Логариѳмическая
разсчетная линейка
и ед употребленіе
съ 22-мя Фигурами въ текстѣ и 5-ыо таблицами.
(о)
D. R.=Patent Nj 173660
I.
система
Мангеймъ
11.
Нестлера „Фиксъ“
III.
у*
Рицъ
IV.
99
Нестле
V.
У?
Нестлера Универсальная
VI.
99
Нестлера Прецизіонная
VII.
99
Петеръ м Перри
VIII.
99
„Электро" ч
Альбертъ Нестлеръ
Ларъ (Бадевъ)
Фабрика разечетн. линеекъ.
тинтвитивп 1910 іянініііапднв

f.КО-;--	" ■ --÷∙^∙.∙.	"	.	- 		-1ШЯЛ
Просимъ обратить вниманіе на то, что
наши
разсчетныя линейки снабжены
надписью:
і
k≡⅛=
Albert ]⅛6stler, Iιahr.
-	-÷-			:	?■

Наставленіе
къ
употребленію
РАЗСЧЕТНОЙ ЛИНЕЙКИ
р. Ц.-Раіепі (Чг. 173660.
Изд. фабрики Альбертъ Нестлеръ, Ларъ (Баденъ)
1910 г.

Логариѳмическія разсчетныя линейки.
I.	Значеніе логариѳмическихъ линеекъ.
Вь настоящее время логариѳмическія линейки получили
довольно значительное распространеніе и польза ихъ опредѣ¬
лилась съ достаточной ясностью. Лѣтъ же 20 тому назадъ
къ разсчетнымъ линейкамъ относились во многихъ кругахъ,
пользующихся ими теперь въ широкихъ размѣрахъ, если не
отрицательно, то въ лучшемъ случаѣ. безразлично. Необхо¬
димо однако замѣтить что всѣ усилія послѣдняго времени
были направлены не только въ сторону возможнаго улучшенія
конструкціи разсчетныхъ линеекъ, но также и къ приспособ¬
ленію ихъ къ потребностямъ той или другой профессіи. По
нашему мнѣнію причина столь значительнаго распространенія
разсчетныхъ линеекъ, каковымъ они пользуются въ настоящее
время, кроется именно въ выпускѣ разсчетныхъ линеекъ спеці¬
альнаго назначенія, улучшенной и продуманной до мельчай¬
шихъ деталей конструкціи.
Такъ, въ настоящее время, на рынкѣ имѣются, наприм.,
линейки для болѣе точныхъ разсчетовъ, другія же несомнѣнно
представляють большія удобства землемѣрамъ и топографамъ;
инженеры, механики, электрики и строители также имѣютъ
полную возможность выбрать линейку, наиболѣе отвѣчающую
ихъ потребностямъ, наконецъ особыя логариѳмическія линейки
имѣютъ спеціальное назначеніе, и, въ заключеніе, удобство
обращенія и различныя требованія точности разсчетовъ учи¬
тываются изготовленіемъ линеекъ со шкалами длиной отъ
12,5 до 1000 см. Въ силу этого всегда возможно найти модель
линейки, наиболѣе отвѣчающую потребностямъ даннаго лица.

— 4
Логариѳмическая разсчетная линейка во многихъ слу¬
чаяхъ съ успѣхомъ замѣняетъ обыкновенное цифровое счис¬
леніе болѣе быстрымъ механическимъ суммированіемъ нѣко¬
торыхъ длинъ. Во всѣхъ тѣхъ случаяхъ, гдѣ самыя основанія
вычисленія или вводимыя въ разсчетъ величины могутъ быть
опредѣлены лишь съ извѣстной точностью, было бы нераціо¬
нально опредѣлять конечный результатъ съ большей точностью
нежели самыя основанія. Въ такихъ случаяхъ логариѳмическая
линейка совершенно вытѣсняетъ обычное ариѳметическое, и вы¬
численіе при помощи логариѳмическихъ таблицъ. Къ такимъ
случаямъ прежде всего должны быть отнесены всѣ разсчеты
прочности машинъ и сооруженій, далѣе всѣ разсчеты по гид¬
равликѣ, по опредѣленію вѣса различныхъ тѣлъ, всевозможные
предварительные схематическіе подсчеты и т. д. Съ другой
стороны логариѳмическая линейка является превосходнымъ
средствомъ для провѣрки, напримѣръ, смѣтъ, подсчетовъ
площадей и т. д.; при помощи прецизіонной логариѳмической
линейки топографъ провѣряетъ съ достаточной точностью
угловыя вычисленія.
Изъ вышесказаннаго, далеко впрочемъ не исчерпывающаго
значенія разсчетныхъ линеекъ, вытекаетъ насколько цѣннымъ
подспорьемъ при всякаго рода вычисленіяхъ являются таковыя.
Можно смѣло утверждать что всякій техникъ, но употребля¬
ющій разсчетную линейку для своихъ вычисленій, напрасно
растрачиваетъ свои духовныя силы на утомительныя выкладки,
вмѣсто того чтобы посвятить всѣ свои способности интересу¬
ющему его вопросу. Творчество техника неразрывно свя¬
зано съ различными выкладками, и ѳдвали кто нибудь будетъ
отрицать что необходимыя вычисленія, получаемыя долгимъ
и утомительнымъ путемъ, вліяя разсѣивающе и мѣшая сосре¬
доточится на главной мысли, сильно затрудняютъ достиженіе
намѣченной цѣли. Этимъ самымъ техникъ, нѳговоря уже о
потерѣ времени, связанной съ обычными способами вычисленія,
непроизводительно растрачиваетъ свои умственныя способ¬
ности не пользуясь логариѳмической линейкой.

5
2.	Приспособленность разсчетныхъ линеекъ
къ различнымъ требованіямъ.
Какъ уже было упомянуто выше, логариѳмическія линейки
въ теченіи короткаго времени сильно видоизмѣнились для
большей приспособленности къ различнымъ требованіямъ.
Обыкновенная логариѳмическая разсчетная линейка
очень удобна для умноженія, дѣленія, возвышенія въ квадратъ и
извлеченія квадратнаго корня, — словомъ для повседневныхъ
обычныхъ вычисленій во всѣхъ отрасляхъ техники. —
Обыкновенная разсчетная линейка проста и, прежде всего,
дешева..
Прецизіонная логариѳмическая линейка — наиболѣе
точный и совершенный инструментъ изъ всѣхъ суще¬
ствующихъ линеекъ — служитъ для болѣе точнаго выпол¬
ненія вышесказанныхъ дѣйствій а также для логариѳми¬
рованія съ увеличенной точностью. Такую же степень точ¬
ности какъ сказанныя дѣйствія, допускаетъ прецизіонная лога¬
риѳмическая линейка и при тригонометрическихъ вычисле¬
ніяхъ, и превосходитъ поэтому и въ этомъ отношеніи всѣ
другія линейки. Въ силу этого прецизіонная разсчетная
линейка незамѣнима въ тѣхъ случаяхъ гдѣ необходима
большая степень точности, а также и для болѣе точ¬
ныхъ тригонометрическихъ выкладокъ.
Универсальная разсчетная линейка — наиболѣе разно¬
сторонняя изъ всѣхъ линеекъ — очень удобна для всѣхъ
обычныхъ выкладокъ, для возвышенія въ кубъ и извле¬
ченія кубичнаго корня, кромѣ того, главнымъ образомъ для
тригонометрическихъ вычисленій при топографическихъ или
мензульныхъ съемкахъ. Поэтому сказанная линейка является
предметомъ первой необходимости для топографовъ и
инженеровъ, имѣющихъ дѣло съ топографическими съемками.
Отсылая къ болѣе подробному описанію этой линейки,
слѣдующему ниже, мы подчеркнемъ, что, универсальная
разсчетная линейка въ 2$ см. длины даетъ ту же степень
точности какъ и извѣстная топографическая разсчетная
6
линейка изъ нейзильбера въ 50 см. длины, или же точность
вдвое большую нетели тоновая со шпалой въ 25 см. длины.
Логариѳмическая линейка системы „Рицъ“. Во многихъ
спеціальностяхъ тригонометрическія вычисленія встрѣчаются
не часто и не имѣютъ особой важности. Поэтому многіе тех¬
ники предпочитаютъ болѣе простыя, благодаря отсутствію на
нихъ тригонометрическихъ дѣленій sin a9 cos а и cos2 а, раз¬
счетныя линейки системы „Рицъ“ разностороннимъ универ¬
сальнымъ линейкамъ, хотя послѣднія одинаково удобны для
вычисленій какъ и первыя. Линейки системы „Рицъ“ осо¬
бенно пригодны для инженеровъ, технологовъ, электри¬
ковъ и архитекторовъ.
Логариѳмическая линейка системы „Нестле". Эта
линейка отличается отъ предыдущей усовершенствова¬
ніемъ, допускающимъ болѣе точное возвышеніе въ квадр.,
извлеченіе корня и логариѳмированіе. Эти дѣйствія вы¬
полняются съ той же точностью какъ при помощи прецизіонной
разсчетной линейки. Поэтому линейка „Нестле* примѣняется
въ тѣхъ же случаяхъ какъ и прецизіонная, и обладаетъ въ
остальномъ такими же качествами какъ и разсчетныя
линейки системы „Рицъ“.
Разсчетная линейка „Фиксъ" является нѣсколько видо¬
измѣненной обыкновенной логариѳмической линейкой. Она
допускаетъ непосредственный отчетъ поверхно.стей круговъ и'
шаровъ и объемовъ цилиндровъ, конусовъ и шаровъ. Поэтому
линейка „Фиксъ4 въ большинствѣ случаевъ примѣняется
въ деревообдѣлочныхъ предпріятіяхъ и для подсчетовъ
въ техническихъ бюро.
3.	Конструкція логариѳмическихъ разметныхъ
линеекъ.
Прежде нежели перейти къ детальному описанію отдѣль¬
ныхъ разсчетныхъ линеекъ, считаемъ необходимымъ сказать
нѣсколько словъ о главнѣйшихъ особенностяхъ конструкціи
новыхъ линеекъ фирмы Альбертъ Нестлвръ въ Ларгъ.

7
Конструкція разсчетныхъ линеекъ сказанной фирмы
такова что допускаетъ употребленіе ихъ при всякой погодѣ
какъ въ закрытомъ помѣщеніи такъ и на открытомъ
воздухѣ. Вплоть же до послѣдняго времени логариѳмическія
линейки настолько зависѣли отъ температуры и влажности
воздуха, что подчасъ оказывались въ нужную минуту совер¬
шенно непригодными къ употребленію.
Просматривая таблицы температурныхъ коэффиціентовъ
расширенія различныхъ сортовъ дерева, убѣждаемся что крас¬
ное дерево обладаетъ наименьшимъ расширеніемъ; въ силу
этого линейки нашей фирмы изготовляются исключительно изъ
краснаго дерева. Такъ какъ сказанное дерево темнаго цвѣта
и имѣетъ слишкомъ грубыя волокна для непосредственнаго
нанесенія тамъ четкихъ дѣленій, то наша фирма наклеиваетъ
на основаніе изъ краснаго дерева целлулоидныя полоски.
Бѣлый целлулоидъ представляетъ собою идеальный матеріалъ
для нанесенія четкихъ и точныхъ дѣленій и мы беремъ на
себя смѣлость утверждать что онъ не превзойденъ, въ этомъ
отношеніи, даже слоновой костью, имѣющей нѣкоторую слои¬
стость. Однако целлулоидъ подверженъ довольно сильнымъ
измѣненіямъ вслѣдствіе колебаній температуры и влажности
воздуха. Отъ влажности полоски целлулоида искривляются и
разбухаютъ въ поперечномъ направленіи къ линейкѣ, благо¬
даря чему ширина паза для движка измѣняется, хотя необхо¬
димо оговориться — это обстоятельство вызывается не только
измѣненіемъ самыхъ целлулоидныхъ пластинокъ но также и
искривленіемъ въ поперечномъ направленіи самой линейки.
Въ силу сказаннаго можетъ наступить, въ случаѣ нераціо¬
нальной конструкціи, такой моментъ, что легкость хода движка
настолько измѣнится подъ вліяніемъ влажности и температуры
воздуха, что передвиженіе движка потребуетъ значительнаго
усилія и сильно затруднитъ пользованіе линейкой.
Послѣ цѣлаго ряда опытовъ фирма Альбертъ Нѳстлѳръ
выработала конструкцію, сводящую вредное вліяніе влажности
и температуры воздуха практически къ нулю.

— 8 —
а)	Привинчиваніе целлулоидныхъ полосокъ къ дере¬
вянному основанію препятствуетъ отдѣленію ихъ отъ такового,
что прежде являлось далеко не рѣдкостью. Пластинка, отдѣ¬
лившаяся отъ своего основанія, настолько сильно измѣняетъ
6’ /-•
Фиг. 1.
Фиг. 2.
Фиг. 3.
свою длину въ сравненіи съ нѳотдѣлившѳйся, что
разсчетная линейка приходитъ въ полную негод¬
ность. Привинчиваніемъ и приклеиваніемъ целлу¬
лоидныхъ полосокъ достигается то, что подвер¬
женный сильнымъ измѣненіямъ, вслѣдствіе коле¬
баній влажности и температуры окружающей среды,
целлулоидъ неразрывно связанъ съ менѣе гигро¬
скопичнымъ деревомъ, благодаря чему величина
дѣленій измѣняется лишь незначительно.
Ъ)	Пластинка S. перекрыта съ обѣихъ сто¬
ронъ целлулоидными полосками Е и F какъ это
показано на фиг. -1. Какъ уже было упомянуто
выше, коэффиціенты расширенія дерева и целлу¬
лоида, а также отношеніе ихъ къ влажности воздуха
различны; поэтому при измѣненіи температуры и
влажности воздуха и при употребительномъ до сихъ
поръ одностороннемъ покрытіи пластинки 8 неми¬
нуемо появятся измѣненія формы линейки, какъ
показано на прилежащихъ фиг. 2 и 3, сопровож¬
дающіяся зажимомъ или освобожденіемъ движка.
Вслѣдствіе же симметричнаго покрытія пластинки
целлулоидомъ, изгибаніе пластинки при сказанныхъ
колебаніяхъ невозможно, такъ какъ при всякомъ
относительномъ измѣненіи длины деревянной пла¬
стинки 8 въ целлулоидныхъ полоскахъ Е и F на
протяженіи ab (фиг. 1) появляются симметричныя
и равныя сопротивленія.
с)	Эластичная прокладка. Несмотря на ска¬
занное двухстороннее покрытіе целлулоидомъ пла¬
стинки 8, могутъ появляться обстоятельства оказывающіе
вредное вліяніе на легкость хода движка. Къ таковымъ не¬
сомнѣнно слѣдуетъ отнести поперечное расширеніе цѳллулоид-
9 —
ныхъ полосокъ, хотя бы оно даже и было незначительнымъ.
Такъ какъ движокъ долженъ ходить легко, но всѳтаки съ
извѣстнымъ усиліемъ, то пригонка движка къ пазу должна
быть возможно точной, и какъ легко усмотрѣть, даже незна¬
чительное измѣненіе ширины целлулоидныхъ полосокъ вызо¬
ветъ измѣненіе легкости хода движка — ибо послѣдній нахо¬
дится въ тѣсной зависимости отъ ширины паза.
Неравно мѣрность хода движка совершенно устра¬
нена новымъ патентованнымъ приклеиваніемъ при по¬
средствѣ эластичной резиновой прокладки, см. табл. I,
чѣмъ самымъ устранено обстоятельство, препят¬
ствовавшее до сихъ норъ употребленію разсчетныхъ ли¬
неекъ на открытомъ воздухѣ. Тонкая мягкая резиновая
пластинка допускаетъ при движеніи движка незначительное
отклоненіе въ сторону шкалъ линейки, причемъ возможность
продольныхъ перемѣщеній этихъ шкалъ совершенно исклю¬
чается.
4.	Передвижной визиръ.
Сильно облегчаетъ употребленіе линейки, какъ часть ея,
укрѣпленный надъ ней передвижной визиръ съ нанесенной на
немъ тонкой чертой. Онъ служитъ для отчета и установки
чиселъ, особенно для обозначенія результата при нѣсколь¬
кихъ промежуточныхъ дѣйствіяхъ.
Подвижной визиръ состоитъ изъ прозрачной стекляной
пластинки, настолько большой чтобы видѣть достаточное число
дѣленій для установки или отчета желаемаго числа. Сказанное
стекло оправлено въ аллюминіѳвую рамку, снабженную на
противоположныхъ сторонахъ небольшими пружинами. Тонкая
черта нанесена на нижней поверхности стекла во избѣжаніе
параллакса при отчетѣ. Визири отличаются другъ отъ друга
какъ расположеніемъ черты такъ и конструкціей.
Визиръ съ непрерывной чертой, фиг. 1, табл. I, про¬
ходящей черезъ всю пластинку наиболѣе употребителенъ.
Визиръ съ прерванной чертой, фиг. 2, табл, I, имѣетъ
Цѣлью перекрывать шкалы лишь на мѣстѣ ихъ соприкосновенія.

10
Визиръ съ двумя чертами, фиг. 3 табл. I, имѣетъ двѣ
параллельныя черты, которыя могутъ быть непрерывны или
же прерваны. Двѣ черты замѣняютъ черту „С“ логариѳми¬
ческой линейки (см. стр. 42 и 95) поэтому разстояніе между
1 Г~Т
ними должно быть равно log. I/ въ единицахъ главной
Т
шкалы. Установивъ правую черту на одно изъ чиселъ главной
шкалы, мы получимъ у лѣвой черты визира на шкалѣ квад¬
ратовъ площадь круга даннаго діаметра и наоборотъ.
Для лицъ со слабымъ зрѣніемъ или для мелкихъ дѣленій,
каковыя, напримѣръ, встрѣчаются на карманныхъ разсчетныхъ
линейкахъ изготовляются визири съ лупами фиг. 4 табл. I.
Лупа состоитъ изъ стекляннаго полуцилиндра, причемъ она
увеличиваетъ только въ одномъ направленіи, а именно въ
направленіи ширины дѣленій. Замѣтимъ еще что при
отчетѣ нѣтъ необходимости соблюдать какое либо опредѣленное
разстояніе до глаза.
5.	Длина разсчетныхъ линеекъ.
Обычная длина разсчетныхъ линеекъ составляетъ,
какъ показываютъ табл. II—V, іу см. Кромѣ нормальныхъ
линеекъ фабрика выпускаетъ еще короткія карманныя
логариѳмическія линейки, очень пригодныя во многихъ
случаяхъ, но не могущія дать тойжѳ точности какъ первыя.
Съ другой стороны фабрика, идя навстрѣчу потребности боль¬
шей точности, изготовляетъ логариѳмическія линейки длиною
до 1,0 метра. На складѣ всегда имѣются линейки со шкалами
длиной: 12,5, 15, 20, 25, 35, 50, 60 и 100 см.
6.	Тригонометрическія шкалы.
Тѣ разсчетныя линейки, которыя предназначены спе¬
ціально для топографовъ и межевыхъ инженеровъ имѣютъ
шкалы со старымъ и новымъ дѣленіями (360° и 400°).

11
I. Система ,,Mannheimu
или
обыкновенная логариѳмическая линейка.
Фиг. 4.
I
Движокъ въ обыкновенномъ положеніи
λ
Движокъ
У
Фиг. 5.
ж
Движокъ

12 —
§ I.	Описаніе обыкновенной разсчетной линейки.
Каждая разсчетная линейка состоитъ (фиг. 4 и 5) изъ
линейки, на которой нанесены верхняя шкала O1 и ниж¬
няя шкала U1, и изъ движка, который передвигается въ
пазахъ между этими шкалами. Движокъ снабженъ на передней
своей сторонѣ верхней шкалой О2 и нижней U2 , и на
задней сторонѣ шкалами S, L и Т. Много облегчаетъ упо¬
требленіе линейки, какъ часть ея, укрѣпленный надъ ней
передвижной визиръ. Онъ служитъ для установки и отчета
чиселъ, особенно для обозначенія результата при нѣсколькихъ
промежуточныхъ дѣйствіяхъ. Изъ вышесказанныхъ шкалъ,
съ одной стороны O1 и О2, съ другой стороны t∕1 и U2 вза¬
имно равны. Слѣдуетъ обратить особенное вниманіе на таблицу
постоянныхъ на задней сторонѣ линейки, содержащую всѣ
необходимые для техника разсчетные коэффиціенты.
Умноженіе и дѣленіе производится на шкалахъ U1 и
TJ2. Для возвышенія въ квадратъ и для извлеченія квад¬
ратнаго корня примѣняются шкалы U1 и O1 или О2 и U2.
Для нахожденія логариѳма, а также возвышенія въ степень
и извлеченія корня съ дробными или высшими степенями,
чѣмъ 3, пользуются шкалой ,,Ltt. Всѣ тригонометрическія
дѣйствія производятся на шкалахъ S и Т. Для разсчета
круговыхъ функцій имѣются черточки /г, с, q', ρ" и q,, (см.
стр. 38, 42 и 95).
Всѣ шкалы разсчетной линейки возникли такимъ обра¬
зомъ, что логариѳмы всѣхъ числовыхъ дѣленій нанесены ввидѣ
отрѣзковъ нѣкоторой длины, принятой за логариѳмическую
единицу. Для шкалъ U1, U2T и L, длина принятой логар.
единицы равна 2$ см., для гикалъ же Ob О2 и S длина
ея равна І2,у см.; такимъ образомъ у послѣднихъ шкалъ на
длину 25 см. приходится 2 логар. единицы. Всѣ разсчеты
съ линейкой основываются на соотвѣтствующихъ правилахъ и
13
теоремахъ для примѣненія логариѳмовъ, причина чего заклю¬
чается въ самомъ способѣ образованія шкалъ. Наприм., для
умноженія и дѣленія логариѳмы чиселъ складываются и вы¬
читываются. При помощи разсчетной линейки эти дѣйствія
выполняются прибавленіемъ или отнятіемъ т. е. сложеніемъ и
вычитаніемъ логариѳмическ. отрѣзковъ вполнѣ механически.
Предполагается что читатель сначала возьметъ логариѳ¬
мическую линейку и основательно ознакомится съ установкой
и отчетомъ чиселъ въ разныхъ мѣстахъ ея. Послѣ этого
слѣдуетъ вполнѣ ознакомиться съ способомъ нанесенія дѣленій
на шкалахъ. Вѣрность и точность результатовъ вычисленій
достигается непрерывнымъ упражненіемъ. Разсчетная линейка
признается всѣми необходимымъ вспомогательнымъ средствомъ
для производства численныхъ разсчетовъ.
Очень желательно, чтобы вычисленія численныхъ при¬
мѣровъ на линейкѣ были бы ясно продѣланы начинающему
лицомъ уже имѣющимъ опытъ съ разсчетной линейкой.
§ 2.	Умноженіе.
Въ логариѳмическомъ счисленіи умноженію двухъ чиселъ
соотвѣтствуетъ сложеніе ихъ логариѳмовъ, а произведенію
двухъ чиселъ — сумма ихъ логариѳмовъ. Это сложеніе
логариѳмовъ обоихъ множителей достигается вполнѣ механи¬
чески присоединеніемъ одного логар. отрѣзка къ другому.
Число которое соотвѣтствуетъ суммѣ отрѣзковъ, и есть
искомое произведеніе обоихъ множителей.
Пусть эти числа будутъ А и В, тогда формула лога¬
риѳмическаго счисленія для умноженія приметъ видъ:
A∙B=s пит. (log. А + log, В) = Р.
Для разсчета этого выраженія на линейкѣ ставимъ начальную
черту „1“ шкалы U2 движка надъ числомъ А шкалы U1 и пишемъ
на U2 число В\ тогда подъ числомъ В на шкалѣ U1 находится
сумма отрѣзковъ А и В, а число и будетъ искомымъ произве¬
деніемъ Р (фиг. 6).
Можетъ случиться, что сумма этихъ двухъ отрѣзковъ, соот¬
вѣтствующихъ числамъ А и Bi можетъ быть больше чѣмъ длина

14
+
§
Фиг.

15 —
принятой логар. единицы. Тогда число В въ первомъ положеніи
движка (фиг. 7) придется вправо внѣ шкалы Z71 линейки и число
р не можетъ быть прочитано въ этомъ положеніи движка. Если
предположимъ, что влѣво отъ начальной черты „1“ имѣется совер¬
шенно такая же вспомогательная шкала, соотвѣтствующая U1 или
Z72 и что начальная черта „1“ шкалы движка Z72 поставлена на
число А воспомогательной шкалы, если, значитъ, предположимъ
что движокъ перемѣстился изъ положенія 1 въ положеніе 2, тогда
конечная черта шкалы U2 находится надъ числомъ А линейки
и подъ множителемъ В шкалы U2 можно прочесть въ новомъ поло¬
женіи на шкалѣ U1 искомое произведеніе P=≈A∙B.
Правило для разсчетной линейки: Для нахожденія
произведенія двухъ чиселъ Р = А • В ставятъ начальную
черту, а если при этомъ данное число В придется вправо
внѣ линейки, то конечную черту надъ числомъ А шкалы
U1 и берутъ на ZZ2 число В; тогда подъ В на U1 находится
соотвѣтствующая числамъ А и В сумма отрѣзковъ, а число
представляющее эту сумму Р и есть произведеніе А ∙ Bts= Р.
Слѣдуетъ ли исходить отъ начальной или конечной черты
„1“ шкалы U2 видно изъ того, какое произведеніе даютъ обращен¬
ныя въ однозначныя числа А и В, — величину большую пли
меньшую 10; величина произведенія опредѣляется быстро однимъ
взглядомъ на множителей.
Если при умноженіи должна быть установлена началь¬
ная черта, то отчетъ дѣлается впрово отъ нея и сумма
отрѣзковъ меньше логариѳмической единицы. Если же уста¬
навливается конечная черта, то отчетъ производится влѣво
отъ нея и сумма отрѣзковъ больше логариѳмической единицы.
Примѣры:
А × В = Р
Установка
Отчетъ
1,2
0,022
5,7
0,0086
2,8
41,30
3,8
67,2
3,36
90,8
21,64
0,578
у нач. черты σq
кЭ
W П	»»	й
п
у кон. черты g
В
W W	п
ибо 1,2 X 2,8 <10
„ 2,2×4,l<10
„ 5,7 × 3,8 >10
„ 8,6 × 6,7 >10
вправо
X
X
” о
влѣво g
о
” ιβ
g

16 —
Важное примѣчаніе.
Маленькое неудобство, заключающееся въ томъ, что необхо¬
димо при умноженіи сначала узнать слѣдуетъ ли установить
конечную или начальную черту шкалы tT2 у числа А линейки,
можетъ быть устранено перевертываніемъ движка. Тогда,
какъ показываетъ фиг. 8, сумма отрѣзковъ log. а ÷ log. Ь
получится, если установить значеніе обоихъ множителей
другъ надъ другомъ, у той черты шкалы U2 движка ко¬
торая находится надъ шкалой U1 линейки. Такъ какъ
или начальная или конечная черта шкалы U2 обяза¬
тельно придется надъ шкалой U1 то отчетъ можетъ
быть произведенъ непосредственно. — Сказанное особенно
полезно въ тѣхъ случаяхъ когда, какъ это нерѣдко встрѣчается,
необходимо выполнить цѣлый рядъ послѣдовательныхъ умно¬
женій. Для того чтобы устранить выше упомянутое неудоб¬
ство, разсчетная линейка „Франкъ" снабжена двумя одинако¬
выми, но въ противоположномъ смыслѣ нанесенными шкалами.
Эту особенность шкалъ, и вмѣстѣ съ тѣмъ, и всѣ выте¬
кающія изъ этого удобства и преимущества линеййгі
„Франкъ0, мы достигаемъ умноженіемъ съ перевернутой
передней стороной движка.
Фиг. 8 схематически изображаетъ перевернутую перед¬
нюю сторону движка любой линейки.
.	 перевернутая передняя

:	сторона движка	;
Фиг. 8. oτ	?	1-og-b	y^1
I	I -<	 I Начальная черта
	:	отъ Uλ
Начальная черта отъ Ul |		>-	|	I ⅛	|
на шкалѣ і	2	о е	ю
<-LogA->-	: ||
•Ч	 Log. а + log. Ь 	>
⅛
+
«

17
Примѣръ: 2×3 = 6. Устанавливаемъ число 3, согласно фиг.
8 перевернутой шкалы движка U2 надъ множителемъ 2 шкалы U1
линейки; тогда начальная черта шкалы U2 отмѣтитъ на шкалѣ U1
величину произведенія 2 × 3 = 6.
Число знаковъ произведенія опредѣляется при этомъ
способѣ вычисленія также какъ въ § 4, з — а именно если
отчетъ находится вправо отъ установки — тогда число знаковъ
произведенія равно суммѣ чиселъ знаковъ множителей — 1
(надпись Р—1). Если же отчетъ находится влѣво отъ уста¬
новки, то число знаковъ произведенія равно суммѣ чиселъ
знаковъ множителей.
§ 3.	Дѣленіе.
Въ логариѳмическомъ счисленіи дѣленію двухъ чиселъ
соотвѣтствуетъ вычитаніе логариѳмовъ этихъ чиселъ, а именно
логариѳмъ знаменателя вычитывается изъ логариѳма числителя.
Разность логариѳмовъ соотвѣтствуетъ частному отъ дѣленія
этихъ чиселъ. При помощи разсчетной линейки эта лога¬
риѳмическая разность образуется такимъ образомъ, что
изъ отрѣзка числителя шкалы U1 вычитается отрѣзокъ
знаменателя шкалы U2 и искомое частное изображается
разностью отрѣзковъ. Положимъ данныя числа суть А —
числитель и В знаменатель, тогда формула логариѳмическаго
счисленія будетъ
р = num. (log. А — log. В) = О.
Фиг. 9.
⅛ A-lg. В

18 —
Фиг. 10.
∙<	Log. В	>
і	В	і
Ч- Log.A-log.B ->||| {jt
	I	і	и
і Вспомог. шкала Q	і	А	Q
= 4	 Log. А		X
-<-Log.A-log.B->-
Juι
Для разсчета этой формулы на линейкѣ ставимъ надъ чис¬
ломъ А шкалы С\ линейки число В шкалы U2 движка и вычитаемъ
отрѣзокъ В изъ отрѣзка А. Прочитывая у начальной черты
шкалы U2 движка на шкалѣ Ul линейки число, соотвѣтствующее
А
этой разности, получимъ этимъ самымъ искомое частное Q=-l3 (фиг. 9).
В
Если же А меньше В то начальная черта шкалы U2 придется
влѣво отъ линейки. Поэтому отчетъ не можетъ быть произведенъ
у начальной черты шкалы U2. Тогда опять таки предположимъ,
что вспомогательная шкала нанесена влѣво отъ начальной черты
шкалы U1 и что возможенъ на ней отчетъ числа Q. При такомъ
предположеніи ясно (фиг. 10) что начальная черта шкалы U2 при¬
ходится какъ разъ надъ тѣмъ же числомъ вспомогательной шкалы,
какъ и конечная черта шкалы С2 надъ шкалой U1 линейки. Поэтому
не перемѣщая движка, можно прочесть число подъ конечной чертой
на линейкѣ, которое находилось бы подъ начальной чертой предѴ
полагаемой вспомогательной шкалы. Такъ какъ при всякихъ
положеніяхъ движка или начальная или конечная черта находится
надъ шкалой 6r1, то отчетъ можетъ быть всегда произведенъ.
Если А> В, т. ѳ. когда дѣлаютъ отчетъ йодъ началь¬
ной чертой,
то результатъ прочитывается влѣво отъ установки
движка.
Если же А < В, т. ѳ. когда отчетъ производится подъ
конечной чертой,
то результатъ прочитывается вправо отъ установки.
Примѣры:	А: В = Q
Отчетъ влѣво отъ установки подъ начальной чертой 9,6 : 3,4 = 2,82
„ вправо „	„	„ конечной „	5,7:8,1=0,704
Правило для разсчетной линейки: Для нахожденія
А
частнаго — = Q отъ дѣленія двухъ чиселъ, ставятъ число
В

19
В шкалы U2 движка надъ числомъ А шкалы U1 линейки
и производятъ отчетъ искомаго частнаго или подъ началь¬
ной или подъ конечной чертой шкалы U2.
§ 4.	Число знаковъ произведенія при умноженіи и
частнаго при дѣленіи.
Число знаковъ конечнаго результата можно было бы
опредѣлить по правиламъ нахожденія характеристики лога¬
риѳмовъ. Не желая однако затемнять вопросъ, мы изойдемъ
отъ числа знаковъ самыхъ чиселъ.
1.	Рекомендуется при установкѣ чиселъ обратить вни¬
маніе не на значеніе числа, а на послѣдовательность зна¬
ковъ. Можно установить слѣдующія числа, если не обращать
вниманія на ихъ значеніе, на томъ же мѣстѣ шкалы: 0,00206;
0,0206; 0,206; 2,06; 20,6; 206; 2060 и т. д., ибо всѣ эти
числа имѣютъ ту же послѣдовательность знаковъ 2∣o∣6.
2.	Для опредѣленія числа знаковъ примемъ въ ниже¬
слѣдующемъ слѣдующія обозначенія.
Обозначимъ число, имѣющее „п“ знаковъ передъ за¬
пятой, ÷ п значнымъ.
Десятичную дробь, имѣющую п нулей за запятой до
числа отличнаго отъ нуля обозначаемъ — п значной. Такъ напр.
5430000 ; 674; 81,2; 7,82; 0,45; 0,0421; 0,00675 ; 0,00000758 и т. д.
-1-7 + 3 ÷ 2 + 1 ± 0 - 1	—2	-5
3.	Число знаковъ произведенія P≈A*B. Если т
число знаковъ А, п число знаковъ В, то число знаковъ
произведенія Р:
р = т + п
или р = т + п — і.
Слѣдовательно число знаковъ произведенія или равно
алгебраической суммѣ чиселъ знаковъ множителей или
же равно этой суммѣ безъ единицы.
Будетъ ли число знаковъ произведенія m-∖-n или же m-[n-1
зависитъ отъ того больше или меньше сумма отрѣзковъ множителей,
нѣмъ логариѳмическая единица, т. е. надо ли отчетъ сдѣлать
согласно § 2 влѣво или вправо отъ установки или, иначе говоря,
подъ начальной или конечной чертой шкалы движка.
2*

20 —
Число знаковъ произведенія = т + п, если мѣсто
отчета находится влѣво отъ установки.
Число знаковъ произведенія = т ÷ п — ιt если мѣсто
отчета находится вправо отъ установки.
Если мѣсто отчета для произведенія находится вправо отъ
установки, то надо прибавить къ алгебраической суммѣ — /, а
для того, чтобы при разсчетахъ всегда обращать вниманіе на это
обстоятельство, на правомъ концѣ шкалы 6r2 имѣется надпись
которую надо примѣнять лишь тогда, когда отчетъ произво¬
дится вправо отъ установки.
Примѣры:
А × В = Р
т	п	= р
или
Уста¬
От-
Примѣ¬
т 4“ п — 1 = р
новка
четъ 1
чаніе
5,43 × 1,47	= 7,98
1 + 1 — 1—ы
нач. черта
вправо „
Р—і
0,27 × 57,6	= 15,54
0 + 2	= + 2
кон. „
в
ВЛѢВО И
нѣтъ
0,42 × 0,161 =0,0676
0+0 — 1= —1
нач. „
вправо |
Р—і
0,058 × 37,6	=2,18
-1 + 2	= + 1
кон. n
ВЛѢВО ⅛
нѣтъ
4530 X 0,00013 = 0,706
4 + (-3) — 1 = ± 0
нач. „
вправо |
Р-г
0,00062 × 0,0000064 = 0,00000000335
-3 + (-5) = -8
кон. „
ВЛѢВО
нѣтъ
1
4.	Число знаковъ частнаго. Если т число знаковъ
числителя А, а п — число знаковъ знаменателя В, то число
знаковъ частнаго Q.∙
q = т — п
или q = т — п-^- і.
Число знаковъ частнаго Q равно или алгебраической
разности знаковъ числителя безъ знаковъ знаменателя
или же сказанной разности плюсъ единица.
Будетъ ли число знаковъ частнаго т — п или т — п + і
зависитъ отъ того будетъ ли J<B или А>В или другими сло¬
вами, отъ того, дѣлаемъ ли мы отчетъ у начальной или конечной
черты шкалы, или вправо или влѣво отъ установки.
Число знаковъ частнаго = т — п если мѣсто отчета
находится вправо отъ установки, т. ѳ. когда отчетъ дѣ¬
лается у конечной черты.

21
Число знаковъ частнаго = т — w + і, если мѣсто
отчета лежитъ влѣво отъ установки, т. ѳ. когда отчетъ
производится у начальной черты.
Если мѣсто отчета для частнаго находится ел/ъео отъ
установки, т. ѳ. у начальной черты, тогда къ алгебраической раз¬
ности прибавляется -f∙ 1, а для того чтобы не упустить изъ виду
это обстоятельство, на лѣвомъ концѣ шкалы U1 имѣется, надпись
„(?+/", которую и надо примѣнять лишь тогда, когда отчетъ частнаго
производится влѣво отъ установки.
Примѣры:
А
: В = Q
≡	≡
1	1
s	з
и
3
II II
<5
Отчетъ
Примѣ¬
чаніе
7.62
: 1,45 =5,26
1-1 + ι = + ι
влѣво
QΛ-ι
2,85
: 9,02 =0,316
1-1	=÷0
вправо
нѣтъ
584
: 33,7 = 17,84
3-2 ⅛l = 4-2
влѣво
е-ь і
295
:3420 = 0,0863
3-4	=—1
вправо а
нѣтъ
0,47
:57,6 =0,00816
0-2	= —2
д
” о
нѣтъ
0,032
: 121 =0,000264
-1-3 4-1=	3
влѣво S
Q÷1
5,31
: 0,422 =12,58
1-0 +1=÷2
5
w >»
Q+ι
79,2
: 0,033 =2400
2-(-l) + l = ÷4
п	Д
Q÷ι
0,846
: 0,411 =2,06
0-0 +1 = 4-1
„ δ
Q+ι
0,027
: 0,081 =0,333
-l-(-l)	=±0
вправо
нѣтъ
0,0091
: 0,000032 =284,5
-2-(-4)÷l	(-3
влѣво
0+/
0,000163
: 0,0702 = 0,00232
-3-(-l)	=-2
вправо
нѣтъ
Хотя при болѣе простыхъ умноженіяхъ и дѣленіяхъ можно
предварительно безъ затуруднѳній однимъ взглядомъ на числа
опредѣлить число знаковъ, но при большомъ числѣ знаковъ,
и особенно при десятичныхъ дробяхъ точность опредѣленія
этимъ путемъ далеко не надежна и даже затруднительна,
тѣмъ болѣе при сложныхъ умноженіяхъ и дѣленіяхъ, гдѣ
мѳжлѳжащія рѣшенія не прочитываются (§ 5). Поэтому мы
рекомендуемъ примѣненіе вышеприведенныхъ правилъ для
опредѣленія числа знаковъ, ибо тогда, при нѣкоторомъ на¬
выкѣ, точность опредѣленія безусловна, всѣ необходимые раз¬
счеты просты и необременительны.

22
§ 5.	Смѣшанныя дѣйствія (умноженіе и дѣленіе).
1.	Прочитывается только конечный результатъ.
Межлежащія рѣшенія отмѣчаются только визиремъ.
2.	Число знаковъ рѣшенія получается вычитая алгеб¬
раическую сумму чиселъ знаковъ множителей знаменателя изъ
алгебраической суммы знаковъ множителей числителя т. ѳ.
вычитая алгебраически общее число знаковъ знаменателя
изъ общаго числа знаковъ числителя.
Къ этой разности надо еще прибавить, если потребуется,
алгебраическую сумму всѣхъ примѣчаній (Р—і) и fQ+τ∕
Для разсчета сложнаго выраженія складываемъ сначала
отрѣзки числителя и, не производя отчета, послѣдовательно
вычитаемъ отрѣзки знаменателя, и приходимъ такимъ обра¬
зомъ къ конечному результату. Слѣдовательно способъ за¬
ключается въ томъ что мы примѣняемъ нѣсколько разъ правила
умноженія и дѣленія.
Если знаменатель состоитъ изъ двухъ множителей а
числитель только изъ одного числа, что часто встрѣчается
при рѣшеніи пропорцій, то рекомендуется произвести сначала
дѣленіе, а потомъ умноженіе.
Число мѣстъ конечнаго результата опредѣляется легко
въ умѣ, ибо складывать и вычитывать приходится однознач¬
ныя числа.
Примѣръ:
432 × 32,4 × 0,0217 × 0,98

0,00000621 × 412000 × 0,175 ×4,71	“	1,°
Перемножаемъ сначала всѣ множители числителя, складывая
слѣдующимъ образомъ отрѣзки имъ соотвѣтствующіе:
Ставимъ конечную черту шкалы t⅛ надъ 432, визиръ надъ
324 шкалы U2∖ недѣлая отчета на U1 ставимъ начальную черту U2
подъ визиръ, πotomt> передвигаемъ послѣдній до числа 217 движка,
ставимъ затѣмъ конечную черту его подъ визиръ и передвигаемъ его
затѣмъ до числа 98 движка и получаемъ тогда искомую сумму отрѣз¬
ковъ, но отчетъ не производимъ. Вслѣдъ затѣмъ дѣлимъ полученный
результатъ послѣдовательно на множители знаменателя, вычитая
соотвѣтствующіе имъ отрѣзки изъ послѣдняго положенія визира:

— 23
Поставивъ число 621 движка подъ визиръ, передвигаемъ
послѣдній до конечной черты шкалы U2 ставимъ затѣмъ число 412
движка подъ визиръ, передвигаемъ его до начальной черты шкалы
U2∙, опять таки ставимъ подъ визиръ число 175 движка и пере¬
двигаемъ визиръ до конечной черты U2. Наконецъ поставивъ число
471 движка подъ визиръ, мы прочитываемъ у начальной черты
шкалы U2 число 1410 на шкалѣ U1.
Это число и представляетъ послѣдовательность цифръ ре¬
зультата.
Число знаковъ:
Общее число знаковъ числителя = алгебраической суммѣ числа
знаковъ множителей числится = 34-2 ψ (— 1) 4- 0 = + 4*)
Общее число знаковъ знаменателя = — 54- 6 4-04- 1 = + 2*)
Разность	=4-2*)
Теперь надо обратить вниманіе на примѣчанія, сдѣланныя во
время разсчета. При сложеніи числа 217 отчетъ былъ бы вправо
отъ установки, во всѣхъ другихъ случаяхъ влѣво, значитъ при
образованіи одного произведенія мы имѣли помѣтку Р — і, т. е.
должны были прибавить — 1. При вычитаніи отрѣзковъ числителя
412 и 471 надо было бы сдѣлать отчетъ влѣво отъ установки у
начальной черты, во всѣхъ остальныхъ случаяхъ вправо. Значитъ
два раза было примѣнено примѣчаніе Q + 1 т. ѳ. мы должны были
прибавить 4- 1 + 1. Поэтому число знаковъ результата будетъ,
принимая во вниманіе эти примѣчанія:
Разность чиселъ знаковъ числителя и знаменателя = + 2 *)
Примѣчанія: — 1 -|- 1 + 1	= ÷ 1 *)
Число знаковъ окончательнаго* результата = + 3
И такъ окончательный результатъ = 141,0.
0,0037θ × 0,853 × 11270 × 53,2 = 001578
0,0165 χ 0,422 X 955000 × 18,33	’
Число знаковъ числителя = — 2 -{-04-54-2 = 4-5 ♦)
я „ знаменателя = —14 04-64-2 = 4-7*)
Разность	= — 2 *)
Примѣчанія -14—14-1	=4-1
Поэтому число знаковъ рѣшенія	= — 1
Отвѣтъ = 0,01578.
*) Эти вычисленія производятся въ умѣ.

— 24 —
§ 6.	Разсчетная линейка какъ таблица для произве¬
деній и для перевода именованныхъ чиселъ.
Очень удобно примѣненіе разсчетной линейки тамъ, гдѣ
требуется помножить цѣлый рядъ чиселъ на нѣкоторый
постоянный множитель к.
Для этой цѣли устанавливаемъ начальную черту
шкалы Z72 движка на число к шкалы Z71 и получаемъ тогда
возможность прочесть всѣ произведенія съ постояннымъ мно¬
жителемъ к, пока отчетъ не придется за шкалой линейки.
Для разсчета этихъ послѣднихъ произведеній ставятъ надъ
числомъ к шкалы JJ1 конечную черту шкалы
При переводахъ мѣръ и монетъ, угловыхъ мѣръ въ
дуговыя и наоборотъ, при разсчетахъ высотъ при данныхъ
горизонтальныхъ разстояніяхъ въ случаѣ постояннаго подъ¬
ема и для многихъ еще другихъ вычисленій разсчетная
линейка оказываетъ весьма цѣнныя услуги.
Примѣръ: Переводъ нѣмецкихъ марокъ въ франки и наобо¬
ротъ. Опредѣлимъ сначала отношеніе ихъ цѣнъ к; 1 м. = l,23φp.,
М 1	,	„	r г
— =	≈k. Установимъ начальную черту шкалы t∕2 надъ дѣле-
Ф 1,23
ніѳмъ 1,23 шкалы δ71, тогда отмѣчая на шкалѣ движка марки,
получимъ на шкалѣ Ui соотвѣтствующія суммы франковъ и наоборотъ.
Возьмемъ такой примѣръ:
Начальная черта U2 надъ числомъ 1,23 шкалы U1.∙
Марки: 1	1,9	2,78	3,95	7,15
Франки: 1,23	2,34	3,42	4,86	8,79
конечная черта U2 надъ числомъ 1,23 шкалы U1.∙
Марки: 8,85	9,28
Франки: 10,89	11,41
Для разсчета разницы высотъ для даннаго горизонтальнаго
разстоянія при данномъ подъемѣ въ 0∕0, ставимъ число 0∕0 подъема
у начальной или конечной черты шкалы U1; тогда эти черты будутъ
изображать число 100. Всѣ числа шкалы U1 представляютъ тогда
горизонтальныя разстоянія, а лежащія надъ ними цифры шкалы
U2 суть искомыя разности высотъ данныхъ мѣстъ.

25
Если примѣнять для различныхъ вычисленій таблицы
логариѳмовъ, то рекомендуется обратить особое вниманіе на
разсчетную линейку, какъ на воспомогательное средство для
опредѣленія разностей логариѳмовъ и чиселъ по данному лога¬
риѳму.
§ 7.	Квадраты и корни квадратные.
Шкалы O1 и О2 нанесены въ половинномъ масштабѣ
шкалъ U1 и Z72. Поэтому каждому логариѳмическому отрѣзку
шкалъ U1 и U2 соотвѣтствуетъ логариѳмическій отрѣзокъ
двойной длины шкалъ Ol и О2. Такъ какъ удвоенный лога¬
риѳмъ числа соотвѣтствуетъ его квадрату, и половинный ло¬
гариѳмъ числа его корню квадратному, то квадраты чиселъ
лежатъ перпендикулярно надъ числами шкалы U1 на
іикал/ь O1 и наоборотъ, перпендикулярно подъ числами
шкалы O1 на шкалѣ U1 находятся корни квадратные
этихъ чиселъ. Вышесказанное въ одинаковой мѣрѣ относится
и къ шкаламъ ^U2 и О2.
Формулы: пит. (2∙l0g. А) = А*
Такъ какъ шкалы U1 и O1 или ½ и О2 не соприкасаются
другъ съ другомъ, то раньше чѣмъ переходить отъ одной къ другой
необходимо удостовѣриться, является ли линія на визирѣ перпен¬
дикулярной къ шкаламъ. Если это не имѣетъ мѣста, то надо пе¬
рейти отъ одной шкалы къ другой посредствомъ конечной или
начальной черты шкалъ U2 и О2 движка.
Квадратъ числа можно также легко найти умноженіемъ.

— 26 —
§ 8.	Опредѣленіе числа знаковъ квадратовъ
и квадратныхъ корней.
Шкалы O1 и О2 представляютъ согласно описанію двѣ
логариѳмическія единицы. На первой логариѳмической единицѣ
этихъ шкалъ нанесены однозначныя числа 1 —10, на второй —
двухзначныя отъ 10 —100. Поэтому было бы правильнѣе
обозначать цифры второй логариѳмической единицы черезъ
10, 20, .30 и т. д. вмѣсто повторенія обозначеній 1, 2, 3, 4
и т. д. первой логариѳм. единицы. Но уже послѣ краткаго
пользованія разсчетной линейкой ошибокъ въ этомъ направ¬
леніи произойти не можетъ.
Назовемъ теперь часть шкалъ O1 и О2 отъ начальной
черты „Г' до средней черты — первой логариѳм. единицей
или коротко однозначной шкалой; часть шкалъ отъ средней
черты „Г' до конечной черты „і“ — будемъ считать второй
логариѳмической единицей или двухзначной шкалой.
Эти шкалы могли бы быть обозначены болѣе общимъ
терминомъ — шкалами съ нечетнымъ и четнымъ числомъ
знаковъ, ибо 1-ая логариѳмическая единица заключаетъ въ
себѣ не только однозначныя числа отъ 1—10, но вообще всѣ
числа съ нечетнымъ числомъ знаковъ, т. е. 100—. 1000,
10000—100 000 и т. д.; также вторая логариѳмическая еди¬
ница содержитъ не только двухзначныя числа отъ 10—100,
но и всѣ числа съ ^четнымъ числомъ знаковъ 1000—10000,
100 000—1000000 и т. д.
1. Число знаковъ квадратовъ. Пусть число знаковъ
основанія А будетъ а q — число знаковъ А2, тогда мы
имѣемъ слѣдующія правила:
а)	Если квадратъ находится на первой логариѳм. единицѣ
шкалъ O1 и О2, т. е. на однозначной шкалѣ, то q =
2 п — 1 (нечетное).
Ь)	Если же квадратъ находится во второй логар. единицѣ,
т. е. на двухзначной шкалѣ, то q = 2 п (четное).

— 27 —
Примѣры:
11
1,92≡	=3,68
+ 1
q = 2 п —
1 = 4-1,
ибо А2 на однознач.
шкаль
80,52	= дао
+ 2
q = 2 п —
1 = + 3,
»1
п
2090 2 = 4370000
+ 4
q = 2 п —
1 = + 7,
»
п
99
0,1642 = 0,0269
+ 0
q = 2 п —
1 = -1,
п
»
м
99
0,00291 2 = 0,000008«
- 2
q = 2 11 —
1 = — 5,
»
и
1,
99
4,1 2	= 16,8
+ 1
q≈2n
= 4-2,
w
»»
1,
двухзнач
*	99
557 2	= 311000
+ 8
q = 2n
= + 6,
п
w
п
»
99
0,912≡ =0,832
±0
q = 2 п
= ÷o,
»»
п
п
99
0,000731 2 = 0,000000535
- 3
q = 2n
	θ,
»>
»1
п
»>
99
2. Число знаковъ квадратнаго корня.
а)	Числа большія единицы, дѣлимъ начиная отъ запятой
влѣво, десятичныя дроби, неперіодическія отъ запя¬
той вправо въ двухцифровыя группы.
Ь)	При этомъ раздѣленіи могутъ встрѣтиться слѣдующія
группы:
Группы съ двумя нулями, называемыя „нулевыми"
или „нульзначными" группами, и группы съ однознач¬
ными или двухзначными цифрами — одно- или двух¬
значныя группы, или иначе группы съ нечетнымъ и
четнымъ числомъ знаковъ.
с)	Число знаковъ корня чиселъ большихъ единицы, равно
числу группъ корня влѣво отъ запятой; корень изъ
десятичной дроби равенъ десятичной дроби, которая
содержитъ столько нулей за запятой, сколько квад¬
ратъ имѣетъ нулевыхъ группъ вправо отъ запятой.
d)	OτHocHτe∏bHθjycm<77∕oβA7∕ подкоренной величины большей
единицы на шкалахъ O1 или О2 крайняя лѣвая группа
является, такъ сказать, „рѣшающей" ; для десятичныхъ
же дробей первая группа за запятой, не являющаяся
нульзначной.
ѳ) Если рѣшаюгцая группа однозначна, то подкоренная
величина устанавливается на і-ой логариѳмич. единицѣ
шкалы O1 или О2.

— 28 —
Если же рѣшающая группа двухзначная, то установка
производится на двухзначной шкалѣ или на 2-ой логариѳм.
единицѣ и отчетъ производится на шкалахъ J71 или ZT2.
Примѣры: (въ этихъ примѣрахъ дѣленія нанесены наверху у
чиселъ и рѣшающія группы напечатаны болѣе жирнымъ шрифтомъ).
Рѣшаю¬
щая
группа
Установка
числа
на O1
Число
знаковъ
корня
∕lξ74 ■ =1,32
однознач.
однозначн шкала
+ 1
ибо 1 группа влѣво
V 15,2	=3,9
двухзнач.
двухзначн. „
+ 1
W 1	»	»
/16'20'	=39,0
п
»» »>
+ 2
„ 2 группы „	|
∕9i28i	=30,45
однознач.
однозначн. „
+ 2
2	≡
n "	м	υ	С5
ГС
У 74600 = 273
»> »
+ 3
.» θ »	»»	ι⅛
∕θ,08'51' =0,292
п	п
±0
n • нѣтъ нулев. группъ
У 0,851	=0,922
двухзнач.
двухзначн. „
±0
»	и	»	п
/0,00'482 = 0,0694
»»
» »
— 1
„ 1 группа вправо
∕0,00∣00W91= 0,00315
однознач.
однозначн. „
-2
„ 2 группы „
§ 9. Кубъ и корень кубическій.
Разсчетъ кубовъ и корней кубическихъ ведется по слѣ¬
дующимъ формуламъ:
пит. (3∙ log. А) = А9; яит.
Что касается числа знаковъ куба и кубическаго корня,
то можно къ нимъ примѣнить правила предыдущаго §, съ той
только разницей, что нужно отдѣлять трехзначныя группы.
Такимъ образомъ намъ приходится здѣсь различать нулевыя,
одно-, двух- и трехзначныя группы.
1. Кубъ. Если число знаковъ основанія А равно п, то
число знаковъ куба А3 будетъ
с = jn — 2 или с = } п — і или с = 7 п.
Для того чтобы найти кубъ Л3 ставимъ начальную или конеч¬
ную черту движка надъ числомъ А шкалы Z71, тогда на шкалѣ Oi
— 29 —
надъ А найдется квадратъ числа Л, отчетъ котораго не дѣлается.
Если прибавить, не перемѣщая движка, къ отрѣзку ∠42 шкалы O1,
при помощи однозначной шкалы О2 отрѣзокъ А, то подъ этимъ
числомъ получится кубъ даннаго числа = ∠43.
Если примѣняется только однозначная часть (1-я
логариѳмич. единица) шкалы О2 то имѣютъ мѣсто слѣдующія
правила :
а)	Если установитъ начальную черту и произвести от¬
четъ куба на і-ой логариѳм. единицѣ шкалы O1 то
число знаковъ с ≈ )п —2.
Ь)	Если установить начальную черту на і-й логариом.
единицѣ, отчетъ же куба придется во 2-ой логариѳм.
единицѣ шкалы O1, то число знаковъ с = jn — і.
с)	Если установить конечную черту въ предѣлахъ і-ой
лог. единицы и отчетъ куба приходится на і-ой же
лог. единицѣ шкалы O1 то число знаковъ с = рі.
Примѣры:
Число
знаковъ
основанія
Установка
Отчетъ на
шкалѣ O1
въ предѣлахъ
Число знаковъ
куба
1,32≡ =2,30
÷ 1
у нач. черты
1-ой лог. едц.
С = 3 И — 2 = 4- 1
32,5е =34300
+ 2
9)	»	П
2-ой „ „
с = 3п — 1 = 4- 5
567е	=182000000
+ 3
„ конеч. „
1-ой „	„
с = 3 п	=4-9
0,624е =0,243
±о
»»	п	9»
1-ой „	„
с = 3 п = + 0
0,4213 =0,0746
±θ
„ нач. „
2-ой „	„
с = 3п — 1 = — 1
0,l753 =0,00536
±о
99	9)	99
І-ой
с = 3 w — 2 = — 2
0,0206е =0,00000872
- 1
9)	9)	9)
І-ой „
c=3ιι- 2 = — 5
0,0000432≡=0,0000000000000899
- 4
99	99	99
2-оП „	„
с =3п — 1 = — 13
0,0009573 = 0,000000000875
-3
„ конеч.,,
1-ой „	„
с = 3 п = — 9
2, І\орень кубичный. Надо установить визиръ надъ
кубомъ Aδ на шкалѣ O1, передвигать движокъ до тѣхъ
поръ, пока надъ однозначной шкалой О2/ а также подъ
начальной или конечной чертой U2 на U1 не получится
одно и то же число.
Во избѣжаніе нѳдоразумѣній, необходимо соблюдать слѣ¬
дующія правила:

— 30 —
а)	Надо всегда примѣнять однозначную шкалу O1 (і-ая
логариѳмическая единица).
Ь)	Если рѣшающая группа трехзначная, то визиръ надо
установить въ однозначной шкалѣ O1 и произвести
отчетъ подъ конечной чертой.
Если рѣшаюгцая группа двухзначная, то визиръ
надо установить въ двухзначной шкалѣ O1 и произ¬
вести отчетъ подъ начальной чертой.
Если рѣшающая группа однозначная, то визиръ
долженъ быть установленъ на однозначной шкалѣ O1
и отчетъ сдѣланъ у начальной черты; другими сло¬
вами, группы съ нечетнымъ числомъ знаковъ уста¬
навливаются на нечетныхъ гикалахъ, а съ четнымъ на
четныхъ.
Примѣры: (рѣшающая группа напечатана болѣе жирнымъ
шрифтомъ).
Рѣшаю¬
щая
группа
Уста¬
новка
на 01
Отчетъ
Число
знаковъ
корня
3
Кі',43	=1,126
3

однознач.
однознач.
шкалъ
У
нач. черты
+ 1
ибо 1 группа
влъво
К432	= 7,56
трехзнач.
»»
кон. „
+ 1
» 1 »
∣∕09iJ	=4,63
з
двухзнач.
двухзнач.
шкалъ
п
нач. υ
+ 1
я 1	»>
∣∕^4i530i	=16,55
3
однознач.
однознач.
шкалъ
υ	υ
+ 2
и 2 „
К2460'000 = 135,0
3
»
1 м
я
υ	»
+ 8
О
« 3 » «
я
«6
K57∣600	=38,6
3
двухзнач.
двухзнач.
шкалъ
w
»» »»
+ 2
2	w
”	". g
ибонътъОгр. °
вправо
*∕θ,867∣	=0,710
3
трехзнач.
однознач.
шкалъ
м
КОН. „
±0
V 0,045'2	=0,358
3
двухзнач.
двухзнач.
шкалъ
м
нач. υ
±0
»
Ко, 001'61	=0,1172
3

однознач.
однознач.
шкалъ
п
» »»
±0
п
ибоі Огрупп.
вправо
/0,000'846' =0,0946
8
трехзнач.
м
»
кон. „
-1
∕0,OW0001137' = 0,00516
»>
»>
п
»	м
	о
~ 2 „

— 31
§ 10. Корень 4-ой степени.
Корень 4-ой степени, встрѣчаемый довольно часто въ
вычисленіяхъ, можетъ быть съ легкостью полученъ двухкрат¬
нымъ извлеченіемъ квадратнаго корня по формулѣ:
і правило.
Примѣръ:
4	2
Подрадпкальное число 8,57 устанавливаемъ на шкалѣ квад¬
ратовъ O1 и прочитываемъ на шкалѣ 6r1 первый квадратный корень
2,925. Наносимъ послѣднее число опять таки на шкалѣ O1 и тогда
получимъ на U1 корень квадратный изъ 2,925 равный 1,71. При
каждомъ изъ сказанныхъ дѣйствій необходимо соблюдать іѣ-же
правила какъ и въ случаѣ корней стр. 27 и 28. Число знаковъ
результата можетъ быть провѣрено непосредственно тѣмъ, что под¬
коренную величину раздѣлимъ на четырехзначныя группы анало¬
гично двухзначнымъ группамъ квадратнаго корня. Корень 4-ой
степени имѣетъ столько положительныхъ знаковъ, сколько группъ
находятся влѣво отъ запятой, и столько отрицательныхъ знаковъ
сколько нулевыхъ группъ находятся за запятой. Въ примѣрѣ 4,
приводимомъ ниже, подкоренная величина составлена изъ двухъ
группъ, поэтому корень 4-ой степени 4- 2 значный. Въ примѣрѣ 7,
подрадикальная величина имѣетъ полную нулевую группу — поэтому
число знаковъ корня 4-ой степенп = і.
2. Правило. Соблюдая это правило можно извлечь ко¬
рень 4-ой степени съ большей точностью и притомъ при помощи
одной лишь установки; при этомъ промежуточныя дѣйствія
указанныя въ правилѣ 1 отпадаютъ.
Находимъ рѣшающую группу подрадикальной величины.
Если число знаковъ ея четное то число устанавливается визи¬
ремъ въ предѣлахъ 2-ой логариѳм. единицы, если же она
нечетна, то въ предѣлахъ 1-ой логариѳм. единицы шкалы квад¬
ратовъ 01', подъ чертой визира на шкалѣ U1 будетъ нахо¬
диться число которое мы не прочитываемъ и перемѣщаемъ
— 32 —
движокъ до тѣхъ поръ пока подъ чертой визира и при на¬
чальной или конечной чертѣ шкалы tT2 не получится на шкалѣ
U1 одно и то-жѳ число. Отчетъ конечнаго результата произ¬
водится при начальной чертѣ если рѣшающая группа одно-
или двухзначна, и при конечной чертѣ если таковая трехъ-
или четырехзначна.
Примѣры:
1
1-ое правило
4	2 	 2 _
lz.-)yιι-'∣A-χ
Резуль¬
татъ
2-оѳ правило
1/
а
Рѣша¬
ющая
группа
Результатъ
прочитывается
У
4
2		 2

V
4
8',57
-V ∕∣8',57 ~~^j∕ '2',925	—
2		 2

1,71
1-значн.
Начальной
черты ½
l169l,3
1 Λ2		l∕^	_
3,61
3
Конечной
4
- У ∕∣169l,3 ^ψ l13l,01	“
2 	 2

,,
черты ½
і/
>3760'
і/2	— 1∕λ	—
7,84
4
Конечной
V
4
у ∣37lβ0l — У '61∣,3	—
2 	 2

черты ½
1/
5ll200l
_і/2	• —1/”	—
15,27
1
Начальной
V
4
~ У ∕ l5l42l00 “ У 233'	“
2 	 2
черты ½
0∣,7640l
і А		 -∖f	_
0,935
4
Конечной
4
~~у /0',76'40“У 0l,87l4	“
2 	 2

черты U2
О1,00321
-]∕ У О1,00'321-О1,05'66	-
2	2
0,238
2
Начальной
черты U2
O1,OOOOO962'
ιΛ2	—і/ г	—
0,0557
3
Конечной
~у /0,00'0009'62 — И У0l,00'3102-
черты U2
§ II. Логариѳмированіе.
Для различныхъ вычисленій, особенно же для поимено¬
ванныхъ ниже въ § 12, необходимо примѣнять логариѳмиро¬
ваніе. Для нахожденія логариѳма числа А ставимъ началь¬
ную черту U2 надъ числомъ А шкалы U1 переворачиваемъ
всю линейку и прочитываемъ у черты на заднемъ вырѣзѣ
на шкалѣ ,tLtt мантиссу логариѳма числа А, Обратное
дѣйствіе даетъ возможность найти по данной мантиссѣ лог.
— 33 —
порядокъ знаковъ числа А. Характеристика логариѳма нахо¬
дится совершенно также какъ при пользованіи логариѳмиче¬
скими таблицами и наоборотъ.
Примѣры:
Характе- Мантисса
ристина (отчетъ)
log.
243 = ÷ 2 + 0,386
итакъ =
2,386 ⅛
log.
1,76 = + 0 + 0,2455
0,2455
Логариѳ¬
мированіе.
log.
0,032 = — 2 + 0,505
п ==
2j505 '
Мантисса
Характе¬
Число-
(Установка)
ристика
знаковъ
num.
log, 4,321 = 20950
321
÷ 4
+ 5
пит.
log. 2,863 = 0,0729
863
— 2
- 1
пит.
log. 1,952 = 89,5
952
÷ 1
+ 2
§ 12. Высшія степени и корни высшихъ степеней.
Степени и корни съ показателями большими или съ
дробными показателями разсчитываются при помощи лога¬
риѳмической шкалы ,rLii. Ходъ дѣйствій таковъ: находимъ
сначала логариѳмъ основанія или подрадикальной величины
и умножаемъ его на показателя степени при возвышеніи въ
степень, или дѣлимъ на показателя при извлеченіи корня.
Такимъ образомъ находится логариѳмъ степени или корня.
Мантиссу этого логариѳма устанавливаемъ на шкалѣ и
производимъ на шкалѣ U1 отчетъ порядка знаковъ искомаго
корня или степени. Число знаковъ результата находится по
характеристикѣ логариѳма. Положимъ показатель будетъ „п“
основаніе или подрадикальная величина A1 тогда мы получимъ
для разсчета на линейкѣ слѣдующія формулы:
11
пит. (п ∙ log. А) = А ; пит.
log. А «
~1Γ = Va
Примѣръ:
5

∕ L4320001 = 17,05
14,32	1,156
log.	=	= 0,2315; num. log. 0,2315 = 1,705; однако корень
5	5
долженъ быть двухзначнымъ, ибо подкоренная величина состоитъ
изъ двухъ группъ поэтому искомый корень 17,05. Мы умышленно
3

— 34 —
не пишемъ всю характеристику „6“ логариѳма корня, а вмѣсто этого
пользуемая характеристикой рѣшающей группы потому, что
для десятичныхъ дробей нужно поступать такимъ же образомъ,
благодаря чему мы избѣгнемъ отрицательныхъ характеристикъ.
Кромѣ того разсчетъ будетъ проще и точнѣе, ибо этимъ путемъ
мы избѣгаемъ большихъ характеристикъ.
5	_
= 0,334; log.
416
2,618
0,524
Къ этимъ
мантиссамъ на¬
/ О1,00416'
5
- 5 “
5

= 0,1666; log.
9.42
0.974
0,1948
ходимъ на δr1 по-
■ рядокъ знаковъ и
V 0∣,00009∣42
5
и
изъ числа группъ
5

0,0951; log.
78100
4,892
= 0,978
число знаковъ
У'0,00000‘78100’
5
” 5 ~
корня.
§ 13. Тригонометрическія Функціи.
На оборотной сторонѣ движка нанесены кромѣ шкалы
bLa шкалы „8“ и „Т“ служащія для нахожденія численныхъ
значеній тригонометрическихъ функцій sin. а и tang. а нане¬
сенныхъ на шкалахъ угловъ.
Шкалѣ синусовъ ffSu соотвѣтствуетъ шкала Oj линейки;
т. ѳ. нанесеннымъ на шкалѣ ,,S'' угламъ соотвѣтствуютъ значенія
синусовъ на шкалѣ O1 и наоборотъ. Шкалѣ „Т“ соотвѣт¬
ствуетъ шкала U1 т. ѳ. значенія тангенсовъ угловъ
прочитываются на t71 и наоборотъ.
Относительно опредѣленія sin. и tang. угловъ меньшихъ
40' трактуетъ § 14. Значенія тангенсовъ менъиігіхъ 5° 4О4
могутъ быть найдены при помощи шкалы синусовъ; это
возможно На томъ основаніи что погрѣшность, получаемая при
такихъ малыхъ углахъ, если положить sin. а = tg. а
вполнѣ соотвѣтствуетъ той точности, которая можетъ быть
достигнута на логариѳмической линейкѣ.
Такъ какъ шкала O1 содержитъ двѣ логариѳмическія
единицы, то и численныя значенія для соотвѣтствующихъ
синусовъ угловъ на шкалѣ „8“ лежатъ на двухъ логариѳми¬
ческихъ единицахъ. Значенія синусовъ, отчетъ которыхъ
производится на однозначной шкалѣ Оь заключены въ пре¬
дѣлахъ о,оі и о,і, и соотвѣтствуютъ угламъ отъ j∕ до
35
y0 44'; эти значенія синусовъ можно согласно вышеприведен¬
ному принимать какъ значенія тангенсовъ угловъ отъ 44'
ДО y, √√.
Значенія синусовъ, отчетъ которыхъ производится на
двухзначной шкалѣ O1 лежатъ въ предѣлахъ отъ о,і до
і,о и соотвѣтствуютъ угламъ отъ γ0 44i до 90θ. Значенія
тангенсовъ всегда прочитываются на шкалѣ U1 въ пре¬
дѣлахъ о,і и і,о и соотвѣтствуютъ угламъ отъ ∫0 44' до γyθ.
1.	Синусъ. Найдемъ для примѣра sin. 3° 25'= 0,0596.
Выдвигаемъ движокъ вправо, устанавливаемъ подъ чертой
задняго вырѣза на шкалѣ ,,Su уголъ 3° 25' и дѣлаемъ на
передней сторонѣ подъ чертой Ol на шкалѣ О2 отчетъ 596.
Такъ какъ эта цифра находится на однозначной шкалѣ О2,
то sin. 3° 25' = 0,0596.
sin. 16° 50' = 0,290 ибо отчетъ 290 приходится на двухзначную
πικa,ιy О2.
tg. 4° 23' = sin. 4° 23' = 0,0766; данный уголъ устанавливаемъ на
шкалѣ синусовъ ,,Su.
0,0135 = sin. а; а = 0° 47': устанавливаемъ число 135 на однозначн.
части шкалы О2 подъ конечной чертой и дѣлаемъ отчетъ
угла па шкалѣ „3“.
0,742 = sin а; а = 48° 00х; устанавливаемъ число 742 на двухзначной
шкалѣ О2 подъ конечной чертой шкалы O1 и производимъ
отчетъ на шкалѣ синусовъ ,,Su.
0,0452 =≈ tg. а; — sin. «; а = 2° 56х; устанавливаемъ число 452 одно¬
значной шкалы О2 подъ конечной чертой O1 и дѣлаемъ отчетъ
па шкалѣ ,,Su.
2.	Тангенсъ. Найдемъ для примѣра значеніе tg.
27° 15' = 0,515. Выдвигаемъ движокъ влѣво, устанавли¬
ваемъ подъ чертой задняго вырѣза на шкалѣ „Т(* уголъ
27° 15z и производимъ надм начальной чертой U1 на шкалѣ
U2 отчетъ 515.
0,762 =tg. а; а =≈ 37° 19х; устанавливаемъ число 762 шкалы
U2 надъ начальной чертой Uγ и дѣлаемъ при чертѣ задняго вырѣза
отчетъ угла на шкалѣ „Р‘.
О значеніяхъ тангенсовъ угловъ больше 45° см. подъ 4)
контангепсъ.
3*

— 36 —
3.	Косинусъ. Cos. а опредѣляется при помощи допол¬
нительнаго угла, причемъ послѣдній вычисляется обыкновенно
въ умѣ, по формулѣ cos. а = siιι. 0о—а).
cos. 430 40x = sin. 46° 20' = 0,723
0,244	= cos. а = sin. (90 — а); (90 - а) = 14θ 10'; а = 75θ 60'.
4.	Котангенсъ. Выдвигаемъ движокъ влѣво, устанав¬
ливаемъ на шкалѣ „ Т“ данный уголъ подъ чертой задняго
вырѣза и дѣлаемъ подъ конечной чертой U2 на шкалѣ U1
отчетъ значенія котангенса даннаго угла. Этотъ способъ раз¬
счета ведется на основаніи извѣстнаго изъ тригонометріи соотно¬
—. Поэтому если мы получаемъ у началь-
¾ значеніе tg. а то значеніе котангенса,
шенія ctang а =
ной черты U1 на
равное частному отъ раздѣленія 1 : tg. а, найдется при той
же установкѣ у конечной черты шкалы U2 (см. § 3, дѣ¬
леніе). Такимъ образомъ значенія котангенса лежатъ въ
предѣлахъ отъ іо до і,о, какъ величины, обратныя значе¬
ніямъ тангенса — 0,1 до 1,0.
Изъ этого соображенія вытекаетъ очень удобный способъ
для нахожденія значеній tang. и cotg. угловъ больше
Тригонометрія даетъ намъ извѣстное соотношеніе: tg.a = cotg.
0о—а); напримѣръ tg. 60° = ctg. 30°. Такъ какъ ctg. 30°
находятъ исходя изъ tg. 30°, то слѣдовательно этимъ спосо¬
бомъ можно найти всевозможныя значенія тангенсовъ и ко¬
тангенсовъ угловъ	отъ	34' до	89°	26'.
Примѣры:	tg.	67° 30'	=	cotg.	22°	30'	=	2,415
cotg.	78° 30'	=	tg.	llθ	80'	=	0,203
cotg.	17° 40'	=	=	8,14
cotg.	28° 10'	=	=	1,869
0,785 = cotg. а; а = 51° 52'; такъ какъ численное значеніе < 1
то соотвѣтствующій уголъ а долженъ быть > 45°. Положивъ
0,785 = ctg. а = tg. (90—а) получ. (90—а)= 38° 08' поэтому а = 51° 52'.
4,	21 = ctg. а; а = 13° 22'; устанавливаемъ конечную черту
U2 надъ числомъ 421 шкалы U1 и непосредственно производимъ
отчетъ искомаго угла на шкалѣ nTii.
2,	51 = tg. а; а — 68° 15'; такъ какъ численное значеніе тан¬
генса > 1, то уголъ а долженъ быть больше 45°. Полагая поэтому
2,51 = tg. а = ctg. (90—а) получимъ (90—а) = 21θ 45', а слѣдовая
тѳльно а = 68θ 15'.

— 37
5.	Разсчетная линейка какъ тригонометрическая
таблица для sin. и tang. Разсчетной линейкой можно поль¬
зоваться какъ тригонометрической таблицей, на которой можно
прочесть, въ вышеприведенныхъ предѣлахъ, всѣ углы по
данному синусу или тангенсу.
Вытягиваемъ движокъ совершенно и вставляемъ его опять
обратной стороной такимъ образомъ, что шкалы обратной стороны
S, Т и L окажутся на передней сторонѣ линейки; — шкала ,,Su
непосредственно у O1 и Т у Ur∖ если теперь привести начальныя
черты этихъ шкалъ къ совпаденію, то можно для каждаго угла
на шкалѣ S прочесть значеніе его синуса на (21 и для каждаго
угла шкалы Т найти его значеніе на шкалѣ U1 и наоборотъ.
6.	Если требуется помножить или раздѣлить тригоно¬
метрическую функцію на какое либо число то слѣдовало бы,
поступая согласно пунктамъ 1—4 настоящаго § всякій разъ
поворачивать линейку. Если же пользоваться линейкой, какъ
въ пунктѣ 5, съ перевернутымъ движкомъ то можко произ¬
водить умноженіе и дѣленіе на тригонометрическія функціи
синуса и тангенса какъ при обыкновенномъ положеніи движка
прибавленіемъ и отнятіемъ соотвѣтствующихъ отрѣзковъ не
поворачивая линейку всякій разъ.
а) Дано: с = 34,2 м., а = Γ7θ 50' (см. фиг. 11)
Требуется найти а и Ь.
а = с sin. а = 34,2 ∙ sin. √70 jo' — J0,4j м.
Ь == С COS. а = j4f2 ∙ cos. z70 jθ, = 34,2 sin. (90 — ιrp jo,) =
jψ2 ∙ sin. 72P 1O, == 32,6 м.
При нормальномъ положеніи движка ходъ разсчета былъ бы
таковъ: для того чтобы найти ,.а“ устанавливаемъ у черты задняго
вырѣза на шкалѣ ,,S∙4 уголъ 17° 50' и дѣлаемъ отчетъ 1045 на шкалѣ
подъ числомъ 342 шкалы O1. Отчетъ находится во второй лога¬
риѳмической единицѣ или на двухзначной шкалѣ (¾, поэтому число
— 38 —
знаковъ конечнаго результата равно числу знаковъ исходнаго числа
34,2 и слѣдовательно а = 10,45 м.
Для нахожденія „Ь“ поступаемъ совершенно аналогично,
устанавливая на шкалѣ „8“ уголъ 72° 10' и прочитывая на О2 ко¬
нечный результать при числѣ 34,2 шкалы O1.
Въ случаѣ перевернутаго движка поступаемъ слѣдующимъ
образомъ: для того чтобы найти „а“ переворачиваемъ движокъ,
устанавливаемъ начальную или конечную черту (въ данномъ случаѣ
конечную) у числа 34,2 шкалы O1 п производимъ отчетъ 10,45 на
шкалѣ O1 подъ угломъ 17° 50' шкалы ,,S". Подобнымъ же образомъ
поступаютъ при разсчетѣ „Ь“.
δ) Дано: b — 57,1 м.; а = 29° 15'.
Требуется найти с и а,
ь	ъ	57,1
С = 	 = 	 =	= 6$ А М.
cos. а sin. (до — а) sin. 6о° 45,
а = b ∙ ⅛. а = yfjfι ∙ tg, гд® ι5, == 31 ,95 м.
При обыкновенномъ положеніи движка разсчитываемъ слѣ¬
дующимъ образомъ: для того чтобы найти „с“, устанавливаемъ
уголъ 60° 45' шкалы „8“ подъ чертой задняго вырѣза и дѣлаемъ
отчетъ числа 655 на шкалѣ O1 подъ числомъ 571 шкалы О2.
Для того чтобы найти „а“, устанавливаемъ уголъ 29° 15'
шкалы ,(Г“ подъ чертой задняго вырѣза; тогда можно произвести
отчетъ подъ числомъ 571 шкалы U1 на U2 Лишь въ томъ случаѣ,
если установить визиръ надъ конечной чертой U2, а потомъ пере¬
двинуть на ея мѣсто начальную черту. Основаніе этихъ дѣйствій
ясно изъ предыдущаго; разсчетъ съ перевернутымъ движкомъ не
представляетъ ничего новаго послѣ сказаннаго въ примѣрѣ а).
§ 14. Синусъ и тангенсъ малыхъ угловъ и длина дуги;
черты ⅝>', gu, gft∖ пропорціональность угловъ и значеній
тригонометрическихъ Функцій; дуга и центральный уголъ.
Тригонометрическія функціи siπ. а и tg. а угловъ а
меньшихъ 34i могутъ быть, при разсчетахъ на линейкѣ,
замѣнены, съ достаточной точностью длиной дуги nbu. Зави¬
симость b = агс а говоритъ что b есть дуга угла а при
радіусѣ 7? = і. Изъ фиг. 12 ясно, что для малыхъ угловъ
а, длина дуги „Ь“, синуса ,,sa и тангенса „1“ почти равны:
s = ∠L4'∙, і = ВВ'; b = κ√ ЛВ'.

39
5 = t — Ь.
Согласно фиг. 12: b : а = 2 >г • г: 360.
l n 2 к	36Oθ ,
Отсюда 6 = o° " ggθδ : “
Если уголъ а данъ не въ градусахъ, а въ минутахъ и
въ случаѣ очень малыхъ угловъ въ секундахъ, то въ этихъ
формулахъ надо выразить 360° соотвѣтственно въ минутахъ
и секундахъ.
b = агс. α0 = с<°
градусахъ.
6 = агс. c<' =	∙	«■ =	-2-7c
	•	=	• Ь, если уголъ данъ въ
360°	2 іс
2 іг. 360 • 60
данъ въ минутахъ.
t 2 ιc u
b = 9∞∙a', = ft' 36о.бо;“бГ;й
если уголъ данъ въ секундахъ.
360 • 60 • 60
2
r-r	t	360 • 60	Р/ //	—
2.	Постоянныя ρ =	т—	 = }456 » ?	—
& 'JC
360 • 60 • 60 __ 206265" относятся къ старому дѣленію
2 я;
400 • 100 • 100 z xz
круга * Q∣t —-  		 ≡x оJ0020fкъ новому или
метрическому дѣленію. Эти вышесказанныя величины от¬
мѣчены чертами на шкалахъ U1 и U2.
Поэтому наши предыдущія выраженія примутъ болѣе
простой видъ:
Ь = агс. а = — • сс; а = q ∙ b

40
и для малыхъ угловъ а:
sin. а = tg. а = агс. а = Ь = — • а.
Смотря по тому выражено ли а въ минутахъ или секун¬
дахъ, примѣняютъ для ρ значенія ρ' или ρ".
Примѣры:
23'
sin. 23' = tg. 23' = 	 = 0,0067.
Q,
47"
sin. 47" = tg. 47" = 	 = 0,000228.
ρ',
∂ = sin. α = tg. а = 0,00352; α" = ρ". 0,00352 = 728" = 12' 08".
Такъ какъ эти дѣйствія суть ничто иное какъ умноженіе и
дѣленіе на нанесенныя на линейкѣ числа ρ, то разсчетъ и опре¬
дѣленіе числа знаковъ не требуетъ никакихъ объясненій.
3.	Пропоргцональность значенія тригонометриче¬
скихъ функцій sin. и tng. малыхъ угловъ и длины дуги
или величины самаго угла. Предыдущія вычисленія могутъ
быть произведены безъ помощи постоянныхъ ρ, основываясь
на томъ, что значенія sin. и tng. малыхъ угловъ пропор¬
ціональны длишь дуги или самому углу. Для точности
достигаемой разсчетными линейками сказанная пропорціональ¬
ность распространяется до угловъ, не большихъ 6° или для
значеній тригонометрическихъ функцій, не большихъ 0,1.
Пусть будетъ а нѣкоторый малый уголъ, то по предыдущему
имѣемъ:
11 sin. а = sin. П а.
sin. а — — sin П а
П
Примѣры:
а)	sin. 23' = tg. 23' не можетъ быть найденъ непосредственно,
но мы можемъ написать
sin, 23' =	∙ sin. 10 • 23' = — sin. 3° 50'
10	10
Отыскиваемъ теперь на шкалѣ синусовъ ,,Sff значеніе
sin. 3θ 50' = 0,0668
Поэтому sin. 23i =	• 0,0668 = 0,00668.

— 41
Обратно, пусть по данному значенію sin. или tang., мень¬
шему 0,01 требуется найти самый уголъ. При столь маломъ
значеніи нельзя непосредственно произвести отчетъ угла.
siιι. а = К (К < o,oι)
11 siιι. сс = siιι. и а = п К (и К > о,оі).
Теперь остается найти уголъ соотвѣтствующій значенію
п К и раздѣлить его на ∕z.
Примѣръ:
Ь)	tg. а = 0,00352 « 0,01)
tg. 10 а = 0,0352 (> 0,01)
Находимъ на шкалѣ тангенсовъ уголъ 10 а соотвѣтствующій
значенію тангенса = 0,0352
10 а = 20 01',2 = 12Γ,2
1
		121',2 = 12',12
10	,	,
а = 12, OT,.
До тѣхъ поръ, пока при умноженіи на п получаемый
уголъ іі а не превышаетъ указанный выше предѣлъ — 6° или
не оказывается меньше нижняго предѣла — 34', или же до тѣхъ
поръ пока значеніе п К будетъ заключаться между соот¬
вѣтствующими этимъ предѣльнымъ угламъ значеніями
0,01 — 0,1, — и можетъ быть выбрано вполнѣ произвольно.
Удобнѣе всего полагать п = іо, юо, юоо и т. д. Такъ
какъ тогда конечный результатъ получается простымъ пере¬
движеніемъ запятой вправо или влѣво.
4. Длина дуги и уголъ при любомъ радіусѣ R.

— 42
B : 2 г R = а : j6o
В = — . R,- « = ρ ⅛ R =	. В.
о	R	а
а)	а = 27θ 30' = 1650'; R == 121,2 м.; В = ?
1650'
В = 	 • 121,2 = j8,2 м.
?'
Ь)	В = 35,5 м.; R = 78,4 м.; а = I
35,5
““ = ρu .	= 9j5oθt, = I^8, 2θ" = 2Jπ j8' 20й
с)	В = 114,1 м.; а = 160 12' = 972'; R = ?
Эти примѣры не требуютъ поясненія, основываясь на пред¬
ыдущемъ.
§ 15. Круговыя Функціи.
Въ техническихъ разсчетахъ зачастую приходится опре¬
дѣлять по данному діаметру ndit круга длину его окружности
nUa и его площадь nFa и наоборотъ.
Для этихъ разсчетовъ служатъ черты /г, с и черта на
шкалахъ O1 и О2 у числа 784. Черта с соотвѣтствуетъ числу.
-1 Г ι
с = I/ 'jr, = 1,128; черта у числа 784 представляетъ
Г 4
собою выраженіе — = 0,784.
Изъ геометріи извѣстно:
Длина окружи. U = п • сі; площ. круга F = — • (Р =
4
или	d = —;	d = VF∙c
Примѣры:
а)	d = 5,21 см.; U = ?, F = 1
и ≈= π . 5,21 = 45^7 см.; F =	= 21,3 см.2.

— 43
b)	U = 233 см.; d = ?; d =	= 74 см.
c)	F = 322 cm.2√ d = ?; d = ]Λ322∙c = 20,26 см.
Разсчеты съ чертой /г достаточно объяснены настоящими
примѣрами. По данному діаметру d опредѣлимъ площадь
круга F> установивъ число шкалы t∕2 надъ числомъ d шкалы
t∕1 дѣлаемъ отчетъ на шкалѣ Ох у начальной или конечной черты
шкалы СЬ. Обратно если требуется опредѣлить діам. по данной
площади круга Fb то тогда ставимъ начальную или конечную
черту О2 подъ число, изображающее на шкалѣ O1, площадь
круга и прочитываемъ діаметръ подъ чертой с шкалы t∕2 на
U1. При установкѣ числа площади круга на O1 необходимо
соблюдать правило числа знаковъ рѣшающей группы числа
,fF'. Число знаковъ площади круга f,Ftt опредѣлится изъ
/А2	•
числа знаковъ квадрата (—1 и число знаковъ діаметра ,,d
изъ числа знаковъ VF∙c, какъ было показано въ § 8.
§ 16.	Вычисленіе поверхности шара и объемовъ
цилиндра, конуса и шара.
Опираясь на предыдущій § 15 мы имѣемъ возможность
при помощи черты „с“ вычислять шаровыя поверхности и
объемы цилиндровъ, шаровъ и конусовъ. Для каждаго от¬
дѣльнаго случая представляемъ себѣ также вычисленной пло-
г- (d ∖2 n d 2
щадь круга даннаго діаметра г = I _ ) = 	 , причемъ,
\с)	4
однако отчетъ таковой не производимъ.
Тогда
1)	Поверхность шара О = 4 • —— = 4 ∙ F
,jc d2
2)	Объемъ цилиндра V = 	• I = F • I
4
3)	Объемъ конуса V =	*~j = F• -у
4)	Объемъ шара V = -- • 4 ∙	= F • — d.

44
Въ этихъ выраженіяхъ d — діаметръ шара или круга;
I — высота конуса или цилиндра; и F — площадь круга
даннаго діаметра d. Если F — опредѣлено, то согласно
7 I 2 .
предыдущему слѣдуетъ умножить на 4, I, — или — d, что
производится при помощи шкалы О2 движка, такъ что F по¬
лучается на шкалѣ квадратовъ O1.
См. также описаніе разсчетной линейки „Фиксъ“.
Примѣры: 1) Дано: Діаметръ d = 0,47 м.
Требуется найти поверхность шара 0 = 4 F.
Черту „с“ шкалы t∕2 устанавливаемъ при числѣ 47,
тогда черта визира отмѣчаетъ на шкалѣ (?2 площадь круга F
Не производя отчета, F умножаемъ на 4 и получаемъ
о = 0,693 м~
2)	Дано: Діаметръ основанія d = 0,95 м.
Требуется найти объемъ цилиндра съ высотой Z= 5,78 м.
V = F∙ I = 4,86 м.3
Устанавливаемъ черту „с“ шкалы t∕1 при числѣ 95,
передвигаемъ визиръ до начальной черты O2, и, не прочитывая
площадь F, перемѣщаемъ движокъ влѣво (ибо въ противномъ
случаѣ число 5,78 пришлось бы внѣ шкалы C⅛) до тѣхъ поръ,
пока конечная черта шкалы (?2 не совпадаетъ съ чертой ви¬
зира, 'получаемъ при числѣ 5,78 искомый отчетъ 4,86 на
шкалѣ O1.
3)	Дано: Діаметръ шара d = 0,036 м.
Требуется найти объемъ шара.
V = — d ∙ F = 0,0000122 м3
3
Для опредѣленія изъ данныхъ поверхностей и объемовъ
діаметра, идемъ обратнымъ путемъ.
§ 17. Сложеніе и вычитаніе.
Несмотря на то, что логариѳмическая разсчетная линейка
такъ же мало пригодна для сложенія и вычитанія чиселъ
какъ и логариѳмическія таблицы, мы включили ради полноты
руководства настоящій параграфъ.

45 —
Сложеніе и вычитаніе производится по слѣдующей схемѣ;
а
Выполнивъ дѣленіе -r- прибавляемъ въ умѣ + 1 и умно-
b
жаемъ полученное такимъ образомъ число
на Ь,
Примѣръ:
5,84 ÷ 3,16 = ?
(5,84	X
-2- ± 11 = 3,16 (1,849 ÷ 1)
3,16	/
3,16 • 2,849 = 9,00 — сложеніе.
3,16 • 0,849 = 2,68 — вычитаніе.
§ 18. Точность достигаемая разсчетными
линейками.
При умноженіи и дѣленіи двухъ чиселъ средняя отно¬
сительная погрѣшность рѣшенія составляетъ около 0,8% или
1
— —; по этимъ даннымъ каждый техникъ можетъ самъ легко
судить о степени пригодности разсчетной линейки для своихъ
разсчетовъ, смотря по желаемой точности искомаго рѣшенія.
Нижеслѣдующія разсчетныя линейки будутъ нами раз¬
смотрѣны лишь постольку, поскольку онѣ отличаются отъ
подробно описанной выше линейки „Мангеймъ*.

— 46 —
II. Разсчетная линейка „Фикеъ“
D. R. G. М. 272915.
Разсчетная линейка „Фиксъ" отличается отъ подробно
описанной выше особымъ расположеніемъ верхней шкалы
O1. Эта шкала передвинута вправо по отношенію къ
шкалѣ U1 на разстояніе измѣренное въ единицахъ
шкалы O1. Поэтому всѣ числа шкалы U1 будучи перенесены
Фиг. 14.
на шкалу O1 чертой визира дадутъ намъ выраженіе —умно-
4
жѳнное на квадратъ даннаго числа. Слѣдовательно, если мы
нанесемъ на шкалѣ U1 число d, — то соотвѣтствующее число
шкалы O1 изобразитъ величину
F=÷- d*
4
Если d —, діаметръ круга, установленъ на шкалѣ Z71,
то число отмѣченное чертой визира на шкалѣ O1 непосред¬
ственно даетъ илъіцадъ F круга съ діаметромъ d. Обратно
47
всякой плошади круга F на шкалѣ O1 соотвѣтствуетъ нѣко¬
торый діаметръ d шкалы t∕1. Само собой разумѣется, что
черта „с“ нанесенная на другихъ разсчетныхъ линейкахъ,
отсутствуетъ на линейкахъ системы „Фиксъ* какъ совершенно
излишняя.
Благодаря сказанному перемѣщенію шкалы O1 по отно¬
шенію къ Ulf является возможность очень просто и легко
опредѣлить по данному діаметру соотвѣтствующія: площадь
круга, поверхность шара, объемы шара, конуса и ци¬
линдра. Обратно одинаково легко опредѣляется по даннымъ
площади круга, поверхности шара или по объему цилиндра
или конуса, съ данной высотой, соотвѣтствующій діаметръ.
Всѣ прочія дѣйствія производятся какъ было указано
въ §§ I —18, причемъ необходимо однако замѣтить что для
возвышенія въ квадратъ и для извлеченія корня квадратнаго
надлежитъ пользоваться шкалами t∕2 и О2 движка.
Опредѣленіе числа знаковъ площади круга по числу
знаковъ діаметра и наоборотъ.
Вслѣдствіе перемѣщенія шкалы O1 на — по отношенію
къ Ulf необходимо различать на первой j пасти:
первая часть содерж. числа r]8,6—юо п назыв. передней частью
вторая „	„	„	і—го „	„ средней „
третья v> n „	10—78,6»	„ задней „
Пусть число знаковъ діаметра d будетъ „п“, тогда число
знаковъ „т“ площади круга F будетъ:
ш — 2 п — 2, если / нах. въ передней части j8,6—юо шк. O1
т 2п —	г, „	„ „	„ средней	w	г—іо „	O1
т = 2 п, „	„ „	„ задней	„	10—78,6 „	O1
Обратно: Если требуется по данной площади F опре¬
дѣлить соотвѣтствующій діаметръ d, то число Fраздѣлимъ
на двухзначныя группы, какъ это было объяснено въ связи
съ извлеченіемъ квадратнаго корня.

48
Число изображающее площадь F устанавливается:
на средней части однозначныхъ чиселъ 1—10 если рѣша¬
ющая группа однозначна;
па задней части двухзначныхъ чиселъ 10—78,6 если рѣша¬
ющая группа двухзначна, и величина ея лежитъ въ этихъ
предѣлахъ; и наконецъ
на передней части двухзначныхъ чиселъ 78,6—100 если
рѣшающая группа двухзначна, и величина ея заклю¬
чается въ указанныхъ предѣлахъ.
Если такимъ образомъ устанавлено F и найдено на
шкалѣ Ur число изображающее искомый діаметръ, то онъ
будетъ имѣть, если F было установлено на
средней и задней части столько положительныхъ
единицъ, сколько было группъ влѣво отъ запятой или
столько отрицательныхъ единицъ сколько было полныхъ
нулевыхъ группъ вправо отъ запятой;
передней части, то къ числу знаковъ, опредѣленному
какъ выше, необходимо прибавить +і.
Примѣры:
1)	Данъ діаметръ круга d = 17,3 м. Требуется найти пло-
71
щадь F = — №. Устанавливаемъ черту визира на число 17,3
4
шкалы U1 (фиг. 14) и получаемъ тогда непосредственно на шкалѣ
O1 площадь круга F = 235 м2.
2)	Даны: діаметръ основанія d = 1,285 см. и высота h — 3,0
71
см. цилиндра. Требуется найти объемъ V = — d~ h=Fh. Устано-
4
вивъ начальную черту шкалы t∕2 у числа 1,285 шкалы Ux находимъ
при числѣ 3,0 шкалы (⅞ на θι искомый объемъ V = 3,9 см.3.
3)	Объемъ конуса опредѣляется по формулѣ
4)	Поверхность шара опредѣляется изъ
О = θ rf2) 4 = 4 . F
5)	Объемъ шара найдется по формулѣ
1'-θrfs)4∙4∙-r∙7''∙

49
т. е. во всѣхъ примѣрахъ 2—5 представляемъ себѣ опредѣленной
сначала площадь круга Ff соотвѣтствующую діаметру d, и умножаемъ
затѣмъ таковую въ случаѣ 2) на высоту цилиндра h, въ 3) на 1∕3
2
высоты конуса, въ случаѣ 4) на число 4, и въ случаѣ 5) на — d.
3
Примѣры:
Данный
діаметръ
на шкалъ Ц
d =
Искомая
площадь
на шкалъ (X
F =
Отчетъ
приходится
на часть
шкалы
Ol
„//“-число
знаковъ
діаметра d
„Ш “-ЧИСЛО
знаковъ иско¬
мой площади F
1.1
0,95
1
+ 1
2.1—2=0
7.4
43,0
3
-+• I
2.1=2
10.5
86,6
1
+ 2
2.2-2 = 2
29.0
660
2
-і- 2
2.2-1 = 3
41.0
1320
3
+ 2
2.2 = 4
0.542
0,231
3
± θ
2.0=0
0.0987
0.00762
3
- 1
2.(-l) = -2
0.00225
0,00000397
2
- 2
2.(-2)-l = -5
0.0106
0,000018
1
- 1
2∙(-l)-2	4
0.20
0,0314
2
+ 2
2.0—1 = -1
Данная
площадь на
шкалъ Ol
F =
Искомый
діаметръ
на шкалъ Ц
d =
Ръшаю-
щая
группа
F устанавли¬
вается въ части
шкалы O1
Число знаковъ
діаметра
\
1,33
1
1.535
однознач.
2 (средней)
1
8.54
3,30
ѵ>
2
1
79.6
10,07
двухзнач.
1 (передней)
1 + 1 = 2
39,7
7,12
3 (задней)
1
487.0
24,9
однознач.
2 (средней)
2
832.0
32,6
2
2
58'20
86,2
двухзнач.
3 (задней)
2
7890
100,3
»
1 (передней)
2 + 1 = 3
0.869
1,053
11
1
0 + 1 = 1
0.62'1
0,891
11
3 (задней)
0
0.0573
0,271
однознач.
2 (средней)
0
0.00189
0,0491
двухзнач.
3 (задней)
- 1
0.00'85’1
0,1042
1 Передней
_ 14-1=0
Примѣчаніе: Рѣшающая группа напечатана болѣе жирнымъ
шрифтомъ.
4

50
III. Логариемичеекая разсчетная линейка
системы „Рицъ“.
D. R. G. М. 181 ПО.
Описаніе разсчетной линейки системы „Рицъ“.
Какъ показываетъ фиг. 15 логариѳмическая линейка
сказанной системы имѣетъ на линейкѣ 4 шкалы С, 01, U1 и
L и двѣ шкалы 02 и t∕2 на передней сторонѣ движка. Такъ
какъ шкалы 01∙, 02, U1 п U2 представляютъ собою точную
копію таковыхъ же обыкновенныхъ разсчетныхъ линеекъ, то
поэтому данная лдгариѳмическая линейка отличается отъ по¬
слѣднихъ шкалами С и L.
Шкала С или шкала кубовъ содержитъ три логариѳми¬
ческія единицы, длина каждой изъ нихъ равняется 1∕s длины
логариѳм. единицы главной шкалы U1 (фиг. 15). Поэтому
всякому числу шкалы U1 соотвѣтствуетъ вертикально надъ
нимъ расположенное число шкалы „С", представляющее собою
кубъ перваго числа; и обратно, всякому числу шкалы ,,С“
соотвѣтствуетъ на шкалѣ U1 число, являющееся корнемъ
кубичнымъ перваго.
Шкала L или логариѳмическая шкала представляетъ
собою точную копію шкалы, расположенной на обратной сторонѣ
движка обыкновенныхъ линеекъ. Пользованіе этой шкалой
удобнѣе и допускаетъ большую точность отчета въ томъ
отношеніи, что мантисса логариѳма какого либо числа опредѣ¬
ляется непосредственно на шкалѣ L простой установкой
визира безъ переворачиванія и перемѣщенія движка.
Взамѣнъ шкалы ,,Ь“, располагаемой обыкновенно на обрат¬
ной сторонѣ движка, движокъ линейки системы „Рицъ“ снабженъ
еще одной шкалой, облегчающей тригонометрическія вычис¬
ленія. На обратной сторонѣ движка нанесены поэтому три

— 51 —
Фиг. 15.
тригонометрич. шкалы
,,S''	ъ„Т“.
Помощью этихъ шкалъ
мы получаемъ значенія
синусовъ съ значитель¬
но большей точностью
ибо въ этомъ случаѣ
шкала ,fSt' нанесена въ
преположеніи длины
логариѳмичск. единицы
въ 25 см., а не 12,5 см.
какъ въ случаѣ обык-
новенныхъразсчетныхъ
линеекъ. Шкала сину¬
совъ ,,S'' содержитъ
поэтому лишь значенія
отъ 0,1 — 1,0, что со¬
отвѣтствуетъ угламъ
отъ 5о 44z до 90° (ста¬
рое дѣленіе). Такъ какъ
далѣе, тригонометрич.
значенія sin. и tang.
угловъ отъ 34z— 5044z
мало отличаются другъ
отъ друга, и соотвѣт¬
ствуютъ значеніямъ отъ
0,01’до 0,1, то шкалы
sin. и tang. сказанныхъ
угловъ соединены въ
одну ,,S & Т“ такимъ
образомъ, что на ней
нанесены ариѳметиче¬
скія среднія каждой па¬
ры значеній sin. и tang.
Поэтому для на¬
хожденія sin. и tangt
52 —
угловъ отъ 34'—5θ 44' шкала ,,S & Т“ обратной стороны
движка и значенія тригонометрическихъ функцій этихъ угловъ
— однозначны. Значенія тригонометрическихъ функцій шкалъ
,,S'' и „Т“ — нульзначны. Въ общихъ чертахъ пользованіе
шкалами „3“ и „Т“ совершенно схоже съ изложенномъ въ
§ 13, 2—4.
Въ нижеслѣдующемъ мы разсмотримъ лишь тѣ дѣйствія,
способъ производства коихъ отличенъ отъ изложеннаго по¬
дробно выше, и вытекающія изъ своеобразнаго расположенія
шкалъ разсчетной линейки системы „Рицъ“.
I.	Логариѳмированіе.
Данное число А наносится виризоромъ на шкалу
U1 и тогда соотвѣтствующая мантисса логариѳма этого
числа будетъ находиться у черты визира на шкалѣ L.
Обратная манипуляція поведетъ къ нахожденію числа А по
данной мантиссѣ его логариѳма. Характеристика логариѳма
находится совершенно такъ же какъ и при пользованіи лога¬
риѳмическими таблицами изъ числа знаковъ даннаго числа,
и наоборотъ.
Примѣры:
1)	log.20=7 Устанавливаемъ черту визира противъ числа 2шкалы
U1 (фиг. 15), находимъ на шкалѣ L мантиссу логариѳма
равной 0,301 и прибавляемъ характеристику ÷ 1. Тогда
имѣемъ log. 20 = 1,301.
2)	1,204 = log. х; х = num. (log. 1,204).
Устанавливаемъ черту визира противъ числа 0,204 шкалы „А"
и получаемъ на шкалѣ Z71 число 16. Такъ какъ характе¬
ристика даннаго логариѳма == -|- 1, то самое число двух¬
значно, а поэтому х = 16.
Дальнѣйшіе примѣры см. стр. 33.

53
2.	Возвышеніе въ кубъ и извлеченіе корня
кубичнаго.
Для того, чтобы найти кубъ даннаго числа устанавли¬
ваемъ черту визира противъ даннаго числа на шкалѣ U1 и
непосредственно производимъ отчетъ искомаго куба на шкалѣ
С. Установивъ черту визира противъ числа изображающаго
на шкалѣ С подкоренную величину, получимъ на шкалѣ U1
корень третьей степени изъ даннаго числа.
Число знаковъ куба и кубическаго корня.
Шкала кубовъ С состоитъ изъ трехъ логариѳмическихъ
единицъ — 1. 2 и 3 логариѳм. единицы. Согласно § 9, 1
число знаковъ с куба будетъ, если п — число знаковъ
основанія:
или с = 5 п, или с = $ п — і, или же с = j п — 2.
Для нахожденія числа знаковъ куба какого либо числа
мы имѣемъ слѣдующее правило:
Если искомый кубъ находится въ предѣлахъ
1-ой	логариѳм.	единицы,	то	число	его	знаковъ	с	=	jn —	2
2"θft	я	п	п	п	Г) п	С	=	j 11	I
n	n	„	я	я я	С	=	j П
Для	кубичнаго корня мы имѣемъ	слѣдующее	правило:
кубическій корень имѣетъ столько мѣстъ сколько 3-хъ знач-
выхъ группъ содержитъ подкоренная величина влѣво отъ
запятой, и въ случаѣ десятичныхъ дробей столько нулей
вправо отъ запятой, сколько полныхъ нулевыхъ группъ со¬
держитъ подкоренная величина.
Если рѣшающая группа
однозначна то визиръ устанавлив. въ предѣл. 1-ой лог. ѳдин.
Двухзначна „	„	„	„	„ 2-ой „	„
тРехзначна „	„	„	3-ей „
Икали С и искомый корень прочитывается на шкалѣ U1.

54
Примѣчаніе: Рѣшающая группа напечатана жирнымъ шрифтомъ.
1,533	= 3,58
27,63	= 21000
7(∙83	= 355000000
0,623	=0,238
0,0183 = 0,00000583
0,00223 = 0,0000000107
0,004713= 0,0000C0105
0,09653 = 0,000900
Примѣры
3	3	3	3	3	3	4	Ф
s
-	и
33333^«	Ш
Я
хз
Е
лежитъ въ
предѣлахъ
Искомый кубъ
І І « іі І II і і
соооозоэсосососо
sasssxss
II	II
>—	ГО	Н*	го
II	II	II	II II	II	II	II
1	1	1	1	1+	+	+	+
wooc∏θcoc∏∣-
Число его знаковъ
'T^CO '^CO	'^O5	"^05 ’^Св ''ς''~>w
θ]θ,θ	О	М|	н*|	«
ф ”ф ©	"«	з ⅜
8 8 fc g -1	-1 § |
8 g	I ?
II	II	II	II II II	II	II
ooooto>^∣∙oo
2	§	g	|	⅛	⅛	8	$
8 o,
Примѣры
MOOtO∞tOOOh-W
Ь
3433333	ф
ф
ё
3333333	Д
ы
ха
Е
Визиръ уста¬
навливается
въ
предѣлахъ
⅛q	kQ	kQ	kQ	kQ
II	II II	II	II	II	II	II
1	1	1+	1+	+	+	+
»—l	t-l	0.0	(-k	h-∙	со	to
Число
знаковъ
искомаго
корня

55
2	3
3.	Непосредственное опредѣленіе а2 3 и а2.
Установивъ черту визира противъ нѣкотораго числа ,,at*
шкалы >>С“ мы получимъ подъ чертой визира на шкалѣ O1
отчетъ по формулѣ:
Установивъ же визиромъ на шкалѣ O1 какое либо число
„а", мы получимъ на шкалѣ ,,C,t отчетъ по формулѣ:
/ 2 \з 2	з
Для опредѣленія числа знаковъ результата необходимо
разбить подкоренную величину на группы, соотвѣтствующія
показателю степени корня.
Примѣры:
2
1) 571,8β^ = ?
Такъ какъ рѣшающая группа двухзначна то мы устанавли¬
ваемъ визиромъ число 57,8 въ предѣлахъ 2-ой логариѳм. единицы
шкалы С и получаемъ на шкалѣ 01 на второй логариѳм. единицѣ
число 15; при этомъ, такъ какъ
2
двухзначенъ, а потому 57,8 з =
2) '687'0003 = 7780
Въ этомъ случаѣ рѣшающая группа трѳхзначна, поэтому
число 687 устанавливаемъ въ предѣлахъ 3-ей логариѳм. единицы
шкалы С; соотвѣтствующій отчетъ на шкалѣ O1 — 778 — лежитъ
во второй логариѳм. единицѣ; данная подкоренная величина содер¬
житъ двѣ трехзначныя группы, поэтому число знаковъ конечнаго
результата: 2*2 = 4.
21
3) 0,0165 В = 0,0648
Рѣшающая группа двухзначна — установка поэтому въ пре¬
дѣлахъ 2-ой логариѳм. единицы шкалы С. Отчетъ на шкалѣ O1
приходится на 1-ую логариѳм. единицу; данное основаніе не со¬
держитъ нулевыхъ группъ, поэтому число знаковъ результата
2 . о - 1 = - 1.
y∕rоднозначенъ, то
15.

56
_з
4) l76l,52 = ?
Такъ какъ рѣшающая группа двухзначна, то визиръ слѣдуетъ
установить на число 76,5 предѣлахъ 2-ой логариѳм. единицы шкалы
0i↑ соотвѣтствующій отчетъ 664 приходится на 3-ю логариѳмическ.
единицу шкалы С. Такъ какъ число l76l состоитъ изъ одной только
двухзначной группы, то число знаковъ результата: 3 • 1 = 3
з
поэтому 76,5 2 = 664.
2
5)	О1,00'04563 = 0,00000973.
Въ данномъ случаѣ рѣшающая группа однозначна поэтому
визиръ устанавливается въ предѣлахъ 1-ой логариѳм. единицы
шкалы (⅛ отчетъ 973 находится въ 1< й логариѳм. единицѣ шкалы
С; поэтому число знаковъ конечнаго результата: 3 • (—1) — 2= - 5.
6)	Какое количество воды Q переливается черезъ по¬
рогъ, если напоръ h = 0,891 м., ширина порога Ь = 24,5 и коэф¬
фиціентъ истеченія |і = 0,90?
з_
Q = | ∣x . b V2g ∙ h2
3
Q = ⅜ . о,9.24,5 ∕1∑62∣ • 0,8912
о
		8.
/19,62 =4,43; О1,8912 = 0,842
Q = 10,9 • 24,5 • 4,43 • 0,842 = j4,8 л/.3

57
IV. Логаривмическая разсчетная линейка
системы „Нестле"
Какъ показываетъ фиг. 16 шкала А линейки строго со¬
отвѣтствуетъ шкаламъ В и С движка, а также и шкаламъ t71
и обыкновенныхъ линеекъ. Поэтому умноженіе и дѣленіе
производится при помощи линейки „Нестле" по правиламъ,
изложеннымъ въ §§ 1—6.
Существенно отличными являются шкалы Е и F.
Послѣднія представляютъ .собою одну шкалу съ логариемич.
единицей въ /о см. длины, причемъ нижняя шкала F со-
Фиг. 16.
ставляѳтъ продолженіе шкалы Е. Шкалы Е и F соотвѣт¬
ствуютъ поэтому шкаламъ O1 и Ul или Z1 и Z2 прецизіонной
разсчетной линейки.
Изъ сказаннаго вытекаетъ что числа шкалы А суть
квадраты соотвѣтствующихъ чиселъ шкалъ D или Е, и на¬
оборотъ числа шкалъ D и Е являются квадратными корнями
соотвѣтствующихъ чиселъ шкалы А.
Благодаря сказанной особенности нанесенія шкалъ D и Е
возвышеніе въ квадратъ w извлеченіе квадратнаго корня
возможно съ той же точностью какъ въ случаѣ прецизіонной
58
линейки, — слѣдовательно съ значительно большей точ¬
ностью нежели это возможно на обыкновенныхъ линей¬
кахъ. Въ силу этого линейка системы „Нестле" во многихъ
случаяхъ предпочтительнѣе разсчетной линейки „Ридъ". Боль¬
шая точность достигаемая этой линейкой выражается, между
прочимъ, въ нашихъ примѣрахъ тѣмъ, что основанія квадратовъ
и корни въ большинствѣ случаевъ четырехзначны.
1.	Число знаковъ квадратовъ. Предполагая что чита¬
тель предварительно ознакомился съ §§ 7 и 8 и предложимъ
его вниманію слѣдующее правило:
Если „п“ — число знаковъ основанія Z, q — число
знаковъ квадрата Z*, то слѣдуетъ различать два случая:
а)	Если основаніе Z должно быть установлено на верхней
шкалѣ D, то число знаковъ квадрата Z* будетъ
q = 2п — і.
Ь)	Если число изображающее основаніе Z приходится на
нижнюю шкалу Е, то число знаковъ квадрата Z* будетъ
q = 211.
2.	Число знаковъ квадратнаго корня. Подкоренная
величина разбивается, согласно правиламъ § 8 на двухзначныя
группы. Число знаковъ опредѣляется по числу такихъ группъ:
для чиселъ > 1 по числу группъ влѣво отъ запятой, и по
числу полныхъ нулевыхъ группъ вправо отъ запятой, для
чиселъ < 1. Подкоренная величина всегда устанавли¬
вается на шкалѣ А.
Поэтому мы имѣемъ слѣдующее правило для извле¬
ченія корня:
а)	Если рѣшающая группа однозначна, то корень про¬
читывается на верхней шкалѣ D.
Ь)	Если же рѣшающая группа двухзначна, то со¬
отвѣтствующій корень найдется на нижней
шкалѣ Е.

59
1.	Квадраты.
7?
Квадратъ
Основаніе уста¬
навливается
на шкалѣ
Число знаковъ
основанія Z
п =
Число знаковъ
квадрата
Ч =
2,7692
7,66
Е
÷1
2п — 1 = ⅛1
1,89?
3575000
Е
+4
2п -1 = +7
58,762
3455
F
+2
2п = +4
0,015422
0,0002378
Е
-1
2и—1 ≡ -3
0,78512
0,616
F
±θ
2п = ±0
0,∞9232
0,0000853
F
—2
2п = —4
0,0006332
0,000000401
F
—3
2и = -6
2.	Квадратные корни.
Рѣшающая группа" напечатана жирнымъ шрифтомъ.
Корень
Результатъ
Рѣшающая
группа
Отчетъ
производится
на шкалѣ
Число знаковъ
корня
]/54'30'00'
736
двухзначн.
F
÷3
∕2l36∣20∣
153,8
однозначн.
Е
+3
1/3780'
61,45
двухзначн.
F
+2
У'67'3
'8,2
F
+1
УО',08'54
0,2922
однозначн.
Е
±0 ■
У 0,73'2
0,855
двухзначн.
F
±0
/О1,00'61'5
0,0784
F
—1
Важною особенностью разсчетной линейки „Нестле*
является то обстоятельство что логариѳмическая шкала ,,L''
на обратной сторонѣ движка нанесена на такихъ же основа¬
ніяхъ какъ и на прецизіонной логариѳмической линейкѣ.
Слѣдовательно логариѳмированіе производится съ той же
степенью точности какъ и на прецизіонной разсчетной
линейкѣ. Въ послѣдней шкалою пользуются въ связи
со шкалами Zx и Zaj въ линейкѣ же „Нестле* въ связи съ
соотвѣтствующими шкалами Е и F.

60
Если
дится на
мантисса
движка и
число, логариѳмъ котораго требуется найти нахо-
вѳрхней	jD
		 шналгь — линѳини то соотвѣтствующая
нижнеи	Е
,	А.	ββ^Mt7∕β(∕	у ,,
логариѳма прочитается ни		 шналгь „Ѣ
1	нижнеи
обратно.
Всѣ правила логариѳмированія при помощи прецизіонной
разсчетной линейки въ одинаковой степени относятся и къ
разсматриваемой нами, если въ случаяхъ стр. 85 замѣнить Zl
черезъ Е и Za черезъ F.
Примѣры логариѳмированія см. стр. 86.
Въ остальномъ линейка „Нестле" схожа съ разсчетной
линейкой системы „Рицъ", она имѣетъ какъ и послѣдняя
шкалу кубовъ wCw, причемъ какъ кубы такъ и корни кубиче¬
скія находятся такъ какъ было показано выше: число изобра¬
жающее основаніе наносится визиремъ на шкалѣ А и тогда
шкала С даетъ намъ величину куба даннаго числа и наоборотъ.
Все вышесказанное на стр. 53 относительно возвышенія
въ кубъ, извлеченія кубичнаго корня, числа знаковъ куба и
корня, равно какъ и относительно непосредственнаго опредѣ-
2	3_
лѳнія выраженій аз и аз сохраняютъ силу и для линейки
системы „Нестле".
Въ заключеніе считаемъ необходимымъ упомянуть три¬
гонометрическія шкалы „3“, ,,S & Т“ и „Т“ на оборотѣ
движка. Эти шкалы нанесены на длинѣ логариѳм. единицы
= 25 см., и строго соотвѣтствуютъ таковымъ универсальной
линейки, направленіе же ихъ обратное шкалѣ А. Благо¬
даря этому при умноженіи съ перевернутымъ движкомъ на
sin. или на tang. достигается то же удобство какъ и въ линейкѣ
„Франкъ" (см. стр. 16, § 12 — важное примѣчаніе) а именно:
если требуется умножить число „а“ на sin. п или tg. п
нѣкотораго угла п, то мы устанавливаемъ уголъ „п“
шкалы siιι. или tg. на число а, т. е. ставимъ подъ чертой
визира эти множители и дѣлаемъ отчетъ а sin. п или
а tg. п на шкалѣ А при начальной или конечной чертѣ
движка.

61
Если требуется просто найти значенія функцій, sin. п,
tg. п или cotg. п, то это производится при нормальномъ поло¬
женіи движка.
Отмѣтивъ чертой праваго задняго вырѣза на шкалѣ
S какой либо уголъ „11“ мы найдемъ соотвѣтствующее
значеніе sin. п на шкалѣ А при начальной чертѣ шкалы
В движка.
Отмѣтивъ чертой лѣваго задняго вырѣза на шкалѣ
Т какой либо уголъ „п“, мы получимъ соотвѣтствующее
значеніе tg. п на шкалѣ А при конечной чертѣ шкалы
В движка. При такой же установкѣ мы получимъ
значеніе cotg. п на шкалѣ А при начальной чертѣ
шкалы В движка.
Въ отношеніи числа знаковъ значеній тригонометриче¬
скихъ функцій имѣетъ мѣсто то-жѳ правило какъ и для уни¬
версальной линейки:
Если уголъ находится на шкалѣ „5 & Т“, то зна¬
ченіе sin. п = tg. 11 — однозначно.
Если уголъ находится на шкалѣ S или Т, то зна¬
ченіе siιι. п или tg. п — 0-значно и значеніе cotg. п + одно¬
значно.
Примѣры:
I)	Умноженіе съ перевернутымъ движкомъ.
Требуется
вычислить
От¬
вѣтъ
Уставливаемъ
Отчетъ
возможенъ
У
Число знаковъ
уголъ
шкалы "
число
шкалы А
числа
триг.
функ¬
ціи
При¬
мѣча¬
ніе
Ре¬
зуль¬
татъ
5,32 8Іп. 3025'
0,317
З&Т
532
начальной черты
влѣво отъустан.
1
-1
нѣтъ
0
64,7 8Іп. 7044'
8,7
3
647
конечной черты
вправоотъустан.
2
0
-1
1
0,254 мп. 24012'
0,104
S
254
начальной черты
влѣво отъ уотан
0
0
нѣтъ
0
0,082 ⅛. 38046'
0,0658
т
82'
начальной черты
влѣво отъ устан.
- 1
0
нѣтъ
-1
185,6 ⅛.9n57'
32,5
т
1856
конечной черты
вправоотъустан.
3
0
-1
2
357⅛.2°15'
14,0
З&Т
357
начальной черты
влѣво отъустан.
3
-1
нѣтъ
2
0,00462 8іп. 1'02'
0,0000833
З&Т
462
конечной черты
вправоотъустан.
-2
— 1
-1
— 4

— 62
2)	Отысканіе значеній функцій при нормальномъ
положеніи движка.
Примѣры:
Установка
у задняго
вырѣза
Отчетъ
Уголъ
устанавл.
на шкалѣ
Число
знак.
sln. 43055' = 0,695
праваго
на А при нач. чертѣ
S
±0
sin. 15025' = 0,266
»
м » п п	п
S
іО
8ІП.)
5 5022'= 0,0937
υ
п » n n	υ
S&Т
— 1
te∙)
tg. 21012' = 0,3755
лѣваго
» » п КОН. „
Т
±0
cotg. 21°12' = 2,665
п
„ В „ нач. n
Т
+ 1
tg. 10°10' = 0,177
и
„ А „ кон. „
Т
±0
cotg. 10θl6' = 5,655
и
„ В „ нач. м
Т
+1
См. также §§ 13 и 14.

63
Y. Универсальная разсчетная линейка.
Фиг. 17.
Фиг. 18.
Оборотная сторона движка.
Фиг. 19.
Визиръ
Пазъ
Пикала
і лог. единица
іо 2 лог. единица
j лог. единица |
юоо
кубовъ.
Видъ боковой шкалы и визира съ чертой.

64
Универсальная линейка примѣнима не только при умно¬
женіи, дѣленіи, возвышеніи въ степень и извлеченіи корня,
нахожденіи логариѳма и тригонометрическихъ функцій, но
также еще спеціально для топографическихъ вычисленій и для
непосредственнаго нахожденія кубовъ и кубическихъ корней.
Итакъ универсальная разсчетная линейка не только оказы¬
ваетъ прекрасныя услуги во всѣхъ техническихъ разсчетахъ
но также является необходимымъ приборомъ для межевыхъ
инженеровъ и топографовъ. Наше послѣднее положеніе тѣмъ
болѣе справедливо, что вслѣдствіе улучшенія, упомянутаго въ
предисловіи, заключающагося въ эластичной прокладкѣ, вліяніе
влажности воздуха не можетъ привести разсчетную линейку
въ негодность какъ это было раньше. Поэтому универсаль¬
ная разсчетная, линейка въ одинаковой степени пригодна
какъ для употребленія въ закрытомъ помѣщеніи, такъ
и на открытомъ воздухѣ. Неговоря уже о томъ, что уни¬
версальная линейка имѣетъ кромѣ топографическихъ шкалъ
'еще всѣ необходимыя шкалы для разсчетовъ, мы считаемъ
необходимымъ подчеркнуть большую точность топографиче¬
скихъ вычисленій, получаемую благодаря двойной длинѣ лога¬
риѳмической единицы (25 см. противъ 12,5) въ сравненіи съ
разсчетной линейкой изъ нейзильбера въ 2$ см. длины;
кромѣ того однимъ не изъ послѣднихъ достоинствъ универ¬
сальной линейки является ея относительная дешевизна.
Отрѣзокъ, соотвѣтствующій логариѳмической единицѣ на
этой линейкѣ равенъ для всѣхъ шкалъ 25 см. Этимъ мы
достигаемъ одинаковую точность всѣхъ разсчетовъ. Обыкно¬
венныя разсчетныя линейки длиною 25 см. основывались для
тригонометрическихъ и топографическихъ разсчетовъ на длину
логариѳмической единицы въ 12,5 см. и рѣшеніе не могло
быть столь точнымъ какъ на универсальной линейкѣ; слѣдо¬
вательно она представляетъ въ отношеніи точности топогра¬
фическихъ разсчетовъ большой успѣхъ. 50 сантиметровыя
топографическія разсчетныя линейки, содержащія двѣ лога¬
риѳмическія единицы по 25 см., не даютъ болѣе точныхъ
рѣшеній, чѣмъ новая универсальная разсчетная линейка.

65
Неудобства линейки въ 50 см. и плохой сдвигъ длинныхъ
линеекъ предотвращены въ новыхъ универсальныхъ линейкахъ
со шкалами въ 25 см.
Описаніе универсальной разсчетной линейки.
Согласно фиг. 17 на универсальной линейкѣ нанесены
4 шкалы ,,L'', Ol, U1 и t73. Шкала ,,L,t вмѣстѣ съ O1
служитъ для нахожденія логариѳмовъ. Шкала O1 въ данномъ
случаѣ, въ отличіе отъ простой линейки, одинакова съ δ71.
Шкала t∕3 таская же какъ О2 обыкновенной линейки, т. е. эта
шкала, содержащая двѣ логариѳм. единицы, служитъ вмѣстѣ
съ t71 для нахожденія квадратовъ и квадратныхъ корней.
Такъ какъ шкалы O1 и „ѣ“ съ одной стороны и Ul и
U% лежатъ непосредственно другъ около друга, то слѣ¬
дуетъ особенно подчеркнутъ преимущество этой линейки
передъ другими, а именно что точность отчета меньше
всего находится въ зависимости отъ вполнѣ возможной
неточности визира.
Шкала „С“ на боковомъ скосѣ линейки состоитъ изъ
трехъ логариѳмическихъ единицъ, какъ на линейкѣ „Рицъ“,
причемъ каждая составляетъ Ѵз длины главной шкалы t7l
(фиг. 19). Итакъ каждому числу на шкалѣ t71 соотвѣтствуетъ,
согласно дѣйствіямъ съ логариѳмами, кубъ этого числа на
боковой шкалѣ, и наоборотъ, каждому числу шкалы С соот¬
вѣтствуетъ на t71 корень кубичный этого числа.
На движкѣ имѣются 3 шкалы, изъ которыхъ двѣ верхнія
служатъ для топографическихъ разсчетовъ, производимыхъ
при помощи этихъ шкалъ и шкалы O1. Это такъ называемыя
„топографическія" шкалы (тригонометрическія шкалы sin. п
cos. п и cos.2 ;/). Шкала U2 движка служитъ вмѣстѣ съ U1
для всѣхъ разсчетовъ §§ 2—6.
На оборотной сторонѣ движка (фиг. 18) нанесены три
тригонометрическія шкалы ,,S'', ,,S & Т“ и ,,77' для разсчета
тригонометрическихъ функцій. По сравненію съ обыкновенной
линейкой мы получаемъ на универсальной и значенія синусовъ
съ большей точностью, ибо здѣсь и на шкалѣ ,,S'' мы имѣемъ
5

66
основаніемъ логариѳм. единицу = 25 см, а не 12,5 см. Шкала
синусовъ ,,S" содержитъ поэтому только значенія отъ 0,1
до 1,0 что соотвѣтствуетъ угламъ отъ 5° 44'—90° (старое
дѣленіе). Такъ какъ тригонометрическія значенія синусовъ и
тангенсовъ угловъ отъ 34'—5° 44' мало отличаются другъ
отъ друга и соотвѣтствуютъ значеніямъ отъ 0,01 — 0,1 (т. е.
для нихъ достаточно одной логариѳм. единицы), то соотвѣт¬
ствующія шкалы sin. и tang. соединены въ одну общую шкалу
,,S & Т“ взявъ для каждаго угла ариѳметическое среднее
значеній sin. и tang.
Шкала ,,S & T∙* содержитъ поэтому углы для которыхъ
значенія (— і) значны.
Шкалы и ,,T*r содержатъ углы тригонометрическія
значенія которыхъ о-значны.
Примѣры (обыкновенное положеніе движка; старое дѣленіе):
Установка
Отчетъ при
Число
знаковъ
чертой задн.
вырѣза
на
шкалѣ
?,В* — 0>0508
1д. 20557	’
праваго
„3&Т“
конеч. чер. шк. Ul на U2
-1
S∣n. 26012'= 0,441
п
„3“
»	77 n υ м и
0
Sln. 68°05' = 0,928
*7
S"
»	» υ 77	77 п
0
tg. 3016'1 = 0q670
S∣D. 3θl6'∕
77
„3& Т“
77	77	„	» n υ
-1
tg. 12047' = 0,241
лѣваго
'ГН
начал. n ,, υ υ „
0
tg. 40045' = 0,862
п
Tit
))1
77	»	77 w » ѵ
0
еоід. зоіб' = 17,56
( лѣваго 1
„3& Т“
(конеч. , „ ½ » tzιl
2
( праваго /
(начал. н υ „ υ „ /
eotg. 12047' = 4,15
лѣваго
rp<<
конеч. „ „ „ я „
1
еоід. 40045' = 1,16
Т“
υ	«	»	«	„	77
1
∣g. 51°06'= 1,24
лѣв. (38054z)
»	77	» я »	*•
1
еоід. 5i°06' = 0,807
„ (38°54')
Т((
»1
начал. „ „ U1 „ U2
0

— 67
Значеніе
функціи
Уголъ
d =
Установка
Отчетъ
У
на
шкалѣ
у черты
задняго
вырѣза
на шкалѣ
0,0645 = sln. d
3θ42'
копѳч. черты ¼
Щ (645)
праваго
,,S & Т“
0,0216 = ⅛. d
1° 14'20"
п	п п
ІД (216)
w
,,S & Т“
0,543 = 510. d
32052'
м	»	П
6Λ> (543)
п
,,S"
0,411 = tg. d
22020z
начальи. „
Ц (411)
лѣваго
,,τ∙,
1,205 = Ctfl. d
39θ40z
конечн. „ δ∕2
(7* (1205)
я
т«
∕)j∙
0,762 =c⅛∙ d
52θ42z
начальи. „ U1
Щ (762)
ѵ
,,Γ"(37θl8')
2,043 = tg. d
53053z
конечн. „ U2
U1 (2043)
п
„Т“ (260√7)'
Такъ какъ шкала логариѳмовъ ,,L" нанесена на передней
сторонѣ линейки, то при нахожденіи логариѳмовъ нѣтъ не¬
обходимости переворачивать движокъ.
Изъ этого описанія слѣдуетъ, что универсальная линейка
обладая всѣми шкалами и достоинствами линейки „Рицъ"
имѣетъ еще шкалы для топографическихъ разсчетовъ, и
представляя кромѣ того большія удобства пользованія
ею на открытомъ воздухѣ, вполнѣ заслуживаетъ названіе
„универсальной".
На основаніи этого описанія и согласно наставленію къ
употребленію обыкновенной разсчетной линейки очень легко
на практикѣ производить разсчеты на универсальной линейкѣ.
Остается еще дать указанія для примѣненія линейки для топо¬
графическихъ разсчетовъ.
I. Топографическіе разсчеты.
При мензульныхъ и топографическихъ съемкахъ опре¬
дѣляется горизонтальное разстояніе между данной точкой
и любой точкой на поверхности земли и разность высотъ
этихъ двухъ точекъ посредствомъ топографическихъ инстру¬
ментовъ для измѣренія разстояній' и азимута. Пусть будетъ
„а" показаніе дальномѣра, соотвѣтствующій азимутъ „п",
тогда горозонтальное разстояніе d и разность высотъ h опре¬
дѣляются по формуламъ:
d = С - а ∙ cosr, п Ч k; h = С • а ∙ sin. п ∙ cos. 11.
5*

68 —
Здѣсь'подъ С подразумѣвается нѣкоторая постоянная, прини¬
маемая обыкновенно равной 100, k — постоянная инструмента.
Въ нижеслѣдующемъ изложеніи мы принимаемъ С = 100 и
считаемъ нужнымъ замѣтить, что для тѣхъ случаевъ, когда
С не равно 100, каждый практикъ для облегченія разсчетовъ
на линейкѣ можетъ самъ нанести на ней черту, соотвѣтству¬
ющую постоянной С.
Всѣ послѣдующія разсужденія относятся къ линейкамъ
съ новымъ дѣленіемъ. Для облегченія численныхъ разсче¬
товъ вышеприведенныхъ формулъ, для всѣхъ встрѣчающихся
на практикѣ разстояній, на передней сторонѣ движка нанѳ-
сены всѣ значенія cos.2 п угловъ отъ 0—50°, а также и всѣ
значенія sin. п ∙ cos. п отъ 64'—50°. Углы наклоненія большія
50° чрезвычайно рѣдки. Такіе случаи могутъ быть легко и
съ успѣхомъ для точности разсчета избѣгнуты. Для мень¬
шихъ угловъ разность высотъ можетъ быть опредѣлена нивел-
лировкой. Если даже въ случаѣ угла наклоненія меньшаго
64', почему либо нельзя примѣнить нивѳллиръ, то тогда
результатъ можетъ быть полученъ при помощи зависимости
1
sm. п cos. п = — sιn. 2 п такъ какъ было показано на стр.
40 примѣръ а) для sin. 23z. Сказанная пропорціональность
имѣетъ мѣсто до тѣхъ поръ пока углы не превосходятъ
6° 41' или пока значенія тригонометрическихъ функцій меньше
0,1, что ясно слѣдуетъ изъ простого разсмотрѣнія шкалы
64'—6041z. Уголъ соотвѣтствующій значенію 0,1 равенъ 6041z,
соотвѣтствующій значенію 0,01 — почти 64' т. е. Ѵю-ой части
значенія функціи соотвѣтствуетъ Ѵю-ая часть угла, приэтомъ
разница тѣмъ менѣе ощутима, чѣмъ меньше данный уголъ.
Для того чтобы показать, что во всѣхъ подобныхъ случаяхъ
возможно прибѣгнуть къ пропорціональнымъ разсчетамъ, предпо¬
ложимъ что разстояніе между пунктами = 200 м., что является
достаточно близкимъ къ предѣлу употребительныхъ при топогра¬
фическихъ съемкахъ разстояній, и что уголъ наклоненія = 64',
являющійся очень невыгоднымъ для пропорціональныхъ вычисленій,
и выберемъ коэффиціентъ цропорціональности равнымъ 10. Всѣ
остальные случаи дадутъ меньшую погрѣшность вычисленій нежели
разбираемый нами случай.

69 —
Получаемъ вычисляя разсчетной линейкой:
Л = -L (200 . sin. 6° 40' сое. 6040,) =
= — . 19,96 = 1,996 СЛ 2,0 м.
10	’
точный же подсчетъ даетъ h =2,01 м.
погрѣшность = 0,01 м. — несуществ.
Если бы мы взяли коэффиціентъ пропорціональности = 2,
въ чемъ впрочемъ пѣтъ необходимости, то мы получили бы тогда
точно 2,01 м. Этимъ самымъ по нашему мнѣнію достаточно вы¬
яснена пригодность логариѳмической линейки во всѣхъ встѣчаю-
щихся на практикѣ случаяхъ.
Шкала ncos.2wu которая служитъ согласно формулѣ для
опредѣленія горизонтальнаго разстоянія d, нанесена на движкѣ
справа на лѣво отъ 0—50° и заключаетъ въ себѣ значенія
функціи отъ 1,0 до 0,5. Шкала nsiπ. п ∙ cos. п* отложена
слѣва на право отъ 64'—50° въ двухъ частяхъ и служитъ
для опредѣленія разности высотъ h. Первая часть шкалы
„8іп. п cos. пл, средняя гикала движка, для угловъ 64‘—
6° 40' даетъ значенія функцій въ предѣлахъ отъ 0,01—0,1;
вторая часть ,,sin. п cos. п“ верхняя шкала движка, для
угловъ отъ 6° 40'—50° соотвѣтствуетъ значеніямъ функцій
отъ 0,1—0,5. Эти замѣчанія важны для опредѣленія числа
знаковъ результата. Хотя бы даже средняя шкала движка и
должна быть согласована посредствомъ визира съ шкалой O1,
то это практически не вызываетъ уменьшенія точности вслѣд¬
ствіе малости значенія функцій этой шкалы.
Опредѣленіе числа знаковъ. Число знаковъ результата
или равно или меньше числа знаковъ числа (С • а). Для
опредѣленія числа знаковъ чиселъ d и h имѣютъ мѣсто слѣ¬
дующія правила: положимъ т число знаковъ С*а, тогда
1.	число знаковъ результата для d или h равно числу
знаковъ С • а, т. ѳ. = т, если приходится устанав¬
ливать конечную черту.
2.	число знаковъ рѳзультатм для d и h равно т — і
(см. примѣчанія относительно Р—ιt Q+ι, стр. 19—21),
если установка производится у начальной черты.

70
Это указаніе остается правильнымъ для h лишь до тѣхъ
поръ пока уголъ находится на верхней шкалѣ движка, т. е.
въ предѣлахъ 6° 40' и 50θ.
Если уголъ ,,n,* находится на средней шкалѣ, тогда:
1 а)	число	знаковъ	h,	т—і	(установка у конѳчн. черты)
2 а) „	„	h,	т—2	(	„ у начальной „ )
Возможно, что для опредѣленія h иногда нужна будетъ новая
установка. Это маленькое неудобство можетъ не приниматься во
вниманіе, такъ какъ оно искупается большимъ удобствомъ, а именно
тѣмъ, что точность разсчета на линейкѣ въ 25 см. длины равна
точности достигаемой линейками въ 50 см. длиной.
Примѣры:
1.	С а = 137,8 м; п = 1° 40*. Отвѣтъ: d — , . . ., h = 3,11 м.
h устанавливается у начальной черты на шкалѣ O1, отчетъ
производимъ посредствомъ средней шкалы движка на O1j по¬
этому число знаковъ для h равно т — 2 = 1.
2.	С а = 61,1 м.; п = 5° 10'. Отвѣтъ: d = 60,8 м.; h = 4,87 м-
Установка для d и h у конечной черты; отчетъ для h по¬
средствомъ средней шкалы движка; число знаковъ h поэтому
= т — 1 = 1; число знаковъ di — т = 2.
3.	С а = 57,3 м., п = 8° 25*. Отвѣтъ: d = 56,40 м., h = 4,74 м.
Установка для d у начальной черты, слѣдовательно d —
число двухзначное какъ и число С • а. Установка для h у
начальной черты, отчетъ посредствомъ верхней шкалы; по¬
этому число знаковъ = т — 1 = 1.
4.	С а = 141,2 м.; п = 10° 60'. Отвѣтъ: d=≈ 137,4 м., h = 23,15 м.
Установка d у конечной черты; т. е. dтрѳхзначное число (т).
Установка h посредствомъ начальной черты, отчетъ па верхней
шкалѣ, т. ѳ. h — двухзначное числа (ш — 1).
5.	С а = 105,7 м., п = 17° 30'. Отвѣтъ: d = 98,2 м., h = 25,7 м.
Для d и h установка начальной чертой, отчетъ на верхней
шкалѣ поэтому число знаковъ какъ d, такъ и А, т — 1 = 2.
6.	С а = 85,2 м., п = 21° 20'. Отвѣтъ: d = 76,2 м , h = 26,35 м.
Устанавливаемъ конечную черту движка подъ числомъ 852
шкалы O1 и дѣлаемъ отчетъ на O1 у угла 21° 20' шкалы
cos.2 п 762, и не передвигая далѣе движокъ производимъ на
O1 у того же угла верхней шкалы ,sin. п cos. п отчетъ 2635.

Такъ какъ оба отчета сдѣланы при установкѣ конечной
черты и съ помощью верхней шкалы, то число знаковъ отвѣта
равнозначно числу С а, т. е. т = 2.
Большія разстоянія между точками и малые углы
наклоненія и длины становъ.
а)	Для опредѣленія горизонтальнаго разстоянія d
въ случаѣ большихъ чиселъ С а (большихъ юо м,) и ма¬
лыхъ угловъ наклоненія п (меньше ∫0), точность шкалы
cos.2 п неудовлетворительна, равно какъ и для разсчета
разстояній, опредѣляющихъ новыя начальныя точки.
Такъ напримѣръ въ примѣрѣ 1) а опредѣлено уже не съ
надлежащей точностью. Въ такихъ случаяхъ и при опредѣ¬
леніи начальныхъ точекъ примѣняются слѣдующія формулы:
d = С а cos2 п = С а (і—sin2 п) = С а — С а sin2 п.
Вычитаніе С а sin.2 п изъ С а производится въ умѣ ибо въ
случаѣ малыхъ угловъ „п“ въ свою очередь значеніе С а
sin.2 п также мало. — Для вычисленія этихъ выраженій при¬
мѣняется шкала синусовъ ,,S'* на оборотѣ движка. Такъ какъ
длина логариѳмической единицы этой шкалы равна 25 см.,
то возможенъ слѣдующій простой способъ вычисленій:
Переворачиваемъ движокъ такъ, чтобы шкала S
прилегала къ Oλ, устанавливаемъ визиръ противъ числа
С а шкалы квадратовъ U⅛, притомъ въ предѣлахъ і-ой
логариѳм. единицы если число знаковъ С а нечетное, или
во 2-ой логариѳм. единицѣ если число знаковъ С а — чет¬
ное; черта визира даетъ намъ на шкалѣ U1 значеніе
УСа; послѣднее умножаемъ на sin. помѣщая началь¬
ную или конечную черту шкалы S подъ чертой визира,
и прочитываемъ на шкалѣ квадратовъ U3 при „п“
искомый результатъ.
Черта визира отмѣчающая на шкалѣ U3 число С а
даетъ намъ на U1 величину ]ЛС а. Эта величина непрочи-
тывается и даетъ, будучи умножена на sin. щ на шкалѣ Uγ —
∖r С а sin. іг, эта величина переносится визиромъ на шкалу
квадратовъ δ73 и даетъ намъ (]/С а sin. н)2 = С а sin.2 п.

72
Число знаковъ выраженія С а siπ.2 п опредѣляется изъ
числа знаковъ С а, числа знаковъ значенія sin. п, числа
знаковъ квадратовъ и корней и изъ того прочитывается ли
конечный результатъ вправо или влѣво отъ установки.
Примѣры:
1) С а = L'37',8 м.; п = 1° 40'. Отвѣтъ С а sin.2 п = 0,067 м.
такъ какъ число знаковъ С а = + 3, то визиръ устанавливаемъ
на 1-ой логариѳм. единицѣ шкалы t∕3 у числа 1378, переворачиваемъ
движокъ и ставимъ начальную черту шкалы S подъ чертой визира
и прочитываемъ на /73 число 67, соотвѣтствующее углу 1° 40' средней
шкалы ,,S & Т“. Число знаковъ С а = + 3, поэтому число зна¬
ковъ У С а будетъ 2. Отчетъ производится влѣво отъ установки
Р—і. Данный уголъ наклоненія находится на среди, шкалѣ ,,S & T,t и
поэтому число его знаковъ — 1. Слѣдовательно число знаковъ
УСа sin. п	2 -|- (— 1) — 1 = 0. Отчетъ приходится на
1-ую логариѳм. единицу шкалы t∕3 — число знаковъ (У С а sin. и)2
— 2 • 0 — 1 = — 1. Поэтому С а sιn 2 п = 0,067,
Ь)	При опредѣленіи С а sin.2 п для угловъ до ю° мы
получаемъ достаточно близкіе результаты не переворачивая
движокъ пользуясь слѣдующимъ правиломъ: Устанавливаемъ,
при обыкновенномъ положеніи движка, начальную или ко¬
нечную черту движка подъ числомъ С а шкалы квадра¬
товъ U3 и дѣлаемъ отчетъ у угла „п“ шкалы ,,sin. п •
cos. п“ на U3 величины
С а sin2 п cos2 п
которая и вычитывается изъ С а.
Дѣло въ томъ, что значеніе sin.2 п cos.2 п мало отлично для
угловъ до .10° отъ значенія sin.2 п. При углѣ въ 10° и предѣльномъ
на практикѣ разстояніи въ 200 м., мы получимъ напримѣръ:
С а sin.2 100 cos.2 10° = 4,77 (обыкн. полож. движка) по шк. sin.w cos. п
С а sin. 10° = 4,89 (движокъ перевернутъ) по шкалѣ sin. м.
Разность = 0,12 м. или относительная погрѣши. —d.
1666
Мы разсчитаемъ теперь приведенные на стр. 70 примѣры по
обоимъ способамъ; при этомъ подъ числами въ скобкахъ разумѣ¬
ются рѣшенія полученныя по способу Ъ) при обыкновенномъ поло¬
женіи движка.

73
1)	С а = 137,8 м; п = 1° 40'; Отв. С а 6in2 п = 0,<M7 (0,067) м. d = 137,8—0,07=137,73 м
2)	„	=	61,1	„	„ =5θlO'5	,	,	„
3)	„	=	57,3	„	,,= 80 25';	„	„	.
4)	„	=	141,2	,	,,= 100 60';	„	„	„
5)	„	=105,7	„	,,= 170 30';	„	,.	„
С)	„	=	85,2	„	,,= 210 20';	„	„	„
„ =	0,39	(0,39)	,	„	= 61,1	-0,39= 60,71	,
„ =	0,96	(0,94)	„	„	= 57,3	—0,96= 56,34	„
„ = 3,87 (3,78) „ „ =141,2 -3,87=[37,33 „
„ =	7,56	(7,08)	„	„	=105,7	- 7,56= 98,14	„
„ =	9,08	(8,15)	„	„	= 85,2	-9,08= 76,12	„
2.	Шкала кубовъ на боковой сторонѣ
универсальной линейки.
Шкала кубовъ „С“ на боковой сторонѣ линейки примѣ¬
няется вмѣстѣ со шкалой U1.
Относительно нахожденія кубовъ и корней кубичныхъ
см. правила и примѣры для линейки „Рицъи стр. 53 и 55.
3	2
3.	Непосредственное опредѣленіе ат и α⅛.
См. стр. 55 и 56 причемъ шкалѣ O1 текста соотвѣт¬
ствуетъ на нашемъ случаѣ δ∕3 .
4.	Дальнѣйшія особенности универсальной линейки.
Благодаря своеобразному расположенію шкалъ универ¬
сальная линейка позволяетъ упростить нѣкоторыя практически
важныя вычисленія.
Однимъ изъ таковыхъ является напримѣръ, объясненное
на стр. 71 и 72 вычисленіе длины стана при топографиче¬
скихъ съемкахъ.
Умноженіе съ перевернутымъ движкомъ важно потому
что необходимыя шкалы O1 и U2 прилегаютъ другъ къ другу,
чѣмъ устраняется вліяніе возможной неточности визира.
Опредѣленіе поправокъ а и Ь.
Чрезвычайно простой способъ вычисленія необходимымъ
поправокъ а и b для исправленія погрѣшностей, является до¬
стоинствомъ универсальной линейки высоко цѣнимымъ топо¬
графами.

— 74 —
Пусть будетъ ср наклоненіе къ оси стороны S и Λχ //у
разности координатъ точекъ. Тогда:
о
а = - 5 ’sm, fΓ'
b = cos. γ
ρ sin. ср cos. φ
а —	»
О СО8. Ср
,	ρ sin. <p cos. <р
S sin. ср
Далѣе:	S cos. ср = Лх;
S sin. ср = /1у.
а =
— (ρ sin. ср cos. J ⅛ = (ρ sin. у cθs* <rf) •	—
Какъ видимъ нѣтъ необходимости вычислять стороны
S, и такъ разности /1х и /1у извѣстны съ самаго начала, то
эти формулы являются наиболѣ простыми для нахожденія
а и Ь. Эти величины вычисляются при помощи топографи¬
ческой шкалы ,,sin. п cos. nii и черты ρzz для стараго дѣленія
на 360°, или черты ρ,, дѣленія на 400°; причемъ выраженіе
К = ρ sin. ср cos. ср общее въ обоихъ случаяхъ. Установивъ
визиръ у числа изображающаго К и дѣля затѣмъ на Лх и
Лу получимъ значенія а и Ь.
Эти вычисленія при помощи и шкалы ,,sin. п cos. п*
выполнимы для всѳмозможпыхъ значеній угловъ у, хотя бы
они были больше ⅛ R> ибо если напримѣръ φ = 73° то
тогда sin. 730 cos. 730 = ,sin. (90 — 17) cos. (90—17) = cos. 17
sin. 17. Знакъ выраженія К = ср sin. ср cos. ср будетъ
положительный для наклоненій въ 1-ой и 3-ѳй четверти
отрицательный υ w	„ 2-ой „ 4-ой „
Примѣръ: 1) Лх = + 1091 м.; Лу = + 2387 м.
ср = 650 26z (старое дѣленіе).
а = — (206205 ∙ sin. 65° 26' cos. 65° 26') • -—- =
/	+ 1091
= — (206265 ∙ cos. 240 34' sin. 240 34') ∙ --- ■--g--==- 71,2

75
Установивъ на шкалѣ t71 число ρu = 206265 умно¬
жаемъ на cos. 240 34z sin. 24° 34х помѣщая черту визира у
угла 24° 34х шкалы wsin. п cos.
полученное такимъ образомъ число
устанавливая это число шкалы U2
производимъ у нач. черты t∕2 отчетъ
Теперь, не прочитывая
К, дѣлимъ на + 1091
подъ чертой визира и
— К
+ 1091
71,2.
а
Далѣе не перемѣщая визиръ, дѣлимъ на 407 и получаемъ у
К
начальной черты отчетъ b = -—= 32,6.
r	÷ 2387
Число знаковъ а и b опредѣлится изъ числа знаковъ
ρ", sin. ср cos. ср и Лх, Jy по правиламъ знаковъ при умноженіи
и дѣленіи. Въ нашемъ случаѣ:
Число знаковъ ρ'l = + 6, число знаковъ sin. ср cos. ср
— 0; отчетъ произведенія ср sin. ср cos. ср — К производится
вправо отъ установки, поэтому должны примѣнить примѣчаніе
Р—1\ отчетъ а и Ь производится влѣво отъ установки, по¬
этому примѣняется примѣчаніе Q + і.
Поэтому число знаковъ а и Ь въ данномъ случаѣ:
число знаковъ а: 6 + 0 — 1 — 4 ÷ 1 = + 2
„	„	Ь: 6 ÷ 0 — 1 — 4 ÷ 1 = + 2
2)	Лх = — 6968; Лу = ÷ 4400; <р = 147° 44'.
а = — 206 265 соз. 57° 44' • (— sin. 57° 44х)	Д—- =
— 6968
= — 206265 sin. 32° 16' (— cos. 32° 16х)	Д—=—.13,33
— 6968
Ь = + 206 265 sin. 32° 16х (— cos. 320 16') ∙	21,10
Число знаковъ:
а:	6 + 0 — 1 — 4 + 1 = 2.
Ь:	6 + 0 — 1 — 4 + 1 = 2.
3)	Лх = — 5743; Лу = — 1778; ср = 197° 12х
а = — 206265 (— 8ІП. 170 12x)(- cos. 17° 12')	Д—= +1012
'	v	—5743

76 —
b = + 206 265 (— sin. 170 12')(- cos. 170 12У) _ Д,78 = — 32,8
Число знаковъ:
а:	6 + 0 — 1 — 4 + 1 = 2.
Ь:	б + О— 1 — 4 + 1 = 2.
4)	dχ = + 650; Лу = — 7331; у = 2750 04z.
а = — 206 265 (— соз. 50 04,) sin. 5° 04'			= + 27,9
v	'	+ 650
b = + 206 265 (— cos. 50 04z) sin. 50 04'			 = + 2,47
’	—7331	’
Число знаковъ: (Уголъ 5° 04' находится на средней
шкалѣ „8Іп. п cos. движка; поэтому значеніе — 1-значное.
а:	6 — 1 — 3 = 2.
Ь:	6 — 1 — 4 = 1.
Опредѣленіе выраженій у =	&
При разбивкѣ точекъ кривой отъ касательной ордината
у получается по формулѣ:
х2
У ~ 2R,
гдѣ R — радіусъ кривой а х — соотвѣтствующая величина
абсциссы.
Эта величина можетъ быть въ большинствѣ случаевъ
найдена одной установкой, по формулѣ:
х
-ΓR'x^y-
Для того чтобы получить у съ достаточной точностью и въ
случаѣ небольшихъ радіусовъ Rf обозначимъ первое приближеніе
у черезъ y1 и положимъ
х2
∙yι^ ^7r
тогда болѣе точное значеніе .у будетъ:
.V12
j,-λ+ Ts

77 —
Примѣръ: R = 45,0 м., х = 12 м.
12
Уі~ 2 . 45,0
j>χ2 _	1,600
2R ~ 2 • 45,0
. 12 = 1,600 м.
. 1,600 = 0,028 м.
У = yx + -⅛ = 1,628 м.
2 К
5. Высшія степени и корни высшихъ степеней.
Относительно вычисленія высшихъ степеней и корней
высшихъ степеней см. § 12 и стр. 33 и 34.

78
VI. Прецизіонная разсчетная линейка.
Средняя ошибка произведенія изъ 2 множителей, разсчи¬
таннаго на шкалахъ O1 и О2 (логариѳм. единица 12,5 см)
составляетъ отъ 0,12—0,08% или —^ искомаго
800	1250
числа. Послѣдняя неточность достижима лишь при хорошемъ
навыкѣ и частомъ примѣненіи прибора. Для многихъ цѣлей
чувствуется необходимость болѣе точныхъ рѣшеній, особенно
при разсчетахъ сложныхъ выраженій, гдѣ приходится нѣсколько
разъ складывать и вычитать отрѣзки безъ отчета мѳжлежа-
щихъ рѣшеній, для разныхъ цѣлей практической геометріи,
какъ то провѣрки рядовъ многозначныхъ произведеній или
частныхъ, для уравненій и опредѣленій величинъ площадей
и такъ далѣе.
Желая прійти навстрѣчу этимъ потребностямъ, мы выра¬
ботали линейку, которая даетъ еще большую точность.
При средней разсчетной скорости и хорошемъ знакомствѣ съ
приборомъ ошибка при умноженіи двухъ чиселъ не можетъ
быть больше о,о /Ѵо или А искомаго числа. Эта большая
точность достигается тѣмъ, что длина шкалы логариѳмиче¬
ской единицы вмѣсто 12,5 или 25 см. равна 50 см. Эта
длина нанесена на два отрѣзка по 2$ см. длины, а не нане¬
сена полностью на длинѣ 50 см., ибо тогда разсчетная линейка
стала бы неудобной но только какъ карманный приборъ и
для отчета чиселъ и установки ихъ, но и почти непримѣнимой
79
вслѣдствіе вліянія усадки матеріаловъ, которое особенно чувстви¬
тельно при большой длинѣ линейки. Всѣ шкалы, равно какъ
и тригонометрическія на оборотной сторонѣ движка основы¬
ваются также на длинѣ 50 см.; такимъ образомъ есть раз¬
счеты на этой линейкѣ даютъ соотвѣтственно большую
степень точности чѣмъ разсчеты на обыкновенной линейкѣ.
Поэтому эта линейка и получила названіе прецизіонной.
На первый взглядъ могло бы казаться, что расположеніе
шкалъ недостаточно ясно, но лишь только немного ознако¬
мившись съ приборомъ приходятъ къ выводу, что вслѣдствіе
удачнаго во всѣхъ отношеніяхъ расположенія щкалъ скорѣе
имѣетъ мѣсто обратное, а потому ясность и достижимая
степень точности весьма велика.
Описаніе прецизіонной линейки.
Рекомендуемъ прослѣдить описаніе вмѣстѣ съ схемати¬
ческими чертежами 20, 21 и 22.
Шкала O1 (фиг. 20) начинается log. 1 = 0 т. ѳ. „1“
(начальная черта) и простирается до log. ]Λ10 = log. 3,162,
т. ѳ. до числа 3,162. Точно также нанесена шкала Z1. Про¬
долженіе шкалъ O1 и Z1, т. ѳ. числа отъ 3,162—10 нанесено
на U1 и Za. Лишнія дѣленія U за числомъ 3,162 на концѣ
O1 и Z1 и передъ числомъ 3,162 въ началѣ U1 и Z2 нане¬
сены только для того чтобы можно было легче Оріентироваться.
Шкала О.2 нанесена въ половинномъ масштабѣ длины логар.
единицы т. ѳ. въ масштабѣ равномъ 25 см. Числа 1—10
шкалы О2 суть поэтому квадраты чиселъ 1—3,162 шкалы
O1 и числа 10—100 шкалы tZ2 суть квадраты чиселъ
3,162 —10 t∕1 и наоборотъ этимъ числамъ на шкалахъ О2 и
U1 соотвѣтствуютъ на шкалахъ O1 и U1 квадратные корни
этихъ чиселъ.
Такъ какъ шкалы для возвышенія въ квадратъ и из¬
влеченія корней находятся непосредственно другъ около
друга, то получается не только весьма удовлетворительная
ясность расположенія цифръ, но и, вслѣдствіе наименьшаго

82 —
Умноженіе и дѣленіе.
Вслѣдствіе вышесказанной особенности нанесенія шкалъ,
при сложеніи и вычитаніи отрѣзковъ, т. ѳ. при умноженіи и
дѣленіи, начальная черта „Iй Z1 непосредственно касается
только шкалы O1 но не U1 и конечная черта Z2 только t∕1
но не O1.
То-жѳ самое имѣетъ мѣсто при дѣленіи чиселъ находя¬
щихся на шкалахъ Z1 и U1 или Z2 и О>. Для установки
такихъ чиселъ приходится прибѣгнуть къ помощи визира.
Поэтому во многихъ случаяхъ при умноженіи и дѣленіи
требуется переходъ съ одной половины движка на другую.
Отчетъ можетъ съ перваго взгляда показаться затрудни¬
тельнымъ такъ какъ не имѣя представленія о величинѣ
искомаго произведенія или частнаго, нельзя опредѣлить
слѣдуетъ ли произвести отчетъ на верхней или нижней шкалѣ
движка, т. ѳ. надо-ли сдѣлать отчетъ на прилежащей или
противолежащей шкалѣ. Во избѣжаніе этого надлежитъ не
упускать изъ виду при пользованіи прецизіонной линейкой
слѣдующее простое правило.
Правило: Если при установкахъ начальной или
конечной черты при умноженіи или числителя и знаме¬
нателя при дѣленіи надо перейти движокъ, то для
отчета произведенія или частнаго надо также перейти
движокъ.
Начинающему выполненіе этого правила можетъ показаться
стѣснительнымъ. Мы же пришли послѣ долгаго опыта къ убѣж¬
денію, что это имѣетъ мѣсто только при первоначальныхъ упраж¬
неніяхъ. Поэтому въ виду увеличенія точности можно свободно до¬
пустить существованіе такого незначительнаго затрудненія при
пользованіи линейкой.
Для того чтобы переходъ черезъ движокъ при отчетѣ и уста¬
новкѣ бросался болѣе въ глаза, продолженія начальной черты на Z2
и конечн. на Z1 снабжены знакомъ ×. По вышеприведенному правилу,
если при установкѣ примѣняется черта съ отмѣткой ×, т. е. если
перейденъ движокъ, то и при отчетѣ требуется переходъ движка.
Въ этомъ случаѣ отчетъ произведенія надо произвести не на шкалѣ,
прилегающей къ множителю В, а на противоположной. Если при
83 —
дѣленіи знаменатель находится на шкалѣ движка, не прилежащей
къ А, т. е. если при установкѣ движокъ переходится, то отчетъ
будетъ находиться у одной изъ чертъ, отмѣченныхъ ×.
Всѣ остальныя установки и отчеты производятся на прилега¬
ющихъ шкалахъ, какъ при простой разсчетной линейкѣ. Опытъ
показываетъ что вышеприведенное правило легко запоминается послѣ
нѣсколькихъ разсчетовъ численныхъ примѣровъ.
Опредѣленіе числа знаковъ. Опредѣленіе числа зна¬
ковъ произведенія и частнаго совершается такимъ же образомъ
какъ и въ § 4 правилъ для обыкновенной разсчетной линейки.
„Влѣво" и „вправо" отъ установки здѣсь слѣдуетъ пони¬
мать не буквально, а такъ, что при любой установкѣ на
шкалѣ отчетъ можетъ быть сдѣланъ по направленію
уменьшающихся чиселъ влѣво и увеличиваюгцихся
вправо отъ установки..
Если напримѣръ число 2 шкалы* O1 находится вправо отъ
числа 5 шкалы Ull то по вышесказанному объясненію, такъ какъ
число 2 по сравненію съ числомъ 5 уменьшается, оно должно
находиться влѣво отъ 5. Если это запомнить то не можетъ быть
въ этомъ отношеніи ошибокъ.
Примѣры:
Уста¬
новка
Отчетъ
Примѣ¬
чаніе.
Число знаковъ
отвѣта.
10,07 × 58,46 = 588,8
Н 1“
безъ g впр.
Р-1
2 4- 2 — 1	=4-3
1562 × 0,01898 = 29,64
Н „1“
» й " §
Р-1
4 + (-1) -1 = 4-2
453,1 × 23,41 = 10620
К,1“
« Й ВЛ. g
нѣтъ
3+2	=+5
29,62 X 0,0000901 =0,00267
κ×
СЪ |	|
V
2 + (-4)	= - 2
0,2764 × 7145 =1977
κ×
” g и g
п
0ψ4	= + 4
0,05841 × 0,4062 =0,02373
H×
»» g п o
- 1-+-0	=- 1
4251 X 0,0002175 =0,9245
H×
„ |внр.
Р-1
4 + (—3) - 1 = + 0
154,2 :1,786	= 86,35
. <5
6езъ§
yK,,υιB∏p.
нѣтъ
3-1	=+2
7953 : 48,61	= 163,6
ва
” й
» Н „1“ вл. s
Q+l
4-2÷l	= + 3
610,2 : 0,091'6 = 6664
» «
,,κ,,υ,B∏p.o
нѣтъ
8 - (-1)	= + 4
0,0821:453,0	=0,0001814
ф
» °u
„ н .1“ вл. g
Q÷l
-1-3⅛1 = - 3
0,1872: 0,000735 = 254,8
оъ '
„ К х впр. 7
нѣтъ
0 - (-3)	= + 3
98,25 :0,02762 =3560
о
, Н × вл. 6
Q+l
2 - (-1) + 1 = + 4
0,0845 : 0,002086 = 40,53
Перез
.H× „
Q÷l
-l-(-2) + l= + 2
Сокращенія: К = конечная черта; Н = начальная черта
По этому же правилу разсчитываются также примѣры §§ 5, 6 и 14.
6*

— 80
Фи г. 20.
3
t5 z1
і
Числа і—ю
Числа і — У ю
Числа і —
= 3,162 У ιg∖ и
іи
Числа У іо = 3,162 — іо
Числа У іо = 3j62
Числа іо — юо
Движокъ въ обыкновенномъ положеніи
е
$
А
⅛
о
X
3
У
S
о.
Os
Q÷∕∣
18Р 2j,
27, IJ,
U.
и
Ui
Фиг. 21.
ІО
і — 3,162
Верхняя шкала S.
Нижняя шкала S.
Z<80 2J,
9o'
Верхняя шкала Т.
Нижняя шкала Т.
3,162 — ІО
ІО — 100
ІО
= и
Пазъ
j° 49,
41*
Т?^
100
Движокъ перевернутъ (оборотная сторона движка).
Шкала синусовъ
Фиг. 22.
Визиръ
Значеніе дѣленій шкалы S,
Видъ боковой ткалы и визира.
Избытокъ дѣленій

81
вліянія неточности визира, большая точность чѣмъ для
линеекъ на которыхъ соотвѣтствующія шкалы находятся на
линейкѣ вверху и внизу. То-жѳ самое слѣдуетъ замѣтить
относительно логариѳмической шкалы Z3. Эта шкала имѣетъ
двойной рядъ цифръ. Верхній рядъ цифръ 0 — 0,5 (0—5)
соотвѣтствуетъ мантиссамъ логариѳмовъ чиселъ 1—3,162
шкалы Z1; цифры нижняго ряда 0,5—1,0 (5—0) аналогично
соотвѣтствуютъ цифрамъ 3,162—10 шкалы Z2 . Слѣдователь¬
но верхній рядъ цифръ шкалы ,tLtt соотвѣтствуетъ верхней
шкалѣ Z1 движка, а нижній — нижней шкалѣ Z2 движка.
Такимъ образомъ при этомъ устройствѣ линейки отчетъ лога¬
риѳмовъ возможенъ безъ поворота линейки, и такъ какъ
кромѣ того шкалы основываются на длинѣ 50 см, то онъ
значительно точнѣе чѣмъ на существующихъ линейкахъ.
Тригонометрическія шкалы на задней сторонѣ движка
также основываются на длинѣ 50 см. и допускаютъ отчетъ
значеній функцій до 4-аго десятичнаго знака. Изъ этого ясно
что эта линейка пригодна для провѣрки сторонъ много¬
угольниковъ и другихъ тригонометрическихъ вычисленій топо¬
графовъ. Эти тригонометрическія шкалы для синусовъ и
тангенсовъ также раздѣлены пополамъ. Значенія функцій
угловъ верхнихъ шкалъ S и Т прочитываются на верхней.
шкалѣ O1, значенія же угловъ, относящихся къ нижнимъ
шкаламъ S и Т получаются на нижней шкалѣ Z71, — зна¬
ченія синусовъ у конечной черты t∕1, значенія тангенсовъ
у начальной черты O1 и котангенсовъ у конечной
черты Z% .
На боковой сторонѣ (фиг. 22) нанесены значенія сину¬
совъ малыхъ угловъ отъ 1° 49'—5° 44' стараго дѣленія или
2oO2z-6° 36' новаго дѣленія и одна черта для синуса Iх.
Значенія функціи синуса этихъ угловъ прочитываются на
шкалѣ t∕1 у черты визира, когда визиръ боковой своей чертой
установленъ на значеніи угла на боковой шкалѣ.
6

— 84 —
Квадраты и корни квадратные. Въ описаніи преци¬
зіонной линейки было упомянуто что квадраты чиселъ шкалы
O1 находятся на (⅞, и квадраты чиселъ U1 на шкалѣ 62.
Для корней чиселъ 1 —10 надо установить подкоренное число
на О2 и произвести отчетъ на O1. Для корней чиселъ 10—100,.
какъ уже показываетъ самое размѣщеніе цифръ, подкоренное
количество устанавливается на U2 и корень находится на
шкалѣ t71.
Для опредѣленія числа знаковъ квадрата и корня надо
еще сдѣлать слѣдующія примѣчанія которыя вполнѣ вы¬
ясняютъ простоту обращенія съ прецизіонной линейкой.
1.	Квадратъ. Если основаніе квадрата А, и число
его знаковъ п, тогда, если квадратъ (А2 ) находится на
шкалѣ О2 > то число его знаковъ нечетное q = 2 п — і ;
если же квадратъ (А2) появляется на U2, то число зна¬
ковъ его четное, т. е. q = 2 п. (См. § 8 а также примѣры
табл. стр. 27).
2.	Коренъ. Если рѣшающая группа подкореннаго-
количества однозначна, то подкоренная величина уста¬
навливается на шкалѣ О2, гдѣ находятся однозначныя
числа 1—10, и отчетъ производится на O1. Если же
рѣшающая группа двухзначна, то подкоренная величина
берется на шкалѣ U2 и отчетъ корня производится на
U1. Примѣры см. табл. стр. 28.
Кубъ и кубичный корень. Кубъ можетъ быть найденъ
или трехкратнымъ сложеніемъ отрѣзка основанія, т. ѳ. посред¬
ствомъ умноженія или же какъ кубическій корень посредствомъ
логариѳмической шкалы ,,Ltt, согласно § 12 стр. 33 и 34.
Логариѳмированіе. Логариѳмъ числа и число по дан¬
ному логариѳму находится безъ переворачиванія движка при
помощи шкалъ Z1 и Z2 движка и шкалы ,,Ltt, Если число
находится на	шкалѣ движка, то мантисса лога¬
риѳма получится на	шкалѣ L и обратно. Характе¬
ристика логариѳма опредѣляется совершенно также какъ въ
случаѣ логариѳмическихъ таблицъ.

— 85 —
Примѣры:
1)	log. 23,5 = 1,3710.
На верхней шкалѣ Z1 движка устанавливаемъ число
235 и находимъ посредствомъ визира на шкалѣ L соотвѣт¬
ствующую мантиссу 0,3710. Такъ какъ число было установ¬
лено на верхней шкалѣ Z1, то отчетъ дѣлается при верхнихъ
обозначеніяхъ шкалы Z,.
2)	log. 0,783 = 1,8937.
На нижней шкалѣ Z2 отмѣчаемъ визиромъ число 783
и прочитываемъ на шкалѣ Д пользуясь нижнимъ рядомъ
чиселъ, мантиссу 0,8937. Прибавивъ къ мантиссѣ характе¬
ристику 1 получимъ искомый логариѳмъ.
3)	log. х = 3,4025; х = 2527.
Устанавливаемъ мантиссу 0,4025 на шкалѣ L и прочи¬
тываемъ число 2527 на верхней шкалѣ движка, ибо при уста¬
новкѣ мы пользовались верхними обозначеніями шкалы L.
4)	log. х = 2^6633; х = 0,05107.
Устанавливаемъ мантиссу 0,6633 на шкалѣ L и прочи¬
тываемъ на нижней шкалѣ Z2 движка, ибо при установкѣ
мы пользовались нижними обозначеніями шкалы Дчисло 5107.
Тригонометрическія функціи. Описаніе, данное выше,
тригонометрическихъ шкалъ S и Т, находящихся на обратной
сторонѣ движка, дополнимъ тѣмъ, что всѣ значенія функцій
sin. и tang. угловъ, которыя имѣются на этихъ, шкалахъ лежатъ
между 0,1 и 1,0, благодаря чему значенія ctg. такихъ угловъ
заключены въ предѣлахъ 10—1,0. Синусы угловъ меньшихъ
5° 44' устанавливаются на боковой шкалѣ и соотвѣтствующія
имъ значенія функціи находятся на U1 между 0,03162 и 0,1.
Предыдущія замѣчанія, описаніе тригонометрическихъ шкалъ
прецизіонной линейки, а также § 13 вполнѣ достаточны для
рѣшенія всевозможныхъ задачъ съ тригонометрическими
функціями.
Для sin. и tang. малыхъ угловъ первое предложеніе § 14
измѣняется слѣдующимъ образомъ: Тригонометрическія функціи
sin. а и tng. а угловъ а меньшихъ 1° 49' (стар. дѣл.) могутъ
быть замѣнены съ достаточной точностью дугою 6. Остальное
содержаніе § 14 имѣетъ дословное значеніе и для прецизі¬
онной линейки.

— 86 —
Круговыя функціи. Кромѣ сказаннаго въ § 15 здѣсь
имѣетъ мѣсто такое же важное правило, какъ и для умноженія
и дѣленія на прецизіонной линейкѣ. Если при установкѣ
діаметра чертою С или площади круга начальной или конечной
чертой надо перейти движокъ, то при отчетѣ площади
круга у начальной или конечной черты или діаметра у черты
С движокъ снова долженъ бытъ перейденъ.

= 87
VII. Разсчетныя линейки системъ
„Петеръ" и „Перри“.
Эти линейки отличаются отъ описанныхъ ранѣе тѣмъ
что на нихъ можно находить степени и корни, цѣльные, дроб¬
ные, положительные неотрицательные одной установкой движка.
Основанія и подрадикальныя величины для линейки „Петеръ",
большія ІО10 и меньшія 10—10 и между 0,8—1,26, для линейки
„Пѳррии большія ІО4 и меньшія 10—4 и между 0,95—1,1 не
могутъ бытъ найдены непосредственно одной установкой, но
при помощи соотвѣтствующихъ шкалъ для степеней, посред¬
ствомъ описанныхъ ниже болѣе сложныхъ разсчетовъ. То-жѳ
самое имѣетъ мѣсто для степѳной и корней, основанія кото¬
рыхъ хотя и находятся на шкалахъ для степеней, отчетъ же
приходится вправо или влѣво внѣ шкалы. Для такихъ раз¬
счетовъ вводится соотвѣтствующая вспомогательная величина.
Шкалы 671, t∕2, O1 и О2 тѣ-же что и у обыкновенной
разсчетной линейки и поэтому употребленіе ихъ тоже какъ
§§ 1-8.
Возможность разсчитывать степени и корни одной уста¬
новкой движка достигается примѣненіемъ для значеній чиселъ
а шкалы ,>log. log. а“, которую мы будемъ обозначать ниже
шкалой степеней. У нанесенныхъ отрѣзковъ >>log. log. а“
приписано данное число а. Эти шкалы степеней суть дѣленія
О3 для чиселъ > 1 и t∕3 для чистыхъ десятичныхъ* дробей.
Обѣ шкалы нанесены въ масштабѣ 1 = 12,5 см. Шкала t73
имѣетъ ту особенность что ея числа представляютъ собою
обратныя значенія чиселъ шкалы О3, находящихся перпенди¬
кулярно надъ ними, и обратно. Такъ какъ числа O3> 1 то
на t∕3 находятся обратныя десятичныя дроби этихъ чиселъ.
Числа шкалъ О3 и U3 лежащія другъ надъ другомъ вза¬
имно обратны.

— 88 —
Фиг. 23. Разсчетная линейка „Петеръ11 и „Перри"
Число а
Шкала степеней О3
O1
1
Числа > і {	1
„Петеръ**	I
„Перри**	|
।	і лог. единица	∣
2. .
лог. единица j
1
I
і лог. единица
1
I
2 лог. единица	j,
I
1
I
1
и,
1
Шкала степеней
ив
Чистыя десятичныя
дроби
г о,5 ;•
l<wi
—іо 10 „Петеръ**
—іо * „Перри**
Обратная величина —
Складывая съ какимъ либо отрѣзкомъ log. log. а шкалы
О3 или U3 или вычитая изъ него при помощи шкалы О2
любой логариѳмическій отрѣзокъ log. п (совершенно также какъ
при умноженіи и дѣленіи на шкалахъ O1 и O.2) получаемъ
п
на шкалахъ степеней или степень ап или корень Vа. Этотъ
способъ разсчета основывается на слѣдующихъ формулахъ:
X = ап
log. X = log. ап = п log. а
log. l°g- X == 1°8,∙ l°g∙ а” = l°g∙ 1°8>∙ = log∙ n~*rl°g∙ t°g∙ a
п
Х= Ѵа
п
log. l°g- X = loS∙ loS∙ V^a = log. ⅛g- а — log. 11.
Возвышеніе въ степень и извлеченіе корня.
1.	Положительные показатели. Ставятъ основаніе а
на шкалѣ О3 или t∕3 подъ чертой визира, складываютъ съ нимъ
для степени, и вычитаютъ изъ него для корня, при помощи
шкалы О2, логариѳМ. отрѣзокъ показателя степени пли
корня „п“ и производятъ на шкалахъ О3 или t∕3 отчетъ
п

суммы или разности отрѣзковъ, т. е. величину ап или ]/"а.

— 89 —
2.	Отрицательные показатели^ По вышесказанному
всѣ числа шкалъ О8 и U3 взаимнообратны, а поэтому степени
и корни съ отрицательными показателями могутъ быть вы¬
числены на основаніи слѣдующихъ формулъ:
Для вычисленія подобныхъ выраженій беремъ величины ап или
и
Vа съ положительнымъ показателемъ и находимъ затѣмъ взаимно
обратную величину; или же мы опредѣляемъ сначала обратную
величину основанія т. е. — и не прочитывая это значеніе возвы-
а
симъ въ я-ую степень или извлечемъ корень, какъ было объяснено
выше. Примемъ ли мы первый или второй способъ разсчета уста¬
новка остается одна и та-же.
Итакъ, возвышая въ степень или извлекая корень
съ отрицательнымъ показателемъ, дѣлаемъ отчетъ на
шкалѣ взаимно обратной той, на которой произведена
установка, т. ѳ. если установка произведена на О8 то отчетъ
дѣлается на U3 и обратно.
3.	Десятичные показатели. Если показатель чистая
десятичная дробь, то при возвышеніи въ степень, устанав¬
ливаемъ конечную черту подъ числомъ а и производимъ
отчетъ степени у числа изображающаго показатель; при извле¬
ченіи корня устанавливаемъ подъ а, руководствуясь нижепри¬
веденными замѣчаніями, показатель и производимъ отчетъ
корня у конечной черты движка. , Можно было бы найти
сначала величину, обратную показателю и произвести съ
этимъ показателемъ дѣйствіе обратное искомому, но это менѣе
удобно.
Во всѣхъ этихъ задачахъ важно обратить вниманіе на
то, что показатели на шкалѣ О2 должны быть согласованы
съ значеніемъ числа знаковъ ихъ въ соотвѣтствующихъ лога¬
риѳмическихъ единицахъ шкалы О2 . Слѣдуетъ запомнить, что
однозначныя числа і—іо и —і-значныя числа o,ι-o,oι
90 —
находятся въ первой логариѳмической единицѣ, двух¬
значныя числа іо—юо и нульзначныя числа і,о—о,г
во второй логариѳмической единицѣ шкалы О2 .
Изъ этого слѣдуетъ что линейка „Петеръ “ и „Пѳрри“
позволяетъ непосредственно прочитывать корни и степени съ
показателями максимальными + 100 и минимальными + 0,01,
что вполнѣ достаточно для практическихъ разсчетовъ.
Примѣры: і. Положительные показатели.
2,27,3	= 315 Установка на (⅞ у нач. черты; Отчетъ на О3 у 7,3 О2
l,578,a
0,26a>4a
= 4,23
= 0,0385
77
п
77
77
Оз „
иЯп
77
77
77
♦7
77
77
77
77
О3 „ 3,2 О2
u3 „ 2,42 О2
0,0881∙57
= 0,022
п
и
иЯп
7»
77
,7
77
U3 „ 1,57 О2
6

У0,0035
4,31

У 580
= 0,323
»»
77
⅛,,
5 на
О2
77
77
t∕3 „ н. чер.
= 4,38
и
м
Оз „
4,31
на О2
77
77
ОЯ „ п »
2. Отрицательные показатели.
1,58 3,9 = 0,281 Установка на О3 у нач. черты; Отчетъ на U3 у 3,2 О2
2,47~1'θ0== 0,373
0,46^^1,33= 2,81
77
77
77
77
O3 n
ι⅞.
77
.77
77
77
77
77
ч ⅜niιθθθ2
„ O3nl,33O2
0,78-⅛M= 1,88
77
77
Оз.
77
77
77
„ O3,,2.54(⅞
—37
У 830 = 0,163
77
77
О3 „
3,7
O2
77
ч Оз „ н чер.
-7,81
у0,00081 = 2,485
77
77
7,81
Оз
77
Ч О3 ,, .,	,,
у Десятичные показатели.
2.50,87	= 2,22 Установка на О3 у кон. черты; Отчетъ на О3 у 0,87 О2
l,3-0,β2 =o,8495
w
77
О3 „
77
77
77
77 ⅜ 77 θ,62 О2
O,O45o∙m = 0,054
77
77
77
77
77
77 ⅞,,0,94O2
0,000I54i'24= 5,62
77
77
77
77
77
„ O3 77 θ,24O2
0,54

У5,35	= 24,2
77
77
Оз п
0,54
на О2
77
77 О3, к. чер.
—0,172
У 1,87 = 0,161
7»
77
Оз „
0,172
77 ^2
77
*7	»> 77	77
0,278
У0,674 = 0,243
77
77
0,278
77 О2
77
и ⅛ „	„	„
—0,418
у0,055 = 1080
77
77
0,416
77 О2
77
,7 ^3 77	7 7	77

— 91
Теперь остается объяснить случаи упомянутые въ вве¬
деніи когда установка или отчетъ находится внѣ шкалы
степеней. Въ такихъ случаяхъ потребляются вспомогательныя
величины, какъ это показано въ нижеслѣдующихъ примѣрахъ.
Этимъ способомъ разсчеты усложняются и тогда выгоды
шкалы степеней по сравненію съ шкалами ,,Lii прочихъ линеекъ
уменьшаются. Выборъ вспомогательной величины не безразличенъ
и зависитъ отъ желаемой точности рѣшенія.
Примѣръ:
1,045 =
(10 - 1,04)5	10,45	122000
или l,046
105
(2 - 1,04 >5
25
105
2,085
25
100000
888
32
= 1,22
1,218
(вспомогательная
величина 10)
(вспомогательная
величина 2)
Послѣднее частное этихъ примѣровъ разсчитывается на
обыкновенныхъ шкалахъ линейки. Вспомогательная величина
должна быть выбрана такъ, что произведеніе ея на число, не допу¬
скающее установки (1,04) дало бы число, допускающее установку,
причемъ необходимо замѣтить, что наименьшее вспомогательное
число даетъ наиболѣе точныя рѣшенія. Число 2,085 можетъ быть
найдено точнѣе 10,45. Вспомогательная величина 10 не даетъ столь
точныхъ результатовъ и удобна въ тѣхъ случаяхъ, когда показа¬
тель цѣлое число, ибо тогда безъ затрудненія можетъ быть найдена
степень 10 и дѣлить на нее легко. Если же показатель смѣшанная
или чистая десятичная дробь, тогда вспомогательная величина 10 не
имѣетъ никакихъ преимуществъ передъ любымъ другимъ цѣлымъ
числомъ.
Примѣры:
l,0357'β =
0,985’3 =
(2. l,035)7,θ
27>θ
(2.0.98)™
25,з
(2,07)7’6
'2‰β
1.986’3
255
195
35,8
1,308 (вспомогат. велич. 2)
25’3	39,8
0,90 (
ИЛИ	.Г
0,9≠3 =	263I= o,495-β-25’3 =0,023-39,8=0,90
7	\ 2 /	*	ная велич.
3,5
3,5

V 1,U7 =
2 - 1,07
2
3,5
Vr'2'14	1,242
8,5_
1,218
	1 ∩9 (Вспомогатѳль-
1,u ная велич. 2)
2) l
Приведенные примѣры суть случаи, когда установка приходится
внѣ шкалы степеней. Возьмемъ теперь примѣръ, когда установка мо¬
жетъ быть произведена но отчетъ приходится внѣ шкалы степеней.

— 92 —
8,1

¼5,3
8,1

/15,9
1,40
1,222 (всііом. вѳлич. 3)
8,1	 1,145
∕ 3
Въ заключеніе приведенъ примѣръ
отчетъ не могутъ быть произведены.
9,4
/	'l9,4

9>‘		 ^∣∕ 3∙l,09	/3,27	1,134
И 1,09 =1/ g = 84	 = 1,124
r	/ 3
когда ни установка, ни
1,009 (в спом. вѳлич. 3)
Дальнѣйшіе примѣры легко могутъ быть рѣшены по выше¬
приведеннымъ образцамъ, даже тотъ случай, встрѣчающійся на
линейкѣ „Перри*, когда отчетъ лежитъ вправо внѣ шкалы. Эти
случаи въ линейкѣ „Петеръ“ невозможны ибо вправо лежатъ пре¬
дѣлы ІО10 и ІО—10.
Логариѳмированіе съ любымъ основаніемъ.
Эта задача основывается на формулѣ:
αx = т; X = alog. т.
Для нахожденія логариѳма числа т при основаніи а надо
опредѣлить показатель степени на шкалѣ О2, возвышая въ
которую число а получимъ т.
Подъ числомъ основанія а на шкалѣ степеней уста¬
навливаемъ начальную черту шкалы, если число т нахо¬
дится влѣво отъ основанія а, или конечную черту, если
число т лежитъ вправо отъ а, шкалы движка и дѣлаемъ
отчетъ показателя на О2 у числа т гикалы степеней,
т. е. находимъ на ней логариѳмъ. Если при этомъ число
т находится на взаимно обратной шкалѣ съ а, то
логариѳмъ отрицателенъ; если же а и т лежатъ на
одной шкалѣ степеней — положителенъ.
Особенно важны двѣ системы логарѳмовъ: 1) натуральная
система съ основаніемъ е = 2,718, для котораго числа на
шкалѣ степеней нанесена черта и 2) система съ основаніемъ 10.
Примѣры: і, любое основаніе.
8log. 5 =	1,46; Оси. 3 на	О8.	Уст. у н. черты;	Отч. на	О2 у 5 О8 лог. полож’
8log. 2 =	0,43,	„	5 „	,,	,.	„	к.	,,	,,	„	„ „ 2 „ „	,,
4log. 0,5 = — 0,5;	„	4„	„	„	„	к.	„	„	„	,,,,0,5Z78,,	отриц.
2log. 0,2= — 2,33;	,,	2 .,	„	„	,.	н.	„	„	„	„ „ 0,2 „ „

— 93 —
2.	Натуральное основаніе,
Іп 2	= 0,693; Оси. е на	Ой Уст. у к. черты;	Отч.	на О2 у	2	О8 лог. полож.
Іи 10	=	2.30;	„	„	,,	„	,, н.	„	„	„	,,	,,	10	,,	,,	,,
Іп 0,6	= — 0,511;	„	„	„	„	„ к.	„	„	,,	„	„	0,6	U8	„	отриц.
Іп 0,1	= -2,30;	„	„	„	„	„н.	0,1	„	„
у Основаніе іо*)
log. 2	= — 0,301; Оси. 10 на О8 Уст. у к. чѳр., Отч. на О2 у 2 О3 лог. полож
log. 2,718 = 0,434;	„
log. 350 =	2.54;	„	„	„
log. 0,4 =-0,398;	„	„	„
log. 0,018 = -1,74;	„	„	„
,	»»	к.	,,	,,	„	,,	,,	2,718,,	,,	,,
♦	»	н.	„	,,	„	,,	„	350 ,,	,,	,,
, п ,,	•»>	>♦ ,» „'	^8 ” ОТрИЦ.
,	,,	н*	,,	,,	„	,,	0,018 ,,	„	„
Въ сравненіи съ обыкновенными новыми разсчетными
линейками, на которыхъ степени и корни съ высшими и дроб¬
ными показателями разсчитываются при помощи логариѳми¬
ческой шкалы >,Lt, безъ поворота движка, линейки со шкалами
степеней удобнѣе только для разсчетовъ изъ вполнѣ спеціаль-
*) Слѣдуетъ сдѣлать еще два примѣчанія: 1. На линейкѣ
„Петеръ" эти разсчеты потому такъ просты что логариѳмы чиселъ т
шкалъ О3 или t73 находятся или подъ или надъ ними на шкалѣ O1.
Это является большимъ достоинствомъ линейки „Петеръ". 2. Если
требуется найти логариѳмы при какомъ либо искусственномъ осно¬
ваніи, то точнѣе, для чиселъ большихъ 10 или меньшихъ 0,1, не
обращая вниманія на число знаковъ числа, но съ сохраненіемъ
порядка чиселъ, дѣлать установку на О3 у чиселъ 1,0—10. Отчетъ
въ такомъ случаѣ есть мантисса, а характеристика логариѳма для
основанія 10 легко опредѣлима. Этимъ мы получаемъ для мантиссы
вѣрное рѣшеніе до третьяго знака включительно, при большихъ или
очень малыхъ числахъ. болѣе точные результаты нежели получатся
по 3. См. также стр. 33 и 84.
Линейка „Перри" отличается отъ „Петеръ" тѣмъ, что шкала
log. log. а перемѣщена вправо на такую величину что конечная черта
у „Перри" будетъ число ІО4 * * * * * = 10000 на шкалѣ О3 и 10—4 = 0,0001
на ⅛ Этимъ самымъ линейка „Перри" теряетъ вправо отрѣзокъ
ІО4 —1010 шкалы О3 линейки „Петеръ" и отрѣзокъ ІО-4 —10—40
шкалы t⅞, но пріобрѣтаетъ влѣво на О3 отрѣзокъ 1,26—1Д и на t73
отрѣзокъ 0,8 - 0,95. Это расширеніе шкалъ О3 и U% влѣво является
преимуществомъ линейки „Перри" которому надо однако противо-
ставить недостатокъ, что предѣлы ІО4 и 10—10 для разсчетовъ
иногда малы.

94
ныхъ областей механики и то лишь въ предѣлахъ указанныхъ
на стр. 87. Кромѣ того надо еще принять во вниманіе, что
разсчеты со шкалой не имѣютъ предѣла для чиселъ,
служащаго помѣхой при разсчетахъ и что эта шкала основана
на логариѳмической единицѣ = 25 см . въ то время какъ
шкала степеней на длинѣ 12,5 см.
Объясненіе отмѣтокъ
нанесенныхъ на разсчетной линейкѣ.
Черты 1.
„ 2. е. _ J<LJL _ І4И.74И-М”⅛S"T} »«о«.
200-100-100 . ft8ftfi9∩ /Для hob∙ Дѣленія! λλa0
” о. ρrz	θ8θuZU∕, ∣ окружности на J *
Эти черты часто употребляются для вычисленія дугъ
по данному углу и наоборотъ; кромѣ того при исправленіи
погрѣшностей при топографическихъ съемкахъ и вообще во
всѣхъ случаяхъ гдѣ встрѣчаются малые углы.
Примѣчанія: Q∖ι и Р—і помѣщены для облегченія
опредѣленія числа знаковъ произведенія Р и частнаго Q.
Черты jc и С служатъ для непосредственнаго опредѣленія
площадей окружностей^ или діаметровь. Такъ черта С пред¬
ставляетъ собою напримѣръ:

— 95 —
Оглавленіе.
Стр. Табл.
Введеніе
...	3
I.
Система
Мангеймъ
.
11
II
II.
п
Нестлѳра
„Фиксъ* . .
46
III
III.
«
„Ридъ*
.
50
II
IV.
я
„Нестле*


57
IV
V.
п
Нестлера
универсальная .
63
III
VI.
п
т>
прецизіонная .
78
III
VII.
п
τ Петеръ»
и „Перри*
87
IV
ѴПІ.
»
Нестлера
„Электро* . .
—
V

Подвижные визири.
Таблица I.
Рамка аллюминіевая*
№ 14
съ одной чертой.
Фиг. 1.
№ 14
№ 14
съ двумя чертами.
Фиг. 3.
Визири изъ нейзильбера съ лупой.
Фиг. 4.
№ 14 L.	№ 23 L

Логариѳмическія разсчетныя линейки }(естлера
D. R. Patent №. 173660. =====
Таблица II.
Карманная
разсчетная линейка
№ 12а.
Карманная
разсчетная линейка
съ лупой № 12b.
№ 14. Обыкновенная разсчетная линейка системы ,,Mannheimu.
№ 23. Разсчетная линейка системы „Рицъ“, D. R. О. М. 181 ПО.

/логариѳмическія разсчетныя линейки JCecmΛcpa
D. R, Patent №. 173660. =====
Таблица III.
№ 29. Разсчетная линейка „Фиксъ “ Нестлера D. R. G. М. 272915.
іаіііііііііііііііііііііііііііііііііііі
ІІІІІІІІІІІІ4ІІІІІП
ІІІІІІІІІПП
1JJ I “ I t I Г 1^1 I і і і і і і ζ∣J I ITyTTΠjj ⅛ И р і і t ∣ і ∩ Vςi'
l∣,∣.M,∣,i,!,∣l∣,l,l∣∣⅞ff⅛
IIIIIIIIIIIIMIillllfelllΠlliilVIIIIIIIIIII∣∣
I 3∣0 ,
ШШИ
ιiιιnιιnιιιιmιππιιπιιιπιnιιnιιππιuιιιιιιιιιιιιπιιιιιιιι
ІШПППІИППИІ
ппппппп
' чпшшшіііпііммииі
ПІІІІІІІІІІІШІІІШІІ
1ІІІ1ІІІІІШІ1ШІІІІІІ
∣∏ι∣m∣lι∣I∣i∣ιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιπιιπmnmιι
lιιιιιιu∣∣ιlliιιι∣ι∣ιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιπιιιιιιιιu
j⅛uli!8iiii8M
ІПІП1ПШ1ІІІШІШІІ
№ 27 Прецизіонная разсчетная линейка Нестлера.
Γ∣TTΓΓ÷1 I п+
			∙∙.∙∙--^≡ 11ШI
t-∣-1 I I I I I 1, I I I I I I I ІТГГІ I I I I I ll↑TTΓll lllltllllllll∣]∣lllllll∣rm
іИШІІІІІІІІІІІІШІІШІІШиШІШІПШІ
1 . 7,0 1 ββ<0 эй S
I ↑ I I I I I I ΓTS⅛Tc⅝
№ 28. Универсальная разсчетная линейка Нестлера.

Логариѳмическія разсчетныя линейки )(естлера
- D. R. Patent №. 173660.	.... :
Таблица IV.
№ 21. Обыкновенная логариѳмическая линейка съ лупой.
τ
1∣f5
i∣u∣ιuιι∏lil
ιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιmιa
llllllllllllllllllllllllllllllllUilillillllllUI∣nn∣
⅛'iι∣ і 111 pl∣H∣ιιqHTιιl∣d∣ιiιψ∣ιι∣⅞^l∣m ■
| ^5	,	1 І	l2l5j ⅛, ,⅛
: ⅜ . Γ~T^~7 . ? ■ ? । г » ..
। lllllllllllllllllBIΠIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIUIfUIII
IIIUIIIIU1IIIII⅞IIUIIIIIIIIIIIIIIII1IUIUU1UΠI11111UUI
1	. ? I .
ІІІІІІІІІІІІІІИІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІіа ІІІІІІНІІІІІІІІІІ
hτπ^πτ∣iττπ I ∏τHτ∏τh
∙⅞^h~
тішііппптппіппітпііішіілппшпіі
IIIIIUMIIHHHHHIIIIIIIIIIIIIIIIIIII∣∣∣∣∣∣∣IU¾III
ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІШ
⅛b
і|I||∣ll∣l∣∣∣l∣∣∣
iιιιιιιιιιmιιιι¾ιιιiL⅞ι
ѳ
j>.
I I I I |
7' 1 1 1 I
ll⅛l
l∙QQ01 @
III
ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІШІ
CTJW!≡!
ιι∏rnι∏∏∏ι∏пішпііпи тпниишииппшп
HIIIIIHIIIIIIIUIIIIIIIIIIIIII∣m∣lll
іиіНШІІІІШІІІІІІШІІІІШІШШиі
I ПііІі 11 li,∏! I і I і I it М I 1 I. ■ ■ ∣rθι⅜i.t : I
	⅜	н
•02 1 -ОГІ» । і і’0Ю5
ііііііііііітіі
і

8]5 .
і
⅛
1
t
⅜
ІІІІІШII11І1І1П
5
3 1
1
ІіІІІІІІІПіШ
ІИІІІ1ІІІІИІІІІІІІІІІІІІІ
№ 25. Разсчетная линейка системы „Перри“ Нестлера.
№ 30. Разсчетная линейка системы „Нестле“, D. R. G. М. 192462.
Карманная
разсчетная линейка
съ шкалою 12,∕2 см. длиной
№ 12.

Таблица V.
Логариѳмическія разсчетныя линейки }Сестлера
—	: D. R. Patent №. 173660. -	■=
Разсчетная линейка изображенная ниже, состоитъ изъ линейки, движка и передвижного визира.
На передней сторонѣ линейки имѣются 4 шкалы, изъ которыхъ двѣ верхнія примѣняются для умноженія и дѣленія любыхъ чиселъ, по правиламъ, дан¬
нымъ для обыкновенныхъ логариѳмическихъ линеекъ. Вышесказанныя шкалы содержатъ числа отъ 0,1 до 1000, благодаря чему результатъ прочитывается непосред¬
ственно, не опредѣляя число его знаковъ, какъ было показано выше. Въ этомъ и заключается одно изъ преимуществъ этой новой линейки передъ другими, —
результатъ сколькихъ угодно промежуточныхъ дѣленій и умноженій прочитывается непосредственно. Въ случаѣ чиселъ меньшихъ 0,1 или большихъ 1000, въ
разсчетъ вводится множитель 10 или 1000 и запятая окончательнаго результата передвигается соотвѣтственно вправо или влѣво.
Для этого, чтобы умножить число а на b устанавливаемъ подъ числомъ а линейки число 1 (не 0,1) движка и прочитываемъ надъ числомъ b движка
искомое произведеніе. При дѣленіи числа с на d устанавливаемъ подъ числомъ с линейки дѣлитель d движка и прочитываемъ искомое частное при чертѣ 1 движка.
Эта линейка представляетъ большія удобства электротехникамъ при вычисленіяхъ электрическихъ сѣтей; для этого вышесказанныя 4 шкалы имѣютъ
наименованія: Amp , Volt, qmm и т.
№ 32. Разсчетная линейка Нестлера „Электро** для электротехниковъ, D. R. О. М. 334146.
Если даны длина провода въ m и допустимая потеря напряженія въ в*міьтахъ, то установивъ эти числа одно надъ другимъ, мы получимъ на двухъ другихъ
шкалахъ соотвѣтствующее сѣченіе провода для данной силы тока или же допустимую силу тока при данномъ поперечномъ сѣченіи провода. Такимъ же образомъ
находятся любыя изъ этихъ четырехъ величинъ.
Примѣръ: Требуется найти потерю напряженія въ проводѣ 2000 m длиной, 40 qmm сѣченія при силѣ тока въ 10 Ашр. Установивъ число 40 движка
подъ числомъ 10 Ашр. линейки прочитываемъ при числѣ 2000 шкалы длинъ искомую потерю напряженія 8,3 вольтъ.
При всѣхъ этихъ вычисленіяхъ нѣтъ надобности пользоваться визиромъ.
Кромѣ вышесказаннаго, являющагося чрезвычайно цѣннымъ для электротехниковъ, эта линейка допускаетъ, послѣ переворачиванія движка, непосред¬
ственный отчетъ степеней и корней 2-ой, 3-ей и 4 степени любого числа.
Въ этомъ случаѣ шкала вольтовъ содержитъ квадраты чиселъ находящихся непосредственно надъ ней.
Среднія шкалы оборотной стороны движка содержатъ кубы и кубичные корни.
Раздѣливъ данное число на 10 и установивъ его на шкалѣ Ашр. мы получимъ, при помощи визира, на верхней шкалѣ движка его корень 4-ой степени.

Альбертъ Нестлеръ въ/іарѣ (Баденъ)
Разсчетныя линейки
различной величины со шкалами изъ слоновой кости,
целлулоида и металла.
D. R.-Patent Ns 173660, D. R. G. М. № 272915, 192462, 334146.
Масштабы
изъ различныхъ матеріаловъ! любой длины.
Рейсшины, угольники, пеналы, линейки
илъ дерева, целлулоида и „геліоса".
ЧертеЖНЫЯ ДОСКИ различной величины.
Чертежные столы.
Пантографы, транспортиры изъ целлулоида.
Стеклянныя пластинки съ дѣден. на квадраты.
Циркуля для обмѣра деревьевъ.
Мы гарантируемъ перво классное выполненіе и большую точ¬
ность нашихъ издѣлій, если на нихъ указана наша полная фирма
Λlbert Nestler, Lahr.
1

Druck von
KUMMER & Со.. BERLIN С
Neue Promenade 6.