Теги: математика   исторические документы  

Год: 1804

Похожие

Начальные основания чистой математики

Курсъ математики сочиненіе господина ​Безу​ переводъ ​Василья​ Загорскаго

Книга уставъ морской

О разумѣ законовъ . Томъ I

Текст 
                    

руководство

КЪ АРИѲМЕТИКѢ

*— •

для употребленія

въ народныхъ цшлииіахъ
РОССІЙСКОЙ ИМПЕРІИ

изданиое

ПО БЫСОЧАЙШЕхМу ПОВЕЛЕНІЮ

Частъ вторая.

Цѣна (ТезЪ переплета со коп.

ІМ Санктплст ер (Сур гі,
1804 годя.

—

ОГЛАВЛЕНІЕ

второй части Ариѳметики.7
•

Сгараи.

ГЛАВА I. О дробяхЪ, доляхЪ илп
лоунаныхо сдслахЪ -	- х.

§ I.	Предварительныя объясне-
нія -	«	*	—

§ П.	Значеніе дробей -	-	3.

§ III.	Свойства дробей	*	4-

§ IV.	Сокращеніе дробей.	-	9.

§ V.	Приведеніе цѣлаго числа
вЪ дробь -	- -	’	12.

§ VI.	Приведеніе дробей кЪ одно-
му знаменателю ~	13.

ГЛАВА Ц. О тетырехЪ обыкно-
венныхъ лравплахЪ сыгсле-
нія дробей -	-	- 15

§ I. Сложеніе дробей. -	—

§ И. Вычитаніе дробей	-	і$.

§ III, умноженіе дробей	-	21

§ IV. Дѣленіе дробей	-	2 2-

ГЛАВА Ц1_ с раздробіенін Ч лрв-
вра-щен'іп дрос Л -	-	24.

§ I. Раздробленіе	-	—

§ II. Превращеніе -	' 87



КЪ АРИѲМЕТИКЪ.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ.

—111 ч ........   ' --г

Глава первая.

О дробяхъ, доляхъ или ,іо*
маныхъ шслахъ.

§ I-

.‘.'г.с.іим . >.;с»чмя.

і. Поелику вЬ счисленіяхЪ для крат-
кости употребляются нѣкоторые
Знаки, то прежде, нежели при-»
спіупимЪ кЪ предложенному , не
за излишнее почтено, оные сЪ и\Ъ*
знаменованіемЪ здѣсь включить.
Употребительнѣйшіе изЪ нихЪ
с ѵ ет ь слѣ іу юное:

~ ЗнакЪ р< -н і:»д, на примѣрЪ,
2 рубля — 200 копѣйкамЪ зна-
читъ, что два рубля равны 2о$
копѣикамЪ-ч *

Ар 5С 1

+ ЗнакЪ сложенія,\его изобразить,
можно чрезЪ слово сложено с8,
или чрезЪ с5; такЪ 2	3 ~ $

значишЪ, что 2 сложенныя сЪ 3,
или просто 2 сЪ з равны 5.

— ЗнакЪ вычитанія; онЪ изобра-
жается словочЪ вы:тно пзд, или
чрезЪ </езЗ, іпакЪ 5—3 —- озна-
чаетъ, что з вычтенное нзЪ 5,
или Пр;С..,о 5 безЪ 3 равны 2.

х или • Знаки умноженія, на при-
мѣръ, з х 2 ~ 6 или, что все
равно, 3.2—6 значишЪ, что 3
помноженныя на 2 даютЪ 6.

: ЗнакЪ дѣленія; на при. 8 : 4 — 2,
значитъ, что 8 раздѣленное на
4 равно 2- И эгда плюется и
такЪ | ~ 2.

ЗТрпліііаніе. ЗнакЪ вычитанія —
употребляется . иногда для отдѣ-
ленія цѣлыхъ чиселЪ разныхЪ
родовЪ, на прпмѣрЪ 15 рублей —
30 копѣек'Ь — і полушка.

§ П.

•Значеніе дробей.

й. Когда о ічо число на пряи. 5, йа
друюе числсГ, какЪ 3, на цѣло раз*
дѣлишься не можетЪ, то част-
ное число оттуда произшедшее-
изображае’іпся обыкновенно такЪ:

гдѣ вЪ верху Поставленное чи-
сло 5 показываетъ дѣлимое число,
а вЪ низу написанное дълнтеля.
>І4іе{.. 4.	. «ѵтнаго нала между

дву»! числами, раздѣленными про-
веденною межЪ ими поперечною
чертою, называется дрелью; на
дірим^^ * и проч.

3.	Число поставленное надЪ чертою
называется гмілнтелг, , а находя-
щееся подЪ оною зцлленат ль.

4-	Знаменатель, яко дѣлитель, по-
казываетъ . на сюлкдо равныхЪ
частей раздѣлена цѣхое число или
единица; числите \ь же, яко дѣ-
лимое, даетЪ знать, сколько та.

і *

кихЪ частей вз”яі>н должно; такЬ
дробь | означаетъ, что цѣлое чи-
сло раздѣлено на 3 равныя части,
и изЪ смхЪ частей взято 2. То же
самое и о всѣхЪ другихЪ дробяхЪ
разумѣть должно.

5.	Прн выговариванія дробей спер-
ва произносится чп житель, а по-
шомЪ знаменатель . на пр. одна
половина;	одна четье, шь; три

пятины;	четыре седьмыхъ, и

такЪ далѣе.

ІИ-

Свойства ^ѵосСеп.

6.	Дроби обыкновенно , аздѣляются
іе на .правильны», тогда числи-
тель бываетЪ меньше своего зна-
менателя найірим.	і и пр..

2е на неправильныя, когда числи-
тель бываетЪ больше своего зна-
менателя, на пр. з, ?. и проч.
Но есшьли числитель равенЪ 6у-
детЪ знаменателю , то такою

===== $

дробью изображаются цѣлыя и
равныя между собою числа; по
сему дроби ?,	|| и проч, бу-

дутъ равны между собою, и ка-
ждая изъ нихЪ равна г или цѣ-
лому, для того, что на сколько
равныхЪ частей смотря на знаме-
нателя іца раздѣлится , столь-
ко же такихЪ часцгей, взирая на
числителя, и брать должно От-
с да слѣдуешЪ. чЬй •	1 одамро-

6н _а настоятіія почтены быть
не могушЪ.

7-	Всѣ правильныя дроби бываютЪ
менѣе г цы, по тому что-на пр.
дробь ’ | показываетъ , что іцу
должно раздѣлить на у равныхЪ
частей, и піакихЪ частей, взя. ь
а, слѣдственно части только іпьі
чрезЪ таковыя дроба нзобража- ѵ
то шея.

8.	Напротивъ всѣ неправильныя дро-
би бываютЪ болѣе гпы, на пр.
понеже а равны ; и а а Ъ

тло | равны будушЪ цѣлому и еще
I, или з — I ‘

9,	Есгаьли числитель какой ни есть
дроби на какое ни есть число по-
множится, а знаменатель оста-
нется непремѣненъ, или что все
равно, знаменатель на ка^ое ни
есть число раздѣлится, а чисиі-
піель останется непремѣненъ , то
вЪ обѣихЪ случаяхъ дробь во столь-
ко разЪ увеличивается , сколько
множитель, или дѣлитель вЪ себѣ
единицѣ содержитъ,- по тому чаю
еЪ первомЪ случаѣ отЪ часу боль-
ше ігякихЪ частей " ашъ должно,
на какія раздѣляега я цѣлое пли
единица. смотря на э*. мена теля,
во вшоромЪ же тѣ ча< іп на кои
сЪ сама:о начала смотря на зна-
менателя раздѣлится единица или
цѣлое, отЪ часу будутЪ стано-
вишься болѣе; что все изЪ пре іЪ-
идущаго <ілена 4 ясно уразх мѣть
можно. По сей причинѣ | будешЪ

ліенѣе 5, | менѣе также ? бу-
душЪ менѣе | нейѣе ’ ме-
нѣе п такЪ даЛѣе ; равнымЪ
боазомЪ | будушЪ яенѣе | ие-
нѣе 1 менѣе 3.

іо.*' Есгаьли знаменатель какой ни
есть дроби на какое ни будь
число помножится, а числитель
останется непремѣненъ, или чи-
слитель на какое ни будь число
раздІАв -_а. * зіналенатель оста-
н» іся непремѣненъ, то дробь во
столько разЪ уменьшится, сколь-
ко множитель, или дѣлитель еди-
ницъ вЪ себѣ содержитъ; на пр.
1 болѣе * болѣе * болѣе & и
проч. ІТ болѣе болѣе |Т бо_
лѣе 3т'і> и піакЪ далѣе. Доказатель-
ство сему предложенію безЪ вся-
каго заш, л нія кявести шакЪ
же можно изЪ лредЪидущаго 4г©
члена.

іі. Есгаьли числитель и знамена
піель какой ни есть дроби на одно

какое нибудь число помножится,
пго дробь не перемѣнитъ своего
знаменованія, по тому что во
рколько разЪ дробь смотря на чи-
слителя увеличится , во столько
же разЪ оная взирая на знамег
нашеля уменьшится, $а пр. дро-
би у числителя помн^живЪ на а
подучнмЬ до ь 1, вявое больше
прежней ; но когда знаменателя
помножимЪ на 2, то дробь
будетЪ вдвое меньше прежней ;
слѣдственно дробь | увеличенная
вдругЪ и л мснгч енная огнимЪ чи-
слоѵф не персі нясм’Ъ ни мало,
своего знаменовлні . а по с му и
вый іетЪ I — Д ~
и ніакЪ далѣе.

|2.э На копен естьлп числитель и
знаменатель дроби на одно какое
пи есть число раздѣляется , то
дробь не перемѣнится, по тому
что во сколько разЪ дробь смотря
на числители уменшится , во

ч столько же разЪ она взирая на
знаменателя увеличится I; слѣд-
ственно дробь уменьшенная гі уве-
личенная вдруіЬ однимЪ числ мЬ
вребудепіЪ завсегда ненрем над,
го сему	- § = |. - ;

§. IV.

Сакращен'іе дро&л.

13- ИзЪ і. « _ член. ьпдѣли мы,
что одну дробь ] азличными обра-
зы безо перемѣны ея знаменованія
изображать можно; но какЪ дрі бь
вЪ самыхЪ меньшыхЪ числахЪ
представленную яснѣе понимаемъ
нежели ей равную ?Ъ большій Ь
числахЪ, * на ир. дробь | будешЬ
внятнѣе, нежели ей р? і.< ,ч
по січу ,н иіЪ сшараі.Ася
изображать дро ь ^всегда во гаа-
лыхЪ числахЪ, а для сей іі[ ичи-
мы и должно находить такое
число, на которое бы дробь кажЪ

ІО

вЪ верху, такЪ и вЪ низу на пѣло
раздѣленная изобразилась вЪ са-
мыхЪ меньшихЪ числахЪ. Сіе чи-
сло называется	(ГоліінчліЪ

ділнтелемЗ. Средство же нахо-
дить общаго большаго дѣлителя
называется сскраъ^с .г дро -си.

14.	Для нахожденія о^^аго большаго
дѣлителя поспи пли тдкЪ: | аздѣ-
ли большое число на меньшое, на
* остатокъ раздѣли прежняго дѣли-
теля ; на сей остатокъ радѣли
послѣдняго дѣлителя: и шакимЪ'
образоиЪ	лмаі дѣленіе до

тѣхЪ порѣ , пока жЪ статкѣ ни-
чего не останется; иго іа послѣд-
ній дѣлитель будетЬ самый 6 ле-
шій общій дѣлитель.

ПримѣрЪ: Пусть дапо будешЪ
сыскать общаго большаго дѣлите-
ля чиселЪ 64 и 286л; ееіо для
должно поступать такЪ , какЪ
слѣдуешЪ:

64 | 2864 } 44

-56

Зс4

остатокъ 48 | 64 | і

48

остатокЪ^іб | 48 | 3

48
Ъ п

Слѣдовательно общій большій дѣ-
литель есть 40, таперь предло-
женныя числа или дробь сЪ вер-
ху и сЪ низу раздѣливЪ на 16,
выйдешЪ

15.	Когда общій большій  дѣлитель
найдется іца, то сіе показыва-
етъ, что данныя числа, или дан-
ная дробь общаго большаго дѣли-
теля не имѣетЪ, и что она ни-
как.	Ы"и чи лами болѣе

изображена бъ пь не ліожегаЪ; по
тому что всякое число на іцу
раздѣленное не перемѣняетъ свое-
го знаменованія.

Яірнбеден'іе цѣлаго іисла вЗ <фос!ь.
іб. Есшьли. знаменатель ие извѣ-
стенъ, то нанисавЪ цодЪ даннымЪ
цѣлымЪ чмсломЪ іпу . произой-
детъ искомая дробь, на пр. по
тому что 4 или всякое дру ое
число іаздѣ.'енн.е на і у не ц«-
реяЬняешѵ...

ір. Естьли же знаменатель, кЪ ксо-
ему привести должно цѣлое число,
данЪ , то ч множЪ данное число
симЪ знаменателемъ, произведеніе
будетЪ числитель несомой дроби»
подЪ' коимЪ подпиши даннаго зна-
менателя ; на пр. сЪ числомъ 3
данЪ знаменатель 3. Шыі . а подЪ
произведеніемъ 3 на 5 т 15 под-
писавъ знаменатели 5, выйдешЪ
искомая дробь ?5

Дабы цѣлое число сЪ нахадяте-
кся при немЪ дробію привести
бЪ одну дробь, ціо цѣлое число

уйножь знаменателемъ дробй;
кЪ произведенію придай числите-
ля ; произше ішая оттуда сумма
будетЪ числитель искомой дроби
гіодЪ коимЬ подпиши знаменате-
ля , тогда требуемое совершится
на прим. 3 § —	- і> 5

* к 9 * б   51
9	9'

19 Естьли же изЪ неправильной дро-
би потребуется выключить цѣ-
лое число, то раздѣхи числителя
на зн-чеяашеля, тогда частное
число докажетъ цѣлыя числа ,
кЪ коимЪ присовокупи дробь, сдѣ-
лавЪ остатокъ числителемъ, а
дѣлителя знаменателемъ, на пр.
о? ----- о 5

8 —

§ Ѵі.

Приведеніе дросіей кЗ одному

. .и - нл

го. Поелику дробей сила не перемѣ-
няется . когда числитель и зна-
менатель умножены будутЪ на

одно какое нибудь число, какЪ
іпо вЪ членѣ 11 мЬ показано, то
приводить дроби кЪ одному зна-
менателю есть превращать дро-
би вЪ другія имЪ равныя такЪ э
чтобЪ всѣ одинакія части цѣлаго
показывали.

2і.	По сему ежели даны будушЪ
дроби *» н когда первой дроби
числителя и значен ,цел помно-
жишь зяаменапіелемЪ второй дро-
би. то сила ея не перемѣнится , и
будетЪ 112 ~ ТакимЪ же обра-
зомЪ коіда вето ой дроби числи-
теля й знаменателя и мне ».:шь
на знаменателя пе] вой др «», то
она такЪ же не пе ні ися , и
произойдетъ, і — - ' ~ * И іпакЪ
данныя дроби преврлщ ны ^дутЪ
вЪ слѣдующія и у коихЪ
знаменатели одинаки.

22.	ИзЪ сего явствуетЪ ж какЪ по-
ступать должно, ежели сл}чипі-

ся большее число дробей. Надле-
жйшЪ всякой дроби числителя и
знаменателя умножать на зна-
менателей прочихЪ дробей, то-
гда совершится то, что требова-
лось; на при: дроби |, й Д°л~
жно привести кЪ одному знаме-
нателю : тогда получимЪ | ~
5*4*10   ------ 3-ХЧХІО 2-Р и

,—.     О20 }	—----“ Іо

8X4'10	4'8X10

_2і5» — слѣдственно искомыя
дроби будутъ

Г л а в а вторая.

О іетырехъ обыкновенныхъ пра-
вилахъ шісленіл дробей.

§ ь

Сложеніе дробей.

I.'Когда сЪ пѣлымЪ числомЪ, на пр.
со, надлел.: сложить дробь на
врим. гаог ла ихЬ сумма безЪ вся-
кой перемѣны спивится тдкЪ :
йо Естьли же кЪ нѣлымЪ чи-

хб	к-тад

слачЪ потребуется придать цѣ-
лое число сЪ дробью, тогда цѣ-
лыя одни только складываются ,
и кЪ нимЪ приставляется дрооь ,
па пр. ю, 35, и 40 надлежитъ
сложить сЪ 5®, тогда выйдетЪ
і о + 35 +4° -Л5 ' — У0 I

Естьли дро’ а бу іушЪ имѣть
одинакихЪ знаменателей . тогда
складываются всѣ числители вмѣ-
стѣ, и подЪ суммою подписыва-
ется ихЪ прежній знаменатель ;
такимЪ образочЪ выйдетЪ сумма
всѣхЪ данныхЪ др й , на пр.
чтобЪ сложить д	то

поступки шакЪ —	— 1!

3.	ЕстІ'ли при д 5яхЪ о гинакііхЪ
знаменателей^. случатся еще цѣ-
лыя числа, на пр. 3	5 4, ю

когда для нахожденія ихЪ суммы
Должно проложи >ь кЪ суммѣ цѣ-
ЛылЬ чиселЬ сумм^ дробей; ко

сему выйдетЪ з | + 5 -* + "
~ 18 ”, но ” — і слѣдствен-
но 18 I* — 19

4-	Когда одни дроби, разныхЪ зна-
менателей имѣющія» надл«. ;ішЪ
складывать; то должно ихЪ и-
Ьести кЪ одному знаменателю »
какЪ то вЪчлей. 21 и 22 Гл. г. по-
казано; а ПошомЪ сложить всѣхЪ
числителей, й подЪ суммою по.»

писать общаго вмамснателя ; по

сечѵ еспіьли потребуется сло-
жишь между собою * + | + то

ПолуНИмЪ |і| +	+ |і5 —- ’в^ —

5.	Естьли прй сихЪ ДробяхЪ слу-
чатся цѣлыя числа то надле-
житъ цѣлыя сложишь особливо»

и дроби особливо, на пр. есть-
ли бы и шгре' валось сложить
4 з + 2 | -і~ з . тэ бы вышло
Л. -^ + 2 І 8 + 'Э -“-3   О   ДД 53
*Г 135 ' 45 * О 45   7 «35	1 І33

Ариѳм,. Ч- ІЬ 4

§11.

Выгніпсініе дробей.

6.	Когда изЪ цѣлаго числа сЪ дробью
надлежипіЪ вычесть цѣлое число,
тогда меньшое цѣлое число вы-
читается изЪ большаго , и кЪ
остатку прикладывается заданная
дробь, на примѣрЪ, 54 — 5—Зу

1- Естьли заданныя дроби 6}дуги!?
имѣть одинакихЪ знаменателей ,
то вычти меньшаго числителя
изЪ большаго, и подЪ разностію
подпиши даннаго знаменателя, на
пр- I — I = ? —

8-	Естьли дроби будушЪ имѣть раз-
ныхъ знаменателей , то надле-
житъ н.хЪ привести кЪ дннакэ-
му знаменателю, г.акЪ то выше
показано, а потомЪ поступать
такЪ, какЪ вЪ чл. 7 учинено, на
примѣрЪ |—|; но | — а | — Ц,
слѣдственно || — •’ — Л

9.	Есгпьли при дробяхЪ случатся
цѣлыя числа, то должно цѣлыя
изЪ цѣлыхЪ, а дроби изЪ дробей
вычитать, на прим. 3 * — і | ,
но з I — з а і | - і & слѣд-
ственно 3	— і — 2

9. Есгпьли дробь должно вычесть
изЪ цѣлаго числа, то огпнявЪ отЪ
него іцу , обрати ее вЪ дробь,
какЪ то [; поточЪ помножь ее
і в< и вЪ низу знаменагпе-
демЬ данной дроби, произведеніе
будепіЪ искомая большая дробь
на пр. * должно вычесть изЪ 2
цѣлыхЪ, отними отЪ 2 едини-
цу. и обративъ ее вЪ дробь по-
множь  вЪ верьху и вЪ низу зна-
менателемъ данной дроби з, то-
гда произойдетъ большая дробь |,
изЪ коей отн-н ’ останется *,
слѣдовательно 2 — 5 ~ і — 5

іі. Есгпьли вычитаемая дробь будетЪ
больше той, изЪ коей вычитать
надлежитъ, и при пюмЪ бѵдѵтЪ
еще находиться цѣлыя числа, Ча
прим. і | должно вычесть изЪ 3 |,
но какЪ здѣсь 2 изЪ і вычитать
не можно, вЪ шакомЪ случаѣ
отними огаЪ 3 единицу, кото-
рую обративъ вЪ дробь 3 и сло-
живъ сЪ 3 получится } меньшаемая
дробь по томЪ говори - вычтен-
ные изЪ * даютЪ |, слѣдствен-
но з - і | ~ і ?. Но естьли
сіе случится при дробяхъ, раз-
ныхъ знаменателей имѣющихъ ,
то надлежитъ сЪ начала посту-
пать точно такЪ же, какЪ по-
казано выше .сего, а потомЪ
привести уже д^оби кЪ одному
знаменателю. Что сдѣлавЪ дол-
жно вычитать цѣлыя изЪ цѣ-
лыхъ , а дроби изЪ дробей, тогда
желанное совершится.

 . ._Д	2Т

<	§. Ш

лно т.еніе дробей.

12. Умножать дроби значитЪ' взять
ошЪ множимаго столько, сколько
дробной множитель показываетъ;
на пр. * умножить на I значишЪ,
что отЪ половины надлежитъ
взять половину, которая есть
или | помножить на * значитЪ ,
отЪ 1 взять что составляетъ *

13-	П( и 3 множеніи одной дроби на
друіую должно множить числи-
теля на числителя, а знаменате-
ля на знаменателя, тогда пропз-
ве іен'іе числителей дастЪ числи-
теля , а произведеніе знаменателей
знаменателя, на пр. 4— з»
3 7   21 ’ 7
5‘ 9   45   С-

14.	‘ Дабы дробь ч множить ПѣлымЪ
числомЪ, или дро ью цѣлое число,
вЪ такомЪ слѵчаѣ надлежитъ цѣ-
лое число Обратишь вЪ дробь, под-

писавЪ подЪ нимЪ единицу , а
потопѣ поступать такЪ , какЪ
вЪ чл. 13 показана, на примѣрЪ,
*. < "	4 - ---- 2- -- о «• /О з -

7 0	7 - і --	Л й • і6 ----

? • А   У   о 4   о 2
1 «О   1с   ~ 15    -4 5.

15- Есгпьли при умноженіи случатся
цѣлыя числа сЪ дробями, то над-
лежитъ сЪ самаго начала цѣлыя
числа привести вЪ дробь, а по-
томъ множить какЪ числителей,
такЪ и знаменателей между со-
бою порознь , на прим. 3 | . 4 |
---- 3 • « * I 4- 9 + 8 — 83 44 — іоіг — I Я 4">
--- — .------------б • 9 — 54 ~ 1 О 54

6	9

= 18 также 5 *	* ~ Зл ' V8' |

--- 53 'г - 53 - - Г
----------------  9‘ а - - -

§. IV.

//іл екіе' ірс&к.

іб. Одну дробь раздѣлить на другую
значитЪ найти, сколько разЪ одна
дробь вЪ другой содержится, на
пр. I раздѣлить на ’ есть то же,
что опредѣлить , сколько разЪ |
содержится вЪ

Поелику дѣленіе есть дѣйствіе
умноженію сопсемЪ прошивное ,
іпо слѣдующее должно примѣчать
общее правило: дробнаго дѣлите-
ля обороти такЪ , чтобы числи-
тель сдѣлался знаменателемъ, а
знаменатель числителемъ ; по-
щомЪ числителей и знаменателей
помножЪ между собою порознь ,
произведеніе числителей дастЪ чи-
слителя , а произведеніе знаѵена-
ь елей знаменателя , на пр. есшь-
ли потребуется раздѣлишь $ на
пю напиши сіи дроби такЪ
помноживЪ ихЪ между собою по-
лучимЪ или слѣдственна
есть искомое частное число.

І8- Естьли при дробяхЪ случатся цѣ-
лыя числа, то должно ихЪ приве-
сти кЪ одпнасом\ сЪ дробями зна-
менателю, а потомЪ поступать
такЪ, какЪ выше сего показано ,
на, примѣрЪ дЗ должно раздѣлить

на 5 *. ВЪ семЪ случаѣ полу-
чи мЪ	—І_— 12 ? ~ слѣд“

сіп&енно частное число есть

19. Есшьлй на конецЪ потребуется
дробь раздѣлить на цѣлое число,
или цѣлое число на дробь, то
сЪ самаго начала должно цѣлыя
числа привести вЪ дробь, а по-
томъ по^тлпать шакЪ, какЪ вы-
ше сего показано,	4

Г-л ав а шр етія

О раз іробленіи и лревра-
ЩСі. >1

рлзлро<Г.іе ѵ с

ь Раздробленіе , какЪ вЪ первой
части показано, есть приведе-
ніе чиселЪ большаго наименованія
вЪ числа меньшаго наименованія
на пр. 37 рубля привести вЪ ке»
пейки,	<

Сіе дѣйствіе производится по-
средствомъ умноженія, а имянно,
большее наи снованіе множится
всегда на частное число ближай-

шаго чегыьаго наименованія , или
на число рѣшительное, произвед-
шее отпЪ вопроса, сколько разЪ
ближайшее меньшее наименова-
ніе вЪ большомъ содержится , и
сіе продолжается до шѣхЪ порЪ,
пока заданный вопросъ совершен-
но не разрѣшится.

5, Естьли при вопросѣ (лучатся дан-
ныя числа ближайшаго меньша-
го наименованія, то они склады-
ваются сЪ приведенными вЪ то
же наименованіе числами боль-
шаго наименованія; и потомЪ по-
ступаютъ до конца гаакЪ, какЪ
вЪ чл. 2. показано.

4.	$4зЪасниае. рѵбля
вести вЪ полхгоги.
рубль, яко большее

4 *

5 коп. при-
Поелику і
наименованіе

а 6	е=

- годержиіпЪ вЪ себѣ іоо копѣекЪ
ближайшаго меньшаго наименова-
нія, гпо іоо копѣекЪ будетЪ иско-
мое частное число, на кое помно-
живЪ | выдетЪ 3|“ т 42 | коп.
Но понеже дано еще 5 копѣелЪ,
віо 5 сложижЪ сЪ 42 | получимЪ
4- | коп. ПомноживЪ теперь 47
на 4, потому что вЪ копѣйкѣ
содержится 4 полгшки; выйдетЪ
191 слѣдственно вЪ 3 рубля и
5 коп. содержится 191 | полушки-

5.	Примѣры для упражненія.

і. ВЪ МОНЕТАХЪ.

Сколько іЪ ? рубля содержится
гривенЪ , копѣекЪ  пол^шекЪ?
ю 22_1 ** грні. — д 7 грив.

I гривн. 2221 -• КОП. ~ 2 I КОП.
6 коп. — пол. — з ? полуш-
ки; слѣдственно 3 рубля равны
4 гривнамЪ, 2 копѣйкамЪ и 3 |
полушкамЪ.

^1. ВЪ МѢРАХЪ.

а. .Міра вре.иехн, Сколько вЪ -* не-
дѣли находится дней, часовЪ
и минх піЪ:

| недѣли — 5 днямЪ, 14 часамЪ
и 24 ыинутамЪ.

С. лііра строевая. Сколько на-
ходится футовЪ , и дюймовъ
вЪ сажени?

сажени —4 футамЪ и і дюйму.'

III.	ВЪ ТЯЖЕСТЯХЪ.

Сколько вЪ -Д берковца содержит_
Ся пудовЪ, фуншовЪ, логаовЪ и
яолотниковЪ?

«5 х ю ~ || = 5ПУД- іЗФунт.

іо лош. 2 золоти.

§. II.

УТревраіценіе,

6. Превращеніе, какЪ х хе извѣстно,
есть ' приведеніе чиселЪ даннаго
меньшаго наименованія бЪ числа

большаго наименованія равной ве-
личины, на пр. требуется: 5 коп.
какую часть рубля составляютъ?

у. Сіе дѣйствіе совершается посред-
ствомъ дѣленія, а именно, мень-
шее наименованіе дѣлится всегда
на частное число ближайшаго боль-
шаго наименованія . процзшедшее
отЪ вопроса сколько разЪ меньшее
наименованіе вЪ большомъ ближай-
шемъ содержится ; и сіе продол-
жается до тѣ\Ъ порЪ, пока мень-
шее наименованіе не приведется
кЪ большому и кояону наимено-
ванію.

ЯізЪяснечіе. 3 плу -кп привести
вЪ дробь большаго наименованія
рубль. Поелику і копѣйка содер-
житъ вЪ себѣ 4 полушки, то 4
будетЪ искомое частное число ,
на кое раздѣливъ 3 полушки вый-
детЪ ? коп. ~ 3 пол. Но вЪ ру-
блѣ находится юо коиѣекЪ, то

; коп. раздѣливЪ на юо получимЪ
искомое рубл. — |коп. _ 3 дан-
нымъ полушкамЪ.

9. Еспіьли разныхъ наименованій чи-
сла надлежитъ приводить кЪ одно-
му большему наименованію, то чи-
сла разнаго наименованія приведи
кЪ самому меньшему данному наи-
менованію, потомЪ приведи цѣлое
искомаго большаго наименованія
кЪ одинакому сЪ прежнимЪ наи-
кеновані , на конецЪ первое раз-
дѣли на второе; частное число
покажешЪ то, что знать желали.
На прим. і2 фунтовЪ 30 лотовЪ,
2 золотника привести вЪ пуды.
СЪ начала фунты приведи вЪ ло-
ты, а лоты вЪ золотники, произ-
веденіе 1244 золотника будешЪ
в іомыи числитель; пошояЪ цѣ-
лое даннаго наименованія, сирѣчь
пѵды, вЪ кои должно превратить
золотники , П[ введи Ъ золотники;
но г ііудЪ содержите вЪ себѣ 3840

золотниковЪ; и такЪ посшавивЪ
3840 на мѣсто знаменателя дро-
би выйдетЪ пуд. — |И пуд.
— 12 фунпіамЪ 30 логп. 2 золоіп-
никамЪ.

ю. Примѣры для упражненія.

I. ВЪ МѢРАХЪ.

а- Лііра вре.пени. есЗ дней, 17 час.
8 * минуты п1 ивеспти вЪ дробь
большаго наименованія годЪ. По
предложеннымъ выше сего пра-
виламъ найдется числитель
2103'840, также и знаменатель
3679200. Раздѣли-іЬ на общаго
дѣлителя ід_х получится слѣ-
дующая дробь “ , и свакЪ 208
дней, I? часовЪ, $ • ч.іиупгы со-
ставляютъ р ’ года.

(Г. кМіра, строевая- 4 фута 2
дюйма 4 линѣи и 9 ? скрупула
привести вЪ сажени. По приве-
деніи какЪ заданныхъ наимено-
ванныхъ чиселЪ, шакЪ и сажени

большаго наименованія, вЪ скру-
пулы меньшаго названія; вый-
детЪ дробь сажени ~
сажени , слѣдственно 4 фута,
2 дюйма, 4 линѣи и 9 5 скруп.
составляютъ сажени.

И. ВЪ ТЯЖЕСТЯХЪ.

Какую дробь берковца соста-
вятъ 53 фунта, іо лошовЪ,
2 ’ золотника?

гІІл берковц. ~ р'Ц берк.

Глава четвертая.

О десятшыхъ дробяхъ или
доляхъ.

§ I-

О <Г$ яен ені я.

і.	Десятичныя дроби или доли суть
тѣ, кои\Ъ знаѵнлтели бываютЪ
единица сЪ нѣсколькими нулями;
такЪ ?3б; Т‘й; А- и ПР- будутъ
десятичныя дроби

2.	СЪ сими дробями МОЖНО бы ПО»
ступать такЬ же, какЬ и сЪ обы-
кновенными ; однако избрали осо-
бливое средство ихЪ писать, такЪ
что онѣ отЪ цѣлыхЪ чиселЪ ни
чѣмЪ почти не разнятся, и счи-
сляются почти равно какЪ и цѣ-
лыя числа.

2 Извѣстно, что числа какія ни-
есть на прпм. 3456 сЪ лѣвой ру-
ки кЪ правой десятью уменьша-
ются, или отЪ правой руки кЪлѣ-
вой десятью увеличиваются; такЪ
вЪ написанномЪ примѣрѣ 3 будешіГ
означать 3 тысячи, 4 сотни, 5
десяіпковЪ и 6 еднн< цЬ. Но есть-
ли теперь кЪ сичЬ числачЪ при-
бавить еще щобы « ••ыло вЪ де-
сять разЪ меньше 6, или вышло
бы 8 десятыхъ или дробь Есть-
ли же прибавится еще число на-
пр. / , то оно будетЪ вЪ ю разЪ
меньше 8 или означитЪ дробь
и такЪ далѣе, у меньшая въ десять

-*

*

разЪ каждое послѣдующее число,
слѣдственно полу чимЪ 3456 ?О + 555
4-1^5+ 15355 И ПР°Ь ЦА* 3+56 +ао-

4- Во всѣхЪ случаяхъ , вЪ коихЪ бы-
ваютъ десятичныя дроби, знаме-
натель іці сЪ нулями откиды-
вается обыкновенно, и іпо мѣсто,
сЪ коего начинаются десятичныя
дроби, означается запятою или
точкою, по сему выведенная і ыше
сего сяѣшеннач дробь 3+56 Л'
изобразится такЪ 3456, 879х» г4&
числа предЪ запятою стоящія
выговариваются обыкновеннымъ
образомЪ, за запятою же находя-
щіяся произносятся или просто,
выговаривая каждое число по соб-
ственному его знаменован , на
пр. восемь, сеід'ь. девять. о<на,
или такъ: д д .япмх. ~ сотыхЪ
9 тысячныхъ, і десяти піысяч-
ныхЪ; или шакЪ какЪ дробь 4^.

Ариэл. Ч. II.

5

ИзЪ сего ясно уразумѣть можно,
что вЪ написанномЪ на пр. числѣ
нуль послѣ запятой стоя-
щій показываетъ , что десятыхъ
Частей не находится; прочія же
Числа значатЪ 4 сотыхЪ и 6 ты-
сячныхъ. Число 8-0045 равняется
8 РавнычЪ образомЪ естьли
будешЪ написано 0,000385 '» 1X10
Сіе означаетъ, что пѣлыхЪ ЧИ-
селЪ не находится, прочія же по-
слѣ запятой стоящія числа рав-
няются

6.	Естьли сЪ правой стороны кЪ де-
сятичнымъ дрояшЬ приложится
нѣсколько нѵлей, ели оіянимепі-
«я, то знаней.ож*ні? япсЪ не пере-
мѣнится, 1! . Ъ 0,1 ~ 0,10 _
0,100 ~ 0,10000 и проЧ. по тому
что	= и проч.

§ II.

Сложеніе десятненыхб дробей.

7-	Сложеніе десяти^ныхЪ дробей дѣ-
лается такЪ какЪ и вЪ цѣлыхЪ
числахЪ; только надлежитъ цѣ-
лыя числа ставить подЪ цѣлыми
обыкновеннымъ образомЪ, а деся-
тичныя дроби подЪ десятичными,
дабы точки или запятыя завсегда

1 *Ъ одинЪ рядЪ были разсоложены.

П( пяѣры.

і) Сложить 483,25678, и 2,0057
Между собою.

483^5678

-	->°°57

Сумма 485,26248-

§) Сложить 0,579203; 357,023
и *5/589 между собою.

35Г,о-3

>5/5^9 ___

сумма 373,201103.

3 *

§• ИІ.

Въпптаніе десятжныхЪ дро Реи.

у. Вычитаніе десягпичныхЪ дробей
совершается піакЪ же , какЪ и
вЪ оѣлыхЪ числяхЪ, только надле-
житъ наблюдать то, что при сло-
женіи см\Ъ дробей сказано было.

іо.	Примѣры.

і ) ИзЪ 10,003405689 вычесть
9,309568923.

10,003405689
0,3095^8923

разность 0.693 3 ?66

2) ИзЪ 9,0035: ^о<> 2 вычесть
__________2,532.х Г • ' _
останется 0.47067	.-7

5 IV.

2/жноженіе десятиг.иъіхЪ дробей.

II.	умноженіе чиселЪ, десятичныя
дроби при себѣ имѣющихъ, долж-
но дѣлать піакЪ же какЪ и вЪ цѣ-

\ лыхЪ чисдахЪ ; только надле-
житъ Ѵіргн . три слх чая вЪ раз-
сужденіе:

і) Когіа при множимомъ только
числѣ находятся десятичныя
дроби. 2) Когда одинЪ только
множитель имѣетЪ при себѣ де-
сятичныя дроби, з) Когда при
множителѣ и при мнежимочЪ
числѣ будупіЪ десятичныя дро-
би.

іі. Во всѣхЪ сихЪ трехЪ случаяхъ
должно вЪ произведеніи отнимать
опіЪ правой руки кЪ лѣвой .столь-
ко знаковЪ для десятичныхЪ дро-
бей , сколько ихЪ вЪ множимомъ
числѣ или множителѣ или вЪ обѣ-
гхЪ вмѣстѣ находится, по ни му
что произведеніе во столько разЪ
становится чс.і.е , во сколько
уменьшается пли множимое чи-
сло, или множитель , или оба

вмѣстѣ.

ЗТрнлііпаніе. Естьли вЪ произведе-
ніи будешЪ меньше знаковъ, неже-
ли сколько вЪ МНОЖИМОМЪ числѣ
и множителѣ десятичныхъ дро-
бей находится, тогда отЪ пра-
вой руки кЪ лѣвой тошЪ недоста-
, *
ігіокЬ нулями дополнять должно,
какЪ то пзЬ 3Г0 примѣра явно
уразу мѣтъ мс >.ни.

13. Примѣры для упражненія по
іпремЪ упомянутымъ случаямъ,

1) умножить 21,00896 на
___________________2 э5

115СЛД5О
690? Сз-і
произведеніе

2) умножить 8091007802 на
0,0063
24273023 76
48546047352

ироизвед 50973349,7196-

’ 3) Уяножпть 0,0072 на
о»о43

2 іб

2^8 ___

иропзвед. 0,0003096

,.г

V.

Діленіе десятигінъіхё дробей.

14. При дѣленіи чиселЪ десятичныя
л '.. і с«ѣ няѣюіцихЬ долж-
Вч п, ) иаіпь такЪ, какЪ будто
бы дезяшичныхЪ дробей совсѣмЪ
не было; вЪ разсужденіи же от-
мѣтки десятичныхЪ дробей опіЪ
цѣлыхЪ чиселЪ вЪ частномЪ чи-
слѣ надлежитъ принять три слу-
чая вЪ разсужденіе.

і) Когда п н дѣли «чЪ только
числѣ случатся .«л^ятичныя дро-
би, тогда вЪ частномЪ числѣ
столько надлежитъ отдѣлить
знаковЪ отЪ правой руки ьЪ лѣ-



вой, сколько ихЪ при дѣлимомЪ
числѣ находится, ибо изЪ про-
изхожденія и свойства дробей
извѣстно , что когда дѣлимое
вЪ нѣсколько разЪ уменьшится
то и частное число во столько
же разЪ становится менѣе.

2-) Естьли только при дѣлителѣ
находятся десятичныя дроби;
тогда вЪ частному числу отЪ
правой руки столько нулей при-
дать должно, сколько десятич-
ныхъ дробей при дѣлителѣ на-
ходится: по и что вЪ дѣ-
леніи частное ч ло во столь-
ко разЪ увеличивается, во сколь-
ко дѣлитель \ • нш..тся , какЪ
то изЪ Сьойсгова дробей очевид-
но явствуешь.

3) Когда при дѣлпмомЪ числѣ и
дѣлителѣ находятся десятич-
ныя дроби; тогда вЪ частномЪ
числѣ означается сЪ начала мѣ<

сто для простыхъ единицѣ ,
смотря на одно только дѣли-
мое число, а і; іпояЪ запятая
переносится вЪ передЪ іЪ пра-
м го стоі ону чрезЪ столько зна-
ковъ, сколько при дѣлителѣ де-
сятичныхъ дробей находится.

Эіриліііаніе. Естьли дѣлимое число
на цѣло на даннаго' дѣлмтрля
раздѣлено быть не яожетЬ; при
1= чЪ •. лнмое нмѣетЪ при себѣ
десятичныя дроби; тогда оста
токЪ откидывается, когда боль-
шей точности не требуется,
или Дѣленіе продолжается, при-
совокупляя кЪ дѣлимому числу
столько нулей, сколько заблаго-
разсудится. То же самое дѣлать
должно, хотя бы при ѵѢлпмомЪ
числѣ и не Г. . десятичпыхЪ
дробей.

і5- Примѣры для упражненія по
шречЪ вышепредложеннымЪ слу-
чаямъ.

і)	67089,45 раздѣленнное на 805 да-
еіпЪ вЪ часшномЪ числѣ 83,34°931’
откинувЪ остатокъ.

2)	3619224 раздѣленное на 12,04
даетЪ вЪчасіпночЪ числѣ 300600.

З)	5°9733499» Зг9* раздѣленные
на о, 0063 даюшЪ вЬ часінномЪ
числѣ 80910079257.

іб. Десятичныя дроби сЪ пользою
употребляются;

і) При дробяхЪ, к- изглажены
большими числами, и конхЪ со-
кратишь болѣе но чэжно; но
требуется знать ихЪ величи-
ну , хотя не точную, но весьма
близко кЪ исшиннѣ подходящую.
На прим. дабы узнать ближай-
шее знаменованіе дроби х г, то
раздѣли числителя на знамена-

теля, прибайивЪ кЪ первому нѣ-
сколько не леи, в'Ь часгпномЪ чи-
слѣ будешЪ 0,1333, слѣдственно
Предложенная дробь почти рав-
на * или {э.

г)	IIосрёдствомЪ

дробей можно
узнать , которая

'десятичиыхЪ
весьма легко
изЪ данНыхЪ

дробей больше , на пр. есшьли
спросится , которая дробь изЪ
силѣ больше или г, Л|'? пре-
враіпивЪ сіи дроби вЪ десятич-
ныя выйдетЪ изЪ первой 0,3, а
изЪ другой о, об, слѣдственно пер-
вая дробь гораздо больше второй,
ПО тому что /5 больше

3) СШ дроби употребляются не
и. лько вЪ Геометріи , но и во
всей Хашгма .икѣ , шакЪ что
безЪ нихЪ і іЪ образомЪ
обойтись не молы .

Глава.пиша я.

О квадратныхъ н кцбтныхъ
інслахъ.

§. і.

О .л р е д 1 .іені „ч.

і.	Квадратное с.іс.іо есть произве"
деніе какого ниесть числа сачо
на себя умноженнаго.

2.	Число, которое само на себя мно-
жится, вЪ разсужденіи произведе-
нія называется ». иі к еадрат-
ной, на пр. 36 есть квадратное
число, а 6 корень кмд,аш Л-

3.	Кі/сЪігное енс.іо мда с.	есть

произведеніе проазс •<-	очіЪ

умноженія квад| :піа на свои ко-
рень ; корень же вЪ разсужденіи
куба называется корень кцсПкноіі;
та;Ъ числа 6 квадратЪ есть 36,
кубЪ 2і 6; а куба 216 корень ку-
бичной 6,

4-	Произведенія происшедшія изЪ
множителей или факторовъ меж-
ду собою авныхЪ называются
стеленн.

Вторая стеленъ есть произведе-
ніе произходящее о.гпЪ умноженія
какого ни есть числа само на се-
бя. ИзЪ сего явсгавуетЪ очевид-
но, чточ квадратное число или
квадратЪ такЪ же второю сте-
пенью называть чохно.

і. Ур' о я стеленъ произходитЪ ,
когда одно число три раза вхо-
дигпЪ вЪ умноженіе, по сему кубЪ
или кубичное число есть третья
степень.

<Прп лісаніе^ ИзЪ сего явсгпвуетЪ оче-
видно , что какЪ квадратЪ, такЪ
и кубЪ всякаго цѣлаго числа удоб-
но находи іь м >кіл Но естьли
задана бу ;етЪ д . 5ь, то квадратЪ
или кубЪ оныя найдется, когда
возмется какЪ числителя, такЪ

4б	-

и знаменателя порознь КвадратЪ
или кубЪ. Естьли же предложе-
но будетЪ цѣлое число сЪ дробью
и потребуется сыскать его ква-
драпіЪ или кубЪ •, то Надлежитъ
сЪ начала цѣлое число обратить
вЪ дробь, а пошсчЪ взять ква-
драпіЪ или куоЪ какЪ отЪ числи-
теля , такЪ и отЪ знаменателя.
ТакЪ дроби б)Д .пЬ к аі. атЪ
а кубЪ ; равнымЪ образомЬ цѣ-
лаго числа сЪ дробью на пр. 3 І
будетЪ квадратЪ “ 14 а
КубЪ * а, — 5'» '-*•

у. Яізвлекатъ каре-: квл.пітчо'і изЪ
какого пи будь числа е:ть спо-
собъ находить таи*.* число, ко-
торое саяо на с я <•. * и помно-
жено ддетЪ пре дложеннуе іисло.

$. Я'ізвлекаті корень кцеигнон ёсіПЬ
способъ находить іпакое число ,
коего квадратЪ умноженный на
найденное число даешЪ самое пред-

ложенное.

ТТуи.ні*а'-. . Е чьмі мзЪ какого ни
ёсчіь числа « и; т. пояіребуешся
извлечь а:-4. і.тЛ м ень , то
сіе означаемся слѣдующимъ обра-
зомЪ г} жлч просто У 3. Но

естьли должно извлечь корень
кубичной то сіе озна-чаешся какЪ
слѣдуетЪ: у- 3. Сей знакЪ упо-
требляемый обыкновенно при гтг-
КихЪ числахЪ изЪ коихЪ совер-
теаім кор-аЬ извлечь ие можно
клаывае - .я лдлка.ііныіі. или ко*

*.' ‘ •- іе .	.г: л,\і'	, і

§ II.

О извлеченіи. квадратнаго корня

• При извлеченіи квадратнаго кбр-
нч изЪ какого ниеспіь числа над-
лежи ;Ъ поступать слѣдующимъ
•бразояЪ:

і)	Предложенное число раздѣли
прежде всего на классы, начиная
дѣленіе ошЪ правой руки кЪ лѣ-

бой, такЪ, что бы во всякомЪ
классѣ находилось по два знака,
изключая послѣдней, вЪ коемЪ
и одинЪ знак7> быть мѳжетЪ.

2)	ПоніомЪ сыщи такое число,
копюрое будучи само на себя по-
множено , было бы равно числамЪ
вЪ первомъ классѣ находящимся,
или бы весьма близко кЪ нимЪ
подходило. Сіе число б'деяіЪ пер-
вая чаешь искомаго квадратна-
го корня.

3)	КвідрашЪ найденной первой ча-
сти к >рня вычти изЪ перваго
класса.

4)	КЪ остатку поисоюк; пи пер-
вой знікЪ сдѣ (ѵ я? -аго класса.
Пошояр найденные о вый знакЪ
помножь на 2, и остатокъ со
снесеннымЪ пе^вымЪ знакомЪ раз-
дѣли на сіе произведеніе. Част-
ное число будешЪ второй знакЪ
корня , которое и нашии.і на
второмЪ мѣстѣ.

$ Произведеніе найденнаго част-
наго числа на дѣлителя подпиши
ііодЪ дѣлияымЪ числомЪ, пошомЪ
Снеси и віпо. ый знакѣ класса. По-
слѣ сего сЪ произведеніемъ част-
наго числа на дѣлителя сложи
квадрапіЪ найденнаго новаго част-
наго числа, піакЪ, чріобЪ послѣд-
ній знакЪ квадрата соотвѣт-
ствовалъ послѣднему знаку класса,
 сѵмяу вычти изЪ верьхнлгд
*

6. КЪ се чу остатку присовокупи
первый знакЪ третьяго класса.
ПотомЪ на удвоенную чаешь
корня раздѣливъ остатокъ со сне-
сеннымъ первымъ знакомъ, най
дется третій знакЪ корня. По-
С'ѣ сего поступай точно такЪ
хе, іііі вЪ чл. 4 и 5 показано,
м со всѣми п лѣд . ..іиии клас-
сами. ТакинЪ обраі мЪ найдетъ»
сі искомой корень предложен-
ная э квадратнаго числа

Ч. 11.	4

ЯІрнуніілчіе і. При нахожденіи част-
наго числа или корня должно
смотрѣть иногда на слѣдующій
' знакЪ класса, и на произведеніе
изЪ частей дважды взятое, сло-
женнное сЪ квадратомЪ послѣд-
ней части, И іо еже\и сумма бу-
детЪ больше того числа, изЪ
коего вычитать надлежитъ, то
должно _лдава._ьсл жедьиимЪ зна-
комъ

УТрпмі'іаніе 2. Есіпьли произведеніе

найденной
взятое не
вЪ остаткѣ
слѣдующаго

части корня .дважды?
содержится ни разу
сЪ присовокупленнымъ
класса первымЪ зна-

кояЪ, піо написгвЪ вЪ корнѣ о,
надлежитъ еще вести два знака
слѣдующаго класса, что все изЪ
слѣдующихъ примѣровъ яснѣе пе-
нять можно.

ІО. Примѣры.

V 13, 24, 96| 364 V і, 9$» 84>°$ х4°3

9_____	_2_____

б | 424	а |

36	3

__3^	_ 16

396	^96

72 | 2896	»8о | 8409

288	8409

іб	о

±$об

іт. ИзЪ примѣчанія вЪ чл. 6. поста-
вленнаго видѣли мы, что квадратЪ
дроби находится, ежели числите-
ля и знаменателя возмутся ква-
драты, и тогда квадратЪ числи-
теля дастЪ числителя, а ква-
д **пЪ знаменателя дастЪ зна-
менателя искс• л А. и; слѣд-
ственно, ко да мзЪ дроби должно
извлекать корень кваіратной, то
должно навлечь корень квадраш-

ной изЪ числителя особливо, и
изЪ знаменателя особливо, Есгпьли
же изЪ цѣлаго Числа сЪ дробью
должно извлекать коренй'квадрат-
ной, то надлежитъ ЛГ начала
цѣлое число привести вЪ дробь,
а потомЪ цосшуиаа.ь но выше-
сказанинону,

12. Поелику не всякое число есть
совершенный ква ірашЪ, шо слѣ-
дуетЪ, что и корней совершен-
ныхъ для всѣхЪ чиселЪ имѣть не
можно. Не смотря на сіе можно
найти такой корень, которой
отЪ совершеннаго чувствительно
разниться не будея ». Сіе про-
изводится посрёдсша вЪ де яти-
чныхЪ дробей, а именно, придай
отЪ правой ууки ст лько классовъ
Нулей, Сколько за благо разсудит-
ся, потомЪ извлекай корень вы-
піепокаваннымЪ образоиЪ. Тогда
по совершеніи дѣйствія первый
жлассЪ нулей дастЪ вЪ корнѣ знакЪ

для десяшнчныхЪ дробей, вто-
рый для сошенныхЪ, третій для
іпысячныхЪ,  шакЪ далѣе. По-
сему дани-о числа 549 квадрат-
ной корень найдется 23>43°?48»
к торой будучи самЪ на себя уыно-
жекЪ хотя и не производитъ
заданнаго числа, однакожЪ раз-
ность бываетЪ столь мала, что
ее' безЪ погрѣшности оставишь
» ам,

«3- Естьли случится извлекать ко-
рень квадратной изЪ такого чи-
сла, при коемЪ находятся деся-
тичныя дроби, пю цѣлыя числа
надлежитъ раздѣлять на классы
особливо отЪ правой руки кЪ лѣ-
в л, м десятичныя дроби особли-
ва же, алія «ля дѣлен.е вЪ десяти-
чныхъ доллх. <.лЪ лѣвой руки
г.Ъ правой, какЪ то изЪ слѣдую-
го примѣра д.до уразумѣть

 - Ж1.О.

**Т°^-53» 2&93,40, (17,508о$о8
і

Я | 2о6.	•*

1&9

341 і?53
і 725

35оо | 2^2 Ь-3
2 &ОО«4.

350Г60 і 28-94000
28012364

35016160 I 2311360000
___________21 о I2 92 864
10007136

Гдѣ осшашокЪ хео ’і^б зЪ чув-
ствительной п ;	со-

Вс* чЪ ссгпав. «пь м-.жц. ; .о сему
Ж.орень пгсжлоЖе.. ..о ч^слл 6у-
детЪ 17,5000044

$. Ш.

0^3 нмлесем < ли Начало корня,

14. При извлеченія кубичнаго корня
изЪ какаго ниесшь числа надле-*
лигУіЪ поступать сдѣдующивЪ
образомЪ: [

л

а) Данное число прежде всего раз-
дѣли на классы, начинай дѣленіе
ѵ .. ..де . и . ѵ кв кЪ лѣвой, шакЪ,
- ~

«иі бы вЪ каждомЪ находилось
по гори знака изключая послѣд-
ній , вЪ коемЪ могушЪ быть
одинЪ или два зрака,

2)	Пріищи шакое число, гоего
ку СЪ или равенЪ знакамЪ вЪ нер-
1 ; классѣ оіпЪ лѣвой руки на-
х * (ві *»	МА близко

уЪ нимЪ поди и. :Ъ- Корень его
пшики отЪ іі, аь а руки подлѣ
послѣдней ч*; ы, а самой куѣ)Ь
і /. д кзЪ первдіо класса.

3)	КЪ остатку присовокупивъ пер-
вый знакЪ слѣдующаго класса,
спрашивай, сколько разЪ содер-
жится вЪ немЪ квадрш^ найден-
ной первой части трйжды взя-
тый: частное число дастЪ вто-
рый знакЪ вЪ корнѣ; умноживЪ
имЪ дѣлителя, который обыкно-
венно ставится по лѣвую ру-
ку, произведеніе подпиши такЪ,
чгаобЪ первый знакЪ отЪ правой
руки соотвѣтствовалъ перьвому
знакр класса.

д) Прис воку л е^е вторый знакЪ.
Произведеніе квад^ . послѣдней
части корня на первую три-
жды взятаго под сашь должно
такЪ, чтобЪ - первый знакЪ сего
произведенья отЪ правой руки
соотвѣтствовалъ второму знаку
класса.

3 На конецЪ снеси послѣдній
знакЪ класса, возни кубЪ послѣд-
ней части и подпиши схо такЪ,

чтобЪ первый знакЪ отЪ пра-
вой руки снесенной-.' соотвѣт-
ствовалъ. По шоі сложи вЪ од-
ну суя су всѣ сіи произведенія,
и вычти изЪ соотвѣтствую-
щихъ знаковЪ куба. СЪ остат-
комъ поступай такЪ, какЪ выше
сего показано, равно какЪ и сЪ по.
слѣдующими классами до тѣхЪ
порЪ, пока все дѣло совершится,
полагая за первую часть всѣ чи-
сла вЪ корнЬ найденныя. СимЪ
образсмЪ найдется искомый ку-
бичный корень предложеннаго
числа.

Зірилііанге. При извлеченіи куби-
чнаго корнг должно наблюдать то
же самое, что сказало при извле-
ченіи квадратнаго корня вЪ при-
мѣчаніяхъ 9Т® чл. и вЪ членахЪ
іі. 12. и 13, няя только
сказанное о кіадга . . кЪ кубу.

>5 Примѣры.

г 8’9,634,513 | 447.

48 | ^5634

192

192

_______64

21184

380І І4450513

40656

6463

343

4»3°б23

3‘9і9о-

ОсшмпокЪ З^З?® можно оста-
вишь , естьли большой точно-
сти не требуется иначе надле-
житъ принять вЪ помощь деся-
тичныя дроби.



О содержаніяхъ и пропорціяхъ

§ ь

ЯТредеарн -келілыл

о^'гдси'нія.

I. Содержаніе есть с х-неніе двухЪ
одного роду количествъ между
собою.

к

. С аучпвашь два или многія коли-
чества между собою можно дво-
лкмчЬ только образом^| а имен-
но, или спрашивается ‘ чѣмЪ
одна величина или число болѣе
или яснѣе другаго; или 2 е, во
сколько разЪ одно число больше
или меньше драгаго, или сколько
разЪ одно число Л д^угоыЪ содер-
жится ? ИзЪ сихЪ двухо вопро-
совъ произошли два рода содержа-
ній, а именно.

і) «,УЛ'ч .► т .пскос со^ѵжакі'е,
когда при сравненіи двухЪ коли-
чествъ берется ихЪ разность»
или когда сяошр~. .я, чѣчЪ од-
но П] е ышаешЪ апл. Сіе со-
держаніе изоб{ йжае» . * обыкновен-
но шакЪ: з — 3 — 2, а вы-
говаривается 5 безЪ з равны 2;
слѣдственно 5~3-{-2, шо есть,
С льшое число равняется всегда
разности 2 сложенной сЪ меиь-
ціимЪ числоиЪ з.

Фео «гтркгіское содержаніе, ко-
гда при сравненіи двухЪ коли-
чествъ берется их I частное
число, »ил:і когда смоггр.ітся, во
сколько, р зЪ одно больше и хи
пеньте драгаго , или сколько
разЪ одно вЪ другомЪ содержит-
ся. Сіе содержаніе означается
обыкновенно знакомЪ при дѣле-
ніи употребляемымъ, а именно:
4:2 ~ 2, произносится хе тахЪ,
4 содержится кЪ 2, или просто
4 кЪ л равны 2.

3.	Данныя количества вЪ обѣихЪ
содержаніяхъ, какЪ ариѳмешиче-
еко'мЪ, шакЪ и геометрическомъ,
называются термичамн, или ъле-
надюс содержанія; одинЪ на передо
стоящій, лредЪядущнмВ, а дру-
гой дос іідуюіцн.'ид, шакЪ 5 и 4
суть и* д иду» чле ь., а 3 и 2
послѣдующіе, в’ содеі жаніяхЪ
5— 3 — 2 и 4: 2 — 2 При семЪ над-
лежитъ примѣчать , что еешьли

Се

спрэсишся, во сколько разЪ 4 боль-
ше 2 , шо 4 будешЪ членЪ предЪ-
  ущій геометрическаго содержа-
нія, а» 2 послѣдующій; но естьли
вопросЪ будетЪ такой, сколько
разЪ 2 вЪ 4 содержится, то 4
бугетЪ чѵенЬ послѣдующій, а 2
предЪи іущтй

4.	« счателі ео^'ѵжлчіл вЪ гео-

метрическомъ содержаніи есть ча-
стное число прсизходящее отЪ
дѣленія предЪидуЩаго члена чрезЪ
послѣдующій, или послѣдующаго,
чрезЪ ііреді-и іущій, такЪ вЪ со-
держаніи 20 : 5 знаменатель бу-
детъ 4 ~

5.	Содержанье называется

Л4 ко іа я\и и\ (азности. или
знаменатели будутЪ одчнаки ,
такЪ 5—3—2,9 7 — 2,21 —19
— 2 и проч. будутЪ равны ме-
жду со!'ою’; -равнымЪ образомЪ со-
держанія 4:2, — 2; 32	16 — 2;

18:9 — 2, будушЪ такЪ же ра-

бз -

ены между собою. Равенство же
двухЪ одного ро-а содержаній на-
зывается лугл ги, которая по
двоякс-яу ралхия:^ содеркан.** бы-
ваетъ ахЪ же двоякая, а ижеи-
но , ар лэ.лстхссскал и помсту»-
сескал.

§. п.

О лрслоуй* ^риемепшсескоі.

і-	»<•- етмгскал лролорціл есть
не иное что , какЪ равенство
. двухЪ ариѳметическихъ содержа-

ній, шакЪ естьли возмушся какія
ниесть Два равныя ариѳметиче-
скія содержанія, на пр. 8 — 5—3
и 12 —9~з, то ариемешиче-
ская пропорція изобразится такЪ:
8—5~і2—9, а выговаривается
8 безЪ 5 равны I- безЪ 9.

2.	ВЪ каждой ариѳметической про-
порціи бываетъ завсегда сумма

перваго и четвертаго члена ра-
вна суммѣ впгораго и третьяго у
или сумма крайнихЪ членовъ ра-
вна суммѣ среднихЪ; Іп'акЪ вЪ про-
порціяхъ.

9 ~ 5—6—2 буд-9 -}-2 — 5+6	1і

18—іо~3о—22--і8 2:_іо;Зо = 4о
4— 3 — 8 —7--4 +7—3+8~и
и проч.

Для доказательства се.о свой-
ства ариѳметической пропорціи
возмемЪ какую внесть пропори
цМ, на прнм.8—6~9—7. По-
елику в і '» какЪ то мы уже
выте сего пр«і  иля, первый
членЪ 8 перваго содераан.д § — 6
12 с равняется	чле-

ну и разности а  мн , 3 ~
6 + 2, равныхЪ образомЬ и пер-
вый членЪ 9 втораго содержанія
9 — 7 ~ г равняется второму
члену и разности, сирѣчь , ~
7 -г 2 . то слѣдуетъ очевидно,
что для сдѣланія сихЪ членовЬ



разными надлежитъ кЪ Перво-
му придашь у, а кЪ другому -6,
тогда выйдегаЪ 8 + у ~ 9+й
— у + 6 -}- я; слѣдственно сум-
ка перваго и четвертаго члена
равняется суяяѣ втораго и тре-
тьяго; и поелику сіе же самое
разсужденіе можно принаровит»
и ко всякой пропорцій, шо явсшву-
етЪ отсюда истинна предложена
на.о свойства сея пропорціи.

у И*Ъ е:о главнаго свойства арие?
мес цческой пропорціи слѣдуетЪ:

і) Что члены пропорціи перест «
влять можно, наблюдая толь-
ко то, что бы сумма крайнихъ
членовЪ равна была суммѣ сред-
МхЪ; тако пропорцію 9 — 5
♦ хи? разишь можно слѣдую-
ЧЕ"*МИ вокалъ., А жиеяно, 9 — 6
= 5—	5— > — с —6; 6—9

~ - — 5, по іпоѵу что всегда вы-
х литЪ 6-1-5— 9 + 2 = П.

Ч. II, і

бб

г) Есгпьли тпри члена ариѳме-
тической пропорціи извѣстны ,
то завсегда можно найти че-
твертый, а именно;

(і) По даннымЪ перьвому, второ-
му и шрешьечу членамъ найдет-
ся четвертый, когда изЪ суммы
втораго и третьяго члена вы-
чтется первый; шакЪ вЪ про-
порціи 8—3 = 11 — 6 найдется
6=34-11 ~' 8=і4~— 8=6.

.'**’**'

(о) По даннымЪ первому, второ-
му и четвертому членамъ най-
дется третій, когда изЪ сум:-
мы перваго и четвертаго члена
вычтешся вторый членЪ, шакЪ
вЪ пропорціи 8 — 3 = 11 — 6
будетЪ третій членЪ 8 +* 6 — 3
= 14—3 = и.

(3)	По даннымЪ первому, треть-
ему и четвертому членамЪ най-
дется вторый, когда изЪ сум-
мы перваго и чещвершаго члена



вычтешся третій, шакЪ вЪ про-
порціи 8 — 3 — іі —‘6 най-
дется вторый членЪ 8+6-—іі
' = «4^и=3-

(4)	По даннымЪ второму, треть-
ему и четвертому членамЪ най-
дется первый когда изЪ суммы
втораго и третьяго члена вы-
чтется четвертый, гаакЪ вЪ про-
порціи 8 — 3 — и — 6 первый
членЪ будегаЪ 3 + и — 6 —
14 — 6~8-

4. Естьли кЪ ариѳметической про-
порціи вторый членЪ равенЪ бу-
детъ третьему, такая пропорція
называется безпрерывною; такЪ
8—5=5-2; ю—7—7—4; Т5—9
— ?— з, и проч. будутЪ пропорціи
(еворериіныв , гдѣ вторый членЪ
налы меска ерелл» арнѳметн-
се кнлЗ смс.ео.кЗ - . ыеноліЗ.

Среднее ариѳметическое число по
с -ему сійічшву ариѳметической



пропорціи найдется, когда сумма
двухЪ данньтхЪ членовЪ раздѣ-
лится на а; такЪ между данны-
ми двумя числами на.пр. 9 и з
найдется среднее ариѳметическое
< число 223 = и ~ 6; слѣдственно
2

пропорція выйдегаЪ такая 9 — 6
— 6 - 3.

6. Естьли же жежду многими чи-
слами понадобится сыскать сред-
нее число, то сложи данныя чи-
сла и сумму раздѣли на ихЪ чи-
сло, на пр. между 9, 8, 13» 6 най-
дется среднее ариѳметическое
число- такЪ: ^2'22?	9; и такЪ

9 будешЪ искомое среднее число.

~ Среднее арр^е г вчеркое число
употреблять можно вЪ слѣдую-
щемъ и подобныхъ сему примѣ-
рѣ: ОдинЪ имѣетЪ поле, которое
принесло ему вЪ первый годЪ 50
четгеррковЪ хлѣба, во вторый 42,
вЪ третій 314, вЪ четвертый 4О,

1Ъ" пятый 7», вЪ шестый 38.,
вЪ седмый 5|6. в осжь  6о, вЪде*
жятыи - десятый 6з, и же-
лаетЪ	сколько оно ежегод-

но п нносншЪ, даэы оттуда мож-
но бы'-о оцѣнишь оное. Сложивъ
всѣ числа выйдегаЪ 525, кои раз-
дѣливъ на по тому что всѣхЬ
заданныхъ чиселЪ находится і о,
получимЪ 52|. ИзЪ сего слѣду-
етъ, что поле пхи равномъ обра-
ботываніи приноситъ ежегодно
52 * четверика. По сему же пра-
вилу можно найти, сколько лю-
дей вЪ какомЪ ниесть мѣстѣ еже-
годно раждается и умираепіЪ ,
взявЪ среднее число между числа-
ми родившихся и умершиѵЪ «но-
ги \Ъ годовЪ; но при семЪ на іле-
жппЪ примѣ ча ь, что счисленіе
будетЪ тѣяЪ і ’	*. чѣмЪ боль-

шее число годовЪ ».зиеніся.

III.

О УеоМемрпгеікой пропорціи,
і. З'еоуиетригеская пропорція не
иное что есть, какЪ равенство
двухЪ геометрическихъ содержа-
ній, такЪ естьли два равныя гео-
метрическія содержанія , на» пр.
9'3—3 « >5-' о —Я> уравняются
между собою, то выйдетЪ гео-
метрическая пропорція 9 : з =
і5 : 5, и выговаривается такЪ, 9
содержится кЪ змЪ такЪ , какЪ
15 кЪ 5ти, или просто 9 кЪ змЪ
такЪ. какЪ 15 кЪ 5ши.

а. БЪ каждой геояегп. пческой про-
порціи произведеніе перваго и че-
твертаго члена равно бываетЪ
произведенію втораго и третья-
го, или произведеніе крайнихъ чле-
новъ равно произведенію среднихЪ;
такЪ вЪ пропорціи 2 .4=8: іб
выйдетЪ 2x16 = 4x8 = 32- Для
доказательства сего главнѣйшаго

свойства геометрической _ пропор-
ціи возмевЪ вЪ разсужденіе какую
ни есть проп рцію, н примѣрЪ
<?, • 6	: 2. П елпку 12 болѣе

бпш вЪ два раза, и такЪ когда іа
и 6 помножатся на одно число 4,
то произведеніе 12 на 4 будешь
вЪ двое болѣе произведенія 6 на 4;
но ежели вмѣсто того, чпю бы
12 помножить на 4 , умножено
будетЪ оно на другое число, ко-
г , есть половина отЪ 4хЪ,
що есть, на 2, то произведеніе
будетЪ такЪ же половица про-
изведенія 12 на 4; слѣдственно
оно будетЪ равно произведенію
бтн на 4, по тому что оно
столько вЪ разсужденіи множите-
ля своего схЪ теряетЪ, сколько
часлэ е ошЪ своего множителя
4 и. нгірЯаае* і Се саяое разсу-
жденіе можно , потребить при
в якомЪ содер ж >«!. хотя бы оно
чж.даии или бу іаии изображено

72

было ; слѣдственно предложенную
истину доказали мы оыцимЬ
 оіпЪ примѣровъ независящимъ
образомЪ.

3- ИзЪ сего свойства геометрича»
екой пропорціи слѣдуетЪ:

і) Когда три первые члена извѣ-
стны, то четвертый н йденіся,
когда произведеніе вп. .раю и
третьяго члена на первый раз-
дѣлится, на примѣрЪ 2 : 4
8:2— іб.
1

а) Когда первый, вторый и четверо
тый члены извѣстны, то тре-
тій найдется,  гда произве-
деніе перваго  четаерлея'-о члена
раздѣлится' На ыворый, ні при-
мѣръ 2 ; 4— х .16, откуда вый-
детЪ X —	— 32---8-

3)	Когда первый, третій, и че-
твертый члены извѣстны, та
вторый найдется, когда произве-
деніе перваго и четвертаго члена

===== -Я

раздѣлите? на третій, на пр.
2 : х= іб. ошіуда найдется

4)	Кога жгпорый, третій, п че-
тг. ергаый члены извѣстны, то
первый найдется, когда произве-
деніе втораго и третьяго члена
раздѣлится на четвертый, на пр.
х : 4—8 : і<5, откуда пол} чимЬ
х —л'4 — з;— 2	'

X —— — и — 2.

5)	Члены пропорціи представлять
можно различнымъ оіфазомЪ, а
именно, пропорція 2 : 4 — 3 - 6
не перемѣнитъ своего знаменова-
нія и вЪ слѣдующихъ случаяхЪ:

2	: 3 = 4 : б

4 : 2 = 6 : з

д : 6 =2 : 3

3	- — 6	4

3	— •	4

О Пропорція шакЪ же не пере-
вЛніііпся, когда в**дЬидущій сло-
х. ся или вычтете# изЪ послѣ-

Дующаго и обратно, и пошлется
кЪ предЪидущему или послѣдую-
щему, и то же сдѣлается сЪ дру-
іимЪ содержаніемъ: по сему изЪ
пропорціи 2 : 4 ~ 3 : 6 получимЪ

2+4 : 2-34-6 : з или 6 : 2—9 : 3.
2 + 4 : 4=3 + 6 : 6 или 6 : 4=9 : 6.
2—4 і 2=3—6 ЗМАИ2 2=3 : 3.
2—4 : 4—3 — 6-6 или 2 ' 4=3 : 6.

7)	Когда сумма или разность
предЪидущаго и послѣдующаго
члена пошлется кЪ разности
или суммѣ тѣхЪ же членовЪ, и
то же самое сдѣлается сЪ дру-
гимЪ содержаніемъ; гао пропор-
ція не перецѣните ; такЪ изЪ
пропорціи 2 о. ~з 6 выйдетЪ
®+4 : 2—4=:з~г6 : 3—6 или 6 : 2= 9 : 3
а—4 : 2+4=3—6 : з+6 или 2 : 6 = 3 : у

8)	Когда первый и вторый или
третій членЪ на одно число
помножатся или раздѣлятся
то пропорція не перемѣнится ;

и,.,1! .»	75

по сему пропорція 2 : 4 “ 3 : 6
можетЪ изобразишься такЪ:

2x5: 4Х;5—з 6 или ю ; 20— 3:6.
2x5:'4=73x5 6 или іо : 4—15 : 6.

; :	3  С или I . 2 — 3 : 6.

® : 4 “ I : 6 или і : 4 ~ 3 : 6.

9)	То же самое произойдетъ, ко-
гда четвертый и третій или
вторый членЪ на одно число по-
множатся или раздѣлятся.

I э) РавныяЪ образомъ пропорція
не перемѣнится, когда первый и
третій или вторый членЪ по-
множатся или раздѣля- ся на
одно число, а четвертый и вто-
рый или третій на другое ка-
кое ниесть число помножатся
или раздѣлятся, по сему изЪ про-
і ^'н 2 : 4 ~ з : 6 полу чимЪ

• - дх---*' "иля 14:28=15: Зо

2>р дх5=:зх7.6ж"	14:20—21:30

11)	Естьли даны будутЪ двѣ про*,
порціи, на прим. 2 : 4— 3 : 6 и
5 : Ю — 8 • іб, то выйдетЪ все-
гда >2x5 : 4x10 — 3x8.-. 6 х 16.
или ю : 40— 24 : 96, по тому
что произведенія крайнихъ равны
произведенію среднихъ. Естьли’
л.е дано будетЪ я но; о пропорцій
иа пр. і : 2 — з : 6

4 : 8 = 16; 32

3 :	5^ 15

ТЛО ПОМНОЖИВЪ предЪидущІя и
послѣдующія яежду собою, по*
лучимЪ слѣдующу ю пропорцію,
12 : І44~ 240:288 » гдѣ произ-
веденія среднихъ равны произве-
денію крайнихъ.

12)	Естьли послѣдующій членЪ
со держанія 2 : і будетЪ предЪ-
идущимЪ члепомЪ содержанія
і : 4, а сего послѣдующій будетЪ
предЪндущимЪ содержанія 4 : 6 и
шакЪ далѣе; пѵшомЪ всякое изЪ

сихЪ содержаній уравнено бу-
детъ другинЪ содержаніемъ, на
примѣра « I ~ ІО : 5

; ЛЬ : 4= з : 1 =

' 4 : 6— 6 : 9

6 ; 8—12 : 16

іпо со держаніе 2 : 4 называется
сісжеміЫ.иЗ изЪ содержаній 2 : і
й г : 4, или и»Ъ іо : 5 и 3 : 12;
іпак.Ъ же содержа:.іе 2 : 8 бу-
детЪ сложенное изЪ содержаній
2:1, 1 : 4 ; 4 : 6 ; 6 -? 8, ил и
изЪ ю : 5; 3 : 12; 6 9; 12 : іб;
кЪ сиѵЬ случаяхъ выходятЪ все-
гда слѣдующія пропорціи:

4—юх 3:5x12 — 30 : 6о

6 — 10x3x6 : 5x12x9 — 18о :540
а-П іо хз х 6 х 12 : 5 х 12 х 9 х іб

— 2 ібо: Ь ’4°>

П' точу что г деніе край-
н.іхЪ бываетЪ • егда равно про-
аізеденія среднміі.

13)	Еспіьли вЪ геометрической
пропорціи средніе члены будутЪ
равны между собою, то іпакая
пропорція называется нелре'ръі-
еною, средній же терминЪ или
членЪ называется среднѵліБ лро-
лорціочалъчыліЪ , шакЪ пропорція
3 : 6~6	12 будешЪ пропорція

непрерывная, а 6 средній пропор-
ціональный членЪ.

ід) Поелику вЪ геометрической
пропорціи произведеніе среднихъ
членовЪ равно бываетЪ произведе-
нію крайнихъ, пю средній членЪ
вЪ непрерывной геояетрической
пропорціи найдется, когда изЪ
произведенія кд йнихЪ извлечет-
ся корень квадратной, гаакЪ не--
жду числами з и 12 среднее
пропорціональное число будешЪ

Гзб“ 6.

Глава седмая.

О тройномъ лрымѣ во-
.л і обще,
'	§ г

Тіредбарптеліныл осГЗясненія.

I Тронное лравило вообще есшь ие
что иное, какЪ геометрическая
пропорція, или есшь способъ изЪ
іпрехЪ данныхЪ чиселЪ вЪ геоме-
трической пропорціи поставлен-
ныхъ находить четвертое неиз-
вѣстное , или пропорціональное
число. На примѣрЪ, ежели за 3
фунта заплачено 15 копѣекЪ, то
сколько стоить будутЪ 9 фун-
товЪ? Тогда 3 фунта, 15 копѣ-
екЪ и 9 фунтовЪ суть данныя пз-
г. іныя числа; а ошвѣгаЪ, сколь-
г> 9 фу- -»• сшоявЪ, будешЪ
четвертымъ и .и»* шнымЪ или
четвертымъ ь ціональнымЪ

. ..л <ііЪ.

й. Сіе правило вЪ разсужденіи птрехЪ
данныхЪ вЪ немЪ членовЪ называ-
ется тройнымъ; вЪ разсужденіи
содержанія, которое между собою
имѣюшЪ упомянутые члены про*
лори'іоналічы и5 вЪ разсужденіи
же великой пользы, которую мы
ЧрезЪ сіе правило вЪ общежитіи
ПриобрѣінаечЪ, 3- :отпым5 лразп-
лом5 имен} ешся.

§ Тройное правило вообще раздѣ-
ляется на простое и сложное*
Простое есть то, когда изЪ трехЪ
данныхЪ членовЪ, вЪ геометри-
ческой пропорціи находящихся »
ищется четвертое неизвѣстное
число; сложное- «е напротивъ
ВАЗь’.вается, когда будетЪ больше
членовЪ, нежели сколько для про-
стаго тройнаго правила требует-
ся. СверьхЪ сего какЪ простое,
іпакЪ и сложное тройное правило
раздѣляется на прямое и обрат-

ное.





§. и.

Тройное лрл.пое лрлвѵіо.

ч	лрагило назы-

вается ша, когда произведеніе вто-
раго и третьяго члена дѣлится
на первый, и шакимЪ образомЪ на-
ходится искомое число. Но чгпобЪ
знать, гдѣ должно употреблять
сіе правило , надлежитъ ' примѣ-
чать , что оно вЪ тѣ\Ъ слѵчаяхЪ
имѣешЪ мѣсто, вЪ коихЪ тре-
буется, чтобЪ во столько же разЪ
первый членЪ былЪ болѣе или ме-
нѣе втораго, во сколько третій
болѣе или менѣе четвертаго; или
гдѣ можно здѣлать вопросЪ: иЗ
додіше ШімЗ Твми/е; или іі иЗ
л ечіше , піі і*3 меньше* ГакЪ
Л П| едЪпду _еиЪ п, ™ѣ ѣ: чѣчЪ
бохьте фѵншоіЪ п  ь надобно,
піѣмЪ болѣе и ден-.І заплатить
должно; или когда заданЪ будетЪ
» Ь: за 4 артмяЪ ыаш^ ' за-

•. і. II. о

плачено 2 рубли1, а За 3 арііпінй,
шой же матеріи что заплатить
должно ? то явствуетЪ очевидно*
что онЪ принадлежитъ кЪ пред-
ложенному правилу по тому что
можно вопросить: чѣмЪ менѣе ма-
теріи, шѣмЪ менѣе и денегЪ пла-
ппішь надобно.

5. Данные члены вЪ тройномъ Пра»
вилѣ должно всегда разполагащь
такЪ, что бы вопрошающее чи-
сло вЪ третьемъ мѣстѣ на правой
сторонѣ написано было, то есть
9 фунтовЪ вЪ прежнемъ примѣрѣ;
поточЪ шо число, которое сЪ во-
прошающимъ одн го званія и ро-
да, или можешЪ вЪ одинакое зва-
ніе приведено быть, ставится на
первомъ мѣстѣ сЪ лѣвой стороны,
на примѣрЪ; вышеупомянутые 3
фунта. Остальное же извѣстное
число, которое сЪ неизвѣстнымъ
четвертымъ одно должно имѣть

яаименсйаніе, пишется вЪ среди*
нѣ, какЪ на причѣрЪ.

3 фу нота, 15 к^пѣекЪ, 9 фунтовЪ,
На конедЪ четвертый неизвѣст-
ный членЪ означается чрезЪ х,
доколѣ ояЪ найдется; по сечу
Предложенный вопросъ изобразит-
ся шакЪ , з : 15 — 9 : х.

6.' Для сысканія четвертаго пропор-
ціональнаго числа, умно кь вто-
рый членЪ 15 на третій 9. про-
изведеніе 135 раздѣли на первый
членЪ з, тогда выйдетЪ вЪ част-
номъ числѣ искомое четвертое
пропорціональное число 45.

$7. Когда первый членЪ будешЪ
ійокмо одна единица, тогда сіе
правило дѣлается чрезЪ одно
только умноженіе, на примѣра,
I лотЪ стоитЪ 4 копѣйки» что
заплатишь надобно за 5 лотовЪ ?
и шакЪ.

Лоты, копѣйки, лоты, копѣйки,

і : 4 ~ 5 ; 20

6 •

8- Когда вторый или третій членѣ
состоять будетЪ изЪ единицы,
то дѣлается сіе правило чрезЪ
одно дѣленіе, на примѣрЪ, сколько
рублей надобно заплатишь за 6
аршинЪ полотна, когда за 3 ар-
шина дано і рубль?

3 : і — 6 : 2

Или сколько денегЪ заплатишь
надобно за і аршинЪ сукна, ко-
гда за 4 аршина 20 рублей запла-
чено?

Аршины, рубли, аршины, рубли
4 : 20 — і : 5

9. Когда «Первый и третіи членЪ не
одинакою будугаЪ названія, тогда
чрезЪ раздробленіе надобно ихЪ
привесть вЪ одинакое званіе, на
примѣрЪ, что надобно заплатить
за одинЪ фуншЪ, когда 8 лотовЪ
сшоятЪ ю копѣскЪ?

Лоты, копѣйки, фунШЫ, копѣйки.

8 ю — і : 40

3^

3=

іо

8 | 320 | 40

За

II II

Лоты ; копѣйки , пуды , рубли , Копѣйки»
6 :	12 — і : 25» 6о

40

4о
•

За

1280

12

25бо /

128

6 [ і55^° | 25$° копѣекЪ.

12

33

_ 3» __

і6

36

и ч

86	=—-

і о. Когда дѣлитель, или первой членЪ
будетЪ больше произведенія изЪ,
втораго и третьяго члена; тогда
раздробляется произведеніе сіе на
меньшее званіе втораго члена ,
чтобы на первый чденЪ могло
быть раздѣлено, на примѣрЪ:

фунты, рубля, лоты, копѣйед.

I	•	3 — $	: 75

За	3

32	24

ІОО

32 I 2400 [ 75

224	*

ібо
ібо

н ч п

іі Когіа извѣстные члены состоятъ
изЪ чисе\ѣ разнаго именованія, то-
гда оные вЪ самое меньшее данное
званіе приведены быть должны;
а частное число, буде возможно,
приводишь надобно вЪ большее
званіе; на примѣрЪ, что стояшЪ
30 фунтовЪ, 24 лота, когда за

і пудЪ и -5 фунтовЪ заплачено
41 рубль, 6о копѣекЪ.

Пуд. фуніп. руб. КОП. фуя. . АОІП. руб. КОП.
і — 25 - 4і - 6о~ зо — з-г  19 — 68-

40	100	__3~_

2-	4іоо 6о

65	6о 90

130

195	984

2080__________ __________

С ьо : ^100 — 9^4 : А'

41 00
____м

59°4°

9§4

3936

2080 | 4°9344° 1 т968

208

~2013

1872

Ы’4

1	4

I 4

ігип»

То есть вЪ первомЪ членѣ і пудЪ
раздробляется вЪ фунты, кЪ ко-
имЪ прикладываются данные 25
фунтовЪ , сумма изЪ того сло-
женія произшедшая приводится
вЪ лоты, и выйдетЪ 2080 лотовЪ.
ТакичЪ же образомЪ и третій
членЪ вЪ лоты приводится; а
средній вЪ копѣйки. ПотомЪ
когда умяоженЪ будетЪ вторый
членЪ на третій и раздѣленъ на
первый , произшедшее же част-
ное число превратится вЪ рубли/
по выйдетЪ, какЪ выше сказа-
но, 19 рублей, 68 копѣеьЪ.

12. КЪ сему присовокупляются еще
для упражненія слѣдх ющіе при-
мЬры простаго тройнаго прямаго
правила:

і) За г пудЪ извѣстнаго товару
заплачено 4 рубли, спрашивает-
ся, сколько должно заплатишь
за 2о пудЪ того же товару?

ОтвѣпіЪ. 8о рублей.

а) Когда 3 берковца, 25 ФУ11"
іповЪ извѣстнаго шовару сіломпЪ
130 рублей, іо копѣекЪ сЪ день-
гою; шо «іф'Ш. мется, что бу-
детъ стоишь і лошЪ?

О.пвѣгпЪ. і полуш. Или по
ЧШИ I 16 полушки.

3)	Когда 15 фунпт. т8 лопт. 3 золоти.
С’.ПОЯшЪ 2 0 руб. 46 КОП. 3 I Пол.
то спрашивается, чіпо стоишь
.. дешЪ і П}дЪ и 24 лота? .

Ошв. 53 рубл. 48 коп. пол.

4)	Нѣкто купилЪ 54 | аршина
сукна за 205 рублей 18 коп. и 3
пол. спрашивается, сколько онЪ
купитЪ за 3 рубл. 45 копѣскЪ?

Оша. 14 -п вершка.

5)	За 4 лжж* «а : заігдаче-
но * іуслл; к.п. . —*»ал ся,сколько
яаплашишь должно з* і аршина?

Сяя. 55 код. । пол.

<Ю	------>

6)	Нѣкто $Ъ | года изшрачива-
етЪ 2.34 | рубля; спрашивается,
сколько онЪ ррд такомЪ хе родѣ
хизнр издержитЪ вЪ 5| лѣшЪ?

Отв. 1720 руб. Коп.

г 7) За 61 рубля куплено 51 пу-
да, 14? фуннг. и 131 лота то-
вару; спрашивается, сколько мо-
жно купить того хе товару за
юо червоннихЪ, считая ч^рво-
нецЪ по 2 рубли?

Отв. 169 пудЪ, з фун. 211 лота.

§) Капиталъ изЪ 1500 рублей
состоящій отданЪ вЪ росгпЪ по 5
процентовъ; спрашивается, сколь-
ко росту принесетЪ упомянутый
КаппталЪ Ъ одинЪ юдр?

Отв. 7,5 рублей.

' § ПІ.

Тронное. осГЬатнос лрабило

і$. Тронное обратное лравпю на.-
аываетс^ то, когда произведеніе

перваго и втораго члена дѣлится
на третій, и шлкимЪ образомЪ на-
ходится неизвѣстное число. Оно
употребляется тогда, когда тре-
буется, чшобЪ во столько разЪ
первый членЪ былЪ больше или
меньше третьяго , во сколько разЪ
вторый меньше или больше че-
твертаго, или гдѣ можно сдѣлаіпь
сей вопросЪ: іім5 (Голый , ті.пЪ
меньше \ или еі.иб меньше , тпѣ.’мб
с льіие. На примѣръ , 4 человѣка
издерживаютъ нѣкоторую сумму
денегЪ вЪ / дней; спрашивается ,
во сколько времени такую же сум-
му издсржатЪ і2 человѣкъ ? Здѣсь
саио собою видно, что можно упо-
требить сей вопросЪ: ъімЪ сГоль-
ш > ѵіімі меньше, по точу что
12 ч вѣкЪ скорѣе издержать мо-
гутЪ жзі г.нуі» суммъ , нежели
4 человѣка; слѣдственно имЪ и
меньше времени надобно ; и такЪ
длд сысканія и, жаднаго пропорцій

опальнаго числа расположи члены
вышесказаннымъ образомЪ:

чел. дней чел.
4 : 7 “ і2 : х.

ПогпомЪ первый членЪ 4 умножь
вторымЪ 7, и произведеніе 28 раз-
дѣли на 12, тогда найдется истин-
ное пропорціональное число х —
2 | дня. РавнымЪ образомЪ если
заДаиЪ будетЪ вопросЪ: 15 че-
ловѣкъ выкапываютъ одинЪ ровЪ
кЪ з дни; спрашивается, во сколь-
ко времени такой же ровЪ выко-
паіотЪ 5 человѣкъ? то явствуетЪ
что и онЪ принадлежитъ г.Ъ обра-
тному тройному правилу ; по
тому что вопросЪ: г/.«5 •ечііие ,
тпіліб (Голъте . И'ГІетЪ мѣсто ;
ибо чѣмЪ меньше людей, тѣмЪ
больше времени требуется для
совершенія такого же дѣла. И
такЪ поступивъ надлежащимъ об-
разомЪ истинное искомое число
будетЪ 9 дней.



93

«4- VIр и міры для упражненія.'

і) Нѣкоторое строеніе іоо ра-
ботниковЪ окдячявхкыпЪ вЪ іг |
дня; спрашивается, жо сколько
дней моГупіЬ построишь шо же
строеніе 235 работниковъ?

ОтвѣтЪ. ВЪ 5 дней, іо час. и
13 мииушЪ.

а) 8 человѣкъ оканчиваютъ нѣко-
торую работу вЪ іо дней; спра-
шивается , сколько работниковъ
то же сааое дѣло могутЪ сдѣ-
лать вЪ 5 ЗднЯ?

Отв. 14 | работ. ~ 14 работ.

3)	480 человѣкъ будучи вЪ крѣ-
пости имѣли провіанта на 6 мѣ-
сяцовЪ: но приказано имЪ тамЪ
пробыть ю мѣсяцовЪ ; спраши-
вается, сколько человѣкъ должно
ош :ишь назадЪ, чтобЪ провіан-
ту стало на .нн?е время?

ОтвѣтЪ. с8| человѣкЪ должно
оставить, а осшальныхЪ 192 ош-
Е) сшить.

4)	Курьеръ переходя каждый день
по 5 миль, приходишЬ вЪ назна-
ченное мѣсто вЪ іа дней; спраши-
вается , сколько другой курьеръ
долженЪ итши на кажДыЙ день,
чтобы вЪ то же мѣсто пдсиѣтіь
вЪ 8 дней?

Отв. у* мили.

5)	На з жорновахЪ на мѣлницѣ
вЪ 4 недѣли мѣлютЪ 5 четвертей
хлѣба; хочу знать, сколько жор-
нововЪ употребить должно, что
бы тотЪ же хлѣбЪ смолотЪ былЪ
вЪ 6 дней?

Отв. 14 жорнововЪ.

6)	На одну пару платья потребно
сукна 5 аршинЪ, кое шириною вЪ
і | аршина ; спрашивается, сколь-
ко аршинЪ с\кна потребуется »
естьли сукно будетЪ вЪ і | ар-
шина шириною?

ОтвѣшЪ. 5 | аршина.

7)	Одно платье изЪ 6 аршинЪ су-
кна вЪ 11 аршина шириною сдѣ-

данное, должно подЛоіййіѣ мате-
ріею вЪ аршина только шири»
ною; спрашиваете!, сколько ар-
шинЪ ЯЛЯ№рТи купишь должно I

Отв. 12 аршинЪ.

И елику Аглинскій футЪ со*
держится кЪ французскому, какЪ
135 кЪ 144; спрашивается, 7 Аглии*
скихЪ футовЪ сколько сдѣлаюшЪ
французскихъ ?

Отв. 6 фута искомое число.

«5. IV.

Зіовірка троннаго правила.

15.	Что бы узнать, справедливо ли
разрѣшенъ предложенный примѣрЪ
тройнаго правила, надлежитъ по
евс исшваиЪ геометрической про-
.С|4І К МАИ

1.	П'.аЫ* ЧЛ'яЪ ПОМНОЖИШЬ
ваЙдеянЬіѵЪ же» -ылѴ числомЪ ;
когда произведете должно быть
кадь произведенію среднихъ чле-

яовЪ, есіиьли задача сдѣлана спра-
ведливо. или

2	Первый ЧЛенЪ раздѣлишь на
вторый , а третій на найденный
четвертый членЪ. Частныя чи-
сла оттуда произшедшія должны
быть рагны между србою. или

3.	Первый членЪ радѣлить на
третій , а вторый на четвертый;
частныя числа дс жны бытъ
такЪ же равны между собою, и’ли

4.	Найденное искомое число по-
ставить первымЪ, вторымЪ или
третьимъ членочЪ , а одно изЪ
шрехЪ данныхЪ съѣхать четвер-
тымъ членомЪ, и искать его, яко
неизвѣстное, < ’кно инымЪ обра-
зомЪ. ЕсіпьЛи и к мое число вый_
детЪ данный членЪ, то счисленіе
сдѣлано справедливо.

іб.	Для лучшаго уразумѣнія сихЪ
правилЪ разберемЪ выше вего при-
веденный примѣрЪ; тогда для по-
вірыі пелучтиЪ;

^=3	97

і) і пудЪ X 8о рубл. — 4 руб.

• X 20 пудЪ — 8о.

л I пудЪ	3 пѵдЪ	I

7 4 Рубл.	л. рубл.	4

„ \ I пудЪ   4 рубл.   I

° 5Э пудЪ	во рубл.	20

4) или 8о рублей : 20 пудамЪ
—. 4 рубли : і пуду, что
и требуется.

дли со пудЪ : 8о рублямъ
~ і пудЪ 4 ру бл.

или 20 рублей : х пуду “
8о рублей : 4 пудамЪ;

1ВозмемЪ шакЪже для примѣру
^сй примѣръ обратнаго тройяагѳ
правила; а имянно;

4 недѣли з жернова — 6 дней

14 * . .. или 2: дней з жер.

~ Ь Д«'<	>4 а А- пере-

ахмаі . • «.	.	_ь; шакЪ:

да <14 жери.

іное пра-

г. И.

вило, которое по вышепредлв*
женнымЪ правиламъ удобно уже
повѣришь можно.

§ V.

Сложное тройное правило.

18.	Сложное стройное правило
ілребляегпея тогда , когда вЪ пред-
ложенномъ примѣрѣ будетЪ болѣе
ЗхЪ данныхЪ членовЪ. Но при
семЪ надлежитъ примѣчать, что
правило состоящее изЪ 5 членовЪ
именуется просто пятерное, имѣ-
ющее 7 чиселЪ селерме , и такЪ
далѣе.

19.	Примѣры, кЪ слоя но «у тройному
правилу принадлежащіе, можно раз-
рѣшать двоякнмЪ образомЪ, а имян-
у- по:

і ) ИзЪ данныхЪ членовЪ ставят-
ся сЪ начала три члена, кои
сравнены быть могутЪ вЪ про-
порцію, и пріискивается кЪ нимЪ

четвертый членЪ; по томЪ сей
найденный четвертый членЪ
сЪ прочиян данными членами
став.-ппся вЪ другую пропорцію,
и пріиг чвается снова четвер-
тый членЪ; сей членЪ сравнивъ
такЪ же сЪ остальными, какЪ и
прежде, найдется на послѣдокЪ
искомое пропорціональное число,
на пр. Двумя сохами вЪ 3 дни
обработывается 9 десятинЪ, упо-
требляя на то 8 часовЪ вЪ
день; спрашивается, сколько зем^
ли можно вспахать вЪ 6 дней
іо сохами, работая каждый день
по 12 часовЪ? При разрѣшеніи се-
го вопроса поступай такЪ, какЪ
слѣдуетЪ:

• -эхж; , десяш. —іо сохЪ : д^десят.
•» дни .*45де. >ш.~ 6 дней : 90 десят.
8>.ас. :9одесят.—12 ча^ : 135 десят.

Слѣдственно вЪ 6 дней ю соха-
кх, работая вЪ день по ія ча-
1 •

ІСО

совЪ можно вспахать 135
тинЪ.

а) СЪ начала надлежитъ сдѣлать
геометрическія содержанія, пола-
гая предЪидущими членами дан-
ныя числа, а послѣдующими на-
ходящіяся пги самомЬ вопросѣ;
іиакЪ что бы вЪ одномЪ содер-
жаніи были члены оѵноіе наиме-.
новація, на примѣръ , люди и
люди; дни и дни; часы и часы
и пр. а по томЪ по свойству
пропорціи должно помножить
между собою всѣ предЪи іущіе и
всѣ послѣдующіе члены порознь,
тогда произведеніе предЪидѵщихЪ
членовЪ дасшЪ пе, «ій членЪ
тройнаго Правя?*; произведеніе
послѣдующихъ будетЪ вторый
членЪ; третій же членЪ будетЪ
то , о чеыЪ ' спрашивается. Раз-
положивЪ члены такимЪ обра-
зомъ найдется удобно по трой-
ному правилу искомое четверто®

пропорціональное число. По сему
приведенный выше сего примѣръ
изобразился шакЪ:

я сохи	:	іо	сохЪ

3 дни	:	6	дней	*

8 час.	:	Ій	часовЪ

48 ; 720 — 9 дес. : 135 дес.

іо. При разрѣшеніи вопросовъ кЪ сло-
жному тройному правилу принад-
лежащихъ рачительно надлежитъ
разсматривать, кЪ прямому или
обратному принадлежатъ они
правилу; естьли прямое трой-
ное правило имѣетЪ мѣсто, то
надлежитъ поступать обыкно-
веннымъ образомЪ ; естьли же
вопросЪ принадлежитъ кЪ обрапі-
н.му тройному правилу, то
вх пе: , -яЬ способѣ нахлежитЪ
поступать ша*Ъ, какЪ вЪ трой-
номъ обратномъ п аві \ѣ показа-
м і; во второмЪ же члены, обрат-
у пропорціи составляющіе,

Ю2

должно переставить, такЪ что
бы предЪидущій былЪ послѣду-
ющимъ, а послѣдующій предЪ-
идущимЪ; на конецЪ поступать
такЪ, какЪ выше сего показано;
что удобнѣе [понять можно изЪ
слѣдующаго примѣра: Двумя
хами >Ъ з дни обработываютЪ
9 дссяшинЪ земли, употребляя
на то ежедневно ко 8 часовЪ ;
спрашивается, сколько потребно
СохЪ для обработанія 135 деся-
тинЪ вЪ 6 дней, употребляя на
то времени по 12 часовЪ вЪ день?
По первому способу надлежитъ
поступать шакЪ:

дни сохи дней

з : 2 ~ 6 : і соха.

десяти. сох. десяти.

9 • 1 — 535- 15 срхЪ.

ЧасовЪ.	сох.	час.

$ : 15 ~ іа : іо сохЪ.

По второчу же разположи члены
такЪ:

9 десят. :	135	десят.

6 дней :	з	дни

12 часовЪ :	8	часовЪ

648	:	3240 —' а : ю сохЪ.

«I. ЯТрпЛііры для упражненія..

і)	Одною сохою вспахиваютЪ вЪ
одинЪ день 2 десятины земли;
(н. з.) надлежитъ знать, сколь-
ко десятинЪ вспашутЪ 12 соха-
ми вЪ 6 дней?

Отв. 144 десятины.

2)	Два башмашника сшиваютЪ вЪ
одинЪ день 3 пары батмаковЪ ;
(и. з.), сколько парЪ сошыотЪ
20 башмашниковЪ вЪ 6 дней?

Отв. парЪ башмакокЪ.

3)	ОдинЪ нзвотикЪ везегаЪ 12
бері* >&овЪ ю миль за 5 рублей;
(н. э.)* сколь? о еяу дать долж-
но за 50 бе,ко: >вЪ, кои онЪ 24
налы вести долхенЪ ?

Отв. 50 рублеХ

_   2'- "

хО-4-

4)	КапиталЪ, изЪ іоо рублей со-
стоящій, вЪ одинЪ годЬ даетЪ
росгцу 5 рублей; (н. з.) сколь-
ко росту принесетъ капиталъ
вЪ 3000 рублей вЪ 6 лѣшЪ?

Отв, 900 рублей.

5.	) ОдинЪ каппгаалЪ изЪ
рублей приноситъ вЪ одинЪ годЪ
росту г 126 рублей, считая по
5 рублей со іоо; (и. з.) сколь-
ко получить должно процентовъ
вЪ і| года, естьли кЪ капиталу
прибавится еще 480 рублей?

Отв. 262^ рубли.

6)	5 аршинЪ сукна вЪ і ’ аршина
шириною стоятЪ 12 рублей
7з коп. (и. з.у что стоишь бу-
дутъ 2і аршинЪ сукяд столь
же добротнаго, но вЪ 2 | арши-
на шириною ?

Отв. 65 рубл. 21 коп. і | пол.

7|) ВЪ четвертоугольночЪ саду вЪ
бо саженЪ длиною, и вЪ |



Ю5

сажени шириною , усаживается
3000 деревЪ; ( ч. з.) сколько де-
ревЪ такой же величины поса-
дить можно вЪ другомЪ саду і
кое.о длина 8о ' сажени, а ши-
ри ч 46 5 сажени?

Отв. 3577 деревЪ.

7 ОдинЬ капиталъ ошданЪ
ьЪ роспіЪ по' 5 процентовъ, и
приноситъ каждый мѣслцЪ 24
рубли.- (н. з.) сколь великЪ ка-
питалъ ?

Отв. 5760 рубл.

9) Одною сохою вЪ одинЪ день
обработываютЪ 2 десятины зем-
ли; ( и. з. ) сколько] сохЪ потре-
буется , дабы вспахать 144 де-
с ітины вЪ 6 дней ?

О ав. 12 сохЪ.

ю) 2с Ээ человѣкъ, иітодясь вЪ крѣ-
пости, имІкіг.Ъ г віанпіа на 4
недѣли , когда каж іый получать
О ;етЪ по 2 5 фунта на день:

ісб

но пришло кЪ нимЪ еще 4© о
человѣкъ , провіанта же должно
стать всѣмЪ на 5 недѣль ; и
гпакЪ спрашивается, сколько ка-
ждому еЪ день давать надле-
житъ?

Отв. і * фунта.

11 ) Капиталъ изЪ 560 рублей со-
стоящій и отданный вЪ ростЪ
по 5 процентовъ, приносипіЬ вЪ 2
года 56 рублей; (и. з.) сколько
приневетЪ росту капиталъ 2520
рублей вЪ 50 лѣтЪ, считая по
6 рублей со і оо ьЪ годЪ ?

Отв. 7560 рубл.

12)	Одно бревно >Ъ 12 фушовЪ
длиною, вЪ з фута шириною и
еЪ а фута толщиною піянетЪ
1296 фунтовЪ; (н. з.) сколько
потянетЪ другое такое же брев-
но, коего длина 15, ширина 5,
а толстота і футЪ?

Отв. 1350 фунтовЪ.



13)	4 писаря переписываютъ еЪ 8
дней 250 страницъ, взЪ коихЪ на
всякой наход/ лея по 20 строкЪ;
(н. з.) во сколько дней 6 писа-
рей 350 страницъ о 35 стро-
кахъ нчпишучпЪ ?

Опп. вЪ 9 | дней.

14)	Для одной стѣны потребно
5400 кирпичей, коихЪ длина 6 ,
тирана 3 , а высота и дюйма ;
(и. з.) сколько потребуется для
такой же стѣны кирпичей, ко-
ихЪ длина 8, ширина 4, а вы-
«ота з дюйма?

Отв. 2025 кирпичей.

іб) 33°° рублей вЪ 18 мѣсяцовЪ
приносятъ росту 180 рублей, а
сумма 5000 отдана вЪ такой ж®
ростЬ на 30 ыѣсяповЪ; но по
прошествіи сего времени долж_
никЪ, когда за.ічодавцу росгпЪ
платить станегаЪ по договору,
жЪ мѣсто 5 рублей давать дол-

108	е=з=

женЪ только 4 рубли. Получен»
ной гоакимЪ обрааомЪ ростЪ дол-
жно раздѣлить между братомЪ
и сестрою шакЪ , чтобъ изЪ
шрехЪ частей брату досталось
двѣ, а сестрѣ одна; ( н. з. ) ,
сколько брату и сколько сестрѣ
достанется?

Отв. Брату достанется 442 ||
рубл.

16) бо человѣкъ вЪ а мѣсяца сдѣ-
лали ровЪ вЪ длину 120 саженЪ,
вЪ ширину з сажени, вЪ глуби-
ну 2 сажени, (н. з. ) во сколь-
ко времени юо человѣкъ сдѣла-
ктЪ другой ровЪ вЪ длину 200
саженЪ, вЪ ширину 4 сажени, а
вЪ глдбиііѵ 2 ; сажени ?

Отв. вЪ з | мѣсяца.	/

/7) 450 человѣкъ работая вЪ су-
шки 12 часовЪ, вЪ у мѣсяцовЪ
сдѣлали 170 кусковЪ сукна, каж-
дой длины вЪ 40 аршинЪ вЪ

іср

аршина шириною; ( и. з.) сколь-
ко кусковЪ сукна длиною 50, а
шириною вЪ , і I аршина сдѣлать
могушЪ боо человѣкъ вЪ годЪ ,
работы >Ъ сугакаѵЬ по 15 ча-
совъ?

Ошв 323 Гі куска.

§ VI.

Правило товарищества.

*а. Лравн ю тов р ііцествл есть спо-
собъ раздѣлять общей прибышокЪ
или убытокЬ товарищей , пропор-
ціонально положеннымъ вЪ торгЪ
отЪ нихЪ суммамъ.

23. При семЪ правилѣ надлежитъ
наблюдать слѣдующее:

I Положенныя вЪ кладЪ деньга
или какія ни есть вещи должно
сЪ начала сложвісь вЪ одну сум-
му , по томЪ посылать , какЪ
общая сумма кЪ общему при-
6а ику или убытку , шакЪ сумма

ІЮ

всякаго порознь кЪ своему при-
бытку или убытку. Для при-
мѣра возмеяЪ , что трое поло-
жили вЪ пюргЪ слѣдующія сум-
мы. А 150 рублей, Б зоо рублей
В 350 рубл. По прошествіи же
нѣкотораго времени приторгова-
ли они 250 рублей, и такЪ спра-
шивается, сколько каждому изЪ
сей суммы получить должно ?
При рѣшеніи такихЪ вопросовъ
поступай такЪ, какЪ слѣдуешЪ:

А. 150
Б. 200
В- 35о
общая сумма 700

руб. р} б. коп. пол.
700:250=150 : 53,57,^ получилЪА.'
—: —=2оо : ?і,42,з|	—Б.

—: — = 35о:і25 - - ----- В.

а) Ежели при суммѣ каждаго на-
значено будепіЪ еще и время ,
на которое судна вЪ торгЪ по-

ложена, на пр. А положилъ 150
руб. на 3 мѣсяца, Б 200 руб.
на 5 ' ѣсяповЪ, а В 350 рублей
на 8 "ѣсяцовЪ вЪ шакомЪ случаѣ
помнохЪ складчины числомЪ озна-
чающимъ время , на кое они
>Ъ іпоргЪ положены, по піомЪ
всѣ произведенія сложи вЪ одну
сумму; далѣе же поступай такЪ,
какЪ слѣдуетЪ.-

А. 150 х з — 450

Б. 200 х 5 — . юоо

В. 3.50 х § — 2800

4250

руб. коп.

4250 : 250“ 450 : А 26, 47 4

——	-— — юоо	Б. 58, 82 4

--- : —— 280» : В. 164, 70

14. ІТрплііры 4лл улражхенія.

і ) Нѣкто будучи долженЪ 4 че-
ловѣкамЪ, а имянно А боо руб.
Ь 52», В 400, Г зьо рублей, по-

лучилЪ на уплату долговъ толь-*
ко 1500 рублей; (и. з.), сколько
каждому изЪ его 4 заимодавцевъ
2 останется?

ОтвѣтЪ. А получитЪ 473 рубл.
68 коп. і пол. Б 410 рублей
52 коп. 2 пол. В 315 рубл.

78 коп. з Ц пол. Г. 300 рубл.

2)	Должно раздѣлить наслѣдство
24000 рублей такЪ, что бы изЪ
онаго получилЪ А | , Б I, В
По сему спрашивается, сколько
каждый получитЪ?

ОтвѣтЪ А 5052 рубл. 63 коп.

-'| пол. Б 75; 8 рубл. 94 коп. 2 пол.
В ііЗ^Ь рубл. 42 коп. пол.

3)	А, Б, В наняли поле за ідо
рублей. А выгонялЪ на оное 30
быковЪ 24 дни, Б 26 быковЪ 20
дней, В 20 быковЪ іб дней; (н.з.).
сколько каждому изЪ нахЪ за-
платить должно?

а=~	ІІЗ

Отв. А 46 рубл. 15 коп. т ?'по.ѵ
Б 33 Р?6д. -з коиѣмк. і || пол
В 20 рубл. 51 КОП. I пол.

4)	ІІѢкліо ваплатилЪ 4 । аботни-
каыЪ ->5 рублей. А работалъ
8 дней, каждый день по 12 ча-
совЪ, Б іо дней по ю часовЪ ,
В 9 дней по і і часовЪ, Г 11 дней
по 8 ча<?овЪ; (н. з.) сколько каж-
дому достанется ?

Отв. А 8 рубл. 77 коп. і
пол. Б 9 рубл. 13 коп. з Щ пол.
В 9 рубл. 4 коп пол. Г 8 ру.
4 коп. пол.

5)	Нѣкоторое изЪ іпрехЪ человѣкъ
состоящее товарищество выиграло
515 рублей. А положилъ вЪ склад-
чину 5000 рублей на 6 мѣся-
цовЪ, Б 3250 рубл. на 4 ыѣсд-
ма, В 5000 рублей на і годЪ;
спрашивается, скблько каждый
получитЪ изЪ 515 рублей?

Отв. А 150 рубл. Б 65 рубл.
В 300 рублей.

Хр* •-*. Ч. /А 8



1І+	е==з

6)	Три офицера получили на да-
чу жалованья ихЪ коммандамЪ
1200 рублей; у перваго было сол-
дагпЪ 40 человѣкъ, у втораго
120, а у третьяго 140 человѣкъ
(и. з.), сколько который офил
церЪ изЪ общей суммы принять
долженъ ?

Отв. первый получитЪ ібо оу6.
вторый 480, а третій 560 руб. ,
у) Два констапеля будучи кои*
мандироваиы иа батареи для ар-
тиллерійской екзерциціи приня-
ли 2 * пуда пороха , но одинЪ
сЪ 4 ю пушками, коему приказано за-
ряжать каждую по з фунта, а
друой сЪ іо тью пушками , ко-
ему велЬно за яжлшь по 2 фунта,
и при іпочЪ равное число зарядовЪ
высшр влитъ сЪ первымЪ консіпа-
пелемЪ: спрашивается , сколько
которой пороху взять долженЪ ?

Отв. Первой 3/5, а другой

62 ’ фунта.

в-=а	«И

25. Когда по правилу товарище-
ства изЪ нзьѣсіпнаю выигрыша
или росту должно найти самый
капиталѣ, па п. имѣрЪ: четве-
ро кзпиовЪ положили вЪ торгѣ
50340 рублей. А положилъ свои
деньги на 3 мѣсяца, Б на 8,
В на п, а Г на 20 дней. ОтЪ
сею торгу А приобрѣлЪ бары-
ша 371 рубл. Б 520. В 242.
Г 213 | рубля. И шакЪ спраши-
вгенкя, по скольку каждый поло-
жилъ вЪ пюргЬ ? При разрѣшеніи
сего и подобныхъ сему вопросозЪ
раздѣли выигрыши на данное вре-
мя ; частныя числа сложи вмѣ-
стѣ , а і.отомЬ поступай шакЪ,
какЪ слѣдуеш'Ь:

А.	37 і	•- 3	•0 СІ II мЛ С< ** II
Б.	5-о	•	— 65 =_І5°
В.	24-	: 11	— 22 — 44
Г.		• >	—з-	— А4°
			839

I іб

§39 •' 5°34° = 2э : А 1500.
~ 130 :.Д 7800.

44 : В 264.0.
“ 640 : Г 38400.

§ VII.

ЯТовіяка л} авн.іа товарищества.

2,6. ЧшобЪ узнать справедливо ли
рѣшегіа задача до сего правила
касающаяся, надлежитъ всѣ про-
порціональныя части прибыіпка
или убытка каждаго человѣка сло-
жить вмѣстѣ ; и если сумма
часшныхЪ количествъ равна бу-
детЪ или положеннымъ вЪ складчи-
ну или вновь пріобрѣтеннымъ день-
гамъ , то вЪ исправности рѣшенія
можно будетЪ удостовѣришься.
Для лучшаго уразумѣнія возмемЪ
примѣры вЪ -членѣ 23 приведенные.
ТамЪ во первыхЪ найдено, что А
получилЪ 53 рубл. 57 коп. з пол.,
Б 7і руб.42 коп. з | пол. а В 152 руб.
Теперь сложивъ всѣ сіи количе-

егшза вмѣстѣ, получимЪ пріобрѣ-
тенный блрышЪ 250, какЪ то и
надлежало.

Во второ чЪ прчнірѣ того же
члена А нолучилЪ е рѵбл. 47
коп, Б 58 рубл. 82 4 коп. а В 164
рубл. 70 і* коп. СдоживЪ всѣ сіи
количества вмѣстѣ, выйдешЪ при.
обрѣтенный барьипЪ 250 рубл., какЪ
то и должно. ТакимЪ же обра-
зомЪ наілежишЪ посшхпагаь и во
всѣхЪ случаяхъ, если на рѣшеніе
предложеннаго вопроса положишь-
ся желаешЪ.

§. ѵш.

Лранило суиішенія.

7. ЯТраенло слішеніл есть способъ
смѣшивать данныя вещи ра іны.хЪ
цѣнЪ между собгік шакЬ. чтобЪ
смѣшенное и> данную Цѣну.
Но естьли н’<э — -,.аго смѣшенія
цѣны не оп} <ѣ іс- •, то вел і-
чина оной се .-.а правила П; а-

118	№»

сто находится, какЪ то изЪ слѣ-
дующихъ примѣровъ ясно уразу-
мѣть можно.

і) Когда 4 лота серебра, изЪ ко-
ихЪ каждый сшоишЪ г,о коцѣ-
екЬ, смѣшаются сЬ 6 лотами ,
изЪ коихЪ каж іый продаете#
но 50 копѣекЪ, то спрашивает-
ся, что стоишь будетЪ лошЪ
смѣшеннаго серебра? Для рѣше-
нія сего и подобныхъ сему во-
просовъ поступай шакЪ , какЪ
слѣдуетЪ:

4 х 20 ~ 8о

6 х 50 — 300

іо	38 кои.

Слѣдственно лошЪ смѣшеннаго
сереора стоить будетЪ 38 во-
пѣекЪ. *

л) Нѣкто имѣетЪ 4 сорта шел-
ку; фуншЪ А стоитЪ 8 ру бл.
фунтЪ, Б і2 рублей, В 15 рубл. ,
Г іо рублей. КЪ смѣшенію взялЪ

онЪ ошЪ А. з фунта, отЪ Б 4»
огаЪ В 8, отЪ Г 9 фунтовЪ; спра-
шивается, что будетЪ спюищь
фун.иЪ смѣшеннаго шелку?

А з х 8— 24

Б 4 х 12 — 48

В 8 х 15 — 120

Г 9 х ю — 90

Тд-	«12 — 111 рубл. сто-

ишЪ і фуніпЪ смѣшеннаго шелку.

3) Когда одинЪ фуншЪ про-
бы серебра смѣшается сЪ і фун-
іпомЪ 84 пробы, піо спрашивает-
ся , кЪ какой пробѣ принадле-
жать будешЪ смѣшенное сере-
бро?

I.	/2

1' 84

!_ѣ* —2 "8, слѣдс ’ечно смѣ-
і_нн с сереб э будешЪ принадле-
жать кЪ 78 о, ѵ'ѣ.

* . ИзкльчивЪ ладачіі безЪ означенія
^.ны сыѣшенна. ~зЬ правила снѣ-

шенія, приступимъ кЪ тѣмЪ, гдѣ
цѣна или сортЪ означается. На
сей конец'Ь положимъ сЪ начала г
что двѣ вещи смѣшиваются толь-
ко между собою, на пр. дано два
сорта серебра А и Б, изЪ коихЪ
одного А фуншЪ стоитЪ іо ру-
блей, а другаго Б фунтЪ ібрубл.
опрашивается , сколько должно
взять изЪ А и. Б, чтобЬ смѣшен”
наго С было 5 фушповЪ, изЪ ко-
ихЪ бы всякой стоилЪ г2 рублей?
Для разрѣшенія сего вопроса под-
пиши цѣны перваго и втораго од-
ну подЪ другою, а среднюю по
произволенію взятую по срединѣ
ошЪ лѣвой рѵки, погаомЪ данныя
пѣны сравнивъ сЪ среднею, сыщи
между ими разность. Найденную
разность между среднею цѣною и
большею напиши противЪ мень-
шей пѣны , а разность между
меньшею и среднею противЪ боль-
шой цѣны. Послѣ сего дѣлай

* столько разЪ тройное правило,
сколько дано будешЪ вещей или
цѣнЪ, вЪ коемЪ не; выи членЪ дол-
женъ быть сумма разностей вто-
рый количество смѣшеннаго , а
третій каждая разность. Най-
денныя количества пекажутЪ ,
сколько изЪ всякаго сорта взять
должно.

А. ю (Б—С) 4

С. 12 ч

Б. іб (С—А) 2

Сумма разностей — 6; по сему
выйдетЪ

6:5 — 4‘.~ ~ 3| фунпі. должно
взять серебра А.

— 2 : — ~ 11 фунпі. должно
взять серебра Б.

Смѣшеннаго же фунтЪ сепоа^ь
будешЪ і2 рублей.

29.	Когда кЪ сг к - ж. дадутся мно-
гіе соршы, г тгд* по двѣ цѣны
надлежитъ с і<» -і ?ь, какЪ вы-

ше показано, наблюдая то, чтобЪ
разность между большею сравни-
ваемыхъ и среднею цѣною напи-
сана была противЪ меньшой, а
разность между меньшою и сред-
нею противЪ большой. БЪ прочемЪ
одну и ту же вещь можно срав-
нивать сЪ другими не однократ-
но , отЪ чего задача различны-
ми образы разрѣшиться моженіЪ.
СверхЪ сего надлежитъ наблюдать
то, чшо бы разности какЪ у тѣхЪ
ЦѣнЪ, кои средней цѣны больше ,
такЪ и у тѣхЪ, кои оной мень-
ше , были числомЪ равны, какЪ
то изЪ приложенныхъ ниже сего
примѣровъ ясно л раз} мѣть можно.
Когда же сѣхі цьнЪ сравненія
будуіпЪ сдѣланы, то столько разЪ
дѣлай тройное правило, сколько
данныхЪ цѣнЪ имѣется. ВЪ трой-
ныхъ правилахъ первый членЪ
есть сумма всѣхЪ разностей, вто-
рый количесшо смѣшеннаго, горе-

іп ики'
Г 2 і А.
)27 Б.

33 ро В.
Ло Г.

глій всякая разность порознь ,
или С}мма разностей, ежели про-
тивъ о ѵ« н цѣны будетЪ больше,
нежели одна разность написана.
На іцииІрЬ, нѣкто желаешЪ смѣ-
шапгь 3°° Ы^’Іок^ вина, такЪ ,
чіносЪ каждая стоила 33 копѣй-
ки , кЪ смѣшенію же упош/ебля-
етЪ онЪ слѣдующіе соршы ьинЪ;
мѣрка А сшоиніЪ ді кои., Б ^-7,
Б 30 , 1 4° копѣекЪ; спраши-
вается, сколько для свѣшенія дол-
жно взять вс .каго сорту, дабы
мѣра смѣшеннаго стоила 33 цо-

7

7

7

12. 6.3

I________

^2 зоо— 7 ?50ігѢ.еи.А.

- 7 50 Б,
— -;50 В.
— >1:150—— Г.

То есть, А, Б, В смѣшены сЪ Г;
разности между 33 и А, Б, В
сушь і2, 6, з, кои будучи сло-
• жены, составляютъ разность 21 }
разность между 33 и 40 есть у,
которую кЪ каждому сорту сЬ Г
смѣшенному придать можно.

30.	Когда по произволенію принятой
сортЪ будетЪ меньше , нежели
каждый данный сортЪ, то вмѣ-
сто неданнаго меньшаго сорта
поставь о. На примѣрЪ, нѣкто
имѣешЪ четырехъ соршовЪ виня,
какЪ то А по 6 коп., Б по 12,
В по іб, Г по го копѣекЪ, и же-
лаеіпЪ смѣшать іо ведерЪ, при-
бавивъ г тому во іы столько,
чтобЪ мѣра смѣшеннаго стоила
15 копѣекЪ; спрашивается, сколь-
ко онЪ долженЪ взять каждаго?

о	I

6	А	5

12	Б	і

16	В	9

а о	Г	і5- 3

34 : ю — л : воды
— 5

— і : -У Б.

— 9 в-

~і8 :5к Г.

Смѣшеннаго каждая мѣра стоишь
будетЪ 15 копѣекЪ.

миганіе. ЯТрогіою сек>е(!ра назы-
вается число зологпниковЪ чиста-
го серебра смѣшеннаго сЪ мѣдью,
кото ыхЬ весь составЪ равенЪ од-
ному фунту, а имянно, то сере-
бро, вЪ коемЪ 72 золотника чи-
стаго серебра, а 24 і ло ника вѣ-
ди, называется сед» д- мзь вто-
рой пробы , и т.’К	Добро-

шу же пороха раздѣла мкЪ на про-
бы по шесту , ье| - . поста

вленному и раз дѣленному на іоо
аглинскихЪ фушовЬ ; шакЪ стрЕ-
ляючи вЪ верьхЪ примѣчаю иЬ, .еже-
ли крышка дробницы- по інчмеіп-
ея пороховою силою, на примѣрѣ
до числа 40 или 50 и проч., то-
гда порохѣ пюго заряда называ-
ютъ сороковой или пятидесятой
пробы и проч.

31.	ТЕрпміры дл* і[лра тнечіА.

1	) Серебреникѣ хочещБ смѣшать
серебро, коего лотѣ по 50 коп.,
сЪ дрѵгимЪ цѣною по 35 коігѣ-
екЪ, чтобъ сдѣлать лошЪ по 40
коп.; спрашивается, сколько вЪ сіе
смѣшеніе каждаго серебря взять
должно?

ОтвЕшЪ. Дешеваго надлежи пѣ
взять |, а дорогаго | лота.

а) ПорохЪ 52 пробы сиЕшать
сЪ порохомЪ .67 пробы, такѣ,
чтобЪ изЪ оныхЪ сдѣлать 15
фунш. 6о пробы; спрашивается^

сколько котораго пороху взять
должно?

Отв. 7 фунт. 42 пробы, да 8
фѵнтовЪ 67 прээы, надлежитъ
взять для 15 фуніповЪ 6о пробы.

3)	Нѣкоторый купецЪ желаетЪ
трехЬ добротЪ пороху дваяі-
цаяіь два фунта, изЪ коихЪ од-
ного фунтЪ 25 коп, другаго 34
коп., а третьяго 38 коп. смѣ-
шать вмѣстѣ гаакЪ, чтобЪ смѣ-
неннаго фунтЪ сшоилЪ 30 копѣ-
екЪ; спрашивается, сколько ко-
тораго пороха вЪ смѣшеніе под-
ложить надлежитъ ?

Отв. 12 фунтовЪ по 25 коп.,
5 фунт. ,по 34 коп. и 5 фунт.
по 38 коп.

4)	Нѣкто изЪ 8" и 96 пробы
серебра хочеіпЪ сдѣлать 32 лота
90 пробы, полагая вЬ то число
7 лотовЪ 8о □ .бы, спрашивает-
ся , по скольку л»н о*Ъ Л оное

і	====

смѣшеніе первыхЪ прѳбЪ взяшь
должно?	'

ОтвѣтЪ 7 Л лота 85 пробы, да
17 -Л ло/іа чистаго серебра, и
при шомЪ 7 лошовЪ 8о пробы.

§ IX.

ЗТовірка правила сліиіенія.

32, Повѣрка правила свѣшенія дѣ-
лается такЪ же, какЪ и правила
товарищества: надлежитъ только
найденныя для смѣшенія количе-
ства всякаго сорту сложить вмѣ-
стѣ, и если сумма оттуда про-
изшедшая равна будетЪ тому,
чему отЪ ихЪ смѣшенія выйти
надлежало, шо вЪ исправности рѣ-
шенія можно будетЪ удостовѣ-
риться.

Для лучшаго уразумѣнія разбе-
ремъ приведенные вЪ член. 29 И30
примѣры: тамЪ во первыхЪ для
составленія 300 мѣрокЪ вина пай-

дено, чшо огаЪ А должно взять
50 мѣрокЪ; отЪ Б 50; отЪ В 5° »
а отЪ Г 150. СложивЪ всѣ сіи ко-
личества получимЪ 300, какЪ шо
и надлежало.

Во второмЪ примѣрѣ сложивЪ
найденныя величины і 5 34 ;
2	5 и получимЪ іо, какЪ то

и должно. РавнымЪ образомЪ над-
лежитъ повѣрять и всѣ задачи,
до сего правила принадлежащія.

фаліиіпвос плн ложное
правило.

33.	Когда изЪ одного или двухЪ по про
изволенію взятыхЪ чисеѵЪ оп *.ѣ-
ляешся истинное искоя.» чясло,
то называется сіе г .  . .іи иЗ
ИЛИ Л0ЖНѢ1. чЗ .3: • I.

34.	Оно раздѣла? л •: ик . *енно ня
правило одного  двухЪ пол >'•
ній. ЯТравпл «чмд	. «

Арпо.н. Ч. II. »

икиея

называется, когда помощію одно-
го по произволенію взятаго числа
истинное находится. На противъ
правило двцхѢ лоложеній именует-
ся то , когда помощію двухЪ
по произволенію вдятыхЪ чиселЪ
ищется истинное число.

3.5. СверхЪ выше упомянутой разно-
сти находится между ияи и то
еще различіе, что кЪ правилу од-
ного положенія принадлежащія за-
дачи рѣшатся чрезЪ правила двухЪ
положеній; на противЪ задачи до
правила двухЪ положеній касаю-
щіяся по первому правилу рѣше-
ны быть не и&угпЪ.

36. При употребленіи сихЪ правилЪ
должно примѣчать слѣдующее:

і ) При правилѣ одного положенія
надлежитъ избрать такое чи-
сло, кое по видимому способству-
етъ кЪ рѣшенію даннаго вопроса,
на прим. 40 рублей должно раз-

дѣлишь мег.ду тремя человѣка-
ми такЪ , чтопЬ Б получилЪ
вЪ трое больше, нежели А; а
В столько, сколько А и Б вмѣ-
стѣ. Теперь спрашивается, сколь-
ко каждый изЪ нихЪ получить ?
Для разрѣшенія сего вопроса по-
ложимъ, что А получилЪ г рубль,
тогда по силѣ самаго предложе-
нія вкйдетнЪ:

А. і

Б. 3

В 4

8

Слѣдственно у А по произволеніи
взятое число і есть не истинное,
по тону что не выхоаашЪ пред-
ложенная сумма да ру   такЪ
должно азяаь вЪ М'М сіе
тройное прааѵд? . і і”до : 5,
го сему м»л -.а. л жсшкхя^е
-мело — 5

13*

2) При правилѣ же двухЪ поло-
женій надлежитъ поступать
такЪ Же, какЪ и вЪ правилѣ од-
ного положенія. Естьли сумма
положеній (что можетЪ произой-
ти случайнымъ образомЪ) бу-
детъ равна дажіой суммѣ , то
по произволенію взятое число
есть истинное; есгаьли же не
равна , що меньшая вычитается
мзЪ большей. Когда сумма по
произволенію взятаго числа ме-
нѣе той, которая должна быть
ей равна, по разность означает-
ся знакомЪ — (минусЪ), вЪ про-
піивномЪ же сл} чаѣ знакомЪ -|-
(плюсЪ). Замѣтивъ сіе начинай
рѣшеніе опять сЪ другаго, по
произволенію взятаго числа, и
продолжай такЪ же, какЪ выше
показано. Ежели погрѣшности
будуіпЪ одинаки, то разность
ихЪ, а ежели разные, то сумму
ихЪ взять за первой терминѣ

рдѣдуюЛаго тройнаго правила .
какЪ рлзность или сумма погрѣ-
шностей кЪ разности положеній,
такЪ погрѣшность которая ня
есть кЪ четвертому пропоіціс*
нальному числу. Найденное чет-
вертое пропорціональное кЪ то-
му положенію, отЪ коего про-
изошла погрѣшность на треть-
емъ мѣстѣ поставленная , при-
дать надлежитъ, ежели п (грѣш-
ность была вЪ недостаткѣ; вы-
честь , ежели она была вЪ из-
быткѣ. На примѣрѣ, нѣкшо имѣ-
етъ извѣстную сумму денегЪ :
но есшьлибЪ онЪ имѣлЪ еще столь-
ко, да полст олька, еще  ;
піѣхЪ денегЪ, кои им'* > , да
еще сверьхЪ того і -

бы \ него было - о	И

такЪ спрашк*аеа<*а , сколько у
него было	11 ложммЪ .

что денегЪ бы.'	 іс • ”

•іо силѣ воп. і • а

53 4

МДЯ.Ыі»

іе число взятое 12, другое 24,
еще столько	12	—	___ 24

полспіолъко	6	—	__ 12

| —	§	„	—	і6-

|	~	9	—	_	із

т '5	-	-	і,5

62	К»9

250	250

Ш	141

1141
разность погрѣшнос : 47"

47 • 12 ~ і88 : 48

47 : *2	141 • З6

придавъ 48 кЪ 12, а 36 кЪ 24,
выйдепзЪ вЪ обѣихЪ случаяхЪ 6о
лещинное чясло, слѣдственно по-
лу чимЪ

6о 4- 6о Н- 30 -Ь40 4.45 4-15—250,
37- Примѣры для упражненія.

Нѣкто будучи вопрошенЪ ,
»с«оль онЪ спіарЪ , огпвѣпіеіпво-
валЬ: когда я проживу еще поло-
вину, да т| ешь и еще четверть

йоихЪ лѣпіЪ , тогда внѣ бу-
детЪ сто лѣгаЪ. Спрашивается
сколько ему-было л*шЪ?

Ошв. 48 лѣтЪ.

2)	Нѣкто выигралЪ вЪ 4 дни "»о
рублей; во 2 ой день вкигалЪ
оиЪ вЪ половину меньше нро-
тивЪ перваго, вЪ 3 ій день вЪ
трое больше противЪ вт рэг.э
дня, вЪ 4 ый день вЪ » } р<зж
болѣе прогаивЪ і го дня ; сп; і-
шиваешся, по скольку онЪ вЪ ка-
ждый день выигрывалЪ?

Оіпв. 95 л руб. выигралЪ вЪ пер_
вый день.

3)	ОдинЪ далЪ А | своихЪ денеіЪ,
Б и еще осталось у него 25
рублей; спрашиваепіея, сколько
было у него всѣхЪ денегЪ?

Оіпв. 6о рублей.

4)	Нѣкто получилЪ яг ч нас.ѵЪ*-
ства: изЪ вш а досшал< >
ему вЪ трое ль . е, нежели жл
перваго; изЪ . яго вЪ б^іг--

ро болѣе, нежели изЪ обоихЪ пер-
выхъ безЪ 300 рублей, вее.о же
вмѣстѣ получилЪ* онЪ 4500 рубл*
спрашивается, сколько ему изЪ
каждаго наслѣдства досталось?

Отв. ИзЪ но 2оо, изЪ 2го боо,
а изЪ 310 3”оо рублей.

5)	Нѣкто купилЪ $6 ведеръ ви-
на за 142 рубли; ведро А сто-
итЪ рублей, а ведро Б іо' ру/
блей; спрашивается, сколько ве-
дерЬ купилЪ онЪ каждаго вина ?

Ошв. А 6 ведрЪ, а Б іо ведрЪ.

6)	Нѣктс далЪ А половину сво-
ихЪ денегЪ и 4- і , В половину
оставшихся и + 2, Б такЪ же
половину остальныхЪ и 4~ і,
такЪ, что у него ничего болѣе не
осталось; спрашивается, сколь-
ко онЪ имѣлЪ денегЪ ?

Отв. і§ рублей.

А и Б желаюшЪ купишь ло-
шадь во юо рублей. Когда Б
дастЪ А половику своихЪ денегЪ

сЪ 5, то А ножетЪ одинЪ ку-
пить лошадь; к гда же А дасіпЪ
Б | своихЪ денегЪ, то Б равнычЪ
образомЪ одпнЪ бы могЪ ку іи.аь
оную ; и іпакЪ спрашивается ,
сколько всякой изЪ нихЪ и  -
ешЪ денегій-

0твѣ)ГЬі4Г^4 рубли ияѣлЪ \
а $2, рубли' Б.

§) Нѣкто нанялЪ слугу сЪ та.
кимЪ уговоромЪ: за всякой день,
вЪ кошорой онЪ будетЪ рабо-
тать , сшанетЪ господинъ пла-
тить ему по 12 алпіынЪ; а ва
тотЪ день, вЪ которой ему ра-
ботать не захочется, долженЬ
онЪ платить господину а І *л-
шынЪ. По разчешу же г,м

дѣ года нашлось, - а то жзЪ
ихЪ Плашж.Ек кѵчеге •*

и яіакЪ се. а - *««	• гаоллі-

дней наемнмгЪ рабеавалі

Ошв. ідл д»»і ,4 са-> .• ;
дней ничего »' а- * -

9) Нѣкоторая башня построена
на водѣ, і ея вь.соты Находит-
ся во рвѣ. | вЪ водѣ, а ю са-
женЬ внѣ оной; спрашивается >
во сколько саженЪ башня?

Отв. вЪ 24 сажени.

іѳ) Нѣкто выѣлавЪ изЪ одного
мѣста переѣзжаете На каждой
день по 6 миль; тіо прошествіи
4 дней Послѣдовалъ ему другой'
ѣздокЪ, которой на день первѣз-
жаенЪ ю миль: сі рашпваешея,
во сколько дней послъдній дою-
нишЪ перваго?

Отв. вЬ 6 іней.

$1 рп.’иітаме. ИзЪ разности спхЪ за-
дачъ явспівуепіЪ очеви іно, что
никакого о. щаго правила дашь
не можно, какимЪ ооразоыЪ над-
лежипіЪ поступать при каждой
задачѣ ; по сему рачительное
вЪ заданной вопросЪ вниканіе на-
иболѣе кЪ рѣшенію задачъ спо-
собствовать можетЪ.

Я с н с ц 8.