить нельзя —
она гарант нашего счастья! И Роспотребнадзор за нее, а с Роспотреб-
надзором не шутят!
Вот такие дела.
Дальше еще интересней! Один холодильник стоит 2 тысячи
рублей, а один утюг — 1 тысячу рублей. Такой вот интересный Ниж-
недынский завод, такие вот он установил цены на свою продукцию.
Не будем удивляться — нижнедынским руководителям лучше знать,
9/25

158
Гл. 2 . Прямые и плоскости
что у них почем и сколько люди готовы заплатить за их продукцию.
Директор и главбух в одном лице решили продавать изделия по такой
цене и продают.
Как вы, наверное, уже поняли, дорогие читатели, дело происходит
где-то в параллельной вселенной. Поэтому вас не удивят еще такие
факты про Нижнедынский завод и уездных жителей.
Во-первых, все, что произведено и вышло из ворот завода, немед-
ленно покупается. Видимо, крупные торговые сети расчухали прелести
Нижнедынских утюгов и холодильников и охотно берут их на реали-
зацию, причем оптом, сразу все. Акулы бизнеса! Они наверняка потом
у себя в магазинах накручивают цены и наживаются на потребителях!
Ну да не про них речь, деньги заводу переводят и ладно, посредниками
называются.
Во-вторых, совсем уж невероятное, но это так! На заводе «Ниж-
недын-моторс» ничего не воруют! Там ничего не пропадает! Если уж
произвеличто-тоионопрошлоОТКбабыКлавы,товсеэтовыходит
из ворот завода и скупается акулами бизнеса, а потом и нами с вами.
Никаких глупостей.
И в этом месте моего рассказа подобно шаровой молнии прон-
зает голову директора завода и главного бухгалтера в одном лице
вот какая мысль! Если делать 100 холодильников в день, то баба
Клава их успеет проверить, они выйдут в продажу и завод получит за
них 200 тысяч рублей, ведь холодильник стоит 2 тысячи. А вот если
делать 99 холодильников и 3 утюга, то баба Клава тоже справится,
но завод то получит за них 2·99+3·1 =201 тысячу рублей! Это
же больше! Замени в дневном плане работы один холодильник на три
утюга, и прибыль возрастет! А сделай на два холодильника меньше,
но на 6 утюгов больше, тогда прибыль еще возрастет! Возникает
соблазн: а что, если максимально выпускать 300 утюгов, получишь
300 тысяч рублей! Ааааа! Черт! Баба Клава не пропустит 300 штук, ты
хоть весь двор завода утюгами завали, из ворот завода выйдет только
150 штук, и прибыль будет всего 150 тысяч рублей, а это даже меньше,
чем за сто холодильников. Печаль.
В черепе директора завода возникает давление, он думает. Как
спланировать производство, чтобы прибыль была максимальной?
Сколько за день выпускать холодильников и сколько утюгов? Вот какая
задача!
Ну, все. Сказке конец.
Актозадачупонял—молодец!
Ребята! Перед вами — типичная задача линейного програм-
мирования. Термин «программирование» в математике имеет много
разных смыслов. Это сейчас, у молодых, он прежде всего означает
написание программ для компьютеров. Так вот тут он означает не на-
писание кода на каком-нибудь алгоритмическом языке, а составление
плана работы, программы будущих действий, планирование.
10/25

Лекция No 11
159
Создал линейное программирование примерно в 1938–1939-х гг.
наш соотечественник, математик-экономист Леонид Витальевич Кан-
торович, выпускник Питерского университета, ученик Фихтенгольца
и Смирнова, получивший впоследствии (1975 г.) за свое творение аж
Премиюпо экономике имени Альфреда Нобеля. Аве, Канторович!
Пусть и с опозданием на 35 лет после открытия, но, все-таки зару-
бежные деятели науки сподобились признать приоритет русских в этом
вопросе.
Линейное программирование — это математическая дисципли-
на, посвященная методам решения экстремальных задач — отыскания
экстремумов функций на множествах из n-мерного линейного про-
странства, заданных системами линейных неравенств. Фу, как сложно
написал. Ну ничего, разберемся. А для этого вернемся в параллельную
Вселенную к нашей задаче, распирающей голову директора Нижнедын-
ского завода изнутри, поскольку эта задача как раз про максимум при-
были при заданных ограничениях на ресурсы и возможности. Давайте
рассуждать.
Пусть завод выпускает в сутки x холодильников и y утюгов.
Заметили, какой я был заранее продуманный сочинитель? X —хо-
лодильники, У — утюги! Нужна была бы для этого примера третья
неизвестная z , завод бы у меня еще и zажигалки выпускал!
Запишем ограничения на дневные возможности по выпуску про-
дукции с завода в виде неравенств.
1.x+y150—бабаКлава.
2. 3x + y  300 — а вот это довольно тонко подмечено.
Здесь одним неравенством записаны возможности производствен-
ного цеха. Ну, в самом деле, если утюги вообще не выпускать (y = 0),
то можно выпустить максимум 100 холодильников, то есть макси-
мум 3x как раз и будет 300. Если же холодильники не делать (x = 0),
а выпускать только одни утюги, то их можно наклепать y  300 штук.
Один холодильник (по затратам на производство) равноценен трем
утюгам.
3. x  0, y  0 — ничего не воруют, ничего не пропадает, отрица-
тельного количества электроприборов не делают.
Таким образом, возможности завода задаются системой линейных
неравенств
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3x+y300,
x+y150,
x0,
y0.
()
Смотрите! Любой возможный план (программа) работы завода —
это точка T (x, y), координаты которой удовлетворяют системе ( )!
То ч к а T (x, y) означает «выпускай x холодильников и y утюгов»!
11/25

160
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Разумеется, x и y в этой задаче разумно считать целыми числами, хотя,
может быть, количество y = 3
1
2
утюга тоже имеет смысл (типа сегодня
сделали три утюга и еще один наполовину, а вторую половину утюга
завтра доделаем), но мы на такие тонкости заморачиваться не будем.
Начинаем применять наши знания из предыдущих лекций! Ре-
шим систему неравенств ( ), то есть изобразим множество ее решений
в декартовой прямоугольной системе координат. Для того чтобы изоб-
разить множество решений системы ( ), нужно нарисовать множества
решений каждого неравенства и закрасить их пересечение. На рисунке
нам потребуется только первая четверть, поскольку x  0, y  0—
решения этих двух неравенств мы изображать-закрашивать не будем,
оно и так понятно. Мы будем рисовать только решения первых двух
неравенств системы ( ) в первой координатной четверти.
Смотрите рис. 1. На нем я совсем не соблюдаю масштаб, зато
все понятно нарисовано. Мы знаем, что неравенство 3x + y  300,
то есть 3x + y − 300  0, задает полуплоскость, в которой отклонения
Рис. 1 . Область возможных планов работы завода и пунктирная прямая
прибыли
12/25

Лекция No 11
161
точек от прямой 3x + y − 300 = 0 отрицательные. Это будет та полу-
плоскость, в которую не смотрит нормальный вектор n1(3, 1).Чтобы
нарисовать саму прямую 3x + y − 300 = 0, угадаем две точки (пред-
лагаю точки (100, 0) и (0, 300) — пересечения с осями координат),
приложим к угаданным точкам линейку и проведем прямую жирно!
Ведь сама прямая тоже принадлежит области решений неравенства,
оно ведь не строгое!
С неравенством бабы Клавы x + y  150 поступим так же. Через
точки (150, 0) и (0, 150) проведем жирную прямую и заштрихуем ту
полуплоскость, куда не смотрит нормальный вектор n2(1, 1).
Область допустимых планов работы Нижнедынского завода (мно-
жество точек на рис. 1 с двойной штриховкой) — выпуклый четырех-
угольник! Это суть четырехугольник возможностей завода.Коорди-
наты любой точки этого четырехугольника являются планом работы
завода, который можно реально выполнить.
Между прочим, докажите-ка самостоятельно, что множество
решений системы линейных неравенств всегда является выпуклым
множеством!
На всякий случай я нашел координаты вершины M (75, 75) четы-
рехугольника возможностей завода. Эта вершина является пересечени-
ем двух прямых, то есть я просто решил систему
3x+y−300 =0,
x+y−150=0.
Теперь вспоминаем, что голову директора завода подобно шаровой
молнии распирает навязчивая мысль: как получить побольше прибы-
ли? Экономисты, конечно, дадут мне по башке — я в рассказе все
время путаю прибыль с выручкой. Прибыль — это выручка минус
производственные расходы, минус амортизационные отчисления, минус
налогиит.д
.Яэтопонимаю,носутьзадачиневэтом,поэтомуятак
вольничаю с терминами. Директор хочет увеличить прибыль завода,
а для этого ему надо увеличивать выручку — вещи взаимосвязанные.
Итак, если запланирован какой-то план работы завода T (x, y),
то есть завод сделает x холодильников и y утюгов, то прибыль завода
составит P = 2x + y тысяч рублей. Функцию, максимум которой надо
найти в процессе решения задачи оптимизации, экономисты называют
целевая функция.
В нашем случае целевая функция — это прибыль P,иэтафункция
линейная. Нормальный вектор прямой 2x + y = P имеет координаты

nP(2, 1), и он дважды изображен на рис. 1, настолько он важен! Сама
же прямая 2x + y − P = 0изображенанарис.1жирнымпунктиром
даже трижды — при трех разных значениях свободного члена P,
то есть при трех разных возможных значениях получаемой прибыли.
Мне кажется, дальше все очевидно. Мы с вами уже знаем, что если
в общем уравнении прямой 2x + y − P = 0 менять свободный член P,
13/25

162
Гл. 2 . Прямые и плоскости
то прямая будет сдвигаться, не изменяя своего направления, парал-
лельно своему исходному положению. Нормальный-то вектор nP (2, 1)
у нее не меняется!
При увеличении P прямая 2x + y = P будет двигаться в сторо-
ну, куда смотрит нормальный вектор nP (2, 1), то есть в ту сторо-
ну, где величина отклонения точек становится больше! Сообразите,
2x+y

22+12
=
P
√
5
—
это же отклонение точки T (x, y) от прямой нулевой
прибыли2x+y=0.
Прямая нулевой прибыли P = 0 показана на рис. 1. Она пересекает
четырехугольник возможностей завода в точке O(0, 0),иэтаточка
дает ответ на вопрос: «Как должен работать завод, чтобы получить
прибыль ноль?» А вот так должен работать! Ноль холодильников и ноль
утюгов в день! Ха-ха!
Нас интересует увеличение прибыли! Начинаем параллельно сдви-
гать прямую прибыли в сторону, куда показывает ее нормальный век-
тор nP (2, 1). Если, например, мы хотим ежедневно получать прибыль
P = 3 тысячи рублей, то ответом будут планы работы завода на выбор:
либо Ф1(0, 3) — ноль холодильников и три утюга; либо Ф2(1, 1) —
один холодильник и один утюг в день. Именно через эти точки с це-
лыми координатами проходит прямая 2x + y = 3 в четырехугольнике
возможностей завода.
Но нам три тысячи в день мало! Мы упрямо продолжаем дви-
гать пунктирную прямую в сторону нормального вектора nP (2, 1) все
дальше и дальше! Мы увеличиваем прибыль P исмотрим,через
какие точки четырехугольника возможностей завода проходит прямая
2x + y = P, чтобы узнать, сколько холодильников и утюгов надо вы-
пускать для получения такой прибыли! Это жадность! Когда же мы
остановимся?
А из рис. 1 видно, что остановится прямая 2x + y = P как раз
ввершинеM (75, 75) четырехугольника возможностей завода. Эта
вершина — последняя ее точка соприкосновения с четырехугольником
возможностей завода при движении прямой в сторону, указанную
нормальным вектором! Правее точки M(75, 75) прямую 2x + y = P
сдвигать уже нельзя, она перестанет пересекаться с четырехуголь-
ником, ее точки (планы суточного производства) выйдут за пределы
возможностей «Нижнедын-моторс»! Стоп машина!
То ч к а M (75, 75) является решением нашей задачи! Это и есть
тот вожделенный план работы завода, который дает максимальную
прибыль! Надо делать 75 холодильников и 75 утюгов в день, тогда при-
быль составит P=2 ·75+75=225тысяч рублейвдень. Нобольше—
никак! Больше завод не вытянет, это максимум его возможностей.
Великолепное и очень простое решение!
14/25

Лекция No 11
163
Задача решена, давление в голове директора завода угасло, произ-
водство оптимизировано и выведено на максимальный уровень, Ниж-
недынцы счастливы! Все хорошо.
На этом рассказ о линейном программировании на заводе «Ниж-
недын-моторс» можно было бы закончить, но в конце рассказа сделаю
несколько замечаний.
Замечание 1. Никогда больше не спрашивайте меня, зачем
нужны n-мерные пространства! В смысле: невозможно представить,
в природе они не встречаются, это какая-то абстрактная ненужная за-
умь. Только что мы познакомились с задачей, которая показывает необ-
ходимость n-мерных пространств в прикладных задачах экономики.
Производил бы завод три вида продукции — на рис. 1 понадобилось
бы три оси координат, производил бы пять видов продукции — нужно
пять осей координат. И никуда ты от многомерных пространств даже
в простых практических задачах не денешься! Стало быть, их надо
изучать и привыкать в них работать.
Замечание 2. В процессе решения у нас возник выпуклый че-
тырехугольник возможностей завода, а максимум целевой функции P
оказался в вершине (75, 75) этого четырехугольника. Можно доказать,
что это всегда так — максимум линейной целевой функции всегда до-
стигается на границе многоугольника (многогранника, многогранника
в n-мерном пространстве) возможностей завода и чаще всего — в его
вершине.
Замечание 3. В какой-то момент рассказа про Нижнедынский
завод электроприборов (помните, там, где у директора завода впервые
в голове возникло давление) я объяснял условие задачи так: «Если де-
лать 100 холодильников в день, . . . завод получит за них 200 тысяч руб-
лей, ведь холодильник стоит 2 тысячи. А вот если делать 99 холодиль-
ников и 3утюга, то ... завод получит за них 2×99+3×1=201ты-
сячу рублей! Это же больше! Замени в дневном плане работы один
холодильник на три утюга, тогда и прибыль возрастет! Асделайна
два холодильника меньше, но на 6 утюгов больше,тогдаприбыль
еще возрастет! Возникает соблазн. . .». Наверняка у некоторых сооб-
разительных читателей как раз и возник соблазн продолжить этот
процесс — уменьшать количество холодильников и увеличивать ко-
личество утюгов до тех пор, пока прибыль не станет максимальной.
Переводя на геометрический язык (и уже зная решение задачи), можно
сказать так: давайте встанем в вершину четырехугольника (100, 0),
посчитаем в ней прибыль (200 тысяч) и будем идти из нее по ребру
четырехугольника в сторону увеличения прибыли! Идти будем до тех
пор, пока не попадем в вершину (75, 75), в которой прибыль станет
225 тысяч. А вот дальше из вершины (75, 75) идти по ребрам уже
никуда не получится: куда бы мы ни сдвинулись из вершины (75, 75)
по выходящим из нее ребрам, прибыль будет только уменьшаться!
15/25

164
Гл. 2 . Прямые и плоскости
Значит, вершина (75, 75) — наилучший план работы завода. Если вы,
дорогие читатели, сообразили такой способ решения задачи, то я вас
поздравляю! Вы, по сути, изобрели так называемый симплекс-метод
решения задач линейного программирования — встань в произвольную
вершину многогранника (симплекса) в n-мерном пространстве и иди
из нее по ребрам в сторону возрастания целевой функции 1).Прав-
да,надоещедоказать,чтотакойспособвсегдаприводитквершине
с максимальным значением целевой функции, но об этом не здесь.
Вам, когда вы станете постарше, обязательно прочитают курс «Методы
оптимизации», в котором целый раздел будет посвящен линейному
программированию — там все и будет доказано. Мы же, в конце
концов, изучаем аналитическую геометрию, так что давайте не будем
торопить события.
Замечание 4. Холодный душ на пылкие горячие головы. Не сто-
ит впадать в эйфорию и мечтательно восторгаться, в смысле «какой
простой и прекрасный метод линейного программирования, давайте
применим его еще вон в том месте. . .»! Не стоит идеализировать могу-
щество метода и пытаться применять его везде с целью все улучшить!
Такая беда уже была (к сожалению) в нашей истории — в один
прекрасный момент экономисты кинулись улучшать и оптимизировать
экономические процессы, но это ни к чему хорошему не привело! Пла-
новая экономика, запрограммированная на максимальные достижения,
оказалась не столь эффективной, как хотелось бы.
Жизнь гораздо богаче и многообразнее любых математических мо-
делей, она всегда преподносит сюрпризы и обстоятельства, которые
невозможно заранее учесть ни в каких математических теориях. Даже
на примере нашей простенькой задачи про Нижнедынский завод можно
увидеть, чем чревато слепое внедрение абстрактных математических
решений.
Мы запрограммировали завод работать «по максимуму прибыли» —
выпускать 75 холодильников и 75 утюгов. А случись что — вот тебе
и пожалуйста! Ну, не привезли на завод проволоку для изготовления
электрокомпрессоров в холодильник, снегом дороги занесло или води-
тель грузовика с проволокой с женой поругался и забухал по дороге,
мало ли что бывает! Встанет тогда производство холодильников. И за-
вод потерпит убыток аж в 150 тысяч рублей! Экономисты с умным
видом скажут: «недополученная прибыль; ничего не поделаешь, мы-то
1) Один мой старший товарищ когда-то объяснял мне симплекс-метод
на примере настройки в душе струи воды приятной температуры. Чтобы
настроить приятную температуру душа, нужно, говорит, сначала полностью
открыть кран горячей воды — чтобы выйти на границу области возможнос тей
душа. Потом постепенно открывать холодную воду до получения приятной тем-
пературы. Не советую. Ош паритесь! Открывайте сначала полностью холодную
воду, а потом добавляйте горячую!))))
16/25

Лекция No 11
165
все спланировали правильно и по теории, с нас взятки гладки». А за-
воду каково? Ему еще и неустойку платить покупателям-посредникам
за срыв поставок холодильников . . . Беда, короче говоря.
А вот если бы завод работал «не на максималках», а выпускал
бы спокойно, например по 50 холодильников в день и по 100 утюгов,
то получал бы он в день свои P =2 ·50+100=200тысяч рублей.Это,
конечно, меньше максимально возможного, зато при остановке выпуска
холодильников убыток будет всего 100 тысяч, а не 150 как при работе
«на максималках». Есть о чем задуматься. Может, при планировании
производства каким-то образом учитывать риски недопоставок сырья
и пресловутый «человеческий фактор»? Но это «уже совсем другая
история . . .», другая математическая теория . . . Завидую я вам, хорошие
дети! Ваше университетское образование только начинается — сколько
интересного предстоит вам еще узнать в будущем, сколько удивитель-
ных открытий у вас впереди!
Закончим на этой возвышенной ноте пункт No 19, а с ним и лекцию
No 12. До встречи в следующей лекции!
Задачки к Лекции No 11
1. Нарисуйте множество решений системы линейных неравенств
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
5x+2y505,
3x+3y393,
2x+3y348,
x0,
y0.
Найдите на этом множестве максимальное и минимальное значение це-
левой функции P (x, y)=7x + 4y и точки, в которых они достигаются.
2. Нарисуйте множество решений системы линейных неравенств
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2x+3y+4z12,
x0,
y0,
z0.
Найдите на этом множестве максимальное и минимальное значение
целевой функции P(x, y, z)=x + 2y + z и точки, в которых они дости-
гаются.
3. Найдите уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых
α(2x+3y−5)+β(3x−2y+1)=0
и
А) проходящей через точку A(3, −1);
Б) проходящей через начало координат;
17/25

166
Гл. 2 . Прямые и плоскости
В) параллельной оси OX;
Г) параллельной прямой 4x + 3y + 5 = 0;
Д) перпендикулярной прямой 2x + 3y + 7 = 0.
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересе-
чения прямых 3x + y − 5 = 0иx − 2y + 10 = 0иотстоящейотточ-
ки K(−1, −2) на расстояние d = 5.
5. Доказать, что прямая x + 3y + 13 = 0пр
ин
адле
житпуч
ку
прямых
α(3x+y−1)+β(2x−y
−
9)=0.
6. (No 549 из задачника Моденова–Пархоменко.) Составьте урав-
нение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей
2x−z =0иx+y−z+5=0ипараллельнойпрямой
x−1
7
=
y−2
−1
=
=
z−3
4
.
18/25

Глава 3
КВАДРИКИ НА ПЛОСКОСТИ
ИВПРОСТРАНСТВЕ
Лекция No 12
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь. В прошлый раз мы с вами
закончили «линейную» часть нашего курса аналитической геометрии,
в которой изучались геометрические фигуры, задаваемые уравнениями
первой степени. Сегодня мы переходим к следующей главе — «квад-
ратичной» части нашего курса, в которой рассматриваются фигуры,
задаваемые уравнениями второй степени.
Основные персонажи третьей главы наших лекций — линии
на плоскости и фигуры в пространстве, задаваемые алгебраическими
уравнениями второй степени. Эти персонажи классические и очень
пожилые, человечество знакомо с ними уже больше двух с половиной
тысячлет.Древниегрекиизучалиивосхищалиськрасотойконических
сечений, они же придумали им названия. Смотрите рис. 1 .
Конус (прямой круговой) — это пространственная фигура, которая
получается в результате вращения прямой (образующей конуса)во-
круг фиксированной точки V (вершина конуса)так,чтолюбаяточка
Рис. 1 . Древнегреческая резня конуса бензопилой
19/25

168
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
прямой (отличная от V ) описывает окружность. Ось вращения обра-
зующей конуса называется ось конуса, она является осью симметрии
конуса и, разумеется, проходит через вершину V .Образующиеконуса
составляют с осью конуса постоянный угол (плоский угол при вершине
конуса). Конус состоит из двух полостей! Почему-то в школе только
одну полость принято называть конусом, хотя по уму-то их должно
быть две.
Если рассекать конус плоскостью светло-серого цвета античной
радости (смотрите на рис. 1), не проходящей через вершину V ,то,
в зависимости от наклона этой плоскости, в сечении могут возникать
различные фигуры — греки назвали их «конические сечения».
Если секущая плоскость пересекает ось и все образующие од-
ной полости, то в сечении получается эллипс,эдакаясплюснутая
окружность, как показано на рис. 1 слева. В частном случае, когда
секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, получится обычная
окружность. «Эллипс» по-гречески — преуменьшение, недосказан-
ность, недостаток.
Если секущая плоскость пересекает обе полости конуса (напри-
мер, как показано на рис. 1 в серединке — секущая плоскость парал-
лельна оси конуса), то в сечении получается гипербола.Гипербола
состоит из двух ветвей, поскольку плоскость пересекает две полости!
«Гипербола» по-гречески — преувеличение, избыток (вспоминайте
уроки литературы в школе, там такой термин был и как раз в этом
смысле).
Наконец, если секущая плоскость параллельна одной из обра-
зующих конуса (на рис. 1 справа), то эта плоскость пересекает только
одну полость конуса и в сечении получается парабола.«Парабола»
по-гречески — искривление, иносказание, уход в сторону, притча.
Что-то есть такое в этих греческих названиях, прямо-таки ощу-
щается какой-то намек на свойства линий! Видно же, например, что
окружность сплюснули, преуменьшили, недостаток получился, вот тебе
и «эллипс»! А почему парабола и гипербола? Не зря же древние греки
дали такие названия этим кривым линиям! Давайте не будем спешить
и постепенно поймем, что имели в виду древние греки — изучим
свойства линий и приобщимся к классическим знаниям человеческой
цивилизации. Тем более что и в современной математике куда ни
плюнь — в кривую второго порядка попадешь, так что знать все эти
эллипсы–гиперболы–параболы нужно досконально!
20. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
Люди за многовековую историю придумали много разных определе-
ний эллипса, мы в наших лекциях возьмем вот такое.
Определение. Множество M точек плоскости, сумма расстоя-
ний от каждой точки которого до двух данных точек F1 и F2 равна
20/25

Лекция No 12
169
постоянной величине 2a, a>0, называется эллипсом. Точки F1 и F2
называются фокусами эллипса. Число 2a таково, что 2a> |F1F2|.
Расстояние между данными фокусами F1 и F2 обозначим |F1F2| =
= 2c. Несколько вычурное обозначение обычных действительных поло-
жительных чисел (расстояний) буквами 2a и2c происходит от опытных
людей, которые уже знают, что при выводе уравнения эллипса удобно
сразу иметь двойку в обозначении, что потом сделает нудные преобра-
зования проще.
Смотрите рис. 2, на нем показано, что дано в определении эллипса.
Рис. 2. Что нам дано в определении эллипса
Отрезки |F1K| = r1 и |F2K| = r2 называются фокальными ради-
усами точки K ∈ M. В этих обозначениях наше определение эллипса
выглядит так: эллипс — множество всех таких точек K ,что
r1+r2=2a.
Кстати! Подумайте! Неравенство треугольника говорит нам, что
r1 + r2 > 2c — сумма двух сторон треугольника должна быть больше
третьей стороны! Таким образом, должно быть 2a>2c,тоестьa>c.
Иначе, если бы вам вдруг дали числа a и c такие, что a<c,товы
вообще не смогли бы найти на плоскости такие точки, что r1 + r2 = 2a,
ибо таких треугольников не существует! Множество M оказалось бы
пустым! Если же при определении эллипса вам вдруг дали числа a = c,
то множество точек M будет просто отрезком [F1F2], тогда не очень по-
нятно, зачем его изучению посвящать сегодняшнюю лекцию. Поэтому
в определении эллипса сразу сказано 2c = |F1F2| < 2a,тоестьa>c.
Я предпочел принятое нами определение эллипса многим другим
определениям потому, что прямо по нашему определению эллипс очень
легко нарисовать и увидеть, как он на самом деле выглядит. Смотрите
рис. 3.
Рис. 3. Эллипсограф — простое устройство для рисования эллипса: веревочка,
два гвоздя F1 и F2 , фломастер (Аполлоний Пергский, 200 г. до н.э .)
21/25

170
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Берете веревочку длины 2a иееконцызакрепляетевфокусахF1
и F2. Берете фломастер и кончиком фломастера оттягиваете веревочку
так, чтобы она натянулась. Сумма расстояний от фломастера до фоку-
сов как раз и будет равна 2a (длине веревочки). Кончик фломастера
поставит на бумаге одну из точек эллипса! Теперь двигайте фломастер
так, чтобы он скользил внутри веревки, а веревка оставалась натяну-
той! Кончик фломастера будет рисовать эллипс!
Видно, что получающийся эллипс — симметричная фигура! Объ-
ясните, какие у него есть оси симметрии и почему?
Потренируйтесь дома, соорудите такую штуковину на столе из двух
кнопок и нитки. Украсьте свой стол одним идеальным эллипсом
и несколькими неудачными! Стол отмывается спиртом или водкой,
не бойтесь!
Кстати, из рис. 3 легко усмотреть, что если фокусы у эллипса
совпадут, F1 = F2, то эллипс превратится в окружность радиуса a.
Следовательно, окружность — частный случай эллипса.
Определение. Величина ε =
2c
2a
=
c
a
, показывающая, во сколько
раз расстояние между фокусами короче длины веревочки, называется
эксцентриситет эллипса.
Ясно, что у эллипса ε<1, ведь c<a.Именноблагодаря«недоде-
ланному» эксцентриситету, который не дотягивает до единицы, древние
греки и назвали эллипс «эллипсом». Видимо, их утонченные древне-
греческие души сильно раздражала такая неполноценность! Наверное,
они даже дразнили словом «эллипс» своих шепелявых дебилов, пока
Зевс не прекратил такое безобразие ударом молнии по эллиптической
роже каждого дразнившего.
Несложно представить, что чем ближе эксцентриситет к единице,
тем более тонким и вытянутым становится эллипс: вообразите два
гвоздика на расстоянии 100 см, а веревочку длины 101 см. Такую
веревочку можно будет лишь слегка оттянуть фломастером, и эллипс
получится длинным и тонким как сосиска! Наоборот, если эксцен-
триситет близок к нулю, то расстояние между фокусами небольшое,
а веревочка-то длинная — эллипс будет толстеньким и ровненьким,
похожим на окружность. А вот у окружности вообще ε = 0, ибо
у окружности фокусы совпадают и |F1F2| = 2c = 0. Смотрите рис. 4.
Рис. 4. Эллипсы с разными эксцентриситетами. Джентльменский набор
22/25

Лекция No 12
171
Запомните, пожалуйста, термин эксцентриситет ито,какотего
величины 0  ε<1 зависит форма эллипса. Это знание пригодится
и в дальнейшей теории, и при решении задач. А уж как любят слово
«эксцентриситет» на кафедре астрономии! Планеты-то у них, согласно
Иоганну Кеплеру, летают по эллипсам, в одном из фокусов кото-
рого находится Солнце! Эксцентриситет у астрономов — важнейшая
характеристика формы орбиты планет, комет, астероидов, спутников,
космического мусора и всего прочего, что еще там летает в космосе!
Упр а жн е н и е . Докажите, что эллипсы подобны тогда и только
тогда, когда их эксцентриситеты равны.
Давайте, наконец, приступим к получению красивого уравнения
эллипса, чтобы убедиться, что эллипс действительно является кривой
второго порядка, то есть задается алгебраическим уравнением вто-
рой степени. Да и какие же мы математики без уравнения эллипса,
в конце концов! Внимание! Дальнейший рассказ — это очередной
вопрос с Государственного экзамена на присвоение степени «Бакалавр
математики», который проходит после четвертого курса.
Мы уже знаем, что одна и та же линия в разных системах коор-
динат может иметь разные уравнения. Посмотрите-ка в лекцию No 7,
пункт No 10 — доказательство теоремы об образе линейного уравнения.
Там в одной системе координат линия (прямая) имела общее уравнение
Ax + By + C = 0, а в другой системе координат (после хитрой замены
репера) эта же самая линия получила простое и ясное уравнение
x
= 0. Интуиция подсказывает, что львиная доля успеха в получении
простого и красивого уравнения эллипса заключается в удачном выбо-
ре системы координат! Давайте же выберем такую систему!
Пусть дан эллипс, то есть, дана величина 2a (длина веревочки)
и на плоскости поставлены его фокусы F1 и F2.Сталобыть,дана
величина |F1F2| = 2c (расстояние между фокусами), и выполнено нера-
венство c<a.
Определение. Декартова прямоугольная система коорди-
нат XOY ,укоторойосьOX проходит через фокусы F1 и F2,аосьOY
является серединным перпендикуляром отрезка [F1F2],н
азывае
т
ся
канонической системой координат для данного эллипса.
На рис. 5 видно, что оси канонической системы координат являются
осями симметрии данного эллипса, точка O —центромсимметрии
(центр эллипса). Начало координат O является серединой отрез-
ка [F1F2],длинакоторого2c, поэтому фокусы эллипса в канонической
системе координат получают координаты F1(−c,0) и F2(c,0).Точки
пересечения эллипса с осями канонической системы называются вер-
шинами эллипса.Отрезки[OP ] и [OV ] на осях (а также их длины)
называются полуоси эллипса.
Забавно, что эллипс пересекает ось OX вточкахa и −a,
то есть его крайняя правая вершина P на рис. 5 имеет координа-
23/25

172
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Рис . 5 . Каноническая сис тема координат и некоторые разъясняющие детали
ты P (a,0). Это легко сообразить, если представлять себе веревочку!
Смотрите на рис. 5, там пунктиром показан путь веревочки. Веревочка
идет из фокуса F1 до вершины P (до фломастера) и проходит путь
2c + d, потом возвращается обратно из P вфокусF2 —ещеразпро-
ходит d в обратном направлении. Весь этот путь равен 2c + 2d = 2a —
длина веревочки. Значит, c + d = a,тоесть|OP | = a.
Изготовим еще один, менее загруженный деталями рис. 6.
Рис . 6 . Веревочка идет из первого фокуса, через верхнюю вершину, во второй
фокус
Смотрите, на рисунке 6 веревочка длины 2a идет из одного фокуса
в другой через верхнюю вершину эллипса. Возникает серый прямо-
угольный треугольник, у которого гипотенуза равна a,агоризонталь-
ный катет равен c. Древние греки ничего не делали без теоремы
Пифагора — ни спать не ложились, ни есть не садились! Вертикальный
катет серого треугольника равен b =

a2 − c2 .Очевидно,чтоb<a.
Запомним. Теорема Пифагора для параметров эллипса: b2 =
= a2 − c2 . Полуоси эллипса равны: a — большая полуось, b =
=

a2 − c2 — малая полуось. Неравенства: b<a, c<a. Полу-
расстояние между фокусами равно c =

a2 − b2 .Эксцентриситет
24/25

Лекция No 12
173
ε=
c
a
=

a2−b2
a
.
Эти простенькие формулы так и хочется назвать
«танцы вокруг теоремы Пифагора». На применение этих формул в раз-
ных задачниках придумана громадная куча задачек — они совсем
легкие и будут служить на экзамене дополнительными вопросами для
тех, кто плохо отвечал. В смысле: раз уж ты ничего не знаешь, то хотя
бы найди эксцентриситет эллипса, у которого полуоси равны 5 и 8.
Найдешь — троечка, не найдешь — совсем плохо, двойка!
Теперь выведем уравнение эллипса в его канонической системе
координат.
По определению эллипса произвольная точка плоскости P (x, y)
принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда сумма расстояний
от нее до фокусов равняется 2a. Фокусы в канонической системе
координат имеют координаты F1(−c,0) и F2(c,0).Системакоорди-
нат декартова прямоугольная, матрица Грама единичная, расстояния
от точки P до фокусов вычисляются по простой школьной формуле
r1=|PF1|=
(x+c)2+(y−0)2, r2=|PF2|=
(x−c)2+(y−0)2.
Сумма этих расстояний равна 2a, и это, по сути, и есть уравнение
эллипса,
(x+c)2+(y−0)2+
(x−c)2+(y−0)2 =2a,
()
—
в это соотношение подходят координаты точек эллипса, а коорди-
наты точек, не лежащих на эллипсе, в это соотношение не подходят.
Именно это и требуется, чтобы уравнение ( ) задавало эллипс.
Казалось бы, дело сделано, уравнение получено, но беда уравне-
ния ( ) даже не столько в том, что выглядит оно сложновато и со-
держит неприятные квадратные корни, которые никому не нравятся.
Беда в том, что из уравнения ( ) не видно, что эллипс — кривая
второго порядка, то есть задается алгебраическим уравнением второй
степени. Алгебраическое уравнение — это «многочлен равен нулю»!
Оно в принципе не содержит никаких квадратных корней, а содержит
только слагаемые вида αxk ym
,гдеα ∈ R, k , m ∈ N ∪{0}.Поэтомунам
придется еще потрудиться, чтобы получить из уравнения ( ) истинно
алгебраическое уравнение. Приступим.
Перенесем второй корень направо,
(x+c)2+(y−0)2 =2a−
(x−c)2+(y−0)2,
ивозведемвквадрат:
(x+c)2+y2=4a2
−
4a
(x−c)2+y2+(x−c)2+y2.
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

174
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Раскроем скобки, приведем подобные, почеркаемся. Корень перенесем
налево, остальные слагаемые — направо:
a
(x−c)2+y2=a
2−cx.
Еще раз возведем в квадрат, ибо мы упорные:
a
2((x − c)2 + y2)=a
4
−
2a2
cx+c2
x
2.
Раскроем скобки, приведем подобные, упростим, запишем так:
(a2
−
c
2)x2+a2y2=a
2(a2
−
c
2).
Проверяйте! Не напутал ли я! Вроде, нет. Ну, теперь вспоминаем, что
a>c ичислоa2 − c2 раньше уже встречалось. Оно было обозначено
a2 − c2 = b2 — квадрат малой полуоси эллипса. Получаем
b2x2+a2y2=a
2b2
—
алгебраическое уравнение второго порядка! Да красивое какое!
Похожее на школьное уравнение окружности, только эллипс-то —
«сплюснутая» окружность, поэтому коэффициенты перед x2 и y2,во-
обще говоря, разные!
Для достижения полной гармонии обе части полученного уравнения
дел ят на a2b2 и получают классическую запись уравнения эллипса
x2
a2+
y2
b2=1
(♣♣)
—
каноническое уравнение эллипса сполуосямиa и b в канонической
системе координат.
Правда, что каноническое уравнение эллипса похоже на уравнение
прямой «в отрезках»
x
a
+
y
b
= 1? И смысл величин, стоящих в зна-
менателях канонического уравнения эллипса, очень похож на смысл
знаменателей в уравнении «в отрезках» — квадраты точек пересечения
с осями координат. Ну не красота ли это и гармония во всем, даже
в форме записи уравнений! Мы вывели замечательное, красивое и про-
стое уравнение! Восторг!
Если вы на государственном экзамене закончите в этом месте
свой рассказ про уравнение эллипса, то, невзирая на все ваши вос-
торги, вам поставят оценку не больше «удовлетворительно», то есть
не больше тройки. Оно и понятно! «Мы вывели замечательное, краси-
вое и простое уравнение!» . . . Уравнение чего, позвольте спросить?
Мы же при выводе уравнения дважды возводили в квадрат! А де-
тей еще в школе учат — при возведении уравнения в квадрат могут
появиться посторонние корни! Уравнение x = 1 имеет один корень,
ауравнениеx2=1имеетужедвакорня,x =±1.Уравнениеx+y=1
задает прямую на плоскости, а уравнение (x + y)2 = 1 задает уже две
разные прямые, x + y = ±1. Примеров появления лишних точек при
возведении в квадрат — масса!
1/25

Лекция No 12
175
Возникает законный вопрос: а почему каноническое уравне-
ние (♣♣) задает именно эллипс и ничего больше? То, что все точки
эллипса удовлетворяют данному уравнению — понятно, поскольку ка-
ноническое уравнение получилось двукратным возведением в квадрат
соотношения ( ), которое являлось фактически определением эллипса.
Но не возникло ли при возведениях в квадрат посторонних решений?
Вдруг в уравнение (♣♣) подходят еще какие-то точки кроме точек
эллипса? Ответ — нет, не подходят. Но это еще надо доказать! Государ-
ственная экзаменационная комиссия будет ждать от вас продолжения
рассказа.
Утверждение. Если координаты произвольной точки P(x, y)
удовлетворяют уравнению
x
2
a
2+
y2
b2 = 1, то эта точка обязательно лежит
на эллипсе, то есть сумма расстояний от нее до фокусов F1(−c,0)
и F2(c,0) равна 2a.
Для доказательства этого утверждения нам понадобится весьма
интересная лемма.
Лемма. Если координаты произвольной точки P (x, y) удо-
влетворяют уравнению
x
2
a
2+
y2
b2 = 1, то расстояния |PF1| и |PF2|
являются линейными функциями от абсциссы x точки P (x, y):
r1=|PF1|=a+εx,
r2=|PF2|=a −εx,
где ε — эксцентриситет исходного эллипса.
Доказательство. Очевидно, что r1 = |PF1| =
(x+c)2+y2 —
школьная формула для нахождения расстояния между точками. Точ-
ка P (x, y) удовлетворяет уравнению
x
2
a
2+
y2
b2 = 1. Выразим из этого
уравнения квадрат игрека:
y2=b2−
b2x2
a2
.
Подставим его в r1 и преобразуем (танцы вокруг теоремы Пифагора
a
2=b2+c2):
r1=|PF1|=
.x2+2cx+c2+b2−
b2x2
a2
=
=



1 −
b2
a2
x2+2cx+c2+b2


a2
=
.a2−b2
a2
x2+2cx+a2 =
=
.c2
a2
x2+2cx+a2 =
.cax + a
2
=



c
a
x+a


=|a+εx|.
2/25

176
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Внимание! Совершенно точно |x|  a,иначеточкаP (x, y) не под-
ходила бы в уравнение
x
2
a
2+
y2
b2 = 1. Кроме того, эксцентриситет
0  ε<1, ведь эллипс по-гречески — уменьшенный, недостаток экс-
центриситета у него. Поэтому величина a + εx заведомо положитель-
ная! Модуль можно не ставить, а написать просто
r1=|PF1|=a+εx.
Второе равенство r2 = |PF2| = a − εx доказывается точно так же.
Лемма доказана, уф-ф .

Теперь, чтобы доказать сформулированное перед леммой утвер-
ждение, нужно просто сложить равенства:
|PF1|=a+εx
|PF2|=a −εx
+
|PF1| + |PF2| = 2a;
получится, что если точка P (x, y) удовлетворяет уравнению
x2
a2+
y2
b2=1,
то она обязательно удовлетворяет и соотношению |PF1| + |PF2| = 2a,
то есть, удовлетворяет определению эллипса, лежит на эллипсе.
Утверждение доказали.

Таким образом, каноническое уравнение
x2
a2+
y2
b2=1
в канонической системе координат действительно задает только эл-
липс и ничего кроме эллипса! Это означает, что эллипс действительно
является кривой второго порядка, поскольку в любой другой системе
координат он тоже будет задаваться уравнением второй степени — сте-
пень уравнения не меняется при замене координат (смотрите лекцию
No4, пункт No5, наблюдение No2).
Вот теперь рассказ об уравнении эллипса можно с чистой совестью
закончить, а с ним закончить и весь пункт No 20. Вперед, в следующий
пункт! Там нас ждут еще несколько интересных свойств эллипсов!
21. Директориальное свойство эллипса.
Оптическое свойство эллипса
Внимание! Над следующим определением не хихикать! До сих пор
слово «директриса» для многих из вас означало «директор школы» .
Отныне будет не так: время идет, мудрость и зрелость постепенно
наполняют ваши головы и закрывают хихикающие рты!
3/25

Лекция No 12
177
Определение. Пусть в канонической системе координат дан
эллипс
x
2
a
2+
y2
b2 = 1иa>b (то есть фокусы этого эллипса лежат на
оси OX). Две вертикальные прямые, задаваемые уравнениями x = ±
a
ε
,
называются директрисами этого эллипса.
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от оси OY ,
называют соответственными друг другу. Поскольку 0 <ε<1—
эксцентриситет данного эллипса, то
a
ε
>a и эллипс лежит между
своими директрисами. Смотрите рис. 7.
Рис. 7. Директрисы эллипса, произвольная точка P на эллипсе, ее фокальные
радиусы r1 и r2, расстояния от P до директрис
Самое раннее дошедшее до нас изложение свойства эллипса и его
директрис содержится в трактате «Математическая коллекция», кото-
рый написал математик Папп Александрийский примерно в 300-м году
нашей эры, но, скорее всего, это любопытное свойство было известно
ученым древнего мира и до книжки Паппа.
Теорема (директориальное свойство эллипса). Для любой
точки P (x, y) эллипса
x
2
a
2+
y2
b2 = 1 отношение ее фокального радиу-
са к расстояниюдо соответствующей этому фокусу директрисы
постоянно и равно эксцентриситету эллипса (обозначения смотрите
на рис. 7):
r1
d1
=
r2
d2
=ε.
Доказательство. Возьмем произвольную точку P (x, y) на эл-
липсе. Посмотрите на рис. 7, из него видно, что расстояние от P (x, y)
до правой директрисы (соответствующей фокусу F2)равноd2 =
a
ε
−
x.
Фокальный радиус r2 мы уже знаем из леммы в предыдущем
4/25

178
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
пункте No20: r2 = a − εx. Поделим одно на другое:
r2
d2
=
a−εx
a
ε
−
x
=ε
a−εx
a−εx
=ε.
Аналогично,
r1
d1
=
a+εx
a
ε
+x
=ε
a+εx
a+εx
=ε.
Вот, собственно, и все. Больше тут доказывать нечего.

Замечание. Мы только что доказали, что если точка лежит
на эллипсе, то отношение ее расстояния до некоторой фиксированной
точки (фокуса) к расстоянию до некоторой фиксированной прямой (ди-
ректрисы) постоянно и равно некоторому положительному числу ε<1
(эксцентриситету). Оказывается, что справедливо и такое (по сути,
обратное) утверждение.
Утверждение. Множество всех точек, для каждой из которых
отношение расстояния до фиксированной точки к расстоянию до дан-
нойпрямойравночислу0<ε<1, является эллипсом, причем чис-
ло ε — эксцентриситет этого эллипса.
Та к и м о б р а з о м , директориальное свойство эллипса изначаль-
номожнобыловзятьвкачествеопределенияэллипса!Некоторые
лекторы так и делают, но я не пошел по такому пути, и вам не советую.
На экзамене (а потом и на госэкзамене) формулируйте и доказывай-
те директориальное свойство эллипса «в одну сторону»: «если точка
на эллипсе, то отношение . . . равно эксцентриситету». Не связывайтесь
с формулировкой и доказательством утверждения «в обратную сторо-
ну»! Оно не совсем тривиально и займет много времени!
Дело тут в том, что в начале доказательства обратного утверждения
вас поджидает неприятная трудность. Вам ведь, по сути, дано только
число ε<1,анаплоскостинарисованыпрямаяиточкаF ибольше
ничего! Вам предстоит составить уравнение, задающее множество всех
точек K таких, что
|FK|
dK
=ε:
А для этого нужно ввести систему координат! Да не какую-нибудь
произвольную «от балды»! Нужна такая удачная система координат,
5/25

Лекция No 12
179
чтобы уравнение в ней получилось узнаваемым, например канониче-
ским уравнением эллипса. Чтобы глядя на него, можно было сказать —
смотрите, это же эллипс! Вам в начале доказательства, когда еще
ничего нет, а есть только точка и прямая, надо угадать, как нарисовать
каноническую систему координат будущего эллипса! Чтобы точка F
оказалась в ней фокусом эллипса, а данная прямая — директрисой.
Первый шаг понятен, ось OX нужно провести через точку F ,перпен-
дикулярно данной прямой:
А вот где проводить ось OY ? Хотелось бы, чтобы точка F получила
в этой системе координаты F (c,0) и стала фокусом будущего эллипса,
но число c нам не дано . . . Проблема, да. Короче говоря, вот вам
не обязательное упражнение.
Упражнение для особо влюбленных в математику. Уг а да й т е ,
как надо провести ось OY (подсказка — придется дважды поделить
некоторые отрезки в данном отношении). После этого в получившейся
системе координат выведите из соотношения
|FK|
dK
= ε каноническое
уравнение эллипса.
Познакомимся, наконец, с еще одним очень интересным свойством
эллипсов. Для этого нам потребуется получить уравнение касатель-
ной к эллипсу, см. рис. 8. Вообще-то говоря, уравнение касательной
к графику функции проходят в курсе матанализа, и вам там его
скоро расскажут подробно и основательно. Но, поскольку эллипс-то мы
изучаем сейчас, я все-таки кратко и быстро проговорю вывод уравнения
Рис. 8. Касательная к эллипсу в точке (x0, y0)
6/25

180
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
касательной к эллипсу — будем пока считать кусок рассказа про
вывод уравнения касательной факультативной темой, предназначенной
(так сказать) для общей эрудиции.
Еще из школы известно, что угловой коэффициент k =tgφ
прямой y − y0 = k(x − x0 ), которая касается графика функции f (x)
вкакой-тоточке(x0, y0),равенf (x0) — производной этой функции
вточке x0 .
Исключим из рассмотрения вершины большой оси эллипса, в ко-
торых касательная вертикальна и не имеет углового коэффициента,
то есть будем считать, что y0

= 0. Через точку (x0 , y0) на эллипсе про-
ходит график некоторой функции f (x), и этот график целиком лежит
на эллипсе. Для педантов приведу конкретный пример: при y0 > 0это
график функции f1(x)=b
1 − x2 /a2 ,приy0 > 0 это график функции
f2(x)=−b
1 − x2/a2 .Неуточняязнакy0,обозначимподходящую
функцию просто f (x).Дляфункцииf (x) выполнено тождество
x2
a2+
(f (x))2
b2
=1.
Дифференцируем его:
2x
a2+
2f (x)f (x)
b2
=0.
Подставим в получившееся равенство x = x0 , f (x0)=y0 ивыра-
зим f (x0):
f(x0)=−
b2
a2
·
x0
y0
.
Пишем уравнение касательной к эллипсу:
y−y0= −
b2
a2
·
x0
y0
· (x−x0).
Раскроем скобки, преобразуем, получится
a
2y0y + b2x0x = b2x2
0+a2y2
0.
Поскольку точка (x0, y0) лежит на эллипсе, то b2x2
0+a2y2
0 = a2b2,
поэтому получаем a2y0y + b2x0x = a2b2 иливболеекрасивойзаписи
x0x
a2+
y0y
b2 =1
—
уравнение касательной к эллипсу вточке(x0 , y0). Красивое урав-
нение, легко запомнить! Оно похоже на уравнение самого эллипса
xx
a
2+
yy
b2 = 1, только в числителе каждой дроби первая буква замени-
лась на координату точки касания. А еще оно похоже на уравнение
прямой линии «в отрезках».
7/25

Лекция No 12
181
Теперь, когда мы знаем уравнение касательной эллипсу, мы готовы
понять и следующую теорему, и ее доказательство, и ее физический
смысл.
Теорема (оптическое свойство эллипса). Касательная к эл-
липсу в точке K(x0, y0) является биссектрисой внешнего угла меж-
ду фокальными радиусами точки K (рис. 9).
Рис . 9 . Касательная к эллипсу в точке K (x0 , y0 ) — биссектриса внешне го угла
между фокальными радиусами
Доказательство. Из уравнения касательной
x0x
a
2+
y0y
b2 = 1сра-
зу находим координаты точки D(a2/x0,0) — точки пересечения каса-
тельной с осью OX.Ясно,чтоточкаD лежит за пределами эллипса,
ибо
a
2
|x0 |
>a.
Рассмотрим треугольник F1KF2. Вычисляем отношение сторон (фо-
кальных радиусов):
|F1K|
|KF2|
=
|a + εx0|
|a − εx0|
.
Вычисляем отношение:
|F1D|
|DF2|
=
|a2/x0 + c|
|a2/x0 − c|
=
|a + εx0|
|a − εx0|
.
Смотрите-ка, отношения совпали!
Теперь водим по рис. 9 карандашиком (или пальцем) и напеваем
песню Николая Ивановича Слободчикова про биссектрису, которая де-
лит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим
сторонам треугольника: «От начала F1 до вершины K , от вершины K
до конца F2 ... равняется ... От начала F1 до де ления D,отде-
ления D до конца F2». Что пел в этой песне Николай Иванович?
8/25

182
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
А пел он известную школьную теорему: если точка D дел ит стор ону
треугольника на отрезки, отношение которых равно отношению двух
других сторон треугольника,
|F1D|
|DF2|
=
|F1K |
|KF2|
,
то точка D лежит на биссектрисе! Только в нашем случае лежит
на биссектрисе внешнего угла треугольника, поскольку точка D на-
ходится на продолжении основания треугольника F1F2 .НоточкаD
лежит на касательной, следовательно, касательная к эллипсу и есть
биссектриса внешнего угла!
Доказали.

Остается лишь понять, почему это свойство носит название
«оптическое». А вот почему. На уроках физики в школе, когда изучали
отражение светового лучика от зеркала, наверняка говорили такой
закон: «Угол падения равен углу отражения».
Так вот, если внутреннюю поверхность эллипса сделать зеркальной,
в одном из фокусов эллипса зажечь лампочку, то лучи света, идущие
из лампочки, отразятся от поверхности эллипса (фактически луч отра-
жается от касательной к эллипсу в точке падения луча) и соберутся
в другом фокусе! Отсюда и название свойства — оптическое. Хотя
закону «угол падения равен углу отражения» подчиняются не только
световые волны, но и, например звуковые, поэтому свойство можно
было бы назвать и «акустическим». Предлагаю вам просто поразгляды-
вать картинки, и все станет ясно.
Оказывается, строители оборонительных сооружений в древности
и в средние века «украшали» башни и крепостные стены арками вовсе
9/25

Лекция No 12
183
F1
F2
не для красоты, а чтобы во время грохота сражений, солдаты, ведущие
оборону крепости, могли спокойно переговариваться друг с другом!
Их голоса, отражаясь от эллиптических арочных потолков, были пре-
красно слышны друг для друга и не слышны для врага, если солдаты
располагались в фокусах эллиптических арок над ними. Да что далеко
ходить за примерами! У нас, недалеко от Екатеринбурга, в Невьянске
есть такая «слуховая» комната — садитесь на электричку, езжайте
в Невьянск и вы все увидите своими глазами и услышите своими
ушами!
Закончим на этом пункт No 21, а с ним и лекцию No 12. До встречи
в следующей лекции!
Задачки к Лекции No 12
1. Танцы вокруг теоремы Пифагора. Составьте уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если:
А) его полуоси равны 5 и 2;
Б) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8;
В) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами равно 10;
Г) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε = 3/5;
Д) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ε = 3/5;
Е) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ε = 12/13;
Ж) расстояние между его директрисами равно 5, а расстояние
между его фокусами 4;
З) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами
равно 16;
10/25

184
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
И) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами рав-
но 13;
К) расстояние между директрисами равно 32, а эксцентриситет ε =
= 1/2.
2. Дан эллипс 9x2 + 25y2 = 225. Найти:
А) его полуоси;
Б) координаты его фокусов;
В) эксцентриситет;
Г) уравнения директрис.
Нарисуйте аккуратно этот эллипс, его опорный прямоугольник,
директрисы, отметьте фокусы.
3. Найдите координаты фокусов эллипса 25x2 + 9y2 = 225 и уравне-
ния его директрис. Нарисуйте этот эллипс, его фокусы и директрисы.
4. Эксцентриситет эллипса ε = 2/5, расстояние от точки M эллипса
до директрисы равно 20. Найдите расстояние от точки M до фокуса,
соответствующего этой директрисе.
5. Найдите точки на эллипсе
x
2
100
+
y2
36
= 1, расстояние от которых
до правого фокуса равно 14.
6. Составитьуравнениеэллипса,фокусыкотороголежатнаоси
абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
А) точка A(−2
√
5; 2) на эллипсе и его малая полуось b = 3;
Б) точки B(2
√
2;3)иC(4; −
√
3 ) на эллипсе;
В) точка K(
√
15 ; −1) на эллипсе и расстояние между его фокусами
2c=8;
Г) точка P (−
√
5; 2) на эллипсе и расстояние между его директри-
сами 2d = 10.
7. Составьте уравнение эллипса, если даны его эксцентриситет
ε = 2/3, фокус F (2; 1) и уравнение соответствующей этому фокусу
директрисы x − 5 = 0. Нарисуйте этот эллипс.
8. (No 735 из задачника Моденова–Пархоменко.) Написать урав-
нение эллипса, пересекающего ось OX вточкахA(1; 0) и B(9; 0)
икасающегосяосиOY вточкеC (0; 3), зная, что его оси параллельны
осям координат.
9. (No 751* из задачника Моденова–Пархоменко.) Написать уравне-
ние эллипса, для которого прямые x+y−1 =0иx−y+1=0суть
соответственно большая и малая оси, а длины полуосей равны 2 и 1.
10. (No 772 из задачника Моденова–Пархоменко.) Найти эксцентри-
ситет эллипса, зная, что стороны вписанного в него квадрата проходят
через фокусы эллипса.
11/25

Лекция No 12
185
11. Напишите уравнения касательных к эллипсу
x
2
30
+
y2
24
=1,
параллельных прямой 4x − 2y + 23 = 0, и найдите расстояние между
этими касательными.
12. Из точки A
10
3
;
5
3
 проведены касательные к эллипсу
x
2
20
+
+
y2
5
= 1. Составьте их уравнения и найдите угол между ними.
13. Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса
до любой касательной к эллипсу есть величина постоянная и равна
квадрату малой полуоси.
14*. Шестиугольник ABC DEF образован шестью касательными
к эллипсу. Докажите, что его диагонали AD, BE, CF пересекаются
в одной точке (теорема Брианшона).
12/25

Лекция No 13
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь. Сегодня мы продолжим
изучение конических сечений.
22. Гипербола
Гипербола, как и эллипс, — тоже кривая второго порядка, кото-
рую древние греки увидели при разрезании конуса. В этом пункте
про гиперболу мы будем аккуратно придерживаться схемы рассказа
из предыдущих пунктов No 20 и No 21 про эллипс:
—определение,
—
потом выбор системы координат,
—
потом вывод уравнения гиперболы и доказательство, что оно
определяет именно гиперболу,
—
потом исследование полученного уравнения, создание рисунка
гиперболы,
—
наконец, директориальное свойство и оптическое свойство гипер-
болы.
В рассказе про гиперболу мы встретим много моментов, похожих
на рассказ про эллипс, однако будут и разительные отличия. Прежде
всего, дадим определение.
Определение. Множес тво M точек плоскости, модуль разно-
сти расстояний от каждой точки которого до двух данных точек F1
и F2 равна постоянной величине 2a, a>0, называется гиперболой.
То ч к и F1 и F2 называются фокусами гиперболы. Число 2a таково,
что 2a<|F1F2|.
Расстояние между данными фокусами F1 и F2 обозначим |F1F2| =
= 2c.
Смотрите рис. 1, на нем показано, что нам дано в определении
гиперболы.
Рис. 1 . Что нам дано в определении гиперболы
Отрезки |F1K| = r1 и |F2K| = r2 называются фокальными ради-
усами точ ки K ∈ M. В этих обозначениях наше определение гипер-
болы выглядит так: гипербола — множество всех таких точек K ,что
|r1 − r2 | = 2a,ну,или(чтотожесамоезасчетмодуля),|r2 − r1| = 2a —
фокальные радиусы (как и в определении эллипса) равноправны.
Ксожалению, до сих пор никто не придумал способ, как нарисо-
вать гиперболу исходя из определения с помощью веревочки, гвоздей
13/25

Лекция No 13
187
и фломастера. Беда! Сразу-то ведь и непонятно, как она выглядит!
Придется рисовать гиперболу потом (исходя из других соображений).
Посмотрите на рис. 1 . На этом рисунке случайно получи-
лось, что r1 >r2. Неравенство треугольника гласит: 2c + r2 >r1,
не так ли? Перенесем r2 направо, 2c>r1 − r2 ,аэтоозначает,что
2c>2a = r1 − r2. Если бы на рисунке случайно оказалось, что r2 >r1,
то я бы написал другое неравенство для того же самого треугольника,
2c + r1 >r2,исноваполучилбы2c>2a = r2 − r1.Такимобразом,
для гиперболы имеем 2c>2a,тоестьc>a — в точности наоборот
по сравнению с эллипсом. Поэтому прямо в определении гиперболы
и указано это неравенство: |F1F2| > 2a.
Определение. Число ε =
c
a
—
эксцентриситет гиперболы.
Поскольку c>a,тоугиперболыε =
c
a
> 1. Гипербола (по-грече-
ски) — избыток, преувеличение, ее эксцентриситет больше единицы.
То, что преувеличение в литературе тоже называется «гиперболой»,
я вам уже говорил тысячу раз! Предыдущее предложение — пример
литературной гиперболы.
Чтобы вывести уравнение гиперболы, нужна система координат.
Определение. Декартова прямоугольная система коорди-
нат XOY ,вкоторойосьOX проходит через фокусы гиперболы,
аосьOY является серединным перпендикуляром отрезка [F1F2],
называется канонической системой координат для данной гиперболы.
Смотрите рис. 2 .
Рис. 2. Каноническая система координат гиперболы
В канонической системе координат (как и в пункте No 20 у эллипса)
фокусы получают координаты F1(−c,0) и F2(c,0),точкаO называется
центром гиперболы,осьOX — фокальной (или действительной)
осью гиперболы.
Выведем каноническое уравнение гиперболы. Я буду краток, по-
скольку все дальнейшие преобразования буквально повторяют преоб-
разования из пункта No 20 при выводе уравнения эллипса, разница
только в том, что в некоторых местах вместо знака «+»будетстоять
14/25

188
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
знак «–» , поскольку в определении эллипса — сумма фокальных ради-
усов, а в определении гиперболы — их разность. Вот и все формальное
различие.
Фокальные радиусы:
r1=
(x+c)2+y2, r2=
(x−c)2+y2.
Определение гиперболы |r1 − r2 | = 2a:
(x+c)2+y2 −
(x−c)2+y2 =±2a,
то есть
(x+c)2+y2 =
(x−c)2+y2±2a.
Возводим в квадрат:
(x+c)2+y2=(x−c)2+y2±4a
(x−c)2+y2+4a2
.
Раскроем скобки и приведем подобные, корень отправим справа от зна-
ка равенства, остальные слагаемые — налево:
cx−a
2
=±a
(x−c)2+y2.
Еще раз возведем в квадрат:
c
2x2
−
2a2
cx+a
4
=a
2x2
−
2a2
cx+a2
c
2 + a2y2.
Перегруппируем:
(c2
−
a
2)x2
−
a
2y2=a
2(c2
−
a
2).
Поскольку c>a,тоc2 − a2 > 0. Обозначим c2 − a2 = b2,гдеb =
=+

c2 − a2 . Тогда уравнение будет выглядеть так:
b2x2
−
a
2y2=a
2b2
или
x2
a2
−
y2
b2=1
—
каноническое уравнение гиперболы.Ну,правдаведь,всеодин
в один как у эллипса, только вместо плюса стоит минус!
Важно! Осталось доказать (как и в случае эллипса), что при
двукратном возведении в квадрат никаких посторонних решений не
возникло, то есть, что каноническому уравнению
x
2
a
2−
y2
b2 = 1дей-
ствительно удовлетворяют только точки гиперболы и ничего больше!
Сделаем это точно так же, как для эллипса.
15/25

Лекция No 13
189
Лемма 1. Если точка K(x, y) удовлетворяет уравнению
x
2
a
2−
−
y2
b2 = 1, то расстояния от нее до фокусов |KF1| = r1 и |KF2| = r2
являются линейными функциями от абсциссы x точки K (x, y):
r1 =|a+εx|,
r2=|a−εx|.
Доказательство слово в слово повторяет доказательство ана-
логичной леммы из пункта No 20 для эллипса (только кое-где вместо
знака «+» ставится знак «–», поскольку в каноническом уравнении
гиперболы стоит минус). Уж простите меня, я не буду повторять это
доказательство. Напишите его самостоятельно в качестве упражнения.
Теперь давайте посмотрим, что следует из леммы 1. Помним, что
эксцентриситет гиперболы ε>1.
Пусть у точки K(x, y) абсцисса x>0. Тогда a + εx —положитель-
ная величина, и модуль можно не писать: r1 = a + εx.Посколькуточ-
ка K (x, y) подходит в каноническое уравнение, то x  a (посмотрите
на каноническое уравнение внимательно, в нем из дроби
x
2
a
2 вычитается
положительная величина и получается единица, значит, дробь
x
2
a
2 1).
Поэтому a − εx суть величина отрицательная, так что если писать без
модуля, то надо написать r2 = −a + εx (поменяли знак). Теперь подме-
чаем, что явно εx + a>εx− a . Вычитаем из большего расстояния r1
меньшее расстояние r2 иполучаемr1 − r2 = 2a:точкаK(x, y) лежит
на гиперболе, поскольку удовлетворяет определению гиперболы!
Пусть теперь у точки K (x, y) абсцисса x<0. Точно такими же рас-
суждениями, как в предыдущем абзаце, получаем, что в этом случае
r1=−a
−
εx,
r2=a−εx.
После вычитания (из большего расстояния меньшего) опять-таки по-
лучается r2 − r1 = 2a:точкаK(x, y) на гиперболе! Таким образом,
каноническое уравнение
x
2
a
2−
y2
b2 = 1действительнозадаетгиперболу
и ничего больше. Доказали!

Теперь, когда мы получили каноническое уравнение гиперболы,
у нас появилась возможность ее нарисовать! Хоть узнаем, как она вы-
глядит! Из определения-то ее вид непонятен, гвоздики–веревочки–фло-
мастеры не применишь, гипербола — вам не эллипс!
Из канонического уравнения видно, что гипербола пересекает
ось OX вточкахa и −a,аосьOY не пересекает вовсе. Поэтому-то
16/25

190
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
фокальную ось гиперболы (ось OX) еще и называют «действитель-
ная». Поскольку в каноническое уравнение обе переменные входят
во второй степени, то видно также, что оси координат канонической
системы являются осями симметрии гиперболы, начало координат,
точка O, — центром симметрии (если точка (x0, y0) удовлетворяет урав-
нению
x
2
a
2−
y2
b2 = 1, то и симметричные точки (±x0 , ±y0) удовлетворяют
этому уравнению). Таким образом, гиперболу достаточно нарисовать
в первой четверти системы координат, а потом просто симметрично
отразить все нарисованное относительно осей и центра.
Применим неожиданный хитрый ход — поищем точку пере-
сечения гиперболы с «поворачивающейся» прямой y = kx (в первой
четверти канонической системы координат). Эта прямая проходит через
начало координат O и поворачивается вокруг точки O против часовой
стрелки при возрастании углового коэффициента k ∈ [0, +∞) начиная
от своего горизонтального (при k = 0) положения:
Абсциссы точек пересечения находятся из уравнения
x2
a2
−
k2x2
b2 =1,
откуда x =
ab

b2 − a2k2
(взяли положительный корень, так как
дело происходит в первой четверти). Таким образом, точка
пересечения гиперболы с прямой y = kx имеет координаты
ab

b2 − a2k2
,
abk

b2 − a2k2
—п
ро
в
е
рь
т
е(
х
о
т
яб
ып
о
д
с
т
а
н
о
в
к
о
й
в каноническое уравнение), правильно ли я вычислил эти координаты.
Давайте смотреть, что происходит с ростом углового коэффициен-
та k.Приk = 0 знаменатель дроби
ab

b2 − a2k2
наибольший, значит
ближайшая к началу координат точка гиперболы — это точка (a,0)
пересечения гиперболы с осью OX.Сростомk знаменатель уменьша-
ется, дробь
ab
b2 − a2k2
увеличивается, точка пересечения гиперболы
спрямойy = kx отодвигается вправо и, разумеется, поднимается вверх
(прямая-то поворачивается!). А вот когда угловой коэффициент станет
17/25

Лекция No 13
191
равным k =
b
a
, наступит страшное! Знаменатель обратится в ноль,
то есть прямая y = kx перестанет пересекать гиперболу! Прямая
y = kx пересекает гиперболу при k ∈
/0,
b
a
 и не пересекает вовсе,при
k∈
/b
a
,+∞
. Что это означает на рисунке? Это означает, что надо
рисовать так, как рис. 3.
Рис. 3 . Гипербола целиком лежит в сереньких частях плоскости
Критический угол φ такой, что k =tgφ =
b
a
(при таком угле пря-
мая y = kx перестает пересекать гиперболу), очень легко нарисовать
точно — нарисуйте прямоугольник со сторонами 2a и2b сцентром
в начале координат и сторонами параллельными осям, потом проведите
в нем диагонали — это и будут прямые
y=±
b
a
x.
Определение. Прямые y = ±
b
a
x называются асимптотами ги-
перболы
x
2
a
2−
y2
b2 = 1. Прямоугольник со сторонами 2a и2b сцен-
тром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат,
предлагаю называть опорный прямоугольник гиперболы (в книжках
я раньше такого названия не встречал, но мне оно кажется удобным
и «говорящим», его диагонали — асимптоты гиперболы). Точки (a,0)
и (−a,0) называются вершинами гиперболы. Отрезок a называется
действительная полуось гиперболы, отрезок b — мнимая полуось.
В принципе, наверное, уже ясно, как выглядит гипербола в первой
четверти: прямая y = kx сростомk поворачивается до положения y =
=
b
a
x; точка гиперболы на ней при этом повороте смещается вправо
(и, разумеется, поднимается вверх).
18/25

192
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Смотрите ниже пояснительный рисунок без номера — на нем пока-
зано движение точки пересечения прямой y = kx с гиперболой.
Тем не менее давайте окончательно подтвердим нашу интуицию
следующейполезнойлеммой.
Лемма 2. Произведение расстояний от точки гиперболы
до асимптот постоянно и равно
a2b2
a2+b2.
Доказательство. Уравнения асимптот: bx − ay = 0иbx + ay =
= 0. Расстояния от точки M (x, y) на гиперболе до этих асимптот
(вспоминаем пункт No 12 из лекции No 8 — нормальное уравнение
прямой и формулу расстояния от точки до прямой):
h1=
|bx − ay|
√
a2+b2
,
h2=
|bx + ay|
√
a2+b2
.
Так как точка M(x, y) лежит на гиперболе, то b2x2 − a2y2 = a2b2,
поэтому
h1h2 =
|bx − ay|
√
a2+b2
·
|bx + ay|
√
a2+b2
=
|b2x2 − a2y2|
a2+b2
=
a2b2
a2+b2.
Доказали.

Из этой леммы 2 следует, что если точка движется по гиперболе
так, что ее абсцисса возрастает, то расстояние от этой точки до одной
из асимптот обязательно стремится к нулю, ведь расстояние до дру-
гой асимптоты возрастает, а произведение этих расстояний постоянно!
Следовательно, асимптоты гиперболы — это прямые, к которым гипер-
бола неограниченно приближается, но никогда их не пересекает! Вот
чтотакоенастоящаячистаяплатоническаялюбовь!
19/25

Лекция No 13
193
Создадим, наконец, окончательный рисунок гиперболы, рис. 4 .
Рис. 4 . Гипербола, ее опорный прямоугольник и асимп тоты. Гипербола состоит
из двух симме тричных ветвей
Гипербола состоит из двух симметричных веточек — это ожидалось
еще с тех пор, когда греки получали гиперболу разрезанием конуса
плоскостью, пересекающей обе конические полости (смотрите рис. 1
в начале лекции No 12).
Уф-ф, нарисовали! Гипербола
x
2
a2
−
y2
b2=1
проходит целиком снаружи опорного прямоугольника, а вот эллипс
x
2
a
2+
y2
b2 = 1лежалбыцеликомвнутри него! Меня не покидает ощу-
щение, что гипербола — это какой-то «вывернутый наизнанку» эллипс!
Тем более что (чисто формально) из уравнения эллипса
x
2
a
2+
y2
b2=1
сделать уравнение гиперболы
x
2
a
2−
y2
b2 = 1 очень легко, надо просто
заменить переменную y на iy,гдеi2 = −1
—
мнимая единица. Однако
давайте пока оставим в неприкосновенности все эти тайны взаимоот-
ношений кривых второго порядка, чтобы сохранить интригу в лекциях
по геометрии на старших курсах. Сейчас давайте только, как мы это
сделали ранее для эллипса (в пункте No 20), зафиксируем абзац «танцы
вокруг теоремы Пифагора» для гиперболы.
Запомним. Неравенство: c>a.ТеоремаПифагорадляпа-
раметров гиперболы: c2 = a2 + b2.Полуосигиперболыравны:a —
действительная полуось и b =

c2 − a2 — мнимая полуось. Полу-
расстояние между фокусами равно c =

a2 + b2 .Эксцентриситет
20/25

194
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
ε=
c
a
=

a2+b2
a
> 1. Фокусы гиперболы лежат на оси OX за пре-
делами опорного прямоугольника, и на рис. 4 показано, как постро-
ить фокус гиперболы с помощью циркуля: надо иголочку циркуля
поставить в начало координат и карандашиком циркуля опустить на
ось OX конец диагонали опорного прямоугольника по пунктирной дуге
окружности.
Определение. Дир ектри сами гиперболы
x
2
a
2−
y2
b2 = 1 называ-
ются вертикальные прямые x = ±
a
ε
.
Директриса и фокус, лежащие
с одной стороны от оси OY , называются соответствующими.
Смотрите рис. 5 .
Рис. 5 . Гипербола, ее директрисы, фокальные радиусы точки K и расстояния
от K до директрис
Поскольку ε>1, то директрисы гиперболы лежат ближе к началу
координат, чем вершины гиперболы: как бы «внутри» гиперболы, меж-
ду ее веточками. А у эллипса они лежали снаружи самого эллипса,
помните? Однако для гиперболы, как и для эллипса, справедлива
теорема.
Теорема (директориальное свойство гиперболы). Для любой
точки K(x, y) гиперболы
x
2
a
2−
y2
b2 = 1 отношение ее фокального ра-
диуса к расстояниюдо соответствующей этому фокусу директри-
сы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы:
r1
d1
=
r2
d2
=ε.
Доказательство директориального свойства для гиперболы точ-
но такое же, как и для эллипса, поэтому я не буду его здесь проговари-
вать. Отличие только в том, что пользоваться придется леммой 1 насто-
ящего пункта, а в этой лемме фигурируют модули, поэтому надо будет
21/25

Лекция No 13
195
рассматривать несколько случаев — как эти модули «раскрывать» .
Напишите, пожалуйста, это доказательство самостоятельно в качество
упражнения.
Отмечу,чтотакже,какидляэллипса,справедливоиобратное
утверждение.
Ут в е р жде н и е . Множество точек, отношение расстояния от каж-
дой из которых до фокуса к расстоянию до данной прямой есть вели-
чина постоянная, равная заданному числу ε>1, является гиперболой.
Таким образом, директориальное свойство можно было бы
взять за определение гиперболы,номысваминепошлипотакому
пути из-за определенных сложностей с введением канонической си-
стемы координат; об этих сложностях уже шла речь в пункте No 21
для случая эллипса. На экзамене я советую вам формулировать и до-
казывать директориальное свойство только «в одну сторону», как это
сделано в формулировке нашей теоремы.
Наконец, для полноты картины приведу традиционные факты про
касательные к гиперболе. Доказывать их я не буду, поскольку все до-
казательства проводятся точно так же, как для эллипса в пункте No 21.
Вас не должно удивить, что уравнение касательной к гиперболе
x
2
a
2−
y2
b2 = 1вточке(x0 , y0) этой гиперболы выглядит так:
x0x
a2
−
y0y
b2 =1,
—
до боли в глазах похоже на уравнение касательной к эллипсу, только
здесь стоит знак « –», а не «+ ». Думаю, что вы нисколько не удивитесь
иследующемусвойству.
Теорема (оптическое свойство гиперболы). Касательная к ги-
перболе в точке K (x0, y0) является биссектрисой внутреннего угла
между фокальными радиусами точки K(x0, y0) 1).
Следующие картинки (каковых в интернете полным-полно), рис. 6,
прекрасно иллюстрируют, почему свойство называется «оптическим».
Поднимите руку, кто читал роман А.Н . Толстого «Гиперболоид ин-
женера Гарина»? В этом фантастическом романе инженер Петр Гарин
изобретает некое «лазерное» оружие — систему зеркал гиперболиче-
ской формы. В фокусе гиперболы зажигается угольная пирамидка,
лучи от которой, якобы, собираются в мощный параллельный пучок
света, который прожигает все, что попадается на его пути. Теперь нет
нужды говорить, что такого не может быть — оптическое свойство
гиперболы как раз утверждает, что лучи от источника света разойдутся
в разные стороны. Не будем упрекать Алексея Николаевича Толстого
1) Напоминаю, что у эллипса касательная была биссектрисой внешнего угла
между фокальными радиусами
22/25

196
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Рис . 6 . а) Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то
лучи, отразившись от нее, пойдут так, как будто бы они исходят из другого
фокуса. б) Лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей
ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса
в незнании аналитической геометрии (и многих других физических
принципов, ставящих крест на идее создания узкого параллельного
светового пучка с помощью системы зеркал). В конце концов его роман
не о технической документации лучевого оружия, а о гораздо более
важных нравственных сущностях, предполагаемых в человеческом об-
ществе, но постоянно нарушаемых в нем. Тем не менее, если вы,
заинтересовавшись, пороетесь в интернете, то увидите, что гипербо-
лические зеркала много где используются в современных технических
устройствах. Например, они используются в акустических приборах
для определения расстояния до источника звука (летящего самолета
или шумящей подводной лодки), в астрономических телескопах (систе-
мы Кассегрена) и много где еще, то есть приносят очевидную пользу
людям. Слава гиперболе!
Пункт No 22 закончен.
23. Парабола
Парабола — еще одна кривая второго порядка, возникшая у древних
греков при разрезании конуса. Поизучаем ее в этом пункте.
Чтобы внести разнообразие в манеру изложения материала, предла-
гаю, наконец, извратиться, и в этом пункте сразу взять за определение
линии ее директориальное свойство! Ну, чтобы явно показать, что
такой путь определения тоже возможен! Мы много говорили про такой
путь определения в предыдущих пунктах об эллипсе (эксцентриси-
тет ε<1) и гиперболе (эксцентриситет ε>1), но там я предостерегал
вас от хождения по такому пути из-за неприятных сложностей с выбо-
ром канонической системы координат. В этом пункте все будет просто,
поскольку у основной героини этого пункта — параболы — эксцентри-
ситет будет разумно считать равным единице, ε = 1, и каноническую
систему координат нарисовать будет очень легко.
23/25

Лекция No 13
197
Рис. 7. Что нам дано
в определении параболы
Определение (оно же — директори-
альное свойство параболы). Множество M
точек плоскости, расстояние от каждой из
которых до фиксированной точки (фокуса)
равно расстоянию до фиксированной прямой
(директрисы), называется параболой.
Смотрите рис. 7, на нем показано, что
дано в определении параболы.
Фокальный радиус r точки K ∈ M ра-
вен расстоянию d от точки K до жирной
прямой — директрисы. Отношение фокального радиуса к расстоя-
нию до директрисы, которое в предыдущих пунктах как раз и было
эксцентриситетом линии (эллипса и гиперболы), теперь равно еди-
нице:
r
d
=ε=1.
Чтобы вывести уравнение параболы, введем удобную систему коор-
динат.
Определение. Декартова прямоугольная система коорди-
нат XOY ,гдеосьOX которой проходит через фокус F перпендику-
лярно директрисе и направлена в сторону полуплоскости, в которой
лежит фокус, ось OY является серединным перпендикуляром отрезка
оси OX между фокусом и директрисой, называется канонической
системой координат параболы. Ось OX называется осьюпараболы.
Рис . 8 . Каноническая сис тема координат для параболы
Смотрите на рис. 8 . Расстояние от фокуса до директрисы обозна-
чим p,числоp>0называетсяпараметром параболы.Фокусвка-
нонической системе координат получает координаты F
p
2
,0
,ади-
ректриса оказывается вертикальной и получает уравнение x = −
p
2
.
В канонической системе координат очень легко находятся расстояния
24/25

198
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
от произвольной точки K(x, y) до директрисы и до фокуса:
d=


x+
p
2


, r=
(x−p)2+y2.
Выведем уравнение параболы. Определение параболы таково:


x+
p
2


=
.x −
p
2
2
+ y2 . Это, по сути, уже и есть уравнение пара-
болы,толькоизнегопоканевидно,чтопарабола—криваявторого
порядка, да и внешний вид параболы из этого уравнения представить
затруднительно.
Возводим в квадрат — модуль и корень пропадают:
x
2+px+
p2
4
=x
2−px+
p2
4
+ y2.
Приводим подобные,
y2 = 2px,
получили каноническое уравнение параболы. Совсем простое уравне-
ние второй степени и, в отличие от уравнений эллипса и гиперболы,
одна из переменных входит в него первой степени.
Ввашейголовеужедолжнопрочнозасесть,чтозаканчивать
в этом месте рассказ про вывод канонического уравнения линии
нельзя! Ни на экзамене, ни на госэкзамене, ни при контакте с ино-
планетянами в попытках поделиться с ними достижениями нашей
человеческой цивилизации! Надо еще доказать, что при возведении
в квадрат не возникло посторонних решений, то есть, что любая точка,
удовлетворяющая полученному уравнению, действительно находится
на параболе!
Возьмем произвольную точку P (x, y), координаты которой удовле-
творяют уравнению y2 = 2px. Посчитаем расстояние от нее до фоку-
саF
p
2
,0
:
|PF| =
.x −
p
2
2
+y2 =
.x −
p
2
2
+2px =
=
.x2−px+
p2
4
+2px =
.x +
p
2
2
=


x+
p
2


.
Получилось, что расстояние |PF| в точности равно расстоянию
d=


x+
p
2


отточкиPдодиректрисыx=−
p
2
.
Это означает, что
точка P находитсянапараболе,таккакэтаточкаудовлетворяет
определению параболы! Вот теперь все. Уравнение y2 = 2px задает
параболу, и парабола действительно является линией второго порядка.
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

Лекция No 13
199
Пришла пора нарисовать параболу.
Из уравнения y2 = 2px следует, что парабола симметрична относи-
тельно оси OX, проходит через начало координат и целиком находится
вполуплоскостиx  0 (в первой и четвертой четвертях). Если поме-
нять местами оси координат, то есть сделать замену репера — поворот
декартовой прямоугольной системы координат на угол φ = −90
◦
(смот-
рите лекцию No 4, частный случай No 2), то формулы преобразования
координат будут такими:
x=x

cos(−90
◦
)−y

sin(−90
◦
),
y=x

sin(−90
◦
)+y cos(−90
◦
),
то есть
x=y

,
y= −x

,
а уравнение параболы в повернутой системе координат станет при-
вычным школьным, y

=
1
2p
x2
; такую параболу школьники рисовать
умеют. Таким образом, наша парабола y2 = 2px в канонической систе-
ме координат — это вальяжно улегшаяся на бок школьная парабола
y
=
1
2p
x2
,аотпараметраp зависит ширина веточек параболы. Смот-
рите рис. 9 .
Рис. 9 . Парабола в канонической системе координат, ее директриса и фокус
Наконец, под занавес сегодняшней лекции я быстренько, без дока-
зательств сообщу вам сведения про касательные к параболе. Уравнение
касательной к параболе в точке (x0, y0) на этой параболе выглядит
совсем просто и вполне ожидаемо:
y0y=p(x+x0).
1/25

200
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Теорема (оптическое свойство параболы). Касательная к па-
раболе в произвольной точке P на этой параболе является бис-
сектрисой внешнего угла между фокальным радиусом точки P
ипрямой, проходящей через точку P параллельно оси параболы.
Смотрите рис. 10, иллюстрирующий оптическое свойство.
Рис . 10. Оп тическое свойство параболы — луч света, выйдя из фокуса, отра-
зится от параболы и пойдет параллельно ее оси
Ребята! Это очень полезное свойство! Параболические зеркала
работают во всех фонариках, автомобильных фарах, прожекторах —
везде, где надо получить направленный и почти параллельный поток
света. Лампочка зажигается в фокусе (эх, она — не точечный источник
света, к сожалению), и лучи от нее, отразившись от параболического
зеркала, выходят из прожектора направленным снопом света и освеща-
ют все, что надо: кнопку лифта в подъезде (когда в подъезде негодяи
выкрутили лампочку), ночную дорогу перед автомобилем, клоуна на
арене цирка, вражеский бомбардировщик в ночном небе.
Параболические антенны, наоборот, собирают радиоволны в фокусе,
где расположен приемник, — именно так параболы работают в пара-
болических тарелках для телевизоров, радиотелескопах и оптических
телескопах, радарах и ретрансляторах.
2/25

Лекция No 13
201
Вот еще немножко картинок про параболы в нашей жизни.
Закончим этими красивыми картинками пункт No 23, а с ним и всю
лекцию No 13. До встречи в следующей лекции!
Задачки к Лекции No 13
1. Танцы вокруг теоремы Пифагора. Составьте уравнение гипербо-
лы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если:
А) ее действительная полуось 5, мнимая полуось 4;
Б) расстояние между фокусами 10, мнимая ось 8;
В) расстояние между фокусами 6, эксцентриситет ε = 3/2;
Г) действительная ось равна 16, а эксцентриситет ε = 5/4;
Д) расстояние между фокусами 20, а уравнения асимптот y = ±
4
3
x;
Е) расстояние между директрисами 228/13, а расстояние между
фокусами 26;
Ж) расстояние между директрисами равно 32/5, а мнимая ось
равна 6;
З) расстояние между директрисами равно 8/3, а эксцентриситет
ε=3/2;
И) уравнения асимптот y = ±
4
3
x, а расстояние между директриса-
ми 64/5.
2. Найти точки на гиперболе
x
2
9
−
y2
16
= 1, расстояние от которых
до левого фокуса равно 7.
3. Гипербола называется равносторонней, если ее опорный прямо-
угольник — квадрат. Найдите эксцентриситет равносторонней гипер-
болы.
4. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса
x
2
25
+
y2
9
=1.
Составьте уравнение этой гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.
3/25

202
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
5. Составьте уравнение гиперболы, если ее фокусы F1(3; 4)
и F2(−3; −4), а расстояние между директрисами 3,6.
6. То чк а M(1; −2) лежит на гиперболе, фокус которой F (−2; 2),
а соответствующая директриса имеет уравнение 2x − y
−
1=0.Со-
ставьте уравнение этой гиперболы.
7. (No739* из задачника Моденова–Пархоменко.) Написать уравне-
ние равносторонней гиперболы, для которой ось ОХ служит асимпто-
той, а точка (1; 1) —вершиной.
8. На параболе y2 = 16x найти точки, фокальный радиус которых
равен 13.
9. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F (2; −1)
и директриса x − y
−
1=0.
10. (No747* из задачника Моденова–Пархоменко.) Докажите, что
если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются
в 4 точках, то эти точки лежат на одной окружности.
11. (No746* из задачника Моденова–Пархоменко.) Найдите наи-
больший радиус круга, лежащего внутри параболы y2 = 2x икасающе-
гося параболы в ее вершине.
12. (No760 из задачника Моденова–Пархоменко.) Найдите фокус
и директрису параболы 3x2 + 12x + 16y − 12 = 0.
13. (No785* из задачника Моденова–Пархоменко.) Написать урав-
нение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (1; 1) иасимпто-
туx+y=0.
14. Написать уравнения касательных к гиперболе x2 − y2 = 16,
проведенных из точки A(−1; −7).
15. На параболе y2 = 64x найти точку Ф, ближайшую к прямой
4x + 3y − 14 = 0, и найти расстояние от A до этой прямой.
4/25

Лекция No 14
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь! Начнем нашу встречу.
Эллипс, гипербола, парабола — все это линии второго порядка.
А какие еще бывают линии второго порядка на плоскости? Вопрос —
царь вопросов.
С линиями первого порядка на плоскости все было просто. На-
писали уравнение первой степени в общем виде Ax + By + C = 0
и доказали, что это уравнение задает прямую линию и ничего больше.
А вот уравнение второй степени в общем виде даже выглядит как-то
устрашающе:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.1)
(♣)
Разумеется, считаем, что A2 + B2 + C2

= 0, то есть коэффициен-
ты в трех первых слагаемых второй степени одновременно не равны
нулю — мы же хотим изучать уравнение именно второй степени,
а не первой или нулевой!
Как понять, какие множества точек на плоскости может задавать
такое уравнение? Какие линии второго порядка еще бывают в природе
кроме древнегреческих конических сечений?
Вэтойлекциимыдадимответнаэтивопросы,апомогутнам
предыдущие знания и наша почти божественная интуиция.
24. Классификация линий второго порядка
на плоскости
Пусть дана декартова прямоугольная система координат и в ней
дано уравнение второго порядка Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F =
= 0, которое мы обозначили символом (♣). Какое множество точек оно
может задавать?
Определение. Множество точек плоскости, задаваемое уравнением
второго порядка Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, называется
квадрикой.
Какие бывают квадрики, нам предстоит выяснить в этом пункте.
Мы уже многократно встречались с ситуацией, когда одна и та
же линия в одной системе координат имеет сложное уравнение, а в дру-
гой системе координат, более удачной, у линии оказывается уравнение
очень простое. Да такое простое, что, глядя на него, легко сказать,
как выглядит эта линия и даже нарисовать ее. В этом и заключается
основная идея настоящего пункта — выбрать такую удачную систему
координат, чтобы сложное уравнение (♣)второгопорядкасталовней
простым и понятным, доступным к пониманию человеческими мозгами.
1) Коэффициенты 2B,2D,2E обозначены так потому, что потом часто будут
встречаться как раз половины этих коэффициентов. То есть для удобства.
5/25

204
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Конкретизирую словосочетание «более простое» уравнение.
Уравнение считается «более простым» , чем исходное, если оно такого
же вида, как исходное, но среди его коэффициентов больше нулей!
Мысль простая, но почему-то первокурсники теряются на экзамене
от вопроса: «Что значит более простое уравнение»?
Итак, для упрощения уравнения (♣) надо выбрать удачную систему
координат. Помогут нам в этом деле две леммы. С них и начнем.
Первая лемма позволяет простым поворотом системы координат «уни-
чтожить» в уравнении (♣) крайне неприятное слагаемое 2Bxy.
Лемма 1. Пусть в уравнении (♣) коэффициент B

= 0. Тогда
существует угол φ

= 0 такой, что после поворота исходной систе-
мы координат на этот угол φ

= 0 уравнение (♣) в«повернутой»
системе координат примет вид Ax
2
+ Cy
2
+ 2Dx

+ 2Ey

+F
=
= 0 — коэффициент при произведении неизвестных станет равен
нулю, произведение xy «пропадет».
Доказательство. Напишем формулы замены координат при по-
вороте на угол φ (смотрите лекцию No 4, частный случай No 2 —
поворот декартовой прямоугольной системы координат):
x=x

cosφ−y

sin φ,
y=x

sinφ+ycosφ.
Подставляем эти выражения для x и y в уравнение (♣):
A(x

cosφ−y

sin φ)2 + 2B(x

cosφ−y

sin φ)(x

sinφ+y

cos φ)+
+ C(x

sinφ+y

cosφ)2+... = 0.
Здесь многоточием я обозначил слагаемые первой степени и свобод-
ный член, которые нет необходимости выписывать, поскольку в них
произведение xy

не входит, а нас в этой лемме интересует лишь
коэффициент перед произведением x y

.
Выпишем этот коэффициент;
для этого мысленно раскроем скобки, приведем подобные и напишем,
что именно окажется перед произведением xy

;этобудетвыражение
−2Acosφsinφ+2B(cos
2
φ−sin
2
φ)+2C cos φ sin φ,
то есть
(C − A)sin2φ + 2B cos 2φ.
Мы хотим подобрать такой угол φ, чтобы этот коэффициент стал равен
нулю,
(C−A)sin2φ+2Bcos2φ=0.
В этом месте дети должны обрадоваться, поскольку дело све-
лось к решению простенького тригонометрического уравнения, а этому
в школе учат навязчиво, особенно при подготовке к ЕГЭ. Но, на самом
деле нам вовсе и не надо искать все решения этого уравнения, ведь
6/25

Лекция No 14
205
для доказательства леммы достаточно указать хотя бы один угол φ,
подходящий в это уравнение.
Если C = A,топодойдетуголφ =
π
4
,чтоочевидно.
Если в уравнении (♣) коэффициенты при x2 и y2 совпадают,
то систему координат надо вертеть на 45◦
,тогдаслагаемое2Bxy
пропадет!
Если C

= A,то2B cos 2φ =(A − C )sin2φ,тоестьctg 2φ =
A−C
2B
.
Вэтомслучаеочевидноподойдетуголφ такой, что
2φ = arcctg
A−C
2B
,т
ое
с
т
ьφ=
1
2
arcctg
A−C
2B
.
Конечно, в уравнение 2B cos 2φ =(A − C)sin2φ подойдет и много
других разных углов, но нам важно, что хотя бы один такой угол
существует — после поворота репера на любой из них и выполнения
соответствующей замены координат в исходном уравнении (♣)произ-
ведение переменных пропадет.
Доказали лемму 1.

После леммы 1 надо показать какой-нибудь простенький пример.
Пример. Угадайте, какая линия задается уравнением x2 + 6xy +
+y2=8 и нарисуйте ее.
Решение. Поскольку в данном уравнении коэффициенты перед
квадратами одинаковые, повернем систему координат на угол 45◦ :
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x=x

cos
π
4
−
y
sin
π
4
=
√
2
2
(x

−
y),
y=x

sin
π
4
+y
cos
π
4
=
√
2
2
(x

+ y).
Подставляем x и y в исходное уравнение:
1
2
(x
2
−
2x

y+y
2
)+
1
2
· 6(x
2
−
y2
)+
1
2
(x
2
+2x

y+y
2
)=8,
приводим подобные: 4x2
−
2y2
= 8. Произведение переменных про-
пало! Вот оно — Торжество Разума и Божественная Мудрость Мате-
матики!
Если разделить обе части уравнения на 8, то легко узнать канони-
ческое уравнение гиперболы
x2
2
−
y2
4
=1.
Таким образом, уравнение x2 + 6xy + y2 = 8висходнойсистеме
координат задает гиперболу с полуосями
√
2и2.Кстати,теперьмы
легко можем ее нарисовать!
7/25

206
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Дляэтогонужносначалаповернутьосиисходнойсистемыко-
ординат XOY на угол 45◦
—
получится вспомогательная «поверну-
тая» система координат X OY  (нарис.1онаизображенапункти-
ром). Во вспомогательной пунктирной системе координат надо нарисо-
вать опорный прямоугольник гиперболы (пунктирный прямоугольник
с центром в начале координат и со сторонами 2
√
2и4).Затемсле-
дует продолжить неограниченно диагонали опорного прямоугольника
(это асимптоты гиперболы) и аккуратно нарисовать саму гиперболу
x
2
2
−
y2
4
= 1 во вспомогательной системе координат X OY 
.
Рис. 1. Гипербола во вспомогательной «повернутой» системе координат
Для получения окончательного ответа (рис. 1 и рис. 2) надо стереть
резиночкой все вспомогательные пунктирные линии — оси координат,
асимптоты и опорный прямоугольник. Останется линия x2 + 6xy + y2 =
= 8висходнойсистемекоординат.
X
Y
Рис. 2 . Гипербола в исходной
системе координат
Замечание. Рассмотренный пример
получился столь простым потому, что
в уравнении x2 + 6xy + y2 = 8коэффи-
циенты при квадратах оказались одина-
ковыми и мы сразу нашли угол поворота
φ=45◦
,апотомиcos 45◦
=sin45◦
=
=
√
2
2
.
В общем случае найти абсолют-
но точное (не приближенное!) значение
угла φ из соотношения ctg 2φ =
A−C
2B
очень непросто и чаще всего принципи-
ально невозможно. Но я хочу обратить
8/25

Лекция No 14
207
ваше внимание, что сам угол φ нам искать и не нужно! Для фор-
мул поворота системы координат нужно знать только cos φ и sin φ,
то есть решить стандартную школьную задачку по тригонометрии:
«Дан ctg 2φ =
A−C
2B
,найтиcos φ и sin φ». Настоятельно рекомендую
вам перед практическим занятием по этой теме повторить простейшие
школьные тригонометрические формулы!
После того, как лемма 1 доказана (и даже разобран поясняющий
пример), становится понятно, что вместо самого общего уравнения вто-
рого порядка (♣) достаточно рассматривать только уравнение второго
порядка вида
Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,
()
не содержащее произведения xy. Исходное общее уравнение (♣)при-
водится к виду ( ) подходящим поворотом системы координат. Вопрос
по-прежнему остается: какое множество точек может задавать уравне-
ние ( )? Для ответа на этот вопрос давайте еще немного модернизи-
руем систему координат.
Лемма 2.Если вуравнениеAx2+Cy2+2Dx+2Ey+F =0
входит (с ненулевым коэффициентом) квадрат одной из перемен-
ных, то подходящим параллельным переносом системы координат
можно избавиться от слагаемого с первой степеньюэтой пере-
менной.
Доказательство. Пусть, например, A

= 0. Тогда выделим
в уравнении ( )полныйквадрат:
A
x2+2
D
A
x+
D2
A2
−
D2
A
+Cy2+2Ey+F=0,
то есть
A
x+
D
A
2
+Cy2+2Ey+
F−
D2
A
= 0;
сделаем замену переменных,
+x

=x+
D
A
,
y
=y,
которая есть не что иное, как формулы параллельного переноса (начало
координат исходной системы XOY сдвигается в точку O
−
D
A
,0
,
а оси координат не меняют своего направления, смотрите лекцию No 4,
частный случай No 1 — параллельный перенос системы координат).
В этой «передвинутой» вдоль оси OX системе координат уравнение ( )
преобразуется и будет иметь требуемый вид
Ax
2
+ Cy2
+2Ey+F
=0
9/25

208
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
(я обозначил число F −
D2
A
буквой F ). Видно, что получившееся
уравнение не содержит первой степени переменной x
.
Лемму 2 доказали.

Итог. Поразмышляйте. Любое уравнение второго порядка
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
упрощается следующим образом: сначала лемма 1 убирает произве-
дение xy (поворотом репера), затем лемма 2 убирает первые степени
переменных, если есть вторые степени этих переменных (параллель-
ным переносом репера). В итоге в некоторой повернутой и сдвинутой
системе координат исходное уравнение будет иметь один из следующих
двух видов. Простите, я снова обозначаю коэффициенты и переменные
буквами без штрихов (хоть они и претерпели преобразования коорди-
нат), чтобы не загромождать запись.
Вид No 1. Имеются квадраты обеих переменных (и тогда нет
первых степеней этих переменных). Тогда уравнение может быть запи-
сано так:
Ax2+Cy2=F.
Вид No 2. Имеется квадрат только одной переменной, напри-
мер y2 (и тогда нет y в первой степени). Тогда уравнение может быть
записано так:
Cy2+2Dx+F=0.
Дальнейшее исследование вопроса «Какое множество точек может
задавать уравнение второго порядка?» сводится к аккуратному разбо-
ру случаев, какие могут быть знаки у коэффициентов в уравнениях
первого и второго вида. Наберемся чуточку терпения и проделаем эту
работу.
Вид No 1, случай 1. Пусть коэффициенты A и C в уравнении Ax2 +
+ Cy2 = F одинаковых знаков,например,обаположительные:A>
> 0, C>0 (иначе умножим уравнение на –1). Для коэффициента F
имеются три возможности — быть больше нуля, быть меньше нуля,
быть равным нулю. Вот эти возможности.
1.1.1. F>0. Разделим уравнение Ax2 + Cy2 = F на F ,обозначим
положительные числа
F
A
= a2,
F
C
= b2,получим
x2
a2+
y2
b2=1.
10/25

Лекция No 14
209
Ребята, мы уже знаем, что это эллипс!Рисуночек:
1.1.2. F<0. Разделим уравнение Ax2 + Cy2 = F на −F ,обозначим
положительные числа
−F
A
= a2,
−F
C
= b2,получим
x2
a2+
y2
b2=−1.
Ребята! Это уравнение задает пустое множество! Сумма квадратов
не может быть отрицательным числом! Эта «линия» на плоскости (бла-
годаря сходству своего уравнения с уравнением эллипса) называется
мнимый эллипс.Рисуночек:
1.1.3. F = 0. В этом случае уравнение Ax2 + Cy2 = 0ниначто
делить не будем, просто обозначим положительные числа A = a2 и C =
= b2.Получим
a
2x2+b2y2=0.
Ежу понятно, что в это уравнение подходит только одна точка —
начало координат O(0, 0). Такая ущербная «линия» так и называется —
точка. Рисуночек особенно красив:
Между прочим, древние греки наблюдали такое явление, когда рас-
секали конус плоскостью, проходящей через вершину конуса и больше
нигде конус не пересекающей, — в этом случае коническое сечение
является просто одной точкой (вершиной конуса). Древних греков
линией«точка»неудивишь!
11/25

210
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Вид No 1, случай 2. Пусть коэффициенты A и C в уравнении Ax2 +
+ Cy2 = F разных знаков,например,A>0, C<0 (иначе умножим
уравнение на –1). Для коэффициента F имеются две возможности.
1.2.1. F

= 0. Разделим уравнение Ax2 + Cy2 = F на F иполучим
x
2
F/A
+
y2
F/C
= 1, причем числа F/A и F/C имеют разные знаки.
Обозначим модули этих чисел |F/A| = a2, |F/C| = b2 иполучим,что
исходное уравнение Ax2 + Cy2 = F приводится к одному из двух видов:
либо
x2
a2
−
y2
b2=1, либо −
x2
a2+
y2
b2=1.
Ребята, мы знаем, что это гиперболы! Первая каноническая, у вто-
рой оси координат поменялись ролями. Рисуночки:
1.2.2. F = 0. Для определенности будем считать, что в уравнении
Ax2 + Cy2 = 0 коэффициенты A>0, C<0 (иначе умножим это урав-
нение на –1). Обозначим A = a2, |C| = b2 и получим такое уравнение:
a
2x2
−
b2y2 = 0.
Ребята! Это разность квадратов: (ax − by)(ax + by)=0. Произве-
дение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей
равен нулю, следовательно уравнение a2
x
2 − b2y2 = 0 задает пару пря-
мых, проходящих через начало координат:
!ax−by=0,
ax+by=0.
Посмотрите-ка! Бывшая гипербола Ax2 + Cy2 = F (AC < 0)
при F = 0 «выродилась» в пару пересекающихся прямых, в свои
асимптоты! Древние греки, разумеется, наблюдали это явление, когда
рассекали конус вертикальной плоскостью, проходящей через ось
и вершину конуса, — в таком сечении получается как раз пара
пересекающихся образующих конуса. Редкий случай! Надо очень
точно конус распилить! Аккуратно плоскостью через его ось! Только
редкие виртуозы-мастера древнегреческого ручного пиления могли
сотворить такое чудо!
12/25

Лекция No 14
211
Рисуночек:
—
эта квадрика называется пара пересекающихся прямых.
Вид No2. В уравнении Cy2+2Dx+F =0 коэффициент C за-
ведомо отличен от нуля, поскольку это уравнение второго порядка.
Разделим это уравнение на C

= 0, получимy2+2
D
C
x+
F
C
= 0или
(после переобозначения коэффициентов)
y2+2D
x+F
=0.
Вид No 2, случай 1. Пусть D

= 0. Преобразуем уравнение:
y2+2D
x+
F
2D
= 0.
Сделаем параллельный перенос системы координат:
⎧
⎨
⎩
x
=x+
F
2D
,
y
=y,
—началокоординатсдвигаетсявточкуO
−
F
2D ,0
. Наше уравнение
примет вид y2
+ 2Dx = 0, а если еще обозначить −D

= p,товид
станет совсем узнаваемым:
y2
= 2px.
Ребята, это парабола! Рисуночек:
Вид No 2, случай 2. Пусть теперь D

= 0. Уравнение имеет вид
y2+F
= 0. Для коэффициента F  имеются три возможности — быть
меньше нуля, быть больше нуля, быть равным нулю. Вот эти возмож-
ности.
13/25

212
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
2.2.1. F

< 0. Обозначим −F

= a2. Получается уравнение
y2=a
2,
которое очевидно имеет два решения, y = ±a. Такая квадрика называ-
ется пара параллельных прямых.Рисуночек:
Конечно, когда древние греки пилили конусы, они такую квадри-
ку увидеть не могли. Но древние греки рассекали плоскостями не
только конусы, а еще и цилиндры. А вот в сечении цилиндра такая
квадрика — пожалуйста! Рассеките цилиндр плоскостью, параллельной
оси цилиндра, да проходящей от оси на расстоянии, меньшем радиуса
цилиндра, — получится пара параллельных прямых:
2.2.2. F

> 0. Обозначим F 
= a2. Получается уравнение
y2
=−a
2
,
которое очевидно в поле действительных чисел решений не имеет
и задает на плоскости пустое множество. Однако по аналогии с преды-
дущим случаем (парой параллельных прямых) и с намеком на ком-
плексную плоскость квадрика y2 = −a2 называется пара мнимых па-
раллельных прямых. Рисуночек очень прост:
14/25

Лекция No 14
213
2.2.3. F

= 0. В этом случае получается уравнение
y2=0.
Ребята, это уравнение квадратное, и оно имеет два решения:
y1 = 0иy2 = 0! Поэтому картинка в этом последнем случае такая:
—всевидятнаэтомрисуночкедве горизонтальные прямые? Не види-
те? Присмотритесь хорошенько, их две, и они обе лежат на оси OX!
Квадрика так и называется — пара совпавших прямых.
Такую квадрику древние греки тоже видели несколько раз в своей
многовековой истории, когда слегка подвыпивший древнегреческий
лесоруб попадал топором точно по образующей цилиндра, вскользь.
Давыисамиможетесебепредставить,чтобудетспаройпараллель-
ных прямых y2 = a
2, если устремить параметр a кнулю—параллель-
ные прямые y = ±a будут сближаться и при a = 0сольютсяводну
прямую!
Ребята! Мы разобрали все возможные случаи, какими могут
оказаться знаки у коэффициентов уравнения второго порядка, после
его упрощения с помощью леммы 1 и леммы 2. Различных случаев
оказалось девять штук — именно столько рожиц в горизонтальную
полоску
повстречалось в нашем рассказе, этими рожицами я от-
мечал каждый случай. Кто не верит, смотрите внимательно схему
наших рассуждений, это есть «дерево» разбора случаев. Честно говоря,
я и сам не очень хорошо воспринимаю прямолинейный текст, вытя-
нутый в строчку, когда речь идет о переборе множества возможных
15/25

214
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
вариантов. Вариантов много, их трудно удержать в голове. Картинка
в помощь!
Äàíî:Ax Bx Cy Dx Ey F
22
+2++2+2+=0
Ëåììà 1 óáèðàåò ïðîèçâåä åíèå:
Åñòü îáà êâàäðòà: AC 0
1
Åñòü òîëüêî îäèí êâàäðàò: AC 0
=
Ñ÷èòàåì
, èíà÷å ïîìåíÿåì ìåñòàìè
Cy2 0
1
îñè ê îîðäèíà ò (ïîâåðíåì ñèñòåìó íà –90°
Ëåììà 2 óáèðàåò ïåðâûå ñòåïåíè:
Ëåììà 2 óáèðàåò ïåðâóþ ñòåïåíü:
Ïàðà
ïàðàëëåëüíûõ
ïð ÿìûõ
Ïàðàбола
ïàðàëëåëüíûõ
ïðÿìûõ
Ýëëèïñ
Òî÷êà
Ãèïåðáîëà
Ïàðà
ïåðåñåêàþùèõñÿ
ïðÿìûõ
èëè
èëè
Óáèðàåì ñâîáîäíûé
÷ëåí: yp
x
2=2
Çíàêè ðàçíûå:
Ñ÷èòàåì
Çíàêè îäèíàê îâûå:
Ñ÷èòàåì
AxCyDxEyF
22
++
2+
2+=
0
yD
x
F
2+2+=0
AxCyF
22
++=
0
AC >0.
AxCyF
22
+=
AC
>0, >0.
AC <0.
AxCyF
22
+=
AC
>0, <0.
«Èêñà» íåò,
:
D=0
yF
'
2=
«Èêñ» åñòü,
.
D0
1
F' >0
F' >0
F' <0
F' <0
F' <0
F' >0
F' =0
F' =0
F' =0
p<0
p>0
Ïàðà ìíèìûõ
Ìíèìûé
ýëëèïñ
Ïàðà
ñîâïàâøèõ
ïðÿìûõ
Круто, правда!? Я два часа рисовал эту схему! Из нее прекрасно
видно, что все возможные случаи разобраны.
Давайте подведем итог всех наших предыдущих рассуждений в ви-
де следующей теоремы.
Теорема (классификация квадрик на плоскости). Пусть
в некоторой декартовой прямоугольной системе координат задано
уравнение второго порядка
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.
16/25

Лекция No 14
215
Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат
(называемая канонической), в которой это уравнение имеет один
из следующих девяти канонических видов:
Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå
Íàçâàíèå êâàäðèêè
Ðèñóíîê
1
Ýëëèïñ
2
Ìíèìûé ýëëèïñ
3
Òî ÷êà
4
Ãèïåðáîëà
5
Ïàðà
ïåðåñåêàþùèõñÿ
ïðÿìûõ
6
Ïàðàáîëà
7
Ïàðà ïàðàëëå ëüíûõ
ïðÿìûõ
8
Ïàðà ìíèìûõ
ïàðàëëå ëüíûõ
ïðÿìûõ
9
Ïàðà ñîâïàâøèõ
ïðÿìûõ
Вот, собственно говоря, и все в этом пункте. Больше добавить
нечего, классификация линий второго порядка исчерпывающая, мы
получили ответ на вопрос — какие бывают линии второго порядка.
До встречи в следующей лекции!
17/25

216
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Задачки к Лекции No 14
1. Привести в канонический вид уравнение, найти каноническую
систему координат и нарисовать квадрику:
А)2x2+3y2+8x−6y+11=0;
Б)3x2−2xy+3y2−4x−4y−12=0;
В)7x2+6xy−y2+28x+12y+28=0;
Г)11x2−20xy−4y2−20x−8y+1=0;
Д)x2−4xy+4y2+4x−3y−7 =0.
2. (No 808* из задачника Моденова–Пархоменко.) Для каждого
значения параметра α ∈ R определить тип линии
x
2
+2αxy+y
2
=1
и схематично нарисовать ее в данной системе координат.
18/25

Лекция No 15
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь.
В предыдущей лекции мы щепетильно расклассифицировали квад-
рики на плоскости, их оказалось 9 разных видов. Теоретически эта
классификация понятна, однако на практике бывает довольно утоми-
тельно приводить квадрику в канонический вид. Привести квадрику
в канонический вид — это значит явно указать такую систему коор-
динат, в которой квадрика будет иметь каноническое уравнение, найти
это уравнение и сказать (или нарисовать), что это за квадрика, как
она выглядит в канонической системе координат и как она выглядит
в исходной системе координат.
Перед началом следующего пункта я хочу привести поучительный
пример, из которого будет понятно, что приводить квадрику в кано-
нический вид по рецептам из предыдущей лекции No 14 — весьма
трудоемкое занятие. Конечно, этот пример будет полезен как образец
решения задачи из домашнего задания, но он будет серьезно мотиви-
ровать на поиск другого, более простого способа решения подобных
задач.
Поучительный пример (задача No 807 под цифрой 2 из задач-
ника Моденова–Пархоменко). Привести квадрику в канонический вид:
5x2+12xy−22x−12y−19=0,
то есть определить вид линии, написать ее каноническое уравнение,
найти каноническую систему координат и нарисовать эту линию.
Решение. Действие первое — пользуясь леммой 1 из предыду-
щей лекции, следует избавиться от произведения переменных в урав-
нении линии. Для этого, по лемме 1, достаточно повернуть исходную
систему координат на какой-нибудь угол φ такой, что ctg 2φ =
A−C
2B
=
=
5−0
12
=
5
12
.
Получаем задачку по тригонометрии: дано tg 2φ =
12
5
,
найти cos φ и sin φ, которые нужны для записи формул поворота
системы координат. Видим, что tg 2φ =
12
5
> 1, поэтому будем считать,
что
π
2
> 2φ>
π
4
,аследовательно,
π
4
>φ>0—насведьустроитхоть
какой-нибудь угол поворота φ, удовлетворяющий условию ctg 2φ =
5
12
.
Вспоминаем формулу tg 2φ =
2tgφ
1−tg2φ
и решаем квадратное урав-
нение:
12
5
=
2t
1−t2,
6t2+5t−6t=0, t1,2 =
−5±
√25 + 144
−12
,
t1=
2
3
,
t2= −
3
2
.
19/25

218
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Так как 0 <φ<
π
4
, то берем значение tgφ=t1 =
2
3
.
Уфф, ... этомы
пока еще только тангенс угла φ нашли.
Идем далее:
tgφ=
sin φ
cos φ
=
sin φ
1−sin2φ
=
2
3
(тут я снова пользуюсь тем, что 0 <φ<
π
4
,следовательно,cos φ>0
и sin φ>0 , а в знаменателе перед корнем знак «+»).
Обозначим sin φ = s и снова решаем квадратное уравнение:
s
√
1−s2
=
2
3
,
9s
2
= 4(1−s
2
),о
т
к
удаs
2
=
4
13
, s1,2 =±
2
√
13
,
апоскольку0<φ<
π
4
,следуетвзятьsin φ =
2
√
13
. Ну,тогдаcos φ =
=
3
√
13
.
Записываем формулы поворота декартовой прямоугольной системы
координат на угол φ исразуподставляемвэтиформулынайденные
значения sin φ =
2
√
13
иcosφ=
3
√
13
:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x=x

cosφ−y

sinφ=x

3
√
13
−
y2
√
13
=
1
√
13
(3x

−
2y),
y=x

sinφ+ycosφ=x

2
√
13
+y 3
√
13
=
1
√
13
(2x

+ 3y).
Ребята! Я попрошу на экзамене точно изобразить этот угол φ
и оси «повернутой» системы координат X OY 
. И не надо в этот момент
делать удивленное лицо и потешно морщить лоб для демонстрации
напряженного процесса мышления! Нарисовать угол φ очень легко, для
этого не потребуется даже приближенно вычислять угол φ на каль-
куляторе и приносить с собой на экзамен транспортир! Угол φ —это
в точности меньший угол в прямоугольном треугольнике с катетами 2
и3(гипотенузаунегокакраз
√
13 ). Поэтому рисунок сделать легко,
особенно если у вас тетрадка «в клеточку», а в руках есть линейка
и карандаш. Смотрите рисунок на следующей странице.
Теперь преобразуем уравнение квадрики 5x2 + 12xy − 22x − 12y −
−
19 = 0, подставив в него вместо переменных x и y их выражения из
формул поворота:
5
13
(9x
2
−
12x

y + 4y2
)+
12
13
(6x
2
+9x

y
−
4x

y
−
6y2
)−
−
22
√
13
(3x

−
2y) −
12
√
13
(2x

+3y)−19=0,
20/25

Лекция No 15
219
то есть после раскрытия скобок получим
9x
2
−
4y2
−
22
√
13
(3x

−
2y) −
12
√
13
(2x

+3y)−19=0,
9x
2
−
4y2
−
90
√
13
x

+
8
√
13
y
−
19=0.
Это фантастика! Произведение x y

отсутствует! Я не устаю восхи-
щаться всесокрушающей силой разума хомосапиенсов, которая убивает
противное произведение переменных, как мухобойка убивает против-
ную муху!
Получилось уравнение, в котором присутствуют оба квадрата x 2
и y2
. Следовательно (по лемме 2 из предыдущей лекции No 14), парал-
лельным переносом системы координат X OY  можно убрать первые
степени переменных. Выделяем полные квадраты:
9
x
2
−
10
√
13
x

+
25
13
−
225
13
−
4
y2
−
2
√
13
y+
1
13
+
4
13
−
19=0,
то есть
9
x

−
5
√
13
2
−
4
y
−
1
√
13
2
= 36.
Проверяйте,вродебы,япосчиталправильно.
Делаем замену координат:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x
−
5
√
13
=x

,
y
−
1
√
13
=y

.
Эта замена — не что иное, как формулы параллельного переноса начала
координат системы X OY  вточкуO
5√
13
;
1
√
13
.Иопять-таки
на экзамене я попрошу точно указать эту точку на рисунке, не вы-
числяя приближенных значений ее координат на калькуляторе! Спаси-
бо за такую возможность Моденову и Пархоменко — это настоящее
21/25

220
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
искусство так составлять задачи, чтобы получались «хорошие» ответы
и экзаменатор мог досконально расспросить студента на экзамене!
Дело в том, что в первоначальной (еще не повернутой) системе коор-
динат XOY точка O
5√
13
;
1
√
13
 имеет координаты
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x=
1
√
13
(3x

−
2y)=
1
√
13
3·
5
√
13
−
2·
1
√
13
= 1,
y=
1
√
13
(2x

+ 3y)=
1
√
13
2·
5
√
13
+3
1
√
13
= 1,
аужточкускоординатами(1; 1) изобразить очень легко!
В повернутой и параллельно перенесенной системе координат
XO

Y  уравнение исходной квадрики становится каноническим:
9x
2
−
4y2
= 36 или (после деления на 36)
x 2
4
−
y2
9
= 1—гипербола.
Окончательный рисунок канонической системы координат X O

Y
иданнойквадрики(гиперболы)выглядиттак:
Изображена гипербола с полуосями 2 и 3, опорный прямоугольник
со сторонами 4 и 6, центр опорного прямоугольника в точке (1; 1)
исходной системы координат. И конечно, на экзамене я попрошу объяс-
нить, почему одна из асимптот гиперболы вертикальна, то есть имеет
уравнение x = 1, а канонический репер для этой гиперболы таков:
O(1; 1); e1
3√
13
;
2
√
13
,

e2
−
2
√
13
;
3
√
13
.
22/25

Лекция No 15
221
Почему нужно направляющие векторы (3; 2) и (−2; 3) осей OX и OY 
делить на
√
13?
Зачем я привел этот довольно длинный поучительный пример
в начале лекции, да еще до начала очередного пункта? Я хотел убить
этим примером сразу четырех зайцев.
1) Показать, как решаются задачки на приведение квадрики в ка-
нонический вид.
2) Показать, какие трудности ожидают вас при решении таких
задачек на практике и в домашней работе, а также какие вопросы
могут случиться на экзамене.
3) Продемонстрировать, что приведение квадрики в канонический
вид с помощью рецептов из лекции No 14 (лемма 1 и лемма 2) — ка-
тастрофически нудный и долгий процесс! Он требует большого объема
вычислений! Да без ошибок! Да аккуратно! И это нам еще повез-
ло, что Моденов и Пархоменко так удачно подобрали коэффициенты
у исходного уравнения, что получились простые выражения для cos φ
и sin φ, что вовсе необязательно для произвольного уравнения, взятого
«от балды»! Мы же дважды решали квадратные уравнения, могли бы
в ответе и корень квадратный из выражения с квадратным корнем
получить — попробуй потом с такими страшилами преобразования
делать, скобки раскрывать да подобные приводить!
4) И наконец, самое главное — я хотел приведенным примером
мотивировать вас на изучение следующего пункта!
Дело в том, что у каждого нормального человека после мучений
с преобразованием квадрики в канонический вид возникает почти
фантастический вопрос: а нельзя ли, вообще не выполняя никаких
преобразований исходного уравнения, не заморачиваясь на разыскание
канонической системы координат, сразу сказать — какую линию задает
данное уравнение? Вот просто посмотреть на уравнение, посчитать
что-нибудь несложное в уме и сразу сказать — это гипербола (парабо-
ла, эллипс,. . .)! Заманчивое желание, прикольная хотелка! Это же так
свойственно людям — хотеть получить ответ, почти ничего для этого
не делая!
Исполнению этих заманчивых желаний посвящен следующий
пункт.
25. Асимптотические направления. Тип квадрики
Пусть квадрика задана общим уравнением второго порядка в де-
картовой прямоугольной системе координат:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.
23/25

222
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Чтобы выяснить вид данной квадрики, давайте поищем точки пересе-
чения этой квадрики с прямой
x=x0+αt,
y=y0+βt,

s(α, β)

=

0,
—
помните, мы однажды уже применяли такой прием, когда пытались
нарисовать гиперболу в пункте No 22 (лекция No 13). Мы поворачивали
прямую y = kx инаткнулисьнаособоеположениеэтойпрямой,уло-
вили момент, когда она перестает пересекать гиперболу — именно так
мы обнаружили асимптоты. Есть надежда, что и в общем случае этот
прием даст нам информацию о квадрике.
Мы уже знаем из пункта No 9 лекции No 7, что параметрические
уравнения прямой — это уравнения равномерного прямолинейного дви-
жения. Муха ползет по прямой из начальной точки (x0 , y0) со скоро-
стью s(α, β). Вопрос: в какой момент времени t ∈ R она окажется на
квадрике? Моменты времени t ∈ R, когда муха попадает на квадрику
(соответствующие точкам пересечения квадрики и прямой), должны
удовлетворять уравнению
A(x0 + αt)2 + 2B(x0 + αt)(y0 + βt)+C(y0 + βt)2 +
+2D(x0+αt)+2E(y0+βt)+F=0. ( )
Раскроем скобки и приведем подобные, получим уравнение для нахож-
дения t,
Pt2+2Qt+R=0,
где буквами P , Q, R обозначено
P=Aα2+2Bαβ+Cβ2,
Q=(Ax0+By0+D)α+(Bx0+Cy0+E)β=
=(Aα+Bβ)x0+(Bα+Cβ)y0+Dα+Eβ,
R=Ax2
0+2Bx0y0+Cy2
0+2Dx0+2Ey0+F.
Ребята, проверяйте! Я раскрывал скобки и приводил подобные
в уравнении ( ) отдельно на бумажке и мог ошибиться! Скажу вам
по секрету, что свободный член R можно не проверять, свободный
член есть значение многочлена при t = 0, я просто подставил в ( )
значение t = 0ивыписалR.
Первокурсники! А вы заметили, что когда я написал уравнение
Pt2 + 2Qt + R = 0 , я назвал его «уравнением для нахождения t»
и не назвал его «квадратным»? Мужчина у доски, которого вы зовете
гордым словом «препод», никогда ничего не делает просто так!
Конечно, если P

= 0, уравнение Pt2 + 2Qt + R = 0квадратное.
Квадратное уравнение может иметь два различных действительных
корня t1 и t2,аэтоозначает,чтопрямаяможетпересекатьквад-
рику в двух различных точках (муха, ползущая по прямой, дважды
24/25

Лекция No 15
223
оказывается на квадрике в разные моменты времени). Надеюсь, что
множество студентов, не понимающих этого простого факта, будет
пустым, поскольку даже сам символ пустого множества ∅ является
прекрасной иллюстрацией, как прямая может пересекать эллипс в двух
разных точках.
А что будет, если вдруг окажется P = 0? Это особый исключитель-
ный случай! Уравнение Pt2 + 2Qt + R = 0 превращается в уравнение
2Qt + R = 0 и перестает быть квадратным!
И есть две возможности.
Либо Q

= 0, тогда уравнение 2Qt + R = 0 линейное и имеет един-
ственное решение t1 =
−R
2Q
—
прямая пересекает квадрику в одной
точке.
Либо Q = 0 и уравнение становится совсем смешным уравнением
нулевой степени R = 0, которое неизвестной t не содержит. Такое
смешное уравнение:
• либо вообще не имеет решений (при R

= 0) —прямаяквадрику
не пересекает;
• либо выполнено тождественно (при R = 0) —прямаяцеликомле-
жит на квадрике (муха в любой момент времени t ∈ R находится
на квадрике).
Вывод. Прямая, направляющий вектор которой s(α, β) удовле-
творяет соотношению P = 0, то есть
Aα2+2Bαβ+Cβ2=0,
не может пересекать квадрику Ax2 + 2Bxy + Cy2+ 2Dx + 2Ey + F =
= 0ровнов двух различных точках! Прямые с таким направля-
ющим вектором s (α, β) могут пересекать квадрику в одной точке,
не пересекать вообще или целиком лежать на ней. Но они никогда
не пересекают квадрику по двум точкам!
Определение. Направление, определяемое вектором s(α, β)

=

0,
координаты которого удовлетворяют уравнению Aα2 + 2Bαβ + Cβ2 = 0,
называется асимптотическим направлением квадрики Ax2 + 2Bxy +
+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.
Термин «направление» не случаен, поскольку координаты (α, β)
определяются из уравнения Aα2 + 2Bαβ + Cβ2 = 0с«точностью
до пропорциональности». Очевидно же, что если в это уравнение по-
дойдет вектор (α, β),товнегоподойдетивектор(kα, kβ) для любого
k∈R,k

= 0. Длина вектора не важна, важно только его направление!
Это и ожидаемо, поскольку в качестве направляющего вектора данной
прямой вместо вектора s(α, β) можно взять любой другой вектор, ему
пропорциональный.
Обращаю ваше внимание еще на то, что начальная точка (x0, y0)
нашей прямой в определении асимптотического направления вообще
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

224
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
не участвует, ее координат просто нет в выражении P = Aα2 +
+ 2Bαβ + Cβ2 . Прямая, имеющая асимптотическое направление, мо-
жет проходить где угодно, через какую угодно точку!
Наиболее склонные к абстракции первокурсники могут запросто
представлять себе «направление» как совокупность всевозможных
параллельных между собой прямых на плоскости с направляющими
Рис. 1 . Асимптотическое направле-
ниепараболы—параллельноееоси
векторами, пропорциональными век-
тору s (α, β).
Настала пора показать разъяс-
няющий рисунок.
Смотрите, на рис. 1 изображена
обычная школьная парабола. Пунк-
тирные вертикальные прямые, па-
раллельные оси параболы, имеют
асимптотическое направление —
все они пересекают параболу толь-
ко воднойточке! А вот наклонные
черные параллельные прямые —
прямые не асимптотического на-
правления, поскольку некоторые из них пересекают параболу по двум
точкам! Чувствуете разницу?
А теперь перед вами картинка, иллюстрирующая основную идею
настоящего пункта — попробовать классифицировать квадрики по ко-
личеству их асимптотических направлений.
Рис. 2. Эллипс, парабола и гипербола
На рис. 2 я нарисовал три квадрики, известные еще древним грекам
как конические сечения, — эллипс, параболу и гиперболу. Сплошными
прямыми линиями показаны асимптотические направления этих квад-
рик. Вдумчивое разглядывание рис. 2 поможет понять, что:
1) у эллипса асимптотических направлений нет вообще (какую
бы прямую я не взял, некоторая параллельная ей прямая пересечет
эллипс в двух точках);
1/25

Лекция No 15
225
2) у параболы асимптотическое направление одно — направле-
ние оси параболы;
3) у гиперболы асимптотических направлений два — они парал-
лельны асимптотам гиперболы; любая прямая, параллельная асимп-
тоте, пересекает гиперболу только в одной точке либо не пересекает
вовсе (сама асимптота).
Теор е ма . Пусть в декартовой прямоугольной системе коор-
динат задано уравнение квадрики Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey +
+ F = 0. Рассмотрим определитель
δ=




AB
BC



.
Если δ<0, то квадрика имеет два асимптотических направления.
Если δ = 0, то квадрика имеет одно асимптотическое направление.
Если δ>0, то квадрика асимптотических направлений не имеет.
Доказательство. Напоминаю, что уравнение для нахождения
асимптотических направлений s(α, β) выглядит так: Aα2 + 2Bαβ +
+ Cβ2 = 0. Рассмотрим случаи.
Случай 1. Пусть A = C = 0. Тогда обязательно B

=0—линия
то второго порядка! Значит, δ =




0B
B0



 = −B2 < 0. Уравнение для
нахождения асимптотических направлений становится совсем простым,
2Bαβ = 0, и в него подходят два (!) разных направления s1 (1, 0)
и s2(0, 1). Вот вам два асимптотических направления.
Случай 2. Пусть хотя бы один из коэффициентов A или C отличен
от нуля. Давайте для определенности считать, что A

= 0(случайC

=0
рассматривается точно так же). Если A

=0,тоβ

= 0. Действительно,
в уравнение Aα2 + 2Bαβ + Cβ2 = 0заведомонеподходитβ = 0, ибо,
если β = 0, то получится Aα2 = 0, откуда α = 0. Но ведь направ-
ляющий вектор s (α, β) не может быть нулевым! Поделим уравнение
Aα2+2Bαβ+Cβ2 =0наβ2

= 0, обозначим отношение
α
β=γ иполу-
чим квадратное (!) уравнение Aγ2 + 2Bγ + C = 0. Его дискриминант
равен D = 4B2 − 4AC = −4(AC − B2)=−4δ. Это означает следующее.
Если δ<0 (то есть D>0), то квадратное уравнение имеет два
действительных корня. Асимптотических направлений два!
Если δ = 0 (то есть D = 0), то квадратное уравнение имеет один
действительный корень (пару совпавших корней). Асимптотическое
направление одно!
Если же δ>0 (то есть D<0), то квадратное уравнение не имеет
действительных корней. Асимптотических направлений нет!
Доказали теорему.

2/25

226
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Определение. Говорят, что квадрика Ax2 + 2Bxy + Cy2 +
+ 2Dx + 2Ey + F = 0, заданная в некоторой декартовой системе
координат, имеет определенные типы.
Гиперболический тип,еслиδ =




AB
BC



<0, тоестьу неедва
асимптотических направления. Гиперболический тип имеют гиперболы
и пары пересекающихся прямых.
Параболический тип,еслиδ =




AB
BC



=0,тоестьунееодно
асимптотическое направление. Параболический тип имеют параболы,
пары параллельных прямых, пары совпавших прямых, и для полноты
картины в список параболических квадрик записывают еще пары мни-
мых параллельных прямых.
Эллиптический тип,еслиδ =




AB
BC



 > 0, то есть, у квадрики
нет асимптотических направлений. Эллиптический тип имеют эллипсы,
а для полноты картины в эллиптический тип записывают еще мнимые
эллипсы и точки.
Смотрите-ка, чего мы достигли!
Не приводя квадрикуAx2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
в канонический вид, не погружаясь в нудные преобразования и поиск
канонической системы координат, мы можем просто посчитать в уме
определитель δ =




AB
BC



 и в зависимости от его знака сразу ска-
зать — линию какого типа задает уравнение второго порядка! Ну не ра-
дость ли это!?
А вот еще задумайтесь — как бы мы не поворачивали и не пе-
реносили систему координат (то есть, какую бы замену координат мы
не сделали), уравнение квадрики изменится, а сама-то линия какой
была, такой и останется! Количество асимптотических направлений
у квадрики, естественно, не изменяется при замене одной системы
координат на другую! Величины, которые характеризуют какой-нибудь
объект (в нашем случае — квадрику) и не меняются при замене
системы координат, в математике принято называть инвариантами.
Таким образом, знак определителя sgn




AB
BC



 — инвариант
линии второго порядка. Если в какой-то системе координат у данного
уравнения квадрики Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0оказа-
лось, например, что δ<0 (то есть sgn δ = −1), то такой определитель
в любой другой системе координат тоже будет отрицательным, хотя
уравнение квадрики и его коэффициенты в другой системе координат
станут другими. Квадрика все равно будет иметь два асимптотических
направления!
3/25

Лекция No 15
227
Простенький инвариант sgn δ (знак определителя) не всесилен!
Он, к сожалению, позволяет только сказать, какого типа линия зада-
ется уравнением второго порядка — эллиптического, параболического
или гиперболического. Большего он сделать не в силах. Например,
если оказалось, что δ<0, то эта квадрика может быть гиперболой
или парой пересекающихся прямых, но вот какой точно из этих двух
линий она является — сказать невозможно, если знать только sgn δ.
Чтобы научиться полностью и окончательно распознавать вид квадри-
ки, одного sgn δ недостаточно, потребуются еще и другие инварианты
линий второго порядка 1). Скажу вам по секрету, что такие инварианты
известны, но, к сожалению, в нашем коротеньком курсе аналитической
геометрии у нас не хватит времени, чтобы их изучить. С одной сторо-
ны, это печально, с другой стороны, это хорошо, поскольку открывает-
ся заманчивое направление для дальнейшего самостоятельного позна-
ния окружающего мира! Обрывая здесь свой рассказ об инвариантах,
я как бы призываю всех заинтересованных студентов к дальнейшему
изучению неисчерпаемых свойств кривых второго порядка.
Мне хочется закончить этот пункт еще одним поучительным при-
мером, призванным показать, что наша небольшая теория пересечения
квадрик с прямыми и всего лишь один простой инвариант sgn δ могут
здорово помочь при решении сложных задач.
Пример. (Задача No 875 под цифрой 1 из задачника Моденова
и Пархоменко.) Найти асимптоты гиперболы
3x2+7xy+4y2+5x+2y−6 =0.
Решение. Попытайтесь (ради прикола) привести это уравнение
в канонический вид — вы увидите, что уже на первом шаге, при
нахождении угла поворота φ возникнут дикие сложные выражения,
о которых я упоминал в комментариях после поучительного примера
в начале лекции. Просто начните:
ctg2φ=
3−4
7
=−
1
7
,
tg2φ= −7 =
2tgφ
1−tg2φ
=
2t
1−t2,7
t2−2t−7 =0, t1,2 =
1±5
√
2
7
;
дальше с такими коэффициентами предстоит решить еще одно квадрат-
ное уравнение, чтобы найти cos φ и sin φ. Выражения в итоге получатся
страшные — квадратные корни из дробей с квадратными корнями.
А ведь потом еще эти выражения надо будет подставлять в уравнение
квадрики, возводить в квадрат, раскрывать скобки, приводить подоб-
ные...Мрак.Мыпойдемдругимпутем!
1) Математики в таких случаях говорят: «Нужна полная система инва-
риантов».
4/25

228
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Прежде всего, заметим, что Моденов и Пархоменко нас не обманули
и действительно дали квадрику гиперболического типа:
δ=







3
7
2
7
2
4







= 12−
49
4
=−
1
4
<0.
Тип — гиперболический, линия имеет два асимптотических направле-
ния. Найдем их. Нужно решить уравнение
3α2+7αβ+4β2=0.
Очевидно, что β

= 0.(Еслиβ=0,тоизуравнения3α2+7αβ+4β2=0
следовалобы,чтоиα равно нулю, а направляющий вектор нулевым
быть не может.) Разделим уравнение 3α2 + 7αβ + 4β2 = 0наβ2 иобо-
значим отношение
α
β = γ . Получим квадратное уравнение
3γ2+7γ+4=0,
которое имеет два корня: γ1 = −1, γ2 = −
4
3
.Посколькуγ =
α
β ,товка-
честве асимптотических направлений можно взять, например, векторы

s1(1; −1) и s2(4; −3). Два асимптотических направления найдены!
Следовательно, асимптоты этой гиперболы имеют уравнения
x+y+C1=0и3
x+4y+C2=0;
у этих прямых нормальные векторы суть n1(1; 1)и n2(3; 4),онипер-
пендикулярны направляющим векторам s1(1; −1) и s2(4; −3) соответ-
ственно — проверьте перпендикулярность, приговаривая мантру: «Век-
торы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произ-
ведение равно нулю!». Мы знаем, что если в уравнении прямой менять
свободный член, то прямая будет сдвигаться, оставаясь параллельной
своему исходному положению и не меняя своего направления.
А теперь — внимание! Наблюдение! Асимптота гиперболы отли-
чается от всех остальных прямых такого же направления тем, что она
вообще не пересекает гиперболу! Любая другая прямая, параллельная
асимптоте, пересечет гиперболу один раз (одну из веточек гипербо-
лы), а вот асимптота — ни разу! Посмотрите на рис. 2
—
все станет
очевидно! Это значит, что возникает банальная задачка с параметром
наподобие задачек с ЕГЭ.
При каком значении параметра C1 система уравнений
x+y+C1=0,
3x2+7xy+4y2+5x+2y−6 =0
не имеет решений?
5/25

Лекция No 15
229
Давайте решим эту задачку. Из первого уравнения будет y =
= −C1−x.
Подставляем во второе уравнение:
3x2+7x(−C1−x)+4(−C1−x)2+5x+2(−C1−x)−6 =0.
Раскрываем скобки, приводим подобные, получается уравнение
(C1 + 3)x +(4C2
1−2C1−6)=0.
Ребята! Если C1

= −3, то это уравнение линейное ионообязатель-
но имеет одно решение x = −
(4C 2
1−2C1−6)
C1+3
,асталобыть,исистема
будет иметь решение, поскольку тогда находится и вторая неизвестная
y= −C1−x.
АвотеслиC1 = −3, то получается уравнение 0 · x +(4 · (−3)2−
−2 · (−3) − 6)=0, то есть 36 = 0, которое, конечно, решений не имеет!
Значит, C1 = −3, и мы нашли первую асимптоту гиперболы
x+y−3 =0.
Совершенно аналогично находится и вторая асимптота — нужно
просто узнать, при каком значении C2 система уравнений
3x+4y+C2=0,
3x2+7xy+4y2+5x+2y−6 =0
не имеет ни одного решения? Потренируйтесь, пожалуйста, самосто-
ятельно и ответьте на этот вопрос. Когда я решал дома, у меня
получилось значение C2 = 14; вторая асимптота имеет уравнение
3x+4y+14=0.
Подивитесь силе человеческого разума! Мы нашли асимптоты ги-
перболы, не приводя ее уравнение в канонический вид и не зная длин
ее полуосей!
Кстати, мы еще фактически нашли центр этой гиперболы — это
точка пересечения асимптот, то есть решение системы уравнений
x+y−3 =0,
3x+4y+14=0,
точка O(26; −23).
Да присмотритесь! Мы вообще фактически нашли в этой гиперболе
все, что нужно для ее построения! Оси гиперболы — это биссектрисы
между асимптотами, а уравнения биссектрис мы искать умеем. Вер-
шины гиперболы — это точки пересечения одной из осей с данной
гиперболой. Знаем вершины гиперболы — знаем ее действительную
ось 2a. Знаем длину действительной оси — можем построить опор-
ный прямоугольник этой гиперболы с центром в точке O(26; −23)
и диагоналями-асимптотами . . . Короче говоря, становится понятно, что
теперь мы сможем даже нарисовать данную в задаче гиперболу без
6/25

230
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
утомительного приведения уравнения квадрики в канонический вид!
А это как раз то, что мы сформулировали перед началом настоящего
пункта как заманчивое, почти фантастическое желание — научиться
рисовать квадрику без утомительного поиска ее канонической системы
координат с помощью преобразования ее уравнения в канонический
вид.
Вот на этой воодушевляющей ноте я и закончу пункт No 25.
Следующий пункт будет кратким и не совсем простым, поэтому
я присваиваю ему титул «факультативный». Надеюсь, что пытливые
студенты, серьезно интересующиеся математикой, прочтут его, хоть он,
вроде бы, и «необязательный» — вопросов из него на экзамене не будет,
зато использование на экзамене фактов из этого пункта (например, при
решении задач) будет только приветствоваться!
26. (Факультативный, для любопытных
студентов.) Диаметры и центр квадрики
В этом пункте я быстренько (почти без доказательств) расскажу
еще о некоторых важных свойствах линий второго порядка. В рассказе
об этих свойствах нам снова понадобится уравнение для нахождения
точек пересечения квадрики и прямой ( ), выписанное в начале пункта
No 25. Напишу его еще раз, чтобы оно было перед глазами:
A(x0 + αt)2 + 2B(x0 + αt)(y0 + βt)+C(y0 + βt)2 +
+2D(x0+αt)+2E(y0+βt)+F=0. ( )
Из него после раскрытия скобок и приведения подобных получается
уравнение для нахождения t,
Pt2+2Qt+R=0,
где буквами P , Q, R обозначено:
P=Aα2+2Bαβ+Cβ2,
Q=(Ax0+By0+D)α+(Bx0+Cy0+E)β=
=(Aα+Bβ)x0+(Bα+Cβ)y0+Dα+Eβ,
R=Ax2
0+2Bx0y0+Cy2
0+2Dx0+2Ey0+F.
Я не зря в начале предыдущего пункта No 25 скрупулезно выписал
все коэффициенты уравнения ( ), предназначенного для нахождения
моментов t ∈ R,вкоторыемуха,ползущаяпопрямой,оказывается
7/25

Лекция No 15
231
на квадрике. «Если в начале пьесы на стене висит ружье, то к концу
пьесы оно должно выстрелить».
1) Ктому же и сам я где-то в середине
пункта No 25 зачем-то гордо заявил, что препод никогда ничего не
делает просто так — вот придется теперь держать марку и как-то ис-
пользовать другие коэффициенты этого уравнения, а не только первый.
Первый-то нам уже понадобился для определения асимптотических
направлений, а другие коэффициенты остались пока без работы.
Определение. Назовем хордой квадрики любой отрезок, концы
которого лежат на квадрике, а остальные точки этого отрезка на квад-
рике не лежат.
Таким образ ом , хорда не может иметь асимптотического направ-
ления.
Чтобы наши рассмотрения имели геометрический смысл, будем
предполагать, что рассматриваемая квадрика имеет хотя бы одну хорду.
Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекаю-
щихся прямых, параболы и пары параллельных прямых. Хотя фор-
мально наши дальнейшие рассуждения будут верны и для остальных
квадрик.
Зафиксируем какое-нибудь не асимптотическое направле-
ние (α, β) и рассмотрим множество середин хорд, имеющих это
направление:
Если начальная точка N (x0, y0) секущей прямой находится на сере-
дине хорды, то муха доползет из нее до одного конца хорды за какое-то
время t, а до другого конца хорды за время −t . Это значит, что
квадратное 2) уравнение Pt2 + 2Qt + R = 0 имеет два корня, равных
по абсолютной величине, но противоположных по знаку. Это бывает
тогда и только тогда, когда Q = 0 — в квадратном уравнении нет
слагаемого первой степени. Значит, все середины хорд данного направ-
ления (α, β) лежат на прямой
(Aα+Bβ)x+(Bα+Cβ)y+Dα+Eβ=0.
(♣)
Вот нам и понадобилось выражение для коэффициента Q в уравнении
Pt2 + 2Qt + R = 0, «ружье выстрелило»!
1) Расхожая версия фразы А.П . Чехова из его письма литератору Алексан-
дру Лазареву-Грузинскому от 1 ноября 1889 года, которая в оригинале напи-
сана так: «Нельзя с тавить на сцене заряженное ружье , если никто не имее т
в виду выстрелить из него».
2)P

= 0, направление секущей не асимптотическое!
8/25

232
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Удивительный факт, не правда ли? Все середины параллельных
хорд любой квадрики лежат на одной прямой! Такое свойство сразу-то
инеуглядишь!
Ур а в н е н и е ( ♣) действительно задает прямую! Если вдруг оба коэф-
фициента окажутся равными нулю,
Aα+Bβ=0,
Bα+Cβ=0,
то мы умножим первое равенство на α,второе—наβ ,потомсложим
их, и получится Aα2 + 2Bαβ + Cβ2 = 0—направление(α, β) асимп-
тотическое, а это не так!
Определение. Прямая (♣)называетсядиаметром квадрики.
Обращаю ваше внимание, что диаметром называется вся прямая.
Это не значит, что середины хорд заполняют ее целиком, они могут
заполнять ее всю, либо только отрезок на ней, либо луч (подумайте —
в каких случаях так бывает).
Рассмотрим множество всех диаметров квадрики. Оно задается
уравнением (♣), в котором надо просто менять параметры α и β так,
чтобы направление (α, β) не получилось асимптотическим. Кстати,
я еще перегруппировывал слагаемые и записывал уравнение диаметра
квадрики в таком виде:
α(Ax+By+D)+β(Bx+Cy+E)=0;
это сильно напоминает уравнение пучка прямых, не так ли?
Действительно, если прямые Ax+By+D=0иBx+Cy+E=0
не параллельны, то есть, если их нормальные векторы не пропорцио-
нальны,
δ=




AB
BC





= 0 (Ух, ты! Опять этот определитель!),
то все диаметры квадрики принадлежат пучку, определяемому эти-
ми прямыми. Я не утверждаю, что каждая прямая такого пучка —
диаметр, исключение составляют прямые из этого пучка, имеющие
асимптотическое направление. Но все диаметры собраны в этом пучке.
Центр пучка (точка) находится из системы уравнений
Ax+By+D=0,
Bx+Cy+E=0.
()
Определение. Центр пучка, определяемый системой уравне-
ний (), называется центр квадрики.
Мы поняли, что система () имеет решение тогда и только тогда,
когда δ

= 0, поэтому центр есть у квадрик эллиптического и гипербо-
лического типа, а у квадрик параболического типа центра нет.
9/25

Лекция No 15
233
Я предлагаю вам самостоятельно доказать следующее утверждение.
Ут в е р жде н и е . Центр квадрики является ее центром симметрии.
Обратно: координаты любого центра симметрии квадрики удовлетворя-
ют системе ().
Ребята! Система уравнений ()позволяетлегконаходитьцентр
симметрии линии второго порядка, не прибегая к трудоемкому приве-
дению ее уравнения в канонический вид! Это успех!
Определение. Квадрика, имеющая только один центр симмет-
рии, называется центральной.
Примеры центральных квадрик — эллипсы, гиперболы. Примеры
не центральных квадрик — пары параллельных прямых, пары совпав-
ших прямых.
Наконец, дадим еще одно определение.
Определение. Особой точкой квадрики называется ее центр,
лежащий на этой квадрике.
Пример особой точки — точка пересечения пары пересекающихся
прямых. Она, разумеется, является центром симметрии квадрики и ле-
жит на этой квадрике.
Пусть особая точка имеет координаты K (x0, y0).Тогдадолжныбыть
справедливы равенства
Ax0+By0+D=0,
Bx0+Cy0+E=0
— онацентри
Ax2
0+2Bx0y0+y2
0 + 2Dx0 + 2Ey0 + F = 0—онанаквадрике.
Умножим первое равенство системы на x0,второеравенствонаy0
и вычтем их из третьего равенства. Получим эквивалентную систему
равенств
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Ax0+By0+D=0,
Bx0+Cy0+E=0,
Dx0+Ey0+F=0.
(♠)
А давайте я запишу эти равенства в виде столбиков:
x0
,A
B
D
-+y0
,B
C
E
-=−
, DEF
-,
—таклучшевидно,чтосистема(♠)простоозначает,чтовекторы
(A, B , D), (B, C , E) и (D, E , F ) линейно зависимы! Векторы линейно
10/25

234
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
зависимы тогда и только тогда, когда определитель третьего порядка
(смешанное произведение) равен нулю,
Δ=





ABD
BCE
DEF





=0.
Вот мы и пришли с вами к еще одному утверждению.
Ут в е р жде н и е . Центральная квадрика имеет особую точку тогда
и только тогда, когда определитель Δ=0.
Смотрите, что мы получаем в итоге.
Условие Δ

= 0 для центральной (δ

= 0) квадрики означает, что
ее центр симметрии на ней не лежит. Поэтому далее.
Сочетание условий δ>0иΔ

= 0 означает, что квадрика явля-
ется эллипсом или мнимым эллипсом.
Сочетание условий δ<0иΔ

= 0означает,чтопереднами
гипербола.
Сочетание условий δ

= 0иΔ=0 означает, что квадрика явля-
ется либо парой пересекающихся прямых, либо парой мнимых пересе-
кающихся прямых (точкой).
Далее. Не очень сложно понять, что справедливо и такое.
Ут в е р жде н и е . Для не центральных квадрик, условие Δ=0
означает наличие у квадрики центра симметрии.
Исходя из этого утверждения, продолжим подведение итогов.
Сочетание условий δ = 0иΔ=0 означает, что квадрика явля-
ется либо парой параллельных прямых, либо парой совпавших прямых,
либо парой мнимых параллельных прямых.
Наконец, сочетание δ = 0иΔ

= 0означает,чтопереднами
парабола.
Ребята! Мы познакомились с еще одним инвариантом линий вто-
рого порядка, ведь равенство Δ=0независитотвыборасистемы
координат. Дополнительное знание величины «большого» определите-
ля Δ позволяет более тонко различать квадрики, нежели с помощью
одного только знака «маленького» определителя δ.
Уфф! На сегодня все, до встречи в следующей лекции!
Задачки к Лекции No 15
1. (No 875 из задачника Моденова–Пархоменко.) Не приводя урав-
нение в канонический вид, найти асимптоты гиперболы 2x2 + 6xy −
−
12x − 18y + 5 = 0инарисоватьэтугиперболу.
11/25

Лекция No 15
235
2. (No 809* из задачника Моденова–Пархоменко.) Найти фокусы
и соответствующие им директрисы квадрики 6xy − 8y2 + 12x − 26y −
−
11=0.
3.Дана квадрика 41x2+24xy+9y2+24x+18y−36 =0.Не про-
водя преобразований координат, убедитесь, что это эллипс. Найдите
его центр и величины его полуосей.
4. Не проводя преобразования координат, убедитесь, что уравнение
4x2
−
12xy+9y2+20x−30y−11 =0
определяет пару параллельных прямых и найдите их уравнения.
5. Убедитесь, что уравнение x2 + 4xy + 3y2 − 6x − 12y + 9 = 0опре-
деляет пару пересекающихся прямых, найдите их уравнения и точку
пересечения.
6. Составьте уравнение такой хорды эллипса 16x2 + 25y2 = 400,
которая точкой (2; 1) делится пополам.
12/25

Лекция No 16
Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь.
В последней лекции нашего коротенького курса аналитической гео-
метрии мы, наконец-то, добрались до поверхностей второго порядка —
еще один класс объектов, традиционно изучаемых в аналитической
геометрии.
Уравнение второго порядка на плоскости содержит две переменные
и задает линию (квадрику), а уравнение второго порядка в простран-
стве содержит уже три переменных и задает в пространстве множество
точек, чаще всего образующих поверхность. Мы не будем сейчас углуб-
ляться, почему это поверхность и что такое поверхность. У нас пока
мало знаний, последняя лекция и мало времени.
Общий вид уравнения второго порядка в пространстве устрашающе
дикий,
Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz+
+2Gx+2Hy+2Jz+K=0,( )
и в этом уравнении коэффициенты A, B , C , D , E , F одновременно ну-
лю не равны, чтобы порядок уравнения был именно второй, а не ниже.
Множество точек (x, y , z ), удовлетворяющих этому уравнению,
называют квадрикой в трехмерном пространстве.
Виды квадрик в пространстве и их простые канонические уравнения
известны и хорошо изучены, их можно расклассифицировать наподобие
квадрик на плоскости. Только, в отличие от квадрик на плоскости,
переменных и коэффициентов в общем уравнении больше, поэтому
и вариантов сочетания этих коэффициентов будет больше, и квадрик
в пространстве будет больше, чем квадрик на плоскости. Всего в трех-
мерном евклидовом пространстве существуют 17 видов квадрик (из них
5 вырожденных). Напомню, что на плоскости (смотрите лекцию No 14)
получилось 9 видов квадрик. Сейчас мы в этой лекции не будем
проводить детальную классификацию квадрик в пространстве по двум
причинам.
1. Осталось мало времени — всего одна лекция, мы не успеем.
2. У нас пока недостаточно знаний. Дело в том, что в трехмерном
случае не получится наскоком упростить уравнение ( )подходящими
поворотами каждой координатной плоскости в отдельности. Леммы 1
из пункта No 24 недостаточно. Чтобы в уравнении ( )пропаливсе
произведения переменных, потребуется более хитрое преобразование —
комбинация одновременных поворотов координатных плоскостей. Уже
в следующем семестре, в курсе линейной алгебры вы познакомитесь
с ортогональными преобразованиями, и вот тогда все станет достаточно
просто и быстро — некоторой подходящей заменой системы координат
13/25

Лекция No 16
237
вы научитесь убирать из уравнения ( ) слагаемые, содержащие произ-
ведения переменных.
В силу сказанного наша сегодняшняя лекция будет просто знаком-
ством с некоторыми важными и популярными поверхностями второго
порядка. Они встречаются во многих разделах математики, и с ними
надо познакомиться заранее. Наша лекция будет напоминать прогулку
по выставке, а лучше сказать, по кунсткамере. Мы будем внимательно
разглядывать экспонаты. Кроме того, если угодно, эта лекция — сбор-
ник неплохих упражнений по рисованию.
27. Некоторые важные поверхности второго порядка
«Метод сечений». Для того чтобы представить себе вид поверх-
ности в пространстве, мы постоянно будем пользоваться очень про-
стым приемом — рассматривать сечения поверхности какими-нибудь
плоскостями (часто — координатными). В сечениях будут получаться
какие-то линии, из которых, имея определенное пространственное во-
ображение, можно «составить» объемную картинку поверхности. Про
метод компьютерной томографии головного мозга слышали? Человека
на особой тележке, шажочками по одному миллиметру вдвигают в фан-
тастическое кольцо (на самом деле, это магнит, хоть он и выглядит
как портал в параллельную вселенную) и «фотографируют» срезы
головного мозга параллельными плоскостями с интервалом в 1 мм. По-
том специальная компьютерная программа по специальным алгоритмам
обрабатывает эти срезы-сечения и складывает из них трехмерное изоб-
ражение 1) человеческого мозга. Нам (в случае поверхностей второго
порядка) такая миллиметровая томографическая точность не нужна,
нам не надо изучать мельчайшие изъяны на поверхности мозга, но сам
метод сечений в геометрии — это прототип компьютерной томографии,
только количество сечений в наших рассмотрениях будет значительно
меньше.
Начнем экскурсию по музею поверхностей второго порядка и осмот-
рим экспонаты, выставленные в нем. Идем в залы галереи!
Экспонат 1. Эллипсоид
Определение. Эл липс о ид ом называется поверхность, которая
в некоторой декартовой прямоугольной системе координат (канониче-
ской системе координат) задается уравнением
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2
=1.
1) Сейчас модно говорить «3-D изображение», для придания умного вида
своим речам.
14/25

238
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Сечения эллипсоида плоскостями:
1) в плоскости z = 0 (координатная плоскость XOY )сечениепо-
верхности является эллипсом
x
2
a
2+
y2
b2=1;
2) в плоскости y = 0 (координатная плоскость XOZ)сечениепо-
верхности является эллипсом
x
2
a
2+
z
2
c
2=1;
3) в плоскости x = 0 (координатная плоскость YOZ)сечениепо-
верхности является эллипсом
y2
b2+
z
2
c
2=1 —нарисункенижеон
единственный получился без искажений в плоскости листа бумаги,
на котором и нарисован этот рисунок.
Все эти три эллипса имеют общий центр в пространстве — начало
координат, плоскости этих эллипсов попарно перпендикулярны. Мне
кажется, человеческому воображению этой информации достаточно,
чтобы представить себе картинку, как выглядит эллипсоид в простран-
стве, — он похож на яйцо, только ровненькое, без тупого и острого
конца. Эллипсоид симметричен:
Глядя на каноническое уравнение эллипсоида, сообразите, почему
эллипсоид целиком находится внутри прямоугольного параллелепипеда
(огнеупорного кирпича без дырок) со сторонами 2a,2b,2c ицентром
вначалекоординат.Числаa, b, c называются полуоси эллипсоида.
Если у эллипсоида какие-то две полуоси совпадают, то такой эллип-
соид называется эллипсоидом вращения — он может быть пол учен
вращением эллипса вокруг своей оси симметрии. Например (смотрите
рисунок), если вдруг a = c, то эллипсоид может быть получен вра-
щением эллипса, лежащего в плоскости YOZ,вокругосиOY .Тогда
эллипс в плоскости XOZ будет окружнос тью.
Объем эллипсоида равен V =
4
3
πabc — сравните эту формулу
со школьной формулой объема шара V =
4
3
πRRR =
4
3
πR3.Этоведь
та же формула, не так ли? Сфера — это эллипсоид, у которого все три
полуоси равны!
15/25

Лекция No 16
239
Экспонат 2. Однополостный гиперболоид
Определение. Однополостным гиперболоидом называется по-
верхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат (канонической системе координат) задается уравнением
x2
a2+
y2
b2−
z2
c2
=1.
Сечения однополостного гиперболоида плоскостями
1) В плоскости z = 0 (координатная плоскость XOY )сечениепо-
верхности является эллипсом
x
2
a
2+
y2
b2 = 1 (смотрите рисунок ниже).
Если же мы «поиграем в томографию» и сдвинем секущую плос-
кость параллельно вверх из положения z = 0 до положения z = h,
h>0, то в сечении получится квадрика
x
2
a
2+
y2
b2=1+
h2
c
2 ,тоесть
x
2
a
2
β2+
y2
b2β
2=1,гдеяобозначилβ2=1+
h2
c
2 > 1. Ребята! Это то-
же эллипс, но у него полуоси больше, чем у эллипса
x
2
a
2+
y2
b2=1,
лежащего в плоскости z = 0, ведь β2 > 1. А еще видно, что если
увеличивать высоту h, то есть продолжать поднимать вверх плоскость
z = h, то будет увеличиваться и число β 2, эллипс
x
2
a
2
β2+
y2
b2β
2=1
будет «раздуваться», его полуоси будут тем больше, чем выше проходит
секущая плоскость z = h. Прикольный эффект!
Из канонического уравнения видно, что поверхность симметрична
относительно плоскости XOY ,посколькузаменаz на −z не изменяет
уравнения. Это означает, что при опускании плоскости z = 0вниз
эллипсы в сечении также будут увеличиваться. Самый «узкий» эллипс
x
2
a
2+
y2
b2 = 1, лежащий в плоскости XOY ,называетсягорловой эл-
липс — не правда ли, несколько издевательски кровожадное название,
будто бы мы в этом месте схватили несчастную поверхность за горло
и пережали ей дыхание!
2) В плоскости y = 0 (координатная плоскость XOZ)сечениепо-
верхности является гиперболой
x
2
a
2−
z
2
c
2 = 1 — ее вершины совпадают
с вершинами горлового эллипса.
3) В плоскости x = 0 (координатная плоскость YOZ)сечениепо-
верхности тоже является гиперболой
y2
b2−
z
2
c
2=1 —еевершинытакже
совпадают с вершинами горлового эллипса.
Теперь, имея такую информацию о сечениях, включаем простран-
ственное воображение и получаем рисунок.
16/25

240
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Объясню название поверхности. Однополост-
ный гиперболоид образован гиперболами 1),по-
этому он — «гиперболоид». У него всего одна
полость, поэтому он — «однополостный». Если
полуоси горлового эллипса совпадают (то есть
горловой эллипс является окружностью), то одно-
полостный гиперболоид может быть получен вра-
щением вертикальной гиперболы (например, ги-
перболы на рисунке) вокруг оси OZ.Вэтомслу-
чае он называется однополостный гиперболоид
вращения.
На примере однополостного гиперболоида мы
сейчас познакомимся с удивительным явлением.
Посмотрите внимательно на однополостный гиперболоид — вам при-
ходит в голову, что эта поверхность целиком состоит из прямых
линий? Если вы заранее не знаете этого факта, то даже углядеть хотя
бы одну такую прямую линию, целиком лежащую на однополостном
гиперболоиде, довольно затруднительно.
На помощь нам приходит легендарная баба Клава! Баба Клава —
долгожитель и старейший сотрудник Нижнедынского завода электро-
приборов только потому, что она ведет здоровый образ жизни! Курить
бросила, пить завязала еще до Бородинского сражения, занимается
бодимейкингом, следит за талией — пока сушит белье, вертит на поясе
обруч. Так вот, купила однажды баба Клава для своих занятий два
черных хула-хупа, зачем-то связала их черными веревочками, и полу-
чился у нее красивый цилиндр:
Приклеила она нижний обруч к полу, верхний тянет вверх, чтобы
веревочкибылипрямымиинатянутыми—давайтесмиреннопримем
этот маленький женский каприз. Она мечтала в детстве стать води-
телем троллейбуса. В пелене детских воспоминаний она поворачивает
верхний обруч как руль троллейбуса, напевая песню и объявляя оста-
новки: «Парам-пам-пам, следующая остановка больница имени Кащен-
ко, парам-пам-пам!». Прямые веревочки остаются натянутыми.
1) Проверьте самостоятельно, что любое сечение однополостного гиперболо-
ида вертикальной плоскостью, проходящей через ось OZ , является гиперболой.
17/25

Лекция No 16
241
Смотрите на рисунок, что получается с цилиндром! Веревочки идут
теперь не вертикально вверх, а наискосок, под углом к основанию —
прямые образуют однополостный гиперболоид, они целиком лежат
на нем!
Руль троллейбуса можно поворачивать как в одну, так и в другую
сторону (на одинаковый угол), поэтому через каждую точку однопо-
лостного гиперболоида проходит даже две прямые (веревочки), цели-
ком лежащие на гиперболоиде:
Таким образом, на однополостном гиперболоиде имеется два
семейства прямых, образующих этот гиперболоид и целиком на нем
лежащих. Прямые линии этих семейств называются прямолинейными
образующими однополостного гиперболоида.
Уравнения обоих семейств прямолинейных образующих однополост-
ного гиперболоида можно изготовить следующим образом. Возьмем ка-
ноническое уравнение однополостного гиперболоида:
x
2
a
2+
y2
b2−
z
2
c
2=1,
перенесем слагаемое
y2
b2 влевуючасть,
x
2
a
2−
z
2
c
2=1−
y2
b2 ,иразложим
на множители:
xa
−
z
c
xa
+
z
c
=
1−
y
b
1 +
y
b
.
(♠)
18/25

242
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Теперь рассмотрим прямую линию в пространстве (я мысленно
«разбиваю» уравнение (♠) на сомножители из которых составлю урав-
нения системы):
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
α
xa
−
z
c
=β
1−
y
b
,
β
xa
+
z
c
=α
1+
y
b
,
(♣)
где α, β ∈ R — произвольные параметры, не равные одновременно
нулю. Эта система (♣) состоит из двух линейных уравнений, которые
задают две плоскости, стало быть, система (♣)определяетпрямую—
пересечение двух плоскостей. 1)
Внимание! Рассуждение, с которым мы уже однажды встречались
в лекции No 11 при рассмотрении пучка прямых (или плоскостей).
Если какая-то точка K(x, y , z) лежит на прямой (♣), то ее коорди-
наты удовлетворяют как первому, так и второму уравнению систе-
мы (♣), следовательно, удовлетворяют произведению этих уравнений,
то есть удовлетворяют уравнению однополостного гиперболоида (♠).
Это означает, что прямая (♣) целиком лежит на однополостном
гиперболоиде.Система(♣) определяет двупараметрическое семейство
прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (♠), и при
разных значениях параметров α, β ∈ R получаются различные прямые
этого семейства.
Уравнения второго семейства прямолинейных образующих получа-
ются по той же схеме (только «разбить» уравнение поверхности (♠)
на сомножители нужно в другом сочетании),
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
γ
xa
−
z
c
=δ
1+
y
b
,
δ
xa
+
z
c
=γ
1−
y
b
,
(♣♣)
где γ , δ ∈ R —параметры.Системы(♣)и(♣♣)задаютдвасемейства
прямолинейных образующих однополостного гиперболоида.
Во избежание ошибок и неточностей математики в своей профес-
сии должны быть въедливыми педантами, поэтому я предлагаю вам
выполнить самостоятельно следующее.
Упр а жн е н и е . Докажите, что через каждую точку однополост-
ного гиперболоида
x
2
a
2+
y2
b2−
z
2
c
2 = 1 проходит в точности две прямые:
одна из семейства (♣), вторая из семейства (♣♣).
1) Потрудитесь самостоятельно — раскройте скобки в уравнениях плоско-
стей, найдите их нормальные векторы и убедитесь, что эти плоскости не па-
раллельны, то есть пересекаются по прямой линии!
19/25

Лекция No 16
243
Пример. Найти угол между прямолинейными образующими од-
нополостного гиперболоида x2 + y2 − z 2 = 1, проходящими через точ-
ку A(1; 1; 1).
Решение. Очевидно, что точка A(1; 1; 1) лежит на гиперболои-
де, ведь ее координаты подходят в уравнение x2 + y2 − z2 = 1.
Запишем уравнение гиперболоида в виде
(x−z)(x+z)=(1−y)(1+y)
и, глядя на эту форму записи, составим уравнения обоих семейств
прямолинейных образующих:
α(x − z)=β(1 −y),
β(x + z)=α(1 + y)
и
γ(x − z)=δ(1 + y),
δ(x + z)=γ(1 − y);
видите, это не сложно, я просто «прикидываю в уме», какие выражения
в скобках нужно написать в первом и во втором уравнениях системы,
чтобы потом, после перемножения уравнений получилось уравнение
гиперболоида.
Прямолинейные образующие должны проходить через точ-
ку A(1; 1; 1), поэтому подставляем в обе системы координаты (1; 1; 1)
иполучаем
α·0 =β ·0,
β·2=α·2
и
γ·0 =δ ·2,
δ·2 =γ ·0.
Значения каждой пары параметров определяются с точностью
до пропорциональности. Можно взять α = β = 1иγ = 1, δ = 0—эти
значения подойдут в получившиеся системы.
При таких конкретных значениях параметров получаем пару пря-
молинейных образующих, проходящих через точку A(1; 1; 1):
x+y−z
−
1=0,
x−y+z−1 =0
и
x−z =0,
−y
+1=0.
Чтобы найти угол между этими прямыми, надо знать их направля-
ющие векторы. Чтобы узнать направляющий вектор прямой, заданной
общими уравнениями, проще всего угадать две точки с этой прямой
и соединить их вектором — он и будет направляющим 1).Однуточ-
ку A(1; 1; 1) мы уже знаем — это точка, в которой найденные образу-
ющие пересекаются. Угадываю по второй точке с каждой прямой:
B1(1; 0; 0) —подойдетв
x+y−z
−
1=0,
x−y+z−1 =0,
B2(0; 1; 0) —подойдетв
x−z =0,
−y
+1=0.
1) Хотя можно, конечно, найти векторное произведение нормальных векто-
ров пересекающихся плоскос тей. Тоже получится направляющий вектор пря-
мой пересечения, но векторное произведение дольше искать.
20/25

244
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Таким образом, в качестве направляющих векторов образующих
можно взять векторы
−
−
→
B1A(0; 1; 1) и
−
−
→
B2A(1; 0; 1), а угол между ними:
cosφ=
−−→
B1A,
−
−
→
B2A
|−−→
B1A|·|
−
−
→
B2A|
=
1
√
2·
√
2
=
1
2
,
φ = arccos
1
2
.
Согласитесь, приведенный пример совсем не сложный, он как раз
подойдет в качестве стандартной задачки на экзамене, поэтому разбе-
ритесь в нем хорошенько и давайте пойдем дальше по нашей галерее
поверхностей.
Экспонат 3. Двуполостный гиперболоид
Определение. Двуполостным гиперболоидом называется по-
верхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат (канонической системе координат) задается уравнением
−
x2
a2
−
y2
b2+
z2
c2
=1.
Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями
1) В плоскости z = 0 сечение — мнимый эллипс −
x
2
a
2−
y2
b2=1,
то есть поверхность не пересекает координатную плоскость XOY .
Однако, если поднять (или опустить) горизон-
тальную секущую плоскость на величину h>c,
то в сечении поверхности плоскостью z = h по-
лучится уже обычный эллипс
x
2
a
2+
y2
b2=
h2
c
2 −1,
причем его полуоси будут увеличиваться с ро-
стом высоты поднятия h.
2) В плоскости x = 0 сечение — гипербола
−
y2
b2+
z
2
c
2=1.
3) В плоскости y = 0 сечение — гипербола
−
x
2
a
2+
z
2
c
2=1.
Видно, что у поверхности есть две полости, симметричные от-
носительно плоскости XOY , поэтому гиперболоид «двуполостный» .
Если окажется a = b, то такой гиперболоид может быть получен вра-
щением гиперболы вокруг оси OZ, горизонтальные эллипсы станут
окружностями, а сам гиперболоид будет именоваться двуполостный
гиперболоид вращения.
В первых трех экспонатах мы познакомились с поверхностями,
которые в своем каноническом уравнении содержат квадраты всех
трех переменных x, y и z . Мы перебирали только различные сочетания
знаков: перед квадратами в уравнении эллипсоида стоят три плюса,
21/25

Лекция No 16
245
у однополостного гиперболоида — два плюса и один минус, у дву-
полостного гиперболоида — один плюс и два минуса. В следующих
примерах мы встретимся с каноническими уравнениями, содержащими
первую степень переменной (и не содержащей ее квадрата).
Экспонат 4. Эллиптический параболоид
Определение. Эллиптическим параболоидом называется по-
верхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат (канонической системе координат) задается уравнением
x2
a2+
y2
b2=2z.
Ясно, что вся такая поверхность лежит в полупространстве z  0,
а в сечении этой поверхностью горизонтальными плоскостями z = h
будут получаться подобные друг другу эллипсы
x
2
a
2
2h
+
y2
b2 2h
= 1, полуоси которых тем больше,
чем больше высота h. В сечении координатными
плоскостями x = 0иy = 0будутпараболы,ветви
которых направлены вверх. Смотрите рисунок.
Эллиптический параболоид похож на чашку,
в которую можно наливать, что хочешь: хоть
воду, хоть изоамиловый спирт, хоть смесь воды
сизоамиловымспиртом.Еслиa = b,тотакойпа-
раболоид получается вращением параболы, стоя-
щей ветвями вверх (и расположенной, например, в плоскости YOZ),
вокруг оси OZ. В этом случае он называется параболоид вращения.
Экспонат 5. Гиперболический параболоид
Определение. Гиперболическим параболоидом называется по-
верхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат (канонической системе координат) задается уравнением
x2
a2
−
y2
b2=2z.
По сравнению с предыдущим экспонатом — эллиптическим парабо-
лоидом — в каноническом уравнении знак плюс изменился на минус
и все. Но сразу возникает резкое отличие и в названии поверхности
и в ее внешнем виде! Вы только посмотрите!
Сечения гиперболического параболоида плоскостями
1) В плоскости z = 0 в сечении получаются две пересекающиеся
прямые
xa
+
y
b
xa
−
y
b
 = 0! Стало быть, эти прямые целиком лежат
на поверхности — мы уже видели такое явление на однополостном
гиперболоиде.
22/25

246
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Если приподнять секущую плоскость на высоту z = h>0, то в се-
чении образуется обычная гипербола
x
2
a
2
2h
−
y2
b2 2h
= 1, а вот если плос-
кость опустить на ту же высоту z = h<0, то в сечении у гиперболы
действительная и мнимая оси поменяются ролями: −
x
2
a
2
2|h|
+
y2
b2 2|h|
=1.
Пока довольно сложно вообразить, как все это выглядит в простран-
стве.
2) В плоскости y = 0 в сечении получается парабола
x
2
a
2 = 2z ,«ветви
вверх».
3) В сечении плоскостью x = 0 тоже получается парабола −
y2
b2 =2z,
только ветви у нее направлены вниз. Хрен поймешь, как устроена
эта поверхность — в вертикальной плоскости парабола «ветви вверх» ,
перпендикулярно ей парабола «ветви вниз», в сечениях горизонталь-
ными плоскостями гиперболы разных направлений, вырождающиеся
посередине в пару пересекающихся прямых. Вот задачка для простран-
ственного воображения!
Не буду вас томить, вот рисунок:
Разглядывайте рисунок внимательно — где здесь параболы ветвями
вверх, где параболы ветвями вниз, где гиперболы, а где примерно
проходит пара пересекающихся прямых, которые я не нарисовал.
Даже опытные математики частенько путают название этой по-
верхности и называют гиперболический параболоид «параболическим
гиперболоидом». Наведем порядок в своих головах!
Эллипсоид помнят все, его ни с чем не перепутаешь — яйцо.
Гиперболоидов мы встретили два — однополостный и двуполост-
ный — их канонические уравнения содержат квадраты всех трех
переменных, разница только в количестве минусов перед квадратами.
Параболоидов в природе тоже два, их канонические уравнения
не содержат квадрата одной из переменных, а содержат только ее
первую степень: эллиптический —чашка,игиперболический — седло.
Математики, которые осознают свою вину и чувствуют, что путают на-
звания, именно так и произносят имя гиперболического параболоида —
23/25

Лекция No 16
247
«седло». Ясно и коротко. Тем более, что сам термин «седло» как нельзя
лучшеуказывает,начтопохожаэтаповерхность.
Я заметил, что многие преподаватели, ведущие аналитическую
геометрию, не уверены в своих художественных способностях и стес-
няются рисовать на доске геометрические фигуры, о которых идет речь.
Типа: «Вот я написал вам уравнение поверхности, а картинку сами
посмотрите в книжке, я рисовать не умею, тем более такой сложный
рисунок — седло». Между тем нет ничего проще, чем нарисовать седло,
вдобавок сам процесс его рисования окажется чрезвычайно познава-
тельным!
Разумеется, сначала нужно звать на помощь легендарную бабу
Клаву: «Клаваааа!» (3 раза). На зов выходит во двор баба Клава,
желающая, как делает обычно, сушить белье. У нее сегодня выходной
и вполне объяснимое игривое настроение. Во дворе закреплены две
покосившиеся рейки, между которыми надо натянуть бельевые веревки
(рисуйте два одинаковых отрезка под углом примерно 90 градусов друг
кдругу):
Отрезки нужно разделить на одинаковое количество равных частей
точками — это крючки для бельевых веревок. Поскольку настроение
у бабы Клавы игривое, она выпендривается и натягивает бельевые
веревки между рейками весьма оригинально! Первый крючок на первой
рейке она соединяет с последним крючком на второй рейке, второй —
с предпоследним, третий — с пред-предпоследним и так далее (возь-
мите линейку и соединяйте карандашом по линейке точки деления
отрезков):
Вот оно, седло! Готово!
Можно представить себе процесс возникновения седла и так:
во дворе сначала, как и полагается, были две параллельные рейки.
Между ними были натянуты бельевые веревки. А потом баба Клава
повернула одну рейку относительно другой (веревки остались натя-
нутыми) — однажды она уже делала это с соосными параллельными
хула-хупами, теперь повторила тот же трюк с рейками — праздник же,
выходной день, можно шалить как Шапокляк!
24/25

248
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Наш небольшой урок рисования познавателен потому, что явно
демонстрирует: седло, как и однополостный гиперболоид, целиком со-
стоит из прямых! На седле имеется два семейства прямолинейных об-
разующих. Через каждую точку седла проходит пара пересекающихся
прямых линий, целиком лежащих на этом седле.
Чтобы получить уравнения обоих семейств прямолинейных обра-
зующих седла, поступим точно так же, как мы делали в случае
однополостного гиперболоида. Возьмем каноническое уравнение седла
и «развернем» разность квадратов:
xa
−
y
b
xa
+
y
b
= 2z.
Далее, глядя на это развернутое уравнение седла, мысленно раз-
биваем его на систему из двух линейных уравнений (плоскостей) так,
чтобы в произведении эти линейные уравнения дали уравнение седла.
Это можно сделать двумя разными способами (α, β , γ , δ —произволь-
ные параметры):
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
α
xa
−
y
b
= 2zβ,
β
xa
+
y
b
=α
и
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
γ
xa
+
y
b
= 2zδ,
δ
xa
−
y
b
= γ.
()
Каждая система (при фиксированных α, β , γ , δ) задает прямую —
пересечение двух плоскостей. Любая точка с такой прямой удовлетво-
ряет обоим уравнениям системы, следовательно, удовлетворяет произ-
ведению этих уравнений, то есть уравнению седла. Это означает, что
прямые линии ()лежатнаседлецеликом.
Упр а жн е н и е . Докажите, что через каждую точку седла
x
2
a
2−
−
y2
b2 = 2z проходит в точности две прямые, лежащие на этом седле
и определяемые системами уравнений () при некоторых подходящих
значениях α,β,γ,δ.
Êîìïüþòåðíûé ðèñóíîê
ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà
Ôîòîãðàôèÿ
÷èïñîâ Ïðèíãëñ
P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
25/25

Лекция No 16
249
Экспонаты6,7,8.Прямыецилиндры
Определение. Прямые цилиндры в некоторой подходящей (ка-
нонической) системе координат задаются каноническими уравнениями
x2
a2+
y2
b2 = 1— эллиптический цилиндр,
x2
a2
−
y2
b2 = 1— гиперболический цилиндр,
y2 = 2px — параболический цилиндр.
В этих уравнениях отсутствует пространственная переменная z —
как будто мы взяли каноническое уравнение квадрики на плоскости
с переменными x и y, но рассматриваем его в трехмерном пространстве.
Ясно, что в такое уравнение подойдут точки с координатами (x, y , z ),
у которых первые две координаты подходят в уравнение соответствую-
щей квадрики, а координата z —любая.Япредставляюэтотак:через
каждую точку квадрики на плоскости XOY провели вертикальную
прямую, параллельную оси OZ — все точки такой прямой удовлетво-
ряют уравнению поверхности, поскольку первые две координаты этих
точек подходят в уравнение квадрики. Рисунки:
Очевидно, что цилиндры целиком состоят из прямых (на рисунке
они параллельны оси OZ).Этипрямыеназываютсяпрямолинейными
образующими цилиндра, а квадрика в плоскости XOY (и в любом
сечении цилиндра плоскостью z = h) называется направляющей ци-
линдра.
Экспонат 9. Эллиптический конус
Под конец нашей экскурсии по музею поверхностей невозможно не
остановиться на экспонате, с которого, собственно говоря, и началось
все наше знакомство с квадриками как с явлением природы — вспом-
ните конические сечения!
1/6

250
Гл. 3 . Квадрики на плоскости и в пространстве
Определение. Эллиптическим конусом называется поверх-
ность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе коорди-
нат (канонической системе координат) задается уравнением
x2
a2+
y2
b2−
z2
c2
=0.
Из канонического уравнения сразу видно, что в сечениях верти-
кальными координатными плоскостями XOZ и YOZ получаются пары
пересекающихся (в начале координат) прямых
x
2
a
2−
z
2
c
2=0и
y2
b2−
z
2
c
2=
= 0. В сечении плоскостью XOY получается точка
x
2
a
2+
y2
b2 =0.Если
же поднимать (или опускать) секущую плоскость XOY на высоту
z = h, то в сечении будут получаться эллипсы
x
2
a
2+
y2
b2=
h2
c
2 ,полуоси
которых растут с ростом высоты h. Вот до боли знакомая и узнаваемая
картинка:
—
эллиптический конус. Если же в каноническом уравнении конуса
оказалось a = b, то в горизонтальных сечениях такого конуса плоско-
стями z = h будут получаться окружности, и такой частный случай
эллиптического конуса называют круговым конусом.
Упр а жн е н и е . Убедитесь, наконец, в правоте древних греков!
Докажите аналитически (составляя соответствующие уравнения), что
в сечении кругового конуса плоскостями могут возникать: окружности,
эллипсы, точка, гиперболы, параболы, пары пересекающихся прямых,
пары совпавших прямых.
Ну, вот и все, дорогие первокурсники! Наш небольшой кусочек
аналитической геометрии, обязательный к освоению в первом семестре
первого курса, закончился. Пришла пора расставания.
2/6

Лекция No 16
251
Разумеется, я успел рассказать вам лишь малую часть весьма
обширного предмета «Аналитическая геометрия». В наших лекциях
мы совсем не касались основ проективной геометрии, полностью обо-
шли вниманием различные неевклидовы геометрии, да много чего еще
полезного (и не очень сложного, вполне доступного первокурсникам)
осталось за рамками нашего курса. Надеюсь, что некоторые из вас,
заинтересовавшись, продолжат познание геометрии самостоятельно —
она увлекательна и необъятна как и вся математика! Да что там
математика, она необъятна как все человеческое знание!
Искренне желаю вам здоровья, успехов в подготовке к экзаменам,
отличной сдачи сессии и простого человеческого счастья!
Всего доброго, спасибо за внимание!
Задачки к Лекции No 16
1. Найти точки пересечения поверхности
x
2
16
+
y2
9
−
z
2
4
= 1ипрямой
x
4
=
y
−3
=
z+2
4
.
2. Докажите, что уравнение z = xy задает седло.
3. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостно-
го гиперболоида
x
2
4
+
y2
9
−
z
2
16
= 1, параллельных плоскости 6x + 4y +
+3z−17 =0.
4. Найти угол между прямолинейными образующими седла
x
2
4
−
−
y2
9
= z , проходящими через точку A(−2; 0; 1).
5. По какой линии плоскость 3x − y + 6z − 14 = 0 пересекает
поверхность
x2
3
+
y2
6
= 2z?
6. По какой линии плоскость x + y − z + 3 = 0 пересекает поверх-
ность
x
2
+y2
−
z
2
= −4?
7. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точ-
ке A(3; −1; −2), а направляющая задана системой уравнений
x
2+y2−z
2=1, x−y+z=0.
8. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллель-
ны вектору s (2; −3; 4), а направляющая задана системой уравнений
x
2+y2=9, z =1.
3/6

Литература
Учебники
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М .: Наука, 1968.
912 с.
2. Постников М.М . Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая гео-
метрия. М.: Наука, 1979. 336 с.
3. Беклемишев Д.В . Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
М.: Наука, 1987. 336 с.
Задачники
4. Моденов П.С ., Пархоменко А.С . Сборник задач по аналитической гео-
метрии. М .: Наука, 1976. 384 с.
5. Клетеник Д.В . Сборник задач по аналитической геометрии: 14-е изд.,
испр. М .: Наука, 1986. 224 с.
6. Овсянников А.Я . Задачник по алгебре и геометрии для студентов перво-
го курса: 2-е изд., испр. и доп. Екатеринбург, изд-во Урал. ун-та, 2010.
232 с.
4/6

Учебное издание
СИЗЫЙ СергейВикторович
ЛЕКЦИИ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Редактор Е.И. Ворошилова
Оригинал-макет: И.Г . Андреева
Оформление переплета: А.В . Андросов
Подписано в печать 29.07.2021. Формат 6090/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л . 16. Уч. -изд. л. 17 ,6. Тираж 500 экз.
Заказ No
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17 Б
E-mail: p orsova@fml.ru, sale@fml.ru
Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru
Отпечатано с электронных носителей издательства
в АO «Первая Образцовая типография»
Филиал «Чеховский Печатный Двор»
142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpd.ru. E-mail: sales@chpd.ru, тел.: 8 (499) 270-73-59
ISBN 978-5 -9221-1925-2





5/6

P owe red by T CP DF (www.tcp df.o rg)
6/6