УНИВЕРСАЛЬНАЯ
АРИѲМЕТИКА,
Г. Деонгарда Ейлера.

Переведенная сЪ нѣмецкаго подлинника
студентами ПетромЪ ИноходцойымЪ
и ИваномЪ ЮдинымЪ.

ОЛ «4Л Лф»

ТОМЪ ПЕРВЫЙ,
содержащій вЪ себѣ всѣ образы алгебра-
ическаго вычисленія.

ЧХ Ч5\ ѴС\ ХО\ ЧР\ ЧС\ Ѵ2\	Ѵ®\	Ч»\	ЧЛ	МХ

при Императорской .Академіи ИаукЬ 1768 год(а»
роспись МАТЕРІЯМЪ.

ЧАСТЬ НЕДѢЛЯ

О разныхъ родахЪ исчисленія простяыхЪ
количествъ.

ГЛАВА I. БЪ которой разсуждается о ма-
ѳематическихЪ наукахЪ в®-
обіце ---------------- --- ----------------- стр. х.

,-----II. О изЪясненіи знаковЪ рЪі§

л.ліос:Ъ и — тіпив минуеЪ . $.

-----— III. О умноженіи простыхъ коли-
чествъ     ------------------- ——

-------- IV. О свойствѣ цѣлыхъ чиселЪ вЪ
разсужденіи ихЪ множителей
---------------------- --- --- --------------- 22.

-----V. О дѣленіи простыхъ количествъ

---	---- ----------------- - 27.

------- VI. О свойствѣ цѢлыхЪ чиселЪ вЬ
разсужденіи ихЪ дѣлителей.
----------------- ------------ ---

—-------ѴП,	О дробяхЪ вообще —— —— 4.2.

--------ѴШ.-О свойствахъ дробей — 52.
—---------------------------------- ]Х.-О сложеніи и вычитаніи дро-
бей ------------------------------------- —- —- $3.

X а	глава X
ГЛАВА X. О умноженіи и дѣленіи дробей

--------XI.

--------XII.

---	-----------------(73.

О квадратныхъ числахЪ ----72.

О квадратныхъ корняхЪ и произ-
ходящихЬ оттуда неизвле-

комыхЪ числахЪ ——------77 •

XIII.	О произходящихЪ изЪ сегожЪ ис-

точника невозможныхъ или

мнимыхЪ числахЪ --- 88.

XIV.	О кубичныхЪ числахЪ---9б.

XV.	О кубичныхЪ корняхЪ и про-

изходящихЪ оттуда неиз-
влекомыхЪ числахЪ - - 99.
-------XVI. О степеняхъ вообще -------- юу,
---------------------------------------XVII. О счисленіяхъ со степенями

------XVIII.

-------XIX.

--------  XX.

— — —• ----------- і13 •

О корняхЪ всЪхЪ степеней
——— —— —- -— 118.
О изЪявленіи неизвлекомыхЬ
чиселЪ, вЪ ломаныхЪ пока-
зателяхъ -------- --- 122.

О разныхЪ способахъ счисле-
нія и о ихЪ связи вообще
ГЛАВА XXI.  ,	XXII.	О логариѳмахъ вообще 137. О употребительныхъ табли- ца хЪ лсгариѳмовѣ -—144..
	XXIII.	О способѣ представлять ло-

гариѳмы ---- —— 15і,

ЧЛ СТ Ь В ТО Р Л Я

о разныхЪ родахЪ изчисленія составныхъ
количествъ.

ГЛАВА I. О сложеніи составныхъ коли-
чествѣ —— --------------------- ----- 163.

------II. О вычитаніи составныхъ ко-
личествѣ ------------------------ --• іб8.

------Ш. О умноженіи составныхъ ко-
личествѣ ------------------ —-------171'

------IV. О дѣленіи составныхъ коли-
чествъ -------------------- --- ----- і8і,

-----— V. О разрѣшеніи дробей на без-
конечные ряды-----------------------і88.

>-----. VI. О квадратахъ составныхъ ко

личествЪ ---... «—.	 соі.

_ VII. О извлеченіи квадратныхѣ ко-
рней вѣ составныхъ коли-
чествахъ  —--------------------- 207*

X 3	VIII.
ГЛАВА VIII. О вычисленіи неизвлекомыхЪ
чиселЪ-------------------------- -- 214.»

-----— IX. О кубахЪ и извлеченіи кубич-
ныхъ корней    -------------------- 2 20.

-------X. О степеняхъ составныхъ чи-
селЪ -------------------	•——	——	224.

-------- XI. О переложеніи буквЪ , на чемЪ

доказательство преждедан-
наго правила основано езз1.

-------XII. О разрѣшеніи неизвлекомыхЪ

степеней на безконечные

ряды

243-

 X. О разрѣшеніи отрицательныхъ
степеней ----------- --- —— 245.

ЧАСТЬ ТРЕТІЯ

© содержаніи и пропорціи.

ГЛАВА I. О содержаніи ариѳметическомъ,
или разности двухЪ чиселЪ
----------------- ------ ----- --- 25$.

—— II. О ариѳметической пропорціи
----------------  — —! II— ' и	2 6 I •

——---- III. О прогрессіи ариѳметической
ГЛАВА IV. О нахожденіи суммы ариѳме-
тической прогрессіи -------------------2т$.

_______V. о фигурныхъ или многоуголь-
ныхъ числахЪ --------------------- —— 283•

________  VI.	О	содержаніи геометрическомъ

   -—- ~—• — •—— 253
 VII. О большемъ общемЪ дѣлителѣ
ДвухЪ данныхЪ чиселЪ 2рр
,— ---- VIII О пропорціи геометрической

	- '	-—- .г і 3 О

 IX. О изЪясненіи пропорціи 31$
,__.X. О сложныхъ содержаніяхъ 324.

-------- XI. О геометрическихъ прогрессіяхъ
—•	—	—	—	33<?

—----— ХП. О безконечныхъ десятичныхЬ

дробяхЪ--------------— 34^

-------хш. о вычисленіи интересовъ 355.

конецЪ росписи.

Х4

ПОГрѢш-
погрѣшности.

Стран.	строки	напечатано	читай
	3	X	12  ~2
		8	18
		5	3
бі	9	20	I  21
67	9	2  ІО	2  5
71	18	-4-Л Гі»	___ 8  15
8о	17	« 15Т	ТаТ
87	і	Ѵг  V*	2  Ѵг
1ОО	іб	I5	1 §
ІОІ	20	8	$
104	7	4^а	8  4^ а
Юр	17	понеже а	понеже йІ
111	8	і ~а	а~ "і
			Н—«
	18	аі—-	а
I 12	18	ля	бя.
І4І	2	•—ССІ	— И
І4Р	ІО	34Н-4	ЗХ-+-4
177	2 I	аЬ	ааЪ
і8і	О	простыхъ	составныхъ
187	13	2Л3^>2	2й’^
і5>4	3	а—3	а—|
2 12	15		ч-/>6
2251	17	2агЬЪ	за2ЬЬ
227	15	ЗааЬЬаЪ*	ЗааЪЬ—аЬ^
233	5>	6 той~^Д|Л. той — і +1  ***'^*і.—1*2’>4	і’а’зчч	
244	12	—«4	~Ѵ
262	12			 Ъ		 Р
321	17	деннаго	цѣпнаго.
|І** ************************* I

• ^^л^«^іМ^гЧ^^^»^Э!ЛЖл*<сЖл<ѵЖл;іЖ’>лж5>^

ПЕРВАЯ ЧАСТЬ,

о разныхъ родахъ исчисленія,
простыхъ количествъ.

Ѵ\^ЧЛ ЧЛЧ7\ ЧХ «С\ <д* 1в\ »С\ <Оѵ »с\ ѵгч ѴЛ\ ЧА >®\ ЧАѴС*Ь
ГЛЛВЛ I.

вЪ которой разсуждавшей о Маѳи-
матическихЪ наукахЪ вообще.

СТАТЬЯ і.

^Г^ОлервыхЪ все что увеличиться или
уменьшиться можетЬ , или кЪ чему
прибавить или убавить можно , назы-
вается пеличина или холкчестпо.

По сему сумма денегЪ есть коли-
чество , ибо кЪ оной придашь И ошЪ
оной убавишь можно.

А	РаднымЬ
равнымЪ образомЪ и вѢсЪ и многія-
другія сему подобныя вещи величиною!
назваться могугпЪ.

2.

И такЪ находятся весьма многіе
различные роды величинЪ > коихЪ всѢхЪ
удобно начислишь не можно : отсюду
произходятЪ разныя части Маѳиматики ,
и вЪ каждой о особливомЪ родѣ вели-
чины разсуждается ; ибо Мафи катила
обще есть наука о познаніи количествъ
и изыскиванія средства кЪ измѣренію
оныхЪ.

3.

Но величину количества опредѣ-
лить или вымѣрять инаго средства нѢшЪ,
какѣ взявЬ нѣкоторое количество такого
же роду за извѣстное , изыскать его
содержаніе кЬ мѣримому, которое и по-
кажетЪ , какЪ одинакаго рода величины
состояшЪ между собою. И такЪ когда
величина суммы денегЪ опредѣлена быть
долженствуетъ , то возми нѣкоторую
извѣ-
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 3
извѣстную деньгу какЪ напримѣрЪ гуль-
денЪ, рейхсталерЪ, рубль или червонецЪ
и сему подобное за извѣстное количе-
ство , по чему окажется , сколько разЪ
оная деньга вЪ помянутой суммѣ содер-
жится.

равнымЪ образомЪ когда величину
какой нибудь тягости опредѣлить должно,
то возьми, какую ниеспіь тягость напри-
мѣрЪ фунтѣ , центнерѣ или лотѣ и
сему подобное, за извѣстное количество ,
и смотри сколько такихЪ тягостей со-
держится вЪ прежней.

А ежели длину или ширину вымѣ-
рять должно , то обыкновенно употре-
бляютъ кЪ тому извѣстную длину ,
которая фу томѣ называется.

4-

И такЪ при опредѣленіи или вы-
мѣриваніи величинѣ всѢхЪ родовЪ , дѣло
состоитЪ вЪ томЪ » чтооЪ вопсрььыхЪ
извѣстная величина одинакого роду сЪ
мѣримою опредѣлена была, которая мѢ-

А 2	рою
рою или единицею называется , и она^
слѣдовательно отЬ нашего произволенія
зависипіЬ ; потбмЪ чтобЪ опредѣлено
было , вЪ какомЪ содержаніи помянутая
величина сЪ сею мѣрою находится , что
всегда числами означается ; по чему и
число не иное что , какЪ содержаніе
одного количества кЪ другому , кото-
рое берется за единицу.

ИзЪ сего явствуетЪ , что всѢ ве-
личины выражаются чрезЪ числа ; и
такЪ основаніе всей Маѳиматической
науки вЪ томѣ состоять должно , что
бы знаніе о числахЪ , и всѣ роды вы-
численія , какія при томЪ случиться
могутЪ , вЪ точное принять разсужде-
ніе и оное разобрать обстоятельно.

Которая основательная часть Ма-
ѳиматики называется Аналитика или
Ллгефа,

6.

И такЪ Аналитика обЪ однихЪ
токмо числахЪ толкуеіпЪ, по которымЪ
означи-
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ.



означиваются величины , не принимая
разные роды количествъ вЪ разсужденіе,
какЪ то видится вЪ другихЪ частяхЪ
Маѳиматики.

7-

О числахЪ особливо гполкуетЬ

Ариѳметика ; но оная простирается
токмо до извЪстныхЪ родовЪ исчисленія,

которыя чаще вЪ общемЪ житіи случа-
ются • напротивъ того Аналитика во-

обще до всякаго роду , какой только
при числахЪ и изчисленіи оныхЪ слу-
читься можешЪ.



ГЛлВЛ и.

ИзЪясненіе знаковЪ -4- ріпз ллюбй и
—тіпиз лтнусЬ, которые пороссійскій изо-
бразить можно: чрезЪ сЪ и с/ез2»

8.

Когда кЪ одному числу придается
другое, или когда одно число сЪ другимЬ
сложится , то означается сіе помощію

А 3	знака
6 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ’ИЗЧИСЛЕНІЯ
знака 4- I р1<і8) которой попереди числа!
ставится.

И такЪ чрезЪ $+3 означается то,1
что число 5 сЪ з сложено быть дол- *
жно , оггіЬ чего произойдетъ 8 • рав-
нымЪ образомЪ 12-4-7 составляютъ ,
19 , 254-16 даютЪ 41 а 254-41 есть
66 и проч.

9-

Посредствомъ сего знака 4- ріпз
можно соединить еще и больше чиселЪ ,
какЪ напримѢрЪ.

7+54-9 значитЪ , что число 7
сЪ 5 и сЪ 9 сложено быть должно ,
что составляетъ 21 ; по чему разу-
мѣется знаменованіе и слѣдующей фор-
мулы яко 8+5 + 13+11 + 1 + 3 + ю
составляютъ 51. *

ю.

СверьхЪ сего должно еще примѣ-
чать , что обыкновенно сіи числа озна-
чиваются буквами , какЪ а , Ь , с , <1
и проч. и такЪ когда напишется а 4- Ь ,
шо
гпо сіе означаетъ сумму обоихЪ чиселЪ,
которыя буквами а и Ь означены , сколь
бы велики или малы они ни были ; рав-
нымЪ образомЪ Е4- ш 4 Ь 4 х значитЬ
сумму чйс-елЪ изображенныхъ сими бук-
вами.

И такЪ во всякомЪ случаѣ , когда
только извѣстно какія числа какими
буквами означиваются , можно помощію
числительной науки сыскать сумму или
подлинное знаменованіе шакихЬ формулѣ.

II.

Когда напротивъ того отЪ одно-
го числа другое отнятно быть должно
или вычтено , то означивается сіе зна-
комЪ — ( тіпиз ) которой попереди
ставится. КакЪ напримЪрЪ 8 — 5 пока
ЗЫваегпЬ что отЪ числа 8 отнять дол-
жно , почему , какЪ извѣстно , вЪ
остаткѣ будетЪ 3 ; равнымЪ образомЪ
даетЪ 5 ; 320-14 есть б и
проч.

А 4.	12.
12.

МожетЪ также случиться, что изЪ
Одного числа много чиселЪ вмВсшЪ вы-
читаются , какЪ наприм.

50—1 — 3 — 5—7 — 9

что разумѣть должно слЪ дующимЪ об-
разомЪ : отними сперва отЪ 50 , і цу
останется 49 , отЪсего числа паки 3 ,
останется 46 , ошЪ сего 5 останется
41 , отЪ сего 7 останется 34 , отЪ
34 отними послѣдніе 9 останется 25 ,
которое показываетъ величину предло-
женной формулы. Но когда числа 1,3,
5 , 7 , 9 и вмЪстЪ вдругЪ отнимешЪ ,
то тоже выдетЪ , какЪ будто бы сумма
ихЪ т. е. 25 вдругЪ отнята , ибо то-
же что и прежде т. е. 25 остается.

П-

РавнымЪ образомЪ можно также
легко сумму такой формулы назначить,
вЪ которой много знаковЪ -р и — сой-
дется : какЪ наприм.
12 — 3 —5 + 2—1 даешЪ у.
или можно особлйВо взяшь токмо сум-
му тЪхЪ чиселЪ, которыя имЪюгпЬ предЪ
собою знакЪ + какЪ 12 + 2 составля-
ютъ 14 , и когда отЪ сего числа от-
нимется сумма всЪхЪ чиселЪ имЪющйхЪ
предЪ собою знакЪ —і какЪ то 3> 5> 1
сумма 9 ; то вЪ остаткЪ гцакЪ какЬ и
прежде , будетЪ 5.

14.

14зЪ сего видно , что нЪггіЬ ни-
какой силы вЪ порядкЪ , кошорымЪ раз-
ставлены числа; но можно оныя ста-
вить по своей волЪ , лишЪ бы только
каждое число означенной свой знакЪ
предЪ собою имЪло, такЪ напр. вмЪсто
прежней формулы поставишь можно слѣ-
дующую 12 + 2 — 5 — 3 — 1 или г—X —3
— 5 + 12 ИЛИ 2 + 12—3 — I—При
чемЪ примѣчать, должно , что вЪ пер-
вой формулѣ предЪ числомЪ 12 постав-
ленъ разумЪется знакЪ -+

И-

Когда же теперь > что бы по пред-
ложенному выше дѣлу дашь общій ра-

А 5	зумЪ,
Іо О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ .
зумЬ > вмѣсто дѣйствительныхъ чисслЪ
употребятся буквы , то можно легкф
понять и знаменованіе оныхЪ : наприм.
а-Ь—с 4-сІ—е показываетъ , что ошЪ
изображенныхъ литерами я и Н чиселЪ ,
прошчія знакѣ — имѣющія вмѣстѣ от>
пять должно.

1(5.

И такЪ главное дѣло здѣсь состо-
итъ вЪ томѣ, чтобЪ знать какой знакѣ
каждое число предЪ собой имѢетЪ , по
чему обыкновенно вѣ Алгебрѣ числа сЪ
ихЪ предстоящими знаками , какЪ про-
стыя величины разсуждаются, и которыя
имѢютЪ предЪ собою знакѣ 4- называ-
ются лрж'ъітс>чііы.н> или лоложите^ънъіЯу
которыя же знакѣ—усГытоУНЪія-і или от
щателы-ыя.

17.

Сіе весьма изрядно изѣяснить мо-
жно имѣніемѣ какого нибудь человѣка ;
когда то , что онѣ дѣйствительно у
себя имѣетѣ , означится числами сѣ»зна-
комѣ -|- ріиз ; а то , чѣчЬ онѣ дол-
женѣ числами сЪ знакомѣ — иіігиз.

гпакЪ
ТакЪ когда кто нибудь имѣетЪ у себя
іоо рублей , а при томЬ долженЪ 50 ю
рублями , то имѣніе его состоять бу-
дешЪ изЪ юо — 50 , или что тоже изЪ
4- юо — 50 т, е. 50.

і8.

Когда убыточныя взпраюгпся какЪ
долги , то о прибыточныхъ какЪ о
дѣйствительномъ имѣніи разсуждать дол-
жно ; по чему можно сказать, что убы-
точныя числа суть менѣе, нежели ничего ;
И такЪ , когда кто никакого у себя
имѣнія не имѢетЪ, а при томЪ еще 5010
рублями долженЪ, то онЪ дѣйствитель-
но имѣетЪ 50 руб. менѣе нежели ничего.
По тому что , когда бы кто подарилЪ
ему 50 руб. чтобЪ заплатилъ долгЪ свой,
то тогда не имЪлЪ бы онЪ ничего, хо-
тя вЬ самомЪ дѣлѣ и больше бы имѢлЬ
нежели прежде.

19.

Когда прибыточныя числа дѣй-
ствительно болѣе нежели ничего , то
убыточныя менѣе ничего (і но прибы-
точныя
точныя числа произходятЪ безпрестан-
нымъ кЪ о или кЪ ничему прибавленіемъ
единицы ; отЪ чего потомЪ происхо-
дитъ рядЪ или строка такЪ названныхъ
натуральныхъ чиселЪ , какЬ то о -р і
—|— 2 •—з —I— 4" 5	— *7 " 1 ~ 8 —I- р —{— і о

и такЪ безконечно. ТакимЪ же образомЪ
сей рядЪ и назадЪ продолжить можно
безпрерывнымъ отниманіемЪ отЪ о еди-
ницы , огпЪ чего сей рядЪ произходитЪ •

о-.!—.о —3-4—5 ——7—8 —9— іо
и такЪ безконечно*

20.

ВсВ сіи числа какЪ положительныя
такЪ и отрицательныя называются из-
вЪстнымЪ именемЪ цѣлыми ч-пслаліи, и
отЪ дробей и многихЪ другихЪ чиселЪ ,
о которыхЪ ниже сего предложено бу-
детЪ, отличаются. ТакЪ вЪ примЪрЪ 50
цѣлое число болЪе 49 ти, то легко мож-
но понять, что между 4рти и 5010 еще
безконечно много посреднихЪ чиселЪ сто-
ять можетЪ, которыя всЪ больше 49ши,
а
а менѣе $оти; можно для сего вЪ при-
мѣръ взять двѣ линѢи , изЪ которыхЪ
одна длиною вЪ 50 саженЪ , а другая вЪ
49 , то легко поймешь , что безконеч-
но много другихЪ линѣй провесть мож-
но , которыя всѣ долѣе 49 ши 5 а ко-
роче 50 саженЪ.

21.

Сіе понятіе о убыточныхъ величи-
нахъ тѢмЪ наипаче примѣчанія достой-
но , что оно во всей Алгебрѣ весьма
важно : здѣсь довольно будетЪ для при-
мѣчанія, что вЪ сихЪ формулахъ , какЪ
наприм. 4- і — і ,-4-2 — 2,4-3 — 3 і
4-4 — 4 итакЪ далѣе всѣ числа не иное
что суть какЪ О или ничего ; и что
наприм. 4-2 — 5 не что иное какЪ — 3,
для того, что когда кщо имѣетЪ 2 ру-
бли, а 5 ю рублями долженЪ, то онЪ не
только не имѣетЪ ничего, но еще 3 мя
рублями остается долженЪ , такимЪ же
ѴбразомЪ

7—12 равно — 5

25 - 40-------15
22.

Тоже самое наблюдать должно^ ко-
гда вмѣсто чиселЪ возмушся литеры ;
ибо 4-а—а всегда столько же состав-
ляетъ какЪ и о или ничего ; погобмЪ
ежели знать пожелаешЪ , что шпр. 4-а
— Ь значитЪ , то надлежитъ два случая
принять вЪ разсужденіе.

і.	Когда а больше нежели Ь, тогда Ь
ВЫчитаютЪ изЪ а , и осгпагпокЪ сЪ при-
быточнымъ знакомЪ взятой показываетъ
искомое число.

2.	Ежели а меньше Ь , то вычи-
таютЪ а изЬ Ь и остатокъ сЪ убыточ-
нымъ знакомЪ взятой , или знакѣ ті-
гшй — попсреди поставленъ , показы-
ваетъ искомое число.

МЛ	’чФч	'’СЧ	ЧЛ

ГЛАВА III.

О умноженіи простыхъ количествъ.
23-

Когда г или болЪе равныхЪ чиселЪ
сложатся вмѣстѣ , тогда сумма крат-
чайшимъ
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. И
чайшимЪ образомЬ выражается, какЪ на-
при мЬрЬ :

а-4-а равно а а
я я -4"" я "* ~ ” з
а^р.ац-а4-а - - - 4. а итакЪ далѣе,
изЪ чего понятіе о умноженіи раждается
а имянно.

2. а не иное что какЪ а взятое дважды.

2. а----------------- а взятое трижды.

4 а тоже что и а взятое четыре*
жды и такЪ далѣе.

24.

И такЪ когда литерою означенное
число на другое какое число помножить
должно , то число всегда пишется пе-
редЪ литерою , какЪ напримЪрЪ.

а на 20 умноженное даетЪ 20 а

Ь на 30 помноженное даетЪ 30 Ь и пр.
ТакимЪ образомЪ с взятое однажды или
одно с тоже что с.

2?.

Такія произведенія можно еще и
на другія числа множишь, какЪ наприм.

2ЖДЫ
ажды з а составляютъ 6 а

3 жды 4 Ь дЪлаюгпЪ 12 Ь

510	7 х даютЪ 35 х» которыя

еще далВе на производящія числа мно-
жить можно.

2(5.

Когда то число , на которое по»
множатъ должно , означено будетЪ ли-
терою, тогда безпосредственно ставится
оно попереди другой литеры; какЪ наприм.
Когда Ь умножить должно на а, то про-
изведеніе будетЪ аЬ , также р^ есть
произведеніе , которое происходитъ изЪ
умноженія числа д на р ; но ежели хо-
чешь рц умножить еще на а , то про»
изойдсшЪ ар^.

2%

При семЪ примЪчать надлежитъ ?
Что здЪсь не требуется особливаго по-
рядка вЪ постановленіи литерЪ рядомЪ;
йбо аЬ тоже значитЪ что и Ьа ; или
Ь умноженное на а дВлаетЪ тоже что
и а умноженное на Ь ; а чтобЪ сіе по-
нять яснЪе , то можно вмЪсто а и Ь

взять
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 1*7
взять извѣстныя числа , какЪ з и 4 и
тогда само собою видно будетЪ , что
3 жды 4 есть тоже что и 4-жды з.

28.

Когда вмѣсто литерЪ , которыя
безпосредственно сряду написаны дол-
жно будетЪ поставить самыя числа »
то легко видѣть можно , что оныя то-
гда безпосредственно написать не льзя ,
ибо когда бы вмЪсто з жды 4 захошЪлЪ
написать 34, то не было бы іа но 34,
и такЪ когда умноженіе простыхЪ чи-
селЪ означить должно , то обыкновенно
ставится между оными точка , какЪ
наприм. 3. 4. значигпЪ 3 жды 4 ? 12 •
равнымЪ образомЪ і. 2 есть 2 , і. 2. 3
есть 6 , і.2.5.4.5.6 есть 720 1.2, 5.4.5.
45.7.8.9. іо будетЪ 3628800 и такЪ далЪе.

29.

ИзЪ сего явствуетЪ, что значитЪ
сіе изображеніе 5.7. в. а. Ь.ѵс. (1, а имянно:
сперва 5 должно помножить на 7 , про-
изведеніе на 8 , сихЪ чиселЪ произведеніе
паки на а , сііе новое на Ь , потомЪ на
б	г
18 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
с , а напослѢдокЪ на й. При чемЪ при-
мѣчать должно , что вмѣсто 5.7.8 пи-
сать самое можно произведеніе т. е.
висло 5 ю 7 , 35 и 8 ю 35 > 280.

3°‘

Еще примѣчать должно , что та-
Кія формулы , которыя отЪ умноженія
многихЪ чиселЪ произходятЪ называются
лрсмзпе.а^ніялі'и ; а простыя числа или
литеры обыкновенно именуются .множп-
гпелялім*

З1-

До сихЪ порЪ разсуждали мы толь-
ко о числахЪ положительныхъ или при-
быточныхъ , и нѣтЪ сумнѣнія , чтобЪ
произшедшія огпЪ того произведенія не
были положительныя же, напр 4~а умно-
женное на-рЬ даетЪ безЪ сомнѣнія -НіЬ;
а что произойдетъ, когда -На умножено
будетЪ на — Ь или — а на -Н Ь , оное
шребустЪ особливаго изЪясненія.

32.

УмножимЪ воперьвыхЪ —• а на 3 ,
или на -Н з * понеже — а за долгѣ

при-
принять можно , то извѣстно , что
^олгЪ <ей три раза взятой , три
раза и болѣе быть долженЪ , слѣдова-
тельно выдетЪ искомое произведеніе
- 3 я ; равнымЪ образомЪ когда — а
на Ь т. е. на -4- Ь помножено будетЪ,
то выдетЪ — Ьа •, или что все тоже
— аЬ. ИзЪ сего заключить можно ф
что когда положительныя величины по-
множены будутЪ на отрицательныя і
•сирѢчь прибыточныя на убыточныя , то
произведеніе будетЪ убыточное; отсюду
произходитЪ слѣдующее правило: 4- ум-
ноженной на 4- даетЪ 4- ; напротивъ
хпого 4- умноженной на — 9 или —
иа -4- даешЪ —„

33°

Осталось теперь только упомя-
нуть о слѣдующемъ случаѣ когда —
умножснЪ будетЪ на— , или— а на— Ь*
при чемЪ вопервыхЪ извѣстно, что произ-
веденіе вЪ рассужденіи литерЪ будетЪ
•аЬ ; но должно ли кЪ тому придать
энакЪ 4- или — 3 о томЪ сказать не

б 2,	МОЖНО
можно , то только извѣстно , что
одинЪ изЪ оныхЪ знаковЪ, или пюпіЪ. или
другой быть долженЪ. Но теперь во-
прошаю, не можетЪ ли быть гпушЪ знакѣ
— ? понеже — а умноженное на 4- Ь
даетЪ — аЬ , слѣдовательно — а ум*-
ноженное на —• Ь не можетЪ тоже дашь,
что даетЪ — а на 4- Ь , но должно
изЪ того выгати противному , а имянно
4- а Ь. ИзЪ сего слѣдующее произхо-
дитЪ правило : — умноженной на —-
даетЪ -4- подобно какЪ и у- умножен-
ной на 4-,

Зѣ

Сіи правила обыкновенно соединя-
ются , и кратко сими словами выговари-
ваются : два одинакіе знака умноженные
между собою даютЪ 4- , а два разные
даютЪ — ; такЪ напримѢрЪ , когда сіи
числа : 4- а. — Ь. — с. 4- (1 другЪ на
друга помножены будутЪ, то вопервыхЪ
4~ а. — Ь даетЪ — а Ь , сіе на — с даетЪ
4- аЬс , наконецъ еще на <1 умноженное
даетЪ 4- аЬссі.


простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 21
3?-

Понеже теперь вЪ рассу жденіи
знаковЪ нѣтЪ никакого затрудненія :
то остается еще показать , какимЪ об-
разомЪ два числа , которыя сами суть
произведенія , помножить должно между
собою ; когда аЬ помножено будетЪ
на ссі , то произведеніе будетЬ аЬссі,
и произходитЪ оное , когда а Ь умно-
жится на с и произведеніе на <1 \ или
когда наприм. $6 на і2 умножить
должно , и понеже 12 произходятЪ отЪ
умноженія з хЪ на 4 ; то надлежитъ
только сперьва 36 умножить тремя и
произведеніе т. е. 108 четырьмя , такЪ
выдетЪ 452 равно іа. 36.

36.

А ежели бы кгпо захотѣлЪ 5 аЬ
умножить на з с И, то можетЪ оное такЪ
поставить 3 с 4. 5 а Ь ; но понеже
здѣсь все равно , какимЪ порядкомЪ ни-
стоятЪ умноженныя между собою числа,
то числа ставятЪ , обыкновенно попе-
ръ и пишутЪ вмѣсто того произве-
б 3	денія
денія 5. з яЬссІ или 15 аЬсс!, потому
что $ умноженное на 3 равно 15. рав-
нымъ образомЪ когда 12 р^ѵ умножено
будетЪ на 7 ху, то произведенье будетЪ
12. 7 рдѵху т. е. 84 рдѵху.

ГЛЛВЛ IV,
О свойствѣ цЪлыхЪ чиселЪ вЪ рассу"
жденіи ихЪ множителей,

37.

Ыы видѣли уже , что когда два или
болѣе чиселЪ между собою помножатся ;
оныя называются вЪ разсужденіи произ-
веденія множителями , какЪ напримѢрЪ •,
множители произведенія аЬссі суть а,
Ъ» с, 4.

38.

Естьли теперь возмемЪ всѣ цѣлыя
числа вЪ разсужденіе , поелику оныя
отЪ умноженія двухЪ или болѣе чиселЪ
произходятЪ , то тотчасЪ видно , что
нѣкоторыя совсѢмЪ не отЪ умноженія
произходятЪ , слѣвовательно никакихЪ
юно*
множителей не имѣютЪ * а нѣкоторыя
огпЪ умноженія двухЪ или болѣе чиселЪ
раздаются , слѣдовательно два или
болѣе множителей имѣютЪ , какЪ на-

прим. 4 равно 2. 2 , 6 равно 2. з » 8
равно 2. 2. 2 , 27 равно 3. 3- 3 > Ю
равно 2. 5 и такЪ далѣе.

39-

Напротивъ того слѣдующія числа
2 , 3, 5 , 7, іі, 13, 17 вышепоказан-
нымъ образомЪ во множителяхЪ пред-
ставить не можно , развѣ употребить
кЪ тому и единицу >• наприм. 2 изобра-
зить чрезЪ і. 2 ; но какЪ единицею
помноженное число не перемѣняется, то
оная и вЪ число множителей причтена
быть не можетЪ.

И шакЪ всѢ такія числа , кото-
рыя множителей имѣть не могутЪ, какЪ
Іпо 2, 3> 5 » 7 » іі» 13, 17» и проч,
называются лржтымп , леръпыжи или
лерповдѵальнылт числал/и. Напротивъ
того тѣ, которыя множителей имѢютЪ,
КакЪ :

6 4

+ ,
24. О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЕ
4,6, 8,9, іо, 12 , 14., 15 , 16 і 18
называются сложенными;

4.0.

По сему простыя ИЛи лерыныя
"числа особливаго вниманія достойны ,
для того что оныя отЪ умноженія двухЪ
или болѣе чиселЪ не произходятЪ. При
чемЪ особливо примѣчанія достойно сіе,
что когда оныя вЪ рядЪ поставлены бу~
дутЪ по порядку , какЪ 2 , з , $ , 7,
іі, із, і7, 19, 29 , 29 , зі, 37,
41 , 43 , 4.7 , и такЪ далѣе , то вЪ
разсужденіи оныхЪ никакого порядка не'
видно , но растутЪ то больше , то
меньше , какЪ кажется , безЪ порядка.
Ибо и по нынѣ еще не могли найти
Закона , по которому оныя возра-
стаютъ*

41.

Ио сложныя числа , которыя во
множителяхЪ представить можно, нроиз-
ходЯійЪ всѢ изЪ вышегіомянутыхЪ про-
стыхъ чиселЪ , такЪ что всѣ множи-
тели оныхЪ суть Простыя числа • ибо
Когда
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 2?
когда бы какой либо множитель былЪ не-
простое , но сложное число , то можно
бы его представить вЪ двухЪ или болѣе
множителяхЪ , которые бы были про-
стыя числа , такЪ когда число 30 пред-
ставится чрезЪ 5- 6 5 то не & простое
число будетЪ , но 2. 3 слѣдовательно
50 можно изобразить чрезЪ 5. 2. 3 или

3	. <5 гдѣ всЪ множители сушь простыя
Числа.

42.

Есшьли теперь разсмотримъ всѢ
Сложныя числа, то есть какимЪ образомЪ
оныя чрезЪ простыя числа представляют-
ся , то найдемЪ вЪ гаомЪ великое различіе;
Ибо нѣкоторыя имѢютЪ только два
іпакихЪ множителя , иныя 3 а иныя 4.
или болѣе, наприм. какЪ уже видѣли :

4	равны	2.	2 ;	б равны	2.	$

8	- -	- 2.	2.	2 .	9- 3.	з

ІО	- -	-	2.	5 5	12	-	-	-	2.	3.	а

14------ 2.	7 ;	1$	-	-	-	3.	5

равны 2. 2. 2. 2 и шакЪ далѣе,
ИзЪ сего явствуеггіЪ , какимЪ обріь
ЗомЪ каждаго числа простые множители
находятся. На прим. предложено число
Збо , то явствуетЪ воперьвыхЪ , что
оно состоитЪ изЪ 2. і8о , а сіе і8о

равно ------ 2. 90 , сіе 90

равно ------ 2. 45 , сіе 45

равно - -----3.15, наконецЪ I $

равно - -- - — 3. 5, слѣдовательно

число 360 представляется вЪ слѣду-
ющихъ простыхЪ множителяхЪ 2. г. 2.
3. 3. 5 , которыя числа всѢ вмѣстѣ
умноженныя между собою, составляютъ
Збо.

4-4-

ИзЪ сего видно , что простыя
числа ни на какія другія не дѣлят-
ся , напротивъ того сложныя наиспо
собно на ихЪ простыхЪ множителей раз -
рѣшаются, когда сыщутся всѢ простыя
числа , на которыя они раздѣлиться мо-
гу тЪ. Но кЪ сему потребно дѣленіе , о
которомЪ вЪ слѣдующей главѣ изЪяснено
будетЪ.

Глава
_ ѵ->, ЧЛ 'СЧ	'<э' ЧЭ' '<5' '<5'	ЧЛ'СЧ ’-сч >оѵ 'Л

чй>»\гч\=ч'^'ч:?'^

гллвл V.

О дѣленіи просшыхЪ количествъ.

45"’

Когда какое либо число раздѣлить дбл-
жно на двѣ равныя части , на три или
болѣе , то дѣлается оное помощію дѣ-
ленія , которое показываенЪ , какимЪ
образомЪ назначить величину такой ча-
сти. Когда і а раздѣлить должно на три
равныя части, то найдешЪ помощію дѣ-
ленія , что та часть 4 будетЪ.

употребляютЪ притомЪ нѣко-
торыя извѣстныя имена , и всякое чи-
сло, которое дѣлить должно, называютъ
дѣлиліыліЪ числоліЪ, число такихЪ ча-
стей , на какіе дѣлится дѣлителеліЬ)
а величину всякой части , которая по-
мощію дѣленія сыскана будетЪ, частнылі&
чпслоліЬ ,какЪ напримѣрЪ ;

12 дѣлимое число

3	дѣлитель

4	частное число.
46.

И такЪ когда какое либо число
раздѣлишь на 2 , или на двѣ равныя ча>
сти , то такая часть , т. е. частно?
число , дважды взятое прежде помянуто?
число неотмѣнно произвесть должно;
равнымЪ образомЪ , когда какое нибудь
число раздѣлить должно на 3 , то ча>
стное число трижды взятое оное число
произвесть должно ; и такЪ вообще все-
гда должно выйти дѣлимому , когда пак-
етное число дѣлителемЪ помножится.

47-

Чего ради и вЪ дѣленіи слѣдующее
наблюдать должно : ищи для частнаго
числа такое число , которое умноженно
будучи дѣлителемЪ даетЪ точно дѣлимое
число, Когда наприм, 3 5 раздѣлить должно
на $, то ищи такое число , которое по-
множенное 5 ю произведетъ 35 ; оное
число есть 7, потому , что $ ю 7 , 35,
Для сего обыкновенно употребляюгпЪ
слѣдующую рѣчь : 5 вЪ 3 5 содержится 7
разѣ , потому, что 5 ю 7 есть 35.

Почему
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 29
4-9.

Почему дѣлимое можно взять за
произведеніе, котораго одинЪ множитель
равенЪ дѣлителю , а другой частному
числу. И такЪ, когда дано мнѢ 63 раз-
дѣлить на 7 » то ищу произведеніе ,
котораго одинЪ множитель 7 помножен-
ной на нѣкоторое другое число даетЪ про*,
изведеніе 63 , такое число есть 9, и по-
тому 9 есть частное число, которое про-
изходитЪ огпЪ раздѣленія 63 на 7.

49-

Такожде когда а Ь раздѣлить должно
на а, то частное будетЪ Ь , потому ,
что а умноженное на Ь составляетъ дѣ-
лимое а Ь , изЪ сего видно, что когда аЬ
раздѣлить должно на Ь частное число
будетЪ а.

И такЪ вообще во всѢхЪ примѣ-
рахъ дѢ ленія , когда дѣлимое на частное
число раздѣлится, дѣлителю выйти дол-
жно; наприм. когда 24 на 4 раздѣленное
даетЪ 6 і то и обратно 24 на 6 раздѣ-
ленное даетЪ 4.

Понеже
?о.

Понеже все дѣло вЪ гпомЪ сосгпоч
иггіЬ , чтобЪ представить себѣ дѣлимое,
какЪ произведеніе вЪ двухЪ множигаеляхЪ
состоящее , изЪ которыхЪ одинЪ равенЪ
дѣлителю , а другой частному числу ,
то и слѣдующіе примѣры легко разумѣть
можно * яко число аЬс раздѣленное на а
даетЪ Ьс , по тому , что а умноженное
на Ьс составляетъ аЬс; равнымЪ обра-
зомЪ аЬс раздѣленное на Ь даетЪ ас ;
но аЬс на ас раздѣленное даетЪ Ь. По-
гпомЪ 12 тп раздѣленные на 3 т даютЪ
4 п. по тому , что 3 т умноженные
на 4 п составляютъ 12 т п ; когда
же самыя сіи числа і2 тп раздѣлены бу-
душЪ на 12 , шо произойдетъ тп.

$1.

Понеже каждое число а чрезЪ і. а
или і а изобразить можно : шо изЪ сего
видно , что когда а или і а на і раздѣ-
лишь , тоже самое а вЪ часшномЪ чи-
слѣ выдетЪ ; напротивъ того , когда
тожЪ самое а или і а на а раздѣлишь ,
частное число будетЪ і.

Но
. простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 31
?2.

Но не всегда случается, чгпобЪ дѣ-
лимое представить можно было , какЪ
произведеніе вЪ двухЪ множителяхЪ со-
стоящее > изЪ которыхЬ бы одинЪ ра-
венЪ былЪ дѣлителю , и вЪ такомЪ слу-
чаѣ» дѣленія такимЪ образомЪ дѣлать не
можно •• ибо когда на прим. 24 раздѣ-
лить должно на 7, то 7 не е< ть множи-
тель 24 хЪ , потому что 7. 3 дѢлаютЬ
2і и слѣдовательно менѣе ; на противЪ
«лого 7. 4 уже 28 , слѢд. болѣе соста-
вляютъ. Однако видно изЪ сего , что
частному числу болѣе 3 хЬ , а мснѢе
4 хЪ быть должно. Чего ради для то-
чнаго опредѣленія онаго надлежитъ вЪ
помощь взять числа дробями названныя,
о кошорыхЪ вЪ слѣдующей главѣ пре-
дложено будетЪ.

53-

Между шѢмЪ пока кЪ изЪясненію
дробей не приступимъ, довольно будетЪ
®эять за частное самое ближайшее цѣлое
число , замѢтя притомЪ остатокъ яко
>ѣ семЪ примѣрѣ і 7 вЪ 24 содержится
3 жды,
Зжды ? и останется 3 ; потому что
Зжды 7 только 2і', чего ради з х^
вЪ такомЪ случаѣ мало ; равнымЪ обра,
ЗомЪ и слѣдующей примѣрѣ разумѣй^
должно , какЪ :

34

30

то

6

есть дѣлитель 6
дѣлимое 34
частное $

осгаатокЪ 4

9

5

ьЪ такихЪ примѣрахъ э гдѣ остатокЪ
есть , слѣдующее правило примѣчать
надлежитъ.

54-

ВоперьвыхЪ дѣлителя умножить
должно частнымЪ числомЪ , потбмЪ кЪ
мроизведенію приложить еще остатокЪ,
и произойдетъ дѣлимое число , симЪ
образомЪ обыкновенно повѢряютЬ дѣ-
леніе, исправно ли оно здѣлано или нѢтЪ.

’ Я
И такЪ вЪ первомЪ изЪ двухЪ
Послѣднихъ примѣровъ число 6 умно-
живъ 5 ю получишЪ Зо , кЪ тому при-
дай осшатокЪ 4 и выдетЪ дѣлимое число
34. ТожЪ самое и вЪ послѢднемЪ: когда
дѣлитель 9 помножится частнымЪ 4 и
кЪ произведенію 36 придается остатокъ
5 , то произойдетъ дѣлимое 41,

Напослѣдокъ вЪ разсужденіи зна-
ковъ ріиз Н- и тіпиз — еще сіе примѣ-
чать должно: а имянно: само собою ясно,
что когда 4- аЬ раздѣлено будетЪ на
-4- а, частное число будетЪ 4- Ь ; а
когда 4* аЬ раздѣлено будетЪ на — а , то
вЪ частномЪ числѣ будетЪ — Ь, потому
что— а умноженное на — Ь даетЪ 4-а Ь.

Когда же дѣлимое число есть—аЬ,
и оное раздѣлено будетЪ на дѣлителя
+ а » то частное число будетЪ — Ь , по-
тому что 4- а на — Ь умноженное, даетЪ
— аЬ ш. е. дѣлимое число.

А естьли наконецъ дѣлимое —а Ь
раздѣлено будетЪ на дѣлителя - а , то
2	частное
34- О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
частное число будетЪ 4 Ь , потому что
— а умноженное на 4 Ь даетЪ — аЬ.

0.

И такЪ находимЪ мы вЪ дѣленіи
для знаковЪ 4- и — тѣ же самыя пра-
вила какія выше сего видѣли вЪ умно-
женіи , а имянно : 4- раздѣленной на
4- даетЪ 4 ; 4 раздѣленной на - даетЪ -•
— раздѣленной на 4- даетЪ — \ — раз-
дѣленной на — даетЪ 4 или короче
одинакія знаки даютЪ 4- ріиз а разные
— тіпиз.

$7«

И по сему когда і 8 рц раздѣлишь на
- 3 р , то частное число будеіпЪ - 6 ц •
- 30ху раздѣленное на — бу даетЪ 4 5 X;
— 54 аЬс раздѣленные на — р Ь даютЪ
4 б а с ; потому что — р Ь умноживЪ
на б ас даетЪ — б, р аЬс или — 54 аЬс 5
чего для дѣленія простыхЪ величинѣ
довольно будетЪ. Отсюда кЪ изЪяснс-
нію дробей поступимъ , упомянувЬ на'
передЪ мало о свойствѣ цѣлыхЪ чиселЪ
вЪ разсужденіи ихЪ дѣлителей.

Глава
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ з;

ХЛ Ѵ-* 'сл

гллвл ѵі.

О свойствѣ цѢлыхЪ чиселЪ вЪ разсужденіи
ихЪ дѣлителей,

$8.

Видѣли уже мы , что иныя числа мо-
гу тЬ имѣть нѢкоторыхЪ дѣлителей , а
иныя нѣтЪ , то для разпознанія чиселЪ
сіе различіе особливо примѣчать должно} іа
пѣ числа , которыя на какого либо дѣ-
лителя раздѣлить можно , надлсжиггіЬ
тщательно отличать отЪ тѢхЪ , ко-
торыя на оной раздѣлиться не могутЪ :
а пришомЪ замѣчать остатокЪ, которой
при дѣленіи послѣднихъ будетЪ. Чего
ради возмемЪ мы слѣдующихъ дѣлителей
2>3,4,5і(5,7}8?9>10 и шакѣ
далѣе вЪ разсужденіе.

Пусть будетЪ вопервыхЪ дѣ-
литель 2 , то числа , которыя на она-
го раздѣлить можно , суть слѣдующія :
2 > 4, 6, ю, іа, 14, іб, 18, йо и
шакЪ дадѣе, кошорыя всѣ гмя возрастаютъ

В 2	И
и сіи числа вообще называются четныя
числа.

НапротивЪ того прогпчія , какЪ то :
х> Ь 5, 7, 9> іі, іЗ, *7> ’9» 2Х
и такЪ далѣе , которыя на а раздѣлишь-
ся не могутЪ , но вЬ остаткѣ і оста-
вляютъ, называются нечетныя числа. По
чему таковое нечетное число всегда боль-*
ше или меньше четнаго единицею ; всѢ
четныя числа можно заключить вЪ сем!
общемЪ изображеніи 2 а , потому что
когда вмѣсто а поставятся по порядку
одно послѣ другаго всѣ числа , і, 2, з,
4 , 5 , 6 , 7 и такЪ далѣе , то прои-
зойдутъ всѢ четныя числа ; напротивъ
того вЪ слѣдующей формулѣ 2. а —|— I
всѢ нечетныя числа заключаются, потому
что 2 а -+- х единицею больше четнагс
числа 2 а

бо.

ВовторыхЪ пусть дѣлитель будепЯ
3 , то всѢ числа , которыя на 3 раздѢ'
литься могутЪ , суть слѣдующія ;

3. 6, 9, 12, 15, 18» 2і, 24 итакі
далѣе , которыя вЪ формулѣ 3 а пред
я4*	ста'
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 37
ставить можно: ибо 3 а разъѣденное на
3 даетЪ вЪ частномЪ числѣ а безЪ ос-
татка ; протчія же числа, когда оныя на
раздѣлить пожелаеть или і или 2да-
ютЪ остатку, и такЬ двоякаго суть
рода ; тѢ , которыя і вЪ остаткѣ ос-
тавляютъ суть слѣдующія: 1, 4, 7, іо,
і $ , 16 , 19 и такЪ далѣе , и заключа-
ются вЪ сей формулѣ з а -4 і.

Напротивъ того тѣ , которыя ±
даютЪ остатку супъ слѣдующія :

2 , 5 , 8 , и , 14, *7> 20 и такЪ
далѣе, которыя вЪ сей формулѣ 3 а + ±
заключаются , такЪ что всѢ числа или
вЪ формѣ з а , или вЪ з а + і , или вЪ
3 а 4- 2 содержатся.

бі.

Когда же дѣлитель будетЪ 4 , то
всѣ числа , которыя на онаго раздѣ-
литься могутЪ , суть слѣдующія :

4» 8, 12, іб, 20, 24 и такЪ далѣе,
кои всегда четырьмя возрастаютъ и
вЪ формулѣ 4 а заключаются $ а -прочія

В 3‘	числа
числа , которыя на 4 раздѣлиться не
могутЪ , оставляютъ вЬ остаткѣ или
і , и по сему превышаютъ оныя единицею,
яко слѣдующія Г I, 5, 9, 13.17, 21,25
и такЪ далѣе , и слѣдовательно вЪ сей
формулѣ 414-1 заключаются ; или
оставляютъ вЪ остаткѣ 2} какЪ наприм.

2,6, ю, 14, 18, 22,26 и такЪ далѣе,
и вЪ сей формулѣ 434-2 заключаются.
А ежели наконецЪ вЪ остаткѣ будетЪ
3 , то такія числа суть слѣдующія.

3 , 7 , 11 , 15 , 19 , 23 , 27 , и такЪ
далѣе , и вѣ фармулѢ 414-3 заклю-
чаются , такЪ что всѢ числа вЪ сихЪ
4 хЪ формулахъ 41,414-1,414-2,
4 а 4- ? содержатся.

ба.

ТожЪ самое дѣлается и сЪ дѢли-
тслемЪ 5 : понеже всѢ числа , которыя
на него раздѣлить можно вЪ формулѣ
5 а заключаются ; а іпѢ , которыхЪ не
можно , суть слѣдующія :

5 14- і , 514-2, 5 14- з , и 5і
4-44 и, такЪ далѣе : сіе разсужденіе и
до всѣхЪ дѣлителей простирается.

63.
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 39
б-.

Здѣсь весьма прилично упомянуть
о предложенномъ выше разрѣшеніи чи-
селЪ на простыя множители: ибо всякое
число, между котораго множителями или
2, или з, или 5, или 7 или другое какое
первое число находится , на оные раз-
дѣлишься можешЪ; яко бо тоже, что и
2. 2. з. 5 , то явно есть , что бо на 2 >
на и на 5 раздѣлится.

64..

Понеже вообще формула аЬсФ не»
только на а, Ь, с и ф раздѣлиться можешЪ,
но и на слѣдующія-. аЬ, ас, аф Ьс, Ьф и сф
такЪ же на аЬс, аЬф асф Ьсф и нако-
нецъ на аЬсф то есть на самую себя.
То подобнымъ образомЪ и бо т. е. 2. 2.
3- 5, кромѣ что на простыя числа 2.3,5
но и на сложенныя изЪ двухЪ простыхЪ ,
какЪ 4, б, іо, 15 , да и на произшедшія
изЪ трехЪ простыхЪ 12, 20, 30 и самаго
себя бо раздѣлиться можетЪ.

б?-

И такЪ представивЪ каждое число
вЪ его просшыхЬ множишеляхЪ , весьма

В 4	легко
4.0 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
легко показать всѣ шБ числа , на кото-
рыя оное раздѣлиться можетЪ, ибо над-
лежитъ только взять каждаго изЪ про-
стыхЪ множителей особенно , потомЪ
2,, з, 4. и такЪ далѣе между собою по-
множить , пока дойдеіпЪ до преждепомя*
вугааго числа самаго.

66.

Паче всего примѣчать здѣсь должно»
что каждое число на і раздѣлить можно,
такЪ же и на самаго себя, такЪ что ка-
ждое число по меньшей мѣрѣ 2 хЪ дѣли-
телей имѣетЬ , т. е. і и самаго себя.
Такія числа которыя кромѣ сихЪ двухЪ
дѣлителей никакихЪ другихѣ не имѣютЪ,
суть тѣ же самыя , которыя выше сего
простыми , первыми или первоначальны-
ми числами названы.

Но всѣ сложныя кромѣ і и самаго
себя , еще другихЪ дѣлителей имѣютЪ ,
что изЪ слѣдующей таблицы видѣть мо-
жно , гдѣ подЪ каждымЪ числомЪ всѣ его
дѣлители поставлены.

Таблица.
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 41

ТА 6Л И Ц А.

НаконецЪ еще примѣчать должно ,
что о за такое число почитать надле-
житъ , которое на всѣ возможныя числа
раздѣлиться можетЪ ,• потому что ко-
гда о на а раздѣлить должно , то
вЪ частномЪ числѣ всегда бываетЪ о;
ибо о а составляетъ о > и такѣ весьма
примѣчать надлежитъ , что всякое число
умноженное о мЪ ничего не производитъ.
42 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ

ѵл	’Л 'Оч	<еч <о\	ѵяч <«\ ’л чл <&> кэ.

Г А Л В Л VII.

О ^робяхЪ вообще.

68.

Когда число наприм. 7 на другое
число какЪ гори раздѣлишь не можно,
ттю оное такЪ разумѣть должно , что
частнаго числа цѢлымЪ числомЪ изобра-
зить не льзя ; а не такЪ чтобЪ невоз-
можно было имѣть о частномЬ числѣ
понятія.

Представь себѣ только линѣю вЪ 7
саженЪ длиною , то никакого сомнѣнія
не будетЪ , чгообЪ не возможно было
раздѣлить сей линѢи на з равные части,
и о величинѣ такой части имѣть понятія.

бр.

Получл о частномЪ числѣ вЪ та-
кихЪ случаяхЪ произшедшемЪ ясное по-
нятіе , хотя оно и не цѣлое число , до
ходимЪ чрезЪ оное до познанія особли-
ваго роду чиселЪ, которыя Л^ооСьл/и-или
ломаными числами называются.
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 43

И по сему вЪ вышепомянутомЪ при-
мВрЪ , гдѣ 7 на 3 раздѣлено быть дол-
жно , имѢемЬ ясное понятіе о произхо-
дящемЪ отіпудѵ частномѣ числѣ , кото-
рое обыкновенно слѣдующимъ образомЪ
изображается \ , гдѣ вЪ верьху поставлен-
ное число 7 показываетъ дѣлимое число,
а внизу поставленное 3 дѣлителя.

7о.

И такЪ когда вообще какое либо
число а раздѣлить должно наЬ, то част-
ное число изображается чрсзЪ которое
начертаніе дробью называется. Чего ра-
ди никакого лучшаго понятія о такой
дроби дать не можно, какЪ только
сказать , что чрезѣ то показывается
частное число , когпорое произходитЪ ,
когда верхнее число раздѣлишь на ниж-
нее ; при чемЬ еще сіе примѣчать дол-
жно , что при всѢхЪ такихЪ дробяхЪ
верхнее число у^елитележЬ ? а нижнее зна~
^іена.'телеліЪ называется.

71.

ВЪ вышепомянутой дроби кото-
рая словами семь третей выговаривается,
4.4 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
7 есть числитель, а з знаменатель-, ра-
внымъ образомЪ выговаривается и сі’я
дробь ' одна половина , | двѣ трети >
| три четверти, | три осмины, двенад-
цашь сотыхЪ.

72.

Для полнаго свѣденія свойства дро-
бей , разсмотримъ вопервыхЪ тоіпЪ слу-
чай , вЪ которомЪ верхнее число равно
нижнему , или числитель знаменателя? ,
какЪ-Ъ понеже чрезЪ сіе означается част-
ное число произходящее когда а раздѣ-
лишь на а , шо слѢдуетЪ изЪ того, что
сіе частное число есть точно і : слѣдо-
вательно дробь 2 равна і или цѣлому ,
чего ради слѣдующіе дроби , какЪ|,|,і,
и такЪ далѣе, равны между со-
бою , и каждая изЪ нихЪ равна іцѣ или
цѣлому.

73-

Понеже каждая дробь, коей числитель
• равенЪ знаменателю ни больше ни меньше
единицы , то всѢ такія дроби, кото-
рыхЪ числители меньше знаменателей,
меньше
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 4-5
меньше единицы. И такЪ когда меньшее
число на большее раздѣлишь должно, то
выдетЬ дробь меньше единицы , когда
наприм. линѢю вЪ двѣ сажени на шри
равныя части раздѣлишь должно ; то
одна чаешь безЪ сомнѣнія меньше будетЪ
одной сажени: чего ради | меньше іцы
потому , что числитель 2 меньше зна-
менателя з хЪ.

Н-

Есть ли напротивъ того числитель
больше знаменателя, то дробь будетЪ
больше единицы , по сему I больше і цы,
понеже I равны I и |, а 1 равны і цЪ,
то | равны будутЪ і ш. е. цѣлому и
еще і слѣдовательно і і. равнымЪ об-
разомЪ и равны і || равны і | , а
2 — 2

И вообще должно вЪ такихЪ слу-
чаяхъ верхнее' число раздѣлишь только
на нижнее , и кЪ частному числу придать
сЧЗе дробь, которыя числитель есть
остатокЪ , а знаменатель дѢлигпель , и
такЪ для дроби « раздѣливъ 43 на 12

вЪ
46 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
вЪ частномЪ числѣ будетЪ $ , а вЪ оо
таткѣ у ? слѣдовательно равны 3

75*-

ИзЪ сего видно, какимЪ образомЪ
дроби, коихЪ числители больше знамена*
телей , на 2 части разрѣшить можно,
изЪ когпорыхЪ первая есть цѣлое число ,
а другая дробь, которыя числитель
меньше знаменателя до чему такія
дроби, гдѣ числитель больше знаменателя
нелрапилъныліи называются , ибо они
і цу или больше цѣлыхЪ вЪ себѣ содер-
жатъ. Напротивъ того лрапильны^ип
тѢ , кошорыхЪ числитель мень-
ше знаменателя , слѣдовательно меньше
і цы или цѣлаго.

7б.

Свойство дробей можно еще и дру-
гимЪ яснѣйшимъ образомЪ представить,
Напр. есть ли взять вЪ разсужденіе дробь
I, то явствуетЪ , что она з жды боль-
ше I, а знаменованіе дроби $ состоитЪ
вЪ томЪ , что когда і цу раздѣлишь на
4 равныя части , то такая часть дока-
жетъ знаменованіе оной , и шакЪ 3 та-
кіе
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 47
кіе части вмѣстѣ взятыя, составляютъ
дробь

То же самое бываетЬ и при каждой
другой дроби какЪ , когда і цу раздѣ-
лишь на 12 равныхЪ частей , то 7 та-
КИхЪ частей составятъ помянутую дробь.

77-

ИзЪ сего примѣра произошли и
вышепомянутые имена ѵисли'т ля и зна-
менателя ; ибо вЪ прежней дроби ~ ниж-
нее число показываетъ , что і на іл
равныхЪ частей раздѣлишь должно , то
есть : когда оно опредѣляетъ сіе число
частей , то удобно его зналленателеліЬ
называютъ.

А поелику верхнее число 7 пока-
зываетъ , что для помянутой дроби , 7
такихЪ частей взять надлежитъ , то
для сей пришчины числителемъ его и
Назвали.

78.

Мы разсуждаемъ теперь о дробяхЪ,
У кошорыхЪ числитель і и на кото-
рыхЪ всѢ другіе дроби основаны . ибо

не
О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІД
не трудно уже понять знаменованіе |
когда извѣстно , что значишЪ ? такЬ
какЪ и слѣдующіе дробиі,

4, 5 , «г » «Ь із- , т| и такЪ далѣе : при.
чемЪ примѣчать надлежитъ , чгпо сі’ц
дроби всегда меньше становятся , чѣмЬ
больше будетЪ число , на которое дѣ-
лится единица , какЪ наприм. часть
гораздо меньше, нежели ; меньше,
нежели ; і53до меньше , нежели ~53 и
такЪ далѣе.

79-

ИзЪ сего явствуетЪ , что чѣмЬ
больше у такихЪ дробей становится
зііаліена.'теліі тѣмЪ меньше должно
быть знаменованіе оныхЪ. Откуду раж-
дается слѣдующей вопросѣ : не можетЪ-
ли знаменатель быть такЪ великЪ ,
чшобЪ дробь совсѣмѣ изчезла и вЪ ничто
обратилась ? но сіе по справедливости
опровергается : ибо на сколько равныхі)
частей единицу , наприм. длину одной
сажени ни раздѣлишЪ , однако тѣ части
всегда будутЪ имѣть нѣкоторую вели-
чину , и слѣдовательно не ничщо.
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 49
8о.

Хотя и правда , что когда длину
одной сажени раздѣлишь больше нежели
на юоо равныхЪ частей, то оные части
едва глазами видѣть можно ; но какЪ
скоро на оныя вЪ хорошей микроскопѣ
посмотришь , то покажутся такЪ ве-
ликими , что еще на юоо или больше
равныхЪ частей раздѣлить можно.

Но здѣсь не о томЪ рѣчь , что
мы здѢлать можемЪ , или что вЪ са-
момЪ дѣлѣ можетЪ вдѣлаться , и что
еще усмотрѣть можно ; но паче о томЪ,
что само собою возможно, 14 такЪ
справедливо , что какЪ бы ни великЪ
былЪ взятЪ знаменатель, дробь вовсе
изчезнуть, или вЪ ничто или вЪ о обра-
титься не можетЪ.

8і.

Понеже дробь совсѣмЪ изчезнуть
не можетЪ, какЪ бы знаменатель ни уве-
личился , но сохраняетъ еще нѣкоторую
величину , то изЪ сего слѢдуетЪ , что
вышепомянутой рядЪ дробей безконечно
Г	про-
продолжаться можетЬ : почему обыкно-
венно говорится , что знаменателю
надлежало бы быть безконечно великому,
что бы дробь вЪ о или вЪ ничто обра-
тилася ибо слово сезконечт не иное
что здБсь значитЪ , какЪ что вЪ помя-
ну томЪ дробей ряду никогда кЪ концу
не придешЪ.

§2.

Для представленія сего на твер-
домъ основаніи положеннаго понятія-,
употребляютЪ знакѣ оо, которой без-
конечно великое число означаетъ ; и
для того можно сказать , что дробь
есть дѣйствительно ничего ; по тому
что такая дробь до тѣхЪ порЪ ни вочто
обратиться не можетЪ , пока знамена-
тель безконечно не увеличится.

83.

Сіе понятіе о безконечныхъ, тѢмЪ
наипаче примѣчанія достойно , что оно
изЪ первыхЪ основаній нашего познанія
выведено , и впредь весьма важно и
полезно будетЪ. Можно уже и здѣсь изЪ
того
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. уі
того вывести изрядныя и нашего при-
мѣчанія достойныя слѣдствія. Понеже
дробь показываетъ частное , когда
дѣлимое і раздѣлишь на дѣлителя оо •
но извѣстно также , что когда дѣлимое
і на частное число или о , какЪ мы
прежде видѣли, раздѣлишь, выдетЪ дѣли-
тель оо ; то получаемЪ изЪ того новое
понятіе о безконечныхъ, а имянно, что
оныя произходятЪ , когда і раздѣлишь
на о : слѣдовательно по справедливости
сказать можно, что і раздѣленная на о
безконечно великое число или оо озна-
чаетъ.

§4-

Здѣсь должно изтребить нарочито
застарѣвшуюся погрѣшность : многіе
утверждаютъ , что безконечно вели-
кое увеличено быть далѣе не можетЪ §
но сіе сЪ вышепомянутыми твердыми
основаніями не согласно.

Ибо когда ~ безконечно великое
число означаетъ , то | конечно дважды
больше перваго; изЪ сего слѢдусшЪ, что

Г а	без-
безконечно великое число еще дважды
больше быть можетЪ.

’•* 'О»	5©к 504	'Оі ЧЛ 'Оі 'О» 'Оі 'Л	'Л 'в'

ТЛЛВА ѵш.
о свойствахъ дробей.

іл.акЪ мы выше сего видѣли , что всѣ
такія дроби какЪ : ||||, І>7> I Л
и проч. цѣлое составляютъ , и слѣду-
ющія |, I, |, ’/ и такЪ далѣе так^е
между собою равны ; потому что каж-
дая изЪ нихЪ даетЪ два цѣлыя , ибо
числитель каждой дроби раздѣленной на
своего знаменателя 2 производитъ ;
равнымЪ образомЪ и сіи дроби | ® | ,

, ’/, 7 и такЪ далѣе суть равны
между собою ; потому что знаменованіе
каждыя есть з.

86.

ПодобнымЪ образомЪ можно зна-
менованіе каждой дроби многоразличными
образами представить ; ибо когда числи-
теля и знаменателя какой нибудь дроби

взя-
взятымЪ по изволенію числомЪ помно-
жишь , то новая дробь тожЪ самое зна-
менованіе получаетЪ. И такЪ всѢ сіи
дроби какЪ :
12 5 4 5	6	7	^9 *

2*4? 6) -8) Ю >	14 > 15 ) 13 и ШАКО

далѣе , равны между собою , и каждая
равна 5. равнымЪ образомЪ и сіи дроби
какЪ :

у , І, Ь п, Л, и > и такЪ далѣе
равны между собою и каждая равна |
также и сіи :

2 + 6	8 ІО 12 1 + 16	„-„Т

3)55^5 ха ? і; 9 П ) э7 ) 24 ** ІХіаіЧХЛ
далѣе , равны между собою ; чего ради
сія дробь. ~ обще слѣдующими образы
представлена быть можетЪ. КакЪ наприм.

и такЪ далѣе
О 9 20 '	30 *	40 9	50

изЪ коихЪ каждая дробь равна первой

87-

Но что бы сіе доказать, то вмѣ*
сто дробнаго числа напиши особливую
букву с, что бы с значило частное чи-
ло когда а на Ь раздѣлится ; но какЪ
уже показано , что по умноженіи част-

Г 3	наго
О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
наго числа с дѢлителемЪ Ь несомнѣнно
Дѣлимому выгпши должно ; и понеже с
умноженное на Ь даетЪ а, то с умно-
женное на 2 Ь даетЪ 2 а , а с умножен-
ное на з Ь даетЪ за, то и вообще с
умноженное на тЬ несомнѣнно та дать
долженствуетъ.

А естьли здѢлаешь изЪ сего при-
мѣрѣ дѣленія и произведеніе та раздѣ-
лишь на одного множителя ш Ь , п^о
должно частное выгати равно другому
множителю с,- но та раздѣленное на тЬ
даетЪ дробь > которой частному числу
слѢдуетЪ быть с, а с равно знаменова-
нію дроби : то дробь должна быть
равна дроби Вмѣсто т. можно взять
Число по своему изволенію,

88,

Понеже всякую дробь различными
образами представить можно , изЪ ко-
торыхЪ всѢ тоже самое знаменованіе
вЪ себѣ заключаютъ ; то безсомнѢнія
такая дробь понятнѣе, которая состо-
итъ
итЪ изЪ малѣйшихЪ чиселЪ, какЪ напр. ко-
гда вмѣсто | по изволенію каждая изЪ сихЬ
дробей какЪ	іі, II и піакЪдалѢе ,

постановлена быть можетЪ, то никто не
усу мнится , чтобЪ дробь | не была внят-
нѣе протчихЪ; причемЪ сіе спрашивается,
какимЬ образомЪ дробь, вЪ болЬшихЪ чи-
слахЪ состоящую,какЪ напр. ^привесть вЪ
состоящую изЪ малѣйшихЪ, ш. е. вЪ

89.

ЗВопросЪ сей легко рѣшишь можно,
естьли только припомнимЪ , что дробь
не перемѣняетъ своего знаменованія ,
когда ея числитель и знаменатель однимЪ
числомЪ помножится; изЪ чего слѢдуетЪ,
что когда числитель и знаменатель ка-
кой нибудь дроби , на одно число раздѣ-
лены будутЪ , то дробь силы своея не
перемѣнитЪ , что легче всего изЪ изо-
браженной вообще дроби усмотрѣть
можно ; ибо когда числителя па и зна-
менателя пЬ раздѣлить на п , то выдетЪ
дробь ~ которая равна прежней дроби ,
КакЪ выше ссго показано.
90.

Для изображенія дроби малыми чи-
слами , надлежитъ найти такія числа ,
на которыя бы какЪ числитель , такЪ и
знаменатель могЪ раздѣлиться : такое
число называется (хГзцмліЪ ^Ьлителе^4іЪ \
а пока числитель и знаменатель общаго
дЪлителя не имѣютЪ , дотого и дроби
меньшими числами изобразить не можно ;
а ежели никакого дѣлителя нѢтЪ кромѣ
і , то значишЪ , что дробь уже самыми
малыми изображена числами.

. 91*

ЧгпобЪ сіе изЪяснищь обстоятельнѣе,
возмемЪ вЪ разсужденіе дробь , гдѣ
тотчасЪ видимЪ , что числитель и зна-
менатель на 2 раздѣлиться можетЪ :
откуда произойдетъ дробь которой
числителя и знаменателя можно такожде
раздѣлить на 2 , и произойдетъ слѣду-
ющая дробь 50, гдѣ еще общей дѣлитель
есть 2 и произойдетъ 4 > здѣсь видно ,
что числитель и знаменатель еще на 3
раздѣлишься могутЪ, откуда произойдетъ
'	дробь
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. п
дробь |, которая равна будетЪ предло-
женной и вЪ самыхЪ мсньшихЪ числахЪ
представлена , потому что 2 и 5 общаго
дѣлителя не имѣюшЪ кромѣ і, отЪ ко-
тораго числа уже не умсншатся.

92.

Сіе свойство дробей , что когда
числитель и знаменатель однимЪ числомЪ
помножатся или на него раздѣлятся ,
дроби не перемѣнятся , есть весьма ва-
жно , и на ономЪ вообще все ученіе о
дробяхЪ утверждается ,• потому что
двухЪ дробей ни вмѣстѣ сложить ни
одну изЪ другой вычесть не можно ,
пока не превращены будушЪ вЪ такія
дроби , коихЪ знаменатели равны между
собою, о чемЪ вЪ слѣдующей главѣ пред-
ложено будетЪ пространнѣе.

93-

Здѣсь еще упомянемЪ , что цѣлыя
числа во образѣ дроби представлены быть
могутЪ. КакЪ напр. 6 равны 1, потому
Что б раздѣленное на х даетЪ 6? отку-

Г 5	да
$8 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
да слѣдующіе образы дробей произходятЪ,
какЪ :

’3, «> V, V*, *» « такЪ далЪе, которые
всЬ одну силу или знаменованіе им'ЬкшЬ,
іи. е. б.і

Ж 'Л Ч>> ЧЛ	ч* <®> 45*	'& ’Л >0» ЧРі ЧЛ

ГЛЛВЛ IX.

о сложеніи и вычитаніи дробей.

94-

Дроби одинакихЪ знаменателей весь-
ма легко сложить и вычесть можно; ибо
|+* даютЪ | а | даютЪ |. ВЪ семЪ случаЪ
складываются и вычитаются только одни
числители , а внизу подписывается общій
знаменатель , какЪ напр.

4-^ даютЪ а /5—даютЪ Ц
или И, Й“53—55+53 составляютъ -Л или
%, также і+| равны | или 3 » а |-|+?
даютЪ 5 т. е. ничего.

9^

А разныхЪ знаменателей дроби мо-
жно привесть кЪ одному. ТайЬ когда
сій
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ $9
сіи дроби сложить должно, гао по-
неже і равна | а і равна почему вмѣ*
сто прежнихЬ дробей будемЪ имѣть сіи
, которыя даютЪ г : а і—$ подобнымъ
образомЪ приведенные кЪ одному знаме-
нателю сЬ той перемѣною , что —
между оными поставленъ, * — I д^ютЪ 5.
Пусть еще будутЪ слѣдующія дроби :
какЪ |4-у , то понеже | равны * , можно
на мѣсто | поставить | и шакЪ г-4-| да-
ютЪ ’’ или і|. Когда спрашивается ско-
лько 5 и і вмѣстѣ составляютъ , то
пишутЪ вмѣсто оныхЪ ~ и Д , которыя
I» составляютъ.

рб.

Ежели больше двухЪ дробей дано
будетЪ, какЪ наприм. I, |	, кои

кЪ одному знаменателю привесть дол-
жно , то все дѣло состоитъ вЪ томЪ ,
чтобЪ найти число , которое на всѢ сіи
знаменатели раздѣлиться можетЪ , та-
кое вЪ семЪ случаѣ» есть 6о , которое
есть оной обшей знаменатель ; и такЪ
Вмѣсто 5 поставить , вмѣсто | поста-

вить
бо О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
вить г®, вмѣсто вмѣсто Й, вмѣсто

Й; и ежели сіи дроби
вмѣстѣ сложить должно , то числители
ихЪ составятъ или 3 цѣлыхЪ и
или 3 ІІ.

97-

ІИ. такЪ все дѣло кЪ тому клонит-
ся , что бы двѣ дроби разныхЪ знамена-
телей имѣющія превратить вЪ такіе ,
коихЪ бы знаменатели равны были между
собою. Д чтобЪ сіе общимЪ образомЬ
учинить , то пусть будутЪ помянутыя
дроби и : умножь перьвую дробь вЪ
верьху и вЪ низу на 4, то получишь ко-
торая будетЪ равна у; дотомЪ умножЪ и
другую такЪ какЪ и прежнюю вЪ верьху
и вЪ низу на Ь , то получишь мѣсто
оной , и такЪ знаменатели теперь ра-
вны между собою , чего ради сумма
оныхЪ дробей будетЪ 2^?, а разность
я-^~. И такЪ ежели предложены будутЪ
дроби « и то получишь мѣсто оныхЪ
сіи Ц и
98.

Здѣсь такожде случается вопросѣ:
которая изЪ двухЪ данныхЪ дробей боль-
ше или меньше другой, какЪ то изЪ сихЪ
двухЪ | и у которая больше ? для сего
надлежишЪ только обѣ дроби привесть
кЪ одному знаменателю , то вмѣсто
первой получишь й, а вмѣсто другой И,
изЪ чего видно , что у больше' нежели $
а именно долею. Ежели еще даны
будутЪ напримѢрЪ сіи дроби | и ,, то
вмѣсто ихЪ получишь и ~, изЪ чего
видно , что | больше но токмо
долею.

99.

Ежели дробь изЪ цѣлаго числа вы-
честь должно , какЪ I изЪ і , то мѣсто
і можно поставить изЪ чего тотчасЪ
увидишь что вЪ остаткѣ будетЪ так-
же ~ вычтенные изЪ і даютЪ а еже-
ли і должно вычесть изЪ а » то вмѣсто
2хЪ поставь только і и то оста-
нется і и ВпротчемЪ извѣстно ,
что когда дробь кЪ цѣлому числу при-
дать
62 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСДЕНІД
дашь должно , то поставь оное просто
при оной дроби , какЪ наприм. | при-
данныя кЪ б , даютЪ 6 и I или б|.

ІОО,

Случается иногда , что двѣ дроби
или больше вмѣстѣ сложенныя больше
одного цѣлаго составляютъ , что изЪ
слѢдѵющихЪ примЪровЪ явствуетЪ : яко
или даютЪ || то есть іА тожЪ
самое бываешЪ, когда многія цѣлыя чй-
сла и дроби сложить должно , то сло~
жи сперва дроби , и естьли сумма еы*
детЪ цѣлое или больше цѣлаго одного ,
то приложи оныя пошомЪ кЪ цѢлымЪ
числамЪ. И такЪ когда спрашивается ,
что з| и 2| вмѣстѣ составляютъ ?, то
дроби у и у сложенныя вмѣстѣ даютЪ
что сЪ цѣлыми числами 6 и ~ соста-
вляютъ.

ГЛАВА
ГЛЛВЛ X.

ОбЪ умноженіи и дѣленіи.

Іоі.

Ежели дробь должно будетЪ умно-
жить цѣлымЪ числомЪ , то помножь
онымЪ числителя, а знаменателя оставь
непремѣнна , какЪ напр. 2ды * дѣлаетЪ
| или і ; зды | дѣлаетЪ Зды а
составляетъ § или ~ ; 4ды /5 составля-
ютъ или I цѣлое и Т®5 или | , изЪ сего
выводятЪ слѣдующее правило : когда
дробь цѢлымЪ числомЪ помножить дол-
жно, то или числителя помножЪ, или зна-
менателя раздѣли на оное цѣлое число,
и сіе послѣднее правило сокращаетъ изчи'
еленіе , какЪ напр. | умноженныя $мя
даютЪ | т. е. 2 и , также і| умно-
женныя бшью даютЪ или з|.

ІО2.

И такЪ вообще когда дробь * умно-
жить должно на с , то выдетЪ • при
семЪ
64. О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
семЪ примѣчать надлежитъ , что когда
цѣлое число точно равно знаменателю ,
то произведеніе равно будсгпЬ тогда чи-
слителю , какЪ напр.

а дважды взятая даетЪ і.

2 умноженное тремя даетЪ 2.

| умноженное четырмя даетЪ 3.

И вообще , когда дробь умножена
будетЪ числомЪ Ь , то произведеніе вы-
детЪ а , чему основаніе уже выше еего
положено ; ибо выше изчислено , что Л
частное число изЪявляетЪ дѣлимаго а,
раздѣленнаго на Ь, и при томЪ показано,
что частное число умноженное дѢли-
телемЪ произвесть должно дѣлимое , то
йзЪ сего слѢдуетЪ , что ~ умноженное
на Ь должно дать а.

103.

ПоказавЪ теперь умноженіе дроби
цѣлымЬ числомЪ , надлежитъ намЪ так-
же показать какимЪ образомЪ дробь на
цѣлое число раздѣлить можно , прежде
нежели приступимъ мы кЪ изЪясненію
умноженія дроби дробью ; но сіе ясно ,
что
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 6$
что когда я дробь | раздѣлю на 2, то
вЪ частномЬ будетЪ также когда %
раздѣлю на з , вЪ частномЬ числѣ вы-
детЪ изЪ сего слѢдуетЪ , что числи-
теля на цѣлое число раздѣлишь дол-
жно, а знаменателя оставить непремѣн-
на , какЪ напр. ~ разд. на г даютЪ /г
разд. на з даютЪ
з? разд. на 4 даютЪ
» такЪ далѣе.

104.

И такЪ нѢтЪ вЪ семЪ дѣлѣ ни-
какой трудности , когда числитель на
данное цѣлое число раздѣлиться мо-
жетЪ ; а ежели не можетЪ, то надле-
житъ припомнить , что каждую дробь
вЪ безконечно многія другія превращать
можно , между которымЪ числомЪ но-
вы>Ъ дробей несомнѣнно найдется и та-
кая , кося числитель на данное число раз-
дѣлиться можетЪ. КакЪ наприм. ежели |
раздѣлить должно на а , то приведи
сію дробь вЪ отЪ чего по раздѣленіи
оной на а произойдетъ

Д	естьли
Естьли вообще дробь раздѣлить
должно на с , то приведи оную дробь
вЬ , коея числитель ас раздѣленной
на с даетЪ а, и такЪ искомое частное
число будетЪ

іо?.

ИзЪ сего явствуетЪ что когда
дробь раздѣлишь должно на цѣлое чи-
сло с , то надлежитЪ только знамена»
теля Ь умножить симЪ цѢлымЪ числомЪ;
а числителя не перемѣнять , какЪ напр.

я раздѣленные на 3 , даютЪ 5*? ; |5
раздѣленные на $ , даютЪ ; но когда
самаго числителя на цѣлое число раздѣ-
лить можно , то вычисленіе тѢмЪ бу-
детЪ легче , какЪ напр. & раздѣленные
на з даютЪ „, а другимЪ образомЬ „
которая дробь однако равна помянутой
<5 5 ИбО /,(Ѵ.

юб.

Теперь можемЪ мы показать , ка-
кимЪ об^азомЪ дробь у умножить должно
на дробь НадлежитЪ только помнить

что
ПРОСТЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ. 67
что есть с раздѣленное на 4 и такЪ
должно только сперьва дробь $ умно-
жить на с, и произойдетъ ~ , поіпбмЪ
роз дѣлить на 4 и выйдетЪ ; изЪ чего
слѢдуетЪ , что вЪ умноженіи двухЪ
дробей между собою , надлежитЪ сперь-
ва числителей , а пошомЪ знаменателей
'особо между собой помножить , такЪ
на прим. з умноженная на | даетЪ ~ или
5^ | умноженные на і даютЪ ,умно-
женнные на ~ даютЪ & или 4 > И
такЪ далѣе.

10*7.

Теперь осталось показать , какимЪ
образомЪ одну дробь на другую раздѣ-
лишь должно ; причемЪ воперьвыхЪ при-
мѣчать надлежитъ , что когда дроби
одинакихЪ имѣютЪ знаменателей , шо
дѣленіе окончится вЪ числителяхЪ , по-
тому что наприм. вЪ столько же
разѣ содержатся сколько з вЬ 9 гп. е.
Зжды з чего ради когда Л на раздѣ-
лить должно будетЪ , то надлежнтЬ
только 8 раздѣлить на р ошЪ чего

Д 2-	про-
68 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЛ
произойдетъ вЪ содержится 3 жды.
іи вЪ содержится 7 разѣ ; А на ~ раз-
деленныя даютЪ ?, также на даютЪ |

108.

А разныхЪ знаменателей имѣющія
дроби можно привести кЪ одинакимЪ ;
такЪ когда дробь ~ раздѣлить должна
на , то приведи сперьва сіи дроби кЪ
одному знаменателю , и получишь дѣ-
лимую а дѣлителя ; откуду слѢ-
дуегпѣ , что только числителя перьвой
дроби а 4 на числителя послѣдней Ьс
раздѣлить должно , слѢдов. искомое ча-
стное будетЪ

ИзЪ сего слѣдующее выходитЪ пра-
вило : числителя дѣлимаго числа надле-
житъ помножить знаменателемъ дѣли-
теля , а знаменателя дѣлимаго числа
числителемЪ дѣлителя : то перьвое
произведеніе числителя , а послѣднее
даетЪ знаменателя вЪ частномЪ числѣ.

109.

И такЪ когда | раздѣлить должно
будетЪ на |, шо вЪ частномЪ числѣ
по
АО**-

простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 69
до сему правилу выдетЪ ; ежели * на
| раздѣлить должно , шо получишь
дли * т. е. і и і, ежели же Ц раздѣлиш
на < , то получишь или

ІЮ,

Сіе правило дѣленія удобнѣе слѣ-
дующимъ предложишся образомЪ : дробь,
на которую дѣлить должно, перевороту
уоставя знаменателя ея вЪ верьху , а
числителя вЪ низу , и умножЪ дробь
дѣлимую на сію обращенную , и бу-
детЪ произшедщее произведеніе искомое
частное число, ТакЪ наприм. * раздѣ-
ленные на а равны - умноженнымЪ на
г, изЪ чего произойдетъ ® или і*; также
г раздѣленные на | равны | умножен-
нымЪ на | , отЪ чего произойдетъ Ъ-
Подобно -у раздѣленные на |, шо же что
й умноженные на отЪ чего произой-
детъ ~ или какЪ выше сего

И такЪ вообще видно , что на
Дробь і раздѣленное что нибудь , тожЪ
самое есть чшо и г т. е. амя умножен-

Д 3	ное ,
ное , на | раздѣленное тоже Что и |
ш. е, з мя умноженное.

I I Іа

Чего ради ежели юо раздѣлишь на
Гпо вЪ частномЪ числѣ будетЪ 200 ,
а юоо на | частное будетЪ 3000; когда-
же і раздѣлишь на Т5~ , вЪ частномЪ
будетЪ юоо ; а і на вЪ частномЪ
даетЪ юоооо : изЪ сего понять можно,.
Что і на о раздѣленная вЪ часгпномЪ
даетЪ число безмѣрно великое , потому
что когда і раздѣлишь на сію малую
дробь ЙОО5555555» вЪ частномЪ числѣ бу-
детЪ сіе великое число юооооооооо.

112.

Когда дробь саму на себя раздѢ-
<лйть должно , то разумѣется , что ча-
стное число будетЪ I $ потому что
каждое число само на себя раздѣленное
даетЪ і : тоже самое показываетъ и
наше правилъ , когда наприм. ? раздѣ-
лить должно на |, то умножЪ | на ?
откуда получишь || ш. е. х ; а когда |
раэдѣ-
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 71

раздВлить должно на |, то умножЪ' {
на ъ- и произойдетъ щ. е. і.

113.

Еще осталось изЪяснить употре-
бительную рѣчь вЪ Ариѳметикѣ , какЪ
наприм. когда говорится половина ’хЪ ,
то сіе есть тоже , что умноженные
ііо, также когда спрашивается что есть
| дроби <хЪ, то найдешь сіе ежели | умно-
жишь на 5, произведеніе ~ будетЪ искомое.
ТакЪ | дроби будетЪ произведеніе э
что весьма наблюдать должно , когда сія
ІрѢчь ни случится.

[	ІГ4’

НаконецЪ надлежитъ здѣсь вЪ рассужде*
Ніи знаковЪ и — тоже самое примѣ-
чать что выще сего при цѢлыхЪ числахЪ
показано было, такЬ наприм. -Ь | умно-
женная на — ’ даетЪ — I; — , умно-
женные на | даютЪ 4- ??» “• I раздѣ-
ленные на 4- I даютЪ — Із» •— * раздѣ-
ленные на -г- I даютЪ 4- « или 4- і-

Глава
гллвл хі.
о квадратныхъ числахъ.

Іі$.

Когда какое число само собою помно-
жено будетЪ : то произведеніе назы-
вается хпацратожЪ , вЪ рассу жденіи
котораго то число , изЪ коего оное
произошло , радиксовъ его хиадрат-
или хсгрнеліЪ хиадратныліЬ на-
зывается.

И такЪ, когда напр. 12. умножено
будетЪ на 12 , произведеніе будетЪ 144.
квадратное число , котораго корень
есть 12.

Основаніе сего названія взято изЪ
Геометріи > гдЪ симЪ образомЪ нахо-
дится величина площади квадрата , то
есть : ежели сторона онаго сама собою
помножится.

иб.

Чего ради всЪ квадратныя числя
сыскиваются помощію умноженія, когда
корни
Корни сами собою помножены будуппЪ.
ТакЬ напр: понеже і умноженная на I
даспіЬ і , шо і будетЪ квадрашЪ і.

На прошивЪ того 4. есть квадрашЪ
ахЪ, а 2 квадратной корень 4-хЬ.

Также 9 квадратЪ 3хЪ , аз квадрат-
ной корень рти. разсмотримъ теперь
квадраты натуральныхЬ чиселЪ, которыхЪ
числа или корни вЪ первомЪ ряду , а
квадраты ихЪ во вшоромЬ представлены.

[числа I | а | 3 I 4 | 5 6І7ИІ9І іоиі іг I іт | ід | і5 ! іб
[квлдр: і I 4 I 9 1 Дб|а5 I ?6І49 |б4|| аі ІЮОІ121І144І169І 196122512 56 Ьй9|

и?.

ВЪ сихЪ по порядку поставленныхъ
квадратныхЪ числахЪ , видимЪ мы из-
рядное свойство вЪ томЪ состоящее э
что когда каждое изЪ слѣдующаго вы-
чтено будетЪ, остатки составятъ слѣ-
дующей рядЪ чиселЪ.

3» 5, 7, 9> іі, 13, 15» і7, 19, 2і,
и такЪ далѣе, которые всѢ двумя воз-
растаютъ и составляютъ рядЪ нечет-
ныхЪ чиселЪ.

Д 5	іі$.
II8.

Подобнымъ образомЪ сыскиваются
и квадраты дробей то есть : умноже-
ніемъ* дроби самой собою , такЪ напр,
| квадратЪ ,
I квадратЪ $
5 квадратЪ ±
~ квадратЪ Т'5

* квадратЪ & и такЪ далѣе.

НадлежигаЪ только квадратЪ числйтелж
раздѣлить на квадратЪ знаменателя ,
и получишь квадратЪ дроби , такЪ на-
прим. дроби | квадратЪ ||; и обратно |
есть корень

119.

Ежели хочешь найти квадратЪ
•смѣшеннаго числа , состоящаго изЪ цѣ-
лаго числа и дроби, то приведи только
оное число вЪ дробь и возми ея квадратЪ;
такЪ чтобЪ сыскать квадратЪ, 2і будетЪ
вопервыхЪ равно * • и слѣдовательно
квадратЪ что составляетъ 6', по сему
6і есть квадратЪ 21. Также для сыска-
нія квадрата 3, ВидимЪ что 3* равна *«
котораго
котораго квадратѣ будетЪ , что со-
ставляетъ іОі’. разсмотримъ теперь
Мапр. квадраты чиселЪ отЪ 3 до 4- на
одну четверть возвышающихся.

числа з| з^|	з*|	з*[	4 

квадраш. р| ют*|	14^ |_16

ИзЪ сего заключить можно , что когда
корень есть дробь, то и квадрату дроби
быть должно. ТакЪ напр. когда корень
то квадратЪ его что составитъ
которое весьма малымЪ числомЪ
превосходитъ ".

120.

Когда вообще корень будетЪ я, то
квадратЪ его будетЪ аа, также корня 2 я
квадратЪ будетЪ 4 аа ; изЪ чего видно ,
что когда радиксЪ гды больше, то ква-
дратЪ будетЪ 4ды больше. А корня за
квадратЪ будетЪ раа, и корня 4 а ква-
дратЪ ібаа, и такЪ далѣе ; ежели же
корень будетЪ аЬ то квадрашЪ его ааЬЬ,
а корня аЬс квадратЪ ааЬЬсс.

І2Х*
12 Г.

И такЪ когда корень состоитъ
изЪ двухЬ или болЪе множителей , то
должно квадраты оныхЪ помножить ,
Между собою ; и обратно когда ква-
дратЪ состоитЪ изЪ двухЪ или болЪе
множителей , изЪ которыхЪ каждой
квадратЪ , то надлежитъ только по-
множить мёжду собою корни оныхЪ, такЪ
Наприм. когда 2304 равны 4. іб. 36
то корень ихЪ квадратной 2. 4. б т. е.
48 , и вЪ самомЪ дЪлЪ 48 есть корень
квадратной изЪ гдодхЪ , потому чш<2
Д8. 48 равны 2304,

122.

Теперь разсмотримъ знаки -р- и
**, что сЪ ними бываетЪ при квадра-
та хЪ , изЪ чего тотчасЪ увидимЪ , что
ежели корень имЪетЪ знакЪ -Н или будетЪ
положительное ( прибыточное ) число ,
Какое понынЪ нами принято , то
квадратЪ онаго также положительное
число быть должно ; потому что
.4- умноженное на «+* дасгаЪ вЪ произ-
веденіи
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ.

77

веденіи 4- , и такЪ квадратЪ изЪ 4- 3
будетЪ 4- а а; а когда корень будетЪ
от; ицательное ( убыточное ) число *
какЬ — а, то квадратЪ его будетЪ -4~ На >
такЪ какЪ бы корень былЪ 4— а : слЪдо-
вательно -4- а а есть квадратЪ какЪ изЪ
4- а, шакЬ и — а} почему каждаго ква-
дратЪ ймЪетЪ два корня квадратныхЪ ,
ИзЪ коихЪ одинЪ положительной, а дру-
гой отрицательной. ТакЪ корень ква-
дратной 2 ти, есть какЪ 4- 5 , такЪ й

5 , потому что 4- 5 умноженное на
4- 5 , и — 5 умноженное На — 5 даютЪ

глава XII.

О КвадратныхЪ корняхЪ и произходящихЬ
оттуду неизвлекомыхЪ числахЬ.

12$.

Изъ прежняго видно , что корень ква-
дратной изЪ даннаго числа , не что
инное есть , какЪ такое число , кото-
раго квадрашЪ равенЪ данному числу :
такЪ
78 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
такЪ корень 4-хЪ есть 2 , рти 3 , 16 гпи
4, причемЬ примѣчать должно , что сіи
корни какЪ с'Ь положительными такЪ и
сЪ отрицательными знаками поставлены
быть могутЪ. ТакЪ изЪ 2 5 ши корень
квадратной будетЪ какЪ 4- 5 э такЪ и
— 5 : потому что — 5 умноженные на
— 5 также дЪлаютЪ 4~ 25, какЪ и 4- 5
умноженные на 4~ 5.

124.

И такЪ когда данное число будетЪ
квадратЪ , и квадратные числа потуду
извѣстны , то легко можно найти его ко-
рень квадвратной : такЪ когда бы дан-
ное число было 196 , то извѣстно что
корень квадратной онаго числа есть 14.
ВЪ дробяхЪ также нЪгпЪ трудности , и
изЪ прежняго видно , что изЪ дроби
корень квадратной есть |, потому
что какЪ числителя такЪ и знаменателя
корень» квадратной взять можно. Ежели
же данное число будетЪ смѣщенное ,
какЪ іа 5 , то приведи оное вЪ одну
дробь , какЪ V изЪ которой корень ква-
дратной
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 79
кратной будетЪ I или зі , слѣдователь-
но онЪ же будетЪ квадратной корень
ЦЭЪ I 2 4»

12?.

А когда данное число будетЪ не
квадратЪ , какЪ наприм. 12 , то не
можно найти или опредѣлить его корня
квадратнаго , то есть такого числа ,
которое бы само на себя помноженно,
ціочно 12 составляло. Между піѣмЪ
однакожЪ намЪ извѣстно , что корень
квадратной іггпи больше З^Ъ , потому
что з. з дѣлаютЪ только р , а меньше
4-хЪ ; потому что 4. 4 дѣлаютЪ 16 ;
извѣстно также намЪ что оно должно
быть меньше 35, ибо квадратЪ сего
числа больше 12 , понеже З-і или 2хЪ
квадратЪ есть 12$. Сей корень опредѣ-
лится еще точняе положа его з/ѵ ; ибо
квадратЪ сего числа есть 2/г°?, слѣдовате-
льно з4 еще нѣсколько великЪ. Поне-
же 3/5 или ЦхЪ квадратЪ ’т или

І2б.

Когда з| и з~ нѣсколько превы-
шаютъ квадратной коренЪ 12щи, то мо-
жно
8о О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
жно думать , что когда мѣсто дроби у
другая нѣсколько меньше кЬ 3 придается
квадратЪ ея 12 произойти можетЪ.

И такЪ возмемЪ з| по тому, что *
нѣсколько меньше ^хЪ , а 3| равны ,
коей квадратЪ $7~ или 11 Й ; нѣсколько
меньше 12 , ибо 12 приведенные кЪ то-
му же знаменателю дѣлаютЪ , слѣдо-
вательно меньше дробью Отсюду ви-
димЬ мы , что з| малы , а 3^ велики ;
чего ради возмемЪ зТ*> потому что зТ,
больше з^, а меньше з~ ; когда з~ вЪ
одну дробь приведенные составляютъ
то квадратЪ оттуду будетЪ или 1і
Но 12 приведенные кЪ сему же знамена-
телю дѣлаютЪ : слѢд з~ еще не до-
стаюгпЪ дробью Естьли же бы поло-
жили искомой корень 34, поелику 4 нѣ-
сколько больше , то квадратЪ бы изЬ
того былЪ 2, т. е. 11 ,• но 12 кЪ
сему знаменателю приведенные даютЪ
слѣдовательно 34 еще малы дробью
а велики.
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ 8і
127.

Но легко понять можно , что
Какую бы мы дробь кЪ 3 мЪ ни прикла-
дыва ли , квадратЪ ея всегда будетЪ
имѣть при себЪ дробь и слѣдовательно
ха ши точно никогда не составитъ. Не
смотря на то что Мы ЗнасмЪ , что ко-
рень квадратной изЪ 12 больше з4, а
меньше з~, должно признаться, что ме-
жду сими двумя дробями не можно най-
ти такой , которая бы , естьли при-
дадутся кЪ ней 3, точно произвела ква-
дратной корень изЪ Х2. Между тѣмЪ
не можно сказать , чтобЪ корень ква-
дратной изЪ 12 самЪ собою опредѣленъ
не былЪ 5 а изЪ показаннаго слѣдуетЪ
только , что онаго дробью изЪявить не
можно , хотя онЪ и опредѣленную ве«
личину имЪетЪ.

Сіе всдетЪ насЪ кЪ новому роду
чиселЪ , коихЪ дробями ни коимЪ обра-
ЗомЬ изЪявить не можно , хотя они и
опредѣленную величину имѢютЪ , такЪ

Е	какЪ
какЪ мы при квадратномЪ корнѣ изЪ ігілц
видѣли. Сей новой родЪ чиселЪ называет-
ся непзплекожьіліп чмслажи , кото,
рые вЪ гпакомЪ случаѣ произходятЪ ,
когда надлежитЪ искать квадратной ко-
рень изЪ числа не квадратнаго. ТакЪ
напр. 2 есть число не квадрантное , то
и корень квадратной изЪ 2хЪ , или то
число , которое само на себя помножено
точно 2 производить , есть число яеиз-
пмолюе (ирраціональное) которые числа
называются также и глухими числами ,
питегі Гигсіі ес іггагіопаіез.

129.

Хотя такихЪ чиселЪ никакою дро-
бью представишь нельзя , однакожЪ о
величинѣ оныхЪ , имѣемЪ мы ясное по-
нятіе. Ибо напр. какЪ бы квадратной
корень 12 ти ни сокровенЪ казался ; од-
нако намЪ извѣстно > что онЪ есть
такое число , которое само на себя
умножено точно 12 производитъ^ ‘ и
сего свойства довольно дать намЪ о семЪ
числѣ ясное понятіе ; а особливо когда

мЫ
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ 8}

МЫ кЪ его величинѣ часЪ опіЪ часу бли-
подходить можемЪ.

І$о.

Имѣя о такихЪ неизвлекомыхЪ
числахЪ довольное понятіе у потребля-
ютъ для означенія корня квадратна-
го изЪ чиселЪ не квадратныхъ , знакЪ
имѣющей фигуру У, которой словомЪ
корень квадратной выговариваютЪ, такЪ
У12 озна«иваетЪ то число , которое
естли само на себя помножится , Произ-
ведетъ 12 , Или корень квадратной изЪ
іе; равнымЪ обраЗомЪ У 2 доказываетъ
корень квадратной изЪ гхЪ, У$ корень
квадратной изЪдхЪ; У| корень квадрат-
ной изЪ ~ , вообще Уа показываетЬ ко-
рень квадратной изЪ а; и такЪ для озна-
ченія корня Квадратнаго изЪ числа не
квадратнаго всегда употребляютЪ сей
ЗнакЪ У , которой пишутЪ попередй
Онаго-

1^1.

Вышепомянутое понятіе о сихЪ
НеизвлекомыхЪ числахЪ , ведешЬ насЪ нч

Е Л	Путь
§4. О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЁНІЯ
путь , какимЪ образомЪ дѣлаті» ѵпотрс.
бительные сЪ оными выкладки. Понеже
корень квадратной изЪ 2 хЪ умноженной
самЪ собою даетЪ 2 , то и изЬ V 2 ум-
ноженнаго на Ѵг несумнѣнно произойдетъ
2; равнымЪ образомЪ V з наѴ$ даетЪ з,
Ѵ$ умноженной на Ѵ$ даетЪ 5 , также
V; на V; даетЪ | , и вообще Ѵа умно-
женной на Ѵа даетЪ а.

132.-

Но когда Ѵа умножится на УЬ, то
произведеніе будетЪ ѴаЬ ; понеже выше
упомянуто , что когда квадратное чи-
сло имЪетЪ множителей , то корень изЪ
произведенія есть также корень изЪ обо-
ихЪ множителей ; и по сему квадратной
корень изЪ произведенія аЬ получишь ,
гп. е. ѴаЬ, когда квадратной корень изЪа,
т. е. Ѵа умножишь на квадратной корень
изЪ Ь >• т. е. ѴЬ •. изЪ чего явствуетЪ,
что ежели бы Ь равно было а , то бы Ѵа
умноженной на Ѵа произвело Уаа. , а
Уаа безсомнѣнія есть а, потому что аа
есть квадратЪ изЪ а.
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ

3$

133.

равнымЪ образомЪ когда Уа должно
будетЪ раздѣлить на УЬ, то получится
Уі- при чемЬ случится можепЪ , что вЪ
часгпномЪ числЪ нсизвлекомость пропа-
детЪ ; такЪ напр. ежели У 18 должно
будетЪ раздѣлить на У 8 , то получишь
У’* но к равны ® и корень квадратной
изЪ есть ?

Ежели число предЪ которымЪ ко-
ренной знакЪ У поставленъ ссіьь ква-
дратЪ , то извлечь его можно обыкно-
веннымъ образомЪ. ТакЪУ4 равенЪ 2, У9
равенЪ з, V 36 есть б, есть У+| ко»
торой равенЪ \ или з', вЪ сихЪ случаяхЪ
нсизвлекомость только быть кажется; а
вЪ самом-Ь дЪлѢ она пропадаетЪ.

І351.

Такія неизвлекомыя числа можно
легко умножать на обыкновенныя какЪ
напр. 2ды У5 равенЪ 2У5; У2 умно-
женной на з даетЪ 3 У 2 , но понеже 3

Е 5

равны
равны Ур, то и Ур умноженной на У а
дасгпЬ Уі8, такЪ что Уі8 равенЪ 3У2.
Также гУа равенЪ У4а, дУа равенЪ
Ура и вообще ЬУа равенЪ УЬЬа, откуду
видно , что когда стоящее подЪ корей-
цы мЪ знакомЪ число содержитъ вЪ себЪ
квадратЪ , то корень изЪ онаго попере-
ди помянутаго знака поставить можно,
какЪ ЬУа , такимЪ образомЪ слЪдуюЩіЛІ
обращенія будутЪ ясны на пр.

Ѵ8 или	У2.4	равенЪ 2Ѵ2

У12 или	У3.4-------2У3

У18 или	У 2.9	—-з V 2

У24 или	Ѵ6.4-------2Ѵ6

У32 или	Ѵ8.4--------2У8	—	4У2

, У 75 ИЛИ	У 5.25----р'д.

І36.

При дѣленіи то же самое наблю-
дается , ибо Уа раздѣленной на УЬ
даетЪ , т. е. У ~, такЪ

равенЪ У5, или У4 или 2

77 равенЪ У'| “ У9 - 3

^7	=2 Уі - У4 = 2
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ §7

21 п—±: “V—или У24— /б.л па. е. гУб*
у 5	У 6	6	1	‘	ѵ

137-

При сложеніи и вычитаніи , нѢтЪ
ничего особливаго примѣчанія достойнаго,
потому что числа соединяются только
знаками -4-и—; какЪ напр. У2 сложен-
ной сЪ Vз даетЪ У 2 + У], а изЪ У<$
Вычтенной Уз даетЪ У5—У3.

138.

НаконецЪ примѣчать должно , что
для различія сихЪ такЪ называемыхъ не-
извлекомыхЪ чиселЪ > обыкновенные числа
какЪ цѣлые такЪ и ломаные называю
шея изтілехоліыліи или (раціональными)
числами ( питегі гясюпаіез. )

И такЪ когда рѣчь о раціональныхЪ
числахЪ , то всегда подЪ тѢмЪ разумѣ-
ются цѣлыя и ломаные числа.
88 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ

'О* Чл 491 49> 491 491 *СЧ '®' 'О1 'Оі 1О1 'Сі 'О1 чл ^о» 49і 1» 'вч

ГЛЛВЛ XIII.

О произходящихЪ изЪ сегожЪ источнику
не возможныхъ или мнимыхЪ числахъ.

139.

Видѣли уже мы , что квадраты какЪ
изЪ положительныхъ такЪ и отрица-
тельныхъ, (прибыточныхъ или д бь гьоч-
ныхЪ) чиселЪ, суть всегда положительные
или сЪ знаксмЪ -4-; ибо — а умноженное
на —а даетЪ также 4- аа, какЪ и 4- а
умноженное на 4-а. Для сей притчины
вЪ прежней главѣ брали мы числа, изЪ
коихЬ квадратной корень извлечь должно?
За числа положительныя,

І4.0.

И такЪ ежели случится изЪ отри-
цательнаго числа извлечь корень ква-
дратной , то конечно должно быть тутЪ
великому сомнѣнію , потому что нѢтЪ
никакого такого числа , котораго бы
квадратЪ былЪ отрицательное число ;

какЪ
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ 89
уакЪ напр. когда похочешь имѣть ква-
дратной корень числа —4 , то сему чи-
рлу должно оыіпь такому , которое бы
рамо собою помножено , произвело —4;
слѣдовательно искомое число ни —р- а
ни —- 2 быть не можетЪ, ибо какЪ 4- 2»
такЪ и — 2 помножены будучи сами со--
бою вЪ произведеніи даютЪ 4-4, а не — 4.“

141.

Отсюду видно , что корень ква*
кратной изЪ отрицательнаго числа , ни
положительное ни отрицательное число
быть не можетЪ ; потому что всЬхЪ
отрицательныхъ чиселЪ квадраты суть
положительные или сЪ знакомЬ -4- , слѣ’-
довательно искомой корень совсѢмЬ осо-
бливаго роду быть долженЪ , ибо онаго
ни кЪ положительнымъ , ни кЪ отрица-
тельнымъ числамЪ причислить не можно.

14.2.

Понеже выше сего ужё упомянуто,
что всѣ положительныя числа больше
Нежели о, напротивъ того всѢ отрица-
тельныя меньше нежели о такЪ что все,

Е 5	что
90 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕШЯ

что больше нежели ничево положитель-
ными ; а все что меньше ничево отри-
цательными числами изъявляется , и
такЬ видимЪ мы , что корни изЪ отри-
цательныхъ чиселЪ ни больше ни меньше
Некели ничево, и самое ничево они так-
же не будутЪ, ибо о ^умноженной на о
вЪ произведеніи даетЪ о, и слѣдователь-®
но не отрицательное число.

14.3.

Когда всВ возможныя числа , кактя
только представить можно, суть больше
и меньше о или самой о ; то изЪ сего
видно , что корни квадратные изЪ отри-
цательныхъ чиселЪ, вЬ число возможныхъ
чиселЬ включены быть не могутЪ, слЪ-
довательно суть числа «е позліо'кішя.
Сіе обстоятельство ведетЪ насЪ кЪ
познанію такихЪ чиселЪ •> которыя по
ихЪ свойству суть не возможныя и обык-
новенно мммыи числами называются,
потому что ихЪ вЪ умѣ только пред-
ставишь можно.

*44-
144.

Чего ради всЪ сіи выраженія , какЪ
V— і, V—2, V—з , V—4 и, прочая пока-
зываютъ такія не возможныя или мнимыя
числа , ибо чрезЪ то означаются корни
квадратные изЪ отрицательныхъ чиселЪ.

И такЪ по справедливости можно
подтвердить о сихй числахЪ , что они
ни б мьиіе ни мень ше нуля » да и самаго
нудя не составляютъ ; по чему спра-
ведливо почтены быть могутЪ за невоэ
можныя.

14?.

А поелику они только вЪ умБ
нашемЪ представляются , то для того
И называюшЪ ихЪ мнимыми числами И
хотя сіи числа какЪ V—4 по свойству
ИхЪ и совсЬмЪ невозможныя , то однако
имЬемЪ мы обЪ нихЬ довольное понятіе,
Зная что ими означается такое число ,
которое естьли само на себя помножено
будетЪ , вЪ произведеніи даетЪ —4 , и
«его довольно для знанія , какЪ сЪ сими
числами
$2 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
числами вЪ выкл^дкахЪ поступать над^
лежитЬ.

146.

И такЪ что мы теперь о тахихЪ
невозможныхъ числахЪ, какЬ V—3, зна-
емЬ состоишЬ вЪ томЪ , что квадратЪ
изЪ онаго ; или произведеніе изЬ V—5
на V— 5, будетЬ — $; также V— х умно-
женной на V— і даетЪ — I ; и вообще
когда Ѵ-а умножится наѴ— а > или воз*
мешея квадратЪ У-а выдетЪ —а.

14-7.

Когда —а есть то же , что и +я.
умноженное на — і ; а корень квадрдіп-
ной изЪ произведенія находится , когда
квадратные корни изЪ обоихЪ множите-
лей на себя помножатся , такЪ( будсіпЪ
корень изЪ а умноженной на — і , или
корень изЪ - а столько же какЪ Ѵа умно-
женной на Ѵ_~і. Но поелику Ѵа есть
возможное число , слЪдовашельно содер-
жащееся вЬ немЪ невозможное всегда при-
вести можно вЪ V—х , и посему будетЪ
Ѵ'-Д ; равенЪ Ѵ4 умноженному на У—і ;
а V 4. есть 2 , то У—4 равенЪ будетЪ
2 ѵ — і , Ѵ-9 равенЪ V9. У-і, то есть
$У—і ; У—іб равенЪ 4 У—1>

14-8.

Когда У а умноженной на УЬ даетЪ
УаЬ ; то У —2 умноженной на У^$
даетЪ V6 рівнымЪ образомЪ У—і
умноженной на V 4 даетЪ У4, то есть
2; откуду видно, что два не возможные
числа помноженные сами собою произ-
вести могутѣ возможное или дѣйстви-
тельное число. Но когда У-3 умнрженЪ
будетЪ на У 4- 5 , то получится V- 15 ,
или возможное число помноженное на
не возможное , всегда не возможное про-
изводитъ.

І49-

ПодобнымЪ образомЪ и вЪ дѣленій
Поступать надлежитъ ; ибо когда У а
раздѣленной на УЬ даетЪ Ѵ|4 то У—$
раздѣленной на У-і даетЪ Ѵ-4-5 • У4-3
раздѣленной на У—3 даетЪ вЪ частномЪ
числѣ У-і ; а і раздѣленная на У—I

даетЪ
94 о РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
даетЪ гп е. У— і, потому что і то
же что и У 4-1.

НО.

Когда справедливо вышепомяну-
тое примѣчаніе , что каждаго числа
Квадратной корень имѣетЪ двоякую силу,
гпо есть : что оной какЬ сЪ положи-
тельнымЪ гпакЪ и сЪ отрицательнымъ
знакомЬ взятЪ быть можетЪ, какЪ напр,
Т 4 есть какЪ 4-2 , такЪ и —2 , и во-
> обще вмѣсто квадратнаго корня изЪ а мо-
жно писать какЪ4~Уа, такЪ и —Уд; то
будетЪ оно также имѣть мѣсто и при
невозможныхъ числахЪ , и корень квад-
ратной изЪ — а будетЪ , какЪ +У—а
такЪ и —У—а , при чсмЬ знаки 4- и —,
которые попередп знака V становятся
отличать должно отЪ гпѢхЪ , кои сто-
яшЬ подЪ знакомЪ У.

НаконецЪ еще сомнѣніе разрѣшить
надлежитЪ, которое состоитЬ вЪ шомЪ5
когда такія 1 исла суть невозможны, то
кажется что они совсѢмЪ не нужны , й
ученіе
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ 95“
ученіе сіе за самую малость почесть мо-
жно. Не смотря на сіе оно вЪ самомЪ
дѣлѣ весьма нужно, ибо очень часто слу-
чаются такія вопросы, о которыхЪ ско-
ро узнать не льзя возможные ли они или
не возможные? а когда рѣшеніе ихЪ при-
ведетъ насЪ на такія числа невозможныя,
то сіе значить будетЪ , что и самой
вопросЪ не возможенъ. Для идЪясненія
сего примѢромЪ разсмотримъ слѣдукщей
вопросЪ ; данное число 12 раздѣлишь на
двѣ такія части , которыхЪ бы произ-
веденіе было 40 ? Сей вопросЪ когда по
предписаннымЪ вЪ слѣдующихъ правиламЪ
рѣшить будемЪ 7 то найдемЪ для двухЬ
искомыхЪ частей 64-У-4, и б—Ѵ— 4, кото-
рыя слѣдовательно суть не возможныя ,• и
такЪ изЪ сего видно, что вопроса сего
рѢшигпь не можно.

Естьли же бы должно было число
іа раздѣлить на такія двѣ части; кото-
рые бы вЪ произведеніи дали 35 ; то сіи
часши были бы безЪ сомнѣнія 7 и

глава
§6 о Разныхъ родахъ изчисленія

Г ЛЛ В Л XIV.

к

о кубичныхЪ числахЪ.

огда какое нибудь число трижды само

на себя, или его квадратЪ еще на самое

число помножится , то произведеніе на-
зывается хуйЪ или хус'ичное число ;
такЪ числа а кубЪ будетЪ а а а, которое
произходипЪ отЪ умноженія числа а на
самаго себя , то есть на а , а квадрашЪ
его а а еще на число а.

И такЪ кубы .нашу ральныхЪ чиселЪ
суть слѣдующія :

Числа: г, 2, 3, 4/	<>*

Кубы- і, 8, 27, М, 125,216,
Числа :	7,	8,	9, то,

Кубы : 343, 512, 729, 1000,
И такЪ далѣе.

Къ

Когда мы при сихЪ кубичныхЪ числахЪ
разсмотримъ ихЪ разности , такЪ какЪ
и при квадратныхЪ числахЪ учинено бы-
ло , вычитая каждый изЪ слѣдующаго ,
то
то получится слѣдующей рядЪ чиселЪ :
7, і9> 37,	9і, 1^7, ібр, 2і7, 271;

между которыми не видно никакого
порядка,- есгпьли же мы еще сихЪ чиселЪ
возмемЪ разности , то получится слѣ-
дующей рядЪ 12, і8, 24., 30, 36, 42,
48, ^4, между которыми всѣми одна раз-
ность б.

'і ?4.

равнымЪ образомЪ находить безЪ
трудности можно кубы дробей ; такЪ
напр. і кубЪ есть || кубЪ будетЪ ;
2 , НадлежитЪ только какЪ числителя
такЪ и знаменателя взять кубы порознь
такЪ дроби | кубЪ будетЪ

ІИ-

Чтобы найти кубЪ смѣшеннаго чи-
сла , надлежитЪ его сперва привесть вЪ
одну дробь ; а потомЪ щисленіе здѣлать
будетЪ не трудно. ТакЪ числа і’- кубЪ
легко найти можно; ибо приведенные вЪ
одну дробь равны а кубЪ * равенЪ
Шо есть 3 М = равнымЪ образомЪ числа

&

I
і? или | кубЪ есть , то есть х и *’ 3
а числа з| или ’* кубЪ то есть 34^.

10.

Понеже числа а кубЪ ааа , то числа
аЬ будетЪ кубЪ аааЬЬЬ , изЪ чего видно ,
что когда число имЪетЪ два или больше
множителей , гпо кубЪ онаго выдепіЬ ,
ежели кубы каждаго множителя помно-
жатся между собою ; такЪ напр. понеже
12 равны 3.4., то помножь кѵбЪ зхЪ ко-
торой есть 27, на кубЪ 4хЪ, которой
есть 64. , и получишь 1728 кубЪ числа
12. Отсюда видно также , что кубЪ 2 а
долженЪ быть 8 ааа , слЪ довашельно вЪ 8
разЪ больше куба изЪ а ; равнымЪ обра-
зомЪ кубЪ з а есть 27 ааа , т. е. вЪ 27
разЬ больше нежели кубЪ изЪ а.

И7-

Что касается до знаковЪ Ч~ и —,
то ясно само по себ'Ь, что числа поло-
жительнаго, какЪ +а, кубЪ будетЪ также
і-ааа положительной, а числа отрицатель-
наго какЪ —а будетЪ и кубЪ отрицай
тельной і ибо возми сперва квадратЪ -а 3

Ж	когаоГ
которой есть -4-яа, и помножь его на
—а , то получится искомой кубЪ — ааа,
числа —а , слѣдовательно сЪ кубами со-
всѣ мЪ противное бываешЪ нежели сЪ
квадратами, ибо сіи послѣдніе всегда бы-
ваюшЬ положительные ; напротивъ того
— і кубѣ есть—і; — 2 хЪ кубѣ — 8; -ЗхЪ
кубѣ — 27, и такЪ далѣе.

ГЛАВА XV.

О кубичныхЪ корняхЪ , и прой эхо дящихЬ
оттуда неизвлекомыхЪ числахЪ.

І$8.

ПоказавЪ какимЪ образомЪ даннаго чи-
сла находить кубЪ , можно обратно изЪ
даннаго числа находить такое число ,
которое бы Зжды само на себя помно-
женное произвело данное число ; и сіе
Найденное число вЪ сравненіи сЪ даннымЪ,
называется его ку&ичныліЪ корне^иЪ.
Слѣдовательно даннаго числа кубичной
корень есть такое число, котораго кубЪ
равенЪ данному числу.

Ж а	159.
Ч9.

И шакЪ когда данное число есть
дѣйствительно такое кубичное число ,
какое мы вЬ прежней главѣ находили, то
легко найти можно его кубичной корень.
КакЪ напр. кубичной корень изЪ і есть
і , изЪ 8,2, изЪ 27 , з, изѣ 64хЪ 4. ,
и такЪ далѣе.

равнымЪ образомЪ изЪ -27 кубич-
ной корень есть -3, изЪ-125, —5. Еже-
ли данное число будетЪ ломаное , какЪ З’у,
то кубичной его корень будетЪ 5, изЪ
есть сверьхЪ сего когда данное чи-
сло будетЪ смѣшенное , какЪ 23°, кото-
рое приведено будучи вЪ одну дробь
дѣлаетЪ слѣдовательно кубичной его
корень будетЪ т. е. 15.

ібо.

Естьли же данное число будетЪ не
точной кубЪ, то и корня его кубичнаго
ни вЬ цѢлыхЪ ни вЪ ломаныхЪ числахЪ
изЪявить не можно. ТакЪ напр. 45 по-
елику число не кубичное , то ни вЪ
цѢлыхЪ
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. ЮІ
ц'БлыхЪ ни вЪ ломаныхЪ числахЪ не мо-
жно показать такого числа , котораго бы
кубЪ составлялъ точно 4.3. Между тѢмЪ
однако намЪ извѣстно , что корень
онаго числа больше зхЪ, а меньше 4хЬу
потому что кубЪ 3 хЪ дВлаетЪ только 2.7.
т. е. меньше 43 »• а кубЪ 4 есть 64
больше 4$ , слЪдовательно знаемЪ мы ,
что искомому кубичному корню числа
43 , содержаться должно между числами
3 и 4.

ібі.

Ежели бы мы захотѣли теперь кЪ
ЗмЪ придашь еще дробь , для того что
кубичной корень 43 хЪ больше 3 хЪ , то
можно бы кЪ правдЪ подойти ближе ; а
поелику кубЪ такого числа всегда содер-
жать будетЪ вЪ себ'Ь дробь , того ради
не можно ему быть никогда 45; положимЪ
напр. искомой кубичной корень 3-' или то
кубЪ его “ или 42» хЪ» слЪдовательно ’
меньше 43 хЪ.

Ж 3	ібя*
102 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
іб2.

Отсюда видно, что корня кубич-
наго изЪ 43 хЪ ни вЪ цѣлыхЬ ни вЪ ло-
маныхЪ числахЪ изЪявить нельзя ; а имѣя
ясное понятіе о величинѣ его » употре-
бляютъ для означенія онаго знакѣ у, ко-
торой ставяггіЬ предЪ даннымЪ числомЪ
й для различія отЪ корня квадратнаго
БыговариваютЪ словомЪ корень кубичной.
ТакЪ напр. $43 означаетъ корень кубич-
ной изЪ 43, т. е. такое число, котораго
кубЪ есть 43 . или которое зды само
собою помноженное 43 производитъ.

163.

ИзЪ сего видно , что такія выра-
женія не принадлежать кЪ извлекомымЬ
числамЪ , но особливой родЪ неизвлеко-
МыхЪ составляютъ. СЪ квадратнымЪ
корнемЪ не имЪюшЪ они никакого сооб-
щенія , да и не возможно такого кубич-
наго корня никакимЪ квадратнымЪ, какЪ
У іа , изобразить : ибо когда квадратЪ
У і а есть 12., шо кубЪ онаго будетЪ
12
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 10}
12V12 ; слЪдовательно еще нсизвлекомое
число и 43 составить не можетЪ.

164.

А ежели данное число есть дѣйстви-
тельной кубЪ , то и выраженія сіи бу-
$утЪ извлекомыя , такЪ уі равенЪ і ; уЗ
эавенЪ з. > а у 27 равенЪ 3, и вообще уааа
равенЪ а.

іб$.

Когда кубичной корень, какЪ уі, дол-
жно будетЪ помножить на другой, какЪ
•Ь, то произведеніе будетЪ уаЬ: понеже
намЪ извЪстно , что корень кубичной
изЪ произведенія аЬ выходитЪ, изЪ умно-
женія обоихЪ кубичныхЪ корней множи-
телей. равнымЪ образомЪ, когда уа дол-
жно будетЪ раздѣлить на уЬ , вЪ часш-
номЪ числѣ будетЪ ур

ібб.

Отсюда легко понять можно, что
2уі столькожь дѢлаетЪ какЪ и ’8а, по*
аюму что 2 столько же, какЪ и ’8. рав-

Ж 4	нымЪ
104- О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
нымЪ образомЪ з^а равенЪ у 27 а , и Ь’а
равенЪ уаЬЬЬ. Такожде и обратно когда
число подЪ знакомЪ стоящее имѣешЪ
множителемЪ кубичное число, то корень
кубичной онаго можно поставить попе-
реди знака , такЪ напр. у 64а, тоже что
и 4ѵа' у,2$а> пю'І'е что и 5уа, слѣдо-
вательно у іб тоже что 2 у 2 потому
что іб равны 8. 2.

167.

Когда данное число будетЪ отрица-
тельное , то при кубичномЪ корнѣ
нѢгпЪ такихЪ затрудненій , какіе при
квадратномЪ выше сего мы имѣли ; по-
тому что кубы отрицательныхъ чиселЪ
суть также отрицательные , и слѣдо-
вательно кубичные корни чиселЪ отри-
цательныхъ будутЪ также отрицатель-
ные , какЪ напр. у-Ь п: ~ а, ^-27 — — з,
также у—12 равенЪ —уі2, и у—а ~-уД;
изЬ чего видно , что знакѣ — какЪ по-
зади, такЪ попереди кореннаго знака ку-
бичнаго писать можно. И такЪ здѣсь не
имѢемЪ мы невозможныхъ, или мнимыхЬ

чиселЪ *
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 10)-
чиселЪ , какЪ то было при квадратныхЪ
корняхЪ отрицательныхъ чиселЪ.

ГЛАВА XVI.

о степеняхъ вообще.

Когда какое число многажды само собою
помножается, то происходящее оттуду
произведеніе вообще лотенцгею или сте~
ленью называется.

Понеже квадратЪ произходитЪ отЪ
умноженія какого нибудь числа самаго
на себя однажды, а кубЪ отЪ умноженія
самагожЪ собою дважды : то какЪ ква-
драты , такЪ и кубы подЪ именем'Ъ по-
тенцій, ш. е. степеней разумѣть должно.

169.

Сіи степени различаются по числу,
Сколько разЪ одно какое нибудь число
само на себя помножается ; такЪ напр.
когда какое нибудь число однажды само
собою помножится , то сіе произведеніе
называется вторая степень , которая
Ж 5	тоже
юб о РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
тоже значитЪ что и квадратЪ того чи-
сла • а когда число дважды само собою
помножится , то сіе произведеніе тпре-
тля стеленъ называется , которая оди-
накое знаменованіе сЪ кубомЪ имЪетЪ;
когда же число 3 ды само собой помно-
жится 5 то произведеніе сіе 4. тою сте-
пенью такожде и (Ійхпа^ратотЪ назы-
вается. Отсюда разумѣется что бу-
детЪ 5тая , бтая , и умая степень ка-
кого нибудь числа , которые вышшими
степеньми именуются, а особливаго име-
ни не имѣюшЪ.

170.

Зная , что іцы всѣ степени т ,
потому что сколько бы разЪ і саму со-
бой ни помножали , вЪ произведеніи
всегда выходитЪ і. Для изЪясненія выше-
обЪявленнаго поставимЪ теперь по по-
рядку всѢ степени чиселЪ 2 и $хЪ , ко-
коіпорые слѣдующимъ образомЪ идутЪ.

Степени.
сгпепе-	числа	числа	
1 »и-	2 хЪ.	3 хЪ	
1.	2	3	
II.	4		Особливо примѣчанія
Ш.	8	27	достойны степени
IV.	і6	8і	числа ю, какЪ іо1 ,
V.	32	243	ІООІГ, іоооПІ, ІООООІѴ
VI.	<?4	729	юооооѴ , ІООООООѴІ,
VII.	128	2187	потому что на нихЪ
VIII.	2$б	6$<Уі	вся ариѳметика ос-
ѴІШ.	512	19683	нована; при семЪ при-
X.	1024.	59049	мѣчать надлежитЪ
XI.	2048	І77І47	что только на верь-
хи.	4056’	53І44-І	ху поставленныя чи-
ХНІ.	8192	І5Р4323	сла, означаютъ до ка-
XIV.	16’384	4782959	кой степени каждое
XV.	ЗЗТб’З	1434.8907	число возвышено.
XVI.	65536	43045721	
ХѵіІ.	і31072	129140153	
XVIII. г5-144-		387420489	

VI.

Ежели мы о семЪ вообще раз-
суждать станемЬ , то степени числа
найдутся слѣдующіе , какЪ : а
Ц ІП ІѴ ѵ ѴІ гя такЪ іа-
ва > ааа > аааа ’ ааааа , аааааа і и иіалѵ 4“
лЪе ; но івакимЪ образомЪ степени пи-
сать не способно ; ибо когда бы выш-
шія степени изЪявить потребно было „
тобЪ
тобЪ тлу же самую букву многажды вЪ
рядЬ писать надлежало , да и для чи-
тателя было бы такожде скучно щи-
тать множество такихЪ буквѣ , дабы
узнать , какая чрезЪ то степень озна-
чается, такЪ папр. сотую степень симЪ
образомЪ изЪявить весьма бы трудно
было , а еще трудняе узнать оную.

172.

Для избѣжанія такихЪ неспособно-
стей вЪ изЪявленіе степеней найденЪ
удобнѣйшій способЪ , которой для ве-
ликой своей пользы достоинЪ исгполко-
ванія , а имянно : надЪ тѢмЪ числомЪ,
которое напр. сотую степень показы-
вать должно , пишутЪ нѣсколько вкось
кЪ правой рукѣ число юо : такЪ напр.
а’00 и выговаривается : а возвышенное до
юо , чрезЪ что сотая степень а разу-
мѣется , и вЪ верьху написанное число
какЪ вЪ нашемЪ примѣрѣ юо , локаза-
теле^пЪ стелени называюгпЪ , которыя
имена примѣчать надлежитъ.

173-
173-

И такЪ д* , или « возвышенное до
гхЪ показываетъ вторую степень числа
а , и пишется иногда мѣсто аа > для
того что оба способа писать и разумѣть
легко можно. Напротивъ того мѣсто
куба или третьей степени ааа обыкно^
венно пишутЬ а, для того чіпобЪ боль-
ше мѣста осталось ; равнымЪ образомЪ
а показываетъ четвертую степень , а
пятую , а6 шестую и проч.

174-

По сему способу всѢ степени буквы а
слѣдующимъ образомЪ представятся: какЪ
а	и пр. от~

куда видно , что симЪ способомЪ мѣсто
а удобно можно бы писать а , дабы по-
рядокЪ тѢмЪ ясняе представить, понеже
а не инное что есть какЪ л, и единица
показываетъ что букву а однажды на-
писать должно : такой порядокЪ обык-
новенно называютъ прогрессіею Геоліет-
рическою » ибо каждой вЪ ней послѣ-
дующей
дующей членЪ , равно превоЗходишЪ
свой предЪидущей.

17?.

ВЪ семЪ ряду каждой членЪ най-
дется , когда его предЪидущей на а по-
множится , чрезЪ что показатель един-
ницею увеличится : такЪ изЪ каждаго
члена найдется его предЪидущей , когда
онЪ раздѣлится на а, чрезЪ что ука»
затель уменьшится единницею. Отсюда
видимЪ мы , что предЪ а стоящей
членЪ долженЪ бып ь ~ іп. е. і , а сЪ по-
казателемъ а ; изЪ чего сіе свойство
чиселЪ слЪдуетЪ , что а всегда должно
быть I , какЪ бы число а велико или
мало ни было , да хотя бы а и о равно
было , потому что о’ безЪ сомнѣнія
дѣлаетЬ і.

І7б.

Сей рядЪ степеней можно назадЪ
продолжать двоякимЪ образомЪ ; , первое
раздѣляя каждой членЪ на а , второе
уменьшая указателя единицею, или і изЪ
него
него вычитая. НамЪ заподлинно извѣ-
стно , что вЪ обоихЪ сихЪ случаяхЪ
члены совершенно равны между собою
будутЪ ; и такЪ сей вышепомянутый
рядЪ посему двоякому образу прсд-
ставимЪ

і «_____	«	»	2	1	- а

дааааа * ааааа » аааа ’ ааа * оа ’ а > м

ПерВОИ дб ? а* , ау > а2 > л і й® »

«>Т

ВПІОрОИ а,в і а > а і а • а > а > &

Что надлежитЪ читать назадЪ
отЪ правой руки кЪ лѣвой.

П7.

Чре=Ъ сіе доходимЪ мы кЪ позна-
нію такихЪ степеней , которыхЪ пока-
затели числа отрицательные ; и можемЪ
опредѣлить точную ихЪ величину :
такѣ прежденайденное представится слѣ-
дующимъ образомЪ , вЪ первыхЪ а° — і,

1, а’—Ь> в^а5 и такЪ далѣе.

178.

ИзЪ сего явсшвуетЪ , какимЪ обра-
зомЪ находить должно степени произ-
веденія
П2 о РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
веденія аЪ-, оныя суть слѣдующіе*. сЬ идц
аЬ\ аЬ\ аЬ3, а*Ъ\ аЬ*, аЬ\ и проч.
равнымЪ образомЪ находятся степени
и дробей; напр. | суть слѣдующіе ,

* б

, и протчая.

с$ а* а?

5 'Ъ* * Т® *

179.

НапослѢдокЪ надлежитъ Здѣсь раз-
смотрѣть , также степени отрицатель-
ныхъ чиселЪ. ПоложимЪ данное отри-
цательное число — а , то степени онаго
будутЪ — а , -\-аа > -а, 4-а*, —й®, 4-4Д
—а, +«’, и пр, откуда явсіпвуетЪ , что
іпѢ только степени будутЪ отрицатель-
ные , кошорыхЪ показатели суть числа
нечетныя ; напротивъ того всѢ тЪ
степени будутЪ положительные , кото*
рыхЪ показатели суть четныя числа.
ТакЪ степени $я, 5я, уя, имѢютЬ
знакЪ-,- аая, 4я, ая) 8 я, имѢютЪ
знакѣ -4~.

ГЛАВА
\зч •&. м=ч о. 'СЧ Чэч чл <е\ чэч ч>, 'о, -.=ч	1фч

ГЛЛВЛ XVII.

О счйсленіяхЪ со степенями.

і §о.

Въ разсужденій сложенія и вычитанія4
гіѣгпЪ Здѣсь ничего примѣчанія достой-
наіо > потому что разные степени свя-
зываются только знаками 4- и — , такЪ
напр. а*-|-д2, есть сумма з тей и 2 рой сте-
пени буквы а , а ~а есть остатокЪ чет-
вертой степени вычтенной изЪ 5 той ,
чего короче представить нельзя. А ежели
Случатся одинакіе степени , то вмѣсто
^Нг^пишутЪ іа и такЪ далѣе.

18і.

Но при умноженіи такихЪ степеней
примЪчать надлежитЪ вопервыхЪ , когда
каждую степень буквы а помножить дол-
жно самымЬ то произойдетъ такая
степень , у которой показатель едини-
цею больше , такЪ наприм. а умножен-
ной на а даетЪ а\ а а* умноженной на а
даетЪ л и протч. тожЪ бываешЪ и
* 4	3	сЪ
II4 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
сЪ ггіЪми степенями , которыхЪ показа-
тели отрицательные, ежели оные помно-
жатся на а, то кЪ показаніе по придает-
ся единица ТакЪ а" умноженное на а
даетЪ то есть і цѵ , что изЪ сего
явствуетЪ •. понеже а'1 равно | ; а | ум-
ноженная на а даетЪ т е. іцу; то
же самое бываетЪ и сЪ ежели оное
помножишь на а , то произойдетъ й", то
есть и умноженное на а даешЪ С*
и такЪ далЪе.

182.

Но ежели степень умножишь над#,
или на вторую степень , то показатель
будетЪ 2мя больше ; такЪ а умножен-
ной на а даетЪ а а умноженной на а
даетЪ а-, а помноженное на а даетЪ а
и вообще ап умноженное на а даетЪ
Сіе же самое бываетЪ и сЪ отрицатель-
ными показателями , какЪ то д“1 умно-
женное на а даешЪ а, т. е. а, потому
что д“' есть , которое когда на аа по-
множится даетЪ - , гп е. а, также а
умноженное на а даетЪ #°, т. е. і цу э
д"’ умноженное на а даетЪ д“1.

. іЗЗ,
І83’ .

То же самое бываетЪ, когда каждую
степень умножишь на 3 ю степень буквы
а , или на а > тогда показатель оныхЪ
увеличится тремя ; такЪ я" умноженное
На а даетЪ я"*5, и вообще ежели двѣ
степени буквы а помножатся между со-
бою , то произведеніе будетЪ степень
буквы я, которыя показатель есть сумма
оныхЪ показателей ; такЪ я* у множенное
на а даетЪ я9, а аг умноженное на а
даетЪ а9 и такЪ далѣе»

I §4^

ГІо сему основанію легко можно
находить вышшія степени опредѣленныхъ
чиселЪ ; ШакЪ Напр. когда пожелаешь
Знать 2 у тую степень числа 2хЪ, то
Получишь оную , ежели 12 тую степень
умножишь і а тою ибо 22* не иное что
есть, какЪ а” умноженное на 2Іг, а 2.14
КакЪ мы выше сего видѣли і есть 4096,
то умножь 4096 на 4096 , вЪ произве-
деніи будетЪ 1677^216 искомая степень,
т. е. 2.а\

3 а	185.
'	18$.

При дѣленіи слѣдующее примѣчать
должно , ежели степень литеры а раздѣ-
лить должно на а у то показатель оныя
і цею уменьшается , или надлежитъ отЪ
онаго отнять і цу ; такЪ напр. а раз-
дѣленное на а даетЪ а , а ш. е. і раз-
дѣленная на а даетЪ а~г или - , а~3 раз-
дѣленное на а даетЪ а“*.

іЗб.

Ежели же степень литеры а раздѣ-
лить должно будетЪ на «2, то отЪ по-
казателя оной степени надлежитъ от-
нять 2 ; а когда пожелаешь оную раздѣ-
лить на а у то должно оігіЪ показателя
оной отнять з ; и вообще какую бы
степень литеры а на другую раздѣлить
ни надлежало, то всегда отЪ показателя
первой степени , отнимать надлежитъ
показателя второй степени; такЪ напр.
а* раздѣленное на У даетЪ аа раздѣ-
ленное на а даетЪ также и а~3 раз-
дѣленное на а* даетЪ а~7.

187.
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ ІІу
187.

ИзЪ сего легко понять можно,
какимЪ образомЪ степень степеней на-
ходить; потому что дѣлается сіе чрезЪ
умноженіе ; такЪ на прим. ежели похо-
чешь найти 2ю степень или квадратЪ
буквы а3, то будетЪ оная а ; а 3 я
степень или кубЪ буквы а будетЪ а*;
откуда явствуетЪ , что для сысканія
квадрата какой либо степени , надле-
житъ только ея показателя удвоить ;
такЪ на прим. изЪ ап квадратЪ есть а2П;
а кубЪ или з я степень буквы аи будетЪ
о54, шакимЪ же образомЪ и 7 мая степень
буквы ап будетЪ а7П и такЪ далѣе.

188.

Понеже квадратЪ изЪ а есть а >
то есть : четвертая степень числа а ,
которая будетЪ квадратЪ квадрата; от-
куда явствуетЪ для чего 4Ю степень
с/икпарратоліЪ или хлсг^рлтпохладрл-
тожЪ называютЪ.

Понеже квадратЪ изЪ а есть а6 ,
то обыкновено называютЪ б тую сте-
пень л'да^дрсиполуоо^З.

3 з	На
Іі8 ОБРАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ

НаконецЪ когда кубЪ и$Ъ а9 есть
др то есть-. 9 я степень буквы а, чего ра-
ди оную именуютЪ куоЪкубоАЬ, другихЪ
же имянЪ нынѣ больше нЪтЪ вЪ упо-
требленіи.

'«Ч 'О.	'«ч ЧОч 'О. ХЭч ЧЛ ЧЗЧ 'Л» ХЛ XX чэѵ хх чл 'рч 'С*	'Я\ МЭИ.

ГЛАВА ХѴШ,

0 корняхЪ всЪхЪ степеней.

і§9»

Понеже даннаго числа корень квадрат-
ной есть такое число , котораго ква-
дратЪ равенЪ данному числу ; а корень
кубичной есть такое число , котораго
кубЬ равенЪ тому же данному числу, то
и каждаго даннаго числа такой корень
найти можно, которагсг 4 я или 5 я или
какая нибудь по изволенію взятая сте-
пень равна будетЪ данному числу ; для
различія сихЪ разныхЪ родовЪ корней
между собою , назовемЬ квадратной ко-
рень вторымЪ 9 а кубичной трешьимЪ
корнсмЪ ,• шЬ же корни , копюрыхЪ 4 я
сшс-
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 119
степень равна данному числу назовемЪ
4 іпыми , а ггіВ коихЪ 5 тая степень ра-
вна данному же числу пятыми кор-
нями именовать будсмЬ и такЪ далѣе.

І9°-

Когда второй или квадратной ко-
рень знакомЪ V, а третей или кубичной
чрезЪ у означаются , то равнымЪ обра-
зомЪ 4 той корень знакомЪ у а пятой
чрезЪ у и такЪ далѣе изъявляются> от-
куда явствуетЪ , что знакЪ квадратнаго
корня по сему способу изображать над-
лежало бы такЪ у , но понеже квадрат-
ные корни всѢхЪ чаще случаются , то
для краткости число 2 надЪ кореннымЪ
знакомЪ не ставится. И по сему когда
надЪ кореннымЪ знакомЪ никакого числа
не находится , то должно чрезЪ то
всегда разумѣть квадратной корень.

ірі.

Лабы сіе представить вразумитель-
нѣе , то хошимЪ мы изобразить разные
корни числа а и покажемЪ ихЪ знаме-
нованія:
V а есть второй корень числа а у котораго гя степень равна саы.в
з,
Ѵд — третей ———  — а — — зья--------------— ——

а

V Я-четверо ..  - -----г <3 —— *ая — » ——

V п —~ пятой   ' г- С 1 — —• 5ая ——.—

6
й> шестой	—м^на а	бая	' 1  

192.

Сколь 0ы велико или мало число а
ни было , то легко понять можно ,
какимЪ образомЪ надлежитЪ разумѣть всѣ
корни изЪ разныхЪ сихЪ степеней.

При чемЪ должно примѣчать , что
ежели вмѣсто а возмется і ца , то всѣ
сіи корни равны будутЪ іцѣ , потому
что всѢ степени изЪ і цы , равны всегда
і цѢ.

Но когда число а будетЪ больше
I цы, то и корни всѢ будутЪ больше і цы.
Есіпьли же сіе число меньше і цы ,
шо и корни всѣ меньше і цы.

193*

Когда число а будетЪ положитель-
ное , то легко разумѣть можно изЪ
того , что выіі е о квадратныхЪ и ку-
бичныхЬ корняхЪ сказано ; т. с. что всѣ
прошчіе корни завсегда дѣйствительно из-
явлены
явлены быть могутЪ и слѣдовательно
дѣйствительныя и возможныя суть числа.

буде же число а отрицательное , то
второй, четвертой, шестой и вообще всѢ
четные корни будутЪ числа невозможныя;
по тому что всѢ четныя степени , какЪ
положительныхъ такЪ и отрицательныхъ
чиселЪ , имѣютЪ всегда знакѣ -}-.

Напротивъ того зей, $той, 7 мой
и вообще всѢ нечетныя корни будутЪ
отрицательные , для того что нечет-
ные степени отрицательныхъ чиселЪ ,
суть такожде отрицательные.

194’

И такЪ отсюда получаемЪ мы без-
конечное множество новыхЪ родовЪ не-
извлекомыхЪ или глухихЪ чиселЪ ; ибо
какЬ скоро число а не будетЪ дѣйстви-
тельная такая степень , которую пока-
зываетъ корень, то и не возможно сихЪ
корней изЪявить ни вЪ цѣлыхЪ ниже вЪ
ломаныхЪ числахЪ ; слѣдовательно над-
лежатЪ оные до рода чиселЪ, кои неиз-
влекомыми именуются.

3 5	Глава
122 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ

ЧРч чах 'еъ '	'«Ч 'гх /л ^х ><х чх чсч чсч чл 'сч 'сл чх чл чх »р, чх

ГЛЛВ4 XIX.

О изЪявленіи неизвлекомыхЪ чиселЪ , вЪ
ломаныхЪ показателяхъ.

І9?“

-ОЬ послѣдней главѣ о степеняхъ пока-
зали мы , что квадратЪ каждой степени
найдется , когда ея показателя удвоишь ,
и что вообще квадратЪ или вторая сте-
пень числа ап будетЪ а2П; почему изЪ сте-
пени агп квадратной корень есть ап , и
слѣдовательно оной найдется , когда
показателя степени возмешь половину
или оной раздѣлишь на

196. •

И такЪ изЪ а корень квадратной
есть а ; изЪ а* квадратной корень а\
изЪ а6 квадратное коренное число есть
& и такЪ далѣе.

Когда теперь сіе вообще справед-
ливо , то явсшвуетЪ , что корень ква-
дратной числа а найдется аг} подобнымъ
образомЪ изЪ а будетЪ квадратной ко-
•	пень
рень ; слѣдовательно самаго числа й
или а будетЪ квадратное коренное чи-

I

сло откуда видно , что ла то же са-
мое есть, что и ѴЪ и сей новой способѣ
изЪявлять квадратные корни надлежитъ
примѣчать.

Ір7.

Мы показали также , что куСЙз ка-
кой нибудь степени ап найдется , ежели
ея показатель умножится на 3, и по сему
кубЪ ея будетЪ аіЯ.

Когда теперь на изворотъ изЪ дан-
ной степени азГІ третей или кубичной ко-
рень найти должно , то будетЪ оной
а4, или показателя степени надлежитъ

только раздѣлить на 3 , такЪ изЪ а бу-
детЬ кубичной корень а или а , изЪ а6
"	—м 3 изЪ получится а и

6ѵдетЪ оной (і

3

^пакЪ далѣе,

198.

Сіе и вЪ томЪ случаѣ справедливо>
когда показатель раздѣлиться на 3 не
можетЪ ; и по сему изЪ а будетЪ ко-
рень
рень кубичной дз > изЪ а получится
оной а? или а'5 ’ слѣдовательно и са-
маго числа а или а третей или кубич-
ной корень будетЪ й? , откуда явству-
етЪ , что а5 то же что и ^а.

199.

Подобнымъ образомЪ то же бываетЪ
и сЪ вышшими корнями ; четвертой ко-

1 рень изЪ а будегпЪ а* , что сЪ \а одно
значишЪ ; равнымЪ образомЪ пятой ко-
рень изЪ а будетЪ а3 , которой то же
ЗначитЪ , что и и сіе о всѣхЪ выш-
шихЬ корняхЪ разумѣть должно.

200.

ТакимЪ образомЪ можно бы было
совсЪмЪ обойтись безЪ кореннаго знака у
которой уже давно отЪ всѢхЪ принятЬ;
а вмѣсто бы онаго употреблять изтол-
кованные здѣсь ломаные показатели ; но
когда уже разЪ принятЪ вЪ обыкновеніе
одинЪ знакѣ и оной во всѢхЪ сочинені-

яхъ
ЯхЪ попадается , то и не нужно его со-
всБмЪ отбрасывать : однакожЪ сей новый
способЪ , какЪ наилутчій кЬ изЪясненію
самаго дѣла вЪ нынѣшнія времена весьма
часто употребляется ; ибо что а3 есть
дѣйствительной квадратной корень изЪ
а, легко видѣть можно, когда возмется
квадратЪ онаго , что учинится ежели а? на
а* помножится , и тогда выдетЪ а или а.

201.

Отсюда такожде явствуетЬ , ка.
кимЪ образомЪ прогпчіе ломаные показа-
тели разумѣть должно , такЪ когда бу-
детЪ а3 , то должно сперва взять чет-
вертую степень числа а и изЪ сей из-
влечь третей , или кубичной корень •
такЪ что а* столько же по просту зна-
чите , что и уД+. равнымЪ образомЪ
найдется , когда сперьва возмется кубЪ,
или $я степень числа л, которая есть а'
и изЪ сей 4 той корень извлечется , такЪ
что , то же что и ; подобнымъ
обра-
12(5 о РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
образомЪ ді, то же самое есть , что и
уд* и такЬ далѣе.

202.

Когда дробь изъявляющая показа-
теля будетЪ больше і цы , то можно
знаменованіе опредѣлить слѣдующимъ
ОбразомЪ : пусть дано будетЪ й3 , то сіе
тоже что и а**, которое выдетЪ когда
й на й5 помножится ; но а5 , тоже что
и ~Ѵа , и такЪ а* будетЪ , тоже что и
й'Ѵа. равньімЪ образомЪ аили а^шо-
,	15	5

же что и а уа, и а + или «3+ , столько
же значитЪ какЪ и а » изЪ всѢхЪ сихЪ
довольно явствуетЪ знатное употребле-
ніе ломаныхЪ показателей.

20 3.

Ойо ИмѣётЬ также й вЪ дробяхЪ
свою пользу , такЪ ежели дано будетЪ
гг- то сіе тоже значитЪ , что и~і- но
ѵа,	,

мы прежде видѣли , что Дробь мож-
но
но йзЪявить чрезЪ а1"71, слѣдовательно
у„ Можно изобразить чрезЪ а 5 , такимЪ
же образомЪ '"Л" будетЪ оГі и пе-
\	1л

а~

ре мѣняется вЪ Т откуда выходишЪ а* *
а

умноженной на л *, что перемѣняется
-	13

вЪ а4 т. е. вЪ а *, а сіе наконецЪ бу-
детЪ «уЛ; такія превращенія облегчаю-
тся самимЪ упражненіемъ.

204.

НаконецЪ еще примѣчать надлёжитЬ
что каждой такол корень многими спо-
собами изЪявленЪ быть можетЪ. Ибо
когда Vа. то же что и а2, а і во всѣ
слѣдующіе дроби премѢниться можетЪ ,
яко 5, тз, тз и протч. то явствуетЪ, что
Ѵа столь же великЪ какЪ или какЪ
у/ или какЪ и такЪ далѣе , рав-
нымЪ образомЪ уЛ, тоже что а1, а а5 то-
же что уа’ или или уа+ » откуда легко
ридѣть можно , что искомое число а

или
128 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
или а' вЪ слЪдующихЪ коренныхЪ зна-
кахъ изобразиться можетЪ, какЪ уй или
уй* или или уй5 и протч.

20$.

Сіе весьма много способствуетъ вЪ
умноженіи и дѣленіи , какЪ наприм. над-
лежитъ помножить уй на уй, то вмѣсто
уй пишется уй* , а вмѣсто уй ставится
уй’> шакимЪ образомЪ будутЪ одинакіе
коренные знаки , и по сему получится
вЪ произведеніи уй5 ; что также и от-
сюда видѣть можно : понеже й5 на й?
помноженные даютЬ а2 3, но і-р-1 равны
» и слѣдовательно произведеніе й5 или
^й5 естьли же бы уй или й2 , раздѣлить
должно было на уй или на а5, то полу*
чили бы й2 5 или а® 5 ш. е. й® слЪдо''
вательно «й.

ГЛАВА
ТЛЛВЛ XX.

О разиыхЪ счисленія способахъ и о ихЪ
связи вообще.

20б.

До сихЪ мѣстЪ предлагали мы разные
счисленія способы , какЬ то сложеніе ,
вычитаніе , умноженіе и дѣленіе , тако-
жде возвышеніе степеней, и наконецЪ из-
влеченіе корней ; но кЪ немалому изЪя-
сненію служить будетЪ , когда мы про-
изхожденіе сихЪ счисленія способовъ , и
ихЪ связь между собою изЪяснимЪ , дабы
познать можно было, будутЪ ли еще другіе
такіе способы возможны или нѣтЪ. На
такой конецЪ станемЪ мы употреблять
новой знакЪ , которой на мѣсто слу-
чающихся часто словЪ , тоже , ѵто, и
ставишь можно ; сей знакЪ есть (—) и
выговаривается словомЪ равенство; такЪ
когда написано будетЪ а~Ь, то значитЪ
сіе, что а стольже велико какЪ и Ь, или
® равно Ь. ТакЪ наприм. 3.5 — 15.

И	2^7»
20%

Первой счисленія способѣ. , кото-
рой разуму нашему представляется, есть
безспорно сложеніе, ш. е. когда два числа
вмѣстѣ сложить , или оныхЪ сумму
найти должно будетЪ ; пусть будѵтЪ
два данныя числа а и Ь , и ихЬ сумму
иэЪявимЪ буквою г, то будетЪ а-\-Ь~с
и такЪ сложеніе учитЬ, когда оба числа
а и Ь извѣстны, какимЪ образомЪ найти
изЬ оныхЪ число с.

208.

УдержавЪ сіе уравненіе, обороти во-
просѣ испрашивай, когда числа а и с из-
вѣстны , то какЪ сыскать число Ъ.

Здѣсь спрашивается , какое бы число
кЪ числу а придать надлежало , чтобЬ
вышло оттуда число с. Пусть будетЪ
наприм.	а с~ 8, такЪ что 34-^

быть должно , то видно , что Ь
найдется , когда 3 изЬ 8 вычтутся. И
такЪ вообще чтобы найти Ь , дол-
жно а вычесть ѵізЬс> и выдешЪ
а ежели кЪ сему придается то полу-
чится г—а+й—с, и вЪ семЪ то сосяіО'
ипіЬ происхожденіе вычитанія.

209.

И такЪ происходитъ вычитаніе ,
когда вопросЪ случающійся при сложеніи
обратно выговоренЪ будетЪ ; а понеже
статься можетЪ , что число , которое
вычитать должно, будетЪ больше того ,
изЪ коего вычитать надлежитЪ ; такЪ
наприм. когда 9 изЪ 5 вычесть надобно
будетЪ , то получасмЪ мы отсюда по-
нятіе о новомЪ род'Б чиселЪ , кои отри-
цагпелънъіжи или усГыточнъіліи имену-
ются ; ИбО 5—-9 —— 4.

210.

Ежели много чиселЪ , кои .вЪ одну
сумму сложить должно будетЪ , равны
Между собою , гпо находится ихЪ сумма
помощію умноженія , и называется оная
вЪ такомЪ случаЪ лрочзпеден/ежЬ. ТакЪ
аЬ означаетъ произведеніе , которое вы-
водитъ > когда одно число а на другое

И 2	Ь
Ь помножится \ назовемЪ теперь сіе про.
изведеніе буквою с, и будетЪ аЬ~с-, слѢд.
умноженіе учитЪ, какимЪ способомЪ изЪ
данныхЪ чиселЪ а и Ь найти надлежитъ с.

211.

Предложимъ теперь такой вопросЪ :
когда числа с и а извѣстны , то какЪ
найти изЪ нихЪ число Ь ? пусть будетЪ
наприм. а~3 и с“і5, такЪ что з&—
слЬд. спрашивается теперь , какимЪ бы
числомЪ надлежало помножить 5 , чтобЪ
вышло 15 ; сіе учинится помощію дѣле-
нія , и вообще, число Ь найдется , когда
с на а раздѣлится , откуда выходитЪ
слѣдующее уравненіе

212.

А понеже часто случается , что
число с на число а дѣйствительно раз-
дѣлиться не можетЪ , хотя буква Ь и
опредѣленное знаменованіе имѢетЪ ; сіе
ведетЪ насЪ кЪ новому роду чиселЪ, кои
дросГялім называются ; такЪ когда воз-
мемЪ а“4- и з, такЪ что 1
то
цЮ видно , что Ь не можетЪ быть цѣ-
лое число, слѣдовательно оно есть дрсбь;
а имянно Ь —

113.

Понеже умноженіе раждается изЪ
сложенія, ежели много одинакихЪ чиселЪ
складываемЪ вмѣстѣ , то возмемЪ те-
перь также и вЪ умноженіи , что многія
одинакія ' числа , надлежитъ помножить
одно на другое } чрезЪ что придемЪ
мы ко степенямъ , которые вообще изъ-
являются вЪ сей формѣ сіе значитЪ,
что число а столько разЪ само собою
помножить должно , сколь велико число
Ь. Здѣсь, какЪ выше упомянуто а ко-
рень , Ь показатель , а а6 степень назы-
ваются.

214.

ИзЪявимЪ сію степень буквою с,
то будетЪ гдѣ 3 буквы а, Ь и с
попадаются. ВЪ наукѣ о степеняхъ по-
казывается , что когда корень а и пока-
затель Ь извѣстны , какимЪ образомЪ
оттуда самую степень , т. е. букву с

И 3	опре--
134. О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
опредѣлить должно. Пусть будетЪ на-
прим. а~5 и Ь гг 5 такЪ что
отсюда видно , что $ ти здѣсь 3 тью
степень взять надлежитъ , которая есть
125, слЪдовательно 4’^125. ѴшіакЪ здѣсь
показывается способѣ , какЪ изЪ корня а
и показателя Ь степень с находить
должно.

21$.

разсмотримъ теперь , не можно ли
обратить или перемѣнить сей вопросѣ
такЪ, чтобЪ изЪ 2 хЪ сихЪ трехѣ чиселЪ
л, Ъ, с найти третіе. Сіе учиниться
можетЪ двоякимЪ образомЪ , потому
что сЪ числомЪ с можно взять или а ,
или Ь за извѣстныя, при чемЪ примѣчать
должно , что вЪ обоихЪ прежнихЪ слу-
чаяхъ , вЪ сложеніи и умноженіи одна
только перемѣна имѣетЪ мѣсто -, ибо вЬ
первомЪ случаѣ а-\~Ъ—С\ все равно, будетЪ
ли при с или а или Ь извѣстно , и все
равно написано ли будетЪ ѵілѵіЬ~\-а]
равнымЪ образомЪ и вЪ уравненіи аЬ^С
или Ьа~су гдѣ буквы а и Ь также пере-
ставить можно ; напротивъ того вЪ сте
пеняхЪ
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 135?
пеняхЪ сего быть не можетЪ, по тому что
вмѣсто а° ни коимЪ образомЪ не льзя по-
ставить Ьа-> какЪ изЪ нѣкоторыхЪ примѢ-
ровЪ легко видѣть можно; ибо когда поло*
жится лгсуи , то будетЪ «$—5’
^і25,- напротивъ того іЪгзЪіЦЗ) ко-
торые отЪ 125 весьма далеко разнятся.

2іб.

Отсюда видно , что здѣсь дѣйстви-
тельно два вопроса быть могутЪ , изЪ
коихЪ і вой есть , ежели со степенью с
показатель Ъ данЪ будетЪ , то какимЪ
образомЪ найти должно корень а \ а
другой вопросЪ, когда степень с и корень
а извѣстны , то какЪ сыскать показа-
теля Ь.

217.

Первой изЪ сихЬ двухЪ вопросовъ
^азрѢшенЬ уже прежде, вЪ наукѣ о извле-
ченіи корней такЪ когда наприм —а и
а" с , то должно быть а такое число,
котораго квадратЪ равенЪ с, слѣдователь-
но а~Ѵс. Подобнымъ образомЪ когда
<&—5 будетЪ а~с т. е. кубЪ изЪ а равенЪ

И 4	дан-
данному числу с, и такЪ получится а

Отсюда вообще разумѣть можно ,
какимЪ образомЪ изЪ двухЪ буквЪ сі и &
сыскать букву а , а имянно будетЪ
а—^с.

213.

КакЪ скоро случится , что данное
число с не будетЪ дѣйствительная такая

спіепень , которыя требуется корень ,
то выше сего уже примѣчено , что же-

лаемаго корня а ни вЪ цѢлыхЪ ни вЪ
ломаныхЪ числахЪ изЪявить не возможно ,

хотя онЪ и долженЪ имѣть опредѣлен-
ное свое знаменованіе ; чрезЪ что при-
ходимЪ мы кЪ новому роду'чиселЪ , кои

иеизплехомыми или ^лу^сими числами
именуются , изЪ которыхЪ по различію
корней безконечное множество родовЪ
быть можетЪ.

Сіе разсужденіе ведетЪ насЪ тако-
жде кЪ совсѣмЪ особливому роду чиселЪ ,
кои непозможнъіми или мнимыми чис-
лами называются.

2*9’
219-

Осталось намѣ теперь разсмотрѣть
еще одинѣ вопросѣ , а имянно : когда
сверьхЪ степени с, еще корень а извѢстенѣ
будетЪ , то какимЪ образомЪ найти от-
туда показателя. Сей вопросѣ ведешЪ
насЪ кЪ важной наукѣ о логарифмахѣ ,
коихЪ польза во всей Маѳематикѣ столь
велика , что ни одного больнаго вычис-
ленія безѣ помощи логарифмовЪ совер-
шить не возможно. Сію науку изЪяснимЪ
мы вЪ слѣдующей главѣ , гдѣ придемЪ
кЪ совсѢмЪ новому роду чиселЪ , коеі
и кѣ прежнимЪ неизвлекомымѣ причтены
быть не могутѣ.

ЧРЧ Ч2Ч	Ч^х	ЧЛ *<ЗХ ЧЛ Ч^х ч>х чж ч*

Г Л Л В Л XXI.

Р логарифмахѣ вообще.

1 220.

Разсматривая уравненіе аь~с вопервыхѣ
примѢчаемЪ мы , что вЪ наукѣ о лога-
рифмахѣ вмѣсто корня а , по изволенію
И $	нѢ-
нВкоторое число взять можно , такЪ
чтобы оное всегда тоже знаменованіе
имЪло. Ежели теперь показатель Ь воз-
мется такЪ , что степень о5 равна бу-
детЪ данному числу с, то показатель Ъ
логарифмЪ числа с называется, Для
означенія логарифма у ютребляс,зся
ЗнакЪ латинская буква I , которая попе-
реди числа с ставится , такЪ питутЪ
чрезЪ что означается , чего Ь ра-
вно лагарифму числа с , или логарифмЪ
числа с есть Ь.

221.

И такЪ когда корень а разЪ взягпЪ
За постоянной , то логарифмЪ каждаго
числа с не иное что есть , какЪ показа-
тель той степени ійЪ д, которая числу
с равна. Когда теперь с—д&, будетЬ Ъ
логарифмЪ степени а6, и ежели возмегпея
і, то і будетЪ логарифмЪ числа а
гп. е Іа “ і когда же Ь ~ 2 , то а лога-
рифмЪ числа а т е. Іа равнымЪ
образомЪ /д5~з, 7д+~ 4, Іа ~ 5 и піакЪ
далЪе.
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ 139

222.

ПоложивЪ , будетЪ о лога-
рифмЪ числа а, но д°~і и такЪ 1\ —о,
какой бы корень мѣсто а взятЪ ни былЪ.
Когда же положится Ъ ~ — і, то будетЪ
—і логарифмЪ числа а , но	слѢ-

дслательно	ПодобнымЪ образомЪ

получатся Г-г~-2,	и пРоп1ч

223.

Отсюда видно , какЪ изъявляются
логарифмы всѢхЪ степеней корня а , да
и самыхЪ дробей Т коихЪ числитель ~ і ,
а знаменатель степень изЪ а, вЪ кото-
рыхЪ случаяхЪ логарифмы суть цЪлыя
числа. Но есівьли вмѣсто Ь возмушся
дроби , тодЭудутЪ оные логарифмы не-
извлекомыхЪ чиселЪ. т. е. когда $
будетЪ і логарифмЪ числа или числа
Уа и по сему получится /Ъазгі, такимЪ
же образомЪ І3^а~	и такЪ

далѣе.

22р.

Но ежели логарифмЪ другаго числа,
нежели с найти должно будетЪ , то
легко
<40 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
легко усмотрѣть можно , что оной ни
цѣлое число ни дробь быть не можетЪ ;
между ггіБмЪ однакожЪ выдетЪ всегда та-
кой показатель Ь , что степень аъ дан-
ному числу с равна , и Ъ Іс; слЪдо
вательно вообще аІС~с.

22$.

ВоэмемЪ теперь другое число а вЪ
разсужденіе, и изЪявимЪ логарифмЪ онаго
чрезЪ Ы такЪ , что аы — Л , помножь

теперь сію формулу на прежнюю , то
получится й!гс + и— С(і. но показатель все*

гда бываетЪ логарифмЪ степени г <7 слѣ-
довательно	" Іссі. Когда же пер-

вая формула на вторую раздѣлится, то
выдетЪ а1а~1л-~^ слѣдовательно будетЪ
/е- іа -7^.|

226.

Сіе ведетЪ насЪ кЪ двумЪ гловнѣй-
шимЪ свойствамъ логарифмовЪ , изЪ ко-
торыхЪ первое состоитЪ вЪ уравненіи
Іс-\-іа — Іей; по сему научаемся мы »
что логарифмЪ произведенія са найдет-
ся когда логарифмы множителей сло-
жатся
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 141
жатся вмЪсиЪ. Другое свойство содер-
жится вЪ уравненіи Іс —ей ~ і~ и пока-
зываетъ намЬ , что логарифмЪ дроби
сыщется , когда изЪ логарифма числи-
^пеля вычтется логарифмЪ знаменателя.

227.

И вЪ семЪ то состоитЪ знатная
польза, которую подаютЬ логарифмы вЪ
выкладкахЪ ; ибо когда два числа одно
на другое помножить или раздѣлить на-
добно будетЪ , то надлежитЪ только
оныхЪ логарифмы слагать или вычитать.
Но очевидно есть, что несравненно легче
числа складывать или вычитать , нежели
множить или дѣлить , а особливо боль-
шія числа.

228.

Еще важнѣе оныхЪ польза вЪ сте-
пеняхъ и вЪ извлеченіи корней ; ибо ко-
гда- (I пс, то по первому свойству будетЪ
Іс 4- /с ~1сс и такЪ Ісс — 2 Іс. ТакимЪ же
образомЪ получится Іс* ~ %1с , Іс4 ~ 4ІС
» вообще ~пІс. Возми теперь вмЪсшо
я
14-2 о РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
п ломаныя числа , то получишь /с'1 т. е.
ІУс ~\1с , также когда возмешь отрица-
тельныя числа Іс~1 т, е, - /г ,/г-2 т. е.
Г— ~ - 21с и такЪ далѣе.

229.

Когда вЪ рукахЪ будутЪ такіе
таблицы, вЪ которыхЪ для всѢхЪ чиселЪ
вычислены логарифмы , то при помощи
оныхЪ сЪ легчайшимъ трудомЪ наигпруд-
нѢйшія вычисленія дѣлать можно , гдѣ
большое умноженіе или дѣленіе , також-
де возвышеніе степеней и извлеченіе кор-
ней случаются. По тому что вЪ сихЪ
таблицахъ , какЪ для каждаго числа ло-
гарифмЪ, такЪ и для каждаго логарифма
самсе число сыскать можно. ТакЪ ежели
изЪ числа с корень квадратной найти
надобно будетЪ , то ищется сперьва
логарифмЪ числа с , а пошомЪ онаго
берется половина , которая есть 1 Іс , и
которая есть логарифмЪ искомаго квад-
ратнаго корня , или число , коійорое
соотвѣтствуетъ сему логарифму и вЪ
таб
ІтаблицахЪ найдено, есть самой квадрат
ной корень.

230.

Мы уже видѣли прежде, что 1,2,
3» 4 > 5 > <5 и проч. слѣдовательно всѣ
положительныя числа суть логарифмы
корня а и его положительныхъ степеней,
т. е. чиселЪ , которыя больше і цы.

Напротивъ того отрицательныя
числа, яко — і, - 2 и протч. суть лога
рифмы дробей 5, Ли протч. которые
меньше і цы , однако больше нежели о.

Отсюда слѢдуешЪ , что когда ло-
гарифмЪ есть положительной , то со-
отвѣтствующее ему число будетЪ боль-
ше і цы.

Естьли же логарифмЪ будетЪ от-
рицательной, то принадлежащее ему чи-
сло будетЪ меньше іцы, однакожЪ боль-
ше нежели о. Слѣдовательно для отри-
цательныхъ чиселЪ логарифмовЪ изЪ-
явить не возможно или логарифмы отри-
цательныхъ чиселЪ суть невозможные И
надлежатЪ до рода мнимыхЪ чиселЪ.

25Г.
23г.

Для большей ясности надлежитъ
здѣсь брать за корень а опредѣленное
число, и притомЪ то самое , по кото-
рому употребительные логарифмовЪ та-
блицы вычислены. А берется тутЪ за
корень а число іо , потому что уже
по оному вся изчисленія наука установ-
лена. Но легко усмотрѣть можно, что
вмѣсто онаго каждое другое число , ко-
торое бы только было больше і цы ,
взять можно ; ежели же положится
то всѢ ея степени будутЪ какЪ й6 — і
и никогда другому данному числу с равны
не будутЪ.

ГЛ4ВЛ XXII.

О употребительныхъ таблицахъ
логарифмовЪ.

232.

ВЪ сихЪ таблицахъ , какЪ уже
упомянуто, полагается за основаніе, что
корень д—іо, такимЪ образомЪ лога-
рифмЪ
риѳмЪ каждаго числа с у будетЪ тотЪ
показатель , до котораго число ю воз-
вышено, а степень равна самому тому чис-
лу; или когда логариѳмЪ числа с из^ явится
чрезЪ Іс , то будетЪ завсегда іо2с~г.

233.

Мы уже примѣтили , что лога-
рифмЪ і цы всегда бывасшЪ о , потому
что; ю° з і игпакЪ/іго, 7югі,/іоддг,
I юоо ~ , I юосо -4- , / юоооо -5 ,
/ ЮООООО — 6 , попюмЪ 15 -----	гоб

•  2 і I Тооо 3 > ^ТЗѲэЗ  4 Э 15эЗо5 —“ — 5 *
ЛооЗЗоЗ —

234.

сіЪмЪ легче логариѳмы сихЪ глав-
ныхъ чиселЪ находятся , т'ЁмЪ тру-
ди яе искать логариѳмы всБхЪ протчихЪ
чиселЪ , кои равнымЪ образомЪ вЪ та-
блицахъ изЪявлены быть долженствуютъ.
Здѣсь еще не мѣсто дать довольное по-
казаніе , какимЪ образомЪ оные нахо-
дишь должно ; чего ради разсмотримъ
только вообще , что при семЪ примѣ-
чать надлежитъ.
23 ?•

Когда логарифмЪ іцы есть о, /ю
, то легко уразумѣть можно , что
всЪхЪ чиселЪ между і и ю логариѳмы ,
содержаться должны между о и і 3 или
они будутЪ больше нежели о, а меньше
I цы. БозмемЪ вЪ разсужденіе число 2
и означимЪ его логариѳмЪ буквою X т.
е. 1а —.г, то извѣстно , что х будетЪ
больше о ля , а меньше і цы , оно дол-
жно быть такое число, чшобЪ юх точно
было равно амЪ. Легко также усмо-
трѣть можно , что х гораздо менѣе
быть долженЪ, нежели I или что ю3
болѣе 2 хЪ, ибо взявЪ сЪ обѢихЪ сто-
ронЪ квадраты, будетЪ квадратЪ изЪ іо3
— Ю , а квадратЪ изЪ 2хЪ есть 4, слѣ-
довательно гораздо меньше. Подобнымъ
образомЪ | еще вмѣсто х велика , или і о*
больше гхЪ; ибо кубЪ изЪ ю?~іо, а
кубЪ изЪ 2хЪ ^ 8. НапрошивЪ того взя-
тая на мѣсто х , і будетЪ мала ; ибо
4>тая степень изЪ іо4^ю , а изЪ 2хЪ
_ 16
И такЪ изЪ сего явсгпвуетЪ , что
х или 12 есть меньше | » а больше і. Та-
ки мЪ образомЪ для каждой средней между
ими дроби найти можно , будетЪ ли
оная больше или меньше , какЪ наприм.
у меньше , нежели і , а больше нежели і;
сстьли же теперь взять вмЪсто л’, у, то
должно бы іо? ~2 и когда бы сіе іпакЪ
было , то надлежалобЪ седьмымЪ степе-
нямъ , какЪ одной такЪ и другой быть
равнымЪ , но изЪ іо7 7 мая степень
— і о2 — і оо , которая 7 мой степени чи-
сла гхЬ равна быть должна , но 7 мая
степень 2 хЪ ~ 128 и слЪдовашельно

2
больше прежней , и ю’ меньше нежели
2 , слЪдовашельно у меньше нежели / 2 ,
или /2 больше нежели у однакожЪ мень-
ше ши.

Пусть такая дробь будетЪ : то
должно бы теперь іоТ3гх2, а когда сіе
такЪ , то надлежало бы і о той степени,
какЪодной, такЪ и другой быть равнымЪ;
но хошая степень изЪ ю1®	— юоо

І а	изЪ
изЪ 2хЪ же і сипая степень ~іоц, от-
куда заключаемъ , что 4 еЩе малы , или
12 больше нежели , однакожЪ меньше
I ПІИ.

23 6.

Сіе разсужденіе служитЬ кЪ пока-
занію , ч по /2 опредЪленную свою вели-
чину имЪетЪ, ибо знаемЪ мы, что оной
За подлинно больше . а меньше | піи,
ДалЪе продолжать зДэсь мы еще не мо-
жемЪ , и поелику подлиннаго знаме-
нованія не знаемЪ , то будемЪ вмЪсто
онаго улопреблять бѵкву х, такЪ что
12 —х и покажемЪ , естьли бы оной
'6ыіЬ нлйденЪ, то какимЪ образомЪ най-
ти оттуда можно логариѳмы другихЪ
безконечно многихЪ чиселЪ \ кЪ чему
служиіпЪ прежде показанное уравненіе Іссі
или что логариѳмЪ произведе-
нія нійдепся , когда логариѳмы множи-
телей сложатся вЪ одну сумму.

237.

Когда I2 — х , а I ю гг і , то по
лучится / до ^х + і , 1200 ^.х + гг,
/2000
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ 14-9
/2000“х4~3 , /20000“ Х + 4, IЙОООФО
—л’ + 5 и такЪ далЪе.

2^8.

Когда Іс1 ~ 2 Іс 7 с* ~ $ 7с, 7с*~4гс
и протч то полу чаемЪ мы отсюда /4—2Х,
I 8 ~ з х , /«б — 4 .г , /32 — $ х, / 64 — 6 х
и протч. изЪ ѵихЪ находимЬ далЪе /40
— 2x4-1, /40" —2x4-2, /4 >оо — 2Л’4~3,
/40000 — 2.14-4 и про пч. / 8о_: 3X4-» ,
I 80 — 3x42, /8ооо~з^+З, I 80000
— 34.4-4- и протч / 16—4x4 I , / ібо$
— 4x4-2, / 10>оо — 4x4-3 , I ібоооо
— 4x4-4 и протч.

239.

Понеже найдено еще 1% — 7с 7й »
* а

то положимЪ с—іо, йтг , но когда
/ю~ і, /2 — х то получимЪ , т. е.
15 — і — х , изЪ сего / $о —2 —х, а / 500
— з— х, /5000 —4-х и протч потбмЪ
/25—2-2Х , /125 —3 —ЗХ , /625Г4-4Х
и проіпч изЪ сихЪ находимЪ далЪе слБ-
дуюЩ'С /250— 3 — ах , /2500—4~2Х,
/25000^5—ал и протч. еще же /1250

I 3	=4
150 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
=24—3*; /і2$ОО22$-3*, /12500026-^
и протч. такожде /6250225 — 4* , /62500
226 —	; /625ООО 227 “4* и таКЪ

далѣе.

240.

Естпьли бы логариѳмѣ ЗхЪ най-
денЪ былЪ , то бы можно было опре-
дѣлить логариѳмы еще безконечно мног-
гихЪ чиселЪ ; положимЪ вмѣсто / 3 бук-
ву у то будемЪ имѣть /302:74-1, /300
22уН-2, / 300022у-4-3 и прогпч. /922243
/272237, / 81224у , /24322 5у и протч а
изЪ сихЪ далѣе найдемЪ /622*4-7, / 12
«_2х4-7, /і822x4-2/, такожде /152/3
-4-/5 —74- і — х.

241.

Мы выше сего видѣли , что всѣ
числа выходятЪ чрезЪ умноженіе изЪ такЪ
называемыхъ первыхЪ чиселЪ; слѣдовате-
льно когда логариѳмы сихЪ будутЪ извѣ-
стны , то можно найти изЪ нихЪ лога-
риѳмы всѢхЪ другихЪ чиселЪ , по одно-
му только сложенію , какѣ наприм. числа
2іо, которое состоитЪ изЪ слѣдующихъ
мно
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. іуі
множителей а. 3. $. 7 ; будетЪ лога-
риѳмЪ — / 24-/34-/5-Ѣ/7 : равнымЪ
образомЪ когда 360 гсі 2.2. 2. 3.3.5 —2*.
3*. 5 , то будетЪ /360-3 2г+2/3 +
откуда явствуетЪ, каким'Ь образомЪ изЪ
логариѳмовЬ первыхЬ чиселЪ логариѳмы
всѣхЪ другихЪ чиселЪ опредѣлить можно.
И такЪ при дѣланіи логариѳмическихъ
таблицѣ о томЪ должно только стара-
ться , чтобЪ найдены были логариѳмы
перьвыхЪ чиселЪ.

іаѵл іа 'а'а'а >е\ та да. ѵи Чч із,

ГЛЛВЛ XXIII.

О способѣ представлять логариѳмы.

2р2.

Видѣли мы , что логариѳмЪ а хЪ больше
нежели /3 а меньше | ши ; или что по-
казатель іо ти долженЪ падать между
сими двумя дробями , ежели степень
должна быть равна 2 мЪ. А дробь можно
взять , какую кто пожелаетЪ , то сте-
пень завсегда будетЪ не извлекомое число

I 4	и
І?2 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
или больше или менше 2 хЪ , чего ради
логариѳма 2 хЪ такою дробью изЪявить не
Можно. И такЬ должно довольствоваться
когда величину онаго опредѣлимъ чрезЪ
приближеніе такЪ , чтобЬ погрѣшность
была не чувствительна. КЪ сему употре-
бляются такЪ называемые десятичные
дроби , которыхЪ натуру и свойство
истолковать здѣсь яснѣе потребно.

243.

Не безЪизвѢстно , что всѢ числа
пишутся обыкновенно сими юю знака-
ми, яко о, і, 2, з> 4, 5, 6, і, 8,9,
они на первомЪ только сЪ правой руки
м'Всп/ѣ , собственное свое знаменованіе
имѢютЪ , а на второмЪ мѣстѣ знаме-
нованіе ихЪ бываетЬ вЪ іо разѣ больше,
на третьемЪ вЪ юо разѣ на четвер-
томъ вЪ юбо разЪ и такЪ далѣе , на
каждомЪ слѣдующемъ мѣстѣ вЪ іо разЪ
больше нежели на предЪидущемЪ.

ТакЪ вЪ семЪ числѣ і*7^7 спюшвЪ,
На первомЪ мѣстѣ сЪ правой руки знакѣ

7>
Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 153
7 , которой дѣйствительно 7 и значитЬ,
на второмЪ мѣстѣ стояггіЬ б , кои не
просто 6 но то 6 или бо показываютЪ
ЗнакЪ 7 на третьемЪ мѣстѣ ЗначитЪ
юо 7 или 700, и наконецЪ і на четвер-
томъ значитЪ юоо и выговаривается
сіе число такЪ :	**

Тысяча семЪ сотЬ шестьдесятъ
семь

244.

Когда теперь отЪ правой руки кЪ
лѣвой знаменованіе знаковЬ вЪ десятеро
€о \ьше бываетЪ , и слѣдовательно оіпЬ
лѣвой кЪ правой вЪ ю разѣ меньше; то
по сему правилу можно продолжать
сіе далѣе подвигался вЪ правую сторону,
и тогда знаменованіе знаковЬ будетЪ все-
гда вЬ десять разЪ меньше. Но здѣсь над
лежишЪ замѣтишь то мѣсто, гдѣ знаки
собственное свое знаменованіе имѣютЪ ,
а сіе дѣлается запятою , которая по-
зади сего мѣста ставится. Й такЪ
когда сіе число написано будетЪ 36 ,
4892 , шо оное такЪ разумѣть дол-

І 5	жно
1^4.0 РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
жно ; вопервыхЪ знакѣ 6 имѣетЪ свое
собственное знаменованіе , знакѣ $ на
ЕшоромЪ мѣстѣ значишЪ 30 , а позади
запятой знакЪ 5 значитЪ только слѣ-
дующей по немЪ 4 ~ тзз , знакЪ 8 =433,
знакЪ р — уоззз , и послѣдней 2 —
Откуда видно , ч'Жіѣ далѣе сіи знаки ві
правую сторону продолжаются, то знаме
нованіе ихѣ столь мало наконецѣ бываетЪ,
что они за ничто почесться могутѣ.

24л.

Сей способѣ иэЬявлять числа назы-
вается десятичною дробью , и по сему
способу логарифмы вЪ таблицахъ пред-
ставлены, гдѣ логариѳмЪ дхЬ изъявляе-
тся такЪ о, 30 10300 , при чемѢ примѣ-
чать должно , что ежели предЪ запятою
стоитЪ о, то такой логарифмЪ цѣлаго
числа не составляетъ , и что знамено-
ваніе его есть ,5 — г-тззН— тзоо“Ѣ'хоззо-Ѣ'тдззбЭ
Ч-тэоѣооН-гао^ооз и посему можно бы пос-
лѣдніе 2 знака отбросить, но оные для
того только удерживаются, чтобЪ пока-
зать, что нѢтЪ дѣйствительно ни одной
изЪ
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. И 5
мзЪ сихЪ частицЬ; но симЪ не опровергает-
ся, будтобы уже далѣе никакихЪ малыхЪ
частицѣ не слѣдовало, но оные ради ихЪ
малости за ничто почитаются.

246.

ЛогарифмЪ ЗхЪ изображается такЪ
О, 4771213 откуда явствуетЪ, что онЪ
не составляетъ цѣлаго, но сгпоптЪ изЪ
сихЪ дробей 15+ іаз + тдаі+гбЭаоЧ-". ,3351^x3^3585
Ч-тазозооз ; не должно думать , чшобЪ сей
логарифмЪ такимЪ образомЪ изЪявленЪ
былЪ весьма точно ; но столько извѣ-
стно , что погрѣшность за подлинно
меньше 55555355 части , которая и вЪ са-
момЬ дѣлѣ столь мала, что ея во всѢхЪ
почти изчисленіяхЪ опустить можно.

247.

По сему способу логариѳмѣ і цы
пзЪявляет’я піакЪ с, ооосооо, ибо оной
дѣйствительно есть о, логарифмЪ юти
есть і, ооэоооо, откуда видѣть можно*
что оной есть точно і, логарифмЪ іоо
есть 2 , ооооосо или точно г , отсюда

яв-
О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
явствустЪ, что логарифма чиселЪ между
іо и юо содержащихся , или которыя
изображаются двумя знаками , будутЪ
между і цею и 2-.мя слѣдовательно изЪ-
яв я отся і цею и десятичною дробью ;
гпакЬ /50 “ і? 69З9700, слѢдов. онЬ ра-
венЪ цѣлой і цѣ и сверьхЪ ея еще 4і-тзз
Ч-і55о-т-і53оз"Ъго(зэз ; а тѢхЪ чиселЪ , кои
между юо и юоо находятся логариѳмы
будутЪ 2 сЪ приложенною десятичною
дробью , яко /зоо —2, 9030900 ; чи-
селЪ отЬ юоо до юооо л тарифмы
больше нежели 3, а отЪ юооо до юоооо
больше 4хЪ и такЪ далѣе.

24.8.

ЧиселЪ меньше юти, и которыя
пишутся однимЬ знакомЪ, логариѳмы не
составляютЪ еще цѣлаго , и для того
предЪ запятою стоитЪ о. ВЪ каждомЪ
логариѳмѣ двѣ части примѣчать надле-
житъ , первая стоитЪ предЪ запятою и
показываетъ цѣлыя числа, а другая часть
изЪявляетЪ десятичные дроби , которые
кЪ цѣлому приставляются. И такЪ пер-
вую
, Простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ 157
вую или цѣлую логариѳма часть легко
можно знать , потому , что оная бы-
ваетъ о для всѣхЪ чиселЪ, которыя со-
стоятъ изЪ одного знака ; для чиселЪ
и*Ъ дкухЪ знаковЪ состоящихъ вЪ лога-
риѳмахЪ цѣлое будетЪ і Цѣлое а бу-
детЪ вЪ лоѵариѳмахЪ такихЪ чиселЪ ,
кои состояшЪ изЪ з хЪ знаковЪ и такЪ
далѣе цѣлое завсегда бываетЪ і цею
меньше прошивЪ числа знаковЪ такЪ,
когда требуется логариѳмѣ числа г-57,
то уже извѣстно , что первая или цѣ-
лая онаго часть должна быть

24.9.

Теперь наизворотъ имѣя первую
логариѳма часть, можно знать изЪ сколь-
кихЬ знаковЪ самое число состоять бу-
детЪ Понеже число знаковЪ однимЪ бы-
ваетЪ больше противЪ цѣлой логариѳма
части; и такЪ когда не извѣстнаго числа,
НайденЪ будетЪ сей логарифмЪ 6, 4.77-
Ха 13 , то можно заразЪ знать , что со-
отвѣтствующее ему число изЪ 7 ми со-
Сшоишѣ 'ЗнаковЪ и слѣдовательно дол-
І$8 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ

жно быть больше нежели юооооо , сіе
число и вЪ самомЪ дѣлѣ есть 3000000.
ибо I 3000000 —: /3 4- I юооооо , но /3—
о, 4771213, /юооооо—6, которые
оба логарифма сложенные вмѣстѣ даютЪ
6, 477!2іЗ-

2?0.

По сему во всякомЪ логариѳмѣ ,
главное .Дѣло состоитЪ вЪ слѣдующей
За запятою десятичной дроби , которая
когда разЪ уже извѣстна , то для мно-
гихЪ чиселЪ служить можетЪ ; а что бы
сіе показать , то возмемЪ мы вЪ рассу-
жденіе логариѳмЪ числа 365 , котораго
первая часть есть безспорно 2 , а вмѣ-
сто другой части, т. е. десятичной дро-
би , напишемЬ для краткости букву х,
такЪ, что /365 ссс 2 -4- х , отсюда полу-.
чаемЪ мы , когда далѣе на іо множить
станемЪ : /3650—54-х, /36500-44-х*
/365000 —5 4-х ; можемЪ такожде на-
задЬ возвратиться и дѣлить на ю , то
получимЪ /36, 5 оо і -{-х» /3*65-о 4-х»
/о, 365™— 14-х 5 /□ ? 0365~ -2-4-л- •
/о, 00365	34-я и такЪ далѣе. .
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. 159
251-

Для всѢхЪ шѢхЪ чиселЪ , которыя
изЪ знаковЪ 365 произходятЪ имѣя предЪ
собой или позади о , всегда та же самая
десятичная дробь вЪ ихЪ логариѳмахЪ
будетЪ ; а разность состоитЪ только
вЪ цѢломЪ числѣ предЪ запятою , кото-
рое , какЪ мы видѣли , быть также мо-
жетЪ и отрицательнымъ; а имянно когда
число будетЪ меньше і цы. Но понеже
простые выкладчики не очень горазды об-
ходиться сЪ отрицательными числами ,
для того вЪ такихЪ случаяхЪ цѣлое чи-
сло юю увеличивается и вмѣсто р ста-
вится обыкновенно предЪ запятою ю ,
по сему вмѣсто—і получится 9- вмѣсто
— а получится 8, а вмѣсто —3, 7 итакЪ
далѣе. Но при семѣ не должно никогда
Забывать, что цѣлыя предЪ запятою чи-
сла десяткомЪ увеличены , дабы не зак-
лючить изЪ того , что число состоитЪ
изЪ іо, или 9, или 8 знаковЪ; но что
число стоитЪ позади запятой на первомЪ
мѣстѣ, когда сЪ начала логариѳма стоятЪ
9; или на второмЪ, ежели 8 , или на
трет-
Ібо О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
іпреігьемЪ , когда 7 стоятЪ сЪ начала
логариѳма. ДакимЪ образомЪ изображены
вЪ шабшцахЪ логариѳмы синусовЬ.

25*2.

ВЬ обыкновенныхъ таблицахъ деся-
тичные для логариѳмовЪ дроби сссгпоятЪ
изЪ 7 ми знаковЪ , изЪ коиюрыхЪ послѣд-
ней эначишЪ тазіоозо чаешь и твердо можно
положиться , что оная дребь ни на одну
такую часть отЪ правды не отходигпЪ ,
которая обыкновенно погрѣшность ни-
чего не значишЬ , а естьли бы логариѳ-
мы сице точнѣе вычислишь за благо разсу-
дилось , то должно бы ихЪ представить
больше нежели вЪ 7 ми знакахЪ , что вЪ
большихЪ улаковыхЪ таблицахъ и учине-
но , гдѣ логариѳмы вычислены до ю
ЗнаковЪ.

2В-

Понеже первая логариѳма часть ,
никакой трудности неимѢенЪ, то оная
вЪ таблицахЪ и не ставится , а нахо-
дятся только тамЪ 7 знаковЪ десятич-
ной
простыхъ КОЛИЧЕСТВЪ. ібі
вной дроби , которая другую часть со-
ставляетъ и вЪ АглинскихЪ таблицахЪ
'находятся оные для всѢхЪ чиселЬ отЪ
’і до іоосюо изображены • но когда еще
большія числа случатся , то приложены
малинкіе таблички изЪ коихЪ видѣть мо-
жно , сколько еще слѣдующихъ знаковЪ
ЖЪ логариѳму придашь надлежитъ.

2 54-

И такЪ отсюда легко разумѣть
можно какимЪ образомЪ найденному ло*
гариѳму соотвѣтствующее число вЪ та-
блицахъ брать должно; а чтобы самое дѣ-
ло лутче изЪяснишь, то помножимЪ сіи
между собою числа 343 и 2401; но поне-
же ихЪ логарифмы слагать должно, то
производится выкладка такимЪ образомЪ:
/34^ — 2, $352941 к сложить
/2401ГГ 3, 38039&2

5, 9156863 *>

{ вычесть
6847 3

16

К

СІЛ
Сія сумма есть логариѳмЪ произве-
денія ; изЪ первой онаго части позна-
емЪ мы , что произведеніе изЪ 6 зна-
ковЪ состоять должно , которое изЪ
десятичной дроби при помощи гпаблицЪ
,найдено 823543 и сіе есть подлинное
искомое произведеніе.

Понеже логариѳмы при извлеченіи
корней великую пользу приносягпЪ , то
хотимЪ мы сіе однимЬ изЪяснишь при-
мѣромъ.

Пусть должно будегпЪ изЪ числа юти
найти квадратной корень, то надлежитЪ
здѣсь логариѳмЪ числа юти , которой
есть і, осооооо раздѣлить на 2, част-
ное будетЪ о, 5000.000 логариѳмЪ иско-
маго корня , а корень самЪ изЪ таблицѣ
найдется 3, 16223, котораго квадратЪ
и вЪ самомЪ дѣлѣ только 755553 частицею
больше нежели і о.

конецЪ первой части о разныхЪ родахЪ
изчисленія простыхЪ количествъ.

ЧАСТЬ
Сй^	.64’*^ СбФэЛЙ^Сё^ сй»$)

ЧАСТЬ ВТОРАЯ,
о разныхъ родахъ изчисленія,
составныхъ количествъ.

<О^> 40>40%еч>.	40>*Л* 40» 40*40. 40»

Г л л В Л I.

О сложеніи составныхъ количествъ.

2$б.

КОгда двѣ или больше формулы со-
стоящіе изЪ многихЪ членовЬ сло-
жить должно будетЪ , то означает-
ся иногда сложеніе помощію извѢстныхЪ
знаковЪ , а имянно ставя каждую фор-
мулу вЪ скобкахЪ и оные знакомЪ -у-
соединяя ; такЪ Когда слЪдуюпдія фор-
мулы а+Ъ^-с и гі-±-е-±-/ вмѣстѣ сло-
К 2.	жить
ібр О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЁШЛ
жить надлежитъ , то означается сумма
шакимЪ образомЪ.

±5^

СимЪ образомЪ сложенье только?
означается , а не совсЪмЪ совершается г
но не трудно усмотрѣть , что для со-
вершенія онаго однЪ только скобки ос-
тавить должно ; ибо когда число
кЪ первому придать надлежитъ, то учи-
нится сіе ежели сперьва 4- <7, потбмЪ 4- е »
а наконецъ 4-/ приставишь, тогда сумма
будетЪ :

л 4~ 4-" с —I— б?4-" & —1 *

Сіе такожде примЪчать надлежитъ,
ежели нЪкоторые членьі будутЪ имЪть
знакЪ —, то должно только ихЪ поста-
вить сЪ ихЪ знаками.

2?3.

А что бы сіе яснБе показать , то
возмемЪ мы примЪрЪ вЪ числахЪ и кЪ
формулѣ 12-8, придадимъ еще сію Ц-б.

Придай
СОСТАВНЫХЪ количествъ, іб$

Придай вопервымЪ 15, то будетЪ
12 — 8-4-15 , но теперь уже придано
много , потому что 15 — б придать
только надлежитЪ , и такЪ видно, что б
излишки , чего ради отними сіи б или
напиши оные сЪ ихЪ знакомЪ , то по-
лучится точная сумма 12 — 8-4-15—6’.
Откуда явствуетЪ , что сумма найдет-
ся , когда всѣ члены каждой сЪ своимЬ
ЭнакомЪ поставятся.

259.

Когда кЪ формулѣ а — Ь^\-с при-
дать должно еще сію сі—е—/, то сум-
ма изъявляется слѣдующимъ образомЪ
а—притомЪ надлежитЪ
примѣчать , что на порядокЪ членовЪ
смотрѣть здѣсь нечего , но что оныя
по произволенію переставлены между со-
бою быть могутЪ , лишь бы только
каждой поставленной передЪ нимЪ знакѣ
имѢлЪ. ТакимЬ образомЪ можно бы по-
мянутую сумму написать и такЪ е-е
*+-л •+" Л—Ъ.
2б0.

И по сему сложеніе не имЪегпЪ ни-
малЪйшаго затрудненія , какой бы видЬ
члены ни имЪли ; такЪ когда кЪ фор«
м ѵ лЬ 2 аТ-4- б V Ь — 4 Іс надлежитъ при-
дать еще сію —7с, будетЪ сумма
2 аЦ- б VЬ~4 Іс -р- 5	— 7 с почему видно,

что сія есть искомая сумма ; при семЪ
также позволяется переставлять члены
между собою по изволенію удержавЪ только
при каждомЪ членЪ его знакЪ.

2бі.

Часто случается , что найденная
такимЪ образомЪ сумма гораздо короче
изобразиться можетЪ потому что
иногда ъ или больше членовЪ совсЪмЪ
уничтожаются. ТакЪ ежелибы вЪ сум-
мЪ слЪдующіе члены -}-а — а или такіе
За“4а-4-а случились ; или по крайней
мѣрѣ одинЪ бы членЪ составили , яко
За-і-2а"5а;	7&— 3& —+4^5 — бс

-+- іОб'~-4-4С, 5а~ 8 а~—3 а ; —

—зс — 4с~—чс\

Сіе
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ. іб7

Сіе сокращеніе тогда только имѣетЪ
мѣсто , когда 2 или больше членовЪ вЪ
разсужденіи буквЪ совсѣмЪ одинаковы ;
слѣдовательно гал+за сократишь не-
льзя и гЪ — Ь* шакожде сокращены быть
не могутЪ.

2б2.

разсмотримъ нѣсколько примѢровЪ
такого свойства и пусть должно будетЪ
сложить слѣдующіе двѣ формулы а 4- Ъ
и а-Ь, здѣсь по прежнимЪ правиламЪ
выдетѣ сумма а-|-Л-Н а— Ь , но а 4-а
— 2а, а Ь — Ь~о , слѣдовательно сумма
“2а ; сіе такЪ выговоришь можно :
ежели кЪ суммѣ двухЪ чиселЪ (а4~^)
придается ихЪ разность (а— Ъ) сумма
будетЪ большее дважды взятое, разсма-
тривай еще слѣдующіе примѣры.

да—— с
Ь —6 с 4~$с

4а-РЗ^-7^

а— ааЪ~\г <&ЪЪ

—ааЬ ЬъаЬЬ Ь3

а* — Заа^-4-^а.ЬЬ—Ь .
Іб§ О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
'Оѵ'Фчфк
гллвл и.

О вычитаніи составныхъ количествъ,

263.

Ежели вычитаніе означить только по-
требно будетЪ , то ставится каждая
формула вЪ скобки, и ша, которую вы-
читать должно ставится сЪ знакомЪ —
возлѣ той изЪ которой вычитать над-
лежитъ ; шакЪ когда изЪ формулы а - Ь
-у-с надлежитъ вычесть сію <?-+-/,
то требуемой остатокЪ изображается
такимЪ образомЪ (Ъ—— (<?—з’Н-/):
откуда явствуетЪ, что послѣднюю фор-
мулу изЪ первой вычитать должно.

264..

А что бы вычитаніе дѣйствительно
совершить , то вопервыхЪ примѣчать
должно , что ежели изЪ одного количе-
ства а другое положительное -\-Ъ вы-
чтется > то получится остатокЪ а—Ъ,
естьли же отрицательное число какЪ -Ъ
должно будетЪ вычесть, шовыдешЪ

ибо
Ибо долгЪ вычитать то же есть самое ,
і^акЪ бы нЪчто дать.

2б?.

ПоложимЪ теперь , что изЪ фор-
мулы а—с надлежитъ вычесть сію Ь—й\
отними сперва то получится а-с-Ь ,
но теперь уже отнято много; ибо дол-
жно было только отнять Ь~(1, слЪдо*
вательно количествомъ (I больше отнято,
И такЪ сіе сі паки придать надлежитЪ
іро получится :

а—с — Ъ~\-й

Откуда выходитЪ сіе правило : всЪ
члены той формулы , которую вычи-
тать надлежитъ сЪ противными знаками
роставдены быть долженствуютъ.

Збб.

Помощію сего правила весьма легко
вычитаніе сдБлать можно » ибо та фор-
мула , изЪ которой вычитать должно ,
ставится просто , а іпа, которую вы-
читать надлежитъ, сЪ прошивными зна-

К 5	камі|
і;о О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
ками кЪ оной присовокупляется ; такЪ
вЪ первомЪ примѣръ иаЪ формулы а— Ъ
-+-с вычесть должно сію й?—е-ь/, полу-
чится а — Ь-^-с — сІ^г-е—/, а чтобы сіе
изЪяснить вЪ самыхЪ числахЪ, то вычти
изЪ 9-3 + 2 сію формулу 6—2 + 4. вЪ ос-
таткБ будетЪ р-$ + 2-6 + 2 - 4~о или
9 — 3 4- 2 — 8 ,• а 4- 4 “ 8 ,• а 8 — 8 ~ о.

2бу.

Когда вычитаніе никакой трудно-
сти вЪ себБ не имѣетЪ , то осталось
только примѣчать , что вЪ найденномЬ
остаткѣ 2 или больше членовЪ быть
могутЪ , кои вЪ разсужденіи буквЪ оди-
наковы , и тогда можно дЪлать сокра-
щеніе по піѣмЪ же правиламЪ , которыя
предписаны выше сего при сложеніи.

2б8.

ИзЪ суммы двухЪ чиселЪ а-^гЪ над*
лежигпЪ вычесть ихЪ разность а — Ь ; по?
лучится вопервыхЪ а-\-Ъ ; но а—а
”О ,	слѣдовательно искомой

остатокъ есть 2 Ь, т. е. меньшее число
Ь удвоенное.	абр.
'СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ. 17*

2бд.

КЪ большему изЪясненію присоеди*
НимЪ еще  нѣкоторые примѣры.

аа-Ѵ-аЬ-Ѵ-ЬЪ	§а—

ЬЬ — аЬ -т* ай	2-Ъ Н— 4 с	6а^

2.аЪ	да-бЬ^с

а3+ЗааЬ -\-ЪаЬЪ -\-Ъ*
а—^ааЬ ^^аЪЪ — Ъ*
бааЪ Н~ а Ь*

Ѵа 4- 2 ѴЬ

Vа — ^ѴЪ

" ^ѴЪ



ГЛАВА Ш.

О умноженіи составныхъ количествъ.

270.

Ежели умноженіе означишь только ' по-
требно будетЪ , то включается каждая
формула вЪ скобки и присоединяется
одна кЪ другой или безЪ знака , или по^
^ред-
172 о РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
средствомъ поставленной между ими
точки ; такЪ когда сіи двѣ формулы
и 4-е-^-/ помножить должно , то
изъявляется произведеніе такЪ(« — Ь-\-с\
или (<?—Ь-4-г) (*/•—*“+-/]• Сей
способЪ очень часто употребляется ,
потому что изЪ онаго видно , изЪ ка*
кихЪ множителей состоитЬ такое про-»
изведеніе.

271.

Но что бы показать , какимЪ обра-
ЭОмЪ умноженіе вЪ самомЪ дѣлѣ совер-
шается , то прежде всего надлежитъ
примѣчать , что ежели формулу а — Ь
Н- с на г помножить .должно , то ка-*
ждой ея членЪ особенно на 2 множится
И посему вьідетЪ ад—2^4-2г,

Сіе же самое дѣлается и со всѣми
другими числами ; такЪ когда ту же
формулу на (I помножить должно , то
получится вЪ произведеніи асІ—Ь(1-\-с$.

272.

Здѣсь показали мы , что число
«есть положительное , но ежели отрицд"
пзель
составныхъ количествъ, іѵз
йіельнымЪ числомЪ какЪ — е множить
должно , то прежде показанныя правила
на память привесть надлежитъ, а имян-
но что 2 разные знака вЪ произведеніи
даютЪ — , а два одинакіе -4- , почему
получится — ае-\-Ье —се,

27$.

Когда же одну формулу простая
ли она будетЪ или составная , какЪ А
помножить должно , на составную а—с,
то возмемЪ сперьва самые числа вЪ раз-
сужденіе , и положимЪ , что А надле-
житъ помножить на 7~3 ; здВсь видно,
что требуется четырежды взятое А:
будеже сперва возмется А 7 разЪ , то
надлежитъ трижды взятое А изЪ онаго
вычесть. равнЫмЪ образомЪ также и во-
обще когда На й-е помножить должно ,
то помножь сперва формулу А на 4, а
потомЪ на е и послЪднее произведеніе
вычти изЪ перваго , такЪ что выдетЪ
//А-сА. ПоложимЪ теперь, что А=за-&,
которое на (1-е надлежитъ умножить ,
то получимЪ мы :

(Іа
174 ° РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ

/А ~а<1—Ь(1
еК ~:ае — Ье

'ай-Ьй-ае-уЬе требуемое
произведеніе.

274-

НашедЪ произведеніе (а~Ъ\ {й-е} и о
точности онаго , будучи увѣрены пред-
ставимЪ теперь сей умноженія примѣрѣ
яснѣе такимЪ образомЪ.

а - Ь
й—е
ай-ЬЛ-ае-^Ье

Отсюда усматриваемъ мы , что каж-
дой членЪ верхней формулы на каждой
исподней помноженЪ, наблюдая пригоомЪ
вездѣ предписанное о знакахЪ правило ;
чѣмЪ снова подтверждается , ежели бы
еще кшо имѣлЪ какое вЪ щомЪ сомнѣніе.

27?.

По силѣ сего правила легко будетЪ
слѣдующей примѢрЪ вычислишь • а
надлежитЪ помножишь на а-Ь.
а-Л-Ь
а — Ь
аа-Ѵ аЬ
—а Ь — ЬЬ
произведеніе будетЪ аа — ЬЬ.

2.^6.

И такЪ когда вмѣсто а и Ь поло-
жены будутЪ опредѣленныя числа по
произволенію , то ведешЪ насЪ сей при-
мѣрѣ кЪ слѣдующей правдѣ : ежели сум-
ма двухЪ чиселЪ помножится на ихЪ
разность , произведеніе будетЪ разность
ихЪ квадрашовЪ , что такимЪ образомЪ
представить можно	— Ь'}^аа-ЬЬі

слѣдственно разность между двумя ква-
дратными числами есть завсегда произ-
веденіе изЪ суммы двухЪ чиселЪ на ихЪ
разность , и можетЪ какЪ на сумму ,
такЪ и на разность корней раздѣлиться,
и по сему первымЪ числомЬ не будетЪ.

277.

Вычислимъ еще слѣдующіе примѣры.

>)
і) оа-з

04-2

&аа —^а

4- 4а

2) 4аа-6а + р

2ЯЧ-3

8лг - і2дя! 4-18л

4-1200 -180+27

200 4-0-6	80* 4- 27

3) 300 ~%аЬ -ЬЬ 4) 004-20^4-2^

4- 20 -

00 — іаЪ -\~ъЬЪ

6а -^ааЬ-іаЬЬ	а*4-203Ь-А~2ааЫ>

-1200^4-80^+'4^1

- ъаЬ-4ааЪЪ-4аЪ*
-А-ъааЪкА- 4аЬ3 А-4^

6а3—х6ааЬ-\-6аЬЬ4-4Ь3 а + 4^*

5)	2Аа.—заЬ'-4ЪЪ

Зсш.-2.аЬ-А-ЬЪ

6а?-$аЬ-ігааІ)Ъ

-4^Ь-\-6ааЪЪ 4* 8а^*

4- 200 ЬЬ •— 3&Ь3 — + &*

ба.*—ізаЬ—4а.а.ЪЬ^^аЬ3 — 4


СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВѢ» П7

б)	Ьс	’

а -^Ь 4^

а-\ а.ЬЬ^-асс-а^Ь а.а.с-&Ьй

-аЬЬ асс'-]-ааЬ ^аш-аЬсЧгЬ*-}~Ьсс~ЬЬс

-аЬс -Ьл {- ЬЬс-\-е*

^--За^-Н^Н-Ѵ
27$.

Когда больше Нежели двѣ формулы
Одну на другую помножишь должно бу*
деіпЪ , то Легко Понять МожНо', ЧСпб?
умножйвѣ двѣ изЪ оныхЪ между собою 4
произведеніе множить потбмѣ надобно на
слѣдующіе, ПриіпомЬ все равно, КаКой бьі
порядокЪ НаблюдаемѢ ни былѣ* Когда,
На примѣрѣ Слѣдующее произведеніе ИзЪ
4 хЪ множителей \а-\-Ь ). *\аа-4- лЬ-А-ЬЬ^
1п(й —ІѴ(аа—аА-4-^) состоящее найпій
должно будетЪ , то умножь сперЬа 1 на
11 множителя.

II аа -±-аЬ -\-ЬЬ

I а -4- Ь
-----— - ——*
а -4-^ а.Ь н- аЬЬ

-\-а.а.Ь ~\-а.ЬЬ -4 Ь*

Ы1» а’-р-гаа^Ч-габ»^^5

Поп-.ЬмЬ
Х73 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
ПотбмЪ умножь ІП на IV множителя, яко

IV аа—а.Ь-\-ЬЬ

III а-Ь

а~ааЬ~+~аЬЬ
-ааЬ-А-аЪЬ—У

ПІ.ІѴ. а-ъааЬ^ъаЬЬ-Ь*

Теперь осталось только прежнее про'
изведеніе I. II умножить на сіе III. IV
какЪ.

1.1І~а*-Ь2аа^4-2а^-+-^*

ІІ1,ІѴ~а? — 2.ааЬ-\~2аЬЬ

а* Ь^2а ЬЬ~г-а У

—-ъаЬ --^аЪЬ—^аЬ’-іааЬ*

-4- г а*ЬЪ-\-4« *Ь г+ 4аа ^++ 2 аЪ *
~аі}‘ -гааУ— гаЬ5~Ь9

а*—У искомое произведеніе

279-

ПеремѣнимЪ теперь порядокЪ вЪ
томЪ же самомЪ примѣрѣ, и сперва I фор-
мулу на III, а потбмЪ II на IV помно-
жимЪ , какЪ слѢдуетЪ.

Іа
Ія-4-#
Ша-Ъ

аа-^аЬ

-аЬ-ЪЬ

ТЛП.-аа-ЬЪ

II. аа-\~аЪ—ЪЬ
IV. аа —аЬ-\-ЬЬ

а-\-аЬА-ааЬЬ

— аЪ — ааЪЬ—аЪ9

-+~ааЬЬ~\-аЬ9-і~Ъ*

ІІЛЧ-а^ааЬШ*

Теперь осталось произведеніе И. IV
помножить на І.ПІ

II. IV ^:а'-т-ааЬЬ-ігЪі

I. III —аа~ЬЬ______________

а*-4- аЪЬ -\~ааЬ^

—аЬЬ — ааЬ* — Ьв

а—Ь6 искомое приведеніе.

280.

ЗдЬлаемЪ еще другимЪ порядкомЪ
исчисленіе , и сперва 1 формулу на IV ,
а потбмЪ II на 111 помножимЪ , какЪ
слЪдуетЪ

IV. аа—аЬ-^-ЪЬ	III. аа-^аЬ-\-ЪЪ

I. <н- Ь	II. а —Ъ

Л 2.
а -ааЪ^г-аЬЬ а ~\-ааЬ-\-аЬЪ

-\-ааЬ —аЬЪ-Ь-Ъ* —ааЬ -аЫ>--к>*

І.ІѴ—а^-Ь1	ПЛП~/-6*

Теперь осталось помножить прой>7
веденіе ІЛѴ на П.Ш.

І.1Ѵ-Л+Л1
ІІДІІгга -Ь*

~а*ь*-ъ*

б , б
а —Ь

2.8і>

Не безполезно изЪяснить Здѣсь сей
примЪрЬ вЪ числахЪ ; пусть будетЪ
и Ь:2 , будетЪ дЧ-&—$ , а—Ъ~ і, ію-
ню мЪ ^—9 , аЪ—6 ; ЬЬ~^, аа-\-аЪ~\-ЬЬ
— 19 и аа—аЬ-Ѵ-ЬЪ^І, и такЪ ищется
произведеніе 5.19.1.7, которое есть 66$^

Но «^“720, а Ъ*~6^ слѣдовательно
бб> какЪ уже мы и видѣли.

ГЛАВА
НрееТЬЖ) КОЛИЧЕСТВЪ. ІЗХ

Г л А В А IV.

О Дѣленіи составныхъ количествъ.

К *

Погда дѣленіе означить только надобно
будетЪ , то употребляется кЪ сему или
обыкновенной знакЪ дроби , т. е. когда
дѣлимое поверьхЪ линѣйки , а дѣлитель
подЪ оною подписанъ будетЪ, или вклю-
чаются они оба вЪ скопки , и пишется
дѣлитель послѣ дѣлимаго , а между ими
ставятся двѣ точки : такЪ ежели
раздѣлить должно на с~\-А, то частное
по первому способу изображается ,
а по второму такЪ ( а-\--Ъ ) : ( с-ря*) оба
Выговариваются а~\- Ь раздѣлены на

283.

Когда составную формулу должно
будетЪ дѣлить на простую, то дѣлится
каждой членѣ особенно гпакимЪ образомЪ:

6а— 8^4-4? раздѣленные на 2, даютЪ
За-4&4-2<7; и (аа-ьаЪ)і а~а-гЬ. та-

Л з	кимЪ
182 о рАЗНИХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
кимЪ же образомЪ (а3~ъааЪ--\~%аЬЬ'')‘. а~аа
—іаЪ-^-зЬЬ, также [цааЬ~6аас-^ЪаЪсу.{2а)
^2аЬ —$ас-4-^Ьс , и [дааЪс — \2аЪЪс-\-'і-5
аЬсс}'\ЗаЬс)~за-4&4-5С. И такЪ далѣе.

284.

Ежели членЪ дѣлимаго раздѣлиться
не можетЪ , то происшедшее оттуда
частное число изъявляется дробью ; такЪ
когда а-\-Ь на а раздѣлишь должно , то
получится частное і-рА такожде {аа—аЬ
~\-ЪЬ} -.аа~ 1-^4- еще же когда ( 2а
’+'Ъ') на 2 дѣлить должно , то получи-
тся «Н-|, при чемЪ примѣчать надлежитъ,
что вмѣсто 5 можно писать , ибо
столь же велика какЪ и | : подобнымъ
образомЪ | тоже , чгпо , и тоже ,
что и и такѣ далѣе.

28у.

Естьли же дѣлитель самЪ состоять
будетЪ изЪ многихЪ членовЪ , тогда при
дѣленіи больше трудности бываетЪ, ибо
оное часто дѣйствительно учиниться
можетЪ
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ. 183
можетЪ , хотя того и не видно ; а ко-
гда дѣленіе на цѣло не выходитЪ ,
то должно довольствоваться и тѢмЪ ,
когда частное число, какѣ выше упомяну-
то, подЪ видомЪ дроби изобразимъ, разсмо-
тримъ здѣсь одни только тѢ случаи гдѣ
дѣленіе дѣйствительно здѢлаться можетЪ.

286.

Пусть дѣлимое ас-Ъс на дѣлителя
а—Ь раздѣлить должно ; то частное отту-
да п роизшедшее такого свойства быть
до \жно , что ежели оное на дѣлителя а—Ь
помножится, выдетЪ дѣлимое ас—Ъс\ те-
перь легко видѣть можно, что вЪ част-
номЪ долженствуетъ быть с, потому
что иначе не вышло бы ас, а чтобы
узнать , будетЪ ли с совершенное част-
ное число , то помножь онымЪ дѣлите-
ля , и смотри всели дѣлимое число вы-
шло или только часть онаго. ВЪ нашемЪ
примѣрѣ когда а-Ъ помножится на г,
гпо получится ас—Ъс, что есть самое
дѣлимое , слѣдовательно с есть совер-
шенное частное число. равнымЪ образомЪ

А 4	явешву*
О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
двствуегпЪ , что (аа-Ь-аЬ'};

(Заа— 2аЬ)- (за-г^^а, такожде
(2^~~зЬ~за.

287,

ТакимЪ образомЪ заподлинно най-
дется одна часть частнаго, нежели оная
ромножишся на дѣлителя , а отЪ дѣли-
маго еще нѢчшо останется , то осталь-
ное должно еще дѣлишь на дѣлителя , И
хгогда другая часа наі о числа часть най-
дется ; цодобнымѣ образомЪ до шѢхЪ
порѣ продолжать надлежитъ , пока вс$
частно число не получится.

раздѣлимъ наприм. аа^-$аЪ-\-2Ы> на
ц-\-Ь , шо заразѣ видно , что частно^
должно еЪ себѣ содержать членѣ а ; ибо
иначе не вышло бы аа ; но помноживЬ
дѣлителя а-\-Ъ на а вьнет'Ь аа-\-аЬ , ко-
торое когда изЪ дѣлимаго вычтстся ,
останется еще ?аЬ -р 2ЪЬ , что еще на
дѣлишь должно гдѣ заразЪ видно ,

чщд
что ьЪ частномЪ $-Ъ стоять должны ,
ромноживЪ теперь 2 Ь на а-}-Ь выходитЪ
точно 2^4-2^ слѣдовательно искомое
частное есть	, которое будучи

помножено на дѣлителя а-\Ь даетЪ дѣ-
лимое. Все сіе дѣйствіе представляется
ІпакимЪ образомЪ.

а Л~Ь аа-[-заЬ+^ЬЬ | «4-2&
лг<2-Ь аЬ

-^~2аЪ-\-2ЬЪ

288.

Для облегченія сего дѣйствія бе*
рется часть дѣлителя, какЪ здѣсь а, ко-
торая и пишется сЪ начала , а позади
сихЪ буквѣ пишется дѣлимое такимЪ по-
рядкомъ , что вышшіе степени сей же
буквы а ставится сЪ начала , какЪ изЪ
слѣдующаго примѣра видѣть можно.

п	Г

а-Ь ^а-^ааЪ^аЬЬ-Ъ3 аа— а аЪ~\-ЬЬ
\а'-мЬ	[

А $


'-^.ааЪ-^^аЪЬ

-ъааЬ-\-гаЬЪ

-{-аЬЬ-Ь*

•^-аЬЬ—Ь*

а-г-Ъ\-аа~ЬЪ Ь

—аЬ — ЬЬ

—аЬ — ЬЬ

9	Г

За-2.&р8аа

3і8аа-і2д^і

-4- ігаЬ —8ЪЬ

1 » Г

а-^-Ъ3 аа-аЬ'-ѴЪЪ

3 а -\-ааЬ

~~даЬ~\~Ь3

—4аЬ—аЪЬ

-{-аЬЬ-^-Ь9

^~аЬЬ-\-Ь3

ъа	8/ — Ь3(^аа-\-2.аЬ-+-Ы>

^а-^ааЪ

Н- ^ааЪ—Ъ3

Л-4
-4- ^ааЪ—^аЪЪ

^-іаЫ>—Ьг

^гаЪЬ—Ъ

аа-2аЪ-\-ЬЬ'^ а- Ъ-^-бааЬЬ-^аЬ* (аа-ъаЪ^гЬЪ
а-—2 аЬ-\-ааЬЬ

—2.аЬ-^~ з ааЬЪ—^аІэ

—2 аіэ-^- 4ааЪЬ—2 аЬ’

Ч- ааЪЬ—2аЬ3-\-Ь*

Ч- ааЪЬ — ъаЪ3 ч-^*

аа^г аЬ-\- ^ЪЬу^Ч- Д,ааЬЬ-\-1 б Ь'(аа+ъаЬ+
а-2аЬ-+-^ааЪЬ

4-2^4- іб^4

Ч- 2аЬг-А;ааЬЬ-\--Ъа1э

-у-^ааЬЬ— 8дУч-

Ч~ іаакЪ —^>аЬ3Ч- ібЬ*

аа-^аЬ-і-іЬЬ'^а -}~4^(^а-\-йаЬ~і~2ЬЬ
а-ъа Ь-\-2ааЬЬ

Ч-2а
4- 2 а Ь - 2 ааЬЬ~\-^Ь*‘

-^-ъаЬ -^аЪЬ-^-^аЪ9

-\-чааЪЬ — даЬ* і * 3 * 5~{-4Ъ*

•^-гааЪЪ — 4аЬ*-\-$Ь*

в- ьх+хх'') і -5^4- іохг-і ол,34 5#+-лл^і-ЗЛ,4-зхх,~л'

і -ъх 4- хх

— \Х 4-9ХХ-іо№
— ^х 4- бхх — 5лл

4- усх - 7^-1- 5.г*

4- хх—6х3 4- 5лл

5	4 л

- X 4“ 2.x -X

X —2Х "“Х^

ГЛЛВЛ V.

О разрѣшеніи дробей на безконечные ряды,
28р.

Когда дѣлимое на дѣлителя ''раздѣлитъ--
ся нс можешЬ, шо изъявляется частное
число
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ,

число дробью , какЪ уже упомянуто.
ТакЪ, когда і цѵ на і—а раздѣлить дол-
жно, то получится сія дробь 1-^ ; меж-«
ду тѣмЪ однакожЪ дѣленіе по прежнимЪ
правиламЪ дѣлается, и продолжается по
изволенію , и тогда подлинное частное
число, хотя вЪ разныхЪ формулахъ, выхо-
дить долженствуетъ.

290.

А что бы показать, то раЗдѣлимЪ
дѣйствительно дѣлимое і уу на дѣли-
теля і-л, какЪ слѢдуетЪ
і-аУі 0или

1 а	Х~а

остат^л	4-л

Л-а-аа
остатокі-н/я

Для сысканія большаго числа фор-
мулѣ раздѢлимЪ аа на і—а , КакЪ*
і-а\аа і аа + Я-

/	'	і—Я

„ *
аа - а

а

1-а)
Ч-^_ еще і-а^а (а^~

У~4*	а~а

•4-а*	+ а3 и протч.

291.

Отсюда видимЪ мы , что дробь —.
чрезЪ всЪ слѣдующіе формулы изЪявле-
на быть можетЪ 1) 14—І1)і-НН—
ГД7 » III) і-р-л-р-од-}-^- \ IV) і-рй-р-аа
*+'°І"+“і?т '> ѵ) і-Р-й-р-дй'-рл*-Р-д!*+~ и
протч. возми вЪ рассу жденіе I формулу і
НН~ , понеже і столь же велика какЪ
, слѣдовательно	4-— —1^±®—

'~а	1 Х.-0,	1-а і-а і-а —•

во второй формулЪ і-Р«Ч-^ приве-
ди цѣлую часть кЪ тому же знамена-
телю і-а , то получится 77^ придай кЪ
сему « булегаЬ ^±2 ш, е. Д;.

Для третей формулы і-Р-^Ч-^
, когда цѣлая часть кЪ то-
му же знаменателю \-а приведена бу-
детЪ , даетЪ кЪ ней придай дробь
сумма будетЪ “ откуда явствуетЪ,
что
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ 191
что всѣ сіи формулы вЪ самомЪ дѣлѣ
тоже значатЪ , что и данная дробь

292.

ТакимЪ образомЪ сіе дѣйствіе столь
далеко продолжать можно, какЪ за благо
рассудится , не имѣя нужды дальное дѣ-
лать исчисленіе , такЪ будетЪ

—Р-аа—1~а -4—# *т-'й -4-й 4"й! • 1 - ,_^а да и еще
далѣе дѣйствіе сіе продолжать можно ни-
когда не преставая, чрезЪ что предложен-
ная дробь обратится вЪ безконечной
рядЪ какЪ і-4-а-4-о«-4-лІ4-«*-Н~й5-4-ав-4-<гг
Ч-й8-4-йР-4-дІЭ-Ьй!ІІ-4-а12 и прош. безконе-
чно , и о семЪ безконечномъ ряду сЪ
достоверностію утверждать можно ,
что онЪ столь же великЪ какЪ и дробь

1

293.

Хотя сіе сЪ начала и весьма удиви-
тельно кажется , однакожЪ разсмотрѣвъ
нѣкоторые случаи, будетЪ вразумитель-
но ; положимЪ сперьва еггі, то выдешЪ
ЖашЪ рядѣ—14-14-14-1 Ѣі-р-і-р-і

и
и прогпч безконечно , которой дроби ;-Ь»
Ш. е. равенЪ быть доЛженствуетЪ. Но
мы уже видѣли что ь есть безконечно
большое число, что и симЪ такожде под-
тверждается.

Когда же возмется , то будетЪ
нашЪ рядЪ .^сі 4~24-4Ч-8—I—і ^4—32-4-бДй
протч. безконечно, которой долженЪ быть
равенЪ т. е. сг—і , что не сход-
нымъ быть кажется.

Но надлежитъ примѣчать , что еже-»
ли вЪ вЫшепокаЗанномЪ ряду остановить-
ся пожелаешь , то завсегда прибавлять
еще должно дробь. ТакЪ когда у 64
остановимся , то кЪ і4-24-44-8ч-іб’
Ч-32Н-64. еще сію дробь т. е.

12 8 приставить надлежитЪ; по чему вы*
детЪ 127-128 ш. е.-і,

294.

Сіе примѣчать должно когда вмѣ-
сто й, берутся числа больше іцы; а есть-
ли вмѣсто а возмутся меньшія числа *

то
то все легко уразумѣть можно. Пусть
будетЪ наприм. «зззі , то получится
Д — — _~2 , которые слѣдующему
1------а а

ряду равны бѵдутЪ 1+2+5+?+ іб"1”32 ~І
+.2? и протч. безконечно Когда теперь
возмутся только два члена і+з , то
не достаеЫЬ 1 , когда же возмутся 3 ,
то будетЪ + и не достаетЪ^; 4 члена
Взятые вмѣстѣ дѣлаютЪ і?, и не доста-
етЪ еще^ откуда видно, что завсегда недо-
статокъ меньше становится, слѣдователь»
но ежели рядѣ безконечно продолжится, то
совСѣмЪ никакого недостатка не будетЪ,

29?.

Положи а~I, то будетЪ наша дробь
э кошорой слѣдующей
1 з

рядЪ равенЪ будетЪ і+Ир+^+т+і, и
протч. безконечно. Возми 2 члена и выдешЪ
і|, и по сему не досйіаешЪ в ; возми 3
будетЪ , не достаеггіЪ /? ; возми 4
члена , выдетЪ и не достаетЪ еще

; когда теперь погрѣшность вЪ тр#
194. О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
раза часЪ огпЪ часу меньше становится ,
то оная наконец'Ь уничтожится.

29 6.

ПоложимЪ то будетЪ дробь

а рядЪ будетЪ

И протч. безконечно; взявЪ сперьва і2 не
достанетЪ еще і|, взявЪ $ члена, будетЪ
2і, и не достанетЪ еще * ; возми 4 чле-
на будетЪ 2 ~ , не досшаетЪ еще ’

297.

Пусть будетЪ а~ то будетЪ дробь

—~~; а рядЪ будетЪ

«—і ♦

Ч-ДЧ-з’г и протч. возми 2 члена, будетЪ
1і , слѣді не достаете тг5 , возми 3, вы-
детЪ іЛ, и не достаешЪ еще и протч.

298.

равнымЪ образомЪ и сія дробь
вЪ безконечной рядЪ обратится, когда
числитель і на знаменателя і-{-а дѣй-
ствительно раздѣлится , какЪ слЪдуетЪ.
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ.

?	С

і-М1	{

1

і—а-Л-аа—а-^-а4

—а

—а—аа

ая

аа-\-а3
в-
—а
г 4
—а —а
~~~~ 4
-р-а

—4—й ’~{~Я

—а5 и протч.

По сему наша дробь равна сему
безконечному ряду і— а-\-аа—а-^а —а9
-4-аб—а? и протч.

299.

Положи Л”! , то получится сіе
примЪчанія достойное уравненіе

—і-х-р-і-і-р-і' і-р-т і и прогпч. безконе-
чно, что противоречить кажется,- ибо ког-
да рядЪ на —і кончится , то даетЪ
онЪ о , а ежели на 4-і перервется , то

М л	даешЪ
195 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
даетЪ і. Но сіе оттуда понять моя но,
когда безконечно продолжать будетъ не
останавливался нипри — і ниже при 4-1,
то тогда сумма ни і ни о, но среднее
между ими выдетЪ 5.

300.

Пусть будетЪ , то наша дробь
равна будетЪ сему ряду і—Н4 4
1 я

Н-тѴ—з’а+в? и протч. безконечно. Возми
два члена, то выдетЪ | которая частью
меньше , взявЪ у члена получишь, | коя
больше А частью , взявЪ 4. получится |
что меньше 5’? частицею и прогпч.

301.

ПоложивЪ а— і будетЪ наша дробь
—коей слѣдующей рядЪ равенЪ і-4
і-Ч

4-5“57-Ьгг-.із-4“7«5 и Протч. безконечно; воз-
ми ± члена получишь ?2, кои меньше /5ю,
и взявЪ $ члена выдетЪ § , кои больше
ю; взявЪ 4 члена получится , кои
меньше частью и протч.

302.
302.

Дробь ~~ можно еще инымЪ обра-
ЭомЪ разрѣшить ; а имянно когда і на
й-р-і раздѣлится такимЪ образомЪ.

? Ѵі г . * ЛіД
в-р-І г I 1 а аа~І~аі в4“Г"в»

•Ч-Н6

—*5 и протч.

И шакЪ наша дробь	равна слѣ-
дующему ряду,	и протч*

безконечно. Положивъ а — і получится
сей рядЪ з~і —2 4-і-- і-|-і — і и прот%
какЪ и прежде »

м а

ІХолси
ПоложивЬ а—ъ. получится сей рядЪ

І і - I -ь | Ч- 3\ - и протч.

3°3-

равнымЪ образомЪ можно сі’к>
дробь - вообще обратить вЪ слБдую«
щей рядЬ , такимЪ образомЪ.

7 ?	ѴС I ’

С-р-^Г с	[1	аа *'* а’"

С-±-Ьа

Ъс
а
Ъс__ЪЪе

а аа

4-Ь^с

,3

& С

и протч-

Откуда получаемЪ мы уравненіе вЪ
СлЪдуЮЩемЪ РЯДУ —Я——Я —ъ±-л ЪЪс __Ъ*с
г 17 а 4-о а аа 1 а* ~а*
и протч. безконечно. Пусть будетЪ а~2,
и , то получится

і»«—а——а~34-й—іа и протч. пусть «дзю,
Ь-і и с=п , то получимъ
=й-ій-1-йи- О» и протч. взявЪ одинЪ
членЪ будетЪ I,, больше Т3 частью, взявЪ
2 члена выдетЪ , кои меньше Т^ю 5
взявЪ 3 члена получится кои больше
І553 частью и протч.

304.

' Когда дѣлитель изЪ многихЪ частей.
состоитЪ, то равнымЪ образомЪ дѣленіе
продолжается безконечно. ТакЪ ежелибы
сія дробь -—^а была предложена , то
безконечной рядЪ ей равной находится
такимЪ образомЪ.

1 і ) \-^-а-а-а*-\-а6~\- а и прот.
д-а-4-й’й'г	,	г

} і— а-Л-аа

~+-а—аа

&—аа ~I- а

3 ,	4 л

-д 4-а -а

Н* й5
4 >	5	#

—а -4-а -а

М 4	ц-а*
-Ъ-а^-а -\~а
__ - ~
Н-« — а
ч^г а - а -^-а
. • -
—а

и протч.

И такЪ имЪемЪ мы сіе уравненіе———
~і-4-а—аІ-а+4аб-4-аг—аР—а'° и протчая
безконечно. Возми здѣсь а~і } то по-
лучится такой рядЪ ісч+і-і-і+і,
-|-і - і -і 4-і -4-і и протч. , которой,
рядЪ содержишь вЪ себЪ прежней і— I
гУі-і4-і и протч. дважды ; но прежу
ней рядЪ былЪ равенЪ ’ , то не удиви-,
гпельно, что сей^іг.і ш. е. і цу состав-
ляетъ.

ПоложивЪ , получится сіе урав-
неніе |	—+ —И

протч. положивЪ а.~^ получится такое
уравненіе с или	в

4

протч. возми здѣсь 4 члена , то полу-
чишь Ѵі которая меньше ю, нежели ? 
прложивЪ еще а~| получится сіеуравне-

ніе
ніе ~	ипротч, кото-

рой рядЪ прежнему равенЪ, чего ради и
такЪ вычти верхней изЪ сеі о, то получит-
ся о=| -57-іг н- Л* и протч. гдѣ 4 члена
вмѣстѣ дѣлаютЪ К7.

30

ТакимЪ образомЪ можно всѣ дроби
обращать лЬ безконечные ряды , что не
только великую пользу часто приноситЪ,
но и само по себѢ очень достопамятно:
ибо безконечной рядЪ не смотря на то,
что никогда не пресѣчется г но еще и
опредѣленное знаменованіе имѣть мо-
жетЪ. ИзЬ сего основанія выведены наи-
важнѢйшіе изобрѣтенія , чею р^ди сія
матерія заслуживаетъ быть рассмотрена
сЪ наибольшимъ вниманіемъ.

ѴЭч'-СЧ 'Ох ЧА ХОх ЧА \з\ ХОх ХОх ХОх ХОх ЧСЧ ЧА 'О

ГЛЛВЛ VI.

О квадратахЬ составныхъ количествъ.

Зоб.

Когда понадобится найти квадратЪ со-
ставнаго количества , то надлежитЪ

М 5	оное
202 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ изчисленія
юное только само собою помножить ,
произведеніе будетЪ квадратЪ онаго.

ТакимЪ ибразомЪ находится квадратЪ
изЪ а-\~Ъ , какЪ сл+дуетЪ.

а~\-Ь
а-*гЪ
аа-^-аЬ
-Л-аЬ ’

««+-2Я& ~\~ЪЪ

3°7-

И по сему ежели корень состоитЪ
изЪ двухЬ частей , кои сложены вмѣстѣ
какЪ то слагается квадратЪ і изЪ
І^вадратовЬ каждой части ш. е. аа и ЪЪ ;
г, присовокупляется еще кЪ сему двойное
произведеніе обЪихЪ частей , а имянно
•2.аЪ , и цѣлая сумма аа *\-гаЪ -\-ЬЬ есть
квадратЪ изЪ а-\-Ь.

Пусть будетЪ наприм. дгсЮ,
такЪ что квадратЪ і3 ши найти должно,
то будетЪ оной — х004-9+60 ~ дбр.

зо§*
308.

Помощію сея формулы легко мо-
жно находить квадраты нарочито боль-
шихъ чиселЪ , когда оныя на двВ части
раздроблены будутЪ.

ТакЪ для нахожденія квадрата изЪ 57»
раздроби сіе число на 504-7 , квадратЪ
его будетЪ ^325004-7004-49:203249.

З09.

Отсюда видно , что квадратЪ изЪ
д-4~і будетЪ аа-^-ъа-^т. ; когда же квая-
ратЪ изЪ а есть аа , то квадратЪ изЪ
д2-Ы найдется , ежели кЪ оному при-
дается 2л-{-і 5 при чемЪ надлежитъ
примѣчать , что 2Л4~т есть сумма обо-
ихЪ корней а и «4-1. ПтакЪ когда ква-
дратЪ ю ши есть іоо , то квадратЪ
іі ши будетЪ "ІСО4-2І , и когда ква-
дратЪ 57 ми есть 3249, то будетЪ ква-
дратЪ 58 ми “з 2494-115—3364 » а ква-
дратЪ 59 ти — 33644-117—348 і , и на-
конецъ квадратЪ бо ти —34814-119
^36 оа и протч,
310.

КвадратЪ изЪ составнаго количе-
ства какЪ а\Ъ означается такЪ (а-^-Ь)*
и (іо сему будетЪ (а-\-Ь ^"аа-^-іаЬ-^-ЬЬ
откуда производятся слѣдующія уравне-
нія :

(д-р-і'2—да-4-2/74-1 , (д-р-2 а—аа-\-^а
-4-4- , {а-^^г=ла-\-6а--\-9 ; (и+^^аа
-р-Бд-р-іб и такЪ далѣе.

зп.

Ежели корень будетЪ а-Ъ , то по-
лучится онаго квадратЪ аа— ьаЪ-^ЪЬ, ко-
торой состоитЪ изЪ квадратовЪ об’БихЪ
частей , изЪ суммы коихЪ двойное про-
изведеніе вычтено.

Пусть на прим. йгчо , Ь~і , то бу-
детЪ квадратЪ р ти —100—20-4-1—81.

312.

Имѣя сіе уравненіе {а—Ъ'\і~аа—&аЪ
-УЬЪ , будетЪ 'а~іУ~аа—2а-і-і > что
щйдется, ежели изЪ аа вычтется 2а— і ,
а сіе есть сумма корней а и о-і—гд—і.

Пусть
Пусть На прим. «=50 , будетЪ а&
—2500 , а— 1x249 , и такЪ 49’—2500
—9922:2401.

34-

Сі'е дробями изЪяснить также мо-
жно ; ибо когда возмется за корень |4|
[уоторьіе составляютъ іцуТ , то вы-
детЪ квадратЪ ~г ; квад-
ратЪ изЪ і—I] будетЪ	5’5.

34-

Когда корень изЪ многихЪ членовЪ
состоитЪ, то можйо равнымЪ образомЪ
опредѣлить ево квадратЪ, такЪ изЬ а-\-Ь
найдется квадратЪ какЪ слЪдуешЪ.

и—{— Ь 4-с

а 4- Ь

сю,—\-аЪ-ас 4“ Ьс

Л~аЪ-\-ас ^ЬЬ-\-Ьс 4-^

аа-\гіаЬ-\: ч-ас-^ЬЪ-Ѵ 2-Ьс -Ѵсс

Откуда явствуетЪ, что оной состо-
йтЪ вопервыхЪ изЪ квадрашовЪ каждой
части
части корня , и изЪ удвоенныхъ произ-
веденій каждыхЪ двухЪ частей между
собою.

31 ?•

А чтобы сіе изЪяснить примЪромЬ,
то раздѣлимЪ число 256 на 3 части 200
Ч-50-рб , по чему квадратЪ его изЪ
слЪдующихЪ частей составленъ.

40006 гД

2500 5	2

со ’й

З6 О- Ь. «

9	О-.

*ооо° и

2400 §ц, У н

, о о

ооо 5 сц

65536 2

256

256

І5 $6
1280

V2
65536

316.

Когда нѣкоторые члены вЪ корнѣ бу-
дутЪ отрицательные , то по сему же

правилу найдетсяево квадратЪ, когда толь-«
ко на двойныя произведенія смотрБшь
будешь , какой каждому знакЪ принадле-
житъ. ТакЪ изЪ а—Ъ—С будетЪ квадратЪ

аа
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ 2о?
аа-^ЪЬ-Ѵ-сс—ч.аЪ-^ас-ѴіЬс; слѣдовательно
когда число 256 представится такимЪ
образомЪ 300—40—4 , ото будетЪ.

-4-90^00
ібсо	—24000

320	—2400

іб	—26400

4-рірзб

— 26400

•+-65536.

•вчЧЛЧРчЧЛ'Ок'Оі'Ок'Оі'Ок'Ок’вѵЧвЧ'ЛЧЛЧвЧ'Л'вѴ

ГЛ4ВЛ. ѴЦ

О извлеченіи квадратныхЪ корней вЪ со-
ставныхъ количествахъ.

317.

.Дабы сему дать здѣсь надежное правило,
то надлежитЪ намЪ взять вЪ подробное
разсужденіе квадратЪ изЪ корня а-\-Ь ,
которой есть аа-\-2 аЬ-\-ЬЬ , и искать >
какимЪ образомЪ изЪ даннаго квадрата
корень вывесть можно: кЪ чему слѣдую-
щія разсужденія потребны.

318?
208 о РАЗНЫХЪ РОДАХЪ изчисленія

318.

Воперьгыхѣ ежели квадратЪ аа
-Л-2.а.Ь~\-ЬЬ изѣ многихѣ членовѣ состо-
итъ, то за подлинно извѣстно , что ко-
рень имѣть долженЪ больше нежели одинЪ
членѣ , и естьли квадратѣ написанѣ
будетЪ такЪ , что степени одной буквы
какЪ а за всегда умаляются , то явно,
что первой членѣ будетЪ квадратѣ изѣ
перьваго члена корня , ка<Ь вЪ нашемЪ
теперь примѣрѣ первой членѣ есть ква-
дратѣ аа то явствуетѣ , что первой
корня членѣ долженѣ быть а,

З19.

Когда первой членѣ корня т. е. а
найдечѣ, то рассматривай остальные вѣ
Квадратѣ знаки , кои суть 2аЪ-\-ЬЬ дабы
дтидѣпіь, какимѣбы образомѣ оттуда вто-
рую корня часть , которая есть Ъ най-
ти можно было. Здѣсь примѢчаемѣ мы,
что остатокѣ ъаЬ-\-ЬЬ представ м нѣ
быть можетѣ чрезѣ произведеніе 2а-р Ь &
И когда сей осшашокЪ имѢсшѣ два мно-

жителя

*
Составныхъ количествъ.

жителя аа-\-Ь и Ъ , то послѣдней Ь най-
дется , ёжели остатокЪ 2-аЬ-^-ЬЬ на аа
раздѣлится.

320.

И такЪ для нахожденія второй кор-
ня части должно остатокЪ на га-\-Ь раз-
дѣлить , и частное будетЪ вторая кор-
ня часть. ВЪ семѣ дѣленіи чадлежитЪ
примѣчать, что га есть удвоенная най-
денная уже первая корня часть а А
Другой членЪ Ь хотя и не извѢстенЪ, и
его мѣсто порожнее должно оставить ;
Но понеже дѣленіе сдѣлать также можно,
ежели только на первой членѣ а смот-
рѣть будемЪ, а какЪ скоро частное най-
дется , которое здѣсь есть то оное
На порожнее мѣсто должно поставить и
дѣленіе совершать.

32 ч

Изчисленіе, вЪ которомЪ изЪ прежде
доказаннаго квадрата аа-\-^аЬ-{-ЬЬ корень
Находится , производится такимЬ обра-
ІомЪ.
2Ю О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
д«4- 2. аЬ-\~ЬЪ 4- Ь
аа_____________________і

2#4~Ь') ъаЬ-ѴЬЬ

' гаЬ-^-ЬЬ

522.

ТакимЪ образомЪ можно извлекать
квадратной корень и изЪ другихЪ соста-
вныхъ формулЪ , ежели оные будутЪ
только квадраты , какЪ изЪ слЪдующихЪ
примЪровЪ ВИДНО!

аа-\~баЬ-А-^Ъ^а-\-^Ъ ^аа^аЬ-^ЬЪ^га-Ь
аа	| ^аа

4аЪ-\-ЬЬ



9^4-24/74-16дд$ р-^д

Ш	I

<^4-4У^ +- 2 4/>^4-1 б^^

У-\-2 4рд^~ібдд

25ЛЯ-60Л4-36 С 5ЛГ-6

^5 хх |

ЮЛ
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВА 211

8 ОЛ"~бЛ-6о.2>-+~3 $

-бодЧ-З^

З^Ѣ

ЙжеЛй послѣ дѣленій останется еще
’ѳсЙіатокЪ , то зНачитЪ сіе, что корень
«остойшЪ больше нежели изЪ двухЪ чле-
новЪ , и тогда два найденные уже члена
вмѣстѣ за первую часть почитаются *
й изЪ остатка райНыйЬ образомЪ , какЪ
й прежде, слѣдующей корня членЪ нахО-*
дится , какЪ изЪ слѣдующихъ примѣровъ
явстйусгпЪ:

аа-А-ъ&Ъ —яаё—'хЬс-^-'ЪЪ-^-сс^а
аа ____________________і_

2.йЪ-КК~^Ы~Ѵ-ЬЬ -Ьа'

4-2^	~{-ЬЬ

ЙЛ-4-2&-Ѵ)- %(К~ 2І)С -і-ЛІ

=-^<7Г ~чЪс -+-Л‘

й*4-2«’-+- ^-р-2<2-+-X $1

±I

^аа~{-а \ 2а -+- заа

7 2д -4- аа
іа ? і ^Н-2аа-+- ча 4-1
/4-2а«!-4-2Д!-4-І

4	1

а I
іаа-іаЪУ-^а

-^Ъ-Л-^ааЬЬ

*і.аа~^аЪ-іЬЬ Х—^ааЪЪ-Ъ- ЪаУ* +4^*

. '	~^а.аЪЬ-\-ѣаЬ34-4^*

а*~ба!к+і$а4кк~2оа3’к3-\-і^ааЬ4'-6аЪі-{Ъ6 а’
с-------------------, -Заак-УЗакк—Ь* '

йа^-за'к'У-ба* Ь-+-і$а4ЬЪ

-~ба*Ъ 4- $а4ЪЪ

^.а*-6аЬ-\-заЪЬ\-\~6а4 ЪЪ-^^аЪ33-3^1 $ааЬ4

+-6а4ЬЬ-\^аЬ3 -^ааЬ*
йа-6ааЬ~{-баЪЬ-Ь3\ - 2а>Ъ3 4- бааЪ4-6аЬ5-$~Ъ

—2аЬ3-\-^ааЬ4~6аЪі~\-^

324..

ИзЪ сего правила слЪдуепЪ теперь
и то , которое вЪ ариѳметическихъ кни-
гахъ для извлеченія квадратнаго корня
преподается ? какЪ:

$
5 =9|23>

43)* 2 9
Л 2р

2304^48;

дА і

40 96(54

Л I

124^496

7 496

604 С98 }

1 I

15С4

1504

9

8

і 56I25С125

1___.1 I

44

245) 122$

1225

189*) 1880

Уі7Оі

17901

325.

концБ случится оста-

Ежели при

токЪ , то значитЪ сіе , что предложен-
ное число не квадратЪ ; слЪд: корня его
изЪявить не льзя. ВЪ такомЪ случаЪ
употребляется преждереченной коренной
ЗнакЪ, кошороЙ попереди формулы ста-
Н з	виш«я
вигнся , а самая формула включается вЪ
скобки. И такЪ корень изЪ аа-^ЬЬ озна-
чается чрезЪ У(да-+-Лсх) > а У(>—хх) до-
казываетъ квадратной корень изЪ і—хл\
На мѣсто сего кореннаго знака можно
употреблять ломацой показатель 1 ; та-
кимЪ образомЪ (аа+ЬВ)* будетЪ шакожде*
означать квадратной корень изЪ

ГЛЛВЛ ѵш.

О вычисленіи невдзлекомых’Ь чиселЪ.

326".

Есшьли двѣ или больше неизвлекомы^
формулы должно будетЪ сложить вЬ од-
ну сумму , цю чинится сіе, какЪ выше*
показано, ставя всѢ члены вмѣстѣ сЪ ихЪ
знаками ; при сокращеніи ихЪ шрдько,
примѣчать надлежитЪ 3 что вмѣсто Ѵа-
4-Ъа пишется , и что ѴЪ—У&
другЪ друга унячтожаютЪ , или дѣ-
лаютЪ. ничево. Слѣдовательно форму-
лы	ь-р-Уз сложенные вмѣстѣ

даютЪ
2

даюшЪ 44-2Ѵг или 44-ѴЗ ; также 5-4-
Ѵз и 4—^3 сложенныя вмѣси® дѢлаютЪ
9- 2Ѵ
суммѣ

327-

Вычитаніе не имѣетЪ также ни ма-
лой трудности : ибо вЪ немЪ перемѣ-
няются только знаки нижняго числа ,
которое вычитать должно вЪ против-
ные, какЪ изЪ слѣдующаго примѣра видно,
ИзЪ 4-Ѵ24-2Ѵ3-3Ѵ54-4Ѵ6 вычесть долж.

14-2Ѵ2-3Ѵ 5-5Ѵ5 46Ѵ6

3'ЗЪ24-5Ѵ 542^5-2X6

328,

При умноженіи примѣчать должно
только, что Vа умноженной на Vа даетЪ
а \ естьли же подЪ знакомЪ V будутЪ
стоять не одинакіе числа какЪ 1/а и Ѵ&,
то они вЪ произведеніи дадутЪ V аЬ\ по
чему слѣдующіе примѣры вычислены быть
могуціЬ ? какЪ:

Н 4

1
і+Уа

1+Ѵ2

1'2^- 2

І4-Ѵг

І4-2У24~2=34~2У2

4+2Ѵ2

2—У 2

8-і 4У2

-4^2-4

$29,

Сіе же самое имѣепіЬ мѣсто и при
невозможныхъ количествахъ какЪ, У—я
при чемЪ примѣчается, что У—а умно-’
женной на У—а вЪ произведеніи даетЪ
-сс. ЕстьлибЪ должно было искать кубЪ
числа — і-і-Ѵ—з, то учинится сіе, ког-
да дшнаго числа квадратЪ умножится
на то же данное число — 14-У— 3 какЪ.

-Ц-У-3

-І-І-У--3

4-і-У-З

-У-3-3

-2-2У— 5

4-24" 2 ^-5

-г/-з-2(-0

1-2.Ѵ-3-3=-2-2Ѵ—3 ,24-6=8

ЗЗО«
330.

При дѣленіи поставь только про-
сто дробь , которую потомЪ можно
превратить вЪ другую формулу , такЪ
что знаменатель будетЪ раціональной
(питегпз гаііопаііз) ; ибо когда знамена-
тель будешЪ «4-ѴЬ и дробь сЪ верху и сЬ
низу помножится на а—^Ь , то знаме-
натель произойдешь аа~~Ь , которой уже
кореннаго знака не имѢетЪ, напр: раздѣ-
ли 3Ц-2Ѵ2 на 1-4-Ѵ2, то будетЪ
помножь теперь сЪ верху и сЬ низу на
і —V 2 то получится на мѣсто числите-
ля	а мѣсто знаменателя.

3—|—2Т 2	І—|—Т 2

і	— Ѵг	і — Ѵ2

3	4- 2 V 2	І 4-У2~~

— 3Ѵ2—2.2	—Ѵ2-2

3-Ѵ2-4—-Уз—і; 1-2—-I

Слѣдовательно новая дробь будетЪ

; помножь еще вЪ верху и вЪ ни.
зу на—і и получится числитель-4-Ѵ24-г,
а знаменатель -Н1; но -4-V2-4-1 сгполь-
Н 5	кожѣ
кожЪ составляютъ какЪ и ибо Ѵа
4-1 умноженное на дѣлителя 14-Ѵа
какЪ;

і~+-Ѵ%

і-ь-Ѵа

14-Ѵ2

Ч~ 1/2-4-2

даетЪ 1421/2-4-2—3-4-2У2
і

Также 8—5І/2 раздѣленное на 3—гѴа
даетЬ ; умножь вЪ верху и вЪ
низу на 34-2Ѵ2 то получится числи-
тель	а знаменатель

8—5І/2	3-2У2

3 + 2Ѵ2	34-2 Ѵг

&4~ 151/2	9-6 Ѵз

Ч-ібѴг-ю.й -ь-6Ѵ 2—4.2,

244-1/2-20—4-ѴѴг ,9-8~ 5

Слѣдовательно частное будетЪ 44-Т/з.і
а повѣрка дѣлается такЪ:

4-4-1/2

3-2Ѵ2
12-Р-3У2

8У2-2.2______

і^Уя-д^НК

ЗЗЪ

ТакимЪ образомЪ могутЪ подобные
симЪ дроби превращены быть вЪ другіе 5
вЪ коихЪ знаменатели раціональные чи-
сла. ТакЪ дробь когда вЪ верху
и вЪ низу помножится на 5-2Ѵб пре-
вратится вЪ	Также дробь

превратится вЪ	?

И	! І_|_2у ,<Г

Ѵб—Ѵб	4	1	3

3322.

Когда знаменатель состоять будетЪ
изЪ многихЬ членовЪ , то подобнымъ
сему образомЪ исключаются изЬ него не-
извлскомыс числа , какЪ вЪ сей дроби
’’ умножь сперьва вЪ верху и вЪ
низу на Уіо-Ь-У24-Уз , то получится
, умножь еще вЪ верху и вЪ
Низу на 54-2У6 то произойдетъ 5У10
гі- і іУз-р-^У 34-2У60,

’	Глава
«•ч'лчл'лчлчл'йч’оѵчлѵл'е» чл чл чл »л.

ГЛЛЪА IX.

О кубахЪ и извлеченіи кубичныхЪ
корней.

333-

Для сысканія куба корня аЛ-Ь надле-
житъ квадратЪ его , которой есть аа
~\-2аЬ-\-ЬЪ , умножить еще на а-\-Ь , и
выдетЪ искомой кубЪ даннаго корня,
какЪ-.

йг—1}

а3^2ааЬ-\-аЫ)

ааЬ-~\-2аЬЬ~\-Ь*

а3- і- ^ааЬ-^~ 3 яЪЬ 4- Ъ3

Которой состоитЪ изЪ кубовЪ об1э*
ихЪ частей корня , и еще изЪ %ааЪ
-\-^аЬЬ ; что столько значитЪ какЪ $аЪ.
(а+ЬУ то есть-, утроенное произведеніе
сбЕихЪ частей на сумму ихЪ помноженное.

ЗИ
зи

И такЪ когда корень состоитЪ изЪ
ІдвухЪ частей, то по сему правилу кубЪ
|сго легко найдется. НапримЪрЪ : когда
{число 5 = 54-2 , то кубЪ онаго будетЪ
^2274-84-18.5=125.

Пусть будетЪ еще корень 74-3=10
то кубЪ онаго =^434-274-63.іо—юоо;
что бы найти кубЪ 36 , то положи 36
—304-6 и получится 270004-2164-19440
22:46656.

ЗН

Есть ли же обратно данЪ будетЪ
кубЪ а’-4- ^ааЬ 4- ^аЬЬА-Ь' и должно будетЪ
сыскать его корень , то примЪчай слЪ-
дующее:

ВопервыхЪ ежели кубЪ по степени
какой либо буквы надлежащимъ образомЪ
написанЪ будетЪ, то изЪ самаго перваго
члена а п< знается первой членЪ корня гг,
котораго кубЪ равенЪ оному , и когда
оной вычтется изЪ даннаго куба , то
останется $ааЬ-}- уіЪЪ-\-Ь*, изЪ чего над-
лежишЬ сыскать второй членЪ корня.

33&
356

Когда уже мы знаемЪ, чпіо сей бшО«
рой членЪ есть ~\-Ь , то должно смот-
рѣть только , какимЪ бы образомЪ его
изЪ вышепомянутаго остатка найти мож-
но было. Оной осшатокЪ можно иэЪявить
вЪ двухЪ множишеляхЪ , такЪ (ЗвН-З^
-\-Ьг) Ь , слѣдовательно когда остатокЪ
раздѣлится на заѣ-+-зп&-4-А2 , то полу-
чится искомой второй членЪ корня
*

53^

Ио когда второй членЪ корня ещ&
НамЪ не извѣстенЪ , то и дѣлитель бу-
детЪ также не вѣдомЪ? однако довольно
того , что мы первую часть сего дѣли-
теля имѢемЪ , то есть уіа, или утро-
енной квадратЪ первой уже найденной
чаСти корня > изЪ которой можно уже
Найти и вторую часть онаго ё, коимЪ
потомЪ дѣлитель помноженЪ быть дол-
женЪ прежде нежели дѣленіе совершится,
И для того надлежитЪ кЪ §аа приба-
вишь еще 5 ао । то есть тройное
про*
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ. 22 3

произведеніе первой части на вторую ,
и наконецЬ ЬЬ , какЪ квадратЪ второй
части корня.

338.

Пусть будетЪ данЪ напримЪрЪ
такой кубЪ :

аг4~1За-\-6 а 4- 4
5	!

а _______

4» 12^4-1611	8«4-€ц.

і$іад4-48#4~<54

Пусть будетЪ еще данЪ кубЪ :

«’-ба$4-і ^-2.са-\-і ^а2~6а^~і §аа-2а

а&,	С 4-і

да+-6а ^^аа\-6аі-\-і 5а*-ЬОа*
~6а5~^і 2а^-§а3

3а-1га 4-і5а ?3а4-ій.а15а— 6а-^і

-баН-1 Зл*-і 2а-\-15аг-6а-\~ і

339-

На СемЪ основано общее
Находить кубичные корни вЪ

правило
числахЪ»

КакЪ
224- О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ, ИЗЧИСЛЕНІЯ
КакЪ изЪ числа 2197 извлекается онЪ
шакЪ.

2і97|іо-4-3~В
ЮОО }

300 11197

99 ДЧ97

399

Пусть будетЪ дано еще кубичное
число 46656 , изЪ котораго надлежитъ
найти кубичной корень.

46656І504-6	15 625І 0,04-5

27000$	8 эо $

7^1 19«5в	>=«’7б25

54.0 г ѵ	зоо

19656

3276 і-----	’^5

тЛ Л ВЛ X.

О степеняхъ составныхъ чиселЪ»

ПослЪ квадратовЪ и кубовЪ слЪду-
юшЪ вышніе степени , которые сперьвА
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ 22«?
чрезЪ показателей , какЪ уже выше по-
казано изъявляется , включая только
данной корень, естьли онЪ не изЪ одного
знака состоитЪ, вЪ скобки; такЪ [а-^Ъ 8
значитЪ пятую степень а-\-Ь , (а—Ь*
шестую степень изЪ й—Ь ; а какимЪ об-
раэомЪ сіи степени рѣшатся , то пока-
зано будетЪ вЪ сей главѣ.

3«л.

пусть будетЪ й-\-Ь
корень или первая сте-
пень , то вышшіе степе-
НИ онаго найдутся по

4	---------- умноженію слѣдующимъ

і~^^обраЗОмЬ;

а

а -\~ъааЬ-\-аЬЪ
ааЪ-\- 2аЬЪ-\-Ъ*

а -±- §ааЪ-\-$аЪЬ-\-Ь*
а -\-Ь

л4Ч” ^аЪЛ-^аЪЪ-^-а})

а3Ь -^-^аЬЪ +

О
еаб о рАзныхѢ родахъ изчисленій ,

Л-ЬаЪ 4- 6агЬЬ -^аЪ* + Ь*
й -\-Ъ	___________

а5^-4д4^_}- 6а ЬЬ^г^-а Ь3-\-аЪ4
а^Ь-^г^аЬЬ-^ба Ъ +4^ -\~Ь

4- ^а*Ь-{~ і с>а*к>Ь~\-і оаг^-^^аЬ*+Ьв
а 4- Ь

ісЛ’Ч- юЛ’-^г^ааЬ4
^\~аЪ
ак-}- $ аЪ*-\-і о </^4-1 ыіЪ* 4-5 аѴ’
_________________________4- Ь6

{а-}-Ь)в~а9^-6аіІ>^~і5а4Ь2^-&®аі^^- І?аа^
аЪ	Чгба^-^-Ъ9

— I	— ІЦ» „,	~-	,,,	..	 -ІЬІ, „—	,	.—і”.,	,	1	—

а-]~6а6Ь -4-і 5й5/>2-4-204/Ь1 -4- і5
д3Ь^-^-бсГЬ* -{-а&в

-4- а*Ь 4- 6ааі>г 4- і 4- 20
Л*-4-1 ^а2Ъа-+-6аЬ6+1>г

(д4^У=«Ч-7Л4-*іЛЧ 35^Ѵ4 З5а3^*
4—2 іа2Ь 4~7оЪ6'4~

34-2.

ТакимЪ же точно образомЪ находят-
ся степени корня а—Ь , сЪ щою только

раз-
разностію что 2 рои 4 той б той и
протч:члены будѵтЪ имѣть знакЪ отри-
цательной , какЬ изЪ слѣдующаго при-
мѣра явст<уетЪ:

а-Ь

а-Ь

а2—аЬ

—аЬ-\--ЬЬ

(а-~Ь'у—а2—‘2.аЬ~\- ЬЬ
а—Ь

а3-~‘2.ааЬ-\~аЬЬ

— ааЬ-4~2аЬЬ-Ъ*

(а—Ь}*~а3-~зааЬ-+- ^аЬЬ-Ь3

а—Ъ

а^—^Ь-^^ааЬЬ аЬ*

—а2Ь-\~ ^ааЬЬ-^аЬ3-}-^

(в-ЬУ ~а*—4аЬ+6ааЬЬ-4<:Ж3-}~Ь*
а—Ь

а; - 4а*Ь+^а3ЬЬ-4огЬ3~і-аЬ^

—алЬ -4- 4<іЬЬ ~6а2Ь3 '4~4аЬ4~Ьі

О х
О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ’’

1 оа3ЬЬ-1 одя&3-4- <5 аЪ^—Ь5
а—Ь

а6— ^а5Ь-+-1оа*ЪЪ~іъа Р4-^а^-аЪ*
—а5Ь -4~5«+ ЪЬ— іод^’-т- хса'Ь4-- ч^аЬ1
4-^

(а—Ъ)6 — а5— 6а3Ь-\~ і $аЧ)Ь- 2оа3к34- і^сгЬ*
-баіу-х- Ьв
3+3-

ЗдѢсь спрашивается какимЪ бы обра-
зомЪ безЪ сего дѣйствительнаго счисле-
нія всѣ степени изЪ а-\~Ъ и а—Ь найти
можно было ? при чемЪ между протчимЪ
примѣчать надлежитЪ , что когда кто
вЪ состояніи сыскать всѣ степени изЪд

4-& , то изЪ того всѢ степени изЪ а
~-Ь сами найдутся, естьли только знаки
четныхЪ членовЪ , а имянно 2 го , 4 го,

6 го , 8 го и протч, перемѣнятся ; слѣ-
довательно здѣсь надобно только сы-
скать правило, по которому бы каждѵю
степень изЪ д4-^ , какЪ бы она велика
ни была , найти можно было , не имѣя
нужды вычислять всѢ предЪидущіе сте-
пени.	344,
34-4”

Когда вЪ найденныхЪ выше сего
етепеняхЪ числа при каждомЪ членЪ на-
ходящіеся и называемыя коэффиціенты. ,
прочь ошбросятся , то вЪ членахЪ
окажется изрядной порядокЪ. На самомЪ
первомЬ мЪсівЪ стоитЪ искомая сте-
пень изЬ а и во всЪхЪ слЪдующихЪ чле-
нахъ степень изЪ а всегда единицею
унижается , на противЪ того степени
изЪ Ъ всегда единицею возвышаются ,
такЪ что сумма указателей изЪ а и Ь равна
во всѢхЪ членахЪ. ТакЪ когда требуе-
тся ю тая степень изЪ Л-+-А, то члены
безЪ коеффиціентовЪ идутЪ такимЪ по-
ря лкомЬ :

Ъ'аЬ5>Ь'\

34о.

И такЪ надлежитъ только пока-
зать , какимЪ образомЪ надлежащіе кЪ
піѣмЪ членамЪ косффиціенты находить
должно, или на какіе числа каждой членЪ
помноженЪ быть долженствуешЪ. Что
касается до перваго члена, то коеффи-

° 3	иіенпіЬ
ціснпіЪ его всегда равенЪ единицѣ , а
втораго равенЪ всегда показателю самой
той степени , которая ищется; вЪ слѣ-
дующихъ членахЪ на противЪ того не
такЪ легко примѣтить можно порядокЪ,
коимЪ они идутЪ , между тѢмЪ когда
сіи коеффиціенты мало по малу про-
должать станешь далѣе , шо наконецЪ
можно будетЪ ихЪ легко продолжать
іиакЪ далеко, какЪ кто пожелаепіЪ : чтд
іпЬ слѣдующей таблицы видно,

Степ.

1. - - коеффиц- ? , х

И.	-	-	-	-	-	1,2,1

III.	-	_	-	-	..	I, 3, 3, I

IV.	-	-	-	-	-	X, 4, б, 4,	і

ѵ.	-	-	-	-	X,5, ІО, 10,5, I,

VI.	- - -	?,<*> 15,20,15, б, I,

VII.	- - - 1,7,21,35,3$, 2Х,7,х,

ѴШ. - -	х,8,28,55,70, $6, 28,8, і,

IX. - - Ь Х>, 16, 84, 125, і2б, 84, зб, 9, I
X.	Х,ХО,4^,120,210,252,210,120,45, 10,1.

ТакимЪ образомЪ десятая степень
изЪ а-\-Ь будетЪ.

л,оЧ-1 ъа9Ь Ч- 4508&!Ч~ < 2оа7#’4-± і оЛ*
4* 2 5	1 оа^б-і-1	і

Н-$Ів	34&
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ.

34.6.

При сихЪ коеффиці'ентахЪ прими-
нать надлсжитЪ , что сумма ихЪ вЪ ка-
ждой степени должна произвесть точную
степень 2 хЪ: ибо по ложи а~ і, Ъ~т каж-
дой членЪ, выключая коеффиціенты, ра-
венЪ бѵдетЪ 1 таѵЪ что однихЪ толь-
ко коеффиц'іентовЪ должно складывать
ВмЬсшЪ; почему іо тая степень
:гг2,о~ 1024.. Тоже самое разумѣется И
Р всБхЪ протчихЪ степрняхЪ , ці^кф ,

для первой степени будетЪ 14-1:42

для второй	І-4-2-+-І—4~28

— третей І-ЬЗ-Н-Ь1—8~
•-четвертой 14-44-64-44-х -іб

5той 14-54-104-104-54-1
~32-21

6 той і—। -6— х 54— 04—' 15
4-1 ~ б4-~2,5

7МОЙ 14-7-4.2x4-354-354-21

4Ь7+і—і2&~27 и прот.

О 4


34-7-

ВЪ разсужденіи сихЪ коеффиціентовЪ
еще примѣчать надлежитъ, что они огоЪ
начала до средины расшутЬ , а пошомЪ
тѣмЪ же порядкомъ уменьшаются. ВЪ
ч тныхЪ степеняхЪ самой большей коеф-
фиціентЬ стоитЬ вЪ срединѣ , а вЬ не-
четныхЪ два средніе самые большіе и
между собою равные.

Самой порядокЪ коеффиціенгповЪ на-
длежитъ обстоятельнѣе разсмотрѣть ,
дабы ихЪ для каждой степени находить
можно было , не имѣя нужды вЪ предЪ-
мдѵщихЪ. На сей конецЪ предложимъ здѣсь
правило , коего доказательство оставля*
емЪ до слѣдующей главы.

34-5.

Для сысканія коеффиціенгповЪ какой
ни будь данной степени, наприм. 7 мой ,
напиши по порядку слѣдующіе дроби
У Ъ? , гдѣ числители начинаются сЪ
показателя требуемой степени , а зна-
менатели идушЪ по порядку чиселЪ какЪ;
1,2,3,4 и протч. поелику первой коеф-
фипіеншЪ всегда равенЪ і , то первая
дробь даетЪ втораго коеффиціснгпа, пер-
вые двѣ дроби помноженные между собою
даютЪ третьяго , три первые умножен-
ные между собою 4 таго. и такЪ далѣе.

Слѣдовательно первой коефф. будетЪ
=гі, а рой з тей 21, 4 гпой~
=35 ; 5 той—И1?=35 , 6 шой~ 1444-
—2і,7 мой=Цфіф|— 7,8 мой—74—1.

349-

Слѣдовательно для второй степени
будутЪ сіи дроби |, 5, почему первой ко-
. ефф. — і,второй—2, третей — 2.	і.

Для третей степени будутЪ слѣду-
ющіе дроби ®,1,| и потому первой ко-
ефф. — і , второй — | = 3 , зтей ~®.1
~ 3, 4той 1.і— і.

Для четвертой степени будутЪ сіи
дроби	первой коефф. ~і , 2рой

— у —4,3 тей — 4, I — б , 4той —б. |
= 4 > 5 той = 4. ‘ _ і.

О $	3$о*
3?о.

Сіе правило подаетЪ намЪ ту спо*
собность , что предЪидущихЬ коеффицп-
енгповЪ знаггф не требуется , но для
каждой степени надлежащіе коеффицісН’
ты тотчасЪ найти можно. ІакЬ для
і о той степени пишутся сіи дроби 4, $,
з> ? Л Л, ?, Ь I, та оттуда получится і воід
коефф. — і, 2 рой — іо, 5 теЙ — іо.
45, 4-той “45=’- — іго, 5 той. 120.4.
“2іо, 6 той —2іоЛ — 252 , умой
— 252. 5 — 210 , §МОЙ — 210. у — 120 ,
9той “120.4—45, юцюй — 45. 13Ю,
іі той — ю. і’д зз і.

3?і.

Сіи дроби можно также просто вы-
писывать каковы они есть , не искавЪ
ЯхЪ точраго знаменованія , и такимЪ
«образомЪ не трудно будетЪ написать
Каждую степень изЪ (а^Ь) какЪ бы она
велика ни была. ТакЪ юотая степень
іов іеа
99аВі1Г I >00-99‘98да7Д* | »°°* 99-?8- юо. ру.

2	" ' ” I. 2- I.	*	!•	2. 3, + &	" • ’ і, я

и такЪ да-

з ♦. 5.	<• 2е ?• +• 5» о	7	Л

лВе ; изЪ чего порядокЪ слѣдующихъ
членовЪ каждой видЪріь можетЪ.

ГЛАВА XI.

О переложеніи буквѣ, на чемЪ доказатель-
ство прежде даннаго правила основано.

ЗР’

Естьли кто разсматривать станетЪ про-
изхожденіе цомянутыхЪ коеффиц’іентовЪ,
ціошЪ примѢшишЪ , что каждой членЪ
Столько разЪ тамЪ находится , сколько
разЪ буквы , изЪ которыхЪ оной состо-
итъ переложить можно ; какЪ во второй
степени членЪ аЪ находится два раза ,
потому что можно написать аЬ и Ьа 9
НапрогаивЪ того аа только однажды >
для того что вЪ порядкѣ буквѣ нЪтЪ
никакой перемѣны. При $тей степени
Членѣ ааЪ можетЪ написанЪ быть тремя


&3б О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
образами какЪ ааЬ , аЪа , Ьаа , и для
того коеффипіентЪ его также 3 : рав-
нымъ образомЪ вЪ четвертой степени
члснЪ а3Ь можетЪ переложенъ быть че-
гпырмя образами , какЪ аааЬ , ааЬа , аЬаа,
Ьааа , и для того коеффипіентЪ его есть
4-, члснЪ же ааЬЬ имЪетЪ коеффицтента
6, для того что членЪ ааЬЬ шесть разЪ
переложить можно какЬ ааЬЬ, аЬЬа, ЬЬаа,
ЬаЬа > аЬаЬ , ЬааЬ , то же самое наблю-
дать надлежитъ , при всЪхЪ протчихЪ
членахЪ степени.

ЗН-

усмошря вЪ самомЪ дБлЪ, что на-
прим. 4 тая степень каждаго корня, хотя
оней больше нежели изЪ двухЪ частей
состоитъ, какЪ (й-Р-^-р-г-Р-й?) найдется ,
когда слѣдующіе 4 множителя между со-
бою помножатся I. а-^-Ь-^с-^-іі , И. а~\~Ь
Н~с—р-4? , III. й-4—Ь-\-, IV. д-р'^Н-^
4-//. Здѣсь надлежитъ каждую букву пер-
ваго множителя каждою втораго , каждою
третьяго , и каждою четвертаго помно-
жишь , до чему каждой членЪ долженЪ

со-
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ.



состоять изЪ 4 хЪ буквѣ, и такое имѢпіь
при себѣ число, сколько разЪ онаго бук-
вы переставить можно , то есть симЪ
образомЪ коеффиціентЪ его опредѣлится.

3*4-

Здѣсь главное дѣло состоитЪ вЪ
томЪ, сколько разЪ какое ни будь число
буквѣ переложить можно > при чемЪ осо-
бливо смотрѣть надлежитъ , будутЪ ли
оные буквы одинаки или нѢгпЪ; ибо ког-
да они всѢ одинаки , то и переклады-
вать ихЪ не льзя , по которой притчинѣ
простые степени , какЪ	всѢ і

коефф. имѣютЪ.

ЗН-

ВозмемЪ теперь разные буквы на-
чавЪ сЪ двухЪ , какѣ то аЬ , гдѣ двѣ
только перемѣны имѣютЪ мѣсто, а имян-
но аЪ , Ьа.

Когда же будутЪ три буквы разные
какЪ аЬс , то видно , что каждая изЪ
нихЪ первое мѣсто имѣть можетЪ , а
двѣ протчіе два раза переложишь можно;

слѣд.
О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
слЪд. когда а сгпойтЪ напереди , тогда
будутЪ двЪ переставки аЬс , асЬ ; и
столько же переставокЪ будетЪ когда Ь,
на первомЬ мЪстЬ положится, какЪ Ьас,
Ъса-.ѵ. напослЪдокЪ гюложивЬ сЪ начала с
получатся послЪдніе двЪ переставки какЪ
саЬ , сЬа ; и такЪ всЪхЪ переложеній
шрехЪ буквЪ сумма будетЪ 5.2—6.

Когда же будутЪ 4 буквы аЬссЦ то-
гда каждая можетЪ стоять на первомЪ
мВсгпЪ, и вЪ каждой разЪ $ протчіе бук*
вы даютЪ 6 перемЪнЪ , слЪдовательно
число всВхЪ переложеній будетЪ 4.6—24
—1.2.3.4 или 4.5.2.1.

А ежели дано будетЪ 5 буквЪ аЬссІе^
Піо равнымЪ образомЪ какЪ и прежде ка-
ждая изЪ нихЪ первое мЪсто занимать
можетЪ , и вЬ каждомЪ случаЪ протчіе
4 могутЪ переложены быть 24 раза ,
чего ради число всЪхЪ переложеній бу-
детЪ 5.24—1 20—5.4.3 2.1.

3’6.

КакЪ бы велико число буквЪ ни
было, только ссшьли всВ они не одина-
ки
^ОС^АВЙЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ. 2^

Кгі , число всѢхЪ переложеній весьма легко
опредѣлить можно, какЪ иэЪ слѣдующей
таблицы явствуешѣг

<кс. еук.

у „ числа переложеній і ।

И. ----- І. I — 2
Ш.	-	-	-	-	3- 2.	I	=	6

IV.	-	-	-	-	4-.	3- 2.	I	—	24

V.	-	-	-	4.	3. а.	I	Г_	120

Ѵі.	-	-	6.	5	4.	з 2.	і	п	720

ѴИ.	-	-	6.	5. 4. з. 2. і — 5040

VIII.	-	8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. і — 40320

IX.	9.	8’ 7- б. 5. 4. 3. 2. і - 362880

X.	10.9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. і — 3628800

ЗТ7.

 Но надлежитЪ примѣчать , что
найденныя числа тогда только справед-
ливы , когда данные буквы не одинаки.
Ибо когда 2 или больше изЪ нихЪ бу-
дугпЪ одинаки , то число переложеній
гораздо уменьшится ; а естьли они всЪ
будутЪ одинаки , то и перемѣны ника-
кой не имѣется. ІЪ^смотримЪ какЪ пс»
числу
24-0 О РАЗНЫХЪ РОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
числу гпакихѣ одинакихѣ буквѣ уменьшаю-
тся помянутыя числа переложеній.

3?8.

Ежели будутЪ двѣ буквы одинаки,
то двѣ перемѣны за одну щиіпать дол-
жно , и для того выше найденное число
вЪ половину уменьшится, или на 2 раз-
дѣлится. Когда же 3 буквы одинаки ,
то 6 переложеній іцитаются за одну ,
и для того помянутое число на 6 ~ 3.
2. і раздѣлится. равнымЪ образомЪ
естьли будутЪ 4 буквы одинакіе , то
прежнее число переложеній раздѣлить
должно на 24^ =24.	2. і,и такЪ далѣе.

По сему опредѣлить можно , сколь-
ко разѣ буквы аааЪЪс переложить можно.
Число ихѣ всѢхЪ есть 6 , и естьли бы
они всѢ были разные, то бы число пере-
мѣнѣ было 6 5 4.3 2 і ; но поелику вЪ
немЪ а находится 3 раза, то раздѣлишь
сго должно на 5.2.1, и притомѣ Ь так-
же 2 раза попадается , то оное же чи-
сло раздѣлить надобно еще на 2.і слѢд.
число переложеній будетЪ ^—.^5.4.5-60,
Отсюда можемЪ мы коеффиціентьі
Каждаго члена , и для Каждой степени ,
опредѣлишь безЪ ш^уда 1 что мы напр*
для 7 мой степени покажемЪ. Здѣсь
первой членЪ есть а7, которой только на
і помноженЪ, и когда во всѣхЪ протчихЪ
члснахЪ 7 буквЪ находится , то чи*
сло всѣхЪ переложеній было бы 7.6 5.4»
3.2.1, естьли бы они всѢ были разные $
но понеже во втооомЪ членѣ а р 6 оди-
накихЪ буквЪ находится , то оное число
должно раздѣлить на 6.5.43.2.1 откуда
произойдетъ коеффиціснтЪ его ^7^~~22^
. --7 *

ВЪ трешьемЪ членѣ а5ЬЬ а находится
5 разѣ аб два раза , для того оное чи-
сло должно раздѣлить , на 54.3.2.1 и
еще на 2. г; по чему искомой коеффиці»
ентЪ будетѣ	7<б.

> і ♦2, х I «2

ВЪ четвертомъ членѣ а'Ь* а находити-
ся 4 раза , а Ь 3 раза , и такЪ помяну-»
шое число раздѣлить должно на 4 3.2.1,

П	и
и на з-2.і , отсюда искомой коеффиці-
еншЪ—^л4^ —7—^.

4*3*2«І.$«2*І	!• 2*5

равнымЪ образовъ 5 таго члена а3Ъ*
коеффиціентЪ	и такЪ

далѣе • и симЪ вышепоказанное правило
доказывается.

360.

Сіи разсужденія ведутЪ насЪ еЩй
далѣе и показываютЪ какимЪ образомЪ
надлежитъ находить всѢ степени и та-
кихЪ корней , которые больше нежели
изЪ двухЪ частей сосшояшЪ. Сіе изЪя-
снимЪ мы іпрешьею степенью с}*,
гдѣ всѣ возможныя переложенія трехЪ
буквѣ, такЪ какЪ члены находиться дол-
жны , и каждой членѣ коеффиціенгповЪ
своихЬ имѣть будетЪ : слѣдовательно
третья искомая степень есть а*-\-$ааЪ
4- з яас 4- з аЬЬ-\- баЬс^з асс-\- Ъ 3 ЪЬс-%- 3 Ъсс
-4-г’. ПоложнмЪ й~і	и будетЪ

кубѣ 14-і -4-і, то есть,	14-34-34- І

4-^4-34-14-34-3-4-1-27; естьли же по-
лож ится
ложится	—— і то будетЪ кубЪ

йзЪ іц-і—і то есть, изЪ і—1-4-3—3~і"$
'•~64-зН“і—

ГЛАВА XII.

О разрѣшеніи неизвлекомыхЪ степеней
на безконечные ряды.

361.

Мы уже показали , какимЪ образомЪ
изЪ корня а -р- Ъ всякую степень на-
ходить должно, сколь бы великЪ показа-
тель ни былЪ , то можемЪ теперь изъ-
явить вообще степень изЪ а ~{-Ь , хотя
показатель будетЪ неопредѣленное чи-
сло , и изображенное буквою я.

ТакЪ по предписанному выше сего
Правилу найдется

2-	-!• +	»-2»3«+>5

и такЪ далЪе»

П л	36а
362.

Есшьли бы мы захотѣли имѣть
такую же степень корня а-Ь , то на-
длежало бы только перемѣнить знаки
2 го , 4 гпаго , б го , 8 20 и протч; чле-
новЪ вЪ противные , откуду получится.

Х 7	I. .2	І4 2. 3

і	П-*^+__п(п~^П^)(п-з](п-4.) ^П-5^5

1-2.3.4 &	1-2.3.4.5

363.

Ой формулы служатЪ намЪ для
мзЪявленія всякихЪ родовЪ корней : пбо
когда уже мы показали какимЪ образомЪ
корни вЪ ломаныхЪ показателяхъ изЬяви-
ться могутЪ, какЪ а? > ‘^а~а*
и такЪ далѣе , то будетЪ также

“(уЧ-А)* и такЪ далѣе. Слѣдовательно
чтобы найти квадратной корень изЪ
(а-\-Ь} поставь вЪ первой общей формулѣ
мѣсто показателя я , $ , откуду коеф-
фиціенты произойдутъ такіе:

п-I

а-*—3 >
СОСТАВНЫХЪ КОЛИЧЕСТВЪ. 245

„ .	I И-3 _	3	П-3	5	

’ V-"’ ^7-0 5

—_ ?	а попюмЪ ап-а^- Ѵа-3 и ап“’.

—	10}	6 —	»»>

-.7 , ап'г~^-а ,	= и протч. Сіи сте-

пени числа а можно изобразить и такЪ
ап—уа а*-'^ап~- , ап~2—^у=:^ , ап~*
а — V а 9 <*	— а ?	а аа ’

а.	и

__а —±а аті—+—г±_—и гпакЪ далѣе.

’——о3’"	—’я* й*

364..

По сему квадратной корень изЪ
(а-Т^) изобразится такЪ.

и протч.

36?.

Ежели а будетЪ квадратное число»
то 'Ѵа опредѣлить можно , а квадрат-
ной корень изЪ {а~\~Ь} безЪ кореннаго
Знака безконечнымъ рядомЬ чиселЬ изЪ-
явиться можетЪ.

ТакЪ когда а^сс то Ѵа~с и будетЪ
г^-і-твЦ— ,<4*' и протч.

П з	СимЪ
СимЪ образомЪ изЪ каждаго числа мо-
жно извлекать квадратной корень , по-
тому что каждое число раздѣлить мо-
жно на двѣ части изЪ одной будетЪ ква-
дратЪ , которой Здѣсь изЪявляетЪ №.
Ежели должно будетЪ наприм : извлечь
квадратной корень изЪ 6 , то положи
б—4~р-2, и тогда будетЪ сс~% , Ъ—ѣ #
того ради	и протч.

и когда изЪ сего ряда возмутся только
два первыя члена , то произойдетъ <?!

коего квадратЪ V 4 тыо только боль-
ше нежели б; взявЪ три первые члена по-
лучится 2. п—п, коего квадратЪ ТДѴЭ
меньше нежели б.

366.

Когда вЪ томЪ же примѣрѣ ~ уже
весьма близко кЪ правдѣ подходяшЪ, то
можно положишь

4 ПО чему сс~^ ,

по которымЪ вычисля два первые члена

1
I 4^—Т I 5 Д
а’Т—’-І	а,хЗ'***л

5

выдешЪ Уб~й-Н>~4—і

4

— 4-9

*—ЙЭ
котораго числа квадратЪ толь-
ко тою частью больше нежели 6.

ПоложимЪ теперь	_’3г то бу-
детЪ и	откуда взявЪ паки

только два первые члена будетЪ Ѵ6=:Ц

400.___49_І	.-49

—	,—- 20	2* 49 ~ 20

2 О	2^

1 __4801

Ірбе—

коего квад-

радЪ	і а понеже	то по-

грѣшность будетЪ не болЪе какЪ

часть.

3&7-

равнымЪ образомЪ изобразить мож-
но и кубичной корень безконечнымъ ря-
домЪі ибо когда	~	> то вЪ

общей нашей формулѣ будетЪ п~3 ; чего
ради коеффиціеншы будутЪ слѣдующіе :
П—?	П Т —_І П—2 п 3 —П + - __ІХ тя

1-3	— - з,— 	3 5 5 — Н М

протч.; а для степени изЪ а , ап^а ,
3	з	3

ап~,—‘^- , ап~2~, ап—'3—и протч.
откуду получится

Ѵа-р-і 5^Ѵ«-і~г^3Ѵл
з	а~ "''а3'	"й*

— ~і^Ѵа и протч.
в* п 4
368.

И такЪ ежели а будетЪ кубЪ, то
есть а~с* , то , и для сей при-
чины пропадутЪ всѣ коренные знаки , и
ВыдешЬ	1\~с+з ~і — д +" ®і р» ~ зЪ с1» й

Протч,

5 5р.

Помощію сей формулы можно те-
перь изЪ всякаго числа извлекать корень
кѵбичнол чрезЪ приближеніе , потому
чцю кагдое число можетЪ раздѣлишься
на двѣ части , какЪ с -Ь Ъ , изЪ коихЪ
первая есть кубЪ.

ТакЪ когдЛ надобно будетЪ найти
кубичной корень двухЪ , то положи а
і 4- I, и будетЪ с ~ і 3 Ь -1 } слѢдова-
іпельно

5-Ні и протч. иаЬ коихЬ
первые два члена даютЪ і~ , коего кубЪ
аі прсвозходитЪ ми частями число 2 8
И для того положи і	шо есть ,

и Ь~~5| того ради
~тг~ и протчая. Сіи
’	9

два члена |коего кубЪ

>

но понеже 2— слѣдователь-
но погрѣшность — ?^72Ъ частямЪ, и та-
ки мЪ сбразомЬможно есшьли кто похочетЪ
подходишь кЪ точному корню часЪ ошЪ
часу ближе , особливо когда возмется
больше членовЪ.

г А А В А XIII. •

О разрѣшеніи отрицательныхъ степеней.

370.

Выше сего показано было , что | мо-
жешЪ и зЪ я виться чрезЪ а"1, и для того
также чрезЪ («-}- Ь)~1 , такЪ что
дробь почесться можетЪ за степень
ИзЪ а-\-Ь , которой показатель есть —1>
П 5	почему
2$о О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ

почему вышснайденной рядЪ для (п4-&у
Заключаетъ вЬ себЬ и сей случай.

371.

Когда-А & то же что и
йю положи вЬ прежней формулѣ	х

коеффиціенты будутЪ ?~~і ,	ц

і 2=2.-= — і 2=2 ~ - і и потбмЪ
3	’	4	’	5	’

для степени числа а , ап~а~' ;=* » «п~'
—а~2^ ; ап~2~агг^-^ ; ап~3	и

такЪ далѣе , чего ради получимЪ мы
(а 4-^4-	4-|$ и пр. что

даешЪ намЪ самой тоіпЪ же рядЪ , кото
рой выше сего найденЪ былЪ по дѣленію.

372.

Когда -1—, ню же , что и {а 4-^)~\
то можно также разрѣшишь и сію фор-
мулу вЪ безконечной рядѣ.

Положи сперва «——2 коеффиціенты

будутЪ ? =- 2 , Ь=І ~5 .	=-{ ,!=»

л =— | и прошч-і а степени изЪ а, ап
а
И—I — *	-Ч——2 -X	~	/І^*-*”* -—— I

#	а? * &	-—а* > &	‘—'а® і	"—а® >

И протч. откуда произойдешь

/ „ . д\-« — *	— «__? 4_±_? і _2 * ♦.

(Д-І— V) —	я1 >’в5 I 2 а* ••«•?

^-Н-144 й и протч.; но ? =2 , М — 3 >
Н-з"4« Г-М4—5 и протч. будетЪ
__1_ —і, _ 2\ Ч- ?- - 4- Ч- 5-« - б6^ 1~
{а-і.Ь)г—аг *" й*	Н5 * ^й® а- ' ‘ о8

и протч.

373-

Естьли мы еще положимЪ п — - 3 ,
то получимЪ рядЪ мЪсто (я-і-Ь)"-3 то
есть, мѣсто , вЬ которомЬ коеффи-
Ціенгаы будутЪ |

, и протчая ; а степени изЪ чи-
сла а будетЪ ап , а”'1 —’ч , ап~2 ~ й-5,
вп~3~^ , дп~~4~й7 и протч. иаЪ сего по-
лучимЪ МЫ —— г_—8 ________± Ь1 —! + 1ЪІ и

протч. ^-“З^-Ьб^-іо^Ч-55^
и протч. положивЪ еще п ~ — 4 і
коеффиціенты будутЪ 4>

®-ч — гД , "=1—-^ и протч. Степени же
изЪ
^2 О РАЗНЫХЪ рОДАХЪ ИЗЧИСЛЕНІЯ
йзЪ а, ап—~,	а*"*—и протч.

откуда найдется	-414

1^444.‘4|Н4.Н;^ и пРот'<- =^~*^
Н-іо|-2о^^3^5-5^4-84--> и протч.

374-

'Отсюда смѣло заключить мы мо-
жемЪ , что каждая такая отрицатель-
ная степень вообще будетЪ

।	і т Ъ	। лі(тп-4-і; Ь2

(а^Ь}т "~ап і йта'+"1	1.2 ат~^г і.2.

би-ч-.) V3___ т(т-і-і)(тг>-^-г'І'тц-з') Ъ*

3 й’”-+'г і. 2.3. 4.	ат+4' и протч.

’ изЪ которой формулы всѢ сіи дроби вЬ
безконечной рядѣ обратятся; здѣсь мѢспкь
9» можно брать также и дроби , чтобы
изобразить неизвлекомыя формулы.

37?.

КЪ большей ясности присовокупимъ
еще сіе: когда мы Нашли что

4“1?~|гН“|г и гаакЪ безконечно, то по-

множимЬ
множимЬ сей рядЪ на а-]-Ь , ибо тогда
вЪ произведеній должно вытти і умно-
женіе сіе дѣлается такЪ:

и протч.

« дз і а3 а* * 1 д5	Г

_______________

і—	Ц. и протч.

х а 1 ая а3 а* а5	Г

.6 Ъ* <Ъ*	м ппптч

“+"« а3 2* Ьа5 и ПрОтЧ.

произведеніе ггі , какЪ непремѣнно слѣ-
довать должно.

37б.

Мы еще нашли что —2”Л—хг
(а-Ь^у а а

1	і 5&^ бЬ$	-	_

Н-а*- -Ътт“'«г и протч. , то есть-
ли сей рядЪ умножится на (а+^)2 , вЪ
произведеніи должна также вышши еди-
ница? и поелику (а+^у—а2-^~ 2^-Н А2, то
умноженіе здѣлается такЪ:

Л-^|-4-34-?;н-^~баг и протч,
аа а3 а* а* а*5 а' а

«а4-2а^-+-^

 2& ,	и протч,

•	а1 й* 1 й4 «’	А	-

Н	.25

*"Г*

* (3
« протч,
и протч.

Произведеніе і , какЪ самое свойство
вещи требуетЪ.

37Т

Ежелй бы мѣсто г-^-г^ Найденной
рядЪ должно было помножить только на
а-\-Ь, то надлежало бы витти вЪ произ-
веденіи или найденному прежде ря-
ду мѣсто сей дроби

и протч. что также подтверждаетъ слѣ-
дующее умноженіе

аа а3 * аа+ *а5 • /а$ а?
а~\-Ь

и протч.

и протч.

и протч.

а а2 * а" а* а3 о® Г

КонецЪ второй части, о равныхЪ изчисле-
нія способахъ составныхъ количествъ.

ЧАСТЬ
I у^->|э< ?н*-	I

ЧАСТЬ ТРЕТІЯ,
о содержаніи и пропорціи,

Ч>\ ѵгч Чэ\ >С\ Ч5Ч \С\ Ч=\ Ч5К Ч5Ч Хвк ЧР\ '«ч	ЧЧ Ч5\ Ѵ>1 \О\

ГЛЛВЛ I.

О содержаніи ариѳметическомъ или раз-
ностяхъ двухЪ чиселЪ.

37§.

Два количества бываютЪ между собою
равньі или не равны. ВЪ посл'ЬднемЪ
случаЪ одно количество будетЪ больше ,
а другое меньше ; о неравенствѣ ихЪ
спрашивать можно двоякимЪ образомЪ :
иногда спрашивается , чЪмЪ одно число
больше другаго ? а иногда во сколько
разЪ одно больше другаго ? оба сіи опре-
дѣленія соде/)хсанге^нЪ называются , пер-
вое
20 О СОДЕрЖАШИ АРИѲМЕТИЧЕСКОМЪ
вое называется ари^ДістичесхимЪ содер-
жаніемъ , а другое геоліетгричесх-идіЪ. На*
именованія сіи не имѢютЪ никакого со-
общества сЪ самою вещью , но вве-
дены только по одному произволенію.

379-

Здѣсь само чрезЪ себя разумѣется,
что количества , которыя между собою
сносятся , должны быть одинакаго роду,
впроіпчемЪ не можно бы было ничего
сказать о ихЪ равенствѣ или неравен-
ствѣ Весьма бы чудно было > естьли бы
кшо спросилЪ наприм. 2 фунта и 3 лок-
тя равны ли или не равны между собою!
По сей причинѣ Здѣсь говорится вездѣ о
величинахъ одного роду , и поелику ихЪ
числами означать можно , то какЪ уже
и прежде упомянуто было, разсѵждается
здѣсь обЪ однихЪ только числахЬ.

380.

Когда будетЪ спрашиваться о двухЪ
числахЬ , чѢмЪ одно изЪ нихЪ больше
другаго , то чрезЪ сей вопросѣ опредѣ-
лится
И Пропорцій 2?7

Лигпся ариѳметическое содержаніе ; а учи-
нится сіе , когда возмется раз-
ность между обоими числами •. слѢдов.
ариѳметическое содержаніе , ничч о иное
есть, какЪ разность между двумя числами;
Которое послѣднее слово ( разность ) сЪ
большою пристойностію вЪ семЪ случаѣ
употребляется , такЪ , что слово со-
держаніе, при такЪ называемомъ гео^е-т-
у>иѵесхолй> содержаніи > только удержи-
вается.

38 г.

Пойеже разность между двумй
слами находится , когда меньшее числй
изЬ большаго вычтется , то симЪ обра-
зомЪ разрѣшится вопросЪ , чѢмЪ однд
число- больше другаго И. иіакЪ когда обі
числа равны будутЪ между собою •, то
різность ихЪ равна нулю, нежели спро-
сится, чѢмЪ одно число болнпе другаго?
піо отвѣчать надлѢжишЪ: ни чѢмЪ. Напр,
2 3 ; то разность между 6 и 2-3
есть ну ль;

р

3 8&
2^8

О СОДЕРЖАНІИ

382.

Естьли же оба числа будутЪ не
равны, какЪ 5 и 3 , а притомЪ спраши-
вается ч'БмЪ $ больше ЗхЪ ; отвЪтЪ;
2 мя, которое число найдется , ежели
изЪ 5 вычшется $ ; равнымЪ образомЪ
і<; 5тью больше нежели ю , а 20 8ю
больше іати.

38 3-

И такЪ эдЪсь входятЪ вЪ разсужденіе
слЪд. вещи; (і, большее число; (г, меньшее
и напослЪдок'Ь вЪ 3 тьихЪ разность, ко-
торые всЪ такое сопряженіе между со-
бою имЬюгпЪ , что ежели двЪ изЪ оныхЪ
даны будутЪ , то всегда найти можно
третью. Пусть будетЪ большее число
—а. , меньшее , разность <1, то раз-
ность 4 найдется, ежели меньшее число
изЪ большаго вычтется какЪ Д а — Ь ,
откуда видно какЪ изЪ даныыхЪ а и Ь
«находить (I-

384..

Когда же даны будутЪ меньшее чи»
сло Ъ и разность Д, шо изЬ нихЪ боль-
шее
и пропорціи 2?9
шее найдется , когда кЪ меньшему при-
дается разность > то есть, 0“^+^; ибо
ежели изЪ Ъ-\~ сі вычтется меньшее число
Ъ, то останется разность ПоложимЪ
меньшее число іг и разность 8 , то
большее будетЪ ~ го.

38?.

А когда даны будутЪ большое чи-
сло а, и разность (I, то меньшее най-
дется , когда разность вычтется изЪ
большаго ? по чему	Ибо когда

я число вычту изЪ большаго а, то
останется 4 данная разность.

3§б.

ИзЪ соединеній сихЪ трехЪ чиселЪ,
выходятЪ з опредѣленія іе сІ~а—Ь , ге,
5?е Ь~а—а , и естьли изЪ сихЪ
трехЪ уравненій, хотя одно которое ни*
будь справедливо, то и всЪ протчія не-
премѣнно Справедливы ; слЪд*. когда вооб-
ще г—л-р-у , то будетЪ не премЪнно

Р а	з87-
збо О СОДЕРЖАНІИ

. З8?-

При такомЪ ариѳметическомъ Со-
держаніи надлежитъ примѣчать , Что
когда кЪ обоимЪ числамЪ апЬ какое ни-
будь число по произволенію с придано
или изЪ нихЪ вычтено будетЪ, разность
ихЪ не перемѣняется. Слѣдовательно ко-
гда й есть разность между аілЬ, то та'
же самая разность будетЪ между а-Ѵс и
Ъ~\~с или между а-~с и Ь-с наприм. меж-
ду числами 20 и 12 разность есть § ,
то разность сія не перемѣнится естьли
кЪ зо и 12 одно число придается или
изЪ нихЪ вычтется.

Доказательство сему очевидно: ибо
когда а~-Ь"(іу то будетЪ также (а-р-г)
—и (а—с)-~

389.

Когда оба числа а и Ь удвоятся г
то и разность между ими вЪ двое боль-
ше будетЪ. ТакЪ когда а—Ъ^Д. , то ьа

—гЬ
и пропорціи 2бі
и вообще па—пЬ—пй у какое бы
число мѣсто п взято ни было.

ТЛВЛ И,

ОбЪ ариѳметической пропорціи.

390.

Естьли два ариѳметическія содержанія
равны будутЪ между собою , то равен-
ство сіе между ими называется лролор-
цгя арм&ліетичес.кая.

ТакЪ когда <7- Ъ—сі и р—^~(1 , то
есть разность чиселЪ1 р ѵі у равна раз-
ности чиселЪ а и Ь , то сіи 4, числа
дѣлаютЪ пропорцію ариѳметическую и
пишутся а-Ь^р—^ , чрезЪ что ясно по-
казывается , что разность между а и Ь
столь же велика какЪ, между р и

391-

По сему ариѳметическая пропорція
состоитЪ изЪ 4. хЪ членовЪ, такого со-
стоянія , что ежели второй членЪ вы-

Р 3	чшешея
2б2 О СОДЕРЖАНІИ

чтется изЪ перваго, вЪ остаткѣ тому* же
числу вытти должно, какое когда четвер-
той вычтется изЪ третьяго. Числа 12, 7,
9 і 4 лЬлаюшЪ ариѳметическую пропор-
цію , потому что 12—722:9—4.

392,

ВЪ каждой ариѳметической пропор-
ціи какЪ а—Ьг^р-д естьли второй и тре-
тей члены персставятся , то будетЪ
также а~р~Ь-ір ибо когда а-Ь—р-ц, то
придай сЪ обБихЬ спюронЬ и будетЪ
а~р—д-\-Ь , потбмЪ вычти сЪ обЪихЪ
сторонЪ р} то будетЪ а—Ь~Ь-”^ піакЬ
когда 12-7—9—4, то будешЬ такожде 12
—Р-7“4>

3?ъ

Ш> каждой ариѳметической пропор-
ціи можно доставить второй членЪ мѣ-
сто перваго, а 4 той мѣсто третьяго,
и тогда будетЪ Ь -а~ц—р. Ибо Ь а есть
отрицательное вЪ разсужденіи а—Ь> рав-
нымЬ образомЪ д—р отрицательное вЪ
разсужденіи р-^. ТакЪ когда 12—7—9-4,
то будетЪ также 7-12:24 9.
и пропорцыіи 263

394-

БЪ каждой ариѳметической пропор-
ціи особливо примѣчать надлежитЪ, что
сумма втораго и третьяго члейа, всегда
равна суммѣ перваго и четвертаго, что
выговорить можно и такЪ сумма край-
нихъ членовЪ равна суммѣ среднихЪ.
ТакЪ когда 12-7—9-4, то будетЪ 124-4
—74-9 : ибо каждая сумма—16.

395.

Для Доказательства сего важнаго
свойства ариѳметической пропорціи, пусть
бгѵтЪ а-Ь~р-ц: придай сЪ обѢихЪ сто-
ронѣ	гпо получится я-]-?—,

то есть, сумма перваго и чепшертого ра-
вна суммѣ втораго и третьяго члена.
рдьнымЬ образомЪ , когда 4 числа а,Ьдрд
будуніЬ такого состоянія , что сумма
втораго и третьяго равна суммѣ перва-
го и четвертаго , пі. е. I -\-р—а-}-д , то
сіи числа безЪ сомнѣнія будутЪ вЪ про-
порціи ариѳметической , то есть, а-"Ь~р
—д , ибо когда а~\~д~Ь~\~р } то вычти

Р 4	сЪ
2б4- о СОДЕРЖАНІИ

сй обЪихЪ сторонЪ Ь-Ь-д и произойдетъ
а-Ь~р-д.

Когда числа 18,13,15,10 суть тако,
го состоянія , что сумма среднихЪ 13
4-15=28 равна суммЪ крайнихъ 184-10
= 28 , то составятъ сни пропорцію,
ариѳметическую, слЪдов. 18 — 13=15-10.

ЗЛ

ИзЪ сего свойства пропорціи мож-
но легко разрЪшить слЪдѵюд]еи вопросЬ
ея ели какой нибігдь ариѳметической про-
порціи даны будутЬ ш^и первыя члена ,
то ка^Ь нійши четвертой Пусть первыя
3 члена будутЪ а,Ь.р , а мЪсто четвер-
таго искомаго напи пи , то полупит-
ся а-\- ц^Ь-'гр , вычти сЪ обБихЬ сшо-
р >нЬ а и произойдетъ д~— Ь—\—р—по се
мѵ четвертой членЪ находится , когда
изЪ суммы втораго и третьяго вычтешь
первой. Положи наприм. 1928,15 три
первыя члена, то сумма втораго и тре-
тьяго — 41 изЪ нея вычтя первой 19
останется 22 вели тна четвертаго иско-

маго
и пропорціи йбу
наго члена, и пропорція ариѳметическая
будетЪ 19—28 — 13-22 или 28-19—22-13,
или 28—22—19-13.

39^

Когда вЪ ариѳметической пропор-
ціи второй членЪ равенЪ будетЪ треть-
ему , то оставшіяся 5 числа суть тако-
го состоянія , что ежели и"Ъ перваго
вычтешь второй , остатки равны бу-
дутЪ, ежели изЪ втораго вычтешь тре-
тей , или разность между первымЪ и
вшорымЪ , равна будетЪ разности меж-
ду вторымЪ и трегпьимЪ. Такія три
числа, суть 19,15,11» ибо 19-15-15-11.

398.

Такія три числа идутЪ вЪ ариѳме-
тической прогрессіи , которая или ро-
рігешЪ , ежели второй членЪ столько
больше перваго , чѢмЪ третей превыша-
етъ второй , какЪ вЪ семЪ примЪрѢ: 4,
7» ю , или упадаетЪ , когда числа рав-
номѣрно уменьшаются какЪ 9,5,і.
266 О СОДЕРЖАНІИ

399-	„

Пусть числа «Дг будутЪ вЪ ариѳ-
метической прогрессіи, то должно быть
а-Ь~Ь-с , откуда по равенству крайнихЪ
и среднихЪ членовЪ слЪдѵетЪ 2^~а-\-С ,
и когда сЪ обЪихЪ сіпоронЪ отнимется
а , то получится

400.

И такЪ когда какой нибудь ариѳ-
метической прогрессіи даны будутЪ два
первыя члена а и Ь , шо найдется изЪ
нихЪ третей , ежели изЪ удвоеннаго
втораго члена вычгпется первой. Пусть
будутЪ і и з два первыя члена ариѳме-
тической прогрессіи , то третей членЪ
равенЪ будетЪ 2.3 —и изЪ чиселЪ

будетЪ сія пропорція 1 — 3—3- «р

4.01.

По сему правилу , такЪ какЪ изЪ
перваго и втораго член*а находили третей,
можно также изЪ втораго и третьяго
найти четвертой , и іпакЪ далѣе ариѳ-
метическую прогрессію продолжать мо-

жно
И пропорціи

•кно. Пусть будетЪ первой членЪ а и
второй Ъ , то третей будетЪ— гЬ-а ,
четвертой— ^Ь-га-Ь^Ь-га пятой—6Ь
> тестой.— Вб—ба-^Ь
^га^Ь-да , седьмой — юЬ~ Ъа-^Ь-\~за
^бЬ-^а и такЪ далЪе.

г л л в л. ш.

О прогрессіи ариѳметической.
4-02.

РядЪ чиселЪ , которыя всегда равное
мЪ^но растутЪ или уменьшаются , изЪ
сколькихЪ бы членовЪ оной ни состоялЪ,
называется лрсгрессгею «ряю-лхетичесло/о.
♦

ТакЪ всЬ натуральныя числа по по-
рядку написанныя какЪ 1,2,3,4.,5,6.7 $ 9,10
и протч. дЬлаютЪ ариѳметическую про-
грессію, потому что они всегда растутЪ
единицею ; рядЪ 25,22,19,16,13,10,74,1
и протч. дБлаетЪ также ариѳметическую
прогрессію , поелику всЬ сіи числа 3 мя

уменьшаются
268 О СОДЕРЖАНІИ

403-

Число , когпорымЪ ариѳметическая
прогрессія ростетЪ или уменьшается ,
называется разность ( йійегепгіа) ; и
такЪ когда первой членЪ и разность да-
ны будутЪ, то ариѳметическую прогрес-
сію можно продолжать такЪ далеко, какЪ
пожелаешь, наприм. пусть первой членЪ
будетЪ а , и разность 5, то прогрессія
возрастающая будешЪ такая.

2,5,8,11,14,17,20,23,26.29,32 и протч.
гдВ каждой членЪ находится , придавая
разнесть кЪ предЪидущсму члену,

404,

НадЪ членами такой ариѳм. прогре-
ссіи, пишутся натуральныя числа. 1,2,3,4
и прошчая, дабы шошчасЪ увидЪть можно
было, на кошоромЬ мЪсгпВ каждой членЪ
сшоитЪ > и сіи вверьху написанныя
числа лохазателяліи именуются. По се^
му прежней примЪрЪ , такЪ написать
можно.

показ»
и пропорціи 269

покаэ.	I 2 Т ♦	5 б 7	9 ріб

ариѳм. прогр. 2,5,8,П> 14,17^0,23,26,29
изЪ чего видно, что 29 есть ю той членЪ.

40?.

Пусть будетЪ первой членЪ а ,
разность (I , то прогрессія ариѳметиче-
ская выдетЪ такая:

12	I	4	ц	6	}

ау ад-сЦ а-і-кі, «4-4^ «+5^
откуда легко каждой членЪ найти мож-
но , не имѣя нужды знать всЪ предЪ-
идущія члены , изЪ одного только пер-
ваго члена а и разности Л , какЪ напр.
но той членЪ будетЪ , сотой—
14-99^ и вообщее ятой членЪ—

4064

Ежели прогрессія ариѳметическая
гдѣ нибудь перервется, то должно осо-
бливо наблюдать первой и послѣдней чле-
ны и показателя послѣдняго члена , ко-
торой показываетъ число членовЪ, ТакЪ,
когда первой членЪ—а , разность—// и
число членовЪ—п , та послѣдней членЪ
будетЪ
270 О СОДЕРЖАНІИ
будетЪ ггтН-(я-і)/7 , которой найдется
ежели разность умножится на число чле-
новЪ, уменьшенное единицею и кЪ произ-
веденію придается первой членѣ, наприм.
пусть будетЪ ариѳметическая прогрессія
состоящая изЪ юо членовЪ , которой
первой членѣ—4 , разность— $ , то по-
слѣдней ея членЪ будетЪ рр.З-ѢД—Зо1*

4.07.

Когда даны первой членѣ—/? , по-
слѣдней—& и число членовЪ—» , то изЪ
нихЪ можно найти разность—//. Поне-
же послѣдней членЪ я—і)//, то выч-
ти сЪ обѢихЪ сторонѣ а, и будетЪ %-а
—(я-і)//, и такЪ когда изЪ послѣдняго чле-
на вычтется первой, останется разность
умноженная на число членовЪ единицею
уменьшенное, или %-а есть произведеніе
(я-і)*/; чего ради когда з-я,— раздѣлится
на (я-і), то получится искомая разность
Н или//„™7 ; отсюда произходитЪ пра-
вило слѣдующее, изЪ послѣдняго члена выч-
ти первой, остатокЪ раздѣли на число
членовЪ , уменьшенное единицею и по-
лучится
и П ропорці И ,271

лучится разность , изЪ которой потбмЬ
всю прогрессію дополнить моано.

4.08

Данной ариѳметической прогрессіи
состоющей изЪ 9 членовЪ , вЪ которой
первой членЪ 2 и послѣдней 2.6 найти
разность. ВЪ семЪ случаѣ должно пер-
вой членЪ 2 вычесть изЪ послѣдняго 2(5
остатокЬ 24. раздѣлить на 9—1, то есть,
на & , и получится разность" 3 , са-
мая же прогрессія будетЪ.

*	» *	4	$6	789

, 8 , II , 14, 17 , 20 , 2 , 20.

Другой примѣрѣ. Пусть будетЪ первой
членЪ ~ і послѣдней 2 , а число членовЪ
=2 іо, ищется ариѳметическая прогрессія.
Здѣсь разность будетЪ :*5 по чему
искомая прогрессія выдетЪ *

»	3 ’	4 I	6\	»	9

I , І9 г I? > І§» Ь, І9, I» • Ѣ ) 19 Э	*

Третей прим’ѣрЪ, Пусть будетЪ первой
членЪ 2| , послѣдней І2| , а число чле-
новЪ 7 , отсюда получится разность
іа
О СОДЕРЖАНІЙ

— 1О*=: = і?; слѣдовательно
прогрессія будетЪ :

5 4 3® > $ « » 7 «» ♦ 9 9 > 0 55 , I 2 8»

4©р*

Ежели даны будутЪ первой членЪ
а , послѣдній 2, и разность (I, то мо-
жно найти число членовЪ п. Ибо когда
%—а —(п-х'уіі , то раздѣли сЪ обѢихЪ
сторонѣ На </, и произойдетъ
а поелику п единицею больше нежели
п— і , то будетЪ	Н~т ; слѣдова-

тельно число членовЪ найдется , когда
разность перваго и послѣдняго члена
раздѣлится на разность прогрессіи , и
кѣ частному придается единица.

Пусть будетЪ наприм. первой членЪ
=Г4, послѣдней ~юо, и разность гіг,
то число членовЪ будетЪ дгр , которые
суть слѣдующіе:

4 , іб, 28 , 40,52 > 64,76 ъ88 , іоО.

Пусть
И пропорціи а73

Пусть будетЪ первой членѣ—2 по»
слѢдней 6 > и разность— Ц , шо число
членовЪ будетЪ ^4-1—4. которые суть
і і г	♦

а , 3? , 4з » 6*

Положимѣ еще первой членЪ по-
слѣдней у| , и разность—15 » то число
членовЪ будетЪ 71 ? Ч-1 т-р,

і «	*

которые будутЪ Зз , 4'-, 6з> 7з-

4.І0.

Здѣсь примѣчать надлежитЪ , что
число членовЪ непремѣнно должно быть
цѣлое число. Слѣдовательно ежели бы
вЬ прежнемЪ примѣрѣ мѣсто а нашлася
дробь, то бы сей вопросѣ совсѢмЬ не го-
дился.

Ежели бы для не нашлося ника-
а

кого цѣлаго числа , то бы сего вопроса
рѣшить не можно было , и надлежало бы
отвѣтствовать , что оной вопросѣ не
возможенъ. По сей притчинѣ вЪ шакихѣ за-
дачахъ число %-а должно дѣлиться на 4

С	4.1 х,
О СОДЕРЖАНІИ

411.

ВЪ каждой ариѳметической прогрес-
сіи 4 слѣдующіе вещи примѣчать надле-
житъ.

I. первой членЪ ~ а. 2. послѣдней — $
3. разность ~ Л. 4. число членовЪ ~п ,
которые всѢ суть такого состоянія ,
что естьли 3 которые нибудь изЪ нихЪ
даны будутЪ , можно опредѣлить чет-
вертую.

КакЪ і. когда а , Л и п извѣстны,
то будетЪ п— і V
2-------------я, <2	мп	извѣстны

5-------а } %	, п	извѣсти а

4--------  а	, г	м	извѣсти !

п

а

ГЛАВА
и пропорціи 27?

ЧЛ 'Ж ЧЛ '•ч 'Оч 'О' ЧУ> 'вк ХЛ 'ел *»> *»> *к '«А '04 чл 'о»

ГЛАЗА IV.

О нахожденіи суммы ариѳметической
прогрессіи-

4-12.

Когда предложена будетЪ прогрессія
ариѳметическая , то ищется иногда ея
сумма і которая найдется сложивЪ всБ
члены данной прогрессіи вЪ одно мѣсто.
Но поелику сіе сложеніе медлительно бы
было , ежели бы прогрессія изЪ многихЪ
членовЪ состояла , то можно найти
правило , по которому сія сумма очень
легко найдена быть можетЪ. Что заравЪ
покажется.

4.13.

разсмотримъ сперва одну оиредВ-

I 2 Г 4	$

ленную прогрессію , какЪ 2,5,8,11,14
6	>	.	9 .о

17 , го , 23,2(5 , 29 , вЪ которой первой
членЪ"2 , послЪдней~29 , разность^з
и число членовЪ"!о. ВЪ сей прогрессіи
сумма перваго и послѣдняго членовЪ есть

С 2	2і?
276 ОСОДЕрЖАІІІИ

31, сумма втораго и предпослѣдняго:^^
сумма третьяго и втораго отЪ послѣд>
няго— 3 і , сумма 4 го и третьяго отЪ
послѣдняго—з і и такЪ далѣе. Отсюда
видно что каждыхЪ двухЪ членовЪ отЪ
краевЪ равно ошсшояіцихЪ сумма всегда
одинака.

414.

Притчина сему очевидна, ибо когда
первой членЪ равенЪ а , разность—*/ ,
послѣдней членЪ—2 , то сумма перваго
и послѣдняго—0-4-2 , пошомЪ второй
членЪ а4-</ , и первой отЪ послѣдняго
—2—*/, которые вмѣстѣ взятые дѣлаютЪ
/?4-2 ; третей членЪгга4-2*/ и второй
отЪ послѣдняго—2—2// составятъ вмѣ-
стѣ /74-2 , откуда истинна прежняго
положенія явствуетЪ,

41?.

Дабы сыскать сумму прежней про-
грессіи, то есть 24-54- §-+і1 + 144-17'
4-204-234-264-29 , то напити подЪ1
нею туже сумую прогрессію наизвороть» *
и
и пропорціи 277
и складывай членЪ сЪ членомЪ какЪ слѣ-
дуетъ:

2,4-5 -1-8-ЬI і-Ы4+і7'Ь2О4“23+2<5’4-29
29+264-23 + 2оЧ-і7-Н4--Ъ*і+ 8-4- 5-4-2
р+?і+Зі+3І4-р+3ІН-3І+3І'ЪЗі + ?і

Сей найденной изЪ равныхЪ членовЪ
состоящей рядЪ есть вЪ двое больше ,
нежели сумма нашей прогрессіи : число
сихЪ равныхЪ членовЪ есть іо , шакЪ
какЪ и вЪ прогрессіи , слѣд. сумма сего
ряда будетЪ 10.31—310 5 но поелику
они вЪ двое больше нежели сумма дан-
ной ариѳметической прогрессіи , слВдо-
вательно истинная сумма будетЪ~і55.

4.16.

Ежели подобнымъ образомЪ посту-
пать будешь сЪ каждою ариѳметическою
прогрессіею} вЪ которой первой членЪгглг,
послѣдней и число членовЪ—п , то
написавЪ туже самую прогрессію, вЪ
обратномъ порядкѣ подЪ первою, и членЪ
сЪ членомЪ сложивЪ » получишь каждой
членЪ^й-+^ числомЪ п ; слѣдовательно**

С 3	сумма
2*7® О СОДЕРЖАНІИ
сумма ихЪ будешЪ~я(аЧ-2) , к°шОр3я ~
двое больше суммы прогрессіи , <!его й
ди самая сумма прогрессіи аривЛ1
деіпЪ~г^і^.

4-17.

Отсюда получаемЪ мы для нахож
денія суммы каждой ариѳметической п
Грессіи слѣдующее правило:	“

умножь сумму перваго и посХ&.
члена прогрессіи на число членовЪ
Ловима сего произведенія покажепіЪ Д. П°'
Всей прогрессіи.	*	*

Или , что все равно : умножь
му перваго и послѣдняго члена на пОдО”
Вину числа членовЪ.

Или умножЪ половину суммы пе
го и послѣдняго членовЪ „ на чи~

сло членовЪ
прогрессіи.

4.18.

, и получится сумма ^3.

Аля изЪясненІя сего правила Надле-
житЪ предложи» лФ» Лоолы* прда.
мЬрсвЪ. Пусть Лана бѵДС-'Ь прогрекі*
натуральныхъ чиселЪ <®Ь » *> ‘«.най-
и П р О П О Р Ц'І И 279
іпи ея сѵмму. По первому правилу она бу-
детЬ 50.іо 1^5050.

Спрашивается сколько всѢхЪ ударовЪ
будетЪ вЪ іа часахЪ. Сюда принадле-
жалъ числа 1,2,3,4,5,6.7, до 12 , кошо-
рыхЪ сумма будетЪ -’у-—6.13—7 8.

Ежели бы надобно было знать сум-
му того же ряда чиселЪ до юоо » то
будетЪ оная—500500, а до юооо она
будетЪ" 5000 5000.

419.

ВопросЪ. Нѣкто покупаетЪ лошадь
сЬ такимЬ договоромЪ, чтобы за первой
подковной гвоздь заплатить ему 5 копѣ-
екЬ , за другой 8 коп., а за третей
11 и такЪ далѣе , за каждой слѣдующей
гвоздь по три копѣйки больше , всѢхЪ
же гвоздей было 32 ; сколь дорога ста-
ла ему лошадь ?

Здѣсь ищется сумма ариѳметической
прогрессіи, вЪ которой первой членЪ—5,
разность—з число членовЪгд $ 2.
23о О СОДЕРЖАНІИ

Сыщи сперва послѣдней членЪ , ко-
торой по выше сего данному правилу
найдетсяг5Ч--р.з“98 , а изЪ сего уже
искомая сумма будешЪгх—^—т 103.16. и
такЪ лошадь стоять будетЪ 1648 копѢ-
скЪ, или іб рублей 48 коп.

420.

Пусть будетЪ вообще первой членЪ
^а , разностьпт/ и число членовЪ гж ,
найти сумму всей прогрессіи. Понеже
послѣдней членЪ долженЪ бытыга+Ся-іѴ,
то сумма перваго и послЪдняго^гя-ѵ

, которую у множа на число чле*
новЪ получить і2.па-^-п{п-\}й, и искомая
«умма будешЪггяд-1, >?.

Когда вЪ первомЪ примѣрѣ было
^35»гс3^5 то по сей формулѣ будетЪ
сумма ^5.32-}-—^—1604-1488 ~ 1648
какЪ и прежде.

421.

Ежели должно будетЪ найти сум«
му ряда натуральныхъ чиселЪ отЪ і до
П > шо вЪ семЪ примѣрѣ первой членЪ
буденіЬ
и Пропорціи Д8і

будетЪзг і , послѣдней^», и число чле-
новЪ также п , по чему сумма

У--4-0,

Ежели п положится 1766, то сумма
всѣхЪ членовЪ отЪ і до 1766—885.1767
^1560261.

4-22.

Данной прогрессіи нечетныхЪ чи-
селЪ і,5,5,7 и протч. продолжающейся до
числа членовЪ п найти сумму.

ВЪ сей прогрессіи первой членЪ—і
разностью, число членовЪ—я , потому
послѣдней членЪ будетЪ і-+(«—і)а — 2П
— і, а искомая сумма—пп.

И такЪ здѣсь должно только число
членовЪ умножить само на себя. Того
ради, сколько бы членовЪ такой прогрес-
сіи ни требовалось сложить вЪ одну сум-
му , то она всегда равна будетЪ квад-
рату числа членовЪ , какЪ изЪ слѣдую-,
щаго явствуетЪ:

Прогр. —13,5,7,9,И,із,і5> и прот.
Сумма — г,4,9,16,25,36,49,64.,8 і,іоо ипро
Члены -і,2,3, 4,5 > $ »7 » 8 Дои про.

5	423.
282 О СОДЕРЖАНІИ

4.23.

Пусть еще будетЪ первой членЪ
— і , разность-3 число членовЪ—» , то
Прогрессія выдетЪ такая 1,4,7,10,13 и
протч. вЪ которой послѣдней членЪгсі
4-(»-1)3—3»—2. , сумма перваго и по-
слѢдняго—з»—і , слѢд. сумма прогрессіи

• и ежели п положится 20
то сумма будетЪ 10.59—590.



ПоложимЪ первой членЪгі , раз-
ность-;/ , число членовЪ"» , то послѣд-
ней членЪ будетЪ—і-Ь(»—і)</ , сумма
перваго и послѢдняго"2-р-(»—і)/7, сіе умно-
живЪ на число членовЪ выдетЪ2«+»Л~1 )</,
и сумма всей прогрессіис:-"-”(п~і)-—»

2

ПрисовокупимЪ еще здѣсь слѣдую-
щую табличку.

Когда


^агді	1,10 «Умма прогрессіи бУДепт»

^2-------М

п	""

-^=2)^ПП
2

_____ „ - | -5ЛГП-')-ЗП»—Ч

---и-4-Г'?-^— 2П'г- п

_ , 5П(П — Л._- 5П I—

—га—}——-—- —- -—-—

•	‘	3	2

---п _|_«2^=2Ъ з яга—2 га

— У .І..7^п—т)_______7ПП-5 I

п-т~ г ---- 2

--~^пп 3%

2

__і Ит—) __ 9-с--^

’	2	2

™пп - 4^

<^4 <0>'<0>>»ѵ ч>> мл -«Ч «ч'е, ѵ>. чх чеХ чл'®, чл «, чж ’ос ’в* 4,4

ГЯЛВА V.

@ фигуряыхЪ или мноГоугѳльныхЪ
числахЪ

4-2?- ,

Слаганіе вЬ одну сумму арифметической
прогрессіи, которая отЪ і начинается ,
а разность им^еаіЬ или і , или а, или
3, или какое нибудь другое до изволенію
взятое
284 О СОДЕРЖАНІИ

взятое число , ведешЪ насЪ кЪ познанію,
фигурныхЪ чиселЪ » кои произходятЪ >
когда нѣкоторые члены такой прогрессу
Вмѣстѣ складываются.

4йб.

Когда положится разность т ,
между гоѣмЪ первой членЪ всегда дол-
женъ быть і , гпо произойдетъ оттуда
слѣдующая ариѳметическая прогрессія і,
2, 5,4, 5, 6,7,8, 9, іо, іх, 12, 13 и протч.
и ежели вЪ сей прогрессіи возьмутся
суммы 2хЬ, ЗхЪ, 4хЪ. и протч. ^чле-
новъ , то произойдетъ оттуда слѣдую*
щей рядѣ чиселЪ.

1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78 и пр.
такЪ что і~і . 53ГЗ1—4-2., 6—14-24-3 »
ю ~ 14-2-4-3-4-4 и такЪ далѣе и сіи
числа называются треугольные числа ,
потому что столько точекЪ , сколь ве-
лики такіе числа будутЪ , представишь
можно вЪ треугольникахъ. КакЪ
И пропорціи 28?

1 » з >	6 „	10

л • • • • ♦ • • • *

• • • « « «

15	2Х итакЪдаЛй

• ••••»..............

427.

ВЪ каждомЪ изЬ сихЪ треугольниковъ
видно сколько точекЪ вЪ каждомЪ боку
содержится ; вЪ первомЪ только одна, во
второмЪ 2 , вЪ третьемЪ $ , вЪ четвер-
томъ 4 и такЪ далѣе. Слѣдовательно
огпЪ числа точекЪ вЪ каждомЪ боку со-
держащихся зависятъ треугольные числа,
или число всѢхЪ пунктовЪ , которые
просто треугольниками называются.

Сторона
О СОДЕРЖАНІИ

Сторона. . , . ., . . . , . „ < .

Треугольникъ.............  .

сторон.

Ъірсугольн.

428.

И такЪ спрашивается ЗдТсь, какимЪ
образомЪ изЪ даннаго боку найти треу-
го хьникЪ, что помощію вышепоказанныхЪ
правилЪ легко учиниться можетЪ : ибо
пусть будетЪ данная сторона треуголь-
ника п , то самой треугольникъ будетЪ
... -р-я,гпо есть сумма —;
и ежели п~і, треугольникъ ~.і

бу де же п^22 , то треугольникъ

—	—	—	—	— —б

я—4	—	—	—	—	— -ю

и такЪ далЪе.
и когда я—юо, то треугольникъ ^5050
429.

Сія формула Называется гене-
ральною формулою всѢхЪ треугольныхъ
чиселЪ ; ибо по оной для каждаго бока?
Л треугольное число сыскать можно.

Оная формула можетЪ изЪявлена
быть и такимЪ образомЪ	которая

много служитЪ кЪ облегченію выкладки ;
потому , что п или я-4~і всегд? будетЪ
четное число, и слѣдовательно дѣлится
на а.

ТакЪ когда я—12 , то треугольникъ
6

2г-—--1—6. 13—78. или когда »—15 , то
«

треугольникъ ——15.8—120.

и такЪ далѣе»

43°-

Ежели разность положится —2, то
произойдетъ слѣдующая прогрессія і, 3,
5, 7, 9, іі, 13 и протч. и суммы ея
будутЪ.

1,4,9,	, 3$ , 49 , <>4 « пр.

которые числа называются ЧетЪіреугоЛЪ-

НЫЯ
288 О СОДЕРЖАНІЙ

иъія числа, и суть тѣ же самые , кото,
рые мы прежде квадратами назвали : ибо
столько шочекЪ , сколько велико сіе чи-
сло , можно поставишь вЪ четыреуголь-
никѣ , такЪ:

* >	4 5	9 9	> 2-8

4Ѵ-

Здѣсь видно , что бокЪ такого
четыреугольника, столько содержитъ вЪ
себѣ гаочекЪ , сколь великѣ его квадрат-
ной корень : слѣдовательно стороны 5,
чстыреугольникЪ с з , стороны 6 , четы-
реугольникѣ з<5 ; и вообще ежели сто-
рона будетЪ п , которымЪ число чле-
новЪ прогрессіи і, 5, 5, у и протч. оз-
начается , то чстыреугольникЪ будетЪ
сумма всѣхЪ оныхЪ членовЪ , которая
найдена прежде ; но осемЬ четыре-
угольникѣ или квадратѣ говорено уже
Выше сего пространнѣе.
ИПрОПОрЦІЕ 289

432.

Ежели положится разность про*
урессіи —$ , и равнымЪ образомЪ , какЪ и
прежде возьмутся суммы, то сіи будутЪ
умела лятгуголънъія , хотя точками
ихЪ представить и не можно.

Оныя идутЪ вЬ слЪ дующемЪ порядкБ:
показатель	і,2,	з, 4,	у,	б,	7, 8,

ариѳм. прогр.	1,4,	7 , іо ,	13 ,	іб ,	19 , 22 ,

йятиугольник.	і , $ ,	12,22,	3$ ,	51 ,	70 , 92 ,

показатель означаетъ бокЪ пятиугольника *

т

И такЪ когда сторона положи-*
йіея п, то пятиугольное число будетЪ
— напр. когда я~7 , то пяти-
угольникЪ будетЪ ~7° і ежели же кто
похэчетЪ знать пятиугольное число „
котораго сторона г:юо , то положи
я—юо и получишь 14950 искомое пяти-
угольное число.

414-

Когда разность прогрессіи будетЪ
4, то изЪ оныя получатся шестиуголь-
ныя числа , которыхЪ порядокЪ такой :

Т	покаэ.
2ро О СОДЕРЖАНІИ

яоказ. 1, 2, 3, 4, 5, <У, 7, 8, <>, іо,
пр.ар. I, у, р, і3, і7, 21, 25, 29, 33, 37,
(Уіпиуг. і, б, іу, 28, 4$, 66, рі, і2о, 153, ІРО,
гдѣ показатели означаютъ какЪ и прежде
сторону шестиугольника.

43 ?•

ТакимЪ образомЪ ежели данная
сторона будетЪ , то 6 ши угольникѣ
—2ЯП-Я; причемЪ примѣчать надлежитЬ,
что всЪ сіи 6 тиугольныя числа вмѣстѣ
суть и треугольныя ; ибо когда вЪ тре-
угольныхъ числахЪ всегда станешь пере-
ступать черезЪ число , іпо получишь
6 тиугольныя.

4.36.

Подобнымъ образомЪ находятся
7, 8 , 9 и іо тиугольныя числа , для
коихЪ мы здѣсь общую формулу пред-
лагаемъ. Положа сторону выдутЪ

треугольникъ гз пп-\-п

2

4 угольникЪ а.пп-+-оп~пп

$ угольникѣ ХГЗЯЯ — П
а

б уголь*
б у ГОЛЬНЙкЪ	&пп—Я

2

у уѵолзлѵхіЬ ^ЗПП—^П

2

8	угольникЪ ггзбЯЙ — 4Й~ $ ЯП-' 2Я

2

9	угольникЪ ^м~ %п

а о угольникЪ ^%т—бп~фм-~$п

11	угольникъ СХрЯЯ—*7Й

12	угольникЪ	і от~^п^.$пп—^п,

2

а о угольникЪ хг 18 пп-1 бя ~$пп- %п.

2

25	угольникЪ —2,^ЯЯ—2ТЯ

угольникЪ ^{т~2)пп-~(т~^п

2

43*7-’

И такЪ когда данЪ будетЪ бокЪ
й, шо найдется вообще ш угольникЪ
^{т—^пп—(т—4)й, изЪ которой форму-
.	'2

лы всВ возможныя многоугольныя числа
Найти можно , положа сторону ихЪ ~п»

Т	 Ежели
8)2 О СОДЕРЖАНІИ

Ежели бы хошѣлЪ кто по сей формулѣ
найти двуугольное число , то было бу
эдса > а число двуугольное ~п

Ежели будетЪ пі"ъ , то треуголъ,
ное число г—или ежели т-^ , то
четыреугольное число гй», игпакЪ далѣе.

43 $•

Что бы мзЪявить правило сіе при-
мѣрами , то ищи 25угольное число, ко-
его сторона = 36 ; найди сперва бока п
25угольное число , которое будетЪ
, теперь положи п~ 36 и иско-
мое число будетЪ 3=14526.

' 439'

ВопросЪ. Нѣкто купилЪ себѣ домЪ и
спрашивается , сколь дорого онЪ за нево
Заплатилъ ? на то онЪ отвѣтствустЪ,
что число рублей і которое онЪ за не-
во далЪ есть 365 угольное число із. ши

При
іи пропорціи 293

При рѣшеніи сего вопроса да—565 и
слѣдовательно 365 угольное число бока
ц будетЪ	. но я—12 , по чему

искомая цѣна дома—23970 рублей.

глліи VI.

О содержаніи геометрическомъ.

+40.

Геометрическое содержаніе двухЪ чи-
селЪ бываетЪ при вопросѣ , во сколько
разЪ одно число больше другаго; И еже-
ли одно изЪ сихЪ двухЪ чиселЪ раздѣлит-
ся на другое , то частное оттуда про-
исшедшее называется знаменатель сего
содержанія.

4.4.1.

ВЪ геометрическомъ содержаніи на-
длежитъ разсмотрѣть три вещи*. I.) изЪ
данныхЪ двухЪ чиселЪ первое , которое
предЪидущимЪ членомЪ именуется , П.)
другое изЪ данныхЪ послѣдующимъ чле-
НомЬ называемое, Ш.) знаменатель содер-

Т з	жанія
О СОДЕРЖАНІИ

званія , которой находится чрезЪ дѣле,
ніе предЪидущаго члена на послЬдукь
щей. ТакЪ когда между двумя числами
18 и ха должно будетЪ опредѣлить ихЪ
содержаніе , шо 18 будетЪ предЪиду-
щей , і2 послѣдующей члены , а знаме-
натель ІІШз ; откуда познается, что
предЪ идущей членЪ содержитъ рѣ ссбЬ
послѣдующей полтора раза.

44-2’

Для означенія геометрическаго со-
держанія между двумя числами употреб-
ляются двѣ другѣ надЪ другомЪ стоя-
щіе точки » которые ставятся между
предЪидущимЪ и послѣдующимъ членами.

ТакЪ а: Ь означаетъ содержаніе ме-
гкду а и Ь , коимЪ анакомЪ „ какЪ уже вы-
ше сего упомянуто , означаютъ также
й дѣленіе ; и для сей самой притчины
онЪ здѣсь употребляется ; ибо что бы
узнать величину сего содержанія , долж-
но число а раздѣлить на і і а словами
сей
И пропорціи
сей ЗнакЪ изображается такЪ і а содер-
жится кЪ Ь или просто а кЪ Ъ*

4-4-3-

Знаменатель сего содержанія озна-
чается дробью , вЪ которой числитель
есть предЪидущей членЪ , а знамена-
тель послѣдующей. А для ясности
дробь сію изображать надлежитъ малы-
ми числами , что учинится , когда чи-
слитель и знаменатель раздѣлятся на са-
маго большаго общаго дѣлителя , какЪ
выше сего учинено было , когда дробь
II приведена была вЪ I числителя» а зна-
менателя раздѣла на 6.

4-4-4—

Сіи содержаніи разнятся по различ-
ности ихЪ знаменателей , и посему мо-
жегоЪ быть ихЪ столько родовЪ » сколь-
ко разли иаыхЪ знаменателей найти мо-
жно.

Первой ихЪ родЪ безспорно долженЪ
быть когда знаменательз^х ; а сіе учи-
нится когда оба числа равны будутЪ

Т 4	какЪ
$9$ О СОДЕРЖАНІИ

/КакЪ 3:3, ибо сихЪ чиселЪ знаменатели
і , и для того содержаніемъ равен,
ства называется. По семЪ слѣду югпЬ
піѣ роды содержанія , вЪ которыхѣ зна-
менатели суть цѣлые числа какЪ 4 : а,
гдѣ знаменатель а; 12:4 имѣетЪ зна-
менателя \ ; а 24 : 6 знаменатель его
Г24 и протч , и напослѢдокЪ тѣ содер-
жаніи коихЬ знаменатели суть не цѣлые
числа но дроби , какЪ 12 : 19 котораго
Знаменатель і или

44Ѵ-

Пусть будетЪ а предЪидущей членЪ,
# послѣдующей , а знамена шелыгѣ , то
уже мы видѣли, что изЪ данныхЪ а и Ь
найдется

Естьли же данЪ будетЪ послѣдующей
Ъ и знаменатель сі , то предЪидущей
найдется аг^.М , потому что раз-
дѣленное на Ъ даеігіЪ </, и наконецъ ког-
да данЬ будетЪ предЪидущей членѣ а а
Знаменатель Л, то послѣдующей будетЪ
ибо когда предыдущей а раз*
дѣлится
и пропорціи 297
дѣлится на послѣдующей , то част-
ное даетЪ знаменателя </.

4.4.6.

Каждое содержаніе какЪ а : Ъ не пе-
ремѣнится , ежели предЪидущей и по-
слѣдующей члены на одно число помно-
жатся или раздѣлятся : потому что
знаменатель его будетЪ шо же самое чи-
сло. Наприм. когда г/ есть знаменатель
содержанія а : />, такЪ что | , то

будетЪ также содержанія па : пЬ знаме-
натель ; равнымЪ образомЪ содер-
жанія •. ~ знаменатель тощЪ же
самой » какой былЪ и вЬ данномЪ содер-

жаніи.

4.4.7.

Ежели знаменатель содержанія са-
мыми малыми числами изобразится , то
сіе содержаніе можно будетЪ выразить
словами очень ясно ; а имянно ежели
знаменатель приведется вЪ дробь , то
говорятъ а : Ъг^р г ц. ТакЪ содер-
жанія 6 : 322:2 : і , равнымЪ образомЪ

Т 5	18 :
^8 О СОДЕРЖАНІИ

і8 і 12—3 :г; 24 : 18 — 4 -,з и 30 • 4^
“2 : 5 ; ежели же знаменателя сокра-
тить не льзя будетЪ, то и содержанія
ясняе изЪявить не можно : ибо ежели
скажется 9-. 7 — 9 7, то отЪ сего не при-
будетЪ ни малой ясности.

44-8-

Еж?ли же знаменателя изЪявить
можно будетЪ вЪ самыхЪ малыхЪ числахЪ,
то чрезЪ сіе получится ясное понятіе о
содержаніи двухЪ весьма большихъ чиселЪ.
ТакЪ когда скажется 288 :144—144 : 73
ИЛИ ~72 : 3$—? і8 ИЛИ2-13 : 9—6 : 3
илигг_2 ! і, то сіе содержаніе будетЪ со-
всЪмЪ вразумительно , и ежели спросит-
ся, какЪ 105 : 70 содержится, то отвЪгп-
ствуется какЪ з •• 2; когда же опять спро-
сятЪ какЪ 576:252 содержатся, отвош-
ствуется какЪ 16:7.

449’

И такЪ чтобы каждое содержаніе
наияснЪйшимЪ образомЪ представить мо-
жно было , то знаменателя онаго ста-
раться должно изЪявить самыми малыми
числами
И пропорціи

*99

числами , что учинится , когда оба чле*
на содержанія на самаго большаго обща-
го ихЬ дѣлителя раздѣлятся. ТакЪ со-
держаніе 576:25а вдругЪ превратится
вЬ іб : 7 , когда оба числа 576 и 252
на 36, какЪ на самаго большаго; обща»
го ихЪ дЪлишеля раздѣлятся.

450.

Понеже главное дѣло Здѣсь сосшо
итЪ ₽Ъ томѣ , какимЪ образомЪ дан-
ныхъ двухЪ чиселЪ найти самаго боль-
шаго общаго дѣлителя , то вѣ слѣ-
дующей главѣ преподано будешЪ. на-
длежащее кЪ тому наставленіе.

«^1 ЧЛ ЧЭч Ч>.	Ч». 'О.'Оч'ві ЧЛ 45* '<=>	'Оѵ М%. ЧА	'вч

ГЛЛВЛ VII.

Р большему общемЪ дѣлителѣ двухЪ дац^

ныхЪ чиселЪ.

4$г.

ІѢсть числа , которые кромѣ I никакого
другаго общаго дѣлителя не имѣюгпЪ ,
О СОДЕрж АНІИ

300

и когда числитель и знаменатель какой
ни будь дроби будутЪ такого состоянія,
то не можно и сократить оныя,- и такЪ
видно что два числа 48 и 35 не имѢ-
юпіЬ ни какого общаго дѣлителя , не
смотря на то , что каждое изЬ нихЪ
ос< бливаго дѣлителя имѢетЪ. Для сей
притчины содержанія 48 •. 35 простяе изЪ-
явить не можно , ибо хотя они оба дѣ-
лятся на і , но отЬ сего дѣленія числа
ни мало не уменьшатся.

452.

Ежели же числа имѣютЪ общаго
дѣлителя , гпо оной , и притомЪ самой
большой найдется по слѣдующему пра-
вилу.

ряздѢли большее число на меньшее,
на остатокЪ отЪ сего дѣленія раздѣли
прежняго дѣлителя , на сей остатокъ
раздѣли послѣдняго дѣлителя , и симЪ
образомЪ дѣленіе продолжай до шѢхЪ
порЪ , пока вЪ остаткѣ ни чего не
будетЪ , и послѣдней дѣлитель'бу дегаЪ
и пропорціи з01
самой большой общей дѣлитель обоихЪ
данныхЪ чиселЪ.

Сіе разысканіе данныхЪ чиселЪ

252 будетЪ такое-.

252

57<И»
5°4|

252 3

2іб

Слѣдовательно самой большей общей
дѣлитель , сихЪ двухЪ чиселЪ есть 56.

4?3-

Для изЪясненія сего правила не
безнужно здѣсь предложить нѣсколько
примѢровЪ. Чего ради ищи самаго боль-
шаго общаго дѣлителя чиселЪ 504 и
312 такЪ:
$02 бСОДЕрЖАЙІИ

§12 5О4 I

Ір2

120 Гр 2 I

120

72 Г 20
' 72

48

72

43

24

СлВд. 24 есть самой большей общей
дѣлитель , почему содержаніе $04 : 312
перемѣнится вЪ ах : 13.

4^

Пусть даны будутЪ еще два числа
62$ и 529 » коихЪ сыскать надлежитЪ
самаго большаго общаго дѣлителя:
и пр4опорціи



ч

Здѣсь самой большой общей дѣли-
тель будетЪ і , почему содержаніе 62.5 :
52.0 сократиться не можетЪ , или его
Ни вЪ какихЪ меньшихЪ числахЪ изЪя-

Вигпь не льзя.

4-55.

Теперь надлежитъ еще доказать
Сіе правило. Пусть будетЪ а большее а Ь
Иеньшее число изЪ данныхЪ > 4 общей
ихЪ
304. О СОДЕРЖАНІЙ

ихЪ дѣлитель ; и поелику какЪ /?, такЪ
и Ъ дѣлятся на сі , то можетЪ также
и а—Ъ на него раздѣлиться , подобнымъ
образомЪ а— ъ.Ь , а—3^ и вообще л—пЬ*

4^7.

При семЪ примѣчать надлежитъ 9
что ежели (I есть самой большей общей
дѣлитель чиселЪ Ь и а — п Ь , то онЪ же
будетЪ самой большей общей - дѣлитель
чиселЪ Ь и а : ибо когда бы для чиселЪ
а и Ь нашелся еще большей общей дѣли-
тель нежели </, то бы онЪ былЪ также
общей дѣлитель чиселЪ Ь и а-ііЬ , слѢд.
Ц не былЪ бы самой большой дѣлитель ;
но здѣсь Л есть самой большой общей
дѣлитель , слѢд, онЪ же долженЪ быть
самой большой чиселЪ а и Ь.

45^

Предложивъ сіи три положенія *
раздѣлимЪ большее число а ‘на меньшее Ь9
какЬ самое правило повелѢваетЪ , а мѢ®
сто частнаго воЗмемЪ п , осташскЬ бу-
детЪ
депіЬ а — пЬ , которой всегда меньше не*
^ели Ь ежели сей осшатокЪ а-пЬ , сЪ
дѣлителемЪ Ь того общаго дѣлителя
рмѣегпЬ , какЪ данныя числа а и Ь , то
раздѣли прежняго дѣлителя Ь на оста-
шокѣ а — пЬ , и происшедшей отсюда ос-
татокъ сЪ предЪидущимЪ дѣлителемЪ
Опять будетЪ имѣть одного общаго дѢ*
лишеля , и такЪ далѣе.

СимЪ образомЪ продолжается пока
дѣленіе не кончится , или покуда вЪ
остаткѣ ничего не будетЪ. Пусть бу-
детЪ послѣдней дѣлитель р, которой точ-
но нѣсколько разЪ вЪ своемЪ дѣлимомЪ
содержится , и для того дѣлимое на р
дѣлится , и имѣть будетЪ форму тр.
Сіи числа р и тр оба могутЪ дѣлиться
на р , и подлинно другаго общаго дѣли-
теля не имѣюшЪ , потому что никакое
число на большее, нежели оно само раз-
дѣлиться не можетЪ. Цо Сей притчинѢ
Послѣдней дѣлитель будетЪ самой боль-
шой общей дѣлитель сЪ начала предло-

У	женныхЬ
306 О СОДЕРЖАНІЙ

женныхЪ чиселЪ а ѵіЬ; и симЪ образомЪ
предписанное правило доказывается.

460.

Предложимъ еще примѣръ

и ста-

немъ искать самаго большаго общаго
дѣлителя чиселЪ 1728 и 2304 ; выклад-
ка будетЪ слѣдующая :

1728 2504Іі

1728

576 1728І3

1728

И такЪ «576 есть самой большой
общей дѣлитель , и содержаніе 1728 «.
2504 перемѣнится вЪ 5 ; 4 слѣдователь-
но 1728:2504 —- 3 ;4'

чл '«’ч'сч «іо. чэ\ чзч 'вччл чл '«4'0» чл чл 'еѵ 'вч'®» 'Л

VIII.

О пропорціи геометрической.

461.

Два геометрическія содержанія между
собою равны , когда ихЪ знаменатели
равны
равны > а равенство такихЪ двухЪ соде-
ржаній лролор^геи) гео^тетрическою пазы-5
дается и пишется такЪ а: Ь~с : й, а вы-
говаривается а содержится кЪ Ъ такЪ
КакЪ с кЪ Л ; примѣрѣ сей пропорціи
есть 8 : 4т 12.: 6 •. ибо содержанія 8:4
знаменатель со? , и содержанія і 2; $
также

дбЗ.

И такЪ когда а • Ътгс : <1 есть про-
порція геометрическая , то сЬ обѣихЪ
сторонѣ знаменатели должны быть оди-
накіе , и слЪдовательно , и обратно
Когда дроби | и 2 равны между собою ,
йю « г Ъ~с : 4.

4$3°

По сему геометрическая пропорція
состоять должна изЪ 4 членовЪ тако-
го свойства , что естьли первой раздѣ-
лится на второй 5 столькожЪ вЪ часгп-
НомЪ вытти должно , когда третей
раздѣлится На четвертой. Откуда слѢ-
дуетЪ самое важное свойство геометри-
ческой пропорціи состоящее вЪ томѣ ,

У а	что
О СОДЕРЖАНІИ

308
что произведеніе изЪ перваго и четвер-
таго членовЪ равно произведенію изЪ вто-
раго и третьяго , или короче произве-
деніе крайнихъ равно произведенію сред-
нихъ членовЪ.

464.	.

Для доказательства сего свойства
пусть будетЪ геометрическая пропорція
а '.Ъ~с : й, и слѣдовательно умножь
каждую изЬ сихЪ дробей на Ъ , то по-
лучится , потбмЪ умножь еще сЪ
обЪихЪ сторонЪ на й, и будетЪ ай~Ъс ;
но ай есть произведеніе крайних’Ь а Ъс
произведеніе среднихъ членовЪ , которыя
оба равны между собою.

4-6)

Когда же 4 числа аЬ^с^й будутЪ
такого состоянія, что произведеніе край-
нихъ ай равно произведенію среднихЪ Дг,
то сіи числа будутЪ вЪ пропорціи гео-
метрической : ибо когда ай~Ьс, то раз-
дѣли сЪ.обЪихЪ сторонЪ на Ьй и полу-
чится и по сему а :	; <4

466".
и пропорціи 309
466.

Четыре члена геометрической про-
порціи, яко а : Ь~с Л переставлены быть
могутЪ разными образами , такЪ что
они всегда будутЪ пропорціональны , и
все дЪло вЪ томЪ , только состоитъ ,
чтобЪ произведеніе крайнихЪ равно было
произведенію среднихЪ членовЪ , или
чгпобЪ асІ~.Ьс , и по сему будетЬ вопер-
в'ыхЪ Ъ : а—сі •. с II) а ; с~Ь : ; III) 4 : Ь
: а IV) Л : с~Ъ •• а.

467.

СверьхЪ сего можно еще вывесть
множество другихЪ геометрическихъ про-
порцій : ибо когда а \Ъ~с : шо вопер-
выхЪ будетЪ первой со вторымЪ а-\-Ъ кЪ
первому а, такЪ какЪ третей сЪ четвер-
тымъ г-р-й? кЪ третьему с, т. е а-\-Ъ :
а~с-\-4: г; потомЪ такожде первой безЪ
Втораго а—Ь кЪ первому а такЪ третей
безЪ четвертаго с—Л кЪ третьему с, или
с-Ъ: а^с—сі: с\ ибо когда возмутся про-
изведенія крайнихЪ и среднихЪ членовЪ ,
у 3	шо
31©

О СОДЕРЖАНІИ

гпо будетЪ ас—Ьс^:ас—ай, потому что
~Ъс , и а-Ъ ѵЪ~с—сІ: гдВ а^—ЬЛ~Ьб-Ы,
потому что

468.	'

Такге изЪ а : Ъ~с : // выведенные про-
порціи могутЪ вообще переставлены
быть такЪ: та-^пЬ : ра~\~^Ь^^.тс-}-п^ : рс

, ибо произведеніе крайнихЪ есть
ѵпрас^прЪс^тцай^пцЫІ или понеже ай
г^Ъс, то оное будетЪ трас-^-прЬс-^-іщЬс

, а произведеніе среднихЪ трас
^^г-т^Ьс-і^-пра(і-\-I^^Ь(^у или понеже асІ—Ьс ,
то будетЪ оно трас-\-т^Ьс-\-прЬс-\-п^Ь(^ ,
которое сЪ.прежнимЪ во всемЬ сходно,

469.

ТакимЪ образомЪ изЪ данной какой
нибудь пропорціи 6 : ^“іо : 5 безко-
нечное множество другихЪ вывесть мо-
жно , изЪ коихЪ нЬкоторые здѣсь пред-
лагаемъ.

5:6^5 г ю , б : 10—3-у , 9:6—15: ю,

3=3=5 < 5	15—3'6 , :а=15 •• 5
4.70.	.

Когда вЪ каждой геометрической
пропорціи произведеніе крайнихъ членовЪ
равно произведенію среднихъ , то изЬ
данныхЬ трехЪ первыхЬ членовЪ можно
найти четвертой ; пусть будутЪ 5 пер-
вые члена 24:152240 Понеже произ-
веденіе среднихЪ членовЪ вЪ семЪ при-
мѣрѣ есть боо, то четвертый членЪ ум-
ноженной на первой т. е. на 24 долженЪ
произвесть также боо, слѣдовательно боо
на 24 раздѣлить надлежитъ , частное
даетЪ искомой четвертой членЪ; по че-
му выдетЪ сія пропорція 24: 152240:25,
и есіпьли вообще первые три члена бу-
дутЪ а •	, то поставь на мѣ-

сто неизвѣстнаго четвертаго члена бук-
ву й?, и тогда должно быть аік^Ьс , раз-
дѣливъ теперь сЪ обѢихЪ сторонЪ на а
получится </22— ; слѣдовательно четвер-
той членЪг^Ъри находится,когда второй
умножится на третей и произведеніе
раздѣлится на первой.
312 О СОДЕРЖАНІИ

4.71.

На семЪ основано изящное ариѳме-
тическое правило тройное : ибо вЪ немЪ
изЪ дангыхЬ трехЪ чиселЪ ищется та-
кое четвертое, которое сЬ протчими вЪ
геометрической пропорціи находится ,
іпакЪ что первой содержится ко второ-
му , какЪ третей кЪ четвертому.

472

При семЪ нЪкопюрыя особливыя об-
стоятельства примЪчать надлежитЪ , а
имянно: когда вЪ двухЪ пропорціяхъ пер-
вье и третьи члены одинаковы, какЪ то
вЪ сихЪ а\Ь~с-.сІ и а'./— то бу-
ду шЬ гпакожде вторые и чегпверп ые чле-
ны между собою пропорціональны , т. е.
тогда будетЪ Ь . */—/•. ибо когда изЪ
первой слЪдуетЪ а : с^:Ь 4 а изЪ другой
а : ссд/: то содержанія Ь : с/ и ме- ч
жду собою равны > потому что каждое
изЪ нихЪ равно содержанію а : с , и по-
сему когда 5 : 100—2 : 40 и 5 : 15—2 : 6,
гао слЪдусшЪ оттуда юо ; 4.0—15 : 6.

47?-
ипропорціи 313

473-

Есгпьли же двѣ пропорціи будутЪ
такого состоянія, что средніе вЪ нихЪ
члены будутЪ одинаки > тогда первые
члены находятся вЬ обратномъ содержа-
ніи четвертыхъ , а имянно когда а : Ь
’.сі и /: Ь=с ; то слЬдустЪ оттуду
а -/~ё : <1. Пусть будетЪ наприм. да.
на сія пропорція 24 : 8379 г $ и 6 іВ-р-.із ,
то выдетЪ изЪ того слЪдуюіцдя 24 •. 6
гз 12 : з, притчина сему довольно видна,
потому что первая пропорція даетЪ асі
~Ьс , а другая , слѣдовательно асі
и а  /~ё	или а-.

4-74-

ИзЪ данныхЪ двухЪ пропорцій мо-
жно всегда одну новую сдѣлать , когда
первые , вторые , третьи, и четвертые
члены помножатся между собою порознь.
ТакЪ изЪ сихЪ пропорцій а : Ъ~с ; сі и е/
; Ъ , ибо изЪ первой а(1~Ъс . а изЪ
второй еЪ—то будетЪ также а^еЪ~Ьс^
но аМ есть произведеніе крайнихъ а

У 5	^/ё
314- ОСОДЕрЖАНІИ

произведеніе среднихЪ вЪ новой про-
порціи , которые между собою равны.

4-7 5*-

Пусть будутЪ даны сіи двѣ про-
порціи б: ”і5:іо и 9:1222:15:20 ,
то составленіе оныхЪ даетЪ намЪ слѣ-
дующую пропорцію 6.9:4.12—15.15:10.20
т. е. 54 : 4§ ”225 : 200
или р 8 222 р : §
47$.	*

НапослЪдокЪ здѣсь еще примѣчать
надлежитЪ , что ежели два произведенія
между собою равны какЪ айс^Ъс > та
изЪ нихЪ можно опять сдѣлать геоме-
трическую пропорцію : ибо завсегда бу-
детЪ одияЬ множитель перваго произве-
денія , кЪ одному втораго произведенія,
такЪ другой множитель втораго ко вто-
рому перваго произведенія , а имянно г
а‘.с~Ьі(1 , когда на прим. 3-8~4.6, то
выходитЪ оттуда сія пропорція 8 : 4.
—6 : з или з : 4—6 8$ а когда 3.5:21.15,
то будетЪ з : 15—I : 5 или 5 : 122215 : 3
или $ -. 122.15 : 5.

ГЛАВА
ипропорціи ЗИ



ГЛЛВЛ IX.

Ийяснеще пропорцій.

4-77-

ѵуе ученіе столь нужно вЪ общемЪ жи-
тіи , что безЪ ыего никогда почти
обойтись не льзя ; ибо цѣны и товары
всегда между собою пропорціональны ,
и при разныхЪ родахЪ денегЪ главное
дѣло состоитЪ вЪ томѣ,, чтобы опре-
дѣлить между ими содержаніе. И такЪ
не безнужно будетЪ здѣсь изЪяснить
предложенныя наставленія и показать
употребленіе оныхЪ.

4-78.

Ежели потребуется сыскать содер-
жаніе между двумя родами монетѣ, на*
прим. между люидоромЪ и червонцомЪ ,
то должно смотрѣть чего каждая изЪ
нихЪ стоитЪ вЪ какомЪ нибудь треть-
емъ родѣ монеты , такЪ вЪ берли-
нѢ люидорЪ стошпЬ 5 талеровЪ и 8 гра-
ціей , а червонецЪ 3 талера , то приве-

ди
Зіб ©''СОДЕРЖАНІИ

ди только сіи деньги вѣ одинЪ родѣ мо-
нетъ, ш, е. или вЪ талеры; и тогда будетЪ
сія пропорція і люидорѣ : х червонцу
"5? талер. ; 3 тал или~іб : р; или вЪ
гроши, то выдетѣ сія пропорція; і люид.
I черв “ 12$ • 72—16 •. 9 , и изЪ такой

пропорціи получится содержаніе между
люидоромЬ и червонцомЪ , а для равенъ
ства крайнихЪ и среднихЪ членовЪ буду»
івЪ 9 люид— іб черв. Помощію сего сра-
вненія каждую сумму люидоровЪ обра-
тишь вЪ червонцы. гпакЪ когда спросит-
ся , юоо люидор. сколько дѣлаютЪ чер-
вонцовЪ ? то дѣлается сіе тройное пра-
вило 9 люид. дѣлаютЪ іб черв. сколько
юоо люид.? отвѣтѣ І777§ черв. естьли
же вопросѣ будетЪ : юоо черв. сколько
сосгпавятЪ люидоровЪ ? тогда дѣлается
сіе тройное правило ; іб черв. дѣлаютЪ
9 люид. сколько юоо черв. ? имѢюпіЬ

по которому цѣна рубля

562І люидора.

№

Здѣсь вЪ Петербургѣ цѣна червон-
ца перемѣняется по вексельному курсу ,
вѣ Голланд-5
скихЪ
скихЪ шгпиверахЪ опредѣляется , коихЪ
105 дѢлают'Ь червонецЪ,

И такЪ когда курсЪ вЪ 4^ штиве-
ровЪ, то пропорція будетЪ сія і рубль:
і черв. ~45 : 105 ~з : 7 и по сему сіе
уравненіе 7 рубл. — 3 черв. Отсюда найти
можно, сколько одинЪ червонецЪ дѢлаешЪ
рублей : ибо 3 черв.: 7 рубл. ~ і червон.
кЪ четвертому числу 2.| рубля. Естьли
же будетЪ курсЪ вЪ 50 штиверовЪ , то
имѣетЪ мѣсто сія пропорція і рубл. :
і черв. —$о : 105 = Ю : 2і ; почему 21
рубль , составляетъ іо червонцовЪ , и
отсюда і черв. — 2Т'3 рубля. Когда же
курсЪ будетЪ не болѣе 44 штиверовЪ ,
то і рубль*, і червон. ~44-: 105 , и
слѢд. 1 черв. ~2|^ руб. г^2 рубл. 38^ коп.

4,80.

Посему можно сравнивать монеты
больше, нежели; двухЪ родовЪ, что осо-
бливо вЪ векселяхъ очень часто случае-
тся ; для примѣру положимЪ , что нѢ-
Кшо хочстЪ оггсюда вЬ берлинЪ пере-
слать юоо рублевЪ » и желаетЪ знать
сколько
318 ОСОДЕрЖАНІИ

сколько показанное число рублей состд.
вляетЪ берлинск. червонцовЪ ; а здѣшней
курсѣ ~ 4.7І штиверовЪ [ га. с одинЪ
рубль дѢлаешЬ 475 Голландскихъ штиве-
ровЪ^ , погаомЪ 20 штиверовЪ дЪлаюгпЪ
Голландской гулденЪ , а аі Голланд-
скихъ гулденовЪ, составляютъ Голланд-
ской спсціесталерЪ ; курсЪ же изЪ
Голландіи вЪ берлинЪ есть 142 , т. е.
за юо спеціесталеровЪ платятЪ вЪ
берлинВ 142 рейхсталера, и наконецЪ і
червонецЪ сшоипіЬ вЪ берлинЪ 3 рейхс-

4§і.

КЪ рѣшенію сего вопроса присту-
пимъ мы по порядку начавЪ сЪ штиверовЪ}
когда і руб. — 47! штив. •. или 2 рубг
^=95 штивер.-.то полагается

2 руб.: 95 штив. ±2 юоо рубл. : 47500
штивер. потомЪ посылаю 20 штибер. : I
гулд -=47500 штив. кЪ 2575 гульденамЪ

Когда же 2^ гульдена ” » спеціестал.
т. с. 5 гульд. "2 спеціестал. то посылай
5 гулд.: 2 спеціестал,=2^2375 Г/ЛА «Ъ 950
сцец.
спецТсстал. Теперь приступимъ кЪ бер*
дйнскимЪ рейхсталерамЪ': по курсу 142,
на сто , будетЪ юо спеціесшалер. : 14г
рейхсспал. сг 950 спеціесшал, : кЪ 134.9 р.
іпалер. наконецЪ дошедЪ до червонцовЪ
полагаемЪ 3 р. тал.: і черв. гі 349 р. тал,
кЪ 449^ червонц»

4Ж

Для большаго изЪясненія *ей вы»
кладки положимЪ , что берлинской бан-
киръ выдать сей суммы не хочешЪ, подЪ
какимЪ бы то видомЪ ни было , а пла-
ЕпитЪ вексель сЪ вычетомЪ 5 процентовъ,
Ш. е. вмЪсто ю$ даетЪ только ісо, то
.для сей притчины надлежитъ кЪ прежнему
прибавить сіе тройное правило :
|іо<5 : ЮО х^449? : 428^ червонцамЪ.

4§3-

КЪ сему хотя и требуется 6 вы-
кладокЪ по тройному правилу, однакожЬ
найдено средство сокращать сіе счисле-
ніе помощію такЪ называемаго полнаго
лрапилсь Для изЪясненія сего правила
возмемЪ
320

О СОДЕрЖА НІ И

возмемЪ изЪ 6 ши прежнихъ выкладокЪ 5
каждые два передніе числа вЪ разсужденіе
и здѣсь предложимъ :

I) 2 руб. : РЦ ПІТПИВ. II) 20 штп. !І гулд4
ІІІ)У Голл.гулд.:2сп,тал. ІѴ)юосп.тпал.‘. 14.2 р.тпал,
Ѵ)з р. іпал.: х черв. VI) хо$ р. піал. : хоо р. гаал.

разсмотрѣвъ прежнее вычисленіе на-
ходи мЪ мы ) что предписанную сумму
вездѣ множили на второй членЪ , а на
первой дѣлили > откуда видно і что то
же самое найдется , Когда предложенная
сумма вдругЪ на произведеніе изЪ всѣхЪ
вторыхЪ членовЪ умножится, и на про-
изведеніе изЪ всѣхЪ первыхЪ раздѣлится ,
или здѢлается сіе одно тройное правило :
какЪ произведеніе всѣхЪ первыхЪ членовЪ
содержится кЪ произведенію всѣхЪ вшо-
рыхЪ , такЪ данное число рублей кЪ чи-
слу червонцовЪ і которые вЪ бсрлинѢ
выдать должно.

4.84..

Сію выкладку еще больше сокра-
тить можно : ежели одинЪ какой нибудь
иэЬ первыхЪ членовЪ равенЪ одному изЪ
вторыхЪ
ртпорыхЪ , то обѣихЪ ихЪ вымарать ,
или ежели они оба. дѣлятся другѣ на
д уга или на одно дрѵгсе какое нибудь
чи:ло , то частныя на ихЪ мѣста ста-
вить должно ; почему прежней примѣръ
здѣланЬ будетЪ такЪ :

х
хх

5/

1 ОО

3

XXX ’*

(Н 19
I

X

142
і

1 000 РУвій»

бзХХ :	2<5рз -27" :оХХ жъ иекамг. 4г*

7)2 б 9 8 о

<>)3 8 < 4^
428(2

4.8

При употребленіи сего цѣннаго
правила наблюдать должно сей порядокЪ:
начинай сЪ самаго тогожЪ роду монетѣ,
о которомЪ спрашивается , и сравнивай
его сЬ другимЪ какимЪ нибудь , сЪ ко-
тораго начинай слѣдующее содержаніе и
сЪ нимЪ сравнивай третей родЪ . такѣ
чтобЪ каждое содержаніе сЬ того рода
ф	монетѣ
322 О СОДЕРЖАНІИ

монепіЪ начиналось , когпорымЪ прежде
кончилось , и піакимЬ образомЪ продод,
жай до піѣхЪ порЪ , пока придешЪ до
того рода монетЪ , о которомЪ рѣчь
будетЪ , и наконецЪ причисляются еще
и росходы.

4.86.

КЪ большему изЪясиенію прилагаемъ
еще нѣкоторые вопросы :

Когда червонцы вЪ Гамбургѣ однимЪ
процентомъ больше нежели г рейхсталера
банко [;гп. е. 50 черв. дѣлаюшЪ не юо
но юі р. тал. Вр , а курсЪ между
Гамбургомъ и КенигсбергомЪ, ир грошей
ПольскихЪ рп. е. ір. тал В° дѣлаетЪ ир
грошей Польск-3 спрашивается , сколько
юоо червонцовЪ составятъ ПольскихЪ
гульденовЪ. [ 30 грошей Польск. дѣлаютЪ
1 Польской гульденЪ^

ДО

ЧеЯ. і :	X ?. талера	1000 ЧвРВ.

Ва	г

*
і г чд грош- пельск.

во »	> гуль/, лольек.
« із°ір - юоо, : хъ иском;

«зоіро^Д «012 г Червонц.

3? 4ос®з (»	®

4-8*7-

Ради большаго сокращенія спраши-
вающее число ставить можно надЬ вто-
ры мЪ рядомЬ : ибо тогда произведеніе
второй строки раздЪливЪ на произведе-
ніе первой получится желаемой отвЪтЪ.
БопросЪ : ЛейпцигЪ получаетЪ изЪ Ам-
стердама червонцы ѵ которые тамЪ
гульденовЪ и 4 іптивер. ходячихЬ дснегЪ
стоятЬ, |^т. е. червонецЪ стоитЬ 104.
штивера или 5 червонц. дЪлаютЪ 2 6
Голланд. гульденовЪ, и когда А жіоди В°
вЪ Амстердамъ $ процентовъ, [рп. с.
105 ходячихЪ дЪлаюшЪ іоо В°] ; а век-
сельной курсЪ изЪ Лейпцига вЪ Амстер-
дамъ вЪ банкЪ 133? процентовъ [гп. е. за
хоо р. тал. В° вЪ ЛейпцигЪ плашятЬ
,133? р- тал.] но 2 р. тал. Голланд, дЪ
ЛаютЪ 5 Голланд. гульденовЪ , сколько
ф а талеровЬ
324. О СОДЕРЖАНІИ

іпалеровЪ по симЪ вексельнымъ курсамъ
вЪ ЛейпциіЪ заплатишь должно за юоо
червонцовЬ.

черв.

Жерв. X :	2 6 голл. ходяч. гульд.

До.

ХХДи) : 4.(20) /00 Голл. гульд.

й°-

$	;	X талера Голл.

(кХХ (X) 5	5зз тал. въ Лейпц з

2 1	г 55+зг^!

і’) 13477^*
7 у	. у

2бдр 57 піаллеровЪ

или 2б2р тал: и і$ гут. гроіш

ЧѴі Ѵч ЮЧ «Ч ЧОч кЭч ЧОч Ч»ч ЛОч кл кЗч лоч кл крч МЛ ѵсч	коч лв» <о

ГЛАВА X.

О сложныхъ содержаніяхъ».

488.

Два или больше содержаній складывают-
ся вмЪстЪ, когда какЪ предЪидущіе, іпакЪ
и послѣдующіе оныхЪ члены между со-
бою помножатся , и тогда говорится ,
что содержаніе между обѣими сими про-
изведеніями есть сложенное изЪ двухЪ
или больше данныхЪ содержаніи.

ТакЪ
и пропорціи

ТакЪ изЪ сихЪ содержаній а-.Ъ ,
произходишЪ чрезЪ составленіе сіе
удержаніе асе

489.

Понеже содержаніе не перемѢняет-
, когда его оба члена на одно число
раздѣлятся , то прежнее составленное
содержаніе сократить можно , ежели
предЪидущіе члены вЪ сравненіи сЪ по-
слѣдующими уничтожатся или сократят-
ся , какЪ вЪ прежней главѣ, показано.

По сему изЪ слѣдующихъ данныхЪ
содержаній сложенное найдется такимЪ
рбразомЬ:

данныя содержанія сушь

XX (яО (2)  (з)ХХ

XX (О

XX С//) : (х)хХ

? ' 5

Слѣдовательно получится по сложе-
нію сіе содержаніе а : 5.

490.

ф 3
326

О СОДЕРЖАНІИ

4с о.

Сте самое вообще бываетЪ и прц
бѵквахЪ , особливо сей случай достоинЪ
примѣчанія гдѣ всегда предЪидущей членЪ
равенЪ прежнему послѣдующему. ТакЪ
Когда данныя содержанія будутЪ

а : Ь

Ъ : С

С : (І

І: е

г: а то сложное иаЬ нихЪ
содержаніе і : і

49г.

Для показанія пользы сего ученія
примѣчать надлежитъ , что два четыре-
угольныя поля такое содержаніе между
Собою имѣютЪ » которое сложено изЪ
содержанія ихЪ длины и щирины.

Пусть будутЪ наприм. два такія
поля А и В, одного длина 500 футовЪ , а
ширина 6о футовЪ, другаго же длина 360
фут. а ширина юофуш. то содержаніе
длины
И П РІО П О р Ц I И 327
ршпы есть 500 ; 360 , ширины какЪ
іэо , чего ради будетЪ.

: ?М<5)
в? :	слѣловлшелъна поле А

»мр!кипіся къ полю В какъ $ : б

492

Другой примѣрѣ пусть будетЪ поле
А вЪ длину 720 футовЪ , а вЪ ширину
88 фут: , поле В вЪ длину ббо фут.,
вЪ ширину 90 фут., то надлежитъ слѣ-
дующія два содержанія сложить вмѣстѣ
длины	і (іХ6).^

ширины 4 і ?

I б : і 5 и сіе есщ»
содержаніе поля А кЪ полю В.

4-93

Для сравненія двухЪ мѣстЪ , или
пространствъ двухЪ покоевЪ между со-
бою надлежитъ знать , что содержаніе
ихЪ сложено изЪ трехЪ I) изЪ содержа-
нія длины, II) ширины, и напослЪдокЪ III)
высоты. Пусть будетЪ одинЪ покой Д

Ф 4	коего
325 О СОДЕРЖАНІИ
коего длина ~^6 фугп. , ширина ~іб
фут. и высота “ 14 фут. а другаго
покоя В длина —42 фут. , ширина -24
фут. и высота — ю , то будутЪ три
содержанія длины	•.

ширины
высоты Х#(Х) :

+ : ? и такЪ
пространство покоя А кЪ пространству
покоя В содержится какЪ 4:5.

4-Р4-

Ежели слагаемыя симЪ образомЪ
содержанія равны между собою, шо про-
изходятЪ изЪ того умноженныя содер-
жанія ; шо есть изЪ двухЪ равныхЪ
произходишЪ удвоенное , или квадратное
содержаніе , изЪ шрехЪ равныхЪ утроен-
ное , или кубичное содержаніе , и шакЪ
далБе. По сему изЪ содержаній а : Ь и
а : Ь будетЪ сложенное содержаніе а :
чего ради говорится , что квадраты на-
ходятся вЪ удвоенномъ содержаніи ихЪ
корней і а изЪ содержанія а : Ь трижды
взяшаг®
рзягпаго выходи’пЪ «’:&*, и для того го-
ворится , что кубы находятся вЪ утро4
енномЪ содержаніи ихЪ корней.

49?-

ВЪ геометріи доказывается , что
площади двухЪ круговЬ находятся вЪ
удвосннсмЪ содержаніи ихЪ поперешни-
ковЪ, т. е. они содержатся между собою
такЪ какЪ квадраты ихЪ поперстниковЪ.

Пусть будетЪ такая пл.ощадь круга Л,
котораго поперсшникЬ фут. ; а дру-
гаго В поперешникЪ гщо фут. , то бу-
детЪ оная площадь содержаться кЪ сей,
какЪ 45-45 З0.30 или ихЪ содержаніе 9
Сложено изЪ сихЪ двухЪ ;

:	Ж0)® слѣдов. схя,

[площади содерж. какЪ 9	:	4

496.

Доказывается также , что толщи-
ны двухЪ шаровЪ содержатся какЪ кубы

Ф 5	' ихЪ
330 ОСОДЕрЖАНІИ

ихЪ почерешниковЪ : и такЪ ежели по*
переіпникЪ одного шара А будетЪ вЪ
одинЪ фуіпЪ , а другаго В будетЪ вЪ г
фута , то толщина шара А , кЪ тод,
щинЪ шара В содержится какЪ і : 8.

И по сему когда оба сіи шара изЪ
одной состояшЪ матеріи , то шарЪ В
будетЪ вЪ § разЪ тяжелЪе шара А.

+9’7-

По сему можно находить вЪсЪ пу-
течныхЪ ядерЪ изЪ ихЪ доперешниковЪ ,
естьли только одного какаго нибудь
ядра вЪсЪ будетЪ извЪстенЪ. Пусть бу-
дешЪ наприм. одно ядро А , г. дюйма вЪ
поперешникЪ, и вЪсомЪ вЪ $ фунгповЪ ,
то спрашивается о тяжести другаго
ядра , коего поперешникЪ вЪ 8 дюймовЪ,
чего ради пропорція будетЪг’: 81 такЪ 5
кЪ четвертому искомому 320 фунтамЪ,
іп. е. кЪ вЪсу ядра В. Другаго ядра С ,
котораю поперешникЪ --15 дюймамЬ ,
вБсЪ найдется такимЪ оброЗомЪ 2*: 15’
~ 5 фунт кЪ четвертому искомому
ЯЮ5І фунга.

498'
498.

Когда потребуется содержаніе двухЪ
дробей какЪ • д- > то можно его всегда
изобразить цѣлыми числами ; ибо когда
только обѣ помянутые дроби помножа-
тся на Ъсі, то произойдетъ содержаніе-
асі: Ъс ; которое прежнему равно, и для
того сія пропорція справедлива ~

Ьс, и ежели содержаніе асі-.Ьс можно бу-
детЪ еще сократить , то содержаніе
будетЪ гораздо легче, какЪ У такЪ
15.36 : 24.25 ~ 9 ; ю, .

499.

Спрашивается какЪ сіи дроби * й 5
будутЪ между собою содержаться ? Здѣсь
видно , что |: 5 — Ь : а, что словалз?
изобразится такЪ : двѣ дроби у кото-
рыхЪ числители равны і, содержатся ме-
жду собою обратно , какЪ ихЪ знамена-
тели: сіе же самое бываетЪ и при двухЪ
дробяхЬ ,у коихЬ числители равны между
собою: ибо : С^—Ъ ; а т. е. содержатся
обратно , какЪ ихЪ знаменатели. Когда

же.
33$ О СОДЕРЖАНІИ
же дроби имЪпіь будутЪ одинакихЪ зна?
менателей , какЪ ~то содержатся
сни какЪ ихЪ числители [вЪ прямомЪ, а
не вЪ обратномъ содержаніи] , а имянно
какЪ а : Ъ. Пссему Г- ~ а : і и * : *

ІО : 15 ИЛИ 2 : 5.

<?оо.

При паденіи итЬлЪ примЪчсно, что
вЪ одну секунду ігіБло паденіемЪ свсимЪ
переѵодитЪ 15 фѵггювЪ , вЪ 2 секунды
псребЪгастЪ оно вЪ низЪ 6о футовЪ, вЪ
3, 1^5 ф>уга. и изЪ того заключили , что
высоты содержатся между собою какЪ
квадраты временЪ , и обратно времена
содержатся между собою какЪ квадратные
корни вь’СотЬ.

Есіі’ьли кто спроситЪ , во сколько
времени упадепіЪ камень вЪ низЪ сЪ высо-
ты 2160 фіѵтовЪ , то содержаніе бу-
детЪ 15:2160 ~і , кЪ квадрату иско-
маго времени; итакЪ квадратЪ искомаго
времяни — 144» а самое время есть 12-
секундЪ.
^ОІ.

Когда спрашивается сколь глубоко
упасть можетЬ камень вЪ одинЪ часѣ ,
т. е вЬ 3600 секундѣ?. то посылай какЪ
квадраты времянЪ, ш. е. і : зб_ю2, такЪ
данная высота 15 фут. кЪ четвертому
или -искомой высошЪ.

И такѣ I : 1296000 кЪ иском.

194.4.00000 фут.

6480

1296

194400000

Естьли мы щлтать будемЪ 24000
фут. на одну нѣмецкую милю , то оназ
высота буденіЪ 8юэ миль, которая бу-
детЪ больше нежели вся толщина земли.

$02.

Подобныя обстоятельства наблю-
даются при оцѣнкѣ дорогихЪ клмсньсвЪ,
При которыхЪ не на самой ихЬ вѣсѣ, но
На большее содержаніе смотрятЬ. При
алмазахЪ наблюдается сііе правило , ”<гю
цѣна
594- ОСОДЕрЖА.НІИ

цЪна ИхЪ содержится такЪ какЪ квадратЪ
вѣса , или содержаніе цЁнЪ равно удво-
енному содержанію вЪса. БЁсЪ, кото-
рымЪ ихЪ вТсятЪ называется карашЪ и
содержитъ 4 грана , по сему когда ал-
мазЪ ъЪсомЪ вЪ одинЪ каратЬ стоишЪ 2
рубли , то алмазЪ вЪсомЪ во юо ка-
ра товЪ, столько разЪ больше стоять бу-
детЪ , сколько квадратЪ юо больше ква-
драта і цы , почему тройное правило
поставишь должно такЪ :

і : і оо — 2 рубл.

Или і : і ооо о—2 рубл. кЪ четверо
тому искомому 20000 рубл. ВЪ Пор-
тугаліи находится алмазЪ вЪсомЪ вЪ
1680 каратовЪ , которому цЪна по
вышенайденному найдется такЪ.

іа : іб8о’ ~2 рубл. . .или і : 2822400 кЪ
четвертому 5644800 рублей.

50;.

Достопамятной примЪрЪ сложныхЪ
содержаній даютЪ намЪ почты > гдѣ по-
чтовыя деньги по сложенному содержанію
числа
ипропорцій 33?

ІЧйсла лошадей и числа миль плашятЪ ;
такЪ когда за одну лошадь на милю
8 грошей , или | талера дается , то
Хочу знать сколько за 2$ лошадей на 4'
мили заплатить должно ? Здѣсь ставится

іВОпервыхѢ содержаніе лошадей і : 28, подЪ
[симЪ пишется содержаніе миль 2 : 9 и оба
содержанія складываются вмѣстѣ шакЪ 2 :
252 или короче і 126, такЪ | талера ,
кЪ четвертому искомому 42 івалерамЪ.

Когда за 8 лошадей на 5 мили пла-
тится червонецЪ , то чіпо должно дать
За зо лошадей на 4 мили ?

Выкладка будетЪ слѣдующая*.

а
і
искомому

Г—। червон. кЪ четвертому
5 червон, слѣдовательно за-

платить должно 5 червон.

$04.

Сіе сложное содержаніе случается
также и при работахЪ , гдѣ плату по
сложенному содержанію числа работни-
ковъ и числа дней чинишь должно.

ТакЪ
Зз5 ОСОДЕрЖАНІИ

ТакЪ наприм. когда одному камень
,щику каждой день дается по ю грошей,
хочу знать , сколько заплатишь должно
24 каменьщикамЬ , которые 50 дней ра~
богаали ? выкладка будетЪ такая

1 : 24

I : 50

і : і2оо == іо грош. : 500 р. тала
ІО

12000 грош.

3' 4000

5°° ігалер.

Понеже вЪ семЪ примЪрЪ дано 5 чле-
новЪ , то правило сіе вЪ ариѳметиче-
скихъ книгахЬ называется ллтернымЬ.

47* '-О'' ЧР»

Г Л Л В Л. XI*

О геометрическихъ прогрегсіяхЪ.

505.

РядЪ вЪ непрерывномъ содержаніи уве-
личивающихся или умаляющихся чиселЪ
прогрес*
ипропорціи 337

Ьрогресссгею геометрическою называется ;
а число , которое показываетъ во сколько
ЬазЪ каждой членЪ больше своего предЪи-
дущаго , именуется знаменателемъ. И
пакѣ когда первой членЬ і, а знаменатель
2,, то прогрессія геометрическая есть слѣ-
дующая :

йены і, 2, з, і, 5 , б , 7 , 8 , 9 , ю
ірогре. і , 2 , 4, 8 , 15,32 , 64,128 , 2 55 , 512
и протч.

указатели поставленные здѣсь на верьху,
показываютъ кЪ которому мѣсту каждой
рленЪ принадлежитъ.

^об.

Ежели вообще первой членЪ ста , и
Знаменатель Ь, то прогрессія геометри-
ческая будетЪ :

2 . аЬ , аЬ2, аЬ\ аЬ\ аЬ1, аЬ6, аЬ7,. . аЬп~х
и іпдкЪ когда сія прогрессія состоять
5у істЪ изЪ п членовЪ то послѣдней ея
членЪ " аЪп~~1. Здѣсь примѣчать надле-
китЪ, когда знаменатель будетѣ больше
іцы , то члены всегда растутЪ.

X

Естьли
33$ О СОДЕРЖАНІИ

Естьли же Ь~ і , пю всѣ члены ра-
вны будутЪ, и наконецЪ ежели Ъ будетЪ
меньше і цы , или дробь , то члены часЪ
отЪ часу умаляются » ггіакЬ когда лгі,
Ь , то произойдетъ сія прогрессія
I , і , Ы . ТІ , й > 4 > и протч.

_ М-

Здѣсь разсмотрѣть еще надлежитъ
слѣдующіе вещи.

11 первой членЪ, которой здѣсь а >
П) знаменатель, которой здѣсь Ъ ,
III.) число членовЪ, которое положено
ІѴ.)послѢднсй членЪ, кошор. нашелсяга^71-’

Почему когда даны три первые вещи »
то послѣдней членѣ найдется , когда
(п— і)шая степень знаменателя , т. е.

'на первой членѣ помножится.

Ежели бы кто похотѣлѣ знать 50 той
членѣ вЪ сей геометрической прогрессіи
і) 2 , 4> и протч. то будетЪ ,
2 , п~50 , почему 50той членѣ ^24р;
но 2 ддуга, то 2'^1024, сего квадратѣ
2 2221048576, сего числа паки квадратѣ
—юр9511627776 и когда 2** на а®
^512 умножишь , то получится 24*
Ь^іа. 1099511627776025625)49953421312».

508-

Здѣсь особливо спрашивается ка-
кимЪ образомЪ сумму всѣ'хЪ членовЪ та-
кой прогрессіи «находишь должно , что
здѣсь показать намѣрены ліакЪ^
|іусть будетЪ сперва состоять ,сія
прогрессія изЪ іо членовЪ і. 2,4,8*
, 32 , 64 , 128	256 , 512 .

которой сумму изЪявимЪ буквою у такЪ
ршо у — і •4“ 2—|—4—I—84~ '$6 4- $ 2—}— 6 4—|—128
рр-2564-512* то сія прогрессія .дважды
^зягпая будетЪ 2 /'22324-44-84-164-32
4-644-1284-2564-5124-1024 , изЪ сей
вычти верхнюю прогрессію , вЪ осгпага-
кѢ будетЪ у~ 1024—1 — 1023* и слѢдо-
рашсльно искомая сумма будешЪ 221023.

ВозмемЪ теперь вЬ сей же самой
Прогрессіи число членовЪ неопредѣленное
и положимЪ ігг и, такЪ что сумма бу-
дешЪ у—14-24-2’+ 2г. - 244-.... 4-24"1,
X а , сію
34© О СОДЕРЖАНІИ

сію умноживЪ на 2 будетЪ зуЪог-Д-з*
-4-2т4- 2.+....4- 2", изЪ сей удвоенной

вычти первую , то найдется/ ~ 2п— і; по
сей притчинѢ искомая сумма получится,
когда послѣдней членЪ 2В~' умножится н<
знаменателя прогрессіи 2 , то произой-
детъ 2П, и изЪ сеі о вычесть і цу.

$ іо.

ИзЪяснимЪ сіе правило слѣдующими
примѣрами, полагая вмЬсшо п по порядку
і , 2 , 3,4, 5 > и протч. , какЪ і ~ і,
і ~4~ 2 ;—„ З’і "Ъ- —Н 4—7 > Н— 2 *4 4 4- 8
гг 15 , 14-24-44-8 4- 1620:31 , 1-4-2-4-4
-4-8-4-16-4-32—6 5 и протч.

рі.

Здѣсь обыкновенно случается сей
вопросЪ : нѢкто продаетЪ свою лошадь
по числу подковныхЪ гвоздей , которыхЪ
она имѣетЬ 32 , за первой гвоздь про-
ситЪ онЪ і пфеннингѣ , за друюй 2 , за
третей 4, за четвертой 8 , пфен. и
всегда за слѣдующей вЪ двое больше ,
нежели за ближайшей передЪ нимЪ по-
слѣдней .
И пропорціей 34-Г
ілѣдней , спрашивается сколь дорого
Лошадь стоитЬ ?

Здѣсь надлежитЪ геометрическую
Еогрессію і,2, 4, 8, іб и протч. продол-
ть даже до 32 го члена и ВсѣхЪ ихЪ
<ашь сумму. Но понеже послѣдней членЪ
г" и выше сего найдено, что а2Э —1048-
Ьб, то умножь сіе число на 210 “ 1024.
удетЪ 230^ 1073741824, потбмЪ помножь
|це сіе число на а, и выдетЪ агі — а 147
$83648 , слѣдовательно сумма будетЪ
эавна сему числу дважды взятому и един-
ицею уменьшенному :

.4294967295 пфек. 5 оерати ихЪ вЬ гроши
у І4748 Зб47(і

6)-----------Г т

3579І394Іѵ гроши из пфен. даютЪ тал»
119304647 (у

Ю 14913080 слѢдов. талер. 21 грошЪи 3 пфек.
|?детЪ цѣна лошади.

512.

Пусть будетЪ теперь знаменатель
ЗЬ 3 и прогрессія геометрическая і , 3 ,
$ , 27 , 8 т , 243 , 729 , сихЪ 7 ми чле-
НовЪ сыскать сумму ?

X з	Положи
54-2 ОСОДЕрЖАНІИ

Положи ея п/, то /—14-34-9+27
+ 81+2434-729, умножь сію сумму на
3 будетЪ з/— 4-9 4-27 4- &і 4-243
4-7294-2187 , изЪ сего вычти первую
прогрессію , то получится 2/^2187-х
— 2іЗб удвоенная сумма, слѣдовательно
самая сумма — 1093,

$1 +

ВЪ сей же самой прогрессіи, пусявь
будетЪ число членовЪ — п и сумма
п: / , такЪ что /— і 4- 3 4- 32 -+ з?
-+- з*<..... + з^' помноживЪ на 3 вы -

депіЬ з/=г з 4- 5* 4- 3* 4~ 3*. • • • • • + 3е

изЬ сей вычти первую , то всѢ члены
нижней прогрессій выключая послѣдней
и всѣ члены верхней кромѣ перваго вЪ
сравненіи другЪ сЪ другомЪ уничтожат-
ся и получится 2/+= /— і, слѣдователь-

но /~ 3”~і»

И такЪ сумма сеЙ геометрической
прогрессіи найдется , когда послѣдней
членѣ умножится на 3, и изЪ произведе-
нія вычтется і, а остатокЪ раздѣлится
ИПрОПОрЦІИ	34-з‘

ра а , какЪ изЪ слѣдующихъ примѣровъ
ридно: 1 = 1, 14-3 — 3-3-І — 4; 14-34-9

угр-З-і-іЗ, 14-34-9+^7 = 27.3-1-40;

1 4-3 4-94-274-$! ~ 3-31 — 1 = 122.

54- '

ПоложимЪ теперь вообще' первой
ЧленЪ ~а > знаменателя ~Ъ , число чле-
н вЪ —п , и сумму ихЪ ~/, такЪ что
/ - а-\-аЬ Ч- аЪг аЬ* -^г аЬ\ ..... -\-аЪп~"1
сіе помножь на к, выдетЪ

/уі—-4—Л& 4~й& ~\~сіЪ —\—йЪ^•,... Ч—
изЬ сего вычти верхнюю прогрессію ,
будетЪ

{Ь-і\С~аЪп—а , почему искомая сумма
У = а Ьп —а ; слѣдовательно сумма каждой
геометрической прогрессіи найдется , ко-
гда послѣдней членЪ умножится на зна-
менателя прогрессіи , и изЪ произведенія
вычгпется первой членЪ, а остагпокЪ раз-
дѣлится на знаменателя уменьшеннаго
іцею,

515.

X 4
Дана геометрическая прогрессія со-
стоящая изЪ 7 членовЪ , вЪ которой
первой членЪ — 3 , а знаменатель — 2 ,
то есть 3, Ь^-^- и я~7» слѣдовательно
послѣдней членѣ—3.2*, т. е. 3.64—192.

И самая прогрессія — 3, б, 12, 24,
48, 96, іоі.. Теперь помножь послѣ-
дней члснЪ 192 на знаменателя 2 даетЪ
384 , изЪ сего вычти первой членЪ, бу-
детЪ з 8 і ; и сей остатокЪ раздѣли на
Ъ— і , ш.е, на і, будетЪ 381 , которое
число изЪявляешЪ сумму прогрессіи. -
$іб.

Пусть будетЪ дана еще геометри-
ческая прогрессія изЪ б ши членовЪ со-
стоящая ; перво® ея членЪ — 4, а зна-
менатель — такЪ что прогрессія бу-
детЪ 4 , 6 , 9 , ~ ~ ~ сей послѣдней
членЪ умножь на знаменателя I вы-
детЪ 2^. отсюда вычти первой членЪ 4>
вЪ остаткѣ будетЪ , которой должно
раз-
И пропорціи 34-5
раздѣлишь на Ь— і вЪ частномЪ вы-
дешЪ искомая сумма прогрессіи ,бр ^з8,3^.

> П.

Когда знаменатель будетЪ меньше
і ЦЫ , пю члены прогрессіи ума ляются,
и можно опредѣлишь сумму такой без-
конечной прогрессіи.

Пусть будетЪ наприм. первой члснЪ
і , знаменатель и сумма гг [,
такЪ что / ~ і 4- ' 4- ’ 4-I4-^ 4-^ 4- и
такЪ безконечно,- умноживЪ оную на а,
будетЪ а / — 2 4- і 4- і 4- 4-1 -4--4~ /г
и протч. безконечно, изЪ сей вычти верх-
нюю прогрессію , останется /~ 2 иско-
мая сумма безконечной прогрессіи.

^8.

Пусть будетЪ еще первой членЪ
~ і , знаменатель — |, сумма такЪ
что у'г..—' | —|— 54- —|— I зг и такЪ далѣе
безконечно , помноживЪ всю сію сумму
на 3 будетЪ 33 4- і -Н 4- Ь-Н «г4-4
и протч. безконечно , изЪ сего  вычти

X 5	верх-
3^6 О СОДЕРЖАНІИ

верхней рядЪ, останется 2/2x3 ? слѣдо-
вательно сумма —- і|г

ПР-

ПоложимЬ первой членЪ 2x2 , зна-
менателя х*| сумму —/> такЪ что 2
4-144 4-йи протч. безконечно у
помножь сей рядЪ на |, шо будетЪ *
Г— | -}-2 -Н -+- 55 -Ьт^ и протч. без-
конечно , изЪ сего вычти верхней рядЪ
останется //“/слѣдовательно самад
сумма будетЪ точно 8.

520.

Когда вообще первой членЪ Поло-
жится ~ а , знаменатель прогрессіи — ~
клакЪ что сія дробь меньше і цы, и слѣ-
довательно Ь меньше нежели с , шо мо-
жно сумму сей безконечной прогрессія
сыскать слѣдующимъ образомЪ : положи
/— а 4- 4- 4 -ѣ 4 4 и пРотч''
конечно , умноживЪ здѣсь на ~ будетЪ
У = 4-^ 4-§ 4- 4: 4-4Г и протч.
безконечно; сей рядЪ вычти изЪ верхняго?
що останется (і— ~)/—а9 слѣдователь-

но
но у — х помножь теперь сверьху и

снизу на с, получится , почему
Сумма такой безконечной прогрессій

И такЪ сія суммд. находится , когда
первой членЪ а на і знаменателемЪ

уменьшенную раздѣлится*, ила изЪ і вы

чти знаменателя прогрессіи и на оста-
токъ раздѣли первой членЪ, частное по-
кажешЪ сумму прогрессіи.

$21.

Когда вЪ такой прогрессіи знаки

4- и ~ перемѣняются , то ея сумма

подобнымъ образомЪ найдется : ибо
пусть будетЪ /—а - 4- й-~ — С-|І 4-^ и
протч. помножь сей рядЪ на то Су-
детЪ ~	и ПРОШЧ- сло-

жи сей послѣдней сЪ верхнимЪ, то про-
изойдетъ (14-^)/—а , откуда найдется

Искомая сумма Г ~ ъ или —
3^8 О СОДЕРЖАНІИ

$22.

ПрмліЪрЬ : пусть будетЪ первой
членЪ а —Ь знаменатель прогрессіи — ’,
то есіль 6—2 , с~5 , то ряда ®. 4-/?
-4-ііІ Н-в!? и протч. сумма найдется
такЪ: вычти знаменателя прогрессіи изѣ
і , и на остатокЪ | , раЗдЪди первой
членЪ искомая сумма будетЪ — і.

Когда же знаки -4- и — перемѣняются
и предложенъ будетЪ слѣдующей рядЪ :

| — г?-Н та; ~ и протч. , то его
сумма будетЪ ——ъ— I

іЪ с |

$23.

Для упражненія предлагается здѣсь
безконечная прогрессія 4- Т|5 -р- ,|33
4- тзі«-+- тбібоо и протч. , вЪ которой
червой членѣ : знаменателя — вы-
шіи изЪ единницы и на остатокЪ раз-
дѣли первой членѣ , частное покажетЪ
іскомую сумму^Ъ

когда
Когда возмется одинЪ только членЪ
, то не досіпаетЪ еще 5’д ; а когда
возмутся 2 члена /5 Н~ т|3 = іЪ , то до I
не достаешЬ еще итакЪ далѣе.

Ежели данЪ будетЪ безконечной
рядЪ ріо® ~Ъ* імз —I- уазоо Н и протч»
дервой его членЪ р , а знаменатель /3 ,
чего ради вычти сего знаменателя изЪ
і , на осіпатокЪ /3 раздѣли первой членЪ,
частное даетЪ искомую сумму гх іо. Здѣсь
примѣчать надлежитЪ , что сей рядЪ
представленЪ быть можетЪ десятичною
дробью; шо есть р,9999999 и пр°тЧ”

ЧРч	Ч3\ Ѵфч Ч2Х Ч^ ЧСХ ѵе\ Ч^ Ч^ ЧСч 'ЙХ Ч=\ чск ЧХ Ч5\

ТАЛВ/д XII,

О безконечныхъ десятичныхЪ дробяхЪ

$2?.

Выше сего видѣли мы , что при лога-
риѳмическихЪ выкладкахЪ мѣсто про-
стыхъ дробей десятичныя употребля-
ются , что и вЪ друіихЪ счисленіяхЪ сЪ

іе
3$о О СОДЕРЖАНІИ
не малою пользою дѣлается. И такЪ
здѣсь показать надлежитъ , какимЪ обра-
зомЪ простая дробь вЪ десятичную пре-
вращается , и какЪ обратнымъ образомЪ
величину десятичной дроби простою дро-
бью изобразить должно.

>2б.

Пусть будетЪ вообще данная дробь
которую вЪ десятичную дробь обра-
тить надобно. Понеже сія дробь пред-
ставляетъ частное произшедшее изЪ
дѣленія числителя а на знаменателя Ь ,
то вмѣсто а поставь сію формулу а>
осооооо, которая ни что иное какЪ
число а изображаетъ , потому что ни
одной югпой ни одной юо и протч. ча-
сти при ней не находится. Сію форму-
лу раздѣли теперь на число Ъ , по обык-
новенному правилу дѣленія , причемЬ
примѣчать только надлежигпЪ , чтобЪ
запятая отдѣляющая цѣлое число отЪ
дроби десятичной, была вЪ надлежащемъ
мѣстѣ поставлена. Сіе изЪяснимЪ мЫ
слѣдующимъ примѣромъ :

Пусть
И пропорціи

Пусть будепіЪ данная дробь |, то
десятичное дѣленіе есть такое -V Т>«»^»
" I, отсюда видимЪ мы , что | то же ,
что и о, 500000 5 или что и 0,5 : ибо
десятичная дробь Гз столь же велика
какЪ

Пусть будетЪ дана еще дробь ~ ,
то десятичная будетЪ сія	и ирош.

Отсюда видно , что сія десятичная
дробь равная $ ши нигдѣ не кончится , но
продолжается безконечно чрезЪ 3 ; слѣд.
всЪ сіи Дроби ІзЧ- гІз-НтоІз-Ь

+* тгзбззз-4- и протч. безконечно вмѣстѣ
взятые дѣлаютЪ точно | , какЪ уже
выше сего показано.

Вмѣсто | находится слѣдующая де-
сятичная дробь, которая равнымЪ обра-
зомЪ продолжается безконечно	з,

что также изЪ прежняго явсшвуешЪ:
ибо сія дробь вдвое больше прежней.
О СОДЕРЖАНІИ

$28.

Ежели дана будетЪ дробь $ >, то
десятичное дѣленіе будетЪ	~ ,

слВдовательноі тоже что и 0,25000 или
о , 25 ; потому что^4-	,

равнымЪ образомЪ вмЪсто | получится
деслтичная дробь	слЪд. — о,

75, то есть {8+Ім"1и, которую дробь
раздЪливЪ на 25 вЪ частномЪ получишь

Ежели бы понадобилось | превра-
тить вЪ десятичную дробь , то было
бы -1;1’ Иб° °На Равна І+іѴэ» ШО
есть 1-У5—

$29,

ТакимЪ образомЪ будетЪ 0,2;^
— 0,4; * —о,б; 0,8 ;	і ; | —1,2; и прс

ІЕжели знаменатель дроби будетЪ 6,
то найдется 5 ~~о, іб66б66 и протч то
же , что и о,66б66б6—0,5; а О, 6б6~
666<5—| ) о, 5 —’ , слЪд. О,іб6666б—|
"""“я—-г»

Вм'Бсто дроби | находится о ,
333333 и протч. і; напротивъ того
® ~о, 5 оооооо—.;	$333333и протч’

тоже что и о> 33ЗЗЗЗЗЧ-0, $ ото есть
24.1—*

з I 2 —“V ХГ •

530.

Ежели знаменатель данной дроби
будетЪ 7 , то происшедшіе оттуда де-
сятичные дроби будутЪ гораздо смѣшен-
нѣе. КакЪ мѣсто і находится о , 14г
837 и протч. причемЪ примѣчать надле-
житъ, что сіи б чиселЪ 142857 вЪ слѣ-
дующихъ дроби знакахЪ всегда повторя-
ются : и дабы показать что сія деся-
тичная дробь точно | составляетъ , то
преврати ее вЪ сію геометрическую
прогрессію , которой первой членЪ
а знаменатель прогрессіи гТ333335,
«чего ради сумма ея будетЪ умножь

^ГооооЗа

сверьху и снизу на юооооо э то сія
сумма будетЬ 5555Й—Ѣ

Н1-

Что найденная десятичная дробь ,
поточно у дѣлаетЪ , можетЪ еще легче
^слѣдующимъ образомЪ быть доказано.
[Положи мѣсто ея букву / такЪ чтобЪ
«	/=о,
3?4- О СОДЕРЖАНІИ

/—о, 1428571428 5 7і42 8^7ипр.
то буд. іо/— 1,428574^57 ‘42857 и пр.
юо/—14,2857142857142857 и пр.
юоо/—142, 857142857 142857 ипр.
Юооо/—1428, 57 М2857142857 и пр.
юоооо/— 14285,7142857142857 И пр.
Юооооо/— 141857,142857142857 и пр.
Вычти /"“0,142857142857 ипр.
999999/ =42857

раздали теперь сЪ обЪихЪ сторонЪ
на 999999 і то получится / ве-
личина прежней десятичной дроби

Не-

равнымъ образомЪ у превращается
вЪ десятичную дробь:

^.?.°ооа°2 и протч. Сіе ведетЪ насЪ ка-
кимЪ образомЪ величину прежней деся-
тичной дроби названную г, еще легче сы-
скать можно , ибо сія дробь вдвое
больше прежней , и потому—2/; а ког-
да мы нашли іоо/х>4,28571428571 ипр.
то отсюда вычти 2/20,28571428571 ипр.

оста-
останется 98/2214.

почему / ~

^220,4.2857142857 и пр. с'іс по пре*
жнему будетЪ—з/ , и мы нашли

10/221,42857і42$$7 и протч.
то вычти з/—0,42857142857 ипротч. •
останется і/~ і , то есть /22

533

И такЪ когда знаменатель данной
дроби будетЪ 7 > то десятичная дробь
продолжается безконечно , и притомЪ б
чиселЪ вЪ ней всегда повторяются , че-
му притчину легко показать можно: ибо
продолжая дѣленіе наконецЪ вЬ остат-
кѣ столькожЪ выпяли должно, какЪ и сЪ
начала , а вЪ остаткѣ не можетЪ быть
больше разныхЪ’чиселЪ какЪ 1,2.3,4,5,6 ;
и слѣдовательно по 6 томЪ дѣленіи вЪ
остаткѣ должны выходить опять тѢ же
числа , какЪ и сЪ начала * естли же зна-
менатель такого будетЪ состоянія, что
послѣ дѣленія напослѣдокЬ ни чею не
останется , шо и сіе повтореніе чиселЪ

Ц 2	*
30 О СОДЕРЖАНІИ

вЪ томЪ случаѣ уже мѣста имѣть не
будетЪ.

Пусть будетЪ знаменатель дроби 3,
то найдутся слѣдующія десятичныя дроби
І— о , 125 , ==20/2300,375^—0.500 ;
ж—о , 625 , *—о , 750 ; ^=20,875 и протч.

73?-

Естли же знаменатель будетЪ 9, то
слѣдующія десятичныя дроби найдутся :
5=20,1 I I И пр. 5=20,222, и пр. 1=20,333 И Пр.
Когда знаменатель—I о , то будутЪ дроби
Т3— о , юо ; Т=~2О , 2Ѳ0 ; /52=о , 500 ,
какЪ изЪ натуры самой вещи явствуетЪ,-
подобнымЪ образомЪ будутЪ ~б=2О, оі •
Т55-О , 37 ; т235363=2О , 256 ; ге25+35=2О,002Д ,
что такожде само по ссбЪ ясно.

$36.

Когда знаменатель дроби данЪ бу-
детЪ 11 , то десятичная дробь найдет-
ся ^—0,09090909 и протч. и естли бы
сей данной дроби спрашивалась вели-
чина , то положи ее 2=/’ и будетЪ /
1^:0,09090909 • 10^—0,90909090 и протъ
роо^—9,0909090 и протч. отсюда выч-
|ти /, и останется 99/СЗ9 • и по сему
У’-др—и ; /,—о,і8181818 и протч, Л
;—0,27272727 и протч. ^—0,54545454
и протч.

Н7.,

Здѣсь особливо примѣчанія достой-
ны гпѣ десятичныя дроби , вЪ которыхЪ
нѣкоторыя числа всегда повторяются, и
такимЪ порядкомЪ идутЪ безконечно ; а
какЬ способнѣе находить величину сихЪ
Дробей , то будетЪ показано.

Пусть сперва повторяемо будетЪ од-
но только число напр. а , то будетЪ
/^о,аааааа и прот.

Слѣдовательно ю/'—а^аааааа и пр.

вычти І±г.с^аааааа
д}~а и сл'Ьд.

Когда же будутЪ повторяться 2 чи-
сла какЪ аЬ , то будетЪ / — о^аЬаЬаЬаЬ
и протч. почему іоо^аЬ^аЬаЬаЬ и пр.
отсюда вычти /, и останется	,

сЛц. /-‘І.
^9 ОСОДЕрЖАНІИ

Ежели повторяются $ числа , какЪ
акс, то будетЪ /~о, аЪсаЬсаЬс и протч.
и іооо/г^а^ аЬс , аЬс , изЪ сего вычти /
останется 999 уЪ аЪс слѢд. и такЪ
далѣе.

^8.

По сему какЪ скоро такая десяти-
чная дробь случится , величину ея легко
опредѣлить можно; напр. пусть будетЪ
данная дробь о 296296296 и протч. то
величина ея будетЪ Щ , сію дробь раздѣ-
ли на 37 выдетЪ 5*7.

Отсюда должна произойти предло-
женная десятичная дробь ; а что бы сіе

ясняе показать, то положи 27—9.3 , и
раздѣли 8 сперва на 9, и произшедшее
посемЪ частное на 3 5 какЪ слѢдуетЪ
\	9^8,000000

'	ЗН8888І8-

0,296296 и пропіч. которая
есть данная десятичная дробь.

.	539-

Для примѣра дробь

пре-

1»2« І«+>5.6.7.8.р,[Д

врати вЪ десятичную, что слѣдующимъ
образомЪ учинивпся:
з)і ,000000000000

' 3)°» 5оо°оооооооо
4-')о,іб6б6б66б66б

5 )о^4іб666бб6бб

6) 0,008333^353^33

’	7) 0,0015883888888

8 0,00019841^698412б

9) 0,00002480158730

ю) 0,00000275573192

0,000000275 57319.

ЧЛ	ЧЛ '•&'< ЧЛ ЧЛ ЧЛ ЧЛ

Г А л в я хш.

о вычисленіи интерессовЪ.

5 4-0.

Интерессы какого нибудь капитала вЪ
процентахъ представляются , говоря
сколько за юо ежегодно платится.
Деньги выдаются обыкновенно за 5 про-
центовъ , такЪ что на юо талеровЪ
рлатишея вЪ годЪ 5 талеровЪ интсре-

Ц 4,	сса
Зб© О СОДЕРЖАНІИ
сса. Отсюда видно какимЪ образомЪ
вычислять должно интерессы каждаго
капитала по правилу тройному такЬ:

юо даютЪ, 5 что даетЪ данной
КапиталЬ. Пусть будетЪ напр. капи-
талъ 8бо рейхсгпалеровЪ , то годовой
сго интерессЪ найдется такЪ г
юо: $ ~ збо * кЪ искомому 4з талера,
юо { 4300 [ 43

Й-1-

При вычисленіи сего простаго ин-
йіересса медлить мы не будемЪ , а ста-
немЪ разсуждать обЪ иншерессахЪ сЪ
интерессовЪ , гдѣ ежегодные интерессы
опять сЪ капиталомЬ Складываются ,
чрезЪ что расгаетЪ самой капиталѣ.
ВЪ семЪ случаѣ спрашивается , сколько
данной какой нибудь капиталѣ по про-
шествіи нѣсколькихЪ лѢтЪ увеличится ?
Понеже капиталѣ ежегодно прирастаетЪ,
когда по $ процентовъ изЪ каждыхЪ юо
талеровЪ чрезЪ годЪ з дѣлаете я 105 »
то сколь бы великЪ капиталѣ ни былЪ ,
какЪ великЪ онЪ будетЪ по прошествій
года, найти можно. Пусть будетЪ ка-
питалѣ
и пропорціи Збі
питалѣ а > то по прошествіи года оной
найдется іпакЪ , какЪ юо кЪ 105 — а
кЪ искомому	что написано мо-

жетЪ быть и такЪ ІЪ «, или а \а,

54-2.

Но когда кЪ настоящему капи-
талу его 20 тая часть приложится , то
получится капиталЪ наслѣдующей годЪ-,
а когда кЪ сему опять 20 тая егэ часть
придается , то выдетЪ капиталѣ на
второй годЪ ; кЪ семѵ Приложивъ опять
20 тую его часть найдется капиталЪ на »
3 тей годЪ и такЪ далѣе. Отсюда легко
видЪть можно , какимЪ образомЪ кдш-
шалѣ ежегодно возрастаетъ , и сіе счи-
сленіе такЪ далеко продолжать можно 9
~КакЪ желаешь.

?43-

Пусть будетЪ капиталѣ іеоо та-
леровъ, которой выданЬ за 5 процентовъ,
и ежегодные ошѣ того ичтерессы опять
кЪ капиталу прикладываются. Понеже
помянутое счисаеніс скоро приведетъ
насЪ кЪ дробямѣ , то представимЪ ихЪ

Ц	аЪ де-
Зб2 О СОДЕРЖАНІИ

вЪ десяіпичныхЪ дробяхЪ , и не далЪе ,
какЪ до тысячныхЪ частей талера про-
должать ихЪ будемЪ , ибо меньшіе его
части здЁсь уже не чувствительны.

	Данной капиталЪ по прошествіи і года 1050 талер.  52,5		
77	77	2 77 77 77	1102, <5  55 , 125
/7	гг	3 77 77 77	1157, 625  57 , 88і
77		+ Н 77 77	1215 , 506  бо , 775
7/	77	5 77 77 77	12 76, 281 и пр.
жать		544-  СимЪ образомЪ выкладку . продол- можно на столько лЪтЪ , сколько	

потребно будетЪ ; но когда число лЪтЪ
будетЪ гораздо велико, то и выкладка сія
бѵдетЪ весьма пространна и трудна ,
которую однако сократить можно слЪ-
г..ующимЬ образомЪ.

Пусть капиталЪ будетЪ ~ а ; и когда
капиталъ 20 талеровЪ чрезЪ годЪ дЪ-

лаешЪ
лаеггіЪ л талерѣ, то капиталѣ а чрезЪ
годѣ возрастете до , потомЪ вЪ
слѣдующей годЪ ^га т (	\ сей бу-

детъ капиталѣ по прошествіи двухЪ
лѣтѣ , которой чрезЪ годѣ возрастетъ
До ( 2з , что показывать будетЪ ка-
питалъ по прошествіи 3 хЪ лѣтЪ ? По про-
шествіи 4хЪ лЪтЪ будетЪ оной (

послѣ 5ти лЪтЬ ( ’ё ).5а , послѣ юо
лѢтЬ ( І5 ).’0° ; и вообще по прошествіи
неопредѣленнаго числа лѣтѣ п оудсшЪ
оной (35 ),"« -.по сему изЪ даннаго какого
нибудь числа лѢшЪ величину капитала
найти можно.

Попадающаяся здѣсь дробь осно-
вана на томЪ , что интерессы счита-
ются вЪ 5 процентовъ ; а то же ,
что’ и Ежели бы интерессы считались
вЪ 6 процент-вЬ , то бы капиталѣ а }
по прошествіи года былЪ а; послѣ
двухЪ лѢтЪ , и по прошествіи п
лѢгпЪ будетЪ

Ежели же бы интерессы 4 хЪ не болѣе
процентовъ были, гаобЪ капиталѣ а чрезЪ
п лѣтѣ былЪ

546.
З&к О СОДЕРЖАНІИ

Ежели даны будутЪ какЪ капиталЪ
а , такЪ и число лЪггіЪ, то сію форму-
лу легко разрѣшить можно будетЪ помо-
щію логариѳмовЪ ’і ибо здѣсь ничего*
больше дѣлать истребуется, какЪ толь-
ко сыскать логариѳмЪ сей формулы 5
которая по 5 ши процентовъ будетЪ
(й).п<4 Поелику сія формула есть про-
изведеніе изЪ (|і)* на а , то логариѳмЪ
ея будетЪ ~	-4- /.«, притомЪ (^)*

есть степень, то — п. /(й) слѢдов,
логариѳмЪ искомаго капитала — п. 7(|д)

; а логариѳмЪ дроби & —1.21-120.

^4-7-

Пусть будетЪ капиталЪ йхюоо
талер. спрашивается сколь великЪ онЪ
будетЪ по прошествіи іоо лѢтЪ считая
по 5 гпи процентовъ.

Здѣсь п~ юо , и логариѳмЪ сего
искомаго капитала ~ іоо лог. лог»
юоо, которой выкладывается такЪ г

изЪ лог. 21x21,3222195

вычти лог. 20—1,3010300
лог. ?д — 0,0211893

по-
помножь на юо _________

юо лог. 2Г2, 1189300

придай лог. 1000 = 3,0000000

5,1189300 логар.
искомаго капитала , и число его состо-
ять будетЪ изЪб фигурЪ піакихЪ 131501
талеровЪ

548.

КапиталЪ состоящей изЪ 3452
рейхсталер. по б процентовъ, сколь ве-
ликЬ будетЪ по прошествіи 64 лЪтЪ ?

ВЪ семЪ примЪрЪ <7=3452 , и = 64,
слЪд. логариѳмЪ искомаго капитала =64
лог. 55-4- лог. 3452, которой вычислите#
такЪ :

изЪ лог. 53 = 1,7242759
вычти лог. 50=1,6989700

лог. 11=0,0255059
умножь на 64

64 лог. ;у=т, 6195776
придай лог. 3452=3, 5380708
лог. искомаго капит.-5> 15 76484
слЪд. искомой каішшалЪ= 143763 талеровЪ.
$66 О СОДЕРЖАНІИ

?49-

Ежели данное число лѣтѣ будетпЪ
очень велико , и понеже на него помно-
жить дольни логариѳмЪ дроби, логариѳ-
мы же таблицѣ ссктоятЪ не болѣе какЪ
нзЪ 7 знаковЪ , то оттуда произойти
можетЪ чувствительная погрѣшность ;
по сей прими-гЬ логариѳмЪ дроби со'шо-
яшь должснЬ изЪ большаго числа фигурѣ,
какЪ изЪ слѣдующаго примѣра явствуетЪ.

КапиталЪ состоящей изЪ одного рейх-
сталера по 5 процентовъ продолжается
500 лѢшЪ , и ежегодные интерсссы все-
гда кЪ нему прикладываются , спраши-
вается , сколь великѣ будегаЬ сей капи-
талѣ по прошествіи 500 лѣтѣ ?

ВЪ семЪ случаѣ ЯОГІ ; Я”500, слѣ’
довашсльно логариѳмЪ искомаго капитала
201.500 лог. -4-лог. і, откуда ироиз-
ходитѣ сія выкладка:

лог. 2і — і, 322219294733919
вычти лог. со і, 30 Ю2( 995663981
лог. =7 о, О2і 189299069938
помножь на 5000210, 594649534969000,
и сей еіШэ логариѳмѣ искомаго капитала,
ко-
^Ъ

(й) Ъ-ѵЬ

которой самЪ будетЪ — 3952320000$
гаалер.

Ежели кЪ капиталу не только его
интерессы, но каждой годЪ еще новая сум-
ма денегЪ — Ъ прибавляться будетЪ, то ,
сей капиталЪ ежегодно расти будетЪ
слЪдующимЪ порядкомЪ:
По прошествіи одного года
—	—Н Ъ

// // 2 // // ( "Ъ (55)^ *ъ

////з „	+ ('р*

// //	//ив^+(й)&+(йъ,+-

„ //п // // (^-:+^п-1ъ+&~1+---(

Сей капиталЪ состоитЪ изЪ двухЪ
частей , первая ~	а другая есть

рядЪ обратно написанной	+ (23)5

4- 00* + ()& Н-----(Із )"“& и означаетъ

прогрессію геометрическую , которой
знаменатель , и сумма ея найдется
такЪ: умножь послЪдней членЪ на зна-
менателя , выдетЪ (?з^ , изЪ произведе-
нія вычти первой членЪ, Ь остатокъ
— Ъ раздЪли на знаменателя умен-
шеннаго единицею, то есть, на ~
$68 О СОДЕРЖАНІИ

и сумма прогрессіи гз 20 (	— 20 Ъ ,

а искомой капиталЪ будетЪ ( ).па + 20
( й }пЬ — гъЪ —	{ а -^г 2.0 Ъ ) — гоЬ.

Для вычисленія сего должно первой членЪ
разсмотрѣть особенно и вычислить, что
3дѣлается, ежели найдешь его логариѳмЪ
•^п лог, І5-і-лог.(«-р 2С&), то кЪ сему вЪ
таблицахъ приищи надлежащіе числа, и по'
лучится первой членЪ , изЪ котораго
вычтя гоЬ останется искомой капиталЪ.

5Д2.

Вопросѣ: нѣкто капиталу имѣетЪ
юоо талеровЪ и ошдалЪ его по $ про-
центовЪ , кЪ которому сверхЪ интерес-
совЪ прикладываегпЪ еще он О каждой годЪ
по іоо талеровЬ, сколь великЪ капиталѣ
сей будетЪ по прошествіи 25 лѢшЪ ?

Здѣсь і?-і:оо ; 2?—юо ; я—25 и
выкладка будегпЪ іпакая.

Лоіар. 0,0211892990 (5
умножь на 25 0,1059464950^

25лог. 5^300,5297324750

лог:
лог. (аЧ-20^) — 3,4-77121313$
4,006853*7885

Слѣдовательно первая часть — Ю159,
я талер. изЪ нее вычти 20^ — 2000 ,
«останется капиталЪ по прошествіи 25
.лБшЪ^Зі 59 , і талеровЪ

№3-

Понеже капиталЪ часЪ отЪ часу
больше становится , и по прошествіи
25 лЪтЪ возрастетъ до 8159?® талер-,
то можно спрашивать -далѣе , сколько
требуется лѢтЪ , чтобЪ капиталЪ воз-
росъ до юооооо талеровЪ ?

Пусть сіе число лѢтЪ будетЪ”» , и
когда апіооо	:юо > то по прошествіи

я лѢшЪ капиталЪ будепЪ(*з)п 3с 00—2000,
что должно быть равно юооооо , ош-
п
кудатроисходигпЪ уравненіе зооо-'1б)-2ооо
— юооооо , придай сЪ обВихЪ сторонЪ
п

аооо и бѵдетЪ 3О00. (|1) гсіооаооо , раз-
дѣли сЪ -обѢихЪ сторонЪ на 3000 , шо
произойдетъ	334 , сихЪ чи-

селЪ возми логариѳмы; п лог.55—лог. 334
раздѣли сЪ обЪихЪ сторонЪ на лог.

Ч	бу-
37о О СОДЕрЖАНІЦ

будетЪ • а лоГ. 334-2,523746$
лЗ

лог. 55—0,0211 892, по чему
будетЪ яг—умножь вЪ верху и вЪ
низу на юооооо, выдетЪ яг-~||^,то
есть 119 лѢтЪ , і мѣсяцѣ 7 дней ; и
такЪ по прошествіи сего времени дан-
ной капиталЪ возростетЪ до юооооо
талеровъ.

5 54

Но ежели вмѣсто того , чтобЪ
ежегодно кЪ капиталу нѢчто прибавлять,
огаЪ него отниматься будетЪ нѣкая сум-
ма для своего содержанія , и сія сумма
положится Ь і то по 5 процентовъ вы-
данной капиталЪ а такимЪ порядкомЪ
перемѣняться будетЪ :

Данной капиталѣ—гг

по прошествіи года -Ь

„ „ 2 „ „ Ъ^а-^Ь-Ъ

л/ ѵ 3 ,, ,/ (1'оХ’а^УЬ-,2^Ъ--Ь

Сія формула состоитЪ изЪ двухЪ
частей , первая •> и3^’ копюрой вы«

чита-
И пропорціи 371
читается вторая часть , то есть сі’я
геометрическая прогрессія обратно напи-
санная

• • (2Цп-І/> сей про-
грессіи выше сего найдена сумма 2о(2з)"&
—20^ , которую когда вычтешь изЬ пер-
вой части ,	, ѣстатокЪ даетЪ ис-

комой капиталѣ по прошествіи п лѣтЪ;
а имянно: (чіЪ’гд-2о(2з)"^Ч-2о^(-^)"(а-2о^)
Н”2оЛ.

$0.

Сію формулу можно бы тотчасЪ
вывесть изѣ прежней : ибо шамЪ ежегод-
но прибавлялось Ь , а теперь оно же
ежегодно вычитается ; слѣдовательно
больше ничего не требуется, какѣ толь-
ко вЪ прежней формулѣ мѣсто -\-Ь по-
ставишь- Ъ. Здѣсь особливо примѣчаній
надлежитЪ, что ежели будутЪ боль-
ше нежели а , то первой членѣ будетЪ
отрицательной ; слѣдовательно и капи-
талЪ часѣ ошЬ часу уменьшается , какЪ
то само по себѣ видно: ибо ежели отЪ
капитала бульше отниматься будетЪ ,
нежели сколько интерессы приносятЪ ,

‘1 л	то
372 О СОДЕРЖАНІИ
то непремѣнно должо ему каждой годЪ
меньше становишься , и наконецѣ уни-
чтожишься , что мы примѣромъ изЪяс-
нишь намѣрены.

5Г?7<

Нѣкто имѣетѣ капиталѣ во юоооо
талерахъ состоящей, и отдалѣ по 5 про-
центовъ , а на свое содержаніе беретѣ
онѣ ежегодно бооо талеровъ больше, не-
жели его интерессы, кои только 5000 та-
леровъ дѣлаютЪ \ чего ради капиталЪ
сей часЪ ошѣчасу уменьшается: спраши-
вается , во сколько лѣтѣ совсѢмЪ онѣ
уничтожится ?

Мѣсто сего числа лѣтЪ положи п, и
когда й—іооооо талер. ^~бооо , то
по прошествіи п лѣтѣ капиталѣ будетЪ
ГГ:-2ОО0О(|з)п-1-І 20000 ИЛИ 120000—20000
00” > слѣдовательно капиталѣ уничто-
жится когда 2оооо(|д)в возрастетъ до
120000 или когда 2сооо(~)п“ігоооо; раз-
дѣли на 20000 , то будетЪ	воз-

ми сихЬ чиселЪ логариѳмы, то п лог.
±2 лоі\ 6 , раздѣли на лог. , найдется
п
И П ропорц ІИ 373

°’7^- иди п—77*'^ , слЪд. я~з<*
ЛОГ» 21	0,0211^2	2И8^г	>

аЗ

годамЬ , 8 мЪсяц. 2 2 днямЪ , и по про-
шествіи сего времени данной капиталЪ
совсВмЪ уничтожится.

Н5.

Здѣсь должно еще показать , ка-
кимЪ образомЪ но сему основанію инте-
рессы на меньшее года время вычислять
надлежитЪ. КЬ сему служитЪ прежде-
найденная формула , что капиталЪ а по
пяти процентовъ по прошествіи п лЪтЪ
возрастаетъ до (ъ'^а ; ибо ежели время
короче года будетЪ, то показатель п бу-
детЪ дробь , а выкладка такЪ какЪ и
прежде здѣлана быть можетЪ помощію
логариѳмовЪ. Ежели КапиталЪ станешь
искать по прошествіи одного дня , то
положи П~~ , для двухЪ дней будетЪ
и такЪ далѣе.

пр.

Пусть будепіЪ капиталЪ а^.і оооо^
талеровЪ по 5 процентовъ, спрашивает-
ся сколь великЪ онЪ будетЪ по проше-
ствіи 8 дней ?

Ч 8

Здѣсь
374- О СОДЕрЖАНІИ

Здѣсь «Сіооооо	, слѢд. капи-

~5"

талѣ будетЪ (Із)355 юоооо; сего логариѳмЪ
—ЛОГ. Сз/^Н-ЛОГ.І 00000—^5 ЛОГ. до—{—лог.
юоооо ; а лог. 35-0.0211892 , умножь
ево на зѣ и будетЪ

0,0004644 , кЪ сему ‘приложи логариѳмЪ
юоооо —- 5, ооооооо , и будетЪ

5,0004644 логариѳмЬ искомаго капита-
ла , которой будетЪ 100107 ; слѣдова-
тельно данной капиталЪ юоооо тале-
ровЪ по прошествіи 8 дней возрастетъ
до 100107, такЪ что вЪ первые 8 дней
интересса сей капиталѣ принссетЪ 107

талеровЪ.

0О.

Сюда принадлежатъ еще другіе во-
просы , вЪ которыхѣ ищется , ежели
нѣкая сумма денегЪ сЪ нѢсколькихѣ лѢтЪ
начала упадать , сколько оная теперь
дѣлаетЪ ? здѣсь надобно смотрѣть что
когда 20 талеровЪ чрезЪ годѣ дѣлаютЪ
2і , то теперь 2.x талерѣ , которые
чрезЪ годѣ заплатить должно , дѣлаютЪ
20 , а ежели по прошествіи одного года
у падшей
и пропорціи 37;

упадтей капиталЪ положится ~а , то
оной' бгдетЪ 1° л, и чтобы сыскать сколь-
ко капиталЪ а, которой нЪкое извѣстное
время упадаетЪ , за годЪ прежде сшоялЪ,
то умножь его на 1° , за 2 года прежде
оной будетЪ і За з года , и
вообще за ® лЪтЪ величина онаго ^)па.

01.

Нѣкто пользуется годовыми прихо-
дами во юо талерахЪ состоящими 5 лЪщЪ,
и желаетЪ теперь ихЪ продашь за наличные
деньги по 5 процентовъ; спрашивается
сколько онЪ за нихЪ получитЪ?

За юо талеровъ , которые упа-
даютЪ послѣ і года получитЪ онЪ ^39
н н 2 н н '	9°> 7°4-

77 77 3 77 77	~

// ѵ 4 // ♦/	” 32’272

////*> у //	78, к;

5 , ,	// // 432>955

СлЪдовательно за сіи приходы боль-
ше не можетЪ онЪ шребоваппу'какЪ 4.32,
955 гпалеровЪ.

562.
37б ©СОДЕРЖАНІЙ

Ежели бы какіе доходы гораздо
большее число лЪшЪ продолжались , шо
бы такая выкладка была очень скучна ,
которую однако облегчить можно симЪ
образомЪ. Пусть будетЪ годовой приходЪ
а> которой уже сей часЪ начинается, и про-
должается п лЪтЪ, то оные будутЪ теперь
йН~(2?;	---

и сія есть геометрическая прогрессія ,
которой сумму найти должно. Чего ра-
ди послЪдней членЪ умножь на знамена-
теля прогрессіи , выдегпЬ С?)"'4"1# , изЪ
сего вычти первой членЪ , останется
, сей остатскЪ раздѣли на
знаменателя уменьшеннаго единицею, то
есть на—/і, или что все равно, помножь
на -2і , слЪд. искомая сумма будетЪ
— 2 »	'+ 2 1 а > ІПО есП1Ь : 2 I а — 2 I

О?/1*'1# і вЪ сей формулЪ послѣдней
членЪ , которой вычитать надлежитЪ
изЪ перваго , можно легко найти помо*
іцію логариѳмовЪ.

КонецЪ йіретеи части о содержаніи
и пропорціи.