В. А. Овчинкин
ВОПРОСЫ
к ГОСЭКЗАМЕНУ
по ФИЗИКЕ
Москва
Физматкнига
2005

ББК 22.3
О 35
УДК 53@75.8)
О 35 ОВЧИНКИП В. А. Вопросы к Госэкзамспу по физике. — М.: Изда-
Издательство «Физматкнига», 2005. — 112 с. ISBN 5-89155-129-2
Учебное пособие адресовано прежде всего студентам третьего курса МФТИ,
готовящимся к сдаче Государственного экзамена по общей физике. Пособие содер-
содержит около 500 теоретических вопросов, в том числе и задач. Во второй части даны
ответы (иногда очень подробные), а также решения задач, иллюстрирующих тео-
теорию. Пособие может быть полезно также студентам младших курсов, готовящимся
к сдаче семестровых экзаменов, и переводникам из других вузов, готовящимся к со-
собеседованию по физике в МФТИ.
ISBN 5-89155-129-2
985891 551299
© Овчинкин В. А., 2005
© «Физматкнига», 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Вопросы и задачи
Механика 7
Термодинамика и молекулярная физика 14
Электричесгво и магнетизм 20
Оптика 26
Атомная и ядерная физика 32
Строение вещества 37
Ответы на вопросы и задачи
Механика 45
Термодинамика и молекулярная физика 52
Электричество и магнетизм 58
Оптика 66
Атомная и ядерная физика 79
Строение вещества 96

От автора
Данное учебное пособие адресовано прежде всего студентам
третьего курса Московского физико-технического института, готовя-
готовящимся к Государственному экзамену по общей физике.
К концу шестого семестра студенту, решившему множество за-
задач, прочитавшему много книг и уже успешно сдавшему пять экза-
экзаменов по физике, предлагается привести в систему знания по физи-
физике, полученные на лекциях, семинарах, в, физической лаборатории,
а также при самостоятельной работе. К этому времени, несмотря на
обилие усвоенного материала, целостной картины курса физики у
студента, как правило, еще нет. Данный сборник призван помочь в
этом. На поставленные в первой части вопросы во второй части
сборника даны ответы и разъяснения. Это, конечно, не может отме-
отменить или заменить работу студента с уже известными ему учебни-
учебниками, но поможет ему «не утонуть» в огромной массе материала.
Среди вопросов есть и задачи, уровень которых соответствует уров-
уровню задач, содержащихся в экзаменационных билетах.
Сборник может быть полезен и студентам младших курсов, гото-
готовящихся к сдаче семестрового экзамена по тому или иному разделу
физики, а также переводникам из других вузов, готовящимся к по-
поступлению в МФТИ.
Автор приносит искреннюю благодарность преподавателям ка-
кафедры общей физики МФТИ, поддержавшим идею такой книги и
взявшим на себя труд прочтения материала. Это проф. Э. В. Прут,
доц. В. Е. Белонучкин, проф. С. М. Козел и доц. А. О. Раевский.
Ими было внесено множество предложений и исправлений.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Механика
1. Написать выражение для полного ускорения материальной
точки, движущейся по криволинейной траектории. Как определить
касательное и нормальное ускорение? Чему равно ускорение точки
Л на ободе равномерно катящегося со скоростью v колеса радиусом
R. Чему равна полная скорость точки А (рис. 1)?
'f/////S//Sf/SS/SSS/SSS/4
Рис. 1
Рис. 2
РИС. 3
2. Найти радиус кривизны траектории, описываемой точкой А
на поверхности равномерно катящегося колеса с радиусом R, в по-
положении, указанном на рис. 2.
3. Написать координаты точки А(х, у)
равномерно катящегося по горизонтальной
поверхности колеса радиусом R с угловой
скоростью со. При t = 0: х = у = 0, (рис. 3).
4. На шероховатой наклонной плоскости
неподвижно лежит однородный брусок (раз- Рис* 4
мерами axb) (рис. 4). Угол наклона плоскости к горизонту а. Указать
точку на нижней поверхности бруска, к которой приложена сила ре-
реакции опоры. При каком условии брусок будет опрокидываться? Тре-
Трение достаточно, чтобы брусок не съезжал.
5. Написать уравнение движения материальной точки массой т,
совершающей гармонические колебания на пружине жесткостью к.
Чему равен период колебаний точки?
6. Написать уравнение движения материальной точки, подвешен-
подвешенной на длинной невесомой нити длиной / и совершающей гармониче-
гармонические колебания (математический маятник). Написать закон движе-
движения этой точки. Чему равна угловая частота этих колебаний? Какую
минимальную скорость надо сообщить математическому маятнику,
находящемуся в положении равновесия, чтобы он смог совершить
полный оборот вокруг горизонтальной оси?
7. Написать уравнение движения ракеты в свободном пространст-
пространстве (нет внешних сил) и формулу Циолковского. Известна стартовая
масса ракеты т0 и скорость истечения газов относительно ракеты и.
8. Написать уравнение Мещерского для ракеты, поднимающейся
вверх с поверхности Земли, учитывая силу гравитационного притя-
притяжения. Скорость истекающих газов относительно ракеты и. Сопро-
Сопротивление воздуха не учитывать.
7

9. В поле каких сил можно говорить о потенциале и потенциаль-
потенциальной энергии? Как связана сила с потенциальной энергией тела?
10. Получить выражение для потенциальной энергии сжатой
(растянутой) пружины.
11. Написать выражение, определяющее положение центра масс
системы материальных точек.
12. Написать выражение, определяющее скорость центра инер-
инерции системы материальных точек.
13. Чему равен импульс системы материальных точек в СЦИ
(системе центра инерции)?
14. Написать уравнение движения центра масс системы матери-
материальных точек в поле внешних сил.
15. Написать кинетическую энергию системы материальных то-
точек в системе центра инерции (теорема Кенига).
16. Абсолютно неупруго сталкиваются два шарика с массами
гп\ и т2, движущиеся вдоль одного направления, со скоростями v\ и
v2. Какое количество энергии перейдет в тепло после удара?
17. Шарик налетает на точно такой же неподвижный. Удар аб-
абсолютно упругий. Скорость первого шарика v. Чему равны скорости
шариков после удара? Рассмотреть более общий случай: как зависит
результат абсолютно упругого лобового столкновения двух шариков
от соотношения их масс?
18. Дать определение пороговой энергии при неупругих столкно-
столкновениях. Написать (или вывести) для нее выражение, если известна
масса т частицы-снаряда, масса М частицы-мишени и энергия Q,
поглощаемая в результате столкновения.
19. Сформулировать принцип относительности Галилея в клас-
классической механике. Написать преобразования Галилея координат,
скоростей и ускорений.
20. Сформулировать принцип относительности Эйнштейна.
21. Написать преобразования координат и времени Лоренца.
22. Написать выражение, связывающее собственное время жиз-
жизни частицы и время ее жизни в лабораторной системе отсчета.
23. Написать выражение для лоренцева сокращения длины
предмета, движущегося с релятивистской скоростью.
24. Написать выражение для импульса и энергии (полной и ки-
кинетической) релятивистской частицы массой т, движущейся со ско-
скоростью V.
25. Что является релятивистским инвариантом при движении
частицы массой т, имеющей импульс р и энергию Е.
26. Чему равна пороговая энергия реакции, происходящей при
столкновении релятивистской частицы-снаряда А (энергия покоя
ЕА0) и частицы-мишени В (энергия покоя 2?во)?
27. Сталкиваются два релятивистских протона, летящих во
встречных пучках, разогнанных в ускорителе до одинаковых энер-
энергий. Чему равна минимальная энергия протона для рождения пары
р + р в реакции р + р = р + р+(р + рI
8

28. Написать выражение для потенциальной энергии гравитаци-
гравитационного взаимодействия двух тел с массами т и М, находящихся на
расстоянии г друг от друга.
29. Какие величины сохраняются при вращении планеты вокруг
Солнца? Почему орбиты планет или других космических тел —
плоские кривые?
30. Чему равен момент импульса планеты массой т, совершаю-
совершающей орбитальное движение вокруг звезды массой М(М^>тI
31. Сформулировать первый закон Кеплера. Написать выраже-
выражение для полной энергии планеты, совершающей орбитальное движе-
движение вокруг звезды.
32. Сформулировать 2-ой закон Кеплера и показать откуда он
следует. .
33. Сформулировать 3-ий закон Кеплера и найти константу
Кеплера (считать орбиту планеты круговой).
34. Выразить ускорение свободного падения вблизи поверхности
Земли через ее массу и радиус.
35. Как связаны между собой полная энергия, кинетическая и
потенциальная энергии для кругового орбитального движения спут-
спутника и планеты?
36. Написать выражение для первой космической скорости спут-
спутника Земли. Чему она равна?
37. Чему равна вторая космическая скорость для спутника Зем-
Земли? Результат обосновать.
38. Сформулировать условия, при которых орбита космического
тела: эллипс, парабола, гипербола. Как называются такие движения?
39. Спутник, находящийся на круговой орбите в верхних слоях
атмосферы, тормозится и в результате переходит на орбиту меньшего
радиуса. При этом его потенциальная энергия изменилась на АП. Че-
Чему равна работа силы сопротивления воздуха на его траектории?
40. С какой угловой скоростью вращаются компоненты двойной
звезды, имеющие массы М и 2М и находящиеся на расстоянии R
друг от друга?
41. Оценить время свободного падения тела на Солнце с рассто-
расстояния, равного расстоянию от Солнца до Земли.
42. Сформулировать теорему Гаусса для гравитационного поля.
43. Нарисовать графики напряженности гравитационного поля
#(г) и соответственно потенциала у(г) для гравитационного поля
Земли, полагая Землю шаром радиусом R с однородным распределе-
распределением масс.
44. Что такое мгновенная ось вращения тела? Привести примеры.
45. Написать формулу, с помощью которой вводится вектор уг-
угловой скорости.
46. Дать определение момента инерции материальной точки от-
относительно начала координат. Написать выражение для момента
инерции плоской фигуры относительно оси Oz, перпендикулярной
плоскости фигуры, через моменты инерции этой фигуры относи-
относительно осей, лежащих в этой плоскости.

47. Чему равен момент инерции сферы. Подсчитать момент
инерции шара.
48. Чему равен момент инерции тонкого однородного стержня
относительно центра масс?
49. Подсчитать момент инерции диска (цилиндра) относительно
оси симметрии.
50. Чему равен момент инерции тонкого диска относительно его
диаметра?
51. Сформулировать теорему Гюйгенса—Штейнера.
52. Найти момент инерции плоской фигуры в форме прямо-
прямоугольника со сторонами а и Ъ относительно оси, перпендикулярной
плоскости и проходящей через его центр.
53. Написать уравнение вращательного движения тела относи-
относительно неподвижной оси или оси, проходящей через его центр масс.
54. Коллинеарны или нет векторы момента импульса L и угло-
угловой скорости со? Если нет, то привести примеры.
55. Написать систему уравнений, описывающих движение твер-
твердого тела в поле внешних сил.
56. Тонкий однородный стержень вра-
а . . я щается с угловой скоростью со вокруг оси,
/\ Т\ перпендикулярной стержню и проходящей
rfnmbz ФятЬ* через еп) конец Неожиданно стержень от-
отрывается и далее движется по инерции. Че-
Рис. 5 му равна его угловая скорость?
57. По горизонтальному столу свободно
и без проскальзывания катится шар с угловой скоростью со относи-
относительно центра инерции. Чему равна угловая скорость шара Q отно-
относительно мгновенной оси вращения?
58. Тонкий однородный стержень массой т лежит на двух то-
точечных опорах А и В, размещенных под концами стержня (рис. 5).
Опору В мгновенно убирают. Чему равна реакция опоры в точке Л
сразу же после убирания опоры В ?
59. Раскрученный до угловой скорости о>0 сплошной цилиндр
положили на шероховатую поверхность. Какую угловую скорость он
приобретет, когда начнет катиться без проскальзывания?
60. Раскрученный до угловой скоро-
скорости ооо сплошной цилиндр радиусом R
положили на шероховатую горизонталь-
тт ную поверхность, имеющую коэффици-
коэффициент трения |а. Какое расстояние и за ка-
Рис- 6 кое время пройдет цилиндр по поверх-
поверхности со скольжением?
61. Тонкое однородное упругое кольцо поставили на высоту Н
на наклонную плоскость с углом наклона а (рис. 6), после чего оно
стало скатываться с нее без проскальзывания. Чему равна скорость
центра кольца у основания наклонной плоскости? На какую высоту
h подпрыгнет кольцо, оказавшись на горизонтальной поверхности?
Плоскость, как и кольцо, упругая.
Ю

62. Написать уравнения движения однородного тела вращения
массой М, радиусом R и с моментом инерции 1С относительно оси,
проходящей через центр инерции, раскрученного и далее вкатыва-
вкатывающегося на наклонную плоскость, имеющую угол наклона а.
63. Написать уравнение движения тела вращения (масса М, ра-
радиус R, момент инерции /с относительно оси, проходящей через
центр инерции), скатывающегося без проскальзывания с наклонной
плоскости, имеющей угол наклона а к горизонту.
64. Написать (по определению) момент импульса твердого тела,
нращающегося относительно произвольной оси (неподвижной или
мгновенной).
65. Написать (желательно получить) формулу, описывающую
прецессию гироскопа под воздействием механического момента М.
66. Объяснить почему раскрученный волчок, поставленный на
шероховатую горизонтальную поверхность, в результате прецессии
поднимает свой центр масс и перестает прецессировать вокруг вер-
вертикальной оси.
67. Миноносец совершает поворот по дуге радиусом R со ско-
скоростью v. Гребной винт миноносца с моментом инерции / винта от-
относительно оси, проходящей через центр инерции, вращается с уг-
угловой скоростью со. Ось винта совпадает с осью корабля. Чему равен
момент гироскопических сил Мгир, приложенный к подшипникам
нинта? Куда он направлен?
68. Написать уравнение колебаний физического маятника отно-
относительно оси А Чему равен период колебаний физического маятни-
маятника? Что называется приведенной длиной и центром качаний?
69. Написать закон колебаний физического маятника в зависи-
зависимости от начальных условий.
70. Написать уравнение колебаний физического маятника при
наличии вязкого трения в оси Л. Чему равна
угловая частота таких колебаний, а также
коэффициент затухания? Написать закон
<р(/) затухающих свободных колебаний.
71. На осциллятор (масса т на легкой
ггружине с жесткостью к) действует гармо- рис 7
ническая сила F(l) = jP0cos Qt (рис. 7).
Как зависит амплитуда вынужденных колебаний от частоты вынуж-
вынуждающей силы? Написать закон установившихся вынужденных коле-
колебаний x(t).
72. Двухатомную молекулу (атомы массой mi и т2) можно
представить как два шарика, соединенных пружиной жесткостью к.
Чгму равна частота колебаний такого осциллятора.
73. Чему равна добротность маятника, если за время десяти ко-
колебаний амплитуда уменьшилась вдвое?
74. Квадрат со стороной а подвешен на двух нитях, как это ука-
указано на рис. 8. Чему равен период таких колебаний?
75. Квадрат со стороной а подвешен, как это показано на рис. 9.
Чгму ранен период колебаний квадрата?
11

7(>. Изобразить на фазовой плоскости (х, тх) фазовую «траек-
«траекторию» гармонического осциллятора, колеблющегося с частотой со.
Как изменится «траектория» если колебания станут затухающими?
77. Плоская бегущая акустическая волна может быть представ-
представлена уравнением: у = 0,05 sin A884/ — 5,7х), где у — смещение ча-
а
а
а
Рис. 8
СО]
_ //2 _
Рис. 10
стицы в направлении распространения волны в сантиметрах, t —
время в секундах, х — расстояние в метрах по оси до положения
равновесия частицы вдоль распространения волны. Найти 1) часто-
частоту колебаний v; 2) скорость распространения волны v; 3) длину
волны X; 4) амплитуду колебаний скорости каждой частицы.
78. Чему равна сила инерции для тела массой т, находящегося
в системе отсчета, движущейся ускоренно и прямолинейно с уско-
ускорением а.
79. Тело неподвижно в системе отсчета, которая вращается с уг-
угловым ускорением со. Какие силы инерции действуют на тело в этой
системе отсчета?
80. Тележка массой т движется по рельсам, направленным по
меридиану в северном полушарии Земли на широте <р со скоростью
v. Известно, что к одному из рельсов тележка прижата больше не-
некой поперечной силой. Что это за сила? Чему она равна? К какому
рельсу (правому или левому) она направлена?
81. Поле центробежных сил во вращающейся с угловой ско-
скоростью со системе отсчета потенциально. Дать определение потенци-
потенциальной центробежной энергии? Чему она равна?
82. На тонком гладком стержне длиной /, вращающемся с посто-
постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, удерживается с
помощью нити небольшая муфта массой т на самом краю стержня.
Какую работу надо совершить, чтобы переместить муфту в положе-
положение, отстоящее на 1/2 от оси стержня (рис. 10)? Трением пренебречь.
83. Вес тела зависит от широты местности. На какую величину
отличается вес тела массой т на полюсе от его значения на экваторе?
84» В какую сторону отклоняется тело, брошенное вертикально
вниз в северном полушарии?
85. Что называют маятником Фуко? Как он работает?
86. Сформулировать закон Гука. Что называют модулем Юнга?
т

87. На какую величину удлиняется стерженъ с модулем Юнга Е
длиной L, сечением S и массой m под действием собственного веса?
88. Стержень удлинили силой F на величину AL. Чему равна
энергия упругой деформации этого стержня?
89. Чему равна объемная плотность упругой энергии растяну-
растянутого стержня, если известно относительное удлинение е и модуль
Юнга Е.
90. Что называют коэффициентом Пуассона? Написать выраже-
выражение для относительной поперечной деформации стержня, подвер-
подверженного растяжению с натяжением 7\ Модуль Юнга Е и коэффици-
коэффициент Пуассона \л заданы.
91. Чему равна скорость распространения упругого возмущения
(скорость звука) в стержне?
92. Стержень, движущийся со скоростью и, направленной вдоль
оси перпендикулярно абсолютно твердой и недеформированной по-
поверхности, упруго ударяется о нее. Чему равно относительное удли-
удлинение стержня в момент наибольшей деформации?
93. Что такое идеальная жидкость? Написать соотношение меж-
между скоростями и сечениями трубы переменного сечения, по которой
течет идеальная жидкость: а) сжимаемая; б) несжимаемая.
94. Написать уравнение Бернулли. Для какой жидкости оно
справедливо?
95. С какой скоростью истекает жидкость из широкого сосуда
через узкое отверстие, расположенное на глубине Я?
96. В лабораторной практике используется сосуд Бойля, ско-
скорость истечения воды из боковою отверстия в стенке которого
постоянна и не зависит от уровня воды в нем. Этот сосуд —
бутылка плотно закрытая пробкой, сквозь которую просунута
трубка, соединяющая атмосферу со слоем жидкости, расположен-
расположенным на глубине х. Как работает этот сосуд? Расстояние от конца
трубки до отверстия равно А. Чему равна скорость истечения
жидкости? Чему равно давление воздуха над поверхностью воды
(под пробкой)?
97. На горизонтальной поверхности стола на слое жидкости тол-
толщиной h лежит пластина площадью 5 (при этом h<^VS). Эту пла-
пластину тащат с постоянной скоростью v по столу. Чему равна сила
сопротивления вязкой жидкости, возникающая лри таком движении
пластины?
98. По какому закону распределена скорость потока вязкой жид-
жидкости в круглой трубе радиусом R'?
99. Написать формулу Пуазейля для объемного расхода несжи-
несжимаемой жидкости, текущей в круглой трубе радиусом R и длиной /,
к концам которого приложена разность давлений Р\ — 7*2» вязкость
ЖИДКОСТИ У].
100. Что такое число Рейнольдса Re? Каков его физический
смысл?
101. Написать уравнение непрерывности при течении идеальной
жидкости.
13

Термодинамика и молекулярная физика
1. Написать выражение для давления, оказываемого на стенку
сосуда с идеальным газом молекул массой т каждая, с их концент-
концентрацией п и среднеквадратичной скоростью vCKB.
2. Как связаны между собой единицы давления 1 Па, 1 атм,
1 мм рт. ст., 1 дин/см2?
3. В сосуде имеется в состоянии равновесия N молекул одно-
одноатомного идеального газа. Чему равна их внутренняя энергия СП
Если при этом известно, что давление газа Р, а его объем F, то как
связаны между собой произведение PV и 1Л
4. Дать определение идеального газа. Написать известные виды
уравнения состояния идеального газа (в сосуде объемом V содержится
N молекул идеального газа при температуре Т и давлении Р). Когда
модель идеального газа становится неприемлемой и противоречивой?
5. Написать выражение, связывающее абсолютную температуру
Т и среднеквадратичную кинетическую энергию поступательного
движения молекул.
6. Дать формулировку I начала термодинамики и написать его
математическое выражение. Что есть внутренняя энергия и функ-
функцией каких параметров она является?
7. Дать определение теплоемкости. Чему равна разность
СР — Су в общем виде и чему она равна в частности для идеального
газа? Зависит ли СР — Су от температуры? Что будет с этой разно-
разностью при Т—*0 ?
8. Написать выражение для суммарной вращательной энергии
молекул метана СН4, содержащегося под давлением Р в сосуде с
объемом V.
9. Написать уравнение политропы для идеального газа с посто-
постоянной теплоемкостью Си. Что такое политропический процесс?
Назвать типы политропических процессов (наиболее известные).
10. Написать для идеального газа уравнение политропического
процесса, в котором все отводимое тепло равно изменению его внут-
внутренней энергии.
11. Чему равна скорость звука в однородной изотропной среде?
В частности: для идеального газа.
12. Как вычислить КПД тепловой машины?
13. Сформулировать великую теорему Карно. КПД цикла Кар-
но. Изобразить этот цикл на PV- и TS-диаграммах.
14. Для поддержания в комнате температуры Гком необходима
мощность нагревательных приборов N при уличной температуре Гул.
Какую минимальную мощность из сети будет потреблять тепловой на-
насос (тепловая машина, работающая по холодильному циклу), вклю-
включенный между улицей и комнатой вместо нагревательных приборов?
15. Дать термодинамическое определение энтропии.
16. Дать формулировку второго начала термодинамики; напи-
написать неравенство Клаузиуса и пояснить его физический смысл.
14

17. Написать основное неравенство термодинамики (объединен-
(объединенная запись I и II начал термодинамики).
18. Написать выражение для энтропии v молей идеального газа,
как функции Т и V.
19. Написать выражение для энтропии v молей идеального газа,
как функции Т и Л.
20. Найти изменение энтропии при смешивании одинакового ко-
количества (vj = v2 = v молей) разных идеальных газов, содержащих-
содержащихся до смешивания в равных объемах и при одинаковой температуре.
В чем заключается парадокс Гиббса?
21. Одноатомный идеальный газ в количестве 1 моль находится
в адиабатически изолированном цилиндре под поршнем в состоянии
равновесия при температуре Т\. Внезапно давление поршня на газ
увеличилось вдвое. Найти температуру Тъ установившуюся в ци-
цилиндре. Как при этом изменится энтропия газа AS?
22. Свободной энергией называется величина Ч; = U — TS. Най-
Найти выражение для dKV в силу второго начала термодинамики. Каков
физический смысл этой величины?
23. Термодинамическим потенциалом Гиббса называют величи-
величину Ф = if + PV — TS. Найти выражение для с1Ф в силу второго на-
начала термодинамики. Привести пример физического процесса (явле-
(явления), когда Ф = const.
24. Что называется энтальпией? Написать выражения для / и dl
(в силу второго начала термодинамики). Чему равна (д1/дТ)Р7
Функцией каких параметров (Т, V, Р, S) является энтальпия любого
однородного вещества? Чему она равна для v молей идеального газа?
25. Адиабатически изолированный цилиндр разделен тонкой пе-
перегородкой на две равные части, в одной из которых находится один
моль идеального газа при температуре Г, а в другой — вакуум. Пе-
Перегородку убирают, и газ заполняет весь объем. Как изменились
температура газа Д7\ энтропия AS и свободная энергия АФ?
26. Сформулировать 3-е начало термодинамики. Какие следст-
следствия вытекают из него?
27. Написать формулу Больцмана для энтропии и пояснить фи-
физический смысл энтропии. Что понимается под термодинамической
вероятностью состояния (в отличие от математической)?
28. Написать распределение Максвелла для проекции скорости
молекул vx с точностью до нормировочной константы А. Как опреде-
определить эту нормировочную постоянную? Нарисовать график этого рас-
распределения.
29. Написать распределение Максвелла по модулю скорости v
молекул с точностью до нормировочной постоянной А. Как опреде-
определить эту нормировочную постоянную? Нарисовать график этого рас-
распределения.
30. Как найти среднее значение скорости молекулы газа, нахо-
находящегося в равновесии при температуре 77 Чему она равна?
31. Чему равна среднеквадратичная скорость молекулы газа, на-
находящегося в равновесии при температуре 71?
15

32. Найти наивероятнейшую скорость молекулы газа, находяще-
находящегося в равновесии при температуре Т.
33. Чему равно среднее число ударов молекул v (удар/(см2-с)] о
единицу площади стенки сосуда в единицу времени для газа, нахо-
находящегося в равновесии при температуре Г. Известна концентрация
молекул п или давление газа Р.
34. С какой средней энергией е вылетает молекула одноатомного
идеального газа через очень малое отверстие в тонкостенном сосуде?
35. Одноатомный газ, имеющий в начале температуру То, начи-
начинает вытекать из теплоизолированного сосуда через отверстие, раз-
размер которого мал по сравнению с длиной свободного пробега атомов
газа. Определить его температуру, когда в сосуде останется полови-
половина атомов газа.
36. В некотором сосуде при температуре Т содержится газ с кон-
концентрацией молекул п. Каков вклад dP в давление группы молекул,
скорости которых лежат в пределах от v до v + dv. При каком зна-
значении v это давление максимально?
37. Написать выражение для среднего числа dN молекул газа,
кинетические энергии которых заключены в пределах от е до
е + de (можно с точностью до нормировочной постоянной).
38. Написать барометрическую формулу, т.е. зависимость давле-
давления воздуха от высоты в условиях изотермической атмосферы. То
же для концентрации n(z) и плотности p(z).
39. Написать выражение для канонического распределения Гиб-
бса /(х, у, z, рх, ру, pz).
40. Небольшой высоты Н закрытый теплоизолированный сосуд с
газом находится при температуре Т в поле тяжести Земли. Опреде-
Определить положение центра масс газа. Чему равна средняя потенциаль-
потенциальная энергия молекул этого газа? Считать, что mgH<z.kT.
41. Как вычислить теплоемкость газа в условиях предыдущего
вопроса? Чему она равна?
42. Оценить массу атмосферы Земли.
43. Пользуясь формулой Больцмана, дайти среднюю потенци-
потенциальную энергию епот молекулы газа в земной атмосфере, считая по-
последнюю изотермической с температурой 7\ а поле тяжести одно-
однородным. Чему равна теплоемкость газа в этих условиях?
44. Написать выражение для абсолютной и относительной флук-
флуктуации некоторой физической величины /, флуктуирующей вокруг
своего среднего значения /.
45. Выразить средний квадрат флуктуации < А/2 > произволь-
произвольной физической величины через < /2 > и ( < / > J.
46. Написать нормальный (гауссовский) закон распределения не-
некоторой физической величины / относительно среднего значения /.
47. В теплоизолированном сосуде под подвижным поршнем на-
находится 1 моль идеального одноатомного газа. В некоторый момент
времени давление на поршень мгновенно увеличивается в два раза.
После установления равновесия давление также мгновенно умень-
16

шастся вдвое, возвращаясь к первоначальному значению. Опреде-
Определить изменение энтропии AS газа в расчете на одну молекулу.
48. Чему равна молярная энтропия кристаллического аргона при
низкой температуре. Ядро 37Аг имеет спин 3/2. Считать, что темпе-
температура хоть и близка к О К, но все же достаточно высока, чтобы
обеспечить полную разупорядоченность направлений.
49. Чему равен средний квадрат < хг> смещения за время t
по направлению х броуновской частицы, находящейся в тепловом
равновесии при температуре Т с молекулами жидкости, имеющей
иязкость т|. Радиус частицы равен а. То же в 3-х мерном случае,
т.е. < г2 > . __
50. Написать выражение для средних квадратов х2 и г2 смеще-
смещения броуновской частицы через коэффициент диффузии D броунов-
броуновской частицы. Чему он равен?
51. Как известно, замкнутая система, не находящаяся в состоя-
состоянии равновесия, стремится придти в равновесие. Время перехода в
равновесное состояние называется временем выравнивания. Как
подсчитать (оценить) это время для системы, имеющей характер-
характерный размер L и коэффициент диффузии D?
52. Дать определение подвижности В незаряженной (и подвиж-
подвижности \i заряженной) частицы.
53. Что называется длиной свободного пробега молекулы? Чему
она равна?
54. Как зависит длина свободного пробега молекулы от давления
и температуры? Оценить эту величину для молекулы воздуха при
/' ^ 300 К; Р ^ 1 атм, считая известным диаметр молекул d » 3 А.
55. Написать выражение для стационарной плотности потока
«меченых» молекул jz [шт/(см2-с)], распространяющегося вдоль оси
z трубы при наличии градиента концентрации вдоль оси z (самодиф-
(самодиффузия, первый закон Фика).
56. Написать выражение для коэффициента диффузии D в рам-
рамках модели газа как твердых упругих шариков. Как D зависит от
давления и температуры?
57. Как связана подвижность В незаряженной частицы с коэф-
коэффициентом диффузии D (формула Эйнштейна)? То же для подвиж-
подвижности \i заряженной частицы. Температура постоянна и равна Т.
58. При некотором политропическом расширении идеального га-
газа оказалось, что коэффициент диффузии D = const. Чему равен
показатель политропы?
59. В сосуде объемом 1 л находится воздух при нормальных ус-
условиях. В некоторой точке сосуда искусственно создано скопление
молекул радиоактивного изотопа азота. Оценить время, через кото-
которое радиоактивный азот распространится по всему объему.
60. Диффузия, вязкость и теплопроводность объединяются об-
общим термином: явления переноса. Что «переносится» в каждом из
.mix явлений?
61. По некоторому стержню, концы которого поддерживаются
мри разных, но постоянных температурах, распространяется поток
17

тепла. Записать выражение для плотности этого потока (уравнение
теплопроводности).
62. Из молекулярно-кинетических представлений получается
формула для коэффициента теплопроводности в газе, плотность ко-
которого р, а удельная теплоемкость равна с^. Написать эту формулу.
63. Пусть плоский предмет движется в газе вдоль по оси х, па-
параллельно своей плоскости. Благодаря вязкому трению импульс рх
будет передаваться слоям газа, параллельным оси х, увлекая их.
Написать выражение для тензора напряжений xzx.
64. В рамках модели газа, где рассматриваются молекулы как
твердые упругие шарики, написать формулу для коэффициента вяз-
вязкости газа т). Как он зависит от температуры?
65. Как изменится коэффициент теплопроводности одноатомно-
одноатомного идеального газа при увеличении его объема в 2 раза по политропе
с молярной теплоемкостью C — R.
66. Написать уравнение Ван-дер-Ваальса. Что это за газ? Объяс-
Объяснить его свойства в сравнении с идеальным газом и газом твердых
упругих шариков. Изобразить кривую потенциала взаимодействия
двух нейтральных молекул в зависимости от расстояния.
67. Написать выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-
Ваальса.
68. Написать dS(T, V) — приращение энтропии газа Ван-дер-
Ваальса.
69» Изобразить на РК-диаграмме изотерму реального газа и там
же (для сравнения) изотерму газа Ван-дер-Ваальса. Пояснить.
70. Изобразить на РК-диаграмме фазовую диаграмму вода-пар,
указав области существования пара, воды, газа и 2-х фазной смеси.
71. Изобразить на РГ-диаграмме фазовую диаграмму состояний
вода-пар-лед. Что такое тройная точка? В тройной точке можно со-
совершить круговой изотермический процесс. Какое при этом получа-
получается соотношение между теплотами: испарения Лисш плавления
Лпл и возгонки ЛВ03Г?
72. Написать уравнение Капейрона-Клаузиуса для двухфазной
системы пар-вода.
73. Известно, что при фазовых переходах первого рода скачком
изменяются плотности (удельные о&ьемы), удельные энтальпии,
удельные энтропии и удельные внутренние энергии при неизменном
термодинамическом потенциале Гиббса (и, соответственно, моляр-
молярные величины). Написать формулы для подсчета удельной теплоты
парообразования через эти скачки.
74. С помощью какой формулы вводится коэффициент поверх-
поверхностного натяжения а?
75. Написать выражения для tynoB — свободной энергии поверх-
поверхностной пленки. Напомним, что это гр = яр(Г, F), где F — площадь
пленки.
76. Получить формулу Лапласа для поверхностного давления
сферической капли радиусом г. Что называют поверхностным (лап-
ласовским) давлением?
18

77» Написать формулу для высоты Н капиллярного поднятия
(опускания) жидкости в капилляре радиусом г.
78. В замкнутый сосуд, где находится в равновесии вода со сво-
своим насыщенным паром (поверхность жидкости плоская), внесли
каплю воды радиусом г. Будет капля увеличивать свой размер или
уменьшать (испаряться)? Чему равна разность давлений насыщен-
насыщенного пара между кривой и плоской поверхностями жидкости
Рг - Л,?
79. Как отличается давление насыщенного пара в паровом пу-
пузырьке радиусом г вблизи плоской поверхности воды от давления
насыщенного пара над плоской поверхностью?
80. В вакуумной теплоизолированной камере на двух концах
трубки находятся два почти одинаковых по размеру масляных пу-
пузыря, наполненных гелием. В начальный момент времени трубка
перекрыта краном. Что произойдет после открытия крана? Во
сколько раз изменится температура газа, а также давление внутри
пузыря? Считать процесс с газом адиабатическим, а изменением
энергии пленки пренебречь.
19

Электричество и магнетизм
1. Что называется дипольным моментом электрического дипо-
диполя? Куда направлен вектор р дипольного момента? Чему равно
поле точечного диполя на его оси и в перпендикулярном направ-
направлении? Написать общую формулу для поля электрического точеч-
точечного диполя.
2. На диполь, помещенный в однородное поле Е действует меха-
механический момент. Чему он равен? Чему равна потенциальная энер-
энергия жесткого диполя, ориентированного под углом а к вектору Е.
3. На диполь, помещенный в неоднородное электрическое поле
действует сила. Чему она равна? Рассмотреть также частный слу-
случай, когда ось Ох направлена вдоль вектора р.
4. Сформулировать теорему Гаусса для определения напря-
напряженности электрического поля Е в вакууме в интегральной и
дифференциальной формах.
5. Определить с помощью теоремы Гаусса поле Е вблизи равно-
равномерно заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда рав-
равна о. Чему равен скачок нормальной составляющей Еп напряжен-
напряженности электрического поля влизи металлической поверхности, заря-
заряженной зарядом с плотностью а?
6. Как связаны между собой электрическое поле Е и потен-
потенциал ip?
7. Сколько единиц СГСЭ составляют: 1 Кл? 1 В? 1 Дж? 1 Н? Че-
Чему равен заряд электрона?
8. Написать уравнение Пуассона для определения пространст-
пространственного распределения потенциала <р(х, у> z) в зависимости от рас-
распределения плотности заряда р(х, у, z).
9. Дать определение емкости уединенного заряженного провод-
проводника в вакууме. Чему равна емкость шара радиусом R7 Емкость
плоского конденсатора? Сферического конденсатора? Чему равна
1 Ф (в единицах СГСЭ)?
10* В чем физический смысл вектора поляризации Р (вектора
поляризованности, вектора плотности дипольного момента)? Как
выражается поверхностная плотность поляризационного заряда од-
однородно поляризованного диэлектрика через вектор поляризации
среды? При неоднородной поляризации диэлектрика поляризацион-
поляризационные заряды появляются не только на поверхности, но и в объеме.
Как вычислить величину такого заряда дпол в некотором объеме, ог-
ограниченном замкнутой поверхностью 5? Как при этом связана объ-
объемная плотность поляризационного заряда с вектором Р?
11. Что называется вектором электрической индукции D (элект-
(электрического смещения)? Написать теорему Гаусса для диэлект-
диэлектрической среды.
12. Написать граничные условия для векторов D и Е. Откуда
они следуют?
13. В плоский конденсатор вставлены две диэлектрические
пластины с диэлектрическими проницаемостями ej и е2 (рис. 11).

В случае а) граница раздела диэлектриков параллельна пласти-
пластинам; в случае б) — перпендикулярна. В обоих случаях конден-
конденсатор подключен к одному и тому же источнику постоянной
ЭДС. Найти отношения полей Еу/Ег и Di/D2 в этих случаях.
14. Толстая диэлектрическая плоская пластина бесконечных
размеров однородно поляризована, так, что вектор поляризации
пластины перпендикулярен ее плоскости. Чему равны векторы Е и
D внутри и вне пластины?
Рис. 11
Рис. 12
15. Что такое поляризуемость диэлектрика? Что называют ди-
диэлектрической проницаемостью? Как связаны эти величины?
16. Чему равен дипольный момент металлического шара радиу-
радиусом а, помещенного в однородное электрическое поле Е?
17. Представим себе разреженный газ неполярных молекул, по-
помещенный во внешнее однородное электрическое поле Е. Чему рав-
равна диэлектрическая проницаемость такой среды в модели газа про-
проводящих шариков радиусом al Концентрация шариков п.
18. Написать энергию электрического поля трех точечных заря-
зарядов я и Яг и Яз> находящихся на расстояниях друг от друга
Г12> Г23> Г13'
19. Написать выражение для энергии электрического поля заря-
заряженного до напряжения U плоского конденсатора емкостью С, за-
заполненного однородным диэлектриком с диэлектрической проница-
проницаемостью е. Выразить эту энергию через напряженность электри-
электрического поля Е, а также через вектор электрической индукции D.
20. С одной стороны достаточно протяженной металлической
пластины находящейся в вакууме, электрическое поле равно Еь а с
другой — Е2. Векторы обоих полей перпендикулярны пластине
(рис. 12). Чему равно давление (сила на единицу площади) сил
электрического поля, действующих на пластину?
21* По сфере радиусом R равномерно распределен заряд Q.
Определить давление изнутри на поверхность сферы, обусловленное
взаимодействием зарядов.
22. Написать выражение для плотности тока носителей заряда,
имеющих концентрацию п и среднюю скорость упорядоченного дви-
движения и.

23. Написать уравнение непрерывности заряда в интегральной и
дифференциальной форме.
24. Написать законы Ома и Джоуля—Ленца в дифференциаль-
дифференциальной форме. Какие размерности имеют удельная проводимость X и
удельное сопротивление р в СГСЭ?
25. Написать зконы Ома и Джоуля—Ленца в интегральной форме.
Что называют ЭДС источника? Какова размерность сопротивления в
СГСЭ и как связана эта величина с единицей сопротивления в СИ?
26. Частица с зарядом д движется со скоростью v в магнитном
поле с магнитной индукцией В (в дальнейшем просто: в поле В).
Чему равна сила, действующая на эту частицу?
27. Написать формулу Ампера для расчета силы, действующей
на проводник с током 3 в магнитном поле В.
28. Движущийся со скоростью v заряд q является источником
магнитного поля В. Чему оно равно?
29. Написать формулу Био—Савара—Лапласа для расчета маг-
магнитного поля элемента тока 3d\ (или \dV). Чему равно поле В вок-
вокруг длинного прямолинейного провода с током 31
30. Используя формулу Био—Савара—Лапласа вычислить поле
В в центре витка с током радиусом г.
31. Используя теорему о циркуляции вектора В, определить по-
поле внутри бесконечного соленоида, по которому течет ток 3. Плот-
Плотность намотки равна п витков/см.
32. По двум параллельным плоскостям навстречу друг другу
текут одинаковые параллельные токи с линейной плотностью
i [размерность тока/см]. Чему равно магнитное поле В между пло-
плоскостями и снаружи?
33. Что называют магнитным моментом витка с током? Чему ра-
равен механический момент, действующий на виток с током, поме-
помещенный в магнитное поле В?
34. Написать выражение для поля В магнитного диполя. Изо-
Изобразить на рисунке (качественно) картину магнитных силовых ли-
линий, окружающих диполь.
35. Написать выражение для потенциальной энергии магнитного
диполя магнитный момент Ш которого не зависит от внешнего по-
поля В, находящегося в магнитном поле с индукцией В.
36. Что называют вектором намагниченности I среды? Чему
равен полный магнитный момент ЖЛПолн прямого цилиндра объе-
объемом Vy намагниченного параллельно его оси (вектор намагничен-
намагниченности I)? Чему равна линейная плотность *мол «молекулярного»
тока на поверхности такого цилиндра?
37. Написать теорему о циркуляции для вектора В в магне-
магнетике, где помимо токов проводимости 3 существуют токи намаг-
намагничивания (молекулярные токи) <э7Мол-
38. Как определяется вектор напряженности магнитного поля Н?
Написать теорему о циркуляции вектора Н для изотропной среды в
интегральной и дифференциальной формах (случай постоянных
токов), а также теорему Стокса для вектора Н.
22

39* Записать граничные условия для векторов В и Н на границе
раздела двух магнетиков. Откуда они следуют?
40. Бесконечная пластина ферромагнетика намагничена так, что
вектор намагниченности I перпендикулярен поверхностям пласти-
пластины. Определить поля В и Н внутри и вне пластины.
41. Бесконечная пластина ферромагнетика намагничена так, что
вектор намагниченности I параллелен поверхностям пластины.
Определить поля В и Н внутри и вне пластины.
42. Дать определение магнитной проницаемости и магнитной
восприимчивости среды? Объяснить какие вещества называются ди-
амагнетиками, какие парамагнетиками, а какие ферромагнетиками.
43. Написать формулу для ЭДС индукции. Пояснить правило
Ленца.
44. Написать закон электромагнитной индукции в форме Макс-
Максвелла (в интегральной и дифференциальной формах).
45. Две нейтральные частицы, обладающие магнитными момен-
моментами Ш{ и Ш2 расположены на расстоянии г друг от друга. В ка-
каком случае частицы притягиваются, а в каком отталкиваются:
1) ЯН i|| ЯИ 2; 2) Ш{ антипараллелен ЯЛ2- Найти силу их взаимо-
взаимодействия.
46. Что называют индуктивностью? Получить выражение для
индуктивности соленоида, имеющего N витков, длину /, сечение S
и заполненного магнетиком с магнитной проницаемостью (л.
47. Объяснить, что называют коэффициентом взаимоиндукции.
48. Написать выражение для магнитной энергии катушки с то-
током (в СИ и СГСЭ).
49. Написать выражение для плотности магнитной энергии ка-
катушки с током через значение магнитной индукции В (или поля
Я) и магнитную проницаемость jx среды.
50. Изобразить на графике зави-
зависимости В(Н) и 1{Н) (I — намагни-
намагниченность) для ферромагнетика. Что
называют остаточной намагничен-
намагниченностью и коэрцитивной силой?
51. Медный диск радиусом а
вращается с угловой скоростью о в
поле В, перпендикулярном плоско-
плоскости диска (рис. 13). Два щеточных
контакта соединяют ось и перифе-
периферию диска проводом с амперметром рис. 13
и резистором с сопротивлением R.
Что покажет амперметр? Сопротивлением проводов и самого диска
пренебречь.
52. По длинному соленоиду (п витков/см) течет ток ©7. найти
давление на боковую поверхность соленоида.
53* Объяснить в каких случаях и почему магнитный поток со-
сохраняется.
23

54. Пояснить качественно, как себя ведет сверхпроводник поме-
помещенный в постоянное однородное магнитное поле, на примере
сверхпроводящего образца цилиндрической формы.
55, Сверхпроводящий виток с индуктивностью
?. в котором возбужден ток 30, вставляют в ко-
роткозамкнутый сверхпроводящий соленоид с ин-
индуктивностью LQ (рис. 14). Оси витка и соленоида
совЦадают, в начальный момент виток достаточно
удален от соленоида, и тока в соленоиде нет. В
Рис. 14 конечный момент — виток расположен посередине
соленоида, так что коэффициент взаимоиндукции
равен М. Найти конечный ток в соленоиде.
56. С какой силой притягиваются два одинаковых соосных витка
с одинаковыми токами, имеющие магнитные моменты ЭД1? Витки на-
находятся на достаточно большом (по сравнению с размерами витков)
расстоянии / друг от друга.
57. Заряженная частица, влетевшая в магнитное поле, начинает
совершать циклотроннное вращение. Чему равна циклотронная ча-
частота? Чему равен циклотронный радиус?
58. При наличии внешнего постоянного магнитного поля внут-
внутреннее движение электронов атома не меняется, но атом в целом
получает дополнительное вращение с ларморовской частотой (пре-
(прецессии). Чему она равна?
59. Написать уравнение свободных колебаний в LCR-контуре.
Чему равна частота свободных колебаний? При каких условиях ко-
колебания отсутствуют (апериодический режим)?
60* Что называется логарифмическим декрементом затухания
контура, а что называется добротностью? Написать формулы для
добротности LCR-контура.
61. Элементы L, С, R последовательно подключены к источ-
источнику переменной ЭДС <f0cos Ш. Написать выражение для устано-
установившегося тока в этой цепи. Изобразить (качественно) векторную
диаграмму тока и напряжений, фазовую характеристику, а также
J V
резонансную кривую —¦ . Чему равны резонансные значе-
значения амплитуды напряжений на индуктивности ULQ и емкости
"со?
62. Рассмотреть амплитудно-модулированный сигнал f(t) =
= A(l + mcos Q*)cos cc>0Z, где Q«coo, т«-\. Каков спектр этого
сигнала? Нарисовать качественно векторную диаграмму амплитуд-
амплитудной модуляции.
63. Рассмотреть то же для фазово-модулированного сигнала
f(t) = ^cos(co0* + mcos Qt).
64. Частота и длительность импульса связаны соотношением не-
неопределенностей. Написать это соотношение и объяснить его смысл.
65. Изобразить качественно спектр сигнала F(t) = ае~^х х
х cos а>ог, t > 0; /(*) = 0 при t < 0 (затухающий цуг).
24

66. Написать систему уравнений Максвелла в интегральной
форме (с учетом тока смещения). Что такое ток смещения? Прове-
Провести хотя бы один пример о необходимости его введения.
67. Написать систему уравнений Максвелла в дифференциальной
форме с граничными условиями, которым должно удовлетворять
электромагнитное поле на границе раздела двух сред, и уравнениями
материальных связей.
68- Написать выражение для вектора плотности потока электо-
магнитной энергии (вектор Пойнтинга S). Какова его размерность
в гауссовой системе?
69. По цилиндрическому проводу радиусом г и длиной I течет ток
плотностью j. Куда направлен вектор S и чему равен его модуль S?
70. Написать систему уравнений Максвелла для среды с ди-
диэлектрической и магнитной проницаемостями е и ц, полагая, что
р = 0; / = 0. Получить волновое уравнение для вектора Е или В.
Чему равна фазовая скорость плоской волны?
71. Чему равно давление электромагнитной волны на полностью
поглощающую поверхность? На идеально отражающую?
72. Написать выражение для плоской .электромагнитной волны,
распространяющейся вдоль по оси z в свободном пространстве в ва-
вакууме.
73. Написать выражение для волны, бегущей в прямоугольном
волноводе вдоль оси z. Поле Е параллельно оси у. Размер сечения
волновода а X Ь.
14. При каком ограничении на длину волны X электромагнитная
волна не способна распространятся в волноводе? Чему равна гра-
граничная частота?
75. Написать выражение для волнового числа kz волны, бегущей
по оси z прямоугольного волновода с внутренним размером по оси х,
равным а. Чему равна фазовая скорость распространения такой вол-
волны?
76. Чему равна глубина проникновения электрического поля
волны, бегущей по проводу (глубина скин-слоя), если известна ча-
частота со; удельная электропроводность А. и магнитная проницаемость
материала \л(\л^ 1).
77. В плазме есть такое понятие: дебаевский радиус. Что это та-
такое, чему он равен?
78. Что называется плазменной частотой о>р? Чему она равна?
79. Нарисовать (качественно) графики для коэффициентов от-
отражения R л и R± плоской электромагнитной волны, падающей на
«прозрачную» плоскую диэлектрическую поверхность среды с пока-
показателем преломления п из вакуума в зависимости от угла падения
и ориентации вектора Е: в плоскости падения (||) и перпендикуляр-
перпендикулярно плоскости падения (±).
80. Что такое угол Брюстера и чему он равен?
25

Оптика
1. Написать формулу тонкой линзы. Рассмотреть все возможные
случаи построения изображений в линзах (линза собирающая или
рассеивающая, получаемое изображение действительное или мни-
мнимое, на линзу падает расходящийся или сходящийся пучок света).
2. Записать формулу тонкой линзы через радиусы кривизны
сферических поверхностей линзы.
3. Записать выражение для плоской волны, волновой вектор к
которой лежит в плоскости XOZ (т.е. kJ-ОУ). Кроме того, угол
между вектором к и осью OZ равен V-
4. Что обычно понимают под термином «интенсивность света»?
5. При интерференции монохроматических плоских волн от
двух когерентных источников равной интенсивности /0 в плоскости
наблюдения появились интерференционные полосы с периодом их
следования Л. Написать выражение для распределения интенсивно-
интенсивности света 1(х)у если полосы направлены вдоль оси Оу. При х = 0 в
центре картины наблюдается «нулевой» максимум. Изобразить эту
зависимость на графике.
6. Какие два источника света называются когерентными?
7. Написать выражение для периода Л интерференционной кар-
картины в опыте Юнга (рис. 15).
8. Написать выражение для рас-
распределения интенсивности (см. воп-
вопрос 5) света 1(х) вблизи геометриче-
геометрического центра при интерференции мо-
монохроматических плоских волн от ис-
источника с длиной волны к в опыте
Юнга (рис. 15). При этом ширина
щелей такова, что амплитуды колеба-
колебаний от них равны Е[о и Е2о*
9. Чему равна видность интерференционной картины при ин-
интерференции плоских монохроматических волн. (см. также вопро-
вопросы 7 и 8).
10. Привести схему интерферометра Майкельсона. Изобразить
схему опыта интерференции на бипризме Френеля и на зеркалах.
11* Написать условия максимумов и минимумов интерференци-
интерференционной картины в опыте Юнга.
12. Написать выражение для распределения интенсивности света
/(х) при интерференции от точечного квазимонохроматического ис-
источника. Интенсивность света интерферирующих пучков считать
одинаковой. Изобразить эту зависимость на графике.
13. Что называют временем когерентности (корреляции) квази-
квазимонохроматического точечного источника? Что такое длина цуга
(длина когерентности)?
14. Каково условие наблюдения интерференции от квазимо-
квазимонохроматического точечного источника в точке, удаленной на
расстояние х от центра интерференционной картины? Чему равен
26
Рис. 15

максимальный порядок mraax такой интерференции, если длина
излучаемой волны в среднем равна X, а степень ее монохрома-
монохроматичности АХ?
15. Написать выражение для видности F(A) интерференционной
картины квазимонохроматического точечного источника, если изве-
известна ширина «прямоугольного» спектра Аса излучаемого источником
света, у которого спектральные компоненты имеют одинаковую ин-
интенсивность; А — разность хода.
16. Написать выражение для распределния интенсивности света
/(*) при интерференции в опыте Юнга от монохроматического про-
протяженного источника. Ширина источника равна й, длина волны све-
света X, угол схождения лучей а, апертура интерферометра Q (угол
под которым видны две щели из точки расположения источника све-
света). Изобразить эту зависимость на графике. При заданной аперту-
апертуре Q при каком Ь* интерференционная картина исчезает (К = 0)?
17. Изобразить на графике зависимость V(b) — видность интер-
интерференционной картины от ширины Ъ протяженного монохроматиче-
монохроматического источника. Что называют радиусом пространственной когерен-
когерентности? При какой апертуре Q интерферометра интерференция от
удаленного протяженного источника наблюдаема?
18. Изобразить (качественно) распределение интенсивности све-
света 1{х) для реального (протяженного квазимонохроматического) ис-
источника света. Сравнить его с графиками вопросов 5, 12, 16.
19. Для уменьшения потерь света из-за отражения от поверх-
поверхности стекла последнее покрывают тонким слоем вещества с пока-
показателем преломления, равным Vn (n — показатель преломления
стекла). При этом амплитуды световых колебаний, отраженных от
обеих поверхностей слоя, равны. При какой толщине h этого слоя
отражательная способность стекла в направлении нормали будет
равна нулю для света с длиной волны X?
20. Плоская монохроматическая световая волна длиной
X — 0,5 мкм падает нормально на диафрагму с двумя узкими щеля-
щелями, отстоящими друг от друга на d = 2,5 мм. На экране, располо-
расположенном за диафрагмой на / = 100 см, образуется система интерфе-
интерференционных полос. На сколько полос, на какое расстояние и в ка-
какую сторону сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть
стеклянной (п = 1,5) пластинкой толщиной h = 10 мкм?
21. На экран с двумя узкими параллельными щелями падают
лучи непосредственно от Солнца. При каком расстоянии d между
щелями могут наблюдаться интерференционные полосы за экраном?
Угловой размер Солнца яр = 0,01 рад.
22. Оценить объем когерентности видимой части спектра сол-
солнечного света вблизи поверхности Земли. Угловой диаметр Солнца
Ц = 10 рад.
23. В чем заключается принцип Гюйгенса—Френеля? Каков
смысл разбиения волнового фронта на зоны Френеля? Написать
формулу для радиуса п-й зоны Френеля.
27

24. Как соотносятся амплитуда волны от всего волнового фрон-
фронта и амплитуда волны, пришедшей от первой зоны Френеля? Изо-
Изобразить векторную диаграмму для волны, пришедшей в точку Р
от открытых 1,5 зон Френеля. Остальные закрыты. Чему при этом
равна интенсивность света в точке Р, если интенсивность падаю-
падающего света /0?
25. Непрозрачный диск закрывает для точки наблюдения Р 3 зо-
зоны Френеля, остальные зоны открыты. Чему равна интенсивность
света в точке Р, если интенсивность падающего на диск света /0?
26. Как объяснить наличие светлого пятнышка в центре темного
пятна, являющегося «тенью» от круглого диска, расположенного сим-
симметрично поперек светового потока, исходящего от точечного источ-
источника (пятно Пуассона)?
27. Диск из стекла с показателем преломления п закрывает для
точки наблюдения Р 1,5 зоны Френеля. При какой толщине диска h
освещенность в точке Р будет максимальной? Длина волны света X.
28. Что называется волновым параметром р (иногда величину,
обратную ему, называют числом Френеля)? Как качественно меня-
меняется дифракция в зависимости от значения волнового параметра р?
Начерить качественно график зависимости интенсивности света
Ip(z) в точке наблюдения Р при дифракции на круглом отверстии
нормально падающего плоскопараллельного пучка света. Точка на-
наблюдения Р расположена на оси отверстия и смещается от отверстия
(здесь z = 0) на бесконечность.
29. Дифракционная картина Фраунгофера наблюдается на щели
шириной b на удаленном экране, или в фокальной плоскости линзы
(объектива). Как зависит интенсивность /(sin 0) света в направле-
направлении угла 0? Длина волны света X.
30. На щель шириной Ъ = 10 мкм нормально падает плоская
волна длиной X = 600 нм. Указать положения дифракционных мак-
максимумов 1-го, 2-го и 3-го порядков.
31. Как изменится ответ на предыдущий вопрос, если щель за-
заменить круглым отверстием диаметром D1
32. Пояснить действие критерия Рэлея на примере телескопа.
33. Каков наименьший диаметр телескопа, с помощью которого
можно разрешить дифракционные изображения двух звезд, если уг-
угловое расстояние между ними чр = 2"? Глаз наиболее чувствителен
к длине волны X = 550 нм.
34. При каком увеличении телескопа у будет полностью исполь-
использована разрешающая способность телескопа диаметром D = 25 см?
Диаметр зрачка принять равным d3p = 2 мм. Глаз наиболее чувстви-
чувствителен к длине волны X = 550 нм.
35. Назвать основные характеристики спектрального прибора.
На примере дифракционной решетки написать, чему они равны.
36. Какой свет, красный или синий больше отклоняется спект-
спектральным прибором (решеткой, призмой)?

37. Попробуйте качественно изобразить распределение интен-
интенсивности монохроматического света /(sin 0) продифрагировавшего
на дифракционной решетке при нормальном его падении на нее.
38. Удаленный протяженный источник испускает две тонкие
спектральные линии А^ — 500 нм и к2 ~ 500,2 нм равной интенсив-
интенсивности. Свет от источника непосредственно падает на дифракцион-
дифракционную решетку. Оценить угловой размер источника яр, при котором
можно разрешить эти линии.
39. Импульсное излучение с длительностью импульсов 1 пс и
длиной волны к = 0,53 мкм падает на дифракционную решетку с
разрешающей способностью R = 3400. Оценить отношение х/х0
длительности импульсов за решеткой к длительности падающих
импульсов.
40. Изобразить оптическую схему получения интерференцион-
интерференционных колец с помощью интерферометра Фабри—Перо.
41. Изобразить на графике как зависит от времени сигнал на
выходе интерферометра Фабри—Перо, если на него направить по
нормали одиночный световой импульс (вспышку).
42. Написать, чему равна разрешающая способность интерферо-
интерферометра Фабри—Перо?
43. Какова область дисперсии интерферометра Фабри—Перо?
44. Чему равна добротность резонатора Фабри—Перо?
45. Записать плоскую электромагнитную волну, вектор к кото-
которой лежит в плоскости xOz, под углом 7 K направлению оси z, в
плоскости z = 0. Что называется пространственной частотой этой
волны и ее пространственным периодом?
46. Записать плоскую волну при z > 0 (см. предыдущий вопрос).
47. Транспарант (пластинка) с коэффициентом пропускания,
равным /(х) = А{\ + a cos Qx), называется амплитудной синусои-
синусоидальной решеткой. Какие плоские волны будут на выходе (про-
(пространственный спектр) синусоидальной решетки (после нее), если
на нее нормально падает плоская волна, амплитуда которой равна
1? Под какими углами они выходят из решетки?
48. Плоский монохроматический пучок света с длиной волны X
дифрагирует на двух одинаковых последовательно расположенных
синусоидальных решетках с амплитудными коэффициентами пропу-
пропускания х{ = х2 = A + cos Qx)/2. Плоскости обеих решеток перпенди-
перпендикулярны оси z. При смещении одной из решеток с постоянной ско-
скоростью v вдоль оси z интенсивность первого дифракционного макси-
максимума периодически изменяется. Определить период изменения
фототока в датчике, установленном в 1-м дифракционном максиму-
максимуме. Найти также максимальное и минимальное значения интенсив-
интенсивности света в этом максимуме: /тах и /min, если v = 1 мм/с;
X = 5-10~5 см, а пространственный период решеток d = 10~3 см.
49. Транспарант с комплексным коэффициентом пропускания,
равным /(дс) = eiacosQx называется фазовой синусоидальной решет-
решеткой. Каков пространственный спектр светового поля за пределами
этой решетки, если на нее нормально падает плоская волна с ампли-
29

тудой А = 1? Под какими углами компоненты пространственного
спектра выходят из решетки?
50. Что называют Фурье-плоскостью в оптических схемах
Фурье-оптики?
51. Начертить оптическую схему наблюдения фазовых (про-
(прозрачных) структур методом темного поля. Как она работает?
52. Начертить оптическую схему наблюдения фазовых (про-
(прозрачных) структур методом фазового контраста. Как она работает?
53. Написать формулу Аббе для разрешения минимального пе-
периода периодической структуры. Начертить оптическую схему, по-
позволяющую понять физический смысл формулы.
54. Рассмотреть волновой пакет, представляющий собой сумму
<о0+Д<о/2
волн (интеграл) E(t, z) = [ А(о>) ?«(»<-*(<»>*) ^ш волны имеют час-
а>0—Аа>/2
тоты, непрерывно распределенные в интервале от ш0 — Аш/2 до
ш0 + Аш/2. Показать, что этот пакет распространяется вдоль по оси
z с групповой скоростью "==^7р Считать, что А(й«и>0.
55. Написать формулу Рэлея для определения групповой скоро-
скорости по закону дисперсии v = v(\) или п = п(Х).
56. Какой закон дисперсии называется нормальным, а какой
аномальным?
57. Как зависит от частоты квадрат показателя преломления
газа, с концентрацией атомов N, равный диэлектрической прони-
проницаемости (п2 = е(со)), вдали от поглощения и на частотах, когда
можно пренебречь собственной частотой о>0 колебаний осциллято-
осцилляторов в классической модели дисперсии?
58. Оценить диапазон длин волн, в котором можно обнаружить
источник космического радиоизлучения, находящийся за Луной, ес-
если угловой размер лунного диска гр = 10~2 рад, а средняя высота не-
неровностей лунной поверхности h » 100 м. Концентрация электронов
в ионосфере Земли равна N я* 106 см~3.
59. На плоскую границу плазмы, занимающей полупространство
под углом падения <р падает плоская электромагнитная волна дли-
длиной А.» Концентрация электронов плазмы растет вглубь, при этом на
поверхности она много меньше критической. Определить концент-
концентрацию электронов внутри плазмы, при которой наступает полное
отражение волны.
60. Как зависит интенсивность рассеянного света / от длины
волны излучения (формула Рэлея)? Почему цвет неба голубой, а
закаты розовые?
61. На примере кристалла исландского шпата объяснить явле-
явление двулучепреломления. Какой луч называется обыкновенным, а
какой — необыкновенным? Где в этом кристалле проходит глав-
главная ось?
62. Как сделать пластинку с максимально выраженным эффек-
эффектом двулучепреломления? Чему равна толщина пластинки в Я/4?
30

Свет какой поляризации получится на выходе такой пластинки, ес-
если на нее перпендикулярно к ее поверхности направить пучок ли-
линейно поляризованного света?
63. Можно ли на выходе двулучепреломляющей пластинки по-
получить неполяризованный свет, подав на вход пучок линейно поля-
поляризованного света?
64. Параллельный пучок неполяризованного монохроматическо-
монохроматического света падает на пластинку в Х./2. Интенсивность света в некото-
некоторой точке наблюдения Р равна /0. Из пластинки вырезали диск, за-
закрывающий для точки Р 1,5 зоны Френеля. Диск повернули на угол
к/2 и поставили на место. Какой стала интенсивность в точке Р?
65. Рассмотрев дифракцию рентгеновского излучения на кри-
кристаллической решетке, получить формулу Брэгга—Вульфа.
66. Угол преломления светового луча в жидкости равен 36°.
Определить показатель преломления этой жидкости, если отражен-
отраженный от ее поверхности луч света естественной поляризации при
:>том угле падения максимально поляризован.
67. Полностью поляризованный свет получается при отражении
света от поверхности некоторого вещества под углом 56°. Опреде-
Определить скорость распространения света в этом веществе.
31

Атомная и ядерная физика
1. Изобразить электрическую схему включения фотодиода, а
также вольт-амперную характеристику фотодиода. Как зависит от
частоты падающего на катод излучения запирающее напряжение
Vo фотодиода?
2. Что такое красная граница фотоэффекта?
3. Написать уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Почему в
уравнение входит t^ax — квадрат максимальной скорости?
4. Написать уравнение Эйнштейна через задерживающую раз-
разность потенциалов.
5. Уединенный цинковый шарик облучается ультрафиолетовым
светом длиной волны X = 250 нм. До какого максимального потен-
потенциала зарядится шарик? Работа выхода цинка Л = 3,74 эВ.
6. Изобразить схему опыта Комптона. В чем заключается эффект
Комптона? Чему равна комптоновская длина волны электрона?
7. Написать выражение для классической) радиуса электрона.
8. Фотон с длиной волны X — 0,00242 нм после рассения на
электроне движется в прямо противоположном направлении. С ка-
какой скоростью v должен двигаться электрон, чтобы частота фотона
при рассеянии не изменилась?
9. Показать, что свободный электрон не способен ни излучать,
ни поглощать световые кванты, а лишь рассеивать их.
10. Написать формулу для эффекта Доплера, полагая, что не-
неподвижный наблюдатель регистрирует частоту движущегося источ-
источника излучения. При этом источник излучает фотоны под углом 6
к направлению своего движения.
11. Записать выражение для волны де Бройля свободно переме-
перемещающейся в пространстве частицы, имеющей импульс р и энергию
Е. Чему равна длина волны де Бройля такой частицы?
12. Электрон, свободно распространяющийся по оси Oz, облада-
обладает определенным импульсом, но его координата х совершенно неоп-
ределена. Для определения х-координаты электрона на пути волны
перпендикулярно к ее распространению ставится экран с щелью.
При этом ось X перпендикулярна щели. Показать, что в результате
дифракции на щели возникает состояние электрона, в котором не-
неопределенности координаты электрона х и импульса рх удовлетво-
удовлетворяют соотношению Гайзенберга.
13. Написать соотношение неопределенностей: энергия—время.
Каков его физический смысл?
14. Написать соотношение неопределенностей в форме Вейля.
Каков смысл в этом соотношении неопределенности координаты и
неопределенности импульса?
15. Предполагая, что ядерные силы обусловлены обменом между
нуклонами квантами ядерного поля (мезонами), оценить радиус
действия ядерных сил. Известно, что энергия покоя мезонов поряд-
порядка 100 МэВ.
32

16. Если предположить, что ядра состоят из протонов и электро-
электронов (нейтронов якобы нет), то какой энергией должны обладать
электроны в ядре?
17. Каков физический смысл волновой функции?
18. Чему равно среднее значение координаты х, а также среднее
значение любой функции координаты /(х)?
19. Записать оператор импульса р*. Как вычислить среднее зна-
значение импульса частицы?
20. Написать уравнение Шредингера. Из каких соображений его
можно составить?
21. Вычислить среднее значение координаты частицы, волновая
функция которой гр(х) = Ах е~х1а при х > 0, ip(x) = 0 при х < 0.
22. Определить волновые функции и уровни энергии стационар-
стационарных состояний частицы массой т, локализованной в одномерной по-
потенциальной яме прямоугольной формы с бесконечно высокими
стенками. Ширина ямы равна а.
23. В чем заключается принцип соответствия Бора?
24. Сформулировать постулаты Бора. Написать откуда следует
квантование энергии атома водорода. Написать уровни энергии Еп
и радиусы боровских орбит гп атома водорода (водородоподобного
атома).
25. Написать условие квантования по Бору—Зоммерфельду.
26. Что называют атомной единицей энергии, единицей длины,
единицей времени?
27. Чему равна постоянная Планка?
28. Написать уравнение Шредингера для атома водорода.
29. Какие граничные условия накладываются на волновую
функцию при решении конкретных задач?
30. Написать приближенную формулу для прозрачности D при
туннелировании частицы через прямоугольный потенциальный
барьер.
31. Объяснить, в чем суть квантово-механической модели альфа-
распада ядра. Как зависит от кинетической энергии Еа а-частицы
прозрачность D барьера (вероятность туннелирования)?
32. Написать уравнение Шредингера для гармонического кван-
квантового осциллятора. Как квантуется энергия одномерного (трехмер-
(трехмерного) осциллятора?
33. Как квантуется проекция момента импульса на некоторую
ось z: Lzl
34. Как квантуется квадрат момента импульса? Чему равен
< L% > — средний квадрат проекции момента импульса на ось z?
35. Как квантуется энергия жесткого ротатора?
36. Найти момент инерции / и расстояние d между ядрами мо-
молекулы СН, если частотные интервалы между соседними линиями
чисто вращательного спектра этих молекул А со = 5,47* 1012 с.
37. Для молекулы HF вычислить число вращательных уровней
расположенных между нулевым и первым возбужденными колеба-
33

тельными уровнями. Собственная частота колебаний этих молекул
равна со0 = 7,8 • 1014 с", расстояние между ядрами d — 0,917 • 10~8 см.
38. Как связаны между собой орбитальный магаитный момент
\l электрона и механический момент импульса L орбитального дви-
движения электрона?
39. Как квантуется проекция \iz магнитного момента орбиталь-
орбитального движения электрона? Что называют магнетоном Бора? Как
квантуется модуль ||Л | орбитального магнитного момента.
40. Как был поставлен опыт Штерна—Герлаха? К какому откры-
открытию он привел? Пояснить физическую природу этого открытия.
41. Как квантуется спиновый магнитный момент электрона? Что
такое спиновый ^-фактор gsl
42. Чему равен полный момент фотона? Что такое спираль-
ность?
43. Что называется полным моментом импульса электрона? Как
складываются механические моменты? Как складываются соответст-
соответствующие им магнитные моменты?
44. Что называют магнитным моментом атома (рассмотреть
атом, в котором только один электрон определяет его магнитный
момент)? Что такое фактор Ланде (g-фактор)?
45. Набор каких величин полностью определяет состояние атома?
46. Что это за последовательность обозначений: s, р, d, /, g7
А,...?
47. Объяснить, как кратко записать состояние атома?
48. Сформулировать «правила отбора» для оптического излуче-
излучения атомов на примере атомов с одним валентным электроном.
49. Что такое вырождение? Вырождение по какому квантовому
числу снимает спин-орбитальное взаимодействие в случае атома во-
водорода и водородоподобньгх атомов? Чему равна кратность вырожде-
вырождения состояния атома водорода с заданным значением главного кван-
квантового числа nl Что называют тонкой структурой? Каковы причины
ее возникновения? Привести примеры расщепления, показав это с
помощью термов водородоподобного атома.
50. Чему равна скорость орбитального движения электрона в
атоме водорода в основном состоянии?
51. Вычислить AUis для электрона в атоме водорода, находяще-
находящегося на первой боровской орбите.
52- В атоме есть последовательность обозначений К, L, М,
N, ... Что стоит за этими обозначениями? Что такое iC-электрон?
53. Как ставится опыт Зеемана? Почему один эффект называют
продольным, а второй поперечным?
54. Сколько линий можно наблюдать в простом эффекте Зеема-
Зеемана? Каковы условия наблюдения простого эффекта Зеемана?
55. Сколько линий можно наблюдать в сложном эффекте Зеема-
Зеемана? Рассмотреть пример расщепления дублета Na: 32Рц22
2
34

56- В атоме Не состояние 3Si отстоит от основного примерно на
20 эВ. Оценить в какое магнитное поле следует поместить атом,
чтобы выстроить его спины параллельно.
57. Что такое магнитный резонанс? Какие переходы в атомах
становятся возможными с использованием магнитного резонанса
(электронный парамагнитный резонанс)?
58. Пояснить на векторной модели ядерного магнитного резо-
резонанса как «опрокидывается» спин ядра. Чему при этом равна резо-
резонансная частота?
59. Написать формулу для радиуса атомного ядра.
60. Написать общее выражение для энергии связи ядра
61. Чему равны массы протона, нейтрона и электрона (в г и
МэВ)? Чему равна атомная единица массы? Почему 1 а. е. м. мень-
меньше как массы протона, так и массы нейтрона?
62. Написать формулу Вайцзеккера для энергии связи ядра в
капельной модели ядра.
63. Построить качественно зависимость средней энергии связи в
i Г Ч
ядре бсв = --р —-— от массового числа А. Пояснить почему в об-
области до А = 5F энергетически выгоден синтез, а при А > 56 энерге-
энергетически выгоднее деление ядер (в обоих случаях выделяется энер-
энергия синтеза (деления))? Известно, что при делении ядра 2$?U выде-
выделяется энергия, равная примерно 200 МэВ. Что это за энергия?
Показать простым рассчетом справедливость этой оценки.
64. Какие известны виды р-распадов? Привести примеры таких
распадов.
65. Объяснить в чем суть несохранения пространственной четно-
четности при ядерном ^-распаде.
66. Написать закон радиоактивного распада. Что такое постоян-
постоянная распада? Период полураспада?
67. Почему спектр а-распада дискретный, а р-распада — сплош-
сплошной?
68. Написать формулы для сечения упругого рассеяния частицы-
снаряда на ядре для двух случаев, когда дебройлевская длина волны
частицы %^>КЯ и когда %<?ЯЯ (рассеяние без образования состав-
составного ядра).
69. Как зависит сечение неупругого взаимодействия нейтрона и
ядра от скорости налетающего нейтрона (закон Бете)?
70. Написать выражения для резонансных сечений образования
«составного» ядра (максимальные значения) в случае упругого и не-
неупругого процессов.
71. Привести примеры реакций термоядерного синтеза.
72. Благодаря какому явлению ультрахолодные нейтроны спо-
способны накапливаться в емкостях?
73. В результате каких ядерных превращений из ядер Щ\] про-
происходит наработка ядер плутония ^Ри?
35

74. Пояснить, в чем заключается эффект Мессбауэра?
75. Возможно ли резонансное поглощение оптического фотона,
излученного возбужденным атомом, таким же атомом, находящемся
в основном состоянии?
76. Оценить, во сколько раз сечение поглощения атомом Na ре-
резонансной линии, соответствующей его Cs — Зр)-переходу, отлича-
отличается от геометрического поперечного сечения атома.
77. Перечислить лептоны. Чему равны соответствующие им леп-
тонные заряды? Как распадается т-лептон?
78. Что такое адроны? Как они классифицируются?
79. Какие частицы называются странными. Что называется
странностью.
80. Заполнить таблицу кварков, разместив их по поколениям с
указанием электрического заряда.
81. Указать наиболее вероятные переходы кварков друг в друга.
82. Написать кварковый состав следующих частиц р, п, л*, л°,
А+ + , А~, Q~.
83. Какие частицы называют бозонами, а какие фермионами?
Привести соответствующие примеры.
84. Написать ход реакций с участием W*-бозона:
1) распад х~-лептона с образованием \\Г.
2) v^ + p-*?
3) v^ + n — ?
4) Л = (dsu) —> р + лГ.
36

Строение вещества
1. Что называется абсолютно черным телом (АЧТ)?
2. Сформулировать закон Стефана—Больцмана для излучения
АЧТ.
3. Чему равно давление равновесного теплового излучения на
стенки вакуумированной полости?
4. Как зависит спектральная плотность рт(ы) равновесного из-
излучения АЧТ от частоты? Привести графики этой зависимости для
различных температур.
5. В чем суть «закона смещения Вина»? Напишите выражение
для частоты, соответствующей максимальной спектральной плотно-
плотности излучения АЧТ; то же, но для длины волны. Соответствуют ли
друг другу эти максимумы (по частоте и длине волны)?
6. Как связаны друг с другом излучательная и поглощательная
способность тела? (Сформулируйте теоремы Кирхгофа, имея ввиду
равенство проинтегрированных потоков).
7. Написать формулу, связывающую спектральную (интеграль-
(интегральную) плотность потока энергии излучения АЧТ /У (со) [j(T)] с 'со-
'соответствующим значением спектральной (интегральной) плотности
рг(<о) [р(Т")| излучения.
8. Чему равно полное число возможных состояний фотона в ин-
интервале частот от со до со + rfco в вакуумированной полости с объе-
объемом V, заполненной равновесным тепловым излучением?
9. Чему равна вероятность фотону с энергией йсо при температуре
полости Т попасть в частотный интервал от со до со + dco? Сколько
фотонов находится в этой спектральной моде из всего равновесного
теплового излучения, находящегося в полости с объемом VI
10. Написать выражение для спектральной плотности энергии
теплового излучения АЧТ рг(ю).
11. Как найти интегральную плотность энергии теплового излу-
излучения АЧТ?
12. Найти теплоемкость СР и уравнение адиабаты фотонного га-
газа, заключенного в сосуд переменного объема.
13. Оценить световое давление в центре ядерной урановой бом-
бомбы в момент ее взрыва, предполагая, что излучение — равновесное,
а температура внутри бомбы Т = 10 кэВ. Каково при этом газокине-
газокинетическое давление? Плотность урана р = 18,7 г/см3.
14. Космонавт оказался в свободном пространстве в тени Земли.
Считая, что его организм в процессе нормальной жизнедеятельности
выделяет мощность Ф = 100 Вт, оценить скорость изменения темпе-
температуры космонавта. Коэффициент отражения скафандра е = 0,95.
15. Оценить расстояние от наблюдателя до источника первич-
первичных космических лучей (протонов) с энергией Е = 1022 эВ, считая,
что оно определяется пробегом частиц до взаимодействия с фотона-
фотонами реликтового излучения с Т = 2,7 К. Сечение рассеяния
а = 10~4 барн.

16. Спектр излучения космического рентгеновского источника
соответствует спектру излучения АЧТ. Максимум излучения на-
наблюдается на длине волны Хтах = 2 А, а интегральная плотность
потока энергии на Земле у = 101 Вт/м2. Расстояние от Земли до
источника L= 1,3-104св. лет. Оценить диаметр D источника.
17. Чему равно отношение вероятности P2i индуцированного пе-
перехода к вероятности w2i спонтанного перехода из возбужденного
состояния 2 в основное состояние 1 при тепловом равновесии излу-
излучения одноатомного газа, атомы которого могут находиться только
в двух указанных состояниях?
18. Указать свойства фотонов индуцированного излучения, по-
позволившие создать лазер.
19. Пояснить принцип работы лазера на рубине.
20. Написать и изобразить на графике закон дисперсии со (К) од-
одномерной цепочки из N одинаковых атомов. Что здесь называют
первой зоной Бриллюэна? Период цепочки равен а, масса атома —
Л, а жесткость межатомной упругой связи равна у.
21. Написать закон дисперсии со (К) для одномерной цепочки в
дебаевском приближении, сравнив его с законом дисперсии для све-
света. Что при этом называют дебаевской частотой сод? Чему равна
скорость звука?
22. Чему равна групповая скорость звука на границе зоны Брил-
Бриллюэна для одномерной цепочки? Чему при этом равна фазовая ско-
скорость звуковой волны?
23. Если рассмотреть одномерную цепочку из атомов с массами
Мит (М > т) попеременно расположенных друг относительно
друга на расстояниях а (с периодом 2а), то какие новые особенно-
особенности появляются в законе дисперсии <х>(К) по сравнению с законом
ю(К) для простой одномерной цепочки (вопрос 20)?
24. В одномерной цепочке SnO найти отношение средних квад-
квадратов нулевых колебаний, соответствующих акустической и оптиче-
оптической ветвям в узком диапазоне волновых векторов вблизи коротко-
коротковолновой границы первой зоны Бриллюэна.
25. Чему равен наименьший импульс, воспринимаемый кристал-
кристаллической решеткой при упругом рассеянии рентгеновского излуче-
излучения или нейтронов на кристаллической решетке в направлении, со-
соответствующем максимуму?
26. Показать, что если на однородную одномерную цепочку ато-
атомов воздействовать импульсом, величина которого р = - я, где
п= 1, 2, 3, ... (см. вопрос 25), то все атомы начинают двигаться
синфазно.
27. Что такое фонон?
28* Что такое квазиимпульс?
29. Построить график температурной зависимости теплоемкости
кристаллической решетки в широком диапазоне температур.
30* Пояснить в чем заключается дебаевское приближение при
решении задачи о теплоемкости кристаллической решетки.
38

31. Получить выражения для радиуса дебаевской сферы KD и де-
баевской частоты coD через концентрацию атомов и скорость звука.
32. Что такое дебаевская температура? Как вычислить скорость
звука в кристалле, зная дебаевскую температуру?
33. Получить выражение для плотности мод />(со) — числа фо-
нонных состояний в кристалле объемом V на единицу спектрального
интервала (?>(со) =^f~).
34. Чему равна вероятность фонону попасть в интервал частот
от со до со + dtx> при некоторой температуре Т < 9?
35. Написать выражение (интеграл) для подсчета внутренней
энергии кристалла при температуре Т.
36. Чему равна теплоемкость кристаллической решетки при
?
37. В кристалле NaCl при Т = 10 К теплоемкость равна
С = 6,2- 10~3 -=jp. Оценить скорость звука в кристалле и его деба-
дебаевскую температуру. Постоянная решетки 2а = 5,63 А.
38. Германий и кремний кристаллизуются в решетки с близкими
параметрами и имеют почти равные модули упругости (модули Юн-
Юнга). Оценить отношение их дебаевских температур.
39. Оценить максимальные значения энергии и импульса фоно-
нов в алюминии, у которого температура Дебая 6 = 375 К, а эле-
элементарной ячейкой его кристаллической решетки является гране-
центрированный куб с ребром а = 4,04 А.
40. Температура Дебая у алмаза равна 0 = 2250 К. Какова его
удельная теплоемкость при температуре Г = 30 К?
41. Написать выражение для закона дисперсии электрона на од-
одномерной цепочке атомов в модели сильной связи. Качественно ото-
отобразить эту зависимость на графике.
42. Что такое эффективная масса электрона в кристалле? Как
зависит эффективная масса электрона от его волнового числа к для
одномерного закона дисперсии Е{к) = Ео — 2 A cos ко! Изобразить
эту зависимость в первой зоне Бриллюэна на графике.
43. Получить выражение для импульса и энергии Ферми электро-
электрона в одномерном кристалле, имеющем объем V и число атомов N.
44. Изобразить на графике распределение Ферми—Дирака для
свободных электронов в проводнике /(е). Отсчет энергии электро-
электронов ? проводить от дна зоны проводимости. Чему примерно равна
энергия Ферми и какой температуре она соответствует?
45. Чему равна средняя кинетическая энергия свободных элект-
электронов в металле при Т = 0 К?
46. Получить (качественно) формулу для теплоемкости N элек-
электронов в проводнике, находящемся при температуре Г. _
47. Найти при Т = 0 К среднюю длину волны де Бройля X сво-
свободного электрона в одновалентном металле с простой кубической
решеткой, имеющей постоянную а.
39

48. Ультрахолодные нейтроны содержатся в ловушке. Как изме-
изменится средняя кинетическая энергия нейтронов при изотермическом
включении сильного магнитного поля, полностью поляризующего
магнитные моменты нейтронов. Распадом нейтронов пренебречь, а
нейтронный газ считать вырожденным.
49. Серебро кристаллизуется в гранецентрированную кубиче-
кубическую решетку с периодом а = 4,1 А. Красная граница фотоэффекта
для серебра Хо = 2680 А. Оценить в эВ положение дна зоны прово-
проводимости серебра относительно вакуума, полагая т* = те.
50. Кусок серебра с температурой Т{ = 0,1 К приводится в теп-
тепловой контакт с куском золота Т2 = 0,2 К той же массы. Найти их
конечную температуру, учитывая, что металлы имеют одинаковые
структуры и практически одинаковые параметры кристаллической
решетки.
51. Оценить энергию Ферми ef электронов проводимости неко-
некоторого одновалентного металла, если известна скорость акустиче-
акустических фононов в нем s = 2 км/с и дебаевская температура
0 = 200 К. Считать эффективную массу электронов т* = те.
52. Написав уравнение движения электрона в кристалле, полу-
получить выражение для подвижности электрона ц, а также для удель-
удельной электропроводности а. Считать известным время релаксации х,
характеризующее среднее время между столкновениями электрона,
т. е. время свободного пробега.
53. Написать функцию распределения электронов /(е) в зависи-
зависимости от их энергии, отсчитанной от дна зоны проводимости в соб-
собственном полупроводнике. Ширина запрещенной зоны равна А > 0.
Изобразить эту зависимость на графике.
54. Как подсчитать концентрацию электронов в зоне проводимо-
проводимости собственного полупроводника? Чему она равна? Чему при этом
равна концентрация дырок в валентной зоне?
55. Где находится уровень Ферми для собственного полупровод-
полупроводника (химический потенциал ц при Т = 0 К)? Как зависит от тем-
температуры химический потенциал в этом случае?
56. Для собственного полупроводника п_ = /г+ = nt — называ-
называется концентрацией собственных носителей. Рассмотреть произве-
произведение л+-л_. Чему оно равно? Что называют «законом действу-
действующих масс»?
57. Как зависит от температуры концентрация м- электронов в
зоне проводимости полупроводника, легированного донорными при*
месями? Изобразить график такой зависимости в «удобных» коорди-
координатах [in м_, 2, у]. Ширина запрещенной зоны равна А, а энергия
ионизации донорного уровня 2?^<зсД.
58. Как зависит электропроводность а(Т) полупроводника п-ти-
па с мелкими донорными уровнями от температуры? Изобразить эту
зависимость на графике в «удобных» координатах [In а, 2,
Ш

59- Рассмотрев р—«-переход, оценить толщину d запорного
слоя, т. е. толщину области контактной разности потенциалов, воз-
возникающей при контакте полупроводников n-типа и р-типа. Считать
концентрацию донорных примесей Nd> равной концентрации акцеп-
акцепторных примесей Na (Nd = Na = JV), диэлектрическую проницае-
проницаемость полупроводника равной б.
60. Изобразить на графике вольт-амперную характеристику
/>—n-перехода (диода). Какой функцией она описывается?
61. При комнатной температуре и при прямом смещении
0,15 В через />—«-переход течет ток 3 = 1,66 мА. Какой ток пойдет
через переход при таком же обратном смещении?
62. При комнатной температуре при прямом включении диода
ток через него составил 3 = 10 мА. Чему равно сопротивление
(Р~ я) -перехода?
63. В гетероструктурах AlGaAs — GaAs — AlGaAs, а также в
МДП-структурах (полевых транзисторах) образуется двумерный
вырожденный газ электронов. В таких слоях, помещенных при
низких температурах (~^1 К) в достаточно сильные магнитные
поля, перпендикулярные слоям, электроны движутся по цикло-
циклотронным орбитам. При этом наблюдается квантование такого дви-
движения (уровни Ландау). Изобразить такую схему уровней Лан-
Ландау, имея в виду, что т!_ = 0,2 те в МДП-структурах и
т* = 0,068те в гетероструктурах. Чему при этом равна величина
расщепления в магнитном поле В в зависимости от проекции
спина Д?п = ?„,?-<?„,_!?
64. На рис. 16 изображен двумерный
«канал» шириной а, по которому течет
транспортный ток 3 (по оси 0*). Сам
слой помещен во внешнее магнитное поле
В, направленное по оси 0z. В этих усло-
условиях появляется холловское напряжение
(ЭДС) ?/Холл- Чему равно холловское со-
сопротивление?
65. В 1980 г. Клаус фон Клитцинг об- РиС. 16
наружил, что обычное холловское сопро-
тивление ЯХолл = — (см. вопрос 64) в условиях квантующего маг-
магнитного поля ведет себя несколько иначе. Изобразить на графике
Яхолл(^) ход этой зависимости. Чему равны значения Яхолл на уров-
уровнях квантования сопротивления.
66. Что такое энергетическая щель, возникающая в металле
(например, в свинце) при переходе из нормального в сверхпроводя-
сверхпроводящее состояние?
67. Какие две физические величины с размерностью длины ха-
характеризуют сверхпроводник?
68. Для сверхпроводников I и II рода изобразить на графиках
сравнительный ход зависимостей В(Н)> — 4л;/(#), где / — намагни-
41

ченность образца, а также В(х) и д5(х), где х — расстояние вглубь
сверхпроводника, отсчитанное от его поверхности, ns — концентра-
концентрация сверхпроводящих электронов.
69. Что такое вихрь Абрикосова? Сделать оценки для критиче-
критических полей Hci и Hci»
70. Для высокотемпературного сверхпроводника YBaCu3O7 кри-
критические поля Яс1 = 103 Э и Нс2 = 106 Э. Оценить для него глубину
проникновения Л и длину когерентности ? при Т = 0.
42

ОТВЕТЫ
НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Механика
1. а = ахх + antit где ап = —, р — радиус кривизны траектории в данной
точке; а = — = со2Л, направлено к точке О; vnoJI = V2v0.
2. р = 4#.
3.
x(t) —vt —
y(t) =R(\ -cos
-jzt = (x>Rt — R sin
4. * = — — -z-tga— отсчет от самой нижней точки
бруска, a — угол между нормалью к поверхности и
вектором тяжести (рис. 17); tg a > j.
2л
t = 0: *Р "
Wo win t
— —r- ^
5. тх = - кх\ Т = — =2л№.
СО I k
6.
у 9 = 0;
= 90 cos yf^;
_ dv dm ,J4
7. w _« _ tt _ откуда V(O - «
9. Консервативные силы, то есть когда F = F(jc, у, z), Fx= — -т~;
Fy=— —; pz= —._ т> е< р = — VIT. Потенциалом Ф обычно называют
потенциальную энергию единицы заряда (в электростатике) или единицы
массы в механике.
/ 2
10. F = - кх\ П = - [ ( - kx) dx = j (/ - /0J = -|-.
2> p
— = -.
14. Мт = RBHeui, где М - ^mi; RBHeiu =
15. К = i
45

17. v\ = 0; v'2 = t/. В более общем случае: v[ — — i>{ + 2 —^— ;
, где P = vie.
22. x = t0Vl — P2, где x0 — собственное время.
23. / = /0Vl — P2, где /0 — собственная длина.
24. р=
mv
I-
-?- me2 гдеР = vie.
VI—р2
25. Б2-р2с2 = т2с4.
26. ?"ор = с0 _?° —, где ^со ~~ энергия покоя частиц, родившихся
результате столкновения.
27. 2Efmin = 4mpc2, в СЦИ продукты реакции покоятся, то есть
^rnin = 2/ПрС2.
28. П= -у^.
29. L и Е. Орбита плоская потому, что момент сил гравитационного взаи-
взаимодействия (в центрально-симметричном поле) М = 0; отсюда следует доста-
достаточное условие L = const.
30. Поскольку масса звезды М » т> то планета обращается вокруг непод-
неподвижной звезды. Поэтому L = rntVy = mr2^ = /со; L = [г, mv] = [г, mv^].
31. Эллипс, в фокусе — Звезда. Е = — у -г*"-
32. -т- = •=— = const — постоянство секториальной скорости —
33. —г — const = ——.
а уМ
уМ3п
34. mg = —j—, откуда g = —j-.
35.
37. и2 = >/2vi = 11,2 км/с; ддя параболической траектории:
= ^.откудаК= -у= -?.
8^"
46

38. Конические сечения: Е < 0 — эллипс; Е = 0 — парабола; Е > О
пербола. Финитное, инфинитное.
39. А = АЕ = А/С + АП = ^ АП, так как А/С = - ^ АП.
40. о>2 =
— ги-
ги41.
т —
' пад ""
42.
43.
44.
1 •* ЭЛJ
Ось.
:)
= -
ИГ)
Л3 2
(Л/2K "~* Э"
) = — 4л7^ р dV =
V
г
go-^,r> Я3; (рис.
охоляшая чеоез то*
.-&. тэл
ц>(г) = ,
18а)
ikv А (оис. 1
л ^g » 7 пад ~ 2
-^о— >г> Яъ\ (рис.
9). пеопендикуляоная
Г
4\/2'
186).
пло-
скости диска при качении без про-
проскальзывания. Ось О А при обеган ии
одного конуса по поверхности другого
(рис. 20).
45. v= [со, г].
46. 1Х + 1у + Iz = 2МЯ2;
47. /сф = 1 МЛ2; /шао = | МЛ2.
48. /„ = -
49. 1„ = i j
50.
Рис. 18
* х диска "" 4 '
51. /д — /с "Ь Мр2> гДе ^ — произ-
произвольная ось, параллельная оси проходящей через точку С — центр масс.
52. /2 = Ц(а2 + а2).
Рис. 19

53. ^ = мАикш или /A^ = NI
54. В общем случае нет. Например, тело вращающееся вокруг неподвиж-
неподвижной оси, не проходящей через его центр масс.
55.
cy
систему уравнений можно запи-
тт =
сать и в более компактном виде:«
56. Q = со — угловая скорость — инвариант.
57. Q = со.
со xr mS
\М12 . __ Mgl . _ 3g __ 3 кл
\ —<»-—=* <»-2Г'а*-4*Мас'-
NA\.
59. о> =
61.
62.
63.
3 *
M ^ = FTp - m^sin a;
-^ = — FTp -h m^sin a;
64. L =
или
L = f [г, v] dm —» L = a> (r2 dm — f (to, r)r dm или L = Ia>,
где I =
— тензор инерции.
65. L= M; [Q, L] = M (рис. 21).
67. Mrap = QL = -^Z/ = -~/co. Направлен к центру окружности (притап-
ливает нос корабля и приподнимает корму).
68. /А<р ^ — т#Ар =» со2 = ^—-; Г = 2nV—^j. Приведенная
1Л ? mgi
длина
^пр = —т — длина математического маяника, колеблющегося с таким же пери-
периодом. Центр качаний — это математическая точка, в которой надо сосредото-
48

чить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался
без изменений.
69.
9 @ = 9ocos
~sin со*
СО
при t = 0:
•ф(О)=о
=0
"-it
70.
. <р -f 2бф Н—~- tp = 0; со§ = ^—\ где А: — коэффициент трения;
Мтр = — &ф; ф (^) = Ae~btcos (Ы — а), где А и а — константы, зависящие от
начальных условий, со = \/<о§ — б2.
М
•-L, о
=Acos co^; x(t) = — A<*>sin cot ===» —
=^ ~" эллипс, при
наличии затухания — спираль, скручивающаяся к @, 0).
77. 1) v = igi = 300ru; 2) t>3B = -y^330M/c; 3) Х-|~=1,1
4) и = 0,05-1884 = 94,2 см/с.
78- FHH= -ma.
79. FHI1 = mcoVx — m[ci>, г], где г — радиус-вектор, проведенный из нача-
начала координат.
80. FKOp = 2mt;Q3sin ц>» сила направлена к правому рельсу.
49

т<л2г2
где г "~ расстояние до оси вращения
82, Л = ± mco2(/2 - ?) = § moJ/2.
83, Ар = mg — m(g — оJЛ3) = тсо2Л3 = * ™ 3 « 0,0034 m#.
84, Из-за кориолисовой силы, — во-первых, на восток, а в связи с неболь-
небольшой скоростью, направленной на восток, и на юг. Заметим, что вертикальное
направление, строго говоря, — не к центру Земли, а по равнодействующей тя-
тяготения и центробежной силы.
86. -Fynp ^ "¦ &А*> гДе А/ — удлинение стержня, а к — «жесткость». Одна-
Однако, и Г = #?, где 8 == -j относительное удлинение образца, Е — модуль Юн-
Юнга, Т — натяжение.
87. AL =
88. U = ~ FA/.
A/ v
92. е = -j- == —, где с — скорость звука.
93. Нет внутренних сил трения a) pi^i-Sj = р2*;2^2'>
v2 Р
94. Для идеальной: — Н hg/2 + M = const, где и — удельная плотность
внутренней энергии.
95. г) = V2g// — формула Торричелли.
96. v = V
f о
97. F = tM -j, где т^ — коэффициент динамической вязкости.
г2
98. t/(r)=vo(l j)' где 1;° ~" скорость в центре трубы (рис.22).
R
Можно и вычислить vq =г 1 2 R2 — это выводится из F(r) = 2к/т1 -J-.
100. Re =- безразмерная комбинация
n -- характерных параметров текущей жидкости, / —
Jl ИС» JLJt „
характерный размер поперечного сечения.
,«_ „ п К мощность потока кинетической энергии
Физический смысл: Ке ~ -•— = —-^ .
А,-, мощность сил трения
50

101. ¦— 4- div(pv) = 0. Пусть из некоторого объема V жидкости с массой
М, ограниченного замкнутой поверхностью S, вытекает жидкость плотностью
р. Через каждую элементарную площадку dS этой поверхности массовый рас-
расход жидкости т = p(vrfS). Тогда через всю поверхность истекает F p(vrfS)
жидкости. С другой стороны этот расход равен: —-г— = — ~С p(v)dV. Таким
образом, —"оГ$ p(v)dV = &p(ydS) == (div(pv) dV, откуда и следует приве-
v s v
денное выше уравнение непрерывности.
51

Термодинамика и молекулярная физика
_ И**»*!*
j У t;2 = t;c
1. P = - nmt; , где 'ytr = t;CKB называют среднеквадратичной скоростью.
2. 1 Н/м2 = 1 Па = 10 дин/см2; 1 атм = 760 мм рт. ст. = 101325 Па;
1 мм рт. ст. = 133,3 Па = 1333 дин/см2.
3. U = N (—у-)> PV — -U — (калорическое уравнение состояния)
4. Газ невзаимодействующих друг с другом молекул исчезающе малого
размера. Р = пкТ\ PV = NkT = vRTy где v = N/NA = ml\a\ Р^ = рЯ7\ где
р = птмолек = т/К. Идеальный газ невозможно сконденсировать, идеальный
газ — это газ бесконечно малых невзаимодействующих и несталкивающихся
друг с другом молекул. Энтропия идеального газа при Т -* 0 не стремится к ко-
конечного пределу, а уходит в — <» (в противоречии с 3-м началом термодина-
термодинамики).
6. В термодинамике не рассматривают движение системы как целого и из-
изменение ее потенциальной энергии при таком движении, поэтому энергией си-
системы является ее внутренняя энергия U (внешняя энергия равна нулю). Внут-
Внутренняя энергия системы является однозначной функцией ее состояния и изме-
изменяется только под влиянием внешних воздействий (работа 6Л и теплота 6Q).
dU = 6Q- 6A; bQ = dU + PdV (газ); U = ?/G\ V).
-" ¦'¦•¦¦=*-(S
СР - Cv = \р + (!?) 1 (|?) = R для идеального газа, т.к. (|^) = 0;
[ \дУ)т\\дт)р \дУ/т
Ср — Су-*-0 как Г7 для кристаллической решетки.
8. Явр = |яК,
? ?
9. PVn = const, где п = 7?—тг-. Это процесс с постоянной теплоемкостью.
С — Су
Изохорический, изобарический, изотермический, адиабатический и другие.
10. 6Q = - dU\ 6Q = С dT = Су dT + Р dV = - Ск е/Г.
и. c=VI?
12. г| = —^ = ^р где Q+ = У Qy> где любое Qj > 0.
13. г] = —~—-. КПД цикла Карно зависит только от Тн и Тх и не зави-
зависит от а) рабочего вещества (его свойств); б) от положения предельных ади-
адиабат; в) от конкретного устройства тепловой машины. Этот КПД максима-
максимален среди всех циклов, в которых достигаются Ттгх = Тн и Гтт = Тх.
52

Mm » f *комн ' ул f I ^хол I -** тепл. нас 'коми УЛ\
• ^геп. нас ~~** т \Ц — ~Тп Г"" М ~~ т ' *
1 КОМИ I V^KOM I Jy * КОМ
15. dS — -~— в обратимом процессе.
16. Второе начало термодинамики выражает закон о существовании энт-
энтропии у всякой равновесной системы и неубывания ее при любых процессах в
изолированных и адиабатически изолированных системах. Из неравенства
данеоб АЛ1*06
dS > ~Щр— следует неравенство Клаузиса <у^~— < 0. Второе начало термо-
термодинамики может быть сформулировано так: невозможен вечный двигатель
второго рода, причем это утверждение не допускает обращения. Вечный двига-
двигатель второго рода — двигатель, работающий без отдачи части теплоты (ком-
(компенсации) рабочим телом другим телам с изменением их состояния при кру-
круговом процессе превращения теплоты в работу. При этом если теплоту нельзя
превратить в работу без компенсации, то работу в теплоту превратить без ком-
компенсации всегда возможно без затруднений.
17. Т dS> dU -f P dV (равенство в случае обратимых процессов).
18. dS = Cv^f' + R^; SG\ V) = v(Cv In T + R In -? + So).
19. dS = Cp^l--R 4~\ S(T, P) = v(CP In T - R In P + Sq).
20. AS = 2vR In 2. Формально, если газы абсолютно тождественны, AS
все равно должно быть равно этой величине. А по сути AS = 0 (парадокс).
21. Т2 = 2 Г1; AS = 4 R In I - R In 2.
5 2 5
22. </V == — S dT — P dVy откуда следует, что свободная энергия является
функцией Т и К, т. е. W =W(Ty V) =* d4*T = -ЪАТ =-PdV- изотермиче-
изотермическая работа.
23. d<P = — S dT 4- V dP =» Ф = ФG\ Р). Ф = const при конденсации
(испарении), плавлении (отвердении), возгонке, т. е. при фазовых превраще-
превращениях.
24. I = U + PV;dI = TdS + V dP; (~\ = СР\ I = v(CPT + /0).
25. AT = 0; AS = R In 2; AW = At/ - Г AS = - Г AS = - RT In 2.
26. lim [-г—I = 0, где x — V или Я (энтропия всякой равновесной систе-
г-о Vх) т
мы при Т1 -* 0 перестает зависеть от параметров и в пределе принимает одну и
ту же величину (например, 0). Следствие* 1) недостижимость абсолютного
нуля температур; 2) СР и Су -» 0 при Т -> 0; 3) Вырождение идеального газа,
т.е. ASr = R In (Kj/Kj) ^ 0 для идеального газа, т.е. его нет!
27. S = *-ln (/>).
1) Математическая вероятность р < 1 и условие нормировки Vp, = 1, от-
i
куда следует, что при таком понимании вероятности должно быть S < 0.
2) Термодинамическая вероятность (статистический вес) выражается це-
N\
лыми положительными числами: С = »г ,-. / ., .. При этом S > 0.
NilN-2l...Nm\
53

Статистический вес макросостояния — число равновероятных микросо-
микросостояний, каждое из которых реализует это макросостояние.
28.
г т
— 00
29.
DO
\ Г \У)С
0
30.
32.
33.
34.
35.
36.
9 {ух) = ле 2кт ,
где Л находится из
( m \
~ mv
F(v) = AiwLAe 2лг, где А находится из
( m \ЗП
iv и А (гя/
00
17= ( vF(v) dv =
0
1;вер у m » 1
F=2*7\
dP = — mv*-dn>
-Ш
! nm
dT = 2kTdN=>^ = ^ =
~ mv
где dn = Avze тлт dv =» ^7
условия
условия
нормировки:
нормировки:
mt,2
2лг eft/, откуда
следует^ [In ^]=0=*t; =
37. dN = N2n Цуг VFe~zlkT dt « yfte"tlkT dt
{kT)m
38. P
2
39. /(х, у, z, pxt pr pz) = Лехр | - ^fpp - ±j^~L±i|, где А - норми-
нормировочная константа.
н и
40. Т=
о
„ t (mgHJ
41. C = CV-
42. Л/^ = 4яЛ|Р =* М = pJV^<TrfW3 ss 5-1018 кг,
где р = 1,3 кг/м3, ц я» 29 г/моль.
^•д. ''ПОТ "~* Л^

44. V(KF); ^p; где Д/* = (/-/)*.
45. (A/2) = (/2) — (fJ. По определению это дисперсия.
46. W = -Fi==exp
(f-TJ
, где о? = ((/ — /J) — дисперсия (средний
2а?
квадрат отклонения).
47. AS = !*1пЦ^ 0,39-10~16 эрг/К.
48. При / = 3/2 число ориентации спина каждого ядра равно 4 B/ + 1).
Тогда S = Д? = Л In 4^ = J^jVa In 4 = 2Я In 2.
49. (x^^Y^-t, т.е. л2ос^;(г2) = — *.
50. *2 = 2Dt\ r2 = 6?tf, где D = ^ (см. вопрос 49).
51. x~^j.
52. w = J5F, где и — установившаяся скорость частицы, F—сила, действу-
действующая на частицу (например, сила тяжести или сила Архимеда); и = \лЕу где
? — напряженность электрического поля.
53. коп я» 1 =* X » I/cm, где о — сечение столкновения.
54. Т.к. Р = п?7\ то Х = —^- ос — ; Х.~ 10" см. При вычислении X
принималось значение сечения столкновений о = л</2
55. /z = — D —, где ni — концентрация «меченых» молекул, D — коэф-
коэффициент диффузии.
1 _ т3'2
56. D = — Xv; ?) ос -— (если а = const).
57. В = -г=г; ц = -т^г. Для вывода, например, величины В рассматривают
барометрическую формулу для концентрации, как равенство двух противопо-
противоположно направленных потоков молекул: диффузия вверх и падение молекул
вниз (/вниз == nF= nBF = nBmg).
гз/2
58. X) ос Xv ос -j- = const =» PV3 = const; n = 3 .
59. т~4г , где D = |xF=ixi/
т —700 c^ 10 мин.
60. Диффузия — масса, вещество, молекулы; вязкость — импульс; тепло-
теплопроводность — энергия.
61. q = — к -т- —~— , где х — коэффициент теплопроводности.
ах [смг с|
62. x=|
,_ dux , ^ rfvx
63. x2JC = — t] -т-=-, где r\ — коэффициент вязкости, -т^ — градиент ско-
скорости.

64. к\ = — Хир, гдеи — средняя (тепловая) скорость молекул, отличающая-
отличающаяся от скорости направленного макроскопического движения, р = const (если
о = const); т] ос у/т~.
65. PVn = const; n = ——-?- = 3 =» TVn~1 = ГК2 = const; V-^~- = тг^ == 2;
С —Ск т/2 V\
ШгП
I /
Рис. 23
/iV-
1
1
с
Д
У7\
Рис. 24
66. Р Н—21 • (^ *— ^) = Л7\ где «а» и «ft» — константы Ван-дер-Ваальса,
На рис. 23 изображены: сплошной линией потенциал Леннарда—Джонса,
штрихами — потенциал взаимодействия в модели Ван-дер-Ваальса.
67. иG\ V) = CVT — у (для одного моля).
лед
пар
Рис. 25
Рис. 26
68.
ния состояния
из уравне-
69. Реальный газ имеет горизонтальный участок АВ — изотерму-изобару
(см. рис. 24), на котором в каждой точке двухфазная система жидкость + пар.
Газ Ван-дер-Ваальса не может быть двухфазным: К АС — жидкость, ДВМ —
пар; СД — нереализуемый (несуществующий) участок. АС — «перегретая»
жидкость, ДВ — переохлажденный насыщенный пар. ВМ — ненасыщенный
(перегретый ) пар. Площадь АСЕ равна площади ЕДВ:
70. Рис. 25.
71. Смотри рис. 26. Лпл •+• Лисп — Лвозг = 0.
m

72. -j^7 = тгг; г> гДе ^ ~~ удельная теплота парообразования, vn и г*ж —
ил I \Va — Уук)
удельные объемы пара и жидкости соответственно.
73. к = -У- = ип — мж 4- P(vn — уж) = in — гж = r(sn — 5Ж).
74. бЛ^ ^ = — о rfF, где dF — изменение поверхности пленки в изотер-
изотермических условиях при V = const.
75. 6AT^ y=— dtyn0B; грпов = oF.
76. Япов = Ркап — ЯВозд ~ разность давлений внутри и снаружи капли.
Работа поверхностного натяжения по стягиванию капли 6Л = о dF = Япов dV,
откуда Рпов = а ~? « ^.
77. Н = —2- cos 0, где 0 — угол смачивания (включает в себя жидкость).
0 « 0 —для воды и 0 » 180° — для ртути при обезжиренной стеклянной по-
поверхности капилляра.
78. Капля будет испаряться, т.к. Рг — Pw = — •— > 0.
Т Ряс
70 р р — —SL. PiL <г Л
80. Адиабатичность: Q = 0; А = 0; At/ = vCyT — 2 ~ СК7О = 0, откуда
следует, что Т = То.
PV = vRT ^^.ijtr3 =
г 3
тогда
= V2>0; ^ = ^ = ^.
57

Электричество и магнетизм
1. р = qly вектор р направлен от «-» к «+». EqC == -~\ В.± = — -*j;
2. М=[р, Е];Ж= - (р, Е).
3. F = (р, V)E; Если ру = pz = 0, то F = рх ||.
4. ФЕ — эд(Еds) =4п[[[ р с/К или 0, если внутри поверхности S нет
s
s v
электрических зарядов. Кроме того в дифференциальной форме: div Е = 4лр.
Физический смысл дивергенции: div Е = lim — Й(Е ds), где V — объем, огра-
ничейный поверхностью S. Для системы точечных зарядов Ф# = ®(Е ds) =
s
= 4л \^ qt или 0, если внутри замкнутой поверхности зарядов нет.
5. Е = 2по\ АЕ = 4ла.
7. 1 Кл = 3-109ед. СГСЭ; 1 В =-^ ед. СГСЭ; 1 Дж = 107 эрг; 1Н =
105дин;е = 4.8-10-10ед. СГСЭ = 1.6-10~19 Кл.
8. Аф = - 4лр (div Е = (V, Е) = (V, - V<p) = -4лр).
9. q — С9 — для уединенного проводника; q = CV — для конденсатора.
Сш = R [см]; Спл = ^ [см]; Ссф = -^^ [см]; 1Ф=1у = 9- 10й см.
10. Вектор поляризации Р — средний дипольный момент единицы объема
диэлектрика: Р = • . Для однородно поляризованного диэлектрика
°пол = Рп "~ проекция вектора Р на нормаль. При неоднородной поляризации
диэлектрика qn0Jl = — <у (Р ds), а также div Р = — рПол-
11. D = Е + 4лР; Й(Е ds) = 4л(^своб + ^пол) или й(В ds) = 4л^своб.
S S
12. 1>2П — D\n = 4лосвоб —- следует из теоремы Гаусса, примененной к по-
поверхности, внутри которой содержится граница раздела двух диэлектриков.
Еи = E2t — следует из теоремы о циркуляции вектора Е, примененной к кон-
контуру, охватывающему поверхность, разделяющую два диэлектрика.
13 а)^--^- ^-1 6)^—1- ^-^
14. D = 0 всюду; Е = 0 вне пластины, Е = — 4лР — внутри пластины.
15. Р = аЕ, D = еЕ, б = 1 + 4ла.
16. р = а3Е.
17. Р = пр — пагЕ = аЕ, откуда ? = 1 + 4ла = 1 ¦+- 4ппа3.

3
1 с лкг 9102 , 0103 , 0203 1 v
/ = 1 **i
19. И'эл = %C = ^f" = Щ- = ^" ^ = ^ ^. где К = S-rf - объем конден-
конденсатора.
20. f = (ш2— ?0i)n = — (E| — Е{)п Р^7 . Сила направлена всегда в
I см j
сторону большей плотности энергии (рис. 12).
21. Если (мысленно) вырезать из сферы маленькую площадку вместе с
распределенным по ней зарядом и вынести ее за пределы сферы, то в том мес-
месте, где была площадка, напряженность электрического поля, создаваемого все-
всеми оставшимися зарядами сферы, равна 2ло\ Таким образом, давление
Р = о • 2по = 2л А = .. Этот же результат можно получить из ответа
{4R2J 8Я4
на вопрос 20.
23. ф (j rfs) = — -Ур\ div j = — -?>. См. также вопрос 101 по «механике».
24. j = XE;Q = iE=XE2-^ = p/2f^l,rfle[M-c-1; |р]=с.
*• с-смл
I Гс1
25. фХ — ч>2 + ^ ~ ^^ Для участка цепи с ЭДС: R = р -=• — ;
26. FMar = — [v В] — магнитная сила Лоренца.
27. dF = ~[rflB];F= € — [Л В].
с j с
28. В = — [ v г] = - [ v Е], гдеЕ = -^ г — электрическое поле этого заряда.
сгл с гл
29. rfB = -^[dlr];</B = -ir []r]dVB
30. В-
cr
31. B =
4 л;
32. Внутри J5 = — /, направлено поле В параллельно пластинам и пер-
перпендикулярно обоим токам. В = 0 — снаружи.
33. Ш = — S; М = [Ш В]. Вектор S = п?, где единичный вектор нормали
направлен перпендикулярно к плоскости витка в соответствии с «правилом
буравчика».
ЗСШ г)г Ш
34. Вдип — ¦
59

35. W = — (Ш В). При повороте диполя на некоторый малый угол da отно-
относительно положения равновесия (ЯД ||В) необходимо совершить механическую
работу ЬЛ — М da = ШВъ'т a da = dW. П]ри этом Ш — const и не зависит от В.
36. 1 = -у ^ да,—средний магнитный момент единицы объема. Для пря-
i
мого цилиндра 8ППОЛН = /• V; iMOJl = с/. (Шпояа = IV = ^а 5 = i*2pL 5).
37. Если известны токи проводимости и токи намагничивания, то можно
как бы забыть о наличии вещества и вычислять магнитную индукцию по фор-
формулам для вакуума ф (В d\) — ^ C + #мол); rot В = -j- (j 4- jMCui) •
38. Н = В - 4л1, ф (Н rfl) = ^ 2 <^i; rot Н = — j. Теорема Стокса:
ф (Н di) = J (rot H dS).
s
39. B\n a= J52n — следует из теоремы Гаусса для вектора В (ф (В dS) = 0).
s
[n H2] — [nHj] = — i, где п — единичный вектор нормали к поверхности, по
которой течет реальный ток с плотностью i. Проще: Ни = #2*> если по поверх-
поверхности, разделяющей два магнетика, не текут реальные токи.
40. В = 0 всюду. Представим себе бесконечную пластину в виде круглого
диска с очень большим радиусом. Тогда поле В в центре диска равно:
В = — C + е^мол) • При этом 3 = 0 (токов проводимости нет), а молекуляр-
молекулярные токи, текущие по периферии диска, бесконечно удалены. Явне = 0,
"внутри — ~ 4л I.
41. Поле Н определяется токами проводимости. А их здесь нет. Поэтому
И = 0 всюду; Ввне = 0. Поле В в данном случае определяется молекулярными
токами, текущими по поверхностям пластины (см. вопр. 32 и 38). Поэтому
^внутри = 4л1.
42. В = м.Н, I = хН; В = Н + 4л1, откуда [л = 1 + 4лх.
Парамагнетики (О2, Al, Pt, FeCl3>...) \i > 1, х > 0.
Диамагнетики (N2> CO2, H2O, Ag, С, Bi,...) |jl < 1, х < 0.
Ферромагнетики: ц » 1, ц = |а(#) .
43. ^иид = —-. Индукционный ток всегда направлен так, чтобы осла-
ослабить действие причины, его возбуждающей.
«. iff*, --i»S- Sf-)—««--7Т
L s V '
45. 1) отталкивание — антипараллельные токи отталкиваются (рис. 27);
2) притяжение — параллельные токи притягиваются (рис. 28).
Диполь с магнитным моментом Шг находится в неоднородном поле диполя
Ш\. Его поле Bj в точке расположения диполя Ш2 равно Bj = ^-. Тогда
сила, действующая на Щ2, определяется по формуле F2i = (SFlV)Bi или
60

Ш12 -jp* =
учетом направлении векторов Ш\ и 3^2 сила
^^
. При этом F > О при mx
и F < 0, когда Ш\ \\Шг.
Рис. 27
Рис. 28
46. Магнитный поток, пронизывающий проводник Ф = — L$\ [L] =
= см (Гауссова система единиц); 1 Гн = 109 см. Для соленоида L =
47. Рассмотрим два соосных параллельных витка с постоянными токами
3\ и <^2- Их пронизывают магнитные потоки: <I>i =— \L\S\ + ^12^2!5
Ф2 = -
и ^21 называются коэффициентами взаимо-
взаимоиндукции, при этом они равны по «теореме взаимности».
48.
49.
Lit2 ф2
2c2
8л:
н
Рис. 29
50. На рис. 29: /0 — остаточная намагничен-
намагниченность, Яо — коэрцитивная сила. График В (Я)
легко построить по графику /(Я) в соответствии
с формулой В = Н -f- 4л;1.
51. Сила Лоренца, действующая на элемен-
элементарный носитель с зарядом е F^ = - v(r)В — - cor/? уравновешивается силой
установившегося электрического поля еЕ{г)> откуда Е(г) = — В. Разность
а 2 2
потенциалов между щетками Aq>=[Edr =—\r dr ——j—, откуда ток
2cR '
4зг
52. Внутри соленоида есть магнитное поле В = —
а снаружи — нет.
Магнитные силы действуют на витки соленоида изнутри наружу (противопо-
(противоположно направленные элементы тока отталкиваются). При этом магнитное
давление Р = м>магк = ^ = Ц п232.
61

53. При движении сверхпроводящего, а также идеально проводящего зам-
замкнутого контура в магнитном поле полный магнитный поток Ф, пронизываю-
щий контур сохраняется: ©7ИПД =
AФ
= —г-. При Л^Ои величина
1\. CJn. (tl
AФ
-тг~* 0 (ток не может -*<»), поэтому Ф = const. При этом Ф = ФШ1еш + Фсоб»
т. е. поток складывается из изменяющегося внешнего магнитного потока и по-
потока порожденного индукционными токами. Кроме того, если контур из хоро-
хорошего проводника, то магнитный поток будет действительно сохраняться, если
изменения поля будут достаточно «быстрыми» по сравнению со временем за-
затухания индукционных токов.
54. При температурах Т <ТС — образец сверхпроводника, (цилиндриче-
(цилиндрической формы), помещенный в магнитное поле В, параллельное его оси, не раз-
разрушающее сверхпроводимость, намагничивается за счет поверхностных то-
токов, магнитное поле которых зануляет действие внешнего поля внутри сверх-
сверхпроводника. Легко показать, что плотность поверхностного тока
Jiiob = т~
где п — вектор нормали к поверхности цилиндра.
Рис. 30
Д-0
Рис. 31
55. Закон сохранения магн. потока: 1 , & . .. w _ л , откуда
I L,cq/2 ~г MqJ \ — U
56. F = 9Jl-rj-, где В = —^- (на оси витка-диполя). Таким образом,
57. со = — -^—, г = —, где v± — компонента скорости, перпендикуляр-
перпендикулярная полю В.
58. со =
еВ
2шс'
59. L^fi + RI + ^ = 0-»/ + 26/ + о>§/ == 0, а также q + 2bq + o>S^ = 0,
где 6 = —; ш§ = -=~п- Если 6 < а>о, то осуществляются затухающие колебания
JLL JK
m

с частотой со = VcoS —- б2, если 6 > соо — то осуществляется апериодический
режим.
J А Т Я щг '"ч ^
60. d = In у-2- = In (e01) = ЬТ; Q — ^j
со
тогда Q — -=- = -=¦ vtt - Соотношение Q = /. .P.v = со
К К I С (Д ИМ
-, где АЖ — потери
энергии за период, называется физическим смыслом добротности.
61. /@ = — cos (Q^-ф),
где z ^
Векторная диаграмма тока и на-
напряжений для последовательно-
последовательного контура изображена на
рис. 30. Фазовая характеристи-
характеристика, т. е. зависимость сдвига фаз
<p(Q) между током /0 и напря-
напряжением %0 на контуре представ-
представлена на рис. 31. При этом
9 (Q) = arctg . Резо-
Резонансная кривая
/о /AQ
изо-
изображена на рис. 32 для двух
случаев добротности контура
A00 и 20). Приведенные
-0,05
графики
0
Рис. 32
соответствуют
0,05 АО/оH
выражению
-Z?— l/"\l I
если на уровне
0,7 измерить ширину этой
/8е3 ' V " ' * ^ <*>о j ' — - •"-— 7?'
кривой, то она в точности будет равна 1/Q. Резонансные значения напряжений
на L и С равны: ?/со = ^ °с = ^0Qi ^lo = "^ (
62. со0 — Q, со0, со0 4- Q. (рис. 33)
63. со0 — Q, со0, соо Ч- ^. (рис. 34)
Рис. 33
Рис. 34
64. Aco• т ^ 2я или А/» х ^ 1. Чем короче сигнал во времени, тем шире его
спектр.
65. Это классическая модель «излучения атома» — лоренцево распределе-
распределение. Aco = 2/t — естественная ширина линии, (рис. 35)
63

= 4:Jit pdV;
66. J
Металлический шар с начальным зарядом Q медленно разряжается в слабо-
проводящей среде. Токи плотностью j радиальиы ==» В = Н = 0. Но по теореме о
циркуляции вектора Н (стационарный случай) rot Н = — j, должно следовать,
что j = 0. Указанное противоречие разрешается введением jCM = -——— это
плотность некого «объемного тока», направленного к центру шара и снимающе-
снимающего указанное противоречие. к
Н
67.
Рис. 35
div D = 4лр; rot E = —;
^ с dl
j- г» /\ * т* 43Г . , 1 6D
div В = 0; rot H = — j -i —
Рис. 36
В
= — i, где i — линей-
линейDin = 4jio; J31w = B2n\ Eu = Я2т; [пН2] -
ная плотность тока проводимости на границе раздела двух магнетиков
68. S = -?-
= Я, вектор Н — направлен по касательной к
б9. В = И = 11Ж
СГ СГ
эрг
силовой линии (рис.36). ? = f> гДе X — удельная проводимость. |S| =
с т i г
= — ЕЙ = ~~ ; S направлен радиально к оси провода. <у S da = S • 2кг/ =
/2 Г 1
= S'lnrl = ^т" (nr*l) M—l — этот поток энергии равен джоулеву теплу, вы-
X [с J
64

деляющемуся в проводе за 1с. Поступает энергия от тех участков цепи, где есть
работа сторонних сил, т. е. от источника тока.
70. div Е = 0; rot Е = г-; div В = 0; rot В = ^ -т-.
K>«rotE = VdivE-AE = -Iroi?- -Н^Е,откуда^ = ^
логично для В. Фазовая скорость плоской волны v = -?=. В оптике для про-
прозрачных сред ц » 1, поэтому v '<
71. P = w = — Sy где w — средняя плотность энергии падающей электро-
электромагнитной волны, S — среднее значение модуля вектора Пойнтинга. Для зер-
зеркала Р = 2w.
72. Ех = Е0е'(ш*~к2) (или Еу)у где к = ^ = — — волновое число.
73. Еу = ?:osin кхх е*(
где
л
а
п = 1, 2, ...; kz =
_J*2 Ып\
75. kz = Д^ - —; v = т- =
V2 ^ *
Vl-(o>ip/a>J
' ' '
77. Плазма в целом электрически нейтральна. Каждый заряд в ней заэкра-
заэкранирован зарядами другого знака. Потенциал вокруг элементарного заряда е спа-
спадает по закону 9 = ~ ехр ( — rj), где rjr> = Rl
= V ^ — дебаевский радиус, т. е. кулонов-
ское поле ограничено масштабом порядка г#.
78. шр =
-. Если группа электро-
электроиов отклоняется от равновесного положения,
нарушив в плазме электронейтральность, то ^Б ^ т
возникают силы, возвращающие их в положе- рис 37
ние равновесия.
79. Рис. 37.
80. Угол Брюстера, это угол падения, при котором R ц =0. Дело в том, что
амплитудный коэффициент отражения (формула Френеля) г у = ^ ^,
При
+
т-е-
г ||
Отсюда ц>Б = -^ —
65

Оптика
1. —f- -г = у. Правило занков такое: F > 0 для собирающей линзы, F < О
для рассеивающей линзы; b > О F — расстояние от линзы до изображения),
если изображение действительное; b < О, если изображение мнимое; а — рас-
расстояние от предмета до линзы (обычно а > 0); если же на линзу падает пучок
света, который сходился бы за линзой в некоторой точке, отстоящей от линзы
на расстоянии а, то тогда в формуле линзы а < 0.
личине.
/(а)
2Л
т = (п~ О "Б ~Ь гДе а> by Ль /*2 взяты по абсолютной ве-
о \ ^ 2/
Л 2Л
Рис. 38
3. Е(х, z, 0 = Ео е*ы-к sin* х"л cos^ 2>. Вре-
Временную составляющую обычно не записывают, по-
поэтому Е(х, z) = Ео е*к sin^ x+k со*ч z\ где Л = ^ -
волновое число. Если волна бежит вдоль по оси 0z,
то у = 0 и тогда Е = Ео е^ы~~кг\
4. / = ??*= |?|2.
5. /(х)=2/0М -bcos^^ (см. рис. 38).
6. /(г) = /t Н- /2 + 2EioE2o cos Д<р(г)- Здесь усреднение берется по вре-
времени. Из этого общего выражения для интенсивности света, падающего на
плоскость наблюдения от двух источников, следует, что интерференция на-
наблюдается только тогда, когда cos A<p(r) = const ф 0, т. с. разность фаз сохра-
сохраняет свое значение за время усреднения. Кроме того требуется неперпендику-
неперпендикулярность векторов Ех и Е2. Такие источники (обеспечивающие это) и называ-
называют когерентными.
/(л)
м /и-1 ш-2
Рис. 39
7. Л = —, где а — угол схождения лучей; а = -=- — угол малый (рис. 39).
О. К.
Его величина вблизи геометрического центра интерференционной картины в
силу малости практически не зависит от х.
8. F(x) = /\ 4- /2 + 2Е10Е20 cos [k(s\n \p2 — sin я|>|)дс], откуда видно, что
если х изменяется на Л, то фаза меняется на 2к: A-?(sin гр2 — sin л\>\) = 2л,
откуда Л = т-р— _ . >. Поскольку длина волны к = -т-, а углы грА и гр2
малые (рис. 39), то Л ъ = —, где а — угол схождения лучей, равный
66

dIR (см. рис.39). Если обозначить Д<р = ках —- разность фаз в данной точке
наблюдения, то Д = сие — разность хода, т. е. Дер = к Д. Отсюда можно запи-
записать (см. также рис. 40)
= /х + /2 +
Ahax"
cos (ках)
/2 + 2?:10Я20 cos
(Н
20 п „
j-. 11рИ ?io =
11 Iх* ~ ^т (положе|!Ие максимума интерференционной картины),
1 Д* = hn (разность хода интерферирующих воли в точке макси-
максимума картины), где т — порядок интерференции (рис. 40).
*min = ¦=¦ + тЛ = ¦=¦ A + 2m),
mm: -
12. 1(х) = 2/о = 11 + У{х) cos -~ х\ у где V(x) — видность интерферен-
интерференционной картины, Л — ее период. Соответствующий график изображен на
рис. 41.
2/
Рис 41
Рис. 42
13. Волна, излученная квазимонохроматическим точечным источником,
сохраняет свою «амплитудно-фазовую память» в течение времени когерентно-
когерентности х0. При этом она успевает распространиться на расстояние ct0, равное
длине когерентности.
14. Разность хода Д ^ сх$ — длины когерентности, mmax ^ ^г-; макси-
максимальная разность хода Дтах = А,ттах ^ -у (это и есть выражение для длины
У?
когерентности). Тогда условие наблюдения интерференции: Д <> -гг-.
X2
15. К(Д) =
Ао>
2с
, рис. 42;
16. /(х) = 2/0[
l + V(b) cos ^
— видность интер-
интерференционной картины, Л — период картины, равный к/а, где а — угол схожде-
схождения лучей. На рис. 43 изображено распределение интенсивности в плоскости

наблюдения. Как видим, видность не зависит от ху а зависит только от ширины
источника Ь. Интерференция наблюдается при b < b* = —. (При подготовке
этого вопроса рекомендуется обратиться к ч. II
задачника по общей физике под ред. В. А. Ов-
чинкина, задача 5.1*)
17. Зависимость V(b) изображена на
рис. 44. Если удаленный источник имеет фик-
фиксированный размер b и угловой размер гр = —,
где Ro — расстояние от интерферометра до ис-
источника, то условием наблюдения интерфе-
X dmax
ренции будет Q < т — ^max» 1*де Qmax = ~5 максимально возможный апер-
О л\0
туриый угол. Эту величину rfmax = рког и называют радиусом пространствен-
пространственной когерентности, рКОг = *"т~ — —•
18. Зависимость 1(х) изображена на рис. 45.
Нх)к
Рис. 43
V(b)
2If
Рис. 44
Рис. 45
19. Л=
1 +2т),гдет = 0, 1, 2 ....
20. Нулевой максимум из геометрического центра сместится в сторону пе-
перекрытой пластинкой щели на расстояние х0 При этом разность хода ах0 дол-
должна быть равна вносимой пластинкой разности хода А = h(n — 1) Отсюда
Xq = (/г~ \ где a = dll — угол схождения лучей. Таким образом искомое
а
Ih(n-l)
= 2 мм. При этом картина сместится на N = -— =
А/о
= Рког = ^
10 полос.
^ 0,05 мкм
0,01
= 50 мкм = 0,05 мм.
X2
22. /ког = хг ~ К
-, откуда VKQT~-^'
ког ~" ДА Мког \ь' у ког * ^2
23. Каждая точка (элементарная площадка) волнового фронта, например
сферической волны, исходящей от точечного источника, по принципу Гюйген-
Гюйгенса—Френеля является «источником» вторичного излучения. В точке наблюде-
наблюдения рассматривается сумма (интеграл) волн, исходящих от всех вторичных ис-
источников излучения. Если на пути света стоит какое-либо непрозрачное пре-
68

пятствис, то это обстоятельство учитывается при суммировании. Для реализа-
реализации этой идеи Френель предложил разбить весь волновой фронт на зоны. Прин-
Принцип разбиения изображен на рис. 10. Здесь отрезки OP = b, N[P = b -Ь-r-,
> = b + 2 -у и т. д, т. е. расстояние от границы n-ой зоны Френеля до точки
наблюдения Р отличается от расстояния до (п Н- 1) -й зоны на полдлины волны.
При этом радиус n-ой зоны Френеля равен
(на рис. 46 M\Ni = г\\
M2N2=r2)."
24. Если обозначить амплитуду поля
световой волны в точке наблюдения Р от
всего волнового фронта, как ЕО(Р)У то
тогда Е0(Р) =ijEOi(P), где Eoi(P) —
Рис. 46
амплитуда волны, приходящей от первой зоны Френеля. Принцип построения
векторной диаграммы изображен на рис. 47, где вектор EOi является суммой
цепочки векторов, отвечающих колебаниям исходящим из различных участ-
участков первой зоны. Начальный и конечный векторы находятся в иротивофазе. На
рис. 48 показан вектор Е3/2, а также вектор EBCCf кроме — вектор всех осталь-
остальных вторичных источников, которые в нашем случае перекрыты экраном. Ин-
Интенсивность света от полутора зон Френеля 1у2 = ^з/2 = 2/<>
25. 1{Р) s/0 независимо от числа перекрываемых диском зон.
Ез/2
ш
Рис. 47
Рис. 48
Рис. 49
26. В предыдущем вопросе как раз и рассматривается интенсивность света
в пятне Пуассона. Если непрозрачный диск закрывает т зон Френеля, то тогда
результирующее колебание Eq(P) представляет собой сумму колебаний от
(т + 1) -и, (т + 2) -й и т. д. зон. Результат суммирования сводится в силу рас-
раскручивания спирали (рис.47) к суммеЕо(Я) =~ (?о, m+i ±^0, п)> гдеп-> <»,
а Яо, м -> 0. Последняя зона Френеля, повернутая к точке наблюдения на угол
90°, уже практически не посылает света в точку Р. Таким образом
Ео(Р) = -г- Eot w+i и/(Я) ss /о независимо от числа перекрываемых диском зон.
27. Л = Х^2^,гдет = 0, 1. 2. ...

54 3 2{R2/2\) 1зона(Д2Л)
Рис. 50
28. В соответствии с рис. 49 волновой параметр р = •——, — это отношение
размера первой зоны Френеля к размеру препятствия. Если р ~ 1, то это диф-
дифракция Френеля. Если р «с 1, то это геометрическая оптика. Если р » 1, то это
дифракция Фраунгофера. График зависимости fp(z) приведен на рис. 50.
-\/Ь
sine
Рис. 51
Рис. 52
29. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера изображена на рис. 51, а
j
зависимость /(м), где и =
30. /@) =
sin 0m=T hr
- на рис. 52: /(«) = /
где *г =
тах:
и = — + тп Откуда
, гдет= 1, 2, 3.
31. Распределение
\ 2
1~
где
интеисивностей
— функция
Бесселя первого рода, г/ = — sin 0. При
этом направление на первый минимум
sin 0! = 1,22 —. И дифракционная картина
будет другой: вместо системы полос, поя-
появится система дифракционных колец. При
этом центральное яркое дифракционное
пятно называется пятном Эйри. В нем со-
сосредоточена подавляющая доля ( ~ 80%) падающей на экран энергии.
32. Свет от далеких звезд приходит в виде плоских воли. В фокальной пло-
плоскости объектива (рис. 53) появляются дифракционные пятна (пятна Эйри),
Рис. 53
70

соответствующие разным плоским волнам. Диаметр пятен d «s 2,44 — /, где
D —диаметр объектива, а / — еш фокусное расстояние. Критерий различимо-
различимости пятен (звезд) изображен на рис. 54, где полагается, что две звезды А и В
равной интенсивности различимы, если
максимум распределения интенсивности
от одной звезды совпадает с первым мини-
минимумом другой.
33. D^^^ = 6,9 см.
34. Условие полного использования
разрешающей способности телескопа
cf3p = Аж — диаметр параллельного пучка Рис. 54
света, выходящего из окуляра. Коэффици-
Коэффициент увеличения телескопа у = -^- = -=г^ = 12,5. Последнее равенство следует
/ок ^Л>к
из предельного соотношения -гг— f^ » -т— /ок, гцо f — фокусное расстояние.
7(sine)A
т
sine
Рис. 55
35. Угловая дисперсия -тт-, область дисперсии ДХ и разрешающая способ-
способность прибора R. Если считать известным направление на главный m-й мак-
максимум, определяемый соотношением d sin 0 = тк, где d — период решетки, то
тогда -тг- = -; т == т- tg 9 (при нормальном падении света на решетку). Об-
Обил и COS " Л
ласть дисперсии Ак = это максимально возможная ширина спектраль-
спектрального интервала в данном порядке т, когда длинные волны (красная часть
спектра) (т + 1 )-го порядка не «наезжает» на коротковолновую часть спектра
т-го порядка.
Разрешающая способность R = — спектрального прибора определяется
но критерию Рэлея и 6к — минимально разрешаемая разность длин волн двух
соседних спектральных линий. Для дифракционной решетки R — mN.
36. Длинноволновая часть оптического спектра (красный свет) отклоня-
отклоняется решеткой в каждом порядке сильнее (рис. 55). Призма сильнее отклоняет
синий цвет.
71

sin-
sin |
, где и = ** ^ш 6, б = —¦ d sin G. Здесь
b — ширина одной щели, rf — период решетки (см. рис. 55).
38. Эффективный размер дифракционной решетки L должен быть равен
радиусу пространственной когерентности (источник протяженный), т. е.
L = Nd с* —, где N — число штрихов, d — период решетки. Разрешающая спо-
способность (требуемая) решетки R = т г- = 2500. Известно, что Лтах =
Л2 Л-1
^тах- Для оценки требуемого порядка
можно воспользоваться обычным услови-
условием d sin 0 = тХ, откуда следует, что ц ^ — =
к
= 4-10~4 рад.
39. Рассмотрим пучок света, идущий по-
после дифракционной решетки (рис. 56), напри-
например, в первый порядок. При этом происходит
затяжка импульса на величину времени прохо-
прохода светом расстояния Ах. Таким образом,
= = — = 6-10 lzc. Отсюда т/то^6.
с с
Ах/с
4(h Схема изображена на рис. 57, где плоскость наблюдения расположена
в фокальной плоскости линзы. Если вместо точечного источника на интерфе-
интерферометр Фабри—Перо направить плоскую волну, то на экране будет всего лишь
точка (пятно). На рис. 57 интерферометр Фабри—Перо состоит из двух оди-
одинаковых пластин с параллельными отражающими поверхностями, разделен-
разделенными воздушным промежутком толщиной L.
41. График сигналов на входе и выходе изображен на рис. 58. Здесь
2L
At= период следования затухающих по амплитуде коротких импульсов.
П
Lt-IL/C
Рис. 57
Рис. 58
, где р = г1 — коэффициент отражения
зеркала по энергии, L — расстояние между зеркалами, #эфф = -г^-— так на-
зываемое «эффективное» число интерферирующих пучков (бесконечное коли-
количество экспоненциально затухающих по энергии пучков заменяется на некое

2L
«эффективное» их количество с равной интенсивностью) Число т = -г
интерференционный порядок, т. е. какое число полуволн отложилось на длине
L — расстоянии между зеркалами.
43. Из условия максимумов в интерференционной картине 2nL = mk (на
разности хода, даваемой плоскопараллельной пластинкой интерферометра
Фабри—Перо на поверхности которой нанесены высокоотражающие покры-
покрытия, умещается целое число длин волн) легко получить область дисперсии
X X2
АХ = — = ~ ,. Это означает, что чем больше L, тем выше R, но тем меньше об-
т LttL
ласть дисперсии!
44. Q » ., _ ^ Я, т. е. добротность резонатора, вычисленная, исходя
из энергетического определения добротности колебательной системы
/^ - максимальная энергия \ „ „
\О = 2л _к .. , совпадает с величиной R, вычисленной по
у* потери за период Т = А/с J
критерию Рэлея.
45. E = Eoei(vt-kxsin4) = Eoe-ifcsinix = Eoe-iQx, где Q = к sin 7 -
2л
пространственная частота волны. Заметим, что частота со = —, а пространст-
пространственная частота Q = -j- = к sin у = -^ sin 7» где d — пространственный пери-
период, равный очевидно X/sin 7- Величина d имеет геометрическую интерпрета-
интерпретацию. Если перпендикулярно вектору к с интервалом равным длине волны X,
провести волновые поверхности (плоскости), то на оси х отложатся отрезки
длиной, равной пространственному периоду d = X/sin у. Отсюда sin у = -т.
46. Е = Ёо e~i(<k sin чх+к cos **> = Ёо e'i
47. Три плоские волны, имеющие в плоскости z = 0 комплексные ампли-
амплитуды: А; -^ eiQx\ -^- e~iQx. Углы, под которыми плоские волны распространя-
распространяются от решетки: 7 = 0; sin 7±i = ±~7-
48« iQlx = hi!6; ^rhin = 0- Разность хода, набираемая интерферирующими
волнами, приходящими в 1-й порядок при смещении второй решетки отпоси-
z Y2
тельно первой на величину z, равна Л = z ^ 2A — cos 7) ^ 2 -^-, где
7 ^> -т. Разность фаз при этом Aip = кА = кг -~. Частота изменения интенсив-
, , ч t/ф , у2 dz . у2 kvX ~
пости света при этом (и фототока) <o = -Tr = fc~r-7T = &-~-v = —=-. Отсюда
at L at 2. (i*

49. Три плоские волны, имеющие в плоскости z = 0 комплексные ампли-
амплитуды: 1; * I е'Л* = ? еК«*+*/2); « в-*(й*-я/2)^ Вшшы выходят под уГЛами:
7o=:O;sin7±i — ±^ (sinv^V)-
50. На рис. 59 фокальная плоскость линзы, стоящей за синусоидальной
решеткой, и есть фур ье-плоскость. Если здесь поставить экран, то на экране
появятся три дифракционных пятна, фиксирующих пространственный
спектр, состоящий из трех плоских волн.
51. Метод темного поля — это один из методов наблюдения фазовых (про-
(прозрачных) структур. Такой является, например, фазовая синусоидальная ре-
решетка, (вопрос 49). Если из пространственного спектра изъять плоскую вол-
волну, распространяющуюся по оси системы (в фурье-плоскости поставить не-
непрозрачный экран (рис. 59)), то тогда в восстановленном изображении можно
будет увидеть периодическую структуру, только с пространственной частотой
2Q (вдвое большей).
X
Л
Ф. ил.
Рис. 59
Ф.шь
Рис. 60
Пл. изобр.
52. Метод фазового контраста заключается в том, что «нулевую» волну не
удаляют из спектра (вопрос 49), как в методе темного поля (вопрос 51), а из-
изменяют ее фазу на л/2, установив в фурье-плоскости на ее пути изотропную
пластинку, вносящую дополнительный оптический путь к/4 или ЗА74.
53. В самом простом варианте dmin = ——, где и — апертурный угол
sin и
объектива. На рис. 60 изображен предмет (дифракционная решетка), кото-
который посылает в сторону объектива множество плоских когерентных волн. В
фокальной плоскости объектива (фурье-плоскости) представлен простран-
пространственный спектр плоских волн, захваченных апертурой объектива (угол и).
В плоскости изображений формируется изображение предмета. Пусть пред-
предметом является обыкновенная дифракционная решетка с периодом d. Тогда
в фурье-плоскости положение главных дифракционных максимумов опре-
определится соотношением d sin ym = тХ. Если в фурье-плоскости перекрыть
экраном вес максимумы кроме Ао (рис. 60), то в плоскости изображений,
где расположен экран, не будет видно никакой структуры (равномерная за-
засветка). Для того, чтобы на экране появилось наиболее правильное изобра-
изображение, необходимо, чтобы было открыто по возможности большее число
максимумов Aq> Аи Ао, ... Отрицательные порядки А-и А-г> ... в дополне-
дополнение к положительным увеличивают яркость изображения. Наиболее важны-
74

ми являются максимумы первых порядков, несущих информацию о наибо-
наиболее крупных и, обычно, наиболее важных деталях предмета. Распространя-
Распространяются они под малыми углами. Мелкие детали — под большими. В микро-
микроскопе нет ограничений в фокальной плоскости объектива. Но оно возникает
на входе в объектив. Плоские волны, распространяющиеся под углами
Угп > и> ие участвуют в формировании изображения. Таким образом, усло-
условие для разрешения деталей с размером d можно записать так: sin u>-7.
Если учесть, что рассматриваемый объект может находиться в среде с по-
показателем преломления п, то тогда вместо длины волны X следует написать
Х/п. Отсюда следует, что sin иПред = -}—• Более «точное» выражение
«tnin
'• Коэффициент 0,5 возникает при исследовании возможностей
n sin и'
применения наклонных пучков света.
54. Если перейти к переменной a> = aH-bQ, где Q«:aH, то тогда
к(а>) = к(и>0 4- Q) 4- -т— Q 4-..., где Q — переменная частота, по которой про-
производится интегрирование, da> = Q. Тогда, очевидно,
Асо/2 . .
E(t, z) = J Л(соо 4- Q) eiQ('~?z) rfQ e*fo*-*o*).
-Aa>/2
В полученном выражении то, что стоит в квадратных скобках, есть ам-
амплитуда C(t> z), бегущей в пространстве плоской волны. Причем C(ty z) —
модулированная амплитуда группы волн (огибающая волнового пакета).
Здесь C(tf, z) = c\t 1, где и = -тг — групповая скорость, с которой пе-
перемещается огибающая волнового пакета, определяющая его форму. При
этом плоская волна e'(<°o*"~*oz) перемещается в пространстве с фазовой ско-
ооо
ростью v = -г-.
55. Поскольку со = vk, то
— ^Ш — JL. ( ъ\ — 4- к —
56. Дисперсия некоторой среды считается нормальной, если в ней груп-
групповая скорость и < v. При этом, очевидно (см. предыдущий вопрос) -тг > 0;
-тг- < 0. Именно таким веществом является, например, стекло и многие другие
диспергирующие среды. В противном случае {и > v) в такой среде закон дис-
дисперсии аномальный. Аномальный закон наблюдается в среде, где на данных
частотах есть поглощение энергии.
57. Вообще, п2 = г — 1 Н—2 р 2, где сор = плазменная частота,
N — концентрация атомов исследуемого вещества (среды), те — масса элект-
электрона. При частотах внешнего излучения со;» соо (например, рентгеновское из-
75

лучение, падающее на металл) или, если со0 = О (плазма в ионосфере для ра-
2
диоизлучения), формула приобретает более простой вид п2 = е = 1 1.
со
5&* Предположим, что лунный диск закрывает наблюдателю на Земле т
зон Френеля. Тогда радиус m зоны rm — VmXL, откуда 2rm dr — XL dm. Если
теперь положить dr =* Л, a dm = 1, то 2rmft — XL Поскольку г|> = —- — угло-
угловой размер лунного диска, то Xmin = грЛ » I м (это соотношение определяет
минимальную длину волны, способную продифрагировать на краю лунного
диска). Не всякое излучение с длиной волны X > 1 м способно преодолеть зем-
земную атмосферу (точнее: ионосферу Земли). Поэтому (см. вопрос 57) макси-
максимальная длина волны определится по плазменной частоте.
г. Подсчет плазменной частоты удобнее производить
1 _ 2кс _
A'max ~ сор -
2лс
по формуле сор = Д/4зс—^— ft? 5,64 -104 у/1*Г ~ 5,64 • 107 с. Рассчет показыва-
показывает, что Хтлх & 34 м. (При о) < Шр (А. > Хтах) волна не способна распростра-
распространяться в ионосфере). Таким образом, ответ: 1 м < X < 34 м.
59. Легко видеть, что при монотонном росте концентрации вглубь
-:—-^- = «крит» гДе "Фкрит — л/2 — предельный угол преломления. Поэтому
Sin ^ркрит
С другой стороны, п%риг-
1=1— cos2 <p, откуда
О)
cos2 ip = —?, а>« =
m
выражение
. Поэтому *крит
mco2 cos2 <
тс2л
cos2
-. Если
использовать
*2
гкл = —^ = 2,8-10 13см, roNKpm
тс v
для классического радиуса электрона
луч
И
дЕ
естеств.
света
-необыкн (
-обыкн (о)
ю:
78°
Рис 61
Рис. 62
60. Закон Рэлея / ос —, т. е. в оптическом диапазоне, чем короче длина
волны (синяя часть спектра), тем интенсивнее ее рассеяние. Когда Солнце
садится, то мы видим обедненную короткими волнами часть спектра, поэто-
поэтому там преобладает красный компонент оптического диапазона излучения
Солнца. Рэлей показал, что в атмосфере свет рассеивается не загрязнения-
загрязнениями, а молекулами воздуха, а Смолуховский уточнил: тепловые флуктуации
показателя преломления делают среду оптически мутной, на них и рассеи-
рассеивается свет.

61. На рис. 61, 62 изображен одноосный кристалл исландского шпата.
Даже при нормальном падении луча естественного света, на грань кристалла
исландского шпата возникает два луча линейно поляризованного света. Один
из них является продолжением падающего (поэтому называется обыкновен-
обыкновенным) . При этом вектор Е в «обыкновенной» волне лежит в горизонтальной пло-
плоскости» а в необыкновенной — в вертикальной. Если на рис. 62 начать вра-
вращать кристалл вокруг направления распространения падающего луча, то нео-
необыкновенный луч станет вращаться вокруг обыкновенного. Следует иметь
ввиду, что показатель преломления n0 = const, и не зависит от направления в
кристалле, a ne ^ п0 (для так называемого отрицательного кристалла, коим и
является исландский шпат). Точнее 1,486 < пс < 1,658 = /zq.
В кристалле существует направление на котором п0 = нс, т. е. эффект дву-
лучеиреломлепия исчезает. Это направление называется главной осью кри-
кристалла. На рис. 63 изображена главная ось кристалла. Это диагональ, прохо-
проходящая через тупые углы кристалла исландского шпата Пластика, вырезан-
вырезанная перпендикулярно этой диагонали не обладает двулучепреломлением.
глаштя ось
света
Рис. 63
Рис. 64
62. Если вырезать из кристалла плоскопараллсльную пластинку парал-
параллельно главной оси, то такая пластинка обладает максимальным эффектом
двулучепреломлеиия, для света, падающего на нее по нормали (рис. 64) Тол-
щина пластинки — равна d =
4
где m = 0, 1,2.... Если на такую пла-
равна d
4 По — пе
стинку направить пучок линейно поляризованного света, то па выходе будет
эллиптически поляризованный свет.
63. Если разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей после
X2
прохождения двулучепреломляющей пластинки А ^ -ту — длины когерентно-
когерентности, то на выходе будет получен свет с хаотической поляризацией. Кроме того
требуется, чтобы угол между плоскостью колебаний вектора Е и главными
осями пластинки составлял 45°.
64. / = 5/0 (При повороте на 90° диска в иолдлины волны вектор от пол-
полутора зон Френеля длиной \^2Я0 для обеих поляризаций поворачивается па
± я, т. е. вектор в точке Р от всего волнового фронта будет иметь длину, рав-
равную VTe0.)

Рис. 65
65. Если 0 — угол скольжения (рис. 65)
под которым падает на кристаллическую ре-
решетку плоская волна длиной Л. (tp — угол паде-
падения), то условия дифракционных максиму-
максимумов, наблюдаемых в отраженной волне
2d sin 9 = ±тК где т = 1, 2, ..., d — межпло-
межплоскостное расстояние в кристаллической ре-
решетке (dmm = а — постоянная решетки).
66. п = tg j± = tg 54° = 1,376.
67.i; = ^ = 7^-^2.I01ocm/c.

Атомная и ядерная физика
1. Электрическая схема включения вакуумного светодиода изображена на
рис. 66. При этом на анод подается отрицательное (запирающее) напряжение
по отношению к катоду — источнику электронов. Соответствующая вольт-ам-
Рис. 66
I
(ток)
Рис. 67
Рис. 68
перная характеристика i(V) для разных значений интенсивности света при-
приведена на рис. 67. На рис. 68 дана зависимость запирающего напряжения
Vo (со) от частоты падающего света, где указана частота оH — красная граница
фотоэффекта.
2. При частотах света, меньших оH, фотоэффект невозможен (энергии
фотонов недостаточно, чтобы электрон проделал работу выхода из материала
катода).
3. йо) = А Н ~^, поскольку для красной границы фотоэффекта даже
максимальное значение скорости итах = 0, то /гоH = Л и тогда —j^ =
= ft (со — со0). В уравнение входит именно максимальное значение скорости,
поскольку поток фотонов освобождает целый спектр электронов по скоростям
(энергиям). Наибольшая кинетическая энергия — у электронов, освобожден-
освобожденных с уровня Ферми (величина работы выхода отсчитывается от уровня Фер-
Ферми). Для электронов, освобождаемых с нижележащих уровней требуется не-
несколько большая работа выхода.
4.
=е(У0 + Кс), где Vc — контактная разность потенциалов, по-
поскольку материалы анода и катода различны.
фотопластинка
Рис. 69

5. *pfflax = *? - Л = 1,22 эВ, <pmax = 1,22 эВ.
6. Схема опыта изображена на рис. 69. Рентгеновское излучение от рент-
рентгеновской лампы, представляющее поток монохроматических -у-квантов с дли-
длиной волны Ло, падает на образец О. Рентгеновские кванты, претерпевшие рас-
рассеяние, меняют свою частоту. Изменение длины волны АЛ. == X. — Л.о можно за-
зарегистрировать, если направить рассеянное излучение на кристаллическую
пластинку /С, выполняющую роль отражательной дифракционной решетки.
Отраженное излучение от кристалла К падает на фотопластинку. Величина
ДА. не зависит от материала образца. Важно, чтобы рассеивающие электроны
были практически свободны, т. е. их энергия связи в веществе была мала по
сравнению с энергией -у-квантов. Это условие выполняется для образцов из са-
самых легких элементов и рентгеновского излучения. При этом из опыта получа-
получается, что АХ = к — к0 = 2лкеA — cos ip), где ке = 3,86- 10~и см и называется
комптоновской длиной волны электрона. Корпускулярная модель явления по-
показывает, что Ле = = 3,86-101 см (совпадает с опытом).
itic
8. v = -т=. Очевидно, что электрон должен двигаться навстречу фотону.
Кроме того, здесь длина волны фотона к = 0,00242 им практически совпадает
с комптоновской длиной волны электрона Ле = 2пке = 2,42 • 10~10 см.
- В частности, при 0 = 0 (продольный эффект, сбли-
сближение): со = а>0'у-г—~; при 0=180° (продольный эффект, удаление):
со = соо V Р; при 0 = 90° (поперечный эффект Доплера): со = соо Vl — |32.
11. Такой частице «ставят в соответствие» плоскую волну
1|)(Л г) = гро е1(кг~ы\ При этом сугубо волновые характеристики со и к, за-
заменяют на величины, характерные для частиц: Е = йсо и р = Йк. Таким об-
образом, для частицы, летящей в направлении, например, Ох волновая функ-
функция (гр-фупкция) будет иметь вид гр(д:, t) = г|>о ец(рх~Е1\ При этом
. h 2ith
'Ч(Ь — — — •
Заметим, что для такой частицы импульс определен, и совершенно неопре-
дслена кордината jc.
12. Если электрон прошел через щель, то в плоскости самой щели коорди-
координата х будет фиксирована с точностью Ах ~~ d> где d — ширина щели. В ре-
результате дифракции на щели волновая функция электрона будет иметь макси-
максимумы. Наиболее интенсивный максимум — нулевого порядка. Его угловая ши-
ширина 20 определяется известным соотношением d sin 0 = к, С другой стороны,
появление угловой расходимости с точки зрения электрона, как частицы, мо-
может быть объяснено появлением у электрона составляющей импульса рх (до
щели рх = 0). Причем величина этой составляющей лежит в пределах Арх,
которые и принято называть неопределенностью импульса. Очевидно, что
НО

h \ h
APx = P sin 0 = у--г, т. e. Apx ~ —. Или иначе соотношение неопределенно-
неопределенностей: АрхАх~ h = 2nh. Обычно в квантовой механике его записывают как
АрхАх ? /г.
13, Дё А* — Й. Рассмотрим систему, состоящую из двух сллабовзаимо-
действующих частиц / и 2. Допустим, что обе частицы в некоторый момент
времени имели определенные значения энергии <§i и &г> Через некоторый
интервал времени А* снова замеряются энергии, и они оказываются, вообще
говоря, другими: ?[ и ё'г. В результате измерения будет обнаружено, что
разность значений
т. с. чем меньше интервал времени А*, тем большее изменение энергии будет
обнаружено. Т. о. в квантовой механике закон сохранения энергии может быть
проверен посредством двух измерений лишь с точностью до величины порядка
fi/Aty где At — интервал времени между измерениями.
Итак, если в соотношении неопределенностей АрхАх — Ь. величины Арх и
Ах — неопределенности в значениях импульса и координаты в один и тот же
момент времени (т. е. рх и х не могут иметь одновременно строго опреде-
определенных значений), то здесь — напротив — в каждый момент времени <§А и ё2
могут быть измерены с любой точностью. Величина &i + ?2 — ё[ — ё2 — есть
разность двух точно измеренных значений энергии в два различных момента
времени.
14. АрхАх = -^. Здесь под неопределенностями понимаются среднеквад-
среднеквадратичные отклонения (дисперсии) от средних значений импульса и коорди-
координаты. При этом предполагается, что распределение координат и импульсов га-
гауссовы.
15. Если мы наблюдаем за системой (т е делаем два измерения ее энер-
энергии, разделенные интервалом времени АО, то разность значений энергии ока-
оказывается Аё ~ —. Если эта разность превышает энергию покоя, то мы уже не
можем сказать, что это: система или система + частица. (На самом деле ника-
никакая частица реально не возникает, просто па шкале разности энергий надо
иметь зарубки для сравнения с Д<?). Таким образом, если интервал таков, что
А* :? —j> то принято говорить о виртуальной частице, которая, если бы она
тс
была реальной, имела бы энергию покоя тс1). Итак R%Atc^
Д<? тс2 тс
% D2 h
16. р — Ар г -^-у где г — радиус ядра; <§кин = %- ? г. Подстановка да-
гг im %mrl
ег результат <?кин ^ 104 МэВ (такие электроны в ядрах не обнаружены). Энер-
Энергия связи нуклонов в ядре ~ 10 МэВ.
17. Квадрат модуля гр-функции 11|) |2 = гргр* = г[)*гр — есть плотность ве-
вероятности (функция распределения вероятности) обнаружения частицы в
ai

элементе объема в какой-либо точке х пространства. Вероятность обнару-
обнаружить частицу в объеме dV равна \|?*\j> <IV, а полная вероятность присутствия
частицы есть [ -ф*лр dV = 1. Пределы интегрирования задаются условиями
v
задачи.
19. fx = — /ft -г-; (р^) = [ г|)*(л) [ — г/г jA гр(*) d*. В правильности «ра-
«работы» этого оператора легко убедиться, подставив волновую функцию свобод-
свободной частицы (с определенным импульсом pxq). Тогда (рх) = pxq.
20. Если записать гр (х, t) свободной частицы (плоская волна), то легко об-
обнаружить прямым дифференцированием
6ip i .- Эяь
Первое равенство определяет оператор импульса рх = — ih т—; второе —
оператор полной энергии ??Я = /й- Оператор полной энергии может быть
представлен также и таким образом
Н = Г + &,
где 7* — оператор кинетической энергии, а 0(х) — оператор потенциальной
- - 1 /г2 З2
энергии. Очевидно, что 0 (х) = V (х), a f = — р* = — jm —2 • Таким обРа"
зом Нл\> = — ^jjj- —2 + f/ (х) гр = Бгр, а также Ягр = гй -^ = ?гр. Все это есте-
естественно «работает» для волновой функции свободной частицы. Однако делает-
делается и обобщение — последние два дифференциальных уравнения, оба называ-
называемые уравнением Шредингера, в условиях конкретных задач, когда задана
потенциальная энергия U (х, у, г) и граничные условия, дают целый набор ре-
решений, т. е. я[)-функций и соответствующих им значений полной энергии час-
частицы. Эти значения энергии (решающие задачу) называются собственными
значениями оператора полной энергии, а соответствующие волновые функции
дают | \р |2 dV — вероятности обнаружения частицы вблизи соответствующей
точки пространтсва.
21. Среднее значение некоторой величины вычисляется по общей форму-
формуле, использующей тот факт, что | г|? |2 = гр*г|) — плотность вероятности обнару-
обнаружить частицу в данной точке пространства. Также надо учесть, что
\ гр*гр dV = 1 (нормировка волновой функции)
J tf

В нашем случае частица совершает одномерное движение и оператор коор-
координаты х = х. Поэтому
со
x3e~2xfadx
22. Уравнение Шредингера — -^—гр" = Егр; г|>" + &2г|> = 0, где к2 =
Решение этого уравнения ty(x) = A sin /ex -f # cos ?*. Поскольку стенки ямы
бесконечно высоки, то гр(О) = 0, у\>(а) = 0. Отсюда сразу следует, что В == 0.
.2*2 2*2
Поэтому г[)(а) = yl sin ка = 0 => Ла = - п; Яп = ^°- = т п2, п = 1, 2, 3,...
а 2т 2та1
Для того, чтобы вычислить константу интегрирования Л, следует отнормиро-
вать гр-функцию:
?
\1>*г|? ?/х = Л2 J sin2 Лл сГх = 1 -» Л
о о
[2 К - Ел.
Поэтому гр„ (х, t) = V— sin — nx e~l T *
23. Принцип соответствия требует, чтобы всякая неклассическая теория
в соответствующем предельном случае переходила в классическую. Пример:
формулы специальной теории относительности при v<zc переходят в фор-
формулы классической механики. То же можно сказать и о квантовой механи-
механике. Если размеры системы и массы частиц таковы, что действие для такой
системы сравнимо с величиной постоянной Планка Л, то квантовый харак-
характер явлений сказывается в полной мере. Если же действие настолько вели-
велико, что величиной h можно пренебречь, то вступают в права законы клас-
классической механики.
24. Для вывода необходимы следующие соотношения: — —г- (кулонов-
г г*
екая сила взаимодействия электрона с зарядом Ze является центростремитель-
Ze2
пой); полная энергия #= —j~~ (°на равна кинетической + потенциальной:
—); квантование момента импульса (идея Бора) тог = ий, где п = 1, 2, ...
Отсюда сразу следует:
h2 2 г-* mZ2e4
mZe2
25. Если под q и р понимать обобщенную координату и обобщенный (соот-
(соответствующий ей) импульс, то
р dq = «Л = 2лп/г.

Если теперь вместо <у и р записать у wLz (азимутальный угол в сфериче-
сферической системе координат и проекцию момента импульса электрона па ось z), то
2л 2л
ф р dq = [ Lz dip = Lz [ dy = 2лХ2 = 2лл#,
о о
огхуда следует, что Lz = пЬ (или mt;r = nh — см. вопрос 24).
26. 1 эВ= 1,6-1(Г12эрг= 1,6-1(Г19Дж; lRy = ^=13,63B - рид-
2ft
+ 2 *3
берг. Атомная единица длины I/] = —- Атомная единица времени [t] = —т
те те
27. % = 1,054-10~27 эрг-с; h = 2лй = 6,626- 1(Г27 эрг-с.
28. — — Ar> Oi фг|? — гр = Ягр, где АГл о, ф — оператор Лапласа в сфери-
сферических координатах, равный ДГН--^ До, ф при этом Дг=-2^ к2^:) "Ь
29. 1) Непрерывность, 2) непрерывность производной (гладкость), 3) од-
однозначность, 4) конечность. Все эти требования продиктованы тем, что
|гр|2 — плотность распределения вероятности. Заметим, что требование 2)
справедливо только там, где есть конечные разрывы энергии. На бесконечно
высоких стенках это условие не выполняется. Оно следует из самого уравне-
иия Шредиигера: — у— гр" + ?/гр = ?ty. Если проинтегрировать его но е-ок-
рестиости вблизи точки разрыва ?/, устремив е -> 0, то получится следующее:
если AU — конечно, то Нт?-Д?/ = 0 и -~ непрерывна; если же
Нт ? • AU = const (бесконечно высокие стенки), то -~ претерпевает конечный
разрыв.
30. D = на выходе ^ ех^ I __ у/2т (U — Е) Ах \, где U — высота барьера,
Мнавходе I П J
Е — энергия налетающей частицы, Ах — ширина барьера.
31. В модели подбарьерного туннели-
рования предполагается, что в радиоак-
радиоактивном ядре существует сс-частица, якобы
занимающая некий уровень в потенциаль-
потенциальной яме, форма которой показана рис. 70.
Эта частица способна к подбарьерному
—*7 переходу. Энергия (кинетическая) части-
частицы Та = Еа. В этой модели можно пока-
( \
-7—1, где В — извест-
ная константа. С помощью этой модели
Рис. 70
U(r)
Г'
Ja
84

n
обосновывается эмпирический закон Гейгера—Нетолла In T\\i = A + -т—.
32. — — \\>" 4- -|- г|) = ?г|), где Л — коэффициент жесткости упругой свя-
связи, а)§ = Л/m — собственная частота колебаний осциллятора.
Еп = /zcoojn -ЬтН и в 3-мерном случае En = йо>о UV -Ь ^), где п =
= 0, 1,2, ...; TV = и* ¦+• «у + nz — 0, 1,2,... Возможны переходы только с из-
изменением п на 1 (АЕ = Яп+1 — Еп = Йо>о).
33. /,? = тл/й, где т/ = 0, ±1, ± 2, ... , ± /. Этот результат легко получить,
решив уравнение /,2г|> = ?2г|>, где Lz = — z/z ^ оператор проекции момента
импульса (подобно оператору импульса р2 = — ift —). Решение этого диффе-
дифференциального уравнения г|> (<р) = -т=- ехр г —*¦ f I должно быть однозначным.
Однозначность и дает правило квантования Lz. Надо сказать, что максималь-
максимальное значение проекции никогда не совпадает с модулем вектора L, т. е.
34. L2 = h2l(l -f 1) — собственные значения оператора L2. В силу единст-
единственности (L2) = Ь21{1 + 1); (L2) = ^- /(/ + 1). Здесь / = mfax — максимальное
значение квантового числа /п/.
35. Ei = -~j 1A -\- 1), где / — момент инерции квантового ротатора.
Я2
+ 2
36. АЕ = ЕA+ 1) -?(/) =у-(/+ 1),где/ = 0, 1,2, ...;/= [id2, где [л =
= 7Таем- ~~ приведенная масса молекулы; / = — =1,9'10~40Х
х (/+1) г-см2; йг= ^ + 1);rf= 1,ь Ю~8 V/ + 1 см. Вращательные уровни
не эквидистанты.
37. На рис. 71 показана схема размещения уровней. Если обозначить через
N максимальное значение квантового n_i
числа /, тогда Еы = (Й2/2/) х вращ.
+ 1) = ДЯкол = Йо>о, откуда уровни
—I— 1) = -i-~— = 207. Решая квад-
Рис. 71
ратное уравнение, получаем N = 15.
38.ц = — «—¦ L = /Ъ, где Г= — -z гиромагнитное отношение орби-
2
тального движения электрона.
39. [iz = ^ml = mBmb где ш/ = 0, ± 1, ... , ±/, Ш1Б = -^ = 0,927 х
40. Потенциальная энергия витка с током (магнитного момента) во
внешнем магнитном поле вычисляется по известной формуле At/ =
85

= — (jfiB) = — [лвВ = ШъВпц, где mi = ±/, ± (/ + 1), ... , 0 — всего
2/4- 1 значений (нечетное число разных значений энергии).
На магнитный момент, носителем которого является нейтральный атом, в
неоднородном магнитном поле действует сила F = — VJ7 = V {(i В). Если
\l = const, то F = (fiV)B. Если В имеет одну компоненту Bz(z), то Fz = [Л -j—,
где 2 — ось магнита, перпендикулярная направлению движения атома. Если
пучок тонкий и сколлимированный, то на экране видна точка, если нет — то
полоса. Таким образом, пучок атомов, пролетающих такой магнит, должен
расщепиться на нечетное число пучков. Если атомы не имеют магнитного мо-
момента (скомпенсирован), то пучок не расщепляется, и на экране видна одна
единственная полоса.
Однако опыт показал, что в этом случае расщепление есть — появляются
две полосы. Объяснение этому было дано Уленбеком и Гаудсмитом, которые
высказали идею спина -— собственного момента импульса электрона. Наличие
двух полос определяется мультиплетностью состояния B5 4- 1 =2), откуда
должно было следовать, что s = — == max m5, т. е спиновое число ms = ± 1, а
максимальное его значение s = + -~; sz = %ms. Таким образом проекция спи-
спина на ось z принимает два значения %ms и — Йт
И»-!)
41.\xSz = gsSfltfiftts, где gs = 2 — спиновый g-фактор (gi = 1 —орбитальный
g-фактор, щ2 = ?7Ш1вт/, т/= 0, ±1, ... , ±/) \i gV&tn ±2Ш1
= ± Ш1б- Заметим: опыт показал, что спиновое гиромагнитное отношение вдвое
превышает орбитальное гиромагнитное отношение. Это обстоятельство и выра-
выражается во введении понятия ^-фактора: gs = 2; gi = 1.
42. Полный момент фотона (рис. 72) направлен либо по направлению дви-
движения, либо против. Полный момент фотона может быть только целым, так как
фотон — бозон. У безмассовых частиц вводится понятие спиральность частицы,
т. е. проекция собственного момента импульса на направление движения —
единственное выделенное направление. При этом если S ff р, то это — право-
спиральная частица, если S it P> то такая частица называется левоспиральной.
Gs p 43. На рис. 73 показано правило сложения мо-
* * ментов. Вектор полного момента j = s + 1 является
правоспиральный интегралом движения. Так же, как 1 и s, его проек-
проекция квантуется на выделенную ось z: jz = %Шр где
т} = ±/, ± (у — 1), ... (всего 2/+ 1 значений
^ j|_j *. проекции). При этом у = |/±s| = ' '
левоспиральный рис. 73 вектор j, как 1 и s откладывается в единицах
рис 72 Й. Магнитные моменты ц./ и \is откладываются в
единицах магнетона Бора 9Jtn- Т. о. длина вектора
|Л/ равна длине вектора 1 (gi = 1), а длина векторац5 равна удвоенной длине
вектора s (gs = 2). В результате направлениецсум не совпадает с направлени-
направлением j (угол а ^ 0). Поскольку j — интеграл движения, то все векторы прецесси-
руют вокруг направления j. Поэтому среднее значение цСум равно его проек-
т
2 " На

ции на ось j. Это вектор цу. Он и характеризует магнитный момент электрона
в атоме.
44. В вопросе 43 уже был дан ответ на этот вопрос. Запишем теперь это
|Ху = — #ffltBJ, где g — некоторое число, характеризующее величину угла
между направлениями векторов j и цСум- Величина ^-фактора
3
g
45. Набор из четырех величии, полностью характеризующих состояние ато-
атома, называется полным. Выбраны такие кван-
квантовые числа п, /, /, 2s + 1, где п — главное
квантовое число, / — орбитальное квантовое
число (максимальное значение проекции ор-
орбитального момента (вопрос 33)
в единицах Ш1б
Lz —
= 0, ±1, ±2, ... ±7), / =
(макси-
в единицах t.
мальное значение проекции полного момента
атома J г — ftntj, mj = 0, ± 1, ... ±у), 2s -j- I —
мультиплетность состояния, по которому
определяется максимальное значение спино-
спинового числа s. Заметим, что все это записано для
водородоподобных атомов, где один внешний
электрон определяет его состояние.
46. Так обозначаются численные значения орбитального квантового чис-
числа/. О, I, 2, 3,4,5, ...
47. Общий вид «терма» такой п25"*//. Примеры: 3 2si/2> 4 2^5/2 и т. п. Малы-
Малыми буквами принято обозначать состояние атома водорода. Для многоэлектрон-
многоэлектронных атомов используются заглавные буквы. Так, например, терм атома натрия
2F7/2 означает, что речь идет о
внешнем A1-ом) электроне, на-
находящемся в возбужденном со-
состоянии. Главное квантовое чис-
число п = 4, орбитальное квантовое /н
число / = 3, спин s = 1/2,
/ = / Н~ s = 7/2. Или возбужден-
возбужденное состояние атома гелия (два
электрона) описывается термом А/--1 AJ = 0 &J**l
3Su а основное lSo.
48. При излучении (или по-
поглощении) оптических фотонов атомом должны выполнятся строгие законы со-
сохранения полного момента JHa4 ± 1фот = JKOH (рис. 74) и четности
Лгач= ^фот'^кон- Поскольку для оптических фотонов El /фот^!' а
^ (-
= - 1, то из |/11ач--Лссш1 < -^фот < -Лгач + Леон получаем,
что А/ = 0; ± 1. Графически это выглядит как на рисунке 74. Поскольку чет-
четность состояния атома с одним внешним электроном определяется как
Р = ( — 1)L, где L — орбитальный момент атома, то получаем, что AL = ± 1.
При этом для проекций момента получаем Am/ = ±1,0. Если можно пренеб-
пренебречь спин-орбитальным взаимодействием, то получаются приближенные пра-

вила отбора: AS = О, т. к. электрическое дипольное излучение не связано с из-
изменением спина атома.
49. Состояние атома водорода с главным квантовым числом п вырожде-
вырождено, т. е. для одного и того же значения энергии Еп существует достаточно
много состояний с различными значениями Ins. Число таких состояний
подсчитывается по формуле N = 2 V B/ + 1) = 2п2. Это и есть кратность
/=о
вырождения. Вырождение частично снимается спин-орбитальным взаимо-
взаимодействием, которое не учитывалось при решении уравнения Шредингера
для атома водорода. Тонкая структура или спин-орбитальное взаимодейст-
взаимодействие возникает в связи с тем, что электрон, обладая собственным магнитным
моментом и вращаясь вокруг заряженного ядра, оказывается в магнитном
поле как бы вращающегося вокруг него ядра. В результате к известной
энергии, определяемой, например для водородоподобного атома главным
квантовым числом п, добавляется энергия AUis = — (ц$В/) = ±Шв^1 (мы
уже видели, что для одного электрона \л5= ±Ш1б>- Подсчет показывает
(см. вопрос 50), что ~f^ = a2as5-10~5 (в атоме водорода при п
1).
Здесь a = -г- & -ггу — постоянная тонкой структуры. Приведем небольшую
таблицу, составленную для водородоподобного атома. Из таблицы видно,
что спин-орбитальное взаимодействие снимает вырождение по орбитально-
орбитальному квантовому числу /. Спин-орбитальное взаимодействие приводит к тому,
что сохраняющимся вектором становится j, т. е. уровни надо перекласси-
переклассифицировать по /. Поэтому снимать вырождение по / это взаимодействие не
может по определению.
п
1
2
3
/
0
0
1
0
1
2
щ
0
0
0, ±1
0
0, ±1
0, ±1, ±2
s
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
j
1
2
1
2
1 3
Г 2
1
2
1 3
2* 2
3 5
2' 2
состояние
1*1/2
2i',/2
2Pl/2> 2Рз/2
3s1/2
3Pl/2> 3Рз/2
3</3/2> 3d5/2
e2 e2 1
50. t>i = —- = ac, где a = х- » т^г — постоянная тонкой структуры.
n ас 1 о 1
51. Исходя из того, что В# = -~ [v, г] легко показать, что В[ = ~. Поэтому
сг6 г\
eh
л-5
52. На рис. 75 показаны энергетические уровни атома водорода и излуча-
тельные переходы между ними. /С-электрон, находящийся в основном состоя-

нии с п = I. Переходы на К-оболочку из возбужденных состояний образуют
спектральную /С-серию линий Лаймана. Переходы на ?-оболочку дают серию
Бальмера. В более сложных атомах на /С-оболочке находятся два электрона с
противоположными спинами.
53. На рис. 76 изображена схема наблюдения продольного и поперечного
эффектов Зеемана. Источник излучения устанавливается между полюсами
электромагнита. Поперечный эффект наблюдается в направлении распрост-
распространения света, перпендикулярном полю В, продольный — в направлении век-
вектора В.
/z-4
н-3
и-2
м
L
К '
и
—rt
у
Бальмер
Лайман
-1,15эВ
- 3,4 эВ
-13,6 эВ
N
—J **
/
У
У
поперечный
эффект
л
1
S
-*- 11 ПОЛОЛЬНЫЙ
— эффект
Рис 75
Рис. 76
54. Простой эффект Зеемана наблюдается в так называемых «сильных»
магнитных полях. «Сила» поля характеризуется величиной магнитного рас-
расщепления в данном магнитном поле В: Ш^В. Эту величину надо сравнивать с
энергией спин-орбитального взаимодействия, которая легко оцениваетя. Так
возникает дублет натрия — две близких спектральных линии Xi = 589,6 нм и
к2 = 589,0 нм.
Поэтому AUis = Йо>1^2
вие наблюдения простого эффекта — надо взять такое поле
Ш^В^> AVis. Тогда при наблюдении перпендикулярно
полю (поперечный эффект) будут наблюдаться три линии
(рис. 77), соответствующие изменениям орбитального
квантового числа тд: несмещенная линия Ат^ = 0 (я-ли-
ния) линейно поляризованного вдоль поля В излучения и
две смещенных линии с AmL = ± 1 (о-линии) линейно
поляризованного перпендикулярно полю В излучения.
еВ
Усло-
чтобы
-Дсо со а> +Асо
При этом Аса =
Интенсивность Jt-линии
Рис- 77
% 2тес'
вдвое больше интенсивности каждой из а-линий. При на-
наблюдении вдоль поля будут видны две смещенные а-линии с Ат^ = ± 1 поля-
поляризованного по кругу излучения (одна лево-, другая — правополяризованная).
Их интенсивность будут равны и составлять половину интенсивности исход-
исходной линии.
55. Сложный эффект Зеемана наблюдается при таких полях, что
ШъВ<&: AUis. Такие поля называются «слабыми». На рис. 78 изображена схе-
схема расщепления дублета Na в слабом магнитном поле. В соответствии с прави-

лами отбора наблюдаются 10F+4) линий (вместо двух), т. е. снимается вы-
вырождение по ]. Частоты линий определяются по формуле:
<*>0
- Яниж™/ ниж) =
*ty2-
g-4/З
32Р
1/2-
1/2
jg-2
32S
Дублет Na в
отсуствие поля В
3/2
1/2
-1/2
-3/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
2
2/3
-2/3
-2
1/3
-1/3
1
-1
Рис. 78
Рис. 80
56. Основное состояние xSq. Поместив в поле В атом гелия, его можно пере-
перевести в возбужденное состояние 3?j (S = 1; L = 0; / = 1) — с параллельными
спинами (рис. 79).
: 2Ш1БЛ, откуда В =
1,7 • 109 Гс.
Рис. 79
57. Расщепление спектральных линий в маг-
магнитном поле, наблюдаемое в эффекте Зеемана, воз-
возникает в результате квантовых переходов между
подуровнями различных расщепившихся уровней.
- Спонтанные переходы между подуровнями одного
и того же исходного уровня маловероятны. В отсут-
отсутствие магнитного ноля оптические переходы между
уровнями тонкой структуры для одноэлектронного
атома запрещены законом сохранения четности: они все имеют одинаковую
четность и излучение (поглощение) фотона El запрещено. Но разрешено из-
излучение магнитодипольного фотона Ml. При этом как для перехода
2pm~* гР\12> так и для перехода гР\1г-*2Зцг А5 = 0 (рис. 78). Но первый за-
запрещен для фотонов Е\9 а второй дает линию в желтом дублете натрия. Анало-
Аналогично и переходы между подуровнями, возникающими в магнитном поле,
уровней 2Рз/г> 2Рцг и 2&Ц2 запрещены для фотонов Е\9 но разрешены для фо-
фотонов магнито-дипольных (Ml). Именно это и осуществляется в магнито-резо-
нансных экспериментах. Переходы происходят под воздействием достаточно
сильного внешнего электромагнитного излучения, энергия квантов которого
(частота) равна энергии (частоте) переходов между компонентами уровня
90

58. Векторная модель ЯМР изображена на рис. 80 для положительной
частицы (протона). Уравнение прецессии для гироскопа L= IQ L] = М. В
данном случае прецессирует вектор J полного момента протона вокруг век-
вектора поля В. При этом J=[fiB]=—f^-glJB], где магнитный момент
j= -
gj. Изменив порядок в векторном произведении, запишем
= [Q J] (вспомните формулу прецессии гироскопа). В
нашем случае Q = — *дБ В — угловая скорость прецессии механическо-
механического (и магнитного) момента вокруг поля В. Если теперь нашу систему поме-
поместить в переменное магнитное поле В' (см. рис. 80), перпендикулярное век-
векторам В и J, то возникнет прецессия, угловая скорость которой Q направ-
направлена против вектора В'. При совпадении частот Q и Q' спин
опрокидывается. Это и есть резонанс. Таким образом, Шрез = ?Я&яд вВ.
59. Яя = />41/3, где г0 = A,2 ч- 1,4) • 10~13 см.
60. ?CB(z, A) = [zmp + (A — z)mu — M(z, A) ]c2, где M(z, A) — масса яд-
ядра, z — число протонов, А — z — число нейтронов, выражение в квадратных
скобках называют дефектом массы.
61. тр&тпъ 1,67- 1СГ24 г; те « 9,1-10~27 г, трсг& 938 МэВ; тес2ъ
^0,5И МэВ; тпс2ъ 940 МэВ; 1 а. е. м. » 1,66-10"4 г (931,5 МэВ).
Атомная единица массы —• это усредненная единица для расчета массы яд-
ядра, учитывает дефект массы (энергию взаимодействия нуклонов в ядре);
1 а. с м. =Лл/AбС).
62. ECb(z, А) = г [А -
•+• 1, если Аи z — четные;
где 6 = 0, если А — нечетное;
— 1, если Аи z — нечетные.
Коэффициенты ?ь ?2, ?4» ?5 — запоми-
запоминать не обязательно, но они имеют энергию
порядка 20 -*¦ 30 МэВ. Величину этих коэф-
коэффициентов (?] — объемного, ?2 — поверх-
поверхностного, ?4 — изотопического и ?5 — спи-
спинового) можно оценить. Это порядок энер-
энергии нуклона, локализованного в объеме яд-
2
ра: Ар Ад: — Й; Ар — р, Ах — /?Яд, откуда ? = -%— ^
Мэ]
' нуклон
8,8
56
Рис
10 МэВ (какэнер-
д
гия связи). А вот ?з сильно отличается от остальных, это кулоновская энергия
взаимодействия двух протонов на расстоянии радиуса ядра: ?з — -~ 1 МэВ.
63. На рис. 81 изображена требуемая зависимость гсв(А). Довольно оче-
очевидно, что при А < Аре = 56 выгоден синтез ядер, поскольку ?св растет с А, и
выгодно деление ядер при А > 56, поскольку с ростом А в этом диапазоне ?св

падает. Так при делении ядра 92U выделяется энергия в виде кинетической
энергии осколков деления и двух-трех нейтронов. Полагая для оценки, что яд-
ядро делится напополам, получаем ?дел » (8,4 — 7,6) -240 « 200 МэВ, где
8,4 Мэв/нуклон — энергия связи осколков деления при А ^120, а
7,6 МэВ/нуклон — энергия связи ядра 235U.
64. 1. Р'-распад: \и — |Не + е~ -Ь ve.
2. Р+-распад: "с — ^В + е+ + ve.
3. К-захват: ^Ве + е" —- \\Л + ve.
Типичный пример Р"~-распада — распад нейтрона п —* р + е~ 4- ve.
65. Дело в том, что нейтрино ve может быть только
левоспиральным, а антинейтрино ve может быть только
правоспиральным (см. вопрос 42). Спин же электрона ра-
равен 1/2, тогда как его проекция может быть как + 1/2, так
и —1/2 (т.е., говоря тем же языком (говорить так нель-
нельзя!), электрон может быть как лево-, так и правоспираль-
правоспиральным). Слабое взаимодействие (признак «слабости» — на-
наличие нейтрино (антинейтрино)) нарушает закон про-
пространственной четности. Опыт, проведенный в 1957 г.
мадам By показал следующее. Рассматривался распад
ядер 60Со: 60Со — 60Ni + е~ + ve Спин ядра кобальта-60
/ = 5. Спин ядра 60Ni 1 = 4. Препарат кобальта, напылен-
напыленный на подложку помещался во внешнее поле В, перпен-
перпендикулярное пластине. При температурах Т «с 1 К ядра вы-
выстраивались, ориентируя свои спины по полю. Наблюда-
Наблюдалась существенная асимметрия при фиксации
вылетающих электронов (над пластиной и под ней). Объ-
Объяснение заключалось в том, что в соответствии с законом
сохранения импульса и момента импульса возможен вы-
вылет электронов только вниз (на рис. 82), поскольку антинейтрино бывают
только правоспиральными. Обратная ситуация невозможна. Даже если бы
электрон вылетел вверх, то тогда бы антинейтрино должно было по закону
сохранения импульса вылететь вниз и стать левоспиральным, что невоз-
невозможно (это уже другая частица — нейтрино).
66. dN = —kNdt> где JV(tf) — число радиоактивных ядер в момент вре-
времени ty к — вероятность распада в единицу времени (постоянная распада),
т = 1Д — время жизни ядра. N(t) = Woe""*'. Период полураспада Тцг —
время, за которое число радиоактивных ядер сокращается вдвое, т. е.
^ = Noe-W*, откуда Тщ - ^ = х In 2. ,
67. При а-распаде радиоактивное ядро сбрасывает избыток энергии,
выбрасывая а-частицу строго определенной энергии (и только), а-распад —
задача двух тел. Имеем два неизвестных (импульсы дочернего ядра и а-ча-
стицы) и два уравнения сохранения (импульса и энергии). Решение систе-
системы уравнений однозначно, т. е. спектр дискретный.
Примеры: 2g4Po — 2$РЬ + а или: 2ЦКа — 2g6Rn + а.
92

При р-распаде кроме электрона (позитрона) излучается неконтролируе-
неконтролируемое нейтрино (антинейтрино). Здесь неизвестных уже три (плюс импульс
нейтрино), а уравнений по-прежнему два. Получаем систему уравнений,
имеющую много решений. Поэтому энергетический спектр излученных
электронов — сплошной. Но естественно, электрон не может унести энергии
больше, чем разность масс нейтрона и протона.
68. Если X » Ля, т° tfynp = 4л;Ля («обтекание» волной всей поверхности
ядра). Если к<*?ЯЯу то аупр = 2л/*!, где коэффициент «2» из-за дифракци-
дифракционного удвоения сечения (подробнее об этом см. в задаче 8.3 «Сборника за-
задач по общему курсу физики», часть 3, иод ред. В. А. Овчипкина).
69. Если записать подробно, то о & о?}$$Пр • D, где максимальное сече-
сечение определяется по формуле Брейта—Вигнера: о[^Пр = пкг = -^. А коэф-
4k , VbnF ,, 1
фициент прохождения D я& -р-, где к = —г—, к' = -г ч/2т(Е + Uo) (Е —
энергия нейтрона, Uo — глубина потенциальной ямы-ядра). Таким образом,
4л 1
a ss —— а —, где v — скорость нейтрона.
70. оЗйр=^ = ^г = 4п*2; off^np = -^ = ^ = ^2- Под упругим здесь
понимается процесс: а + Х —- С* —- а + X, под неупругим — процесс:
а -I- X —* С* —* b + Y, где а и b — частицы, X и Y — ядра, С* — составное
(возбужденное) ядро.
71. D + D|r ,
[Н + п + 3,3 МэВ
72. Для медленных нейтронов, длина волны которых A»rf — периода
кристаллической решетки вещества сосуда, справедливо выражение
У?
п1 = 1 2~, гДе п ~~ коэффициент преломления нейтронной волны,
Xrp = V-j^-» N — концентрация ядер материала сосуда, а — «длина рассея-
рассеяния» — некая табличная величина, характеризующая рассеяние медленных
нейтронов данными ядрами, точнее а=— lim/@), где /(9) — амплитуда
рассеяния, и а должна быть больше нуля. При X > X™ (v < игр = —г—) ней-
WArp
троны отражаются от поверхности. Типичные значения скоростей УХН —
несколько м/с.
73. n + 92U —» ^2U + y; далее распадается нестабильный изотоп
ft— R—
урана~239: 92U —> ^?Np —»- ^Pu. Периоды полураспада последних про-
процессов равны соответственно 25 мин и 2,3 мин.
74. Речь идет о возможности резонансного поглощения невозбужденным яд-
ядром железа v-кванта, излученного, скажем, радиоактивным (возбужденным)
ядром 2бРе« Если рассматривать изолированные ядра, то это невозможно, по-
поскольку энергия отдачи ядра при излучении им у-кваита.(Еу & 14 кэВ),атакже
93

при поглощении ядром его Тяд = {^—т ^2-10 3 эВ » 6# ^ 6 • 10 9 эВ — ес-
2МЯдС
тественной ширины линии излучения. Однако, если ядро-поглотитель не изоли-
изолированное, а находится в кристалле, то такое поглощение возможно.
75. Возможно, потому что энергия отдачи Т = —~г~ 10"8 эВ <и мень-
меньше) чрезвычайно мала по сравнению с естественной шириной линии, кото-
которую легко оценить по среднему времени жизни атома в возбужденном со-
состоянии t~ 10"~8 с, т. е. У—- — 10~7эВ.
76. Геометрическое сечение оо^пгЪ, гб~ 1 А. Сечение поглощения в
центре резонансной линии определяется формулой Б рейта—Вигнера
аРез = п%2 (неупругий процесс). Таким образом, ^^ = -j = \-~—1 ~ Ю6,
где Я ?* 6000 А (желтый дублет натрия).
77. е~, ve; |Л~, v^; т"\ vT. У электрона, мюона и таона, а также их ней-
нейтрино ve, v^ и vt лептонные заряды Le, /^ и Lt равны 1. У их античастиц
заряды равны — 1. Распады т-лептона и мюона осуществлятюся по схеме:
т" —* \л~ 4- vK 4- vx, |x~ —* е~ + ve 4- v^.
78. Адроны — это частицы, участвующие в сильном взаимодействии. Одна-
Однако они участвуют и в трех других взаимодействиях (электромагнитном, слабом
и гравитационном). Они и только они имеют кварковую структуру. Все адропы
подразделяются на две группы: 1) барионы (трехкварковые частицы); к ним от-
относятся прежде всего протоны р и нейтроны п, а также гипероны; 2) мезоны
(двухкварковые частицы); к ним относятся, например, пи-мезоны: л* и тс°.
Кроме того, возможно существует недавно открытая (?) пятикварковая части-
частица — нейтральный барион, «пентакварк» состава (uddcc). Каждому адрону
приписывается барион ный заряд В. Бариоиы имеют # = 1, мезоны В = 0. Неад-
роны, т. е. все прочие частицы (лептоны и кванты взаимодействий W±, Z°, 7»
глюоны), также не имеют барионного заряда.
79. Понятие странность, как заряд, возникло при развитии физики высо-
высоких энергий. Были обнаружены многочисленные частицы — как гипероны,
так и мезоны, — которые вели себя «странно». Их время жизни было неожи-
неожиданно большим ( ~ 10~0 с) но сравнению с ядерным временем Ю*3 с — вре-
временем жизни так называемых «резонансов». Для объяснения такого различия
было введено новое квантовое число, которое сохраняется в сильных и электро-
электромагнитных взаимодействиях, но нарушается в слабых. Обычно странные час-
частицы рождаются в сильных реакциях, а распадаются в слабых. Странность
приписывается таким частицам: Л, 2, S, Q-гипероны и К-мезоны. В кварко-
вый состав странных частиц входят странные кварки s и s.
80.
1
и
d
II
с
S
III
t
b
Электрический заряд
94

81. a v ,i\A Наиболее вероятные переходы отмечены здесь сплошны-
Jr*\>\, ми стрелками.
82. р = (uud); n = (udd); л+ = (ид); п" = (Ы); п° = (гш) = (dd);
А++ =• (иий); Д~ = (сГсГе/); Q" = (sss).
83. Бозоны — частицы с целым спином (подчиняющиеся статистике
Бозе—Эйнштейна). Фермиоиы —- частицы, подчиняющиеся статистике
Ферми—Дирака — частицы с полуцелым спином. Бозонами являются все
частицы-переносчики взаимодействий: фотоны переносят (обеспечивают)
электромагнитное взаимодействие, л-мезоны — ядерное взаимодействие
нуклонов, W±-6o30Hbi — слабое (и сильное) взаимодействие. Все барионы и
лептоны — фермионы.
84. 1)
2)
3)
4)
Л-
(Л
95

Строение вещества
1. Абсолютно черным телом называется тело, имеющее коэффициент по-
поглощения излучения А — 1. Наиболее близко к АЧТ приближается вакууми-
рованная полость, стенки которой имеют постоянную температуру Т.
2. Если ввести спектральную плотность потока энергии излучения АЧТ
/г (<*>) с размерностью —~—^Г и интегральную плотность потока j(T) с раз-
оо
мерностью , (j(T) = [ /r(w) d<o), то закон Стефана—Больцмана утвер-
ссм2 3
ждает
/(Г)-оГ4.
где а = 5,67* 10~5 ^—т — постоянная Стефана—• Больцмана.
с-см2-К4
3. Если ввести плотность эиер-
Рг ¦ гии равновесного теплового излуче-
излучения в полости р(Т) \^п\ (иногда
обозначают как и(Т) — внутренняя
энергия единицы объема фотонного
Рис.83 газа), то тогда
где а — некоторая константа, которая выражается через постоянную Стефа-
Стефана— Больцмана а в соответствии с формулой / = ^р т. е. а == —.
А. Соответствующие кривые изображены на рис. 83. Заметим, что
[см^-с]
рт(<х>) зависит от температуры. Чем выше температура, тем больше пло-
площадь под графиком рг(<о). причем отношение площадей есть (Т2/Т\L —
закон Стефана—Больцмана.
5. По существу ответ на этот вопрос очевиден, если взглянуть на рис. 83.
Максимум рг(<*>) смещается с температурой АЧТ: а)тах ^ 2,82 -г-; Хтах = ~f>
рг(оо) имеет размерность ^рг . Положение максимума функции
[см^с]
2жс
где Ъ = 0,2898 см-К. При этом comax s*= т— (эти максимумы не соответствуют
Друг другу численно). Максимум по длинам волн Xjnax (соответствующий
ч 0,51
оотах) равен примерно —=-у т. е. почти вдвое правее.
6. Количество энергии, излучаемой телом, пропорционально его коэф-
коэффициенту поглощения (чем больше тело поглощает, тем сильнее излучает).
Если поток энергии, излучаемой телом равен Физл, а поток энергии, излу-
96

чаемой АЧТ, ФдггГ' то Физл = -<4Фдцт> гДе А — коэффициент поглощения
(абсорбции).
7. 7>(со) = ^Ц;—; И?) ~ ^ л С- Соотношение напоминает формулу для
2 — числа ударов молекул за 1 с об 1 см2 поверхности сосуда Iz == "Т") в усло-
условиях установившегося теплового равновесия.
8. dN = 2-dVk'^% где dVk = 4л*2dky fc = -. Тогда dN = V^-^ =
BлK с Л2
= V —2^- (Релей—Джине).
9. Речь идет о распределении Планка /G\ со) = ы1кТ . Число фотонов
в этой моде равно /(Г, со) dN = V
10.
w ^
И. р(Г) - «(Г) = J pr(co) rfco =
Поскольку f(T) = ^-т— = оТ4у где о = j~2 *~" постоянная Стефана—
Больцмаиа (см. вопрос 2).
12. Ср = оо, поскольку изобарный процесс с фотонным газом является
также изотермическим. Уравнение адиабаты PV4^ = const.
13. Рсв = ^ Т4 « 4,6-1017 S? » 4,6-1011 атм;
Зс см2
;7-101Оатм.
14, — » 0,9 ^Зй. Для оценки считали, что масса человека Л/ » 70 кг; его
площадь поверхности 5 = 1 м, с = 4,2 ^=т — теплоемкость человека оценива-
оценивается равной теплоемкости воды.
Если Ф — мощность, выделяемая человеком, то уходящее посредством из-
излучения через скафандр тепло оцениваем так
Остальное идет на нагрев человека. За время Д*:
(Ф - Фуход) At = [Q - A - z)SaT4] At = Me AT,
откуда
10_з?рад^ град
с час
Me с час

15. R ?> к = —, где п — концентрация реликтовых фотонов.
V-4jck2dk со2
Концентрация фотонов
"i
B*K
°° 2
[ X dx
V.
^3 ¦
16. D^^i± = 15,5 км, где 7»^= 1,45-107 К.
—= 2,5-1025cm.
/га
17. —- = fc ,. у = < /г > — среднее число фотонов, возбужденных в
и>21 еЬы1кГ — 1
данную NOfly колебаний от со до ш + rfco.
18. Вероятность индуцированного излучения всегда пропорциональна
числу состветствущих фотонов, имеющихся в моде колебаний внешнего излу-
излучения. Индуцированные фотоны когерентны внешнему излучению, т. е. их
фаза, частота, поляризация и направление распространения в точности соот-
соответствуют фотонам, вызвавшим индуцированный переход.
19. Используются искусственные кристаллы рубина (AI2O3 с примесью
около 0,05% ионов Сг+++). На рис. 84 изображена трехуровневая энергети-
энергетическая схема лазерного излучения. Ксеноповая импульсная лампа накачки
переводит ионы хрома в короткоживущие возбужденные состояния (широкие
полосы поглощения) Е3 и ??4> откуда без излучения ионы хрома переходят в со-
состояния ??2а или /?2б (посредством передачи энергии кристаллической решет-
решетке). Это метастабильные уровни с относительно большим временем жизни
т. ~ 10" с. Далее происходит излучение 6934 и 6943 А (дублет).
W////////////////%>
j
j
накачка
N
4 V ¦
6934 6943 Л "l
Рис. 84
Зона Бриллюэна 3 к
Рис. 85
20. co(K)=2V? sin^-
, (рис. 85), где М — масса атома, а — период
цепочки, у — коэффициент упругости межатомной связи. Первая зона Брил-
Бриллюэна — область значения К, при которых колебания физически отличаются
друг от друга. Это К € — -; Н- — . (А вообще зона Бриллюэна — это любой
отрезок длиной 2л/а).
98

21. Дебаевское приближение состоит в замене истинного закона диспер-
дисперсии звуковым» который справедлив только в приближении Ка<? I, что соот-
соответствует длинным волнам, когда дискретность цепочки уже не важна. Если в
законе дисперсии со (К) (вопрос 20) Ка<? 1, то тогда со (К) = а\1Г7 к = sK*
где через s обозначена фазовая скорость продольной звуковой волны, распро-
распространяющейся по цепочке. Для света аналогичный закон дисперсии со = ck.
Если теперь «спрямить» синус в выражении для со (К) вплоть до границ зоны
Бриллюэна (к = ±—), тр тогда (см. рис. 85) эта прямая со = sK отсечет на
графике значение частоты wD = s — = п V-*r > согаах. Эта частота и называет-
называется дебаевской. Заметим, что совпадение сод с созв (К = —) — чисто случайное,
имеет место только в одномерном случае. Подробнее о дебаевском приближе-
приближении см. вопросы 30 и 31.
cos -г- = 0. При этом фазовая скорость зву-
Гу~ sin КаП
1 УМ Ка/2
•< 0,64
где A'max = a Vjj
макси-
максимальное значение фазовой скорости при К = 0.
23. На рис. 86 изображена требуемая зависимость со (К):
4 sin2 Kg
тМ '
где 7 — коэффициент упругой связи между
соседними атомами разных масс в цепочке,
\к — приведенная масса, знак «+» соответст-
соответствует оптической ветви со (К), знак «—» —
акустической ветви. На оптической ветви в
области малых К смещение атомов подре-
шетки с массой атомов т относительно под-
решетки с массой атомов М происходит в
противофазе, а на акустической ветви — в
фазе.
24. При движении по зоне Бриллюэна от
центра к краю в акустической ветви вначале
атомы колеблются в фазе, а затем легкие ато-
атомы начинают торможение и на границе зоны
со(Ю
оптическая
2а
К
Рис. 86
\к = ^-1 колеблются только тяжелые. Наоборот, на оптической ветви на гра-
границе колеблются только легкие, а тяжелые неподвижны. Таким образом
Й
* 3".
—' ^опт"
т

Отсюда искомое отношение
*ак _ т у/2у/т __ ПгГ
~2 М V2v/M Ш
25. Якрист = -j- и, что следует из закона Брэгга—Вульфа, где d — межпло-
скостиое расстояние в кристалле, т. е. расстояние между параллельными пло-
плоскостями в направлении нормали (биссектрисы) падающего и отраженного лу-
лучей, п = 1, 2, ... . Импульс станет наименьшим, если rf#= rfmax = # — период (в
кристалле с простой кубической решеткой). Импульс в этом случае направлен
вдоль ребер куба. Этот импульс не возбуждает колебаний кристаллической ре-
решетки и воспринимается кристаллом в целом.
26. Колебания происходят синфазно (смещение как целое), если
Un = Um> где пит — произвольные номера атомов в цепочке
Un (t) = uQ exp (iKan - Ш); Um (() = Uo exp {iKam - Ш).
При Un = Um возникает уравнение eiKan = eiKam или Ka(n — т) = 2п/,
где n, m, / = 1, 2, 3, ... . Отсюда следует, что /С„' = — п\ где и' = _^ то-
тоже целое число (всегда найдется много таких /, что п — целое). После домно-
- 2xh
жения на п последнего равенства получаем р = п.
27. Квант акустических колебаний называется фононом: Е = Йоо,
р = ЙК. При этом импульс р фонона называется квазиимпульсом. А сам
фоном — это квазичастица. Квазичастицы появляются из необходимости за-
замены слабых возбуждений сложной системы сильно взаимодействующих
частиц идеальным (точнее — слабо неидеальным) газом «квазичастиц». По-
Последние могут не иметь ничего общего с исходными частицами. Так фоно-
ны являются бозонами независимо от того из каких частиц (бозонов или
фермионов) построена решетка.
28. Импульс квазичастицы (фонона) называется квазиимпульсом. Необ-
Необходимость введения квазиимпульса есть следствие нахождения в периоди-
периодическом поле, где нет симметрии по отношению к сдвигу на бесконечно ма-
малый вектор, т. с. введение понятия обычного импульса невозможно. Поэтому
возникает «уродец» — квазиимпульс: трансляционная симметрия есть, но
она неполная, ее не хватает на введение настоящего импульса. Поскольку
импульс, воспринимаемый кристаллом в целом (см. вопросы 25 и 26), рав-
ный Ркрист = и> "е соответствует колебаниям решетки, то фононы с та-
таким импульсом не существуют. Отсюда следует, что импульс фонона всегда
ограничен: |р|< —Й. (Если, допустим, появился фоион с импульсом
\р\ >~~Н, то вычитанием из него величины, равной п, мы «приводим»
импульс фонона в первую зону Бриллюэна). Заметим, что фононы в жид-
жидком 4Не могут иметь и настоящий импульс (в жидкости есть настоящая
трансляционная инвариантность и можно ввести понятие импульса).
29. На рис. 87 изображен график зависимости теплоемкости кристалличе-
кристаллической решетки, состоящей из N атомов, от температуры. При температурах
100

Cyi
3kBN
Закон
| Дюлоига-Пти
T > 0 — температуры Дебая теплоемкость кристалла постоянна и равна
(при JV = #А молярная теплоемкость равна 3R) — закон Дюлонга—Пти (сле-
(следует из классического закона о равнораспределении энергии по степеням сво-
свободы). При низких температурах Т <sc 0 теплоемкость трехмерного кристалла
пропорциональна Т3. Надо также по-
помнить, что для твердых тел Ср ъ CVl при-
причем для кристаллических твердых тел
СР — Су -> 0 при Т -» 0, как Т1.
30. Кристалл представляет собой си-
систему из N упруго связанных друг с дру-
другом атомов, обладающих ЪИ степенями
свободы. Для решения задачи о теплоем-
теплоемкости кристалла истинный спектр заме-
заменяется линеаризованным, а это приводит к появлению предельного волново-
волнового числа Ко и соответственно частоты сод. Дисперсионная зависимость
со (К) линеаризуется также как для одномерной цепочки (вопрос 21)
со = sK, где s = const — скорость звука.
31. Пусть в кристалле объемом V содержится N атомов. Тогда полное число
нормальных колебаний (возможных состояний фононов) равно
i
e
Рис. 87
<2яK BлK
откуда следует
6я2—, т.е. KD = Fл2пI/3. Поскольку
i то
a>D = s (вкЬг) *'3 — максимально возможная частота фонона в дебаевском
приближении.
32. Энергия фонона с максимальной частотой сол: йсо^ = ?Б0, откуда и
определяется дебаевская температура 0. На рис. 87 показано, что дебаевская
температура в законе С (Г) приблизительно соответствует моменту перехода к
закону Дюлонга—Пти (в процессе повышения температуры кристалла). По-
Поскольку сод = sKD = sFn2nI/3, то 0 = Y~Fn2nI/3.
33.
Bз1K
BяK
34. По формуле Планка /(со) = -
1
35. U(T) = ^ dN(a>) -/(со) ^со =
о
СО/)
Йсо
dT
^, то тогда Ск == 9Nkb I -s*
(см. вопросы 27 и 28).
г со а со
(см. вопрос 35). Если обозначить
г. График этого выраже-
Sttfl

ния и был приведен на рис.87. При этом при Т->0 Су(Т) &
( \3 / \3
5 1в) I9у
37. Из формулы для теплоемкости кристалла при низких температурах
/ \1/3
Uv = т Л ^ь -тт следует, что 5 = —г- -z^— =2,7-10° см/с, 0 =
«Si _ «Si
З9.?„ах = ftft>D = *Б9 = 3,2-10 эВ;
^f C*V'3= 1.608-10-» ift.
э 3
й = 234 ^^ f^) = 3,83 • 103 Щ = 0,383 -^.
40. С » 234JVfeB й 23 f^) 3,83 10
41. Я (Л) =z Е0 — 2А cos fca. В модели сильной связи рассматривается элек-
электрон на одномерной бесконечной цепочке, представляющей собой периодиче-
I
Е(к)
'25
Рис. 88
Рис. 89
скую последовательность прямоугольных потенциальных ям, расположен-
расположенных, как и атомы, на расстоянии а друг от друга. При этом электрон достаточ-
достаточно сильно локализован в одной из ям и существенен его перескок только в со-
соседние потенциальные ямы. Это и приводит к такому закону дисперсии. Для
2 ^2^2
электрона, действительно свободного, Е(к) =-г— = -г—. Если отобразить
указанную зависимость на графике (рис. 88), легко видеть, что вблизи значе-
значений kzzO (ka <cl) указанная дисперсионная зависимость близка к параболи-
параболической
\2т*)
, где т* — эффективная масса (см. вопрос 42). Это означает, что
в области малых значений ка (область длинных волн и электронов малой энер-
энергии) такие электроны «не чувствуют» кристаллическую решетку и закон дис-
дисперсии остается квадратичным.
№

'42. Эффективной массой электрона в случае одномерной цепочки назы-
называется скалярная (вообще — тензорная) величина т* = Н2 \—Н =
4-2 +2
= х » - (при значениях ка<? 1). Введение понятия эффектив-
2Ла2 cos ка 2Ла2 VV
ной массы имеет смысл, строго говоря, только вблизи экстремумов к = 0 и
fc = ± л;/л. В промежутке использование этого соотношения незаконно и но-
носит в лучшем случае качественный характер. Если на электрон действует
внешняя сила F, то ускорение электрона определяется полной силой: внеш-
внешней силой F плюс силой со стороны решетки. В тех случаях, когда внешняя
сила мало меняется на длине постоянной решетки д, можно усреднить
уравнение Шредингера для электрона по периоду решетки и получить урав-
уравнение движения во внешнем поле с эффективной массой т* (но только
р
вблизи значений ка<з& ]). Таким образом, ускорение я = —-, при этом эф-
т*
фективная масса т* зависит от того, в каком месте зоны Бриллюэна нахо-
находится электрон. Другими словами: внешняя сила равна не производной им-
импульса, а квазиимпуса электрона (p = fik = m*v). График функции
h2
т*(к) = ^ приведен на рис. 89. Представленный график т*(к)
2Аа cos ка
может быть объяснен как с корпускулярной, так и с волновой точки зрения.
Пусть под действием постоянной внешней силы электрон движется по пус-
пустой зоне. Пока ка мало, то сила со стороны решетки почти не оказывает
воздействия и электрон ускоряется (на волновом языке Хдб «т»а, и элек-
электронная волна не отражается от атомных плоскостей). При этом эффектив-
эффективная масса почти неизменна и примерно равна массе свободного электрона.
С ростом ка сила со стороны решетки (тормозящая сила) растет, и при
к = 2~ ускорение электрона прекращается, его скорость достигает максиму-
максимума, а эффективная масса становится бесконечно большой, т. е. силы со
стороны решетки уравновешивают внешнюю силу (на языке волн при
^¦дБ — 4а отраженная волна составляет значительную долю падающей, и
групповая скорость достигает максимума). При дальнейшем движении тор-
тормозящая сила решетки становится отрицательной (т* < 0) (на волновом
языке цоля отраженной волны становится близкой к единице). Наконец при
к = — скорость частицы обращается в ноль и электрон останавливается, ус-
ускорение (замедление) максимально (на волновом языке при Хдб == 2а насту-
наступает брэгговское отражение, коэффициент отражения равен 1, волна из бе-
бегущей становится стоячей — групповая скорость обращается в ноль).
43, N = 2 1, где Vk = - л/$, откуда к\ = Зл2 —. Таким образом,
= Ц3п2пI/3; eF = —% (Зл2/!J'3.
2пг*
103

44. /(е) = -^ , где \л — химический потенциал электронного газа. Гра-
фик распределения Ферми—Дирака приведен на рис. 90. «Ступенька» соот-
соответствует нулевой температуре (Т = 0 К). Величина «размывания» пропорци-
пропорциональна температуре. Величина энергии Ферми ~ 10 эВ, что соответствует
температуре ~~ 105 К. Таким образом, даже при комнатной температуре вели-
величина «размытия» ступеньки ничтожна. Такой
электронный газ называется вырожденным.
fjff 45.T=t?f-
t46. Поскольку электронный газ вырожден, то
подведение тепла к кристаллу воздействует лишь
^ на малую долю электронов, равную —^— Таким
к*г
Рис. 90 образом, теплоемкость Сэл ос Nk^ , т. е. теп-
Ср
лоемкость пропорциональна температуре Т. Точ-
я2 к\т
ное выражение Сэл ~-=- N .
Z Ер
dk
49. епрОв = — (-А 4- ер) = — 10,1 эВ, где работа выхода Л = — = 4,63 эВ;
eF = -^ A2л2J/3 = 5,47 эВ.
50. Поскольку теплоемкость кристалла в этой области температур опреде-
ляется электронами, то Г = Д|—^— _^^—- = 0,144 К, где ni\ и /П2 — массы
атомов серебра и золота.
51. 8р = 5—уз^^»1эВ- Здесь следовало воспользоваться тем, что
2ms *4
?р= (Зл^еI^3; /Си = Fя2пат) ^3. При этом концентрация пе электронов в
первой формуле равна концентрации атомов пат во второй.
52. m*v = ёВ. 4- FTp, при этом Ртр = х\\ — сила вязкого трения. Введем вме-
вместо коэффициента вязкости г\ параметр времени х таким образом: т| = —. Тог-
да уравнение движения электрона запишется так m*v = еЕ v. Для уста-
установившегося движения электрона v = 0. Откуда v = -^ Е = [хЕ. Таким обра-
m
104

зом, подвижность электрона \х = —. Поскольку плотность тока j = nev, то тог-
т
да получаем j =
Е = оЕ, где о = удельная проводимость металла.
т* т*
Очевидно также, что о = пе\л.
53. Электроны в полупроводнике, как и в металле, описываются распре-
распределением Ферми—Дирака. Величина / всегда меньше единицы. Поскольку
ширина запрещенной зоны А » къТ (А ~ 2 эВ), то тогда и е — jjl » квТ, по-
поэтому
/(е)=—^—<
Фактически электроны в зоне проводимости распределены по Больцману.
График этой зависимости приведен на рис. 91. Здесь указано, что энергия
«дна» зоны проводимости ес = 0, химический потенциал |х < 0; энергия «по-
«потолка» валентной зоны ev < 0. Газ дырок в валентной зоне также не вырожден,
как и электронный газ в зоне проводимости.
54. Для единичного объема полупроводника (V = 1 см3) число состояний
электронов для волнового числа от к до к + Aк равно
dn(k)
Тогда концентрация электронов в зоне прово-
проводимости
•/(е) =
В принципе для интегрирования надо бы пе-
к2%2
рейти к одной переменной, например, е = .
2т*
При этом пределы интегрирования по е: от 0 до <». Ответ:
ес=0
Рис. 91
_ = 2
где Q- — величина, называемая статистическим фактором зоны проводимо-
проводимости.
Концентрация дырок в валентной зоне при указанном выше положении
нулевого отсчета энергии (ес = 0) определяется аналогично
п+ =
ехр -
55. Поскольку в собственном полупроводнике п+ = п_, то из этого равен-
равенства следует
А
2
Q-
105

Очевидно, что при Т = 0 [л@) = — у» т. е. уровень Ферми находится посе-
посередине запрещенной зоны.
56. Как следует из ответов на вопросы 54 и 55,
д д
п+п- = Q+Q-e~l^ry т. е. щ = у/Q+Q- e~2kjr
или nf = я+п_ — это соотношение и называется «законом действующих масс».
Очевидно, что п} не зависит от числа и вида примесей и не зависит от положе-
положения уровня Ферми в зоне проводимости
57. При температурах, таких, что къТ & Ед «: А электроны в зоне про-
проводимости исключительно донорного происхождения. При низких темпера-
температурах концентрация электронов в зоне проводимости п- = у/Q-iid е~"гк?т.
Поэтому график п-(Т) в указан-
указансобственная
L проводимость
ных «удобных» координатах
представляет собой отрезок пря-
прямой с угловым коэффициентом
Ed (рис. 92). При «средних» тем-
температурах п&по, т. е. все доно-
доноры ионизированы, но тепловой
энергии еще недостаточно, чтобы
началась заброска электронов из
валентной зоны. При достаточно
высоких температурах, таких что
квТ > А, концентрация электро-
д_
т.е. практически равна концент-
концентрации собственных носителей. Наклон соответствующего отрезка прямой
равен, очевидно, А — ширине запрещенной зоны.
примесная
проводимость
Рис. 92
58. В связи с тем, что проводимость полупроводника о =
пе\
прямо
пропорциональна концентрации носителей в зоне проводимости, то требуе-
требуемый график практически повторяет график п-G1), приведенный на рис. 92.
59. После приведения в контакт электроны из полупроводника n-типа, а
дырки из полупроводника />-типа начинают диффундировать соответствен-
соответственно в полупроводник р-типа и n-типа. Тем самым полупроводник n-типа за-
зарядится положительным объемным зарядом, а р-типа — отрицательным
(рис. 12). Из уравнения Пуассона следует, что
d\ = 4лр(х) = + 4%N{x)e
dx2 г ~ г '
Далее, полагая, что N(x) & N с соответствующим знаком заряда, полу-
получим уравнение для определения <р(х) — потенциала вблизи перехода. По-
Понятно, что ^р(±2") =0, также и для производной потенциала :г^— О ПРИ

х = ± —. Кроме того потенциал при
jc = 0 — ненулевой. Интегрирова-
Интегрирование уравнения
dx1 *
с учетом граничных условий дает:
-d/2
При этом потенциал ц>@) ==
d2
= ±4л#е — (потенциал при
х > ±у равен нулю). Скачок потен-
потенциала на переходе
* :т) =
= xNed2 _
е к
— это и есть контактная разность
потенциалов, откуда толщина d за-
запорного слоя
-eN
д
xNed1
t
eN
d/2
d/2
d/2
ti
Рис. 93
На рис. 93а показан р—п-пере-
р—п-переход. В частности на рис. 936 показа-
показано реальное изменение концентра-
концентрации электронов и дырок вблизи контакта, а не принятое в модели значение
концентрации Na = Nd = N, которое не зависит от х (N(x) & N). При этом в
грубом приближении на рис. 93в показано, что заряд р(х) = const от ±-^ до О
с соответствующим знаком. В этом же приближении и рассчитан ход потенци-
потенциала tp(*)» приведенный на рис. 93г. На рис. 93а показана соответствующая
разность потенциалов А<р (х).
( (eV\ \
60. S == So I ехР |"т—у71 — 1 . График этой функции изображен на рис. 94.
Ток насыщения So определяется концентрациями донорных и акцепторных
примесей и температурой. При напряжениях У < 0, очевидно, что при ком-
комнатной температуре к^Т ^ 0,025 эВ и напряжении, например, V = 0,1 В экс-
'(—\
чению тока — току насыщения. При V > 0, наоборот, единицей по сравнению
с экспонентой можно пренебречь. Таким образом р—n-переход обладает одно-
односторонней проводимостью, т. е. работает как диод.
61. S ^4,1 мкА.
понента ехр
е 4 < 0,02 и поэтому 3 я* — So, т. е. предельному зна-
зна407

dV
62. Сопротивление (p—ri) -перехода Rn = ——. Ток через переход
eV
- 1) откуда S + So * 30eeVlk*T. Тогда —J- = SoeeVl^T -jTt =
e. Сопротивление перехода R = —~ =
Б
—! r
2,5 Ом.
Здесь предполагалось, что ток неосновных носителей So мал по сравнению с
током S -
71-2
Рис. 94
Рис. 95
63. Схема уровней Ландау изображена на рис. 95. Значения энергии, ко-
которую могут принимать электроны
где s = ±тг; ^5 = 2 — спиновый ^-фактор; cdc = ; Ш1д = ¦= .
z ml. с ^wec
Величина расщепления Аёп = <§« i/2 — <§n, -1/2 = ^^OTIjsjB = gs ¦= В х
ZWleC
X -—- = ¦=¦ -— Ло)с < йо)с.
ml 2 we
ffif
64. Плотность тока, текущего по каналу шириной а равна / = — = nev> где
п (см z) — концентрация носителей в расчете на 1 см2, v — средняя скорость
упорядоченного движения. Отсюда
- 3
v = .
пеа
Сила Лоренца Fn = - B*v уравновешивается электрическим полем Яхояд,
направленным по оси Оу:
^ВТ7= е?ходд, откуда Яхолл = ^-.
Величина холловского напряжения (ЭДС):
// -с Bv _$В
108

Отсюда требуемая величина холловского (поперечного) сопротивления
пес'
^холл "
Именно эта величина в условиях квантующего магнитного поля (квантова-
(квантование Ландау) и принимает целочисленные значения.
65. На рис. 96 видны ступеньки ЯХолл- При этом значения сопротивления
где i = 1, 2, 3 ... целые числа. При этом величина продольного сопротивления
практически равна нулю. Дело здесь в том, что электроны бегут по каналу все
вместе' как целое, не меняя импульса, совершая циклотронное вращение. Ни
один из них не может изменить свое состояние относительно других — мешает
принцип запрета Паули. Каждый электрон, вращаясь, захватывает 1 квант маг-
магнитного потока. Как ступеньки в значениях Яхолл, так и нулевое сопротивление
появляются из-за дефектов в МДП-структурах. Наличие дефектов приводит к
тому, что потенциальный рельеф двумерного слоя становится похожим на пере-
пересеченную местность с холмами, впадинами и долинами. По долинам течет ток
электронов, совершающих циклотронное вращение, подобно реке На «холмах»
локализуются электроны. При изменении магнитного поля ширина канала
(«реки») меняется, но концентрация вращающихся электронов (на 1 см слоя)
остается постоянной за счет электронов, локализованных на «холмах».
-&ХОЛЛ %
кОм
10
5
о
-
xifl
' 1 3
f-3
5
/-2
¦^холл
7 5,Тл
Рис, 96
66. На рис. 97 показаны сравнительные энергетические схемы уровней в
нормальном металле и в сверхпроводнике при Т = О К. Это так называемая по-
полупроводниковая модель. Про нее часто говорят, что это металлическая схема,
где на уровне Ферми открывается (появляется) энергетичесая щель шириной
2 А: (е/? ± А). Выше щели при Т = 0 К лежат пустые одноэлектронные состоя-
состояния, ниже щели — занятые отдельными электронами состояния. При переходе
электронов в сверхпроводящее состояние из нормального происходит пониже-
понижение уровней энергии на величину энергии связи пары А ^ къТс> где Тс — темпе-
температура сверхпроводящего перехода. Величина энергетической щели по Барди-

ну—Куперу—Шифферу 2А = 3,52къТс. Ширина щели зависит от температу-
температуры — уменьшается с ее ростом. Например, для свинца 2А@) = 27,3-10~4 эВ,
что в 8 раз выше, чем у алюми-
Е Е пустые
одноэлектронные
2^ состояния
состояния,
занятые
отдельными
электронами
7-0
нормальный
металл
Т-0
сверхпроводник
Рис. 97
проникновения , постоянного магнитного
д \*
ния. Для возбуждения элект-
электронной системы, находящейся
в сверхпроводящем состоянии,
надо разрушить хотя бы одну
пару, на что требуется энергия,
равная энергии связи электро-
электронов в паре. Разрыв пары — это
переход электрона из-под щели
в пустые состояния над ней. За-
Затрата энергии при этом равна
ровно 2А.
67. Лондоновская глубина
ноля в сверхпроводник
hvF
—т~, где шо — плазменная час-
и длина когерентности
тота, ns — концентрация сверхпроводящих электронов, А — размер энергети-
энергетической щели.
-4JI/J
В
Нг
Н
у\
>fcMei
смешанное
состояние
н
I I
I I
В, и
А \ х ' 6 Л jc
Сверхпроводник I рода Сверхпроводник II рода
Л<| Л>|
Рис. 98
Известно, что магнитное поле В выталкивается из сверхпроводника сверх-
сверхпроводящими токами, текущими по его поверхности (эффект Мейсснера). Та-
Таким образом, лондоновская глубина Л — это глубина экранирования сверх-
сверхпроводника от проникновения туда магнитного поля.
Длина когерентности ? — это «характерный» размер куперовской пары,
т. е. расстояния, на котором эффективно притяжение между электронами с
образованием куперовской пары — электронов с противоположными импуль-

сами и спинами. Средний импульс пары строго равен нулю. Связанное состо-
состояние электронов возникает за счет обмена фононами, т. с. взаимодействия
электронов с кристаллической решеткой. Величину ? легко оценить исходя из
соотношения неопределенностей. Поскольку дх*др » #, а неопределенность в
импульсе определяется неопределенностью энергии электронов пары
FЕ ъ А; дЕ = «
Vy 6p), TO
68. Для исследования указанных зависимостей берется цилиндрический
образец и помещается во внешнее магнитное поле Я. Требуемые зависимости
изображены на рис. 98. Существенное отличие сверхпроводника II рода за-
заключается в наличии смешанного (вихревого) состояния. Вихри Абрикосова
возникают в полях, лежащих в пределах ЯС[ < Я < ЯС2, т.е. между двумя
критическими полями. Наличие вихрей обусловлено тем, что в таких сверх-
сверхпроводниках ? <scЛ (в десятки и сотни раз).
69. На рис. 99 изображено распределение магнитного поля В(г) внутри
вихря, а также распределение концентрации сверхпроводящих электронов. В
центре вихря магнитное поле практически равно внешнему полю, а сверхпро-
сверхпроводящих электронов нет. Сверхпроводящие токи охватывают область нормаль-
нормальной проводимости, экранируя сверхпроводник от проникновения туда поля.
Всякий вихрь захватывает квант магнитного
потока Фо. Полагая, что при внешнем поле В{г)\
Я = Нс1 появился только один вихрь, мож-
можно написать оценку:
иЛ2Яс1 ~ Фо, откуда Яс1 <
Фо
.2*
Величина сверхпроводящего кванта маг-
магнитного потока
Фо = ^ = 2,07-10 Гс-см2.
При внешнем магнитном поле Я = ЯС2
вихрей так много, чтет они упаковываются в
решетку вихрей и начинают даже перекрываться нормальные сердцевины
вихрей. Тогда можно сделать такую оценку поля ЯС2*.
Фо, откуда Яс2 —
70. Л i
;3-1(Г7см
111

Овчинкин Владимир Александрович
Вопросы к Госэкзамену по физике
Набор и верстка выполнены в Издательстве «Физматкнига»
Художник И. П. Казанский
Верстка Л. В Неумоин
Подписано в печать 25.04.2005. Формат 60x90/16
Печать офсетная. Усл. печ. л. 7. Уч.-изд. л. 6,8
Тираж 1000 экз. Заказ/6
Издательство «Физматкнига»
141700, г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер., 66
Тел./факс: @95) 408-76-81, 409-93-28
E-mail: publishers@maiLmipt.ru
Интернет-магазин литературы по фундаментальным и прикладным наукам
www.fizmatkniga.ru
Отпечатано с оригинал-макета в ПП «Шанс»
127412, Москва, Ижорская ул., 13/19
Тел.: @95) 485-93-09