Сборник задач по общему курсу физики в трех частях. Часть 3. Атомная и ядерная физика. Строение вещества - Овчинкин В.А.

Автор: Овчинкин В.А.
Теги: физика
ISBN: 978-5-89155-186-2
Год: 2009
Похожие
Сборник задач до общему курсу физики. В трех частях. Часть 3. Атомная и ядерная физика. Строение вещества
Сборник задач по общему курсу физики. Часть 1
Сборник задач по общему курсу физики
Методы решения задач в общем курсе физики. Атомная и ядерная физика
Текст
                    
МФТИ I -----lr
СЕРИЯ «ФИЗИКА»
Сборник задач по общему курсу физики
в трех частях
Под редакцией
В. А. ОВЧИНКИНА
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальностям
Часть 3
Атомная и ядерная физика Строение вещества
Издание второе, исправленное и дополненное
Москва Физматкнига 2009
ББК 22.3
С35
УДК 53(075.8)
В. А. ОВЧИНКИН, А. О. РАЕВСКИЙ, Ю. М. ЦИПЕНЮК
Сборник задач по общему курсу физики: Учебн. пособие: Для вузов. В трех частях. Ч. 3. Атомная и ядерная физика. Строение вещества / Под ред. В. А. Овчинкина. — М.: Издательство «Физматкнига», 2009. — 512 с.
ISBN 978-5-89155-186-2
Третья часть сборника включает в себя 1235 задач, в основном по квантовой физике атомов и молекул, ядерной физике, физике элементарных частиц, физике излучения, физике твердого тела и низкоразмерных систем. Все задачи, авторами которых являются преподаватели кафедры общей физики МФТИ, предлагались студентам МФТИ на письменных экзаменах и олимпиадах. Свыше 20% задач снабжены подробными решениями, так что задачник в какой-то мере является одновременно и учебником. Книга содержит также большую подборку разнообразных (в том числе комплексных) задач, предлагавшихся студентам на заключительном (Государственном) экзамене по общей физике. В конце книги помещен традиционный справочный материал, а также некоторые теоретические приложения. В целом Сборник представляет собой уникальное издание, не имеющее аналогов в мировой практике.
Для студентов физических специальностей вузов, а также преподавателей высшей и средней школ.
Издание осуществлено на средства выпускников МФТИ: А. И. Жукова, А. А. Исаева, О. А. Исаевой, А. И. Квасникова, В. П. Косицына, С. К. Косицыной, В. И. Красникова, М. Б. Кузнецова, В. В. Максименко.
ISBN 978-5-89155-186-2
© Овчинкин В. А., 2001, 2009
© «Физматкнига», 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию ........................................ 5
От составителей ....................................................... 6
Задачи Ответы
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
§ 1. Фотоны. Фотоэффект. Эффект Комптона		10	200
§ 2. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей		16	210
§ 3. Уравнение Шредингера. Квантование. Потенциальные барьеры 		25	223
§ 4. Атом водорода и водородоподобные атомы		35	238
§ 5. Ширина линий. Спектры молекул. Рентгеновское излучение		41	249
§ 6. Спин. Атом в магнитном поле. Эффект Зеемана. Магнитный резонанс 		48	259
§ 7. Ядерные модели. Радиоактивность. Эффект Мессбауэра . ..	59	279
§ 8. Нейтроны. Ядерные реакции		69	295
§ 9. Деление ядер. Реакторы. Термоядерный синтез		81	310
§ 10. Элементарные частицы. Резонансы. Лептоны и кварки. Реакции при высоких энергиях 		89	321
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА
§ 1.	Излучение ............................................ 103	339
§ 2.	Кристаллическая решетка. Фононы. Теплоемкость. Теплопроводность .......................................... 114	362
§ 3.	Электроны в металлах. Ферми-частицы................... 125	387
§ 4.	Электроны в полупроводниках и низкоразмерных системах .................................................. 139	418
§ 5.	Сверхпроводимость .................................... 150	442
§ 6.	Избранные задачи заключительного (Государственного) экзамена МФТИ по общей физике............................. 156	449
Приложение I...................................................... 478
Приложение II..................................................... 488
Приложение III ................................................... 493
Приложение IV .................................................... 498
Предисловие ко второму изданию
Настоящее издание третьей части Сборника задач по общему курсу физики подверглось значительной доработке. Некоторые задачи были изменены, формулировки многих задач были заново отредактированы, а в ответы и решения внесены необходимые исправления и уточнения. Кроме того, были включены и новые задачи. При этом нумерация задач везде была сохранена, за исключением § 6 из второй части задачника (Избранные задачи заключительного (Государственного) экзамена МФТИ по общей физике). Отметим уникальность всего издания, не имеющего аналогов в мировой практике.
Авторами всех новых задач являются преподаватели кафедры общей физики МФТИ. Все задачи составлялись для письменных семестровых контрольных работ и госэкзаменов.
Редактор Сборника выражает искреннюю благодарность составителей професору А. В. Степанову, доценту О. А. Судакову и Ю. В. Юрьеву. Своими замечаниями и предложениями они способствовали улучшению Сборника.
Искреняя благодарность В. И. Нагирному, студенту МФТИ, выполнившему сложнейшую работу по компьютерной верстке книги.
Редактор Сборника и авторский коллектив особо благодарит выпускников МФТИ А. И. Жукова, А. А. Исаева, О. А. Исаеву, А. И. Квасникова, В. П. Косицына, С. К. Косицыну, В. И. Красникова, М. Б. Кузнецова, В. В. Максименко за существенную материальную поддержку издания, без которой книга не могла бы выйти в свет в этом году.
5
От составителей
Эта книга является третьей (последней) частью Сборника задач по общему курсу физики. Этот Сборник в какой-то мере подводит итог шестидесятилетней работы кафедры за все время существования МФТИ. Данная книга включает в себя два последних раздела курса общей физики: атомная и ядерная физика, а также физика элементарных частиц и строение вещества (квантовая микро- и макрофизика). Последний раздел — строение вещества — посвящен некоторым разделам физики твердого тела (фононы, электроны в металлах и полупроводниках), а также физике излучения, сверхпроводимости и низкоразмерных систем. Всего в этой части Сборника содержится 1235 задач. Почти все задачи предлагались студентам на письменных экзаменах и студенческих физических олимпиадах, их авторами являются преподаватели кафедры общей физики МФТИ.
Часть задач (свыше 20% в этой книге) приведены с решениями. Для удобства в работе такие задачи помечены звездочкой. Эти задачи (их решения) бесспорно являются очень важным методическим пособием в изучении физики. Большинство предложенных задач ориентировано на получение численного ответа, что само по себе важно как в плане формирования у студентов правильных представлений о масштабах изучаемых явлений, так и в плане запоминания физических констант и переводных коэффициентов из одной системы единиц в другую. В Сборнике используются единицы измерения не только из СИ и гауссовой системы, но и внесистемные единицы. Однако все-таки предпочтение отдается гауссовой системе (СГСЭ), и формулы записываются именно в ней (кроме особо оговоренных случаев).
В конце этой части сборника приведено свыше двухсот задач, предлагавшихся студентам МФТИ на письменных государственных экзаменах по общей физике, которые проводятся начиная с 1966 г. по настоящее время на третьем курсе. Как правило, эти задачи посвящены не отдельным разделам физики, а совмещают в себе различные аспекты физических явлений, и, главное, в них отражены реальные эксперименты и достижения теории.
В конце книги в помощь студентам помещены также приложения. В Приложении I изложена последовательность заполнения состояний в атомах и ядрах, в Приложении II — туннелирование электронов в сверхпроводниках, в Приложении III рассмотрено образование зонный структуры электронного спектра в твердых телах, а в Приложении IV приведены таблицы мировых констант и величин.
Часть задач третьей книги уже была опубликована в ранее выходивших изданиях. Прежде всего, это «Сборник задач по физике» С. М. Козела, Э. И. Рашбы и С. А. Славатинского (М.: Наука, 1987), а также «Сборник задач по общему курсу физики», часть V — атомная физика, физика ядра и элементарных частиц; под ред. Д. В. Сивухина (М.: Паука, 1981). Кроме того: «Сборник задач по
6
физике (Электричество, оптика и атомная физика)» под ред. С. М. Козела (М.: МФТИ, 1983) и «Сборник задач по физике (Ядерная физика и физика твердого тела)» И. П. Крылов и др. (М.: МФТИ, 1983).
Над составлением задач трудилось большое количество преподавателей кафедры общей физики МФТИ, и прежде всего, это В. Г. Аверин, Ю. В. Афанасьев, Г. С. Баронов, В. В. Бездудный, В. Е. Белонучкин, А. Д. Гладун, Л. Л. Гольдин, С. В. Гуденко, А. Б. Гуденко, Д. Б. Диатроптов, А. С. Дьяков, Б. Г. Ерозолимский, Д. А. Заикин, В. Г. Зацепин, А. А. Иванов, А. П. Канавин, С. П. Капица, К. В. Караджев, А. С. Кингсеп, И. А. Кириченко, А. П. Кирьянов, С. Л. Кленов, С. М. Козел, П. Ф. Коротков, В. П. Корявое, К. А. Котельников, М. Г. Кремлей, И. П. Крылов, К. М. Крымский, Е. П. Кузнецов, В. Г. Лейман, А. М. Леонтович, Г. Р. Локшин, Л. Б. Луганский, Е. 3. Мейлихов, В. В. Можаев, Е. Н. Морозов, В. Г. Никольский, М. Г. Никулин, В. А. Овчинкин, В. В. Окороков, А. Я. Паршин, В. А. Петухов, Э. В. Прут, А. О. Раевский, Э. И. Рашба, Е. Г. Рудашевский, С. Ю. Савинов, Э. П. Свириденков, М. В. Свиридов, Д. В. Сивухин, Г. В. Склизков, С. А. Славатинский, А. В. Степанов, А. Б. Струминский, О. А. Судаков, В. Н. Гопников, Е. И. Тукиш, А. В. Францессон, Ю. М. Ципенюк, Ф. Е. Чукреев, А. В. Шеронов, И. Ф. Щеголев.
Особо следует отметить огромный редакторский труд лекторов и преподавателей, готовивших задачи к письменным экзаменам и студенческим олимпиадам. В разные годы это были Д. В. Сивухин, Л. Л. Гольдин, Б. Г. Ерозолимский, С. П. Капица, А. В. Степанов, Д. Б. Диатроптов, А. Д. Гладун, Д. А. Заикин, И. Ф. Щеголев, И. П. Крылов, А. П. Кирьянов, Л. Б. Луганский, Ю. М. Ципенюк, А. А. Иванов, А. О. Раевский, А. П. Канавин, А. Б. Струминский, В. А. Овчинкин, Е. В. Тукиш, Э. В. Прут.
Составители этой части сборника выражают особую признательность за плодотворные обсуждения текстов задач и их решения С. П. Аллилуеву, С. В. Гуденко, А. А. Иванову, А. М. Леонтовичу, А. А. Лукьянову, В. В. Лобзину, Е. 3. Мейлихову, Ю. В. Петрову, А. В. Степанову, С. Ю. Савинову , И. А. Фомину, А. В. Францессо-ну, А. П. Кирьянову, А. П. Канавину, А. Б. Струминскому, Ю. В. Юрьеву.
7
адачи
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
§ 1.	Фотоны. Фотоэффект. Эффект Комптона
1.1.	Найти импульс фотона видимого света (Х = 500нм). Сравнить его с импульсом молекулы водорода при комнатной температуре.
1.2.	При какой длине волны импульс фотона равен импульсу молекулы водорода при комнатной температуре?
1.3.	Излучение гелий-неонового лазера мощностью W = 1 мВт сосредоточено в пучке диаметром d = 0,5 см. Длина волны X = = 0,63 мкм. Определить плотность потока j фотонов в пучке.
1.4!	Согласно общей теории относительности (ОТО) энергия любого объекта в статическом гравитационном поле £ = = £0(1 + 2<р/с2)~1/2, где £0 —энергия объекта в «пустом» (т. е. свободном от гравитационных полей) пространстве, а <р — гравитационный потенциал в точке нахождения объекта. Показать на основе этого соотношения, что разница энергий Л£ = £2 ~ между двумя состояниями объекта, расположенного на поверхности Земли и на высоте Н от нее, оказывается эквивалентной разнице «гравитационных энергий» излученного объектом у-кванта с энергией = £2-<9i и массой т.. = £у/с2, как это было показано в опытах Паунда и Ребки с помощью эффекта Мессбауэра.
1.5.	Как следует из общей теории относительности (ОТО), статическое гравитационное поле по отношению к своему воздействию на электромагнитные волны эквивалентно неоднородной среде с показателем преломления п = (1 + 2<р/с2)—1, где <р — гравитационный потенциал. Используя эту аналогию, найти угол отклонения д луча света при прохождении его вблизи края Солнца. Масса Солнца М — 1,99 • 1033 г, радиус его фотосферы R = 696 000 км.
1.6.	Исходя из классического закона преломления света, показать, что при прохождении плоской границы двух прозрачных сред сохраняется тангенциальная компонента импульса фотонов.
1.7.	Электромагнитная волна с круговой частотой со = = 2-1016 с—1 промодулирована по амплитуде синусоидой с круговой частотой Q = 2-1015 с-1. Найти энергию £ фотоэлектронов, выбиваемых этой волной из атомов водорода с энергией ионизации £и = 13,5 эВ.
1.8.	Найти напряжение V на рентгеновской трубке, если известно, что в излучаемом ею сплошном спектре нет длин волн, меньших 0,0206 нм.
10
1.9.	Шарик электроскопа облучается монохроматическим рентгеновским излучением. Листочки электроскопа перестают расходиться, когда потенциал шарика равен 8 кВ. Определить длину волны X падающего излучения.
1.10.	В центре посеребренного изнутри вакуумного стеклянного баллона шаровой формы помещен маленький шарик, покрытый никелем. Шарик освещается светом от ртутной лампы с длиной волны X = 230,2 нм. Между внутренней поверхностью сферы и шариком приложена задерживающая разность потенциалов. Оказалось, что при увеличении этой разности до V = 0,75 В ни один из фотоэлектронов не попадает на посеребренную поверхность сферы. Контактная разность потенциалов между никелем и серебром равна VK = 1 В. Вычислить максимальную скорость фотоэлектронов.
1.11.	Уединенный цинковый шарик облучается ультрафиолетовым светом с длиной волны X = 250 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик? Работа выхода электрона для цинка .4 = 3,74 эВ.
1.12.	При каких длинах волн X облучающего света шарик в условиях предыдущей задачи заряжаться не будет?
1.13.	Цинковый электрод вакуумного фотоэлемента освещается монохроматическим светом с длиной волны X = 250 нм. При наложении задерживающей разности потенциалов фототок уменьшается и обращается в нуль, когда она достигает значения V = 2 В. Определить внешнюю контактную разность потенциалов VK между цинком и материалом, из которого изготовлен другой электрод фотоэлемента. Работа выхода электрона из цинка А = 3,74 эВ.
1.14.	Вакуумный фотоэлемент имеет в режиме насыщения чувствительность к свету К = 0,12 А/Вт. Какова относительная флуктуация а числа электронов, выбиваемых при падении на фотоэле-
мент светового потока мощностью W = 1,3-10-11 Вт? Время регистрации равно t — 10-3 с.
1.15! К фотокатоду фотоэлектронного умножителя прижат сцинтиллятор (рис. 1). При пролете через сцинтиллятор релятивистского электрона молекулы сцинтиллятора возбуждаются, а затем испускают фотоны, переходя в основные состояния. В свою очередь фотоны, попадая на тонкий
Рис. 1
(~Ю~5см) фотокатод, выбивают из него фотоэлектроны. Оценить, во сколько раз увеличится поток электронов из фотокатода, если сухой оптический контакт между фотоэлектронным умножителем и сцинтиллятором заменить на масляный контакт. Показатель преломления сцинтиллятора, стекла колбы и масла равен п=\,5, h = 2 см, D = 16 см.
и
1.16!	Показать, что свободный электрон в вакууме не может ни поглощать, ни излучать фотоны, а лишь рассеивать их.
1.17.	Какую минимальную длительность импульса фототока можно получить в вакуумном фотоэлементе, между анодом и катодом которого приложено напряжение в несколько сотен вольт, при освещении фотокатода короткими ( < 1 О '1 с) импульсами света с длиной волны X = 500 нм. Красная граница материала фотокатода Хкр = 1000 нм, напряженность поля между анодом и фотокатодом Е = 300 В/см.
1.18.	По классической электромагнитной теории света поток световой энергии от источника непрерывно распространяется во все стороны. Через какой промежуток времени, согласно этой теории, отдельный атом танталового катода может накопить столько энергии, чтобы стал возможен вылет фотоэлектрона, если катод находится на расстоянии L — 10 м от 25-ваттной лампочки? Работа выхода электрона для тантала составляет А = 4 эВ. Считать, что фотоэлектрону передается вся энергия, накапливающаяся в атоме тантала, диаметр которого можно считать равным d = 0,3 нм.
1.19!	Исходя из представления о фотонах как о квантах света, вывести формулу для эффекта Доплера в предположении, что источник света движется с нерелятивистской скоростью.
1.20!	То же, но для источника, движущегося с релятивистской скоростью.
1.21!	В предыдущей задаче выяснить характер зависимости частоты v от угла между направлением скорости источника и направлением импульса испущенного фотона при р = v/c -♦ 1. Оценить угол 0, начиная с которого излучаемая частота мала по сравнению с частотой, излучаемой под углом 0 = 0°.
1.22.	На рис. 2 изображены результаты, полученные Комптоном при исследовании рассеяния рентгеновских лучей в графите. Наблюдения велись под углом 0 = 135° к направлению падающего пучка. Определить длину волны Хо падающего излучения.
1.23.	Фотон рентгеновского излучения с длиной волны X в результате комптоновского рассеяния на неподвижном свободном электроне отклонился от первоначального направления на угол 0. Определить кинетическую энергию Те и импульс ре электрона отдачи. Дать численный ответ для X = 0,02 нм и 0 = 90°.
1.24!	В предыдущей задаче определить угол <р между направлением первичного фотона и направлением движения электрона отдачи.
1.25.	Определить изменение длины волны при эффекте Комптона, если наблюдение ведется перпендикулярно к направлению первичного пучка излучения.
1.26!	В результате комптоновского рассеяния фотона на покоящемся электроне последний получил импульс отдачи р. Определить,
0 Хд X] — 2Хд X
Рис. 2
12
под какими углами по отношению к направлению падающего фото
на мог вылететь электрон с таким импульсом.
1.27.	В результате комптоновского рассеяния фотона на покоящемся электроне последний вылетел под углом а = 60° к направлению падающего фотона. Какую максимальную кинетическую энергию Т может приобрести электрон отдачи в этом случае?
1.28.	В результате комптоновского рассеяния фотона на покоящемся электроне последний приобрел кинетическую энергию, равную его удвоенной энергии покоя. Под каким углом <р по отношению к направлению падающего фотона мог вылететь электрон?
1.29.	Фотон (Х0 = 662 нм) рассеивается на электроне, летящем перпендикулярно направлению движения фотона. Найти начальный импульс электрона р0, если длина волны Хо при рассеянии не изменяется. Угол рассеяния 0 = 60°.
1.30.	Фотон с энергией ёу = 2тес2 при рассеянии на покоящемся электроне теряет половину своей энергии (те — масса электрона). Найти угол разлета а между рассеянным фотоном и элек
троном отдачи.
1.31. Фотон рассеивается на покоящемся протоне. Энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии протона отдачи, а
угол разлета между рассеянным фотоном и протоном отдачи равен 90°. Найти энергию падающего фотона.
1.32.	С какой скоростью v должен двигаться электрон, чтобы летящий ему навстречу фотон с длиной волны X = 0,0024 нм не изменил свою энергию при 180°-рассеянии?
1.33.	Оптический фотон с энергией Йсо() рассеивается назад на
электроне, движущемся ему навстречу с полной энергией^ и импульсом р. Какова энергия рассеянного фотона? Рассмотреть два предель-. S + рс 2Йсо0	S + рс 2йо>0
ных случая: а)----*—•—1; б)----------у--—1.
тс тс	тс тс
1.34.	Определить энергию фотона hv', рассеянного назад покоящимся электроном. Какова эта энергия, если энергия падающего фотона hv удовлетворяет условию Av»mec2 (те — масса электрона)?
1.35.	Фотон от рубинового лазера (X — 0,6943 мкм) испытывает лобовое соударение с электроном, имеющим кинетическую энергию Т = 500 МэВ. Оценить энергию £у фотона, образующегося в результате «обратного комптон-эффекта» (т. е. при 180°-рассеянии фотона на движущемся электроне). См. также задачу 4.51 этого раздела.
1.36.	Определить длину волны X рентгеновского излучения, для которого комптоновское рассеяние на электроне на угол 90° удваи
вает длину волны.
1.37. При движении быстрой заряженной частицы в области пространства, заполненной изотропным электромагнитным излучением (например, светом Солнца и звезд), частица теряет энергию в результате взаимодействия с этим излучением. Считая частицу ультрареля-тивистской (энергия тс2), а ее соударения с фотоном — лобовыми, найти изменение энергии частицы = <£><) — $ и энергию фо-
13
тона отдачи Йсо. Энергию фотонов (до соударения) Йсэ() считать малой по сравнению с Йсо. Чему равна энергия ha>, если движущейся частицей является электрон с энергией £0 = 2,5-109 эВ и Йсо0 = 1 эВ?
1.38.	Электрон с энергией i£;0»mc2 рассеивается на фотоне с энергией Йсо()« тс2. При каком условии энергия этого фотона в системе отсчета, в которой электрон покоится, удовлетворяет условию h<a<szmc21
1.39!	При прохождении у-квантов через вещество образуются две группы быстрых электронов: одна в результате фотоэффекта, а другая — комптоновского рассеяния. Каково должно быть энергетическое разрешение регистрирующей аппаратуры, чтобы отличать фотоэлектроны от комптоновских электронов с максимальной энергией? Энергия у-квантов известна: = 5 МэВ.
1.40!	Фотоны с длиной волны X = 1,4 А испытывают комптоновское рассеяние на угол <р = 60° к первоначальному направлению. Фотоны попадают в рентгеновский спектрограф, работающий по методу интерференционного отражения Брэгга—Вульфа. При какой минимальной толщине D кристаллической пластинки спектрографа можно обнаружить изменение длины волны рассеянного излучения (комптоновское смещение) в первом порядке, если постоянная кристаллической решетки d = 1 А?
1.41.	В рентгеновском спектрографе, работающем по методу интерференционного отражения Брэгга—Вульфа, применяется кристаллическая пластинка толщиной D. При какой минимальной толщине этой пластинки можно обнаружить комптоновское смещение при рассеянии фотонов под углом 0 = 90° к первоначальному направлению их движения? Длина волны исходного рентгеновского излучения X = 0,07 нм. Рассеянное излучение падает на кристалл спектрографа под углом скольжения <р = 30°.
1.42!	Показать, что в вакууме рождение пары е+е~ у-квантом невозможно.
1.43.	При взаимодействии с веществом высокоэнергетичный фотон (<£’ > 2тес2, где те — масса электрона) может родить электрон-позитронную пару. Показать, что этот процесс невозможен для фотона, испытавшего рассеяние строго назад (на угол 180°) при комптон-эффекте на неподвижном электроне.
1.44.	Найти максимальный угол 0тах рассеяния у-квантов при комптон-эффекте на неподвижных электронах, вне которого рассеянный квант не может родить электрон-позитронную пару при последующем взаимодействии с веществом. Рождение электрон-позит-ронной пары возможно, если энергия у-кванта превышает 2тес2 (те — масса электрона).
1.45.	При трехфотонной аннигиляции ортопозитрония оказалось, что один из фотонов имеет энергию <£) = (1/2)<£’о, а другой — <£’2 = (2/3)^0 (<S0 — энергия покоя электрона). Найти углы 012, 013,
14
023 между направлениями вылета фотонов. Считать, что ортопозитроний покоился.
Указание. Ортопозитроний представляет собой атомную систему, состоящую из электрона и позитрона, спины которых направлены в одну сторону.
1.46.	При трехфотонной аннигиляции ортопозитрония оказалось, что углы между направлениями вылета фотонов 012 = 120° и 013 — 150°. Найти энергию фотонов. Считать, что ортопозитроний вначале покоился.
Указание. См. указание к предыдущей задаче.
1.47!	Показать, что представление о фотонах позволяет получить формулу для продольного Доплер-эффекта из преобразования Лоренца для энергии.
1.48.	Возбужденное ядро с энергией возбуждения = 1 МэВ с А = 100 движется с кинетической энергией Т = 100 эВ и испускает гамма-квант. Под каким углом к направлению движения ядра сдвиг у-кванта по энергии будет равен нулю?
1.49.	Рассматривая процесс рождения фотона с энергией Йсо при прохождении в веществе с показателем преломления п релятивистской частицы массой m со скоростью v (эффект Вавилова—Черенкова), показать, что обычно приводимое условие возможности этого процесса v > г>ф = с/п справедливо только при определенном ограничении на отношение А/Х (А — комптоновская длина волны частицы, X — длина волны фотона). Найти явное выражение этого ограничения в зависимости от релятивистского фактора у и п.
1.50.	По современным представлениям в спектре солнечных нейтрино должна существовать достаточно интенсивная монохроматическая линия с энергией £v = 0,86 МэВ, что обусловлено идущей на Солнце реакцией 7Ве + e_-*7Li + ve. Для регистрации этих нейтрино был создан детектор BOREXINO с жидким сцинтилятором, в котором регистрируются электроны по реакции рассеяния (v, е“). Какова максимальная кинетическая энергия регистрируемых электронов?
1.51!	Гамма-кванты с энергией ^ = 661 кэВ от источника 137Cs рассеиваются в воде. Каково должно быть относительное энергетическое разрешение Д <£’/<£’ гамма-спектрометра, чтобы можно было по 90°-рассеянию гамма-квантов обнаружить примесь тяжелой воды D2O?
1.52!	В системе глобального позиционирования (GPS) используется высокоточный цезиевый генератор, установленный на спутнике. Определить высоту полета спутника, если при прохождении над приемником на Земле регистрируемая частота совпадает с частотой генератора. Учесть, что энергии квантовых уровней любой системы зависят от гравитационного потенциала в месте нахождения системы. Вращение Земли не учитывать. (См. также задачу 1.4 в этом разделе.)
15
§ 2.	Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей
2.1.	При каких кинетических энергиях электрона и протона их длины волн де Бройля близки к размеру протона гр «ь: 0,8- 10-13см.
2.2.	Определить кинетическую энергию Т электрона, при которой его дебройлевская и комптоновская длины волн равны между собой.
2.3.	Протон с дебройлевской длиной волны X = 0,001 нм упруго рассеялся под углом л/2 на первоначально покоившейся а-частице. Определить дебройлевскую длину волны А' рассеянного протона.
2.4!	В опытах по распространению радиоволн с длиной волны А = 300 м было установлено, что скорость и их распространения в вакууме совпадает со скоростью света с с точностью до 0,05%. Оценить на основе этих результатов верхнюю границу массы фотона.
2.5.	В опытах при измерении расстояния между Землей и Луной (L = 3,8 • 105 км) локацией ее поверхности оказалось, что результаты в оптическом и радиодиапазоне (А, = 20 см) не совпадают. Отличие в результатах измерений объяснялось попаданием излучения в разные точки лунной поверхности, которые могли отличаться по высоте на ДА = ± 100 м. С другой стороны, этот результат можно интерпретировать как результат отражения фотона с ненулевой массой от ровной поверхности. Принимая это, оценить возможную верхнюю границу массы фотона ту (в эВ).
2.6.	Найти выражение для показателя преломления п электронных волн через работу выхода А(> = eV0 (Vo — внутренний потенциал кристалла).
2.7.	Показать, что при преломлении электронной волны соблюдается закон преломления sin <p/sin <р' = п.
Указание. При проникновении в кристалл меняется лишь нормальная компонента скорости электрона.
2.8.	Как нужно изменить формулу Брэгга—Вульфа, чтобы учесть преломление волн на поверхности кристалла? Считать, что отражающая плоскость параллельна поверхности кристалла.
2.9.	Пучок электронов, ускоренный разностью Ц₽/ потенциалов V = 150 В, падает на поверхность се-/	ребра, внутренний потенциал которого Vo= 15 В.
Найти показатель преломления электронных волн ------------в серебре.
|	2.10! Электроны с кинетической энергией
Т = 100 эВ падают под углом <р = 30° к нормали Рис. 3 на систему, состоящую из двух параллельных сеток, между которыми создана разность потенциалов V[ = 36 В (рис. 3). Полагая, что потенциал нижней сетки выше, чем верхней, найти относительный показатель преломления п сред, расположенных по обе стороны от сеток. При какой разности потенциалов К2 произойдет полное отражение электронов от второй сетки?
2.11.	Пучок электронов падает перпендикулярно на поликри-сталлическую пластинку П из хлористого натрия, постоянная ре-
16
щетки которого а = 0,56 нм. В результате брэгговского рассеяния пучка на фотопластинке Ф, расположенной на расстоянии L = 25 см от пластинки П, возникают концентрические дифракционные кольца (рис. 4). Определить энергию электронов, зная, что радиус первого кольца равен R = 0,5 см.	ф
2.12!	На рис. 5 приведена кривая, полу- п ценная в опытах Дэвиссона и Джермера по рассеянию электронов от монокристалла ни-келя, падающих под углом скольжения 80°.	l ,
По оси абсцисс отложено значение W, где
V — энергия электронов в вольтах, по оси	Рис. 4
ординат — относительная интенсивность рассеянных электронов. При больших порядках отражения т максимумы эквидистантны (расстояние между ними 3,06 В1/2), а при малых эта закономерность, показанная стрелками, нарушается. Оценить немонохроматичность используемых электронов и показатель преломления никеля для волны де Бройля электронов, соответствующих 3-му, 4-му и 5-му максимумам, которые наблюдаются при W, равном соответственно 8,16, 11,42 и 14,68 В1/2. Найти межплоскостное расстояние d никеля.
Рис. 5
2.13.	Параллельный пучок моноэнергетических нерелятивистских нейтронов, движущихся со скоростью V, падает на плоскую поверхность кристалла под углом скольжения Оо и испытывает на ней брэгговское отражение и-го порядка. Кристалл приводят в движение с постоянной скоростью и в направлении нормали к отражающей плоскости (рис. 6). Под каким углом 0 к отражающей плоскости надо направить пучок таких же нейтронов, чтобы наблюдалось брэгговское отражение их от движущегося кристалла в прежнем порядке п? При какой скорости и такое отражение возможно?
2.14.	При пропускании пучка нейтронов от X.
ядерного реактора через блок поликристалли- врХХ^__________
ческого графита все нейтроны с длинами волн I	X ]
де Бройля короче X = 0,67 нм испытывают ин-	X.
терференционное отражение Брэгга—Вульфа.	X^v
Проходят через блок только медленные, так	UT X
называемые холодные нейтроны. Определить	Пиг ,
17
максимальную температуру, соответствующую самым коротким волнам де Бройля нейтронов, пропускаемым графитом, а также вычислить постоянную d решетки графита.
2.15! Чтобы получить пучок нейтронов, обладающих заданной энергией & = 1 эВ, используют брэгговское отражение первого порядка от кристалла LiF, для которого расстояние между плоскостями кристаллической решетки d — 2,32 А (рис. 7). На кристалл падает пучок нейтронов с различными энергиями. Оценить разброс нейтронов по энергиям А<£ в отраженном пучке, если угловая шири
на этого пучка Аф = 0,1°. Какую толщину кристалла D следует выбирать в этом эксперименте? Кристалл вырезан так, что отражающие
1, отн. ед.
-20 -10	0	10	9. град
Рис. 8
плоскости параллельны поверхности кристалла.
2.16! На рис. 8 представлены результаты опыта Штерна и Остермана (1930 г.) по дифракции молекул водорода на кристаллических плоскостях решетки хлористого лития, отстоящих друг от друга на расстояние d — 1,65 А. В опыте использовались молекулы, которые вылетали из окошка печи и, пройдя отверстие коллиматора, падали узким пучком на поверхность кристалла под углом скольжения 0 к рассеивающей плоскости кристалла. Определить, пользуясь рис. 8, температуру Т печи, считая распределение молекул по скоростям в пучке максвелловским.
2.17.	В одном из способов монохро-матизации медленных нейтронов при
меняются два диска из кадмия (кадмий практически не пропускает медленные нейтроны), насаженные на общую ось (рис. 9). На периферии дисков на одинаковых расстояниях R от оси сделаны два малых круглых отверстия диаметром а. Отверстия повернуты относительно друг друга на угол <р вокруг оси прибора, и в этом положении диски хорошо закреплены на оси. Диски равномерно вращаются вокруг той же оси с угловой скоростью Q. Определить длину волны де Бройля X, а также степень монохроматичности нейтронов, пропускаемых таким
Рис. 9
18
монохроматором, если расстояние между дисками равно I. Произвести численный расчет для I — 1 м, R = 10 см, Q = 300 рад/с, <р = 4°, а = 5 мм.
2.18.	Один из способов монохроматизации медленных нейтронов состоит в следующем: в цилиндре радиусом R = 10 см и длиной £ = 1,0 м делается винтовой паз шириной b = 1 см с поворотом на угол <р = 30° (рис. 10). Цилиндр вращается с частотой п = 3000 об/мин. Определить длину волны X нейтронов, пропускаемых таким монохроматором, и оценить степень их монохроматизации ДЛ/А. Пучок нейтронов направлен вдоль оси цилиндра. Оценить оптимальную ширину паза, при которой достигается максимальная монохроматичность пучка.
2.19.	Нейтроны со скоростью и0 = 5 -105 см/с падают на брэгговский интерферометр, состоящий из трех тонких монокристаллических пластинок, вырезанных перпендикулярно главным кристаллическим плоскостям. На каждой из пластинок волна де Бройля разделяется на прошедшую и отраженную (рис. 11). Результат интерференции фиксируется счетчиком нейтронов С, скорость счета которого зависит от разности фаз в плечах интерферометра. В одном из плеч с помощью электродов (не показанных на рис. 11) на участке длиной Z = 1 см создается электрическое поле с разностью потенциалов V — 300 В. Если бы у нейтрона был электрический заряд, то включение поля изменило бы скорость счета счетчика С. Найти, какой предельный заряд q нейтрона может быть обнаружен в таком опыте, если чувствительность интерферометра к сдвигу фаз составляет Д<р = 0,1 рад.
2.20!	Нейтроны со скоростью v0 = 5-105 см/с падают на брэгговский интерферометр, описанный в задаче 2.19. В одном из плеч ин-терферометра с помощью электродов (не показанных на рис. 11) на участке длиной Z = 1 см создается электрическое поле Е = 3-104 В/см. Если бы у нейтрона был электрический дипольный момент (1, то включение поля повлияло бы на скорость счета счетчика. Найти, какая предельная величина d может быть обнаружена в таком опыте, если поле Е параллельно предполагаемому направлению дипольного момента, а чувствительность интерферометра к сдвигу фаз А<р составляет 0,1 рад.
2.21!	Коллимированный пучок электронов с кинетической энергией Т = 1,65 кэВ пропускается через резонатор лазера, работающего
19
на длине волны X = 0,63 мкм. При некоторых углах падения пучка относительно оси резонатора, близких к прямому, может наблюдаться брэгговское рассеяние электронов на стоячей электромагнитной волне (эффект Капицы—Дирака). Оценить возможные углы отклонения электронов.
2.22!	Исходя из требования, чтобы групповая скорость и волн де Бройля равнялась скорости движения v частицы, и пользуясь формулой Рэлея, связывающей фазовую и групповую скорости, определить фазовую скорость w этих волн, а также найти связь между энергией частицы £ и частотой v.
2.23!	Движение электрона описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Электрон в таком состоянии обладает вполне определенным импульсом, но его координата совершенно не определена. Для определения х-координаты электрона на пути волны перпендикулярно к направлению ее распространения ставится непрозрачный экран со щелью. Пусть координатная плоскость ХУ расположена в плоскости экрана, причем ось X направлена перпендикулярно к щели. Показать, что в результате дифракции на щели возникает состояние электрона, в котором неопределенности координаты электрона х и импульса рх удовлетворяют соотношению Гейзенберга.
2.24!	В мысленном опыте Гейзенберга положение электрона определяется с помощью микроскопа при освещении электрона светом. Показать, что при таком методе измерения координата х и импульс рх электрона не могут быть определены более точно, чем требует соотношение неопределенностей Гейзенберга.
2.25!	Скорость макроскопического тела измеряется по доплеровскому изменению частоты световой волны при отражении от этого тела (зеркала). Показать, что соответствующие неточности измерений импульса и положения тела удовлетворяют соотношению неопределенностей Гейзенберга.
2.26.	Какова должна быть кинетическая энергия Т электронов (протонов) для исследования распределения заряда и ядерной материи внутри ядра с точностью /~1фм (10-13см), и структур с линейными размерами /~10-4фм, что соответствует радиусу слабого взаимодействия?
2.27.	Из ускорителя через щель выводится короткий сгусток протонов с энергией <S = 100 кэВ. Оценить минимально достижимую ширину пучка протонов на расстоянии L = 100 м от выходной щели.
2.28.	Пучок протонов из ускорителя выводится через отверстие диаметром d. Используя соотношение неопределенностей, найти минимальный размер пучка на экране, расположенном на расстоянии L = 1 м от отверстия, если радиус орбиты в ускорителе г = 10 см, а величина магнитного поля в момент вывода В = 300 Гс.
2.29.	Оценить минимальный диаметр d пятна, создаваемого на экране пучком электронов, если время пролета от коллиматора до экрана равно 10-8 с.
20
2.30.	Оценить минимально достижимый диаметр d пятна, которое можно создать на детекторе пучком атомов серебра, испускаемых печью с температурой f — 1200 °C. Расстояние от выходной шели печи до детектора равно L = 1 м. Расчет произвести: 1) исходя из волновой природы частиц (радиус первой зоны Френеля); 2) исходя из соотношения неопределенностей. Убедиться в эквивалентности обоих подходов.
2.31!	Предполагая, что ядерные силы между нуклонами обусловлены обменом квантами ядерного поля — виртуальными пионами, оценить радиус Дг действия ядерных сил, если известно, что энергия покоя пионов /илс2 140 МэВ.
2.32.	Оценить кинетическую энергию & электрона, локализованного в области пространства, радиус которого г~10~8см (атом) и г~10-12см (атомное ядро).
2.33!	Оценить, при какой напряженности Е электрического поля лазерного излучения может произойти пробой вакуума, т. е. разрыв виртуальных электрон-позитронных пар. См. также задачу 6.260 из второй части задачника.
2.34.	Определить теоретическое минимально разрешимое расстояние d электронным микроскопом при ускоряющем напряжении V = 100 кВ и числовой апертуре А = 0,1.
2.35.	Мезоатомы водорода (связанные состояния протона и мюона) исследуются с помощью электронного микроскопа с ускоряющим напряжением 7 = 3 МВ. При какой числовой апертуре микроскопа можно определить размер мезоатома? Энергия покоя электрона <£0 = 0,511 МэВ, масса мюона ~ 200те.
2.36.	В новых сверхпроводящих материалах расстояние d между соседними атомами около 4 А. Определить, какую апертуру должен иметь электронный микроскоп с ускоряющим напряжением V = 50 кВ, чтобы можно было получить изображение кристаллической решетки этих материалов.
2.37.	У оптического микроскопа угловая апертура порядка 1, а у электронного она равна 10~4. При каком напряжении, ускоряющем электроны, разрешающая сила этих приборов будет одинакова?
2.38.	Электрон притягивается к поверхности жидкого гелия электростатическими силами изображения, потенциальная энергия которых, как известно, равна
П(х) =^-^-гт,
где х — кратчайшее расстояние от электрона до поверхности, е — заряд электрона, £= 1,057 — диэлектрическая проницаемость гелия (рис. 12). В то же время медленный электрон не может проникнуть внутрь гелия из-за отталкивания (так называемое отрицательное сродство гелия к электрону). Поэтому можно считать, что на поверхности (х = 0) потенциальная энергия испытывает бесконечный скачок и электрон оказывается в потенциальной яме
21
(рис. 12). Пользуясь этой моделью и соотношением неопределенностей, оценить по порядку величины среднее расстояние х электрона от поверхности гелия в основном состоянии и энергию связи <£св электрона вблизи поверхности гелия.
2.39	! Оценить энергию основного состояния частицы массой т и характерный размер области локализации частицы в потенциальном поле, равном
{00 _ Г < О ' \ п кх, х > 0.
Сравнить с задачами 3.5 и 3.6.
2.40	! Электрон движется со скоростью v в плоскопараллельном слое вещества толщиной d с показателем
преломления п перпендикулярно к ограничивающим плоскостям. Скорость электрона v > с/п, так что наблюдается излучение Вавилова-Черенкова. Определить угловую расходимость Д<р излучения, обусловленную конечной толщиной слоя (рис. 13).
2.41	! Показать, что представление о классическом движении электрона в атоме водорода по первой боровской орбите противоречит соотношению неопределенностей Гейзенберга, т. е. неопределенность положения электрона порядка радиуса его орбиты.
2.42	. Показать, что в водородоподобных атомах на круговой стационарной боровской орбите укладывается целое число длин волн де Бройля. Определить длину волны де Бройля на круговой орбите с главным квантовым числом п.
2.43	! Оценить на основании соотношения неопределенностей радиус атома водорода в основном состоянии и энергию связи электрона в том же сотоянии. Определить
на основании таких же оценок размер двухатомной молекулы и энергию ее основного состояния, рассматривая молекулу как одномерный гармонический осциллятор с собственной частотой со0 и приведенной массой ц.
2.44	! Действие силы на свободно движущуюся частицу массой т можно обнаружить, наблюдая изменение ее координаты во времени. Оценить в соответствии с квантовомеханическими законами, какую минимальную силу, действующую по направлению движения частицы, можно обнаружить таким способом за время наблюдения т.
2.45	! Силу можно измерить по изменению энергии пробного тела массой т до и после действия силы. Оценить в соответствии с квантовомеханическими законами, какую минимальную силу, дей
22
ствующую по направлению движения частицы, можно обнаружить таким способом за время наблюдения т, если начальная энергия пробного тела, равная <L’(), много больше приращения энергии.
2.46	! Желание измерить координату .г электрона с хорошей точностью путем уменьшения длины волны X измерительного фотона, т. е. локализация его в размере X, приводит к тому, что появляется вероятность рождения виртуальных (е“е+)-пар. В силу неразличимости электронов мы не можем отличить исходный электрон от электрона рожденной пары. Оценить, к какой погрешности Дх, которая практически определяет размер электрона, это приводит?
2.47	. Соотношение неопределенностей между энергией и временем имеет два различных содержания: одно из них относится к нестабильным состояниям — оно определяет естественную ширину энергетического распределения излучения с энергией £, происходящего за время т, а другое относится к измерению — оно определяет время т, необходимое для измерения энергии S с заданной точностью Л<£. Используя обе эти стороны соотношения неопределенностей, оценить минимальное время /нзм, необходимое для определения того, находится ли ядро 57Fe в первом возбужденном состоянии с энергией
= 14,4 кэВ, или оно уже претерпело 7-распад и находится в основном состоянии. Какова будет ширина измеряемого при этом энергетического распределения 7-лучей.
2.48	! Рассмотрим опыт по дифракции электронов на двух щелях в незакрепленном экране. Определив место попадания частицы (положение максимума 1-го порядка) и измерив х-компоненту импульса отдачи экрана со щелями ДрЛ. (рис. 14), можно, казалось бы, определить, через какую щель проходит электрон. Этот мысленный опыт Эйнштейн предлагал Бору в качестве аргумента против соотношения неопределенностей. Показать, что измерение импульса отдачи экрана с необходимой точностью приводит к неопределенности в импульсе рассеянного электрона и тем самым к размытию интерференционной картины в полном соответствии с соотношением неопределенностей.
2.49	! Согласно принципу дополнительности Бора невозможно одновременное проявление микроскопическим объектом волновых и корпускулярных свойств. В 1995 г. в Массачусетском технологическом институте (США) был осуществлен эксперимент, направленный на проверку основ квантовой механики. Идея такого экспери
23
мента обсуждалась Фейнманом в своих лекциях. Как показано на рис. 15, пучок монохроматических атомов Na (у = 1400 м/с) направлялся на дифракционную решетку с периодом а = 200 нм, где он расщеплялся на прямой пучок и продифрагировавший в первый порядок. Затем второй решеткой пучки сводились, образовывалась интерференционная картина, контраст которой измерялся. На расстоянии z от первой решетки атомы Na возбуждались лазером (Хф = 6000А). При возвраще-
нии в исходное состояние атомы испускали фотоны, которые в принципе позволяют определить траекторию атома. На каких расстояниях z согласно принципу дополнительности происходило размытие интерференционной картины?
2.50.	Пучок немонохроматических нейтронов с длиной волны от 2 до 6 А с концентрацией
на единицу длины и на единицу интервала длин волн n(v) = n0/v
(у — скорость нейтронов), падает на толстый кусок поликристалли-ческого бериллия, состоящего из большого числа ориентированных в различных направлениях маленьких кристаллов. Считая рассеяние нейтронов в образце однократным, вычислить силу, действующую на бериллий, если известно, что у Be межплоскостное расстояние d 2 А, а п0 = 106 см_|с-1?
2.51.	В октябре 1999 г. в Венском университете был осуществлен эксперимент по дифракции очень массивных частиц — фуллеренов — молекул углерода С60. Пучок молекул направлялся на дифракционную решетку с периодом d = 100 нм, а затем на расстоянии 1= 1,25 м от решетки измерялось пространственное распределение прошедших частиц. Как видно из приведенных на рис. 16 результа-
1200
Смещение, мкм
Рис. 16
тов эксперимента, кроме прямого пучка наблюдалось еще два симметрично расположенных максимума на расстояниях Д = ± 25 мкм. Какова была скорость фуллеренов в пучке?
2.52.	Кластеры атомов или молекул получаются при расширении и, тем самым, охлаждении вылетающих из сопла монохроматических частиц. В одном из экспериментов с кластерами гелия в 1994 г. в Геттин-геме (Германия) на пути
24
пучка была установлена дифракционная решетка с периодом d = 200 нм и затем с помощью масс-спектрометра анализировался спектр частиц под различными углами в первом порядке интерференции (рис. 17). Определить скорость гелиевых кластеров: димеров, состоящих из четырех атомов гелия и обозначенных на рис. 17 как (Не2)2 (9 = 0,69 мрад), и тримеров, состоящих из шести атомов гелия (Не2)з (9 = 0,46 мрад).
2.53.	Оценить неопределенности отклонения от вертикали Дф и момента импульса ДД математического маятника, совершающего малые колебания в поле силы тяжести. Масса маятника равна т, длина — I.
2.54!	Для гармонического осциллятора можно определить время как «движение» фазы осциллятора: t = <p/co. Используя соотношение неопределенностей энергия-время, найти связь между флуктуациями ДА' среднего числа N когерентных осцилляторов в системе и флуктуацией Дф их фазы ф.
§ 3. Уравнение Шредингера. Квантование. Потенциальные барьеры
3.1!	Найти плотность потока вероятности для: а) плоской волны Ap = exp^z^zj = exp(z&z), б) сферической волны чр = ехр(г’Лг), в) суммы сходящейся и расходящейся волн зр = (selkr — e~lkr~).
3.2.	Волновая функция частицы массой т, совершающей одномерное движение, имеет вид лр(х) = Ае~ах . Найти потенциал 1/(х), в котором двигается частица, и ее энергию S, если известно, что при х = 0, U(x~) = 0.
25
3.3.	Волновая функция частицы массой т, совершающей одномерное движение в поле с потенциалом L'(x), есть
_ J Аг2 ехр(—х/а) при х > О, ' |о	при л 0.
Оценить с помощью соотношения неопределенностей среднюю кинетическую энергию (Т) частицы и сравнить с результатом точного расчета. Найти U(x) при х>0 и полную энергию частицы S, если известно, что 1/(х) —*0 при х—»оо.
3.4.	Волновая функция частицы массой т, совершающей одномерное движение в поле с потенциалом t/(x), есть
л _ (Ах ехр(—х/а) при х > 0, |о	при х 0.
Оценить с помощью соотношения неопределенностей среднюю кинетическую энергию (Т) частицы и сравнить с результатом точного расчета. Найти среднее значение координаты (х), а также U(x) при х > 0 и полную энергию <£, если известно, что (J(x~) —»0 при х—*
3.5.	Частица массы т находится в одномерном потенциале [,(.,) = (” при л'< 0, кх при х > 0.
Оценить энергию основного состояния частицы в этом потенциале, используя в качестве волновой функции ц; = х ехр(—ах). В качестве оценки взять минимальное значение среднего значения полной энергии частицы. Сравнить с задачей 2.39.
3.6.	Используя правило квантования Бора—Зоммерфельда, найти закон квантования энергии частицы массой т при больших значениях главного квантового числа п (в квазиклассическом приближении) в одномерном потенциале
= |Гх
при х < 0, при х > 0.
Указание. Правило квантования Бора—Зоммерфельда: фр d\ = nh.
3.7. В кулоновском поле простейшим сферически симметричным решением уравнения Шредингера является волновая функция Ц) = А ехр(—аг). Какой энергии (в эВ) соответствует это состояние для электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Z = 10? Чему равна а?
3.8! Взаимодействие между нуклонами в дейтроне может быть описано потенциалом Юкавы U(r) = —Uo —-, где г — относительное расстояние, а — радиус взаимодействия ядерных сил, Uo = 40 МэВ. Если аппроксимировать волновую функцию основного состояния как водородоподобную а|)(г, а) =
где
26
a — параметр, при котором достигается минимальная энергия ос-
новного состояния, то энергия связи оказывается равной 6’0 = —1,08 МэВ. Определить величину а.
(х — 1)
Указание. Уравнение	=0,108 имеет корень х = 1,5.
3.9.	Взаимодействие между нуклонами в дейтроне может быть описано потенциалом l/(r) = — UQ exp , где Uo = 32,7 МэВ, а = 2,2 фм, г — расстояние между нуклонами. Аппроксимируя вол-новую функцию основного состояния водородоподобной лр(г, а) =
л I а3	/ аг\
= ------т ехр —тг- , где а — параметр, при котором достигается ми-
V 8ла	I ш )
нимум энергии основного состояния, найти энергию связи дейтрона.
Указание. Уравнение —-— = 22,6 имеет корень х = 1,35.
3.10!	Волновая функция трехмерного изотропного осциллятора, характеризуемого классической частотой со и приведенной массой р, имеет вид лр = А(1 + аг2)е_₽г , где А, аир — некоторые константы. Определить величину констант аир, энергию этого состояния и главное квантовое число. Смотрите также задачу 4.10.
3.11.	Найти волновую функцию и уровни энергии стационарных состояний частицы массой т, локализованной в одномерной потенциальной яме прямоугольной формы с бесконечно высокими стенками (рис. 18). Ширина ямы равна 2а.
3.12!	Найти волновую функцию и уровни энергии стационарных состояний частицы массой т, локализованной в симметричной одномерной потенциальной яме прямоугольной формы, глубина которой равна Uo, а ширина 2а (рис. 19).
3.13.	В одномерной потенциальной яме шириной b с бесконечными стенками находятся N электронов. Определить минимальное значение полной энергии <9mjn и силу F давления электронов на стенки ямы. Взаимодействием электронов пренебречь.
3.14.	Поток свободно распространяющихся нейтронов падает на непроницаемую стенку толщиной L, в которой имеется канал прямоугольного поперечного сечения с высотой d = 10-3 см и шириной l»d. Длина канала L»l (рис. 20). При каких значениях скорости
27
v нейтронов в падающем пучке нейтроны могут пройти сквозь канал? Чему равна минимальная скорость в случае квадратного сечения канала d х d'!
3.15.	Поток нейтронов, летящих со скоростью Ио = 25 см/сек, падает на широкую щель с абсолютно отражающими стенками (рис. 21). Длина щели I = 1 см, высота d = 10~4 см. Сколько времени нейтрон будет находиться внутри щели, если он в нее попадет?
3.16!	Частица локализована в трехмерной прямоугольной потенциальной яме (рис. 22). Это значит, что потенциальная энергия частицы сферически симметрична относительно силового центра О, т. е. является функцией только расстояния г от силового центра:
[ — Un при г < а, = °
О при г > а.
Найти волновые функции и уровни энергии связанных стационарных состояний частицы, зависящие только от расстояния г. (В таких состояниях момент импульса частицы равен нулю.)
3.17.	Частица массой т локализована в трехмерной потенциальной яме прямоугольной формы, радиус которой равен а. Определить минимальную глубину ямы 1/0, при которой появится первый уровень энергии. Чему равна энергия частицы £ на этом уровне?
3.18.	Дейтрон — это ядро дейтерия, состоящее из протона и нейтрона. Энергия связи дейтрона, измеренная экспериментально, равна <£ = 2,225 МэВ. Аппроксимируя потенциальную энергию взаимодействия протона с нейтроном с помощью трехмерной прямоугольной потенциальной ямы, определить ее глубину 1/0, при которой возможно такое связанное состояние. Радиус потенциальной ямы а = 1,6-10-13 см.
3.19.	Определить среднее значение квадрата импульса (р2) и среднее значение квадрата координаты (х2) частицы массой т, находящейся в одномерной «мелкой» (1/0«/?2/лиа2) симметричной потенциальной яме, изображенной на рис. 23. Проверить выполнение соотношения Гайзенберга (р2)(х2) Л2/4.
3.20!	Потенциальную энергию взаимодействия t7(z) атома гелия с плоской поверхностью твердого тела z — 0 можно аппроксимировать прямоугольной ямой некоторой глубины 170 и шириной а — 5 А, при
28
чем U(z = 0) = +оо (рис. 24). Полагая, что волновая функция адсорбированного атома в основном состоянии достигает максимума при 2 = 0,99а, найти среднее значение координаты (z) для адсорбированных атомов в основном состоянии.
3.21.	Энергия взаимодействия l/(z) атома водорода с твердой стенкой аппроксимируется прямоугольной потенциальной ямой глубиной Uo, шириной а = 6 к и l/(z = 0) = +<» (рис. 25). Энергия адсорбции — это разность наинизших уровней свободного и прилипшего к стенке атома S — Uo — <§1 = 1 К. Найти величину 1/0 и среднее значение координаты (z) адсорбированных атомов.
Указание. <р ctg <р = — 1,21 при = 2л/3.
Рис. 23
О a	Z
' Рис. 24
и
максимальному значению
Рис. 26
О II
3.22.	Электрон находится в одномерной симметричной потенциальной яме размером 2а— 2 к. Отношение волновой функции основного состояния на границе ямы к ее внутри ямы составляет а = 1/2. Найти глубину ямы и энергию ионизации электрона (в эВ).
3.23.	Найти глубину ямы и энергию ионизации S электрона (в эВ), находящегося в основном состоянии в одномерной яме шириной а = 2 А с потенциалом 1/(0) = °°, U = —Uq при 0 < х < а и U = 0 при х > а, если известно, что от-
ношение волновой функции на границе ямы (х = а) к ее максимальному значению в яме равно а = V3/2.
3.24!	Частица, находящаяся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, излучает фотон, переходя из состояния с номером (п + 1) в состояние п. Найти связь частоты фотона с периодом колебаний между стенками классической ямы частицы с энергией &п.
3.25!	Свободно движущаяся частица массой т с энергией S подходит к границе раздела двух областей I и II, на которой потенциальная энергия частицы скачкообразно меняется от постоянного значения Ut до постоянного значения 1/2 (рис. 26). Определить коэффициенты отражения и пропускания частицы на этой границе по амплитуде (г и с?) и по энергии (7? и Z>). Исследовать случаи, когда: 1) <э > 1/2 и 2) <э < 1/2. Во втором случае определить среднюю глубину проникновения I частицы во вторую среду.
29
3.26.	Электрон, находящийся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной несколько сантиметров и глубиной несколько электрон-вольт, поглощает квант света с частотой v= 1,01 v0, где v0 — предельная частота света, при которой электрон может вылететь из ямы. Определить среднее число отражений N от краев ямы, которые испытывает электрон, прежде чем покинуть ее. Считать, что
время радиационного перехода электрона в основное состояние много больше времени вылета электрона из ямы.
3.27.	Электрон, находящийся в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной а = 4 к и глубиной Uo = 10 эВ (рис. 27) переведен в возбужденное состояние с энергией <£ як 10-2 эВ (нуль отсчета энергии — состояние покоя вне ямы). Оценить время жизни возбужденного состояния, считая, что оно ограничивается вылетом элек-
трона из ямы, а не переходом в основное состояние.
3.28. Электрон, введенный в жидкий гелий, расталкивает атомы жидкости и образует в ней сферическую вакуумную полость, которая является для электрона потенциальной ямой с практически бесконеч-
но высокой стенкой. Вычислить радиус полости, если поверхностное натяжение жидкого гелия равно 0,35 дин/см, а электрон занимает в
полости наинизший квантовый уровень. Внешнее давление считать равным нулю. Смотрите также задачу 2.38.
3.29. Пусть в задаче 3.25 частицей является электрон с энергией S — 2 эВ, Ux = 0, U2 = 5 эВ. Вычислить среднюю глубину его проникновения в область II.
Рис. 27	3.30! Частица массой т и энергией S из
области I проходит в область II через одномерный потенциальный барьер (или яму) прямоугольной формы с шириной I (рис. 28). Определить для случаев & > U и & < U ампли-тудные коэффициенты отражения г и * 1
।	>	пропускания d частицы на этом препят-
/ t / г	ствии, предполагая, что потенциальные
ц—I-----1	------►	энергии частицы в областях I, II и внут-
0	______-ц	ри барьера постоянны и равны соответ-
1	п 2 ственно Uy, U2, U.
Рис. 28	3.31. В предыдущей задаче U{ = U2.
При каком условии частица не будет отражаться от потенциального барьера (ямы)?
3.32. Найти энергию электрона, при которой он беспрепятственно пройдет над прямоугольным барьером высотой U = 5 эВ и шириной I = 1 А.
3.33. В 1920 г. Рамзауэр обнаружил, что в сечении рассеяния о\ медленных электронов на атомах криптона имеется глубокий минимум (резко увеличивается проницаемость атомов) при энергии £ = 0,6 эВ (рис. 29). Этот эффект обусловлен волновыми свойствами электронов. Считая, что для электрона потенциал атома является од-
зо
номерной прямоугольной ямой глубиной U = 2,5 эВ, оценить радиус
атома криптона. См. также задачу 8.14.
3.34.	Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме, изображенной на рис. 30, и имеет энергию = 1,5 эВ. Ширина ямы равна d = 3-10“8 см. Найти высоту потенциального барьера U и его проницаемость D. За какое время т вероятность найти частицу в яме уменьшится в два раза? Отражением волновой функции на задней границе потенциального барьера пренебречь.
3.35. Электрон находится в одномер-
ной потенциальной яме, изображенной на рис. 31. Энергия частицы равна S = 0,9999 эВ, а высота потенциального барьера U — 1 эВ.
Найти ширину ямы, если уровень с указанным значением энергии является первым. Оценить время жизни т частицы в яме. Отражением волновой функции на задней границе потенциального барьера следует пренебречь.
0 а	300а х
Рис. 31
и —------------------------
0 d	10<7 х
Рис. 30
3.36!	Вывести для а-распада закон Гейгера—Неттола, связывающий период полураспада Тj/2 с энергией & вылетающих частиц
соотношением In Тц2 — А + ^=, где А и В — постоянные. Считать, что потенциальный барьер С(г) имеет вертикальную стенку при г = R (радиус ядра) и определяется законом Кулона при r> R (рис. 32). Энергия вылетающей а-частицы <£’«Со (высоты барьера). Задачу считать одномерной.
3.37!	В сканирующем туннельном микроскопе (изобретен Г. Биннингом и Г. Рорером в 1982 г.; Нобелевская пре
мия 1986 г.) регистрируется туннельный ток электронов 3 через вакуумный зазор между поверхностью проводящего образца и установленной перпендикулярно к ней острой металлической иглой. Оценить,
как изменится туннельный ток, если игла при своем поступательном движении параллельно поверхности образца пройдет над ступенькой высотой b = 1 А. Работы выхода электронов из иглы At = 4,5 эВ и об
31
разца Л2 = 4,0 эВ. На иглу подано напряжение V = +0,2 В относительно образца.
Указание, считать, что до приложения напряжения уровни максимальной энергии электронов в материалах иглы и образца
совпадают.
3.38.	В сканирующем туннельном микроскопе регистрируется туннельный ток электронов через вакуумный зазор между поверхностью проводящего образца и установленной перпендикулярно к ней острой металлической иглой. Работы выхода электронов из иглы А| = 3,0 эВ и образца А2 = 4,0 эВ. На иглу подано напряжение V = —0,5 В относительно образца. Оценить, во сколько раз изменится туннельный ток, если игла при своем поступательном перемещении параллельно поверхности образца пройдет над участком, работа выхода для которого больше на 15%. При оценках считать, что электроны туннелируют сквозь одномерный потенциальный барьер, а электрическое поле между иглой и образцом является однородным. Величина зазора b = 10 к. См. указание к задаче 3.37.
3.39.	В сканирующем туннельном микроскопе регистрируется туннельный ток электронов через вакуумный зазор между поверхностью проводящего образца и установленной перпендикулярно к ней острой металлической иглой. Для повышения чувстви-
тельности микроскопа величина зазора модулируется посредством малых колебаний иглы вдоль ее оси с амплитудой колебаний а = 0,2 А. Работы выхода электронов из иглы А[ = 3,0 эВ и образ
ца А2 = 2,0 эВ. На иглу подано напряжение V = + 0,5 В относительно образца. Какова амплитуда колебаний туннельного тока 6<Д = («Дмакс — с5мин)/2, если <Дмакс = 1 нА? При оценках считать,
что электроны туннелируют сквозь одномерный прямоугольный потенциальный барьер. Поле между иглой и образцом можно считать однородным. См. указание к задаче 3.37.
3.40.	В 1988 г. появилось сенсационное сообщение об осуществлении холодного ядерного синтеза дейтерия, растворенного в металлическом палладии. Можно считать, что при этом ядра дейтерия взаимодействуют друг с другом по закону Кулона, если расстояние между ними г удовлетворяет условию Rt — 2-10“13 см < г S 5-10-4 см = R2. При большем расстоянии между ядрами энергия электрического отталкивания U — 0 за счет экранирования ядер дейтерия электронами проводимости. Определить вероятность реакции синтеза d + d при столкновении дейтронов внутри палладия при комнатной температуре за счет туннельного эффекта. Считать, что реакция синтеза происходит при г < Ry.
3.41. Рассчитать коэффициент прозрачности барьера деления тяжелых ядер, аппроксимируя его параболическим барьером (такая аппроксимация реально желых ядер)	/
и = .ио[} о
отражает форму барьера деления тя-— — I при |х| < а,
при |х| > а,
32
(рис. 33) и выразить его через «квант» Йсо =	, соответству-
ющий кривизне барьера. Энергия возбуждения ядра равна S. Смотрите также задачи 9.41 и 9.42.
3.42.	Частица массой т находится в одномерной потенциальной яме 1/(х) с непроницаемыми стенками I/(x) Lso = 00 и «колодцем» I х»Ь на дне (рис. 34)
J — Uo приО<х<«, Uo > О,
1 0 при а < х < Ь.
Для стационарных состояний с энергией 0 < & S Uq определить отношение / максимально возможных плотностей вероятности нахождения частицы при х<аиа<х<Ь. Найти в случае t/0»£ резонансные значения энергии, при которых величина / сильно возрастает.
3.43!	При вращении сосуда со сверхтекучим гелием в объеме образуются линейные вихри (рис. 35). Скорость атомов гелия в вихре v = Kir, где г — расстояние от оси, К — константа, называемая интенсивностью вихря. Найти минимальное численное значение интенсивности вихря.
3.44.	В жидком гелии II при температуре ниже Х-точки могут существовать вихревые нити. Вокруг вихревой нити жидкость движется по окружностям, причем момент количества движения атомов гелия относительно оси вихревой нити подчиняется правилу квантования Бора. Найти поле скоростей вокруг вихревой нити.
3.45.	При прохождении нерелятивисткой частицы с энергией & над прямоугольным барьером высотой U — (3/4)^ коэффициент отражения по мощности оказался равным R = 9/25. Определить минимально возможную ширину барьера в единицах соответствующей ему дебройлевской длины волны.
У Казание. Воспользоваться известным из оптики условием, что при отражении от оптически менее плотной среды фазы отраженной и падающей волн совпадают.
3.46.	При прохождении нерелятивисткой частицы с энергией S над одномерной прямоугольной ямой глубиной U = —3^ коэффици
33
ент отражения по мощности оказался равным R = 9/25. Определить минимально возможную глубину ямы в единицах соответствующей ему дебройлевской длины волны.
Указание. Воспользоваться известным из оптики условием, что при отражении от оптически более плотной среды фазы отраженной и падающей волн отличаются на л.
3.47.	Электрон находится в основном состоянии в одномерной симметричной прямоугольной потенциальной яме с шириной 2а = 10 А с потенциалом 1/( ± оо) =0. Отношение вероятностей обнаружить частицу внутри и вне ямы равно а = 0,1. Считая, что изменение волновой функции внутри ямы мало, определить энергию связи электрона и глубину ямы (в эВ).
3.48.	Нейтрон находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с шириной а = 1,3-10-13 см, ограниченной с одной стороны бесконечно высокой стенкой. При этом U = 0 при 0 < х < а, а при х > а потенциал U равен постоянной конечной величине t/0. Отношение вероятностей обнаружить частицу внутри и вне ямы равно а = 0,1. Считая, что максимум волновой функции достигается вблизи границы ямы, определить энергию связи нейтрона.
3.49.	Микрочастица находится в прямоугольной потенциальной яме заданной ширины. Одна стенка бесконечная, а вторая — конечная, высотой Uo. Энергия частицы в яме S = 31/0/4. Во сколько раз надо квазистатически «сжать» яму при неизменной высоте, чтобы частица стала свободной?
3.50.	Микрочастица находится в одномерной потенциальной яме заданной ширины. Одна ее стенка бесконечно высокая, а вторая — конечной высоты t/0. Энергия частицы в яме S = t/0/2. Во сколько раз надо квазистатически изменить высоту ямы при неизменной ширине, чтобы частица стала свободной?
3.51.	Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с шириной а = 4 А (1/(0) = <», U(a) = Uo = 1 эВ) в состоянии с энергией S = 0,88 эВ. На яму накладывается постоянное электрическое поле Е = 3-105 В/см, направленное в отрицательную сторону оси х. Оценить возникающую при этом ширину уровня энергии. Считать, что энергия уровня не меняется при наложении поля.
3.52.	Электрон находится в одномерной симметричной прямоугольной потенциальной яме с шириной 2а = 4 A (1/(—а) = 1/(а) = = и0 = 1 эВ) в состоянии, энергия которого S = 0,8 эВ. На яму накладывается постоянное электрическое поле Е = 3-105 В/см, направленное в отрицательную сторону оси х. Оценить время, через которое электрон покинет яму. Считать, что энергия уровня не меняется при наложении поля.
34
§ 4.	Атом водорода и водородоподобные атомы
4.1*	Частица находится в центральном поле силового центра с потенциальной энергией U = —C/rs, где С — положительная постоянная, аг — расстояние от силового центра. Исходя из соотношения неопределенностей, показать, что при s > 2 возможны стационарные состояния частицы со сколь угодно большими по абсолютной величине отрицательными собственными значениями полной энергии. Частица при этом условии будет переходить на нижележащие энергетические уровни — произойдет ее «падение» в точку г = О, т. е. на силовой центр. Если же s < 2, то наиболее низкий энергетический уровень будет иметь конечное значение полной энергии, т. е. падения на силовой центр не произойдет.
Пользуясь этими результатами, объяснить возможность существования атомов, например атома водорода.
4.2.	Показать, что в пределе, когда главное квантовое число п в атоме водорода стремится к бесконечности, движение электрона переходит в классическое движение по круговой орбите.
4.3.	Классические формулы следуют из квантовых в пределе высоковозбужденных состояний (т. е. при п—»оо). В атоме водорода, как и в задаче Кеплера, потенциальная энергия t/(r) ос 1. Исходя из квантовых формул для уровней энергии £п = —Ry/n2 и радиусов состояний г„ — ап2 электрона в атоме водорода, получить для больших п третий закон Кеплера.
4.4.	Показать, что среди сферически симметричных решений уравнения Шредингера для водородоподобного атома, конечных при г = 0 и обращающихся в нуль при г — «>, имеется экспоненциальное решение е~аг. Найти постоянную а и энергию атома в рассматриваемом состоянии. Что это за состояние?
4.5.	Найти объемную плотность вероятности нахождения электрона в водородоподобном атоме для основного состояния1).
4.6.	Найти радиальную плотность вероятности нахождения электрона в водородоподобном атоме для основного состояния. При каких значениях г эта величина достигает максимума1).
4.7.	Найти среднее расстояние {г ) электрона от ядра в Is-состоянии водородоподобного атома1).
4.8.	Найти среднее значение обратного расстояния (1/г) электрона от ядра в основном состоянии водородоподобного атома1).
4.9.	Найти средние значения потенциальной (U) и кинетической (Г) энергий основного состояния водородоподобного атома1).
4.10.	Волновая функция одного из состояний атома водорода имеет вид тр = Л(1 + аг)е-Рг, где А, а, |3 — некоторые константы. Опре-
Ь Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода Ч) = -т=г<'*г/Г|, где Г] — радиус первой боровской орбиты.
V -1 1-3
35
делить величину констант аир, энергию этого состояния и его квантовые числа.
4.11.	Определить разрешающую способность R спектрального прибора, необходимую для наблюдения изотопического сдвига спектральных линий дейтерия относительно линий водорода. Какова должна быть ширина b основания призмы из тяжелого флинта с дисперсией dn/cTk — 1000 см-1 (в диапазоне красного света) в призменном спектрографе, применяемом для обнаружения изотопического сдвига головной линии серии Бальмера?
4.12.	Серия Лаймана наблюдается в смеси атомарных водорода и трития (ядро атома трития состоит из протона и двух нейтронов). Определить разрешающую способность спектрального прибора, которая достаточна для разрешения изотопической структуры спектральных линий этой серии. Как меняется требуемая разрешающая способность при переходе к другим сериям (Бальмера, Пашена) той же смеси? Можно ли разрешить изотопическую структуру спектральных линий той же смеси в видимой области спектра с помощью стеклянной призмы с основанием b = 1 см и дисперсией показателя преломления dnld'K = 1000 см-1? Каково должно быть эффективное число отражений А^фф и порядок т наблюдаемого спектра, чтобы разрешить и исследовать ту же структуру с помощью интерферометра Фабри—Перо?
4.13.	Серия Бальмера наблюдается в смеси атомарных водорода и дейтерия. Определить разрешающую способность и число штрихов N дифракционной решетки, которые необходимы для разрешения во втором порядке изотопической структуры спектральных линий этой серии. Как меняется эта разрешающая способность с увеличением номера линии (т. е. с уменьшением длины волны) указанной серии?
4.14.	В спектрах некоторых звезд наблюдается т «к 30 линий водородной серии Бальмера. При каком наименьшем числе N штрихов дифракционной решетки можно разрешить эти линии в спектре первого порядка?
4.15.	Кварцевая пластинка, расположенная между скрещенными поляроидами, образует поляризационный фильтр. Разрешенные направления пластинки составляют угол 45° с главными направлениями поляроидов. Какую минимальную толщину должна иметь пластинка, для того чтобы с помощью такого фильтра можно было отделить наиболее длинноволновую линию серии Бальмера для водорода (А. = 656 нм) от той же линии дейтерия? Показатели преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей в кварце п0 — 1,5442, пе — 1,5533. Источником света является газоразрядная водородно-дейтериевая лампа.
4.16.	Каково должно быть минимальное расстояние между зеркалами в интерферометре Фабри—Перо, чтобы по оптическому спектру установить наличие двух изотопов калия ^К и f^K? Коэффициент отражения зеркал по энергии 0,9, энергия ионизации атома калия W = 4,3 эВ.
36
4.17.	Отрицательные мюоны могут захватываться атомом и замещать в нем электроны электронной оболочки. Практически может замешаться лишь один электрон. Получающиеся в результате такой замены системы называются мезоатомами. Масса мюона = 207те. Вычислить по теории Бора радиус первой круговой орбиты (К-орби-ты) мюона в мезоатоме. Рассчитать энергетические уровни мезоатома. Какое излучение будет наблюдаться при переходе на /Сорбиту мюона с более высоких орбит? Почему исследование такого излучения применяется для выявления структуры тяжелых атомных ядер? Массой мюона по сравнению с массой ядра пренебречь.
4.18.	Позитроний представляет собой связанную систему из электрона и его античастицы — позитрона. Найти уровни энергии, энергию ионизации и соответствующую ей длину волны резонансной линии позитрония. Резонансным называют переход из первого возбужденного состояния в основное.
4.19.	Длина волны линии На водородной серии Бальмера равна X = 0,656 мкм. Определить по этим данным энергии ионизации <£и позитрония и мюония, находящихся в основном состоянии. Масса мюона = 207me (те — масса электрона).
4.20.	Рассчитать энергию излучения Д4>, испускаемого в мезоатоме водорода (мюония) при переходе мюона с N- на Л4-оболочку. Как велик радиус 1-й боровской орбиты в этом случае?
4.21.	Оценить скорость мюона ц“ в мезоатоме с зарядом ядра Z = 10. Найти радиус атома.
4.22.	При переходе пиона л- с 4/-оболочки на 3<7-оболочку мезоатома с ядром фосфора (Z = 15) испускается рентгеновский квант с энергией S = 40 кэВ. Определить массу пиона и радиус 3<7-оболочки.
4.23.	Какова была бы энергия связи и радиус водородоподобной системы из двух нейтронов при учете только силы гравитационного притяжения между ними?
4.24.	Какой радиус имела бы 2р-оболочка атома из нейтрона и электрона, связанных между собой только силой гравитационного взаимодействия?
4.25.	Найти потенциалы ионизации ионов Не+ и Li++.
4.26.	Определить наименьшую энергию, которую надо сообщить в основном состоянии трижды ионизованному атому бериллия, чтобы возбудить полный спектр этого атома.
4.27.	Энергия ионизации атома Не равна 24,5 эВ. Определить энергию S, необходимую для получения из нейтрального атома Не дважды ионизованного иона Не++.
4.28.	Ядро атома трития, находящееся в основном состоянии, испытывает (3“-распад. Считая, что за время вылета распадного электрона состояние атомного электрона не успевает измениться, найти его полную энергию сразу после распада.
4.29!	В 1989 г. в ЦЕРНе при пропускании медленных антипротонов через водородную камеру наблюдалось образование протониу-ма — атома состава (рр). Энергия излучения, соответствующая пере
37
ходу протониума из состояния 2р в 1s, оказалась равной 10,1 кэВ. Определить вклад сильного взаимодействия в разность энергий указанных уровней. Для какого из этих уровней вклад сильного взаимодействия оказывается наибольшим?
4.30.	За счет сильного взаимодействия энергия основного состояния протониума (системы (рр)) сдвигается на — 0,7 кэВ относительно его «чисто кулоновского» значения. Считая, что сильное взаимодействие описывается потенциалом Юкавы //(г) = = — (g2/r) exp (—г/г0), г0 = 0,8 • 101! см, оценить величину константы сильного взаимодействия g2/(hc) в системе (рр). Волновая функция ls-состояния протониума гр = (лгБ)~1/2 ехр (—г/гБ), где гБ — боровский радиус протониума.
4.31.	Фотон головной (наиболее длинноволновой) линии серии Лаймана иона гелия Не+ поглощается водородным атомом в основном состоянии и ионизует его. Определить кинетическую энергию Т, которую при этом получит электрон.
4.32.	Атом водорода, вначале находившийся в неподвижном состоянии, излучил квант света, соответствующий головной (наиболее длинноволновой) линии серии Лаймана. Определить относительное изменение частоты фотона A v/v0 из-за отдачи. Какую скорость приобрел атом за счет энергии отдачи?
4.33.	С какой скоростью и в каком направлении должна двигаться светящаяся газоразрядная лампа, заполненная водородом, чтобы в ней происходило поглощение света, излучаемого неподвижной газоразрядной лампой, заполненной дейтерием? Рассмотреть движение вдоль прямой, соединяющей лампы.
4.34.	При аннигиляции позитронов с электронами образуются два у-кванта, уносящие энергию покоя аннигилировавших частиц. Если бы электрон и позитрон перед аннигиляцией покоились, у-кванты разлетались бы в строго противоположных направлениях. В реальном процессе аннигиляции замедленные в веществе позитроны сталкиваются с движущимися атомными электронами, и угол конуса разлета у-квантов отличается от 180°. Оценить, насколько этот угол отличается от развернутого, если аннигиляция происходит на электронах A-оболочки углерода.
4.35.	Позитроний поглощает фотон, образовавшийся при переходе атомарного водорода из первого возбужденного состояния в основное. Определить скорости электрона и позитрона в случае их симметричного относительно направления движения фотона разлета. Атом в исходном состоянии считать неподвижным.
4.36!	При комптоновском рассеянии квантов на атомных электронах явление осложняется тем, что электроны в атомах не находятся в покое. Оценить связанный с этим разброс в углах разлета электронов отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассеянии рентгеновских квантов (X = 1 А) строго назад.
38
4.37.	Решить предыдущую задачу для электронов отдачи, выбиваемых с А-оболочки атомов свинца при рассеянии гамма-квантов с длиной волны А = 0,01 А строго назад. Для свинца Z = 82.
4.38!	Считая, что поправка на экранирование заряда ядра электронами на А-оболочке одинакова для атомов с Z < 50, найти кинетическую энергию Те фотоэлектронов, вылетающих из К-обо-лочки атомов 30Zn под действием Аа-излучения серебра 47Ag с энергией 21,6 кэВ.
4.39.	Во сколько раз отличаются средние длины свободного пробега атома водорода в основном и возбужденном состояниях (п = 10) в разреженном одноатомном газе при одинаковой концентрации?
4.40.	В электрическом поле возможна спонтанная ионизация атомов. Оценить, при какой величине напряженности поля Е (в В/см) окажется ионизованным атом водорода в состоянии с п = 10. Энергии уровней считать не зависящими от поля.
4.41!	Задача об отыскании уровней энергии атомов обычно решается в предположении, что заряд ядра точечный. На самом деле ядро имеет размер, и радиусы ядер Ая = 1,3-10-13А1/3 см, где А — атомная масса. Определить знак и оценить порядок величины относительной поправки ДА/А к энергии мюона на А-оболочке в мезоатоме неона (Z = 10, А = 20), связанной с тем, что часть времени мюон находится внутри ядра, т. е. в поле с потенциалом, отличным от 2ег1г. Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода ip = J__е~г/Г1, где ri — радиус первой боровской орбиты.
V лг3
Масса мюона ти = 207те.
4.42.	Задача об отыскании уровней энергии атома решается в предположении, что заряд ядра точечный. На самом деле ядро имеет размер, и радиусы ядер Ая =1,3- 10-13А1/3 см, где А — атомная масса. Определить знак и оценить порядок величины относительной поправки ДА/А к энергии электрона на А-оболочке в атоме неона (Z = 10, А = 20), связанной с тем, что часть времени электрон находится внутри ядра, т. е. в поле, отличном от кулоновского. Нормированное выражение для волновой функции основного состояния электрона в атоме водорода гр =  e~rll\ где Tj — радиус первой боровской орбиты.
4.43.	Положительно заряженный мюон (ти = 207те), образовавший вместе с электроном водородоподобный атом — мюоний, распался, причем продукты распада быстро разлетелись в разные стороны. Каково среднее значение кинетической энергии оставшегося после этого электрона, если в момент распада мюона мюоний находился в состоянии 1s? Волновая функция основного состояния в атоме водорода гр = -Ду е~г,г', где Tj — радиус первой боровской орбиты.
У лг3
4.44.	Рассчитать для этой же системы (см. задачу 4.43) среднее значение кинетической энергии оставшегося после этого электро-
39
на, если в момент распада мюона мюоний находился в состоянии 2s. Волновая функция электрона, находящегося в 25-состоянии в атоме водорода, хр = . 1 , (1 —	е~''12г\ где — радиус первой
боровской орбиты.
4.45.	В атоме гелия один из электронов замещен мюоном. Оценить энергию электронного (Зр—2х)-перехода в таком атоме.
4.46.	В сложных атомах электрическое поле, в котором движется электрон, формируется как ядром, так и другими электронами. Однако в щелочных металлах с достаточной точностью можно считать, что внешний электрон движется в поле ядра с эффективным зарядом 2эфф- Оценить величину эффективного заряда для Зр-электрона Na, если известно, что потенциал ионизации натрия равен Uq = 5,1 эВ, а длина волны его яркой желтой линии X = 589 нм (переход Зр—3s).
4.47.	Атом, пролетая через кристалл, подвергается воздействию
периодического поля решетки кристалла, в результате чего возможно резонансное возбуждение его уровней (эффект Окорокова). Какова должна быть скорость двукратно ионизованного атома лития, чтобы при пролете его через кристалл золота возбуждался уровень с квантовым числом п = 2? Период решетки в направлении движения иона а = 4,07 А. См. также задачу 7.34.
4.48!	Найти энергию основного состояния и первый потенциал ионизации атома Не, использовав в качестве хр-функций произведение хр-функций основного состояния электрона в водородоподобном атоме хр0 = е~г1а, где a = rB/Z, так что хр(гь г2) =
— чРо(г1) чРо(г2)- При вычислении энергии кулоновского расталкивания электронов воспользоваться теоремой Гаусса.
4.49.	Атом водорода находится в состоянии с энергией £ = —1,51 эВ и при этом радиальная часть волновой функции ни разу не обращается в ноль на интервале!) < г < <». Что это за состояние?
4.50.	Атом водорода находится в состоянии с энергией & ~ —3,4 эВ и при этом радиальная часть волновой функции один раз обращается в ноль на интервале 0 < г < <». Что это за состояние?
4.51!	Релятивистский пучок однократно ионизованных атомов
гелия, находящихся в основном состоянии, движется навстречу лазерному излучению с длиной волны Хо = 248 нм. Ионы поглощают
это излучение, переходят в первое возбужденное состояние, а затем
испускают кванты света при обратном переходе. Найти длину волны этого излучения (в направлении движения ионов) в ЛСО (лабораторной системе отчета), а также кинетическую энергию ионов.
4.52. Исходя из формулы, определяющей интенсивность диполь-т 2 ’j о	J
ного излучения / = d , где d — дипольный момент излучающей
системы, оценить время жизни первого возбужденного уровня однократно ионизованного атома гелия. Считать атом гармоническим ос
циллятором.
40
4.53.	Исходя из формулы, определяющей интенсивность диполь-
ного излучения 1 = -^ а ,
где d — дипольный момент излучающей
системы, оценить время жизни возбужденного состояния иона Ве3+ по отношению к переходу с уровня п = 10 на уровень с п = 9. Считать атом гармоническим осциллятором.
4.54.	Конечный размер атомных ядер приводит к смещению энергетических уровней К-электронов по сравнению с моделью точечного ядра. Например, согласно расчету в атоме неона этот сдвиг составляет A<S/<S = 6-10-7. Оценить эту величину для Х-электронов атома свинца.
4.55.	Оценить, какой радиус должна иметь звезда с массой, равной массе Солнца М = 2-1033 г, и магнитным полем на поверхности В — 5 кТл, чтобы на экваторе звезды могла происходить ионизация атома водорода межзвездного газа, падающего из бесконечности. Считать, что ионизация атома происходит, когда вершина возникающего для электрона потенциального барьера сравнивается с энергией основного состояния.
§ 5.	Ширина линий. Спектры молекул. Рентгеновское излучение
5.1.	Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет около т~10-8с. При переходе атома в основное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна X = 500 нм. Оценить ширину АХ и относительную ширину АХ/Х излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других процессов. (Такая ширина называется естественной шириной спектральной линии.)
5.2.	В л-мезоатоме водорода роль электрона играет отрицательный пион л-, энергия покоя которого составляет 140 МэВ. Оценить связанную с распадом пиона относительную ширину спектральной линии, соответствующей переходу пиона с L на К-оболочку. Время жизни пиона равно 2,6-10—8 с.
5.3.	Оценить минимальную ширину Xmin, которую должна иметь дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было обнаружить естественную ширину линии, испускаемой атомами с временем жизни возбужденного состояния т = 0,1 нс. (Все условия постановки опыта предполагаются идеальными.)
5.4.	Моноэнергетический параллельный пучок возбужденных атомов движется вдоль оси вакуумной трубки со скоростью г = 108 см/с. В стенках трубки сделаны окошки для регистрации излучения атомов пучка в зависимости от пути, пройденного атомами. Результаты этих измерений изображены на рис. 36. По оси абсцисс отложено расстояние х, пройденное атомами вдоль трубки, отсчитанное от 1-го окошка, а по оси ординат — натуральный логарифм отношения интенсивности света 3 к интенсивности измеренной
41
детектором, стоящим в 1-м окошке. Определить естественную ширину линии Av, излучаемой атомами пучка.
5.5.	Температуру газовых облаков в межзвездном пространстве можно оценить по доплеровскому уширению спектральных линий, испускаемых атомами, входящими в состав газа. Для этой цели обычно используют водородную линию с длиной волны X = 21 см (см. также тексты задач 6.48 и 6.50, объясняющие природу этой линии). Оценить температуру Т газового водородного облака, если испускаемая им водородная линия имеет полуширину Av = 5 кГц.
5.6.	На рис. 37 изображено распределение энергии в спектральной линии дважды ионизованного углерода 12С (эту спектральную линию можно наблюдать в дуговом разряде в сильном магнитном поле). Уширение спектральной линии обусловлено движением излучающих атомов (эффект Доплера). Оценить температуру Т излучающих атомов.
Рис. 37
5.7.	Изучается спектр излучения газа в разрядной трубке. Считая, что при столкновениях возбужденные атомы мгновенно переходят в нижележащие состояния, оценить соотношение между доплеровской шириной спектральных линий в диапазоне видимого света и их уширением за счет столкновений, если длина свободного пробега I Ю-4 см.
5.8.	Возбужденные атомы с временем жизни т~10-10с и энергией ионизации <£и~10эВ ионизуются излучением с длиной волны Х~100 А. Оценить относительный разброс фотоэлектронов по энергиям.
5.9.	Одна из причин уширения спектральных линий атомов в газе связана со столкновениями, которые ограничивают время жизни возбужденного состояния. Оценить вклад этого механизма в относительную ширину линии перехода в неоне на длине волны X = 0,63 мкм, используемой в гелий-неоновом газовом лазере, в условиях, когда коэффициент диффузии атомов неона D — 100 см2/с. Температуру газа принять равной Т = 400 К.
5.10!	Молекула СО2 имеет множество дискретных переходов, пригодных для генерации лазерного излучения вблизи 1000 см-1 с
42
210 4эВ	Т1,510“4эВ
1 • 10“ 4 эВ	| 110~4эВ
а	б
Рис. 38
расстоянием между линиями Аа ~ 2 см"1. Для осуществления плавной перестройки частоты лазера пользуются повышенным давлением, когда ударное уширение приводит к слиянию этих линий в одну полосу. Оценить необходимое для этого давление Р при температуре Г = 400 К Сечение столкновения молекул о % 10“15 см2.
5.11.	В опытах с разными молекулами измерялись энергии перехода между тремя последовательными уровнями энергии вращательной полосы двухатомной молекулы (рис. 38а и б). Найти квантовые числа / этих уровней и момент инерции 1 молекулы в случаях а и б.
5.12.	Из опыта известно отношение длин волн электромагнитного излучения, соответствующего переходам в молекулах НС1 и HI из основного в первое вращательное	состояние:
а = ХНС,/ХН1. Определить отношение междуядерных расстояний в этих молекулах л- = ГнсЛнь
5.13.	Какова максимальная длина волны СВЧ-излучения, с помощью которой можно вызвать переход между ротационными уровнями молекул хлора? Расстояние между ядрами атомов в молекуле С12 равно а = 2 -10'8 см. Относительная атомная масса изотопа хлора А = 35.
5.14.	Найти отношение частот линий поглощения наиболее длинноволновых вращательных переходов молекулы НС1 для двух изотопов хлора 35С1 и 37С1. Считать, что межатомные расстояния не зависят от изотопического состава молекулы. Вычисления произвести с точностью 10~2%.
5.15.	Найти отношение наименьших энергий переходов между вращательными уровнями газа, состоящего из смеси водорода и дейтерия, в котором присутствуют молекулы Н2, HD и D2. Считать, что межатомное расстояние не зависит от изотопического состава.
5.16.	Дальний инфракрасный спектр молекулы НВг, обусловленный переходами между соседними вращательными уровнями молекул, состоит из ряда линий, отстоящих друг от друга на расстояние = 17см'1. Найти расстояние между ядрами в молекуле НВг.
5.17.	Оценить в видимой области спектра (X — 6000 А) разрешающую способность R спектрального прибора, пригодного для исследования спектра молекулярного водорода (т. е. спектра, обусловленного переходами между электронновращательными уровнями молекулы). Момент инерции молекулы Н2 в основном электронном состоянии 1 = 0,46-10~40 г см2.
5.18.	При каких величинах периода вращения Т песчинки с характерным размером а = 0,1 мкм начинает проявляться кванто
43
вый характер вращения, т. е. дискретность вращательного спектра? Плотность песчинки р принять равной 5 г/см3.
5.19!	При температурах ниже приблизительно Т = 100 К молярная теплоемкость Ск молекулярного водорода составляет ЗЛ/2, тогда как при комнатных температурах она равна 5R/2 (R — универсальная газовая постоянная). Пользуясь этими данными, оценить момент инерции I молекулы водорода относительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно к оси, проходящей через атомы, из которых построена молекула. Оценить также частоты v и длины волн X спектральных линий, возникающих при переходах между вращательными уровнями молекулы.
5.20.	Оценить количество вращательных уровней молекулы НС1, возбуждаемых при комнатной температуре. Межъядерное расстояние у этой молекулы равно d = 1,27 А.
5.21.	Показать, что в основном состоянии гармонического осциллятора Ар2- Ах2 = Й2/4, где Ар2 и Ах2 — среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних значений. Волновая функция основного состояния гармонического осциллятора %(х) =	1/4 ехр	, где а = Смотрите также задачу 2.43.
5.22!	Показать, что уравнение Шредингера, описывающее одномерный гармонический осциллятор, помещенный в однородное электрическое поле Е, может быть сведено к задаче о гармоническом осцилляторе, т. е. движению в потенциале вида U = тш2х2/2. Каковы уровни энергии частицы в этом случае?
5.23!	В спектре испускания молекулярного азота имеются линии с длинами волн 3371 А, 3577 А и 3805 А. Можно ли интерпретировать эти линии как переходы с изменением колебательного квантового числа на 0, 1 и 2, если измерения сделаны с точностью 0,2 %? Определить энергетическое расстояние между соответствующими уровнями молекулы азота. С помощью полученных результатов по формулам классической физики оценить жесткость к упругой связи атомов в молекуле азота.
5.24!	Оценить отношение кванта колебаний молекул Н2 и О2 к характерной энергии возбуждения валентных электронов <£е, считая, что эффективный коэффициент упругости молекулярной связи к = fefja2, где а — межатомное расстояние. Выразить ответ через отношение массы электрона т к массе ядра М. Оценить амплитуду нулевых колебаний молекул и выразить ее через отношение т/М и а.
5.25.	В угарном газе СО из-за возбуждения колебаний молекул наблюдается пик поглощения инфракрасного излучения на длине волны X = 4,61 мкм. Определить амплитуду .40 нулевых колебаний молекулы СО. Оценить температуру, при которой амплитуда тепловых колебаний превзойдет Ао.
44
5.26. Какова амплитуда колебаний молекулы кислорода О2 при
комнатной температуре, если известно, что расстояние между ее колебательными уровнями равно А<£ = 0,25 эВ?
5.27. На рис. 39 изображена часть графика зависимости энергии
взаимодействия U атомов азота друг с другом от межатомного расстояния г. Считая яму параболической, найти отношение колебательного
кванта к энергии возбуждения первого вращательного состояния в молекуле азота.
5.28. Пылинка с плотностью р = 2 г/см3 и радиусом г прикреплена к неподвижной стенке невесомым стержнем длиной I = 4г и диаметром d — 2г — 1 мкм (рис. 40). Модуль Юнга стержня Е = 1011 Па. Определить энергию кванта ко-
лебаний пылинки вдоль
нормали к стенке, а также длину электромагнитной волны, способной возбудить такие колебания, и амплитуду нулевых колебаний.
5.29! Разность энергий диссоциации молекул D2 и Н2 равна
А<£ = 0,08 эВ, а потенциал взаимодействия атомов в этих молекулах
одинаков. Каковы энергии нулевых колебаний этих молекул (в эВ)?
5.30. Оценить энергию нулевых колебаний атомов жидкого гелия
(плотность р = 0,145 г/см3).
5.31! Определить отношение энергий возбуждения первого вращательного уровня молекулы азота в основном и первом возбужденном колебательном состояниях. Расстояние между атомами азота в основном состоянии молекулы г0 = 1,1 А, квант вибрационных возбуждений Йсо = 0,3 эВ. См. также
Рис. 40
задачу 5.57.
5.32. Поле, в котором движется атом жидкого гелия, хорошо описывается потенциалом Леннард-Джонса 1/(г) = <р[(г0/г)12 — — 2(г0/г)6], где ф = 232 К, а г0 = 3-10-8 см. Оценить энергию нулевых колебаний.
5.33. Потенциал взаимодействия атомов в двухатомной молекуле можно с достаточной точностью аппроксимировать потенциалом Морса U(r) = Z)[exp (— 2a(r — r0)) — 2 exp (—a(r — r0))L У молекулы азота постоянная a = 4-108 см-1, энергия диссоциации равна D = 7,4 эВ. Оценить расстояние между колебательными уровнями молекулы азота.
5.34. Смесь атомов двух видов А и В имеет уровни возбужденных состояний SA, <£в, причем <SA — <SB = А<£. При освещении излучением с частотой v, такой что hv = <SA, кроме последующего обратного излучения той же частоты в результате соударений атомов А и В появ-
45
ляется также излучение с частотой v' = <Ь’в//г и происходит увеличение кинетической энергии атомов. Найти скорости атомов после соударений, если известны массы атомов тА и тъ. Считать, что энергия теплового движения мала по сравнению с Д<£.
5.35.	При лазерном разделении изотопов в газообразной фазе один из разделяемых изотопов ионизуется лазерным лучом и затем удаляется из смеси электростатическим полем. Такому разделению изотопов препятствует тепловое движение атомов. Определить, возможно ли подобное разделение изотопов 6Li и 7Li с помощью ультрафиолетового лазера, если известно, что энергия ионизации лития 5,4 эВ; газообразный литий может существовать при температуре Г 800 °C. Принять, что 2Эфф для электрона незаполненной оболочки не зависит от массы изотопа.
5.36.	В атоме тантала (Z = 73) совершается переход с М-слоя на L-слой. Определить длину волны X испущенного фотона, если постоянная экранирования о = 5,5.
5.37.	Вычислить приближенно частоту и длину волны Ка-линии Мо, а также энергию кванта, соответствующую этой линии.
5.38.	Найти приближенно минимальное напряжение V на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться Ка-линии Mo, Си, Fe.
5.39!	Найти границу /<-полосы излучения Мо, Си и Fe.
5.40.	Какие линии Ni возбуждаются К-излучением Со?
5.41.	Известно, что длина Ка-линии одного элемента равна 0,0788 нм, а другого 0,0713 нм. Выяснить, стоят ли эти элементы рядом в таблице Менделеева. Какие это элементы?
5.42.	Начиная с какого элемента появляется L-серия?
5.43.	Определить напряжение V на рентгеновской трубке с никелевым антикатодом, если разность длин волн между Ка-линией и коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра равна ДХ = 84 нм.
5.44.	Какой минимальной кинетической энергией должна обладать а-частица, чтобы при бомбардировке такими частицами атомов лития 7Li эти атомы начали излучать полный спектр своего характеристического рентгеновского излучения?
5.45.	Какова максимальная скорость v электронов, вырываемых из свинца характеристическим излучением железа?
5.46.	У каких элементов характеристическое рентгеновское излучение длинноволновой границы К-серии может испытывать брэгговское отражение от кристалла LiF, постоянная решетки которого d = 0,23 нм?
5.47.	Какой потенциал V следует приложить к рентгеновской трубке, чтобы тормозное рентгеновское излучение могло испытывать брэгговское отражение от кристалла LiF, межплоскостное расстояние в котором составляет d = 2,3 А?
5.48.	Длина волны, соответствующая переходу между двумя соседними состояниями вращательного спектра молекулы НВг, равна
46
X = 202 мкм. Определить, между состояниями с какими квантовыми вращательными числами происходит переход. Межъядерное расстояние <7=1,41 А.
5.49.	Оценить, при какой температуре отношение числа молекул NO, находящихся в чисто вращательных состояниях с квантовыми числами I = 1 и I = 0, равно а = 0,1. Межъядерное расстояние в молекуле равно d = 1,15 А.
5.50.	С какой относительной точностью АХ/Х надо измерить длинноволновую часть вращательного спектра СО, чтобы увидеть изотопическое расщепление спектра, появляющееся при наличии примеси 12С17О в обычном 12С|6О? Чему равна наибольшая длина волны вращательного кванта у молекул СО? Расстояние между ядрами С и О равно d = 1,13 А.
5.51.	Природный хлор представляет собой смесь двух изотопов — 35С1 и 37С1. С какой относительной точностью АХ/Х надо измерять длину волны колебательного кванта у молекулы НС1, чтобы увидеть изотопическое расщепление колебательного спектра?
5.52.	Одномерный осциллятор находится в состоянии с главным квантовым числом п = 10. Оценить, какова вероятность обнаружить частицу вблизи положения равновесия в области размером порядка плюс-минус амплитуда его нулевых колебаний.
Указание. При больших квантовых числах движение частицы можно рассматривать как классическое.
5.53.	Одномерный осциллятор находится в основном состоянии. Оценить вероятность нахождения частицы в классически разрешенной области. Волновая функция основного состояния i|> = = А ехр (—х2/2й§), где а0 = dh/тш.
Указание. Для оценки получающегося интеграла использовать разложение подынтегральной функции в ряд.
5.54.	Для молекулы азота N2 оценить число вращательных уровней, приходящихся на интервал между соседними колебательными уровнями.
5.55.	Потенциальная энергия взаимодействия атомов в двухатомной молекуле не является чисто квадратичной (гармонической). При слабой ангармоничности уровни осциллятора можно представить в виде <£„ = Леи (и + 1/2) — аЛсо (и + 1/2)2, где а — коэффициент ангармоничности, со — частота осциллятора. Найти в этой модели максимальное число колебательных уровней молекулы N2, у которой а = 0,006145.
Указание. Для реальных состояний функция <£„(и) должна быть монотонно возрастающей.
5.56.	Из-за конечного размера ядра энергетический уровень К-электрона претерпевает небольшое смещение б<£ ос /?2, где R — радиус ядра, который находится по формуле/? = 1,3- 10~13А1/3 см, А — относительная атомная масса. Оценить величину изотопического сдвига 6(Лт)205 границы характеристического рентгеновского Л?-из-лучения для ядра 283Т1, если известно, что для 2О83Т1 этот сдвиг
47
1 | а 2 7
а
— , определить от-
d(/iv)2o3 = —8,25 эВ, т. к. энергия ионизации К-электрона уменьшается по сравнению со случаем точечного ядра.
5.57!	Считая, что взаимодействие атомов в молекуле НС1 описы-
вается потенциалом Кратцера С(г) = 2е
носительное изменение частоты колебаний молекулы при возбуждении ее с вращательного уровня с I = 0 на уровень Z = 10. В молекуле НС1 е = 4,62 эВ, о = 1,27 А.
§ 6.	Спин. Атом в магнитном поле.
Эффект Зеемана. Магнитный резонанс
6.1.	Пучок циркулярно поляризованного света с длиной волны X = 0,5 мкм падает на зачерненный диск, подвешенный на тонкой нити так, что он может совершать крутильные колебания относительно оси. При этом измеряется установившийся угол поворота диска массой т = 1 г и радиусом г = 5 см. Найти период собственных колебаний диска Т, если при мощности светового потока N= 10 Вт угол поворота диска составил а = 1".
6.2.	Абсолютно черная пластинка площадью 5=10 см2 освещается монохроматическим светом с длиной волны X = 600 нм, поляризованным по кругу. Интенсивность света равна 3 = 30 Вт/см2. Какой вращающий момент М испытывает пластинка? Зависит ли М от распределения интенсивности в пучке? Как изменится вращающий момент, если черную пластинку заменить на кристаллическую пластинку в Х/4? Какую надо взять кристаллическую пластинку, чтобы вращающий момент Мудвоился?
6.3.	Эллиптически поляризованный параллельный световой поток с длиной волны X = 600 нм и интенсивностью 3 = 30 Вт/см2 падает перпендикулярно на абсолютно черную пластинку. Площадь поперечного сечения светового потока 5= 10 см2. Отношение длин главных полуосей эллипса поляризации в световом пучке составляет а/b = 2. Найти вращающий момент М, который испытывает пластинка при поглощении света.
6.4.	Поляризованный по правому кругу световой поток с длиной волны X = 500 нм, интенсивность которого составляет 3 = = 1,4-106 эрг/(с-см2) (такой интенсивностью обладает солнечное излучение на границе земной атмосферы), падает на двоякопреломля-ющую пластинку в Х/2. Как будет поляризован свет после прохождения пластинки? Определить вращающий момент на единицу площади (М/S') такой пластинки.
6.5.	На кварцевую пластинку в Х/4 перпендикулярно падает пучок линейно поляризованного света с длиной волны X = 628 нм и мощностью N = 3 Вт. При каких условиях пластинка будет испытывать вращающий момент и каковы его значение и направление?
48
6.6.	Некогерентная смесь естественного и линейно поляризованного света с длиной волны Х = 500 нм и интенсивностью д = 1,4-106 эрг/(с-см2) (такой интенсивностью обладает солнечное излучение на границе земной атмосферы) падает на двоякопрелом-ляющую пластинку в Х/4. Определить вращающий момент на единицу площади (М/S) такой пластинки, если направление колебаний в линейно поляризованном свете составляет угол 45° с главными направлениями пластинки. Известно, что при анализе падающего излучения с помощью поляризатора соотношение <7тахЛ7т1П = 3.
6.7!	Параллельный пучок монохроматического излучения (длина волны в вакууме X = 496 мкм), поляризованного по кругу, падает нормально на решетку, изготовленную в виде натянутых проволочек с расстоянием между ними <7<»:Х. При таких условиях решетка полностью пропускает излучение, поляризованное так, что электрический вектор направлен перпендикулярно проволочкам, и отражает излучение с поляризацией, повернутой на 90°. Найти вращающий момент М и силу F, действующих на решетку, если интенсивность потока в пучке д = 10Вт/см2, а облучаемая поверхность решетки 5=10 см2.
6.8.	Пучок продольно поляризованных по спину электронов с током 100 А и кинетической энергией 100 кэВ поглощается цилиндром Фарадея. Определить силу и крутящий момент, действующие на цилиндр. Пучок электронов направлен параллельно оси цилиндра.
6.9.	С какой угловой скоростью со и в каком направлении должен начать вращаться цилиндр, подвешенный в магнитном поле В, направленном параллельно его оси вертикально вверх, если изменить направление поля на обратное? Считать, что цилиндр намагничивается до насыщения. (Момент импульса электрона в атоме равен Z, число атомов в цилиндре N, момент инерции цилиндра /.)
6.10.	Какое значение для со следует ожидать в упрощенном опыте Эйнштейна—де Гааза (предыдущая задача), если длина цилиндра L — 1 см, его масса т = 1 г, цилиндр сделан из железа и если предположить, что момент импульса каждого атома равен таковому для электрона на первой боровской орбите?
6.11.	На сколько компонент расщепится при проведении опыта Штерна—Герлаха пучок атомов водорода?
6.12!	Пучок атомов натрия, находящихся в основном состоянии, вылетает из печи, температура которой Т = 350 К. Пучок расщепляется в поперечном неоднородном магнитном поле с градиентом dB/dx = 50 Тл/м на пути I — 1 см. Детектор удален от магнита на расстояние L = 6,5 м. Найти расстояние s между пятнами на экране.
6.13.	Пучок атомов лития в основном состоянии с максимальной кинетической энергией Т = 0,1 эВ проходит через магнит типа Штерна—Герлаха длиной Z = 6 см с градиентом поля dB/dx = = 5-104Гс/см. Сразу за магнитом расположена система из двух одинаковых диафрагм 5 диаметром d, находящихся на расстоянии 1=1м одна от другой (рис. 41). При какой минимальной вели
49
чине диаметра t/min компоненты разделенного пучка пройдут через систему диафрагм?
6.14.	Пучок атомов ванадия (Л = 50), находящихся в состоянии 4F3/2, пропускается через сильное неоднородное магнитное поле. На сколько компонент разобьется такой пучок? На какой угол разойдутся соседние компо-s s	ненты пучка, если участок с неоднородным
- у-----у-------— полем имеет протяженность I = 25 см, гради-
L	ент поля в нем dB/dx = 5-104 Гс/см, а ско-
<	>1 *—-—Н	рость атомов v = 500 м/с?
6.15.	Параллельный пучок нейтронов с Рис. 41	энергией Т — 0,025 эВ проходит через колли-
мирующую щель шириной d = 0,1 мм и затем через зазор в магните Штерна—Герлаха длиной L = 1 м. Оценить значение градиента поля dB/dx, при котором угол магнитного отклонения компонент пучка равен углу дифракционного уширения. Магнитный момент нейтрона цп = 9,66-10-24 эрг/Гс.
6.16!	В опытах Шалла (1968 г.) наблюдалось расщепление пучка нейтронов на два пучка при преломлении на границе однородного магнитного поля. Найти малый угол 0 между направлениями преломления пучков. Однородное магнитное поле имеет индукцию В = 2,5 Тл. Нейтроны с дебройлевской длиной волны X = 0,5 нм падают под углом Ф = 30° к достаточно резкой границе магнитного поля.
6.17!	Определить возможную мультиплетность атомов Н, Не, Li, Mg, Fe, Hg, U, Cl.
6.18.	Какова возможная мультиплетность Sr+, Li+, Са+, С++, О4+?
6.19.	Какова наивысшая мультиплетность атомов элементов третьей группы?
6.20.	Желтый дублет Na возникает при переходе электронов 32Р—*325 и соответствует длинам волн Xi = 5896 к и Х2 = 5890 А. Найти энергетическое расстояние А<£’ между соответствующими подуровнями терма 32Р (мультиплетное расщепление). Оценить среднюю величину магнитного поля В, действующего на «оптический» электрон.
6.21!	При переходе Р—*5 из возбужденного состояния атома в основное испускается дублет Х( — 455,1 нм и Х2 = 458,9 нм. Какие линии, соответствующие переходу 25|/2—* 2Р3/2, будут наблюдаться в спектре поглощения газа, состоящего из таких атомов, при наложении магнитного поля 50кГс при температуре Т = 0,5 К?
6.22.	В отсутствии магнитного поля газ поглощает электромагнитное излучение с длиной волны X = 500 нм, соответствующее переходу из основного состояния 2/’1/2 в возбужденное 2£>3/2. Как изменится спектр поглощения этого газа в окрестности этой длины волны при наложении магнитного поля В = 2 кГс при температуре, близкой к комнатной? В спектре испускания этого газа в окрест
50
ности X = 500 нм наблюдается дублет с АХ = 0,5 нм, соответствующий переходам 2О!/2-* 1Dm-^1Pitl.
6.23.	На сколько компонент расщепится в слабом магнитном поле мультиплет с заданным полным моментом J?
6.24.	Найти энергетическое расщепление термов атомов группы щелочных металлов, помещенных в слабое магнитное поле.
6.25.	На сколько компонент расщепится в слабом магнитном поле линия Na, отвечающая переходу 2Г7/2~* 2О5/2?
6.26.	Найти число компонент сложного эффекта Зеемана линии Na, указанной в предыдущей задаче, которые поляризованы по магнитному полю.
6.27!	Определить расщепление спектральной линии 2Гз/2~* —>25i/2 в слабом магнитном поле. Для натрия эта линия является коротковолновой компонентой (X = 589,0 нм) двойной линии D с АХ = 0,6 нм. Какие магнитные поля в этом случае являются слабыми?
6.28.	На сколько уровней расщепится в сильном магнитном поле терм с L = 3 и 5 = 0? Какова разность энергий соседних уровней?
6.29.	На сколько компонент расщепится в магнитном поле спектральная линия, связанная с оптическим переходом L= 3-»L = 2 (излучается El-фотон), при простом эффекте Зеемана?
6.30!	В сильном магнитном поле В при наблюдении в направлении, перпендикулярном полю (поперечный эффект Зеемана), в спектре излучения имеется три линейно поляризованных линии: несмещенная спектральная линия с длиной волны X и электрическим вектором, направленным вдоль магнитного поля, и две смещенные — с электрическим вектором Е± В. Это излучение пропускается через два скрещенных поляризатора, между которыми находится анизотропная кристаллическая пластинка с заданными Ди и d. Оптическая ось пластины составляет углы 45° с направлениями поляроидов. При какой величине магнитного поля в спектре излучения будут видны лишь две крайние линии?
6.31.	Атомарный водород помещен в магнитное поле 2 Тл, много большее характерного поля атома, т. е. магнитного поля атома, действующего на электрон. Определить максимальную дополнительную энергию (в эВ), которую приобретает атом в состоянии с п = 3 и нарисовать картину расщепления этого уровня.
6.32.	Наблюдается простой поперечный эффект Зеемана в магнитном поле В = 5000 Гс. Какова должна быть минимальная длина L дифракционной решетки, чтобы разрешить все линии зеемановского триплета?
6.33.	При какой минимальной ширине L дифракционной решетки, имеющей п = 600 линий/мм, можно разрешить в первом порядке дублет простого эффекта Зеемана для спектральной линии Х = 0,612 мкм? Напряженность магнитного поля В = 10 кГс.
6.34.	С помощью эшелона Майкельсона наблюдается зеемановское расщепление £)-линии натрия в магнитном поле В = 5000 Гс (сложный эффект). Какова должна быть максимальная толщина
51
d пластины, чтобы эшелон был пригоден для исследования расщепления? Показатель преломления материала пластины и = 1,5. Под .D-линиями Na понимают две линии нерасщепленного полем дублета 32Р3/2-> 325)/2 и 32Pi/2-> 32Si/2.
6.35.	Определить верхний предел расстояния Lmax между зеркалами интерферометра Фабри—Перо, чтобы с его помощью можно было исследовать (без перекрытия спектров разных порядков) простой эффект Зеемана в магнитном поле В = 1 Тл.
6.36.	Какой эффект Зеемана — простой или сложный — наблюдается при расщеплении спектральной линии *D2—*1/?3 в магнитном поле В = 104 Гс? В каких пределах должно лежать расстояние L между зеркалами интерферометра Фабри—Перо, чтобы обнаружить и исследовать зеемановское расщепление рассматриваемой линии? Зеркала посеребрены так, что эффективное число отражений между ними Л^эфф = 20.
6.37!	Найти зеемановское расщепление До> спектральной линии 2D3/2—»2Р1/2. Указать число компонент в расщепленной линии.
6.38.	Цезий принадлежит к числу щелочных металлов. При P—*S- переходе в атомарном цезии испускается дублет, состоящий из двух линий: X, = 0,4555 мкм и Х2 = 0,4593 мкм. Найти расщепление термов этого дублета в магнитном поле. Какими формулами описывается в этом случае расщепление линий в магнитном поле с индукцией В = 3 Тл: формулами для нормального или аномального эффектов Зеемана?
6.39.	В спектре лития две первые линии главной серии принадлежат переходам 22Р1/2—»2251/2 и 22Р3/2—»2251/2. Длины волн этих линий равны Xj = 0,670780 мкм и Х2 = 0,670795 мкм. Оценить индукцию В магнитного поля, которое создает орбитальное движение электрона в атоме лития в состоянии 2Р.
6.40.	Так как атом мюония (ц+е_) состоит из двух «точечных» частиц, то для него не нужно вводить при расчете уровней энергии никаких поправок на конечный размер ядра. В результате очень точных измерений частоты перехода 125[/2-»2251/2, проведенных в 1992 году, было получено значение v = 2 455 529 ГГц. Найти из этих данных отношение массы мюона к массе электрона.
6.41.	Оценить расщепление уровня п = 2, I = 1 водорода из-за магнитного взаимодействия спина с его орбитальным движением.
Указа щи е. Энергия взаимодействия спина с орбитой пропорциональна cos Is, где 1 — орбитальный и s — спиновый моменты.
6.42.	Оценить дублетное расщепление первой линии серии Лаймана в спектре излучения водорода, предполагая, что состояние п = 1 не расщепляется, а состояние п = 2 расщеплено на величину, вычисленную в задаче 6.41.
6.43.	Показать, учитывая магнитное взаимодействие спина с орбитой, что интервалы между компонентами одного мультиплета (в шкале частот) относятся, как целые числа. Чему равны эти числа?
Указание: см. задачу 6.41.
52
6.44!	Оценить, какое минимальное магнитное поле В можно обнаружить у звезды типа Солнца (период вращения т = 106 с, радиус 7?=1010см, температура поверхности Солнца Т = 6-103К) с помощью эффекта Зеемана в оптической области спектра (а>0 = Ю15 с-1).
6.45.	Найти минимальную величину магнитного поля В, в котором происходит перекрытие крайних компонент магнитных подуровней атома водорода в возбужденных состояниях с главными квантовыми числами П[ = 10 и = 11- Собственный магнитный момент электрона не \ читывать.
6.46.	Оценить величину расщепления 2р-состояния позитрония, вызванного взаимодействием спиновых магнитных моментов позитрона и электрона.
6.47.	Определить отношение интервалов между соседними подуровнями сверхтонкой структуры атомного мультиплета с заданным значением полного момента /. Спин ядра равен I.
Указание. Спином ядра принято называть его полный момент импульса.
6.48.	Взамодействие магнитых моментов протона и электрона в атоме водорода приводит к расщеплению энергетических уровней и возникновению сверхтонкой структуры. Излучение межзвездного атомарного водорода, находящегося в основном состоянии, вызвано переориентацией электронного спина, т. е. переходами между компонентами сверхтонкой структуры. Оценить длину волны X этого излучения. Для оценки заменить истинное распределение плотности спинового магнитного момента электрона таким, которое дает однородно намагниченный шар радиусом гБ. Размагничивающий фактор шара |3 = 4л/3.
У казание. Магнитное поле внутри шара Н = — |ЗМ, где М — намагниченность. Магнитный момент протона равен цр = gvpP-susP, где gip = 5,58 — спиновый g-фактор протона, sp — его спин, цяд — ядерный магнетон Бора.
6.49.	Магнитное поле, создаваемое электроном с/*0 в месте нахождения ядра, является суммой поля орбитального движения
И/	1
В/ = —2 -з- = —2gzp.B -j и поля магнитного диполя, связанного с распределением спиновой плотности. Аппроксимируя последнее как г. Из _ S
В5 = —2 —j- = — 2gsp.B , оценить сверхтонкое расщепление уровня 2рз/2 в атоме водорода. Спиновые g-факторы для протона gxp = 5,58, для электрона gs = 2, gt = 1 .
6.50.	Хорошо известно, что космическое излучение на длине волны А. = 21 см обусловлено сверхтонким расщеплением основного состояния атомарного водорода. Оценить на основе этих данных величину энергетического расщепления (в эВ) 2р-состояния позитрония.
53
6.51!	Взаимодействие магнитных моментов нейтрона и электрона может формально привести к связанному стабильному состоянию этих частиц. Каков получается характерный размер такой системы? Движение электрона считать нерелятивистким.
6.52.	Система из двух тождественных нейтральных частиц со спином 1/2 находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной d с бесконечно высокими стенками. Каждая частица обладает массой т и магнитным моментом ц, направленным параллельно механическому моменту. Определить величину магнитного поля, которое необходимо приложить для намагничивания такой системы. Дипольным взаимодействием частиц пренебречь.
6.53.	Атом водорода в основном состоянии помещен в магнитное поле В. Оставаясь в рамках боровской модели атома водорода, оценить, при какой его величине размеры атома в плоскости, перпендикулярной полю В, начнут уменьшаться.
6.54.	Найти энергию магнитного взаимодействия двух атомов водорода, находящихся на расстоянии 3-10~6 см. Считать, что электроны в атомах движутся по первым боровским орбитам. Плоскости орбит обоих атомов параллельны. Спин электрона не учитывать.
6.55.	Свободные атомы могут обладать магнитным моментом, но не имеют дипольного электрического момента. Атомы, входящие в состав кристаллической решетки, при известных условиях могут иметь такой момент. В этом случае возможен параэлектрический резонанс, аналогичный парамагнитному. Найти дипольный момент атома />ат, если известно, что резонансное поглощение электромагнитных волн с длиной волны X = 5 мм наблюдается при напряженности постоянного электрического поля Е = 2,5-103 кВ/м. Оценить размер I атомного диполя.
6.56!	Известно, что в сильных магнитных полях, когда магнитное расщепление ц/i превышает расстояние между линиями тонкой структуры USL, в оптических спектрах, соответствующих 2Р—»25 переходам, наблюдаются три линии. Однако при измерениях с высокой разрешающей способностью видно большее число линий спектра. Их наличие обусловлено спин-орбитальным взаимодействием. Вклад этого взаимодействия в энергию атома можно рассматривать как малую добавку и считать его равным A ((S, L)), где А — константа, S, L — спиновый и орбитальный моменты атома, а угловые скобки означают усреднение по основному состоянию. Нарисовать истинную картину расщепления атомных уровней и результирующую структуру спектра при учете спин-орбитального взаимодействия. Чему равна величина тонкого расщепления спектра?
6.57.	При наблюдении ЯМР на ядрах 25Mg обнаружено резонансное поглощение излучения на частоте v = 1,4 МГц в поле В = 5,4 кГс. У ядра 25Mg спин I = 5/2. Найти g-фактор и магнитный момент ядра (см. указание к задаче 6.47).
6.58.	Для измерения магнитных полей В ^0,1 кГс используют метод ЯМР в проточной воде, в котором вода предварительно на
54
магничивается пропусканием ее через область магнитного поля Во = Ю кГс. Время перемещения воды до измерительной ячейки гораздо меньше времени релаксации намагниченности. Оценить увеличение сигнала ЯМР в намагниченной воде по сравнению с сигналом для ненамагниченной воды.
Указание. В экспериментах обычно измеряют поглощение мощности (энергии) переменного поля. Поэтому сигнал — это поглощенная мощность (энергия), равная hvN, где N — число поглощенных квантов. Оно равно числу ядер (электронов), совершивших переход между двумя магнитными подуровнями, т. е. разности заселенностей двух (для простоты) уровней при данной температуре.
6.59.	Как изменится величина сигнала ЯМР при увеличении резонансной частоты в два раза? Считать, что магнитная энергия См. указание к задаче 6.58.
6.60!	В методе адиабатического размагничивания низкая температура получается при выключении внешнего магнитного поля за счет энергии, затрачиваемой на разориентацию атомных или ядерных магнитных моментов в теплоизолированном образце. Оценить предельно низкую температуру, до которой можно охладить систему ядер 63Си таким методом. Спин ядра 63Си равен I = 3/2, среднее расстояние между ядрами в решетке меди d = 2,5 А. Известно, что ядерный магнитный резонанс на ядрах 63Си наблюдается на частоте v= 11,31 МГц в поле В= 10 кГс.
6.61!	Электронная конфигурация трехвалентного иона иттербия представляет собой полностью заполненные оболочки Хе + 4/13. На какой частоте наблюдается электронный парамагнитный резонанс на ионах Yb3+ солей трехвалентного иттербия в магнитном поле В = 103 Гс?
Указание. По правилу Хунда в основном состоянии / = = | L — 51, если заполнено меньше половины оболочки, и J = L + S, если больше половины.
6.62.	Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) обусловлен переходами между подуровнями с различными проекциями магнитного момента. Найти частоту ЭПР для солей трехвалентного празеодима в магнитном поле В = 0,1 Тл. Электронная конфигурация Рг3+ представляет собой полностью заполненные оболочки Хе + 4/2. См. указание к задаче 6.61.
6.63.	Определить намагниченность насыщения Мо образца металлического диспрозия (плотность р = 8,55 г/см3) при температуре, близкой к абсолютному нулю. Полный момент иона диспрозия Dy3+ /= 15/2, а электронный парамагнитный резонанс на ионах диспрозия наблюдается в магнитном поле Врез = 1000 Гс на частоте v = 1,9 -109 Гц.
6.64.	Определить намагниченность насыщения Мо образца металлического эрбия (плотность р = 9,07 г/см3) при температуре, близкой к абсолютному нулю, если известно, что электронная конфигурация
55
иона Ег3+ представляет собой полностью заполненную оболочку Хе + 4/11. На какой частоте v наблюдается электронный парамагнитный резонанс на ионах эрбия в магнитном поле В = 1000 Гс?
6.65.	В атомах хлора, находящихся в основном состоянии 2Р3/2, один из электронов с lz = 1 из Зр-оболочки переведен в Зс?-оболоч-ку. При этом полученная конфигурация обладает максимально возможными L и S и минимально возможным J. На сколько компонент расщепится пучок таких возбужденных атомов хлора, если его пропустить через прибор типа Штерна—Герлаха? Объяснить полученный результат на основе векторной модели.
6.66!	Образец тефлона (полимера с химической формулой (CF2)„, где п — целое число) массой 50 г намагничивается в магнитном поле В = 20 кГс при температуре Т = 0,05 К. Намагничивание обусловлено расщеплением основного состояния ядра фтора *|F (спин ядра I = 1/2, см. указание к задаче 6.47) в магнитном поле на два подуровня. При выключении поля образец получает момент импульса L = 24,2-10-6 эрг-с (аналог эффекта Эйнштейна—де Гааза в ферромагнетиках). Определить величину магнитного момента ядра фтора.
6.67.	В атоме гелия состояние 3Si отстоит от основного примерно на 20 эВ. Оценить, в какое магнитное поле нужно поместить атом гелия, чтобы выстроить спины его электронов параллельно.
6.68!	Образование молекул водорода происходит только в том случае, если спины двух сталкивающихся атомов антипараллельны. В настоящее время предпринимаются попытки хранения атомарного водорода при низких температурах в сильных магнитных полях. Оценить степень деполяризации а атомарного водорода, определяемую отношением числа атомов с антипараллельными спинами к их полному числу, при температуре Т = 1 К в магнитном поле В = 10 Тл.
6.69!	Атомы, обладающие магнитным моментом, могли бы образовывать упорядоченную структуру за счет магнитного взаимодействия. Оценить, при какой максимальной температуре это еще возможно, если межатомное расстояние а = ЗА (типичное значение постоянной решетки в твердом теле).
6.70!	Электрон, движущийся с постоянной скоростью в плоскости, перпендикулярной силовым линиям однородного магнитного поля В= 103 Гс, совершает финитное движение. Согласно квантовой механике такое движение квантуется. Используя аналогию с классическими уравнениями движения Гамильтона, определить квантованные значения энергии электрона, соответствующие этому орбитальному расщеплению (уровни Ландау). Какова возможная минимальная энергия электрона? Как изменится спектр разрешенных энергий при учете спина электрона?
Указание. В присутствии магнитного поля связь между ско-ростью и импульсом заряженной частицы имеет вид р = mv + — А, где А — векторный потенциал. Для постоянного магнитного поля
56
В, направленного по оси z, его можно взять в виде А = (0, Вх, 0) — калибровка Ландау.
6.71!	Электрон движется в плоскости, перпендикулярной магнитному полю В = 3,14-103 Гс. Как и любое другое финитное движение, такое движение квантуется. Используя аналогию с классическими уравнениями движения Гамильтона, найти минимальную площадь, описываемую электроном в координатном и импульсном пространстве.
Указание. Воспользоваться результатами задачи 6.70.
6.72!	В рентгеновском спектре нейтронной звезды массой М = 1033 г наблюдается провал (поглощение излучения) при энергии = 50 кэВ и максимум при <£2 = 460 кэВ (рис. 42). Поглощение при энергии связывают с квантовыми переходами свободных электронов в магнитном поле звезды (уровнями Ландау), а максимум при &2 — с аннигиляцей электрон-позитронных пар. Учитывая смещение
спектра в гравитационном поле звезды, оценить радиус звезды и величину ее магнитного поля.
6.73!	В экспериментах Цзяньсин N
By с сотрудниками по наблюдению \ несохранения четности в слабых вза- \ х-----------\
имодействиях изучался	(1-распад	\
ядер, которые были внедрены в пара- ,______________________
магнитную соль. Последняя служила 50	460 8, кэВ
для получения низких температур
(Г — 0,01 К) методом адиабатическо-	Рис. 42
го размагничивания (см. зада-
чу 6.60). Электроны парамагнитной соли создавали на ядрах кобальта магнитное поле Н = 105 Э и тем самым поляризовали ядра по спину. Какова была бы в экспериментах такого рода степень поляризации ядер Р = (АН — уу_)/(дг,‘ + дг), Где дг\ дг — числа ядер со спинами по полю и против поля, если бы изучался (1-распад из возбужденного состояния со спином I = 1, g = 2?
6.74!	Атом водорода находится в состоянии с энергией <9 =—3,4 эВ, и при этом радиальная часть волновой функции ни разу не обращается в нуль на интервале 0 < г < оо. На сколько подуровней расщепится данный энергетический уровень в сильном магнитном поле?
6.75.	Атом водорода находится в состоянии с энергией <э =—3,4 эВ, и при этом радиальная часть волновой функции один раз обращается в нуль на интервале 0 < г < оо. На сколько линий расщепится данный уровень энергии в слабом и сильном магнитных полях?
6.76!	В спектрах газовых туманностей наблюдаются линии, которые долго не могли приписать ни одному из известных элементов и поэтому приписывали их гипотетическому элементу «небулию» (nebula — туманность). Впоследствии выяснилось, что это — линии ионов кислорода и азота. Наиболее интенсивные линии «небулия» соответствуют переходам 1О2-»3Р2 (М = 5007 А) и
57
(Х2 = 4959 А) иона О++. Найти длину линии перехода 3Р1-^3РО в схеме Рассела—Саундерса (LS-схема).
Указание. Энергия спин-орбитального взаимодействия есть &sl = A {(L, S)), где А — константа (для иона О++ константа А > 0), а угловые скобки означают усреднение по направлению векторов орбитального момента L и спина S.
6.77.	В спектрах солнечной короны наблюдаются линии, которые долго не могли приписать ни одному из известных элементов, поэтому их приписывали гипотетическому элементу «коронию». Впоследствии выяснилось, что это — в основном линии ионов железа и никеля. Среди наблюдаемых линий «корония» есть линии, соответствующие переходам 1£)2—>3Р2 (Ад = 2649 А) и 1£)2—>3Р1 (Х2 = 3987 А) иона железа FeI0+. Найти длину линии перехода 3Р0-^3Р[ в схеме Рассела—Саундерса (LS-схема).
Указание. Энергия спин-орбитального взаимодействия есть &sl = A {(L, S)), где А — константа (для иона FeI0+ константа Л < 0), а угловые скобки означают усреднение по направлению векторов орбитального момента L и спина S.
6.78.	Возбужденное состояние атома гелия ls'251 может иметь полный спин электронной оболочки 5 как 1 (ортогелий), так и 0 (парагелий). Энергии полной ионизации этих состояний РЙорто = 59,2 эВ и l/napa = 58,4 эВ. Кроме энергии взаимодействия с ядром, в эти энергии вносят вклад не зависящая от полного спина часть энергии кулоновского отталкивания электронов А’к и зависящая от полного спина часть, называемая энергией обменного взаимодействия, У = —у (1 +4{s[s2)), где А — константа, sI; s2 — спины электронов (S = S] + s2), а угловые скобки означают усреднение по направлениям спинов. Найти Л и 4 считая, что оба электрона находятся в поле ядра с Z = 2, т. е. не учитывая экранировку поля ядра электронами.
6.79.	Атом хлора, находящийся в основном состоянии 2Рц2, помещен в постоянное однородное магнитное поле с индукцией В = 104 Гс. Найти частоту переменного поля, при которой возникает резонансное поглощение энергии атомами хлора. Расстояние между подуровнями тонкой структуры атома хлора составляет 0,11 эВ. Угловой момент ядра не учитывать.
6.80.	Пучок атомов, находящихся в основном состоянии, расщепляется в эксперименте типа Штерна—Герлаха на 9 компонент. Магнитный момент атома в этом состоянии равен 2,4цБ. Найти орбитальный момент атома, если мультиплетность данного состояния равна 5. Момент в атомной физике — это величина его максимальной проекции.
58
§ 7.	Ядерные модели. Радиоактивность.
Эффект Мессбауэра
7.1.	Определить среднюю плотность ядерного вещества, полагая, что радиус ядра равен R = 1,3 Л1/3 фм, где А — массовое число (число нуклонов). Энергия связи на один нуклон В = 8,5 МэВ/нуклон. Средняя масса нуклона «к 940 МэВ/с21)
7.2.	Определить энергию <£к кулоновского расталкивания протонов в ядре в предположении, что протоны распределены по ядру равномерно. Установить зависимость <£’к от числа нуклонов А и заряда ядра Z. Радиус ядра R = 1,3 Л1/Зфм.
7.3!	Поверхностная энергия атомного ядра равняется примерно —17,8 Л1/3 МэВ. Радиус атомного ядра R = 1,3 Л1/3 фм. Найти поверхностное натяжение о ядерного вещества. Сравнить найденное значение с поверхностным натяжением ртути (oHg = 470 эрг/см2).
7.4!	Энергия связи атомных ядер при заданном числе А нуклонов в ядре уменьшается с увеличением числа протонов Z из-за воз-gl
растания кулоновской энергии |<£к| = 0,71 МэВ. С другой сторо-
ны, при отличии числа нейтронов от числа протонов энергия связи „	47.4W-Z)2 .. „
уменьшается на величину <Ь —----------МэВ. Определить при за-
данном А оптимальное значение Z, при котором энергия связи ядра минимальна. Определить Z/А при А = 10; 50; 100; 150 и 200. Найти из справочных данных подходящие изотопы.
7.5.	С помощью формулы Вайцзеккера найти заряд Zo наиболее устойчивого ядра-изобары при заданном нечетном значении А. Выяснить, каков характер активности у ядер 27Mg, 29Р, з7К, 67Си.
7.6!	Разница в энергиях связи ядер трития 3Н и гелия )Не обусловлена энергией электростатического взаимодействия протонов. Оценить размеры ядра |Не. Энергии связи ядер 3Н и )He равны соответственно £н = 8,482 МэВ, <£Не = 7,718 МэВ.
7.7!	Ядро 2]Si переходит в «зеркальное» ядро 2зА1, испытывая р+-распад. Максимальная кинетическая энергия вылетевшего позитрона <Smax = 3,48 МэВ. Оценить по этим данным величину г0 в формуле для радиуса ядра R = г0Л1/3.
7.8.	Найти разность энергий связи для пар зеркальных ядер (ИВ, НС) и (13N, 13С). Показать, что эта разность в значительной степени обусловлена кулоновским взаимодействием протонов в ядре. Энергию связи ядер взять из таблицы в конце сборника.
7.9.	Ядро 4Ве «перегружено» протонами и испытывает превращение 4Ве—»з!л. Массы этих атомов равны, соответственно, 7,0169 и
Ь Радиус ядра определяется по формуле Яя = ГоА1/3. При этом коэффициент г0 при различных аппроксимациях может принимать значения от 1,2 до 1,4-10-13 см. В данном задачнике г0 принимается равным 1,3-10-13 см.
59
7,0160 а. е. м. Определить тип бета-распада, обусловливающего это превращение.
7.10.	В 1942 г. американский физик Аллен измерил максимальную энергию So атомов 7Li, образующихся в результате Л?-захвата в ядре 7Ве, и она оказалась равной 50 эВ. Оценить на основе этих данных разность масс атомов 7Ве и 7Li.
7.11.	Определить энергию отдачи ядра атома лития, которое образуется в основном состоянии при поглощении электрона с А-обо-лочки ядром атома бериллия.
7.12!	Потенциальную энергию взаимодействия нуклонов в дейтроне можно аппроксимировать сферически симметричной прямоугольной ямой (см. задачи 3.16—3.18). При этом в системе центра масс волновая функция основного состояния имеет вне области ямы следующий вид ф = А е~*г/г, где А = const, х = 2,3-1012 см-1. Найти красную границу реакции фоторасщепления дейтрона 7-квантами.
7.13!	Согласно гидродинамической модели ядра Штайнведеля— Енсена протоны и нейтроны образуют сжимаемые и свободно проникающие друг в друга жидкости, двигающиеся внутри жесткой оболочки исходного ядра. Гигантский резонанс в ядрах соответствует возбуждению противофазных колебаний этих жидкостей, при которых протоны и нейтроны в ядре то пространственно разделяются, то равномерно перемешиваются. Используя формулу Вайцзеккера, оценить энергию гигантского дипольного резонанса <£>gr по этой модели в сферическом ядре с А = 64 (Z = N), который возникает при возбуждении волны с kR = 2,08, где к = 2л/Х — волновое число, X — длина волны, R — радиус ядра. Закон дисперсии этих волн считать линейным (со= ки, где и — скорость распространения колебаний, равная, как в любой жидкости, и = \ К/М, где в данном случае К — жесткость ядра относительно смещений нуклонов, М — масса ядра).
7.14.	Согласно оболочечной модели ядра нейтроны и протоны независимо заполняют потенциальную яму. Определить число нуклонов А, которые могут располагаться на трех первых ядерных оболочках, считая потенциальную яму трехмерной параболической.
7.15!	Простейшей оболочечной моделью ядра является трехмерный гармонический осциллятор. Считая, что потенциальная яма ядра имеет глубину Uo = —70 МэВ, a U(R0) = 0, где Ro — радиус ядра, оценить энергию связи нуклона для ядра кислорода '^О.
7.16.	Аппроксимируя ядерный потенциал трехмерной параболической ямой глубиной Uo — —60 МэВ, оценить энергию однонуклонного возбуждения в ядре 2оСа. Считать, что £/(/?0) =0, где /?0 — радиус ядра.
7.17.	У ядра дейтерия — дейтрона d — нет стационарных возбужденных состояний, а энергия связи нуклонов составляет <£’св = 2,23 МэВ. Аппроксимируя эффективный потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия трехмерной сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямой глубиной Uo = —30 МэВ, оценить радиус эффективного потенциала (см. также задачу 3.18).
60
7.18.	У ядра дейтерия — дейтрона d — нет стационарных возбужденных состояний, а энергия связи нуклонов составляет £ = 2,23 МэВ. Аппроксимируя эффективный потенциал нуклон-нук-лонного взаимодействия трехмерной сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямой, оценить среднеквадратичный радиус дейтрона, т. е. среднеквадратичное расстояние между нуклонами (см. задачи 7.12, 3.18 и 3.20). Считать, что глубина ямы велика по сравнению с энергией уровня.
7.19.	На рис. 43 изображен спектр низколежащих возбужденных уровней ядра 234U, где & — энергия уровня, L — квантовое число момента импульса. Показать, что эти уровни сответствуют возбуждению
вращения ядра как целого относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии ядра. Оце- кэ^___________1
нить из этих данных момент инерции J ядра. 297
7.20.	Ядро 234U является продуктом распа-
да основного изотопа урана 238U. Определить
период полураспада 234U, если его содержание
в естественном уране в настоящее время со-	i43 4
ставляет 0,0055%. Период полураспада 238U
равен Т% = 4,51 • 109лет. Считать, что вначале	43-----------2
«наработанного» 234U не было.	0	0
7.21.	В настоящее время в природном ура-	Рис. 43
не содержится £g = 99,28% 238U и £5 = 0,72%
235U. Какое соотношение между 238U и 235U было в момент образования Земли, если возраст Земли равен 4-109лет? Периоды полураспада Т5 = 0,713-109 лет; Т& = 4,51 • 109лет. Вычислить возраст Земли в предположении, что в момент образования Земли содержание 235U и 238U было одинаковым.
7.22.	Период полураспада равняется Т4 = 2,48-105 лет. Остался ли хотя бы один атом 234U, который существовал в момент образования Земли — 4-109лет тому назад? Как объяснить, что в природном уране содержится примесь 234U в количестве 0,055%?
7.23.	Периоды полураспада 238U и 235U равны соответственно = 4,51 • 109 лет и Т5 = 0,713-109 лет. Определить средние време-
на жизни этих изотопов.
7.24.	Полагая, что перед а-распадом в ядре образуется самостоятельная а-частица, оценить отношение интенсивностей <3\1<32 двух групп а-частиц с кинетическими энергиями 6,3 и 5,7 МэВ, испускаемых ядрами с Z = 86 и А = 220. В обоих случаях частоту ударов о «стенку» потенциального барьера считать одинаковой.
7.25.	Оценить период полураспада Ti/2 радиоактивного ядра, испускающего а-частицы в энергией 1 МэВ, если ядро 29oTh имеет период полураспада Тц2 = 1,4-1010лет и испускает а-частицы с энергией 4 МэВ, а для ядра 2g4Po период полураспада равен т112 = 3-10“7 с и £а = 8,8 МэВ.
61
7.26.	Энергия а-частиц, испускаемых тяжелыми ядрами (Z~90), примерно равна <£а~4,5 МэВ, а период их полураспада Та~7 • 108 лет. Оценить период полураспада такого же ядра по отношению к вылету протона той же энергии <£р = 4,5 МэВ. Считать задачу одномерной, кулоновский потенциал С»<£, а предэкспоненциальный множитель в выражении для проницаемости барьера константой.
7.27!	Исследование свойств а-радиоактивных ядер показало, что ядра в области Z]~90 испускают а-частицы с энергией <£]~4 МэВ (например, ядро 29oTh), а в области редкоземельных элементов, где Z2~65, — с энергией <£2~2 МэВ. Оценить период полураспада редкоземельных ядер Т2, если известно, что у тяжелых ядер он лежит в районе Т1~1010лет. Считать, что а-частицы при распаде преодолевают высокий одномерный потенциальный барьер, т. е. £/»<£, а предэкспоненциальный множитель в выражении для проницаемости барьера — константа.
7.28.	Оценить высоту кулоновского барьера для а-частиц, испускаемых ядрами 222Rn. Какова у этих ядер ширина барьера (туннельное расстояние) для а-частиц с энергией S — 5,5 МэВ?
7.29!	При радиоактивном распаде 60Со испускается электрон, спин которого параллелен импульсу. Считая, что электроны вылетают из образца изотропно, оценить, на какой угол <р повернется диск, подвешенный на нити, если образец кобальта нанесен на одну из поверхностей диска. Толщина диска достаточна для полного поглощения в нем электронов, вылетающих в сторону диска. Активность препарата*) ^- = 0,37 ТБк = 0,37 • 1012 расп/с, модуль кручения нити равен /= 10“6 дин-см/рад.
7.30.	Содержание изотопа 235U в природном уране сейчас составляет 0,7196%. Свежеприготовленный препарат, содержащий 100 мг химически чистого природного урана, характеризуется а-активно-стью в 0,043 мкКи. Такой же препарат урана, обогащенного до концентрации 235U в 50%, имеет активность 0,150 мкКи. Вычислить: сколько лет назад содержание 235U составляло 50 %? Сравнить полученный результат с возрастом Земли.
7.31!	Оценить по порядку величины время жизни возбужденного уровня ядра с радиусом R = 4-10-13cm при электрическом мульти-польном (дипольном, квадрупольном и т. д.) излучении у-кванта с энергией £ = 1 МэВ.
Указание. Классическое выражение для интенсивности, т. е.
энергии дипольного излучения заряженного осцилятора в единицу 2
времени, есть W = —т d , где d—вторая производная по времени ди
польного момента.
*) Для 1 распада в секунду установлено название 1 беккерель (1 Бк); 1 Ки (кюри)= 3,7 1О10 расп/с.
62
7.32.	Удельное содержание изотопа |4С, усвоенного деревом при его жизни,1) затем уменьшается вследствие |3-распада с периодом полураспада Т|/2 = 5700 лет. Определить возраст t деревянного предмета, обнаруженного при раскопках, если удельная активность 14С этого предмета составляет 0,1 от удельной активности2 *) свежесрубленного дерева.
7.32.	Удельное содержание изотопа 14С, усвоенного деревом при его жизни, уменьшается затем благодаря p-распаду с Т1/2 = 5700 лет. Какой минимальный возраст дерева можно определить по активности 14С, если регистрируется N= 104 актов распада? Считать, что скорость образования 14С за счет бомбардировки атмосферы космическими лучами от времени не зависит.
7.34.	Ядро, пролетая через кристалл, подвергается воздействию периодического поля решетки кристалла, в результате чего возможно резонансное возбуждение ядерных уровней (эффект Окоро-кова смотрите также задачу 4.47). Обусловлен этот эффект тем, что в системе покоя ядра возникает переменное электрическое поле. До какой полной энергии надо разогнать ядро 19F фтора, чтобы при пролете через кристалл вольфрама в нем возбуждался уровень с энергией <£ = ПО кэВ? Период решетки в направлении движения ядра а = 3,2 А.
7.35!	Угловой и магнитный момент ядра полностью определяется неспаренным нейтроном, находящимся в состоянии lpi/2 над полностью заполненной подоболочкой 1 р3/2. Определить магнитный момент ц ядра (в ядерных магнетонах Бора). Магнитный момент свободного нейтрона цп = &пИяД$п = — 1,91цяд , где gs„ — —3,82 — спиновой g-фактор нейтрона, \п = 1/2 — спин нейтрона.
У Казание. Магнитным моментом ядра принято называть величину максимальной проекции магнитного момента на заданную ось.
7.36.	Согласно оболочечной модели ядра в ядре неспаренный протон, определяющий его угловой и магнитный моменты, находится в состоянии lpi/2 сверх полностью заполненной подоболочки 1 Рз/2- Определить величину магнитного момента ц этого ядра (в
Ь Суть радиоуглеродного метода определения возраста биологических объектов заключается в следующем. В атмосфере Земли постоянно образуется радиоактивный изотоп углерода 14С из атмосферного азота при взаимодействии последнего с нейтронами космического излучения в верхних слоях атмосферы. Живые организмы потребляют его в той или иной форме наряду со стабильным углеродом Г2С. В результате обмена веществ в живом организме, как полагают биологи, концентрация 14С при жизни поддерживается постоянной и одинаковой во всех живых организмах. Полагают также постоянной и не меняющейся в течение тысяч лет концентрацию 14С в атмосфере. После биологической смерти, когда обмен веществ прекращается, радиоуглерод начинает распадаться, и концентрация его уменьшается с временем. По активности препарата, изготовленного из объекта, и определяют его возраст.
2) Активностью называется величина X/V — число ядер (из общего числа АО, рас-
падающихся в единицу времени, X — вероятность распада нестабильного ядра в еди-
ницу времени. Удельная активность — активность 1 г радиоактивного препарата. Величина X называется также константой распада, т. к. по определению dNldt - -XN.
63
ядерных магнетонах Бора). Магнитный момент свободного протона Ир = &>рИяд«р = 2,79р.яд, где gsp — 5,58 — спиновой g-фактор протона, sp = 1/2 — спин протона. Смотрите указание к задаче 7.35.
7.37!	При учете сверхтонкого взаимодействия интегралом движения является полный угловой момент атома F = I + J, где I, J — полные моменты ядра и электронной оболочки соответственно. Энергия сверхтонкого взаимодействия может быть записана в виде t/CT = А ф.еця), где А = const , аце, ця — магнитные моменты электрона и ядра соответственно. Найти отношение сверхтонких расщеплений основного состояния атомов водорода и дейтерия, т. е. расстояний между уровнями с разными значениями F. Спиновые g-факторы протона и нейтрона равны gsp = 5,58 и gsn = —3,82, спины нуклонов в дейтроне параллельны.
7.38!	Спин ядра атома лития (его полный угловой момент) 1 = 3/2. При учете сверхтонкого взаимодействия интегралом движения является полный момент атома F = I + J (J — угловой момент электронной оболочки). Найти два возможных значения магнитного момента атома лития, находящегося в состоянии 22Pi/2- Собственным магнитным моментом ядра пренебречь.
7.39!	Свободное покоящееся атомное ядро массой М переходит из возбужденного состояния в основное, испуская у-квант. Найти энергию у-кванта и энергию отдачи R, если энергия возбуждения равнялась £. Получить числовой ответ для *7*1г, если £ = 129 кэВ.
7.40.	Свободное покоящееся атомное ядро массой М переходит в возбужденное состояние с энергией возбуждения &, поглощая у-квант. Определить энергию у-кванта и энергию отдачи ядра R.
7.41.	Ядра изотопа 771г. входящие в состав кристаллической решетки, испускают у-кванты с энергией 129 кэВ. Линия Мессбауэра испускания и поглощения у-квантов имеет ширину Г = 4,6 10~6эВ. Предположим, что кристалл, испускающий у-кванты, движется со скоростью v, а поглощающий кристалл покоится. Вычислить наименьшую скорость v источника, которую можно зарегистрировать по изменению величины поглощения у-квантов. Предположить, что можно уверенно зарегистрировать доплеровское смещение частоты у-квантов движущегося источника, равное 1/6 ширины линии.
7.42.	В первых экспериментах Мессбауэра источником излучения служил радиоактивный изотоп 76Os, который в результате (3-распада переходил в возбужденное состояние изотопа ЦФГг. Испускаемые им у кванты с энергией = 129 кэВ поглощались иридиевой фольгой. Было обнаружено, что даже при комнатной температуре наблюдается значительный эффект резонансного поглощения. Вероятность эффекта Мессбауэра тем больше, чем меньше амплитуда колебаний атомов в кристалле. Поскольку при конечной температуре атомы в кристалле колеблются с разными частотами, то, усредняя по всем частотам, мы получим, что кристаллу можно поставить в соответствие некоторую эффективную температуру Тэфф. Тогда условие резонансного погло-
64
тения можно записать в виде R^D, где R — энергия отдачи, а [) = 27ЛбГэфф/? — уширение линии (ширина на полувысоте). Оценить эту эффективную температуру.
7.43.	Если излучающее ядро находится в кристаллической решетке, то возможна ситуация (при температурах, много меньших так называемой дебаевской температуры, которая характеризует наибольшую возможную энергию колебаний атомов кристаллической решетки), когда излучение и поглощение у-кванта с большой вероятностью происходит без возбуждения колебаний атомов. Вычислить, каково при этом изменение энергии у-кванта для кристалла иридия конечного размера с массой М= 100 мг, испускающего у-квант с энергией &у = 129 кэВ.
7.44.	Источник, содержащий ядра изотопа J$Fe, которые испускают у-кванты с энергией = 14,4 кэВ и шириной линии Г = 4 -10-9 эВ, помещен в центр вращающегося диска, а поглотитель из того же материала — на диске на расстоянии R = 1 м от центра. С какой частотой Q нужно вращать диск, чтобы смещение Асо частоты поглотителя относительно излучателя равнялось 1/10 ширины линии Мессбауэра?
7.45.	С какой относительной скоростью v надо сближать кристаллический источник, содержащий возбужденные ядра ^)1г (энергия возбуждения <£ = 129 кэВ), с мишенью, содержащей свободные ядра '^Ir, чтобы наблюдать максимальное поглощение у-квантов в мишени?
7.46.	Используя эффект Мессбауэра, можно измерить гравитационное смещение частоты. Для этой цели были использованы у-лучи, испускаемые возбужденным ядром 57Fe (энергия у-лучей <§7 = 14,4 кэВ, ширина линии Г = 4-10~9эВ). При какой разности высот между приемником (поглотителем) и источником у-линия сместится на 1 % от ширины линии (при этом еще можно заметить изменение поглощения у-лучей)? См. задачу 1.4.
7.47!	Ядра в решетке кристалла совершают тепловые колебания, что приводит в доплеровскому смещению частоты излучаемых квантов. Однако в направлении излучения продольный эффект Доплера при усреднении по времени дает ноль, т. к. время жизни ядра в возбужденном состоянии (порядка 10-7 с) много больше периода колебаний атомов в решетке (порядка 10-13 с). Поэтому остается только поперечный релятивистский эффект Доплера. Если эффективные температуры (см. задачу 7.42) источника и приемника различаются, то частоты излучения и поглощения смещаются по-разному. Какой разности высот между источником и поглотителем в опытах c57Fe соответствует разность температур дТэфф = 1 К?
7.48.	На какой высоте Н надо поместить поглотитель относительно источника для проверки красного смещения, предсказываемого общей теорией относительности? Используется эффект Мессбауэра на изотопе67Zn, время жизни его возбужденного уровня с энергией <S = 93 кэВ равно т = 10 мкс. Считать, что для достижения необходи
65
мой точности эффект смещения должен в 10 раз превышать ширину линии резонансного поглощения.
Указание: см. задачу 1.4.
7.49.	Оценить минимальные массу т. и размер b железной пылинки, при которых можно наблюдать эффект Мессбауэра с энергией перехода £ = 14 кэВ и временем жизни т = 1 мс. Считать, что эффект еще наблюдаем, когда отдача пылинки приведет к доплеровскому смещению, равному собственной ширине линии. Плотность железа р » 7,9 г/см3.
7.50!	Исследование ядерных свойств 152Еи на прецизионной установке TRISTAN в Гренобле (Франция) показало, что в результате электронного захвата и последующего испускания нейтрино это ядро, переходит в возбужденное ядро 152Sm, а затем в основное состояние путем испускания у-кванта с энергией = 963 кэВ. Ширина этой линии оказалась равной А<£ = 13 эВ, а время жизни возбужденного состояния т = 40 фс. Оценить энергию вылетевшего нейтрино.
7.51.	На спектрометре высокого разрешения GAMS4 в Гренобле (Франция) у изотопа 49Ti зарегистрирован каскадный переход из высоковозбужденного в основное состояние с последовательным испусканием двух у-квантов с энергиями 5 МэВ и <£2 = 1,5 МэВ. Прецизионные измерения формы линии <£2 показали, что она имеет ширину А<£ = 400 эВ. Оценить время жизни уровня с энергией <£2. Учесть, что детектор спектрометра регистрирует у-излучение в узком телесном угле вблизи нормали к окну детектора.
—5	—2,5	0	2,5	5 v, мм/с
Рис. 44
7.52.	Широко используемое в мессбауэровской спектроскопии ядро 57Fe имеет спин и четность основного состояния 1/2 + (g-фактор равен 0,18), а первого возбужденного состояния 3/2 + (g = —0,1). Энергия перехода <£0 = 14,4 кэВ. На рис. 44 показан спектр резонансного поглощения этой нерасщепленной линии железа в металлическом железе, являющемся ферромагнетиком. Возбужденное ядро 57Fe* образуется в результате p-распада ядра 57Со, внедренного в нержавеющую сталь, не являющуюся ферромагнетиком, поэтому в стали не наблюдается расщепление указанной линии излучения. Расщепление линии обусловлено наличием внутреннего магнитного поля на ядрах магнитного железа (ядерный Зееман-эффект). Образец
66
железа приводят в движение со скоростью v. Определить тип излучаемых у-квантов. Какова величина магнитного поля на ядрах железа?
7.53!	Мюон захватывается ядром свинца 288РЬ. Оценить энергию основного состояния мюона.
7.54.	Мюон захватывается ядром свинца 2°2РЬ. Оценить область локализации мюона в основном состоянии.
7.55.	Радий-226 за счет последовательных радиоактивных распадов превращается в устойчивый изотоп свинца 206РЬ. Какая масса М гелия выделится за время t = 1 месяц из т = 1 г радия, находящегося в равновесии со своими продуктами распада? Период полураспада 226Ra составляет Тц2= 1600 лет.
7.56.	Радий был впервые выделен П. и М. Кюри из урановых месторождений в Богемии. Являясь продуктом распада 238U (период полураспада Т\ = 4,5-109 лет), сам радий нестабилен, его период полураспада = 1600 лет. Считая, что в цепочке превращения урана установилось равновесие и что эффективность выделения радия составляет 100%, оценить, какую массу урановой руды надо было переработать, чтобы выделить один грамм радия. Содержание урана в руде т] = 1 масс %.
7.57!	Нуклон из незаполненной оболочки ядра углерода ^С, поглощает Е1-фотон и переходит в возбужденное состояние с наименьшей энергией. Найти спин ядра в конечном состоянии и указать его спектроскопическое обозначение.
Указание. Последовательность расположения однонуклонных ядерных уровней: N=Q (ls1/2); N= 1 (lp3/2, 1Pi/2); N=2 (lrf5/2, 2si/z, 1^3/2); N=3 (l/7/2, ...).
7.58.	Нуклон из незаполненной оболочки ядра углерода ^О, поглощает М\-фотон и переходит в возбужденное состояние с наименьшей энергией. Найти спин ядра в конечном состоянии и указать его спектроскопическое обозначение.
Указание. Последовательность расположения однонуклонных ядерных уровней: N—Q (ls1/2); 7V= 1 (1 р3/2, lp1/2); N=2 (1й?5/2, 2X1/2, 1^3/2); N=3	•••)•
7.59.	На одну сторону поглощающей пластинки нанесен слой а-активного 226Th (период полураспада Тцг — 31 мин). При каком минимальном отношении масс тория и пластинки возможна левитация системы в поле тяжести из-за отдачи, возникающей при испускании а-частиц (<£’„ = 6,3 МэВ)? Самопоглощением а-частиц в ториевом слое пренебречь.
7.60!	Из-за нецентрального характера ядерных сил основное состояние дейтрона представляет собой суперпозицию состояний 35| и 3Dl. Каков был бы магнитный момент дейтрона, если бы он находился в «чистом» состоянии 3Z)1? Спиновые g-факторы протона и нейтрона равны соответственно gsp = 5,58 и gsn = —3,82. Разницу масс нуклонов не учитывать. Рассмотреть случаи Is- и //-связи.
67
7.61.	В силу нецентрального характера ядерных сил основное состояние дейтрона представляет собой суперпозицию состояний 3Sj и 3Z)1. Экспериментальное значение магнитного момента основного состояния дейтрона равно 0,86цяд. Используя тот факт, что магнитный момент состояния дейтрона 3D{ равен 0,31 цяд, определить вероятность нахождения дейтрона в этом состоянии. Спиновые g-факторы протона и нейтрона равны соответственно gsp = 5,58, gsn = —3,82.
7.62.	В 1998 г. Я. Джоли с сотрудниками было осуществлено прецизионное измерение ширины линии у-перехода между двумя возбужденными состояниями 1“ и 2+ ядра 'И^т. Это ядро образовывалось в результате Х-захвата по схеме 1 ^Еи + е- —»1	+ ve. Выде-
ляемая при этом энергия составила Q = 962 кэВ. Энергия данного у-перехода в неподвижном ядре1 ^Sm равна = 841 кэВ. На сколько смещается линия в результате отдачи излучающего ядра? Каково вызванное этим уширение линии? Оценить естественную ширину этой линии, если времена жизни ядра в состояниях 1“ и 2+ составляют Т] = 29 фс и Т2 = 2 нс соответственно.
7.63.	В экспериментах Ф. Блоха по определению магнитного момента тритона использовался метод ЯМР на сверхтяжелой воде (80% Т2О и 20% Н2О). При фиксированной частоте переменного поля v = 41,5 МГц проводилось сканирование подмагничивающего поля. Были обнаружены два пика: при Bt = 9160 Гс и В2 = 9770 Гс, причем первый пик был по величине примерно в четыре раза больше второго. Определить из этих данных магнитный момент тритона. Спин тритона рассчитывать по однонуклонной оболочечной модели.
Указание. В магнитном поле расположение подуровней энергии ядра трития аналогично таковому для протона.
7.64.	В медицинской томографии внутрених органов используется метод ЯМР на протонах, входящих в состав воды, а для томографии легких — на ядрах газообразного Не-3 при его вдыхании. Определить
разницу между экспериментальными и теоретическими значениями магнитного момента ядра гНе, если сигнал резонанса наблюдается во внешнем поле В = 1,5 Тл на частоте v = 48,75 МГц. Спин ядра и его магнитный момент вычислять по однонуклонной оболочечной модели.
Указание. В магнитном поле расположение подуровней энергии для ядра 3Не противоположно таковому для протона.
7.65.	В угловом распределении электронов с энергией <S = 750 МэВ, рассеяных на дважды магическом ядре кальция |§Са, эксперименталь
68
но наблюдается ряд последовательных дифракционных минимумов, как это показано на рис. 45. Оценить из положений трех отчетливых минимумов средний радиус ядра кальция, которое можно рассматривать в данной задаче как черный шарик, и среднюю величину г0 в формуле для радиусов ядер.
§ 8.	Нейтроны. Ядерные реакции
8.1.	Нейтрон упруго рассеивается на ядре. Какое минимальное отличное от нуля прицельное расстояние b может реализоваться для нейтрона с энергией £ = 100 кэВ (рис. 46)?
8.2!	Оценить отношение сечений образования компаунд-состоя-ния (составного ядра) при бомбардировке ядер 2оСа нейтронами и протонами с одной и той же начальной энергией <£0 = 10 МэВ.
8.3.	Оценить полное сечение о взаимодействия ультрарелятиви-стского нейтрона с ядром урана. Приняв для сечения нуклон-нуклон-ного взаимодействия величину oNN я» 40 мбн, оценить длину свободного пробега такого нейтрона в ядре.
8.4!	Медленный нейтрон упруго рассеивается на свободном ядре со спином I = 3/2 в состоянии с орбитальным моментом L = 0. Определить вероятность рассеяния в состояниях с параллельной и антипараллельной взаимной ориентацией спинов нейтрона и ядра.
Указание. Учесть, что ядерные силы между нуклонами зависят от взаимной ориентации их спинов и поэтому сечение рассеяния зависит от полного углового момента сталкивающихся частиц, являющегося интегралом движения. Спином ядра называют его полный момент. В данном случае (при L = 0) спин ядра является «чистым» спином в традиционном его понимании.
8.5.	Вплоть до энергий Т — 20 МэВ угловое распределение рассеянных нейтронов в реакции пр -» пр в лабораторной системе отсчета хорошо описывается формулой i/o(9) = A cos 9 dQ. Как выглядит это распределение в системе центра инерции? Какая оценка для радиуса действия ядерных сил отсюда следует?
8.6!	Тепловой нейтрон из реактора попадает по нормали в биологическую защиту (рис. 47), состоящую в основном из водорода (например, парафин), толщиной I = 1 м и плотностью ядер п = 1022 см-3. Сечение упругого рассеяния составляет орасс = = о-0 = 20 бн, сечение поглощения — оП0ГЛ = СТ1 = 0,3 бн и не зави-
69
сит от энергии. Угловое распределение упруго рассеянных нейтронов в системе центра масс изотропно. Считая, что после рассеяния нейтрон пролетает в защите путь в 1/cos 0 раз больший, чем при прямом пролете, где 0 — угол рассеяния, оце-нить вероятность того, что нейтрон =	пройдет через защиту, испытав лишь
=	= у	только одно упругое столкновение1).
=	= /=	8.7. Плотность потока нейтронов,
п	=	выходящих из реактора, равна
""	= "Z —=	/0 = I014 с-1-см-2. Определить выход
=	реакции в единицу времени (отноше-
=	ние числа актов реакции к числу ча-
стиц, упавших на единицу площади t = I ~	=	мишени в единицу времени) в мише-
~	”	ни толщиной 1 см. Сечение реакции
Рис. 47	ст = 10-27 см2, плотность ядер мишени
п = 1022 см-3.
8.8.	Узкий пучок тепловых нейтронов проходит через слой воды толщиной 1 см. Определить доли первоначального потока нейтронов, выбывающих из пучка в результате поглощения и рассеяния. Сечение поглощения для воды стпогл = 0,66 бн, а сечение рассеяния страсс = 69 бн.
8.9.	Определить, во сколько раз уменьшается интенсивность узкого пучка тепловых нейтронов после прохождения пластинки А1 толщиной d = 3 см. На выходе из пластинки регистрируется пучок первоначальной ширины. Сечение рассеяния для алюминия страсс = 1,41 бн, а сечение поглощения стпогл = 0,23 бн.
8.10.	Быстрые нейтроны, попав в воду, быстро замедляются до тепловых скоростей v = 2,2 км/с и диффундируют в ней, пока не захватятся ядрами водорода (захватом кислородом можно пренебречь). Оценить время жизни т нейтронов в воде. Сечение захвата (поглощения) теплового нейтрона протоном стпогл — о = 0,3 бн.
8.11.	Исследование структуры жидкого или твердого 3Не с помощью пропускания нейтронов через слой вещества затруднено из-за большой величины сечения экзотермической реакции 3Не(п, р)3Н, и для нейтронов с энергией 300 К оно равно ст0 = 5400 бн. Определить энергию нейтронов, с помощью которых можно изучать слои 3Не толщиной d = 1 мм, чтобы проходило не менее 10% от потока падающих нейтронов. Концентрация ядер 3Не п = 1022 см-3.
Указание. Сечение указанной реакции для нейтронов с энергией до 1 МэВ имеет нерезонансный характер.
8.12.	Для регистрации медленных нейтронов широко используются счетчики, наполненные газообразным изотопом 3Не. Рассчитать долю е регистрируемых частиц — эффективность счетчика,
0 В этой и последующей задачах приняты следующие определения: а	= а „олн=
& упр + & неупр & расе + погл & упр + & захв + дел "*"•••
70
представляющего собой цилиндр диаметром d = 25 мм, наполненный газом при давлении Р=10атм. Нейтроны при температуре f = 300 К летят вдоль диаметра цилиндра. В счетчике происходит реакция 3Не(п, р)3Н, сечение которой для регистрируемых нейтронов о = 5400 бн.
8.13!	Для детектирования медленных нейтронов широко используются ионизационные счетчики, наполненные 3Не. Регистрация нейтронов производится по реакции (п, 3Не) —♦ (3Н, р). Показать на основе законов сохранения, что взаимодействие нейтронов с гелием-3 не может приводить к образованию 4Не по реакции п + 3Не-»4Не. См. также задачу 1.16.
8.14.	В сечении рассеяния нейтронов на ядрах может проявляться «волновой резонанс», когда интерференция нейтронных волн де Бройля приводит к «прозрачности» ядер (ядерный аналог эффекта Рамзауэра). Оценить, при какой минимальной энергии нейтронов должны быть видны эти «резонансы проницаемости» на ядре 208РЬ. Ядерный потенциал считать одномерной ямой, ширина которой равна диаметру ядра, глубина ямы U = 40 МэВ (см. задачу 3.33).
8.15!	Источник тепловых нейтронов установлен в центре большого графитового куба, и со временем нейтроны, многократно рассеива
ясь на ядрах углерода и иногда поглощаясь, распространяются по всему объему. Оценить эффективный размер области, занимаемой в результате нейтронами, если эффективное сечение рассеяния нейтронов орасс = 4,8-10-24 см2, а поглощения — оП0ГЛ = 3-10~27 см2. Плотность графита р = 2,2 г/см3.
8.16.	Поликристаллический бериллий слабо поглощает, но интенсивно рассеивает нейтроны (брэгговское отражение на кристалликах). На этом основано действие поликристаллического фильтра, пропускающего нейтроны с энергией <£ < <£гр. Найти <£гр для бериллия, у которого межплоскостное расстояние d = 2к.
8.17.	Поток нейтронов из реактора, имеющих максвелловское распределение по скоростям с температурой Т = 370 К, пропускается через толстый поликристаллический фильтр из спрессованного порошка графита. Найти, какая доля нейтронов проходит через такой фильтр. Максимальное межплоскостное расстояние для решетки графита а = 3,35А.
8.18.	Два цилиндрических стержня с одинаковыми диаметрами, один из графита, другой из висмута, совмещены основаниями. Графитовый стержень через открытый торец облучается па
раллельно его оси потоком нейтронов,
выходящих из замедлителя с комнатной температурой 300 К (рис. 48). Полагая рассеяние нейтронов в графите и висмуте брэггов-
ским, оценить, во сколько раз средняя кинетическая энергия нейтронов <dk, выходящих из висмутового цилиндра через его боковую поверхность, меньше энергии падающих нейтронов &0. Максимальное
71
расстояние между кристаллическими плоскостями для графита dc = 3,35 А и для висмута </Bi = 4,05 А. Длина стержней много больше их диаметров, которые сравнимы со средним пробегом нейтронов.
8.19.	Чему равна критическая скорость нейтронов, испытывающих полное отражение на границе вещества при произвольном угле падения? Число рассеивающих ядер в единице объема N и амплитуду рассеяния нейтронов f считать заданными.
8.20.	Найти критический угол скольжения <р0 для тепловых нейтронов с заданной длиной волны X при отражении от материала с известными значениями N и /. При <р < <р0 нейтроны полностью отражаются.
8.21.	Вычислить коэффициент преломления нейтронов с энергией <£ = 2-10"2 эВ в металлическом Be (р ~ 1,85 г/см3), если амплитуда рассеяния f = — 0,77-10-12 см. Чему равен угол полного отражения нейтронов?
8.22.	Максимальная скорость нейтронов, накапливаемых в ловушке в силу полного отражения от медных стенок, равна v = 5,1 м/с. Определить амплитуду рассеяния нейтронов на ядрах меди.
8.23.	После прохождения свинцовой пластинки толщиной d = 2 см интенсивность потока нейтронов с энергией <£ = 0,25 МэВ уменьшилась и составила 70% от интенсивности падающего пучка. Показать, что это ослабление потока обусловлено преимущественно упругим изотропным s-рассеянием нейтронов ядрами свинца. Считая, что величина амплитуды рассеяния равна радиусу ядра, оценить размер ядра 208РЬ. Плотность свинца р = 11,3 г/см3.
8.24.	Ультрахолодные нейтроны выходят широким пучком из горизонтального нейтроновода и затем движутся свободно над горизонтально расположенной пластинкой, упруго от нее отражаясь и тем самым совершая периодическое движение, как показано на рис. 49. Это движение в гравитационном поле квантуется, и поэтому пройдут над пластинкой только те нейтроны, у которых высота движения Н соответствует разрешенной энергии. Оценить на основе правила квантования Бора—Зоммерфельда, какова третья разрешенная высота. См. задачу 3.6.
Рис. 49
8.25.	Гравитационный рефрактометр (рис. 50) дает возможность определить амплитуду рассеяния медленных нейтронов атомными ядрами, используя падение нейтронов в гравитационном поле Земли. Найти амплитуду рассеяния для 2o9Bi, если известно, что для него на
72
высоте Н = 60 см резко изменяется скорость счета. Плотность висмута р = 9,8 г/см3.
] 1учок нейтронов из реактора
Рис. 50
8.26!	На рис. 51 показаны: реактор Р, работающий на тепловых нейтронах, полая изогнутая труба (нейтроновод) и детектор нейтронов Д. Распределение нейтронов в реакторе по скоростям максвелловское при температуре Т 400 К. Нейтроны, скорость v которых меньше граничной скорости (г»гр~ 10 м/с), называют ультрахолодными. Особенностью таких нейтронов является то, что они испытывают полное упругое отражение от стенок при любом угле падения. Найти зависимость скорости счета детектора от высоты колена Н, полагая, что детектор одинаково эффективно регистрирует все ультра холодные нейтроны. При каком значении Н детектор не регистрирует ультрахолодные нейтроны?
8.27.	В реакторах, работающих на тепловых нейтронах, имеются очень медленные ультрахолодные нейтроны (УХН). Особенностью УХН является то, что при скоростях v < vrp (обычно граничная скорость игр~10м/с) нейтроны упруго отражаются от стенок при любых углах падения. Для вывода УХН из реактора используют полые трубы — нейтроноводы. На рис. 52 изображен реактор Р, нейтроновод специальной формы и на его конце — детектор нейтронов Д. Полагая, что распределение нейтронов по скоростям в реакторе максвелловское (при температуре 7^400 К), найти, как зависит поток нейтронов, доходящих до детектора, от высоты его поднятия Н. Оценить высоту Ягр, на которой поток нейтронов исчезает.
8.28.	В эвакуированном сосуде объемом V = 1 л находятся ультрахолодные нейтроны, отражающиеся от стенок с коэффициентом отражения, практически равным единице. В сосуде имеется отверстие площадью 5, заклеенное фольгой, полностью прозрачной для ультрахолодных нейтронов. Какова должна быть площадь окошка
73
5, если наблюдаемое время хранения нейтронов в ловушке в 2 раза меньше среднего времени жизни свободных нейтронов т~103с. Считать, что скорость всех ультрахолодных нейтронов одинакова и равна v = 5 м/с.
8.29.	Вхождение нейтронов из вакуума в большинство веществ связано с преодолением энергетического барьера. Поэтому в замкнутой полости достаточно медленные нейтроны оказываются запертыми и могут накапливаться. Определить, какая доля из потока тепловых нейтронов, распределение по скоростям которых максвелловское, окажется запертой в медной камере. Предельный угол скольжения при полном «внешнем» отражении для нейтронов, движущихся со среднеквадратичной скоростью, составляет i = 10 угл. мин. Соударения нейтронов со стенками камеры могут рассматриваться как упругие.
8.30!	Монохроматические нейтроны с энергией <£ = 10~7 эВ транспортируются к мишени из источника (медной сферы радиусом R) по длинному круглому алюминиевому нейтроноводу радиусом г = 10 см «Л. Концентрация нейтронов в источнике п0 = 1 см-3 все
время поддерживается постоянной, плотности алюминия и меди равны соответственно 2,7 и 8,9 г/см3, а их амплитуды когерентного рассеяния —3,5-10“13см и — 7,8• 10~13 см. Вычислить поток нейтронов на мишени (распадом нейтронов пренебречь).
8.31. Параллельный пучок монохроматических нейтронов (X = 5 А) шириной b = 2,5 см попадает на вход длинного изогнутого нейтроновода прямоугольного сечения радиусом R = 50 м (рис. 53). Внутренняя поверхность нейтроновода по-крыта слоем 56Ni (р = 8,9 г/см3, амплитуда когерентного рассеяния / = —10 фм). Опре- ,,=С: делить, какая часть нейтронов пройдет по волноводу (распадом нейтронов пренебречь).	*
8.32. В конце 1980-х годов М. А. Кумахов	'
предложил использовать тонкие полые стек-	рнС 53
лянные капилляры в качестве световодов для рентгеновских лучей и медленных нейтронов. Для нейтронов с длиной волны X = 2,4 А критический угол у стекла равен 0кр = 2,2-10~3 радиан. При каком минимальном радиусе кривизны стеклянной трубки диаметром d = 0,1 мм будет полностью передаваться попадающий на ее вход параллельный пучок нейтронов с энергией <£ = 25 мэВ?
8.33. В рентгеновской и нейтронной физике начинает широко применяться п так называемая «opaque optics» (непрозрачная оптика). Например, цилиндрической линзой может
Рис. 54
служить цилиндрический канал в сплошном веществе. Рассчитать для нейтронов с энергией & = 25 мэВ фокусное расстояние составной никелевой линзы, образованной 10 отверстиями диаметром
74
2R = 200 мкм, как это показано на рис. 54. Длина когерентного рассеяния нейтронов в никеле естественного состава а = 10-12 см, плотность никеля р = 8,9 г/см3.
8.34!	Образец иода 1271 облучается нейтронным потоком такой интенсивности, что в 1 с образуется 107 атомов радиоактивного иода 1281, период полураспада Т1/2 которого 25 мин. Найти число атомов 1281 и активность препарата через 1, 10, 25, 50 мин после начала облучения. Каковы максимальные числа атомов 1281 и активность препарата при долгом облучении (т. е. при облучении до насыщения)?
8.35!	При облучении образца золота в потоке тепловых нейтронов плотностью j = 1014 см~2-с-1 в реакторе в результате реакции 197Au(n, у)198Au (сечение <j, = 96 бн) образуется ^“-активный нуклид 198Аи, переходящий в 198Hg с периодом полураспада Т1/2= 2,7 суток. В то же время, сечение реакции198Au (п, у) 199Au очень велико и равно о2 = 26 000 бн, так что изотоп 198Au активно поглощает нейтроны (вторичная активация). На сколько уменьшается при учете вторичной реакции число образующихся ядер 198Hg при времени облучения 1 = ЮТ 1/2?
8.36.	Образец золота 197Au массой т = 10 мг облучали в потоке тепловых нейтронов плотностью j = 1012 см~2-с-1 дважды: в течение первого дня с 9 до 17 час и в то же время на следующий день. Найти число образовавшихся радиоактивных ядер 198Au (71/2 = 2,7 сут, сечение активации, т. е. радиационного захвата нейтронов ядрами 197Au, о = 96 бн) к концу облучения во второй день. За какое время это же количество ядер 198Au может быть получено при непрерывном облучении?
8.37.	Образец алюминия облучается дейтронами с энергией 7 МэВ, в результате чего происходит реакция 27Al(d, р)28А1. Период полураспада 28А1 равен Т1/2 = 2,24 мин. Облучение длится в течение G = 3,5 мин, какое-то время t2 уходит на перенос образца к детектору, а затем в течение времени z3 = 6 мин производится измерение активности образца. Какую часть распадов регистрирует детектор от максимально возможного при том же времени переноса образца?
8.38.	Распространенность группы легких элементов Li, Be, В в Земле, Солнце, метеоритах намного меньше, чем более тяжелых С, N, О, однако в космических лучах содержание группы легких элементов Li, Be, В относительно группы С, N, О равно а — 0,34. Это объясняется фрагментацией (развалом) С, N, О при прохождении через межзвездную среду, состоящую в основном из водорода. Оценить в г/см2 количество водорода, которое должны при этом пройти высокоэнергетичные ядра С, N, О. Сечение деления (фрагментации) тяжелых элементов с образованием легких Оф = 90 мбн, полное сечение их взаимодействия с водородом о0 = 200 мбн, фрагментацией легких элементов пренебречь.
75
8.40. Один из по отношению к
Рис. 55
8.39.	Сосуд объемом V = 1 л помещен в активную зону реактора на тепловых нейтронах с плотностью потока j— 1012 см“* 2-с-1. Считая, что сосуд не возмущает пространственное максвелловское распределение нейтронов с Т — 300 К, найти количество протонов, накопившееся в сосуде за счет распада нейтронов в течение t = 6 месяцев.
методов определения времени жизни нейтронов ^-распаду состоит в измерении числа протонов, образующихся при пролете медленных нейтронов через промежуток а фокусирующей системы детектора протонов D (рис. 55). Найти число протонов Wp, поступающих на детектор, если длина промежутка, в котором протоны распадаются, равна а = 20 см. Плотность потока медленных нейтронов jn = 1013 см“2-с-1, скорость нейтронов v = 2 км/с, эффективность сбора протонов 100%.
8.41!	Найти среднее по энергии эффективное сечение о реакции а + 2зА1 -» р + ^Si. Из
вестно, что при облучении толстой алюминиевой мишени а-части-цами с энергией 8 МэВ выход протонов1) равен т] = 8-10“6. Длина пробега а-частиц в воздухе равна /Б = 7,0 см.
8.42.	Толстая мишень, содержащая п0 ядер/см3 * *, облучается а-частицами. Зависимость дифференциального выхода т] исследуемой реакции от энергии2) а-частиц в интервале 1 4- 10 МэВ оказалась кубической: dr\/d& = с&\ Определить приближенно характер зависимости эффективного сечения реакции от энергии о(^). Принять, что тормозные потери обратно пропорциональны энергии, т. е. d£/dx = А/&, где А = const.
8.43.	В одном из экспериментов со встречными пучками электронов используются два одинаковых накопительных кольца, в которых пучки ультраре-лятивистских частиц движутся в противоположных
Рис. 56 направлениях, сталкиваясь друг с другом на длине взаимодействия I = 0,5 м (рис. 56). Система счетчиков, окружающих область взаимодействия, установлена так, что она регистрирует одно из 10 событий (е = 0,1) взаимодействия час
') Выходом ядерной реакции называется отношение полного числа рожденных в мишени частиц к полному числу частиц, попавших на мишень.
2) В толстом слое вещества поток частиц будет изменяться как вследствие ядерных
реакций, так и вследствие ионизационного торможения заряженных частиц. В случае реакций, вызванных заряженными частицами, ионизационные потери существенно N
изменяют энергию этих частиц, и поэтому выход реакции — это и]= —= **о
Sc(s') d£
----,----, где пп —концентрация ядер мишени.
76
тИц. Площадь сечения циркулирующих пучков в кольцах равна 5 = 5 мм2, эффективное сечение взаимодействия двух соударяющихся частиц о = 10"5 бн. Найти циркулирующий ток 3, который нужно накопить в каждом кольце, чтобы системой счетчиков регистрировалось в 1 с не менее К = 10 с-1 событий. Считать, что плотность числа частиц вдоль орбиты постоянна.
8.44.	При распаде ядра 60Со одновременно (в каскаде) образуются два у-кванта с энергиями = 1,17 МэВ и <£2 = 1,33 МэВ соответственно. Определить, как изментися отношение потоков этих у-квантов после их прохождения через свинец толщиной d и вычислить это отношение при d = 5 см. Коэффициенты ослабления потока у-кван-тов в свинце равны соответственно рц = 0,7 см-1, ц2 = 0,62 см-1.
8.45.	При просвечивании детали монохроматическими тепловыми нейтронами с длиной волны А. = 1 А на изображении было обнаружено слабое темное пятно, свидетельствующее о наличии внутри детали инородного включения. Контраст изображения (отношение интенсивностей прошедших нейтронов в области включения к соседним однородным областям) был равен 1,26. Какова должна быть длина волны нейтрона, чтобы контраст возрос до 2? Считать, что сечение взаимодействия нейтронов с веществом носит нерезонансный характер.
8.46.	Оценить, какая доля ультрарелятивистких протонов космического излучения дойдет до поверхности Земли, не испытав ядер-ного взаимодействия.
8.47.	Оценить длины свободного пробега /р и /N ультрарелятиви-стских протонов и ядер азота в жидководородной камере. Радиус протона гр = 0,8 • 10-13 см, плотность жидкого водорода рн = 0,07 г/см3.
8.48.	Для создания пучков быстрых нейтронов часто используют взаимодействие релятивистских дейтронов с тяжелыми ядрами, когда в результате периферийного взаимодействия протон поглощается ядром — т.н. реакция срыва. Оценить сечение оП0ГЛ такого процесса, когда мишенью служит абсолютно поглощающее нуклоны ядро свинца 208РЬ. Среднее расстояние между нуклонами в дейтроне равно 27?d = 3,6 фм.
8.49.	Определить кинетические энергии Тп нейтрона и Тя ядра 6Li, образующихся при фоторасщеплении ядра 7Li под действием у-кванта с энергией = 15 МэВ, если нейтрон вылетает «вперед», т. е. по направлению пучка у-квантов. Энергии связи ядер 6Li и 7Li равны соответствено = 32 МэВ и <£2 = 39,2 МэВ.
8.50.	При какой кинетической энергии Тр налетающего протона на покоящийся протон в реакции р + р—»d + л+ кинетическая энергия пиона в лабораторной системе координат равна нулю?
8.51!	Хорошо сколлимированный пучок у-квантов с энергией £у = 250 МэВ падает на мишень, содержащую дейтерий. Вследствие фоторасщепления дейтерия вторичный пучок содержит нуклоны. Оценить угол разлета <р нуклонов после реакции. Среднее расстояние между нуклонами в ядре дейтерия принять равным 27?d ~ 4 фм.
77
8.52.	Ядра кислорода 16О облучаются пучком протонов с импульсом р = 10 ГэВ/c. Отбираются такие события, когда в результате реакции р + 16О-»16О* + р возбужденные ядра кислорода 16О* с энергией возбуждения, равной & = 1 МэВ, вылетают в направлениях,
практически перпендикулярных пучку, и испускают монохроматиче-
ские 7-кванты вдоль своей траектории (рис. 57). Детектор 7-квантов регистрирует две линии, расстояние между которыми А<£ = 200 кэВ.
Оценить импульс р0* вылетевших ядер кислорода и малый угол а, на который отклоняются протоны.
8.53. Реакция 7Li(р, п)7Ве является удобным источником монохроматических нейтронов в интервале 0,2 ч-1,5 МэВ. Для изменения энергии нейтронов можно менять как энергию первичных протонов, так и угол наблюдения. Найти: а) выделение энергии в реакции 7Li (р, п)7Ве, зная массу атомов 7Li, 7Ве, 'Н и нейтрона в атомных единицах; б) при какой минимальной энергии протонов возможна это реакция? Какова связь между энергиями нейтрона и протона в лабораторной систе-
ме и системе центра масс?
8.54.	Сечение взаимодействия (поглощения) нейтрино с нуклоном о = 10~43 см2. Какова вероятность взаимодействия нейтрино при пролете по диаметру гипотетического железного шара с радиусом R, равным одной астрономической единице (1,5-108 км — среднее расстояние от Солнца до Земли)? Шар считать несжимаемым с плотностью р = 7,8 г/см3.
8.55.	Считая, что сечение взаимодействия (поглощения) нейтрино с нуклонами а (в см2) зависит от энергии £ нейтрино (в ГэВ) как о = А&, где коэффициент А= 10~38 см2/ГэВ, оценить энергию нейтрино, необходимую для его эффективного поглощения Землей. Радиус Земли принять равным R = 6400 км, ее среднюю плотность р = 5,5 г/см3.
8.56.	Оценить, насколько толща Земли ослабляет поток нейтрино, приходящих с противоположной стороны земного шара. Усредненное по энергетическому спектру сечение поглощения нейтрино на нуклонах равно <7 ~ КС35 см2, средняя плотность Земли р = 5,5 г/см3, эффективная относительная атомная масса А = 50.
8.57! Для объяснения загадки тунгусского метеорита привлекалась гипотеза, что он состоял из антивещества. Оценить, может ли подобный «гость» долететь к нам от удаленных на несколько десятков миллионов световых лет галактик, поскольку ближе антивеще-
ства нет из-за отсутствия характерного аннигиляционного излучения. В самых «пустых» частях Вселенной обычно все же не бывает менее одного протона в 1 см3.
78
8.58.	Ядерные реакции, проходящие на Солнце, можно изучать, измеряя поток нейтрино от Солнца. Нейтрино с энергией в несколько МэВ (эти нейтрино образуются при распаде ядер 8В на заключительной стадии превращения водорода в гелий) детектируются в реакции ve + 37С1 -»37Аг + е“. Сечение такой реакции, усредненное по энергетическому спектру рассматриваемых нейтрино, о = = 1,4-10"42 см2. Считая, что в секунду Солнце испускает число нейтрино Nv = 3-1033 с-1, определить, какова должна быть масса М четыреххлористого углерода СС14 (естественной смеси изотопов), чтобы в нем за время t = 1 год произошло п = 100 актов образования ядер is Аг. В естественной смеси изотопов хлора содержится
= 25% (по массе) ядер 17CI.
8.59!	Время жизни ядра ^Аг из-за К-захвата составляет т0 = 32 сут. На основе этого факта оценить эффективное сечение о слабого взаимодействия в реакции
р + е--> n + ve.
8.60.	Мюон ц, попав в свинцовую пластинку, очень быстро тормозится, после чего захватывается на К-оболочку ядра 2°§РЬ, на которой он живет т = 7 -10“8 с. Это время примерно в 30 раз меньше времени жизни свободного мюона. Сравнить размер мюонной оболочки с размерами ядра РЬ. Взаимодействие с каким из нуклонов ограничивает время жизни мюона? Написать соответствующую реакцию и оценить ее эффективное сечение.
8.61!	При комнатной температуре примерно f — 20% 7-распадов ]5oSn в соединении BaSnO3 происходит без возбуждения колебаний атомов решетки (бесфононный переход). Такой процесс называется эффектом Мессбауэра. Оценить, какой должна быть толщина источника, чтобы в нем не происходило заметного самопоглощения мессбауэровских 7-квантов, носящего упругий характер. Плотность BaSnO3 р = 3 г/см3, содержание изотопа ’JgSn в естественной смеси е = 8 %, энергия 7-квантов <% = 24 кэВ.
8.62.	По современным расчетам плотность потока высокоэнерге-тичных солнечных нейтрино на Земле должна быть равной 7 = 5,6-106 см-2 с-1. Нейтрино регистрируются детектором, содержащим М = 615 тонн перхлорэтилена С2С14. В естественной смеси изотопов хлора содержится 25 массовых процентов изотопа 37С1, на ядрах которого происходит реакция, обратная К-захвату. Среднее сечение захвата ядрами 37С1 таких нейтрино составляет о= 1,06-10-42 см2. Период полураспада Т1/2 образующегося ядра 37Аг равен 35 суткам. Какое максимальное количество ядер 37Аг можно выделить из вещества детектора после экспозиции в течение времени / — Т[/27
8.63.	По современным расчетам плотность потока низкоэнерге-тичных солнечных нейтрино на Земле должна быть равной 7 = 6,07- 1О10 см~2-с-1. Нейтрино регистрируются детектором, содер
79
жащим М — 15,5 тонн хлорида галлия GaCl3. В естественной смеси изотопов галлия содержится 40 массовых % изотопа 71Ga, на ядрах которого происходит реакция, обратная А?-захвату. Среднее сечение этой реакции составляет о = 11,8-10-46 см2. Период полураспада Tin образующегося ядра 71Ge равен 11,4 суток. Какое максимальное количество ядер 71Ge можно извлечь из вещества детектора через время экспозиции t = Т1/21
8.64.	Оценить, во сколько раз сечение поглощения атомом натрия резонансной линии, соответствующей его (35 — ЗР)-переходу и рассматриваемого как неупругий процесс, отличается от геомет
рического поперечного сечения атома.
8.65.	Коллимированный пучок монохроматических нейтронов проходит через пластинку из железа толщиной (1 = 5 мм, для которого эффективные сечения поглощения и рассеяния нейтронов данной энергии равны соответственно оп0ГЛ = 2,5 бн и орасс = 11 бн. Определить относительные доли падающего потока нейтронов, выбывших из пучка в результате поглощения и рассеяния. Плотность железа р = 7,9 г/см3.
8.66.	Мак-Рейнольдс (1951 г.) измерил зависимость интенсивности I отражения медленных нейтронов, падающих под малым углом
скольжения на границу раздела азот (газ) — этиленгликоль (жидкость), от давления газа Р при температуре Т = 300 К (рис. 58). Нейтроны падают из азота (?) на границу раздела с этиленгликолем (2). Показать, что, действительно, должна наблюдаться зависимость Д7 <х Р. Найти величину сечения когерентного рассеяния нейтронов на ядрах азота, если известно, что у этиленгликоля плотность ядер равна Л^2 = 1,13 * 1023 см~3, среднее сечение когерентного рассея
ния равно о2 = 0,0055 бн. В эксперименте коэффициент отражения
нейтронов R = const-(n2 — пi)2! «ь п2 — показатели преломления соответственно газа и жидкости. Это выражение получается из формул Френеля при малых углах скольжения и близких к единице показателей преломления.
8.67.	На рис. 59 точками показаны результаты Д. Юза с сотрудниками, которые измерили зависимость от угла скольжения 0 (в угловых минутах) интенсивности отражения нейтронов с длиной волны А. = 6,7 к от границы раздела между висмутом и жидким кислородом. Нейтроны падают из висмута (7) на границу с кислородом (2). Штриховой линией показана следующая из измерений угловая
зависимость интенсивности отражения для монохроматичного па-
80
раллельного пучка. В отражении нейтронов участвуют независимо как ядра, так и электроны. Найти длину рассеяния аэл на электронах, если плотности и длины рассеяния на ядрах висмута и жидкого кислорода равны р]=9,8г/см3, а\ = 8,64 фм; р2 = 1,13 г/см3, й2 = 5,77 фм.
8-68. При облучении ядра 1151п нейтронами с энергией <§п=1,44эВ происходит их резонансное поглощение. Распад составного ядра происходит по двум каналам — радиационному (с испусканием у-квантов) и упругому (с вылетом нейтрона). Полное сечение этой реакции равно оПолн = 2,7-104 бн. Ширина нейтронного канала распада Гп= 1,2-10-3эВ. Оценить среднее время жизни составного ядра относительно испускания у-квантов, считая, что Г.(1»ГГ1. Частицы
8.69!	При захвате тяжелым ядром медленного нейтрона с энергией & образуется составное ядро. Снятие возбуждения происходит либо путем упругого испускания нейтрона, либо путем испускания у-квантов. Найти отношение сечений испускания нейтрона при <£ = 1 эВ и S = 10 кэВ. Вероятность радиационного распада много больше вероятности вылета нейтрона. Считать потенциал ядра прямоугольной потенциальной ямой, а процессы поглощения и испускания нейтронов — нерезонансными.
Д', с
600
400
200
6К„=3,7 мин кр
4 0, мин
Рис. 59
считать бесспиновыми.



I
0
2
§ 9.	Деление ядер. Реакторы. Термоядерный синтез
9.1!	Кулоновские силы способствуют делению атомного ядра, а силы поверхностного натяжения препятствуют. Определить отношение кулоновской <эк и поверхностной <эп энергий атомного ядра, при котором деление на два равных осколка энергетически выгодно. Выразить то же условие через параметр деления Z^A, пользуясь формулой Вайцзеккера для энергий <S’K и <эп. Четности А и Z не учитывать.
9.2.	С помощью полуэмпирической формулы Вайцзеккера найти минимальное значение параметра ZA/A, при котором становится энергетически возможным деление ядра с четным А и четным Z на две одинаковые части. Рассмотреть три случая: 1) /1/2 — нечетное, Z/2 — произвольное; 2) Л/2 — четное, Z/2 — нечетное; '3) Л/2 — четное, Z/2 — четное.
9.3!	Предполагая, что форма ядра является сферической, получить критерий устойчивости ядер по отношению к малым статическим деформациям формы. Ядерную материю считать несжимаемой. Проверить по полученному критерию устойчивость тяжелых естественных ядер. Как можно объяснить явления спонтанного деления?
81
Указание. Площадь поверхности вытянутого эллипсоида вращения с полуосями а и А
_	, f Ь а . '/а2 - Л2
S = 2 лап - + , .	. arcsin-------
у/а2 - Ь2	а
Энергия равномерно заряженного по объему эллипсоида с зарядом
Q Равна	,
_ 3 Q2 | а +va -/>
9.4!	Оценить эффективное сечение деления ядра нейтронами с энергиями 0,025 эВ (тепловые нейтроны) и 10 кэВ. Считать, что сечение деления равно сечению образования составного ядра. Ядерный потенциал аппроксимировать прямоугольной потенциальной ямой глубиной 40 МэВ.
9.5.	Сечение деления 238U быстрыми нейтронами с энергией <S = 5 МэВ равно о(п,/) = 0,5 бн. Какова относительная вероятность этого нерезонансного процесса по отношению ко всем процессам, идущим через компаунд-состояние? Глубину потенциальной ямы ядра урана принять равной U = 50 МэВ.
9.6.	Размножение нейтронов в делящейся среде можно условно представить как смену поколений. Существовавшие в некоторое время нейтроны будут все рано или поздно поглощены ядрами. На смену «умершему» поколению нейтронов появится новое поколение нейтронов, которое опять через некоторое время «умрет», чтобы дать «жизнь» следующему поколению. Конечно, время жизни нейтронов неодинаково, но можно ввести среднее время жизни одного поколения, точно так же, как это делается для человеческих поколений. Отношение числа нейтронов второго поколения к числу нейтронов первого поколения в делящейся среде называется коэффициентом размножения к.м. Если £„< 1, то говорят, что система находится в подкритическом состоянии. Число нейтронов в такой системе будет уменьшаться во времени. Пусть в подкрити-ческой бесконечной системе в некоторый момент времени появилось No нейтронов. Определить общее число нейтронов, образующихся в системе, если исходное их число равнялось No.
9.7.	Показать, что в системе из чистого 238U нельзя достигнуть каа> I (см. задачу 9.6). Для энергии нейтронов больше 1,1 МэВ сечение поглощения не превышает величины 10“24 см2: опогл= = Одед + озахв < 10-24 см2, где <тдел — сечение деления, а озахв — сечение радиационного захвата. В то же время сечение упругого рассеяния, при котором нейтрон теряет относительно большую часть своей энергии, <трасс 3-10-24 см2.
9.8.	Реактивностью реактора называют величину р = —, где к — коэффициент размножения нейтронов; если |£—1|«1, то р % к — 1. Найти в этом приближении изменение мощности ИД/) ре
82
актора в надкритическом режиме, когда k > 1. Определить характерное время Т реактора, т. е. время возрастания мощности W в е раз. Среднее время жизни одного поколения нейтронов равно т.
9.9.	При каких значениях реактивности реактора р, определенного в предыдущей задаче, запаздывающие нейтроны определяют зависимость мощности от времени? Доля запаздывающих нейтронов р = 0,0064.
9.10!	Активная зона ядерно го реактора заполнена смесью урана и графита, имеющей при бесконечных размерах коэффициент размножения нейтронов = 1,05. Среднее расстояние, проходимое нейтроном от места рождения до поглощения, L = 50 см. Оценить критический радиус реактора R, при котором полное число нейтронов остается постоянным, считая, что плотность нейтронов изменяется линейно по радиусу и равна нулю на границе.
9.11*	В работающем ядерном реакторе в числе многих элементов из урана все время образуются изотопы иода 1351, претерпевающие следующую последовательность бета-распадов (периоды полураспада указаны)
135J 6’1Дас 135Хе 9.2час i35Cs _____
Так как ядра 135Хе обладают очень большим сечением поглощения нейтронов, в работающем реакторе накопления этого изотопа не происходит. Однако при остановке реактора ксенон начинает накапливаться, тем самым уменьшается коэффициент размножения нейтронов и сразу же повторный запуск реактора затрудняется (образуется так называемая иодная яма). Через какое время после остановки реактора количество ядер 135Хе будет максимальным? Считать, что в момент остановки реактора ядер ксенона в нем нет.
9.12!	Один из способов утилизации оружейного плутония (почти чистый 239Ри) состоит в его облучении в реакторе, где за счет захвата (поглощения) нейтронов 239Ри либо делится, либо переводится в 240Ри, который в свою очередь переходит в ^Ри. Сечения этих реакций равны оу, = 741, оп1 = 267, сп1 = 290 бн. Плутоний считается непригодным для создания ядерного оружия, если содержание в нем 240Рц составляет 40% от 239Ри. Определить время, необходимое для достижения этой концентрации ^Ри в образце оружейного плутония в реакторе с массой М = 2,75 т 235U и мощностью W = 3500 МВт. Сечение деления 235U равно оу3 = 579 бн, в одном акте деления выделяется энергия е = 180 МэВ.
9.13.	Под действием нейтронной компоненты космического излучения на поверхности Земли из 238U образуется 239Ри. Считая, что плотность потока космических нейтронов равна /п = 1 м~2-с~2 и эффективное сечение захвата (поглощения) нейтронов ядром урана равно <д = 3 бн, определить отношение концентрации 239Ри и 238U при временах от начала облучения (Т1/2 = 2,4-104 лет — период полураспада плутония).
83
9.14.	Много лет тому назад в урановом месторождении в Окло (Габон, Африка) «работал» природный ядерный реактор на 235U. Из массы М — 200 т имевшегося там урана выделилась энергия S = Ю11 кВт-час. Оценить, какая часть массы 235U A/V///V/ была при этом израсходована, если его начальная концентрация составляла п0 = 3,5 %. Время «работы» реактора много меньше периода полураспада урана. Энергию <S0, выделяющуюся при делении ядра 235U, принять равной 200 МэВ.
9.15.	Естественный уран состоит из 99,3% изотопа 238U и 0,7% 235U. При обогащении смеси изотопов 235U до 3 % возможна цепная реакция деления. Какое время t тому назад такой природный реактор мог «загореться»?
9.16.	В урановом реакторе мощностью W = 1 МВт образуется в среднем N = 6 антинейтрино на один акт деления ядра урана. Энергия антинейтрино S = 1,5 МэВ. Реактор окружен биологической защитой (бетон). Оценить плотность потока антинейтрино / за биологической защитой на расстоянии L = 5 м и долю энергии т], уносимой антинейтрино из реактора. Считать, что реактор имеет сферическую форму.
9.17!	При спонтанном делении тяжелых элементов (тория, урана) внутри Земли выделяется мощность W — 15 ТВт. Делящиеся элементы являются источниками антинейтрино ( ~ 6 антинейтрино на акт распада). Предполагая распределение элементов в Земле равномерным, оценить плотность потока антинейтрино на ее поверхности. Сечение поглощения антинейтрино принять равным or = 10-43 см2/нуклон.
9.18.	Во всем мире в 1978 г. была выработана тепловая энергия, эквивалентная сжиганию около 1010 т условного топлива. Условное топливо имеет тепловыделение 7000 кал на 1 г. Какое количество естественного урана потребовалось бы взамен сжигания 1010 т условного топлива для получения такого же количества тепловой энергии? Считать, что в реакторах коэффициент воспроизводства «ядерного горючего» кк — 0,8 (Лв — это отношение числа атомов созданного «горючего» к числу атомов затраченного). За один акт деления выделяется 200 МэВ энергии. В естественном уране содержится 0,714% 235U.
9.19.	Один из перспективных методов получения новых изотопов — синтез сверхтяжелых ядер с их последующим распадом. Найти пороговую скорость v ядер урана, бомбардирующих урановую мишень, для реакции
9.20!	В термоядерном реакторе концентрация дейтерия rtd = 2,5-1015 ядер/см3 поддерживается на постоянном уровне с помощью внешнего источника дейтронов, который обеспечивает поступление q ядер/(с-см3). Принимая во внимание только реакции (d, d) и (d, 1), найти: 1) установившуюся концентрацию nt трития t; 2) вели
84
чину q', 3) мощность JV, выделяемую в 1 см3 плазмы. При температуре плазмы Т — 60 кэВ усредненные по максвелловскому распределению произведения сечений реакций на относительную скорость частиц равны ovdd =1,6-I0-17 см3-с-1; owdt = 10-15 см3-с-1.
9.21.	Каково количество термоядерных реакций, происходящих в 1 см3 в 1 с, если известно сечение реакции <т(и), где v — относительная скорость реагирующих дейтронов, ап — число дейтронов в 1 см3?
9.22.	Какая плотность тепловой мощности W [эрг/с-см3] создается термоядерными реакциями в чисто дейтериевой плазме с кон-цетрацией ядер nd = 1015 см-3, ordd = 10-17 см3/с, что соответствует температуре плазмы 4,6-108 К или 40 кэВ в энергетических единицах? При вычислениях учитывать лишь энергию реакций d + d.
9.23.	В первом поколении термоядерных реакторов предполагается использовать реакцию дейтерия с тритием:
d + t —» 4Не + п.
Теплота реакции Q= 17,6 МэВ. Предполагая, что квазинейтраль-ная плазма содержит равное количество ядер дейтерия и трития при плотности электронов п = 1014см-3, рассчитать плотность тепловой мощности W, а также полную мощность N термоядерной установки. Объем плазмы V = 500 м3. Для данной реакции
___ _ Гб,2-10-21 см3/с при кТ = 1 кэВ, GV<tt |б-10-17 см3/с при кТ = 10 кэВ.
9.24.	Термоядерная реакция называется самоподдерживающей-ся, если выделяемая энергия полностью уходит на разогрев плазмы (ядер дейтерия, трития и электронов) до необходимой темера-туры Т. Исходя из этого, найти минимально необходимое время т удержания квазинейтральной дейтериево-тритиевой плазмы с полной концетрацией частиц пй + и, — п. Для данной реакции при данной температуре величины Qdt и <5wdt считать заданными.
Примечание. Время удержания плазмы определяется в первую очередь различными неустойчивостями, а также процессами диффузии и излучения.
9.25.	Согласно критерию Лоусона в равнокомпонентной смеси дейтерия и трития при кТ = 10 кэВ термоядерная реакция будет са-моподдерживающейся, если пт = 1014 с/см-3, где п — плотность элек-тонов, т — время удержания плазмы (см. задачу 9.24). Какова для этого случая должна быть плотность тепловой мощности, выделяемой в реакторе, если п — 1014см-3.
Примечание. Такой режим работы называют режимом нулевой мощности.
9.26.	Экономически выгодным считается такой термоядерный реактор, в котором выделяемая энергия втрое превышает затраты на разогрев плазмы. Это связано с тем, что часть выделямой мощности должна идти на поддержание работы различных вспомогательных
85
устройств. Показать, что для квазинейтральной равнокомпонентной дейтериево-тритиевой плазмы при кТ = 10 кэВ критерий Лоусона имеет вид пх > 3-1014 с/см-3. Здесь п — плотность электронов, т — время удержания плазмы (см. задачу 9.24). Для данной реакции при заданной температуре ovdt = 6- 10-17см3/с , a Qdt = 17,6 МэВ.
9.27.	Оценить радиус плазменного дейтериевого шара, для которого термоядерная реакция станет самоподдерживающейся при кТ = 10 кэВ. Плазму можно рассматривать, как абсолютно черное тело, непрозрачное для излучения, и считать, что основные потери энергии связаны с излучением через поверхность шара. Концетрация дейтерия равна nd = 3,0-1020 см-3; при данной температуре величина ovdd = 10-18 см3/с . Учитывать только реакции (d,d) и (d,t) (см. задачу 9.20). Концентрации дейтерия и трития считать стационарными.
9.28!	При классическом рассмотрении реакция термоядерного синтеза (d, d) может произойти только тогда, когда кинетическая энергия сталкивающихся дейтронов достаточна для преодоления кулоновского барьера 17кул = 0,5 МэВ. Однако, благодаря туннельному эффекту эта реакция возможна и при меньших энергиях. Оценить, во сколько раз увеличивается скорость реакции при квантовом рассмотрении по сравнению с классическим. Температура дейтериевой плазмы То = 108 К.
9.29!	Реакция термоядерного синтеза d + t—»п + а при низких энергиях идет преимущественно в состоянии с полным моментом импульса сталкивающихся ядер 1 = 3/2. Во сколько раз изменится среднее сечение этой реакции, если дейтериево-тритиевая плазма помещена в магнитное поле, полностью поляризующее спины взаимодействующих ядер? Спины ядер дейтерия и трития равны соответственно Sd = 1 и St = 1/2 (см. указание к задаче 8.4).
9.30!	В морской воде примерно на каждые 6000 молекул обычной воды приходится одна молекула тяжелой воды D2O. Учитывая четыре основные реакции синтеза, возможные в дейтериевой плазме, определить, какая энергия выделится в термоядерном реакторе при сжигании всего дейтерия, содержащегося в 1 л морской воды. Какому количеству бензина эквивалентен по энергии 1 л воды, если при сжигании 1 кг бензина выделяется 13 кВт-ч энергии?
9.31.	Оценить запас термоядерной энергии S в 1 м3 морской воды, если использовать 10% дейтерия, содержащегося в воде, для осуществления реакции d + d. Число атомов дейтерия в природной смеси изотопов равно 0,015%.
9.32.	Определить отношение начальной кинетической энергии частиц дейтериевой плазмы, нагретой до Т = 109 К, к энергии, выделившейся после «выгорания» всего дейтерия в результате реакции термоядерного синтеза. Учитывать только реакции (d, d) и (d, t).
9.33!	На рис. 60 изображена предполагаемая схема термоядерной электростанции. В реактор вводится подогретое до необходимой температуры топливо — дейтериевая плазма. Часть частиц покидает зону реакции, не испытав ядерного взаимодействия. Часть энергии за-
86
ряженных частиц, которая бесполезно излучается из зоны реакции за счет тормозного излучения, с помощью системы отражателей возвращается обратно в реактор. Коэффициент преобразования выделенной энергии в электрическую (КПД станции) ц — 30%. Температура дейтериевой плазмы Т = 109 К. Найти пАх — произведение концентра
ции ядер дейтерия на время удержания дейтериевой плазмы в зоне реакции, необходимое для протекания самоподдерживающейся реакции. Принять во внимание только реакции (d, d) и (d, t). При заданной температуре twdd = 2,5-1017 см3-с-1. Считать, что за единицу времени из единицы объема плазмы уходит в среднем nd/r частиц. Интенсивность тормозного излучения единицы объема IT„3JI = = 1,5- 10-34ndVT Вт/см3. Для упрощения расчета принять, что доля
р мощности потерь из-за тормозного излучения, возвращенная обратно в реактор отражателями, равна КПД станции, т. е. (3 = т].
9.34.	Согласно современным представлениям на Солнце осуществляется звездный углеродный цикл, в результате которого из четырех протонов образуется а-частица. Конечной реакцией этого цикла является реакция р + 15N —»12С + 4Не. Оценить, какая доля энергии ц от полной энергии цикла выделяется в указанной реакции.
9.35.	Под действием медленных нейтронов из литиевой мишени, состоящей из изотопа 6Li, вылетают тритоны. Они в свою очередь
попадают в дейтериевую мишень и могут приводить к реакции
t + d—» п + а. Какова при этом максимальная кинетическая энергия
вторичных нейтронов?
9.36. Основная реакция в водородной среде в центрах звезд р + р d + е+ + ve обусловлена слабым взаимодействием. Этот процесс можно промоделировать в лабораторных условиях. Рассчитать, какой ток <// протонов с энер-
гией 1 МэВ должен падать на	рис. 60
водородную мишень, чтобы за
t = 1 ч произошла одна такая реакция. Пробег протонов данной энергии в мишени до взаимодействия I = 8-10-4 г/см2, сечение вза-
имодействия при данной энергии ст = 10 47см2.
9.37!	В центре Солнца плотность ядер водорода р~ 160 г/см3, температура Т = 1,5-107 К (кТ 1 кэВ). Рассчитать время выгорания 50% ядер водорода в центре Солнца за счет реакции
Р + р—»d + е+ + ve. Считать, что все протоны в центре Солнца
имеют скорость, равную скорости при данной температуре, а сечение их взаимодействия о = 10-51 см2.
9.38.	Сечение деления ядер 23«и у-квантами с энергией 3 МэВ составляет ст = 0,1 нбн (10-34см2). Какова должна быть плотность потока j [см-2-с-1] падающих на мишень у-квантов, чтобы можно
87
было заметить вынужденное деление в rn = 1 мг урана на фоне спонтанного деления (7’1/2= Ю15 лет) при продолжительности эксперимента t0 = 100 час?
9.39.	Оценить критический радиус и массу шара из металлического урана-235 плотностью р = 18,7 г/см3 (заряда ядерной бомбы), если известно, что среднее сечение деления ядер рождающимимся нейтронами о = 1,5бн, среднее число рождающихся в одном акте деления нейтронов v = 2,5. Всеми другими каналами реакции, кроме делительного, пренебречь. Плотность потока нейтронов считать однородной.
9.40.	В бесконечной среде, состоящей из металлического урана-235, самопроизвольно разделилось одно ядро. Коэффициент размножения нейтронов кх = 1,001, средняя энергия делительных нейтронов <£=1,6 МэВ, сечение деления этими нейтронами о=1,5бн. Оценить, за какое время в среде выделится энергия W — 5 МДж. Плотность урана р = 18,7 г/см3, неупругими процессами пренебречь.
9.41!	Высота и форма барьера деления зависят от спина (полного момента) и четности делящегося ядра (рис. 61). Так, например, в уране-238, у которого спин и четность основного состояния 0+, высоты барьеров деления для возбужденных состояний ядра2+ и 1“ равны 5,2 и 5,7 МэВ соответственно. Найти отношение |3 вероятностей деле-ния ядра через эти состояния под действием у-ПМ<§)	квантов с энергией S., = 6,0 МэВ. Как изменится
1 / 2+\ вероятность деления через состояние 2+, если по-S /*\\	местить ядра в поле интенсивного лазерного излу-
$ у \\	чения (т. е. в случае, когда ядро практически од-
\ S 1	\	повременно поглощает у-квант и фотон)?
\ А/ \	9.42. Высота и форма барьера деления зави-
___________\ сят от спина (полного момента) и четности делящегося ядра (рис. 61). Так, например, у ядра Рис. 61____240Рц, основное состояние есть 0+, высоты барь-
еров деления для возбужденных состояний ядра 2+ и 1“ равны соответственно 5,2 и 5,7 МэВ. Оценить отношение вероятностей деления ядра через эти состояния под действием у-квантов с энергией S = 5,4 МэВ. Форму барьера деления для состояния I- можно аппроксимировать «перевернутой параболой» с характерным квантом /гео = 1,3 МэВ. См. также задачу 3.41.
9.43.	Источником питания находящегося на околоземной орбите спутника является ядерный реактор мощностью W = 3 кВт. Оценить, на каком максимальном расстоянии от спутника можно обнаружить наличие реактора с помощью у-телескопа. Считать, что сигнал надежно регистрируется, если он вдвое превышает у-фон неба Фо = 10“2 см-2-с-1. В каждом акте деления в среднем испускается к = 1 у-квантов, защита реактора поглощает а = 95% образующегося излучения. Считать, что угловое разрешение телескопа равно угловому размеру спутника.
88
§ 10.	Элементарные частицы. Резонансы.
Лептоны и кварки. Реакции при высоких энергиях
10.1.	При рождении и распаде частиц выполняется (помимо законов сохранения энергии, импульса и момента импульса) ряд точных законов сохранения (тильда сверху в обозначении частицы является знаком античастицы):
1)	закон сохранения электрического заряда;
2)	закон сохранения барионного заряда (барионный заряд равен 1 для барионов, т. е., например, для нуклонов (п, р) и гиперонов (A, S, Е); —1 для антибарионов, т. е., например, для антинуклонов (п, р) и антигиперонов (А, Ё, Е); 0 для всех остальных типов частиц);
3)	законы сохранения электронного лептонного заряда Le, мюонного лептонного заряда и таонного лептонного заряда Lx. Для электрона (е“) и электронного нейтрино (ve) принято, что Le = 1, а для позитрона и электронного антинейтрино Lc = — 1. Для всех остальных частиц Le = 0. Аналогично, отлично от нуля только для четырех частиц: ц~, v^, ц+, (мюонов и мюонных нейтрино), причем для первых двух частиц = 1, а для последних двух L = — 1. Аналогично вводятся лептонные заряды и для сверхтяжелого лептона т“.
Указать, какие из приведенных ниже реакций запрещены перечисленными законами сохранения:
1.	п -* р + е~ + ve.
2.	р —» п + е+.
3.	ц~ е~ + vli + ve.
4.	К+ —» л- + 2е+.
5.	л + р —» А0 + К0.
6.	К + п —» А0 + л .
7.	л+ + п —» А0 + К+.
8.	л+ + п К+ + К0.
10.2.	Рассмотреть приведенные зать, какие из них запрещены:
1.	л —» Ц + V .	6.
п и
2.	л~	ц“	+ ve.	7.
3.	ц	—»	е“	+ ve + ve.	8.
4.	ц“	е“	+ ve + v^.	9.
5.	vu	+ р	п + ц+.	10.
10.3.	Взаимодействие и распад
ниже распады и реакции и ука-
<7 + р п + е+.
ve + р п + ц+.
ve + р —» п + е+.
-* е“ + у.
т~ —» ц“ + V . г и
частиц происходят в результате
сильного, электромагнитного или слабого взаимодействий. Вероятность процессов при слабом взаимодействии на много порядков
меньше, чем при сильном. Сильное взаимодействие может происходить только между адронами. При сильном и электромагнитном взаимодействиях сохраняется квантовое число S (странность). При слабом взаимодействии странность не сохраняется. Принято приписывать странность S частицам следующим образом:
S = 0 для нуклонов, антинуклонов, л-мезонов;
89
S=—1 для Л, S+, S“, К-, S°, К0 (К-мезонов, S-гиперонов, Л-частицы);
S = —2 для Е“, Е° (каскадных гиперонов);
S = —3 для О“(гиперона);
S = 4-1 для Л, £+, S-, Ё°, К+, К0;
5 = 4-2 для Е“, Е°;
5 = 4-3 для Q+.
В этих формулах тильда сверху — знак античастицы. При изменении странности на 1 вероятность процесса уменьшается в 1010 4- 1012 раз по сравнению со случаем сильного взаимодействия, а при изменении 5 на 2 реакция фактически не наблюдается, если возможна реакция с изменением 5 только на 1. При существующей интенсивности частиц, генерируемых в ускорителях, реакции между ними с нарушением странности практически ненаблюдаемы. Однако распады частиц с нарушением закона сохранения странности наблюдаются всегда.
Выяснить, какие из перечисленных реакций и распадов разрешены по закону сохранения 5, какие не наблюдаются:
1.	л“ 4-р —» Л 4-К0.
2.	л- 4- р —» Л 4- л°.
3.	Л —» р 4- л“.
4.	Е~ —» А 4- л-.
5.	Е_ —» 2л_ 4- р.
6.	л+ 4- р —» S+ -|- К .
7.	л+ 4- р —» Ё+ 4- л-.
8.	л+ 4- п —» А 4- К+.
9. 10.	К 4- р -*	4- л+. р 4- |+ К+ 4- л+.
11. 12.	р 4- Ё+ —» л+ 4- л+. л“ 4- р —» Е_ 4- Е+ 4- п.
13.	л 4- р —» Е+ 4- К .
14.	л- 4- р —» Е_ 4- К+ 4- К0.
10.4.	При распадах странных адронов (барионов и мезонов), приводящих к рождению лептонов, существует эмпирическое правило, управляющее вероятностью распада. Если изменение странности адрона при реакции AS не равняется изменению заряда адронов AZ, то такой распад не наблюдается. Например, наблюдается распад
I- п 4-е“ 4-ve (AZ = AS = 4-1), но не наблюдается распад
r-^n + e+ + vt (AZ = —1; AS = 4-1).
Существование первого и отсутствие второго из этих распадов можно рассматривать как потверждение кварковой структуры адронов. Определить, какие из перечисленных ниже распадов разрешены по правилу AZ= AS, а какие запрещены:
1.	К —» л 4- л 4- е 4- v(
2.	К+ —» л+ 4- л- 4- е+ 4- v(
3.	3" -» А 4-е’ + ve.
4.	1° —» А 4- е“ 4- е+.
5.	А р 4- е“ 4- ve.
6.	Е°	S+ 4- е 4- ve.
7.	Е°	—»	2“ 4- е+ 4- ve	.
8.	К+	е+ 4- ve 4- л°.
9.	К+	л+ 4- ц+ 4- ц~.
10.	К-	—»	л- 4- л~ 4- е+	4- ve.
90
10.5.	Все частицы естественным образом разбиваются на группы с близкими значениями масс (отличие масс в группе порядка 1 %). Группу частиц с близкими массами называют изотопическим мультиплетом (синглетом, дублетом, триплетом, квартетом). Частицы мультиплета можно трактовать как различные состояния одной фиктивной частицы, отличающиеся значениями проекции нового квантового числа — изотопического спина Т. Как и обычный спин (момент импульса), изотопический спин имеет 2Т + 1 проекций на ось квантования в фиктивном изотопическом пространстве. Число проекций изотопического спина совпадает с числом частиц в мультиплете, т. е. /V = 2Т + 1. При этом проекция изотопического спина на ось квантования 7’3 связывается с электрическим зарядом члена мультиплета Т3 = Z — Y/2, где Y —квантовое число, одинаковое для всех членов мультиплета, называемое гиперзарядом (или унитарным спином). Поскольку ST3 = 0, то У = 2	= 2Zcp — удвоенный средний за-
ряд мультиплета. Оказалось, что странность S (см. задачу 10.3) связана с гиперзарядом У и барионным зарядом В простым соотношением: S = У — В. Пользуясь приведенными равенствами, определить S, Т, Т3 и У для Л, У-, Е~, Q-, л-, К-, т]-частиц.
Примечание. Для античастиц все заряды (электрический, барионный, лептонный, гиперзаряд) противоположны зарядам частиц. Противоположны также странность S и проекция изотопического спина Т3. Массы, времена жизни, спины и изотопические спины Т у частиц и античастиц совпадают. Частицы, у которых все заряды равны нулю, называются истинно нейтральными.
10.6.	Строгие законы сохранения (см. задачу 10.1) ограничивают число типов реакций и распадов. Нестрогие законы сохранения ограничивают типы взаимодействий. Какие из приведенных ниже реакций и распадов разрешены законами сохранения, какие строго запрещены, какие практически ненаблюдаемы? (См. задачу 10.3.)
1.	р -* п + е+ + ve.
2.	ц~ -* е~ + ve + у.
3.	л° -* е~ + е+ + у.
4.	ц -* е + е+ + е .
5.	К+ + п -» S+ + л°.
6.	п -* р + е~ + ve.
10.7.	Указать, какие из перечисленных ниже реакций и распадов невозможны или практически ненаблюдаемы из-за нарушения законов сохранения:
1.	S+ —* л+ + п.
2.	2“ + р -* л° + К0.
3.	л" + р -* Л + К0.
4.	л“ + р -> S+ + К“.
5.	л~ + р — 2“ + К+.
6.	2° -* Л + у.
7.	S- —» Л + е“ + ve.
8.	S° —* л° + л°.
По какому типу взаимодействия происходят процессы 1, 5, 6, 7?
10.8.	Рассмотреть приводимые ниже реакции и распады и определить тип взаимодействия:
91
1.	К- + р -* Л + л°.	4.	Е° —* Л + л°.
2.	л+ + р — S+ + К+.	5.	л° — / + /.
3.	S0 —» Л + у.	6.	Q" -» S" + я0.
10.9!	Как отличаются друг от друга значения квантовых чисел К°-мезона и К°-мезона и как это сказывается на поглощении К0 и К°-мезонов веществом? Возможны ли переходы этих частиц друг в друга?
10.10.	Определить типы взаимодействий при следующих реак-
циях и распадах:
1.	К~ + «Не -» р1е + Л + л~.
2.	2Н + 2Н -» «Не + л°.
3.	р + «Не —» |Не + fH.
4.	32Не + 3Н -» «Не + 2Н.
5.	«Не + «Не -» fLi + (Н + л°
6.	Q- К" + Л.
7.	л- —»	+ v .
8.	n -» р + е_ + ve.
10.11.	Возможны ли следующие схемы распада частиц, и если нет, то по какой причине?
1.	Q —» Л° + л .	4. п —» р + е + v„.
И
2.	Е“ —» п + л-.	5. р —» ц+ + v .
3.	п -» р +	6. Q“ -» Е° + ц“.
10.12.	Какая частица обязана образоваться одновременно с К°-мезоном при соударении лг-мезона с протоном? Реакция идет по сильному взаимодействию.
10.13.	«Экспериментом века» были названы опыты по определению времени жизни протона. Теория великого объединения предсказывает, что протон распадается на пион и лептоны со временем жизни т~1031 лет. Оценить, какую массу вещества необходимо использовать, чтобы за время эксперимента t = 1 год произошло ^= 10 таких распадов.
10.14.	Определить время жизни мюона, образовавшегося при распаде положительно заряженного каона. До распада каон покоился.
10.15.	Определить время жизни ипсилон-частицы Y по ширине ее резонанса А^, взятой на половине высоты и равной 25 кэВ.
10.16!	Найти, какие из самых тяжелых ядер и антиядер могут образоваться в реакции р + р при соударении протона с энергией <£р = 3-1012эВ с неподвижным протоном и на встречных пучках протонов, ускоренных до такой же энергии.
10.17!	В 1976 г. Нобелевская премия по физике была присуждена за открытие новой элементарной частицы — джи-мезона (ныне: J/гр-мезон). Открытие было сделано практически одновременно и независимо в двух разных лабораториях. В одной из них опыт был поставлен на встречных пучках электронов и позитронов, ускоренных до одинаковой энергии <£сцм (<£сцм — энергия сталкивающихся частиц в системе центра масс). Полученные в этом эксперименте результаты показаны на рис. 62. Определить энергию покоя и оценить нижнюю границу времени жизни джи-частицы.
92
10.18.	В 1984 г. появилось сообщение, впоследствии не подтвердившееся, об открытии ^-частицы как продукта распада Y-частицы в реакции Y—»<j + 7. Определить энергию покоя и скорость гипотетической ^-частицы в системе покоя Y-частицы, если энергия 7-кванта в этой системе оказалась <sy = 1072 МэВ. Энергия покоя Y-частицы равна mYc2 = 9460 МэВ.
10.19.	В 1974 г. была открыта элементарная частица J/тр, на-званная впоследствии чармонием. В одном из опытов были зареги-стрированы продукты ее распада «на лету»: J/тр —»е+ + е~. Найти массу и скорость чармония, если энергии и электрона, и позитрона были равны <§ = 3,1 ГэВ, а угол между направлениями разлета электрона и позитрона составил 9 = 60°.
10.20.	В 1976 г. были получены первые указания о существовании заряженной «очарованной» Л“-частицы, распадающейся по схеме
Лс —> Л -|- л -|- л+ -|- л .
Найти кинетическую энергию, уносимую продуктами распада -частицы в ее системе покоя.
10.21.	Определить, выше какой минимальной энергии <§min встречных электрон-позитронных пучков, имеющих одинаковую энергию, могут рождаться частицы из семейства «красивых» (В-ме-зоны). Энергия покоя В-мезона твс2 » 5279 МэВ.
10.22.	Определить пороговую энергию <§пор рождения пары S-ги-перонов при облучении протонами жидководородной мишени.
10.23.	Найти, чему равно наибольшее количество заряженных или нейтральных пионов, которое может быть образовано при столкновении протона с энергией <§р = 5 ГэВ с покоящимся протоном.
93
10.24.	Определить минимальную (пороговую) кинетическую энергию нейтрона, при столкновении которого с ядром водорода в жидководородной мишени образуется лямбда-частица.
10.25.	Найти минимальную (пороговую) кинетическую энергию налетающего протона, необходимую для рождения пары барионов (Е°Н°), имеющих энергию покоя по 1315МэВ каждый, в (рр)-соу-дарениях в жидководородной камере.
10.26.	Определить максимальную энергию <Sniax электрона, образующегося при распаде покоящегося мюона.
10.27.	Определить в лабораторной системе отсчета минимальную и максимальную энергии электрона, образованного при распаде мюона с энергией = 10,5 ГэВ.
10.28.	Нейтральный пион распался на два у-кванта с энергиями <§! = 3,1 и <§2 = 2,0 ГэВ. Найти угол разлета 9 между у-квантами.
10.29.	Оценить, при какой энергии & ультрарелятивистского заряженного пиона его пробег до распада равен пробегу в воздухе при плотности р = 10-5 г/см3. Собственное время жизни и энергия покоя пиона равны т0 = 2,6-10-8 с и тясг = 140 МэВ.
10.30.	Нейтральный пион л° с энергией покоя тяс2=135МэВ распадается на лету на два одинаковых у-кванта, разлетающихся под углом ц = 2-10-2рад по отношению к направлению движения пиона. Какова кинетическая энергия пиона л°? Чему равна неопределенность энергии покоя пиона л° и каково его время жизни в лабораторной системе координат, если в собственной системе он живет т0 — 0,84-10-16 с?
10.31.	В°-мезон распадается на лету на К*- и л+-мезоны. Расстояние от точки его рождения до точки распада равно L = 350 мкм. Импульсы каона и пиона равны рк = 3,6 ГэВ/c и ря = 1,9 ГэВ/c и направлены под углами 9к=13°30' и 9Я = 27°50' к направлению импульса И°-мезона. Определить энергию покоя, скорость и время жизни П°-мезона.
10.32!	При распаде «на лету» £2_-гиперона (СГ^А + К- ) измерены импульсы частиц распада рд = 5,7 ГэВ/c и рк = 2,0 ГэВ/с и угол разлета между ними 9 = 28,5°. Определить энергию покоя С2_-гиперона.
10.33.	За распадом остановившегося в ядерной фотоэмульсии К+-мезона по схеме К+ —» л+ + л° последовал распад нейтрального пиона л° по схеме л°—» у + е+ + е~, причем точка рождения пары е+е~ находилась на расстоянии L = 0,04 мкм от места остановки К-мезона. Оценить собственное время жизни нейтрального пиона л°.
10.34.	Какова средняя длина пути L до распада Л-гиперона в воздухе, если его энергия <§д = 7 ГэВ?
10.35!	Коллимированный монохроматический пучок заряженных пионов, энергия которых <эя = 10 ГэВ, вследствие распада постепенно превращается в пучки мюонов и нейтрино. На каком рас-
94
стоянии L от области формирования пучка число образовавшихся мюонов в три раза превышает число пионов?
10-36. Оценить примесь мюонов в пучке заряженных каонов на расстоянии L = 10 м от места формирования пучка каонов. Каоны в пучке имеют энергию <S = 3 ГэВ. Выходом мюонов из пучка в процессе распада пренебречь.
10.37.	При рождении л+- и К+-мезонов в мишени ускорителя с импульсами рл = рк = р= 2 ГэВ/с их числа относятся как 100:1. Найти это отношение на расстоянии L — 50 м от мишени.
10.38.	Заряженный пион, имеющий энергию = 420 МэВ, распадается на лету на мюон и антинейтрино. Определить энергию мю-она 4>и в лабораторной системе, если в системе покоя пиона мюон вылетел под углом 90° к направлению полета пиона.
10.39!	Для получения пучков заряженных пионов на ускорителях на пути пучка ускоренных протонов ставится тонкая мишень. Определить число заряженных пионов Nn, образовавшихся в мишени в секунду, если на расстоянии L — 5 м от мишени интенсивность пионов равна п = 5-105с-1. Регистрация осуществляется детектором, площадь которого равна 5 = 100 см2. Кинетическая энергия пионов Т = 500 МэВ. Считать, что из мишени пионы вылетают изотропно, т. е. равновероятно под любыми углами в лабораторной системе координат.
10.40.	Определить пороговую энергию <Snop для реакции на покоящемся протоне
ve + р -* п + е+.
10.41.	Какова наибольшая энергия электрона, образованного при распаде покоящегося т-лептона на мюон и два нейтрино, а мюона в свою очередь на электрон и два нейтрино.
10.42.	В результате облучения жидководородной мишени нейтронами в реакции n + р —» d + л° наблюдаются гамма-кванты от распада л° —» -у + -у, разлетающиеся в строго противоположных направлениях в лабораторной системе отсчета. Какова кинетическая энергия нейтронов облучения?
10.43.	При какой энергии налетающего протона на покоящийся протон в реакции р + р —» d + л+ кинетическая энергия дейтрона в лабораторной системе координат может быть равна нулю?
10.44.	Взаимодействие протонов космического излучения с реликтовыми фотонами (средняя энергия квантов е ~ 10“3 эВ, а плотность п = 400 см-3) может, в частности, приводить к реакции V + р-»р + л°, порог которой (кинетическая энергия) при бомбардировке покоящегося протона равен Г =140 МэВ, а сечение — о 10~4 бн. При какой минимальной энергии протона <§ этот процесс идет в космосе? Каково время жизни т протона до взаимодействия?
10.45.	Взаимодействие высокоэнергетичных 7-квантов космического излучения с реликтовыми фотонами (средняя энергия квантов £ ~^10 3 эВ, а плотность п = 400 см-3) может приводить к образова
95
нию электрон-позитронных пар. Определить пороговую энергию у-квантов Т (эВ) в этом процессе. Каково время жизни т надпорогового 7-кванта до взаимодействия, если сечение этого процесса о=1 бн?
10.46.	Мюоны космических лучей образуются, в основном, в стратосфере Земли под действием первичного космического излучения. Оценить энергию мюона, достигающего поверхности Земли, если он образовался на высоте Н = 40 км. Потерями энергии мюона на ионизацию воздуха пренебречь.
10.47.	Мюоны космических лучей образуются в верхнем слое атмосферы Земли. Оценить, какую наименьшую энергию <§min должен иметь мюон, чтобы достигнуть Земли, если он образовался на высоте Н = 40 км. Потери энергии мюонов на ионизацию воздуха составляют ц = 1,8 МэВ • г~' • см2.
10.48.	В настоящее время экспериментально установлено, что верхняя граница энергии покоя мюонного нейтрино равна 0,17 МэВ. С какой относительной точностью нужно измерять кинетическую энергию мюона, возникающего при распаде покоящегося пиона, чтобы довести границу до более низкого значения, равного 0,1 МэВ?
10.49.	На вход распадного канала длиной 1 км из ускорителя попадают заряженные пионы с энергией 0,9 ТэВ. В результате распада пионов (л—»p.v) в канале рождаются нейтрино с энергией порядка 100 ГэВ. Каков относительный выход нейтрино? Какой вклад в поток нейтрино дает распад родившихся мюонов? Нейтрино и антинейтрино считать одинаковыми частицами.
10.50.	На Землю непрерывно приходят от Солнца нейтрино с энергиями в диапазоне 0,1-ь 15 МэВ. Детектором регистрируются возникающие в его материале под действием этих нейтрино электроны отдачи с кинетическими энергиями выше Те = 5 МэВ. Какой минимальной энергии нейтрино соответствует этот порог регистрации для свободных электронов?
10.51.	На Землю непрерывно приходят от Солнца нейтрино с энергиями в диапазоне 0,1-ь 15 МэВ. Детектором регистрируются возникающие в его материале под действием этих нейтрино электроны отдачи с кинетическими энергиями выше Те = 5 МэВ. Каков максимальный угол рассеяния свободных электронов от нейтрино максимальной энергии?
10.52.	Под действием протонов космических лучей в атмосфере Земли генерируются заряженные пионы. По мере прохождения к поверхности Земли они распадаются с образованием мюонов, которые также нестабильны. Какая должна быть зарегистрирована у поверхности Земли величина отношения потоков мюонных и электронных нейтрино, родившихся в результате распадов этих частиц? Нейтрино считать безмассовыми частицами. Частицы и античастицы в эксперименте не различаются.
10.53.	В 1983 г. были открыты переносчики слабого взаимодействия бозоны W+ и W~. В одном из первых обнаруженных распадов W-—* е— + ve наблюдался след электрона с энергией & = 58,5 ГэВ и
96
углом вылета его относительно направления движения распадной частицы 0 = 45°. Какова может быть минимальная энергия покоя W--бозона в этом процессе?
10.54.	Чему равно для электрона — продукта распада ультраре-лятивистского т-лептона — максимальное значение проекции импульса на направление, перпендикулярное импульсу т-лептона?
10.55.	В 1983 г. был открыт нейтральный Z-бозон. При анализе его распада Z —» ц+ + ц~ найдены два следа мюонов с импульсами р = 85 ГэВ/c при угле разлета 0 = 70°. Найти энергию покоя и скорость Z-бозона.
10.56.	На рис. 63 представлена полученная экспериментально зависимость эффективного сечения реакции: е+ + е_ —» адроны от энергии <§сцм частиц в системе центра масс. Она свидетельствует о существовании резонанса (гр-частиц) с энергией покоя М^с2 = 3,10 ГэВ. Наблюдаемое при этом значительное возрастание сечения выше области резонанса (асимметрия графика) объясняется рождением чр-части цы с одновременным испусканием одного фотона. Оценить, пользуясь графиком, минимальную длину волны фотонов, зарегистрированных в этом опыте.
10.57!	При распаде покоящегося К+-мезона возникает мюон (К+ —»ц+ + v ) . Определить ориентацию спина мюона относительно его импульса. Найти путь, пройденный мюоном до момента своего распада. Исходя из кварковой модели, начертить схему распада К+-мезона.
10.58.	Взяв радиус дейтрона Rd ~ 10-13 см и воспользовавшись соотношением неопределенностей, оценить безраз-
2 Q2 мерную константу g — нуклон-нуклонного взаимодействия в области малых энергий. Здесь q — «заряд» нуклонов по отношению к сильному взаимодействию.
10.59!	Мезоны J/гр и гр' с энергиями покоя = 3,1 ГэВ и <§2 = 3,7 ГэВ можно считать соответственно основным и первым возбужденным состояниями чармония — системы кварков (сс). Пользуясь нерелятивистским приближением и считая, что потенциал взаимодействия кварков U = —q2lr, где д — «цветовой заряд», оценить характерный радиус J/гр-мезона.
10.60.	Резонансы Y и Y' с энергиями покоя <§! = 9,46 ГэВ и = 10,02 ГэВ (ипсилон-мезоны) можно считать соответственно основным и первым возбужденным состояниями боттомония — пары квраков (bb). Пользуясь нерелятивистским приближением и считая, что потенциал взаимодействия кварков U = —дг/г, где д — «цвето
97
вой заряд», оценить массу b-кварка Мь и безразмерную константу g2 = q2/hc сильного взаимодействия.
10.61.	В 1983 г. были обнаружены переносчики слабого взаимодействия W-бозоны, энергия покоя которых оказалась равной примерно mwc2 80 ГэВ. Оценить радиус действия слабого взаимодействия.
10.62.	В полном сечении реакции л+р—»л+р при Тл = 190 МэВ наблюдается резонанс с полной шириной Г= 120 МэВ, называемый А++-изобарой. Определить время жизни и энергию покоя этой частицы.
10.63!	В сечении рассеяния пионов л+ на ядрах водорода наблюдается резонанс, соответствующий образованию А++(1232) с энергией покоя 1232 МэВ. Оценить сечение этой реакции. Радиус протона гр 0,8 • 10“13 см. Экспериментальное значение сХполн 200 мбн.
Резонанс с энергией покоя 1232 МэВ образуется также и в реакции л~р—» лгр. Полное сечение этой реакции оП0ЛН = 68 мбн. Указать неупругий канал распада этого резонанса (А°-изобара) и найти сечение этого процесса.
10.64.	Пользуясь кварковой моделью, определить, из каких кварков состоят протон, нейтрон, Q-гиперон.
10.65.	Определить кварковый состав положительно заряженного пиона и положительно заряженного каона.
10.66.	Определить кварковый состав нейтрального каона.
10.67.	Определить кварковый состав Е° и А-гиперона.
10.68.	В результате аннигиляции кварков и + й возможно образование пары мюонов ц+ + ц_. При соударении каких заряженных мезонов с протонами можно ожидать появление мюонных пар?
10.69!	В реакциях при больших энергиях (~ 100 ГэВ) известны полные сечения и о2 соответственно для реакций (К+ + S+) и (К+ +Е°). Определить на основе кварковой модели сечение о3 для реакции (К+ + Q-).
10.70.	При больших энергиях полное сечение протон-протонного рассеяния примерно постоянно и равно о(рр) = 39 мбн. Принимая во внимание кварковую структуру протона и пиона, оценить, какой будет в этих условиях величина полного сечения рассеяния о(лр). Считая, что для каон-нуклонного рассеяния o(KN) = 19 мбн, оценить из всех приведенных данных сечения рассеяния o(AN) и g(SN).
10.71.	В области больших энергий полные сечения пион-нуклон-ного и каон-нуклонного взаимодействий равны соответственно 26 и 19 мбн. Учитывая кварковую структуру адронов, оценить из этих данных сечения процессов (AN), (SN) и (QN).
10.72.	Разница энергий покоя А-гиперона и протона равна 175 МэВ. Исходя из кварковой структуры гиперонов, оценить энергию покоя Е-частицы.
10.73.	Исходя из законов сохранения, дописать следующие реакции:
98
a)	+ p-*	в) + p-*
6)	v + п-*	r) v^ + n-».
Найти отношение эффективных сечений этих реакций, нарисовать кварковые схемы реакций.
10-74! В разрабатываемой сейчас теории «великого объединения» предполагаются превращения пары кварков в пару антилептон-антикварк за счет испускания очень тяжелого Х-бозона, существующего в течение 10~38 с. Найти энергию покоя Л/х (выразить в ГэВ) и заряд бозона, обеспечивающего распад протона р-* л° + е+. Указать схему превращения кварков в этом процессе.
10.75.	В ряде теоретических работ предполагается существование тяжелых Y-бозонов с энергией покоя Му = 1015 ГэВ. Обмен таким бозоном предположительно обусловливает взаимодействие, в результате которого два кварка превращаются в антилептон и антикварк. Оценить радиус этого гипотетического взаимодействия. Указать схему преобразования кварков и найти заряд Y-бозона при распаде протона на л+-мезон и антинейтрино.	у *	-
10.76!	В 1985 г. в ЦЕРНе в фото-	-----~2t'
эмульсии были зарегестрированы треки *	\ х
(рис. 64), на которых видны рождение	\3
(вершина 7) и последующий распад	Г**
(вершина 2) тяжелого В_-мезона с	*
предполагаемым кварковым составом	рис м
(bu). Определить тяжелый продукт распада X, не оставивший следа в фотоэмульсии, но затем распавшийся в вершине 3. Какие возможны продукты нелептонного распада X?
10.77.	В 1964 г. в США на брукхейвенском синхротроне Р. Шаттом с сотрудниками в жидководородной камере, облучаемой пучком отрицательных К-мезонов, был зарегистрирован процесс рождения новой частицы X, схематически показанной на рис. 65. В этой реакции одновременно образовалось три частицы — одна нейтральная (штриховая линия) и две заряженные (сплошные линии). Неизвестная частица X распалась на Е° и л-. Определить, рождение какой частицы было зарегистрировано и какие еще две частицы при этом образовались. Реакция К~ + р идет по сильному взаимодействию.
Рис. 65
10.78!	Исходя из кварковой модели, найти странность электрически нейтрального адрона с проекцией изотопепина Т3 — —1/2 и барионным зарядом В = 0. Что это за частицы?
99
10.79.	На основе кварковой модели найти странность электрически нейтрального адрона с проекцией изотопического спина Т3 = 1/2 и барионным зарядом В = — 1. Что это за частица?
10.80.	На основе кварковой модели найти странность и гиперзаряд адрона с электрическим зарядом Q-— 1, проекцией изоспина Т3 = 0 и барионным зарядом В= + 1. Что это за частица?
10.81.	На основе кварковой модели найти странность и гиперзаряд электрически нейтрального адрона с проекцией изоспина Т3 = + 1/2 и барионным зарядом В= + 1. Что это за частица?
10.82.	Магнитные моменты кварков пропорциональны их электрическим зарядам, причем для кварков I поколения коэффициент
пропорциональности численно равен магнитному моменту протона. Каков магнитный момент резонанса А++?
10.83.	Магнитные моменты кварков в нерелятивистском прибли-ей жении определяются, как и для электрона, формулой = -=-----Qq,
где, соответственно, mq и Qq — масса и зарядовое число кварка. Каков магнитный момент бариона Q-?
10.84! В современных теориях великого объединения электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий необходимо существование магнитного монополя ЭЛ с массой М= 1016 ГэВ/c2 и маг-
нитным зарядом ц =
сп	сп	е т-,
= —5-е =	Если такие монополи существу-
2е	2е2	2а	J J
ют, то они рождены на ранних стадиях развития Вселенной, имеют энергию £ около 1012 ГэВ, обладают высокой проникающей способ
ностью и могут «пожирать материю», инициируя распад протона
ЭЛ -|- р —> ЭЛ + е+ 4-	—> ЭЛ 4- е+ 4- *у 4- *у.
Оценить, какое количество таких монополей, находящихся внутри Солнца, могло бы полностью обеспечить светимость Солнца ~ 4  1033 эрг/с, если на пути 1 см в воде монополь инициирует около одного распада протона. Считать, что вся масса Солнца сосредоточена в протонах.
10.85!	При столкновении встречных протон-антипротонных пучков возможно рождение W-бозонов. Написать эту реакцию на кварковом уровне. Оценить пороговую энергию протонов, если известно, что импульс нуклона распределяется между кварками и глюонами в соотношении 0,45 : 0,55. Энергия покоя W-бозона М^с1 = 80,6 ГэВ.
10.86.	При столкновении встречных протон-антипротонных пучков возможно рождение Z-бозонов. Написать эту реакцию на кварковом уровне. Оценить пороговую энергию протонов, если известно, что импульс нуклона распределяется между кварками и глюонами в соотношении 0,45 : 0,55. Энергия покоя Z-бозона М^с1 = 91,2 ГэВ.
10.87.	Красивый кварк (b-кварк) был экспериментально обнаружен в 1983 г. в (е+е~)-соударениях на Корнельском электронном накопительном кольце (США). Проверке подвергалась гипотеза о том, что ипсилон-мезон Y(4S) является возбужденным состоянием
100
боттомония (пары кварков (b,b)). Нарисовать на кварковом уровне цепочку распада (b,b), ведущую к рождению наблюдавшейся в эксперименте пары мезонов В+, В-, а затем распада В- на мезоны D0 и л- с последующим образованием К--, л+-мезонов.
10.88.	Самый тяжелый t-кварк был открыт в 1995 г. в экспериментах на встречных протон-антипротонных пучках в лаборатории им. Ферми в США. Оказалось, что кварки пары (t, Г) распадаются раньше, чем могут образоваться t-мезоны и t-барионы. В результате распада рождающейся при столкновении (t, 1)-пары образуется пара мезонов В+, В-, позитрон и лГ-мезон. Нарисовать на кварковом уровне последовательность распада (t, t)-napbi, ведущую к образованию указанных частиц. Какие реальные частицы образовались на каждом этапе?
10.89.	Нарисовать на кварковом уровне диаграмму распада очарованного бариона A* —»Л° + л+. Время жизни A(t равно 2-10~13 с.
10.90.	Нарисовать на кварковом уровне диаграмму распада очарованного бариона Л* —»р+ + Ко. Время жизни Л* равно 2-10-13 с.
10.91.	Тяжелая вода D2O используется для регистрации нейтрино с энергиями, меньшими 15 МэВ, в реакции, обратной Л-захвату. Детектор регистрирует образующиеся заряженные лептоны. Какой тип нейтрино регистрируется и какие ядра захватывают нейтрино? Найти пороговую энергию регистрируемых нейтрино. Энергии покоя ядер: р — 938,23 МэВ, d — 1875,6 МэВ, '^0 — 14895 МэВ, ‘§F — 14910 МэВ.
10.92.	Обыкновенная вода Н2О используется для регистрации нейтрино по реакции, обратной Л-захвату. Регистрируются вторичные заряженные лептоны. Какова пороговая энергия регистрируемых таким детектором нейтрино? При какой энергии нейтрино возможна регистрация как электронных, так и мюонных нейтрино? Энергии покоя ядер: — 14895 МэВ, xgF — 14910 МэВ.
10.93!	Структура протона и нейтрона описывается кварковой моделью, согласно которой р = (и, и, d), п = (и, d, d). Вероятность, что спины одинаковых кварков внутри нуклона параллельны, в два раза больше, чем вероятность того, что они антипараллельны. Предполагая, что магнитный момент кварка пропорционален его заряду, найти отношение магнитного момента протона цр к магнитному моменту нейтрона цГ1 и сравнить найденное значение с экспериментальными данными. Считать, что орбитальные моменты кварков в нуклоне равны нулю.
10.94.	Какую энергию надо затратить на переворот спина одного из кварков в нуклоне?
10.95.	Позитроний (система {е+, е-}) аннигилирует, если расстояние между электроном и позитроном меньше комптоновской длины волны электрона Ае = h/mcc. Оценить время жизни основного состояния парапозитрония
101
Указание. При аннигиляции вероятность одновременного излучения в единицу времени п фотонов с частотой со порядка wn — а”со, где а = e2/hc — постоянная тонкой структуры.
10.96.	Протониум (система {р, р}) распадается преимущественно за счет аннигиляции на пионы. Полагая, что распад происходит тогда, когда протон и антипротон находятся на расстоянии порядка радиуса сильного взаимодействия, оценить время жизни основного
состояния протониума.
10.97!	В простейшем варианте модели «мешков» считается, что энергия покоя нуклона т^с2 » 940 МэВ складывается из энергии без-массовых кварков, заключенных в непроницаемую сферу, и энергии глюонного поля в этой сфере. Полагая, что плотность энергии глюонного поля постоянна, определить радиус нуклона и величину энергии
глюонного поля.
Указание. Считать, что волновая функция безмассового кварка л 1 удовлетворяет волновому уравнению А гр = —Т.
10.98.	Сечение неупругого взаимодейтсвия нейтрино с ядром
/Рч °с(^)< можно описать о(б) =—-р— т(<£
, где ос(<§) —геометрическое сечение
процесса, t — характерное время взаимодействия, а вероятность 13-

процесса в единицу времени
(Б. М. Понтекорво, 1946).
Оценить отношение сечений при энергиях нейтрино S = 1 и 10 МэВ.
102
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА
§ 1.	Излучение
1.1!	Рассматривая равновесное тепловое излучение как идеальный газ фотонов, содержащихся в вакуумированной полости с неподвижными непрозрачными стенками, имеющими постоянную температуру, получить формулу Р — р/З, связывающую плотность энергии теплового излучения р с давлением излучения Р. Найти связь между энергетической светимостью R (интегральной излучательной способностью) абсолютно черного тела и плотностью энергии теплового излучения р(Г).
1.2!	Используя тот факт, что плотность энергии теплового излучения р не зависит от объема системы, а также формулу Р = р/3 (см. задачу 1.1), найти с помощью законов термодинамики зависимость р и энтропии s единицы объема от температуры Т.
1.3.	Найти изменение энтропии равновесного теплового излучения абсолютно черного тела при расширении объема, занятого излучением, от до К2 при постоянной температуре Т.
1.4.	Используя формулы для энергии и энтропии равновесного теплового излучения, показать, что свободная энергия излучения может быть представлена в виде Ф = —AVT4, где V — объем, Т — температура. Воспользовавшись законом Стефана—Больцмана, выразить А через постоянную Стефана—Больцмана а. Пользуясь термодинамическими формулами, определить по найденному Ф теплоемкость cv фотонного газа в расчете на единицу объема и давление излучения Р. Сравнить ее с теплоемкостью с'(д единицы объема идеального одноатомного газа при одинаковых значениях Р и Т. Вычислить значение термодинамического потенциала Гиббса ф = ф + PV.
1.5.	Найти работу, которую совершает в цикле Карно равновесное тепловое излучение абсолютно черного тела, полагая известными температуры «горячей» и «холодной» изотерм Т{ и Т2, а также максимальный и минимальный объемы V2 и Г] системы на изотерме 7\.
1.6.	Газообразный неон находится в замкнутом сосуде постоянного объема в равновесии с тепловым излучением. При каком давлении Р неона его теплоемкость равна теплоемкости теплового излучения в том же объеме при Т = 500 К?
1.7.	Найти теплоемкость СР и уравнение адиабаты фотонного газа, заключенного в сосуд с переменным объемом.
103
1.8.	При какой температуре Т давление равновесного теплового излучения равно Р = 1 атм?
1.9.	При какой концентрации п молекул газа газокинетическое давление равно давлению равновесного теплового излучения при той же температуре Т = 300 К?
1.10.	При расчете теплоемкости Су идеального газа, находящегося в равновесии с тепловым излучением в замкнутом сосуде постоянного объема, обычно пренебрегают вкладом равновесного излучения в теплоемкость системы. Найти отношение теплоемкостей Су одноатомного газа и равновесного излучения, когда их давления одинаковы.
1.11!	Цилиндрический сосуд разделен на две части теплонепроницаемым поршнем, который может свободно перемещаться вдоль цилиндра герметично и без трения. В одной части сосуда находится идеальный газ, а в другой — равновесное тепловое излучение при температуре Т = 103 К. Найти концентрацию атомов газа, если при малых изменениях температуры в обеих частях сосуда на одну и ту же величину направление смещения поршня не зависит от знака этой величины. Чему была равна начальная температура газа Тг?
1.12!	Над плоскостью, зачерненной с обеих сторон, на высоте h расположен центр шара радиусом й«/г, являющийся источником равновесного теплового излучения с температурой То. Найти стационарное распределение температуры на плоскости. Считать, что система находится в вакууме, фон теплового излучения отсутствует и теплопроводностью вдоль плоскости можно пренебречь.
1.13.	Решить предыдущую задачу, считая источником теплового излучения бесконечный круглый цилиндр радиусом а. Ось цилиндра параллельна плоскости и находится на расстоянии h от нее.
1.14.	Над плоскостью, зачерненной с обеих сторон, на высоте h расположен круглый диск радиусом а, являющийся источником равновесного теплового излучения с температурой То. Радиус диска a«h, диск расположен параллельно плоскости. Найти стационарное распределение температуры Т = Т(г~) на плоскости, где г — расстояние от проекции центра диска. Считать, что система находится в вакууме, фон теплового излучения отсутствует и теплопроводностью вдоль плоскости можно пренебречь.
1.15.	Имеются два полых тела, абсолютно отражающих снаружи и черных внутри. Оба тела имеют отверстия радиусом г и расположены на расстоянии R (R^>r~). Первое тело имеет температуру и является единственным источником тепла для второго тела. Найти температуру второго тела Т2 при различных наклонах плоскостей отверстий по отношению к соединяющей их прямой. Насколько изменится Т2 при изменении угла наклона второго тела от 0 до 45°?
1.16.	Два одинаковых абсолютно черных шарика расположены в вакууме на расстоянии 2/ = 8 см друг от друга. Посередине между двумя шариками помещена линза диаметром D = 6 см, собирающая излучение одного шарика на поверхность другого. Один из шариков
104
раскален до температуры Т1 = 2000 К. Определить температуру другого шарика, пренебрегая фоном теплового излучения и потерями в линзе.
1.17.	В сферической оболочке диаметром D имеется отверстие диаметром d<^D. Внутренняя поверхность оболочки рассеивает излучение диффузно по закону Ламберта с коэффициентом рассеяния р< 1. Определить коэффициент поглощения А, характеризующий отверстие для внешнего наблюдателя. При каком отношении диаметров d/D коэффициент поглощения А будет отличаться от 1 меньше, чем на 0,1%, если р~ 1?
1.18*	Линза со светосилой 1:16 (это отношение D^/F1) собирает солнечный свет на поверхность черного шарика, помещенного в вакуум. До какой температуры Т может нагреться шарик, диаметр которого равен диаметру изображения Солнца? Считать Солнце абсолютно черным телом с температурой Тс = 6000 К.
1.19.	Объектив диаметром D = 5 см и фокусным расстоянием F = 5 см фокусирует солнечный свет на абсолютно черный шар диаметром d = 1 мм, обладающий высокой теплопроводностью и находящийся в высоком вакууме вне Земли, на ее орбите. Определить температуру Т шара. Принять, что плотность потока солнечной энергии равна Jc = 0,14 Вт/см2, температура стенок сосуда То = 300 К. Потерями энергии в объективе пренебречь. Угловой размер Солнца ас = 0,01 рад.
1.20.	Найти отношение плотностей потоков энергии корпускулярного и электромагнитного излучения Солнца в околоземном пространстве. Считать, что корпускулярный поток представляет собой нейтральную плазму из протонов и электронов с концентрацией п = 5 см-3 частиц каждого сорта и скоростью потока v = 300 км/с, а Солнце — источник равновесного теплового излучения с температурой Т = 6000 К. Выразить результат через угловой размер ас Солнца, т. е. угол, под которым с Земли виден диаметр Солнца (ас = 0,01 рад).
1.21.	Солнечная постоянная Jc означает мощность излучения, падающего на единицу площади, помещенной перпендикулярно солнечным лучам за пределами земной атмосферы на расстоянии от Солнца, равном среднему расстоянию между Землей и Солнцем £=1,5-108км. Принимая Jc = 0,14 Вт/см2 и радиус Солнца А’с = 7-Ю5 км, определить радиационную температуру Tpaa излучающей поверхности Солнца.
1.22.	Спектр излучения космического рентгеновского источника соответствует спектру излучения абсолютно черного тела. Максимум плотности излучения р(А.) наблюдается на длине волны ^шах = 2 к, а суммарная по спектру (интегральная) плотность потока на Земле j= 10~п Вт/см2. Расстояние от Земли до источника L = 1,3-104 световых лет. Оценить диаметр источника.
1.23.	Абсолютно черное тело подвешено в вакуумной установке так, что через оптическое окно на него падает солнечный свет. Если
105
стенки установки охладить до температуры Тст1 = 77 К, то тело будет иметь Т{ = 275 К. Найти температуру тела Т2 при Тст2 = 295 К. Теплопроводностью остаточных газов и подвески пренебречь.
1.24.	На графитовый шарик радиусом г = 1 см, подвешенный точно в центре сферы с зеркальными стенками, находящейся в околоземном пространстве, с помощью линзы фокусируется изображение Солнца (рис. 66). Радиус сферы R = 0,25 м, диа-@метр линзы D = 2,5 см, фокусное расстояние линзы F = 0,25 м, угловой размер Солнца ас = 10“2, температура поверхности Солнца Тс = 6-103 К. Считая графит абсолютно черным телом, наити установившуюся температуру шарика Т.
1.25.	Хорошо теплопроводящий шар с за-Рис- 66	черненной поверхностью находится в косми-
ческом пространстве на некотором расстоянии г от центра Солнца. Найти температуру шара, если он находится от Солнца на расстояниях, равных радиусам орбит Венеры, Земли, Марса и Юпитера, равных (в млн км) = 108, R3 = 150, 7?м = 228, 7?ю = 780. Солнце считать источником равновесного теплового излучения с температурой Тс = 6000 К и радиусом Ас = 7-105 км. Срав
нить полученные величины с радиоастрономическими данными: средние температуры освещенной части поверхностей планет Венеры, Земли, Марса и Юпитера оцениваются, соответственно, как Тв = 735 К, Т3 = 275 К, Тм = 235 К и Тю = 135 К. Чем можно объяснить большое расхождение рассчитанной таким образом и полученной в измерениях температуры поверхности Венеры?
1.26.	Оценить температуру Солнца, исходя из его видимого углового размера ас = 0,01 рад и температуры земной поверхности (Тз^ЗООК).
1.27.	Космонавт оказался в свободном пространстве в тени Земли. Считая что его организм в процессе нормальной жизнедеятельности выделяет мощность W = 100 Вт, оценить скорость изменения температуры космонавта. Коэффициент отражения скафандра г = 0,95.
1.28.	Межпланетная станция имеет оболочку в форме шара диаметром 2r = 1 м. На борту станции находится радиопередатчик мощностью X = 200 Вт с КПД т] = 50%. Станция заполнена теплообменным газом. Аппаратура станции может работать в интервале температур / =—50 4-100 °C. Определить, при каких удалениях L от Солнца станция может работать: 1) при кратковременных включениях; 2) в непрерывном режиме. Какова должна быть отражательная способность а поверхности станции, чтобы станция могла работать при сколь угодно большом удалении от Солнца? Радиус Солнца 7?с = 7-105 км; считать, что оно излучает как абсолютно черное тело с температурой Тс = 6000 К.
1.29!	В свободном пространстве находится железная пластина, одна поверхность которой абсолютно «черная», а другая — идеально
106
отражающая. В начальный момент пластина покоилась и ее температура была равна Т = 103 К. До какой максимальной скорости t'max может разогнаться пластина при остывании? Теплоемкость пластины считать подчиняющейся закону Дюлонга—Пти.
1.30. В настоящее время мощность всех промышленных источников энергии на Земле составляет W ~ 1013 Вт, в то время_как средняя мощность солнечной энергии, поступающей на Землю, W & 1017 Вт. К какому перегреву АТ1 поверхности Земли приводят промышленные источники? Оценить максимальное значение РИтах, если предельный перегрев, допустимый из экологических соображений, составляет примерно 1 К.
1.31. Считая Землю абсолютно черным телом, а орбиту Земли круговой с радиусом R = 1,5-1011 м, оценить среднюю температуру земной поверхности, если светимость Солнца Lc = 3,83-1026 Вт. Ис-
ходя из экологических оценок, согласно которым величина допустимого перегрева планеты Земля составляет АТ1 — 1 К, определить допустимый предел уменьшения радиуса земной орбиты АЛ См. также задачи 1.25 и 1.26.
1.32. Оценить, до какой максимальной температуры может разогреться в космосе сферический кусочек металлического урана-238 массой m = 4 г за счет естественной радиоактивности, считая, что продукты распада не покидают его. Плотность урана р= 18,7 г/см3, период спонтанного деления Тс^2 = Ю16 лет, характеристики а-распа-
да: Tf/2 = 109 лет, Sa — 4,2 МэВ. Влиянием солнечной радиации и кос-
мических лучей пренебречь.
1.33. В криогенной технике для уменьшения теплопотерь, связанных с тепловым излучением, в вакуумный промежуток между более холодной (Тх) и более нагретой (Тг) стенками вводят систему тепловых экранов (рис. 67). Считая обе стенки, как и все экраны, бесконечно протяженными и абсолютно
черными, найти уменьшение радиационного	Рис
теплообмена между стенками за счет введения
N экранов в стационарных условиях. Рассчитать установившиеся тем-
пературы экранов.
1.34! При напряжении на диоде V = 500 В температура анода равна 800 К. Оценить температуру анода при напряжении 1000 В для двух вариантов:
1) уже при напряжении 500 В анодный ток достигает насыщения;
2) в интервале напряжений 500 -е- 1000 В насыщения нет, а сила тока определяется законом трех вторых: 3 <х 73/2. Основные потери тепла происходят за счет теплового излучения анода. По сравнению с ними все прочие потери могут считаться пренебрежимо малыми. При оценке анод считать абсолютно черным телом.
1.35. Вакуумный диод с термокатодом, расположенным внутри Цилиндрического анода, включен в цепь с ЭДС 10 кВ и нагрузкой
107
10 кОм. В нормальном режиме при мощности накала 100 Вт на диоде падает 100 В, а температура анода равна 300 °C. Оператор уменьшил мощность накала до 50 Вт. При этом уменьшилась эмиссия и ток стал равным 0,5 А. Оценить установившуюся температуру анода, считая его абсолютно черным телом.
1.36.	Межгалактическое пространство заполнено в основном протонами с концентрацией п = 1 протон/м3, а также пронизано реликтовым тепловым излучением с температурой Т — 3 К. Определить отношение плотности энергии этого излучения к плотности энергии покоя вещества.
1.37.	Межгалактическое пространство пронизано постоянным магнитным полем с индукцией В » 2 • 10-6 Гс, а также реликтовым тепловым излучением с температурой Т = 3 К. Определить отношение плотности энергии этого излучения к плотности магнитной энергии.
1.38.	Напряжение в сети возросло на 5%. На сколько процентов увеличится освещенность, создаваемая вакуумной лампой накаливания с температурой нити 1500 К на длине волны 500 нм? Нить считать абсолютно черным телом. Рассмотреть случаи, когда сопротивление нити R — const и когда R = R(T) = Rq + а(Т — То).
1.39!	В откачанной до высокого вакуума лампе накаливания с диаметром колбы 2 см температура нити равна Го = 2500К. Оце-нить, на сколько процентов изменится яр-
‘______ кость лампы на длине волны А. = 5000 А,
если из-за дефекта изготовления в колбу попал наружный воздух при температуре Т[ = 300 Кив ней установилось давление в	Гмкм Р = 6-10-2 мм рт. ст. Молекула азота N2
имеет межъядерное расстояние d = 0,77 А, Рис- 68	энергию диссоциации 9,74 эВ, квант коле-
бательной энергии Йсо = 0,29 эВ.
1.40!	Кварцевая пластина расположена в вакууме перпендикулярно солнечным лучам. В этих условиях полностью поглощающая пластина нагревается до 7\ = 300 К. Найти температуру кварца Т2. Спектральную зависимость коэффициента поглощения А кварцевой пластины можно аппроксимировать ступенчатой функци-
----------------» ей, изображенной на рис. 68. Излучени-0	3 х.мкм ем ОКруЖаЮщИх тел пренебречь, считать
Рис. 59	ех » 1 + х вплоть до х » 0,5, а темпера-
туру поверхности Солнца Тс = 6000К.
1.41.	В оптическом криостате круглое окно диаметром d = 2 см изготовлено из стекла. Коэффициент прозрачности стекла F в зависимости от длины волны можно аппроксимировать ступенчатой функцией, изображенной на рис. 69. Определить поток тепла, идущий внутрь криостата за счет теплового излучения из комнаты с темпера
108
турой Т = 295 К. Стекло охлаждается жидким гелием и поэтому его излучением можно пренебречь.
1.42.	Слой вещества поглощает практически все фотоны солнечного спектра с энергией £ S 0,2 эВ и полностью прозрачен для фотонов с меньшей энергией. Оценить, какую долю х солнечной энергии пропускает вещество. Считать спектр Солнца планковским с температурой Т = 6000 К.
1.43.	Слой вещества поглощает практически все фотоны солнечного спектра с энергией £	12 эВ и полностью прозрачен для фото-
нов с меньшей энергией. Оценить, какую долю х солнечной энергии пропускает вещество. Считать спектр Солнца планковским с температурой Т = 6000 К.
1.44.	Поверхность некоторого тела приготовлена таким образом, что коэффициент поглощения электромагнитного излучения А — 1 для частот со со0 и А = 0 при со > со0. Это тело помещено в вакуум и в отсутствии других источников излучения нагревается за счет внутреннего источника энергии до температуры Т. Определить эту температуру, если известно, что для такого же тела с абсолютно черной поверхностью в тех же условиях равновесная температура Т* — 300 К. Граничная частота соответствует температуре 9 = Йсо0/ЛБ = 300 К.
1.45.	Частотная зависимость коэффициента поглощения А некоторого тела, имеющего внутренний источник энергии, изображена на рис. 70. Это тело помещено в космическом пространстве вдали от источников излучения. Такое же тело, но с абсолютно черной поверхностью, нагревается там до температуры Т* = 100 К. Определить температуру тела, если величины со, и со2 соответствуют энергиям квантов 0,015 эВ и 0,6 эВ.
1.46.	Однородный слой плазмы находит- А“ ся в равновесии с излучением. С помощью t монохроматора выделяется спектральная составляющая собственного излучения плазмы на некоторой длине волны, наблюдение ве- ------------------►
дется в направлении, перпендикулярном 0 wi	®
плоскости слоя. При какой толщине d слоя	Рис
интенсивность такой составляющей окажется равной 90% интенсивности равновесного излучения? Линейный коэффициент поглощения данной длины волны х = 0,1 см-1. Показатели преломления плазмы и окружающей среды считать при этом одинаковыми.
1.47.	Излучение Солнца регистрируется селективным приемником на длине волны А = 300 нм с относительной шириной области чувствительности АА/А = 10-3 за промежутки времени т = 10~3 с. Найти относительную среднеквадратичную флуктуацию принимаемого сигнала. Солнце считать абсолютно черным телом с температурой Т = 6000 К и видимым угловым размером ас = 0,01. Площадь приемной площадки равна 5=1 мм2.
109
Указание. Так как энергия кванта h(x>^>k^T, то среднее планковское число заполнения (среднее число фотонов)	и
поэтому к фотонам можно применять классическую, а не квантовую статистику.
1.48.	Радиоизлучение из межзвездного пространства (реликтовое излучение) регистрируется приемником с фиксированной относительной полосой пропускания Av/v = const. Оказалось, что при переходе от приема на длине волны Х| = Зсм к приему на длине волны А2 = 0,3 см величина сигнала возросла в 400 раз, причем при дальнейшем небольшом уменьшении А увеличилась незначительно. Исходя из этих данных, определить температуру реликтового излучения, считая его равновесным тепловым излучением. Во сколько раз изменится сигнал при переходе от А = 3 см к А = 30 см?
Указание. Корнем уравнения ех — 2,5х — 1, которое возникает при решении задачи, является х » 1,62.
1.49!	Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью т = 0,5 мс энергию £ = 10 Дж в виде почти параллельного светового пучка сечением 5=1 см2. Рабочая длина волны лазера А = 6943 А, ширина линии АА = 0,01 А. Определить по спектральной плотности излучаемой энергии эффективную температуру Т^фф1) в лазерном пучке а) до фокусировки, б) при максимально возможном сужении пучка (в фокусе).
1.50!	Определить температуру абсолютно черного тела, спектральная яркость излучения которого равна яркости лазерного излучения с энергией в импульсе S = 1 Дж. Считать, что расходимость лазерного пучка определяется только дифракцией на выходном отверстии, а немонохроматичность — длительностью импульса.
1.51.	При какой температуре интенсивность излучения поверхности абсолютно черного тела в соответствующем спектральном интервале (энергия, уносимая с единицы поверхности в единицу времени в единицу телесного угла) сравнится с интенсивностью лазера с плотностью потока энергии j = 1 мВт/см2 и относительной стабильностью частоты Av/v = 10-12, работающего на длине волны А = 6900 А? Диаметр пучка принять равным d. = 1 см.
1.52.	Оценить эффективную температуру гелий-неонового лазера, генерирующего в непрерывном режиме свет с шириной спектральной линии dv = 104 Гц. Мощность излучения лазера W = 1 мВт.
1.53!	Измерение интенсивности реликтового излучения Вселенной производится радиоскопом вблизи А = 3 см. Его антенный тракт находится при температуре Т = 300 К и поглощает а = 1 % поступающей мощности. Какой эффективной температуре абсолютно черного тела Тэфф соответствует тепловой шум антенного тракта в области данной длины волны?
В задачах 1.49-1.53 под эффективной температурой лазерного излучения 7"эфф понимается такая температура абсолютно черного тела, при которой оно дает излучение той же удельной интенсивности /ш на частоте ш, что и лазер.
110
1.54!	Атом Na находится в пучке лазерного света с плотностью потока энергии j и длиной волны X = 0,59 мкм, совпадающей с одной из спектральных линий Na. Время спонтанного испускания Na для этой линии т = 16 нс. При больших плотностях потока j > jo ускорение а, приобретаемое атомом за счет давления света, перестает зависеть от у. Оценить значение плотности потока насыщения у0. Определить также предельную величину а. Доплеровским сдвигом частоты при излучении движущегося атома пренебречь.
1.55.	Возбужденный атом с энергией возбуждения S = 1 эВ находится в поле равновесного излучения с температурой Т = 300 К. Найти отношение вероятностей индуцированного и спонтанного излучений атома. Найти аналогичное отношение для электронного спина в магнитном поле с индукцией В — 103 Гс.
1.56.	Определить диапозон частот излучения, при котором вероятность спонтанного перехода более чем в 100 раз превосходит вероятность индуцированного перехода под влиянием равновесного излучения температуры Т = 293 К.
1.57.	Система, состоящая из атомов, имеющих два невырожденных уровня энергии <% и	находится в тепловом равновесии.
Выразить коэффициент поглощения света х(Г, со) этой системой на частоте со = (d>2 — £xj/h через его значение х0 при Т = 0. Рассмотреть два предельных случая: 1) Ль7»Лсо и 2) кБТ «/гш.
1.58!	Оценить вероятность Жсп спонтанного излучения молекулы при переходе с возбужденного уровня ёп на уровень в случае, когда молекула помещена внутрь объемного резонатора, настроенного на частоту со = (&п —	Соответствующая вероятность
спонтанного излучения в свободном пространстве равна И%п. Объем резонатора равен V, его добротность — Q. Считать, что ширина Г молекулярных уровней все время остается меньше ширины со/Q линии резонатора: Г < co/Q. Сделать численную оценку для случаев: 1) V ~ 1 см3, X = 1 см, Q = 104 и 2) V = 1 см3, X = 1 мкм, Q = 106.
1.59.	Резонатор лазера с кристаллом рубина имеет одно зеркало со 100%-ным отражением, а другое — с коэффициентом пропускания т = 0,1 на длине волны, отвечающей генерации лазера. Длина кристалла I = 12 см. Известно, что коэффициент поглощения света в невозбужденном кристалле рубина в максимуме рабочей линии равен к„ = 0,4 см-1. Найти, какую часть атомов хрома нужно перевести в возбужденное состояние, чтобы лазер начал работать. Рассеянием света в кристалле пренебречь.
1.60.	В спектре энергетических уровней молекулы воды есть два уровня Л и В с разностью энергий <%, между которыми разрешены оптические переходы. Создавая в разреженном водяном паре при температуре Т = 300 К тлеющий разряд, не нагревающий пар, можно получить инверсную заселенность этих уровней. На этом основана работа лазера, в котором электромагнитная волна с частотой vo = &o/h = 8,48-1011 Гц усиливается по мощности на длине резона
111
тора в р0 = 1,04 раз. Расстояние между зеркалами резонатора можно слегка менять, регулируя тем самым собственную частоту резонатора. Коэффициент отражения каждого из зеркал R = 0,99. Определить возможную перестройку частоты излучения лазера, принимая во внимание эффект Доплера, обусловленный тепловым
движением молекул.
1.61.	Реликтовое межгалактическое излучение могло бы служить «абсолютной» системой отсчета для измерения скорости космических объектов. Оценить, с какой точностью надо измерять принимаемую мощность излучения, чтобы заметить сдвиг спектрального распределения при изменении направления наблюдения вдоль «абсолютной» скорости на 180°. Считать, что «абсолютная» скорость наблюдателя на Земле близка к скорости движения Солнца относительно центра Галактики v = 220 км/с.
Указание. Максимумы функции
х2 = 5,23.
1.62.	Вселенная, возраст которой /^Ю^лет, заполнена равно-
d х3
X ---------
dx е — \
: Xj = 1,51 и
весным реликтовым излучением, температура которого в настоящее время равна 7\	3 К. Начиная с эпохи, когда его температу-
ра составляла То — 3000 К и образовались нейтральные атомы, излучение слабо взаимодействовало с веществом, расширяясь вместе со Вселенной. Как указывают все космические данные, этот процесс расширения можно считать адиабатическим. Оценить ее возраст t к моменту образования нейтральных атомов. Скорость линейного расширения Вселенной считать постоянной.
1.63.	Оценить световое давление внутри ядерной урановой бомбы в момент ее взрыва, предполагая, что излучение — равновесное, а температура внутри бомбы Г = 10 кэВ. Каково при этом газокинетическое давление? Плотность урана р = 18,7 г/см3. Для оценки считать, что происходит полная ионизация атомов урана.
1.64.	Звезда 51 в созвездии Пегас — почти двойник нашего Солнца. Предполагается, что около этой звезды находится планета с атмосферой схожей с атмосферой Земли. Ее период обращения по орбите составляет около тпл = 4 суток. Оценить температуру поверхности планеты Тпл.
1.65.	Для уничтожения в нижних слоях атмосферы старого космического аппарата — шара радиусом R = 1 м — с Земли запускают ракету, которая летит прямо навстречу цели. При спуске шар раскалился, причем температура его поверхности Т = То cos2 0 (То = 1000 К, угол 0 отсчитывается от направления его движения). С какого наибольшего расстояния L головка самонаведения ракеты начнет регистрировать тепловое излучение шара, если ее чувствительность j = 5-10~7 Вт/м2?
1.66.	В центре сферической полости радиусом R = 1 м с матовой поверхностью, коэффициент диффузного отражения которой равен 1, подвешен абсолютно черный шарик радиусом г = 1 см, обладающий
112
высокой теплопроводностью. В стенке полости имеется круглое отверстие диаметром d = 1 см, через которое солнечное излучение попадает точно на шарик. Оценить установившуюся температуру шарика Т, предполагая, что в полости устанавливается однородное изотропное излучение. Угловой размер Солнца ас = 10-2, температура его поверхности Тс = 6000 К.
1.67.	В замкнутом вакуумированном объеме, стенки которого нагреты до температуры Т = 1000 К, подвешены два черных шарика радиусом а — 1 см, охлаждаемые до низких температур. Расстояние между шариками L = 1 м. Оценить направление и величину силы, действующей на каждый из шариков. Дифракционными эффектами пренебречь.
1.68.	Оценить расстояние от наблюдателя до источника первичных космических лучей (протонов) с энергией <£’ = 1022 эВ, считая, что оно определяется пробегом частиц до взаимодействия с фотонами реликтового излучения с температурой Т = 2,7 К. Сечение рассеяния о = 10“4 барн.
1.69.	Полый резонатор электромагнитных волн изготовлен из листа меди и имеет форму куба со стороной а = 32 см. Оценить, на каких частотах пропадут его резонансные свойства, т. е. в спектре колебаний уже нельзя будет различить отдельные пики. Добротность резонатора Q = а/2/ск, где /ск — скиновая глубина проникновения. Проводимость меди во всем диапазоне частот считать постоянной и равной а = 5-1017 с-1. Плотность мод колебаний поля в резонаторе считать равной плотности мод в свободном пространстве.
1.70.	Зеркальный металлический прямоугольный волновод с поперечным сечением 34 х 72 мм и длиной L = 10 м замкнут накоротко с обоих концов и через малое отверстие соединен с абсолютно черной полостью, нагретой до температуры Т = 600 К. Оценить плотность электромагнитной энергии в волноводе (в эрг/Гц) в диапазоне длин волн 10 см.
1.71.	Как показал в 1974 г. С. Хокинг, «черная дыра» массой М за счет квантовых эффектов и конечных размеров излучает как абсолютно черное тело с температурой Г(М) = Лс3/(8лЛБуМ). Оценить время жизни черной дыры с массой М = 1015 г до ее полного испарения.
1.72.	Яркая желто-зеленая линия полярного сияния (aurora borealis) возникает при возбуждении атомов кислорода в верхних слоях атмосферы под действием солнечного ветра (потока быстрых электронов и протонов). Время жизни возбужденного состояния атома кислорода относительно спонтанного перехода составляет т 0,74 с. Однако столкновения атомов кислорода с молекулами атмосферы могут снять это возбуждение безызлучательным способом. Эффективное сечение этого процесса о — 7 • 10~15 см2. Оценить, на какой высоте над Землей «загорается» эта линия. Атмосферу считать изотермической с Т = 240 К.
из
1.73!	Рекомбинация ионов и электронов в межзвездной среде приводит к образованию атомов в высоковозбужденных состояниях с главным квантовым числом и»1 (ридберговских атомов). При переходах с Ди = 1 очень высоковозбужденные атомы излучают радиоволны, что было обнаружено в 1964 г радиотелескопом РТ-22 в г. Пущино. В межзвездной среде есть и изотропное магнитото[>-мозное излучение со спектральной интенсивностью в коротковолновом радиодиапазоне /(со) — 2-10'5 —L1. Оценить максималь-с • см с
но возможное п для атома водорода в этих условиях. Спонтанное время жизни высоковозбужденных состояний атома водорода в вакууме (с п~103) равно тсп(п) 6-10~12п5 с.
1.74!	Взаимодействие электрона в атоме водорода с нулевыми колебаниями электромагнитного поля в вакууме, приводящее в частности к расщеплению по энергии состояний 2s1/2 и 2р1/2 («лэмбов-ский сдвиг») можно в интервале частот (Ry/Й, 2тс2//?) рассматривать, как взаимодействие свободного электрона с однородным переменным электромагнитным полем, которое приводит к случайным смещениям электрона на орбите. Оценить величину среднеквадратичного смещения электрона.
§ 2.	Кристаллическая решетка. Фононы. Теплоемкость. Теплопроводность.
2.1.	Рассматривая атомы, из которых построены кристаллические решетки, как твердые шары, найти плотность упаковки (т. е. заполненную часть объема элементарного куба) для простой, гранецентрированной и объемноцентрированной кубических решеток.
2.2.	Найти число атомов, приходящихся на примитивную ячейку для лития, кристаллизующегося в объемноцентрированную решетку, и то же самое для кристалла CsCl, когда в вершинах куба находятся атомы Cs, а в центре атом С1.
2.3.	В некоторых металлах при определенной температуре происходит структурный фазовый переход от объемноцентрированной к гранецентрированной кубической решетке, практически не сопровождающийся изменением объема тела. Найти отношение djdi, где d{, di — кратчайшие расстояния между атомами в гранецентрированной и объемноцентрированной решетках.
2.4.	Ионные кристаллы хорошо описываются моделью соприкасающихся шаров. Вычислить на основе этой модели период решетки NaCl (гранецентрированный куб), исходя из его плотности р = 2,17 г/см3 и молярной массы ц = 58,45 г/моль.
2.5!	Для простой кубической решетки, постоянная которой равна а, найти расстояние dhkl между соседними атомными плоскостями с Миллеровскими индексами h, k, I.
114
2.6.	Вычислить расстояния с/100, с/110, с71И для 1) простой, 2) объ-емноцентрированной и 3) гранецентрированной кубических решеток. Ребро элементарного куба равно а.
2.7.	Найти длину волны линии La для вольфрама W, если при падении ее на кристалл NaCl под углом ЗГ32' к отражающей плоскости (001) наблюдается спектр четвертого порядка.
2.8.	Определить постоянную решетки сильвина (КО), если Ка-линия железа отражается от грани (001) под углом 18°3' во втором порядке.
2.9!	Рентгеновское излучение с частотой v= 1,1 • 1018 с- *, падающее в направлении [100] на моноатомный кристалл с гранецент-рированной кубической решеткой, испытывает брэгговское отражение первого порядка в направлении [122]. Найти наименьшее межатомное расстояние c/min в кристалле.
2.10.	Определить колебательную теплоемкость газообразного азота: а) при комнатной температуре; б) при температуре 1700 К. Частота колебаний атомов в молекуле азота v = 7,08-1013 с-1.
Указание. Корнем уравнения sh (х/2) = 0,775х, возникающего при решении задачи, является х = 3,38.
2.11.	Определить вращательную теплоемкость паров HD: а) вблизи температуры конденсации Тк = 22 К; б) при температуре 600 К.
й2
Для дейтероводорода параметр - = 64 К, где / — момент инерции молекулы.
2.12!	При температуре 17 °C показатель адиабаты углекислого газа у = 1,30. Молекула СО2 — линейная. При данной температуре, кроме полностью возбужденных поступательных и вращательных степеней свободы, частично возбуждены две колебательные степени свободы с идентичными спектрами. Оценить длину волны излучения, соответствующего переходам с первого возбужденного колебательного уровня на невозбужденный.
2.13.	Кристаллы существуют благодаря тому, что среднее межатомное расстояние а в них велико по сравнению с амплитудой «нулевых колебаний атомов» а0, задаваемой соотношением неопределенностей Гайзенберга: а^>а0. Это неравенство выполняется вследствие малости «адиабатического параметра» (т/М)1/4«1, где m и М — массы электрона и атомного ядра. Пользуясь моделью двухатомной молекулы, показать, что: 1) йо/й~(т/М)1/4; 2) Sco~Ry(m/M)1/2, где со — частота колебаний атомов, Ry — 13,6 эВ — энергия связи электрона в основном состоянии атома водорода; 3) A<£Bp~Ry(m/M), где Д<£вр — расстояние между нижними вращательными уровнями молекулы.
2.14!	Цепочка из N одинаковых атомов замкнута в кольцо. Подсчитать число возможных (допустимых) бегущих волн и сравнить его с числом степеней свободы системы. Рассмотреть случаи продольных
115
и поперечных колебаний, когда атомы смещаются вдоль цепочки и перпендикулярно ей.
2.15!	Одномерная цепочка состоит из атомов массой т, среднее расстояние между которыми равно а, а жесткость связей между ними у. Атомы взаимодействуют с ближайшими соседями по закону ?(ип±1 — а,г)2/2, где ип — смещение п-го атома относительно положения равновесия. Найти все продольные нормальные колебания и спектр их частот со(А), К — волновое число. Найти фазовую и групповую скорости волн как функции волнового числа К. Построить графики полученных зависимостей. Указать область, отвечающую звуковым волнам, и выразить скорость звука s через т и у.
2.16!	Найти импульс одномерной цепочки, состоящей из N одинаковых атомов с массой М, в которой возбуждена волна с волновым вектором К. Используя периодические граничные условия, показать, что этот импульс равен нулю для всех К 0. Пояснить физический смысл полученного результата.
2.17!	Оценить температурный коэффициент линейного расширения а кристалла, используя в качестве модели двухатомную молекулу, в которой потенциальная энергия взаимодействия составляющих ее атомов имеет вид 17(х) = ух2 — бх3 — |3х4, где х — смещение атома относительно положения равновесия при 0 К. Ангармонический член бх3 описывает асимметрию взаимного отталкивания и отвечает за тепловое расширение, член рх4 описывает сглаживание колебаний при больших амплитудах. Оценить величины у и р, а также а, выразив их через фундаментальные физические константы. Считать, что движение ядер подчиняется законам классической механики.
2.18.	Потенциальная энергия атома в кристалле хорошо описывается функцией L/(x) — ухг — бх3, причем можно считать, что U(a) — 0, где х — отклонение атома от положения равновесия, а а — постоянная решетки. Оценив параметры у и б, найти (в эВ) энергию связи атома в кристалле серебра, считая ее примерно равной глубине потенциала. Скорость звука в серебре s = 2,6-105 см/с.
2.19.	Как изменится частота колебаний одномерной моноатом-ной цепочки, если сдвиг фазы между колебаниями соседних атомов возрастает от л/3 до л?
2.20.	В одномерной цепочке, построенной из одинаковых атомов, скорость звука равна х = 2-105см/с, а постоянная решетки а = = 0,3 нм. При какой частоте колебаний со сдвиг фаз между двумя атомами, находящимися на расстоянии 10а, составит л/2?
2.21.	Цепочка, описанная в зад. 2.20, находится в тепловом равновесии при температуре Т = 500 К. Каково отношение среднего числа фононов с величиной квазиимпульса, соответствующей границе зоны Бриллюэна Цщах = Ал/а к среднему числу фононов с квазиимпульсом ртах/2? Каково это отношение при температуре 10 К?
116
2.22.	Каково отношение числа фононов с дебаевской частотой сор = к числу фононов с coD/2 в кристалле, описываемом моделью Дебая, при температурах Т\ = 0 и Т2 = 0/Ю?
2.23!	Для некоторых металлоорганических соединений индия моделью молекулы может служить одномерная цепочка из jV = 105 одинаковых атомов 1151п. Цепочка находится при Г = 0 К и полностью изолирована от окружающей среды. Ядро одного из атомов, находившееся в возбужденном состоянии, испускает у-квант с энергией = 350 кэВ. Определить температуру Т цепочки после установления теплового равновесия между атомами 115 In. Учесть все типы колебаний. Считать усредненное значение скорости звука s = 1,5-105 см/с, межатомное расстояние а = 3 А.
2.24.	Найти закон дисперсии со(Л?) для продольных фононов в бесконечной цепочке, содержащей в элементарной ячейке два атома с массами m и М. Расстояние между соседними атомами равно а, а жесткость связей между ними у. Построить график полученной зависимости. Проследить предельный переход к одноатомной цепочке при m/M^ 1.
2.25.	Найти поляризуемость а(со) в длинноволновой области спектра (в расчете на одну элементарную ячейку) для цепочки, содержащей в элементарной ячейке два разноименных однозарядных иона. Остальные условия такие же, как и в задаче 2.24. Электрический вектор возбуждающей электромагнитной волны с частотой со ориентирован вдоль цепочки. Влиянием кулоновских сил, вызванных переменной поляризацией, пренебречь.
2.26.	Статические диэлектрические проницаемости е(0) ионных кристаллов NaF и NaBr, обусловленные поляризацией решетки, равны 5,1 и 6,4, а их плотности — 2,79 и 3,21 г/см3. Полагая, что е обусловлено только поляризуемостью смещения, оценить отношение частот поперечных оптических фононов.
Указание: воспользоваться соотношением Клаузиуса—Моссот-ти.
2.27.	Для колебаний плоской квадратной решетки одинаковых атомов, упругие силы между которыми характеризуются постоянной о 2v ~
у, закон дисперсии имеет вид со2 = — (2 — cos Кха — cos Куа), где оси х и у направлены вдоль сторон квадрата, а — постоянная решетки. Показать, что для длинных волн закон дисперсии изотропен, т.е. со зависит только от модуля волнового вектора. Используя приближение Дебая, определить граничную дебаевскую частоту coD и величину волнового вектора KD.
2.28!	Из экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов на кристалле КВг известно, что максимальная частота поперечных акустических фононов, бегущих вдоль ребер элементарного куба, составляет сотах = 7,85-1012 с-1. Оценить в рамках модели одномерной цепочки скорость звука. Плотность кристалла р = 2,75 г/см3. Решетка
117
KBr — гранецентрированная кубическая, типа решетки NaCl (см. задачу 2.4).
2.29.	Оценить частоту колебаний атомов в кристалле меди, считая ее решетку простой кубической с постоянной 3,6 А. Модуль упругости кристалла равен Е = 130 ГПа.
2.30.	Оценить, какую долю постоянной решетки а = 5,8 А твердого криптона составляет амплитуда продольных колебаний атомов вдоль одного из ребер элементарного куба при температуре плавления Гпл = 117 К. Учесть, что дебаевская температура криптона 0 = 72 К.
2.31!	Пользуясь законами сохранения энергии и импульса, рассмотреть в идеальном кристалле неупругое рассеяние нейтронов с рождением и поглощением фононов. Обсудить возможность восстановления закона дисперсии фононов со(А) по нейтронному рассеянию.
2.32!	Найти температурную зависимость решеточной теплоемкости одномерных (Cj) и двумерных (С2) кристаллов в области низких температур. Учитывать только продольные колебания атомов.
2.33.	Используя аналогию между фотонами и длинноволновыми фононами, выразить низкотемпературную решеточную теплоемкость кристаллов через скорость поперечного (хД и продольного (.$'/) звука.
2.34!	Одномерная цепочка состоит из атомов с массами т и М = 9m. Оценить относительный вклад в теплоемкость продольных оптических колебаний атомов цепочки при температуре Т = 0/10, где 0 — температура, соответствующая максимальной энергии реального спектра акустических колебаний. Для оценки можно считать 0 равной дебаевской температуре в соответствующей модели.
2.35.	Следуя приближениям модели Дебая, определить отношение теплоемкостей образцов бериллия Be и меди Си одинакового объема при Г = 400 К. Плотности р(Ве) = 1,85 г/см3, р(Си) = = 8,96 г/см3. Температуры Дебая 0Ве = 1481 К, 0Си = 347 К.
2.36.	При измерении теплоемкости металла в области низких температур (7«0) получены следующие результаты:
Г, к	1,08	1,24	1,46	1,62	1,91
Су, мДж/град-моль	2,18	2,62	3,31	3,89	5,10
Оценить величину дебаевской температуры этого металла.
2.37.	В кристалле поваренной соли NaCl (ГЦПКР) при температуре Т = 10 К теплоемкость единицы объема с = 6,2- 103Дж/(К-см3). Оценить усредненную скорость звука s в кристалле и его дебаевскую температуру 0. Постоянная решетки 1а = 5,63 А. Считать, что дебаевская температура относится ко всему спектру колебаний.
2.38.	Найти максимально возможное увеличение ДГ температуры кусочка серебра с исходной температурой Т0 при падении его с высоты h = 1 см. Рассмотреть два случая 1) То = 4,2 К и 2) То = 300 К. Температура Дебая для серебра 0 = 227 К. (Теплоемкостью электронов по сравнению с решеточной теплоемкостью можно пренебречь.)
118
2.39.	Железный шарик радиусом R = 1 мм находится в центре сосуда, откачанного до высокого вакуума. В начальный момент времени температура шарика То = 10 К. Оценить время т, через которое температура его изменится на а = 1 %. Дебаевская температура железа 0 = 477 К, концентрация атомов п = 8,5-1022 см-3. Температура стенок Гс = 80 К. Поверхности шарика и сосуда считать абсолютно черными.
2.40.	Одинаковые массы свинца 208 РЬ и кремния MSi охлаждают с помощью жидкого гелия от температуры = 20 К до Т = 4,2 К. Оценить отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения свинца и кремния, если известно, что дебаевские температуры равны: 0(РЬ) = 105 К и 0(Si) = 645 К. Теплоемкостью электронов пренебречь.
2.41.	После предварительного охлаждения железа 56Fe с массой М = 1 кг жидким азотом до температуры Т\ = 77 К производят дальнейшее понижение температуры до Т2 = 4,2 К с помощью жидкого гелия. Определить объем испарившегося при этом гелия, если теплота испарения жидкого гелия q = 2,6 Дж/см3 и дебаевская температура железа 0 = 477 К. Вкладом электронной теплоемкости железа пренебречь.
2.42.	Параметры кристаллических решеток кремния и германия практически одинаковы, также как одинаковы их модули упругости. Оценить, как соотносятся между собой дебаевские температуры этих элементов.
2.43.	Вакансией называется дефект кристалла, возникающий при удалении атома из узла кристаллической решетки. При быстром охлаждении кристалла число вакансий, соответствовавших термодинамическому равновесию при высокой температуре, почти не изменяется, т. е. вакансии могут быть «заморожены». После чего при низкой температуре происходит медленный процесс установления нового термодинамического равновесия, как говорят, «отжиг» вакансий. Определить изменение температуры алюминиевого образца при адиабатическом отжиге вакансий, замороженных в результате быстрого охлаждения образца от температуры плавления алюминия Z, = 660 °C до комнатной температуры t2. Теплоемкость алюминия можно определить из классической теории. Энергия образования вакансий в алюминии <£ = 0,75 эВ.
2.44.	Ядро 3Не имеет спин / = 1/2. Найти молярную энтропию 5 кристаллического 3Не при низкой температуре Т. Считать, что температура Т«0 (0 — дебаевская температура), так что практически все колебательные степени свободы «выморожены», но ядерные спины остаются тем не менее полностью разупорядоченными. При этих же предположениях найти энтропию кристаллического аргона-37; спин ядра аргона равен / = 3/2.
2.45.	Оценить, при какой температуре энергия тепловых колебаний кристаллической решетки А1 равна тепловой энергии жидкого гелия при 1 К (в обоих случаях сравнивается энергия на единицу
119
объема). Считать все возбуждения акустическими фононами. Скорости звука: sHe = 240 м/с, продольного х/31 = 6260 м/с, поперечного = 3080 м/с.
2.46.	Энергетический спектр фононов в кристаллах в силу конечных размеров кристаллов является дискретным. Оценить наибольший размер L кристалла поваренной соли, имеющего форму кубика, при котором это обстоятельство сказывается на его удельной теплоемкости при температуре Т = 1 К. Дебаевская температура кристалла 0 = 275 К, плотность р = 2,17 г/см3, молярная масса ц % 58,45 г/моль. Считать, что вкладом поверхностных колебаний можно пренебречь.
2.47!	Оценить, насколько изменится количество теплоты, требуемое для нагрева единицы объема кристаллического кластера, состоящего из нескольких сотен атомов, от 1\ = 0 К до температуры Т2 = 0/30, по отношению к количеству теплоты, требуемого для такого же нагрева единицы объема того же вещества бесконечных размеров, если характерный размер кластера L= 10а, где а — постоянная решетки, а 0 — температура Дебая. Считать, что возбуждаются только объемные фононы, а вкладом поверхностных колебаний можно пренебречь. Кроме того, движение кластера как целого и его вращение не учитывать.
2.48!	На часть плоской поверхности диэлектрического кристалла, граничащего с вакуумом, нанесена металлическая пленка (рис. 71) толщиной а = 0,1 мкм. По пленке течет электрический ток с поверх-ноистной плотностью z = 1А/см. Кристалл охлажден до температуры 7^0 К. Определить температуру пленки, пренебрегая тепловым сопротивлением границы между пленкой и кристаллом и полагая пробег фононов в кристалле много большим поперечного размера пленки. Удельное сопротивление пленки р=10-6Ом-см, усредненная ско-
. рость звука в кристалле X = 3-105 см/с.
2.49.	Сквозь кристалл диэлектрика, охлажденный до температуры вблизи аб-ри	солютного нуля, пропускается луч света
диаметром d = 1 см. Размеры кристалла D^=s>d. В кристалле поглощается мощность W = 100 Вт/см (на единицу длины луча). Оценить температуру кристалла Т внутри пучка. Для оценки считать, что все тепло уносится акустическими фононами с длиной пробега /,« d внутри нагретой области пучка и D вне пучка. Дебаевская температура кристалла 0 = 300 К, концентрация атомов п = 1023 см~3.
2.50.	Одной из причин нарушения работы сверхпроводящих соленоидов является скачкообразное движение витков под действием пондеромоторных сил, в результате которого происходит тепловыделение и нагрев сверхпроводника выше критической температуры. В современных сверхпроводящих кабелях основную массу кабеля составляет не сам сверхпроводник, а медь, плотность которой р = 8,96 г/см3, а температура Дебая 0 = 347 К. Пренебрегая тепло
120
отводом от обмотки, оценить допускаемое смещение витка в обмотке такого соленоида, работающего при температуре Т\ = 4,2 К, если средняя плотность тока в обмотке j = 5000 А/см2, магнитное поле на обмотке В — 40 кГс, а максимально допустимая температура сверхпроводника равна Т2 = 8 К.
Указание: принять, что витки растягиваются, увеличивая свой радиус, а тепловыделение при таком перемещении витка равно работе пондеромоторных сил.
2.51.	В обмотках больших сверхпроводящих соленоидов механические напряжения, обусловленные пондеромоторными силами, достигают предела упругости материала. При низких температурах и таких механических нагрузках, как показывают опыты, возможны скачкообразные изменения величины механического напряжения в кабеле, в результате которых происходит тепловыделение, способное нарушить работу сверхпроводящего соленоида. В современных сверхпроводящих кабелях основную массу кабеля составляет не сам сверхпроводник, а медь, плотность которой р = 8,96 г/см3, модуль Юнга Е~107Н/см2, температура Дебая 0 = 347 К. Пренебрегая теплоотводом от обмотки, найти максимально возможное повышение температуры некоторого элемента обмотки сверхпроводящего соленоида, работающего при температуре Т = 4,2 К, при скачкообразном уменьшении напряжения о=104Н/см2 на величину 6 = 5%.
Указание: принять, что освобождающаяся упругая энергия целиком переходит в тепло.
2.52.	В ферромагнетиках при низких температурах заметный вклад в тепловые процессы вносят колебания в системе поляризованных спиновых моментов — спиновые волны, для которых закон дисперсии имеет вид щ = АКг, где А — некоторая константа, К — волновой вектор, а среднее число квантов — магнонов — в тепловом равновесии определяется той же формулой Планка, что и для фононов. Выяснить характер температурной зависимости вклада магнонов в теплоемкость ферромагнетиков.
2.53.	В антиферромагнетиках (спиново упорядоченных магнетиках с антипараллельными магнитными моментами соседних атомов) закон дисперсии длинноволновых магнонов (см. задачу 2.52) имеет вид со = |К | v, где фазовая скорость v = const. Отличительным свойством магнонов в антиферромагнетиках является то, что для каждого значения волнового вектора К возможны два состояния поляризации. Найти отношение вкладов магнонов и фононов в теплоемкость при низких температурах для кристалла с величиной и = 3,0-105 см/с и усредненной скоростью звука s = 5,0-105 см/с.
2.54.	Капиллярные волны на поверхности (закон дисперсии Щ2 = оА?3/р) могут вносить при низких температурах значительный вклад в теплоемкость жидкого гелия. Какова температурная зависимость «поверхностной» (на единицу площади) теплоемкости гелия при Г ~ 0 К?
121
2.55.	В 4Не, который при атмосферном давлении остается жидким при Т as О К, колебания в области низких температур целиком описываются продольными акустическими фононами. Получить формулу для низкотемпературной теплоемкости и вычислить ее для гелия при Т = 0,1 К, приняв для скорости звука значением = 240 м/с.
2.56.	На рис. 72 приведена фононная область экспериментально определенного закона дисперсии квазичастичных возбуждений в жидком 4Не. Энергия квантов выражена в кельвинах: S = кы/к^. Исходя из этих данных, определить скорость нейтронов, для которых при рассеянии в жидком 4Не на 180° в результате испускания или поглощения одного фонона происходит максимальное изменение энергии нейтронов.
2.57.	Тепловые свойства жидкого 4Не при Т < 0,6 К в основном
обусловлены длинноволновыми фононами. Исходя из данных, приведенных на рис. 72, определить теплоемкость жидкого 4Не при Т = 0,1 К. Какова энергия ет фононов, возбужденных в наибольшем количестве при этой температуре? Во сколько раз среднее число фононов с энергией гт больше средних чисел фононов с энергиями г = Зет,
&, к<
20
1,0 К, 108см-1
Рис. 72
£ = гт/31 Температура Дебая 19 К.
Указание: Т рансцендентное уравнение хе* — 16х + 2 = 0 имеет корень х » 1,59.
2.58.	При температурах Г = 0 К газ фононов в жидком гелии можно считать идеальным. Полагая, что энтропия жидкого гелия определяется фононами, найти ее удельное значение при температуре Т = 0,5 К, если плотность гелия р = 0,145 г/см3 и скорость звука s = 240 м/с. Температура Дебая 19 К.
2.59.	Два сосуда, разделенные теплонепроницаемой перегородкой с отверстием площадью Л = 1 мм2, заполнены жидким гелием и поддерживаются при температурах Т\ = 4 К и Т2 — 0,6 К. Считая, что при этих температурах фононы являются единственным типом тепловых возбуждений и представляют собой идеальный газ, найти тепловой поток Ф между сосудами, если скорость звука х = 240 м/с, а температура Дебая 19 к.
2.60!	Получить формулу тонкой структуры линий рэлеевского рассеяния, исходя из представлений о фотонах и фононах.
2.61.	Найти максимальную частоту фонона Q, который может родиться в жидкости под действием света с длиной волны X = 4000 А. Показатель преломления среды п = 1,5, скорость звука в жидкости s = 1,5-105 см/с.
2.62.	Спектрометром анализируется свет от лазера с длиной волны X = 6328 А, рассеянный под углом ф = 90° в воде (п = 1,33). Какова должна быть разрешающая способность спектрометра, чтобы различить линию, соответствующую неупругому рассеянию света с рождением фонона? Скорость звука в воде s= 1,5-Ю5 см/с.
122
2.63.	Излучение рубинового лазера рассеивается на звуковых колебаниях в воде. При рассеянии происходит доплеровское смещение частоты света. Оценить число штрихов IV дифракционной решетки, с помощью которой в первом дифракционном порядке можно обнаружить смещение частоты в свете, рассеянном под прямым углом. Скорость звука в воде равна s= 1500 м/с, показатель преломления п = 1,33. Считать, что в воде есть звуковые волны всевозможных направлений.
2.64.	Фононы рассеиваются в кристалле на примесных центрах с поперечником рассеяния о порядка геометрического (10-15 см2). Оценить фононную теплопроводность кристалла при температуре Т = 30 К, если концентрация примесей п = 1015 см-3, а скорость звука s = 3- 105 см/с. Оценить также толщину d кристалла, при которой начнет сказываться рассеяние фононов на границах образца.
2.65.	Измерения коэффициента теплопроводности х кристалла LiF показали, что в области температур, меньших 7 К, величина х/Т3 не зависит от температуры, а зависит только от толщины образца б, и для б = 1 мм величина х/Г3 = 22,5 мВт/(см-К4). Как изменится эта величина при увеличении толщины образца в 4 раза?
2.66.	При достаточно высоких температурах (в диапазоне от 30 до 100 К) в твердом аргоне (0Аг = 92 К) произведение коэффициента теплопроводности х на температуру Т в пределах ошибок принимает постоянное значение, равное примерно 235 мВт/см. Оценить, как изменится длина свободного пробега фононов в твердом аргоне при изменении температуры от 50 до 100 К.
2.67.	При Т < 0,6 К основным типом возбуждений в жидком 4Не являются фононы, и, как показывают эксперименты, величина теплопроводности прямо пропорциональна диаметру капилляра, в котором проводятся измерения. Чему равен коэффициент теплопроводности х при Т = 0,3 К, если при 0,6 К он в таких экспериментах равен 0,2 Вт/(см-К)?
2.68.	Оценить максимально возможную величину коэффициента теплопроводности цилиндра диаметром d = 3 мм из кристаллического искусственного сапфира при температуре 30 К. Температура Дебая у сапфира 0 — 1040 К, скорость звука s — Ю4 м/с, а его теплоемкость при 0 определяется выражением cv = = 0,1 • Т3 Дж/(м3-К).
2.69!	Теплопроводность цилиндра из сапфира максимальна при Т = 30 К. Пользуясь результатом предыдущей задачи, оценить величину х при температуре жидкого азота Т = 80 К. В области за максимумом коэффициент теплопроводности хорошо описывается зависимостью х ос Т3 exp (0/2Т). Температура Дебая у сапфира 0 = 1040 К. (Экспоненциальный сомножитель в выражении для х(Т) возникает из-за того, что вклад в теплопроводность дают только процессы переброса).
2.70!	При малых (упругих) деформациях сдвига, когда сдвиг х много меньше постоянной решетки а, выполняется закон Гука
123
где с — напряжение сдвига, G — модуль сдвига, d — расстояние между атомными плоскостями, вдоль которых приложено напряжение сдвига. Для идеализированной модели кристалла Я. И. Френкель дал теоретическую оценку критического напряжения сдвига, при котором произойдет необратимая деформация кристалла ос =* G/6. Получить эту оценку.
2.71.	В одномерной цепочке SnO найти отношение средних квадратов амплитуд нулевых колебаний, соответствующих акустической и оптической ветвям в узком диапазоне волновых векторов вблизи коротковолновой границы первой зоны Бриллюэна.
2.72!	В очень длинной (№е> 100) одномерной цепочке, на один из атомов, расположенный далеко от концов, воздействуют внешним источником с частотой / = 1,001 /0, гДе /о — максимальная частота собственных колебаний цепочки. Найти отношение смещения данного атома и атома, отстоящего от него на N = 100 межатомных расстояний.
2.73.	Титановый шар-зонд (радиусом 7?= 1 м, толщина стенки d = 1 мм), нагретый до температуры Т = 1000 К, выпущен из искусственного спутника, находящегося в тени Земли. За какое время его температура упадет на АТ = 10 К, и какую энергию при этом потеряет оболочка шара, а какую тепловое излучение внутри шара? Дебаевская температура титана 0 = 420 К, плотность р = 4,5 г/см3, относительная атомная масса А = 48. Внутреннюю поверхность шара можно считать абсолютно черной, коэффициент отражения наружной поверхности г — 0,77.
2.74.	Найти в дебаевском приближении среднеквадратичную амплитуду нулевых колебаний атома в кристалле с плотностью р = 19,2 г/см3, дебаевской температурой 0 = 383 К и усредненной скоростью звука s = 3,13-105 см/с.
2.75.	Если отношение среднего квадрата амплитуды нулевых колебаний атомов к квадрату постоянной решетки составит при Т = 0 К величину а = 0,01, то велика вероятность их делокализации (такое состояние называется «квантовый кристалл»). Оценить в де-бавской модели длину одномерной цепочки атомов, при которой наступает делокализация. Масса атома m = 50 а. е. м., межатомное расстояние а = ЗА, скорость звука х = 3-105см/с. Учитывать только продольные колебания. Граничные условия — периодические.
Указание. Для оценки считать, что суммирование по всем модам колебаний можно заменить интегралом.
2.76!	Оценить в дебаевской модели размер L двумерной квадратной решетки атомов, при котором отношение среднего квадрата амплитуды колебаний к квадрату постоянной решетки составит при температуре Т = 650 К величину а = 0,025. Относительная масса атома А =150, межатомное расстояние а = 5 А, скорость звука s = 4-105 см/с. Учитывать колебания только в плоскости решетки. Граничные условия — нулевые.
124
Указание. Для оценки считать, что суммирование по всем модам колебаний можно заменить интегралом.
2.77.	Нерадиационные переходы для подуровней электронного ls-состояния атомов парамагнетика в магнитном поле могут происходить за счет передачи энергии фонону, а момента импульса — всему кристаллу (за счет спин-решеточной релаксации). Оценить минимальные линейные размеры кристаллов парамагнетика, при которых такое снятие возбуждения возможно. Усредненная скорость звука в кристалле s = 3,2 км/с, индукция магнитного поля В = 0,1 Тл, смещение атомов на границах кристалла считать равным нулю.
2.78?	В алмазных наковальнях сжатие твердых образцов осуществляется до мегабарных давлений. Потенциал отталкивания между атомами можно аппроксимировать степенной функцией U(x) ос х~₽ (Р»1), где х — относительное расстояние между двумя соседними атомами. Определить, во сколько раз изменится температура Дебая такого кристалла при увеличении давления от Pj = 200 кбар до Р2=1,8Мбар. Жесткость кристалла в сжатом состоянии определяется второй производной от отталкивательной части потенциала.
§ 3. Электроны в металлах. Ферми-частицы
3.1?	При сближении атомов происходит перекрытие волновых функций внешних валентных электронов, которые получают возможность двигаться по кристаллу благодаря туннельному эффекту. При этом N стационарных атомных уровней расщепляются в полосу (зону), содержащую N квазинепрерывных (при N»l) стационарных уровней. Считая, что в атоме электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной а = 2 А на глубине равной энергии ионизации Uo = 10 эВ, а ширина барьера, разделяющего ямы, d — а, оценить ширину зоны. Формально ширина зоны может быть оценена, как уширение уровня энергии электрона при туннелировании в соседнюю яму. Учесть, что при слабом перекрытии волновая функция электрона в кристалле является линейной комбинацией атомных волновых функций.
3.2?	Вычислить фермиевские энергию, импульс и скорость при Т — 0 для металла с изотропным квадратичным законом дисперсии электронов с эффективной массой т*, равной 0,8 массы свободного электрона, и концентрацией электронов п = 1023 см-3.
3.3.	Для электронов с квадратичным законом дисперсии найти связь между средней энергией г и фермиевской энергией eF при температуре Т — 0 К.
3.4.	Металлический Na кристаллизуется в кубическую объемно-центрированную решетку с расстоянием между ближайшими атомами d = 0,37 нм. Найти среднюю кинетическую энергию электронов, предполагая, что их закон дисперсии является квадратичным.
125
3.5.	Оценить, каково относительное увеличение средней энергии электронов в металле с ер = 5 эВ при увеличении температуры от Т = О К до комнатной.
3.6.	Найти при температуре Т = О К среднюю длину волны де Бройля X свободного электрона в одновалентном металле с простой кубической решеткой, имеющей постоянную а.
3.7!	Найти фермиевский импульс р? электронов проводимости в Na, если максимальное отклонение угла разлета двух 7-квантов, возникающих при аннигиляции замедленных до тепловых скоростей позитронов с электронами проводимости, от 180° равно ф = 0,20°. Поверхность Ферми считать сферической.
3.8!	При температуре Т =/= 0 К электроны в металле рассеиваются, испуская или поглощая фононы. Считая, что Г«0, где 0 — дебаевская температура, оценить средний угол рассеяния ф.
3.9.	На какой максимальный угол может отклониться электрон при поглощении или испускании одного фонона в одновалентном металле с простой кубической решеткой, хорошо описывающемся моделью Дебая и моделью свободных электронов?
3.10.	Свойства электронов в монокристаллических образцах металлов с большими длинами свободного пробега электронов мо-
гут изучаться с помощью двух микроконтактов, прижатых к по-
верхности металла вдоль линии, перпендикулярной напряженности магнитного поля Н (рис. 73). Один из контактов является эмит-
тером электронов, а второй — зондом (коллектором), регистрирующим приход электронов. Определить максимальное значение Нтях, при котором электроны еще могут достичь коллектора. Концентрация электронов проводимости равна п = 8,5-1022 см-3, а расстояние между микроконтактами d = 1 мм. Воспользоваться моделью свободных электронов.
3.11.	Электронный спектр щелочных металлов хорошо описывается моделью свободных электронов с концентрацией один электрон на атом. В магнитном поле напряженностью Н тра
ектории электронов являются спиралями. Определить максимальный диаметр <Утах спирали для электронов в калии при Н = 100 Э. Объем,
приходящийся на атом, равен V = 74-10-21 мм3.
3.12.	Оценить отношение средней потенциальной энергии U взаимодействия двух электронов к энергии Ферми sF для одновалентного
металла, электроны которого наполовину заполняют зону проводимости. Концентрация атомов п = 3 • 1022 см-3, эффективную массу электронов считать равной массе свободного электрона.
3.13.	Ультрахолодные нейтроны содержатся в ловушке при столь низкой температуре, что газ нейтронов вырожден. Как изменится средняя кинетическая энергия нейтронов при изотермическом включении сильного магнитного поля, полностью поляризующего маг-
126
нитные моменты нейтронов? Процессами распада нейтронов пренеб-
речь.
3.14.	Оценить, сколько ультра холодных нейтронов может быть накоплено в медной ловушке (рис. 74) объемом V = Юл. Количество поступающих нейтронов компенсирует их убыль за счет распада. Критическая скорость нейтронов для меди икр — 5,7 м/с. Принять, что температура стенок ловушки О К, а нейтронный ферми-
газ вырожден.
3.15! Рассматривая гипотетическое тяжелое ядро с Z — N и считая распределение нуклонов в ядре однородным, оценить их фермиевскую скорость в модели свободных нуклонов.
3.16. Оценить среднюю энергию на один нуклон в модели нуклонного ферми-газа. Считать N = Z = Л/2.
3.17!	Оценить минимальную энергию гамма-кванта, необходимую для однонуклонного возбуждения тяжелого ядра с Z = N, А = 238, рассматривая нуклоны в ядре как ферми-газ. Каким будет по порядку величины эффективное сечение такого процесса?
3.18.	Оценить в модели ферми-газа глубину нейтронной потенциальной ямы в ядре 238U, если энергия отделения нейтрона в этом ядре (его энергия связи) равна <£св = 7,6 МэВ.
3.19!	Для тяжелого ядра cZ=N вычислить кулоновскую энергию атомного ядра и кинетическую энергию нуклонов в модели ферми-газа при равномерном распределении протонов и нейтронов в ядре и в гипотетическом случае, когда протоны полностью вытеснены кулоновским отталкиванием на периферию. Какое состояние является энергетически более выгодным? Ядро считать имеющим жесткую сферическую форму, «объем» нуклонов считать равным объему ядра.
3.20.	В некоторых опытах по измерению времени жизни протона используются протоны атомных ядер, например ядер атомов железа. Производится поиск продуктов распада для одной из возможных мод распада р—»е+ + л°. Оценить наименьший угол 6 разлета частиц е+ и л°с учетом фермиевского импульса протона, входящего в состав
ядра железа.
3.21.	Во сколько раз уменьшается пороговая кинетическая энергия протона при генерации пары протон и антипротон, если в качестве мишени использовать не покоящийся протон жидкого водорода, а протон, входящий в состав тяжелого ядра.
3.22.	Давление электронного газа является основным фактором, определяющим сжимаемость металлов при низких температурах. Найти давление Р и сжимаемость Д/ электронного газа для меди при температуре Т = 0 К, если концентрация электронов проводимости равна п = 8,5-1022 см-3. Эффективную массу т* считать равной массе свободного электрона те.
127
3.23.	Найти скорость звука s в нейтронном газе при температуре Т = О К, если максимальная скорость нейтронов в газе v = 200 м/с (см. также задачу 3.86).
3.24.	Твердый водород является диэлектриком, плотность которого при нормальном давлении равна 0,076 г/см3. Чтобы водород стал металлом, энергия Ферми его электронов должна быть равной потенциалу ионизации. При каком давлении возможен переход водорода в металлическое состояние? Какой плотности водорода это соответствует?
3.25!	Оценить температуру в центре «железной» звезды (Л 60), представляющей собой полностью ионизованный плазменный шар радиусом R — 106 км и плотностью р = 10 кг/см3.
Указание. Уравнение 7,56х4 + 0,414х — 140 = 0 имеет корень х« 2,072.
3.26!	Показать, что для белых карликов (звезда, состоящая из полностью ионизованных атомов с зарядом Z) из условия равенства гравитационного давления и давления электронного газа следует соотношение MR? — const. Электроны считать нерелятивистскими.
3.27.	Определить плотность энергии и давление электронного газа, в котором максимальная энергия электронов eF = 1 ГэВ, температура Г = 0 К, а кулоновское отталкивание компенсируется однородно распределенными положительными зарядами (идеальный вырожденный ультрарелятивистский газ).
3.28.	В плотном холодном веществе звезды (белых карликах) существуют только голые ядра и электроны, образующие вырожденный электронный газ. Найти уравнение состояния этого газа в переменных (Р, V) для случая столь сильного сжатия (р » 106 г/см3), что энергия Ферми eF»mec2.
3.29!	Пульсары — космические радиоисточники, излучающие периодические последовательности импульсов — представляют собой вращающиеся нейтронные звезды. При радиусе порядка 10 км пульсары обычно имеют массу порядка солнечной (1033 г). Почему звезда таких размеров и массы не может состоять из протонов и электронов?
3.30.	При всестороннем сжатии металла относительное изменение энергии Ферми электронов составило 0,1 %. Оценить относительное изменение температуры Дебая решетки. Скорость звука считать постоянной.
3.31.	Оценить фермиевскую энергию электронов проводимости некоторого одновалентного металла с простой кубической решеткой, зная усредненную скорость звука 5 = 2 км/с и дебаевскую температуру 6 = 200 К. Эффективную массу считать равной массе свободного электрона.
3.32.	Вычислить частоту обращения электрона а>с (циклотронную частоту) в постоянном однородном произвольно ориентированном магнитном поле В при квадратичном анизотропном законе дисперсии <£(р) = p2/(2m*) + p2/(2m*) + p2/(2m*).
128
3.33.	Электрон с законом дисперсии ^> = ^>(р.) движется в магнитном поле В, параллельном оси х. Решить уравнение движения.
3.34?	В металле, кристаллическая решетка которого обладает осью симметрии z не ниже 3-го порядка, закон дисперсии электронов в простейшем случае может быть представлен в виде 4J(p) = (р2 + Р2)/(2т*). Считать, что на элементарную ячейку приходится один электрон проводимости, постоянная решетки вдоль оси z равна а = 0,3 нм, объем элементарной ячейки v = 0,85а3, а эффективная масса т* = те — массе свободного электрона. Найти фермиевскую скорость электронов uF и определить частоту обращения электронов шс в магнитном поле в зависимости от угла между напряженностью магнитного поля Н и осью z.
3.35?	Проводимость высокотемпературных сверхпроводников обусловлена электронами, движущимися по плоской квадратной атомной решетке с периодом а. Закон дисперсии электронов 6’(k) = — <90(cos кха + cos куа). Считая, что каждый атом отдает в зону проводимости один электрон, нарисовать, как выглядит область заполненных электронных состояний в ^-пространстве (поверхность Ферми) в первой зоне Бриллюэна, и найти ее площадь. Найти также распределение скоростей электронов на ферми-поверх-ности. Считать, что зона проводимости построена из атомных «-состояний.
3.36?	В металле с одним электроном на элементарную ячейку и квазиодномерным законом дисперсии <a(k) = cos kza, где <S() = 0,5 эВ и а — 0,3 нм, найти фермиевскую скорость vF и энергию ef электронов. Как выглядит в данном случае ферми-поверхность? Считать, что зона проводимости построена из атомных «-состояний.
3.37?	Электрон с законом дисперсии <£ = <э0 cos кха движется в постоянном однородном электрическом поле напряженностью Е, направленном вдоль оси х. Решить уравнение движения и дать физическую интерпретацию результата. Сделать численный расчет для случая тока 10 А, текущего по медному проводу сечением 1 мм2; удельное сопротивление меди равно 1,7-106 Ом-см, а = 3 к, ширина зоны проводимости 5 эВ.
3.38.	Простейший модельный закон дисперсии электронов в металле с простой кубической решеткой имеет вид <£(р) = = <90[3 — cos кха — cos куа — cos kza\, р = hk, где а — постоянная решетки. Металл находится в постоянном однородном магнитном поле напряженностью Н, направленном вдоль оси z. Рассматривается электрон, квазиимпульс которого в заданный момент времени направлен вдоль оси х и равен р = 5лЙ/(6а). Найти скорость v и ускорение v в этот момент.
Указание. Использовать уравнения движения p=(e/c)[vH], V = d<a/dp.
3.39.	В металле, описанном в задаче 3.38, концентрация электронов такова, что фермиевский импульс в направлении осих [100] ра
129
вен pF = лй/(2а). Чему равна энергия Ферми eF? Чему равны фермиевские импульсы в направлениях [ИО] и [111] (диагональ грани и пространственная диагональ куба)?
3.40.	Показать, что в металле, описанном в задаче 3.38, для малых импульсов закон дисперсии электронов проводимости изотропен. Определить эффективную массу электрона т*.
3.41.	В металле, описанном в задаче 3.38, найти скорости находящихся на уровне Ферми электронов, которые движутся в направлениях [100], [НО], [Ш].
3.42.	Электроны металла, описанного в задаче 3.38, находятся в постоянном электрическом поле Е, направленном вдоль оси у. Рассматривается находящийся на уровне Ферми электрон, который в начальный момент двигался вдоль оси х. Пренебрегая всеми процессами рассеяния, определить время, через которое электрон будет двигаться под углом 45° к первоначальному направлению. Каково ускорение и энергия электрона в этот момент? На какой максимальный угол может отклониться электрон от первоначального направления движения?
Замечание. В действительности электрон, энергия которого превышает энергию Ферми, будет испускать фононы, и такое идеализированное рассмотрение оказывается неверным.
3.43!	Оценить ширину зоны проводимости в кристалле с простой кубической решеткой, используя модельный закон дисперсии, приведенный в задаче 3.38 с <£0 > 0. Считать эффективную массу электрона т* вблизи дна зоны проводимости равной массе свободного электрона. Постоянная решетки а = 3 А.
3.44.	Для значений параметров металлов I группы Na (eF = 3,22 эВ, 0 = 158 К) и Си (eF = 7 эВ, 0 = 347 К) найти температуру Г, при которой электронная и решеточная теплоемкости становятся равными.
3.45.	Оценить решеточный и электронный вклады в теплоемкость серебра при температурах 300 и 3 К. Дебаевская температура равна 0 = 220 К. Электронную теплоемкость считать по модели свободных электронов, концентрация которых равна п — 5,9 • 1022 см3.
3.46.	Для одновалентного металла, описываемого моделью свободных электронов, энергия Ферми eF = 7,0 эВ, а отношение эффективной массы к массе свободного электрона m*/me = 1,5. Найти электронный вклад в теплоемкость кристалла при 1 К и величину дебаевского волнового вектора фононов KD.
3.47.	Оценить дебаевскую температуру некоторого одновалентного металла с простой кубической решеткой, если известно, чт< скорость звука 5 = 3000 м/с, а коэффициент пропорциональности I температурной зависимости электронного вклада в теплоемкост! при низких температурах у = 60 Дж/(м3-град). Эффективную массу считать равной массе свободного электрона.
3.48.	В модели свободных электронов найти энергию Ферми ej магния, если его теплоемкость СР1 = 6 мДж/(моль-К) при темпера
130
туре Т\ = 4 К и С/.2 = 2,25 мДж/(моль-К) при температуре Г2 = 2К.
3.49.	Кусок серебра с температурой Т\ — 0,1 К приводится в тепловой контакт с куском золота той же массы, имеющим температуру = 0,2 К. Найти их конечную температуру. Учесть, что металлы имеют одинаковые типы и практически одинаковые параметры кристаллических решеток.
3.50.	При измерении теплоемкости металла в области низких температур (Т«0) получены следующие результаты:
т, к	1,41	2	2,45	3
С у, 10-4 кал / град • моль	3,1	6,26	9,8	15,7
Оценить величину температуры Ферми этого металла.
3.51!	Энергетический спектр электронов в кристаллах конечных размеров является дискретным. Используя модель свободных электронов, оценить наименьший линейный размер L кристалла меди, при котором это обстоятельство еще не сказывается на его удельной электронной теплоемкости при температуре Т = 1 К. Решетка меди является гранецентрированной кубической, плотность меди р = 8,96 г/см3.
3.52!	В отсутствии электрического тока внешнее статическое электрическое поле, нормальное к поверхности, проникает лишь в тонкий приповерхностный слой металла. Определить закон, по которому потенциал ф(х) убывает в глубь металла, считая, что полное падение потенциала (p«eF/e. Оценить глубину проникновения поля (длину экранирования Томаса—Ферми ZTF) для обычного металла типа Na (n0	1023 см-3, eF % 5 эВ, диэлектрическая проницаемость
г%|) и полуметалла типа Bi (п0 » 3-1017 см-3, eF % 2 • 10~2 эВ, е % 100). Температура Т = 0 К.
Указание. Диэлектрическая проницаемость е определяется поляризацией электронов внутренних оболочек, не участвующих в электроп роводности.
3.53.	Образцы натрия и меди, каждый объемом V = 1 см3, расположены таким образом, что емкость между ними С = 1 пФ. Образцы соединили проволокой. Каково относительное изменение числа электронов проводимости в натрии при установлении равновесия? Исходное значение концентрации электронов в Na п = 2,65-1022 см-3. Работа выхода, т. е. разность энергий электрона в вакууме и внутри металла на уровне Ферми, для Na равна А{ = 2,3 эВ, а для Си равна А2 = 4,5 эВ.
Указание. В металлах, находящихся в электрическом контакте, электроны на уровне Ферми должны иметь одинаковую энергию.
3.54.	Провести оценку Дп/п (см. предыдущую задачу) при непосредственном соприкосновении кусков Na и Си объемом и размерами Р = 1 х 1 х 1 см3, считая, что контакт осуществляется в нескольких точках, а средняя величина зазора остается равной d % 1 мкм.
131
3.55!	Оценить контактную разность потенциалов между двумя кубиками из одинакового металла с простой кубической кристаллической структурой, если их стороны равны соответственно 1 см и 10“6 см.
3.56!	Получить закон преломления для электронов, проходящих через плоскую границу раздела двух металлов с концентрацией электронов rif = 1 • 1022 см3 и п2 = 8 • 1022 см3. В каком из металлов электроны претерпевают полное внутреннее отражение? Закон дисперсии в обоих металлах изотропен. Найти угол полного внутреннего отражения электронов с фермиевской энергией.
3.57.	Плоская граница (плоскость xz) отделяет монокристалл металла одной ориентации от кристалла этого же металла, ориентация которого повернута на 90° вокруг оси Oz, перпендикулярной плоскости (рис. 75). Закон дисперсии электронов в одном кристалле
Найти закон дисперсии преломления электронных
2	2	2
~+Д+—*
2т*	2т,	2т*
в другом кристалле и определить закон волн на межкристаллической границе,
исходя из закона сохранения энергии и тангенциальной компоненты импульса. Написать закон преломления для случая малых углов падения. Для простоты рассматривать только электроны, движущиеся в плоскости ху.
Рис. 75	3.58! Чувствительностью термопары
(рассматривается спай различных металлов) называется отношение |3 = Дф/ДТ разности потенциалов Дф на ее концах к разности температур ДТ ее спаев. Оценить, во сколько раз чувствительность |3 термопары вблизи комнатной температуры То отличается от ее чувствительности при температуре жид-
кого гелия ГНе = 4,2 К.
3.59.	В металле, помещенном в магнитное поле напряженностью Н, полная энергия электрона включает зеемановскую энергию ± цБ/7, где Цб — магнетон Бора. В условиях термодинамического равновесия энергия Ферми eF одинакова для электронов с различным направлением спина. Исходя из этого, определить относительную разность фермиевских импульсов Ьр/рг = (р+ — р_)/р? и относительную разность концентраций Ьп/п = (п+ — п_)/п (где п = = п+ + п_) для электронов с противоположными направлениями спинов, а также удельный магнитный момент М (намагниченность) электронного газа (парамагнетизм Паули). Считать, что цБ77«еР. Вычислить парамагнитную восприимчивость %Na для натрия, у которого п = 2,65-1022 см-3, а отношение эффективной массы к массе свободного электрона т*/те % 0,8.
3.60.	При не слишком высоких давлениях гелий остается жидким вплоть до температуры Т — 0 К. Так как изотоп 3Не имеет полуцелый
132
спин (см. задачу 2.44), то атомы, составляющие жидкий гелий-3, подчиняются статистике Ферми. Определить температурную зависимость молярной теплоемкости С (Т) жидкого гелия-3 при низких температурах и оценить числовое значение коэффициента в этой зависимости, пренебрегая межатомным взаимодействием. Молярный объем жидкого гелия при нормальном давлении V = 37 см3/моль.
3.61.	В области температур от 3 до 100 мК жидкий 3Не ведет себя во многих отношениях подобно слабовзаимодействующему вырожденному газу ферми-частиц. Из экспериментов известно, что при 7 = 3 мК молярная теплоемкость гелия-3 равна С = = 4,5-105 эрг/(К-моль), а его плотность р = 0,115 г/см3. Оценить эффективную массу атомов 3Не при этой температуре.
3.62!	Считая, что электроны в проводниках имеют эффективную массу т*, а их концентрация равна п, и они находятся в среде с диэлектрической проницаемостью е, найти частоту их собственных длинноволновых продольных колебаний — плазменную частоту о>р. Диссипацией энергии пренебречь.
3.63.	Найти отношение среднего расстояния между электронами в вырожденном электронном газе к классическому радиусу электрона в условиях, когда фермиевская энергия электронов равна энергии кванта плазменных колебаний.
3.64.	Найти энергию плазмона (кванта плазменных колебаний) в металле, в котором фермиевская энергия равна eF = 5,5 эВ. Эффективная масса равна массе свободных электронов, диэлектрической восприимчивостью атомных остовов пренебречь.
3.65.	Характерная величина удельного сопротивления металлов при комнатной температуре Ю-50м-см. Приняв для постоянной кристаллической решетки значение а = 3 А, оценить длину свободного пробега электрона А.
3.66.	В тонких металлических проволоках длины свободного пробега электронов при низких температурах обычно лимитируются диаметром проволоки. Исходя из этого, оценить эффективную удельную проводимость <7 тонкой металлической проволоки диаметром d = 0,1 мм, приняв для остальных необходимых параметров значения, типичные для металлов.
3.67!	Найти закон растекания объемного заряда в проводниках и характерное время этого процесса — т. н. максвелловское время релаксации тм. Определить тм для кристалла чистого германия при комнатной температуре (о = 0,014 Ом-1-см-1, е = 16). Считать, что избыточная концентрация электронов, создающих объемный заряд, мала по сравнению со средней концентрацией электронов проводимости.
3.68!	Найти частотную зависимость комплексной диэлектрической проницаемости е(о>) проводника. Объяснить причину прозрачности металлов в ультрафиолетовой области спектра. Считать, что электроны проводимости описываются эффективной массой т* и временем свободного пробега т.
133
3.69!	При прохождении электромагнитной волны через тонкую медную пленку ее интенсивность уменьшается в а = 20 раз. Волна распространяется по нормали к поверхности пленки, длина волны в вакууме X = 4500 А. Оценить толщину пленки I, если энергия Ферми электронов в меди eF = 7 эВ, эффективная масса близка к массе свободного электрона. Столкновения электронов с решеткой не учитывать, статическая диэлектрическая проницаемость е=1.
3.70.	Определить толщину скин-слоя б, т. е. глубину проникновения касательного к поверхности электромагнитного поля с частотой со в металл с удельной проводимостью о. Считать сот« 1, где т — время свободного пробега (время релаксации импульса). Вычислить б для меди при комнатной температуре (ст = 0,6-106 Ом-1-см-1) на частоте v = 1О10 Гц. См. задачи 3.66 и 3.67.
3.71!	Рассмотреть движение электрона в кристалле в скрещенных электрическом (Е) и магнитном (Н) полях (Е±Н). Эффективная масса электронов равна т*, а время свободного пробега — т. Применить полученные результаты к вычислению удельной проводимости как функции магнитного поля <у(Н) в следующих случаях: ток течет через диск Корбино (в диске Корбино электроды имеют форму концентрических окружностей, а магнитное поле прикладывается перпендикулярно плоскости диска); ток течет по бесконечной пластине, причем Е и Н лежат в плоскости пластины. Пояснить физическую причину возникновения магнитосопротивления (т. е. уменьшения <т(/7) с ростом Н) в диске Корбино и причину отсутствия магнитосопротивления в пластине.
3.72.	Вычислить форму кривой циклотронного резонанса (т. е. зависимость проводимости от частоты) для электронов с изотропной эффективной массой т* и временем свободного пробега т. Электромагнитная волна циркулярно поляризована в плоскости, перпендикулярной постоянному магнитному полю.
3.73.	Электронная теплопроводность х тонких металлических проволок, как и их электрическая проводимость (задача 3.66), при низких температурах лимитируется диаметром проволоки. Оценить в этих условиях х для проволоки диаметром d = 0,1 мм при температуре Т = 10 К, приняв для остальных параметров значения, типичные для металлов.
3.74.	В тонких проволочках длины свободного пробега лимитируются диаметром проволочки; поэтому длины свободного пробега электронов и фононов практически совпадают. Оценить, при какой температуре в этих условиях сравниваются электронная и решеточная теплопроводности.
3.75.	Удельное сопротивление сплава Ag + 1 % Ni при температуре T-0K равно р=Ю-6Ом-см. Считая, что это сопротивление определяется только примесными атомами никеля, оценить величину сечения рассеяния электронов на атомах никеля. Постоянная ГЦК решетки серебра а = 4,1 А.
134
3.76.	Оценить удельное сопротивление одновалентного металла с относительной атомной массой А = 100 при температуре Т = 300 К, считая, что эффективный радиус рассеяния электронов на тепловых флуктуациях решетки по порядку величины равен амплитуде тепловых колебаний атомов, фермиевская скорость гд = 1,4 • 108 см/с. Считать эффективную массу электрона равной массе свободного электрона. Температура Дебая 0 = 200 К.
3.77.	Эффективное сечение рассеяния электронов на фононах при Т > 0 можно считать равным о = л^2, где — амплитуда тепловых колебаний атомов. Оценить для одновалентного металла с концентрацией свободных электронов ч — 5 -1022 см-3 и постоянной решетки а 3 А при комнатной температуре среднюю длину свободного пробега электрона Л, обусловленную электрон-фононным взаимодействием (модуль Юнга считать равным Е = 1012 дин/см2).
3.78!	Оценить скорость звука в металлическом стержне с плотностью р = 9 г/см3 при комнатной температуре, Т»0. Кристаллическую решетку считать простой кубической с постоянной а — 3 А. Амплитуда тепловых колебаний при комнатной температуре 0,04а.
3.79!	На поверхности металлической пластины толщиной d = 0,1 см выделяется некоторая энергия, так что изменение температуры пластины ДТ«То = 300К, То — начальная температура (7О»0). Полагая, что длина пробега электрона в металле Л = 10-6 см, оценить характерное время, за которое противоположная поверхность пластины «почувствует» это изменение температуры. Считать металл пластины одновалентным с простой кубической решеткой и а — 3 А.
3.80.	Оценить эффективное время выравнивания температуры в медном стержне длиной С=10см в вакууме. Плотность меди р = 8,96 г/см3, коэффициент теплопроводности х = 3,8 Вт/(см-К), Т»0, где 0 — дебаевская температура. Остыванием за счет излучения пренебречь.
3.81.	В области температур от 1 до 10 мК растворенные в 4Не атомы 3Не ведут себя как идеальный ферми-газ. Насколько уменьшится удельная теплопроводность такого раствора в этом диапазоне температур, если концентрацию 3Не в 4Не уменьшить с 5% до 1,25%? Теплопроводностью атомов 4Не можно пренебречь.
3.82.	Термодинамические свойства жидкого 3Не хорошо описываются ферми-газовой моделью. Определить на основе этой модели насколько уменьшается вязкость 3Не при уменьшении температуры с 2 до 1 К.
Указание. У честь, что вероятность перехода частицы из начального состояния в конечное пропорциональна плотности конечных состояний.
135
3.83! Вычислить плотность тока j(T) термоэлектронной эмиссии с поверхности металла (формула Ричардсона). Считать, что работа выхода Л»ЛБТ, А — разность между энергией электрона в вакууме и
на уровне Ферми металла. Эффективная масса электронов в металле равна т*.
3.84. Термоэлектроны, эмиттирован-ные из металлического катода, движутся в вакууме под действием внешнего электрического поля напряженностью Е и сил зеркального изображения. Совместное действие этих сил приводит к понижению работы выхода на границе металл-ваку-ум. Найти зависимость работы выхода Л(£) и плотности термоэмиссионного то
ка j(T, Е) от поля (рис. 76).
3.85. Серебро кристаллизуется в гранецентрированую кубическую решетку с периодом а = 4,1 А. Красная граница фотоэффекта для серебра Хо = 2680 А. Оценить (в электрон-вольтах) положение
дна зоны проводимости серебра относительно вакуума. Эффективную массу электронов принять равной массе свободного электрона.
Рис. 77
3.86.	Для описания свойств металлов часто используется так называемая модель «желе», в которой считается, что точечные ионы погружены в электронную жидкость. Найти на основе этой модели скорость звука в металлическом калии, у которого постоянная ОЦК-ре-шетки равна а = 5,23 А. Считать, что упругие свойства калия обусловлены только электронами, которые можно рассматривать как свободный электронный газ. Эффективную массу электронов считать равной массе свободных электронов.
3.87.	Электронные и решеточные свойства некоторых типов углеродных нанотрубок можно описать в рамках одномерной модели. Оценить отношение теплоемкостей решетки и электронов в таких нанотрубках при низких температурах. Считать, что скорость звука s = 106 см/с, а скорость Ферми rF = 108 см/с.
136
3.88.	Согласно А. Ф. Иоффе и А. Р. Регелю (1960 г.) кристалл сохраняет металлические свойства до тех пор, пока длина свободного пробега электронов превышает дебройлевскую длину волны. Исходя из этого, оценить максимальную величину удельного сопротивления разупорядоченного металла (в Омах). Эффективную массу электрона считать равной массе свободного электрона, плотность электронов п = 1022 см-3.
3.89.	С помощью туннельного микроскопа в 1993 г. исследовалось распределение плотности двумерного электронного газа на поверхности монокристалла меди, где есть два точечных дефекта, на которых происходит интерференция волн де Бройля (см. фото —рис. 77). Расстояние между дефектами равно 42 А. Оценить поверхностную плотность электронов проводимости этого образца меди.
3.90!	В области низких температур от 3 до 100 мК свойства растворов 3Не в 4Не можно описать, рассматривая процесс растворения как обратимое расширение вырожденного ферми-газа 3Не с эффективной массой т3 = 2,4т3Не в объем 4Не. Найти конечную температуру системы при адиабатическом растворении 1 моля 3Не в 19 молях 4Не, если исходная температура компонент Т = 50 мК. Оценку теплоемкости 4Не проводить по дебаевской модели с 0 = 19 К. Плотность жидкого 3Не равна р3 = 0,08 г/см3, а плотность жидкого 4Не — р4 = 0,14 г/см3.
3.91.	В области низких температур от 3 до 100 мК тепловые свойства растворов 3Не в 4Не можно описать, рассматривая процесс растворения как обратимое расширение вырожденного ферми-газа 3Не с эффективной массой т3 = 2,4тзНе в объем 4Не. Найти количество тепла, которое может поглотить система при растворении одного моля 3Не в 19 молях 4Не при Т = 50 мК. Дебаевская температура 4Не 0 = 19 К. Плотность жидкого 3Не равна р3 = 0,08 г/см3, а жидкого 4Не — р4 = 0,14 г/см3.
3.92.	С понижением концентрации в электронной ферми-жидко-сти в металлах может произойти фазовый переход с образованием решетки электронов на фоне однородного «размазанного» положительного заряда ионов — т.н. вигнеровского кристалла. Однако нулевые колебания электронов могут приводить к их делокализации, если сношение амплитуд нулевых колебаний к межэлектронному расстоянию превысит а =1/4. Оценить, при каких концентрациях электронов это произойдет. Кристалл рассматривать как систему сферических элементарных ячеек, суммарный объем которых равен объему кристалла. Ячейки считать невзаимодействующими.
3.93!	В металлах основной вклад в энергию связи, т.е. в работу, которую надо совершить для превращения кристалла в совокупность невзаимодействующих атомов, дает понижение средней энергии электронов по сравнению с таковой в свободном атоме. Используя данные по теплотам плавления и парообразования металлической меди q — 13 кДж/моль и А = 302 кДж/моль, найти
137
положение дна зоны проводимости, если ее ширина А<о = 14 эВ, а энергия ионизации 45-электрона меди IV = 1,1 эВ. Электроны в металле считать свободными.
3.94.	В металлах основной вклад в энергию связи, т.е. в работу, которую надо совершить для превращения кристалла в совокупность невзаимодействующих атомов, дает понижение средней энергии электронов по сравнению с таковой в свободном атоме. Для металлического калия эта величина составляет ^св = 0,941 эВ, а энергия 45-электрона в свободном атоме калия 6’4s = —4,34 эВ. Найти положение дна зоны проводимости в металлическом калии. Калий кристаллизуется в объемноцентрированную кубическую решетку с периодом а = 5,22 А. Закон дисперсии электронов в зоне проводимости считать квадратич-» ным с эффективной массой, равной массе свободного электрона.
3.95.	Длина волны характеристического излучения в газообразном натрии (переход 3s — 2р) составляет X = 485 А. Оценить относительное уширение АХ/Х этой линии в металлическом натрии. Натрий кристаллизуется в объемноцентрированную кубическую решетку с постоянной а = 4,23 А. Закон дисперсии электронов считать квадратичным с эффективной массой, равной массе свободного электрона. Образованием зоны из 2р-состояний атома натрия пренебречь.
3.96*	Элементы первой группы — щелочные металлы — кристаллизуются в объемноцентрированную кубическую решетку. В приближении сильной связи закон дисперсии электронов в этих металлах может быть представлен в виде:
к а ка ка
6(k) = — A cos -у- cos	cos
где А = const, а — постоянная решетки. Определить, какой вид имела бы поверхность Ферми в этом приближении и найти объем первой зоны Бриллюэна для металлического Na с а = 4,23 А.
3.97!	Если ферми-поверхность имеет конгруэнтные участки, которые совмещаются друг с другом (вкладываются друг в друга) при переносе в пространстве квазиимпульсов на некоторый вектор Q, то такая ситуация носит название «нестинг», а вектор Q называется вектором нестинга. Реально речь идет о плоских участках поверхности Ферми. Наличие нестинга приводит к ряду особенностей в физических свойствах полупроводников. Определить вектор нестинга в условиях задач 3.35*и 3.96!
3.98!	При нормальном падении плоской электромагнитной волны частотой щ = 3 • 1013 с_| на толстый образец из легированного GaAs п-типа наблюдается минимум отражения. Определить концентрацию электронов в зоне проводимости. Эффективная масса электрона щ* = 0,07ще, диэлектрическая проницаемость решетки ez= И. Подвижность электронов в GaAs ц = 8500 см2/В-с, влиянием дырок пренебречь.
138
§ 4. Электроны в полупроводниках и низкоразмерных системах1 *)
4.К	В полупроводниках, как и в металлах (см. задачу 3.52), внешнее электрическое поле экранируется электронами проводимости. Отличие состоит в том, что поскольку в полупроводниках концентрация электронов проводимости намного меньше, чем в металлах, то электронный газ обычно является невырожденным, т. е. подчиняется распределению Больцмана. Определить закон, по которому в этих условиях поле, нормальное к поверхности, убывает в глубь невырожденного полупроводника, считая внешнее поле слабым. Оценить глубину проникновения ZDH (длину экранирования Дебая—Хюккеля) для полупроводника со статической диэлектрической проницаемостью е % 15 и концентрацией электронов проводимости п0 % 1014 см-3 при температуре Т 350 К.
4.2.	Используя известные формулы для энергии связи электрона в атоме водорода и боровского радиуса гъ, получить аналогичные формулы для примесного центра большого радиуса в полупроводнике со статической диэлектрической проницаемостью е и эффективной массой электрона ml. Оценить эти величины для донорных центров в кристалле InSb, где ml ~ 0,013m — масса свободного электрона, а е % 16.
Указание. Радиус центра считать большим, если он значительно превышает постоянную решетки.
4.3.	Найти энергию связи <£эк, радиус гэк и эффективную массу М1К экситона, т. е. водородоподобного образования, построенного из электрона и дырки. Эффективные массы электрона и дырки равны ml и т*+, статическая диэлектрическая проницаемость полупроводника равна е.
4.4!	Толстая пластинка полупроводника находится в вакууме при температуре Т = 300 К. Она помещена во внешнее электрическое поле Е = 105 В/см, направленное перпендикулярно к поверхности пластинки. Определить объемную концентрацию носителей тока вблизи поверхности полупроводника. Статическая диэлектрическая проницаемость полупроводника е = 10.
4.5.	При какой плотности вырожденного электронного газа в сильнолегированном полупроводнике энергия длинноволновых плазмонов (квантов плазменных колебаний) равна фермиевской энергии при т = 0 К? Эффективная масса электронов проводимости т* = 0,015т (т — масса свободного электрона), статическая диэлектрическая проницаемость нелегированного кристалла е= 16. Вклад примесных электронов в е не учитывать.
1) Во всех задачах этого раздела энергия электронов отсчитывается от дна зоны
проводимости.
139
4.6!	Получить формулы, описывающие зависимость концентрации носителей тока л_ и п+ в невырожденном собственном полупроводнике от температуры Т. Эффективные массы электронов и дырок равны ml и т*+. Считать химический потенциал системы р. заданным.
4.7.	Найти зависимость химического потенциала р от температуры Т в невырожденном собственном полупроводнике с шириной запрещенной зоны Д. Использовать условие электронейтральности. Параметры носителей тока: n_, ml и п+, т\.
4.8.	Спектр носителей тока в валентной зоне многих полупроводников характеризуется несколькими ветвями <£(£), каждой из которых соответствует свой тип дырок. Так, например, в Ge в центре зоны Бриллюэна имеются минимумы энергии двух ветвей с эффективными массами m+1=0,04me и m+2 = 0,34me. Оценить долю легких дырок от общего их числа в Ge.
4.9.	При не слишком низких температурах все мелкие донорные примеси, содержащиеся в полупроводнике л-типа, оказываются ионизованными. Найти концентрацию электронов и дырок п+, если известна концентрация nt собственных носителей (т. е. концентрация электронов и дырок в полупроводнике без примесей). Концентрация доноров пй — 6-1017 см~3, а п, = 2-1011 см-3.
4.10!	Исследовать и схематически изобразить на графике температурную зависимость концентрации электронов л_(Т) и дырок п + (Т~) в полупроводнике с мелкими донорными уровнями. Энергия связи электрона на донорах <£а«Д, Д — ширина запрещенной зоны. Концентрация доноров пй задана. Спиновые состояния электронов на доноре не учитывать.
4.11.	Пластинка собственного полупроводника с шириной запрещенной зоны Д = 1 эВ, площадь боковых поверхностей которой 5=1 см2, а толщина — много больше дебаевской длины этого полупроводника, отделена от электродов слоями изоляторов. Толщина слоев I = 1 мкм, их диэлектрическая проницаемость е = 200. К системе подводится прямоугольное импульсное напряжение с амплитудой импульсов U0 = 100 В и частотой следования v = 103 Гц. В момент приложения импульса в полупроводнике происходит разряд, подобный газовому. В результате ударной ионизации образуются свободные электроны и дырки, которые разводятся полем к краям пластинки и полностью экранируют от поля внутреннюю часть полупроводника. После снятия импульса электроны и дырки рекомбинируют. Определить полный световой поток Ф данного источника света, считая, что все рекомбинации излучательные и поглощение света отсутствует.
4.12.	Полуметаллом называется вещество, в котором имеется слабое перекрытие валентной зоны и зоны проводимости. При этом экстремумы соответствующих законов дисперсии расположены в различных точках зоны Бриллюэна. В результате при Т = 0 К в одной из них
140
имеется небольшое число электронов проводимости, в другой — такое же число дырок (рис. 78). Найти концентрацию электронов и дырок п и их энергии Ферми гр и £р, если величина перекрытия зон Де = 0,04 эВ, эффективная масса электрона ml = 0,05m, дырки т+ = 0,03m, где т — масса свободного электрона.
Электроны
Рис. 78
4.13.	При малом содержании примесей других атомов в полупроводниковых материалах энергетические состояния примесных атомов можно описывать аналогично состояниям водородоподобного атома. Исходя из этого, оценить для примесных атомов мышьяка в германии энергию ионизации <£Н()Н (вблизи Г = 0 К), если известно, что эффективная масса электронов проводимости в Ge с внедренными в него атомами As ml = 0,25m, где m — масса свободного электрона, а диэлектрическая проницаемость Ge е = 16,3.
4.14.	Используя законы сохранения энергии и импульса, рассмотреть рассеяние медленного электрона в полупроводнике с поглощением или испусканием длинноволнового акустического фонона. Найти зависимость угла ф между волновым вектором фонона К и начальным импульсом электрона р от р и К. Показать, что при v < s (v — скорость электрона, s — скорость звука) электрон не может испустить фонон, а при электроны рассеиваются почти упруго, т. е. их энергия при рассеянии меняется мало. Считать, что дисперсионные зависимости для электрона и фонона имеют вид <£ = p2/(2ml) и Лш(К) = hsK.
4.15.	При Г = 0 К электроны, находящиеся в инверсном слое полупроводника, могут рассматриваться как двумерный вырожденный газ. Найти фермиевский импульс таких электронов, если их концентрация в расчете на единицу поверхности ns » 1013 см-2.
4.16.	Вблизи поверхности гетероструктуры GaAs — AlGaAs существует инверсный слой, электроны в котором представляют собой двумерный вырожденный газ с поверхностной плотностью ns = = 5 • 1011 см~2. В наиболее совершенных образцах при низких температурах сопротивление /?□ любого квадратного участка такого слоя имеет порядок 10 Ом. Оценить длину свободного пробега Л электронов в слое.
4.17.	(р — м)-переход изготовлен из материала, характеризующегося при Т = 300 К концентрацией собственных носителей «/= 2-1011 см-3. Концентрации доноров и акцепторов по обе сто
141
роны перехода одинаковы и равны и = 6-10|7см 3. Определить величину потенциального барьера на переходе.
4.18!	Как изменится ток насыщения полупроводникового диода при понижении температуры от 20 до 0 °C? За счет какого механизма возникает этот ток? Вследствие какого процесса и примерно при какой температуре Т* эффект выпрямления начнет исчезать? Диод изготовлен из материала с шириной запрещенной зоны А = 0,7 эВ и с одинаковыми эффективными массами электронов и дырок т* = 0,3m, т — масса свободного электрона. Концентрация примесей по обе стороны перехода равна ипр = 1015 см-3. Считать, что время жизни неравновесных носителей тока от температуры не зависит.
4.19.	Сопротивление (р — и)-перехода при небольшом положительном напряжении (eV/kT «1) равно R = 400 Ом, а его площадь S = 0,5 см2. Предполагая, что ток переносится главным образом дырками, оценить максимальную плотность обратного тока js (тока насыщения) при температуре Т = 300 К.
4.20.	В некоторых полупроводниках длина свободного пробега электронов оказывается порядка межатомных расстояний. В такой ситуации движение электронов можно рассматривать как случайные «прыжки» между соседними узлами. Оценить при температуре Т ~ 300 К удельную проводимость о такого полупроводника, если концентрация электронов п » 1018 см-3, средняя частота прыжков v ~ 1013 с_|, а межатомное расстояние а ~ 3 А.
4.21.	При освещении электронного полупроводника вблизи его поверхности генерируются дырки, которые затем диффундируют в объем, где рекомбинируют с электронами проводимости. Определить эффективную глубину проникновения /Эфф дырок, если их время жизни равно т = 10-3 с, подвижность ц = 2000 см2/(В-с). Температура полупроводника Т = 300 К.
4.22.	В кристалле кремния, легированного донорными примесями с энергией ионизации <£и = 0,01 эВ, концентрация носителей в зоне проводимости возрастает в а = 10 раз при повышении температуры от 0 °C до 100 °C. Оценить концентрацию доноров nd. Принять, что ширина запрещенной зоны в кремнии равна А = 1,1 эВ, эффективная масса носителей ml = 0,2m.
4.23.	Кристалл кремния Si с плотностью р = 2,4 г/см3 легирован акцепторами с концентрацией na= 10’2 см-3 и энергией ионизации = 0,01 эВ. Облучение нейтронами вызывает реакцию: п + ^Si—»28А1 + р. Во сколько раз изменится концентрация п+ дырок в кристалле при комнатной температуре? Сечение реакции о = 1 бн, плотность потока нейтронов j:= 1О10 нейтрон/(см2-с), время облучения t = 106 с.
4.24.	Если нанести пленку металла на плоскую поверхность легированного кремния, то получится контакт Шоттки — выпрямляющий переход. При определенной полярности напряжения V между пленкой металла и объемом полупроводника ток через контакт пренебре-
142
имо мал. При этом контакт эквивалентен плоскому конденсатору, у которого роль одной из обкладок играет слой ионизованных примесей. Найти толщину Н этого слоя объемного заряда Q и дифференциальную емкость С = (dQ/dV) контакта с площадью 5=1 см2. Считать, что примеси ионизованы однократно в поле£ =/= 0 и нейтральны в поле Е = 0. Концентрация примесей м=1016см-3, напряжение V = 5 В и диэлектрическая проницаемость е = 12.
4.25! В германий введены примеси золота (мАи = 1014 см-3), атомы которого могут захватить один (на уровень Au-) или два (один на уровень Au-, а второй — на уровень Au2-) электрона, и сурьмы (/7Sb = 1,5-1014 см-3). Акцепторные уровни атомов золота Au- и Au2- лежат выше потолка валентной зоны на &\ = 0,15 эВ и <з2 = 0,5 эВ соответственно. Донорный уровень атомов сурьмы лежит на <£3 = 0,01 эВ ниже дна зоны проводимости (рис. 79). Определить тип проводимости легированного кристалла и оценить концентрацию носителей при температуре Т = 77 К. Ширина запрещенной зоны А = 0,7 эВ, а эффективные плотности состояний для зоны проводимости и валентной зоны (статфакторы зоны) Q_ = Q+ = 1018 см-3.
Указание. Специфика акцепторных уровней Au состоит в том, что уровень с энергией <£2 — А появляется только после того, как будет заполнен электронами уровень с энергией <£, — А (так называемые альтернативные уровни).
4.26. Оценить отношение электронной теплоемкости чистого Si к его решеточной теплоемкости при температуре Т= 1000К. Считать, что концентрация электронов проводимости п- = 1,5-1018 см-3, ширина запрещенной зоны А = 0,75 эВ, дебаевская температура 0 = 540 К, концентрация атомов N = 5 1022 см-3.
4.27. Квантоворазмерная структура GaAs — InGaAs — GaAs представляет собой слой InGaAs, расположенный между толстыми слоями GaAs. В такой структуре движение электронов в параллельном к слоям направлении является свободным, а в перпендикулярном к слоям направлении электроны оказываются в одномерной потенциальной яме (рис. 80). В этом потенциале имеется только одно связанное состояние электронов с энергией связи <£0 = 50 мэВ. Эффективная масса электронов m*_ = 0,08m, где т — масса свободного электрона. Какова максимальная поверхностная плотность электронов ns, которые могут быть локализованы в слое InGaAs при нулевой температуре.
 7\////////////////////.
Au —

*2
Au------
д

Рис. 79
8
GaAs
GaAs
о
InGaAs
Рис. 80
143
4.28.	Современная технология позволяет изготавливать так называемые квантовые проволоки — проводящий канал на полупроводниковой структуре AlGaAs — GaAs — AlGaAs, в котором электроны ведут себя как одномерный газ с эффективной массой т*_ = 0,07m, где т — масса свободного электрона. При этом в поперечном направлении электроны находятся в потенциальной яме, в которой имеется только один уровень с энергией связи <£0 = 50 мэВ (рис. 81). Какова
AlGaAs
AlGaAs
GaAs
Рис. 81
максимальная погонная плотность электронов П[ (на единицу длины), которые могут быть локализованы в такой структуре при нулевой температуре?
4.29. Нобелевская премия по физике 1985 г. была присуждена фон Клитцингу за открытие квантового эффекта Холла — явления, при котором наблюдается квантование электропроводности двумерного проводящего слоя о = ;о0 (у — целое число), сформированного на поверхности полупроводника при очень низких
температурах. Оценить величину кванта проводимости о0, определив его как минимально возможное значение проводимости двумерного металла и выразить его в сименсах (См. задачу 3.88).
4.30.	Тонкие пленки характеризуют сопротивлением «на квадрат» Ra, т. е. сопротивлением квадрата произвольного размера Lx L. Определить (в омах) для двумерной системы с минимальной металлической проводимостью, в которой длина пробега электронов равна межатомному расстоянию. Решетка кристалла — простая квадратная, концентрация носителей — 1 электрон/атом, температура Т = 0 К.
4.31! В инверсных слоях на поверхности легированных полупроводников электроны образуют двумерный вырожденный газ ферми-частиц с поверхностной плотностью щ, определяемой степенью легирования. Методами литографии в таких слоях можно формировать длинные и узкие мостики шириной d 1 мкм между широкими «берегами» ББ (рис. 82). При приложении к «берегам» мостика напряжения по обе стороны мостика возникает разность плотностей электро-
Рис. 82
нов. Однако при температуре Г = 0 К и при малых щ в силу волновых свойств электронов проводимость мостика равна нулю. Определить при какой величине ns появится конечная проводимость мостика. Оценить при данном ns величину сопротивления мостика. Оценку проводить в модели свободных электронов. Считать, что длина свободного пробега электрона много меньше длины мостика.
4.32.	В системе с квазидвумерным электронным газом приложенное перпендикулярно к слою магнитное поле называется кван
144
тующим, если тепловая энергия электронов <У, много меньше зеемановского расщепления А<з спиновых подуровней Ландау. Оценить, при какой температуре в поле В = 10 Тл зеемановское расщепление в 10 раз больше тепловой энергии электронов.
4.33!	При конечных температурах продольное сопротивление в двумерном электронном газе в условиях целочисленного квантового эффекта Холла оказывается хотя и малым, но конечным. Оценить величину проводимости в кремниевой МОП-структуре с поверхностной плотностью электронов ио=1012см-2 при полностью заполненном первом уровне Ландау (фактор заполнения v = 1, т. е. число квантов потока равно числу электронов) и температуре Г = 1,5 К. Время релаксации электронов, определяемое примесями, равно т = 1О-10 с. Эффективная масса электронов ml = 0,2т, где т — масса свободного
электрона.
4.34.	Холловское сопротивление МДП-структуры в магнитном поле В = 2,5 Тл равно /?н = 4,3 кОм. Какова плотность электронов?
4.35.	Для наблюдения дробного квантового эффекта Холла необходимо, чтобы кулоновское взаимодействие U между электронами играло решающую роль, т. е. было существенно больше их кинетической энергии S. Оценить, насколько надо изменить плотность электронов ns в двумерном электронном газе, чтобы отношение U/& увеличилось в 10 раз.
4.36!	Построить зависимость магнитного момента ЭЛ и химического потенциала 8F единицы площади двумерного ме
талла (см. задачу 4.37) от магнитного поля В при Г = 0 К. Для упрощения спин электрона не учитывать (см. указание к задаче 4.37).
4.37! Найти магнитный момент ЭЛ единицы площади двумерного электронного газа с плотностью ns = 4,8-1011 см-2, образованно-
го на поверхности кремниевой структуры во внешнем магнитном поле В = 8,28 Тл. Температуру считать равной Г = 0 К, эффективную массу т*_ = 0,2т, где т — масса свободного электрона.
Указание: по определению ЭЛ = —д&/дВ, <£ — энергия системы.
4.38!	На поверхность длинной кварцевой нити нанесен тонкий слой лития. На рис. 83 приведен результат измерения продольного (вдоль нити) магнитосопротивления этого слоя, т. е. зависимости изменения сопротивления от величины приложенного продольного магнитного поля, при температуре ~1 К (Д. Ю. Шарвин, Ю. В. Шарвин, 1981 г). Оценить диаметр нити.
4.39!	В 1986 г. Осакабе с соавторами с целью проверки эффекта Ааронова—Бома провел следующий эксперимент. Монохроматиче
145
ские электроны из источника 5 проходили вне и внутри тороидаль
ного магнита, покрытого достаточно толстым слоем сверхпроводника с Тс = 9,2 К, и, попадая на экран, создавали интерференционную картину (рис. 84). Эксперимент проводился вначале при Tt = 15 К, и магнитный поток через тороидальный магнитный сердечник, со-
Рис. 84
здаваемый внешним источником тока, Ф = 2,8Ф0 = 2,8/гс/е. Затем
при неизменной величине тока через обмотку магнита температура понижалась до Т2 = 5 К. На какую часть полосы сдвинулась при этом интерференционная картина? Слой сверхпроводника, которым покрыт магнит, значительно превышает лондоновскую глубину проникновения А.
Указание. Учесть, что квант магнитного потока в сверхпро-
he Фо водниках составляет Фд =
4.40. На рис. 85 изображены положения химического потенциала ц, дна зоны проводимости и потолка валентной зоны, в собственном полупроводнике типа InSb при температуре Т = 600 К. Используя
данные рис. 85, найти концентрации электронов и дырок при задан-
<£,эв . 0,025 о -
©С

Рис. 85
ной температуре. Эффективные массы электронов и дырок: m*_ = 0,05т, т*+ = 0,4m (т — масса свободного электрона).
4.41. Найти отношение ширины зоны проводимости к ширине валентной зоны в кристалле Ge, у которого отношение подвижностей электронов и дырок при низких температурах равно р._/р.+ = 2- Счи-
тать, что закон дисперсии электронов и дырок одномерный, типа <£(&) = <£0 — 2Л cos и что проводимость определяется рассеянием на нейтральных примесях, причем сечение рассеяния подчиняется закону Бете и обратно пропорционально квадрату эффективной массы носителя
—HI—I—I—**	(формула Эрджинсоя).
tJL I	4.42. Полупроводниковый диод использует-
ся Т ся в качестве переменного резистора в аттеню-_______J | аторе (рис. 86). Смещение на диоде задается источником постоянного тока <У, а связь меж-
Рис. 86 Ду сигналами осуществляется через конденсатор, реактивное сопротивление которого пренебрежимо мало по сравнению с сопротивлением резистора R = 10 кОм. Ток насыщения диода <У0 = 1 мкА, Т = 300 К. Каково
ослабление входного сигнала по напряжению при = I мА в де-цибеллах (й(дБ) = 20 1g (Kj/Fo))-
146
4.43.	Спектр фотопоглощения (зависимость коэффициента поглощения от энергии квантов) кремния, легированного бором, при гелиевых температурах и энергии фотонов, меньших 50 мэВ, представляет собой серию пиков. При этом пик, соответствующий максимальной энергии поглощаемых квантов, расположен при Йшо — 43 мэВ. Оценить по этим данным эффективную плотность состояний Q+ (стат-фактор) в валентной зоне кремния при температуре Т = 4,2 К. Диэлектрическая проницаемость кремния е= 12, ширина запрещенной зоны в кремнии при данной температуре порядка 1 эВ. Закон дисперсии в валентной зоне считать изотропным и квадратичным.
4.44.	Электроны в гетероструктуре AlGaAs/GaAs при низких температурах образуют вырожденный двумерный электронный газ. Если отношение средней потенциальной к средней кинетической энергии на один электрон превышает 50, то возможно образование устойчивого периодического расположения электронов в пространстве — так называемого вигнеровского кристалла. Оценить при какой поверхностной плотности электронов это возможно. Эффективная масса электронов в структуре m* = 0,067те, статическая диэлектрическая проницаемость решетки е = 12. Оценку средней потенциальной энергии электрона проводить для ближайщих соседей в центрированной гексогональной решетке.
4.45!	Сплав 95 % Bi и 5 % Sb является полуметаллом, т. е. веществом, у которого потолок (максимум) валентной зоны и дно (минимум) зоны проводимости перекрываются. В квантующем магнитном поле, большем Вк = 46,5 Тл, происходит переход металл — диэлектрик и сопротивление сплава резко возрастает. Оценить величину перекрытия зон при В = 0. Эффективные массы электронов, дырок и их g-факторы равны: ml = 0,128me, т*+ — 0,21me, ge = 5,56, gh = 1,34.
Указание. Рассмотреть смещение экстремумов зон в магнитном поле, учитывая орбитальное и спиновое квантование спектра носителей тока.
4.46.	Сплав 91 % Bi и 9% Sb является полупроводником, у которого дно (минимум) зоны проводимости и потолок (максимум) валентной зоны не перекрываются. В квантующем магнитном поле, превышающем Вк = 40,2 Тл, происходит переход полупроводник — металл и сопротивление сплава резко падает. Оценить ширину запрещенной зоны А при В = 0. Эффективные массы электронов, дырок и их g-факторы равны: т‘_ = 0,065те, т*+ = 0,064me, ge = 18,18, gh = 60,6.
Указание. Рассмотреть смещение экстремумов зон в магнитном поле, учитывая только орбитальное и спиновое квантование спектра носителей тока.
4.47.	Полупроводник с шириной запрещенной зоны А — 0,85 эВ, помещен в квантующее магнитное поле В = 40 кГс. Полупроводник облучается циркулярно поляризованным относительно направления В светом. Найти минимально возможные энергии поглощаемых фотонов правой и левой поляризаций. Эффективные массы электронов
147
и дырок, а также их ^'-факторы равны соответственно: т_ = 0,1те, т*+ = 0,35те, ge = —2,5, gh = 1,8.
Указание. Рассмотреть смещение экстремумов зон в магнитном поле, учитывая орбитальное и спиновое квантование спектра носителей тока.
4.48.	В тонких металлических пленках поперечное движение электрона ограничено, т. е. его волновая функция на граничных поверхностях должна обращаться в ноль, и появляется квантование поперечного импульса. Оценить, какова должна быть длина свободного пробега электрона I вдоль пленки висмута, чтобы в ней можно было наблюдать два первых уровня размерного квантования. Толщина пленки d = 1,3-10-5см, энергия Ферми продольного движения £|.= 10'2эВ. Эффективную массу электрона считать изотропной и равной ml = 0,01me. Температура пленки много меньше комнатной.
4.49.	Из-за большой величины амплитуды нулевых колебаний атомов в кристалле Не-4 вакансии (пустые места в узлах решетки) могут туннелировать и превращаться в делокализованные ква-зичастицы — вакансионы. В результате образуется вакансионная зона с шириной 10-4эВ. Оценить эффективную массу вакан-сиона вблизи дна зоны в модели сильной связи для одномерной решетки. Постоянную решетки оценить из молярного объема кристалла = 21 см3/моль.
4.50.	У кристалла InSb статическая диэлектрическая проницаемость е=17, усредненное значение эффективной массы электронов т* = 0,015те. Оценить, при какой минимальной концентрации донорных атомов начнется образование примесной зоны. Температура Т 0 К.
4.51.	При изменении внешнего магнитного поля В у металлов наблюдаются осцилляции физических свойств (эффекты де Гааза— ван Альфвена, Шубникова—де Гааза). Это обусловлено периодическим прохождением уровней Ландау через уровень Ферми. Найти период А (1/2?) этих осцилляций для одновалентного металла с постоянной ОЦК-решетки а = 3 к. Закон дисперсии электронов считать квадратичным, Т = 0 К. Спиновое расщепление энергии электрона не учитывать.
4.52!	В молекуле бензола С6Н6 три валентных электрона атома углерода образуют ковалентные связи с соседними атомами углерода и водорода, а четвертый делокализуется и имеет возможность переходить от одного атома углерода к другому. В результате энергия этого электрона принимает вид <£(£) = &q — 1A cos ка, где — энергия электрона, локализованного на атоме; А = 2,8 эВ; Л — волновое число; а = 1,4 А — расстояние между атомами углерода (сторона шестиугольника). Молекула бензола помещена в магнитное поле Но = 10 кЭ, нормальное к плоскости молекулы. Оценить наведенный диамагнитный ток. Электроны считать невзаимодействующими.
148
4.53!	Оценить относительный сдвиг частоты магнитного резонанса на ядрах водорода в молекуле бензола (см. задачу 4.52) по сравнению со «свободным» протоном. Расстояние между ядрами углерода и водорода равно d = 1,1 А.
4.54!	Графеном называется плоская двумер-
ная сетка из атомов углерода, которые расположены в вершинах правильных шестиугольников со стороной Ь =1,42 А (рис. 87). Три валентных электрона атома углерода образуют ковалентные связи с соседними атомами углерода, а четвертый делокализуется и имеет возможность переходить
от одного атома углерода к другому. В результате Рис. 87 энергия этого электрона (отсчитываемая от уров-
ня энергии локализованного электрона) принимает вид
<£(р) = <£0±	1 + 4cos рха cos 4
о а
4 cos2^-,
<з0 — энергия электрона, локализованного на атоме; верхний знак соответствует зоне проводимости, а нижний — валентной зоне;
36
А — 2,8 эВ; р = (рх, ру') — вектор квазиимпульса; а = Первая зо-
на Бриллюэна решетки графена имеет вид правильного шестиуголь-
ника со стороной (рис. 87). Как выглядит поверхность Ферми графена и чему равна ее площадь? Электроны считать невзаимодействующими.
Указание. Примитивная ячейка графена содержит два атома.
4.55!	Используя вид спектра и значения параметров для графена из предыдущей задачи, определить вид закона дисперсии элементарных возбуждений в электронной подсистеме вблизи
вершин шестиугольников и найти величину плотности состояний в этих точках.
4.56!	Из бесконечного листа графена вырезают полосу для гладкого сворачивания в трубку: один раз параллельно оси х (вдоль прямой АА’ на рис. 88), а второй раз — параллельно оси у (вдоль прямой АА" на рис. 88). При этом закон дисперсии электронов в полосе приобретает вид
<£(р) = <£п ± АД 1 ± 4cos р a cos + 4 cos2^=y 0 V	v3	v3
Дать качественное объяснение различия законов дисперсии листа и полосы и определить тип проводимости (металлический или полупроводниковый) полученных трубок.
149
§ 5.	Сверхпроводимость
5.1.	Из сверхпроводящей проволоки радиусом г = 1 мм было свернуто кольцо диаметром D — 5 см, а концы проволоки соединены с помощью точечной сварки. Измерения показали, что контакт оказался не очень хорошим, ибо за один час ток в кольце уменьшался на 1 %. Каково сопротивление кольца?
5.2.	Из широкой сверхпроводящей ленты был свернут длинный цилиндр радиусом а = 1 см и края ленты сварены вдоль образующей. Измерения показали, что электрический контакт в месте сварки оказался не очень хорошим, ибо за один час ток в цилиндре уменьшался на 1 %. Каково сопротивление R единицы длины сварного шва?
5.3.	Используя метод зеркальных изображений, найти распределение поверхностных токов на плоской поверхности сверхпроводника, если на расстоянии h — 1 см от нее расположен прямолинейный достаточно длинный тонкий провод, параллельный плоскости сверхпроводника. По проводу течет ток силой 3 = 10 А. Найти также силу /, действующую на единицу длины провода.
5.4.	Над сверхпроводящей плоскостью на изолирующем слое высотой h = 3 мм лежит проволочное кольцо из тонкой проволоки радиусом г = 10 см. Масса кольца т = 1 г. По кольцу течет постоянный ток 3. Оценить, при каком значении 3 кольцо начнет парить в воздухе (левитировать).
5.5.	На расстоянии а = 9 см над поверхностью сверхпроводника парит в поле тяжести тонкий постоянный магнит, длина которого мала по сравнению с расстоянием а. Если магнит слегка вывести из равновесия, то он совершает малые колебания в вертикальной плоскости. Найти период этих колебаний.
5.6.	Шар массой М = 10 г и радиусом R = 1 см, изготовленный из сверхпроводника I рода, покоится в магнитном поле 5=1 кГс, меньшем критического, при температуре ниже точки перехода. Температура шара постепенно повышается так, что сверхпроводимость исчезает, а шар начинает вращаться. Найти угловую скорость ш вращения шара.
5.7.	В классическом опыте, поставленном И. К. Кикоиным, цилиндр из сверхпроводника I рода массой М = 80 г, высотой h = 20 см, радиусом R = 0,5 см при температуре ниже точки перехода подвешен вертикально на упругой нити в магнитном поле, меньшем критического и направленном вдоль оси цилиндра. Нить подвеса в исходном состоянии не закручена. При постоянной температуре величину магнитного поля постепенно повышают, и при поле Н = 1 кЭ сверхпроводимость исчезает. В результате этого цилиндр поворачивается, а нить закручивается. Определить максимальный угол закручивания, если модуль кручения нити а = 1 эрг/рад.
5.8.	Для исключения потерь электроэнергии на джоулево тепло в линиях передачи постоянного тока предложено использовать коаксиальный кабель, внутренняя жила и наружная оболочка которого выполнены из сверхпроводника. Кабель подключен к нагрузке, как этс
150
показано на рис. 89. Максимально допустимые величины магнитной индукции на поверхности сверхпроводника В = 500 Гс и напряженности электрического поля изолирующей прослойки кабеля £ = 30 кВ/см. При каком соотношении диаметров d/D жилы и оболочки можно передать наибольшую мощность W? Найти величину W, приняв диаметр наружной оболочки D = 20 см.
Рис. 89
Нагрузка
5.9.	На рис. 90 изображена схема магнитного насоса для «накачки» потока в соленоид. Насос представляет собой два сверхпроводящих контура с ключами К\ и К2. Контур 2 включает в себя соленоид с большой самоиндукцией L, в то время как контур 1 обладает малой самоиндукцией l«-L. Работа насоса заключается в том, что при закрытом ключе К2 и открытом ключе К\ в контуре 1 с по-
мощью электромагнита создается магнитное поле. Ключ К, замыкается, магнит удаляется и после этого размыкается ключ К2. Эта операция повторяется много раз. Какого увеличения потока можно достичь в такой системе?
5.10!	Найти лондоновскую глубину проникновения А для
типичного сверхпроводника с
концентрацией сверхпроводящих электронов hsc = 1022 см' 3.
5.11. Найти распределение поля и тока в бесконечной пластине сверхпроводника толщиной d, помещенной в однородное параллельное пластине магнитное поле Во.
5.12.	Исходя из соотношения неопределенностей, оценить характерный линейный размер (длину когерентности) электронной пары в сверхпроводнике с энергетической щелью А = 3 мэВ в электронном спектре. Учесть, что в образовании пар участвуют электроны вблизи поверхности Ферми, скорость которых принять равной г(~ 10s см/с.
5.13.	В сверхпроводнике электроны образуют пары с противоположно направленными спинами. В каком магнитном поле произойдет разрушение таких пар, сопровождаемое изменением направления спина одного из электронов пары, если в нулевом магнитном поле критическая температура сверхпроводника равна Гс = 92 К? Считать, что разрушение пары происходит при Т = 0 К.
5.14!	В 1962 г. Литтлом и Парксом была обнаружена осцилляци-онная зависимость продольного сопротивления пленки сверхпровод
151
ника толщиной d, нанесенной на диэлектрическую нить диаметром D^d, от внешнего магнитного поля В, направленного вдоль нити. Измерения проводились в области сверхпроводящего перехода при постоянной температуре пленки Т0. Зависимость сопротивления пленки от температуры в нулевом и конечном внешнем магнитном поле показана на рис. 91а. По результатам измерений была построена зависимость критической температуры пленки от магнитного поля (фазовая диаграмма), изображенная на рис. 916. Используя обобщенную формулу квантования Бора—Зоммерфельда ф (pscZl) = 2л«Й 2е
(ps = 2mvs + — А — обобщенный импульс пары), объяснить полученную зависимость ТС(Б) и вычислить диаметр нити. Учесть, что глубина проникновения А(Т0)» d, и поэтому эффектом квантования магнитного потока можно пренебречь.
Рис. 91
5.15.	Какой максимальный ток течет по поверхности сверхпроводника I рода, находящегося во внешнем касательном магнитном поле, если величина критического магнитного поля Нс = 400 А/см, а лондоновская глубина проникновения А = 0,5-10-5 см?
5.16!	Подлежащий измерению ток 3 течет по ниобиевой проволоке диаметром 2rNb = 0,1 мм, образующей точечные контакты А и В в капле припоя из сверхпроводящего металла Pb + Sn. Из-за присутствия на поверхности ниобия окисной пленки капля смачивает проволоку не полностью, а касается ниобия только в отдельных точках. Пусть таких точек лишь две — Л и Л с расстоянием между ними 1ав = 5 мм (рис. 92). Толщину изолирующей пленки на поверхности ниобия можно считать малой по сравнению с глубиной проникновения. Оценить силу тока, при которой через поверхность
152
капли пройдет один квант магнитного потока. Лондоновские длины для ниобия и припоя равны ANb = 5-10-6 см, ApbSn = Ю-5 см.
5.17!	Рассматривается тонкая пленка сверхпроводника I рода толщиной <7 «А, нанесенная на поверхности диэлектрической нити, радиус которой R»d. Сначала нить вносится в продольное магнитное поле при комнатной температуре, а затем температура нити понижается ниже критической температуры Тс. После этого внешнее магнитное поле выключается. Как квантуется магнитный поток, захваченный нитью с пленкой?
Указание. Воспользоваться условием квантования Бора—Зоммерфельда ф (ps<71) = 2xnh, где ps — обобщенный импульс пары (см. задачу 5.14).
5.18.	Криотрон — это управляющее устройство, изобретенное Баком в 1956 г. (рис. 93). Управляющий ток 3 создает поле в соленоиде длиной L = 2 мм с числом витков N = 20. В соленоид помещена сверхпроводящая танталовая проволока АВ диаметром 2а = = 0,2 мм, по которой пропускается ток 3, критическое поле Нс для тантала при 4,2 К равно 100 Гс. Переводя полем соленоида проволоку из сверхпроводящего в нормальное состояние, можно управлять текущим через проволоку током, и поэтому криотрон может быть использован в логических схемах в качестве активного элемента, а также в качестве запоминающего элемента в вычислительных машинах. Какое усиление по току G = 313' можно достичь в данном устройстве?
5.19!	Тантал (Та) кристаллизуется в объемноцентрированную кубическую решетку с постоянной а = 3 А и является сверхпроводником I рода (Тс = 4,4 К). Считая, что каждый атом Та отдает в зону проводимости один электрон, эффективная масса которого равна массе свободного электрона, оценить из энергетических со
ображений величину критического магнитного поля Нс при Т % 0 К,

- ШМТ
Рис. 93
как поля, в котором разрушаются куперовские пары.
5.20.	Оценить плотность критического тока распаривания /с при Т = 0 К для свинца, у которого Тс = 7,2 К, niC — 3-1022 см-3, (д ~ 108 см/с.
5.21!	Длинный цилиндр из сверхпроводника II рода, у которого нижнее критическое поле НсХ = 400 Э, помещен в магнитное поле Н = 500 Э, параллельно его образующей, и при этом его намагни-
153
ценность составила половину того значения, которое было при Hci. Оценить среднее расстояние между вихрями магнитного потока в поле Н.
5.22.	В 1964 г. Крибье с сотрудниками с помощью упругого рассеяния нейтронов на ниобии экспериментально подтвердил, что в сверхпроводниках II рода в магнитном поле Б > Bci образуется треугольная вихревая решетка Абрикосова. В опытах наблюдался максимум первого порядка в отражении нейтронов с длиной волны X = 5 А под углом 9 = 20' по отношению к падающему пучку от плоскостей, разделенных расстоянием h (высота равностороннего треугольника структуры). В каком магнитном поле проводился эксперимент?
5.23!	Найти выражение для кинетической энергии электронов на единицу длины вихря магнитного потока, проникшего в сверхпроводник II рода при Н > Hci, считая заданными плотность сверхпроводящих электронов nsc, глубину проникновения Л и длину когерентности Считать, что вихрь занимает по радиусу размер от £ до Л, а пары обладают минимально возможной проекцией углового момента.
5.24.	Найти магнитную энергию единицы длины вихря во внешнем поле Н>НС{, считая заданными плотность сверхпроводящих электронов nsc и глубину проникновения Л»£ (длины когерентности). Считать, что вихрь занимает по радиусу размер от £ до Л, а пары обладают минимально возможной проекцией углового момента. Получить выражение для Hci, используя результат задачи 5.23.
5.25.	Для высокотемпературного сверхпроводника YBaCu3O7_s, где б < 1, критические поля Hcl = 103 Э и Нс2 = Ю6 Э. Оценить глубину проникновения Л и длину когерентности £ при Т = 0 К.
5.26.	Цилиндр из сверхпроводника II рода массой М = 25 г и длиной Z = 10 см подвешен вдоль оси на тонкой нити. Вдоль оси цилиндра прикладывается такое магнитное поле Н=104Э»Яс1, что индукция В—Н. Вначале температура цилиндра Т < Тс, ци
линдр покоился, а затем температура увеличилась выше критической. Найти установившуюся угловую частоту вращения цилиндра. Глубина проникновения магнитного поля Л = 10-5 см, плотность сверхпроводящих электронов nsc = 1022 см-3.
5.27.	Плоская лента шириной b = 0,5 см из сверхпроводника II рода в смешанном состоянии помещена в магнитное поле
В = 10 Тл, //С|«В«Нс2, перпендикулярное поверхности ленты (рис. 94). По ленте без диссипации течет ток = 10 А. При этом
л в
Рис. 94	вихри неподвижны, удерживаемые структур-
ными дефектами сверхпроводника. Вычислить силу F, действующую на отдельный вихрь со стороны дефектов кристалла. Считать, что ток 3 однородно распределен по образцу, а вихревую структуру создают другие, независимые от 3 токи.
154
5.28!	Пластинка из сверхпроводника II рода расположена в магнитном поле Н (при этом Я>ЯС1), перпендикулярном ее плоскости. Если вдоль пластины пропустить ток плотностью], то в результате взаимодействия с этим током вихри приходят в движение с конечной скоростью v, определяемой силой трения (приходящейся на единицу длины вихря) F!p = грл Такое движение называется вязким течением вихрей. Какое электрическое поле появится в сверхпроводнике?
5.29!	Найти эффективную проводимость сверхпроводника II рода в режиме вязкого течения вихрей (См. задачу 5.28).
5.30.	В сверхпроводнике, содержащем примеси, электрон упруго рассеивается на примесных атомах без потери фазы. Если среднее расстояние между примесными атомами много меньше длины когерентности £, то электрон движется подобно броуновской частице. Исходя из этих соображений, оценить эффективную длину когерентности £ в сверхпроводнике с постоянной решетки а = 3 А, средним расстоянием между примесями А — 30 А и критической температурой Тс = 25 К.
5.31.	Величину верхнего критического поля Яс2 для сверхпроводников II рода можно оценить из того условия, что разрушение ку перовских пар происходит вследствие их закручивания в магнитном поле. Иначе говоря, пара может сохраняться лишь до тех пор, пока ларморовский радиус больше ее размера. Выразить Нс2 через длину когерентности ij и квант магнитного потока Фо".
5.32.	При каком напряжении начнет течь ток через туннельный переход нормальный металл—изолятор—сверхпроводник, если Гс = 92 К, а измерения проводятся при Т«Тс?
5.33!	В 1960 г. Гиавер измерил вольт-амперную характеристику сверхпроводящей системы алюминий—свинец при температуре, меньшей критических температур обоих металлов (рис. 95). Она имела максимум при V\ = 0,82 мВ и минимум при V2 = 1,4 мВ. Найти величины энергетических щелей (в эВ) и критические температуры свин-
ца и алюминия.
5.34.	Оценить радиус эффективного взаимодействия сверхпроводящих электронов, исходя из следующих соображений: проходящий около иона электрон «толкает» его, создавая тем самым поляризацию решетки. Радиус взаимодействия соответствует расстоянию, на которое успел уйти этот электрон за время, равное полупериоду колебаний
иона. Оценку провести для одновален-
тного металла с простой кубической решеткой. Скорость звука
х = 3-105см/с, эффективную массу электрона считать равной массе свободного электрона.
5.35.	Для металла, описываемого моделью свободных электро
нов, найти отношение предельной длины прозрачности для элект-
155
ромагнитных волн в нормальном состоянии к лондоновской глубине проникновения в сверхпроводящем состоянии.
5.36.	В сверхпроводниках II рода, находящихся во внешнем магнитном поле Нс2> Н > Hci, электроны в коре вихрей находятся в нормальном состоянии. Как зависит вклад этих электронов в теплоемкость сверхпроводника от величины внешнего поля и температуры? Считать корреляционную длину не зависящей от температуры.
5.37!	Решетка квантованных вихрей в сверхпроводниках II рода подобна системе вихревых нитей, возникающих во вращающемся сверхтекучем 4Не. Исходя из этой аналогии, оценить на основе критерия сверхтекучести Ландау1) радиус нормальной сердцевины (кора) магнитного вихря и соответствующую ему плотность тока. Величина энергетической щели сверхпроводника равна А(Т'), импульс Ферми pF, концентрация сверхпроводящих электронов — nsc(T).
5.38.	Используя полученное в предыдущей задаче выражение для радиальной зависимости плотности сверхпроводящего тока j(r) в вихре, найти распределение магнитного поля 5(г) в вихре и оценить поле в его центре. Ответ выразить через квант магнитного потока Фоп и характерные длины А и
§ 6.	Избранные задачи заключительного (Государственного) экзамена МФТИ по общей физике
6.1.	Столкновение атома А с двухатомной молекулой ВС можно рассматривать как столкновение двух свободных частиц А и В (рис. 96). Показать, что при этом передаваемая энергия перераспределяется поровну между вращательным движением молекулы и поступательным движением ее центра масс. (1996 г)
6.2.	Показать, что при лобовом столкновении легкой частицы массой т с неподвижной тяжелой частицей массой
М относительная потеря энергии не зависит от ско- Og рости. Предполагая, что быстрый нейтрон в среде А испытывает только лобовые упругие столкновения, Qa определить, сколько соударений потребуется нейтрону с энергией 1 МэВ, чтобы замедлиться в графи- Рис- 96 те до тепловой скорости. (1996 г)
6.3.	В 1932 г. Чадвик, облучая нейтронами малых (по сравнению с энергией покоя) энергий парафин (СН2)„ и воздух, обнаружил, что
9 Критерий сверхтекучести Ландау заключается в том, что жидкий ''Не, текущий при Т <Т (ГС = 2,19К) по капилляру с постоянной скоростью н<Кнкр = Д/р, где Д — щель в спектре элементарных возбуждений жидкого гелия, не будет испытывать трения, если в гелии не будут появляться элементарные возбуждения — колебания плотности — фононы и ротоны. Для появления сверхтекучести электронной ферми-жидкости в металлах необходимо, чтобы она состояла из бозонов, т. е. куперовских пар, а также наличие энергетической щели Д вблизи уровня Ферми. Если Д — энергия связи электронов в паре, то критерий сверхпроводимости для электронов принимает аналогичный вид нкр = Д(Г)/рр.
156
максимальная скорость отдачи протонов равна 3,3 -10ч см/с, а ядер азота — 4,7-108 см/с. На основе этих экспериментов Чадвик впервые определил массу нейтрона. Какое отношение массы нейтрона к массе протона он получил? Тогда было известно из масс-спектроскопических измерений, что масса атома азота с точностью порядка 1 % в 14 раз больше массы атома водорода. (2000 г)
6.4.	Пучок атомов гелия (плотность атомов в пучке п = Ю15 см-3, энергия <9 = 1 кэВ, сечение пучка 5 = 0,1 см2) падает нормально на движущуюся навстречу зеркальную стенку с начальной скоростью «о= 10 см/с и массой М= 1 г. Через какое время t стенка остановится? (1992 г)
6.5.	При какой минимальной кинетической энергии атомов неона (А = 20) при столкновении их с атомами кальция (А = 40) сможет произойти ионизация последних? Энергия ионизации кальция W = 6,1 эВ. (1972 г)
6.6.	Может ли произойти ионизация атома цезия ударом атома кислорода с кинетической энергией <£к = 4 эВ? Энергия ионизации атомов цезия W = 3,9 эВ, относительная атомная масса А =133. (1972 г)
6.7.	С какой скоростью атом аргона должен двигаться навстречу атому неона, обладающему кинетической энергией = 1 эВ, чтобы
при их упругом рассеянии под произвольным углом модуль скорости
атома неона не изменился? (1975 г)
6.8.	В цилиндре может без трения двигаться поршень массой М. Между поршнем и неподвижными стенками колеблются легкие шарики массой т«М (рис. 97). В рав
новесном положении поршня посредине ци-
линдра частота столкновений каждого ша-	Рис- $7
рика с поршнем равна v [Гц]. Найти часто-
ту /«« малых медленных колебаний поршня. Движение шариков считать одномерным, удары — абсолютно упругими. (1986 г)
6.9.	Сталкиваются две упругие параллельно ориентированные пластины с одинаковой массой т. Первая пластина имеет скорость V, направленную под углом <р к поверхности, вторая — покоится. Коэффициент трения между их поверхностями равен к. Найти ско
рость первой пластины после удара и угол <р, при котором работа сил трения при ударе максимальна. (1966 г)
6.10. С каким угловым ускорением £ = <р будет вращаться мельничка Крукса (рис. 98), если на центр ее лопасти падает пучок электронов с силой тока с/ = 3,3 мА, ускоренных потенциалом К = 900 В? Колесо мельнички состоит из шести алюминиевых лопастей радиусом 7? = 10 мм, шириной а =10 мм и толщиной с = 0,05 мм. Отражением
Рис. 98
157
Ы 2
Рис. 99
жение для плотности энергии
Рис. 100
электронов и вторичной электронной эмиссией из лопастей мельнички и трением в подшипниках пренебречь. (1966 г)
6.11!	На горизонтальном столе лежит гибкая нерастяжимая лента длиной L = 1 м, сложенная вдвое (рис. 99). Между лентой и столом коэффициент трения k = 1, а между поверхностями ленты трения нет. Полагая размеры в области сгиба R«. L, определить время Т, за которое лента распрямится. Толщина ленты Н = 1 мм. (1990 г)
6.12.	Какую минимальную работу надо совершить, чтобы перетащить
мягкую веревку с абсолютно гладкой на шероховатую поверхность, медленно перемещая верхний конец веревки горизонтально на высоте Н = 0,5 м (рис. 100). Вначале веревка находилась на гладкой поверхности. Масса веревки m = 0,5 кг, длина L = 1 м, коэффициент трения веревки о шероховатую поверхность ц = 0,5. (2006 г)
Указание. Рассмотреть проекции сил, касательные к элементу длины висящей веревки.
6.13.	Получить, например, из соображений размерностей выра-гравитационного поля вблизи Земли и оценить, во сколько раз ее значение отличается от значения для плотности энергии геомагнитного поля В «е 0,5 Гс. (1974 г)
6.14.	Оценить допустимые уровни напряженности внешнего электрического и неоднородности (градиента) магнитного полей, от которых следует экранировать ус-
тановку, чтобы можно было измерить ускорение свободного падения протона в поле тяжести Земли. (1976 г)
6.15.	Можно ли измерить гравитационную постоянную у с точностью 6=10%, подкатывая свинцовый шар к пробному грузу, подвешенному к чашке пружинных аналитических весов с относительной чувствительностью г] = 0,1мг/кг? (1966 г)
6.16.	Существует ли принципиальная возможность определить ускорение ракеты чисто электрическим методом? Провести численные оценки для а = 10g и длины проводника L = 10 м. Внешними электрическими и магнитными полями пренебречь. (1966 г)
6.17.	На каком расстоянии от Солнца плотность энергии солнечного света станет равной плотности энергии межзвездного магнитного поля В = 2 - 1О-10 Тл? Солнечная постоянная Jc ~ 1,4-103 Вт/м2 (плотность потока энергии солнечного излучения вблизи Земли). (1968 г)
6.18.	Межгалактическое пространство, содержащее вещество в количестве 1 протон на м3, пронизано постоянным магнитным полем 2- 1О-10 Тл и реликтовым тепловым излучением с температурой ЗК.
158
Определить отношение плотностей энергии реликтового излучения, постоянного магнитного поля и энергии покоя вещества Юшл^маг^вет- Оценить гравитационный радиус Вселенной с указанной плотностью материи и выразить его в световых годах. (1968 г)
6.19.	Самые точные современные гравиметры (приборы для измерения ускорения свободного падения) измеряют g по времени падения пробного тела в вакууме, и при этом достигается точность измерений порядка 0,04 мкм/с2 на базе h = 20 см. Какую ошибку при измерении на поверхности Земли вносит неоднородность g! (2003 г)
6.20.	Нефтяные месторождения в России расположены, как правило, в области вечной мерзлоты, где часто на глубине около 5 м появляются плоские слои расплавившегося льда толщиной порядка /1 = 3 м. Это создает большие опасности при разведке и бурении скважин. Современный метод обнаружения таких водяных прослоек — картирование местности с помощью гравиметров. Какова должна быть точность этих приборов? Плотность льда рл = 0,917 г/см3. (2003 г)
6.21.	На поверхности Земли производится измерение ускорения свободного падения с точностью 10~8 м/с2. Оценить, на сколько должно измениться атмосферное давление (по сравнению с обычным), чтобы это сказалось на точности измерений. Атмосферу считать изотермической, кривизну земной поверхности и изменение ускорения свободного падения с высотой не учитывать. Изменение давления происходит только за счет изменения локальной плотности атмосферы на поверхности Земли. (2002 г)
6.22.	Экспериментально установлено, что период малых колебаний математического маятника в шахте глубиной h — 500 м на 6 = 0,0025 % меньше, чем у поверхности Земли. Оценить на основе этих данных среднюю плотность земной коры в пятисотметровом слое, считая Землю шаром с плотностью, зависящей только от расстояния до центра. Средняя плотность Земли р0 = 5,6 г/см3. (2007 г)
6.23.	При движении в очень разреженных слоях атмосферы метеорит испаряется за счет столкновений с молекулами воздуха, которые передают веществу метеорита всю свою кинетическую энергию, но к поверхности не прилипают. Определить скорость метеорита и при уменьшении его массы в 10 раз. Начальная скорость И) = 40 км/с, энергия, необходимая для нагрева и испарения вещества метеорита, q= 8-106Дж/кг. (1991 г)
6.24.	При движении в верхних слоях атмосферы сферический метеорит испытывает неупругие столкновения с молекулами воздуха, в результате чего он равномерно прогревается до температуры Т = 1000 К. Оценить скорость метеорита v, считая ее постоянной. Давление и температура воздуха: /* = 0,001 Па, Т0 = 200 К. (2005 г)
6.25.	Определить мощность фотонной ракеты, движущейся за пределами Солнечной системы с нерелятивистской скоростью и постоянным ускорением а= 10 м/с2. Масса ракеты М= 1 т. Сравнить
159
мощность ракеты с мощностью Братской ГЭС (4,5 млн кВт). (1968 г)
6.26.	При вертикальном взлете космического корабля кратность перегрузки на старте равнялась к0 = (g + a^/g = 1,25. Оценить, чему будет равна кратность перегрузки k = (g + a)/g в момент времени, когда скорость корабля относительно Земли станет равной скорости истечения газов относительно корабля. Расход горючего считать постоянным. (2006 г)
Указание. Учесть, что к интересующему нас моменту времени значительная часть горючего будет израсходована.
6.27.	При вертикальном взлете космического корабля космонавт испытывает перегрузку к0 = (g+ a0)lg — 1,25, которая во время взлета возрастает и в некоторый момент становиться равной к — (g + a)/g = 8. Во сколько раз в этот момент скорость космического корабля относительно Земли больше скорости истечения газов относительно ракеты? Расход горючего считать постоянным. (2006 г)
6.28.	Непосредственно под дном океана в районе Бермудского треугольника находится металлический метеорит в виде шара радиусом R = 2 км. Глубина океана Н = 6 км. Оценить прогиб поверхности океана в этом месте. Плотность пород, образующих дно океана, принять рп = 2,5 г/см3, плотность вещества метеорита рм = 7,5 г/см3. (1977 г)
6.29.	Старые айсберги иногда опрокидываются, поворачиваясь на 90°. Оценить, через какое время айсберг в форме параллелепипеда с начальными размерами Lx Lx Н = 3x3x2 км3, потеряет устойчивость. При таянии размеры айсберга меняются, но он всегда сохраняет форму параллелепипеда. Считать, что айсберг обменивается теплом с водой океана, а вода, образовавшаяся в результате таяния, быстро удаляется. Удельная теплота плавления льда X = 334 кДж/кг, скорость теплообмена считать пропорциональной разности температур воды и льда ЛТ = 5 К с коэффициентом пропорциональности а = 250 Вт/(м2-К). (2007 г)
6.30.	В течении своей «жизни» айсберги несколько раз опрокидываются, поворачиваясь на 90°. Для моделирования этого процесса был проделан следующий опыт: тающий кусок льда в форме параллелепипеда размером ах bx h = 10х 10x8 см3 опускался в ванну с водой при температуре t0 = 20 °C. В процессе таяния такой «айсберг», оставаясь параллелепипедом, изменялся в размерах, и через т0 = 20 мин опрокидывается. Оценить на основе этого опыта время опрокидывания айсберга с размерами 500 X 500 х 300 м3 в океане с температурой воды t = 5 °C. Считать, что теплоподвод происходит только по воде и скорость таяния пропорциональна разности температур льда и воды. (2007 г)
6.31.	Предельная высота гор на Венере Нв = 10 км, на Земле Н3 = 9 км, отношение радиусов Венеры и Земли 7?в/7?3 = 0,949. Оценить массу Венеры и средние плотности планет, считая, что плотность горного вещества каждой из планет постоянна и что мак
160
симальная высота гор определяется пределом упругости пород. (1994 г)
6.32.	Космический корабль подходит к Луне по параболической траектории, почти касающейся поверхности Луны. Чтобы перейти на стелящуюся круговую орбиту, в момент наибольшего сближения включают тормозной двигатель, выбрасывающий газы со скоростью it = 4 км/с относительно корабля в направлении его движения. Какую часть общей массы должно составить израсходованное горючее? Оценить температуру горения, если удельная теплоемкость выбрасываемых газов ср составляет 2,2-103 Дж/(кг-К). (1966 г)
6.33.	Орбита космической станции массой т — 100 т расположена в верхних слоях атмосферы на высоте h = 250 км. Если орбиту не корректировать, то за счет торможения станция снижается на величину Д/г = 100 м в сутки. Оценить, какой требуется расход топлива (кг/сутки), чтобы поддерживать высоту орбиты станции. Скорость истечения отработанных газов относительно станции при работе двигателей и = 3 км/с. (2001 г)
6.34.	Найти минимальную скорость удара о поверхность Луны неуправляемого космического аппарата, выпущенного с Земли по траектории, соединяющей центры Земли и Луны. (1966 г)
6.35.	Крупный метеорит массой т = 106 тонн летит по направлению к центру Земли. Чтобы избежать катастрофы, запускается ракета с водородной бомбой, которая попадает в метеорит по нормали к его траектории и взрывается. Предполагая, что при взрыве из метеорита вылетает а = 10-3 часть его массы перпендикулярно траектории и вся энергия бомбы перешла в кинетическую энергию отброшенного вещества, оценить, на каком расстоянии Ло от Земли ракета должна встретить метеорит, чтобы он пролетел на расстоянии радиуса Земли /?з = 6400 км от ее поверхности. Скорость метеорита на бесконечности равна нулю, удар центральный, тротиловый эквивалент бомбы W = 10 Мт, энергия взрыва 1 кг тротила равна 4,2 МДж. (1995 г)
6.36.	Сейсмический датчик, установленный советским космическим аппаратом на Луне, зарегистрировал временную вариацию плотности налетающего на нее метеоритного облака. Было выдвинуто предположение, что вызвано это гигантским спутником Юпитера Йо, мимо которого пролетал стационарный метеоритный поток. Оценить, какой период временной вариации показаний сейсмодатчика зарегистрирован? Масса Юпитера М= 1,9-1027 кг, расстояние Ио от Юпитера L = 422 000 км. (2003 г)
6.37.	Известно, что для сбивания спутника с орбиты достаточно приложить к нему импульс, много меньший собственного импульса, если правильно выбрать направление воздействия. Существует проект сбивания спутников за счет отдачи, возникающей при испарении материала спутника под действием мощного лазерного излучения. Найти минимальную энергию лазерного излучения, необходимую для перевода спутника массой т = 100 кг с круговой орбиты на высоте И — 200 км на орбиту, касающуюся поверхности Земли. Импульс отдачи спутника, возникающий при воздействии излучения
161
мощностью 1 Дж, равен а = Здин-с/Дж. Изменением массы спутника пренебречь. (2000 г)
6.38.	Как показали спектроскопические исследования, спутник Сатурна — Титан — содержит атмосферу, состоящую из метана и аммиака. Вычислить и сравнить вторые космические скорости для Луны и Титана и оценить температуру поверхности Титана. Объяснить, почему Луна лишена атмосферы, а Титан еще сохранил ее. Радиус Титана Ат = 2570 км, радиус Луны = 1740 км. Масса Титана равна 1/45, а Луны — 1/81 массы Земли. Радиус орбиты Сатурна превосходит радиус земной орбиты в 9,54 раза. (1969 г)
6.39.	Земля ближе всего подходит к Солнцу 1 января, причем расстояние между ними R[ = 147 млн. км, а 1 июля это расстояние Т?2 — 152 млн. км. Угол наклона земной оси к плоскости эклиптики О = 66,5°. Определить разницу ЬТ в длительности солнечных суток в указанные дни. Их отличием от дней зимнего и летнего солнцестояния (22 декабря и 22 июня) можно пренебречь. (1990 г)
6.40.	Дни летнего и зимнего солнцестояния (22 июня и 22 декабря) делят год пополам, а летний период между днями весеннего и осеннего равноденствия Тл (с 21 марта по 23 сентября) продолжительнее зимнего Т3 на 7 дней. Оценить эксцентриситет земной орбиты. (2004 г)
6.41.	В романе А. Толстого «Аэлита» полет на Марс начинается в момент противостояния, когда Солнце, Земля и Марс находятся на прямой. При каком угле Земля—Солнце—Марс (рис. 101) следует на самом деле стартовать с Земли, чтобы расход топлива был минималь-
________ ним при кратковременной работе двигателя? Считать орбиты Земли и Марса круговыми, лежащими в одной / [_____\ плоскости, притяжением между ракетой и планетами
( СО ) в межпланетном перелете пренебречь. Период обра-\ \	] щения Марса равен 1,88 года. (1988 г)
6.42.	Каким должен быть угол Марс—Солнце— м Земля (рис. 101), при котором становится энергети-
Рис. 101 чески выгодным перелет с Марса на Землю при кратковременной работе стартового двигателя? Для упрощения расчетов считать орбиты планет Земля и Марс круговыми, лежащими в одной плоскости, притяжением между ракетой и планетами при перелете пренебречь. Радиус орбиты Марса принять равным 1,5 радиуса земной орбиты. (1988 г)
6.43.	Звезда 51 в созвездии Пегас практически является двойником нашего Солнца. Изучение ее оптических спектров показало регулярное изменение скорости звезды по закону и = w0 sin (2л1/Т) (сплошная линия на рис. 102) с периодом Т = 4,23 суток и амплитудой и0 = 56 м/с. Предполагается, что эти временные вариации излучения обусловлены вращением вокруг нее намного более легкой планеты. По какой траектории движется планета и какова должна быть ее масса? (2002 г)
162
6.44.	Ледяная комета движется в Солнечной системе в плоскости орбиты Юпитера с периодом Тк. Если она пролетает близко от Юпитера, она разрушается за счет приливных сил (из-за градиента гравитационного поля). Оценить число оборотов вокруг Солнца, которое может совершить комета размером г0 = 10 км, не разрушаясь. Прочность ядра ледяной кометы о0 = Ю5дин/см2, период обращения Юпитера вокруг Солнца Тю = 12лет<кгк, его масса состаляет q = 10-3 массы Солнца. (2000 г)
6.45.	Космонавт А. Леонов, выйдя из корабля в открытый космос, бросил крышку фотоаппарата по направлению к центру Земли со скоростью 1>о = 0,5м/с относительно корабля. Спустя некоторое время он с удивлением обнаружил, что крышка возвращается к кораблю. Описать периодическое движение крышки относительно корабля, определив период и параметры ее относительного движения. Считать, что корабль движется по круговой орбите с радиусом 7?0 = 7000 км. (1982 г)
6.46.	Спутник массой m = 200 кг, запущенный на круговую околоземную орбиту, тормозится в верхних слоях атмосферы. Сила трения F = Cv3, (С = 3-10-16 кг’с/м2). С какой радиальной скоростью спускается спутник? (1999 г)
6.47.	Космический корабль сферической формы движется равномерно со скоростью v в области космической пыли плотностью р, которая прилипает к кораблю. КПД реактивного двигателя корабля т]. Оценить установившуюся температуру обшивки корабля Т, считая ее черным телом. Изменением массы корабля вследствие налипания пыли и расхода топлива пренебречь. (1999 г)
6.48.	В 1979 г. открыли два квазара-«близнеца» с абсолютно одинаковыми спектральными характеристиками. Предполагается, что это сам квазар и его изображение — мираж, создаваемый удаленной галактикой, расположенной между квазаром и Землей (рис. 103). Уг
163
ловое расстояние между квазарами-«близнецами» равно 6". Принимая во внимание, что отклонение луча света вблизи Солнца равно 1,75”, оценить массу галактики в единицах массы Солнца. Считать, к что радиус галактики 2-105 свет, лет, радиус Солнца ра~ t'\ вен 7-105 км. (1988 г)
/	j 6.49. Согласно одной из гипотез, пульсар является / ।	нейтронной звездой, образующейся в результате грави-
ГУ~'\У тационного сжатия (коллапса). Оценить по порядку ве-। личины, с каким периодом будет вращаться Солнце, \ [	если оно превратится в нейтронную звезду. Масса Сол-
\	।	нца Л/ = 2-10зокг, радиус А = 7105км, период враще-
ния Т = 2,2-106 с. (1971 г)
6.50*	Оценить время т, за которое нейтронная звезда Рис. 103 может потерять свое магнитное поле.
Указание. Рассмотреть следующую модель: нейтронная звезда — металлический шар с радиусом 106 км, удельная проводимость вещества звезды о~ 1030 с-1. (1966 г)
6.51.	Звезда с массой Солнца m = 2-1033 г и начальным радиусом г0 = 7 -1010 см сжимается и в результате превращается в белый карлик со средней плотностью р ~ 107 г/см3, а затем в нейтронную звезду ср ~ 1014 г/см3. Характерное магнитное поле звезды (например, поле у полюса) в начальном состоянии Во % 1 Гс. Найти характерное магнитное поле белого карлика и нейтронной звезды. (1979г)
6.52.	Оценить, какую величину магнитного поля звезды типа Солнца (период вращения Т = 106 с, радиус R = 1010 см, температура поверхности Т = 6-103 К) можно обнаружить в оптической области спектра (о)=1015с-1) на основании измерения эффекта Зеемана. (1974 г)
6.53*	Для звездного скопления определить среднее время между столкновениями двух звезд типа Солнца (Л/с «з 2-1033 г), если их средняя относительная скорость zz = 60km/c, а число звезд в кубическом световом годе А~10. Уточнить понятие столкновения, которым вы пользуетесь. (1968 г)
6.54.	Астероиды — малые планеты с радиусом г — 5 км в количестве N — 104, их возраст 4,5 млрд. лет. Они движутся между орбитами Юпитера и Марса, образуя пояс астероидов толщиной /г ~ 106 км, простирающийся от А1 = 2,5108км до R2 — 7 • 108 км. В результате возмущения их орбит планетами они все время изменяют траектории и могут сталкиваться, что приводит к их дроблению и возникновению метеоритов. Относительная скорость астероидов v = 5 км/с. Оценить, сколько раз за свою историю астероиды сталкиваются между собой. (2005 г)
6.55.	Согласно астрономическим наблюдениям мы живем в расширяющейся Вселенной, причем скорость расширения v пропорциональна ее текущему радиусу R: v(R) = HR, где постоянная Н = 2,4- 10' и с-1 называется постоянной Хаббла. Оценить критиче-
164
скую плотность сферически симметричной Вселенной, при которой расширение никогда не сменится сжатием. (1996 г)
6.56.	Для «черной» дыры гравитационное притяжение столь велико, что ни луч света и ни одна частица не могут вырваться за ее пределы. Оценить радиус «черной» дыры, имеющей массу Солнца д/ = 2-1033 г. См. также задачу 1.71 этого раздела. (1982г)
6.57.	По современным представлениям звезды могут переходить в гравитационно неустойчивые состояния, в которых силы тяготения при стремлении радиуса звезды к определенному пределу (называемому гравитационным радиусом) стремятся к бесконечности, в то время как давление внутри звезды остается конечным. Это приводит к катастрофическому сжатию (релятивистскому коллапсу) звезды. Для полного описания такого процесса закон всемирного тяготения Ньютона неприменим. Пользуясь формулой Эйнштейна для энергии покоя £ = Мс2, найти условие применимости ньютонова закона тяготения. Сделать численную оценку для звезды, масса которой равна массе Солнца М = 2-1033 г. (1969 г)
6.58.	Оценить размер пылинки, при котором она будет выдуваться из солнечной системы световым давлением Солнца. (1984 г)
6.59.	В космическом излучении из источника Лебедь-ХЗ, находящегося от нас на расстоянии L = 40 000 свет, лет, с интервалом в Т = 1 с было зарегистрировано несколько событий, обусловленных частицами с энергией 6 = 1016эВ. Это можно интерпретировать как излучение из вращающегося там объекта. Оценить верхнее значение энергии покоя этих частиц и размер излучающей области, при которых такая временная структура излучения может наблюдаться на Земле, считая, что разброс по энергии рождающихся частиц Д(9/<9 = 0,1. (1993 г)
6.60.	При взрыве сверхновой 27 февраля 1987 г. в Малом Магеллановом облаке, находящемся от Земли на расстоянии L = = 180 000 свет, лет, были зарегистрированы две группы нейтрино с интервалом в А/ = 1 час. Согласно одной из гипотез, эти две группы нейтрино родились одновременно, но обусловлены разными процессами и соответственно имеют нулевую и ненулевую (около 20 эВ) энергию покоя. Оценить энергию второй группы нейтрино, при которой такое объяснение возможно. (1993 г)
6.61.	Согласно некоторым прогнозам, тенден- да ция к общему потеплению нашей планеты грозит	«Г”
таянием приполярных льдов в Арктике и Антар- / ктиде. Оценить, насколько изменится продолжи- Г тельность земных суток, если подъем уровня ми- /	\
рового океана составит 40 м. (1992 г)	а	в
6.62.	Из точки А (рис. 104) на спутник, летя- рис 104 Щий со скоростью v, падает лазерный луч с часто-
той о)0. Отраженный луч регистрируется в точке В. Чему будет равна частота принимаемого света? Оценить разрешающую способность регистрирующего спектрального прибора, необходимую для обнаружения релятивистской поправки к смещению частоты. (1966 г)
165
6.63.	Луч света от импульсного лазера попадает на зеркало массой т = 1 г, расположенное под углом <р = 30° к лучу (угол между направлением луча и нормалью к поверхности зеркала). Коэффициент отражения зеркала (по энергии) R = 0,5. Зеркало полностью непрозрачно. Определить скорость зеркала после облучения его импульсом лазера с энергией <£ = 300 Дж. (1972 г)
6.64!	На плоскую поверхность стеклянной пластинки с показателем преломления п = 1,5 из вакуума падает перпендикулярно к поверхности световой пучок интенсивностью 3 = 10 Вт/см2. Найти величину и направление силы, действующей на единицу площади поверхности раздела сред. (1995 г)
6.65.	Линейно поляризованная световая волна с направлением электрического вектора в плоскости падения и с интенсивностью 3 = 1 Вт/см2 падает из вакуума под углом Брюстера на круглую плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной d = 3 мм и диаметром £>=10 см. Показатель преломления стекла п = 1,5. Найти момент сил, действующий на пластинку. В какую сторону будет разворачиваться пластинка? (1995 г)
6.66.	На четвертьволновую кварцевую пластинку падает нормально пучок плоско-поляризованного света с длиной волны X = 6280 к мощностью W = 3 Вт. При каких условиях пластинка будет испытывать крутящий момент и какова его величина и направление? (1966 г)
6.67.	Горизонтальный диск радиусом R и массой т подвешен в атмосфере некоторого газа на упругой нити с модулем кручения f на расстоянии h (h«-R) от горизонтальной неподвижной поверхности. Найти коэффициент внутреннего трения г] в газе по результатам измерения логарифмического декремента затухания d крутильных колебаний. Движение воздуха между диском и неподвижной поверхностью считать ламинарным; краевыми эффектами пренебречь. (1966 г)
6.68.	Оценить частоту, затухание и добротность малых колебаний ртути в U — образной трубке с площадью поперечного сечения 5=1 см2 и высотой столба £ = 50 см. Вязкость ртути г] = 0,0155 П, краевыми эффектами пренебречь. (1995 г)
6.69.	Два цилиндра, оси которых параллельны друг другу, находятся в водном потоке, скорость которого v = 10 см/с перпендикулярна осям цилиндров. Оценить, с какой силой притягиваются цилиндры радиусом R = 1 см и длиной £ = 10 см, если зазор между ними a = R. (1993 г)
6.70!	В бассейне испытывается модель корабля в 1/100 натуральной величины. Проектная скорость корабля равна 36 км/час. С какой скоростью и надо буксировать модель, чтобы картина гравитационных волн была подобна натуре? (1966 г)
6.71!	Оценить методом размерностей фазовую скорость гравитационных волн на поверхности жидкости, пренебрегая влиянием поверхностного натяжения и конечной глубины. Найти соотношение между фазовой и групповой скоростями этих волн. (1967 г)
166
6-72. Морские волны при подходе к берегу выстраиваются вдоль береговой линии. Рассчитать, под каким углом к нормали к прямолинейному берегу подойдут волны, если далеко в море на большой глубине, где длина волн X = 50 м, а фазовая скорость vn = (#Х/2л)|/2, они движутся под углом а0 = 15°. Глубина моря постепенно уменьшается до Л — 0,5 м, где скорость волн v = \rgh. (2008 г)
6.73!	Если глубина Н и ширина I (1»Н) канала много меньше длины гравитационных волн на поверхности жидкости в нем, то скорость этих (длинных) гравитационных волн v = у/ gH. Рассмотреть отражение и прохождение волн при резком изменении глубины канала. Как изменится амплитуда проходящей волны при изменении глубины в 4 раза? (1966 г)
6.74.	В воздухе при нормальных условиях распространяется очень сильная звуковая волна, вызывающая боль в ушах. Ее относительная интенсивность В= 1/10— 150 дБ, где /0 = 10-|2Вт/м2 — минимальная интенсивность звука, которую слышит человек. Оценить отношение удельной звуковой энергии к плотности тепловой энергии воздуха. (2006 г)
6.75.	Для создания подземного нефтехранилища в полости с начальным объемом Го производят взрыв, при котором высвобождается энергия Q — 4,2 ГДж. Образовавшиеся газообразные продукты взрыва, расширяясь адиабатически, в доли секунды образуют хранилище. При каком начальном объеме полости увеличение ее объема будет максимальным? Взрыв производится на глубине Н = 100 м, плотность грунта р = 3 г/см3. Для оценки считать грунт несжимаемой жидкостью, а продукты взрыва — двухатомным газом. (1985 г)
6.76.	Идеальный газ, поляризуемость молекул которого а = 10-24 см3, находится в большом сосуде при температуре 300 К. В сосуде находится плоский конденсатор с напряженностью поля Е = 3104В/см. Найти относительные разности концентраций п и давлений Р в конденсаторе и вне его. Где давление больше? (1968 г)
6.77.	В результате импульсного разряда конденсатора через разреженный газ — водород — происходит нагревание газа до температуры Т. Оценить величину Т, предполагая, что вся энергия разряда пошла на нагревание газа. Напряжение на конденсаторе U = 30 кВ, емкость С =18 мкФ, газ занимал объем 10 л при давлении Ю 2 мм рт. ст. и температуре до разряда Го = 293 К. (1971 г)
6.78.	В холодильнике сломался выключатель и внутренняя лампочка продолжала гореть при закрытой дверце. Считая, что вся мощность лампочки (N = 25 Вт) переходите тепло, определить, на сколько изменилась потребляемая холодильником мощность. Обычно при комнатной температуре Т2 = 295 К внутри холодильника поддерживается температура Г! = 275 К. Холодильник считать идеальным. (2000 г)
6.79.	Найти максимальную мощность тепловой машины, у которой нагреватель — пластина площадью 5 = 1 м2, одна из его поверхностей зеркальная, а другая полностью поглощающая. Холо-
167
дильником служит корпус орбитальной станции с фиксированной температурой Тх = 300 К. Солнце считать абсолютно черным те-
лом с Тс = 6000 К и угловым диаметром а = 0,01 рад. Теплопроводность рабочего тела считать очень большой.
Указание. Уравнение для нахождения оптимальной температуры решать методом подбора. (2007 г)
6.80. Найти максимальную мощность тепловой машины, у которой нагревателем является корпус орбитальной станции с фиксированной температурой Тн = 500 К, а холодильником — полностью поглощающая пластина площадью 5=1 м2. Теплопроводность рабочего тела считать очень большой. (2007 г)
6.81. Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл Карно между изотермами с температурами Т иТр Теплообмен между рабо-
чим веществом и холодильником при температуре Т2 = 200 К < Г
осуществляется вследствие теплопроводности по закону а(Т — Т^), где а=1 кВт/К. Теплообмен рабочего вещества с нагревателем происходит при температуре Т\ = 800 К. Полагая, что длительности изо-
термических процессов одинаковы, а адиабатических весьма малы,
_	найти температуру Т, при которой мощность N,
развиваемая тепловой машиной, максимальна. Найти также величину NMaKC. (1987 г)
6.82. Измерение теплоемкости серебра осуществляется путем проведения показанного на рис. 105 термодинамического цикла. Какова ве-о	личина удельной теплоемкости при температуре
--------------► То = 15 К, если образцу массой m = 0,1 г на изотермическом участке подводится тепловая энер-
Рис. 105 гия Q12 = 4,75 мДж, Тх = 24 К, а температура в конце второго участка Т3 = И К? (2001 г)
6.83. В одном из двух теплоизолированных сосудов находится 1 кг льда при температуре /л = 0 °C, а в другом — 1 кг воды при
0 °C. В воду опущен нагреватель, замыкающий цепь термопары (рис. 106), один спай которой опущен в лед, а другой поддерживается при тем пературе tK = 27 °C. Пренебрегая сопротивлением проводов и спаев по сравнению с сопротивлением нагревателя и теплопроводностью проводов, определить, на сколько градусов нагреется вода, когда в другом сосуде полностью растает лед. Теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг-град), и теплоту плавления льда q = 80 ккал/кг считать не
зависящими от температуры. (1981 г)
6.84. В холодильной машине Клода газ поступает при температуре Т\ = 300 К и под постоянным давлением в цилиндр с поршнем
Рис. 106
(детандер), где он адиабатически расширяется до фиксированного
168
конечного давления. При этом газ совершает работу и охлаждается на АТ. Во сколько раз уменьшится АТ, т. е. насколько менее эффективным оказывается этот способ охлаждения, если при том же давлении начальная температура будет равна Т2 = 50К? Теплоемкость газа считать постоянной. (1996 г)
6.85.	Одноатомный идеальный газ находится под поршнем в адиабатически изолированном цилиндре. Масса груза на поршне, определяющая давление газа, внезапно увеличилась вдвое. Насколько возросла энтропия, приходящаяся на одну молекулу газа, после установления нового равновесия? (1983 г)
6.86.	Определить максимальную работу, которую можно получить от двух находящихся в адиабатической оболочке сосудов с одинаковыми одноатомными идеальными газами. Начальные давления и числа частиц N в сосудах одинаковы, но у них разные объемы и температуры 7, и Т2. (2002 г)
6.87.	Одним из геологических процессов является просачивание воды сквозь пористые породы из областей с высоким давлением Р = 1000 атм в полости, находящиеся при атмосферном давлении Ро. Оценить долю х испарившейся при этом воды, если начальная ее температура t0 = 90°С. Теплообменом с горными породами пренебречь, удельную теплоту парообразования X принять равной 2260 Дж/г. (1986 г)
6.88.	В стальной оболочке находится вода при температуре /0 = 0° С и давлении Р = 1000 атм. Оболочка внезапно теряет жесткость, и давление воды адиабатически быстро падает до 1 атм. Найти конечную температуру tK воды. Теплоемкостью оболочки пренебречь. Плотность воды имеет максимум при температуре /м = 4 °C, причем разность плотностей при 4 °C и 0 °C Ар = 0,13 мг/см3. (1989 г)
6.89*	Определить тремя разными методами удельную теплоемкость при постоянном объеме cv для этилового спирта при температуре Т = 300 К, используя а) закон равномерного распределения энергии по степеням свободы, б) соотношение Майера, в) точное термодинамическое соотношение. Считать известными сР = 2,42 Дж/(г-К), а также термодинамические коэффициенты: объемного расширения н=т[тгЙ = 1,1 • 10-3 К-1, изотермическую сжимаемость [Д =
1 (дк\ — z in-Ю
= —	=7,о* 10 и-гг и плотность этилового спирта р =
Г I Ci I J'	Н
= 0,79 г/см3. Сопоставить полученные результаты. (1966 г)
6.90.	Неон вытекает в вакуум из теплоизолированного сосуда через отверстие, размер которого мал по сравнению с длиной свободного пробега неона. Определить его температуру, когда в сосуде останется половина количества газа. Начальные его условия нормальные. Теплоемкостью стенок пренебречь. (1987 г)
6.91.	Современная полупроводниковая технология требует для изготовления полупроводниковых микросхем очень чистых поверхностей кристаллов. Какой должен быть создан вакуум в системе,
169
чтобы можно было работать с атомно-чистыми поверхностями, т, е. за время изготовления микросхемы t = 1 час на поверхности «нарастет» лишь моноатомный слой газа? Считать, что все молекулы газа, достигающие поверхности, прилипают к ней в виде отдельных атомов, Т = 300 К. (2001 г)
6.92.	Одноатомный идеальный газ находится между двумя непроницаемыми стенками, причем дебройлевская длина волны молекул газа много больше расстояния между ними. Газ адиабатически сжимают, так что объем газа уменьшается вдвое. Найти конечную температуру, если начальная температура газа То = 300 К. (1997 г)
6.93.	Во сколько раз отличаются средние свободные пробеги атома водорода в основном и возбужденном состояниях (главное квантовое число возбужденного состояния п= 10) в разреженном одноатомном газе при одинаковой концентрации? (1967 г)
6.94.	Для получения свободных молекул при низкой температуре широко применяется их охлаждение при адиабатическом истечении газа через небольшое отверстие в вакуум. Оценить конечную температуру струи молекулярного водорода Тпред, если газ первоначально находился при нормальных условиях. Диаметр отверстия d = 0,3 мм, сечение столкновения молекул водорода друг с другом <з = 2,4 • 10-15 см2. Для оценки принять, что на расстоянии х от отверстия диаметр струи d — х, скорость струи считать постоянной. (2001 г)
6.95.	По распространению радиоактивных газов после ядерных взрывов известно, что благодаря турбулентности время перемешивания по всей земной атмосфере составляет около одного года. Во сколько раз быстрее происходит процесс турбулентного перемешивания в условиях земной атмосферы по сравнению с молекулярной диффузией? (1967 г)
6.96.	При наблюдении за поведением капли жидкости, несущей на себе единичный электрический заряд q, в камере, наполненной водородом, было обнаружено, что сила тяжести, действующая на каплю, может быть уравновешена электрическим полем с напряженностью Е = 104 В/см. Наблюдение за каплей при включенном поле показало, что за время т = 100 с она передвигалась по сложной траектории и отошла от своего первоначального положения не расстояние R= 10~2см. Найти скорость установившегося падения капли при выключенном поле. Давление водорода в камере Р = 1 атм, плотность р = 0,09 г/л. (1966 г)
6.97.	Оценить температуру Т электронов, двигающихся под действием электрического поля напряженностью Е = 100 В/см в воздухе при нормальных условиях. Концентрация электронов мала, сечение столкновения их с молекулами воздуха о = Ю-15 см2. (1989 г)
6.98.	В ультрафиолетовых лучах (X = 1000 А) производится фотографирование биомолекулы, находящейся в растворе. Оценить максимальное время экспозиции, при которой еще может быть получено на фотографии предельное разрешение? Температура раствора Т = 300 К, подвижность молекулы В = 104 см/(с-дин). (1999 г)
170
6.99.	Зная, что средняя длина свободного пробега однозарядного иона аргона-40 в некотором газе равна 10-5 см, оценить среднюю скорость дрейфа v иона в этом газе под действием однородного электрического поля Е = 300 В/см. Температура газа комнатная. (1972 г)
6.100.	При прохождении быстрых заряженных частиц через камеру Вильсона, наполненную аргоном при давлении Р = 1 атм и насыщенными парами воды, происходит образование ионов аргона, являющихся центрами конденсации паров воды. Считая, что движение ионов обусловлено только диффузией, оценить ширину следа частиц, если конденсация наступает через т = 0,01 с после пролета частиц. Эффективное сечение рассеяния ионов аргона на атомах о=10-15см2. Температура газа Г = 300 К. (1981г)
6.101.	Оценить размер алюминиевой частицы, взвешенной в жидкости с плотностью ро = 1 г/см3 и вязкостью т) = 1 П, для которой скорость вязкого падения сравняется со скоростью теплового движения при комнатной температуре. Будут ли такие частицы выпадать в осадок в алюминиевой краске? (1968 г)
6.102.	Оценить максимальный размер водяной капли, падение которой в воздухе может быть еще описано законом Стокса. (2005 г)
6.103.	Какова наибольшая скорость и сферических частиц радиусом г = 50 мкм, выносимых топочным газом из дымовой трубы? Скорость газа на оси трубы и = 30,5 см/с, коэффициент динамической вязкости г] = 2,6-10-5 Па-с, плотность газа рг = 7,2-10-4 г/см3, частиц — рч = 1,2 г/см3. Найти число Рейнольдса для движущихся частиц. (2008 г)
6.104.	Плоский конденсатор с расстоянием между пластинами d = 1 см подключен к батарее и заполнен азотом. Вблизи одной пластины создаются ионы азота N + , которые движутся к другой пластине и увлекают молекулы газа, что приводит к появлению разности давлений ДР = 0,01 мм рт. ст. при плотности тока ионов j = 1 мкА/см2. Определить подвижность ц ионов, которую измеряют обычно в см2/(В-с). (1984 г)
6.105.	Пучок атомов аргона 40Аг из сосуда, находящегося при комнатной температуре, попадает в пары гелия 3Не, имеющие температуру Т = 0,4 К и давление Р = 0,03 мм рт. ст. Найти расстояние Р, на котором атомы аргона отдадут а = 0,9 своей энергии. Длина свободного пробега атомов аргона-40 в парах гелия-3 при нормальных условиях I = 1 мкм. (1989 г)
6.106.	В сосуде с гелием (радиус атома гелия г= 1,2 А, энергия ионизации 1УИ = 24,5 эВ) при давлении Р = 2 мм рт. ст. находится проволочная катушка, состоящая из N= 10 витков радиусом R = 5 мм и длиной 1 = 5 см, по которой протекает переменный ток с частотой v = 10 МГц. Оценить, при какой силе тока с/0 в катушке наступит пробой газа. Считать, что для пробоя электрон должен набрать на длине свободного пробега энергию, достаточную Для ионизации атомов. (1984 г)
171
6.107.	Для защиты от газообразных радиоактивных продуктов распада ториевую руду засыпают песком. При этом радиоактивный газ торон 28°Дп, выделяемый рудой, во время прохождения через песок в значительной мере распадается. Вычислить расстояние, на котором концентрация торона падает в 105 раз. Период полураспада торона Т = 54,5 с, коэффициент диффузии его в песке D = = 0,04 см2/с. Диффузию можно считать одномерной. (1975 г)
6.108.	По теплоизолированной трубке, разность давлений на концах которой равна 100 атм, течет вода. Температура воды на входе t\ = 20 °C. На сколько градусов повысится ее температура на выходе? (1995 г)
6.109.	Чтобы уменьшить поток тепла в криостат по механической подвеске, экспериментатор решил сделать тепловой замок в виде утоньшения на высокотемпературном конце (рис. 107а). Однако затем ему посоветовали перевернуть подвес, то есть утоньшение сделать на низкотемпературном конце, где меньше коэффициент теплопроводности (рис. 1076). Показать, что на самом деле теплопритоки в обоих случаях одинаковы. Зависимость коэффициента теплопроводности х от температуры считать известной, длины и площади поперечного сечения тонкой и толстой частей соответственно равны Ц, 5) и Z2, температуры равны Т 1; Г2. (1995 г)
6.110.	Небольшая уединенная планета покрыта тонким слоем льда с температурой наружной поверхности Ts = 60 К. Тепло подводится к поверхности льда из недр планеты за счет теплопроводности льда. Считая теплоту плавления и коэффициент теплопроводности х = 2-105 эрг/(см-с-град) не зависящими от температуры и коэффициент серо-
сти льда е = 0,75, оценить максимально возможную толщину ледяной корки такой планеты. (1998 г)
6.111.	Внутри Земли вследствие радиоактивных превращений выделяется тепло со скоростью Q [эрг/(г-с)] в результате чего ниже глубины h от поверхности земные породы плавятся. Оценить величины Q и к, считая Землю однородным шаром. Средняя плотность Земли р = 5,5 г/см3, коэффициент теплопроводности пород х = 3,5-105 эрг/(см-с-К) не зависит от температуры, температура плавления пород Тпл = 2000 К при давлении Р = 1,2-1012 дин/см2. (2000 г)
6.112.	Внутри сферы радиусом R помещен шарик из плутония радиусом r0 (г0«Я). Вследствие радиоактивного распада Ри температура поверхности шарика постоянна и равна Го = 300 К. Температура сферы также поддерживается постоянной и равной 7^ = 290 К. Коэффициент теплопроводности воздуха, заполняющего пространство между шариком и сферой, х = 2500 эрг/(см-с -К). Считая поверхности шарика и сферы абсолютно черными, оценить величину ради
172
уса шарика г0, при котором поток тепла от него за счет излучения будет равен потоку тепла за счет теплопроводности. (2000г)
6.113.	Температура поверхности шарика из плутония вследствие радиоактивного распада Ри поддерживается постоянной при Го = 350 К. На большом расстоянии от шарика температура воздуха Тт = 300 К, при Т = 300 К коэффициент теплопроводности воздуха х„ = 2500 эрг/(см-с-К). Считая поверхность шарика абсолютно черной, оценить минимальный радиус шарика г0, при котором поток тепла от шарика за счет излучения оказывается равным потоку тепла за счет теплопроводности. При решении учесть зависимость х от температуры. (2000 г)
6.114.	На длинный сапфировый стержень радиусом г = 1 см, находящийся в космосе вдали от каких-либо тел, нанесена тонкая пленка толщиной а = 0,2 мм с удельным сопротивлением р = 1 мкОм-см, а затем слой диэлектрика толщиной b = 0,2 мм, его коэффициент теплопроводности х = 2 -103 эрг/(с-см-К). По пленке пропускается ток плотностью j = 100 А/см2. Считая диэлектрический слой абсолютно черным телом, оценить температуру внешней и внутренней поверхностей диэлектрической пленки. (1998 г)
6.115.	Тонкая проволока, охватывающая петлей брусок льда, под действием нагрузки способна пройти сквозь лед. Полагая, что скорость движения проволоки и определяется скоростью подвода тепла через проволоку от области над проволокой, где вода замерзает, к области под проволокой, где плавится лед, оценить величину скорости V. Теплопроводностью льда пренебречь. Температура льда 0 °C; теплота плавления q = 335 Дж/г; плотность льда р = 0,917 г/см3. Диаметр проволоки <7 = 0,1 мм; коэффициент теплопроводности х = 130 Вт/(м-К); давление Р, создаваемое под проволокой, принять равным 10 атм. (1986 г)
6.116.	Оценить максимальное давление, при котором водяной пар может оставаться пересыщенным при температуре 100 °C, находясь в сосуде с несмачиваемыми стенками. Принять, что минимальная устойчивая капля воды содержит 105 молекул, а коэффициент поверхностного натяжения воды <з = 70 дин/см. (1985 г)
6.117.	Переохлажденный водяной пар находится при давлении Ро = 1 атм и температуре /0 = 99 °C в сосуде с несмачиваемыми стенками. Каков минимальный размер капли, которая должна образоваться, чтобы произошла конденсация пара? Коэффициент поверхностного натяжения воды принять а = 70 дин/см, удельная теплота испарения Х = 2,3 кДж/г. (1985 г)
6.118.	Под действием внешних звуковых волн в воде рождаются пузырьки из растворенного в ней воздуха радиусом г = 10 мкм с концентрацией N = 106 см-3. Найти скорость звука в воде с пузырьками, если в воде она равна \0 = 1500 м/с. (2008 г)
6.119.	Небольшое облако, состоящее из водяных капель диаметром </ = 0,1 мкм, постепенно сконденсировалось в одну каплю массой М= 1 г. Считая процесс адиабатическим, вычислить изме
173
Н2О
СС14
Рис. 108
нение энтропии и температуру капли. Температура облака t = 27 °C, коэффициент поверхностного натяжения о = 70дин/см, a ds/dT = — 0,15 дин/(см-К). (1986 г)
6.120.	Растяжение нитевидного бездефектного кристалла Ni (ви-скера) приводит к образованию гладкой поверхности разрыва при натяжении Г = 3 - 1О10 дн/см2. Оценить удельную поверхностную энергию U этого материала. (2005 г)
6.121?	Известно, что точка кипения неоднородной системы, помещенной в стакане (рис. 108) и состоящей из слоев несмешиваю-щихся жидкостей: «четыреххлорки» СС14 и воды Н2О — равна 1 — 66 °C, что ниже точки кипения воды, равной /, = 100 °C, и чистой «четыреххлорки», равной t2= 76,7 °C. Эти данные относятся к нормальному давлению. Как изменится точка кипения такой системы, если внешнее давление возрастет на 10%? Теплота парообразования воды равна А, = 40,5 кДж/моль, «четыреххлорки» — А2= 29 кДж/моль. (1990 г)
6.122.	Определить теплоту испарения жидкого гелия при Г—>0, считая, что гелий подчиняется уравнению Ван—дер—Ваальса. Известно, что для гелия критическая температура Ткр = 5,2 К. (1991 г)
6.123.	В 1911г. Г. Камерлинг—Оннес при измерении сопротивления ртути, охлаждаемой жидким
гелием, обнаружил, что при откачке паров гелия из криостата сопротивление ртути исчезает, и так было открыто явление сверхпроводимости. Вычислить, до какого давления надо было откачивать пары гелия, если температура кипения Не при давлении 1 атм Ткип = 4,22 К, молярная теплота испарения при этом давлении А = 84Дж/моль, а критическая температура сверхпроводящего перехода ртути ТС = 4,15К. (1997 г)
6.124.	Газообразный азот, находящийся при температуре 7\ = 100 К в объеме 1Д = 1 л при давлении Р\ = 10 атм, однократно адиабатически расширяется до давления Р2 = 1 атм. Какое максимальное количество жидкого азота (в см3) может быть получено при этом? Теплота испарения азота Х=160Дж/см3, температура кипения Т2=77К. (1997 г)
6.125.	Кривая плавления изотопа 3Не при очень низких температурах имеет минимум и далее — отрицательный наклон dP/dT < 0. При увеличении внешнего давления в камере, содержащей жидкий и твердый 3Не, часть жидкости затвердевает с поглощением тепла, что используется иногда для получения еще более низких температур. Определить конечную температуру смеси и долю х затвердевшего 3Не при адиабатическом увеличении давления на АР = 1 атм. Начальная температура То=:О,О4К, давление Ро = 33 атм. Разность молярных объемов жидкой и твердой фаз Кж ~ Гт = 1,31 см3/моль можно считать постоянной. Теплоемкость жидкого 3Не в нужном диапазоне линейно растет с температурой Сж = 4,6ЯТ. Энтропия твер
174
дого 3Не обусловлена лишь наличием спина 1/2 у ядра 3Не и равна постоянной величине R 1п 2. Теплоемкостью стенок и возможным тепловыделением при сдавливании пренебречь. Считать, что в начальный момент в камере находится только жидкий 3Не. (1975 г)
6.126.	При конечной температуре в результате флуктуаций могут самопроизвольно возникнуть колебания математического маятника. Каково при этом изменение энтропии маятника (температура поддерживается неизменной)? (1999 г)
6.127.	За какое время электрон притянется к бесконечной пластине из металла? Вначале он покоился на расстоянии а = 1 мм. Потерями энергии из-за токов проводимости в металле пренебречь. (1987 г)
6.128.	Найти, какую максимальную разность потенциалов можно поддерживать между проводами бесконечной двухпроводной линии, если напряженность пробоя воздуха £=30 кВ/см, диаметр проводов d = 1 см и расстояние между проводами £ = 5 м. (1977 г)
6.129.	На высоте Н= 1 см над плоскостью горизонтально лежащего металлического листа расположен равномерно заряженный диск радиусом R = 1 см с полным зарядом Q= 10-9 Кл. Плоскость диска параллельна плоскости листа. Найти плотность о индуцированного заряда в точке, расположенной на поверхности листа непосредственно под центром диска. (1982 г)
6.130.	Для измерения напряженности электрического поля у поверхности Земли используют две проводящие пластины, расположенные горизонтально с небольшим зазором между ними (рис. 109). Верхняя пластина заземлена и вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через край пластины, делая п = 1200 об/мин и периодически закрывая нижнюю пластину. При этом перезарядка нижней пластины вызывает падение напряжения на сопротивлении R = 107 Ом, соединяющем нижнюю пластину с Землей. Найти среднее по модулю значение V, если напряженность электрического поля у поверхности Земли Е— 1,5 В/см. Считать, что нижняя пластина успевает полностью перезарядиться за один цикл вращения. Площадь пластины 5 = 600 см2. (1978 г)
6.131.	В танталовых электролитических	__________5^
конденсаторах роль одной из обкладок иг- R рает пористый тантал, поверхность которо-го можно представить как совокупность
спеченных шариков с суммарной площадью	Рис- Ю9
5 = 1 м2 (в объеме 1 см3). Для получения
диэлектрического слоя всю поверхность окисляют, а поры заполняют проводящим диоксидом марганца, который играет роль второй обкладки. Толщина окисла с? = 0,1 мкм, е = 27. Какого размера L должен быть такой конденсатор в форме куба, чтобы его емкость равнялась 1 Ф? Оценить также радиус шариков. (2008 г)
6.132.	Оценить силу, действующую на атом, находящийся на расстоянии I = 200 А от поверхности острия металлической иглы с ради
175
усом закругления R = 100 А. Потенциал на игле равен V = 10 кВ. Поляризуемость атома а — порядка его объема. (1973 г)
6.133.	На фотокатод К электронно-оптического преобразователя (рис. 110), имеющего работу выхода А = 2 эВ, падает излучение аргонового лазера А 0,5 мкм. Диаметр светового пятна на фотокатоде d = 0,1 мм. На ускоряющий плоский анод А преобразователя, расположенный на расстоянии L = 30 мм, подано напряжение Иа = 4 кВ. Определить диаметр пятна на экране Э, расположенном вблизи анода. (1973 г)
6.134.	Действие времяпролетного масс-спектрометра основано на разделении ионов по времени пролета ими определенного расстояния. Но из-за разброса Аг> начальных скоростей даже одинаковые ионы долж
ны приходить к приемнику с некоторым разбросом А/ по времени. Для устранения этого недостатка используется электростатический отражатель, на выходе которого указанный разброс компенсируется (рис. 111). Оценить напряженность Е поля отражателя, необходимую для точной регистрации однозарядных ионов, прошедших путь L ~ 10 см с начальной энергией £ % 1 кэВ. Угол отражения считать малым. (1984 г)
6.135.	Поверхностное натяжение сферического мыльного пузыря о = 50дин/см, радиус г = 1 см, наружное атмосферное давление Р — 106 дин/см2. Какой заряд Q надо сообщить пузырю, чтобы его радиус увеличился вдвое? При каких размерах пузыря поверх-ностное натяжение практически _________ н Отражатель'У. не влияет на результат и при Источник ---->.----------зУ каких оно является опреде-
--------1 "	ляющим? (1969 г)
приемник^^ е' 6Л36- Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых квад-Рис. 111	ратных пластин, расположенных
в вакууме вертикально на расстоянии d = 1 мм друг от друга. Одна из пластин закреплена, а другая может двигаться без трения по гладким вертикальным направляющим. При какой разности потенциалов V между пластинами подвижная пластина не упадет вниз? Масса подвижной пластины М = 1 г, сторона квадрата а = 10 см. (1986 г)
6.137.	В цилиндрическом пропорциональном счетчике пучок частиц образует объемную ионизацию. Оценить время собирания ионов т в таком счетчике, наполненном аргоном при нормальном давлении. Радиус катода R = 1 см, радиус анода г = 2-10-2 см, разность потенциалов между анодом и катодом V — 2500 В, подвижность положительных ионова ргона ц = 1,4 см2/(В-с). (1974 г)
6.138.	В пространстве между пластинами плоского конденсатора, заполненного газом и подсоединенного к батарее, образуется пара ионов с зарядами ± е (е — заряд электрона). Какой заряд протечет в
176
цепи в результате движения ионов? Дать график зависимости тока от времени. Считать подвижность ионов в газе постоянной. (1983 г)
6.139. Основная трудность в методе коллективного ускорения тяжелых положительно заряженных частиц заключается в создании плотных электронных сгустков. Рассмотрите сферически симметричный сгусток радиусом r0 = 1 см, содержащий N= 10‘3 электронов; в начальный момент электроны неподвижны. Под действи-
ем сил кулоновского отталкивания сгусток начинает расширяться. Найти кинетическую энергию Т и скорость внешних электронов v при увеличении радиуса сгустка в два раза. Оценить время расширения сгустка. (1977 г)
6.140.	Электронный пучок линейного ускорителя представляет собой последовательность сгустков, следующих друг за другом с периодом Т = 3-10“10 с. Для измерения электрического тока ускоренных частиц используется цилиндр Фарадея (рис. 112), полностью поглощающий пучок. Цилиндр Фарадея заземлен через сопротивление R = 100 Ом, сигнал с которого подается через кабель на вход регистрирующего прибора с большим входным сопротивлением (/<„.»/?), который шунтируется емкостью кабеля С = 200 пФ (эквивалентная схема измерительной цепи дана на рисунке). Определить число элек
тронов в сгустке, если показание регистрирующего прибора U = 1 В. При решении воспользоваться тем, что регистрирующий прибор является инерционным (/?ВХС»/?С»Г). (1974 г)
6.141.	В опытах А. Д. Сахарова сверхсильные магнитные поля получались взрывным сжатием отрезка проводящей цилиндрической трубы, внутри которой создавалось начальное магнитное поле Во. Определить магнитное поле В в момент максимального сжатия трубы. Начальный внутренний радиус трубы R = 5cm,
а в момент максимального сжатия г = 0,5 см, начальное магнитное поле Во = 50 000 Гс. Оболочку, окружающую магнитное поле, счи-
тать идеально проводящей. Определить также давление Р, необходимое для получения такого сжатия. (1969 г)
6.142.	Сверхсильные магнитные поля получают взрывным сжатием отрезка проводящей трубы, в которой заключено начальное магнитное поле. Найти индукции полей до и после взрыва, если известно, что радиус трубы уменьшился в 10 раз при давлении от взрыва в 106 атм. (1971г)
6.143.	Тонкое металлическое кольцо быстро вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его диаметр и перпендикулярной однородному магнитному полю с индукцией В = 100 Гс. Пренебрегая трением в оси, найти время т, за которое угловая скорость
177
вращения уменьшается в е раз. Плотность материала кольца р = 9 г/см3, проводимость о = 5-105 Ом-1-см-1. Потери энергии за один оборот считать малыми. (1980 г)
6.144.	Однородно заряженное зарядом q непроводящее тонкое кольцо массой т быстро вращается вокруг своей оси во внешнем однородном магнитном поле В (рис. 113). Найти угловую скорость прецессии Q. (1971 г)
6.145.	Электрический диполь движется в однородном магнитном поле В со скоростью v, перпендикулярной В. Дипольный момент р составляет малый угол с направлением [vB] (рис. 114). Найти угловую частоту малых колебаний диполя соо, считая известными его момент инерции 70, скорость v, дипольный момент р и напряженность поля В. (1971 г)
6.146.	Тонкостенный металлический ста-в’	кан радиусом = 1 см, длиной I = 10 см и
’	’	массой М = 1 г и расположенный внутри та-
•	•	кой же длины и массы цилиндр радиусом
•	•	7?! = 1,5 см подвешены в вакууме на тонкой
•	I-\ • •	• •	нити в направленном вдоль их осей магнит-
•	।. ном поле В = 104 Гс (рис. 115). Цилиндр и
Рис. 114
zzzzzzz
стакан заряжены разноименными и одинаковыми по величине зарядами до разности потенциалов V = 3000 Вив какой-то момент внутренний цилиндр касается дна наружного стакана, и разность потенциалов падает до нуля. На сколько градусов повернется система в результате за 1 час? (1997 г)
6.147. По двум горизонтальным параллельным проводам, находящимся на расстоянии 2а = 1 см друг от друга, текут одинаковые по величине, но противоположно направленные токи силой 3 = 103 А. Точно посередине между проводами находится шарик с диамагнитной восприимчивостью х = —10-5 и плотностью р = 2,0 г/см3. Найти период Т малых колебаний шарика в горизонтальной плоскости. Считать, что вертикальное движение ша-
Рис. 115	рика отсутствует, трения при его движении
нет. (1986 г)
6.148! Чтобы заставить левитировать каплю воды в атмосфере кислорода эту систему помещали в неоднородное магнитное поле с градиентом ^^-= В^ = 4,2-108 (Гс)2/см
(Я. Икезоэ, Н. Хирота, Дж. Накагава и К. Китазава — 1998 г). Найти, при каком давлении Рх кислорода возможна левитация. Кислород
является парамагнетиком с магнитной восприимчивостью
178
х(О)г = 1,54-10-7 при давлении Ро = 1 атм и температуре 20 °C, а вода — диамагнетиком с восприимчивостью х(Н2О) = — 0,72-10~6. Плотность кислорода при этих условиях р(О2) = 1,43-10-3 г/см3. Температуру считать постоянной, размагничивающие поля (влияние формы) не учитывать. (2004 г)
6.149. На оси кругового витка радиусом г = 1 см на расстоянии Ь= 10 см от него в некоторый момент времени оказывается точечный магнитный диполь, параллельный оси витка и движущийся вдоль нее со скоростью v = 1 км/с. Оценить силу тока 3 в витке, если его сопротивление R — 0,001 Ом и величина магнитного момента диполя ц = 0,1 Гс-см3. (1986 г)
6.150. Найти относительное изменение частоты регулярной пре-
цессии намагниченного тяжелого гироскопа в поле тяжести, если при-
ложить магнитное поле с индукцией В = 1 кГс, направленное вертикально вверх. Намагниченность I считать постоянной, однородной и направленной по оси гироскопа, причем величина 4 л/ = 2 кГс, плотность материала гироскопа р = 8 г/см3 и расстояние от точки опоры до центра масс гироскопа Z = 2 см. (1980 г)
6.151. Некоторый ферромагнитный материал имеет остаточную намагниченность Zo = 500 Гс, а коэрцитивную силу = 500 Э, причем кривая намагниченности 1(ВГ) представляет собой четверть окружности (рис. 116). Из этого материала изготовлен постоянный магнит, представляющий собой тор квадратного сечения с поперечным разрезом. Внутренний радиус тора Г! = 1,5см, внешний —
г2 = 2,5 см, ширина разреза d = 5 мм. Определить величину магнит-
ного поля в зазоре. Рассеянием магнитного поля пренебречь. (1972 г)
6.152. В торцевых плоскостях на оси длинного соленоида помещают одинаковые магнитики объемом V = 1 см3 и намагниченностью 4л/ = 12,5 кГс, повернутые друг к другу разноименными полюсами, магнитики отпускают, и они затем слипаются в центре соленоида, замкнутого на сопротивление R = 1 Ом. Какой заряд Q протечет при этом в цепи соленоида, витки которого намотаны с плотностью п = 103 см-1? (1990 г)
6.153. Определить период малых крутильных колебаний магнитного бруска (5 = 1 мм2, Z = 10 см), подвешенного гори-
зонтально за середину на неупругом подвесе в магнитном поле Земли (горизонтальная составляющая Во = 0,2 Гс). Плотность стали р = 7,8 г/см3, остаточная индукция В = 10 кГс. (1968 г)
6.154. Компас располагают под проводом, по которому течет постоянный ток, на расстоянии R = 10 см от оси провода. Найти ток, при котором стрелка приподнимется над своей опорой. Остаточная индукция стали стрелки равна индукции насыщения В = 20 кГс. Плотность стали р = 7,8 г/см3. (1968 г)
179
6.155.	Одним из методов обнаружения гипотетического элементарного магнитного заряда — монополя Дирака, величина которого в гауссовой системе единиц g0 = Лс/(2е), может быть регистрация электрического тока, возникающего в сверхпроводящем кольце после прохождения сквозь него монополя. Оценить величину тока в кольце индуктивностью L = 0,l мкГн.
Указание. Гипотеза П. Дирака приводит к симметризации уравнений Максвелла, так что одно из них преобразуется к виду:
"X — — 1	— 4л 7
с eft с Р м’
где — ЭДС, возникающая в контуре, Ф — поток магнитной индукции, с/м — магнитный ток монополя или магнитный заряд, протекающий в единицу времени через площадку, ограниченную контуром. (1983 г)
6.156.	Монополь Дирака (элементарная частица массой М, обладающая магнитным зарядом />) находится строго посередине зазора между пластинами незаряженного разомкнутого плоского конденсатора, изготовленными из идеального сверхпроводника. Оценить частоту малых колебаний монополя в направлении нормали к плоскостям. При каком расстоянии между пластинами d эти колебания будут затухающими? Все размеры конденсатора много больше расстояния между пластинами. (1993 г)
6.157.	Над сверхпроводящей плоскостью параллельно ей на расстоянии h = 40 см находится сверхпроводящий длинный провод диаметром d = rl см, по которому течет ток 3 = 2 А. Провод находится под напряжением V = 1 кВ относительно плоскости. Вычислить силу взаимодействия единицы длины провода с плоскостью. Силой тяжести пренебречь. (2007 г)
6.158.	Точечный магнитный диполь с магнитным моментом 9Л = ЮООГс-см3 висит над поверхностью сверхпроводника 1-го рода (температура Г~0 К), у которого критическое магнитное поле Нс = 500 Э. Каков максимально допустимый вес диполя? Ось диполя перпендикулярна плоскости сверхпроводника. (1999 г)
6.159.	Частичка пыли радиусом r= 10-5 см взвешена в воздухе при комнатной температуре. Оценить магнитный момент частички (в ядерных магнетонах Бора), который возникает в результате «броуновского» вращательного движения. Заряд частички q — 10е, плотность р = 2 г/см3. (2004 г)
6.160.	Сепаратор частиц устроен следующим образом: на вход цилиндрического конденсатора с внешним и внутренним радиусами г2 и И попадают ионы разных масс и, двигаясь по окружности, попадают затем в магнитное поле В (рис. 117). Каково отношение M/q массы иона к его заряду, если он прошел этот сепаратор при напряжении на конденсаторе V, а радиус его траектории в магнитном поле равен Лт? (1996 г)
6.161.	В омегатроне (приборе для исследования газового состава в каком-либо объеме) ион остаточного газа раскручивается по спира-
180
ли в скрещенных переменном электрическом поле с амплитудой Е = 1 В/см и постоянном магнитном поле В = 3 кГс (рис. 118). Найти частоту, при которой ионы NJ будут достигать коллектора. При этой частоте радиус спирали будет возрастать до тех пор, пока ион не достигнет коллектора на радиусе R = 1 см. Если частоту немного изменить, то ион будет некоторое время раскручиваться, а потом начнет скручиваться обратно к источнику. Оценить, насколько надо изменить частоту, чтобы ток на коллектор прекратился. (1968 г)
Рис. 117
6.162. По цилиндрическому проводнику протекает ток, плотность которого j однородна по сечению. Концентрация электронов проводимости п. Пренебрегая сопротивлением и учитывая поле Холла, определить величину и направление вектора Пойнтинга в проводнике в зависимости от расстояния г до оси. Величины е = ц= 1. (1991 г)
6.163.	Одна из металлических пластин плоского конденсатора соединена с жесткой стенкой через пружину (рис. 119), а к другой (неподвижной) подводится переменное напряжение = 70 cos (<Щ/2), где со = 100 с-1 — резонансная частота механических колебаний пластины добротностью
Q = 100. Найти амплитуду х0 колебаний пла-	к
стины конденсатора. Расстояние между пласти-	-ШШПН
нами d = 1 мм, площадь пластины S = 5 см2, ее масса М = 1 г, а 70 = 100 В. (1997 г)
6.164.	При измерении добротности Q резонансного контура из параллельно включенных катушки с индуктивностью L = 0,1 Гн и сопро- z J>zz тивлением г = 30 Ом и конденсатора с емко-
Рис. 119
181
стью С = 30 пФ поступили следующим образом. Контур подключили к клеммам осциллографа и, включая и выключая ЭДС постоянного тока, наблюдали затухающие электрические колебания в контуре (рис. 120). Сравнить добротности контура при разомкнутой цепи батареи в случае, когда входное сопротивление R осциллографа очень
велико и когда оно конечно и равно 100 кОм. (1977 г)
6.165.	Конденсатор, заполненный сегнетоэлектриком, подключен к розетке переменного тока с частотой / = 50 Гц и напряжением U = 220 В. Через конденсатор с сопротивлением утечки R = 10 кОм течет ток
7 = 1 А. Зависимость электрического смещения D от напряженности Е электрического поля в сегнетоэлектрике, объем которого V — 100 см3, представляет собой петлю гистерезиса с площадью 5= 12,5 мДж/см3. Найти активное сопротивление гс и емкость С конденсатора. (1988 г)
6.166.	Дроссель подключен к розетке сети переменного тока с частотой / = 50 Гц и напряжением U = 220 В. Через обмотку с омическим сопротивлением г = 1 Ом течет ток / = 1 А. Мощность, выделяемая токами Фуко в пластинах сердечника, равна N = 10 Вт. Зависимость индукции В от напряженности Н магнитного поля в ферромагнетике сердечника, объем которого V = 100 см3, представляет собой петлю гистерезиса с площадью 5 = 25 кГс-Э. Найти активное сопротивление R и индуктивность L дросселя. Считать, что сердечник набран из тонких пластин и поле внутри сердечника однородное. (1988 г)
6.167.	Сердечник трансформатора изготовлен из пермаллоя (магнитомягкий сплав Ni с Fe, средняя атомная масса А « 57), его гистерезисная кривая, показанная на рис. 121, хорошо аппроксимируется прямоугольной петлей. Плотность пермаллоя р = 8 г/см3, обмотка создает в сердечнике поле// = Но sin 2л ft с амплитудой Но = 3 Э, час-
тота / = 50 Гц. Считая теплоемкость
В’10 Гс ‘	материала классической, оценить ско-
____1___________ рость нагрева сердечника, пренебрегая тепловыми потерями. (1999 г)
6.168.	Тонкая серебряная трубка с
^2 о 2 н*э толщиной стенки h = 0,1 мм помещена в однородное высокочастотное --------------- (/ = 1,5 ГГц) поле СВЧ-печки с амп-
-1	литудой Во = 10 Гс. Ось трубки на-
правлена вдоль линий магнитного по-
Рис. 121	ля Оценить время, через которое
температура трубки достигнет температуры плавления серебра /ПЛ = 961°С. Удельное сопротивление серебра р = 1,6-10“6 Ом-см и его удельную теплоемкость
182
с = 0,235 Дж/(г-К) считать независящими от температуры. Плотность серебра pAg = 10,5 г/см3. (2007 г)
6.169.	Определить добротность катушки, намотанной на тонкостенную медную трубку с внешним диаметром D = 2 см и толщиной стенок б — 0,05 см. Удельное сопротивление меди равно р = = 1,8-10—6 Ом-см. Катушка подключена к цепи переменного тока с частотой / = 50 Гц. Длины трубки и катушки считать одинаковыми и гораздо большими диаметра. (1974 г)
6.170.	Индуктивностью резонансного контура (/0 = 10 МГц) служит длинная однослойная катушка диаметром D = 10 мм. На сколько изменится резонансная частота контура, если внутрь катушки вставить на всю длину латунный цилиндр диаметром D/2? Сопротивление латуни р = 8-10“8 Омм. (1993 г)
6.171.	По оси длинного короткозамкнутого сверхпроводящего соленоида пролетает с постоянной скоростью г=105см/с намагниченный (М = 800 Гс) стальной цилиндр. Оценить максимальную силу тока <УМ в соленоиде. Внутренний диаметр соленоида Dc = 10,4 см, его длина Zc = 50 см, число витков N = 100. Диаметр стального цилиндра £>ц = 10 см, длина /ц = 60 см, проводимость стали а = 0,8 • 1017 с-1. Учесть, что на частотах, больших 103 Гц, магнитная проницаемость железа в полях, больших 104 Э, практически равна единице. (2002 г)
6.172.	По оси длинного короткозамкнутого сверхпроводящего соленоида с током сУ0 = 3 -103 А пролетает медный цилиндр с постоянной скоростью г = 105 см/с, Оценить максимальную силу тока Зы в соленоиде. Внутренний диаметр соленоида Dc = 10,4 см, его длина /с = 50 см, число витков N —100. Диаметр медного цилиндра £>ц=10см, длина /ц = 60см, проводимость меди а = 5,1  1017 с-1. (2002 г)
6.173.	Катушка колебательного контура	\
имеет добротность Q = 100. Если один виток ______ [
катушки замкнуть накоротко, то ее индук-	I
тивность почти не меняется, а добротность уменьшится вдвое. Определить по этим дан- )	— = X
ним число витков N катушки. (1985 г)	г
6.174.	Параллельный колебательный |___________________j
контур подключен, как показано на
рис. 122, через сопротивление R =10 кОм	Рис. 122
к источнику переменного напряжения. Ак-
тивное сопротивление катушки г = 5 Ом. Для измерения добротности колебательного контура к сопротивлению R подключили параллельно такое же сопротивление (замкнув ключ К). При этом амплитуда колебаний напряжения на контуре при резонансе токов увеличилась в 1,5 раза. Чему оказалась равной добротность контура, L > если известно соотношение между параметрами контура -^»г\ (2001 г)
183
6.175.	Для поддержания незатухающих колебаний в LCЯ-конту-ре (L = 4 -10“3 Гн, С = 10“10 Ф, R = 1 Ом) емкость конденсатора быстро изменяют на величину АС каждый раз, когда напряжение на нем равно нулю, а через время т = 6,4-10~8 с возвращают в исходное состояние. Определить величину и знак АС. (1993 г)
6.176!	Через конденсатор колебательного контура с резонансной частотой що=1О7с-1 параллельно пластинам пропускается электронный пучок, полностью заполняющий пространство между ними (ток = 1 мА, энергия £ = 1 кэВ, сечение пучка 5 = 100 см2). Насколько изменится резонансная частота? (1992 г)
6.177!	Телезритель, желая дать возможность супруге спокойно смотреть нескончаемый мексиканский сериал, купил второй телевизор и подключил его с помощью кабеля к разрезу такого же кабеля, идущего от антенны к первому телевизору. Оба телевизора оказались включенными параллельно. Считая, что до переделки кабель был согласован как с телевизором, так и с антенной (отраженных волн в кабеле не было), найти, во сколько раз уменьшилась после переделки амплитуда сигнала на входе телевизора. (1997 г)
6.178.	Генератор электромагнитного излучения с длиной волны X — 8 мм и мощностью N = 1 Вт настроен на основную моду прямоугольного резонатора с металлическими стенками, объем которого V = 0,2 см3 и добротность Q= 103. Система соединения генератора и резонатора обеспечивает полное поглощение энергии генератора внутри резонатора. Определить максимальную напряженность электрического поля в резонаторе. (1988 г)
6.179.	Прямоугольный сверхпроводящий резонатор высотой h = 3 см имеет в плане форму квадрата со стороной а = 10 см. Изнутри резонатор покрыт сверхпроводником, критическое магнитное поле Нс которого в условиях опыта равно 1 кЭ. Во избежание пробоя напряженность Е электрического поля всюду не должна быть больше Ео — 30 кВ/см. Измеренная на низшей резонансной частоте добротность резонатора Q оказалась равной 106. Какую мощность N можно подводить непрерывно к резонатору на !	этой частоте, чтобы поддерживать коле-
---- г0 |	---- бания с максимально допустимой амп-
* I	литудой? (1990 г)
--------------- 6.180. Тороидальный квазистацио----------------- нарный СВЧ-резонатор, показанный на j---------------рис. 123, изготовлен из сверхпроводни-
------------------------------------------ ка I рода, критическое магнитное поле которого равно Нс = 500 Э. Какая мак-Рис. 123	симальная напряженность электри-
ческого поля может быть получена между его емкостными обкладками радиусом г0 = 3 см? Резонансная частота соо = 6-109 с-1. (1999 г)
6.181.	В качестве дилатометра — прибора для измерения смещений — В. М. Пудалов и М. С. Хайкин в 1968 г. использовали ко-
184
аксиальный резонатор (X = 3 см), являвшийся частью автогенератора. Нижняя стенка резонатора может легко перемещаться. Оценить, какое минимальное смещение может быть зерегистрировано, если величина зазора между подвижной стенкой резонатора и центральным стержнем d = 2 мкм, а нестабильность частоты автогенератора
А/ = 500 Гц. Радиус внутреннего стержня r»d (рис. 124). (2005 г)
6.182.	В 1963 г. П. Л. Капица осуществил измерение амплитуды электромагнитного поля в объемном резонаторе при помощи полого металлического шарика радиусом а = 10 мм и массой т = 1 г, подвешенного на нити длиной h = 125 мм. Подвес вместе с шариком можно было перемещать вдоль оси резонатора длиной 2/ = 20 см. Возбуждались
колебания Е-типа, при которых амплитуда аксиального поля на оси резонатора изменялась по закону £„(z, Z) = £0 cos (nz/2Z) cos со/, £0 = 3000 В/см, Я = 0. Найти максимальное отклонение шарика,
координата z здесь отсчитывается от левого торца резонатора (рис. 125). (2006 г)
6.183.	В 1963 г. П. Л. Капица осуществил измерение амплитуды электромагнитного поля в объемном резонаторе при помощи полого металлического шарика радиусом а = 10 мм и массой т = 1 г, подвешенного на нити длиной
h = 125 мм. Шарик можно было перемещать Рис. 125
вдоль оси резонатора длиной 'll — 20 см. В резо-
наторе возбуждались колебания Н-типа, при которых амплитуда ак-
Рис. 126
сиального поля на оси резонатора изменялась по закону Z/.(z, Z) = Яо sin (jrz/2Z) cos ш1, a E = 0. Найти Z/o, если максимальное отклонение шарика было равно А = 0,5 мм. Считать, что толщина скин-слоя много меньше толщины стенки шарика. Координата z здесь отсчитывается от левого торца резонатора (рис. 126). (2006 г)
6.184.	Подводная лодка, находящаяся на глубине L = 50 м, принимает сигнал на частоте / = 1 кГц. Чувствительность приемника Е= 1 мкВ/см. Найти амплитуду сигнала в воде у поверхности моря. В объеме V = 1 л морской воды содержится т = 35 г NaCl. Степень диссоциации соли равна г] = 0,5,
n(Na+) = 5,2-10-4 см2/(В-с) и и(С1“) = 8-10“4 см2/(В-с). (2006 г)
6.185.	Непрерывное лазерное излучение (/гео =10 эВ) фокусируется на плоскую поверхность металла в вакууме. Работа выхода металла А = 4 эВ. В результате фотоэффекта вблизи поверхности металла образуется стационарное облако фотоэлектронов, а сама поверхность заряжается положительно, т. е. возникает двойной
подвижность ионов:
185
слой. Толщина двойного слоя a<crf= 1 см — радиуса пятна в фокусе. Определить дипольный момент d двойного слоя. (1994 г)
6.186.	Непрерывное лазерное излучение (Йсо=1ОэВ) с плотностью потока /=10бВт/см2 падает на плоскую поверхность металла в вакууме. Работа выхода металла А = 4 эВ. В результате фотоэффекта вблизи поверхности металла образуется стационарное облако фотоэлектронов, а сама поверхность заряжается положительно, т. е. возникает двойной слой. Считая, что электроны вырываются из металла с одинаковой скоростью и что скорость фотоэлектронов в каждой точке облака направлена перпендикулярно поверхности, найти концентрацию электронов в точке, где потенциал двойного слоя уменьшается вдвое. Вероятность поглощения фотона электроном металла а= 10-3. (1994 г)
6.187.	Непрерывное лазерное излучение (Йсо = 10 эВ) фокусируется на плоскую поверхность металла в вакууме. Работа выхода металла А < ha>, поэтому в результате фотоэффекта вблизи поверхности металла образуется стационарное облако фотоэлектронов, а сама поверхность заряжается положительно, т. е. возникает двойной слой. Полагая, что радиус пятна в фокусе rf = 1 см» а — толщины двойного слоя, найти работу выхода А, если дипольный момент двойного слоя d = 1,5 В-см2. (1994 г)
6.188.	Оценить, с какого расстояния можно видеть раздельно свет от двух фар автомобиля. (1981 г)
6.189.	Фотографирование пейзажа во время снегопада производилось с фотовспышкой. На фотографии (рис. 127) оказались видны многочисленные резко очерченные круги различного диаметра. На каком расстоянии от объектива с фокусным расстоянием f = 38 мм находилась снежинка, которая на фотографии 10 х 15 см выглядит в виде круга диаметром D = 5 мм? Фотоаппарат считать однолинзовым, диаметр зрачка фотоаппарата d = 5 мм, размер фотокадра 24 х 36 мм. (2005 г)
6.190.	Излучение фтористо-водородного лазера, работающего в одномодовом режиме на длине волны X = 3 мкм, формируется зеркалами диаметром D = 3 м. На каком максимальном расстоянии L может находиться мишень, чтобы плотность потока энергии на ней была практически равна плотности потока на зеркале? (1986 г)
6.191.	Положение летящего самолета определяется радиолокатором, излучающим импульсы длительностью 3 мкс.
186
Диаметр антенны D = 4 м. С какой точностью можно определить высоту полета самолета, если расстояние до самолета L — 100 км, длина волны радиоизлучения X = 10 см. При каком размере антенны достигается минимальная погрешность в определении высоты и чему она равна? (2004г)
6.192.	Для подавления систем управления в космосе посредством электромагнитного индукционного воздействия на полупроводниковые приборы средняя напряженность Е электрической компоненты поля излучения должна быть, по оценкам, Е— 100В/см. Оценить мощность источника миллиметрового излучения (длина волны X — 1 мм), проходящего сквозь атмосферу практически без поглощения, чтобы с поверхности Земли можно было нарушить работу системы управления на расстоянии L 1000 км, если излучение направляется антенной с зеркалом диаметром D 10 м. (1989 г)
6.193.	Источником света является торец газоразрядной трубки диаметром d = 6 мм, средняя длина волны X = 0,6 мкм, ширина доплеровского контура линии излучения А/ = 1,5 ГГц. Оценить расстояние от торца трубки, при котором длина когерентности излучения сравнима с радиусом поперечной когерентности.
Указание. Если за источником света поместить экран с двумя малыми отверстиями, то интерференционная картина за экра
ном пропадает, когда расстояние между отверстиями равно радиусу поперечной когерентности света. (1999 г)
6.194.	Оценить объем когерентности видимой части спектра сол-
нечного света вблизи поверхности Земли. Угловой диаметр Солнца
ф — 10 2 рад. (2002 г)
6.195.	Для записи голограммы Френеля предмета используется плоская монохроматическая волна с X = 7000 А. Восстановление изо-
бражения производится вначале той же волной, а затем волной с X = 3500 А. Как изменится при этом минимально разрешимый поперечный размер деталей изображения?
Указание. Масштабные изменения удобно анализиро-
л
о
U	I
(АО	£'
вать на примере голограммы то-
Рис. 128
чечного источника. (2002 г)
6.196.	Радиолокационная станция принимает сигнал, отражен-
ный от Луны, поднимающейся из-за горизонта. После усиления сигнал смешивается в детекторе с опорным сигналом излучаемой частоты 10 ГГц, а затем с детектора подается на вход усилителя низкой частоты. Какая частота может наблюдаться на выходе этого усилителя? Считать, что станция установлена на экваторе, плоскость орбиты Луны совпадает с плоскостью экватора. (1988 г)
6.197.	Дифракционная решетка шириной а = 3 см с числом штрихов N = 104 освещается параллельным пучком света от натриевой лампы Л. Пучок формируется с помощью щели S шириной
Э
187
б = 0,05 мм, помещенной в фокусе линзы L с фокусным расстоянием f = 10 см (рис. 128). Далее следует стандартное фраунгоферово расположение. В каком порядке спектра на экране Э может быть разрешен желтый дублет натрия (588,996 и 589,593 нм)? (1992 г)
6.198.	Дифракционная решетка шириной а освещается параллельным пучком света от натриевой лампы, при этом а 6Х»Х2, где X — средняя длина волны, а 6Х — расстояние между линиями дублета. Далее на расстоянии I помещена линза Л диаметром £>, а в ее фокальной плоскости — экран Э наблюдения (рис. 129). Какому условию должно удовлетворять расстояние I, чтобы желтый дублет натрия (588,996 и 589,593 нм) разрешался на экране? (1992 г)
6.199.	Электрон движется в вакууме со скоростью v вблизи поверхности дифракционной решетки с периодом d. Скорость электрона параллельна поверхности решетки и перпендикулярна к ее штрихам. Какие длины волн могут излучаться под углом 6 к нормали решетки в
результате взаимодействия электрона с решеткой (Эффект Смита— Парселла)? (1969 г)
6.200.	Монохроматический источник света заданной частоты движется равномерно по нормали к дифракционной решетке длиной L = 5 см и периодом d = 10“3 см. Какую минимальную нерелятивистскую скорость источника можно обнаружить, наблюдая дифракцию первого порядка? (2007 г)
6.201.	Наблюдается фраунгоферова дифракция монохроматического света с длиной волны X = 0,6 мкм на плоской амплитудной решетке. Как изменятся расстояние между дифракционными максимумами и интенсивность нулевого максимума, если каждую вторую щель закрыть полимерной пленкой толщиной d = 13,5 мкм, показатель преломления которой п = 1,1? Отражением света от пленки пренебречь. (1985 г)
6.202.	Параллельный пучок импульсного лазера с длительностью импульсов 1 пс падает нормально на дифракционную решетку с высоким разрешением. Излучение, дифрагированное под углом 45° к оси падающего пучка, регистрируется быстродействующим фотоприемником, установленным в фокусе удаленного от решетки объектива диаметром D = 3 см. Оценить длительность импульсов, регистрируемых фотоприемником. Считать, что оптическая плоскость объектива установлена перпендикулярно оси дифрагированного пучка, разрешение определяется дифракцией на объективе. (1988 г)
6.203.	Лазер испускает световые импульсы с центральной длиной волны X = 0,6 мкм, длительностью Т£ = 1 пс и скважностью (отношение периода повторения импульсов к длительности каждого из них) Qi = 103. Это излучение пропускается через монохроматор с разрешающей способностью R = 5-104. Оценить скважность импульсов Q по выходе из монохроматора. (1988 г)
188
6.204. Для дифракционной решетки с числом штрихов А = 500 штрих/мм предел разрешения в спектре первого порядка отвечает линиям с разностью длин волн 6Х = 1 А при средней длине волны X = 0,6 мкм. Изображение спектра получается на экране с помощью линзы. Определить минимальный допустимый диаметр линзы D, при котором изображение спектра может быть разрешено. (1979 г)
6.205. На дифракционную решетку с N=105 числом щелей,
ширина которых равна половине периода, нормально падает плоская волна. Дифракционная картина фокусируется линзой на фотопластинку. Оценить допустимые изменения атмосферного давления в лаборатории во время экспозиции, чтобы можно было полностью использовать разрешающую способность решетки. Показатель преломления воздуха п связан с атмосферным давлением Р (в паскалях) соотношением п — 1 = 3- 10-9Р. (1996 г)
6.206. При измерении угловых размеров удаленных источников методом Физо перед объективом телескопа, имеющего фокусное расстояние F, устанавливается экран с двумя параллельными щеля-
ми шириной D, расположенными на расстоянии d друг от друга.
Рассчитать распределение интенсивности о/(х) в фокальной плоскости объектива для случая точечного источника, испускающего свет
длиной волны X, и определить, сколько интерференционных полос можно наблюдать в пределах главного интерференционного макси-
мума. (1996 г)
6.207. С помощью интерферометра Фабри—Перо исследуется выделенный системой фильтров участок спектра шириной АХ = 2 А. Минимальная разность длин волн , соседних спектральных линий 6Х = 0,01 А. Оценить максимальное значение коэффици-ента пропускания т = 1 — р (где р — коэффициент отражения зеркал по энергии), при котором разрешаются соседние линии. (1979 г)
Рис. 130
6.208. Полупроводниковый лазер на длину волны X = 1 мкм представляет собой
кристалл полупроводника, на грани которого нанесены зеркала, образующие резонатор Фабри-Перо. Определить расстояние между модами колебаний лазера АХ. Длина резонатора L = 6-10-2 см, показатель преломления полупроводника в рабочей области длин волн п = 3,1, а дисперсия dn/dX = —1,2-104 см-1. (2001 г)
6.209. В одно из плеч радиоинтерферометра Майкельсона вместо
отражающего зеркала помещена непоглощающая пластина с полупрозрачной передней и зеркальной задней стенками (рис. 130). Толщина пластины d = 2 мм, показатель преломления п = 5, спектр падающего излучения простирается от 0 до НО ГГц. При перемещении
зеркала во втором плече детектор регистрирует ряд пиков интенсивности излучения. Каково расстояние между пиками в единицах длины перемещения зеркала? (1993 г)
189
6.210.	Кварцевая пластинка Х/2 используется как анализатор степени поляризации лазерных импульсов. Оценить минимальную дли
тельность лазерных импульсов, для которых еще можно пользоваться таким анализатором, если длина волны света X = 0,63 мкм, а коэффициенты преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей в кварце п0 = 1,5442 и пе = 1,5533 соответственно. Дисперсией показателей преломления пренебречь. (1986 г)
6.211.	В опытах Р. Бета (R.Beth, 1936) впервые был измерен угловой момент фотона. В этих экспериментах (рис. 131) линейно поляризованный свет, направление поляризации которого показано стрелкой, интенсивностью /0 = 1 Вт/см2 и длиной волны X = 5000 А
проходил снизу вверх через нижнюю пластинку Х/4, затем через под-
вешенную на торсионном маятнике пластинку Х/2, у которой оси по-
вернуты на 90°, попадал на пластинку Х/4 с посеребренным верхом, отражался и проходил в обратном направлении. Какой вращательный момент передавался пластинке Х/2 площадью 5 = 5 см2? Поглощением света пренебречь. (2001 г)
6.212.	Параллельный монохроматический пучок света проходит через диафрагму, а затем фокусируется линзой. Во сколько раз увеличится напряженность поля электромагнитной волны в фокальной плоскости линзы, если площадь диафрагмы увеличить вдвое? (2007 г)
6.213.	Луч лазера фокусируется идеальной оптической системой со
светосилой F/D=\. Оценить мощ-
Рис. 131	ность лазера Ж, при которой в элект-
рическом поле фокуса системы электроны смогут приобретать энергию "тс2. Как W зависит от длины волны X? Какова будет при этом величина магнитного поля в фокусе? (1968 г)
6.214.	Солнечное излучение фокусируется линзой диаметром D = 5 см и фокусным расстоянием F = 10 см. Оценить напряженность электрического поля в фокусе. Солнечная постоянная Jc = 1,37 кВт/м2, угловой диаметр Солнца ас = 10~2 рад. (1997 г)
6.215.	Лазерный пучок (Х = 0,532 мкм) диаметром D = 2,5 мм фокусируется линзой с фокусным расстоянием F = 25 см. Оценить продольные и поперечные размеры области фокальной перетяжки пучка. В качестве длины перетяжки считать расстояние, на котором в приближении геометрической оптики радиус пятна равен радиусу перетяжки. (2005 г)
6.216.	Для защиты от механических повреждений стёкла современных очков покрывают алмазной пленкой. Какая часть падающе-
190
го светового потока отражается от пленки на длине волны X = 6000 А, если толщина пленки равна d = 625 А, показатель преломления стекла п2 = 1,7, алмазной пленки п[ = 2,4? (1997 г)
6.217.	На поверхность стеклянной пластинки нанесена просветляющая в желтой области спектра (Хж = 6000 А) пленка минимальной толщины с коэффициентом преломления пп = 1,3. Какая доля падающего по нормали к пластинке фиолетового света (Хф = 4000 А) отразится? Коэффициенты преломления не зависят от длины волны. (2006 г)
6.218.	На тонкую плосковыпуклую линзу с фокусным расстоянием f = 10 см со стороны плоской части с радиусом R = 2 см нормально падает параллельный поток монохроматического излучения с интенсивностью 1 = 10кВт/см2. На линзу нанесено просветляющее покрытие. Найти силу, действующую на линзу. Стекло считать идеальным (без потерь). (2004 г)
6.219.	На плоскопараллельную прозрачную пластинку с показателем преломления п падает нормально плоская монохроматическая электромагнитная волна. Толщина пластинки равна длине волны в пластинке. Найти амплитудный коэффициент отражения г от пластинки. (1966 г)
6.220.	Импульс излучения неодимового лазера (X = 1,05 мкм) с длительностью т = 10-8 с и диаметром лазерного пучка D = 0,5 см фокусируется линзой с фокусным расстоянием F = 10 см на поверхность образца из алюминия. Оценить энергию лазерного импульса, необходимую для нагрева алюминия до температуры плавления. Коэффициент теплопроводности алюминия х = 2,1 Вт/(см-К), температура плавления /пл = 2200 °C, плотность р = 2,7 г/см3, коэффициент поглощения а — 10%. (1996 г)
6.221.	Для увеличения производительности установки для лазерной резки, в которой излучение фокусируется линзой на поверхность металла, используются лазерные сборки — устройства, объединяющие группу лазерных трубок, излучающих синхронизированные (когерентные) между собой световые пучки. Оценить, во сколько раз изменится производительность установки при переходе от одной лазерной трубки диаметром d к сборке с общим диаметром D = 10(7. Коэффициент заполнения (отношение суммарной площади лазерных трубок к общей площади сборки) к = 0,8, распределение интенсивности в поперечном сечении лазерных пучков считать однородным. Считать, что все падающее на металл излучение поглощается. (2002 г)
6.222.	Параллельный пучок рентгеновских лучей с длиной волны X — 1 А падает на тонкую двояковыпуклую линзу из бериллия (плотность материала р= 1,85 г/см3) с поверхностями одинакового радиуса R = 40 см. Диаметр линзы считать равным D = 9 см. Найти угол расхождения пучка после линзы. (1981 г)
6.223.	Зеркало в виде сильно вытянутого параболоида вращения фокусирует мягкие рентгеновские лучи благодаря полному внутрен-
191
нему отражению при скользящих углах падения на далекие от вершины части параболоида (рис. 132). Оценить угол схождения паралель-
ного пучка лучей <р в фокусе параболоида для рентгеновских лучей с энергией <£ = 2 кэВ, если зеркало изго-
Рис. 132
товлено из бериллия (плотность бериллия р = 1,85 г/см3). (1970 г)
6.224.	Импульсное излучение пульсара СР 1919+ 21 на частоте Vj = 80 МГц достигает Земли на А/ = 7 с позже, чем соответствующий импульс на частоте v2 = 2000 МГц. Оценить расстояние L до пульсара, ес
ли известно, что средняя плотность
электронов в межзвездном пространстве N 0,05 см-3. (1975 г)
6.225.	С какой точностью должна быть стабилизирована температура одномодового лазерного резонатора, установленного на платформе из инвара, чтобы за счет флуктуации немонохроматичность излучения была порядка теоретической ширины лазерной линии Аю/щ = 10-14? Температурный коэффициент расширения инвара а = Ю-6 К”1. (2000 г)
6.226.	Лазер на СО2 излучает две близкие частоты vj и v2 (средняя длина волны X = 10,6 мкм). Излучение такого лазера смешивают в нелинейном кристалле с излучением лазера на Nd (Х3 = 1,06 мкм). Анализ излучения на комбинационных частотах (v1 + v3 и v2 + v3)
показал, что соответствующие им длины волн отличаются на 6Х = 5 А. Определить разность длин волн АХ = Xх — Х2 излучения лазера на СО2. (1978 г)
6.227.	Найти время распространения электромагнитного импульса заданной частоты вдоль основания стеклянной призмы с разрешающей силой R = 104. Длина волны в веществе X = 9,35-10-5 см. «Оптическая длина» основания призмы составляет L = 17 см. (2003 г)
6.228.	При прохождении света через среду наряду с упругим происходит и неупругое рассеяние фотонов, связанное, в частности, с их взаимодействием с колебательными степенями свободы молекул — комбинационное рассеяние. Оценить отношение интенсивностей фиолетового и красного спутников в спектре рассеянного монохроматического излучения от молекул четыреххлористого углерода СС14 при температуре t = 27 °C, если известно, что для соответствующих гармонических колебаний величина 1/Х = 217 см-1. (1993 г)
6.229.	В методе внутрирезонаторной лазерной спектроскопии (ВРЛС), предложенном и реализованным в 1970 г. А. Ф. Сучковым и Э. А. Свириденковым, непосредственно в резонатор широполосного лазера вносится кювета с поглощающим веществом. Отношение длины кюветы к длине резонатора а = 0,9. Спектр поглощения исследуемых линий проявляется в виде провалов глубиной AZ в спектре выходного излучения /0. Оценить минимальное значение коэффициен
192
та поглощения х, которое возможно зарегистрировать методом ВРЛС при длительности генерации т = 200 мс. Считать, что минимально регистрируемое поглощение Д7/70 составляет 5%. (2004 г)
6.230.	Резонансное поглощение света было обнаружено впервые Р. Вудом в 1904 г. Может ли наблюдаться резонансное поглощение атомами 39К оптического излучения от 41К? Температура паров калия равна t — 200 °C. (1999 г)
6.231.	Лазерное разделение изотопов основано на селективном возбуждении изотопов одного сорта. Для эффективного разделения необходимо, чтобы изотопический сдвиг линии поглощения был не менее полуширины линии. Оценить максимальную температуру паров натрия, чтобы можно было таким способом выделить изотоп 22Na из смеси изотопов 22Na и 23Na. (1999 г)
6.232.	Энергия возбуждения ядра может быть измерена по изомерному сдвигу частоты спектральной линии атома за счет утяжеления возбужденного ядра на величину АМ = <(яд/с2 (В. С. Лето-хов, 1972). При измерении частоты спектральной линии паров атомов при температуре Т для этого необходимо, чтобы изомерный сдвиг был больше доплеровского уширения. При какой температуре это условие будет выполнено для атома с Л = 100 и энергии изомерного уровня ядра £яд = 0,3 МэВ. (1999 г)
6.233.	В ионосфере Земли (на высоте ~ 100 км), где концентрация свободных электронов N = 105 см-3 и постоянное магнитное поле В = 0,5 Гс, вдоль силовых линий магнитного поля могут распространяться электромагнитные волны (так называемые геликоны или свистящие атмосферики) с законом дисперсии вида: к2 = (4л7Уесо)/(сВ), где к — волновое число, со — угловая частота. Найти фазовую и групповую скорости таких волн, если со = 106 см-1. (1990 г)
6.234.	Коэффициент преломления п для электромагнитных волн с частотой v, распространяющихся в чистых полупроводниках вдоль магнитного поля В, выражается формулой: п2 = (2Nec)/(yB), где N — концентрация электронов. Оказалось, что на частоте v = = 33 ГГц при изменении поля В следующие друг за другом резонансы стоячих волн в пластине полупроводника толщиной d = 1 мм наблюдаются при В{ — 3,6 кГс и Bi = 8,1 кГс. Найти концентрацию электронов. (1990 г)
6.235.	Плазма заполняет полупространство х > 0, причем концентрация электронов растет вглубь по закону N(x) = р.х; ц = const. Перпендикулярно границе х = 0 падает электромагнитный волновой пакет со средней частотой со, уходит в плазму, отражается от зоны критической плотности и через некоторое время т регистрируется при х = 0. Определить время т. (1992 г)
6.236.	При изучении прохождения плоской электромагнитной волны с частотой v = 8 МГц через плоские однородные слои плазмы с концентрацией свободных электронов N = 106 см-3 найдено, что энергетические коэффициенты пропускания волны отличаются в 10 Раз для слоев плазмы, толщины которых отличаются в два раза. Пре-
193
небрегая интенсивностью волны, отраженной от задней границы каждого слоя, найти их толщины d{ и d2- (1980 г)
6.237. Ракета-зонд, на борту которой установлен передатчик радиосигналов с частотой /о = 10 МГц, движется вертикально вверх со
скоростью v = 0,6 км/с. При прохождении верхних слоев атмосферы принимаемый на Земле сигнал оказался смещенным по частоте на А/ = 10 Гц. Оценить плотность электронов в верхних слоях атмосферы. (2005 г)
6.238.	Плоский слой плазмы толщиной d нагревается мощным лазерным излучением (рис. 133). Длина свободного пробега фотона (по отношению к поглощению) <х го3Т|/2/м2, где го — частота лазерного
излучения, п и Т — концентрация и температура плазмы. Опреде-
лить зависимость установившейся температуры плазмы от п, d, го, если в процессе нагрева слой не разлетается, кТ, продольный размер слоя много больше d. Нагрев  плазмы в установившемся состо- янии компенсируется потерями. (1994 г)
	6.239. Найти проводимость  плазмы а с концентрацией электронов пе и числом столкнове-
ний в единицу времени ve, предполагая, что электрон при стол
кновении с ионом полностью те-
ряет направление своего импульса. (1996 г)
6.240.	Плазменный шнур удерживается с помощью магнитного поля, параллельного оси шнура, вследствие того, что поле не проникает внутрь плазмы. Оценить величину магнитного поля, необ
ходимого для удержания плазмы, если концентрация частиц плазмы п= 1016см-3, а ее температура Т = 108 К. (1973 г)
6.241.	Z-пинч представляет собой плазменный шнур, вдоль оси которого течет ток S. В равновесии давление его собственного магнитного поля уравновешивает газокинетическое давление плазмы. В одной из моделей плазма считается нейтральной с однородным распределением плотностей частиц и тока по поперечному сечению шнура. Оценить температуру Т плазмы на оси шнура. Принять, что внешний радиус шнура R = 5 см, сила тока S = 400 кА, плотность частиц п = 1016 см-3, магнитная проницаемость плазмы р. = 1. (1987 г)
6.242.	Рельсотроном называют два параллельных проводника, закороченных свободно лежащей на них медной проволочкой. При пропускании по системе импульса тока со средней силой 3 = 1 МА, проволочка испаряется, а образующаяся проводящая плазма разгоняется магнитным полем тока, толкая перед собой непроводящий снаряд массой М = 1 г. Оценить его конечную скорость v. Длина рельсотрона I — 1 м, линейные размеры снаряда равны примерно расстоянию между проводниками. (1989 г)
194
6.243.	Плазменной пушкой Бостика называют систему коаксиальных проводников, между которыми приложено высокое напряжение. При впрыскивании в один из концов системы порции водорода возникает разряд и образуется проводящая плазма, которая разгоняется магнитным полем тока. Оценить конечную скоростью облака плазмы. Длина пушки I = 1 м, внешний диаметр D\ = 5 см, внутренний D2 = 2,5 см, средняя сила тока в импульсе 3 = 0,1 МА, плотность водорода р = 0,1 мг/см3. Линейные размеры облака плазмы равны примерно внутреннему диаметру пушки. (1989 г)
6.244.	Оценить показатель преломления неполярного диэлектрика со статической диэлектрической проницаемостью е(0) = 1,5 на частоте, равной удвоенной частоте собственных колебаний электронов. Считать поле, действующее на атом, равным внешнему. (1984 г)
6.245.	Пучок электронов, проходя через воздух, порождает че-ренковское излучение под углом а = 3° к направлению движения электронов. Считая показатель преломления воздуха при нормальных условиях равным 1,0003, оценить минимальное давление воздуха (при нормальной температуре), для которого возможен указанный процесс. (2005 г)
6.246.	Пучок протонов, полная энергия которых £ = 5 ГэВ, направляется в контейнер с углекислым газом. При каком давлении газа возникнет черенковское излучение? Известно, что при нормальном давлении п0 — 1 = 0,00045 (п0 — показатель преломления газа). (1983 г)
6.247.	Определить кинетическую энергию „	£3!
Т протона, если при движении в азоте он вы- -------
зывает свечение Вавилова—Черенкова при	К/Я
давлении Р = 50 атм и выше. Показатель пре- Qh)
ломления азота при нормальном давлении ра- //W//J//M///////////// вен п= 1,0003. (1973 г)	@
6.248.	Пи-мезоны и мюоны с импульсами
р = 140 МэВ/c проходят через прозрачное ве-	РиС. 134
щество. Найти диапазон показателей прелом-
ления этого вещества, при которых только мюоны будут создавать свечение Вавилова—Черенкова. Энергии покоя пионов и мюонов равны соответственно тлс2 140 МэВ, т^с1 106 МэВ. (1970 г)
6.249.	На плоскую границу раздела двух сред падает под некоторым углом гр световой импульс из плоских волн (рис. 134). Он образует на плоскости раздела бегущий световой «зайчик». Показать, что направления преломленной и отраженной волн совпадают с направлениями образующих конуса черенковского излучения электрона, движущегося вдоль поверхности раздела с той же скоростью, что и световой «зайчик». (1977 г)
6.250!	В жидком гелии вокруг электрически заряженной частицы, например, иона Не+, образуется область повышенного давления и в непосредственной близости от заряда гелий затвердевает. Причиной повышения давления является притяжение атомов гелия к
195
электрическому заряду за счет поляризуемости их электронной оболочки. Найти радиус R образовавшегося шарика из твердого гелия, если плотность твердого гелия р = 0,145 г/см3, молярная поляризуемость aNA = 0,125 см3/моль, а давление затвердевания Ртв = 25 атм. Пренебречь сжимаемостью гелия. Внешнее давление отсутствует. Считать, что размер шарика значительно превышает атомный размер. (1966 г)
6.251!	Определить, на какую высоту втянется в магнитное поле с индукцией В = 1 Тл жидкий кислород при Т = 80 К. На внешней оболочке молекулы О2 находятся два электрона в состоянии с нулевым орбитальным моментом и параллельными спинами. (1967 г)
6.252.	В Серпуховском протонном ускорителе частицы ускоряются до энергии 76 ГэВ, двигаясь в течение двух секунд в нарастающем магнитном поле по замкнутой кольцевой орбите радиусом R = 194 м. Оценить минимальную мощность генераторов, необходимую для питания магнитов ускорителя, если площадь между полюсами магнитов составляет S = 16 х 40 см2. (1979 г)
6.253.	Рассмотрим эксперимент по измерению круговой поляризации у-излучения. Ожидаемая степень поляризации равна 10“7. (Такое слабополяризованное у-излучение получается, например, в результате реакции n + р = 2d + у вследствие несохранения пространственной четности при слабых взаимодействиях). Измерение производится с помощью поляриметра, в котором разделяются потоки у-квантов с разным знаком круговой поляризации. Какое минимальное время потребуется для измерения примеси круговой поляризации с точностью 10%, если имеется источник излучения с интенсивностью 1012 квантов/с? (1970 г)
6.254.	При поглощении поляризованного пучка электронов веществом происходит их полная деполяризация. Найти изменение энтропии вследствие деориентации спинов пучка, содержащего 106 электронов. (1970 г)
6.255.	Оценить, при какой плотности потока лазерного излучения может произойти пробой вакуума, т. е. разрыв виртуальных электрон-позитронных пар? (1992 г)
6.256.	Оценить, какую минимальную энергию должен иметь импульсный лазер (А. = 1,25 мкм, т = 100 фс). чтобы движение электрона в поле излучения было релятивистским. (2005 г)
6.257!	Оценить отношение потоков нейтрино и фотонов на поверхности звезды, в которой происходит превращение водорода в гелий. Нейтрино образуется в реакции: р + р—»d + е+ + ve. Остальная энергия, выделяющаяся при синтезе 4Не из водорода, в конечном счете переходит в энергию электромагнитного излучения. Считать горение звезды стационарным, а температуру на поверхности звезды Т = 5000 К. (1980 г)
6.258.	Считая, что основным источником энергии Солнца являются термоядерные реакции водородного цикла в конечном виде:
196
4р—»|Не + 2е+ + 2ve + 27 + 25 МэВ,
оценить плотность потока нейтрино jv вблизи Земли. Принять, что температура поверхности Солнца Т = 6000 К, угловой диаметр его, видимый с поверхности Земли, а = 0,01 рад. (1989 г)
6.259.	Согласно П. Дираку энергия электрона в вакууме может принимать значения как от пгс2 до + оо, так и от — оо до —тс2, однако все состояния с отрицательной энергией заняты, и это «море Дирака» реально не проявляется в физических процессах. При переходе электрона из «моря» отрицательных значений в состояние с £ > тс2 рождается пара электрон + «дырка», т. е. электрон—позитронная пара, точно так же, как это происходит в собственном полупроводнике. Используя эту аналогию, оценить равновесные концентрации электронов и позитронов при температуре Т=108К. (2000 г)
6.260!	Согласно П. Дираку энергия электрона в вакууме может принимать значения как от тс2 до + <», так и от —<» до —тс2, однако все состояния с отрицательной энергией заполнены, и это «море Дирака» реально не проявляется в физических процессах. При переходе электрона из «моря» отрицательных значений в состояние с £ > тс2 рождается пара электрон + «дырка», т. е. электрон-позитронная пара (см. задачу 6.259). Оценить в квазиклассическом приближении вероятность такого процесса в однородном статическом электрическом поле с напряженностью £ « 1015 В/см (такое поле имеется у поверхности тяжелых ядер). (2000г)
6.261!	Советский физик Г. А. Аскарьян предложил использовать в качестве сверхмощных импульсных источников нейтронов ядерные микровзрывы миллиграммовых количеств делящихся веществ. Для перевода делящегося вещества в критическое состояние он предлагал сжимать такие микродозы импульсным лазерным излучением. Оценить, во сколько раз нужно уменьшить радиус шарика из 235U массой 50 мг, чтобы началось размножение нейтронов. Какое давление развивается в веществе непосредственно перед началом цепной реакции, если процесс сжатия считать адиабатическим? Валентность урана принять равной 2. Для быстрых нейтронов деления а(п, /) = 2 бн, &(п, у) =0,1 бн, плотность урана р = 18,7 г/см3. (2000 г)
6.262!	В сверхпроводниках II рода с большим количеством примесей эффективная длина пространственной когерентности электронов равна среднему геометрическому между и средним расстоянием между примесными атомами. Оценка полей, до которых сохраняется сверхпроводимость в таких веществах, может быть получена из следующего условия: ларморовский радиус закручивания пары как целого в магнитном поле не должен быть меньше ее размеров. Оценить на основе этих соображений величину Нс2 при Т = 0 К для «одновалентного» сверхпроводника с Тс = 10 К, периодом решетки а = 1 А и с количеством примесей А~ 1021 см-3. (1992 г)
197
6.263.	На расстоянии Л = 20 ± 0,01м от полихроматического импульсного источника нейтронов расположен поликристалличе-ский образец. Упруго рассеяные нейтроны регистрируются через время Z, намного большее длительности нейтронной вспышки, после нетронной вспышки детектором, расположенным под углом 0 = 60°, и по этому событию восстанавливается межплоскостное расстояние в кристалле. Какова должна быть точность измерения времени прихода нейтронов Z, чтобы обеспечить относительную точность измерений межплоскостных расстояний 10“3? Угловое разрешение детектора Д0 = 0,06°. (2003 г)
6.264.	Воздух при условиях, близких к нормальным, медленно течет по закрытой с одной стороны стеклянным окном нагретой трубе диаметром D = 1 см и длиной L = 10 м, так что у стенок трубы температура на дТ — 10 К больше, чем на оси. Для света, распространяющегося в трубе вдоль ее оси и выходящего через окно, система представляет собой линзу. Определить форму волнового фронта на выходе трубы и оценить фокусное расстояние такой линзы. При нормальных условиях коэффициент преломления воздуха равен п0 = 1,0003. Преломлением света на выходе из трубы пренебречь. (2003 г)
6.265.	На нелинейную среду толщиной L = 1 см с показателем преломления п, зависящим от интенсивности I проходящего света как п = п0 — у! (% = 2,5-10-8 см2/Вт), падает пучок света X = = 452 нм с плоским волновым фронтом и распределением интенсивности в поперечном сечении /(г) =/0 ехр (—г2/щ2), где /0 = = 5-103 Вт/см2, w = 1 • 10-3 см. В результате взаимодействия света со средой в дальней зоне возникает устойчивая интерференционная картина в виде системы колец. Определить число интерференционных колец в наблюдаемой картине. (2003 г)
6.266.	На нелинейную среду толщиной L = 1 см с показателем преломления п, зависящим от интенсивности 1 проходящего света как п = п0 — у! (% = 2,5-10“8 см2/Вт), падает пучок света с плоским волновым фронтом и распределением интенсивности в поперечном сечении /(г) — Io exp (—r2/w2), где /0 = 5-103 Вт/см2, w = — 1 • 10“3 см. В дальней зоне возникает устойчивая интерференционная картина в виде системы колец. Определить форму волнового фронта непосредственно за образцом и максимальную угловую расходимость наблюдаемой картины. (2003 г)
6.267.	В магнитных компьютерных дисках запись информации происходит за счет намагничивания мелких ферромагнитных частиц. Для поворота вектора магнитного момента такой частицы необходимо преодолевать энергетический барьер, величина которого — aV, где а=107эрг/см3 — постоянная анизотропии, V — объем частицы. Оценить предельное значение поверхностной плотности записи информации (в бит/см2), которое ограничивается тепловыми флуктуациями ориентации магнитного момента. (2001 г)
198
.ответы
С/и избранные решения
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
§ 1. Фотоны. Фотоэффект. Эффект Комптона
Импульс фотона р = — = як 1,3-10 22г-см/с. Среднеквадра-С А
импульс молекулы водорода р = у/ЗкТМ » 5,4- Ю-19 г-см/с.
X ss 0,12 нм.
• 2Wk ~ , 7 ]П16 фотон
J +	2 ,2 ~ U 2	'
Пел а	см-с
Решение. Рассмотрим атом (ядро) в статическом гравитационном
поле. Согласно условию задачи разность энергий Д4> между основным и возбужденным состоянием зависит от положения атома (ядра) в гравитационном поле Земли
1.1.
тичный
1.2.
1.3
1.4!
1—1/2
Д^ = ^2-^! = (<£§-<£?) 1+^-	(1)
С
где <§2 и ° — энергии уровней в «пустом» пространстве. Таким образом, наблюдатель на поверхности Земли обнаружит, что энергия излучения атома (ядра), находящегося на высоте Н над поверхностью Земли ( радиус Я3), не совпадает с таковой у поверхности, и наоборот. Именно это и было обнаружено в экспериментах Паунда и Ребки. При этом
/	2
Д<£(Я3 + Н) = Д<£(Я3) -у 1+2,Р(*з)/с ’ 1+2<р(Я3+Я)/с
Д<£(«3) 1+^з)-^з + Я)
(2)
2
Здесь мы учли, что гравитационный потенциал Земли слабый:
^1 = ^2=2.10-9«1. с R3c
Наивное (но неверное, хотя и часто используемое) объяснение наблюдаемого эффекта смещения уровней состоит в том, что у-кванту с энергией £ приписывается гравитационная масса m.. = fc/c2, после чего для фотона применяется нерелятивистская формула Д<а = —/щ.Дф (так же, как для какого-нибудь камня). Фотон (как и камень) ускоряется; относительное изменение его энергии
____Д<р
1Г- ~ л
Это полностью совпадает с результатом (2):
(3)
200
А<£ ^ А<р _ и = gH_ p "	2	2 П 2 •
® C C R3 c
Следует подчеркнуть, что согласно ОТО ход времени зависит от величины гравитационного потенциала. Иначе говоря, если ввести мировое время т0, измеряемое часами в отсутствии гравитационных полей, то в точке с потенциалом tp(r) ход часов меняется:
т = т0[1+^	12
\ с /
Это означает, что наблюдатель в точке с нулевым потенциалом видит, что частота света в любом месте одинакова, а скорость света меняется, и статическое гравитационное поле эквивалентно среде с показателем преломления п (см. задачу 1.5). Для наблюдателя, находящегося в ненулевом потенциале, частота (т.е. прошедшее мимо него за единицу времени число «горбов», являющееся инвариантом) изменилась. Однако скорость света в его системе равна с.
Отметим, что можно говорить о «красном смещении» фотона по отношению к наблюдателю в точке с нулевым гравитационным потенциалом, если относить это не к частоте, а к длине волны (импульсу) фотона.
1.5.	д =	0,84-10“5 рад = 1,75".
Rc
Гравитационный потенциал Солнца на расстоянии г от него tp(r) = —->М1г. Если обозначить через а угол падения луча света, т. е. угол между лучом света, упавшим на слой «среды» толщиной dr, и радиальным направлением к центру Солнца, то согласно закону Снеллиуса
sin (а —</а) _ n(r — dr) sin а	и (г)
где а — da. — угол преломления луча света гравитиационным полем. Отсюда
следует, что ctg a da = In п(г). В силу того, что гравитационный потенциал Солнца мал, легко установить, что In и (г) я» и dr = — ZLS2L2 da. Та-с г	sin а
ким образом, искомый угол поворота луча света 5 равен удвоенному углу отклонения на пути из бесконечности (а = л/2) до R (а = 0) (в силу обратимости световых лучей):
0
5 = —•	( sin a da,
с R % л/2
откуда и следует ответ.
1.7.	<£ = й(о> + Q) - <£и « 0,9 эВ.
1.8.	V = 60 кВ.
1.9.	X = 0,154 нм,___________
1.10.	vmax = V2e(F + FK)/me = 784 км/с.
1.11.	F = (fic/M-A = 123 B
e
1.12.	A > 2лЙсМ я» 331 нм.
201
1.13.	= (2яЙс/Х)—А _ у _Q 79 g Отрицательный знак означает,
что при контакте цинка с материалом второго электрода фотоэлемента потенциал цинка окажется ниже.
1.14.	а =	= Ю-2, где е — заряд электрона.
1.15!	Решение. При «сухом» контакте потери на отражение от границы сцинтиллятор-фотокатод составляют несколько процентов, и ими можно пренебречь. Гораздо большую величину составляют потери на полное отражение при выходе из сцинтиллятора.
При «сухом» контакте на фотокатод попадают фотоны, идущие под углами 0j <arcsin (1/п). Когда оптический контакт заполнен маслом — под углом 02 < arctg (£>/2/г). Поскольку в сцинтилляторе фотоны испускаются
изотропно, то отношение потоков равно
%	0г
( dQ 2л ( /0 sin 0 dQ
®2 _ 0	_	0	_ 1 — COS 02
Ф] ®1	®1	1—COS 61
dQ 2л /о sin 0 </6 о	о
1.16?	Решение. Рассмотрим сначала случай поглощения фотона нерелятивистским электроном. Выберем такую систему отсчета, в которой электрон сначала покоился. Законы сохранения энергии и импульса:
2
Йо>=™-;
2
Йо>
— = mv.
с
Из написанных равенств следует v = 2с, что невозможно. Релятивисткое рассмотрение приводит к следующей системе уравнений:
Й® + тс2 = тс •
Vi-p2
Йо> _ пфс
с Vi-p2’
откуда следует 1	= 1, т. е. либо Р = 0, либо Р = 1. Первое условие озна-
V1 -р2
чает, что поглощения не произошло, а второе — нереализуемо для массивной частицы. Таким образом показано, что свободный электрон не способен поглотить квант энергии. На частном случае показано, что трехчастичные реак
ции, т.е. реакции типа а + b с невозможны (смотрите также задачу 8.13). Лишь при участии в реакции четвертой частицы законы сохранения могут быть соблюдены.
Так как процессы поглощения и испускания обратимы по времени, то из невозможности прямого процесса следует невозможность обратного. Конечно, невозможность такого процесса можно показать и прямым вычислением, как это было сделано выше для случая поглощения.
1.17.	Длительность импульса определяется разбросом времени пролета электронов, вылетевших из фотокатода в направлении к аноду с различными направлениями начальной скорости, т. е. с величиной продольной составля-
202
юшей скорости от нуля до максимально возможной. Если обозначить времена движения до анода /| и t2, то
д/ = л -t? = _1_ Д 2mfic(- - -L| = 1,2-КГ10 с.
1	2 еЕ N	Хкр]
A L2
1.18	. t> 16 —	= 455 с, где N — мощность лампочки.
N d
1.19	! Решение. Пусть М — масса источника, ап — его скорость (рис. 135). Энергия источника слагается из кинетической энергии Л/г2/2 и внутренней энергии <£ возбужденных атомов. При испускании одного фотона внутренняя энергия <£ изменяется на вполне определенную величину (энергия квантуется!) <£ — <£' = Av0, где v0 — частота фо-
с тона, испускаемого неподвижным источником. При	Av Jr
испускании фотона тело испытывает отдачу, и его	.jxN \6
скорость меняется. По закону сохранения энергии	\
Источник 1
1ЛП/2 + <£ = 1 ЛЛ>'2 + <£'+ Av,	М	v
2'2	--------------
,	Рис 13S
где v — частота фотона, излучаемого движущимся источником. Написав закон сохранения импульса и спроектировав его на направление скорости v и на перпендикулярное направление, получим
Mv = Mv’ cos а + — cos fl, 0 = Mv sin a — — sin 9, c	c
где 9 и a — углы между направлением скорости v и направлениями импульсов испущенного фотона и источника после испускания. Исключая v' и а, найдем
2MA(v - v0) - 2Mv — cos 9 + ~ = 0.
c	c
Если масса источника M достаточно велика, то можно пренебречь последним членом, и мы получим, учитывая, что по условию v/c 1,
v =----—----—	(1 + — cos 9
i-£cose Ч с
1.20! Р е ш е н и е. Пусть <£ и <£' — полные энергии тела до и после излучения. Соответственно <£0 и <£0 — энергия покоя, а р и р' — импульсы. Обозначим также энергию и импульс излученного фотона каке и q и запишем законы сохранения
<£'=<£ — е; р = р' + q.
Возведем эти уравнения в квадрат и вычтем, предварительно домножив второе соотношение на с2. Учитывая, что е = qc, a <£2 — р2с2 = и <S'2 — р'2с2 = <£'д, получим
<£д2 = <£д — 2<£е + 2c2pq.
203
Релятивистский импульс тела р = <gp/c, где = vic. Подставляя это в полученное уравнение, находим
<£0 —	г £ (1 — р cos 0),
<£о + £о
где 0 — угол между импульсом тела р и направлением вылета фотона (рис. 135).
Для массивного тела Me1» hv, откуда <£q «к <£0, и тогда
<£0 —	— £ (1 — fl cos 0), или (<£0 — egg) V1 — р2 = £ (1 — р cos 0).
<8 о
Поскольку <£0 — <£0 = hv, а £ = hv', то получим искомую связь частот неподвижного и движущегося источников
, Vi-p2 V = V --------.
1 — Р cos 0
2
При 9 = у смещение частоты Av = v0 -^-j, а при р «к 1 принимаемая ча-
стота v ~ vn I 1 + — cos 9 и Av = — cos 0.
v l r	I	r
1.21!	Решение. При 0 = 0 v(O) = vo ——При 0 = эта частота v(n/2) = v0V 1 — р2. Если р -» 1, то v (0) » v(n/2). Отсюда ясно, что в узкой окрестности угла 0 = 0 частоты излучаемого света особенно велики. Найдем угол 0, для чить
которого v(0) = av(0), где a < 1. Для этого угла нетрудно полу-
откуда
7
cos 0^ 1 ~^_ =	1	(1 -Р),
2	1 —(1—Р)	a v
Так как
02 = 21_(1 -R). a
? = mc2l&, где &
полная энергия частицы, то
,	2. 2
• Это дает
r;--- 2
0 = JI — a me ’a g ’
При a = 1/2 получаем 0 = mc2l&, иначе говоря, частота излучения падает вдвое под углом 0 = тс21& = V1 — р2 = у-1.
1.22.	АХ = Ае( 1 — cos 0) = Xj — Хо = Хо = 4-10-3 нм.
. тт rr, 2hc Ае sin (0/2)	2 т2 it 2 т
1.23.	Те = —--------j----, (р с) = Т* + 2me cL Те.
х Х+2Ае sin (0/2)
Здесь Ае = 2,4263-10~3 нм — комптоновская длина волны электрона.
При 0 = 90°
204
Г„ = — _J^e_ = 0 108 йс = 0 67.104 в р = 8 3. i04 эВ е X Х + Ле	X	е
т. е. фотон передал электрону около 10% своей энергии, а импульс электрона отдачи по абсолютной величине оказался больше импульса первичного фотона.
1.24	! Решение. Как видно из рис. 136,
из закона сохранения импульса следует
р„ cos ф = — — — cos 9, ре sin ф = — sin 9.
е	с с	с
Почленным делением находим
1ёФ= Sin6 
v/v — cos 0
~	v 1 2hv  2 л
Отсюда с учетом соотношения — — I =-----у sin 9 легко получить
v тес
При 9 = 90° tg ф = 0,8916, ф = 4Г43'.
1.25	. ДХ= —sin2- = — = 2,4263-10-3 нм. тес 2 тес
1.26	* 0 ф < arccos I	— —
\ - р /
Решение. Запишем закон сохранения импульса в соответствии с рис. 2:	= р., — р, откуда по теореме косинусов
[М2= [М2_ ^Vpcosp + p2
\ е / \с / с
Закон сохранения энергии:
— Т = ^ — <£ + тс2, т. е.
hv = hv — V (рс)2 + (тс2)2 + тс2.
Исключая hv , получим
7	2
hv= 2(рс cos ф —Г) Определим знак числителя:
(рс)2 - Г2 =
= (рс)2 — [ (рс)2 + (me2)2 — 2V(рс)2 + (тс2)2 - тс2 + (тс2)2] =
= 2mc2(V(рс)2 + (тс2)2 — тс2) > 0
всегда. Так как hv > 0, то и знаменатель полученной дроби тоже положителен: рс cos ф — Г > 0, откуда cos ф > — = V 1 +	) 2 — Таким обра-
рс ’	\ р / р
205
зом, диапазон углов, под которым мог вылететь электрон с заданным им-
пульсом, лежит в пределах
0<Ф<агссо8	.
И р1 2 * * * * Р )
1.27.	Т < 2mc2 ctg2 f = 0,34 МэВ.
1.28.	0^(р<45°.
1.29.	p0 = ^-tg^« 6-10“23 г-см/с.
Ло 2
1.30.	а = 90°.
1.31.	= 2трс2» 1,9 ГэВ, где тр — масса протона.
1.32.	v= , с »-?=, где Лр = — = 0,0024 нм Vl+X/Ле	тС
комптоновская
длина волны электрона. 2
[£ + рс |
1.33.	Йсо/= Йсоп—, где р — импульс электрона. и 2й<о0 ^+рс
1 Н--2-----Г“
тс тс
Случай а) Йо/ = як
Ультрарелятивистский электрон (ё » рс) передает фотону всю свою энергию (пунктир на рис. 137).
/	\ 2
Случай б) Йсо' = Йсо0 [ +	~ 4','2Йо>0, где
\ тс /
7 = Vi _;v
Таким образом, в этом случае Йо/ ос у2 (рис. 137).
1.34. hv' — ——.	Если hv » тл-2, то
. 2nv	с
1	Н--Т
те с
hv'» тес2/2.
1Т
1.35.	При условии Т » Йо>0 ответ имеет вид <£ як Й<о0----------------
1 (тес ) 1(2Т)+2Кшо (кинетическая энергия электрона Т»тес2, поэтому полная его энергия <Ь‘О ~ Т). Здесь возможны два случая:
1) Йо>0 с те с2 ”*еТогда <6 як йсо0 2Tj «к 7,2 МэВ (этот случай и Т	7 ^тес )
реализуется в задаче).
2
2) Йш0 » те с2 —-—. Тогда = Йсо «к Т. В задаче этот случай не выпол-
няется.
Указание: рассмотреть два последовательных преобразования частоты
из-за эффекта Доплера.
1.36. X = 2,4 пм.
206
2
Йо>о
1.37.	Д<£ = й®= -?£i --------------
\тс / 1 + 4<СЙо>о/(т с )
Если <£0«тс2(тс2/4Йа>0), то Й® яг (2<Ь7тс2) 2Й®0 «<Ь'О. В противоположном предельном случае Йа> яг <£0. В приведенном примере Й® = 108 эВ.
1.38.	По формуле для эффекта Доплера
_ 0>V 1 —v2/c2
1+v/c
(фотон и электрон считаются движущимися навстречу друг другу, причем скорость электрона равна v). В ультрарелятивистском случае отсюда следует, что ®0 = а>тс2/2ё0, и условие Й® «тс2 принимает вид
2	2
0	2ЙО>0
/ -1
1.39!	= 1 + —^"21	=0,05, где Гф и Гк — кинетические энергии
'Ф \ тес )	4
электронов фотоэффекта и эффекта Комптона, ДГ = Гф — Гк.
Решение. Запишем закон Эйнштейна для фотоэффекта
^ = ёион + л + тф,
где Гф — кинетическая энергия фотоэлектрона, А — работа выхода вещества, <£ион — энергия ионизации электрона атома. Поскольку для самых глубоких К-электронов <£ион £ 13,6-Z2 [эВ], где Z — заряд ядра, то даже для Z ~ 102 <£ион S 0,136 МэВ « hv. Величина работы выхода, как правило, не превышает 10 эВ, поэтому под действием у-квантов (выокоэнергетичных фотонов) при фотоэффекте Гф я= <<7,.
При Комптон-эффекте ё + тес2 = <<7, + тес2 + <£ион + Гк. Следовательно,
j, о _ о' _ he _ he _ he ДА к 7	А + ДА ~Т А + ДА'
Энергия электрона в эффекте Комптона максимальна, когда фотон рассеивается назад, т. е.
ДА = Ае (1 — cos ф);
Таким образом,
Т _ he 2й_______1
к А тесА , . 2/1 тс сХ
А^тах — 2Ле — 2 ——. iiIqC
_ ? Щ 1
Т т 2
те с'
Введем разрешение аппаратуры по энергии как ДГ = Гф — Тк. Тогда
<£-,-гк
ДГ Тф
Ь^О.05 (5%).
1.40!	Р = ™т'С
2тгЙ sin (tp/2)
= 11,4
нм.
207
Решение. Требуемая разрешающая способность спектрографа
R = 4- = Л'т,
ОЛ
где N — число отражающих слоев, т — порядок интерференции. По формуле Брэгга—Вульфа m = 2(^ ^'п е, где 0 — угол скольжения; по условию т = 1, откуда
sin 0 = -Д-.
2d
Изменение длины волны (комптоновское смещение)
ДХ = 2лЛр(1 — cos <р) = 4лЛр sin2где А = -5—3,86-10-11 см. е v	е 2	е тес
Таким образом, „	,, D 2d cos 0
R = Nm = — d
л
Отсюда
X 2 4лЛе sin (>р/2)
\dmtc	.
= 11,4 нм.
X'
2
П = _______*______________________
^2	2
4лЛе sin (tp/2) sin 0 2лЛ sin (tp/2)
1.41.	Dmin =------у-------= 2 нм, Ле = 0,0024 нм — комптоновская
4Ле sin (0/2) sin ip
длина волны электрона.
1.42!	Р ешение. Перейдем в систему центра масс пары. На пороге рождения скорость продуктов реакции равна нулю. Но 7-квант и в этой системе движется со скоростью света, что противоречит закону сохранения импульса. Раз процесс невозможен в системе центра масс, то он невозможен и в других инерциальных системах, т. е. невозможен вообще.
1.44.	0тах = 60°.
1.45.	012 = 90°; 61з = л — arctg яь 127°; 023 = л — arctg « 143°.
1.46.	<£j = 0,85<£0 = 432 кэВ; S2 = —<£0 яг 216 кэВ; <£3 = V3<£2«s яг 374 кэВ.
1.47.	Решение. Преобразование Лоренца для энергии частицы импульс которой р,	„,_<E-vpcos0
6	7.	277 ’
V1 — и /с
где v — скорость штрихованной (движущейся) системы отсчета, а 0 — угол в неподвижной системе между направлением движения фотона и скоростью источника. Энергия фотона & = hv = рс, тогда
, = 1 - (v/с) cos 0
.Г.--777 '
V 1 —V /с
Здесь v — частота света в неподвижной системе отсчета, v' — в движущейся вместе с источником. Переписывая ее в общепринятом виде, получим
V — V -----------.
1	— (v/c) cos 0
1.48.	cos 0 = — Alg =0,116, 0 = 83,3°; где тядс2 = A- 931,5 МэВ.
2	V 27’тядс2
208
I 40 Zl <	- i 2v < 2?
1	4 r	2	1	2	1 '
л \c / n — 1 n — 1
1.50	. T”ax = £ A*"** = 663 кэВ, где ДХтах = X' - X = 2Л • X = — е	vX + AXmax	е <£v
(комптон-эффект нейтрино на электронах).
1.51	! Длина волны гамма-квантов от источника равна к = = 1,88-1О-10 см»Яяд, поэтому комптоновское рассеяние идет не на нуклонах ядра, а на ядре в целом (но не на молекуле, т. к. X «Ямол — ЗА для Н2О). Комптон-эффект на протоне ДХН отличается от соответствующего эффекта на дейтроне ДХр. Таким образом,
А<£
<£
|АХН —АХр| _ £
2трс2
1.52	! // = — — 3200 км.
2
Решение. Если считать Землю шаром, то гравитационный потенциал на поверхности Земли чд = — у — = — v?, где v, — первая космиче-
Кз
ская скорость. На расстоянии г от центра Земли гравитационный потен-
М циал = — у —. г Фотон, испущенный на спутнике, имеет энергию
Йо>2 —	1 Т 2 яе 11 +
'с	\ с
где со0 — частота генератора в нулевом поле.
Из-за движения спутника (вследствие поперечного эффекта Доплера) на Земле этот сигнал будет иметь частоту
I 2~	/	\ /	2 \
с к с / к 2с /
где v = ^у — — скорость спутника. Расстояние между энергетическими уровнями приемника на Земле
Йсо j — TuOq'V 1 —|— 2 ~	11 + Xj-
' с	\ с ,
Сдвига частоты не будет, если ®j = <а'2, откуда
2
ф2 _ V _ Ф1
“2
с 2с
2
Ф2 Ф1 V
~2 ИЛИ
с с с 2с
Подставляя значения, получим — у — + у ^- = у откуда г = X R3.
209
§ 2.	Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей
2.1.	Гр я» 880 МэВ; Те я» рс я» 1550 МэВ.
2.2.	Г = mc2(VT— 1) = 0,212 МэВ.
2.3.	V = V5/3X = 0,00129 нм.
2.4!	т^£2-10~43 г; тус2 £ 1,1 - 1О~10 эВ.
Решение. Допустим, что фотон (квант электромагнитной энергии) имеет энергию покоя т..с2. Тогда согласно релятивистской формуле его полная энергия
<о = V р2с2 + т2с4,
где р — релятивистский импульс фотона. Скорость фотона
. — h )
и = — = рс =______________-_____ —
dp ^р2 + т2с2	у/ 1 + (m/Ш)2 с
В этом выражении 1. = h/p — дебройлевская длина волны фотона. Заметим что скорость фотона, в вакууме зависит от длины волны X, т. е. в этом случае должна наблюдаться дисперсия электромагнитных волн в вакууме.
По условию задачи д = 5-10-4, поэтому	.
2.5.	Как следует из решения задачи 2.4, если у фотона ненулевая масса, то его энергия покоя т с2 «г	я» 0,6-10~8 эВ.
2.6.	п = —г = V-----= V1 4- — (6 и V соответственно энергия элект-
X ’
рона в вакууме и разность потенциалов, пройденная им).
2.8.	2dVn2 — cos2 0 = mX0, где Хо — длина волны в вакууме, п — пока
затель преломления волн де Бройля, 0 — угол скольжения.
2.9.	п= Д 1 +— = 1,05. V V
/7*+ I Ki	2 т
2.10!	п = у---------= 1,17; V2 = —------= —75 В, где е — заряд элек-
трона.
Решение. Очевидно, что полная энергия электрона, преодолевающего потенциальный барьер, сохраняется: <£ = Г + U = const, откуда Г = = Tj + еРр где Г и Tj — кинетическая энергия до и после барьера. При этом ,22
Т _ р2 _ PJ- + Р||
2т 2т
рх и рц — нормальная и касательная к границе раздела компоненты импульса. Поскольку скачок U связан с силами, действующими перпендикулярно к границе (электрического поля), то рц = const. Откуда р sin f = Pj sin q>p Относительным коэффициентом преломления сред является величина
Л _ hip _ Pl _ sin <р _ - (Г — eVi Л; Л/pi р sin ip; V Г
i+hin
210
Полное отражение электронов произойдет, когда sin ф, = 1 (при этом разность потенциалов равна V2), т е-
sin ф. =_£!£_= 1 или 1=1+-^,
<1 + (|е|у2)/т	4	Т
откуда и следует второй ответ.
2.11.	ё = — (—V» 1,2-104эВ.
2m I Ra 1
v '	2
2.12!	Решение. Для нерелятивистского электрона S = у— = л	.
=----у ос _. Поэтому искомую немонохроматичность электронов Л<£/<§
2тХ	X2
легко оценить по числу наблюдаемых отражений mmax = 12, откуда следует
АХ =------»-г^-. И далее
Шщах 1
Д<£ __2 дх
Т ~ "Т
Вне металла скорость электрона
ос VVo + V, где Ро — внутренний потенциал металла. Таким образом, показатель преломле-
ния металла
V2 п = —
VI
Эквидистантное расположение максимумов интенсивности отраженных электронов наблюдается, когда внутренний потенциал металла Бо «с V. Это соответствует показателю прелом-
внутри металла v2 «
ления кристалла п = 1 (для m > 6). В этом случае в соответствии с формулой Брэгга—Вульфа (рис. 138)
2лЛ
>!2meV'
2лЛ XV2me '
2d sin ф = тХ;
Последнее соотношение обычно записывают так
лгг 12,26	12,26m
X|Al 2d sin ip
где d следует подставлять в ангстремах [ А], а результат VV~ получается в В1^2. В нашем случае при m = 1 •/V = 3,06 В1/2, и поэтому межплоскостное расстояние d = 2,03 А. Из рис. 5 и условия задачи следует, что при m < 6 максимумы интенсивности неэквидистантны. Это означает, что при соответствующих энергиях показатель преломления отличается от 1.
Закон преломления волн де Бройля идентичен классическому закону Снеллиуса:
cos Ч* = и; cos ф = V1 — sin2 ф = — Vn2 — cos2 <p.
sin ф	п
По формуле Брэгга—Вульфа n-2d sin 6 = пи. или n-2d cos ф = mX, откуда следует
2dVn2 — cos2 <p = mX.
211
Обозначим через V ускоряющий потенциал, соответствующий энергиям электронов, когда п Ф 1. Тогда
Л/р~_ 12,26 _	12,26m
1^1 2rfVи2 — cos2
Гр"	XV	Vn2 —cos2 ip
Из соотношения 11— мы и определим п: V—=-------------------откуда
’у	' у sin ip
/	\ 42
I V Э	э \
п = —г sin ф + cos ф
н	/
Для т = 5;	VF = 14,68 В1/2; JV = 15,3 В1/2;	п =	1,04.
Для т = 4;	W = 11,42 В1/2; XV= 12,24 В1/2;	п =	1,07.
Для т = 3;	l/Й7	= 8,16 В1/2; W = 9,18 В1/2;	п =	1,12.
2.13.	sin 0 = sin	0О± (и/v), где знак ± определяет	направление движе-
ния кристалла (« + » — вниз, «—» — вверх). Отражение возможно при скоростях и, удовлетворяющих соотношению 1 sin 0О± (и/п) I < 1.
2.14.	Т =	= 14 К, d = - = 0,335 нм.
Зткк	2
2.15!	—= 82 А.
2Дф
Решение. Согласно условию Брэгга—Вульфа первый порядок (т— 1) отражения соответствуют углу
sin Т = А-
2а
Длина волны, соответствующая энергии нейтрона S = 1 эВ, равна 0,287 А,
поэтому X/(2rf) as 0,06. Это означает, что sin ф as tp аг: 0,06. Очевидно, что
Д>р _ дх ip X ДХ =]_
X 2
Дебройлевская длина волны X = — = т-—« S ^2. р \2тб
Поэтому
Д<< ~Т
. Откуда
Д<£ = 2<g — = 2<g	0,58 эВ.
X	ip
Толщину кристалла D выберем из тех соображений, что разрешающая способность такой системы R = mN > Х/ДХ, т. е. при т = 1 и числе интерферирующих пучков, равном числу слоев, N = D/d:
D > X _____ ip __ X
d Nk	2</Д(р’
откуда
Приведем другое решение этой задачи. Рассмотрим бесконечную решетку в направлении оси X (рис. 139). Волновая функция всей решетки представ-
, „	. I. Рхх\
ляет собой плоскую волну Аехр г —— , где рх — импульс решетки в направ-
212
лении оси X. При смещении всей решетки вдоль X на период d волновая функция ум-
(. Р^\
ножается на exp 11 и переходит сама в себя. Отсюда pxd = 2лтй, т. е. импульс, передаваемый решетке, квантован! При упругом отражении рх = 2р sin <р, откуда
Рис. 139
следует 2d sin = m(hlp) = тк. Таким образом, мы получили условие Брэгга-Вульфа.
Если же решетка ограничена по х, то передаваемый по X решетке импульс приобретает неопределенность Ьрх 2 h/D. С другой стороны, Ърх = 2p5(sin (р) = 2р cos ф <5ер. Поскольку cos <р 1, то
х	X
т 2р D2p 2D
X
Таким образом, искомая толщина кристалла D > Полагая 2о<р
Ф<р йе А(р = 0,1°, получим ответ.
2.16!	Т йе 71	. йе 470 К.
5kmdv
Решение. Под интенсивностью пучка молекул понимается плотность потока молекул с размерностью [1/(см2-с)]. Плотность потока молекул, если считать их распределение по скоростям максвелловским, в интервале скоростей от v до v + dv с точностью до известных констант равна
d](v) ос v exp	v2 dv.	(*)
Далее пучок молекул испытывает рассеяние на кристаллических плоскостях LiCl. По условию Брэгга—Вульфа 2d sin 6 = X = 2лй/ (mv), где согласно графику порядок интерференции равен 1, а т — масса молекулы водорода. Отсюда следует v = ——-. Из пучка шириной dQ дифракционное рассеяние испытывают молекулы из интервала скоростей dv, при этом
2d cos 9 dQ = -^4 dv, mv1
откуда dv ос v2cos6(n) dQ с точностью до очевидных констант. Подставляя dv в (*), получим выражение для полного числа актов рассеяния молекул (плотность потока) в угол dQ, имеющих скорость из заданного интервала скоростей, с точностью до известных констант
/	2\
dN„ . ос п3 exp — I mv2 cos 6(w) dQ.
г, 0 H 2kT)	v 7
Полагая, что cos 6 й^ 1 (около 10°), dQ = const, найдем экстремум этой функции:
= 0, откуда mw2ax — 5кТ.
2 mv
2кТ
d dv
v5 exp
213
Таким образом, (\ *	2 2
3th । гс h 470 к mrfsinej ~ 5kmd2e2 ~
При вычислениях из графика взято 0 ss 11°.
2.17.	X = h$- = 0,92 нм, А* =	= 0,072.
mQA	X /ф
2.18.	— Q 6 нм; — — — = 0 2- 6ППТИМ = VT77 = 2,6-10-3 см (заме-
mLn	X	0
тим, что этот численный ответ зависит от того, в какой форме взять соотношение неопределенностей: Apb & ft или й).
2.19.	5.1о-23 ед. СГСЭ.
VI
2.20!	d <	5 -10-25 ед. СГСЭ или d < е-10~15 см, где е — заряд
IE
электрона в ед. СГСЭ.
Решение. Без поля сдвиг фаз на участке длиной / (разность хода!) (р02л l/h = Ip^/h, где р0 — импульс частицы. При включенном поле импульс нейтрона должен измениться на Ар, и появится сдвиг фаз Ф1 = ЦРо + Разность сдвигов фаз Ti — То =	= Изменение
импульса найдем из закона сохранения энергии: работа поля равна изменению кинетической энергии —
(Ро + Др)2	Ро р,
2т 2т
I Ed
Из этого уравнения следует, что Ар > Edh<(v Отсюда получим Аф > ---и
h vo
\fhvo дипольный момент d < ———.
2.21!	О % т .	..-- я? т-10~4 рад, где т = 1, 2, 3, ...
У2теП	н
Решение. В резонаторе лазера устанавливается стоячая волна типа Е(х, /) ос sin кх e~twt (рис. 140). Электронная дебройлевская волна рассеивается на пучностях поля Е стоячей волны, которые отстоят друг от друга на Х/2. Это и есть период структуры. От этих «плоскостей» происходит зеркальное отражение. Условие Брэгга—Вульфа (рис. 141) 2d sin <р = тХдБ;
Ось лазера
ХдБ = hip. Поскольку кинетическая энергия электронов Т с тес2, то их можно считать нерелятивистскими. Поэтому Т = р2/ (2те) и р = у/2теТ. По усло-
214
вию угол скольжения ф <к 1, таким образом, • Xlb	Й
r 2rf	Ы2теТ
Искомые углы отклонения
e==2tp = mx7W^m’1()_4 рад-
2.22!	w = - + hv = 1 mv2 + const. 2 v	2
Решение. По формуле Рэлея групповая скорость и = w — X dwldl.. Полагая здесь X = й/р = й/(mv), и = v и рассматривая движение с нерелятивистскими скоростями, получим
। dw d / х v — w + v —— — (wv), dv dv
откуда
2 wv =	+ const, w = ” +
2	2 V
Далее,
2
v _ w_ _ u/2 + const/u _ mv /2 +const
X hKmv)	h
Во всех явлениях произвольные постоянные, входящие в выражения для и и w, не играют роли. Их можно положить равными нулю.
Разумеется, решение можно распространить и на движения с релятивистскими скоростями. Тогда, если отбросить не играющие роли постоянные интегрирования, формулы примут вид 2 w = —, hv = V
2 тос
'Л-у2/с2
2.23	*. Решение. Если электрон прошел через щель, то в плоскости самой щели координата х будет фиксирована с точностью Ах ~ d, где d — ширина щели. Однако в результате дифракции на щели волновая функция электрона ф будет иметь максимумы и минимумы. Электрон может быть обнаружен в любом месте, где ф Ф 0. Наиболее интенсивным получится максимум нулевого порядка. Его угловая ширина равна 26, причем d sin 0 = X. Практически достаточно принять во внимание именно такой максимум. В этом при-ближении после прохождения через щель неопределенность Арх импульса электрона получится порядка Арх = р sin 0 = (й/Х) sin 0 = hid. Таким образом, АхАрх ~ й. Более определенное неравенство, которому должны удовлетворять Ах и Арх, с помощью этих соображений указать нельзя, поскольку не указан точный смысл самих величин Ах и Арх.
2.24	! При рассеянии фотона на электроне рассеянный фотон может попасть в любую точку плоскости изображения. Дифракционная картина в этой плоскости состоит из концентрических светлых и темных колец с центральным светлым кружком, называемым кружком Эйри, радиус которого равен R » Х/р (рис. 142). Практически, рассеянный фотон может быть зафиксирован только внутри кружка, поскольку интенсивность там наибольшая. В этом приближении положение точки попадания фотона в плоскости
215
Дх
Рис. 142
изображения может быть определено с точностью порядка R. Неточность положения Дх электрона в предметной плоскости найдется из условия синусов Аббе = Дх sin а, т. е. /. = Дх sin а. При рассеянии фотона на электроне последний испытывает отдачу, в результате чего импульс электрона получает неконтролируемое при-h
ращение ДрА. ~ у sin а. Таким образом, ДхДрх~ h.
2.25	! Решение. Пусть телом является идеально отражающее зеркало, а свет падает нормально на его поверхность. На основании законов сохранения энергии и импульса
Йш0 + | Mv% = йсо + | Mv2, + MvQ =	+ Mv,
тела, г0 и v — его скорости до и после отражения света,
где М — масса
coq и со — частоты падающего и отраженного фотонов. Переписав эти уравнения в виде
М (с?2 — Гц) = 2Й(со — со0), M(v — v0) = -^ (co + со0),
почленным делением находим
(*)
со0-со
v + vn = 2с------.
С0о+ СО
Для массивного зеркала Л/п2/2»Йсо. Поэтому v — ч0, и тогда

СОо— со
V — >>,, = с ------.
С0о + <0
Измерив частоты со0 и со, можно по этой формуле вычислить
скорость зеркала п. Частоту со0 можно считать измеренной точно. Тогда ошибка Дп в значении скорости будет определяться неточностью измерения частоты со. Чтобы измерить со с точностью Дсо, надо производить измерение в течение времени Д(, удовлетворяющего условию ДсоД(— 2л. На основании (**)
.	2сооДсо
Д« = — С -------2
(соо + со)
Дсо 2<оо
Так как моменты отражения фотона известны с ошибкой Д(, то неточность в значении скорости v поведет к ошибке Дх в определении координаты зеркала:
Дх — | ДпД(1----— | Да>Д(1 — —.
2<оо	<оо
Согласно (*) при взаимодействии с фотоном зеркало получает неконтролируемое изменение импульса Др ~	Следовательно, ДхДр ~ 2лй/с и
ДхДр ~ 2лй = h.
2.26	. Т > mv2 V1 + (Л//)2 — тс2, где Л = /г/(тс) — комптоновская длина волны электрона (протона).
216
Для электрона Т > тес2ЛеДэл « 720 МэВ или 7200 ГэВ во втором случае.
Для протона Т > mpc2 V1 + (А Д)2 — трс2 » 600 МэВ или 8,2 ГэВ во втором случае.
Л I 2Lh
2'21' rfmin ~ 2 V V2^s * 8,5 МКМ-
2.28	. b = d + откуда 6min = 2	» 3,3  10“4 см.
derB	mln ' erB
2-29. dmirl = 2	= 7,6 мкм.
2.30	. d ъ 2 f . 2AL « 7,5 мкм.
ЧЗткТ
2.31	! Аг«2-10“13см
Решение. Обмен «виртуальными» частицами — основной язык описания взаимодействия между реальными частицами в квантовой теории поля. Виртуальная частица — это частица, время жизни которой определяется соотношением неопределенностей, а не какими-либо другими физическими процессами. У виртуальной частицы есть энергия ё, импульс р, масса т. Однако для нее не выполняется обычное релятивисткое соотношение, и поэтому S Ф з/(рс)2 + (тс2)2 . Например, виртуальный фотон может обладать энергией и покоиться! Одна и та же частица, в зависимости от ситуации, может быть либо реальной, либо виртуальной. В связи с возникновением такой частицы в системе возникает неопределенность энергии A<S, которая и определяет время жизни частицы -----Через время т ~ поглащается либо
Д<е	Д<е
самой испустившей ее реальной частицей или другой реальной частицей, и энергетический баланс в системе восстанавливается. В процессах испускания и поглощения выполняется закон сохранения импульса (хотя и направление импульса может и не совпадать с классическим).
При рассмотрении низкоэнергетических процессов, когда <S2 —р2с2<к
(тс2)2 , можно считать, что A<S « тс2, и тогда --За это время ча-
те2
стица может пройти расстояние / ~ ст----— = Ак — т. е. расстояние, рав-
тс
ное комптоновской длине волны частицы. Это и есть радиус взаимодействия, обусловленный обменом виртуальными квантами.
2.32	. ё г Й2/8тг2. Для электрона в атоме ё а 1 эВ, для электрона в атомном ядре ё> 1О1оэВ= 104МэВ. Электрон, будучи лептоном, может быть удержан в ядре только кулоновскими силами. Однако энергия взаимодействия ~ Ze2IR^ ~ 1 МэВ « ё ~ 104 МэВ.
2.33	! Решение. В полях такой напряженности из-за рождения виртуальных пар вакуум становится «поляризованной средой», а уравнения Максвелла теряют свойство линейности. Виртуальная пара живет время * *
т -----------у. Чтобы виртуальные частицы стали реальными, на длине ст
Д<£ 2m с
(на комптоновской длине волны) за счет работы электрического поля Е дол
217
жна набираться энергия, большая, чем 2тс2, г. е. 2mc2 st еЕст — £/i2L, откуда 2т с
2 3
2.10'4 ед сгсэ = 6.10i6 в/см
eh
2.34	. d = 0,61	. h = 0,024 нм.
A\'2meV
2.35	. А = 0,83 (в нерелятивистском приближении, А = 1,73). Числовая
апертура А определяется из соотношения для минимально разрешаемого
Хе	*2
микроскопом расстояния />0,61—, где 1 =----------? — размер мезоатома,
А	т,.е
1 _ А _
2.36.
2.37.
й	cz -
.	— деброилевская длина волны электрона.
у (eV)2—(тес )
Ак ,h = 1,37-10~2.
rfv2теV 2	/ •	\ 2
Т/ п 1 Sin Uoirr |
V =--------=— ------- 450 В, где и — угловая апертура.
2"1е^ Хотт k Sin “эл /
2
2.38. х як 4(е+12	75 где = _А__ _ 9 53. jq-8 см _ радИуС пер_
£—1	те
вой боровской орбиты в атоме водорода. Энергия связи
4 /	, \ 2	/	\ 2
:ипн— — ~ —6,5-10-4эВ, ион 16 е+1 J
(^СВ
4 г те где ^ион - —2
2/1
= 13,6 эВ — энергия ионизации атома водорода.
2.39	! <gn^ 1,5
u \ m l	V кт
Решение. В n-м стационарном состоянии квантовой системы, как следует из уравнений Шредингера, средние значения кинетической и потенциальной энергии удовлеторяют соотношению
_	*2	.2 ,2 ~
где Т = £— — —-----=	= U {х): &п ~ полная энергия системы, а угловые
2т	2m dx
скобки означают квантово-механическое среднее. Таким образом,
+ к{х) — £п. Для оценки энергии основного состояния воспользуемся тем, что в основном состоянии (п = 0) неопределенность координаты 5х — (х), а неопределенность импульса Ър ~ (р) и (р)2 ~ (р2). Согласно соотношению неопределенностей получаем (р)(х) ~ Й, откуда выражая, например (х) через (р), получим
<р/ + кП _g
2т + (р)	°'
В основном состоянии энергия системы минимальна. Поэтому Э<80/Э(р) = 0, т. е.
'.р/ _	= о
т {Р?
218
з____
откуда (р) = Рц = \!ктН, а размер области локализации частицы в данной . 3 [р”
яме I = (х) = — =	. Для энергии основного состояния получаем
/ 2 2\ 1/3
<g = JL (ь«й)2/3= 1,5	.
и 2т 7	\ т )
Приведем для сравнения точный результат, полученный из решения /,2Й2?/3 уравнения Шредингера для данного потенциала <S0 = 1,856 I—— I . Видно, что точность нашего приближенного подхода составляет примерно20%.
2.40	? Решение. Угол ф между направлением полета частиц и направлением излучения определяется из равенства
с COS ф =---.
nv
Дифференцируем это выражение и заменяем дифференциалы конечными приращениями
sin (р Д^р = —Av = ——j Ар.
nv nmev
Электрон, находясь в слое вещества толщиной d, имеет неопределенность импульса Ар « fl/d, откуда следует неопределенность угла
сП
.	2 .
dnmev sin ip
2.41	! Решение. Чтобы имело смысл представление о классическом движении электрона по первой боровской орбите, необходимо выполнение соотношения Дг«гр где = й2/те2 — радиус этой орбиты, а Дг — неопределенность положения электрона по радуису. Но тогда по соотношению неопределенностей соответствующая неопределенность в импульсе будет
д„«Л»А = ^,
Дг и п
т. е. равна самому импульсу электрона р = теР/й. Однако по мере увеличения орбиты (увеличения квантового числа п), движение становится все более «классическим», что и постулируется принципом соответствия Бора.
/	, 2
2.42	. ^ = П, /. = ——j—= 3,32-10~8-—см.
к	2яте Z	%
2.43	! Решение. В стационарном состоянии квантово-механические средние значения кинетической и потенциальной энергий системы связаны соотношением
(Т) + (U) =
где S — полная энергия системы.
2	2
В случае атома водорода U = ——, Т =
219
Если атом находится в основном состоянии, то Др—р; Дг—г. Т. к.
Я	2
Ьр&г — й, то S а----у — —. Правая часть достигает минимума при
2^	Г	fit
п г = —
чем и определяется порядок величины размера атома водорода в основном состоянии. Соответствующая энергия
2Й2
В случае двухатомной молекулы (если не учитывать ее вращения) ~ ________________________________________
=	(0 = |и«§х2,
причем в силу соотношения неопределенностей в форме Вейля ___________________________	_ +2
(Ргх - Р?) (х2 - *2) > у
В силу симметрии потенциальной ямы рх = ~х = 0 и тогда — Й2 PC X > —.
х	4
Таким образом,	  2
L^2X2 + J=
2	8[лх
Левая часть достигает минимума при х2 = Й/ (2цш0). Следовательно, £ > — Йа>л-2	0
Основное состояние — это состояние с минимально возможной энергией, и для него
S = - йо>0, х2 =	.
2	0	2р.а>о
Размер молекулы порядка 1/—-—.
.--- ’ 2|Л<х>о
2.44!
т
Решение. Минимальная сила, действие которой может быть определено по отклику свободной частицы (пробного тела) определяется квантово-механическими особенностями пробного тела и временем действия силы. При обнаружении малого внешнего воздействия на пробную квантово-механическую частицу требуется как минимум два измерения: начальной координаты и конечной (через время т). При этом мы не рассматриваем «снос» частицы х = vox, где v0 — скорость свободной частицы, поскольку он не влияет на ответ.
Под действием силы частица движется с ускорением а, и за время т пере-
2	„2
, ат гх ъ местится на расстояние I = -у- = ——. Этот результат справедлив и в квантовой механике. Зная координату частицы х(0), т. е. в момент t = 0, мы могли бы знать положение частицы в момент t = т: х(т) = х(0) + I. Следовательно, по крайней мере одно измерение координаты нам было бы необходимо.
220
Согласно основным представлениям квантовой механики при измерении вносится неконтролируемая неопределенность (&Xq) = (х2) — (х)2. В результате после измерения координаты возникает разброс в значении импульса (Др2), который можно найти из соотношения неопределенностей в форме Вейля
*2	+2
(\х2){\р2) >откуда (Др2)>——2~.
4	4(Дх0)
Через время т это приводит к неопределенности в пройденном расстоянии (конечную координату мы можем измерить сколь угодно точно).
2\ = (АР^т2 > Й2т2
т т2 4т2(Дхо)
Складывая обе дисперсии, в силу их статистической независимости получим
(Дх2) = (Дх2) + (Дх2) > (Дх2) + V 2 •
4m (Ахо)
Минимизируя полученное выражение по (Дхц), определяем неопределенность первого измерения координаты, которая обеспечит минимальную неопределенность пройденного за время т пути (Axo)min = М2т. Это соответствует (Ax2)min = Йт/m.
Силу можно будет зарегистрировать, если смещение / под действием силы окажется больше неопределенности пути
Ft2 Jhr
2т ' т ’
откуда
>7 jic* с- _л 8Й т
2-45Т Fmin - V
' «от
Решение. В этом случае мы измеряем энергию частицы до действия силы и после. Первое измерение дает значение начальной энергии. Точность Д<§ такого измерения зависит от длительности измерения тр т. е. Д<§ = Й/Xj (в принципе при достаточно большом Tj она может быть сделана сколь угодно малой). Поскольку полное время наблюдения ограничено величиной т, то часть этого времени должна быть затрачена на измерение начальной энергии, а в оставшуюся часть времени т — Xj будет происходить изменение энергии за счет работы силы F.
За время т — Xj при условии Fxj р0 изменение энергии
до _ РоДр _ Т(т — ц)
Д&о	р0--------
т	т
Это изменение энергии можно обнаружить, если Д<§0 > Д<з = Й/хр откуда
РоТ1(т —Т1)‘
221
Ро
Вводя <§о = — и минимизируя по Тр получаем
_ _ т .. р — п Л 8m '“г "
Заметим, что при подобных измерениях необходимо уменьшить все флуктуации энергии неквантовой природы (например, тепловые) до уровня меньше квантовых.
2.46! Пороговая энергия рождения пары <§п = 2тес2. Эта энергия «появляется» при попытке локализовать электрон в размере Ле/2, где Ле — комптоновская длина волны электрона. Действительно, Ле й
при Дх — =----------возникает неопреде-
2 2тес
ленность в энергии Д<з =--------у, кото-
2те(Дх)
рая равна 2тес2. Таким образом в области — Ле/2 электрон не может рассматриваться как «точечный» объект.
Д&% JL = 15 кэВ.
^ИЗМ
2.48!	Р е ш е н и е. Условие возникновения первого максимума Sj — S2 = = ХдБ. Из геометрии разность хода (рис. 143)
2.47. / »А = 4-Ю-20с; ИЗМ о
Sj S2
ДАх L ' где использовано обычное условие эксперимента Z,» D, Дх.
Если электрон прошел через щель 1, то изменение импульса экрана I д I   „	Ах + Di 2
А^х1 । Р ]	’2	2'
V(Ax+Dl2) +L
а если через щель 2, то
I л I	Дх —Д/2
I ДРх21 = Р "у.	2----у-
V (Дх — Д/2)2 + £2
Чтобы определить по измерению импульса, через которую щель прошел электрон, нужно суметь различить по величине | Дрх11 и |Дрх2|, т. е. точность измерений импульса должна быть лучше, чем
ДРх= I APxl I - 1ДРх21 ^рАХ + Д/2 -рАХ~Д/2 = р|.
Согласно соотношению неопределенностей
5х 5р ~ h, откуда 5х ~
бРх АРх PD D
222
Так как 1дБ =...то &х >- Дх. Тем самым неопределенность в положе-
нии щелей (обе щели смещаются как целое вместе с экраном) будет больше, чем масштаб интерференционного расщепления, и картина размоется.
2.49!	Решение. Пока расстояние d между расщепленными пучками меньше 0,61Хф (результат, хорошо известный в оптике как предельное разрешение двух светящихся точек), определить, каким путем движется атом, невозможно. Поэтому первое размытие картины произойдет при d = 0,61Хф. Так как угол дифракции мал, то, как следует из рис. 144, размытие интерференционной картины произойдет при расстоянии между пуч-
ками
Поэтому
а ар
....... а 0,61 WMu , z = 0,61 Лл. -Л_ =------7-------= 6 мм
* Хдб h
Следует отметить, что при таком способе измерения координат атомов из-за их большой массы Др±, возникающее из соотношения неопределенностей,
очень мало.
2.50.	F =	- 12) « 5- W-21 дИН, где
4d
12 = 4 А и 1j = 2 А (упруго рассеиваться будут все нейтроны с длиной волны X < 4 А).
2.51.	v = — = 2,77-104 см/с, где 1 =	-
MX	/
длина волны фуллеренов.
2.52.	Скорость тримеров и димеров одинакова: v = —-— = 1,8-106 см/с, где N — число ато-QMNd
мов гелия в кластере.
41
2.53.	Дф =* 'll 2 j-; ДА — (fi2m2gl3)114. Легко проверить, что ДфДА — Й. ’ ml g
2.54!	Р е ш е н и е. Флуктуация энергии в системе осцилляторов
ДА = ДА7 в свою очередь, Д/ = Поэтому = дд/ Дф = 1.
<ч	п
§ 3.	Уравнение Шредингера. Квантование. Потенциальные барьеры.
3.1!	Решение. Плотность потока вероятности вычисляется по формуле
2т
или в одномерном случае
/ =А гр* Ы .
z 2т у dz dz j
(*)
223
а)	В случае плоской волны ф (z) = elkz плотность потока вероятности определим прямой подстановкой волновой функции в (*):
/Z=^ = V.
т
т. е. равна скорости частицы и.
б)	В случае сферической расходящейся волны ф(г)	очевидно,
вектор плотности потока вероятности j направлен по радиусу-вектору г. Кроме того будем считать кг » 1. Поэтому
j _ ЙЛ 1 Г _ у Г _ V т (кг)2 г (£г)2 г (krf
В последнем равенстве учтено, что k || г || V. Можно было бы воспользоваться декартовыми координатами, направив ось z по радиусу-вектору. Естественно, ответ получился бы таким же:
lz (кг)2’
в)	Для суммы сходящейся и расходящейся волновых функций приведем только ответ:
~ - г,/ ,	2а2Й2 2 !	-	, р ай2
3.2.	U(х) = ———х (гармонический осциллятор), <Ь =-----.
Указание: в задачах 3,2; 3,3; 3,4 предпочтительнее не интегрировать по частям, а наоборот — дифференцировать по параметру а определенный
интеграл ( е аХ dx = —. }	а
о	,	,
2	/	2	\	2	/
3.3.	(Т) я»—-—у	точное значение (Т) = -—-у ; U(x)=— |-U-
32ma	\	bma)	m	\x2
*2
<S = —----у (см. указание к задаче 3.2).
2ma 2	/	2 \
3.4.	(T) як  точное значение (T) =	; {x) = — a; U (x) = —
8ma2 \	2mal /	2
л
<§ = —----j <см- указание к задаче 3.2).
„	<) Ъ2к2\'	hmk\113
3.5.	<§nяк----, параметр a= —у-	. См. также задачу
И m )	\2Н
Полученный ответ совпадает с точным решением с точностью 6%. , 3/,2 2*2
3.6.	<£ = 2 ДИ д П п2/3.
п 2 V m
_2_\. ах j ’
h2 .
max'
2.39.
72 4	t.2
3.7. <£ = -	-1,36 кэВ; a = -^y=0,053 A.
2Ti	Zme
3.8!	a = h Д—(1+a23-_ ъ 1,54-10~13 cm. V 2p£/o“(“ + 3)
224
Решение. Учитывая сферическую симметрию задачи, запишем
л2
— + U (г) ф dV,
_2\>. J
(<£) = (Т + U) = $ ф* о
где dV = 4лг2 dr; и = mNH — приведенная масса дейтрона. Оператор
р2 = -h2\r = -й2[-^Ц- + --^-| 
[dr2 r dr)
з а
Вычисляя интегралы, получаем
t2 2
8рьз	(1+а)
Основное состояние соответствует минимуму энергии:
(1+а)3 _ 2|хд2(/0 а(3 + а) й2
d(£} Л
—у-с = 0, откуда da
Далее находим
о _ , ох _ а3(1 — a) Uo
или	—^- = 0,108.
(1+а)3
Используя указание к задаче, находим, что а = 1,5. Таким образом,
а = Й Л!—(1+а)3 « 1,54-10“13 см. V 2(Шоа(а + 3)
Л 2	3
3.9.	(Е(0)) = Ц-1/0—МэВ, где а = 1,35. 8рд (1+а)
3.10!	1) а — — iy-; Р =	Йа>, поскольку = h
N = 2.
2) а = 0; Е = 1йа>, N = 0.
2
Решение. В трехмерном случае в сферических координатах (г, 0, ф) лапласиан Д имеет вид
д=дг+ЗуД„ . г „2	6, ф
, то
Поскольку ф-функция не зависит от углов (сферически симметричный случай, изотропный осциллятор), то лапласиан в нашей задаче сводится к радиальной части Д
b=br=dL + ld dr r dr
Дифференцируя исходную ф-функцию, получим
= 2Ae~V [ (а — Р)г — сфг3];
= 2Ае-₽г2 [ 2аР2г4 - р (5а - 2Р) г2 + (а - Р) ].
dr
225
Таким образом, уравнение Шредингера имеет вид
-*L	+	+ jmj? гг^ = или
2ix \drz г dr 2
—6Р + 4|32г2 — 14сс|3г2 + 4ар2г4 + 6а —
_ Дф г2 _ Дф ,.4„ = „ 2^	_ 2jx (gar2
h h	n n
Поскольку энергия <g = const и не может зависеть от г, то сумма коэффициентов при всех степенях г должна давать 0.
г°:	6(a-P) +^<S = 0,
ft
2 2
г2:	- 14аР + 4Р2 - 1Ц!_ + М а = 0,
й А
2 2
г4: 4ар2 - а = 0.
А
Из этой системы и следуют искомые значения а, р, £ и 7V, приведенные в ответе.
3.11. гр =
' cos^ (п = 1,3, 5,...),	.22
va 2а	(g = —* п2 в обоих случаях.
'sin (п = 2, 4, 6,...), Sma
Va 2а '	7
Вследствие симметричности потенциала решения подразделяются на четные
и нечетные. В силу граничных условий (ф (± а) =0) на ширине ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля, как это имеет место для электромагнитных волн в случае интерферометра Фабри —Перо или волно
вода с металлическими стенками.
3.12! Решение. Примем за начало координат центр дна ямы О (см. рис. 19 к условию задачи). Тогда уравнение Шредингера для связанных состояний внутри ямы будет
^4 + Л2ф = 0,	(1)
dx
а вне ямы
2
- а2ф = 0,	(2)
dx
где введены обозначения
к = -\1^Е а = л12т(1/о-£>	(3)
’ Й2 ' Й2
Внутри ямы общее решение имеет вид
Ф = A cos кх + В sin кх.
Вне ямы решение, удовлетворяющее условиям на бесконечности ф( ± <») -» 0, будет
ф = Се аХ при х > а,
ф = DeaX при х < —а.
226
Из соображений симметрии следует, что плотность вероятности | ф |2 должна быть симметричной функцией х относительно начала координат. Следовательно, должно быть С2 = О2, т. е. возможны два случая: С = D иС = —D. Постоянные А, В, С, D надо выбрать так, чтобы на краях ямы функция ф и ее производная dtyldx были непрерывны. На границе х = + а это дает
A cos ка + В sin ка = Се~аа,
—кА sin ка + кВ cos ка = —аСё~аа, а на границе х = —а
A cos ка — В sin ка = De~aa,
кА sin ка + кВ cos ка = aDe~a“.
Отсюда
2А cos ка = (С + D)e~a“, 2к A sin ка = а (С + D)e~aa,
2В sin ка = (С — D)e~°-a, 2кВ cos ка = —а(С — D)e~aa.
Если А * О и С = D, то
к tg ка = а.	(4)
Если же В * 0 и С = —D, то
к ctg ка = —а.	(5)
Эти условия не могут быть удовлетворены одновременно, так как в противном случае получилось бы к? = — а2, а это невозможно ввиду вещественности А: и а. Решение, когда все коэффициенты А, В, С, D равны нулю, физического смысла не имеет. Таким образом, все возможные решения разделяются на два класса: решения с четной волновой функцией, когда Аф О, В = О, С = D и решения с нечетной волновой функцией, когда А = О, В* О, С= —D.
Уровни энергии найдутся путем графического или численного решения уравнения (4) или уравнения (5), в которых положительные величины к и а определяются выражениями (3). Для графического решения удобно ввести безразмерные величины
£ = ак, к] = аа.	(6)
Тогда
2
|2 + Л2 = 2mU°a ,	(7)
Й
причем для решений с четной волновой функцией
iq = £ tg £,	(4а)
а для решений с нечетной волновой функцией
q =ctg	(5а)
На рис. 145а построены кривые т] = £ tg с,, на рис. 1456 — кривые Л = — £ ctg Вертикальными штриховыми линиями изображены асимптоты этих кривых. Ввиду положительности £ и т] нужны только участки этих кривых, расположенные в положительном квадранте (^ > 0, т| > 0). Пересечем эти кривые окружностью (7), радиус которой y/2mU0 a/fl должен
227
считаться известным. Координаты точек пересечения этой окружности с кривыми (4а) и (5а) дадут возможные значения £ и г|. После этого по фор-
Рис. 145
мулам (3) легко найти значения &. Число уровней всегда конечно и определяется глубиной Uo и шириной 2а потенциальной ямы. Например, если
радиус окружности равен 7, то получается пять уровней. Точкам пересечения /, 3, 5 соответствуют четные, а точкам 2, 4 — нечетные волновые функции. Если 0 < и0а2 < Й2л2/8т, то имеется только одна точка пересечения, которой соответствует четная волновая функция.
Следует еще раз подчеркнуть, что в симметричной одномерной яме при любой ее глубине и ширине всегда есть хотя бы один уровень, отвечающий
четной ф-функции. Аналогично обстоит дело в двумерном случае. Принципиально по-другому обстоит дело в случае трехмерной потенциальной прямоугольной ямы (задача 3.16*), где уровень есть не всегда.
Дадим также другой способ решения уравнений (4) и (5).
2	,2
Рассмотрим четное решение к tg ка = а, откуда 1 + tg2 ка = —;
2	I-э-	*
1 2mUoa 1	Й2
—э— =-э-т; I cos ка) = \7 ка.
cos2 ка Й2 (ка)	’ 2тСоа2
228
При этом (т. к. tg ка > 0) годятся те четверти, где sin ка и cos ка имеют одинаковые знаки.
Для нечетного решения получаем
| sin ka
п2
у ка, и т. к. 2mU0a
ctg ка < 0, то годятся те четверти, где sin ка и cos ка имеют разные знаки. Графическое решение полученных уравнений изображено на рис. 146 и 147.
Видно, что в зависимости от величины UQ (при данном а) или а (при данном Uo) в случае четной ф-функ-ции хотя бы одно решение есть всегда! Это будет иметь место при
I	1 п	2* 2
Л	1	2	п Л П п	-	тт
у------2 >—/2 — — > или ^оа >-^—• При дальнейшем уменьшении с/0 уро-
вень поднимается к потолку ямы, но частица из ямы не вылетает (рис. 148)!
1 р _ лИ2 N(N + 2)(N + D Р_ л2П2 У(У + 2)(У + 1) emin —"I	7	. r
4mb	0
3.14.	Вообще v > у/d2 + /2. При d <к/ vmin = mdl	ml
При d = l (квадратное сечение канала) min
3.15.	t = 0,065 c.
3.16!	Решение. В сферической системе координат уравнение Шредингера для стационарных состояний с волновыми функциями, зависящими только от г, имеет вид
^d_(r2d^\ +2m^_u	] Q
dr у dr) й
Решение этого уравнения должно быть конечным при г = 0 и достаточно быстро убывать при г -* °° (чтобы | ф |2 dV сходился). Введем новую функцию х = гф. Тогда
^ + ^[£-{/(г)1Х = 0.
d г п
2mb3
6
= я» 2 см/с.
та
2,8 см/с.
(1)
(2)
Надо найти решения этого уравнения, убывающие при г-> + <» и обращающиеся в нуль при г = 0. Это будут
% = В sin кг
X = Се~аг
при
где
при
2т(& + С/о) П2 Задача свелась к задаче об одномерной энергии определяются точно так же, надо только отбросить состояния с чет-
ными и сохранить состояния лишь с нечетными волновыми функциями.
k = +
a =
(3)
потенциальной яме — уровни
229
3.17. Решение задачи сводится к решению трансцендентного уравнения . . , . J И2 ,	,2 2m(U0-£) ,
|sin ка\ = \-----у ка, где kz =---,----, (см. рис. 149).
’ 2mUoa	It
Минимальная «мощность» U0a2 ямы, при которой появляется первый уровень, 1/0а2 = л2Й2/(8m). При этом энергия уровня (ка = л/2) равна S = 0, т. е. уровень лежит на «потолке» ямы. При увеличении Uo или а уровень опускается в яму. Из рис. 149 видно, что второй уровень появится при
tg a =
2д2
3.18. Uo = ——j + <§ ~ 42 МэВ, где р = —. Это довольно грубая оценка. 8ра	2
Точное решение трансцендентного уравнения дает Uo я» 53 МэВ. Смотрите задачу 3.17.
2	2
+ 4	4 2 2Гг2
8m a Uq	п
3.20!	(z) ss« 20а = 100 А, где 6 = 0,01 (точное значение (z) = л д
=	140 А).
^2л д
Решение. Разобьем область нахождения атома гелия на две части: / — внутри потенциальной ямы (0 < z < а) и II — вне ее при z > а. В области /:
," . , 2 , л ,	>J2m£
Фх + к >р| =0, где к = ——.
Решение этого дифференциального уравнения очевидно:
(1)
ipj (z) = sin kz, поскольку при z = О должно быть vpj (0) = О. В области II:
Фп _ х2Фн = гДе х = j V2m(U0 — <£).
(2)
Решение последнего уравнения
фп(2) = Ae~xz,
где А — нормировочная константа. Заметим, что формальным решением этого уравнения могла бы быть положительная экспонента <х exp (zz). Но тогда при z-*oo, ф(г) -*оо, что не имело бы физического смысла.
230
На границе областей, т. е. при z = а необходима гладкая сшивка гр-функ-ций:
гр! (а) = грп (а), т. е. sin ка = Ае~ка\
гру(<г) = гр^(а), т. е. к cos ка = —Av.e Ка
Откуда следует
ctg ка = — %- к
По условию волновая функция адсорбированного атома в основном состоянии достигает максимума при z = z* = 0,99а = (1 — 5)а, где 5 = 0,01. Максимум лежит в области I, т. е.
гр! (z*) = sin kz* = 1, откуда kz* = и откуда определим к:
Вычислим
к = — =------я» — (1 + 5).
2z*	2(1 —&)а 2а v '
cos ctg ка — —
sin
—sin
лб
T
Из соотношения (3) определим х:
х = — к ctg ка» к — = —5 » 5 • 105 см 1.
2 4а
По определению
а	»
z sin2 kz dz + A2e 2zz z dz
sin2 kz dz + Л2е 2zz dz 0	a
Но интегралами по области I можно пренебречь в силу их малого вклада, одновременно расширив область интегрирования в области II до 0. Дейст-
$ ze"2z; dz	J ze-21tz dz
вительно, -----------= —, но ------------=	Так как 2у.а» 10-2, то
"	2х "	2х
J e’2zz dz	J e’2zz dz
О	а
это очень близкие выражения. Поэтому
S e’2z2rfz о
1
2х
Д^я»20а= 100 А. л 6
231
На рис. 150 приведен график зависимости | ф(г) |2. Хотя максимум ф-функции и лежит внутри потенциальной ямы, но среднее значение координаты (z) — далеко за ее пределами, поскольку ф-функция крайне медленно спадает при z > а. Точное интегрирование дает
3.21.	t/0 = 4K,	+ А.
и	2к 2х
Здесь к = 1 v/2m<§1; х = -i-V2m(t/0 — «Sj) =	V2m<£; Д = Uo — S. Рас-
чет показывает, что (z) ss 5,4 А, т. е. «в среднем» атом находится не вне ямы, а все-таки внутри нее.
- 2*2	2ft2
3.22.	1/0 =	= 16,6 эВ; <£ = -^Ду = 12,45 эВ.
9та	бта
3.23.	Un = 8я Д = 5,53 эВ; <S = — = 1,38 эВ. °	21 та2	4
3.24!	Р е ш е н и е. Энергия частицы т, находящейся в одномерной потенциальной яме шириной а, квантуется
При переходе частицы из состояния п 4- 1 в состояние п излучается квант энергии с частотой
,,	&п+1~ л2й -	,
% + 1,Н=-----*---=—^! (2«+ И-
п 2та
Классическая частица колеблется в яме с частотой сокл = 2п/Т, где Т = 2а/ц, где в свою очередь v — скорость частицы при движении от стенки к стенке — определяется ее энергией. Для сравнения примем значение энергии равным Е Тогда
я 12Д	я/щ	яи	я2/щ
* m	ma	а	тал
Теперь сравним соп+1 п с сокл:
^п+1, п . 	1	.
----— = 1 +----> 1 При п -> оо.
сОкл	2м
232
Эта задача является иллюстрацией принципа соответствия Бора. При больших значениях квантовых чисел квантово-механическое поведение системы переходит в классическое.
3.25! Решение. Запишем уравнение Шредингера в виде
,2 , ^4 + ^ = 0,	(о
dx1
где
fc2= 2m (£_£/)	(2)
h
В области I волновая функция частицы состоит из падающей волны
= ei^iX-at)
и отраженной
ip'l = ге_/(^1х+®0,
а в области II — из прошедшей волны
ф2 =
где индексами 1 и 2 отмечены волновые векторы в областях I и II соответственно. Амплитуда падающей волны принята равной единице, что, очевидно, не нарушает общности получаемых ниже результатов. Волновая функция и ее производная по х на границе раздела должны быть непрерывны. Это приводит к соотношениям
1 + г = d, к1 — fcjr = k2d, из которых находим
Г = к1~к2 d = 2kl ki+k2’ ki+k2'
1) Если S > U2, то волна ф2 однородна, так же как падающая
и отраженная фр Вычислим плотности потоков вероятностей для женной волны
(3)
волна отра-
Л
2т
,, d^i „ </ф'1
4,1 ~dT~ 4,1 it
= 2L [r2zfcj -I- r2ikA = —r2 — 2m	1	m
и для прошедшей волны
/ =А
d 2т
d^ , d-^.
d2^. m
Плотность потока вероятностей для падающей волны je = tik-Jm — (равна скорости частицы, налетающей на барьер). Вычислим энергетические коэффициенты отражения R и прохождения D:
ki-k2 к\ + к2
D —	id	-k2d2-	4kik2
	1 е	ki	(Л1 + ki)
(4)
233
Величины этих коэффициентов находятся в согласии с законом сохранения энергии: R 4- D = 1.
2) Если & < то — чисто мнимое, т. е. волна во второй области неоднородна. В этом случае R = 1, т. е. отражение полное. Полагая k2 = ia, для волны во второй области получим
4’2 =
е~ах e~ia>t^ kl+k2
(5)
т. е. амплитуда волны в области II экспоненциально затухает при удалении от границы раздела областей.
Глубина проникновения I определяется как расстояние, на котором плотность потока энергии убывает в е раз. Для нее получаем
/ = 1 а =	*
2	2'/2m(U2 — £')'
(6)
3.26. N
— яе — 'll = 2,5, где D — коэффициент прохождения.
D 4 v — vo
Примечание. Видно, что число ударов очень мало, т. е. здесь состояние «слабо стационарное», и обычно используемое выражение для числа ударов через коэффициент отражения плоской волны от барьера в данном случае является очень грубой оценкой, дающей представление лишь о порядке величины числа отражений.
3.27. т ъ (ПО)-1	7	~ 10
.	V<g(t/0+<g)
о стенки ямы- D = 4---------------------яе 4
,2
15	1 л
с, где и = — \-- — частота ударов
а V т
Д— — коэффициент прохожде-’ Но
предыдущей задачи.
ния. См.
также примечание к ответу
R =
3.28.
3.29.
3.30!
к2 = 2т(& — UV)/h2. В области барьера (0 < х < I) ф = ае‘ к2 =2т(& — U)/Й2. В области II (х > I) ф/7 = delkix, i
, см. также решение задачи 3.16.
I = 0,56 нм. Решение.
В области I (х < 0) ф2 = er*ix + re lkix, где ,ikx f)g~ikx, Где /) ф/7 = delki\ гдек2 = 2т(& — U2)/Й2. Сшивая волновые функции и их производные в точках х — 0 и х = /, получим систему уравнений относительно г, d, а и Ь;
1 + г = а + b; aelkl + be lkl = delkil; fc, — fcir = ka — kb; kaelkl — kbe~lkl = k2delkil.
Отсюда получаем
_ (k\ — k)(k+ k2) + (к;+k)(k — k2)e2,kl (к;+к)(к + к2) + (к; — к')(к — k2)e2ikl
4k\keltkl~k‘l
d	'lik.l'
(k\+k)(k + k2) + (k\ — k)(k — k2)e
234
В случае, когда энергия частицы ниже высоты барьера, т.е. £ < U, волновая функция в области барьера имеет вид ф = ае~*х + 6екХ, где х2 = 2т (U — &) /Й2, и в этом случае в формулах для г и d нужно провести замену fc-»Zx. Таким образом, поскольку в области II мы по-прежнему имеем прошедшую плоскую волну, то получаем важный вывод — квантово-механическая частица может проходить сквозь барьер даже в том случае, когда ее энергия меньше высоты барьера («туннельный эффект»),
3.31.	Полная энергия & должна быть больше потенциальной энергии U частицы внутри барьера (ямы). Толщина барьера (ямы) должна быть I = X/2, X, ЗХ/2, 2Х, 5Х/2, ..., где X = /гД/2т(<£ — {/) — длина волны де Бройля частицы в области барьера (ямы), или, иначе, I = лйрЛ/2т(<£ — U) и од-л2Й2
новременно <§ = (/ + ——у р2, где р = 1,2, ..., т. е. энергия частицы должна 2тг
совпадать с одним из собственных значений энергии в бесконечно глубокой потенциальной яме, дно которой расположено на высоте барьера.
2 + 2
3.32.	£„ = U + ——у и2,	и = 1, 2, 3, ..., или в числах <§„ =
2m/2	"
= (5 + 37,62и2) эВ.
3.33.	R як —	= як 1,7 А. (Табличное значение R = 1,98 А).
4V2m(<g + U)
3.34.	(/ = —f—= 1,64 эВ, где k = -Jlmg = 6,22-107 см”1, sin kd	п
D як exp (— 18х</) як 3,2-10-5, где х = ± V2m(U — S) «1,9-107 см-1;
т = — як 1,8-10—11 с, где —	1,22-1015 с-1.
nD	2d " т
3.35.	т =	1,2' 10-11 с, где D ~ ехр (—598ах) ~ 8,3-10-5, х =
= V2m(U — <о) /Й ~ 5,08-105 см-1, а = 3 А.
3.36*	Решение. На рис. 151 обозначен подбарьерный переход а-час-тицы с энергией £. Так как заряд а-частицы Za = 2, то оставшаяся часть ядра имеет заряд Z' = Z — Za = Z — 2. (/ (г) = Z'Zae2lr. По условию & V (R). Вычислим коэффициент прозрачности барьера по известной формуле
В подынтегральном выражении можно пренебречь & в силу указанного в условии неравенства. Вычислим этот интеграл
,	2
2т Z Z°e dr = -%- y/2mZ'Z е2 ( r-1/2 dr =
г	Й	«	'
R
= - ^l2mZ'Z e2R, | 1 -	1.
Й «	1 \ V R /
235
ZZae
Из рис. 151 видно, что
U(r)‘ Uo
2 Т	» ZZ“e2
- = 6, откуда R[ = —-—.
Л1	&
Подставляя это в формулу для /, получаем
exp
Рис. 151
где использовано очевидное неравенство Rx » R, справедливое в силу заданного условия £<ztU(R). Таким образом,
Для приближенной оценки вероятности распада в единицу времени (постоянной распада) X необходимо прежде всего оценить число столкновений а-частицы с потенциальной стенкой за 1 с: п st v/ (2R), где v — скорость а-частицы внутри ядра, которую оценим из соотношения неопределенностей:
та maR 2R 2m„R
Вероятность распада в единицу времени
Рис. 152
2maR
Период полураспада Т ядра, как известно, равен
7
2m„R 1п2	_ b \
Т пБ ~аехР^ vrj’
где а и Ь — очевидные константы. Прологарифмировав это выражение, получим закон Гейгера— Неттола
1g т
В
3.37! Решение. Оценка изменения туннельного тока может быть проведена при рассмотрении одномерной задачи (рис. 152). Обратим внимание, что на такой энергетической диаграмме потенциальная энергия электронов возрастает снизу вверх, а потенциал поля — наоборот.
Очевидно, что туннельный ток пропорционален прозрачности барьера, изображенного на рис. 152.
D = Do exp
~ d
—у/2т (А2 4- еЕх) dx , о
где напряженность электрического поля Е = (Aj — А2~ eV)/d. Интеграл в показателе экспоненты легко вычисляется:
d	___
| $ \'2т(А2 + еЕх) dx = А [ (Д2 + eEd)3/2 - А%2].
п о
236
Следовательно, прозрачность барьера
При перемещении иглы над ступенькой высотой Ь в полученном выражении следует заменить d на d — Ь. Таким образом, ток Д возрастет в
S(d-b) _ ayrn [	4<2т"
3(d)
= ехР	[ - еу)3/2 - А^2]ь} = е2,08 * 8 Раз-
Ток уменьшится: = е-0,82 як 0,44.
ЪЗ = 0,27 нА.
3.38.
3.39.
О ~ ехр V2pJ?2j е 234,7 ~ Ю 102, где ц =	= тр— при-
масса системы из двух дейтронов. _	( ла^2т(1/0-£)\	( „ */о-^ р
D як ехр —--------------- = ехр — 2л — ------ , где <Ь — энергия
у rtvl/g у	у Aoj ]
возбуждения ядра, а — координата классической точки поворота.
2
3.40.
веденная
3.41.
5, где fc? = Al (4> + 1/0), А, — макси-1+ (UolS) cos2 кха	Н2
мальное значение ф-функции в области 0<х^а; А2 — в области
а < х < Ь.
При 1/0»4) величина f -»0 при всех <£, кроме «резонансных» значений
(когда cos fcja = 0). При этом &п =	+ 2Я — Г/о, и = 0, 1, 2, ..., a f = 1.
8та
3.43! Решение. Атом гелия участвует во вращательном движении. Момент импульса этого движения квантуется
wHewr = п^' n = 1, 2, 3, ...
По условию, если v — скорость атомов гелия в вихре, то vr = К — интенсивность вихря. Откуда
К = -A- n; Amil "lHe , . nh V г) =-----.
ШНе'' 2-min = ^1^' 2-min = ^/4-
3.42. f =
3.44.
3.45.
3.46.
3.47.
Энергия связи
min = —= 1,6-10’4 см2/с. Шне
= 7,63-10 3 эВ. Глубина 2	/	2\
= АЦ а +— = 8-10“3эВ.
. 2 1	7 I
4та \	L /
*2 2
3.48. &с = Un - & =	= 123 кэВ.
СВ ° 2та2
2 2	2
<§ = А_^ = 3,8-10“4эВ,	(У-<£ = АТ_ =
8та	4та
потенциальной ямы U = (1/ — <§) + & —
А2
237
a q
3.49.	1,54, где a — ширина «сжатой» ямы.
a' 3V3
3.50.	•^ = — = 4,5, где U’Q — измененная высота ямы. Со 2
3.51.	Г Д1— = з,б-ю 5 эВ, где проницаемость возникающего барь-2а V т
ера треугольной формы (рис. 153). О^ехр 7,8-1СГ5.
4 ^2m(.U0-£)
3 heE
Параметры задачи подобраны так, что в яме есть только один уро-
I К2
вены sin to = Д—-—у to = 0,488to, откуда to =1,92. Величина еЕа = ’ 2mUoa2
= 0,012 эВ«£/0 - <§ = 0,12 эВ.
3.52. т	fib 10-6
vD D * 2g
ера треугольной формы D — ехр
с, где проницаемость возникающего барь-
_ 4 V2m(t/0 g)	~ 1 45-10-9.
3 heE v °	’
Параметры задачи подобраны так, что в яме есть только один четный
I h2
уровень: cos to = Д|—-—у	= l>94to, откуда to = 0,46.
’ 2т Uоа
§ 4.	Атом водорода и водородоподобные атомы
4.1!	Решение. Пусть частица локализована вблизи силового центра внутри сферы, радиус которой г. Ее потенциальная энергия будет порядка —Clrs. Неопределенность координаты будет порядка г, а, следовательно, неопределенность импульса — порядка Й/r. Такого же порядка будет и сам импульс. Следовательно, средняя кинетическая энергия будет порядка й2/тг2, а полная энергия	^2
"	2 —
тг г
Если s > 2, то может принимать сколь угодно большие отрицательные значения. Но в таком случае должны существовать и уровни энергии со
238
сколь угодно большими по абсолютной величине отрицательными значениями <S — произойдет падение частицы на силовой центр. Если же s < 2, то сколь угодно большие по абсолютной величине значения & невозможны, поэтому невозможно падение на силовой центр и возможно образование связанного состояния с <S < 0.
3	2
4.3.	—^ = —,— = const. (Классический закон Кеплера в системе Солн-Т 4л т
_ г3 уМс
це—Земля —= —=- = const).
Т1 4п2
Z 2	1
4.4.	гр ос е~аГ, где а = —j— = —,	— радиус первой боровской орби-
h ri
ты водородоподобного атома, а функция гр — с точностью до нормировочной константы — описывает основное состояние водородоподобного атома
1	о-2 4
(гр1=	*	г-'/'.).	=
аМ	2й2
2	2
4.5.	| гр |2 = 7- е~«г, где q = 2w^e .
4л
2
4.6.	4лг21 гр |2 = qir1e~qr, где q = ^mZe . Эта величина максимальна при ft
2	+ 2
г = — =----2 = г1’ где Г1 — радиус первой боровской орбиты.
Ч mZe
w=Vr
4.8.	(1) =±. \Г/ Г]
Примечание. Здесь можно обойтись без интегралов. Достаточно использовать теорему вириала для кулоновского поля
2(Т) = — ((/), откуда:
&п = (Т) + ((/), и при п = 1 2	л	\
<S1 = -!<(/) = е2(1. 1 2п 2 ' ' V
Таким образом,
(-) = — 'Г' Г]
Z 2 Z 2	(1Л
4.9.	(<7)= —-; (Т) = ——= — (См. примечание к ответу задачи
4.8.) 2	2	4
л „ me	R те	р те	,
4.10.	а	= — —у;	р = —у;	6 =	— —у,	откуда п = 2.
2Й 2Й	8Й
Поскольку гр = гр (г), то I = 0. Это 2s — состояние. Если а = 0, то это
1	2	4
основное состояние 1s; при этом 6 = — = п = 1; <§ = — См. также
И h	2h
решение задачи 3.10.
4.11.	R >2— «3700; Ь>—«3,7 см. me	dnid’k
239
4.12.	Разрешающая способность должна быть не меньше — — sk 2800.
2 те
Она одинакова для всех линий спектральных серий смеси. Разрешающая способность призмы 6 А-=1 000, т. е. недостаточна для разрешения. Для интерферометра Фабри—Перо должны выполняться неравенства:
т
2 те
т.
4.13.	Требуемая разрешающая способность А =	= Ahl як 3700. Она
6Х би те
одинакова для всех линий серии, N >
3
4.14.	N як А- як 3400 штрихов.
1 X2
1850.
2 оЛ
„ , -,	—-------, -—= 13,24 см, А-3^11 ~ 3700.
2(Лц —Лн) пе — п0	2ДЛ пе—п0	Дл те
М^м2 he 1 - г , ------------=- = 1,37 см.
4-15. rfmin
4-J6. Lmin
,2	1
4.17.	г 1 = -j-як—-0,0026-10-8 см, что примерно в 200 раз меньше
е m^Z z
соответствующего значения для водородоподобного иона с тем же значением заряда ядра Z. Результат получен в предположении, что К-орбита мюона проходит вне ядра. Электронная оболочка практически не оказывает влияния на этот результат, так как из-за сферической симметрии электронного облака создаваемое им электрическое поле в месте нахождения мюона считается равным нулю. В том же предположении
—2810 эВ.
2Й п	п

Отсюда видно, что излучение, возникающее при переходе мюона на Х-ор-биту с более высоких орбит, будет расположено в рентгеновской области спектра, а при больших Z — в области 7-лучей. При больших Z Х-орбита мюона проходит внутри ядра атома. В этом случае приведенные выше формулы становятся неприменимыми. Результаты сильно зависят от распределения электрического заряда в ядре, с чем и связана возможность использования мезоатомов для изучения распределения электрического заряда в атомном ядре.
4.18.	& = - -A R , <8 =	= A R = 6,80 эВ, Хпр, = -А =
" 2п	1	2	"	₽ез 3R„
= 243,0045 нм, где постоянная Ридберга Rx = 109737,3 см-1.
4.19.	<8И = 6,8 эВ (для позитрония); <8И = 2,6 кэВ (для мюония).
4.20.	А<8 = А-(А — -Ц як 125 эВ, где u. = WpWp — приведенная мас-2Й2Ь 47	т» + тр
са мезоатома; = А = 2,8-10-11 см, где г, = 0,53 А — радиус первой боровской орбиты в атоме водорода.
240
4.21. v и
2 е где а = — = Йе
s 4-= Zac = 2,3-109 см/с; г =--------—---
П	И ^(^ц)прив
—!— — постоянная тонкой структуры.
« 2,8-10 12 см,
2	гпл гпя
4.22.	[л с ss 137 МэВ, где и =----------я» т — приведенная масса ме-
31	31 тя + тя 31
9т, зоатома, т — масса пиона, т„ — масса ядра, г ---------------г, я» 1,2-10 см.
31	я	3'4 тя2 1
2 2	2
4.23.	|^|	10-83эрг; Г1=^~ 1028 см.
4/г	утп
Размер «бинейтронного атома» так велик, что неучет действия других масс Вселенной, очевидно, совершенно недопустим. .2
4.24.	гп = и2 —j----; г2 ~ 4-1031 см, где и = 1, 2, 3, ... — главное кван-
"1еУ"1п
товое число.
4.25.	ГНе = 4ГН = 54,4 В; KLi = 9ГН = 122,4 В.
4.26.	<§Ве = Z2eKH = 217,6 эВ.
4.27.	<§ = 78,9 эВ.
4.28.	(<§2) = (Г) + (U2) = -40,8 эВ, где (Т) = 13,6 эВ, {U2) =	=
2е2
= —------= —54,4 эВ. Здесь усреднение идет по волновой функции атома
трития.
4.29!	Вклад сильного взаимодействия Д<§ = 0,7 кэВ.
Решение. Прежде всего, определим энергию излучения протониума, определяемую исключительно кулоновским взаимодействием, возникающим между протоном р и антипротоном р. Связанная система (рр) аналогична позитронию. Поэтому для расчета кулоновского взаимодействия можно использовать результат задачи 4.18 с заменой массы электрона на массу протона. Это дает уровни энергии протониума
£п = -	=	-12.5 Л кэВ.
п ^+2 2	J ш 2	2
2Л п	те 2п	п
Следовательно, вклад кулоновского взаимодействия в энергию перехода 2р~* 1s в атоме протониума составляет
Д<§.;= 12,5 4 - Л * 9,4 кэВ.
кул ^2	22J
Расхождение с экспериментальным значением обусловлено вкладом сильного взаимодействия. Таким образом,
Д<§сил = А<§ с - A<§KVJI = 10,1 - 9,4 « 0,7 кэВ.
В силу короткодействия ядерных сил их влияние на положение 2р-со-стояния незначительно по сравнению с ls-состоянием, поскольку в кулоновском потенциале вероятность частице в 2р-состоянии попасть в окрестность начала координат близка к нулю.
241
4.30.	f- = r£'^J	0,27. Сравните c 10.59 и 10.60.
*c 4hcrj
4.31.	T = 2<sH = 27,2 эВ, где <sH — энергия ионизации атома водорода.
4.32.	^ = _^Ц = А^а2 = 5,44.10-9; п=3^а2с = 326 см/с, VQ 2?ИатС 16 /Пат	8 /Пат
где а = е2/Йс = 1/137 — постоянная тонкой структуры.
4.33.	Водородная лампа должна удаляться от дейтериевой со скоростью v st 82 км/с.
4.34.	Угол конуса разлета у-квантов отличается от развернутого на а » 1,2-10-2 рад.
2
4.35.	ve = v~=	- as 8-107 см/с (угол разлета as 180°).
2.
4.36! Аф = те е~ ъ 0,15 рад as 10°.
4лй
Решение. Разброс в углах разлета электронов происходит из-за наличия перпендикулярно направленной импульсу фотона составляющей импульса электрона; ее наличие связано с движением электронов в атоме. Полный импульс электрона р = Vpjj + р2 .
Перпендикулярную составляющую р х, обеспечивающую максимальное
отклонение, легко оценить из сооотношения неопределенностей: Й2
АрАг~Й, где Apasp±, Ar =	=—j.
те
Таким образом,
где а = e^/hc — постоянная тонкой структуры. Для нахождения составляющей импульса рц, направленной вдоль движения электрона, достаточно написать закон сохранения импульса:
Л _ Л
X Pll Х+6Х'
Величина комптоновского смещения 6Х определяется по известной формуле „ 6Х = 4лЛе ъ 0,0485 А « X = 1 А.
Таким образом, п ~2Л /’ll-Т-
Максимальный угол отклонения электрона
.	/’*• /пса ше2Х	. с	г»
tgf =—	=—гт=0’15’ т-е- 0,15 рад 8,6 .
Рц 2А/Л
Заметим, что для получения ответа можно было бы воспользоваться и законом сохранения энергии.
242
Энергия электрона <зэл = тс2 — | <sCB |. Для водорода очевидно, что |<£св| «тс2, т. е. <з.|Л » тс2. Энергия рентгеновского кванта hd'k = 12,4 кэВ. Поэтому
тс2»^» |<£св|.
Кроме того, р± «sc р ц, что выясняется простым подсчетом. Поэтому
2
Vm2c4 + р2с2 dm2c4 + р2|С2 & тс2 +
Подставив все это в закон сохранения энергии, получим 2	-------
+ откуда р,|	= 2А = 2Л.
X Х+5Х 2т	11 j? X	тс
4.37.	Аф = ZWee/ » 0,25 рад » 14°.
2лГ
4.38!	Те = 10,2 кэВ.
Решение. Согласно закону Мозли энергия кванта, излученного при переходе электрона с уровня п2 на уровень п1 (заряд ядра Z, а а - поправка на экранирование заряда ядра электронами К-оболочки)
<£ = Йсо = Ry(Z — о)2
п2/
Для линии Kanl— 1, и2 = 2- Поскольку энергия такого кванта в спектре излучения серебра известна и равна <£ = 21,6 кэВ, то из приведенной формулы найдем поправку о на экранирование заряда ядра электронами на К-обо-лочке (в обоих случаях Z < 50)	___
Энергия, необходимая для освобождения электрона из К-оболочки атома 30Zn (переход с п= 1 в п= °0), равна
(ftw)Zn = Ry(ZZn - 1)2= 13,6-292= 11,4 кэВ,
а значит, кинетическая энергия Те вылетевшего оттуда электрона равна
Те = <£- (ftco)Zn = 21,6 — 11,4= 10,2 кэВ.
4.39.	Отличие в и4 = 104 раз.
4.40.	Е =	» 32 кВ/см.
4еп .	, 2
1	= 2,53-10~2
4	41»	_ 3 W
<£	/ х2
1 _11 = 1,52-10-2
5 Ы
(ядро — заряженная сфера),
(ядро — однородно заряженный шар),
243
новском поле точечного заряда
Решение. Считаем, что решение задачи об уровнях энергии в куло--2	2
известно: Нф = <£ф, где Н = -О— —---,
2т г
„2	4
<£ = — ——у. Рассмотрим п = 1, тог-2Й п
да ipj ~	, о~г1г: Истинный потенци-
V ЯГ1
ал при г > Яя совпадает с потенциалом точечного ядра и отличается от него при г < Яя. Если считать ядро равномерно заряженной по поверхности сферой, то Ze2
U(г < Яя) = —---; если равномерно за-
яя
ряженным шаром, то 1/(г<Яя) = 3 Ze2 \ г2
= -|^- Н--Ч - <рис- 154)-
2 ЛЯ ЗЯя) истинный гамильтониан в виде ^2	2
Н = ?— - — + 61/,
2т г
Представим
где для шара
61/=
о,
Ze2
Г
Яя,
и для сферы
61/=
О, Ze2
Г
3 Ze2 | 1 _ Г2
2 ля [ зя2,
Ze2
Яя,
Ля-
Ля
Так как все отличие происходит при г < Яя <к гр то рассматриваем 61/ как поправку. Среднее значение б£/ в основном состоянии и есть сдвиг уровня:
-z2 4
Ф1) + <Ф1 1^|Ф1) = ~т 2 +
2Й
Ze2 _ Ze2 г Яя 3 Ze2 2 Яя
~2
(Ф1|Я|ф1) = (ф1 А--
Ze2
Г
Д<§ = ( 6<7грх = -L 4л f
ЛГ! g
Ze2
Г
2 '
1 з<
г2 dr,
т.
С 25,6-10'1
0,1, то е 2r^ri =* 1. Тогда
Д<§
7 7	\2
2 Ze2 Ля	,
-----—	— сфера,
з Г! IrJ
, 7 \2
2 Ze2 «я -----—	— шар.
5 П
R
244
Видно, что поправка положительна, следовательно, уровни сдвигаются вверх. Относительная поправка
,	, 2
4 I I
— —	— сфера,
§ _	_ 3 \ri/
— „ы2
2г>	|	_ шар.
Сделаем вычисления:
Яя = 3,53-10~13 см, Г! = г =	=2!hl_jL-= 25,6-10~13 см
и‘ m^Ze1 Z
_ [2,53- IO’2 — сфера,
<£	[ 1,52-10—2 _ шар.
4.42. — £
/ \2
4 I 7? I
— —— =5,94-10-7 (ядро — заряженная сфера),
3 ^Ne/
/ \2
A i R I
- —— = 3,56-10“7 (ядро — однородно заряженный шар), 5 \flNe/
где aNe = 2	*2
4.43.	(Г)	14,5 эВ, где г, = —2ъ 0,5-10-8 см.
2г*	К
2	*2
4.44.	(Г) = — ъ 3,4 эВ, где г*, = " » 0,5-КГ8 см.
8П	2
4.45.	Так как радиус мюонной орбиты г =—z—яе 10~н см<<гБ — ' Ze m
боровского радиуса (0,53 А), то оставшийся электрон фактически движется
в поле с зарядом Z= 1 (водородоподобный атом). Энергия перехода между
уровнями п = 3 и п = 2 равна (это линия На)
= Х-Х	1,52-104 см-1; Х32= 656 нм,
432	\2	3 /	36
где = 109737,3 см
4.46. Энергия Зр-состояния находится из условия <s’3p = <s’3j +	=
= — Uo + -у- = —3,0 эВ. Поскольку <£3р = —Ry Za^, то получаем Z^j^ де 2;
^эфф * I’4-2
4.47. r=3££Ry = 9-ю8 см/с.
4 К
2 (	Л	й2
4.48! я» — — Z Z — — = —74,8 эВ; где обозначено гБ =-------у =
гв \	о/	тее
( \
= 0,529 А; <£ипн »^Z Z-q » 20,4 эВ, где Z = 2.
2й \	4/
245
Решение. Вычислим энергию кулоновского расталкивания электронов в атоме гелия. Это интеграл СО
^кул = е2 И 'Н'Т Г2) |г 1г , Wl- r2) drl dr2 = 0 °°
=	1%(Г1)12-1%(г2)12
Введем плотности зарядов
Р(г1) = е|ф0(г1) I2 и Р(г2) =е|'|’о(г2) I2
Тогда
СО	со
£кул =2 4 И rf d'id*2 = 2-| S P (q)Ф(q) Л-1, о	1	2	0
co
f P(r2>
где tp(rj) — I------dr-, — потенциал, создаваемый в точке г< распределе-
нием заряда р(г2) — аналог формулы	(в силу симметрии можно
было бы написать <£кул
Р(г2)ф(г2) <fr2>-
2
2
„ОХ f Р(Г2)4ЛГ2 </г2
Ф(г1) = 1 ~Гг-----FT-'
о |Г1-Г21 СО	со
Разобьем область интегрирования на две части	Тогда первый
о о г,
интеграл есть потенциал, создаваемый сферически симметричным распределением заряда при r1<ri. По теореме Гаусса он равен потенциалу точечного заряда, находящегося в центре сферы. То есть
S1 р(г2)4лг2 dr lrl —r2l
1	3
-L J p(r2)4nr^r = ^-^-
Г1 Й	ГБ Г\
Г 2 dr 2 =
3
exp
2	-2
Г2ГБ _ 2г2гб
2Z	(2Z)2
Для вычисления поля, создаваемого распределением заряда при г2 > разбиваем всю область на вложенные друг в друга сферы толщиной dr с зарядом dQ = р(г2) ’4лг2 dr2 (рис. 155). По теореме Гаусса потенциал внут-
246
ри сферы равен потенциалу ее поверхности. Таким образом,-----------------—
1Г1 — **2 I
2 — Г1 + 1 .
ГЕ ]
Складывая,
получаем
, , е	(Z	. 1	(	2Z	\
ф(г.) = — —е — + — ехр — — г. .
Г1	^гБ г})	\	гБ
~ со
Тогда
СО
<§кул= S Р(Г1)Ф(Г1) dr{=^Le2 $ expl-^rJ х о	ЯГб о \ Б /
247
co
Так как е~у уп dy = Г(п + 1) = и!, то о
= 4е2 — {1 - 2 - J-1 = 4е2 — 16~2~4 - 5 Zg2 гв[4 64 16] гб 64	8 гб ’
<£осн= -2Ry+ ЕК= -2^ + f^-= -z(z-^] ^-= -74,8 эВ. осн	кул 2гв 8 гБ I 8 / гв
После ионизации, т. е. отрыва одного электрона, останется водородоподобный ион с зарядом +2. Энергия связи оставшегося электрона есть
2
<§св=-^У=-22^-
2^Б
/ с\ 2	2	/ с\ 2
<§ион = £св - ^осн = z Z - |	- Z2 А- = Z (Z — — |	= 20,4 эВ.
\	8/ гБ	2гБ	4!2гв
4.49.	ЗбЕсостояние.
4.50.	2х-состояние.
4.51!	1" — 3,7 нм; Т = /пс2 |	1 — — 11 ~ 11,6 ГэВ.
Решение. Частота лазерного излучения в ЛСО со0 = 2лс/Х0. В системе отсчета ионов (где они неподвижны) эта же частота
, _	„/1+6 а v
со — со0 у _р > гДе Р — —•
Энергия перехода иона гелия из основного состояния в первое возбужденное <f>12 = Ry Z2pj —-Lj = 3Ry = Йсо'. Поскольку	то |3 =
(^12/Й«>о)2—1	2лсЛ , г.
=---------=----як 0,97. Здесь лсо0 = —— = 5 эВ.
(^12/А<Оо) +1
Частота излучения в ЛСО (см. задачу 1.35)
I-----	/ <= \2
'.1+6	1+6	®12	* ££ £
СО — СО у—-—Р- — СОл--------—----- СОл 66,6сОл.
’1- Р 0 1—р ^<о0у1	0	0
Эта частота соответствует длине волны
А —------3,7 нм.
66,6
Кинетическая энергия ионов
Г = тс2 , 1	- 1 I Ъ 11,6 ГэВ.
2	2 2
4.52.	= 2 z й )
I п4 (W
= 6,6-10“12 с, где йсо = | Ry Z2 = 40,8 эВ,
248
4.53.	= 3 Z ай^гЦ_ ^0,2-Ю-7 с, где Йсо = Ry Z2	=
1	2 п (М	\92	102)
= 0,51 эВ.
4.54.	-Кяд^рь _ j 92-1 о-4
к / Pb к / Ne <Z2A2fl)Ne
4.55.	R С 512	—Ч — 6500 км, где г. = 	, = —— » 0,53Л — бо-
с2 к е /	тее ЖУ
ровский радиус (см. задачу 4.40).
§	5. Ширина линий. Спектры молекул. Рентгеновское излучение
5.1. дх-J— с b.t
5.2. А* » _Л_
А т£21
ная тонкой структуры.
5.3.
1 л—4 Дк X
10 нм, —~
к С At
1,4-	10-11, где Е21 ~ цс2а2; ц. = 8
10-7.
тятр
-------; а — постоян-тл + тр
5.4.
Лшп = СТ = 3 СМ-
Av at т“' = 10 МГц, где т = —------—-------
V Д(1п е7/е71)
5.5.
5.6.
r^w^33K 4к ...2 2
Т = J = 8-105 К, где R — универсальная газовая постоян-
ная, Л/. — ширина на половине высоты резонансной кривой.
ДХд _2/
ДАст А 6<£
5.7.
3,6.
5.8
------ —--------«6-ю-8.
О ~~ &ион	2лАс/Х~“
5.9.	— = --П~ at 3,5-10-8.
V HlNeBc
с «л* 2яс До ,1мкТ ~ ,.А
5.10.	Р at------ 1/---at 440 атм.
а ’ 3
Решение. Ударное уширение спектральных линий связано с тем, что при определенных давлениях газа время жизни атомов в возбужденном состоянии определяется временем между столкновениями молекул
vT navT
где I — длина свободного пробега молекул, vT — среднеквадратичная скорость молекул, соответствующая температуре Г, т. е. vT = х'ЗкТ/М, п — концентрация, о — сечение столкновений. Таким образом, необходимое давление
Р=пкТ^ — avTr
1 JMkT ат ’ 3
249
С другой стороны, время жизни атомов в возбужденном состоянии, определяемое столкновениями атомов, и уширение спектральных линий связаны соотношением неопределенностей: Avctt ss 1 (или Асостт ss 2л).
Если расстояние между спектральными линиями (в обратных сантиметрах) \q станет равным ударному уширению, то произойдет слияние этих линий, т. е.
AvCT й Av = А (у) = 2лс А?, где q =	» А?.
\А/	А
Отсюда искомое время жизни т-1 ъ 2лс&д. Окончательно необходимое для слияния линий давление
2лсД$ jMkT 440. 106 дин/см2 д. 440 атм а » 3
5.11.	а) 1 = 0, 1, 2; I = 6,9-10“39 г-см2.
б)	1 = 1, 2, 3; / = 13,8-10-39 г-см2.
l,01VcT, где и — приведенная масса молекулы.
р =
5.12. х
.	2
ясАтра 5-13. Хтах =----п----Ъ 2,1 см.
5.14. <211 = !Л = 1,0015, где индексы 35 и 37 относятся к изотопам хло-“>37 135
ра 35С1 и 37С1, I — моменты инерции молекул относительно центра масс.
5-15. <SHJ^HD^D2 = 2:|: 1.
Й \1/2
= 1,4-10 8 см, где МнВглтр — приведенная
5.16.	г = .
I 21шНВгсД масса молекулы НВг.
5.17.	Я = —= — =	140, т. е. требуемая разрешающая способ-
ах До> пк
ность R > 140. Такое разрешение может быть получено в спектрометре, использующем призму.
5
5.18.	Г >£^-«500 с. п
5.19!	Решение.
— с -к С 4-С
'-"пост 1 вр 1 КОЛ' нями велики (А<£кол ~ колебательные уровни не возбуждены, а вращательные уровни возбуждены все, поскольку по условию Cv = (5/2)Я. При Т = 100 К вращательные уровни не возбуждены вовсе. Таким образом,
+ 2	+ 2
кТ < А<£вр = —, откуда /s ~ 10-40 г-см2,
где к — постоянная Больцмана. Следовательно,
hv = ^2(l+ 1) ккТ(1+ 1); V = ^I(/+1), где / = 0,1,2,...;
21	п
Теплоемкость молекулярного водорода С = Поскольку расстояния между колебательными уров-^^Л£В{) ss 40A<sBp), то при комнатных температурах
250
v . яг АД яг 2,1-1012 Гц, Хтах« 1,5-Ю^2 см = 0,15 мм. Л-	111CLA.
Соответствующая линия лежит в далекой инфракрасной области спектра.
5.20.	Количество вращательных уровней /тах =* 4. /	\	2 2
5.22!	<£ =Й<о и + i	где п = 0, 1, 2, ....
" I	2/псо2
Решение. Запишем уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора в электрическом поле Е
±2 ,2 ,	/22	\
/Л|,= -Л_М+ moix -gEjcL,
2m Эх \	2	) И
Перепишем его в таком виде:
гр" + Z££L|x2 -	xL.
2m Y 2 mo? I
Полученное уравнение можно свести к уравнению колебаний осциллятора со смещенным положением равновесия, если выделить полный квадрат в выражении в скобках в правой части уравнения
/	X 2
„2 2	2 „2
Е е ____ (v*\ 2 в Е
~ 2 4‘ т со
х2- 2е£ х = тм	/пси ) т со	-
Тогда уравнение Шредингера примет вид 2	2/	\ 2	/	2 2
- А_х-I гр= я 4-ЛДу|з|), 2 I	ты/	\	2/исо /
или
_ йД „+_та?^
2т	2 Y
Уровни энергии в этом случае, очевидно, следующие: /	,\	/	2 2
<§! = Йсо и + —I, или <£ = Йсо и + —I — ——у, где п = 0, 1, 2, ...
" I 2/	I 2/	2та>2
5.23!	Wj — а>2 = со2 — со3 = Q = 0,32• 1015 с-1 = х/Л/ц. откуда вычисляем к as 1,2-106 дин/см.
Решение. Найдем частоты, соответствующие заданным переходам (рис. 156),
ш =2лс =559. ю15 с-1
1	Xi
со2 = ^£ = 5,27-1015 с”1;
2	Х2
со, =^£ = 4,95-1015 с'1.
Хз
При вычислении мы сделаем округление в третьем знаке. Это дает точность (0,01/5) • 100% = 0,2%, что укладывается в интервал измерений (0,2% — по условию). Вычислим разности частот
coj — со2 = 0,32-1015 с-1; <и2 ~ <03 = ®,32-1015 с-1.
251
Такое совпадение указывает на эквидистантность уровней 1, 2, 3. Следовательно, они могут быть связаны с колебательными уровнями молекулы
Wj — со2 = <и2 — <и3 = Q =
где к — жесткость упругой связи, ц — приведенная масса молекулы N2. Таким образом, искомая жесткость
к = pQ2 = 1,2-106 дин/см, где р = 11,69-10 24 г.
Заметим, что найденный
Электр.
Вращат.
Колебат.
..	1—2
-л-------3
Рис. 156
колебательный квант молекулы азота Д<£ =	= 0,21 эВ. Табличное значение
0,29 эВ.
, „Йа>о 12те , 41те
5.24' —-»2Д—A^aV—где
<ge 1 М	!М'
М — масса атома.
Решение. Двухатомную молекулу можно рассматривать как квантовый гармонический осциллятор. На рис. 157 изображен потенциал взаимодействия атомов в такой молекуле. Вблизи положения равновесия форма ямы приближенно парабо-
лическая. Однако из-за соотношения неопределенностей квантово-механиче-
ская система не может находиться в этом положении — на дне потенциаль-
ной ямы. В результате возникают нулевые колебания с полной энергией
<£0 = Йа>0/2. Далее идут эквидистантные уровни возбужденных состояний двухатомной молекулы с Д<£ = Й<и0, где <и0 — частота колебаний двухатомной молекулы <и0 = у/к/уе = 2к1М, где к — коэффициент упругой молекулярной связи, р — приведенная масса молекулы, М — масса атома в молекуле типа Н2 или О2.
Согласно соотношению неопределенностей и теореме вириала для осцилятора 2	+ 2
можно записать <Е„ ~ 2-------(счи-
2те
таем, что область локализации электрона
порядка межатомного расстояния). Отсюда искомое отношение
Йсо _ ЙУ2А/М
<se	<se
2 h2 ~ д/2/Ие ~ J0,035 для Н2’ й2ше.М<£е М V М [0,01 для О2.
Для оценки амплитуды нулевых колебаний воспользуемся приведенной в условии соотношением к = &е1а2. Как указывалось выше, энергия нулевых колебаний
Р йсоо	О 2	.2 Йсо0а2
откуда А1 = ——
L	L	<£>е
252
Подстановкой найдем
0,15а для Н2, 0,08а для О2.
Величина К = \ — носит название параметра неадиабатичности (см. V М
задачу 5.29).
5.25. Ап = як 4,74- 1(Г10 см; Т >3100 К. и " 2лсд
5.26. Молекула О2 находится в основном состоянии, так как t
fcT = 0,025 эВ « Д<£. Поэтому Л» =,	. — 0,058 А, где ц — приведенная
и удДб
масса О2.
2
Д<9КИЛ ДТоСО , „.
-----= —-—як 180, где ц — приведенная масса молекулы азота, Д<£вр п
г0 — положение минимума кривой, берется из графика. 
31 СМ; Йсо = 4- 10~6 эВ; Ап = 02 =	%
°	V лг2 ’ <gp
5.27.
5.28. X = 2 ss 4-10~13 см.
5.29! <£он = ^Л = ^1А£ = О,27эВ; <£od = — =	= 0,19 эВ.
°Н 2 V2 -1	’ 0D 2	<2-1
Решение. Поскольку масса электрона много меньше массы ядер, то скорости движения последних малы по сравнению со скоростями электронов. Тогда в первом приближении можно найти энергию электронов при неподвижных ядрах, а затем учесть движение ядер. Такой подход носит название адиабатического приближения.
Энергия молекулы с учетом движения ядер может быть записана как
<£ = <£эл(Я)+<£™н + <£.
При этом энергия электронов зависит от межъядерного расстояния как от параметра. В энергию <§ЭЛ(Я) включена также энергия электростатического отталкивания ядер, поэтому <£ЭЛ(Я) фактически является полной энергией молекулы при фиксированном положении ядер. Полагая далее, что R = Ro + 5R, где Яо — равновесное расстояние между ядрами, a 5R — отклонение от него вследствие движения ядер, запишем <£ЭЛ(А) як ~ £ЭЛ(ЯО) +	—|л r (5R)2. Второй член представляет собой потен-
циальную энергию ядер т. е. усредненный потенциал, создаваемый электронами. Вместе с кинетической энергией они образуют энергию колебаний <£ЛдН + (7™т = <§кол. Если сюда добавить энергию вращения молекулы как целого <£вр, то получим энергию молекулы в адиабатическом приближении <£ = <СЭЛ(ЯО) + <£кол + <£вр. Заменяя по принципу соответствия классические выражения двух последних членов их квантовыми аналогами, получим
^О = ^эл(Ао) +й“кол и +|l +Bl(l+ 1),
253
*2
где В = п — постоянная вращения, ц — приведенная масса ядер, 2рЛ)
а>* 2„ = J_ ? I _ квадрат частоты колебаний ядер. Можно показать, Н SR2 \R=R0
что <£ЭЛ(АО) : Йсокол : В = 1 : К2 : К4 * (см. задачу 5.24).
Энергия диссоциации — это разница между энергиями основного состояния молекулы и энергии двух удаленных атомов водорода (дейтерия), принимаемую равной нулю. Т. о. / = <£0. Энергия основного состояния молекулы
<£0 = ^эл(^о) + ^<0кол- Разность энергий диссоциаций молекул D2 и Н2
= Л>2 - Ч = 2<0о - 2<Сэл. d(*o) -	- 2£н + 2<£эл. н(Я0) +
Поскольку	4
—	= ~2 (Hd ~ Ин) ’
теМ	/,	т.\
где ц =-------«к т„ 1 — — — приведенная масса электрона, то с учетом
те + М	М)
одинаковости потенциалов взаимодействия, получим
л о	* шн — шц	Йа>о ( шн .)
Д<Ь як й------=---- — — 1 .
2	2 \ч>|) у
Отношение — =4^ = VT, откуда следует ^22. =	—як 0,19 эВ и
ио 'Цн	2	V 2 — 1
Йа>н _	Ьё
~2	V2-
= 0,27 эВ.
5.30.
8mr характерный размер
1/3
1,2-10-16 эрг = 0,75-10 4 эВ, где 2г як 4,5-10 8 см
области, занимаемый одним атомом в жидком гелии,
2г
= 1,63-10"3.
5.31!	^е = _Й_ А<1>кол 0)|Х/*о
Решение. С ростом номера колебательного возбуждения меняется средний квадрат расстояния между атомами в молекуле и, следовательно, момент инерции молекулы (рис. 158) зависит от п.
<£кол = I п +	= W + W = 2(0 — теорема вириала. Далее, {U) =
'	'	2	t , \
2
—--j
1	+	Д-2
денная масса ядер. При этом (xl) =----------= -2. (см.
2 [А со
задачу 5.25). Тогда
V(xo) = V —= Ю~9 см = 0,1	1,1 А = г0.
0 у 2 рЛш	и
2х„
Рис. 158
254
Среднее значение вращательной энергии
27	2Р	'гп1 2Р (гп)
Надо отметить, что усреднение ведется по заданному колебательному состоянию. В силу адиабатичности, <£вр — поправка к <£кол.
Последнее равенство (ДЛ я» —Д-| справедливо, поскольку для неболь-ших п < 100 справедливо соотношение (х^)^г0.
s2
Д<£ (/=1,-/ = 0) = * ;
нЫ
Д<£вр(п =0) _ ((го + Х1)2} _ (го + 2х1ГО + Х1> _ г о + (х2> _
Д£вр(п = 1) {(го + хо)2} {го + 2хого + хо) го + (хо>
2
= г0 + ЗЙ/(2^)^ 1 + з_Ц_1_1_й_ =^_= 1,6з.1о-3. го + Й/(2ца>)	2 цсогр ^цсогр/ цсого
Как видно из решения, существует взаимодействие между вращением и колебаниями ядер, что соответствует выходу за пределы адиабатического приближения (см. задачи 5.29 и 5.57).
5.32.	= ЗЙ1/Щ = 1,944 -10 2 эВ 226 К.
и п	12
z	/ПГо
5.33.	A<Ln = Йа 1/^ я» 0,3 эВ.
кил ’ т
5.34. vA =
2ДЙ/ИВ	и 2Д<£тд
------------»	— \1---------
тА(тА + тв)	а V тв(тА + тв)
5.35.	Разность энергий ионизации атомов 3L1
где Д<£ = й (v — v').
и jLi Д<£ = 7-10-5 эВ;
ширина линии поглощения из-за эффекта Доплера 2ЙДо> Йо> » яг 4,4-10~5 эВ, точнее (с учетом коэффициента 2Vln 2, см. Д. В. Сивухин «Общий курс физики. Оптика», формула 89.11) 5,17-10-5 эВ. Поскольку Д<§ > ЙДо> (при (яг 800 °C), разделение изотопов возможно.
5.36.	X =	----у = 1.44-10-8 см, где п — 2; т= 3.
Ry(Z — a) (1/n — \1т )
5.37.	<g = ftv = Ry(Z- 1) (А“А) * 17,15 кэВ; v ъ 4,14-1018 Гц, Ха яг яг 0,072 нм. Из экспериментальных данных известно, что для 20 < Z < 30 постоянная экранирования аэкр = 1,13.
5.38.	Чтобы появилась линия нужно выбить электрон из К-оболочки. В грубом приближении для этого требуется ионизовать атом. При этом eV = Ry(Z — I)2. Таким образом, КМо яг 23 кВ; КСи яг 10,6 кВ; KFe яг 8,5 кВ.
Эти результаты можно уточнить. Так, в атоме Мо структура незаполненных электронных оболочек — 4d55sl, т. е. есть свободные места в 4</-ободочке, откуда eKMo = Ry(Z — 1)2(-L — -Ц яг 21,4 кэВ. В атоме Си структура Ч 4 '
255
внешних электронных оболочек — Зй10^1, при этом в Зб/-оболочке мест нет и, следовательно, требуемый переход — в 4s. Поэтому УСи% 10 кВ. Структура внешних электронных оболочек Fe — 3t/64s2, откуда KFe л 7,55 кВ.
5.39! Решение. К-полоса образуется при переходах К-электронов на свободные места. При таких переходах наиболее вероятно излучение элект-родипольных или Е1-фотонов. Самое коротковолновое излучение было бы
при переходе внешнего электрона, т. е. 5s -* Is. Но такой переход с излучением El-фотона является (0—0)-переходом и поэтому запрещен правилами отбора по L. Кроме того, для Е1-фотона этот переход запрещен еще и по закону сохранения четности. Таким образом, границы К-серии соответству-
ют переходу 4р-электрона (tZ-электроны не дают электродипольного излуче-
ния, потому что АТ = 2). Возможные и запрещенные переходы изображены на рис. 159. Пренебрегая расщеплением уровней из-за спин-орби-тального расщепления, получаем
^=Ry(Z-l)2[l - 1], лгр	(1	4 /
откуда Хгр = 5,79-10~9 см як 0,058 нм.
Для атома меди (Си) с конфигурацией электронных оболочек ls22s22p63s23p63t/104s1 границы соответствуют переходу Зр-электрона
А. як 0,013 нм.
Для атома железа (Fe) конфигурация электронной оболочки имеет вид ls22s22p63s23p63rf64s2 — все аналогично меди
Хгр = 1,64 • 1(Г9 см як 0,016 нм.
5.40.	Электронная конфигурация атома Со ls22s22p63s23p63rf74s2. Учитывая, что для этого атома переход 4s—1s с излучением El-фотона запрещен, <£^° як 8,172 кэВ. Минимальная энергия для возбуждения К-излучения гр
Ni (линия К ) есть <^‘ як 8,813 кэВ. Поскольку <Й‘ ><££°, то К-серия ато-а	ла	ла	гр
ма Ni не возбуждается. Остальные линии — возбуждаются.
5.41.	Zr и Мо; между ними находится элемент Nb.
5.42.	Na (35 -*2Р -переходы).
5.43.	V = 15 кВ.
2 2.„	,,2
ч лл т	тес а <Z-1) о, , D
5.44.	Tmir=-----------------= 85,5 эВ, где а — постоянная тонкой
тш	2[1-та/(ти + та)]
структуры.
5.45.	v ъ 5-109 см/с.
5.46.	Минимальное значение Z находится из условия Брэгга —Вульфа Х<2</ (m= 1). Тогда Zmin= 18.
5.47.	Ут,п = 2,7 кВ.
2ed m,n
5.48.	Переход из/ = Зв/ = 2.
256
й2
5.49. Т = —-----у-!----= 1,4 К. Здесь отношение заселенностей состо-
ku.d In (а/3)
яний записано с учетом их статистических весов (кратностей вырождения):
Wi = l) 2/1 + 1	(	—Q ( fi2\
а = 7777--хг = „ , . ехр --------—------ = 3 ехр - —- .
N(J2 = v)	2/2+1	\ кТ J	кТ1)
5.50. — =	= 2,5-10~2, где а — приведенная масса молекулы. Наи-
X р
большей длине волны соответствует переход из / = 1 в / = 0, откуда
X = 2,65 мм.
5.51.	+ = — = 7,7-10-4, где и — приведенная масса молекулы, л 2р
5.52.	щ(0) = —2 =0,14.
Х0 S2, 2 е~х /х» dx
5.53.	w = ------« 0,865.
00 S2. 2 е'х /х» dx
5.54.
^max
+ 1 = 18, где Маз — масса атома азота, ше —
масса электрона. Квадратные скобки здесь и в следующей задаче означают операцию взятия целой части числа.
5-55. Nmax = [nmax] + 1 = 81, где nmax =	« 80,9.
5.56.	5^205 - 5<g203 = 5<g203 I % °’05 эВ- Тогда 6<§205 = 5<g203 + 0,05 = = —8,2 эВ (энергия ионизации в атоме с ядром 205Т1 меньше, чем в атоме с ядром 203Т1).
5.57?	-0,046.
ш0
Решение. Гамильтониан относительного движения атомов в молекуле
имеет вид
н=-^дг + й2/(/ + 1) 2р г
2
га _ ~ га
2 ~г~
г г
~ 2
d 2d	mwmc\
где Д„ = —v +-----— радиальная часть лаплассиана, р, =---------—
dr2 г dr	/пн + mci
приведенная масса. Следовательно, эффективный потенциал
А.1 R
^эфф (И =^цбежМ +*'('•) =4-р
2
где А, =	еа2 — еа2
' 2р
Й2/(/ +1) 2рга2 2А, „ нимум эффективного потенциала находится при г0 =-. Раскладывая по-
В
тенциал вблизи минимума
= еа2(1 + б(), В = 2еа. Ми-
257
2
^Фф(г)-^фф(Го)+|^ z dr
('•-'о)2-
получаем выражение для коэффициента жесткости
,2,,
_ 1_ Ц Цэфф
2 dr2
Частота колебаний со
Поскольку 5/ =	+ В = 0,024 «с 1, то
2рга
coz«4(1-25z)	(1+'
а	’ бг \
В4 8А?
Введем обозначение со0 Тогда
— частота колебаний в основном состоянии.
См. также решение задачи 5.31.
Заметим, что квант колебаний Й<и0 = Д/2е-4 = 0,146 эВ. Равновесное ’ и,а
расстояние между атомами г0 ~ п.
Если ввести обозначения — ~t Ч -|- HZ j~ и 2еа = (/*)2, то 2pr г	2иг
получим гамильтониан атома водорода. Используя известный результат, получаем полную энергию молекулы & = —	------i----т. Если и ,
2Г (щ + /*+1) 2
I <gi , то ПОЛуЧеннуЮ формулу можно разложить в ряд и получить й
^=-е+йдЕ[пг+1'| +XJ/+1) -
’ р,а \	2/ 2ра \	2/
_	f/+±V
2ра \	2) 2р2а ’ 2с \	2,Н	2)
Первые три члена этой формулы соответствуют электронной, колебательной и вращательной энергиям молекулы (задача 5.29). Четвертый член соответствует ангармонизму колебаний (задача 5.55), а пятый — взаимодействию колебаний и вращений ядер (задачи 5.31 и 5.57). Не смотря на свою простоту, которая позволяет получить аналитическое решение, потенциал Кратцера плохо описывает реальную форму потенциала взаимодействия: на малых расстояниях отталкивание атомов в молекулах сильнее, а на больших расстояниях — притяжение слабее. Поэтому в теории молекул обычно используют потенциал Морса (задача 5.33), а в конденсированных средах потенциал Леннарда—Джонса.
258
§ 6.	Спин. Атом в магнитном поле. Эффект Зеемана. Магнитный резонанс.
6.1.	Т = 2лг = 5 мин. ’ АХ
6.2.	М =	= 0,95- 10~й дин-см. От распределения интенсивности в
2лс
пучке М не зависит. Для пластинки в Х/4 вращающий момент такой же, как и для поглощающей пластинки. Вращающий момент удвоится, если взять пластинку в Х/2.
6.3.	М =	0,76-10-6 дин-см.
2лс а+Ь
6.4.	Свет будет поляризован по левому кругу.
— — — =7,7-10 * дин/см.
S ле
6.5.	Максимальный вращающий момент возникает, когда главные направления пластинки ориентированны под углом 45 ° к плоскости поляризации света.
М =	= 10~8 дин-см.
2лс
6.6.	Из условий e^max/e7mjn = 3 следует, что линейно поляризованный свет переносит половину всей мощности.
Af <7Х	. п . л—9	/
— =-----=1,9-10 ’дин/см.
S 4лс
6.7!	М = ^2А«3-10~4 дин-см; F = —« 0,03 дин.
2лс	с
Решение. Момент импульса проходящей и отраженной волн равен нулю в силу линейной поляризации. Согласно закону сохранения момента импульса АЛреш = — ААф0т (изменению момента импульса фотонов).
о	"	лл ААфот Йе7 SAt	3 S	3 Sk , , л—4
Вращающий момент М = —— =-----------= =--------~ 3 • 10 дин • см.
Д/ ЙсоД? со 2лс
Сила давления F обусловлена изменением импульса той части потока, которая испытывает отражение. Поэтому
г-, Йсо е7S	35	л ло
F = 2--------------=----як 0,03 дин.
с 2Йсо с
6.8.	F = р — = 1,12-104 дин, е
где р = — у/т(Т + 2тс2) = 1,78-10 17 г-см/с; М =---= 3,3-10 7 дин-см.
с	2е
2NI
6.9.	со = ] , цилиндр закрутится против часовой стрелки (вектор <о на
правлен вверх).
6.10.	со = £р = 1,1-10-3 с-1, где NA — число Авогадро, А — атомная масса железа [г/моль], р — его плотность.
6.11.	На два (25 + 1 = 2).
259
6.12!	s = 2Иб /<£ + //2) » 0,4 см. Б dx ЗкТ
Решение. В области магнита на атом действует постоянная сила с _ dB Fx dx'
где — проекция магнитного момента атома на направление поля В
— — (vr	в чем
т v
инерции и х2 =
Ив = mjg^E<
3 , S(S + 1)-L(L + D , п D
где g = — +----1------------ — фактор Ланде. В основном состоянии атома
Na L = 0, S = 1/2, J = 1/2, g = 2, и F = ± цг —. За время t = — смегце-u dx	v
at2 Вх I2
ние частицы х, = — =-------т, а скорость на выходе wv =
2	2/и у
убедимся ниже). Вне магнита атом движется по
= v. д-.. к. — ?х IП -I-Л V За время
1
2 \2	'
mv z 7
t = Hv атомы приобретают скорость
vr = ±	— 20 см/с,
х “ dx mv
приводящую
к смещению пучков на детекторе r _ +11 dB UH2 + L)
Х2- ±11Б^7-------2---
ал mv
2
Средняя кинетическая энергия атомов в пучке равна	кТ, откуда
v — 600 м/с » vx, а искомое расстояние между пятнами на детекторе
5 = 2х2 = 2цБ^-/^2 + £>-
2 Б dx ЗкТ
4 мм.
6.13.	dmin = цБ	—11+ —j = 1,79 см.
mln ndx Т[ 2L)
6.14.	Пучок разобьется на четыре компоненты. Угол между ними Д'Р = №б^—Ц«2-10-2 рад» 1,2°.
dx Am?v
J D
В области магнита на атом действует постоянная сила Fx = цд —, где и. в — проекция магнитного момента атома на направление поля О	3 , S(S + D-L(L+1)	. п ..
в Ив = mjg-ИБ- гДе g = 7 + ——3,7. , . v-- - фактор Ланде. Из опреде-
X	ZrJ \J “Г* 1 )
ления спектроскопического символа 2S+1Fj имеем 5 = 3/2; J = 3/2 и L= 3, поэтому g-фактор (фактор Ланде) g = 2/5.
6.15.	« 150 Гс/см.
2
6.16!	0 =	m tg ф = 86 мкрад » З'.
2л Й2
260
Решение. Выберем координатные оси таким образом: поле В направлено по оси Z, а нормаль к области поля есть ось X (рис. 160). Потенциальная энергия нейтрона в магнитном поле
U = -ИВ = -(хядВ2^пт5,
где ряд — ядерный магнетон Бора, gsn = —3,82 — спиновый g-фактор нейт-
рона (аналог фактора Ланде для свободно-
го электрона), ms =
Поскольку потенциальная энергия однородна и различна в областях х < 0 и х > 0, то это приводит к силам, действующим на нейтрон в направленнии по нор-
мали к поверхности, а вдоль поверхности
силы не действуют. Поэтому ка-
сательная компонента импульса нейтрона будет сохраняться (т = тп —
масса нейтрона):
•	•	.	sin ф VII
mv-t sin ф — mvu sin W, т. e.	—— = — = n.
1	11	sin ip V]
Получили аналог оптического закона преломления. Из закона сохране-
ния энергии
2	2
mvi _ mvu
1 г~и°
получаем п =
, _ 2£7о
1 +	2'
mvi
£ 2
Возможен другой способ получения выражения для показателя преломления нейтронов. На рис. 161 приведен график зависимости потенциаль-
ной энергии нейтрона U(х) от координаты х. Из рисунка видно, что данную задачу можно рассматривать как задачу о надбарьерном отражении нейтронной волны де Бройля. Волновая функция нейтрона ф = Ле,кг = Aelk*x (к = const и kz = const). Используя известный результат задачи (3.25), запишем коэффициент отражения
Рис. 161
(кх\ — &х11 i _ 1*1 cos ip — kj\ cos ф | _ cos ip — (,кц /кд cos ф --------I — ----------------1 — ------------------- kxl + ^xii/	cos ip + Ли cos ф^	cos ф + Un /кд cos ф
Если сравнить это выражение с соответствующей формулой Френеля, то получим, что
кн	2mU0
n = ~r = V1 +^2~т-к\ 1
При этом условие непрерывности ф на границе соответствует условию непрерывности Et, а условие непрерывности ф* — условию непрерывности Ht. Плотность потока частиц соответствует плотности потока электромагнитной энергии (вектору Пойнтинга).
261
Оценим отличие п от 1:
2mL'o ~ 2тцядВ 2 *2,2 ~ . 2*2 Л п ц 4л п
— —2-10-13 « Йс е 4я2
1.
Здесь было подставлено значение цап = Таким образом,
Это значение, очевидно, разное для разных значений проекции спина нейтрона на направление магнитного поля.
ТТ	1	1	1,91цяд512
Для ms = - п+ = 1 —-------------— т.
2	4л h
п	1	1	1-91Няд5х2
Для пг= — - п = 1 +-------------— т.
s	1	~	4лЧ2
Из закона преломления получим
sin>p_=S«LP, + п+	п_
или
П- — П +
sin гр — sin гр_ = sin Ф----.
+	П-П+
При разложении разности синусов двух близких углов появляются очевидные соотношения
1Ч+~Ч_1<КЧ’; Ч++ Ч_ 2т; п+п_»1.
Окончательно
а л	/	\ l,91Ua„BX2
6	= Ач = Ч+ - Ч_ = («_ - «+) tg <р = —А— т tg Ч-2л п
Подстановка чисел дает 9 я» 86-10-6 рад » 3'.
Рис. 162
6.17!	Н - 2; Li - 2; Fe - 1, 3, 5, 7, 9; Cl - 2, 4, 6, 8; Не - 1, 3; Mg -1, 3; Hg - 1, 3; U - 1, 3, 5, 7.
Решение. Рассмотрим в качестве примера атомы Fe и С1. Электронная конфигурация атома железа представляет собой заполненные оболочки, как у Аг, сверх которых имеются 8 электронов — Зб^Ч^2. Максимально возможный спин атома 5 = 1/2-8 = 4. Для этого один электрон из 3</-оболочки и
262
один из 45-оболочки должны перейти в 4р-оболочку (рис. 162). При этом мультиплетность 25+1=2-4 + 1=9. Если из 4р-оболочки один электрон вернется в 4s или 3«/-оболочку, то он обязан «перевернуть» спин, и общий спин уменьшится на 1, и получим 25 + 1 = 2-3 + 1 = 7. Возврат второго электрона даст уменьшение еще на 1, и получим 25 + 1 = 5.
Шесть электронов в d-оболочке могут дать суммарный спин 2, 1 и 0. Получаются мультиплетности 5, 3 и 1 (см. ответ).
У атома С1 электронная конфигурация ls22s22p5. Максимальный спин 5 — 7 • 1/2 = 7/2; мультиплетность 25 + 1 = 8. Это достигается переходом одного электрона в Зя-оболочку и двух — в Зр-оболочку и т. д.
6.18.	Sr+ - 2; Li+ - 1, 3; Са+ - 2; С2+ - 1, 3; О4+ - 1, 3.
6.19.	4.
6.20.	Д<£ = 2лйс| — - —| % 2,1 -10~3 эВ; В = — % 1,8-105Гс. ^1	2|хб
6.21!	Д<£в = цБ ; — 11 (три линии).
Решение. Для определения типа эффекта Зеемана (простой или сложный) необходимо сначала оценить величину спин-орбитального расщепления, пользуясь данными задачи,
\и. =2лЙс(-!---!-'1	Д/% 2- 10-2эВ.
1	|/i	К2
Далее оценим произведение цБВ% 2,9-10-4 эВ. Сравнивая две полученные величины, мы видим, что цБВ« AU[s, т. е. поле является слабым.
т, gmj
Вычислим g-факторы состояний и 251/2:
„ _3 , 5(5+1) —£(£ + 1) _ 3 , 2'2 1 2_4.
41	2 +	2/(/ + 1)	2 '	, 3 5	3’ 52
L' 2' 2
(т. к. L = 0).
Определим возможные переходы по формуле
Д<£в = цБ B(gK0Hm}0H - gHa4 m74).
Однако в силу очень низкой температуры (Т = 0,5 К) кТ % 4 • 10-5 эВ 2цб В (расщепление терма 25^2). Таким образом, при этой
263
температуре заселен только нижний подуровень уровня 2S^2 (ntj = —1/2). Поэтому в спектре поглощения возможны только три линии (рис. 163):
f-- (-1) = -;
3 v ’	3
_ 2^ _ / _ ] ч _ £.
3 v '	3’
—2—(—1) = —1.
6.22.	В спектре поглощения газа в магнитном поле будут наблюдаться шесть компонент расщепленной линии 2Рц2 2-Оз/2- Это сложный эффект Зеемана (цБВ«//В5; рБ/?<к/сГ 0,026 эВ).
= g,m\ — g2mj = (± — 1 ± —1 ± — I • |хБЯ S1 J 52 J 15	15	15^
6.23.	2J + 1.
6.24.	<£ = <£0 + f‘\,Bgmj, где <з — энергия атома в магнитном поле, <о0 — -	2/+1	. J В + 1/2 .	_
без поля, g = —; а J = ( ,	, /.-орбитальный момент валентного элек-
2L+ 1	(£— 1/2’
трона, m.j = —J, —J + 1, ..., + J.
6.25.	- g2m<./>) = ( + 1; ±|; ±||; ±^-; ±А; ±«;
[	7	35	7	35	45
±||; ±^-; ±^|	(18 линий).
00	00	00 I
6.26.	Это линии с \m.j = 0 (колебания вдоль поля В не испытывают действие силы Лоренца). Д<£в = 1 ±—; ±-^; ±—1 — 6 линий. Такие ли-
1	7	35	351
нии называются л-линиями. Они видны при наблюдении поперек поля и не видны при наблюдении вдоль поля.
6.27! Решение. Множитель Ланде
3 , 5(5 + 1) - £(£ + 1)
8	2	27(7 + 1)
Для состояния 2Рз/2 (7 = 3/2, £= 1, 5=1/2) этот множитель равен gt = 4/3; для состояния 2S^2 (J = 1/2, L = 0, 5= 1/2), g2=2. Смещения расщепленных компонент мультиплета приведены в таблице:
2р ^3/2		-3/2	-1/2	+ 1/2	+3/2
		— 2	-2/3	+2/3	+2
2о Л1/2			-1/2	+ 1/2	
			-1	+ 1	
Разрешенные переходы между компонентами мультиплетов (компонентами тонкой структуры) 2Рз/2 и 2^i/2 удовлетворяют правилу отбора Дт2 = т^1) — т{2) = 0, + 1. Остальные переходы сильно подавлены. Разрешенные переходы и соответствующие им номера испускаемых спектральных линий с указанием поляризации (л или о) приведены в таблице:
264
Переходы m</)	т^2)		Поляризация		№ линии
—3/2->	+ 1/2	подавлен		
—3/2-*	-1/2	а	-2- (-1) =-1	2
—1/2->	+ 1/2	а	-2/3 - 1 = -5/3	1
—1/2-*	-1/2	л	-2/3 +1 = 1/3	4
Н-1/2-*	+ 1/2	л	2/3 - 1 = - 1/3	3
+1/2 —	-1/2	а	2/3 + 1 = 5/3	6
3/2-* 3/2-*	+ 1/2 -1/2	а подавлен	2-1 = 1	5
Смещенные линии расположены симметрично относительно несмещенной: три линии смещены влево (1,2, 3), остальные три — вправо (4, 5, 6). Всего получается шесть смещенных компонент.
Магнитное поле считается слабым, если ларморовская частота О = = еВ/(2тес) мала по сравнению с частотой 2лсДАД2. Это дает В« <к (4лте с2ДХ)/(еХ2). В этом случае получается сложный эффект Зеемана. Для £)-линии натрия должно быть В 3,7-105 Гс. В противоположном случае эффект Зеемана будет простым.
6.28.	А<£в = рБ В = ЙЙ = h £—'< число уровней равно числу проекций L на В и равно 2£ + 1 = 7.
6.29.	А<£в = цБВ(Ат£ + 2Ams) = ±цБВ, 0, т. е. как и должно быть в
сильном поле на три компоненты, поскольку для электродипольных переходов Ams = 0, AmL =±1,0 (правила отбора).
2
6.30!	В = ^^.
еаЛп
Решение. Из трех линий спектра центральная несмещенная линия не пройдет, если пластинка для нее имеет толщину тк.
Боковые линии пройдут, если для их длин волн X' и А." толщина пластинки будет тк! + А'/2 и, соответственно, тк” — к" 12. Таким образом, кристаллическая пластинка с заданным d и Ап (рис. 164) должна удовлетво
рять условию
<ZAn = тк = Im +11 к’ = | т — —| к",
к 2/ к 2/
/ 2лс ч и 2лс	еВ г\
где а =------, а А =------и ларморовская частота Q =-------. Отсюда
co + Q	со —Q г г	2тес
+ _1_ = dAn_	пг-1
2 2яс v 7	2
2яс v ’
Вычитая эти равенства, получим
। _ <ZAn 2q _ <ZAn еВ 2яс 2яс 2те с
откуда найдем искомое магнитное поле
2
2ятес edAn
265
Ответ не зависит ни от длины волны исходной линии, ни от ориентации пластинки относительно поля (рис. 164).
6.31.	В сильном магнитном поле <£ = <£0 + цБВ (mL + 2ms). Уровень расщепится на 7 подуровней (рис. 165). Максимальная дополнительная энергия ДU = ЗцБ В = 3,5 • 10-4 эВ.
Рис. 164
Рис. 165
6.32.	L =
6.33.	£ =
.	2
4яте с . ,
-------= 4,3 еВ
см.
he
2пХр.Б5
2,8 см.
6.34.	Одна из линий дублета (переход 2-Рз/2~* 25i/2)
расщепляется в маг-
нитном поле на 6 компонент ( ± 1; ± —; ± —О с расстоянием между крайни
ми компонентами
Дщ=^-О- ('--fi'i =1^0, 3	\	3 /	3
где О = еВ/(2тес) — ларморовская частота. (Аналогично, но на 4 компоненты ^±-|; ±^О, расщепляется вторая линия дублета — переход 1Р^2	251/2) •
Спектральный прибор для исследования расщепления должен не только разрешать расщепленные линии, но и не должен давать перекрытия порядков. Значит, область дисперсии Д7. должна быть не меньше
Д<о _ X2 10 еВ = 5 Х2еВ
<о 2лс 3 2те с 6 дщес2
Подставляя сюда ДХ = Х/m, где т = d(n — 1)/Х — порядок спектра, получим
,	2
олте с 5еВ(п — 1)
2,6 см.
6-35. £тах
2
2лтес еВ
1,1 см.
266
6.36. Нормальный (простой), так как рассматриваемая линия — синглет. Разрешающая способность интерферометра Аэфф>« должна быть не меньше —, где &<о = Q = еВ . Величина д/. = 6ft) должна быть мень-о<о	2те с
ше дисперсионной области /,/ш, где т = Uk — порядок спектра. Из этих условий получаем
2	2
2лтеС < £ < 2лте С ^5Л^эфф	еВ
или в рассматриваемом случае 0,54 мм < L < 10,7 мм.
6.37!	Доэ = еВ ( ±	±^4; ±-Ц; <6 компонент).
2тес V 15	15	15/
Решение. Определим g-факторы состояний 2О3/2 и 2Рц2- Квантовые числа состояния 2£>3^2 соответственно равны = 3/2;	= 2; S{ = 1/2. Кван-
товые числа состояния 2Р^2 соответственно равны /2 = 1/2, £2 = 1, S2 = 1/2.
__3 । 5i(5i + 1)—Li(L] + 1) _ 4
8l ~ 2 + 2Ji(/i + 1)	5'
Аналогично, g2=2/3. Таким образом, состояние 2О3/2 расщепляется в магнитном поле на 4 подуровня (рис. 166) по nij. Состояние 2Рц2 расщепляется по tn.j на два подуровня. Поскольку gt g2, то спектральная линия расщепляется в магнитном поле В в соответствии с правилами отбора (Дт7 = 0, ±1) на шесть компонент. Это сложный эффект Зеемана. Общая формула для расчета расщепления
ш = «о +	- g2niJ2),
или
Aft) = ft) — ft)0 = ?В — g2mJ2) = Q ( ±1|; ±Л; ±-Ц , где Q — ларморовская
частота.
1/3
-1/3
gnij 6/5 2/5
-2/5
-6/5
л,	Д<£Х2
поле ДЛИ = —j—
" 2лЛс
6.38.	Зеемановское расщепление в магнитном „,2
———+—~ 0,1 А<к Д/ . = 38А (расщепление в результате спин-орбитального 2ллс
267
взаимодействия). Поэтому поле слабое, эффект аномальный (сложный). Одна линия дублета расщепится на шесть линий, другая — на четыре (см. задачу 6.34).
6.39.	В^^^^ЗкГс.
[хбХ
6.40.	-^= (	- - i'I =204,585.
me	/
2+2
6.41.	A<gv, fe —, Is cos Is fe 0,91 • 10“17 эрг fe 0,57-10“5 эВ.
2mec n r\
A£sl можно найти приближенно. Для этого надо перейти в систему координат, связанную с электроном. В этой системе вращающийся протон создает магнитное поле В, с которым и взаимодействует спиновой магнитный моментps. Для оценки достаточно считать, что векторы В ирц коллинеарны (точный расчет должен был бы учесть, что cos Is Ф 1). Укажем, что
^=|s|-|l|^^, где |s|=s; |1|=Z; coss'i=±l.
Г	п Г1
Тогда
Д<£ Д , Is cos Is 0,91 • 10“17 эргfe 0,57-10~5 эВ.
2mec n r\
При точном расчете
Д<8 , =	1	+	= Д = 4,53• 10-5 эВ,
4mec n	+ 8ri
где n = 2; I = 1; /j = 3/2; y2 = 1/2; s = 1/2, где — радиус первой боровской орбиты.
Отличие в 8 раз!
6.42.	ДХ = 2лйс I----1-- - ----1---1 fe — с , (А, + Д2) fe 0,0004 нм,
^10,2 —Д2	10,2 + Aj	(Ю,2)2	1	2
где 10,2 эВ — значение энергии кванта нерасщепленной первой линии се-2 2
рии Лаймана (переход п = 3 -> п = 1);	Д2 = ~
__ ^тепл
С вращ
^вращ	^тепл
С	С
6.44!	Р ешение. Зеемановское расщепление должно быть больше доплеровского уширения за счет теплового движения атомов (в основном, водорода) и вращения звезды, т. е.
Дсо _ 2[хб7? > / ДоА	/ д<о
о>о Па>0 " о>о ] тепд	о>о
Окончательно получим
В > 2^1	1,8 кГс.
2[хбс ’ тр
268
6.45.	/1=*^ 1 - * I -!--«ДУ > «2,3-105 Гс, гдеп«п7«п. =
НБ Inf	nf) П1 + П2-2 [ХБ п
= 10.
6.46. Д<£
2
1,4-10-6эВ.
1024
6.47.	(J + /) : (J + I — 1) : (/ + I — 2): ... — правило интервалов Ланде.
6.48.	X = 2^с = 28,1 см, где Д<£ст = 2g gs gs = 2 - спиновый |Дбст1	гб
g-фактор электрона. Экспериментальное значение Х = 21 см. Этот результат получается и при теоретическом рассмотрении с учетом реального (неоднородного) распределения плотности спинового магнитного момента электрона.
Заметим однако, что для оценки величины сверхтонкого расщепления атомных состояний обычно считается, что это диполь-дипольное взаимодействие магнитных моментов электронов и ядра. В данной задаче это магнитное взаимодействие электрона и протона, что приводит к оценке
Д<з = 2	и эт0 соответствует длине волны перехода 1 м. Эта
гб
оценка достаточно сильно отличается от экспериментального значения Х = 21 см. Ясно, что это обусловлено грубостью приближения, поскольку электронная орбита здесь считается классической. На самом деле электронная плотность «размазана» в объеме порядка ^лгб- Если считать, как указано в условии, что электронная плотность однородна по объему шара радиусом гБ, то модельная оценка и эксперимент отличаются намного меньше.
6.49.	A<gCI = <gcl(F=2)-<£CI(F=l)=4gyg ^=0,9-10-7эВ, где
П ГБ
п = 2, gj = i — фактор Ланде для электрона.
3/2 + 1/2 = 2
F = j + s , F = -I _	— это полный угловой момент атома.
~	I О/ 1 /	1
6.50.	Д<£н « 0,59-10-5 эВ. Радиус позитрония в 2р-состоянии г = 8гь где Г] — радиус боровской орбиты. Отношения частоты излучения позитрония к частоте излучения атомарного водорода
Wp---«1,285, откуда Д<з,, « 0,76-10 5 эВ.
vh 8 -2,79me
6.51!	Такое состояние невозможно. Если бы оно было возможно, то радиус электронной орбиты в таком «атоме» был бы много меньше компото-новской длины волны нейтрона.
Решение. При нерелятивистском рассмотрении полная энергия системы должна быть отрицательной:
9
<£ = _Р__ИеИп<()
2те г
269
Из соотношения неопределенностей рг—fl выразим импульс электрона через г и подставим в предыдущее неравенство:
р fl ______ Ие Р-п
© ~ -	j	3—•
2тег г
Радиус стационарной орбиты электрона оценим из минимума энергии — = 0, откуда г = т„ « 8 -10-16 см	2-10-14 см — комптонов-
dr	тпс
ской длины волны нейтрона. Последнее очевидное неравенство показывает неправомерность рассмотрения нейтрона в этой задаче как точечной частицы.
6.52.	В= Зя fymd 2 з
6.53.	109Гс.
н
2
6.54.	<£%	3,2- 10’24эрг= 2- 10“12эВ.
Г
6.55.	Рят = ^£%4,3-10-18ед. СГСЭ; Z = — ^ 1 А. ат ХЕ	е
6.56*	. Решение. Поскольку в сильных полях LS-связь разрывается, можно считать, что векторы L и S прецессируют вокруг вектора В независимо. Таким образом, сохраняющимися величинами являются Е2, S2, Ez, Sz и
{USL) = ASL) = A{(LXSX + LySy + LZSZ)} = A{(LZSZ)) = AmLms.
Рис. 167
Расщепление линий показано штрихами на рис. 167. В спектре излучения л-линия не расщепляется (у нее mL = 0), а о-линии становятся дублетами, раздвинутыми на величину A/fl [с-1]. Экспериментально эффект наблюдался на Li.
270
6.57.	g = 0,34; (л = £[ляд I = 0,85цяд.
6.58.	Сигнал в магнитном поле пропорционален разности заселенности подуровней	Увеличение сигнала а = — =	~ = 100.
н	кТ	Ai Дщ В
0 У
6.59.	Сигнал в резонансе ос (^v)pci/y а v • т-е- увеличится в четыре
раза.
,2 2 2
6'60* Лп.п^4Й-~0,6-10-7К, В ка
Решение. В методе адиабатического размагничивания поле В переводит решетку в парамагнитное состояние, в котором магнитные моменты ядер ориентируются по полю В. При этом кТнач <к цядВ. При снятии внешнего поля происходит разупорядочение системы и понижение ее температуры. Выделившееся тепло отводится, и процесс можно повторить. При полном разупорядочении можно получить Т as 0 К. Однако этого не происходит, поскольку есть взаимодействие, приводящее систему к установлению антиферромагнитного упорядочения. В принципе наличие энергии взаимодействия любой природы устанавливает предел на минимально достижимую температуру Tmin, определяемую условием
*rnun^B3-	...f ИИ I...
Установление антиферромагнитного упорядоче-
ния в цепочке ядер б3Си (рис. 168) происходит за	Рис
счет магнитного (диполь-дипольного) взаимодейст-
вия атомов. В приближении ближайших соседей энергия взаимодействия <£вз = ц2/</3. Из условия на ядерный магнитный резонанс следует, что магнитный момент ядра б3Си ц = ^71ляд I, где gj —	, от- А ,______j
Ияд #	т у
куда энергия взаимодействия атомов	—т---1------2
о _ S2! 1Цд7 _ (hvl\2 1	—|	|	1
вз d3 Ы d3'	-7—1—0
а также	—т---1------1
Г j	=	1	»0,6-10“7К.	“Г I	2
min U;	kd3	-I—---------3
6-61- vpe3 = ГГц-	рИСф 169
Решение. Поскольку электронные оболочки 5s и
5р полностью заполнены, то парамагнитные свойства иона определяются 13 электронами незаполненной 4/-оболочки. В соответствии с первым правилом Хунда эти электроны располагаются так, чтобы образовать максимальный спин Smax, и при данном Smax — максимальный орбитальный момент Ашах (рис. 169). На /-оболочке (/ = 3) имеется 2(2/ + 1) = 14 мест, тринадцать из которых заняты. Поскольку в квантовой физике за велечину момента принимают значение его максимальной проекции на заданную ось (в единицах Й), то
(SJmax = у! (^)тах = 3 + 2+1+0-1-2 = 3.
271
В соответствии со вторым правилом Хунда
J = L + S = 3+- = -.
2	2
Вычислим g-фактор = 3 , 5(5 + 1)-£(£ + 1) = 8 g 2 '	27(7 + 1)	7
Резонансную частоту ЭПР найдем по формуле vpe3 = —= 1>6ГГц'
6.62.	v= 1,12 ГГц (5= 1; £ = 5; 7 = 4; g = 4/5).
6.63.	Мо = Na? JflV = 2980 Гс, где А — атомная масса Dy. ^рез
6.64.	Мо = Na Р = 2723 Гс, где А — атомная масса эрбия Ег,
v = as 1,68 ГГц, где g = 6/5. h
6.65.	Для полученной конфигурации атома Smax = 3/2,	= 2,
J = 1/2, т. е. состояние 4£>1/2- При этом g = 0, что означает, что Нсумм-1-^-Таким образом [ij = 0, а значит, пучок не расщепится.
6.66!	ц =	= 2,62 цяд = 13,25-10-24 эрг/Гс.
Решение. Молярная масса тефлона п-50 г/моль, поэтому образец тефлона массой 50 г содержит 1/п молей тефлона. В этом образце в соответствии с химической формулой содержится No = 2NАп 1 = 2NA атомов фтора. На рис. 170 изображена схема расщепления уровней ядра фтора в ,V2 = Д'	магнитом поле. Так как спин ядра
равен 1/2, то получается двухуровневая система. Из полного числа No ядер на верхнем уровне находятся N2 ядер фтора. Пусть 5/2 = N- На нижнем уровне остается JVj = JV0 — JV ядер. Разность соответствии с распределением Больцмана
N	(
Ni No-N	кТ)
где Д<э = 2цВ, ц — магнитный момент ядер фтора. Из этого следует
jy _ No ехр (—Hi&IkT) 1 -l-exp (—Hi&IkT)'
/ Д#\	uB
1 expl — -ту)	-ту	п
AJV = JVn - 2JV = Na-----х » Na
0	0 , ,	/ Д#\	0 . цв кТ 0
1+ехр(^ кт) 1 кт
МВ
2ц5
Против поля
По полю
Рис. 170
- ^2 = Л'о “ 27v- В

272
Здесь мы учли, что = 1,4-10 б«1 и поэтому разложим экспоненты кТ
в ряд. При снятии поля половина ядер из AN разориентируется, т. е. образец получит момент импульса
L = ^Lh = -^-N -2	2 кТ ° кТ '
откуда и определим магнитный момент ядра фтора
и = 13,25-10-24 эрг/Гс = 2,62цяд,
где цяд = 5,05-10-24 эрг/Гс — ядерный магнетон Бора. При написании этой формулы мы учли, что магнитный момент ядра определяется неспаренным протоном, находящемся в состоянии 2x^2 (это один протон сверх заполненной оболочки из 8 протонов). Поскольку в этом состоянии орбитальный момент 2 = 0, то у этого протона угловой момент является чисто спиновым и равен Й/2. При перевороте спина угловой момент изменяется на Й.
— = 1,7- 109Гс. 2|лб
6.68! а»3-10“6.
Решение. В магнитном поле атомы водорода поляризуются из-за того, что проекция их магнитного момента на направление поля принимает два значения ± цБ. Как в любой двухуровневой системе, полное число атомов ^ = JV| +Л'р
спином по полю Nf к числу атомов со спином против поля ЛЦ (рис. 171).
(	2^Я\
- --- у кТ ]
6.67. В
нв
и
— +|хБВ | (Спин | )
---|хБВ | (Спин |)
Рис. 171
Отношение числа атомов Н со
отсюда

JVt =-------
1 +ехр
Л'о ехр
Nl =--------
1 +ехр
3-10“6.
Поскольку JVj <)V|, то число атомов с антипараллельными спинами равно 2/Vp а их относительное число 2JVt 2 ехр 1-2^В!(кТ)} а =------------ =----£----1--------й: 2 ехр
А'о 1 +ехр [—2^вВ/(кТ')] 2
6.69!	Д.»2-10-2К.
ка
Решение. См. также задачу 6.60. Нагревание всегда разупорядочивает структуру. Поэтому кТтах я»<£вз. Энергия магнитного взаимодействия атомов <звз~ ц2/а3. Для оценки магнитного момента атома разумно взять магнетон Бора, поскольку электронный магнитный момент ц < цБ. Отсюда Гтах »	2- Ю“2 К.
273
Эта оценка ясно показывает, что чисто магнитно-дипольное взаимодействие не может объяснить наблюдаемую величину температуры Кюри ферромагнетиков 10-ь 1000 К. Магнитное упорядочение у ферромагнетиков имеет другую природу — обменное взаимодействие, которое по своей сути является электростатическим (см. задачу 6.78). Величина электростатического взаимодействия двух электронов, находящихся на расстоянии а порядка е^/а, что соответствует температуре упорядочения Т е2/(ка) — 5-104 К. Т. к. обменное взаимодействие составляет обычно (0,01 -ь 0,1) долю электростатического, то видно что это обеспечивает наблюдаемые 7"к практически всех материалов.
6.70!	= Йсо. [п + 1), где п = 0, 1,2, ...; со. =	— циклотронная ча-
е \	2/	с mec
стота; <£0 = 5,8-10-6 эВ.
Решение. В магнитном поле электрон движется по окружности с цик-
еВ
лотронной частатой со = —. Такое движение можно описать изменением
с тс
только одной координаты — угла поворота. Тем самым задача сводится к задаче об одномерном осцилляторе с законом квантования = fta>c(n + 1/2).
Покажем как это можно получить используя уравнения Гамильтона. В магнитном поле соотношение между импульсом р и скоростью v частицы не имеет привычной формы р = mv. Соотношение между р и v в присутствии магнитного поля можно получить двумя способами. Первый из них состоит в том, что когда частица из области В = 0 попадает в область В Ф 0 (либо В как-либо меняется от нуля до Во), то возникает вихревое электрическое поле Е. Согласно уравнению Максвелла
rot Е =
откуда следует, что Е
скорость частицы
—1	За время возникновения поля оно меняет
т = qE = dt
q_ ЗА
c dt'
откуда инегрированием получаем
М¥ = ро-751ГЛ = ро-7А-
Отсюда следует, что mv + — А = const, и эта константа не зависит от на-
с
личия поля. Эту константу можно рассматривать как эффективный импульс р = mv + — А. Для электрона (q = — е) р = mv — — А.
с	с
Второй способ состоит в том, что полный импульс заряженной частицы складывается из двух частей р = ркин + рпол, где ркин = mv, а рпол — импульс электромагнитного поля, образованного электрическим (кулоновским) полем частицы и постоянным магнитным полем внешних источников.
рпол =[ЕВ] с/У, где div Е(г) = 4лр = 4л</д(г — г'),
274
г — положение частицы (при v-szc ее можно считать покоящейся и не учитывать магнитного поля, создаваемого ею самой). Поскольку В = rot А, то можно показать, что в этих предположениях рпп_ = — А, т. е. р = mv + — А.
с	с
Энергия частицы в постоянном магнитном поле есть чисто кинетическая (без учета спина), поэтому гамильтониан
2	/	\
=	сА)	+ (Ру-'и“сх)2 * * * + ^]-
где со =	— циклотронная частота. Мы рассматриваем общий случай
тс
pz Ф 0. Классические уравнения движения Гамильтона
г = —• р- -дают	ЭР ’	dr
Рх
х = —>	.
т	Рх= -(Ру-"1“сх)шс-
pv—ma>cx	•	_ п
у = -1------, а также Р» — О,
m	•	л
Z =	I'’-’0'
т
Видно, что Ру и pz являются интегралами движения, а у — не является интегралом движения. Это есть проявление того факта, что в магнитном поле BQ\\OZ х- и у-компоненты скорости частицы не могут иметь одновременно определенных соотношений. Обозначим ру = ру0 = const; pz = pz0 = = const. Поскольку по условию задачи v±B, то pzQ = 0.
Тогда = 2~ IP* + (Руо — «1“сх)21-
Сделаем замену переменных х = х + ——. Тогда рг = рг и тшс	Л
2
1 „2, I	'2
2т Рх 2
Мы свели таким образом гамильтониан частицы к гамильтониану одномерного гармонического осциллятора. Воспользовавшись результатами квантово-механической задачи о квантовом осциляторе, запишем по аналогии энергию уровней, называемых уровнями Ландау:
= Йо>с (и + 1
Это — система эквидистантных уровней. Каждый уровень имеет бесконечную кратность вырождения, т. к. энергия не зависит от ру, —со<ру< +“>. При этом координата положения равновесия осциллятора х = 0, т. е. х = —	— не определена.
тшс
Минимальная энергия электрона Йсос/2 =5,8- 1СГ6 эВ. Учет спина электрона приводит к добавке (цВ) в энергию и спиновому расщеплению уров-
275
ней 2msfiBB, (ms = ±1/2). Для свободного электрона цБВ = Йсос/2. На рис. 172 изображено расщепление уровней. Стрелками изображено направление магнитных моментов электрона. Низшее состояние определяется тем, что ц||В. При этом спин s антипараллелен полю В.
6.71	!	=	1,66-10’43 эрг -г; S*in =	= 6,56- КГ11 см2
С	CD
Решение. Условие вращения электрона в магнитном поле по окружности
дает в координатном пространстве (R-пространстве) радиус ларморовского кружка п тс R = — v . .
еВ 1
Преобразуем это выражение:
/	\ 2	9	2	2
г>2 _ тс\ 2 2тс mv± 2тс о А — — и-----------------— -------------—_ ф
\еВ) е В2 2 е В2
где <£± — кинетическая энергия поперечного движения частицы. Так как <£± квантуется, т. е. <В± = fta>c -Т , то квантуется и квадрат радиуса ор-биты, т. е. площадь
2	,	lx
5п = лй2 = 2л-^йа>с(п+1 е В	v
Запишем далее уравнение движения (R — это проекция г на плоскость, перпендикулярную В)
m£ = £[vB], at с
dr
dt'
dv _ е dr j* dt тс dt’
Интегрируя и отбрасывая
Рис. 172
стей — тоже окружность и
постоянную интегрирования, получаем
v = —[гВ]. Поскольку v±B и нВ тс
г±В, то v . =—[R, z], тс
Отсюда видно, что в импульсном пространстве (или пространстве скоростей) траектория получается умножением на еВ/(тс) и ее поворотом на 90° вправо (по часовой стрелке), если смотреть с конца вектора В.
Таким образом, траектория электрона в пространстве скоро-

276
..	r-v
Минимальная площадь SK =--------, или, в импульсном пространстве,
и т
5Pjn =	= m2n2 л = лтйсос =	— = 1,66- IO’43 эрг-г.
Минимальная площадь в R-пространстве
S*in = д йо> =	= 6,56 • 10-И см2.
е2В2 еВ
Заметим, что из квантования площади в R-пространстве следует квантование магнитного потока, пронизывающего орбиту электрона,
Ф)г = лЛ2В = Фо(п+1),
где Фо =	где а — постоянная тонкой структуры, а Фо — мини-
мальный магнитный поток (квант магнитного потока).
6.72	! R =	» 7 км; В = gi.-—.... = 4,77- ioi2 Гс.
с In (тес /Si)	2цб^2
Решение. Вблизи нейтронной звезды находится другая звезда (красный гигант), образующая с нейтронной звездой двойную систему. За счет сильного гравитационного поля происходит аккреция, т. е. захват протонноэлектронной плазмы красного гиганта и ее падение на нейтронную звезду. При этом непрерывное (тормозное) рентгеновское излучение уносит выделившуюся кинетическую энергию.
Магнитное поле у нейтронной звезды возникает в силу сохранения магнитного потока из первоначального поля звезды и ее «раскрутки». Предполагается, что исходной была звезда типа Солнца. На поверхности звезды «аннигиляционный» 7-квант имеет энергию, равную тес2 = 511 кэВ. После «преодоления» гравитационного поля он «краснеет» (см. задачу 1.4) и на поверхности Земли имеет энергию <э2 = 460 кэВ. Таким образом,
2
, тес ум
1п-----= -Ц—,
S% с R
откуда следует ответ
R = -----чМ ----л- 7 км.
с In (mec /Si)
В магнитном поле уровни энергии свободного электрона (уровни Ландау) = йсосм = 2цбВм. Как и в первом случае, это излучение преодолевает гравитационное поле нейтронной звезды и на поверхности Земли имеет энергию (э, = 50 кэВ. Таким образом,
2
1п 2^бЙ == откуда искомое поле В = ^}теС — 477. ю12 Гс.
<?1 с R	2p.g<§2
6.73	! Р= 0,3.
Решение. В силу несохранения четности при [3-распаде число электронов, вылетевших по и против спина ядра, будет различным. Но если число ядер со спином вверх и вниз будет одинаковым, то результирующая асимметрия вылета исчезнет, и эффект несохранения четности не проявит
277
ся. Поэтому необходимо иметь преимущественную поляризацию ядер, что достигается в магнитном поле при низких температурах.
В магнитном поле уровень ядра с / = 1 расщепляется на три подуровня, соответствующие значениям магнитного квантового числа m/= 1, 0, — 1 и расстояние между ними Д<э = £цяд//. Отношение заселенностей подуровней
равно:
N(m\) ------= ехр
N (т2)
кТ
= еа, где m, = + 1, тг = — 1.
Искомая поляризация ядер
1 Р = ----= 0,3.
е“ + 1
Это означает, что только 30% распадов дадут асимметричный эффект, который наблюдается на симметричном фоне распадов остальных ядер.
6.74	! п = 2, I = 1, число подуровней 5.
Решение. Главное квантовое число п =	= 2. При этом
п = nr + I + 1, где радиальное квантовое число пг определяет число нулей радиальной части волновой функции на (0, “), т. е. пг = 0. Отсюда следует, что I = 1, и мы имеем 2р-состояние. Число подуровней равно 5 (mz + 2ms = ±2; ± 1; 0).
6.75	. 2х-состояние (I = 0); 2s + 1 = 2 — число подуровней. Оно не зависит от величины поля В, т. к. данный уровень — синглет.
6.76	! X= ,2X1Xj2 = 1 034 571,4 А» 0,01 см.
Л1 — Л2
Решение. В схеме Рассела—Саундерса снятие вырождения и расщепления терма 3Р по величине полного момента J с образованием подуровней тонкой структуры Зр2, 3Р0 есть результат спин-орбитального взаимодействия. Энергия подуровней отличается от энергии терма на величину энергии спин-орбитального взаимодействия
<^s=>K(LS)> = |<J2-L2-S2> = A[/(7+ !)-£(£+ i) -S(S+ !)].
При этом
<£(3Р2) -^(Ч) = [<£(3р) +<S£5(/ = 2)] - [<£(3Р) +<S£5(/= 1)] =2А>0.
Знак константы спин-орбитального взаимодействия однозначно связан с правилом Хунда: если занято меньше половины свободных мест, то ниже по энергии лежит состояние с меньшим J и получается т. н. нормальный мультиплет. Действительно, электронная конфигурация О2+: ls22s22p2 и в незаполненной /.-оболочке, содержащей 2(2/ + 1) =6 мест, занято всего 2 места. Аналогично
£(Ч) -<£(3ро) = [4>(3Р) +<S£5(/= 1)] - [<S(3P) + <S£5(/ = 0)] =А
Согласно правилам Бора
<S(3P2)-<S(3P1) =
А1
А.2
= he
278
Аналогично
£(4) _^Ро) = A£ = JL (<s(3p2) -<§(3^)) = >Е [' _ •' Л z	L I л.2 Ai
Откуда получаем ответ:
A. = 7—= 1 034 571,4 А к 0,01 см. Xi-X2
2А А
6.77. X = —= 15 784 А (см. решение задачи 6.76. Однако здесь по-л2 —Л1
лучается обращенный мультиплет (т. к. число электронов в незаполненной /.-оболочке равно 4), когда большей энергии соответствует меньшее J: состояние лежит выше по энергии состояния 3Р2).
6.78. А = 0,4 эВ; <£к = + 9,2 эВ.
Заметим, что энергия возбужденного состояния атома гелия ^пара = -^пара = ШК+А а <£орто = -W%pT0 = <£ + <£к - А, т. к. энергия обменного взаимодействия V = —А (5 (5 + 1) — 1) = j для ортогелия, v v '	' I -|- А для парагелия,
а энергия электронной конфигурации равна <S = —68 эВ.
6-79- V3 = ^=18’7rr4-
6.80. L = 6.
§ 7.	Ядерные модели. Радиоактивность. Эффект Мессбауэра
т^А-ВА/с2	14 з
7.1	. р =----5---= 1,8-101* г/смл
4лЯ73
7.2	. <Sk%|£^_«0,66Z2A_1/3 [МэВ].
7.3	! о » 1,4- 1О20 эрг/см2» 3- 1017oHg.
Решение. В капельной модели ядра можно по аналогии с жидкой каплей также ввести поверхностное натяжение
_ Епов Епов 17-1,6-10 6А2^ эрг . . , п20	/ 2
~Г=~Т^= Л 	.п-26 Л2/3Р 2 = 1 ’4 • 10 эрг/см2,
° 4лА 4л -1,3 10 А см
что превышает поверхностное натяжение ртути примерно в 3-1017 раз.
7.4	! Решение. Энергия связи ядра
<§св= [ZmP+ (A~z)mn
Кроме того,
где через /(А) Отсюда масса
-МЯ(А Z)]c2
<Ав = /И) -	- <£•
обозначены вклады в энергию связи, не зависящие от Z. ядра
МЯ(А Z) = Zmp + (А - Z)mn + [<£к + <£ - /(А) ]/с2.
279
Приближенно минимум Л4Я(Л, Z) можно найти, считая Z непрерывной переменной и полагая (dMa/dZ)A = 0. В результате получим
Z =_______.
1,97 + 0,015А2/3
При пользовании этой формулой нужно брать ближайшее целое значение Z:					
А	Z	Ядро	А	Z	Ядро
10	5	'“в	150	60	150„т 628m
50	23	23V	200	80	200тт 8()Hg
100	44	‘SSru			
7.5	. Zn =-----27Mg — В -активен; 29Р — В+-активен; 37К —
1+7,5-10 Г1
[3+-активен; б7Си — [3_-активен.
2
7.6	! /?=-£— = 1,9-1013 см.
Д<8св
Решение. Прежде всего предполагаем, что расстояние между протонами не может быть больше размеров ядра в приближении точечных протонов, т. е. Ляд яе (г). Кроме того, считаем, что разница в энергиях связи обоих ядер Д<эсв = <эн — <£Не целиком кулоновского происхождения, т. е. Д<зсв = <£кул.
Энергия кулоновского взаимодействия протонов в ядре 3Не есть
<£кУл= S ty*y-tydV.
Здесь гр — волновая функция системы нуклонов в ядре, г — расстояние между протонами. Интегрирование идет по объему ядра, т.е. считается, что ядро имеет жесткую форму и вне ядра гр яе 0. Конкретный вид гр-функции в данном случае не нужен.
^кул = е2 $ I Ф 12 - dv = е2 (-)•
А-Ул	J	у	\f/
Будем считать, что	и величину (г) примем за размер ядра. Та-
(г) ким образом,
Re = _?— = 1,9-10-13 см.
Д Д£ев
7.7	! г0= 1,4-10“13 см.
Решение. По отношению к ядерным силам протон и нейтрон ведут себя совершенно одинаково. Эта эквивалентность ядерных взаимодействий для протонов и нейтронов проявляется в так называемых зеркальных ядрах, получающихся друг из друга заменой протонов на нейтроны и наоборот. Именно такими парами и являются ядра ^Si (14р + 13п) и 2jAl(13p + 14п). Одинаковость ядерных взаимодействий для протона и нейтрона носит название зарядовой независимости ядерных сил и является проявлением более общего свойства — изотопической инвариантности сильного взаимодействия.
280
Если бы изотопическая инвариантность ядерных сил была точным законом природы, то все параметры зеркальных ядер были бы одинаковыми и 13-распад был бы запрещен законом сохранения энергии. Кулоновское взаимодействие нарушает зарядовую независимость и делает распад возможным.
27Si_27Al + e+ + ve.
Электрон не может «унести» больше энергии, чем выделяется при распаде. Таким образом,
теС2 + <§тах = (Si) - М (А1) к2 =
2
= (тр - тп) с2 +1е- [ ZSi (ZSi - 1) - ZA1 (ZA1 - 1) ] =
= -(mn-mp)C2 + |^(14-13-13-12), r	5 A
jro = ^ [ (mn - mp + me)c2 + ^max
откуда
е гоА
И окончательно, г0 = 1,4-10~13 см.
7.8. ПС, ПВ: Д<£св = 2,8 МэВ; Д<£к fe 3,19 МэВ;
13С, 13N: д<£св = 3,0 МэВ; д<£к fe 3,62 МэВ.
Подсчет <зк выполняется по формуле 0,71Z2A-1^3.
7.9. К-захват; ^+-распад энергетически невозможен.
7.10.	AM с1 fe V2MTic2<gn fe 0,81 МэВ.
7.11.	<з fe 57 эВ.
7.12!	<grp fe 2,2 МэВ.
Решение. Красная граница фоторасщепления дейтрона определяется энергией связи протона и нейтрона. На рис. 173 изображены потенциальная яма и волновая функция дейтрона. Вне ямы, где U (г) =0, уравнение Шредингера для частицы с приведенной массой и = mN/2 имеет вид
Лапласа.
- 5-	= <£ф,
2р.
2
где Д„ = —х + — — — радиальная часть оператора
dr2 г dr
Подставляя в уравнение ф = А ех.р(—иг)/г, получим х2Й2 + 2ц<£ = 0, от-
куда
*2 2 2р.
Таким образом, минимальное значение энергии, достаточной для расщепления дейтрона, .2 2 Р _ П X
*2 2
= /L2L^2,23 МэВ. mN
281
7.13! <£rp = Й Л аг 17,7 МэВ, где а„ = 23,7 МэВ — коэффициент V,K R V mN
в симметрийном члене в формуле Вайцзеккера, R = 5,2 фм.
Решение. Если жесткость системы равна К, то упругая энергия
S = Кг2/2, где е — относительное смещение. Возвращающая сила, обусловленная симметрийным членом в формуле Вайцзеккера, стремится восстановить равномерную плотность протонов и нейтронов. Симметрийный член в энергии меняется в расчете на 1 нуклон следующим образом:
<£s = lgs (»-^)2.= i2JjL-zV. s A s А 2 sl А
где as = 23,7 МэВ — коэффициент в формуле Вайцзеккера, N — число ней
тронов.
Изменением кулоновской энергии при сжатии протонов вдвое можно пренебречь в силу относительной малости кулоновского члена в формуле Вайцзеккера. Сравнивая <£s с упругой энергией <з и полагая, что (TV — Z)/A — относительное смещение протонов относительно нейтронов, можно сделать вывод, что в расчете на один нуклон жесткость системы К = 2as. По формуле, данной в условии задачи, скорость распространения колебаний (скорость звука) и2 = К/т^ = 2a&/mN, где mN — масса нуклона.
Таким образом, энергия гигантского дипольного резонанса <S(;R в сферическом ядре с А = 64 (при Z = N)
SGR = flku = fl^-u = fi^ % 17,7 МэВ,
<jK	R R V wn
Приведем другое решение данной задачи. Подсчитаем изменение энергии, непосредственно возникающее при смещении L нейтронов вправо, a L протонов влево. Тогда в левой половине будет N/2 — L нейтронов и Z/2 + L протонов, а в правой половине ядра N/2 — L нейтронов и Z/2 + L протонов (рис. 174).
полупериод колебаний)
Рис. 174
Полная энергия, связанная с нарушением симметрии, есть
о	(N/2 + L — Z/2 + L)2 п , (7V/2-£-Z/2-£)2 „ _ 16£2 п
----------;-------- ;------------------- ас------С1с.
s	А/2	s	А/2	s A s
282
Приведем эту формулу к тому же виду <з = Кг2/2 (см. первое решение). При этом становится очевидно, что максимальное число смещенных протонов или нейтронов равно А/4. Таким образом,
£
А/4
<£, = - 1а<А
s 2 s
откуда К = 2asA.
Далее легко видеть, что мы приходим к тому же выражению для <SGR, что и в первом решении, поскольку полученное К следует либо привести к одному нуклону, т. е. поделить на А, либо воспользоваться формулой для расчета скорости и, приведенной в условии задачи,
Заметим, что эта модель достаточно хорошо описывает положение гигантского резонанса. Например, в ядре меди, у которого как раз А = 64, он наблюдается при энергии возбуждения 16 МэВ.
7.14	. Нейтроны и протоны заполняют свои уровни независимо друг от друга, т. к. они не являются тождественными частицами. Первая оболочка Z = N = 2; А = 4 (Не). Вторая оболочка Z = N = 8; А = 16 (О). Третья оболочка Z = N = 20; А = 40 (Са).
7.15	! <зсв = | Uo | — — h "V — -2^°2	12 МэВ, где mN — масса нуклона.
2 V »in«o	,__
Решение. Радиус ядра кислорода gO Ro= 1,3-10 1Jvl6«= «= 3,3-10-13 см. Потенциальная энергия в однонуклонном приближении описывается выражением
2 2 , । та> г О	'
При г S= Ro потенциал U (г) = 0, и следовательно
-у 2t/o со — \ / —-У,
а уровни энергии имеют вид
= Uo 4- Sw j .
Картина уровней изображена на рис. 175. В пренебрежении конечным размером ямы уровни энергии эквидистантны. В силу зарядовой независимости ядерных сил (задача 7.7) уровни протонов и нейтронов в ядрах с N = Z должны совпадать. В легких ядрах это действительно имеет новского взаимодействия в энергию св
место, поскольку в них вклад куло-1зи незначителен. В случае ядра
полностью оказываются заполненными протонные и нейтронные уровни с А/ = 0 и N = 1 (дважды магическое число 8 — по протонам и по нейтронам).
283
На рис. 156 показано также, как отсчитывается искомая энергия связи <зсв (от верхнего заполненного уровня до «потолка» ямы). Таким образом, ^св~ I U0 I “	+
где N = 1 (внешний нуклон). После преобразований получим
<§СВ= l^ol	12МэВ-
7.16. Д<£ = йсо = — Л - — = 15,8 МэВ.
Ro V т 2й2	т
7.П. а2 = 71 -—; а «к 1,8-10-13 см, где и = — — приведенная масса 8р.|(/о1	2
дейтрона. Приведем также результат точного решения, полученного из условия сшивки волновых функций на границе (см. также задачи 3.18 и 3.12): а = h arccos <°св = 1,82 • 10-13 см.
V 2р.( | Uo I - <%„)	|t/o1
7.18.	Ra — \/{г2} =	— «g 3 • 10 13 см, где mN — масса нуклона.
V2mN<g
Здесь для оценки можно воспользоваться волновой функцией основного со-
стояния дейтрона (см. задачу 7.12) Ае~хГ/г, где х = 1V. п
7.19.	1,4-10-47 г-см2.
7.20.	В силу радиоактивного равновесия между 238U и 234U /.4jV4 = (вековое уравнение), откуда
Zl = ^ = ^ = 5,5. Ю“5; Т.= 2,48-105 лет.
Т8 Уд Nt
Период полураспада 234U много меньше возраста Земли (	109 лет); та-
ким образом, наше предположение о наличии радиоактивного равновесия между 238U и 234U оправдано.
’2L ‘j<,) tsOT 
Если подставить числовые значения, то получается, что 4-109лет тому назад содержание составляло 16,08%. Примерно 6-109 лет тому назад содержания 235U и 238U могли быть равными. Конечно, в момент образования Земли в ее составе имелись и другие изотопы урана (см.задачу 7. 22).
7.22.	С момента образования Земли за время ( = 4-109лет содержание 234U на Земле должно уменьшиться в e(z |п 2)^ч ss е11180 як 104855 раз. Если даже предположить, что в момент образования Земли на ней существовали только изотопы 234и, то и тогда на Земле уже давно не осталось бы ни одного атома 234и. Изотоп 234 U существует в природе благодаря а-распаду 238U и р_-распадам и 234Ра
238 т, 92 и
----► 2^Th
4,5.10’ лет	24 дня	6,7час
284
Содержание 234U находится из условия радиоактивного равновесия (см. задачу 7. 20).
7.23.	— = 6,45-109 лет; — = 1,016-109 лет. In 2	In 2
7.24.	В связи с тем, что проницаемость кулоновского барьера экспоненциально зависит от ширины барьера, то ответ задачи оказывается чрезвычайно чувствителен к выбору приближения. Приведем три возможных формы ответа:
тт 2(Z---- 2}в П	АЛ
где Uq — —------—, R — радиус ядра с массовым числом А — 4.
R
Формулы 1) —3) получены для случая, когда вне ядра а-частица описывается плоской волной (обрыв барьера при г = Л), что приближенно справедливо, если энергия а-частицы мала по сравнению с высотой кулоновского барьера. Полученные формулы справедливы также при вылете а-частицы «из центра» ядра, когда можно не учитывать центробежный барьер. При этом формула 1) представляет собой результат точного интегрирования; формула 2) является предельным случаем при	а формула 3) есть
результат интегрирования при U(r) »<з.
7.25.	Зависимость периода полураспада от энергии (в МэВ) хорошо описывается законом Гейгера—Неттола
lg А + ТС'
Из условий задачи константы А «= —56,5; В я» 148,3. Искомый период полураспада равен Т1/2— 3-1084 лет.
т \
7.26.= ехр
Та Хр
4<2Ze2 AV<E"
(Z — Z VmT) v a a P p'
= e-169, Tp«=9-10“57 c.
В силу столь малых времен естественная протонная радиоактивность не наблюдается. Она обнаруживается экспериментально лишь в том случае, когда ей предшествует более медленный [3-распад.
7.27!	Т2~ 1012 лет.
Решение. При выполнении условия	и Z » 2 проницаемость
барьера равна (см, задачу 3.36)
D к. ехр
4v2>nZ,IZe2
285
Ti тогда — = exp
Т2
Откуда Т2 ~ Ю12
Заметим, что
1,1-Ю14
e 4,9 =7-10 3 (здесь Z =2).
имеет период полураспада 2,14 МэВ.
2
d = 2(Z-2)g _ я = 36 фм, где
, S
Рис. 176
4vr2m’Zae2 I Zr _ Z2\ ~ й	V2>2/.
лет. реальное ядро ‘^b
лет при энергии а-частицы
7.28. Un = 2(Z~2)e = 30,7 МэВ;
R = яг 7,9 фм — радиус ядра.
7.29	! <p = ^«5-10-n рад = 50 прад. 8/
Решение. Электроны, вылетающие с поверхности диска, делятся на две равные части. Одна из них поглощается диском, а вторая, вылетающая в телесный угол 2л, покидает диск, унося момент импульса. Электрон, вылетающий с поверхности диска под углом 0 (рис. 176), уносит момент импульса Й/2. Проекция этого момента на ось вращения равна (Й/2) cos 0. Поскольку все направления вылета равновероятны, то изменение момента импульса в единицу времени — = — — cos 0, где черта означает ус-dt 2 2 реднение по телесному углу 2л.
л/2
cos 0 = — ( cos 0 dQ = — ( 2л sin 0 cos 0 d0 = —.
2л J	2л J	2
Q	0
Таким образом dL/dt = Nhl%. С другой стороны
— = /ф,
dt т
откуда и следует ответ
Т =	ИГ11 рад.
о/
7.30	. / = 1,57-1017 с я»5-109 лет (практически равно времени жизни Вселенной). Т. е. таких условий на Земле, по-видимому, не существовало.
7.31	! тдип — 2-10“16 с; тквад — 5-10-13 с.
Решение. Число у-квантов, излучаемых в единицу времени,
W _ 1
Йсо т’
где т — время жизни возбужденного уровня относительно излучения.
Дипольный момент d = eR sin wt, где R — радиус ядра. Поэтому d яг еЛа>2 с точностью до коэффициента порядка единицы. Классическое выражение (данное в условии) для энергии дипольного излучения в единицу времени можно привести к виду:
1У яг 2 е2«2о>4.
Зс
Таким образом, для дипольного излучения время жизни возбужденного уровня
т _ Ла>	3hc2
ДИП w	2-2 з-
т 2е R а>
т	4. с 200 г, л
Если ввести л = ——----------[фм] — приведенную длину волны у-кван-
w 8 [МэВ]
та с энергией <з в МэВ, то искомое время жизни
При S = 1 МэВ и R = 4 фм (условие задачи) формула дает т = 2-10-16с.
Для мультипольных (в частности — квадрупольных) переходов оценочная формула будет примерно такой же. Изменится только степень размера ядра (размера системы). Из электродинамики известно, что при разложении электрического поля в ряд по мультиполям параметром разложения является отношение размеров системы к расстоянию до точки наблюдения (безразмерная величина). Если в дипольный момент входит R в первой степени, т. е. d ~ eR, то в квадрупольный момент входит R2, а в момент порядка т — Rm. Таким образом, время излучения с моментом т равняется
8 -10~2° ( 200] 2т
т" &
Так, для т = 2 (квадруполь) R = 4 фм, <з = 1 МэВ, тквая~5-10-13 с.
7.32	. t = - Г1/21п0’1	4 лет
In 2
_ -- ,	0,01 Tip
7-33- *min = - ln2 80 лет-
Указание. Минимальный возраст, который можно определить, ограничивается статистикой отсчетов.
7.34	. |32 =	2 =	Где Д<£ = 110 кэВ; у = (1 - р2)“1/2 =
\с)	1 + [Д<8а/(сЛ)]2
==^£1^ 28,5; <S = уМпс2^510 ГэВ.
ch
Указание. Для возбуждения уровня в системе покоя ядра нужна частота, определяемая из условия hv = Д<£. Частота возбуждения есть v' =^- = — v поскольку эффективный размер решетки сокращается а av\—v2lc2
в направлении движения ядра.
7.35	! р.= - 1,9(—Цяд/3) 0,64цяд.
Решение. Векторная модель сложения угловых моментов ядра (J = L+S) и магнитных моментов <HcyM=HL + Bs> в самом общем виде изображена на рис. 177, на котором векторы моментов импульса должны быть отложены в единицах Й, а векторы магнитных моментов — в ядерных магнетонах Бора. Но в силу того, что для протона glp = 1, для нейтрона
287
g[n = 0 (в силу его электрической нейтральности), а спиновые g-факторы,
соответственно, gsp = 5,58 и gsn = —3,82, рис. 177 не отражает (в смысле
масштабов) условие задачи, а лишь помогает понять правило сложения моментов. Средний магнитный момент ядра может быть направлен только вдоль J, единственного сохраняющегося вектора в системе, 4* сум) = И =	Умножим это равен-
ство скалярно на J и усредним по состоянию с заданными У, L, S. Тогда в силу того, что J — сохраняющийся вектор, его можно внести под знак усреднения, и мы получаем:
Кум-0 =
Поскольку pL = gLpslnL и ps = gspslnS, то
gs(SJ) + gL(LJ) = gj(J2).
Используя теорему косинусов, получим
В квантовой физике справедливы соотношения
(J2) = /(/+ 1); (S2) = S(S + 1); (L2) = T(T+ 1).
Используя их, получим
_ gs + gL , gs-gL.S(S + l)-L(L + l)
8s 2	2	J(J +1)
В нашем случае магнитный момент ядра определяется состоянием нейтрона, находящегося на уровне 1р1/2, т. е. Для нейтрона gL = gZn = О, gs = gsn = —3,82, S = 1/2; L = 1; J = 1/2. Подставляя эти данные, получим gj=	’>273; =	0,64иял.
7.36	. р~ — 0,26р.яд.
7.37	!	= i .fo .... = 4,23.
Д<£„	3 gsp + gsn
Решение. В основном состоянии L = 0, и магнитный момент имеет чисто спиновую природу. Спин водородного ядра SH = 1/2, а дейтрона Sd = 1. Магнитный момент электрона ре = gsllEse = 2pgSe, а яДРа Ня = ^Ияд^я- По определению для дейтерия
Ня (1>5р®р + 1>8П®п)Ияд ^Ияд^В’
откуда
____ gsp 4" gsn g 2	•
Для водорода, естественно, ря = g^p^Sp. Полный момент атома F = Se + 8Я, а величина сверхтонкого расщепления
288
U„ = А-2г(8е8я)рБряд = Ag(F2 - S* - «*>ИБИЯД =
= Ag[F(F + 1) -Se(Se+ 1) -5Я(5Я+ 1)]ИБИЯД-
Для атома водорода Sa = 1/2, Se = 1/2, поэтому возможные значения F = 1 или 0. Для дейтерия, соответственно, 5Я = 1, Se = 1/2, a F = 3/2 или 1/2. Поэтому величина сверхтонкого расщепления для водорода
Д<£Н = Agsp (1-2-0) ИядИб = 2А^р[1яд[1Б, а для дейтерия
Д^ст = Ag — 1-^ р.ядр.Б = ЗА£р.ядцБ. \ X X XX/
пр	Л	А^ст 2g$р 4 ggp	_
Таким образом, —-г- = —- =------------— = 4,2d.
Д^ 3g 3 gsp+gsn
7.38	!	= !) = - Т’ ^От-
решение. Магнитный момент атома р.ат складывается из магнитных моментов электронной оболочки и ядра рат = Це + Ня~Не> т- к- 1Ие1 1ИЯI - в состоянии с заданным J средний магнитный момент электрона
_ 3 , S(S + 1)-L(L + 1)
He-WBJ. r«e Sj - +--------2J(7TD ’
289
В нашем случае gj = 2/3. При наличии взаимодействия ядра с электронами сохраняющимся вектором является F = J + I, и средний магнитный момент атома фГат) должен быть направлен по F, т. е. фат) = PF- Умножая обе части скалярно на F и внося вектор F под знак усреднения, получим p(FF) = gj(JF)pB, или
H(f2) = He^|(f2 + j2-12)- Отсюда p =
F 2	2F(F+1)
Поскольку /=3/2, J= 1/2, то или F = 2 и gF= +1/4 или F = 1 и gF= —\/4. Следовательно,
(pal(F = 2))=|(l)pB-2 = ^.
(pal(F= i)> = |(-1) иб-1 = -£
Примечание. Возможность такого подхода для вычисления рат связана с малостью энергии сверхтонкого взаимодействия по сравнению с энергией спин-орбитального взаимодействия. Строго говоря, в векторной модели атома нужно сложить и p.L и спроецировать сумму на направление F. Мы же проецируем сначала на J, а потом на F. Частота прецессии J вокруг F много меньше частоты прецессии L и S вокруг J (см. рис. 178а и б).
7.39	! Р ешение. При испускании у-кванта должны выполняться законы сохранения энергии и импульса
<£ = Йсо + я,
где pR — импульс получим
= Pr = 1 V«(2Mc2 + R) ,
ядра после испускания у-кванта. Решая эти уравнения,
R =-----*----«=	= 0,0468 эВ,
2(Мс+£) 2Мс
с,7.
Йсо = <£ - -У-т «= <£ = 129 кэВ.
2Мс
R
; Йсо — <з + R.
7.40.
7.41.
£2
2Мс2
Изменение энергии у-кванта из-за эффекта Доплера Д<з = <£ р Полагая Д<з = Г/6, получаем v/c = 6-10-12, v = 0,18 см/с.
д
7.42.	Условие резонансного поглощения принимает вид Т3фф а ——. По-
4л б
&2
скольку R = —\	то Т> —2— ъ, 135 К.
2Мс 2Ас фф 8*бЛс
290
7.43.	При излучении у-кванта энергия отдачи R воспринимается всем S2
кристаллом и поэтому Д<£> = R = —Цу =1,5-10-25 эВ.
2Мс
7.44.	Смещение частот — = R . Если — =	10-13, то О = 74 рад/с.
<о 2с	<о 3
7.45.	v = —ss 104 см/с.
2т с
Гс2
7.46.	h =-----« 28 м, где g — ускорение свободного падения.
100<E7g
7.47!	Р е ш е н и е. Из-за различия эффективных температур излучателя и поглотителя частоты излученного и поглощенного '.'-квантов будут смеще-х ^вбТ’эфф ЯбТ’эфф „
ны на величину порядка ov — v-----Щ- = v---где R — универсальная
Мс	Ас
газовая постоянная, А — атомная масса железа. Именно это смещение дол-
жно быть меньше гравитационного Av = v (см. задачу 1.4). Разность с
.. тгбТ’эфф ,, температур эквивалентна высоте on = —15 м> что сравнимо с высотой башни в эксперименте Паунда и Ребки. Таким образом, для того, чтобы при помощи эффекта Мессбауэра можно было наблюдать гравитационное смещение частоты у-квантов, температуры излучателя и поглотителя должны быть одинаковыми с очень высокой степенью точности.
7.48.	Н =	» 400 м.
gxS
2	/ \ 1/3
7.49.	т = ^4»5,3-10-13 г; Ь= —	» 0,25 мкм.
he	ИЛР/
7.50!	<g =А£отс 960 кэВ.
v 2&,
Решение. Естественная ширина возбужденного состояния очень мала и равна 6<£> = Й/т = 1,5-10~2 эВ. Уширение возникает из-за доплеровского сдвига, связанного с отдачей ядра при испускании нейтрино. Согласно закону сохранения импульса ряд = <£^/с, а доплеровский сдвиг равен
A(fyv) =hv- = -\ = —, с тс 2
откуда следует	2
& = тс.. 960 кэВ.
v 2<Е7
7.51. т «---------------» 10-17 с, где 6<£ п » 160 эВ.
(Д<Е — 2 6<ЕДОП)	д
Указание. При испускании у-кванта с энергией 5 МэВ ядро испытывает отдачу, и поэтому линия излучения с энергией 1,5 МэВ оказывается уширенной на 26<£ДОП.
7.52. При переходах излучаются магнитно-дипольные (Ml) у-кванты с моментом и четностью 1+ (см. также задачу 7.57). Рассматривая крайние
291
компоненты расщепления (Av = 10,5 мм/с), соответствующие изменению спина ядра <—3/2—» —1/2 и + 3/2-» + 1/2), получим
<0oAv _ г
В =----------------330 кГс.
сР-яд(«1/2 + 3«3/2)
7.53! <£0= -8,4 МэВ.
Решение. Предположим, что ядро — равномерно заряженный шар радиусом R (см. задачу 4.41 и рис. 135 к ней). Мюон является лептоном, поэтому он может взаимодействовать с ядром только за счет электромагнитных сил. Тогда потенциальная энергия мюона внутри ядра
+ гд‘ "» = ^-
Видно, что это потенциал трехмерного изотропного гармонического осциллятора	2 2
т„ со г
U(r) = -U0 + ^—,
2	9	9
Ze	2 Ze
где —-— =----, откуда следует, что со =------
2 2Я
□ ~ 2
Подсчет дает UQ =----------ss 23 МэВ; энергия основного состояния
2R
<а0 = — Uq + — Йсо; Йсо = Ар.--?.. = 9,73 МэВ. Окончательно, <а0 = —8,4 МэВ. 2	’ mjc
7.54.	Для оценки области локализации можно принять, что она совпадает с амплитудой колебаний трехмерного гармонического осциллятора в основном состоянии
Vr2 = дМ = 1,06- ПГ12 см ’ V V ZeT-
и больше радиуса ядра свинца Ррь = 7,7-10-13 см.
7.55.	М — 5N(t)ma ~ 3,2-10~6 г, где число расщепившихся ядер N(/) « «/V 11112 = 0,975-1017. о т
1 1/2
7.56.	М ~ 300 т (точно по Маяковскому).
7.57!	2s,,,-состояние.
KUH 2	1/ L
Решение. Уравнение Шредингера для осциллятора допускает разделение переменных как в прямоугольной, так и в сферической системе координат. С этим же связано и случайное вырождение уровней энергии в данном потенциале. В декартовой системе уровни осциллятора характеризуются квантовым числом N = пх + пу + nz. В сферической системе можно характеризовать их по моменту I и радиальному квантовому числу пг. При этом N = 2пг + /, а уровни записываются как (пг +1)/. Таким образом, N = 0 соответствует nr = I = 0, т. е. это ls-состояние. N = 1 соответствует пг = 0, I — 1, и это 1р-состояние. N = 2 соответствует nr = 1, I = 0 и пг = 0, Z = 2,
292
г. е. это 2s и ld-состояния, которые в данном приближении вырождены. Учет спин-орбитального взаимодействия приводит к расщеплению 1р-состояния на 1₽з/2 и lPi/2^ W-состояния на ld5/2 и ld3/2. Как показывает эксперимент, в ядре уровень с большим у лежит ниже по энергии.
При поглощении фотона £1 (/ = 1 — момент импульса фотона) должны выполняться правила отбора
| Асон Асач | Асон + Асач’
где /кон и /нач — конечное и начальное значения спина ядра. Ядро имеет 2-2 = 4 нуклона на оболочке с N = 0 и 2-6=12 нуклонов на оболочке с N = 1. Остается один нейтрон из незаполненной подоболочки в состоянии lpj/2 <см. указание к задаче). Для одного нуклона с моментом I четность состояния равна Р = (—1)( (I = 1 для состояния lPj/2^- Таким образом,
^кон
< 1 < /кон +
2
Кроме того, должен выполняться закон сохранения четности состояний _](—I)7 для EJ — фотонов;
"кон ’ "нач |	, j+1	.	.
[ (“ 1) ДЛЯ MJ — фотонов,
где Ркон и Р„ач — четности конечного и начального состояний ядра, откуда следует, что конечная четность должна быть равна Ркон = + 1. С другой стороны, Ркон = (—1)Ао», где /кон — орбитальный момент конечного состояния. Таким образом, получается, что оно четное. А значит, подходят два нуклонных состояния из N = 2: состояние 2«1/2 </кон = 0)
< 1	т. е. (0 < 1	1),
а также состояние ld,;o = 2) JI L. KUH
3
2
т. е. (1<1<2).
2	2
Условию задачи удовлетворяет состояние с наименьшей энергией 2s спин
яДРа Асон = |-
7.58. /„„„ = —; ldo/o-состояние. кин	2 ’	О/
7 59 к = Мт =	^Aln 2 _ t
Мпл \	4gT1/2A
г] ,,(1)____Ряд 3____5,58 — 3,82
с 0,52.
7.60!
^2) = =
2
Ряд 4 _ 5,58-3,82’
3
= 0,31 Ияд
для случая /5-связи;
= 0,373 [лял — для 1 ИД
Реше ни е. Нецентра.'Гьность ядерных сил
случая //-связи.
ведет к несохранению мо-
2
мента импульса, поэтому основное состояние не есть чистое «-состояние (£=0), а содержит также примесь состояния с L=2 (D-состояние). На-
293
личие только четных моментов — следствие закона сохранения четности. Что же касается полного момента J, то он всегда является интегралом движения. Поэтому J = 1 в обоих случаях. Параллельность спинов (при этом 5=1, 2S + 1 = 3) — экспериментальный факт, и с S = 0 связанного состояния нет.
Заметим, что при реализации /«-связи полный момент J = L + S, где
= 2 1/; S = S S/' ПРИ реализации //-связи J=^ jf, где j/ = + s;. i	i	i
Для дейтрона в состоянии 3Dl: L = 2; S = 1; g-факторы протона и нейт-
рона: 5/р=1; g[n = 0 (поскольку заряд равен нулю); gsp = 5,58; gsn = —3,82. Если L — орбитальный момент дейтрона, aS — спиновый, то в
силу зарядовой независимости р и п для ядерных сил 1р = ln = L/2; sp = sn = S/2. Таким образом, можно записать:
Hd (/’/pip "I” /’/pSp "I” /’/n^n) Р'яд
2 "I” (/>sp &sn) 2
Р-ЯД-
Далее надо вычислить проекцию вектора |id на направление J, которая и называется магнитным моментом дейтрона в /«-связи
I'd =	[(L cos(LJ)) + (gsp + gsn) (S cos(SJ))].
Здесь (LJ) = (ZJ cos(LJ)), откуда (L cos(LJ)) =	=	Кроме того,
(5 cos (SJ)) =
J
Подсчитаем:
(L cos(LJ)) = J/(/ + 1)+£ (Z- + 1) —5 (S + D = 1 [2 + 6 - 2] = 3.
x v 7/	2J(J+1)	4	2
(5 cos (S J)) = ——y——[ J (J+ 1) +5(5 + 1) -L (L+ 1)] = - 1.
Z«/ \J “r 1)	Z
Отсюда и следует первый ответ: ц^1) = 0,31цяд.
Что же касается магнитного момента дейтрона при реализации //-связи, то в этом случае подсчет следует осуществлять так:
(н) (//пНяд/п //рИядУр) £ИяД^’
При этом
g = g ^- + g -gn+gp
8 8n^f+8<>	2 '
Определим g-факторы протона и нейтрона gp и gn. Имеем
#пИяд1п’ гДе Нп
Умножая оба выражения на jn и усредняя при этом скалярное произведение, получим
Kin) = «'пИядОп) = g/nMsJn). откуда следует, что
__(Sn-in) __	(®п 4" 1) 4"/n (Уп 4" 1) /п Un 4-1)    gsn 3,82
g'n-_^-^n-g'sn	2/n (/n + 1)	Л 3~'
294
Совершенно аналогично опеределяется и протонный ^-фактор:
„	- 4 _ 5,58
8р <й s,t <6 ’ ’ 
Подставив результаты для gn и gp, получим ответ
g = «£+«р = 0,373, т е ^2) = о,373р.яд.
Поскольку обе модели дают близкие результаты, то отдать предпочтение какой-то из них на основе экспериментальных данных невозможно (см. задачу 7.61).
7.61. w = 0,035 (3,5%) (см. также замечание в начале решения задачи 7.60). Если обозначить искомую вероятность как w, то тогда средний магнитный момент дейтрона, измеряемый в опыте, есть
(р) = (1 -w)	+wp.(3D1),
откуда и следует приведенный ответ.
7-62. ^допл = ^ = 5,7 эВ; д<£отд =	= 2,5 эВ; 5<£0 « А + А
Мс	2Мс	Т1 т2
к A=2-10-2 эВ.
ч
7.63. Амплитуда сигнала ЯМР пропорциональна количеству соответствующих ядер. Поэтому первый пик соответствует ЯМР на ядрах трития. P(t) = ^=2,97^ = 1.5• К)’23 эрг/с, где / = 1. n(t) - p.Teop(t) = = (2,97 — 2,79)ц.яд = 0,18ц.яд.
7.64. ДцНе = | цэксп - цтеор | = 0,22цяд = 0,11 • 10~23 эрг/Гс, где цэксп =
2,13р,яд; Итеор	1,91 р,яд.
7-65. «т = -А£^, т=1,2, 3; R = 3,5-10’13 см. (г0) =-^1,2.
d> sin ет	'	1 AV
§ 8. Нейтроны. Ядерные реакции
8.1. По закону сохранения момента импульса Ьр = L — Ьу/1(1 + 1) . Минимальное значение 2=1, откуда bmi„	= Ь.. = 2-10~12 см.
m,n Р 'hm£
8.2!	» 0,5.
ос(п)
Решение. Рассмотрим сначала случай рассеяния нейтрона на ядре (рис. 179). Возможные значения прицельных расстояний bf определяются из правила квантования момента импульса
pbt = frJl(l + 1).
295
Импульс нейтрона p = ti/L В квазиклассическом приближении (/»1) bi % /А. Разобьем пространство, занимаемое падающим пучком нейтронов, на кольцевые зоны, ширина которых равна А. В каждой из этих зон будут двигаться частицы с определенным значением момента импульса. Число частиц в такой зоне (при условии их равномерного распределения в пространстве) пропорционально площади кольца со средним радиусом bt
=	=^2(2/+ 1).
Полученная величина — это геометрическое сечение, пропорциональ
ное доле всех частиц, имеющих квантовое число /, из всего потока падаю-
Рис. 179
Представим в виде
wt
щих на ядро нейтронов. Умножая St на вероятность поглощения частицы ядром, получим парциальное сечение образования составного ядра для частицы с моментом I.
Вероятность поглощения зависит от внутренних свойств ядра и от характеристики сил, действующих на частицу вне ядра. В общем случае она пропорциональна вероятности проникновения через кулоновский и центробежный барьеры. Конечно, существует отражение и при I = 0.
= Pl'^
где Р/ — вероятность проникновения через внешний барьер, — вероятность «прилипания» частицы к ядру. Тогда полное сечение поглощения (образования составного ядра), включая случай с I = 0, есть
ос(п) =2 (2/+ 1)лА2Р;?;.
1=0
Чтобы ядро поглотило частицу, она должна попасть в область действия ядерных сил, т. е. (bi)max<R, откуда /тах ~ Я/z. Что касается величины то будем считать, что ядро поглощает все падающие на него частицы
(модель черного ядра). Тогда = 1 при I < Я/Z и
ЯМ ос(п) =2 (2/+l)nA2Pz. 1 = 0
В области энергий нейтронов порядка нескольких МэВ и выше, когда А «Я, можно считать, что 7^ — 1, и тогда
ЯМ
ос(п) =2 (2/ + 1)’1Л2 = л(Я+А)2.	(*)
1 = 0
296
В случае рассеяния протонов составное ядро образуется лишь тогда, когда энергия протона будет больше кулоновского барьера (туннельным эффектом при данной энергии можно пренебречь). Для вычисления воспользуемся полученным выше результатом (*). Как видно из этой формулы, эффективный размер ядра стал равным R -Т А. Пусть на бесконечности энергия и прицельное расстояние протона равны и Ь. Тогда закон сохранения энергии дает уравнение (в системе центра инерции)
с с Ze
6-^0
Соответствующий закон сохранения момента импульса — by/2mS0 = (R +
откуда сразу следует предельное значение Ь:
’ ©О
Тогда искомое сечение образования составного ядра под действием протонов
ог(р) =nb2=n(R + fa2 — =n(R + A)2 1 - —.
cV ’	V ’ So	[	<E0(R + *)_
Отношение сечений
Pc(p) = t _ Ze2 J_
Oc(n) £0(R + %)	2’
где Z =	— =1,5-10~13 cm- RCa = 1,3-10-13A1/3 = 4,45-10-13 см (вели-
v 2m&o
чины соизмеримые).
8.3. оП0ЛН = 2nRy 4,1 бн. В релятивистском случае дебройлевская длина волны А = Й/р й Й/(тпс) = 2-10-14 см, что много меньше Rv fe-fe810-13cM. Таким образом, сечение поглощения неупругого рассеяния г>1101л = л (Rv + Z)2 fe-nR2 , т. е. все частицы с прицельным расстоянием, меньшим Rv, выбывают из пучка и поглощаются. Ядро ведет себя как поглощающий шар (модель «абсолютно черного ядра»). Действительно, длина про-
4 г3
бега нуклона I = —i— =-----fe 2 -10—13 см « RL. Однако из-за дифракции
aNN« 3oNN
на краю ядра происходит отклонение частиц от первоначального направления — упругое рассеяние. Согласно принципу Бабине для дифракции Фраунгофера количество света, рассеянного на черном теле, равно количеству света, падающего на него и поглощаемого им, оП0ГЛ = одиф- Следовательно, °полн = °погл + °диф = 2апогл (дифракционное удвоение), поэтому °полн = 2лЛи » 4-1 бн-
8.41	Вероятность рассеяния с параллельной ориентацией спинов —1 = —, а с антипараллельной —-— = —.
21 +1	8	21 +1	8
297
Решение. Для медленных частиц минимальное прицельное расстояние (см. задачу 8.1) много больше размеров ядра, и поэтому реакция возможна только при I = 0. Таким образом, полный момент является чисто спиновым, и число спиновых состояний системы из двух частиц есть (25 + 1) (2/ + 1) = = 2(2/+ 1) . Приэтом полный момент (спин) может принимать два значения: / + 1/2 и / — 1/2. Первому моменту соответствует 2(/ + 1/2) + 1 = 2(/ + 1) значений проекции момента, второму 2 (/ — 1/2) +1 = 2/.
Вероятность рассеяния пропорциональна относительной доле состояний с заданной проекцией полного момента, т. к. энергия взаимодействия не зависит от значения проекции.
8.5.	0' = 20; </оцм = </Q', т. е. нейтроны в системе
центра масс (СЦМ) рассеиваются изотропно.	10~13 см. Полученные
формулы следуют из векторных диаграмм рассеяния в ЛСО и СЦМ.
Приведем для сведения формулу для пересчета дифференциального сечения из «Л» — лабораторной системы в «ЦМ» — систему центра масс в общем виде
f<Zo(e)A = frfoie')^ (”»i + 2mim2 cos б' + wb3/2
\ d^ /Л \ </Q /цм ГП2(т2 + Ш1 cos 0)
где штрихом обозначены углы в СЦМ, т2 — покоящаяся масса, — движущаяся.
8.6.*	4-10“9.
Решение. Уменьшение потока нейтронов связано с актами захвата и рассеяния. Так, в слое защиты толщиной dx, находящемся на расстоянии х от места входа нейтронов, их поток уменьшится на величину
tf/ = -/W
где X —-— — длина свободного пробега нейтрона. Полное сечение реакции ГС°ПОЛН
(как захват, так и упругое рассеяние) оП0ЛН = оП0ГЛ + орасс » орасс = о0. Таким образом,
j(x) =]ое~п°ох,
где /0 — поток нейтронов на входе. Перепишем это выражение в дифференциальной форме
dj = —/0 по0е~п°ох dx.
Таким образом вероятность упругого рассеяния нейтрона в слое толщиной dx на расстоянии х от входа в защиту
dw =
dj
io
= паое п°ох dx.
I ~' X
После столкновения нейтроны проходят путь ---------. Определим среднее
(cos 0)
значение косинуса угла рассеяния, имея в виду замечание в условии задачи, что в системе центра масс угловое распределение упруго рассеянных нейт
298
ронов изотропно. Как показано в предыдущей задаче 8.5, в этом случае в лабораторной системе отсчета do(0) = A cos 0 dfi. Таким образом,
л/2	л/2
SC 2
cos в cos 0 d& I cos 0af(cos0)
/	__ о	_ о	_2
(COS 0) = -75------= -75--------- =
'	'	л/2	л/2	2
cos 0 </Q cos 0 </(cos 0)
о	о
dw(x) =noQe naoxdxex.p
Вероятность выйти из защиты без какого-либо взаимодействия после рассеяния в точке, находящейся на расстоянии х от места входа, 1-х (cos 8)
Искомая вероятность пройти защиту, испытав лишь одно упругое столкновение,
I	-и 3 // V,	3	. I 1
f -паох пао2(1-х) ,	~2по01 (	_20	. , Л_о
w = \ по0е е	dx = по0 е 2	\ е2 dx&2е = 4 -10 у.
о	о
8.7.	i2Zk^nod= 10-5. jo
8.8.	арасс = 0,9; апогл = 0,022.
8.9.	у = ехр	* 1.35, где о = орасс + спогл = 1,64 бн.
8.10.	т =-----= 2,3-10-4с. Отметим, что в области справедливости
2р_Уд ov
закона Бете о = опогл ос 1/v, время жизни нейтрона в среде не зависит от его энергии.
. \2
8.11.	<£ = <£„ -?0,г4-| ъ 0,14 эВ, где <gn = 0,025 эВ.
8.12.	8 = 1 - ехр (-	» 96%.
\ к? )
8.13!	Решение. Энергия связи 3Не равна 7,7 МэВ, а 4Не — 28,3 МэВ, т. е. реакция в принципе экзотермическая. Однако трехчастичная реакция невозможна, как это имеет место при фотоэффекте на свободном электроне, в силу законов сохранения энергии и импульса
mv2 । Q = МУ2.
2 У 2 ’
mv = МУ.
Поскольку М «к- 4m, то v = 4V. Тогда
16У2+ 22=4У2, 5У2 + -2. = О.
т	т
Из последнего равенства видно, что реакция невозможна при Q > 0.
8.14.	Условие резонанса 2Яя = и — =	&п > 0 (энергия от-
2	V2mN(£„ + U)
считывается от потолка ямы), откуда и2-0,864 МэВ > V. Минимальное целое
299
и, которое удовлетворяет этому условию, есть п = 7, при этом £п = 2,34 МэВ.
8.15!	, А -------» 44 см.
фф Р^а^З °расс°погл
Решение. Длина свободного пробега частицы X = —. В данном случае па
существуют два механизма взаимодействия нейтронов с ядрами углерода — рассеяние и поглощение (захват). Следовательно, имеются две длины свободного пробега. Время пробега до захвата (П01Л = ^погл. Искомый эффективный v
размер области, занимаемой нейтронами, определяется временем /погл £эфф =	’
где коэффициент диффузии D в свою очередь определяется рассеянием нейтронов, т. е. D = (1/3) А.рассц. Подстановкой получим
^эфф =	=
2 °погл°расс
-1/2
1 погл расе
Плотность атомов углерода и = рА% /А. Таким образом,
2
,	_ AV2
эфф М /	X1/2
p/VA(oрасе °погл/
107 см.
8.16.	Условие пропускания: X > 2d, где X — длина волны де Бройля для бериллия. Отсюда ^rn = -уйг 5-10~3 эВ.
р 2md
8.17. а =
2
= 0,16%.
8.18.-------------— =----------—	йг 34, где <£г = -Ц-; <£Bi = -А-, а V > 2dc и
<%	(<£с + <ЕВ1)/2	С 2znXc 2m%|i
лВ1 > 2rfBi (нейтроны с длинами волн от Хс до лВ1 рассеиваются в висмуте
и выходят через его поверхность).
С 1 n	2К^—UN f	г л
8.19.	гкр =	— при условии, что f < 0.
8.20.	ф0 Vl -n2 = Х1/-
2	Я
8.21.	1 — и2 = — Р^а^ _ 123-10“5, 0 йг V1 — п2 12' (угол сколь-1ИП^>21 жения).
2 2 .
8.22.	/ = - * = - АА-« —0,78-10-12 см.
NX 4xh pNA
8.23.	Сечение упругого рассеяния нейтронов о = — *n = 5,45 бн, где пм — Р^а^рь “ концентрация ядер мишени. При упругом 5-рассеянии о = 4л|/|2, откуда R3 = у— = 6,6-10~13 см. Доказательство того, что проис-
300
ходит s-рассеяние, т. е. рассеяние с нулевым моментом импульса, основано на подсчете квантового числа I в условии pRa = y/2mn&Ra =	+ 1) , откуда
I ~ 0,4, т. е. в самом деле преобладает s-рассеяние.
8.24.	Н = |	» 0,034 мм.
I 4mv2g ] '	2
8.25.	/=-	-8,4-10~13 см.
2лЙ рЛ^А
8.26!	Р ешение. Скорость счета, т. е. число нейтронов, попавших в детектор в единицу времени, есть произведение плотности потока нейтронов / на площадь детектора. Поскольку распределение нейтронов в реакторе максвелловское, то
/
Д/(п) = v dn(v) = Ли-!!2 ехр I — I dv,
где А — нормировочная постоянная.
2
Для ультрахолодных нейтронов = т* = 6-10~3 К «Т, поэтому с 2к
хорошей точностью экспоненту можно считать равной 1. Тогда dj(v) = = Av3 dv = A'S dS, где S = mv2/2. При «падении» нейтронов вниз их скорость увеличивается и может превысить граничное значение огр, вследствие чего такой нейтрон покинет трубу и не попадет в счетчик. Предельная энер-mv2
гия S’ = <Drp — mgH = —— mgH. Суммарная плотность потока нейтронов
£	,	I /	2	\
7=A'$<g</<g = ±<g'2 = A	.
о	2	'
Счет прекратится при <§' = 0, откуда предельное значение
Н =
= 5 м.
/2	\	2
8.27.	j ос & - mgH ; Нгр =	= 5 м.
8.28.	S = — =0,8 мм2 VT
8.29.	а = Ар (sin i)3 = 3,4-10~8. »л
8.30!	j « 18 900 нейтронов/с.
Решение. Чтобы понять, как ведут себя нейтроны с заданной энергией = 10~7 эВ в меди и алюминии, вычислим длину волны таких нейтронов:
г = -Ж = 4,38 м/с; л = — = 9,05-10'6 см.
' m	mv
Предельные длины волн для нейтронов в меди и алюминии
А. = II л
гр ’WT ’ Р^а 1/1
6,9-10-6 см (Си), 12,2-10~6 см (А1).
301
Таким образом, длина волны нейтронов данной энергии удовлетворяет неравенству
Это означает: а) б)
1 Си д - т, А1 АГр	< АГр.
стенки медной сферы для этих нейтронов непроницаемы;
по алюминиевому нейтроноводу пойдут лишь те, что падают на стенку под углом больше критического
Рис. 180
I X2
<r>„ = arcsin п = arcsin \ 1 — —= 42, Г. р V	<*)
Поток нейтронов, падающих на мишень, Ф = (/ц )S, где S = лг2 — площадь детектора, а (/ц) — тангенциальная по отношению к оси нейтроновода компонента плотности потока нейтронов, усредненная по телесному
углу О (рис. 180), предельное значение которого
О' = 2л(1 — cos 0кр) = 2л 1 — cos — <ркр
Итак,
nov ( cos 0	( d<f> (
0 ' 4л 4л ' J
2п 3i/2“‘₽Kp
1 cos 0 sin 0 <70 = о
о
= ^sin2 Т-
4 Ь
нейтронов на мишени
2
— C0S Ткр-
Таким образом, искомый поток
Ф = S cos2 ф =	П(а1™ cos2 фкп % 18 900 нейтронов/с.
4	кр 4 и I ffi КР
2
8.31. а =	0,076. Как видно из рис. 181, по нейтроноводу
2л АЬ
пройдут лишь те нейтроны, которые падают на его поверхность под углом 0 0кр. Относительное их число а, очевидно, равно отношению h/b. Кроме того, приведем очевидные соотношения (г — угол падения):
о
1 -sin20 = 1 -^1Д.
кр	л
sin2 i — cos2 0„n = и2; кр
8.32.
8.33.
есть 1 —
4dm$$
R «к —75 м.
Л Хр
Отличие показателя преломления от 1
п = jVaP<2^- = 4,74-10~6. Тогда фокусное
2л А
расстояние одного отверстия F j =---«
2(1 и)
10,5 м, фокусное расстояние системы из 10 отверстий F к 1 м.
302
8.34! При облучении до насыщения число распадающихся в 1 с атомов йода (т. е. активность препарата) равно числу атомов, образующихся ежесекундно, т. е. dnldt = А = 107 расп/с. Число атомов йода при активации до насыщения равно
Анас = v “ Ю7 = 2,16 - 1О10 атомов.
нас X In 2
Число атомов йода через время t после облучения
№^нас(1-е-^)
или при малых t (t<sT)
N = NHac X/ = nt.
При t = 1 мин
N = At = 107 - 60 = 6 -108 атомов.
При t = 25 мин
N = Анас (1 — e~M) = 1,08- IO10 атомов.
8.35!"*(10Г1^	* =0,53.
A (1 ОТ 1/2)	X + /о2
Решение. Пусть No — исходное число ядер 197Au, N* — число ядер 198Au. На изотопах золота идут следующие реакции:
п + 197Аи	198Аи + у;
198Аи -£► l98Hg;
n + 198 Au —► 199Au + у.
Уравнение баланса для ядер 198Au имеет вид:
^-ato1jNo-lN*-02jN*.	(*)
Обратим внимание на то, что в правой части в первом члене Oj ]'N0 вместо текущего числа ядер 197Аи поставлено их исходное число No (этим и обусловлен значок приближенного равенства). Простая оценка показывает, что за t = 27 суток (/ = 10Т1/2) исчезнет всего
/O110T1/2se2-10-3 = 0,2% ядер 197Аи, что и обусловливает справедливость сделанного приближения.
Вычислим постоянную |3_-распада ядер 198Au
Х = — = 2,97-10“6 с”1,
T\ii
а также второй коэффициент при N* в уравнении (*) о2/ = 2,6-10“6 с-1.
Решение дифференциального уравнения (*) имеет вид
JV*(O = /°?f° U ~ехР [-(X + /а2)(]}.
X+JO2
303
Вычислим показатель экспоненты
(X + /о2) 10Г1/2 яг 13.
Таким образом, 1 — е-13 «s 1. Отсюда следует, что
X + /02
Если бы за счет радиационного захвата нейтронов не «выгорали» ядра 198Au, то
л	л
Искомое уменьшение числа образующихся ядер 198Hg равно
ЛГ*(10Г1/2) ~ X _ 0 53
А(107\у2)	Х + /<>2
8.36._____N = Ао(1 — е~М) (1 + е~'г) = 1,4-1014 ядер, где 7 = 24 4; ( = 8ч (рис. 182). При непрерывном облучении N = Ао(1 — е~М ), откуда __________ 1 ,-__ I . г-г = - In	= 14,5 ч.
X TVo-W
8.37.	—— = (1 — е (1 — е XG) = 0,55, где = ппе Мг. X,max v	' v	>	’	1	О
о ю /	1п(1 + ао0/оф)	2
8.38.	/р =--------2- = 4,7 г/см\
ОоЛ^А
8.39.	За 6 месяцев накопится 1,08-1014 протонов < 1,8 • 10-10 г).
см-2-с-1.
8.40. Ар = }п
где тп ss 940 с — время жизни нейтрона.
8.41!	о = YA'	°-О4 бн.
Рв * в^А
Решение. По определению сечения ядерной реакции а _ dN/dt jN м
304
где
(*)
где dN/dt — число актов ядерного взаимодействия в единицу времени, [ 1 /с]; j — плотность потока частиц, облучающих мишень [ 1/см2-с]; NM — число ядер мишени.
Выход протонов определяется как
_ dNldt Л	jS ’
S — площадь поперечного сечения пучка. Тогда
>1 =	= опм,
О
им[ 1/см2] — поверхностная плотность ядер мешени.
Иногда эту же формулу записывают в несколько ином виде:
А
— = сшп им, о	П М’
пп — число частиц пучка, приходящееся на 1 см2 сечения пучка, А —
где
где
число прореагировавших ядер мишени (число происшедших реакций).
Пробег а-частицы ограничен из-за потери энергии на ионизацию атомов. Очевидно, что потери пропорциональны плотности вещества, т. к. имеется приближенная пропорциональность между плотностью и порядковым номером Z элемента, а произведение пробега частицы I на эту плотность есть величина постоянная, практически не зависящая от рода вещества, а только от начальной энергии частицы. Таким образом,
1ъ Рв — Раг
Использую помеченные соотношения (*) и (**), получим

а = J_ = Л = Л Дм пм ,	ПА1/А1’
~Г~ ‘А|
где иА1 — концентрация ядер в алюминиевой мишени в [см-3], /А1 — пробег а-частиц в ней. Однако в условии задан пробег/в — в воздухе. Подставляя (**) в выражение для о, получим
о=
^А1 рв / в
Vfo = 4-10-26 см2 = 0,04 бн.
Рв^в^А
Здесь использовано, что рА1 = тА1 иА1, где тА1 — масса атома алюминия. Плотность воздуха при нормальных условиях подсчитывается по известной формуле для идеального газа
Рвоз = ^^ 1,29-10-3 г/см3.
К1
8.42.	O(<g)=l^. п0
8.43.	$ = е№^- = 1,96 А. " 2/га
8.44.	— = е-(н2_И1)^ При х = 5 см —
Ф1	н	Ф|
1,5.
305
8.45.	A' = ЗА = ЗА.
8.46.	— = exp I — 2/>0 'Va oj як 1,2-10 6, где ci = лгА = nri АУ? (это ге-
#0	\	(*«	/
ометрическое сечение неупругого процесса поглощения, и поэтому дифракционную упругую добавку учитывать не нужно), Ро — нормальное атмосферное давление, ц — молярная масса азота.
8.47.	Z =———у яь 148 см, ZN =----------—-------7 яг 24 см. (См. также
8лрЛ^дГр	2лрДА (rN + гр)
комментарий к ответу задачи 8.3 о дифракционном удвоении.)
8.48.	°погл ~ у (2ЙРЬ - *d)*d = °’385 бн-
8.49.	Тп » ^ + AfCB =6,7 МэВ; TLi = <S + Д<£св - Тп = 1,1 МэВ, где n l+Mn/MLi	> 1л у св п
Д<£св = <02 — <§1, Ми — масса ядра 6Li.
(4л1п —	э	„
8.50.	Т„ = -—?----— с2 = 0,31 ГэВ.
Р 2(тр-тя)
* he
8.5К ф =	рад.
Решение. Энергия связи нуклонов мала по сравнению с энергией падающих на мишень фотонов. Поэтому продольный импульс нуклонов можно оценить как рц	Поперечный импульс нуклонов обусловлен движени-
ем нуклонов в ядре. Импульс нуклона в ядре оценим из соотношения неопределенностей
р± « Д/>~-^-~ 100 МэВ, с — скорость света.
Таким образом, угол рассеяния нуклонов в пучке по порядку величины равен
ф як 0,4 рад.
₽11
8.52.	ро* = що* с — = 1,49	, а « к 0,15 рад.
2<£	с	Р
8.53.	а) При реакции поглощается энергия (см. табл. 7 в конце книги) Q = - 931,5(7,016004 + 1,007825 - 7,016930 - 1,008665) МэВ = 1,645 МэВ
б) Из закона сохранения энергии и импульса для неупругого процесса найдем, полагая mn = тр = тВе /7 = ти /7:
1)	в системе центра масс
о
2) в лабораторной системе
306
где <£{; и <Cn — энергии нейтрона в системе центра масс и лабораторной системе, <££, <Ср — то же для протона; ас и а — углы между направлениями скорости протона и нейтрона в системе центра масс и лабораторной системе.
Из формул ясно, что минимальная энергия протона (порог реакции) в системе центра масс равна = (7/8) Q= 1,44 МэВ, а в лабораторной системе <Ср = (8/7)Q = 1,88 МэВ.
8.54.	w ss = 7 • 10~6, где — масса нуклона. Нейтрино взаимодей-mN
ствует только с нейтронами ядер.
8.55.	^ 95-103 ГэВ.
pRA
8.56.	Ослабление потока нейтрино	= 4,2-10-4.
Ф 2А
8.57!	Р ешение. Сечение взаимодействия нуклонов убывает с ростом скорости и стремится к «геометрическому» сечению о~ 10-25 см2 (радиус нуклона гр st 0,8-10-13 см). Длина пробега при п = 1 см-3
X = — ss 1025 см fts 107 св. лет по
(1 св. год «s 1018 см). Для массивных частиц в рамках геометрической модели рассеяния с~10~24см2, а длина их свободного пробега X — 106 св. лет. Т. о. прилет массивного «гостя» с такого расстояния крайне маловероятен. Заметим также, что полет комет по сильно выраженным гиперболическим траекториям не зафиксирован в истории астрономии.
£2
8.58.	М = —-—— st 546 т, где L — расстояние от Солнца до Земли, ДсЦТ]
ц — молярная масса СС14.
8.59!	о = 3-10"46 см2.
Решение. Длина свободного пробега X электрона в ядре, сечение взаимодействия о и концентрация протонов пр в ядре связаны известным соотношением ХсШр = 1. При этом X = 2vt, где т — время, проведенное /(-электронами в ядре за т0 = 32 дня, коэффициент «2» учитывает, что на /(-оболочке находятся два электрона. Таким образом, искомое эффективное сечение
о = —!—.
2п v т
Концентрация протонов в ядре
п„ = . г = 5,3 • 1037 см~3,
Р 4	3 .
j лгоА
а время оценим как
307
где Ля=1,3-10 13 А^3 = 4,3-10 13 см, а радиус орбиты А-электрона
г, = Гб =3,1- 1О~10 см. Таким образом, т «к 0,0074 с. z — 1
Оценку скорости А-электрона проведем, исходя из соотношения
2
^L=Ry(Z- I)2,
откуда
v = (Z - 1) = 3,7-109 —. » т	с
Таким образом, искомое сечение
о = —~ з.|0“46см2.
2нит
8.60	. RPb = r0 А1^3 «а 7,7-10-13 см. Для А-оболочки мюона в атоме РЬ г = гБ ~ 3-10~13 см < RPb. Мюон взаимодействует с протоном по схеме
+ р -» n + v ; о «к 4лг0А Ю-41 см2, где а =	= —5—.
332-ста	Лс 137
8.61	! Ослабление потока у-квантов /(£) = j[O)e~naL будет малым при условии noZ,<e 1, где п — концентрация «поглотителей» — ядер 119Sn, о — сечение поглощения. Самопоглощение мессбауэровских квантов носит резонансный характер. Из формулы Брейта—Вигнера для сечения упругого о о	4л 4лЛ2с2 о	1 27*+1
процесса при = <Ьрез получаем о = g	= —р—. Здесь g = -------------
статистический фактор, учитывающий число начальных (возбужденное ядро с моментом /*) и конечных (ядро в нормальном состоянии с моментом J плюс у-квант) состояний. Здесь 2 = 2J + 1 — число возможных проекций момента у-кванта. Для ядра 119Sn /* = 3/2, J = 1/2 и g = 1. Кроме то-
Ад	1	ё2, И	_5
го, п = р---£/. Отсюда	------=1,24-10 см, где ц —
I1	по 4лЙ с р Ад г/
молярная масса BaSnO3.
8.62.	NAr = ^С1а (1 — е~'()	30 ядер, где АС1 «к 2,2 • Ю30, X = «к
х К	’	Ti/2
«2,3-Ю“7 с"1.
8.63.	NGe » 5 ядер.
8.64.	^2. ~ 106. Здесь сечение поглощения в центре резонансной ли-°о
нии определяется формулой Брейта—Вигнера для неупругого поглощения Срез = лЯ2 = Х2/4л.
8.65.	апогл = /0~./погл = 1 - e-n^ad	0 j.	=	=
П0ГЛ J0	раСС 70
= 1 - e-'Vw1' « 0,37.
308
8.66. ctj
7	9
Ni (kT)
— °2-------2“
(2Po)
11 бн.
c	it9Kp/X -TV2a2 + Wi<Zi	16
8.67.	аэг =—------------------=-2,6-10 ° см. При учете рассеяния
ЭЛ	-2^2-z^]
?	, Nat? ZNa3„t?
нейтронов на электронах, показатель преломления п = 1 —------—---------.
л	л
Кроме того, в данной задаче 02р як — не-
возможны два различных механизма взаимодействия, приводящих к рассеянию нейтронов на электронах. Еще в 1947 г. Ферми указал на воз
можность существования специфического взаимодействия между нейтроном и электроном, не сводящегося к взаимодействию между магнитными моментами этих частиц. Появление этого взаимодействия следует ожидать, исходя из представления о том, что ядерное взаимодействие есть результат обмена виртуальными пионами между нуклонами, так что часть времени нейтрон
проводит в диссоциированном состоянии п«=^р + л-. Тем самым должны возникать силы притяжения, обусловленные электростатическим притяжением между электроном и протоном. Как следует из эксперимента, длина рассеяния очень мала и поэтому эти силы должны быть весьма короткодействующими. Нейтрон состоит из трех заряженных кварков, и это взаимодействие фактически есть взаимодействие между составляющими нейтрон кварками и электроном.
Второй механизм — это так называемое фолдиевское взаимодействие — был получен и рассчитан Л. Фолди. Не вдаваясь в подробности, отметим, что взаимодействие медленного нейтрона с электростатическим полем возникает в результате учета квантовых эффектов и связано с «дрожанием» нейтрона в области размером в комптоновскую длину волны виртуальных пионов. На таких расстояниях нейтрон уже нельзя считать точечной частицей.
8.68.	т ^пОполн = 4	-15
2ЙГП
8.69!	& 1, т. е. сечения примерно равны.
ОП(^2)
Решение. Парциальное сечение нейтронного распада составного ядра
= о
о
п
Рполн
Pfl	Гп
--------О —, гп+г7---г7
где сечение образования составного ядра ос = лЛ2Р, а
4 А ос VS"
к’
вероятность проникновения нейтрона
В = 4 кк\
(к+к')
в тяжелое ядро.
Здесь к = 4V2m<£; к' = 4-V2m(t/n + <о) »к-, А =	—. Вероятность ней-
ft	ft	v2m£
трону покинуть составное ядро также пропорциональна D. Таким обра-
зом, оп ос л/.2В2 ос — <£ = const, откуда и следует, что сечение распада со-£
ставного ядра по нейтронному каналу от S не зависит.
309
§ 9. Деление ядер. Реакторы. Термоядерный синтез
9.1! Решение. При делении ядер на два равных осколка Д<£п = £п(21/3 - 1), Д<£кул = £кул(2-2/3 - 1),
„2
где £= -17,8А2/3 [МэВ], = -0,71 4^ [МэВ].
11	луЛ	д! /5
Деление энергетически выгодно, когда Д<СП + Д<Скул > 0, т. е.
- |<£п| (21'3 - 1) + |<£кул| (1 - 2-уз) > 0.
Отсюда находим
J-^L> 2'/3~‘ = 0,70, или 17,6. |<£п|	1-2’2/3	А
2	2	2
9.2	. 1) — > 17,62 + 129,4A-1’42; 2) —> 17,62 + 564,8А-1’42; 3) — А	А	А
> 17,62 + 305,9А-1’42.
Наметим путь решения задачи. Энергия связи четно-четного ядра 2	2
<£СВ(А Z) =	- <£3	- <£4	- ^5а-з/4,
где <gj = 15,75; <£2 = 17,8; <£3 = 0,71; <£4 = 23,7; <£5 = 34 [МэВ]. Энергия свя-
зи половинок ядра	, . 2/3
Of {a z\ о А о сВ^2 2)	1 2	2 — 1, если	А \	3 (А/2)1/3 ^=2р; |=2*,
где 5 =  0, если + 1, если	Т=2р + *’ у = 2р; |=2*+ 1.
2	/ \ —3/4
<^-Z) А ,6
А/2	5 2 I
Условие распада
-«„><>•
Далее легко получить приведенные выше ответы.
9.3	! Р ешение. При деформации формы ядра изменяются энергия поверхностного натяжения и энергия кулоновского взаимодействия. Если Д«£	+ Д<§п„„ > 0, то энергия в конечном состоянии больше, и исходное
ку л	nuts	1
сферическое ядро устойчиво:
А^кул = £ЭкЛуЛл - ^кулР; А^пов = ° («ЭЛЛ - 5ШаР),
где о — коэффициент поверхностного натяжения ядра. Будем статически «вытягивать» сферическое ядро радиусом г, превращая его в эллипсоид вращения с полуосями а и Ь. Введем эксцентриситет меридионального сечения
у а —Ь
£ =---------.
а
310
Тогда а = r(l — г2) *^6; ab = г2(1 — е2)1^6;
g=3g(l-e)z 1п Х + г. 5 г 2г 1 — г’
.. _ 2.-1/6 / _____ \
5 = 4лг21----L2— у 1 — е2 + — arcsin г .
2г (	£	/
При малых деформациях г «0. Эти выражения можно разложить в ряды и мы получаем:
£ЭЛЛ = £шар | 1 I -2_ е4] £ЭЛЛ = £шар И _ J_ кул кул I 1 ' 45 г пов пов I 45	I '
Отсюда следует условие устойчивости ядра £шар/£шар 2 кул' ПОВ
Использовав формулу Вайцзеккера 2
<SnoB = 17,8А2/3 [МэВ] и £кул = 0,71 [МэВ],
легко получить искомый критерий устойчивости ядер к статическим деформациям формы
Рассмотренная задача — модельная, потому что большинство тяжелых ядер имеют несферическую форму.
Реально, конечно, процесс деления ядра — динамический. При взаимодействии нейтрона с ядром возникают колебания формы капли практически несжимаемой ядерной жидкости. Частота этих колебаний определяется соотношением и При	< 2 частота становится мнимой (коле-
кул 11UD 1 кул HUB
бания апериодическими), и амплитуда колебаний нарастает со временем. Это приводит к возникновению перетяжки, и ядро делится на два осколка.
2600 бн (тепловые нейтроны),
4,1 бн (при <£>=10 кэВ),
где к = v'2m<3, к' = — у/2т(& + t/0) . п	h
Решение. При энергиях тепловых нейтронов дебройлевская длина волны нейтрона А = Й/V2т& = 3-10~9 см»Ки = 8-10~13 см и сечение образования составного ядра о лЛ2£), где D — коэффициент прохождения нейтронной волной границы ядра. Коэффициент прохождения D определяется соотношением (см. задачу 3.25)
п — 4ЛЛ 4£
и	I Q ’
(к + к ) к
где волновые числа кик’ определяются как коэффициенты в уравнениях Шредингера для областей вне ядра и внутри ядра (рис. 183)
£ = |V2m£, к' = ± V2m(^ + (/0).
9.4! о =	« J
кк
311
Искомое сечение взаимодействия
2
О яг Д— Яг-?---яг 2600 бн.
kk mVSUo
Для нейтрона с энергией 10 кэВ Л яг- 3-10-9 см, и искомое сечение а яг 4,1 бн. Как видно из формулы, при данных энергиях а 1М1Г а 1/п. Такая зависимость сечения деления от скорости нейтронов называется законом Бете. Здесь он имеет место, поскольку рассматриваемые энергии лежат далеко от об
ласти резонансного поглощения нейтронов ядрами 235U (1 ч- 100 эВ).
9.5.	+ Л)2О = 2,3 бн, где D = —яг 0,7. Относительная
Ui+Лг) вероятность деления к полной вероятности реакций, идущих через составное ядро, =	0,2.
Гсост °C
9.6.	N = —_
1 -кю
9.7.	= °расс------------. В данном случае = 0,75 < 1, что и требо-
®погл ®погл “Ь ®расс
валось показать.
9.8.	P(t) = P(0)ktlx яг Р(0)е‘ln яг Р(0)еРг/х; Т = —.
Р
9.9.	При р < р. В отсутствие запаздывающих нейтронов к — [3 < 1 реакция только на мгновенных делительных нейтронах затухла бы. При р > (3 реакция может развиваться и без запаздывающих нейтронов.
9.10!	R =	— L = 4 м.
'к„- 1
Решение. Полное число нейтронов
\ "о (1 ~ 4лг2 dr = M°R
3	R	3
0	'	'
где п0 — концентрация нейтронов при г = 0. Полагая L<szR, подставляя числовые данные получим, что из тонкого наружного слоя реактора, со-? НпБ	ПпЬ
держащего 4nR L----- нейтронов (где - — средняя плотность нейтронов
2R	2R
внутри этого слоя), примерно половина этих нейтронов уйдет из реакто-ра, а половина останется. За это же время внутри реактора появится (к. — 1)W новых нейтронов. Таким образом,
л«п0Д2 = | nn0R\k^ - 1),
откуда и следует ответ R =
9 п. г _ Т1Т2 in (Т2/Т1) (Т2-Т0 1П2
-----L = 400 см.
Л„-1
г 11 час.
312
Решение. Пусть при t = 0 имеется No ядер йода I, а ядер ксенона Хе — ?/2(0) = 0- Процесс p-распада I описывается уравнением
dNi = -NjXj dt,
откуда JV] (t) = Noe~^{, где Xj — постоянная распада ядер йода. Ядра ксенона не только постоянно образуются из йода, но и одновременно распадаются с постоянной распада Х2. Запишем уравнение этого процесса и его решение:
dN2 = ~N2X2 dt + dt;,
N2(t) = ае~Ы + Ье~^г*.
Поскольку Х2(0) = 0, то а = —b, N2(t) = 6(е V — е М). Подстановка IV j (t) в дифференциальное уравнение для N2 дает
6(Xj - Х2) = No\, откуда b = -У-)-..
Л1 — Л2
Таким образом,
W2(0 = (e“V - e“v) •
*i~ *2
Условие максимума числа ядер ксенона = 0, откуда In = (X. — Х2)(*. at	Л2
Таким образом, искомое время
г _ Т1Т2 In (Т2/Т1) и (Тг-Тр In 2 ~
час.
9.12!	t = 3,4-107 с л 390 дней.
Решение. Полное нейтронное сечение ot 239Pu складывается из сечения деления cip и сечения радиационного захвата нейтрона оп1 (переход в 240Ри), т. е. <з( = Оц + оп1 = 1008 бн.
Пусть плотность потока нейтронов, облучающих ^Ри, равна / [см~2-с-1]. Тогда число ядер Л/, 239Ри убывает по закону
dNl  м
4r=~JOtNl.
Уравнение, описывающие накопление ядер W2 ^Pu с учетом их распада имеет вид:
dN2
~ Jan2N2-
Решение этой системы уравнений (см. задачу 9.11) есть
Ni = Nio ехР (_W); n2 = °nlNl° ГехР (-/°/) “ ехР (“AW)] • °п2 —°r L	J
Требуемое отношение концентраций
- 0.4 -	- ехр | -2(Ст„2 - «,)< 1}.
Х239	Xj Оп2 —О( 1	I
313
откуда
-Л°п2 -	= |п 1-0.4
у	°nl
Плотность потока / находится из энергетических соображений. Мощность
реактора W равна (JV3 — число ядер горючего)
W = е jof3N3 = е jtifjMN/JliS,
откуда искомый поток нейтронов
235 Т eopMWA
3-1013 см“2
с *.
Время наработки необходимой концентрации ^Ри равно
In [1 +0,4 (O(-on2)/oniJ	7
t =--------------------= 3,4 - Ю с л 390 дней.
/(о,-оп2)
9.13.	= °4Т1/2 ду 3,3-10~16.
Пц In 2
9.14.		=------» 0,63, где Л1Т = 235.
SoM H.Q
9.15.	t =----------In	«к 1,7-109 лет, где Ту = 4,5• 109 лет,
(Л-Т2)1п2	^20 ЛЧ/	1
Т2 = 0,7-109 лет — периоды полураспада 238U и 235U.
9.16.	/ = —У як 6- 1О10 см~2-с-1; п =	= 0,045, где Q = 200 МэВ —
4лХ22	Q
энергия, выделяемая при делении ядра урана.
9.17!	Земля практически не поглощает антинейтрино, поэтому у =
= -6И\ як 6-105 см-2-с-1.
24лйз
Решение. В соответствии с законами сохранения электрического и лептонного зарядов антинейтрино взаимодействуют только с протонами:
Ve + р -» п + е+.
Реакция взаимодействия ve с нейтронами невозможна в силу закона сохранения лептонного заряда. Наибольшее поглощение толщей Земли будут испытывать антинейтрино, проходящие внутри Земли максимальный путь, равный диаметру Земли. Концентрация нуклонов п = p/mH = рЛ?А/цн, где тн — масса нуклона; цн = 1 г/моль. Поскольку Земля состоит в основном из элементов с A S 60, то числа протонов и нейтронов примерно равны, т.е. пр = п/2. Тогда число протонов в «столбике» длиной 2R3 с поперечным сечением 1 см2
N =„p2R3 = 1^2R3=P^ р р 3	2 Ин 3 Ин
Уравнение, описывающее убыль антинейтрино из потока,
dN = —oN dNn.
V	V р
314
Интегрируя это уравнение, получим
N = NQe~°Nt’ = Nq exp 1 — о Р^А^31 v	I Нн J
где Nq — начальный поток антинейтрино. Поскольку показатель экспоненты
ор"А*3 к 1,4-1О-1о«1, Ин
то N. ss Nq, т. е. Земля практически не ослабляет поток антинейтрино, т. е. поглощением антинейтрино Землей можно пренебречь.
Полный поток антинейтрино на поверхности Земли от распада распределенных по объему ядер тяжелых элементов равен потоку от всех распадающихся ядер, помещенных в центре Земли. По существу это аналог электростатической теоремы Гаусса. Поэтому
• _ 6WIQ _ , , п5 нейтрино
/	2 U V 2	*
4лЛз	см • с
где W = 15 ТВт — мощность, выделяемая подземными источниками деления, Q = 200 МэВ — энергия, выделяющаяся при одном акте деления.
9.18.	т = 282,6-103 т естественного урана.
9.19.	v =	3,5-109 см/с, где Z, М, Ля — порядковый номер, мас-
са и радиус ядра урана.
9.20!	1) nt = 1013 см-3; 2) q = 1,25-1014 с-1 -см-3; ЗПГ = 99,6 Вт/см3.
Решение. Отметим энерговыделение при указанных реакциях синтеза
ядер
d +
t + Р, Qi = 3,94 МэВ;
3Не + n, Qi = 3,26 МэВ;
d + t^4He + n, Q3= 17,6 МэВ.
Первые две реакции (d, d) идут с равной вероятностью в силу зеркальности ядер t и 3Не. Изменение со временем концентрации частиц в результате взаимодействия определяется скоростями реакций (d, d)H (d, t) и скоростью поступления ядер извне.
Скорость реакции — это число столкновений частиц сорта 1 и 2 в единицу времени, приводящее к реакции. Пусть /^(Vj) и /2(v2) — функции распределения частиц сортов 1 и 2 по скоростям. Будем считать, что эти функции нормированы, т. е. \ /(v) dv = 1. Тогда каждую секунду в каж-з -	3
дом смэ объема плазмы число актов взаимодействия частиц, имеющих скорости от Vj до t/j + dvt, и от v2 до «2 + dv2 равно
^12 = ni/i(V1)n2/2(V2) 1 Vji — v2| о( I Vjl — v2| ) rfv, dv2,
где ni и n2 — плотности частиц, a(v) — сечение реакции, зависящее от относительной скорости частиц, v = Vi — v2 (рис. 184). Следовательно,
^12= П dvl ^v2«l/l(Vl)«2/2(V2)w°(r) [СМ-З-С-1].
315
считал, что плотность частиц и п2 неизменны, получаем
JV12 = ni«2av, где av = dvl dv2 f2(v2)va(v).
Запишем уравнение для изменения концентрации ядер дейтерия nd со временем
dttd ~ (nd-l)nd ------- -------- ,
= -2------2---°”dd “ "d«tOT’dt + Ч-
Здесь первое слагаемое описывает убыль ядер дейтерия из-за столкновений друг с другом. Одно ядро d имеет (nd — 1) столкновений (в расчете на единицу объема); nd ядер имеют nd(nd — 1) « nd столкновений. Для реакции (d, d) безразличен порядок дейтронов в паре, поэтому число взаимодействующих пар равно nd/2, и в каждом акте реакции исчеза ют два дейтрона. Таким образом,
3nd 2--------- --------
-^-= - ndOT;dd - «d«tOT’dt + Ч-
Аналогично, для ядер трития можно записать: dnt	---- 1 nd(nd-l)-------
— = -ntndavdt + -------------avdd.
Во втором слагаемом первый коэффициент 1/2 учитывает вероятность получения трития в результате столкновения пары дейтронов. Таким образом, dnt ---------------------------------- . 1 2----
— = -nt«dO!;dt + 7 «dOTdd-
В стационарном состоянии производные nd и nt равны нулю, и чаем уравнения баланса
мы полу-
Ч = ndovdd + «dntO!;dt .
I «d^Tdd = «d«t^ •
откуда вычисляем стационарную концентрацию ядер трития
п =1„	Ю13 см-3,
‘	4 d <ovdt)
а также интенсивность поступления в зону реакции дейтронов от источника
внешнего
быть вы-
9 = 1	'.25-10'4^%
4	с-см
Выделяющаяся в термоядерных реакциях мощность W может ражена через скорости изменения концентраций ядер дейтерия по каналам (d, d) и (d, t)
2 \	/ dd \	/ dt
316
где Qdd и Qdt — энерговыделения в реакциях(d, d) и (d, t). Коэффициент 1/2 учитывает, что для реакции (d, d) нужно два дейтрона. Поскольку эта реакция идет с равной вероятностью по двум каналам, то Qdd =
=--------, Qdt = Q3. Окончательно,
W = п% ov^ 61 + 62 + 63 = 9 96 1()8 _эрг_ = 99 6 _Вт_ 4	с см	см
9.21.	Число реакций, происходящих в 1 с в 1 см3, равно п2а (y)v/2, где черта означает усреднение по всем значениям относительных скоростей атомов дейтерия (см. задачу 9.20).
9.22.	1+ = 21отТ/|3’94 + 3’26| = 2,88-107 -^Ш_=2,88^+ (см. также за-9 UU I э I	3	3
z	Х /	С-см	СМ
дачу 9.20).
2
9.23.	W = «d«t<wdtQdt = -у °«dt2dt’ гДе ”d = nt = п/1- <См- заДачУ 9.20). N = WV.
При кТ = 1 кэВ W = 4,36-10~5 Вт/см3, N = 21,8 кВт.
При кТ = 10 кэВ W = 0,422 Вт/см3, N = 211 МВт.
9.24.	т. > —1-?-^.
OVdtn6dt
9	25 W = W —	— о И Я Вт
У.^Э. ИУВЫД ^нагр	и,43	3.
пт	СМ
9.26.	пт>2^Т як 3-1014 с/см3.
CWdt6dt
9.27.	R > 12°сГ = 3,45 • Ю10 см = 3,45 • 105 км, 6»dCWdd
Q = Qj + Q2 + Q3 = 24,8 МэВ — выделение энергии, соответствующие суммарному уравнению синтеза 5d^»3He + 4Не + р + 2п, ос — константа Стефана-Больцмана.
„кв
9.28!	—« 1,6-1021.
.,кл
^dd
Решение. Как следует из решения задачи 9.20, скорость реакции (d, d) можно представить в виде
2	“	/	2\
™dd- гДе ™dd = л ('" г) $ 1’3 exP - ^7 ° (v) dv>
где ц = m/2 — приведенная масса, v — относительная скорость.
При классическом рассмотрении реакция произойдет только тогда, когда кинетическая энергия относительного движения будет больше высоты кулоновского барьера щ,2/2 > I/ = е2/ (2Kd), где Kd — классический радиус дейтрона (/?d = 1,7-10~13 см). В этом случае сечение взаимодействия °кл(1’) =4яЯ2 и
317
I 2 \ 2	{j,	\	( П \
Ая Ц- (кТА2 1 ехр --7^ «
' 01 [кТ0 j	кТ0)
/	2 \ 2
кТО^кул ехР
An
U	'	'
поскольку як 58 » 1.
кТ0
При вычислениях были введены обозначения S = цд2/2, А = А(2/ц)2.
В квантовом случае определяющую роль играет проницаемость кулоновского барьера. При <о <к 1/кул (это условие выполняется в задаче, поскольку S ~ (3/2)кТ « 1,4 • 104 эВ « 0,5 МэВ)
D(S) exp
В этом случае сечение взаимодействия окв(<£) = a (<S) Z? (<S), где а(<£) — геометрическое сечение образования составного ядра, и
OT’dd = А S 1’3°кв(1’) ехР о
A
окв(<§) = о(<£)2Э(<0) « о(<£) ехр
\	’ <9 /
Выражение для ovjjd содержит интеграл с произведением двух экспонент (падающей и медленно растущей). Главную роль здесь играет область значений энергий вблизи максимума показателя экспоненциальной функции
d f 4е2У2(Г\	_ q
</4)	I °____р
откуда
^тах = 2ЛГо^^ = 3,1-1О4 эВ.
Соответствующая длина волны де Бройля Л =	-	= 3,66- 10~п см » /?d.
V 2p<Omax
Таким образом, в наиболее существенной области значений энергий справедлива аппроксимация o(<g) = яЛ2 = яй2/(2ц<§) и
Й7^=А^ ( ехр L Й dS.
dd 2р J н ( кТ0 Л 1g)
Подынтегральное выражение представляет собой функцию с острым максимумом и шириной порядка kTQ. Т. к. &T0»<£max, то спадание функции вблизи экстремума определяется экспонентой ехр (—&!кТ^. Таким образом,
ovdd = ^ ^~кто ехР
^max _ 4ё2У2|Г
кт о kl^max,
= А —kTnexp -6 2р	\
3	4
< не
’ к2 кт о
318
Окончательно,
t2	ГГ	31	4
Add = Л IT Pxo	Д №
КЛ 4 U К ул exP kTa 6 V ьЧт
A'dd 2|XC	\ K-‘ 0	' n KTq
1,6-1021.
9.29	! В магнитном поле все столкновения идут с моментом импульса I = 3/2 и среднее сечение увеличивается в 1,5 раза.
Решение. При низких энергиях, т. е. при малых импульсах, деброй-левская длина волны очень велика по сравнению с размерами частиц. По правилу квантования момента импульса взаимодействие возможно только в состоянии с L=0, и полный момент импульса ядра как целого — чисто спиновый. Полный момент импульса системы d + t: I = Sd + St может принимать два значения I = 3/2 и 1 = 1/2. Так как ядерные силы зависят от спинов сталкивающихся частиц и полный спин есть интеграл движения, то (°) = м,3/2°3/2 + м’1/2°1/2-
Здесь (а) — среднее сечение реакции; <т3/2 и 0^12 ~~ сечения реакции, соответствующие I = 3/2 и I — 1/2; и>3/2 и к’|(2 — доли состояний, соответствующие значениям полного момента импульса I из общего числа состояний, равного (2Sd + 1) (2St + 1). По условию 01/2«О, тогда W = к’з/2а1/2 = 2 • (3/2') I 1	2
=------ о =±о В магнитном поле, полностью поляризу-
(2-1 + 1)(2-1/2 +1) 3/2	3 3/2
ющем спины взаимодействующих ядер, возможно только одно состояние 5d„ = 1 и Stz= 1/2; Jz = 3/2 (ось z совпадает с направлением магнитного поля В). Тогда (о(В)) = о3/2 и- следовательно, среднее сечение возрастает в 1,5 раза.
9.30	! Если учесть четыре реакции
d + d	-»	t + р + 3,94 МэВ;
d + d	-»	3Не + n + 3,26 МэВ;
d + 3Не	-»	а + р + 18,3 МэВ;
d + t	-»	а + п + 17,6 МэВ,
то на один «сгоревший» дейтрон выделяется энергия 7,18 МэВ. Пользуясь этим, легко найти, что при полном сгорании дейтерия, содержащегося в 1 л воды, выделится энергия 3,6-103 кВт-ч, что равно энергии, получающейся при сгорании 277 кг бензина.
9.31	. <£ = 3-107кДж.
9.32	. ^ки" =----3(>кт----я» 0,06,
«Еконечн 3(21+202+ 203
где Qp Q2, Q3 — энергии, выделяющиеся при реакциях синтеза, равные соответственно 3,3; 4; 17,6 МэВ.
9.33! ndx =
ЗкТ
п ____ 2Cdd + Cdt
—4-OVdd n-l
7-1015 с/см3.
Решение. Реакция будет самоподдерживающейся, если выделяемая в
4
реакторе плотность мощности превысит плотность мощности совокупных
319
потерь: W > VKnoT, Последняя состоит из тепловых потерь, связанных с уходом частиц из зоны реакции, и потерь на тормозное излучение:
W = W 4- W гг ГГ т -г ГГ изл.
Выделяемая в реакторе мощность Ж берется из мощности термоядерного синтеза И^о и частичного полезного преобразования мощности потерь в корпусе реактора, так и в окружающей защите
И' = ПИ'о + Р(И'т + И'изл)-
Таким образом, условие стационарной работы на уровне нулевой мощности при т| = |3
Т^о + ^т + ^изл) ^т+^изл-
Используя выражения для 1У0 и WT, полученные в задачах 9.20 и 9.24,
9____ 1 „	Зп-лкт
^0 = "fold I (22dd + Qdt).	-
получим
ЗкТ
7 -1015 с/см3.
9.34.
9.35.
9.36.
9.37!
d	П ----- ^dd+Cdt	34
^Tj-o^dd---4-----1,5-10 V/
л= О_ = ±964 = 02 Gn 24,68
<g”ax= 19,8 МэВ.
(<7 = ^« 9300 А. o/f
?1/2 = 1,2-10'° лет — время, за которое концентрация протонов убы-
вает в два раза.
Решение. Согласно решению задачи 9.20 уравнение, описывающее изменение концентрации протонов, имеет вид
</пР(О Пр(Г)--------- Пр(О _
—г— = — ——	як — —!-—ov,
dt	2 РР 2
где Др(0) = pWA = 9,25-1025 см“3 начальная плотность ядер водорода,
Т= Д ВкТ. = 5,6-107 см/с — средняя тепловая скорость протонов. Интегри-V лпгр
руя это уравнение, получаем
1	_ 1	_ avt
np(t) np(0)	2
Откуда следует, что концентрация протонов уменьшается вдвое за время /<,, =----—= = 1,2- 1О10 лет.
1/2 np(0)ov
9.38. Эффект можно заметить, если число ядер, подверженных вынужденному делению, /VBbIH превысит дисперсию фона, т. е. дисперсию числа спонтанно делящихся ядер Ncn. Дисперсия фона "у ДД12П «к V/VctI = ^kNt0.
320
За время /0 Л/вын яг &Njt0, где N — число ядер урана в момент времени t.
1 A In 2 ~ - 1Л1о -2 -1
1	~ 5-10 и см -с .
Таким образом, j> — 1/—1п 2— a 'T\i2NAmt0
9.39. Грубая оценка: R ~ X яг — = ———яг 4,2 см, откуда масса «шарила рЛ'да
ка» М яг 5,7 кг. Более точный рассчет дает R яг---------—------
арЛ'д (v— 1)
8,3 см и
М ~ 45 кг.
9.40. t =	~ 2	4 С’ где п° ~ концентрация ядер 235U, М —
масса нейтрона, п — число поколений нейтронов, сменившихся к моменту заданного выделения энергии деления: п находится из уравнения
— 1 W	О	Л
----=------, где ёпр. = 200 МэВ/акт деления, п яг 3,27 • 104.
L __1 р	дел
1 ©дел
/ \2
[Eyr0A )
Решение. Фотоделение через состояние I- происходит при поглощении Е1 (электрических дипольных) квантов, а через состояние 2+ — при поглощении Е2 (квадрупольных) квантов. Так как энергия гамма-квантов больше высоты барьеров, то отношение вероятностей деления определяется только отношением сечений поглощения квантов ядром, равным Р = (Л/Яя)2. Здесь Я= Х/2л — приведенная длина волны у-кванта, а Кя -радиус ядра. Таким образом, отношение равно
Это значит, что происходит преимущественное деление под действием El-фотонов. При двухфотонном поглощении световой квант, практически не меняя энергии ядра, фактически меняет спин и четность основного состояния, и деление уже будет происходить под действием El-квантов через состояние 2+. Вероятность деления через канал 2+ увеличится в 17 раз и
будет равна сечению деления через канал 1 под действием Ei-квантов.
Q	) °дел(1 ) гл , е \	( % \ J 2ji(£/q““4)v) 1	. „
9.42.	— =-------—£)(6 \ = ------- ехр 1 —-------z----— г =4,8, где
®Дел(2+) адел(2+) v	I	J
— проницаемость параболического барьера (см. задачу 3.41). См. так-
же решение задачи 9.41.
9.43.	Стах = )
110км.
8яФо
§ 10.	Элементарные частицы. Резонансы. Лептоны и кварки. Реакции при высоких энергиях
10.1.	Запрещены распады 2 и 4, так как не сохраняется лептонный заряд, и распад 8, так как не сохраняется барионный заряд; в распаде 2 нарушается еще закон сохранения энергии.
321
10.2.	Распады 2, 3, 9, 10 и реакции 6, 7 запрещены, так как в них не сохраняется лептонный заряд. При изучении взаимодействия нейтрино, полученных в распаде 1, с протонами было показано, что идет реакция 5, а не 6, хотя последняя энергетически более выгодна. Тем самым было доказано существование двух типов нейтрино.
10.3.	В реакциях 1, 6, 8, 10, 12, 14 |AS| =0, и они идут по сильному взаимодействию с характерными временами 10~22 = 10—24 с (ядерные времена). В реакциях 2, 7, 9, 11 | А.8'| = 1, и они практически ненаблюдаемы. В распадах 3 и 4 |Д5| = 1, и они идут по слабому взаимодействию с характерными временами ~ Ю-10 с. В процессах 5 и 13 | AS | = 2, и поэтому такие процессы не наблюдаются.
10.4.	По указанному правилу разрешены распады 2, 3, 4, 5, 6, 8; запрещены распады 1, 7, 9, 10.
10.5.	1. Барион Л — синглет с зарядом Z = 0. Следовательно, Л1= 1, Т = 0, zcp = О, 5 = - 1, Y = 0, т3 = 0.
2.	Барион S — триплет с зарядом ± 1 и 0. Следовательно, Zcp = 0, N = 3, Т = 1, Y = 0, S = - 1, Т3 = Z.
3.	Барион Е — дублет с зарядами 0 и —1. Следовательно, N = 2, Т = 1/2, Zcp=—1/2, 5= -2, У=—1, Т3= -1/2 для Z= -1 и Т3 = ± 1/2 для Z = 0.
4.	Отрицательно заряженный барион Q~ — синглет. Следовательно, N = 0, Zcp = - 1, 5 = -3, Y = —2, Т = 0, Т3 = 0.
5.	Мезон л с зарядами ±1, 0. Следовательно, N = 3, Т = 1, Т3 = Z, 5 = 0, Y — 0. Заметим, что если в составе мультиплета имеется истинно нейтральная частица, то при вычислении числа частиц в мультиплете N нужно вместе считать частицы и античастицы. Во всех других случаях под N подразумевается число частиц.
6.	Мезон К — дублет с зарядами 0 и +1. Следовательно, N = 2, Zcp = 1/2, 5=1,7'= 1/2, Т3 = 1/2 для К+ и Т3 = -1/2 для К0.
7.	Мезон г) — нейтральный синглет. Следовательно, N=\, Т = 5 = = zcp = :r3 = 0-
10.6.	Распады 2 и 4 запрещены законом сохранения лептонного заряда. Реакция 5 практически ненаблюдаема из-за несохранения странности. Распад 3 и 6 разрешены. Распад 1 запрещен законом сохранения энергии.
10.7.	Реакция 2 и распад 8 невозможны, так как не сохраняется барни-онный заряд. Реакции 3 и 4 практически ненаблюдаемы из-за несохранения странности. Распады 1 и 7 происходят по слабому взаимодействию, распад 6 — по электромагнитному. Реакция 5 происходит по сильному взаимодействию.
10.8.	Реакции 1 и 2 происходят по сильному взаимодействию; распады 3 и 5 — по электромагнитному; 4 и 6 — по слабому взаимодействию.
10.9!	Странность К°-мезона равна + 1, а странность К°-мезона равна — 1. Поскольку странность нуклонов равна 0, а странность других барионов либо равна нулю, либо отрицательна, то поглощение К°-мезона может происходить с сохранением странности, т. е. по сильному взаимодействию. Погло
322
щение К°-мезона может происходить лишь с несохранением странности, т. е. по слабому взаимодействию. Следовательно, К°-мезон в отличие от К0 будет слабо поглощаться веществом. Поскольку при переходах К0 К0 | A.S' | =2, то такие переходы крайне маловероятны (см. задачу 10.3).
10.10.	Реакции 1, 3, 4 происходят по сильному взаимодействию; распады 6, 7, 8 — по слабому; реакции 2 и 5 — по электромагнитному взаимодействию.
10.11.	1. Так как Д5 = 2, то возможна, но маловероятна.
2.	Так как Д5 = 2, то возможна, но маловероятна.
3.	Нет, так как (тп — щр) < щр.
4.	Нет, не сохраняется лептонный заряд.
5.	Нет, не сохраняется барионный заряд.
6.	Нет, не сохраняется лептонный заряд.
10.12.	Л-гиперон или 2°-гиперон.
10.13.	М = mnN 170 т, где тп » 1,7-10-24 г — масса нуклона.
©цТО
10.14.	т—--— 5,4 мкс, где т0 — собственное время жизни мюона,
тис
2 4.	24
р ткс +т„с
Z 2	•
2т&с
10.15.	т~ А«2,6-1О~2ос.
Д<£
10.16!	1. А = 38 (на неподвижной мишени). 2. Аа 3000 (на встречных пучках), т. е. все известные ядра.
Решение. Найдем сначала скорость центра масс системы. Пусть энергия налетающей частицы а покоящейся ш2с2. Суммарная энергия системы <£ = <£[+ т2с2. Полный импульс системы рР Рассматривая эту систему как сложную частицу, находим скорость центра масс
*ц. м. _ Pl С
с	£\+т-1с‘
Энергии частиц в системе центра масс (СЦМ) равны
о* _ ^1	Р1*ц.м.	р»	^И2С 0
---у...--.	,.ц_,==г*	(у 2-———————s==—t *1-(Уц.м/с)2
Таким образом, суммарная энергия в СЦМ
<£*. м = <£* +	= Vm2c4 + m|c4 + 2т2с2<§1 ,
где было использовано релятивистское выражение для полной энергии частицы
£2= (Plc)2+ ("V2)2
Эту формулу можно было бы получить и без преобразований Лоренца, считая, что две частицы в СЦМ рождают одну с массойМс2 = <S* м . Исполь
323
зуя инвариант, получим (Мс2)2 = <£ц м — О2 = (<£j + пг2с2)2 — р^с2 = = ($! + т2с2)2 — [<£2 — (п^с2)2], откуда следует то же выражение
<£*. м = Vm2c4 + m|c4 + 2m2c2Sl.
Для двух одинаковых частиц т1 = т2 = тр получаем
р + р -» М + М + р + р
и <S* м = V2mpc2(S1 + трс2).
Очевидно, что <S* м > [2Лшр + 2тр]с2, откуда 2mpc2Sl + 2(трс2)2 > > 4(трс2)2(А + I)2. Если учесть, что <S[ »шрс2, то получим ответ в первом случае (столкновения с неподвижным протоном)
I Si
А < \------у — 1 £ 39, т. е. А = 38 (включительно).
’ 2трс
На встречных пучках
2S' = 2Атрс2 + 2трс2 к 2Атрс2,
откуда А « 3000, т. е. практически все известные ядра.
10.17!	т к 3-10-22 с; тс2 ъ 3,1 ГэВ.
Решение. Масса частицы в данном случае равна <£СцМ, соответствующей положению максимума на графике. Полуширина резонансной кривой на уровне 1/2 высоты А<§ к 2 МэВ. Время жизни находим из соотношения неопределенностей т « hl А& к 3-10~22 с.
10.18.	т--с2 = VmYc2(mYc2~ 2<£’.. ) = 8,32 ГэВ, р =----«0,13.
тус — Sy
10.19.	mj^c2 = <gV2(l - cos 0) = 3,1 ГэВ; p = ^1+^os6 =	« 0,87.
10.20.	T «751 МэВ.
10.21.	<gmin > 2mBc2« 10,56 ГэВ.
2
10.22.	<gnon = 4myc2 + mnc2 + 2 — c2 = 8,8 ГэВ. nop z. p Шр
in„ v V2mpc2(^p + mpC2) -2mpc2
10.23.	/VmaY =---------------------— = 5,2 (пар пионов), всего может
JlldA	X	1
2mnc родиться не более 10 пионов.
2	2
10.24.	Тпор = (т +М)2~ (2Ш) с2 = 1,6 ГэВ, где тр « тп = ш; М = = шЛ + шк, где шк — масса либо К0-, либо К+-мезона.
10.25.	= 8,94 ГэВ.
2 /	2\	2
_	_ т„с те т,,с
10.26.	<gmax = 4- 1 + -4 « -Д- « 52,8 МэВ.
2 \ "W 2
324
10.27.	<gmin = m„c2 0,5 МэВ; <gmax =* <8 - ъ 10,5 ГэВ.
ПНИ С	’ Шал |Л 2<С
2
А тпс
10.28.	sin —=	”	= 0,027.
2	2v^7
10.29.	& = тс2——» 1,4 ТэВ, где А« — атомная масса азота, сторЛ/да
о = 2лЛ^ — сечение рассеяния быстрых пионов, равное удвоенному геометрическому сечению ядра, = 1,3-10-13А^3.
10.30.	Т = 6,615 ГэВ; л 7,8 эВ; т = 4,2-10~15 с.
10.31.	шос2л 1,85 ГэВ; р = 0,94; тл 4,2-10-13 с.
10.32!	тпс2» 1,7 ГэВ.
Решение. Для нахождения массы {^“-гиперона воспользуемся инвариантностью квадрата четырехимпульса
m£c4 = (&J + <g2)2 - (Р1 + р2)2с2.
Нетрудно видеть, что Л°-гиперон и К°-мезон можно считать ультраре-лятивистскими, поскольку массы этих частиц малы по сравнению с произведениями рс: т^с2 1,1 ГэВ; ткс2 л 0,49 ГэВ (табличные данные). Поэтому <Sj ~ /jjc; <S2 ~ р2с. Раскрывая скобки, получим ihqC4 л 2<§1<§2 ~ — 2р[Р2с2 cos 0 л 2р1р2с2(1 ~ cos 0), откуда
mQc2 ~ 2Vрлркс s'n = 1.63 ГэВ л 1,7 ГэВ.
10.33.	То л 0,88- Ю~16 с, р = 0,835.
10.34.	L = СТ°^2 л 50 см, где т0 л 2,66- 1О-10 с; тлс2 =1116 МэВ. тлс
10.35!	L = (2 In 2)	= 770 м, где т0 = 2,6-10-8 с; т^с2 л 140 МэВ.
тпс
Решение. За период полураспада Т1/2 пиона (по схеме л+ -» ц+ + v ) половина пионов переходит в мюоны. Еще через число мюонов в потоке превышает число пионов в три раза. Таким образом, искомая длина L = ”.:2Т 1/2V. где у =	1	=
VI- р т^с
Скорость пионов г близка к скорости света, поскольку т:.с2. Период полураспада = т0 In 2, где т0 — собственное время жизни л+ (т0 = 2,6- 1СГ8 с). Окончательно
Л л (2 In 2) ———^-л 770 м.
тяс
Можно решить задачу иначе. Поскольку <§,, = 10 ГэВ»тлс2, то пионы можно считать ультрарелятивистскими. Мюоны, вылетающие в направле-
325
нии движения пионов, также имеют скорость vякс. Собственное время жизни мюона примерно в 100 раз больше времени жизни пиона. Поэтому распадом мюонов в данной задаче пренебрегаем. Тогда Л1я(х) +	(х) =
= Мя(0). По закону радиоактивного распада
tW^x) = -Мя(х) dt= ~^—dt-
(Од	W V д \ Л /	/11 д С
Здесь т = ут0 = т0------a v dt = с dt — dx, откуда —----------= —	------
тлс	ах	<СдТос
(	2	\
/ПдС
или = ^я(0) ехр —----------------х . По условию 3Nn(L) =N (L), поэтому
\ ^лст0 /
/	2	\
/ПдС
4 ехр —-------L = 1, откуда и следует приведенный выше ответ задачи.
\ <£лСТ0 у /	2	\
10.36.	----- = 1 — ехр —= 0,364, где тп = 1,24-10-8 с —
ЛГк(О) н <£к ™о)	°
время жизни К±.
NAL)
10.37.		== 1800.
NK(L)
2 4,	24
тлс + тцс
2
2т.лс
10.38. <§и =
330 МэВ.
2 т„с
10.39!	як 3,6-107 частиц/с.
Решение. Число пионов, достигших детектора, — п = — Qe г/т, где 4л
— число всех генерированных пионов, Q = SIL2 — телесный угол, под
которым виден детектор из точки генерации пионов, t — время пролета пионом пути L, т — время жизни пиона в лабораторной системе отсчета:
Окончательно получаем
= "^¥^ехР О
2
L тпс сто ^Т2 + 2т/т
3,6-Ю7 частиц. С
10.40.	<SI]()p = (mn — mp + ше)с2 як 1,8 МэВ. 2 2	2 2	2
10.41.	<£™ах як ^",ах як (WlC } +(^С } » 0,9 ГэВ. Точнее: <£™ах » — X е и	2т/	и 2
х [ 1 + (m/mT)2] = 0,894 ГэВ, <g.max » ^ах ' Ц. I'	С	|Л
э 2(то + тп) +т„
10.42.	Т = т^с2---£------------ « 330 МэВ.
2(тр —тя)
10.43.	<£р = трс2 — 1 ГэВ.
326
10.44.	<£ = m с2 —= 6,57-1019 эВ; глХл Ю15 с ~ 3-107 лет.
р Р 2г	пас
10.45.	Г» 2,6- 1014 эВ; тл 8- 1О10 с.
10.46.	£ =т с2 —% 6,4 ГэВ.
И И ТдС
10.47.	<£mirl = Д<§ ра/7 — 9 ГэВ, где Д<§ — потери энергии на ионизацию.
6Т ( т \ 2	0,15-10~4 при тс2 = 0,17 МэВ,
10.48.	—1= -----Г— « _s	,
\тл-т^ 0,86-10 5 при mvcz = 0,1 МэВ.
10.49.	Выход мюонных антинейтрино (нейтрино) составляет 2,0002% от числа пионов. Выход электронных антинейтрино (нейтрино) составляет 0,0002% от числа пионов.
10.50.	Процесс рассеяния нейтрино на электронах — это тот же Комптон-эффект (рассеяние фотонов на электронах):
р Те + рс {Те + ^Те(Те + 2тес )]
<Ь =------=----------------------= 5,24 МэВ.
2	2
10.51.	cos р = Ге(£ + СТеС >	= о,927; р « 22° (для <S = 15 МэВ).
<SV Те(Те + 2тес )
Ф/v )
10.52.		—=2. Наблюдение потоков атмосферных нейтрино на уста-
Ф(Ч;)
новке Super-Kamiokande не подтверждает этот результат. Таким образом, следует признать факт несохранения лептонного заряда и нейтринных осциля-ций, что является следствием наличия у нейтрино массы.
10.53.	(mwc2)min = (1 + V2/2)£ =* 100 ГэВ. (Современное значение mwc2 = 80,22 ± 0,26 ГэВ.)
10.54.	Электрон — продукт распада т--» е~ + ve + vr Искомая проекция электрона максимальна, когда р = pv и когда она перпендикулярна рт. Тогда ре±с = тхс2/2 = 0,896 ГэВ.
10.55.	mzc2 2р.с sin (0/2) = 97,5 ГэВ; [3 = cos (0/2) = 0,82 (Современное значение mzc2 = 91,173 ± 0,020 ГэВ).
10.56.	Минимальная длина волны у-кванта соответствует максимальной энергии. Как видно из графика, максимальная зарегистрированная энергия (у-квант + ф) составляет 3,14 ГэВ.
? 2лЙс £	отях-т . с2 = 40 МэВ « 3,1 ГэВ; 1 *3,1-10‘12см (пре-
у	р	I	Л1«А	Ш	I
небрегаем отдачей ф-мезона).
10.57?	Спин мюона направлен против его импульса; I % 1470 м.
Решение. Определение спина как собственного момента импульса, т. е. момента импульса в системе покоя частицы, оказывается неприменимым к безмассовым частицам, обладающим нулевой энергией покоя, т. е. т = 0. Для них принято вводить спиральность, т. е. проекцию собственного момента импульса на направление движения частицы — единственное выделенное направление для частиц с т = 0. При этом частицы с SHp называются
327
правоспиральными (правополяризованными), а частицы с Slip называются левоспиральными (левополяризованными). При этом фотон как истинно нейтральная частица может менять свою спиральность (с помощью пластинки V2), а нейтрино — нет. Нейтрино по определению — левоспиральная частица, а антинейтрино — правоспиральная.
Так как каон К.+ имеет спин 5 = 0, то S + S =0. Кроме того, [Л V	г
+ Pv = 0. Отсюда следует, что S антипараллелен р^ (S Для ответа на второй вопрос задачи. Запишем закон сохранения энергии при распаде
mKc’2 =	= Рс + V(M^c2)2 + p2c2, где р^ = pv = р.
Возведя это равенство в квадрат, получим
,	2.2	.	2.2
(ткс ) — (тс )
да-------ч W+ /---------*И+ Рс =---------------2~~---= 235,6 МэВ.
К+-( )	2mKc
Полная энергия мюона
Рис. 185
S = V р2с2 + т2с4 ъ 258 МэВ. И	и
Из релятивистской формулы <§( = тс2!^1 — [З2 = уш^с2 определим: 7 я» 2,444 и р = 0,912 (относительная скорость мюона). Пробег мюона в лабораторной системе отсчета
I = рстоу = 1,47-105 см = 1,47 км.
При этом использовались табличные данные ткс2 = 493,6 МэВ; т с2 = 105,7 МэВ; т = т0 = 2,2 мкс. Схема распада приведена на рис. 185.
2	л**
10.58.	----2---~ 0,1.
tic 2mncRd
10.59!	г.. = ^--,----—--------= 1,5-10~14см.
2 V (4^2 — ^l)(^2 — ^1)
Решение. Связанная система кварк-антикварк (в данном случае (сс)) с потенциалом взаимодействия U = —q2lr аналогична позитронию и спектр ее возбуждений подобен энергетическому спектру атома водорода. Поэтому можно записать, что массы мезонов складываются из энергий покоя кварков за вычетом их энергии связи
2п I
$2 = 2тсс2-^ 1
с 2Й2 22
где ц = тс/2 — приведенная масса. Здесь тс обозначает массу с-кварка. Отличие в энергиях покоя двух состояний чармония (т. е. J/ф-мезона и ф'-ме-4
\ А Р Р Р 3	тт
зона) Д<Ь — <Ь2 —	. Из двух уравнении находим
о 4^2 — ^1
т с2 = —------- = 1,95 ГэВ
с 6
328
he
и характерный радиус чармония
2
и ___	3	TiC	— 1 С 1 л—14
rJ/ -----2	~Г= "!	= 1'5’ 10 СМ.
И4 ’2 V (4<С2 — <С1)(<Еэ2 — ^>1)
Поскольку кварки отсутствуют в свободном состоянии, то определение их энергии невозможно. Это связано с тем, что в адронах кварки окружены глюонами и виртуальными парами кварк-антикварк, и масса кварка дложна зависеть от расстояния, на котором она определяется. На расстояниях л < 10~14 см, где начинается асимптотическая свобода и «облака» глюонов и виртуальных кварковых пар «редеют», принято говорить о токовых (свободных) кварках. На больших расстояниях мы имеем дело с «одетыми» кварками, которые называются блоковыми или конституентными. (см. Приложение III, табл. 5).
В рамках данного приближения по результатам эксперимента можно определить, как энергию покоя кварков, так и энергию их взаимодействия.
.	2
10.60.	Щвс2 = 1	(4<§, - £,) к	5,1 ГэВ; g4 =	pL	=32 (^2~£1)	як 0,585,
в 6	2	17	s	[he) (4-£2-<Si)
g2 ft 0,765 ~ 1.
10.61.	Я ftft 2,5-1 (Г16 см.
т-щс
10.62.	m.c2 = \'2mc2T + (mn + m )2c4 = 1232,5 МэВ; A	P л ' P л/
т ft — = 5,5-ПП24 c.
Г
10.63!	P ешение. Резонансный характер поглощения пионов свидетельствует об образовании составного ядра, которое можно уподобить короткоживущей частице. Сечение образования составного ядра в резонансной области (рис. 186) определяется для бесспиновых частиц формулой Брейта— Вигнера
Рис. 186
ГупрГпОЛН
^полн
(£_£0)2 + ^Р
где Л = —, к — длина волны падающей час-2л
тицы в системе центра масс, <S — суммарная энергия частиц в этой системе, <S0 — энергия составного ядра (резонанса), Гупр и ^неупр ^полн Гупр ширины резонанса, связанные с распадом по упругому и неупругим
Согласно закону сохранения электрического возможен только по каналу Д сеяние и в резонансе сечение
каналам.
заряда распад резонанса л+р, то есть происходит только упругое рас-
_	_ д_ З-2 =
аполн аупр	2~ 
р
329
Импульс сталкивающихся частиц в системе центра масс р = рл — рр находится из условия
МАс2 = V(рс)2 + (mpc2)2 + V(pc2) -Ь (тяс2)2, откуда
/,,,2 ,	2	2,2
_. I (Мл + та — т„)	э э
р = Д/---------------с2 — т2с2 = 227 МэВ/с;
V 4Mi	р
аполн = 43Г7 7 = 95- Ю-27 см2 = 95 мбн. llUJitl	z Z
Р С
Экспериментальное значение для данной реакции оП0ЛН — 200 мбн. Различие связано с тем, что в простейшем варианте формулы Брейта—Вигнера не учитываются спиновые состояния начального и конечного состояния системы. Имеются (25р + 1) (25^. + 1) начальных состояний системы и 27 + 1 конечных состояний Д-резонанса, приводящих к одинаковому сечению.
В результате в формуле Брейта—Вигнера появляется множитель g =------1---------, учитывающий стастистический вес входного и выход-
(25р+ 1)(25л+1)
ного состояний системы. Сравнение теоретического и экспериментальных значений позволяет определить, что g— 2, откуда находится полный момент резонанса J = 3/2.
Полученный результат требует пояснения. Так как .8'р = 1/2; .8'г| = 0, то в сумме они не могут дать J = 3/2. Поэтому необходимо учитывать и орбитальное движение, т. е. закон сохранения момента нужно записывать в виде J = SP + S, + L,P’ где L|p — орбитальный момент относительного движения. Считая, что радиус протона гр 0,8-10-13 см (фактически это комптоновская длина волны протона), получаем ргр = й7Д(Д + 1) , или VC(L + 1) = у. Так как А = 0,87-10~13 см, то Д — 0,83. Следовательно, возможные значения L = 0, 1. Соображения, основанные на законе сохранения четности, показывают, что L = 1 и J = 1/2 + 1 = 3/2. Образно говоря, пролетающий пион захватывается за счет сильного взаимодействия протоном на орбиту с L= 1, делает несколько оборотов и затем улетает.
Во второй реакции (в отличие от предыдущей) возможен распад резонанса
и таким образом появляется «неупругий» канал.
С*полн СДпр ^неупр’
где в резонансе
°пОлн = 8л*2 — и™ 68 « 190
ПОЛН	р	р ’
1 полн	1 полн
330
откуда
Гупр
Г ПОЛИ
0,358; анеупр к 1,8аупр к 0,64ополн » 44 мбн.
Отметим, что другие неупругие процессы типа л°л°п или л л°р запрещены законами сохранения энергии.
Рассмотренные резонансные состояния Д+ + и Д° различаются проекциями изотопического спина. Изотопический спин пионов 1, а нуклонов 1/2. Полный изоспин резонанса поэтому может быть 3/2 и 1/2. При этом (л+р)-система обладает проекцией изоспина Т3 = 3/2, а (л_р) — проекцией Т3 = 1/2, т. е. является суперпозицией состояний с Т = 3/2 и Т = 1/2.
10.64.	р = (uud); n = (udd); Q- = (sss).
10.65.	л+ = (ud); К+= (us).
10.66.	К0 = (ds), К0 = (ds).
10.67.	Е° = (uss); A= (uds).
10.68.	л”; К".
10.69!	a3 = 2a2 — c,i-
Решение. Кварковый состав частиц из задачи:
K+=(us), S+=(uus), E°=(uss), Q“=(sss).
Обозначим сечения взаимодействия кварков, имея в виду, что в задаче могут взаимодействовать кварки двух поколений: и — из первого поколения, s — из второго. Кроме того, заметим, что при <§ »тс2 сечения рассеяния частицы и античастицы одинаковы (теорема Померанчука). Таким образом,
ай = a(uu) as a(ud) = a(ud) = a(ud);
<зь = a(us) = a(us) » a(ds) = a(us) и т. д.; oc = о (ss) = a (ss) = a (ss).
Рассмотрим в качестве примера первую реакцию (рис. 187). Стрелками обозначены взаимодействия кварков: сплошная стрелка — с сечением aa;
штриховая стрелка — с сечением <зь, волнистая стрелка — с сечением ас. При указанных в задаче энергиях дебройлевская длина волны кварков оказывается много меньше размера ча-
стиц. Поэтому можно считать, что происходят	рИс. 187
только одночастичные взаимодействия кварков
и в каждой из указанных реакций сечения надо просуммировать по всем возможным каналам. Таким образом, сечение взаимодействия
°1 = 20 а + За6 + °с-
Вторая реакция К+ + Е° дает сечение
а2 =	+ Зс6 + 2a,.
331
Аналогичное рассмотрение взаимодействия К+ + Q приводит к следующему выражению
°3 = 3аЛ + За с-
Решая полученную систему уравнений, выражаем неизвестное сечение а3 через заданные сечения aj и а2:
с>з = 2с,2 - а1-
10.70	. а(лр) = 26 мбн, а(ЛА) = 32 мбн; о(ЕА) = 25 мбн.
10.71	. а(ЛА) = 32 мбн; а(ЕА) = 25 мбн, o(QA) = 18 мбн.
10.72	. т- » ти + 2msъ ти + 2(Д + ти) » 1290 МэВ.
Замечание. Речь идет о блоковых (тяжелых) кварках, и md^mu.
Поэтому Щд — mp = ms — mu.
10.73	. a) v + р -» ц_ + Д+ + . Здесь возможны две схемы реакции (рис. 188):
б)	+ п ->	+ р или |.С + Д+;
в)	v + р -> |Л+ + п или + Д°;
г)	+ п -» ц+ + Д“.
Рис. 188
Отношение эффективных сечений этих реакций аа : аб : og : аг = = 1 : 2 : 2 : 1.
10.74	! Решение. Схема распада протона р-»л° + е+ изображена на рис. 189. Масса Х-бозона определяется из соотношения неопределенностей Мс2 » 0,6 • 1023 эВ = 0,6  1014 ГэВ. т
Заряд Х-бозона равен сумме зарядов двух и-кварков
2х = +1е-
Рис. 189	Рис. 190
10.75	. R яг 2-10-29 см; <2у = +е/3- Схема распада изображена на рис. 190.
10.76	! Решение. На рис. 191 и 192 показаны все 24 (2 х 12) перехода между кварками и лептонами, идущих через нейтральный Z0 и заряженные
332
промежуточные бозоны W*, допустимые по теории электрослабого взаимодействия. При этом не наблюдавшиеся экспериментально переходы t*-»s и t«-»d изображены штриховыми линиями. Приведем примеры наблюдаемых переходов:
е+ + е~ -» Z0 -»	+ V;, где I = е, v, т— лептоны,
—	это рождение нейтринных пар в результате её-столкновений;
е+ + е“ *-» Z0 *-» и + и
—	рождение в её-столкновениях и распад в адроны, либо рождение в рр-столкновениях и распад на пару лептон-антилептон;
d -» u + W~ -» u + е~ + v~, — распад нейтрона;
u Т d —* W+ -» / + v;, где I = е, р, т — лептоны
—	рождение в рр-столкновениях и распад на пару лептон-антилептон.
Как следует из рис. 191 в процессах с участием г°-бозона аромат кварков не меняется. На рис. 193 приведены доминирующие при слабых распадах адронов переходы между кварками, идущие через обмен W±-6o3OHaMH. В то же время допустимые законом сохранения заряда переходы c-»d, b-»u и другие, изображенные на рис. 192, так же возможны. Например, экспериментально наблюдается как распад D°-»K- + л+, соответствующий переходу c-»s (рис. 194), так и распад D0-» л- + л+, соответствующий переходу с-»d. Отношение вероятностей этих переходов составляет 5-10-2. Переходы же через поколение подавлены еще сильнее.
Рис. 191	Рис. 192	Рис. 193
В условии задачи В -мезон, имеющий кварковый состав (Ьй), в вершине 2 (рис. 64 из условия) распадается. Наиболее вероятный процесс — это распад b-кварка по схеме b -» с + W~ (преобразование в ближайший более легкий кварк второго поколения).
Таким образом, в вершине 2 рождается тяжелая частица с кварковым составом (ей). Это О°-мезон, т. е. X = D0. Кроме того, в эмульсии оставил
333
след возможно мюон, поскольку образовавшийся при распаде b-кварка W -бозон мог распасться по схеме
7-----* М +	- , -
И + \
<W+	W“ ->  е“ + v~
D°-^	*	г+<
I
Далее в вершине 3 О°-мезон распада-
Рис. 194	ется. Схема его распада изображена на
рис. 194. Наиболее вероятен распад с-кварка в рамках второго поколения по схеме c-^s + W+.
В свою очередь W+-6o3OH распадается, как сказано в условии задачи, по нелептонному каналу. Наиболее вероятен такой распад:
W+-» и + d = л+.
Таким образом, в вершине 3 О°-мезон распадается по схеме:
D0-» К-+ л+, где K“=(sii).
Возможны и другие каналы распада О°-мезона через К~-мезон с образованием любого числа пионов: D0-» К~ + л+л0 или, например, D0-» К-+ л++ л++ л~.
10.77.	Неизвестная частица X — это Й--гиперон. При соударении К- и р кроме Q- образовались еще две частицы. Это пара каонов К0 и К+.
10.78!	Странность частицы 5=1. Это могут быть К0, а также D0, или В0.
Решение. По условию задачи электрический и барионный заряды частицы равны Q = 0, В = 0, а проекция изотопического спина Т3 = —1/2. Ответ надо искать, очевидно, среди мезонов, т. е. частиц, имеющих состав (кварк, антикварк).
По условию это может быть странный мезон, хотя не исключен очарованный или красивый мезон. Воспользуемся формулой Гелл-Мана—Нишид-жимы
<2 = r3+l(B + s+ c + d + /)=r3 + ly,
где В — барионный заряд, S — странность, С — очарование, b — красота, t — правдивость, Y — гиперзаряд. Подстановка в эту формулу данных задачи дает уравнение (для случая поиска странного мезона)
° = ~Щ (° + S)’
откуда S = 1. Таким образом, это К0 = (ds). В принципе, это может быть и очарованный мезон D° = (ис). В этом случае по формуле Гелл-Мана —Ни-шиджимы должно быть С= 1. Также не исключен случай совсем редкой частицы с кварками третьего поколения В°-мезон.
10.79.	Антинейтрон п.
10.80.	Y = —2, S = —3. Й“-гиперон.
10.81.	У = — 1; S = —2. Е° = (uss)-гиперон.
334
10.82.	цд++ = 2цр = 5,6цяд.
10.83.	ц-д- = 1,7рсяд. Масса странного кварка принята равной ms як MQ/3 557 МэВ.
10.84!	к л. 8-1027 монополей.
Решение. Монополь, летящий со скоростью v = V2<f>/M, в 1 с инициирует N = onv распадов протонов (о — сечение реакции, п — концентрация протонов). При этом освобождается энергия
Nmpc2 = omwipC2,
переходящая в тепло при поглощении позитрона и у-квантов. По условию konvmpc2 = Lc, где к — число монополей в Солнце. Сечение реакции распада протона находится из условия распада одного протона на длине 1 см:пра = 1; о = 1/Ир = 3-10-24 см2, где Др — концентрация протонов в 1 см3 воды, пр = 10МА(т/ц) ~ 3,3-1023 см-3, (в молекуле воды 10 протонов).
Число протонов в 1 см3 Солнца
п = ^ = _ Мс 3 -L.
Л	wp (4/3) лЯс wp
Отсюда
к = Lc = 4LcnpxRc 8 • 1027 onvmpc2 3Mcc2V 2&/М
10.85!	<Snop » 270 ГэВ.
Решение. На встречных пучках протонов (uud) и антипротонов (uud) может родиться реальный W+-6o3OH в реакции и + d = W+, если <§w > mwc2. В ультрарелятивистском случае энергия распределяется между кварками точно так же, как и импульс. По закону сохранения энергии
т^с2 = <SU + <Sa = (pu + p-d)c = 0,45	+ 0,45
Откуда	2
<§™₽ = ^%27ОГЭВ-
Совершенно аналогично при столкновении кварков d и и может родиться W_-6o3OH. Порог реакции будет таким же.
10.86. <§пор ~ 300 ГэВ.
10.87. См. рис. 195.
Рис. 195
335
10.88.	См.
10.89.	См.
10.90.	См.
рис. 196.
рис. 197.
рис. 198.
Рис. 196
Рис. 198
10.91.	Заметим, что реакция ve + р -» п + е+ не идет, поскольку запрещена законом сохранения лептонного заряда. Поэтому реакция может идти только на нейтронах. Причем, так как энергия нейтрино меньше 15 МэВ, то возможно детектирование только электронных нейтрино ve на нейтронах дейтерия в реакции ve + fd -* р + р + е“, откуда <§пор = 1,37 МэВ.
10.92.	<§по₽ = 15,5 МэВ; <§П°Р = 121,5 МэВ. ve	’
10.93!	— = — — = —0,667 (эксперимент дает — = —0,685). Рр	3	Рр
Решение. Для протона вероятность спинового состояния (t u, | и, | d) равняется 2/3, а спинового состояния ( f u, | u, f d) равняется 1/3 (согласно условию). Следовательно, предполагая, что магнитный 2 момент кварка пропорционален его заряду, получим, что Ви=з'В1;
Pd = ” | f-Ч’ г«е Bl
— «элементарный» магнитный момент. Таким образом,
магнитный момент протона равен
1/2	2	1 \ , 2
и₽ = з (зИ1“зИ1”зИ1) + 3
2	,2
j В1 + 3 В1 “
Аналогично для нейтрона состояние ( f d, f d, | u) имеет вероятность 2/3, а состояние ( f d, | d, f и) — вероятность 1/3. Поэтому
Откуда искомое отношение — = — — = —0,667, тогда как эксперименталь-Рр 3
ное значение —	=—0,685.
\Вр/ эксп
336
Покажем, почему появляются вероятности 1/3 и 2/3 при разных спиновых состояниях протона. Каждый кварк имеет спин 1/2, поэтому максимальный спин системы из трех кварков равен 3/2 — это состояние ( f u, f и, f d), соответствующее Д+-изобаре.
Если перевернуть спин одного из кварков в Д+-изобаре, то получим систему со спином 1/2. Таких состояний возможно три: (fu, f u, |d), ( f u, | u, f d) и (| u, f u, f d). При этом последние два совершенно неразличимы физически — это одно состояние. Таким образом, вероятность состояния ( f u, | и, | d) вдвое выше состояния ( f u, | u, f d) и составляет 2/3 против 1/3 в последнем случае.
Аналогично можно поступить и в системе кварков, (fu, f d, fd), соответствующей Д°-изобаре, имеющей спин 3/2. Если перевернув спин одного из кварков, получить систему со спином 1/2, то таких вариантов также три: (|u, | d, f d), (fu, | d, f d) и (fu, f d, | d). Последние два варианта физически неотличимы. Поэтому вероятность состояния (| u, f d, f d) вдвое больше состояния (fu, | d, f d) и составляет 2/3 против 1/3.
Заметим, что разность масс Д-изобар и нуклонов связана только с переворотом спина, а не с возникновением орбитального момента кварка. И нуклон и Д-изобары — это S-состояния с различными J: 1/2 и 3/2.
Сейчас к проблеме магнитных моментов нуклонов развит более наглядный подход, основанный на обобщенном принципе Паули. Согласно этому принципу волновая функция нуклона (произведение орбитальной, спиновой, изоспиновой и цветовой функций кварков) должна быть антисимметрична относительно перестановки любой пары тождественных кварков. Отсюда следует, что спины одинаковых кварков в нуклонах параллельны (цветовая функция всегда антисимметрична, орбитальная функция при 1 = 0 — симметрична, следовательно изоспиновая и спиновая функции — симметричны). Тем самым задача вычисления магнитных моментов нуклонов сводится к вычислению суммарного магнитного момента двух частиц со спином 1 (пара одинаковых кварков с параллельными спинами) и одной со спином 1/2 (оставшийся кварк).
10.94.	<о = (тд — тп)с2 = 1231 — 939 = 292 МэВ. (См. решение задачи 10.93.)
з
10.95.	"t——2"^—j	=	= Ю-10 с’ гДе ГБ — боровский радиус
а тес Ае ас
2 е электрона в атоме водорода, гкл = —— классическим радиус электрона. тс
з
10.96.	= 0,32-10~18 с, где А =-----------= 1,4-10-13 см — комп-
р яд Л3	я
тоновская длина волны пиона (радиус сильного взаимодействия), ^яд — 0,5-10-23 с — характерное «ядерное время», г1р — радиус основного состояния протониума.
2
10.97?	<SrjI = R =4лЬ= 2,64 фм.
гл 4	тпс
337
Решение. Волновая функция основного сферически симметричного состояния (орбитальный момент равен нулю) частицы в трехмерной сферической яме с непроницаемыми стенками ф = A sin . Условие на границе
ф(Л) = 0 дает разрешенные значения волновых чисел к =^п. Таким обра-Л
зом, минимальная энергия трех безмассовых кварков в непроницаемой сфере <§кв = ЗЙкс = т. к. из-за различия в цвете они могут втроем пахота
дится на нижнем уровне. Обозначим плотность энергии глюонного поля через £. Тогда энергия кварков и глюонов
£ = <§кв + ^гл = ^£ + 4ЛЛЗ-
Минимизируя это выражение, получаем
р
74 min
1/4 Г
’ а ®min
_ 4лЙс «mm
Поскольку <Smin = тпс2, то
Яп = «min = 4л — = 4лЛп = 2).п = 2 -1,32 -10~13 фм. ?ип
Энергия глюонного поля составляет:
2
р =г.1тгЯ3 — ЯЙС — WnC
®гл £ Зл «min R	4 ’
J	Лтт	**
т. е. четверть энергии покоя нуклона.
10.98.	Поскольку о(<§) <х <g2, то	—1	= 10 2.
о(<£ = 10МэВ)
338
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА
§ 1. Излучение
1.1! Решение. Из полного числа фотонов dnm с частотами вблизи со, находящимися в 1 см3 вакуумированной полости в пределах телесного угла dQ = 2л sin 0 d0, к стенке будут лететь
dnm, е = dnm | dnm sin 0 dQ
фотонов. Нормальная компонента плотности их потока dfm 0 [фотон/(см2-с) ] получается умножением dn(u е на нормальную компоненту скорости
е = dn<», 0-с cos 0.
Если считать, что фотоны отражаются от стенки зеркально (это не сказывается на
общности результата), то каждый из них
передает стенке импульс 2рп = 2 ^-cos 0. Таким образом, фотоны создают
давление
dPm, 0 = 2Рп dU 0 = rfP<0 COS2 9 Sin 9 rf9’
где dpm = Йсо dnm — плотность энергии фотонов с частотами вблизи со. Давление, создаваемое всеми фотонами частотой со,
я/2
dPm = dpm, 0 = dPm $ cos2 0 sin 0 d0 = 1 dpm.
(0)	0
Полное давление
p=SrfP»=Hrfp»=lp-(®) (“)
Малое отверстие в полости ведет себя как абсолютно черное тело, поскольку излучение, попавшее через это отверстие внутрь полости, в результате многократного отражения от стенок практически полностью поглощается, так что коэффициент поглощения отверстия можно считать равным единице. Излучение, покидающее полость через малое отверстие, по интенсивности и спектральному составу идентично излучению абсолютно черного
339
тела с температурой Т. Вычислим, какую энергию в интервале частот da> испускает в единицу времени полость через отверстие площадью dS при плотности излучения dpm в полости. Энергия этого излучения, выходящего из отверстия под углом 9 к нормали к площадке dS в телесном угле dQ = 2л sin 0 d0 (рис. 199), очевидно, равна
dptc dS cos 0 — = J- dp,,с dS cos 0 sin 0 d0.
Суммарное количество энергии в интервале частот dco, исходящее из отверстия в единицу времени, найдем интегрированием по полупространству
Л./2
i dpac dS cos 0 sin 0 d0 = - dpac dS. о	4
Интегрирование по всем частотам дает полное количество энергии, исходящее из отверстия в единицу времени: 2^-dS. С другой стороны, отвер-4
стие имеет ту же излучательную способность, что и абсолютно черная поверхность той же площади: j dS, где j [эрг/см2-с] — плотность потока энергии излучения. Таким образом, мы получаем
др) — р(г)с	(*)
Иногда (в фотометрии, например) интегральную (по всем частотам) плотность потока энергии, излучаемой с единицы поверхности протяженного источника излучения в телесный угол dQ под углом 0 к нормали к поверхности, записывают так:
d/0 = В0 cos 0 dQ.
Коэффициент пропорциональности В0 называют в этом случае яркостью протяженного источника в направлении угла 0. Если В0 не зависит от угла 0, т. е. В0 = В, то такой источник называют ламбертовым. Абсолютно черное тело — ламбертов источник излучения. Вычислим суммарную плотность потока энергии излучения /, посылаемую единицей поверхности абсолютно черного тела в телесный угол 2л:
л./2
j = В cos 0-2л sin 0 d0 = нВ.
О
Кроме того, эта же величина в соответствии с законом Стефана—Больцмана равна оГ4, где о = 5,67-10-5 эрг/ (с-см2-К4). Приравнивая (**) к полученному ранее выражению (*), получаем, что яркость
^4 в_ рс _оТ 4л л
Плотность потока энергии, излучаемой на всех частотах с единицы площади абсолютно черного тела, имеющего температуру Т, в телесный угол 2л, называется энергетической светимостью (интегральной излучательной способностью)
340
R(T) =РЩ£ = аТ4
'	4
В соответствии с вышеприведенными рассуждениями излучательную способность абсолютно черного тела на частоте со под углом 0 к нормали, можно записать так
Лсо,е = ^Рсо cos0-
Это выражение называется законом Ламберта.
1.2!	р(Т) = аТ4; s(T) =^-Т3, где а = ^-.
Решение. Пусть равновесное тепловое излучение содержится в объеме V. Тогда его внутренняя энергия U и энтропия 5 соответственно равны
U(V, Г) = р(Т)К; 5(К, Т) = s(T)V.	(*)
Воспользуемся термодинамическими тождествами
(эзЛ = |'эр\ . т =с = (—
v
Подставляя в первое из них уравнение состояния излучения Р = р(Т)/3 и соотношение (*), находим, что
1 /**)
( ’	3 dT
Подставляя полученный результат и первое из соотношений (*) во второе тождество, находим уравнение для р(Т)
2
d р _ 3 dp dF TdT’
откуда р (Г) = аТ4, а также
$(Г) =т4т = Таг3-v '	3 dT 3
Полученная постоянная а в этих выражениях может быть выражена через постоянную Стефана—Больцмана о = 5,67 • 10-5 эрг/(с-см2-К4). Интегральная плотность потока теплового излучения j [эрг/ (см2-с) ] зависит от температуры по закону Стефана—Больцмана j = ctT4. Кроме того, j = ср/4 (см. задачу 1.1), откуда постоянная а = 4о/с = 7,56-10-15 эрг/(см3-К4).
Заметим, что соотношение / = ср/4 легко получить, если рассматривать излучение как идеальный газ фотонов, движущихся со скоростью с. Как известно из молекулярно-кинетической теории газов, плотность потока частиц, т. е. число частиц z, движущихся со средней тепловой скоростью ~v и пересекающих за 1 с единицу площади поверхности стенки сосуда, равно z = п77/4. В этой формуле п — концентрация молекул газа, в нашем случае — это число фотонов в единице объема.
1.3.	S2-Sl = ^T3(V2-Vl).
1.4.	А = —; cv = 1^. Г3; Р = — Г4; cv = 8сйд; Ф = 0.
Зс v Зс	Зс v v
341
Ь5- А = ^7-3(7-|-7-2)(И2-И|).
1.6.	р=32с>Т4= 1,26-10~3 дин/см2 = 1,26-10“4 Па як 10~6 мм рт. ст. Зс
1.7.	Ср = оо; КТ3 = const или PV4'3 = const.
I \1/4
1.8.	Т= — Р » 1,4-105 К.
у4о /
1.9.	п = -^-Т3л 1,8-107 см-3.
ЗскБ
1.11!	n = J-^SL г3 = 7 3-ю10 см-3, Г =1 = 250 К.
ЗскБ	г 4
Решение. Температуры в обеих частях сосуда разные. Запишем условие механического равновесия поршня
Л=«ЧЛ = §^ = р2,	<*>
где индекс 1 относится к газу, а 2 — к излучению. Естественно предположить, что Т\ так что давлением излучения при Т\ можно пренебречь. По условию задачи при малых изменениях температуры в обеих частях сосуда на одну и ту же величину направление смещения поршня не зависит от знака этой величины. Это означает, что в зависимости объема одной из частей сосуда от температуры имеется экстремум (минимум, если система устойчива), в окрестности которого dV/dT = 0. Так как N = nV = const, то в линейном приближении по отклонениям от равновесия п + V = О, и, следовательно, дп/дТ = 0. Тогда из соотношения (*) следует
пкъ <П\=^<>Т32 dT2.
По условию задачи dTj = dT2, vncfj»
з
7,3. Ю10 cm-3.
ЗскБ
Начальная температура газа Т। = Т2№ = 250 К. Поэтому отношение давлений
,	, 4
„ИЗЛ 1Т \
Pl	[-'ll	1
излучения-----= — = —— <sc 1, что оправдывает сделанное предположе-
ризл	(7’2/	256
ние о малости температуры газа в сравнении с температурой излучения.
1Л2! Г4(Г) =Г“ лР+Тр77'
Решение. Поток энергии, излученный элементом поверхности dSr, и
падающий на элемент другой поверхности dS2, определяется соотношением
^2ф _ В dSi ds2 cos 6] cos62
R2
342
где в соответствии с рис. 200 П[ ип2 — единичные векторы нормалей к соответствующим площадкам, R — расстояние между площадками, В — коэффициент пропорциональности, называемый поверхностной яркостью (см. задачу 1.1), вообще говоря, зависящий от угла 0j (а также азимутального угла ipj, не изображенного на рисунке). Для абсолютно черного тела В = const (за-Т4
кон Ламберта) и В =----. Если ввести те-
л
.„	</$2 COS 02
лесныи угол aQ? =----------, под которым
Я2
видна площадка dS2 из центра первой площадки, то
<У2Ф = ds1 cos 0|tZQ2-Л
На рис. 201 изображен шар — источник равновесного излучения, а под ним — зачерненная с обеих сторон поверхность, где и надо найти распределение температур. Из соображений симметрии ясно, что Т = Т(г). При условии /г»а телесный угол, под которым из центра шара видно кольцо радиусом г на плоскости
2лг dr cos 02 _ 2лг dr h
d 1
Кроме того, условие h» а позволяет считать, что ftj где р — угол меж-
ду нормалью к dS} (т. е. радиусом) и вертикалью. Поэтому dS{ cos 0j «г «г dS1 cos ф = где dS\ — проекция dS{ на экваториальную плоскость шара. Суммирование (интегрирование) по всем элементам полусферы дает ла2. Поэтому поток излученной шаром энергии и поглощенный кольцом
* (/1+г2)3/2
В равновесии этот поток переизлучается кольцом по обе стороны плоскости:
Рис. 201
d<t> = 2лг dr-2oT4(r).
Из
равенства этих потоков и следует ответ
a2h 2(h2 + г2)312'
Г4 (г) = Г4
1.13.	Т4(г) = Тп--Rh .. , где г — расстояние на плоскости до проек-
2(/i+r)
ции оси цилиндра.
2 2
1.14.	T4(r)=rg 22-
2(h2 + r)2
343
1.15.	Г, = Г	-Д	v'cos 0. cos	02;	—9 - °— = 21/8 л	1,09.
2	1	’Я________1	2’	г2(9 = л/4)
4^	\~
1.16.	Г, = Т.Д - 1 -	' , Л 1125 К.
1.17.	Аъ 1 - Р^;
40 D 16
1.18!	Т = —	= 1500 К.
2 V F
Решение. Вычислим величину телесного угла Q, под которым была бы видна линза из центра Солнца. Пусть/, — расстояние от Солнца до Земли, a D — диаметр линзы. Угол а, под которым из центра Солнца виден радиус линзы, равен а = D/2L, отсюда
/ D \ 2
Й = 2л (1 — cos а) = 4л sin2 — ла2 = л — . v	2	\21.)
Плотность потока энергии, излучаемой с поверхности Солнца, j = oTq. Поток энергии, излучаемой с поверхности Солнца в единицу телесного угла, аТс4лйс равен------------. Мощность солнечного излучения, падающего на линзу,
4л
Nc =	.
Нагреваясь, шарик, излучает. Когда поток энергии, полученной от Солнца, сравняется с потоком излученной энергии, установится равновесная температура шарика. Поток энергии с поверхности шарика диаметром d
Л1ш = оТ44л С
По условию размер изображения Солнца acF равен диаметру d шарика,
2*с	~	.
где ас = —— — угловой размер Солнца, а г — фокусное расстояние линзы.
Таким образом,
7Vm = oT4nd2 = оТ4ла^2 = оТ4лГ2
Приравнивая потоки энергии Nc и Nm, получаем
аТ^&л ~ = оТ4^2л 4/.	L2
откуда и находим искомую температуру шарика
Г = — ^= 1500 К.
2 1F
1.19. Т = Т0
1 + ---4”2
4aTod
1980 К.
344
1.20.	l,5-10“8.
i-'M 2acoT
1.21.	Г = \pL(-L}2 ъ 5850 К.
₽ад V a I «с I
1.22.	D = SS JZ = 1,55-106 см = 15,5 км, где T -?-’-29 = 1,45-107 K.
T ’°	AmaxtCM]
1.23.	T2 = (T4 + T^l2 - Т^т1) 1/4 » 340 K.
1.24.	T = Tc = 2120 К.
I^c
1.25.	T = TC 'y—, где 2. — расстояние от Солнца до соответствующей планеты; Тъ Як 340 К; Т3 «к 290 К; Тм Як 230 К; Тю як 130 К.
Перегрев поверхности Венеры возникает вследствие парникового эффекта. Атмосфера Венеры толще и плотнее земной, в ее составе значительную долю составляет СО2. Атмосфера пропускает солнечный свет с л — — 4800А (6000 К), но не пропускает л — 10 мкм (300 К).
1.26.	Тс = 2Т3аё1/2 як 6000 К.
1.27.	^Т- = ————е)5оТ	0,25-10~3 К/с — 0,96 К/ч, где принято:
at	Мс
масса человека М = 70 кг, поверхность человеческого тела 5 ~ 1 м2, удельная теплоемкость тела человека с = 4,2 Дж/ (г-К) (удельная теплоемкость воды). Можно также оценить максимальную длительность пребывания человека в открытом космосе (без принудительной вентиляции). Если при
нять, что максимально возможная температура для человеческого тела 2 „,.,v = 315 К (42° С), то тогда А7’„,.,„ = 5,4 К. Полагая найденную dT
~^ = const, получим г-6ч. Учет нелинейности производной только увели-
dT
чит г (——> 0 с ростом Т и поэтому значение г вырастет). dt
2
1.28. 1) А =	= (0.905-=- 2,53)-108 км.
2	/ , 4
2)^ = 4 1 -	.
L	\тс)	лгоТс(1-а)
В случае 1) ответ не зависит от отражательной способности а; в случае 2) диапазон а определяется диапазоном температур и условием (Ас/А)2 > 0 (правая часть положительна). Отражательная способность а должна лежать в пределах 0,773 < а < 0,971.
Отсюда следует, что при а г 0,971 станция не может работать в непрерывном режиме на любых расстояниях от Солнца (и без Солнца будет перегрев); при а « 0,773 получаем L> 0,96-108 км, т. е. станция может работать на сколь угодно большом расстоянии от Солнца; при а = 0 Сяк (0,93 -н 2,9) • 108 км.
1.29t z/max = як 0,1 см/с. где А — 56 г/моль — атомная масса железа.
345
Решение. Согласно решению задачи 1.1 плотность потока энергии, излученной с поверхности пластинки под углом 6 к нормали в телесный угол = 2л sin 0 </(), равна
di — cos 6 </Q.
4л
Так как пластинка излучает лишь в полупространство, то она получает составляющую плотности потока импульса в направлении угла 6:
dp = О. = Р-cos в dQ
с 4л	см -с
Понятно, что только проекция составляющей импульса dp, дает движение
пластинки вдоль по оси z (рис. 202)
dp, = — cos2 6 </Q = -2- cos2 6 • 2л sin 6 dQ.
- 4л	4л
Полная плотность потока импульса, которая в силу симметрии направлена нормально к пластинке, равна я/2
р, = Р fCos26sin6</6=£ = --T4
2	2	6 3с
о
Найденная величина — это нормальная компонента импульса с единицы площади
в единицу времени, т. е. нормальное давление. Полный импульс, полученный пластинкой, находится интегрированием нормального давления по площади пластины 5 и по времени излучения t. В соответствии с законом со-
хранения энергии он равен
Рполн = dSdt = 2- dSdt = ±- <£, J	ОС J	ОС
где ё — полная внутренняя энергия пластинки, переходящая в излучение. В
соответствии с законом Дюлонга—Пти <а = 3&КТА', где ^ = — = АТ — — чис-
D	m A
ло атомов железа в пластинке, М — ее масса, А — атомная масса. Использованное для & приближение является довольно грубым, т. к. не учитывает уменьшения теплоемкости при остывании пластины ниже температуры Дебая (для железа примерно 500 К). Тем не менее его можно использовать для оценки максимальной скорости, развиваемой пластинкой. Таким образом,
Рполн 2RT л ,	,
rmax =	°’1 см/с-
max м сА
1.30. ДТ = ТЧ —Л7-10 3 К, где 7\ — средняя температура поверх-4ТГ
ности Земли. ^тах я» 1,5-1015 Вт = 150 W.
1.31. Т = Д ....-Lcy- = 278 К; ДЯ = - 2R —---------109 м.
’ 16лЯ2а	т
346
1.32. Т =
Истинная орбита Земли эллиптическая:	ss 152 млн км, a Rmi„
1	’	II11II
«г 148 млн км. Полученная оценка допустимых отклонений по порядку величины совпадает с этими отклонениями. Следовательно, реальная оценка допустимого температурного перегрева Земли несколько занижена.
/Р , .AIM
11,1 К, где N =	— — число ядер в кусочке
(\ 2/3
——|	— площадь поверх-
4лру
ности кусочка. Вклад осколков деления в разогрев шарика несущественен в силу большой разницы их парциальных времен полураспада.
1.33	. Теплообмен падает в N + 1 раз,
(A + l-n)^ + n7x4	n
п	^ + l
1.34	* 1) ТА2 = 950 К; 2) ТА2= 1230 К.
Решение. 1) В первом случае ток не изменится. При повышении напряжения вдвое мощность тока увеличится также вдвое. В стационарном состоянии излучаемая мощность возрастает в VT раз и будет равной 950 К. Аналитически это записывается следующим образом
= e7A = const;
W'aI _ e^A^Al _ °Тд1
И'дг е^дИлг оТа2
откуда ТА2 = ТА1 —	950 К.
2)	Во втором случае ток возрастет в 23/2 раз, а мощность в 25/2 раз. При этом температура анода повысится в 25^ раз и достигнет величины =* 1230 К. Запишем это:
, х 1/4
1.35. ТА2 = ГА1 И = 1083 К,
где = ^А1КА1 + И%акл1 ъ АГа1 + И%акл1 = 200 Вт, W2 = <^А2^А2 + ^нак2 = ^А2^- <^A2*h) + ^накг = 2550 Вт.
1.36.	=	----10-3
^пок С ШрП 4
1 Ризл _______32яо7' g
^маг СВ
1.38.	яе 0,38 (38%) — с учетом зависимости со-
Е j 5 квТ V
противления нити от температуры
А£
’ Е
1 Йш АР
2 квТ V
0,48 (48%) - без уче-
та этой зависимости.
347
J 39* A® AS Ар =	0,0256 (2,56%),
В p k^Tfi Tq
Д7' = A " Д'—- я» 5,6 К
16 ay V лт^
Решение. При данной температуре диссоциация азота не происходит, т. к. 9,74 эВ » 0,216 эВ (ЛБТ0). Концентрация молекул азота п = —	= 1,93-1015 см-3. Длина свободного пробега молекул азота Л =
= ——	2,8 см > 2 см — размера колбы лампы. Таким образом, движение
молекул внутри колбы — бесстолкновительное. Для оценки будем считать, что всю энергию, полученную от спирали, молекула теряет при столкновении с холодной стенкой, которая имеет температуру ТД — 300 К. Число nv ударов в единицу времени о единицу поверхности стенки z = —, где 4
на среднюю энергию одной молекулы <о = СуТс. интенсивность
потери энергии JVnoT — z<g), а вращательные возбуждены, т. к.
+ 2	+ 2
— = -2—= 5- Ю-4 эВ «0,216 эВ (ЛБТ0)
27 mNa
(здесь mN — масса атома азота). Теплоемкость, приходящаяся на одну молекулу, Су = сП0СТ + свр = -|-^Б, т. е. £ = |-£бТ0. Таким образом, интенсивность потерь энергии
Аот = j
О
Уравнение теплового баланса
о(Т0—ДТ)4 + А%от = gTq.
Считая ДТ <к То, получаем
ДТ ~	дБИ as 5,6 К.
4оТо 16 оТо ’ ItmN
При А. = 5000 А отношение	= ——— = 11,5, поэтому ей“^вго » 1 и
квТо кк^Т0
р (со) <х со3ей“^ЕГ«. Отсюда следует, что при изменении температуры на ДТ
— = ^V-^% 0’0256 <2’56%>.
Р	к},То, I 0
Поскольку излучательная способность (яркость лампы) однозначно определяется спектральной плотностью излучения, то искомое отношение равно — = 0,0256.
В
1.40* T2fe 80 К.
Решение. Частота, соответствующая граничной длине волны Ао = 5 мкм, равна соо = 2лс/А0 = 3.8-1014 с-1. Поскольку пластинка облуча
348
ется потоком солнечного излучения, то необходимо вычислить частоту, на которой спектральная плотность солнечного излучения рг(со) максимальна.
Если считать Солнце абсолютно черным телом, то в соответствии с законом смещения Вина эта частота
со* «г 2,8-^-£» 23-1014 с-1, п
откуда видно, что <о0<е<о*.
На рис. 203 показана спектральная плотность излучения Солнца рг(со). Из рисунка вид
но, что кварцевая пластинка по-
глощает лишь только малую часть излучения солнечного спектра (область, обозначенная штриховкой). Поток энергии, приходящий на кварцевую пластинку площадью 5 от Солнца, равен
о 3
f пш da>
J 2 з hMikKTr 7
q л с е Б с—1
-°0	2
г со к\,Т( с/со
\	2“3
О Л С
з,
О уу 12л с
4,3-108-5
С
Рассчитаем теперь поток энергии, получаемый абсолютно черной пластин кой (в тех же условиях)
фчерн = SoT4c» 734,8 108-5 [ эрг/с] , т. е. поток энергии, поглощаемый абсолютно черной пластинкой, больше такового для кварцевой пластинки в фчеРн/ф^ 170 Раз-
Черная пластинка имеет равновесную температуру = 300 К. В соот
ветствии с законом Стефана—Больцмана поток излучаемой ею энергии (с двух сторон)
Ф'черн = 2SoTl = 4,59- 105-2S[ эрг/с] .
Кварцевая пластинка, находящаяся в тех же условиях, излучает поток
Ф' = 25
ОС
<э7’4 — р(со) doo
“о
(*)
На рис. 204 показана спектральная плотность равновесного теплового излучения кварцевой пластинки при температуре Т2. Штриховкой показана область частот, в которой пластинка не излучает. Предполагаем, что
со0»2,8ЛБТ2/Й. В этом случае интегралом pr(cv) c/oj в формуле (*) можно
“о
349
пренебречь. Условием теплового равновесия является равенство поглощаемого и излучаемого потоков энергии, т. е. Ф = Ф' и Фчерн = Ф'черн. Поэтому
а>0
Ф'^гх^рИ^^^-^Ф'черн-о
откуда ТЗ = или 7\ =	80 К.
170	<170
В заключение убедимся, что а>0»2,8ЛБ7’2/Й. В самом деле
ss 0,3-1014 с-1 <к 3,8-1014 с-1 = о>0. Таким образом, наше приближение оправдано, и задача решена.
1.41.	Ф «г 5^- аТ4х^е~хо 8,1 • 10-6 Вт, где =	16,2, 5 — пло-
л	*б7’
щадь окошка.
, / f \3
1.42.	х = А -Д- % 0,003.
л4 \кБт)
1.43.	х = 4 -Д-1 е~/Гт» 1,63-10“7. л4	б
4 л.Зт*4 4	*4
1.44.	Т = — -4-т- = —	5840 К.
5 h Шб 5 6
4 II. Т*\ 3
1.45. Т = 2L Т* 370 К.
5 I Йо>1 ]
1	/о—71
1.46.	d = - In ——- = 23 см. х	70
1.47.	(AJV?)	Та<: ?С — ехр — —I =5,9-109. Относительная
л л	2л * I кБТл]
флуктуация = 1’3-10-5.
Заметим, что в задаче требуется определить среднеквадратичную флуктуацию сигнала, т. е. энергии, принимаемой приемником. Покажем, что при условии Й<1>»/С|;7’ это будет флуктуация числа фотонов. Строгая термодинамическая формула для флуктуации энергии имеет вид
{\^ = къТ2^.
В интервале частот от со до о> + d<x>
t- з
{&) = VpT(a>)da> Соответственно (А£2)=4з Л с	_ V	пш	 23	/йт\ Л С	Па>	_ 1 е Р 1*ЪГ) 1 + 2 4	( flex) \ п о) ехр j-у 	 Б 2 dU>- exP^Erj -1
350
При Йо/(къТ) 1 (область Вина)
(Д<£2) «= Й2ш4 ехр (— rfco = Йо>(<£). х с	у k^Tj
Сравнивая с результатом для флуктуации числа частиц идеального газа
(Дл2) = (п), мы видим, что в этой области справедливо представление о фотонах как газе независимых частиц
(<§) = (п)Йсо.
Напротив, в области Рэлея—Джинса справедливы волновые представления о свете и
(Д<§2) = къТ@).
1.48. Т = 2я^с—= 2,96 К; при X, = 30 см сигнал уменьшится в 1000 1,62ХбХ?
раз.
1.49? В обоих случаях Гэфф = ——= 4,7-1017 К. Хбя стДХ
Решение. Энергия, уносимая излучением за время dt с площадки dS под углом 0 к ней в телесный угол t/й
dS = I „ da> dQ dS dt,
co. 0
где I . = cos 0 — излучательная способность АЧТ на частоте ш под уг-<*> У 4д
лом 0 к нормали. Согласно распределению Планка * з
__ п______<0
0(0	2 3	,
лее Б —1
Если рассматривать излучение вдоль направления нормали к площадке, то 0 яг 0; cos 0 ях 1.
Переходя к конечным приращениям, запишем
Д<§ = —ДшДЙДХД/, Д<£ = <£, Д/ = т.
4л
лР2
Случай а): В отсутствие фокусировки Д,$ = .$ = ——, Дй = 2л(1 —
(*)
— cos <р) = 4л sin2 где <р — угол дифракции на выходном отверстии. По-
.	2.2
лагая, что sin >р ~ >р ~ —, получим Дй яг ——. В свою очередь,
До =
= ^£- ДХ. X2
После подстановки найденных величин в (*) получаем
<£ =
тг3Йс2ДХт
л3
л ехр
^Б-^эффУ
Вычислим выражение в скобках:
ехр ( Й<й—
351
Полученный результат означает, что ———«: 1. Тогда Х|Д'эфф
Гэфф =	= 4,7-1017К.
л ст ДХ «б
Заметим, что полученный ответ — чисто «классический», т. к. постоянная Планка в нем отсутствует. Это означает, что можно было воспользоваться для вычисления рю формулой Рэлея—Джинса, а не Планка.
Случай б): При максимальной фокусировке с помощью линзы с фокус-
/	1 \ 2
ным расстоянием F площадь пятна в фокусе AS =л1Р—I , а телесный
D2 '	7
угол схождения лучей в фокус АЙ'=—у.	Отсюда следует
4/
2,2
АЙ'AS'=-2-^—, т. е. такая же величина, что и в первом случае. Полученный результат АЙА5 = const является общим свойством оптических систем: поверхностная яркость предмета и его изображения одинаковы. Можно считать, что изображение «излучает» в телесный угол АЙ'. Поскольку все остальные параметры при фокусировке не меняются, то ответ будет таким же, как и в случае а).
Фактически ответ можно получить и из качественных рассуждений. Энергия <£ в интервале Асо излучается лазером с площадки S в телесный угол АЙ ~ X2/S за время т. Энергия, излучаемая абсолютно черным телом с той же площадки, в тот же угол и за то же время есть рдаАо>АЙт5, где
Сравнивая, получаем йБТэфф ~	. Линза не меняет спект-
рального состава излучения, а значит, не меняет эффективную температуру.
1-50? Гэфф = 2£_=1,47-10мК. л кв
Решение. Поскольку энергия лазерного излучения <£'= 1 Дж (что соответствует температуре &/к^ ~ 1023К) сосредоточена в очень узком спектральном интервале, то можно с уверенностью считать, что для абсолютно черного тела, имеющего температуру Тэфф, йБ7’эфф Йсо (си — частота излучения лазера, — 2 эВ для красного цвета). Таким образом, спектральную плотность потока энергии излучения черного тела (спектральную светимость йг(со)) можно записать, ограничившись классической формулой Рэлея—Джинса.
2
= /г(о>) = £ Рг(о>) =	= ^4-
4	4л с X
Спектральная яркость излучения абсолютно черного тела Вг(о>) связана со спектральной светимостью соотношением йг(о>) = лВг(со), являющимся
следствием закона Ламберта. Откуда Вг(о>) =
лХ
352
Найдем спектральную яркость лазерного излучения Влаз(со). Если обозначить плотность потока энергии на выходе лазера как q, сечение пучка на выходе 5 = а время импульса излучения т, то, тогда очевидно, что
£	4<£
Q = ^~ = —2--
St	-xD \
Ширина спектра импульсного излучения Av яг —, а телесный угол, в котором т
распространяется лазерный пучок,
I \ 2
АЙ = 2л(1 — cos 0) « л02 яь л .
Таким образом, искомая спектральная яркость лазера
В (о>) = -А— = —-----------= AL.
лазк AtoAQ ,/п2 А2
По условию Вт(к>) = Влаз(со), откуда
ГЭфф = -^= 1’47-1022К.
л кБ
Эта колоссальная температура полностью оправдывает применение классической формулы Рэлея—Джинса.
Как ив 1.49 можно привести качественную оценку. Поскольку здесь Av-т^ 1, то ЛвТ’эфф-^-
1.51. 7\ .. = ALL 2L = 2,65-1016 К.
2лскв Av
Как и в 1.49, считая, что <£/т — р, получаем ^Афф “ p/Av.
1-52- Тэфф= ™_=1,47-1015К. л k^bv
Как и 1.49, поскольку (£ = Жт, то ^в^эфф
»-53? Тэфф = аТ = 3 К.
Решение. Антенный тракт представляет собой волновод, по которому электромагнитное излучение передается к приемнику. Поглощение возникает главным образом из-за конечной проводимости стенок волновода. Пусть йг(о>) — коэффициент поглощения (поглощательная способность), а Яг(со) — излучательная способность материала волновода при температуре Т на частоте со = 2лс/Х. Тогда по закону Кирхгофа
R'/ (to) —-	(to),
где £г(со) — излучательная способность на частоте со абсолютно черного тела, имеющего температуру Т. По определению эффективной температуры /?г(со)=/^?\ откуда «г(со)£г(со) = ег^(со). Очевидно, что Тэфф < Т. Предположим, что Йсо «: &БТэфф. Тогда в приближении Рэлея—Джинса и при условии, что«г(со) ^а, получаем
353
2	2
(О Л — ъ пг
~ГЗ^Б	ГЗ КБУ эфф-
л с л с
откуда и следует ответ Гэфф = аТ = 3 К.
Так как ———= 0,16 <к 1, использованное приближение оправданно. *|Т'эфф
1.54?	= 9,5-104 эрг/(см2-с) =9,5 мВт/см2, ятах =	=
° Л	тах 2ANarX
= 9,2-107 см/с2.
Решение. Существование силы светового давления обусловлено изме
нением импульса атома за счет процессов «поглощение + спонтанное испускание». При поглощении фотона импульс атома получает приращение Йк. В то же время при спонтанном испускании фотон излучается в про-
извольном направлении, и поэтому
при многократном повторении процессов поглощения и испускания средний импульс, уносимый фотонами, равен нулю. Поэтому в среднем каждый процесс «поглощение + спонтанное испускание» изменяет импульс атома на величину Йк (к = о>0/с). Однако, наряду со спонтанным излучением, в потоке излучения может происходить и вынужденное (индуцированное) излучение, при котором атом отдает импульс вдоль заданного направления (волнового вектора излучения). В результате совокупного действия поглощения фотонов и их последующего индуциро-
ванного и спонтанного излучения движение атома имеет характер систематического дрейфа в направлении вектора к (рис. 205) (длины стрелок одинаковы).
По определению сила, действующая на атом, равна
f = AE
д/’
(*)
где Др — изменение импульса атома. Промежуток времени Д/, когда систему можно описывать классически, выбирается достаточно большим, чтобы за это время произошло много актов поглощения и испускания. Имеется два характерных масштаба времени: т и 1/(оФ). Характерное время спонтанного испускания т связано с шириной линии и вероятностью спонтанного испускания lTcn ~ 1/т. Характерное время процессов вынужденного поглощения и испускания 1/(<тФ) определяется сечением взаимодействия о фотона с атомом и плотностью потока фотонов Ф [см-2-с-1]. При этом пф ~ wn = 1Иисп, где Wn и Жисп — вероятности вынужденного поглощения и вынужденного испускания фотона (рис. 206). Таким образом, промежуток времени Д/ должен удовлетворять условию Д/»т, 1/(оФ).
354
Пусть ип2 — относительные заселенности уровней нижнего и верхнего состояний соответственно (рис. 206). Они удовлетворяют системе уравнений dni -----------------------------= — офц., dt---------------------------1
 dn2 п2 .
—- =	оФп„
dt т	2
"1 +п2 = 1.
В стационарном состоянии скорости переходов «вниз» и «вверх» должны из (**) следует условие баланса оФп1 = — + оФ/^ и
быть равны, и тогда
выражения для п1 и
пг-
оФ + —
«1 =-----т;
2оФ +-
и - оФ
П2	Г'
2оф Ч—
(**)
Ф заселенность нижнего уровня ^->1-1-0, а верхне-
соответствует насы-

Wn
W ккисп
W кгсп
«1
Рис. 206
Видно, что с ростом
го —	0, что
2	2
щению. В качестве предельного значения
можно взять Ф„ яг ——. 0 2от
Плотность потока энергии насыщения
= ЙшФп яьПоскольку сечение по-и	и 2от
глощения фотона — процесс резонансный, то согласно формуле Брейта—Виг-.2	2*
нера о = 4лЛ2 = —и /0 яг я 3 с = 9,5-104 эрг/ (см2-с) = 9,5 мВт/см2. Здесь я	л т
сечение процесса поглощения считается как сечение упругого рассеяния. Это связано с тем, что в начальном состоянии были фотон и атом, а в конечном состоянии — атом и фотон. Как следует из вышесказанного,
инд = 0 + ЙкаФ('г1-'г2)=Йк2^Г-
F = АР = APj
AZ	\ AZ / споит
Следовательно, при ф->со, получаем
I Fmax I = откуда атах = ^ =	= 9,2-10^ ( ~ 10^).
I | Z/Z	7W Х-Л^аТЛ	С
Выражение для силы F может быть интерпретировано следующим образом: F = Нк т. е. произведение импульса одного кванта hk на вероятность спонтанного излучения в единицу времени 1/(2т). Последняя в свою очередь есть произведение вероятности того, что атом находится в возбужденном состоянии ( = 1/2) на вероятность спонтанного излучения при условии, что атом возбужден ( = 1/т).
Отметим, что если бы спонтанное излучение отсутствовало, то было бы F = 0 (при т->оо, F-»0). За большой (Д/»т-»со) промежуток времени
355
атом поглотит и излучит в том же направлении одинаковое число квантов. Спонтанное излучение нарушает этот баланс, и в результате импульс атома равен импульсу тех поглощенных квантов, которые были переизлучены спонтанно.
1.55.	Обозначая вероятность индуцированного перехода с n-го на т-й уровень рпт (рпт = Ртп), а спонтанного перехода в случае атома
=	—^е-Пи>1кБТ» 1,6-10-17 (Йсо »ЛБТ).
wnm	Б
Для электронного спина в магнитном поле
ТГ^^ГТ-2’2'103 ^ЪТ»2^ЪВ).
1.56.------)<----—	л 10,6-1 (Г4 см.
кБТ In 101
1.57.	х(Т) = xoth-^~; 1) х(Г)
v 1	° 2кБТ v 1 °2кБТ
2) х(Г) ^х0 1-2ехр[-^ . и/	3
1 со* ^сп _ л: Ос
1«Эо« q	з- •
1Т‘П Voy
Решение. В квантовой физике спонтанное излучение возникает из-за возмущающего влияния на молекулу нулевых колебаний электромагнитного поля. Вероятности спонтанного и вынужденного излучений выражаются через коэффициенты Эйнштейна А и В и плотность энергии излучения р(со) ^вын = р(ш)в; жсп = л;
при этом B/A = [Йсо£)(со) ] где ST (со) — спектральная плотность мод (осцилляторов, числа колебаний) поля в единичном объеме. Таким образом,
^выН== р(со) = . т
^сп ^toO(to)
где п(со, Т) — число фотонов данной моды колебаний.
Как известно, для невырожденных уровней одной моды молекулы (атома) вероятности вынужденного излучения и поглощения равны. Рассмотрим молекулу в поле излучения со спектральной плотностью потока энергии /(со) « ср (со). Здесь точное значение коэффициента пропорциональности зависит от углового распределения излучения. Так для параллельного потока /(со) =ср(со), а для изотропного излучения /(со) =ср(со)/4. В резонаторе этот коэффициент зависит от пространственного распределения поля, но по порядку величины он близок к единице.
Поглощаемая молекулой мощность
Л
— ]/(ш) а(а))
где о(со) — сечение поглощения молекулы. Поскольку функция о (со) быстро спадает при удалении от резонансной частоты соо, то можно записать 47-/(шо) ^а(ш) rfw « cp(<»o)s’
(ll	J
356
Если теперь записать d&lat = Йсоо1Увын, то из
cp(co0)S	_ cS
X —-------, откуда В ос т—
где 5 — площадь под кривой поглощения о(а>). В обоснование вышеизложенного отметим, что в вакууме /(со) является плавной функцией ос со3, а в резонаторе /(со) занимает частотный интервал Дсо = co0/Q, который по условию задачи превосходит собственную ширину линии Г, т. е. ширину кривой поглощения с<(со). сравнения получим
W
вын
и не зависит с точностью до коэффициента от того, где находится молекула: в свободном пространстве или в резонаторе.
Вероятность спонтанного излучения
1У= ^R. 1Н----5---=	= Йсо© (со) В.
сп вынп(ш! г) вын р(ш)	Г >
Запишем эту вероятность для двух случаев — в резонаторе (1УСП) и в свободном пространстве (1Урп)
^с„ ЙС1>о®рез (шо) ^сп	AcOq© (ci>q) В.
Искомое отношение этих вероятностей есть
И'.П _ о/)рез(ч>о)
т. е. вероятность перехода пропорциональна плотности конечных состояний. В свободном пространстве (вакууме) спектральная плотность мод
2
£)(соо)	А в резонаторе, настроенном на частоту перехода, в интер-
л с
вале частот Дсо имеется только одно колебание (мода). Тогда спектральная плотность числа мод (осцилляторов) поля имеет порядок ©рез(со0) ~
1 Q
~~	, откуда следует ответ
Дсо-У Сод И
ИТп ~ л26с3	(*)
Va>3 '
В случае 1) получаем 4-102, а в случае 2) получим — 4-10~8.
Как видно, в зависимости от конкретных данных возможны различные ситуации.
Приведем еще одно решение этой задачи. Вероятность спонтанного излучения молекулы равна вероятности поглощения, т. е. вероятность вынужденного испускания под действием одного фотона. В свою очередь вероятность поглощения пропорциональна времени нахождения фотона вблизи молекулы в резонаторе тр. Из соотношения неопределенностей
1„Д<о~ 1, откуда т~-^- = Я = ^-.
р	р Дсо со 2лс
357
Минимальный объем резонатора при длине волны X соответствует условию 3—	ov^
X/2 ~ V V. Таким образом, тп = —----. Если взять такой же объем Vy но в сво-
р яс
бодном пространстве, то время нахождения вблизи молекулы тсв — 0^3/с.
Искомое отношение вероятностей спонтанного перехода для этих двух случаев ^СП _________________________________ Тр Q
тсв Л '
Очевидно, что это тот же результат, в чем легко убедиться, V = (Х/2)3, со = 2лс/Х в соотношение (*).
1.59. ^ = 1 No 2
подставив
1 _ In (1—т)
21к„
= 0,5055, где N2 — число атомов хрома, находящихся в возбужденном состоянии, No — полное число атомов хрома.
1.60.	Av = 2v0'\ ^T-ln Р—I =3,5 МГц.
У к аз а н ие . При [3-» 1 + 0	1п[3 = [3-- 1,
1.61.	Сдвиг частоты принимаемого сигнала при изменении направления
движения происходит за счет эффекта Доплера и составляет Дсо = 2 — со, где
с
со — частота, на которой производится измерение. При этом сдвиг распределения излучения абсолютно черного тела Др = -^2-Дсо. Отсюда видно, что изме-асо
рения надо проводить на тех частотах, где максимальна величина со .
с1ы
Таким образом,
	Др	1,55-10-3;	Др	= 2,52-10-3
	Р	X = Xj	Р	х=х2
1.62. t = t{	Л То	~ 107 лет.		
1.63. Рсв = ~ Т4 — 4,6-1 О17 дин/см2 = 4,6-1011 атм; Р = NaP къТ = св Зс	газ А Ь
7-1О10 атм < Рсв. Реально при кТ = 10 кэВ происходит лишь частичная
ионизация. Заметим, что в водородной бомбе именно световое «сдавливание» термоядерного горючего (т. н. имплозия) играет решающую роль.
, \1/3
1.64.	Тпл = Т3	1350 К, где т3 — период обращения Земли, а
Т3 — температура ее поверхности.
1.65.	L ях = RTl = 1,5-105м« 150 км. max	и । г :
г- {	2	2 \ 1/4
1.66.	т = тс^— 1 +d lli6r И as 430 К.
с ' 2	1+Ля2 )
1.67.	F =---~—= 6-10-7дин (притяжение). Если бы в полости был
cL
один шарик, то никаких сил на него не действовало бы (симметрия). На
358
личие второго шарика приводит к нарушению симметрии. Он «затеняет» часть падающего излучения и нарушает баланс сил. В результате возникает эффективное притяжение между шариками. Собственное излучение шариков не дает вклада в силу из-за его изотропности.
1.68.	L < X = — — 2,5-1025 см =* Ю7 пк (парсек), т. е. много больше па
размеров нашей Галактики ( ~ 103 пк), где концентрация реликтовых фото-
“	2
нов п = ( —ш	~ 400 см~3.
g л с [ехр	— 1]
/ 4 \ 1/5
1.69.	со > л —т	• Отсюда предельно возможная частота в резонаторе
12а )
сотах = 1,43-1011 с-1; а минимальная частота колебаний в кубическом резо-
наторе comin = с — vT = 4,16 -109 с-1. Резонансные свойства пропадут, когда расстояние между пиками станет больше или равно ширине самого пика (аналог критерия Рэлея). Величина wm„vT, где т =	10~14 с, o>m„vT < 10~3, т.
пе
е. о можно считать постоянной.
1.70.	— = кТ = 5,2- 10~21 2Е!1. Av с	Гц
Замкнутый с обоих концов волновод с указанными размерами представ-
2
ляет собой длинный резонатор, в котором закон дисперсии г = к2 =
с
= к2 + к2 + к2, где к = m —, к = п	к„ = I —; m, п, I = 0, 1,2,3. По-
Л >	-	* а у b ~ I.
скольку размеры а и b «: L, то в диапазоне длин волн X = 10 см поперечные моды сильно разрежены по сравнению с продольными. Продольные моды
расположены намного чаще, и вся энергия сосредоточена в основном в них. Моды продольных колебаний поля распределены также, как колебания в одномерной цепочке. Резонансные частоты продольных колебаний находятся из X
условия L = т —, т — целое число. Число мод в частотном интервале Av рав-
2L	— s	—9
но — Av. Поскольку hv ~ 10 ° эВ кТ ~ 5-10 z эВ, то энергия одной моды с
колебаний равна кТ. Поэтому плотность электромагнитной энергии в волно-
воде — = кТ — = 5,2-10~21 Ж
Av с	Гц
,,з	.4
1.71.	t = — = 0,84- 1О20 с, где через А обозначено А =-------—7
3/1	- -	15360лу
— 0,4-Ю25 г3/с.
1 'П i_i	1
1.72.	Н >----In
ИвЯ
ро<п.Г8Я
_ 1,6-105м= 160 км, гдг -л, и и.,, — мо-лр.к7' J	71	‘ к
лярные масса воздуха и кислорода, Ро ~ Ю5 Па — атмосферное давление у поверхности Земли.
1.73! п < 825.
Решение. Образование устойчивой атомной системы с уровнями <£„ возможно, если уширение уровней меньше расстояния между уровнями
Ь£п Sn “ &П-1 = Л(и-
В поле магнитотормозного излучения время жизни возбужденных атомов определяется двумя факторами — временем спонтанных переходов тсп и временем индуцированных переходов. Т. о. ширина атомных уровней S<£(i состоит из двух слагаемых — естественной ширины, определяемой временем спонтанного перехода, и ширины, обусловленной временем индуцированного излучения
S<£n^ —= й (— + —V
^ИЗЛ	1^СП Т-ИНД/
Время индуцированных переходов с n-уровня под действием фотонов магнитотормозного излучения равно
Тинд
Тсп(^)
27 (со)
тсп(п)
ЙсоЭ(со) р(со)
= тсп(«)
, 3
ЛСО
. 2 2,. , 4л с 7 (со)
Здесь Д'(о) — среднее число фотонов магнитотормозного излучения, ®(о>) = о>2/(л2с3) — плотность состояний, р(со) =4/(со)/с — спектральная плотность изотропного излучения на частоте Йсо «= 2Ry/n3.
В отсутствии вынужденного излучения, как это следует из условия, при п » 1 естественная ширина уровней пропорциональна п~5, и поэтому она убывает быстрее, чем расстояние между уровнями, которое пропорционально п-3. Поэтому спонтанное излучение не может привести к ограничению на величину п.
Однако фотоны магнитотормозного излучения существенно увеличивают ширину уровней, и предельное значение номера уровня находится из условия
Й < 2Ry т "	3 ’
1инд П откуда
h^4RX6;10~12 = 0,26-10^1,
л с п 7 (со)
nmax ~ 825.
Отметим, что магнитотормозное излучение не является равновесным и среднее число фотонов не описывается формулой Планка, а находится из заданной спектральной интенсивности
/(со) = £P^£l = £Ato-©(to)W(co),
откуда N(a>)	1,7-1011. Поскольку в космическом пространстве есть и ре-
ликтовое излучение с температурой Т = 2,7 К, то в принципе эти фотоны также могут вызывать индуцированные переходы. Среднее число таких фотонов в интересующем нас интервале частот равно
TV(CD) =----зД----~	4,8-ю3 «(V(to),
ехр фш/кБТ) fta>
360
Фактически эта оценка показывает, что эффективная температура магнитотормозного излучения, соответствующая данной частоте, равна
т эфф
= 7 ^М~9,4-107К
JV(co)
1.74t V/52) = 2z,_ V— In — = 8,5-10 2 см, где а =1/137 — постоянная с ’ л а
тонкой структуры, zc — комптоновская длина волны электрона.
Решение. Рассмотрим нулевое колебание (моду) с частотой со: Е(о>) = Ео cos a>t. Уравнение движения свободнго электрона в поле этой вол-
ны имеет вид т—х- = еЕ(со), где — смещение электрона. Интегрируя dt
это уравнение, получаем	е 2 Ер cos a>t. Средний по времени квад-
ты
2 „2	2 „2
72 е Ео 2 ; е Е0 Л	<-
рат смещения электрона	= —j—cos со/ = —у-у. Амплитуда колебания
т со	2m со
Ео может быть найдена по принципу соответствия классического и квантового выражений для энергии моды
?	2
р«о)+Н(со) ^=1ЙШ ' 8л	2
Здесь V — объем системы. В плоской электромагнитной волне Е2(со) = _______ gl	__ 2
= Я2(со) = —, поэтому Eq = — Йсо. Следовательно	Поскольку
IV	V т
нулевые колебания различных частот независимы, то надо просуммировать (проинтегрировать) это выражение по всем возможным колебаниям. Число мод нулевых колебаний (число осцилляторов поля) в объеме У, приходящихся
2
на интервал du>, есть dN = V da>. Поэтому л с
___	2 /	\ 2^тс2^
(52) = ( д2 </Я =2^Ш	( ^ = ±«z2lnl
j ®	® л he \mcl	3 со л с а
'	' Ry/й
Здесь а — постоянная тонкой структуры, zt, — комптоновская длина волны электрона. Таким образом,
= 2 Г l/“ln 2 = 8,5- 1(Г12 см.
’ л а
Такое смещение электрона на «орбите» может быть описано введением дополнительного, по отношению к кулоновскому потенциалу ядра, отталкивательного потенциала. Этот потенциал должен быть сферически симметричен и, как следует из полученной оценки, его эффективный радиус намного меньше боровского радиуса. Поэтому он главным образом возмущает 2,5-состояние, волновая функция которого в отличие от 2р-состояния конечна при г — 0. В результате уровень 2хщ смещается вверх по энергии относительно уровня 2р1/2.
361
§ 2. Кристаллическая решетка. Фононы. Теплоемкость. Теплопроводность.
2 1 —•
' ' 6’ “б”’ 8
2.2. Для Li п = 1, для CsCl п = 2.
2.4. а =	= 5,6-
’Na
2.51 d = , а
y/h2 + k2 + l2
см.
Решение. Для обозначения положения плоскостей и направлений в кристаллах пользуются индексами Миллера, обозначаемыми Л, к, I. При задании положения плоскости определяются точки, в которых плоскость пересекает координатные оси. Затем берутся обратные значения полученных чисел и домножаются на наименьшее общее кратное их знаменателей. Полученный набор чисел указывается в круглых скобках: (7г к I).
Он определяет не только данную плоскость, но и все плоскости, ей параллель-
ные. Если плоскость пересекает ось координат в области отрицательных
чисел, то соответствующий индекс также будет отрицательным. При этом знак минус указывается в виде черты над индексом: (й к I). На рис. 207 изображена плоскость, отсекающая на координатных осях отрезки 4, 1, 2. Соответственно индексы Миллера этой плоскости будут (1 4 2).
Для обозначения направлений применяются индексы, представляющие
собой проекции вектора, исходящего из начала координат, параллельного данному направлению. Эти числа указываются в квадратных скобках:
[fikl]. Такой набор чисел указывает не только данное направление, но и
Рис. 208
все ему параллельные. На рис. 208 изображено направление, связывающее центр координат с точкой 1’	• Индексы
Миллера для этого направления записываются в виде [1 2 2]. Для направления.
связывающего точку с координатами (1, 0, 1) с точкой с координатами
2, —1], проекции параллельного векто-
(1	з \
—, 2, ——I, а значит, индексы Миллера этого направления запи-
шутся в виде [ 2 12 9] .
362
Отметим, что в кристаллах кубической симметрии (простая кубическая, объемноцентрированная кубическая и гранецентрированная кубическая решетки) направление [fikl] перпендикулярно плоскости (hkl) с теми же индексами.
Пусть одна из плоскостей проходит через начало координат. По определению Миллеровских индексов соседние параллельные ей плоскости отсека
ют на осях координат отрезки Д —, —. Следовательно, уравнение этих пло-
п к I
скостей будет hx + ку + /2 = а. Из этого уравнения находим искомое меж-
плоскостное расстояние:
^h2 + k2 + l2
2.6.	1)й100 — а, —</щ—Д=;
— а А — а А — а £>aioo~2'	ап1 —2ТТ
^аЮ0~2'	d110-272’	dlll-73=-
2.7.	к = 0,147 нм.
2.8.	а = 0,628 нм.
2.9*	<Anin = ^^= 2,893 А.
min 2V2v
Решение. Волновой вектор к падающего на кубический кристалл излучения имеет направление, параллельное оси х, т. е. [ 100] (см. решение задачи 2.5). Таким образом, сам вектор можно обозначить как k = k(l, 0, 0), где к = 2л/Х = 2nv/c. Вектор к' рассеянного излучения имеет направление
[ 122].	Легко понять, что k' = 1 к(1, 2, 2), | к| = I к' |. При брэгговском рас
сеянии первого порядка должно выполняться условие
к' — к = 2яЬ;,
где Ь; — один из трех векторов обратной решетки. Таким образом
к' — к = -|	1, 1, 1).
Для решения задачи необходимо найти базисные векторы обратной решетки. При этом следует определить базисные векторы а2 и а3 примитивной ячейки прямой решетки, построенной на базисе элементарной ячейки гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) с ребром а. На рис. 209 показаны элементраная ячейка ГЦК решетки и примитивная ячейка, построенная на векторах а|,а2,а3. Сами векторы могут быть записаны так (i,j,k — орты осей координат):
а1 = | 0 + j) = | (1.1.0);
a2 = |(j + k) = |(0. 1. 1);
a3 = £(i + k) = £(i,o, 1).
363
Углы между векторами at, а2 иа3 равны 60°. Базисный вектор обратной решетки bj определяется по формуле [а2а3]	[а2а3]
о, =--------=-------,
1 <aia2a3) V
где смешанное произведение векторов (3,3^3) равно объему примитивной 2
векторное произведение: [а2а3] =	(i + j—к). Резуль-
2
компоненты (1, 1, —1). Тогда, очевидно, V = а3/4, и вектор Ь, имеет компоненты — (1, 1, — 1).
а
Аналогично находим и два других . _ [а1а2]
и Ь3----------с
J <а1а2аз)
ячейки. Вычислим
тирующий вектор
имеет
. [MJ вектора о,= ----------
<а1а2аз)
а
компонентами
отметить, что эти век-примитивную ячейку
I*1’-1’1)-Интересно торы задают ОЦК решетки, т. е. прямая — ГЦКР,
а обратная — ОЦКР и наоборот.
Сравнивая направления векторов 2
обратной решетки с разностью к — к = 2лЬ = — (—1, 1, 1), видим, что вектор b параллелен вектору Ь2, т. е.
2лЬ2 = ^(-1, 1, 1)=|а:(-1, 1, 1).
Отсюда получаем
и
Зя Зс а = — = —. к 2v
Нам требуется найти наименьшее межатомное расстояние </min в кристалле
с ГЦК решеткой. Очевидно, оно равно (рис. 209)
= 4= = -4^- = 2’893 А.
mln >/Т	т./Т..
Возможно также решение задачи без привлечения понятия обратной ре-шетки. Согласно закону	Брэгга—Вульфа	переданный импульс
AK = A(k,—к2), где к, и к2 — волновые векторы падающего и отраженного лучей. Так как | к, | = к2 | = то к, = -^ (1, 0, 0), к2 =
следовательно, К = ^-I-;—-;—-I. Таким образом, направление этого волнового вектора в решетке есть [1 1 1 ]. Поскольку переданный решетке импульс перпендикулярен системе отражающих плоскостей, то семейство
, и,
364
последних имеет Миллеровские индексы (1 1 1) (см. решение задачи 2.5). Используя результат задачи 2.5, находим расстояние между этими плоскостями d = — а — = Из треугольника векторов kf, k2, К находим ^h2 + k2 + l2	V3
llKl	- —
2	2 -J3	1
угол падения sin ф = —с—=---= Подставляя это в условие Брэгга—
lki| 1 V3
Вульфа 2d sin ф = А, получаем -Д -Д = А, откуда постоянная кубической v3 V3
а
решетки а = X. Минимальное расстояние между атомами в ГЦК решетке
dmin =“=3^=	= 2,893 А.
mln /2	2/2	2/2v
2 , / Йсо ДУЛ е Ггш [11,33 при Г = 300 К
> J^f~ |2 при Г = 1700 К.
2-Ю- скол
а> Скол къ [kJ
2
ft2 1 -Яцк^т ---- р ь
мБг1
2
е-й®/у i>5.1 0-3ХБ (при Т = 300 К);
б) скол = къ—Д—0,724Лб (при Г = 1700 К), где е — основание Hale -1) турального логарифма.
2	ЗАб
2.11.	Если — » куТ\ то с„п =----,------.
2/ Б ь₽ (|+зУУ')2
*2
Если ^у<кАБГ, то свр = Аб (классический случай).
а) При Г = 22 К сБр ss 0,03ХБ;
б) При Т = 600 К свр = Аб.
2.121 А = 1,45-10-3 см = 14,5 мкм.
С | R
Решение. По условию задачи у =1,30 = —-----, откуда получим
Cv = 12 R. На поступательные и вращательные степени свободы приходится, как известно, Су = 3-1 R 4- 2-1 R = R. Тогда на колебательные степени свободы приходитьсяСуол = ——-| R = -R, или по—R на каждую степень.
132/	6	12
С другой стороны, колебательная теплоемкость равна (см. задачу 2.10)
_ R(dk3T)2e^T (e^T-l)2 Обозначая -~^—= х, из уравнения
 = — R, где е = hv =
12	X
Суол = R получаем
= 0,645 ех—1
или sh — = 0,775л, 2
365
откуда х = 3,38. Следовательно,
—^— = 3,38; )i=14,5 мкм.
2.14! N продольных и 2N поперечных колебаний.
Решение. Путь а — размер элементарной ячеки (в данном случае она содержит один атом, т. е. является примитивной) цепочки из N одинаковых атомов. Тогда полная длина цепочки Л = aN. Смещение n-го атома в бегущей волне ип = и()е"кх~ш1> должно быть одинаковым при переходе от х = па к х + L:
uoeiKlla = uoeiKa(n+N),
откуда следует, что elKaN = eiKL = 1 и
KL = 2л/, где I = 0, ±1, ± 2, ...
Таким образом, разрешенные значения волнового числа К представляют собой дискретный набор значений
К; = ^Е/, Где 1 = 0, ±1, ±2, ....
с расстоянием между соседними модами колебаний
ДК = —Д/ = —.
L L
Другими словами, интервал, приходящийся на одну моду колебаний, равен
Отсюда следует, что ширина интервала волновых чисел К, в котором содержатся все физически различные моды колебаний, равна 2л/а. Этот интервал называется зоной Бриллюэна. Пределы изменения К, т. е. положения границ зоны Бриллюэна, при этом имеют вид: — — < К < — (один знак не-а а
строгого неравенства, т. к. точки —— и — являются физически эквивалентам а
ными). Число разрешенных значений К в зоне Бриллюэна равно числу примитивных ячеек, т. е.
2л/а _ L _
2л//. а
В данном случае это число совпадает с числом атомов.
Для каждого значения К имеется три типа независимых колебаний (в общем случае — с различными частотами): одно колебание — продольное, когда частицы перемещаются вдоль цепочки, и два поперечных. Таким образом, число мод поперечных колебаний равно 2N. Всего в данной возможно 3N независимых колебаний, что равно числу степеней указанной системы.
2.15! ы(К) = 2^
цепочке свободы
sin— , s = а 2
т
Решение. Одномерная цепочка одинаковых атомов массой т жена на рис. 210. Координата n-го атома хп = ап, смещение n-го атома от-
изобра-
366
носительно положения равновесия обозначим как ип. Тогда уравнение движения л-го атома запишется так
=	+	или т«„ = 7(«„_1-2г/п + ип + 1).
х„= ап
Рис. 210
Решением этого уравнения является функция вида
un(t) = uoe'tKan~u’t\
описывающая бегущую волну. Подстановка этого выражения в дифференциальное уравнение движения приводит к условию
«0[— ты2 + 2у(1 — cos Ка) ] = 0.
Из этого условия следует, что отличное от нуля и0 будет существовать, только если частота и волновое число удовлетворяют дисперсионному соотношению та>2 = 2у (1 — cos Ка) или а>(К) = 2 sin^- .
График этой функции изображен на рис. 211. Периодическую зависимость а) (К) можно было бы предвидеть заранее: в силу периодических свойств прямой решетки в координатном пространстве должны быть периодические свойства обратной решетки в квазиимпульсном пространстве. При этом «элементарной» ячейкой в К-пространстве, содержащей все физически неэквивалентные значения К, является зона Бриллюэна. Один из вариантов выбора зоны Бриллюэна показан на рис. 212.
Фазовая скорость упругих волн определяется законом дисперсии Ка
7 sin^~
т Ка/2

367
В области Ка « 1 (рис. 212) ы(К) л 21/Э-------= Ка V-Г. Так как здесь
' т 2	। т
X s> а, то это соответствует переходу от дискретной системы к приближению сплошной среды (в одномерном случае
упругой волны
называется
— к струне). Как известно, в упругой среде могут распространяться звуковые волны с законом дисперсии I» = sK, где х — скорость звука. Сравнивая две записи, получаем выражение для скорости звука, то есть скорости распространения упругих волн в цепочке
s = a
I tn
Энергия колебаний одномерной цепочки (как и трехмерного кристалла), или энергия упругой волны, может быть проквантована, как и энергия осциллятора. Квант фононом, по аналогии с фотоном —
энергии
квантом электромагнитной волны, также имеющим линейный закон дисперсии со = ск, где с — скорость света в среде.
Значения волнового числа К, такие, что | К | > —, не дают новых реше-а
ний дисперсионного уравнения. Действительно,
"И+1 _ eiKa и„
откуда видно, что область Ка <= [—л, л] включает все независимые значения этого экспоненциального множителя.
Вычислим групповую скорость упругих волн в цепочке
da	.Гу~	Ка	Ка
= — = а 1/-*- cos — = s cos —.
г₽ dK	’ т	2	2
В области Ка« 1 пгр <=* х. На границах зоны Бриллюэна при К = ± — групповая скорость v = 0, т. е. волна является стоячей.
Заменим истинный спектр колебаний звуковым во всей зоне Бриллюэна. Такая замена должна сопровождаться условием равенства числа нормальных колебаний числу атомов (точнее, числу примитивных ячеек) в цепочке. При N 1 расстояния между соседними модами стремятся к нулю, и можно считать распределение мод квазинепрерывным. Число нормальных колебаний, лежащих в диапазоне волновых чисел от К до К + dK (рассматривая только продольные волны)
,. L 2dK L dN к = 1 •---— — dK.
к 2л л
Здесь «2» в числителе — следствие того, что мы считаем К > 0, но учитываем возможность распространения волн как с К, так и с —К. Исходя из дисперсионного соотношения, найдем
368
dm
dm
1 tn »	4-y/m
Обозначив ш0 = 2Д, u ' m
максимальную частоту колебаний
получим
aW(a>)
2L dm rtaVoo—co2
реального спектра
как
Полное число нормальных колебаний цепочки
а>о

f 2L dm 2L . т \ ---, = — arcsin —
g О<о*-Ш2	™ “О
со0
О
L а'
Число нормальных колебаний в «спрямленном» спектре ш = Ks
dN'(m) = — dK = ~du>.
Я я$
Полное число колебаний
<°тах
кг, L С , -^^тах N = — \ doj =-------.
я$ J	я$
о
Приравнивая полученные выражения, находим
я$	J v Я _
~*   — Д и^“ — — 0J/\ /*4Z 1 ,ОСОл. тах а	'm20	0
Процедура «спрямления» дисперсионной кривой называется приближением Дебая, а максимальная частота — дебаевской частотой coD. Этой частоте соответствует максимальное волновое число KD:
„ ___ UJmax _ л
Лц------------.
S а
Совпадение значений дебаевского волнового числа с границей зоны Бриллюэна наблюдается только в одномерном случае для продольных и поперечных волн и является, по-видимому, случайным. В двух- и трехмерных случаях этого совпадения нет, но Ко мало отличается от значения л/a, которое служит хорошей оценкой во всех расчетах, проводимых в дебаевском приближении. См. задачу 2.27.
Очевидно, что при увеличении температуры растет и энергия квантов колебаний (фононов). Максимальной энергии можно поставить в соответствие температуру (температура Дебая 0), и в дебаевском приближении, когда частота колебаний достигает своего предела
^штах = ^<nD = ЛБ0'
Тем самым
0 _ Лсор _ ДГ
ЛБ ЛБ <т'
2.16*
р = -1тМиое^~е^-Ка) = 1— exp(zXa)
О
—i<x>MNu0e~,<ot
для К О, для К = 0.
369
11 1 du	N 1	.1 ,NKa
= V M------1	einKa _ —/(d/V/u	---e .
dt	0 Z/	0	. _ iKa
n=0	n=0
Решение. Найдем импульс цепочки суммированием импульсов отдельных атомов лг—1
Р = 2Рп
п = 0
Поскольку ип = ип+х, Toexp(zWKa) = 1ир = 0 для всех К Ф 0.
Этот результат вполне очевиден. Согласно рис. 211 спектр нормальных колебаний четен по К, поэтому всегда есть колебания с К и —К. Особняком стоит точка К = 0, которая соответствует движению цепочки как целого. При К = 0 дробь равна N, и тогда импульс цепочки равен
р = — iaMNv^e-1®1.
В цепочке конечной длины при четном числе атомов оказывается, что одно из колебаний соответствует границе первой зоны Бриллюэна К = — и ему нет симметричного колебания с К = — — (потому что в первую зону Бриллюэна включается только одна граница). Однако это непарное колебание соответствует стоячей волне (цгр = 0), в которой соседние атомы колеблются в противофазе и импульс цепочки для такого колебания тоже равен нулю.
Отметим, что в гармоническом приближении отсутствует и поток импульса фононов, т. е. давление фононного газа равно нулю. Это связано с тем, что коэффициент линейного расширения тоже равен нулю в гармоническом приближении (см. задачу 2.17). При учете ангармоничности это уже не так.
~	1 dl а	1П-5 ^-1
2.17.	а = - — '—j —	~ Ю К , где а — расстояние между ато-
/ аТ у (I £
мами в двухатомной молекуле при Т = О К, <£ — энергия взаимодействия, имеющая атомный ( ~ 10 эВ) порядок.
Решение. Потенциальная энергия взаимодействия пары атомов U (х) возникает вследствие взаимодействия электронных оболочек, имеющих размер порядка а. И само взаимодействие имеет атомный порядок <£ ~ 10 эВ. Поскольку поправка, связанная с ангармонизмом, мала, то при х <к а отно-6х3
шение —j 1 • При этом равенство достигается только при х «г а, когда о ух
малых колебаниях уже и речи нет. Поэтому <£ ~ уа2, но и <S ~ да3.
Для оценки температурного коэффициента линейного расширения а вычислим среднее значение х” отклонения атома от положения равновесия, используя для этого функцию распределения Больцмана, которая позволяет учесть возможные значения х в соответствии с их термодинамической вероятностью
J xe~u(x^T dx
:ЪТ dx
370
Вычисление среднего существенно упрощается, если предположить, что ангармонические члены в выражении U (х) малы по сравнению с квТ. Это справедливо при малых смещениях х. Тогда подынтегральное выражение можно разложить в ряд
со	/	4	5 \	3/2
С хе-и(Х}1кът dx С е-^!кът ( + 6х_ +	.
J	'	I къТ квТ 4
— оо	—00	\	/	J
Заметим, что при интегрировании здесь возникают интегралы типа
7	-
I хпе ах dx = —гае гамма-функция Г при п = 1 равна 1 <Г (1) = 1), о	2а
а при п ~ 4 она равна Г | —j = — -А Первый и третий интегралы в разложении равны нулю, как интегралы от нечетной функции в симметричных пределах. Поэтому ответ довольно очевиден. Нормированный интеграл тоже легко вычисляется:
со	/	3	4 \	00	I
е~^(х)^вг dx к С е-тж 1къг 1 + -р | dx ~ \ е~чх !къг dx = Л —
'	I ktd квТ I J	У у
Окончательно получаем
4У	V
Температурный коэффициент линейного расширения а = — —, где / dT
1 = а+х. Тогда asslAfc	~ Ю“5 К-1.
а у а а &	&
Заметим, что коэффициент линейного расширения а можно получить из других соображений. Запишем уравнение колебаний ангармонического осциллятора (р — приведенная масса молекулы)
рх = — 2ух + 3Sx2 + 4|Зх3.
Усредняя уравнение движения по периоду колебаний т (0 < t < т), получим по определению среднего и с учетом периодичности движения
(*) = А[х(т)-х(О)] =0.
Поэтому, пренебрегая третьим членом в потенциальной энергии, получим
При слабом энгармонизме можно (х2) взять в гармоническом приближении
/ух2\ _ к^Т 2 7	2
Поэтому х = | А квТ ~ 4 кЪт-. з
2.18.	<о = t/min = А Г- = A Ms1 = 1,12 эВ.
св min 27 а2 27
371
2.19.	Возрастает в два раза.
2.20.	со= —1,05-1012 с-1.
20 а
( Ртах5''
221 и(ртах) _ехр|гу _ [0,46 при 7 = 500 К
' /'Ртах')	Iр^\ "	13,4-10-4 при Т = 10 К.
П I —2~l	ехр I £ Г I 1
2.22. 1) "(“°).. =4^=1= 1,51 (при 7 = 0); n(coo/2) е— 1
2)	= 4	4е~5 °’027 (ПРИ 7’ = 6/10).
«(cod/2) е 1
2.23* 7 = Л—&'‘KS	1,3 К.
’ nNak^Mc
Решение. При излучении гамма-кванта одним из ядер 1151п оно полу-
чает энергию отдачи <Ьк = —Ц-, где М — масса ядра. Эта энергия перерас-2Мс
пределяется в цепочке и идет на увеличение внутренней энергии. Полагая, что внутренняя энергия в исходном состоянии пренебрежимо мала, можно считать, что ^k = t/(7).
Внутренняя энергия цепочки, связанная с возбуждением в ней бегущих волн (фононов), может быть представлена в виде
(/(7) =^Йшкнк(7),
К
где сумма берется по всем волновым векторам из 1-й зоны Бриллюэна. Здесь пк(7) — среднее число фононов с волновым вектором К и частотой сок, даваемое формулой Планка
«к GO =—zA--------•
ехр [Т^Гj — 1
При N» 1 спектр фононов является квазинепрерывным и от суммирования можно перейти к интегрированию. При этом
J Йшкик(7) rf7VK = j Йсо n(co) dN(m), К
где dN^ и dN(m) — числа возможных мод колебаний (число осцилляторов) в интервале от К до К-Ь с/К и от со до со + dm соответственно. Учитывая продольные и поперечные колебания и тот факт, что dN(m) = dN^, можно записать
\ о 7-2 dK 3L dm
dN(m) = 3--------=-------,
2л xs
где коэффициент 3 перед формулой означает, что одной и той же частоте колебаний соответствует три «поляризации» — одно продольное колебание и два поперечных. Таким образом,
^°тах
U(T) = — ( ——dm.
о с 1
372
Максимальная частота — это дебаевская частота coD. Обозначив х =
А со ад’
получим
{/(Т)
ЗУ.
7T.S
где дебаевские температуры 6
_ Лис ~ юо К. Предполагая, что Т « 6, къ акБ
получаем
и(Т]	г х t/x _ ЗЙ£ [кБТ\ 2 д2 _	^2
7 Jts Й I j ех_ 1 Л5 \ Л /	6 ITlS
v ' о с 1 v '
откуда
и предположение
I----7----
Т = V------~7---9 ~ ГЗ К,
’ -xNak^Mc
оправдано.
/	2
у , т 1	4 sin Ка	тМ
— ±'~ \ад—-------, где ц =------— приведенная мас-
р V р2 тМ	т + М
са. График дисперсионной зависимости со(К) приведен на рис. 213. Максимальным значением волнового числа Kmax = Ti/la ограничивается фононный спектр, т. е. | К | < л/2а, Ктах соответствует минимальной длине волны 2min
На нижней ветви (см. рис. 213) в области | Ка | <к 1 частота со ос К. Эта ветвь графика называется акустической. Верхняя ветвь носит названия оптической. Такое название обусловлено тем, что указанные колебания в ионных кристаллах (см. задачу 2.25) могут возбуждаться внешней электромагнитной волной (обычно инфракрасного диапазона). Здесь при К = 0 со = V2'il/p. Ф 0. Между ветвями существует «щель» — область, соответствующая нерас-пространяющимся (затухающим) волнам.
Щель исчезает при 1. При т = М период цепочки скачком уменьшается вдвое,
2.24. <о22(К)
со2 (К) =	(1 — cos Ка) при
и закон дисперсии становится таким:
I Ка | «я (сравнить с зад. 2.15 и рис. 212).
2 /т
2.25. «(со) = *- ад-со2 р ip
2 26 °NaF — T l£NaBr~1 £NaF + 2 pNaF T/Kr
“NaBr ’ £N:iF— 1 £NaBr+2 PNaBr T/F
2.27. con = 2 кп = - УтГ.
D	'М D а
= 2,018.
373
2.28	! Р ешение. Будем следовать обозначениям задачи 2.24, где под а понимается расстояние от К+ до Вт-, т. е. постоянная решетки КВт (или ребро элементарного куба) равна 2а, тогда
2a=WM + 'w) =6,6-10"8 см;
' Р
s = ao>m„Y'\!——— = 2,12-105 см/с, где М = MRr, т = Мк; =
JILdA j |	JIlClA
максимальная частота на акустической ветви (при К = л/2а).
На акустической ветви при К-» 0 со (К) ss V—Q—аК = sK. Отсюда сле-.----------- .—  ___________ . ' М + т
дует s = 1/——а = a	V——— = aco	V——— = 2,12 -105 см/с.
'M + m	’М 'м+т max 'M + m
2.29	.	= 2лv — 1/Е—— 2-1013 с-1, v — 3-1012Гц, т — масса атома
’ т
меди.
2.30	. — = —Л 18-^пл	0,01, где М — масса атома криптона.
a Sa V йБ1И
Приведенный ответ следует из простого соотношения mco^A^ = fcBT. Бо-
лее аккуратный расчет (см. задачи 2.74 и 2.75) дает -— =
18_L1± ~о,О1.
й&М
2.31	! Р ешение. При поглощении и испускании фононов в процессе неупругого рассеяния нейтрона энергия колебаний атомов кристалла изменяется на величину, кратную Йсо. При этом нейтрон получает или отдает порцию импульса ЙК, где со и К — частота и волновой вектор соответствующей бегущей волны (фонона). Пусть вначале в кристалле находилось nK s фононов с частотой сок и поляризацией s, а после рассеяния «'k,s- Tor«a
^' = ^ + ^o>K s(nK s-n'K> s)
р' = р -I- ЙК(ик s—и'к, х) + Й-2лЬ’
где b — вектор обратной решетки, <§' и р' — энергия и импульс нейтронов после рассеяния. Слагаемое Й-2лЬ можно трактовать как импульс, передаваемый кристаллической решетке в целом. При этом мы не суммируем по всем К и s, рассматривая взаимодействие только с одним типом фононов. В силу идеальности газа фононов перераспределение энергии и импульса между различными фононными модами не происходит.
Рассмотрим как упругие, так и неупругие процессы.
1)	Бесфононное упругое рассеяние нейтронов (брэгговское рассеяние):
Векторная диаграмма этого рассеяния изображена на
рис. 214, откуда получается условие Брэгга—Вульфа
S' — <§, р' = р + Й2лЬ.
2р sin 0 = 2лйй = — Й или А. = 2а sin 0. а
374
2)	Однофононное рассеяние
<£>' = <9 ± ЙСОК s р' = р±ЙК + Й2лЬ, где знак « + » означает поглощение фонона, а знак « —» — испускание. Задавая <9 и р и измеряя S' и р', мы однозначно определяем ЙК и Йсок s, т. е. находим «точку» в фононном спектре. Меняя энергии падающих нейтронов и направления приема рассеянных нейтронов, мы находим много «точек» и восстанавливаем спектр.
3)	Двух- и многофононные процессы рассеяния. Здесь нужно учитывать как возможность поглощения (испускания) двух и более фононов с разными квазиимпульсами и поляризациями, так и возможность поглощения одного и испускания другого. Тогда
S' = <§±Йшк s±fca>K, s„ р' = р ± ЙК ± ЙК' + Й • 2лЬ, где знаки «+» и « —» определяются, как и в случае 2). Из этой системы нельзя однозначно найти К и К', сок s и <т>К, s,, т. к. неизвестных больше, чем уравнений. С точки зрения постановки эксперимента запишем
<9' = <9 ± Йсок : ± Йол	s,.
Здесь мы исключили К' и воспользовались периодич-
ностью сок s: (|)к + 2ль = шк- Поскольку К пробегает все значения в 1-й зоне Бриллюэна, то в заданном направлении р' вылетают нейтроны произвольных энергий. Это дает фон. На рис. 215 изображена соответствующая экспериментальная зависимость. Пунктиром изображена ситуация с бесконечным временем жизни фонона. Уширенные максимумы возникают из-за не-идеальности газа фононов и соответствуют конечным временам жизни фононов.
Приведенное рассмотрение соответствует квазичастичному подходу. Однако возможно рассмотрение этой задачи как задачи о рассеянии нейтронной волны на решетке атомных ядер. Тогда приведенное выше в 1) решение соответствует отражению нейтронной волны, в 2) когерентному рассеянию нейтронной волны, в 3) некогерентному рассеянию.
2.32* Cj ос Г; С2 « Г2.
Решение. Энергия колебаний решетки, которую можно отождествить с понятием «внутренней» энергии решетки U(T), находится суммированием энергий всех возбужденных фононов (см. задачу 2.23). Эта энергия есть
375
функция температуры. Теплоемкость решетки С = Переходя от суммирования к интегрированию, можно записать:
U (Т) = j dNK = j Йсо л(со) dN(a>),
где п^ = п(а)) — среднее число фононов, имеющих частоту сок.
Число различных мод колебаний (число осцилляторов) равно
dN = fiWK = р —, “ К Ак
где р = (1, 2, 3) — число возможных поляризаций фононов (нормальных колебаний), й?Ик — (2dK, 2nK.dK, 4nK2dK) — элементарный объем К-про-странства в одно-, двух- и трехмерном случаях; Ак — объем /(-пространства, приходящийся на одно состояние фонона. Очевидно, что
Дк = <25Е
К т/ ’
v п
где п = (1, 2, 3) — размерность пространства.
Таким образом, число различных мод колебаний
dN = р^. СО	/П \П
(2л)
Рассмотрим для определенности двумерный кристалл. Полагая, что частота фонона со = sK, получим dV^ = 2ясо^со (р = 1). Пусть «объем» дву-s
мерного кристалла, т. е. площадь L2 = S. Тогда dN =
2л$
и внутренняя
энергия кристалла
модель Дебая, температурах
^шах
0 с	1
В нашем случае низких температур будем использовать Тогда максимальной частотой будет coD. При низких
квТ <к Йсоц и заполнены состояния с частотами со <«: coD. Поэтому из-за быстрого спадания подынтегральной функции при больших со интегрирование в пределах от 0 до coD можно заменить на интегрирование от 0 до °°. Кроме
того, делаем замену переменных х = Тогда
кбТ
U СТ} — f С х d х х ns2 2 \ 7) ) о 1
Таким образом, теплоемкость двумерного кристалла С2(Т) =	“ Т2.
Получим выражения для дебаевской частоты и дебаевской температуры:
/ ъЛ 1/2	f.Z х,\ 1/2
N] Q ns I л N\
<IJD2 — s И71 у I ; ^2 —	И71 yl
376
Тогда внутреннюю энергию колебаний можно представить в виде
U(T)=Nkh^.2\
02 £
2 ,	тЗ
-Л‘(—4,808 Мсь^-. е'—1	02
Следовательно теплоемкость
, _ dU(T) _
2 clT
т
14,424 NkB
02
Аналогично в одномерном случае
t0Di = sit ~ и й, =^-я — (/, - полная длина цепочки). L	лб L
Энергия колебаний цепочки
2Л	2	2
U (Г) = AfcB — (	= ZL ш ,
’ Б 91 J е'-1	6 Б 91
а теплоемкость
2-33. су = ~къ
2 т
С,= — Ыкъ
1	3 ь 01
ку,Т\
——	— теплоемкость единицы объема.
7i /
где^1= 10 Д = 30.
к^Т ' m
Решение. Приведенная масса ц. = — т. Поэтому оптическая т +М
ветвь имеет практически постоянную частоту соопт = V^/m » const. Энергия оптических колебаний цепочки
о _____N ,	\	А	Йч>ог1т
б,,,,, — — П(<мпт) п<мпт =-------------------,
оп 2 оп оп 2 схр(7гси„„,/А|,7) —I
где А/2 — число колебательных мод в одной из ветвей одномерной решетки с двумя различными атомами.
. 2
С _____d£  к [ ^^опт |	ехр(Л<оопт/куТ)
опт dT 2 9| £[</ j [exptttoorrAbT) —I]2
Максимальная частота на акустической ветви <т>™х = 72^/4/. Обозначим
^0-‘а'кХ = Отношение --~°пт =	= 3, а отношение --CU°nT = 30 » 1. По-
ак ь	£В0	’ m	куТ
этому выражение для Сопт можно упростить
/ 2
 пт й ьД f Йсо°пт) е-^т1кът опт Б 2 I къТ )
377
Теперь рассчитаем энергию акустических колебаний цепочки (см. решение задачи 2.32)
ак	3 ех—1
СО	2
SA- dx __ л_
ех— 1	6
О с 1
Заметим, что в дебаевской модели вводится некая предельная частота <oD звуковой аппроксимации реального спектра. Ей соответствует дебаевская температура 6D. Выразим скорость звука через дебаевскую температуру 6D, полагая в соответствии с условием задачи 0D «г 0, введенной выше:
*	* ъ- * л , Q	£ь0ц2й £б02«
ЙШц = nsKD = ns — = fcB0D, откуда s =---------— я» —-—.
2й	л/г л/г
Кроме того, длина цепочки Л = Na. Таким образом,
„ xNkbT2	7t2Nkb (Т\
©я„ яь-------- и Сяк яг----------- — .
ак 120	ак 6 р/
Искомое отношение теплоемкостей
2
Соптд. 3 рцопт| М е-й<ооптМБг 256-ю-10.
Сж я2 I, кБТ ) [т)
2
2 35 Све ~ 4д4 ( т Рве 4 с и ~ 2 2
Сси 5 pBej PCu -'Be
2.36.	Полагая, что при Т «О теплоемкость металла имеет вид С (7) = = аТ + 67’3, определим Ь. Тогда 0 = f 234j? я» 195 К.
1 о
I 2 \ 1/3
2.37.	s = —	% 2,7-105 см/с; 6 =	(6л2) V3 = 286 К.
И \ 5с )	кБа
2.38. 1) Т = 7\ 1 + 5№h
2) КТ =	= 4,2-10-4 К.
3R
3 1 1/4
' — — 'l Ъ-xRTq I То I
= 4,86 К, К.Т = 0,66 К-
2.39.	т = ШБ"Ла 4 0,038 с.
ае3 Ис/
2.40.	w(Si) = —	=0,032.
m(Pb) AS1 ^0SJ
2.41.	V = -3n: Ry (T\-T^) ъ 1,1 л.
5AFe0 q
2.42.	^-= я» 1,6. По табличным данным ^1- = ^43яг 1,73. 0Ge ’ ^Si	0Ge 373
2.44. S = R In (2/4-1), SHe = R In 2, SAr = 2R In 2.
378
2.45. Т = ТНе
5,62 К.
Энтропия полностью упорядоченного состояния принята равной нулю. Г , 3	1 1/4
SHetlSl +sf)_ „ / 4	\ 1/3
2.46.	L-&—5-пт— —^—1 л 0,125 мкм. Качественная оценка: энерге-(6л2)1/3 т
тический интервал между соседними модами должен быть больше тепловой
энергии, т. е. ЙАсо = tisAK — ^s^> т' к' ~ то < а У'
2.47»	^ласт _ Дмкласт _ q jg Полагая L достаточно большим числом и за-С?тела Амтела
меняя суммирование интегрированием, получим —^аст = 0,22.
(?тела
Решение. При нулевых граничных условиях (закрепленная граница, т. е. амплитуда колебаний на границе равна нулю) смещение U может быть записано в виде
U = А е1ш^ sin — п -sin — и-sin — п.,
L х L У L z
а частота n-го колебания соп равна
/	\ 2
«= Т («X + «у + из-
Числа пх, пу, nz принимают все целочисленные значения > 1. Энергия колебаний
<£ = 3 V -----------------,
2-'
пх, пу, пг ехр — -1
где коэффициент «3» — это три независимые поляризации. При больших
L сумма может быть заменена интегралом
2
^(Т) = ( da> 2) (со) и (со, Т)йсо, где 2) (со) = —-у-т> J	2 ns
^min откуда энергия единицы объема кластера
штах а	,,	4 max э
fT'i —	— 3 f wt/co	_ 3	f	х	dx
"класт(77 v 9 2 3 J Au>/JtRT ,	7 2ДЗ J x .
k 2	% $ J	e Б — 1	1	n n s J	e
&>min	*min
Здесь сот,1У =—(/2. + nJ+	— —Д', L = Na. Точное значение коэф-
фициента при низких температурах несущественно.
С другой стороны,
min - у- («х + «у + nz) min -
0	T A
при £-» 0,
379
Кроме того, в интеграле была сделана стандартная замена переменных
_______ ^wmax __	___ 0,	__ _______ 715^3" __ 0 V3~ A'max ~~ S.T ~ акъТ ~ F Xmin ~~ къТ ХЪакьГ ~ T To"’
Таким образом, энергия единицы объема кластера
_ 3 UbD4 ° с х3 dx класт
Т То
Количество теплоты, необходимое для нагрева единицы объема кластера
,	(к* 9 Г 30 з
Q = Ди = и [—1 —и (О’) = — Д________________________________30 ( *
^•класт ^^класт класт ап икласт \ ' п 2,33 i х
\JU/	2 л h s Лт-е —1
3/3
Для единицы объема большого тела
/	\	4	30 q	_
д	3 |^Б^|	f X dx	Скласт
ДиТРПЯ = —m --------- \----------- и тогда -------=
тела	2тЛ3? I 30 )	“	QX—1	Стела	^^тела
А класт ___3/5
зо
30 з
Г х6 dx
3 ,	4
х dx _ л 5
о
В этих интегралах верхний предел можно заменить на бесконечность, а поскольку е3^	180 » 1, то
30 3	оо	00
(^£%Ce-xx3d;c=li43. f 3 ах—1	3	3
З/З-	З/J	о
Отсюда 6класт = М3 = 0,22. Стела 6,5
Если же непосредственно подсчитать сумму всех возможных колебаний, то ограничиваясь числами (nx, ny, n2): (1, 1, 1); (1, 1, 2); (1, 2, 1); (2, 1, 1); (2, 2, 1); (2, 1, 2); (1, 2, 2); (1, 1, 3); (1, 3, 1); (3, 1, 1) и (2, 2, 2), получаем Скласт   0 13 Стела
2 1/4
2.48* Т =
ч 1/4 .2	2\
pi 40Й $ ;4	2
АКБ 71	/
света, о — постоянная Стефана —Больцмана.
Решение. Сопротивление пленки (рис. 216)
R = p н ad
Мощность, выделяемая при пропускании тока S
W = RS1 = p^-S1-ad
Поскольку в условии задачи задана линейная плотность тока i = Sid, то ж = рМ г-2
а
1,04 К, где с — скорость
380
Мощность, выделяемая в пленке, на единицу площади поверхности раздела
(5 = bd)
ж0 = ^ = £^. ° S а
Эта мощность по условию задачи уходит целиком в кристалл, порождая в нем поток фононов. Плотность потока фононов /(Г) связана с плотностью энергии фононов и(Т) соотношением
ЦТ) = где
и(Т) = £22 = 1 j йсо n(<o)fiW(<o) = v о
^шах	о	.	4 50 о	о .	4
1 о VTi С <0 4л <о du _ 3	г х dx _п (ЛкТ)
V /п \3 J tiuilk-T .	3	- 2 f3 3 J х . 1ft f-3 3 ’
v (2л) q e Б —1 s 2л ns j e — 1 1U n s
Приравнивая выделяемую мощность уносимую фононами, к мощности
/ (Т), получим
•2 ЛЛ+3 2
т4 _ pi 40л $
1	.4	2’
акь л
откуда и следует ответ.
Однако можно поступить гораздо проще, записав плотность потока фононов (уносимую мощность) в виде
ЦТ) = asT4.
Это аналог закона Стефана—Больцмана, где под os — понимается фононная константа Стефана—Больцмана, полученная из фотонной константы о следующим образом:
Коэффициент 3/2 введен потому, что у фононов 3 состояния поляризации (2 поперечных и одно продольное), а не 2, как у фотонов. Кроме того, в выражении для константы Стефана—Больцмана
2,4
о = ^в= 5 67. ю-5...эрг
60s 7г	с см К
следует заменить скорость света с на среднюю скорость звука s. Далее легко получить ответ:
2	2.4
<r4 pi	Я Кб
Т = — ’ Г«е °s = -------------2""3'
a°s	40s2S
2.49. Т =
40И7ге2
3.2	2 ч2/3
Л кб“(6л п)
381
2.50.
2.51.
2.52.
T2 =
U(T)
Зл4срЛ(7’2-7’1)
5ACujBQ3
3,3-10 3 см.
4	5o2636ACu
1 '	4
3л pER
x M5/2
ЙА ' x_, \	/	0 e 1
7,5 K, AT-% 3,3 K.
oc T5^2, откуда C = — dT
x T3/2.
2 (s\3
= - £ »3,1.
3 \v/
2.53.	Смагн Сфон
2.54.	u(T) = аТ~!\ с (Т) =^аТ^3, где a = const.
2.55.	с = [М 3 « 30
15 \ hs ) см К
2 55 v — Р _ +	J2• 104 см/с, — соответствует поглощению
m TiK0 2m |4-104см/с, + соответствует испусканию, х0=ю8 см 1, <S ~ 15 К (см. график в условии, рис. 68).
2.57.	с « 40 эрг/(см3-К), для ее подсчета следует воспользоваться формулой (см. ответ задачи 2.55), где требуется вычислить скорость звука. Скорость звука легко определить по графику, приведенному в условии задачи,
s =	» 210 м/с; (в действительности s = 240 м/с) еm = 1,6 к^Т =
d(TiK')	m	D
= 1,3-10-5 эВ; 2^5^ =0,62; 2^1=0,30.
2 2£4т3
2.58.	Sv = Я , ^ 8,88-103 эрг/(Кт).
у 45рЙ s
/ \ 2
2.59.	Ф = |	(Т$-Г{)А^ 0,163- 105 эрг/с.
g
2.60?	Q = 2kns sin -2, где SQ — энергия фонона, s — его скорость, п —
показатель преломления жидкости, tik = Йсо/с — импульс падающего фотона, 0 — угол между направлениями движения падающего и рассеянного фо
тонов.
Решение. Рэлеевское рассеяние света можно рассматривать как процесс поглощения или излучения фонона фотоном. Запишем законы сохранения энергии и импульса, обозначив штрихованными величинами состояние фотона после рассеяния, нештрихованными — до рассеяния, а также угол между направлениями падающего и рассеянного фотона 0, а угол между направлениями движения падающего фотона и соответствующего фонона —а.
Йсо' = Йсо ± AQ;
пМ.’ cos 0 = nhk ± hK cos a;
nhk’ sin 0 = ±1iK sin a.
Здесь co и k —- частота и волновой вектор фотона, Q и К — частота и волновой вектор фонона, п — показатель преломления жидкости. Знак плюс от-
382
носится к поглощению, а знак минус — к излучению фонона. Полагая далее, что импульс фонона ft.K = ЙЙ/х, исключим из системы уравнений угол а и волновое число к'. Тогда получим квадратное уравнение относительной
?\	2	2 2
I _ Н й2 _ 4»ый sin2 е _ 4Л sin2 е = 0
2	2	2	о 2	о
S С /	С	L с	L
Так как со»Й и — »s, то, отбрасывая свободный член, получаем
Й = 2kns sin
2
2.61.	Максимум соответствует рассеянию света на 180°. При этом й = 2kns	4xns ? j. 10Ю с-1
1 + s/c к
2.62.	Й = sin Т ~ 2,8-I О10 с 1 или v » 4,46-109 Гц. Разрешающая
способность R = — = — — — =	। q5
дл 6<о Q Хй
2.63.	Доплеровский сдвиг частоты рассеянного света определяется соот-
S 0
ношением Av = 2v—— sin —, ch i	2
которое может быть получено или из рассмот
рения брэгговского рассеяния на движущейся решетке или излучения (поглощения) фонона фотоном. Здесь 0 — угол рассеяния. Из условия разре-
шения R = mN 3= v/Av при т = 1 получим N	» 1,1 • 105.
2sn sin (0/2)
2.64.	х = ^5- ЛБ Д—г Л ~ 1,2 • 1011 ——, где Л = — — длина свободно-15	см-с-К	по
го пробега фонона; d ~ Л як 1 см.
2.65.	Ш =4рй = 90-^.
И7 2 Н1 см-К4
2.66.	Л(100)=1 Л (50)	2
2.67.	х(0,3 К) = 0,025 Вт/(см-К).
2.68.	х 2,7-104 Вт/(м-К).
2.69!	х(80К)л 10Вт/(м-К). При этом = 37,5-10"5
Решение. Тепловое сопротивление в диэлектрическом кристалле возникает за счет процессов переброса, когда взаимодействие двух фононов приводит к рождению третьего фонона с волновым вектором К > л/(2а) (этот вектор принадлежит второй зоне Бриллюэна). Поэтому процессы переброса могут происходить только с фононами, у которых энергия во всяком случае ~ЛБ0/2. Вероятность возбуждения таких фононов при температуре Т пропорциональна больцмановскому фактору ехр(—кБВ/2къТ) = := ехр (—0/27'). Температурная зависимость теплопроводности определяется произведением двух факторов — теплоемкости (она растет по дебаевскому закону при низких температурах как Г3, а при высоких выходит на константу) и вероятности процессов переброса. Таким образом, формируется максимум в теплопроводности совершенных диэлектрических кри-
383
Рис. 217
сталлов. За этим максимумом, при температурах порядка дебаевской, все определяется вероятностью процессов переброса — в этом диапазоне «теп-лосопротивление» экспоненциально растет с температурой, а теплопроводность — экспоненциально уменьшается.
При высоких температурах (Т > 0) практически все фононы дебаевские, то есть могут приводить к процессам переброса, а, значит, вероятность этих процессов будет пропорциональна их полному числу. Это приводит к линейной зависимости теплосопротивления от температуры, так как тепловая энергия == (здесь N, п соответственно число атомов в решетке и число фононов).
2.70?	Решение. В исходном состоянии I (в отсутствии сдвига) решетка находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 217). А в состоянии II — в состоянии неустойчивого равновесия. На рис. 217 показана плоскость атомов
В, сдвинутая относительно плоскости атомов А. В силу трансляционной инвариантности зависимость 1/пот(х) в идеальном кристалле должна быть периодичной с периодом а. Простейший вид такой зависимости
^пот« = -^0 cos
В реальном кристалле этот член может рассматриваться как первый член разложения t/n0T(x). _	dUnoT(x)
Поскольку а	, то мож-
dx но записать
a = ^-SinM 2л</ а
Действительно, при х а получаем о = G — закон Гука. Кри-котором решетка становиться не
устойчивой, соответствует максимуму о, т. е.
Ga ~ G ~ G
ct =----~	—.
с 2л</ 2л 6
Здесь использовался случай, когда т. е. когда сдвиг происходит в базовых плоскостях.
Заметим, что экспериментальные значения отношения oc/G даже для самых прочных материалов (сталь) едва достигает 10% от этой оценки, т. е. на порядок меньше. Это объясняется модельностью задачи и неучетом дефектов, имеющихся в реальных кристаллах.
2.71.	= -JZl яг; 0,37, где m = 16 а. е. м., М = 119 а. е. м.
/А \	' М
\лопт/
тическое скалывающее напряжение, при
384
2.72!	— = eiK^a = е-8'94 = 1,3 • 10-4. «1
Решение. В длинной цепочке смещение n-го атома описывается в виде ип ~ А ехр [i(Kna — cot) ], где К, со — волновой вектор и частота волны, а — межатомное расстояние. При этом К и со удовлетворяют дисперсионному уравнению со (К) = со0 sin (Ка/2).
Поскольку частота вынужденных колебаний задана, то для определения волнового вектора получаем уравнение
sin —= 1,001. 2
Обозначая ехр (iKa/2) = Z, получаем уравнение Z2 — 2,002zZ —1=0, откуда
Zj ss 1,0457 z, Z2~ 0,9563 г. Таким образом,
К{а = л — г 0,0447; К.2а = л + i’0,0894. Первый корень 1тК1а< 0, что соответствует нарастающему решению.
ношение амплитуд = ехр (1К2а) = е-8,94 =1,3-10~4. и;
2.73.	t= 1,8с; С = З^^А:б4лЯ2</-Д7’ = 2,92-1012 = 16аГ3РшД7 =	_9
cQ
вычислением получаем не подходит, т. к. Следовательно, от-
(?изл эрг;-^- =
2.74.
= 0,059 А.
4л s рп
Поскольку нормальное колебание представляет собой совокупность колебаний всех атомов кристалла с одной и той же частотой, то верно и обратное: в смещение каждого атома вносят свой вклад все нормальные колебания кристалла. Поэтому энергия кристалла, равная сумме энергий всех колеблющихся атомов, равна сумме энергий всех нормальных колебаний.
Пусть у нас возбуждено одно нормальное колебание заданной поляризации с волновым вектором К. Так как амплитуды колебаний всех атомов одинаковы, то средняя энергия кристалла для этого нормального колебания
jV 2 2	2 2
„ уз тшкАк МшкАк	/	1 \
&к = Х 2— =------------- '
2
где т и М — массы атома и кристалла, пк — среднее число фононов. Т. к. нормальное колебание эквивалентно осциллятору с частотой (чк, то мы приравняли классическое выражение для энергии колеблющихся атомов в нормальной моде к энергии квантового осциллятора. Из написанного выражения следует, что	2 /	\
а*=Л- U + 4 .
Это выражение надо просуммировать по всем нормальным колебаниям с учетом трех возможных поляризаций нормального колебания (одного продольного и двух поперечных). Таким образом,
385
^=32^-32i^(»K4)-
к к	'
Для нулевых колебаний пк = 0. Так как число нормальных мод велико, то суммирование может быть заменено интегрированием, откуда и следует ответ.
Приведенные в условии данные относятся к вольфраму. Ребро элементарного куба (постоянная решетки) ОЦК решетки вольфрама равно 3,16 А. Поэтому амплитуда нулевых колебаний составляет около 2% от постоянной решетки.
г _____(Tt-Citnsа ।  ^ол
2.75.	Z/min = 2а ехр —-— = 280 см.
।—	( .	2 \
~	/л	а Л
2.76.	Lmin = -у- а ехр	= 2,36 см.
Решение. Поскольку S«D = AsKD = 2VnAs/a — 1,4-10-2 эВ, а къТ = = 5,6-10~2 эВ, то для всех мод средние числа фононов пк велики (даже для дебаевских фононов пк &B77Aa>D = 4 » 1). Амплитуда колебаний К-й моды находится из условия Л/со^А^/2 = 2nKftmK. (см. задачу 2.74) Суммируя по всем нормальным модам колебаний, получаем
(А2) = V А2к = ( 2 dNK = 2 кът[
Z « J	«	(2л)2 Б '
litKdK
МЦ)К
Здесь dN к = 1 - ^2лК^К — KdK — число осцилляторов поля на интер-(2л)2 2л
с вале dK, S = Lx L — площадь кристалла, N =	— полное число атомов.
а"
Верхний предел интегрирования AD найдем из условия
N = 1---у, откуда ХГ) = -2—.
(2л)2	а
Нижний предел нужно взять равным минимально возможному значению волнового вектора в двумерном кристалле для нулевых граничных условий /5”
(закрепленных границ кристалла), т. е. Xmin = (См. задачу 2.47)
Таким образом, 9	2<лГ/а	2. 1x^1 а	2	/ ।  \
И2)-^БТ	f^ = ^Lln Jli,
(2Я)	V2n/LMS К XmS	*mS
поскольку M = Nm = (Lla)2tn. Минимальное значение длины цепочки находится из условия (А2) = аа2, откуда
I-	(л 2 \
,	тт	xAmDs а |
Аып = "V- а ехр  -2— . т1П <2	2кБТ )
Подставив числовые значения, получим Z,min = 6,27- 10-8-е17’44 = 2,36 см.
386
2.77.	Д^2Д£ = о,57 мкм.
2|хбВ
/ \ 1/2
2.78!	—= —	=3.
ei
Решение. Наложение внешнего давления приводит к появлению линейного потенциала 1/вн ос х. Новое положение равновесия определяется минимумом суммарного потенциала, U — t/BH + 1/отт, а жесткость кристалла определяется второй производной этого потенциала. Поэтому жесткость определяется только отталкивательной частью потенциала:
d~U!!Tl.
4 =------—
dxz
j-.	n	dU	dUотт
Давление внутри кристалла Р = — ~^= ”---------у и равно внешнему дав-
лению. Таким образом,
Р ос х~Ф+3).
Дебаевская температура:
0 ос coD ос ос у1/2.
Жесткость кристалла:
У ос	ос х-Р-2.
dxz
Поэтому окончательно имеем
₽+2
9 ОС Х2ф+3).
При [3 з> 1 получаем 0 ос Р1/2, и соответственно
02 = Ы1/2=о
01 1/1]
§ 3. Электроны в металлах. Ферми-частицы
1 эВ.
*2
3.1! ДЕ= ” ехр та1
Решение. Ширина зоны Д<£ л ЙсоР)', где со я» via » tilma2' — квазиклас-сическая частота колебаний электрона в яме. Что касается коэффициента туннелирования D', то он связан с коэффициентом туннелирования через
барьер соотношением D' =
скольку электрон находится в состоянии суперпозиции атомных волновых функций, то для попадания в соседнюю яму (расположенную на расстоянии
что по-
387
d) электрону надо «пройти» только половину нуги под барьером. Т. о.
ДЕ = ехр [-	» 1 эВ.
та \	*	/
3.2*= Й(Зл2и)1/3 » 1,5-10-19 г-см/с; t>F =	2,1 • 108 см/с;
т*
eF » 9,7 эВ.
Решение. Число возможных состояний для электронов, имеющих импульс от р до р + dp определяется по общей формуле
A	dN(p) = 2 И 4яр2 dP
Т	(2л7гГ
где коэффициент «2» — число состояний на каждом из энергетических уровней (спиновое вырождение), а V — ---------------». объем металла. При Г = О К заняты все возможные со-£ Л5
F ® стояния электрона вплоть до граничного импульса pF Рис. 218 поскольку вероятность / занять состояние с энергией
<£ равна единице для всех <£ вплоть до энергии Ферми (рис. 218). В импульсном пространстве заняты все состояния вплоть до импульса Ферми pF. Таким образом, полное число состояний в единице объема
Рр / \ 1/3
7-S	',г-й(3“2т) ’
откуда и получается ответ.
2 /	\ 2/3
3.3.	ё- = 2 gF где eF = -5— | Зл2 — |
5 F F 2т* \ V) ,	\ 2/3
, *2 /	,3/2\
3.4.	Зл2^—у	1,9 эВ.
5 2те I 4</ 7
3.5.	2 ~ 1,3-10~4, где Т = 300 К.
& V /
3.6.	X = — XF ~ За, где XF =	« 2а.
2	«F
3.71	10-19г-см/с.
Решение. Скорость позитрона пе-
^JC^1****^	ред аннигиляцией является тепловой и
ею можно пренебречь по сравнению со
Риг 21Q	г г
ши ли	скоростями электронов, которые поряд-
ка фермиевской скорости. Следовательно, до столкновения суммарный импульс системы равен импульсу электрона Как видно из рис. 219,
Ре = 2/\ Sin|»p^,
где р_> — импульсы фотонов (аннигиляционных у-квантов). Энергия, выделяющаяся при аннигиляции электрон-позитронной пары, в расчете на один у-квант равна тс2 0,5 МэВ, где т — масса электрона. Это намного пре
388
вышает фермиевскую энергию электрона £р<10эВ. Таким образом, импульс каждого у-кванта практически равен тс. Так как тс»pF, то угол между разлетающимися у-квантами близок к л. Отклонение ф от этого угла тем больше, чем больше импульс аннигилирующего электрона. Так как ре < pF, то максимальное отклонение угла разлета от 180° соответствует случаю ре = pF и тем самым
pF ~ тсф = 0,96- 10-19 г-см/с як 10~19 г-см/с.
3.8Г ф ~ <к 1 рад. О
Решение. При температуре Т «к 0 наибольшую роль в процессах рассеяния играют фононы с энергией flat» к^Т. В этой области со = sK, где К — волновое число фонона, as — скорость звука. Импульс фонона Рфон = ЙК = 1vaIs. Импульс электрона />.1Л як pF. Угол рассеяния
Рфон . Tics йБТ Ф як----як----як----.
Рэл SPF SPF
Фермиевский импульс pF = Й (Зл2и) *^3 як й (Зл2) *^3 —, т. е. pF як —. Скорость звука можно выразить через дебаевскую температуру 0:
ЙБ0 —- ЙСОр tlSK.^ Як Й — 5 —- SpF.
Таким образом,
Ф як - <к 1 рад. и
Знаки приближенных равенств берутся потому, что в качестве модели выбран одновалентный металл с простой кубической решеткой, что не оговорено в условии.
3-9- Tmax = 2arcsin (2~2/3) як 78°.
3.10.	— (3я2п) 1/3	180 э
тах ed
/ 2\ 1/3
3.11. </тах = 2Йс Зл_ як0,1см.
тах еН \ V )
Вырожденный ферми-газ тем идеальнее, чем он плотнее, так как U и1/3; eF ос и2/3 и C7/£f —» 0 при п-»оо. Данная задача показывает, что при реальных металлических концентрациях Ulty — 1, т. е. электроны в металле — это скорее ферми-жидкость, а не ферми-газ! Тот факт, что модель свободных электронов дает правильные порядки и числа, есть следствие общих закономерностей квантовой механики. Отметим, что ответ можно запи-
U	1 "1/3
сать так: — — _ £— для «газовости» среднее расстояние между электрона-£Р	5 гБ
ми должно быть меньше гБ 0,5 А. В обратном предельном случае разряженного газа мгБ I электроны проводимости должны образовывать упорядоченную структуру — т. н. вигнеровский кристалл (см. задачу 3.92).
389
3.13.	--!н(/?) = 22'3	1,6.
^КИн(О)
3.14.	Д = |'WVkp'| 2,5-Ю20 нейтронов.
\ Л / Зл
ЗЛЯ Нр = |2^_1_«_^_=7,3-109см/сл-, где г0 » 1,3-10~13 см -
F ’ 8 тг0 2тг0	4	0
коэффициент в формуле для радиуса ядра Яя = ГрА^3.
Решение. Нуклоны как ферми-частицы заполняют уровни энергии своих потенциальных ям согласно принципу Паули: по два нуклона каждого сорта на уровень. Считая, что уровни энергии нуклонов распределены квазинепрерывно и вероятность занятия состояний с р < pF равна единице, получаем для полного числа нуклонов
Рр	Рр	2
/V = ( dN„ = ( 4V 4кр d-P-, ('	(2л7г)
где V = лЯ3д = лг^4 — объем ядра.
Коэффициент «4>> отражает тот факт, что мы пренебрегаем различием в уровнях энергий нейтронов и протонов из-за кулоновского взаимодействия, т. е. считаем их потенциальные ямы идентичными. Отсюда фермиевский импульс нуклонов
р = А = 1,23• 10-14 г-см/с.
' 8 го
Так как тс як 5-10-14 г-см/с > pF, то можно пользоваться нерелятивист
ским приближением t>F = — , откуда и следует ответ.
з
3.16.	Средняя энергия на один нуклон е" = — eF = — -А. як 17,1 МэВ.
5	5 2ш
*2
3.17!	<gmin = Де = -n . - (Зл2)1/3 =* 80 кэВ,
7	4тгцА
о лЛ2 =1,9-10-19 см2 =1,9-105 бн, где Л =	= 2,47- 1О-10 см.
у	у рШШ ’
Решение. Возбуждение ядра состоит в поглощении у-кванта нуклоном, находящемся на уровне с е = eF и переходе его на свободный уровень. В силу квазидискретности энергетических уровней расстояние между ними вблизи е = ег	1
F	Де = _J_,
®(£f)
где 2) (eF) —
уровней на единичный интервал энергии вблизи энергии Ферми. В модели ферми-газа е = BN^-, In е = In В + In TV, откуда
— плотность состояний или число энергетических
£ = £F
de _ 2 dN и dN = :LlL e 3 N de £=£f 2 eF'
390
Используя результат, полученный в задаче 3.15, найдем
t2
<Smin = Де =	.. (Зя2)1/3 80 кэВ.
у	4тАгд
Сечение фотопоглощения оценим как сечение образования составного ядра
о = п(Лял + Л)2, где Л =А =	2,47-ю-10 см;
' яд /	" -у 2л <g”'n
Лял = л-ОА1/3^8-10-13 см «Л .
ЯД V	у
Окончательно
о л.Л2 = 1,9-10-19 см2 = 1,19-105 бн. у
Аналогичную оценку для сечения можно получить, применив формулу Брейта—Вигнера для неупругого процесса.
2
3.18. С = Е|,-+ <SCB =+ <sCIJ — 40 МэВ (см. рис. 220), где pF = _______	2 т п
3 9л N И ,	о 1
= \--------(см. задачу 3.15).
’ 4 А г0
3.19? Р ешение. Электростатическая энергия распределения зарядов с плотностью р определяется как
и = 1 $ р<₽ dv-
V
В случае равномерного распределения протонов по ядру плотность заряда р = ^ = Здесь V = tiR3 = пг^А — объем ядра. Потенциал внутри равномерно заряженного шара
<P = ZL(3«2-,2). 2R
Поэтому интегрированием легко определить ,,	_ 3 (Ze)2
₽авн 5 R '
При неравномерном распределении протонов радиус нейтронной сердцевины находиться из условия Инейтр = V/2 или Л3ейтр = Я3/2, и мы имеем заряженный сферический слой с плотностью р0 = Ze = -^-=2р. Потен-^прот V/2 циал внутри этого слоя
Соответственно электростатическая энергия
Цадавн = j	(6 • 2“5/3 - 1).
НсрДВН г п \	/
391
Таким образом, выигрыш в кулоновской энергии 2	2
и0авн-Ь'неоавн =	— 6-2~5/3 = И• 2“5/3	= 0,075Д~5/3 МэВ.
равн неравн 5 R	§	4R
При равномерном распределении протонов в ядре импульс Ферми определяется из условия
iz 4 о	/ Зд \
4 = 4------г - npf, откуда pF = 2пП
(2яЯ) 3
Кинетическая энергия ядра при этом 2 ^равн = 3 л 3 Л_РГ k 5 F 5 2m
В случае неравномерного распределения нуклонов
1/3
A	V/2 4 1	I '
3- = 2-----j - npF0, откуда pF0 = 2лй U
2	(2лЙ) л
т. е. pF0 = 21/3pF, а кинетическая энергия
^неравн = 2 —— 7,1(1 = А х 2^3 к	2 5 2m 5 2m
Таким образом в кинетической энергии есть проигрыш
^неравн_^равн = |Л£1г(22/3_1) ~ 10А [МэВ]
Отсюда следует, что равномерное распределение нуклонов в ядре энергетически более выгодно, поскольку сравнивать надо полные энергии
Д<§ = <£равн-<£неравн = 0,075Л5/3- ЮЛ = 0,075 Л5/3 (1----“ЦЛ [МэВ].
0,0754 у
Эта величина положительна при Л> (133,3)372^ 1540. Таким образом для всех реальных ядер равномерное распределение нуклонов в ядре более выгодно.
3.20.	9 j = 2 arccos = arccos 0,242 % 152°. трс
2
3.21.	=_____________________* 1 + 2	1,29.
ТПор2 6трс — уТЙГ pFc V3 трс
3.22.	Р = — и£р =	(Зп2)^3п513 = 3,84-1011 дин/см2яе 3,79-105 атм;
5 г 5m , .	,4-1
а _	1 |ЭТ) _ 1 (дР\ _ 3m	3 Л ,А 1 л—5	-1
Рт — кг— — R—	со = —	0,1о • 10 атм .
У	п [дп)Т й2(Зл2)2/3и5/3 5Р
3.23.	s = -^-= 115,5 м/с.
V3
3.24.	Ре ях ne£F ~ 1013дин/см2 я^ 107 атм, где eF = ^и; / 3/2
1 (2me£F |	_ Л , , з
Пе^-Т —2- J Р = «е^р ~ 0,6 г/смТ
Зя \ П /
392
3.25! Г % 2-109К.
Решение. Температуру в центре звезды можно определить из условия равновесия. Гравитационному давлению противостоят давление равновесного излучения и давление электронного газа. Рассмотрим сферический слой радиусом г и толщиной dr. Оказываемое этим слоем давление на нижние слои
,р _____“Гграв_ M(r) dM
“Щрав Г V 2~	2~
д	г 4л г
Используя граничное условие на поверхности звезды Рграв(Я) = 0. получим
К |4лг3р| (4лг2 dr р) _
^грав(О) =	- =	(РЯ)2= М-l О23 дин/см2.
i	г (4лг )	°
Концентрация электронов в звезде
п = Z «	3- I О27 см-3.
Атр 2тр
Энергия Ферми этих электронов
sF = — (Зт12п)213 » 1,2-10~8 эрг = 7,5 кэВ.
Соответствующая ей температура вырождения
TF = -L = 0,87-108 К.
Предположим, что температура в центре звезды Т > Т^. Тогда давление электронного газа можно подсчитать по классической формуле (давлением ядер можно пренебречь, т. к. во-первых Z»l, а во-вторых тепловая энергия
—0,1 МэВ, что недостаточно для «развала» ядра на нуклоны)
рэл =
Условие равновесия
Подставляя численные данные, получим
1,4- ю23 = 7,56- 10-15Т4 + 4,14- 1013Т.
Решение этого уравнения дает температуру в центре звезды Т = 2,07-109 К, и таким образом предположение о том, что Т > TF выполнено.
3.26! Р ешение. Оценка концентрации электронов
М , 1 _ MZ Z	,.
тя R* mP.4R
Расстояние между электронами а~п“1/3. Скорость электронов определим из соотношения неопределенностей
fi ve------
с mea
393
Энергия одного электрона
2	э ±2 2/3
meve	п пе
8р----Z—	----5—7	'
2	2niea
Давление электронного газа с точностью до коэффициента порядка единицы равно плотности энергии
й2 5/3	л.2 / »т\5/3 /7\5/3 ,
р ~ » р -. е - ” I м ]	£ X
е ее 2те те	Л5'
Гравитационное давление
р _____ Гррав Д/2 J ____ уМ^
грав у y~R^~
Из условия равенства давлений Ре = Рграв следует
, ±2 /~\5/3
М113Я~±-И_
у те
-Tj = const.
тр
/ \3
3.27	. U = — neF, где п = —Ц. -X = 4,42-1039 см-3 (Ср. с задачей 3.3); 4	Зл Xе/
U ^ 5,3-I036 дин/см2; Р = £ = 1,77-I О36 дин/см2 % 1,747-Ю30 атм.
3.28	. РК4/3 = const (см. предыдущую задачу).
3.29	! Р е ш е н и е. Известно, что свободный нейтрон распадается по схеме п -» р + е~ + ve + 2,
где Q«s 1,3 МэВ — выделяемая при распаде энергия (дефект массы). Покажем, что нейтроны, составляющие нейтронную звезду, не подвержены указанному распаду. Количество нейтронов в пульсаре: N ~ — ~ 1057. При Мп
распаде всех нейтронов появилось столько же электронов: 1057, а их концентрация была бы порядка
пе ~ Дг ~ 1039 см“3.
Л3
При таких плотностях электронный газ становится ультрарелятивистским (ер »тес2). Тогда ef = pFc = he (Зл2ие) 173 я» 600 МэВ. Таким образом, хотя при распаде одного нейтрона и выделяется энергия порядка 1 МэВ, но проигрыш за счет увеличения кинетической энергии электронов составит в расчете а
на один электрон величину порядка^ ef = 360 МэВ. Это и делает распад нейтронов энергетически невыгодным. Можно сказать, что давление электронного газа стабилизирует распад большого числа нейтронов.
3	30 — = 1 —£ = л пc°Z е
3.31. Ер — -г
г. Д£=о,О5%.
2
,2.2
X ^1^4,1 эВ.
394
3.32. Решая уравнения движения
2 ( fp тр- /Р \
2 _ е «х , в у
С----2 -------"г ------ + ----- 
с \"tym2 mxmz тхту)
---	. еВ ds<Pz)
3.33. pr = const; p„ = — y c
Эр.
X = const; у = const; z
t.
— = — [vB]; v = d^<P) получаем dt с	Эр
Pz = const;

3.34* »тях = vF = —"У—« 1,05-Ю8 см/с; co = cos 9. max h mea “ 0,85	c mec
Решение. Ферми-поверхность &{kx, ky kz)=zF представляет собой
изоэнергетическую поверхность в ^-пространстве. В зависимости от вида за
кона дисперсии, соотношения kF и ЛБр (т. е. в зависимости от концентрации электронов и типа симметрии обратной решетки) она может быть замкнутой, незамкнутой или состоящей из нескольких несвязанных областей. Поскольку зависимость энергии от квазиимпульса является функцией периодической и ограниченной, то существуют точки экстремумов. В зависимости от электронной структуры атомов и типа симметрии решетки они могут располагаться как в центре зоны Бриллюэна при к = 0, так и в других точках (в том числе и на границе) при к * 0.
Вблизи экстремума можно разложить зависимость <£(к) в ряд и ограни-
читься первым неисчезающим членом.
<£(к) = <£(1^)
' 7	' °'2 dki дк
^i~koi) (kj-k0j) +...
k = k0
После приведения этой квадратичной формы к главным осям ферми— поверхность будет иметь вид эллипсоида. В случае кристаллов кубической симметрии эллипсоид вырождается в шар. Такая картина имеет место при С ростом концентрации (и kF ) нужно учитывать другие члены разложения и ферми-сфера деформируется (по-разному в разных направлениях зоны Бриллюэна: чем ближе граница, тем сильнее деформация). Рассмотрим предложенный в задаче «двумерный» закон дисперсии
+ 2
£(M = ^(^ + S2)-
2m
Число электронов, равное по условию числу элементарных ячеек W в объеме кристалла К, есть
Л =
dNk = 2 —Ц 4 4 (2Я)
dkx dky dkz.
2
F
Поскольку спектр от kz не зависит, то интегрировать нужно по всем возможным значениям kz в зоне Бриллюэна. Если размер элементарной
ячейки основной решетки вдоль оси z есть а, то — — < kz —. Форма и размер ячейки вдоль осей х и у не имеют значения, если только
395
kF * Бр =	. Вводя
dkx dky = 2лк± dk±, откуда к
полярные
координаты, получим
лМ
,2
V кр 2л
N = 2------т 2 л. $ к . dk . i dk- = —у---
0	-л/а 231
,	, 2л>\'
*F = V-F-a-
Поскольку объем элементарной ячейки равен по условию 0,85а3, то искомая скорость Ферми
Лкр
”F-----г -
т
1,05-108 см/с.
Поверхность Ферми здесь — цилиндр (открытая ферми-поверхность).
3.35? 5 = ^, см. рис. 221. а
Решение. Поскольку примитивная ячейка квадратной решетки содержит один атом, то число разрешенных значений квазиимпульса в первой зоне Бриллюэна (равное числу примитивных ячеек) равно числу атомов (V. Считая, что зона построена из s-состояний атомов, получаем, что из 2N мест в зоне проводимости занято ровно половина и поэтому
1	/т \ 2 т 2
5 = 1. —I = 2л
2	\ о / а1
В силу симметричного характера спектра половинное заполнение зоны Бриллюэна соответствует sF = 0. Таким образом, уравнение поверхности Ферми находится из условия
.	.	.	„	~	кх + к„	кх — к„
cos к а + cos к а = 0 или 2cos--------- а • cos--а = 0,
х	У	2	2
откуда
кх+к» = - С1 +2w>
х У а
где т, п = 0, ±1, ± 2, ...
В первой зоне Бриллюэна | кх |, |Лу|	откуда подходят
т, п = 0, — 1, т. е.
кх+к= \ х У а
Таким образом, заняты все состояния внутри квадрата площадью 2л2/а2 (см. рис. 221).
Для нахождения распределения скоростей на ферми-поверхности в силу симметрии рассмотрим только первый квадрант. По определению
1 a<S(k)
П Эк '
Поскольку градиент перпендикулярен линиям уровня, то ско
рость электронов перпендикулярна ферми-поверхности. Следовательно в нашем случае компоненты вектора скорости электрона должны быть равны.
396
1 Э<£(к)	£»«  ,	i a<£(k) &oa	T
Докажем это: v =- —— =	sin к a, v =- —— = —— sinfca. T. к.
x И дкх h x y Ti dkv h y
kxa + kya = л, то vy = vx. Таким образом, скорость распределена вдоль стороны квадрата по закону синуса — она максимальна в середине боковых сторон и равна нулю в углах квадрата. Последннее очевидно. В углу квадрата скорость электрона должна быть перпендикулярна двум смежным сторонам квадрата. Это возможно только для нулевого вектора.
3.36t	vF2 =	2,3-107 см/с; nFx = vFy = 0.
Решение. (См. также решение задачи 3.34). В этой задаче рассматривается «одномерный» закон дисперсии &{kz) = <s0 cos kza. По условию каждая из W элементарных ячеек, содержащихся в объеме V, поставляет в зону проводимости по одному электрону, т. е.
/V = 2 —И ( dk dk dk = 2 —Sk . ( dk,,	(*}
(2л)3 333 x У	(2л)3	±3
где Sk± — площадь сечения зоны Бриллюэна плоскостью kz = const. Используя вид закона дисперсии (рис. 222), получаем
По условию не зависит от kz и объем зоны Бриллюэна равен Vk=Sk±—. Кроме того, объем зоны Бриллюэна легко вычислить иначе з
Vk =	, где v = -^- — объем элементарной ячейки. Таким образом, под-
ставляя все это в (*), получаем
л
2а
откуда в одномерном случае к^
Фермиевская скорость
д£
Vf =----- =
я дк, .	.
397
Выражение для kF можно получить и другим путем. В зоне проводимости для электронов имеется 2А мест, из которых занято /V мест, т. е. половина. Таким образом, в силу симметричной формы спектра £F = 0, откуда cos к^а = 0, к^ = п/2а. Ферми-поверхность в 1-ой зоне Бриллэюна имеет вид двух параллельных плоскостей (в одномерном случае — две точки).
3.37!	Решение. Из уравнения рх = еЕ следует
 еЕа откуда с учетом х = vv и vv — — — — ---sin-----
□Рх	п п
(/ — г0) получим
eEa(t-t0)
+ ------------~л----
Таким образом, электрон осциллирует около равновесного положения х0 с частотой <и = eEaHi, и средний ток равен нулю. Причина этого состоит
в том, что кинетическая энергия <g0 cos (кха) является ограниченной функцией кх. В результате движение электрона в поле с потенциальной энергией U(x) = — еЕх ограничено конечной областью (вследствие закона сохранения энергии). Очевидны равенство нулю средней скорости (Тх = 0) и ограниченность координаты (х = х0), что легко опреде
лить по виду v(Z) и х((). На рис. 223 изображена зависимость kx(t). Ускоряясь, электрон достигает границы первой зоны Бриллюэна, отражается и оказывается в эквивалентной точке кх = — л./а. Далее картина повторяется.
Подсчитаем, например, частоту и амплитуду осцилляций электрона Дх
по медному проводу
Е = Ар « 5,7- IO"6 ед СГСЭ = 1,71 • КГ3 В/см; со = — « 7,8 -104 с"1. 5	п
Так как Д<э = 2<£п, то Дх АА«1,5-103 см = 15 м.
°	2еЕ
Это явление крайне трудно наблюдать, так как Дх »А (длины свободного пробега): даже в самых чистых образцах А £ 1 см.
а •	• а ’ ^а3еН
3.38.	vx = — г,у = г,у = 0; г,х = vz = 0; vy = - —-j-
ZCrl
3.39.	£F = <£0; pF[110]	1,48 A
г u	3 a	a
pF [ 111 ] = VT — arccos « 1,46 —.
r	a 3 a
3.40.	m" = -A,.
398
3.41.	rF[ 100] =^; vf[110]=7(^.; vf[ 111 ] = n	' 2 n	’ 3 n
3.42.	t = v = 0; <g = 2<g0; <pmax = 45°. 2eEa	0 a
3.43?	Д<£ = -^ = 5эВ. mea Решение. Согласно закону дисперсии
S (k) = <S0 (3 — cos kxa — cos kya — cos kza), «Потолок» (максимальное значение энергии) зоны проводимости достигается в углах зоны Бриллюэна при к= ±—; ±—; ±— , а «дно» (минималь-\ а а а)
ное значение энергии) — в центре зоны при к = 0. При этом <smax = 6<s0;
<зтл ~ 0- Ширина зоны Д<з = <отах — <smin = 6<§0. Вблизи дна зоны
.2	6й2
и таким образом т* = те =---j, откуда Д<э =-? = 5 эВ.
<£дй	теа
Отметим, что эффективные массы можно было бы вычислить и непосредственно из закона дисперсии (см. задачу 3.34)
f Э2<£
+ 4
=-----у, где i = х, у, z.
£,=о S°a
Следовательно, эллипсоид энергии здесь является шаром. । г
3.44.	Г* = Д/ Яб2° 3,3 К для Си и 1,5 К для Na.
’ 24л £F
3.45.	В расчете на 1 атом: теплоемкость решетки среш(Т) среш(3 К) % 6-10-4 кБ; среш(300 К) « ЗкБ.
Электронная теплоемкость (в расчете на 1 атом):
, , 4
_ 12л .
~5 Б
3
О'
,	>2/3	2
Сэл(Г) = Ш	Сэл(3 к) 2-32‘ 1О'Ч; сЭл(300 К) = 2,32- 10-2Лб.
2 ]£т
3.46.	С = уТ = 2L ,vA % 5 • 103 эрг/ (К • моль); 2
KD = (6л2и) 1/3 = 2>/з	= 2,1 • 108 см-1.
3.47.	0 = у	^54" = 330 К.
,.й л2^)ла	сРХт1-спт\
3.48.	eF =------= 7,05 эВ, где А =-----
А	Т1Т2-Т2Л
399
I 2	?
3.49.	т = лИ1/1ли±7'2/1л* = о, 144 К.
’ zl Au + zl Ag
3.50.	TF = 6,4-104K.
3.5 К
\ 1/3	2
1^-	= 8бА, еР = -Ц(12л2)2/3«7эВ, где
3 кТп	r 2та
a =	» 3,62 A, n — -i.
’ P^a	a
Решение. В металлах возбуждаются лишь те электроны, энергия которых лежит вблизи энергии Ферми. EcflH2)(eF) — плотность электронных состояний, т. е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, то обратная ей величина
Де
1
есть расстояние между энергетическими уровнями. В объеме V одновалентного металла содержится N свободных электронов, которые размещены по энергетическим уровням вплоть до энергии Ферми. Из выражения для eF следует, что
3/2
у
'	□ 2	*2
Зл \ п /
откуда легко найти плотность состояний вблизи уровня Ферми:
WF) = ^ = JL Ы ^1/2 = 3 N 2л2	Ь 2 £f
Из полученного выражения находим
з N 3 nL3'
где и — концентрация электронов, равная 4/а3, L — линейный размер кристалла меди.
Условие, при котором дискретность уровней еще не сказывается на удельной теплоемкости, довольно очевидно:
Д<В « кТ,
откуда следует ответ задачи
.1/3	/	\ 1/3
, . | 2 £f )	| 1 £f I
L >---------= a \------
[З кТп) [бкт)
Постоянную решетки можно найти по формуле
а = О|- = 3,62 А.
' РАЛ
Энергия Ферми не задана в условии задачи. Поэтому вычислим ее:
*2	*2
eF = — (Зл2п)2/3 =	(12л2)2/3 = 7 эВ,
2m	2та
что совпадает с табличным значением eF.
400
Окончательно получим размер кристалла меди, исходя из вычисленных нами данных
, 1/3
11LI =86 А.
6 кТ
3.52* ф(х) « ехр I ±-^-|, где /TF = Л—Л------, ©(eF) =- — — плот-
Ц М	V 4я/22)(гР)	2 гР
ность состояний на уровне Ферми, и0 — равновесная концентрация.
Решение. Распределение потенциала внутри проводника описывается уравнением Пуассона
А'р = 4ле(п — п0^/е, где £ — диэлектрическая проницаемость, возникающая за счет электронов заполненных зон (т. е. всех электронов, за исключением электронов проводимости).
В состоянии термодинамического равновесия двух тел их химические потенциалы равны, т. е.
Pj(P, Т) = ц2(Р, Т).
вели-элек-усло-(рис.
и — п0 = Ди
л dn
Др = ^-
' dp. х
ср (x) = S) (p.) e<p (x),
Однако, при наличии электрического потенциала роль ц начинает играть другая чина и + (/ = и — ср = F, называемая трохимическим потенциалом, и тогда вием равновесия является F = const
224). При плавном изменении потенциала <р(х) на расстояниях порядка постоянной решетки можно считать, что дно зоны проводимости, соответствующее в этом приближении потенциальной энергии электрона, меняется от точки к точке, т. е. зависит от координат, и в результате р. = ц (х). Если изгиб зон мал, то dn dp- х
где ©(ц.) — плотность состояний (на единицу объема) вблизи уровня Фер-
ми. Будем полагать, что ©(ц)	©(eF) =	= — — (см. задачи 3.17 и
dz? 2 Ef
3.51). Здесь n = n(x) — локальная плотность состояний, п0 — равновесная концентрация при х—*<». Подставив это в уравнение Пуассона, получим
А'Р = ~£-©(t’F)'P-
Решением этого уравнения является функция
ф(х) «ехр ± — , ITF
401
, I p I sei? 4,3-10 9 см для металлов, где ZTF = V--,------= V---,— » 1	,
' 4ле <D(8F)	' бле n0 [1,6-10 ° см для полуметаллов.
Заметим, что в металлах /TF < а — постоянной решетки, т. е. внешнее статическое поле практически полностью экранируется на расстоянии одной постоянной решетки и внутрь металла не проникает.
3.53.	^=C(A1-^U-5,2-1Q-16. п Vne
3.54.	Ag. = Jj_ Л1~^2	-4,6-10~13.
п 4ла упе
3.55!	Дф?г —-----10 мВ.
/ т kFLe
Решение. Контактная разность потенциалов Дф связана с разными начальными положениями уровней Ферми (относительно уровня вакуума) в контактирующих объектах.
С уменьшением размеров кубиков расстояние между одноэлектронными энергетическими уровнями увеличивается. В предположении постоянной электронной концентрации это приводит к повышению уровня Ферми в маленьком кубике по сравнению с его положением в «массивном» металле. Чтобы оценить величину Дф такого повышения, заметим, что полное число свободных электронов в кубе размером L со сферической Ферми-поверхностью определяется количеством ячеек объемом (2п)3 в к-пространстве и равно N — (Лр£/2л)3, где kF — это величина фермиевского волнового вектора. Приведенное выражение справедливо в пределе kFL^> <». При конечной величине kFL число электронов определяется количеством точек с координатами, кратными (2л/Л), в пространстве волновых чисел. В этом случае
|V-V (kFL\2 у 2л /	2л )
где поправка, пропорциональная а— 1, связана с «целочисленными» точками, расположенными в координатных плоскостях пространства волновых чисел, а также с «целочисленными» точками, ближайшими к поверхности Ферми-сферы, но не попавшими «под» нее. Отсюда для концентрации электронов n — Nll} получаем п — Лр[ 1 — а/(kFL) ], что при &FL»1 дает kF(L) « и2/3 *+ <2а/3) Полагая п = const и учитывая, что энергия Ферми
£Е ос kF, находим
j + 2а/3
£р(оо)	Лр(оо)£
откуда при eF ~ 1 эВ, kF — 108 см-1, L = 10~6 см следует
Дф = 1 [£f(£) -£F(“)1 »т^-~10 мВ. С	/С
/ \1/3
„ sin at [ П7 1
3.56------“ ----= —	=2; полное отражение будет при угле падения
sin «2	\Я1 /
электронов гр = 30° из среды с показателем преломления п2>Пр
402
Решение. Будем считать, что контакт металлов осуществляется во всех точках соприкасающихся поверхностей (это требует высокой точности обработки). Тогда контактная разность потенциалов будет приложена между свободными концами. На границе раздела возникает скачок потенциала из-за перехода части электронов из металла с меньшей работой выхода в металл с большей работой выхода. Этот скачок потенциала произойдет на расстояниях порядка /Тр < а — периода решетки (см. решение задачи 3.52). Величина скачка находится из условия равенства электрохимических потенциалов — e<Pj = ц2 — е<₽2’ гДе И1 и ц2 — химические потенциалы после перетекания заряда. Доля перетекае-мого заряда ничтожно мала (см. задачу 3.53). Поэтому Pi 2 = eFl 2- Таким образом, энергетическая диаграмма металлов, находящихся в таком контакте, имеет вид, изображенный на рис. 225, где ноль отсчета потенциальной энергии совмещен с дном одной
Е"
М2
Л1 7777777777/, >777777/ '/ и
777/7777777777777,
Дно зоны проводимости
Рис. 225
F
О
из зон проводимости.
е(Ф1-<Р2) =f/ = M2~Ml-
Наличие скачка потенциала приводит к силам, перпендикулярным поверхности контакта. Эти силы меняют нормальную составляющую скорости электронов, преодолевающих барьер, но не меняют продольной составляющей, т. е.
sin а( = Vp2 sin а2,
откуда получаем закон преломления для электронов
1/3
Sin а1 _ VF2 _ ^2
sin а2 vF1 га}/3
Таким образом, металл с большей фермиевской скоростью является «оптически более плотным». Следовательно, полное внутреннее отражение наступает при падении электронов на границу раздела из металла с большей кон
центрацией электронов при угле а2 > ф = acrsin = 30°.
I	Рп I
3.57	. Вводя углы падения и преломления ф, и ф2 I ctg ф = — I. получаем закон преломления электронных волн на межкристаллической границе
sin <pi
sin ф2
Ф1
При малых углах падения и преломления — Ф2
3.581 ^(Го) =	% 75.
₽(ТНе) ТНе
403
чения То).
Рис. 226
Решение. Приведем схему термоэлемента. Это кольцо, спаянное из двух разных металлов. В отсутствии тока термоЭДС возникает между разрывами в одном из металлов (рис. 226). При этом предполагается, что температура концов разрыва одинакова (ответ не зависит от конкретного зна-Появление термоЭДС обусловлено различием электрохимических потенциалов в двух металлах, и поэтому при установлении электрического контакта электроны начнут переходить из одного металла в другой. В области границы возникает двойной электрический слой. Толщина этого слоя порядка межатомных расстояний и может рассматриваться как бесконечно тонкая в задачах макроскопической электродинамики (см. задачи 3.52—3.56). В этом слое происходит скачок электрического потенциала, который выравнивает электрохимические потенциалы. Такой скачок называется контактной разностью потенциалов, «вакуума» одинаков для обоих металлов, то
Поскольку уровень
е\ ДфК0Н1| = |Аб — Аа\, где А — работа выхода из металла. Перенося заряд по замкнутому контуру, получим
А‘Рк<шт<Г|) + А‘РКОНТ (Т2) + Дфа(Т0) - 0;
1АФа(Го) । = । АФконт(7’1) + Дфконт^г) । =
= |А5(Л) -Л(Л) +Л(^2) -АбО||= |ко-
-Aa(T1)]-[Ag(T2)-X6(T1)]| 1 =
= | [ИсДТ’г) — Иа(^i) 1 —	~ Иб(7'1) ] |
металлов при любых температурах Т ц(Г) — ц(0) ос (точный результат, как будет показано ниже, равен
Поскольку у
ос кът — <х Т2 ь гр
2.2 Jt KR —э ----Т2), то
6Cj
|Л<Ра(Г0)1
2	2	2	2
Т^-Т\	Т2-Т\
гР
гР
1
гР
4
Ср )
2, 2
Ittfc т где у =---------. Таким
бе
образом, считая ДГ = Т2 — Ту « Ту, получаем
Тогда
в =	(Ti+дп2-^
1 дт
ДГ
2Ту.
Р(Го) _ То
₽(ТНе) Тне
75.
404
Строго говоря, при наличии градиента температур плотность тока определяется не градиентом электрического потенциала ф, а градиентом электрохимического потенциала
j = — oV I'p — Е I e где u — химический потенциал.
T. к. Vu. « VT, то j = оЕ + |3VT (аналогичное выражение имеется и для полного тока в полупроводниках, где к омическому току добавляется диффузионный: Vu. « Vn при Т = const). В состоянии термодинамического равновесия j = 0, однако Е 0 и Ес/1 = — — VT d\ = — dl, откуда
	 a	 а Э1
следует
I Аф | =
Коэффициент х/а = Q называется дифференциальной термоЭДС. В модели свободных электронов
Q = 2L^,
Зе eF
* 2
3.59.	— = 3 м =	(3я2й) 1/3.
Pf гр п 2 гр о2
* 2
_ ЭМ _ ”1 ИБ ,^2 у 1/3 - g  п-7
/-Na	2+2 '’’Л П>
оп ЯП
Задача решается из условия «равновесия», т. е. равенства уровней Ферми
2	2
Р+	Р-
тЛ-Иб" =	+
2m	2m
2	2 /	\2/3
3.60.	С (Г) = ^к^Т = R-, где eF = — Зл2 —	= 6,75-10“15 эрг =
2гр	Го	2m \ V ]
= 4,22мэВ. Температура вырождения Tj, =	— 50 К. Таким образом,
теплоемкость жидкого 3Не при низких температурах определяется так же, как и для электронов в металле
сД)=|-¥ = «р где Л> = ^ = 4?1'10К' 2 Ef	I о	л: КБ Л
3.61.	У атомов 3Не суммарный спин электронов равен нулю, а спин ядра равен 1/2. Поэтому теплоемкость при столь малых температурах мала и определяется так же, как для электронов в металле. Таким образом,
2	/	2 \ 2/3
СЙ Зя р
m	2,2 „,.,1/3	л
я k^TN^ m \ л /
405
3.62?	co = Д/	= 2-1016 c 1 (для металлов).
н ’ ztn
Решение. Пусть р = е 5п = е (и — и0) « еп0 — отклонение плотности электронов от равновесной п0. В результате этого отклонения возникает электрическое поле Е, которое удовлетворяет уравнению Пуассона
div Е = ^2
г
где £ — диэлектрическая проницаемость, обусловленная поляризуемостью решетки и электронов внутренних оболочек.
Под действием поля Е электроны приобретают мгновенную скорость V, модуль которой много меньше скорости хаотического движения vxaoT> которая — в металлах и — У/тк-^Т в невырожденных полупроводниках. Она определяется из уравнения
, rfv c)v _ т — = т — = еВ. dt dt
Мы пренебрегаем слабой зависимостью v от координат и учитываем только зависимость от времени. Плотность тока j = env — enQv удовлетворя-
ет закону сохранения заряда ^2 + div j = 0. Продифференцируем это выра-dt
жение по времени и подставим туда выражение для j и Е. В результате по-
лучим уравнение
.	2
э 4лп0е откуда Шр =-----;—
т г
2 л 1
dp 4ле «о Л
—7 +-----— Р = °’
dt т г
Отметим, что здесь п0 — концентрация электронов в зоне проводимости (электроны заполненных зон дают вклад только в е). Численное значение плазменной частоты для «типичного металла» (например, Си с п0 = 8,5-1022 см-3, т* = те, £ 1) а>р 2-1016 с~*. Для собственных полупроводников (например, Ge с е = 16, m* —0,2те и д0— 1014 см-3 при Г = 300 К) <ор —2-Ю11 с-1.
Так как мы рассматриваем колебания с одной длиной волны, намного превосходящей постоянную решетки, то справедливо приближение сплошной среды для решетки, что и оправдывает введение диэлектрической про
ницаемости среды £.
Приведем еще один вариант решения этой задачи. Рассматривая длинноволновые колебания, можно считать, что распределение электронов как целое смещается относительно положительного фона (ионов решетки). Пусть х — величина смещения электрона. Тогда дипольный момент единицы объема (поляризация) Р = поех. Поскольку свободных зарядов нет (т. е. div D = 0, а в силу однородности поля и D = 0), то
Е + 4лР = 0,
откуда Е = — 4лпоех.
406
Уравнение движения электрона
т*х =
4	2
еЕ _ _ 4лпое г	г
откуда и следует выражение для сор. Подчеркнем, что независимость <ор от волнового числа является следствием рассматриваемого приближения — не-учета диффузионной компоненты тока.
у - 2 4/3	2
3.63.------------—Угг---------	у яг 3,4-104, где г =—у, а =- — постоянная
Гкл 16л а2	кл тс2 137
тонкой структуры.
3.64.	Йа>р =	(2£f)3^2 = 8.4 эВ.
,, 2 1/3* 2
3.65.	А яг (3я \ Па яг 1,1 • ПГ6 см.
е Р
3.66.	о яг—е	. яг 1,2-109 Ом-|см-1 (серебро, п = 5,85-1022 см-3).
S(3o)w
3.67?---------т., = —--	1О-10 с (для чистого германия).
4ла
Решение. Растекание заряда описывается уравнением непрерывности р + div j = 0 и материальным уравнением j = оЕ. В хороших проводниках изменение проводимости, связанное с избыточными носителями, образующими объемный заряд, ничтожно мало по сравнению с равновесной проводимостью, поэтому о = const. Используя соотношение D = еЕ, где £ — диэлектрическая проницаемость, связанная с электронами заполненных зон, и divD = 4лр, получаем окончательно
р + (4ло/е) р = 0.
Решение этого уравнения есть
Р(г> 0 = Ро(г) ехР
где тм = е/(4ло), а р0(г) — распределение заряда в начальный момент t = 0. Из решения видно, что плотность р, не деформируясь в пространстве, экспоненциально спадает во времени, так что в тех областях пространства, где заряд при t = 0 отсутствует, постоянно сохраняется электронейтральность. При этом ток, естественно, течет во всем пространстве. Для германия тм яг 10“10 с. Если теперь формально подсчитать тм для металла, скажем, для Си, то при оСи яг 5-1017 с-1 получим
Т = —?— Яг 1,6-10 19 С.
м 4ла
За столь малое время электрон проходит расстояние порядка 10-1осм, что намного меньше длинны свободного пробега. Это значит, что в данном случае использование соотношения j = оЕ было незаконным. Действительно, решение уравнения движения для электрона в вязкой среде
m*v = еЕ — имеет вид v(() = А (1 — т	т
407
где т — среднее время между столкновениями. Очевидно, при t > т
v як const = v = —2с, и закон Ома с постоянной о справедлив. Наличие еще р т*
одного масштаба времени тм показывает, что при t < тм успевает установиться постоянная дрейфовая скорость электрона и закон Ома справедлив. При обратном знаке неравенства это неверно. Оценка т по известным о, и, т* показывает (см. следующую задачу), что неравенство тм > т выполняется в плохих проводниках (полупроводниках) и не выполняется в хороших (металлах). Это можно также видеть непосредственно из уравнения Максвелла rot Н =	+	= ±taE + £9E
с с dt с ст
Если характерное время изменения поля Е есть т (для периодических процессов это 1/со), то отношение двух последних членов есть-^^-т. Таким об-г
разом, ^55.1 =— —— |. Если т»тм (сотм« 1), то можно пренебречь то-
ком смещения и вещество ведет себя как проводник. При т « тм (сотм» 1)
оно ведет себя как диэлектрик.
3.68! £ (со) = е
(сор/со)2
1 -н7(сот)
где £ — статическая диэлектрическая
проницаемость.
Решение. Чтобы ввести комплексную диэлектрическую проницаемость £(со), надо, имея в виду запись электромагнитной волны в виде Е = Ео ехр \i(kx — cot) ], переписать уравнение Максвелла в следующем
виде:
rot Н = i — + — j = ^—. с dt с с dt
С учетом материальных уравнений D = еЕ и j = оЕ, выражение для диэлектрической проницаемости проводящей среды принимает вид
£ (со) = £ + i со
где £ — эффективная диэлектрическая проницаемость, обусловленная связанными зарядами (см. 3.62). Здесь £ считается константой, что справедливо вдали от областей аномальной дисперсии и частот (линий) поглощения для связанных электронов. Из уравнения движения электрона в вязкой среде
= - — v + еЕ
т получаем выражение для проводимости
Окончательно
2	Г 2, 2 '
£(а))=Ё + г-4яа = £ + г. 4япеЛ = £ t _ <->р <> .......
“	иг*со(1-гсот) L 1-Н/(сот).
„ , Л 4лпе где со = —
408
Из дисперсионного соотношения е(со) = е'+ ге" = и2 = (д'+ гп")2 можно найти показатель преломления и' и коэффициент затухания п". На ! 2\
высоких частотах, когда сот » 1 е" и и"-* 0, д'2 = е 1 — —£ . Следова-\ СО /
тельно при со > сор показатель преломления является чисто вещественной величиной и проводник (металл) становится прозрачным для электромагнитных волн.
Величину т можно оценить из данных по электропроводности. Так для меди п » 8,5 • 1022 см-3, т* » те, а » 5-1017 с-1, е — 1 и т = 2 -10-14 с. Таким образом при со > сор = 2-1016 с-1, что соответствует X = 1000 А, условие сот s> 1 выполняется с большим запасом.
2Z.	,3/2
1 Ao* !	X In	а	с In а 98n s	_	4 е (2тегР)
3.69: I	=---1,--------si —---яг 280 А,	где со — -----,-----.
л /х»р\	2"р	Р Зя Йте
44г7 -1
V \Ъис/
Решение. В среде волновое число
£ (со) = — = и (со) — = д (со), V	С л,
где д(со) = Ve(со) — коэффициент преломления. Для бесстолконовительной
электронной плазмы
е(со) = 1
Вычислим плазменную частоту
Тогда
2,^	,3/2
4 е
Зя Й3те
Подстановка числовых значений дает сор = 1,64 • 1016 с 1 > со ==
А
= 4,2-1015 с-1 и
д(со) = ± i — Vco2 — со2 со р
Пусть Ао — амплитуда электромагнитной волны на входе в пленку (х = 0). Рассматривая только затухающее решение, запишем
ф(х, () = Аое;(^х-“О = Aoe~la>t ехр Vco2 — со2 —j .
На выходе из пленки интенсивность волны по условию уменьшится в а = 20 раз. Таким образом,
|-ф(/, О I2 _ рхп f —7 Vco2 — со2 - а"1
|1|)(0, О| \	с/
откуда следует ответ:
I = с In а _ X In а ~ с In а 239 Д
2 V<Ор — со^	- / ( Х<ор\	2сОр
4л V —— -1
V (2Л.С)
409
3.70. Как следует из решения задачи 3.68, при не слишком высоких частотах (сот « 1) е' = е — 4лот, е" = 4ло/со. У металлов 4лот =»> е — I, ив указанной области частот е" << |е'| — 4лот и, следовательно, ток проводимости значительно превышает ток смещения. Тогда комплексное волновое число равно
к= И е1/2 (СО) = (1+°, \С /	*
где & = с/(2лосо)'^2 — скиновая глубина проникновения (толщина скин-слоя), Для меди при указанной частоте 5 » 2-10-4 см.
Заметим, что мы рассматриваем здесь нормальный скин-эффект, когда глубина скин-слоя много меньше длины свободного пробега. В этом случае соотношение между плотностью тока и полем носит локальный характер: плотность тока j в данной точке г определяется полем Е в этой же точке. С ростом частоты указанное неравенство нарушится в металлах еще в области сот « 1, когда о = const. У полупроводников же с ростом частоты сначала нарушается условие сот « 1.
3.71Т Решение. Уравнение движения электрона в вязкой среде:
m*v = еЕ + (е/с) [vH] — (т‘/т)у, H||z, E-LH.
Ищем только среднюю скорость дрейфа v, опуская вращение вокруг направления Н, не дающее вклада в средний поток; для этого полагаем v = 0.
Тогда
E, + coctEv .	Е„ — состЕх
Jx = °-------------Г’ /у = ° —------------Т'
1 + (<ост) У 1 + (сост)2
Л = о,
где о = е2ит/т* — удельная проводимость при Н = 0, сос = еН/(т*с) — циклотронная частота.
При Еу = 0 продольная составляющая плотности тока равна
/ =	° Е
х 77^TZ^x-1 + (<ост)
Уменьшение тока в этом направлении с ростом Н определяет магнитосопротивление. Составляющая плотности тока в перпендикулярном направлении равна
. _	СОсТ
Л1 ° .	.2 Ех
1	+ (сост)
и является холловской. Наблюдения в этих условиях производятся в диске Корбино.
В пластине ток вдоль нормали отсутствует (/у = 0), поэтому холловское поле Еу = а>стЕх и jx = оЕх. В данном случае магнитосопротивление отсутствует. Причина этого состоит в том, что ток течет не только под действием внешнего поля Еу;, но и под действием холловского поля Еу. В сильных полях (шст » 1)
2
3.72.	о (со) =------—----о0 = где сос — циклотронная часто-
[1 +(<о —<ос) т ]	т*
та, п — концентрация электронов. Форма кривой — лоренцева.
410
2
3.73.	X = 2L	як 400 Вт/(см-К).
3 h (зЛ)1/3
3.74.	Полагая, что искомая температура Т <к 0, получим
I .S/сгв3
Т як ----j-----як 70 К (медь: s = 3,7-105 см/с, vF = 1,6- 1О10 см/с,
’ 12л smevp
0 = 347 К).
2
3.75.	а як	як 2-10~16 см2. Приведенный ответ соответствует
(12л )' h
предположению о независимых колебаниях отдельных атомов, т. е. что 2 2
Матсог>А з
----2----~ 2 Как показано в задаче 2.74, при Т > 0 это дает правильную оценку.
_	2meh2xTvF	6п
3.76.	р =-------2Т як 1-10 Ом-см.
А/ИрЛвО е
3.77.	Л= Еа як 4,6-10~6 см.
хпк^Т
3.78?	s — 2S як. 3,3-105 см/с. ’ ра
Решение. Пусть S, — амплитуда колебаний атомов. Тогда сила, возвращающая атом в положение равновесия, /= — aS,, где a — коэффициент упругости. При колебаниях атома относительно положения равновесия на среднюю потенциальную энергию таких колебаний приходится энергия къТ/2, т. е.	_
aj2 _ кьТ
2	2 '
откуда a = Если стержень имеет сечение S, то натяжение (давление), К2
развиваемое в стержне при прохождении звуковой волны,
у ~ fnnOB ~ а^ИПОВ’
где ипов — поверхностная плотность атомов, оцениваемая как 1/а2. Следовательно,
F v 2 ' д а
С другой стороны, согласно закону Гука натяжение пропорционально относительному удлинению стержня
F	F
— = Ее или — =
S	SE
Приравнивая оба выражения, получим
a — Еа.
а
411
Скорость звука в стержне определяется по известной формуле
По условию задачи <2 — 16-10 3 4а2. Тогда
s~25 ДМ-3,3- 105 * * см/с.
’ ра
2	,2
3.79! / А = Д.—- = 2• 10“2 с, где vF =-А_ (Зл2)1/3	108 см/с
D я2 ЛБТЛ	4 теа
(для а = 3 А).
Решение. Характерное время t, через которое пластинка «почувствует» изменение температуры, оценивается как cft/D, где D — коэффициент диффузии. Это время также известно, как время «выравнивания».
Коэффициент диффузии есть отношение коэффициентов теплопроводности кристалла и к его теплоемкости С. При комнатных температурах теплоемкость кристалла практически равна решеточной Среш и согласно закону Дюлонга—-Пти С = Среш = ЗпквТ, где п — плотность атомов. Таким образом
D =
Среш пк-ь
Коэффициент теплопроводности и для переноса тепла в газе со средней скоростью частиц ц и длиной свободного пробега Л равен
х = 1 CvAv,
3 v
где Cv — теплоемкость единицы объема газа. При комнатных температурах в большинстве металлов почти весь тепловой поток переносят электроны. В применении к электронному газу в качестве v разумно взять vF, а
2 т' п.к'^Т'
Су = Сэл = —	— =------—. Тогда коэффициент электронной теплопро-
2 £f mevy
водности
х'пк^Т .
V. =------Л.
3mcvF
Таким образом, коэффициент диффузии
£) = х = 2L. АДЛ
Среш 9 tneVp
откуда искомое время
2	./2
9 £^^2-10-2с,
22 я к^ТЛ
где г,. ~-А_ (Зл2)	~ 108 см/с (рассчитано для постоянной решетки
шеа
3 А).
2
3.80. t ss « 90 с, где R — универсальная газовая постоянная, а р-
Х|Л
молярная масса меди.
412
! с \ 2/3
3.81	. х(5) = ML — 2,5.
х(1,25)	\1,25/
3.82	! 21*21 = 1.
т](1)	4
1	1	9
Решение. Вязкость г] = — риЛ = — p”FT. Так как р и vF постоянны, то
все определяется временем релаксации. Обмен энергией может происходить лишь у частиц в области кБТ вблизи eF. Когда происходит обмен энергией
при столкновении двух атомов гелия, должны быть свободны все уровни, на которые перейдут эти частицы. Так как энергетический интервал свободных уровней Д<§ =* кБТ, то для двух частиц вероятность найти два свободных уровня пропорциональна (Д<£)2 = (fcBT)2, а тем самым время релаксации,
которое обратно пропорционально вероятности переходов, обратно пропорционально Г2. Таким образом т](2)/т|(1) = 1/4.
3.83	! /(Г) =	(кБГ)2е-А^.
2л й
Решение. Рассмотрим термоэлектронную эмиссию с поверхности металла как испарение электронов из металла. Поскольку максимальная при данной температуре скорость испарения определяется равенством потоков электронов из металла в вакуум и из вакуума в металл, то вычислим последнюю. Газы свободных электронов в металле и в вакууме находятся в равновесии и в контакте. Поэтому их химические потенциалы должны быть одинаковыми. Если принять за уровень отсчета энергии потенциальную энергию электронов в металле и считать ее нулем (t/MeT = 0), то t/BaK = А + и.
Поэтому для подсчета плотности электронов в вакууме запишем
N = 2 —( flp) 4лр2 dp = V ( 2)(е) /(е) de, (2яЙ) 3	Д
<2те/2 ,------------
где х)(е) =—ve — (Д + и) — плотность числа состояний, /(£) = it h
---1——•-. Вводя новую переменную е' = е — (А + ц.), получаем
4^1+I
_ N _	j	VFrfe
вак v	Л3 '
0 expll/T
2
Здесь г'= —— — кинетическая энергия электрона, отсчитываемая от 2те
уровня А + ц. Поскольку А » кБТ (А ~ 1 эВ, кБТ » 0,025 эВ), то
_V2meV^ / А \	3/2
 М w 
Нормальная компонента плотности тока
/ = ez,
413
где z = l nBaKv — число ударов о единицу площади поверхности металла в единицу времени, г/ — средняя скорость электронов в вакууме. Поскольку мы заменили фермиевскую функцию распределения больцмановской, то
----. Тогда
хт,:
-^(^ехр	.
2л п	\	/
3.84. А(Е) = А - е VeE; ]\Т, Е) =
2л Й
А£ + ^(12л2)2/з
*0 2m а
3-85. <§пр
= -10,1 эВ.
3.86. s =
-^(6л2)1/з
т а
ментальное значение скорости звука в направлении [ 100]: s = 1,82-105 см/с.
2
3.87.	<^>еш « —« 5 (здесь С = L УУ . Более грубая оценка: ес-Сэл 2л s	з hvF
NklT Среш ~ vF ~ ™ ли полагать, что ----------, то: —1-—= ^ — ^30.
эл £р Сэл 3s
3.88.	р я» -^-Тп= 3-10—4 Ом-см.
4е п 1
3.89.	Из рис. 77 в условии задачи видно, что между двумя дефектами имеется примерно 6 интерференционных максимумов, что соответствует 6 полуволнам. Поэтому длина волны фермиевских электронов X = 14 А, т. е.
-	f
£р = -—— 4,5-107 см *. Так как к,. = Vbtn, то п = — =* 3-
1 X	*	2л
3.90! ТК0Н = 8 мК.
Решение. Рассчитаем температуру Ферми гелия-3:
/2	\ 2/3
гнеразб = И2 Зл Рз^а = 2,05 К
2т3кь (	р.3 j
После 19-кратного разбавления гелия-3 гелием-4
= 1,85-105 см/с. Экспери-
см 2.
2	2	/	\ 2/3
ГОазб = _Л--- (Зл2пеазб)2/3« —----- 3я2Р4^А	= 0,33 К,
г 2/п3ХБ v ' 2m3kB (	20щ )
где оценку концентрации 3Не в растворе произвели по очевидному соотношению
Поскольку Т = 0,05 К « 0,33 К, жидкий гелий (3Не^ ведет себя во газ ферми-частиц (в отличие от 4Не).
1азб _ Р4^А
20щ '
то в указанной области температур многих отношениях как вырожденный
414
Эффект понижения температуры максимален в адиабатически обратимом процессе 5Q = Т dS = С dT. Рассчитаем энтропию 1 моля 3Не при температуре Т:
т
о
При данной Т = 0,05 К
2„
^^азб _ я д
:бл/а2^ = ^ = с3.
_ ь А Тр Т 2Тр 3
О
энтропии разбавленного и неразбавленного 3Не
----- Т= 124-107 7 = 6,2-107 эрг ;
^узразб	К-моль
2„ ^неразб _....? « т _ 20- Ю7 Т = 107 эрг
3 2Т’рераз	К-моль
Энтропия 4Не на несколько порядков меньше. Покажем это. При низких температурах молярная теплоемкость жидкого 4Не равна теплоемкости фононного газа
з
,   Ств.тела  4 4d ( Т\
4 з	5 IeJ
откуда энтропия
sAC-^=\^RT"dT=c-± е3 з
'	Т '5
о	о
, . з
= ±л4Я -I = 31,5-104 Т4 « 40 эрг/(К-моль).
15 I 6 /
Поскольку 54 « 53, то изменением энтропии 4Не пренебрегаем. В адиабатическом обратимом процессе энтропия не изменяется (Д5 = 0), поэтому
5₽азб _ ^неразб = _^R т _ ........xR т = 0, т. е.
•j	j	_™разб кон неразб нач
Z7 р	Z7 р
узразб
—------г- Т — 8 мК.
КОН —неразб
4 F
3.91. В изотермическом процессе Q = Т (5§аз6 — 53е₽аз6) =
= ^_RT1 М __1	= 2,6-106 эрг (см. также решение задачи 3.90.).
2	Tpv J
3.92!
Решение. и « 4-10-16 см
Обозначим радиус элементарной ячейки через R. Если а — среднее расстояние между электронами, то 4лЯ3/3 = а3. Поскольку суммарный заряд элементарной ячейки кристалла равен нулю в силу электронейтральности, то мы имеем положительно заряженный шар, в центре которого расположен электрон. При отклонении электрона от центра шара на него действует сила, выражение для которой можно получить из теоремы Гаусса:
415
F = г. Под действием этой силы электрон совершает гармонические ко-
лебания с частотой со =
Соответствующая амплитуда нулевых ко-
лебаний находится из условия
ти -In ч .	„ чй
-------= — Йсо, откуда А = Л-------. Из усло-
2	2	V та>
вия устойчивости Ао < аа получаем а
27Й2	27гб
---П = ~где ГБ 4лте а	4ла
— боров-
ский радиус. Для концентрации электронов получаем п = -L <
а
«4-Ю16 см“3.
3.93! Sc = — (РК + <§св + у £р) = — 15,16 эВ от уровня вакуума, где ер = = А<§/2 = 7 эВ.
Решение. Считая, что энергия связи обусловлена исключительно изменением энергии электронов, мы получим, что энергия связи на один элек-
трон составляет 3,26 эВ. Действительно,
О
Ион + свободный электрон ‘W - энергия ионизации атома 1 Атом
£ =£+Л=з,26эВ св А'а
Для элементов первой группы зона проводимости заполнена наполовину. Поэтому энергия Ферми еР = А<§/2 = 7 эВ. Средняя энергия на один электрон в модели свобод-з
ных электронов составляет — ер (см. задачу
3.3*). Разница между энергией электрона в атоме и уровнем средней энергии электрона в зоне проводимости (рис. 227) как раз и равна энергии связи. Таким образом, дно (а \ W + <SCB + у£р1 =
= — (1,1 +	+ 4,z) = —10,10 эв от уровня вакуума. Для простоты вы-
числений в условии задачи задан квадратичный закон дисперсии (модель свободных электронов). В то же время схема ионной структуры соответствует модели сильной связи (периодический закон дисперсии). Указанное упрощение незначительно изменяет числовой ответ.
3.94. £с = - (|<g4s| + <£св + |еР'| = -6,55 эВ, где еР = —^_(6л2)2/3 = \	5 /	2теа
СВ
металл
WW/Д ’ 'средняя энергия' < > ^т^электрона/ттх
ef
_Р . _i___	'////////////////z
ДНО ЗОНЫ ПРОВОДИМОСТИ
Рис. 227
= 2,12 эВ.
3.95. ^^^* = 0,126, где еР = -^,(6л2)2/3 = 3,23эВ.
X he	2теа2
3.96! Р ешение. Поскольку элементы первой группы имеют валентность равную единице, то в первой зоне Бриллюэна занята ровно половина состояний. В силу симметричного вида спектра половинное заполнение соответствует ер= 0, откуда получаем уравнение границ ферми-поверхности:
416
cos ^2- = 0, i = x, у, z или kxa = ли, kya = nm, kza = nl. Первой зоне Бриллюэна соответствуют значения п = т = I = ±1, и поэтому ферми-по-верхность представляет собой куб с ребром 2л/а. Таким образом, объем первой зоны Бриллюэна
/_ \ з
Г = 2 — = 6,52-1024 см3.
\aj
Для объемноцентрированной решетки первая зона Бриллюэна представляет собой ромбический додекаэдр — правильный 12-гранник, состоящий из ромбов. При этом поверхность Ферми вписана в этот многогранник (рис. 228). Для данного закона дисперсии скорость электронов максимальна в центре каждого квадрата, а на ребрах обращается в нуль (см. задачу 3.35). Отметим, что в приближении свободных электронов ферми-поверхность натрия должна быть сферой. Экспериментальные исследования,
например, при помощи циклотронного резонанса, показывают, что в натрии она очень близка к сфере, а эффективная масса электрона почти равна массе свободного электрона.
3.97! Решение. Легко видеть, что в задаче 3.35 существует 4 вектора
нестинга с длинами |Q| =\[2 — и направленным вдоль биссектрис коорди-а
натных углов, а в ферми-кубе существует 6 векторов нестинга с длинами
|Q| = 2— и направленными вдоль трех осей координат. Указанные ситуа-а
ции носят название полного нестинга.
3.98! Р ешение. Для проводящих тел эффективная диэлектрическая проницаемость имеет вид (см. задачу 3.68) еэфф = е( + i 4jccl.^g>\ где прово-
2
димость о (си) = ———, оп = е Nx = eN\t, N — концентрация носителей, т — 1-icoT и т*
время релаксации импульса (время свободного пробега). Показатель преломления среды
2
ОрТ
со(1 — /сот)
где со2 =	— квадрат плазменной частоты.
ezm*
п = ^еэфф =
417
По условию задачи сот = со 10,1. Поскольку сот » 1, то показатель
е
/	2\
Л I I , ^Ор 1	- ,
преломления дырки п — UeJ 1 — —£ . Минимум отражения, естественно, ’ \ /
достигается при n = 1, откуда
1 + 1 = Т.о. N = Ш (£;+ )W = 2,4• 1017 см’3, ч/ ezm	4 ле
Конечно, п является комплексной величиной и = и0 + ск и поэтому наблюдается именно минимум отражения. Если бы мы имели диэлектрик, то 2
R = I Л° I , т. к. к = 0. Поэтому при п0 = 1 мы имели бы R = 0. В общем
?	2
_	(ПО-1) +х	.
случае проводящей среды R =---------,--7, и при и„ — 1 мы имеем минимум.
(ио + 1) +х
§ 4. Электроны в полупроводниках и низкоразмерных системах1 )
4.П /№
У «к 3,5-10 5 см.
Решение. При помещении полупроводника в однородное электрическое поле, нормальное к поверхности, вблизи нее происходит перераспределение электронов и возникает неоднородная объемная плотность заряда
р(г) = е = е[и(г) — и0],
Это приводит к возникновению неоднородного потенциала <р(г), определяемого уравнением Пуассона
V2cp(r) = Дср(г) = - ^р(Г) = - ~ [и(Г) -И0].
Для невырожденного электронного газа, подчиняющегося распределению, Больцмана можно записать
е > 0.
п(г) = n0 ехр
_ еср(г)
кБТ
Считая, что внешнее поле слабо возмущает равновесное распределение электронов, т. е. е<р(г) <^къТ, можно записать
ппе
и(г) -и0- “ ^7<Р(Г), и
,	2
4хе nQ
Vl₽(r)=^Fl₽(r)-
Ь Во всех задачах этого раздела энергия электронов отсчитывается от дна зоны проводимости.
418
Направив ось х вглубь полупроводника нормально к его поверхности и считая внешнее поле однородным, получим
?	л 1
Гу(х) _ п0 dx2
<р(х).
Решение этого уравнения, затухающее вглубь полупроводника,
/ \	— хН , л I
Ф О) = уое х"гн, где /DH = V---—
’ 4лс По
— радиус экранирования Дебая—Хюккеля или дебаевская длина экранирования, a ip0 — потенциал на поверхности полупроводника. Подстановка числовых значений дает /DH ss 5-10-5 см.
Так как Е(х) = — то внешнее поле спадает вглубь по тому же закону
Е(х) = Еое где Ео = ДД- — поле на поверхности.
DH
Надо также учесть наличие в невырожденном (собственном) полупроводнике дырок с концентрацией р0 = п0 (соотношение электронейтральности), и тогда
/пн = А —— 3,5- IO’5 см.
’ 8хе п0
Если рассматривать электроны в полупроводнике как электронную компоненту плазмы, то можно получить выражение для дебаевской длины экранирования иначе. Как известно, в этом случае существуют собственные .	2
„	2	«О D
колебания электронов с частотой =---------. В невырожденном случае ха-
I £f
рактерная скорость электронов Д------- (в вырожденном vn — у—). Зная
и V те	и " те
временной масштаб т , можно оценить характерный пространственный (Dp масштаб
I гкБТ
‘dh = V---2— — в невырожденном случае;
’ 4х<? по
, ~ J
‘tf V-----?— — в вырожденном случае.
’ 4лс по
*
4.2. £=- Ду —Д-Ry = - Ду-6,9-10-4 эВ;
п т г	п
г =п2~гъ = п2-6,5-10-6 см. п	* и	♦
т~
4.3. <S, = № г = -ДД; М = т* + т*_, где р = т+т— _ Приве-JK	Z4.Z JK	Z JK-	т	1	*	*	г
2г п	|Л€	т+ + т_
денная масса.
4.4* п
-г.-г. ипов
Е2 8лкБТг
1,07-1016 см-3.
419
Решение. Если внешнее электрическое поле Е перпендикулярно к поверхности пластинки, то поле Епл внутри пластинки в е раз меньше (Dln = О2п — граничное условие на вектор электрической индукции D), т. е. е£пл = Е. Под воздействием электрического поля электроны начинают смещаться к одной из поверхностей пластинки. Кроме этого обычного потока электронов возникает встречный диффузионный, связанный с избытком частиц на одной из поверхностей пластинки. Этот поток в соответствии с законом Фика записывается как eD где D — коэффициент диффузии заряженной частицы (считаем, что все переменные величины меняются только вдоль оси Ох, направленной вглубь полупроводника, нормально к его поверхности). Далее и везде считаем е>0. Условием равновесия является отсутствие в системе макроскопических потоков, т. е.
/ = оЕпл + eD = О 11 л	dx
и, следовательно, в пластинке устанавливается неоднородное распределение электронов.
Проводимость полупроводника о = еиц, где и — подвижность электрона, связанная с коэффициентом диффузии формулой Эйнштейна (для слабонеравновесного случая):
ц = -—.
Подставив это в первое уравнение, получим
-пеЕпл = ЛБТ^.
Из уравнения Пуассона
div Е=АЕР = -±Е£п л е	е
следует, что „ е “'-пл — пе =--------------------------------—.
4л dx
Перемножая два уравнения, получаем дифференциальное уравнение
решение которого и дает искомую концентрацию электронов внутри полу-проводника вблизи его поверхности
ппов =	= —т----= 1.07-1016 см-3.
„12 *3 6
4.5. и = 2, 7 А = 9,2 1014 см~3.
4.6! п_ = Q_e^^BT (ц < 0), где статистический фактор зоны проводимо-(2хт*_къТ)312
сти Q_ = 2---------5---. Выражение для Q_ можно переписать в форме,
(2лЛ/
/ * \ 3/2	3/2
iQ I дм_j i Т \	_□
удобной для расчетов Q_ = 2,51-10 у I---------1	300) см
420
Решение. В основном состоянии собственного полупроводника при Т = О К в зоне проводимости нет свободных электронов. При повышении температуры часть электронов из валентной зоны переходит в зону проводимости. На графике рис. 229 изображена функция распределения Ферми—Дирака. При » 1
ехр -АпехР ~ тЛп-\кьТ I къТ
/(г) =----- '
ехр I к-БТ Это есть вероятность заполнения электронных состояний в полупроводнике при Т > 0. Валентная зона почти полностью заполнена, а в зоне проводимости электронов мало, и они представляют собой практически невырожденный идеальный газ.
Если в зоне проводимости содержится W электронов, то
N = $ f(k) dN(k),
где f(k) — вероятность заполнения состояния с квазиимпульсом к, dN{k) — число возможных электронных состояний, приходящихся на ин-
тервал волновых чисел от к до к + dk. Оно вычисляется по известной формуле 2
dN (к) = 2 Г4я- f4,
(2л)
где V — объем полупроводника. При подсчете N лучше перейти к энергиям
, 2т_е	„ mt.
к2 =—dk = ^V------.
ц2	Й V 2с
Пределы интегрирования при этом будут [0, W], где W — ширина зоны проводимости. Для большинства полупроводников W < 1 эВ, и при комнатной температуре ехр (— W/k-^T) «к 1. Поэтому верхний предел в интеграле можно заменить на оо.
(2лт^БТ)3/2 ,k т (2лй)
_ N _ 8л е' “ ~~V
(2лЙ)
О
Полученный результат иногда записывают и так:
! kiT \ ^^2 п =2 -------у|	= Q
\2лЛ2)
где Q_ называется статическим фактором зоны проводимости. Совершенно аналогично можно получить концентрацию п+ дырок в ва-
лентной зоне (потолок валентной зоны находиться при е = — Д ):
-А
П+ = j ф(е) (Vt,(e) de.
exp
где (е) = 1 —- /(e) = 1 —-------,
| £ — Ц.
ехр pV
ния дырки (отсутствие электрона) на уровне с энергией е.
— вероятность появле-
421
О1т+ЛБ7’|
п+ 2-------2“
Nv(£) =	2Л^~<А + £>
V2z л
— плотность состояний в валентной зоне. Вычисляя интеграл, получаем
3/2
=2+ ехр[-Ь±Д
къТ )	\ кЕт )
где Q+ — статистический фактор валентной зоны.
4.7. п+п_ = Q+Q_ е~^кт = nj, где п+ = п_ = nt — концентрация носителей в полупроводнике без примесей (собственном полупроводнике), Q+ и Q_ — статфакторы валентной зоны и зоны проводимости, Д > О — ширина запрещенной зоны.
Н(П = - - 4--^ In—.
2	4 m_
4.9. п
Таким образом при Т = 0, а также при m*_ = и Т Ф 0, уровень химпо-тенциала (уровень Ферми) находится посередине запрещенной зоны.
3/2
п+1	m+i
4.8.	а =----22—=	+I яу 0,04.
Л + 1+Л+2	+
= | nd + nd + nj ^ nd = 6 -1017 CM-3;
2
— n,, +	я® — = 0,67-105 см-3.
2	.	nd
4.10t Решение. При не слишком высоких температурах переходы электронов осуществляются главным образом с донорных уровней в зону проводимости.
п
П_(Т) =П+(Т) +п$(Т),
где mJ' (Г) — концентрация ионизованных, т. е. потерявших электрон, доноров. Последняя находится следующим образом:
4 = «а [ 1 - /(-§• Т) 1 =-----
1	+ ехр "vd
Здесь энергия донорного уровня <£ = — <o’d, где <£d > 0. Используя результаты задачи 4.6, получаем
Q ехр f—-- q ехр [— EiA'j -р-------------------
\fcbT	Р кЪТ	^d+й
v	v ' 1+ехр -Ц7П
Обозначив = х, получаем уравнение
:3 + л2е	-р _L е д^вг1 х — ехр
<8d + Д j _ q къТ ) “ '
422
Пусть температура настолько низкая, что <Sd > кБТ. Тогда переходы «зона-зона» подавлены и электроны в зоне проводимости имеют примесное происхождение. Следовательно можно пренебречь всеми членами, пропорциональными ос ехр ( —Д/ЛБТ). Тогда получаем квадратное уравнение
х2 + х е^-.11кь7 - f-T/V =°.
Заметим, что это уравнение можно было сразу получить из условия электронейтральности, если в нем пренебречь л+(Т) по сравнению с nd(T). Решение этого уравнения
1 — £ II Т , 1 1 I 2<£d I , Md I x=~ Эе “ Б + V7exP - ГТ + 7Г exP “TV
2	У 4 I кБТJ	I кБТ
n	ла	(	<8d |
При очень низких температурах, когда »—ехр —--------------- ,
Q- 4 I кБТ
<8d , кБТ nd
и ц = — — + -у- In —— — уровень химпотенциала расположен посредине между зонами проводимости и уровнем доноров (роль велентной зоны «перешла» к донорам), и в этой области температур мы имеем частичное заполнение донорных уровней электронами.
Ид 1 I <£d |
С повышением температуры, когда ——<к—ехр I— —— I, но nd »
» Q+ -ехр	, х — Таким образом, ц = кБТ In < 0, и в силу
. nd	<8d , , 1	о
того, что In —— < — -— + In —, р < —<sd, т. е. видно, что химпотенциал при V—	кБТ 4
повышении температуры опускается ниже донорного уровня, что физически означает опустошение донорного уровня — все электроны с доноров уходят в зону проводимости: п_(Т) = Q_-x = nd. Из закона действующих масс (или «правила рычага») п+п_ = п2 найдем
л?(Т) м =-------.
пл
При дальнейшем повышении температуры уровень химического потенциала опускается вглубь запрещенной зоны и величина х = е^квт 0. Напомним также, что для полупроводников с шириной запрещенной зоны А — 1 эВ при любых разумных температурах е-д^вг<к 1. В этом случае в исходном кубическом уравнении можно отбросить х3 по сравнению с х2е~е^квт, так как Д » <Sd. Кроме того, если nd » Q+exp — А ^d|, полу-1 кб' /
чим уравнение
2 «а Q+ „
"ёг'“ё7е v~°-
423
г 2	„	, А
Пл . т nd . Q+ / Д \ решение которого есть х =-+ \—у- + ехр — -— .
22- V 2- кБТ]
Если ТТГ^гГ^Р “ ~Гт ’ т- е- nd^26-6+exP (~-А^) =2n?(r)
<+V— V —	\ К-Ъ* I
(что соответствует не очень высоким температурам), то х =---и это совпа
дает с предыдущим случаем.
В обратном предельном случае, т. е. при высоких температурах, когда 2n?(r)»n;j х — ехр	откуда И = - А. + 1къТ In At
п_(Г) = Q_x = «1(7’), и мы приходим к случаю беспримесного полупровод
ника.
Итак, для полупроводника с примесью только одного типа выделяются три характерные температурные зависимости концентрации носителей: /--------------------------------------------- f «^d 'l
1)	«низкие» температуры Т -> 0 п_(Т) = vndQ_ ехр —--- ;
I 2кБТ I
2)	«средние» температуры кБТ > <£d п_(Т) =пй = const;
3)	«высокие» температуры A»^B7'»<Sd:
«_(П = иДТ) = VQ+Q_(T) ехр [- -A-J .
Пренебрегая слабой степенной зависимостью Q_ (Т) по сравнению с экспонентой, получаем график lnn_(T) =/^yj, изображенный на рис. 230, где обозначены углы такие, что tg а = — и tg |3 = — ——.
2£Б	2кв
Рис. 230
Поскольку п =-----, то в тех же областях имеем:
+	п_(Т)
1)n+(^)=Q+ ехр
2) п (Г) =£±£sexp [- -АЗ;
+ пй	кБГ J
3) п+{Т) = Vq+Q_ ехр (-	.
424
4.11. Ф = —-xvAft 0,92 Вт.
8 ле/
4.12. п_ = п. =	— = 0,329-1017 см-3, где ц — приведенная мас-
Зл Й
са электрона и дырки; Ер 4- Ер = Д<£, откуда Ер = Д<£ —-—“~г = 0,015 эВ;
т*+ + т*_
*
е+ = Д<£ —"А— = 0,025 эВ. Г	*	*
т+ + т_
*
4-13. CH = A^<S«H = 0,0128 эВ. s т
4.14.	Согласно условию задачи электрон является медленным, т. е. ка, к’а« 1, где к и к' — волновые векторы электрона до и после рассеяния, а а — постоянная решетки. Так как для длинноволновых фононов также Кй <к I, то закон сохранения импульса можно записать в виде k=k'±K. Угол ф между р и К определяется формулой
s К
COS ф = — ±------—,
7 V (2Л)
где верхний знак отвечает испусканию, а нижний — поглощению фонона.
4.15.	рр = ti (2rt«s)*^2 = 8,32-10-21 г-см/с.
4.16.	Л = —я» 14,5-10-4 см = 14,5 мкм.
4.17.	eV = -2къТ In — = 0,77 эВ.
п
,	^(Г-ДТ)	(т-дт\3	f
4.18. -------= -----— ехр —
Л(Т)	\ т )	1
Выпрямление начнет исчезать при
Д ДТ \
къТ Т-ЬТ)
0,106;
3/2 -
2 ( т*кБТ
«пр \ 2лЙ2 /
490 К.
Решение. Оценим величину концентрации собственных носителей в материале диода (она будет одна и та же как в полупроводнике п — типа, так и р — типа) при 20 °C
/ \3/2
п; = 2 m е-д/(2Авг)« 3,84-1012 см“3.
к 2лЙ }
Таким образом, видно, что при комнатной температуре nt <к ипр, и это означает, что по обе стороны (р — п) перехода основными носителями являются примеси (доноры в полупроводнике «-типа и акцепторы в полупроводнике р-ти-па). Концентрации неосновных носителей (дырок в «-области и электронов в р-области)
/ \ 3
«	( т*къТ) е~^квт>
п,=п_=------= п = 4 ---------------.
«пр	\ 2лЛ / Ипр
425
Ток насыщения диода e7s(T) возникает при запорном напряжении, когда для основных носителей на границе (р — м)-перехода возникает потенциальный барьер, а для неосновных носителей — нет. Этот ток определяется произведением концентрации неосновных носителей п на их подвижность. Так как по условию задачи время жизни неосновных носителей, а значит и их подвижность, не зависит от температуры, то
с^(Т-ДТ) _ П(Т-ДТ)
Ss(T)	п(Г)
.	X 3
Il ДЛ
~ ехр
д дт \ кБТ т-дту
0,106.
Очевидно, что условием исчезновения эффекта выпрямления является равенство токов основных и неосновных носителей, т. е.
( т*кБт’ п = «пр и™ «пр = «< = 2 ——2-\ 2лп
3/2
е~М(2къГ\
Это транцендентное уравнение, но главная зависимость от температуры — в экспоненте. Поэтому вне показателя экспоненты можно заменить Т* на Т, и тогда искомое
Т*
д 2Лб
In
3/2 -2 [ т*кБт\ «пр \ 2лЙ2 /
490 К.
(Для сравнения приведем точное решение: Т = 454 К).
4.19.	j=k^L= 1,29 А/м2.
5 eSR
4.20.	а я; we2g2v 0,02 Ом^см"1.
ЗкБТ
Указание. Воспользоваться формулой Эйнштейна для подвижности носителей ц = где D — коэффициент диффузии.
кБТ
4-21- Л)фф = у—~ % °’23 см-
4.22.	Концентрацию доноров можно найти из уравнения
«d+ [«d + 4n-(T)]1/2 «d+[«d + 4n?(T0)]1/2’
где п;(Т) я» 1,18-1011 см 3; п,(Т0) % 1,4- 108 см 3;
«<1	> я» 0,1«;(Т) я» 1,2• 10*° см-3.
d 2а—1 Л 1
4.23.	£± = ^ = £Р^%514. «+ «а AS1na
4.24.	Н = я» 0,8 мкм; С = — = 1,17 • 104 см~3 л 0,013 мкФ. ’ 2лпе	4лЯ
4.25?	Проводимость n-типа, концентрация электронов
п = Q ехр — ——— I = 8,34- 104 см-3. I кБТ )
426
Решение. При температуре Т = О К электроны стремятся занять на-инизшие энергетические состояния. Поскольку в валентной зоне все состояния заняты, но имеются свободные состояния на акцепторах, то электроны доноров перейдут туда. В результате образуются положительно и отрицательно заряженный ионы. При температурах больше нуля, но таких, что <S3 < кБТ <к Д часть электронов с примесных уровней перейдет в зону проводимости, а собственные дырки в валентной зоне будут отсутствовать. В этом случае условие электронейтральности примет вид:
п- + «Au + 2« Au = «Sb’
где п_ — концентрация электронов в зоне проводимости, "А~ — концентрация атомов золота, захвативших один электрон (на уровень с энергией ( —Д + <Sj), "А~ — захвативших два электрона (один на уровень с энергией — Д+ <!>£, другой на уровень с энергией — Д 4- <S2). При этом, конечно, эти атомы нужно рассматривать как различные
«Ац + «Аи = «Ац-
Из этих уравнений получаем:
«- + «Аи = «Sb - «Ац-
Вероятность заполнения электроном уровня с энергией — Д + <S2
2-
/(-Д + <§2)=^
'	2> "Au ,	f-Д+^-ц
1 +ехР —ГТ—
Если nSb < nAu, то уровень Au2 с энергией — Д + <f>2 заполнить нечем. Так как п_ = Q_e^ksT, то обозначив х = е^квт, получаем уравнение
Q-x + "Аи----------/ д-;2\ = "Sb “ "Au-
х + ехр
откуда
'У
х + х ехр
—Д+^2| nsb— 2пА1 кБТ
Q-
"Sb“ "Au	(—Д+^2|	Л
-------ехр ------- = 0.
Q- Р	кБТ }
| — Д + ^2
Поскольку ехр --------
I кБТ
.-30^10-13<<«Sb-2nAu^ 10_4 то
Q-
Г	“2
2"Au "Sb I Д | 2"Ли "Sb |
2gZ V 2QZ J
"Sb — "Au
Q-
I —Д + ^2 exp , „
l кБТ
"Sb "Au ---------exp 2"Au "Sb
—A +<£>2^ кБТ )'
откуда ц = — Д + S2 + k^T In
2"Au - "Sb
427
При nsb = 1,5 nAu p = — Д + <f>2 + къТ In 1 = — Д + <f>2 = —0,2 эВ, т. e. уровень Ферми совпадает с уровнем ( — Д + <S2)  Заметим, что наше предположение о полной занятости первого уровня ( — Д + <£;) оправдалось:
р — ( —Д +	— <S2 — <§| = 0,35 эВ »къТ = 0,0066 эВ.
Так как —<S; — р ~ Д — <S2 "	~ 0,19 эВ » то уровень доноров пуст,
а первый уровень (с энергией — A + <Sj) заполнен полностью. Полупроводник является полупроводником n-типа, так как процесс перехода электрона со второго уровня ( —Д + <f>2) в зону проводимости намного более вероятнее процесса захвата электрона из валентной зоны на второй уровень и образования там дырки:
ехр (4±^U10-i3»exp	^2-10-33.
\ квТ )	кБТ)
Концентрация электронов в зоне проводимости
п =Q ехр [—д- 8,3-104 см-3
-	и [ кьТ )
Заметим, что полупроводник с неравновесными концентрациями примесей обоих типов называется частично компенсированным.
Приведем другое решение. Вероятность заполнения первого уровня (с энергией — Д 4- <£j) равна 1, а уровня с энергией — Д + <f>2
2-
/(- Д + <S2) = — =-----------------V-
^Аи	|—Д+<^2 — Р-1
1 + ехр ----—-=--
\ )
Из закона сохранения числа электронов и «числа акцепторов» при уело вии п_«п1^ п2А~:
nAu + 2/1Au = "sbl
«Ац + «Ац = «Аи-
получаем совместно с определением f Д + <f>2)
—Д + 2 — Р-
ехр
Л Au _ j = 2KAu-»Sb WSb ^Au	«Sb Л Au
Air i » -г 1 nSb- "Au	„	—Д+62
или ц = - Д + <&2 + кът In ---; n_ = Q_ exp
2пац — "я,	I k^T
4.26.	1	+ -A_ + 1
Среш N [6	2kbT
4.27.	n <	= 1,7-1012 cm~2.
лй2
5,4- IO-4.
4.28.	n,	= 1,93-106 cm’1.
1 ЛП
428
2
4.29.	а„ =* — » 2,2 • 108 ед. СГСЭ « 2,4 • 10“4 см/м. h
4.30.	» 10,3 кОм.
4.31! е
Решение.
к Хр —— 2зт/йр, волновод. Если , преодолеть. Условие прохождения
к = ,2я с 2d, откуда п- >	= 1,6• 108 см-2.
/2©Г	’ s 2d2
Приложение к «берегам» ББ напряжения V вызовет появление на них разности концентраций Ams<kms, и, как следствие, возникновение диффузионного тока.
Разность концентраций Ans вычислим, используя определение плотности состояний на единицу объема ©(e) = —= —, где Ае = eV. С другой стопе Де роны в двумерном электронном газе
2 е
-я» 16,4 кОм, п. >	1,6-108 см-2.
2d2
Дебройлевская длина волны электронов проводимости где kF = V2tlms (см. задачу 4.15). «Мостик» работает как длина волны электрона X 5= 2d, то электроны не могут его
т* так как г (к\ -лЙ	2т*
Плотность тока электронов (при условии Х<к/)
Дпир -е
©(e) =2 21tkdk.
(2л) dz
1 ds
2я d(k2)
заряд с-см
Коэффициент 1/4 в последней формуле связан с двумерностью электронного газа (в 3-х мерном случае он был бы равен 1/6, а в одномерном 1/2). Таким образом
Ток
или
мое
через мостик — jd~——	При «открытии» мостика X XF = 2d
4 ith
e2V
k?d = л. Отсюда величина появившегося тока о/ =------. При этом иско-
г	4л
сопротивление мостика
=	=	1,82-10“8 с/см 16,4 кОм.
су 2 G/ е
4.32.	Т eW 1,3 К.
1ОЛБ"*еС
2
4.33!	а = 2 £3£© = 2250 эд. СГСЭ = 2,5-10-9 Ом-1м-1, т*
где и2 = п0 ехр
= 9,1  103 см 2, где Д<§12 = £,Цбпофо-
429
Решение. Конечная проводимость возникает из-за термического возбуждения следующего уровня Ландау. Щель между 1-м и 2-м уровнями характеризуются разными направлениями спина (gs = 2 — спиновый g-фактор)
А<£12[эрг] = 2sgsp.BB = 2цБВ = 1,854- Ю-20В [Гс].
По аналогии с собственными полупроводниками (щель играет роль запрещенной зоны) для концентрации электронов на 2-ом уровне можно записать
"2 = "°ехр
Магнитное поле В находится из условия, что фактор заполнения v = 1. Эффективная площадь, приходящаяся на один электрон, в этом случае равна с = ±
ЭФФ По
Поскольку каждый электрон захватывает квант магнитного потока Фо = —, то искомое поле В = м0Ф0 » 4 • 105 Гс. Тогда А<£12 = 7,67-105 эрг, и п2 = 8,875- 1О-9ио.
С учетом того, что на первом уровне Ландау образуются дырки после перехода электронов на второй уровень, запишем искомую проводимость
2
ct = 2 П^~ = 2250 эд. СГСЭ = 2,5- 10~9 Ом^м”1. ш*
Строго говоря, поскольку магнитное поле влияет на проводимость (см. задачу 3.71), то приведенное выражение для а не совсем точно: его надо поделить на [ 1 + (<ост)2], где сос — циклотронная частота, ат — время свободного пробега (т ~ 1О-1ос). Так как (сост)2~0,1, то влияние магнитного поля на проводимость можно не учитывать.
4.34.	= — = 3,63-1011 см-2, где v = —, Rn — квант холловского со-
s Фо	RH
противления, а Фо — квант магнитного потока.
4.35.	Поскольку — ос -2=, то п. надо уменьшить в 100 раз.
S Vns s
4.36*	Р ешение. (см. задачу 4.37) Уровни энергии электрона
<S = Л± п + 1 в.
И *	9
т с \ z/
Кратность вырождения (т. е. число мест на уровне) на единицу площади g = = —. При больших полях g > ns, и все электроны находятся на уровне с п = О Фо
<S = <S = п Ви ЯЛ = —	= —п = const,
5 п s 2т*с	дБ s 2т*с
а химический потенциал как энергия, приходящаяся на одну частицу, совпадает с энергией Ферми при Т = О К
<SF = —	В = — = Йсос, где <ос — циклотронная частота.
5 dns	2т*с	2
430
ns
С уменьшением поля В при 1 < — <2 часть электронов перейдет на уровень с
п = 1 и
р eh В eh ( В\ eh 2т*с Фо	2т*с \ фо/ 2т с
ЯП = -	| Зт - 4 А], е = 1ЙС0
2т*с ' ФОу1 F 2 с
Зп$В — 2 — , откуда
Рис. 231
Таким образом, при B-»ns<I>0 магнитный момент ЯП -» ns, т. е. ме-2т*с
,,	-в П°Фо
няется скачком. Следующий скачок произойдет при В = —-—, затем при
В = П5Ф° и т. д. В промежутках ЯП линейно зависит от В (рис. 231а). Аналогичным образом ведет себя и химический потенциал (рис. 2316).
4.37? ЯП = --^ = цв[щ-4А- 21[зщ-8-^| = дБ :ь s Фо т*\ s ФОу1
= 4,45- 1О“10 эрг/(Гс-см2).
Решение. Уровни энергии электрона в двумерном слое в магнитном поле В
<£	=_£Lb (п +1^	(т = ±1).
’ 5 т*с \ V s s 2тс \ s 2)
he Фо
Эффективная площадь, приходящаяся на 1 электрон, .S' ...ь.ь = — = —, где Фо = — = 4,14-10~7 Гс-см2 — квант магнитного потока. Число электронов,
431
приходящихся на 1 см2 площади слоя (кратность вырождения) и имеющих энергию Sn т : g = ~— = ~ як 5-1011 см-2, откуда следует, что заняты ’ 5 Хэфф Фо
£ = — =2,4, т. е. два нижних уровня Ландау заполнены полностью, а третий — на 40%. (см. рис. 232).
Запишем энергию единицы площади электронного газа, учитывая, что спиновый g-фактор gs = 2,
<g _ I eh В _ eh д j В	j eft g J —+
2 2шс ) Фо	) m*с 2	2mc ) Фо
(\ /	\	/	2\ /	\
_eh_ 3B_ _ _eh_ J L 2 AI = L B — 2— I 3 -— -	1 +
me	2 2mc ) ^	Фо)	Фо) у	2m* c	2mcj
2	/	2\	/	2\
+ 2-^- — = 3n В — 4 —	«В-2— -£^_.
2m*c Фо	у	Фо)	2m*c \	Фо)	2mc
Магнитный момент единицы площади
eh _
2тс
= 4,45- 1О-10 эрг/ (Гс-см2).
4.385 d = Д----=1,4мкм, где Фо = — = 4,136-10 7 Гс-см2 — квант
V лДВ	е
магнитного потока.
Решение. В данном случае движение электрона можно рассматривать квазиклассически, так как его дебройлевская длина волны много меньше длины свободного пробега, определяемой дефектами решетки.
Рассмотрим движение электрона из точки А в точку А' (рис. 233а). В силу упругого рассеяния электронов на дефектах разупорядоченной металлической пленки, их движение будет диффузионным, как у броуновских частиц. При этом каждое упругое рассеяние приводит к изменению фазы волновой функции электрона на заданную величину. Неупругое рассеяние электронов, в частности на фононах, приводит к случайному неконтролируемому изменению фазы (сбою фазы) и потере когерентности. Однако та-
432
кие процессы крайне маловероятны в силу малого числа фононов (температура ~ 1 К).
Траектории электронов, движущихся в пленке под действием приложенного электрического поля с дрейфовой скоростью, много меньшей vF, различны. Чтобы найти вероятность попадания в т. А', надо сложить амплитуды вероятностей, соответствующие всем возможным траекториям, и В вычислить квадрат модуля этой суммы. Указанный выше процесс сбоя фазы определяет ту характерную длину, на которую влияние интерференционных членов существенно.
Все возможные траектории можно разбить на два класса: траектории с самопересечением (траектория I на рис. 233й) и без самопресече-ний (траектория II). При движении по любой траектории разность фаз равна
Д<Р; = 1 ( р d\ =	( V d\ - 4- t A d\.
й j п j ch j i	i	i
Для траектории без самопересечения интер- у ференция не важна, так как они имеют разные длины (больше характерной) и поэтому разно- А сти фаз на них сильно отличаются. В результате суммирования по всем таким траекториям интерференционный член обратится в нуль. 2
Для траекторий с самопересечением ситуация кардинально меняется: каждой такой траектории можно сопоставить две волновые функции, соответствующие различным направлениям обхода замкнутой петли — по (кривая /) и против
стрелки, как это показано на рис. 2336, представляющем собой горизонтальную проекцию петли. Если длина петли меньше длины сбоя фазы, то интерференционный член не будет равен нулю. Это означает, что в отсутствии магнитного поля вероятность попадания электрона в т. А' увеличивается, а значит с большей вероятностью он там рассеивается. При этом сопротивление пленки также увеличивается.
Наличие магнитного поля, пронизывающего петлю, приведет к появлению разности фаз
бф= Дф(/) - Д<р(2) =— (Ь v<Zl + ф А(Л =
h J л J
= 5(0) + 2|ф = 5(0) +2^5-, ей	Фо
где А — векторный потенциал, причем ф Ас/1 = Ф — магнитному потоку, пронизывающему нить.
Таким образом возникает интерференция электронных волн с разностью фаз 6<р. При этом интенсивность / ос 1 -|- cos 5<р = 1 +
433
+ cos ^5(0) + 2n фФ- j , что и вызывает осцилляции сопротивления с периодом по полю ДВ, соответствующему кванту магнитного потока Фо/2.
Учет конечной толщины пленки приводит к затуханию осцилляций из-за отличия в величине магнитного потока через различные петли, а вклад петель, не охватывающих ось цилиндра, приводит к монотонному ходу кривой ДЯ(В).
Отметим, что в данной задаче магнитное поле не «закручивает» электрон (радиус циклотронной орбиты фермиевских электронов составляет 2 мм »й0, а только определяет разность фаз волновой функции электрона аналогично эффекту Ааронова—Бома.
Примечание. В соответствии с квазиклассическим приближением под словом «траектория» понимается не математическая линия, а трубка диаметром порядка А.дб~ h/pf. Соответственно точка самопересечения траектории не является точкой в математическом смысле, а представляет собой некоторую область.
4.39! Разность фаз по результатам двух опытов составляет 0,6л, что соответствует сдвигу интерференционной картины на 0,3 периода.
Решение. Пусть магнит на рис. 79 имеет очень большой радиус и круглое сечение (для простоты). Поскольку все силовые линии поля В проходят внутри магнита, то снаружи В = 0. На рис. 234 сечение
магнита показано точкой. При этом вторая точка сечения кольца не показана в связи с большим радиусом кольцевого магнита. Однако в области, где В = 0 существует поле векторного потенциала А, причем В = rot А. Собственно, доказательству влияния поля А на физические процессы (так называемом бессиловому воздействию) и посвящен опыт. Обобщенный импульс электрона в магнитном поле
р = пту — - А.
При этом фаза электронной волны де Бройля при переходе из точки а в точку б изменяется на величину (с/1 — элемент пути траектории)
б	б	б	б
Дф(В) = -Lfp6zi=™fvfi(l-—(А(Л= Дф(0) Arfl,
п j	П j	СП J	СП J
а	а	а	а
так как скорость частицы не меняется в магнитном поле. Разность фаз волн, прошедших путем 1 или 2 (рис. 234)
Дф!(В) = Дф1 (°) -	( А d\, Дф2(В) = Д<р2(0) - A- ( A d\.
Обозначив разность фаз в отсутствии поля 5(0) = Д<р2(0) — Д<рх (0), получаем что в присутствии поля В
434
д(В) = Д<р2(В) - ДФ1(В) =
= 5(0) +4
СП
$ A d\ - $ A d\ 1	2
= 6(0) +4Ф АЛ
Согласно теореме Стокса ф A dl = rot A dS = В dS = Ф, где Ф — маг-5	5
нитный поток через контур, ограниченный траекториями, т. е. поток через со-
леноид (нить). Обозначив Ф„ = — =4,136-10-7 Гс-см2 — квант магнитного и е
потока, получим величину разности фаз электронных волн, приходящих в точку наблюдения
5(B) =5(0) + 2л ® Фо
В данной задаче 5(B) =5(0) + 2л-2,8 = 5(0) + 5,6л.
При температуре ниже температуры перехода сверхпроводник «захватывает» целое число квантов магнитного потока Ф£п = — = 2,07-10“7Гс-см2, и 2
в результате чего поток внутри контура будет равен 2,5Ф0 = бФц". Следовательно
5СП(В) =5(0) +2лИ^£ = 5(0) + 5л, Фо
и сдвиг фазы по двум опытам составит 0,6л или 0,3 интерференционной полосы.
4.40. п_ = п+ = Q+ ехр
^v| = 9-1017 см 3, где Q квТ I	*
Д<£+	щ*-	Р-+
4.42.	— = ——— я» 2,6-10-4, где В =-------------= 25,9 Ом — диффе-
Го Вд + R	Д е(^ + ^о)
Г, ренциальное сопротивление диода; а = 20 1g —я» —52 дБ.
Vo
/ * \ 3/2 .	3/2	*
4.43.	Q =2,51-1019 —	I—|	1,3-1016 см“3, где — =
+	\те) \ЗО0)	те
= Е2^= о,455.
Ry
л лл	П 6 VV372e2m*	.
4.44.	ns находится из условия — =------2--------а 50, откуда следует
К Й гл Vn~s
= 1,4-109 см-2.
9УУ М 2-252г2л2гк
435
4.45!	<£v(0) - <SC(O) = Иб^к	+ ~ = 24,6-1 (Г3 эВ.
|w_ z z m+i
Решение. Если обозначить положение дна зоны проводимости при
В=0 как <gc(0), а потолка валентной зоны — <Sv(0), то при В = 0:
+ 2,2	*2,2
<£_ = <£с(0)+А^; £+ = <уо)--LL.
2т-	2т+
В магнитном поле возникают зеемановское расщепление по спину и квантование Ландау орбитального движения
h2k2	<
<£_ (В) = <£с(0) + —А + Йшс («+-)+ gems^B-
2т-	2.
h2k2	1
<£ (В) = <£v(0) + —i - ЙО>С («+-)+ ghmspBB,
2т_	2
где о>с =	; ms = ± 1/2.
щ_(+)с
Для дна зоны проводимости kz = 0; п = 1 и ms = —1/2, получим
<£С(В) = <£с(0) +^-lgeFiBB = <§c(0) +ИБВ fe-yl-
Z Z	\ /71_	I
р-r	ёе с	л
Поскольку----— — = 5,03 > 0, то дно зоны проводимости в магнитном поле
т- 2
поднимается.
Рис. 235
Для потолка валентной зоны в магнитном поле В получаем
<£у(В) =<£v(0) +	| gh^BB = <Sv(0) +^БВ
L L	\ I т
В этом выражении — —	= — 4,09<0, поэтому потолок валентной зоны
2	т*+
опускается.
436
В соответствии с условием при В > Вк = 46,5 Тл перекрытие зон исчезает, и в спектре появится щель (вещество становится диэлектриком). На рис. 235а изображена зависимость электрического сопротивления г образца при фазовом переходе в магнитном поле В — из металлического в диэлектрическое состояние. Если приравнять нулю разность: <£С(ВК) — <£у(Вк) = О, то из полученного уравнения легко найти величину перекрытия зон в отсутствии магнитного поля
<£v(0) -<£с(0) =цБВк	+	= 24,6-10-3 эВ.
4.46.	Д(0) = <Sc(0) — <£v(0) = цБВ	+ Й = 19,5 мэВ.
I 2 Ш- т+ 2 у
На рис. 2356 изображена зависимость сопротивления образца г от величины поля В при переходе его из полупроводникового в металлическое состояние.
л лп *	A I	l^e|3"5h^ D сое п
4.47.	Йшпр = Д + —— + —г —------------ цБВ = 0,8525 эВ;
\т_ т+ 2 I
±	_ л , ( те , те , lgel+gh\ D_nococ D
^Шлев — Д + ~~г + —— +------л--- Р Б^ — 0,8535 эВ.
\т_ т+ 2	)
4.48.	I >	= 5 8.10-б см = 580 А
30 ’ т
tv*	эй
4.49.		=1,96, где эффективная масса вакансиона т* = —^—=
«Не	й2Д
= 1,3- 10-23 Г.
4.50.	п———j = 5,8-1014 см-3, где г{ = е— гБ As- 600 А.
(2Г1)	т*
(\	2
1 = 2еа^ =2,85-](Г9ГсЛ где Ди=1.
в/ сП(Зл)'
4.52* $ = 4,4 нА.
Решение. В силу периодического движения электрона, набег фазы его волновой функции при обходе бензольного кольца должен быть кратен 2л, т. е. бка = 2ли, откуда ка = тт/З, где п = 0, ±1, ± 2, 3 (всего шесть значений, лежащих в первой зоне Бриллюэна — л/а < к < л/а). Отсюда получаем уровни энергии электрона
<£(п = 0) = <£0 - 2А; <£(м= ±1) =<£0-А; <£(и= ±2) =<£0+А;
<£ (и = 3) = <S0 4- 2А.
В основном состоянии заполнены только три первых уровня, на каждом
из которых находятся по два электрона с противоположными проекциями спинов. Скорость электрона в состоянии с волновым числом к равна
v(k) =	• Т.о. скорость электрона на уровне <£(п = 0) = <£0 — 2А равна
нулю, а на уровнях S(n = ±1) = <S0 — А она равна = ±\[3Aa/2ti. Сле-
довательно, полный ток (как и полная скорость) равен нулю. Этот результат естественен. В силу симметрии распределения электронов в к-пространстве
ток отсутствует.
437
При помещении молекулы во внешнее магнитное поле волновое число
меняется согласно уравнению
Й — = еЕ = е п dt есинд е
1 </Ф - е 1 6 а2Уз~ dH бас dt бас 4 dt
с ju
Здесь использован закон индукции Фарадея 1Еинп = --—, где I — длина д с at
контура, S — его площадь. Интегрируя это уравнение, получаем приращение волнового числа каждого электрона
4 а chle
Последний сомножитель есть отношение потока через площадь молекулы к кванту магнитного потока. Для Но = 10 кЭ это отношение порядка 10-5. Т.о. изменение волнового вектора много меньше самого значения волнового вектора и поэтому изменение скоростей электронов можно записать в виде
7
hdk
2
Вычисляя производную, получаем при п = 0, ±1 5v0 = Ък,
Аа"
Sv±1 = -у— <Ук. В результате нарушения симметрии в распределении электронов в k-пространстве, возникают токи:
_ 2е _ 2e6v0 _ 2Аае л. q _ 2е _ 2e(v+i + 5v+1)
; G/ + 1“T^	Va----
a _ le _ 2e(|v-i| — 6v-i)
-------ба----•
Складывая все токи с учетом того, что $+1 и Sнаправлены в разные стороны, получаем суммарный ток
S = so + S+i-S ^ + ^1 = 2^5^ = -*
°	+1	1 ба ба	3h 3/3 he h
Подставляя числа, получаем / = 4,4-10~9 А = 4,4 нА.
4.53! Р ешение. Наведенный кольцевой ток создает на ядрах водорода дополнительное (по отношению к внешнему) магнитное поле. Для оценки величины поля будем считать, что кольцевой ток эквивалентен магнитному моменту (диполю)
/S 1 е2 А а2 Но а2/3 1	е2 Аа4Н0
ц =----= —=---------о 1---=----------.
с	3v3 he h 4 с	he 2hc
Такой диполь создает в плоскости кольца на расстоянии а + d от центра 7	4
। v । и р Аа Hq _
магнитное поле | on | =—£—т =-----------у. При этом относительный
(a + df	Пс 2hc(a + d)
сдвиг частоты
|6а>|_|дН|_е2 Аа4 1,з.ю-6,
ш Но he 2hc(a+d)3~
438
что хорошо соответствует значению 1,46-10-6, которое можно получить из имеющихся экспериментальных данных. Так как диамагнитный ток направлен так, чтобы уменьшить внешнее магнитное поле внутри кольца, то создаваемое этим током снаружи кольца магнитное поле будет параллельно внешнему полю. Это приведет к сдвигу резонанса либо в область больших частот (5о > 0), либо в область меньших внешних полей. Данный эффект является характерным свойством ароматических (циклических) углеводородов и служит для их идентификации.
4.54! Р ешение. Основное свойство кристаллов — их трансляционная симметрия. Поэтому для описания кристалла можно воспользоваться следующим приемом: взять кристалл конечных размеров и транслировать его для получения кристаллов произвольных размеров. При этом размер этого кристалла (т.н. основная область) должен быть выбран так, чтобы сохранилась трансляционная симметрия, т.е. на основных направлениях трансляции укладывалось целое число элементарных (примитивных) ячеек. При этом набег фазы волновой функции электрона вдоль соответствующего направления будет кратен 2л. Это приводит к дискретным значениям проекций квазиимпульса в зоне Бриллюэна, определяемым размерами основной области кристалла. Поскольку размер зоны Бриллюэна однозначно определяется размером примитивной ячейки, число разрешенных значений квазиимпульса в зоне Бриллюэна равно числу примитивных ячеек. Если кристалл графена состоит из N атомов, а в примитивной ячейке графена содержится два атома, то число разрешенных значений будет равно N/2. Каждому значению квазиимпульса, как следует из закона дисперсии, соответствует два уровня энергии: один в валентной зоне, другой — в зоне проводимости. Поэтому число мест для электронов с учетом спинового вырождения будет равно 2-2-N/2 = 2N. Из них N мест будет в валентной зоне и N — в зоне проводимости. Т.к. на один атом приходится по одному «свободному» электрону, то всего делокализованных электронов будет N. При нулевой температуре электроны занимают наинизшие энергетические состояния, поэтому вследствие симметричного характера спектра вся валентная зона будет заполнена, а зона проводимости будет пустой. Т.о. для указанного вида спектра химический потенциал графена, отсчитываемый от уровня энергии электрона в атоме, равен нулю и уравнение для определения формы ферми-поверхности имеет вид
1 + 4 cos cos + 4 cos1 2 -^2. = о.
х V3	V3
Т.к. cos 0, то уравнение можно переписать так:
—4 cos р,.а = 4 cos + —! .
х	Руа
cos —тг VO
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом, правая часть уравнения > 4 при cos > 0, либо < —4 при cos -^= < 0.
439
Поскольку левая часть уравнения ограничена —4 < 4 cos рха < 4, то равенство возможно только если одновременно
cos рха = 1
COS7T“
cos рха = — 1
или
Руа
V3 2
£
2
откуда
рха = 2лт
= ±— л + 2 ns
V3 3
рха = л + 2лн £Д=±1л + 2л/.
Уз з
Подставляя данные, получаем, что
4лй
зТза
или
2лЙ । 4т7|,,.
_ + 2лЯ । 4т/, РУ ~ 3V3b Уз/>
Отбирая только те значения квазиимпульса, которые попадают в первую зону Бриллюэна, получаем уравнение прямых линий в р-пространстве
рх = 0
_ + 4лЛ и-,и РУ ~ ~ ЗУЗ/>
2лЯ ”зГ
Р = +
у ЗУзУ
Пересечение указанных линий дает вершины шестиугольника. Таким образом, поверхность Ферми графена состоит из шести точек и ее площадь равна нулю.
Как видно из закона дисперсии, для любого направления в обратном пространстве кроме диагоналей шестиугольника, на границе зоны Бриллюэна возникает щель (запрещенная зона) в спектре электронов. Она максимальна в середине сторон шестиугольника и уменьшается в стороны вершин, где исчезает вовсе (зона проводимости соприкасается с валентной зоной). С точки зрения своих электронных свойств, графен можно считать либо бесщелевым полупроводником, либо полуметаллом с нулевым перекрытием зон.
4.55! Р ешение. Если отсчитывать энергию от уровня энергии электрона в атоме, то раскладывая в ряд выражения для закона дисперсии вблизи какой-либо вершины шестиугольника, получаем
б<£(брх, Ьр ) = ±А^->/Ьр1х + 5р2 = ±с*5р,
Z/l
где др = (дрх, дру) — двумерный вектор, отсчитываемый от данной верши-
„ dd£ . ЗЬ ,	,
ны шестиугольника, с =-----= А — = 10 см/с — скорость элементарных
дор 2п
возбуждений. Т.о. изоэнергетические поверхности 5<£(5рх, 5ру) = const представляют собой окружности — сечения конуса в пространстве dpx, 5ру, 5<S. В каждом углу шестиугольника сходятся три соседние зоны Бриллюэна. Поэтому каждая изоэнергетическая поверхность принадлежит
4л/гг
440
данной зоне на одну треть и полное число поверхностей, приходящихся на одну зону Бриллюэна равно 6-^ = 2. Т.к. число состояний на интервал значений квазиимпульса
dN = 2 —d1 bp = 2 S , bp dbp = 2---------—T 2 16<o | d S<£,
(2лЛ)	2л7Г	2л(6с*)
i де 5 — площадь кристалла, то плотность состояний ®(6<S) ос dNp/db& ос | d<s |. Следовательно, на поверхности Ферми графена плотность состояний равна нулю.
4.56! Решение. Для сохранения кристаллической симметрии при сворачивании полосы в трубку, примитивная ячейка должна преобразоваться. В листе она содержит два атома углерода | 1 Н-4-—| и является ромбом со стороной V36 и углом 60° (показана штриховой линией на рис. 88) и поэтому не может обеспечить необходимую симметрию. Для трубки подходящей ячейкой является прямоугольник с размерами V36 х 36 (показанный штрих-пунктиром), одна из сторон которого параллельна оси трубки. Как видно из рисунка, этот прямоугольник содержит 4 атома углерода (2 + 4- — + 2-—). Поскольку примитивная ячейка увеличилась в два раза, 4	2
то число разрешенных значений квазиимпульса станет вдвое меньше, а число ветвей в законе дисперсии — вдвое больше (знак ± под корнем). При этом первый знак ± соответствует зоне проводимости и валентной зоне, а второй знак ± соответствует старым (лист) и новым (полоса) ветвям закона дисперсии, возникающим из-за уменьшения зоны Бриллюэна вдвое. Это аналогично появлению оптической ветви при переходе от одноатомной к двухатомной цепочке.
При сворачивании листа в трубку, компонента квазиимпульса вдоль оси трубки остается непрерывной, а поперечная компонента будет квантоваться: 2nRpt = п2лй. Здесь i = (х, у), R — радиус нанотрубки, и = 1, 2, ... В связи с уменьшением числа степеней свободы электронов при сохранении полного числа электронных состояний, плотность состояний в нанотрубке должны измениться по сравнению с листом.
Условие гладкого сворачивания вдоль оси х (точка А должна совпасть с точкой А' или кратной ей) имеет вид 2лЛ = Зтб, где т = 1, 2...п (т.н.
нанотрубка типа armchair). В этом случае закон дисперсии приобретает вид
^т.п (Ру) = So± Л^1±4 cos л^ cos ^ + 4 cos2
Одномерными зонами Бриллюэна являются теперь отрезки прямых линий длиной (от —д0 2^5=), параллельные оси pv (р., = ± Z25.2L).
6уЗ 6уЗ 6уЗ	у у ЗЬ п
Число этих подзон будет равно 2н. Уровни с т = к и т=п — к оказыва-г	/ к\
ются вырожденными, т.к. ± cos л—= + cos л — л— . Из-за этого вырож-
п	п)
дения число уровней будет меньше, чем 4п.
Как видно из закона дисперсии нанотрубки armchair, при любых допустимых значениях квазиимпульса во всех подзонах с т < п в размерно-
441
нанотрубке напряжение не сможет вызвать электрон-подзон с т = н, проходящих через точки ферми-по-
(р = ± р, = ±	), щель в этих точках
х 3b У 3vT(>
Отметим, что согласно сказанному выше, в точках
квантованном спектре существуют щели. При этом уровни энергии в валентной зоне полностью заполнены, а в зоне проводимости — пусты. Поэтому приложенное к ный ток. Только для верхности графена обращается в нуль.
ферми-поверхности плотность состояний теперь отлична от нуля. Поэтому для электронов валентной зоны возможно сколь угодно малое изменение энергии, т.е. протекание тока под действием приложенного напряжения.
Условие гладкого сворачивания листа вдоль линии оси у (точка А должна совпадать с точкой А" или кратной ей) имеет вид 2nR = mbVT, где т= 1, 2, ... Из условия квантования получаем значения поперечной компоненты квазиимпульса ру = ± ^”7= —. В этом случае имеем нанотрубку типа zigzag. Здесь также возникают 2п одномерных подзон, а зонами Бриллюэна являются отрезки прямых линий длиной 2л/36 (от — л/36 до л/36), параллельные оси рх.
Как было показано выше, металлическая проводимость возможна, если линии подзон будут проходить через точки ферми-поверхности (вершины шестиугольника). Это приводит в данном случае к условию п = Зт. Если же п 3m, то в спектрах соответствующих подзон при любых разрешенных рх имеются щели, и проводимость будет носить полупроводниковый характер.
§ 5. Сверхпроводимость
5.1. R = 4- In -£L^4 4.10“13 ct S(t)
Ом, где L = 2nD In
| ,, !< х >|
77/77777777.^777^777777777/777777777777. । Сверхпроводник
5.2. R =	1,1- Ю-О ом,
c2t S(t)
где индуктивность единицы ленты 1.7 4л2й2.
5.3. l(x)	;
л(л +х '
Рис. 236
2, С П
= 1 дин/см (рис. 236). Поверхностный ток направлен в соответствии с векторным произведением i = ~ [пВ] , т. е. от нас (перпендикулярно плоскости ри-
сунка).
5.4.
ед. СГСЭ^ 21,6 А.
5.5.
5.6.
Т = л = 0,3 с.
5 mecRB , , , со =--------= 1.42-10 5 с 1
2 Me
? h

442
Примечание. В задачах 5.6 и 5.7 реально носителями тока являются
Эр Р куперовские пары, и для них гиромагнитное отношение у =---------= ——
2-2тс 2тс
совпадает с у для отдельного электрона.
_ „ m.cHRh , _ , „с
5.7.	Ф = —,	= 4,5-10 5 рад.
г е<2аМ	к
2
5.8.	W = BE = 1,4-1016 эрг/с = 1,4’ 109 Вт при = \ге, где е — основание натурального логарифма.
5.9.	=-.
I 2~
5.101	Л = Л-2^- = 0,53  10“5 см.
V 4itasce
Решение. Уравнение движения электрона в сверхпроводнике
т — = еЕ. dt
Здесь мы заменили полную производную частной, что можно сделать, если пространственные изменения переменных малы = — + (vV), 1» & dt dt	t I
или co »—, откуда —<?c 1).
p Л	c
гт’	г-'	1 ЭА
Так как Е = —----------и j = enQrN, то
с dt J sc
2	I 2~
е nsc _ с А д— -J тес — с
J— -------—	----у ±\у 1 ДС	— \/--------у------
тес	4лЛ	“ 4jtnscc ШР
Это уравнение заменяет закон Ома в сверхпроводниках.
rot j = — —rot А = — —у В.
4лЛ2	4пл
Используя уравнение Максвелла rot В = —j (в сверхпроводниках Вл Н, а с
током смещения в металлах можно пренебречь), получаем
rot rot В = grad div В — V2B = — В/Л2.
Поскольку div В = 0, то окончательно
V2B = Д
Л
Если однородное внешнее магнитное поле параллельно поверхности сверх-2
проводника, то уравнение переходит в = Д, где х — координата, на-dx Л
правленная вглубь сверхпроводника по нормали к поверхности. Решение этого уравнения В(х) ос е-х/Л т е магнитное поле экспоненциально затухает вглубь сверхпроводника. Поскольку частота внешнего поля не входит в Л, то результат в полной мере относится к постоянному магнитному полю. Искомая глубина Л = 5,3-10-5 см.
443
5.13. В
5.11.	ВИ=В0	; /s=-^_?h<x/A) где
v ’	°ch|<//(2A)J Js 4лА ch(d/(2A)]	' 4jtnsce* 2 * ч *
лондоновская глубина.
5.12.	Ю-5 см.
2Д
—1,4-106 Гс.
М-Б
5.141	Р е ш е н и е. В силу условий D » d и Л (Го) » d можно пренебречь магнитным потоком через пленку и считать, что поле в диэлектрике равно внешнему. Тогда можно записать
2mv_ — — AI dl = 2лпй, b	I
откуда, используя теорему Стокса, получаем
v=J-(n +—V гдеФ = ^В, B=rot А, Ф“ = Д5£ s mD\ ф™	4	0 е
Дополнительная плотность полной энергии сверхпроводника при температуре Го, обусловленная внешним полем В, равна
т 2	2
.	2mvs	в
~ Ппар (Л>)	+ 7TZ?
г	z	оя
где ипар — концентрация сверхпроводящих пар, равная hsc/2 (nsc — концентрация сверхпроводящих электронов).
При заданном поле В квадрат скорости сверхпроводящих электронов г2 должен быть минимальным, чтобы обеспечить минимум полной энергии. Таким образом, при увеличении В должна меняться и величина п в условии квантования Бора —Зоммерфельда. Это приводит к периодической зависимости г2 от В (рис. 237).
Рис. 237
пР2В
Л Л.СП 4Ф0
Поскольку | Дю | ос /сБДГс(В), то периодическая зависимость v2 приводит к периодической зависимости Гс, а член В2/(8л) приводит к монотонному изменению Тс (штриховая линия на рис. 826 к условию задачи). Как видно из рисунка, период осцилляций связан с «вхождением» (или «ухо-
ч	ДЯя/Г ^сп	г» л 4ф0 тл
дом») кванта магнитного потока-----= Фк , откуда D = \-----. Из гра-
4	V лДВ
444
фика находим Д/?~ 14 Гс и, следовательно, D — 1,37-10 4 см. Сравнить с задачей 4.38 (эксперимент Шарвиных).
5.15.	„ = — I—]	=	= g. ю? А/см2, т. е. ток затухает по то-
/тах 4л \Эх)тах 4лЛ
му же закону, что и поле.
5.16?	<17ф	0,7 мА.
о
Решение. Магнитное поле проходит между двумя точечными контактами через поверхность, площадь которой практически равна произведению расстояния между контактами 1ЛВ на сумму глубин проникновения в ниобий ANb и припой APbSn.
ф=В5=^МЛ™+Лрь4 trNb	c'Nb L	J
<^Фо = фоп
--------—-----=6.9-10“4 A 0,7 mA. 21 AB [ANb + ApbSn]
5.17?	Ф = иФп------*----.
1 + 2Л7 (Rd)
Решение. Поскольку d <кЛ, ток будет распределен по толщине пленки однородно. В силу условия R»d магнитное поле в диэлектрике равно
(как в соленоиде: jsd — линейная плотность тока). По определению ys = enscvs, где nsc — плотность сверхпроводящих электронов, vs — скорость центра масс пар. В магнитном поле обощенный импульс пары
р. = 2mv. — —А.
s s с
Используя условие квантования Бора —Зоммерфельда
ф (ps rfl) = 2пнА, получаем
2ппЛ=2т 2яК;-^Ф, nsee с
где Ф = j (rot A ds) = ВлЯ2 — магнитный поток внутри цилиндра. Исключая Д, находим:
«СП
А ф° Су — ц_________.
1 +2A2/(R</)'
Как видно из формулы, при Rd» Л2 квантование магнитного потока в тонкостенном цилиндре происходит так же, как и в массивном образце. Но, вообще говоря, «квант потока» всегда меньше Ф^п.
5.18.	G =---— = 2лА — ~ 6, где $ — предельный ток прямого прово-
e^'min	А
2^
Да, создающий разрушающее критическое поле Вс = —e^min — предель-
445
ное (минимальное) значение управляющего тока, переводящего проволоку в нормальное состояние.
5.19? Нс к 8 2	« 730 Гс.
Й(3л2)1/3 ' а
Решение. Плотность энергии сверхпроводника ниже плотности энергии нормального металла на величину плотности энергии связи куперовских пар.
Поскольку энергия связи одной пары равна 2Д (по Д на каждый электрон), то <осв = ппар 2Д =	2Д, где
nsc — плотность сверхпроводящих электронов. По 2Д , аналогии с теплоемкостью металла п.. — п — («раз-мытие распределения» примерно 2Д), где п = 2/а^ — плотность электронов проводимости. Считая, что Д — 2ЛбТс (в теории сверхпроводимости Бардина-Купера—Шриффера: Д = 1,76ЛбГс), получаем
% ~ 1баБгс)2 _ з2аБгс)2"1е
®СВ ~ Г	.2,, 2 2/3-.2/3’
a ап (3% ) 2
Сверхпроводимость «разрушается», когда плотность энергии магнитного поля сравнивается с плотностью энергии связи
Нс „
17 = ^’
8-22/3ЛбГс	,
откуда Н -----------т-ттт- V--« 730 Гс.
Й(3л )1/3 ’ а
Отметим, ставляет форме
что экспериментальное значение критического поля тантала со-830 Гс. Заметим также, что ответ можно выразить и в такой
Н
с лА|'
5.20. j' 2къТ^ 108 А/см2 mevF
5.21* d
2,6-10 5 см, где В2 = 300 Гс.
Решение. В первом случае при внешнем поле Н = Нс t = = Н +	= 0, откуда намагниченность 4п/| = —400 Э. Во втором случае
(см. графики на рис. 238) во внешнем поле Н = 500 Э /<2 = // + -^ (4тгУ1) = = 500 — 200 = 300 Гс. Поскольку Н > Нс1, то сверхпроводник находится в смешанном состоянии (полагаем, что Н <НС2>- Плотность вихрей, т. е. их число, приходящееся на единицу площади оценим как
«2
п =----.
Фо
Тогда расстояние между вихрями, магнитного потока, называемыми также вихрями Абрикосова,
d
2,6-10 5 см.
5.22. В & —----%— = 2430 Гс, где ФЯП = — = 2,07-10-7 Гс-см2 — квант
2 х2	2е
магнитного потока в сверхпроводнике.
^.2
5.231 £ = IC"scA In А. 4m £
Решение. По правилу квантования проекции момента импульса 2mv(r)r = A (n = 1) находим распределение скоростей центров масс пар в вихре
v (г) = v ’ 2тг
Это выражение справедливо при	когда можно пренебречь вкла-
дом интеграла ф A di в правиле квантования Бора —Зоммерфельда (см. задачи 5.14 и 5.17). Если длина вихря равна А, то кинетическая энергия электронных пар в вихре
<£, = f 2mv (r) _^dV = lA ns2nr dr, L i 2	2	J 8mr2 sc
откуда и следует ответ задачи.
Л
5.24.	Жт = —Ш1Я, где Ш1 = цБ j 2лг dr = АА1Л2 — магнитный мо-И
мент единицы длины вихря. Из условия © + Жт = 0 находим ЯС1 =
= AL In А = Ф° in А (см. также задачу 5.25).
еЛ 5 2лЛ 5
5.25.	Л » л!—	0,8 -10-5 см; |	» 3-10“7 см.
V лЯс1	* лЯс2
it2nscA2/i/B	4 _t
5.26.	со =------^2-10 4 с .
Фо Л/
5.27.	F = ll—ВАаг 4-10-7 дин. с b
5.281	E = -vB = С	Т)С
Решение. Условием равномерного движения вихря является равенство сил | FTp | = | Fa I, где сила Ампера, действующая на единицу длины вихря
'НМ
447
Скорость вихря v образует правую тройку с векторами j и В. При этом . , сп
1 /фп
v =------. В системе вихря, движущегося со скоростью v, присутствует
с Г]
только магнитное поле В, следовательно в лабараторной системе отсчета имеется также макроскопическое электрическое поле
Е = 1 [Bv], С
, сп . „
1	(рр jв
Легко увидеть, что ВЦ j и поэтому Е = — vB =--т-.
С	К]С
Н 2
5.29! °эфф = °п где °п — проводимость в сердцевине вихря, т. е. проводимость сверхпроводника в нормальном состоянии.
Решение. Как следует из предыдущей задачи (5.28*), ]=аэфф(В)Е, где эффективная проводимость оэфф(В) = ФоП/(т|с2).
Поскольку при В = Нсверхпроводимость исчезает и материал становиться нормальным металлом, то
Фо ЯС2	Фо °п	В
°эфф (яс2) =--------— = °П> откуда т = -тг или °эфф (в) = °П -тг-
'	Y|<?	Т|С "с2	”с2
5.30. £ - V6DxKor at V п ь at 1,8-10“6 см, где коэффициент диффу-V шо.к^Тс
зии D — — грХ at 1 vvb, (hf	т„пг — — — время до того момента, когда
3	3	ma KU1 vp
сбивается фаза электронной волны.
he _ Фоп 9	9'
2«Г 2л£
0,008 В. См.
5.31. Яс2 =
5.32. V = -
приложение II.
е е
5.33! Ответ задачи следует из уравнений
еК1 =еКтах = Д2~ Д1
^2=еИт1п = Д2+Д1.
Откуда следует:
V, + V?
Д9 = е —— =1,11 мэВ. 2	2
V,-V\
Д, = е —------ = 0,29 мэВ
1	2
Критическую температуру определяем из соотношения 2Д = 3,52&БГС, откуда Гс1 at 1,9 К; Гс2 = 7,ЗК. Подробно эксперименты Гиавера рассмотрены в Приложении II.
5.34.	£ =	1,2-10“5см= 1200 А.
mes
I ~
5.35.	X Лп = 2л Д/ We<? , = 2лД, т. е. — 2л.
’ 4itnsce	Д
448
5.36.	ДС ос В Т.
53Г.г«^^ТУ
2\(Т) sv ’	' hpF
Решение. Скорость движения центра масс куперовской пары при
г <Л (лондоновской глубины) определим как (см. задачу 5.23)
н(г) = ——. ' 2mr
Если н(г) > нкрит = Д(Г)/рр, то сверхпроводимость «разрушается». Таким образом
откуда г	ЦТ).
2mr pF J 2\(Т) sv ’
Видно, что область нормальной фазы имеет размер порядка длины коге-
рентности с,. Плотность тока j(r) = 2еп$ v(r) = ensc v(r). При г = £ получаем епЦ enscA(T)
;ftl = —’<
где / — ток распаривания (см. задачу 5.20).
5.38.	В(г) = ^>0 In —; В(0) = B(ij) = Ф°~2 In -^ = Яс1. По теории Абри-2лЛ г	2лЛ ?
Косова точное выражение В(0) = 2Нс1 (рассматривается область | < г < Л).
§ 6. Задачи заключительного (Государственного) экзамена МФТИ по общей физике.
КИН , "Ь	—I (
6.2.	а =----=
кин куда п — 52.
6.3.	mn = l,5mp.
, л . Ми0 _ . ,
6.4.	t -----2--16 мкс.
2mv nS
6-5. (<SK)min = |lE = 9,15 3B.
6.6.	Ионизация не произойдет т. к. (<£K)mjn = 4,37 эВ > 4 эВ.
2	7	/1
. Для нейтронов в графите: 4-10 = —	, от-
6.7.	нАг = — Д — = 1,55 км/с. те Аг V mNe
6.8.	/ =	=
2л л “ М
Указание. Применить для каждого шарика адиабатический инвариант ф р dx = const, который дает Щ ± х) = 2vZ2 = const, v0 = 2vl, где 21 — длина всего цилиндра, и п2 — скорости шариков в зависимости от смещения х поршня, н0 — скорость шариков, когда поршень находится строго посередине.
449
6.9.	Если направить ось ОХ перпендикулярно плоскости пластины, а ось OY параллельно плоскости пластины, то V 1х = 0;
V (cos ф — к sin tp)
V
— COS ф
2
Ф = | arctg 1 (при этом значение угла Лтр
при tg (f> < J-;
2k
при
2k
максимальна).
6.10.	е = ip = —— ~	= 0,618 рад/с2.
2acR р 1 2е
6.11*	. r = ю с.
vgff
На рис. 239 изображена лента в движении. Еслих — координата сколь-зящего верхнего конца ленты, I — длина верхней части, то 21 + х = L. За-
писав выражение для потенциальной энергии
U(x) = ±pgHa(L- х),
где а — ширина ленты, мы легко определим силу, выпрямляющую ленту
с dU
г = — —, а, значит, и можем записать уравнение движения дх
[ (L— х)х] = gH,
откуда и определим искомое время Т.
веревки, со-
прикасающейся с шероховатой поверхностью. 2
6.13.	^1= 3g ю13.
^магн у В
6.14.	Условие экранирования Е < ss 10-9 В/см; — е	dz jjLp
~ 102Гс/см, где т, е, цр — масса, заряд и магнитный момент протона.
6.15.	Можно.	= 10“6. Тогда радиус свинцового шара Rr>
F о	L
>10 6 — й3~3,1м. где р3 ss 5,5 г/см3 — плотность Земли, рс = Рс
= 11,3 г/см3 — плотность свинца. Масса свинцового шара должна быть Мс ss 1400 т.
6.16.	V =	6-10~9 В.
е
450
6.17.	г = А Л R-, = 3,4-104 а. е. (СГСЭ).
В V с 3
6.18.	а>изл = 6,1 • 10-13 эрг/см3; шмаг = 1,6-10“13 эрг/см3;
®вещ= 1,5-10-9 эрг/см3. Шизл: шмаг: и>вещ = 6,1: 1,6: 1,5-104.
Гравитационный радиус Вселенной можно оценить из соотношения размерностей
R ~	~ 1029 см ~ 1011 св. лет.
VYP
= — — 6 -10 8. При этом в условии указана эксперименталь-R
Ag g
6.19.
ная ошибка — = 4' 10“9, что много меньше неоднородности поля.
6.20.	— = 10~8, где Ag = 2nyh (рв — рл) =* 10-5 дин/см2.
6.21.	АР = g0 0,24-103 Па = 1,8 мм рт. ст, где у — гравитацион
ная постоянная.
6.22.	р = | р0 р - б = О,453ро = 2,54 г/см3.
6.23.	v2 — t'n = 4</ In —, откуда v як 3,9-104 м/с; — = 0,977. ________________ Мо	v0
6.24.	V = Л ^°-Т. зо км/с, где р =	= 1,75-10-8 кг/м3.
V Р	RT0
6.25.	W = асМ = 3 -1012 Вт як 670Л/гэс.
6.26.	к =	= ь ^2 = 7,56, где — = е к~ = 0,165.
g	М	М	0
6.27.	-=ln А+ 1 -± = 1,18. и ко к ко
6	2&‘ z = 7ЛГГЛТ * 14 см’ где М = V (Рм - Рп)«3 = 167,6-109 т. g\K -г п )	о
6.29.	t = — = 7,7 лет, где скорость таяния v = ~	= 130 м/год, а
v	at рлХ
х = 1 км — толщина растаявшего льда в момент поворота айсберга.
6.30.	т 1,5 года — время поворота настоящего айсберга.
6.31.	=	0,81. Принимая Р3~6370 км и g3 = 9,81 м/с2,
получаем М3 як 5,97-1024 кг, А7В = 4,83-1024 кг. Соответственно плотность
р3 як 5,52 г/см3, рв як р3---як 0,95р3 як 5,23 г/см3.
Нв RB
Mq — M	( Vi — У Л
6.32.	а =	= 1 — ехр —- « 0,16, где Мп и М — начально---------------------------------\ и '
ная и конечная массы корабля, V2 — вторая, a Vl — первая космическая
2
скорость для Луны (2,4 и 1,7 км/с). Т = «г 3600 К. 2ср
6.33.	ц - m^h ъ 2 кг/сут, где г — скорость станции.
2Tuv
451
6.34.	Потенциальная энергия космического аппарата, как функция его расстояния до центра Луны
_ утМ3 _ утМл
(Х’ L-x х '
где М3 » 6-1024 кг; Мд яг- 7,4-1022 кг и т — массы Земли, Луны и аппарата, L = 3,84- 108 м — расстояние между центрами Земли и Луны. Полагая, что в максимуме потенциальной энергии (это точка, где силы притяжения аппарата к Земле и Луне сравниваются), кинетическая энергия аппарата равна нулю, находим скорость аппарата у поверхности Луны
_ л 2уМл
”min у Rji
Мз Rл _ R-i (VM3 + \/Мл)2 Мл L — Rji	L
Мл
или
7» .
^min
2,27 км/с.
6.35.
R
_ ЯзгЦк 3 5 iq5	v _ первая космическая скорость.
° V2alV/m	1к
6.36.
Т = 2л
42,5 час.
6.37. Импульс отдачи р =
кг-м/с, энергия лазера
Ж = —2 - 108 Дж. а
6.38.	г?2Л = 2.4 км/с; п2Т = 2,63 км/с.
Наличие атмосферы на Титане связано с тем, что температура на поверхности Титана намного ниже температуры на поверхности Луны, что / 7*3 объясняется большим удалением Титана от Солнца. 7’т = Т3 V— яг 90 К, ’ Гу где г3 и гт — радиусы орбит Земли и Сатурна (Титана вместе с Сатурном). При такой температуре средние скорости молекул метана и аммиака недостаточны для их удаления в пространство.
6.39.	ЬТ = ^-^- Ю1Г 17,2 с, где со, — угловая скорость вращения
Г О>2 sin 0
Земли вокруг Солнца, со2 — угловая скорость вращения Земли вокруг оси.
6.41. ф = л
6.40.	е = л	——— = 0,015. Табличное значение е = 0,0167.
4(7л + 7’з)
i-Zl U'3/2' ТМ 1^3
= 0,778 рад яг 44,6°, где Т3 и Тм — пери-
оды обращения Земли и Марса вокруг Солнца, а а = Rm _ большая по-
луось эллипса перелета.
6.42.	ф = * 2£- Н =0,65 рад = 37,2°, 2 ^Т3
= 0,707 года — время перелета.
где
/ х з/г гз | ^м +^з) Т 2Д3 I
452
т — „ т --— Ur\ --------
М у2луЛ4
6.44. N^-
2
6.43.	Если М — масса звезды, т — масса планеты, то отношение масс 1/3
= 0,425-10“3, и0 — скорость движения по кругу.
оТ2 \113
—2—2~	—3600, где р — плотность льда.
4 л pro Л/
6.45.	Если направить ось ОХ по радиусу к центру Земли (точка О — положение корабля), ось OZ — по касательной к орбите корабля в направлении его движения, то в условиях задачи траектория крышки относительно
_	Vq	2vq
корабля — это эллипс, причем х (/) = — sin со/, a z (/) =-(1 — cos со/), где
со	со
со — угловая скорость колебательного движения крышки относительно корабля, совпадающая по величине с угловой скоростью вращения корабля вокруг Земли, т. е.
1,36-10“3 с; т = — яг 4607 с як 1 ч 17 мин.
V r\	со
Эллипс имеет малую полуось Ь ~ 370 м и большую полуось а яг 735 м.
6.46.	= -2^-= - 1,2-10—3 м/с.
а/	m
6.47.	Т = Л Рц
V 8от|
6.48.	Мг = Мс ~ 1013М,..
г ас^с С	С
/ \ 2	/ м \ 1/3
6.49.	т = Т — яг 0,9-10-3 с, где г = 1,3-10~13 — см яг 14 км.
6.50!	Р е ш е н и е. Энергия магнитного поля переходит в тепло
8л о
/ = оЕинд~о^, t~^L~1022c. ст	с
Еще один подход: rot В = — j; j = оЕ; rot Е = — i ; — = —— ДВ; с	с dt dt 4ло
2	2
D = ——; Dr ~ R2, откуда т ~	.
/ \ 2/3
6.51.	В = Во -2-	, где Pq ~ 1,4 г/см3 — начальная средняя плотность
\ро/
звезды; яг 3,7-104 Гс, В яг 1,7-109 Гс.
6.52.	Зеемановское расщепление должно быть больше доплеровского уширения за счет теплового движения атомов (в основном водорода) и вращения звезды, т. е.
А со _ 2№s со ^COq
________ ^тепл । ^вращ	^тепл
вращ с с с
Окончательно получим В > Д/ бГ я* 1,8 кГс. 2[хбс * «1Р
453
6.53!	Решение. Будем называть столкновением такой процесс, при ко-
тором центры звезд проходят относительно друг друга на расстоянии, не большем суммы их радиусов (в нашем случае — не большем
2ЛС).
Для определения сечения столкновений перейдем в систему центра масс сталкивающихся звезд. Пусть b — максимальный параметр удара (относительно центра масс), при котором происходит столкновение. Тогда,
как видно из рис. 240 сечение
столкновения о = л (26)2. Из законов сохранения энергии и момента им
пульса имеем
/ X 2	2
[ и \ _ 2 Mcv
W ~~	2
2Мс
2
. .2
уМС »/ >,« Ч D
---, Mrb — = MrRrv,
2ЯС с 2 С С >
где v — скорость каждой из звезд относительно неподвижного центра О, когда они находятся на кратчайшем расстоянии друг от друга. Исключая отсюда v, получаем
Ь2 _ j	2уМс	2уЛ/с	1()2
7?С	ЛС«2	Rcu2
Соответственно, сечение столкновения
. .2 о ЯсуМс о = 4л6 = 8л-----j—.
и
А так как длина свободного пробега L = 1/(ио), где п = N/(cT)3 (с — скорость света, Т = 1 год ~ 3,2-107 с), то время между столкновениями одной и той же звезды
т = — = —ц(сГ)3	= 2,2-1021 с —7-1013 лет,
паи 8itNRcyMc
т. е. в одном кубическом световом годе происходит в среднем одно столкновение за время
t = —5— ~ 1013 лет.
Л72
6.54.	т^—!—я^2,7 109лет, т. е. за свою историю астероиды сталкивало v
ются в среднем примерно 1 раз. Здесь п яг 0,75- 1О-20 км-3 — концентрация астероидов, о = 314 км2 — сечение столкновений.
6.55.	pvn = яг 10“29 г/см3 (полная энергия Е = К 4- П = 0). КР 8лу
6.56.	R	1,5-105 см = 1,5 км (точный ответ R <	= 2^- — ра-
с	с
диус сферы Шварцшильда).
454
6.57.	R s> 7 —j ~ 1,5 км. (При сжатии бесконечно разреженного вещест-с
ва до звезды радиусом R выделяется энергия которая стремится к бес-
R
конечности при R->0. Но это невозможно, т. к. общая выделившаяся энергия не может превышать Мс2.)
6.58.	г ~ яг 0,6-10-4 см, где /-> яг 0,136-106 эрг/(с-см2) — сол-4cpgc
нечная постоянная (плотность потока энергии Солнца на Земной орбите), 1 г/см3 — плотность пылинки, gc яг 0,6 см/с2 — ускорение свободного падения, создаваемое Солнцем на Земной орбите.
6.59.	тс2 < ё — яг 28 ГэВ. Размер излучающей области по крайней мере не должен (эьпъ меньше 1 свет, секунды (300 тыс. км). Однако это соответствует вращению объекта со сверхсветовой скоростью v ~ 2пс, т. е. ограничений на размер излучающей области нет.
6.60.	& = тс2 V—— яг 560 кэВ.
'2с if
6.61.	ДТ = 5Т — яг 2,7 с.
R
1 _ 2, 2
6.62.	со2 = С0о 7-----ГТ---------Г’	0ТКУДа релятивистская поправка
l+-cosa	1— -cos В
\	с	/ \	с	/
/д \ Х	2	7 V	7
к частоте ——I	^^-^7-Ю-10. Разрешающая способность R> 109.
\ w / рел с
6.63.	v = — (1 + R2 4- 2R cos 2ф)|/2яг 1,3 мм/с. тс
6.64*	. F = — £2<га~1> = — 1,33-10~3 дин/см2. с и -I- 1
Решение. Импульс фотона
р = hk = ti — п, с
где Й — постоянная Планка, си — частота света, с — скорость света в вакууме, п — показатель преломления.
Импульс падающего света (давления)
Р = JV — = с с
где W — число фотонов на единицу площади за единицу времени.
Импульс отраженного света
Р2= —г2(§//с,
где г —	— амплитудный коэффициент отражения.
Импульс прошедших фотонов
Р3 = (1 - г2)Л/£^ = (1 - г2)^и.
455
Искомое давление:
F = Pj - Р2 - Р3 =	(1 + г2 - п + пг2) =
= - — 2(ra~U = -1,33-10-3 дин/см2. с п + 1
Т. е. сила давления направлена против волнового вектора падающего света. Именно этот результат кажется на первый взгляд парадоксальным, и, якобы, не совместимым с представлениями о давлении света.
6.65.	М —	~ 1 =2 -10~3 дин-см. Если свет падает на пла-
4с п(п +1)
стинку под углом Брюстера слева направо, то пластинка будет поворачиваться по часовой стрелке.
6.66.	Если главные направления пластинки повернуты на ± 45° относительно плоскости поляризации падающего света, то прошедший свет будет поляризован по кругу. При этом свет будет переносить за единицу времени момент импульса L = ±nh, где п — число фотонов, прошедших пластинку за 1 с. Пластинка же будет испытывать противоположно направленный момент импульса отдачи
М— +nh= + -^ = + 6,28-10-8 дин-см.
с
Если одно из главных направлений пластинки будет совпадать с плоскостью
6.67.
поляризации света, то М = 0.
л R
6.68.	Уравнение колебаний: Мх + 16m)Z,x + pgSx = 0, откуда затухание S =	= 0,0143 с-1, частота с» =	= 3,13 с-1; добротность
2 = ио.
26
6.69.	4Я£рг2 4-103 дин.
6.70!	Решение. Для гравитационных волн скорость и и длина волны X связаны соотношением и = у—. Поэтому волновые картины будут подо-бны, если все размеры изменить пропорционально квадрату скорости движения. Следовательно, скорость модели должна быть равной 3,6 км/ч = 1 м/с. Отметим, что в данной задаче безразмерными параметрами подобия являются отношения u/v = у/g)./v и ~i.IL, где v — скорость корабля, L — его линейный размер.
6.71!	Р ешение. Дисперсионное соотношение для гравитационный волн на поверхности воды должно быть: со = /(fc, р, g). При этом размерности [р] = г/см3; [g] = см/с2; [fc] = 1/см. Отсюда со = A\/gk, где А — безразмерная константа. Фазовая скорость v = — к
dk 2 U 2
6.72.	sin а = — sin а0 = 0,065.
Vo
а групповая скорость
456
6.73!	Решение. Уравнение волны, распространяющейся по поверхности жидкости, вдоль оси х (ось канала), имеет вид (начальная фаза ф для простоты равна нулю)
у = A sin (со/ — кх); к = — ос -А=.
Пусть при х = 0 происходит скачок глубины канала от Н (х < 0) до Н2 (д->0). Тогда для волн, распространяющихся в положительном направлении, имеем при х < 0 суперпозицию падающей и отраженной волн
у = sin (со/ — кхх) + A_t sin (со/ 4- к{х + cp_j),
а при х > 0 — проходящую волну
у = А2 sin (со/ — к2х + ф2) 
На границе (при х = 0) должны выполняться условия непрерывности высоты волны и градиента высоты волны (последнее отражает непрерывность потока). Поэтому при любом /
Л] sin со/ + A_t sin (со/ + ф_() = А2 sin (со/ + ф2);
ktAt cos a>i — ktA_t cos (a>t 4- <p_j) = k2A2 cos (co/ 4- q>2).
Отсюда получаем:
Ф-1 — T2 —	^2 —
2*1 A = 2УЙ7 A . kl+k2 ' fth+yffh *’
л_1 =
kl~k2A
>ПЦ+>ПГ1 1
В частности, при Н2 = 4Нр А
А, =1л,.
1	3 1 2
Таким образом, при переходе на глубокое место волны становятся выше и реже. Приведем также выражения для коэффициентов отражения)? и прохождения Т.
6.74. — = 1,2-10 5, где W = — 10в/1° — 30,2	— плотность энергии в
и	«	см
звуковой волне, s =	= 331 м/с — скорость звука в воздухе, и =
5	И
= — кТп= 2,5-106 22£ — плотность внутренней энергии воздуха.
2	см
6.75.	Vn = — —0— —-1 = 98,7 м3, где у = — = —, конечный объем 0 5 ztgH	у )	1 Cv	5
I \ 'у-1 нефтехранилища V = — -О— 7~~—|	= 342 м3.
5 pgH I у /
2
6.76. ~ =	=	1,2-10-7. Давление в конденсаторе больше.
457
ry2
6.77.	Т = Т0 y^pV = 2,97-10' К. Нагрев обкладки может существенно
снизить температуру газа.
6.78.	W,—Wn = N Т2~ Ti 1,8 Вт.
10 Л /„4 2	\ /
6.79.	м =о£	1--
шах I 4	/ i	Т
= 148 Вт» где Тн находится из
,	\ т
уравнения Т* I Тн — ^Txj = “2	 После подстановки данных: Тн як 364 К.
6.80. NmaK = 2oST\
6.82.
6.83.
6.84.
pax Т j и
6.85.
6.86.
д ^шах
= ^Nk Т\ + Т2-2у/1\Г2
= 97 Вт, Т= 1Т = 225 К.
х 4 и
6.81. Т =	= 400 К; Атах = | (vTf- vTj 2 = 100 кВт.
с(то)= 3^12Г°	= 1,6^.
Ti(Ti-Tl)m кгК
Аг==4пл Гк- 7'л ^7 с Тл
АТ]	^2	Г]
---= — = — = 6, где V, и v? — число молей газа при температу-ДТ2-V]	Т2
Т2 соответственно.
AS = — к In — — к In — яг 0,16к я» 0,22- 1016 эрг/К.
2 Тн Рн
4TjT2 \ 1/3
/Л+ 72)7
Замечание. Условие равновесия двух сред есть равенство их химических потенциалов рДР, Г) =	Т), откуда следует равенство темпера-
тур и давлений. Поэтому совершение работы можно представить в два этапа: сначала мы выравниваем температуры, а затем изотермически выравниваем и давления (которые различаются из-за разности концентраций).
6.87.	х яг ——?	яь 2,6%, где v — удельный объем, а с — удельная
теплоемкость воды.
6.88.	АТ ях — АР др где с? _ удельная теплоемкость воды, рм — СрРмА^м
плотность воды при 4 °C, А/м = 4 °C. Конечная температура воды /к я» 0,4 °C.
□ О
6.89!	Решение, а) Считая молекулу С2Н5ОН жесткой, cv = — = = 0,54 Дж/(г-К); в предположении полного возбуждения всех колебательных степеней свободы молекулы (так же как и вращательных) Су = R = 4,3 Дж/(г-К), где i = 3 (п — 2) = 21.
н
б)	Если считать справедливым соотношение Майера ср — Су = —, то, ис-И
пользуя экспериментальные данные о теплоемкости спирта при постоянном давлении (ср = 2,42 Дж/(г-К), получим искомое cv — 2,24 Дж/(г-К).
458
в)	Используя точное термодинамическое соотношение
T(dV)/(dT)2p = Та2 (дУ/дР)т ррг
С р cv —
= 0,6 Дж/ (г-К),
получим cv 1,82 Дж/(г-К).
Таким образом при комнатной температуре колебательные степени свободы молекул спирта в значительной степени заморожены (~70%).
/ дг \
6.90.	Т = Тп — як 217 К.
'Л0/
6.91.	Р	=9,66-10~7	= 7,2- 1О-10 мм рт. ст..
a t	см
6.92.	Тк = 2Т0 = 600 К (газ в этой ситуации ведет себя как двумерный).
6.93.	10-4.
Ло га4
6.94.
( кТ0 \ 2(^-1)
D	й	, ,	(лЯз)2
Время перемешивания, обусловленное диффузиеи, т як-------— як
2Av
10-5 см — длина свободного пробега молекулы при 103 м/с — средняя скорость молекул. Турбулен-
6.95.
як 2-1018 с, где Л нормальных условиях, v тность ускоряет процесс перемешивания примерно в 1011 раз.
6.96.
6.97.
6.98.
EoR2P^A 1Л-2	,
v =-----!---=7,2-10 см/с.
("У?__
Т ЯК	ЯК 5000 к, где М — средняя масса молекул воздуха.
2кап ’ те
т —	0'06 с. Здесь «4» в знаменателе — следствие не двумер
ности, а плоского характера фотографии.
6.99.	v = у ЛеЯ як 15 м/с, где т — масса иона Аг. ’ 2т _________________
6.100.	(г2) = 4 — у^ъ4-10~2см2; як2мм ,
где ц = 12,4 г/моль — приведенная молярная масса Аг и Н2О.
6.101.	Применяя формулу Стокса для силы сопротивления при вязком движении, получим
/	2	\ °7
^ 729 кТч_\ ^1О-3СМ
\16я р(р_ро) g j
В осадок выпадут частицы, для которых средняя высота столба, оцененная
kT
по барометрической формуле, h ~----5Й (т — масса частиц), что эквива-
mg
лентно условию
, 1/4
R й -----*1-1 ЯК 0,5-10~4 см.
^4(р- po)g)
Следовательно, в краске выпадет осадок.
459
6-102. rmax=> jL-4-10- 3 см, при этом установившаяся ско-’ 4 ppBO3g
рость капли t»VPT = —3~ 18 см/с. Здесь обозначено р — плотность воды, у 2грвоз
рБ03 = — = 1,16-10-3 г/см3, г] = 1 А.р F= 15,7-10-5 г/см-с — динамиче-RT	3
ская вязкость воздуха, Т—4,8-104 см/с — средняя скорость молекул.
6.103.	и = v — р„ = 5,4 см/с; Re =	—— = 0,35.
9т|	т]
6.104.	И = А = 0,75 см2/(В-с).
6.105.	Требуемое число столкновений п = —- In 10 «г 16, где — кине-AS
тическая энергия атома аргона массой 57,, Д<з — передаваемая энергия атому
„ ..	. р р 2Л/2	.	_
гелия массой Л1?, Д<Ь ~ ©,------(максимальная энергия при лобовом соу-
+М2
Т ^ком
дарении вдвое больше). Требуемое расстояние R = nl------— = 0,54 мм.
Тком Т
W Рхг^
6.106.	Электрическое поле пробоя Епр = ——яг 2,38 ед. СГСЭ. В катушке электрическое поле складывается из осевого Ео и циркулярного вих-
ревого поля Е Полное поле Е = VE2 + ъ 1,89ЕП. Здесь Е =---^2,
2лЯс
Ео =----—, индуктивность катушки £яг 200 см.
1с
I c^F
При £ = £пп	..др =4,51-1011 ед. СГСЭ 150 А.
н пр и о 1189£Ш
6.107.	х = Ж1п 105 = 20,4 см.
1 In 2
Р7 — р,
6.108.	Т2—Т\ =-----2,4 К, где с яг 4,2 кДж/ (кг-К) — удельная
теплоемкость воды при 20 °C, ар — плотность воды.
6.110. /;= х(Го~Г2яг77Ом. £077
6.111. Q = 4луир ^2122^ 2,3-10~9^;
/г = Я3-2880 км,
где Тг = Тпл, a TR = 300 К — температура Земли у поверхности.
6.112.
6.113.
г° °
2хм
0,43 см.
Г0 5/2„1/2
ЗоТо
3/21
0,153 см.
460
( -2 \ 1/4
6.114. Т = ЦДР =77 К \ о /
температура наружной поверхности;
дг = £1^%0,02К.
X
6.115.
и =	Р—~ яг 0,38 мм/с яг 1,37 м/ч, где До — разность плотно-
Р (р«) d
и льда.
Р = Рп 11 + 2°и | « 1,09 атм, где г = ЗА^- =* 0,9-10~6 см -°	гржЯГJ	’ 4лр#д
радиус «минимальной» капли жидкости.
6.117. г= 2°Т -ъ 225 А.
РжТДТ
«о
стей воды
6.116.
6.118. 5 =
180 м/с; где обозначено
2
Рв ( s0 |
1 +а---- —
Рвоз 1^зв/
рв — плотность
,;зв
105эрг/К, где
воды, рвоз = -^= 1,2 кг/м3, а = г3 Яг 4,2-10 3, = 343 м/с — скорость звука в воздухе при 20 °C.
6.119. ДР =— (о - Т — | = 1,65 К; Д5 = ДГ — Мс \ dT)	dT
i\F — изменение поверхности, с = 4,19-107 эрг/(г-К) — удельная теплоемкость воды.
6.120. U = у = 300 эрг/см2, где д =* 2к — межатомное расстояние.
7
др
6.121; ДТ =------------3 К, т. е. температура кипения системы
Р1Л1 +Р2Л2
t = 69 °C. Здесь Pj яг 0,27Ро, Р2 яг 0,73Ро, где Ро — нормальное атмосферное давление.
Решение. Кипение начинается на границе соприкосновения жидкостей, когда сумма парциальных давлений паров обеих жидкостей равна внешнему давлению. Для паров воды парциальное давление:
Al h _ J
R Г Т
р\ = ро ехР
0,27Ро;
аналогично вычисляется парциальное давление для паров СС14: Р2 0,73Ро. При увеличении внешнего давления изменяются и парциальные давления па-
ров Л.р1 = Р. ДТ и ДР2 = Р2 \Т. Тогда ДР = ДР, + ДР2 = RT	RT
\Т
= —у	+ -Р2Л2), откуда и следует ответ.
RT
6.122. 7(0) = £ = — RT 150 Дж/моль. Ь 8
6.123. Р = Ро —ехр
Ткип
(экспериментальное значение 715 мм рт. ст.); Ро = 1 атм.
кр
Л [ 1 _ 1
R I Т'кип
= 0,945 атм яг 718 мм рт. ст.
461
6.124. Величина максимального количества жидкого азота находится из
5	АТ
решения уравнения А = —P,Vl — + xZ, где А = 2,337>1К1 — работа в адиа-2	Tj
батическом процессе Пауссона, равная изменению внутренней энергии газа, P1V2 пп тс Лг\ 115	3
откуда х = —-— 2,33 — 2,5----- = 11,3 см.
л I	Т1 )
5Ж(ГК) 4,6(/q	/к)
--------------=--------------= 0,198, где
St(T’k) - 5Ж(ГК) In 2- 4,6ГК
Тк — корень квадратного уравнения
ДР = 2-.ЗЛ (р2 - Т2) -	(7\ - ТА .
ут v к °' Рж—Рт ' к О'
6.125. Тк = 0,0122 К;
6.126.	AS = ±къ. Знак зависит от начальных условий. Если вначале маятник был неподвижен — и раскачался, то «+»; если вначале были колебания, а в конце маятник остановился, то знак «—».
3/2 I—
6.127.	т=^^ = 4,4-10-6с. е ’ 2
6.128.	Д<г = Ed | 1 - A] in - 11 яс Ed In — = 207 кВ.
\	2L) \d )	d
6.129.	о = — -А. [1 - я J яс —2,6-10—11 Кл/см2
4лЯ	+
6.130.	V =	= 6,67-1(Г4 ед. СГСЭ = 0,2 В.
2л
6.131.	L = 7,48 см; где 1,6 мкм — радиус шариков.
2 2
6.132.	Е яс 2aR V. ~ 10-5 дин, где а = - лг3 яс 4г3.
(1+R)	3
j h Q /\ _ А
6.133.	D = 4£ \ ——-= 1,32 мм. При расчете полагалось, что диа-
V
метр светового пятна на фотокатоде d«D,
6.134.	Е = — = 1,33 ед. СГСЭ = 400 В/см.
eL
6.135.	Q яс 4г2 у[ТлР = 1,876-104 ед. СГСЭ = 6,25- 10-6Кл. (Формула
справедлива при г»—= 5-10 5 см). В случае	величина заряда
р	р
Q = 8 VЗлог3. Параметры задачи соответствуют первому условию.
2
6.137.	т = Aln <л/г> =5,6-10~4 с.
2 рУ
6.138.	Поскольку подвижности ионов постоянны, то постоянны их скорости V] и и2 и ток меняется скачком в момент времени прихода одного из ионов на пластину. Обозначив через х путь первого иона, a (d — х) — путь второго, получим
^ = ^1 = 4J-(’'1 + y2)- 0<^<G=A и	VI
е7 — с?2 ~	'’2- tl<t —
d	V2
462
6.139.	Г = — =0,72 МэВ; v = cVl - (<§0/<§)2 = 0,91с, где <§ - полная 2г0
энергия, а <§0 — энергия покоя электрона. Время расширения пучка можно оценить по пролетному времени t — (прол го/с 3’ Ю-11 с.
6.140.	—як 2-Ю7.
Re
6.141.	В = Вп (-'l 2 = 5- 106 Гс; Р = ~ = 0,995-1012 яШД. 106 атм. ° И	8Л	См2
/ \ 2
6.142.	B = 'J%nP =5-106Гс; Во = В — =5-104Гс.
2	н
6.143.	т=^Ц = 7,2с.
аВ
6.144.	Q = —В. Заметим, что величина О не зависит от скорости вра-2тс
щения кольца со и от угла между векторами В и со. Полученный результат соответствует ларморовской частоте прецессии. Рассматриваемая задача по существу является моделью поведения атома в магнитном поле (эффект Зеемана).
6.145.	о)(2="^. 0 с /0
,	(R2-r\)VBI	О 1 щ-6 -1 о ,
6.146.	со =--5«-------------= 8,1-10 °с \ За 1 час угол поворота
+Т?2) In (Я2/*1)
Ф = u>t = 0,029 рад 1,66°. 2 ------------------------
6.147.	Т як V—2— як 1,2 с.
23 ’ 2 | х|
6.148!	Рх > 10 атм.
Решение. Дадим краткое решение этой задачи. Магнитная восприимчивость х(Н2О) воды (вода практически несжимаема) от давления не зависит. А вот х(О2) газообразного кислорода зависит от давления. Полагая, что
с ростом давления она растет прямо пропорционально, запишем ее величину р
при искомом давлении Рх как х(О2) -3-. Воспользуемся принципом супер-
позиции: добавим и «вычтем» кислород в объеме капли. Тогда мы имеем однородный фон кислорода, на котором расположена капля воды с эффективной магнитной восприимчивостью
\эфф = х(н2°) -Х(О2)
Определим магнитный момент капли воды
И = IV = Хэфф//К як ХэффВК.
Сила, действующая на магнитный момент капли в неоднородном магнитном поле равна
^ = ^-(х(Н2О)-х(02)А)га^.
463
Далее, рассматривая равновесие капли в гравитационном поле в атмосфере кислорода (учитывая закон Архимеда), получаем ответ:
р p(H2O)g + x(H2O) 5^-_д =----------------10,3,
Р° р(О2) g + х(О2) В
т. е. левитация капли наступает при давлениях Рх > 10 атм. 2
6.149. <^ = 2&Д.яеО,19 мА.
CCR
6.150. ^5-= ±	± 10,1, где От — частота прецессии под действи-
QT pgl
ем силы тяжести. Два знака АО означают, что есть два возможных направления намагниченности I — Вдоль по вектору L и против него.
В = /о
6.151.
6.152.
5390 Гс, где R = 1 + 2 = 2 см.
О = 4jt/F” « 3,75  108 ед. СГСЭ яа 0,125 Кл. cR
6.153.
6.154.
Т = 2л1	» 7,5 с.
^ВоВ cj 2^cR pg 2400 А
6.155.
6.156.
В cj _ lidhc' Le 2^ 8b2 со ss —н—;
d М
6.157.
= 124 ед. СГСЭ = 0,0413 А.
.. л 1 2лс „	. , 8b2
d> — =-----, т. е. d < —у.
2	2 со	л2Мс2
2
= 2,5-10 Здин/см — провод притягива-
h
2
ется к плоскости.
4
,п I \4/3 Q / F-F \
6.158. Mg ^^2— _Д = 5 9-Ю4дин = 0,59 H.
8	\ 2 /
— д _3U_ = j 12. Ю-24 эрг = 0 022ц . с V Юлрг	Гс	яд
Г2
= 164 кГц, Av = — 30 кГц,
RB
6.159.	ц = -«_£ = 2тс 2 2
6.160.	™ =Ц—In « с V
' ,,,	Be
6.161.	vn = -----
и 2лтс
где т = 28-1,66-10-24 г — масса иона азота.
2 .3
6.162.	S = лг ez, где ez — единичный вектор в направлении тока. пес
6.163.	х0 = —glS9F° -9- = 0,11 мм.
16л(7 та
6.164.	— = 1 + —яа 34.
Qr CRr
464
6.165.	rc = ^221=9,8 Ом, Nnпт = —+ А и/= 9,81 Вт; С =—‘ яг с т1	пот	R 4л 1	2л.(Хс
I /г/\ Т
14,4 мкФ, где хс =	\~\ ~	= 219,8 Ом.
6.166.	Л = ^= 12Ом, Апот = /2г + А + Ап = 12 Вт; L =	=
= 0,7 Гн, где X, = л1(^]2-Я2 =219,7 Ом, а также Апрп = 1 I I I	пер
= Щ (Н ав) — мощность потерь на перемагничивание ферромагнетика.
6.167. 4^ =	$ Н dB = 9,1 • 10~4 * К/с яг 3,3 К/ч.
dt 12лАр
t =	» 72 с, где	В°---= 13 К/с — скорость од-
dT>dt	dt 32лЛРА8С/ск
нагрева на скиновой глубине /ск = у_ = 0,16-10~3 см<кй. 2
Q = —------= 18 (формула записана в системе СГСЭ).
2л fDb
6.168.
нородного
6.169.
6.170.
Яц
6.171.
st 8,45-103 А, где В — 4лМ —,-------у
4*А	»с-(»ц-25)
~2,12-104Гс, 6 = 1/—-—с яг 2,2 см — глубина проникновения поля в ци-’ 4яои
1с + 1ц	- -
линдр за время т =------ я» 5,5 мс.
2 г»
—s----------у я» 1,6-104 А, где глубина проникновения
Вс-(Вц-25)2
6 поля за время пролета т = 0,55-10-3 с оценивается по формуле
6 = с Г—I— = 0,28 см.
' 4ла
6.173.	N = Q2 = 104 витков.
6.172. $т
3
6.175. |АС| > ЛС7 9 = 2,4- 10~12Ф, где Т = 2лУ/Г яг4-10~6с - пе-
16л Ат
риод колебаний;
АС С
2,4-10-2.
6.176!	Р ешение. Наличие пучка приводит к диэлектрической прони
цаемости
/	\ 2	2	/
1	“пл| , 4лпе	, 4лЗе	,
£ (со ) = 1 —	—-	= 1	—---т =	1	— ———-—у =	1	— а —
\ w /	ma,'	SV2m^a>’
где а =	= 1,06.
5а0У2т&
465
Поскольку искомое соотношение
то отсюда следует: — = Vl + ct = 1,435.
ш0
6.177!	Решение. При грамотном включении волновое сопротивление кабеля равно сопротивлению излучения антенны и входному сопротивлению телевизора, так что отраженного сигнала не возникает. Параллельное подключение к одному кабелю двух телевизоров эквивалентно подключению активного сопротивления, равного половине волнового. Из-за неточного сопряжения сигнал будет частично отражаться от разветвления, однако повторного его отражения от антенны не будет. Если обозначить амплитуды напряжений и токов в прямой волне как Uo и <.7(), а в отраженной — 1/г и то в точке разветвления
Рис. 241
= Р _ R R ~R~) 2’
откуда
Ui _ 1-1/2 _ 1
Uo 1 + 1/2	3'
Мощность отраженного сигнала будет равна 1/9, а рассеивающаяся на половинном сопротивлении — 8/9 от первоначальной. В каждый телевизор попадает 4/9 первоначальной мощности при амплитуде в 2/3 от исходной
(или 10 1g — = 10 1g - = —3,52 дБ). N2 9
Можно предложить еще и такое решение. При оптимальном согласовании кабеля и телевизора RK = 7?т (рис. 241) мощность в нагрузке
А при
7?т
Ао= Р 0	27?
Uo R =—.
47?
R
— — выделяемая мощное
"1
2
7? = 2
2	9 7?
9 О
е2 = 16QNX Е 4 6 сгсэ = j 4 кВ/см и Vc
2
А = Е°^_с = о 4. j О9 эрг/с = 40 Вт, 16V22
определяется пробоем в электрическом поле Ео.
6.178.
6.179.
предельная
мощность
466
6.180.	Ет.:у =	= 1. Ю4 ед. СГСЭ = 5 -105 В/см.
тах <о0Го 6
6.181.	\d = 2d^- = 2-10-11 см. /о
3, 2
6.182.	Д = Д (zn = —) = ——Д = 0,049 см г® 0,5 мм, где zn — коор-тах 0	2 8mgl	0
дината центра шарика.
6.183.	Н,. = Д/ .16wig^.Amax = 14 3 Э, где Д„_ — максимальное отклонение V \1	о ,	И1аХ
’ ла п
шарика при z0 = (положение центра шарика).
6.184.	Eq = Ее1'11™. = 455 мкВ/см, где скиновая глубина проникновения
поля I к = , с = —= 820 см.
у2ло|1ш 2луо/
6.185.	d = r? = 1,5В-см2.
* 4е________
6.186.	д =1^1012^ 1,22-1013 см"3. е Лш ’Йш-Л
6.187.	А = Йа> -	= 4 эВ.
г!
6.188.	Аяг-^-Я: 10 км, где I я» 1 м —
А
расстояние между фарами,
d я» 5 мм — диаметр зрачка глаза.
6.189.	а = ^-^ 15 см.
D
П2	о
6.190.	Ай-----Яе 1200 км (более грубая оценка D^IX).
2,44Х
6.191.	Размер антенны должен быть равным минимальному размеру ширины фронта Дхтй1 = V1,22X£ яе 110 м.
6.192.	Жп к с- f—'l 2 » 8 ГВт.
°	4 k D )
6.193.	—%2-105см = 2км.
АД/
6.194.	Иког^^-^5-1(Г9 см3.
6.195.	При восстановлении плоской волной с длиной волны А действительному изображению, т. е. сходящейся волне, соответствует граничное (2 \	/	2	\
.яг	. яг 1L
—i ---- = ехр —г---•---- , откуда следует условие, что
Ао£о /	XL Хо£о /
предел разрешения 5 ~ А-L ос ).L = X0L0. Это означает, что предел разрешения не изменится. Здесь L — расстояние от голограммы до действительного изображения предмета, D — размер голограммы.
6.196.	Здесь возникают биения разностной частоты, регистрируемые низкочастотной системой. Частота биений
2иотн 2ш37?3
Дv = vn------= vn--------яе 31 кГц.
с и с
467
6.197.	т > —	= 2,5, т. е. т > 3.
f N&X
6.198.	l<Dai>^. Кроме того D (условие малости углов).
2Х
тк v d 6.200. - а —= 2-10“4. с L
6.201. Расстояние между главными максимумами, также как и интенсивность света в нулевом максимуме, уменьшается в два
т = — = 100 пс.
с
ях
п	1,22 X	1 j-
	^1,5 см. т1П	# 6Х
6.205. Дпяа — (изменение показателя преломления);
6.199. | sin 91 =
6.202.
6.203.
6.204.
1.
раза.
ДР яа 3300 Па
1 атм.
3
Дх Д/
6.206.
cos
Рис. 242
6.207.	i » ДХ
6.208. ДХ =
;	~ 2А
“77, dn\ А' 2L п — Х-тг-
I ал J
6.209.	Длина когерентности /ког^—	0,3 см. Поэтому будет виден
Av
лишь нулевой порядок: вначале при отражении от передней грани при Дх = 0, затем от задней грани при х = 2dn = 2 см. Затем будут появляться следующие порядки интерференции убывающей интенсивности.
6.210.	тяа--—----яа 3,4-10-13 с.
с(пе-по)
468
6.211.	Л/= — = -?-— = 5,3-10~8 дин-см. dt лс
6.212.	— = 2. £i
4т с2	/ \ 2
6.213.	В = Е ~	. Здесь — аг 3/4 и ускорение электрона происхо-
Ае	\с)
дит в течении периода изменения поля в световой волне. Числовая оценка для
2 5
поляВ- 1,1 • 108 Гс; W^ — Е2Х2~^-^9-109 ГВт. 4л	g
6.214.	Е к J4ji^c д ... 360 В/см.
V с Fac
6.215.	г. ^Аг^5,3-10“3см,	^47 f—V як 2 см.
Ф D	*
6.216.	<^>отр = [Ф. + Ф2 + ^Ф,Ф2 cos (Д<р — л) ]	= 0,26, где Дф =
Фо	Фо
4«irf	„	Ф1 f«i-l\2
= —— п = п. (Отраженный поток от первой поверхности — = I—— I =
= 0,17, прошедший поток Фц = 0,83Фо, а отраженный от второй границы ф2/фо = 0,03).
6.217.	R 0,034, где R = г? + г2, г, =	= 0,13, r2 = ”n~”c
1	пп + 1	»п + «с
= — 0,13, пс = п* — 1,69. Здесь q иг2“ амплитудные коэффициенты отражения от границ: вакуум —пленка, пленка —стекло.
6.218.	F = ^г-= 0,42 дин = 4,6• 10-6 Н. 4с/
6.219.	г = 0, т. е. наблюдается полное прохождение излучения без отражения.
2 I-------
6.220.	8 =	| — | Д/— хтр ДГ як 700 эрг = 7-10-5 Дж, где ДГ як
а \ D j А
& ^пл = 2200 °C, А — атомная масса алюминия.
6.221.	а = к (—Г = 8-103.
\ /
'z N
6.222.	ак — ZP^A| да Ю-6 рад. Дифракционная расходимость Дф ~ R лАтес
~	10-9 рад <Сф.
I----
6.223.	ф = 4Х	10-2 рад, где 7 = -у- — длина волны рентгено-
2
вских лучей, гкл = е= 2,8-10-13 см — классический радиус электрона, тес
TV = ZN/^ gs 4,9- io23 см-3 — концентрация электронов.
А
469
2 2
2zmecAZ vjV2
Г7”2	2	2
Ne V2~ vi
= — Ац> — io~14'
Ш
>2
6.226.	ДХ =	d>. = 50 нм.
%3
6.224.	L =
6.225.	—
L
2хтесЛ/	, „9П	„„„
-----,— vf ss 7- IO20 cm ss 700 св. лет.
Ne
Дш ш
= a\T, \T = 10-8 К.
6.227.	т =-----— = 5,37-IO-10 c.
c(l+XK/Z.)
6.228.	Появление спутников при комбинационном рассеянии обусловле-
но процессами рассеяния фотонов с поглощением и испусканием колеба-
тельного кванта Асокол
о фиол
—-—. Отношение интенсивностей —— =
А	I крас
п(а>, Т)—_	I _ ^кол j 1’04я^О,34. В этой формуле обозначено
п(<о, Т) + 1 и I къТ )	* и 3
П(<й,Т) =
6.229.
г	I-1
ехр —— — 1	— среднее число колебательных квантов.
Учитывая то обстоятельство, что не весь резонатор заполнен по-
глощающим веществом, эффективная длина пути, которую свет проходит за время генерации, будет равна ДЭфф = ста = 5,4-109 см. Интенсивность вол-
ны 7(со0, L) =/0(со0)е к£зфф, откуда х	—-— — ~ 10 11 см *.
7-эфф 7о
6.230. Изотопическийс двиг	_ q gg. ] q-6 <
О)	Л/41Л/39
1,05-10-6. Резонансное поглощение будет наблюдаться.
6.231.
6.232.
6.233.
Мс2 кв
2
= 275 К.
гПе(^23~^22>> М23М22 ,	\2	2
т< —	^1£_ = з,з-io-7 к.
\М ) М ) къ
Щь = £ =	= 0,5- Ю10 см/с; Що = ^ = 21>(Ь = Ю10 см/с.
ф к UxNe	г₽ дк *
6.234.	N =	?	= 7,67-1014 см“3 *.
8evd (.VB2—VB2) 8evd
i	2.
усхсе
6.236.	d. = Ц1П 10 % 13,5 м, d, = 2d. ъ 27 м (х = 0,508).
1 4jrvx	2	1
Я(1-£)Ще/о	„ о , л—5	-3	С Д/ 1
6.237.	п =-----я-----= 9,3-10 ° см °, где £ = — -2- = -.
е	v /о 4
6.238.	Коэффициент поглощения излучения
а)
2
‘Х 2тЗ/2 
ш Т
470
Установившаяся ситуация соответствует постоянству оптической толщи-ны слоя Amd = const. Откуда следует Т ос
2
6.239.	° =
6.240.	В = у/8ппк.ъТ % 60 кГс.
6.241.	7=-^-^----= 1,47-107 К.
с xR пкь
6.242.	v as VL as 16 км/с. с ' лМ
6.243.	v as- Д — In — as 27,4 км/с, где M =	= 3,68 мг.
с V M Di	32
6.244.	e=l[4-e(0)]as0,83, п = VTas 0,91.
6.245?	_Pmjn = 4,6 атм.
Решение. При скорости частицы v> — — фазовой скорости света в п
среде — возникает коническая поверхность, ограничивающая световой поток излучения, исходящего от движущегося электрона (рис. 243). При этом угол 0 определяется соотношением
и	1	0х
cos 0 = — = — at 1 — —, где 0 = 3° — заданный угол. Отсюда vt	рп	2
Р = - =----
с д (1—072)
По условию задачи п — 1 = а 1, тогда
Р =1 + 1, (1+а) (1—072)	2 с
02
откуда следует а > — = 0,00137, т. е.	-----
показатель преломления пх, при кото- / с /
ром реализуется указанный процесс, / п	\
отвечает условию п* — 1 > 0,00137. I Z-41-------------1------—►
Показатель преломления воздуха \	7^
п2 = е = 1 + 4лМа, где а — поляризу- \	/
емость молекул, N — концентрация р
молекул, N — —. Поскольку показа-	рис 243
тель преломления п = V1 + 4я/Уа as
as 1 + 2л/Уа, то п — 1 as 2 nW =	Р. Таким образом, при данной темпе-
ратуре п — 1 ос р. Отсюда следует отношение д,—1	Рх	пх—\	, ,
	= —, т. е. Рх = Рп----= 4,6 атм = Pmi„. до-l--------------------------Ро	°До-1
471
Давление воздуха (при t = О °C), при котором реализуется черепковское излучение под углом 0 = 3°, должно быть больше 4,6 атм.
6.246.	Р = Р,} п ~ 1	40,3 атм, где и> —=1,01812 — условие возникло- 1	v
новения черепковского излучения.
= 4,54 ГэВ, где /1=1 + — (п0 — 1) = 1,015.
Ро
6.247. Т = me
6.248.
, т. e. 1,414 > n > 1,254.
6.2501	Р ешение. Потенциальная энергия атома в неоднородном поле U (г) = — ^-Е2(г), откуда сила, действующая па единицу объема
f=^a р VE2(r)
2 и
В условиях задачи эта сила направлена по радиусу к центру. Условие рав-
dP
новесия жидкости приводит к уравнению — = F. Интегрируя его с граничат*
ным условием Р(<») = 0, получим
Р(г)=^ЯЕ2(г).
Z и.
Из условия задачи следует, что е = 1 + 4л.аАА£-«= 1, откуда Е = Учи-Н	г
тывая граничное условие на поверхности шарика P(R) = Р1В, находим радиус шарика
/	7	\ 1/4
^6,8 А.
2 р^тв
8ц2 8^
6.251!	Н- ИБ ^40 см, где т0 — масса молекулы кислорода.
3mogkKT
Решение. Проекция магнитного момента молекулы О2 (в пренебрежении вращением молекулы как целого) на направление внешнего магнитного поля В квантуется по правилу
= gjmj^.
Здесь gj — фактор Ланде, цБ — магнетон Бора, uij G {— J, —J + 1../} —
проекция полного момента количества движения неспаренных электронов J. Так как J = L + S и по условию задачи L = 0, то J = 5 = 1 и gj = 2. Следовательно, возможны три значения проекции магнитного момента: — 2ц.Б; 0; 2цБ. Вероятность того, что молекула находится в состоянии с проекцией т^2цБ ( mj2u.bP\ —
пропорциональна ехр —-------- . Тогда средняя энергия молекулы
\ ккТ /
_	1 /л22цБЯехр----
- s — .vu  1	7 Б
т, = -1	ехр----7-^=—
J	к	к~Т
472
Безразмерный параметр 2^Б'В = 1,69-10 2«1 и поэтому kyj
8([хб5)2 3*БГ
2цБИ
~к^Г
Так как (7В < 0, то молекуле О2 выгодно «втягиваться» в магнитное поле (как всякому парамагнетику). Умножая (7В па число втянутых молекул А, получим полный выигрыш в энергии.
Пусть л — высота столба втянутой жидкости, 5 — его сечение. Тогда А( _ р£х, где р _ плотность жидкого кислорода, т0 — масса молекулы О2. Та-ким образом

Б«
2
u = UbN=-*^Lp1x, в 3 к^Т то dU 8 (НБ^)2 pS п и втягивающая сила г = — — =------Приравнивая эту силу весу
Эл 3 ЛБТ >п0
столба втянутой жидкости высотой Н, получаем 2
H =	^40 см.
3 k^Tmog
„2	2
6.252. Требуемая мощность ---2л/Т8'л 26,2 МВт, где
8л(	eR
st 13 кГс.
6.253. Для измерения степени поляризации с точностью 10~8 наблюдать 1016 распадов (закон I/VtV"). Необходимое
время
= 104с^Зч.
6.254.	AS = kN In 2 ~ 10-10 эрг/К.
6.255.	S =;	~ 7,5 • I °3() Вт/см2.
ле 7? 2	2
6.256.	<£min == л mc ст = 9 • I О4 эрг ~ 10 мДж, где гкл r кл
' требуется , _ 1016 _ ю12
2
е__
2 тс
ческий радиус электрона. Заметим, что движение электрона можно считать релятивистским, если приобретенный им импульс тс. Чтобы эффективно использовать лазер, необходимо, чтобы вся энергия излучения падала на площадку размером ~ к.
6.257*.	0,9-10-7, где S^ = 2,7kbT, a Q = 25 МэВ — энерговы-
деление водородного цикла.
Решение. Запишем сначала протон-протонный цикл образования а-частицы
класси-
4р-» 4Не + 2е+ + 2ve.
Используя табличные значения избытков масс, можно получить выделяемую в реакциях этого цикла энергию
Q = 24,68 МэВ л 25 МэВ.
473
Определим подробнее энерговыделение в реакциях образования нейтрино р + р-> d + е+ + ve.
Если добавить слева и справа по два электрона, то получим 2|II^7D + е+ +е“,
где |Н и [D - нейтральные атомы. Используя табличные данные для избытков масс, получим
Q = (2-0,07825 - 0,014102) -931,5016 - 2-0,511 як 0,42 МэВ.
Однозначно определить энергию нейтрино нельзя. Однако можно утверждать, что она не превосходит полученного значения 0,42 МэВ. Таким образом, энергия, уносимая нейтрино, составляет менее 1,7%	100% |
(24,58 I от энерговыделения цикла. При этом нейтрино сразу покидает звезду. Остальная энергия, выделяющаяся в реакциях протонного цикла в центральной части Солнца, поглощается окружающими слоями и в конце концов уносится фотонами с поверхности Солнца. При этом мы пренебрегаем энергией, уносимой корпускулами (например, солнечным ветром).
На каждый акт полного цикла рождаются два нейтрино. Определим теперь среднее число фотонов, выделяющихся за полный цикл. Очевидно оно равно	п
Sy
где £4 — средняя энергия одного фотона, улетающего с поверхности звезды. Полная энергия излучения
<S = ( £)(«) -----------da>,
’ V ’	/ Й<о)Г
0 exp FT ~ 1
,, i	'	’
где gcJ(co) = —— число осцилляторов поля в интервале частот от со до л с
О) + da>. Число фотонов
УУ _ с 2)(<о) rfoj J / Йсо |	,
О ехр -1
Тогда искомая средняя энергия фотона
“ з с	<о da>
J	( Йсо । ,
<, о ехр -руг -1
I =А = й----------ш._______
Ч N “	2 ,
С	<о аа>
J	( йо> ।	,
о ехр Ij-y ~ 1
Поскольку скорости нейтрино и фотона
они вылетают изотропно, то искомое отношение потоков нейтрино и фотонов
Zr<Zfl^L^ = 0,93-10-7.
j., Q Q
= it т = 2,7ЛбТ. Б 2,404 Б
одинаковы, и можно считать, что
474
~4 2
6.258.	j = —— =8,83-101ос-1см~2. v Q 2
Здесь надо воспользоваться результатом решения предыдущей задачи, приравняв = оТ4 и приведя поток на поверхности Солнца к потоку на орбите Земли.
.	.3/2
6.259.	п =п_ = 2	е~>пс2/кБт 90 см-3
+ V2я/г /
6.260.	и>~ 10~18.
Решение. В квазиклассическом приближении можно считать, что полная энергия электрона есть <£(z) = ± V/>2 (z)с2 + (тс2)2 — |e|Ez. При этом «точки поворота» p(z)=0 определяются уравнениями <£(Z[) = = —me2 — lelEz, и <£(z2) = + тс2 — |e|Ez2 (рис. 244). Электрон должен протуннелировать от z, до z2 через барьер. Вероятность туннелирования w равна проницаемости барьера
w fe D = ехр
-	1/>О) I dz
he j
— exp -
Z2
— V(me2)2 — [<S(z) + |e|Ez]2 dz zi
„	<S(z) + le \Ez
Вводя переменную x =	—L-i—, получим
me
где Ле = 3,86-10 11 см — комптоновская длина волны электрона. Тогда
fe ехр ( — 41,6) fe 10-18.
6.261!	— fe 11; P(} = P-115 fe 8-1011 атм. r	u
Решение. Цепная реакция произойдет, когда длина свободного пробега будет порядка размеров системы. Начальная плотность ядер n0 = pTVAM, изменяется как п = п0 (rQ/r)2, где Гд = Зт/(4лр). Таким образом, при взрыве
2
= пого° =
fe 0,008.
и радиус надо уменьшить в fe 11 раз.
Давление преимущественно определяется электронным газом; при нормальных условиях в металле
475
Р — — прЕр —	2р —Я	= 4,4-Ю11 дин/см2 4,5-105 атм,
5 5me \ A /
где ne = 2п0 — концентрация электронного газа, 2 — валентность урана.
Уравнение адиабаты PV5^ = const, поэтому при взрыве
/ „ \ 5/3	/ \ 5
Р_ _ Уо ]	_ I £0 |
~р~0 Ijj
Таким образом Р = Ро-115 = 7,25- 1О10 атм.
6.262!	Ис2 = ^1^ 2500 3.
ЗеМ~1/3
Решение. Согласно условию задачи должно выполняться следующее
условие
£, = vT[F> К,
где b = N — среднее расстояние между атомами примеси, a R — ларморовский радиус закручивания пары как целого. Так как циклотронная частота для пары со =	, то радиус закручивания пары (г — мгновен-
2m с тс
ная скорость центра масс пары)
R _ V _ vmc _ РпарС
со еВ 2еВ
Поскольку координата центра масс пары локализована на расстояниях порядка то импульс центра масс пары рпар не может иметь определенного значения. Т. к. среднее значение импульса равно нулю, то согласно соотношению неопределенностей
(Rnap) max	=
откуда Bmin = Нс2 —	= 2^Ь' ^сп0льзУя известные соотношения
A«2fcBTc; vF =
(Зл2н)1/3Л	ЗА
т	та
получаем
тсаккТР	„
Нс2 *-------“ттт » 2500 Э.
с2 Зс-АА-1'3
/	/ , \ 2	/	'
6.263.	= ^ (де)2 ctg2 9 +	+
2	\	/	\	,
6.264.	F = —— ss 25 см, где Д/i = дпп 4&nL	0 То
6.265.	Так как разность хода между осевыми
= 1,3-ю-3.
10-5, 6п0 = п0 — 1.
и периферийными лучами
равна Д — то число колец /V = 1 + у = 3. При этом центральный
мак-
симум считаем за кольцо нулевого радиуса.
6.266.	Волновой фронт сразу за нелинейным образцом станет не плоским, а выпуклым и его форма вдоль по оси z примет вид
476
z(r) = Ly/o exP	Максимальный угол 2amax — угол между норма-
= arctg Ы| ; 0 = 2amax = 0,2 рад.
лями к волновому фронту и есть искомая угловая расходимость 0. При этом (d z rf«max = л - arctg
6.267.	Плотность записи р ~	= 4-1013 бит/см2. Заметим, что бо-
лее аккуратный подход состоит в учете срока хранения информации т, который составляет примерно 10 лет, т. е. т~ 109 с. Он определяется временем
. Здесь характерное время
. \2/3
тп ~ 10-9 с. Отсюда следует, что aV » 40А:к7’ и S = К2/3 at [ I ~ \ а / 3-10-13 см2, что дает плотность записи р — —	3-1012 см-2.
_ I aV поворота магнитного момента т т0 ехр
477
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Последовательность заполнения состояний в атомах и ядрах
Составные части атома: электроны, нейтроны, протоны являются фермионами, и поэтому как заполнение электронами квантовых состояний атома, так и структура нуклонных состояний в ядре, полностью определяются принципом Паули. Однако форма атомного потенциала отличается от таковой для ядерного потенциала. В атоме электроны связаны с ядром кулоновским взаимодействием, а связанное состояние нуклонов в ядре возникает за счет сильного взаимодействия. Поэтому, с одной стороны, структуры квантовых состояний в этих системах во многом подобны, а, с другой стороны, последовательности заполнения состояний в этих двух системах оказываются различными.
а) Атом водорода и водородоподобные атомы
Электрон в атоме водорода и водородопобных атомах движется в чисто кулоновском поле ядра с зарядом Ze. Поскольку при движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется, то стационарные состояния электронов можно характеризовать заданием энергии состояния S, квадрата момента импульса I и его проекции mi, а также проекцией спина электрона ms s Р d	(так называемый полный набор кванто-
вых чисел). Приэтом энергии стационар-
	=^=	ных состояний определяются формулой
Sn
^4	------ --------
<§3 ------- -------- ----------
<§2
<§! -------
Рис. 245
Т. 4
mZ е 1 ~TZ2	2
2п п
(1)
где п > 0 — целое число. Это число называется главным квантовым числом, так как оно полностью определяет энергию состояния. При заданном п орбитальное квантовое число / может принимать значения от 0 до п — 1.
Независимость энергии состояния от величины / носит название «случайное» вырождение и присуща только кулоновскому иосцилляторному потенциалам. В общем случае (даже в центрально-симметричном поле) это не имеет места.
В отсутствие внешнего магнитного
поля энергия состояния не зависит ни от магнитного квантового числа mi = 0, ±1, ±2, ..., ±/, ни от спинового ms = ± 1/2. Поэтому число состояний с одинаковой энергией при заданном п (кратность вырождения) равна
п-1
2^ (2/ + /) = 2п* * 2
1 = 0
(2)
478
Состояния, соответствующие различным значениям / принято обозначать буквами латинского алфавита
1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
s,	р, d, f, g, h, ...
Спектр атома водорода без учета тонкой структуры изображен на рис. 245.
б)	Заполнение электронных оболочек сложных атомов
Поведение электронов в многоэлектронных атомах определяется не только полем ядра, но также и полем всех остальных электронов, что усложняет задачу нахождения энергии электронных состояний. Однако в первом приближении такая многоэлектронная задача может быть сведена к задаче о поведении одного электрона в эффективном центральном поле, которое называется самосогласованием. Оставшаяся часть межэлектронного взаимодействия, которая не сводится к центральному потенциалу, является малой величиной и может быть учтена как поправка наряду с релятивистским взаимодействиями (главным образом спин-орбитальным).
Так как в центрально-симметричном поле сохраняется момент импульса, то состояние электрона можно характеризовать орбитальным квантовым числом / и его проекцией /и/. При заданном / состояния электрона в порядке возрастания энергии принято нумеровать числом п, принимающим значения / + 1, I + 2..Число п по аналогии с атомом водорода называется главным
квантовым числом. Однако у сложных атомов порядок заполнения зависит уже от двух квантовых чисел — пи/.
Состояние отдельного электрона в атоме, заданное квантовыми числами и, /, mi, ms, принято обозначать цифрой, соответствующей главному квантовому числу п, и буквой, соответствующей орбитальному квантовому числу /. Если в состоянии с данными пи/ имеется к электронов, то такая к,	к
конфигурация обозначается как (nZ) или просто nl . Так, например, со-кращение Зр2 означает, что имеется два электрона сп = Зи/=1. Об электронах, имеющих одинаковые квантовые числа пи/, говорят как об эквивалентных электронах. Для этих электронов справедлив принцип Паули: в каждом состоянии nlmims может находиться только один электрон. Таким образом, при заданных п и / в атоме имеется не более 2(2/4- 1) электронов, которые образуют s, р, d, f, ... оболочки.
Термином оболочка часто обозначаются состояния с данным квантовым числом п, она может быть заполненной или незаполненной, в зависимости от того, все или не все состояния в ней заняты электронами. Оболочка с n= 1 называется Х-оболочкой (она с держит состояния 1s), с п = 2 называется L-оболочка (содержит 2s и 2р состояния), и далее следуют по алфавиту /W-оболочка с состоянием 3s, Зр, 3d и далее А/-, О-, Р-оболочки.
В приближении центрального поля задание электронной конфигурации, т. е. величин пи/ всех электронов, полностью определяет энергию атома. При этом состояния, отличающиеся проекциями ш/ и ms различных электронов являются вырожденными — энергия атома в этом приближении не зависит от взаимной ориентации орбитальных и спиновых моментов электронов. Учет нецентральной части межэлектронного взаимодействия, назы-ваемого остаточным взаимодействием, и релятивистских добавок к энергии (главным образом спин-орбитального взаимодействия) приводит к снятию этого вырождения.
Чтобы описать состояние атома, надо знать его полный, орбитальный, и спиновый моменты. Опыт показывает, что в легких и в средних атомах
479
остаточное взаимодействие больше спин-орбитального. В этом случае орбитальные моменты отдельных электронов складываются в суммарный орбитальный момент атома
L=2	(3)
i а спиновые — в спиновый
s = 2Si>	<4>
i
и полный момент атом равен векторной сумме L и S.
J = L + S.	(5)
Указанное приближение, при котором орбитальные моменты отдельных электронов рассматриваются независимо от их спиновых моментов, носит название приближения Рассела-Саундерса. Говорят также, что имеет место (LS) -связь или рассел-саундеровская связь.
Состояния атома, характеризующиеся данными L и У, образуют так называемый терм и обозначаются большими латинскими буквами 5, Р, D, F, G, Н, ..., которые означают, что полный орбитальный момент L равен соответственное, 1,2, 3, 4, 5.Слева вверху указывается число2S 4- 1,
называемое мультиплетностью терма, внизу справа — величина полного момента J. Такая запись называется спектроскопическим символом терма. Так, например, символ Рщ означает, что это терм с L = 1,5 = 1/2, J = 1/2 (при заданных L и 5 полный момент J может принимать и значение 3/2, тогда это будет терм 2Рз/2).
В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием интегралами движения являются орбитальный и спиновый моменты, а также их проекции на ось квантования. Таким образом, полным набором являются п, L, S, Мц Ms. Энергия терма зависит только от L и S, но не зависит от их проекций (т. е. имеется вырождение по величине полного момента J). Так, например, энергии указанных выше термов 2Р{/г и 2Рз/2 одинаковы.
Поэтому все уровни терма имеют степень вырождения
(2S + 1)(2L+ 1)	(6)
Учет спин-орбитального взаимодействия, которое в этом приближении трактуется как связь между моментами L и S, приводит к расщеплению состояний терма по величине J (мультиплетное расщепление), но оставляет их вырожденными по проекции Mj. При этом число состояний, относящихся к данному терму, сохраняется. Действительно,
L + S
2 (2J 4-1) = (25 + 1)(2L4-1).	<7>
J= |А-5|
Однако теперь интегралами движения являются полный момент, его проекция на выделенную ось и абсолютные значения орбитального и спинового моментов (полный набор есть nJMjLS). Что касается проекций моментов, то они по отдельности не сохраняются, а сохраняется только их сумма. На языке векторной модели это означает переход от независимой проекции вектров L и S вокруг оси квантования к их прецессии вокруг направления вектора J, который в свою очередь прецессирует вокруг оси квантования.
480
Относительное расположение уровней с разными J определяется правилом интервалов Ланде-.
AEj,j-i=Ej-EJ_l=AJ	(8)
и зависит от знака константы спин-орбитального взаимодействия А. При А > 0 ниже лежит уровень с наименьшим J = [Е — 5 | (нормальный мультиплет), при А < 0 уровень с наибольшим/ = L + S (обращенный мультиплет).
Для определения основного состояния атома (или иона), т. е. состояния терма с наименьшей энергией, пользуются правилом Хунда: наименьшей энергией обладает уровень с наибольшим возможным для данной электронной конфигурации значением S и наибольшим (при данном S) значением L.
Требование максимальности 5 может быть обоснованно следующим образом. Рассмотрим вначале систему из двух электронов. В силу принципа Паули волновая функция системы должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов. Если спины электронов параллельны (максимально возможный суммарный спин), то спиновая часть волновой функции симметрична относительно перестановки электронов, а поэтому координатная часть <p(ri, гг) должна быть антисимметричной, и при П = Г2 такая функция обращается в нуль. Другими словами, в состоянии с 5 = 1 вероятность нахождения обоих электронов вблизи друг от друга мала, что приводит к значительно меньшему их электростатическому отталкиванию, а потому и к меньшей энергии. Аналогично, для системы из нескольких электронов наибольшему спину соответствует «наиболее антисимметричная» координатная часть волновой функции, что и приводит к минимуму энергии электронной системы.
Для определения J основного состояния используют следующие правило: J = |А —5|, если заполнено меньше половины оболочки, и J = L + S, если больше половины оболочки; при половинном заполнении J = S (L = 0). Например, для конфигураций пр2 и пр4 возможны термы *5, 3Р, lD. Основному состоянию будет соответствовать терм 3Р, а соответствующим спектроскопическим символом для состояния пр2 является 3Р0. а для пр4 соответственно 3Рг- Аналогично, для конфигурации пр3 возможны термы 4S, 2Р, 2D\ термом основного состояния является 4S, а его спектроскопический л символ 5з/2.
По мере увеличения атомного номера наблюдается переход к другому предельному случаю, когда спин-орбитальное взаимодействие оказывается много больше остаточного взаимодействия. Действительно, кулоновское вза-2 имодействие электронов примерно пропорционально Z (Z электронов взаимодействуют с зарядом ядра Z), а спин-орбитальное ос Z4.
Однако, когда спин-орбитальное взаимодействие оказывается большим, понятие спинового и орбитального моментов электрона в отдельности теряют смысл, определяющим является только полный момент электрона j; = 1/ + Sj. Поэтому полный момент атома равен векторной сумме полных моментов составляющих его электронов
J-2),.	<’>
i
Такой вид связи называется j/-связью.
В таблице приведены квантовые характеристики легких атомов вплоть до аргона.
481
Элемент	Электронная конфигурация	Основное состояние	Число электронов в оболочке		
			A (Is)	L (2s, 2p)	M (3s, 3p, 3d)
1Н 2Не	Is i 2 Is	2Sl/2 ‘«0	1 2		
3Li	Is 2s	2Sl/2	2	1	
4Ве	, 2, 2 Is 2s	*So	2	2	
5в	Is 2s 2p	2Pl/2	2	2 1	
бС	1 2~ 2~ 2 Is 2s 2p	%	2	2 2	
i0Ne	1 2~ 2~ 6 Is 2s 2p	‘«0	2	2 6	
nNa	. 2O 2O 6~ 2 Is 2s 2p 3s	2Sl/2	2	2 6	1
18 Ar	, 2O 2~ 6~ 2O 6 Is 2s 2p 3s 3p	‘«0	2	2 6	2 6
Таблица показывает, что до бора у всех элементов (Не, Li, Be) полностью заполнена К-оболочка, а у L-оболочки заполнена 2х-подоболочка. Тем самым у всех тяжелых элементов от бора до неона остовом служит электронная кон-2 2
фигурация Is 2s . В боре начинается заполнение p-состояний, в которых проекция орбитального момента пц = 0, ±1, а проекция спина может быть ± 1/2. Поэтому возникает вопрос о том, с какими значениями mi и ms электроны будут последовательно заполнять р-оболочку? Здесь вступает в игру уже рассмотренное нами выше правило Хунда для определения L, 5, J основного состояния, что иллюстрируется следующей таблицей.
A	ms	mi	5	L	J	25+1Д/
sBe	1/2	1	1/2	1	1/2	2Pl/2
6c	1/2, 1/2	0, 1	1	1	0	4
7N	1/2, 1/2, 1/2	0, 1, -1	3/2	0	3/2	4 S3/2
80	1/2, 1/2, 1/2, -1/2	o, 1, -1, 1	1	1	2	3P2
9f			1/2	1	3/2	2P3I2
i0Ne			0	0	0	'So
Правда, не все обстоит так просто с порядком заполнения электронных подоболочек у более тяжелых атомов, так как с ростом числа электронов в атоме существенную роль начинает играть экранирование поля ядра внутренними электронами. Действительно, с ростом квантового числа I, из-за увеличения отталкивающего действия центробежного потенциала, s-электроны могут подходить ближе к ядру, чем d- или р-электроны и, например, состояние 4s лежит ниже по энергии состояния 3d, a 6s ниже, чем 4/. Эмпирически установлено следующее правило (т.н. правило Клечковского), справедливое в подавляющем большинстве случаев: электроны в сложных атомах располагаются в порядке возрастания величины п + I; при одина
482
ковых п +I, сначала заполняется уровень с меньшим п (или, что то же самое, с большим I). Эта ситуация хорошо видна из приведенной ниже таблицы, в которой показан порядок расположения атомных уровней в реалистичном атомном потенциале и число электронов в оболочках:
15-2
2s 2р — 8
3s Зр — 8
4s 3d 4р — 18
5s 4d 5р — 18
6s 4d 5d 6p — 32
7s 6d 5f...
В качестве иллюстрации на рис. 246 схематично показана последовательность электронных уровней в атоме натрия. Кружками показаны электроны в основном состоянии атома Na.
Рис. 246
Отметим следующее обстоятельство. В состоянии 4/ электрон находится в среднем значительно ближе к ядру, чем в состояниях 5р и 6s. Поэтому заполнение оболочки 4/ (при полностью или частично занятых оболочках 5р и 6s) у редкоземельных элементов практически не меняет их химических свойств.
Особое место в таблице Менделеева занимают благородные газы. Благородными называются газы химически почти полностью инертные, их потенциал ионизации — энергия отрыва одного электрона — оказывается наибольшим по сравнению с соседними элементами.
Атомные номера инертных элементов 2, 10, 18, 36, 54 иногда называют магическими числами, ибо, казалось бы, в них нет никакой закономерности. Однако с точки зрения квантовой механики благородные газы — это элементы, у
483
которых полностью заполнена соответствующая р-оболочка и им соответствует основное состояние с 5 = L = J = 0. Химическая инертность благородных элементов обусловлена тем, что их электронные s-оболочки расположены близко к ядру и не являются внешними, а химические свойства определяются именно внешними электронами. Как видно из таблицы на стр. 462, после заполнения n-той р-оболочки начинает заполняться (п + 1)-я s-оболочка, что и приводит к периодичности химических свойств.
в)	Нуклонные состояния в ядрах
Задача о структуре энергетических уровней ядра отличается от аналогичной задачи о сложном атоме прежде всего тем, что в атоме имеется центральное тело — ядро, и достаточно хорошим приближением является задача о движении электрона в заданном потенциале. Для ядра сведение задачи многих тел к одночастичной представляется на первый взгляд безнадежным делом, ибо взаимодействие между нуклонами весьма велико и отсутствие центрального тела не позволяет решать задачу по аналогии с атомом.
Однако квантовые свойства нуклонов накладывают свои особенности на их движение. В основном состоянии ядра все нейтроны и протоны по одному заполняют все наинизшие энергетические состояния. Изменить состояние одного нуклона можно, только сообщив ему энергию, достаточную для перехода вверх на одно из незанятых состояний. Если мы внесем в нашу сложившуюся систему добавочный нуклон, то он может занять только вышележащий незанятый уровень. Двигаясь в поле ядра, добавочный нуклон, конечно будет сталкиваться с нуклонами ядра, но в большинстве своем эти столкновения не могут привести к изменению состояния ядра, т. е. к передаче импульса, и пробег добавочного нуклона в такой системе будет достаточно велик. Таким образом, задача о спектре состояний нуклона может быть сведена к одночастичной задаче движения нуклона в эффективном самосогласованном поле, образованном другими нуклонами. Соответственно состояние ядра в целом задается указанием состояний отдельных нуклонов аналогично электронной конфигурации в атоме. Такая модель называется одночастичной оболочечной моделью, она достаточно правильно описывает структуру одночастичных состояний, но, естественно, не описывает многочастичные (коллективные) возбуждения, возможные в системе конечных размеров, в частности, поверхностные и объемные колебания ядерной материи, вращательные состояния.
Как и в атоме, взаимодействия нуклона с эффективным самосогласованным нуклонным полем можно представить в виде суммы центрального потенциала и малой нецентральной добавки (остаточного взаимодействия). При этом центр поля совпадает с центром инерции ядра, а вследствие короткодействующего характера ядерных сил форма этого потенциала должна быть похожа на форму распределения плотности нуклонов в ядре. В средних и тяжелых ядрах хорошим приближением реалистичного ядерного потенциала является потенциал трехмерного изотропного гармонического осциллятора
U (г) = -и0 + ^Мы2г2.	<10)
В декартовой системе координат гамильтониан задачи распадается на сумму трех независимых гамильтонианов, соответствующих колебаниям вдоль осей х, у, z. Каждый одномерный осциллятор имеет энергетические
484
уровни <§П( = йсо(n; + 1/2), и поэтому энергия трехмерного гармонического осциллятора равна
^дг = Йсо (jV + 3/2) — £7о,	(11)
где квантовое число N = пх + пу + nz(nx, пу, nz — целый числа). Нуклоны в ядре располагаются в виде оболочек. Это понятие заимствовано из теории атомов. Однако ядерные оболочки означают группы уровней, разделенных большими энергетическими промежутками. При переходе от одной оболочки к другой происходят резкие изменен ия в таких ядерных свойствах, как энергии связи, сп ине ядра (в ядерной физике спином ядра называется полный момент ядра), сечении захвата нейтронов. Эти свойства аналогичны периодичности химических свойств элементов в таблице Д. И. Менделеева, и поэтому числа нуклонов, соответствующие заполненным оболочкам, называются магическими.
В случае трехмерного осциллятора группы уровней с разными N как раз и соответствуют разным оболочкам. Уровни трехмерного гармонического осциллятора сильно вырождены, так как одно и то же значение энергии (соответствующее одной и той же величине N) можно получить при различных комбинациях чисел пх, пу, nz. Кратность вырождения (V-го уровня 5 равна числу способов, которыми число N может быть представлено в виде суммы трех целых (включая значение 0) положительных чисел. Другими словами, это есть число способов, которыми /V одинаковых шаров могут быть разложены по трем ящикам; оно равно
5 _ (ЛГ + 1КЛГ + 2)	(12)
2
Если еще учесть спиновое вырождение, то отсюда сразу следует, что магическими должны быть числа 2, 8, 20, 40, 70, 112, как это показано на рис. 247.
При решении задачи о трехмерном гармоническом осцилляторе в сферической системе координат движение частицы характеризуется орбитальным моментом I, и квантовым числом т, определяющим величину проекции I на какую-либо ось. В гармоническом потенциале уровни энергии эквидистантны, но каждому энергетическому уровню соответствует несколько нуклонных состояний с разными значениями I. При этом каждому N соответствуют значения/: N, N — 2,..., 1 (0) — в зависимости отчетности N (см. рис. 247). Различные значения орбитального момента обозначаются буквами s, р, d, f, ..., как это принято в спектроскопических обозначениях атомных электронов. Принято нумеровать уровни гармонического осциллятора с помощью пары чисел (п, Z), где п означает, что данное значение I появляется в последовательности уровней n-й раз, например, Is, Ip, Id, 2р, 2s, If, и т. д.
Конкретное расположение уровней после снятия вырождения зависит от вида поправки к потенциалу (10). Однако наибольший вклад в смещение уровней дает центробежная энергия: чем больше I, тем ниже лежит уровень, что хорошо видно на рис. 247. Таким образом, в отличие от классификации уровней энергии атомов, где число п, стоящее перед обозначением состояния (например, 2s) является главным квантовым числом, определяющим энергию состояния, в ядре числа, стоящие перед обозначением состояния, указывают порядок расположения уровней.
В гармоническом потенциале лишь числа нуклонов в первых трех оболочках совпадают с экспериментальной последовательностью 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Если в ядре магическими оказываются как число протонов, так и нейтронов, то такие ядра называются дважды магическими, они обладают наибольшей устойчивостью (наибольшей энергией связи). Такими дважды магическими ядрами являются, например, ядро гелия (альфа-частица) с
485
двумя протонами и двумя нейтронами, ядро кислорода ^О, изотопы кальция 2оСа и 2§Са, изотоп свинца 2$§РЬ.
	_	- Зр	13/2 2 Г 1/2
. N.~.5.			2/ —112	—		4^5/2 3/2
(1- 5, 3, 1)	1/1 			У19/2 2 77/2
	—	3s— 			1п/2
N-4 		2d 70	——		,rfl/2 ?d3/2
(/-4, 2, 0)	1g	хГч			4j}7/2 2d5/2
		2b9/2
лг-з	 (/ = 3, 1)	/ \ н- b N © /у II		t^l/2 	Es/2 Z/,3/2
			Or	lh/2
W=2 	<		}d — 20			г!3/2
(1 = 2, 0)		1 J5/2
14-------126
2 6
4
10
8
12-------82
2
4
8
6
ю--------50
2
6
4
8 -------28
4 -------20
2
6
= 1
(/=1)
1р—8-----<--------^1/2 -----
1рЗ/2
W = 0------------------1s---2---------------ь1/2 -----2 -----2
(/ = 0)
Рис. 247
Правильное «магическое» заполнение всех оболочек получается, если допустить, что в ядрах существует достаточно сильное спин-орбитальное взаимодействие, которое сосредоточено в основном вблизи поверхности ядра, поэтому оно более существенно именно для тяжелых ядер, для которых и получается неверная последовательность магических чисел в простой модели трехмерного осциллятора.
В ядрах спин-орбитальное взаимодействие оказывается больше остаточного, поэтому классификация ядерных уровней соответствует //-связи: спиновый s и орбитальный 1 моменты каждого нуклона складываются в полный момент j = 1 + S, а векторы j отдельных нуклонов складываются в суммарный момент ядра J (спин ядра). Для определения J основных состояний ядер необходимо учитывать остаточное взаимодействие. В модели оболочек считается, что оно приводит к спариванию одинаковых нуклонов с противоположными j. В результате у четно-четных ядер полный момент равен нулю, поскольку моменты всех нуклонов компенсируются, а у четно-нечетных ядер полный момент ядра определяется моментом нуклона сверх заполненных оболочек или нуклона, недостающего до заполненных. С учетом спин-орбитального взаимодействия сферически-симметричный потенциал следует записывать в виде
U = U(r) + К(г) • (s, 1),	(13)
где член U (г) может быть взят в виде потенциала терхмерного симметричного гармонического осциллятора, а второй член описывает вклад спин-орбитального взаимодействия. Знак и вид потенциала V(г) подбирается из соответст
486
вия экспериментальным данным. При этом оказывается, что если спин нуклона s параллелен орбитальному моменту 1, то это приводит к «притяжению» нуклона (увеличению его потенциальной энергии); потенциальная яма как бы уширяется и нуклон с такой ориентацией спина понижает свою энергию («опускается ко дну потенциальной ямы»). При антипараллельной ориентации векторов s и 1 энергия нуклонного состояния повышается (эффективная ширина ямы становится меньше). Таким образом появляется расщепление уровней с заданным / на два подуровня с j = I + 1/2 и j = I — 1/2 и состояния с большим / имеют меньшую энергию. Это расщепление невелико, пока мало значение I, но уже при Z > 4 оно оказывается настолько существенным, что раздвигает два подуровня в разные оболочки, т. е. в разных оболочках оказываются уровни lg7/2 и lg9/2, 1Й9/2 и 1/гц/г, lz'n/2 и 1/13/2 (величина / указывается справа внизу). В состоянии с заданными n, I, j может находиться одновременно не более 2/ + 1 протонов и столько же нейтронов.
Рассмотренные закономерности приводят к последовательности заполнения нуклонами состояний в ядре, показанной на рис. 247. На этом рисунке слева показаны осцилляторные оболочки и уровни, получаемые при снятии случайного вырождения при небольшом изменении вида потенциала, указаны квантовые характеристики уровней и полное число нуклонов, которыми можно заполнить яму вплоть до данной оболочки включительно. Справа приведена последовательность уровней с учетом спин-орбитального взаимодействия, указаны характеристики уровней, число нуклонов на каждом уровне, а также их суммарное число по мере заполнения оболочек.
Как видно, одночастичная оболочечнная модель объясняет природу нуклонных состояний и правильно воспроизводит все магически ядерные числа.
В заключение отметим, что нейтроны и протоны независимо заполняют соответствующие ядерные состояния, однако, если для легких ядер нейтронный и протонный потенциал практически совпадают, то в тяжелых ядрах глубина протонного потенциала оказывается существенно меньше в силу их кулоновского расталкивания. Именно поэтому в легких ядрах число протонов и нейтронов практически одинаково, а в тяжелых нейтронов примерно в полтора раза больше числа протонов. Заполнение нейтронных и протонных состояний происходит так, что их верхние заполненные уровни практически совпадают по энергии. Ядра, у которых нейтронный (либо протонный) уровень оказывается выше по энергии, обладают большей энергией, чем при равенстве по энергии верхних состояний. Такие ядра нестабильны и переходят в более устойчивую конфигурацию путем бета-распада.
487
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Туннелирование электронов в сверхпроводниках
Процесс квантового туннелирования — это подбарьерное проникновение час-
тицы из одного вещества в другое. Эксперименты по измерению туннельных свойств сверхпроводящих структур обычно проводятся следующим образом (рис. 248). На стеклянную пластинку с заранее подготовленными контактами
наносится узкая полоска пленки первого металла. Затем эта полоска окисляет-
Рис. 248. Схема экспериментальной установки для изучения тунельного эффекта: 1 — стеклянная пластинка, 2 — пленка первого металла, 3 — пленка второго
металла
ся так, чтобы пленка оказалась покрытой слоем изолирующего окисла толщиной в несколько десятков ангстрем (барьерный слой). После этого в поперечном направлении наносится узкая полоска пленки второго металла. Место пересечения этих двух полосок (площадью порядка 1 мм2) и представляет собой туннельный переход.
Обсудим теперь какой вид будут иметь вольт-амперные характеристики для разных случаев туннельных переходов.
Прежде всего рассмотрим различие в схемах энергетических уровней электронов в сверхпроводнике и нормальном металле. В металле электроны являются независимыми частицами и поэтому в одноэлектронном приближении энергия уровня не зависит от того, заняты другие уровни или нет. В отличие от нормального металла, в сверхпроводнике электроны не являются незави-
симыми частицами и их вклад в полную энергию зависит от того, образуют они пары или нет. Из-за сильной корреляции между спаренными электронами все куперовские
пары при Т = О К находятся в конденсате в силу того, что они являются бозонами. Они описываются единой волновой функцией и имеют минимально возможную энергию, как это показано схематично на рис. 249а.
При ненулевой температуре некоторые электронные пары распадаются, образуя по две квазичастицы, энергия системы увеличивается как минимум
♦
Д ♦
•4>'
Рис. 249. а —температура Т = 0 К, все электронные пары сконденсированы на нижай-щем энергетическом уровне; б —температура Т > О К, за счет теплового возбуждения некоторые электронные пары разрываются и электроны заполняют более высоко расположенные по энергии состояния
488
на величину связи пары 2Д. Свойства квазичастиц практически не отличаются от свойств независимых электронов, поэтому их уровни энергии можно представить в виде квазинепрерывной системы уровней, отделенных от энергетического уровня пар на величину щели Д. Эти уровни при Т > О К частично заполняются в соответствии с функцией распределения Ферми-Дирака (рис. 2496).
Пусть Т > О К и мы ввели в сверхпроводник добавочный электрон. Если состояние с противоположными импульсом и спином свободно, то введенный электрон ведет себя как возбужденная квазичастица, занимающая один из соответствующих уровней. Если же такое состояние занято (в системе есть электрон с противоположными импульсом и спином), то образуется пара и полная энергия понижается минимум на 2Д по сравнению с предыдущим случаем. Аналогично для перевода при Т = О К электрона из сверхпроводника в нормальный металл нужно «разорвать» пару, т. е. уве
личить энергию системы на 2Д.
Отметим, что мы не рассматриваем возможность туннелирования пар как целого (эффект Джозефсона), поскольку пара имеет удвоенный заряд и удвоенную массу и поэтому, при используемых в экспериментах по туннелированию толщинах барьеров, много больших длины когерентности, вероятность туннелирования пары пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью туннелирования квазичастиц.
Изложенное позволяет понять суть часто используемой для качественных рассуждений «полупроводниковой модели» энергетических уровней сверхпроводника. В этой модели считается, что при Т = О К все энергетические уровни от 0 до ер — А за
Рис. 250. Энергетическая зависимость плотности состояний в сверхпроводнике в полупроводниковой модели; пунктиром показана плотность состояний свободных
няты электронами, а все уровни выше EF + Д — свободны. Полоса шириной 2Д является как бы запрещенной зоной. Таким образом в этой модели
электронов, которая пропорциональна
, за счет теплового возбуждения некоторые электронные пары разрываются и электроны заполняют более высоко рас-
учитывается, что для перевода элект- положенные по энергии состояния
рона через барьер из сверхпроводни-
ка или в сверхпроводник ему нужно сообщить дополнительную энергию Д. При этом можно не думать о происхождении этой энергии (т. е. о парах) и рассматривать только независимые квазичастицы (электроны).
Наша задача — качественно описать вольт-амперные характеристики
туннельных контактов нормальный металл—изолятор—сверхпроводник (NIS) и сверхпроводник—изолятор—сверхпроводник (SIS). Вид этих характеристик существенным образом зависит от плотности электронных состояний. Так как состояния пар строятся из состояний отдельных электронов, то при сверхпроводящем переходе число состояний не может измениться, но изменяется плотность состояний. Появление энергетической щели означает, что часть состояний «выдавливается» из области ер±Д
и тем самым плотность состояний вблизи щели резко возрастает. Для наглядности обычно говорят о появлении давления на ферми-поверхность
489
электронов в металле, находящихся в сверхпроводящем состоянии, и это давление приводит к деформации плотности состояний вблизи щели. Напомним, что в образовании щели участвуют в основном лишь электроны из узкой области энергии ~ Йсиц вблизи ер. На рис. 250 схематично показано, как изменяется плотность состояний электронов в сверхпроводнике по сравнению с таковой в нормальном металле.
Рассмотрим на основе полупроводниковой модели энергетическую диаграмму перехода NIS, т. е. функцию распределения квазичастиц (электронов) по энергии (рис. 251). Напомним, что функция распределения есть произведение плотности состояний на вероятность заполнения (функцию Ферми-Дерака). В состоянии теплового равновесия уровни Ферми металлов должны совпадать. При приложении разности потенциалов, такой что eV <к ер, происходит сдвиг всех энергетических уровней на величину eV. При нулевой температуре ток через переход не возникает до тех пор, пока V < А/е, так как находящиеся слева электроны не могут попасть на свободные места справа.
Рис. 251. Энергетическая диаграмма NIS-перехода согласно полупроводниковой модели при нулевой температуре:в — напряжение на переходе V — О, б — И =/= 0; в — вольт-амперная характеристика перехода
При V = А/е происходит резкое увеличение тока, и это происходит не только потому, что теперь электроны могут туннелировать, но и из-за большой плотности состояний, на которые они могут переходить. При дальнейшем увеличении напряжения на переходе ток продолжает возрастать, как это видно из рис. 251, так как увеличивается и число электронов, которые могут туннелировать, и число свободных мест.
Конечно, при 7 > 0 К и конечном напряжении имеется небольшой число электронов, для которых <§ > ер + А, и тем самым конечный туннельный ток есть и при V < \/е, но он очень мал, как это схематично показано на рис. 252.
Рис. 252. Энергетическая диаграмма NIS-перехода в тепловом равновесии при конечной температуре: о. — напряжение на переходе V=0; б —вольт-амперная характеристика при конечной температуре И =/= 0
490
Рассмотрим теперь систему SIS. Вначале обсудим случай двух одинаковых сверхпроводников, разделенных туннельным барьером (рис. 253).
При нулевой температуре тока нет, пока V < 2Д/е, и он резко появляется при V = 2Д/е, так как напротив друг друга оказываются области с очень большой плотностью состояний. При конечной температуре вольт-амперная характеристика немного сглаживается в области V ~ Л/е, аналогично тому, как это происходит и в системе NIS.
Рис. 253. Энергетическая диаграмма SIS-перехода при нулевой температуре и при И = () — a; V = 2Д —б; вольт-амперная характеристика перехода — в
В том случае, если мы имеем SIS-структуру с различными сверхпроводниками, то, как и в предыдущем случае, при Т = О К ток отсутствует, пока величина приложенного напряжения недостаточна для «поднятия» занятых состояний слева над верхним краем щели справа.
При Т > О К (см. рис. 254) ситуация немного сложнее. Чтобы получить более наглядную картину вольт-амперной характеристики в этом случае, будем считать, что величина щелей существенно разная, и пусть Д1 < къТ Д2. При этом условии можно пренебречь термически возбужденными состояниями справа. При подаче напряжения ток начинает протекать сразу и возрастает с ростом напряжения, пока напряжение не достигнет величины V = (Дг — Д1)/е. При дальнейшем увеличении напряжения число возбужденных электронов слева, способных туннелировать, остается постоянным, а плотность состояний, в которые они переходят, уменьшается. В результате туннельный ток падает. Это происходит до тех пор, пока напряжение не достигнет величины V = (Д1 + Дг)/е, когда для
Рис. 254. Энергетическая диаграмма и вольт-апмперная характеристика SIS-перехода при конечной температуре: в— Р = 0; б— К = (Д2 —Д1)/е; в— (Д2 + Д1) > eV > > (Д2 —Д1) ; г — eV = Д2 + Д1; д — вольт-амперная характеристика
491
электронов слева под щелью становятся доступными свободные состояния справа над щелью, и ток резко возрастает.
Полупроводниковая модель очень наглядна, в ней разрешенные переходы всегда «горизонтальны», что соответствует закону сохранения энергии при туннелировании, но она как бы игнорирует тот факт, что сверхпроводящие электроны спарены. Поэтому рассмотрим, как нужно рассматривать процесс туннелирования на языке куперовских пар. При таком подходе пара, находящаяся на уровне Ферми, разрывается и одна из квазичастиц «подымается» в одно из незаполненных состояний в том же сверхпроводнике, а вторая квазичастица при этом получает возможность перейти в свободное состояние справа, как это схематически показано на рис. 255. Конечно, такой процесс происходит только тогда, когда это энергетически возможно.
Рис. 255. Схематическое изображение туннельного эффекта между сверхпроводниками, имеющими различные величины щели Д1 и Д2 с помощью куперовских пар и «возбужденных» квазичастиц; <£с —энергия конденсации пар; а — нулевое напряжение на переходе; б — на переход подано напряжение, знаками «+» и «—» указана его полярность
Еще раз подчеркнем, что в рассматриваемой модели каждый сверхпроводник характеризуется, с одной стороны, наличием куперовских пар и, с другой стороны, набором состояний, доступных для единичных электронов, образующихся в результате разрыва этих пар. Отметим, что приходится на одной схеме одновременно изображать состояния пар, т. е. коллективные состояния, и состояния неспаренных частиц, т. е. одноэлектронные состояния.
492
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Образование зонной структуры электронного спектра в кристаллах
Хорошо известно, что спектр электронов в свободных атомах является дискретным. Уровни энергии электронов находятся из решения стационарного уравнения Шредингера в заданном потенциале. Точное решение такой задачи возможно только в случае атома водорода, в остальных атомах приходится использовать приближенные методы.
В кристаллах среднее расстояние между атомами становится сравнимым с характерным радиусом орбит внешних валентных электронов, и волновые функции этих электронов перекрываются. В результате электроны перестают быть локализованными вблизи своего атома и получают возможность перемещаться по кристаллу. При этом задача о нахождении спектра электронов сильно усложняется: надо учитывать не только кулоновское взаимодействие электронов с ионами решетки, но также кулоновские взаимодействия электронов (и ядер) между собой. Это делает задачу практически неразрешимой, что приводит к необходимости создания различных приближений.
На первом этапе обычно рассматривают задачу о движении электронов в поле неподвижных ионов. Это можно сделать в силу малости отношения масс электрона и иона. Такой подход называется адиабатическим приближением (см. задачу 5.24).
На втором этапе, как и в многоэлектронных атомах, производят замену межэлектронного взаимодействия на некоторое эффективное внешнее поле, действующее на данный электрон со стороны остальных электронов. Такое поле называется самосогласованным, поскольку для его нахождения надо знать волновую фунщию электрона, которая в свою очередь должна находиться из уравнения Шредингера с заданным эффективным полем. В результате этих приближений сложную многочастичную задачу удается свести к одноэлектронной задаче во внешнем потенциале.
На третьем этапе можно ограничиться рассмотрением модельной задачи о движении электрона в пространственно периодическом поле. Периодичность поля означает, что потенциальная энергия электрона не меняется при смещении на любой вектор, 1/(г + а) = (/(г), где а = njai + пгаг + пзаз, ац аг, аз — базисные векторы (периоды) кристаллической решетки, а Hi, П2, пз — целые числа. Это означает, что если W(г) — решение уравнения Шредингера, то и W (г + а) — тоже решение.
Поскольку плотность вероятности нахождения электрона не зависит от того, вблизи какого узла решетки он находится, то Ф(г + а) =С(а)Ф(г), причем IС (а) I =1. Тем самым С (a) = exp(zka), где к — произвольный вектор. Таким образом ф(г + а) = ехр (zka) Ф (г). Как следует из этого выражения, если к вектору к прибавить вектор Ь, такой, что exp(zba) = 1, то эти состояния будут отвечать одной и той же волновой функции, т.е. будут физически эквивалентны. Если представить вектор Ь в виде Ь = mibi + тгЬг + тзЬз, где mi, m2, m3 — целые числа, а Ь/ау = 2л5;у, то векторы bi, Ьг, Ьз, образуют решетку, называемую обратной решеткой (см.
493
задачу 2.9). Элементарная ячейка обратной решетки носит название зоны Бриллюэна.
Если мы рассматриваем кристалл конечного размера lx, ly. lz, то для сохранения трансляционных свойств надо ввести периодические граничные условия Ф(х/ + Zj) = Ф(х/) — так называемые условия Борна-Кар мана. Это приводит к тому, что число разрешенных значений волнового вектора в зоне Бриллюэна равно числу элементарных (примитивных) ячеек кристалла. В случае простой кубической решетки оно совпадает с числом атомов в кристалле.
Общий вид волновой функции электрона в кристалле может быть представлен в видеФкп = Икп(г)ехр(гкг), где«кп(г + а) = Икп(г). Такая функция называется функцией Блоха. В этом выражении мы фактически имеем дело с плоской волной промодулированной решеточным потенциалом. Постоянный вектор Йк играет роль импульса электрона. Однако он не является импульсом в строгом понимании этого слова. Действительно, волновая функция свободного электрона W = С ехр (Zpr/й) является собственной функцией оператора импульса р — — zftV и соответствует состоянию с определенным импульсом. Это есть следствие симметрии пространства относительно сдвига на сколь угодно малый вектор. В кристалле это свойство отсутствует, так как решетка симметрична только относительно сдвигов на дискретные вектора (периоды решетки). Поэтому волновая функция Блоха не является собственной функцией оператора импульса и величину Йк принято называть квазиимпульсом. Что касается целочисленного квантового числа и, характеризующего другие решения уравнения Шредингера при заданном к, то оно носит название зонного индекса.
Закон дисперсии электрона в кристалле <£n(k) обладает свойствами периодичности и четности в обратном пространстве £п (к + Ь) =<Сп(к) и £п(~к) = <Сп(к). Сохранение квазиимпульса электрона в периодическом поле отражает тот факт, что при рассеянии на решетке последняя может принимать импульс только квантованными порциями Йк'— Йк = ЙЬ (см. задачу 2.15). Если это условие не выполняется, то рассеяние не происходит и квазиимпульс электрона сохраняется. Указанное условие соответствует брэгговской дифракции и, как будет показано ниже, определяет положение границ зоны Бриллюэна.
Для качественного объяснения возникновения зонного характера электронного спектра рассмотрим два предельных случая.
Приближение почти свободных электронов
В этом приближении периодический потенциал считается «малым» по Йг^2 сравнению с кинетической энергией электрона & (к) = -—где то — масса свободного электрона. Для значений квазиимпульса, лежащих далеко от границы зоны Бриллюэна, волновые функции практически совпадают с плоской волной, а энергия - с энергией свободного электрона. Когда же величина вектора к почти совпадает с одним из векторов обратной решетки, т.е. когда (к + Ь)2 — к2 или (kb) = —62/2 происходит брэгговское рассеяние и распространение плоской волны с данным к невозможно. Это условие определяет плоскость в ^-пространстве и указывает на способ построения зоны Бриллюэна: из данного узла обратной решетки надо провести векторы ко всем узлам и через середины этих векторов провести перпендикулярные им плоскости. Многогранник минимального объема, ограниченный этими плоскостями, называется ячейкой Вигнера-Зейтца и соответствует первой зоне Бриллюэна.
494
Если рассматривать одномерный случай, то при к = ± (пл/а) волновая функция электрона является суммой падающей и отраженной плоских волн. В зависимости от сдвига фаз при отражении получаем две стоячие волны: sin кх или cos кх. Эти волны отличаются распределением плотности веро-
ятности нахождения электрона в решетке: одна максимальна в области узлов решетки, другая — между ними (отметим, что в случае плоской волны плотность вероятности везде одинакова). Это приводит к тому, что при к = ± (пл/а) мы имеем две различающиеся по знаку добавки к энергии электрона и спектр терпит разрыв. На границах зон Бриллюэна возникают щели в спектре и парабола «разбивается» на ряд энергетических полос энергетических зон (рис. 256). На границах зоны Бриллюэна групповая скорость электрона обращается в нуль, так как мы имеем дело со стоячей волной. В двумерном и трех
электрона в модели почти свободных электронов. Одномерный случай
мерном случаях на границах зоны
Бриллюэна должна зануляться нормальная компонента групповой скорости электрона (при условии, что имеется плоскость зеркальной симметрии параллельная этой границе).
Приближение сильной связи
В этом подходе рассматривается другой предельный случай — в нулевом приближении электроны локализованы на своих атомах и их волновые функции не перекрываются. При учете слабого перекрытия потенциальная энергия
электрона в кристалле видоизменяется (рис. 257) иэлектрон получает возможность протуннелировать через барьер и перейти на соседний атом. Отметим, что это туннелирование отличается от задачи, например, об а-распаде. Там первоначальное стационарное состояние становится нестационарным за счет ухода а-частицы на бесконечность. При этом уровень приобретает конечную ширину. В кристалле же, состоящем из N атомов, состояние электрона остается стационарным и происходит расщепление первоначально JV-кратно вырожденного атомного уровня на N подуровней.
Рассмотрим сначала задачу о двух
обозначен потенциал V (г) изолированного атома; сплошной — кристаллический потенциал 1/(г) вдоль двух соседних узлов решетки
симметрично расположенных одномерных ямах. При слабом перекрытии волновых функций решение уравнения Шредингера можно искать в виде линейной комбинации решений для изолированных ям ф = ciipi + С2ф2-В силу симметрии потенциала ci = ± С2. Рассмотрим поведение полной волновой функции на стенках ям, обращенных друг к другу. Для четного
решения ее кривизна уменьшается, а для нечетного — увеличивается. Поскольку рх = — th (д/дх), то это означает, что для четного решения кинетическая энергия уменьшится, а для нечетного — увеличится. По
495
этому четный уровень опустится относительно исходного, а нечетный — поднимется. В результате вместо двух вырожденных состояний мы получим два расщепленных невырожденных (рис. 258). Можно также говорить, что при объединении ям область локализации электрона для четного решения увеличилась (вероятность обнаружить его между ямами стала больше), а для нечетного — уменьшилась. Иногда говорят, что изменилась эффективная ширина ям. Согласно соотношению неопределенностей изменение области локализации ведет к изменению кинетической энергии — делокализация энергетически выгодна. Расчет показывает, что величина расщепления пропорциональна \Td, где D — коэффициент туннелирования через барьер. Такую зависимость можно качественно объяснить тем, что поскольку волновая функция электрона является суперпозицией состояний в отдельных ямах, то для попадания в соседнюю яму электрону достаточно преодолеть только половину расстояния между ямами, (см. задачу 3.1) При рассмотрении задачи об N ямах волновая функция электрона ищется в виде линейной комбинации атомных волновых функций, причем коэффициенты этой комбинации подбираются такими, чтобы полная волновая функция имела блоховский вид. В результате ДЛЯ ИСХОДНЫХ s-СОСТОЯНИЙ С ВОЛНОВЫМИ функциями фат (Г) с энергией <оат можно получить следующее выражение для закона дисперсии электронов:
<S(k) = <§ат — С — 2 A(r)exp(zkr„). п
Рис. 258. Схема образования симметричного (а) и антисимметричного (б) состояний электронов при сближении изолированных потенцильных ям
Здесь С =	| фат (г) |2 [ С/ (г) — V (г) ] dV > 0 — разность энергий электро-
на в поле решетки V(г) и изолированного атома U (г) (интеграл перекрытия на одном атоме); А(г) = фат(г) [(/ (г) — У (г — гп) ] фат(г — rn) dV > 0 — интеграл перекрытия с другими атомами (интеграл переноса). Т.о. в кристалле атомные уровни сначала понижают свою энергию (за счет слагаемогоС), а затем расщепляются в зону (за счет слагаемого с А).
В приближении ближайших соседей A(rn) =А = const мы получаем: а) для простой кубической решетки
<о(к) = <оат — С — 2А (cos кха + cos куа + cos Kza),
496
б) для объемноцентрированной кубической решетки
<S	(К) = <£ат - С - 8А cos cos cos
в) для гранецентрированной кубической решетки
а) приближение сильной свзяи; б) приближение почти свободных электронов
На рис. 259 в качестве иллюстрации приведены изоэнергетические линии в приближении сильной связи (а) и приближении почти свободных электронов (б).
497
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
1.	Фундаментальные физические константы
Постоянные СИ
£0 = 8,854-10-12 Ф/м; 1/4ле0 % 9 -109 м/Ф
Цо — 4л-10-7 = 12,566-10-7 Гн/м
Скорость света в вакууме
с = 2,9979-Ю10 см/с
Постоянная Планка
ft = 6,6261 -10-27эрг-с; Й = А= 1,0546-10-27 эрг-с
Гравитационная постоянная
у = 6,6726  10-8 дин • см2/г2 = 6,6726 • 10-11 Н • м2/кг2
Постоянная Больцмана
кь = к= 1,3807-10-16 эрг/К » 0,8617-10-10 МэВ/К
Постоянная Авогадро
А А = 6,0221 - О23 моль-1
Универсальная газовая постоянная
R = 8,3145-107 эрг/ (моль-К) = 8,3145 Дж/ (моль-К)
Постоянная Стефана-Больцмана
о = -^4-л = 5,6705-10“5 —= 5,6705-10-8 60Й с	с • см2 • К4
Вт
2 „4
м К
Постоянная в законе смещения Вина b = ХшахТ1 = 0,2898 см-К
Элементарный заряд
е = 4,8032- 1О“10 ед. СГСЭ = 1,60218-10-19 Кл
Электрон-вольт
1 эВ = 1,60218-10-12 эрг
Температура, соответствующая 1 эВ Тэв = 11 606 К
Атомная единица массы
1 а. е. м. = 1,66054-10-24 г (931,494 МэВ)
498
Квант магнитного потока (сверхпроводящий)
Ф&П =	= 2,0678• 10-7 Гс-см2
2е
Квант холловского сопротивления
Ro = Д = 25812,806377 Ом
е2
Магнетон Бора
цБ =	= 0,92740- 1О~20 эрг/Гс
2тес
Ядерный магнетон
Ряд =	= 0,50508-10"23 эрг/Гс
2трс
Постоянная тонкой структуры
2
а = 4- = 7,2973 -10~3 =
ПС
1
137,036
Постоянная Ридберга 4	2
d _ те _ а IX ао — -5------
4лЙ С 4лЛе
109737,31 см-1
Боровский радиус
П = Ду = — = 0,52918-10“8 см те1 а
Атмосфера стандартная
1 атм = 101325 Па = 1,01325-106 дин/см2
Объем моля идеального газа при номальных условиях (Р — 101325 Па;
7 = 273,15 К)
Умол = 22,4141 л/моль
Ускорение силы тяжести
g = 9,80665 м/с2
Электрон
Масса
ще = 9,10939 • 10—28 г
тес2 = 0,511 МэВ
Удельный заряд
— = -5,2728-1017 ед СГСЭ = - 1,7588-1011 Кл/кг те
Комптоновская длина волны
Ле = — = 3,8616-10-11 см; Ле = — = 2,4263- 1О“10 см тес	т&с
Классический радиус
2
Гкл = -Ц = 2,8179-10'13 см
т&с
499
Протон
Масса
mp = 1,6726-10 24 г = 1,007276 а. е. м.
трс2= 938,272 МэВ
Отношение массы протона к массе электрона
= 1836,1527
те
Удельный заряд
= 2,8716-1014 ед. СГСЭ = 9,5788-107 Кл/кг
Комптоновская длина волны
Ар = — = 2,103-10-14 см; Ар = —= 1,3214-10“13 см
н т-рС	р трс
Магнитный момент
цр = 2,7928-Цяд = 1,4106- Ю-23 эрг/Гс
Нейтрон
Масса
тп = 1,6746-10-24 г = 1,00866 а. е. м.
тпс2 = 939,565 МэВ
Отношение массы нейтрона к массе протона
— = 1,001378
Шр
Комптоновская длина волны
Ап= —=0,210-10-13 см; Ап= — = 1,31959-10-13 см mnc	тпс
Магнитный момент
Цп = —1,9130-Цяд = -0,9662-10-23 эрг/Гс
2.	Некоторые астрофизические постоянные и единицы
1 год — 3,1557-107 с,
1	св. год = 9,46053-1017 см,
1	а. е. = 1,496-1013 см
Солнце
Масса Солнца
МС = 1,989-1033 г,
Радиус Солнца
Rc = 6,96-1010 см,
Средняя плотность Солнца
рс = 1,409 г/см3
500
Угловой диаметр Солнца на среднем расстоянии от Земли ас = 31'59,26" «г 0,0093 рад.
Температура поверхности Солнца (эффективная температура)
Тс = 5110 К
Энергия, излучаемая Солнцем в 1 с, или светимость Lc = 3,826-1033 эрг/с = 3,826 • 1026 Вт
Солнечная постоянная (плотность потока излучения Солнца на среднем расстоянии от Земли до Солнца вне атмосферы Земли)
JC= 1,373-106 эрг/(с-см2) = 1373 Вт/м2
Земля и Луна
Средняя
Среднее
Среднее
Масса Земли
/Из = 5,974-1027 г
Средний радиус Земли
R3 = 6,378-108 см = 6378 км
плотность Земли
рЗ = 5,517 г/см3
расстояние от Земли до Солнца
L3 = 1 а. е. = 1,496-1013 см = 1,496-108 км
расстояние от Земли до Луны
£Л = 3,844- 1О10 см = 3,844-105 км
Средняя скорость движения Земли по орбите
«3 = 29,79 км/с = 2,979- 10б см/с
Угловая скорость вращения Земли
СОЗ = ^= 7,272-10"5 с-1
Тз
Первая и вторая космичесикие скорости
V1 = '^’^3 = \/gR3 = 7,91 • 105 см/с = 7,91 км/с.
t>2 = VTvt = 11,19 • 105 см/с = 11,19 км/с.
Масса Луны
/Ил = 7,350-1025 г
Средняя плотность Луны рд = 3,341 г/см3
Средний радиус Луны
Ял = 1,7382-108 см = 1738,2 км
Период обращения Луны вокруг Земли
Тл — 29,531 сут
501
Планеты
Планета	Большая полуось, а. е.	Орбитальный период	Период вращения	Масса в Л/з	Радиус в Лз	Средняя плотность, г/см3	Ускорение своб. падения на поверхности, см/с2	Альбедо*)
Меркурий	0,387	87,97 сут.	58,7 сут	0,055	0,382	5,4	370	0,06
Венера	0,723	224,7 сут.	243,0 сут	0,815	0,949	5,3	887	0,75
Земля	1,0	365,256 сут.	23,9 ч	1,0	1,0	5,5	980	0,36
Марс	1,52	1,88 года	24,6 ч	0,107	0,533	3,9	370	0,24
Юпитер	5,20	11,9 года	9,92 ч	318,0	11,2	1,3	2490	0,50
Сатурн	9,54	29,5 года	10,7 ч	95,2	9,45	0,7	1050	0,76
Уран	19,2	84,0 года	23,9 ч	14,6	4,10	1,2	852	0,62
Нептун	30,1	165,0 лет	17,8ч	17,2	3,88	1,6	1117	0,50
Плутон	39,4	248,0 лет	6,39 сут	~ 0,002	~ 0,24	0,8	~ 300	0,09
*) Альбедо — отношение количества света, отраженного поверхностью планеты, к количеству падающего на нее света
3.	Соотношение некоторых физических величин в СИ и СГСЭ
Длина	А, 1	метр(м)	102 см
Масса	т	килограмм (кг)	103г
Время	t	секунда (с)	1 с
Сила	F	ньютон (Н)	105 дин
Работа, энергия	А, (s>	джоуль (Дж)	107 эрг
Мощность	N, W	ватт (Вт)	107 эрг/с
Давление	Р
Плотность потока энергии	i
Сила электрического тока	S
Электрический заряд	Q> Я
Электрический потенциал, напряжение	<р, V
Напряженность электрического поля	Е
Электрическая емкость	С
Электрическое сопротивление	R
Удельной электрическое сопротивление	Р
Электрическая проводимость	Л =
Удельная электрическая проводимость	о = 1
Магнитный поток	Ф
Магнитная индукция	В
Напряженность магнитного поля	н
Индуктивность	L
Намагниченность	I, М
Вектор поляризации	Р
Электрическое смещение (индукция)	D
	паскаль (Па)	10 дин/см2
	(Вт/м2)	103 эрг/(с-см2)
	ампер (А)	3-109ед. СГСЭ
	кулон (Кл)	3-109ед. СГСЭ
	вольт (В)	wед-СГСЭ
	(В/м)	1-10-4 ед. СГСЭ
	фарада (Ф)	9-1011 ед. СГСЭ
	ом (Ом)	1-10~н с/см
	(Ом-м)	Ью-9с
/R	сименс (См)	9 • 1011 см/с
/р	(См/м)	9-loV1
	вебер (Вб)	8	2	1 10 Гс-см (максвелл) |
	тесла (Тл)	104Гс
	(А/м)	4л-10~3Э (эрстед)
	генри (Гн)	109 см
	(А/м)	-J--104 Гс (гаусс)	I 4я	|
	(Кл/м2)	3-105ед. СГСЭ	|
	(Кл/м2)	12л-105 ед. СГСЭ	|
4. Лептоны
Все лептоны — фермионы. Нейтрино имеют только отрицательную спиральность (левоспиральные частицы), а антинейтрино — только положительную (правоспиральные),*)
Поколение	Частица	Символ		Масса, МэВ	Время жизни т	Лептонный заряд			Преобладающая схема распада
		Частица	Античастица			Le			
I	электрон	е"	е+	0,511	>4,3-1023 лет	+1	0	0	—
	электронное нейтрино	ve	ve	<(2 4- 2,5) эВ	> 300 — пг*	эВ	+1	0	0	—
II	мюон		ц+	105,658 207,767/Не	2,197-10бс	0	+1	0	е- ve v„
	мюонное нейтрино	V и	'’и	< 0,17	— > 15,4-2- ПЬе	эВ	0	+1	0	—
III	таон	т~	т +	1777,0	0,290-10"12 с	0	0	+1	vx; е~ ve vx
	таонное нейтрино			< 18,2	?	0	0	+1	—
*) Спиральностью частицы называется косинус угла между векторами спина и импульса частицы. Для ультрарелятивист-ских фермионов спиральность может принимать только два значения: ± 1.
5.	Кварки
Все кварки — фермионы (спин 1/2), с барионным зарядом 1/3. Антикварки имеют квантовые числа с противоположными знаками.
Поколение	Название	Символ	Электр, заряд, ед. e	«Токовая» масса	Проекция изоспина, /3	Заряд				Блоковая масса (в составе адрона), ГэВ
						С	S	t	ь	
I	верхний (up)	u	+ 2/3	1,5—4 МэВ	+ 1/2	0	0	0	0	0,33
	нижний (down)	d	-1/3	4—8 МэВ	-1/2	0	0	0	0	0,33
II	очарованный (charm)	С	+ 2/3	1,1 —1,4 ГэВ	0	+1	0	0	0	1,8
	странный (strange)	s	-1/3	80—130 МэВ	0	0	-1	0	0	0,51
III	t-кварк (top)	t	+ 2/3	174,3 ±5,1 ГэВ	0	0	0	+1	0	*)
	b-кварк (bottom)	b	-1/3	4,1—4,4 ГэВ	0	0	0	0	-1	5,0
*) t — кварк имеет такое малое время жизни, что он распадается до образования t — адронов, поэтому блоковой массы не имеет. Токовая масса t — кварка 174,3 ±5,1 ГэВ.
6.	Адроны
Частица	Кварковый состав	Масса, МэВ	Время жизни, с	П реобладающие каналы распада	
Мезоны					
71“	(ud); (du)	139,567	2,603-10-8	л+ -»p + v(1	
л°	(uu — ddJ's/T	134,976	8,4-10-17	л° -♦ 2-/	
К*	(US); (US)	493,677	1,239-10~8	К+ч	’ L+ -„о л л
К0	(ds)	497,672	К§: 0,893-Ю-10 к£: 5,17-10~8	к§- к£--	а <*> а а 'у ‘у ’ + s 1+ н- а а а	° 7= «	а + । +i	+| 4= а м	-е	1 ; О	₽ а
D*	(cd); (Ed)	1869,3	1,057-10-12	D+-»-	V — -ГТ + 1, + КПП К0 е+ ve К0 ц+ v^
D°	(СЙ)	1864,5	4,15-10-13	D+-»-	Е +<D 1	1 О
Ds* (был F*)	(cs); (cs)	1968,5	4,67-10-13	Множество почти равновероятных каналов	
В*	(ub); (ub)	5278,9	1,65-10~12	«	
В0	(db)	5279,2	1,56-10~12	«	
Пс(1«)	(cc)	2979,8	полная ширина Г = 13,2 МэВ	«	
J/ip(ls)	(cc)	3096,9	полная ширина Г = 87 МэВ	«	
Y(ls)	(bb)	9460,4	полная ширина Г = 52,5 кэВ	<<	
506
Частица	Кварковый состав	Масса, МэВ	Время жизни, с	Преобладающие каналы распада		
Барионы (нуклоны и гипероны)						
Р	(uud)	938,27231	> 1,6-1025 лет	—		
И	(udd)	939,56563	887	и -> р е- ve		
А°(Л)	(uds)	1115,68	2,632- 1О-10	Л°->		1 Р Л. л°
s+	(uus)	1189,37	7,99-10—11			р л° п л+
2°	(uds)	1192,65	7,4- 1О-20	S°-»A v		
2Г	(dds)	1197,44	1,479-Ю-10	S- -»п л-		
-0	(uss)	1314,9	2,90- 1О~10	н'О * „о с, —» Л л		
	(dss)	1321,32	1,639-Ю-10	Е-*Лл"		
й°	(sss)	1672,45	8,22-10-11	й--»-		ч [ ° *о *1 Ч
Лс+	(udc)	2284,9	2,06-10-13	Лс+-»	р К л+ Л л+ л+ л-	
	(ddc)	2452,1	?	S?-A? л~		
1—'с"	(use)	2465,6	3,5-10~13	77 +	ЛК л+ л+ ^0 V- — + _ + К Л Л	
-0 —с	(dsc)	2470,3	0,98-10-13	ттО-х ь-С	о * + В 1 1 Ш а.	
й?	(ssc)	2704	0,064-10-12	1 'J + м t Oq I а		
Ag	(udb)	5624	1,24-10-12	АВ -♦ Л? е ve		
507
7.	Масса некоторых нейтральных атомов (в а. е. м. за вычетом энергии связи электронов) и энергия связи ядер.
Ядра	Мат(а. е. м.)	<£Св (МэВ)
1H	1,00782522	—
?H	2,01410222	2,2
1H	3,01604971	8,5
2He	3,01602968	7,7
2He	4,0026033	28,3
3Li	6,0151232	32,0
3L1	7,0160044	39,2
3Li	8,0224874	41,3
4Be	7,0169295	37,6
4 Be	8,0053052	56,5
iBe	9,0121829	58,2
‘°в	10,0129385	64,7
"в	11,009305	76,2
"с	11,011431	73,4
!бС	12,000000	92,2
!бС	13,003354	97,1
‘бС	14,003242	105,3
137n	13,005739	94,1
14кт 7n	14,003074	104,7
15.т 7n	15,000108	115,5
Х8О *80 *8©	15,003072 15,994915 16,999133	111,9 127,6 131,8
	18,000950	137,4
	18,998405	147,8
20f 9f	19,999985	154,4
20 KI i0Ne	19,992440	160,6
23кт nNa	22,989773	186,6
24.. 12Mg	23,985044	198,3
12A1	26,981535	225,0
i4Si	27,976927	236,5
15P	30,972074	262,9
32c 16^	31,972074	271,8
17C1	34,968854	398,2
17C1	36,965896	317,1
18°Ar	93,362384	343,8
39v 19K	38,963714	333,7
282₽Ь	207,97664	1636,4
292U	234,04090	1778,6
292U	235,04393	1783,8
“iu	238,05076	1801,7
8.	Дебаевская температура и плотность некоторых элементов и соединений
Вещество	е, к	/ з р, г/см
алмаз	2250	3,25 + 3,50
алюминий	433	2,6889
аргон (тв.)	92	1,40 (при 87,15 К)
берилий	1481	1,848
пара-водород	122	0,0708 (жидк. при 20,37 К)
508
Вещество	е, К	/ 3 р, г/см
вольфрам	383	19,35
германий (крист)	373	5,323 (при 25°С)
графит	413	1,9 4-2,3
орто-дейтерий	114	1,104 (тяжелая вода D2O)
диспрозий	183	8,550
железо	477	7,874
золото	162	19,32
индий	112	7,31
иттербий	118	6,965
кадмий	210	8,65
калий	91	0,862
кальций	229	1,55
а-кислород	126	1,14 (жидк. при 90,25 К)
кобальт	460	8,90
кремний (крист)	645	2,33 (при 25°С)
криптон	72	2,155 (жидк. при 120 К)
ксенон	64	3,52 (жидк. при 164,15 К)
литий	344	0,534
магний	403	1,738
марганец	409	7,21-7,44
медь	347	8,96
молибден	423	10,22
мышьяк (крист)	282	5,73
натрий	156	0,971
неон	75	2,205 (жидк. при 27,15 К)
никель	477	8,91
олово	199	5,85 (серое, а)
платина	237	21,45
ртуть	72	13,5461 (жидк.)
свинец	105	11,336
селен (крист)	152	4,79
серебро	227	10,50
титан	420	4,505
уран	248	19,040
хром	606	7,18 4-7,20
цинк	329	7,133
GaAs	345	5,35
КВг	174	2,76
КС1	230	1,99
NaCl	275	2,165 (при 25°С)
509
9.	Электронные параметры ряда металлов, вычисленные в модели свободных электронов
[Все значения приведены для комнатной температуры, за исключением Na, К, Rb,, Cs (при 5 К) и Li (при 78 К)]
Пояснение: Концентрация электронов N/V определяется произведени-ем валентности металла на число атомов в 1 см . Если выражать кр в см , О
vf — в см/с, V — в см , то получим следующие соотношения: = = (Зл2А/Г)1/3 = (29,609/V/V)1/3; up = hk^/m = \,\51ку, eF = mvf/2, или, если ер выразить в эВ, то гр (эВ) = 0,284- 10~15vi; Гр (К) = 1,16 - 104ер(эВ).
Валентность	Металл	Концентрация электронов	7 s о сч сч О $	Волновой вектор Ферми	7 S о оо О	Скорость Ферми VF, Ю8 см/с	Энергия Ферми гр,эВ	Температура Ферми	'о и СО II
1	Li	4,70		1,11		1,29	4,72	5,48	
	Na	2,65		0,92		1,07	3,23	3,75	
	К	1,40		0,75		0,86	2,12	2,46	
	Rb	1,15		0,70		0,81	1,85	2,15	
	Cs	0,91		0,64		0,75	1,58	1,83	
	Си	8,45		1,36		1,57	7,00	8,12	
	Ag	5,85		1,20		1,39	5,48	6,36	
	Au	5,90		1,20		1,39	5,51	6,39	
2	Be	24,20		1,93		2,23	14,14	16,41	
	Mg	8,60		1,37		1,58	7,13	8,27	
	Ca	4,60		1,И		1,28	4,68	5,43	
	Sr	3,56		1,02		1,18	3,95	4,58	
	Ba	3,20		0,98		1,13	3,65	4,24	
	Zn	13,10		1,57		1,82	9,39	10,90	
	Cd	9,28		1,40		1,62	7,46	8,66	
3	Al	18,06		1,75		2,02	11,63	13,49	
	Ga	15,30		1 65		1,91	10,35	12,01	
	In	11,49		1,50		1,74	8,60	9,98	
4	Pb	13,20		1,57		1,82	9,37	10,87	
	Sn (бел)	14,48		1,62		1,88	10,03	11,64	
10.	Некоторые свойства полупроводников
	Ширина запрещенной зоны, эВ		Постоянная решетки а, А	Эффективная масса	
	А (0 К)	А (300 К)		* т_ — — электрон ГПе	* "1+ — - дырка Ше
Si	1,166	1,Н	5,43	0,98(||) 0,19( -L)	0,52
Ge	0,744	0,664	5,66	1,58(||) 0,08(±)	0,3
GaAs	1,520	1,43	5,653	0,07	0,5
InSb	0,235	0,17	6,4787	0,0133	0,18
CdSe	1,85	1,74	а- 4,499 с: 7,010	0,13	2.5(||) 0,4(±)
PbSe	0,15	0,26	6,124	0,07(||) 0,039(4-)	0,06(||) 0,03(±)
PbTe	0,19	0,29	6,460	0,24(||) 0,22(±)	о.з(Ц) 0,02(±)
здесь а и с — оси рештки; || — вдоль оси элипсоида; ± — перпендикулярно его оси.
11.	Значения некоторых определенных интегралов
00 и	хпе~х	dx =			/л	1
					, п = •
					2	2
0 00 2- s	хпе~х	2 d>	=		т!, п > 0, целое. -2“, п = 0; 1 (п~ Цт —j— !> п~ Целое нечетное;
0 а			0,2' 1.1!		VT 1 • 3-5-... • (и — 1) 2	2л/2 25, а = 1; а = 2:
ч 0	х dx ех — 1	= •	2,56, а = 3; 4,91, а = 5;		
00 ч 0	хп dx ех — 1	= 	6,43, а = 10. 2,31, П = 1/2; л2/6 п = 1; 2,405, п = 2; л4/15, П = 3;		
			24,9, п = 4.		
511
Учебное пособие
ОВЧИНКИН Владимир Александрович
РАЕВСКИЙ Александр Осипович
ЦИПЕНЮК Юрий Михайлович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Часть 3. Атомная н ядерная физика. Строение вещества.
Компьютерная верстка В. П. Нагирный
Художники М. В. Ивановский, В. П. Нагирный
Подписано в печать 30.06.2009. Формат 60x88/16.
Усл. печ. л. 31,3. Уч.-изд. л. 33,8. Печать офсетная. Бумага офсетная № 1.
Тираж 3000 экз. Заказ № 1158.
Издательство «Физматкнига»
141700, г. Долгопрудный Московской обл, Институтский пер., д. 66
Тел.: (495) 410-24-63, тел./факс 408-76-81
E-mail: publishers@mail.mipt.ru
Интернет-магазин литературы по фундаментальным и прикладным наукам
www.fizmatkniga.ru
Отпечатано в ППП Типография «Наука» АИЦ «Наука» РАН.
121099, Москва Г-99, Шубинский пер., д. 6
Периодическая система элементов Д. И. Менделеева
		I		III	IV	V	VI	VII		VIII	
I	1	Н	1 1,00797 ВОДОРОД									2 Не 4,002602 ГЕЛИЙ
II	2	Li	3 6,941 ЛИТИЙ	Be 4 9,01218 БЕРИЛЛИЙ	5 в 10,811 БОР	6	С 12,011 УГЛЕРОД	7 N к 0067 АЗОТ	8	О 15,9994 КИСЛОРОД	9	F 18,998403 ФТОР			10 Ne 20,197 НЕОН
III	3	Na 11 22,98977 НАТРИЙ	Мд 12 24,305 МАГНИЙ	13 А1 26,98154 АЛЮМИНИЙ	14	Si 28,0855 КРЕМНИЙ	15	р 30Г376 фосоор	16	S 32,066 СЕРА	17	С1 35,453 ХЛОР			18 Аг 39,948 АРГОН
TV	4	К	9 39,0983 КАЛИЙ	Са 20 40,078 КАЛЬЦИЙ	Sc 21 44,95591 СКАНДИЙ	Ti	22 47,88 ТИТАН	V	2 50,9415 ВАНАДИЙ	Сг	24 51,9961 ХРОМ	Мп 25 54,9380 МАРГАНЕЦ	Fe 26 55,847 ЖЕЛЕЗО	Со 27 58,9332 КОБАЛЬТ	Ni 28 58,69 НИКЕЛЬ
	5	29 Си 63,546 МЕДЬ	30 Zn 65,39 ЦИНК	31 Ga 69,723 ГАЛЛИЙ	32 Ge 72,59 ГЕРМАНИЙ	33 As 7-9216 Mb МЯК	34 Se 78,96 СЕЛЕН	35 Вг 79,904 БРОМ			36 Кг 83,80 КРИПТОН
V	6	Rb 37 85,4678 РУБИДИЙ	Sr	38 87,62 СТРОНЦИЙ	Y	39 88,9059 ИТТРИЙ	Zr	40 91,224 ЦИРКОНИЙ	Nb 41 92.9064 НИОБИЙ	Мо 42 95,94 МОЛИБДЕН	Тс 43 97,9072 ТЕХНЕЦИЙ	Ru 44 101,07 РУТЕНИЙ	Rh 45 102,9055 РОДИЙ	Pd 46 106,42 ПАЛЛАДИЙ
	7	47 Ад 107.8682 СЕРЕБРО	48 Cd 112,41 КАДМИЙ	49	In 114,82 ИНДИЙ	50 Sn 118,710 ОЛОВО	51 ' Sb 71 75 CiMMA	52 Те 127,60 ТЕЛЛУР	53	J 126.9045 ИОД			54 Хе 131,29 КСЕНОН
VI	8	Cs 55 132,9054 ЦЕЗИЙ	Ва 56 137,33 БАРИЙ	57-71 La-Lu	Hf 72 17849 ГАФНИЙ	Та 180,9479 ТАНТАЛ	W 74 183,85 ВОЛЬФРАМ	Re 75 186,207 РЕНИЙ	Os 76 190,2 ОСМИЙ	1г	77 192,22 ИНДИЙ	Pt	78 195,08 ПЛАТИНА
	9	79 Аи 196,9665 ЗОЛОТО	80 Нд 200,59 РТУТЬ	81	Т1 204,383 ТАЛЛИЙ	82 РЬ 207,2 СВИНЕЦ	83 Bi 203 3804 ВИСМУТ	84 Ро 208,9824 ПОЛОНИЙ	85 At 209,9871 АСТАТ			86 Rn 222,0176 РАДОН
VII	10	Fr	87 223,0197 ФРАНЦИЙ	Ra 88 226,0254 РАДИЙ	89-103 Ac-(Lr)	Rf 104 [261] РЕЗЕРФОРДИЙ	Db	5 [262] ДУБНИЙ	Sg 106 [266] СИБОРГИЙ	Bh 107 [267] БОРИЙ	Hs 108 [269] ГАССИЙ	Mt 109 [268] МЕЙТНЕРИЙ	Ds 110 [271] ДАРМШТАТИЙ 	
	11	Rg 111 [272] РЕНТГЕНИЙ									
	La 57	Се 58	Рг 59	Nd 60	Рт 61	Sm 62	Ей 63	Gd 64	ТЬ 65	Dy 66	Но 67	Ег 68	Тш 69	Yb 70	Lu 71
Лантаноиды	138,9055	140115	140,90765	144,24	144,9127	150,36	151,965	25	158,92534	162,50	164,93032	167,26	168,9342	173,04	174,967
	ЛАНТАН	ЦЕРИЙ	ПРАЗЕОДИМ	НЕОДИМ	ПРОМЕТИЙ	САМАРИЙ	ЕВРОПИЙ	2ЧДОЛИНИЙ	ТЕРБИЙ	ДИСПРОЗИЙ	ГОЛЬМИЙ	ЭРБИЙ	ТУЛИЙ	ИТТЕРБИЙ	ЛЮТЕЦИЙ
	Ас 89	Th 90	Ра 91	и 92	Np 93	Ри 94	Ат 95	Ст 96	Вк 97	Cf 98	Es 99	Fm 100	Md101	No 102	Lr 103
Актиноиды	227,0278	232,0381	231,03588	238,0289	237,0482	244,0642	234,0614	247 0703	247,0703	242,0587	252,083	257.0951	258,10	259,1009	260,105
	АКТИНИЙ	ТОРИЙ	ПРОТАКТИНИЙ	УРАН	НЕПТУНИЙ	ПЛУТОНИЙ	АМЕРИЦИЙ	£ЮРИЙ	БЕРКЛИЙ	КАЛИФОРНИЙ	ЭЙНШТЕЙНИЙ	ФЕРМИЙ	МЕНДЕЛЕВИЙ	НОБЕЛИЙ	ЛОУРЕНСИЙ