СВАН' ЖРИС
ТЪюрцящбпсфужения, щ
оценок
нмодуляцни
Том 3

Г ВАН ТРЙС
Теория обнаружения,
оценок
и модуляции
ТОМ ТРЕТИЙ
ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
В РАДИО- И ГИДРОЛОКАЦИИ
И ПРИЕМ СЛУЧАЙНЫХ
ГАУССОВЫХ СИГНАЛОВ
НА ФОНЕ ПОМЕХ
*
Перевод с английского В, В. Липьяйнена
под редакцией проф. В. Т. ГОРЯИНОВА
МОСКВА „СОВЕТСКОЕ РАДИО" 1977

Detection, Estimation,
and
Modulation Theory
PARI III
Radar-Sonar Signal Processing
and Gaussian Signals in Noise
Harry L. Van Trees
Massachusetts Institute of
Technology
John Wiley and Sons, Inc.
New York - London • Sydney • Toronto

УДК 621.391.278
Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции.
Том III. Обработка сигналов в радио- и гидролокации и прием
случайных гауссовых сигналов на фоне помех. Нью-Йорк,
1971. Пер. с англ. Под ред. проф. В. Т. Горяинова. М., «Сов.
радио», 1977, 664 с.
В третьем томе монографии «Теория обнаружения,
оценок и модуляции» обстоятельно и методически
последовательно рассмотрены теоретические и практические вопросы
приема случайных гауссовых сигналов на фоне нормального
стационарного белого шума и оптимальной обработки
сигналов в радио- и гидролокации и в системах передачи
дискретной информации по каналам связи с переменными
параметрами, а также развиты основные положения теории
обнаружения, различения и оценок, которые были изложены
в т. I.
Книга содержит оригинальные и полезные сведения
по практической реализации различных систем радио- и
гидролокации и систем передачи дискретной информации
по каналам связи и построению оптимальных и
субоптимальных приемников при наличии целей или каналов с
рассеянием по частоте, дальности или одновременно и по частоте,
и по дальности. Достоинством книги является то, что синтез
и анализ широкого класса оптимальных и субоптимальных
устройств обнаружения, различения и оценки параметров
выполнен на высоком научном уровне и с единых позиций.
Книга представляет интерес для научных работников,
аспирантов и инженеров, специализирующихся в области
систем передачи информации, радио- и гидролокации, а также
для студентов соответствующих специальностей.
Табл. 13 рис. 211 библ. 373 назв.
Редакция литературы
по вопросам космической радиоэлектроники
В 046 (01)-77 БЗ-М-7?
© Перевод на русский язык. Издательство «Советское
радио», 1977 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу 10
Предисловие к английскому изданию 13
Список литературы 16
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 17
1.1. Обзор первого и второго томов 17
1.2. Случайные сигналы на фоне шума 19
1.3. Обработка сигналов в радио- и гидролокационных системах 22
Список литературы 24
Глава 2. ОБНАРУЖЕНИЕ ГАУССОВЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ БЕЛОГО
ГАУССОВА ШУМА 25
2.1. Оптимальные приемники 26
2.1.1. Каноническая реализация № 1: приемник в виде
оценивателя-коррелятора 32
2.1.2. Каноническая реализация № 2: приемник в виде
фильтра-коррелятора 34
2.1.3. Каноническая реализация №3: приемник в виде
фильтра-квадратора-интегратора 35
2.1.4. Каноническая реализация № 4: приемник в виде
оптимального реализуемого фильтра 37
2.1.5. Каноническая реализация № 4S: реализация в
переменных состояния 42
2.1.6. Краткие итоги § 2.1 . 49
2.2. Помехоустойчивость оптимальных приемников 49
2.2.1. Выражение для \i (s) в замкнутой форме .... 53
2.2.2. Приближенные выражения для вероятностей ошибок 56
2.2.3. Другое выражение для \iR (s) 60
2.2.4. Помехоустойчивость типичной системы 63
2.3. Краткие итоги главы 65
2.4. Задачи 67
Список литературы 74
Глава 3. ОБЩАЯ БИНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБНАРУЖЕНИЯ: ГАУССОВЫ
ПРОЦЕССЫ 76
3.1. Классификация моделей и задач 76
3.2. Структурные схемы оптимального приемника 79
3.2.1. Метод выбеливания 79
3.2.2. Различные реализации испытания отношения
правдоподобия 82
3.2.3. Краткие итоги § 3.2 86
3.3. Помехоустойчивость оптимального приемника 86
3.4. Частные случаи 89
3.4.1. Бинарный симметричный случай 90
3.4.2. Ненулевые средние 93
5

3.4.3. Задачи со стационарными полосовыми процессами,
симметричными относительно несущей 95
3.4.4. Вероятность ошибки для бинарной симметричной
полосовой задачи 98
3.5. Общий бинарный случай: белый шум не обязательно
присутствует 101
3.5.1. Синтез оптимального приемника 101
3.5.2. Помехоустойчивость оптимального приемника:
общий бинарный случай 104
3.5.3. Невырожденные и вырожденные критерии 105
3.6. Краткие итоги главы ПО
3.7. Задачи 113
Список литературы 120
Глава 4. ЧАСТНЫЕ КАТЕГОРИИ ЗАДАЧ ОБНАРУЖЕНИЯ 122
4.1. Стационарные процессы, большое время наблюдения . . 122
4.1.1. Простая бинарная задача 123
4.1.2. Общая бинарная задача 134
4.1.3. Итоги рассмотрения задачи СПБВН 143
4.2. Разложимые ядра 144
4.2.1. Модель задачи с разложимым ядром 144
4.2.2. Разнесение во времени 147
4.2.3. Разнесение по частоте 151
4.2.4. Краткие итоги § 4.2 154
4.3. Случай когерентного обнаружения слабых сигналов . . 154
4.4. Краткие итоги главы 161
4.5. Задачи 162
Список литературы 170
Глава 5. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ГАУССОВЫХ СИГНАЛОВ
И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ 171
5.1. Родственные вопросы . . 171
5.1.1. Многоальтернативное обнаружение гауссовых
сигналов в шуме 171
5.1.2. Субоптимальные приемники 175
5.1.3. Адаптивные приемники 180
5.1.4. Негауссовы процессы 180
5.1.5. Векторные гауссовы процессы 182
5.2. Основные итоги по теории обнаружения 182
5.3. Задачи 184
Список литературы 189
Глава 6. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 192
6.1. Модель задачи оценки параметров 194
6.2. Структурная схема устройства оценки (структура
алгоритма оценки) 195
6.2.1. Вывод выражения для функции правдоподобия . . 195
6.2.2. Уравнения максимального правдоподобия и
уравнения максимальной апостериорной вероятности . . . . 201
6.3. Анализ качества оценки 203
6.3.1. Нижняя граница дисперсии 203
6.3.2. Вычисление /<2>(Л) 205
6.3.3. Нижняя граница среднего квадрата ошибки . . 209
6.3.4. Уточненные границы 210
6

6.4. Краткие итоги главы 211
6.6. Задачи 211
Список литературы 213
Глава 7. ЧАСТНЫЕ КАТЕГОРИИ ЗАДАЧ ОЦЕНКИ 214
7.1. Стационарные процессы при большом времени наблюдения 214
7.1.1. Общие соотношения 215
7.1.2. Точность усеченных оценок 221
7.1.3. Субоптимальные приемники 232
7.1.4. Краткие итоги §7.1 235
7.2. Процессы с конечным представлением в переменных
состояния 236
7.3. Процессы с разложимыми ядрами 238
7.4. Случай когерентности сигналов малой энергии 241
7.5. Некоторые родственные вопросы 245
7.5.1. Оценка нескольких параметров 245
7.5.2. Испытания составных гипотез 248
7.6. Краткие итоги рассмотрения теории оценок 248
7.7. Задачи 250
Список литературы 262
Глава 8. ЗАДАЧА РАДИО- И ГИДРОЛОКАЦИИ 263
Список литературы 266
Глава 9. ОБНАРУЖЕНИЕ МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩИХ ТОЧЕЧНЫХ
ЦЕЛЕЙ 267
9.1. Модель медленно флуктуирующей] точечной цели .... 267
9.2. Обнаружение на фоне белого шума 273
9.3. Обнаружение на фоне небелого полосового шума .... 277
9.4. Обнаружение на фоне небелого шума с конечным
представлением в переменных состояния 281
9.4.1. Представление оптимального приемника
посредством дифференциальных уравнений и его
помехоустойчивость: I вариант _. . 282
9.4.2. Представление оптимального приемника посредством
дифференциальных уравнений и его помехоустойчивость:
II вариант 284
9.5. Синтез оптимальных сигналов 288
9.6. Краткие итоги главы и родственные вопросы 291
9.7. Задачи 294
Список литературы 306
Глава 10. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ, МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩИЕ
ТОЧЕЧНЫЕ ЦЕЛИ 307
10.1. Вывод алгоритма оптимального приемника и синтез сиг-
налов 307
10.2. Точность оптимального устройства оценки 325
10.2.1. Локальная точность 325
10.2.2. Глобальная точность (или неопределенность) ... 334
10.2.3. Заключение 339
10.3. Свойства частотно-временных автокорреляционных
функций и функций неопределенности 339
10.4. Кодированные импульсные последовательности 344
10.4.1. АИМ последовательности 345
10.4.2. АИМ последовательности с постоянной мощностью 346
7

10.5. Разрешение целей 355
10.5.1. Разрешение целей в дискретной локационной
обстановке: модель задачи 356
10.5.2. Обычные приемники 358
10.5.3. Оптимальный приемник: задача разрешения
целей, дискретный случай 361
10.5.4. Основные итоги рассмотрения задачи разрешения
целей . 366
10.6. Краткие итоги главы и некоторые близкие вопросы . . . 367
10.6.1. Краткие итоги 367
10.6.2. Примыкающие вопросы 368
10.7. Задачи 371
Список литературы 385
Глава 11. ЦЕЛИ И КАНАЛЫ С ДОППЛЕРОВСКИМ РАССЕЯНИЕМ .... 389
11.1. Модель цели (канала) с допплеровским рассеянием . . 391
11.2. Обнаружение целей с допплеровским рассеянием .... 397
11.2.1. Критерий отношения правдоподобия 397
11.2.2. Канонические структурные схемы приемника . . 398
11.2.3. Помехоустойчивость оптимального приемника . . . 402
11.2.4. Классы процессов 403
11.2.5. Краткие итоги § 11.2 406
11.3. Передача информации по каналам с допплеровским
рассеянием 407
11.3.1. Бинарные системы связи: оптимальный приемник
и его помехоустойчивость 407
11.3.2. Границы помехоустойчивости для
оптимизированных бинарных систем 410
11.3.3. Субоптимальные приемники 418
11.3.4. Многоальтернативные системы 428
11.3.5. Краткие итоги рассмотрения задачи передачи
информации по каналам с допплеровским рассеянием 429
11.4. Оценка параметров: цели с допплеровским рассеянием 430
11.5. Краткие итоги главы 434
11.6. Задачи 435
Список литературы 146
Глава 12. ДИСПЕРСНЫЕ ЦЕЛИ И КАНАЛЫ 448
12.1. Модель и интуитивное рассмотрение задачи 449
12.2. Обнаружение целей, протяженных по дальности .... 454
12.3. Частотно-временная дуальность 456
12.3.1. Основные положения теории дуальности 456
12.3.2. Дуальные цели и каналы . 459
12.3.3. Применение принципа дуальности 462
12.4. Основные итоги главы 471
12.5. Задачи 472
Список литературы 478
Глава 13. ЦЕЛИ И КАНАЛЫ С РАССЕЯНИЕМ ПО ДВУМ ПАРАМЕТРАМ . 479
13.1. Модель цели с рассеянием по двум параметрам .... 481
13.1.1. Основная модель 481
13.1.2. Модель цели (канала) с рассеянием по двум
параметрам в форме дифференциальных уравнений .... 488
13.1.3. Краткие итоги рассмотрения моделей 493
13.2. Обнаружение при наличии реверберации или отражений
от местных предметов 494
13.2.1. Обычный приемник 495
13.2.2. Оптимальные приемники 505

13.2.3. Основные итоги рассмотрения проблемы
реверберации 514
13.3. Обнаружение целей с рассеянием по двум параметрам и
передача информации по каналам с рассеянием по двум
параметрам 516
13.3.1. Постановка задачи 516
13.3.2. Приближенные модели целей и каналов с
рассеянием по двум параметрам 522
13.3.3. Передача двоичной информации по каналам с
рассеянием по двум параметрам 537
13.3.4. Обнаружение в случае КСМЭ 551
13.3.5. Родственные вопросы теории обнаружения . . . 555
13.3.6. Итоги рассмотрения задачи обнаружения целей
с рассеянием по двум параметрам 558
13.4. Оценка параметров целей с рассеянием по двум
параметрам 559
13.4.1. Оценка в условиях КСМЭ 561
13.4.2. Оценка амплитуды 565
13.4.3. Оценка средней дальности и среднего доппле-
ровского сдвига 568
13.4.4. Краткие итоги § 13.4 571
13.5. Краткие итоги рассмотрения целей и каналов с
рассеянием по двум параметрам 571
13.6. Задачи 573
Список литературы 591
Глава 14. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 595
14.1. Краткие итоги рассмотрения вопросов обработки сигналов
в радио- и гидролокационных системах 595
14.2. Оптимальная пространственно-временная обработка
сигналов 601
14.3. Замечания 601
Список литературы 602
Приложение. Комплексное представление полосовых сигналов,
систем и процессов 603
П.1. Детерминированные сигналы , 604
П.2. Полосовые линейные системы 610
П.2.1. Инвариантные во времени системы 610
П.2.2. Системы с изменяющимися во времени параметрами 612
П.2.3. Представление систем в комплексных переменных
состояния 612
П.З. Полосовые случайные процессы 614
П.3.1. Стационарные процессы 614
П.З.2. Нестационарные процессы 622
П.3.3. Комплексные процессы с конечным представлением
в переменных состояния 628
П.4. Краткие итоги 637
П.5. Задачи 637
1писок литературы 643
Условные обозначения 644
Сокращения 645
Символы 645
Предметный указатель 660
9

Предисловие к русскому переводу
Как отмечалось в предисловии к русскому переводу второго
тома, четырехтомная монография известного американского ученого
Г. Ван Триса «Теория обнаружения, оценок и модуляции»
посвящена изложению с единых позиций различных методов оптимального
и субоптимального обнаружения и различения сигналов на фоне
помех, методов оценки неизвестных параметров сигналов, а также
линейной и нелинейной фильтрации сообщений, содержащихся
в принимаемых колебаниях. Значительное внимание в монографии,
уделяется задачам синтеза оптимальных устройств и определения
их рабочих характеристик (например, вероятностей правильного
обнаружения, предельных точностей фильтрации и т. п.).
Последнее, помимо научного, имеет и большое практическое значение,
поскольку позволяет произвести грамотное сравнение
характеристик реальных радиотехнических устройств с оптимальными и
принять обоснованное решение о целесообразности и путях
дальнейшего их усовершенствования.
В первом томе этой монографии (Г. Ван Трис. Теория
обнаружения, оценок и модуляции, т. I. Теория обнаружения,* оценок и
линейной модуляции. Пер. с англ. под ред. проф. В. И. Тихонова.
М., «Сов. радио», 1972) приведены основные сведения по теории
обнаружения и различения детерминированных сигналов и сигналов
с неизвестными параметрами на фоне помех, теории оценки
параметров сигналов, а также линейной фильтрации сообщений. Второй
том монографии (Г. Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и
модуляции, т. II. Теория нелинейной модуляции. Пер. с англ. под ред.
проф. В. Т. Горяинова. М., «Сов. радио», 1975) посвящен
обстоятельному и методически последовательному рассмотрению
теоретических и практических аспектов оптимального приема
радиосигналов с аналоговыми нелинейными видами модуляции на фоне
аддитивного нормального шума.
В третьем томе рассматриваются две весьма важные проблемы:
прием случайных гауссовых сигналов на фоне помех и оптимальная
обработка сигналов в радио- и гидролокационных системах и
системах передачи дискретной информации по каналам связи с
переменными параметрами. В теоретическом плане материал третьего
тома развивает основные положения теории обнаружения,
различения и оценок, которые были изложены в первом томе. Книга
содержит полезные и частично оригинальные сведения по практи-
to

ческой реализации различных систем радио- и гидролокации и
систем передачи дискретной информации по каналам связи и
построению оптимальных и субоптимальных приемников при наличии
время- или частотно-селективных замираний полезных сигналов.
Третий том разбит на четырнадцать глав. В первых четырех
рассмотрены задачи обнаружения и различения гауссовых
случайных сигналов, принимаемых на фоне аддитивного стационарного
нормального белого шума. Получены алгоритмы оптимальных
обнаружителей и различителей таких сигналов, исследованы
различные варианты их реализации, вычислены количественные
характеристики качества обнаружения и различения и предложены
их аппроксимации, удобные для практического использования.
В главе 5 исследуются некоторые вопросы различения т-ичных
случайных гауссовых сигналов. Главы 6 и 7 посвящены оценке
параметров корреляционных функций и энергетических
спектров нормальных случайных сигналов при их приеме на фоне
стационарного нормального белого шума. Материал первых семи
глав в большинстве случаев оригинален, изложен на высоком
научно-техническом уровне и широко иллюстрирован примерами,
встречающимися в практике связи по каналам с переменными
параметрами, пассивной радио-и гидролокации и радиоастрономии.
Во второй половине книги проведено обстоятельное
исследование теоретических и прикладных вопросов оптимальной и
субоптимальной обработки сигналов в системах радио- и гидролокации и
системах передачи дискретной информации по каналам с
переменными параметрами на основе развития полученных ранее
результатов. Большое внимание здесь уделяется рассмотрению задач
обнаружения сигналов от флуктуирующей точечной цели на фоне
аддитивной смеси белого и коррелированного шума и выбора
оптимальной формы зондирующих сигналов, а также обнаружения
сигналов от целей с рассеянием по частоте или дальности и
различения сигналов при их передаче по каналам с замираниями. В
заключительных главах приводятся результаты решения задачи
обнаружения двумерного сигнала от пространственных
флуктуирующих целей. Такая модель сигнала в настоящее время часто
используется для описания реверберации в гидролокации и
отражений от местных предметов и земной поверхности в радиолокации,
для представления полезных сигналов в системах связи,
использующих рассеяние радиоволн на неоднородностях, и т. д.
В соответствии с общим планом построения монографии третий
том требует предварительного ознакомления читателя с
отдельными главами первого тома. Однако в большинстве случаев
материал книги изложен так, что его можно изучать и без
использования данных, приводимых в первом томе монографии. Несомненным
достоинством книги является то, что синтез и анализ широкого
класса оптимальных и субоптимальных устройств обнаружения,
различения и оценки параметров выполнен автором на высоком
научном уровне и с единых позиций.
И

По нашему мнению, третий том монографии будет весьма
полезен научным работникам, аспирантам и инженерам,
специализирующимся в области передачи дискретной информации, радио- и
гидролокации, а также студентам соответствующих специальностей.
В процессе перевода и редактирования были сделаны лишь
несущественные сокращения текста и устранены замеченные опечатки
в формулах. Система обозначений, как и при переводе предыдущих
двух томов монографии, сохранена полностью, изменен лишь
принцип обозначения формул и рисунков в ссылках на первые два тома:
первая римская цифра в ссылке указывает номер тома, а следующая
за ней — номер главы; последние цифры составляют порядковый
номер формулы или рисунка в главе.
июль 1976 а.
В. ГОРЯИНОВ

Предисловие к английскому изданию
В этой книге продолжено изложение теории обнаружения,
оценок и модуляции, начатое в первом томе [1]. Предполагается, что
читатель знаком с замыслом всего издания, который был намечен
в предисловии к первому тому. В предисловии ко второму тому [2]
в общих чертах был изложен скорректированный план построения
монографии. Как там было отмечено, третий том можно читать
непосредственно после первого, поэтому некоторые читатели вполне
могут пользоваться им, не ознакомившись со вторым томом.
Поскольку многие из замечаний, сделанных в предисловии ко второму
тому, здесь также уместны, повторим наиболее существенные
из них.
Ко времени опубликования первого тома (январь 1968 г.) я
завершил работу над окончательным вариантом рукописи второго
тома. В течение весеннего семестра 1968 г. я использовал этот
вариант рукописи в качестве учебного пособия при чтении курса
повышенного типа студентам-выпускникам (аспирантам) Масса-
чусетского технологического института (МТИ), а летом 1968 г.
приступил к переработке рукописи, чтобы учесть замечания и
предложения, сделанные студентами, и включить некоторые новые
научные результаты. В сентябре 1968 г. меня привлекли к участию
в подготовке курса по телевидению в Центре усовершенствования
инженеров при МТИ. В рамках этой программы мною был записан
на видеомагнитофонную ленту 50-часовой курс лекций по
прикладной теории вероятностей и случайным процессам в помощь
самостоятельно занимающимся. Из-за занятости работа над рукописью
прервалась до апреля 1969 г. Между тем моими стундентами и мною
были получены новые научные результаты, которые, как мне
казалось, следовало включить в книгу.
Когда я приступил к окончательному оформлению рукописи,
стали очевидными два обстоятельства: объем рукописи стал
настолько большим, что было бы экономически нецелесообразно издавать
ее в одном томе и поскольку в ней подробно рассматриваются четыре
основных вопроса, то маловероятно, что многие читатели
действительно будут использовать весь материал книги. Так как ряд
вопросов можно изучать независимо, взяв за основу лишь первый том,
я решил разделить материал на три части: второй том, третий том и
короткую монографию по оптимальным методам пространственно-
временной обработки сигналов [3]. Такое деление требовало значи-
13

тельных дополнительных усилий, но мне представлялось это
необходимым ввиду некоторых преимуществ, которые дает такое
построение книги как читателям, так и преподавателям.
Во втором томе изложена теория нелинейной модуляции. В
настоящем томе рассматриваются задачи обнаружения и оценки
случайных сигналов в радио- и гидролокации. Наконец, отдельная
монография посвящена вопросам оптимальной обработки сигналов
при помощи пространственных решеток. Взаимозависимость
различных частей монографии наглядно показана в следующей
таблице:
Материал, подлежащий
изучению
Том второй
Том третий
Гл. 1—5
Гл. 6, 7
Гл. 8-14
Том четвертый
Гл. 1, 2
Гл. 3 и последующие
Главы, с которыми необходимо
предварительно ознакомиться
Гл. 5, 6 первого тома
Гл. 4,6 первого тома
Гл. 4 первого тома
Гл. 4,6 первого тома, 1—7
третьего тома
Гл. 4 первого тома
Гл. 1—5 третьего тома, 1,2
четвертого тома
Из таблицы видно, что второй том не связан с третьим и
четвертым. Первую половину четвертого тома можно изучать
непосредственно после первого тома, но для изучения второй половины
требуется знание некоторых сведений из третьего тома.
По своему характеру третий том заметно отличается от первого.
Его можно охарактеризовать как нечто среднее между научной
монографией и учебным пособием для аспирантов. Он имеет черты
научно-исследовательской монографии, поскольку здесь рассмотрены
конкретные вопросы и изложены результаты ряда последних
исследований. Многие вопросы, освещенные в книге, до сих пор
остаются предметом активных исследований, и поэтому некоторые из них
неизбежно остаются без ответа. Вместе с тем третий том имеет
черты учебного пособия для аспирантов, так как материал в нем
излагается в строго определенном порядке и все необходимые
результаты выводятся в самой книге.
Книга адресована читателям трех категорий. К первой
относятся студенты-выпускники и аспиранты. Задачи обнаружения и
оценки параметров случайного сигнала, рассмотренные в гл. 2—7,
являются логическим развитием более ранней работы по
детерминированным сигналам и завершают иерархию задач, которая была
принята в первом томе. Во второй половине книги исследованы
новые задачи радио-и гидролокации и некоторые аспекты цифровой
связи. Этот раздел представляет собой обстоятельное рассмотрение
вопросов применения статистической теории к исследованию важных
14

проблем. Мне кажется, что в целом книга явится полезным
учебным пособием даже для студентов, не имеющих прямых интересов
в радиолокации, гидроакустике или связи, так как в ней даны
методы построения систем, которые могут найти применение
в других областях.
Ко второй категории принадлежат исследователи — научные
работники. Изложение материала, как правило, ведется с учетом
результатов, полученных за последние годы. Во многих случаях
выдвигаются конкретные задачи исследований, которые пригодны
для диссертационной работы или НИР в промышленности.
К третьей категории относятся инженеры, занятые на
практической работе. В книге рассматривается ряд задач по синтезу и
анализу систем, результаты которых непосредственно применимы для
решения многих текущих вопросов. Материал дается в форме,
удобной для самостоятельного изучения.
Заслуживают некоторого упоминания приведенные в книге
задачи. Как и в первом томе, здесь имеется большое число задач,
поскольку решение задач, по нашему убеждению, является
существенной частью учебного процесса. Задачи варьируются в
широких пределах по степени трудности и предназначаются для
углубленного изучения и развития материала основного текста.
Отдельные задачи требуют для своего решения либо привлечения
дополнительной литературы, либо руководствоваться здравым
смыслом и инженерной интуицией при выборе и обосновании
того или иного приближения, либо, наконец, рассмотрения
некоторых вопросов в теоретическом плане. Такие задачи иногда ставят
студентов в тупик, но, по нашему мнению, они служат полезной
цели. В некоторых задачах для получения ответа приходится
прибегнуть к численным методам решения.
Как и в первом томе, мы пытались сделать всю систему
обозначений по возможности мнемонической. Все обозначения приведены
в списке, помещенном в конце книги. Мы старались включить как
можно более полный список литературы и отдать должное трудам
других авторов.
В работе над этой книгой мне была оказана помощь. Профес*
сора А. Баггерер, Е. Ховерстен и Д. Снайдер с факультета МТИ и
Л. Коллинз из Линкольновской Лаборатории при МТИ внима*
тельно прочли и подвергли критическому разбору рукопись.
Их советы и предложения невозможно переоценить. Р. Р. Курт
прочел несколько глав и внес полезные предложения. Ряд
студентов-дипломников высказали замечания, которые способствовали
улучшению текста. Мой секретарь г-жа Торторичи перепечатывала
всю рукопись несколько раз.
Моя исследовательская работа в МТИ частично
финансировалась Вооруженными Силами и Национальным управлением по
аэронавтике и исследованию космического пространства через
Лабораторию электроники МТИ. Окончательное редактирование
книги было осуществлено в стенах «Тринити Колледж» в Дублине,
15

где я находился в академическом отпуске, предоставленном мне
МТИ. Профессор Б. Сейф из Технической школы обеспечил меня
на все это время рабочим помещением и необходимым
оборудованием, а МТИ — финансовой помощью. Я признателен за эту
помощь и содействие.
Дублин, Ирландия, декабрь 1969 г. Г. Л. Ван Трис
Список литературы
1. Ван Трис Г. Л. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. I. Теория
обнаружения, оценок и линейной модуляции. Пер. с англ. Под ред.
В. И. Тихонова. М., «Сов. радио», 1972.
2. Ван Трис Г. Л. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. II. Теория
нелинейной модуляции. Пер. с англ. Под ред. В. Т. Горяинова. М., «Сов.
радио», 1975.
3. Van Trees H. L. Optimum Array Processing. Wiley, New York, 1971.

1. ВВЕДЕНИЕ
Эта книга — третья из четырехтомной монографии. Цель
монографии дать единый подход к решению задач теории обнаружения,
оценок и модуляции. В данном томе рассматриваются два
основных типа задач. Первый включает в себя задачи обнаружения
случайных сигналов на фоне шума и оценки параметров случайных
процессов. Второй — задачи обработки сигналов в
радиолокационных и гидроакустических системах. Как отмечено в предисловии,
в третьем томе не используется материал, изложенный во втором
томе, поэтому его можно читать непосредственно после первого
тома.
В этой главе кратко обсуждаются три вопроса. В § 1.1 дан
обзор содержания первого и второго томов с тем, чтобы показать
место излагаемого материала в общем строю монографии. В § 1.2
формулируются задачи первого типа и в общих чертах описывается
построение гл. 2—7. В § 1.3 рассматриваются задачи радио-
и гидролокации и описывается содержание гл. 8—14.
1.1. Обзор первого и второго томов
В введении к первому тому [1] была проведена классификация
задач теории обнаружения, оценок и модуляции и рассмотрен
ряд физических ситуаций, в которых эти задачи встречаются.
Изложение основного материала в первом томе начинается с под*
робного рассмотрения классической теории обнаружения и оценок.
В классической задаче пространство наблюдений является
конечномерным, тогда как в большинстве интересующих нас задач
результат наблюдения есть некоторое колебание, которое необходимо
представить в бесконечномерном пространстве.
В гл. 3 первого тома были рассмотрены вопросы представления
сигналов в виде рядов. Такое представление дало возможность
перейти от классической к реальной задаче обнаружения и оценки
параметров сигнала. Материал гл. 2 и 3 используется как исходный
для изложения задач, классификация которых была дана в гл. 1.
В первой части гл. 4 первого тома рассмотрены задачи
обнаружения известных сигналов на фоне гауссова шума. Типичной
задачей этого класса была бинарная задача обнаружения, в которой
17

принимаемыми колебаниями по двум гипотезам являлись
соответственно
/■(О = %(0+ *('). Tt^t^TfiH» (1)
г (0 = s0 (t) + п (О, 71, < < < Г, : #0, (2)
где st (0 и s0(t) — известные функции. Шум n(t) представлялся
выборочной функцией гауссова случайного процесса.
Затем мы перешли к изучению задачи оценки параметров
сигнала. В рамках этой задачи принимаемое колебание записывалось
в виде
r{t) = s{U A) + n(t), Tt^t^Tf. (3)
Сигнал s(t, А) представлялся известной функцией /иА. Параметр
А являлся либо случайным, либо неслучайным вектором, который
необходимо было оценить.
Все эти задачи были отнесены к числу задач, связанных с моделью
известного сигнала на фоне шума и составляющих первый уровень
иерархии задач, которая была определена в гл. 1 первого тома.
Общим для задач первого уровня является наличие на входе
приемника детерминированного сигнала. В бинарной задаче
обнаружения приемник решает, какое из двух детерминированных
колебаний присутствует в принятом колебании. В задаче оценки
приемник оценивает значение параметра, содержащегося в сигнале.
Во всех случаях качество работы приемника ограничивается
аддитивным шумом.
Затем эта модель была обобщена — мы допустили, что
сигнальная компонента зависит от конечного числа неизвестных параметров
(случайных или неслучайных). В этом случае принимаемые
колебания в задаче бинарного обнаружения записываются в виде
r(t) = Sl (*, в) + л (/), Tt^t^Tf:Hlt
(4)
г (0 = s0 (*, 0) + п (*), Г* < * < Гу : Я0.
В задаче оценки принимаемое колебание записывалось в виде
r(t) = s (*, А, в) + я(*), 5Г|</<5Г/. (5)
Через вектор 0 мы обозначили множество неизвестных и
нежелательных параметров, наличие которых вносит в задачу новую
неопределенность. Задачи, соответствующие этой модели, относились
ко второму уровню иерархии. Дополнительная степень свободы,
свойственная модели второго уровня, позволила нам изучить
несколько важных случаев физических каналов — канал со
случайной фазой, релеевский канал и райсовский.
В гл. 5 первого тома мы начали рассмотрение теории модуляции
и оценок непрерывных сигналов. После установления модели для
этой задачи была выведена система интегральных уравнений,
определяющая оптимальный демодулятор.
18

В гл. 6 первого тома подробно изложена задача линейной оценки.
В результате исследования было получено интегральное уравнение
Kdr(t, ") = \ М/, т)/Сг(т, u)dx9 Tt<ty u<Tfy (6)
определяющее структуру оптимального приемника. Сначала был
исследован случай, когда интервал наблюдения бесконечен, а
процессы стационарны. В этом случае метод спектрального разложения
Винера позволяет полностью решить рассматриваемую задачу.
В случае конечных интервалов наблюдения и нестационарных
процессов полное решение задачи может быть получено путем ее
представления в переменных состояния по методу Кальмана—
Бьюси. В дальнейшем мы часто будем встречаться с интегральным
уравнением вида (6) при изложении материала данной книги. Таким
образом, многие результаты, полученные в гл. 6 первого тома,
будут играть важную роль при рассмотрении вопросов,
охватываемых третьим томом.
Второй том был посвящен теории нелинейной модуляции [2].
Так как рассмотренные во втором томе вопросы по существу не
связаны с материалом третьего тома, мы не будем делать подробный
обзор его содержания. Материал, изложенный в гл. 4—6 первого
и второго томов, представляет собой детальное рассмотрение
задач первого и второго уровней из введенной нами классификации
задач теории обнаружения, оценок и модуляции.
ь Существует большое число физических ситуаций, в которых
модели, предложенные для задач первого и второго уровней
иерархии, неадекватно описывают условия соответствующей задачи.
В следующем параграфе мы рассмотрим несколько подобных
ситуаций и укажем более адекватную модель.
1.2. Случайные сигналы на фоне шума
Начнем изложение с рассмотрения некоторых физических
ситуаций, в которых введенные ранее модели оказываются
неадекватными. Рассмотрим, например, задачу обнаружения подводной
лодки пассивной гидроакустической системой. Машины, винты и
другие элементы подводной лодки создают акустические сигналы,
которые распространяются в океане и достигают гидрофонов системы
обнаружения. Такой сигнал может быть наилучшим образом
описан выборочной функцией случайного процесса. Кроме того,
гидрофон создает собственные шумы и воспринимает шумы моря.
Поэтому подходящей моделью для данной задачи обнаружения может
быть следующая:
r(t) = s (t) + n (/), Tt^t^Tf: Н1у (7)
r(t) = n(t)t Tt^ *< T,:HQ. (8)
19

Здесь s (f) является выборочной функцией случайного процесса.
Новым моментом в этой задаче является то, что отображение
гипотезы (или выхода источника) в сигнал s (t) не является
детерминированным. Задача обнаружения состоит в том, чтобы решить,
является ли г (/) выборочной функцией случайного процесса,
представляющего собой смесь полезного сигнала с шумом, или выборочной
функцией одного шумового процесса.
Другим примером, когда задача обнаружения также сводится
к определению, какой из двух процессов присутствует на входе
приемника в данный момент, является область цифровой связи.
Большое число цифровых систем работает по каналам, характеристикам
которых присуща случайность. Например, случайный характер
поведения свойствен таким каналам, как линии связи с
использованием тропосферного рассеяния, линии связи с использованием
орбитальных дипольных отражателей, атмосферные каналы
оптических систем и подводные акустические каналы. Подробно модели
каналов такого типа рассматриваются в гл. 9—13. Позднее мы
установим, что типичным методом передачи цифровой информации
по каналам такого типа является передача одного или двух
сигналов, разнесенных по частоте. В последующем мы будем обозначать
соответствующие две несущие частоты через щ и со0. Принимаемый
сигнал при этом можно записать в виде
r(t) = si(t)-\ n(t)f Tt^t^Tf:Hlt
(9)
r(t) = s0(t) + n (0, Tt < *< Tf : #0.
Здесь sx (t) и s0 (t) — выборочные функции случайного процесса,
энергетический спектр которых имеет среднюю частоту о)х и со0
соответственно. Необходимо построить приемник, который
осуществлял бы выбор между гипотезами Нги Н0.
Задач, в которых требуется оценивать параметры случайных
процессов, существует множество. Обычно при моделировании
физического явления посредством стационарного случайного процесса
предполагается, что энергетический спектр его известен. На
практике часто бывает так, что имеется лишь выборочная функция и
необходимо определить спектр путем ее наблюдения. Один из методов
решения этой задачи заключается в «параметризации» спектра и
оценке его параметров. Предположим, например, что
5 (со, А) = Л^со2 + А\)у —оо < со< оо, (10)
и попытаемся оценить А1 и А2 путем наблюдения выборочной
функции процесса s(t)t искаженной шумами измерения. Второй
метод решения — рассмотреть малый частотный интервал и
попытаться оценить среднюю плотность спектра на этом интервале.
Другой пример задачи оценки параметров процесса имеет место
в таких довольно далеких друг от друга областях, как
радиоастрономия, спектроскопия и пассивная гидролокация. Источник
генерирует узкополосный случайный процесс, средняя частота которого
20

служит признаком этого источника. Здесь требуется оценить
среднюю частоту спектра.
Весьма близкая задача возникает в области радиоастрономии.
Различные источники в нашей галактике создают узкополосные
случайные процессы. Путем оценки средней частоты
энергетического спектра принимаемого процесса можно определить скорость
движения источника. При этом принимаемое колебание можно
записать в виде
r(t) = s(ty v) + n(f), Tt^t^Tf, (11)
где s (tf v) — выборочная функция случайного процесса,
статистические свойства которого зависят от скорости и.
Рассмотренные примеры задач теории обнаружения и оценок
соответствуют третьему уровню иерархии, которая была принята
в гл. 1 первого тома. Общим для них является то, что
интересующая наблюдателя информация скрыта в случайном процессе.
Любая процедура обнаружения или оценки должна основываться
на том, как статистика процесса г (t) изменяется в виде функции
гипотезы или значения параметра.
В гл. 2 настоящего тома сформулирована количественная
модель простой бинарной задачи обнаружения, в которой
принимаемое колебание состоит из белого гауссова шумового процесса
по одной гипотезе и суммы гауссова сигнального процесса и белого
гауссова шумового процесса — по другой. В гл. 3 исследована
общая задача, в которой принимаемый сигнал является выборочной
функцией одного из двух гауссовых случайных процессов. В обеих
главах выводятся структуры оптимальных приемников и
исследуется их помехоустойчивость.
В гл. 4 анализируются четыре частные категории задач
обнаружения, для которых можно получить полные решения. В гл. 5
рассмотрена многоальтернативная задача, определена
помехоустойчивость субоптимальных приемников для бинарной задачи и
подведены итоги по теории обнаружения.
В гл. 6 и 7 рассмотрена задача оценки параметров. В гл. 6
развита модель для задачи оценки одного параметра, синтезирована
структура оптимального устройства оценки и обсуждены методы
исследования его помехоустойчивости. В гл. 7 рассмотрены четыре
категории задач оценки, в которых можно получить достаточно
полные решения. Кроме того, полученные ранее результаты здесь
развиты на случай оценки нескольких параметров и подведены
итоги рассмотрения теории оценок.
Первые семь глав книги имеют большой объем и некоторые
разделы изложены довольно подробно. Такое подробное
рассмотрение необходимо для того, чтобы действительно развить
способность решать практические задачи. Строго говоря, в этой части
книги нет каких-либо новых идей. Здесь просто используются
известные результаты теории решений и теории оценок
применительно к более общему классу задач. Переход от идеи к факта-
21

ческому синтезу приемника, оказывается, требует значительных
усилий.
Главы 2—7 завершают рассмотрение тех задач, которые были
упомянуты в гл. 1 первого тома. Остальная часть книги
посвящена вопросам применения изложенных идей к обработке сигналов
в радиолокационных и гидроакустических системах.
1.3. Обработка сигналов в радио- и гидролокационных
системах
В обычной системе активной радиолокации излучаемый сигнал
представляет собой импульсы высокочастотных синусоидальных
колебаний. Если цель присутствует, то от нее отражается сигнал.
Принятое колебание представляет собой смесь отраженного
сигнала и мешающих сигналов — помех и шумов. В простейшем
случае единственным источником помех является аддитивный
гауссов шум приемника. В более общем случае дополнительно
существуют помехи от внешних источников шумов или из-за отражений
от других целей. В задаче обнаружения приемник обрабатывает
входное колебание, чтобы решить, присутствует или отсутствует
цель в некотором заданном районе. В задаче оценки параметра
приемник обрабатывает это колебание, чтобы измерить некоторые
характеристики цели, например, дальность, скорость движения или
ускорение. Для нас представляют интерес вопросы обработки
сигналов в рамках этой задачи.
В задаче, связанной с обработкой сигналов, возникает ряд
вопросов.
1. Необходимо описать отражательные характеристики цели.
Другими словами, если излученный сигнал есть st (t), то каким
должен быть отраженный сигнал?
2. Требуется описать влияние каналов передачи на сигналы.
3. Необходимо определить характеристики помех, учитывая
при этом, что, помимо шумов приемника, могут быть отражения
от других целей или от местных предметов и внешние источники
шумов.
4. После разработки количественной модели, учитывающей
условия обстановки, необходимо синтезировать оптимальный (или
субоптимальный) приемник и определить его помехоустойчивость.
Эти вопросы рассматриваются во второй половине книги. В гл. 8
с качественной стороны обсуждается задача радио- и гидролокации.
В гл. 9 изложена задача обнаружения медленно флуктуирующей
точечной цели, находящейся на некотором расстоянии и имеющей
некоторую скорость. Сначала предполагается, что единственной
помехой является аддитивный белый гауссов шум, и для этого
случая синтезируется оптимальный приемник и вычисляется его
помехоустойчивость. Затем рассматривается случай небелого
гауссова шума, синтезируется оптимальный приемник и опреде-
22

ляется его помехоустойчивость. Для получения полных решений
в случае небелой помехи ислользуется теория комплексных
переменных состояния.
В гл. 10 рассмотрена задача оценки параметров медленно
флуктуирующей точечной цели. Вначале исследуется задача оценки
дальности и скорости одиночной цели, когда помехой является
аддитивный белый гауссов шум. Исходя из функции
правдоподобия, осуществляется синтез структуры оптимального приемника.
Затем исследуется помехоустойчивость полученного приемника и
устанавливается, каким образом характеристики сигнала влияют
на точность оценки. В заключение приводится задача обнаружения
цели в присутствии других мешающих целей.
В гл. 9 и 10 рассмотрена цель простейшего типа. Принимаемый
сигнал моделируется в виде известного сигнала с неизвестными
случайными параметрами. Основные исходные сведения, необходимые
для решения данной задачи, были изложены в § 4.4 первого
тома, так что эти главы можно читать непосредственно после гл.4
первого тома.
В гл. 11 описан случай точечной цели, флуктуирующей в
процессе отражения \ от нее импульса, излученного передатчиком.
В этом случае принятый сигнал необходимо моделировать в виде
выборочной функции случайного процесса.
В гл. 12 рассмотрен случай медленно флуктуирующей цели,
которая распределена (т. е. имеет некоторую протяженность)
по дальности. И на этот раз подходящей моделью принятого
сигнала является выборочная функция случайного процесса. В обоих
случаях необходимые исходные сведения для решения задачи
можно почерпнуть из гл. 2—4 третьего тома.
В гл. 13 изложен случай флуктуирующих протяженных целей.
Эта модель полезна при исследовании отражений от местности в
радиолокационных системах и реверберации в гидроакустических
системах. Она пригодна также для решения некоторых задач
радиоастрономии и связи, где имеет место механизм рассеяния
радиоволн. Как и в гл. 11 и 12, принятый сигнал здесь моделируется
в виде выборочной функции случайного процесса. Во всех этих
главах рассматриваются случаи, для которых мы можем
синтезировать оптимальные приемники и анализировать их
помехоустойчивость.
На протяжении всего изложения подчеркивается сходство
между задачей радиолокации и задачей цифровой связи. В
различных главах книги можно найти подробное рассмотрение вопросов
цифровой связи по флуктуирующим каналам. Поэтому этот
материал будет представлять интерес не только для тех, кто занимается
вопросами обработки радио- или гидролокационных сигналов,
но и для инженеров радиосвязи.
В заключение, в гл. 14, систематизированы основные
результаты рассмотрения задач радио-и гидролокации и в общих чертах
изложено содержание следующей книги, посвященной вопросам
23

пространственно-временной обработки сигналов [3]. Кроме ос-
новного текста книги, имеется приложение, куда вынесен
необходимый вспомогательный материал по комплексному представлению
сигналов, систем и процессов.
Список литературы
1. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. I.Теория
обнаружения, оценок и линейной модуляции. Пер. с англ. Под ред.
В. И. Тихонова. М., «Сов. радио», 1972.
2. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. II. Теория
нелинейной модуляции. Пер. с англ. Под ред. В. Т. Горяинова. М.,
«Сов. радио», 1975.
3. Van Trees H. L. Optimum Array Processing. Wiley, New York, 1971.

2. ОБНАРУЖЕНИЕ ГАУССОВЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ
БЕЛОГО ГАУССОВА ШУМА
В настоящей главе рассмотрим задачу обнаружения выборочной
функции (реализации) гауссова случайного процесса в присутствии
аддитивного белого гауссова шума. Эта задача является частным
случаем общей гауссовой задачи, описанной в гл. 1. Она
характеризуется тем свойством, что по обеим гипотезам принятый сигнал
содержит аддитивную шумовую компоненту w(t), являющуюся
выборочной функцией белого гауссова процесса с нулевым средним
значением и спектральной плотностью NJ2. Когда истинна
гипотеза #b принятый сигнал, кроме того, содержит сигнальную
компоненту s(t)y которая является выборочной функцией гауссова
случайного процесса, среднее значение и ковариационная функция
которого известны. Таким образом,
r{t) = s{t) + w{t), Tt^t^Tf:Hly (1)
r(t) = w(t)y Ti<^t^Tf:H0. (2)
Сигнальный процесс имеет среднее значение
E[s(t)] = m(t), rf< t^Tfj (3)
и ковариационную функцию
Е [(s (/) - т (0) (s (и) - т (и))] AKS (U и),
Tt < U и < Tf. (4)
Среднее т (t) и ковариационная функция Ks {U и) считаются
известными. Предполагается, что сигнальный процесс имеет
конечное среднеквадратическое значение и статистически независим
от аддитивного шума. Следовательно, ковариационная функция
процесса r(t) по гипотезе Нг равна
Е [(г (t) - т (0) (г (и) - т (и)) \ Н±] Д/^ (/, и) =
= Ks {U u) + -^6(t — и), Tt < U и < Г,. (5)
Процесс г (t) будем называть условно гауссовым случайным
процессом. Термин «условно гауссов» используется потому, что процесс
г (0 при условии, что истинна гипотеза Нх или Н0, соответствует
Двум гауссовым процессам, используемым в нашей модели.
25

Нетрудно заметить, что среднее значение т (t) можно
рассматривать какТдетерминированную компоненту входного процесса.
Когда желательно"подчеркнуть это обстоятельство, будем
записывать процесс на входе приемника в виде
r(t) = m(t) + ls(t) - т (t)] + w (t) =
- m(t) + sR(t) + w(t), Г, < *< Г, : Ht. (6)
Подстрочным индексом R обозначается случайная компонента
сигнального процесса. При этом колебание на входе приемника по
гипотезе Н1 представляется в форме известного сигнала, искажаемого
двумя независимыми гауссовыми процессами, имеющими нулевые
средние значения. Если ковариационная функция Ks{t, и)
тождественно равна нулю, то данная задача вырождается в задачу
обнаружения известного сигнала на фоне белого шума,
рассмотренную в гл. 4 первого тома. По мере дальнейшего изучения
материала мы будем убеждаться, что все результаты гл, 4 первого тома,
за исключением случая случайной фазы (п. 4.4.1), можно
рассматривать как частные случаи различных задач, излагаемых в гл. 2
и 3 третьего тома.
В § 2.1 будет синтезирован оптимальный приемник и обсуждены
различные процедуры его реализации. В § 2.2 произведен анализ
помехоустойчивости оптимального приемника. Наконец, в § 2.3
подведены итоги и систематизированы результаты, полученные
в гл. 2.
Большинство оригинальных работ в области обнаружения
гауссовых сигналов принадлежит Прайсу [1—4] и Миддлтону [17—20].
По ходу изложения материала делаются также ссылки на другие
работы.
2.1. Оптимальные приемники
| Наш подход к синтезу оптимального приемника в данном случае
аналогичен подходу в случае детерминированного сигнала (см.
с. 297—299 первого тома). Основные его моменты заключаются
в следующем.
1. Разлагаем процесс г (t) в ряд, используя собственные функции
сигнального процесса в качестве координатных функций.
Аддитивная шумовая компонента w (t) является белым шумом и поэтому
коэффициенты разложения будут условно некоррелированными
по обеим гипотезам. Так как входной процесс г (t) является
гауссовым по обеим гипотезам, эти коэффициенты к тому же условно
статистически независимы.
2. Производим усечение ряда на /С-м члене и обозначаем
первые К членов через вектор г. Колебание, соответствующее сумме
первых К членов этого ряда, обозначаем через rK(t).
26

3. Далее строим отношение правдоподобия
АЫ))=А(К)=У">{*\Н1) (7)
и преобразуем его к такому виду, чтобы можно было положить
4. Обозначим предел отношения A(rK(t)) через Л (r(t)).
Решающее правило заключается в сравнении отношения
правдоподобия с порогом т):
Л(г(0)>т). (8)
Как и прежде, порог х\ определяется стоимостями и априорными
вероятностями при испытании по критерию Байеса и требуемой
вероятностью ложной тревоги PF при испытании по критерию
Неймана—Пирсона. Выполним теперь все указанные этапы
подробно.
Ортонормальными функциями для разложения в ряд являются
собственные функции интегрального уравнения1)
I*
%] Ф* (0 = JJ К, (/, и) Ф( (и) du, Tt < t < Tt. (9)
Ti
Будем полагать, что эти ортонормальные функции образуют полную
систему. Это условие заведомо выполняется, если ковариационная
функция /Ce (t, и) является положительно определенной. Если она
лишь неотрицательно определенная, необходимо преобразовать
систему, чтобы сделать ее полной.
Коэффициенты ряда имеют вид
I*
rtAlr{f)Ot(f)dt, (10)
Tt
а усеченный ряд, /С-членное приближение, записывается в виде
1=1
Таким образом
r(f) = \.i.m.rK(t), T^t^Tf. (12)
Отсюда нетрудно установить статистические свойства
коэффициентов разложения по двум гипотезам:
т
Е [rt | Я0]=Е К w (/) Фг (t) dt\ = 0, (13)
1) Разложения в ряд были подробно рассмотрены в гл. 3 первого тома.
27

£[/-,№=£
E[rirj\H0] = -^bu, (14)
т т
т, г, J
г/
= jj тфФ^ЦсИАт- (15)
Заметим, что из (15) следует, что rrti — коэффициенты ортонор-
мального разложения среднего значения, т. е.
m(0=S "1,0,(0, Г,</<7у (16)
Ковариация между коэффициентами равна
£ [(г, - /я4) (о - /я,) | Нг] = (k8t + NJ2) 8и, (17)
где X* — i-e собственное значение интегрального уравнения (9).
Надстрочным индексом s подчеркивается то обстоятельство, что
речь идет о собственном значении сигнального процесса s(t).
По обеим гипотезам коэффициенты г, являются статистически
независимыми гауссовыми случайными величинами/ Плотность
вероятности вектора г есть просто произведение плотностей этих
коэффициентов. Таким образом,
A(R)A *,*,(4*> =
'тт 1 \ /_ly (Rt-mt)*
^fl[2n(/V„/2+X?)]l/2JeXp^ 2 -£ Ц + Мо/2
[JJ, (2я (Щ/2)] ■ /2 J 6ХР ( ~ Т 2 l^F J
(18)
Произведя почленное умножение, сократив общие множители,
взяв логарифм и перегруппировав результаты, получим
К Г \s \ *
ШЛ(К)=4-У I , Ц Ш+у, (—L-.)mtRi-
No &, \ J^+JVo/2 / *Ч VM + ^o/2
( = 1
2 U'+»,;
—Ly f-r-5 )m?—LV ln(l + ^LV
2 £1 I K + M2 J 2 ^ \ l N0 )
(19)
Заключительный этап процедуры—получение выражений в
замкнутой форме для различных слагаемых при /(->оо. Для этого
необходимо найти обратное ядро, которое впервые было введено
в рассмотрение в гл. 4 первого тома (см. (1—4.152)). Ковариацион-
28

ная функция всего входного процесса r(t) по гипотезе Нг равна
К\ (t, и). Соответствующее обратное ядро определяется из
соотношения
<\>K1{t,u)Q1(u,z)du = b{t—z), Ti<t,z<Tf. (20)
В терминах собственных функций и собственных значений
Qi if, и)=У 1- Ф« (/) Ф, («), Tt<t,u< Tf. (21)
В гл. 4 первого тома (1—4.162) было также показано, что Qx (t, и)
можно записать в виде суммы
& V, ") = тг (б V ~ ") - Л1 С» "))» т* < '•м < г>> <22)
No
где функция Лх(^, и) удовлетворяет интегральному уравнению
-^- ^ (t, и) + Г hi (t, z) Ka (z, и) dz=Ks (t, и), Tt < /, и < Ту. (23)
Значения функции h± (t, и) в конечных точках интервала
определяются как пределы значений на открытом интервале, так как
предполагается, что функция h± (t, и) непрерывна. (Вспомним
рассуждение на с. 338—339 первого тома.) Напомним также, что решение
интегрального уравнения (23) можно записать через собственные
функции и собственные значения:
ОО Л S
К(t, и) = У ' Ф«WФ«(")' ^ < Л ы < 7>. (24)
Перепишем теперь первые три слагаемые в (19) с учетом (10)
и (15):
in л (Гк (0)=4- f frwfy (—г*—Ww«:
т
+ jJm(t) Г J] (^-y^\®t(0®t(«)1r(")*d«-
7"
-тЯ"«'[|1(ч^)ф'МФ'м]"м,«и"-
r(u) dtdu +
-T2'»'+f ■ <25>
29

Положим /С-> оо в (25) и используем (21) и (24), чтобы вычислить
первые три слагаемые в (25). В результате получим
TL
In Л (г (0) = -J- Г Г г if) Лх (/,. ы) г (и) dtdu +
Tf Tf
и) г (и) dtdu I I m (t) QL (t, u) m (u) dtdu—
-ii4i+fi- <26»
/ = 1 ^
Далее можно упростить второе и третье слагаемые в правой части
(26), вспомнив определение g(и) в форме (1—4.168). Для нашего
случая
Tf
g1 (и) A J т (О Q1 (t, и) dt, Tt<u< T,. (27)
Ti
Заметим, что m(t) играет роль известного сигнала, который в гл. 4
первого тома был обозначен через s(t). Отметим также, что третье
и четвертое слагаемые не являются функциями процесса r(t) и
могут быть учтены величиной порога. Таким образом, критерий
отношения правдоподобия (КОП) имеет вид
-1г f [r (0 К (Л «) г (и) dtdu + f gl (и) г (и) du>у,, (28)
где
у J 1 °° / 2?ts \
Т*Д1пл + у| ft(«)m(tt)d« + |2 Ч*+*о/ (29)
/=i
Если прибегнуть к байесовому критерию, то необходимо
вычислить бесконечную сумму в правой части, чтобы установить
порог испытания. На с. 41 выведено удобное выражение в
замкнутой форме для этой суммы. Для испытания по критерию Неймана—
Пирсона мы непосредственно регулируем величину у*, чтобы
получить требуемую вероятность ложной тревоги Рр, так что точного
значения этой суммы не требуется, лишь бы было известно, что она
сходится. Ее сходимость легко установить:
т
г= I i = 1 т.
30

Полученный интеграл есть просто математическое ожидание
энергии данного процесса, которая предполагалась конечной.
Первое слагаемое в левой части (28) соответствует квадратичной
операции над процессом г (t) и появляется здесь вследствие того, что
сигнал является случайным. Если ковариационная функция
Ks (t> и) = 0 (т. е. сигнал является детерминированным), то это
слагаемое исчезает. Обозначим первое слагаемое через /д.
(Подстрочный индекс R означает «случайный».) Второе слагаемое
волевой части (28) соответствует линейной операции над процессом
г (t) и появляется здесь из-за наличия среднего значения т (t). Если
r(t) x->. ГТтЛ
—<Ю—уп**\
а)
Отсчет 3 момент
бремени Tf
$)
Рис. 2.1. Схемы формирования lD.
сигнал является процессом с нулевым средним, то это слагаемое
исчезает. Обозначим второе слагаемое через lD. (Подстрочный
индекс D означает «детерминированный»). Удобно также обозначить
последние два слагаемые в правой части (29) через (—42]) и
(—41]) соответственно. Итак, мы имеем следующие определения:
7
hA-j- Г Г г (О К (t, и) г (и) dtdu
т
J i
foAj gi{u)r(u)du,
Ti
**~НЫ1 + *
Tf
llPA-Y\si(u)m(u)du
При этих обозначениях КОП примет вид
iR+iD%inn-W-№=y-W-№Ay„ (35)
я.
Второе слагаемое в левой части (35) физически соответствует
либо операции вычисления взаимокорреляционной функции, либо
операции согласованной фильтрации, как показано на рис. 2.1.
31
(31)
(32)
(33)
(34)

Импульсная переходная функция согласованного фильтра,
указанного на рис. 2.1, б, имеет вид
т), 0<т<Г,-Г„
О при прочих т.
/><*)={ A(7J
Ранее мы встречались с этими операциями при рассмотрении
задачи обнаружения в присутствии небелого шума (§ 4.3 первого
тома). Таким образом, единственным новым элементом в оптимальном
приемнике является устройство формирования /д. В следующих
нескольких подпараграфах изложим ряд методов формирования /д
2.1.1. Каноническая реализация № 1: приемник в виде
оценивателя-коррелятора
Требуется сформировать величину
Tf
lR = — Г Г г (t) hx (/, и) г (и) dtduy (37)
Ti
где функция h± (ty и) удовлетворяет уравнению (23). Очевидная
реализация этой задачи показана на рис. 2.2, а. Заметим, что функция
hi (ty и) соответствует нереализуемому фильтру. Поэтому, чтобы ее
фактически реализовать, придется допустить некоторую задержку
в системе, изображенной на рис. 2,2, а. Это можно сделать, введя
в рассмотрение новый фильтр, выходное напряжение которого
является задержанной копией выходного напряжения фильтра с
импульсной характеристикой hi(t, и):
AW<*,«) = (M'-T'B)' Т' + Т<«Ъ + Т> ?'<»<?<> (38)
[ 0 при прочих /и и,
где
TATf — Tt (39)
— длительность интервала наблюдения. Добавив соответствующую
задержку в верхнюю ветвь схемы и интегратор, получим систему,
представленную на рис. 2.2, б.
Эта реализация имеет интересную интерпретацию. Предположим
сначала, что m (t) = 0, а затем вспомним, что уравнение (23)
встречалось ранее в контексте линейной фильтрации. В частности, если
бы нам был доступен процесс
r(t) = s(t) + w(t)y Tt^t^Tf, (40)
и нужно было бы оценить сигнал s(t)t используя критерий
наименьшей среднеквадратической ошибки или максимальной
апостериорной вероятности, то из (1—6.16) мы знаем, что результирующую
32

оценку su (t) можно было бы получить, пропустив процесс г (/)
через фильтр с импульсной характеристикой hx (t, и):
su (/) = jj lix (t, и) г (и) du, Тг < f< Tp
(41)
где hx (t, и) удовлетворяет (23), а подстрочным индексом и
подчеркивается, что данная оценка является нереализуемой. Рассматри-
гШ э
>
fy(t,u)
^
/
"о
1
No
/dt
J dt
I*
Ir
Рис. 2.2. Схемы формирования lR:
a — нереализуемый фильтр; б — реализация с задержкой,
вая рис. 2.3, видим, что приемник осуществляет корреляцию
процесса г (t) с оценкой сигнала s (t) по минимуму среднеквадратической
ошибки. Поэтому вариант реализации оптимального приемника,
представленный на рис. 2.3, часто называют приемником в виде
Ht)
'¥ '
—^
ЬЪи)
I л
| Su(t)
1
No
Jf
f dt
h
Рис. 2.З. Оцениватель-коррелятор (случай нулевого среднего).
оценивателя-коррелятора. Эта интерпретация интуитивно
представляется нам удовлетворительной. Данный результат впервые
был получен Прайсом [1—4].
Отметим, что интерпретация левой части (41) как оценки по
минимуму среднеквадратической ошибки справедлива только тогда,
когда процесс г (/) имеет нулевое среднее значение. Однако
выходное напряжение приемника (рис. 2.3) равно /д независимо от
того, каково среднее значение входного процесса. Путем несложной
2 Зак. 1494 33

модификации сделанного выше вывода можно также получить
интерпретацию в виде оценивателя-коррелятора и для случая, когда
среднее значение входного процесса отлично от нуля (см. задачу
2.1.1).
Все рассмотренные до сих пор фильтры, за исключением
изображенного на рис. 2.2,6, являются нереализуемыми и
получаются в результате решения интегрального уравнения (23).
Структурная схема, рассматриваемая в следующем подпараграфе, снимает
проблему нереализуемости.
2.1.2. Каноническая реализация № 2: приемник в виде
фильтра-коррелятора
Эта реализация следует непосредственно из (37). Нетрудно
заметить, что ввиду симметрии ядра hx (tt и) соотношение (37)
можно переписать в виде
Tf Г ' 1
lR = — f г(/) Г h1(tiu)r(и)du\dt. (42)
1 ° г, U. J
r(t)
I *<р
I—-I h\tt,u) I 1
u
f it
h
Реалиьуемыи
фильтр
Рис. 2.4. Приемник в форме фильтра-коррелятора.
При такой форме записи внутренний интеграл представляет
реализуемую операцию. Поэтому можно построить приемник, используя
реализуемый фильтр с характеристикой
Ai(M.) = [M''B>' t>U> (43)
I 0, t<u.
Эта реализация показана на рис. 2.4. Заметим, что выходное
напряжение реализуемого фильтра h[ (tf и) не является реализуемой
оценкой сигнала s (t) по минимуму среднеквадратической ошибки.
Импульсная переходная функция оптимального реализуемого
линейного фильтра для оценки сигнала s(t) есть hor(tf и) и
удовлетворяет уравнению
t
-^-hor (t, и) + j* h0, ({, z) К, (г, и) dz=К. (/. и), Т, < и < t,
(44)
34

т. е. не тождественна импульсной характеристике фильтра,
определяемой выражениями (23) и (43). Эта каноническая реализация
также предложена Прайсом [1]. Приемник, изображенный на
рис. 2.4, называют приемником в виде фильтра-коррелятора.
Мы включили его в рассмотрение для полноты изложения. На
практике его применяют редко и во всех последующих разделах книги
мы не будем его использовать.
2.1.3. Каноническая реализация № 3: приемник в виде
фильтра-квадратора-интегратора
Третью каноническую форму можно синтезировать путем
разложения импульсной переходной функции hx (t, и) на множители.
Введем в рассмотрение функцию hf (z, t)y связанную с hx (t, и)
соотношением
Tf
hx (t, и) = С hf (г, t) hf (г, и) dz, T% < t, и < Tf. (45)
Ti
Если не требовать, чтобы hf (z, t) была реализуемой, то можно
найти бесконечное число решений уравнения (45). На основании (24)
можно записать
оо
К ((, и) = 2 hiф* W ф* (")' Ti < '•и < Ti> (46)
где
h, = —^—. (47)
Нетрудно заметить, что
К ^ 0 = S ± Va; Ф,- (г) Ф, (/), Tt < г, t < Tf, (48)
является решением (45) при любом распределении знаков плюс и
минус по членам ряда.
С учетом (45) выражение (37) принимает вид
т
dz. (49)
°^Lr. J
Этот алгоритм можно реализовать последовательным включением
нереализуемого фильтра, устройства с квадратичной
характеристикой и интегратора, как показано на рис. 2.5.
Подходя к задаче реализации иначе, можно потребовать, чтобы
К (t, и) разлагалась на множители, соответствующие импульсным
2* 35

характеристикам реализуемых фильтров. Другими словами,
необходимо найти решение hjr (z, t) уравнения (45), равное нулю при
/ > z. Тогда
TfrTf
'НгЛ1Мг,0г(0
dt
TiLTt
dz.
(50)
Соответствующий этому алгоритму приемник показан на рис. 2.6.
Если временной интервал конечен, то затруднительно найти реали-
r(t)
llfriZj)
\К6адратор\
1/fit
JA
No
—-=►
Рис. 2.5. Приемник в форме фильтра-квадратора (нереализуемый).
зуемое решение уравнения (45) для произвольных сигнальных
процессов. Позднее мы встретимся с несколькими частными
ситуациями, которые позволяют получить простые решения.
Интегральное уравнение (45) является функциональным
соотношением, в некотором смысле аналогичным операции извлечения
квадратного корня. Поэтому будем называть hf (z, t) фунщиональ-*
ным квадратным корнем h± (t, и). Мы будем вводить в рассмотрение
только функциональные квадратные корни для симметричных
rftj
»fr(Z,t)
\Кдадратор\
NoJn
Ir
Рис. 2.6. Приемник в форме фильтра-квадратора (реализуемый).
функций двух переменных, которые можно разложить, как в (46),
по системе ортонормальных функций с неотрицательными
коэффициентами. Часто используется такая форма записи:
hx(t9 и) = $ h[lM(z, t)h[lM(z, u)dz.
(51)
Любое решение (51) называется функциональным квадратным
корнем. Заметим, что эти решения необязательно должны быть
симметричными.
Недостаток всех синтезированных до сих пор структурных схем
оптимального приемника заключается в том, что для их
действительной реализации необходимо решить уравнение (23). Из
материала гл. 4 первого тома известно, что это возможно лишь для
36

некоторых классов ядер и при некоторых условиях, наложенных
на концы интервала Tt и 7/. Задачи этого типа исследуются в гл. 4
данного тома. С другой стороны, в § 6.3 первого тома было
показано, что если интересующие нас процессы можно генерировать путем
возбуждения линейной конечномерной динамической системы белым
шумом, то имеется эффективная процедура для решения уравнения
(44). Следует отметить, что многие процессы как нестационарные,
так и стационарные, которые встречаются на практике, имеют
конечномерное представление состояния.
Чтобы использовать изложенные выше эффективные процедуры
вычисления, модифицируем теперь выведенные формулы так, чтобы
получить выражение для lRy в котором оптимальный реализуемый
линейный фильтр, определяемый уравнением (44), был бы
единственным фильтром, который необходимо найти.
2.1.4. Каноническая реализация № 4: приемник в виде
оптимального реализуемого фильтра
Основная идея этой реализации заключается в том, чтобы
формировать отношение правдоподобия в реальном масштабе времени
как выходное напряжение нелинейной динамической системы1).
Синтез структурной схемы приемника в этой форме представляет
интерес, поскольку рассматриваемый здесь основной метод
применим ко многим задачам. Для простоты обозначений в этом
параграфе положим Tt = О и Tf = Т. Первоначально будем
предполагать, что т (t) = 0, и рассмотрим только lR.
Очевидно, что lR является функцией длины интервала
наблюдения 7\ Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, можно записать
lR(T\r(u),0^u^T)AlR(T). (52)
Для рассмотрения задачи в более общем виде можно ввести в
рассмотрение функцию правдоподобия для любого момента времени /:
/Л(;|г(и),0<и</)А/Л(/), (53)
где lR(0) = 0. При этом lR (T) можно записать в виде
т т
Ir(Т) = j'-^p- dt=\iR(t) at. (54)
о о
г) Впервые вывод уравнения типа (66) был сделан Швеппом [5]. Этот
метод является модификацией синтеза линейного фильтра, выполненного
37

Теперь необходимо найти простой метод для формирования
lR (t). Заменив Т на / в (31), получим
t t
Ir (t)=у- j г (т) dx j* Ax (t, u:f)r(u)du, (55)
о о
где /ix (т, и : f) удовлетворяет интегральному уравнению
t
4L/ll(T> ":0 + ГМ*. 2:/)Ka(2, M)d2 = /Ce(T, и), 0 < T, H < f.
0
(56)
Заметим, что решение уравнения (56) зависит от /. Это
подчеркивается здесь формой записи к±(х9 и : t). Продифференцировав (55),
получим
1
г(0 Гм*. u:t)r(u)du +
о
(57)
Видим, что первые два слагаемые в (57) зависят от hx (t, и : /).
В этом случае (56) сводится к виду
— K{t^it)+^hl{t,z\i)K%{z,u)dz=KB{U и), 0<и</. (58)1)
о
Из материалов гл. 6 первого тома известно, что
t
sr(Q = jA1(/> u:t)r(u)au (59)
или
sr (t) = {h1(u9 t:t)r (u) du.
(60)
1} Заметим, что hx (/, и : t) = hor{t, и), см. (44) и (58).
38

(Подстрочный индекс г означает, что операцию (59) можно
реализовать с помощью реализуемого фильтра.) Формула (60) следует
из симметрии решения уравнения (56). Учитывая (59) и (60) в (57),
получим
t t
1
N0
2r
(Qs^Q+[rfTjr(T)a*l(T^:/)r(a)dJ. (61)
В задаче 1—4.3.3 было доказано, что
аМт,ц:0 =_д1 (T| t: q йх (/f и : /)f о < т, и </. (62)
д*
Поскольку этот результат является важным этапом нашего вывода,
приведем из [7] это доказательство.
Доказательство соотношения (62). Продифференцировав (56),
получим
2 dt J dt sv ' ^
+ h1(r,t:t)Ks(t,u)=0, 0<t,w<^.
(63)
Теперь заменим Ks (t, и) левой частью уравнения (58) и
перегруппируем члены. В итоге получим
Wo
il(t'°:" +h1(T,t:t)h1(t,u:t)
dt
=Д^~ +h1(r,t:t)hl(t,z:t)
Ks(z, u)dz, 0<т, ы</.
(64)
Заметим, что члены в фигурных скобках играют роль собственной
функции с собственным значением, равным (—N0/2). Однако
ковариационная функция Ks (Zj и) является неотрицательно
определенной, и, следовательно, она не может иметь отрицательного
собственного значения. Поэтому, чтобы (64) соблюдалось, выражение
в фигурных скобках должно тождественно равняться нулю. Что
и требовалось доказать.
Подставив (62) в (61) и учитывая (58), получим требуемый
результат:
U(t)=^[2r(t)sr(t)-s?(t)].
(65)
39

Следовательно,
т
lR=lR(T)=^- f [2r(0sr(0-s)(*)] dt. (66)1)
О
Прежде чем рассмотреть структуру оптимального приемника и
некоторые примеры целесообразно ненадолго отступить и
продемонстрировать алгоритм для вычисления бесконечной суммы вида
оо
2 In (1 + 2ЦШ0), которая необходима для определения порога
при испытании по критерию Байеса. Это уместно сделать именно
сейчас, поскольку процедура его вывода аналогична процедуре
синтеза, которая только что была завершена. Сначала необходимо
сделать два замечания по форме записи.
1. Собственные значения в данной сумме зависят от длины
интервала. Это обстоятельство подчеркивается записью Я* (Г).
2. Собственные функции также зависят от длины интервала и
поэтому ниже используется запись <Df (t: Г). Заметим, что
указанные обозначения ранее были использованы в гл. 3 первого тома
(см. с. 241).
Запишем данную сумму в виде
1=\ 0 L /=1
Выполнив операцию дифференцирования, получим
В гл. 3 первого тома (с. 242, (3.163)) было доказано, что
dVt{t)
dt. (67)
(68)
dt
и показано, что (см. (I—3.154))
= М(*)ФМ*:*). (69)
h± (/, t: /) = У ^ Ф? (/: /), (70)
1} Результат, эквивалентный (66), был независимо получен Стратоно-
вичем Р. Л. и Сосулиным Ю. Г. в [21—24]. Интеграл в (66) —
стохастический, и при работе с ним в случае произвольных, не обязательно гауссовых
случайных процессов необходимо проявлять некоторую осторожность.
В случае гауссовых процессов его можно интерпретировать как интеграл
Стратоновича и использовать вполне строго [25]. Для произвольных же
процессов предпочтительна формулировка в виде интеграла Ито [26—28].
(См. также работы [29, 30]). Для наших целей вполне адекватно
рассматривать (66) как обыкновенный интеграл и манипулировать им* используя
стандартные формулы интегрального исчисления.
40

где hx (ty tit) — импульсная переходная функция оптимального
(по критерию наименьшей среднеквадратической ошибки)
реализуемого линейного фильтра, определяемая уравнением (58). На
основании (1—3.155), (44) и (58) наименьшая среднеквадратическая
ошибка реализуемой оценки равна
tps (t) = 4-° Л1 е. t: f) д 4° v (и t).
Следовательно,
2 in(i+2-^-)j=j' hor{t, t)dt=^-^tPs(t)dt.
Согласно (33) имеем
w-
:_J_y in [i+±L = —l-{M)dL
(71)
(72)
(73)
Отсюда видно, что если использовать каноническую реализацию № 4,
то первый член порога, необходимого для байесовского испытания,
получается как побочный результат. Второй член (см. (34)) обуслов-
Ht)
—^t
X ^ Т_ Т_ I 1
Оп/лималь-
Нб/и
реализует/и
фильтр
Ы)
ъмдадратор
Г
i*nf
Ш
Рис. 2.7. Реализация оптимального приемника в форме оптимального
реализуемого фильтра (каноническая реализация № 4).
лен наличием среднего значения и его вычисление будет дальше
рассмотрено. Структурная схема реализации № 4 устройства
формирования lR и 41] показана на рис. 2.7.
Прежде чем закончить рассмотрение вопроса о пороге, следует
сделать некоторые дополнительные замечания. Бесконечная сумма
такого вида, как в левой части (72), будет появляться в различных
контекстах по ходу изложения книги, поэтому нужна
эффективная процедура для ее вычисления. Покажем, что эту сумму можно
также записать как логарифм определителя Фредгольма [8]:
|Ч,+х)-И?, (1Н
In D* -4-
2_
N0
(74)
D
Теперь необходимо найти эффективный метод вычисления
& (2А/У0)- Одна .из процедур определения D^ (•) — вычислить
Ips (t) и использовать интегральное выражение из правой части
(73). Вторая процедура для вычисления £>jr (•) является побочным
41

результатом процедуры решения уравнений Фредгольма для
некоторых сигнальных процессов (см. т. II, Приложение). Третья
процедура заключается в использовании соотношения
2ln^l + ^J = j dzj AJ/, i\z)dU (75)
/=1 0 Ti
где hx (t, t\z) — решение уравнения (23) при NJ2 = z. Заметим, что
(75) определяет импульсную переходную функцию оптимального
нереализуемого фильтра. Этот результат выводится в задаче 2.1.2.
Выбор процедуры зависит от конкретной задачи.
До сих пор не делалось каких-либо подробных предположений
о характере сигнального процесса. Теперь рассмотрим реализацию
№ 4 с точки зрения ее возможного использования для приема
сигнальных процессов, которые можно генерировать путем
возбуждения конечномерной линейной системы белым шумом. Назовем
соответствующий приемник «реализацией № 4S» («S» означает
«состояние»).
2.1.5. Каноническая реализация № 4S: реализация в переменных
состояния
Этот класс представляющих интерес сигнальных процессов был
подробно описан в § 6.3 первого тома (см. с. 591—612). Такой
процесс описывается уравнением состояния
x(0 = F(0x(0+G(0u(0, (76)
где F(/) и G(0 — изменяющиеся во времени матрицы, и уравнением
наблюдения
s (0 = С(/) х(*), (77)
где C(t) — модуляционная матрица. Выходной процесс u (t) —
выборочная функция векторного белого шумового процесса с
нулевым средним и ковариационной функцией
Elu(t)u4%)] = Q6(f —т). (78)
Начальные условия имеют вид
Е[х(0)1 = О, (79)
Е[х(0)хГ(0)] ДР0. (80)
Из п. 6.3.2 первого тома известно, что реализуемая оценка сигнала
s (t) по минимуму среднеквадратической ошибки определяется
уравнениями
sr(O = C(0i(O. (81)
Ut) = F(t)i(t) + lp(f)C^t)(2lN0)[r(t)-C(t)x(t)]. (82)
42

Матрица |Р (t) является ковариационной матрицей ошибки
х (0 - i (t):
Ь(*) А Е [(х (0-х (/)) (х'(t)-xT(t))]. (83)
Она удовлетворяет нелинейному матричному дифференциальному
уравнению
\р (/) = F (0 \Р (0 + \р (t) F (0 - |я (0 (7 (t) (2/tf0) С (0 |р (0 +
+ G(/)QG7,(0. (84)
Реализация
\дис/?ерсионного
уравнения
Матричная
операция
КЩрШЪНр,Ш
Рис. 2.8. Реализация оптимального приемника в переменных состояния
(каноническая реализация № 4S).
Средний квадрат ошибки оценки сигнала s(t) равен
Ы0 = С(№р№тУ). (85)
Заметим, что lP(t) есть ковариационная матрица ошибки для
вектора состояния, a %Ps(t) — скалярный средний квадрат
ошибки оценки сигнала s(t). Значения (84) и (85) можно вычислять до
приема процесса r(t) или одновременно с вычислением x(t).
Система, необходимая для формирования lR и llJ\ показана
на рис 2.8. Уравнение состояния, описывающее lRt получается
из (65):
1
1*«) = -Ж-12г(*)*г(*)-*?«)],
(86)
где sr(t) определяется уравнениями (81)—(84), а через lR
обозначено
lRAlR (Г). (87)
Важной особенностью этой реализации является то, что здесь
не приходится решать интегральные уравнения. Отношение прав-
43

доподобия формируется как выходное напряжение динамической
системы. Рассмотрим теперь простой пример, иллюстрирующий
применение изложенных выше положений.
Пример. На рис. 2.9 показана гипотетическая система связи,
которая иллюстрирует многие из важных особенностей реальных
систем, работающих по каналам с замираниями. В гл. 10 будут
рассмотрены модели каналов с замираниями и показано, что они
являются обобщениями системы, разбираемой здесь в качестве
примера. Когда истинна гипотеза Hlf передается детерминированный
сигнал f(t). Когда истинна гипотеза #0, ничего не передается.
Канал оказывает двоякое влияние
на передаваемый сигнал.
Передаваемый сигнал умножается на
Выборг :/ttJ) JL 4■♦ г( рочную функцию гауссова случай-
И°:0 г —*\*)—*\+/-"^ ного пРоцесса *(')• Во многих слу-
Вх°я -* + чаях этот канальный процесс на
интересующих нас интервалах вре-
Рис. 2.9. Модель простого муль- мени будет стационарным. Выходной
типликативного канала. сигнал мультипликативной части
этого канала искажается аддитивным
белым гауссовым шумом w (t)> статистически независимым от b(t).
Таким образом, принимаемые по двум гипотезам колебания имеют
вид:
r(t) = f(t)b(t) + w(t), 0 < * < Т : Н19
r(t) = w(t), 0 < t < T : Н0. ~ (88)
Предполагается, что канальный процесс имеет следующее
представление в переменных состояния:
k(t)=F(t)x(t) + G(t)u(t), (89)
где u(t) удовлетворяет (78) и
b(t) = Cb(t)x(t). (90)
Сигнальный процесс при гипотезе Нг записывается в виде
s(t) A f(t)b(t). (91)
Заметим, что если функция f(t) не постоянна на интервале [0, Т]9
то процесс s (t) будет нестационарным даже при условии, что
процесс b(t) является стационарным. Очевидно, что процесс s(t)
имеет такое же уравнение состояния, как и процесс b (t). В
результате объединения (90) и (91) получим уравнение наблюдения в
форме
s(t) = f(t)Cb(t)x(t)AC(t)x(t). (92)
Видим,что передаваемый сигнал f(t) появляется только в
модуляционной матрице C(t).
Поучительно вычертить структурную схему приемника для про-
44

стого случая, когда процесс b (t) имеет одномерное уравнение
состояния с постоянными коэффициентами. Пусть
F(*) = -kb,
G(0 = 1,
Q = 2kbal
Cb(t)=h
Ь (0)
Тогда (82)—(85) сводятся к виду
о\.
x(i)=-kbx(t) + -A-iP(t)f(t)[r(t)-f(t)x(t)},
b(t)=-2kblP(t)
N0
■f4t)tt(t) + 2kbol,
tPs(t) = P(t)lP(t).
(93)
(94)
(95)
(96)
(97)
(98)
(99)
(100)
Получающаяся в результате структурная схема приемника
показана на рис. 2.10.
С другими примерами канонической реализации № 4S мы будем
встречаться по ходу дальнейшего изложения^материала. Прежде
чем закончить рассмотрение этой реализации и перейти к другому
вопросу, целесообразно сделать некоторые замечания по
формированию Id, т. е. компоненты отношения правдоподобия,
появляющейся из-за существования среднего значения сигнального
процесса. Если этот процесс имеет конечное представление в
переменных состояния, то обычно бывает проще формировать lDj
используя оптимальный реализуемый фильтр. Процедура вывода здесь
аналогична процедуре вывода (54)—(66). Из (22) и (26)—(28) имеем
т г т -1
г (т) dx.
lD(T)=— И т(т) — Гл^т, u:T)m(u)du
Как и прежде,
о l
lD(T) = J
dip (0
dt
dt,
(101)
(102)
dlD (0
dt
■ N,
- \r(t) \tri(t)— ГЛх(/, u:t)m(u)du -
t
—mifj^h^ix, t: f) г(т)dx +
+ \\К(т, t:t)hi(t, u:()m(u)r(x)dxdu
(103)
45

Получающаяся в результате структурная схема показана ш.
рис. 2.11. Выход нижней ветви является детерминированнс^й
функцией, которую обозначим через K(t):
K^Am^—ih^t, u:f)m(u)du, 0<*<7\
(Ю4)
Так как К (0 не зависит от г (t)y ее можно формировать до приема
какой-либо информации. Из (104) следуют две эквивалентные
реализации, показанные на рис. 2.12.
Кбадратор
Mi)
Реализация дамерсаоллого уравнения лада fреально*
масш/nafc 0ре*ели,ла#о с лреМарителш/* ffb/числение*'
Рис. 2.10. Реализация оптимального приемника, формирующего ^#+^,
в форме системы с обратной связью.
Заметим, что (101) (и, следовательно, рис. 2.11 и 2.12) не
требует, чтобы процессы допускали представление в переменных
состояния. Если процессы имеют конечное представление в
переменных состояния, то оптимальный реализуемый линейный фильтр
можно лег™ синтезировать, используя метод переменных
состояния. Используя представление в переменных состояния в (76)—(80)f
получим реализацию, изображенную на рис. 2.13, а1К Заметим,
что вектор состояния на рис. 2.13, а не х (t)> так как процесс
r(t) имеет ненулевое среднее; этот вектор обозначим через х (t).
1} Как и следует ожидать, система, изображенная на рис. 2.13,
тождественна системе, которая получается при использовании метода «выбеливания»
(см.* например, [9J или задачу 2.1.3.).
46

Ht)
-м
Оптималь-
нд/йреали-
эуемь/й
фильтр
-®
m(t)
h7(t,u:t) +
if"
Ь

Оптимальный
реализуемый
фильтр
а*-"
Ф
hfttx-t)
Рис. 2.11. Схема формирования lD при помощи оптимальных реализуемых
фильтров.
r(t)
-*t
hf(t,u:t)
тЛ
h
ю
r(t)
■ ^'
'■' "^
h,(t,u:t)
ta
-4
„,f
ЛУУ Отсчет 0 момент
дремени t-T
А
£ Л77-г;
#
Согласованный
филтр
V
Рис. 2.12. Схемы формирования /D.
/V»
ц
;
V
*v>
h^*|^^;c?/; |=»Q*|i- ННС^Н"
LrnJr
' /fit)
h
r(t)
ЦсйП
a)
Рис. 2.13. Реализация оптимального приемника, формирующего lD, в
переменных состояния.
47

Структурную схему рис. 2.13, а можно упростить, как
показано на рис. 2.13, б. Компоненту lD (t) можно также записать в
канонической форме представления в переменных состояния:
«в (О
х(0
О - — /С(/)С(/)
о f(0-tt lP(i)CT(t)C(t)
h (0'
х(/)
+
N*
Л'(О
J5-W0C40
'(0,
(105)
где K(i) определено на рис. 2.11, а |Р(0 —уравнением (84).
Сопоставляя выражения (32) и (34), можно заметить, что их
структура тождественна. Следовательно, 42] можно генерировать
(формировать) путем возбуждения динамической системы,
описываемой (105), процессом (—т (t)l2) вместо процесса г (t).
Следует подчеркнуть, что наличие ненулевого т (t) в
соответствии с (86) не влияет на генерацию компоненты lR (t).
Единственное различие заключается в том, что sr (t) и х (t) более не являются
оценками по критерию наименьшей среднеквадратичной ошибки
и поэтому мы их обозначаем через sr (t) и х (t) соответственно.
Полная система уравнений для случая ненулевого среднего будет:
1*(0 = -^ l-s?(0 + 2г(0sr(01, (106)
Ь(0=[ ^K(t)C(t)]lD(()+-^K(t)r(fh - (107)
sr(t) = C(t)x(t)y (108)
Z(t) = F(t)x(t)+^lp(t)C^t)[r(t)-C(t)x(t)], (109)
при начальных условиях
х(0) = 0, (ПО)
Id (0) = 0. (Ill)
Матрица lP(t) определяется дифференциальным уравнением (84).
Смещения описываются выражением (73) и модифицированным
вариантом (105).
На этом завершается рассмотрение реализаций (в переменных
состояния) оптимального приемника для обнаружения и оценки
гауссовых сигналов на фоне белого гауссова шума. Особое
внимание было обращено на структурные схемы, основанные на
реализуемых алгоритмах оценки. Можно также развить и другой
подход, основанный на нереализуемых алгоритмах оценки (см. задачу
1—6.6.4 и 2.1.4).
Прежде чем приступить к анализу помехоустойчивости
оптимального приемника, подведем краткие итоги по результатам
рассмотрения различных структурных схем приемника.
48

2.1.6. Краткие итоги § 2.1
В этом параграфе был синтезирован критерий отношения
правдоподобия для простой бинарной задачи обнаружения, в которой
принимаемые по двум гипотезам колебания имеют вид
r(t) = w (0, Ti^t^Tf:H0y
(Н2)
г (t) = s (t) + w(t)9 Tt^t^TfiH^
В результате был получен следующий критерий испытания:
lR-VlD>\nx\-l{P-№, (ИЗ)
//о
где различные члены определяются выражениями (31)—(34).
Затем были рассмотрены четыре структурные схемы приемника,
которые можно использовать для реализации испытания по
критерию отношения правдоподобия. Первые три структурные схемы
основываются на оптимальном нереализуемом фильтре и требуют
решения интегрального уравнения Фредгольма [23]. В гл. 4 будут
рассмотрены задачи, для которых это уравнение можно легко решить.
Четвертая схема основывается на оптимальном реализуемом фильтре.
Для этой реализации пришлось решить уравнение (44). Для
большого класса процессов, в частности, имеющих конечное
представление в переменных состояния, уже был изложен эффективный
метод решения этой задачи (метод Кальмана—Бьюси). Следует
еще раз подчеркнуть, что все рассмотренные структурные схемы
приемника реализуют критерий отношения правдоподобия и,
следовательно, должны иметь одинаковые вероятности ошибки.
Зная различные, альтернативные схемы построения приемника,
можно выбрать простейшую в реализации.1) В следующем
параграфе исследуется помехоустойчивость приемников, реализующих
критерий отношения правдоподобия.
2.2. Помехоустойчивость оптимальных приемников
В этом параграфе проведем анализ помехоустойчивости
оптимальных структурных схем приемника, которые были
синтезированы в § 2.1. Все эти приемники осуществляют испытание по
критерию, описываемому выражением (35), в виде
1=Ir + Id + Ib> lnii = Y, (114)
н2
1} Наличие других структурных схем может представляться читателю
весьма сомнительным преимуществом, затрудняющим понимание существа
вопроса, поскольку для различения реализуемых и нереализуемых фильтров,
случаев нулевого и ненулевого среднего значения и т. д. требуется
определенное усилие. Задачи, помещенные в конце гл. 4, помогут в запоминании
различительных признаков.
49

где
т
Ч
/* = -^-ffr(/)M'. u)r(u)dtdu, (115)
Ti
ту
b=S'gi(«)r(tt)<to, (116)
/вА/УЧ421. (117)
Напомним, что согласно (33) и (34)
4.1д_±2Ц, + _±). (1,8,
( = 1
42]А L Г gl (И) m (И) rf„. (119)
Для вычисления Ро и /V необходимо найти вероятность
того, что I превысит у по гипотезе Нг и Н0 соответственно. Эти
вероятности равны
PD=] PhhALI^cIL, (120)
PF = \pn„t(L\H0)dL. ' (121)
V
Компонента Id является линейной функцией гауссова процесса,
поэтому она является гауссовой случайной величиной, среднее
и дисперсию которой легко вычислить. Однако компонента 1%
получается путем нелинейной операции над процессом г (f) и ее
плотность вероятности определить трудно. Чтобы
проиллюстрировать эту трудность, рассмотрим первый член выражения (25). Так
как он соответствует lR до того, как мы положим /С-> оо,
обозначим его через
N° ft K+No/2
Видим, что /£ — взвешенная сумма квадратов нормальных
случайных величин. Выражение (122) известно нам из рассмотрения
общей гауссовой задачи в § 2.6 первого тома. Действительно, если
бы величины Rt имели нулевые средние, то (122) было тождественно
50

(1—2.420). Также отмечено, что если бы все Ц были равны, то
/я имела бы распределение %2 (хи-квадрат) с К степенями свободы
(см., например, (1—2.406)). С другой стороны, в случае неравных
к* можно было бы записать выражение для плотности вероятности,
но при больших К оно практически не поддается дальнейшей
обработке. Ввиду независимости величин R( нетрудно получить
характеристическую функцию и производящую функцию моментов величины
/я (см., например, задачу 1—4.4.2). При заданной
характеристической функции можно в принципе найти по крайней мере
плотность вероятности путем преобразования Фурье численными
методами. На практике обычно интерес представляют случаи
малых вероятностей ошибок и поэтому «хвосты» распределений
рпн, (L | Н{) необходимо знать точно. Это требование приводит
к тому, что объем вычислений при точном численном преоб*-
разовании оказывается чрезмерно большим. Этим объяснялась
необходимость рассмотрения границ качества и соответствующих
приближений в § 2.7 первого тома. В настоящем параграфе
аналогичное рассмотрение мы проведем для случая, когда /С->оо.
Напомним1), что функция \хК (s) играла центральную роль при
изложении материала § 2.7 первого тома.Согласно (1—2.444) имеем
|i#c(s)Aln[0/(R),//.(s)J, (123)
(подстрочный индекс К подчеркивает то обстоятельство, что мы
имеем дело с /С-членным приближением к процессу г (*)), где I (R) —
логарифм отношения правдоподобия
'«-,пА«-4Ж^]- (i24>
а Ф/(И)| h0(s)—производящая функция моментов
<bim\H.(s}=El#lm\H0] (125)
для действительных s. С учетом определения /(R) в форме (124)
из (123) имеем
оо оо
l**(s)=In J ... j [Pr|W,(Rl^i)]s[Pr,Wo(R^0)]'-MR. (126)
— оо —оо
Затем в §2.7 первого тома были получены выражения (1—2.470) для
верхних границ вероятностей ложной тревоги PF и пропуска Рм:2>
1} Здесь предполагается достаточное знание материала § 2.7 первого
тома,
2> Границы для Р (£) нами также были получены в первом томе. Так как
они более подходят для общей бинарной задачи, мы дадим их обзор в
следующем параграфе.
51

Pf <exp[|i/c(s)—s|i/c(s)],
PM < exp lixK{s) + (1— s) \xK (s)],
0<s^l, (127)
где ]хк (s) = ук — порог при испытании отношения
правдоподобия. Варьируя параметра, мы могли исследовать влияние
установки порога в любой точке между Е [I \ Нг] и Е [I| Я0]. Определение
/(R) в форме (124) гарантировало нам, что \ix(s) существует
при 0 < s < 1.
Введем теперь в рассмотрение функцию
fx(s)A lim \iK(s). (128)
Если можно показать, что данный предел существует, то
граничные выражения (127) будут по-прежнему справедливы. Однако,
чтобы быть полезным, выражение (128) должно быть записано
в форме, удобной для вычислений. Поэтому наша первая цель
в данном параграфе — найти удобное выражение в замкнутой
форме для (х (s).
Другими полезными результатами § 2.7 первого тома были
приближенные выражения для вероятностей ошибок (I—2.480) и
(1—2.483):
Рр£* — * exp [|i (s) — s\i (s)], s > 0, (129)
V2nsa Ji, (s)
Рмсх l exp lufc)+g-s)ii fell, s<l. (130)
У 2я(1—s)3fi(s)
Как было указано на с. 132 первого тома, экспоненты в этих
выражениях тождественны экспонентам в выражениях для границы
Чернова (I—2.461), но во многих интересующих нас приложениях
большое значение имеет коэффициент, стоящий перед экспонентой.
Чтобы вывести формулы (129) и (130), было использовано
доказательство центральной предельной теоремы. Для задач,
рассмотренных в § 2.7 первого тома (см., например, примеры 2, 3 и ЗА
на с. 134—138 первого тома), было легко удостовериться, что
центральная предельная теорема к ним применима. Однако в случае,
представляющем интерес в большей части настоящей главы, сумма,
определяющая lR в (122), не удовлетворяет условию применимости
центральной предельной теоремы. Поэтому нам необходимо ис^
пользовать новый подход к отысканию выражения для
вероятностей ошибок. Это является второй целью данного параграфа.
Наряду с этим в данном параграфе выведено другое выражение
для вычисления \i (s) и подробно проанализирован один типичный
пример. Таким образом, данный параграф подразделяется на
четыре нижеследующие подпараграфа.
52

2.2.1. Выражение для |x(s) в замкнутой форме
Сначала определим \iK(s) для конечного К. Подставив (18)
в (126), получим
ОО ОО /
ОО ОО V
1
' К
П-7
7=1 У 2л(ЛГ0/2+^)
X
X
""72
1 £' IRt-mt)* \\s
1
К
i=l Т/2я(Л/0/2)
| I —S
d/?i... dtf*.
£, (XJ+tf./S)
Хехр LV Jli_
V 2 i=i ^о/2 /,
Выполнив интегрирование, будем иметь
1 £ Г , Л й!\ , / 2(1—s)%s.
X
(131)
»=i
.J_V I Щ
2 ffi U./2 (!-«) + *?,
0<s<l.
(132)
Из материала, изложенного на с. 30, известно, что первая сумма
в правой части (132) имеет хорошее приближение при /С-> оо.
Сходимость второй суммы легко доказывается:
т
<^у __^ < 2(1~s) [ m2(t)dt. (133)
^(^/2(1-5)+^) ^
Теперь вычислим предел (132) при /С-> °о. Существование первой
суммы обусловлено случайностью сигнальной компоненты s(t),
поэтому обозначим ее через \xR (s). Существование второй суммы
обусловлено детерминированной компонентой процесса r(t),
поэтому обозначим ее через \iD (s):
i*<s)At2
(1—s)ln 1
i=l ■-
зы
1 +
2(1 — s) XJ
Ю (s) Д--§- ^
m
2 ff, JV,/2(i-e) + XJ
(134)
(135)
Найдем теперь выражения в замкнутой форме для сумм в (134)
и (135). Рассмотрим сначала \ir(s). Обе суммы в (134) связаны
53

с ошибками реализуемой линейной фильтрации. Для
иллюстрации этого рассмотрим задачу линейной фильтрации, в которой
r(u) = s (и) + w (и), Г* < и < *, (136)
где s (и) — процесс сообщения, имеющий нулевое среднее и
ковариационную функцию Ks (t, u)y aw(u) — белый шум со
спектральной плотностью N0/2. Используя результаты гл. 6 первого тома,
можно синтезировать линейный фильтр, выходное напряжение
которого является точечной оценкой s(-) по минимуму средне-
квадратической ошибки, и определить получающийся средний
квадрат этой ошибки. Обозначим его величину через %p(t\s (•),
N0/2). Причина для такой, казалось бы, громоздкой записи будет
очевидна из дальнейшего изложения. Используя (72), средний
квадрат ошибки можно записать через сумму собственных
значений:
1 + f)=v{4 "*<•>■ ^)«»- 037,
Сравнивая (134) и (137), нетрудно получить требуемый результат:
"М-^И'К-^-Ч'И -г&г)]Л (138)
Ti
Итак, чтобы найти \iR (s), необходимо определить среднеквадрати-
ческую ошибку для двух задач реализуемой линейной фильтрации.
В первой задаче сигнал есть s (•), а шум является белым и имеет
спектральную плотность N0/2. Во второй задаче сигнал также s (•),
шум является белым и имеет спектральную плотность NJ2 (1 — s).
Нетрудно также получить другое выражение для \iR (s):
Tf
^(S) = "^" J [(1-^)^(ф(0>^)—gp(^|Vi-ss(o,-^)]^.
(139)
Уровень шума одинаковый в обоих случаях расчета, но амплитуда
сигнального процесса изменяется. Формулы (138) и (139) — первые
важнейшие результаты нашего анализа помехоустойчивости. Если
сигнальный процесс таков, что можно вычислить среднеквадра-
тическую ошибку реализуемой фильтрации для задачи оценки
s (t) при наличии белого шума, то всегда можно найти \iR (s).
Далее нам необходимо найти удобное выражение для \iD (s).
Чтобы вычислить сумму в (135), вспомним задачу обнаружения
известного сигнала на фоне небелого шума, которая была подробно
54

рассмотрена в § 4.3 первого тома. Принимаемые по двум
гипотезам колебания в этом случае записываются в виде
r(t) = m(t) + nc(t) + w(t), Tt^t^T,: Hlt
r (t) = nc (t) + w (t), Tt^t^Tr. H0. (140)
При определенном выборе ковариационной функции процессов
пс (t) и w (t) можно получить требуемую интерпретацию. Пусть
E[n(:(t)nc(u)]=K,(t, и), Ti^t,u^Tf,
N„
E[w(t)w(u)]
2(1—s)
(141)
б (t — u), Tt < t, и < Tf. (142)
Тогда из материала гл. 4 первого тома (с. 335) следует, что
оптимальный приемник должен осуществлять операцию корреляции
процесса г (t) с функцией g (t\ NQI2 (1 — s)), которая удовлетворяет
уравнению *>
т
No
«Н
m(t) =
К At, Щ
2(1-5)
8 (t—u)
g "
—^—)du. (143)
2(1—s) ) К '
Напомним также, что функцию g(t\-) можно записать в явном
виде через собственные функции и собственные значения
ковариационной функции Ks (t, и). Записав
подставив в (143) и решив относительно gt, получим
ffi=-
щ
где
Xj+JV,/2(l-s)
nttA^ т(<)Ф,(*)Л.
(144)
(145)
(146)
Подставив (145) и (146) в (135) и использовав теорему Парсеваля,
получим
Hd(s)=—§-J m(f)g[t
N« \
2(1—s) )
dt.
(147)
Нетрудно заметить, что интеграл в (147) есть просто d2 для задачи
обнаружения и оценки известного сигнала на фоне небелого шума,
1} Это обозначение используется для того, чтобы подчеркнуть, что,
помимо Ks (U и), функция g (/|.) зависит от NQ и s.
55

описываемой соотношениями (140) (см. I—4.198). Позднее мы
встретимся с несколькими эквивалентными выражениями для \iD (s).
Обозначим предел правой части (132) при /(->оо через \i(s).
Таким образом,
Я И*) = Ms) + Hd(s). (148)
С учетом (138) и (147) получаем выражение для \i (s) в замкнутой
форме. Оно позволяет вычислить границы Чернова (127) при К ->- оо.
В следующем параграфе выведем приближенные выражения для
вероятностей ошибок, аналогичные (129) и (130).
2.2.2. Приближенные выражения для вероятностей ошибок
Чтобы записать приближенное выражение для вероятностей
ошибок, вернемся к выводу в § 2.7 первого тома (с. 130).
После модификации и нормировки плотности модифицированной
случайной величины было получено выражение (I—2.477) для
вероятности ложной тревоги PF, которое мы здесь воспроизведем.
Оно имеет вид
PF=exp [fx (s) -s|i (s)} J exp f -s V jl (s) Y \ py (Y) dY, (149)
о
где Y — случайная величина с нулевым средним и единичной
дисперсией. Предполагается, что \i (s) = у. Напомним, что
y=(x8—vi(s))lVvL(s)t (150)
PXs (X) = exp [sX—\i (s)] pi \н0(Х\ Н0). (151)
Логарифм отношения правдоподобия можно записать в виде
/=/* + /D + /bl] + A21. (152)
(Заметим, что порог равен у в соответствии с (35).) Величина /
является также пределом суммы в (19) при /С-> оо. Если бы
взвешенные случайные величины в первой сумме (19) были одинаково
распределенными, то при К ->- оо плотность ру (Y) стремилась бы
к гауссовой. Пример на случай такого типа был дан в первом томе
на с. 134. В рассмотренной там задаче
X^ol i=l, 2,.../tf, (153)
вследствие чего взвешивание в первом слагаемом (19) было
равномерным, а случайные величины — одинаково распределенными.
В модели настоящей главы предполагается, что s(t) имеет конечную
оо
среднюю мощность (см. (4)). Поэтому сумма 2 Xt является конечной.
56

Если сумма дисперсий составляющих случайных величин конечна,
то центральная предельная теорема не может применяться (см. [10]).
Это означает, что нам необходимо воспользоваться другим
теоретическим основанием для получения приближенных выражений для
Рг и Рм.
Один из логичных подходов заключается в разложении
плотности вероятности ру (Y) в ряд Эджворта. Первый член этого
разложения является гауссовой плотностью. Остальные члены
учитывают негауссов характер исходной плотности. Далее этот анализ
будет выполнен подробно. Основными его результатами являются
приближенные выражения для PF и Рм-
PF~
У2Л52[1(5)
exp[fi(s)—S(x(s)], 0<s< 1,
(154)
Рм^
]/2л(1—s)2jl(s)
exp [|i (s) + (1 —s) |1 (s)], 0 < s < 1. (155)
Видим, что (154) и (155) тождественны (129) и (130). Таким образом,
данный вывод приводит к такому же результату, как и прежде.
Существенное различие лишь в том, что мы подошли к (154) и
(155), не прибегая к центральной предельной теореме.
Вывод приближенных выражен и^й для
вероятностей ошибок1). Первый член ряда Эджворта
представляет собой гауссову плотность вероятности
Ф(К)А
1 е-У2/2
У2я
(156)
(Структура остальных членов ряда и их упорядочение подробно
рассмотрены в монографии Крамера [12].) Базисные функции имеют
вид
dk Г 1 —у2/2]
г
Ф<*>(К)д.
dYk П/2я
(157)
Запишем ряд Эджворта
ри{У) = Ф(У)-
+
ГИф<3> (У)] + Г У*. ф<4> (Г) + 2М.ф<6> (F)l-
_ I 'Vs. ф<5> (Y) + ®Ш± ф(7> (Y) + ^Ы ф<9> (у)] +
\JL. ф<6> (V) + (JL+ У**.) ф<8> (Y) +1*1*.ф(10) (Y) +
1.720 v V 1152 720 7 V 7Л 1728 V '
" + ..., (158)
■ VI ф»2>(П
31104 v ;
11 Этот вывод впервые был сделан в [11].
57

где
л dn/dsn^js)]
~ [Ms)]n/2 ' п — 6>%- • (i™>
Видим, что все коэффициенты можно выразить через \i (s) и ее
производные. Подставим теперь (158) в интеграл (149). В результате
получим сумму интегралов вида
Ih(a)=Jo{k)(Y)e^aYdYt (160)
о
где
aAs(|l'(s))1/2. (161)
Повторное интегрирование по частям дает выражение для /й (а)
через erf с* (а). Указанные интегралы равны
/0(a) = erfcJ|:(a)eaV2) (162)
/*(а)=а/*-1(а)-Ф(*-1)(0), *>1. (163)
Если использовать только первый член ряда, то
PF~ P[P Aexp[fi(s)^S|l(s) + s2(x(s)/2]erfc*(sl^JT(s)). (164)
При больших s, когда s (\i (s))1/2 ^2, можно использовать
приближение к функции erfc* (X), приведенное на рис. 2.10 первого тома:
(165)
(166)
erfc*(X)^w
Тогда (164) сведется к
р^РП]д 1_
е-хг'\ Х>2.
= exp[|A(s)—s(x(s)]
V%ns* |i (s)
Такой же результат был получен, когда была справедлива
центральная предельная теорема. Второй член приближения найдем,
используя /3(а) из (163):
/>J?]e —^exp [jx (s) —s|l (s)] [(s/iT^j)310{sVj{s)) +
+ ^i=.(l-sV(s))]. (167)
Теперь
/0 [s Vpj?)) = erfc* (s "К]Г(Й) exp [s2 ji (s)/2]. (168)
58

В задаче 2.2.15 первого тома (с. 143) было показано, что
1
X
Х[ 1— —+ -е-)е " '\ (169)
Можно установить верхнюю границу абсолютного значения P[F2]-
|Н2,К
7з
exp[n(s) — sjx (s)] x
X
[{sVp(s)) y^y^A1 1^+^ш2)+
+1^о--,А«
ji(s)
1
2 У 2ns2 ji (s)
^—|—ipyj
s^(s) • s*(Ms))2.
exp[|i(s) —s(i(s)]
s
С учетом (169) имеем
№1
V\i{s)
H(3)(s)
F,.
2s[il(s)f
PFXl
(170)
(171)
Итак, для любого заданного значения \i (s) можно определить
границу модуля второго члена относительно границы первого
члена. Используя большее число членов ряда в (169), можно
получить границы других членов ряда (158). Заметим, что это не
граница относительной ошибки определения Рр, а просто граница
модуля последующих членов. В большинстве наших вычислений
мы будем использовать только член первого порядка Р^1].Член
второго порядка Р{Р был найден для ряда примеров, и, как
правило, он мал по сравнению с Р/Л. Граница РР вычислена для
нескольких типичных систем в задачах вне основного текста.
Чтобы вывести приближенное выражение для Рль нам
придется прибегнуть к аналогичной схеме рассуждений. Исходным
является выражение (172), которое получается из (1—2.465)
заменой переменных:
о
Рм = ехр [|х (s) + (1 -s) [I (s)] j ехр [(1 - s)Vji (s) Y] pv (Y) dY. (172)
Приближение с удержанием только первого члена имеет вид
PM~P^=|exp
ll(s) + (\-s)ii(s)+-^-ii(s)
х
X erfc* [(1 —s) Ур(з)], 0 < s < 1.
(173)
59

Используя это приближение в (165), получим
РмыР№.й.^ 1 .. "exp[|i(s) + (l-s)tl(s)I, 0<s<l.
]/2п(1 —s)«n(s)
(174)
Границы для членов более высокого порядка устанавливаются
точно так же, как в случае вывода выражения для PF.
Формулы (164), (166), (173) и (174) в сочетании с выражениями
(138) и (147) в замкнутой форме для \i (s) позволяют эффективно
оценивать приближенное качество оптимального критерия.
Недостаток этого подхода в том, что в общем случае нельзя установить
ошибки такого приближения. Позднее будут получены границы
для некоторых частных случаев и будет показано, что данное
приближение первого порядка является точным и в этих случаях.
Вернемся теперь к задаче вычисления fx (s) и разработаем
другую процедуру.
2.2.3. Другое выражение для ^(s)1)
Выражения (138) и (139) зависят от среднеквадратической
ошибки реализуемой оценки. Если необходимо построить оптимальный
приемник, используя реализацию в переменных состояния, то
требуется предварительно вычислить lP(t\s (•), NQ/2). С другой
стороны, существует много случаев, когда необходимо определить
качество (помехоустойчивость) для ряда систем, чтобы выбрать
одну для построения. В таких случаях желательно иметь
выражение для \iR (s), которое требует наименьшего объема вычислений.
В частности, желательно найти выражение для \i(s), которое бы
не требовало вычисления Ip(*|s(-), N0/2) в каждой точке
интервала [Tiy Tf]. Если случайный процесс имеет конечномерное
представление в переменных состояния, то можно найти более
простое выражение для \i(s). Новое выражение основано на другом
методе вычисления интеграла
£j4'K>- V)*' 075)
Ti
В ы в о д2). Используем модель, описываемую уравнениями
(76)-(80):
\(t) = F(t)\(t) + Q(t)u{t), (176)
s(t) = C(t)x(t), (177)
1} При первом чтении этот подпараграф можно опустить.
2} Этот вывод принадлежит Коллинзу [13].
60

при начальных условиях
Е [х (Г;)] = 0, (178)
£[х(7\)хГ(Гг)1 = 1/>(Гг)АР0. (179)
Напомним, что ковариационная матрица ошибок равна
Ы/)=£ [(х(0-х(0)(хг(/)-хг(/))]. (180)
С учетом (177) имеем
С(оыосг(0- (181)
6р(Ф(-). -%)=
Напомним сначала несколько результатов из гл. 6 первого тома и
введем некоторые упрощения записи. Из свойства 16 на с. 619
первого тома мы знаем, что дисперсионное уравнение (84) может
быть поставлено в соответствие системе двух линейных уравнений
(1—6.335) или (1—6.336):
й
dt
vi (0
|v»(0 J
F(0
Cr(0(2/JV0)C(0
G (0 QGr (0
-?T(t)
vi (0
v.(Q.
(182)
Переходная матрица 1 (t, Tt) в форме (182) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
-I[1{t'Tl)]
?(t)
Ст (0 (21N0) С (0
G(0QGr(/)
-Fr(0
l{t,Ti) (183)
при начальных условиях Т (Tit Tt) = I. Кроме того, в соответствии
с (1—6.338) ковариационная матрица ошибок равна
Ь (0 =■ Ни (t, Tt) ь (Tt) + т12 (t, Tt)] x
x lTu(t, ТдЫТ^ + Т^^Тд]-1.
(184)
Матрица, обратная второй матрице, всегда существует, так как она
является переходной матрицей линейной динамической системы.
Для простоты введем в рассмотрение две новые матрицы:
ri(0=Tu(/,7\)M7\) + T12(*,7U
Г2 (0 = Т21 (/, Tt) Ь (Tt) + T22 (t, Tt). (185)
Таким образом,
1И0 = г1(0г-1(0. (186)
а Гх (/) и Г2 (0 удовлетворяют дифференциальному уравнению
d_
dt
ri(0
г2(0
F(0
G(0QOr(/)'
Lcr(/)(2/iVo)C(0 -?T(t)
ri(0
Lr2(0J
(187)
61

при начальных условиях
Г1(Г<) = 1я(Г4)АР0,
Г,(7-,) = 1.
(188)
(189)
Теперь приступим к собственно выводу. Умножив обе части
(181) на 2/N0 и проинтегрировав, получим
ifa ('И'»' Ъ)*-к{с»1и/)С(ол=
4~ f с й [Г, (0 г2-(01С (О Л. (190)
Вспомним теперь, что
хгВх = Тг [хх^В]
для любого вектора х. Следовательно,
(191)
г,
(192)
Использовав (187) для исключения Гг (£), получим
_2_
г!ip Ns(,)' 1п)М тг[(^-)+рг^г^^)Г2"1 w
г, г.
Л=
г, г,
= Г Тг Г^2 Г?1 (0| Л + Г Tr [Fr
Г- Т'.
Л =
= f Tr [Г"1 (/) ЙГ2 (01+ f Tr [F(/)l dt. (193)
Согласно формуле (9.31) в [14]
Tf TJ
f Tr [T~' (/) dT2 (01 = f rf [In det Г2 0)1 = In det Г2 (7» -
—In det Г2 (T,) = In det Г2 (Г,).
(194)
62

Итак,
TJ . . Tt
^i^lP ^si), ^)dt=\ndetT2(Tf)+^ Tvl?(t)]dtt (195)
что и требовалось доказать х>.
Видим, что вычислять Г2 (t) необходимо только в одной точке,
а не на всем интервале. Это особенно важно, когда имеется
аналитическое выражение для Г2(77). Если находить Г2 (Tf) численным
интегрированием (187), то значительной экономии в объеме
вычислений не будет.
Формула (195) — другое приближенное выражение для \iR (s),
которое требовалось получить. В следующем подпараграфе
рассмотрен простой пример, иллюстрирующий применение выведенной
выше формулы.
2.2.4. Помехоустойчивость типичной системы
В этом подпараграфе исследуем помехоустойчивость системы,
описанной в примере п. 2.1.5. Этот пример обеспечивает
непосредственное применение формул помехоустойчивости, которые только
что были выведены. В гл. 4 будет рассмотрена помехоустойчивость
системы применительно к условиям различных задач.
Пример. Рассмотрим систему, описанную в примере на с. 44.
Предполагается, что канальный процесс b(t)—стационарный
гауссов процесс с нулевым средним и спектром
5ь(со) = 2Ы/(со2 + k2). (196)
Предполагается также, что передаваемый сигнал представляет
собой прямоугольный импульс:
гюЦУШ о</<7\ (197)
I 0 при прочих /.
Как было отмечено ранее, эта канальная модель имеет многие
характеристики моделей реальных каналов, которые будут подробно
рассматриваться в гл. 10. Оптимальный приемник показан на рис. 2.10.
Для иллюстрации применяемого метода вычислим fx (s), используя
как (138), так и (195). (Заметим, что \iD (s) = 0.)
Чтобы применить (138), необходимо знать среднеквадратиче-
скую ошибку реализуемой фильтрации. Соответствующая формула
1} Этот результат впервые был получен Баггерером как побочный в ра-
°°те по интегральным уравнениям [15]. Сходная формула получена в [16].
63

для этого конкретного спектра была выведена в примере 1 на
с. 620—622 первого тома. На основании (1—6.353) имеем
Ь t
где
S(.), N0\2Er\ 1 Г l-[(l-a)/(l + g)]e-2to'
0 < t < T, (198)
~Er&olEt (199)
— средняя энергия принятого сигнала, а через а обозначено
a&Vl + 4E~r/kTN0. (200)
Проинтегрировав, получим
т, к
(l+a)2e2fear-(l-a)2
4a
-{a+l)kT .
(201)
Выведем теперь (201), используя (195). Необходимые для этого
величины равны
F (0 = -k, G (t) QGr (t) = 2kal C(t) = l,
(202)
Переходная матрица определяется формулой (1—6.351) в виде
T(T + Tit Tt) =
2ka\
ch(yT) — —sh(yT)
У У
sh (Yr)
No У
sh (yT)
ch(yT)+— sh(yT)
где
y=ky l+4olEtfkN0=ka.
Из определения (185) имеем
(203)
(204)
—О- sh (уГ) + ch (yT) + A Sh (ТГ) = ch (Y?) +
l-[(a + l)'/(a-l)V*ar
l_(a+l)»/(a-l)«
. (205)
64

Учитывая (202) и (205) в (195), получаем
1И<
s(-),^-)dt=\n
(a— 1)*—(«+l)2e2tar
(а-1)«-(о+1)»
— k{a+\)T.
(206)
Это выражение тождественно (201). Чтобы найти второй член (138),
введем в рассмотрение
s~ V ^ kTN„
(207)
и заменим а на а, в (201). Тогда
|»(S) =
-^Н
[(l + a)2e2^a~(l~-a)2]ag
[(l+as)2e2^as~(l-as)2]a J
4ЕГГ 1
N0 [a—1
1
as—1
(208)
Видим, что fx(s) и выражение для вероятности ошибки является
функцией двух величин: Er/N0 — средней энергии, отнесенной
к спектральной плотности шума, и произведения kT. Ширина
спектра на уровне —3 дБ равна k радиан/с, и kT представляет собой
произведение времени на ширину спектра.
Чтобы использовать выражения для вероятностей ошибок
(154) и (155), найдем \i (s) и [Г(s), используя (208). Простейший
способ представления этих результатов — фиксировать PF и
построить график зависимости Рм от kT для различных значений 2ErlN0.
Мы не будем производить этих вычислений на данном этапе. В при-
мере 1 гл. 4 эта задача рассматривается вновь с другой точки
зрения. Тогда мы и построим подробное семейство кривых
помехоустойчивости (см. рис. 4.7—4.9 и задачу 4.1.21).
Приведенный пример иллюстрирует применение выведенных
формул для решения типичной представляющей интерес задачи.
Другие интересующие нас случаи рассмотрены в задачах вне
основного текста. Подведем теперь итоги настоящей главы.
2.3. Краткие итоги главы
В § 2.1 и 2.2 была подробно рассмотрена задача обнаружения
выборочной функции гауссова случайного процесса на фоне
аддитивного белого гауссова шума. В § 2.1 был синтезирован критерий
отношения правдоподобия и рассмотрены различные структурные
СХемы приемника, которые можно использовать для реализации
Зак. 149^
щ

испытания по этому критерию. Данный критерий записывается
в виде
Ir + Id + W + I'-b1"'
/т^д?]^-1пт1)
Яо
где
lR=jf\\r{f)h1{t,u)r{u)dtdu,
h—[ g,.(u)r(u)du,
Л1
No J
bs(t)dt,
l[P=—L^gl(u)m(u)du.
(209)
(210)
(211)
(212)
(213)
Операция, необходимая для формирования /д, является
квадратичной. Структурные схемы приемника иллюстрируют различные
методы вычисления lR. На практике наибольшее значение имеют
следующие структурные схемы или формы приемника:
1. Оцениватель-коррелятор (каноническая реализация № 1).
2. Фильтр-квадратор (каноническая реализация № 3).
3. Оптимальный реализуемый фильтр {канонические
реализации № 4 и № 4S).
Какая из этих реализаций является наиболее практичной —
зависит от конкретной интересующей нас задачи.
В § 2.2 была рассмотрена помехоустойчивость оптимального
приемника. В общем случае невозможно найти плотность вероятности
по двум гипотезам. Однако в результате развития методов,
изложенных в гл. 2 первого тома, мы получили возможность находить
хорошие приближения для вероятностей ошибок. Центральной
функцией в этом анализе была функция
где
|i(s) = Ms) + >/>(*), (214)
М5,=^ПЧФ(->'^Н'(ф<->-7пЬг)Ь <2|6>
s Tf
Tt
2(l-s)
dt.
(216)
m

Помехоустойчивость была увязана с функцией n(s) через границь!
Чернова:
P/7<exp[fi(s)—s|l(s)],
PM<exp[fx(s) + (l— s)ii(s)]y 0<s<l, (217)
где
,I(s)=Y = lnr]. (218)
Приближенные формулы для оценки помехоустойчивости были
получены в результате использования ряда Эджворта:
PF-7—i=^exp[li(s)-sji(s)], (219)
У 2ns2\i (s)
Рм^ , 1 exp[^(s) + (l-s)Hs)1, 0<s<l. (220)
Варьируя s, можно получить участок приближенной рабочей
характеристики приемника.
Мы убедились, что структурная схема приемника и его
помехоустойчивость тесно связаны с результатами теории линейной
фильтрации, изложенными в гл. 6 первого тома. Эта тесная связь имеет
большое значение, так как она означает, что все результаты
подробного изучения оптимальных линейных фильтров полезны при
рассмотрении гауссовой задачи обнаружения.
В гл. 5 мы вывели ряд важных формул, но пока не применяли
их для решения конкретных физических задач. Разработка этих
вопросов продолжается в гл. 4, где рассмотрены три важных класса
физических задач и получены конкретные результаты для ряда
интересных примеров. Многие читатели сочтут целесообразным
прежде, чем подробно знакомиться с гл. 3, изучить п. 4.1.1.
2.4. Задачи
Задачи к § 2.1. Оптимальные приемники
Задача 2.1.1. Рассмотрим модель, описываемую уравнениями
(1)—(6). Предположим, что среднее m (t) не равно нулю.
Синтезировать приемник в форме оценивателя-коррелятора, аналогичный
изображенному на рис. 2.3, для этого случая.
Задача 2.1.2. Рассмотрим функцию h± (t, t\z), которая
определяется уравнением
zh
Ь
1 (Ли I г) +5 hx (t,y | z) K8 Ш dy=Ks (Л и), Tt < t9u < Tf.
r,
3* 67

Убедиться, что (75) здесь сохраняет силу. (Указание. Использовать
(1-3.154).)
Задача 2.1.3.
1. Рассмотрим колебание
r(t) = пс(т) + w(x)t Tt < т < /,
где пс (т) может генерироваться как выходное напряжение
динамической системы, описываемой уравнениями
i(O = F(0x(/)+G(0a(O.
ne(t) = C{t)x(t)
и возбуждаемой статистически независимым белым шумом и (t).
Обозначим реализуемую оценку пс (т) по минимуму среднеквадра-
тической ошибки через пс (т). Доказать, что процесс
r*(t)Ar(t)-nc(t)=r(t)-C(t)x(i)
является белым.
2. Использовать результат п. 1, чтобы синтезировать приемник,
показанный на рис. 2.11, путем простого анализа, не прибегая
к выкладкам.
Задача 2.1.4. Предварительно прочитать п. 6.6.4 первого тома
и Приложение ко второму тому (§ П.4 — П.6). На основе этих
материалов вывести алгоритм для формирования/# при помощи
нереализуемых фильтров, выражаемых векторными дифференциальными
уравнениями. Для простоты предположим, что средние значения
процессов равны нулю.
Задача 2.1.5. Принимаемые колебания по двум гипотезам
записываются в виде
r(t) =s (t) + w(t), О < t < T : Нъ
r(t) = w (0, 0 < t < Т : Я0.
Процесс w (t) является выборочной функцией белого гауссова
случайного процесса со спектральной плотностью NJ2. Процесс s (/) —
винеровский процесс, статистически не зависимый от w (t):
s (0) = 0, Е [s2 (t)] = <Л.
L Найти критерий отношения правдоподобия.
2. Построить структурную схему оптимального приемника и
полностью определить все ее компоненты.
Задача 2.1.6. Принимаемые колебания по двум гипотезам
записываются в виде
r(t) =s (t) + w (0, 0 < t < Т : #ъ
r(t) =w (/), 0 < t < T : #0.
Процесс w (t) — выборочная функция белого гауссова случайного
процесса со спектральной плотностью N0/2. Сигнал s (t) — выбороч-
68

ная функция гауссова случайного процесса и может быть записан
как
s(t) = a U 0 < t,
где а — гауссова случайная величина с нулевым средним и
дисперсией ад. Синтезировать оптимальный приемник. Все его компоненты
определить полностью.
Задача 2.1.7. Повторить задачу 2.1.6 для случая, когда
s (t) = at + b, 0 < t,
где а и Ъ—статистически независимые гауссовы случайные
величины с нулевыми средними и дисперсиями о\ и о\ соответственно.
Задача 2.1.8.
1. Повторить задачу 2.1.7 для случая, когда а я b —
статистически независимые гауссовы случайные величины со средним та и
тъ и дисперсиями о% и ol соответственно.
2. Рассмотреть четыре частных случая п. 1:
а) та = 0; б) тъ = 0; в) ol = 0; г) ol = 0.
Убедиться, что приемник для каждого из этих частных случаев
сводится к правильной структурной схеме.
Задача 2.1.9. Рассмотрим модель из задачи 2.1.6. Предположим,
что s (t) — колебание кусочно-линейной формы, постоянной в
пределах каждого частного интервала:
s(t) = \
bly 0<t^T0y
Ь2, r0</<27Y
b3i 2T0<t^ZT0t
bny (n-l)T0<t^nT0.
Величины bt — статистически независимые гауссовы случайные
величины с нулевыми средними и дисперсиями, равными а%.
Синтезировать оптимальный приемник.
Задача 2.1.10. Рассмотрим модель из задачи 2.1.6. Предположим,
что
где щ — статистически независимые случайные величины с
дисперсиями а?. Синтезировать оптимальный приемник.
Задача 2.1.11. Пересмотреть задачи 2.1.6—2.1.10. Если Вы
реализовали оптимальный приемник, использовав каноническую
реализацию № 4S, вернитесь к рассмотрению задачи и найдите более
простую процедуру.
69

Задача 2.1.12. Рассмотрим модель из задачи 2.1.5. Предположим,
что s (t) — отрезок стационарного гауссова случайного процесса
с нулевым средним и со спектром Баттерворта я-го порядка
Ss{(o:n)^^- sln{n'2n) , л=1,2,....
1. Пересмотреть представление в переменных состояния для
этих процессов в примере 2 на с. 622 первого тома. Убедитесь, что
Вам понятен выбор начальных условий.
2. Построить структурную схему оптимального приемника.
Задача 2.1.13. Согласно (31)
Tf
/*= — \[r(t)h(U u)r(u)dtdu.
Один из возможных способов разложения h (t, и) на множители
определяется соотношением (45). Другой возможный способ
разложения на множители имеет вид
h (t, u)=lg± (г, t) g± (г, и) dz, Tt < t,u < Tfy (1*)
где
[Tu Tf] c= QT.
1. Объяснить физический смысл этой операции. Напомним, что
в данной модели предполагается, что процесс г (t) наблюдается
только на интервале [Tiy Tf].
2. Дать пример, в котором разложение на множители,
указанное в (1*), проще, чем в основном тексте.
Задача 2.1.14. Рассмотрим выражение для /д в форме (31).
Необходимо разложить hx (tt и) в виде двух новых функций kx (Tf, z) и
k2 (z, /), которые удовлетворяют уравнению
hx (tf и) = J fti (Tf, z) k2 (z, t) k2 (z, и) dz, 7*, < /,и < 7*y.
Ti
1. Построить структурную схему оптимального приемника с
учетом этих новых функций.
2. Дать пример, когда эту реализацию было бы легче найти, чем
каноническую реализацию № 3.
3. Проанализировать разложение
М/, и)= I ki(Tf> z)h{z> t)k2(z, u)dz,
70

Задача 2.1.15. Согласно (86) и (87)
т
lR=-L\[2r(t)s\t)-?(t)}dt.
(1*)
Рассмотрим случай, когда
s (0 + а0 s (t) = b0r(t)y 0 < г, s (0) = 0. (2*)
1. Реализовать оптимальный приемник в форме, показанной на
рис. 2.1*. Полностью определить фильтр с постоянными во времени
параметрами.
2. Проанализировать случай, когда
s(t) + a^s(t) + a0s(t)=b0r(t).
Предложить некоторые возможные модификации структурной
схемы, изображенной на рис. 2.1*.
rft)
Оптимальный
реализуемый
линейный
(рильтр
щ
Квадратор
^
Фильтр
с постоянными
параметрами
Отсчет в момент
времени t = T
h
Рис. 2.1*.
3. Распространить этот анализ на общий случай, когда оценка
s (/) описывается дифференциальным уравнением n-то порядка с
постоянными коэффициентами.
Задача 2.1.16. По обеим гипотезам имеется выборочная функция
гауссова белого шумового процесса с нулевым средним и
спектральной плотностью NJ2. По гипотезе Нх сигнал с одинаковой
вероятностью может быть выборочной функцией любого из М гауссовых
процессов с нулевыми средними. Обозначим ковариационную
функцию /-го процесса через /Cs/(/,«), i = 1, ..., М. Таким образом,
r(t) = Si(t) + w(t), Tt^t^Tf:Hit
с вероятностью 1/М, i = 1, ..., М\
r(t) = w(t), TtKt^Tf:H0.
Синтезировать оптимальный байесов приемник, решающий,
какая из гипотез истинна.
Задача 2.1.17. Рассмотрим векторный вариант простой бинарной
задачи обнаружения. Принимаемые по двум гипотезам колебания
можно записать в виде
r(0=s(/) + w(0, Tt^t^TfiHt,
Г(/)= W(0, Ti^t^Tf-.Ho,
71
(1*)

где s (t) и w (f) — выборочные функции статистически
независимых Af-мерных векторных гауссовых процессов с нулевыми
средними и ковариационными матрицами
Ks(t, и) Д E[s(f) sT(u)], (2*)
N.
Kw (t, «) Д £ [w (t) wr (ы)1 = ^- 6 (/-«) I.
(3*)
1. Синтезировать оптимальный приемник для данной задачи.
(Указание. Воспользоваться материалом § 3.7 и 4.5 первого тома).
2. Вывести уравнения, определяющие рассмотренные в основном
тексте четыре канонические реализации. Построить структурные
схемы указанных четырех реализаций.
3. Рассмотреть частный случай, когда
Ks(^) = Ks(t,u)l.
(4*)
Объяснить, что означает условие (4*). Привести пример физической
ситуации, которая приводит к этому условию. Упростить
оптимальный приемник, синтезированный в п. 1.
4. Рассмотреть частный случай, когда
К8(Л u) = Ks(t,u)
1 1
1 1
1 1
(5*)
Повторить п. 3.
Задача 2.1.18. Рассмотрим модель из задачи 2.1.17.
Ковариационная функция процесса w (t) равна
Kw {Uu) = N8(t- u)l
где N — невырожденная матрица.
1. Повторить п. 1 и 2 задачи 2.1.17. (Указание. Воспользоваться
решением задачи 4.5.2, приведенной на с. 450 первого тома.)
2. Почему предполагается, что матрица N невырожденная?
3. Рассмотреть частный случай, когда
К.& u) = K8(t,u)l,
а матрица N —диагональная. Упростить результаты п. 1.
Задача2.1.19. Рассмотрим модель из задачи 2.1.17. Предположим,
что
E[s(t)] = m(t).
Все прочие предположения, сделанные в задаче 2.1.17, сохраняют
силу. Повторить задачу 2.1.17.
Задача 2.1.20. В п. 2.1.5 был рассмотрен простой
мультипликативный канал. Более реалистичной моделью канала является модель
релеевского канала, которая встречалась нам ранее в п. 4.4.2 пе-
72

рвого тома и в гл. 8 второго тома. Она будет подробно рассмотрена
в гл. 10 настоящего тома.
По гипотезе Нг передается сигнал
s*(0AV2P/(0cos(Dc/,
где / (/)—медленно изменяющаяся функция времени (огибающая
сигнала). Принимаемый сигнал записывается в виде
г (t) = У2Р Ъх (t) f it) cos со, t + V2P b2 (t) f (t) sin act + w (/),
Канальные процессы bx (t) и b2 (t) — статистически независимые
гауссовы процессы с нулевыми средними и ковариационными
функциями Кь (t, и). Аддитивный шум w (t) — выборочная функция
статистически независимого гауссова процесса с нулевым средним и
спектральной плотностью NJ2. Параметры канальных процессов
изменяются медленно по сравнению с (ос. По гипотезе Н0
присутствует только белый шум.
1. Синтезировать оптимальный приемник для этой модели реле-
евского канала.
2. Построить структурную схему реализации оптимального
приемника в форме фильтра-квадратора.
3. Построить структурную схему реализации оптимального
приемника в переменных состояния. Предполагается, что
Sb (со) = 2kal/ (со2 + k%
Задача 2.1.21. Модель райсовского канала такая же, как в
задаче 2.1.19, за исключением того, что Е Ib^f)] = m, а не нулю.
Повторить задачу 2Л.19 для этого случая.
Задачи к § 2.2. Помехоустойчивость оптимальных приемников
Задача 2.2.1* Рассмотрим задачу вычисления, функции fx/> (s),
определяемой в форме (135) или (147). Предположим, что s (0
имеет конечномерное представление состояния. Введем в рассмотрение
т
Ы*> r):=-тIm{x)g(Ji7(^Уd*••
0
Найти конечномерную динамическую систему, выходное напряжение
которой равно \io (s, T).
Задача 2.2.2. Рассмотрим модель из примера в п. 2.2.4.
Предположим, что Е [b (t)] = m, а не нулю.
Вычислить \id (s) для этой задачи. (Указание. Если Вы будете
использовать (147), то целесообразно обратиться к с. 364 и 430
первого тома.)
73

Задача 2.2.3.
1. Рассмотреть модель из задачи 2.1.5. Вычислить |я (s) дли
данной системы.
2. Ввести в рассмотрение у Д ]/2 o2/N0. Упростить выражение
в п. 1 для случая, когда уТ ^> 1.
Задача 2.2.4 (продолжение). Использовать выражение для [х (s)
из п. 2 задачи 2.2.3. Вычислить Р[Р и Р[м] (см. (167)), Сравнить
их модули с модулями Р/г1] и РлЯ
Задача 2.2.5. Рассмотрим модель из задачи 2.1.5. Предположим,
что
г(/)= s(t)+m{t) + w(t), 0</<Г:Я!
r(0= w(t), 0</<Г:Я0,
где m (t) — детерминированная функция. Процессы s (t) и w (f)
описаны в задаче 2.1.5. Вычислить \ld (s) для данной модели.
Задача 2.2.6.
1. Вычислить \i (s) для системы из задачи 2.1.6.
2. Построить график зависимости \i (s) от s.
3. Найти Pf и Рд.
Задача 2.2.7. Вычислить \х (s) для системы из задачи 2.1.7.
[ Задача 2.2.8. Вычислить \i (s) для системы из задачи 2.1.8.
Задача 2.2.9.
1. Вычислить fx ф'для системы из задачи 2.1.9.
2. Вычислить Pf и Pd.
Задача 2.2.10. Рассмотрим систему из задачи 2.1.17.
1. Предположим, что (4*) из п. 3 справедлива. Вычислить {х (s)
для данного частного случая.
2. Предположим, что (5*) из п. 4 справедлива. Вычислить \i (s)
для этого частного случая.
3. Вывести выражение для [х (s) для общего случая.
Задача 2.2.11. Рассмотрим систему из задачи 2.1.9. Найти
выражения для \id (s) для этой системы.
Задача 2.2.12. Вычислить \i (s) для релеевской модели канала из
задачи 2.1.20. *
Задача 2.2.13. Вычислить jx (s) для райсовской модели канала из
задачи 2.1.21.
Список литературы
1. Price R. Statistical Theory Applied to Communication through Multi-
path Disturbances. Massachusetts Institute of Technology Research
Laboratory of Electronics, Tech. Rept. 266. Sept. 3, 1953.
2. Price R. The Detection of Signals Perturbed by Scatter and Noise. Trans.
IRE, 1954, v. PGIT-4, Sept., p. 163—170.
3. Price R. Notes on Ideal Receivers for Scatter Multipath. Group" Rept.
34—39, Lincoln Laboratory, Massachusetts Institute of Technology*
1955, May 12.
4. Price R. Optimum Detection of Random Signals in Noise with
Application to Scatter-Multipath Communication, I. Trans. IRE, 1966, v. PGIT-6,
Dec, p. 125—135.
74

5. Schweppe F. Evaluation of Likelihood Functions for Gaussian Signals..
Trans. IEEE, 1965, v. IT-11. № 1, p. 61—70.
6. Kalman R. E., Bucy R. S. New Results in Linear Filtering and Prediction
Theory. ASME J. Basic Eng., 1961, v. 83, March, p. 95—108.
7: Collins L. D. An Expression for dh0 (s, т : t)/dt. Detection and Estimation
Theory Group Internal Memorandum IM-LDC-6, Massachusetts Institute
of Technology, April 1966.
8. LovJtt W. Linear Integral Equations. Dover Publications. New York, 1924.
9. Collins L. D. Realizable Whitening Filters and State-Variable Realizations.
Proc. IEEE, 1968, v. 56, № 1, p. 100—101.
10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том II.
Пер. с англ. Под ред. Ю. В. Прохорова, М., «Мир», 1967.
11. Collins L. D. Asymptotic Approximations to the Error Probability for
Detecting Gaussian Signals. Massachusetts Institute of Technology,
Department of Electrical Engineering, Sc. D. Thesis Proposal, Jan. 1968.
12. Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. Под ред.
А. Н. Колмогорова. М., ИЛ, 1948.
13. Collins L. D. Closed-Form Expressions for the Fredholm Determinant for
State-Variable Covariance Functions. Proc. IEEE, 1968, v. 56, № 4.
14. Athans M., Schweppe F. C. Gradient Matrices and Matrix Calculations.
Technical Note 1965—53, Lincoln Laboratory, Massachusetts Institute
of Technology, 1965.
15. Baggeroer A. B. A State-Variable Approach to the Solution of Fredholm
Integral Equations, 1967, Nov. 15.
16. Siegert A. J. F. A Systematic Approach to a Class of Problems in the
Theory of Noise and Other Random Phenomena, II, Examples. Trans. IRE,
1957, v. IT-3, № 1, March, p. 38—43.
17. Middleton D. On the Detection of Stochastic Signals in Additive Normal
Noise, I. Trans. IRE, 1957, v. IT-3, № 2, June, p. 86—121.
18. Middleton D. On the Detection of Stochastic Signals in Additive Normal
Noise, II. Trans. IRE, 1960, v. IT-6, № 2, June, p. 349—360.
19. Middleton D. On Singular and Nonsingular Optimum (Bayes) Tests for
the Detection of Normal Stochastic Signals in Normal Noise. Trans. IRE,
1961, v. IT-7, № 1, April, p. 105—113.
20. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. В 2-х т. Пер.
с англ. Под ред. Б. Р. Левина. М., «Сов. радио», 1961, 1962.
21. Стратонович Р. Л., Сосулин Ю. Г. Оптимальное обнаружение
марковского процесса в шуме. «Изв. АН СССР. Техническая кибернетика»,
1964, т. 6, № 4, с. 7—19.
22. Стратонович Р. Л., Сосулин Ю. Г. Оптимальное обнаружение
диффузионного процесса в белом шуме. — «Радиотехника и электроника»,
1965, т. 10, № 5, с. 704—713.
23. Стратонович Р. Л., Сосулин Ю. Г. Оптимальный прием сигналов в
негауссовом шуме.—«Радиотехника и электроника», 1966, т. 11, №4,
с. 497—507.
24. Сосулин Ю. Г. Оптимальное выделение негауссовых сигналов на фоне
шума. — «Радиотехника и электроника», 1967, т. 12, № 1, с. 89—97.
25. Стратонович Р. Л. Новая форма записи стохастических интегралов и
уравнений. — «Вестник МГУ. Сер. мат., мех.», 1964, № 1.
26. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. Пер. с англ. Под ред. А. М. Яг-
лома. М., ИЛ, 1956.
27. Ito К. Lectures on Stochastic Processes. Tata Institute for Fundamental
Research. Bombay, 1961.
28. Duncan T. Probability Densities for Diffusion Processes with Applications
to Nonlinear Filtering Theory and Detection Theory. Information Control,
1968, v. 13, July, p. 62—74.
29. Kailath Т., Frost P. A. Mathematical Modeling of Stochastic Processes.
JACC Control Symposium, 1969.
^°- Kailath T. A General Likelihood-Ratio Formula for Random Signals
in Noise. Trans. ШЕЕ, 1969, v. IT-5, № 3, May, p. 350—361,
75

3. ОБЩАЯ БИНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБНАРУЖЕНИЯ:
ГАУССОВЫ ПРОЦЕССЫ
В этой главе мы обобщим модель, рассмотренную в гл. 2, с тем,
чтобы охватить другие гауссовы задачи, часто встречающиеся на
практике. В § 3.1 рассмотрена обобщенная модель гауссовой задачи
обнаружения; остальная часть главы посвящена различным
структурным схемам оптимального приемника и анализу их
помехоустойчивости,
3.1. Классификация моделей и задач
Очевидное обобщение следует из рассмотрения цифровой системы
связи (с. 44). В этом случае по каждой гипотезе передается сигнал,
отличный от сигнала, передаваемого по другой гипотезе. Обычно
передаются сигналы
ViiPsinKO, Tt^t^Tf:Hly (l)
V2P sin (©01), Tt < / < Tf: H0. (2)
Если канал является простым мультипликативным каналом,
показанным на рис. 2.9, то принятые колебания по двум гипотезам
записываются в виде
г (/) = V2P Ь (/) sin (©! t) + w (/), Г, < * < Г,: Нъ (3)
r(t)=V2Pb(t)s\n((d0t) + w(t), Ti^t^TjiHo, (4)
где b (t) — выборочная функция гауссова случайного процесса.
Это лишь частный случай общей задачи, в которой принятые
колебания по двум гипотезам записываются в виде
г (0= h (0 + w (/), Tt < t < Tf: Нъ (5)
r(t) = s0(t) + w(t) Г*<г<7у:Я0,
где 5Х(/) и s0 (/) — гауссовы процессы со средними значениями
тг (/) и т0 (t) и ковариационными функциями /Сх (/, и) и К0 (U и)
соответственно. Во многих случаях в задаче может также существо-
76

вать компонента небелого шума nc(t), присутствующая по обеим
гипотезам. Тогда
г (t) = s0 (t) + nc(t) + w (0, 7-, < / < Гу: Я0.
(6)
Обе эти задачи и многие другие можно охватить общей формой
записи в виде:
r0(i), T,^t^Tf;H0.
•(') = {
(7)
По гипотезе Нх колебание г (/) является выборочной функцией
гауссова случайного процесса со средним значением tn^t) и
ковариационной функцией KHt(t, и). По гипотезе Н0 колебание r(t) —
1 HfittW+nlt)
J H0:s0(t)+n(t)
\
f
1 Hf:s(t)+n(t)
1 H0:n(t)
Hf:sf(t) + w(t)
H0:s0(t)+w(t)
V
4
Ay
Hf:s(t)+ne(t)+w(t) |
He
:nG(t)+w(t)
бельшшум
необязательно
присутствует
белый
шум
лрисутстдует
Рис. 3.1. Классификация гауссовых задач обнаружения.
выборочная функция гауссова случайного процесса со средним
значением m0(t) и ковариационной функцией Кн0 (/, и). Для
упрощения анализа при первоначальном рассмотрении предположим,
что г (t) имеет нулевое среднее по обеим гипотезам. Полученные
в гл. 2 результаты, связанные со средними значениями,
обобщаются очевидным образом и рассмотрены в § 3.4.
Некоторая часть результатов гл. 2 будет непосредственно
применена к общей задаче, соответствующей модели (7). Однако многие
из этих результатов справедливы только для некоторых подклассов
общей задачи. Для большей четкости и облегчения запоминания
эти подклассы определены согласно классификационной таблице,
приведенной на рис. 3.1. Во всех случаях различные процессы
являются статистически независимыми. Подстрочный индекс w
означает, что одна и та же компонента белого шума присутствует по
обеим гипотезам. Другие процессы также могут присутствовать
по обеим гипотезам Нх и Я0. Отсутствие подстрочного индекса озна-
77

чает, что компонента белого шума необязательно присутствует.
Включения классов указаны стрелками. Так,
В.с^сЛс GB, (8)
BwczB. (9)
Любому из указанных классов можно присвоить два
дополнительных подстрочных индекса. Дополнительный подстрочный
индекс s означает, что все участвующие в данном классе процессы имеют
конечномерное представление состояния. Дополнительный
подстрочный индекс т означает, что некоторые из участвующих в
рассмотрении процессов имеют ненулевое среднее. Отсутствие подстрочного
индекса т означает, что все процессы имеют нулевые средние. Отсюда
легко заключить, что простая бинарная задача, рассмотренная
в гл. 2, является частным случаем класса Bw, в котором не
присутствует компонента небелого шума пс (t). Эта классификация может
показаться громоздкой, но она позволяет нам четко и понятно
организовать изложение материала и рассмотреть полученные
результаты.
Как и в случае простой бинарной задачи, нам необходимо найти
оптимальный приемник и определить его помехоустойчивость.
Причиной того, что вычисление отношения правдоподобия в простой
бинарной задаче не вызывало затруднений, является присутствие
белого шума по гипотезе Н0. Поэтому мы могли выбирать
координатную систему, основываясь на ковариационной функции сигнального
процесса по гипотезе Нг. В результате такого выбора мы получали
статистически независимые коэффициенты по обеим гипотезам.
Теперь же принятое колебание может содержать небелую компоненту
по обеим гипотезам. Поэтому, за исключением тривиального случая,
когда небелые компоненты имеют одинаковые собственные функции
по обеим гипотезам, метод, изложенный в § 2.1, будет давать нам
коррелированные коэффициенты. Существует несколько способов
обойти это затруднение. Интуитивно привлекательным является
метод выбеливания, который первоначально был рассмотрен в гл. 4
первого тома (с. 332). Этот метод будет использоваться и при
дальнейшем изложении.
В § 3.2 выведен критерий отношения правдоподобия и
синтезированы различные структурные схемы приемника для задачи класса
Aw. В § 3.3 исследована помехоустойчивость приемника для задачи
класса Ат. В § 3.4 рассмотрены четыре важные частные ситуации:
бинарная симметричная задача, задача с ненулевым средним, задача
с полосовым сигналом и бинарная симметричная задача с
полосовым сигналом. В § 3.5 мы обращаемся к задачам класса GB (общая
бинарная задача; и кратко обсуждаем задачу вырожденных
испытаний. Мы умышленно отложили рассмотрение общего случая
ввиду того, что почти все физические ситуации можно
смоделировать системой класса Aw. Наконец, в § 3.6 подводятся итоги гл, 3
и обсуждаются некоторые примыкающие вопросы»
78

3.2. Структурные схемы оптимального приемника
В этом параграфе выводится критерий отношения правдоподобия
для задач класса Aw и синтезируется несколько структурных схем
приемника. Обратившись к рис. 3.1, видим, что принадлежность
к классу Aw означает, что один и тот же белый шумовой процесс
присутствует по обеим гипотезам. Таким образом,
rlt) = \Sl{t)+w{t)> Tt<t<Tt:Hl9
\s0(t)+w(t), Tt^t^Tf:H0.
Кроме того, предполагается, что sL (t) и s0 (t) — гауссовы процессы
с нулевыми средними и конечными среднеквадратическими
значениями. Они статистически независимы от w (t) и имеют непрерывные
ковариационные функции Кг (t> и)
и Ко (t, и) соответственно. Спект- ^. г
ральная плотность гауссова белого J />w (t,U) |* >
шума равна N0/2. Следовательно, I—— 1
ковариационные функции
процесса ПО двум гипотезам равны Рис. 3.2. Выбеливающий фильтр.
Е lr(t)r( и) | Я J А Кн&и) = Кг (*,«)+. ^ б_(^ - и\ (11)
Е lr(t) r(u) | Н0 ]АКн0 (t,u) = Ко (t,u) +~8(t- и). (12)
Выведем теперь критерий отношения правдоподобия методом
выбеливания.
3.2.1. Метод выбеливания
Основная идея этого вывода проста: производим выбеливание
процесса г (t) по одной гипотезе, а затем оперируем с выбеленным
процессом, используя метод, который был описан в гл. 2. Известно
(см. с. 331 первого тома), если выбеливающий фильтр является
обратимым, то результирующая система будет оптимальной. (Заметим,
что речь сейчас идет не о реализуемости).
Выбеливающий фильтр показан на рис. 3.2. Его импульсная
переходная функция hWo (t, и) выбирается такой, чтобы процесс г# (/)
был белым по гипотезе Я0 и имел единичную спектральную
плотность. Таким образом,
Е [/*(/) г*(и) | Я0] = б (t - и), Tt^t.u^Tf. (13)
В первом томе на с. 332—340 были рассмотрены вопросы
построения выбеливающего"фильтра. Из этого рассмотрения известно, что"
всегда можно найти такой фильтр, чтобы условие (13) соблюдалось.
79

Так как
г*(0=5 hw{t,u)r(u)du, (14)
Tt
условие (13) означает, что
т
5(hwt (U a)hwo(и, Р) KHt («, Р) dadp=6(t-u). (15)
Ковариационная функция процесса г* (t) по гипотезе Ях равна
£ е* (о г* (") i //ii=SSЛ""(Л а) /г",°("'Р) Кн>(а-р) da dp ^ KJ (f'ы)-
(16)
Разложим теперь процесс г* (t), используя собственные функции
Фг (t) ядра /(J (/, ы), которые определяются уравнением
КФ,-{t)=\K\(t, и)Ф|(и)du, Tt<* <7> (17)
Рассуждая так же, как в § 2.1, установим, что
'«—■г2 hHH (,8)
2 ,■*■ i ч
(Следует помнить, что выбеленный шум по гипотезе Н0 имеет еди*
ничную спектральную плотность.) Как и прежде, введем в рассмотре*
ние обратное ядро Q* (/, и), определив его следующим образом:
Ь
$ Q\(t, u)K\{u> z)du=6(t—z), Ti<t9z<Tf. (19)
Тогда можно записать
т1
/*=-yJj4(0№?('. u)-b(t-u)\r*(u)dtdu. (20а)
Несложно убедиться, что ядро в (20а) всегда интегрируемо в квад*
рате (см. задачу 3.2.11).
80

С учетом (14) величину lR можно выразить через r(t):
Tf I Tf
tR=-Y^r(a)\Mhw,(t,a)lQl(t, u)-8(t-u)]X
т. { rt
X hw (u, p) dtdu IrQftda dp. (206)
Теперь небходимо исследовать выражение, заключенное в фигурных
скобках. Слагаемое, обусловленное импульсной функцией, есть
просто Qh0 (а> Р) — обратное ядро ковариационной функции
Кн. (а, р) (см. (I — 4.152)). Покажем теперь, что другое слагаемое
равно Qhx (а, р), т. е. что
Tf
Qhx (а, P)=J $ hwo (/, а) QJ (/, и) hwo (и, Р) dtdu. (21)
Это выражение очевидно из соотношения между /C#t(a,P) и К\ (t$
и), полученного из (16). В его справедливости можно убедиться
посредством нескольких простых преобразований. (Умножим обе
части (16) на
Q\(Zv t)h^(z2t u)QHt{z2t z3)hWo(zlt z4).
Проинтегрируем левую часть по и, Р, г2 и а в порядке перечисления
переменных. Проинтегрируем правую часть по t,zu и и z2b порядке
перечисления указанных переменных. При каждом интегрировании
выражения упрощаем, используя известные соотношения.)
Функцию правдоподобия в (19) можно записать в форме
Tf
Ir =- \ J Jr(«)r(P)[Q*.(«.P) -Q/#.(«.P)1***P. (22)
Легко показать, что импульсные функции в обратных ядрах взаимно
уничтожаются и ядро является интегрируемой в квадрате функцией.
Поэтому (22) формально можно записать как разность двух
квадратичных форм:
^=YJj/-(a)Q^(a,P)r(P)dadp-
Ti
Tf
81

Нетрудно заметить сходство между (23) и выражением для
отношения правдоподобия для конечномерной общей гауссовой задачи
в (I — 2.327). Это сходство позволяет догадаться о форме критерия
при ненулевых средних и форме членов смещения (порога). Полезны
также несколько эквивалентных форм для (22).
3.2.2. Различные реализации испытания отношения правдоподобия
Чтобы получить первую эквивалентную форму, запишем
Qtfi (а> Р) и Q#o(a> Р) через дельта-функцию и функцию с хорошей
асимптотикой:
G"i(a, P)=4° [«(«-Ю-М». Р)Ь ' = 0, 1, (24)
где hi (a, P) удовлетворяет уравнению
-у-М*. P)+jAi(«. *)Kt(x> $)dx=Ki{*, P),
Ti
Г,<а, p<7-/f f = 0fl. (25)
Используя (24) в (22), получим
Ir=Irx—Ir*> (26)
где
Tt
/u< = -^-JJr(«)r(P)/i<(ai p)dadp, t = 0,l. (27)
Нетрудно удостовериться (см. задачу 3.2.1), что член смещения
можно записать KiaK
lB=lBt-lBo, (28)
где (по аналогии с (2.73))
lBt=—±-\b>s.®dt9 t = 0,l. (29)
Полный критерий отношения правдоподобия записывается в виде
./ц1 + /в1-/ц.-/д§|11пл. (30)
Но
Видим,что приемник можно реализовать как два простых
параллельных бинарных приемника при дифференциальной схеме включения
их выходов (так, что на общем выходе получается разность).
Следовательно, в каждой ветви можно использовать любую из четырех ка-
82

ионических реализаций, рассмотренных в § 2.1 (рис. 2.2—2.7).
Типичная структурная схема приемника, в которой используется
реализация № 1, показана на рис. 3.3. Такая параллельная схема
обработки часто применяется на практике.
Полезна также другая эквивалентная форма для (22). Введем
в рассмотрение функцию, определяемую в виде
Тогда
«г
-/
lR=— Г Г г (/) АА (/, и) г (и) dt da.
(31)
(32)
rtt)
Рис. 3.3. Реализация оптимального приемника для общей бинарной задачи
(класс Aw) по схеме параллельной обработки.
Чтобы исключить обратные ядра в (31), умножим обе части на две
ковариационные функции и проинтегрируем их. В результате
получим интегральное уравнение, определяющее функцию Ад(/,«):
J \ Кн0 (x,t) Лл (t,u) Khi (и,г) dt du = KHi (х,г)—Кн. (х,г),
Tt^x,z^Tf. (33)
Т;
Эта форма приемника представляет интерес, так как уровень белого
шума здесь не фигурирует в явном виде. Позднее будет показано,
что (32) и (33) определяют приемник для задач класса GB. Этот
приемник показан на рис. 3.4.
Две другие формы приемника полезны для задач класса Bw.
В этом случае принятое колебание содержит один и тот же шумовой
83

процесс по обеим гипотезам и дополнительный сигнальный процесс
по гипотезе #х. Таким образом,
\nc{t)+w{t), Г|</<Г/:Я01
где s (0, пс (t) и w (t) — статистически независимые гауссовы
случайные процессы с нулевыми средними и ковариационными
функциями Kg{t,u), KdUu) и (N0/2)8(t — и) соответственно. По
гипотезе #0 имеем
Ки0 (*, и) = Кс (tf и) + (#0/2) 6(t-u)UKn (U и)9
Г* < *• и < Tf. (35)
Для данного конкретного случая первая форма является
альтернативной реализацией, которая соответствует оценивателю-корре-
Рис. 3.4. Структурная схема оптимального приемника для задачи класса Aw.
лятору, показанному на рис. 2.3. Введем в рассмотрение новую
функцию /*о (t> z), определяемую выражением
h0(x, w) = ij Ад(/, и)Кн0(х, i)dt.
(36)
С учетом (36) и определения функции /*А (t, и) через уравнение (33)
имеем
3>
\ Ао(Л х)[Ка(х, и) + Кп(х, u)]dx=Ka(t, и), 7^<*,z<7y
(37)
Это уравнение знакомо нам из гл. 6 первого тома как уравнение,
определяющее оптимальный линейный фильтр для оценки s (t) по
наблюдению процесса г (t) в предположении, что истинна гипотеза
#!. Поэтому
5(о=5 А°^ u)r(u)du- (38)
84

Определим теперь в неявном виде функцию re(f):
г (0=$ Кн, (t, х) ге (х) dx, Г| < f < Tf. (39)
В эквивалентной форме
rg (t) = J Qh0 (t, x) r (x) dx, Г, < * < Г,. (40)
rtt) _ _
^
Qiifix)
h0(t,x)
r,(t) r
>(x, ,
X
sit) 1
*r\
jj at
h ,
■^
Рис. З.5. Реализация оптимального приемника для задач класса Bw в форме
оценивателя-коррелятора.
Функция этого типа знакома нам из гл. 5 первого тома (см. (I—5.32)).
Тогда, с учетом (36) и (40), имеем
1 У-
(41)
Результирующая структурная схема приемника показана на
рис. 3.5. Нетрудно заметить, что она совпадает со структурой
оптимального приемника для известных сигналов на фоне небелого шума
(см. рис. 4.38 первого тома), за исключением того, что оценка по
минимуму среднеквадратической ошибки s (t) заменила собой
известный сигнал в операции вычисления корреляционной функции.
Эта структурная схема аналогична оценивателю-коррелятору,
изображенному на рис. 2.3.
Второй представляющей интерес формой приемника для класса
Bw является реализация в форме фильтра-квадратора. Для этого
класса существует функциональный квадратный корень
Ад(/, и)=$ /i£1/2](z, /)/z£1/2](z, u)dz, Г,<Ли<7у (42)
Ti
85

Существование корня можно показать посредством проверки того,
что одним из решений (42) является
/*Г/2]М = $ hlVM(t,z)hw.(z,u)dz, T^^u^T,, (43)
поскольку обе функции подынтегрального выражения существуют
(см. задачу 3.2.10). Эта реализация в форме фильтра-квадратора по-
\hf\t,u)
>
Кбадратор
Л—
^
/
Рис. 3.6. Реализация оптимального приемника для задач класса Bw в форме
фильтра-квадратора.
казана на рис. 3.6. Для задач класса Aw функциональный
квадратный корень функции Лд (t, и) может не существовать и поэтому
реализация в форме фильтра-квадратора не всегда возможна (см.
задачу 3.2.10).
3.2.3. Краткие итоги § 3.2
В этом параграфе было выведено отношение правдоподобия (23)
для задачи класса Aw. Затем рассмотрены различные структурные
схемы приемника. Параллельная схема обработки — одна из
наиболее употребительных. В каждом ее тракте можно использовать
любую из канонических структурных схем приемника, разработанных
для простой бинарной задачи. Для задач класса Bw часто
применяется реализация в форме фильтра-квадратора, показанная на
рис. 3.6.
Следующая интересующая нас задача—исследование
помехоустойчивости приемника.
3.3. Помехоустойчивость оптимального приемника
Все наши рассуждения и результаты по анализу
помехоустойчивости в § 2.2 справедливы для задач класса Aw, за исключением
выражений в замкнутой форме для \i (s). В этом параграфе выведем
выражение для |х (s). Точно так же, как при синтезе оптимального
приемника, здесь имеется проблема, связанная с наличием небелого
(коррелированного) процесса, который присутствует по обеим
гипотезам. Как и прежде, одним из способов обойти это затруднение
является предварительное выбеливание принятого сигнала по гипо*
86

тезе H0. Осуществить этот вывод вполне возможно, но он чрезмерно
утомителен и требует большого методического мастерства. Из
других подходов, доступных нам на данном этапе изложения книги,
наиболее простым представляется метод дискретизации (выборочный
метод). В §3.5 мы вновь обратимся к вопросу помехоустойчивости.
Вывод формулы для \i (s) на новой стадии окажется гораздо проще
и корректнее.
В задачах гл. 3 первого тома на с. 269—271 был рассмотрен
вопрос о том, какие результаты для непрерывных колебаний можно
легко вывести, используя метод дискретизации. В нашем случае
принятые по двум гипотезам колебания описываются
выражениями (5). Из процесса г (t) через каждые TIN секунд формируется
отсчет. В результате получаем W-мерный вектор г, среднее значение
и ковариационная матрица которого являются дискретизированными
вариантами среднего значения и ковариационной функции процесса.
Далее можно использовать выражение для \х ($), выведенное в § 2.7
первого тома. Наконец, мы полагаем N-+■ оо , чтобы получить
требуемый результат. Для простоты изложения подробный вывод
сделаем для случая нулевого среднего.
Обозначим значение отсчета в момент времени t% через rt. Кова-
риации между отсчетами равны
Е[г1П\На]=*Кна(Ы,)=Ка.ф i,j=l,...,N, a=0,l. (44)
Множество отсчетов обозначается вектором г. Ковариационная
матрица вектора г равна
Е[ггт\На]=Ка, "=0,1. (45)
Матрицы в (45) являются ковариационными матрицами
размерностью N X N. Элементы матриц по двум гипотезам соответственно
равны
*i. «=*... ii+ТГ в«* <46)
Ко, ij=Ks0. ij + "J" °iJ- (47)
Заметим, что
Kst,tj=Kst(ti>tj), (48)
*.., у=/C..('i. tj). (49)
Элементы матриц (46) и (47) можно записать в матричной форме:
KiAKs.+ y1' (50)
KoAKse+Y I. (51)
Теперь можно использовать выражение для \i (s), выведенное в гл. 2
первого тома. Из решения к задаче 2.7.3 первого тома имеем
^(s)=-yln(|K1|s-4Kohs|K0s + K1(l-s)|), 0<s<l. (52)
87

Заметим, что символом | • | обозначается определитель матрицы.
Подставив (50) и (51) в (52), получим
2
-^i+к..
^(S)=~}ln{|^-I+Ksi
x|(-^I + K,.)s + (-J-I + K.,)(l-S)
X
(53)
Матрицы в (53) не могут быть вырожденными и поэтому все
указанные в (53) операции справедливы. Вынося NJ2 за фигурные скобки
и переписав (53) как сумму логарифмов, имеем
^(s)=^{(l-s)ln|l+^KSl| + sln|l+-|-Kse
-ln|l+^(sK.. + (l-s)Kfl)|}.
(54)
Теперь каждое слагаемое является логарифмом определителя
матрицы и может быть переписано в виде суммы логарифмов
собственных значений матрицы на основании теоремы Кейли — Гамильтона.
Например,
In 11+-L KSl 1=2 In (l +-2- К. i), (55)
где KSu i — t-e собственное значение матрицы KSl.
При N-*- oo эта функция собственных значений матрицы
KSl будет стремиться к одноименной функции собственных значе-
ний ядра/СзД/,*/)1). Обозначим собственные значения ядра KsAttu)
через ksi\ Таким образом,
Сумма в правой части знакома нам из (2.73); она равна
(56)
(57)
Следовательно, первое слагаемое \х (s) можно выразить через
реализуемую среднеквадратическую ошибку для задачи фильтрации
s^t) в присутствии аддитивного белого шума. Аналогичные
рассуждения можно провести и в отношении второго слагаемого. Для
1} Мы не доказали, что это утверждение справедливо. Это показано в раз-
Личных учебных пособиях по интегральным уравнениям, например, в [1].

интерпретации третьего слагаемого введем в рассмотрение новый
составной сигнальный процесс, определяемый как
Scom(/, s) Л Vs so (t) + V(l -s) sx (t). (58)
Это фиктивный процесс, создаваемый путем генерации двух
выборочных функций s0(f) и $i(f) статистически независимых случайных
процессов с ковариационными функциями Ko(t,u) и Ki(t,u) и
последующего формирования взвешенной суммы. Результирующий
составной процесс имеет ковариационную функцию
tfcom (t, и: 8)= sKo(t, u) + (l- s) Кг (tf и), Tt < t9u < Tf. (59)
Обозначим реализуемый средний квадрат ошибки фильтрации при
наличии белого шума как Ър (t \ sCOm ( • ), N0I2). Результирующее
выражение для \х (s) при этом имеет вид
^(5) = -^j[(l-s)gp(/|s1(.),-^-) +
+ sb>(/|Sb(0. ^)-b(/|Seom(0.-y-)]*. (60)
Отсюда видно,что в случае общей бинарной задачи fx (s) можно
выразить через три различные реализуемые ошибки фильтрации.
Чтобы определить помехоустойчивость, можно использовать
формулы (60) для [a (s), границы Чернова (2.127) или приближенные
формулы для вероятностей ошибок (2.164), (2.166), (2.173) и (2.174).
Некоторые конкретные примеры будут рассмотрены в гл. 4. Теперь
обратимся к четырем частным случаям.
3.4. Частные случаи
В этом параграфе мы рассмотрим четыре частных случая,
которые возникают на практике:
1. Бинарная симметричная задача.
2. Задача с ненулевым средним.
3. Задача со стационарным независимым полосовым процессом.
4. Бинарная симметричная задача с полосовым процессом.
Определим каждую из этих задач подробно в соответствующих
подпараграфах,
89

3.4.1. Бинарный симметричный случай
В этой задаче принятые по двум гипотезам колебания
записываются в виде
г(/)==|*1(0 + И0> ^</<Г/:Я1, (61)
s0(f) + w(f)9 Tt^t^Tf:H0.
Предполагается, что сигнальные процессы s± (t) и s0 (t) имеют
тождественные собственные значения и что их собственные функции
не перекрываются. В случае стационарных процессов это имеет
простую интерпретацию, иллюстрируемую спектрами на рис. 3.7.
Два иллюстрируемых здесь процесса
SC0)
имеют спектры, являющиеся прак-
S$0to) SSf(o) тически неперекрывающимися по
частоте и тождественными, если не
считать частотного сдвига.
Аддитивный шум w (t) — это белый шум со
АЛ
0о *>/ & спектральной плотностью N0/2. Та-
Рис. 3.7. Неперекрывающиеся кие задачи часто встречаются в об-
процессы (спектр симметричен ласти бинарных систем связи по
относительно со=0; показаны каналу с замираниями и являются
только положительные часто- всего лищь вариантом ыу^я 2 на
ты'* с. 121 первого тома. Физический
канал более подробно будет
рассмотрен в гл. 11, где и будет показано, как вводится эта
математическая модель. Здесь структурная схема приемника просто частный
случай рис. 3.3. Формулу для \ibs (s) можно получить из (60),
если учесть следующие замечания (подстрочный индекс BS
означает «бинарный симметричный»).
1. Наименьшая среднеквадратическая ошибка фильтрации
зависит только от собственных значений процесса. Следовательно,
Ь»('Ы0. ^)=ЫФ„(-), .-т). (62)
2. Если два процесса не имеют общих собственных функций,
то наименьший средний квадрат ошибки фильтрации их суммы
равен сумме наименьших средних квадратов ошибок фильтрации
отдельных процессов. Следовательно,
lp(t\scom{-),^)=Ut\Vss0(-),^) + lp(t\VT=~ss0(.), ^-). (63)
С учетом (62) и (63) имеем
Tf
|ias(s)~J[(l-s)b.(<|s„(.),-^-)-|p(/|Vl-sse(.),^e) +
+ slP(t\s0(.),^-tP(t\V-ss0(.),^dt. (64)
90

Это выражение можно переписать в различных формах. Обратившись
к выражению (2.139) для \i (s) в случае простой бинарной задачи,
видим, что (64) можно записать как
\ibs (s) = \isib (s) + \isib (1 — s), (65)1}
где подстрочный индекс SIB означает «простая бинарная», и на
основании (2.139) имеем
Tf
° Ti
-|p^|Vr^ss0(.),-^-)]^. (66)
Из (65) очевидно, что \ibs (s) симметрично относительно s = 1/2.
Вторая форма записи \ibs (s), которая часто бывает удобной, имеет
вид
№We^?[fr('l,'(-)'T-)-(1-e)fr(/|''(-)'i(r^)-
Stp t
[t]soi')'J!t)]dt- (67)
Бинарная симметричная модель часто встречается при
рассмотрении систем связи. В большинстве случаев априорные вероятности
по двум гипотезам равны
Р\Нй] = Р[Н1] = ~, (68)
и критерием оптимальности является наименьшая суммарная
вероятность ошибок
P(e)=:±PF+±-PM. (69)
При этих условиях порог In т] равен нулю. Все выведенные ранее
выражения для границ качества (помехоустойчивости) требуют
нахождения значения s, при котором
|i(s) = lnti. (70)
В этом случае нам необходимо знать s, при котором
iiBs(s) = 0. (71)
Ввиду симметрии очевидно, что
|iBS(s)|s=i/2=0. (72)
г) Эта форма записи была получена в [2].
91

Таким образом, важной величиной является \xbs (1/2). Из (65)
находим
|1М(1/2) = 2^/в(1/2). (73)
Согласно (66) имеем
Tf
|iBs(l/2) = ^J[b(/|so(0.-^)-6p(/|eo(-).^o)] dt. (74)
Используя (I—2.473), получим границу вероятности ошибок:
P(e)<-Lexp[^5(l/2)]. (75)
Чтобы получить приближенное выражение для суммарной
вероятности ошибок, поступим так, как при определении (2.164) и (2.173).
Одночленное приближение имеет вид
»»»[^Я «р(я» w +iemy (76)
Когда аргумент функции erfc* больше двух, (76) можно
аппроксимировать в виде
Р(в)~
1/2
ехр|
_>Lbs (1/2)). (77)
Как и прежде, коэффициент в (77) часто бывает необходим для
получения хорошей оценки вероятности ошибок Р(е). На с. 100 мы
вернемся к этой задаче и исследуем точность аппроксимации (77)
более подробно.
Уместно сделать два замечания.
1. На основании (2.72) и (2.74) выражение для \xbs (s) можно
записать через определители Фредгольма. Используя эти
выражения, имеем
! г Dp (2/N0) 1
рВ8 (s)=— In - , (78)
! Г Dp (2/N0) 1
\ibs (1/2) = — In - . (79)
P 2 [ Dfc(l/N0) J V '
2. Отрицательная величина [х (1/2) некоторыми авторами
использовалась как критерий для суждения о качестве испытания. Впервые
этот критерий, по-видимому, был введен Хеллингером [3] в 1909 г.
Его часто называют расстоянием Баттачария [4]. Другое название,
употребляемое не столь часто, — расстояние Какутани [51. Важно
92

заметить, что значение |л (1/2) определяется как симметрией задачи,
так и выбором порога. Если любой из этих элементов изменяется,
то jll(s) при некотором s ф 1/2 будет обеспечивать лучшую меру
качества. Нетрудно привести случаи, когда упорядочение
критериев (испытаний) по значению их |х(1/2) или синтез сигналов с целью
минимизации |и(1/2) дают неправильные результаты из-за того,
что модель асимметрична.
Формулы, выведенные в этом параграфе, существенны при
анализе бинарных симметричных систем связи. В гл. 5 будут выведены
соответствующие формулы для многопозиционных
(многоальтернативных) систем. Перейдем теперь к следующему интересующему
нас вопросу — влиянию ненулевых средних.
3.4.2. Ненулевые средние
При рассмотрении общей бинарной задачи мы исходили из
предположения, что процессы по обеим гипотезам имеют нулевые
средние. В этом подпараграфе рассмотрим класс задач типа Awm и
покажем, как ненулевые средние влияют на структуру оптимального
приемника и качество системы. Принятые колебания по обеим
гипотезам записываются в виде
\s0(t) + w(t)y Tt^t^Tf:H0,
где
£M01 = mi(0, (81)
E[s0(t)] = m0(t). (82)
Ковариационные функции процессов s^t) и s0(f) равны KSx{Uu)
и KSo (t, и) соответственно. Аддитивный белый гауссов шум имеет
нулевое среднее и спектральную плотность NJ2 и независим от
сигнальных процессов. Как и в простой бинарной задаче, необходимо
получить выражения для h и \ld (s). Полезно вспомнить
определения этих величин в форме (2.32) и (2.147). Ввиду сходства данной
задачи с простой бинарной как по выводу, так и по результатам, мы
просто приведем здесь готовые ответы, оставив их вывод в качестве
упражнения (см. задачу 3.4.1).
Модифицировав (23), получим
Tf vTf 1
1о=\гЩ jj [m(t)QHl(tyu)-m0(t)QHo(t>u)]dt \du. (83)
Выражение (23) можно записать как
lD=\r{u)\gl{a)-gM\du, (84)
Ti
93

Tt
i-Дё
81 (")Д l Щ(0Q//,(*, ")dt, Ti<u<Tf, (85)
т.
4
go(u)£\m0(t)QH.(t,u)dt, Tt<u<Tf. (86)
Функции gi(u) и g'o (и) также можно определить в неявном виде
через соотношения
Tf
«1 (0=5 *//.(*.")&(«)<*«. T^t^Tf, (87)
Tf
щ®=1Кн.У,и)д0(и)(1и, 7,|</<Т/. (88)
Получаемый в результате критерий имеет вид
Ir + IpUv', (89)
где 1ц определяется соотношениями (23) или (32), а у' — порог,
который включает члены смещения. Другое выражение для
критерия, получаемого в задаче 3.4.1, имеет вид
lu]r(f)g(t)dt-f-i- j*f [r(0-mt(t)]Лд(t,u)[r(«)-
Ti 4
—m^u^dtdu^y", (90)
где g (t) удовлетворяет уравнению
$ Кн. (/, w) g(w) da^mx (0- m0 (0, 7\ < f < Tft (91)
и Лд (/,*/) удовлетворяет (33). Преимущество формы записи (90)
в том, что она требует решения двух, а не трех интегральных
уравнений.
Вывод формулы для |lid(s) более сложен (см. задачу 3.4.2).
Введем в рассмотрение функцию тд (f), определяемую как
/лд(0 = mo(0 —/МО, (92)
и составной сигнальный процесс
Scorn (Л 8) = Vs S0 (t) + V~S Sl (/), (93)
94

ковариационную функцию которого обозначим через Kcom(t,u).
В (93) предполагается, что s0 (/) и s2 (/)—статистически независимые
лроцессы. Поэтому
Ксот (/, u)=sK0 (t, и) + (1 - s) Кг (/, и). (94)
Этот процесс встречался нам ранее (см. (58)), Наконец, определим
в неявном виде функцию g'Acom (' I NJ2) посредством интегрального
уравнения
тд (0 = j [/tcom (*, а) + -^ б (t-u)j £Дсот Ы -у-) ^ (95)
Тогда можно показать, что
Ms)=_JlLz£L j тд(/)£Дсот(/ I -^.)л. (96)
Чтобы получить выражение для [х (s) для всей задачи, прибавим
к \iD (s) значение \i (s) из выражения для 1ц (обозначаемое через
ц,д (s) и определенное по формуле (60)). В результате получим
f*(s) = Ms) + Ms)- 97)
Формулами (84), (90) и (96) определяется задача с ненулевыми
средними. Некоторые типичные примеры разобраны в задачах вне
основного текста.
3.4.3. Задачи со стационарными полосовыми процессами,
симметричными относительно несущей
iMHonie из процессов, встречающихся на практике, являются
полосовыми процессами, спектр которых симметричен относительно
несущей частоты. В гл. 11 этот класс задач будет исследован подробно.
Здесь рассматривается частный класс задач с полосовыми
процессами, который легко можно связать с соответствующей задачей,
относящейся к процессам со спектром нижних частот. Мы вводим
этот частный класс на данном этапе изложения ввиду того, что
подобные задачи часто встречаются на практике. Разбор их будет
хорошим примером при обсуждении некоторых методов решения в гл. 4.
Принятые колебания по двум гипотезам записываются в виде
\s0(t) + w(t), Tt^t^Tt:H0.
Сигналы Sx (t) и s0 (/) представляют собой отрезки выборочных
функций стационарного гауссова процесса с нулевыми средними и с уз-
95

кополосными спектрами, симметричными относительно несущих
частот, соответственно равных сог и со0. Указанные спектры практи*
чески не перекрываются, как это показано на рис. 3.8. Данная
задача отличается от задачи, рассмотренной в п. 3.4.1, тем, что в ней
мы не требуем, чтобы соответствующие два процесса имели
одинаковые собственные значения.
Для определения структуры оптимального приемника умножим
процесс г (t) на четыре несущие, показанные на рис. 3.9, и
пропустим полученные в результате выходные процессы через идеальные
А
Ш)
-ь>1 -*>о
Oq
Рис. 3.8. Неперекрывающиеся полосовые спектры.
фильтры нижних частот. Эти фильтры нижних частот пропускают
транспонированные по частоте копии процессов sx (t) и s0 (/) без
искажений. Теперь для использования в испытании отношения
правдоподобия мы имеем четыре колебания rCl (t),rSl(/),rCo(t) и rSo(t) no
двум гипотезам:
rSl(t)=SsAt)+WsAt)> Tt<t^Tf
ГсЛ) = ™сЛ*)> Tt^t^Tf
rs0(t) = Ws0(t)> Tt^t^T,
ГзЛ*) = м*Л*)> Tt^t^Tf
rcAt) = ScAt) + Wc0(t)> Tt^t^Tj
M0=*.W+ouW, Tt<t^Tf
#1,
(99)
#n
Ввиду предполагаемой симметрии спектров все указанные процессы
являются статистически независимыми (см., например, П.3.1).
Процессы sct (t) и sSl (t) имеют тождественные] спектры, которые
мы обозначим через S^ (со). Это просто компонента нижних частот
от полосового спектра после того, как он был сдвинут к началу
координат. Аналогично процессы sco (/) и sSo (/) также имеют
тождественные спектры, которые мы обозначим через Sl0 (w). С учетом
статистической независимости процессов критерий отношения
правдоподобия можно записать в результате простого анализа без каких-
W

либо выкладок. По аналогии с (30) критерий отношения
правдоподобия имеет вид
hCl +IrSi + К + Ibs~1Rc-Irs-Ibc-Ibs, I In r,, (100)
где определения различных слагаемых совпадают с (27) и (29).
Вариант оптимального приемника в форме фильтра-квадратора
показан на рис. 3.10. (Заметим, что 1вч = /bv) В большинстве
случаев фильтры перед квадратором — это фильтры нижних частот,
поэтому идеальные фильтры нижних частот на рис. 3.9 можно ис-
—*■
*ч
rc,W |
>1
rSo(t)
—>
Рис. З.9. Генерация колебаний (процессов) нижних частот.
ключить. В гл. 11 получена более эффективная реализация опта*
мального приемника с использованием полосовых фильтров и
квадратичных детекторов огибающей.
Для оценки качества заметим, что синусоидальные компоненты
обеспечивают точно такое же количество информации, как и косину-
соидальные компоненты. Поэтому следует ожидать, что
\ibp (s) = 2 \xLP (s), (101)
где подстрочный индекс ВР означает задачу с реальными
полосовыми процессами, a LP — задачу с входными процессами г (f) и
rc (f). Заметим, что мощность (или энергия) в задаче с процессами
нижних частот равна половине мощности или энергии в задаче с
полосовыми процессами:
Plp = РврП, (102)
ErLp=ErBP/2- (103)
4 Зак. 1494 97
Ht)
у/2 мь (Oft
J2sirwft
(7\ »
Y
\Идеальный фильтр
нижних частот L
(ИФНЧ) \
Идеальный фильтр
нижних частят V
(ИФНЧ) \
Идеальный фильтр
нижних част am L
(ИФНЧ) 1
Идеальный фильтр
нижних частот L
(ИФНЧ) J
/ZsinQgi

Нетрудно убедиться, что (101) — (103) — правильные результаты
(см. задачу 3.4.8). Поскольку полосовой процесс генерирует два
статистически независимых процесса нижних частот, можно показать,
что собственные значения полосового процесса существуют парами.
Важный вывод состоит в том, что для этого частного класса задач
с полосовыми процессами существует эквивалентная задача с про»
цессами нижних частот, которую можно получить простым
изменением масштаба. Напомним, что в этом параграфе были сделаны три
предположения:
1 ъ,Ю
1 "'L.I • ^
1 rS)(t) __
! %<*) _
| ^
! %ю ^
ь/и]
hfr(t,a)
hfrit,u)
hff.it, и)
^
v
Кдадратор
Кдадратэр
Кда&рашр
tfdatfpamgp
"Л
i
_.it
"' 1
4
, t
Рис. 3.10. Оптимальная обработка процессов нижних частот.
1. Сигнальные процессы стационарны.
2. Сигнальные спектры по двум гипотезам практически не пере»
крываются.
3. Сигнальные спектры симметричны относительно
соответствующих несущих частот.
Позднее будут рассмотрены асимметричные спектры и
нестационарные процессы. В таких случаях переход к задаче с процессами
нижних частот сложнее и требуется более эффективная система
записи.
3.4.4. Вероятность ошибки для бинарной симметричной
полосовой задачи
В этом подпараграфе рассмотрим бинарную задачу с полосовыми
процессами, имеющими симметричные спектры. Модель для этой
задачи удовлетворяет допущениям, сделанным в пп. 3.4.1, 3.4.3.
Выведем выражения для точных верхней и нижней границ вероятности
ошибки ^(е)1).
х) При изложении материала этого параграфа мы следуем работе [2].
Впервые эти результаты были получены Пирсом [6J.
98

Так как исходно предполагаются равновероятные гипотезы й
критерий наименьшей полной (суммарной) вероятности ошибок,
можно записать
P(e)=P[B\H0]=1piW,(I<)dI< =
о
оо а+/°°
= f-J- Г MllHt(w)e—LdwlL, 0<а<1. (104)
О а—/оо
Заметим, что w — комплексная переменнаяг>
w = а + jv. (105)
Изменив порядок интегрирования и вычислив выражение под
внешним интегралом, получим
а+/оо
Р (е)=— Г Mi | я.-Ы I" е-"* dL<to=
■W_JL j *„л.нГ.
а—/оо о
а+/оо а+/<» , v
- - - - Mw)
1 V» 1 1 с ещш)
= —7 — Mi\H9(w)dw=irT dw> 0<а<1.
2nj J w 2щ J w
а—/ов а—/оо
(106)
Для данной конкретной задачи выражение для \i (до) следует
непосредственно из (57) и (67):
;(il,_|[111(1+^.)_ta(I+^.)_to(,+jfl^k)].
(107)
Заметим, что Мы использовали (101) для исключения аргумента
1/2 в формуле для fx(s). Как было указано ранее, это объясняется
тем, что в полосовой задаче собственные значения появляются
парами. На основании (107) имеем
<ДО=П 1+»*/*о . (108)
1 1 (1 + 2юЯ|/^в)(1+2(1-ю)Х|/^в)
1} Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что аргумент
Мцн (.)—величина действительная, однако полученные ранее
результаты справедливы также для комплексных аргументов при условии
0 < Re [w] < 1.
4* 99

Таким образом,
О -\- j'oo оо
* (l+2ki/N0)dw
w 2n/ J w L l (1-
. I +2w%i/N0) (1 + 2 (1 —a») %i/N0)
O—joo 1=1
0<<j<1. (109)
Формула (109) впервые получена Туриным [7]. Пирс [6], исходя
из (109), вывел выражения для точных верхней и нижней границ
вероятности ошибки Р (е). Поскольку выполненный им вывод вполне
доступен читателям, мы его опускаем и просто приводим
окончательный результат. (Простой вывод при использовании таких же,
как у нас, обозначений проделан в [2].) Можно показать, что
erfcJ-^tolexp
,(1/2)+М
<
ехр[ц (1/2)1
2[l+V(l/8)ji(l/2)] '
Нижнюю границу можно еще более ослабить:
(ПО)
exp [[i(l/2)] <р/сч< ехр [[1(1/2)] /щч
2[1 + V(jc/8)J1(1/2)] ^ ^ 2[l+V(l/8)£(l/2)j
Полученное выражение совпадает с формулой Пирса. .Заметим, что
верхняя и нижняя границы различаются не более чем в Уп раз.
Из (76) видно, что приближение первого порядка к Р (е) совпадает
с нижней границей в (НО). Следовательно, в бинарном
симметричном полосовом случае выведенное нами выражение для
вероятности ошибки всегда дает результат, отличающийся от точного
значения Р(&) не более чем в ]/д раз. Заметим, что наш результат
получен в предположении, что спектры процессов симметричны
относительно соответствующих несущих частот. Формулы (ПО) и (111)
справедливы также и для несимметричных спектров. Это будет
доказано в гл. 11.
Мы не смогли распространить вывод Пирса на несимметричный
случай, чтобы получить границы Pd и Рр. Однако несколько
конкретных примеров свидетельствуют о том, что наши
приближенные выражения для ошибки дают точные результаты.
В этом подпараграфе были исследованы четыре частные модели
гауссовой задачи. В следующем параграфе мы вернемся к общей
задаче и рассмотрим, как влияет на результаты снятие
предположения о белом шуме.
100

3.5. Общий бинарный случай: белый шум не
обязательно присутствует
В этом параграфе мы кратко обсудим общую бинарную задачу.
Принятые по двум гипотезам колебания записываются в виде
\r2(t), Tt^t^Tf:H0.
Эти процессы являются гауссовыми процессами с нулевыми
средними и ковариационными функциями Кнх (t, и) и Кнл {U и)
соответственно. Предполагается, что оба процесса строго
положительно определенные.
3.5.1. Синтез оптимального приемника
Чтобы решить эту задачу, сначала пропустим процесс г (f) через
выбеливающий фильтр для получения выходного процесса г*(/),
являющегося белым по гипотезе Н0. Ранее импульсную переходную
функцию выбеливающего фильтра мы обозначали через hw (t, z).
Теперь обозначим ее через /Ся,1-1/21 (t, z). Причина такого
обозначения станет вскоре очевидной. При этом
r*(f)=\Kb-l>24t,z)r(z)dz. (113)
Из требования выбеливания процесса следует, что
E[r*(f)r*(u)\H0]=8(t-u)=
Tf
=S *£'/2] {Uz) к»>(г-у) кк'/2] (">у) dzdy- (114)
По гипотезе Ях ковариационная функция процесса г* (t) равна
Tf
=§К1н-1'2Ч*,г)КнЛг> y)Kb-i'24u,y)dzdyAK\(t,u). (115)
Tt
Теперь можно разложить процесс г* (t) по собственным функциям
Я* (/, и):
%f фt (t) = ^ /С! (/, «)Ф4 («) du, 74 < * < 7> (116)
101

Коэффициенты разложения равны
rtulrt(()<S>t(f)dt (117)
Tt
и выбеленный процесс представляется в виде
r,(0=l.i.m. 2 'i<M0. Tt^t^Tf. (118)
Эти коэффициенты являются случайными величинами с нулевыми
средними. Их ковариационные функции равны
Е[гйп\Н1]=№и, (Н9)
Е1г1П\Н0] = 8Ф (120)
Заметим, что (116) можно записать как
V Ф* (0= f Гц Kfc;1/2] (Л г) /(я, (г, */) К^1/2] («. </) dzdy\ X
xOg(u)du9 Tt^t^Tf. (121)
Введем теперь в рассмотрение функцию K$m (2, 0» определив ее
неявно через соотношение
Яя. (Л и)=$ *В/Ч (г, 0 /(П/2] (z, tt) Л. (122)
Видим, что /С[]/2] (г, 0 — функциональный квадратный корень
из ковариационной функции Кн {tt и). Заметим, что
8 ((* — и)=$ /СУ/21 С» *) #£1,/2] <г' а)dz' (! 23)
Формулу (123) можно проверить, если выписать каждый член разло*
жения в ортогональный ряд. Умножив обе части (121) на /С^/2](-,-)>
проинтегрировав и учитывая (123), получим
^(кнЛии)\^К]г^12Чиуг)Фь{г)йг\йи =
т% L Tt J
= ( Кнх (/, и) Г jf Kk71/21 ("• 2)ф* Wdz I ^ (124)
102

Ti
Tj Tf
Если ввести в рассмотрение функцию Ч^ (и), определяемую как
% (") А ( ^7'/2J <"•2)ф* Wd?' (125)
то (124) принимает вид
Tt
К \ Кн. (*, «) V, (и) du = J Я я, С ") Y, (") du. (126)
г, г,
Заметим, что исходный процесс r(t) можно также записать в форме
г (0= 1. i. m. У г А { Кн. (t, и) ¥г (и) du\. (127)
***° И |Г( J
Таким образом, мы располагаем разложением, которое дает
статистически независимые коэффициенты по обеим гипотезам.
Критерий отношения правдоподобия при этом имеет вид
к
П ' ■ ' ' *'
A(4=-!=i_ »„. (128)
J|s^i"'(~T4)
Если положить /С ->- оо , то это выражение сведется к
ьд-i-i#(—НМпт>+4-i w-y- (129)
2 Я v К ]"<> 2 /=i
Введем теперь в рассмотрение ядро, определяемое как
°° г Ц-\
к (t, и) д 2 -4— ф* (о ф* («). ^ <'.«<Г/> ;(13°)
и удовлетворяющее интегральному уравнению
\K(t,z)K\{z,u)dz=K\{t,u)-b{t~u), 7y<f,u<7y (131)
103

Тогда
/*= y jjr* W л* &")r* (")rfWtt- <132)
С учетом (113) имеем
'*=yjjrHJj^
X
X г (у) d#dt/.
Введя в рассмотрение функцию Лд (#, г/), равную
(133)
Ы*,У) Д JjKfc;"21 ^ ^Л*^' u)Kfci,34u,y)dtdu, (134)
получим
/*=y f fr (*) ftA (*• У)r (У) dxdy- *135)
Исходя из (134), нетрудно показать, что йд(дс, #) удовлетворяет
уравнению
Ц Кн, if, х) Лд (л;, у) Кнг {у, и) dx йу=Кн, (t, и)—Кн, (*. и),
7',</,«<7'/.
(136)
Как и следовало ожидать, формула (136) совпадает с (33). Теперь
необходимо определить помехоустойчивость оптимального
приемника.
3.5.2. Помехоустойчивость оптимального приемника: общий
бинарный случай
Чтобы определить помехоустойчивость приемника в общем
бинарном случае, используем (2.126) для вычисления \i(s):
Кг- ОО
Г Л 1
2Х; /V 2
хехр
dRt
(137)
104

Вычислив интеграл, получим
*Ф)=21п
где X* — собственные значения ядра
K\(t,u)= (/(^71/2] &г)КнА*>х) Kfcl'24u9x)dzdx. (139)
Tt
При рассмотрении помехоустойчивости для случая известного
сигнала на фоне гауссова шума было показано, что в отсутствие
белого шума возможны идеальные решения при некоторых условиях
(см. с. 299—302 первого тома). Рассмотрим теперь аналогичный
вопрос для общей гауссовой задачи.
3*5.3. Невырожденные и вырожденные критерии
Цель данного рассмотрения — определить необходимые и
достаточные условия для того, чтобы критерий был невырожденным.
Вывод строится на основе последовательности лемм. Как и прежде,
считается, что критерий является вырожденным, если Р(г) = 0,
Заметим, что предположения о равновероятности гипотез не
делается, вследствие чего
Р(г) = РгР(г | Нг) + Р0Р(г | Я0). (140)
Будем придерживаться следующего порядка изложения.
L Покажем, что Р(г) > 0, если и только если (л( 1/2) конечно.
2. Затем установим необходимое и достаточное условие того,
чтобы (х(1/2) было конечным. Наконец, рассмотрим два простых
примера вырожденных испытаний.
Лемма 1. Для вероятности ошибок Р(е) можно установить
следующие границы:
— {min [Pl9 P0]} e2^/2)^p(8)^J- е^О/2). (141)
Поэтому функция Р(г) будет равна нулю, если Р0 или Ръ или
ем-(1/2) равны нулю. Если предположить, что Рх и Р0
положительны, то Р(г) будет больше нуля, если и только если (х(1/2) конечно.
Другими словами, вырожденное испытание будет иметь место, если
и только если \i (1/2) расходится.
Верхняя граница нам знакома. Доказательство нижней границы
носит прямой характер.
105
(W-s)>2 1
(s+(\-s)l*i)1'2
(138)

Доказательство1). Пусть
аДе(Ш/2>= J [pnw.CRI^p,,я.(R|//,)]>/»rfR. (142a)
— do
Теперь отметим, что на основании неравенства Буняковского —
Шварца для любого множества 5 справедлива запись
S [Pt I /Л (RI Нг) рг, „0 (R | #о)1,/2 dR < \1 рг, ,7l (R | Нг) dR X
X$Pri^(R|Wo)dRJ1/2<Kpr,//m(R[/i/m)dR
1/2
, m—.0,1.
(1426)
Вспомним (см. с. 43 первого тома), что вероятность ошибок при
использовании оптимального критерия равна
Р(*) = Рг ^РпнЛЫНдйЪ+Ро jjpr, HA*\H0)dR^
Z0 Zi
>min [Pv P0] {J pr , Hl (R | #2) dR + I pr , я. (R | #„) dR j. (143a)
Используя (1426) применительно к каждому интегралу в (143а),
получим
Р(е)>гпт[Р1уР0]1([рг1 нМЫРг \H.frW]l'*dR)*+
+ (S [Pr|^(R|^)pr iH0(R\H0)V^dR\^ =
=min[PlfP0]{A fpr ,//4(R|tfi)Pr i^(R|^0)p/2dRj +
+ (cc-S [pr,^(R|^i)Pr i^(R^0)iW2dRVj=
=min [Px, P0] {x2 + (a-x)% (1436)
где
^4 SlPr,«i(R^1)pn^(R!^0)]i/2dR, (143b)
Z0
а значение а: заключено в интервале 10,а].
i) Этот результат аналогичен результату, полученному в [8].
106

Выражение в фигурных скобках в (1436) можно минимизировать,
положив
х = а/2, (143г)
и минимальное значение его равно
a2/2=_Le2iOI/2). (143д)
Итак,
P{B)^mm[PvPQ]— e2^d/2), (Н4)
что и требовалось доказать. Следует подчеркнуть, что нижняя
граница в (141) используется нами лишь для рассмотрения вопроса
о вырожденных испытаниях и поэтому она необязательно должна
быть плотной границей.
Л е м м а 2. На основании (138) имеем
,i(l/2) = -f 2 1п
/=i
Щ
о+ь;)2
(145)
Чтобы fx(l/2) было конечным, все X* должны быть положительными.
Если это справедливо, то, чтобы fx(l/2) было конечным, необходимо
и достаточно, чтобы
00
2(1-^)2<°°- (146)
Доказательство (из [9]). Можно показать свойства сходимости
следующих сумм:
2* ММ
< оо, (147)
если и только если
если и только если
2(1-*?)■< оо. (149)
В справедливости этих равносильных неравенств легко убедиться.
Л е м м а 3, Введем в рассмотрение число А,**, определяемое
соотношением
л;*дь;—1, (150)
107

и ядро Y(t,u), определяемое выражением
Y(t,u) A J J Khl'/2] {t, x) KHl (x, z) KliT,'/2] (и,г) dxdz-
— 8(t—u), Ti^t.u^T/. (151)
Числа %f* являются собственными значениями ядра Y(t,u).
Заметим, что Y(t, и) необязательно должно быть положительно
определенным (т. е. некоторые из %** могут быть отрицательными).
Л е м м а 4. Значение ц(1/2) будет конечным, если и только если
1) все ХГ> —1,
оо
2) сумма 2 (^/*)2 является конечной.
Если предположить, что первое условие выполняется, то для
fj (^*)2<оо (152)
необходимо и достаточно, чтобы
Y2(tfu)dtdu<oo. (153)
if
Выражение (151) можно также записать в виде
Яд(/, и) Д Кнх(t, и)-Кн>(/, и) =
= \ КнЛ*>х)У(*>и)<1х, Tt^ttu^Tf. (154)
Ti
Это уравнение должно иметь интегрируемое в квадрате решение.
В итоге необходимое и достаточное условие для невырожденного
испытания заключается в том, чтобы функция Y (/, и), определяемая
выражением (151) или (154), была интегрируемой в квадрате и не
имела —1 в качестве собственного значения.
В связи с изложенным полезно сделать ряд замечаний.
1. Результат, выражаемый соотношениями (150) — (154), имеет
простую физическую интерпретацию. Ковариационная функция
выбеленного процесса r*(t) по гипотезе Н1 должна состоять из
импульса с единичной площадью (дельта-функции) и
положительно-определенной, интегрируемой в квадрате компоненты.
2. Рассмотренная задача является симметричной, так что все
наши рассуждения сохраняют силу, если подстрочные индексы 0"и 1
взаимно поменять местами. Следовательно, условия, определяемые
(151) и (153), можно проверить для случая, который является
простейшим. Отметим, что нет необходимости в проверке обоих случаев.
103

3. Функцию \x(s) можно записать через собственные значения
ядра Y(t, и). На основании (138) и с учетом (150) имеем
ЕМ-? tof С+>'Т'-"' 1. (155)
я Lo+(i-«>«*)"•]
где X** — собственные значения ядра Y(tfu), которые могут быть
как положительными, так и отрицательными. Заметим, что для того,
чтобы функция \i(s) была конечной, достаточно, но не
необходимо, чтобы логарифмы числителя и знаменателя в (155) сходились
независимо друг от друга (см. задачу 3.5.11)
Рассмотрим теперь два простых примера вырожденных
испытаний.
Пример 1. Пусть
КнЛ*>*)=*К (*>*)> (156)
КнЛ*>и) = *К&и)- (157)
Тогда
т1
Я*Ь71/21('. *)КнЛх> У)1$Г.1т(и> y)dxdy=a8(t-u), (158)
Ti
Y(t,u) = (a — 1) 6 (t — u)t (159)
а эта функция не является интегрируемой в квадрате, если а = 1.
Следовательно, когда ковариационные функции по двум
гипотезам тождественны, не считая амплитудного множителя, критерий
является вырожденным.
Пример 2. Пусть
/(я0(/, w) = P0exp(—a\t—u\)9 (160)
К/#1('.") = Лехр(-р|/-а|). (161)
Для этого конкретного примера простейшая процедура заключается
в построении выбеливающего фильтра. На основании (1—4.243)
имеем
r,(0=y=N0 + ar(0] (162)
или
Kh-l/24t,u) = ^=r-l8llHt-u)+a8(t-u)}. (163)1'
1) Символ 6^1 (т) означает дублет при т = 0.
109

Ковариационная функция процесса г* (t) по гипотезе Ях равна
K*(f и\- 1 Г^^я,^»),^ dK„tjt.u)
Kl{t'u)—^F0[ шеи +a—Ft +
дК„ (t, к) „ 1
+ « T +aa/Cfft^.H) . (164)
Здесь только первое слагаемое содержит дельта-функцию:
32У "}=2Pp*б^-Ц)-Р2рхехР(-Р1<~»D- (165)
Чтобы критерий был невырожденным, должно выполняться условие
р/УаРо = 1. (166)
В противном случае условие (153) невозможно выполнить.
В примере 2 предполагается простое испытание на
вырожденность, которое можно применить, когда случайные процессы по
двум гипотезам являются стационарными и имеют рациональные
спектры. В этом случае необходимым и достаточным условием невы-
рожденногокритерия является
lim(S„>)/S„>))=l (167)
(см. задачу 3.5.12).
Ряд других примеров вырожденных критериев рассмотрен в
задачах вне основного текста. Для строгого и более подробного
рассмотрения интересующийся читатель может обратиться к работам
[9—12, 15]. Как было отмечено при рассмотрении задач класса Aw,
путем включения одной и той же компоненты белого шума по обеим
гипотезам можно гарантировать, что критерий будет
невырожденным. Поскольку включение компоненты белого шума обычно
обосновано, исходя из физических соображений, таким способом можно
избежать проблемы вырожденного критерия.
3.6. Краткие итоги главы
В этой главе была рассмотрена общая бинарная задача. Сначала
были рассмотрены задачи класса Aw. В задачах этого класса один
и тот же белый шумовой процесс присутствует по обеим гипотезам.
Критерий отношения правдоподобия можно реализовать при
помощи приемника с параллельной обработкой, который вычисляет
Ir] и lBi:
Tf
//?i = -^-jjr(a)/il(aiP)r(P)darfpf i = 0, 1, (168)
Ti
110

*\де hi (a, P) определяется соотношением (25), и
^в-^1^('1т")Л; 'e(U'
(169)
где Бр/(*|#</2) —наименьший средний квадрат ошибки,
определенный на с. 41. Далее приемник осуществляет испытание:
hi + ht—h. — lBi ^lnrj.
н0
(170)
Алгоритм обработки, указанный в (168), можно реализовать,
используя одну из структурных схем канонических реализаций
оптимального приемника, синтезированных в § 2.1.
Помехоустойчивость была определена при вычислении функции [x(s), определяемой
соотношением (60):
^>=^j[a-s>!>(<|M-).-f-)+
+ sfr(f |s0(.), -^)-5p('|w(0. Т")]Лв (171)
Определения отдельных слагаемых в (171) даны на с. 89.
В общем бинарном случае испытание (решающее правило) имеет
вид
и*
где
k=Y [i\r(x)hb(x>y)r(y)dxdy,
fc=--f 2 1n(*J).
/=i
(172)
(173)
(174)
Ядро h&(xty) удовлетворяет уравнению
Tf
J J" Kh, (t, x) hA {x, y) KHl {У, и) dx dy=
Числа К* — собственные значения ядра
(175)
К\ (*, и) = J J tffc' /2] (Л г) * «, (г, х) /СяТ'/2] (и, х) dz dx. (176)
ill

Если предположение о белом шуме снимается, то необходимо
быть внимательным, чтобы введенная нами модель задачи не
привела к вырожденному испытанию. Было показано, что необходимое
и достаточное условие невырожденного испытания состоит в том,
чтобы ядро /
Y(t9u)Л /С! (t9u) - 8(t - и), Tt ^t9u < Tf9 (177)
было интегрируемой в квадрате функцией^ не имеющей —1 в
качестве собственного значения. Качество критерия можно определить
путем вычисления функции
где %** — собственные значения ядра Y(t9u).
Помимо общей задачи, был рассмотрен ряд частных случаев.
Первой была исследована бинарная симметричная задача. Наиболее
важным результатом здесь является соотношение между \xbs (s)
и \isib (s) для простой бинарной задачи в § 3.4:
Vbs (s) = Psib (s)+Psib (!—s)« (179)
Было также отмечено, что когда г] = 0, значение \ibs (1/2) является
удобной величиной для оценки границ вероятности ошибки Р (е).
Вторым был рассмотрен случай ненулевого среднего. Он
выразился в двух новых членах вида
!>
h=] rmg^—goWdu (180)
в выражении для критерия отношения правдоподобия. Функции
gi(u) были определены посредством соотношения
mi(t)=[KHiit9u)gi(u)du% Tt^t^Tf9 /=0,1. (181)
При вычислении помехоустойчивости был дополнительно введен член
\id(s)9 который определяется выражением (96).
Далее было отмечено, что для полосовых процессов, спектры
которых симметричны относительно несущих частот, существует
простая связь между реальной полосовой задачей и эквивалентной
задачей с процессами нижних частот. Наконец, для бинарной
симметричной полосовой задачи была выведена граница вероятности ошибок
exp [\i (1/2)] ^ р /£ч ^ ехр [\х (1/2)] ^^
2 [1 + У (я/8) ji (1/2)] "" ^ 2 [1 + У(1/8) Д (1/2)1 '
112

Эта граница полезна для данной конкретной задачи. Кроме того,
она обеспечивает хорошую оценку точности выведенного нами
приближенного выражения. Существует большое число задач, в
которых мы можем вычислить приближенное выражение, но пока не в
состоянии найти граничные значения.
На протяжении гл. 2 и 3 мы встречались с линейными фильтрами,
оценками случайных процессов и формулами для среднеквадрати-
ческой ошибки, которые необходимо было найти, чтобы полностью
определить оптимальный приемник и его помехоустойчивость. Во
многих случаях в качестве примеров использовались процессы с
конечными представлениями в переменных состояния, так как в этом
случае легко показать процедуру отыскания необходимых величин.
В следующей главе будут рассмотрены три категории задач, для
которых можно получить полное решение.
3. 7. Задачи
Задачи к § 3.2. Структурные схемы оптимального приемника
Задача 3.2.1.
1. Проверить результат (21), следуя предложенному подходу.
2. Удостовериться, что член смещения можно записать в форме
(28).
Примечание. Во многих задачах мы имеем дело с заданным
классом задач. Эти классы были определены на рис. 3.1.
Задача 3.2.2. Рассмотрим задачу класса Aw, в которой оба
сигнала s0 (/) и s± (t) — винеровские процессы:
E[s*(t)]=o*t, 0</,
E[sl(t)]=olt, 0<Л
Найти оптимальный приемник. Сначала использовать параллельную
схему обработки, а затем упростить полученный результат. Описать
фильтры приемника, используя уравнения состояния.
Задача 3.2.3. Рассмотрим задачу класса A w, в которой
K,t(t9 u)=aKs.(t> и). О*)
1. Использовать условие (1*), чтобы упростить структуру
оптимального приемника.
2, Синтезировать оптимальный приемник непосредственно для
случая (1*), не используя результаты гл. 3. Можно применить
результаты гл. 2.
Задача 3.2.4. Рассмотрим задачу класса BWf в которой s0 (t) —
винеровский процесс, a sx (/) — выборочная функция
стационарного гауссова случайного процесса, имеющего энергетический спектр
SSl И = 2 kP/(co2 + k2).
Определить структуру оптимального приемника.
113

Задача 3.2.5. Рассмотрим задачу класса Bw> в которой как прб-
цесс s (/), так и процесс пс (t) имеют конечномерные представления
в переменных состояния. Синтезировать реализацию в переменных
состояния для оптимального приемника. Приемник должен
содержать sr (f), реализуемую оценку по минимуму среднеквадратической
ошибки, как одно из внутренних колебаний. (Заметим, что приемник
с параллельной обработкой, структурная схема которого
изображена на рис. 3.3, будет удовлетворять этому требованию, если
использовать каноническую реализацию №4Sb каждом тракте обработки.
Требуемая структурная схема приемника аналогична схеме,
показанной на рис. 3.5.)
Задача 3.2.6 (продолжение). Рассмотрим частный случай задачи
3.2.5, в котором пс (t) — винеровский процесс, a s{t) — стацио*
нарный процесс, энергетический спектр которого
Ss (со) = 2 kPI (со2 + &2).
Полностью определить оптимальный приемник, рассмотренный
в задаче 3.2.5.
Задача 3.2.7. В векторном варианте задач класса Aw принятые
колебания записываются в виде
r(/)=(s1(0 + w(0, Tt^t^T,:Hif
U(0 + w(0, T^t^TfiHo.
Сигнальные процессы — выборочные функции Af-мерного
векторного гауссова случайного процесса с нулевым средним и матрицами,
ковариационных функций KSl(/, и) и KSo(^, и). Аддитивный
шумовой процесс w (/) — выборочная функция статистически
независимого векторного гауссова случайного процесса с нулевым средним
и матрицей ковариационных функций (N0/2)8(t — и)\.
1. Определить структуру оптимального приемника.
2. Вывести векторные варианты (32) и (33).
3. Рассмотреть частный случай, когда
К.Ди) = Ks.(t,u)l.
Упростить структуру оптимального приемника.
Задача 3.2.8. Рассмотрим модель из задачи 3.2.7. Предположим,
что
E[w(t)wT(u)] = N6(f — и),
где N — неЁырождейная матрица. Повторить задачу 3.2.7.
Задача 3.2.9 (продолжение). Рассмотрим векторный вариант
задачи класса Bw> Вывести векторный вариант (41).
Задача 3.2.10.
1. Доказать (43).
114

2. Рассмотрим функциональный квадратный корень,
определяемый соотношением (42). Дать пример задачи класса Awt в
которой fty/2J (t, и) не существует.
Задача 3.2.1b Рассмотрим выкладки (16) — (23). Выходное
колебание выбеливающего фильтра — процесс г* (/), ковариационная
функция по гипотезе Нх для которого равна K*(tt и). Предположим,
что мы записали
KUU u) = 6(t-u) + Y(tt и).
1. Показать, что ядро Y (t, и) — необязательно положительно
определенное.
2. Доказать, что ядро Y (/, и) является интегрируемой в квад-
Tf
рате функцией. (Указание. Записать W К\ (t, u)dtdu как шести-
кратный интеграл, используя (16). Упростить результат, используя
то, что один и тот же белый шум присутствует по обеим гипотезам.)
Задачи к § 3.3. Помехоустойчивость оптимального приемника
Задача 3.3.1. Вывести (60), используя метод выбеливания.
Задача 3.3.2. Рассмотрим составной процесс, определяемый
формулой (58). Предположим, что s± (t) и s0 (t) имеют конечномер-
ные представления в переменных состояния. Написать уравнения
состояния для scom (t). Какова размерность получающейся системы?
Задача 3.3.3. (продолжение). Конкретизировать результаты,
полученные в задаче 3.3.2, для случая, когда
Кг (*, и) = а/С0 (*, и).
Задача 3.3.4 Рассмотрим задачу класса Awt в которой s0(t)
и s± (t) — винеровские процессы, у которых
E[s*(t)] = o*tt *>0,
E[sl(f)]=o*t9 f>0.
Вычислить |х (s).
Задача 3.3.5. Введем в рассмотрение функцию |i(s,/)f
определяемую как
t
^(s,0=~J[(l-s)ip(«|s1(-), -^-)+sEp(«|so(-), ^-)-
-b(u\scom(.),^yu.
Предположим, что s0 (t) и sx (t) имеют конечномерные представления
в переменных состояния.
115

1. Написать дифференциальное уравнение для \i (s, /).
2. Определить расстояние Баттачария как
B(Tf) = - Ц (1/2,7».
Написать дифференциальное уравнение для B(t).
Задачи к § 3.4. Частные случаи
Задача 3.4.1. В задаче класса Awm принятые по двум гипотезам
колебания записываются в виде
\s0(t) + w(t)y Tt^t^Tf:H0l
где
Els±(t)] = mx(t)f £[s0(/)] = m0(t).
1. Вывести (83) —(86).
2. Предположим, что желательно байесово испытание с порогом
г]. Вычислить порог у' в (89).
3. Вывести (90).
4. Определить порог y" в (90) через т].
5. Проверить результаты по пп. 1—4 для случая, когда
Задача 3.4.2. Рассмотрим модель из задачи 3.4.1. Вывести
выражение для \ld(s) в форме (96).
Задача 3.4.3. Рассмотрим задачу класса Awm> в которой s^t)
и s0(t) имеют конечномерные представления в переменных
состояния.
1. Синтезировать реализацию в переменных состояниях для /д.
2. Вывести уравнения состояния для \id(s).
Задача 3.4.4. Рассмотрим задачу класса Awm, в которой
m1(t)=+mi Ti^t^Tfy
m0(/)^=—m, ^</<Гу,
E[w(f)w(u)] = ^6(t—u).
1. Определить оптимальный приемник для данной задачи.
2. Найти \iD(s) и ixr(s).
Задача 3.4.5. Рассмотрим модификацию задачи 3.4.4, в которой
flKs0(^)] = 2aP0/(^ + a%
где рРх/аР0 = 1.
1. Вычислить |xd(s) и \xR(s) для случая, когда N0 = 0.
116

2. Синтезировать оптимальный приемник для данного случая.
Задача 3.4.6. Рассмотрим задачу класса Л, в которой s0(t) и
si(0 — выборочные функции стационарных случайных процессов
со спектрами
Si(<o) = 5» + -|- и0(ю -©!)+■£■ «0(о + со2), (1*)
So И = S„(co), (2*)
где Sx(co) и Sy(<o) — рациональные функции со.
1. Синтезировать оптимальный приемник.
2. Найти n(s).
3. Как модель, соответствующая (1*), отличается от случая, когда
Е [s± (t)]=m1 (t)=/20 cos К /)?
Задача 3.4.7. Рассмотрим модель, описываемую соотношениями
(98).
1. Удостовериться в том, что необходимым и достаточным
условием того, чтобы процессы rCx (f) и rSl (t) были статистически
независимыми, является симметричность спектра Sx (со) относительно
несущей частоты.
2. Удостовериться в правильности результатов (102) и (103).
Задача 3.4.8. Рассмотрим модель, описываемую соотношениями
(99). Это четырехмерная векторная задача, представляющая собой
частный случай модели из задачи 3.2.8.
1. Использовать результаты задачи 3.2.8 для того, чтобы
убедиться в правильности (100). Выписать слагаемые левой части
соотношения (100).
2. Удостовериться, что (101) правильно.
Задача 3.4.9, Если спектры не симметричны относительно
несущих частот, то процессы нижних частот не являются статистически
независимыми. Наиболее эффективный путь изучения этой задачи —
ввести в рассмотрение комплексный сигнал. Этот метод широко
используется нами, начиная с гл. 9.
В этой задаче мы выполним анализ, используя векторные методы.
Возможно, что главным результатом рассмотрения задачи будет
признание ценности комплексного представления при изложении
материала гл. 9.
1. Рассмотрим модель, описываемую соотношениями (98).
Сначала предположим, что s0(t) = 0, и мы имеем простую бинарную
задачу. Вычислить взаимно корреляционную функцию процессов
sCt (f) и sSl(0- Вычислить соответствующий взаимный спектр.
Заметим, что мы не делаем предположения о симметричности
энергетического спектра SSi (со) относительно частоты <о1в Сверить
полученные результаты с (П.67) и (П.70).
2. Использовать результаты задачи 3.2.8 для определения
структурной схемы оптимального приемника.
3. Вывести выражение для \i(s).
117

4. Обобщить полученные результаты с тем, чтобы охватить
исходную модель, описываемую соотношениями (98). Сделать
допущение о том, что процесс s0 (t) имеет спектр, несимметричный относи*
тельно частоты со0.
Задача 3.4.10.
1. Ознакомиться с [6] и удостовериться в правильности (110).
3. Обсудить трудности, появляющиеся тогда, когда критерием
оптимальности не является минимальная суммарная вероятность
ошибок Р (г).
Задачи к § 3.5. Общий бинарный случай
Задача 3.5.1. Построить структурную схему операций,
необходимых для формирования г*, определяемого уравнением (117).
Задача 3.5.2. Рассмотрим интегральное уравнение (126).
Предположим, что
Кн0{*> u)=G2mm[ty и],
Найти собственные функции и собственные значения уравнения
(126).
Задача 3.5.3- Рассмотрим интегральное уравнение (126).
Предположим, что
W^) = e-isi<-"l,
*я1(М=е-*1*-«1.
Найти собственные функции и собственные значения уравнения
(126).
Задача 3.5.4. Предположим, что
кн.т = Ко (t9u) + a±6(t-U)9 (i*)
KhJLUu) = Kx(t%u) + ^ 8(t - a) • (2*)
Как это предположение влияет на собственные значения и
собственные функции уравнения (126)?
Задача 3.5.5. Предположим, что r0(t) и r±(t) в (112) имеют
конечномерные представления состояния. Развить метод, изложенный
в Приложении второго тома, для отыскания решения уравнения
(126).
Задача 3.5.6. Предположим, что ковариационные функции
Кн0 (ty и) и Кнх (t, и) являются разложимыми:
КнЛии)=% oh ft ®ft (и),
Кн.(*> ")= ^G^gjif) gj(u)9
/=1
118

ь ь
где
Г, Tt
1. Допустим, что
If
) ft (0 8i (*)dt=0 при всех /, /. (1 *)
Решить уравнение (126).
2. Предположим, что ft (t) и gj (t) необязательно удовлетворяют
условию (1*) для всех i и /. Решить (126). Сколько собственных
значений имеет уравнение (126)?
Задача 3.5.7. Предположим, что
I 0 при прочих / и и,
КнЛ*> u)=o2mm[t, и].
Решить уравнение (126).
Задача 3.5.8. Рассмотрим определение Лд (#, у) в форме (136).
Убедиться, что (136) справедливо.
Задача 3.5.9. Убедиться в эквивалентности (147) — (149).
Задача 3.5.10.
1. Может ли задача класса А быть вырожденной? Обосновать
ответ.
2. Может ли задача класса В быть вырожденной? Обосновать
ответ. 1
Задача 3.5.11. Дать пример на случай, когда не сходятся ни
логарифм числителя, ни логарифм знаменателя (155), а сумма (155)
существует.
Задача 3.5.12. Удостовериться в результате (167). Справедлив ли
этот результат также для нерациональных спектров?
Задача 3.5.13. Предположим, что
Sh.(*)--
Сп<»2п+сп-1<о2*-1)+...+с0 •
Допустим также, что гг (f) имеет конечномерное представление
в переменных состояния и задача обнаружения является
невырожденной.
1. Найти реализацию оптимального приемника в переменных
состояния.
2. Найти дифференциальное уравнение, определяющее [ф).
119

Задача 3.5.14 (продолжение). Предположим, что
SHo (О)) = foCD2 + Со)-1
и что гг (t) является отрезком стационарного процесса с
конечномерным представлением в переменных состояния. Допустим также, что
задача обнаружения является невырожденной.
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
2. Вычислить \i(s)>
Задача 3.5.15.
1. Обобщить результат, полученный в задаче 3.5.14, на случай,
когда
Зя>)=-*£ sin{7l,2n) , /1=1,2...
2. Как должен вести себя спектр Shx (со) при со ->• оо , чтобы
критерий был невырожденным?
Задача 3.5.16. Предположим, что гг (t) и г0 (t) — выборочные
функции стационарных процессов с ограниченными по ширине
спектрами постоянной плотности. При каких условиях критерий
будет невырожденным?
Задача 3.5.17. В п. 4.3.7 первого тома была рассмотрена проблема
чувствительности для случая известного сигнала. Ознакомиться
с [13] и обсудить проблему чувствительности для общего бинарного
случая.
Задача 3.5.18. Распространить результаты § 3.5 на общий
векторный случай. В частности, найти векторные варианты (126), (135),
(136), (138), (139), (151), (154) и (167).
Задача 3.5.19 [14]. Рассмотрим интегральное уравнение (126).
Предположим, что
KH.(t, u)=l — \t-u\/2T9 -Г</,«<7\
KHi(t,u) = e-\W:
Пусть Tt = — Т и Tf = + Т. Найти собственные значения и
собственные функции уравнения (126).
Список литературы
1. Lovltt W. V. Linear Integral Equations. McGraw-Hill, New York, 1924.
2. Collins L. D. Asymptotic Approximation to the Error Probability for
Detecting Gaussian Signals. Sc. D. Thesis, Massachusetts Institute of
Technology, 1968, June.
3. Hellinger E. Neue Begrundung der Theorie quadratischer Formen von unend-
lichvielen Veranderlichen. J. Reine Angew. Math., 1909, v. 49,
p. 214—224.
4. Bhattacharyya A. On a Measure of Divergence between Two Statistical
Populations Defined by Their Probability Distributions. Bull. Calcutta
Math. Soc, 1943, v. 35, p. 99—109.
5. Kakutani S. On Equivalence of Infinite Product Measures. Annals of Math.,
1948, v. 49, p. 214—224.
120

6. Pierce J. N. Approximate Error Probabilities for Optimal Diversity
Combining. Trans. IEEE, 1963, v. CS—11, № 3, Sept., p. 352—354.
7. Turin G L. Error Probabilities for Binary Symmetric Ideal Reception
through Nonselective Slow Fading and Noise. Proc. IRE, 1958, v. 46, № 9,
Sept., p. 1603—1619.
8. Kraft С. Н. Some Conditions for Consistency and Uniform Consistency of
Statistical Procedures. University of California Publications in Statistics,
1955.
9. Root W. L. Singular Gaussian Measures in Detection Theory. Time Series
Analysis, M. Rosenblatt, Ed., Wiley, New York, 1963, p. 292—315.
10. Feldman J. Equivalence and Perpendicularity of Gaussian Processes.
Pacific J. Math., 1958, v. 8, № 4, p. 699—708.
11. Feldman J. Some Classes of Equivalent Gaussian Processes on an Interval.
Pacific J. Math., 1960, v. 10, № 4, p. 1211 — 1220.
12. Hajek J. On a Property of Normal Distribution of Any Stochastic Process.
Cy. Math. J., 1958, v. 8, p. 610—617.
13. Root W. L. Stability in Signal Detection Problems. Shochastic Processes
in Mathematical Physics and Engineering, Proc. Symp. Appl. Math.,
1964, v. 16.
14. Kadota Т. Т. Simultaneously Orthogonal Expansion of Two Stationary
Gaussian Processes—Examples. Bell Syst. Tech. J., Sept., 1966, v. 45,
№ 7, p. 1071 — 1096.
15. Shepp L. A. Radon-Nikodym derivative of Gaussian Measures. Annals
of Math. Stat., 1966, v. 37, p. 321-354.

4- ЧАСТНЫЕ КАТЕГОРИИ ЗАДАЧ ОБНАРУЖЕНИЯ
В гл. 2 и Збыли рассмотрены простая бинарная задача
обнаружения и общая бинарная задача обнаружения. Большинство
рассмотренных примеров были связаны с процессами, имеющими
представления в переменных состояния, так как для этого класса задач
можно получить полное решение. В данной главе мы рассмотрим
еще три категории задач, для которых также можно получить
полное решение:
1. Задача со стационарными процессами при большом времени
наблюдения (СПБВН).
2. Задача с разложимыми ядрами.
3. Задача когерентного обнаружения сигналов малой энергии.
Эти категории будут подробно рассмотрены в соответствующих па*
раграфах. Такое рассмотрение важно по двум причинам. Во-первых,
почти все физические ситуации подпадают под одну из этих четырех
категорий (указанные выше три категории плюс задачи, связанные
с процессами, имеющими конечномерные представления в
переменных состояния). Во-вторых, для задач этих категорий можно
получить полные решения,
4.1. Стационарные процессы, большое время наблюдения
Во многих представляющих интерес физических ситуациях
принятые по двум гипотезам колебания являются отрезками
стационарных процессов. Поэтому эти процессы можно характеризовать
посредством их энергетических спектров. Если их спектры будут
рациональными, то процессы будут иметь" конечномерное
представление в переменных состояния и эту задачу можно решить, используя
метод переменных состояния. Ранее при работе с переменными
состояния было показано, что когда входное колебание является
стационарным процессом, коэффициенты передачи в оптимальной
системе стремятся к постоянным значениям и система стремится к
своему установившемуся или стационарному состоянию, становясь
системой, инвариантной во времени (с постоянными параметрами).
В этом параграфе рассмотрим случаи, когда время наблюдения
велико по сравнению со временем, необходимым для затухания
переходных процессов в системе. Иключая из рассмотрения переходные
12?

проЦессы, можно получить гораздо более простые решения. При
необходимости мы всегда можем проверить справедливость
подобного приближения путем решения данной задачи методами
переменных состояния. Формулы, полученные без учета переходных
процессов, называются асимптотическими; для обозначения
асимптотического случая к различным выражениям добавляется подстрочный
индекс оо . Как и в общем случае, интерес представляют
структурные схемы оптимального приемника и их помехоустойчивость.
Начнем с рассмотрения простой бинарной задачи.
4.1.1. Простая бинарная задача
Модель для простой бинарной задачи была дана в § 2.1. Для
простоты выкладок в основном тексте ограничимся только случаем
нулевых средних. При этом принятые колебания записываются
в виде
\w(t), Tt^t^Tf:H0.
Предполагается, что s (t) — гауссов процесс с нулевым средним и
спектром Ss(co). Шум w (t) — белый гауссов процесс с нулевым
средним, статистически независимый от процесса s (t) и имеющий
спектральную плотность NJ2. Критерий отношения правдоподобия
имеет вид
/* + /*§ In л. (2)
Но
Сначала рассмотрим различные реализации приемника для вычис*
ления /#. Затем выведем формулу для /д. Наконец, определим
помехоустойчивость оптимального приемника,
Если использовать каноническую реализацию № 1 (с. 32—34), то
Tf
lR==i Ят (/) hi {и и) т {u) dt Лщ (3)
где h± (tt и) является решением уравнения
~hi{Uu)+ \h±(t,z)K9(z-u)dz=K8(t-u), Г<</, a<fy. (4)
Из гл. 4 первого тома (с. 360—366) известно, что общее решение
состоит из частного, которое не зависит от пределов, и взвешенной
суммы ограниченных однородных решений, которые обеспечивают
правильные результаты на концах интервала (граничные условия).
123

Эти однородные решения исчезают по мере расширения интервала
наблюдения. Если интервал времени велик, то частное решение будет
оказывать наибольшее влияние на /д, так что мы можем получить
хорошее приближение к решению, пренебрегая однородными
решениями. Завершая рассмотрение реализации № 1, положим в (4)
Ti = — оо и Tf = оо. Принимая пределы бесконечными,
можно было бы предположить, что мы можем найти решение уравнения
(4), которое соответствует инвариантному во времени фильтру.
Чтобы удостовериться в этом, положим в (4)
К (Uu) = hloo(t — и)
(5)
Рис. 4.1. Каноническая структурная схема приемника № 1: стационарный
процесс, большое время наблюдения.
и попытаемся найти решение. Переписав (4) с учетом (5), имеем
#0
^hloo(t-u)+ J hl00(t-z)K8(z-u)
dz-
= K8{t — u), —oo</, W<oo,
(6)
а это уравнение можно решить, используя преобразование Фурье.
Произведя это преобразование, получим
#1оо О'10) =
Ss(co)
S,(»)+JVo/2
(7)
что и является требуемым результатом. Этот фильтр знаком нам из
рассмотрения нереализуемых оценок по минимуму среднеквадрати-
ческой ошибки в п. 6.2.3 первого тома. Получающаяся структурная
схема приемника показана на рис. 4.1. Заметим, что для решения
интегрального уравнения мы использовали только бесконечные
пределы. Приемник же все равно осуществляет обработку
процесса г (t) на интервале [Ти Tf].
Для использования канонической реализации № 3 необходимо
решить уравнение (2,45):
hx(t9 u)= f hf(z, t)hf(z, u)dz9 ЗГ|<Л и<7/.
(8)
124

Чтобы найти асимптотическое решение, положим Tt = — об и
Tf = оо, учтем (5) и предположим, что инвариантное во времени
решение существует. Результирующее уравнение при этом имеет
вид
h
\oo(t—u)= Г hfoo(z— О А/» (г—tt)dz, — оо<г,«<оо. (9)
После преобразования получим
Hloo(ja)^\Hfoo(j<o)\\
(10)
Этот тип уравнений известен нам из рассмотрения вопросов
разложения спектров в § 6.2 первого тома. Так как Н1оо (/со) имеет все
Ht)
■""*■ >
Ss (и)
_Ss{6»+f
Т"|
' >
Квадратор
^
1 С Ht
ч
"*ГЛ ' >
+V
Рис. 4.2. Каноническая структурная схема приемника № 3: стационарный
процесс, большое время наблюдения.
свойства энергетического спектра, можно легко получить
реализуемое решение в форме
Я/Гео(/0)) = [Я,оо(/СО)]+. (11)
Напомним, что надстрочный индекс « + » означает, что все
полюсы и нули функции Hloo (s), которые лежат в левой половине
комплексной s-плоскости, приписываются функции #/Гоо (s).
Отметим, что это распределение нулей носит несколько произвольный
характер (см. с. 354-355 первого тома.) Следовательно, решение
уравнения (10), которое записано в виде (11), не является
единственным. Получающаяся структурная схема оптимального
приемника показана на рис. 4.2. Заметим, что можно также выбрать
нереализуемое решение уравнения (10). Примером может служить
функция
Я/|»(/й>) = |Я,вв0'©)|1^ (12)
Чтобы использовать каноническую реализацию № 4, необходимо
решить задачу реализуемой фильтрации. Полагая Tt = — оо и
предполагая стационарность, получим задачу винеровской
фильтрации. Решается она по формуле (I — 6.78) в виде
И (j(o)=z - s W (13)
0Г°° V ' [Ss (со) + (We/2)]+ L [Ss H + (tfo/2)]' J+# '
Соответствующая структурная схема приемника показана на
рис. 4.3. Сравнивая рис. 4.1—4.3, видим, что каноническая
структурная схема, представленная на рис. 4.2, является простейшей
сточки зрения реализации.
125

^(тобы определить смещение /я, воспользуемся формулой (2.73):
».{
1в=- -М lPs{t)dt,
No
(14)
где £>ps(t) — реализуемый средний квадрат ошибки оценивания
s(t) в предположении, что истинна гипотеза Нх. Из материала
§ 6.3 первого тома (особенно примеров 1 и 2 на с. 620—626)
известно, что %рз (0 стремится к стационарному среднему квадрату
ошибки Ipoo достаточно быстро. Следовательно, если длительность
интервала Ту — Тц£\,Т велика по сравнению с длительностью этого
Ht)
. *c
1-*Н HDrc.(ja) —i
• Л,,,,.,^] "^ч—^fcf ) * ^
У Is? \
*-*\Кба#ратор —
i?\
Рис. 4.3. Каноническая структурная схема приемника № 4: стационарный
процесс, большое время наблюдения.
первоначального переходного процесса, можно получить хорошее
приближение к /я, заменив %ps (0 на £р«>:
/лооА —Г lpoodt= — —-Ipoo.
N0 J N0
(15)
В п. 6.2.4 первого тома было выведено выражение для £/><» в замк*
нутой форме. На основании (I — 6.152) имеем
— 00
Учитывая (16) в (15), получим
/д.—-£• Г 1п|"1 + АИ1
2 J L ^Vo/2 J
dm
2я
S8 (со)"] d(p
2я
где
(16)
(17)
(18)
TATf — Tt.
Формулу (17) можйо также получить непосредственно из
асимптотического значения логарима определителя Фредгольма (2.74) (см.,
например, (1—3.182)).
126

Аналогичное рассуждение позволяет получить асимптотическую
форму для \i (s), которую мы обозначим через ji^ (s). На оснозании
(2.138) имеем
(Заметим, что \i (s) = \ir (s) ввиду предположения о нулевом
среднем.) Заменяя Ър (t \ s ( • ), •) на lsPoo ($(•),•)> получим
С учетом (16) имеем
M'frb-fO-M'u-ij&j-)]. (20)
I —00
_J^[l + iM>]£}. да,
— 00
Эквивалентной формой записи является
Г 2 J L l + (2(l^s)S3(cD)/iVo) J2n V '
Для иллюстрации применения этих асимптотических формул
рассмотрим два простых примера.
Пример 1. Спектр Баттерворта первого порядка. Принятые
колебания по двум гипотезам записываются в виде
r{t)=\s(t) + w(t)9 Ti<t<Tf:Hl9
\w(t), Ti^t^Tf:H0.
Сигнальный процесс s (t) является выборочной функцией
стационарного гауссова случайного процесса с нулевым средним и
энергетическим спектром
Ss (со) = 2&Р/(со2 + k2)9 — оо < со < оо . (24)
Шумовой процесс — статистически независимый белый гауссов
процесс с нулевым средним и спектральной плотностью N0/2.
Будем использовать каноническую реализацию № 3 (рис. 4.2)
приемника. Используя (24) в (7), получим
Я1оо(/со) = 2*W + *2> д *!*! , (25)
1?7

где
Аг = 4P/kN0
(26)
— отношение сигнал/шум в полосе сообщения. На основании (11)
имеем
Hfoo(ity=[Hloo(j<i>)]+ = kA\f*/(j® + kV 1 +Лх).
(27)
Член смещения получим на основании формулы (15). Средний
квадрат ошибки ^р*, был вычислен для спектра Баттерворта
первого порядка в примере 3 первого тома на с. 570, 571. На основании
(I — 6.112) имеем
1роо=2Р/(1+УТ+Х1). (28)
Используя (28) в (15), получим
lBoo= -2PT/[N0 (1 + VT+Tj)]- (29)
%* [ Получающаяся структурная схема приемника показана на
рис. 4.4. Путем включения части коэффициента передачи фильтра
Hi)
—>
НЗадратор
\77\ * r\ "i
Рис. 4.4. Реализация приемника в форме фильтра-квадратора: спектр
Баттерворта первого порядка, большое время наблюдения.
в интегратор можно реализовать фильтр как простую цепь из
резистора и конденсатора. Отметим, что местоположение полюса
фильтра зависит от Л1# При уменьшении Аг полюс фильтра
приближается к полюсу спектра сообщения. При увеличении Аг ширина полосы
пропускания фильтра возрастает.
Для определения помехоустойчивости приемника найдем
\ioo(s) по формуле (20) с учетом (28):
Ms) =
(1-5) Т
N0
2Р
1 +У1+Лх i + Vi +
2Р "]
l+(l-s)Ai J
(30)
На данном этапе изложения целесообразно ввести эффективные
обозначения с тем, чтобы выделить важные параметры в формуле
помехоустойчивости. Введем в рассмотрение несколько величин:
ЕГ/\РТ
— среднюю энергию сигнального процесса и
DxAkT/2
128
(31)
(32)

меру произведения длительности на ширину спектра
сигнального процесса. Заметим, что _
С учетом (31) из (30) получим
М*)=— lf0Si(s> Ai)> (34)
где
g1(s,Al)A-(\s) [(1 +Vl + Aj-1-
-(HYl+O-s)^)-1]. (35)
Первый множитель в (34) представляет собой отношение средней
энергии сигнала к шуму и появляется во всех задачах обнаружения.
Второй множитель учитывает влияние формы спектра, отношения
сигнал/шум в полосе сообщения и порога. Именно этот множитель
будет изменяться в различных примерах. Для вычисления
приближенных выражений для PF и PD нам необходимо найти ji^ (s) и
M-oo(s)- Тогда, на основании (2.166) и (2.174), получим
PF ~ *,. ехр [(г» (s) — sjioo (s)] (36)
и
Рм^л/ L .. ехр [|ico(s)+ (l-s)|loo(s)]. (37)
V 2lt (1-5)2^(5)
Из (34) и (35) можно получить необходимые величины для
подстановки в (36) и (37). На рис. 4.5—4.7 построены приближенные
характеристики помехоустойчивости, описываемые формулами (36)
и (37). На рис. 4.5 величина PF ограничена значением Ю-1. По
горизонтальной оси откладывается величина Dx = &7V2, по
вертикальной — величина Рм • Сплошные линии соответствуют
постоянным значениям отношения 2Er/N0.
Из рассмотрения графиков видно, что помехоустойчивость
сильно зависит от произведения длительности на ширину спектра
сигнального процесса. Заметим, что существует оптимальное значение
Аг для каждого значения 2Er/N0. Это оптимальное значение лежит
вблизи Аг = 6. (Точный минимум будет найден в примере позднее.)
Прерывистые линии соответствуют постоянным значениям Ах.
Перемещение вправо по кривой постоянного значения Аг физически
соответствует увеличению времени наблюдения. Аналогичные
результаты показаны для PF = Ю-3 и PF = Ю-5 на рис. 4.6 и 4.7
соответственно.
Для малых значений D1 (например, D < 2) данные кривые
следует проверить, используя метод переменных состояния, так как
5 Зак. 1494 129

приближение, исходя из условий СПБВН, может оказаться
несправедливым.
ДляЧюльших значений произведения длительности сигнала на
ширину" его спектра наши расчеты помехоустойчивости дают
хорошие результаты в силу двух причин.
Рис. 4.5. Зависимость вероятности пропуска цели от произведения
длительности на ширину спектра сигнала: спектр Баттерворта первого порядка,
Pf=\0-K
1. Ошибка, получающаяся при использовании приближенной
формулы для большого времени наблюдения, быстро уменьшается
по мере увеличения kT. Позднее, на с. 166 будет сделано несколько
количественных утверждений относительно величины ошибки.
2. Ошибка, получающаяся в результате усечения ряда Эджвор-
та на первом его члене, уменьшается при увеличении kT, так как
130

SrkT/i
Рис. 4.6. Зависимость вероятности пропуска цели от произведения
длительности на ширину спектра сигнала: спектр Баттерворта первого порядка,
Я*.= 10-3.
10 е
70"
7 2 3 4 58 810 20 W
ДГкТ/2-^
Рис. 4.7. Зависимость вероятности пропуска цели от произведения
длительности на ширину спектра сигнала: спектр Баттерворта первого порядка,
pF=io-5.
5* 131

в этом случае имеется больше значащих собственных значений.
По мере увеличения числа значащих собственных значений
модифицированная плотность вероятности становится ближе к гауссовой
плотности.
Заметим, что если система работает вблизи оптимального
значения Л1э значение Dx будет достаточно большим, чтобы приближение,
сделанное исходя из условий СПБВН, было справедливым.
Можно легко получить аналогичные результаты для спектров
Баттерворта высокого порядка (см. задачу 4.1.3). В следующем
примере мы рассмотрим случай, когда сигнал имеет идеальный,
ограниченный по ширине спектр сообщения. Эту задачу трудно решить, ис-
r(t)
Идеальный
ФНЧ
н
Кдадратор]
1-
*ф
Hi
><
Но
><г\
ho
Рис. 4.8. Структурная схема оптимального приемника: идеальный спектр
нижних частот, большое время наблюдения.
пользуя метод переменных состояния, но если соблюдаются условия
СПБВН, решение ее не встречает затруднений.
Пример 2. В этом примере предполагается, что Ss (со) —
ограниченный по ширине спектр:
SSH =
—, — 2я№<со<2я№,
Ж
(38)
О
при прочих со.
Наиболее практической структурной схемой приемника является
каноническая реализация № 3. На основании (38) и (7) имеем
Я loo (/СО)
Таким образом
Hftt00 (/СО) = I
-2я№<со<2я№,
О при прочих со.
1
-2я№<со<2я№,
(l+NoW/P)1'2'
О при прочих со.
Член смещения получим, учитывая (38) в (17):
l^=—WTIn (\ + ——).
1 V N0 W)
(39)
(40)
(41)
Получающаяся структурная схема оптимального приемника
показана на рис. 4.8. Отметим, что мы не можем реализовать фильтр,
132

Рис. 4.9. Зависимость вероятности пропуска цели от произведения
длительности на ширину спектра сигнала: идеальный ограниченный по ширине спектр,
Pf=10"1.
VP
10
-J
i i i i i 11 it
J I I I I I Ml
l I III
/ 10 __^ 10Z 10*
Рис. 4.10. Зависимость вероятности пропуска цели от произведения
длительности на ширину спектра сигнала: идеальный ограниченный по ширине спектр,
pF=io-3.
133

бйисыЁаемый выражением (40), точно. Его можно реализовать йри-
ближенно со сколь угодно высокой точностью, используя фильтр
Баттерворта п-го порядка, где п выбирается достаточно большим,
чтобы получить требуемую точность приближения.
Для вычисления помехоустойчивости найдем^^ (s) подформуле
(21). В результате получим:
* No L \ N0W j 1-s { ^ N0W )
Это выражение можно записать в виде
(42)
Hoc (s) = — -jf gco (s, A»), (43)
где
goo(s, Л.)= —-i- [(1 -s) In(1 +Лсо)- In(1+(1 -s) A»)]=
2Лоо
1 m
2ЛЛ
(44)
Am=PlN0W. (45)
Заметим, что подстрочный индекс у величин Л^ и g^ (•, •) означает
спектр Баттерворта бесконечного порядка. На рис. 4.9 и 4.10
графически представлены такие же результаты, как и в примере 1.
В этом параграфе была рассмотрена простая бинарная задача,
выведены соответствующие асимптотические формулы и
проанализированы два типичных примера. Перейдем теперь к общей
бинарной задаче.
4.1.2. Общая бинарная задача
В гл. 3 результаты, полученные для простого бинарного случая,
были распространены на общий бинарный случай. Ввиду сильного
сходства можно составить таблицы соответствующих
асимптотических формул для общего случая. Так, в частности, в табл. 4.1
приведены выражения для передаточных функций фильтров в
оптимальном приемнике. В табл.4.2 даны асимптотические формулы для ^(s).
В табл. 4.3 приведены различные соотношения, которые полезны при
рассмотрении общих бинарных задач.
Для иллюстрации применения некоторых из этих формул
рассмотрим два примера.
Пример 3. В этом примере рассмотрим бинарную симметричную
задачу. Переданные сигналы по двум гипотезам записываются в
виде
( Y2EtlT sin ©if, Г* < / < 7,: Hl9
st(t) = \ r——— (46)
134

Таблица 4.1
Асимптотические формулы для фильтров в оптимальных приемниках
Задача
Номер
формулы
Формула для случая СПБВН
1. Общая бинарная
(3.33)
Яд (/со) =
2. Класс Аи
(3.33)
Яд(/о)) =
(SSi(co)+iVo/2)(5So((o)+^0/2)
3. Класс В„
(3.42)
I. Л J "L(5.(a>)+5n(©))Sn(©)J
где
TATf — Tt.
(47)
Сигнал проходит по флуктуирующему релеевскому каналу1).
Принятые колебания записываются в виде
г(0 =
s1(t) + w(t), Tt%fm^Tt:Hlt
s0(f) + w(f), Tt^t^Tf:H0.
(48)
Предполагается, что s0 (t) и Sj (t) — полосовые процессы со
средними частотами спектров со0 и % соответственно. Спектры процессов
практически не перекрываются и симметричны относительно своих
соответствующих несущих (см. рис. 3.7, 3.8). Спектр нижних частот
сигнальных процессов записывается в виде
Ss,lp (©) = 2*Plp /(со2 + k2).
(49)
Мощность принимаемого процесса зависит от мощности
передаваемых сигналов и затухания в канале:
pLP д ад/г,
(50)
где ol — мера среднеквадратической^интенсивности затухания
канала. Заметим, что полная средняя мощность принимаемого
процесса равна
Pr = 2Plp, (51)
1} Ранее мы встречались с флуктуирующими релеевскими каналами в гл. 8
второго тома и в разделе задач гл. 2. Эта модель более подробно будет
рассмотрена в гл. 9.
135

Таблица 4.2
Асимптотические формулы для ^(s)
Задача
Номер
формулы
йоо(«)
1. Общая бинарная,
невырожденный
случай
(3.178)
00
K»(s)=
[S//i(a,)/S//o(o,)]<s-"/2 Ito
s+(l-s)[SHi(<e)/SWt(ffl)] J2n
l>/2 la
2. Класс Ли
oo
мчт
(3.60)
— ln(l
+ sln(l + 25So(o))/yV0]-
2(sSSo(0) + (l-s)5Sl(Q)))
Nn
day
2jT
3. Класс Б
(3.60)
u /c>,Zfin/[Ss(o)) + S№(a))]1-'[5yi(a))r\J!2
PooW 2 J 1 (l-s)Se(©) + Sn(a>) J 2л
4. Класс Вп
(3.60)
I — oo
( 5S (со) \ d(p
/0/2)/"2я~~
J
Sn(co) + (W0
(l-s)S.(a>)
In 1 +
rfto
Sn(a) + (N0I2)) 2л
Таблица 4.3
Связь
Номер формулы
1. (3.101)
2. (3.65)
3. (3.73)
между различными формулами для ц^ (s)
Соотношение между различными значениями для ц^ (s)
^ВР,оо(5)=2^ЬР, oo(S)
^bs. oo (s) = M<sm. oo (s) +HSib, oo (J -s)
M-bs, bp, oo U/2) = 4jiSIB LP> ж (1/2)
136

а полная средняя энергия принимаемого сигнала равна
£г=2£г, Lp= 2Etol = 2PLP Tol (52)
Предполагается, что гипотезы Я0 и Нг равновероятны и критерием
оптимальности является наименьшая суммарная вероятность
ошибок.
Структурную схему приемника легко синтезировать, объединив
результаты рассмотрения задач с полосовыми процессами на с. 95—
98 и результаты, полученные в примере 1 (с. 127). Эта структурная
r(t)
®-i'
^Zmd>0t
Рис. 4.11. Структурная схема оптимального приемника: бинарная
симметричная полосовая задача, большое время наблюдения.
схема показана на рис. 4.11. Все четыре фильтра нижних частот
одинаковы и имеют передаточную характеристику
kYT+Ai
#/г=
/a) + &yi+Ai
(53)
Мы исключили здесь идеальные фильтры нижних частот,
предусмотренные в структурной схеме на рис. 3.9, так как Hfr (/со) является
функцией нижних частот. Также исключено усиление в интеграторе,
поскольку оно одинаково во всех ветвях, а порог равен нулю.
Помехоустойчивость приемника можно определить
соответствующей модификацией результатов, полученных в примере 1.
Первый шаг на этом пути — перейти от несимметричной задачи с
процессами нижних частот к несимметричной задаче с полосовыми
процессами. Напомним из табл. 4.3, что
M<BP, oo(s) = 2fiLP,oo(s).
Учитывая (30), из (54) получаем
, ч 2ЕГ (1 — s) Г
*iBP,oo(s) = —^- >-
#о L1 +
Vi + Лх 1+У1 +
(I-sJaJ'
(54)
(55)
137

где
Лх Д 4PLP/(kN0).
(56)
Следующий шаг — переход от несимметричной или простой
бинарной задачи к бинарной симметричной задаче. Напомним, что
(XBs(s) = fism(s) +Hsm(l—s).
Используя (55) в (57), получим
1
1 + УГ+Ai
(57)
H-BS, вр, оо (s) ■=■-- -— {-
1—S
(58)
1 +У1+(1_5)Л1 1 + yi + sAi
Это выражение можно привести к виду
M-bs, вр, <x(s) =
= ^1.{^-[(1+Л1)'/2-(1+(1_5)Л1)1/2-(1+5Л1)1/2 + 1]}. (59)
Важной величиной в выражениях для вероятности ошибки
является h-bs.bp.oo (1/2). Положив s = 1/2 в (59), получим
(60)
(61)
(62)
HBS,BP,oo[ 1/2 J =
=f {i[(1+A'>"*-2(1+ff+'])•
Если ввести функцию gBF.i (A2), определяемую как
gBP,, (Л,) Д —^- [(1 + AJ4*- 2 (l + Axj1/2 + i].
то можно записать
Hbs, вр, оо (1/2)= — -д^4£вр, 1 (Ai)-
Величина 4#Br.i(Ai) называется функцией эффективности бинарной
системы связи.
Чтобы найти приближенное выражение для суммарной
вероятности ошибок, необходимо определить fxBs,BP,oo (1/2).
Дифференцируя (59) дважды по s и вычисляя результат при s = 1/2, получим
b,-..(w)-f [-*('+*)
-3/2
(63)
138

Приближенное выражение для Р(е) следует из (3.77) в виде
P(e)^2(Ay/2iL+(^)]3/4eXp
2£г / V яЛ!
(64)
Видим, что Р(г) зависит от Аг — отношения сигнал/шум в полосе
частот сигнального процесса, и от 2Wr/N0 — отношения средней
энергии принятого сигнала к спектральной плотности шума.
Дальнейший ход анализа зависит от ограничений, налагаемых
на передатчик. Если выходные данные передатчика заданы
полностью, то достаточно просто вычислить Р(е). Если сигналы
определены как отрезки синусоидальных колебаний, например, как в (46),
0,028
1
0.020
0,0f6
1
;
i
г
I I I I I I I I !
3 4 5 О 8 10 20
А,+
i i i i i i\l
40 60 70<
Рис. 4.12. График функции gBP,i(Ai).
а передатчик ограничен по максимальной мощности (т. е. EtIT огра
ничено), то вероятность ошибки является монотонной функцией Т.
С другой стороны, если передатчик ограничен по энергии, то
помехоустойчивость системы можно оптимизировать путем
соответствующего выбора Ту что представляет собой элементарный вариант
задачи синтеза сигналов. Позднее мы рассмотрим влияние различных
форм сигнала.
Предположим,_что o2biN0Kk фиксированы. Тогда фиксация Et
означает фиксацию Ег. Единственным параметром остается Т (или, что
эквивалентно, Лх). Параметр Аг можно выбирать из расчета
минимизации Р(е). Несколько более простая процедура — выбирать Аг
из расчета минимизации m,bs,bpi0c (1/2). На основании формулы
(60) видно, что это эквивалентно максимизации коэффициента
эффективности.
На рис. 4.12 построен график функции gBp,i (ЛА). По нему
видно, что максимум имеет место вблизи Л2 = 7. Обозначим эту точку
как Л1|0рт:
Л1§орт = 6,88, (65)
&им (Л1|ОРт) = 0,0292.
(66)
139

Можно также заметить, что максимум кривой очень слабо
выражен, так что в точной регулировке величины Лх нет необходимости.
Подставив (66) в (64),получим формулу для суммарной вероятности
ошибок, когда используется оптимальное значение Аг:
N{
Р0(е)-1,32-=гехр(-0,118
2£
(67)
Из формулы видно, что когда в системе используется
оптимальное значение Alf суммарная вероятность ошибок уменьшается
экспоненциально с увеличением Er/N0.
Рассмотрим теперь другой пример. Применим здесь такие же
методы, как и в примере 3. Причиной включения этого примера
служит необходимость получить некоторые конкретные численные
результаты, которые будут использоваться в последующем.
Пример 4. Рассмотрим симметричные гипотезы при условии, что
шум имеет ограниченный по ширине спектр. Основная модель
здесь такая же, как и в предыдущем примере (см. (46) и (48)).
Однако предположим, что сигнальный процесс нижних частот имеет
ограниченный по ширине спектр:
s.(«>) =
PLP/2W, — 2лГ<со<2л№,
О при прочих со.
(68)
Структурная схема приемника представляет собой очевидную
комбинацию схем, изображенных на рис. 4.8 и 4.11. Как было указано
нас. 132, 133, невозможно точно реализовать идеальные фильтры,
но можно приблизиться к ним сколь угодно близко. Сейчас нас
интересует помехоустойчивость такой системы. Используя (42)—
(45), табл. 4.2 и 4.3 и соотношение (68), получим
M<BS, ВР,оо(Ф
где
1
2ЕГ
N0 I2A,
In
[1+ (1 —s)Aoo][l ^-sA^]
1 + Ла
Асе Л PlANoW)
Положив в (69) s = 1/2, получим
HBS.BP, оо (1/2) =—
где введено обозначение
£вр, оо (Лоо) А — In
оо
Таким образом,
ехр
M-bs, вр, оо 1/2
д, £ВР, оо (Л,*,),
[1 + (Ато/2)]*
1+А»
[1+(Лоо/2)]21
1 + Л0
-£r/(.V.Aoo)
(69)
(70)
(71)
(72)
(73)
140

Чтобы определить коэффициент для приближенного выражения
вероятности ошибки Р(е), продифференцируем (71) дважды и вычислим
результат при s = 1/2:
^„..(wj-f jrhw (74)
Тогда, с учетом (3.76), имеем
Р (в) ^ , О + Аоо)^ ^^ < (75)
Н 1/яГГЛ00[1 + (Л00/2)]2^-1 V '
Как и раньше, можно найти оптимальное значение величины A*,,
определив максимум функции £вр,оо (Л,»). В результате получим
Лоо орт=^^ = 3,07. (76)
' 2W Т
Подставив (76) в (75), получим приближенную формулу для
вероятности ошибок:
P0(8)-i/pIexp (-0,1488^1 (77)
V ErINQ \ ^о)
Видим, что модуль коэффициента в показателе экспоненты в (77)
немного больше, чем в однополюсном случае (67).
Системы связи, рассмотренные в примерах 3 и 4, иллюстрируют
применение приближений, полученных исходя из большого
времени наблюдения, к конкретным задачам. Кроме того, они позволили
получить некоторые интересные результаты для бинарной системы
связи с использованием ЧМ(ЧТ) по флуктуирующим симметричным
релеевским каналам. Полезно сравнить эти результаты с
результатами, полученными в гл. 4 первого тома для бинарных систем ФМ
и ЧМ, работающих по каналу с аддитивным шумом. В соответствии
с (I — 4.40) и (I — 4.36) имеем:
рчт(е) = ег1с*(УЁЖ)> (78)
или
Рчт (е) ~ (N0/2nEr)l/2 exp (-Er/2N0), У~ЩЩ0 > 2. (79)
Аналогично
Рфт (е) - (N0/nEr)l/2 exp (-Er/N0), УЖМо>2- (80)
Напомним, что в канале с аддитивным шумом энергия принимаемых
сигналов фиксирована. Результаты расчетов по формулам (67), (77),
(79) и (80) сведены в табл. 4.4.
141

Таблица 4.4
Эффективность различных бинарных систем связи
(при больших значениях Er/N0)
Система
1
2
3
4
Сигналы
ФМ (ФТ)
ЧМ (ЧТ)
ЧМ (ЧТ)
ЧМ (ЧТ)
Канал
С аддитивным белым
гауссовым шумом
С аддитивным белым
гауссовым шумом
Релеевский, идеальный
ограниченный по ширине спектр
Релеевский, однополюсный
спектр
Коэффициент

эффективности
1,0
0,5
0,149
0,118
Потери, дБ
(по
отношению к
системе 1)
0
3
8,28
9,30
Коэффициент при Er/N0 B показателе экспоненты называют
коэффициентом эффективности данной системы связи. Сравнивая
экспоненты, видим, что в бинарной системе ЧМ для обеспечения такой же
экспоненциальной зависимости ошибки, как в случае канала с
аддитивным белым гауссовым шумом, при работе по релеевскому
каналу с ограниченным спектром требуется примерно на 5,28 дБ, а с
однополюсным спектром Баттерворта — примерно на 6,30 дБ большая
средняя энергия. Эти расчеты сделаны в предположении больших
значений Er/NQ.
Следует обратить внимание на ряд ограничений, которые были
установлены при анализе общей бинарной задачи.
1. Предполагалось, что передаются прямоугольные импульсы.
В гл. 11 будет показано, что коэффициент эффективности для любого
релеевского канала и любой формы сигнала ограничивается
значением 0,1488. Мы увидим, что для некоторых каналов система,
рассмотренная в примере 4, соответствует оптимальной бинарной
системе передачи ортогональных сигналов.
2. Использовались приближения, сделанные исходя из большого
времени наблюдения. Если отношение Er/N0 велико и используется
оптимальное произведение длительности на ширину спектра
сигнала, то такое приближение всегда будет справедливым.
3. Предполагалось, что каждый сигнал детектируется
независимо, и не делалось попыток использовать постоянство параметров
(непрерывность) канала от элемента к элементу сигнала путем их
непрерывного измерения. Система такого типа будет кратко
рассмотрена в п. 5.1.3.
4. Рассматривались только релеевские каналы, спектры
замираний которых симметричны относительно несущей частоты. В гл.11
будут исследованы более общие каналы.
.Обсудим теперь результаты рассмотрения случая стационарных
процессов при большом времени наблюдения.
1.42

4.1.3. Итоги рассмотрения задачи СПБВН
б § 4.1 рассмотрен случай, когда принятое колебание
представляет собой выборочную функцию стационарного случайного
процесса, а интервал времени наблюдения велик. Если пренебречь
влиянием переходных процессов на концах интервала наблюдения, то
можно реализовать приемник, используя фильтры с постоянными во
времени параметрами. Получающийся в результате приемник
является субоптимальным, но по мере увеличения произведения
длительности на ширину спектра сигнального процесса он быстро
приближается к оптимальному.
Вопрос о том, насколько большим должен быть интервал
наблюдения, чтобы приближение, сделанное исходя из модели СПБВН,
было справедливым, пока не обсуждался. Если процессы имеют
рациональные спектры, то можно вычислить помехоустойчивость как
оптимального, так и субоптимального (в смысле СПБВН) приемника,
используя метод переменных состояния. Таким образом, в любой
конкретной ситуации можно количественно проверить справедлив
вость указанного приближения. Консервативную оценку
возможности использования этого приближения можно получить, если
проверить значение произведения длительности на ширину спектра
сигнального процесса на входе квадратора в канонической реализации
№ 3. Если это произведение kT > 5, то такое приближение почти
всегда справедливо. Во многих случаях приемник СПБВН
практически оптимален и для значений kT > 2.
Формулы помехоустойчивости для случая СПБВН удается
упростить, поскольку можно использовать асимптотические выражения
для определителя Фредгольма. Так, вычисление ^(s) всегда
сводится к отысканию среднеквадратической ошибки фильтрации в
некоторой задаче реализуемой винеровской фильтрации. Такая
возможность означает, что многие из частных результатов из § 6.2 первого
тома непосредственно применимы к гауссовой задаче обнаружения.
Во многих ситуациях этим сходством можно пользоваться для
эффективного решения задач.
Помимо общей задачи СПБВН, была рассмотрена задача
бинарной передачи информации по релеевскому каналу .Было установлено,
что если имеется возможность управлять значением произведения
длительности на ширину спектра сигнального процесса в приемнике,
то можно достичь того, что суммарная вероятность ошибок Р(г)
будет уменьшаться по экспоненциальному закону при увеличении
Er/N0. Этим данный случай отличается от поведения нефлуктуирую-
щего релеевского канала, рассмотренного в п. 4.4.2 первого тома,
в котором вероятность ошибок убывает линейно с увеличением
На этом завершается рассмотрение задачи со стационарными
процессами при большом времени наблюдения. В § 4.5 имеется ряд
задач, которые иллюстрируют применение рассмотренных здесь
результатов к конкретным ситуациям.
143

4.2. Разложимые ядра
В этом параграфе будет рассмотрен класс ковариационных
функций сигналов, которые позволяют определить структурную схему и
помехоустойчивость оптимального приемника простым и
непосредственным методом. В п. 4.2.1 рассмотрена моДель задачи с
разложимым ядром и выведены необходимые уравнения, которые
определяют оптимальный приемник и его помехоустойчивость. В пп. 4.2.2
и 4.2.3 рассмотрены физические ситуации, в которых модель с
разложимым ядром оказывается справедливой. В заключение, в п. 4.2.4
подытожены полученные результаты.
4.2.1. Модель задачи с разложимым ядром
Сначала рассмотрим данный вопрос в контексте простой
бинарной задачи с процессами, имеющими нулевые средние. Принимаемые
колебания по двум гипотезам записываются в виде
rit)= Is (0 + и>(0. Tt^t<>Tf:Hu
\w(t\ Tt^t^Tf:H0.
Шум w(t) является выборочной функцией белого гауссова
случайного процесса с нулевым средним и спектральной плотностью N0/2.
Сигнал s (t) представляет собой выборочную функцию гауссова
случайного процесса с нулевым средним и ковариационной функцией
Кш&и).
На основании (2.28) критерий отношения правдоподобия
запишем в виде
Tf
lR = — Г Г г (t) hx (ttu)r {u) dt du d Y, (82a)
1 i
где функция h± (t, и) определяется интегральным уравнением
yftiM+1 h1(t,z)Ks(z,u)dz=Ks(tfu), Tt^t,u^Tf. (826)
В п. 4.3.6 первого тома изложен метод решения этого интегрального
уравнения. На с. 367 там было отмечено, что если ядро
интегрального уравнения (т. е. ковариационная функция Ks (t, и) сигнала)
является разложимым, то решение уравнения вида (826) следует
почти без выкладок. Разложимое ядро соответствует сигнальному
процессу с конечным числом собственных значений. Таким образом,
можно записать
К8(/, и) = 2 МФ/(О Ф| (и), Г| <', « <Tff (83)
144

где Ф, (/) и Xs.— собственные функции и собственные значения
сигнального процесса. В этом случае решение уравнения (826) имеет вид
К (Uu)= S А«Ф|(0Ф«(«) =
Л Л/о,
«
» = i
,/2+Я?
Ф,(/)Ф,1и), 7\-</, «<7у.
(84)
В этом можно убедиться при подстановке (84) в (826). Для случая
разложимых ядер простейшей реализацией является каноническая
реализация № 3 (приемник в форме фильтра-квадратора).
—Kil)—П^-
к» :
J^N_J Kdatfpamop \
\?
(К-1) одина/годых дегпдеи
Рис. 4.13. Реализация приемника в форме коррелятора для случая
разложимых ядер.
На основании (2.45) имеем
К (/, и) = J Л; (г, t) hf (г, и) dz.
(85)
Решением этого уравнения является
к
К (г, t) = Ц А,1'2 Ф, (г) Ф, (/), Г, < /, г < Г,.
i = i
(86)
Используя (85) и (86) в (82а) и выполняя интегрирование по z,
получим
l« = T02ht\(r{t)*i{t)
/ = 1 L Т}
dt
(87)
Операции над процессом r(t) можно реализовать, используя либо
корреляторы, либо согласованные фильтры. Эти реализации
показаны на рис. 4.13 и 4.14. Указанные структурные схемы приемника
известны нам по рис. 4.66 на с. 396 первого тома. По аналогии с (I—
4.399) принятый по гипотезе Нх сигнал записывается в виде
r(t)= 2 fl|S|(0+a>(/). 0<*<7\
*»i
(88)
146

где at — независимые гауссовы случайные величины с нулевыми
средними и дисперсиями а£., а сигналы st (t) ортонормальны.
Полный сигнал представляется как
к
s(0=2 atst(th (89)
/= i
t. е. является гауссовым процессом с нулевым средним и
ковариационной функцией
Ks (Л к) = .2 < st (t) st (и), О < U и < Г.
i = i
(90)
Сравнивая (90) и (83), видим, что задача с разложимым ядром
тождественна задаче, решенной в п. 4.4.2 первого тома в контексте
задачи с нежелательными параметрами. Как было отмечено на с. 395
Отсчет д момент
дремени Tf
ГШ
ФЛЪ-т)
А_J
(К-1) одинакодых детЗей
Рис. 4.14. Реализация приемника в форме согласованного фильтра для
случая разложимых ядер.
первого тома, эта задача также тождественна общей гауссовой
задаче, которая была решена в §2.6 первого тома. Основанием для
такого упрощения является то, что сигнал имеет лишь конечное число
собственных значений. Поэтому колебание г it) можно
непосредственно отобразить в виде /(-мерного вектора г, являющегося
достаточной статистикой. Следовательно, все примеры, приведенные в
§ 2.6 и 4.4 первого тома, соответствуют задачам на гауссовы
процессы с разделимыми ядрами и мы располагаем набором формул,
которые здесь можно использовать.
Приближенную формулу помехоустойчивости оптимального
приемника получим, вычислив \i(s) и использовав приближенные
формулы (2.166) и (2.174).Из выражения для первого члена в (2.132)
имеем
М')=7 2
In
/ = 1
1 +[2(l-s),W„U? J
(9.1)
Использовав (91) в (2.166) и (2.174), получим приближенные
формулы для PF и Рм- Напомним, что если К собственных значений рав-
146

ны, то можно получить точную формулу. Но даже в этом случае
проще пользоваться приближенными формулами, которые дают
достаточно точные результаты при умеренных значениях К (см.
рис. 2.42 первого тома).
Итак, в данном параграфе мы установили, что задача на
разложимые ядра тождественна задачам, которые были рассмотрены ранее.
Далее целесообразно рассмотреть ряд физических ситуаций, в
которых сигнальные процессы имеют разложимые ядра.
4.2.2. Разнесение во времени
Исторически задача этого типа впервые возникла в области
импульсных радиолокационных систем. Излучаемый сигнал
представляет собой последовательность импульсов — отрезков синусоид на
несущей частоте сос = 2пл/Т> где я — большое целое число. Пример
такой последовательности показан на рис. 4.15. Аналитически t-й
сигнал можно записать в виде
,(/)A(^sin(oc/, (i-\)Tp^t^(i-l)Tp + T9 (92)
1 ^' — { о ПРИ Других значениях /.
То
тр»т
Рис. 4.15. Излученная (переданная) импульсная последовательность.
Если цель присутствует, то эти импульсы отражаются. Модели
отражения от целей будут рассмотрены подробно в гл. 9. Там будет
показано, что для многих целей отраженный сигнал, обусловленный
/-м облучающим импульсом, можно аналитически представить в виде
s ,t)= \vlVWsm((oct + Oi)f (i-l)Tp^t^(i-l)Tp + T, (93)
rl *' \ О при других значениях /,
где Vi — релеевские случайные величины, а Ф* — равномерно
распределенные случайные величины. Заметим, что для простоты мы
считаем, что цель находится на нулевой дальности. Как в п. 4.4.2
первого тома, запишем сигнал sri(t) через его квадратурные
компоненты
[ bsi VW sin o)c t + bci VW cos coc t,
srt(t)A\' (i-l)Tp^t^(i-l)Tp + T, (94a)
I 0 при других значениях /.
147

Можно также записать сигнал в эквивалентной форме
Sri (t) Л bsi<Dsi(t) + bciOci (0, —оо < t < оо,
(946)
где <3)Si(t) и <£>ci(t) по определению включают рассматриваемый
интервал времени, bsi и bci — статистически независимые
гауссовы случайные величины с дисперсиями о2ь. Средняя энергия
принимаемых импульсов равна
£г1Л2с£
(95)
Принимаемое колебание содержит отраженный сигнал,
обусловленный последовательностью излучаемых импульсов, и компоненту
белого шума:
к
г (0 = S [bsi Ф&г (0 + bci Фе1 (/)] + w (/), Tt < / < Tf. (96)
n't)
ПолосоЗой
согласоЗан-\
шй
фильтр

\Kdadpaтемный
йетектир^
огибающей
Отсчет
через
интербал

Суммирование
/Г
отсчетов
Нп
Рис. 4.16. Структурная схема оптимального приемника для задачи
импульсной радиолокации.
Интервал наблюдения полностью содержит все отраженные
импульсы. Далее, считая vt и Ф^ случайными величинами,будем
предполагать, что сигнал, отраженный от цели, практически постоянен на
протяжении длительности импульса. Обычно интервал Тр много
больше длительности импульса. Поэтому, если цель является
флуктуирующей, то реалистично предположить, что vt и Ф^ —
независимые случайные величины для различных i. Это означает, что bci
и bsi—также независимы для различных i. Ковариационная
функция сигнального процесса при этом записывается в виде
Ks (t, и)=^2 Ю1 ФС| (t) Фа (и) + al Ф81 (0 Фв| (и)],
Ti^ttu^Tf. (97)
Таким образом, имеем случай разложимого ядра с 2/С собственными
значениями. Используя рис. 4.13 и 4.68 из первого тома, получим
структурную схему приемника, показанную на рис. 4.16. Здесь
ортогональность следует из того, что сигналы не перекрываются
во времени. В теории этот случай носит название разнесения во
времени.
148

Помехоустойчивость для этой задачи уже была определена
(случаи 1А на с. 117 первого тома). Если положить
# = 2^ (98)
o* = ol=ETl/2, (99)
o2n=N0/2, (ЮО)
то результаты, представленные на рис. 2.35 первого тома, будут
здесь применимы непосредственно. Заметим, что
Ивр, SK(s)=^ln
l + (l-s)(£rl/W0)
(101)
Рис. 4.17. Рабочая характеристика приемника: импульсная РЛС,
релеевская цель.
в чем легко убедиться, используя формулы (2.501) первого тома
или (91).
Рабочая характеристика приемника для этого случая показана
на рис.__4.17. Средняя энергия принимаемого сигнала (на импульс)
равна £г1, а полная средняя энергия принимаемого сигнала равна
ЕГУ где
Ег=КЕг1. (102)
На рис. 4.18 представлена зависимость Рм от К при фиксированных
Ег и PF. (Это в сущности кривые рис. 2.35, б we первого тома,
только с другими обозначениями.) По ним можно судить, как оптими-
149

зировать число излучаемых импульсов в различных ситуациях.
Отметим, что кривые рис. 2.35 первого тома были построены на
основе точного расчета. Как показано на рис. 2.42 первого тома,
приближенный расчет дает сходные результаты.
Рис. 4.18. Зависимость вероятности пропуска цели Рм от числа излученных
импульсов (полная энергия фиксирована).
*t»)k
sr(t)
а)
Рис. 4.19. Модель механизма распространения радиоволн при отражении от
ионосферы (случай разрешимых лучей):
а — переданный сигнал; б — принятый сигнал.
Разнесение во времени встречается также в системах связи,
работающих в диапазоне коротких воли. Для таких систем связи
характерным является отражение радиоволн от ионосферы. Вследствие
150

многолучевого распространения радиоЁОлн в этом случае одиночный
излученный импульс может вызвать на входе приемника
последовательность импульсов. Амплитуды и фазы различных импульсов,
прошедших по разным путям, обычно не коррелированы друг
с другом. Типичная ситуация иллюстрируется рис. 4.19. Если
импульсы на выходе канала не перекрываются, то такую ситуацию
обычно относят к разрешимой многолучевой задаче. Если длины
путей известны (задача с неизвестными длинами путей будет рас^
смотрена позднее), то задача тождественна задаче временного
разнесения, описанной выше.
4.2.3. Разнесение по частоте
Очевидная дуальная (по отношению к задаче временного разне*
сения) задача возникает при передаче К импульсов на различных
частотах, но в одно и то же время.Типичным приложением этого
случая может служить система связи с применением разнесения по
частоте, работающая по К нефлуктуирующим релеевским каналам.
По гипотезе Нх передается К сигналов в неперекрывающихся
полосах частот
sti(t)-
к
1
2 V2/Tsin(*ut, 0<*<7\
(103)
о
при других значениях /.
По гипотезе Н0 также передается К сигналов, но в другом наборе
неперекрывающихся полос частот:
stQ(t)--
%V2{Tsin(*0Jt, 0<*<7\
0 при других значениях t.
Каждый из К передаваемых сигналов проходит по релеевскому
каналу. На выходе канала имеем
r(t) =
2 vx V2/T sin ((ou t + Ф,) + w (/), 0 < / < Т: #lf
2 vj VVf sin ((oojt -f Ф7.) -f w (0, 0 </ < T: H0.
(105)
Частоты (olt и (ooj выбираются так, чтобы колебания на выходе
канала, обусловленные сигналами, были ортогональными. Будем
полагать, что замирания в различных релеевских каналах
статистически независимы и что каждый канал имеет одинаковые статистические
характеристики. Средняя энергия принимаемого сигнала в каждом
канале равна
E(v1) = 2ol&Eri. (106)
151

Нетрудно заметить, что данная задача — это просто двоичный
симметричный вариант задачи, отмеченной в п. 4.2.2. Структурная
схема оптимального приемника для этого случая показана на рис. 4.20.
Чтобы определить ее помехоустойчивость, отметим, что этот случай
математически тождествен примеру ЗА, приведенному на с. 136—
138 первого тома, если положить
N = 2К,
cr| = oJ=lrl/2,
ri = N0/2.
(107)
(108)
(109)
Тогда в соответствии с (2.510) из первого тома выражение для
\i (1/2) получим в виде
\ J l(l+[-n/2N0)2
(ПО)
Результат (ПО) можно также получить, используя табл. 4.3 и
формулу (101). Выражение для границы вероятности ошибок Р(г)
следует из (I — 2.473) и (ПО) в виде
\ /-^ 2
1+ЕпШ,
l + £rl/2W0 J
(111)
Приближенную формулу для суммарной вероятности ошибок
получим из (1 — 2.516) и (ПО):
Р(г)
-}/.
(l + Erl/N0)K
пК (Erl/N0)(l+Erl/2N0)K/2
— 1
(Н2)
Часто полная энергия передатчика является величиной
фиксированной. Желательно распределить ее по различным ветвям
разнесения так, чтобы вероятность ошибок Р(е) была минимальной.
Если затухания в каналах одинаковы, то оптимальное
распределение энергии по каналам можно легко рассчитать, используя
приближенную или точную формулу для вероятности ошибок Р(е).
Проще всего ввести в рассмотрение коэффициент эффективности для
системы разнесения
где
И-в8.вр.зк(1/2)=—ggdW.
и Х=
ЕГ1
No
(113)
(114)
(115)
152

Нетрудно заметить, что gd (Я) совпадает с gBp,oo (A*,) в примере 4,
приведенном нас. 140. Следовательно, эта функция имеет максимум
при
Wr=(£ri/#o)oPT=:3,07,
(116)
а суммарная вероятность ошибок Р(г) определяется формулой
(78). Соотношение (116) показывает, что оптимальным будет такое
Отсчет 3 момент
бремени Т
Ht)
^
^
t^
ПолосоЗой
мгласобанА
ный фильтр
ПолосоЗой
согласоЗан-
нд/й фильтр
111
ill.
ПолосоЗой
согласоЗан-
\ный фильтр
^
*w
ЛбаЗратичА
ный 1
Зете/rmop ^ г
огибающей \
И
КЗаЗратичА
ный
Зетентор „
оги Замш ей \
\КваЗратич-\
ный
Зет ен тор ы
огибающей
быбор
Наибольшего
значения
Рис. 4.20. Структурная схема приемника с разнесением по частоте.
распределение энергии передатчика по каналам, при котором
отношение средней энергии к спектральной плотности шума в каждом
релеевском канале равно 3,07.
Интересно сравнить два этих результата. В рассматриваемом
случае мы оптимизировали помехоустойчивость путем
соответствующего выбора условия разнесения. Ранее с той же целью мы
надлежащим образом выбирали отношение сигнал/шум в полосе частот
сигнального процесса. Связь между этими двумя задачами станет
очевидной, если их интерпретировать в терминах собственных
значений. В случае ограниченного по ширине спектра имеется 4WT
равных собственных значений (при WT^> 1), а в системе
разнесения существует 2/С равных собственных значений.
153

4.2.4. Краткие итоги § 4.2
В этом параграфе была рассмотрена задача с разложимыми
ядрами, когда выходное колебание приемника представляет собой
взвешенную сумму квадратов конечного числа статистически
независимых гауссовых случайных величин. Важным отличием задачи
с разложимыми ядрами от общей гауссовой является то, что в первой
мы имеем конечные суммы, а не бесконечные, как в общем гауссовом
случае. Поэтому, в принципе, всегда можно определить
помехоустойчивость точно. Как было установлено в гл. 2 первого тома, если
собственные значения различны и Дг велико, то определение
помехоустойчивости затруднительно. Если собственные значения
одинаковы, то достаточная статистика имеет плотность распределения
вероятности х2 (см. с. 118, т. I). Это приводит к точной формуле для
Pfk PD. Как было установлено в § 2.7 первого тома (с. 135),
приближенные формулы, основанные на величине \i(s), при умеренных
значениях К являются точными. Поэтому даже в тех случаях, когда
известна истинная плотность вероятности, мы обычно будем
использовать приближенные формулы ввиду их простоты.
В предыдущих параграфах были рассмотрены примеры, когда
сигнальный процесс имел равные собственные значения, а
аддитивный шум был белым. В задачах §4.5 будут рассмотрены примеры на
процессы с разложимыми ядрами более общего типа.
4.3. Случай когерентного обнаружения слабых сигналов1}
В этом параграфе рассмотрим простую бинарную задачу,
описанную в гл. 2 (с. 25). Принимаемые по двум гипотезам колебания
записывают в виде
r(t) = ls{t)+w{t)> Ti<*<Tf--Ui, (Ш)
W), 71|</<7,/:Я0.
Предполагается, что w (t) — белый гауссов процесс с нулевым
средним и спектральной плотностью NQ/2 и что s (t) — гауссов
случайный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией Ks (t, и).
Ковариационную функцию сигнала можно записать в виде ряда
/С.(Л«)=£^Ф*(0Ф|("). Tt^t9u^Tt. (118)
1} Большинство оригинальных исследований в случае когерентного
обнаружения слабых сигналов проведено Прайсом [1, 2] и Миддлтоном [3, 5,
7]. Этот случай иногда называют как случай «когерентно необнаружимого
сигнала» или «пороговый». Подход к определению помехоустойчивости через
\i (s) является новым, но он приводит к тем же результатам, какие были
получены в упомянутых выше работах. В [9] Миддлтон рассмотрел пороговую
задачу с другой точки зрения.Из других работ по этому вопросу назовем [10, 11].
154

Если s (/) записать fe виде разложения Карунена — Лоэва, то
собственное значение Xs. будет среднеквадратическим значением *-го
коэффициента. Физически это собственное значение соответствует
средней энергии по каждой собственной функции. Если бы вся
энергия сигнала содержалась в единственном собственном значении, то
можно было бы записать, что
s(t) = s1<b1(t), (119)
и задача свелась бы к задаче обнаружения известного сигнала с
гауссовой случайной амплитудой, которая решена в § 4.4 первого тома.
Эту задачу иногда называют задачей когерентного обнаружения,
так как вся энергия относится к единственному известному сигналу.
Во многих физических ситуациях условия этой задачи
совершенно другие. В частности, если записать
s(t)=f в,Ф,(0, Г,</<Г/э (120)
то нетрудно установить, что энергия сигнала распределена по
большому числу координат и что все собственные значения малы
по сравнению с уровнем белого шума, т. е.
^<ЛУ2, '*= 1,2,... (121)
Эту ситуацию можно характеризовать как случай когерентного
обнаружения при малой энергии сигнала. В этом параграфе мы изучим,
какие следствия вытекают из условия (121) применительно к
структуре оптимального приемника и его помехоустойчивости. Прежде
чем приступить к обсуждению этого вопроса, целесообразно сделать
ряд замечаний.
1. Если s (t) — стационарный процесс, то, как известно из
п. 3.4.6 первого тома (с. 245, 246) , справедливо неравенство
Xj<^naX<maxSf(/). (122)
Следовательно, если
maxSe(fl«tf0/2, (123)
f
то условие когерентного обнаружения сигнала малой энергии
существует.
2. Может показаться, что условие когерентного обнаружения
при малой мощности сигнала предполагает низкую вероятность
обнаружения и, следовательно, этот случай не представляет интереса.
Однако на самом деле это не так, поскольку выходное напряжение
приемника получается в результате комбинирования большого
числа компонентов сигнала. Несмотря на то, что каждое
собственное значение сигнала мало, результирующая статистика испытания
может иметь по обеим гипотезам заметно различающиеся плотности
вероятностей.
155

3. Позднее мы убедимся, что условие когерентного обнаружения
при малой энергии сигнала приводит к более простым структурным
схемам приемника и процедурам расчета его помехоустойчивости.
Позднее мы исследуем эффект использования подобных
упрощенных приемников, когда условие когерентного обнаружения при
малой энергии сигнала не соблюдается.
Начнем рассмотрение с общих результатов, полученных в §2.1.
В соответствии с (2.31).
Tf
lR=-^^r(t)h1(tiu)r(u)dtdu, (124)
а из (2.19) имеем
l^l.tJ-Ykl—* \l (125)
Чтобы получить приближенную формулу, обозначим
наибольшее собственное значение через Х*пах. Если
?4ах<АГ0/2, (126)
то каждый член суммы в (125) можно разложить в степенной ряд
по Хг:
^тШ^-^^Ш^'-]'1 (127)
Сходимость каждого разложения в ряд гарантируется условием
(126). Условие когерентного обнаружения при малой энергии
сигнала (121) является более жестким, чем (126).
Если выполняется условие когерентности обнаружения сигнала
малой энергии
(2/Ад^1ах<<1, (128)
то к члену lR логарифма отношения правдоподобия можно
приблизиться, удержав первые два члена ряда. Основанием для удержания
только двух членов является то, что они имеют порядок 2'ksi/N0.
(Читателю следует в этом убедиться.) Первый член равен
/1?1)=т(^г)2 2 ^г?=тШ2Цг(^ли)г(и)Л^(Г29)
/= 1 7".
1 I
Второй член равен
/tf> = -i-(^)32(W. (130)
/=1
156

Если ввести в рассмотрение ядро КГ' (t, и), определяемое как
Tf
= 2(Х02Фг(ОФ*("). Tt^t,u^Tf, (131)
*=1
ГО
lT = -Y[j^yi]r{t)K^{Uu)r{u)dtdiL (132)
i
Аналогично, если 2XmSLX/N0 < 1, можно разложить в ряд член
1В, определяющий смещение в логарифме отношения правдоподобия.
В соответствии с (2.33) имеем
+T(i),|w>'+4 <>*>
Если 2Xmax/N0 <<; 1, то приближенное выражение можно
получить, взяв первые два слагаемые:
-Ч(£)?*'Л«*Ч(£)'Я1в(М,,""-(Ш)
Т. Т.
Формулы (129), (132) и (134) соответствуют двум параллельным
операциям над принимаемыми сигналами и члену смещения.
Можно показать, что при
4-tt«*-*0 (135)
отношение дисперсии суммы /#} + /^2> по гипотезе Н0 к дисперсии
1$} по гипотезе Я0 стремится к нулю. Аналогичное утверждение
справедливо и по гипотезе Hl9 так как
aWltfi]^aWl#ob (136)
aWI#i]^2[/*2)|#ol. (137)
157

В этом случае величину /(|> можно заменить ее средним значением по
гипотезе Н0 (средние значения по обеим гипотезам приближенно
равны):
Tt
Е [/#» I Н0] = —l- (-j-J JJ К1 (/, и) dt du. (138)
Теперь /<2) становится членом смещения и /(^>— единственная
величина, которая зависит от r(t). Окончательно критерий испытания
можно записать в виде
« Tf
1#> + 1в ^ -j (J-)' J J г (t) Ks (t, и) г {и) dt du-
Ti
Включив смещение в величину порога, критерий испытания можно
записать в виде
т{~к)*М r{t)K*{t' »)r(uydtdu%y, (НО)
Tf Tf
Wev=lnT| + -i-(-J-) j KAt,t)dt+±(-j-)2^K!(t,u)dtdu.
(141)
Приемник, осуществляющий испытание (140), называется
оптимальным приемником для когерентного обнаружения сигналов малой
энергии. Отметим, что он имеет точно такую же форму, как
приемник общего вида, описываемый уравнением (124). Различие
заключается в том, что ядром квадратичной формы является
ковариационная функция сигнала вместо импульсной характеристики
оптимального линейного фильтра. Заметим, что эта характеристика
оптимального линейного фильтра сводится к /Cs(/, и) при условии
когерентности обнаружения сигнала малой энергии. Одна из форм
приемника показана на рис. 4.21. Различные другие реализации,
рассмотренные в §2.1 (рис. 2.4—2.7), можно также модифицировать для
случая когерентности сигналов малой энергии.
Когда 2Я^ах/Л^0 < 1, но не удовлетворяет условию (128), можно
использовать большее число членов в разложениях в ряд для lR
и /б. Если
T0V™<1> (142)
158

то для оптимального обнаружителя в принципе можно найти
решение в виде ряда, который будет сходиться1).
Выражения для lR и 1В в общей форме можно легко получить:
Tf ж Tf
^"тШ!г(0 2 (~ *г)Ял1 №&«)'(")<**, (из)
т. я= 1 т.
,-т?т(-тШ'*1"'м* <144'
Т,
где /С<я) V, и) = f ... f Ks (t, Zj) /С, (zlt z,)... /С, Un_1( и) &гх... dzn_a.
(145)
/Y#
Ks(t,u)
+G
T
. t
г Ш£
*
/#
//; #
Нереализуемый
фильтр
Рис. 4.21. Структурная схема оптимального приемника для когерентного
обнаружения слабых сигналов.
Интересная физическая интерпретация приближений высокого
порядка дана в задаче 4.3.2.
Последним интересующим нас вопросом является
помехоустойчивость оптимального приемника в случае когерентного
обнаружения сигнала малой энергии. Необходимо найти более простое
выражение для \i(s)t учитывая мощность собственных значений.
В соответствии с (2.134) имеем
ИФ=4" 2 [(l-s)ln(l+2^/yV0)^lnil + (l-s)2M/^0)]. (146)
Разлагая логарифмы в ряды и учитывая первые два члена, получим
/ ч 1 V* f/i \|" 2 ,s 1 / 2 \2 As\2l
^(s)- Y 2 Г *
i=i
L ^o
2 «--Hi)^'
■[о-^ч-^Ш'^]}- <"7>
1} Данный метод определения фильтра идентичен по трудности решению
интегральных уравнений итерационным методом с использованием рядов
Неймана (см. [5] или [4]). Эта процедура является стандартной при решении
интегральных уравнений.
159

Видим, что члены, линейные по переменной Цу взаимно уничто-
оо
жаются. Записав сумму 2 (Ц)* в замкнутой форме, получим
«=1
, . s (1—s)
H(s)~ 4-^"
Tf |
ТШ'Ц*1^ u)d^u\uHEC(s)- (148)
V,
Выражение, заключенное в фигурные скобки, имеет интересную
интерпретацию. Как было показано в гл. 4 первого тома, в задаче
с известным сигналом качество обнаружения (помехоустойчивость
приемника) полностью определяется величиной
оЧ#'|Яо1
Физически ее можно интерпретировать как отношение сигнал/шум
на выходе приемника. В задаче с гауссовым сигналом,
рассмотренной в данной главе, величина d2 уже не является однозначно
связанной с Р/г, Рм и Р(е), так как /^> в этом случае не является
гауссовой величиной. Однако при когерентном необнаруживаемом
сигнале оказывается, что выражение в фигурных скобках в (148) равно
d2, так что если допущенные нами приближения справедливы, то
отношение сигнал/шум на выходе приемника d2 приводит к
приближенным формулам для PFy PM и Р(е). Остается только
убедиться, что выражение, заключенное в фигурные скобки в (148), равное2.
Это легко сделать, если учесть тот факт, что математическое
ожидание четырех совместно нормальных случайных величин можно
записать в виде сумм вторых моментов (см., например, [8] или с. 267
первого тома).
Таким образом, в случае когерентного обнаружения сигналов
малой энергии
|iLEc(s) = —s (1 — s)d2/2. (150)
Подставив значение |lxlec (s) из (150) в формулы (2.164) и (2.173),
получим выражения для вероятностей ложной тревоги и пропуска
цели в виде
PF ~ erfc* (sd) = erfc* (d/2 + y/d)t (151)
PM ^ erf с* [(1 — s)d] = erfc* (d/2 — у Id). (152)
Рабочая характеристика приемника, построенная по формулам (151)
и (152), представлена на рис. 4.13 первого тома.
Условие когерентности обнаружения сигналов малой энергии
часто встречается в задачах радиолокационной астрономии и
гидроакустики. Первые широко исследованы в трудах Прайса (например,
[6]) и более подробно будут рассмотрены в гл. И. В области гидро-
160

акустики часто бывает справедливым предположение о
стационарности процессов при большом времени наблюдения (помимо условия
когерентности обнаружения сигнала малой энергии).
Структуру приемника и его помехоустойчивость определим
комбинированием результатов данного параграфа и §4.1. Реализация
приемника в форме фильтра-квадратора иллюстрируется
структурной схемой рис. 4.22. Значение 6? равно
Ш I s;(M,lr <1М>
— оо
и возрастает линейно при увеличении времени наблюдения Т.
Следовательно, независимо от относительных уровней сигнала и шума
требуемого качества обнаружения можно достичь наблюдением про-
Ht)
[Ssfo)f
Wadpamopt
r>
#0
Рис. 4.22. Структурная схема оптимального приемника: случай когерентного
обнаружения слабых сигналов при условии стационарности процессов и
большого времени наблюдения (СПБВН).
цесса в течение достаточно длительного времени. Область
гидроакустики будет более подробно рассмотрена в отдельном выпуске
«Пространственно-временная обработка сигналов».
Иногда приемник для когерентного обнаружения сигналов малой
энергии, структурная схема которого представлена на рис. 4.21,
используют даже тогда, когда условие когерентности (128) не
соблюдается. Для анализа его помехоустойчивости такой приемник
необходимо рассматривать как субоптимальный. Методы
исследования помехоустойчивости субоптимальных приемников
рассмотрены в гл. 5.
4.4. Краткие итоги главы
В этой главе рассмотрены методы определения структуры и
помехоустойчивости оптимального приемника для задач обнаружения
трех частных классов. В гл. 2 был показан алгоритм решения задачи
для случаев, когда процессы имеют представления конечным числом
переменных состояния.
Большую часть физических ситуаций, с которыми приходится
встречаться на практике, можно аппроксимировать каким-либо из
этих четырех частных случаев. Когда такое приближение
справедливо, можно полностью определить структуру оптимального
приемника и его помехоустойчивость.
6 Зак. 1494 161

4.5. Задачи
Задачи к § 4.1. Стационарные процессы,
большое время наблюдения
Если особо не оговорено, то во всех задачах в этом параграфе
предполагается, что соблюдается условие СПБВН.
Задача 4.1.1. Рассмотрим модель, описываемую
соотношениями (1). Предположим, что s (t) — винеровский процесс, у которого
Ks (t, и) = a2 min It, и] и s (0) = 0.
1. Определить структуру оптимального приемника.
2. Вычислить fioo (s), используя формулу (20).
3. Сравнить полученный результат с результатом, полученным
при решении задачи 2.1.5.
Задача 4.1.2. Рассмотрим формулу (2.75) для логарифма
определителя Фредгольма.
1. Вывести асимптотический вариант формулы (2.75).
2. Использовать результат, полученный по п. 1, для вывода
другого выражения для \ioo(s).
3. Определить ^(s) для модели, рассмотренной в задаче 4.1.1.
Задача 4.1.3. Рассмотрим модель задачи 4.1.1, описываемую
соотношениями (1). Предположим, что
с , v 2пР sin (л/2/г)
о в (СО)— .
SX ' k 1 + (©/£)а*
Определить jli^ (s) для этого случая.
Задача 4.1.4 (продолжение). В задаче 4.1.3 было выведено
выражение для [Хоо (s). Зафиксируем s на некотором значении s0, где
0<s0<l.
Исследовать поведение fXoo(s0) как функции п. Учесть другие зна
чения s0. Каким образом величина Лв A 2nP/kN0 входит в данное
рассмотрение?
Задача 4.1.5 (ненулевые средние). Рассмотрим задачу простого
бинарного обнаружения при ненулевых средних.
1. Вывести асимптотический вариант формул (2.32) и (2.34).
2. Вывести асимптотический вариант формулы (2.147).
Задача 4.1.6. Рассмотрим бинарный симметричный полосовой
вариант задачи класса Aw. Предположим, что эквивалентный
сигнальный спектр нижних частот аналитически описывается
выражением
Ss ((0)==2^lp sin (я/2,)
где
Plp = /V2.
Вспомним, что
l*BS.BP.-0/2) = 4^IBiLPfg.(l/2).
162

1. Использовать результат задачи 4.1.3 для отыскания
hiS.BP.ooO/S).
2. Выразить ответ в форме
h*. вр, со (1/2) Д —^ 4£вр, п (Лв).
Построить график функции g"Bp, п (Лв) для различных п. Найти
тах[£вР, п(Лв^1-
лв
3. Найти
maxfmax[gBp,n^AB)]l.
п I лв /
Задача 4.1.7. Рассмотрим бинарный симметричный полосовой
вариант задачи класса Aw.
1. Записать ^bs.bp.oo (1/2) как функцию SSL (со) (эквивалентный
спектр нижних частот) и NJ2.
2. Ввести ограничение
то
I
S8 (<o)-*L=±. (1*)
Определить спектр, при котором [Xbs.bp.oo (1/2) имеет минимальное
значение, с учетом условия (1*).
Задача 4.1.8. Рассмотрим задачу класса В (см. рис. 3.1).
Убедиться, что результаты, приведенные в табл. 4.1 и 4.2, правильны.
Задача 4.1.9. Рассмотрим задачу класса Bw, в которой
S.H--^-. Sn(tt)eJ*i*» Sw(*)=-»*-.
1. Определить структуру оптимального приемника.
2. Определить [a<x>(s).
3. Рассмотреть частный случай, когда kx = k. Упростить
выражения для fioo(s).
Примечание. При рассмотрении испытаний по критерию
минимальной суммарной вероятности ошибок Р(г) в основном тексте
особо был выделен случай, когда гипотезы равновероятны, a fx(s)
симметрично относительно s= 1/2 (см. с. 98—100). При многил
испытаниях по критерию минимальной ошибки гипотезы бывают
равновероятными, но fx(s) несимметрично. Поэтому необходимо
решить уравнение
|i(*)|.-.m=0 (1*)
6* 163

для sm. Затем используем это значение sm в (I — 2.484) или (I —
2.485). Из последнего выражения имеем
Р 1в) ^ —— ~— exp р (sm). (2*)
[2(2^(sm))1/2sm(l-sm)]
(Предполагается, что sm V\i (sm) > 3 и (1— sm) Vjx(sm)> 3.) Из
(1—2.473) находим
P(e)<-i-expfi(sw). (3*)
Эти идеи иллюстрируются следующими несколькими задачами.
Задача 4.1.10. Рассмотрим задачу класса Awf в которой
S8l (со) = 2£аР/(со2 + £2), SSo (со) = 2£Р/(со2 + Р>.
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
Предусмотреть необходимые смещения.
2. Определить ^(s).
3. Предположить, что желательным критерием оптимальности
испытания является критерий минимальной суммарной вероятности
ошибок Р(е) и что гипотезы равновероятны. Найти sm, при котором
ji(s)|s=Sm=0.
4. Вычислить приближенную вероятность ошибок Р(е),
используя соотношение (2*) из задачи (4.1.9).
5. Определить границу вероятности ошибок Р(е), используя
(3*) из задачи (4.1.9).
6. Построить график функции \i(sm) = /(а).
п 0 Фоо (s> а) I
7. Вычислить
да |а=0
Этот результат будет полезен впоследствии при изучении вопросов
оценки параметра.
Задача 4.1.11. Рассмотрим задачу класса Awf в которой
inaP/k, |со|</?,
1 0, |и|>й,
5.И = { 0)
|©|>Л.
Повторить все пункты задачи 4.1.10 при этих условиях.
Задача 4.1.12. Рассмотрим задачу класса Aw, в которой
SS1 (со) = 2рР1/(со2 + р2), SS0 (со) = 2аР0/(со2+а2).
1. Повторить пп. 1—5 задачи 4.1.10.
2. Вычислить приближенную суммарную вероятность ошибок
Р(е) для случая, когда рРх/аР0 = 1 и iV0 = 0.
164

Задача 4.1.13. Рассмотрим бинарную симметричную задачу
класса Aw. Все процессы имеют спектры, симметричные
относительно своих соответствующих несущих (см. п. 3.4.3 и рис. 3.9).
Принятое колебание гС1 (t) записывается в виде
г /A^fMO + ^W + ^W. Tt^t^Tf:Hlf
Заметим, что (1*) полностью описывает данную задачу ввиду
предполагаемой симметрии процессов. Случайные процессы в (1*)
статистически независимы и имеют энергетические спектры Ss (со),
Sn (со) и N0/2 соответственно.
1. Вывести формулу для jlibs.bp.oo (1/2).
2. Предположим, что Sa (со) и N0 фиксированы. Ограничим
мощность колебания nCl (t) так, чтобы
оо
I
cW 2я 2
Выбрать такой спектр Sn (со), чтобы |aBp,bs,oo (1/2) имело
максимальное значение.
3. Предположим, что Sn (со) и N0 фиксированы. Ограничим
мощность колебания sCl (t) так, чтобы
J
s» *
2я
Выбрать спектр Ss (со) таким, чтобы jxbs,bp,«> (1/2) имело минимальное
значение.
Задача 4.1.14. Рассмотрим векторную задачу,
сформулированную в условиях задачи 3.2.7. Конкретизировать результаты этой
задачи применительно к случаю, когда соблюдается условие СПБВН.
Задача 4.1.15. Рассмотрим частный случай задачи 4.1.14, когда
оо
Sl(/)= Г h(t—T)s(T)dx, (l*)
— оо
so (0 = 0. (2*)
Матричный фильтр с импульсной переходной функцией h (т) имеет
один вход и N выходов. Его передаточная функция обозначается
через Н (/со). Упростить структурную схему приемника,
полученную при решении задачи 4.1.14.
Задача 4.1.16. Рассмотрим задачу 3.2.8. Конкретизировать
полученные в ней результаты применительно к случаю СПБВН.
Задача 4.1.17.
1. Рассмотреть задачу 3.2.9. Конкретизировать ее результаты
применительно к случаю СПБВН.
165

2. Рассмотреть частный случай, описываемый условием (1*)
в задаче 4.1.15. Конкретизировать результаты по п. 1.
Задача 4.1.18.
1. Пересмотреть результаты, полученные в задаче 3.5.18.
Вывести выражение для ^ (s) для общего векторного случая.
2. Конкретизировать результат по п. 1 применительно к задаче
класса Aw на случай СПБВН.
3. Конкретизировать результаты по п. 2 применительно к
задаче класса Bw на случай СПБВН.
4. Конкретизировать результаты по п. 1 применительно к
случаю, когда сигнал описывается условием (1*) из задачи 4.1.15.
Задача 4.1.19. Принятые по двум гипотезам колебания
записываются в виде
\s0(t) + w(t), Tt^t^Tf:H0.
Сигналы Sj (t) и s0 (f) — стационарные полосовые гауссовы
процессы с нулевыми средними и средними частотами w1 и w0
соответственно. Их спектры не перекрываются и необязательно симметричны
относительно соответствующих несущих. Аддитивный шум является
белым и имеет спектральную плотность N0 /2.
Определить структурную схему оптимального приемника и
выражение для fiBPoo (s). (Указание. Пересмотреть результаты задачи
3.4.9.)
Задача 4.1.20. Рассмотрим бинарную симметричную полосовую
задачу, иллюстрируемую рис. 3.9. Предположим, что
E[rCl(t)\H1]^m1 E[rCo(t)\H0) = m.
Все прочие средние значения равны нулю.
1. Определить оптимальный приемник, используя
предположение о справедливости условия СПБВН.
2. Определить fxBs,BP,oo (1/2).
Задача 4.1.21. Рассмотрим выражение для fx(s) в виде (2.208)
и выражение для ji^, (s) в форме (30).
1. Доказать, что
lim p,(s) = |ioo(s).
kT->oo
2. Рассмотрим бинарный симметричный полосовой вариант
(2.208) и (30) (см. в примере 3 формулы (59) и (60)). Обозначим
бинарный симметричный (BS) полосовой (ВР) вариант (2.208) через
H'BS.bp (s> kT). Построить график функции
f (kT) A ^bs, врП/2> kT)— ^bs, bp, оо П/2)
~" ^bs, врО/2, ЬТ)
для исследования точности СПБВН приближения.
166

Задачи к § 4.2. Разложимые ядра
Задача 4.2.1. Рассмотрим задачу импульсной радиолокации.
Качество работы системы характеризуется формулами (98)—(102).
Из (101) имеем
[ (i+gri/ar.)'-« "
^bp.siO ' [ i+(i_s)^/yv0
Выбор конкретного значения s соответствует выбору порога при
испытании по критерию отношения правдоподобия.
1. Примем s = sm и потребуем, чтобы
Наложим условие Ег = КЕГ1. Выбрать такое значение /С, чтобы
функция
F ЛИ- (sm) + (1 — sm)[i(sm)
имела минимальное значение. Объяснить физический смысл этой
процедуры.
2. Сравнить результаты этой минимизации с результатами,
представленными на рис. 4.17 и 4.18.
Задача 4.2.2.
1. Рассмотрим задачу с разложимыми ядрами, в которой
величины at в (89) имеют ненулевые средние at. Найти \iD (s).
2. Рассмотрим полосовой вариант модели задачи, описанной в
п. 1. Предположим, что каждая последовательная пара величин at
имеет одинаковые статистики. Определить \iD (s) и \iR (s).
Задача 4.2.3.
1. Рассмотрим бинарный симметричный вариант полосовой
модели из задачи 4.2.2. Определить [Ibs.br.sk (1/2).
2. Упростить результаты п. 1 применительно к случаю, когда
все величины at распределены одинаково. Предположим, что
Е [at] = m> a2 [at] = а|.
Задача 4.2.4. Рассмотрим модель из задачи 4.2.3. Физическая
ситуация, к которой применима эта модель, соответствует условиям
работы системы по райсовскому каналу с разнесением по частоте
(см. п. 4.2.2). Если энергия переданного сигнала равна Ev то
т2 = aEt, а? = $Eti где а и (3 — затухания регулярной и
случайной трасс распространения сигнала соответственно.
1. Выразить [Xbs.bp.sk (1/2) через af$fEt и К (число путей
распространения радиоволн).
2. Предположим, что энергия Et фиксирована. Выбрать К таким,
чтобы [Xbs.bp.sk (1/2) имело минимальное значение. Объяснить
полученные результаты интуитивно и сравнить их с (116).
Задача 4.2.5. Рассмотрим систему разнесения, описанную в
п. 4.2.2. Если бы собственные значения сигнала были разными, то
можно было бы коэффициент эффективности в (114) записать в форме
к
*w-;§-57ta
(l + Xi/2)2
(i*)
167

Предположим, что
2 К = с (2*)
/ = 1
Можно выбрать К и %t с учетом условия (2*). Доказать, что функция
gd (Я) максимизируется выбором
'10, i>Ko
и найти /С0.
Задача 4.2.6. Рассмотрим систему разнесения по частоте,
работающую по релеевскому каналу, как описано в §4.2.
1. Обобщить данную модель так, чтобы она учитывала неравные
затухания различных путей распространения волн, неодинаковые
энергии сигналов, передаваемых в различных каналах, и
неодинаковые уровни шумов.
2. Рассмотрим задачу с двумя каналами. Ограничим полную
излучаемую энергию. Определить оптимальное распределение энергии
между каналами, при котором (Xbs.bp.sk 0'2) имеет минимальное
значение.
Задача 4.2.7. Рассмотрим задачу класса Awf в которой
KSl (t, и) = | Я». /, (/) /, (и), Tt < t,u < Tf,
i= 1
(1*)
KSo (/, u)= 2 *? gj (t) gj (u), Tt < /,и < Г,,
/=1
где
Ti
\fi(t)fktt)dt=8ik, itk=l,...,Nlt
Ti
Tf
\gj(t)gk(t)dt=8jki /,*=l,...,tf2,
Tf
\Wgj(()dt=pu, i=l9...sNv /=1,...,ЛЛ, (2*)
1. Решить уравнение (3.33) относительно йд (t9 и).
2. Конкретизировать п. 1 применительно к случаю, когда
р„ = 0, i=l,...,Nl9 /= 1 ЛГа. (3*)
Объяснить смысл (3*). Привести пример физической ситуации, в
которой условие (3*) соблюдается.
168

3. Вывести формулу для jjisk (s)-
4. Конкретизировать результат п. 3, когда условие (3*)
выполняется.
Задача 4.2.8. Рассмотрим задачу класса Bwf в которой
принимаемые по двум гипотезам колебания аналитически записываются
в виде
s(f)+w(t), T^t^TfiHb
w{t)y Ti^t^Tf:H0.
r(t)-
Сигнальный и шумовой процессы — статистически независимые
процессы с нулевыми средними и ковариационными функциями
Ks{tM) и NQ8(t — u)/2 i соответственно. Ковариационная
функция Ks(t>u) сигнального процесса является разделимой и имеет М
собственных значений:
м
К8 (*, и)= К 2 Ф, (О Ф| (и), Tt < ttu < Tf.
1. Убедиться, что приемник, структурная схема которого
изображена на рис. 4.1*, является оптимальным.
гШ
i ._ „..^
Ks(tu)
<и
J
Tf
gf at
»1
Рис. 4.1*.
2. Вычислить gd (X). Сравнить приемник, представленный на
рис. 4.1*, с приемником для когерентного обнаружения слабых
сигналов, рассмотренным в § 4.3.
Задачи к § 4.3. Случай когерентного обнаружения
слабых сигналов
Задача 4.3.1. Повторить вывод формул (129)—(139) и убедиться,
что все приближения, сделанные в процессе вывода, справедливы.
Задача 4.3.2.
1. Проверить общую форму выражения (143).
2. На рис. 4.2* иллюстрируется легкий способ запоминания
структуры формулы (143) для lR. Это структурная схема
нереализуемой системы с обратной связью. Убедиться, что выходной
величиной приемника является lR.
J4i3. Почему результат п. 2 очевиден? Является ли приемник
рис. 4.2* оптимальным для общего случая? Почему нереализуемая
169

система с обратной связью полезна для случая когерентного
обнаружения слабых сигналов, но не пригодна для общего случая?
Задача 4.3.3. Рассмотрим векторную модель из задачи 3.2.7,
в которой s0 (0 = 0.
1. Синтезировать оптимальный приемник, удовлетворяющий
условию когерентного обнаружения слабых сигналов. Точно
определить, что означает условие когерентного обнаружения слабых
сигналов в векторном случае.
rft)
-> t ——i
l«
Рис. 4.2*.
2. Предположим, что соблюдаются оба условия — СПБВН и
когерентности обнаружения слабых сигналов (КОСС). Найти
оптимальный приемник и вывести выражение для ^lec ($)• Выразить
условие КОСС через спектральную матрицу Sx (со) сигнала.
Задача 4.3.4. Вывести формулу (149).
Список литературы
1. Price R., Green P. E. Signal Processing in Radar
Astronomy—Communication via Fluctuating Multipath Media. Massachusetts Institute of
Technology, Lincoln Laboratory, Technical Report 234, 1960, Oct.
2. Price R. Detectors for Radar Astronomy. In: Radar Astronomy.
J. V. Evans and T. Hagfors Eds. New York, McGraw-Hill, 1968.
3. Middleton D. On Singular and Nonsingular Optimum (Bayes) Tests for
the Detection of Normal Stochastic Signals in Normal Noise. Trans.
IRE, 1961, v. IT-7, № 2, April, p. 105—113.
4. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. Пер. с англ.
Под ред. Ю. Б. Кобзарева. М., ИЛ, 1963.
5. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. В 2-х т. Пер.
с англ. Под ред. Б. Р. Левина. М., «Сов. Радио», 1961, 1962.
6. Price R. Output Signal-to-Noise Ratio as a Criterion in Spread-Channel
Signaling. Massachusetts Institute of Technology, Lincoln Laboratory,
Technical Report 388, May 13, 1965.
7. Middleton D. On the Detection of Stochastic Signals in Additive Normal
Noise. Trans. IRE, 1957, v. PGIT-3, p. 86—121.
8. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и
шумов. Пер. с англ. Под ред. Р. Л. Добрушина. М., ИЛ, 1960.
9. Middleton D. Canonically Optimum Threshold Detection. Trans. IEEE,
1966, v. IT-12, № 2, April, p. 230—243.
10. Capon J. On the Asymptotic Efficiency of Locally Optimum Detectors.
Trans. IRE, 1961, v. IT-7, April, p. 67—71.
11. Rudnick P. Likelihood Detection of Small Signals in Stationary Noise.
J. Appl. Phys., 1961, v. 32, Feb., p. 140.

5. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ГАУССОВЫХ
СИГНАЛОВ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ
ОБНАРУЖЕНИЯ
В гл. 2—4 была рассмотрена проблема обнаружения гауссовых
сигналов при наличии гауссова шума. В этой главе мы сначала
обсудим некоторые родственные вопросы, а затем подведем основные
итоги рассмотрения теории обнаружения.
5.1. Родственные вопросы
5.1.1. Многоальтернативное обнаружение гауссовых
сигналов в шуме
Главы 2—4 целиком посвящены рассмотрению бинарной задачи
обнаружения. В этом параграфе кратко обсудим
многоальтернативную задачу с М гипотезами. Общая гауссова многоальтернативная
задача описывается следующей моделью:
r(t) = rt(t), Tb < t < Tf: Hu i = 1, ..., M, (1)
где
ЯМ0|ЯЙ] = /М*), (2)
El(rt(t) - тШШ ~ mt(u)) \ Ht] = KH.{Uu). (3)
Большинство идей из бинарного случая распространяются на
многоальтернативный после соответствующих модификаций. В качестве
иллюстрации рассмотрим частный случай общей задачи.
Интересующая нас задача описывается следующей моделью.
Принимаемые колебания по М гипотезам можно записать в виде:
r(t) = st(t) + n(f)9 Tb^t^ Tf: Hif i = 1, 2, ..., M. (4)
Аддитивный шум п (t) описывается выборочной функцией гауссова
процесса с нулевым средним значением и ковариационной функцией
Kn(t,u). Наличие члена, соответствующего белому шуму, не
обязательно. Сигнальные процессы моделируются выборочными
функциями гауссовых процессов, статистически независимыми от шумо-
171

вого процесса. Сигнальные процессы характеризуются следующими
свойствами:
Е lst(t)] = m,(0, Tb < t < Tf9 i = 1, ..., М, (5)
£{М0 - т,(0И*(и) - /я,(и)]} = /Ц ft a), Гь < *, a < Tft
i = 1, ..., Af. (6)
Априорная вероятность i-й гипотезы равна Рь а критерием является
минимальная суммарная вероятность ошибок Р(е). Предполагается,
что каждая пара гипотез могла бы привести к невырожденному
бинарному испытанию. Процедура синтеза оптимального приемника
аналогична процедуре синтеза в бинарном случае, поэтому мы
просто сформулируем окончательные результаты. Желающие подробнее
разобраться в выводе могут обратиться к работам [1—3] или к зада-
че 5.1.1.
Для выполнения испытания по критерию отношения
правдоподобия вычислим ряд М достаточных статистик, которые обозначим
через /,-, i = 1, ..., М. Первая компонента i-й статистики равна
ц = С г (/) hi (/, и) г (и) dt du,
Ч
где функция ht (/, и) определяется интегральным уравнением
Tf
§ Кп (*, х) ht (х, у) [Кп (У, и) + Кн {У, и)] dx dy=Ks. (t, и),
Ч
Вторая компонента t-й статистики равна
1°^\Г ® gi (/) ~ Shi (Л и) щ ^du
dU
где функция gt (t) определяется интегральным уравнением
\ Кп (/, и) gi (и) du=mi (О, ТЪ < / < Tf.
Ч
Компонента смещения i-й достаточной статистики равна
Ц=-у2 1п(1+^
(7)
*=i
(8)
(9)
(10)
(И)
172

^де %% — собственные значения ядра
Tt
Ktt (t, и)=Ц^-1/2] (Л x) Ks. (xt у) К\гхт (и. У) rf^y. (12)
Ч
Полная i-я статистика равна
/« = Ц+Ц + /вг i = l,...,Af. (13)
Испытание заключается в вычислении
U + \nPh i = 1, ..., Af, (14)
и в выборе наибольшего значения.
Частный случай задачи (4), который часто встречается на
практике, соответствует условиям, когда
Kn(t, «0 = 1г в('-^ (15)
mi (0 = 0, i = 1, ..., М. (16
При этом функция ht (t9 и) удовлетворяет уравнению
Tf
—°- ht (/, и) + Г Af (/, #) /Cs. (у, и) d# = Ks. (t, и),
Ч
Tb^t,u <7y, * = 1,...,М. (17)
Все канонические реализации, рассмотренные в гл. 2, справедливы
и для этого случая. Член, соответствующий смещению, равен
Ч=-^|Ц(ФИ0>^)^ 08)
° Ч
где функция \pit\Si (•), NJ2) определяется как (2.137).
Вычисление помехоустойчивости в общем многоальтернативном
случае затруднено. Этого можно было ожидать, так как даже при
известном сигнале точное вычисление помехоустойчивости в
многоальтернативном случае обычно бывает практически неосуществимым.
Одной из важных задач, в которой можно получить точные
границы, является задача передачи цифровой информации по релеев-
скому каналу посредством М ортогональных сигналов. Бинарный
вариант этой задачи был рассмотрен в примерах 3 и 4 гл. 4 (см. с. 134 —
141). Укажем теперь результаты для многоальтернативной задачи.
Переданный сигнал по t-й гипотезе представляется в виде
st(t)=V2EJfsm(diti Tb^t^Tf:Hif (19)
173

этот сигнал проходит по флуктуирующему релеевскому каналу*
Принятое по 1-й гипотезе колебание записывается как
г (t) = st (t) + w (0, Тъ < t < Tf: Ht. (20)
Здесь принятый f-й сигнал sf (f) является выборочной функцией
полосового процесса, спектр которого симметричен относительно efo
средней частоты со11>. Сигнальные процессы считаются практически
неперекрывающимися по частоте. Аддитивный шум моделируется
выборочной функцией белого гауссова случайного процесса,
имеющего нулевое среднее значение и спектральную плотность NQI2.
Спектры нижних частот у сигнальных процессов одинаковы.
Обозначим их через Ss (со). Полная мощность принятого сигнала равна
Рг=2о
г
15''и£- (21)
Кеннеди [4] и Витерби [5] исследовали помехоустойчивость для
этого случая. В нашем изложении мы будем следовать работе [5].
Взяв за исходное общий результат, полученный в [6], можно
показать, что
[%(2/W0)]p
/>(е)<ехр[р77?] г^, 0<р<1, (22)
W^ HlP [Djr(2p/7V0(l+p))]1 + p ^^ V ;
где Djr (г) — определитель Фредгольма процесса нижних частот,
Т — длительность интервала времени наблюдения, а
R = In M (23)
— скорость передачи в натуральных единицах информации в
секунду. Параметр р используется для оптимизации границы. Когда
время наблюдения велико, можно использовать (I — 3.182) и
получить
оо
lnZV(z)=r j ln(l +zs.1(©))-g-. (24)
— оо
Введем теперь в рассмотрение функцию Е0 (р), определяемую как
da*
2л
~ Г р 2S, (со)
1} Предположение о симметричности спектра сделано для сохранения
простоты записи. После того, как в гл. 9 будет введена комплексная форма
записи, легко можно будет рассмотреть и несимметричный случай.
174

!и функцию
E(R)= max [E0(p)-pR]. (26)
Из сравнения (25) и (4.21) следует, что
-Н^тхЧ =^(s) (27)
2 1 +р |р = (1 — s)/s
и, в частности,
-r£0(l) = 4lioo(l/2) = 2fiBp,oc(l/2) = ^Bs,BP,oo(l/2). (28)
С учетом (24)—(26) формула (22) приводится к виду
Р(е)<е-7£(Я). (29)
Остается только найти максимум в соответствии с (26). Условия
максимизации получаются следующим образом.
1. Если уравнение
£о(Р)А-^^-Я (30)
имеет решение при 0 ^ р < 1, которое мы обозначим через рт, то
£(/Q = £oW-pm£o(pm). (31)
Я=ЯоЫ. (32)
E0(l)^R^CoR=--E0(0). (33)
2. Если уравнение (30) не имеет решения в допустимом
интервале изменения р, то максимум существует при р = 1 и
Е (R) = Е0 (1) - R , (34)
0<R<Eo (1). (35)
Уравнения (31) и (34) дают экспоненциальные множители в формуле
для суммарной вероятности ошибок Р (е). В разделе задач включен
ряд примеров для иллюстрации применения полученных
результатов.
- На этом завершается краткое рассмотрение многоальтернативной
задачи. Для большого класса процессов можно найти оптимальный
приемник, но, за исключением ортогональных сигнальных
процессов, определить помехоустойчивость обычно бывает
затруднительно.
5.1.2. Субоптимальные приемники
На данном этапе изложения мы располагаем необходимыми
методами и аппаратом для определения структурной схемы
оптимального приемника, позволяющего реализовать испытания по критерию
отношения правдоподобия для большого класса гауссовых сигналь-
175

/
ных процессов. Однако нередко фильтры, входящие в состав при-:
емника, имеют изменяющиеся во времени параметры, и их бывает
трудно реализовать. Это заставляет искать субоптимальные
приемники, которые были бы проще в реализации, чем оптимальный
преемник, но обладали почти такой же, как и он, помехоустойчивость^.
Для иллюстрации этого положения рассмотрим простой пример.
Пример. Рассмотрим простую бинарную задачу обнаружения,
изложенную нас. 127. Принятые колебания по двум гипотезам
записываются в виде
где w (t) — белый гауссов процесс со спектральной плотностью
N0 /2, a s (/) — гауссов процесс со спектром
S8 (со) = 2kP /(со2 + ft2). (37)
Нетрудно установить, что оптимальный приемник можно было бы
реализовать в виде последовательно включенных фильтра с изме-
rft)
hubW-
y(t)
^
Шдратор
>
JTj_
'*>?
*<
Но
Рис. 5.1. Структурная схема субоптимального приемника.
няющимися во времени параметрами, квадратичного устройства
(квадратора) и интегратора. Трудность здесь заключается в
реализации фильтра с изменяющимися во времени параметрами.
Структурная схема приемника, которую проще реализовать,
показана на рис. 5.1. Внешне эта схема не отличается от схемы
оптимального приемника, но имеющийся здесь линейный фильтр
обладает постоянными параметрами:
/isub (т) = е-И* и_г (т), — со < т < оо. (38
Значение параметра р выбирается так, чтобы достигнуть
максимальной помехоустойчивости. Из результатов §4.1 (с. 127)
известно, что если
p = ft(l +4P/(kN0)y/*, (39)
то субоптимальный приемник будет практически оптимальным при
большом времени наблюдения. Для интервалов наблюдения
произвольной длительности лучшей помехоустойчивости можно достичь
при некотором другом значении (3. Поэтому представляет
практический интерес задача выбора оптимального значения р, дающего
максимальную помехоустойчивость приема.
Считая, что приведенного выше примера достаточно для
обоснования нашего интереса, рассмотрим вопрос о субоптимальных при-
176

емниках в общей постановке. Выбор структурной схемы субопти-
м^льного приемника сильно зависит от конкретной задачи. Обычно
в качестве исходной берут структурную схему оптимального
приемника, варьируют ее в некоторых пределах и исследуют
помехоустойчивость различных модификаций. Здесь будут рассмотрены
некоторые вопросы помехоустойчивости субоптимальных приемников.
Для того, чтобы мотивировать дальнейшее изложение, напомним
сначала основные результаты по анализу помехоустойчивости
оптимального приемника. Оптимальный приемник вычисляет I —
логарифм отношения правдоподобия, и сравнивает его с порогом у.
Вероятности ошибок при этом равны
00
РР=Р(г\Н0)=^рпНо(Ь\Н0)<И, (40)
v
Рм = Р(г\Н1)= J Pll„i(L\H1)dL. (41)
— оо
Весь анализ помехоустойчивости в задаче с гауссовым сигналом был
основан на вычислении логарифма производящей функции моментов
логарифма отношения правдоподобия / при условии, что истинна
гипотеза Я0, т. е. на вычислении
00
H(s)-lnMnHo(s) = ln 5 VLpuH.iLlHJdL. (42)
— оо
Поскольку / является логарифмом отношения правдоподобия, \i(s)
можно также выразить через Mi\hx (s):
li(s) = \nMnHt(s-l) (43)
(см. с. 126, 127 первого тома). Таким образом, Рм и PF можно
выразить через \i(s).
Субоптимальный приемник вычисляет статистику испытания
1Х и сравнивает ее с порогом ух для вынесения решения. Статистика
1Х не эквивалентна / и обычно используется потому, что ее легче
вычислять. Для субоптимальных приемников плотности
вероятностей \х по гипотезам Нх и Н0 связаны между собой неоднозначно, и
поэтому уже нельзя выразить Рм и PF через единственную функцию.
-Это вынуждает нас ввести в рассмотрение две функции,
аналогичные fi(s), и делает расчеты помехоустойчивости более сложными.
При анализе субоптимального приемника ход наших
рассуждений аналогичен изложенному в § 2.7 первого тома и в § 2.2 третьего
тома. Так как весь вывод не вызывает затруднений, мы просто
сформулируем окончательные результаты. Введем в рассмотрение
функцию |x0(s) , определяемую как
оо
H0(s)A\nMlx]H,(s)= I e*Lplx\„t(L\H0)dL, (44)
177

и функцию fii(s), определяемую как /
оо
^ (s) А 1пМ 1х, н, (s)= J е^р,я, Hl (L | Ях)dL. (45)
Выражения для границы Чернова по обеим гипотезам имеют вид
где
P(6|#0Xexp[n,o(s0)— soYl. s0>0,
P(E\H1)^exp[[i1(s1)—s1y], s1<0,
Mso)=Y> s0>0,
Msi) = Y> «1<0.
(46)
(47)
(48)
(49)
r(t)
Фильтр
y(t)
>
Кдадратор
>
Интегратор
tx
Рис. 5.2. Общая структура приемника по схеме фильтр — квадратор —
интегратор (ФКИ).
Уравнения (48) и (49) будут иметь единственное решение, если
ЕЩН^^у^ЕЩН,]. (50)
Асимптотические приближения первого порядка имеют вид
Р (е | Я0) ~ erfc* [s0V jio (s0)J exp [fx0(s0)— sofio(s0) + (s§/2) |x0(s0)],
P (e | #0 ~ erf c* [ — Si К M*i) J x
X exp [^fo) — Si ^(Si) + (sf/ 2) jiita)],
(51)
(52)
где s0 и Si удовлетворяют уравнениям (48) и (49).
Соотношения (44)—(52) применимы к произвольной задаче
обнаружения. Для применения их к общей гауссовой задаче необходимо
уметь эффективно вычислять fx0 (s) и \i± (s). Какой метод вычисления
fx0(s) и fxx(s) является наилучшим — зависит от структуры
субоптимального приемника. Продемонстрируем это на примере
приемника с общей структурной схемой в виде
фильтра-квадратора-интегратора (ФКИ), показанной на рис. 5.2. Фильтр может иметь
изменяющиеся во времени параметры. Для этой структурной схемы
по-прежнему справедливы методы, изложенные в § 2.2 (с. 53—63).
Проиллюстрируем процедуру отысканием выражения для ^(s).
178

Вычисление Hx(s) для ФКИ-приемника. Для отыскания \ix (s)
разложим y(t) — процесс на входе квадратора по гипотезе Ни—в
ряд Карунена — Лоэва. В результате получим:
Уг (О Д S 01ф" &> *i<t^Tf: Hlt (53)
i=\
где Q>u(t) — собственные функции процесса y(t) по гипотезе Нх.
Соответствующие собственные значения — Хц. Предполагается, что
собственные значения упорядочены по величине так, что Xlt является
наибольшим. На основании (45) имеем
|Х! (s)= In {£ 1ея/* | /^х]}»!!! /^ Гехр ^s ^ ^?) I ^i ]}=
=-v2,n(I-2s^ s<^r~- (54)
Z +* ZN\i
i= 1
Входящее в (54) математическое ожидание является частным
случаем задачи 4.4.2 из первого тома. Сумму в (54) можно записать как
определитель Фредгольма1):
М*)=—^ In Djr | я, (-2s), s<-±~. (55)
Аналогичное соотношение получается для |х0 (s):
Но (s)= — -J- InDjr I н0 ( —2s), s< —— . (56)
Теперь ji0(s) и ji^s) выражены через определители Фредгольма.
Остается только найти эти функции.
Функцию lnZ)jritf.(-) можно вычислить в следующих трех
случаях:
1. Стационарные процессы, большое время наблюдения.
2. Процессы с разложимыми ядрами.
3. Процессы, представляемые в переменных состояния.
Процедуры вычисления для первых двух случаев ясны. В
третьем" для вычисления \i0 (s) и \i± (s) можно использовать алгоритмы,
изложенные в п. 2.2.1 или 2.2.3. Важным моментом, о котором
необходимо помнить, является то, что уравнение состояния, которое мы
используем для вычисления fx1(s)J соответствует системе, создающей
y^t) под воздействием белого шума. Аналогично уравнение
состояния, которое мы используем для вычисления \i0(s), соответствует
системе, создающей y0(t) при возбуждении белым шумом.
В этом подпараграфе были выведены формулы
помехоустойчивости, необходимые для анализа субоптимальных приемников. Так
как эти результаты являются прямыми модификациями
результатов, полученным ранее, изложение данного вопроса было кратким.
1) Этот результат принадлежит Кацу и Зигерту [8].
179

Анализ, основанный на этих результатах, имеет большое значение
при реализации практических структурных схем приемников. Ряд
интересных примеров изложен в задачах вне основного текста.
В гл. И мы вновь обратимся к субоптимальным приемникам и
обсудим их более подробно.
5.1.3. Адаптивные приемники
Исчерпывающее рассмотрение адаптивных приемников увело
бы нас слишком далеко от основной темы. Но несколько простых
замечаний сделать полезно.
При рассмотрении систем связи мы всегда предполагали, что
решение принимается по каждому элементу сигнала и оно не зависит
от решений, принятых по предыдущим элементам. Если канальный
процесс коррелирован на протяжении нескольких элементов, то
надо уметь использовать эту корреляцию для того, чтобы уменьшить
вероятность ошибок. Поскольку оптимальный приемник с
независимыми решениями по элементам сигнала состоит из блоков оценки и
коррелятора, было бы логично производить непрерывную оценку
параметров канала и использовать полученные оценки для
подстройки фильтров и регулировки усиления приемника. Простой
способ выполнения оценки параметров канала заключается в
использовании «решающей» обратной связи. Здесь предполагается, что все
предыдущие решения были правильны с точки зрения оценки
параметров канала. Если большинство решений правильны, задача
оценки параметров канала сводится к задаче с «известным» сигналом
в канале с неизвестными параметрами. Системы решающей обратной
связи для простых каналов изучались Проакисом и Дроуилхетом
[10]. Более сложные системы исследовались Глейзером [11], Джако-
вицем, Шуей Уайтом! 12], Скуддером [13, 14], Бойдом[15] и Остином
[16]. Другой способ использования корреляции канального процесса
состоит в использовании части имеющейся энергии для передачи
известного сигнала с целью измерения параметров канала.
В области адаптивных систем проделана большая работа. Почти
во всех случаях получающиеся структурные схемы приемников
оказываются настолько сложными и трудно поддающимися анализу, что
не представляется возможным сделать полезные общие утверждения.
Читатель, однако, должен признать, что многие из этих систем
логически вытекают из рассмотрения общей гауссовой задачи, которую
мы изучали ранее. К литературе, где рассматриваются различные
типы адаптивных систем, относятся работы [17—30].
5.1.4. Негауссовы процессы
Все полученные ранее результаты относятся к случаю гауссовых
случайных процессов. Когда рассматриваемые процессы являются
негауссовыми, соответствующие задачи оказываются значительно
180

труднее. Комментарии к этим задачам можно подразделить на четыре
категории.
1. Процессы, получаемые из гауссовых процессов.
2. Структурные негауссовы процессы.
3. Незаданные негауссовы процессы.
4.Анализ приемников с фиксированными структурными схемами.
Дадим пояснения к этой классификации.
Процессы, получаемые из гауссовых процессов. До сих пор при
рассмотрении мы выделяли только случаи, когда принятый сигнал
является условно гауссовым. Родственный класс образуют задачи, в
которых колебание r(t) является выборочной функцией процесса,
который может быть получен из гауссова процесса. К числу
распространенных относится случай, когда либо среднее значение т (t, вт),
либо ковариационная функция Kr(t, и: @k) процесса содержат
случайные параметры 0т и ®к. Если плотности вероятностей
параметров 6т и6й известны, то они интегрируются очевидным образом
(во всяком случае, принципиально). Можно ли фактически
выполнить интегрирование — зависит от того, как эти параметры входят
в соответствующее выражение.
Если вт или Qk является неслучайной величиной, то можно
проверить, не существует ли равномерно наиболее мощный критерий
(РНМК). Если РНМК не существует, то может оказаться
подходящим обобщенный критерий отношения правдоподобия.
Структурные негауссовы процессы. Простота гауссовых задач
объясняется тем, что в этом случае процесс можно полностью
характеризовать (задать) его средним значением и ковариационной
функцией. При этом предполагается, что если рассматриваемые
процессы могут быть полностью заданы достаточно простым способом,
то можно найти оптимальный приемник. Важным примером
подобных процессов может служить пуассоновский процесс. Эта задача
рассмотрена в работах [31—35]. Другим важным примером
являются марковские процессы (см., например, [21—24] в списке
литературы к гл. 2).
Незаданные негауссовы процессы. В этом случае было бы
желательно сформулировать некоторые общие положения относительно
оптимального приемника, не требуя, чтобы процесс имел заданную,
конкретную структуру. Один результат такого типа может быть
получен в рамках случая когерентности обнаружения сигналов
малой энергии, который был рассмотрен в § 4.3. Миддлтон [36, 37]
синтезировал приемник для этого случая, не требуя, чтобы
сигнальный процесс был гауссовым. (См. также [39], где используется другой
метод разложения в ряд.) Другой важный результат, относящийся
к случаю незаданных негауссовых процессов, приведен в работе
Кайлата [38], где реализуемый приемник со структурой в форме
блока оценки — коррелятора обобщен на случай негауссовых
процессов.
Анализ приемников с фиксированными структурными схемами.
В этом случае рассматривается приемник с фиксированной структу-
181

рой и исследуется его помехоустойчивость при наличии негауссовых
сигналов и шума. Соответствующие примеры анализа этого типа
можно найти в работах [40] и [41].
Четыре перечисленные категории задач иллюстрируют некоторые
из вопросов, возникающие при изучении негауссовых процессов.
Этот перечень не является исчерпывающим и преследует цель лишь
указать характерные случаи.
5.1.5. Векторные гауссовы процессы
Мы не рассматривали случай, когда принимаемый сигнал
является векторным случайным процессом. Формальное распространение
полученных результатов на этот случай не встречает трудностей.
Фактически все необходимые соотношения были изложены в
параграфах, посвященных задачам в гл. 2—4. Важными моментами в
векторном случае являются решение уравнений, определяющих
оптимальный приемник и его помехоустойчивость, и интерпретация
получаемых результатов в контексте конкретных физических
ситуаций. В последующем томе [42] векторная задача будет рассмотрена
в контексте пространственно-временной обработки сигналов и
шумов в гидроакустических и сейсмических системах. Тогда
указанные выше вопросы будут обсуждены подробно.
5.2. Основные итоги по теории обнаружения
В гл. 2—5 были подробно рассмотрены вопросы обнаружения
гауссовых сигналов в гауссовом шуме. Необходимость подробного
изучения этих вопросов объясняется тем, что требуется дать
достаточные исходные сведения для фактического решения задач, с
которыми мы встречаемся при моделировании физических ситуаций.
В гл. 2 рассмотрена простая бинарная задача. Сначала был
выведен алгоритм испытания по критерию отношения правдоподобия.
Было показано, что отношение правдоподобия содержит три
компоненты. Первая компонента получается в результате нелинейной
операции над принимаемым колебанием и появляется вследствие
случайности сигнала. Вторая — в результате линейной операции над
принимаемым колебанием и обусловлена детерминированной частью
принятого сигнала. Она знакома нам из первого тома. Третьей
компонентой является член, соответствующий смещению, который
необходимо вычислять при проведении испытания по критерию Байе-
са.
Затем мы обратились к проблеме рализации нелинейной
операции, необходимой для формирования lR. Были рассмотрены четыре
канонические реализации приемника в форме:
1) оценивателя — коррелятора;
2) фильтра-коррелятора;
182

3) фильтра-квадратора;
4) оптимального реализуемого фильтра.
Последняя реализация особенно привлекательна, когда процесс
имеет конечное представление в переменных состояния. В этом
случае можно использовать все эффективные методы переменных
состояния, которые были изложены в § 6.3 первого тома, для
фактического синтеза приемника.
Более сложным вопросом является задача определения
помехоустойчивости оптимального приемника. На основании результатов,
изложенных в первом томе, точное вычисление помехоустойчивости
во многих случаях оказывается неосуществимым. Продолжив работу
по выводу граничных выражений и приближенных формул, начатую
в § 2.7 первого тома, мы получили формулы для определения
помехоустойчивости для исследуемой задачи. Начальным моментом для
вывода этих формул была функция \i(s), определяемая
соотношением (2.148). Оказалось возможным выразить ее через ошибку
реализуемой фильтрации и логарифм определителя Фредгольма. Для
вычисления каждой разновидности этой функции теперь мы
располагаем эффективными процедурами.
Далее мы обратились к общей бинарной задаче (гл. 3), где
принимаемое колебание может содержать небелую компоненту по
каждой из гипотез. В этом случае процедуры определения
помехоустойчивости аналогичны процедурам для простого бинарного случая.
Главным результатом этого раздела является уравнение (3.33),
решение которого соответствует ядру нелинейной части приемника.
Модификации различных канонических рализаций не вызвали
затруднений и были получены соответствующие границы
помехоустойчивости. Новым моментом, с которым мы здесь столкнулись, был
вопрос о сингулярности (вырожденности). Сначала были выведены
простые верхние и нижние границы вероятности ошибки,
выраженные через функцию fi(l/2). Затем было показано, что необходимым
и достаточным условием невырожденного критерия испытания
является конечность функции ^(1/2). Это условие было затем
сформулировано в виде требования интегрируемости ядра в квадрате. Как
и прежде, вопрос о сингулярности не возникает, если
предполагается, что по обеим гипотезам присутствует одна и та же компонента
белого шума.
В гл. 4 были исследованы три частных.случая, которые приводят
к простым решениям. В § 4.1 рассмотрен случай стационарного
процесса на большом интервале времени. Предположение о большом
времени наблюдения позволяет пренебречь однородными решениями
интегрального уравнения, определяющего ядро, и решить это
уравнение, используя методы преобразования Фурье. Было приведено
и разобрано несколько практических примеров. Случай разделимых
ядер был рассмотрен в § 4.2. Было показано, что он является
подходящей моделью для импульсных радиолокационных систем при
медленно флуктуирующих целях, для систем связи с
использованием явления отражения радиоволн от ионосферы, когда многолуче-
183

вые каналы разрешимы во времени, а также для систем с частотным
разнесением. Решение задачи в этом случае оказывается несложным.
Наконец, в §4.3 был рассмотрен случай когерентного приема
сигналов малой энергии, который часто встречается в задачах
пассивной гидролокации и радиолокационной астрономии. При этом
энергия сигнального процесса распределяется по большому числу коор-
цинат, так что каждое собственное значение мало по сравнению
с уровнем белого шума. Это обстоятельство позволяет получить
решение интегрального уравнения в виде ряда. Для данного
конкретного случая было установлено, что отношение сигнал/шум <Р на
выходе является точной мерой помехоустойчивости приемника. Помимо
указанных трех частных случаев, мы ранее получили полное
решение для случая, когда процессы имеют конечное представление в
переменных состояния. Большую часть физических ситуаций,
встречающихся на практике, можно удовлетворительно аппроксимировать
одним из этих случаев.
В § 5.1 полученные ранее результаты были развиты
применительно к многоальтернативной задаче. Оптимальный приемник здесь
является прямым развитием результатов, полученных ранее,
однако вычисление помехоустойчивости для общей задачи оказывается
затруднительным. Была получена довольно простая формула
предельной помехоустойчивости (граница) для случая М
ортогональных процессов. В § 5.2 были выведены формулы
помехоустойчивости для субоптимальных приемников.
В заключение отметим, что обсуждение проблемы обнаружения
было пространным, а в ряде случаев довольно подробным. Это
объясняется желанием дать читателю достаточные знания по методам
решения реальных задач. Для более углубленного изучения данной
области рекомендуем читателю помимо работ, упоминавшихся по
ходу изложения, обратиться к литературе [43—48]. В следующих
двух главах рассмотрим задачу оценки параметров, которая была
описана в гл. 1.
5.3. Задачи
Задачи к § 5.1. Родственные вопросы
Задача 5.1.1. Рассмотрим модель, описываемую
соотношениями (4)—(6). Предположим, что п (t) содержит компоненту белого
шума со спектральной плотностью N0/2. Допустим, что тг (t) = О,
i= 1, ..., М.
1. Вывести соотношения (7)—(8) и (11)—(14).
2. Построить структурную схему оптимального приемника.
Задача 5.1.2. Обобщить модель из задачи 5.1.1 на случай
ненулевых средних значений и неодинаковых стоимостей.
Синтезировать оптимальный байесов приемник.
184

Задача 5.1.3. Рассмотрим модель, описываемую соотношениями
(15)—(17). Предположим, что
KSi(t,u) = iKs{t,u), i = 1, ...,М,
Ss(o) = 2ft/(co2 + k2)
и что справедливо условие СПБВН. Гипотезы равновероятны.
; 1. Построить структурную схему оптимального приемника.
2. Рассмотреть случай, когда М = 3. Вывести выражение для
границы вероятности ошибок Р(г).
Задача 5.1.4. Рассмотрим систему связи, в которой используется
М ортогональных сигналов, описываемых соотношениями (19)—(21).
На с. 308 первого тома выведено граничное выражение для
суммарной вероятности ошибок Р(е) в системе с М сигналами через
вероятность ошибок в бинарной системе.
1. Распространить этот метод на рассматриваемую задачу.
2. Сравнить границу, полученную в п. 1, с границей,
определяемой выражениями (22) — (35). При каких значениях величины R
можно пользоваться граничным выражением из п. 1?
Задача 5.1.5. Рассмотрим задачу обнаружения одного из М
ортогональных полосовых процессов при наличии белого шума.
Предположим, что каждый процесс имеет N собственных значений.
1. Эту задачу можно немедленно свести к задаче с числом
измерений, равным MN. Обозначим получающийся в итоге вектор
через R. Вычислить prlHm(R\Hm).
2. В работе [6] Галлагер вывел основную формулу для границы
вероятности ошибок в форме
ОО ОО /
Р(е|Ят)< J ...$ |pri„m(R|//m),/(,+p) х
dR, p>0. (1*)
г м
— ОО —СЮ ч
~ р
х ^МРпяЛЯТОР/о + р)
Использовать формулу (1*) для вывода формулы (22). Указание.
Воспользоваться тем, что Е [х?] < (£[#])р, 0 < р < 1.
- Задача 5.1.6.
1. Доказать соотношения (29) — (35).
2. Можно показать, что Сог — пропускная способность канала
для системы связи этого типа (т. е. системы, в которой используется
М ортогональных сигналов и огибающие сигналов имеют
прямоугольную форму). Предположим, что
SS/(co) = 2ft/(o)2 + П (1*)
P;A2gI (2*)
Построить график зависимости Сог от
&в = nPr/(kNQ). (3*)
185

3. Повторить задание п. 2 при
a."Hf !"!5» <4*>
1 (0, |со|>/г.
Задача 5.1.7. Экспоненциальная компонента ошибки E(R)
определяется соотношениями (31) и (34).
1. Построить график зависимости E(R) от N0RIPT при
ограниченном по ширине спектре сообщения, описываемом выражением
(4*) из задачи 5.1.6.
2. Построить график зависимости E(R) от N0R/Pr при
однополюсном спектре сообщения, описываемом выражением (1*) из
задачи 5.1.6.
Задача 5.1.8. Предположим, что необходимо передавать
информацию с низкой скоростью, так что E(R) ~ £(0).
1. Рассмотрим однополюсный спектр сообщения, описываемый
выражением (1*) из задачи 5.1.6. Построить график зависимости
E(0)/(Pr/N0) от ЛБ. При каком значении АВ функция E(0)/(Pr/N0)
имеет максимальное значение?
2. Повторить задание п. 1 при идеально ограниченном по ширине
спектре сообщения, описываемом выражением (4*) из задачи 5.1.6.
3. Сравнить результаты пп.1 и 2 с формулами (4.60) и (4.69).
Задача 5.1.9. Предположим, что необходимо передавать
информацию со скоростью
R = 0,1^ =-= 0,1 Pr/N0.
Требуется максимизировать функцию E(R)/(Pr/N0) выбором Ав
1. Выполнить эту максимизацию для однополюсного спектра.
2. Выполнить эту максимизацию для идеально ограниченного
по ширине спектра.
3. Сравнить полученные результаты с результатами,
полученными в предыдущей задаче.
Задача 5.1.10. Введем в рассмотрение функцию, определяемую
соотношением
E*(R)^max[E(R)!(Pr/N{))l
Ав
1. Найти En (R) для идеально ограниченного по ширине спектра
при '# 6 (0, С»).
2. Повторить задание п. 1 для однополюсного спектра.
Задача 5.1.11 [5]. Предположим, что каждый сигнальный
процесс имеет ненулевое среднее значение, а именно:
£{[s,(/)V2cos(coiO]Lp} = m(/)f
£{[^(/)У2 51п((О^)]ьр} = 0.
186

Показать, что эффект ненулевого среднего выражается в добавлении
к функции Е0 (р), определяемой формулой (25), слагаемого
00
Л1 t #1/ ш,_,.,,. . . d(D
:0т <~"
,VH' 2iVe(l+p) J ' U " L U+pJ #„ J
2ji
Задача 5.1.12 [7]. Рассмотрим частный случай задачи 5.1.11,
когда SSl((o) = 0.
1. Доказать, что при этом
E(R)
J_ * (ХД^-1
сл
(■ -т
4
4 ^^
где
Рг
N0 N0
Г m2(/)d/.
2. Обсудить смысл этой формулы.
Задача 5.1.13. Рассмотрим определения функций \i0(s) и ^(s)
в форме (44) и (45).
1. Вывести выражения для границ Чернова, записанные в виде
(46) - (49).
2. Вывести приближенные формулы для вероятности ошибок,
записанные в виде (51) и (52).
Задача 5.1.14. Рассмотрим простую бинарную задачу
обнаружения, описанную на с. 176, и приемник по схеме
фильтр-квадратор-интегратор, изображенный на рис. 5.1. Фильтр имеет
постоянные во времени параметры и передаточную функцию
Я(/со) = 1/(/(о + р).
Спектр сообщения описывается выражением (37).
1. Написать уравнения состояния, которые необходимы для
определения функций ^(s) и fx0(s).
" 2. Предположим, что справедливо приближение для большого
интервала наблюдения. Найти \iloo (s) и ц0оо ($)• Убедиться, что
значение параметра р, получаемое по формуле (39), является
оптимальным.
Задача 5.1.15.
1. Повторить задание п. 1 задачи 5.1.14 для случая, когда
сигнал моделируется винеровским процессом, т. е.
S(0) = 0, t > О,
E[s\t)] = cf*t, *>0.
2. Найти оптимальное значение параметра р для большого
времени наблюдения.
187

Задача 5.1.16. Рассмотрим бинарную симметричную систему
связи, модель которой описана в п. 3.4.3. Процессы rcl(t)y rsl(t),
rcQ(t) и. rs0(t) были определены на рис. 3.9. Над каждым из этих
колебаний выполняются операции, указанные на рис. 3.10. Вместо
оптимального фильтра с переходной функцией hfr (ty и) используем
некоторый произвольный фильтр с импульсной переходной
функцией /iSUb (т) в каждом тракте. Обозначим выход верхнего тракта
через 1Ъ а выход нижнего тракта через /0. Введем в рассмотрение
разность 1Х — 1± — /о- Оба члена, соответствующие смещениям,
равны нулю и lnr] Д ух = 0. Введем далее в рассмотрение функции
\iXj (s) и \ioj (s), определяемые как
^(8) = \пЕ[е^\Н^ /=0,1,
li0j(s)=\nEle^\Hj]t /=0,1.
1. Доказать, что
Hbs,i(s) = |in(s) + М—s)>
HBS,0(S) = ^Оо(—S) + |Alo(s) = (ABS.l(—5).
2. Доказать, что
^)<y exp(|xBs, l(sm))*
где
jiBS.1 (S)|s-sm=0.
3. Доказать, что
P (8) - 2[2niIBS>1(sm)]'/2sm(l_Sm) GXP Ы . W-
4. Выразить fiBs,i(s) через определители Фредгольма.
Задача 5.1.17. Рассмотрим бинарную систему связи, описанную
в задаче 5.1.16. Предположим, что сигнал sx(t) моделируется
выборочной функцией стационарного процесса, эквивалентный спектр
нижних частот которого есть S8/(g>), a h(tt т) — импульсная
переходная функция фильтра с постоянными во времени
параметрами, имеющего рациональную передаточную функцию.
Предположим, что справедливо условие СПБВН.
1. Найти выражение для \iBs,i» (s) через Ss (<о), Я (/со) и N0-
2. Убедиться, что Hbs,1oo(s) сводится к |iopt,oo(s)i если Я (/со)
выбрать оптимально.
3. Построить график функции (xBs,ioo(s) для случая, когда
SSl(co) = £Рг/(со2 + k*) и Я(/со) = 1/(/со + р). Найти sm.
Задача 5.1.18 (продолжение). Рассмотрим бинарную
симметричную систему связи, описанную в задачах 5.1.16 и 5.1.17. Нас
интересует случай, рассмотренный в п. 3 задачи 5.1.17.
188

Одной из трудностей при построении оптимального приемника
является то, что мощность Рг может быть неизвестной или медленно
изменяющейся. Допустим, что мы строим оптимальный приемник
в предположении
Р = Р
1. Вычислить |ABs,ioo(sm) и Норт.оо(1/2) для этого приемника,
если
Ai42Prn/(W0) - 100.
2. Предположим теперь, что
0,1 Ргп < Рг < Ю Ргп.
Построить график функции [abs.Ioo (sm)- Структурная схема
приемника фиксирована.
3. Предположим, что для каждого значения Рг приемник
заново переделывают. Сравнить ^0рт,оо(1/2) и HBs,ioo(sm)-
Задача 5.1.19. Приемник для когерентного приема сигналов
малой энергии был синтезирован в § 4.3, и его структурная схема
показана на рис. 4.21. Этот приемник иногда используется и в тех
случаях, когда условие когерентности обнаружения слабых сигналов
не соблюдается.
1. Вывести приближенную формулу для помехоустойчивости
этого приемника.
2. Предположим, что сигнал s(t) имеет конечномерное
представление в переменных состояния. Найти уравнение состояния для
|ii(s) И fX0(s).
3. Предположим, что справедливо условие СПБВН. Найти
простое выражение для fii(s) и |i0(s).
Список литературы
1. Price R. Optimum Detection of Random Signals in Noise with
Applications to Scatter-Multipath Communication. Trans. IRE, 1956, v. IT-2,
Dec, p. 125—135.
2. Turin G. Communication through Noisy, Random—Multipath Channels.
-IRE Convention Record, Pt. 4, 1956, p. 154—156.
3. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. В 2-х т. Пер.
с англ. Под ред. Б. Р. Левина. М., «Сов. радио», 1961, 1962.
4. Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием. Пер. с англ.
Под ред. И. А. Овсеевича. М., «Сов. радио», 1973.
5. Viterbi A. J. Performance of an M-ary Orthogonal Communication System
Using Stationary Stochastic Signals. Trans. IEEE, 1967, v. IT—13, № 3,
July, p. 414—422.
6. Gallager R. G. A Simple Derivation of the Coding Theorem and Some
Applications. Trans. IEEE, 1965, v. IT—11, № l,Jan.,p. 3—18.
7. Возенкрафт Дж., Джекобе И. Теоретические основы техники связи. Пер.
с англ. Под ред. Р. Л. Добрушина. М., «Мир», 1969.
8. Кае М., Siegert A. J. F. On the Theory of Noise in Radio-Receivers with
Square-Law Detectors. J. Appl. Phys., 1947, v. 18, April, p. 383—397.
9. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и
шумов. Пер. с англ. Под ред. Р. Л. Добрушина. М., ИЛ, 1960.
189

10. Proakis J. G., Drouilhet P. R. Performance of Coherent Detection Systems
Using Decision-Directed Channel Measurement. Trans. IEEE, 1964, v.
PGCS-12, March, p. 54.
11. GlaserE. M. Signal Detection by Adaptive Filters. Trans. IRE, 1961, v. IT-7,
№ 2, April, p. 87—98.
12. JakowitzC. V., Shuey R. L., White G. M. Adaptive Waveform Recognition.
TR 60—RL—2353E, General Electric Research Laboratory, Schenectady,
1960, Sept.
13. Scudder H. J. Adaptive Communication Receivers. Trans. IEEE, 1965,
v. IT—11, № 2, April, p. 167—174.
14. Scudder H. J. The Design of Some Synchronous and Asynchronous
Adaptive Receivers. First IEEE Ann. Communication Conv., Boulder, Colo,
1965, June, p. 759.
15. Boyd D. Several Adaptive Detection Systems. M. Sc. Thesis, Department
of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, 1965,
July.
16. Austin M. E. Decision—Feedback Equalization for Digital
Communication over Dispersive Channels. Sc. D. Thesis, Massachusetts Institute
of Technology, 1967, May.
17. Weaver С S. Adaptive Communication Filtering. Trans. IEEE, 1962,
v. IT-8, Sept., p. S169—S178.
18. Breipohl A. M., Koschmann A. H. A Communication System with Adaptive
Decoding. Third Symposium on Discrete Adaptive Processes. National
Electronics Conference, Chicago, 1964, Oct. 19—21, p. 72—85.
19. Lawton J. G. Investigations of Adaptive Detection Techniques. Cornell
Aeronautical Laboratory Report, №-RM—1744—S—2, Buffalo, N. Y.,
Nov, 1964.
20. Lucky R. W. Techniques for Adaptive Equalization of Digital
Communication System. Bell Syst. Tech. J., 1966, v. 45, № 2, Feb., p. 255—286.
21. Magill D. T. Optimal Adaptive Estimation of Sampled Stochastic
Processes. Stanford Electronics Laboratories, Tech. Rept. 6302—2, Stanford
University, 1963, Dec.
22. Steiglitz K-, Thomas J. B. A Class of Adaptive Matched Digital Filters.
Third Symposium on Discrete Adaptive Processes, 1964 National
Electronics Conference, Chicago, Oct. 19—21, p. 102—115.
23. Groginsky H. L., Wilson L. R., Middleton D. Adaptive Detection of
Statistical Signals in Noise. Trans. IEEE, 1966, v. IT—12, July, p. 337—348.
24. Nolte L. W. An Adaptive Realization of the Optimum Receiver for a
Sporadic-Recurrent Waveform in Noise. First IEEE Ann. Communication
Conv., Boulder, Colo. 1965, June, p. 593—598.
25. Esposito R., Middleton D., Mullen J. A. Advantages of
Amplitude and Phase Adaptivity in the Detection of Signals Subject to Slow
Rayleigh Fading. Trans. IEEE, 1965, v. IT—11, Oct., p. 473 —482.
26. Hancock J. C, Wintz P. A. An Adaptive Receiver Approach to the Time
Synchronization Problem. Trans. IEEE, 1965, v. COM-13, March,
90—96.
27. DiToro M. J. A New Method of High-Speed Adaptive Serial
Communication through Any Time-Variable and Dispersive Transmission Medium.
First IEEE Ann. Communication Conv., Boulder, Colo. 1965, June,
p. 763—767.
28. Davisson L. D. A Theory of Adaptive Filtering. Trans. IEEE, 1966, v.IT-12,
April, p. 97—102.
29. Scudder H. J. Probability of Error of Some Adaptive Pattern-Recognition
Machines. Trans. IEEE, 1965, v. IT—11, July, p. 363—371.
30. Ho Y. C, Lee R. С Identification of Linear Dynamic Systems. Third
Symposium on Discrete Adaptive Processes. National Electronics Conference,
Chicago, 1964, Oct. 19—21, p. 86—101.
31. Reiffen В., Sherman H. An Optimum Demodulator for Poisson Processes
Photon Sources Detectors. Proc. IEEE, 1963, v. 51, № 10, p. 1316—1320.
190

32. Abend K. Optimum Photon Detection. Trans. IEEE, 1966, v. IT—12,
Jan., p. 64, 65.
33. Curran T. F., Ross M. Optimum Detection Thresholds in Optical
Communication. Proc. IEEE, 1965, v. 53, № 11, p. 1770, 1771.
34. Helstrom С W. The Detection and Resolution of Optical Signals. Trans.
IEEE, 1964, v. IT—10, Oct., p. 275—287.
35. Bar-David I. Communication under the Poisson Regime. Trans. IEEE,
1969, v. IT—15, № 1, p. 31—37.
36. MIddleton D. Canonically Optimum Threshold Detection. Trans. IEEE,
1966, v. IT—12, № 2, April, p. 230—243.
37. Миддлтон Д. Очерки теории связи. Пер. с англ. Под ред. Б. Р. Левина.
М., «Сов. радио», 1966.
38. Kailath T. A General Likelihood-Ratio Formula for Random Signals
in Gaussian Noise. Trans. IEEE, 1969, v. IT—15, № 3, May, p. 350—361.
39. Schwartz S. С A Series Technique for the Optimum Detection of Stochastic
Signals in Noise. Trans. IEEE, 1969, v. IT—15, № 3, May, p. 362—370.
40. Bello P. A. Bounds on the Error Probability of FSK and PSK Receivers
Due to Non-Gaussian Noise in Fading Channels. Trans. IEEE, 1966,
v. IT—12, № 3, July, p. 315—326.
41. Bello P. A. Error Probabilities Due to Atmospheric Noise and Flat Fading
in HF Ionospheric Communications Systems. Trans. IEEE, 1965,
v. COM—13, Sept., p. 266—279.
42. Van Trees H. L. Array Processing. Wiley, New York, 1971.
43. Kailath T. Correlation Detection of Signals Perturbed by a Random
Channel. Trans. IRE, 1960, v. IT—6, June, p. 361—366.
44. Bello P. A. Some Results on the Problem of Discriminating between Two
Gaussian Processes. Trans. IRE, 1961, v. IT—7, № 4, Oct., p. 224—233.
45. Davis R. С The Detectability of Random Signals in the Presence of Noise.
Trans. IRE, 1957, v. IT—3, № 1, p. 52—62.
46. Slepian D. Some Comments on the Detection of Gaussian Signals in
Gaussian Noise. Trans. IRE, 1958, v. IT—4, № 1, p. 65—68.
47. Kadota Т. Т. Optimum Reception of Binary Sure and Gaussian Signals.
Bell Syst. Tech. J., 1965, v. 44, № 8, Oct., p.1621 —1658.
48. Middleton D., Esposito R. Simultaneous Optimum Detection and
Estimation of Signals in Noise. Trans. IEEE, 1968, v.IT-14, № 3, May,
p. 434—445.

6. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Следующим интересующим нас вопросом является оценка
параметров гауссова процесса. Эта проблема рассматривается в гл. 6 и 7.
Прежде чем приступить к разработке количественной модели
указанной задачи, мы рассмотрим ряд физических ситуаций, в которых
возникают задачи оценки параметров.
Первым рассмотрим пример, который возникает всякий раз,
когда мы моделируем физическое явление, используя случайные
процессы. Во многих случаях эти процессы характеризуются
средним значением, ковариационной функцией и спектром. Далее модель
анализируется в предположении, что эти функции известны. Часто
встречается необходимость наблюдать выборочную функцию
(реализацию) случайного процесса и оценивать его характеристики по
результатам этого наблюдения. Измерительные задачи такого рода
можно разделить на две категории. К первой относятся такие
задачи, в которых мы пытаемся оценить всю функцию, как, например,
энергетический спектр стационарных процессов. Ко второй
категории принадлежат задачи, в которых мы представляем функцию
через параметры и пытаемся оценить эти параметры. Например,
можно предположить, что спектр имеет форму
S (со) = Р /(со2 + k2) (1)
и попытаться оценить параметры Р и k. Во многих случаях задачи
второй категории будут соответствовать модели оценки параметров,
рассматриваемой в § 6.1. Адекватное рассмотрение задач первой
категории отвлекло бы нас слишком далеко от основной темы.
Некоторые из вопросов, относящихся к области задач первой
категории, обсуждаются в разделе задач вне основного текста главы.
К книгам, посвященным данной проблеме, принадлежат, в
частности, [1 — 3].
Второй пример можно взять из таких областей, как
спектроскопия, радиоастрономия, классификация целей методами
пассивной гидролокации. Источник создает узкополосный случайный
процесс, средняя частота которого характеризует сам источник.
Поэтому первый этап решения задачи классификации заключается
в оценке средней частоты сигнального процесса.
192

Третий пример приведем из области обнаружения подземных
ядерных взрывов. Важным параметром при решении вопроса, было
ли данное событие землетрясением или взрывом ядерного
устройства, является глубина залегания источника. На станции
наблюдения принимаются сейсмические волны, угол прихода которых
зависит от глубины размещения источника.
Общей чертой всех указанных примеров является то, что
представляющие интерес параметры скрыты в характеристиках
процессов. Другими словами, отображение из пространства параметров
в пространство сигналов является случайным. В этой и
последующей главах изложены методы решения задач такого типа.
В гл. 6 приведены основные результаты. Количественная модель
задачи дана в § 6.1. В § 6.2 выведены функция правдоподобия,
уравнения максимального правдоподобия и уравнения максимальной
апостериорной вероятности. В § 6.3 рассмотрены процедуры анализа
качества работы систем.
При изучении теории обнаружения мы видели, что существуют
особые категории задач, для которых можно получить полные
решения. В гл. 7 рассматриваются четыре подобные категории задач.
В § 7.1 рассмотрен случай стационарного процесса при большом
времени наблюдения. В примерах этого параграфа речь идет об
оценке амплитуды известной ковариационной функции. Здесь
возникает ряд вопросов, которые невозможно адекватно разрешить
без разработки новых методов, и поэтому мы делаем некоторое
отступление и выводим необходимые выражения. Материал этого
параграфа важен тем, что он иллюстрирует, как перейти от общей
теории, изложенной в гл. 6, к полным решениям реальной задачи.
В §§ 7.2 — 7.4 рассмотрены соответственно задачи, связанные с
процессами с конечным представлением в переменных состояния,
задачи на процессы с разложимыми ядрами и задачи на когерентное
обнаружение сигналов малой энергии. В §§ 7.5 и 7.6 полученные
ранее результаты развиты применительно к оценке нескольких
параметров и подведены основные итоги рассмотрения теории
оценок.
Прежде чем перейти к количественному анализу задачи оценки
'полезно сделать два замечания.
1. Данный анализ является логическим развитием работы по
оценкам параметров, которая была выполнена в гл. 2 и 4 первого
тома. Настоятельно рекомендуем читателям ознакомиться с
содержанием §2.4, пп. 4.2.2 — 4.2.4 и п. 4.3.5 первого тома, прежде чем
приступать к изучению настоящего раздела.
2. Чтобы подойти к окончательному результату при решении
задач оценки параметров, часто бывает необходимо выполнить до-
вольно^значительный объем выкладок и вычислений. При первом
чтении подробные выкладки можно опустить, но не следует упускать
из виду существенные аспекты рассматриваемой задачи.
7 Зак. Ц94
}93

6.1. Модель задачи оценки параметров
Модель задачи оценки параметров описать нетрудно.
Принимаемое колебание r(t) представляет собой сумму сигнала и шума
r(t) = s(tyA) + w(t)t Tt^t^Tf. (2)
Сигнал s(t,A) моделируется выборочной функцией случайного
процесса, характеристики которого зависят от параметра Л,
который мы хотим оценить.
Чтобы выяснить существо данной модели, предположим, что
значение параметра А фиксировано, а шум w(t) тождественно равен
нулю. Тогда в различные моменты времени проведения
эксперимента сигнальное колебание s (t,A) будет принимать различные
значения, так как оно является выборочной функцией случайного
процесса. В отличие от такой постановки вопроса в задачах оценки
параметра в гл. 4 первого тома отображение из пространства
параметров в пространство сигналов было детерминированным.
Предполагается, что сигнальный процесс является условно
гауссовым.
Определение. Случайный процесс s(t,A) является условно
гауссовым, если при любом заданном значении параметра А в
допустимой области его изменения %а он является гауссовым.
Условно гауссов процесс полностью определяется условным
средним значением
Els(t,A) | A] Am (t, Л), Г| < f < Г/ (3)
и условной ковариационной функцией
E{ls(tfA) - m(t,A)] [s (и,А) — т (и,А)]/А} Д Ks (*, и : Л),
Г, < U и < Tf. (4)
Шум w(t) представляет собой белый гауссов процесс с нулевым
средним и спектральной плотностью NJ2,статистически независимый
от сигнального процесса. Поэтому колебание r(t) также является
условно гауссовым процессом:
Elr(t)\A] = E[s(t,A)\A] = m(t9A), Tt < *< Th (5)
E{[r(t) — m (t9A)][r(u) — tn (u,A)]\A) Д KT(t,u : A) =
= Ks (t, и : A) + y s V - «). Tt < '." < Tf. (6)
Заметим, что любую небелую компоненту шума, содержащуюся
в колебании г (f), можно включить в состав колебания s (tf А).
Предполагается, что функции т (t, А) и Ks {U и : А) и значение
спектральной плотности N0 /2 известны.
Будем моделировать параметр А двумя различными способами.
Первый путь — предположить, что А является неслучайным пара-
IP*

метром, значения которого лежат ё некоторой области %а, и
использовать процедуры оценки по максимальному правдоподобию.
Второй путь — предположить, что А является значением случайной
величины с известной плотностью вероятности ра(Л). Для
случайных параметров можно использовать байесовские оценки при
различных функциях потерь. Ограничимся рассмотрением оценок по
максимуму апостериорной вероятности.
Указанные выше допущения определяют нашу модель задачи
оценки параметра. Изложим теперь саму процедуру оценки.
6.2. Структурная схема устройства оценки
(структура алгоритма оценки)
Подход к решению задачи оценки аналогичен подходу,
принятому в гл. 2 и 4 первого тома. Сначала найдем функцию
правдоподобия Л (Л). Затем, если А является неслучайным параметром и
необходимо получить оценку по максимуму правдоподобия, вычислим
значение параметра Л, при котором функция Л(Л) имеет
максимум. Если А является случайной величиной и необходимо найти
оценку по максимуму апостериорной вероятности, то строим
функцию
/(Л) Д 1пЛ(Л) + 1пра(Л) (7)
и находим то значение параметра Л, при котором эта функция
максимальна. Единственным новым аспектом здесь является
фактическое построение функции Л (Л) и процедура отыскания
максимума. Обратимся к рассмотрению этих вопросов.
6.2.1. Вывод выражения для функции правдоподобия
Вывод выражения для функции правдоподобия сходен с выводом
отношения правдоподобия, выполненным в гл. 2, и, следовательно,
его можно выполнить весьма быстро. Первый шаг—найдем
разложение в ряд для колебания r(t). Затем вычислим условную плотность
вероятности коэффициентов разложения (при заданном Л) и
используем результат для отыскания соответствующей функции
правдоподобия. Эта процедура упростится, если координатную систему
выбрать так, чтобы коэффициенты разложения были условно
статистически независимы. Иначе говоря, необходимо выбрать
координатную систему, которая условно зависит от Л. Коэффициенты
разложения при этом записываются в виде
tj
rt(A)u) г(*)Ф|(*:Л)Л. (8)
'Ti
7* 195

Они представляют собой гауссовы случайные величины, средййе
значения и дисперсии которых являются функциями параметра Л:
ь
E[ri(A)\A]=E\\ r(t)Oi(t:A)dt\ А =
= | т(/,Л)Ф,(/:Л)<//Д/п,(Л). (9)
'Tt
Выберем функции <Dj.(tf: А) так, чтобы
Е {[rt(A) - mi{A)\ lr3(A) - mj(A)] \A) = Xt(A)6u. (10)
Из ранее изложенного материала известно, что для достижения
указанной условной независимости координатные функции Q>t(t: А)
должны быть собственными функциями интегрального уравнения
Xi(A)0i{t:A) = ) Ks(t,u:A)Oi(u:A)du, 71<</<7,/. (11)
Так как ковариационная функция зависит от параметра Л,
собственные функции, собственные значения или те и другие
одновременно будут зависеть от А. Если ковариационная функция
Кs {t> u • А) является положительно определенной, то собственные
функции образуют полную систему функций. Если Ks (t, и : А)
является лишь неотрицательно определенной, то необходимо
произвести преобразование системы собственных функций, чтобы
сделать ее полной.
Поскольку окончательная система функций является полной,
среднее значение т (tf А) и принятое колебание г (t) можно
разложить в соответствующие ряды:
00
m(tyA) = У /МЛ)Ф,(/:Л),- T^t^T,, (12)
к
r(0 = l.i.m.-2 Ы^-т^Ф^/, A) + m(t, Л), T^i^Tf. (13)
Обозначим первые /С коэффициентов разложения через вектор R.
Плотность вероятности вектора г при условии, что значение Л
известно, запишем в виде
к
1 \
__ X
^^-1П V2-niJ+Xi(A)r/2
196
(14)

Точно так же, как в случае известного сигнала (п. 4.2.3 первогб
тома), удобно ввести в рассмотрение функцию правдоподобия
ЛК(А)У получаемую в результате деления рг\а (ЩА) на некоторую
функцию, которая не зависит от Л (см. с. 317 первого тома). Как и
ранее, делим ее на функцию
* * УЖ [ 2 N„/2) 1,0>
Разделив (14) на (15), взяв логарифм частного и устремляя /С-»- оо,
получим
00 ОО
1пЛ(Л)=— У —^—Rl+У l- mt{A)Ri-
-± у m (i + ?^UJL у _^L_. (16)
Сравнивая (16) с пределом (2.19) при К -> оо в рамках нашего
рассмотрения теории обнаружения, видим, что здесь имеет место полное
соответствие. Так, все выражения в замкнутой форме, полученные
в теории обнаружения, будут иметь очевидные аналоги при
рассмотрении задачи оценки. Поступая так же, как в гл. 2, можно получить
выражения для четырех членов, соответствующие формулам (2.31) —
(2.34).
Первый член можно записать в виде
Ti
lR(A) = ±^ r(t)h(tyu:A)r(u)dtduy (17)
где функция h (ty и : А) удовлетворяет интегральному уравнению
^h(tyu:A) + Г h(t,z:A)Ks(^u:A)dz=
■■■-■ Тг
= Ka(tfu:A), Tt^t,u^Tf. (18)
Нетрудно заметить, что функция h (ty и : А) соответствует
импульсной переходной функции оптимального нереализуемого фильтра
в условиях задачи, когда наблюдается смесь
r(t) = s(tyA) + w(t)y Tt^t^Tfy (19)
и требуется оценить сигнал s(tyA) по критерию минимальной сред-
неквадратической ошибки в предположении, что параметр А из-
197

вестей. Как и ё задаче обнаружения, мы будем часто использовать
обратное ядро Qr(t, и: А), которое можно записать в виде
Qr(tt и : А) = ~- [б (t—U)-h(t,u : A)], Tt<ttu< Tf. (20)
Второй член выражения (16) можно записать в форме
lD(A)= ^ r(t)Qr(t,u:A)m(u,A)dtdu. (21)
Напомним, что подстрочный индекс D означает
«детерминированный» и используется здесь потому, что lD(A) аналогично выходу
приемника в задаче с известным сигналом. Иначе Id{A) можно
выразить в виде
lD(A)= j r(t)g{t,A)dt, (22)
где функция g (t, А) определяется соотношением
g (t, A)=\ Qr (t, u:A)m (и, A) du. (23)
Можно также задать функцию g (t, А) неявно уравнением
Tf
т (t, А)= Г КТ (/, u:A)g(и, A) du, Т, </<Tf. (24)
i
Функция g (t, А) известна нам из задачи оценки параметров
известного сигнала на фоне небелого шума.
Остальные члены выражения (16) соответствуют смещению
оценки. Первый из них равен
т
&(А)&-± £ ]Hl + 2^r)=-TJbit:A)dt' (25)
/ = 1 т.
11
где Ip (t: А) — средний квадрат ошибки реализуемой фильтрации
в задаче, условия которой сформулированы в форме (19). Как и
в случае обнаружения, второй член выражения для 1в (А) можно
198

определить посредством определителя Фредгольма (см. (2.74)).
Таким образом, второй член смещения равен
— №m(t, A)Qr(t, и : А)т(и9 A)dtdu=
Tt
Tf
_ J_j m(t,A)g(t9A)dt. (26)
Tt
Заметим, что интеграл в выражении (26) есть не что иное, как
d2(A) в задаче обнаружения известного сигнала m(t,A) на фоне
небелого шума.
Итак, функция правдоподобия имеет вид
1пА(А) = НА) + lD(A) + 41](Л) + 42](Л), (27)
где соответствующие члены определяются выражениями (17), (22),
(25) и (26).
Теперь можно использовать In Л (Л) для получения оценок
amap (r (t)) или ami (r (^.Процедураотыскания оценок по своей идее
очень проста. Чтобы получить атЬ построим 1пЛ(Л) как функцию
параметра Л и найдем значение Л, при котором она максимальна.
Для отыскания атар вычислим функцию
f(A) Д 1пЛ(Л) + \пра(А) = lR(A) + lD(A) + lB(A) + \npa (Л) (28)
и найдем значение Л, при котором она максимальна.
Несмотря на то, что данная процедура четко определена, ее
фактическое осуществление затруднительно. Обычно бывает
необходим приемник со структурной схемой, аналогичной структуре
приемника в задаче дискретной ЧМ (см. п. 4.2.3, рис. 4.31 в первом
томе).
Для иллюстрации этого рассмотрим случай оценки параметра Л
по максимуму правдоподобия. Предположим, что его значения
заключены в пределах интервала [Ла, Лр]. Кроме того, допустим, что
среднее значение т (t, А) равно нулю. Разобьем область изменения
параметра на интервалы длиной Д. Средние точки этих интервалов
соответствуют значениям
Аг = Аа + Д/2, Л2 = Аа + ЗД/2 (29)
и т. д. Имеется М таких интервалов. Затем построим функцию
1пЛ(Лг), i = 1, ..., Му используя схему параллельной обработки,
показанную на рис. 6.1. Целесообразно сделать ряд замечаний.
1. В общем случае для определения фильтра в каждом тракте
обработки приходится решать другое интегральное уравнение.
Таким образом, задача оценки имеет такую же степень сложности,
№(А) =
199

как и многоальтернативная (М-ичная) задача обнаружения, — в
том смысле, что необходимо построить М параллельных трактов
обработки.
2. Члены смещения обычно зависят от параметра А и ими
нельзя пренебречь.
3. При анализе помехоустойчивости необходимо учитывать как
глобальную, так и локальную ошибку.
4. Необходимо учитывать влияние длины шага разбивки на
интервалы. При этом имеются условия компромиссного подхода при
определении допустимых точности и сложности системы обработки
Рис. 6.1. Формирование функции 1пЛ(Л).
Прежде чем закончить рассмотрение структуры алгоритма
оценки, сделаем короткое отступление и выведем два других выражения—
альтернативные формы записи для lR (А). Обратимся вначале к
выражению (17). Sfra форма записи соответствует канонической
реализации № 1 в рамках задачи обнаружения. Чтобы получить
каноническую реализацию № 3, введем в рассмотрение функцию
Л^1/2! (/, и : Л), определяемую неявно в виде
h(t,u\A)=\hVM(zJ:A)hVW(z,u:A)dz, Tt^t,u^Tf. (30)
Ti
Тогда
T1 YTf I2
(31)
0 Т, \Т;
dz.
Этот алгоритм можно реализовать по схеме фильтр — квадратор-
интегратор для любого заданного значения параметра А ♦
?00

Для получения канонической реализации № 4 достаточно
повторить процедуру, аналогичную описанной на с. 37 — 41. В
результате получим
(32)
где
sr (/: Л)= J /ir (/, и: i4) г (и) d«. (33)
Ti
Импульсная переходная функция фильтра hT (t, и: А) удовлетворяет
уравнению
-^АГ(/,«:Л) +
+ I hr(t, z: A) K8(z, и*- A)dz=Ks(t, и: A), Т,<и<Л (34)
h
В случае нулевого среднего значения'функция sr(t: А) является
реализуемой оценкой сигнала s (t: А) по минимуму среднеквадра-
тической ошибки в предположении, что А задано. Мы встретимся
с примерами этих реализаций в последующих параграфах. Многие
из вопросов, которые уже встречались в задаче обнаружения,
возникнут и в задаче оценки. «1
Прежде чем перейти ^рассмотрению некоторых конкретных
частных случаев, выведем уравнения максимального
правдоподобия и уравнения максимальной апостериорной вероятности.
6.2.2. Уравнения максимального правдоподобия и уравнения
максимальной апостериорной вероятности
Если максимум функции 1пЛ(Л) лежит внутри интервала %а
и она имеет непрерывную первую производную, то уравнения
максимального правдоподобия определяют необходимое условие
существования ат1.у
Уравнение максимального правдоподобия легко получить
дифференцированием функции правдоподобия (27) и приравниванием
результата нулю. Взяв частную производную от 1пЛ(Л) по Л,
имеем
д\пА(А) =dlR(A) dlD(A) dlB(A)
дА дА дА дА ( '
201

Чтобы определить Первый член, продифференцируем (17) по Л.
В результате получим
т4
dlR (А) _ 1 pfr WA dh(t, и: А)
дА ~~ N0
^r{t)m^ir{u)dtdu
= ~1\г®Щ^г(и)<и<1и. (36)
дА
Заметим, что для отыскания dh (t, и : А) /дА необходимо решить
уравнение (17) относительно А и затем продифференцировать его.
Для вычисления второго члена продифференцируем (21) и
используем (20), чтобы получить
т1
MD{A) 2 Г Г их dh(U и: А)
дА NL
т
т1
Jjr(0-^^m(,M)^^ +
+ \\r(f)Qr(ttu:A)dm{^A) dtdu. (37)
Аналогично из (25) и (26) имеем
Tf
^bW 1 ГС и л\ dh(t,u:A) , „ч ,, -
= II m(t,A) —^ }- m (и, A) dt du —
дА N0)) дА V '
Tf Т
- Д m </, A) Qr (t, и: A) *^> dt du -± j*'3^L dt. (38)
Последнее слагаемое в (38) имеет две другие формы записи:
dtdu=
J-У **{',Л* л—L f(V tt ,,.a\ dQr(t,u:A) ...
Tf
\\ дКг(*^-Л) Qr (/>u . A) dt du (39)
1_ ff dKr(t,u:A)
202

(см. задачу 6.2.1). Подставляя (36) — (39) в (35), получим
дА 2 JJ r ' дА ^
Tf Tf
+ JJ dmfAA) Qr(t,u:A)[r(u)-m(u,A)]dtdu—±-^lr(t)-
—m{t,A)] dQrV'u:A) \r(u)—m(u,A)]dtdu. (40)
дА
Если предположить, что производная в точке максимума функции
1пЛ(Л) существует и этот максимум по отношению к
рассматриваемому интервалу является внутренним, то необходимое условие,
которому должна удовлетворять оценка по максимуму
правдоподобия, получается приравниванием нулю правой части уравнения
(40). Для вывода уравнения максимальной апостериорной
вероятности прибавим к (40) (д\пра(А)/дА) и приравняем результат
нулю.
Уравнение правдоподобия, получаемое из (40), обычно бывает
трудно решить. Причина в том, что если рассматриваемый параметр
входит в выражение ковариационной функции сигнала линейным
образом, он может не входить линейно в выражение для обратного
ядра. Поэтому указанное необходимое условие не так существенно
в случае случайного сигнала, как при известном сигнале.
. 6.3. Анализ качества оценки
Анализ качества оценки аналогичен анализу качества оценки
в задачах нелинейной оценки в гл. 2 и 4 первого тома. Ошибки
подразделяются на локальные и глобальные. Дисперсию локальных
ошибок можно получить методом разложения в степенной ряд или
на основе обобщенной границы Крамера — Рао. Глобальное
поведение оценки можно исследовать путем развития анализа,
проведенного на с. 323 — 327 первого тома. В этом параграфе мы
выведем выражение для обобщенной границы Крамера — Рао и
обсудим методы ее вычисления.
6.3.1. Нижняя граница дисперсии
Предположим, что А является неслучайной величиной, которую
необходимо оценить. Желательно получить нижнюю границу
дисперсии любой несмещенной оценки параметра А.
203

Вывод, выполненный на с. 76 — 78 первого тома, можно легко
распространить и на этот случай. В результате установим, что для
любой несмещенной оценки Ъ (r(t)) неслучайной величины А
дисперсия удовлетворяет неравенству
o2[a(r(t)) — Л]> — \Е
д*\пА(А) -])-\
ал2
■])•
(41)
со знаком равенства, если и только если
l^L={a(r(t))-A}k(A).
(42)
Для вычисления границы продифференцируем (40). В результате
получим
In Л (Л) ^_ 1
дА* ~ 2
^Kr(t.u:A) diQ^;--A) dtdu +
-4-—ГГ "•"*'"•"' ^п».»."/ dtdu
2 JJ дА
_1_(Y dKr(t,u:A) dQr(t,u:A)
" дА
'i
4
dm(tf A)
дА
X
X Qr (/, и: А) дт{и: Л) dtdu — — Г f [r (t) —m (t, A)] x
X — [ \?' [r {u)—m(uyA)]dtdu + (члены, математические
дА*
ожидания которых равны нулю).
(43)
Когда возьмем математическое ожидание от (43), увидим, что первый
и последний члены взаимно уничтожаются. Итак, любая
несмещенная оценка величины А будет иметь дисперсию, yдoвлetвopяю-
щую границе
( т4
o2[a(r(t))-A]^\
Г J ^^_iH Qr (/, „ : Л) ^ij^l) rf/ ^//г _
i-i
1 Г Г дКг (*, и: A) dQr (/, и: А)
-тЯ
дА
дА
dtdu\
(44)
204

Для удобства записи при дальнейшем изложении обозначим первый
член в фигурных скобках через Уа> (Л), второй — через У(2> (Л),
а сумму — через J (Л):
у(1)(Л)А^-^^ (45)
\
J^{A)A_±(\dKr(t,U:A) dQr(t,U:A)
V /- 2 J J ЗА дЛ К '
Ti
Здесь целесообразно сделать несколько замечаний.
1. Члены, входящие в граничное выражение, зависят от Л.
Следовательно, как было показано ранее, дисперсия зависит от
фактического значения неслучайного параметра.
2. Установленная граница выведена в предположении, что
оценка является несмещенной. Если оценка смещена, необходимо
использовать другую границу (см. задачу 6.3.1).
3. Первый член граничного выражения известен нам из
контекста обнаружения известных сигналов в небелом шуме. В
частности, он точно равен d2 в задаче простого бинарного обнаружения,
когда передается величина dm (t,A)ldA и аддитивный небелый шум
имеет ковариационную функцию Kr {U и : А). Поэтому здесь
применимы методы, разработанные для вычисления d2.
Рассмотрим теперь эффективные процедуры для оценки JW (А).
6.3.2. Вычисление №(Ау)
Член У(2)(Л) появляется вследствие того, что ковариационная
функция процесса зависит от Л. Ранее этот член нам не встречался,
поэтому изложим две удобные процедуры для его оценки. При
первой его связывают с расстоянием Баттачария (см. рассуждения на
с. 92), а при второй — его выражают через собственные функции
и собственные значения.
Методы, изложенные в этом параграфе, применимы к
произвольным интервалам наблюдения и к процессам, которые не обязательно
стационарны. В § 7.1 будет рассмотрен случай стационарного
процесса при большом времени наблюдения и выведено простое
выражение для У<2) (Л).
Связь с расстоянием Баттачария. В этом подпараграфе мы
свяжем JW (А) с расстоянием Баттачария. Сначала будем оперировать
с rK (t) и вектором R, а затем в окончательном результате
положим К -> оо.
х) Этот подпараграф при первом чтении можно опустить.
205

Введем в рассмотрение функцию fx(l/2, Л1э Л), определяемую
как
|i(l/2,i4lf Л) Л In J pl{l(R\A1)pl[lyR\A)dR. (47)
' —00
Это известное нам значение \i (1/2) для общей бинарной задачи
обнаружения, в которой
Pr,//l(Rl//i)=Pr,a(R^1), (48)
РГ|Я.(К1^о) = РГ|а(К1^ (49)
Расстояние Баттачария равно
В(А1У A) = -ix (1/2, Аи А). (50)
С учетом (50) запишем (47) в виде
е-ШиЛ)=а Jpi/2(R|4)p;/2(RM)dR. (51)
— оо
Нас интересует случай, когда
ДЛ Д Аг — А (52)
мало и обе части (51) можно разложить в ряды. Разложение левой
части в ряд Тейлора по Аг в окрестности точки Аг = Л дает
e-B(Att A) = e-B(At А) Г дВ (Ль А) е-В(Аи А)1 д^ ^
[ дА1 \АХ = А
\1»В(АЪА) _(дВ(АъА)\Л^В{м.лЛ (Ai4).+ _ (53)
1\ дА\ \ dAi 1 ) \ах=а
На основании (47) легко установить, что
ЩАиА)\ =0 (54)
dAi М1=л
(см. задачу 6.3.2). Следовательно, (53) сводится к выражению
е-Д(Л,.Л)=1 , ( д*В(АъА) 1 \ (АЛ)* г55)
~Ч дА\ \а^а) 2 ~Г"** V
Для разложения правой части (51) используем ряд Тейлора для
первого сомножителя в подынтегральном выражении и затем
произведем почленное интегрирование. В результате получим
+т
— 09
(56)
206

Интеграл ё правой части (56) можно записать как
](?!^)\,.*М*-Ер*^\. (57)
— 00
Выражение в правой части (57) есть не что иное, как взятая с
отрицательным знаком функция J(A). Подставив (55) и (56) в (51) и
приравняв коэффициенты при (АЛ)2, получим
(Л) = 4 (
ЛА) =
& В (Ai. A)
ам.
(58)
At =А)
Заметим, что выражение (58) учитывает J^(A) и /<2>(Л). Для
вычисления У<2> (А) предположим, что рассматриваемый процесс
имеет нулевое среднее, и используем формулу (3.60) для \i(s):
TJ
-lP{t\]/ -^s(., А1) + уГ± s(., A), if^dt. (59)
Последнее слагаемое в фигурных скобках соответствует составному
процессу, аналогичному рассмотренному в гл. 3 (см. (3.63)).
Напомним, что s (/, А) и s (/, Лх) — статистически независимые
компоненты составного процесса. В результате двукратного
дифференцирования и подстановки в (58) получим для /<2) (А):
т.
1 а*
р/ь(ф(-,4).-£-)*
2 дА\ „ _
)А,=А
(60)
Следует отметить, что во многих случаях член У<2) (А) будет легче
вычислить, используя определитель Фредгольма (см., например,
п. 2.2.3).
Метод собственных значений. В этом подпараграфе выведем
выражение для У(2)(Л) через собственные значения и собственные
функции ковариационной функции /Сг(/, и : А). Из (20) очевидно,
что /(2>(Л) можно записать в виде
/«•> (A) = -L ?[ Writ, и: A) dh(t,U..A) d
' N0 JJ дА дА '
207

Это выражение требует отыскания h(ty и : Л) — импульсной
переходной функции оптимального нереализуемого фильтра для всех t
и и на интервале [Tit Tf]. Чтобы выразить JW(A) через
собственные значения и собственные функции, представим сначала
h(t, и : А) в виде ряда
Дифференцируя Kr(t, и: А) я h(t, и : А) и используя результаты
в (62), получаем
/<2>(Л) = — У /1^±Щ/ал_\2 , _2_ у /X?M)fttM)\
2 ^1{%i(A) + N0/2l Nlt^i\Ki(A)+N0l2)
_±ууЫ$Ш1аи(А), (63)
где
^^^,^(^ + ^0/2
r/
6|M)±J(*^Lfi)V (64)
T/.
hj(A)b§
d-®i«l*)0jit:A)dL (65>
дЛ
Выражение (63) в большинстве случаев не является полезным.
Однако в частном случае, когда собственные функции не зависят
от Л, его следует использовать. Распространенным примером этого
случая является ситуация, когда Л соответствует амплитуде
ковариационной функции. Тогда последние два слагаемых в (63) равны
нулю и
Вычисление У(2)(Л) по формуле (66) оказывается достаточно
простым во многих задачах.
Проиллюстрируем применение (66) простым примером.
Пример. Принимаемое колебание записывается в виде
r(t) = s (ttA) + w(t), 0 < t < Т. (67)
Сигнал моделируется выборочной функцией винеровского
процесса. Он является гауссовым процессом, у которого
E[s(tfA)] = 0, t^O, (68)
s(0,i4) = 0f (69)
Ks (t, и: А) = A min (/, и), 0 < t% и. (70)
208

Этот процесс был впервые введен в рассмотрение на с. 232 первого
тома. Аддитивный шум w(t) моделируется выборочной функцией
статистически независимого белого гауссова процесса, имеющего
спектральную плотность N0/2. Необходимо оценить неслучайный
параметр А.
В задаче 7.2.1 мы синтезируем оптимальный приемник для этого
случая. В данном примере мы просто произведем вычисление по
формуле (66). Согласно (I — 3.119) собственные значения равны
МЛ)=—— > 1=1,2,..., (71)
iy ' (* —1/2)«я» '
а собственные функции не зависят от А. Дифференцирование (71)
дает
dXj (A) __ Я
дА (/ — 1/2)а я2
С учетом (71) и (72) в (66) получим
(72)
оо
J(A) = J^(A)=--— У ( ? -V. (73)
Граница нормированной дисперсии любой несмещенной оценки
записывается в виде
о* [а-А]
А*
2 {(1 + №/2ЛГ2]а-1)2д2)2}-1
/=1
(74)
Указанную сумму можно выразить через гамма-функции, значения
которых табулированы (например, [4]). В гл. 7 будет показано, что
при больших значениях 2AT2/N0 оценка максимального
правдоподобия является практически несмещенной и ее дисперсия
приближается к этой границе. При малых значениях 2AT2/N0 важное
значение приобретает смещение оценки. Проблема смещения будет
подробно рассмотрена в § 7.1.
Последним интересующим нас вопросом является качество
оценки случайной величины. В следующем подпараграфе мы выведем
выражение для нижней границы наименьшей средней квадратичной
ошибки.
6.3.3. Нижняя граница среднего квадрата ошибки
Чтобы вывести выражение для нижней границы среднего
квадрата ошибки, необходимо выполнить процедуру, аналогичную выводу
выражения для верхней границы (см., например, с. 83 первого тома).
209

Поскольку этот ёывод несложен, оставим его в качестве упражнения
и запишем сразу окончательный результат:
E[{a{R)-af]^\[Ea[J"\A)\ + EAJ"\A)\-Ea [*!"а%М) ]}~'.
(75)
Выражения для /(1>(Л) и JW(A) представлены формулами (45)
и (46). Эта граница соблюдается при слабых условиях, аналогичных
рассмотренным на с. 83 первого тома. Сделаем два полезных
замечания.
1. Поскольку а является случайной величиной, вопроса о
смещении не возникает. Граница относится к среднему квадрату
ошибки, а не к дисперсии.
2. Каждое слагаемое правой части (75) представляет собой
математическое ожидание, взятое по ра(А). Следовательно, граница не
является функцией фактического значения параметра Л. Часто
выполнить указанное интегрирование по А бывает
затруднительно.
В большинстве примеров, рассматриваемых по ходу изложения,
фигурируют неслучайные величины. Нетрудно перейти от любого
конкретного примера к случаю случайной величины.
6.3.4. Уточненные границы
При рассмотрении точности оценок наше внимание было
сосредоточено на обобщениях границ Крамера—Рао. Можно показать,
что во многих задачах, когда процессы являются стационарными,
дисперсия оценки максимального правдоподобия стремится к
границе при увеличении интервала наблюдения (см., например, [5]). С
другой стороны, как было показано ранее, существуют задачи, в
которых граница не дает представления о действительной точности
оценки.
Одна из процедур получения более точной оценки
подсказывается структурной схемой, изображенной на рис. 6.1. Мы
рассматриваем данную задачу как многоальтернативную (Af-ичную) задачу
обнаружения, находим вероятность ошибки и преобразуем ее в
ошибку глобальной оценки. Этот метод был введен в рассмотрение в связи
с задачей оценки параметров детерминированного сигнала Вудвор-
дом [6] и Котельниковым [7]. Впоследствии он был
модифицирован и развит в работах [8—13]. Мы его обсудили на с. 321—327
первого тома. Развитие этого метода применительно к случаю
случайного параметра сигнала по своей идее довольно просто, но обычно
трудно выполнимо. В задаче 7.1.23 эта процедура иллюстрируется
на конкретном примере оценки.
Вторая процедура для оценки точности основана на
использовании границы Баранкина [141. Этот метод применялся к решению
210

задачи оценки детерминированного параметра сигнала [15— 171.
Некоторый прогресс достигнут в решении задачи оценки случайного
сигнала Баггерером [18]. И в этом случае основные идеи решения
несложны, но фактические вычисления затруднительны.
В гл. 7 рассмотрены некоторые конкретные задачи оценки.
Здесь мы вновь обращаемся к вопросу точности оценки и
рассматриваем его более подробно. Теперь же мы можем подвести итоги гл. 6.
6.4. Краткие итоги главы
В этой главе были изложены основные результаты, необходимые
для изучения задачи оценки параметров. Формальный вывод
выражения для функции правдоподобия явился прямым развитием
ранее полученных результатов теории обнаружения. Общее
выражение для функции правдоподобия имеет вид
1пЛ(Л)=— Wr(t)h(UuiA)r(u)dtdu+ Г r(t)g(t, A)dt —
Tf Tf
-J- j b(t: A)dt-^ m(t, A)g(t, A)dt9 (76)
где различные члены определяются соотношениями (18), (23) и (25).
Чтобы найти amh строят график функции 1пЛ(Л) и находят точку,
в которой она имеет максимальное значение.
Затем были рассмотрены вопросы, связанные с определением
точности оценок. Нижняя граница дисперсии любой несмещенной
оценки определяется выражением (44).
На этом этапе изложения были получены общие результаты.
Следующий и более важный этап — показать, как можно их
использовать на практике для фактического решения конкретной задачи
оценки. Этот вопрос подробно рассматривается в гл. 7.
6.5. Задачи
Раздел задач к гл. 6 ограничен ввиду ее вводного характера. Ряд
интересных задач оценки содержится в § 7.7.
Задачи к § 6.2. Структура алгоритма оценки
Задача 6.2.1. Проверить формулу (39). (Улшаяие. Использовать
исходное определение обратного ядра Qr(t, и: А) и разложения по
собственным функциям различных слагаемых.)
211

Задача 6.2.2. Рассмотрим векторный вариант модели задачи,
описываемой соотношением (2). Принимаемое колебание
записывается в виде
r(0 = sM) + w (/), Tt<t<Tf.
Сигнальный процесс s(t,A) является векторным условно
гауссовым процессом с условным средним значением ш(/,Л) и матрицей
условных ковариационных функций Кг (t,u : Л). Аддитивный
белый гауссов шум имеет спектральную матрицу (N0/2) I.
1. Вывести выражение для 1пЛ(Л).
2. Вывести выражение для /# (А) через канонические реализации
№№1,3,4h4S.
3. Вывести векторный вариант граничного выражения (44).
Задача 6.2.3. В § 6.1 было показано, что если имеется
компонента небелого шума, то ее можно включить в сигнальный процесс
s (t, А). В этой задаче укажем небелый шум в явном виде
r(t) = ss(t,A) + nc(t) + w(t)t Tt < t < Tf.
Рассматриваемые процессы являются гауссовыми процессами,
имеющими нулевые средние значения и ковариационные функции
Kss(t, и), Kc(U и) и (N0/2) 8 (t — и) соответственно.
1. Модифицировать соотношения (16), (17) и (25) так, чтобы явно
учесть эффект небелого шума.
2. Можно ли упростить любое из этих выражений в связи с
явным включением компоненты белого шума?
Задача 6.2.4. Модель, рассмотренная в задаче 6.2.3,
аналогична задаче обнаружения класса Bw. Воспользуемся моделью
r(f) = s(t,A) + nc(t), Tt < t < Tf9
где nc(t) не содержит белой компоненты.
1. Вывести выражение для 1пЛ(Л).
2. Вывести выражение для нижней границы дисперсии любой
несмещенной оценки, аналогичное формуле (44). (Указание.
Ознакомиться с содержанием § 3.5.)
Задача 6.2.5. Предположим, что
r(t) = s (t,A) + w (/), Tt < t < Tu
с вероятностью р и что
r(t) = w(t), Tt < / < Ти
с вероятностью (1 — р).
1. Вывести выражение для 1пЛ(Л).
2. Проверить полученный результат для вырожденных случаев,
когда р = 0 и*р = 1,
212

Задачи к § 6.3. Анализ качества оценки
Задача 6.3.1. Предположим, что
Е[(£-А)]=В(А). (1*)
Вывести выражение для нижней границы дисперсии любой оценки,
удовлетворяющей соотношению (1*).
Задача 6.3.2. Использовать определения расстояния Баттача-
рия В (Аъ Л), даваемые выражениями (47) и (50), чтобы убедиться,
что соотношение (54) справедливо.
, Задача 6.3.3. Сделать подробный вывод выражения (75).
Список литературы
1. Jenkins G. М., Watts D. G. Spectral Analysis and Its Applications.
Holden-Day. San Francisco, 1968.
2. Blackman R. В., Tukey J. W. The Measurement of Power Spectra from
the Point of View of Communications Engineering. Dover Press, New
York, 1958.
3. Bendat J. S., Piersol A. G. Measurement and Analysis of Random Data.
Wiley, New York, 1966.
4. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions.
Dover Press, New York, 1965.
5. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы. Пер.
с англ. под ред. А. М. Яглома. М., ИЛ, 1961.
6. В уд в орд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с
применениями в радиолокации. Пер. с англ. под ред. Г. С. Горелика. М.,
«Сов. радио», 1955.
7. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.,
Госэнергоиздат, 1956.
8. Darlington S. Demodulation of Wideband, Low Power FM Signals.
Bell Syst. Tech. J., 1964, v.43, № 1, Pt. 2, p.339—374.
9. Akima H. Theoretical Studies on Signal-to-Noise Characteristics of an
FM System. Trans. IEEE, 1963, v. SET-9, p. 101 —108.
10. Возенкрафт Дж., Джекобе И. Теоретические основы техники связи.
Пер. с англ. Под ред. Р. Л. Добрушина. М., «Мир», 1969.
11. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне
случайных помех. М., «Сов. радио», 1960.
12. Ziv J., Zakai M. Some Lower Bounds on Signal Parameter Estimation.
Trans. IEEE, 1969, v.IT-15, № 3, May, p. 386—391.
13. Zakai M., Ziv J. On the Threshold Effect in Radar Range Estimation.
Trans. IEEE, 1969, v.IT-15, № 1, Jan., p.167—170.
14. Barankin E. W. Locally Best Unbiased Estimates. Ann. Math.
Statist., 1949, v.20, p. 477—501.
15. Swerling P. Parameter Estimation for Waveforms in Additive
Gaussian Noise. J. SIAM, 1959, v.7, p.154—166.
16. Swerling P. Parameter Estimation Accuracy Formulas. Trans. IEEE,
1964, v. IT—10, Oct., p.302—313.
17. McAulay R. J., Seidman L. P. A Useful Form of the Barankin
Lower Bound and Its Application to PPM Threshold Analysis. Trans. IEEE,
1969, v.IT—15, № 2, March, p. 273—279.
18. Baggeroer A. B. Barankin Bound on the Variance of Estimates of the
Parameters of a Gaussian Random Process. Massachusetts Institute of
Technology, RLE Quart. Prog. Report № 92, Jan. 15, 1969, p.324—333.
213

7. ЧАСТНЫЕ КАТЕГОРИИ ЗАДАЧ ОЦЕНКИ
Как и в области обнаружения, в области оценок существует
несколько категорий (частных случаев) процессов, для которых
можно получить достаточно полное решение уравнения оценки.
В этой главе мы рассмотрим четыре частных случая:
1. Стационарные процессы при большом времени наблюдения
(§ 7.1).
2. Процессы с конечным представлением в переменных
состояния (§ 7.2).
3. Процессы с разложимыми ядрами (§ 7.3).
4. Когерентность сигналов малой энергии (§ 7.4).
Где возможно, используется сходство с задачей обнаружения, а
также результаты гл. 4. Для простоты алгебраических выкладок
на протяжении всей главы предполагается, что m(t,A) = 0.
В § 7.5 рассмотрены некоторые родственные вопросы. В § 7.6
подведены итоги рассмотрения теории оценок.
7.1. Стационарные процессы при большом времени
наблюдения
Интересующая нас модель аналитически представляется в виде
r(t) = s(ttA) + w(t), Tt < t < Tf. (1)
Предполагается, что s (/, A) — выборочная функция стационарного
нормального случайного процесса с нулевым средним и
ковариационной функцией
Ka(t9u:A)bKa(t — u:A). (2)
Аддитивный шум w(t) описывается выборочной функцией
независимого белого гауссова процесса с нулевым средним и
спектральной плотностью N0/2. Таким образом,
Kr(t9u : А) = Ks(t — u:A) + (N0/2)8(t - и). (3)
Энергетический спектр колебания r(t) можно записать в виде
5г(со : А) = Ss (со : А) + NJ2. (4)
214

Кроме того, предполагается, что интервал EpeMetm
TATf—Tt (5)
достаточно велик и можно пренебречь переходными явлениями на
концах этого интервала. (Напомним изложенное на с. 122 — 125.)
В этом параграфе рассмотрим те упрощения, которые удается
сделать в случае, когда справедливо условие СПБВН. В п. 7.1.1
изложены некоторые общие результаты и введена в рассмотрение
задача оценки амплитуды. В п. 7.1.2 исследована точность так
называемых усеченных оценок (определение этого термина.дано там
же). В п. 7.1.3 рассмотрены субоптимальные приемники. Наконец,
в п. 7.1.4 подведены итоги § 7.1.
7.1.1. Общие соотношения
Желательно найти простые выражения для lR (Л), 1в (Л),
уравнения оценок по максимуму апостериорной вероятности и по
максимуму правдоподобия и нижнюю границу дисперсии ошибки.
Используя (6.17), (6.18), (4) и такую же процедуру, как на с. 123—124,
получим
lR(A)=—[[r(t)h(t~u:A)r(u)dtdu, (6)
Tt
где h (т : А) — импульсная переходная функция фильтра с
постоянными во времени параметрами, передаточная функция которого
равна
Н(/со : А) = Ss{(0lA)—. (7)
Vy ' 5Лсо:Л) + ЛУ2 w
Фильтр, описываемый соотношением (7), является нереализуемым
и соответствует канонической реализации № 1 в рамках теории
обнаружения. Простую реализацию можно получить путем
разложения передаточной функции Н (/со : А) на множители:
Н{гоа (/о : А) Д [ S°{("A) 1+. (8)
Тогда
h (а)=~; j j V> (*-г •A)r (*) dz
Tt LT. J
2
dt. (9)
Но это соответствует реализации по структурной схеме фильтр—
квадратор — интегратор, которая аналогична канонической
реализации № 3. Заметим, что hfroo (т : А) — импульсная переходная
функция реализуемого фильтра.
215

Выражение для члена, соответствующего смещению оценки,
легко получается из асимптотической формулы для среднеквадра-
тической ошибки. Используя (4.16) и (6.25), получим
'■"'--■-Н'» 0+*£*)-£■
(10)
В соответствии с (6.27) построим функцию правдоподобия
I (A) = lR(A) + 1В(А)
(П)
и выберем значение параметра Л, при котором она имеет максимум.
Общая структура приемника для получения оценки с учетом (9)
и (10) показана на рис. 7.1.
fc3^v\^V^
их»*?*)*
Рис. 7.1. Формирование достаточной статистики 1(A) в случае стационарного
процесса при большом времени наблюдения.
Уравнение максимального правдоподобия получается путем
подстановки (6) и (10) в (И), дифференцирования и приравнивания
результата нулю при А = а0. Обычно мы обозначаем решение
уравнения максимального правдоподобия через атг. Однако уравнение
максимального правдоподобия обеспечивает лишь необходимое
условие и нужно еще проверить, является ли этот максимум
внутренним для интервала Ха и что а0 — абсолютный максимум. В ряде
примеров, которые будут рассмотрены ниже, максимум может быть
в конечной точке интервала %а. Поэтому необходимо быть
внимательным при проверке условий. При этом решение А = а0 следует
рассматривать как одно из возможных значений ать
216

Выполнив указанные действия, получим
2 dSs((OiA)
N0 дА
где
2SS (со; А) I 2я
dco
tfo
+
iH-«
dh(t-u:A)
дА
г (и) dt du
= 0,
J-^a,
а*(т1Л) _^ 7 г (jv,/2) [as5 (со. Л)/ал) i с/от <fo
ал J [ (Se(»ti4)+iV0/2)» J 2я '
(12)
(13)
Чтобы найти границу Крамера — Рао, обратимся к
асимптотическому варианту формулы (6.61):
К ' N0 JJ дА дА
т,
= 2Т С/х х \ dKAttA) dh(x-.A) dx (Ы)
N0 J { T ) дА дА ' '
о
При больших значениях Т выражение (14) можно записать в
частотной области в форме
''"«-£ I
dSr (со : А) дН (/со; A) dm
дА
дА 2я
(15)
С учетом (13) окончательно получим
2 J [ss(a>:A)+No/2\ 2я
Т_
2
Г |^-1п/1+25-(<0!ЛМГ^, (16)
J [дА \ N0 }\ 2я 7
Согласно (6.44) имеем
EUa-An^V^iA)]-1
для любой несмещенной оценки;
(17)
317

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим ряд
задач по оценке амплитуды. Эти примеры важны тем, что они
иллюстрируют трудности, которые возникают при решении конкретной
задачи, и пути их преодоления.
Пример 1. Сначала рассмотрим задачу оценки амплитуды
спектра стационарного случайного процесса, наблюдаемого на фоне
аддитивного белого шума. Спектр сигнала можно записать в виде
S8 (со : Л) = AS (со), (18)
где S (со) считается известной спектральной плотностью. Значения
параметра Л, являющегося неслучайным, изменяются в пределах
[Аа9 Лр]. В результате подстановки (18) в (7) получим
Н (/со : А) = —^^—. (19)
Согласно формуле (8) имеем
Hfroo (/со : А)=УА Г $М 1+, (20)
а в соответствии с формулой (10)
— со
Образуем функцию правдоподобия
Tf
1Щ—J- Wr{t)h(t — u:A)r(u)dtdu + lB(A) (22)
и найдем значение параметра Л, при котором она имеет максимум.
Структурная схема приемника, реализующего этот алгоритм
обработки, показана на рис. 7.2.
Чтобы получить уравнение максимального правдоподобия,
произведем подстановку (18) в (12):
1 ГК,УЧ dh(t-U:A) „,„w^,.
= 0, (23)
2 J l-\-{ZAS{(D))/IV0 2Я |
где
ал {iv0/z-\-as {a))*
218
N*
T
2
"JJ
Ji
— oo
'w ал
2S (со) /N0
[ + {2AS(v))IN0
dH(j(x>:A) __ /Vo
1 W (
dco
2я
м=
S(Q))/2
= fl0

В общем случае получить решение уравнения (23) в явном виде
невозможно и поэтому приходится реализовывать приемник по-
прежнему в виде ряда параллельных трактов обработки. Если
получаемая оценка является несмещенной, то ее относительная
дисперсия имеет нижнюю границу
"$-* >{-!■ f ( У® У*4"\ (25)
Исследуем теперь результаты из примера 1 подробнее для
различных частных случаев.
Рис. 7.2. Формирование функции правдоподобия In Л (А) —каноническая
реализация № 3.
Пример 2. Предположим, что спектр S(co) идеально ограничен
по полосе:
S(co) = 0, \co\>2nW. (26)
Передаточную функцию HtfToo (/со) всегда можно аппроксимировать
со сколь угодно высокой точностью приближения и использовать
приемник, структурная схема которого представлена на рис. 7.2.
Однако существуют два предельных случая, для которых возможны
более простые его реализации.
Первый предельный случай соответствует условию, когда
спектральная плотность сигнала много больше, чем NJ2. Этот случай
иногда называют случаем высокого отношения сигнал/шум на
входе:
AS (со) > 2/N0, | со |< 2n\V. (27)
Чтобы использовать записанное условие, разложим
соответствующие члены (24) и (23) в степенные ряды по (NQ/2AS((o)):
N0S(*)/2 = N0 r / NQ \ л (28
219

Т С 2 S (со)/ iV0 da _ T_ f[|_Jo_, \ du\ =
2S((0)/M0 da
+ [2AS((o)iN0] 2л
_ WT , TN0
2n\V
т с л yv0
2Л J Г 2Л5 (со)
-2я№
2nW
J М(м) 2я
- 2л\17
2л
(29)
С учетом (28) и (29) из (22), пренебрегая степенями 1/5(со) выше
первой, получим
1
о 2WT
г г,
\ \г (t) ha (t — u)r (и) dtdu
где
Яа(/©) =
l/S(co), |со|<2л№,
О при других со
2nW
TN0 Г 1 flfco
2 J S((o) 2л
-2jtW
• »
(30)
2nW,
(31)
Теперь стало очевидным, почему мы обозначили оценку в
выражении (30) через а0$ а не ami. Для этого достаточно взглянуть на
правую часть соотношения (30). Здесь первый член является
случайной величиной, значение которой всегда неотрицательно.
Второй член — отрицательное смещение. Следовательно, оценка а0
может принимать отрицательные значения. Так как параметр А
является спектральной амплитудой, он должен быть
неотрицательным. Это означает, что нижний предел интервала изменения
параметра Л, который мы обозначили через Ла, должен быть
неотрицательным. Для простоты алгебраических выкладок предположим,
что Аа = 0. Итак, когда значение а0 отрицательно, берем нуль за
максимально правдоподобную оценку
f a0i если а0 > 0,
<W== ° *^ (32)
{ 0, если я0<0.
Заметим, что этот результат согласуется с нашим первоначальным
рассмотрением уравнения максимального правдоподобия на с. 75
первого тома. Следует еще раз подчеркнуть, что уравнение
максимального правдоподобия обеспечивает необходимое условие того,
чтобы ami была оценкой по максимуму правдоподобия только
тогда, когда максимум функции правдоподобия является внутренним
по отношению к интервалу изменения параметра А. Позднее будет
показано, что в большинстве представляющих интерес случаев
вероятность того, что а0 будет отрицательной, мала. В следующем
параграфе мы рассмотрим этот вопрос с количественной стороны.
220

. A ,
Нетрудно удостовериться, что а0 является несмещенной
оценкой:
Е[а0] =
2WT
\Е
г (t) ha(t — u) г (и) dtdu
Т;
TN,
2л\Г \ / ?л№
Г -L^L-Lr f na(j<*)Sr(<*)-
.1 S (со) 2jx 2WT J У ' r ' 2
-2я11" J l ~2я№
2л
Wo
- 2л11'
2я№
ям/ \
Г _J d(o I 1
J S(a>) 2jx | 2WT
2я№ J
7W0
2WT
2я№
2я№
I
AS{(o) + lN0/2] day
-2nW
S (со)
2л
J
1 db>
— 2nW
S (со) 2л
= Л.
(33)
С учетом (32) нетрудно заметить, что в соответствии с (33) оценка аш
должна быть смещенной. Это значит, что мы не можем использовать
границу Крамера—Рао в (17). Более того, поскольку трудно найти
смещение как функцию параметра Л, мы не можем модифицировать
границу каким-либо очевидным образом, например, мы не можем
использовать результаты задачи 6.3.1. Так как этот вопрос возникает
во многих задачах, целесообразно изложить метод его анализа.
7.1.2. Точность усеченных оценок
Оценка ат г является смещенной из-за того, что мы произвели ат1
усечение а0 на нуле. Исследуем влияние этого усечения для
приемника, структурная схема которого показана на рис. 7.3. Этот
приемник является обобщением приемника из примера 2. Используем
обозначение
a0=G{l-B},
где
U
\r(t)ha (t—u) r (и) dtdu
(34)
(35)
или в эквивалентной форме —
/ = J | $/£/*](* —z) r (z)dz dt,
T,
(36)
где hld/2] (t — z) — функциональный корень квадратный из ha (t —
— и). Постоянные G и В — коэффициент усиления и смещение
соответственно.
221

В примере 2 мы имели
1/2 WT,
(37)
fl=-
7W„
2яМ/ j
-2лИ"
rf(0
2л
(38)
При первоначальном рассмотрении оставим G и £ в качестве
параметров. Позднее мы рассмотрим конкретные значения (37) и (38).
Заметим, что оценка а0 будет удовлетворять (30) только тогда,
когда используются значения (37) и (38). Будем считать, что G и В
r(t)
№(Т)
уШ
Квадратор
ш^лп
*0
Нулебой
порог
Рис. 7.3. Реализация приемника для формирования оценки я* по схеме
фильтр — квадратор — интегратор.
Заметим, что
регулируются так, чтобы а0была несмещенной оценкой параметра А.
Обозначим усеченную оценку на выходе приемника через а*. В
примере 2 величины а* и ami равны, но при произвольной йа(т) они будут
различны. Отметим, что дисперсию оценки а0 можно вычислить
точно (см. задачу 7.1.1) для любой Ла (т).
Типичная плотность вероятности для / показана на рис. 7.4.
А является неслучайным параметром и рцаЩА) —
наше обычное обозначение. Область
L, где а0 будет усечена,
заштрихована. Если вероятность того, что
значение / будет лежать в
заштрихованной области, мала, то
оценка а* будет иметь малое смещение.
Следует иметь в виду, что если
вероятность того, что значение /
лежит в заштрихованной области,
велика, то среднеквадратическая
ошибка оценки будет настолько
большой, что данную процедуру
оценки нельзя будет признать удовлетворительной. Перейдем теперь
к количественным характеристикам оценки и вычислим следующие
три величины.
1. Верхнюю границу вероятности Р [I < В].
2. Верхнюю границу смещения оценки а*.
3. Нижнюю границу среднего квадрата ошибки Е [(а* — А)2].
222
Рис. 7.4. Типичная плотность
вероятности для достаточной
статистики /.

Общие выражения, которые будут выведены, справедливы для
произвольного приемника в форме, представленной на рис. 7.4,
при условии, что
Е1П>В. (39)
Общие формулы для граничных выражений и конкретные
результаты, полученные ниже, имеют большое значение.
Верхняя граница РИ< В]. Обратимся к рис. 7.4. Видим, что
интересующая нас задача аналогична вычислению вероятности Рм
для субоптимального приемника, которая была рассмотрена в
п. БАЗ1*. Использовав асимптотическую форму определителя
Фредгольма в (5.55), имеем
00
ц(я,Л) = —- f \n(l—2sSy{(o:A)) — , s<0. (40)
Колебание y(t) — это колебание на входе квадратора, Sy((a) —
его энергетический спектр. Граница Чернова имеет вид
Pll<B]^exp{\i(slt A)—SlB], (41)
где Sx выбирается так, чтобы
Aii(s,A)\s=Sl=B. (42)
(Напомним результат (1—2.461) и заметим изменение знака у
параметра s.) Поскольку
В < Е [/], (43)
уравнение (42) будет иметь единственное решение. Отметим, что
этот результат справедлив для любого приемника со структурой
фильтр — квадратор — интегратор, если на смещение наложено
условие (43) (т.е. можно использовать различные лУ/2](т)). Для
иллюстрации вычисления верхней границы рассмотрим частный
случай примера 2.
Пример 2 (продолжение). Рассмотрим приемник из примера 2.
Первоначально (см. (26)) предполагалось, что спектр сигнала
S(co) идеально ограничен по полосе и имеет ширину W [Гц].
Теперь рассмотрим частный случай, когда спектральная плотность
постоянна в пределах этой частотной полосы. Таким образом,
V2W, |<d|<2jiW\ (44)
О, при прочих со.
х) Предполагается, что читатель обратится к п. 5.1.2 и задаче 5.1.13
перед чтением этого материала.
223
d\i(s,A)
ds
S(©) =

Тогда
S„((o:A)--
I [ 2Г T 2 J L
0,
N0W
|(0 |<2nW,
В = (2 WT) (N0W).
С учетом (45) из (40) получим
ц (s, A) = - WT In [1 - 2 sA (1 + ЛГ<ДО)].
при прочих о),
(45)
(46)
(47)
Чтобы найти sb продифференцируем (47) и приравняем результат
смещению В. В результате получим:
s, = - [2 (1 +
+ ЛГ0Г/Л) AW-1. (48)
Подстановка (48) в (47)
и (41) дает:
Р[КВ]^
А \—wr
< П
Wo И?
-]• (49)
/^/^
Рис. 7.5. Граница вероятности того,
оценка й0 будет отрицательной.
X ехр -
L 1+NoW/A
Видим, что граница
зависит от AIN0W —
отношения сигнал/шум в полосе
сообщения и от
WT—половины произведения
длительности сигнала на
ширину его спектра. На
рис. 7.5 граница (49)
представлена графически как
функция произведения WT
при различных значениях
A/N0W. В большинстве
случаев вероятность того,
что оценка а0 будет
отрицательной, пренебрежимо
мала. Например, если
A/N0W = 10, (50)
WT = 5, (51)
то эта вероятность меньше
чем 10"8.

Выше мы использовали границу Чернова. При необходимости
можно получить лучшее приближение к искомой вероятности, если
использовать приближенную формулу
Р\1<В]~ 1 expHifaMl-SiBl (52)
У2nsfji(slf Л)
(см. задачу 5.1.13). В большинстве случаев в этом дополнительном
уточнении нет необходимости. Определим теперь границу смещения
оценки а*.
Верхняя граница смещения оценки а%. Границу смещения
оценки а# можно вычислить методом, аналогичным используемым при
выводе (41). Напомним, что а0 — несмещенная оценка параметра А
и ее можно записать в виде
a0 = Gl—GB. (53)
Таким образом,
E[aQ] = JG(L - В) Pha{L\A)dL = A. (54)
оо
Разбив область интегрирования на два интервала, имеем
В оо
^G(L-B)plla(L\A)dL+^G(L-B)pna(L\A)dL=A. (55)
о в
Второй интеграл равен Ela*]. Итак, смещение оценки а* равно
в
® (а*) А£ [а*] — А = — J G (L—B) plla(L\A) dL. (56)
о
Далее необходимо определить границу правой части (56). Найдем
два граничных выражения. Первое получается довольно просто
и адекватно для большинства случаев. Второе требует несколько
больше вычислений, но дает более точный результат.
Граница 1. Имеет вид
в в
®(a*)^-^G(L-B)plla(L\A)dL^BG fpi{a(L\A)dL =
о о
=BGP [/<£]< BG ехр [|ы (slf A)—s1 В], (57)
где sx удовлетворяет уравнению (42). Выражение (57) можно
нормировать:
«^} < Ж ехр [^, A)-sx В]. (58)
8 Зак. 1494 225

Для сигнала со спектром вида (44) выражение (58) сводится к
формуле
А ^\ А )[ ^ N0W ) . Ll+WoU?]
После вывода второго граничного выражения результат (59) будет
представлен графически. Заметим, что (59) можно представить
графически непосредственно по рис. 7.5 путем умножения каждого
значения на N0W/A.
Граница 2 [2]. Можно получить более точную границу, если
модифицировать плотность вероятности. Введем в рассмотрение
плотность вероятности pi (L), определяемую как
Pis(L) = exp[sL—\i (s, A)]pna(L\ A), s<0. (60)
Напомним выражение (I — 2.450).) С учетом (60) из (57) получим
в
*В (a*) = G§ (В— L) exp [\x (s, A)—sL] pi$ (L) dL^
о
в
==G exp [ji (s, A)—sB] f (B—L) exp [s (B — L)] pis (L) dL <
о
< G exp [|i (s, A)—sB] f max l(B—L) exp [s (B—L)]]\ X
xfp/s(L)dL, s<0. (61)
b
Ограничим теперь интеграл сверху единицей и положим в
фигурных скобках
Z = B — L. (62)
Тогда из (61) получим
»(flJ<Gexp[|i(sM)-sfi]{0^[Ze^j}t s<Q. (63)
Выражение в фигурных скобках максимизируется при
Z = Zm A min [fi, — J/s], s < 0. (64)
С учетом условия (64) из (63) получим
« (а*) < GZm exp [ц (s, Л) — s (Б — Zm)], s < 0. (65)
Теперь минимизируем эту границу как функцию переменной 5.
Минимум определяется условием
(fi(sM)-l/s)|s=s? = S, —1/B<s?<0. (66)
т

Можно показать, что уравнение (66) имеет решение в разрешенной
области (см. задачу 7.1.2). Итак,
#(<*•)
<
As2
exp{fi(s2, A)—s?B— l}.
(67)
Для сигнала со спектром (44) /
имеем
As2=—(Сг12С^ х
X [1 +VI +4СХ/Саь (68) rf
где
Ci A(4 WTN0W/A)(l + NQW/A)
(69а) w~z
\
С2 Д 2 (1 + WT) (1 + #<ДО) - ^
- 2 WTN0W/A (69 б) Q /^
I
10
10
~5\
(см. задачу 7.1.3). На рис. 7.6
границы, определяемые
выражениями (59) и (67), представлены
графически для случая, когда
WT = 5. Ведно, что в этом
случае вторая граница примерно на
порядок величины точнее первой
и смещение пренебрежимо мало.
Аналогичные результаты можно
получить для других значений
произведения WT, По графикам
рис 7.5 нетрудно заметить, что
смещение пренебрежимо мало в
большинстве интересующих нас
случаев. Точно так же, как на
с. 225, можно получить более
точное приближение к искомому
смещению, если использовать
формулу, аналогичную (52) (см. задачу 7.1.4). Далее нам
необходимо вычислить границу среднего квадрата ошибки.
Граница среднего квадрата ошибки. Средний квадрат ошибки
при использовании оценки а* равен
N0W
Рис. 7.6. Сравнение границ
нормированного смещения (WT=5).
U А Е [К- Л)2] = Е [(а, -а0 +а0- Л)»] =
=£[& -а0)2] + 2Е[(а*-а0)(а0-А)] + Е[(а0-АП (70)
227

Заметим, что
a*-=aQ при а0^0, (71)
а*=0 при а0<0. (72)
Таким образом, (70) можно записать как
в в
U= J (So(L))2 рПа (L | A) dL + 2 $ а{) (L) [A~ a0 (L)] рЦа (L\A) dL +
о о
в
+ 1~Ъ=\№ЛЦА- {a(L))2]Plla(L\A)dL + ga#. (73)
О
Вспомнив, что
a0(L) = G(L-B)9 (74)
имеем
Ь,= - Ш2АО(В-Ц +G*(B-L)*]pua(L\A)dL +gSo. (75)
Выражение в фигурных скобках всегда положительно.
Следовательно,
Бз.-Д6<Ь<65., (76)
где
А?Л |[2ЛО(В-1)+С2(В-1)2]р/|аа|Л)^, (77)
Для определения границы ошибки Д£ теперь можно поступить так
же, как в рассуждениях на с. 225—227. Простая граница имеет вид
Д£ < 12AGB + G2B2]P(l < В). (78)
Более точную границу можно найти таким же методом, каким была
получена граница (67) (см. задачу 7.1.5). Во многих случаях
адекватной бывает простая граница вида (78). Например, при численных
значениях, приведенных в (50) и (51),
Д£Л42< 1,25- Ю-4. (79)
Заметим, что необходимо также найти %-. Как было отмечено на
с. 222, ошибку %£ всегда можно определить точно (см. задачу 7.1.1).
Мы изложили методы определения смещения и среднего квадрата
ошибки усеченной оценки. Изложение было достаточно подробным
ввиду важности как результатов, так и используемых методов.
228

В большей части последующего изложения влиянием усечения будем
пренебрегать и считать, что точности оценок а* и а0 фактически
одинаковы. Результаты этого параграфа позволяют нам проверить
это допущение в любой конкретной задаче. Вернемся повторно к
примеру 2 и закончим его рассмотрение.
Пример 2 (окончание). Если предположить, что смещением
можно пренебречь, то точность оценки атХ можно считать приближенно
равной точности оценки а0. Граница Крамера—Рао дисперсии
оценки а0 определяется соотношением (18). Когда отношение
2AS(co)/N0 велико, эта граница не зависит от спектра и
*Г*о-А\.>_2_и (80)
Л2 ^ 2WT
Можно показать, что фактическая дисперсия стремится к указанной
границе при N0/2AS((o) -> 0. В связи с этим полезно сделать
следующие два замечания.
1. В случае малого уровня шума относительная дисперсия не
зависит от плотности и формы спектра. Эта задача аналогична
классической задаче оценки, рассмотренной в гл. 2 первого тома, где
производится оценка дисперсии нормальной случайной величины х.
Там показано, что относительная дисперсия оценки не зависит от
фактической дисперсии о?х.
2. Напомним (см. гл. 3 первого тома), что если стационарный
процесс имеет ограниченный спектр шириной W[Tu] и наблюдается
на интервале длительностью Г, то имеется N = 2WT значащих
собственных значений. Поэтому соотношение (80) можно записать
в форме
о*Га0-А] Д
Л2 ^ N ' V ;
что совпадает с соответствующими результатами классической
теории оценок.
Пример 2 использовался нами для подробного изучения точности
смещенной оценки максимального правдоподобия. Для такого
подробного изучения имелось две причины.
1. Мы часто встречаемся со смещенными оценками при
оценивании параметров случайных процессов. Необходимо уметь
количественно оценивать влияние этого смещения. Ситуация
облегчается тем, что во многих задачах этим влиянием можно пренебречь.
Установленные выше границы позволяют определить, когда можно
пренебречь смещением и когда его необходимо учитывать.
2. Основные аналитические методы, использованные в данном
параграфе, можно применять при решении других задач оценки.
Заметим, что при написании соотношения (41) была использована
граница Чернова. Если вероятностью смещения пренебречь нельзя
и необходимо найти более точную оценку ее истинного значения,
то можно использовать приближенную формулу (52).
229

Рассмотрим теперь другой частный случай задачи, связанной
с оценкой амплитуды.
Пример 3. Малое отношение сигнал/шум на входе. Другой
предельный случай соответствует низкому отношению сигнал/шум на
входе приемника. Он аналогичен случаю когерентности сигнала
малой энергии, с которым мы встречались в задачах обнаружения
(см. с. 154). Если предположить, что
AS(co)<^N0/2f (82)
то (22) можно разложить в ряд. Выполняя разложение и удерживая
первый член, получим
j5»fM КГг(0/1|1((-в)г(и)ЛЛ(-
-ALJ5W
da
2я
где
Яр(/о>) = 5 (со).
(83)
(84)
Заметим, что в допущении об ограниченности спектра S(co) по
ширине здесь нет необходимости. Приближенная оценка максимального
правдоподобия при этом имеет вид
Ятг =
"0>
о,
а0<0.
(85)
Все общие рассуждения, связанные с выводом выражений для
смещения и среднего квадрата ошибки, справедливы и в этом случае.
При ограниченном по ширине спектре вида (44) вероятность
того, что оценка а0 будет отрицательной, имеет границу
Р [во < 0] < ехр [- WT (A/WNo)].
Из условия (82) следует, что
A/WN0<^ 1.
(86)
(87)
Следовательно, чтобы вероятностью (86) можно было пренебречь,
произведение WT должно быть очень большим.
Граница Крамера — Рао для дисперсии любой несмещенной
оценки равна
о2 [а—А]
А2
>
(ЛУ2)
(2
2nW
(Ла Т/2) J S2 (со)
-2nW
2я
(88)
230

При равномерном ограниченном по ширине спектре граница
(88) сводится к виду
oi[3-/]e> (l^oV 1
Л
Л2
WT
(89)
Нетрудно видеть, что для того, чтобы эта граница была малой,
произведение WT должно быть большим. Когда это условие
соблюдается, можно показать, что дисперсия оценки а0 стремится к этой
границе. При таких условиях вероятность (86) пренебрежимо мала
и оценка атг равна оценке а0 почти для всех реализаций данного
эксперимента. Во многих случаях вероятность (86) не будет
пренебрежимо малой и поэтому для определения точности оценки надо
использовать результаты (34) — (78). Такой анализ выполняется в
задаче 7.1.6.
Рис. 7.7. Структурная схема устройства оценки амплитуды.
В двух рассмотренных выше предельных случаях — большого
и малого отношения сигнал/шум, которые были изложены в примерах
2 и 3, приемник имел простую форму, показанную на рис. 7.7.
В случае большого отношения сигнал/шум
В =
Нет = 1/5(со),
TN0
J S (cd) 2я *
G = l/(2WT).
В случае малого отношения сигнал/шум
Не (/со) = 5 (со),
В
TN0-
— 2nW
4TIf(ffl)£-]
-i
(90)
(91)
(92)
(93)
(94)
(95)
Приемник со структурной схемой, представленной на рис. 7.7,
в области радиоастрономии обычно называют радиометром [3].
По своей структуре он, конечно, является одним из вариантов при-
33|

емника по схеме фильтр— квадратор — интегратор, о котором
говорилось ранее в этой главе. *
Очевидным преимуществом структурной схемы рис. 7.7 является
то, что такой приемник выдает оценку в результате прохождения
колебания r(t) по единственному последовательному тракту
обработки. В отличие от этого, в общем случае приходится строить М
трактов обработки, как показано на рис. 7.1. Ввиду простоты
приемника, построенного по схеме фильтр — квадратор — интегратор,
рассмотрим кратко субоптимальный приемник, построенный по
схеме рис. 7.7, но позволяющий выбирать Яс(/оо), Вид.
7.1.3. Субоптимальные приемники
Интересующий нас приемник показан на рис. 7.7. По виду
выражения (19) можно заключить, что логичной параметрической
формой передаточной функции Не (/со) является
Нс (/со) = 7 ^—Г2 , (96)
У ' (yV0/2+C5(co))2 V '
где С — некоторый постоянный коэффициент, который предстоит
выбрать. Заметим, что при такой форме записи рассмотренные выше
два предельных случая — большого и малого отношения
сигнал/шум — получаются как частные случаи, если положить
коэффициент С равным бесконечности и нулю соответственно.
Выберем значения параметров В и G такими, чтобы оценка а0
была несмещенной оценкой при любых значениях параметра А.
Для этого требуется, чтобы
в= 7 N0S((i>)/2 d^_y g
J (N0/2+CS(a))2 2я ^ '
— оо
(оо ч — 1
Т Г 52<м> *» . (98)
J QV0/2+CS (со))2 2я v '
— ОО J
Единственным параметром здесь остается только С. Чтобы выбрать
значение С в общем случае, определим вначале средний квадрат
ошибки. Эта задача связана с несложными выкладками (см. задачу
7.1.7), в результате которых получим
оо
Если средний квадрат ошибки £fl~, описываемый выражением (99),
представить графически как функцию параметра Л, то можно уста-
232

Иовить, что он имеет минимум при С = А. Этот результат следовало
ожидать, но он не дает ответа, как выбрать значение коэффициента С,
так как А — неизвестный параметр. Однако, часто пределы
изменения параметра А бывают известными. Если известно, что
Л<Л<ЛЭ, (100)
то коэффициент С из интервала [Аа, А$] можно выбрать в
соответствии с некоторым критерием. Возможные критерии будут
рассмотрены в контексте примера.
Заметим, что необходимо еще исследовать смещение оценки а*,
используя методы, изложенные выше. Для областей изменения
параметра, представляющих наибольший интерес (т. е.
соответствующих хорошей точности оценок), смещение пренебрежимо мало
и можно считать, что а* = а0 почти во всех экспериментах.
В следующем примере исследуем точность оценки
рассматриваемого субоптимального приемника при заданном конкретном спектре
сообщения.
Пример 4. В предыдущих примерах задавался идеальный
ограниченный по ширине спектр. Для такого спектра передаточная
функция #с(/(о)—в том виде, как она определяется выражением (96), —
всегда является передаточной функцией идеального фильтра
нижних частот. В данном примере будем полагать, что
5((о:Л)-2Ы/(о)2 + ^2), — оо<(о<оо. (101)
Теперь функция Не (/со) будет изменяться в зависимости от
параметра С. Нижняя граница дисперсии любой несмещенной оценки
получается, если использовать формулу (25) с учетом соотношения
(101). В результате получим (см. задачу 7.1.8)
_°Ч2-Л]^_8_ (1+Л(Л))3/2 (Ш
Л2 ^ kT Л2(Л)
где А(А) — отношение сигнал/шум в полосе сообщения:
А(А) = 4A/kNQ. (103)
Возьмем субоптимальный приемник, показанный на рис. 7.7.
Нормированную дисперсию оценки а0 получим путем подстановки
(101) в (99). В итоге находим
*1*-А]= \ -[1 + С1(Л)Л(Л)]3/2 х
* (кТ)(ЩА))
Х[5с*(А) + 2с*(А)+1), (104)
где
сх (А) = С/А, (105)
с2(А)= 1+Л(Л) ■ (106)
233

Когда сг (А) = 1, формула (104) сводится к формуле (102). На рис. 7.8
дисперсия оценки, производимой при помощи субоптимального
приемника, представлена графически для случая kT = 100. Значение
дисперсии при с± (А) = 1 является нижней границей дисперсии
любой несмещенной оценки. По графику видно, что при указанных
значениях параметров субоптимальный приемник можно исполь-
0,00f In 11 I I I i iii 11 i i i i h 111 i i i i 1
700 W C_ f Hf
A "~*
Рис. 7.8. Точностные характеристики субоптимального
приемника [2]1).
зовать при изменении параметра в пределах декады (Лр = 10Ла),
допустив увеличение ошибки на 50% на концах этого интервала.
Уместно сделать два замечания.
1. Необходимо определить смещение оценки а*. Если им можно
пренебречь, то средний квадрат ошибки можно вычислить по
формуле (102). Если смещением пренебречь нельзя, то для определения
смещения и среднего квадрата ошибки можно воспользоваться
формулами (41) и (78) (см. задачу 7.1.10).
*) Прим, ред. На рис. 7.8 через Var \аф\ обозначена дисперсия
несмещенной оценки 02 | а — А |.
234

2. Если увеличение дисперсии вследствие использования
субоптимального приемника слишком велико, то имеется несколько
возможностей. Первая из них — вернуться к исходной структурной
схеме приемника, изображенной на рис. 7.1. Вторая — использовать
несколько субоптимальных приемников параллельно, перекрывая
весь интервал изменения параметра. Третья—оценивать параметр А
последовательно. При этом процесс г (t) записывают и производят его
обработку, используя субоптимальный приемник, чтобы получить
оценку, которую можно обозначить через аг. Затем полагают С =
= аг в субоптимальном приемнике и повторяют процедуру
обработки процесса г (t), чтобы получить оценку а2. Повторение указанной
процедуры приводит к требуемой оценке. Трудность, связанная с
методом последовательной оценки, заключается в необходимости
определения шага обработки, завершающегося правильной
оценкой»
7.1.4. Краткие итоги § 7.1
В этом параграфе был подробно рассмотрен случай
стационарного процесса при большом времени наблюдения. Он был избран
для детального изучения ввиду того, что часто встречается на
практике. Когда соблюдается условие СПБВН, выражения,
необходимые для написания 1пЛ(Л) и установления границы Крамера —
Рао, определяются достаточно просто.
Основное внимание было сосредоточено на задаче оценки
амплитуды, так как она иллюстрирует ряд важных вопросов. Задачи
оценки других параметров рассмотрены в § 7.7.
Процедура оценки любого параметра одинакова.
1. Оценка максимального правдоподобия — это значение
параметра Л, при котором функция (11) имеет максимум. В общем случае
необходимо написать это выражение в виде функции параметра А
и найти абсолютный максимум. Эта процедура дает возможность
найти практический метод формирования указанной функции (или
ее хорошего приближения).
2. В некоторых частных случаях (обычно это случаи либо
низкого, либо высокого отношения сигнал/шум на входе приемника)
можно сделать приближения, которые приведут к единственному
решению для оценки ат1.
3. Если оценка является несмещенной, то можно найти нижнюю
границу дисперсии этой оценки, используя формулу (16). Обычно
дисперсия оценки ami приближается к этой границе, когда ошибка
мала. Если оценка является смещенной, то необходимо
модифицировать полученные формулы с учетом влияния смещения. Если
смещение можно найти как функцию параметра Л, то соответствующая
граница получается непосредственно. В большинстве случаев
функцию В(А) нельзя определить точно и поэтому используются методы
приближения, аналогичные тем, которые были изложены в п. 7.1.2.
235

Описанную выше процедуру легко наметить в общих чертах,
но объем работ, необходимых для ее выполнения, будет зависеть
от того, какой параметр наблюдаемого процесса подлежит оценке.
В последующих параграфах будут рассмотрены три другие
категории задач оценки. Многие из вопросов, с которыми мы
сталкивались здесь, возникают и в других ситуациях, рассматриваемых
в следующих трех параграфах. Поскольку эти вопросы были
подробно изложены в данном параграфе, некоторые детали
последующего анализа будем оставлять читателю для самостоятельного
решения.
7.2. Процессы с конечным представлением в переменных
состояния
До сих пор мы занимались оценкой параметра случайного
процесса s(t,A). Статистика этого процесса зависит от параметра А
через среднее значение т (t, А) и ковариационную функцию Ks{t, и :
: Л). Для простоты изложения предположим, что m(tyA) = 0.
Вместо задания процесса s(t,A) ковариационной функцией его
можно описать дифференциальными уравнениями
х (/, A) = F(t,A) х (t,A) + G (t,A) u (/), / > Tit (107)
s(t,A) = C{t,A)x{t, A),t > Tt. (108)
где
E[u{t)uT(%)] = Q{A)8(t — x), (109)
E[x(Tt)] = 0, (110)
Е[х(Тг)хТ(Тг)] = Р0(А). (Ill)
Полезно сделать два замечания.
1. В общем случае параметр А может появляться в функциях
F(t,A)9 G(t,A), С(/,Л), Q(A) и Р0(Л). Заметим, что в рассматриваемой
задаче оценки имеется только один параметр. В большинстве
интересующих нас задач лишь одна или две из перечисленных
функций будут зависеть от А.
2. При рассмотрении модели задачи в § 6.1 предполагалось, что
процесс является условно гауссовым. Поэтому линейное уравнение
состояния (107) будет вполне общим, если процесс s(t,A) можно
представить в переменных состояния. Используя методы,
описанные в гл. 7 второго тома, можно исследовать задачу оценки параметра
в случае марковских негауссовых процессов, но это выходит за
пределы данного обсуждения.
В случае, когда среднее значение наблюдаемого процесса равно
нулю, функция правдоподобия имеет вид
1(А) = Ы(А) + 1в(А). (112)
236

Согласно выражению (6.32) имеем
lR (А) =-1- \ ' (0 *г (Л Л) Я - -J- f S» (/, Л) dt, (113)
а в соответствии с (6.25) второй член в (112) равен
1в{А)=—±- \lP(t:A)
dt.
(114)
Функция sr(/,y4) является реализуемой оценкой процесса s (trA) no
минимуму среднего квадрата ошибки в предположении, что
параметр А известен. Из гл. 6 первого тома известно, что она
определяется дифференциальными уравнениями
х (/, А) = F (f, A) x(t9 A) + ЪР (/, А) Ст (/, А)^-х
Nq
x[r(f)—C(t,A)i(t,A)],
\Р (/, А) = F (/, А) Ь (t, A) + Ь (t, А) Fr (t,A)-
(115)
- %р (t, A) & (t, A) -f- С (/, А) \Р it, A) + G (t, A) Q {A) GT (t, A), (116)
sr(t,A) = C(t,A)x(t,A)
(117)
при соответствующих начальных условиях. Функция £я(/,Л) —
это наименьший средний квадрат ошибки при оценивании процесса
s (/, А) в предположении, что параметр А известен. Почти во всех
случаях необходимо образовать функцию правдоподобия / (А) для
множества значений At параметра А, которое перекрывает
допустимый интервал его изменения, и выбрать такое значение, при котором
значение l(At) является наибольшим. Структурная схема
устройства, реализующего такую процедуру обработки, показана на рис. 7.9.
Чтобы найти границу дисперсии любой несмещенной оценки,
используем граничное выражение (6.44), а также (6.46) и (6.60).
В случае процессов, имеющих конечное представление в
переменных состояния, форма выражения (6.60) довольно проста:
7<2>(Л) = -1-
_02
ал?
+
V\
s(t,A),^S-
2 v ' 2
IT
?u4'li^Te(/,i4i)+
dt—l- Щ/jsMi),
JOs.
2
A =
(118)
237

Выражение для ошибки из подынтегрального выражения во втором
члене следует из уравнения (116) в виде
tP(t\s(t,Ai), ^-) = CMi) UtM V{tM- (119)
Чтобы вычислить выражение для ошибки из первого члена,
необходимо провести аналогичный анализ для данного составного
процесса. Заметим, что этот составной процесс явлется суммой двух
статистически независимых процессов с различными значениями
параметра А. Как и в аналогичной задаче теории обнаружения,
в данном случае имеется альтернативная форма для У(2) (Л), кото-
Рис. 7.9. Формирование функции правдоподобия для процессов с конечным
представлением в переменных состояния.
рую иногда проще вычислять (см. с. 205—207). Подробности этой
процедуры оставляем для самостоятельной проработки (задача 7.2.1).
Ряд примеров по оцениванию параметра процесса,
представляемого в переменных состояния, изложены в разделе задач. Перейдем
теперь к рассмотрению процессов с разложимыми ядрами.
7. 3. Процессы с разложимыми ядрами
В гл. 4 было рассмотрено несколько физических ситуаций,
которые приводят к задачам теории обнаружения, связанным с
наблюдением процессов с разложимыми ядрами. Большинство из этих
ситуаций имеет аналоги в контексте теории оценок. Ввиду этого
сходства ограничимся просто формулировкой задач и рассмотрим
простой пример. Обозначим ковариационную функцию сигнала
через Ks{t> и : А). Если ее можно записать в виде
К6 (/, и : А) = 2 h (А) Ф, (/, А)ФЬ (и, Л), Т% < *,и< Tf (120)
/= 1
238

Для некоторого конечного К и для любого значения параметра А
на интервале [Ла, Лр], получаем задачу оценки для случая
процесса с разложимыми ядрами. Заметим, что собственные значения и
собственные функции могут зависеть от параметра А. Для
иллюстрации некоторых аспектов, связанных с разложимостью ядер,
рассмотрим простую задачу оценки амплитуды.
Пример 51). Принятое колебание аналитически записывается
в виде
r(t) = s(t%A) + w(t)t Tt < / < Tf. (121)
Среднее значение сигнального процесса равно нулю, а
ковариационная функция сигнала имеет вид
Ka(t,u : А) = AK9{Uu), Tt < t,u < Tf. (122)
Допустим, что ковариационная функция Ks{t>u) является
разложимой:
Кш (/, и) = 2 Я* ф* W ф* (")■ Г< < '■" < Tf (123)
/= 1
Функцию правдоподобия в этом случае можно записать в виде
где
(124)
*>
ri=\r(t)Oi(t)dt. (125)
Чтобы найти оценку dmU необходимо определить значение парамет*
ра Л, при котором функция !пЛ(Л) имеет максимум. Если атХ
является несмещенной оценкой, то ее дисперсия имеет границу
аЧ(а-Л)] >2 ["£ Ц
L/=i
Л* ^ Л (УУ0/2Л+^)2
— 1
(126)
Если этот максимум имеет место в точке, находящейся внутри
интервала изменения параметра А и функция 1пЛ (А) имеет
непрерывную первую производную, то необходимое уравнение можно
получить в результате дифференцирования выражения (124):
(__L V hi + JL У h Л =о. (127)
| 2 £х No/2+XtA ^ 2 ^ (No/2+AXi)* 'Ц^ V '
х) Рассматриваемая в этом примере задача была исследована Хофстет-
тером [7].
239

При произвольных значениях N0, А и Xt это уравнение не всегда
полезно. Существует, однако, три случая, когда можно получить
более простое выражение для оценки:
1. Имеется К одинаковых собственных значений.
2. Все собственные значения Xt много больше отношения
NJ2A.
3. Все собственные значения Xt много меньше отношения NJ2A.
Последние два случая аналогичны предельным случаям, которые
были рассмотрены в § 7.1, и поэтому оставим их для
самостоятельного изучения в разделе задач (см. задачи 7.3.1 и 7.3.2).
В первом случае
X, - К. *'= 1, 2 /С. (128)
и уравнение (127) сводится к виду
1
(129)
Поскольку оценка а0 может принимать отрицательные значения,
имеем
а £, а0>0, (
[О, а0<0.
В данном конкретном случае плотность распределения
вероятности рй0 (А0) можно вычислить точно. Это плотность распределения
хи-квадрат (см. с. 117, 118 первого тома), сдвинутая на величину
NJ2 Хс. Можно также точно вычислить смещение и дисперсию
оценки. При умеренных значениях К {К> 8) приближенные формулы
из п. 7.1.2 дают достаточно точные результаты. Различные
выражения выводятся также в разделе задач.
Следует также заметить, что в случае одинаковых собственных
значений оценка а0 является эффективной несмещенной оценкой
параметра А. Другими словами, ее дисперсия удовлетворяет условию
(126) со знаком равенства. В этом можно убедиться путем
непосредственного вычисления дисперсии а2 [а0 — А].
Этот пример иллюстрирует простейшую задачу с разложимыми
ядрами. В общем случае для получения оценки приходится
использовать параллельную схему обработки, изображенную на рис. 6.1.
Заметим, что каждый тракт обработки будет содержать К фильтров-
квадраторов. Поэтому, если в системе обработки имеется М трактов,
то всего в ней должно быть МК фильтров-квадраторов. Ввиду такой
сложности обычно стараются найти субоптимальный приемник, по
точности близкий к оптимальному. Структура подобного
субоптимального приемника будет зависеть от того, каким образом
оцениваемый параметр входит в ковариационную функцию. Несколько
типичных случаев приведены в задачах.
240

7.4. Случай когерентности сигналов малой энергии
В § 4.3 при изложении теории обнаружения было показано, что
если наибольшее собственное значение меньше величины N0/2,
то можно получить итеративное решение для импульсной
переходной функции h (t, и). Точно по такому же пути можно идти при
решении задачи оценки. Единственное различие состоит в том, что
наибольшее значение может зависеть от А. В соответствии с (6.16)
имеем
Считая, что
h (Л) < NJ2 (132)
при любом значении Л, каждый член в суммах выражения (131)
можно разложить в сходящийся степенной ряд по степеням
[2Xi(A)]/NQ. В результате получим
(133)
+ тШ<*'<л»°-]' <134)
В случае когерентности сигналов малой энергии
%t (A) < ЛУ2 (135)
при любых значениях А. Когда это неравенство соблюдается,
приближенную функцию правдоподобия можно получить, удержав
первый член и среднее значение второго члена ряда (133) и первые
два члена ряда (134) (см. выкладки на с. 156, 157). В итоге получим
Tf
In Л (Д)=-1- (-L)* jj r (t) Ka (t, и: А) г (и) dtdu-
Ti
TJ Tf
~i:[~^))KAt't:A)dt~T{~kJ^KUt'u:A)dtdu- (136)
241

Чтобы найти amU необходимо образовать функцию правдоподобия
1пЛ(Л) как функцию параметра Л и выбрать значение параметра Л,
при котором она имеет максимум.
Нижняя граница дисперсии любой несмещенной оценки
определяется выражением
а2[а—А] >
v—1
dtdu
(137)
Если А является значением случайного параметра, то оценку
по максимуму апостериорной вероятности можно получить путем
добавления 1пра(А) к выражению (136) и определения максимума
результирующей функции. Для иллюстрации упрощенной задачи,
когда выполняется условие КСМЭ, рассмотрим два простых примера.
Пример б1*. В этом примере требуется оценить амплитуду
корреляционной функции случайного процесса:
Kr(t,u : А) = AK(t,u) + ^-8(t — и),
(138)
где K(t,u) — известная ковариационная функция. Предположив,
что условие КСМЭ соблюдается, можно согласно (136) получить
1пА(Л) = — (—ЦА Nr(t)K(t,u)r{u)dtdu — ^-A^K(t,t)dt —
*#
-— \\[K{t,u)fdtdu
(139)
Дифференцируя и приравнивая результат нулю, получим
а„=
Ч Ч
f Г г (О К (t, и) г (и) dtdu- ~ Г К (t, О
dt
(140)
\\lK{t,u)}
» dtdu
Как и прежде,
«mi =
а0, а0 > 0,
0, а0<0.
(141)
1) Рассматриваемая в этом примере задача была решена Прайсом [1]
и Миддлтоном [4].
242

Можно определить верхнюю границу смещения оценки &mU
используя методы, описанные на с. 225—228. Нижняя граница
дисперсии любой несмещенной оценки имеет вид
А* ^ Tf ' У '
A2§[K(t,u)]*dtdu
Ti
Нетрудно заметить, что правая часть выражения (142) — величина,
обратная d2 в задаче когерентного обнаружения сигнала малой
энергии (см. (4.148)). Такой результат можно было ожидать, если
учесть результаты по оценке амплитуды в случае известного
сигнала, полученные в гл. 4 первого тома.
Во всех приведенных выше примерах рассматривались задачи
оценки неслучайных параметров. Было отмечено, что для учета
случайных параметров требуется несложная модификация
полученных результатов. Пример такой модификации дан ниже.
Пример 7. Предположим, что ковариационная функция
принимаемого сигнала определяется выражением (138). Будем
рассматривать параметр А как значение случайной величины а. В общем
случае плотность вероятности параметра неизвестна и поэтому
выберем распределение с несколькими свободными параметрами.
Затем изменим эти параметры так, чтобы было хорошее
согласование с имеющимися экспериментальными данными. Как было
отмечено на с. 148 первого тома, часто для простоты выкладок в качестве
априорной плотности распределения вероятности выбирается
воспроизводящая плотность. Для данного примера подходящей
априорной плотностью является гамма-распределение
%П+1 Л"е-^ л>0,
Ра(А)=\ Л! (143)
О, Л<0,
где К — положительный коэффициент, an — положительное целое
число, которые выбираются на основе имеющейся априорной
информации относительно случайной величины а. Далее будем
считать, что пи X известны. Требуется найти атар. Для этого образуем
функцию
f(A) = In А(А) + 1пра(А) (144)
и отыщем ее максимум. С учетом (139) и (143) после группировки
членов получим
f{A) = — сгА* +f(r(t)) А + пЩХА) + \пК А > 0, (145)
243

где
Т;
(146)
f(r(t))=±^jU]r(f)K(t,u)r(u)dtdu-
—Я,.
(147)
Дифференцируя функцию/ (А) по Л, приравнивая результат нулю
и решая получающееся квадратное уравнение, получим
♦тар ■
f(r(t))
4ci
/ИО)
4Cl
Г/ 8Cln y/._ 1 /(r(0)<0.
(148)
Вторая производная функции / (Л) всегда отрицательна и /(0) =
= — оо, поэтому искомый максимум является единственным.
Структурная схема соответствующего приемника показана на
rtt)
Ш,а)
\f>
Нелинейное
i/c/rrpoucmSo
для
реализации
(147НП8) I
"map
Рис. 7.10. Реализация устройства оценки амплитуды по максимуму
апостериорной вероятности в случае КСМЭ.
рис. 7.10. Видим, что этот приемник осуществляет две
последовательные операции. Первая секция приемника вычисляет
l^(r(t)) = tir {t)К (t,u)r(и)dtdu.
(149)
Квадратичная операция встречалась нам ранее. Вторая секция
приемника представляет собой нелинейное безынерционное
устройство, которое реализует операции (147) и (148). Определение
помехоустойчивости этого приемника затруднительно из-за нелинейной
безынерционной операции, не являющейся квадратичной.
244

Ряд других примеров оценки параметров в случаях, когда
соблюдаются условия КСМЭ, приводится в разделе задач. Этим
завершается рассмотрение специальных категорий задач, связанных
с оценкой параметров. В следующем параграфе обсудим некоторые
родственные вопросы.
7.5. Некоторые родственные вопросы
В этом параграфе рассмотрим два вопроса, которые связаны
с изучаемой нами задачей оценки параметров. В п. 7.5.1
изложена задача оценки нескольких параметров. Подпараграф 7.5.2
посвящен обсуждению испытаний по критерию обобщенного
отношения правдоподобия.
7.5.1. Оценка нескольких параметров
Как следует ожидать, исходя из ранее изложенного материала
(например, § 4.6 первого тома), основные результаты, полученные
для случая одного параметра, можно легко распространить на
случай множества параметров. Сформулируем модель задачи и
некоторые наиболее важные результаты.
Принимаемое колебание запишем в виде
r(t) = s (t,\) + w(t), Tt < t < Tf, (150)
где A — многомерный (с числом измерений, равным М)
параметрический вектор. Сигнал s(t,A) моделируем выборочной функцией
гауссова случайного процесса, статистика которого зависит от
вектора А, а именно
E[s{t,A)] = m(*,A), Tt < t < Tu (151)
El(s{t,A) — m(/,A))(s(//,A)-m(//,A))] -
- Ks (t,u : A), Tt < t9u < Tf. (152)
Аддитивный шум w (t) моделируем выборочной функцией белого
гауссова процесса с нулевым средним значением и спектральной
плотностью NJ2. Интерес представляет как случай, когда А —
неслучайный (детерминированный) вектор, так и случай, когда А—
значение случайного вектора.
Неслучайные параметры. Предположим, что А — неизвестный
неслучайный вектор, принадлежащий множеству %d. Функция
правдоподобия имеет вид
245

/ Tf
1пЛ(А) = — { dt Г r(t)h(t,u:A)r(u)du+\ dtt r{t) X
T- T-
* I 11
Tf Tf
X QT(t, u:A)m (u, k)du
Г dt Г tn(t,
A) Qr (t, u:A)tn (u, A) du—
4j>(I+iMA))' A€Xa
(153)
Максимально правдоподобная оценка aml — это то значение
вектора А, при котором функция (153) имеет максимум. В общем
случае необходимо образовать эту функцию для некоторого множества
Af, которое перекрывает множество Ха, и выбрать значение Ai9
при котором 1пЛ(Аг) является наибольшим. Если максимум
функции 1пЛ(А) существует внутри множества Ха и функция 1пЛ(А)
имеет непрерывную первую производную, то необходимое условие,
при котором оценка является максимально правдоподобной,
определяется системой из М уравнений правдоподобия:
д 1пЛ(А)
dAt |A=Sm/
|jJ/Cr(M:A) *^»:A> dtdu
+
+ l]^^Qr(t,u:A)[r(u)-m(u,A)]dtdu-±-^[r(t)-
= 0, (154)
A=am|
_m (/, A)] aQr(/'":^- [r («) — m (u, A)] dtdu
О AI
» = 1,2,...,A1.
Элементы информационной матрицы равны
JU(A)=j} [**№ Qr (t,и : A) *2lJLA>.
4
1 dKr(t,u:\) dQr(t, и : А)
2
dA-
dAj
dtdu.
(155)
Информационная матрица используется здесь точно так же, как
в § 4.6 первого тома. Первый член аналогичен выражению для d2(A)
и его можно легко вычислить. Второй член «/j/2)(A) находится
несколько сложнее.
246

Второй член можно также выразить через производную ра&той-
ния Баттачария:
оо
B(AltA)=-|i(-i-,AlfAJA-ln j pt(»(R|A1)p?(|(R|A)dR.(156)
— оо
Далее, производя выкладки, сходные с выводом соотношений
(6.47)—(6.60), получим
1 ' \ дАцдАи |а,=а/
(157)
Выражение для В (Аь А) является очевидной модификацией
выражения (6.59). Формула (157) обеспечивает эффективную
процедуру для определения J\f (А) численными методами. Заметим, что
численное определение второй производной необходимо
производить с осторожностью.
Для стационарных процессов и больших интервалов времени
второй член в выражении (155) имеет простую форму:
^4I(i(h
S,KA) + -
X
Ч-нгМ^+Ж
(158)
Результаты (153)—(158) показывают, как видоизменяются фор*
мулы, полученные для случая оценки одного параметра, при реше-
нии задачи оценки нескольких параметров. Точно так же, как в
случае одного параметра, реализация алгоритма оценки во втором
случае зависит от конкретной задачи.
Случайные параметры. Выражения для общего случая
случайного параметра можно получить в результате соответствующей
модификации формул, выведенных в предыдущем параграфе.
Представляет интерес частный случай, рассматриваемый в гл. 8 второго тома,
когда подлежащие оценке параметры являются независимыми
гауссовыми случайными величинами с нулевыми средними значениями
и дисперсиями, равными Од/. Уравнения оценки по максимуму
апостериорной вероятности имеют вид
(*1=огй
tj tj
j Л J [у ад и: A) dQAtd£k) +[г{и)-т{щ А)] х
i*i Ti
Xp^Qr(/, и : X)-±[r(t)-m(t, А)] *^'А)]
t = l,2,..., М.
du
А = а
тар
(159)
247

Элементы информационной матрицы равны
Ju^u/olt + EiUlVto + JlV fa)L (160)
где У}/}(а) и */!у?)(а) равны соответствующим членам выражения
(155). Заметим, что элемент Jtj содержит среднее по плотности
ра (А), так что окончательный результат от А не зависит.
Ряд примеров на совместную оценку параметров приведен
в разделе задач.
7.5.2. Испытания составных гипотез
В некоторых задачах обнаружения сигналы содержат
неизвестные неслучайные параметры. Принятые по обеим гипотезам
колебания можно записать б форме
(s1(tyQ) + w(t), Tt^t^TfiHl9
\s0(t,Q) + w(t),Ti<^t^Tf:H0,
где sx (t, 0) и s0 (t9 Э) — условно гауссовы процессы. Эта модель
является обобщением классической модели, введенной в
рассмотрение в § 2.5 первого тома. Обычно равномерно наиболее мощного
критерия не существует и поэтому используется обобщенный
критерий отношения правдоподобия. Этот критерий является лишь
дальнейшим обобщением критерия, определяемого выражением (I —
2.305). Для отыскания оценки 0тг используются процедуры,
описанные в гл. 6 и 7. Затем это значение используется в
предположении, что испытание по критерию отношения правдоподобия,
рассмотренному в гл. 4, является правильным. Хотя по своей идее
такое развитие ранее полученных результатов является довольно
простой задачей, фактические выкладки обычно оказываются
достаточно сложными. Затруднительно сформулировать какие-либо
общие положения относительно качества критерия (точности
оценок). Некоторые типичные примеры излагаются в разделе задач.
7.6. Краткие итоги рассмотрения теории оценок
В гл. 6 и 7 была рассмотрена задача оценки параметров
гауссова случайного процесса при наличии аддитивного гауссова шума.
Как и при исследовании задач оценки, встречающихся ранее,
первым шагом на пути решения этой задачи было построение функции
правдоподобия. Для предложенной модели указанной задачи
функция правдоподобия записывается в виде
248

Tf Tj
\nA(A) = —Wr(t)h(t,u:A)r(u)dtdu+ f r(t)g(t9 A)dt—
Tf Tf
-±^\p(tiA)dt-±^m{UA)g(t,A)dt.
Чтобы найти оценку максимального правдоподобия, образуют
функцию 1пЛ(Л) как явную функцию параметра Л. На практике
обычно приходится искать дискретное приближение к такой функции
правдоподобия, вычисляя значения 1пЛ(Л,) для набора значений
параметра А, который перекрывает область %а.
С целью анализа точности оценок было выведено выражение для
нижней границы дисперсии любой несмещенной оценки. Эта
нижняя граница определяется в виде формулы
o4a-A]>\^*^QAt,u:A)°^dtdu-
т
-1Я
L dKr(t,U:A) dQr(tyll:A) dtdu
дА дА
(162)
В большинстве задач бывает необходимо определить нижнюю
границу, используя численные методы. Поскольку оценки параметров
процесса обычно являются неэффективными, граница (162)
может и не давать точного представления о фактической дисперсии.
Кроме того, оценка может иметь смещение, которое не поддается
вычислению, вследствие чего невозможно пользоваться формулой
(162) или ее обобщением, получаемым в результате решения задачи
6.3.1. Было отмечено, что имеются и другие границы, как например,
граница Баранкина и граница Котельникова, но подробно мы их
не рассматривали.
В гл. 6 изложена общая теория, необходимая для исследования
задачи оценки параметров. Столь же важными являются вопросы
применения этой теории к конкретной задаче, чтобы фактически
получить оценку и определить ее точность.
В гл. 7 иллюстрируется переход от теории к практике на
примере конкретной задачи. В § 7.1 рассмотрена задача оценки среднего
квадратичного значения стационарного случайного процесса. После
отыскания выражений для функции правдоподобия были
рассмотрены некоторые предельные случаи, когда оценку максимального
правдоподобия аш\ получить нетрудно. Здесь мы встретились с
вопросом усеченной оценки и изложили новые методы для вычисления
смещения и среднего квадрата ошибки. Наконец, были рассмотрены
249

некоторые субоптимальные процедуры оценки. В этом параграфе
иллюстрируется ряд вопросов, которые возникают и которые
приходится решать в типичной задаче оценки. В § 7.2 — 7.4
рассмотрены процессы с конечным числом переменных состояния, процессы
с разложимыми ядрами и задача оценки параметров в случае
когерентности сигнала малой энергии. Во всех этих частных случаях
можно решить необходимое интегральное уравнение и образовать
функцию 1пЛ(Л) в явном виде. Следует подчеркнуть, что даже
после того, как интегральное уравнение решено, обычно все же
приходится искать дискретные приближения 1пЛ(Л*) к функции
правдоподобия 1пЛ(Л) для набора значений параметра Л,
перекрывающего область 5Са- Поэтому задача оценки оказывается
значительно сложнее задачи обнаружения.
Некоторые типичные задачи оценки были указаны в основном
тексте и в разделе задач. К числу работ, в которых рассмотрены
различные аспекты задачи оценки параметров, относятся [5—15].
Настоящей главой завершается рассмотрение задач обнаружения
и оценки гауссовых процессов. Исследовав ранее в гл. 8 второго тома
проблему передачи дискретных сигналов по каналам с рассеянием,
мы исчерпали перечень задач, который в общих чертах был
приведен в гл. 1 первого тома. Остальная часть данной книги посвящена
вопросам применения этой теории к решению задач радио- и
гидролокации.
7.7. Задачи
Задачи к § 7.1. Стационарные процессы
при большом времени наблюдения
Задача 7.1.1. Рассмотрим устройство оценки по схеме фильтр —
квадратор—интегратор, представленной на рис. 7.3. Импульсная
переходная функция hlJ2 (т) фильтра и параметры G и В
произвольны, но ограничены условием
Е[а0] = А. (1*)
J. Выцвести точную формулу для
1а0^Е[(а0-АП
2. Учтем условие (26) и (27) и предположим, что условия (31),
(37) и (38) соблюдаются. Обозначим границу Крамера—Рао в (25)
через !cr. Доказать, что
Нт [&ГоМ2-Ы=0.
(ЛГ0/2Л$(со))-»0
Задача 7.1.2. Функция \.i(s,A) определяется выражением (40),
а В удовлетворяет условию (43). Доказать, что уравнение (66)
250

имеет решение в допустимом интервале изменения параметра А.
Возможная процедура исследования может быть следующей.
1. Вычислить \i (0,Л) и \i (— оо,Л).
2. Доказать, что это гарантирует решение уравнения (66) при
некотором s < 0.
3. Использовать неравенство \i{s,A) > 0 для доказательства
требуемого результата.
Задача 7.1.3. Предположим, что
S («,) = ( W И<2*1Р,
\ 0 при других о).
Тогда согласно формуле (47)
|хМ) = — WT 1п[1 — 2s4 (1 + N0W/A)l
1. Решить уравнение (66) относительно s2.
2. Убедиться в правильности формул (68) и (69).
Задача 7.1.4.
1. Модифицировать вывод выражений для верхних границ
(58) и (67) смещения оценки а* с тем, чтобы учесть формулу (52).
2. Сравнить полученные результаты с данными рис. 7.6.
Задача 7.1.5 [2].
1. Рассмотрим выражение (73) для среднего квадрата £*.
Использовать такую же процедуру, как при выводе соотношений (60)—
(69), для получения границы среднего квадрата ошибки g*.
2. Модифицировать вывод граничного выражения в п. 1 так,
чтобы учесть формулу (52).
Задача 7.1.6. Вспомним результат п. 1 задачи 7.1.1 и
рассмотрим приемник из примера 3.
1. Показать, что |j стремится к границе Крамера—Рао при
WT ->оо.
2. Исследовать смещение и средний квадрат ошибки при
оценивании по максимуму правдоподобия.
Задача 7.1.7. Подставить выражения (96)—(98) в конечный
результат п. 1 задачи 7.1.1 и убедиться, что соотношение (99)
справедливо.
Задача 7.1.8. Рассмотрим модель задачи из примера 4.
Убедиться, что формула (102) справедлива
Задача 7.1.9. Рассмотрим выражение (99). Предположим, что
1 0 при других о).
1. Вычислить средний квадрат ошибки |j как функцию пара*
метра С по формуле (99).
2. Проверить два предельных случая примеров 2 и 3 при С -> оо
и С -* 0.
251

3. Построить зависимость |j от С при различных значениях
A/N0W и WT.
Задача 7.1.10. Провести подробное вычисление смещения
оценки для модели, задачи из примера 4.
Задача 7.1.11. Предположим, что s (tyA)—винеровский
процесс,
Е [s2 (/)] - At
и соблюдается условие СПБВН.
1. Вычислить границу Крамера—Рао по формуле (25).
2. Рассмотрим субоптимальный приемник, описываемый
выражениями (96)—(98). Вычислить ^ по формуле (99). Построить
зависимость £~ от С.
и о
3. Вычислить границу Р [а0 < 0].
Задача 7.1.12. Рассмотрим модель задачи, описываемую
соотношениями (1)—(5). Предположим, что
#8(т:Л) = е-л|т|, —оо<т<оо,
где Л—неслучайный положительный параметр.
1. Построить структурную схему приемника, дающего оценку
CLml-
2. Вычислить границу Крамера—Рао по формуле (16).
Задача 7.1.13. Рассмотрим модель задачи, описываемую
соотношениями (1)—(5). Предположим, что s (t,A) — полосовой
процесс, спектр которого
Ss (со : А) = Ss, lp (— (о — А) + 5s, lp (<o — А)у
где Ss, lp (о)) — известный спектр нижних частот.
1. Построить структурную схему приемника, дающего оценку
ami-
2. Вычислить границу Крамера—Рао по формуле (16).
3. Конкретизировать результат п. 2 применительно к случаю,
когда
Ss, LP И = 26P/((D2 + k2).
Задача 7.1.14 [5]. Допустим, что
s (t,A) = cxls(f) + c2s(t — A)]t
где сг и с2 — известные постоянные, a s (t) — выборочная функция
стационарного случайного процесса. Вычислить границу Крамера—
Рао по формуле (16).
Задача 7.1.15. В основном тексте предполагалось, что процесс
s (/, А) имеет нулевое среднее значение. В этой задаче снимем такое
ограничение.
1. Вывести вариант формул (6.16)—(6.26) для случая, когда
соблюдается условие СПБВН.
252

2. Вывести вариант формул (6.45) и (6.46) для случая, Когда
соблюдается условие СПБВН.
Задача 7.1.16. Рассмотрим систему, показанную на рис. 7.1*.
Сигнал s (t) на ее входе представляется выборочной функцией
гауссова случайного процесса с нулевым средним значением и
спектральной плотностью S (со). Аддитивный шум до (t)
представляется выборочной функцией белого ,,,
гауссова случайного процесса со
спектральной плотностью N0/2. .
Наблюдается процесс г (/) на ин- —L.
тервале Tt <1 t < Tf. Требуется
S+k
<b
Ht)
найти оценку amh Рис 7Л*
1. Построить структурную
схему оптимального приемника.
2. Записать выражение для границы Крамера—Рао. Обозначить
дисперсию, даваемую этой границей, через |cr.
3. Наложим ограничение
I
Выбрать спектр S (со) таким, чтобы минимизировать £cr.
Задача 7.1.17. Принимаемое колебание записывается в виде
r(t>=s(t,A) + nc(t)9 ^<;<7> (1*)
Аддитивный шум пс (t) — выборочная функция стационарного
гауссова процесса с нулевым средним значением, с конечной
мощностью и спектральной плотностью 5С (со). Заметим, что
компонента белого шума отсутствует.
1. Вывести выражение для границы Крамера—Рао.
2. Обсудить вопрос о задачах сингулярной оценки. В
частности, рассмотреть случай, когда
S(M) = AS(a>). (2*)
3. Допустим, что условия (1*) и (2*) соблюдаются и
оо
I
5cH-g-=Pc. (3*)
Выбрать спектр Sc (со) таким, чтобы минимизировать границу
Крамера—Рао.
Задача 7.1.18. Принимаемое колебание записывается в виде
r(/) = s(tyA) + w(0, Tx < / < Tf.
Допустим, что соблюдаются условия СПБВН.
1. Вывести выражение для 1пЛ(Л).
2. Вывести выражение для границы Крамера—Рао.
253

Задача 7.1.19. Рассмотрим двухэлементную приемную систему,
показанную на рис. 7.2*. Сигнал s (t) — выборочная функция
стационарного гауссова случайного процесса с нулевым средним и
спектральной плотностью S (со). Он распространяется вдоль линии
под углом а радиан к оси у. Принимаемые сигналы на двух
элементах записываются в виде
ri (t) = s (/) + щ (*), Tt < t < Tf,
соответственно, где с — скорость
распространения. Аддитивные шумы wx (t) и w2 (t)—
статистически независимые белые шумы со
спектральной плотностью NJ2. Допустим,
что | а | ^ я/8 и что S (со) известна.
1. Построить структурную схему
приемника, дающего оценку ат1.
2. Записать выражение для границы
Крамера—Рао.
3. Вычислить границу в п. 2 для случая,
когда
S(CD):
[P[2Wy |со|<2я№,
1 0 при других о).
4. Обсудить различные структурные
схемы приемника и их точность.
5. Одна процедура оценки параметра а заключается в
вычислении функции
Рис. 7.2*
ф(*)= * т f мог^-т)^
и определении значения т, при котором ф(т) имеет максимум.
Обозначим эту точку через т*. Затем введем в рассмотрение
величину а* — оценку угла а, определяемую как
а^Дс x*/L.
Дать теоретическое обоснование этой процедуры. Сравнить ее
точность с границей Крамера—Рао.
Задача 7.1.20. Рассмотрим задачу оценки значения
спектральной плотности случайного процесса s (t) на заданной частоте.
Структурная схема типичного устройства оценки показана на рис. 7.3*.
Обозначим значение спектральной плотности на заданной частоте,
которое требуется оценить, как
AAS((»L)>
(1*)
254

На входе устройства имеется идеальный полосовой фильтр со
средней частотой полосы пропускания 0Х и передаточной
характеристикой Нх (/со), как показано на рис. 7.4*.
1. Определить смещение оценки а. При каких условиях смещение
будет пренебрежимо малым?
2. Предположим, что смещением можно пренебречь. Вычислить
нормированную дисперсию как функцию различных параметров.
3. Привести пример такого выбора значений параметров, когда
нормированная дисперсия стремится к нулю при Г->оо.
4. Привести пример такого выбора значений параметров, при
котором нормированная дисперсия стремится к двум при Г->оо,
Ш)
Ht(j&)
Кдадратор
т
Рис. 7.3 *
Примечание, Эта задача иллюстрирует некоторые вопросы,
связанные с оцениванием энергетического спектра. Для более
подробного рассмотрения задачи оценки энергетического спектра следует
обратиться к гл. 1—3 работы [6].
Задача 7.1.21. Предположим, что
S(® : А) = AS(a).
Обозначим средний квадрат ошибки в выражении для границы
Крамера—Рао (25) через £cr.
1. Вычислить £cr Для случая, когда
0 / ч 2пР sin (я/2л)
S(a>) = _
k (CD/£)2"+l
2, Предположим, что
I
00
Определить спектральную плотность S(w), минимизирующую
средний квадрат ошибки £cr.
Задача 7.1.22. Предположим, что
5 /ц . 4) — 2АР sin (л/2А)
к Ык)2А+\'
где А — положительное целое число.
1. Определить структуру приемника, дающего оценку ami.
2. Найти нижнюю границу дисперсии любой несмещенной
оценки параметра 4.
255

Задача 7.1.23. Рассмотрим задачу оценки, сформулированную
в задаче 7.1.13. Предположим, что
Ах<Л<Лр,
S(«>)=lP/2W> М<2яГ,
1 0 при других со,
W = (Aa-At)lM.
1. Построить структурную схему приемника, дающего оценку
2. Справедлива ли граница Крамера—Рао для условий этой
задачи?
3. Применить методы, описанные на с. 321—327 первого тома,
и формулы из § 5.1 для определения помехоустойчивости (точности
оценки) приемника. Каким образом можно исследовать
помехоустойчивость приемника (локальные ошибки) при слабом шуме?
Задачи к § 7.2. Процессы с конечным представлением
в переменных состояния
Задача 7.2.1. Сигнал s (t) моделируется винеровским процессом:
Е [s2 (t)] = At.
Необходимо найти оценку amh
1. Построить структурную схему приемника. Определить
полностью все ее компоненты (включая начальные условия).
2. Убедиться, что
Ы *>-{%■
ЛЛГ0у/2 i_ ехр[-2(2Л/Л^0)1/2 t]
1+ехр [- 2(2A/N0)l/2 t]
f
/[
1—»—
1
1
S(u)
^\f(j(0)
1
1
1
^Acj
—=*-
3. Использовать результат,
полученный в п. 2 задачи, для
вычисления /(2) (А) по формуле (118).
4. Представить графически
зависимость JW(A)/A2 от 2ATVN0.
0 ~^~ Задача 7.2.2. Предположим, что
; s (t,A) = As(f), где s(t) имеет из-
Рис. 7.4.* вестное конечномерное
представление в переменных состояния.
Рассмотрим приемник, построенный по схеме фильтр — квадратор —
интегратор, характеристика которого представлена на рис. 7.4*.
Предположим, что /41/2](т) имеет конечномерное представление
в переменных состояния. Вывести дифференциальное уравнение,
определяющее средний квадрат ошибки £- .
256

Задача 7.2.3. Рассмотрим модель задачи, описываемую
соотношениями (107) —(111). Предположим, что T{tyA), б(/,Л), Q(A)
и Р0(А) не зависят от параметра Л, а матрица С (ttA) равна
С(/,Л)=/(/-Л)С,
где процесс f(t) отличен от нуля только на интервале [а < / < f$],
а а — Лир — Л — на интервале [Tiy Tf]. Требуется произвести
оценку параметра Л по максимуму правдоподобия.
1. Построить структурную схему оптимального приемника,
2. Записать выражение для границы Крамера—Рао.
Задача 7.2.4. Рассмотрим модель задачи, описываемую
соотношениями (107) — (111). Предположим, что F(t,A) = — k,
G(t,A) = 1, С(/, Л) = 1, Q(A) = 2kP и Р0(А) = Л. Необходимо
произвести оценку параметра по максимуму правдоподобия.
1. Построить структурную схему приемника, дающего оценку
2. Обсудить различные субоптимальные структуры приемника.
(Наводящий вопрос. Какой отрезок принятого сигнала содержит
большую часть информации о параметре Л?)
3. Записать выражение для границы Крамера—Рао.
Задачи к § 7.3. Процессы с разложимыми ядрами
Задача 7.3.1. Рассмотрим модель задачи, описанную в примере
5. Предположим, что
^ > NJ2A при любых Л 6 Ха-
1. Найти выражение для а0.
2. Вывести выражение для Р [а0 < 0].
3. Вывести выражение для ^ •
4. Сравнить выражение из п. 3 с границей Крамера—Рао.
Задача 7.3.2. Повторить задачу 7.3.1 для случая, когда
%i <C NJ2A *При всех Л 6 Ха-
Задача 7.3.3. Рассмотрим модель задачи, описываемую
соотношениями (121)—(127), и предположим, что условие одинаковых
собственных значений (128) соблюдается.
1. Вычислить средний квадрат ошибки
1^АЕ[(а0-А)2].
2. Вычислить Р [а0 < 0] по формуле (41).
к _
3. Предположим, что 2 h = £*•
Выбрать значение /С, при котором средний квадрат ошибки
6 2 минимален.
9 Зак. 1494 257

4. Точно вычислить pj (Л0).
5. Вычислить Р [а0 < 0] по формуле, полученной в п. 4, и
сравнить с результатом, найденным в п. 2.
Задача 7.3.4. Рассмотрим модель задачи, описываемую
соотношением (120), но предположим, что
Ks(t,u:A) = Xc(A) 2 Ф,(0Ф,(и)
/ = i
и что XF1 (А) существует.
1. Построить структурную схему оптимального приемника,
дающего оценку ami.
2. Вывести выражение для границы Крамера—Рао.
3. Какая трудность возникает при попытке точно вычислить
средний квадрат ошибки?
Задача 7.3.5. Рассмотрим модель задачи, сформулированную
в задаче 7.3.4. Пусть Хс (А) = НА.
Предположим, что А является значением случайной величины,
априорная плотность вероятности которой равна
РаИ|*1э*2) = с(Л*^-1)ехр(—ЛЛх^/2), Л>0, kl3 £2>0,
где с — постоянный нормирующий множитель.
1. Найти Pair{t){A\r(t)).
2. Найти ams.
3. Вычислить Е [(ams — а)2].
Задача 7.3.6. Рассмотрим модель задачи, описываемую
соотношением (120). Предположим, что
к
Ks(t,u:A)= 2 Xi<bi(t,A)<S>i(utA)
i = \
и все Ф* (t, А) имеют одинаковую форму. Ортогональность этих
функций обеспечивается разнесением по времени или по частоте
(см., например, §4.3).
1. Построить структурную схему приемника, дающего оценку
2. Определить границу Крамера—Рао.
Задачи к § 7.4. Случай когерентности сигналов малой энергии
Задача 7.4.1. Предположим, что одновременно соблюдаются
условия;КСМЭ и~ СПБВН.
1. Вывести вариант формулы (136) для случая СПБВН.
2. Вывести вариант формулы (137) для случая СПБВН.
Задача 7.4.2. Рассмотрим модель задачи из примера 6.
258

1. Вычислить дисперсию оценки по формуле (142) для случай,
когда
/С(/, u) = e-a\i-u\m (1*)
2. Написать вариант формулы (142) для случая СПБВН при
ковариационной функции, определяемой выражением (1*). Сравнить
результаты по п. 1 и 2.
3. Вывести выражение для верхней границы смещения.
Вычислить ее при ковариационной функции вида (1*).
Задача 7.4.3. Рассмотрим модель задачи из примера 6.
Предположим, что для получения оценки в соответствии с формулой (140)
используется приемник для когерентного приема сигналов малой
энергии, хотя условие КСМЭ может и не соблюдаться.
1. Доказать, что а0 является несмещенной оценкой при любых
условиях.
2. Найти выражение для £~ .
3. Переписать это выражение с учетом того, что ковариационная
функция сигнала описывается соотношением (1*) из задачи 7.4.2.
Сравнить полученный результат с результатом по п. 1 той же
задачи.
Задача 7.4.4. Предположим что
Ks (t,u : A) = Af(t)Ks(t - u)f(u)
и условие КСМЭ соблюдается.
Построить структурную схему оптимального приемника,
дающего атХ.
Задачи к § 7.5. Некоторые родственные вопросы
Задача 7.5.1. Рассмотрим модель оценки, описываемую
соотношениями (150)—(158). Предположим, что
т(/,А) = 0, Ss (о),А) = Лх/(02 + А\)
и соблюдается условие СПБВН.
1. Построить структурную схему устройства оценки по
максимуму правдоподобия.
2. Вычислить J (А).
3. Определить нижнюю границу дисперсии любой несмещенной
оценки параметра Аг.
4. Определить нижнюю границу дисперсии любой несмещенной
оценки параметра Л2.
5. Сравнить результат п. 4 с результатами из задачи 7.1.12.
Какое влияние оказывает неизвестная амплитуда на границы
точности оценивания параметра Лг?
9* 259

Задача 7.5.2. Рассмотрим Модель оценки, отбываемую
соотношениями (150)—(158). Предположим, что
т (/,А) -= 0,
5зКА)=4тТ5- + -гЙг. (1*)
где kx и k2 — известны.
1. Построить структурную схему устройства оценки параметров
А1 и А2 по максимуму правдоподобия.
2. Вычислить J (A).
3. Определить нижнюю границу дисперсии любой несмещенной
оценки параметра Av
4. Определить нижнюю границу дисперсии несмещенной оценки
параметра А2.
5. Предположим, что параметр А2 известен. Определить нижнюю
границу дисперсии любой несмещенной оценки параметра Аг.
Сравнить этот результат с результатом п. 3.
6. Предположим, что соблюдается условие КСМЭ. Построить
структурную схему оптимального приемника.
7. Рассмотреть поведение результата п. 3 при N0 -> 0.
Задача 7.5.3. Пусть
S (со : A) =AS (со: о).
Предположим, что S (со : а) — ограниченный по ширине спектр
и AS (со : а) > N0/2 при всех Л и а.
1. Предположим, что а фиксировано. Определить значение
параметра Л, при котором функция 1пЛ(А) имеет максимум, с тем,
чтобы найти оценку amZ(a) параметра А по максимуму
правдоподобия.
2. Подставить этот результат в выражение для функции In Л (А)
и определить lnA(ami, а). Чтобы найти amh необходимо
максимизировать эту функцию.
3. Предположим, что а является скалярной величиной а.
Найти нижнюю границу дисперсии несмещенной оценки параметра
а. Сравнить эту границу с границей для случая, когда параметр А
известен. При каких условиях знание параметра А несущественно?
Задача 7.5.4. Повторить задачу 7.5.3 для случая, когда
AS(a : а) С N0/2 при любых А и а,
а спектр S (со : а) необязательно ограничен по ширине.
Задача 7.5.5. Рассмотрим модель, определенную в задаче 7.5.2.
Предположим, что
S5(o),A) =-- Л^оз2 + 2Ма/(©8 + k\).
Повторить задачу 7.5.2.
260

Задача 7.5.6. Рассмотрим модель, описанную в задаче 7.5.2.
Предположим, что
Se(a>,A) = (со- + Лг)/(со4 + Ai).
Определить J (A).
Задача 7.5.7. Вывести варианты формул (153) и (154) для
случая СПБВН.
Задача 7.5.8. Рассмотрим модель оценки, описываемую
соотношениями (150)—(158). Предположим, что
т (/,А) - AMt), Ss(co,A) = A2S(a>).
1. Построить структурную схему приемника, дающего оценки
параметров Аг и А2 по максимуму правдоподобия.
2. Вычислить J (A).
3. Определить нижнюю границу дисперсии любой несмещенной
оценки параметра Av
4. Определить нижнюю границу дисперсии любой несмещенной
оценки параметра Л2.
Задача 7.5.9. Рассмотрим двоичную (бинарную) симметричную
систему связи, описанйую в § 3.4. Предположим, что спектры
принятых по двум гипотезам колебаний аналитически записываются
в виде
s ((0)=lA1S1((o) + N0/2:Hl9
\A0S0(®)+N0/2:H0.
Гипотезы равновероятны, а критерием оптимальности является
минимальная суммарная вероятность ошибки Р(г). Параметры А0
и Аг — неизвестные неслучайные параметры. Спектры 52(ю) и
S0(co) — полосовые спектры, неперекрывающиеся по частоте и
симметричные относительно соответствующих средних частот.
1. Вывести выражение для критерия обобщенного отношения
правдоподобия.
2. Вывести приближенное выражение для вероятности ошибки
Р(е) при испытании по этому критерию.
Задача 7.5.10. Рассмотрим обобщенный случай задачи 7.5.4.
Ковариационная функция процесса s (/,A) равна
Ka(t,u : А) = AKsiUu : a).
Предположим, что соблюдается условие КСМЭ.
1. Найти 1пЛ(атЬа). Использовать векторное обобщение
формулы (136) в качестве исходного пункта.
2. Вывести выражение для информационной матрицы J (а;Л)
для оценивания параметра а.
261

Список литературы
1. Price R. Maximum-Likelihood Estimation of the Correlation Function of a
Threshold Signal and Its Application to the Measurement of the Target
Scattering Function in Radar Astronomy.. Group Report 34—G—4,
Massachusetts Institute of Technology, Lincoln Laboratory, May, 1962.
2. Adams R. L. Design and Performance of Some Practical Approximations
to Maximum Likelihood Estimation. M. Sc. Thesis, Department of
Electrical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, Feb., 1969.
3. Dicke R. H., Beringer R., Kyhl R. L., Vane A. B. Atmospheric Absorption
Measurements with a Microwave Radiometer. Phys. Rev., 1946, v. 170,
p. 340—348.
4. Middleton D. Estimating the Noise Power of an Otherwise Known Noise
Process. Presented at IDA Summer Study, July 1963.
5. Levin M. J. Pover Spectrum Parameter Estimation. Trans. IEEE, 1965,
v. IT—11, № 1, Jan, p. 100—107.
6. Levin M. J. Parameter Estimation for Deterministic and Random Signals.
Group Report 34—G—11, Massachusetts Institute of Technology,
Lincoln Laboratory (unpublished draft).
7. Hofstetter E. M. Some Results on the Stochastic Signal Parameter Problem.
Trans. IEEE, 1965, v. IT—11, № 3, July, p.442—429.
8. Harger R. O. Maximum-Likelihood Estimation of Focus of Gaussian
Signals. Trans. IEEE, 1967, v. IT—13, № 2, April, p. 318—320.
9. Pawula R. F. Analysis of an Estimator of the Center Frequency of a Power
Spectrum. Trans. IEEE, 1968, v.IT—14, № 5, Sept., p. 669—676.
10. Steinberg H., Schultheiss P., Wogrin C., Zweig F. Short-Time
Frequency Measurements of Narrow-Band Random Signals by Means of a Zero-
Counting Process. J. Appl. Phys., 1955, v.26, Feb., p. 195—201.
11. Mullen J. A. Optimal Filtering for Radar Doppler Navigators. 1962 IRE
Conv. Rec, Pt. 5, p.40—48.
12. Sakrison D. J. Efficient Recursive Estimation of the Parameters of
Radar or Radio Astronomy Target. Trans. IEEE, 1966, v.IT-12, № 1, Jan.,
p. 35—41.
13. Nahi N. E., Gagliardi R. On the Estimation of Signal-to-Noise Ratio and
Applications to Detection and Tracking Systems. USC ЕЕ Rept. 114, July,
1964.
14. Nahi N. E., Gagliardi] R. Use of Limiters for Estimating Signal-to-Noise
Ratio. Trans. IEEE, 1967, v.IT—13, № 1, Jan., p.127—129.
15. Rauch S. Estimation of Signal-to-Noise Ratio. Trans. IEEE, 1969, v. IT—
15, № 1, Jan., p.166-167.

8- ЗАДАЧА РАДИО^ И ГИДРОЛОКАЦИИ
Во второй половине этой книги полученные ранее результаты
теории обнаружения и теории оценок применяются к решению задач,
встречающихся при анализе и синтезе современных
радиолокационных и гидролокационных систем. Рассмотрение будет ограничено
лишь теми аспектами указанной задачи, которые связаны с
обработкой сигнала. Практическим и теоретическим вопросам
проектирования таких систем в целом посвящен ряд книг, например, по
радиолокации — [1—6] и гидролокации — [7—9]1).
В данной главе обсуждается качественная сторона этой задачи
и в общих чертах излагается организация остальной части книги.
Модель активной радио- или гидролокационной системы показана
на рис. 8.1. Излучается узкополосный сигнал, спектр которого
симметричен относительно некоторой несущей частоты сос. Если
имеется цель, то излученный сигнал отражается от нее. Свойства
отраженного сигнала зависят от характеристик цели, например, от
ее формы и движения. Отраженный сигнал в ослабленном и,
возможно, искаженном виде поступает на вход приемника. В простейшем
случае единственным источником помех в рассматриваемой системе
является аддитивный гауссов шум — внутренний шум приемника.
В более общих случаях дополнительно присутствует помеха,
обусловленная внешними источниками шумов или сигналами,
отраженными от других целей. В задаче обнаружения приемник
обрабатывает входное колебание г (/) для принятия решения о том,
имеется или нет цель в заданной области пространства. В задаче оценки
приемник обрабатывает это колебание для измерения некоторых
характеристик цели, например, дальности и скорости.
Как было отмечено в гл. 1, при решении задачи обработки
сигнала возникает несколько частных задач, в том числе:
1. Определение отражательных характеристик цели.
2. Учет влияния канала передачи на полезные сигналы.
3. Определение характеристик помех.
4. Построение оптимального и субоптимального приемников
и вычисление их характеристик.
1} Предполагается, что читатели, не знакомые с основными идеями
радио- или гидролокации, прочтут по крайней мере первую главу одной
из рекомендуемых книг.
263

Эти вопросы подробно рассматриваются в гл. 9—13. Прежде чем
приступить к детальному изложению, целесообразно в общих
чертах описать классификацию моделей цели, которые предстоит
обсудить.
Простейшей является модель, построенная исходя из
предположения, что характеристики цели остаются неизменными в течение
времени, пока она облучается излученным импульсом. Если далее
предположить, что ее протяженность (измеряемая в секундах)
пренебрежимо мала по сравнению с длительностью импульса, то ее
можно считать точечным отражателем по отношению к огибающей
импульса. Таким образом, влияние цели на огибающую сводится
к ослаблению (затуханию) и задержке (запаздыванию) последней.
Шредатчик
r(t) /~\ Нужный сигнал ^ цВЛъ^
< 4+К^— <-—r^-J
|^ч|^*-*^_ Отражения
1 _ хч. от другой цели
Аддитивный шум^—Внешние шумоЯые
приемника поля
Рис. 8.1. Модель активной радио- или гидролокационной системы.
Несущее колебание приобретает случайный фазовый'сдвиг. В этом
случае ослабление и фазовый сдвиг будут практически постоянны
во время действия импульса и их можно моделировать как
случайные величины. Такая цель называется медленно
флуктуирующей точечной целью.
В гл. 9 рассматривается задача обнаружения медленно
флуктуирующей точечной цели, находящейся на некотором расстоянии и
имеющей некоторую скорость. Предполагается, что единственной
помехой является аддитивный белый гауссов шум, и для этого случая
производится синтез оптимального приемника и определение его
помехоустойчивости. Затем исследуется случай небелого гауссова
шума, синтезируется соответствующий оптимальный приемник
и оценивается его помехоустойчивость. Чтобы получить полные
решения для этого случая, используется теория комплексных
переменных состояния. В заключение кратко обсуждается вопрос
синтеза оптимального сигнала.
В гл. 10 излагается задача оценки параметров цели. Вначале
рассматривается задача оценки дальности и скорости одиночной
цели в случае, когда помехой является аддитивный белый гауссов
шум. Для этого случая определяется структура оптимального
приемника; отправным моментом процедуры синтеза приемника
служит функция правдоподобия. Далее исследуется помехоустойчивость
приемника и влияние характеристик сигнала на точность оценки.
В рамках проведенного исследования показано, что характеристики
264
УстройстЗо
обработки
сигнала

сигнала при анализе учитываются некоторой функцией, получившей
наименование функции неопределенности; ввиду этого изложены
различные свойства функции неопределенности и рассмотрен вопрос
о том, как синтезировать сигналы с желательными функциями
неопределенности. В заключение главы приведена задача обнаружения
цели при наличии других, мешающих целей (так называемая
задача дискретного разрешения).
Хотя материал, изложенный в гл. 9 и 10, посвящен рассмотрению
простейшей модели цели, ознакомление с ним поможет читателю
понять те аспекты большинства современных систем радио- и
гидролокации, которые связаны с обработкой сигналов. Для
самостоятельного изучения этих двух глав вполне достаточно знания
материала гл. 4 первого тома.
В последующих трех главах исследуются более сложные модели
целей. За исключением вопроса реверберации, изложенного
в§ 13.2, их самостоятельное изучение предполагает знакомство с
материалом, рассмотренным в гл. 2—4. Работа над материалом гл. 11—
13 требует более высокого уровня теоретической подготовки и
больших усилий, чем изучение гл. 10, но знание этого материала
существенно для читателей, занимающихся исследованиями или
разработками в области более сложных систем обработки сигналов.
В гл. 11 анализируется точечная цель, флуктуации которой
происходят настолько быстро, что это проявляется даже на протяжении
времени отражения излученного импульса. Такие флуктуации
вызывают селективные во времени замирания принимаемого сигнала
и ввиду этого необходимо моделировать его выборочной функцией
случайного процесса.
В гл. 12 исследуется медленно флуктуирующая цель,
распределенная (протяженная) по дальности. Показано, что цель этого типа
вызывает частотно-селективные замирания и что в этом случае
также приходится моделировать принимаемый сигнал выборочной
функцией случайного процесса.
В гл. 13 рассматриваются флуктуирующие распределенные (про*
тяженные) цели. Такие модели полезны при исследовании
реверберации в гидроакустических системах и отражений от местных пред*
метов в радиолокационных системах. Они также пригодны при
решении задач радиолокационной астрономии и связи с
использованием рассеяния радиоволн. В первой части главы исследуются
задачи синтеза сигналов и приемников для систем, работающих в
условиях реверберации и отражений от местных предметов. Этим
завершается рассмотрение задачи разрешения цели, начатое в гл. 10.
Во второй части главы исследуются задачи обнаружения
флуктуирующих распределенных целей и задачи передачи информации по
флуктуирующим распределенным каналам. В заключение главы
излагается задача оценки параметров флуктуирующей
распределенной цели.
Глава 14 посвящена итогам и обзору основных результатов
рассмотрения вопросов обработки сигналов в радио- и гидролокацион-
265

ных системах. Ma всем протяжении изложения подчеркивается
сходство между задачей радиолокации и задачей цифровой связи
(передачи дискретной информации). В нескольких параграфах, помимо
вопросов радио- и гидролокации, рассматриваются конкретные
задачи цифровой связи.
При описании сигналов, систем и процессов в гл. 9—13
используется их представление посредством комплексных огибающих.
В Приложении этот метод представления изложен подробно. Идея
такой формы записи хорошо известна радио- и электроинженерам
в контексте векторных диаграмм. Для многих читателей большинство
результатов, относящихся к описанию сигналов, полосовых
частотно-избирательных систем и стационарных процессов, быдет
полезным лишь с точки зрения повторения и систематизации ранее
изучавшегося материала. Материал, посвященный нестационарным
процессам, собственным функциям и комплексным переменным
состояния для некоторых читателей может оказаться новым, и ввиду
этого в соответствующих частях Приложения по нему приводится
большое количество примеров. Назначение Приложения в целом —
дать эффективную систему записи для рассматриваемых в книге
задач. Затраты времени на изложение и изучение этой системы
записи оправдываются ввиду значительного упрощения выкладок,
которое достигается в остальной части книги. Тем, кто не знаком с
методом комплексной огибающей (методом комплексных амплитуд),
рекомендуем прочитать Приложение, прежде чем приступать к
изучению гл. 9.
Список литературы
1. Reintjes J. F., Coate G. Т. Principles of Radar. McGraw-Hill, New
York, 1952.
2. Скол ник М. И. Введение в технику радиолокационных систем. Пер.
с англ. Под ред. К. Н. Трофимова. М., «Мир», 1965.
3. Бартон Д. К- Радиолокационные системы. Пер. с англ. Под ред.
К. Н. Трофимова. М., Воениздат, 1967.
4. Современная радиолокация. Пер. с англ. Под ред. Ю. Б. Кобзарева
М., «Сов. радио», 1969.
5. DI Franco J. V.f Rubin W. L. Radar Detection. Prentice-Hall, Eng-
lewood Cliffs, N. J., 1968.
6. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Теория и
применение. Пер. с англ. Под ред. В. С. Кельзона. М., «Сов. радио», 1971.
7. Urick R. J. Principles of Underwater Sound for Engineers. McGraw-Hill,
New York, 1967.
8. Albers V. 0. Underwater Acoustics Handbook. Pennsylvania State
University Press, University Park, Pa., 1960.
9. Horton J. W. Fundamentals of Sonar. U. S. Naval Institute,
Washington, D. C, 1957.

• 9. ОБНАРУЖЕНИЕ МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩИХ
ТОЧЕЧНЫХ ЦЕЛЕЙ
В этой главе решается задача обнаружения медленно
флуктуирующей точечной цели при наличии аддитивного шума. Прежде всего
необходимо разработать математическую модель указанной задачи
для интересующих нас физических ситуаций. По ходу изложения
этого вопроса дадим более четкое определение понятий «медленно
флуктуирующая» и «точечная» цель. Если математическая модель
будет получена, то такая задача обнаружения является прямой
аналогией задачам, рассмотренным в § 4.2 и 4.3 первого тома, и ввиду
этого ее можно изложить весьма кратко. Рассмотрены три случая.
1. Обнаружение на фоне белого шума.
2. Обнаружение на фоне небелого полосового шума.
3. Обнаружение на фоне полосового шума, имеющего конечное
представление в переменных состояния.
Во всех перечисленных случаях используется комплексная форма
записи, которая подробно объяснена в Приложении. Изложение
материала главы начинается с разработки модели для процесса
отражения сигнала от цели (§ 9.1). В § 9.2 излагается задача
обнаружения на фоне белого шума. В § 9.3 рассматривается обнаружение на
фоне небелого полосового шума. В §9.4 результаты § 9.3
конкретизируются применительно к случаю, когда полосовой шум имеет
конечное представление в переменных состояния. В §9.5 кратко
рассмотрен вопрос синтеза оптимальных сигналов.
9.1. Модель медленно флуктуирующей точечной цели
Чтобы выработать модель цели, первоначально предположим, что
радио- или гидролокационный передатчик непрерывно излучает
гармоническое колебание. Таким образом,
S,(/)=/2P,.COS<Dc/ =
=l/2"Re[V^e/<D^]f —оо</<оо. (1)
Предположим теперь, что имеется цель с нулевой скоростью,
находящаяся на некотором расстоянии R от передатчика. Допустим,
267

что в физической структуре цели содержится К отражающих
поверхностей. Тогда отраженный сигнал можно записать в форме
sr (t) = V2 Re {V~Pt Д gi exp [/<dc (t-т) + 6 j}. (2)
Множитель ослабления gt учитывает влияние коэффициента
усиления передающей антенны, затухание сигнала на трассе при
распространении в прямом и обратном направлениях, эффективную
отражающую площадь 1-й отражающей поверхности и апертуру (или
коэффициент усиления) приемной антенны. Фазовый угол 0* — это
случайная фаза, появляющаяся в процессе отражения. Постоянная
т — время запаздывания отраженного сигнала относительно
излученного, равное времени распространения сигнала до цели и
обратно. Если скорость распространения сигнала равна с, то
т Л 2R/c. (3)
Для последующего анализа необходимо определить
характеристики отраженного сигнала (2). Если предположить, что величины
6^ статистически независимы, множители gt имеют одинаковые
модули и К велико, то на основании центральной предельной
теоремы можно получить:
sr(t)=V2 Re{VFt%exp[jcoc(t-r))}f (4) -
где b — комплексная гауссова случайная величина. Ее модуль
| Ъ | представляет собой релеевскую случайную величину, моменты
которой равны
£{|6|} = У^72аь, (5)
E{\~b\2} = 2ol (6)
Величина ol учитывает коэффициенты усиления антенн,
затухание на пути распространения сигнала и эффективную отражающую
площадь цели. Среднее значение мощности принимаемого сигнала
равно 2Ptol. Фаза величины b распределена равномерно.
На практике приближенное представление сигнала sr(t) в
форме (4) будет справедливым и при не очень больших значениях К.
Слэк[1] и Беннетт [2] исследовали это приближение подробно.
Оказывается, что уже при /(=6 распределение значений модуля
величины % является практически релеевским, а распределение значений
ее фазы — равномерным. Приближение на основе центральной
предельной теоремы имеет наибольшую точность вблизи среднего
значения и меньшую — на «хвосте» распределения. Но хвост
распределения модуля | b | соответствует большим уровням мощности и
поэтому оказывает меньшее влияние на точность рассматриваемой
модели.
268

В последующем предполагается, что процесс отражения является
частотно-независимым. Поэтому, если передается сигнал
st (/) = V2 Re [VFt exp (j<oJ + j<of)]9 (7)
то принимается сигнал вида
5r(/)=V2Re{Vp;^exp[/(o)c + o))(/-T)]}. (8)
'Предполагается также, что процесс отражения является
линейным. Поэтому, если передается сигнал
st(t)^V2Re[VFj(t)ei»ct] = V2Re[VYtej(*ct 7 ?(/(0)е/«^1,
— 00
(9)
то принимается сигнал
sr(Q = V2Re{V£;ftexp[/e>c(*-T)] j ?(/fi))exp[/a>(/-T)]-g.} =
— oo
= У2 Re {V'£;& exp [/(oc(/ — T)]f(/ — T)j. (10)
Поскольку фаза величины Ь распределена равномерно, множитель
e/(°ct можно учесть в ее фазе. Тогда
sr(/) = V2Re[T/E;6/'(/-T)e/(0c^. (H)
Функция / (t) является комплексной огибающей излучаемого
сигнала. Предполагается, что она нормируется согласно условию
J|f(')i'#=l. (12)
— оо
Следовательно, энергия излучаемого сигнала равна Et.
Математическое ожидание (среднее значение) энергии принимаемого сигнала
равно
lrA2Etal (13)
Далее рассмотрим цель с постоянной радиальной скоростью v.
Мгновенная дальность до цели при этом равна
R (О = До - vt. (14)
Сигнал, отраженный от этой цели и пришедший к приемнику
локационной станции, имеет вид
^(/) = V2Re{V£;67(/-T(/))exp[/(oc(/-T(0)]}, (15)
где т (/) — время запаздывания отраженного сигнала. Заметим,
что сигнал, принимаемый в момент времени t} был отражен рт цели
269

в момент времени [/ —т(/)/2]. В тот момент времени расстояние
до цели было равно
R(t-x (t)/2) = R0-v(t-% (t)/2). (16)
По определению
2^-т(0/2)^
С
Подставляя (16) в (17) и решая относительно т (/), получим
T(/) = iML_(^£l£. (18)
w l + v/c l + v/c
При скоростях цели, представляющих, практический интерес,
t>/c«l. (19)
Таким образом,
т(/)~^ - *L t/^T-—t. (20)
с с — с
Подстановка (20) в (15) дает
sr (/) = V2 Re [УЩ bnt-x+(2v/c) t] exp [/®c (t+ (2v/c)t)]}. (21)
(И на этот раз член с сост учтен в величине &.) Видим, что скорость
цели оказывает на сигнал двоякое влияние.
1. Сжимает или растягивает временной масштаб комплексной
огибающей.
2. Сдвигает несущую частоту.
В большинстве случаев первый эффект можно не учитывать.
Чтобы показать это, рассмотрим ошибку, допускаемую при графическом
представлении функции f (t — (2v/c) t) функцией f (t). Максимальная
разность в аргументах этих функций имеет место в момент
окончания импульса (скажем, Т) и равна 2vTlc. Получающаяся при этом
ошибка по амплитуде зависит от ширины спектра сигнала. Если
ширина спектра сигнала равна W [Гц], то за время, равное W'1 [с],
сигнал заметно измениться не может. Следовательно, если
2vT/c « \IW (22)
или, что эквивалентно,
WT « c/2v9 (23)
то с изменением временного масштаба в радиолокации можно не
считаться. Например, если скорость цели равна 8000 км/ч, то даже
при WT = 2000 неравенство (23) соблюдается1) и величина 2vT/c
оказывается пренебрежимо малой.
Сдвиг несущей частоты называется допплеровским сдвигом:
wD Л <ос {2v/c). (24)
1) Существует ряд задач звуколокации, в которых условие (23) не со-
блюдается. Мы остановимся нэ этих задачах в § 10.6.
270

Из (21) с учетом (24) и пренебрегая сжатием во времени, получим
sr (/) = У2 Re [V%bJ{t-%) exp (/<ос/+ <oD*)]. (25)
Мы будем использовать это выражение для принимаемого сигнала
на всем протяжении рассмотрения медленно флуктуирующих
точечных целей. Оно было выведено здесь довольно подробно, так как
важно понять предположения, сделанные при разработке
математической модели.
Далее предполагается, что имеется аддитивный гауссов шум
п (0 с полосовым спектром, который можно представить в форме
п (/) = V2 Re [п (0 ехр (/<ос/)]. (26)
(Такое представление полосовых процессов описано в Приложении.)
Таким образом, полное принимаемое колебание можно записать
в виде
г (t) = l/WtRe [bf(t—x) exp (j<oct+j®Dt)]+V2Re [n{t) exp (jcoct)\
(27)
или в более компактной форме
г (/)=V2 Re [7 (0 exp (/<ос/)], (28а)
где _
7{t) Д % VEt J(t — т) exp (/<oD /) + л (/). (286)
До этого момента мы занимались разработкой модели сигнала,
отраженного от цели, находящейся в некоторой точке плоскости
«дальность—допплеровская частота». Теперь можно сформулировать
рассматриваемую задачу обнаружения в явном виде. Требуется
исследовать некоторые значения дальности и допплеровского сдвига
частоты и решить, присутствует или нет цель в нужной точке. Это
обычная бинарная задача проверки гипотез, в которой принимаемые
колебания по двум соответствующим гипотезам можно записать
в виде
г (*) = V2 Re\[b VTJ(t—T) exp {j(oDt) + n(t)] exp (/сос/)),
Ti^t^TfiHn (29а)
г (/) = V2 Re [n(t) exp (/coc/)], Tt^t^Tf: H0. (296)
Поскольку нас интересуют только конкретные значения т и со, для
простоты алгебраических выкладок можно предположить, что они
равны нулю. Модификации для ненулевых т и со являются
очевидными и будут указаны позднее. Положив т и (x>D равными нулю,
получим
r(t)=V2Re{fbVFJ(t) + Z(t)]exp(j«>ct)}t Tt^t^Tt:Hl9
(30)
г (t) = У2 Re[n(t) exp(/coc f)], T, < f <y: H0. (31)
271

В следующих трех параграфах используется модель задачи,
описываемая соотношениями (30) и (31), и рассматриваются три случая,
отмеченные на с. 267.
Прежде чем приступить к изложению этих случаев,
целесообразно сделать несколько дополнительных замечаний относительно
введенной модели. На протяжении всего изложения материала будет
использоваться релеевская модель модуля \Ь\. На практике
существуют модели целей, которые невозможно адекватно описать
релеевской случайной величиной, и поэтому в рассмотрение были
введены другие распределения. В работах Маркума [8—10]
рассматриваются нефлуктуирующие цели. Сверлинг в работе [7]
использует релеевскую модель и релеевское распределение вероятности
исходя из предположения, что цель представляет один большой
отражатель и множество малых отражателей. В частности, если ввести
обозначение
гА\Ъ\\ (32а)
то плотность распределения вероятности в соответствии с послед*
ней моделью можно записать в виде
pz(Z) = (Z/Gl)z~Z/Gb, Z>0, (326)
Где ol определяется соотношением (6). Сверлинг [11] также
использует для величины z распределение %2:
Читатели, интересующиеся более подробным рассмотрением моде*
лей целей, могут обратиться к указанным выше источникам, а так*
же к работам [12, 13].
Большая часть из основных результатов, полученных в рамках
задач локации, применима к задаче дискретной передачи информации
(цифровой связи) по медленно флуктуирующим каналам, в которых
проявляются релеевские замирания. Для описания различных
физических каналов можно использовать соответствующие модели
замираний. Одна из них — так называемый райсовский канал [14], —
была введена в первом томе (с. 401). Более общая модель
замираний — канал Накагами [15, 16] — описывает поведение величины
J Ь | распределением Накагами:
являющимся обобщением распределения хи-квадрат, охватываю*
щим случай нецелых /С. Различные задачи, связанные с использо*
ванием этой модели канала, рассматриваются в работах [17—22].
Перейдем теперь к рассмотрению задачи обнаружения медленно
флуктуирующей точечной цели.
272

9.2. Обнаружение на фоне белого шума
В этом случае комплексные огибающие принимаемого колебания
по двум гипотезам представляются в виде
1 w(t)9 0<г<Г:#0,
где Ь — комплексная гауссова случайная величина с нулевым
средним и Е{\ b\2} = 2og, a w(t) — независимый белый
комплексный гауссов случайный процесс с нулевым средним и
ковариационной функцией
E[w (t)w* (u)] = N0 6(t — u). (35)
Комплексная огибающая f(t) имеет единичную энергию. Так как
шум является белым, интервал наблюдения можно выбрать равным
длительности сигнала.
Прежде всего необходимо найти достаточную статистику.
Поскольку шум является белым, полное колебание можно разложить
по любой полной ортонормальной
системе функций и получить стати- r(t)
стически независимые
коэффициенты (см. (П. 117)). Точно так же, как 'if "ft)
в §4.2 первого тома, можно взять '
сигнал за первую ортонормальную Рис. 9.1. Схема формирования
функцию И тогда соответствующий комплексной достаточной стати-
этому первый коэффициент разло- стики*
жения будет достаточной
статистикой. В комплексном случае должна производиться
взаимокорреляционная обработка процессов 7(f) и /*(/), как показано на рис. 9.1*
Получаемый в результате этого коэффициент разложения равен
т
71A\7{f)f*{t)dt. (36)
о
С учетом (34) имеем
7\УЙГЬ + Щ:НЪ (3?)
I о>1: #01
где Ъх — комплексная гауссова случайная величина с нулевым
средним и Е {\щ |2} = N0. Нетрудно убедиться в том, что 7г
является достаточной статистикой. Плотность вероятности комплексной
гауссовой случайной величины определяется формулой (П.81).
273
ГТ dt
J0

Испытание по критерию отношения правдоподобия выражается
в виде
__ [я (2ol Et +N0)]-i exp [_fo |«/(2og Et+ N0)] ^ ,
(l/nWJexp(-|/?i|V^,)
<
H0
(38)
После логарифмирования и перегруппировки членов получим
Н,
IRi
Ч N9(N,+2olEt)
<
Но
ЩЕг
М+Ч .+.*£.)
д.7- (39)
Структурная схема корреляционного приемника, осуществляющего
операции в комплексной форме, представлена на рис. 9.2. Струк-
rftl
fit)
ldt
h(7)
Отсчет 8 момент
времени t=T
Но
Рис. 9.2. Структурная схема корреля- Рис. 9.3. Структурная схема приемни-
ционного приемника (операции вы- ка с согласованным фильтром (опера-
полняются в комплексной форме) ции выполняются в комплексной
форме).
турная схема комплексного приемника, в котором используется
согласованный фильтр, показана на рис. 9.3. Здесь
где
r\ = ^7(u)h(T—u)du9
о
h{u) = f{T—u).
(40)
(41)
Структурная схема реального полосового приемника изображена на
рис. 9.4. Она содержит полосовой согласованный фильтр,
квадратичный детектор огибающей и дискретизатор (устройство выборки
в момент t = Т).
Вычисление вероятностей ошибок и правильных решений не
вызывает затруднений. Точно такая же задача была решена ранее
(см. с. 396 первого тома), однако здесь целесообразно повторить
вычисления для обобщения результатов.
274

Вероятность ложной тревоги равна
оо 2Я
Pf=P[N2>y|//0|]=J J J-e-^/iv.dZdp, (42)
где введено обозначение
^AZe/P. (43)
Таким образом,
pF=e-v/Vo. (44)
Лоломдой
\согласо0амь/й
фильтр
—*>
К3а&ратичшй\
детектор
огибающей
Отсчет 0 момент
дремени t=T
НУ
Рис. 9.4. Стурктурная схема оптимального приемника для обнаружения
полосового сигнала в белом гауссовом шуме.
Аналогично для вероятности правильного обнаружения^получим
PD = exp(—
2o\Et+
тУ^[~тЬыУ
(45)
где
Er^2o2bEt (46)
— ожидаемое значение энергии принимаемого сигнала. Объединяя
(42) и (45), получим
pF = pD("o +Er)/N0==:p(l+ Er/N0) e ^4?j
Как и следовало ожидать, достоверность обнаружения зависит
только от Er/N0, а форма сигнала7 (0 значения не имеет. Замечаем
также, что показатель экспоненциальной функции в выражении
для PD равен отношению математических ожиданий величины
| Rx |2 по соответствующим гипотезам:
N0+Er = ЕЦЫ2]^] ^ (48)
^о Е1\Ъг\*\Н0]
Из изложенного ясно, что этот результат будет справедлив для
критерия (39) во всех случаях, когда R± является комплексной
гауссовой случайной величиной с нулевым средним"по обеим гипотезам.
Соотношение (48) удобно представить в другой"форме: ^ ,
дд E|[£i|2lffi1 1=Е[\Ъ1\*\н1]-Е[\П1\*\Н0] (49)
- S[J£ii2|tfo] E[|/?i|2Uo]

Pf = Pln+*.
(50)
Теперь можно записать
В случае белого шума
д=ад,. (5i)
В следующем параграфе величина А будет определена для случая
небелого шума.
Для учета ненулевых т и (ud требуется лишь несложная
модификация полученных результатов. Результат обработки на выходе
приемника в этом случае следует записать в виде
|#i(t,co)12=
j r(t)T*(t—T)exp(—je>Dt)dt
(52)
/?ОЛДСО00Ц
согласованный
фильтр
—>
Квадратичный
demexmop
огиёающеи
r(t)
»i ппгляспаянныи \ -»i петннтоп \ ~»
От Tt
Отсчет 8 момент
дреме ни t=r
Рис. 9.5. Структурная схема оптимального приемника- для случая известного
допплеровского сдвига.
Этот результат можно получить, если пропустить принятое
колебание через фильтр, комплексная импульсная переходная функция
которого равна
h (u)=f* (Т + т—и) ехр (/о)£) и),
(53)
и далее через квадратичный детектор огибающей и дискретизатор!
осуществляющий выборку в момент времени
t=T. ч (54)
Можно использовать также комплексную переходную функцию вида
h(u)=f* (—и) ехр (jap и) (55)
и брать отсчет на выходе детектора в момент времени
t = т, (56)
результат будет эквивалентным. Очевидное преимущество такой
реализации заключается в том, что все дальности можно
испытывать, используя один и тот же фильтр. Эта операция показана на
рис. 9.5. Здесь комплексная импульсная характеристика
полосового согласованного фильтра определяется соотношением (55). На
практике отсчет выходного сигнала обычно берут в момент времени,
сдвинутый относительно начала наблюдения на величину, обратную
ширине спектра принимаемого сигнала, Для испытания различ-
276

ных значений допплеровского сдвига требуется набор различных
фильтров. Подробнее этот вопрос будет обсужден в гл. 10.
Рассмотрим теперь случай, когда п (t) является небелым шумом.
9.3. Обнаружение на фоне небелого полосового шума
В этом случае комплексные огибающие по соответствующим
гипотезам представляются в виде
r{t)JV¥trf(t) + n(t), T^i^Tj-.H^ (5?)
1 n(t), T^t^Tf-.H».
Аддитивный шум п (t) моделируется выборочной функцией
небелого комплексного гауссова процесса с нулевым средним. Он содержит
две статистически независимые компоненты:
n(t)Anc(t) + w(t). (58)
Ковариационная функция шума п (t) равна
Е \п (0Я* (и)] Л Кп (t, u) = Kc (t, и) + N08 (t—u), Tx </, и < Tf.
(59)
Заметим, что интервал наблюдения [7\-, Tf] может не совпадать
с интервалом, в пределах которого сигнал отличен от нуля. Любой
из трех методов, которые использовались в § 4.3 (с. 329—344)
первого тома, пригоден и в этом случае. Воспользуемся, к примеру,
методом выбеливания1). Пусть hwu (t, z) обозначает импульсную
переходную функцию комплексного выбеливающего фильтра.
Обозначим процесс на выходе фильтра, на вход которого воздействует
процесс п (t), через п* (/). Тогда
п% (/) = J h wu (t, z) n (z) dz, T^t^Tf. (60)
T;
Комплексную импульсную переходную функцию hwu (t, z) выберем
так, чтобы
E[ht(f)'n*t(u)] = E
т/
u hwu {t, z) n (z) %wu (и, x) n* (y) dzdy
= 6 (/ — «), T^t.u^Tj. (61)
1} Дальнейший ход рассуждений аналогичен последовательности
рассуждений, приведенных в п. 4.3.1. первого тома (с. 332—340), поэтому
здесь изложение будет конспективным. Для чтения последующего материала
настоятельно рекомендуется предварительно ознакомиться с содержанием
указанного параграфа.
277

Введем в рассмотрение функции r*(t) и />(/), определяемые
соответственно как
r~ {t)=[У°и1'>г) 7{г) dz> Г* <' < Г/>.
(62)«
'/~
I (0 =\hwu (t, у) f (у) dy, Tt < / < Т}.
(63)
Теперь для формирования достаточной статистики можно
непосредственно использовать результаты § 9.2. Согласно (36), имеем
~ TJ~
Tf Tf
К=\?Л*)7.У)сн=^ dt J hwu(t,z)7(z)dz\ Ku(t,y)7*(y)dy.
Ti Tf T- Tt
(64)
Как и ранее, введем в рассмотрение обратное ядро Q*n (z,y),
определяемое следующим образом:
Qn(z> У) A J hwu (t,z) hwu{t,y)dt, Tt < z,y< Tf. (65)
С учетом (65) из (64) получим
Обозначив
имеем
rx = jj 7(z)Q~(z,y)J*(y)dzdy.
g(z)= J" Qn (z,y) J(y)dy, Г, < / < 7",,
ri=.| r(z)g*(z)dz.
T,
В итоге оптимальный критерий можно записать в виде
\ 7{z)~g*{z)dz
т,
я,
я,
(66)
(67)
(68)
(69)
х) В §4.3 первого тома "^Е был отнесен к выбеленному сигналу. Здесь
проще исключить его из (63) и включить в множитель 1).
278

Структурная схема корреляционного приемника, осуществляю'
щего операции в комплексной форме, показана на рис. 9.6. Схема
полосового приемника с согласованным фильтром изображена на
рис. 9.7.
'Чг\
~V 1
f dt
»o
Рис. 9.6. Структурная схема оптимального приемника для случая
полосового сигнала на фоне небелого гауссова шума (операции
выполняются в комплексной форме).
" Поступая так же, как в п. 4.3.1 первого тома, получим
следующие соотношения:
] ФГ(t, х)КИ (х, и)dx=6(t—u), Tt<t,u<Tt, (70)
Qn(t,u)=-jr[6(t-u)-h0u(t,u)], Tt<t,u[<T/t (71)
rtt)
ПолосоЗои
согласованный
фильтр
—>
Хба&ратишш
детектор
огибающей
Отсчет S момент
бремени t = Tf
Но
(фильтр согласован
eg (t))
Рис. 9.7. Структурная схема оптимального приемника для случая полосового
сигнала на фоне небелого гауссова шума.
где функция h0 B (t,u) удовлетворяет интегральному уравнению
NQh0u(t9 и) + J h0u (*, и) Кс (/, х) dx= Kc (t9 u)y Г,<*, w<7y (72)
Функция /Г0 u(t,u) является импульсной характеристикой
оптимального нереализуемого фильтра для оценивания процесса nc(t) при
наличии белого шума oJ(tf) со спектральной плотностью N0. С
учетом (70) согласно (67) имеем
f (t) = J K7!(t,и)g(u)du, Tt<t<Tt%
(73)
279

или
J(t)=\ Kc (t, и) g (и) du + N0g (0, Tt < / < Tf. (74)
Это уравнение представляет собой комплексный вариант уравнения
I—4.169б1). В п. 4.3.6 первого тома были рассмотрены методы
решения интегральных уравнений этого типа. Все эти методы применимы
и к комплексному случаю. Особенно простое решение получается,
когда процесс является стационарным и интервал наблюдения
бесконечен. Тогда для решения уравнения (73) можно использовать
преобразования Фурье, в результате получим
Gco(/o))=?(/(o)/S7T(o)). (75)
При конечных интервалах наблюдения можно использовать методы,
описанные в п. 4.3.6 первого тома. Однако, когда небелый шум
имеет конечномерное комплексное представление в переменных
состояния (см. П.3.3), более эффективными для вычислений оказываются
методы, изложенные в следующем параграфе.
Для определения достоверности обнаружения вычислим А по
формуле (49). В результате получим
Д = Er j j J(t) Q~ (/, и) f* (и) dt du - (76)
или
A=ErlT(t)g*(t)dt. (77)
Ti
Заметим, что А — действительная (вещественная) величина. По
своей функциональной форме она аналогична величине d2 в случае
известного сигнала (см. (I—4.198)). Достоверность определяется
по формуле (50) и равна
PF=PlD+\ (78)
Из (78) очевидно, что при увеличении А достоверность всегда
повышается. Как и следовало ожидать, достоверность обнаружения
(качество работы) локационной системы в случае небелого шума
зависит от формы сигнала. Некоторые вопросы построения (синтеза)
сигналов будут рассмотрены в §9.5.
1) Читателю предлагается установить моменты аналогии между
комплексным случаем и случаем известного сигнала. Одно из преимуществ
комплексной формы записи заключается в том, что она подчеркивает это сходство и
позволяет нам использовать все ранее полученные результаты.
280

9.4. Обнаружение на фоне небелого шума с конечным
представлением в переменных состояния1)
Если компонента небелого шума имеет конечномерное
представление в переменных состояния, то можно синтезировать другую
структурную схему оптимального приемника, которая проста в
реализации. Метод, лежащий в основе синтеза, представляет собой
комплексный вариант того вывода, который был проделан в Приложении
второго тома. Используется та же самая модель шума, что и ранее
(см. (58)):
n(t)=^nc(t) + w(t). (79)
Предполагается, что небелый шум можно создавать, пропуская
комплексный белый гауссов шумовой процесс u (t) через
конечномерную линейную систему. Уравнения состояния и наблюдения имеют
вид
x(/)=F(/)x(/)+G(/)u(/), (80)
nc(t)=C(t)x(t). (81)
Начальные условия записываются в форме
Е[х(Тд]=09 (82)
Е[х(Т1)хЦТ1)]=К (83)
Ковариационная матрица возбуждающей функции равна
Е [и(/)? (o)] = Q6[f—o). (84)
В предыдущем параграфе было показано, что оптимальный
приемник вычисляет статистику
/о Л
и сравнивает ее с порогом (см. (69)). Функция g (f) определялась
уравнением
Tf „
/(/)- j <(/, и) g{u) du |- N0 g (/), Tt < / < Tv (86)
1} В этом параграфе используются результаты П.3.3 данного тома и
задач 4.3.4 и 6.6.5 из первого тома. Подробные выводы этих результатов
формулируются как задачи вне основного текста. При первом чтении данный
параграф можно опустить.
28\
) r{z)g*{z)dz
(85)

Из уравнения (81) имеем
%e(t,u) = E{he{f)n'c (uj\ = E[C{t)x(t)x* (u)Cr{u)] =
=C(t)K.7(t,u)Cf(u)- (87)
Используя (87) в (86), получим
/(/)=C(/)J Kz(t9u)V (u)t(u)du + Nig(fS9 Tt^t<Tf. (88)
Tt
Качество работы системы характеризовалось величиной
i=Er) J(t) g* (t) dt= Er J /* (/) g (t) dt.
(89)
Ti Ti
В этом параграфе необходимо вывести выражения для /0 и А
посредством дифференциальных уравнений. Они позволят нам
определить приемник и его помехоустойчивость полностью, не прибегая
к решению интегрального уравнения. Будут выведены два
альтернативных выражения. Первое получается в результате отыскания
системы дифференциальных уравнений и соответствующих
граничных условий, которые определяют функцию g (t). Второе выражение
основывается на реализуемой оценке шума пс (t) по минимуму
среднего квадрата ошибки.
9.4.1. Представление оптимального приемника посредством
дифференциальных уравнений и его помехоустойчивость: I вариант
Введем в рассмотрение функцию £(*), определяемую как
1 (/) Л j К7 М С * (т) i (т) dx9 Г, < / < 71,. (90)1)
Используя (90) в (88), получим
7(0 = c(oI(0 + ^oi(0. Tt^t^Tf9 (9i)
или
8(t)=~[J(t)-C(t)l(t)l T,</<7V (92)
<w<>
l) Заметим, что функция | (t) определяется соотношением (90). Ее не
следует смешивать с |р (/) -— ковариационной матрицей ошибок.
282

Таким образом, если найти % (f), то будем иметь Ёыраженйе дли
g (t) в явном виде. Путем модификации вывода, проделанного в
Приложении второго тома, можно показать, что функция % (t)
определяется уравнениями
^i2.=F(0l(/) +6(0 QC+ (0 ч(0, (93)
^=-lc+(0C(0l(0-Ft(0;n(0-^rc+(07(0. (94)
at N0 N0
1(Тд=РоЧ(Т,), (95)
Ч(Г,) = 0, (96)
Р0=ЁГ1. (97)
Они образуют систему линейных матричных уравнений, которую
можно решить численными методами.
Для определения А подставим (90) в (89). В результате получим
#0
TJ
(98)
-f J*(t)C(t)%(t)dt
(Напомним, что ранее предполагалось
Ь
)\J{t)\2dt=\) (99)
Первый член этого выражения характеризует помехоустойчивость
приемника при наличии только одного белого шума. Второй член
в квадратных скобках характеризует ухудшение
помехоустойчивости из-за наличия небелого шума. Обозначим его как
Д^Л j 7*(t)C(t)l(t)dt. (100)
Позднее мы рассмотрим, как следует выбирать функцию J (t), чтобы
величина Adg была минимальной. Заметим, что величина Adg
является нормированной и не содержит множителя Er/N0.
Синтезируем теперь другую структуру оптимального приемника
и выведем выражение для его помехоустойчивости на основе
реализуемой оценки.
283

9.4.2. Представление оптимального приемника посредством
дифференциальных уравнений и его помехоустойчивость: II вариант
Существует несколько путей синтеза требуемой структуры.
Ограничимся подробным рассмотрением двух методов.
Первый основывается на методе выбеливающего 'фильтра.
В § 9.3 для получения функции g (I) использовался нереализуемый
выбеливающий фильтр. Используем теперь реализуемый
выбеливающий фильтр. Пусть функция hwr (t,z) обозначает импульсную
характеристику комплексного реализуемого выбеливающего
фильтра. Если на входе фильтра имеется шум/Г(/), то шум на его
выходе представляется выборочной функцией белого шумового процесса.
Распространяя результаты решения задачи 4.3.4 из первого
тома на комплексный случай, можно показать, что
Кг (Uz) = Щ'" [б (* -г) - Тг0 (/,т: /)],
(101)
где h0(t,% : /) — импульсная характеристика линейного фильтра,
который выдает оценку шума nc(t) по минимуму среднего квадрата
ошибки, когда на его входе имеется сумма пс (t) + ш (/).
Статистику, испытания можно записать в виде
/п =
г t
\ Кг С. г) 7 (z) dz f Vwr (/, y)J* (y) dy
TJ
)rwr (t)%r(t) dt
1 Г
\dt\ =
(102)
Структурная схема приемника показана на рис. 9.8. Заметим, что
операции, представленные блоками, которые заключены внутри
штрихового контура, не зависят от r(t). Функцию fwr(t) вычисляют
при построении (синтезе) приемника. Именно эта вычислительная
операция обозначена блоками, обведенными штриховым контуром.
Реализация структуры алгоритма оптимальной обработки в
переменных состояния получается путем задания функции h0 (t>% : /)
при помощи дифференциальных уравнений. Поскольку ее можно
интерпретировать как алгоритм оптимальной оценки шума nc(t),
используем выражения (П. 159)—(П. 162).
Уравнение алгоритма оценки имеет вид
<М0_и,
-=¥(/)x(/)+Ip(oc+(0-J- F(0-
at N0
C(/)x(0l. 7\<f, (103)
284

а дисперсионное уравнение —
■ = F(0lH/H-ip(/)F+(/)-
dlP (0
dt
-%P(t)CUt)~ C(t)ip(t)+G(t)QG*(t), 7,</, (104)
Л',,
при начальных условиях
t(Tt)=E[x(Tt)] = 0,
|р(Гг.)=£[х(Г;)х+(Г;)].
(105)
(106)
\irl
—5*
\-\2\
к
"1
"о
Преобразование
3 комплексно -
сопряженную
величину
Рис. 9.8. Структурная схема оптимального приемника, в котором
используются реализуемые выбеливающие фильтры.
Оценка шума nc(t) равна
ncr(t)=C(t)x(t).
(107)
Заметим, что она является реализуемой оценкой по минимуму
среднего квадрата ошибки в предположении, что истинна гипотеза Н0.
Используя (ЮЗ), (107) и рис. 9.8, получим структурную схему
приемника, представленную на рис. 9.9.
Выражение для помехоустойчивости приемника получить
нетрудно. На выходе выбеливающего фильтра в нижней ветви
структурной схемы имеем функцию Jwr(t). Согласно (76) определяем
^ Ь
i\0 т.
(108)
285

На основании рис. 9.8 или 9.9 можно записать
7„г(о=17(0-7г(ОЬ
(109)
где7г (О — процесс на выходе оптимального реализуемого фильтра,
когда на его входе действует процесс f(/). С учетом (109) из (108)
получим
^ \\-$[2j*(t)l(t)-\l(t)\2]dt • (1
"0 \ Т.
У г )
10)
^©К*Н£.£*
~
ГЦ)
hiur*(t,r).
fwn(t)
Преобразование
д комплексно -
сопряженную
беличину
h
Но
fwVt)
Рис. 9.9. Структурная схема оптимального приемника (реализация в
переменных состояния) для обнаружения медленно флуктуирующей точечной цели
на фоне небелого шума.
На основании (100) видно, что
**,= ! [V4t)l{t)-\l{t)f\dt.
(Ill)
Можно также вывести структуру алгоритма оптимального
приемника непосредственно из соотношений (85) и (92). Так как этот
метод можно использовать для решения других задач, рассмотрим его
более подробно.
Второй метод вывода оптимального алгоритма1). В основе этого
метода лежит соотношение
IW = 2(04(0 + i('). Tt^t^Tf,
(112)
где S(0 и §г(/) — матрицы, которые теперь предстоит
определить. Дифференцируя (112) и используя уравнения (93)—(96),
1) Этот вывод можно опустить при первом чтении.
286

установим, что матрица 2(0 должна удовлетворять уравнению,
известному как дисперсионное (см. (104))
Ш=,? (0 S (0 + S (0F+ (t)- S (0 С^ (t) -l-C(f) S (0 + G (t) QG^/)
at No
(113)
при
S(7\) = Pe.
(114)
(Следовательно, 2 (f) = §/>(*)•) Функция |(*) должна
удовлетворять уравнению
i§W = F(0fr(0+-J-S(0C+ it)lf(t)-C(t)l(t)] (115)
при
M7\)=0.
(П6)
Это уравнение имеет такую же структуру, как уравнение алгоритма
оценки, с той лишь разницей, что г (t) заменяется на / (t).
Чтобы перейти к следующему этапу вывода, введем обозначения
для | (0 и г] (0, указывающие точку на конце интервала наблюдения.
Запишем эти функции в виде f (t, Tf) и rj (t, Tf). Они
удовлетворяют уравнениям (93)—(96) на интервале Tt < t ^ Tf.
Статистика испытания записывается в форме
/о =
J r(t)g*(t)
dt
irf r(x)[f(x)-Z(x)l{T)^(T9Tf)-
"0 «J
-C(T)|r(T)fdt
(117)
Для получения требуемого результата используем известные
методы дифференцирования и интегрирования:
/о =
Т,Г l t
^J ■£ Кг~(т)[Г(т)-С(т)2(т)п(т, t)-C(T)l(x)]*dT
Т- I \Т-
dt
(118)
Продифференцировав члены в фигурных скобках, получим
a-{-}=?(mF(t)-Z(t)i(m*+ $~г(?)
dt
-С(т)2(т)
ал(т « '•
dt J
dx.
(119)
287

Можно показать (см. задачу 9.4.5), что второй член сводится к
выражению
t „
Jr(T)[-C(T)S(T)-^|^pT=[7(0-C(0i(^]*[-C(0x(0],
о _ (120)
где \(t) — вектор состояния оптимального реализуемого
линейного фильтра, на входе которого действует процесс 7(f). Используя
(120) в (119), а результат — в (118), получим
J- j [7(f)-с (Ох (/)] {}(о-с(оС(0]*dt
(121)
Структурная схема приемника, определяемая выражением (121),
тождественна схеме приемника, показанной на рис. 9.9.
В этом параграфе были получены две реализации алгоритма
оптимального приемника в .переменных состояния для обнаружения
полосового сигнала на фоне небелого шума. Важность этих
результатов объясняется тем, что они позволяют полностью определить
оптимальный приемник и era помехоустойчивость для широкого
класса небелых шумовых процессов. Они также дают возможность
выразить задачу обнаружения в форме, в которой можно
исследовать вопрос о синтезе оптимального сигнала. Эта задача кратко
обсуждается в следующем параграфе.
9.5. Синтез оптимальных сигналов
Помехоустойчивость приемника при наличии небелого шума
определяется формулой (77). Ее можно переписать в виде
A=Er j ht) i* (/) dt=Er f J{t) j Qi#f и) f* (и) du dt=
= *г I f{t) Ь^(/)"^г} K*0u{tl u)T*(u)dAdt=
r. L т. J
-{ErlNo)
L r,
f(t)hlu(t, u)J*(u)dtdu
}
(122)
При написании последнего выражения использовано условие
нормировки (99). Интеграл во втором его члене представляет собой ве-
m

личину kdg, которая первоначально была определена выражением
(100). Альтернативным выражением для Arfg является (111).
Требуется выбрать функцию f(t) так, чтобы величина Adg была
минимальной. Чтобы задача'имела смысл, необходимо ограничить
энергию и ширину спектра функции /(/) (см. с. 345 первого тома).
Наложим следующие условия:
— ограничение по энергии:
Tf
f \f(t)\2dt=U (123)
— ограничение по среднему квадрату ширины спектра:
df(t)
dt
dt=B
(124)
Т;
Кроме того, во избежание разрывов непрерывности функции /(/)
на концах интервала, потребуем, чтобы
HT,)=T(Tf) = 0. (125)
Функция, которую требуется минимизировать, записывается в виде
т.* г т4
т,
J= j* j f(t) h%u (t, u) f* (u) dt du + kE\ J I 7(0 I2 dt -
1
+
+ X£
J l Jf/n 12
i
^Ti
\df(t) 1
dt
dt—B2
(126)
где ^ и ^ — множители Лагранжа. Чтобы выполнить
минимизацию, положим
и потребуем, чтобы
А 1 I
=-0 (128)
dJ
de
8=0
для всех fs(t), удовлетворяющих условиям (123)—(125). Подставив
(127) в (126) и выполнив указанные действия, получим
ReU^h{t)hlu{t, u)r0'u)dudt+XE f f\t)f;(t)dt +
10 Зак. 1494
(129)
289

В результате интегрирования последнего члена по частям, учета
(125) и группировки членов имеем
Tf
j hlu (t, и) /1 (и) du + ХЕ f* (0 - Кв f* (t)
L
0. (130)
Поскольку функция fl является произвольной, выражение,
заключенное в квадратные скобки, должно быть тождественно равно
нулю. На основании (92) и (122) замечаем, что
Tf~
f h*0a (t, и) f* (и) du = [С (0 f(0]*, когда 8=0. (131)
Введем в рассмотрение функцию fy (t), определяемую как
Р/(0 = -^Го(0- (132)
Теперь имеем следующую систему дифференциальных уравнений,
которой определяется функция f0(t):
$,(t)=-lEJ0(t)-C(t)%(t), (133)
fo(0=-iLMO. (134)
f (0 = F(/)f(0 +G(0QG+ (t)4(t), (135)
ч (/)=-i-'£+ W c(0I(/)-f+ n (o- -^cf (/)fo(0. (136)
при граничных условиях
fo(Ti)=Jo(Tf) = 0, (137)
С^-РоЛ^;), (138)
Л(71/) = 0. (139)
Если вектор состояния наблюдаемого процесса является
n-мерным, то имеем 2п + 2 линейных уравнений. Их необходимо решить
как функции множителей %е и Хв, а затем вычислить эти
множители с учетом условий (123) и (124). Поскольку условие (128)
является лишь необходимым, получим несколько решений, которые
удовлетворяют уравнениям (133)—(139) и условиям (123)—(125).
Поэтому следует выбрать решение, которое дает абсолютный
минимум. Баггерер [3, 4] впервые вывел уравнения (133)—(139),
исходя из принципа Понтрягина, и нашел их решения для некоторых
типичных процессов с действительными значениями. Подробное
рассмотрение этих вопросов можно найти в двух упомянутых
работах Баггерера.
290

Часто вместо квадратичных условий (123) и (124) бывает
желательным наложить на сигнал более жесткие ограничения.
Например, можно потребовать, чтобы
|f(0l<4, 7\.</<7у (140)
В этом случае для отыскания уравнений, определяющих
оптимальный сигнал, можно использовать принцип Понтрягина (см. [5] или
[6]). '
Цель этого краткого рассмотрения — показать, как метод
представления в переменных состояния можно использовать для
исследования методов синтеза оптимальных сигналов. Другие задачи
синтеза сигналов будут встречаться по ходу изложения материала
книги.
9.6. Краткие итоги главы и родственные вопросы
В этой главе была рассмотрена задача обнаружения сигнала,
отраженного от медленно флуктуирующей точечной цели, на фоне
аддитивного шума. Все проделанные в главе выводы явились
непосредственным развитием ранее высказанных положений. Следует
выделить несколько важных результатов.
1. Если аддитивный шум является белым, то оптимальный
приемник имеет структурную схему, показанную на рис. 9.4.
Принимаемое колебание пропускается через полосовой согласованный фильтр
и квадратичный детектор огибающей. Выборочные отсчеты выходного
напряжения детектора огибающей сравниваются с порогом.
Достоверность обнаружения описывается монотонной функцией
отношения Er /N0:
р, = рв1+Ъ».. (Ш)
2. Если аддитивный шум является небелым, то оптимальный
приемник должен иметь структурную схему, представленную на
рис. 9.7. Оптимальные приемники для этих двух случаев
различаются только видом импульсной характеристики согласованного
фильтра. Достоверность обнаружения в этом случае является
функцией величины А, определяемой соотношением
Tf
A = Er j f f{t) Q~ {tt riff* (u) dt du. (142)
Частные случаи конкретных видов небелых шумов будут
рассмотрены позднее.
3. Если небелый шум имеет конечномерное представление в
переменных состояния, то оптимальный приемник должен реализовы-
ваться по структурной схеме, показанной на рис. 9.9. Преимущество
Ю* 291

этой реализации в том, что она позволяет избежать необходимости
решать интегральное уравнение.
Существует ряд родственных вопросов, на которых следует,
остановиться. Во многих радио-и гидролокационных системах для
достижения удовлетворительной достоверности обнаружения бывает
необходимо облучать цель серией импульсов. Типичная
последовательность излученных импульсов показана на рис. 9.10. И на этот
раз предполагается, что справедлива релеевская модель отражения
сигнала, введенная в § 9.1. Теперь необходимо определить, как
связаны между собой отраженные от цели сигналы (эхо-сигналы),
обусловленные последовательно излученными импульсами. Интерес
представляют три случая.
W)k
тР
Рис. 9.10. Типичная серия импульсов излучаемого сигнала.
В первом цель не флуктуирует в течение всего времени
облучения ее полной серией импульсов. При этом сигнал, отраженный от
цели, имеющей нулевую скорость движения, на приемной стороне
можно записать в форме
sr(0 = V2ReJ6 |] Ta(t-iTp-T)exp(j(oct)
z=l
(143)
Заметим, что в выражении (143) имеется единственный комплексный
множитель Ъ. Эта модель принимаемого сигнала может быть
пригодной для радиолокационной системы с высокой частотой
повторения импульсов и таких целей, небольшие перемещения которых
не оказывают заметного влияния на отраженные сигналы. Сравнивая
выражения (25) и (143), можно заключить, что рассматриваемый
частный случай сводится к задаче, которая только что была
решена, если ввести обозначение
В условиях, когда единственным видом помех является белый шум,
оптимальный приемник должен ^иметь полосовой фильтр, согласо-
292

ванный с импульсом серии (пачки). Перед операцией детектирования
огибающей производится суммирование (накопление) принятых
импульсов серии. Достоверность обнаружения при этом
определяется величиной
Д = £г/Л^АЧ2о2£0/^о> (Н5)
где Et — энергия каждого излученного импульса в серии.
Во втором случае предполагается, что | b | имеет одинаковое
значение по всем импульсам, но фаза каждого импульса считается
статистически независимой, равномерно распределенной случайной
величиной. Такая 'модель сигнала может быть пригодной для таких
же условий, как" и в первом случае, когда РЛС работает в режиме,
при котором когерентность несущего колебания от импульса к
импульсу не обеспечивается. Синтез оптимального приемника и
определение его помехоустойчивости для этого случая производятся
в рамках задачи 9.6.1.
В третьем случае- цель флуктуирует настолько быстро, что
отраженные от нее сигналы, обусловленные соседними импульсами
серии (пачки), можно считать статистически независимыми. Тогда
sT(t) = V2Rej 2 ^rs(^-^p-T)exp(/coc0J. (146)
Здесь bt — статистически независимые комплексные гауссовы
случайные величины с одинаковыми статистиками и нулевыми
средними. Такая модель годится для условий, когда небольшие изменения
ориентации цели вызывают значительные изменения отраженного
сигнала.
Эта модель соответствует задаче обнаружения гауссова сигнала
на фоне шума в случае процессов с разделимыми ядрами, которая
была рассмотрена в §4.2. В этом случае принимаемое колебание в
оптимальном приемнике пропускается через полосовой фильтр,
согласованный с импульсом пачки, и квадратичный детектор
огибающей. С выхода детектора через каждые Тр секунд снимается
отсчет и эти отсчеты складываются. Полненная таким образом сумма
сравнивается с порогом для вынесения решения.
Помехоустойчивость приемника для этого случая определяется
точно так же, как в § 4.2 (см. задачу 9.6.2). Помехоустойчивость для
данной конкретной модели подробно исследована Сверлингом [7].
Другим близким вопросом является дискретная передача
сообщения (цифровая связь) по медленно флуктуирующему релеевс-
кому каналу при использовании двоичного или М-ичного метода
модуляции. В этом случае комплексную огибающую принимаемого
сигнала можно записать в виде
7(t) = VThbJh(t)+n(t)f Tt^t^Tf:Hki k=l,...,M. (147)
293

Структуру оптимального приемника для указанного случая
получить нетрудно (см. задачу 9.6.7). К вопросу о его
помехоустойчивости мы обратимся в одной из последующих глав.
Этим завершается предварительное рассмотрение задачи
обнаружения. В следующей главе рассмотрим задачу оценки параметров.
Позднее изучение задачи обнаружения будет продолжено и мы
рассмотрим некоторые другие ее аспекты.
9.7. Задачи
Задачи к § 9.2. Обнаружение на фоне белого шума
Задача 9.2.1. Оптимальный приемник для обнаружения
сигналов при наличии белого шума определяется соотношениями (36)
и (39). Рассмотрим субоптимальный приемник, который вычисляет
l*=\ r(t)v*(t)dt (1*)
*|
и сравнивает \lv\2 с порогом у. Функция v(t) является
произвольной.
1. Убедиться, что помехоустойчивость этого приемника
полностью определяется формулой (50), если положить А = Дс> где
■л д д [1 г^ ГI /Ух1—д П Г |/Уо1 /9*ч
1"~ Й|Ж • (2)
2. Вычислить величину AD для случая, когда на входе приемника
имеется процесс
3. В результате выполнения п. 1 и 2 получим выражение для
Д0 в виде функционала от v (t). Найти функцию v(t)9 которая
минимизирует величину Д0. (Это структурный подход к задаче
построения оптимального приемника, определяемого соотношениями
(36) и (39).)
Задача 9.2.2. Предположим, что
f(t) = lVT]f> °<'<П
J 0 при других t.
Комплексная огибающая принимаемого колебания записывается
в виде
7(t)=VEJ(t) + w(t)t — oo</<oo.
294

1. Представить графически сигнал на выходе согласованного
фильтра как функцию времени.
2. Предположим, что вместо согласованного фильтра
используется полосовой фильтр, средняя частота которого равна о)с, а
передаточная функция (для комплексной огибающей)
ДО)-!1- 1'1<т
\0, \f\>W/2.
Обозначим комплексную огибающую колебания на выходе этого
фильтра, обусловленную сигналом, через f0(t), а комплексную
огибающую, обусловленную шумом, — через w0{t). Введем в
рассмотрение величину А с, определяемую как
А,=
max IM0I2
_J
£[K(0I21
Убедиться, что эта величина соответствует AD, определенной
согласно (2*) в задаче 9.2.1. Представить графически зависимость
отношения
А =-А_
СП ErlN0
от произведения WT. Каково оптимальное значение произведения
WT? Каково значение величины Ас71 в децибелах при этом
оптимальном значении? Чувствительна ли величина Асп к значению
произведения WT1
Задача 9.2.3. Комплексная огибающая излучаемого сигнала
записывается в виде
7(f)=a2Z(t-iTp)9
i= l
где
( 0 при прочих /,
Tp » T8.
1. Представить графически преобразование Фурье функции
т.
2. Согласованный фильтр для сигнала с комплексной огибающей
/ (/) иногда называют «гребенчатым фильтром». Рассмотрим
передаточную характеристику этого фильтра
H{f}= 2 Y{f-iWv),
{« —М
205

где
?</> = {{
\f\<W,l2,
(О при прочих /,
wP>ws.
Предположим, что
Wp = VTP, Ws = 2/ (NTP)
и УИ является наименьшим целым числом, превышающим Тр/Т&.
1. Построить ориентировочный'график характеристики #{/}.
2. Определить уменьшение величины А, обусловленное тем, что
фильтр является субоптимальным.
3. Почему можно было бы вместо оптимального фильтра
использовать фильтр с передаточной характеристикой Н {/}?
Задача 9.2.4. Система передачи двоичной информации работает
по двум разнесенным по частоте каналам. Принимаемые колебания
по двум гипотезам представляются в виде
г(/) =
\VEtRe{b1J(t)exp(ja1t) +
+ bj(l) exp (/co2/)} + n (/), 0< г< Т : Н1з
я (0, 0<^<Г:#0.
Множители Ьх и Ь2 — статистически независимые комплексные
гауссовы случайные величины с нулевыми средними,
Е[Ь1ЬП=-Е[Ь2Ь*2]==2о1
Частоты (Oj и со2 разнесены настолько, что сигналы можно считать
практически неперекрывающимися. Полная энергия передаваемых
сигналов равна Et. (По Et/2 в каждом канале.) Аддитивный шум
п (/) моделируется выборочной функцией белого гауссова процесса
с нулевым средним и спектральной плотностью NJ2.
1. Определить структуру оптимального приемника.
2. Найти зависимости вероятностей Pd и Pf от порога. •
3. Примем критерий минимальной суммарной вероятности
ошибок и одинаковые априорные вероятности. Найти требуемое
значение порога и получающуюся суммарную вероятность ошибок
Р(е).
Задача 9.2.5. Рассмотрим модель, введенную в задаче 9.2.4.
Предположим, что указанные два канала имеют разные
интенсивности затухания и для передачи по ним используются неодинаковые
энергии. Таким образом,
г (/) = У 2 Rе {УЕХ Ьх f(t) exp (}щ t) + VE~2 b2 J(t) exp (/©2 t)} +
f /?(/), 0</<7:/Л, (I*)
где
Ег + E2 = Et.
296

Принимаемое колебание по гипотезе Н0 является таким же, как
в задаче 9.2.4. Средние квадраты значений случайных величин,
характеризующих интенсивность затухания в каналах, равны
E[b1b\] = 2al Е[Ь2Ъ*2] = 2а1
1. Определить структуру оптимального приемника.
2. Найти зависимости вероятностей Ро и PF от порога.
■3. Примем критерий минимальной суммарной вероятности
ошибок. Найти значение оптимального порога и получающуюся
суммарную вероятность ошибок Р(е).
Задача 9.2.6. Рассмотрим модель из задачи 9.2.5. Теперь
предположим, что коэффициенты передачи каналов коррелированы:
£др]. £[6V]=Ar.
При этих условиях выполнить задания п. 1—3 задачи 9.2.5.
Задача 9.2.7. В системе передачи двоичной информации сигнал
передается по N релеевским каналам, когда истинна гипотеза Нх.
Принимаемые колебания по двум гипотезам можно записать в виде
г (0=-{V^^ Re {•?, F£ ^(0 CXP (/COi ^>} + n (/>^ 0<'<r:tflf
1 n(t), 0</<Г:#0.
Множители ослабления каналов—статистически независимые
комплексные гауссовы случайные величины с нулевыми средними
значениями
Е[ЬГЬ)] = 2о18и.
Частоты разнесены настолько, что компоненты сигналов не
перекрываются. Полная энергия передаваемого сигнала равна Et.
Аддитивный шум п (t) является гауссовым процессом с нулевым
средним значением и спектральной плотностью N0/2.
1. Определить структуру оптимального приемника.
2. Найти \i(s).
3. Предположим, что выбранный критерий дает минимальную
суммарную вероятность ошибок. Найти приближенную вероятность
ошибок Р (г). (Указание. Использовать материал § 2.7 первого тома.)
Задача 9.2.8. Рассмотрим модель из задачи 9.2.7. Предположим,
что энергия сигнала, передаваемого по t-му каналу, равна Eh
причем
N
2 Et=Et.
i= l
Предположим, что множители затухания каналов коррелированы:
£[fcfct]=Ab\
297

1. Определить структуру оптимального приемника.
2. Найти \i (s).
Задача 9.2.9. Рассмотрим модель цели, описываемую
соотношениями (32а) и (326). Предположим, что фаза является равномерно
распределенной случайной величиной.
1. Синтезировать оптимальный приемник.
2. Вычислить вероятности Pd и Pf.
3. Предположим, что в этой системе необходимо обеспечить
такую же вероятность ложной тревоги Pf, как в системе,
соответствующей релеевской модели цели. Найти выражение для отношения
значений вероятностей обнаружения Ро в этих двух системах.
Задача 9.2.10. Рассмотрим модель цели, описываемую
соотношением (32в). Выполнить задания п. 1 и 2 задачи 9.2.9.
Задачи к § 9.3. Обнаружение на фоне небелого
полосового шума
Задача 9.3.1. Рассмотрим приемник, определяемый
соотношением (1*) из задачи 9.2.1. Сигналы на входе приемника,
соответствующие двум гипотезам, определяются соотношениями (57) — (59).
1. Убедиться, что результаты, полученные в п. 1 задачи 9.2.1,
по-прежнему справедливы.
2. Вычислить AD для модели, описываемой соотношениями
(57) -(59).
3. Найти функцию v (t)y которая минимизирует величину Лг.
Задача 9.3.2. Рассмотрим модель, описываемую соотношениями
(57) — (59). Предположим, что
\ 0 при других /,
§С(С0)= 2k?C , .— ОО<0)<ОО.
Интервал наблюдения считается бесконечным.
1. Найти goo (т).
2. Определить величину А0 как функцию параметров Еи k9
Ts, Pc и N0.
3. При каком значении параметра Ts величина Д0 максимальна?
Дать объяснение полученному результату.
Задача 9.3.3. Предположим, что
MO=M0—/MOt —oo</<oo.
Функция пх(/) генерируется путем пропускания функции u^t)
через фильтр с передаточной характеристикой
а функция n2(t) — путем пропускания функции u2(t) через такой
же фильтр. Входные шумы ux(t) и u2(t) описываются выборочными
298

функциями действительных белых гауссовых процессов с единичной
спектральной плотностью и взаимной корреляционной функцией
Elu^u^Q] = <*буг — t2 — A).
1. Найти Sz (о)).
2. Рассмотрим модель цели, описываемую соотношениями (57) —
(59), и предположим, что интервал наблюдения бесконечен. Найти
выражение для передаточной функции реализуемого выбеливающего
фильтра, если фильтр с передаточной функцией, обращенной по
отношению к первой, также является реализуемым.
Задача 9.3.4. Предположим, что
/= 1
где^/) — известные функции с единичной энергией, а а% —
статистически независимые комплексные гауссовы случайные
величины с
E[fa\*] = 2ol
Интервал наблюдения бесконечен. Предполагается модель цели,
описываемая соотношениями (57) — (59).
1. Найти g(t). Ввести удобную систему матричной записи,
чтобы сделать задачу простой.
2. Рассмотрим частный случай, когда
ki(t)=T(t— Т|)ехр(/ю,0,
где tf и (0| — известные постоянные величины. Построить
структурную схему оптимального приемника.
Задача 9.3.5. Предположим, что
/= i
где _
^(0=(i/Vrs, o</<rs, {Г)
I 0 при прочих t,
I Ш2=1. (3*)
Предположим, что используется приемник из задачи 9.2.1 и
»(0= %щЪЦ-1Т8\ (4*)
где
ii^i2=i. (5*)
299

Справедлива модель цели, описываемая соотношениями (57) —
(59); интервал наблюдения бесконечен. Введем в рассмотрение вектор
весового фильтра, определяемый как
_UvJ
(6*)
1. Найти выражение для величины Дг через /, v, Eu N0 и
Кс (/, и). Ввести соответствующие матрицы.
2. Выбрать вектор v с соблюдением условия (5*), чтобы
максимизировать величину Д0.
Задача 9.3.6. Комплексные огибающие по двум гипотезам можно
записать в виде
г(о=
\VEt bj(t) + nc(t)+w(t), -оо <t < оо : Я,,
nc(t) + w(t),
Сигнал имеет единичную энергию:
I \f{t)\*dt=\.
-оо </ < сю : Я0.
(1*)
(2*)
Небелый шум nc(t) является выборочной функцией комплексного
гауссова процесса с нулевым средним значением и спектром Sc(cd),
причем
1
d(d
S»-^ = 2a2c
2я
(3*)
Белый шум w (t) является комплексным гауссовым процессом с
нулевым средним значением и спектральной плотностью N0.
Множитель Ь — комплексная гауссова случайная величина с нулевым
средним значением и средним квадратом модуля
Е[ЬЪ*] = 2о1. (4*)
Различные случайные процессы и случайные величины,
участвующие в данной задаче, считаются статистически независимыми.
1. Найти спектр небелого шума S^ (со), который удовлетворяет
условию (3*) и минимизирует величину А, определяемую формулой
(76). Заметим, что величину Д можно также записать в форме
A=Er f -Ш>
dw
F (/(о)
S~ (со) 2л
300

{Указание. Использовать метод, описанный в гл. 5 второго тома.
Обозначить минимальное значение величины А через Дт.)
2. Вычислить Ат для сигнала
/W 1 0, *<0.
3. Вычислить Ат для сигнала со спектром
?m = ll/VW9 |/|<И7,
v/ 1 о, \f\>w.
Задача 9.3.7. Рассмотрим такую же модель цели, как в задаче
9.3.6. Необходимо синтезировать оптимальный сигнал при
соблюдении ограничений по энергии и ширине спектра. Предположим, что
спектр Sc (о) симметричен относительно нуля и требуется, чтобы
s
®f(/®) = 0f (Г)
$ (o2|F(/co)|2<QB. (2*)
1. Убедиться, что величина Л зависит только от формы сигнала
через
ЗгИ а !?(/<*) I2.
2. Найти спектр Sj((o) при соблюдении условий (1*) и (2*)
данной задачи и условия (2*) задачи 9.3.6, который максимизирует
величину А.
3. Представляется ли ответ по п. 2 интуитивно верным?
4. Как влияет снятие требования симметрии спектра Sc(co)
и требования (1*) к передаточной функции F (/со)? Обсудить это на
примере некоторых конкретных спектров.
Задача 9.3.8. Рассмотрим модель из задачи 9.3.5. Предположим,
что комплексная огибающая желательного сигнала записывается
в виде
Ы0=Г(0«Р(/<М)
и вектор v выбирается из условия максимизации величины Ау для
этого желательного сигнала. Предположим, что/Сс (t,
и)—стационарный пронесс, спектр которого равен
Sc(o))A(^Pc/yV0)|?(/o))|2.
301

1. Предположим, что N — 2. Найти vx и v2.
2. Предположим, что f( = 1 и N = 3. Найти иъ i;2 и tT3-
Задачи к § 9.4. Обнаружение на фоне шума
с конечным представлением в переменных состояния
Задача 9.4.1. Рассмотрим модель, описываемую соотношениями
(79) — (92). Вывести уравнения (93) — (96). (Указание. Прочесть
§ П. 4 — П. 6 Приложения во втором томе.)
Задача 9.4.2. Предположим, что шум nc(f) имеет представление
в переменных состояния, описываемое соотношениями (П. 137) —
(П. 140). Записать уравнения (93) — (96) в развернутом виде.
Задача 9.4.3. Предположим, что шум nc(t) имеет представление
в переменных состояния, описываемое соотношениями (П. 148) —
(П. 153). Записать в развернутом виде уравнения (93) — (96).
Задача 9.4.4. Рассмотрим^модель из п. 9.4.2. Предположим, что
пс (/) — комплексный гауссов процесс, действительная и мнимая
части которого являются статистически независимыми винеровски-
ми процессами. Найти необходимые функции для приемника,
структурная схема которого показана на рис. 9.9.
Задача 9.4.5. Проверить правильность соотношения (120).
Задача 9.4.6. Рассмотрим модель из п. 9.4.2. Предположим, что
МО =2 МО f('-*i)«p (/©,/),
где bt (t) — статистически независимые комплексные гауссовы
процессы с представлением в переменных- состояния, описываемым
соотношениями (П. 137) — (П. 140). Построить структурную схему
оптимального приемника, представленную на рис. 9.9. Выписать
подробно необходимые соотношения.
Задачи к § 9.5. Синтез оптимальных сигналов
Задача 9.5.1. Рассмотрим задачу синтеза оптимального сигнала
из § 9.5. Предположим, что
Sc (со) = 2а/(со2 + а2), — <х> < <о < оо.
Записать соотношения, определяющие оптимальный сигнал.
Задача 9.5.2. Задача синтеза оптимального сигнала становится
значительно проще, если ограничить выбор формы сигнала и
приемника. Предположим, что/ (t) характеризуется соотношениями (1*) —
302

(3*) задачи 9.3.5 и требуется, чтобы
. v(t) = f{t)
(см. (4*), (5*) задачи 9.3.5).
1. Выразить величину AD через fiy Eu N0u Kc (ty и).
2. Максимизировать величину Д0 оптимальным выбором ft
3. Предположим, что
Kc(t,u)=e-kU-u<
и N = 2. Решить уравнения из п. 2, чтобы найти оптимальное
значение функций /х и /2.
4. Рассмотрим ковариационную функцию из п. 3 и
предположим, что iV = 3. Найти оптимальные значения функций Ji, 7г и /з-
Задача 9.5.3. Рассмотрим обобщенный вариант задачи 9.5.2,
в котором положим
где а* — комплексные числа, подчиняющиеся условию
1=1
а со| могут принимать значения
| ю, |< 2яВ7.
В остальном по-прежнему справедлива модель из задачи 9.5.2.
1. Выразить величину Av через а, о)ь £ь N0 и ^с (/, и).
2. Объяснить, как следует выбрать значение со,-, чтобы величина
AD была максимальной.
3. Выполнить задание п. 2 для ковариационной функции п. 3
задачи 9.5.2 при N = 2. Является ли полученный результат
очевидным?
Задача 9.5.4. Рассмотрим модели из задач 9.3.5 и 9.5.2.
Предположим, что вектор v выбирается так, чтобы величина А^ была
максимальной. Обозначим максимальное значение этой величины
через At,0.
1. Выразить АУо как функцию f, Eu N0 и Кс (/, и).
2. Найти значение f, при котором AVo максимальна.
3. Рассмотрим частный случай задания п. 3 задачи 9.5.2. Найти
оптимальное значение f и сравнить его с оптимальным значением
Гиз п. 3 задачи 9,5.2.
303

Задачи к§ 9.6. Родственные вопросы
Задача 9.6.1. Комплексные огибающие принимаемых колебаний
согласно двум гипотезам можно записать в виде
~ ( l/li ^\b\Z[t-iTp) eiQi +w(t), - oo </< oo : Hx,
I w \t)9 — oo < / < oo : H0,
где
\ 0 при прочих t.
Множитель | 6 | — релеевская случайная величина со средним
квадратом, равным 2 с$. Величины Qt —статистически
независимые, равномерно распределенные случайные фазовые углы.
1. Определить оптимальный приемник.
2. Вычислить вероятность ложной тревоги Pp.
3. Написать выражения для вычисления вероятности
обнаружения Pp.
Обстоятельные исследования достоверности обнаружения для
этой модели были выполнены Сверлингом [7], [10].
Задача 9.6.2. Рассмотрим модель цели, описываемую
соотношением (146).
1. Повторить анализ, изложенный в п. 4.2.2, и построить
структурную схему оптимального приемника.
2. Рассмотрим формулы достоверности из п. 4.2.2. Заметим, что
если зафиксировать значение s в выражении для [ibp, sk (s),
то тем самым будет зафиксирован порог, а следовательно, и
вероятность ложной тревоги Pp. Зафиксируем s и предположим, что
средняя энергия принимаемых сигналов
кеГ1 £ё;
фиксирована. Найти значение К, которое минимизирует функцию
[abs.sk (s)- Обсудить смысл этого результата применительно
к реальной радиолокационной системе.
Задача 9.6.3. Рассмотрим модель цели из задачи 9.6.1. Введем
в рассмотрение величину г Д | Ъ |2 и предположим, что плотность
вероятности ее описывается законом (326).
1. Синтезировать оптимальный приемник.
2. Вычислить Pf-
3. Написать выражения для вычисления PD. Конечные
формулы для этой модели приведены в [7—10].
Задача 9.6.4. Рассмотрим модель цели, описываемую
соотношением (146). Запишем
304

Предположим, что 0* — равномерно распределенные статистически
независимые случайные величины. Допустим, что каждая величина
' - z*A|£|2
имеет плотность распределения, описываемую формулой (326), и
все zt статистически независимы.
1. Синтезировать оптимальный приемник.
2. Вычислить вероятность ложной тревоги PF.
3. Написать формулы для вычисления вероятности обнаружения
Pd. (Формулы, определяющие достоверность обнаружения, можно
найти в [7—10]. В книге [23] приведены формулы для большого
числа частных случаев, полученные на основе работ Сверлинга.)
Задача 9.6.5. Комплексные огибающие принимаемых колебаний
в двоичной системе связи согласно двум гипотезам можно записать
в виде
7if)=\^Ei^(/)ехр(/(°а/)+S(/)' °<*<Т:Н1>
(VWbJ(t) + w (0, 0 < / < Т: Я0,
где величина сод настолько велика, что две указанные сигнальные
компоненты можно считать ортогональными. Предположим, что
гипотезы равновероятны, а критерием оптимальности является
минимальная суммарная вероятность ошибок.
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
2. Вычислить суммарную вероятность ошибок.
Задача 9.6.6. Комплексные огибающие принимаемых колебаний
в двоичной системе связи согласно двум гипотезам можно записать
как
\VTtb%(t)+w(t\ 0</<Г:Я0,
где
т . .
$M'jf;io*=Poi.
о
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
2. Вычислить суммарную вероятность ошибок.
Задача 9.6.7. Рассмотрим модель, описываемую соотношением
(147), и предположим, что
\ fkit)fm{t)dt=bk,
Допустим, что гипотезы равновероятны, а критерием
оптимальности является минимальная суммарная вероятность ошибок.
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
2. Использовать простую верхнюю границу, выведенную на
305

с. 308 первого тома, чтобы получить приближенное выражение для
суммарной вероятности ошибок Р(г).
(Примечание. Читателю, интересующемуся другими задачами
в области систем связи, рекомендуем обратиться к разделам задач
§ 4.4, 4.5 первого тома (с. 435—458). Большинство из приведенных
там задач можно было бы включить также и в настоящий раздел
задач.)
Список литературы
1. Slack M. Probability Densities of Sinusoidal Oscillations Combined
in Random Phase. J. IEE, 1946, v.93, Pt. Ill, p.76—86.
2. Bennett W. R. Distribution of the Sum of Randomly Phased Components.
Quart. J. Appl. Math., 1948, v. 5, Jan., p. 385—393.
3. Baggeroer A. B. State Variables, the Fredholm Theory, and Optimal
Communications. Sc. D. Thesis, Department* of^Electrical Engineering,
Massachusetts Institute of Technology, Jan. 1968.
4. Baggeroer A. B. State Variables and Communication Theory.
Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Mass., 1970.
5. Athans M., Falb P. L. Optimal Control. McGraw-Hill, New York,
1966.
6. Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е.Ф.
Математическая теория оптимальных процессов. М., «Наука», 1969.
7. Swerling P. Probability of Detection for Fluctuating Targets. RAND
Report RM-1217, March 1954.
8. Marcum J. I. A Statistical Theory of Target Detection by Pulsed Radar.
RAND Report RM-754rDec. 1947.
9. Marcum J. I. A Statistical Theory of Target Detection by Pulsed
Radar, Mathematical Appendix. RAND Report RM-753, July 1948.
10. Marcum J. I., Swerling P. Studies of Target Detection by Pulsed Radar.
Trans. IRE, 1960, v. IT—6, № 2, April. (This is a reprint of [7—9].)
11. Swerling P. Detection of Fluctuating Pulsed Signals in the Presence of
Noise. Trans. IRE, 1957, v.IT-3, Sept., p.175—178.
12. Современная радиолокация. Пер. с англ. Под ред. 10. Б. Кобзарева. М.,
«Сов. радио», 1969.
13. Edrington Т. S. The Amplitude Statistics of Aircraft Radar Echoes. Trans.
IEEE, 1965, v. MIL—9, № 1, Jan., p.10-16.
14. Nakagami M. Statistical Characteristics of Short-Wave Fading. J. Inst.
Elec. Commun. Engrs. Japan, 1943, Feb., p. 239.
15. Nakagami M. In:Statistical Methods in Radio Wave Propagation (W. С
Hoffman, Ed.). Pergamon Press, New York, 1960.
16. Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. Пер.
с англ. Под ред. Л. С. Гуткина. М., ИЛ, 1953.
17. Barrow В. В. Error Probabilities for Data Transmission Over Fading
Radio Paths. SHAPE ADTC, The Hague, Rept. TM-26, 1962.
18. Nesenberg M. Binary Error Probability Due to an Adaptable Fading Model.
Trans. IEEE, 1964, v. CS-12, March, p.64—73.
19. Hveding N. Comparison of Digital Modulation and Detection Tecrmiques
for a Low-Power Transportable Troposcatter System. Proc. First IEEE
Annual Commun. Conv., Boulder, Colo. June 1965, p. 691—694.
20. Esposito R., Mullen J. A. Amplitude Distributions for Fading Signals: •
Nakagami and Edgeworth Expansions. Fall URSI—IEEE Meeting, 1965.
21. Esposito R. Error Probabilities for the Nakagami Channel. Trans. IEEE,
1961, v.IT—13, № 1, Jan., p.145—148.
22. Nakagami M., Wada S., Fujimura S. Some Considerations on Random
Phase Problems from the Standpoint of Fading. J. Inst. Elec. Commun.
Engrs. Japan, 1953. Nov.
23. Di Franco J. V., Rubin W. L. Radar Detection. Prentice-Hall, Engle-
wood Cliffs, N. J., 1968.

10. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ: МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩИЕ
ТОЧЕЧНЫЕ ЦЕЛИ
В начале гл. 9 была введена в рассмотрение модель сигнала,
отраженного от медленно флуктуирующей точечной цели, которая
.находится на некотором расстоянии и движется с некоторой
скоростью. Принятый сигнал в отсутствие шума при этом записывался
в виде
s(t) = V2Re[VTtbnt-T)e}<0^l (1)
В рамках задачи обнаружения предполагалось, что т и Гоо/> —
известные параметры, и в последующем на основе решения этой
задачи выносилось решение о наличии или отсутствии цели. Теперь
рассмотрим задачу, в которой т и coD считаются неизвестными
неслучайными (детерминированными) параметрами, которые
требуется оценить.
Поскольку эта глава по своему объему весьма велика, опишем
кратко ее построение. В § 10.1 произведен синтез оптимального
приемника и с качественной стороны рассмотрена задача синтеза
сигнала, В § 10.2 выполнен анализ помехоустойчивости
оптимального приемника. Показано, что функция, называемая функцией
неопределенности, играет главную роль при рассмотрении
достоверности обнаружения. В § 10.3 изложен ряд свойств этой функции,
которые служат основой длгя решения задачи синтеза сигнала.
В§ 10.4 исследована помехоустойчивость кодированных импульсных
последовательностей. В § 10.5 рассмотрен случай, когда, помимо
полезной цели, параметры которой необходимо оценить, имеются
мешающие цели. Наконец, в § 10.6 подведены основные итоги и
рассмотрены некоторые родственные вопросы.
ЮЛ. Вывод алгоритма оптимального приемника
и синтез сигналов
Интересующая нас модель отражения от цели была рассмотрена
в § 9.1, а соответствующее ей аналитическое представление
принятого сигнала дается выражением (1). Предполагается, что
аддитивный шум является белым полосовым гауссовым процессом со спек-
307

тральной плотностью N0/2. Допустим, что интервал наблюдения
бесконечен. Для упрощения записи будем опускать подстрочный
индекс/) в обозначении частотного сдвига. Итак, комплексная
огибающая принятого сигнала записывается в виде
Г(/) = бУ£7^-т)е/(0Ч^(/), -оо</<оо. (2)
Множитель b — комплексная гауссова случайная величина с
нулевым средним и
Е[\ь\*]=2о1 (3)
Комплексную огибающую сигнала можно нормировать в
соответствии с (П. 15) так, чтобы Et равнялась излучаемой (передаваемой)
энергии. Средняя энергия принятого сигнала
Er=2a2bEt. (4)
Комплексный белый шум имеет ковариационную функцию
K~(t,u) = N06(t—u), — oo<t,u<oo. (5)
Параметры т и со — неизвестные неслучайные параметры, значения
которых требуется оценить.
Прежде всего необходимо найти функцию правдоподобия.
Вспомнив вывод из гл. 4 первого тома о соответствии между функцией
правдоподобия и отношением правдоподобия, можно использовать
(9.36), (9.38) и (9.39) для непосредственного получения ответа.
В результате имеем
lnMT,(D)=-L -ТГЬГ {|£(т,<о)Г}, (6>
где
оо
1 (т, со) = f 7(f) J*(t—x)e~!b>t dt. (7)
— 00 >
Коэффициент в выражении (6) имеет значение только тогда,
когда вычисляется граница Крамера — Рао, а в большей части
наших выкладок его можно исключить. Итак, необходимо вычислить
1пЛ(т, (о) = |1(т, (о)Г (8)
как функцию т и со. Значения параметров т и 0, при которых эта
функция имеет максимум, обозначим через ттг и comj. Поскольку
нас интересуют только оценки максимального правдоподобия, во
всех последующих выражениях подстрочный индекс ml будем
опускать.
Теперь необходимо сформировать функцию In Л (т, со) для
значений параметров т и со в интересующем нас интервале. Для любого
308

конкретного значения параметра со, скажем соь In Л (т, (ог) можно
воспроизвести как функцию времени, используя полосовой
согласованный фильтр и квадратичный детектор огибающей (см.
рис. 9.5). Для различных значений со необходимо использовать
разные фильтры. Выбрав ряд значений о)ь перекрывающих
интересующий частотный диапазон, можно получить дискретную
аппроксимацию функции In Л (т, со). Не будем пока беспокоиться
о том, насколько мелкий шаг должна иметь частотная сетка, чтобы
получить удовлетворительное по точности приближение. Устройство
обработки сигнала в этом случае представляет набор полосовых
согласованных фильтров (ПСФ) и квадратичных детекторов оги-
Рис. 10.1. Структурная схема приемника, формирующего выходной сигнал
в виде In Л(т, со), и наглядное представление реализации выходного сигнала.
бающей (КДО), как показано на рис. 10.1. Далее нужно исследовать
свойства процесса на выходе устройства обработки. Для простоты
будем рассматривать его как непрерывную функцию т и со.
Предположим, что фактическое время запаздывания и доппле- •
ровский сдвиг частоты равны ха и соа соответственно. (Напомним,
что т и 0 являются переменными в выражении для функции
правдоподобия.) Тогда можно записать
00
L(t, со)= j' 7{t)f*{t—%)(T'mtdt=
— оо
оо
= j [VFt ~b ~f (t - xa) e/<a«' + w(t)} [J* (t - xj e-'8*] dt (9)
— oo
или
oo
1{х,(й)=УЩЪ j f(t-xa)f*(i-x)ei^-(i')<dt+
— oo
oo
+ j w{t)~f*{t-x)4-mdt. (10)
— oo
309

Чтобы упростить это выражение, введем в рассмотрение переменные
т' = т-та, . (11)
со' = (о — соа (12)
и функцию
я(т,<в)= j w(i)T*(t— r)e~iatdt.
(13)
Соотношения (11) и (12) означают сдвиг начала координат в точку
на плоскости т, со, где находится данная цель. Это изображено на
рис. 10.2. Подставляя (11) — (13) в (10), имеем
1пЛ(т, со) = £4|£|2
j J(t— т)7* V— т+ т') е/ш'' dt
+
+ 2Re|vr£/7>( j f*(t— t)~f(t—T + T')e~/<0''^)"*(T,co) +
+ |п(т,со)|2. (14)
Первое слагаемое в (14) обусловлено исключительно сигналом и
только оно остается в случае, когда нет шума. Сделав подстановку
г = t — т + (т'/2), (15)
видим, что оно не зависит от т и со. Обозначим в первом слагаемом
выражение в фигурных скобках как функцию
6(т',со')Л
HI'-tW+tK'*
(16)
Оно соответствует деленному на Et | b |2 выражению для выходного
сигнала приемника в отсутствие шума.
Назовем функцию, стоящую внутри знаков модуля, частотно-
временной автокорреляционной функцией процесса f (t) и определим
ее выражением1)
оо
Ф(т',со')А j 7(^-^)7* (' + у)е/ю' *dL
(17)
Она является мерой сходства между комплексной огибающей и ее
копией, сдвинутой во времени и по частоте. По определению,
0(т',со')=|Ф(т', со')|2.
(18)
х) При определении частотно-временной автокорреляционной функции
существует некоторая возможность выбора, и в литературе используются
различные определения.
3 10

Функция G (т', со') впервые была введена Вилле [1] и носит
название функции неопределенности. Позднее будет показано,
почему это название является подходящим. Иногда ее называют
функцией неопределенности Вудворда ввиду того, что ему
принадлежат первые работы, в которых рассмотрены ее свойства (см. [8,
60]).
Вследствие того, что функция / (t) нормирована,
Ф (0,0) = 1. (19)
На основании неравенства Буняковского — Шварца имеем
|Ф(т\ со')| <Ф(0,0) = 1, (20)
9(т\ ®')< 9(0,0) = 1. (21)
Таким образом, процесс на выходе приемника содержит три
компоненты и представляется поверхностью над плоскостью т, со.
Первой компонентой является функция 6 (т', со') —
положительная функция, максимальное
значение которой находится в той
точке плоскости, где расположена
цель. Вторая и третья компоненты
обусловлены аддитивным шумом.
Несколько позднее мы изучим
влияние этих двух компонент, но
сначала более подробно
рассмотрим функцию Э (т', со').
Чтобы получить некоторое
представление, о поведении функций
6 (т, со) и Ф (т, со) для некоторых
типичных сигналов, рассмотрим
несколько примеров.
Пример 1. Одиночный прямоугольный импульс. Пусть J (t) —
действительная функция, описывающая импульс прямоугольной
формы, т. е.
й)д
| Фактическое
меетополо^е -
ние цели
¥• ^
Рис. 10.2. Координатные
системы в плоскости т, со.
/(0 =
Тогда
l/j/Y, —T/2<t<T/2,
0
_1_
Т
<r-;i т D/2
I
— (Г—|т|)/2
о
0(т, со)=
при других t.
ф (т, со) =
еШ #= f! _ Jin sin [(ш772) (1-(|т|/Г))]
I Т ) (0)772) (1-(|т|/Г)) '
при'других т,
I _ Л!Л* /sin [(0)772) (1-(|т|/Л)П
(22)
т<7\
(23)
L)'(-
(шГ/2) (1-(|т|/Г)) J (24)
при других т.
311

Абсолютная величина (модуль) частотно-временной автокоррел*ь
ционной функции показана на рис. 10.3. (Фактически здесь
представлены лишь некоторые сечения ее поверхности плоскостями,
нормальными к плоскости т, со, проведенными через линии постоянных
т и постоянных со.) Заметим, что эта функция симметрична
относительно обеих осей.
Рис. 10.3. Модуль частотно-временной автокорреляционной функции для
импульса прямоугольной формы.
Удобный метод представления функции неопределенности
иллюстрируется рис. 10.4. Изображенные здесь кривые представляют
собой контуры постоянной высоты (экви- или изовысотные линии)
Рис. 10.4. Линии постоянных значений функции неопределенности
прямоугольного импульса.
поверхности 0 (т, со). Отметим, что функция неопределенности имеет
единственный пик (лепесток), ширина которого по оси т прямо
пропорциональна Т, а по оси со — обратно пропорциональна Т.
Прежде чем перейти ко второму примеру, целесообразно
качественно рассмотреть, как остальные два слагаемых в (14) влияют на
оценку т и со при типичной реализации эксперимента. Чтобы это
312

•установить, рассмотрим сечение поверхности In Л (т, *&)
вертикальной плоскостью, проведенной через ось т, как показано на
рис. 10.5, а. Из (14) видно, что эта функция содержит Et\l?\2x
хЭ(т, 0) и слагаемые, учитывающие влияние шума. На рис. 10.5, б
показан вид поверхности In Л (т, со) сверху. Заштрихованная
площадь определяется функцией Et\b\2 6 (т, со), изображенной на
рис. 10.4. Контурные линии — это линии равных высот
поверхности In Л (т, со). Значения т и со, при которых эта поверхность имеет
InAfca))
*)
\rmb<*ml\
Контуры функции
Et\b\Z9(T^)
г
Контуры
функции
Рис. 10.5. Реализация сигнала на выходе приемника в конкретном
эксперименте:
а — сечение функции In Л(т, со) плоскостью co=const; б — контурные линии постоянных
значений.
максимум, обозначены через хтг и comj. Нетрудно заметить, что при
отсутствии шума выбор этих значений будет всегда правильным. Но
если вклады слагаемых, учитывающих влияние аддитивного шума,
при некоторых значениях т' « 0 и о' « 0 будут достаточно
велики, чтобы сместить пик результирующей функции из начала
координат, то при определении хтг и сотг будут иметь место ошибки.
Поэтому, чтобы свести к минимуму эти ошибки, надо попытаться
найти такую функцию / (*), у которой функция неопределенности равна
единице в начале координат и нулю в остальных точках. Идеальной
была бы функция неопределенности, представленная на рис. 10.6, а.
Можно ожидать, что найти функцию / (/), которая имела бы такую
313

разрывную функцию неопределенности, нелегко. Однако
практически вполне пригодным могло бы быть приближение к идеальной
функции неопределенности, показанное на рис. 10.6,6.
Из всего изложенного очевидно, что необходимо выбрать
функцию J(t) так, чтобы ее функция неопределенности 9 (т, со)
геометриям; А
WW А
Рис. 10.6. Желательная форма функций неопределености:
а —идеальная функция неопределенности; б —возможное приближение к идеальной
функции неопределенности.
чески представлялась узким пиком. Из выражения (24) и рис. 10.3
видно, что в случае прямоугольного импульса этот пик можно
сделать сколь угодно узким в любом из двух сечений — по оси т или
по оси со (но не в обоих одновременно) путем изменения
длительности импульса 7\
Рис. 10.7. Огибающая импульса гауссовой формы.
Поскольку прямоугольный импульс не позволяет реализовать
функцию неопределенности, аналогичную изображенной на
рис. 10.6, б, рассмотрим некоторые другие сигналы.
Пример 2. Простой гауссов импульс. В качестве полезной
аналитической идеализации импульсных сигналов часто используют
так называемый гауссов импульс, форма огибающей которого
показана на рис. 10.7:
7(0 = (■
1
яГа
1/4
ехр
/2
2Т2
— ОО <t< 00.
(25)
314

Его эффективная длительность пропорциональна 7\ а частотно-
временная автокорреляционная функция имеет вид
— оо
Дополняя в (26) выражение в фигурных скобках до полного
квадрата и интегрируя, получаем
ф (т, со) —ехр
-— (— +Г2(о2
V г*
(27)
0,4 0,8 1,2 f,S 2,0 2/t
а) 5)
Рис. 10.8. Контурные линии постояных значений функции неопределенности
гауссова импульса:
а — при Г= V2; б — в приведенной системе координат.
Следовательно, функция неопределенности гауссова импульса имеет
вид
0 (т, со) = ехр
•тй+™)]-
(28)
Ее контурные линии равных высот представляют собой эллипсы
(рис. 10.8). Точно так же, как в примере 1, в этом случае
единственный параметр (длительность импульса) позволяет контролировать
точность системы как по дальности, так и по скорости цели.
Из приведенных примеров следует, что если желательно
одновременно улучшить оценки дальности и скорости цели, то
необходимо обратиться к сигналам более сложной структуры.
По-видимому, для этого требуется'сигнал, содержащий несколько
параметров, которые можно варьировать с целью оптимизации системы.
Имея в виду эту цель, рассмотрим два широких класса сигналов.
Кодированные импульсные последовательности. Сигналы этого
класса строятся посредством операций над одиночным импульсом
и (t), рассматриваемым как субимпульс более сложного сигнала —
последовательности импульсов. Обычно в качестве субимпульса ис-
315

пользуется импульс прямоугольной формы, рассмотренный в при
мере 1:
' ( 0 при других /.
(29)
В схеме формирования сложного сигнала субимпульсы
подвергаются операциям задержки, амплитудного взвешивания, частотного
сдвига, фазового сдвига и суммирования. Таким образом, в этом
случае
7(0= с'2 anu(t-nT)exp[j((ont + Qn)].
п— 1
(30)
Постоянный коэффициент с вводится для нормировки функции /(/).
Простая иллюстрация сигнала этого класса будет рассмотрена в
примере 3. Подробно класс кодированных импульсных
последовательностей будет исследован в § 10.4.
Модулированные аналоговые сигналы. Сигналы этого класса
формируют путем модуляции несущего колебания по амплитуде и (или)
по частоте с целью получения требуемых свойств. Простые модели
сигналов этого класса даны в примерах 4 и 5.
Выведем теперь выражения для функций неопределенности
нескольких полезных сигналов. Эти примеры дадут нам некоторое
представление об общих свойствах функции неопределенности.
Пример 3. Импульсная последовательность с постоянной
частотой повторения импульсов. Рассмотрим последовательность (пачку)
прямоугольных импульсов, показанную на рис. 10.9. Она
характеризуется длительностью импульса Г, периодом следования
импульсов Тр и общим числом импульсов в пачке 2п + 1. Такая
последовательность часто используется в системах радио- и гидролокации
ввиду следующих преимуществ:
1. Ее легко генерировать.
2. Оптимальный приемник для ее приема прост в реализации.
3. Ее параметры можно изменять применительно к различным
условиям работы системы.
Предполагается, что Т С Тр. Период следования импульсов не
обязательно должен быть кратен длительности импульса Т. Дли-
t(t)k
-*
±
i
jt Td=2nrp+T
\(2n+t)Tj
Уг
.2 Тр
Рис. 10.9. Последовательность импульсов.
316

тельность всей последовательности обозначим через Td:
TdA2nTp+T. (31)
Обозначив импульс как!/ (t) (см. (29)), комплексную огибающую
излучаемого сигнала можно записать в виде
k — n
7(л = 1 _ V Z(t—kTp). (32)
/w [(2n+\)T]l/2 ^У v p/ V '
Заметим, что в данной модели предполагается, что цель не
флуктуирует в течение Та секунд, пока она облучается зондирующим
сигналом.
Выведем теперь выражения для Ф (т, со) и 9 (т, со). Сначала
рассмотрим случай, когда | т | < Т. С учетом (32) из (17) имеем
k = n *^ + (Г-1т,)/2
Ф(т, <»)=—!— У Г Z(t—kTp — —)x
xZ*(t—kTp + —) ef»*dt, |т|<|Г|. (33)
Положив
z = t — kTp, (34)
получим
Ф(Т, 0)) =
, [ Т/2- |т|/2 \ k = n
f Z(z —1/2)11* (z + i/2)ei<»zdz\ J е/Ю*Гр-
(2л+1)Г „ ,
V ~ ' l_r/2 + |T|/2 J * = -n
(35)
Выражение, стоящее в фигурных скобках, равно Ф~ (т, со),
а сумма в пределах от — п до п есть сумма членов конечного
геометрического ряда. Таким образом, (35) сводится к виду
V ; 2az + 1\ sin[coTP/2] J mV " ' ' '
Легко заметить, что характеристики субимпульса учитываются
только последним сомножителем (36). Сомножитель, взятый в
фигурные скобки, зависит только от 0 и определяется периодом
следования импульсов Тр и числом импульсов п в пачке. Графически он
представлен на рис. 10.10, а. Первый нуль этого осциллирующего
множителя, как видно из графика, имеет место при
со = 2л/ (2л + l)Tp ~ 2n/Td, (37а)
317

а побочные максимумы — при
© = 2я/Гр. (376)
На рис. 10.10,6 дано графическое представление функции
Ф^Г (0» (0) Для импульсов прямоугольной формы. Эти два графика
характеризуют влияние параметров Г, Тр и Td. Учитывая, что
Td > Тр » 7\ (37в)
О 0,Ьп 0,8л; 1,2 л: 7,$7Г гх0я
Рис. 10.10. Графическое представление сомножителя {•} частотно-временной
корреляционной функции, описываемой выражением (36) [45], (а) и
функции |Ф^(0, со)| для прямоугольного импульса (б).
нетрудно прийти к выводу, что форма функции Ф (0, со)
определяется осциллирующим сомножителем, представленным на рис. 10.10, а.
Так, ширина главного пика уменьшается при увеличении общей
длительности Td всей последовательности импульсов. Боковые пики
следуют с интервалом \1Тр по частотной оси. При со = 0
осциллирующий сомножитель равен 2п + 1, так что
Ф(т, 0) = Ф~ (т, 0), |т|<7\ (38)
Далее рассмотрим случай т > Т. Перекрытия импульсов не
происходит до тех пор, пока т не будет равно разности Тр — Т.
При этом значении т ситуация аналогична случаю, когда т = — Г,
318

за исключением того, что перекрытие будет на один импульс меньше.
Следовательно, для прямоугольного импульса
Л , ч ' sin [са (Г/2) (1 — | т—Гр | /Г)
Ф (т, со)= 2-jqrr ^2
|т-Г;,|<7\
2 е-/в*гР,
(39)
Вертикальному сечению по оси т соответствует такое же
выражение, как (38), если не считать масштабного множителя и
временного сдвига:
2л
Ф^°) = ^ГТФ«^-^0), -It-TV|<7\
(40)
Рис. 10.11. Приближенное представление функции 0(т, со) импульсной
последовательности посредством контурных линий постоянных значений [9].
Аналогичный результат получается для больших значений т. Через
каждые Тр секунд следует пик, но величина его убывает. Другое
представление функции неопределенности 0 (т, со) показано на
рис. 10.11. Этот вид графического представления впервые был
введен Сибертом [9]. Зачерненные участки соответствуют областям,
где высота функции 9 (т, со) значительна (обычно граница этих
областей берется по половине максимального значения, т. е. на уровне
0 (т, со) = 1/2). В заштрихованных областях значения функции
0 (т, со) малы, но отличны от нуля. В незаштрихованных областях
функция неопределенности равна нулю.
Рассмотренный пример показывает ряд новых особенностей
задачи построения (синтеза) сигнала:
1. Ширину главного пика по оси частот (допплеровского сдвига)
можно уменьшить, увеличив Td (или п).
319

2. Ширину главного пика по оси времени (дальности) можно
уменьшить, уменьшив Г. Это соответствует расширению спектра
сигнала. Таким образом, располагая большим числом параметров
при построении сигнала, можно получить функцию
неопределенности, главный пик которой является узким как по оси дальности,
так и по оси допплеровского сдвига.
3. При построении данного конкретного сигнала это достигается
ценой появления побочных пиков. Нетрудно выяснить влияние этих
побочных пиков. Даже небольшой
шум может привести к тому, что
общее значение функции
неопределенности в побочных пиках
превысит значение функции в главном,
полезном пике. Важность этих
побочных пиков зависит от
априорного знания области на плоскости
т, со, в которой может находиться
цель. Два возможных случая
иллюстрируются рис. 10.12. В первом
случае множество побочных пиков
лежит вне представляющей
интерес области при всех возможных
значениях т, со и, таким образом,
наличие их не вызывает каких-
либо осложнений. Во втором
случае они находятся внутри
интересующей нас области и тогда даже
при слабом шуме можно
ошибиться при выборе нужного пика.
В этом кратком обсуждении
освещены два вопроса, которые
встречаются при рассмотрении
качества работы системы. Первый —
вопрос о локальной точности (т. е.
сколь мала будет ошибка при
условии, что пик выбран правильно?). Второй — вопрос о
глобальной точности (т. е. как часто будут возникать большие ошибки?).
Подобные вопросы уже встречались ранее в гл. 4 первого тома при
рассмотрении задач, связанных с ЧИМ и ФИМ, и задач, связанных
с угловой модуляцией (в гл. 2 второго тома). Прежде чем перейти
к количественному исследованию указанных двух вопросов,
целесообразно рассмотреть функции неопределенности для ряда других
сигналов.
В качестве следующего примера рассмотрим модулированное
аналоговое колебание. Все ранее рассмотренные сигналы получались
путем амплитудной модуляции постоянного несущего колебания.
Чтобы внести большую свободу в условия синтеза сигнала,
рассмотрим теперь возможность частотной модуляции несущей, в частности
320
у///////у////////
Л
I Область на плоскости
т,ь>, где находится цель
П
У/»ЖМ№/Ш///Ш/////Ш/А
V/////////////////X////////////////Л
Одластб на ллос/госта
г,о, где находится цель
Рис. 10.12. Области, в которых
может находиться цель.

внутриимпульсной линейной частотной модуляции (ЛЧМ), т. е.
модуляции, описываемой соотношением
Фт (/)=&/». (41)
(Напомним, что Ф^ (t) — фаза колебания / (t).)
Вместо того чтобы вычислять функцию неопределенности для
конкретного импульса непосредственно, воспользуемся интересным
свойством, справедливым для произвольного колебания f(t).
Свойство 1. Если
/х (/) ~ Ф (т, со) ~ О (т, со), (42а)1)
то
1г (0 47i (0 е/"' ~ ф (т> о) —26т) ~ 0 (т,ю — 26т). (426)
Этот вывод следует непосредственно из определений (17) и (18):
— 00
eHi('-;)7:('+i)exP[/ft(/-f)-/6(/+f)*+/^ =
— 00
оо
= Ox(t, 0—26т). (43)
Таким образом, внутриимпульсная ЛЧМ приводит к растяжению
функции неопределенности в направлении, параллельном оси со.
Применим теперь это свойство к гауссову импульсу.
Пример 4. Гауссов импульс с внутриимпульсной ЛЧМ. В этом
случае
1*-ШШа*[-№->'У\ <44а)
Тогда согласно (28) с учетом (426) получим
9(т, ю) = ехр[ —0,5(т2уГ2 + Т2((о—26т)2)]. (446)
Линии равных высот в данном случае являются эллипсами,
описываемыми уравнением
0,5 [Г2со2—46Г2сот +(462Г2+ 1/Г2) т2]--=с2. (45)
1) Символ ~ означает соответствие.
11 Зек. 1494 321

Для удобства при графических построениях введем в рассмотрение
функции со2, at и t2y которые определены в Приложении. Для
сигнала вида (43) имеем
7=Т2/2,
at=bT2,
tf = \/(2T2) + 2b2T2.
Тогда уравнение (45) сведется к виду
I2 со2—2 со/ сот + со2 т2=с2.
(46)
(47)
(48)
(49)
Рис. 10.13. Контурная линия постоянного значения функции 0(т, со) для
гауссова импульса с ЛЧМ.
На рис. 10.13 уравнение (49) представлено в графической форме
для случая с = 1. Большая ось эллипса наклонена под углом а
к оси т, определяемым соотношением
1 4Ь
а = — arctg
2 1-(1/4Г4 + &2)/я2
1 i~ 2©/
=— arctg -—— ,
2 /2_со2/(2л)2
|а|<я. (50)
Значения функции неопределенности в вертикальной плоскости,
проведенной через ось т, равны
9(0, т) = ехр(—^/2) = ехр[ —(1/2Г2 + 262Г2)/2]. (51а)
Аналогично в плоскости, проведенной через ось со, имеем
6(со, 0)=ехр(—?со2) = ехр(-Г202/2). (516)
Из (51а) видно, что ширина функции неопределенности по оси
т обратно пропорциональна среднеквадратическому значению
длительности сигнала. Таким образом, при увеличении Ъ и Т
ширина функции неопределенности уменьшается по обеим осям одно-
322

временно. Следовательно, можно точно измерять дальность до цели,
имеющей известную скорость, или точно измерять скорость цели,
дальность до которой известна. Однако, если оба эти параметра
неизвестны, то в плоскости т, со имеется область неопределенности. Для
положительных значений b область неопределенности лежит в
первом и третьем квадрантах, как показано на рис. 10.13. Значимость
этой неопределенности для работы системы зависит от конкретной
физической ситуации (т. е. от того, могут ли цели появляться с этого
направления в плоскости т, со). Один из способов разрешения этой
неопределенности — излучать второй импульс с ЛЧМ с
противоположным знаком изменения частоты.
-Ц04яг -Щк О о,02я о,оьп г/т
Рис. 10.14. График функции |Ф(т, 0) | прямоугольного импульса с ЛЧМ
(ЬТ2=\00).
Аналогичные свойства имеет функция неопределенности пря-'
моугольного импульса с ЛЧМ несущей.
Пример 5. Прямоугольный импульс с ЛЧМ, В этом случае
Ут /-.-./. (52)
0 при других /.
f(t)-
Согласно (23) и с учетом (426) находим
sin [((со—2frx)/2) (Г—| т |)1
i-iii
|Ф(т,о))|=Н Т )
{ 0
В сечении по оси т имеем
((ш —26т)/2)(Г —|т|)" ' |T,<:Г, (53)
при других т.
Т, 0)1= Н Т I МТ-|т|) ' ! |Ч '
{ 0 при других т
|Ф('
В сечении по оси со получаем
I Ф (0, со) |
sin (о)Г/2)
соГ/2
IV
(54)
(55)
323

На рис. 10.14 представлен график функции |Ф (т, 0)| для
случая Ъ Т2 = 100. Как видно из графика, первый нуль функции
находится вблизи точки
Tft =
1
4я >
. i
ЪТЪ;
\1/21
' \
CKJ
Я
■ —-~
ьт
1
: ——
W0'
(56)
где
о
*)
2nW0A2bT (57)
есть диапазон изменения частоты при ЛЧМ. Таким образом, как и
можно было ожидать из рассмотрения гауссова импульса, точность
оценки дальности до цели при
?ьШ\ известной ее скорости
пропорциональна ширине спектра
сигнала. И в этом случае также
имеется область
неопределенности в первом и третьем
квадрантах при положительных
значениях параметра Ь.
Точность рассмотренных в
примере 5 оценок, выдаваемых
приемником сигналов,
допускает интересную
интерпретацию. Пусть на вход приемника
воздействует «длинный»
(большой длительности) импульс,
представленный на рис. 10.15, а.
Мгновенная частота его
заполнения возрастает со временем,
как показано на рис. 10.15, б.
Передаточная функция
согласованного фильтра имеет
квадратичную фазочастотную
характеристику. Время запаздывания
огибающей (групповое время
запаздывания) полосового
сигнала, прошедшего через любой
фильтр, пропорционально
производной от фазочастотной
характеристики фильтра по
частоте (см., например, [2]).
Для импульса с ЛЧМ производная от фазочастотной
характеристики согласованного фильтра уменьшается линейно с
увеличением частоты. Поэтому низкочастотные составляющие спектра
импульса, которые появляются в его начале, запаздывают на большее время,
чем высокочастотные составляющие, имеющие место в моменты
времени перед его окончанием. Вследствие этого на выходе фильтра
появляется «короткий» (уменьшенной длительности) импульс,
представленный на рис. 10.15, е. Таким образом, действие рассмотрен-
?шЩ
л
il/\.
-JLfy JL ^
ЬТ ЬТ
8)
Рис. 10.15. Сжатие импульса:
а — огибающая входного импульса; б
—закон изменения частоты; в — огибающая
выходного импульса.
324

ного приемника заключается в сжатии поступающего на его вход
длинного импульса в короткий импульс на выходе тракта
обработки, что сопровождается повышением точности измерения дальности.
Систему этого типа обычно называют «РЛС со сжатием импульсов».
Ее очевидным преимуществом является то, что если система
ограничена по пиковой мощности, то можно увеличить излучаемую
энергию путем увеличения длительности импульса, не теряя в точности
измерения дальности. Идея сжатия импульсов благодаря
использованию частотной модуляции несущей была независимо предложена
в США (Дик [3] и Дарлингтон [4]) и ФРГ (Хуттман [5] и Кауер [6]).
Интересное рассмотрение этой проблемы проводится в статье Кука
[71.
Приведенные примеры иллюстрируют фундаментальную роль,
которую играет функция неопределенности в задаче оценки
дальности и скорости цели в допплеровских радиолокационных
системах. Вернемся теперь к общему случаю и выведем некоторые
количественные соотношения для точности оценок. В § 10.2
получены выражения для точности оценок через функцию
неопределенности. В § 10.3 изложены некоторые общие свойства функции
неопределенности. Далее, в § 10.4 мы возвращаемся к задачам синтеза
(построения) сигналов.
10.2. Точность оптимального устройства оценки
В этом параграфе обсудим точность оценок параметров т и со.
Сначала рассмотрим случай, когда отношение энергии сигнала
к шуму велико и ошибки малы. Этот случай носит название задачи
локальной точности.
Проблема точности при радиолокационных измерениях
дальности исследовалась Вудвордом [60]. Проблема точности измерения
дальности и скорости изучалась Менасом [76], а также Келли,
Ридом и Рутом [77].
10.2.1. Локальная точность
К проблеме локальной точности подойдем в два приема. Сначала
выведем выражение для границы Крамера — Рао точности любой
несмещенной оценки. Затем докажем, что при некоторых условиях
ошибки при использовании оценок максимального правдоподобия
приближаются к этим границам. Подробно эти условия
рассматриваются в п. 10.2.2.
Вывод границы Крамера — Рао осуществляется путем
непосредственного применения методов, изложенных в п. 4.2.3 и § 4.6
первого тома, где показано, что сначала выводится информационная
матрица J, элементы которой
325

(см. с. 411 первого тома). В этом случае интересующие нас параметры
т и со являются неслучайными, так что математическое ожидание
берется по г (/) или п (/). В данном случае информационная матрица
является двумерной:
«Ml *М
'12
L ^21 ^22.
(59)
Отождествим подстрочный индекс «1» с т, а подстрочный индекс
«2» — сю. Согласно (6), (58) и (59) имеем
J"--E[ 5S J'
J — _£ Г а2 1пЛг(т, to) 1
2 L а^2 J'
J12==J21=-^ _ j.
(60)
(61)
(62)
Вычислить эти три величины нетрудно. Сначала выпишем
искомые соотношения, а затем займемся их выводом. Элементы
информационной матрицы равны
где
Jn=C[<**-{<*)2] = Col
J12=С [со/ — со/] = Срю*,
J22=C[?-(7)2]==Cg2,,
— оо
ОО '—'
— J ди
t2 =
] "2I7(")I
du.
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
(69)
Предполагается, что все величины в (67) — (69) являются
конечными. Теперь выведем выражения для типичного элемента
информационной матрицы, а затем вернемся к обсуждению смысла
полученных результатов.
326

Вывод выражений для элементов матрицы/. Сначала
рассмотрим элемент /11# Согласно (6) имеем
dlnAi(T, <а)_р/
т , ч dL* (т, со) . дТ (т, со) г*/ vl
= 2C'Re
L(t,co)lI^)j,
где
С'Д
1
Дифференцируя повторно, получаем
(70)
(71)
a2 In Лх (т, оз) _2Q> ne Г & (т, <■>) д£* (т, ю) ■ £ fT ^ Эа Г* (т, ш) 1
ахг [ ат ат 1' ; ат» J'
(72)
,(73)
• (74)
Аналогично
а21пЛх(т, ц)_оС; Re
сЗтсЗсо
dL (т, со) dL» (т, со) ^ (т ц) д» £* (т, со)
дсо сЗт ' атдсо
д2Г*
аМпЛ^т, co)=_2C/Re dL(т, со) aL« (т, со) ^/т «Л а L* <T'^
асо2 [ асо аш v ' ' а©*
Напомним теперь, что в соответствии с (7)
00
Z (т, ю) = f ?V) /* (/—т) e_/fi" Л.
(75)
Дифференцируя (75) по т и используя полученные результаты
в (70) и (72), находим
, f fpafttt-т) аГ(и-т)х
Хе'ш('-")£И/)г*(и)1ЛЛ* + (Т^(/ —т) а^("~т)^
11 1 ат* J Ш дх дх
I —00
дх*
х е?<*«- «) Е [7(f) 7* (и)] At du\
(76)
Корреляционная функция процесса г (/) равна
E[7(t)7* (и)] = Ы Ej(t - т)Г(и-х)ем'-и) + N0b(t-u). (77)
327

Подстановка (77) в (76) дает
Ju=-2C'\Er
оо ^
J
dfjt-A
dt
f*(t—x)dt
оо
+4
dt
dt +
+ Re
'>!'* f-^=3.f(«-x)d«
£ ||/>-*)Гл J
—OO —00
+
(78)
(Напомним, что £rA2a| £t.) Упростим теперь это выражение,
показав, что первое слагаемое равно (со)2, а сумма второго и четвертого
слагаемых равна нулю. Для этого прежде всего заметим, что
||Г(/-т)|1Л=1
(79)
при любых значениях т. Другими словами, энергия от времени
запаздывания не зависит. Дифференцируя обе части (79) по т,
имеем
нп^н
dt\ = 0.
Re
I оо
J ат
(80)
Повторное дифференцирование дает
Rej Г (Ш=ИГ*д-х)+дП(-» дГ«-*)ш\=0. (81)
J у дт2 дт дт у
Таким образом,
dt. (82)
Следовательно, второе и четвертое слагаемые в (78) взаимно
уничтожаются.
Сравнивая первое слагаемое (78) с выражением (П. 16),
определяющим вличину со, и используя теорему Парсеваля, убеждаемся,
что первое слагаемое равно Ег (со)2,
328

Чтобы упростить третье слагаемое, используем (79), а затем
заметим, что
Г I-ШЫ> I* dt= f «. | ?(о) |2 "iL^iF. (83)
— 00 ' —00
Учитывая полученные результаты в (78), находим
^=2С'Ег[а*-(р)*}9 (84)
что тождественно (63). Как отмечено в Приложении, несущую
частоту обычно выбирают так, чтобы
© = 0. (85)
Вывод выражений для элементов J12 и У22 аналогичен (см. задачу
10.2.1).
Информационная матрица определяется соотношениями (63) —
(66) в виде
. 2ЕГ Ег [со2 со/
N0 Er+N0 [—t J2
(86)
Информационная матрица полезна в двух отношениях. Если
обозначить ковариационную матрицу ошибок для некоторой пары
несмещенных оценок через Ле, то матрица
J-ЛГ1 (87)
будет неотрицательно определенной.
Поясним теперь смысл этого утверждения применительно к
процедуре оценки по максимуму правдоподобия. Если совместная
плотность вероятности ошибок при использовании оценок
максимального правдоподобия является гауссовой, то это утверждение
допускает простое истолкование. Обозначим ошибки вектором
аелГ>1-Т 1дМ. (88)
Lcomi-coJ KJ
'" (Л)=—Ц_ ехр [ -AeA: Ag ) •. (89)
Если вектор ае имеет гауссову плотность, то
"2я|Ле|1/2
Линии равных высот в этом случае являются эллипсами,
описываемыми уравнением
А.ЛГ!А.=-#, t = l,2,..., (90)
32»

и имеют вид, показанный на рис. 10.16. Свойство (87) означает,
что если построить граничные эллипсы
AJJAe
(91)
то они будут полностью лежать внутри фактических эллипсов.
Поскольку вероятность нахождения в области, лежащей вне эллипса,
равна е~Л* (см. с. 88 первого тома), фактические вероятности
можно ограничить.
В общем случае ошибки не имеют гауссова распределения.
Однако можно показать, что при определенных условиях оценки мак-
Фактические
эллипсы
Граничные
эллипсы "
Рис. 10.16. Эллипсы ошибок.
симального правдоподобия являются несмещенными и плотность
вероятности ошибок приближается к совместной гауссовой
плотности. (Как и можно было ожидать, гауссово приближение
оказывается наилучшим вблизи среднего значения плотности
распределения.)
Информационная матрица полезна также для определения
границ дисперсии индивидуальных ошибок. Дисперсия любой
несмещенной ошибки ограничивается диагональными элементами
матрицы J"1. Так,
330
о2[х—х]^1^Ег-~^-
N0 Er+N0 J ©г p — W
7ГЛ2
С2[Ш — ©]>|^_^-
— 1
со*
Wo Er + N0 J G)2*a-r-lco/)2
(92)
(93)

Из (68) следует, что для того чтобы эти границы ошибок
оценивания были несвязанными, достаточно, чтобы комплексная
огибающая была действительной величиной. В этом случае
с2[т-т]> (^ ^— )~1 = , (94)
#о Er+N0
°,[й-ш|>(|^Г'т (95>
для любых несмещенных оценок с at = 0. Заметим, что неравенства
(94) и (95) являются границами даже при со* Ф 0, но они не столь
плотны, как границы (92) и (93).
Первые сомножители в выражениях (92) — (95) являются
функциями отношения средней энергии принимаемого сигнала к спект-
тральной плотности белого шума. Вторые сомножители учитывают
влияние формы сигнала. Из (94) видно, что граница точности
оценивания запаздывания определяется эффективной шириной спектра.
Этот вывод вполне логичен, так как если увеличить ширину спектра
сигнала, можно сформировать сигнал с меньшим временем
нарастания. Из (95) следует, что граница точности оценки допплеровской
частоты определяется эффективной длительностью импульса.
Учитывая определения элементов информационной матрицы
(60) — (62) и определение функции неопределенности, нетрудно
установить, что элементы матрицы J можно выразить
непосредственно через функцию неопределенности.
Свойство 21*. Элементы матрицы (86) можно выразить в виде
5МЗ)«=—v^^-\ . Об)
2. от2 |©, т=о
-г — 1 а29(т, со)
2 дт д®
(ut—со/:
2-(0=-
1 д*е(т, со)
2 дю2
(97)
©,Х=0
(98)
,Х=0
Эти выражения непосредственно вытекают из (17), (18) и (67) —
(69) (см. задачу 10.2.2).
Итак, информационную матрицу можно выразить посредством
описания поведения функции неопределенности в начале
координат. Свойство 2, в сущности, аналитически выражает сделанное
нами интуитивное замечание по поводу желательной формы
функций неопределенности (см. с. 314).
1} В этой главе мы выведем ряд свойств функции неопределенности и
поэтому для простоты ссылок будем использовать общую с основным
текстом систему нумерации формул.
331

На втором, заключительном этапе обсуждения проблемы
фокальной точности оценок исследуем условия, при которых
фактические дисперсии ошибок оценивания приближаются к границам,
определяемым неравенствами (92) и (93). Чтобы пояснить
необходимость такого обсуждения, напомним некоторые результаты из
ранее изложенных разделов теории оценок.
При изложении классической теории оценок (см. том первый,
с. 81, 82) были указаны некоторые асимптотические свойства оценок
Максимального правдоподобия. Их можно сформулировать заново
в контексте рассматриваемой проблемы. Предположим, что имеется
N независимых наблюдений цели. Иначе говоря, принимаются
колебания
M0 = &*V^f(/-T)e>*4^(0> -°о<г<оо, * = 1,2, ...,#,
(99)
где bt и wt (t) определяются соотношениями (3) — (5) и являются
статистически независимыми. Физически это обеспечивается тем,
что импульсы излучаются в разное-время (этот сдвиг по времени
между импульсами функцией J (t — т) не учитывается). Тогда при
N -> оо имеем основание установить следующее.
1. Решение уравнения правдоподобия имеет вид
a In Л^ (т, со)
= 0,
ХшяХт1
(100а)
dlnA^ (т, со)
дсо
где
= 0,
*ml
(1006)
In AN (т, со) = 2 In Л< (т, со),
/=1
(ЮОв)
1пЛг(т, со)=
1
N0 N0+Er
\Li(xtco)\
(ЮОг)
Lt(xtco)A jrf(/)P(/-T)e-/el£tt.
(100д)
Следовательно, при N -> оо оценки по максимуму правдоподобия
являются состоятельными и сходятся в вероятностном смысле к
истинным значениям та, соа параметров т и со,
332

. 2. Оценки по максимуму правдоподобия являются
эффективными, т. е.
lim о»Ьт!-та] = L (101)
^-**> 1 N0 Er+N0 t*
Аналогичное соотношение имеет место и для оценки частоты.
3. Оценки по максимуму правдоподобия являются
асимптотически совместно гауссовыми и имеют ковариационную матрицу J"1.
t В гл. 4 первого тома (с. 317—329) было показано, что дисперсии
ошибок при больших EINq приближаются к границе Крамера —
Рао. Это другой тип «асимптотического» поведения (асимптотическое
приближение к границе при E/N0-+ оо, а не при #-> oo ).
В рассматриваемой проблеме нам хотелось бы показать, что при
использовании лишь одного импульса дисперсия ошибки стремится
к границе Крамера — Рао при ErIN0 -> oo . К сожалению, это,
по-видимому, не соответствует истине (см. задачу 10.2.3). Таким
образом, оценки по максимуму правдоподобия асимптотически
эффективны в классическом смысле (при N ->- оо ), а не в том смысле,
в котором они рассматривались в гл. 4 первого тома (т. е. при
E/N0 -> оо ).
Следует упомянуть еще два момента, связанных с
асимптотическим поведением оценок.
b L1- Предположим, что используется фиксированное число
импульсов N (где*М > 1), и пусть Er/Nb возрастает. Стремятся ли
дисперсии ошибок к границам? Этот вопрос мы не смогли разрешить
удовлетворительно.
2. Другая модель рассматриваемой задачи, которая иногда
используется в радиолокации, описывается выражением
^(t)=ZEtJ(t—x) eI(0t+w(t)f — оо < t< oo, (102а)
где | Ь | — либо известная, либо неизвестная неслучайная
амплитуда. Соотношения (58) — (69), определяющие локальную точность
оценок, справедливы для этой модели, если для С вместо значения
(66) взять величину
CA2Et\b\2(N0. (1026)
В этом случае можно показать [77], что при С-> оо фактические
дисперсии ошибок стремятся к указанным границам.
Во всех наших рассуждениях в данном параграфе
предполагалось, что ошибки малы. Следующим важным вопросом является
изучение поведения ошибок, когда их нельзя считать малыми. Такую
ситуацию называют задачей глобальной точности (или
неопределенности).

10.2.2. Глобальная точность (или неопределенность) /
В этом параграфе исследуем точность системы в том случае,
когда ошибки необязательно малы.
Приближенный анализ точности системы можно произвести
таким же методом, какой использовался при исследовании явления
порога ЧМ в первом томе (с. 321—328). Идея метода довольно
проста. Предполагается, что область плоскости т, со, которую
необходимо учитывать при анализе глобальной точности оценок, имеет
форму прямоугольника со
сторонами Й* и Г*. Разобьем эту
область на прямоугольные
ячейки, как показано на рис. 10.17.
»,
1
ч
Ас
h
0
т.
к
08
Рис. 10.17. Область плоскости т, со,
в которой могут присутствовать цели.
Рис. 10.18. Ячейка
скости т, со.
пло-
Размеры ячейки пропорциональны размерам центрального пика
функции неопределенности сигнала. Будем пользоваться при
разбиении области сеткой с размерами ячейки
Дх=-
(103а)
Д<а —
1
где
(1036)
(ЮЗв)
(ЮЗг)
Такая ячейка изображена на рис. 10.18. Заметим, что если со/
имеет существенное значение (например, в случае ЛЧМ сигнала),
было бы логичным разбиение области на ячейки в форме
параллелограмма. Здесь для простоты предполагается, что со/ равно нулю.
Принимаемый сигнал обрабатывается в два этапа. Сначала
принимается решение, в каких ячейках имеется сигнал. Затем
производится локализация (местоопределенйе) сигнала в пределах
избранной ячейки. Поэтому в процессе обработки возникают ошибки
334

дву^ родов: ошибки решения — из-за неправильного выбора
ячейки ц локальные ошибки в пределах ячейки. Локальные ошибки
были рассмотрены в предыдущем параграфе. Приступим теперь
к анализу ошибок решения.
Для анализа ошибок предположим, что сигнал находится в
центре одной из ячеек. Обозначим координаты средней точки i'-й ячейки
через (xif CD|). Предполагается, что априорные вероятности
нахождения сигнала в любой ячейке равны. Таким образом, ситуация
сводится к многоальтернативной задаче на проверку М гипотез,
где
М = Й*<т<7>а). (Ю4а)
Испытание по критерию отношения правдоподобия состоит в
вычислении величин
игг=
J ?(/)/* (/-т,)е
- /®i *.
(1046)
и выборе наибольшей из них. Для анализа точности необходимо
рассмотреть два случая.
Случай 1. Функция неопределенности сигнала имеет
центральный пик и не имеет побочных пиков. Выходной сигнал во всех
неправильно выбранных ячейках пренебрежимо мал.
Случай 2. Функция неопределенности сигнала имеет побочные
пики, амплитудами которых пренебречь нельзя.
Сначала проанализируем первый из этих случаев. Анализ
второго случая проведем кратко и в общих чертах. Первый случай
соответствует передаче одного из М ортогональных сигналов по
релеевскому каналу. Вероятность ошибки Р (г) для этого случая
была определена в задаче 4.4.24 первого тома.
Для анализа данного случая удобнее всего использовать
приближенную формулу, выводимую в рамках задачи 4.4.25 первого
тома:
Р(г)~И*-(\пМ - + 0,577 V (105)
Как и в примере 2 (с. 325 первого тома), можно вычислить средний
квадрат ошибки при условии, что имеется интервальная ошибка:
Е[хЦ интервальная ошибка]<20т, = 7^/6, (106а)
Е[®1\ интервальная ошибка]< 2(Jq# = QJ/6. (1066)
В (106а) не учитываются ошибки решения, которые не приводят
к ошибке по дальности (т. е. ошибки, связанные с ситуациями,
когда ячейка выбирается по дальности правильно, а по доппле-
ровскому сдвигу — неправильно).
335

Ограничимся теперь рассмотрением только ошибки оценивания
дальности. Чтобы определить полную дисперсию оценки, мс/жно
скомбинировать различные результаты:
Е (т?) = Е (т? | нет ошибки решения) Р (нет ошибки решения) +
+ Е (т? | есть ошибка решения) Р (есть ошибка решения). (107а)
Единственным не вычисленным пока членом здесь является член
Е (те | нет ошибки решения). Для этого члена можно получить
хорошее приближение, но оно слишком сложно для данного
краткого рассмотрения. Здесь достаточно заметить, что первый член
является неотрицательным, и поэтому нормированную ошибку
можно ограничить, используя только второй член. В результате имеем:
Е(*1) Е(т*) 12 _, 2|
^ — Е (Те I ошибка решения) х
о2[Т*] 71/12 ^ Т1
хР (ошибка решения) ==~=г-^[ In [й^а^Г^ао)] —
-та^-+ °'577)- (107б>
Из п. 10.2.1 известно, что дисперсию можно также ограничить,
используя границу Крамера — Рао. При больших значениях
отношения Er/N0 нормированную границу Крамера — Рао можно
приближенно записать в форме
*«>,>_£._!_. (107в)
с* [7*] 2ЕГ (7* ов)«
Сравнивая (1076) и (107в), видим, что правые части обоих
выражений имеют одинаковую зависимость от Er/N0. Однако для
представляющих интерес значений параметров правая часть (1076) всегда
значительно больше, чем правая часть (107в). Поэтому можно
сделать вывод, что для одиночного излученного импульса и релеевскои
модели цели вероятность ошибки решения в результирующей
ошибке является доминирующей и дисперсия, указываемая границей
Крамера — Рао, никогда не достижима. Такое поведение ошибки
объясняется тем, что при использовании релеевскои модели
встречаются целине малыми | Ь\2 независимо от того, насколько велико
отношение Er/N0. Большие ошибки оценки, связанные с
подобными целями, не дают средней ошибке приблизиться к границе.
В п. 10.2.1 было указано, что оценки по максимуму
правдоподобия являются асимптотически эффективными, когда число
наблюдений (т. е. число излученных импульсов N) стремится к бесконеч-
336

ности. Теперь можно обсудить поведение оценок в зависимости от
N. В случае N импульсов вероятность ошибки
Я / Г~~ (\-\-~Ё /Nn)N
Р (г) ~ (Q* at Г*асо) 1/ -—,__ ч/ - ^9м 1 • (Ю8а)
w л * t * co^j/ ^ {ErIN0){l+Er!N0)2N-1 К ]
(Здесь использованы формулы (I — 2.516) и (I — 4.64).) Если
предположить, что Е (т? | нет ошибок решения) можно приближенно
заменить правой частью формулы (92), то
4^^—] J—l±m^(l-P(e))+2P(el (1086)
о2 [Т.] (T.oj* NEr/N0 NEr/N0 I '' ^ V V '
На рис. 10.19 графически представлена зависимость величины,
обратной нормированной среднеквадратическои ошибке, от N при
различных значениях Er/N0, Q*ot и T*Oq. Как и можно было
ожидать, наблюдается четко выраженное явление порога. Ниже порога
дисперсия при увеличении от© Т* и ctQ* возрастает.
Увеличение ОчоГ* и ct&* приводит также к смещению пороговой точки
в сторону большего значения N. Заметим, что даже когда отношение
Er/N0 равно 10, чтобы вывести рабочую точку системы в надпорого-
вую область, требуется примерно десять импульсов в сигнале.
В заключительной части п. 10.2.1 была упомянута альтернативная
модель цели, в которой множитель | ЬI представлялся как
фиксированная величина. Полезно рассмотреть вопрос о глобальной
точности для этой модели. Разложением в степенной ряд можно
показать, что
где
£(т?|нет ошибки решения) = —-—^, (109а)
2ЕГ о©
Er=Et\~b\\ (1096)
(см., например, [77]). Подставляя результаты решения задачи 4.4.7
в формулу (1—4.64), получаем
п/ ч^ Q*°tT*G / Ег\
Р(е)<— exp^-— J" <"°>
Используя (107а), (109) и (110), получаем выражение для
нормированной среднеквадратическои ошибки. Зависимость величины,
обратной нормированной среднеквадратическои ошибке, от Er/2N0
при различных значениях Q*ot и Т#а© представлена графически
на рис. 10.20. И в этом случае также наблюдается явление порога.
Заметим, что если (а©Г*) (агЙ*)равно 104, то для выхода системы
в надпороговый режим работы необходимо обеспечить отношение
Er/N0 около 40,
337

Следует отметить, что на рис. 10.19 и 10.20 местоположение
пороговой точки зависит от выбранного шага сетки (размеров
ячейки). Исследование влияния шага сетки на локальную и глобальную
ошибки можно было бы провести, но мы не будем этого делать.
До сих пор рассматривались сигналы, функции
неопределенности которых не имеют побочных пиков. Если функция
неопределенности имеет побочные пики, то задача на принятие решения соот-
wo woo
Число имлульмд,#
Рис. 10.19. Зависимость величины,
обратной нормированному среднему
квадрату ошибки, от числа
импульсов в случае релеевской модели цели.
Рис. 10.20. Зависимость величины,
обратной нормированному среднему
квадрату ошибки, от отношения
Er/2N0 в случае модели нефлуктуиру-
ющей цели.
ветствует многоальтернативной задаче (М гипотез) теории решений
для случая неортогональных сигналов. Для функции
неопределенности конкретного сигнала можно получить приближенные
результаты, но даже точные численные результаты мало что добавляют
к нашему пониманию общего случая.
Следует указать, что существуют и другие методы, пригодные
для исследования задачи глобальной точности. В частности,
довольно эффективно использование рассмотренной в первом томе
(с. 82, 153 и 328) границы Баранкина (см., например, [78—81]).
К числу других работ, посвященных исследованию задачи
глобальной точности, относятся статьи [82 и 83].
339

10.2.3. Заключение
В этом параграфе была исследована точность работы
оптимального приемника. Было показано, что локальная точность зависит от
формы функции неопределенности 0 (т, со) в окрестности начала
координат. Была исследована также задача глобальной точности
(неопределенности). В этом случае точность работы системы
зависит от поведения функции 0 (т, со) на всей плоскости т, со.
Итак, было установлено, что как в проблеме точности, так и
в проблеме неопределенности (неоднозначности) функции Ф (т, со)
и 0 (т, со) играют фундаментальную роль. В следующем параграфе
выведем некоторые полезные свойства этих функций.
10.3. Свойства частотно-временных автокорреляционных
функций и функций неопределенности
Автокорреляционная функция и функция неопределенности
впервые были введены Биллем [1]. Их свойства подробно
исследовались Вудвордом [8], Сибертом [9, 10], Лернером [И] и Прайсом
[12].
Первое свойство, которое мы рассмотрим в этом параграфе,
относится к объему тела неопределенности, заключенному между
поверхностью функции неопределенности и плоскостью т, со. Одно
из следствий, вытекающих из этого свойства, состоит в том, что
идеальная функция неопределенности, изображенная на рис. 10.6,
не может существовать.
Свойство 3 (инвариантность объема). Полный объем тела
неопределенности инвариантен к выбору сигнала, а именно
; |е(г,а»Л-2=1. (111)
— оо —оо
Доказательство. Доказательство следует непосредственно из
определений (17) и (18). Имеем
оо оо оо оо
U'fc-^-J J I J'~('-t)x
— оо —оо —оо —оо —оо
xf^t +.!■) е'*7* ("- у) 7 [и + ±) е-/»« dx fjtdu. (112)
Интегрируя по со, получаем 2 яб (t — и). В результате дальнейшего
интегрирования переменная и заменится на /. В итоге получим
оо оо
JJe<l'»""fM' j|7(/-i-)f|7(' + -i-)r**- <»3>
-оо — оо
339

Пусть г = t — т/2. Тогда
JJ е;(т, о) dx Ц= ] I т \Ч1 ] | f(t + г) |2 л. (1 и)
— 00 —00 —00
Внутренний интеграл равен единице при любых значениях г,
поскольку энергия инвариантна к временному сдвигу. Внешний
интеграл также равен единице, что и требовалось доказать. **ч
Смысл этого свойства, которое часто называют принципом
неопределенности в радиолокации, очевиден. Если сигнал изменяют
с целью сужения главного пика функции неопределенности и
повышения точности системы, то необходимо определить, куда на
плоскости т, со переместилось тело неопределенности, и проверить
влияние такого преобразования на качество работы системы. Принцип
неопределенности в радиолокации, — вероятно, наиболее важное
свойство функции неопределенности. Однако существует ряд
других свойств, которые имеют менее фундаментальное значение, но
полезны при решении задач синтеза и анализа сигналов.
Первая группа свойств связана, главным образом, с частотно-
временной автокорреляционной функцией (большинство их указано
в работе [10]). Доказательство этих свойств не вызывает
затруднений и многие доказательства оставлены для самостоятельных
упражнений.
Свойство 4 (симметрия):
Ф (т, ®) = Ф* ( —т, — 0), (115)
0(т, со) = 9(-т, — со). (116)
Свойство 5 (другие формы представления). Другой формой
представления частотно-временной автокорреляционной^функции
является запись в виде
0{x'w) = Tn I ?(/a_"f)?*(/a+"?)e-/aTda- (117>
— оо
На данном этапе изложения удобно ввести
частотно-временную автокорреляционную функцию, второй аргумент которой
измеряется в герцах. Запишем ее в виде
ф{*,/>= .] Г('-у)7*('+-^-)е/2я,<Л- (118)
— оо
Аналогично
е{т, /} = |Ф{т, f}\\ (U9)
340

Фигурные скобки { • } служат признаком определений согласно
(118) и (119), тогда как круглые скобки (•) — признаком
первоначального определения1).
Свойство 6 (дуальность). Результаты рассмотрения свойства
5 указывают на существование интересного свойства дуальности,
которое мы подробнее рассмотрим и будем широко использовать
позднее. Возьмем два сигнала: gx (t) и g2 (t) — такие, что
00
£2{/}А j ft (0 е-/*»/'Л, (120)
— 00
т. е.1*2 { ' } является преобразованием Фурье сигнала gx (•). Из
(117) следует, что
Ф2{/,-т} = Ф1К /}• (121)
Таким образом, эффект передачи преобразования Фурье сигнала
сводится к повороту частотно-временной/диаграммы на 90° в
направлении по часовой стрелке.
Аналогично
е2{/,-т} = в1{т, /}. (122)
Свойство 7 (изменение масштаба). Если
7(/)~Ф(т,со), (123)
то
У а / (а/) ~ Ф (ат, —V а > 0. (124)
Изменение масштаба функции неопределенности производится
аналогично.
Свойство 8. Если
F (/со) ~ Ф (т, со), (125)
то
F (/®) е/оса — Ф (т + 2ао), со). (126)
Это аналог свойства 1 (см. с. 321) для частотной области. Функция
неопределенности преобразуется аналогично.
Свойство 9 (поворот). Обобщением соотношения дуальности
в свойстве 6 является свойство поворота. Предположим, что
7i (0 ~ *i(*.*>). (127)
х) Приносим извинения за подобное усложнение записи. В
большинстве случаев используемое определение очевидно из контекста. При
рассмотрении дуальных задач необходимо быть внимательным, так как используемое
определение в этом случае по аргументу установить невозможно.
341

Если требуется новая частотно-временная функция, которая
получается путем поворота данной функции Фх (.,.), т. е.
Ф2 (т, со) = Фх (со sin а + т cos а, 0 cos а — т sin а), 0 < а < я/2,
(128)
то ее можно получить также путем передачи сигнала
Vcosa V 2 / J», \Л 2 cos a У/
(129)
cos a / / 2n
Функция неопределенности при этом также поворачивается на a
радиан.
Свойство 10. Рассмотрим такой вопрос: задана некоторая
функция двух переменных Ф {т, /}; является ли она частотно-временной
корреляционной функцией некоторого сигнала? Ответить на этот
вопрос можно, взяв обратное преобразование функции (118).
Поскольку
Ф
то
(т,/}= ] 7('-у)7*('+у)е''2л"^ (130)
00
J Ф{1,!}е-№(1!=7(*~)1*('+т} (131)
Поэтому, если преобразование функции Ф {т,/} можно записать
в виде (131), оно является обычной частотно-временной
корреляционной функцией, а J (/)— соответствующим сигналом. Путем
замены переменных (х = t — т/2 и у = t + т/2) соотношение (131)
можно переписать в виде
7Ш*(У)= ] 0{y-x,f}exp(-j2nf[^±^))df. (132)
Согласно свойству дуальности (свойству 6) соотношение (132)
можно записать в форме
F{х}F*{y}= J Ф{f, х- у} ехр [- /2я/ (*±* )] df. (133)
— 00
Соотношения (132) и (133) позволяют определять искомый
сигнал непосредственно. Заметим, что если не считать постоянный
фазовый угол, этот сигнал является единственным. Так, сигнал
Ja(x)Aj(x)efa (134)
также удовлетворяет условию^ (132).
342

Для функции неопределенности аналогичного соотношения
получено не было. Поэтому, если задана функция 0 {т, /}, то нет
критерия, который был бы необходимым и достаточным условием того,
что функция 0 {. 9 . } является функцией неопределенности
некоторого, пока неизвестного сигнала. Кроме того, не имеется какой-
либо прямой процедуры отыскания функции (сигнала) J(t)t которая
бы имела требуемую функцию неопределенности.
Свойство 11 (перемножение). Если
Л (0 ~Фх {*./>. (135)
7г (0 ~*2 {*,/}, (136)
то
оо
7i(0 72(0~ j Ф1{г,х}Фг{х,!-х}йх (137)
— оо
(т. е. имеем операцию свертки по частотной переменной) и
Fi Ш ?2{/} ~ ] фг {*» П ф2 {*-*. /} dx (138)
— 00
(что соответствует операции свертки по временной переменной).
Свойство 12 (функции в осевых сечениях). Частотно-временная
функция, вычисленная при 0 = 0, есть просто частотно-временная
корреляционная функция комплексной огибающей, т. е.
ф(т,о)= J /('—t)7*('+y)dL (139)
Частотно-временная корреляционная функция, вычисленная при
т = 0, имеет две интересные интерпретации. Во-первых, она
является преобразованием Фурье квадрата модуля комплексной
огибающей, т. е.
оо
Ф(0,<о) = I \J(t)\2eie>tdt. (140)
— 00
Во-вторых, согласно (117) она же является корреляционной
функцией преобразования Фурье комплексной огибающей, т. е.
Ф<0,/} = j T^x+-L)j]F*\fx-^df. (141)
— 00
Последнее интересующее нас свойство относится только к
функции неопределенности.
343

Свойство 13 (автопреобразование). Функция неопределенности
является своим собственным двумерным преобразованием Фурье,
т. е.
; оо
^ 0 {т, /} exp [j2itu(vf— их)] dx df=Q{v% и}. (142)
Заметим порядок написания знаков в определении двойного
преобразования: минус у временной (первой) переменной и плюс у
частотной (второй) переменной. Этот порядок произволен и выбран
так, чтобы было соответствие с употреблением знаков в литературе
по радио- и гидролокации. Следует отметить, что обратное
утверждение несправедливо; свойство автопреобразования не гарантирует,
что данная конкретная функция является функцией
неопределенности.
В этом параграфе был выведен ряд полезных свойств частотно-
временной автокорреляционной функции и функции
неопределенности. Вывод некоторых других свойств вынесен в задачи вне
основного текста. Кроме того, свойства этих функций описываются
применительно к некоторым типичным примерам.
Заметим, что мы оказались не в состоянии найти необходимое
и достаточное условие того, чтобы данная функция была функцией
неопределенности. Даже если известно (или предполагается), что
некоторая функция двух переменных является функцией
неопределенности, мы не располагаем алгоритмом отыскания
соответствующей комплексной огибающей. Поэтому нельзя просто выбирать
желаемую функцию неопределенности и затем по ней искать
требуемый сигнал. Возможен другой подход к задаче синтеза сигнала,
который заключается в рассмотрении определенных классов
сигналов, вычислении для них функции неопределенности и
последующем выборе наилучшего сигнала в рассматриваемом классе. Именно
такого подхода мы будем придерживаться в дальнейшем.
В § 10.2 изучались модулированные аналоговые сигналы.
Рассмотрим теперь класс сигналов, называемых кодированными
импульсными последовательностями.
10.4. Кодированные импульсные последовательности
В этом параграфе изучаются комплексные огибающие,
состоящие из последовательности импульсов, которые модулированы по
амплитуде, фазе или частоте. Каждый импульс
последовательности можно выразить как задержанный вариант элементарного
сигнала Ъ (/), где
w — [ О при других t.
344

Обозначим задержанную копию импульса через
un(t)Au(t-nT8). (144)
Рассматриваемую комплексную огибающую можно записать в виде
N
J(t)=c 2 а»М0ехр(/соп/ + /еп), (145)
t = i
где ап—множитель, соответствующий амплитудной модуляции
при постоянном уровне в пределах п-то импульса; (йп—аргумент,
соответствующий частотной модуляции с постоянной частотой
в пределах п-то импульса; 0П—аргумент, соответствующий
фазовой модуляции с постоянным фазовым углом в пределах п-то
импульса. Постоянный коэффициент с служит для нормировки
огибающей. Аналитический сигнал (145) имеет 3N параметров,
значения которых можно изменять. Целесообразно исследовать влияние
различных параметров.
Обсуждение подразделяется на три части:
1. Краткое исследование последовательностей импульсов типа
«включено — выключено» (двоичной АИМ последовательности).
2. Описание класса сигналов, функции неопределенности
которых подобны идеальной функции неопределенности (рис. 10.6).
3. Краткий комментарий по другим классам сигналов, которые
могут быть полезными в конкретных областях применения.
10.4.1. АИМ последовательности
Простейшим примером последовательности импульсов типа
«включено — выключено» может служить периодическая
импульсная последовательность, рассмотренная в примере 3. Ее, очевидно,
можно аналитически записать в виде (145). Для иллюстрации этого
предположим, что имеется периодическая импульсная
последовательность с периодом следования импульсов Тр = 10Гв и общим
числом импульсов, равным 10, как изображено на рис. 10.21.
В обозначениях выражения (145)
ах = ап = а21 = ... = а91 = 1, (146)
а все прочие ап = 0. При'любых значениях п как соПУ так и Qn равны
нулю.
Недостатком периодической последовательности является
наличие больших побочных пиков у ее функции неопределенности.
Поскольку эти пики обусловливаются периодичностью
последовательности, можно попытаться j их'устранить, используя неравномерную
— с непостоянной частотой следования
импульсов—последовательность. Один из способов построения такой последовательности —
иметь, скажем, 100 возможных позиций импульсов, на 10 из которых
345

случайным образом расставить импульсы. Этот способ построения
сигнала был подробно исследован многими авторами, например
Рихачеком [13], Куком и Бернфельдом [14], Кейтерисом и Рубином
[15] и Ресником [16]. Можно показать (проще всего
экспериментальным путем), что подобное апериодическое, с изменением
частоты следования импульсов, построение последовательности вызы-
f(t)i
DTS Щ 20Тг ZOTz t
Рис. 10.21. Периодическая последовательность импульсов.
вает значительное уменьшение уровня боковых лепестков.
(Боковой лепесток — это побочный пик на плоскости т, со.)
Интересующийся читатель может обратиться к указанным источникам для
более подробного изучения.
10.4.2. АИМ последовательности с постоянной мощностью
В этом параграфе рассмотрим частный случай (145), когда
сигнал можно записать в виде
N
J(t) = c 2 anZn(t), (147)
i = 1
где
an = ±L (148)
Чтобы показать преимущества сигналов этого класса и
целесообразность их использования, напомним свойства, которыми
должна обладать «идеальная» функция неопределенности:
1. Центральный пик должен быть узким в вертикальном
сечении по оси т. Минимальная ширина центрального пика определяется
шириной спектра W сигнала. В данном случае ширина спектра
сигнала есть величина, обратная длительности элементарного
импульса Т8. Вне области центрального пика функция
неопределенности должна быть достаточно плоской. На основании свойства
12 имеем
Ф (т, 0)= J / (* —1-) /* (t + -I-) dt. (149)
•— oo
Таким образом, желателен сигнал, корреляционная функция
которого ведет себя, как показано на рис. 10.22.
346

2. Центральный пик должен быть узким в вертикальном сечении
по оси со. На основании свойства 12 имеем
ф(о,ю)= J 17(0
Т/А I2 J®*
dt.
(150)
Сделав огибающую | f(t) | постоянной на протяжении всей
сигнальной последовательности, тем самым сделаем функцию Ф (0, со) узкой
по оси со. Этим предопределяется выбор
= 1,2,..., N.
(151)
(152)
<WA
-5
7-с
Тогда
l7(/)|=i/yTv, о</<#7>=7\
и в сечении по оси / ширина функции Ф (т, со) ~2Т.
3. Функция неопределенности должна быть достаточно плоской
(равномерной) вне области центрального пика. Это требование
трудно перевести на язык требований,
предъявляемых к сигналу. Поэтому
обычно сигналы синтезируют согласно первым
двум требованиям и проверяют их
поведение на плоскости т, со, чтобы убедиться,
удовлетворяет ли оно третьему требованию.
4. Из свойства инвариантности
(постоянства) объема тела неопределенности
следует, что если функция
неопределенности приближенно равномерна при
удалении от начала координат, то ее высота
должна быть такой, чтобы полный объем ее тела неопределенности
равнялся единице. Чтобы вычислить эту высоту, заметим, что
общая длина функции неопределенности равна 2 Г, если длительность
комплексной огибающей равна Т (напомним, что Т = NT8).
Функция неопределенности при конечной длительности сигнала не имеет
конечной ширины в сечении по оси /. Однако можно считать, что
эта ширина приближенно равна 2W [Гц], где W — эффективная
ширина спектра сигнала. (В данном случае W = Т^1.) При
указанных приближениях желательная функция неопределенности
приобретает вид, показанный на рис. 10.23. Объем ее центрального
пика можно считать приближенно равным 1/TW. Поэтому высота
плоской области должна удовлетворять уравнению
Рис. 10.22. Желательная
корреляционная функция
сигнала.
или
h-WT + l/WT~ l
l
h
<* —(
4WT\
1--Ц.
WT
При больших значениях произведения WT имеем
h ~ 1/4 WT.
(153)
(154)
(155)
347

Эта формула дает общее представление о характере поведения
функции неопределенности, к которому можно приблизиться. Из
принципа неопределенности в радиолокации известно, что это самая
малая высота плоской области, которую только можно получить.
Дальнейшее понижение некоторых участков поверхности
вызвало бы появление пиков на других участках.
Взяв за основу эти четыре замечания, попытаемся теперь найти
сигнал, который имел бы функцию неопределенности, изображенную
на рис. 10.23. При отсутствии какой-либо очевидной процедуры
Рис. 10.23. Желательная функция неопределенности сигнала.
синтеза логичным является интуитивный подход на основе опыта,
приобретенного нами в процессе разбора нескольких примеров и
обсуждения ряда выведенных свойств.
Коды Баркера. Как первое приближение плодотворен простой
метод, который сводится к ограничению N каким-либо малым
числом и исследованию всех возможных последовательностей
элементов ап. Например, если N = 3, то имеется 23 размещений.
Последовательность можно условно записать, указав амплитуды импульсов.
Так
+ + - (156)
означает
7(t)=-±=.[Ui(t)+u2(t)-u3(t)]. (157)
Уз
Корреляционную функцию Ф (т, 0) для такого сигнала вычислить
несложно. Поскольку дело сводится к последовательному сдвигу
прямоугольных импульсов, достаточно вычислить значения
Ф (пТ8У 0), п = 1, 2, 3, (158)
и соединить их на графике прямыми линиями. Получающаяся в
результате корреляционная функция показана на рис. 10.24. Нетруд-
348

но заметить, что эта корреляционная функция обладает тем
свойством, что
Ф(пТ9, 0) | < 1/N, пфО. (159)
Заметим, что дополнение рассматриваемой последовательности
+ , обращенная последовательность \- + и дополнение
обращенной последовательности -\ также обладают этим
свойством. Баркер [17] нашел последовательности, которые
удовлетворяют условию (159) при различных значениях #< 13. Эти
последовательности, получившие название кодов Баркера, сведены
в табл. 10.1. К сожалению, не найдено кодов Баркера длиной более
Рис. 10.24. Корреляционная функция трехэлементного кода
Баркера.
13 элементов. Можно доказать, что не существует нечетных (с
нечетным числом- элементов) последовательностей длиной более 13
элементов, а четных последовательностей со значением N в
пределах от 4 до 6084 не было найдено [18].
N
2
3
4
5
7
И
13
Таблица 10.1
Последовательности кодов Баркера
Последовательности
+++++++
++++++1
++++I 1
+ 111 +
+ 1 I+-
l I+ +
1 + 1 +
+ 1 +
+ 1 !
1 +
+ 1
1
1 +
349

Модуль частотно-временной корреляционной функции для кода
Баркера длиной 13 элементов представлен графически на рис. 10.25.
Видно, что имеются два гребня с высотой, которую нельзя считать
пренебрежимо малой.
Последовательности на выходе сдвигающего регистра. Другой
подход к синтезу сигналов следует из примера, который обычно
встречается в учебных пособиях по курсу случайных процессов.
Рассмотрим опыт с подбрасыванием монеты. Если исходом является
«герб», то полагают ах = 1. Если исходом является «решетка», то
Рис. 10.25. Модуль частотно-временной корреляционной функции кода
Баркера длиной 13 элементов [10].
полагают аг = — 1. Значение ап определяется /г-м испытанием
Результат эксперимента описывается выборочной функцией — из
вестным процессом Бернулли. При N ->- оо
ф („rs, 0) = 0, п ф 0. (160)
Это свойство позволяет ожидать, что при больших значениях N
рассматриваемый сигнал будет иметь удовлетворительную
корреляционную функцию. Одним из возможных недостатков описанной
процедуры является необходимость в запоминающем устройстве.
Из материала § 10.1 известно, что для построения согласованного
фильтра в приемнике необходимо располагать копией сигнала.
Так, если N = 1000, то потребуется запоминать
последовательность 1000 отсчетов уровней.
Положение облегчается тем, что существует класс
детерминированных последовательностей, которые обладают многими из
характеристик, свойственных последовательностям Бернулли, и для
формирования которых имеются простые способы и устройства.
Устройство, используемое для формирования такой
последовательности, называется сдвигающим регистром с обратной связью.
Структурная схема типичного трехразрядного сдвигающего регистра
показана на рис. 10.26. В каждой его ячейке запоминается двоичная цифра
соответствующего разряда двоичного числа. Через каждые Ts ce-
350

fi
-^-
Rt
tfj
f +
*^
кунд регистр возбуждается тактовым импульсом, после чего в нем
осуществляются две операции:
1. Содержимое регистра — двоичная
последовательность—сдвигается на одну ячейку вправо; цифра разряда, находившаяся
в последней ячейке, поступает на выход регистра.
2. Выходы различных ячеек объединяются путем сложения по
модулю 2. Результат сложения по модулю 2 подается в первую
ячейку и образует ее новое
содержимое. В данной схеме входной
разряд образуется в результате
сложения разрядов,
содержавшихся во второй и третьей
ячейках.
Поскольку все указанные
операции являются линейными,
такое устройство называется
линейным сдвигающим регистром.
Последовательность работы
этого регистра иллюстрируется табл. 10.2. Нетрудно заметить, что
после седьмого тактового импульса содержимое ячеек регистра
будет тождественно исходному содержимому. Поскольку выходная
последовательность полностью определяется содержимым ячеек,
она будет повторяться. Период этой последовательности равен
L/\2N — 1 = 7. (161)
Таблица 10.2
Последовательности на выходе линейного сдвигающего регистра
Рис. 10.26. Структурная схема
сдвигающего регистра с обратной связью.
Состояние
Начальное
1
2
3
4
5
6 1
7
8
9
Ю
Содержимое
ячеек
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
далее содержимое
ячеек повторяется
Выходная последовательность
1
1 1
1 1 1
oiii
0 0 111
10 0 111
0 10 0 111
далее последовательность
повторяется
Ясно, что в данном случае нельзя получить последовательность
с более длинным периодом, так как существует только 2N = 8
возможных состояний и необходимо исключить состояние 000.Если
сдвигающий регистр находится в состоянии 000, то он продолжает
генерировать нули. Заметим, что для того чтобы получить период
351

длиной 7 элементов, была выбрана конкретная схема соединения
отводов обратной связи. При других схемах соединения отводов
обратной связи период может получиться короче.
Чтобы получить требуемый сигнал, необходимо осуществить
отображение
1 -* + 1, (162)
0-> - 1.
Если предположить, что периодическая последовательность
имеет бесконечную длину, то корреляционную функцию вычислить
нетрудно. Для удобства проведем нормировку к единице энергии
Рис. 10.27. Корреляционная функция периодической
псевдослучайной последовательности.
сигнала, приходящейся на период последовательности, а не к
полной его энергии. Корреляционная функция получающегося сигнала
показана на рис. 10.27. Видим, что
1, л=0, L,2L, ...,
ФР(пТа,0):
— 1/7, пфки £=0, 1,
(163)
Все изложенное относилось к трехразрядному сдвигающему
регистру, структурная схема которого представлена на рис. 10.26.
В^общем случае имеется Af-разрядный регистр. Поскольку в нем
существует всего 2N состояний, невозможно сформировать
последовательность, период которой больше, чем 2N — 1. Однако совсем
неочевидно, что существует схема соединения отводов обратной
связи, позволяющая формировать последовательность такого периода.
Чтобы доказать существование подобной последовательности и
найти соответствующую схему соединения отводов, необходимо
располагать исходными математическими сведениями, которые мы не
излагали. Свойства последовательностей на выходе сдвигающего
регистра1) широко исследовались Голомбом [20], Хаффменом[21], Цир-
1} Часто такие последовательности называют линейными рекуррентными
последовательностями (Прим. ред.)
352

лером [22], Питерсоном [23] и Эльспасом [24]. Отдельные вопросы
теории таких последовательностей методически хорошо изложены
в работах [25—27]. Из результатов указанных исследований для
нас представляет интерес теорема о том, что при любых N
существует, по крайней мере, одна схема соединения отводов, такая, что
выходная последовательность регистра будет иметь период
L = 2N— 1. (164
Такие последовательности получили название
последовательностей максимального периода на выходе сдвигающего регистра.
Заметим, что период последовательности является показательной
функцией числа разрядов регистра. Каталог схем соединения отводов
для N ^. 31 приведен Питерсоном в работе [23]. Частичный каталог
для N < 6 приведен в задачах 10.4.5 и 10.4.6. Эти
последовательности называются также псевдослучайными последовательностями.
Название «случайные» происходит от того, что они обладают
многими характеристиками последовательности Бернулли, в частности
следующими:
1. В последовательности Бернулли числа единиц и нулей
приближенно равны. В псевдослучайной последовательности число
единиц в периоде на один элемент больше, чем число нулей в
периоде.
2. Прогоном длиной п называется отрезок последовательности
с п подряд идущими элементами одного типа (одной полярности).
В последовательности Бернулли примерно половина прогонов
длиной в один элемент, одна четверть — длиной в два, одна
восьмая — длиной в три элемента и т. д. Псевдослучайные
последовательности имеют такое же распределение прогонов.
3. Автокорреляционные функции псевдослучайной
последовательности и последовательности Бернулли одинаковы.
Название «псевдо» объясняется тем, что эти последовательности
являются полностью детерминированными.
Корреляционная функция, представленная на рис. 10.27,
построена в предположении, что последовательность является
периодической. Это предположение справедливо в отношении РЛС
непрерывного излучения. Применение последовательностей такого типа
рассмотрено в работах [28, 29]. Непрерывные псевдослучайные
последовательности также широко используются в цифровой
связи.
Во многих радиолокационных системах излучаемые сигналы
содержат лишь один период такой последовательности. Поскольку
указанные выше свойства установлены в предположении
периодического сигнала, необходимо определить характеристики усеченной
последовательности. При малых значениях N корреляционную
функцию можно вычислить непосредственно (см., например, задачу
10.4.3). Можно показать, что при больших значениях N уровни
J2 Зак. 1494 353

боковых лепестков корреляционной функции в сечении по осит
стремятся к |/ЛГ (или YWT). Частотно-временную корреляционную
функцию можно получить экспериментально. График этой функции
для N = 15 представлен на рис. 10.28.
Во многих случаях практического применения детальная
структура функции Ф {т, /} не имеет существенного значения. Поэтому
|«
Рис. 10.28. Модуль частотно-временной корреляционной функции
псевдослучайной последовательности длиной N=15 [35].
Рис. 10.29. Приближение к функции неопределенности псевдослучайной
последовательности.
354

в большей части дальнейшего изложения будем пользоваться
приближенной функцией, показанной на рис. 10.29. Эта функция
обладает характеристиками, которые были сформулированы как
желательные на с. 347. Таким образом, последовательности на выходе
сдвигающего регистра обеспечивают хорошее решение
одновременно двух задач — неопределенности и точности радиолокационной
системы
Прежде чем закончить рассмотрение кодированных импульсных
последовательностей, следует отметить, что существует несколько
других методов, которые нами не обсуждались. Интересующиеся
читатели могут обратиться к учебным пособиям [14, гл. 8] и [30]
или к оригинальным статьям [31—34].
Следует подчеркнуть, что импульсные последовательности часто
используются на практике, так как их относительно легко
генерировать, оптимальный приемник для них сравнительно просто
реализуется и они обеспечивают большую гибкость. Специалистам в
области синтеза радиолокационных сигналов следует уделить
изучению этих сигналов гораздо больше времени, чем это позволяет
данное краткое общее изложение.
До сих пор предполагалось, что имеется лишь одна цель. Во
многих случаях наблюдению нужной цели мешают дополнительные
цели. Эту задачу обычно называют задачей разрешения целей.
Мы рассмотрим ее в следующем параграфе.
10.5. Разрешение целей
Задача разрешения целей в радио- или гидролокации — это
задача обнаружения или оценки параметров нужной цели при
наличии других целей или объектов, которые действуют как отражатели.
Эти отражатели могут быть частью локационной обстановки
(например, другие самолеты, ракеты, корабли, дождь) или могут быть
преднамеренно созданы противником, чтобы помешать выявлению
своих средств (например, ложные цели, средства РПД или диполь-
ные отражатели). В задаче разрешения целей удобно различать
два случая:
1. Разрешение целей в дискретной локационной обстановке.
2. Разрешение целей в непрерывной локационной обстановке.
Рассмотрим теперь модель цели для этих двух случаев.
На рис. 10.30 показана область плоскости т, со, которую
необходимо исследовать. Нужная цель находится в точке с
координатами xd, cod. Множество К мешающих целей находятся в различных
точках плоскости т, со. Предполагается, что нужная и мешающие
цели являются медленно флуктуирующими релеевскими целями.
Вообще мощности сигналов, отраженных от различных целей,
могут быть неравными. (К сожалению, нередко встречаются случаи,
когда мощности сигналов от мешающих целей значительно больше,
12*
355

чем мощность сигнала от нужной цели.) Более подробно модель
задачи разрешения целей для дискретного случая будет
рассмотрена в следующем параграфе.
В непрерывном случае задачи разрешения целей помехи
моделируются как континуум малых отражателей, распределенных по
некоторой области на плоскости т, со, как показано на рис. 10.31.
Эта модель пригодна для описания условий разрешения при
наличии реверберации (реверберационная задача в гидролокации) и
Мешающие 0
цела
U
Нужная
цель
• (ЪМ)
Рис. 10.30. Геометрическое
представление задачи разрешения целей в
дискретном случае.
Распределенная
(протяженная)
мешающая о
цель \
Нужная
цель
Рис. 10.31. Геометрическое
представление задачи разрешения целей в
непрерывном случае.
возможности разрешения при наличии помех от местных предметов
(задача с местными помехами в радиолокации). Более подробно она
будет обсуждаться в гл. 13 в рамках рассмотрения
распределенных (протяженных) целей.
Рассмотрим теперь дискретную задачу разрешения целей
подробно.
10.5.1. Разрешение целей в дискретной локационной обстановке:
модель задачи
В^этом параграфе рассматривается типовая задача разрешения
целей. В качестве конкретного примера рассмотрим задачу
обнаружения, но аналогичные результаты можно получить и для задач
оценки.
Требуется решить, присутствует или отсутствует цель в заданной
точке (xd, o)d) на плоскости т, со. Ради простоты алгебраических
выкладок положим
= 0,
(165)
©d = 0. (166)
Предполагается, что имеется два вида помех:
1. Полосовой белый шум со спектральной плотностью NJ2.
356

2. Множество К мешающих медленно флуктуирующих точечных
целей, местоположение которых и средняя мощность сигналов от
них известны. Тот факт, что присутствуют точно К мешающих
целей, также предполагается известным.
Излученный сигнал моделируется в виде
st(t)=y2EtRe[J(t)el<0c% (167)
где / (/) — нормированная комплексная огибающая. Комплексную
огибающую принятого сигнала по гипотезе Н0 можно записать
в виде
7(t) = VE
к
2 5i7l*-T,)e*«
1= 1
+w(t), — оо</<оо:Я0. (168)
Когда присутствует нужная цель, комплексная огибающая
~r(t)=VEt
bj(t)+ 2 &«/('-*i)e/e*'
+ w{t),
— оо</<оо:Я1. (169)
Множители bd и bt — статистически независимые комплексные
случайные величины, имеющие нулевые средние и неодинаковые
дисперсии:
E[bdVd]=2ol (170)
Е [Ьй bj[= 2а? 6У, U \= 1, 2, ..., К, (171)
£[^6j = ^[6j/]=^[Mn = £[6l^] = 0, *=1, ...,*. (172)
Представляют интерес несколько вопросов, связанных с этой
моделью. Первые два относятся к построению приемника, а
следующие два — к построению сигнала.
1. Можно было бы предположить, что синтез приемника
осуществляется при отсутствии информации о мешающих сигналах.
Получающийся в результате синтеза приемник будет содержать
полосовой согласованный фильтр, который был определен ранее. Далее
можно определить влияние мешающих целей на качество
обнаружения. Этот случай синтеза и анализа назовем задачей синтеза и
анализа обычного приемника.
2. Можно синтезировать приемник, используя предполагаемые
статистические свойства помехи. Как будет показано ниже, такая
задача представляет собой частный случай задачи обнаружения
сигнала на фоне небелого полосового шума, которая была
рассмотрена в § 9.3. Этот случай назовем задачей синтеза и анализа
оптимального приемника.
3. Можно потребовать, чтобы приемник содержал согласованный
фильтр (как в п. 1), и далее выбрать функцию / (/) с целью
минимизации влияния помех.
357

4. Можно использовать оптимальный приемник (как в п. 2) и
выбрать сигнал с целью минимизации влияния помех.
Рассмотрим теперь все четыре указанных вопроса.
10.5.2. Обычные приемники
Помехоустойчивость обычного приемника можно определить
простым путем. Если используется полосовой фильтр, согласованный
с / (t), то оптимальный приемник осуществляет испытание
IU2A
J 7(t)f*(t)dt
Hi
(173)
(см. (9.36) и (9.39)). Подстрочный индекс wo здесь используется для
обозначения того, что критерий (173) был бы оптимальным, если бы
шум был белым. Далее, поскольку lw0 — комплексная гауссова
случайная величина по обеим гипотезам, помехоустойчивость
приемника полностью определяется формулой
E[\1WO\2\H1]-E[\7WO\2\H0]
ДюоА
Е\\ТХ
1#о
(174)
(см. (9.49)). Чтобы вычислить два указанных в (174) математических
ожидания, подставим (168) и (169) в определение критерия (173).
Знаменатель в формуле (174) равен
£[|Т№О|2|Я0]=£ J
V — о
Xf(t)dt I [VFtf; %if(u-xh)e-,e,k« + w*(u)
— оо L Л=1
X
J(u)du\. (175)
Ввиду независимости величин bt и с учетом определения (18) это
выражение сводится к виду
к _
Е[\1и,о\2\Н0]=2 ЕгйВ(хищ) + Ы09
/= 1
где
£г.Д2Е,<т?
(176)
(177)
— средняя энергия сигнала, принятого от /-й мешающей цели.
Аналогично
El\lwo\2\H1]--E[\lwo\'\H0]^Erdt
(178)
358

где
E4A2Etal (179)
— средняя энергия сигнала, принятого от нужной цели. Тогда
А»о=-^ ^ (180)
1+ У _йв(тьш,)
& No
Первый сомножитель в формуле (180) соответствует показателю
помехоустойчивости, когда присутствует только белый шум. Второе
слагаемое в знаменателе определяет величину ухудшения
помехоустойчивости из-за воздействия мешающих целей. Формула (180)
показывает, что помехоустойчивость обычного приемника с
согласованным фильтром полностью характеризуется средней энергией
сигналов, отраженных от мешающих целей, и значением функции
неопределенности в точках их местоположения на плоскости т, со.
Этот результат дает следующий ответ — во всяком случае в
принципе — на третий вопрос: необходимо синтезировать сигнал,
функция неопределенности которого была бы равна нулю в/Сточках на
плоскости т, со, где находятся мешающие сигналы. Однако, даже
если бы такой сигнал можно было определить, остается ряд
трудностей практического характера, связанных с реализацией такого
решения:
1. Полученный в результате синтеза сигнал, несомненно, будет
очень сложным.
2. При каждом изменении локационной обстановки придется
изменять излучаемый сигнал.
3. Помехоустойчивость приемника в этом случае может
оказаться сильно зависящей от принятой модели и допущений частного
характера (например, от значений xt и со^).
С другой стороны, существует ряд физических ситуаций, когда
такое решение дает глубокое представление о том, как следует
строить хорошие сигналы. Применение полученных результатов
проиллюстрируем простым примером.
Пример. Рассмотрим многоцелевую локационную обстановку,
показанную на рис. 10.32. Нас интересует обнаружение целей,
имеющих нулевую скорость. Мешающие цели движутся с такой
скоростью, что имеется минимальное допплеровское смещение частоты,
равное со0. Необходимо синтезировать такой сигнал, чтобы
0 (т, со) = 0, | со | > со0. (181)
Эту задачу можно было бы решить точно, если в качестве
излучаемого сигнала взять
д/)=1/4Л illL^. (182)
|/ о)0 t
В справедливости этого можно убедиться, рассмотрев функцию
неопределенности прямоугольного импульса, приведенную в
359

примере 1 на с. 311, с учетом свойства дуальности (см. свойство
6, с. 341).
С другой стороны, данную задачу можно решить приближенно,
положив
0(т, со)-0, | со |>©0, (183)
и выбрав в качестве излучаемого сигнал прямоугольной формы:
ХМешающие цели
• I • •
////у//////////\'///////////////
Мешающие
Нужная цель
V-
WW/W//WWs-'<>-V/M/'xS
цели
Рис. 10.32. Геометрическое
представление задачи разрешения при
наличии многих целей.
н
Рис. 10.33. Контурная линия
постоянного значения функции
неопределенности прямоугольного
импульса.
*А
V//////////////A
Мешающие
Мешающие цели
Нужная цель
v/?;avv/////Av///>/;;,>/;/,>//
цели
Рис. 10.34. Геометрическое
представление, иллюстрирующее связь
между сигналом и помехами.
/(0=
il/VT, 0<f<7\
1 0 при других Л
(184)
Это решение является более
практичным. Типичный контур
одинаковой высоты получаемой при этом
функции неопределенности
изображен на рис. 10.33, а на рис. 10.34
показан результат наложения этого
контура на диаграмму помех в
плоскости т, со. Возможность столь
простого решения объясняется тем,
что помехи и нужные цели в
данном случае разнесены на
плоскости т, со. Если бы нас не
интересовала задача разрешения целей,
то можно было использовать
какой-нибудь другой сигнал,
например одиночный импульс малой
длительности или псевдослучайную
последовательность. В
локационной обстановке, показанной на
рис. 10.32, мешающие цели могут
вызвать заметное ухудшение
достоверности обнаружения.
Результаты рассмотрения этого
примера предопределяют вывод
(к которому мы, по-видимому, в
конце концов придем) в отношении
синтеза сигналов, что с точки
зрения точности, неопределенности
и разрешающей способности ни
один сигнал не может; быть
оптимальным при любых условиях
работы. Выбор подходящего сигнала
будет определяться ожидаемой
локационной обстановкой.
Обратимся теперь ко второму
вопросу: как построить
оптимальный приемник, если статистика
помех известна?

10.5.3. Оптимальный приемник: задача разрешения целей,
дискретный случай
Судя по выражениям (168) и (169), сумму сигналов, отраженных
от мешающих целей, можно рассматривать как выборочную функцию
комплексных гауссовых шумовых процессов. Если первое слагаемое
в (168) обозначить через пс (/), то
nc(t)=VEt
2 fti7('-*i)e,V
/ = i
(185)
и перед нами знакомая задача обнаружения сигнала на фоне
небелого комплексного гауссова шума (см. § 9.3). Ковариационная
функция процесса пс (t) равна
к
Kc(tr»)=2 ЕгЛУ-тдТНи-хде1***-*, ~oo<t, и<оо.
i = l
(186)
Интервал наблюдения был взят для простоты алгебраических
выкладок бесконечным. Обычно / (t) имеет конечную длительность,
так что функция Кс {ty и) будет равна нулю вне пределов некоторой
области на плоскости t, и.
В соответствии с (9.69) оптимальный приемник выполняет
операцию
j Ht)g*(t)dt
(187)
где# (t) удовлетворяет уравнению (9.74). Чтобы найти / (t)9
подставим (186) в (9.74), В результате получим уравнение
fit)
= \ [ 2 ЕпП*-*д7* (и- Ь)е*'('"и)] X
Xg{u)du + N0g{t),
-оо </< оо,
(188)
являющееся интегральным уравнением с разложимым ядром
(см. с. 367—370 первого тома). Его можно переписать в виде
К оо
7(0= 2 %tl(f-xd^* j 7*(«-тг)е-'в<"х
; = i
X g (и) du + Woi (/), — оо< t < оо.
(189)
361

Решение уравнения (189) имеет вид
£(0 = SdlV) + 2 gi Jif-хде/<0*', -oo<t<oo, (190)
где gd и g|, i = 1, ..., /С — постоянные коэффициенты, которые
необходимо найти. Структурная схема оптимального приемника
показана на рис. 10.35. Вычисление постоянных коэффициентов —
простое по своей идее, но утомительное упражнение по матричному
исчислению. Поскольку операции такого типа встречаются и в
других ситуациях, выполним эту процедуру подробно. Окончательными
результатами являются формулы (201) и (202),
Ht)
Полосовой
согласоЗаннь/й
фильтр
ftSafyamuvmu
детешор
огибающей
Ятсчет
(Зыо~орна)
£ра#нение
о порогом
Рис. 10.35. Структурная схема оптимального приемника.
Вычисление коэффициентов фильтра. Введем сначала четыре
матрицы, определяемые следующим образом. Матрица
коэффициентов
bi
Матрица помех
7/(04
Дополнительные матрицы
/LAEt[E [bb+]]=2£j
ЬД
bK\
0
(191)
(192)
ok
'r2
"К
р= jT/(o?/+ (t)dt.
, (193)
(194)
362

Рассматривая матрицы (192) и (194), видим, что все элементы
матрицы р можно записать с помощью частотно-временных
корреляционных функций сигнала, а ковариационная функция небелого
шума
Re(t,u)=?f(t)AV(u).
Переписав (190) в матричной форме, получим
g(f)=g<f® +g f# W =&/(0 + f/ (0*.
где
gA
gi
gK
(195)
(196)
(197)
Подставляя (195) и (196) в (188), имеем
оо
7(0= J W(0 А ?? (и) + N0b{t- и)) \gj{u) + II(u)g) da. (198)
— оо
Выражение (198) сводится к виду
7(0= £Л/Г (О Л pd + Nob! (О + ?f (О А Р* g + N01I (t) g, (199)
где
оо
pd= j V(u)J(u)du.
Решая уравнение (199), имеем
g= —
W
I + ^Ap
Apd-
(200)
(201)
(202)
Выражения (201) и (202) полностью определяют оптимальный
приемник.
С учетом (196), (201) и (202) согласно (9.77) находим, что качество
работы системы определяется выражением
N0 Ло
#0
1 Apd[-
(203)
Для иллюстрации этих результатов рассмотрим простой пример.
Пример. Одиночная мешающая цель. В этом конкретном случае
комплексная огибающая отраженного сигнала, принятого от нужной
363

цели, равна VEtb^](t), а комплексная огибающая отраженного
сигнала, принятого от одиночной мешающей цели, равна
J1{f)=VEtbJ(t-T1)^t.
(204)
Следовательно, величины f/ (t), g, Л, р и pd в этом случае являются
скалярными. В соответствии с (202) получим
1
gi= —
2а?
N0 \ N04- 2oi
Pd-
(205)
^
1,0
o,s
4S
0,7
¥
0,3
42
0,1
Px^^-^
L \
h
L
L
I I I
I i.. I f I i
^^^ 5A-
I J I l I Л I
-0,7
-L_L
^
^7 ^^
4s5 ^4
\\j N^
/Л^Ч \J
i i i i N
o,z
0,b 0,5
t(rr,0f) -**
0,d
V
Рис. 10.36. Ухудшение качества оптимального приемника при наличии
одиночной мешающей цели.
Заметив, что
00 ОО
pd= j Vi(u)J{u)du= j T{u)j*(u-xjel*°du (206)
— 00 —00
и
(207)
E1=2Etoi,
выражение (203) можно записать в виде
Ло=— 1
£l#-6(^(0,)}.
(208)
1+EtlNo
Отношение Л0 к E~,/N0 представлено графически на рис. 10.36. Оно
показывает ухудшение качества из-за влияния мешающей цели,
364

Выигрыш, получаемый благодаря использованию оптимальной
фильтрации вместо обычной фильтрации, можно найти в результате
сравнения формул (208) и (180). Отношение А0 к Д^0 (качеству при
использовании обычного согласованного фильтра) равно
Ашо М l + ldNo JI M N0 Kv l))
(209)
Это выражение сводится к
виду
fi=i+ {lllN/ е(тх>свд)х
1 + Ег/No
X [1—9(T!, (Oi)]. (210)
Результаты вычислений
по формуле (210)
представлены графически на рис. 10.37
для различных значений
EJNq и 9 (ть (Djl). Нетрудно
заметить, что эта функция
симметрична относительно
0 (тъ <°i) = 0,5. Ее
поведение в концевых точках
интервала можно объяснить
следующим образом.
1. При 9 (ть (Dj)-»- 1
помеха становится сильно
коррелированной с сигналом.
Это означает, что
Рис. 10.37. Относительное качество
оптимального и обычного приемников в
случае одиночной мешающей цели.
Z{t) = Tj{t) +8ih(f)*(y9+~8i)7(t)- (212)
Следовательно, оптимальный и обычный приемники различаются
только усилением. Заметим, что качество обоих приемников
ухудшается по мере приближения 9 (ть coj к единице.
2. При 9 (ть C0i) -> 0 помеха становится практически
некоррелированной с сигналом, поэтому оптимальный и обычный приемники
одинаковы. Итак, если мы располагаем полной свободой при выборе
сигнала, то его следует выбрать таким, чтобы значение 0 (т1э coi) было
малым, и тогда обычный согласованный фильтр будет практически
оптимальным,
О 0,05 0,1
Оу2 0,5
71(/)=/(/_т1)е/(а''~7(0.
(211)
так что
365

Выводы, сделанные при рассмотрении этого простого примера,
можно перенести на общий случай. Если возможно, было бы
желательно сделать 0 (тг, (of) равной нулю для всех прочих мешающих
целей. Если это осуществимо, то оптимальный и обычный
приемники будут одинаковыми. Когда 0 (xit со*) и EJNq имеют большие
значения, используя оптимальный приемник при некоторых
значениях /, можно получить значительный выигрыш. Заметим, что при
синтезе оптимального приемника предполагалось, что дальность и
скорость мешающих целей известны. Во многих физических
ситуациях такое предположение является нереальным. В этих случаях
приходится сначала оценивать параметры мешающих целей, а затем
использовать эти оценки для построения оптимального приемника.
Эта процедура является весьма сложной, но вполне реализуема,
если помеховая ситуация будет постоянной на протяжении
нескольких периодов обзора.
Этим завершается рассмотрение дискретного случая задачи
разрешения целей и можно подвести его основные итоги.
10.5.4. Основные итоги рассмотрения задачи разрешения целей
При изучении дискретного случая задачи разрешения целей
было установлено, что существует два важных ее аспекта. Первый
аспект связан с влиянием структуры сигнала. Сигналы, которые
могут быть очень хорошими с точки зрения точности и
неоднозначности, могут оказаться чрезвычайно плохими в конкретной помехо-
вой обстановке. Поэтому необходимо, по возможности,
согласовывать сигнал с ожидаемой локационной обстановкой.
Второй аспект связан с влиянием структуры оптимального
приемника. Как показывают простые примеры, оптимальный приемник
дает существенный выигрыш только при умеренной корреляции
между помехами и нужным сигналом. При слабой или сильной
корреляции выигрыш по сравнению с обычным приемником с
согласованным фильтром становится незначительным. Если можно создать
такой зондирующий сигнал, что отраженный от цели и принятый
сигнал будет некоррелирован с помехами, то оптимальный приемник
сводится к обычному приемнику с согласованным фильтром. В тех
случаях, когда подобный сигнал создать невозможно или
нецелесообразно, для улучшения качества системы следует использовать
оптимальный приемник.
Для иллюстрации некоторых важных аспектов задачи
разрешения целей была выбрана ее конкретная модель. Применительно
к конкретным физическим ситуациям в этой модели можно сделать
различные модификации. Типичными являются следующие две
задачи.
1. Местоположение и число мешающих целей неизвестны. В этом
случае строят приемник, который оценивает локационную обстанов*
ку и использует эту оценку для обнаружения цеди,
266

2. Известно, что цели находятся в некоторой области (скажем,
й/) плоскости т, со. Сигнал фиксирован. В этом случае строят
приемник, который уменьшает побочные пики (боковые лепестки) в
области £2/, не слишком сильно уменьшая значение главного лепестка
в истинной точке расположения цели. Эта задача обычно называется
задачей с «рассогласованным фильтром» или задачей с «ослаблением
боковых лепестков».
По проблеме разрешающей способности выполнено много
исследований, так как это один из важнейших аспектов построения многих
радио- и гидролокационных систем. Существует целый ряд хороших
работ (например, [47—59]), к которым могут обратиться
интересующиеся читатели. Имеется также большое количество литературы по
проблеме межсимвольной интерференции в области цифровой связи,
которая в настоящее время вызывает значительный интерес.
В этом параграфе рассмотрение было ограничено дискретным
случаем задачи разрешения целей. После того, как будет разработана
модель для целей, протяженных по одному или двум направлениям
(измерениям) в плоскости т, со, мы обратимся к непрерывной задаче
разрешения.
10.6. Краткие итоги главы и некоторые близкие вопросы
Сначала дадим краткий обзор полученных результатов, а затем
обсудим некоторые родственные вопросы.
10.6.1. Краткие итоги
В этой главе мы изучали задачу оценки дальности и скорости
медленно флуктуирующей точечной цели. Интересующая нас модель
задачи характеризуется несколькими особенностями:
1. Интересующие нас сигналы и случайные процессы имеют
ограниченный по ширине спектр, симметричный относительно некоторой
несущей частоты. Это свойство позволяет представлять сигналы и
процессы либо двумя действительными колебаниями со спектрами
нижних частот, либо одним комплексным колебанием. Выбрав
последнее, мы заново сформулировали полученные ранее результаты
при помощи комплексных величин.
2. Влияние медленно флуктуирующей цели выражается в
умножении сигнала на комплексную гауссову случайную величину.
Физически это соответствует тому, что в отраженный сигнал вносятся
случайная амплитуда и случайная фаза. Предполагая, что сигнал
является узкополосным, влияние скорости цели можно моделировать
как допплеровский сдвиг. Таким образом, принятый сигнал
аналитически записывают в виде
s (t)= УЩ Re [Ъ f(t-x) е'' (°с+в>']. (213)
367

На основе этой модели мы и рассмотрели задачу оценки дальности
и скорости и показали, что функция правдоподобия позволяет
непосредственно получить оптимальный алгоритм обработки и
структуру оптимального приемника.
При определении качества обнаружения и оценки мы встретились
с функцией неопределенности сигнала. Было установлено, что
большое значение имеют три самостоятельные проблемы.
Точность. Если можно быть уверенным, что ошибка мала (т. е.
просматривается истинная область плоскости т, со), то форма
функции неопределенности вблизи начала координат полностью
определяет точность системы. Количественные оценки точности получаются
на основе неравенства Крамера — Рао.
Неопределенность. Свойство инвариантности объема тела
неопределенности показывает, что если объем центрального пика
уменьшают (чтобы повысить точность системы), то значения функции
неопределенности должны увеличиться где-то на других участках
плоскости т, со. С точки зрения точности и неопределенности были
исследованы периодические импульсные последовательности, ЛЧМ
сигналы и псевдослучайные последовательности.
Разрешающая способность. Возможное присутствие
дополнительных мешающих целей приводит к возникновению проблемы
разрешения дискретных целей. Главным итогом нашего рассмотрения
является вывод о том, что если возможно, сигнал необходимо
согласовать с локационной обстановкой. Если значения функции
неопределенности 6 (т, со) можно сделать малыми в тех точках плоскости
т, со, где ожидается наличие мешающих целей, то приемник с
обычным согласованным фильтром будет близким к оптимальному.
10.6.2. Примыкающие вопросы
Множество обобщенных параметров. Выше подчеркивалось
значение задач оценки дальности и допплеровского сдвига. Во многих
системах интерес представляют другие параметры. Типичными
величинами могут быть азимутальный угол или угол возвышения (угол
места). Так как распространение ранее полученных результатов на
множество произвольных параметров не встречает принципиальных
трудностей, можно просто сформулировать окончательные
результаты.
Предполагается, что принятый сигнал можно аналитически
записать в виде
r(0 = Vr2"Re[{fryri;7(/>A)+S(/)} e/ec'], -оо</<оо. (214а)
Здесь А — неслучайный векторный параметр, который необходимо
оценить, a w {t) — комплексный белый гауссов процесс.
Предполагается также, что
оо
j \f(t, A)\2dt=\ при всех А 6Ха- (2146)
368

Комплексная функция, формируемая оптимальным приемником,
выражается в виде
оо
7(A) = J ~r (t) /* (/, k)dt, (215)
— оо
а логарифм функции правдоподобия — в виде
1пЛ(А)=-1 ^— |Т(А)|2 (216)
^о Er+N0
(по аналогии с (6)). Функция (216) вычисляется как функция М
параметров: Аъ Л 2,..., Ам- Значение параметра А, при котором
функция 1пЛ (А) имеет максимум, равно amZ. Точно так же, как на
с. 309, должны быть исследованы характеристики функции In Л (А)
в предположении, что реальный (фактический) сигнал есть f (t> Aa).
Эта процедура приводит к обобщенной корреляционной функции
оо
Ф (А, Аа) Д j J(t, A.) /* & A) dt (217)
— оо
и обобщенной функции неопределенности
0(А,Аа)Д|Ф(А,Аа)|2. (218)
Следует также заметить, что частные свойства, выведенные
в § 10.3, применимы только к частотно-временным функциям.
Проблемы точности, неопределенности и разрешающей способности в
пространстве обобщенных параметров можно исследовать при помощи
этой обобщенной функции неопределенности.
Формулы точности выводятся достаточно просто. В частности,
можно показать, что элементы информационной матрицы равны
•I i ? —"
u N,
о Er+No
Э(А,Аа)
dAtdAj
(219)
Некоторые интересные примеры, иллюстрирующие эти соотношения,
содержатся в задачах вне основного текста (см. также [36]).
Рассогласованные фильтры. Существует несколько случаев,
когда фильтры в приемниках не согласуются с сигналом. Примером
может служить оценка при наличии небелого (окрашенного) шума.
В этом случае импульсная переходная функция оптимального филь*
тра является решением интегрального уравнения, ядро которого
есть ковариационная функция шума (см., например, с. 277—280,
361—366). Другим примером может служить случай, когда фильтр
умышленно рассогласовывают с целью уменьшения боковых
лепестков. Качество работы системы с точки зрения локальной точности
уже не будет оптимальным, но оно может все еще быть
удовлетворительным.
369

Если фильтр согласован с g* (/), то на выходе приемника имеем
J 7{t)g*(t)dt
(220)
По аналогии с (17) и (18) введем в рассмотрение частотно-временную
взаимокорреляционную функцию, определяемую соотношением
оо
Ф/, (*, «>) A j 7 (t --j) 8* [t + f) eiat dt' <221)
и функцию взаимной неопределенности, определяемую как
0^(т,(о)Л|Ф^(т,0)|2.
(222)
Свойства этих функций исследовались Статтом [37, 44] и Рутом
[38] (см. также задачи 10.6.2—10.6.5 и работы [68, 74, 75]).
Обнаружение цели с неизвестными параметрами. Часто
встречается задача обнаружения целей, дальность и скорость которых
неизвестны. Модель этой задачи можно сформулировать в виде
r{t)=УЩ f(t—т) el** + w(t), — оо < / < оо : Н19 (223)
7 (0 = w (/), — оо < / < оо : Я0, (224)
где т и 0 — неизвестные неслучайные параметры. Укажем два
подхода к решению этой задачи.
Первый подход заключается в использовании критерия
обобщенного отношения правдоподобия (см. § 2.5 первого тома).
Испытание по этому критерию записывается в виде
max.
Т,(0
\ 7(t)J*(t —г)е-/«*Л
:Т-
(225)
Порог у регулируют так, чтобы получить требуемую вероятность
ложной тревоги Pf. Качество этого критерия подробно
рассмотрено Хелстромом [39].
Второй подход сводится к разбиению области на плоскости
т, со, где ожидается наличие целей, на М прямоугольных
сегментов (о том, как выбрать эти сегменты — см. рассуждения на с.
334, 335). Обозначим координаты центральной точки t-й ячейки
на плоскости т, со через т*, о)г- и затем рассмотрим задачу на
испытание двух гипотез:
г {t)=VWtJ{t—т,)е/ш*' +5(0. —оо</<оо,
с вероятностью рь=\1М, /=1, 2, ...,Л1: Hv (226)
7(f)=w (/), — оо < t <oo : #0. (227)
370

Но это не что иное, как задача обнаружения одного из М сигналов,
которая была рассмотрена на с. 446 первого тома. Как и следовало
ожидать, в этом случае качество двух указанных систем одинаково.
Сигналы с большим произведением длительности на ширину
спектра. В некоторых гидролокационных системах ширина спектра
сигнала настолько велика, что условие
WT « c/2v (228)
(см. (9.23)) не выполняется. В этих случаях сжатие масштаба
времени уже нельзя моделировать как допплеровский сдвиг
частоты. Эта проблема рассмотрена в работах [69—73], к которым
мы и отсылаем интересующихся читателей.
На этом завершается рассмотрение медленно флуктуирующих
целей и каналов. Перейдем к рассмотрению задач следующего
уровня сложности в нашей классификации.
10.7. Задачи
Задачи к § 10.1. Вывод алгоритма оптимального приемника
и синтез сигналов
Задача 10.1.1. Случайная величина п (т, со) определяется
соотношением (13). Доказать, что плотность вероятности величины
п (т, со) не зависит от т и со.
Задача 10.1.2. Рассмотрим гауссов импульс с линейной ЧМ
высокочастотного заполнения, описываемый выражением (44а).
1. Проверить соотношения (46)—(48) непосредственно по
соответствующим определениям, приведенным в Приложении.
2. Проверить соотношения (46)—(48), используя выражения
(96)-(98).
Задача 10.1.3. Пусть
fit)=с sin2 (2nt/T), 0<^7\
где с — нормирующий постоянный коэффициент. Найти функцию
0 (т, со).
Задача 10.1.4. Пусть
Tit)=lx{t)-\~f,(t),
где
1/У7\. 0</<7Y
' ' ( 0 при других t,
Г(л = ( (l/V^e-'».', Tp^t<£Tp + T2,
1г ' \ 0 при других t.
при других t.
371

Предположим, что Тр > 7\.
1. Найти функцию 0 (т, со).
2. Представить ее графически для случая, когда
Тг « Т2У со2/2я » 1/7\.
Задачи к § 10.2. Точность оптимального устройства оценки
Задача 10.2.1. Вывести выражения для У12 и У22, которые
даются соотношениями (64) и (65).
Задача 10.2.2. Вывести выражения (96)—(98).
Задача 10.2.3. Рассмотрим выражение (6). Разложить L (т, со)
в степенной ряд по т и 0 в окрестности точки т = xmh со = comZ.
Предполагая, что ошибки малы, найти выражение для их
дисперсий.
Задачи к § 10.3. Свойства функций Ф (т, со) и 0(т, со)
Задача 10.3.1. Свойство 5 связано с выводом представления
функции Ф (т, со) в другой форме. Доказать, что таким
представлением является выражение
ф(т,<в) = е~/(0Т Г Г 7(Р — —) F*(j®—ja)e!afi+№/*dad$.
— 00
Задача 10.3.2. Излучаемый сигнал / (/) имеет преобразование
Фурье вида
fm-lllVWt lfl<w'
ш_1 о, \f\>w.
Найти Ф {т, /}.
Задача 10.3.3. Излучаемый сигнал f (t) идаеет преобразование
Фурье, которое можно записать в виде
F{f) = c 2 V{f-kW,},
k=—n
где
l/Vw7, |/ к w,
с — постоянный нормирующий множитель.
1. Найти Ф {т, /}.
2. Как синтезировать сигнал / (/)?
372

Задача 10.3.4. Доказать, что
] \f{x}\*\'F{x + n\,dx= ] Q{r,f}df.
— 00 —ОО
Заметим, что это свойство инвариантности частного объема.
Полный объем тела неопределенности с сечением шириной Ат при
некотором значении т невозможно изменить с помощью фазовой
модуляции сигнала.
Задача 10.3.5.
1. Доказать непосредственно из определения функции
неопределенности, что
] \7(t)\2\J(t+*)\2dt= j 9{т,/}йт.
(1*)
2. Доказать соотношение (1*), используя результат задачи
10.3.4 и принцип дуальности.
Замечание. Это другое свойство инвариантности частного
объема.
Задача^О.З.б.
1. Разложить функцию неопределенности 0 {т, /} в ряд Тейлора
в окрестности начала координат.
2. Выразить коэффициенты квадратичных членов ряда как
функции t29 at и со2.
Задача 10.3.7 [40]. Вывести следующее обобщение свойства 9.
Предположим, что
^И С12 I
С21 С22
=±1
и Oi{t,/}~ M*). Если
00
Ш=\сп\1'2 j exp[/2reuf(/—^-/J
df x
ОО
X j Г1(г)ехр[-/2яг(/-^г
dz,
тогда |Ф2{т^}|Нф1{с11^ + с12/> — с21х—c22f}\.
Задача 10.3.8 [12]. Вывести следующее свойство
инвариантности «объема» тела неопределенности
ОО
^Q{x,f}Pdxdf^-je{x,f},
— оо
где р ^ 1 — целое число.
373

Задача 10.3.9 [41—431. Предположим, что функция / (/)
разложена по полной системе ортонормальных функций:
/(0=2 TtUt®, -oo<t<oo.
Пусть
/=i
оо
обозначает частотно-временную взаимокорреляционную функцию
процессов ut (t) и uk (t).
1. Доказать, что
оо
S S Ф»< {X, /} Фт« {Т,./} d%df = bhn 6im.
— 00
2. Сравнить этот результат со свойством 3.
3. Доказать, что
d* A fifk = fjj ФГ {т, /} Ф« {т, /} rfx df.
Задача 10.3.10. Эрмитовы сигналы аналитически записывают
в виде
/ЛА=-^ге-*'2Яп(2УлО, -оо<^<оо, п = 1,2,
Уи!
где
Яп(0 = (-1)"е'2/2^-е-'!/2, -оо </<«>,
—эрмитов полином и-го порядка.
1. Найти F {/}.
2. Доказать, что
Ф,({т,/}=ехр
(т2 + П
1,Лл(т2-|-Ф2)],
где
inW =
1 Л"
— е*— хле-*), *>0,
я! Ас» '
О,
*<0,
— полином Лагерра n-го порядка,
374
(1*)
(2*)
(3*)

3. Убедиться, что результат п. 2 при п = \ сводится к рис. 10.8.
Примечание. Графические представления этих сигналов
приведены в работе [46].
4. Заметим, что частотно-временная автокорреляционная
функция обладает свойством центральной симметрии.
а) Использовать это свойство, чтобы вывести выражение для
F (/) путем простого исследования (за исключением фазового
множителя).
б) Какие выводы следуют из свойства 9 применительно к
эрмитовым сигналам?
Задача 10.3.11 [14]. Пусть
/('Н
}/у exp(/A9sin-y-),
0 при других /.
1'1<7-
1. Найти F {/}.
2. Найти |Ф {т,/}|.
Задача 10.3.12 [14]. Пусть
f(0=(-^-)1/4e-t*"
№**, -оо</<оо.
Это аналитическая запись импульса с гауссовой огибающей и
частотной модуляцией несущего колебания по параболическому
закону.
Найти |Ф {т, /}|.
Задача 10.3.13. Весьма полезный для исследования
аналитический сигнал можно получить из сигнала J(t), описываемого
выражением (32), если положить T-+Q, п->оо, сохраняя пТ
постоянным. Обозначим получаемый в результате сигнал как /д (t).
1. Построить график функции |Ф {т, /}| для данного
предельного случая. Обсудить возможные варианты нормировки.
2. Введем в рассмотрение функцию / (t)f определяемую
соотношением
да
f(t)= j K(x)i6(t—x)dx.
Выразить функцию Ф-j- {т, /} через функцию Ф/6 {т, /}.
Задача 10.3.14. Рассмотрим задачу, когда осуществляется
передача двух неперекрывающихся импульсов /х (/) и J2 (f).
Комплексную огибающую принятого сигнала по гипотезе Нг можно записать
в виде:
7(/) = УЖЬ\h (t—x) et* + VF2bj2(t-x)e/«'+ w(/),
— oo</<oo:#1.
376

Множители Ьх и b2 — статистически независимые комплексные
гауссовы случайные величины, Е [\ bt |2] = 2о%. По гипотезе Н0
присутствует только шум w (t).
1. Найти функцию правдоподобия и оптимальный приемник.
2. Каким образом сигнальная компонента на выходе
оптимального приемника связана с Фх {т, /} и Ф2 {т, /}?
Задача 10.3.15. Рассмотрим частный случай задачи 10.3.14,
когда сигнал fx (t) представляет собой кратковременный импульс
прямоугольной формы, а сигнал /2 (0 — прямоугольный импульс
большой длительности.
1. Изобразить ориентировочную эпюру сигнальной компоненты
на выходе оптимального приемника.
2. Обсудить другие варианты реализации приемника, которые
могли бы повысить глобальную точность. Рассмотреть, например,
приемник, сигнал на выходе которого содержит произведение
функций Qx {т, /} и 92 {т, /}.
Задачи к § 10.4. Кодированные импульсные последовательности
Задача 10.4.1. Рассмотрим периодическую импульсную
последовательность, изображенную на рис. 10.21. Предположим, что
о)п = (п — 1) сод,
где соА/2я = 1/7V
1. Найти функцию | Ф (т, со) |.
2. Представить функцию, найденную в п. 1, графически.
Задача 10.4.2. Рассмотрим сигнал, описываемый выражением
(145). Предположим, что
ах = 1,
ап = 1 с вероятностью 1/3 при п = 2, ..., 7,
ап = 0 с вероятностью 2/3 при п = 2, ..., 7,
ch = Ь
1. Найти Е {|Ф (т, <о)|"}.
2. Сравнить поведение боковых лепестков функций
неопределенности данного сигнала и периодической импульсной
последовательности.
3. Как следует пользоваться этими результатами при
построении практического сигнала?
f Задача 10.4.3. Рассмотрим трехразрядный сдвигающий
регистр, структурная схема которого изображена на рис. 10.26.
Вычислить функцию Ф (т, со) для различных начальных состоя*
ний регистра в предположении, что выходная последовательность
содержит один период.
Задача 10.4.4. Рассмотрим сдвигающий регистр, структурная
схема которого представлена на рис. 10.1.*
376

1. Проверить, что при таком формировании цепей обратной
связи на выходе получается последовательность максимального
периода. Для обозначения того, что в цепь обратной связи
включаются выходы ячеек 3 и 4, использовать запись [4, 3].
2. Будет ли формировать последовательность максимального
периода сдвигающий регистр с цепью обратной связи вида [4, 2]?
i Задача 10.4.5
1. Рассмотрим сдвигающий регистр с соединениями [5,3].
Убедиться, что он генерирует последовательность максимального
периода.
2. Генерирует ли последовательность максимального периода
сдвигающий регистре соединениями [5, 4, 3,^2]?
1—п г
—*1 ^ ^1 1 А
с
-■-у
[
\у-
Рис. 10.1*
3. Генерирует ли последовательность максимального периода
сдвигающий регистр с соединениями [5, 4, 3, 1]?
Задача 10.4.6. Убедиться, что сдвигающие регистры со схемами
соединений [6,5], [6, 5, 4, 1]I и [6, 5, 3, 2] генерируют
последовательности максимального периода.
Задачи к § 10.5. Разрешение целей
Задача 10.5.1. Рассмотрим задачу на испытание следующих
трех гипотез:
7(t)=VW1b1 /p_Tl)e/»i' + VF2b2f(t-x2)ei^ +w(t),
— oo<^<oo : Я2,
7(t)=VF1b1J(t~T1)e^t +w(t)9 —oo<t<oo:H1
7(t)=w{t), —oo<t<oo:H0.
Множители Ьг и b2 — комплексные гауссовы случайные величины
с нулевыми средними и средними квадратами 2а? и 2а1. Параметры
тъ т2» о)х и со2 считаются известными. Аддитивный шум является
комплексным белым гауссовым процессом со спектральной
плотностью N0.
Найти оптимальный байесов критерий, принимая стоимости
В качестве параметров.
37?

Задача 10.5.2. Рассмотрим такую же модель задачи, как и
в задаче 10.5.1. Необходимо определить критерий испытания,
основанный на использовании оценок величин Ьх и Ъ2 по максимуму
апостериорной вероятности.
1. Найти \Ьг\ при условии, что истинна гипотеза Нг. Найти
| &J | и | Ь21 при условии, что истинна гипотеза #2.
2. Определить критерий испытания, основанный на указанных
выше оценках. Сравнить его с критерием Байеса из предыдущей
задачи.
3. Определим вероятность ложной тревоги как
РР = Р [Н1 или Я21 Н0].
Найти PDl и PDi.
Задача 10.5.3. Предположим, что нас интересует область
плоскости т, со, имеющая форму прямоугольника со сторонами Г*, Q*.
При разбивке этой области на ячейки используется такая сетка,
что все цели оказываются заключенными в М ячейках (см.
материал, изложенный на с. 334—335). В каждой ячейке имеется не
более одной цели. Необходимо оценить число присутствующих
целей и ячейки, которые ими заняты.
Обсудить различные процедуры реализации испытания по этому
критерию. Сравнить их по качеству и сложности.
Задача 10.5.4. Другой подход к задаче синтеза оптимального
приемника, рассмотренной в п. 10.5.3, заключается в отыскании
собственных функций и собственных значений интересующего
шумового процесса. Согласно (195) имеем
Kc(t,u)=lJ(t)AVi(u), — oo<t, и <оо.
Требуется записать функцию Кс (/, и) в виде
00
£сМ=2£*Ф|(0Ф?(и). -<*></, и <оо.
1. Найти Xt и Ф( (t). Сколько собственных значений равно нулю?
2. Использовать результат п. 1 для отыскания оптимального
приемника.
3. Найти А0.
Задача 10.5.5. Необходимо передавать информацию по
многолучевому каналу связи с разделимыми лучами, иллюстрируемому
рис. 10.2.*. Для исследования структуры канала излучается
известный зондирующий сигнал с комплексной огибающей / (t).
Комплексную огибающую принятого сигнала можно представить
в виде
з
r{t)= 2 У2 5;7(/-Т!)+5(/),
378

Где bt — независимые комплексные гауссовы величины с нулейы^
ми средними и дисперсиями, равными 2о\\ w(t) — комплексный
гауссов процесс с нулевым средним и спектральной плотностью N0.
Сигналы на выходах трех указанных каналов не перекрываются
во времени. Времена запаздывания т* моделируются как
независимые равномерно распределенные случайные величины на
интервале [—Г, Т], где Т велико.
Определить структуру
оптимального приемника для
оценки времени запаздывания
сигналов в каналах по
максимуму апостериорной
вероятности, т. е. получения
Ti> map»
Задача 10.5.6. Рассмотрим
следующую задачу обнару- п^*™»« "W"™
жения: Рис. Ю.2*
Г(/) = ( VWtV (t)+w (/), Г; < / < Tf: Hl9
Детерминированный сигнал / (t) имеет единичную энергию и равен
нулю вне интервала (0, Т). (Этот интервал считается включенным
в интервал (Tiy Tf.) Множитель b — комплексная гауссова
случайная величина с нулевым средним и дисперсией Е {\b\2} = 2о1.
Аддитивный шум w {t) — комплексный гауссов случайный процесс
с нулевым средним и спектральной плотностью N0.
1. Определить структуру оптимального обнаружителя.
Вычислить А0, Рр и Pf.
2. Теперь предположим, что принятый по гипотезе Нх сигнал
на самом деле равен
7(t)=V2FtbJ(t—т) е** + w (/), Tt < / < Tf: Hv
где т и 0 имеют малые значения. Колебание г (t) обрабатывается
с использованием обнаружителя, указанного в п. 1. Вычислить
изменение величины А как функцию т и со. Выразить результат
через 0 (т, со) —функцию неопределенности сигнала / (/).
Задача 10.5.7. Расмотрим задачу разрешения целей,
описываемую соотношениями (173)—(180). Используется обычный приемник.
Ухудшение (проигрыш) качества определяется формулой
A/=i;4L0(Ti'(o,')-
379

Предположим, что все мешающие цели имеют нулевой доппле^
ровский сдвиг относительно нужной цели и Eri — Е\. Тогда
А'=7г2е^°)-
Теперь предположим, что цели равномерно распределены в сечении
пространства по оси т так, что в каждом соседнем интервале Ат
имеется цель. Обозначив Ei = ЛДт и положив /(->- оо и Дт-> О,
получим интеграл
д,=-£- f е(т,о)йт=Адл.
N0 J N0
Примечание. Постоянная разрешения А^ (разрешающая
способность) впервые была введена Вудвордом [60].
Доказать, что
Д«= ] 1^{/}1Ч-
Заметим, что сигнал / (t) должен быть всегда нормированным.
Задача 10.5.8. Распространить положения задачи 10.5.7 на
случай, когда требуется найти постоянную разрешения по доп-
леровскому сдвигу
Доказать, что
ADA J 0{O,/}d/.
Ad= J \7(t)\*dt.
Задача 10.5.9. Вычислить A#, Ad и A^Ad для сигналов
следующих типов:
1) простой гауссов импульс, описываемый соотношением (25),
2) импульс прямоугольной формы.
Задача 10.5.10 [39, гл. X]. Рассмотрим следующую задачу
на разрешение целей. Принятые колебания по четырем гипотезам
записываются в виде
'(04
w{t), 0</<Г:#0,
Af(t) + w(t) 0^t^T:Hly
Bg(t) + w(t), 0</<7:#2,
I Af(t) + Bg(t) + w(f), 0</<Г:#3.
380

Множители А и В — неизвестные неслучайные величины. Сигналь!
/(/) ng(t) — известные колебания с единичной энергией и
коэффициентом корреляции
P = \f(t)g(t)dt.
О
Аддитивный шум w (0 — выборочная функция белого гауссова
случайного процесса со спектральной плотностью NJ2. Заметим,
что колебания не являются полосовыми. Необходимо определить
критерий обобщенного отношения правдоподобия (см. § 2.5
первого тома).
1. Предположим, что истинна гипотеза Hs. Доказать, что
т
Zml = J^§lfV)-Pg(t)]r(f)dt.
2. Найти bml.
3. Вычислить E[aml], Elbml], o2[aml]9 o2[bml] и o2[amh bml]
по четырем указанным гипотезам.
4. Предположим, что используется критерий
Нх ИЛИ На £ И2 ИЛИ "*
Н0 или Нг Н0 или Нх
Вычислить Рра, Рйа9 РFb и Роь- Убедиться, что при увеличении
коэффициента корреляции р вероятности PDa и PDb убывают
монотонно.
Задача 10.5.11 [39, гл. X]. Рассмотрим полосовой вариант
модели из задачи 10.5.10. Предположим, что комплексные
огибающие по четырем гипотезам равны:
w(t)9 0</<Г:Я0,
Ле/Ф* f(t)+w(t), 0 < / < Т : Нг,
Bd"bg(t)+w(t), 0</<7:Я2,
Ае1"* / (/) + £е'фь g(t) +w(t), 0 < / < Т: #,.
r(t) =
Множители А и В — неслучайные величины. Фазы фа и
фЬ—статистически независимые равномерно распределенные на интервале
(0, 2я) случайные величины. Комплексные огибающие / (t) и g (t) —
00 ~ ~ r~s
известные сигналы с единичной энергией и j /(/) g* (t) dt = pfg.
— oo
Аддитивный шум w (t) — выборочная функция комплексного
белого гауссова случайного процесса со спектральной плотностью N0.
1. Найти aml и bml в предположении, что справедлива
гипотеза Я3.
381

2. Вычислить Е [ат1\, Е [bml], а2 [ат1], а2 [Ьт1] и а2 [атЬ bmj\
по четырем указанным гипотезам.
3. Используя критерий из п. 4 задачи 10.5.10, определить
качество работы системы.
Задача 10.5.12 [39, гл. X]. В модели из задачи 10.5.11 можно
учесть случай неизвестного времени прихода сигнала.
Комплексную огибающую принятого сигнала по гипотезе Я3 в этом случае
можно записать в виде
7(t) = Aei(*aJ(t—т)-ЬЯе/фь£(/—%)+w(t), — оо</< оо : Я3.
Комплексные огибающие по другим гипотезам модифицируются
соответствующим образом.
1. Определить структуру приемника, формирующего оценки
атЬ bmi И Хт1.
2. Определить соответствующий критерий отношения
правдоподобия.
Задача 10.5.13. Рассмотрим следующую модель задачи
разрешения целей. Комплексные огибающие принимаемых колебаний
записываются в виде
г(/) =
bj(f)+ 2 Я,е/ф«Г(/-т,)е/в*' +w(t), -oo<t<oo:H1
i= 1
N
2 i34 е/ф* 7(/—то е/ш*' + ш (0, -оо</<оо:Я0.
/= 1
Эта модель тождественна модели, описанной в п. 10.5.3, за
исключением того, что величины Вь здесь предполагаются неизвест-,
ними неслучайными величинами. Величины ср* — статистически
независимые, равномерно распределенные на интервале (0, 2я)
случайные величины. Величины %t и со( считаются известными.
1. Найти критерий обобщенного отношения правдоподобия для
данной модели* (Указание. Полезно обратиться к § 2.5 первого тома.)
2. Вычислить Pf и Pd.
Примечание. Эта задача аналогична задаче, решенной в работе
[59].
Задачи к § 10.6. Краткие итоги главы
и некоторые близкие вопросы
Задача 10.6.1. Рассмотрим следующую задачу на испытание
составных гипотез:
~ J V2E~tbJ(t-r)ei<»t + w(t), -оо</<оо:Я1,
(w(t), — оо</<оо:Я0.
382

Множитель b — комплексная гауссова случайная величина с
нулевым средним; Е {\b\2} = 2ol\ w (t) — комплексный гауссов
белый шумовой процесс с нулевым средним и спектральной
плотностью N0. Величины т и со — неизвестные неслучайные величины,
пределы изменения которых известны: т0 < т ^ ть со0 < со ^ со1#
Найти критерий обобщенного отношения правдоподобия и
построить структурную схему оптимального приемника.
Задача 10.6.2. Частотно-временная взаимокорреляционная
функция определяется согласно (221) как
оо
— 00
Кроме того, Qtg {г, /} Д | Ф/в {т, /} |2.
Предположим, что
] |/(/)1«л= J \g(t)\*dt=i.
— 00 —00
1. Доказать, что
^Qfg{x,f}dxdf=\.
— 00
2. Всегда ли функция 6/^(0,0} равна единице? Обосновать
ответ.
3. Справедливо ли соотношение Qfg {т, /} < Qfg {0,0}.
Обосновать ответ.
Задача 10.6.3 [44]. Определим частотно-временную
взаимокорреляционную функцию в соответствии с (221) как
оо
Ф/,{*•/>= J 7('-у)?('+-§-)е/2я/'Л-
— 00
Проверить следующие ее свойства:
00
1. Ф„{т, f} = J G*(x +y)T(x -\У,тХ(1х-
— 00
00
2- Ф„{т, f}= j f(x) G*{у}ехр [/2я (-|-~xy-fx + xy)j\ dxdy.
■— oo
3. Ф„ {t, /} = <bgJ {-x, -f).
4. e,„ {t, /} = e9f {-т. -/}.
383

Задача 10.6.4 [44]. Доказать, что
оо
Я Ф« {t, f> Фз4 {т, /} е'2« (/*-»*) dx d/=Ou (x, у) Ф^4'(*, У).
— 00
Задача 10.6.5 [44]. Доказать, что
00
Я Qfg {т, /} e/2« <*-«*> dxdf=<bf (х, у) <DJ (х, </).
— 00
Задача 10.6.6. Рассмотрим следующую задачу оценки.
Комплексная огибающая принятого сигнала равна
7(t)=VFtJ(t-T)ej<iit +nc(t) + 5(0, -оо</<оо.
Окрашенный (коррелированный) гауссов шум имеет спектральную
плотность Snc(to) = 2аРс/(о)2 + а2). Комплексный белый шум
w (t) имеет спектральную плотность N0.
1. Найти оптимальный фильтр для оценки т и со. Выразить его
в виде системы трактов, содержащих последовательно соединенные
реализуемый выбеливающий фильтр, согласованный фильтр и
квадратичный детектор огибающей.
2. Записать выражение для соответствующей функции
неопределенности сигнала на выходе квадратичного детектора огибающей*
Обозначить эту функцию как Qfw (т, со).
3. Обозначить импульсную переходную функцию
выбеливающего фильтра как Tiwr (и). Выразить функцию неопределенности
efw (т, со) через функции Фу (т, со), Qf (т, со), и hWT (и). (Напомним
свойство 11 на с. 343.)
* Задача 10.6.7 (продолжение).
1. Вывести выражение для элементов информационной матрицы
J (см. соотношения (63)—(65)). Эти формулы дают нам границу
точности оценки величин т и со.
2. Зависит ли полученный результат от фактического значения
т или фактического значениям? Представляется ли он интуитивно
логичным?
Задача 10.6.8. Рассмотрим частный случай задачи 10.6.6, когда
N0=0 и /(О-
Jсsin» (?р-Л 0</<7\
О при других /.
Вычислить функцию 9/ш (т, со).
Задача 10.6.9. Обобщить результаты рассмотрения задачи
10.6.6 так, чтобы учесть наличие окрашенного шума с
произвольным рациональным спектром.

Задача 10.6.10. Рассмотрим модель, описываемую
соотношением (214а), но не будем налагать условия (2146).
1. Найти логарифм функции правдоподобия.
2. Вычислить границу Крамера—Рао.
Задача 10.6.11. В этой задаче рассмотрим случай
одновременного оценивания дальности, хскорости и ускорения.
Предположим, что комплексная огибающая принятого сигнала
равна
7(0= V%b y-\=Jf)J(t-x(f))e-l2°f*x® +
+ W(t), — оо<Г<оо,
где
W~ П /е 2/c
Величины t, v и а — неизвестные неслучайные параметры.
1. Найти xmZ, vml и ат1.
2. Вычислить границу Крамера—Рао.
Примечание. Исчерпывающее рассмотрение этой задачи можно
найти в работе [65 или 66].
Список литературы
1. Ville J. Theorie et application de la notion de signal analytique. Cables
et Transmission, 1948, v. 2, № 1, p. 61—74.
2. Мэзон С. Дж., Циммерман Г. Дж. Электронные цепи, сигналы и системы.
Пер. с англ. Под ред. П. А. Ионкина. М., ИЛ, 1963.
3. Dicke R. H. U. S. Patent, 2, 624, 876, September 14, 1945.
4. Darlington S. U. S. Patent, 2, 678, 997, December 31, 1949.
5. Huttman E. German Patent 768, 068, March 22, 1940.
6. Cauer W. A. German Federal Republic Patent 892,774.
7. Cooke С. Е. Pulse Compression — Key to More Efficient Radar
Transmission. Proc. IRE, 1960, v.48, p. 310—316.
8. Woodward P. M., Davies I. L. A Theory of Radar Information. Phil. Mag.,
1950, v. 41, p.1001 —1017.
9. Siebert W. M. A Radar Detection Philosophy. Trans. IRE, 1956, v. IT-2,
Sept., p. 204—221.
10. Siebert W. M. Studies of Woodward's Uncertainty Function. Research
Laboratory of Electronics, Massachusetts Institute of Technology,
Cambridge, Mass., Quarterly Progress Report, April 1958, p.90—94.
11. Lerner R. M. Signals with Uniform Ambiguity Functions. 1958, IRE Natl.
Conv. Rec, Pt. 4, p. 27—36.
12. Price R., Hofstetter E. M. Bounds on the Volume and Height Distributions
of the Ambiguity Function. Trans. IEEE, 1965, v.IT-11, p. 207—214.
13. Rihaczek A. W. Radar Resolution Properties of Pulse Trains. Proc. IEEE,
1964, v.52, p. 153—164.
13 Зак. 1494
385

14. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Теория и
применение. Пер. с англ. Под ред. В. С. Кельзона. М., «Сов. радио», 1971.
15. Kaiteris С, Rubin W. L. Pulse Trains with Low Residue
Ambiguity-Surfaces That Minimize Overlapping Target Echo Suppression in Limiting
Receivers. Proc. IEEE, 1966, v.54, p. 438—439.
16. Resnick J. B. High Resolution Waveforms Suitable for a Multiple Target
Environment. M. S. Thesis, Massachusetts Institute of Technology, June
1962.
17. Barker R. H. Group Synchronization of Binary Digital Systems. In:
Communication Theory (W. Jackson, Ed.). Academic Press, New York, 1953.
18. Turyn R. On Barker Codes of Even Length. Proc. IRE, 1963, v.51, p. 1256.
19. FowleE. N. The Design of Radar Signals. Mitre Corp. Report SR-98, Nov. 1,
1963, Bedford, Mass.
20. Golomb S. W. Sequence with Randomness Properties. Glenn L. Martin
Co., Internal Report, Baltimore, June 1955.
21. Huffman D. A. The Synthesis of Linear Sequential Coding Networks. In:
Information Theory (C. Cherry, Ed.). Academic Press, New Jork, 1956.
22. Zierler N. Several Binary-Sequence Generators. Technical Report № 95,
Massachusetts Institute of Technology, Lincoln Laboratory, September 1955.
23. Питерсон У. Коды, исправляющие ошибки. Пер. с англ. Под ред.
Р. Л. Добрушина. М., «Мир», 1964.
24. Elspas В. The Theory of Autonomous Linear Sequential Networks. Trans.
IRE, 1959, v.CT-6, March, p. 45—60.
25. Ristenblatt M. P. Pseudo-Random Binary Coded Waveforms. Chapter 4
in [17].
26. Birdsall T. G., Ristenblatt M. P. Introduction to Linear Shift-Register
Generated Sequences. Colley Electronics Laboratory, Technical Report
№ 90, University of Michigan Research Institute, October 1958.
27. Голомб С. Цифровые методы в космической связи. Пер. с англ. Под ред.
В. И. Шляпоберского. М., «Связь», 1969.
28. Craig S. E., Fishbein W., Rittenbach О. Е. Continuous-Wave Radar with
Hign Range Resolution and Unambiguous Velocity Determination. Trans.
IRE, 1962, v.PGMIL, April, 1962, p.153—161.
29. Fishbein W., Rittenbach О. Е. Correlation Radar Using Pseudo-Random
Modulation. 1961 IRE Int. Conv. Rec, pt. 5, p. 259 — 277.
30. Современная радиолокация. Пер. с англ. Под ред. Ю. Б. Кобзарева.
М., «Сов. радио», 1969.
31. Huffman D. The Generation of Impulse-Equivalent Pulse Trains. Trans.
IRE, 1962, v. IT-8, Sept., p. 510 — 516.
32. Golomb S. W., Scholtz R. A. Generalized Barker Sequences. Trans. IEEE,
1965, v, IT-11, p. 533 — 537.
33. Heimiller R. C. Phase Shift Codes with Good Periodic Correlation
Properties. Trans. IRE, 1961, v. IT-7, p. 254 — 257.
34. Frank R. L. Polyphase Codes with Good Nonperiodic Correlation
Properties. Trans. IEEE, 1963, v. IT-9, p. 43 — 45.
35. Sakamoto Т., Taki Y., Miyakawa H., Kobayashi H., Kanda T. Coded
Pulse Radar System. J. Faculty Eng. Univ. Токуо, 1964, v. 27, p. 119 —
181.
36. Urkowitz H., Hauer С A., Koval J. F. Generalized Resolution in Radar
Systems. Proc. IRE, 1962, v. 50, № 10, p. 2093 — 2105.
37. Stutt С A. A Note on Invariant Relations for Ambiguity and Distance
Functions. Trans. IRE, 1959, v. IT — 5, Dec, p. 164 — 167.
38. Root W. L. Paper presented at IDA Summer Study, 1963.
39. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. Пер. с
англ. Под ред. Ю. Б. Кобзарева, М., ИЛ, 1963.
40. Reis F. В. A Linear Transformation of the Ambiguity Function Plane.
Trans. IRE, 1962, v. IT-8, p. 59.
41. Wilcox С. Н. A Mathematical Analysis of the Waveform Design Problem.
General Electric Co., Schenectady, N. Y., Report № R57EMH54, ОстоЬег
1957.
386

42. Wilcox С. H. The Synthesis Problem for Radar Ambiguity Functions.
Mathematics Research Center, University of Wisconsin, MRC Technical
Summary Report № 157, April 1960.
43. Stutt С A. The Application of Time/Frequency Correlation Functions to
the Continuous Waveform Encoding of Message Symbols. WESCON,
Sect. 9-1, 1961.
44. Stutt C. A. Some Results on Real Part/Imaginary Part and Magnitude/
Phase Relations in Ambiguity Functions. Trans. IEEE, 1964, v. IT-10,
№ 4, Oct., p. 321 —327.
45. Guillemin E. A. Mathematics of Circuit Analysis. Technology Press,
Cambridge, Mass., and Wiley, New York, 1949.
46. Klauder J. The Design of Radar Signals Having Both High Range
Resolution and High Velocity Resolution. Bell Syst. Tech. J., 1960, v. 39,
p. 809 — 819.
47. Helstrom С W. The Resolution of Signals in White Gaussian Noise. Proc.
IRE, 1955, v. 43, №9, Sept., p. 1111 — 1118.
48. Root W. L. Radar Resolution of Closely Spaced Targets. Trans. IRE,
1962, v. PGMIL-6, № 2, April.
49. Elspas B. A Radar System Based on Statistical Estimation and Resolution
Considerations. Stanford Electronics Laboratories, Stanford University,
i Technical Report № 361-1, August 1, 1955.
50. Allan J. M. S. Thesis, Department of Electrical Engineering,
Massachusetts Institute of Technology.
51. Swerling P. The Resolvability of Point Sources. Proc. Symp. Decision
Theory, Rome Air Development Center, Rome, N. Y., Technical Report
№ 60-70A, April 1960.
52. Nilsson N.J. On the Optimum Range Resolution of Radar Signals in Noise.
Trans. IRE, 1961, v. IT-7, Oct., p. 245 — 253.
53. Selin I. Estimation of the Relative Delay of Two Similar Signals of
Unknown Phases in White Gaussian Noise. Trans. IEEE, 1964, v. IT-10, № 3,
p. 189 — 191.
54. Brookner E. Optimum Clutter Rejection. Trans. IEEE, 1965, v. IT-11,
№ 4, Oct., p. 597 — 598.
55. Urkowitz H. Filters for the Detection of Small Radar Signals in Noise.
J. Appl. Phys., 1953, v. 24, Aug., p. 1024 — 1031.
56. Key E. L., Fowie E. N., Haggerty R. D. A Method of Designing Signals
of Large Time-Bandwidth Product. IRE Int. Conv. Rec, 1961, Pt. 4, p.
146 — 154.
57. George D. A. Matched Filters for Interfering Signals. Trans. IEEE, 1965,
v. IT-11, № 1, Jan.
58. Schweppe F. C, Gray D. L. Radar Signal Design Subject to Simultaneous
Peak and Average Power Constraints. Trans. IEEE, 1966, v. IT-12, № 1,
Jan., p. 13 — 26.
59. Lichtenstein M. G., Young T. Y. The Resolution of Closely Spaced Signals.
Trans. IEEE, 1968, v. IT-12, № 2, March, p. 283 — 293.
60. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями
в радиолокации. Пер. с англ. Под ред. Г. С. Горелика. М., «Сов. радио»,
1955.
61. Lucky R. W. Techniques for Apaptive Equalization of Digital
Communication Systems. Bell Syst. Tech. J., 1966, v. 45, № 2, Feb., p. 255 — 286.
62. Di Того М. J. A New Method of High-Speed Adaptive Serial
Communication through Any Time-Variable and Dispersive Transmission Medium.
First IEEE Ann. Commun. Conv., Boulder, Colo., Conv. Rec, p. 763.
63. Aaron M. R., Tufts D. W. Intersymbol Interference and Error
Probability. Trans. IEEE, 1966, v. IT-12, № 1, Jan.
64. Gerst I., Diamond J. The Elimination of Intersymbol Interference by
Input Signal Shaping. Proc. IRE, 1961, v. 49, p. 1195 — 1203.
65. Bello P. A. Joint Estimation of Delay, Doppler, and Doppler Rate. Trans.
IRE, 1960, v. IT-6, No 3, June, p. 330 — 341.
13* 387

66. Kelly E. J. The Radar Measurement of Range, Velocity, and
Acceleration. Trans. IRE, 1961, v. MIL-5, April, p. 51 — 57.
67. Schweppe F. C. Radar Frequency Modulations for Accelerating Targets
under a Bandwidth Constraint. Trans. IEEE, 1965, v. MIL-9, Jan.,
p. 25 — 32.
68. deBuda R. An Extension of Green's Condition to Cross-Ambiguity
Functions. Trans. IEEE, 1967, v. IT-13, № 1, Jan., p. 75 — 82.
69. Kelly E. J., Wishner R. P. Matched-Filter Theory for High-Velocity
Targets. Trans. IEEE, 1965, v. MIL-9, Jan., p. 56 — 69.
70. Gassner R. L., Cooper G. R. Note on a Generalized Ambiguity Function.
Trans. IEEE, 1967, v. IT-13, Jan., p. 126.
71. Swick D. A. Wideband Ambiguity Function of Pseudo-Random
Sequences: An Open Problem. Trans. IEEE, 1968, v. IT-14, p. 602 — 603.
72. Speiser J. M. Wide--Band Ambiguity Functions.Trans. IEEE, 1967,
v. IT-13, Jan., p. 122 — 123.
73. Purdy R. J., Cooper G. R. A Note on the Volume of Generalized
Ambiguity Functions. Trans. IEEE, 1968, v. IT-14, № i, jan., p. 153 — 154.
74. Titlebaum E. L. A Generalization of a Two-Dimensional Fourier
Transform Property for Ambiguity Functions. Trans. IEEE, 1966, v. IT-12,
№ 1, Jan., p. 80 — 81.
75. Helstropi C. W. An Expansion of a Signal in Gaussian Elementary
Signals. Trans. IEEE, 1966, v. IT-12, ,Nb 1, Jan., p. 81 — 82.

11. ЦЕЛИ И КАНАЛЫ С ДОППЛЕРОВСКИМ РАССЕЯНИЕМ
В главах 9 и 10 рассмотрение было ограничено медленно
флуктуирующими точечными целями. Они характеризовались
«идеальным» (по огибающей) отражением приходящего к цели
зондирующего сигнала. Принятый отраженный от цели сигнал отличается
в этом случае от зондирующего сигнала четырьмя моментами:
случайной амплитудой, случайной фазой, наличием допплеровского
смещения частоты и запаздыванием. Амплитуда и фаза
определяются отражающими свойствами цели и их можно моделировать
в виде случайных величин. Допплеровское смещение и запаздыва-
у//////*-&Ъ-^~
Й
^ Момент
бремени tf
Ю
Рис. 11.1. Изменение ориентации цели.
ние сигнала определяются скоростью и дальностью до цели и
моделируются как неизвестные неслучайные величины.
В этой главе мы рассмотрим точечные цели, которые невозможно
моделировать как медленно флуктуирующие цели. Начнем
изложение с качественного обсуждения модели такой цели. Рассмотрим
пример, показанный на рис. 11.1. Подобная конфигурация может
представлять отражающую структуру самолета, ИСЗ или
подводной лодки. Направление распространения сигнала — вдоль оси х.
Ориентация цели изменяется во времени. Три различных положения
цели изображены на рис. 11.1, а—в. При изменении ориентации
цели изменяются ее отражающие характеристики.
Предположим теперь, что цель облучается импульсом большой
длительности, комплексная огибающая которого показана на
рис. 11.2, а. Типичная огибающая отраженного сигнала
изображена на рис. 11.2, б. Видим, что влияние изменения ориентации цели
389

выражается в изменении во времени огибающей, которое обычно
называют время-селективными замираниями.
Заметим, что если излучается кратковременный зондирующий
импульс, показанный на рис. 11.2, ву то огибающая принятого
отраженного от цели импульса оказывается неискаженной
(рис. 11.2, г) и данную цель можно моделировать как медленно
флуктуирующую. Позднее будет показано, что все результаты,
РОЩ k
й)
a
ОТ
Q.
ОТ
V
В) г)
Рис. 11.2. Сигналы при наличии
время-селективных замираний:
а — комплексная огибающая излученного
сигнала; б — типичная комплексная
огибающая эхо-сигнала (сдвинуто начало
отсчета); в—огибающая кратковременного
зондирующего импульса; г — огибающая эхо-
сигнала от кратковременного импульса.
Рис. 11.3. Энергетические спектры
излученного и отраженного сигналов:
а — энергетический спектр излученного
сигнала; б — энергетический спектр
отраженного сигнала при наличии допплеровского
рассеяния.
полученные в гл. 9 и 10, можно рассматривать как предельные
случаи результатов, полученных на основе более общей модели,
введенной в рассмотрение в данной главе.
Энергетический спектр зондирующего импульса большой
длительности представлен на рис. 11.3, а. Поскольку изменение во
времени огибающей сигнала является, в сущности, его амплитудной
модуляцией, спектр отраженного сигнала оказывается растянутым
по частоте, как показано на рис. 11.3, б. Степень расширения
спектра зависит от скорости, с которой изменяются отражающие
характеристики цели. Цели такого типа называются целями с
растяжением сигналов по частоте или целями с допплеровским
(частотным) рассеянием. Отметим, что растяжение сигнала по часто-
390

те и его селективные замирания во времени — это только два
разных способа описания одного и того же явления.
Этот простой пример взят из области радиолокации.
Математически точно такая же задача возникает при передаче информации
по каналу связи, в котором отражательные характеристики среды
изменяются на интервале передачи. Такие каналы называются
каналами с допплеровским (частотным) рассеянием, и большая
часть наших основных результатов будет применима как к задачам
радио- и гидролокации, так и к задачам связи.
Пока мы располагаем лишь интуитивным представлением о том,
как флуктуирующая цель вызывает расширение спектра
отраженного сигнала. Подробно этот вопрос рассматривается в § ИЛ
на основе дальнейшего развития математической модели
флуктуирующей цели. В § 11.2 произведен синтез оптимального приемника
для обнаружения цели с допплеровским рассеянием и определена
его помехоустойчивость. Параграф 11.3 посвящен изучению
проблемы передачи цифровой информации по каналам с
рассеянием по частоте. В § 11.4 рассмотрена задача оценки параметров
цели с допплеровским рассеянием. Наконец, в § 11.5
резюмированы основные результаты гл. И.
11.1. Модель цели (канала) с допплеровским рассеянием
Модель точечной цели с произвольными флуктуациями является
непосредственным обобщением модели медленно флуктуирующей
цели.1) Рассмотрим вначале эту модель в контексте активной радио-
или гидролокации.
Если излученный зондирующий сигнал является
синусоидальным и имеет вид
V^coso)^ /2Re[e/t0c<], (1)
то сигнал, отраженный от цели, находящейся в точке X (расстояние
до которой измеряется в единицах времени распространения сигнала
до цели и обратно), можно записать в виде
b (t)= \T2{bc (t-Щ cos [cdc (t-k)] +bs (t-W) sin [o)c (/ -Щ. (2)
Член Х/2 появился в этом выражении благодаря тому, что сигнал,
приходящий на вход приемника в момент времени t, излучается
передатчиком в момент времени t — X и отражается от цели в
момент времени / — Х/2. Предполагается, что bc (f) и bs (/) есть
выборочные функции стационарных гауссовых случайных процессов
нижних частот с нулевыми средними, a b (t) представляет собой
стационарный полосовый процесс.
г) Эта модель использовалась рядом авторов (например, Прайсом и
Грином [1] и Белло [2]).
391

Введя в рассмотрение процесс bo (f)9 определяемый как
bD(t)&bc(t)-jb8(t), (3)
имеем
b(t) = /2Re[feD(^-V2)e/tt>c^-^], (4)
где bo (t) — выборочная функция комплексного гауссова процесса.
(Подстрочный индекс D обозначает, что именно эта функция связана
с эффектом Допплера.) Предполагается, что функция bo (t) по
сравнению с несущей частотой сос изменяется медленно. Так как
функция bo (0 имеет в любое время равномерно распределенную фазу,
это предположение позволяет нам записать (4) в виде
b (t)= уr2 Re [bD (/-Я/2) e/fi)e <]. (5)
Случайный процесс bo (О полностью определяется его
комплексной ковариационной функцией
Е [bD (t) bo (и)] AKD(t-u)= Kd (t) . (6)
В Приложении доказано, что
E[bD(t)l)D(u)] = Q при любых t и и. (7)
В настоящем изложении предполагается, что функция /Cd(t)
известна. В § 11.4 обсуждается задача измерения параметров
функции ^d(t).
Заметим, что если предположить, что
Kd (т) = Kd (0) при любом т, (8)
то рассмотренная модель превращается в медленно флуктуирующую
модель, описанную в гл. 9 (см. с. 271). Для сохранения
соответствия с этой моделью будем считать, что
KD(Q)=2ol (9)
Так как предполагается, что процесс отражения сигнала от
цели стационарный, функцию &d (t) можно с равным успехом описать
с помощью ее энергетического спектра1*
00
&>{/}= j &>(т)е-/2я/тЛ. (10)
1} В большей части наших рассуждений в гл. 11 —13 удобно
использовать / как аргумент спектра и преобразования Фурье. Фигурные скобки {}
используются для обозначения преобразования Фурье. Заметим, что для де-
оо
терминированных сигналов У if) ± J / (/) e~j2nftdt.
00
392

Функцию Sd {/} будем называть функцией допплеровского
рассеяния. В соответствии с (П.56) мы знаем, что ~Sd {/} есть
действительная функция и что спектр реального полосового
сигнала равен
Sd {f}=±-SD{f- fc}+ -1 SD{-f~fc). (11)
I
ШЧ
a)
I
f
A
i[mz]
A
f
~fc
О
1
Г[Ш2]
1
~fc~md
6)
fc fc+mjj
A
~fcms ~fc
£pf)f]
г)
A
?с*Щ
Рис. 11.4. Типичные энергетические спектры:
а — энергетический спектр излученного сигнала; б — энергетический спектр отраженного
сигнала: цель с допплеровским рассеянием и нулевой средней скоростью; в —
энергетический спектр отраженного сигнала: цель с ненулевой средней скоростью и без
допплеровского рассеяния; г — энергетический спектр отраженного сигнала: цель с
допплеровским рассеянием и ненулевой средней скоростью.
Некоторые типичные спектры показаны на рис. 11.4.
Предполагается, что зондирующий сигнал является импульсом большой
длительности с прямоугольной огибающей. Он имеет узкий энер-

гетическии спектр, как показано на рис. 11.4, а. На рис. 11.4, б
представлен энергетический спектр отраженного сигнала в случае,
когда цель флуктуирует и имеет нулевую среднюю скорость. На
рис. 1.4, в изображен спектр, соответствующий цели, которая
имеет ненулевую среднюю скорость, но не флуктуирует. Это
соответствует модели цели, рассмотренной в гл. 9. На рис. 11.4, г
представлен спектр сигнала, отраженного от флуктуирующей цели с
ненулевой средней скоростью.
Для описания общих свойств цели введем в рассмотрение две
величины. Первая называется средним допплеровским смещением
(сдвигом) частоты и определяется как
1 °°
mok—T I fSD{f)df. (12)
Далее определим величину
/ЪД-А J fSD{f}df. (13)
° — 00
Вычитая тЬ из (13), получаем величину, которую называют средним
квадратом допплеровского расширения (растяжения) спектра сиг-
нала:
аЬД/Ь-тЬ=-т J fSD{f)df-mb. (14)
Легко видеть, что величины то и ah тождественны среднему
значению и дисперсии случайной величины.
До сих пор рассматривался случай синусоидального
излученного сигнала. Однако, поскольку предполагается, что процесс
отражения является линейным и частотно-независимым, выражение
(2) характеризует поведение цели. Следовательно, если предполо-
ложить, что излученное колебание является известным
узкополосным сигналом
/(0= У~2Re[[VFt J(0e/e"'], -оо <t< оо, (15)
то принятый отраженный сигнал в отсутствие шума можно
представить в виде
8 (0= V2 Re [yWt J (t-Щ (t-%12) е/шс <]. (16)
Его комплексная огибающая
s (О А УТх lif-Щ (/-Х/2), (17)
а действительный сигнал можно записать как
8 (0 = У 2 Re [yT| 7(0 е!*'']. (18)
394

Комплексная ковариационная функция сигнального процесса
fo (/,«) = £[£ (0>М (19)
или
Кг (/, и) = EtJ(t—K) Ко (t-u)J* (и—к).
(20)
Выражение (20) полностью определяет статистические
характеристики принимаемого сигнала.
Полное принимаемое колебание представляет смесь сигнала
s (t) и аддитивного шума. Таким образом,
г(/)=/2Не[5(/)е/(Ос^]+|/2Не[й(0е/(0^], 7\<г<Гу, (21)
или
где
r(0=/2Re[7(0e/ee'],
7(/)=s(0 +w(f).
Полная модель задачи представлена на рис. 11.5.
(22)
(23)
Рис. 11.5. Модель цели с допплеровским рассеянием.
Предположим, что аддитивный шум является выборочной
функцией стационарного гауссова процесса с нулевым средним,
статистически независимого от процесса отражения и имеющего
равномерный спектр с плотностью NJ2 в полосе частот, широкой по
сравнению с шириной спектра интересующих нас сигналов.
Тогда
E[w(t)w*(u)]=N08(t — u)
(24)
и ковариационная функция колебания 7{t)
Kr(t, u) = Ej(t-X)KD(t-u)?>(u-K) +
+ N08(t—и), Г£<*, u^Tf.
(25)
Ковариационная функция (25) полностью характеризует принятое
колебание, поступающее на обработку.
Если процесс отражения Ьо (t) имеет рациональный спектр,
то его можно также представить, используя комплексные пере-
395

менные состояния1). Уравнение состояние при этом имеет вид
x(0 = Fx(0+G«(0, t^Tu (26)
где
£H/)7i*(T)] = Q6(f—т), (27)
£[х(Т,)х+(Т,)] = Р0. (28)
Процесс bo (t) представляется в виде
6D(/)=Cx(/), />Т,. (29)
Это представление оказывается полезным при решении многих
задач. Модель представления в переменных состояния
рассматриваемой задачи для случая X = О изображена на рис. 11.6.
\№
IlKHlF&Hn
i/снсрициипина/toHoeu процесса. \ \
\ Генерация канального процесса.
f(i)
Передатчик
Приемник
Рис. 11.6. Модель цели (канала) с допплеровским рассеянием, представленная
в переменных состояния.
Этим завершается формулировка модели для цели с
допплеровским рассеянием, используемой в качестве основной в нашем
последующем рассмотрении. Следует упомянуть, что рассмотренная
модель допускает простые обобщения в следующих случаях.
1. Процесс Ъо{1) является процессом с ненулевым средним.
Этот случай соответствует флуктуирующему райсовскому каналу.
2. Процесс 1)d (f) является нестационарным комплексным
гауссовым процессом.
Оба эти обобщения рассмотрены в соответствующих задачах
вне основного текста. Отметим также, что существуют цели и
каналы, которые не соответствуют релеевской или райсовской
модели (вспомним материал, изложенный на с. 272). Для более
подробного рассмотрения этих моделей следует обратиться к работам,
которые упоминались ранее.
v Комплексные переменные состояния рассмотрены в п.П.3.3.
396

11.2. Обнаружение целей с допплеровским рассеянием
В этом параграфе рассмотрим задачу обнаружения цели с
допплеровским рассеянием. Комплексную огибающую принятого
сигнала по двум гипотезам в этом случае можно записать в виде
7{t) = YE~tJ(t-X)VD(t-X/2) + w(t), Tt^t^Tf:Hl9 (30)
~r(t) = w(t), Г,</<ГУ:Я0. (31)
Сигнальный процесс представляется выборочной функцией
комплексного гауссова процесса с нулевым средним значением и
ковариационной функцией
K7{U u) = Ej{t-X)RD{t-u)J*(u-X), 7,|</,и<7,/. (32)
Аддитивный шум w (t) — выборочная функция статистически
независимого комплексного белого гауссова процесса с нулевым
средним значением и спектральной плотностью N0. Параметр
дальности Я считается известным.
Нетрудно заключить, что эта задача представляет собой
комплексный вариант задачи обнаружения гауссова сигнала на фоне
гауссова шума, которая была подробно рассмотрена в гл. 21).
Ввиду этого сильного сходства многие интересующие нас
результаты мы сформулируем без доказательства. Наибольший интерес
представляют следующие четыре задачи:
1. Определение критерия отношения правдоподобия.
2. Нахождение канонических структурных схем приемника
для реализации испытаний по критерию отношения
правдоподобия.
3. Оценка помехоустойчивости оптимального приемника.
4. Установление классов спектров, для которых могут быть
получены полные решения.
Обсудим кратко все указанные вопросы.
11.2.1. Критерий отношения правдоподобия
Критерий отношения правдоподобия можно вывести,
используя разложение в ряд вида (П. 116) или исходя из соотношения
(2.31) с учетом полосового характера процессов (соответственно см.
задачи 11.2.1 и 11.2.2). В результате получим:
l = —(\7*(t)%(t,u)7 (и) dt du Ы у, (33)
1} Как указано в гл. 2, проблема обнаружения гауссовых сигналов в
гауссовом шуме интенсивно исследовалась. К работам, посвященным
задачам, аналогичным рассматриваемым, относятся статьи [8—15].
397

где функция h (ty и) удовлетворяет интегральному уравнению
N0 h (/, и)+) h (/, z) К7(г, и) dz = К7 (t, и), Tt < /, и < Тр (34)
правая часть которого
K7(t, u) = Ej(t—X)KD(t — u)J*(u—b), Т,<*. a<7> (35)
Порог 7 определяется стоимостями и априорными вероятностями
в испытании по критерию Байеса и требуемой вероятностью ложной
тревоги PF в испытании по критерию Неймана—Пирсона. В
следующем подпараграфе рассмотрим различные реализации
приемника, формирующего отношение правдоподобия /.
11.2.2. Канонические структурные схемы приемника
Для действительных процессов в гл. 2 были синтезированы
четыре представляющие интерес структурные схемы реализации
приемника. Распространение их на случай комплексных процессов
не встречает затруднений, поэтому приведем лишь окончательные
структурные схемы, необходимые в справочных целях.
Приемник по схеме оценивателя-корреляпгора. Реализация № 1
представлена в комплексной системе обозначений на рис. 11.7, а.
Фильтр с импульсной переходной функцией^ (t, и) является
оптимальным нереализуемым фильтром для оценки^ (t) и
удовлетворяет уравнению (34). Практическая реализация приемника с
полосовым фильтром приведена на рис. 11.7, б. Отметим, что интегратор
устраняет высокочастотную составляющую выходного процесса
перемножителя.
Приемник по схеме фильтр—квадратор—интегратор. Чтобы
получить эту реализацию, представим функцию Ъ (/, и) в виде
) g*(z,t)g(z,u)dz = h(t,u), Tt^t,u^Tf. (36)
**
Тогда
J)7(t)dt
2
dz. (37)
Схема приемника, осуществляющего обработку колебаний,
представленных в комплексной форме, указана на рис. 11.8, а. Схема
реального приемника приведена на рис. 11.8, б.
398

Приемник по схеме оптимального реализуемого фильтра. Для
этой реализации перепишем выражение для критерия отношения
правдоподобия в виде
4-.fi2*
я.
е[7* (t)l(t)}-\l(t)\2} dt^ty,
(38)
где sr (t) — реализуемая оценка сигнала 1? (/) по минимуму средне-
квадратической ошибки, когда истинна гипотеза Ях (см., например,
—^t
\Формиродание\
комплексно-
Сопряженной
функции
r*(t)
<Е>
•^ X 1 *■
r(t)
h(t,u)
s«(t)
r(t)
a)
Полосодой
фильтр
^ИМ
^ dt
ft
"t
Рис. 11.7. Приемник по схеме «оцениватель — коррелятор» (каноническая
реализация № 1):
а — комплексные операции; б — действительные операции.
.задачу 11.2.3). Она получается, если пропустить колебание 7 (t)
через фильтр с импульсной переходной функцией Ъог (/, и),
определяемой уравнением
t
Nji0T (/, и) + J hor (/, z) КГ (г, и) dz=Kl (t, и), Tt^u^t. (39)
По определению она равна
г
(О A J \r {U и) г (и) du.
(40)
Структурная схема приемника, осуществляющего оптимальную
обработку колебаний, представленных в комплексной форме,
показана на рис. 11.9,
399

Реализация в переменных состояния.1') Если Ър (t) имеет
конечномерное представление в комплексных переменных состояния,
то обычно более удобно отыскивать оценку sr(t),,используя метод
переменных состояния. Напомним, что речь идет о точечной цели
и % предполагается известным. Поэтому ради Простоты
алгебраических выкладок можно положить X = 0, не нарушая общности
рассуждений.
Если вектор состояния огибающей bo (0 обозначить через
х (t), то
Ы0 = Сх(0,
s(t) = f(t)Cxit)ACs{t)x(t).
(41)
(42)
rlt)
fat)
y(t)
f dt
1 >'
—**<Г
н8
Hi)
ffbJ)
—^
a)
Кдадратияный
fismexmop^
огибающей
—>•
Ф
Ho
f{z,tJ=2RS\?(z,t)e/af:-fJ\
S)
Рис. 11.8. Приемник по схеме фильтр — квадратор — интегратор (каноническая
реализация № 3):
а — комплексные операции; б — действительные операции.
Вектор состояния х (t) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
где
х (Л = F (/) х (/) + G (/) и (/), t> Ть
E[u(t)u*(o)] = Q8(t—o),
E[i(Tt)] = 09
£[х(Г,)х+(Г,)] = Р0.
(43)
[(44)
(45)
(46)
(см. с. 628).
Х) Изучение материала этого параграфа предполагает знакомство с
материалом п. П.3.3.
400

Оптимальная оценка определяется как решение
дифференциальных уравнений
х (/) = F (/) х +%Р (/) С+ (/) -j- 1'(0 ~Св (/) х (/)], t>Th (47а)
sr(/) = / (ОСх (0= СЛО х СО-
Дисперсионное уравнение имеет вид
(476)
%Р (/) = F (о %р (о+Ь (0 f+ (0 - %р (0 с+ (0 -ir cs (0 %Р (0 +
+ 6(0 §б+ (0, *>:Ti, (48a)
Ip(/, s (0, iV0)A£[|7(0 -sr(0H = Cs (0fp(0C,+ (0- (486)
/%>
формирование
комллеюноА э /ГГч
со/гряжентй | ч»^/"
функции
horfcu)
%(t)
2Re\-\
\^Q-ni//4
♦ -
^i
Рис. 11.9. Оптимальный приемник по схеме оптимального реализуемого
фильтра (каноническая реализация № 4).
Заметим, что ковариационная матрица %Р (t) является эрмитовой
матрицей. Подстановка (42) в (48а) дает
|p(/) = f(/)Ip(/)+Ip(0f+ (0-!р(')с+ р^]с5И0 +
+ G(/)QG+ (/), t>Tt. (49)
Видим, что на среднеквадратическую ошибку влияет только
огибающая излучаемого сигнала. При рассмотрении характеристик
помехоустойчивости приемника установим, что их можно однозначно
выразить через среднеквадратическую ошибку. Таким образом,
фазовая модуляция сигнала на помехоустойчивость приемника не
влияет. Если цель имеет средний допплеровский сдвиг, то
математически это эквивалентно фазовой модуляции сигнала.
Следовательно, средний допплеровский сдвиг на помехоустойчивость
приемника влияния не оказывает.
Важно отметить, что хотя процесс отражения является
стационарным, принимаемый эхо-сигнал будет процессом
нестационарным, если функция 7 (0 не является действительным импульсом
постоянной величины. Такая нестационарность делает реализацию
в переменных состояния очень важной, поскольку на этом пути
401

можно, действительно, найти необходимые функции для
реализации оптимального приемника. /'
Этим завершается наше первоначальное рассмотрение
структурных схем приемника. Рассмотрим^теперь vto помехоустойчи-
вость.
11.2.3. Помехоустойчивость оптимального приемника
Для определения помехоустойчивости используем такую же
процедуру, как в гл. 2 (с. 49—60). Важнейшей функцией здесь
является [I (s). Сначала предположим, что имеется К комплексных
наблюдаемых величин, которые обозначим вектором г. Тогда
00
|Гк(5)Д1п j [рмяД^Я^ПрГ^ДЯ^о)]1-8^. (50)
— оо
Используя (П. 116) и (П. 117), имеем
где Xt —собственные значения сигнального процесса Г(0,
IS
Р,~„,.<К|Я.)=П^хр(-1М). (52,
Подставив (51) и (52) в (50), вычислив интеграл (или сравнив
с (2.131)) и положив /С-^оо, получим
/ = i
-,„(.+(1-,)|
(l-S»ln|. + i)-
0<s<l. (53)
Заметим, что \х (s) есть действительная функция, тождественная
(2.134), за исключением коэффициентов 2. Ее можно выразить
в замкнутой форме несколькими способами. Как и в (2.138), она
является интегралом от разности двух средних квадратов ошибок
реализуемой фильтрации:
?(5)=-^ j [&('• «W. ЛО-Ы*. «(0. 737) ]Л. (54)
г,
402

Ее можно также зыразить с помощью формулы, аналогичной (2.195),
если сигнальный процесс имеет конечномерное уравнение
состояния. Для процессов в комплексных переменных состояния
соответствующие формулы имеют вид
оо
lniV(z)= 2 1п(1 + гХ,)=
i= 1
In det f 2 (Tf) + Re j Tr [F (Л] dt, (55)
Ti
где Г2 (/) определяется дифференциальным уравнением
dt
fa(О J LzC+(0C(0 -F+(0 JLf2(0J
при начальных условиях
fx(7\) = P0, (57)
Г2(Гг)=.1. (58)
Заметим, что D#- (z) является действительной функцией.
Для вычисления характеристик помехоустойчивости подставим
(53) в (2.166) и (2.174). В результате получим
PF~\\f2ns*p(s)Y\»{s)-87w, 0<s<l, (59)
PM^\y2n(l-s)^(s)Y\^is)+i{^s)i{s\ 0<s<L (60)
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о классах процессов,
представляющих принимаемые эхо-сигналы, для которых можно
получить полные решения уравнений для оптимального приемника
и вычислить характеристики его помехоустойчивости.
11.2.4. Классы процессов
Существует четыре случая, в которых можно получить полные
решения.
Случай 1. Процессы отражения с конечным представлением
в переменных состояния. В этом случае bD (t) можно описать с
помощью дифференциальных уравнений, подобно тому, как это было
сделано ранее (см. (41)—(46)). Поскольку мы ограничились
рассмотрением стационарных процессов, это эквивалентно требованию,
чтобы спектр So {/} был рациональным. В этом случае
непосредственно применимы уравнения (38) и (47)—(49) и приемник можно
403

реализовать по схеме с обратной связью. Помехоустойчивость его
легко вычислить, используя (54) в (59) и (60). /
Случай 2. Стационарный сигнальный процесс, большое время
наблюдения. Этот случай является полосовым" аналогом задачи,
рассмотренной в § 4.1. Физически он может возникать в нескольких
ситуациях, из которых две представляют особой интерес:
1. Комплексная огибающая излученного Передатчиком сигнала
является действительным импульсом прямоугольной формы,
длительность которого значительно больше интервала корреляции
процесса отражения.
2. В условиях задачи пассивного обнаружения сигнал исходит
от цели и если этот процесс стационарен, то и огибающая
принимаемого сигнала является процессом стационарным.
Для рассматриваемого случая можно использовать
асимптотические формулы и получить гораздо более простые выражения.
Решим интегральное уравнение (34), используя для его левой и
правой части преобразования Фурье. В результате получим
H{f}= J7(}f} • (61)
" S7{f} + N0
Наиболее распространенной реализацией приемника для этого
случая является реализация по схеме «фильтр—квадратор» (см. (36) и
(37)). Решение уравнения (36), которое является передаточной
функцией реализуемого фильтра, имеет вид:
G{f}
S7{f} + Vo
(62)
Напомним, что надстрочный индекс «+» обозначает член,
содержащий полюсы и нули в левой полуплоскости.
Случай 3. Разложимые ядра. В этом случае процесс отражения
имеет конечное число собственных значений (скажем, /С). В
соответствии с (20) это означает, что принимаемый сигнальный процесс
должен иметь также К собственных значений. При этом
рассматриваемая задача оказывается математически тождественной
ситуации с отражением от К медленно флуктуирующих целей.
Случай 4. Когерентное обнаружение сигнала малой энергии.
В этом случае наибольшее собственное значение много меньше
уровня белого шума. Поэтому можно получить решение
интегрального уравнения, определяющего h (t, и), в виде ряда. Рассуждая
точно так же, как на с. 154—161, критерий отношения
правдоподобия получим в виде
т1
1=± Г 7* (0 К7 (/, и) 7(и) du U У- (63а)
404

С учетом (35) имеем
1= Ч [№®l(t—b)KD(t — u)T*(u-K)7(u)dtdu. (636)
Функцию Kd (t — и) можно записать в следующей форме:
KD (t—u) = J k* (г, t) k (г, и) dz, T% < /, и < Гу. (64а)
t(t)/~>^ \Полосо-
дой
I фильтр
^
/?e[^7z,^^rz^]
ййР^л;^*^*]
Фильтр
О
у(да&ратичныи\
детектор
огибающей
#i
Рис. 11.10. Структурная схема оптимального приемника КСМЭ:
а — комплексные операции; б — действительная реализация.
Подставляя (64а) в (636), получаем
ТА Т4
1 = ^\ Г I k (z, и) 7* (и—К) 7(u)du"
dz.
(646)
Структурные схемы оптимального приемника, реализующего
этот критерий, показаны на рис. 11.10. (Рекомендуем читателю
убедиться, что приемник, построенный по схеме рис. 11.10, б,
дает требуемый выходной результат. Полосовой фильтр на частоте
сод предполагается идеальным.)
Для произвольного интервала времени разложение на
множители выражения (64а) может оказаться трудновыполнимым.
Однако во многих представляющих интерес случаях интервал времени
велик, и можно получить приближенное решение (64а), используя
следующее преобразование Фурье:
Koo{f}=[SD{f}]+. (64в)
В этом случае получаем структурную схему приемника,
представленную на рис. 11.11. Заметим, что мы не требуем, чтобы функция
405

f (/) была величиной постоянной, и поэтому данный результат носит
более общий характер, чем условие СПБВН, соответствующее
случаю 2.
Помехоустойчивость в случае КСМЭ определяется по формуле
(53). Разлагая логарифм в ряд и пренебрегая членами высоких
порядков, получаем
?(*)=■
s (1 - s)
2№
2 w
«-1
s (1 - s)
2NI
^\K7(t,u)\
dtdu. (65)
Mo
Рис. 11.11. Структурная схема оптимального приемника КСМЭ для случая
большого времени наблюдения.
) J
I
c*(t-y
ш*
>>
\-\г
F ~~ГА
frA
\ш
С учетом (20) имеем
s (1— s)E*
H(s)=—"
Щ
jj \J(t-X)\2\KD (t-u) |21 f(u-X) |2 didu, (66a)
что можно также записать в виде
H(s) =
s (l-s)Et
оо
^ Sd {h) e {о, fx-f2} sD {f2} dfx df2. (666)
Таким образом, помехоустойчивость можно определить, вычислив
двойной интеграл. Для вычисления PF и Рм необходимо
подставить (666) в (59) и (60).
11.2.5. Краткие итоги § 11.2
В этом параграфе были рассмотрены вопросы обнаружения
целей с допплеровским рассеянием. Наиболее важными моментами
в этом рассмотрении были вывод выражения для критерия
отношения правдоподобия, канонические реализации оптимального
приемника, а также определение помехоустойчивости оптимального
приемника и класса сигналов, которые допускают полные решения.
Все полученные здесь результаты представляют комплексные
варианты соответствующих результатов гл. 2—4.
В ходе изложения мы стремились подчеркнуть сходство между
рассматриваемой здесь задачей и задачами, которыми мы
занимались ранее. Читателю должно быть ясно, что это сходство возника-
406

ет вследствие того, что мы ввели комплексную форму записи.
Задачу обнаружения в случае полосовых процессов трудно решить
без комплексной системы обозначений, если квадратурные
составляющие сигнального процесса не являются статистически
независимыми (напомним задачу 3.4.9). Из (20) и (П.67) следует, что
для того 'чтобы квадратурные составляющие были статистически
независимыми, должно выполняться условие
lm\Ks(t,u)]==lm[}(t)KD (t-u)J*(u)] = 0. (67)
Условие (67) резко ограничивает класс целей и сигналов, которые
мы можем изучать, не прибегая к комплексной форме записи
(например, для сигналов с линейной ЧМ условие (67) не выполняется).
Кроме того, в рамках данной задачи обнаружения мы почти
всегда имеем дело с нестационарными процессами. Это означает, что
метод представления в комплексных переменных состояния
окажется эффективным при решении многих задач.
Задача, которая рассматривалась в этом параграфе, — простая
задача бинарного обнаружения. Все результаты, полученные
при ее рассмотрении, можно распространить на случай полосовых
процессов, являющийся вариантом общей бинарной задачи,
рассмотренной в гл. 3. Некоторые выводы формулируются в рамках
задач,^помещенных в конце данной главы.
Далее мы рассмотрим задачу передачи цифровой информации
(цифровой связи) по каналу с допплеровским рассеянием.
11.3. Передача информации по каналам с допплеровским
рассеянием
Рассмотрим задачу цифровой связи по каналу с допплеровским
рассеянием. В первых трех пунктах рассматриваются бинарные
системы. В п. 11.3.1 произведен синтез оптимального приемника
для бинарной системы связи и определена его помехоустойчивость.
В п. 11.3.2 выведено выражение для границы помехоустойчивости
любой бинарной системы. Субоптимальные приемники рассмотрены
в п. 11.3.3. В п. 11.3.4 исследованы многоальтернативные системы
и, наконец, в п. 11.3.5 подведены итоги и дана сводка основных
результатов.
11.3.1. Бинарные системы связи: оптимальный приемник и его
помехоустойчивость
Рассмотрим бинарную систему связи, в которой сигналы,
передаваемые в соответствии с двумя гипотезами, суть
УЩRe[J(t) e/tt>e']: H0t УЩRe [/(/) e/(D'']:Нг. (68)
407

Предполагается, что разность 0Х — со0 достаточно велика, так что
сигнальные процессы на выходе системы имеют спектры, лежащие
в неперекрывающихся полосах частот. Принимаемые сигналы
можно записать в виде
г/л = j VWt Re {Ь{t)~f{t) е>Щ t]+W{t)< Ti^^Tf-- Яо. щ
\V2FtRe[b(t)f(t)eiait}+w((), T^t^Tf-.H,.
Обе гипотезы равновероятны, а критерием оптимальности решения
является минимальная суммарная вероятность ошибки.
Оптимальный приемник состоит из двух параллельных трактов со средними
частотами щ и »0. Первый тракт формирует величину
1г = — f f 7*(t)h(t, и) dtdu,
TV о j.
(70)
где комплексные огибающие приведены к частоте щ. Второй тракт
вычисляет
Tf
/0= — jf г*(0h(t,и)7(и)dt du, (71)
iVo т
I
где комплексные огибающие приведены к частоте со0. В обоих
случаях функция Ъ (t, и) определяется уравнением
N0h(t, и) + h (t, z) K7(z, u) dz= Kr (/,«), 7\</, u^Tt, (72)
где
/Cr (t, u) = EtJ(t—X) Kd (t - u) J* (u - X), Г, < /, a < Г,. (73)
Принятие гипотезы Нх или Я0 осуществляется на основе
следующего испытания:
/i 4 /с (74)
Структурная схема приемника представлена на рис. 11.12.
Заметим, что каждый тракт этого приемника есть не что иное, как
простой бинарный приемник, структурная схема которого
изображена на рис. 11.7. Такая простая структура получается
вследствие того, что сигнальные процессы по обеим гипотезам имеют
неперекрывающиеся спектры.
Другая структура получается в результате разложения функции
h (/, и) на множители в соответствии с (36). Она показана на
на рис. 11.13.
408

fit)
1 ^1 Лол о содой Т ' '
Полосовой
фильтр
I ж Лолосовой I Т I——
Лолосовой
филдтр
h0(t,a)-Ri!\2h(t,u)eJ"o(t-a)]
Рис. 11.12. Структурная схема оптимального приемника для бинарной системы
связи с ЧМ, работающей по каналу с допплеровским рассеянием
(каноническая реализация № 1).
Ввиду того, что в данном случае мы имеем дело с бинарной
симметричной задачей1), для оценки помехоустойчивости можно
использовать границы суммарной вероятности ошибки,
определяемые соотношением (3.111):
J^bsO/2)
:Ll+((n/8)|iBS(l/2)) ll]
^BSO/2)
k UBS 0/2)
где
" 2[Ц-((1/8)]1В8(1/2))1/2] ^ 2
оо г . ~ ,
|Ibs(s)=?sib(s) +iIsiB(l-s)=2 [1П [l+~N0
-1"('+f)-1"('+^)]-
2N0)
(75)
j*Bs(l/2)=2
ln[l + ^]_21nfl +
(76)
(77)
Здесь Я| — собственные значения сигнального процесса s (t),
ковариационная функция которого определяется выражением (73).
Напомним, что функция jbtBs (s) может быть представлена и в
других формах (см., например, (54) и (55)).
1} Отметим, что индекс «бинарная симметричная» относится к
гипотезам. Процессы не обязательно симметричны относительно своих
соответствующих несущих.
409

В связи с бинарной задачей передачи информации возникают
три представляющих интерес вопроса:
1. Какова помехоустойчивость оптимальной системы, когда
сигнал YEtJ(f), ковариационная функция канала Kd (t) и
уровень шума N0 фиксированы?
2. Если используется субоптимальный приемник, то в каком
соотношении находится его помехоустойчивость с
помехоустойчивостью оптимального приемника при заданных J (t), Eti Kd{^)
и tf0?
^z^z^t)^^]
Ht)
—*
fftW |
&m\
Кдадратичньш
femexmcp^
огибающей
Кдадрашчный
детектар
огибающей
-^
ш
ш
p0(z,i)^^\g(z,t)e^(z-f'>\
Рис. 11.13. Структурная схема оптимального приемника бинарной системы
связи по каналу с допплеровским рассеянием (реализация по схеме
фильтр — квадратор — интегратор).
3. Если ковариационная функция канала Kd (t), уровень
шума N0 и энергия передаваемого сигнала Et фиксированы, то как
следует выбрать / (t), чтобы минимизировать вероятность ошибки?
На первый вопрос можно дать ответ, вычисляя jTBs (s) и
используя (75). Конкретные методы решения задач такого типа были
изложены на с. 53—63. На второй вопрос можно ответить,
используя методы, рассмотренные в п. 5.1.2, и он будет рассмотрен в
п. 11.3.3. Рассмотрим теперь третий вопрос.
11.3.2. Границы помехоустойчивости для оптимизированных
бинарных систем
. Предположим, что ковариационная функция канала Kd fr),
уровень шума N0 и энергия передаваемого (излученного) сигнала
Et фиксированы. Необходимо выбрать такую функцию f(t), при
которой вероятность ошибки была бы минимальной. На практике
бывает гораздо проще минимизировать jlIbs (1/2), а тем
самым — экспоненциальный член в выражении для границы
410

помехоустойчивости (75). При этом процедура выбора 7 (О
разбивается на два этапа.
1. Сначала рассмотрим ковариационную функцию Кт (t, и)
сигнального процесса s (t) и соответствующие ей собственные
значения fa. Найдем ряд собственных значений Xit при которых
?bs (1/2) минимально. На этом этапе мы не интересуемся,
существует ли класс излучаемых сигналов, который мог бы дать
оптимальный набор собственных значений Хь. Результатом этого
этапа является выражение для границы помехоустойчивости любой
бинарной системы.
2. Затем обсудим вопрос о том, как выбрать7 (0» чтобы получить
помехоустойчивость, близкую к границе, установленной на первом
этапе.
Прежде всего заметим, что из ограничения, налагаемого на
энергию излучаемого сигнала, следует ограничение на
ожидаемое значение энергии сигнала на выходе канала. В соответствии
с (73) математическое ожидание полной энергии принятого сигнала
равно
Ь
E[fi(t)\2] = j K7{Ut)dt=2Eto2b = ET. (78a)
(Напомним, что
TJ
) \J(t)\2dt=\.) (786)
'Ti
Заметим, что это ограничение не зависит от формы сигнала. Через
собственные значения выходного процесса его можно записать
в виде
оо
2 % = ЕГ. (79)
Выберем теперь Kt с учетом условия (79) так, чтобы
минимизировать функцию [Ibs (1/2). Заметим, что совсем неочевидно, что
мы можем найти сигнал 7 (0> который бы дал требуемый набор Xit
Сначала определим нормированные собственные значения
linAKt/Er. (80)
Перепишем (77) в виде1)
{1в$(1/2) = -4Г{2 kng(Xin)l (81)
Wo I/ = 1 J
J) Этот вывод принадлежит Кеннеди [3].
411

где
iWA^[-^In(l+Y*) + ln(l + f)];
yAErlN0.
(82)
(83)
Выражение, заключенное в фигурные скобки в соотношении (81),
называется коэффициентом эффективности. (Напомним
изложенное на с. 142.) Функция g (х) представлена графически на рис. 11.14,
откуда видно, что она является положительной функцией, единст-
Рис. 11.14. График зависимости g(x) от ух [3].
венный максимум которой имеет место при значениии х = х,
являющемся решением уравнения
у2 х/ 4
1
(\+ух) (l+yi/2) х
_Xln(l + Y;) + ln(l+.H.
(84)
Решением этого уравнения является ух = 3,07. Для всех
положительных у имеем
x=3,07/y. (85)
Соотношения (84) и (85) можно использовать для отыскания
границы (Ibs (1/2). Из (81) находим
-Z*s(w)=fot^KKn)<fj(x)- (86)
С учетом (79) и (80) соотношение (86) приводим к виду
-»Bs(m)<fog(x)- (87)
412

Итак, мы имеем границу, указывающую предельное
отрицательное значение функции (Ibs (1/2). Этого значения можно достичь,
положив
£ (x=3,07/y, /=1,2, ...,£>0> (88)1
где
"'»-■ о, ;>d0,
D0= —= -^: • (89)
3,07 W0 3,07 '
Этот результат означает, что первые D0 нормированных
собственных значений следует выбрать равными 3,07/у, а остальные
положить равными нулю. Используя (88) в (82), а результат — в (87),
получаем
ilBs(l/2)>-Of1488(£r/^o). (90)
Подстановка (90) в (75) дает верхнюю границу вероятности ошибки
в виде
Р(е)<— ехр (— 0,1488 ^Л. (91)
С аналогичным результатом мы встречались в примерах,
которые рассматривались ранее. В частности, в п. 4.2.3 была
рассмотрена система связи с частотным разнесением, в которой
требовалось, чтобы энергии принимаемых сигналов во всех каналах были
одинаковыми, и было установлено, что функцию [xBs, bp, sk (1/2)
можно минимизировать, разделив энергию, которой мы
располагаем, поровну между всеми каналами так, чтобы (см. (4.166))
ErjN0=3,07. (92)
В п. 4.2.3 мы достигли оптимальной помехоустойчивости
при использовании системы с явно выраженным разнесением. В
рассматриваемом здесь случае имеется лишь один канал и для
достижения максимальной помехоустойчивости необходимо излучать
такой сигнал, при котором ковариационная функция сигнала на
входе приемника
К7 (/, и) = J(t) Ко (t - и) J* {и) (93)
имела бы D0 одинаковых собственных значений. Этот случай
можно представлять себе как систему с неявным разнесением.
Формула (91) выражает очень важный результат, так как она
дает нам границу помехоустойчивости, которая не зависит от фор-
1} Здесь предполагается, что Er/N0 есть целое число, кратное 3,07.
Если это не выполняется, то соотношение (86) все равно является границей,
а фактическая помехоустойчивость при этом оказывается несколько хуже.
413

мы функций допплеровского рассеяния, а следовательно, и
определенный эталон, с которым можно сравнивать любую конкретную
систему передачи информации. Необходимо еще раз подчеркнуть,
что нет гарантии того, что этой границы можно достичь при любой
функции рассеяния канала.
Далее нам следует рассмотреть конкретные функции
допплеровского рассеяния и ответить на вопрос, можно ли построить
сигнал, который позволяет достичь границы (90) со знаком
равенства. Но сначала вернемся к примерам, которые были разобраны
в п. 4.1.2.
Пример 1. Этот пример тождествен примеру 4, приведенному
на с. 140. Функция допплеровского рассеивания канала имеет вид
S^H о, |/|>в. (94)
Передаваемый (излученный) сигнал имеет прямоугольную
огибающую
J(t)=ll/Vf> °^<Т> (95)
1 { 0 при других t.
Предполагается, что произведение ВТ достаточно велико и можно
использовать формулы для случая СПБВН. Ограничим Ег и
выберем Т с целью минимизации |Xbs, oo (1/2). Из (4.76)
оптимальное значение Т, обозначаемое через Т0, определяется соотношением
1^ = 3,07. (96)
2ВТ0 v
Тогда
[?bs. co(l/2)]0pt =-0,1488(Er/W0) (97)
и указанная выше граница достигается со знаком равенства.
Результат (96) предполагает соблюдение условия СПБВН. Если
потребовать, чтобы
ВТ0 > 5 (98)
для обеспечения справедливости предположения о соблюдении
условия СПБВН, то согласно (96) получим
Er/No>30,7. (99)
Если условие (99) соблюдается, то оптимальной бинарной
системой для канала, функция рассеяния которого определяется
соотношением (94), является система, излучающая импульс
прямоугольной формы длительностью Т0. (Заметим, что условие (99) является
весьма жестким.)
414

Пример 2. Этот пример тождественен примеру 3, приведенному
на с. 134. Функция рассеяния канала имеет вид
sD{f}
Akol
(2я/)2 ф № '
(100)
а передаваемый сигнал определяется соотношением (95). Выше
для вычисления [Xbs (s) мы использовали предположение о
справедливости условия СПБВН. В этом примере используем комплекс-
3 4 50 8 10 20 ЪО 40 .00 80100
Рис. 11.15. Зависимости функции (ХвсО/г) и произведения kT0 от отношения
ErjNo (замирания первого порядка, импульс прямоугольной формы [4]).
ные переменные состояния. Уравнения состояния канала имеют
вид
0(/) = С(/)=1,
(Ю2)
(ЮЗ)
(104)
Вычислим ^bs (1/2), используя (48а), (486), (54) и (76), а затем
полученное выражение минимизируем по Т. Результат
представлен графически на рис. 11.15. Видим, что если Er/N0 мало, то
можно передавать импульс очень малой длительности, такой что
kT0 ~ 0. (105)
Кратковременный импульс обусловливает существование
единственного собственного значения на выходе канала, так как в этом
случае на интервале, равном длительности импульса, параметры
415

канала можно считать постоянными. (Модель такой системы
описана в гл. 9.) Когда
£г/#0=3,07, (106)
выполняется условие (89) и достигается граница (90). До тех пор,
пока
£r/W0 < 7,8, (107)
единственное собственное значение все еще остается оптимальным,
но система достигает границы (90) только тогда, когда соблюдается
условие (106). По мере дальнейшего увеличения отношения Er/N0
оптимальное значение kT возрастает. При
£r/Wo>13 (108)
результаты совпадают с результатами для случая СПБВН в
примере 3 на с. 134:
kT Jrl^ (109)
3,44 v '
?в8(1/2)=-0,И8£г/^0. (НО)
Соотношение (110) показывает, что импульс прямоугольной формы
не может обеспечить распределение собственных значений,
необходимое для достижения верхней границы (90) помехоустойчивости.
В следующем примере рассмотрим более сложный сигнал,
поставив целью достигнуть границы (90) для канала, функция
рассеяния которого определяется соотношением (100).
Пример 3. Функция рассеяния канала определяется
соотношением (100). Для обоснования выбора сигнала напомним, что
кратковременный импульс дает единственное собственное значение.
Излучая последовательность импульсов, отстоящих друг от друга
на интервалы времени, много большие времени корреляции канала,
можно получить требуемое число одинаковых собственных
значений сигнала на его выходе.
Такой сигнал представлен на рис. 11.16. Это последовательность
импульсов прямоугольной формы с длительностью Ts и периодом
Тр. Число импульсов
дД00 = Мо, (ЦП
- 3,07 V '
Амплитуда каждого импульса выбирается такой, чтобы средняя
энергия принимаемого сигнала в расчете на импульс была равной
1Г, = 3,07ЛГ0, /=1,2, ..., D0. (112)
Огибающую сигнала можно записать в виде
J(f)= v cZ(t-iTp), (113a)
i = 1
416

где
О при других /;
(1136)
с — нормирующий коэффициент, приводящий сигнал f(t) к
единичной энергии. Ковариационная функция сигнального процесса
на выходе канала равна
Ks(Л т) = 2 S *Ъ(t-iTp)Ко(/-т)и*(т-Й7> (114)
/=1 /5 = 1
^4
U-
Рис. 11.16. Огибающая излучаемого сигнала (пример 3).
Мы можем вычислить помехоустойчивость при любых заданных
Ts и Тп. Оптимальный случай получается как предельный, если
О,
положить
г.
сю.
(115)
(116)
При этом ковариационная функция становится разложимой
функцией:
о.
*г &т) = 2 °г к° (°)" (' - iTp) "* (т- 1Тр)'
(117)
и в результате мы имеем D0 одинаковых собственных значений,
абсолютные значения которых удовлетворяют условию (88).
Следовательно, в данном случае помехоустойчивость определяется
верхней границей (90).
Предельный случай практически не реализуем, но часто можно
получить хорошее приближение к нему. Для этого необходимо,
чтобы длительность импульса Ts была значительно меньше времени
корреляции процесса Ъ0 (/). Тогда амплитуда каждого
эхо-импульса будет приближенно постоянной. Необходимо также, чтобы
период Тр следования импульсов был значительно больше времени
корреляции процесса bD (t) с тем, чтобы амплитуды различных
импульсов были статистически независимыми. В результате
получим приближение к системе с оптимальным разнесением. Отметим,
что оптимальный приемник в данном случае сводится к двум
параллельным трактам, аналогичным представленному на рис. 4.16.
14 Зак. 1494 417

Укажем ограничения, которые могут сделать невозможным
использование приведенного решения.
1. Если имеется ограничение пиковой мощности, то может
оказаться невозможным обеспечение достаточной мощности
каждого импульса.
2. Если имеется ограничение полосы частот, то может
оказаться невозможным сделать Ts достаточно малым, чтобы обеспечить
постоянство амплитуды в пределах каждого эхо-импульса.
3. Если имеется ограничение по периоду передачи, то может
оказаться невозможным сделать Тр достаточно большим, чтобы
получить статистически независимые амплитуды импульсов.
Исследование этих вопросов вынесено в задачи 11.3.6 и 11.3.7.
Прежде чем закончить рассмотрение данного примера, следует
отметить, что цифровая система связи, в которой используется
сигнал, представленный на рис. 11.16, по-видимому, может
работать в режиме многоканальной передачи с временным разделением
каналов (см. § 9.11 второго тома); при этом сигналы от других
источников сообщений могут, перемежаясь, следовать в интервалах
между импульсами. Необходимо также заметить, что полученные
в данном примере результаты не зависят от конкретной формы
функции рассеяния канала SD {/}.
В этом параграфе рассмотрена задача цифровой передачи
информации по каналу с время-селективными замираниями при
использовании двоичных ортогональных сигналов. Вывод
алгоритма и основной структурной схемы приемника и анализ его
помехоустойчивости явились прямым развитием результатов § 11.2.
Первым важным результатом данного параграфа является
формула для границы помехоустойчивости (предельной
помехоустойчивости). Для любой функции рассеяния канала
iTBs (1/2) ^-0,1488 (Er/N0). (118)
Для достижения этой границы необходимо, чтобы излучаемый
сигнал создавал в сигнальном процессе на выходе канала определенное
число одинаковых собственных значений.
Второй важный результат состоит в том, что указанную границу
практически можно достичь при различных функциях рассеяния
каналов, используя простые сигналы.
Осталось рассмотреть два вопроса проблемы цифровой связи.
В п. 11.3.3 рассматриваются вопросы построения субоптимальных
приемников. В п. 11.3.4 кратко обсуждается многоальтернативная
задача цифровой передачи.
11.3.3. Субоптимальные приемники
Для большого числа физических ситуаций мы можем определить
оптимальный приемник и вычислить характеристики его
помехоустойчивости. Однако часто оптимальный приемник оказывается
418

±
в
б)
т t
труднореализуемым, и поэтому возникает необходимость
рассмотрения различных субоптимальных схем приемника. В этом под-
параграфе мы логически определим две структуры субоптимального
приемника и проведем анализ их помехоустойчивости.
Чтобы получить первую структурную схему, рассмотрим
типичную выборочную функцию T?D (0, которая представлена на
рис. 11.17, а. Для простоты предположим, что спектр процесса
bo (t) ограничен полосой
±В/2 Гц. Функцию Ъ0 (t) Ц^щ
можно аппроксимировать
ступенчатой функцией,
как показано на рис.
11.17, б. Длина отрезков
прямых (ступенек)
выбрана здесь равной величине,
обратной ширине полосы. ь$ь(щ
Аппроксимация более
общего вида показана на
рис. 11.17, е. Здесь
длительность элементов
сигнала оставлена в качестве
параметра. Чтобы данная
аппроксимация была
справедливой, будем считать,
что Т8 меньше величины,
обратной ширине полосы
замираний.
Чтобы синтезировать
первый субоптимальный
приемник, предположим,
что функция, представлен- Рис 11Л7.
наяна рис. 11.17, в,
является достаточно точной
аппроксимацией и что
значения этой функции на разных элементарных интервалах
статистически независимы. Отметим, что эти два предположения
несколько противоречивы. По мере уменьшения Т8 данная
аппроксимация становится более точной, но статистическая связь
значений функции усиливается. При увеличении Т£ наблюдается
обратное явление. В том, что эти предположения не вполне
справедливы, и заключается причина того, что получающийся
приемник является субоптимальным.
При сделанных предположениях можно записать, что
1_
в.
1
в
ha(t)\
Канальный процесс и его
аппроксимации.
/=1
14*
(119)
419

где и (t) — единичный импульс, определяемый соотношением
(1136). С учетом (119) из (20) получим
*Г С v) = ^^n^t-iT.)J*(vfu*{p-iT.). (120)
Ковариационная функция в форме (120) является разложимой,
и поэтому получающаяся в результате структура приемника
оказывается довольно простой.
Структурная схема тракта, формирующего 1Ъ представлена
на рис. 11.18. Аналогичный тракт формирует //>. Различные
1 тз
1 "^
ill
?*№*к-(н-щ)
Рис. 11.18. Структурная схема субоптимального приемника № 1 (тракт
формирования величины 1\).
весовые коэффициенты gt в каждой из N ветвей появляются
вследствие того, что значение
я.
Et= J \f{t)\2dt
(121)
И-1)ТЯ
обычно зависит от / и поэтому собственные значения оказываются
неодинаковыми. Из задачи 11.2.1 следует, что
gi = 2o2bEi/(2olEi + Лд.
(122)
Структурную схему приемника, показанную на рис. 11.18,
логически легко понять, но она представляется несколько более
1} На рис. 11.18—11.22 используется комплексная форма записи,
чтобы показать один тракт различных приемников. Комплексные огибающие
в указанном тракте приведены к частоте щ, так что выходной величиной
является lv Как было показано в п. 11.3.1, для вычисления /0 используются
такие же комплексные операции, приведенные к частоте со0.
420

сложной, чем необходимо. В самом деле, в каждой ветви, по
существу, выполняется стробирование и выборка значений процесса г (t)
на концах последовательных отрезков длительностью Ts. Поэтому,
если предусмотреть операцию стробирования и съема выборочных
отсчетов в соответствующие моменты времени, то необходима будет
только одна ветвь. Этот вариант структуры приемника показан
на рис. 11.19. Особенно простой схема приемника получается
в том случае, когда функция J (t) постоянна на всем интервале
обработки. Тогда в весовых коэффициентах нет необходимости и
структурная схема приемника приобретает вид, показанный на рис. 11.20.
Здесь операция корреляционной обработки заменена операцией
согласованной фильтрации с тем, чтобы подчеркнуть их
взаимозаменяемость.
На этом завершается рассмотрение первого варианта
структурной схемы субоптимального приемника. Будем называть его
приемником по схеме дискретизатор — фильтр — квадратор —
сумматор (ДФКС). Прежде чем приступить к анализу его
помехоустойчивости, рассмотрим вторую структурную схему субоптимального
приемника.
При рассмотрении второго субоптимального приемника
ограничимся случаем канальных процессов с конечномерными
представлениями состояний. Вторая структурная схема субоптимального
приемника следует из структуры оптимального приемника,
которая получается, когда справедливы предположения о соблюдении
условий КСМЭ и БВН. Структурная схема этого приемника
представлена на рис. 11.21. (Это структурная схема приемника
рис. 11.11, перечерченная с учетом представления в переменных
состояния при X = 0). Заметим, что часть приемника,
представленная в переменных состояния, точно соответствует системе,
используемой для формирования bo (t).
Сохраним основную структуру рис. 11.21. Для достижения
большей гибкости при синтезе приемника мы не требуем, чтобы
матрицы операций фильтрации могли генерировать bo (0» но
обязательно налагаем условие, чтобы они были инвариантными во
времени. Получающаяся структура приемника показана на рис. 11.22.
Приемник такого типа был предложен в работе [4].) Уравнения
этого приемника можно записать в виде:
t(f)=hxr(t) + Gj*(t)nt), (123)
?;(0 = |Crxr(0l2. (124)
E[xr(Tt)^(Ti)]=Pr. (125)
хД7\.) = 0. (126)
Они определяют структуру второго субоптимального приемника;
мы будем называть его приемником по схеме фильтр — квадратор—
интегратор (ФКИ). Для того чтобы максимизировать его поме-
421

Отсчет 0 момент
op eve ни t^iT$
и разряд
интегратора Jo нуля
л
17-
Взвешенная сим\ h
ма отсчет об
mi
Рис. 11.19. Другой вариант структурной схемы субоптимального приемника
№ 1.
Отсчет 0 момент
времени t~iT$u
разряд фильтра
£®^р0шсодат/й
'Финшр
Тл
Мутирование'
omcvemod
'л
Рис. 11.20. Структурная схема субоптимального приемника № 1 для
постоянного сигнала f(t).
^K^H^n^©rH~^~Nj
1
1
и—ji
7 Щ
\иМ)
Рвшзвция функции \Sjjffj] S переменных состояния
Рис. 11.21. Структурная схема оптимального приемника КСМЭ для случая
большого времени наблюдения (тракт формирования величины 1\).
Г"
r(t)\
+ti
ik=ji
1 и
1 XI 1 \NjJtj 1
\\f(»
Рис. 11.22. Структурная схема субоптимального приемника № 2 (тракт
формирования величины /i).
422

хоустойчивость, необходимо определенным образом задать матрицы
Fr, бг, Сг и Рг.
Далее будем придерживаться следующего плана.
1. Выведем выражение для границы помехоустойчивости
субоптимальных приемников. Этот вывод представляет собой прямое
распространение границы, установленной в п. 5.1.2, на случай
комплексных процессов. Эта граница справедлива для обеих
структурных схем.
2. Выведем выражения для величин и функций, входящих
в формулу предельной помехоустойчивости для обоих приемников.
3. Оптимизируем каждый приемник и сравним его
помехоустойчивость с помехоустойчивостью оптимального приемника.
Все указанные задачи просты по своей идее, но довольно
сложны в выкладках. Многие читатели, по-видимому, предпочтут
ограничиться рассмотрением окончательных результатов,
представленных на графиках рис. 11.23, и сопровождающих их
комментариев.
Границы помехоустойчивости для субоптимальных приемников.
Так как в данном случае рассматривается бинарная симметричная
система с ортогональными сигналами, необходимо модифицировать
результаты решения задачи 5.1.16. (Первоначально эти границы
были получены в работе [5].) Окончательно имеем
P(b)<-j* . (127)
где
Hs (s) 4 ?ц (s) + Ы (—s), (128)
l^n(s)A\nE[esh\H1], (129)
\4n(s)MnE[etl*\Ht]. (130)
Теперь нужно вычислить 'JIbs (s) для двух приемников.
Вычисление hbs (s) для субоптимального приемника № 1.
В этом случае /х и /0 являются конечными квадратичными формами
и вычисление Jabs (s) не вызывает принципиальных затруднений
(см. задачу 11.3.9; первоначально- интересующий нас результат
был получен в работе [4]):
{Гц (s)= —Indet (I — sW [X. +Ав]), (131)
(Гм (s)= —In det (I —sW A„), (132)
где
W=
gz
L о * gNJ
(133)
423

An = JV0
£1
(134)
0 EN_
A..,,* j J |7(01"^(/-и)1Г(")ГЛ^ (135)
it.
iTR
{i-\)Tsu-\)Ts
Заметим, что при анализе помехоустойчивости мы учли
статистическую связь между значениями сигнала на различных интервалах
длительностью Т8. С учетом (131)—(135) формула (127) позволяет
вычислить границу помехоустойчивости для любой конкретной
системы.
0,140
О J20
л0,100
|_ Ос/боптималднь/й
приемник ft0Z (?)
080
0,060
ом о
Er/N0 = 5^
Оптимальный
приемник
Субоптималмбш,
приемник /У°/
J I I l l l I I I
i i i i i i i i i
О,/ 0,2 0,4
10
0,120
о,юо\
йй
^ 0,080\
0060
0,040
Оптимальнб/и
приемник
Ег1н0=20
Орболтимальнь/й
приемник /У ° 2
J i i mini .,., i t i i i i i i f...
0,7 0,2 0,4 12
10 20
Рис. II.23. Характеристики помехоустойчивости оптимального и
субоптимальных приемников: канал с допплеровским рассеянием и замираниями первого
порядка; Er/N0 = 5 и 20 [4].
424

Вычисление jibs (s) для субоптимального приемника № 2.
В этом случае \in (s) и [х01 (s) можно записать как детерминанты
Фредгольма:
?n(s)=-f;in(l-s^il)=D^11(-s), s<0. (136)
Здесь A,llf ^ — упорядоченные собственные значения процесса
уг (/), когда истинна гипотеза Нг. Заметим, что yt (t) — это процесс
на входе квадратора в f-м тракте обработки. Аналогично
?oi(s)=-i ln(l+sl0i,*)=Ar01(s), -y-<s<0, (137)
гДе Ki> i — упорядоченные собственные значения процесса у0 (t)t
когда истинна гипотеза Н±.
Проиллюстрируем теперь, как вычислять определитель D$r (s),
используя метод переменных состояния. Для этого необходимо
записать уг (t) в предположении, что верна гипотеза Нъ как
процесс на выходе линейной динамической системы, на вход которой
воздействует белый шум. Предполагается, что соблюдаются
соотношения:
xc(0=Fc(0xc(0 + Gc(/)uc(0, *>7*„ (138)
^(0 = Сс(0хс(0, Т139)
Е[пст? l*)]=Qc, (140)
E[Zc(Ti)x? (Tt)] = Pc. (HI)
Требуется определить Fc (f), Gc(/), Qc, Cc(/) и Рс.
По гипотезе Нг процесс уг (f) генерируется так, как показано
на рис. 11.24. Необходимо выразить эту систему в форме (127)—
(130). Сделаем это путем присоединения векторов состояния х (f) и
xr (t)\ в результате получим
LmoJ
(142)
Матрицы получаемой в результате этого системы имеют вид
F.(0=L l~ °Л (143)
L/*(/)G,<V F,J
Gc=[6 4, (144)
Lo gJ
425

№
Л+М£
Рис. 11.24. Структурная схема формирования у\ (t).
Gc(0=[0 Or],
C U N.Y
Ч: У-
(145)
(146)
(147)
Коль скоро процесс yt (t) представлен таким образом, то, как
нам известно,
Ь ~
Dsrn(-s)=\ndetrz(Tf) + Re\ Tr[Fe (/)]#, (М8)
где
Л Lf2(oJ L-sCc+
Gc(OQcee+(o'
(0СС(0 -f,+ (0 J
ffiW],
Lr2(oJ
fi(Ti)=Pe,
Тг(тд=1.
(149)
(150)
(151)
(см. с 60—63).
Соотношения (143)—(151) полностью выражают первый
определитель Фредгольма. Фактическое вычисление можно выполнить
численными методами. Аналогично можно вычислить второй
определитель Фредгольма. В итоге мы сформулировали задачу так,
что можем исследовать любую систему фильтровых матриц.
Пример [4]. Рассмотрим случай передачи сигнала с постоянной
огибающей по каналу, спектр замираний в котором является
спектром Баттерворта первого порядка. При этом функция рассеяния
канала имеет вид
SD{f}=4keU[(2nf)* + k%
(152)
426

а огибающая
f(/) = Vl/r, 0<f<7\ (153)
Средняя энергия принимаемой сигнальной компоненты равна
Er=2alEt. (154)
Чтобы определить помехоустойчивость приемника № 1,
вычислим ]xbs (s), используя (128) и (131)—(135). Затем
минимизируем полученное выражение по s, чтобы найти точную границу
в (127). Наконец, минимизируем это выражение по Ts —
длительности элемента, чтобы получить формулу, характеризующую
помехоустойчивость наилучшего субоптимального приемника. Этот
результат выражается функцией
min[min(|xBS(s))], (155)
Ts s
являющейся мерой помехоустойчивости приемника № 1.
В приемнике № 2 используем фильтр первого порядка. Поэтому
y(t)=-kry(t) + 7*(t)r(i). (156)
Для простоты предполагается, что
Рг=0. (157)
Выразим [xbs (s) как функцию величины krT. Для каждого
значения kTT найдем
min[jIBS(s)] (158)
S
и используем в показателе экспоненциальной функции (127). Затем
выберем значение krT, которое минимизирует выражение (158).
Полученное в результате значение
min[min(iIBS(s))] (159)
является мерой помехоустойчивости приемника № 2. На рис. 11.23
величины (155) и (159) представлены графически для случаев, когда
отношение Er/N0 равно 5 и 20 соответственно. Здесь же нанесены
соответствующие кривые для оптимального приемника. По оси
абсцисс отложены значения kTT% а число в скобках, указанное
на кривой приемника № 1, равно отношению T/Ts, т. е. числу
используемых элементарных интервалов. В обоих случаях
помехоустойчивость приемника № 1 приближается к помехоустойчивости
оптимального приемника при krT -> 0, а помехоустойчивость
приемника № 2 приближается к помехоустойчивости оптимального
приемника при увеличении kTT. Этого и следовало ожидать. Можно
также заметить, что помехоустойчивость одного из приемников
отличается от помехоустойчивости оптимального приемника не бо-
427

лее чем на 0,01 в пределах всей области изменения величины krT.
Таким образом, в данном примере простота реализации,
допускаемая субоптимальными схемами приемника, достигается за счет
незначительного снижения помехоустойчивости.
Следует отметить, что из приведенного примера нельзя сделать
вывод о том, что рассмотренные субоптимальные приемники будут
удовлетворительными во всех случаях. Однако предложенный
здесь метод позволяет решить сформулированную выше задачу
при любом сигнале / (t). Из других работ, посвященных анализу
субоптимальных приемников, укажем [21 и 22].
11.3.4. Многоальтернативные системы
Рассмотрим многоальтернативную (с М гипотезами) систему,
в которой передаваемый сигнал по /-й гипотезе аналитически
можно записать в виде
sti (/)=УЩ Re [f(t) e'V] : Ht. (160)
Предполагается, что частоты со* выбираются так, что спектры
сигнальных процессов, связанных с различными гипотезами, на
выходе канала занимают неперекрывающиеся полосы частот.
Принятое по /-й гипотезе колебание записывается в виде
r(/) = V2£;Re[&(/)7(0e/u)^] + tc;(0, 0</<Г:Я,. (161)
Все гипотезы равновероятны и критерием оптимальности является
минимальная суммарная вероятность ошибки.
Оптимальный приемник для этого случая является очевидным
обобщением двоичного приемника, представленного на рис. 11.12
и 11.13. Для определения его помехоустойчивости распространим
(5.22) на случай нестационарных комплексных процессов. В
результате получим:
[25ЙГ(1/#о)1р
P(e)<ep77V 11+р » 0<Р<1, (162)
[%(Р/^о(1+Р))]1+р-
где
Sjr(z)=no+^i); (163)
%i есть собственные значения комплексной ковариационной
функции (20). Затем минимизируем полученное выражение по р, как это
делалось при выводе (5.29)—(5.35), чтобы найти функцию Е (R).
Следующий шаг — найти распределение собственных значений,
которое минимизирует функцию Е (R). Результат такой
минимизации приведен в работе [3]. И на этот раз минимум получается
428

при использовании определенного числа одинаковых собственных
значений. Оптимальное их число зависит от отношения EJNq и
скорости передачи R. Последний шаг — попытаться най™
сигналы, дающие надлежащее распределение собственных значений.
Методы, примененные нами ранее для бинарного случая,
переносятся непосредственно и на эту задачу.
Этим и завершается рассмотрение многоальтернативной
задачи с ортогональными сигналами. Исчерпывающее изложение
этой задачи интересующийся читатель может найти в работе [3].
11.3.5. Краткие итоги рассмотрения задачи передачи информации
по каналам с допплеровским рассеянием
В этом параграфе была рассмотрена задача цифровой передачи
информации (цифровой связи) по каналам с допплеровским
рассеянием. Некоторые полученные здесь существенные результаты
необходимо подчеркнуть еще раз.
1. Оптимальный приемник можно практически реализовать
только в том случае, когда канальный процесс имеет представление
в переменных состояния.
2. Точные границы суммарной вероятности ошибок
определяются выражением (75). Их можно вычислить при любом сигнале
f (f), если!?£> (t) имеет представление в переменных состояния.
3. Существует верхняя граница суммарной вероятности
ошибок при любом сигнале / (/), которая не зависит от So {/}. Для
любой бинарной системы она имеет вид
Р(е)<-1-ехр( -0,1488 fj. (164)
4. Во многих случаях можно вобрать сигналы, которые
обеспечивают помехоустойчивость, близкую к границе (164).
5. В п. 11.3.3 найдены две структурные схемы субоптимального
приемника, которые гораздо проще в реализации, чем оптимальный
приемник, и показано, что во многих случаях они будут работать
почти так же хорошо, как оптимальный приемник.
6. Основные результаты, полученные в § 11.3, можно
распространить на системы связи, в которых используется М ортогональных
сигналов.
Читателю может показаться странным, почему мы включили
подробное рассмотрение цифровой связи в главу, посвященную
радио- и гидролокации. Первой очевидной причиной является то,
что эта проблема имеет большое значение и именно здесь мы
располагаем необходимыми исходными данными для ее обсуждения.
Кроме того, бинарная симметричная задача значительно легче
для анализа, чем задача радиолокационного обнаружения, так как
благодаря свойству симметрии величина JI (1/2) в данном случае
429

приобретает конкретный смысл. В рамках радиолокационной
задачи, если не выбран конкретный порог (или Pf), приходится
оперировать с функцией jl (s), 0 ^ s ^ 1. Это означает, что все идеи
построения сигналов и оптимальные распределения собственных
значений сформулировать первоначально для несимметричных
задач радио- и гидролокации было бы значительно труднее. Теперь
же, когда мы сформулировали их для случая симметричной задачи
передачи информации, можно распространить их и на
несимметричную задачу. Количественные результаты при этом, естественно,
будут другие, но основные идеи остаются такими же.
НА Оценка параметров: цели с допплеровским рассеянием
Модель для задачи оценки параметров является прямой
модификацией модели для задачи обнаружения цели. И на этот раз
принимаемое колебание имеет вид
7(f)=VEj(t.-KfiD(t-M2) + w(f)9 Tt^t^Tf. (165)
Существует два частных случая задачи оценки параметров цели,
которые мы рассмотрим. В первом случае неизвестными
параметрами принимаемого полезного сигнала являются только
расстояние (дальность) Х/2 до цели и среднее значение допплеровского
сдвига частоты то* Предполагается, что функция рассеяния
Sd {/} процесса Ьэ (О полностью известна, за исключением ее
среднего значения. Ковариационная функция эхо-сигнала равна
К7 (t, и : К mD)=Et J(t- Я) е!2пт»' Kd0(t~ и) ei2slm° u J* (u-X),
(166)
где RdA* — и) — ковариационная функция процесса 1>d (t) за
вычетом его среднего допплеровского сдвига частоты. Иначе говоря,
Ко it— и) Д е/2яшя *Ко0 (t—u) е-/2ш"Д ". (167)
Наблюдаемым процессом является колебание r(t)\ требуется
оценить параметры % и то* Заметим, что интересующие нас параметры
можно выделить из ковариационной функции.
Во втором случае ковариационная функция процесса %о (t)
зависит от некоторого параметра (скалярного или векторного),
который требуется оценить. Таким образом,
К7 (t, и: К А) = Et f(t- X) KD (t—u: А) /* (и- X), (168)
Типичным представляющим для нас интерес параметром может быть
амплитуда или среднеквадратическое значение допплеровского
растяжения (расширения) спектра принимаемого сигнала. В этом
430

случае интересующие нас параметры необязательно могут быть
выделены из ковариационной функции. Отметим, что первый
случай охватывается вторым случаем.
Большинство необходимых результатов для обоих случаев
можно получить путем соответствующего комбинирования
результатов, полученных в гл. 6, 7 и 10. Для иллюстрации некоторых
используемых здесь идей рассмотрим задачу, формулируемую
соотношениями (166) и (167).
Предполагается, что цель точечная и находится на расстоянии
R, которое соответствует времени X распространения сигнала в
прямом и обратном направлениях. Она движется с постоянной
скоростью, соответствующей допплеровскому сдвигу частоты тэ [Гц].
Кроме того, она вызывает допплеровское рассеяние,
характеризуемое функцией рассеяния
3d. (МД 3D {Д-то}. (169)
Комплексная огибающая принимаемого сигнала имеет вид
7(t)=VTtJ(t—X)e^tbDo{t — 'kl2) + w(t)y —<x><t<oo. (170)
Для простоты предполагается бесконечно большой интервал
наблюдения.
Ковариационная функция эхо-сигнала определяется выражением
(166). Функция правдоподобия для этого процесса может быть
представлена в форме
оо
/ (К то)=-^ f J r*(t) hou (t, и: X, mD)~r (и) dtdu, (171)
— оо
где hou (/, и : %, то) определяется соотношением
00
#оКи (*> u:k,mD)+ j hou (t,z: X, mD) Kl (z, u:X,mD)dz =
—00
=R7(t,ti:kmD)9 — oo<^, и <оо. (172)
(Заметим, что член, определяющий смещение, не зависит от К и
то и поэтому он был опущен.) Чтобы построить функцию
правдоподобия, необходимо решить уравнение (172) для множества
значений %i и тор соответствующих области на плоскости
«дальность—скорость», в которой могут находиться цели. Отметим,
что в отличие от случая медленно флуктуирующей цели,
рассмотренного в гл. 10, здесь мы должны использовать дискретное
приближение как по дальности, так и по скорости. Заметим также, что
существуют и другие формы представления функции правдоподобия
/ (К /7Zd), которые могут быть проще для вычислений, но
выражение (171) более соответствует целям нашего рассмотрения.
431

Оценки максимального правдоподобия получают в результате
отыскания такой точки плоскости на А, тд, в которой функция
/ (к, тр) имеет максимум.
Для анализа помехоустойчивости введем функцию
неопределенности допплеровского рассеяния. Как и прежде, функция
неопределенности соответствует колебанию на выходе приемника, когда
аддитивный шум w (t) отсутствует. В нашем случае сигнал является
выборочной функцией случайного процесса, и поэтому выходное
колебание изменяется при проведении каждого эксперимента.
Удобной характеристикой является математическое ожидание
этого выходного колебания.
Входное колебание при отсутствии шума можно представить
в виде
~ _ , j2nmD t _
r(t)=VEtf(t-Xa)e * bD.(t-XJ2). (173)
Подставим (173) в (171) и возьмем математическое ожидание по
Ьо0 (О- В результате получим функцию
оо
0й£> {К Ь • MDa, т}= -^~ Г Г/гои (/, и : A, mD) /(~(/, и : К'тоа) dtdu=
— 00
оо
^|i-JJ/I0U(^^,m.)r*(^a)e-/2^«('-H)x
— оо
X f(u-Xa)R*D0(t-u)dtduy (174)
которую назовем функцией неопределенности сигналов с допплеров-
ским рассеянием. Отметим, что она является функцией четырех
переменных: Аа, А, тва и Ш£>. Эта функция дает основу для
исследования проблем точности, неопределенности и разрешения в
случае, когда цель вызывает допплеровское рассеяние. Проблему
локальной точности можно изучать, используя границы Крамера—
Рао. Элементы определяющей эту границу матрицы J имеют вид
hk(KmDa)=c-
<PQQD{K,b:mD,m}
дШ.
а
%=,'Kaym = mD U'^)
(см. задачу 11.4.7). Прочие элементы матрицы имеют
аналогичную форму.
В основном тексте книги проблемы неопределенности и
разрешения не рассматриваются. Некоторые свойства функции
неопределенности сигналов с допплеровским рассеянием изложены в
задачах. Отметим, что функцию Qqd {kai X : тда, т) можно записать
в нескольких других формах, вычисления по которым могут быть
проще.
432

В общем случае функцию неопределенности сигналов с доп-
плеровским рассеянием использовать затруднительно. Если
соблюдается условие КСМЭ, то
Ки (U и : Jt, /w) ~ — К7(t, u:Xym) =
=— J(t—h) ^nmt Kd0 (t—u) e-V™» 7* ("—*)• (176)
С учетом (176) из (174) получим
Q®D, КСМэ{^а> ^:та> т) =
= ^||7(^^)7*(^-^е/2я(^^ИХ
— 00
X |^Л'-^)1ае"/2я(т"тв)в Г("-^)7(и-Ха)Л^. (177)
(Для упрощения записи мы опустили подстрочный индекс D у
величины т.) Эту функцию можно свести к функции двух
переменных
е<Ъ, ксмэ{^,тв} =
— 00
X | Kd0 (t-u)\2 e~i2nmeu 7* (u-Xe/2) f{u + Xe/2) dtdu. (178)
Некоторые свойства функции 0gd,kcm3 {•, •} изложены в задачах.
Следует сделать еще одно, последнее замечание, относящееся
к функциям неопределенности. В рамках общей задачи оценки
параметра функция правдоподобия имеет вид
00
I (А) = -j- J Г 7* {t)~hou (t, и : А) г (и) dtdu + 1В (А), А б *., (179)
— оо
где функция hou (t, и : А) удовлетворяет уравнению
оо
#(Аи (*, и : А) + jj hou (t, 2: А) /СТ (г, и: A) dz=
— оо
=#7(^:А), — оо</,м<*оо> А£ЦЛ, (180)
433

а член 1в (А) соответствует смещению. Для этой задачи мы
определяем обобщенную функцию неопределенности сигналов с доппле-
ровским рассеянием как
00
0Q(Aa,A)=-i- Whou(t,u:A)K7(t,u: k^dtdu, Aa', A£i|>a.
— oo
(181)
С этой функцией мы встретимся в гл. 12 и 13.
Этим завершается наше рассмотрение задачи оценки. Оно было
кратким, так как большинство основных результатов для данного
случая можно получить путем модификации результатов гл. 6 и 7
по схеме, выработанной в гл. 10.
11.5. Краткие итоги главы
В этой главе мы изучали вопросы обнаружения и оценки
параметров в таких ситуациях, когда цель (или канал) вызывает
расширение спектра излученного сигнала. Мы моделировали
комплексную огибающую принятого сигнала выборочной функцией
комплексного гауссова случайного процесса, ковариационная функция
которого имеет вид
К7 (U u)=Et J(t— К) Kd {t—u)J* (и—К).
Ковариационная функция Kd. t — и) полностью характеризует
процесс отражения от цели (или флуктуации в канале)» Было
показано, что если длительность излученного импульса больше, чем
величина, обратная ширине спектра процесса отражения, то цель
(или канал) вызывает время-селективные замирания. Далее были
рассмотрены три задачи.
В § 11.2 была сформулирована задача оптимального
обнаружения и даны формулы, определяющие алгоритм оптимального
приемника и его помехоустойчивость. Эта задача является полосовым
вариантом задачи обнаружения гауссова сигнала на фоне шума,
которая была решена в гл. 2—5. При помощи представления в
комплексных переменных полученные ранее результаты легко были
перенесены на рассматриваемый случай. Было установлено, что если
процесс отражения можно моделировать как комплексный процесс
с конечным числом состояний, то можно найти полное решение для
оптимального приемника и получить хорошее приближение к его
помехоустойчивости. Этот метод особенно важен при решении
данной задачи, так как отраженный сигнал обычно представляет
собой нестационарный процесс. Другим важным частным случаем
является случай КСМЭ. В этом случае можно легко определить ал-
434

горитм оптимального приемника и его помехоустойчивость.
Результаты, полученные для случая КСМЭ, предполагают также
существование субоптимальных приемников для других ситуаций.
В § 11.3 изучалась проблема двоичной передачи информации
по каналам с допплеровским рассеянием. Первым важным
результатом было установление границы суммарной вероятности ошибок,
независимой от функции рассеяния канала. Затем было показано,
как синтезировать сигналы, позволяющие приблизиться к этой
границе. Были изложены методы синтеза и анализа
субоптимальных приемников. На конкретном примере было показано, что
помехоустойчивость субоптимальных приемников близка к
помехоустойчивости оптимального приемника. Кратко было рассмотрено
распространение полученных результатов на случай
многоальтернативных систем.
В заключение была рассмотрена задача оценки параметров.
В § 11.4 была сформулирована задача и указаны некоторые
основные результаты. В рассмотрение была введена новая функция —
функция неопределенности сигналов с допплеровским рассеянием,
которую можно использовать при исследовании вопросов точности,
неопределенности и разрешения. Некоторые вопросы оценки
рассмотрены в задачах вне основного текста. Более подробно вопросы
оценки параметров рассматриваются в § 13.4.
Обратимся теперь к исследованию цели другого типа с
растяжением (рассеянием) по одному из параметров, которая
рассматривалась в гл. 8, а именно: к случаю, когда излученный сигнал
растягивается (рассеивается) по дальности.
11.6. Задачи
Задачи к § 11.2. Обнаружение целей
с допплеровским рассеянием
Задача 11.2.1. Требуется вывести выражение (33), Введем
в рассмотрение функцию, определяемую как
>■*-=$ г(/)ф?(ол, а*)
где (pi (0 есть /-я собственная функция ковариационной функции
K7(U и). Заметим, что согласно формуле (П. 116)
р7,,я,(й|Ях)=—Ч7ТеХрГ r5^S"l' —<$<«>.
(2*)
Исходя из соотношений (1*) и (2*), вывести выражение (33).
435

Задача 11.2.2. Вывести выражение (33) непосредственно из
(2.31), используя полосовые характеристики, определенные в
Приложении.
Задача 11.2.3. Вывести соотношение (38) двумя способами:
1) исходя из соотношений (33) и (34); 2) исходя из соотношения
(2.86).
Задача 11.2.4. Рассмотрим сформулированную ниже задачу
обнаружения:
7(/)=("^ №**,> (/) + Ъ (/), Tt < / < Tf: Нъ
[wit), Tt^t^Tf:H0.
Функция допплеровского рассеяния имеет вид
SD{f} = 4kol/((2nf)* + k*).
Комплексный белый шум имеет спектральную плотность N0.
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
Написать в развернутом виде дифференциальные уравнения,
определяющие^ представленную систему.
2. Написать уравнения, определяющие \i (s). Показать, как
использовать \i (s) для графического построения рабочей
характеристики приемника.
Задача 11.2.5. Рассмотрим такую же модель, как в предыдущей
задаче. Предположим, что
T«)=(yi7f' T*<*<Tf>
' *' 1 0 при других t,
где Т = Tf — Tf, и что Т достаточно велико для того, чтобы
асимптотические формулы были справедливы.
1. Построить структурную схему реализации оптимального
приемника в виде фильтра-квадратора. Определить передаточную
функцию фильтра.
2. Построить структурную схему оптимального приемника
в виде оптимального реализуемого фильтра. Определить
передаточную функцию фильтра.
2. Вычислить ^(s).
Задача 11.2.6. Рассмотрим такую же модель, как в задаче
11.2.4. Предположим, что / (/) представляет собой ступенчатую
функцию:
\с 2 7tu(t-iTa), 0</<7\
f(t)=\ i=l
{ О при других t,
где
436
* 1 0 при другю
при других t;

T8 = Т/К. Числа ft — комплексные весовые коэффициенты, ас —
постоянный коэффициент, выбранный так, чтобы сигнал 7 (0 имел
единичную энергию.
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
Написать в явном виде дифференциальные уравнения,
определяющие эту систему.
2. Написать уравнения, определяющие ц (s).
Задача 11.2.7. Повторить задачу 11.2.4 для допплеровской
функции рассеяния вида
SD{/} = ^ , _оо</<оо.
Задача 11.2.8. Повторить задачу 11.2.4 для случая, когда
процесс отражения от цели характеризуется спектром вида (П. 148).
Задача 11.2.9. Рассмотрим следующую задачу обнаружения:
7(/)= ( УЕ1 1®Ъо (0 + пс (0 + w 0), 0 < / < Т : Hv
nc(t) + w(t), 0</<Г:Я(
о»
Шум пс (t) представляет собой комплексный гауссов процесс с
нулевым средним и ковариационной функцией Кс (/, и). Он
статистически независим от bo (t) и w (t).
1. Вывести уравнения, определяющие оптимальный приемник.
2. Получить формулу для \х (s).
Задача 11.2.10. Рассмотрим модель из задачи 11.2.9.
Предположим, что пс (t) имеет конечное представление в комплексных
переменных состояния.
1. Написать дифференциальные уравнения, определяющие
оптимальный приемник.
2. Написать дифференциальные уравнения, определяющие
jT(s).
Задача 11.2.11. Рассмотрим следующую задачу обнаружения:
r(t) =
( VEt[f(t-XdWbDl(f) +/(/-Xa)e/».«6Df(')J +
VFt J(t - X2) e*». *%D% (t) + w(t)f Tt < / < Tf: #0.
Величины %i, X2, 0X и со2 известны. Два указанных здесь процесса
отражения есть статистически независимые комплексные гауссовы
процессы с нулевыми средними и ковариационными функциями
Kot (т) и Kdz (t). Оба процесса имеют конечные представления
в переменных состояния.
1. Найти оптимальный приемник.
2. Получить выражение для \i (s).
437

Задача 11.2.12. Рассмотрим модель из предыдущей задачи.
Предположим, что Ьог (t) является случайной величиной, а не
случайным процессом, т. е. Ьо2 (0 = Ьоъ-
1. Определить схему оптимального приемника.
2. Найти выражение для [д, (s).
Задача 11.2.13. Рассмотрим модель ,из задачи 11.2.11.
Предположим, что T)dx (t) является не случайным процессом, а
случайной величиной, т. е. bpt (t) = ft/v Предположим также, что
bot (t) имеет конечное представление состояния.
1. Найти оптимальный приемник. Определить его реализации
по схеме коррелятора и по схеме реализуемого фильтра.
2. Вспомним, что для модели этого типа (см. с. 280) Pf = ^Рд+Л.
Найти интегральное выражение для А. Найти систему
дифференциальных уравнений, которая определяет А.
3. Предположим, что
sDt{f} 2kP*
(2я/)2 +k*
Написать дифференциальные уравнения, определяющие
оптимальный приемник и значение А.
Задача 11.2.14. Рассмотрим модель из предыдущей задачи:
r(t)=
| VEtbDl (t)J(t-K)^t + VEtbDt(tm-^) e'^ + w(t),
VFtbD,(t)7(t-b2)elatt + w(t), T^t^Tf-.Ho.
Необходимо синтезировать оптимальный сигнал с учетом
следующих ограничений по его энергии и ширине спектра:
ПГОРЛ-!, (f*\F{f}\2dt=B*.
*t 'Ti
1. Предположим, что используется оптимальный приемник.
Найти дифференциальные уравнения, которые определяют искомый
оптимальный сигнал (см. § 9.5).
2. Предположим, что используется обычный приемник (см.
§ 10.5). Найти дифференциальные уравнения, которые определяют
оптимальный сигнал в данном случае.
3. В чем состоит основное различие между уравнениями в п. 1
и п. 2 и уравнениями (9.133)—(9.139)?
438

Задача 11.2.15. Рассмотрим следующую задачу обнаружения:
I УЩ Ш) + VF, {Д bDi (t) J(t- %t) e>mt' j + w (t),
T0^t^Tf:H0.
r(t)=
Процессы bot (t) — статистически независимые комплексные
гауссовы процессы с нулевыми средними значениями и
ковариационными функциями Kdi (t). Величины Xt и (ut известны. Коэффициент
отражения от цели bo — комплексная гауссова случайная
величина с нулевым средним значением и средним квадратом 2о$.
1. Найти оптимальный приемник и выражение для А.
2. Предположим, что используется обычный приемник (см.
§ 10.5). Найти выражение для Аио. Выразить его через 0 {т, /} и
3d, {/}.
Задача 11.2.16. Рассмотрим многоальтернативную задачу
обнаружения:
(w{t) T^t^TfiHo,
nt)=\ VWtbDl(t)J(t) + w(t), T, < * < Г,: Hl9
\V%bD2 (t)J(t) + 5(0, Tt^t^Tf:H2.
Видим, что указанные три гипотезы соответствуют случаям
присутствия только шума, шума и точечной нефлуктуирующей цели
и шума и флуктуирующей цели.
1. Предположим, что матрица потерь имеет вид
'М
■*м
CF 0 Сл
cF сх о
а) Найти оптимальный байесовский приемник.
б) Рассмотреть частный случай, когда Сх = 0, начертить
структурную схему оптимального приемника и найти выражение
для ]t (s).
2. Предположим, что для оценки качества обнаружения
применяются следующие характеристики:
РРА{РШгшиН2\Н0]};
Pd А {Р [#i или Н21 #х или Я2]}.
Как максимизировать Ро при условии, что Pf ^ а?
439

3. Если приемник указывает на то, что цель присутствует, то
необходима ее дальнейшая классификация. Определим
PFt/\{P\H2\Hly решение о наличии цели положительно]},
Pd% A {P [#2|#2, решение о наличии цели положительно]}.
Как максимизировать Pot при условии, что Pf% ^ а2?
4. Объяснить, как работает приемник в целом. Можно ли
выразить алгоритм его функционирования через алгоритм байесовского
испытания?
Задача 11.2.17. Рассмотрим йадачу обнаружения,
сформулированную соотношениями (30) и (31). Предположим, что Е [bo (/)] =
= m, где т — комплексная гауссова случайная величина со
средним квадратом 2а2. В остальном модель сохраняется той же. Найти
оптимальный приемник.
Задачи к § 11.3. Передача информации по каналам
с допплеровским рассеянием
Задача 11.3.1. Рассмотрим двоичную систему передачи методом
ЧМ, описанную в п. 11.3.1. Предположим, что
SD{f)=\koll\{2itfY+k*].
1. Написать дифференциальные уравнения, определяющие
детальную структуру приемника.
2. Написать дифференциальные уравнения, определяющие
(Ibs (1/2).
Задача 11.3.2* Помехоустойчивость двоичной системы
передачи информации методом ЧМ, работающей по каналу с
допплеровским рассеянием, определяется выражением
М1/2)=2
1п(1 + 2±\-2\п(\ + А
1 Л^о 7 I 2ЛГ0
(1*)
При постоянных передаваемых сигналах и больших значениях
произведения их длительности на ширину спектра можно
использовать формулы для случая СПБВН.
1. Написать формулу для случая СПБВН, соответствующую
формуле (1*).
2. Вычислить JxBSf то (1/2) при
So{f}
_ *поь sin (дх/2/i)
k (2n;f/£)8« + l
Передаваемый сигнал имеет энергию Et и длительность Т.
440

3. Найти оптимальное значение величины kT. Показать, что
если используется оптимальное значение кТ, то [xbs, «> (1/2) будет
монотонно убывать при увеличении п.
Задача 11.3.3. Рассмотрим двоичную систему ЧМ, описанную
в п. 11.3.1. Предположим, что
^) = (1/яГ)1/4е-'2/г', -оо</<оо,
s°M~£k< '■ —</<-
Интервал наблюдения бесконечно велик.
1. Найти собственные значения сигнала на выходе канала.
Указание. Использовать разложение в ряд Мехлера, см.,
например, [6 или 7].
2. Вычислить |libs, оо (1/2).
Задача 11.3.4. Рассмотрим двоичную систему связи,
работающую в условиях КСМЭ.
1. Показать, что [xbs (1/2) можно выразить через А (см. (9.49)).
2. Использовать результаты п. 1 в соотношении (75) для
отыскания границы суммарной вероятности ошибок.
3. Найти выражение для А через7(0 и So {/}.
Задача 11.3.5. Рассмотрим /(-канальную систему с
разнесением по частоте, в каждом канале которой используются
ортогональные ЧМ сигналы. Принимаемое колебание в t-м канале можно
представить в виде
г(/) =
|/2^ Re К (/) f(t) e/e«'] + w (/), Т0 < t < Tf: Hl9
1/^^ Re [Si (0 Г(0 е/во''] +ю (О,
T0^t^Tf:H0, 1=1,2,...,*.
Процессы замираний в каналах статистически независимы и имеют
одинаковые функции рассеяния. Предположим, что соблюдается
условие СПБВН.
1. Вычислить |ulbs (1/2).
2. Предположим, что
So{f}=-
4kol
(2я/)« + Л*
Одноканальная система с такой функцией рассеяния была
рассмотрена в примере 2 на с. 415. Как можно использовать
дополнительную свободу, которую дает система с частотным разнесением, чтобы
улучшить помехоустойчивость по сравнению с
помехоустойчивостью системы из примера 2?
441

Задача 11.3.6. Рассмотрим модель из примера 3 на с. 416.
Требуется исследовать суммарную вероятность ошибок как
функцию длительности сигнала Т.. Один из двух трактов приемника
показан на рис. 11.1*. Этот тракт приведен к частоте А; другой
тракт — к частоте /0. Предположим, что длительность I p
достаточно велика, так что выходные процессы, обусловленные разными
импульсами, статистически независимы.
1. Найти выражение для Р (е) как функцию Е„ N0, k*T»
предположив, что используется Dt импульсов. (Указание.
Обратиться к результатам (1—2.434) и (1—2.516).)
2. Величину '"fjjL; представить графически как
функцию kTt.
-0,1488 Er/N0
r(t)
'
'
Г* dt
Ч-Т-
5
Отсчет в момент времени
\Ts+iTp и разряд интегратора
1 до нуля
17
-^Ч
Суммирование
отсчетов
h
Рис. 11.1*.
Задача 11.3.7. Рассмотрим модель из примера 3 на с. 416.
Исследовать зависимость суммарной ^вероятности ошибок от Т$
и ТР и вывести выражение для Fbs (1/2) при условии, что
используется приемник, описанный в предыдущей задаче.
Задача П 3 8 Рассмотрим модель канала, замирания в
котором Гпроксимируются ступенчатой: функцией, представленной
на оис 11 17 и предположим, что сигнал / (0 является импуль-
сомРпрямоугольнойР формы. Приемник формирует множество^
случайных величин 7г, как было показано на рис. 11.18. Однако
дальнейшая образка производится не путем весового сложения
квадратов их модулей, а оптимальным образом. ^
1 Найти оптимальный критерий, используя вектор наблюдении г.
2. Найти выражение для^вз (s) для этого критерия
3 Доказать что приемник, соответствующий оптимальному
критерию паТ1%о помехоустойчивости приближается к
оптимальному приемнику, описанному в п. 11.3.1, ^ри /, -+и.
Задача 11.3.9. Определения величин цц (s) и |i01 (s) даются
выражениями (129) и (130). „„,„„„,_„,,
1. Убедиться, что результаты (131) и (132) правильны.
2 Удостовериться в правильности выражения (136).
LaJaH 3 10 Рассмотрим многоальтернативную задачу,
описанию в п.11 ЗА. Нечер?ить структурную схему оптимального
приемника.
442

Задача 11.3.11. Рассмотрим двоичную систему связи,
работающую по дискретному многолучевому каналу. Комплексные
огибающие принимаемых колебаний можно представить в виде:
где комплексное представление приведено к частоте оо1э и в виде
где комплексное представление приведено к частоте со0.
Величины kt известны, а процессы bot (t) являются статистически
независимыми комплексными гауссовыми случайными процессами
с нулевыми средними значениями и рациональными спектрами.
Спектры сигнальных компонент, соответствующих указанным
двум гипотезам, занимают неперекрывающиеся полосы частот.
1. Найти оптимальный приемник.
2. Как упростится этот приемник, если f(t) и Xt таковы, что
процессы на выходах каналов не перекрываются во времени (случай
разрешимой многолучевости)?
Задача 11.3.12. Рассмотрим задачу обнаружения, описываемую
соотношениями (30)—(32). Предположим, что используется строби-
руемый приемник по схеме коррелятор—квадратор—сумматор,
представленный на рис. 11.18.
1. Модифицировать результаты гл. 5, чтобы получить формулы,
которые можно использовать для определения субоптимальных
полосовых приемников.
2. Использовать результаты п. 1, чтобы получить выражения
для помехоустойчивости указанного приемника.
Задачи к § 11.4. Оценка параметров:
цели с допплеровским рассеянием
Задача 11.4.1. Рассмотрим задачу оценки, описываемую
соотношениями (168)—(175). Предположим, что соблюдается условие
КСМЭ.
1. Удостовериться в том, что выражение (178) верно,
2. Вычислить 6Й1),Ксмэ{0, 0}.
3. Доказать, что 0Й£), Ксмэ {К m) < 0qd, КСМэ {0, 0}.
4. Выяснить, существует ли инвариантность объема для
функции 8о0,ксмэ {К т).
443

Задача 11.4.2. Предположим, что
Вычислить Qqd, Ксмэ{^, т).
Задача 11.4.3. Рассмотрим задачу оценки для случая КСМЭ,
которая обсуждалась в рамках задачи 11.4.1.
1. Вывести выражение для элементов матрицы J через функцию
6дд,ксмэ {т, /л}.
2. Вычислить матрицу J для сигнала и функции рассеяния
канала, указанных в задаче 11.4.2.
Задача 11.4.4. Просмотреть перечень свойств функции
неопределенности в § 10.3 и определить, какое из них можно обобщить
на случай функции неопределенности с учетом допплеровского
рассеяния.
Задача 11.4.5. Предположим, что необходимо обнаружить цель
с допплеровским рассеянием на фоне белого шума и для этого
разработан оптимальный приемник КСМЭ.
1. Помимо нужной цели, имеется вторая цель с такой же
функцией рассеяния. Определить влияние второй цели, выразив его
через функцию 6qd>kcms {К *я}. Заметим, что первоначальный
вариант построения приемника не изменяется.
2. Распространить полученный результат на случай К мешающих
целей с одинаковыми функциями рассеяния.
3. Какие модификации функции неопределенности следует
ввести в рассмотрение, если допплеровские функции рассеяния будут
неодинаковыми? (Такой модификацией является функция взаимной
неопределенности сигналов с допплеровским рассеянием.)
4. В п. 3 мы столкнулись с функцией взаимной
неопределенности сигналов с допплеровским рассеянием. Более общим
определением является следующая запись:
00
фа {X, /} A -j- ^g(t- V2) J* (t- Я/2) е/2я" Kg (t- и) х
—oo
xKh0 (t—u) e-}2nftg* (u—X{2) f(u + X/2) dtdu. (1*)
В каких случаях будет встречаться эта функция? Как она связана
с обыкновенной функцией взаимной неопределенности Qfg {k, /}?
Задача 11.4.6. Рассмотрим вырожденный случай задачи 11.4.5,
когда необходимо обнаружить медленно флуктуирующую точечную
цель на фоне белого шума и для этого разработан оптимальный
приемник.
444

Какое влияние окажет на помехоустойчивость этого приемника
множество целей с допплеровским рассеянием?
Задача 11.4.7. Вывести выражение (175) для элементов
матрицы J.
Задача 11.4.8. Рассмотрим задачу оценки амплитуды функции
рассеяния, когда
Кп(х:А) = АКо(ъ). О*)
Функция Kd (t) предполагается известной. Комплексная
огибающая передаваемого сигнала равна YEtf(t). Комплексная
огибающая колебания на входе приемника равна
7(f) = Л/% bD (/, A) f(/) + w(t)9 T, < / < Тр
где bo (t, A) — комплексный гауссов случайный процесс,
ковариационная функция которого дана в форме (1*). Предположим, что
соблюдается условие КСМЭ»
1. Определить алгоритм приемника, формирующего оценку ат.
2. Является ли aml несмещенной оценкой?
3. Предположим, что смещение оценки ашХ пренебрежимо мало.
(Как это можно проверить?) Вычислить Е [{ami — А)2].
4. Определить границу нормированной дисперсии любой
несмещенной оценки параметра А.
5. Выразить границу из п. 4 через 6{т, /} и So {/}.
6. Предположим, что
Определить границу из п. 4 для этого случая. Обсудить поведение
границы в зависимости от ВТ. Будет ли это поведение таким же,
если бы условие КСМЭ не соблюдалось?
7. Выразить наибольшее собственное значение через параметры
А, В и Т.
Задача 11.4.9. Комплексная огибающая принимаемого
колебания равна
7(0 =УЩ 7(/) [e>»i< + e/».<] T)D (0 +w (0, — оо< / <оо.
Необходимо оценить сод = щ — со0. Процесс T?D (t) —
комплексный гауссов процесс с нулевым средним значением, ширина
спектра которого много меньше сод.
1. Определить алгоритм приемника, формирующего оценку
величины сод по критерию максимального правдоподобия.
2. Найти выражение для границы Крамера — Рао.
445

Задача 11.4.10. Предположим, что SD {/ : А} = SDl {f/A},
где Sdi { • } — известная функция. Необходимо оценить параметр
А — масштаб частотной оси. Предположим, что
7(t) =VEt bD (t, A)~f (0 + w (/), - оо< / <оо,
и что соблюдается условие КСМЭ.
1. Начертить структурную схему приемника, формирующего
оценку атг.
2. Определить границу Крамера — Рао.
Задача 11.4.11. Предположим, что цель состоит из двух
отражателей, находящихся на разных дальностях. Комплексная
огибающая принимаемого колебания в этом случае равна
2
7{t) = VEt 2 %if(t—Xi)+w(t)9 -oo</<oo,
где bt — статистически независимые комплексные гауссовы
случайные величины (Е [| bt |2] = 2 oj). Необходимо оценить среднюю
дальность, которая определяется как кг = (Хх + Х2)/2.
1. Начертить структурную схему приемника, формирующего
оценку %rt ml.
2. Выполняется ли равенство К, mi = (^i, mi + ^2, mi)/2?
3. Определить границу Крамера—Рао для дисперсииэтой оценки.
Задача 11.4.12. Рассмотрим задачу оценки дальности и
среднего допплеровского сдвига частоты в случае, когда амплитуда
функции рассеяния неизвестна. Итак,
Rr(t, и : A)=AEt J(t—K) е&™< Kd0 (t—u) e-l2™u]*(u—X).
Предположим, что соблюдается условие КСМЭ и что смещением
оценки ami можно пренебречь.
1. Найти / (amU К т).
2. Начертить структурную схему оптимального приемника,
формирующего оценки \тг и ттХ.
3. Вычислить матрицу J. Увеличиваются ли границы дисперсий
оценок %тХ и тт1 вследствие того, что параметр А неизвестен?
Список литературы
1. Price R., Green P. E. Signal Processing in Radar
Astronomy—Communication via Fluctuating Multipath Media. Technical Report №234, Lincoln.
Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, 1960.
2. Bello P. A. Characterization of Randomly Time — Variant Linear
Channels. Trans. IRE, 1963, v. CS-11, Dec.
3. Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием. Пер. с англ. Под
ред. И. А. Овсеевича, М., «Сов. радио», 1973.
446

4. Kurth R. R. Distributed-Parameter State-Variable Techniques Applied
to Communication over Dispersive Channels. Sc. D. Thesis, Department
of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, June
1969.
5. Collins L. D., Kurth R. R. Asymptotic Approximations to the Error
Probability for Square-Law Detection of Gaussian Signals. Massachusetts
Institute of Technology, Research Laboratory of Electronics, Quarterly
Progress Report № 90, July 15, 1968, p. 191 — 200.
6. Brown J. L. On the Expansion of the Bivariate Gaussian Probability Den-
#sity Using the Results of Nonlinear Theory. Trans. IEEE, 1968, v. IT-14,
№ 1, Jan., p. 158— 159.
7. Wiener N. The Fourier Integral and Certain of Its Applications. Cambridge
University Press, London, 1933.
8. Price R. Statistical Theory Applied to Communication through Multipath
Disturbances. Massachusetts Institute of Technology, Research Laboratory
of Electronics, Tech. Rept. 266, September 3, 1953.
9. Price R. Detection of Signals Perturbed by Scatter and Noise. Trans.
IRE, 1954, v. PGIT-4, Sept., p. 163 — 170.
10. Price R. Optimum Detection of Random Signals in Noise with
Application to Scatter-Multipath Communication, I. Trans. IRE, 1965, v. PGIT-6,
Dec, p. 125 — 135.
11. Kailath T. Correlation Detection of Signals Perturbed by a Random
Channel. Trans. IRE, 1960, v. IT-6, June, p. 361 -- 366.
12. Kailath T. Optimum Receivers for Randomly Varying Channels. Proc.
Fourth London Symp. Information Theory, Butterworths, London, 1960.
13. Turin G. Communication through Noisy, Random— Multipath Channels.
IRE Conv. Rec, 1956, Pt. 4, p. 154 — 156.
14. Turin G. Error Probabilities for Binary Symmetric Ideal Reception through
Nonselective Slow Fading and Noise. Proc. IRE, 1958, v. 46, J\lb 9, Sept.,
p. 1603 — 1619.
15. Bello R. A. Some Results on the Problem of Discriminating between Two
Gaussian Processes. Trans. IRE, 1961, v. IT-7, № 4, Oct., p. 224 — 233.
16. Middleton D. On the Detection of Stochastic Signals in Additive Normal
Noise, I. Trans. IRE, 1957, v. IT-3, June, p. 86 — 121. .
17. Middleton D. On the Detection of Stochastic Signals in Additive Normal
Noise, II. Trans. IRE, 1960, v. IT-6, June, p. 349 — 360.
18. Middleton D. On Singular and Nonsingular Optimum (Bayes) Tests
for the Detection of Normal Stochastic Signals in Normal Noise. Trans.
IRE, 1961, v. IT-7, April, p. 105 — 113.
19. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. Пер. с
англ. Под ред. Ю. Б. Кобзарева. М., ИЛ, 1963.
20. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ.
Под ред. Б. Р. Левина. М., «Сов. радио», т. 1, 1961, т. 2, 1962.
21. Bello P. A., Nelin В. D. The Influence of Fading Spectrum on the Binary
Error Probabilities of Incoherent and Differentially Coherent Matched
Filter Receivers. Trans. IRE, 1962, v. CS-10, June, p. 160 — 168.
22. Bello P. A., Nelin B. D. Predetection Diversity Combining with
Selectively-Fading Channels. Trans. IRE, 1962, v. CS-10, March..

12. ДИСПЕРСНЫЕ ЦЕЛИ И КАНАЛЫ
В гл. 9 и 10 рассматривались медленно флуктуирующие
точечные цели. В гл. 11 рассмотрены точечные цели, которые могут
флуктуировать с произвольной скоростью. В настоящей главе
рассмотрим медленно флуктуирующие цели, протяженные по дальности.
Типичный случай иллюстрируется рис. 12.1. Излучается
кратковременный импульс, представленный на рис. 12.1, а.Конфигурация
цели изображена на рис. 12.1, б. Поверхность цели неровная,
вследствие чего часть энергии отражается в направлении приемника.
Цель имеет протяженность L (измеряемую в единицах времени
распространения сигнала). Чтобы выразить отраженный сигнал в
аналитической форме, разобьем цель на полоски шириной ДА,.
Принимаемый эхо-сигнал от каждой такой^полоски является
суперпозицией ряда отраженных сигналов и поэтому его огибающую можно
представить комплексной гауссовой случайной величиной. Так,
огибающую эхо-сигнала, принимаемого от первой полоски, можно
записать в виде
VEt~b(h)J(t-h)M, (1)
огибающую эхо-сигнала от второй полоски — в виде
УЩЪ^Уа—ЫЫ (2)
и т. д. При этом комплексная огибающая эхо-сигнала от цели равна
5 (t)=VTt 2 b(kff{t- Xt) АХ. (3)
Видно, что она состоит из задержанных (запаздывающих) копий
огибающей f(t) излученного сигнала, которые взвешиваются с
комплексными гауссовыми величинами и суммируются. Типичная форма
огибающей принятого эхо-сигнала показана на рис. 12.1,6. По
сравнению с огибающей излученного сигнала она растянута во времени
(или по дальности), и поэтому цель этого типа называют целью с
рассеянием по дальности. Широко используются и такие
определения, как цель с рассеянием по запаздыванию и дисперсная цель.
В этой главе рассматриваются вопросы обнаружения и оценки
параметров целей, протяженных по дальности. В § 12.1 развита
количественная модель для целей и каналов, протяженных по
дальности, и показано,как цель и каналы этого типа вызывают частотно-
448

fft)
от
a)
рас/7/юшра-
нения
селективные замирания. В § 12.2
кратко рассмотрены
структурные схемы оптимального
приемника. В § 12.3 изложена
концепция частотно-временной
дуальности. Принцип дуальности
позволяет свести все каналы
с рассеянием по дальности к
эквивалентным каналам с доп-
плеровским рассеянием. При
этом можно непосредственно
использовать все результаты гл.
И. В § 12.3 обсужден также ряд
приложений принципа
дуальности к частным случаям
обнаружения и оценки. Наконец,
в § 12.4 дана сводка основных
результатов.
12.1. Модель и интуитивное
рассмотрение задачи
Начнем разработку модели,
определяемую выражением (3).
Метод приращений удобен для
объяснения механизма
отражения, но на самом деле
отражения происходят от непрерывной
области X и при АХ ->- О сумма
в'выражении (3) становится
интегралом:
s(t)=VEt^f(t-X)bR(X)dK(A)
где bR (X) — выборочная функция комплексного гауссова процесса
с нулевым средним, независимая переменная которого является
пространственной величиной X. Заметим, что функция bR (X) не
зависит от времени. Нетрудно заключить, что цель с рассеянием по
дальности ведет себя точно так же, как линейный инвариантный
во времени фильтр со случайной комплексной импульсной
функцией bR (X). Для полного задания bR (X) необходимо знать две
комплексные ковариационные функции:
KrR(XyXl) = E(bR(X)bk(X1)], (5)
E[bR(X)'bR{X1)] = 0 для всех X,Xi, (6)
где соотношение (6) выражает налагаемое нами ограничение.
15 Зак. 1494 449
Рис. 12.1. Модель цели (канала)
с рассеянием по дальности:
а — огибающая излученного сигнала; б —
конфигурация цели; в — огибающая
принятого сигнала (сдвинуто начало отсчета).

Будем предполагать, что эхо-сигналы с различных дальностей
статистически независимы. Для обоснования этого предположения
вернемся к модели с приращениями, представленной на рис. 12.1.
Значение bR(%i) будет определяться относительными фазами и
амплитудами элементарных отражений на Ш интервале. Если
предположить, что отражающая поверхность имеет грубые неровности
(по сравнению с длиной волны несущего колебания), то значения
bR (hi) на различных интервалах будут независимыми. В случае
непрерывной модели из этого следует, что
Кьн (К Ь) = ЦЬ- К) Е {\bR (X) |2}. (7)
Заметим, что соотношение (7) является идеализацией, аналогичной
белому шуму во временной области. Поскольку отраженный сигнал
определяется интегралом свертки (4), то соотношение (7) дает
хорошее приближение в тех случаях, когда интервал корреляции
процесса bR (к) гораздо меньше, чем величина, обратная ширине
спектра сигнала / (t).
Физически математическое ожидание в выражении (7) связано
с ожидаемым значением энергии, отраженной (или рассеянной) от
элемента цели, находящегося на расстоянии К. Введем в
рассмотрение функцию
SR(X)AE{\~bR(X)\2}, -оо<Я<оо, (8)
и назовем ее функцией рассеяния по дальности. Для удобства всегда
будем определять функцию SR (k) для бесконечной дальности.
Конечная протяженность цели будет учитываться в этом
функциональном определении.
Ковариационная функция принимаемого сигнала при отсутствии
эддитивного шума равна
Кг (/, и) = Е [sr (tffl (u)]=E lEt J J{t-%)bR (К)dX x
X J f(u-bi)4 (WdhA, (9)
ol J
Учитывая (7) и (8) в (9), получаем
K7(t,u) = Et <J J(t-X)SR(l)T*(u-k)dX. (10)
— OD
Выражение (10) полностью определяет эхо-сигнал от протяженной
по дальности цели.
450

Заметим, что полная энергия принятого сигнала равна
£r= J R7(t,t)dt = Et J SR(l)dXx
— 00 —ОО
X ] \f(t-X)\4t=Et J SR(X)dX. (11)
— oo —со
Отсюда видно, что
ожидаемое значение энергии эхо-сигнала от элемента (X, X-^-ctk) ,*~\
Соотношение (12) представляет собой количественную формулировку
идеи, выражаемой соотношением (8). Чтобы не нарушить соответ^
ствия с моделью точечной цели, предположим, что
ОО
$ SR(K)dl=2al (13)
— ОО
На этом завершается разработка математической модели процесса
отражения. Прежде чем приступить к синтезу и анализу
оптимального приемника, целесообразно провести обсуждение на
интуитивной основе. В гл. И было показано, что цель с допплеровским
рассеянием вызывает время-селективные замирания. Теперь уместно
показать, что цель, протяженная по дальности, вызывает частотно*
селективные замирания.
Преобразование Фурье сигнала s (t) является вполне
определенным, если пространственная протяженность цели конечна. Таким
образом,
5{f}A ] 5(/)е-/2я" #=-
— ОО
ОО ОО
= Г e-/2*f< dt J }(t—WR(k)dl. (14)
— ОО —ОО
Заметим, что S {/} есть выборочная функция комплексного
гауссова процесса.
Вычислим взаимно-корреляционную функцию спектра S {/}
на двух различных частотах:
^[5{/!}5*{/2}] = £П e-/2*M,^iX
1 — 00
X 1 Пк - К) bR (К) dK ] в/*»/. '• dtz С /* (t2-K2) VR (K) dX2\. (15)
— 00 —oo —со J
15* 451

Перенося операцию математического ожидания под интеграл, с
учетом соотношений (7) и (8) получаем
E[S{h}S*{f2}] = F{f,}>{[,} J e-l**Uh-U)SR(b)dX, (16)
где F {ft} — преобразование Фурье сигнала f(t). Чтобы выяснить
смысл соотношения (16), введем в рассмотрение функцию,
определяемую как
KR{v}A J e-!**b»SR(K)dX. (17)
С учетом (17) из (16) получим
Е IS <Ы S* {h}] = F{h) ?* {f2} KR {h-f2} (18)
ИЛИ
Функция Kr {v} называется двухчастотной корреляционной
функцией. Она характеризует степень корреляции между замираниями
на разных частотах. Отметим, что она является преобразованием
Фурье функции рассеяния по дальности. Таким образом,
SR(X)= J el****KR{v}dv9 (20)
и для того чтобы охарактеризовать цель, можно использовать либо
ЛГяМ.либоЗя (Я).
Для иллюстрации применения формулы (18) рассмотрим
функцию рассеяния, представленную на рис. 12.2, а:
SR(l)420llL' -L/2<X<LI2' (21)
I 0 при других X.
На рис. 12.2, б показана двухчастотная корреляционная функция
для такой функции рассеяния:
Kr{v} = 2oI sinnLv , -oo<u<oo. (22)
nLv
452

Видим, что частотные составляющие, отстоящие друг от друга более
чем на ML [Гц], практически некоррелированы (и статистически
независимы, так как они совместно гауссовы).
Теперь предположим, что передается сигнал, преобразование
Фурье огибающей которого равно
f{f} = [\/VW, -W72</<W72f
\ О при других /.
На рис. 12.3, а показан случай, когда
W > ML.
Шк
Рис. 12.2. Функции, характеризующие
цель с равномерным рассеянием по
дальности:
а — функция рассеяния; б — двухчастотная
корреляционная функция.
-w
*)
(23)
(24)
W f
Рис. 12.3. Функции, иллюстрирующие
частотно-селективные замирания:
а — преобразование Фурье огибающей
переданного сигнала; б — преобразование
Фурье огибающей типичного принятого
сигнала.
На рис. 12.3, б представлено преобразование Фурье типичной
выборочной функции сигнала s (f). Амплитуды составляющих на
частотах, отстоящих более чем на ML [Гц], по существу статистически
независимы, и поэтому такое поведение спектра называют частотно-
селективными замираниями.
Функция, изображенная на рис. 12.3, б, похожа на функцию,
представленную на рис. 11.2, б, но вместо оси времени здесь взята
ось частот. Это сходство (или дуальность) будет использоваться
в§ 12.3.
Заметим, что если ширина спектра сигнала такова, что
W < 1/L, (25)
то эхо-сигнал будет неискаженным. Это условие, очевидно,
соответствует модели медленно флуктуирующей точечной цели, рассмот-
453

репной в гл. 9 и 10. Условие (25) указывает, когда цель можко
моделировать как точечную.
Теперь мы располагаем количественной моделью целей,
протяженных по дальности, и имеем интуитивное представление о их
влиянии на излученный сигнал. Далее будет рассмотрена задача
синтеза оптимального приемника.
12.2. Обнаружение целей, протяженных по дальности
В этом параграфе рассмотрим бинарную задачу обнаружения,
когда комплексные огибающие принимаемых колебаний по двум
гипотезам можно представить в виде
7(t)=Z(t)+w(t)9 — оо < / < оо : Н1У (26)
7{t)=w (/), - оо < / < оо : Я0. (27)
Сигнал s (t) является выборочной функцией комплексного гауссова
процесса с нулевым средним:
7(0 = Л/% J J[t- X) bR (X) d%, (28)
— 00
а его ковариационная функция равна
Кт(t, u)=Et J* Ht-K)SR(X) J*(u-X)dX. (29)
— 00
Аддитивный шум w {t) является выборочной функцией
статистически независимого комплексного белого гауссова процесса с нулевым
средним и спектральной плотностью N0. Для простоты
предположим, что интервал наблюдения бесконечен.
Выражение для оптимального критерия обнаружения следует
непосредственно из (11.33):
оо
/ = -L Г Г 7* Ц) hit, и) Г{и) dtduuy, (30)
W0 J J //„
— оо
где функция h (/, и) удовлетворяет уравнению
оо
N0Ti(t,u)+ J h{t,z)KT(z,u)dz=Kr(t, и), — oo<*<oo. (31)
— 00
Затруднение возникает при решении уравнения (31). Существует
два случая, когда его решение относительно просто: случай
разложимых ядер и случай когерентности сигнала малой энергии (КСМЭ).
454

Анализ первого случая очевиден, и поэтому вынесем его в задачи
вне основного текста. Что же касается условия КСМЭ, то его вы-
полнение приводит к интересной структурной схеме приемника,
поэтому целесообразно хотя бы кратко остановиться на анализе
этого случая.
Если соблюдается условие КСМЭ, решение уравнения (31) можно
записать в виде
£(/,и) = -±-/Сг(*,и).
Подставляя (29) в (32), а результат — в (30), получаем
(32)
н
F(t)
Фильтр,
согласоЗаншс/
с f*(t)
Г ctt
V_oo
"о
Рис. 12.4. Двухфильтровый радиометр — оптимальный обнаружитель для
случая КСМЭ.
Выражение (33) можно переписать в виде
где
оо
х(Х)А Г r(u)f*(u—k)du,
(34а)
(346)
а постоянный множитель учтен в величине порога. Алгоритм (34а)
можно реализовать, как показано на рис. 12.4. Такой приемник
синтезирован и исследован Прайсом [1], назвавшим его двухфильт-
ровым радиометром.
Когда соблюдается условие КСМЭ, помехоустойчивость
приемника определяется формулой (11.65). Интегрирование (11.65) с
учетом (10) дает
?(*)=- S(l^)Ef Jj S* (M 9 {*i- К 0} SR (К) dh d%2, (35)
что и выражает требуемый результат.
455

Когда условие КСМЭ не соблюдается, решить (31)
непосредственно трудно. В следующем параграфе будет изложена процедура
решения этой задачи путем преобразования ее в эквивалентную
задачу обнаружения цели с допплеровским рассеянием.
12.3. Частотно-временная дуальность
Полезность принципа дуальности в рамках классической теории
цепей общеизвестна. Белло [2] развил принцип частотно-временной
дуальности в более общей трактовке и применил его к проблемам
связи. В п. 12.3.1 изложены основные представления о дуальности.
В п. 12.3.2 рассмотрены дуальные соотношения в каналах с
допплеровским рассеянием и каналах с рассеянием по дальности. В п. 12*3.3
полученные результаты применены при рассмотрении ряда частных
случаев.
В данном параграфе приведен ряд свойств и формальных
соотношений, полезных при решении конкретных задач. Прежде чем
перейти к изложению основного материала, стоит сделать одно
замечание. Читатель, который лишь заучит эти свойства и будет
слепо их применять, упустит то, что, по нашему мнению, является
главным преимуществом принципа дуальности. Это преимущество
заключается в том, что глубокое понимание этого принципа наводит
на правильные пути решения при рассмотрении той или иной
конкретной задачи. Часто одного лишь осмысливания дуальности
бывает достаточно для того, чтобы можно было решить задачу
непосредственно, не прибегая к формальным выкладкам.
12.3.1. Основные положения теории дуальности
Изложим ряд определений и свойств теории дуальности,
проиллюстрировав их некоторыми примерами. Заметим, что при этом все
рассматриваемые функции определяются на бесконечных
интервалах.
Определение 1. Дуальные функции. Рассмотрим две комплексные
временные функции #х (/) и у2 (/). Если
&(Я=ГЫ'))Д?1{/}Д lyiiO*-™'*, (36)
— оо
то у2 (t) является функцией, дуальной функции ух (t). Если
y2(t) = f'1l'y1(f)]& |£(/)е/2я'Ч (37)
— 00
то у2 (0 является обратной дуальной функцией функции уг (t).
456

Пример 1. Пусть
(О при других t.
Функция, дуальная функции уг (/), равна
~ , .ч sin 2эх77 ^ , ^ /ОПЧ
#г(0= : > —-оо</<оо. (39)
Определение 2. Дуальные процессы. Комплексный гауссов
процесс у2 (t) является процессом, статистически дуальным
комплексному гауссову процессу ух (/), если
K7t{h,f2} A£[^(/i)yl(/2)] = f IKj-Vv Ш А
оо
Д ^ ехр [ -j2nf1 tx + /2я/2 у ^~ (flf ^ *! Л,. (40)
—оо
Заметьте правило знаков при прямом преобразовании Фурье.
Комплексный гауссов процессу (t) является статистически обратным
дуальным процессом комплексного гауссова процесса уг (£), если
KZ(tl9 t2)^f^[KK{fv /2}1 A JJexp^A^-^/^Jx
—©о
X.K~{h,fz}dhdf2. (41)
Свойство 1 [3]. Предположим, что у2 (/) — статистически
дуальная функция функции #!(/), являющейся нестационарным процес-
сом, ожидаемое значение энергии которого конечно. Разложим оба
процесса в ряды на бесконечном интервале. Собственные значений
процесса у2 (t) тождественны собственным значениям процесса
ух (t)t а собственные функции процесса 1/2 (/) являются преобразо*
ваниями Фурье собственных функций процесса уг (f). Это свойство
доказывается прямой подстановкой.
Пример 2. Пусть
% &■ V = 2 %* Ф* W Ф* &>• -*><ti,t2<0Q. (42)
1=1
Разложение дуального процесса имеет вид
^Л^^}=|^ФЛ/1}Ф/{/2}, -оо<71,/2<оо. (43)
Теперь читателю должно быть ясно, почему мы интересуемся
дуальными процессами. Качество систем обнаружения и оценки за-
457

висит от собственных значений, а не от собственных функций.
Поэтому системы, в которых различные процессы являются
дуальными, будут работать с одинаковым качеством.
Свойство 2. Белый комплексный гауссов шум является
статистически автодуальным процессом.
Свойство 3. Если у2 (t) — дуальный процесс процесса г/х (£),
являющегося любой выборочной функцией случайного процесса с
нулевым средним значением, то ковариационная функция K^t{fiJ2}
является двойным преобразованием Фурье ковариационной функции
K'yt (tlf t2).
Определение 3. Дуальные операции. Рассмотрим два
детерминированных функционала
*i(0=A &(•).'). (44)
^i(fl=ft&(-).0. (45)
Предположим, что у2 (t) — дуальная функция функции^ (/). Если
из этого всегда следует, что г2 (0 является дуальной функцией
функции zx (/), то g2 (•, •) является дуальной операцией операции gt (•, •).
Чтобы проиллюстрировать это положение, рассмотрим простой
лример дуальной операции.
Пример 3. Пусть g± (•, •) соответствует линии задержки с
временем задержки а секунд. Таким образом,
\(f)=5i(t-a). (46)
Дуальной операцией в данном случае является преобразование
частоты:
^(0=^(0 е-/2яа'. (47)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
21Ш=К1</}е-/2я,в. (48)
Свойство 4* Операции, перечисленные в табл. 12.1, являются
дуальными (см. задачи 12.3.4 — 12.3.10).
Таблица 12.1
Наименование операции
Линия задержки (задержка)
Изменяющийся во времени
коэффициент усиления
Вентиль (стробирование)
Сумматор (сложение)
Свертка
Апериодический коррелятор
Дуальная операция
Преобразование частоты
Фильтр
Фильтр нижних частот или полосовой
фильтр
Сумматор (сложение)
Перемножитель (перемножение)
Квадратичный детектор огибающей
458

Итак, если
y2(t) = Yi{t}, (49)
то
?2(/) = Z1{/}, (50)
что и требовалось доказать.
Свойство 5. Предположим, что на вход функционального
оператора gi (ух (•), t) подается выборочная функция комплексного
гауссова случайного процесса, а на вход оператора g2 (y2 (•), t) —
выборочная функция дуального процесса. Если g2 (•, •) является
дуальной операцией операции^ (•,•)> то z2 (t) есть дуальный процесс
процесса zx (t).
На этом завершается изложение вводных замечаний. Обратимся
теперь к конкретной интересующей нас задаче.
12.3.2. Дуальные цели и каналы
Введем понятие о дуальной цели или канале и покажем, что не-
флуктуирующая дисперсная цель дуальна по отношению к
флуктуирующей точечной цели.
Чтобы обосновать это определение, вспомним соотношения для
целей с допплеровским рассеянием и целей, протяженных по
дальности. Сигнал, отраженный от цели с допплеровским рассеянием,
на нулевой дальности можно представить как
^D{t) = VTtbD{t)JD{t)y -оо</<оо. (51)
Ковариационная функция этого сигнала равна
Кт (/, u)=EjD(t)KD(t--u)fb(u), -оо </, и< оо. (52)
Сигнал, отраженный от цели, протяженной по дальности, можно
записать в виде
00
sR{t) = VTt Г fR(t—Х)ЪК(Ц(1Х, —oo<t<oo. (53)
— оо
Его ковариационная функция равна
оо
К7 (t,u) = Et Г TR(t-fk)SR(X)f%(u-fk)d%t -oo<tfu<oo. (54)
* -оо
Теперь можно определить дуальные цели и каналы.
Определение 4. Дуальные системы. Пусть через /х (t) обозначен
излучаемый (зондирующий) сигнал системы 1, а через zx (t) — соот-
459

ветствующий отраженный (эхо) сигнал. Пусть через /2 (t)
обозначен излучаемый сигнал системы 2, а через z2 (t) —
соответствующий отраженный сигнал.
Если условие, что /2 (0 есть сигнал, дуальный Д (t), приводит
к тому, что z2 (0 является статистически дуальным сигналом
сигнала гг (t), то система 2 является дуальной системой системы 1.
Заметим, что «системы» содержат в себе элемент случайности, тогда
как «операции» в определении 3 были детерминированными.
Применим теперь это определение к интересующим нас целям.
Свойство 6. Если
KdW = Kr{t} (55)
или, что эквивалентно,
SD{X} = SR(-X), (56)
то цель (канал) с допплеровским рассеянием является дуальной
системой по отношению к протяженной по дальности цели (или
каналу).
Доказательство. Требуется доказать, что
fcD{fi,f2)=f[K7R(ti,tJl (57)
Но
flK7R(t1,t2)}u Ц e-/2^^-f.^^(^/2)^i^2=
— 00
— 00
оо оо
= Г SR{X)e-t2^lh-hldX J 7л(^1—tye-^M'.-Md^x
— 00 —00
00
X 5 J'R(t2-k)eV"h«'-*■)dtz. (58)
— оо
С учетом (17) последнее можно свести к виду
f IK7R (h, t2)] = KR {h-h) FR {/J FR {f2}. (59)
Если
Ь (•)=?*{■>. (60)
%d(-) = Kr{-}, (61)
460

то
Krjfvfz) =M/i) ^{/x-/2}^{/2}. (62)
что и требовалось доказать.
Этот результат имеет фундаментальное значение,так как из него
следует, что можно иметь дело лишь с моделью цели, легко
поддающейся математической обработке. Формализуем это положение с
помощью следующего определения.
Определение 5. Дуальные задачи обнаружения. Принимаемые
колебания в системе А по двум гипотезам можно представить в виде
7Л(/), -сх)</<оо:Я1, (63)
7И§(0. -оо</<оо:Я0. (64)
Оптимальный
приемник
для системы]
A J
а) б)
Рис. 12.5. Структурные схемы оптимальных приемников для дуальных задач
обнаружения:
а — оптимальный приемник для системы А; б — оптимальный приемник для системы В.
Принимаемые колебания в системе В по двум гипотезам можно
записать в виде
~гВх (/), — °°< t <oo : #х, (65)
Ув0 (0, — оо< t <оо : Я0. (66)
Все эти колебания являются выборочными функциями комплексных
гауссовых процессов.
Если гвх (t) — дуальный процесс по отношению к га\ {t), а гв9 (0 —
дуальный процесс по отношению к га0 (/), то задача В является
дуальной по отношению к задаче А.
Нетрудно убедиться в следующих свойствах.
Свойство 7. Если априорные вероятности и стоимости в обеих
системах одинаковы, то байесов риск в тождественных задачах
обнаружения одинаков.
Свойство 8. Всегда можно реализовать оптимальный приемник
для системы Л, как показано на рис. 12.5, а. Всегда можно
реализовать оптимальный приемник для системы В, как показано на
рис. 12.5, б. Свойство 8 означает, что достаточно иметь возможность
построить оптимальный приемник гдля 'любой из двух дуальных
систем. Методы реализации преобразователя Фурье рассмотрены в
многочисленных работах (например, [4 — 7]). С этой операцией
461
rft)

Преобразователь
Фурье
Оптимальный
приемник
для системы
В
rft)
Обратный

преобразователь Фурье

связано некоторое приближение, но мы не будем его учитывать в iia-
шем рассмотрении. В п. 12.3.3 обсудим методы непосредственной
реализации, основанные на использовании дуальных операции
Свойство 9. Рассмотрим задачу обнаружения цели, протяжённой
по дальности. Принимаемые сигналы по двум гипотезам можно
записать в виде /
r(0=s*(0 + S(/), -oo</<oo:tflf (67)
?(t) = w(t), — оо</<оо:Я0. (68)
Рассмотрим теперь задачу обнаружения цели с допплеровским
рассеянием. Принимаемые сигналы по двум гипотезам в этом случае
можно представить в форме
7(t)=sD(t) + w(t)9 — «></<«>:#!, (69)
7(f) = w (0, — оо< / <оо : Я0. (70)
В обоих случаях w (/) — выборочная функция комплексного
гауссова белого шума со спектральной плотностью N0.
Если цель с допплеровским рассеянием является дуальной
системой по отношению к цели с рассеянием по дальности, то вторая
задача обнаружения является дуальной по отношению к первой
задаче обнаружения.
Это свойство получается в результате применения свойств 2 и 6
к определению 5. Оно имеет большое значение, так как позволяет
непосредственно использовать все результаты гл. 11 применительно
к задаче обнаружения цели с рассеянием по дальности.
Определение 5 было сформулировано применительно к бинарной
задаче обнаружения. Распространение его на многоальтернативные
задачи обнаружения и оценки не вызывает принципиальных
затруднений.
Теперь мы располагаем рядом общих результатов и можем
перейти к рассмотрению некоторых конкретных случаев.
12.3.3, Применение принципа дуальности
В этом подпараграфе мы применим результаты рассмотрения
общей теории дуальности к некоторым частным случаям.
Случай 1. Цель, дуальная по отношению к цели с конечным
числом состояний и допплеровским рассеянием. Спектр процесса
отражения от цели с конечным числом состояний и допплеровским
рассеянием представляется рациональной функцией
SD{/} = fln/2/l"2 + --. + flo ш (71)
bnt2n + ...+bo
462

Заметим, что она является действительной неотрицательной (не-
обязательно четной) функцией частоты. Чтобы система была
дуальной, необходимо, чтобы ее функция рассеяния по дальности была
рациональной функцией параметра X:
SR(l)=SD{-X)
_ ап(-ЬУп-'+... + аь
(72)
Если сигнал* облучающий дисперсную цель, есть / (/), то в дуальной
по отношению к ней системе с допплеровским рассеянием должен
излучаться сигнал F {t}. Структура оптимального приемника
показана на рис. 12.6.
Для иллюстрации этого случая рассмотрим пример*
f(t)
\Дасперскь/и\
канал
3*(А)
т
W)
а)
w(t)
rs(t)
Я
]Рптимальнь/и
приемник
(рас. ff.S)
Преобразователь
Фурье
ш
Оптимальный
приемник
(рис. ff.9)
б)
Рис. 12.6. Структурные схемы, иллюстрирующие задачу обнаружения
протяженной по дальности цели с конечным числом состояний:
а —реальный канал; б —дуальная система и оптимальный приемник; в — оптимальный
приемник для дисперсного канала.
Пример 1. Рассмотрим задачу обнаружения цели с рассеянием
по дальности, когда
SR(X) =
(2яА,)а+£2
, —оо<<Х<;сю,
f (t)==, 1/Vr, -772<*<772,
'R ^' \ О при других t.
(73)
(74)
Дуальной по отношению к ней является задача обнаружения цели
с допплеровским рассеянием, когда
sD{f}=sR(-n-
ш%
1d®=?r{Q = VT
(2jt/)2+£2
sin nTt
nTt
— oo</<oo, (75)
— oo</<oo. (76)
463

В результате совместного рассмотрения структурных схем рис. 12.6
и соотношений (11.38) — (11.49) (см. также задачу 11.2.4) полупим
структурную схему приемника, изображенную на рис. 12.7.7Его
помехоустойчивость определяется по формуле из п. 11.2.3. /
Следует заметить, что дуальной по отношению к цели
^конечным числом состояний и допплеровским рассеянием является
бесконечно протяженная цель с рассеянием по дальности. Это никогда
не соблюдается на практике, однако можно получить адекватное
приближение к Sr (%) с помощью рациональной функщ^.
г-Ю
flpevdpinofa-
тель Фурье
Формирование
помлле/гмо-
солряж-емои
функции
Y^^^^J^
• dt
Рис. 12.7. Структурная схема оптимального приемника для дисперсного
канала с конечным числом состояний.
Случай 2. Условие СПБВН. В случае цели с допплеровским
рассеянием простые соотношения получаются, когда
h (0=
1/Уг, — 772<^<772,
О при других t,
(77)
а Т велико по сравнению с интервалом корреляции процесса
Ъв (0> представляемого ковариационной функцией Kd (т). Дуаль"
ный случай имеет место, когда
FrW =
l/VW, — !P/2<f<W72,
О при других /,
(78)
a W велико по сравнению с интервалом корреляции двух частот,
определяемым корреляционной функцией Kr {v}. Структура
приемника по схеме фильтр — квадратор — интегратор для цели с
допплеровским рассеянием показана на рис. 12.8. Операция строби-
рования добавлена здесь с учетом конечного времени наблюдения.
Оптимальный приемник можно реализовать, используя
преобразователь Фурье, включенный последовательно с системой, которая
представлена на рис. 12.8. В этой конкретной задаче проще
реализовать систему, являющуюся обратной дуальной по
отношению к системе, изображенной на рис. 12.8. Используя свойства,
перечисленные в табл. 12.1, получаем систему, показанную на рис, 12.9
(Чтобы избежать необходимости факторизации спектра, здесь обра.
464

щены две безынерционные (с нулевой памятью) операции.) Заметим,
что в этом случае комплексную огибающую излучаемого
передатчиком сигнала можно представить в виде
sin nWt ,, . /7ПЧ
—_, -oo<t<oo. (79)
J(t)=Vw
Практически такой импульс реализовать невозможно. Однако, если
излучаемый импульс имеет спектр, относительно равномерный в рас-
ЪШ
Стро&ирущиш
каскад
2 2
/.А
Рис. 12.8. Структурная схема приемника для обнаружения цели с
допплеровским рассеянием в случае СПБВН.
сматриваемой полосе частот, то структурная схема
приемника,представленная на рис. 12.9, будет близка к оптимальной.
Случай 3. Условие КСМЭ. Если соблюдается условие КСМЭ, то
рассматриваемую задачу можно решить непосредственно как для
цели с рассеянием по дальности, так и для цели с допплеровским
рассеянием. На рис. 12.10 показаны приемники для обоих случаев.
Нетрудно убедиться, что они являются дуальными.
rR(t)
' -""■■>»
2 " г "* Г
>.
1-Г
Рис, 12.9. Структурная схема приемника для обнаружения цели с рассеянием
по дальности в случае СПБВН.
Случай 4. Разрешимая многолучевость. Задача разрешимой
многолучевости соответствует функции рассеяния вида
SR(X)=2lbi8(X-%i),
/= 1
(80)
где значения величины Xt достаточно различаются между собой,
так что сигналы, прошедшие по разным лучам, на приемной стороне
полностью разделимы. Такой канал дуален по отношению к доппле-
ровскому каналу с рассеивающей функцией вида
3d W ^g *!«{/-/,>.
(81)
466

Заметим, что функция (81) не описывает систему с разнесение^ по
частоте. Она соответствует множеству медленно флуктуирующих
точечных целей, движущихся с различными скоростями. /
Случай 5. Оптимальная бинарная система связи. Модель
бинарной системы связи, работающей по каналу с рассеянием по
дальности, аналогична модели, описанной в § 11.3. Излучаемое сигналы
определяются выражением (11.68). Приемник состоит № двух
простых бинарных приемников, приведенных к частотам о)х и о>0.
Фактическая реализация приемника будет зависеть от конкретной
физической ситуации, но будет соответствовать одной из структур,
синтезированных в данной главе.
>-№)
Фильтр,
согласовавши!
с f*(t)
—*■
Z1
*;
SffU)
rftj
fit/
1Ш+
я
/' oo
dt
-oo
Рис. 12.10. Структурные схемы приемника для случая КСМЭ:
а — рассеяние по дальности; б — допплеровское рассеяние.
Одним из интересующих нас вопросов является
помехоустойчивость. Вывод, приведенный в п. 11.3.1, не был основан на
конкретных характеристиках канала. Вследствие этого граничное
выражение (11.91) вида
Р(*Х уе*Р
-0,1488
М,
(82)
справедливо также для каналов с рассеянием по дальности.
Рассмотрим теперь два примера построения сигнала с тем, чтобы показать,
каким образом можно приблизиться к данной границе.
Пример 2. Пусть
SR{X) =
\ollL, |Ь|<1,
1 0, \%\>L.
(83)
Канал, определяемый функцией рассеяния (83), дуален по
отношению к каналу, описываемому функцией (П.94). Из результатов
примера 1 в п. 11.3.2 нам известно, что если~ЕгШ0 велико, то
границы помехоустойчивости (11.91) можно достичь, если излучать
сигнал с огибающей
f{t)=yW^^L, -oo<t<oo, (84)
466

с соответствующим образом выбранным значением W. Из (11.96)
оптимальное значение W равно
WQ= Er/No . (85)
0 3,07- 2L v '
Заметим, что здесь предполагается
r0L>l. (86)
Сигнал вида (84) практически не реализуем. Однако
помехоустойчивость любого сигнала, преобразование Фурье которого достаточно
равномерно на интервале [—W0t W0]y должна приближаться к
границе (82).
Пример 3. Пусть
SR(X)= , — оо<А<оо. (87)
Канал, описываемый этой функцией рассеяния, дуален по
отношению к каналу, приведенному в примерах 2 и 3 на с. 415 и 416.
Сигнал, дуальный по отношению к сигналу, представленному
на рис. 11.16, записывается как
F{f)=± aY{f-iWp}, (88)
i = 1
где
l/' — ( 0 при других f, v 7
a D0 удовлетворяет уравнению (11.111).
Если
Ws < 2 n/k, (90)
Wp > 2 n!k, (91)
то суммарная вероятность ошибок приближается к границе (82).
Сигнал вида (88) соответствует одновременной передаче D0
сдвинутых по частоте импульсов. Точно такой же результат можно
получить, передавая импульсы последовательно (см. задачу 12.3.14).
Чтобы получить точный дуальный сигнал, спектру (89) придается
специальная форма. Ясно, что форма спектра не имеет значения,
если соблюдается условие (90).
Приведенные выше соотношения относятся к случаю бинарной
связи. Аналогично можно перенести на каналы с рассеянием по
дальности соотношения для многоальтернативных систем,
рассмотренные в п. 11.3.4.
Случай 6. Субоптимальный приемник № 1. В п. 11.3.3 был
синтезирован субоптимальный приемник для канала с допплеровским
ла7

рассеянием; процесс замираний в канале был аппроксимирован
ступенчатой функцией. Несколько видоизмененная схема на
рис. 11.18 дана на рис. 12.11. На рис. 12.12, а, б показаны два типа
ступенчатых аппроксимаций преобразования Фурье процесса
замираний в канале. При аппроксимации первого типа будем
использовать отрезки длиной L-1 общим числом
DR A WL,
(92)
При аппроксимации второго типа длину отрезка положим равной W
и примем ее за расчетный параметр приемника. Для упрощения
записи сдвинем также начало отсчета. Получающаяся в результате
Ht)
Стро$ир(/ющий\
Рис. 12.11. Структурная схема субоптимального приемника № 1 для канала
с допплеровским рассеянием.
структурная схема приемника представлена на рис. 12.13.
Нетрудно видеть, что такая схема приемника является дуальной по
отношению к схеме рис. 12.11. Помехоустойчивость такого приемника
можно исследовать так же, как это сделано в п. 11.3.3.
Случай 7. Субоптимальный приемник № 2. Дуальным по
отношению к субоптимальному приемнику по схеме фильтр —
квадратор—интегратор (рис. 11.20) является двухфильтровый радиометр
(рис. 12.14). Здесь множитель G (к) есть функция, выбираемая из
условия оптимизации помехоустойчивости приемника. В случае
ксмэ
G(%)=SR(X)
(см. случай 3), а в случае СПБВН
G(X)=SR(X)/(SR(X) + N0).
Анализ приемника этого типа проведен в работе [8].
468
(93)
(94)

в*г[Л
firrl'k
I _2 о i l
L L L L
w. zw.
t)
m f
Рис. 12.12. Аппроксимации преобразования Фурье функции bR(t)
ступенчатыми функциями.
\Идеальши
фильтр:
\0^f f 1УЯ
—*■
'Согласодан-
шй фильтр:
F*(f)
—*>
3
Отсчет 0* момент
времени Т
r(t)
И&еальши
фильтр:
СогласоЗан-
W6/U фильтр:
F*(f)
Идеальньш
, фильтр: .
\Согласо#ан-
шояан- |—л ,
^УгНлИ"1
Рис. 12.13. Структурная схема субоптимального приемника № 1 для канала
с рассеянием по дальности.
гя®
Фильтр,
согласоДамш
с f*(t)
1-Г
М)
, -оо
11
Рис. 12.14. Структурная схема субоптималыюго двухфильтрового радиометра.
469

Случай 8. Дуальные задачи оценки. В § 11.4 рассмотрена задача
оценки дальности и среднего допплеровского сдвига частоты
(средней скорости) флуктуирующей точечной цели. Дуальная ей задача—
задача оценки допплеровского сдвига и средней дальности нефлук-
туирующей цели с рассеянием по дальности.
Предполагается, что цель—нефлуктуирующая, протяженная
по дальности, ее средняя протяженность равна
оо
mRA-^ f KSR(X)d%. (95)
— оо
Она движется с постоянной скоростью, соответствующей допплеров-
скому сдвигу /. Комплексная огибающая принимаемого эхо-сигнала
имеет вид
оо
7(t) = V¥tei2nK jj Jit—Xj'buiXjdX + wit), — оо</<оо.
— ОО
(96)
Ковариационная функция первого слагаемого равна
00
£И0 Г* («)]=:£, е/2*/«-"> jj J(t-K-mR)SRo(K) X
— 00
х }*(и—Хх —mR)dXv — oo<^, и<оо, (97)
где
3*.(b)AS*(b-m*). (98)
Эта задача дуальна по отношению к задаче, рассмотренной в § 11.4.
Различные ее аспекты и соотношения, представляющие интерес,
рассматриваются в разделе задач вне основного текста главы.
Этим завершается рассмотрение применений теории частотно -
временной дуальности. Ряд интересных примеров приведен в
задачах. Прежде чем перейти к следующему параграфу, сделаем
несколько заключительных замечаний.
1. В проведенном рассмотрении предполагались бесконечные
пределы интервала наблюдения, поэтому мы вынуждены были
прибегнуть к приближению.
2. Если при реализации системы используется преобразователь
Фурье, то неизбежно допускается приближение.
3. Принцип дуальности как общий метод решения задач полезен
тем, что он облегчает выполнение формальных преобразований.
Конечный результат таких преобразований следует всегда
проверять, чтобы убедиться в том, правильно ли мы их производили.
470

Если помнить об этих моментах, то теория дуальности
обеспечивает мощный аппарат для решения и уяснения смысла
встречающихся задач обнаружения и оценки. В заключение изложим основные
результаты, полученные и рассмотренные в настоящей главе.
12.4. Основные итоги главы
В этой главе мы рассмотрели задачи обнаружения и оценки
целей, протяженных по дальности. Принимаемый эхо-сигнал
моделировался в виде выборочной функции комплексного гауссова
процесса с нулевым средним значением:
00
7 (f)=VFt J bR (к) f{t— К) dX. (99)
— оо
Ковариационная функция такого сигнала равна
K7(tf u) = Et J* [(t-K)SR(X)f*(u-%)dX. (100)
— оо
Было установлено, что протяженная по дальности цель вызывает
частотно-селективные замирания.
И на этот раз задача обнаружения свелась к обнаружению
выборочной функции гауссова случайного процесса на фоне
аддитивного шума. Оказалось, что построить структурную схему
оптимального приемника для этой задачи несложно, но решить
соответствующие интегральные уравнения в общем случае затруднительно. В
частном случае, когда соблюдается условие КСМЭ, а также в случае
разделяющихся ядер, можно получить полное решение.
Чтобы получить решения в общем случае, было введено понятие
частотно-временной дуальности. Теория дуальности позволила
применить все результаты, полученные ранее для целей с доппле-
ровским рассеянием, к целям с рассеянием по дальности. Отметим,
что цели с допплеровским рассеянием и цели с рассеянием по
дальности можно представлять как цели, протяженные по одному
параметру (либо по частоте, либо во времени, но не в обеих областях
одновременно). В гл. 13 мы встретимся с примерами целей,
протяженных только по одному параметру. Некоторые существенные
соотношения для целей, имеющих рассеяние лишь по одному
параметру, сведены в табл. 12.2.
Основное внимание было обращено на рассмотрение задачи
обнаружения цели при наличии белого шума. Другие интересные
вопросы, например оценка параметров цели, обнаружение цели на фоне
небелого шума и задача разрешения целей, рассматриваются в
задачах § 12.5. Теперь обратимся к целям и каналам, имеющим
рассеяние как по дальности, так и по скорости.
471

Таблица 12.2
Основные соотношения для целей, протяженных только по одному
параметру
Сигнал и его
характеристики
Эхо-сигнал
Ковариационная
функция
Функция рассеяния
Корреляционные
функции
Тип замираний
Приближенная база
разнесения (WT<m\)
Условие равномерных
замираний
Цели с допплеровским
рассеянием
1(0-УёГмо7(/-*)
Et7U-b)X
XKD(t-u)p(u-X)
KD(x)
Время-селективные
{B + W)T^BT+\
T€UB
Цели с рассеянием по
дальности
00
7(t)=--VFt $T(t~\)x
—оо
X~bR(X)dX
Et°°p(t-X)x
—ОО
XSr (%)T*(u-X)dX
KR{v)
—двухчастотная
корреляционная функция
Частотно-селективные
(L + T)W~WL+l
12.5. Задачи
Задачи к § 12.2. Обнаружение целей,
протяженных по дальности
Задача 12.2.1. Рассмотрим ковариационную функцию, определя*
емую выражением (10). Доказать, что ее можно записать в виде
tT(U «)= [I ^nlltF{h}KH{f1-h}F*{f2}^,2n!"'df1df2. (1*)
— oo
Задача 12.2.2. Предположим, что
SR(%)=^2ol8(X-Kk).
1. Найти Jt, (/, и).
2. Найти оптимальный приемник и определить все его
компоненты.
472

^ Задача 12.2.3. Предположим, что ширина спектра процесса
/ (/) ограничена пределами ± WI2 [Гц]. Аппроксимируем Sr (к)
в виде функции
k=\ ч J х
где N = LW предполагается равным целому числу.
1. Начертить структурную схему оптимального приемника.
2. Обосновать аппроксимацию (1*) следующим образом:
а) использовать конечные пределы в выражении (1*) в задаче
12.2.1;
б) разложить Kr {•} на множители, используя теорему Мер-
сера;
в) использовать асимптотические свойства собственных функций,
которые были выведены в п. 3.4.6 первого тома (с. 206).
Задача 12.2.4. Предположим, что
SR(K)= » е *, -оо<Х<оо,
у 2л Со
Г(0 = (1/яР),/4е-"/(2Г,), -оо<г<оо,
и что условие КСМЭ соблюдается.
1. Определить \i (s).
2. При каком значении Т функция [i (s) имеет минимальное
значение? Объяснить ответ, исходя из интуитивных представлений.
Задача 12.2.5.
1. Доказать, что выражение (35) можно также записать в виде
~(s)= - s(1~oS)^ J 0 {*, 0} ^(х) dx,
где
h(*)= J Sr(X2 + x)Sr(Xz)cIX2.
2. Выразить р# (х) через Kr {v}.
3. Объединить результаты п. 1 и 2, чтобы получить другое
выражение для (х (s).
Задача 12.2.6. Предположим, что
3*(*)={
2ol/L, |Ь|<1/2,
0 при других X,
д/) = (1/УТ, |*|< Г/2,
( 0 при других ^
и что соблюдается условие КСМЭ. Определить \i (s).
473

Задачи к § 12.3. Частотно-временная дуальность
Задача 12.3.1. Сигнал / (/) представляется в виде
f(/) = a2 u(t-tTp)9
1 = 1
где и (t) определяется соотношением (10.29). Найти дуальный
сигнал.
Задача 12.3.2. Сигнал7 (0 представляется в виде
f(t) = (\/nT2)l/4e"tt/2T\ -оо</<оо.
Найти дуальный сигнал.
Задача 12.3.3. Найти сигналы, дуальные кодам Баркера,
указанным в табл. 10.1.
Задача 12.3.4. Изменяющийся во времени коэффициент
передачи. Пусть zx (t) = a (t) yx (/), где a (t) — известная функция.
Найти дуальную операцию.
Задача 12.3.5. Фильтр. Пусть
оо
Zi(/)= f h(t — т)у1(х)йх,
— oo
где h (•) — известная функция. Найти дуальную операцию.
Задача 12.3.6. Вентиль — стробируемый каскад. Пусть
г(/) = (л(/)» Tx^t^T2,
\ 0 при других t.
Найти дуальную операцию.
Задача 12.3.7. Идеальные фильтры. Пусть
оо
*i(0 = f h{t—T)yx (т)йт,
где
10 при других /.
Найти дуальную операцию.
Задача 12.3.8. Апериодический кросс-коррелятор. Пусть
оо
— 00
Найти дуальную операцию.
474

Задача 12.3.9. Пусть
Ob
?i(o= j i;c+x)ft(t)di-
Найти дуальную операцию.
Задача 12.3.10.
1. Пусть
~ l ~
zl(/)= f yi(u)du.
t-T
Найти дуальную операцию.
2. Пусть
о
Найти дуальную операцию.
Задача 12.3.11. Рассмотрим задачу обнаружения,
определяемую соотношениями (67) и (68). При этом
нк } (2яХ/Л)*+1
/ДО = с sin2 (2я//7), 0 < / < 7\
Начертить структурную схему оптимального приемника.
Задача 12.3.12. Рассмотрим случай 2 и сигнал, определяемый
соотношением (78). Синтезировать приемник, представленный на
рис. 12.9, исходя непосредственно из соотношений (29) — (31) и не
используя положения теории дуальности.
Задача 12.3.13. Рассмотрим две структурные схемы,
изображенные на рис. 12.10. Удостовериться, что приемник,
представленный на рис. 12.10, б, дуален по отношению к приемнику,
представленному на рис. 12.10, а.
Задача 12.3.14. Рассмотрим пример, приведенный на с. 467.
Предположим, что передается сигнал с огибающей
D
\
f(t = v aZ(t~kT8)el2nkwP9
где u(t) удовлетворяет уравнению (11.1136).
1. Описать функцию7 (0-
2. Убедиться, что этот сигнал обеспечивает такую же
помехоустойчивость, как и сигнал, описываемый выражением (88), если
параметры обоих сигналов выбрать надлежащим образом.
Задача 12.3.15. Прдеположим, что в соотношении (83) L =
= 200 мкс. Отношение сигнал/шум на выходе канала Pr/N0 =
475

— 105. Требуемое значение вероятности ошибки Р (е) = 10~4.
Используется бинарная система с ЧМ.
1. Какую максимальную скорость передачи информации по
этому каналу будет обеспечивать бинарная система связи,
удовлетворяющая указанным условиям?
2. Построить структурную схему системы связи,
обеспечивающую скорость передачи, указанную в п. 1, и определить ее
параметры.
Задача 12.3.16. Рассмотрим случай 6. Вывести все выражения,
необходимые для анализа помехоустойчивости субоптимального
приемника № 1.
Задача 12.3.17. Рассмотрим случай 7. Вывести все выражения,
необходимые для анализа помехоустойчивости субоптимального
приемника № 2.
Задача 12.3.18. В случае 8 с помощью соотношений (95) — (98)
была сформулирована задача оценки допплеровского сдвига
частоты и средней протяженности нефлуктуирующей цели с рассеянием
по дальности.
1. Исходя из общего определения, даваемого соотношением
(11.181), показать, что функция неопределенности сигналов с
рассеянием по дальности равна
* оо
BaR{mRa, mR:fa, /}=-^-f f f/i0u (t, u :mR,j)x
— 00
X e-/2jlf<*('-w)f* (t-К-mRa) SRo (K) J(u-K-mRa) dK, dtdu.
2. Если соблюдается условие КСМЭ, то это выражение можно
упростить. Показать, что можно получить следующее выражение:
Ч.ксмэ{/п*:/'}=^- JQ{x + mR,f'}dx j SR, (x + Я) S*R, (X) dl,
— 00 —00
где mRAmR— mRa\ /'A/—/a-
3. Выразить Qqr ксмэ {*>'} несколькими другими способами.
Задача 12.3.19. Доказать, что функция Qqd ксмэ {К то}
дуальна по отношению к функции Qqr ксмэ {tnRJ}. В частности, если
h (0 = FR{t} и SD {X} = SR (- Я), то
Qqd, ксмэ(У» л;} = 0й^,ксмэ{л:' У)-
Задача 12.3.20. Вывести выражения для элементов информа*
ционной матрицы J через функцию Qqr ксмэ {' > '} и ее
производные.
476

Задача 12.3.21. Предположим, что
JJff= (1/л72)1/4ке-',/2Г'. - °° < t < °°.
S*(X)=-V^T ' -oo<X<oo.
1. Вычислить функцию &QRt ксмэ {rriR, /}.
2. Вычислить матрицу J.
Задача 12.3.22. Рассмотрим задачу оценки амплитуды функции
рассеяния, когда Sr (X : A) = ASR (к). Здесь функция Sr (к)
предполагается известной. Предположим также, что соблюдается
условие ксмэ.
1. Найти приемник, формирующий оценку ami.
2. Является ли оценка ami несмещенной?
3. Предположим, что смещением оценки атХ можно пренебречь.
Вычислить Е [(a mt — Л)2].
4. Определить границу нормированной дисперсии любой
несмещенной оценки параметра Л. Сравнить эту границу с
результатом, полученным в п. 3.
5. Сравнить результаты решения этой задачи с результатами
решения задачи 11.4.8.
Задача 12.3.23. Предположим, что
3^:Л)=3Л(*М).
где функция 5я, (•) известна. Необходимо оценить параметр Л —
масштабный коэффициент оси дальности. Предположим, что
соблюдается условие КСМЭ.
1. Начертить структурную схему приемника, формирующего
оценку ат1.
2. Вычислить границу Крамера — Рао.
Задача 12.3.24. Предположим, что
SR (K) = 2ol 8 (%-%,) + 2о\8 (Я-Я2),
и необходимо оценить параметры Хх и Х2.
1. Найти приемник, формирующий оценки %lt ml и %2t mt.
2. Вычислить границу Крамера — Рао.
3. Как эта задача соотносится с задачей разрешения
дискретных целей из § 10.5?
Задача 12.3.25. Предположим, что необходимо разработать
оптимальный приемник для обнаружения медленно флуктуирующей
точечной цели, находящейся в точке т = 0, / = 0, при наличии
белого шума. Требуется определить влияние мешающих целей
различных типов. Напомним, что в соответствии с (9.49) величина Д
477

характеризует помехоустойчивость приемника. Определить
уменьшение величины А вследствие воздействия следующих факторов:
1. Медленно флуктуирующей точечной цели, находящейся в
точке (т, /).
2. Протяженной по дальности цели, имеющей функцию
рассеяния Sr (к) и допплеровский сдвиг / [Гц].
3. Цели с допплеровским рассеянием, имеющей функцию
рассеяния Sd {/} и дальность X.
4. Интерпретировать полученные результаты при помощи
функции неопределенности. Как следует выбрать сигналы, чтобы
минимизировать влияние помех?
Задача 12.3.26. Предположим, что необходимо разработать
оптимальный приемник для случая КСМЭ для обнаружения
протяженной по дальности цели на фоне белого шума. Требуется определить
влияние мешающих целей различных типов. Для простоты предпо
ложим, что нужная цель имеет нулевую скорость и нулевую среднюю
дальность. Определить ухудшение помехоустойчивости приемника
под действием следующих факторов:
1. Медленно флуктуирующей точечной цели, находящейся в
точке (т, /).
2. Протяженной по дальности цели, имеющей функцию
рассеяния Sr (к) и допплеровский сдвиг / [Гц].
3. Цели с допплеровским рассеянием, имеющей функцию
рассеяния Sp {f} и дальность X.
4. Можно ли совместить результаты п. 1 — 3, чтобы получить
общую формулу?
Список литературы
1. Price R., Green P. E. Signal Processing in Radar Astronomy —
Communication via Fluctuating Multipath Media. Massachusetts Institute of
Technology, Lincoln Laboratory, TR 234, ОстоЬег 1960.
2. Bello P. A. Time—Frequency Duality. Trans. IEEE, 1964, v. IT-10, № 1,
Jan., p. 18 — 33.
3. Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием. Пер. с англ. Под
ред. И. А. Овсеевича, М., «Сов. радио», 1973.
4. Cooley J. W., Tukey J. W. An Algorithm for the Machine Computation of
Complex Fourier Series. Math. Comput., 1965, v. 19, April, p. 297 — 301.
5. Bergland G. A Guided Tour of the Fast Fourier Transform. IEEE Spectrum,
1969, v. 6, №7, July, p. 41 — 52.
6. Gold В., Rader C. Digital Processing of Signals. McGraw-Hill, New York,
1969.
7. Cooley J. W., Lewis P. A. W., Welch P. D. Historical Notes on the Fast
Fourier Transforms. Trans. IEEE, 1967, v. AU-15, June, p. 76 — 79.
8. Kurth R. R. Distributed — Parameter State-Variable Techniques
Applied to Communication over Dispersive Channels. Sc. D. Thesis,
Department of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of Technology,
June 1969.
478

13. ЦЕЛИ И КАНАЛЫ С РАССЕЯНИЕМ ПО ДВУМ
ПАРАМЕТРАМ
В этой главе ранее разработанная модель обобщается на цели,
имеющие рассеяние по двум параметрам. Цели (или каналы) такого
типа встречаются в нескольких физических ситуациях.
Простой пример одной из таких физических ситуаций можно
привести из области гидроакустики. После передачи акустического
импульса из толщи океана к гидролокатору возвращаются сигналы,
отраженные от большого числа объектов, находящихся в различных
точках океана. Если в зоне действия гидролокатора находится
подводный или надводный корабль, то он также отразит импульс.
В последнем случае отражение обеспечивает создание несущего
информацию сигнала, а рассеянные эхо-сигналы от других объектов
создают помехи его приему. Отражатели, которые вызывают помехи,
имеют различные скорости движения и различные эффективные
локационные сечения. В достаточно реалистичной модели подобной
ситуации предполагается, что амплитуда и фаза каждого такого
отраженного сигнала являются случайными величинами.
Местоположение отражателей можно моделировать как пространственный
пуассоновский процесс. Скорость отражателей можно моделировать,
ставя в соответствие скорости каждого отражателя некоторую
плотность вероятности, зависящую от дальности. Если использовать
такой подход и предположить, что число отражателей велико, то
в результате получим реверберационный эхо-сигнал, который
является выборочной функцией гауссова случайного процесса. Пуас-
соновская модель обоснована количественно в работах [1—4].
В следующем параграфе тот же гауссов результат получен
физически менее прозрачным, но с точки зрения вычислений более простым
методом. Первой отличительной чертой модели этого типа является
то, что цель с рассеянием соответствует нежелательному
эхо-сигналу, который необходимо исключить. Другая ее особенность
заключается в том, что рассматриваемая цель является «мягкой»
(т. е. ее физическая структура не фиксирована).
Вторая ситуация, в которой имеют место цели с рассеянием по
двум параметрам, встречается при рассмотрении задачи
радиолокационной съемки местности (например, при картографировании
земной поверхности с самолетов или ИСЗ, картографировании Луны
или планет с поверхности Земли). В этом случае стремятся оценить
479

детальную структуру рассеянного зхо-сигнала. Как будет
показано, эхо-сигналы от разных участков цели в условиях задачи
измерения действуют как помехи. Другой особенностью этой
ситуации является то, что цель здесь «жесткая» (т. е. ее физическая
структура фиксирована).
Третья представляющая интерес ситуация возникает при
организации связи по дисперсным флуктуирующим каналам, например
по каналам с ионосферным и тропосферным рассеянием, подводным
акустическим каналам, по каналу с использованием орбитальных
дипольных отражателей при организации тактической связи с
использованием искусственных отражающих (рассеивающих) облаков.
В этом случае эхо-сигнал от отражателей соответствует полезному
сигналу, а помехами являются некоторые аддитивные шумовые
процессы. Кроме того, канал здесь оказывается «мягким» (т. е. его
физическая структура изменяется во времени).
Четвертая ситуация типична для радиоастрономии, когда
возникает необходимость измерить дальность и скорость вращающейся
цели, которая имеет значительную глубину. И в этом случае эхо-
сигнал от протяженной цели содержит полезную информацию, а
помехой является аддитивный шумовой процесс; цель является
«жесткой», а ее поверхность «грубой» по сравнению с длиной волны
несущего колебания.
Нетрудно заметить, что интересующие нас ситуации можно
разбить на две группы. В ситуациях первой группы эхо-сигнал от цели
(или канала) с рассеянием является мешающим сигналом (помехой).
В ситуациях второй группы эхо-сигнал от цели (или канала) с
рассеянием содержит полезную информацию. В этой главе мы
рассмотрим характерные задачи из обеих указанных групп.
В § 13.1 обоснована простая модель для цели с рассеянием по
двум параметрам и рассмотрено ее влияние на зондирующий сигнал.
В последующем мы используем эту модель для исследования ряда
задач.
В § 13.2 изучается проблема разрешения непрерывных сигналов
в активных радио- и гидролокационных системах. Это рассмотрение
является развитием проблемы разрешения дискретных сигналов
(целей), рассмотренной в § 10.5. В качестве обнаруживаемой цели
здесь рассматривается медленно флуктуирующая точечная цель.
При использовании модели цели с рассеянием по двум параметрам,
развитой в § 13. 1, помехи моделируются как совокупность
сигналов от непрерывного множества отражателей. Далее
рассматриваются вопросы синтеза приемника и синтеза сигналов для ситуаций
такого типа. Этой проблемой, которая в области гидролокации
называется проблемой реверберации, а в области радиолокации —
проблемой помех от местных предметов, завершается изложение
материала, начатое в гл. 10.
В § 13.3 рассматривается задача обнаружения эхо-сигнала от
цели с рассеянием- по двум параметрам при наличии шума. Эта
задача является просто задачей обнаружения комплексного гауссова
480

процесса на фоне комплексного белого шума, которая впервые была
рассмотрена в § 11.2. Однако ковариационная функция
сигнального процесса в этом случае оказывается довольно сложной,
вследствие чего решение этой задачи связано со значительными
трудностями.
В § 13.4 кратко рассмотрена задача оценки параметров, в
частности, задача оценки амплитуды эхо-сигнала от цели с рассеянием
по двум параметрам и задача оценки средней дальности и средней
скорости ( среднего допплеровского сдвига частоты) цели с
рассеянием по двум параметрам.
По содержанию основные параграфы данной главы (§ 13.2 и
13.3) почти независимы друг от друга. Читатели, которые
интересуются только областью связи, могут от § 13.1 прямо перейти к
§13.3, а §13.4 можно читать после§13.1. Основные итоги главы
резюмированы в § 13.5.
13.1. Модель цели с рассеянием по двум параметрам
Рассматриваемая модель флуктуирующей цели с рассеянием по
дальности является простой комбинацией моделей, описанных в
гл. 11 и 12.
13.1.1. Основная модель
Для иллюстрации используемых идей рассмотрим вращающуюся
сферу, показанную на рис. 13.1. Поверхность сферы считается
«грубой» (неровной), т. е. размеры ее шероховатостей соизмеримы с
длиной волны несущего колебания. Излучается сигнал с комплексной
огибающей / (/) и исследуется эхо-сигнал, отраженный от элемента
поверхности, характеризуемого интервалом дальности (к, К +
+ d%). Эхо-сигнал представляет суперпозицию ряда отраженных
сигналов со случайными фазами, амплитуду которых можно
моделировать как релеевскую случайную величину. Поскольку ориентация
и композиция отражателей, которые участвуют в формировании
эхо-сигнала, изменяются во времени (рис. 13.1, б, в), отражение
необходимо моделировать как случайный процесс. Таким образом,
7(tf to = V% f(t—ЦЬЦ—Я/2, X) dK 0)
где b (t, X) — комплексный гауссов процесс, независимые
переменные которого суть пространство и время. Эхо-сигнал от всей цели
является суперпозицией эхо-сигналов от элементов поверхности.
Его комплексная огибающая
оо
7(t) = J V~E~tf{t—%)b (t—■ Я/2, X)dk (2)
— oo
16 Зак. 1494 481

является выборочной функцией комплексного гауссова процесса
с нулевым средним значением и ковариационной функцией
KT(t, u)AE[s (0 s* (и)} = Е Н j E, J (t- K)J* (и— Я,) Ь It - у, к) X
xb*(u—-^, %Лс1Хйк} = Ег^f(t—%)lE\b ('—у. X)x
— 00
х ь* (и — Ьк., х,Yl \f* (и— ^) dX dV (3)
Направление
бращение
Рис. 13.1. Неровная вращающаяся сфера:
а — общий вид; б, в — вид сверху.
Выражение в фигурных скобках определяется статистическими
характеристиками цели. Сделаем два предположения:
1. Эхо-сигналы от различных элементов поверхности
(приходящие с разных интервалов дальности) статистически независимы.
(Это соответствует модели, рассмотренной в гл. 12.)
2. Эхо-сигнал с каждого интервала представляет выборочную
функцию стационарного комплексного гауссова случайного
процесса с нулевым средним значением. (Это соответствует модели,
рассмотренной в гл. 11.)
С учетом этих предположений можно записать
Е [Ь (/, К) Ь* (и, J^] = Kdr (t — u, X) б (X— kj.
(4)
482

Функция Kdr (т, Ц есть функция двух переменных, которая зависит
от отражающих свойств цели. Подставляя (4) в (3), получаем
K~(t, u)=Et j f(t-X)Kdr(t-u,X)T*(u-l)d%.
(5)
Функция Кт {ty и) полностью определяет эхо-сигнал.
Так же, как и в случае цели с рассеянием по одному параметру,
здесь удобно ввести функцию рассеяния, определяемую как
SDR{f,%}= §e-'2nlxKDR(r,X)dT.
(6)
Физически функция Sdr {/, X}
представляет собой спектр процесса Ъ (t, X).
Это действительная неотрицательная-
функция аргументов f и X. Функция
рассеяния неровной вращающейся
сферы представлена на рис. 13.2. Этот
результат получен в работе [5]. Две
другие функции рассеяния, которые
мы будем использовать в качестве
моделей, показаны на рис. 13.3 и
13.4. На рис. 13.3 изображена
функция
2ck (X)
f&efr*}
Рис. 13.2. Функция рассеяния
неровной сферы [5].
Sdr {/, Х} =
(2я/)«+ *■(*)
оо</<оо, 0<X<L. (7)
При каждом значении X спектр является функцией Баттерворта
первого порядка, но местоположение полюсов зависит от X. Такая
функция рассеяния может служить приближенной моделью для
некоторых каналов связи. На рис. 13.4 приведена функция
SDR(f,X}=—*_ехр , —оо</Д
<оо.
(8)
Гауссова функция рассеяния по двум параметрам никогде не
встречается в реальных ситуациях, но может служить в этих случаях
полезным приближением. Другие примеры функций рассеяния
даны в работе [37].
Выражение (5) можно также записать, используя функцию
рассеяния (6) в виде
Kr(t9 u)=Et^f(t-X)SDR{f, X}f*(u-X)ei2nf{t-u)dfdX. (9)
— 00
Существует ряд полезных свойств рассматриваемой модели,
которые уместно указать на данном этапе изложения.
16* 483

Свойство 1. Энергия принимаемых сигналов. Среднее значение
энергии принимаемых сигналов равно
E[Er]AEr= j Kr(t,t)dt.
— 00
С учетом (9) имеем
оо оо оо
Er=Et j df j dh J" SDR{f,%}\J(t-k)\2dt.
(10)
(")
— oo — oo —oo
Рис. 13.3. Пример функции рассеяния. Рис. 13.4. Гауссова функция
рассеяния по двум параметрам (oD<eR).
Интеграл по t равен единице при любых значениях А,. Таким
образом,
Er=Et^SDR{fA}dfdX.
(12)
Чтобы было соответствие с ранее введенными моделями,
предположим, что
^SDR{f!K}dfdX=2al
(13)
Нетрудно заметить, что двойной интеграл от функции рассеяния
равен отношению ожидаемого значения энергии принимаемых
сигналов к энергии передаваемых сигналов. Отметим, что энергия
принимаемых сигналов не зависит от их формы.
Свойство 2. Если функция рассеяния сконцентрирована в одной
области плоскости /, А, то ее приближенно можно описать
посредством ее моментов. Среднее запаздывание
оо оо
т*&-^2 j Mb Г 'SDR{fA}df.
(14)
484

Дисперсия запаздывания
ОО 00
оЬА-Аг f WdX f SDR{f,%)df-ml (15)
2а? J . J
'ь Л
Средний допплеровский сдвиг
mD-lb" \ fdf \ SDR{f,b}dk. (16)
— ОО —00
Дисперсия допплеровского сдвига
00 ОО
«ЬА-V J fd/ Г $DR{f,K}dX-mb. (17)
— ОО —ОО
Асимметрия измеряется отношением
Т% — mRmD
9dr= g « u. (18)
где
ОО ОО
/Тд-L- J /d/ J A&^ff.tydb. (19)
О —©о —oo
В отличие от этих среднеквадратичных мер часто встречаются
функции рассеяния, которые строго ограничены по ширине спектра
(величиной В [Гц]) и (или) по длительности (величиной L [с]). В таких
случаях обычно более полезной оказывается абсолютная мера.
Свойство 3. Другие формы задания (определения). Было
показано, что цель можно описать двумя функциями: Kdr (t, к) и
Sdr {Д ^}. Две другие функции получаются преобразованием Фурье
этих функций по переменной К:
ОО
PDR{f,v}A J e-l2noXSDR{f,X}dK (20)
— ОО
ОО
RDR{x,v}A J e-I2nvXKDR(i,X)dk. (21)
— ОО
Отметим правило знаков при преобразовании Фурье. При
преобразовании от/к/иотА,кив показателе экспоненциальной функции
используется знак минус. (Следует помнить, что v и / — частотные
переменные). Функции (20) и (21) систематизированы на рис. 13.5.
485

Полезно также отметить соотношение между переменными /, т и
X, v в различных физических ситуациях.
1. «Короткая» цель узка по оси % и, следовательно, широка по
оси т.
2. Точечная цель представляется импульсом на оси X и,
следовательно, постоянной величиной для всех значений v.
3. Цель, имеющая бесконечную глубину, представляется
постоянной величиной по оси X и, следовательно, импульсом по оси v.
4. Медленно флуктуирующая цель узка по оси / и, следовательно,
широка по оси т.
Корреляционная
Функция
Двухчастотная
корреляционная
Функция
Функция
>*№' / / рассеяния
г
Рис. 13.5. Способы описания (задания) целей и каналов.
5. Неподвижная (фиксированная) цель представляется импульсом
на оси / и, следовательно, постоянной величиной на оси т.
6. Быстро флуктуирующая цель широка по оси / и
представляется импульсом на оси т.
Наличие нескольких форм описания модели дает то преимущество,
что часто имеется возможность выбрать наиболее простую для
использования. В данной главе будет рассмотрен ряд примеров.
Заметим, что за исключением коэффициента 2 о£, функция рассеяния
Sdr {/, X) обладает всеми свойствами совместной плотности
вероятности. Таким образом, функция Rdr {t, v) аналогична совместной
характеристической функции.
Свойство 4. Вырожденные цели. Обе модели целей с рассеянием
по одному параметру можно рассматривать как предельные случаи
модели цели с рассеянием по двум параметрам. В соответствии с
(5) имеем
К7 ((, u) = Et j J(t-X) Kdr (t -и,%) 7* (и ~ Ц d'k. (22)
486

Чтобы получить модель точечной цели, предположим, что
протяженность цели по оси X много меньше, чем величина, обратная
ширине спектра сигнала:
L < 1/U7. (23)1)
Тогда функцию / (t — X) можно считать постоянной на интервале
изменения X, где функция KdrV — и, X) отлична от нуля.
Вследствие этого функцию Kdr (t — и, X) можно приближенно представить
как
Kdr (t - и, Я) ~ Ко (t — u)6 (X -X). (24)
Из (22) с учетом (24) получаем
K7(t, u)=E~f{t-b)KD(t-u)J*(u-X)y (25)
что совпадает с (11.20). Если условие (23) соблюдается, то мы
получаем модель флуктуирующей точечной цели, замирания эхо-
сигналов от которой не являются частотно-селективными.
Чтобы получить модель нефлуктуирующей цели, возьмем за
исходное выражение (9):
оо
K7(t, u) = Et jj J(t-b)SDR{f, \}f*(u-X)elW«-")dfdX. (26)
— oo
Если
В < l/7\ (27)
то можно использовать приближение
SDR{f,K}^SR{X}8(f-f). (28)
Из (26) с учетом (28) получим
оо
К7(/, u)=Et j J(t- К)е/2л71 sR{%}]*(v—%)e-/2*7« dX. (29)
— oo
Выражение (29) соответствует случаю нефлуктуирующей цели с
рассеянием по дальности, движущейся с постоянной скоростью. Если
условие (27) соблюдается, то замирания эхо-сигналов от такой цели
не является время-селективными.
Чтобы эхо-сигнал был неискаженным (т. е. чтобы его замирания
были равномерными как во времени, так и по частоте), условия (23)
и (27) должны соблюдаться одновременно. Тогда
BL < VWT. (30)
v В (23), (27) и (30) соотношения между величинами В, L, W и Т
установлены интуитивно. Для конкретных сигналов и целей указанные условия
можно сформулировать более точно.
487

Так как
WT>\ (31)
для всех сигналов, условие (30) может быть выполнено только для
BL<\.
Цели (или каналы), для которых соблюдается условие
BL < 1, (32)
называются слабодисперсными (слабодиспергирующими). Если
BL > 1, (33)
то говорят, что данная цель (или канал) является
сильнодисперсной. Роль произведения BL будет еще выяснена. Из изложенного
видно, что только слабодисперсные цели, которые удовлетворяют
условию (30), могут вырождаться в медленно флуктуирующие
точечные цели для некоторых сигналов.
Следует напомнить, что допплеровское рассеяние зависит от
дисперсии скорости цели и от частоты несущего колебания
(см. (9.24)). Следовательно, произведение BL для конкретной цели
будет зависеть от несущей частоты.
До сих пор процесс отражения Ъ (/, X) описывался с помощью
его ковариационной функции или спектра. Часто бывает удобно
использовать модель канального процесса, описываемую
дифференциальными уравнениями. Эта модель будет развита в следующем
параграфе.
13.1.2. Модель цели (канала) с рассеянием по двум параметрам в
форме дифференциальных уравнений1)
В введенной ранее модели цели (канала) с рассеянием по двум
параметрам предполагается, что эхо-сигналы от различных
элементов дальности статистически независимы. При этом ковариационная
функция процесса отражения от цели (флуктуации параметров
канала) имеет вид
E[b(t9 X)b*(u, K')] = KDR(t-u, Х)д(Х-Х'). (34)
Во многих случаях, представляющих интерес, преобразование
Фурье функции Kdr (t — и) является рациональной функцией
частоты /. В этих случаях можно построить модель канала с
рассеянием по двум параметрам, описываемую в переменных состояния.
Заметим, что из (34) следует, что связь между процессами отражения
от цели при различных значениях К отсутствует. Поэтому процесс
отражения от цели в любой точке (скажем, Хг) можно считать слу-
1} Эта модель канала была разработана в докторской диссертации [7].
Она используется в основном и в § 13.2. Можно отложить чтение этого
параграфа до указанного места.
488

чайным процессом с единственной независимой переменной t.
При этом оказывается возможным непосредственно применять
метод представления процессов в переменных состояния, развитый
в п. 6.3.3 первого тома. Новым здесь является то, что уравнения
состояния будут содержать X в качестве параметра. Другие
особенности выяснятся по ходу изложения.
Поскольку сигнал на выходе канала описывается выражением
оо
"s (/) = J V^i lit — К) % (t —Я/2, Ц d%, (35)
— 00
удобно ввести в рассмотрение новый процесс, определяемый как
bx(tA)ub{t—V2, Я). (36)
Заметим, что Ьх (/, X) есть комплексный гауссов процесс с нулевым
средним значением, ковариационная функция которого равна
Е [bx(t, Wl (u,l')]=E [5(t—Kl2, X) &*(и—Л//2, V)] =
= KDR]Lt—ut%)&(b—V). (37)
Ранее канальный процесс (процесс отражения) моделировался
нами как случайный процесс, который зависит от времени и
пространства. Теперь требуется представить эту временную
зависимость переменными состояния. Пространственную зависимость
учтем, сделав это представление функцией пространственной
переменной X. Представление, которое нам необходимо для описания
канала с рассеянием по двум параметрам, учитывает
пространственную зависимость непосредственно.
Обозначим вектор состояния процесса Ьх (/, X) через х (t, X).
Уравнение состояния имеет вид
ах(/, X)[dt = F(X)х(/, X) + G(X) и (t, Я), t^Tit (38)
где
E[u(t, X)Z* (t, X')]=Q(X)8(t—x)8(X—X'). (39)
Ковариационная функция вектора состояния в начале интервала
равна
E[x(Th X)x+(Th X')]=P0(X)8(X-X'). (40)
Канальный процесс представляется в виде
МЛЬ)==С(А,)х(*,Я). (41)
Отметим, что в данном рассмотрении связь между различными
значениями X отсутствует. Уравнение состояния записано как
уравнение в частных производных, но фактически оно является обык-
489

новенным дифференциальным уравнением, содержащим к в
качестве параметра. Ввиду этой параметрической зависимости можно
легко написать ковариационное уравнение. Введем в рассмотрение
ковариационную функцию Кг (t, t' : к, V), определяемую в виде
Кх {U Г : К к') Д Е [х (/, к)х+(*', Я')] = Кг (*, Г :к)Ь(к-к'). (42)
Как и прежде, функцию Кг (ty t' : к) можно связать с функцией
Кг (/, t: к) соотношением
Кг(/, t':k)=\
Q{t-t'\k)K7{t',t:k), t^t\
~\ (43)
Кг(*. /)в+ (t'-t-Л), /</',
гдев(^:Х) — переходная матрица, которая является решением
уравнения
de(t:k)/dt=F(k)e(t:k) (44)
с начальным условием
в (0, к) = 1. (45)
Заметим, что эта переходная матрица имеет единственную
независимую переменную времени, так как F (к) и G (к) не являются
функциями времени.
Поскольку предполагалось, что канальный процесс
стационарен, функция Кг (t, t: к) не зависит от времени. Поэтому можно
записать
КГ МЛ КГ (^ t:k)t t^T;. (46)
Матрица Кг (к) есть просто решение уравнения
0 = ?(k)K^(k) + K7(k)FUk) + G(k)Q(k)G+(k). (47)
(см. (I — 6.333а)). Заметим, что предположение о стационарности
требует, чтобы
PoM = KrW. (48)
Ковариационную функцию канала получим из (37) с учетом (41)
и (42):
Kdr (т, к) = С (к) КГ (т. kfC f (к). (49)
И на этот раз подчеркнем, что все полученные результаты являются
обычными соотношениями в переменных состояния с
параметрической зависимостью от к. Для завершения описания нашей модели
490

необходимо описать наблюдаемый сигнальный процесс. С учетом
(36) из (35) получим
00
s (/) = $ VFj(t-X)bx(t, tydb. (50)
— оо
Используя (41) в (50), имеем
Z(t)= J VFJ(t—%)C(%)x(t9 Цй%. (51)
— 00
Видим, что (51) содержит интеграл по пространственной
переменной %. Наличие этого пространственного функционала является
новой особенностью задачи и требует дальнейшего развития
изложенной ранее теории переменных состояния. Заметим, что он
является линейным функционалом и аналогичен модуляционной
матрице п. 6.6.3. Иногда бывает удобно переписать (51) в виде
Z(t)=7(t:x{t, Щ. (52)
На этом завершается рассмотрение модели канала с рассеянием
по двум параметрам, описываемой дифференциальными
уравнениями. Для иллюстрации применяемых методов рассмотрим
пример.
Пример [7]. Рассмотрим комплексное уравнение состояния
первого порядка
dx(t, %)/dt=—%(%)xlj9 %) + u(t, %), (53)
bx{U %)=ci(t, X). (54)
Эти уравнения соответствуют уравнениям (38) — (41) при
Т(Х)= -Ъ(%)= -kr (%)-]% (X), (55)
б(Ь)=1, (56)
Z(X)=c. (57)
Предположим, что
QM>0, (58)
kr {X) > 0. (59)
Из (44) и (45) имеем
0(т, Ц=ехр[—кг(%)\т\—1%(Цх]9 (60)
а из (47)
KrM=QM/2Mb). (61)
Подставляя (60) и (61) в (43), а результат — в (49), получаем
ковариационную функцию канала в виде
ЛЪ*(т, X) = [c2Q(K)l2kr(X)]exp [ — Лг(X)|х|—/^(X)т]. (62)
491

Ее преобразование дает следующую функцию рассеяния канала:
sDR{f, ц=-
с*$(Ь)
m+kiW+k^i)
(63)
Заметим, что
ОО 00 ^
^ SdrV, 4dfdX=c* j ^Ml-dkA2ol (64)
Функция рассеяния вида (63), рассматриваемая как функция
частоты при любом значении к, является однополюсным спектром
Рис. 13.6. Функция рассеяния, определяемая выражениями (65) и (66) [7].
с центральной частотой / = — kt (к)/2 я, пиковым значением
c2Q {X)/kr (к) и шириной ± kr (к)/2 я на уровне 3 дБ относительно
центральной частоты. На рис. 13.6 эта функция рассеяния
представлена для случая, когда
зд=
&(Я)=
1— cos(2n%lL), 0<X<L,
О, X>L;
ill 1 • Я>к
k 1 sin —
\ 2 L
lo,
(65)
(66)
k>L.
За исключением ограничений (58), (59) и (64), функции Q (к)
и k (к) произвольны. Это допускает большую свободу в выборе
^dr {Л А,} даже для модели первого порядка. Например, если функ-

ция ki(k) пропорциональна X, то функция рассеяния «размазана»
в плоскости X, /. Можно выбрать Q (к) так, чтобы получить
многомодальную (по Я) функцию рассеяния. На рис. 13.7 представлена
функция рассеяния Зоя {/, X}, которая и многомодальна и
«размазана» в плоскости X, /. Здесь
[ l—cos(2jTtyL), 0<X<L/4, 3L/4<A,<L,
Q(X) = \ 2 + cos(ntyL), L/4<b<3L/4, (67)
I 0, b>L;
ft(A,) = £(l— ty2L) —/(3fcty5nL). (68)
Рис. 13.7. Функция рассеяния, определяемая выражениями (67)
и (68) [7].
Этот пример иллюстрирует гибкость, достигаемую при
использовании модели первого порядка. Используя систему более высокого
порядка, можно описать функцию рассеяния, которая является
рациональной функцией частоты / для каждого значения X. Чтобы
получить многомодальную функцию рассеяния, нужно использовать
модель состояния по крайней мере второго порядка.
Точно также, как и ранее, основное преимущество формулировки
задачи в переменных состояния заключается в том, что она
позволяет выразить алгоритм оптимального приемника и его
помехоустойчивость в такой форме, что фактически можно найти ответ
в явном виде. Конкретные примеры этой модели мы рассмотрим
в § 13.2 и 13.3.
- 13.1.3. Краткие итоги рассмотрения моделей
В этом параграфе была разработана модель цели с рассеянием по
двум параметрам, в которой процесс отражения характеризуется
функцией рассеяния, а также распределенная модель в переменных
состояния.
493

В следующих трех параграфах мы рассмотрим различные
ситуации, в которых центральным является вопрос о целях с рассеянием
по двум параметрам. Как уже было отмечено ранее, вв*йу того, что
в этих параграфах рассматриваются различные физические
проблемы, их можно читать почти независимо.
13. 2. Обнаружение при наличии реверберации или
отражений от местных предметов
В этом параграфе мы рассмотрим задачу обнаружения
эхо-сигнала от медленно флуктуирующей точечной цели при наличии
распределенной помехи. Эта задача является дальнейшим развитием
задачи различения дискретных целей, изложенной в § 10.5.
Задачи такого типа часто встречаются в области активной
гидролокации. Комплексная огибающая зондирующего сигнала равна
Y~Etf (t). Интересующая нас цель — медленно флуктуирующая
точечная цель, находящаяся в
точке с известным запаздыванием
xd и известным допплеровским
сдвигом cod. При распространении
зондирующего сигнала в океане
встречаются различные
неоднородности и многочисленные объекты,
которые вызывают отражения.
Возможная локационная
обстановка изображена на рис. 13.8. Эхо-
сигналы от распределенных
отражающих (рассеивающих)
мешающих объектов в гидроколокации
называют реверберацией, а в
радиолокации — мешающими
отражениями от местных предметов.
Эти отражения можно моделировать как пространственный
пуассоновский случайный процесс. В работе [1] эта модель разработана
подробно (см. также [2 и 31). Если число отражателей велико, то
пригодна модель в виде комплексного гауссова случайного процесса,
описанная в § 13.1. По моделям реверберации выполнено много
исследований (например, [8— 18]). Во многих
ситуациях^пространственный пуассоновский процесс является адекватной моделью
обстановки.
Обозначив комплексную огибающую реверберационоого эхо-
сигнала через пт (t), можно записать
помеха
Рис. 13.8. Представление
локационной обстановки в
плоскости X, /.
(69)
494

Это комплексный гауссов процесс с нулевым средним значением и
ковариационной функцией,
К (tt u)=Et I f(t-KjKDR (t-u, %)f*(u-%)dK (70)
— 00
(Выражения (Щ и (70) просто воспроизводят соответственно (2)
и (5).) Иначе (70) можно записать в виде
оо \
/С- (/. u)=Et ^ 7\t-K)SDR{f, X}^(«-A,)e/»»/('-")d/dX. (71)
— оо
Здесь функция Sdr {/, А,} является функцией рассеяния в модели
реверберационной обстановки и характеризует распределение
отражений по дальности и допплеровской чистоте. Кроме ревербера-
ционного эхо-сигнала, имеется аддитивный статистически
независимый комплексный белый шумовой процесс w (/). Таким образом,
задачу на испытание гипотез можно сформулировать в следующем
виде:
Г(о=| * ^C-^^'+^W + ^W. -оо<*<оо:Я1? (72)
1 nr(l) + w(t)f —oo<t<oo:H0.
Но это не что иное, как задача обнаружения сигнала на фоне
небелого шума, с которой мы встречались в § 9.2. Новым фактором здесь
является зависимость ковариационной функции небелого шума от
зондирующего сигнала. Отметим, что эта задача представляет просто
непрерывный вариант задачи разрешения дискретных целей, рас^
смотренной в § 10.5. Точно так же, как и в том случае, можно
говорить о приемниках двух типов:
1. Обычный приемник, который синтезируется в предположении,
что присутствует только белый шум.
2. Оптимальный приемник, синтез которого основывается на
предположении, что статистическая картина реверберации известна.
В п. 13.2.1 рассмотрим помехоустойчивость обычного приемника.
В этом случае стремятся ослаблить влияние реверберации путем
соответствующего построения сигнала и приемника.
13.2.1. Обычный приемник
Рассмотрим задачу обнаружения цели, имеющей некоторые
известные значения запаздывания %d и допплеровского сдвига частоты
cod. Если бы не было реверберации, то можно было
непосредственно применить результаты, полученные в § 9.2. В соответствии с
(9.36) вычислим
ГА J Г(0/*(/—Td)e-/<Dd'rf/. (73)
495

Испытание заключается в сравнении | /12 с порогом, т. е.: /
m2lv- ' / <74>
"о /
При наличии реверберации такой приемник будет/неоптимальным.
Тем не менее он часто используется в силу следующих причин:
1. Он проще в реализации, чем оптимальный ^приемник.
2. Функция рассеяния может быть неизвесть^ой, и тогда
оптимальный приемник невозможно построить. /
3. Во многих ситуациях, как будет поковано далее, по
помехоустойчивости такой приемник почти не уступает оптимальному.
Оценка влияния реверберации на помехоустойчивость обычного
приемника не вызывает принципиальных затруднений. Величина /
на выходе приемника по-прежнему представляется комплексной
гауссовой случайной величиной, так что величина А, определяемая
в соответствии с (9.49), служит здесь исчерпывающей мерой
помехоустойчивости. Величина А согласно (9.49) определяется как
А,0А£(|Т|2|Я1}-£{|Т|2|ЯЛ- (75)
£{|7|»|ffo>
Как и в § 10.5, используемый здесь подстрочный индекс wo
обозначает, что при наличии только белого шума данный приемник был бы
оптимальным. Используя (70), (72) и (73), имеем
Е (| If | Н0] = Е I J [К, (t) + w (/)] Г (t-*d) e~/(°d' dt х
( — оо
X ' jj [п* (и) + w* (и)} J (u-xd) е/а)<*" du\ =
— 00 J
oo oo
= $ Л $ /~*(/-xd)/'(M-Td)e-^<'-")x
du. (76)
— oo —oo
X
Et 5 f (t—X) Kdr (t—u, Ц f* (u - X) d\ -|- N0 6 (/ — u)
Ho
oo
Km(t-u, X)= j SDR{f, A,}e/2«/«-")d/. (77)
— oo
С учетом (77) после перегруппировки членов из (76) получим
оо оо
E{\7\a\H0} = N0 + Et j df j SDR{f, %}x
496

X 5 f(/-b)f*(/-Td)e'2"(f-^Md/|x
x f I P {-u~K)?(u-x*>е_/2я (l4d)"du Id%- (78)
Произведение величин, заключенных в двух парах квадратных
скобок, есть не что иное, как функция неопределенности сигнала
б {xd — X, f — fd)/Следовательно,
E{\T\2\H0}=NQ + Et^ SDR{f, Цв {xd-K f-h}dfdk. (79)
Таким образом, влияние реверберации оценивается сверткой
реверберационной функции рассеяния с функцией неопределенности
сигнала 0 {т, —/}*>. Аналогично
Е [\ Т\21 Я,] =£г + £[|7 Г |Я0]. (80)
Итак,
Дшо= ^ (81)
l + Et/N0 ff SDi?tf, X}Q{xd-X, f-U}d[dk
— OO
Второе слагаемое в знаменателе (81) определяет ухудшение
помехоустойчивости под влиянием реверберации. Пусть
00
prA jf-^SDR{f, K}Q{xd-K f-fa)dfdX. (82)
— оо
Используя свойство 4 (формула (10.116)), величину рг можно
записать в виде
00
Р'=-|-|poR{f, ^}6{X-Td, fd-f}dfdk (83)
— оо
Отсюда видно, что рг увеличивается при увеличении энергии
зондирующего сигнала. Это означает, что с реверберацией невозможно
бороться путем простого увеличения энергии излучаемого сигнала.
Этот вывод не может быть неожиданным, так как причиной
реверберации являются отражения сигнала, излученного передатчиком.
Формула (83) имеет простую графическую интерпретацию,
представленную на рис. 13.9. Предполагается, что зондирующий сигнал
1} Этот результат впервые был получен Стюардом и Уэстерфильдом
19, 20].
497

является гауссовым импульсом с линейной частотной модуляцией
/см. пример 4 на с. 321): /
Контуры постоянного уровня функции неопределенности такого
сигнала показаны на рис. 13.9, а. Контуры постоянного уровня
реверберационной функции рассеяния представлены на рис. 13.9, б.
Для определения рг совместим центр эллипса р {т, — /} с]точкой
местоположения нужной цели (xd, /d), как показано на рис. 13.9, в.
Шшж\шшшл
я
Рис. 13.9. Графическая интерпретация интеграла рг:
- равновысотные (постоянной высоты) контуры функции 0(т, f); б — равновысотные
контуры функции Sr>n{/,M; в — суперпозиция функций.
498

Величина рг будет определяться площадью взаимного перекрытия
графиков этих двух функций. Для данной конкретной цели площадь
перекрытий можно уменьшить одним из двух способов:
1. Положить Ъ = О и сделать Т большим.
2. Сделать Т малым, a b придать произвольное значение.
В справедливости этих замечаний можно убедиться качественно,
изобразив получающиеся функции графически. В этом же параграфе
мы докажем их количественно.
Отметим, что величину рг можно также записать через двухча-
стотную корреляционную функцию в виде
оо
Pr= jf- j f Rdr {t, v\ 9 {т, v} ехр [ -/2я (т/„ -vxd)] dxdv. (85)
— 00
Формулы (83) и (85) справедливы для произвольной функции
рассеяния. Представляет интерес частный случай, когда функция
рассеяния практически беско- Возможные
нечна по длине и имеет равно- .1 дальности цели , Т х
мерный постоянный допплеров- ^г j [ j yt^
ский профиль. zjf ' ^ ' ^д*
Инвариантные по дальности J постоянна в
функции рассеяния. Когда функ- этих пределах дальности
ция рассеяния имеет постоян- ^ н
ный допплеровский профиль и рис шо г ическое по.
простирается за пределы дально- стр0еНие, иллюстрирующее инва-
сти ДО возможной цели на рас- риантное приближение к функции
стояние, большее, чем Г, можно рассеяния,
считать ее бесконечной по
протяженности. Сказанное иллюстрируется рис. 13.10. При этом
можно записать
Зад {/, Ц A SDu {/}, - оо < Я < оо. (86)
Заметим, что обе части (86) имеют размерность [с • м*-1]. Таким
образом,
Et I SDu{f)df (87)
— 00
есть средняя энергия принимаемого сигнала на метр реверберацион-
ного поля. Величину рг можно также вычислить непосредственно
из исходной модели. Выполним вычисление вторым методом, так
как интуитивно он представляется более рациональным.
Если реверберационное поле бесконечно по протяженности, то
реверберационный эхо-сигнал представляет выборочную функцию
стационарного процесса. Подставляя (86) в (71), получаем
K-r(U u) = EtRDu(t-u) l7(t-X)P(u-X)dk. (88)
499

Указанный интеграл можно записать в форме
— oo —oo — oo
= f eMC-^r^d/,, / (89)
— OO
где
St to) 41? to) P. (90)
Подставляя (89) в (88) и преобразуя обе расти, получаем
Snr{f}=EtSDu{f}®Sj{f). (91)
Таким образом, спектр реверберационноп* эхо-сигнала
вычисляется с помощью операции свертки допплеровского спектра со
спектром импульса. Для количественной оценки ухудшения
помехоустойчивости приемника для стационарного входного процесса
используем формулы (76) и (82). В результате получаем
00
Р,=-|- J S~r{f}S7if4d}df. (92)
— 00
Формулы (91) и (92) определяют степень ухудшения
помехоустойчивости в рассматриваемом частном случае. Проиллюстрируем
применение формулы (92) простым примером.
Пример. Предположим, что допплеровский профиль является
гауссовым, так что
SDu{f}=—^— e D> (93)
У 2я oD
где gd — среднеквадратическое допплеровское расширение спектра
[Гц]. Предположим, что используется сигнал в виде импульса с
гауссовой огибающей и ЛЧМ со скоростью качания несущей частоты
2 Ъ [Гц/с]. Следовательно,
Г(Н^Гл ^А~^~1ЬУ\ -oo<t<o°- <94>
Тогда
S7{f}=—±— e-f,/24 -oo<f<oo, (95)
V2nBf
где
да И1/2 =^L=^Lf_L. + 262r2y/2 (96)
500

есть среднеквадратическая (эффективная) ширина спектра сигнала
(см. (10.48)).
В результате свертки (93) и (96) получим
где
9~ ftt NrEt tt/2Vt
г У2л у
fAo% + Bf.
Из (92) с учетом (95) и (97) имеем
р_*/ "г fc_/ «-«■
Гг Ло 2nyBf J ~'*Ч 2BJ
/2
2y2
(97)
(98)
(99a)
После интегрирования и перегруппировки членов получим
EtNr
#0У2яаЛ 1/1+2(5/^)2
ехр
tf<*/°*)'
1+2(5//
—1
(996)
Из (996) видно, что степень ухудшения помехоустойчивости зависит
от трех величин:
Е* N
1. DA——yZ отношения мощности реверберационных
сигналов к мощности шума в эквивалентной (эффективной) полосе
частот реверберации;
fd
отношения допплеровского сдвига частоты цели к сред-
неквадратическому допплеровскому расширению спектра
реверберации;
] 3. — — отношения эффективной ширины спектра сигнала к
среднеквадратическому расширению спектра реверберации.
. Формулу, характеризующую помехоустойчивость обычного
приемника в данном случае, получим после подстановки (996) в (81):
1 (100)
W0'n-Er/No
1 + Рг
Зависимости AWOiTl от отношения BflaR представлены графически
на рис. 13.11 для некоторых типичных значений параметров D и fdloR.
Физический смысл параметра D иллюстрируется таблицей:
D]
0,3
1,0
10,0
100,0
Физический смысл
Реверберационные помехи < аддитивный шум
Реверберационные помехи = аддитивный шум
Реверберационные помехи/аддитивный шум =10 дБ
Реверберационные помехи/аддитивный~шум = 20 дБ
Номер
рисунка
13. 11, а
13. 11, б
13. 11, в
13. 11, г
501

^WO,/I
Ifi
0,8
0,5
0,4
0,2
0
1,0K_
^
i I L_L
fd/eR;W,0
^^5f
LI I.LU I l I I I llll
J?=0,3
I I I I I III
0,1 0,5 1,0 5,0 ЩО 00,0 100,0
1,0
0,8
0,5
0,*
0,2
0
fd/GR = 10,D
!£^
_—--^V
-
i i i i 11 n
^P^^P^^^
I I I I I I llll
Л-7,0
i i i i i i и
0,1 .. ^ 1,0 5,0 10,0 50,0 Щ0
5) Bf/6R _^
aWQ,n
1,0
0,8
0,5
0,U
4Z
^0
Г I I I I llll
M-70,0
I I I I 1111
0,1 0,5 1,0 5,0 10,0 50,/T 100,0
3) Bf/a„ -*
502

7,0
0,8
0,5
0,1
0
#/ 0,5 1,0 5,0 70,0 Щ0 700,0
Рис. 13.11. Помехоустойчивость обычного приемника при наличии
реверберации.
В отношении сигналов рассмотренного класса можно сделать два
замечания:
1. В случае нулевой скорости цели при расширении спектра
сигнала наблюдается монотонное улучшение помехоустойчивости.
2. В случае ненулевой скорости цели можно использовать
сигналы либо с очень узким, либо с очень широким спектром.
Логический смысл этих выводов легко уясняется из диаграмм,
изображенных на рис. 13.12 и 13.13.
Рисунок 13.12 соответствует цели с нулевой скоростью; при
расширении спектра сигнала (либо путем уменьшения длительности
импульса Г, либо путем увеличения скорости качания частоты
несущей (увеличение Щ общий объем, ограниченный функцией
неопределенности и реверберационной функцией рассеяния, монотонно
уменьшается (рис. 13.12, б), при этом помехоустойчивость улучшается.
Рис. 13.13 соответствует цели с ненулевой скоростью. Если
излучается импульс большой длительности без ЧМ, то ширина функции
неопределенности по допплеровской оси мала и общий объем,
ограниченный этой функцией и реверберационной функцией рассея*
ни я, пренебрежимо мал. Если сократить длительность импульса Т
или расширить спектр сигнала (увеличив Ь), получим картину,
показанную на рис. 13.13, б. При этом общий объем увеличивается
и помехоустойчивость ухудшается. Если продолжать увеличивать
Bfi как показано на рис. 13.13, в, то ширина перекрывающейся
части функции неопределенности (приближенно равная Bf1)
уменьшается и помехоустойчивость вновь возрастает.
Этот пример показывает важность согласования сигнала с той
локационной обстановкой, в которой предполагается выполнение
задачи. В данном конкретном случае было бы желательно иметь
возможность работать с сигналами двух типов: импульсом большой
603

Редеро~ерацаон- /д
мая функция
рассеяния
Импульс
большой
длительности
а)
Импульс большой
длительности
РеЗел&ераии-
онная
функция
рассеяния
Импульс
ЛЧ/1
Импульс малой
длительности
Рис. 13.12. Цель с нулевой скоростью
в условиях реверберации.
Рис. 13.13. Цель с ненулевой
скоростью в условиях реверберации.
Импульс
сЛЧ/1
длительности без ЧМ, который легко генерируется и очень
эффективен в случае движущихся^целей, и импульсом^ЛЧМ, который
эффективен в случае целей, скорость которых меньше среднеквадра-
тического допплеровского расширения спектра. Этот пример также
иллюстрирует ту обстановку, при которой задача построения
сигнала относительно слабо зависит от принятых в модели допущений
детального характера. Иными словами, основные результаты ее
решения зависят больше от вц — среднеквадратического
допплеровского расширения спектра реверберации, чем от детальной
формы (тонкой структуры) функции Sou {/}•
По поводу влияния реверберации на помехоустойчивость
систем необходимо сделать несколько замечаний, которые применимы
504

как к случаю, когда функция рассеяния инвариантна по дальности,
так и к общей задаче, когда Sdr {/, Я,} зависит от X.
1. Вычисление помехоустойчивости приемника никогда не
встречает принципиальных затруднений. В худшем случае необходимо
вычислять (83), (85) или (92) численными методами.
2. Решение задачи синтеза оптимального сигнала,
минимизирующего рг при соответствующих ограничениях по энергии, ширине
спектра или длительности, связано с серьезными математическими
затруднениями, которые обычно стремятся избежать. Даже если эту
задачу можно было бы решить, решение зависело бы от Sdr {/, A,}, id
и fd. Более практичным является следующий метод решения.
а) Выбрать определенный класс сигналов, например
кодированную импульсную последовательность вида (10.145).
Максимизировать их помехоустойчивость путем соответствующего изменения
их параметров.
б) Рассмотреть не одну конкретную функцию рассеяния, а целый
ряд допустимых функций рассеяния.
Задача синтеза сигналов на различных уровнях сложности
рассмотрена в ряде работ (например, [21—28]).
3. Характер функции неопределенности у последовательности
импульсов с комплексными весовыми коэффициентами делает
сигнал этой формы очень эффективным для подавления реверберации.
Поскольку к тому же его просто генерировать и обнаруживать, он
используется во многих системах.
На этом мы заканчиваем рассмотрение помехоустойчивости
обычного приемника и переходим к задаче оптимального приемника.
13.2.2. Оптимальные приемники
Интересующая нас задача была сформулирована в виде
соотношений (72), но для удобства мы сформулируем ее и здесь.
Комплексные огибающие принимаемых колебаний в соответствии с двумя
гипотезами имеют вид
r(t) = bfd(t) + nr(t) + w(t), -оо<^<оо:Я1, (101)
7{t)=nr(t) + w(t), —оо<*< оо : Я0, (102)
где
TdWuftt—**)*'**'- (ЮЗ)
Реверберационный эхо-сигнал представляется выборочной
функцией комплексного гауссова случайного процесса, ковариационная
функция которого определяется выражением (70) как
00
K~r<f, u)=Et J T(t-b)tDR(t-u, %)p(u-X)d\. (104)
505

Необходимо найти алгоритм оптимального приемника для
обнаружения сигнала fd (/). Как уже отмечалось, эта задача аналогична
известной задаче обнаружения медленно флуктуирующей точечной
цели при наличии небелого гауссова шума, которая была решена
в § 9.3.
В соответствии с (9.69) оптимальный приемник должен
вычислять
7а ^ g*{t)7{t)du (Ю5)
— 00
где функция g ( • ) удовлетворяет уравнению
оо
Ы0= jj K~r{t, u)g(u)du + N0g(f), -oo<*<oo, (106)
— оо
и сравнивать |/|2 с порогом. С учетом (104) из (106) получим
уравнение, которое необходимо решить, чтобы найти оптимальный
алгоритм. Это уравнение имеет вид
оо
&(*) = £* §]Ht-X)KDR(t-U, l)f*{U-'k)g{u)dud'k +
+ N0g(t)9 -оо<^<оо. (107)
В общем случае, при произвольной функции Kdr(-> •)> решение
уравнения (107) затруднено. Существует ряд частных случаев,
когда решение можно получить относительно легко.
Случай 1. Если функции J (t) и Kdr (t — и, X) имеют такую
форму, что можно найти собственные значения и собственные функции
(104), решение уравнения (107) не встречает затруднений. Одним
из примеров такого типа может служить задача разрешения
дискретных целей, рассмотренная в § 10.5. Другой пример — когда функция
'Kdr {t — и, X) является разложимым ядром. Третьим примером
может служить случай, когда сигнал / (t) является гауссовым
импульсом, а функция Kdr (t — иуХ) — гауссова по двум параметрам.
Основная процедура решения для этого случая хорошо известна,
поэтому мы рассмотрим ее в задачах вне основного текста.
Случай 2. Если функцию рассеяния канала можно описать при
помощи распределенной модели, описываемой дифференциальным
уравнением, которая была рассмотрена в п. 13.1.2, то оптимальный
приемник найти нетрудно. Этот случай будет подробно рассмотрен
позднее.
Случай 3. Если функция рассеяния имеет большую
протяженность по оси X (как показано на рис. 13.10) и имеет постоянный доп-
плеровский профиль, то пт (t) является стационарным процессом
и уравнение (107) можно решить, используя преобразования Фурье.
506

Обычный неоптимальный приемник для этого случая был
рассмотрен на с. 500. На с. 510 мы рассмотрим оптимальный приемник
и сравним помехоустойчивость обеих систем.
Проведем теперь анализ случаев 2 и 3.
Случай 2. Оптимальный приемник: реализация в переменных
состояния. В § 9.4 был выведен алгоритм оптимального приемника
для обнаружения медленно флуктуирующей цели на фоне небелого
шума. Структурная схема этого алгоритма основывалась на
реализуемом выбеливающем фильтре и содержала блок оценки по
минимуму среднеквадратической ошибки небелого шума как одну из ос-
r(t)
—>г
+
—^
Л0г(*,Т)
*ппШ
№
—>
Z]
h
#1
fi.it)
Комплексно- сопряженный
оператор
fa(t)
horitj)
Рис. 13.14. Структурная схема оптимального приемника.
новных, принципиальных компонент. Такая реализация
оптимального приемника показана на рис. 13.14 (это в сущности рис. 9.8 с
несколько видоизмененными обозначениями). Статистику испытания
можно представить в виде
/о=
$ dm hwr{U z)7(z)dz^ h*wr(t, y)fUy)dy
(108)
где hwr {ty z) — функция, определяемая как
hwr(t, z)A(^y\b(t-z)-hor(tf z)).
(109)
Импульсная переходная функция Tiwr (t, z) соответствует
оптимальному реализуемому фильтру для оценки небелого шума7гг (0, когда
на входе действует процесс
n(t)=nr(t) + w(t).
(ПО)
507

В соответствии с (9.111) величина Adg, характеризующая
ухудшение помехоустойчивости, обусловленное небелым шумом, равна
Ado=f[2$(0M0-|f,l0ndf. (П1)
ft
Функция fr(t) описывает процесс на выходе фильтра с hwr (/, z),
когда на его входе действует процесс fd (t).
Отсюда видно, что задачу синтеза оптимального приемника и
анализа его помехоустойчивости можно решить полностью, если можно
найти функцию hor (tt z). В этом параграфе мы выведем систему
дифференциальных уравнений, которая определяет оценку небелого
шума пт (t) (а следовательно, и функцию Тгог (t, z)). Этот вывод
основан на распределенной модели в переменных состояния,
рассмотренной в п. 13.1.2.
Дифференциальные уравнения, описывающие шум пг (/),
аналогичны уравнениям (38) — (41). Уравнение состояния имеет вид
дх{К /p=F()i)x(/, Ц + й(%)ЪЦ, Я), t>Th X6&L, (112)
где Ql — интервал дальностей Я, в котором функция рассеяния
цели отлична от нуля. Ковариационная функция процесса
и (t, X) равна
E[u(t9 А)и*(т, X')]=Q(X)8(/—т)6(Ь—Л/). (ИЗ)
Реверберационный процесс представляется в виде
6(/, K) = C(X)x(tt X). (114)
Небелый шум, создаваемый процессом реверберации, выражается
функционалом
00
n,(/)= J V'Ej(t — 'K)~b(t,%)d%AC(t:x(t,'k))t (115)
— оо
который будем называть модуляционным.
Оценку по минимуму среднеквадратической ошибки получим,
распространив теорию фильтрации Кальмана — Бьюси на случай
пространственного интегрального оператора, определяемого
выражением (115). Впервые это было проделано в работах [29, 30].
Приведем результаты этих работ (соотношения (116) — (121)1*).
1) Мы опустили вывод указанных соотношений ввиду того, что для
конкретного случая, описываемого соотношениями (112)—(115), читатель может
проверить сам, что эти результаты верны (см. задачу '13.2.15). Модель,
рассмотренная в работе [29], носит гораздо более общий характер, чем
необходимо нам. Следует обратить внимание на сходство между (116)—(121) и
уравнениями Кальмана—Бьюси в § 6.3 первого тома. К числу других работ,
посвященных проблеме оценки в системах с распределенными параметрами,
относятся [70—75].
508

Уравнение оценки имеет вид
£^! = F(X)x(/, %) + z(t, %)[r(t)-C (t:l(t, %))],
t>Tb Xe£iL; (116)
t(T„ Я)=0, Я 6^- (117)
Уравнение коэффициента усиления имеет вид
z(/, Я)=™ f£(*:A., Х')С+(А,')У£;^(/-Я')^', (118)
где функция | (t: А,, Я') является ковариационной матрицей ошибок:
%(t:K V)A£[(x(/, X)— х(/, X))(x+(f, V)—х+(/, V))]. (119а)
Заметим, что
!+(*:*,, X')=f (*:А/Д). (1196)
Эта ковариационная матрица удовлетворяет дифференциальному
уравнению
d%(t:K %'){&=?(X)l(t:К *')+!(/: V, ^)F1"(V) +
+ G(X)Q(X)G+ (Я')8(Ь—V)—z(/, X)N0z+(t, Л/),
*a^L,*>7V (120)
Необходимо отметить сходство между (120) и (П. 161). Из (120) с
учетом (118) получим
dl(t:KX')=f{K)^{t:K X') + 6(/:Vf X)F+(>/) +
or
+ G(tyQ(X)G+(X)8ft-X')—^{jf(^> o)x
xC+(o)f*(t-o)do lf(t-a')C(o')%(t:a\ %')do'\
«L J'
К ^e^L, *>7y (121a)
Начальное условие имеет вид
£(7УЛ X')=i>{Ti9 %)Ь(Х-к'). (1216)
Эти уравнения полностью определяют фильтр с импульсной
переходной функцией hQT (t, z). Таким образом, оптимальный
509

приемник полностью определен и можно вычислить характеристики
его помехоустойчивости. Структурная схема оптимального
устройства оценки показана на рис. 13.15, жирными линиями обозначены
тракты прохождения сигналов, являющихся одновременно
функциями пространства и времени. Используя эту схему в
приемнике, изображенном на рис. 13.14, получаем структурную схему
оптимального приемника.
Полезно сделать несколько замечаний по поводу оптимального
приемника и соответствующих уравнений.
1. Оптимальный фильтр содержит пространственные операции.
В большинстве случаев реализовать из точно затруднительно.
Несколько приближенных реализаций мы рассмотрим в § 13.3.
Рис. 13.15. Структурная схема оптимального реализуемого фильтра, представ-
, ленная в распределенных переменных состояния.
2. Помехоустойчивость оптимального приемника служит
границей помехоустойчивости для более простых систем. Чтобы
вычислить характеристики помехоустойчивости, необходимо найти Adg
по формуле (111), а для этого требуется решить дисперсионное
уравнение (120).
3. Уравнения (116) — (121) довольно сложны. Однако, как будет
показано, их можно решить при вполне допустимом объеме
вычислений.
Пример, иллюстрирующий метод решения, приведен в § 13.3.
Точно такая же задача фильтрации возникает при построении
систем связи по каналам с рассеянием по двум параметрам.
На этом завершается рассмотрение реализации оптимального
приемника в переменных состояния при наличии реверберации.
Рассмотрим теперь третий случай, указанный на с. 506.
Случай 3. Реверберация с постоянным допплеровским профилем
и бесконечными пределами дальности. В некоторых случаях
интервал Ql достаточно велик по сравнению с временем наблюдения,
так что можно считать его бесконечным (см. рис. 13.10). Если
к тому же
KdrV — u, b) = KDu(t—u)9 (122)
510

то решение уравнения (106) можно получить, используя метод
преобразования Фурье. С учетом (122) и (104) получаем уравнение
R~^t, u) = EtKDu(t-u) I f(t-X)p{u-XidK (123)
— 00
которое тождественно (88). Из (91) имеем
Hr{f} = ^SDu{f}®b{fl (124)
где
Зг0>Д|?</>1". <125)
Подставляя (124) в (106), преобразуя и решая относительно Gao{f}t
получаем
а-«- м'ы&'тМ ■ <126а>
где fd — допплеровскии сдвиг частоты для нужной цели. Для цели
с нулевой скоростью
Goo{/}= ~F\f\ ~ ,, • (1266)
v/ N0+EtSDu{f}®sr{f}
Помехоустойчивость приемника определяется по формуле (9.77):
Д0=£, \JBtMLdf. (127)
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим теперь
конкретную задачу.
Пример 1. Рассмотрим такую же модель, как в примере с обычным
приемником на с. 500. Сигнал определяется соотношением (94), а
допплеровскии профиль — соотношением (93). Из (127) с учетом
(95) и (97) получим
Д = JL Г (1/2^By)-1 exp [-(f-fd)2/2B}] d 8)
Как и в случае обычного приемника, помехоустойчивость зависит
от значений D, /d/a# и Bf/oR, которые были определены на с. 501.
При D = 0,3 и 1,0 оптимальный и обычный приемники имеют почти
одинаковую помехоустойчивость. Зависимость отношения A0tTl =
= A0/(Er/NQ) от параметра Bf/oR представлена на рис. 13.16
графически для D = 10 и 100.
511

Полезно рассмотреть конкретный набор значений этих
параметров. Зададимся, к примеру, следующими значениями параметров:
/Л=5Д Bf/oR=\A D=\00. (129)
Нетрудно заметить, что этот набор значений выводит нас на
аналогичные участки обеих кривых рис. 13.16 и 13.11 и соответствует
неудовлетворительному выбору сигнала.
50,0 100,0
to
0,8
0,0
0,4
0,2
L
[-
1—I
^ч \^Ъ/бр=ЩО
*' \ \
I I I I I I N -Ч—ГТ.НЛП
Д=ЩО
I I UJ1L1J
0,5 1,0
5,0 ЩО
50,0 ЩО
Рис. 13.16. Помехоустойчивость оптимального приемника при
наличии реверберации.
Для указанного набора значений параметров
A0=0,762£r/W0,
ДШО = 0,528£Г/#0.
Отсюда видно, что при очень плохом выборе сигнала различие в
помехоустойчивости двух приемников составляет около 1,5 дБ.
512
(130)
(131)

При любом достаточно хорошем выборе сигнала различие в
помехоустойчивости двух приемников пренебрежимо мало. Это
объясняется тем, что при хорошо выбранном сигнале реверберационные эхо-
сигналы уменьшаются до уровня, когда оптимальный приемник не
требуется.
Рассмотрим кратко еще один пример.
Пример 2. В некоторых случаях допплеровское расширение
спектра реверберационных сигналов или мешающих отражений от
местных предметов мало по сравнению с шириной энергетического
спектра сигнала Sf {/}. В таких случаях удобно аппроксимировать
Sdu {/} дельта-импульсом (дельта-функцией):
SDu{f}~Pcb{f}. (132)
Предположим, что fd = О, так как цель с нулевой скоростью
обнаружить труднее всего. Из (1266) с учетом (132) получим
Goo{/}= Щ: — • (133)
U/ N0 + EtPc\F{f}\*
При малых уровнях реверберационных эхо-сигналов, таких, что
EtPcSj{f}/N0<^l, (134)
как нетрудно заметить, оптимальный фильтр сводится к
согласованному фильтру. Однако при больших уровнях реверберационных
эхо-сигналов
Cl{f}~UEtPc ?*{/}, (135)
что соответствует передаточной функции обращенного фильтра
(этот фильтр был впервые выведен в работе [31]). Таким образом,
оптимальный приемник имеет существенно другой характер в
частотных диапазонах, где ограничивающим фактором являются
реверберационные помехи, а не аддитивный белый шум.
Чтобы вычислить характеристики помехоустойчивости,
подставим (132) в (127) и получим
=Ё, \ —
\F{f)
12
\=ЕГ " v ' „ df. (136)
+ EtPe\F{f}
2
Полезно вычислить А0 для конкретного класса сигналов.
Рассмотрим сигналы Баттерворта, энергетический спектр которых
g ffl= (2n/k)sin(nl2n) _00<f<00t „=1|2,... (137)
Подставив (137) в (136) и проинтегрировав, получим
11/2/1-1
4°<"> = 1
1 Н —- sin
kN0 л 2п
(138а)
17 Зак. 1494 513

При n-> 00 имеем
(1386)
Из (138) следуют два вывода:
1. Увеличение энергии передаваемого сигнала—неэффективный
путь в борьбе с реверберацией; при сильной реверберации
A0(n)ocE}/2n^EJ12 при Et>\, (138в)
где знак равенства получается при использовании
экспоненциального импульса (п = 1).
2. Как и следовало ожидать, Д0 возрастает монотонно при
увеличении k (см. рис. 13.13).
Отметим, что в этом примере рассматривается цель с нулевой
скоростью, которую наиболее трудно обнаружить в условиях
реверберации, характер которой определяется соотношением (132).
Помехоустойчивость монотонно улучшается при увеличении скорости.
Этим случаем завершается рассмотрение вопросов синтеза
оптимальных приемников и анализа их помехоустойчивости при
наличии реверберации. Подведем теперь основные итоги
рассмотрения реверберационной проблемы.
13.2.3. Основные итоги рассмотрения проблемы реверберации
Мы исследовали проблему синтеза сигнала и приемника для
случая, когда цель является медленно флуктуирующей точечной
целью, а помеха состоит из сигналов от отражателей, имеющих
рассеяние по дальности и допплеровскому параметру, и
аддитивного белого шума.
При этом был получен ряд интересных результатов.
1. Если используется обычный приемник с согласованным
фильтром, то ухудшение помехоустойчивости из-за в шяния реверберации
оценивается величиной
оо
Pr=j^$pDR{f, Це{Ь-Ъ, h-f)dfd%. (139)
— сю
Этот интеграл имеет простую графическую интерпретацию, пока
занную на рис. 13.9.
2. Задача синтеза оптимального сигнала для обычного
приемника заключается в попытке минимизировать общий объем
реверберационной функции рассеяния и сдвинутой функции
неопределенности сигнала. Наилучший сигнал зависит от местоположения цели
на плоскости «дальность — допплеровский сдвиг» и от функции
Sdr {/, Ц.
514
До (00) = ^
#0
ziEt Pc
kN0

3. Если можно сделать указанные две функции практически
Непересекающимися, то обычный и оптимальный приемники
тождественны и их помехоустойчивость определяется только аддитивным
шумом.
4. Если приходится использовать сигнал, у которого эти две
функции имеют значительное перекрытие, то оптимальный приемник
обеспечивает повышенную помехоустойчивость. Важно помнить,
что эта улучшенная помехоустойчивость требует более сложного
приемника и предполагает знание функции рассеяния (включая ее
уровень) и интенсивности аддитивного шума.
5. Для большого числа случаев можно найти оптимальный
приемник и определить его помехоустойчивость. Методы выполнения
такого анализа были подробно изложены.
Рассмотрение было ограничено обычным и оптимальным
приемниками. В некоторых ситуациях полезными оказываются приемники
третьей категории. Такой приемник вычисляет величину
Tm*l r(t)v*(t)dt (140)
— 00
и сравнивает 11т |2 с порогом. Функция v (f) необязательно является
желаемым сигналом fd (/) или оптимальной функцией g(t),
определяемой уравнением (106). Можно было бы выбрать функцию v (О,
которая проще в реализации, чем функция g (/), но обеспечивает
более высокую помехоустойчивость, чем функция fd (t).
Помехоустойчивость приемника, осуществляющего операцию (140),
вычисляется по формуле
дте= = ДгЫ-ц. М § (141)
dfdk
где 0/о {•,•} — функция взаимной неопределенности,
определяемая выражением (10.222). Теперь можно выбрать функцию v(t),
минимизирующую параметр помехоустойчивости Дт. Заметим, что
на функцию v (t) необходимо наложить дополнительные ограничения,
иначе окажется, что оптимальная функция v (/) равна g (t). Одно
из возможных условий—потребовать, чтобы функция v(t) была
ступенчатой. Такое ограничение было бы логичным, если бы функция
f(t) была последовательностью импульсов прямоугольной формы.
Возможны и различные другие ограничения. *
Данная формулировка хороша тем, что позволяет построить
систему, которая работает лучше обычного приемника и проще
оптимального приемника. Эта задача и ее различные варианты
исследовались в работах [32 — 34]. Полагаем, что читатель обратится
17* 515
N.
l + Et!N0^ SDR{f, X}e/0{*, -/}

к этим источникам, поскольку в них хорошо показано, как можно
использовать реверберационную модель с рассеянием по двум
параметрам, чтобы получить эффективные реальные системы.
Различные аспекты этого вопроса изложены в задачах вне основного
текста (например, задачи 13.2.17 и 13.2.18).
Этим завершается рассмотрение задач, связанных с влиянием
мешающих отражений от местных предметов. Обратимся теперь
к задаче другого типа.
13.3. Обнаружение целей с рассеянием по двум
параметрам и передача информации по каналам
с рассеянием по двум параметрам
В этом параграфе мы рассмотрим две тесно связанные задачи.
Первая из них возникает в радио- и гидролокации и заключается
в необходимости обнаружения эхо-сигнала от цели с рассеянием
по двум параметрам при наличии аддитивного шума. Другая
задача относится к передаче цифровой информации по каналу с
рассеянием по двум параметрам. ^
Параграф подразделяется на четыре части. В п. 13.3.1
сформулированы количественные модели для двух указанных задач и
выведены выражения для оптимальных приемников и их
помехоустойчивости. Эти выражения содержат интегральные или
дифференциальные уравнения, которые в большинстве случаев не имеют
точных решений. В п. 13.3.2 разработаны приближенные модели целей
и каналов, позволяющие получить полное решение для оптимальных
приемников и оценить их помехоустойчивость. В п. 13.3.3
определена помехоустойчивость конкретного двоичного метода передачи
для иллюстрации рассматриваемых методов решения. В п. 13.3.4
рассмотрены некоторые родственные вопросы.
13.3.1. Постановка задачи
В этом параграфе мы сформулируем задачу обнаружения и за-
дачу'передачи двоичной информации количественно.
13.3.1.А. Обнаружение. Первая интересующая нас задача —
радио- или гидролокационное обнаружение цели. При этом излу
чается сигнал, комплексная огибающая которого равна ]/ Et f (t).
Если имеется цель с рассеянием по двум параметрам, то
комплексная огибающая эхо-сигнала имеет вид
s(/)= Jj YEtf(t-X)b(t, K)dK (142)
— 00
где b (t, А,) — выборочная функция комплексного гауссова процесса,
ковариационная функция которого определяется выражением (37).
516

Используемый процесс определяется соотношением (36), но
подстрочный индекс х опущен. Ковариационная функция эхо-сигнала
s (/) определяется выражением (22):
оо
Rr{t, u)=Et J Ht—tyKDRV—u, X)J*(u—X)dk. (143)
— 00
Помимо сигнальной компоненты, принимаемое колебание
содержит аддитивный комплексный белый шум w (t), ковариационная
функция которого
E[w(i)w*(u)] = N06(t — u). (144)
Если цель отсутствует, то принимаемое колебание
представляется лишь шумовым членом w (t). Таким образом, имеем двоичную
задачу испытания гипотез, в которой комплексные огибающие
принимаемых по двум гипотезам колебаний равны:
Г(*)=Г(0 + w (О, Г| < t < Tf: Нъ (145)
r(t) = w(t)9 ^</<Гу:Я0. (146)
По обеим гипотезам колебание г (/) является выборочной
функций комплексного гауссова случайного процесса. Если (145) и
(146) сравнить с соотношениями, определяющими задачу
обнаружения в гл. 11 (см. (11.30) и (11.31)), то нетрудно заметить, что их
форма одинакова. Единственное различие сравниваемых задач
заключается в форме ковариационной функции сигнальных
процессов. Поэтому все соотношения гл. 11, содержащие Кг (t, и) как
произвольную ковариационную функцию, справедливы и для
настоящей задачи. В частности, соотношения (11.33) — (11.40) и
рис. 11.7—11.9 справедливы для структур алгоритмов
приемников, а (11.50) — (11.54)—для оценки помехоустойчивости.
Именно при практических вычислениях по различным указанным
формулам становится важной модель с рассеянием по двум
параметрам. В частности, как выяснится далее, с ковариационной функцией,
определенной в виде (143), труднее работать, чем с ковариационными
функциями, встречающимися в случаях моделей с рассеянием по
одному параметру.
Для удобства использования и ссылок некоторые относящиеся
к рассматриваемой задаче результаты гл. 11 приводятся ниже.
Испытание по критерию отношения правдоподобия записывается
в виде
Tf
1 Г ~ н*
^=— J г* {t)Ti (U и) 7(и) dtdu > Y> О47)
517

Где h (/, //) удовлетворяет интегральному уравнению
ЛА
0А(/, w) + jj h(t, z)K7(z, u)dz=K7{ty u), Tf </, u^Tf, (148)
a /Cr(£, w) определяется выражением (143). Структурная схема
реализации приемника в виде оценивателя-коррелятора
представлена на рис. 11.7.
Другое выражение для испытания по критерию отношения
правдоподобия имеет вид
b=jr\ f2Re[r*(0MO]-|M0!2M^ V, 049)
1 i
где sr (t) — реализуемая оценка сигнала s (t) по минимуму средне-
квадратической ошибки, когда истинна гипотеза Нг.
Преимущество реализации по алгоритму (149) заключается в том, что во всех
случаях, когда s (t) имеет распределенное представление в
переменных состояния, мы располагаем системой уравнений (116) —
(121), которая определяет оценку sr (t).
Приближенные выражения для оценки помехоустойчивости,
которые были выведены ранее, требуют знания' величины \i (s),
которую можно записать в трех различных формах:
?оо=2
/= 1
(1—s) 1п( 1 +
N,
|i(s)=(l-s)lnDjr(~
■ ln(l+(l-s)A
Af0
■1пВрП~8
iV0
(150)
(151)
Ms)=-^- f [b(tJ®,N0)-b(tJ(t),-^)]
dt.
(152)
Чтобы определить помехоустойчивость, вычислим одно из этих
выражений. Прежде чем приступить к рассмотрению методов
вычисления, сформулируем модель канала связи.
13.3.1.Б. Двоичная система связи. Рассмотрим двоичную систему
связи, в которой используются ортогональные сигналы. Передается
один из двух ортогональных сигналов:
st{t)=^[V2EtJ{t)t^% 0^t^T:Hlt (153)
st (t) = Re [УЩ J(t) e/"o t], 0 < t < T : H0, (154)
518

где / (/) имеет единичную энергию. Заметим, что оба передаваемых
сигнала имеют одинаковые комплексные огибающие, но различные
несущие частоты. Необходимо кратко остановиться на вопросе
их выбора. Обе гипотезы предполагаются равновероятными.
Принимаемые колебания представляются в виде
г (t)=Re [ У2 si (0 e/«t <] + w (/), Tt < / < Tf: #lf (155)
r (0 = Re [У 2 ?0(0e'«-'] + «;(/). Tt^t^Tf:H0, (156)
oo
где si(/) = VE; J f(/ — Xjbiit.Xjdl, i = 0, 1. (157)
— 00
Процессы отражения ^ (^, X), i = 0, 1, представляют собой
выборочные функции комплексных гауссовых процессов с нулевыми
средними значениями, которые можно охарактеризовать такой же
функцией рассеяния Sdr {/, %}.
При передаче сигналов по рассматриваемым каналам имеют
место следующие два эффекта. Первый заключается в дисперсии
запаздывания. Если функция рассеяния имеет временную протяженность
L, то сигнальная компонента будет содержаться в принимаемом
колебании на интервале длительностью Т + L. Второй эффект
заключается в расширении частотного спектра. Если спектр функции
f(t) приближенно ограничен полосой частот шириной W [Гц], а
спектр функции рассеяния—полосой частот В [Гц], то сигнальная
компонента принимаемого колебания будет приближенно
ограничена полосой частот шириной W + В [Гц].
Предполагается, что разность 0Х — оо0 достаточно велика, так
что сигнальные компоненты на входе приемника находятся в
неперекрывающихся полосах частот. Нетрудно установить, что
разнесение этих частот должно учитывать как ширину спектра
передаваемого сигнала W, так и ширину спектра функции рассеяния В.
Таким образом,
(со! — ©0)/2я > W + В. (158)
Интервал наблюдения ограничен пределами [Tiy Tf] и
включает весь интервал, на котором имеется сигнал на выходе канала.
Из этого следует, что
Tf — Tt^T + L. (159)
Приемник должен решить, какой именно из двух ортогональных
полосовых гауссовых процессов присутствует на фоне аддитивного
белого гауссова шума. Критерием оптимальности служит
минимальная суммарная вероятность ошибок. Но эта задача уже
рассматривалась (см. § 11.3) и было показано, что оптимальный приемник
состоит из двух параллельных ветвей, содержащих фильтры с цен-
519

тральными частотами полос пропускания ю1 и ю0. В первой ветви
вычисляется
h й $5г* оh v, и)г («) лйи, (160)
где комплексное представление дается относительно частоты со^
В другой ветви вычисляется
Tf
/0 Д Ц г* (0 Л (/, и) г (и) dtdu, (161)
где комплексное представление дается относительно частоты со0.
Комплексная импульсная переходная функция определяется
уравнением
N0 h (t,u) + f h (t, z) K7 (z, u) dz=K7 (t, и), Г, < /, ы < 7",,
где (162а)
00
K7(t,u)=Et J J(t~K)KDR(t-u,X)J*(u-'k)dX. (1626)
— оо
Оптимальный критерий можно выразить в виде
/i 5 /о. (163)
Но
как показано на рис. 11.12. Нетрудно заметить, что (162а)
тождественно (148). Достаточные статистики /, и /0 можно также записать
в форме, тождественной (149). Таким образом, уравнения,
определяющие оптимальный приемник, для задачи радиолокационного
обнаружения и для задачи передачи двоичной информации
одинаковы. Отметим, что реальные функции рассеяния для этих двух
задач будут различны ввиду различия соответствующих физических
условий.
Определение помехоустойчивости в задаче связи значительно
проще ввиду того, что гипотезы симметричны, а порог равен нулю.
Точно так же, как в случае рассеяния по допплеровскому параметру,
рассмотренном в § 11.3, в данном случае существуют точные границы
суммарной вероятности ошибок. Из (11.75) имеем неравенство
iTBSci/2) iTBS(i/2)
е <Я(е)< е — <
2 [l+ /(я/8)?в8(1/2)] 2[l+ / (l/8)jIBS(l/2)]
^BSO/2)
<^— , (164)
520

где jies (s) можно выразить в виде-
£bs (s)=ixsm (s) +(xsm (1 —s). (165)
Подстрочный индекс BS означает бинарный симметричный, а
подстрочный индекс SIB — простой бинарный. Формулы для jxsib (s)
были приведены (см. (150) —(152)). Подставив (151) в (165) и
упростив, получим
|iBs(s)=ln t 3 . (166)
\Ор[(1-8)/Ы0]О^(8/М0) J
Показатель экспоненциальной функции в (164) равен
(2^г(1М))
|iBs (l/2) = ln —f '
D}r(l/2N0))
(167)
Величину |ibs (1/2) можно также выразить через реализуемую
минимальную среднеквадратическую ошибку фильтрации:
?вь (1/2)= ~ j [1p(/,^ (/), N0)-b(t,7(0,2Л/0)] Л. (168)
Основная форма этих выражений известна из гл. 11. Теперь
необходимо изложить процедуру отыскания требуемых функций. *&$
13.3.1.В. Краткие итоги. В этом параграфе была разработана
модель для задачи радиолокационного обнаружения и для задачи
двоичной передачи информации. Уравнения, определяющие
оптимальные приемники и их помехоустойчивость, были известны из
ранее изложенного материала. Новым вопросом, с которым мы
встретились в данном параграфе, был вопрос фактического решения этих
уравнений, когда ковариационная функция задана в виде (143).
Существуют два случая, когда эти уравнения можно решить
достаточно просто. Здесь мы лишь укажем их, а более подробно
рассмотрим позднее в этом параграфе. Первый случай соответствует
условию когерентности сигналов малой энергии (КСМЭ), которое
первоначально было рассмотрено в гл. 4. Этот случай исследуется
в п. 13.3.4. Второй случай является вырожденным и соответствует
ситуации, когда передаваемый сигнал выбран так, что цель или
канал имеет рассеяние лишь по одному параметру. Этот вырожденный
случай был рассмотрен на с. 486 (см. свойство 4, (22) — (29)), и мы
снова обратимся к его изучению в п. 13.3.3. Хотя эти два случая
521

оХватыйают многие задачи из числа Ёстречающихся на практике,
желательно иметь возможность решить любую задачу, связанную
с целью (или каналом) с рассеянием по двум параметрам. В
следующих двух пунктах изложены методы решения этой общей задачи.
13.3.2. Приближенные модели целей и каналов с рассеянием по
двум параметрам
В п. 13.3.1 были изложены два метода описания цели или
канала с рассеянием по двум параметрам:
1. Описание с помощью функции рассеяния.
2. Описание дифференциальными уравнениями в частных
производных.
Указанные методы приводят к моделям, которые легко
поддаются наглядному представлению и принимаются за точные модели
реальных физических явлений. К сожалению, за исключением
нескольких частных случаев, получаемые в результате уравнения,
определяющие оптимальный приемник и его помехоустойчивость,
решить невозможно.
В этом пункте разработаны некоторые приближенные модели
канала, которые позволяют вычислить функции, необходимые для
определения оптимального приемника и оценки его
помехоустойчивости. Рассматриваются три модели: ^
1. Модель в виде линии задержки с отводами.
2. Модель в форме общего ортогонального ряда.
3. Модель в форме приближенного дифференциального
уравнения, к
Первая модель интуитивно представляется вполне
удовлетворительной и относительно простой в реализации, поэтому начнем
рассмотрение с нее. Вторая модель в форме общей системы
ортогональных функций является логическим развитием модели в виде линии
задержки с отводами и во многих ситуациях приводит к
сокращению объема вычислений. Модель в форме приближенного
дифференциального уравнения приводит к модели в форме общего
ортогонального ряда по-другому.
Во всех трех случаях комплексная огибающая сигнальной
компоненты
оо
s(t) = VWt $ Ht-X)b(t,%)dk, -oo</<oo, (169)
— оо
где для простоты время наблюдения полагается бесконечным. Сигнал
s (t) представляется выборочной функцией гауссова случайного
процесса с нулевым средним значением, ковариационная функция
которого определяется выражением (143).
Метод, используемый при разработке приближенной модели ,
прямо ведет к конечной цели. Мы разлагаем функцию / (/ — X)
522

либо b (t, X) в ряд по полной системе ортонормальных функций. Это
позволяет заменить интеграл в (169) бесконечной суммой. Затем
производится усечение бесконечного ряда для получения
приближенной модели. Различные модели отличаются друг от друга
выбором ортогональных функций.
Следует помнить, что и «точная» модель, с которой мы работали
ранее, и приближенные модели, которые будут разработаны, в
известной мере являются приближениями к некоторым физическим
целям или каналам. В большинстве случаев приходится оценивать
характеристики цели, и это вносит ошибки в используемую модель.
В результате во многих случаях приближенные модели,
рассматриваемые в следующем пункте, могут представлять физическую цель
или канал столь же эффективно, как и точная модель, которую мы
использовали ранее.
13.3.2.А. Модель в виде линии задержки с отводами.
Предположим, что передаваемый сигнал /(/) имеет симметричный
относительно несущей частоты и ограниченный по ширине спектр:
?{/} = 0. 1/1 > ^/2. (170)
Поскольку ширина спектра функции / (/) ограничена, а интервал
наблюдения бесконечен, то логичной процедурой является
разложение функции / (I — X) в ряд с использованием теоремы отсчетов.
Таким образом,
/(/-*)= У J(t-.±)I»4*W-*M). (171)
/v > A i\ W, \ nWs{\-kjWs) ) v
K= —00
где Ws ^ W. Отметим, что исходя из^еоремы отсчетов можно было
бы просто положить Ws — W. Введение Ws придает модели
дополнительную гибкость, которой мы воспользуемся позднее.
Заметим, что в (171) зависимость от X учитывается
координатными функциями, а зависимость от t — коэффициентами ряда.
Такое разделение переменных является ключом к методу разложения
в ряд. Функции вида sin х/х — ортогональны, но не нормированы.
Это удобно при интерпретации коэффициентов ряда (171) как
отсчетов. Подставив (171) в (169), получим
(172)
Если определить
\(t)A 7 гг(,Д)*'""Дмя.-*/г.) dK (173)
AW- J nW,{K—k/Wt) v
523

то
о= 2 ? <--£• Uw. (J74)
Относительно (174) полезно сделать два замечания.
1. Функции / (t — k/W3) можно генерировать, пропуская
функцию f(t) через линию задержки с отводами, интервалы между
которыми соответствуют времени запаздывания \IWS [с].
2. Функции bk (/), —оо < t < оо, определяются выражением
(173), описывающим процесс весового интегрирования, который
иллюстрируется графиками рис. 13.17. Нетрудно заметить, что если
функция рассеяния имеет протяженность L, то функция bk (t) будет
практически равна нулю при отрицательных значениях k и всех
положительных значениях k>LWs.
Указанные два замечания приводят к модели цели (или канала),
представленной на рис. 13.181*.
Коэффициенты передачи (усиления) отводов выражаются
выборочными функциями (комплексными гауссовыми процессами с
нулевыми средними значениями). Для полного определения (задания)
модели необходимо знать их взаимно-ковариационные функции
E[bk(t) ~ЬНи)] = Е ( f f Ь«,Х)Ъ(и,Ьд ""**«(*-*/*«> х
Внося операцию математического ожидания под знак интеграла,
используя (37) и интегрируя по Хь получаем
Е
[\ (О Щ («)]= Г KDR {t-u,X) [Чи*1Г.(*-*/1Г.П х
l AW l\tl j \ик\ ,у nWs(X_k/Ws) J
f
JsinnWa(k—llWa)
*Wa(K-llW8)
d\. (176)
Это выражение справедливо при любой функции Kdr (t — и, X).
Проведенный анализ несколько упрощается, если коэффициенты
передачи отводов статистически независимы. Если функция
Kdr (t — и, X) практически не зависит от X на интервале \IWS
единиц, то интеграл (176) приближенно равен нулю при кф1. Если
Kdr (t — и> К) является гладкой функцией от К, то это приближение
1) Изображенная на рис. 13.18 модель предложена Кайлатом [35].
524

можно улучшить, увеличивая Ws. К сожалению, размер модели при
увеличении Wa возрастает. Влияние корреляции коэффициентов
передачи отводов будет рассмотрено на с.535. Если же
предположение о статистической независимости соблюдается, то
Е[\(()~Щи)\ =
\Ш,Л)\к ш/гЩЛ
l-kH'-'-i;)- *-'•
о,
тЩ(Л—щ-J
кф1.
(177)
Рис. 13.17. Местоположение весовой функции вида smxlx при
различных значениях k.
525

Так как процессы усиления в отводах стационарны, их также
можно выразить через их спектры. В результате преобразования
(177) получим
4in=~s
1 о Г, k
■яд j.
f
w*
(178)
Эти спектры в сущности являются поперечными сечениями функции
рассеяния при различных значениях X.
Теперь мы располагаем приближенной моделью цели (или канала).
Рассмотрев (174), можно заключить, что мы заменили канал с рас-
03mes Зремя заг?аз&/3ания L
Рис. 13.18. Модель цели (канала) с рассеянием по двум параметрам в виде
линии задержки с отводами.
сеянием по двум параметрам системой из /С+1 каналов с
рассеянием по одному пара^тру, суммарный выходной сигнал которых
равен
_ МО- (179)
£ = 0 ^ W S J
**(')= 2 /('
Но эту задачу мы можем решить для большого класса канальных
процессов.
В соответствии с (149) оптимальный приемник должен содержать
оценку sKr (t) колебания (179). Так как функция'/ (/) известна, то
(180)
s*r(*)=2 ~f(t—^rbkr(t).
Таким образом, основная задача реализации оптимального при*
емника заключается в формировании оценок коэффициентов
передачи отводов и их взвешивании путем умножения на весовые
коэффициенты / (/ — k/Ws). Модель в виде линии задержки с отводами
обладает тем преимуществом, что требуемые для нее функции можно
генерировать довольно простыми методами. Рассмотрим теперь
задачу синтеза оптимального приемника при использовании модели
цели (канала) в виде линии задержки с отводами.
526

Если Sdr {/, ^} является рациональной функцией частоты /,
то каждая из функций — коэффициентов передачи отводов — имеет
конечное представление в переменных состояния. Когда это условие
соблюдается, оптимальный приемник и его помехоустойчивость
можно определить, используя методы, которые уже были изложены.
Для иллюстрации этого сформулируем модель цели (канала) в
переменных состояния.1*
Предположим, что функция рассеяния такова, что требуется
линия задержки с К + 1 отводами. Тогда
~SK(t)=Y(t-^)\(t)9 T^t^f,, (181)
где интервал [Tit Ту] достаточно велик, так что практически вей
энергия выходного сигнала содержится в интервале наблюдения.
Вектор состояния для коэффициента передачи &-го отвода обозначим
через xh(t), тогда
xft(0=Ffcxfc(0 + CfcKfc(0;
М/)=СЛхЛ(0;
E[uh(t)Zt (a)]=Qhb(t-a);
E[xk(Tt)Zt(Tt)] = Ph-
Размерность этого вектора состояния Nh.\ \
Общий вектор состояния модели имеет размерность
к
N=% N
/2 = 0
ft»
(182)
(183)
(184)
(185)
(186)
и его можно записать как
х(/)Д
МО
МО
(187)
Тогда
Ь(0А
'МО
МО
л* (0_
Ci
х(0- (188)
LbK(t)_\
С* J
и Эта модель предложена в работе [36].
527

Принимаемый сигнал записывается в виде
мо=[7(о?('—
w.
- / /
к
г.,
Ь(/)ДС(/)х(0, (189)
где матрица С(^) определяется выражениями (188) и (189) как
С (О А
X
f(t)f(t-~)...flt
—У
X
Ci
о
JK-\
(190)
Теперь задача сведена к уже решенной (см. (11.41)—(11.49)).
Структурная схема приемника в комплексном представлении для за-
r(t)
• >
Комплексно -
сопряженный
оператор
W^JzrbH г**(+}-Н
ho?*(t>u)
sKrft)
"°JTi
l »t
Ho
Рис. 13.19. Структурная схема оптимального приемника для обнаружения
цели с рассеянием по двум параметрам.
дачи обнаружения, сформулированной соотношениями (145) и (146),
показана на рис. 13.19. Она совпадает со структурной схемой,
изображенной на рис. 11.9. Структурная схема оптимального
реализуемого фильтра представлена на рис. 13.20. Единственным
недостатком этой схемы является сложность формирования оценки s/o* (/)•
Эта сложность связана с размерностью дисперсионного уравнения,
являющегося в данном случае матричным уравнением размерностью
N X N. Как обычно, дисперсионное уравнение может быть решено
прежде, чем будет принята какая-либо информация.
Чтобы оценить помехоустойчивость, вычислим \i (s) по
формуле (152). Напомним, что £р (t, $(f), •)— это реализуемая средне-
квадратическая ошибка при оценке сигнала s (t) и получают ее из
решения дисперсионного уравнения.
Следует подчеркнуть, что интересующая нас задача
сформулирована в такой форме, когда оптимальный приемник и его
помехоустойчивость можно определить прямыми численными методами.
Отложим, однако, подробный разбор реального примера до тех пор,
пока не закончим рассмотрение различных моделей канала*
628

13.3.2. Б. Модель в форме общего ортогонального ряда. Модель в
виде линии задержки с отводами связана в значииельной мере с
интуитивным подходом и для многих физических ситуаций
неадекватна. Однако во многих задачах встречаются другие ортогональные
функции, которые обеспечивают более эффективное представление.
В этом пункте мы рассмотрим общую модель.
В качестве исходной служит модель в форме дифференциального
уравнения, которая была введена в п. 13.1.2. Уравнение состояния
имеет вид
ах(/Д)/а/ = Р(А,)х(^Д) + 6(А,)и(/Д)> (191)
где
E[u(t^)u*(t\V)]=Q(b)6(t—t')6{K — V). (192)
fit)
r(t)
x(t)
ь0ш
к
f(t)
с.
\bklt)
Сумматор
Т
Рис. 13.20. Структурная схема оптимального реализуемого фильтра с
импульсной переходной функцией h0r(t, z) для модели в виде линии задержки с
отводами.
Начальное состояние вектора состояния выражается в форме
£[х(Г0Д)х+(Г0Д') = Р0(Х)б(Х-Г)]. (193)
Канальный процесс представляется как
£(/Д) = С(Ь)х(*Д). (194)
Сигнальная компонента на выходе канала
?(0=У2Г, jj 7(t—X)l(t,x)dX.
(195)
В модели в виде линии задержки с отводами сигнал
представлялся в форме ортогонального ряда. В данном случае в виде ряда
мы представляем канальный процесс и его вектор состояния. Пред-
520

положим, что функции Фг (к), /=1,2,..., образуют полный орто-
нормальный ряд (систему), причем
J Ф.^Ф-(к)dk=8tj1 (196)
где интервал Ql — протяженность цели (или канала). Заметим, что
Ф^ (к) — произвольная система ортонормальных функций только
к. Методы выбора системы Ф( (к) рассмотрим позднее.
Сначала разложим вектор состояния в ряд:
х(/, к)= ].i. m хК (/, Я) =
к ^
= l.i.m. 2 Xi(t)Oi(k)f — oo</<oo, k£QL, (197)
где
Xi(f)=[ х(/Д)Фг-(Х)^, _оо</<оо. (198)
Разложим в ряд и канальный процесс, используя ту же систему
ортонормальных функций:
к
b(t, Ь) = 1. i. m. Ък (/, A,) = l. i. m. 2 *i (0 Ф* (Ь),
К-*°° К-*оо /^1
— оо</<оо, k£QLy (199)
где bt (/) определяются из условия
Ьк (/, к) = С(к)хК (/, К), — оо</ <оо, X 6 Ql. (200)
Будем называть b^(t9k) /С-членной аппроксимацией канального
процесса. _
Выведем теперь представление функции b% (t, k) в переменных
состояния. Из (197) имеем
J*v±2L= у J^L2Lg> (я,). (201)
/ = 1
Подставив (197) и (201) в (191), получим
ОО ./—
^Ш-Ф7.(^)=>
/~1 /-1
2^^Ф,м=>(^ 2^(офл^)+6(^)"('Д)- (202)
530

Умножив обе части (202) на Ф* (к) и проинтегрировав по К на
интервале Ql, получим
d xt (t)
dt
+ J G(k)u(t, b)Q>t(k)dX.
Обозначим теперь интегралы в (203) соответственно как
F„A J F{X)Oi(b)Oj(K)dX, /,/=1,2,...,
ut(t)A\ G(tyM(/,A,)6;(b)<u, i=l,2, ...
(203)
(204)
(205)
Усечение ряда дает /(-членную аппроксимацию канального
вектора состояния. Уравнение состояния при этом имеет вид
(206)
Если исходный распределенный вектор состояния является N-
мерным, то вектор состояния в (206) имеет NK измерений.
Уравнение (206) можно записать компактно в форме
d
dt
Xltf)
х2(0
Jk(0_
=
"Fu
F2i
F3i
_F/ci
F12 F13---Fi/c
F22
F#/c_
xx(0
xa(0
-M(t)_
-h
«iO
«2(0
_"к wj
dxM (t)ldt=f* (Ц xM (0 + uM (0-
(207)
Подстрочный индекс М означает «модель». Выражения для элементов
матрицы ковариационных функций для возбуждающей функции
имеют вид
= Е\\ G(k)u(t, ЦФ4* (Ц dk $ Й+(Я/) и*(/', Я')ф;.(Я')dV J =
С G (Я) Q (Я) G+(X) Ф,- (Я) Oj (X) dX
8(t—t')AQijb(t — t').
(208)
531

Начальные условия формулируются в виде
£[хг(Г0)х+(Г0)] =
= Е
J х (т0, X) ф; (К) dx $ х+(г0, х') 6j (У) dX'}=
«L fit J
= 5 Кх(^ф;(^ф>(х)с(х,
(209)
где K~ (Я,) определяется выражением (46).
Теперь необходимо найти матрицу наблюдений, связывающую
bt (t) и Хм (/)• Используя (197), (199) и (200), получаем
2 М0ФНЬ)=С(Ь) 2 х,(0Ф;(Л.).
(210)
Умножая обе части (210) на Ф* (к) и интегрируя на интервале Ql,
имеем
к
МО-
М0=2
/=i
J ф;^)С(Я)фу.(х)^
(211)
Обозначив интеграл из (211) через
at
можно записать
h (0 = ICjit,8... Сг7С] хм (0 А СШ хм (0-
Сигнальная компонента на выходе канала
(212)
(213)
(214)
~s(t) = VEt f J(t—X)b(t,X)dX,
— оо
а ее /(-членную аппроксимацию запишем в виде
?K(f)=VFt Г 7('-*) S *,(0Ф«(^)^= S F***(0- (215)
к ^ ^
где
7t*VEt s /р-^фм^-
(216)
532

Из (215) с учетом (213) имеем
sK (0 = ( 2 7* Cm J хм (/) ЛСмХм (/). (217)
Теперь мы располагаем /(-членной аппроксимацией модели,
полностью характеризуемой представлением в переменных состояния.
Коль скоро такое представление получено, все результаты п. 11.2.2
непосредственно применимы в данном случае. Отметим, что хотя
формула (217) выглядит сложной, все необходимые величины можно
вычислить простыми способами.
В отношении данной модели следует сделать два замечания:
1. Модель в виде линии задержки с отводами является частным
случаем этой модели (см. задачу 13.3.9).
2. Надлежащий выбор системы ортогональных функций будет
зависеть от функции рассеяния и сигнала. Искусный выбор системы
упрощает структуру уравнения состояния и уменьшает значение К,
необходимое для получения хорошего приближения. Именно
возможным упрощением уравнения состояния мотивируется необходимость
рассмотрения общей модели в форме ортогонального ряда. В
следующем пункте мы проиллюстрируем выбор ортогональной системы
функций для типичного примера.
До сих пор в данном параграфе мы рассматривали различные
модели в форме ортогонального ряда для каналов с рассеянием по
двум параметрам. При этом ставилась цель получить
конечномерное приближение, которое поддается полному анализу. Рассмотрим
теперь прямой анализ модели в форме дифференциального
уравнения.
13.3.2.В. Приближенная модель в форме дифференциального
уравнения1). Модель в форме дифференциального уравнениями
канала с рассеянием по двум параметрам описывается
соотношениями (38) — (41), которые повторены здесь для удобства. Уравнение
состояния имеет вид
дх (/, X)/dt = F (X) х (t, K) + G (X)Z(t, X), (218)
где
E [u(t, К) и* (t\ V)] = Q(k) б (/ —/') б (А,—Я'). (219)
Начальная ковариация вектора состояния
£[х(7,£Д)х+(Г/Д/)] = Ро(^)в(Л' — *■')• (22°)
Канальный процесс выражается в виде
6(/Д)=С(Ь)х(/Д). (221)
1) Результаты этого пункта взяты из работы [7].
533

Сигнальная компонента на выходе канала
со
s(/)= 5 J(t—\)b(t,'k)dk. (222)
— со
Оптимальный критерий можно записать через минимальную сред-
неквадратическую реализуемую оценку сигнала s (t). Из (149) имеем
^=-77- f <2 Re [Г* (0 «г М - I ^ W I2} dL (223)
^0 J
Заметим, что сигнал s (t) является только функцией времени,
поэтому Еесь вывод, приводящий к (149), применим здесь без каких-либо
модификаций.
Для реализации указанного выше испытания необходимо
располагать выражением для s (/). В результате получим уравнения,
аналогичные встречавшимся ранее в п. 13.2.2 (см. (116)—(121)).
В частности, уравнение оценки в нашем случае имеет вид
дх (/, K)/dt = F (Хук (/, %) + z (/, X) [?(/) -7(t: х (/, К))},
/ > Th К 6 ®l, (224)
х(Г1-Д) = 0, &eQL. (225)
Уравнение коэффициента передачи запишется в форме
j l(t:K^)C¥(^)VEmtJ*(t—%')dV
Дисперсионное уравнение имеет вид
д %(t: \K)ldt=?(%) %{t :KV) + l(t: К Л) F+ (V) + G(X)X
XQ(X)G+(X')—~- j £(/:M)C>)V^P(/-a)Arj V^ x
xj(t— o')C(o')l(t:o'9%')do' , ЛД'ейь ^>7\-> (227)
при начальном условии
|(Г,: К^)=%о(Т1Л)Ь(Х-Х') = К:^)Ь^-^1 (228)
Соотношения (224)--(228) характеризуют алгоритм оценки
канала. Используя эти уравнения и соотношения (222) и (223), получаем
534
No
(226)

структурную схему оптимального приемника, которая показана Иа
рис. 13.19.
Перед нами все еще стоит задача реализации уравнений (224)—
(228) с целью формирования оценки sr (/). Структурная схема
системы, содержащая пространственные операции, которые можно
использовать для формирования оценки sr (/), была представлена на
рис. 13.15 (если заменить оценку nr (t) оценкой sr (/)). В общем случае
эту систему реализовать невозможно и необходимо прибегнуть к
приближенному решению. Ввиду этого рассмотрим три процедуры
получения приближенного решения.
Первая процедура состоит в разложении вектора состояния по
ортонормальным функциям и усечении разложения К членами. Эта
процедура возвращает нас к модели, описанной на с. 529 — 533.
Вторая процедура заключается во взятии отсчетов по параметру К.
Получаемая в результате модель была бы аналогична модели в
виде линии задержки с отводами, рассмотренной в п. 13.3.2. Л, но
коэффициенты передачи отводов будут коррелированными. С
точки зрения вычислений эта процедура, как правило, неэффективна.
Изложим теперь третью процедуру, которая, по-видимому, дает
некоторые преимущества с точки зрения вычислений. Первый шаг—
разделить ковариационную матрицу на импульсный член и
ограниченный член в виде
f(/a,V)-|0(rf,X)6(^-V) + p(/:X,X'), ЬД'бО/-. t>Tt.
(229)
Подставляя (229) в (227), видим, что функция р (t : X, К') должна
удовлетворять дифференциальному уравнению
+ p(/:X,V)F+(X)-4-
#0
K-!{b)C+(b)VEtf(t-b) +
+ $?(': К о) C+(a)VEt f* (/ - a) do
+ jj VFt J(t- a') С (a') p (/: a\ V) do' 1}, t > Th %, %' £ Q/.,
(230)
QL
с нулевым начальным условием
р(*:ХД')=0.
(231)
535

Затем разложим р (( : X, %') в ряд
р (/ :%,%')= 2 2 Ру (О Ф| W Ф/ (X'), ЬД' € й ь * > Г,,
(232)
где Фг (X) — произвольная система ортонормальных функций;
Ри (О Д 5 ^ J P (t: К У) Фу (Ь) Ф* (A/) <&'. (233)
Эта процедура называется методом модального разложения.
Произведем усечение ряда на члене с индексом i = / = /С, чтобы
получить приближенное решение. Поступая, как и прежде, можно
вывести систему дифференциальных уравнений, определяющих
матрицу Pij(t) (см. задачу 13.3.12). Преимущество выделения
импульсного члена в (229) заключается в том, что сходимость этого
приближенного ядра обычно бывает лучше. Мы применим эту третью
процедуру к рассмотрению конкретной задачи в п. 13.3.3.
Последний шаг — оценить помехоустойчивость. Сделаем это
путем вычисления \i (s) и подстановки полученного значения в
приближенные формулы для ошибки. Величину \i (s) можно выразить
через реализуемую ошибку оценки сигнала но минимуму средне-
квадратической ошибки!р (/, s (t),N0) по формуле (11.54). Наконец,
выразим Ip (t, s (/), iV0) через g (t : X, А,').
По определению
Ъ(t~s(t), N0)AE[ |s(/)-1 (/)|2]. (234)
С учетом (221) и (222) из (234) получим
fp(^(0,Ag=$«to$ Ej(t-o)C(o)t(t:e,o')x
X&(o')J*(t—o')do'. (235)
Заметим, что для отыскания \i (1/2) необходимо решить
дисперсионное уравнение (227) при двух значениях уровня аддитивного шума:
N0 и 2NQ. В общем случае для отыскания ]Г (s) необходимо решить
дисперсионное уравнение при трех значениях уровня аддитивного
шума.
13.3.2.Г. Итоги рассмотрения приближенных моделей. В этом
пункте были рассмотрены различные модели, которые можно
использовать для приближенного представления цели (или канала)
с рассеянием по двум параметрам. Преимущество всех этих моделей
состоит в том, что они позволяют получить полное решение для
оптимального приемника и оценить его помехоустойчивость.
536

Модель в виде линии задержки с отводами является самой
простой в реализации и единственной моделью, которая используется
при разработке и анализе реальных систем. Остальные две модели
на данном этапе их развития наиболее полезны при исследовании
пределов помехоустойчивости.
Кроме рассмотренных, имеется много других приближенных
моделей каналов, с которыми можно ознакомиться в ряде работ
(например, [35, 61 и 64]),
13.3.3. Передача двоичной информации по каналам с рассеянием
по двум параметрам
В п. 13.3.1.Б была сформулирована модель двоичной системы
ЧМ, работающей по каналу с рассеянием по двум параметрам
(см. (153)—(168)). Здесь мы продолжим рассмотрение задачи связи.
Материал подразделяется на три части. В п. 13.3.3.А обсуждаются
границы помехоустойчивости двоичных систем связи и в качестве
примеров рассматриваются некоторые простые методы передачи
информации, которые позволяют приблизиться к этим границам.
В п. 13.3.3.Б проведен подробный анализ помехоустойчивости
конкретной системы при использовании одной из приближенных
моделей канала, рассмотренных в п. 13.3.2. В п. 13.3.3.В кратко
рассматриваются субоптимальные приемники.
13.3.3.А. Границы помехоустойчивости и эффективные системы.
Как было отмечено в п. 13.3.1.Б, соответствующая задача на
принятие решения заключается в обнаружении комплексного гауссова
процесса в комплексном белом гауссовом шуме. Ковариационная
функция сигнального процесса s (/) определяется выражением (5)
в виде
K7(t9u)=Et jj ~f(t-b)KDR(t — u,%)?(u — K)dk. (236)
— 00
Помехоустойчивость будет зависеть от Ety N0y f (t) и Kdr (t—и, Х),
и в общем случае оценить ее трудно. Однако в § 11.3 была по-,
лучена граница, указывающая, насколько хорошо может работать
любая двоичная система при заданных Et и N0. Поскольку эта
граница зависит только от собственных значений процесса s (/), она
сохраняет силу и в условиях настоящей задачи.
На с. 413 было показано, что для достижения указанной границы
сигнал следует построить таким образом, чтобы выходной процесс
имел D0 одинаковых собственных значений, причем
D0 = ^L± , (237)
0 3,07 V '
ET=Et §SDR{f,X}dfdk (238)
537

В этом оптимальном случае
Vbs (1/2)= -0,1488 (Er/N0). (239)
Следовательно, суммарная вероятность ошибок при использовании
любого сигнала / (/) имеет границу
P(e)<^exp(-0,1488^j. (240)
Простое по форме выражение (240) определяет границу
суммарной вероятности ошибок для двоичных ортогональных сигналов.
Трудность здесь заключается в том, что нет гарантии, что существует
сигнал, который позволяет достичь предельной помехоустойчивости.
Рассмотрим теперь две ситуации, когда можно приблизиться к этой
границе, имея простые сигналы.
Слабодиспергирующие каналы. В соответствии с условием (32)
слабодиспергирующий канал определяется как канал, для
которого произведение BL меньше единицы. Рассмотрим теперь задачу
связи по слабодиспергирующему каналу. (Заметим, что мы
допускаем В ^> 1 или L ^> 1 при условие что BL <С 1.)
При рассмотрении задачи связи по каналам с рассеянием по доп-
плеровскому параметру в § 11.3 (см., в частности с. 384—385) было
показано, что границу (240) можно достичь при любой функции
рассеяния, если отсутствуют ограничения по пиковой мощности или
максимальной длительности сигнала. Требуемый сигнал
представляет последовательность кратковременных импульсов,-число п
которых выбирается из условия оптимального разнесения,
определяемого формулой (237) (т. е. п = D0). Длительность Г каждого импульса
много меньше величины 5"1, обратной ширине спектра рассеяния
по допплеровскому параметру, поэтому время-селективных
замираний сигнала не происходит. В этом случае желаемое распределение
собственных значений достигается путем сведения канала к системе
нефлуктуирующих каналов с точечными областями рассеяния (с
точечными отр ажател ями).
Рассмотрим теперь аналогичную систему для связи по каналу с
рассеянием по двум параметрам. Соответствующий сигнал
представлен на рис. 13.21. Чтобы избежать время-селективных замираний,
потребуем, чтобы
Т <С 1/5. (241)1)
Чтобы избежать частотно-селективных замираний, потребуем, чтобы
W < 1/L. (242)
Х) В нашем рассмотрении величины В и W используются как
неточные меры ширины спектра. В данном контексте их точного определения не
требуется.
538

Объединив условия (241) и (242), найдем условие отсутствия
селективных замираний (т. е. когда имеют место только общие замирания):
WT « MBL. (243)
Однако известно, что для любого сигнала
WT^l. (244)
Поэтому, чтобы выполнить условие (243), потребуем, чтобы
BL С 1. (245)
Условию (245) могут отвечать только слабодиспергирующие
каналы (см. (32)). Условие (245) сильнее условия малой дисперсии
(32). Если условие (245) соблюдается и отсутствуют ограничения по
пиковой мощности или максимальной длительности сигнала, то
границу (240) можно достичь, используя сигнал, представленный на
рис. 13.21, с оптимально выбранными параметрами.
(D0 одинакодь/х имг?уу/бсод)
f(t)l
а
\
Тз
тР
■—
Ъ
■ ■ —■—^ч
Рис. 13.21. Сигнал для связи по слабодиспергирующему каналу.
Следует заметить, что требование (245) обычно является
чрезмерно жестким. Во многих случаях можно близко подойти к
границе (240), используя сигнал рис. 13.21 при значениях произведения
BLy приближающихся к единице. ^
Рассмотрим далее случай сильнодиспергирующих каналов.
Сильнодиспергирующие каналы. Если BL > 1, то не может
быть равномерных (общих) замираний во времени и по частоте.
Однако можно выбрать сигнал так, что будут либо время-селективные,
либо частотно-селективные замирания, но не оба вида замираний
одновременно. Покажем это на простом примере.
Пример. Рассмотрим идеализированный канал, функция
рассеяния которого показана на рис. 13.22. Предположим, что
BL = 5. (246)
Излучается прямоугольный импульс большой длительности с
огибающей __
:[Vl/7\ 0<*<Г,
/(0=
Потребуем также, чтобы
1 0 при других t.
Т> 10 L.
(247)
(248)
539

Сравнивая (248) и (242), видим, что данный канал можно
рассматривать как канал с рассеянием по допплеровскому параметру. Из
результатов примера 1 гл. 11 известно, что если
2ВТ--
3,07
(249)
то граница (240) достигается. С учетом (246) и (248) получаем
условие __
Er/N0 > 307, (250)
практическое выполнение которого нереально (Р (г) ~ 10~21).
Можно получить более реалистичное решение путем ослабления
некоторых требований. Например, если потребовать, чтобы
3
т>
(251)
2ВТ=
1 Ег1Но
то достаточно, чтобы
3,07
Er/N0 > 60.
(252)
(253)
Система, описываемая соотношениями (251)—(253), вполне
реалистична, и ее помехоустойчивость будет близка к границе.
Этот пример иллюстрирует
\ Wl^J
У*-
Рис. 13.22. Идеализированная
функция рассеяния.
один из методов эффективной
передачи информации по силь-
нодиспергирующему каналу.
Лежащая в его основе идея
проста. Канал с рассеянием по
двум параметрам обеспечивает
некоторую степень неявного
разнесения в выходном
сигнале. Если значение Er/N0
достаточно велико, чтобы сделать
эту степень разнесения близкой
к оптимальной, то данная
система будет иметь помехоустойчивость, близкую к предельной.
С другой стороны, если отношение Er/N0 чрезмерно мало, то
помехоустойчивость может быть относительно плохой.
Краткие итоги, В этом пункте были рассмотрены границы
помехоустойчивости, которые применимы к любой двоичной системе
связи. Кроме того, были рассмотрены возможные методы передачи
информации по слабо- и сильнодиспергирующим каналам. В случае
слабодиспергирующего канала можно использовать сигнал,
который сводит канал к системе нефлуктуирующих каналов с
точечными отражателями. Выбором правильного числа составляющих
полезный сигнал импульсов можно достичь указанной границы. В слу-
540

чае сильнодиспергирующего канала можно использовать сигнал,
который сводит этот канал к каналу с рассеянием по одному
параметру. В этом случае к границе можно приблизиться, если
располагаемое значение Er/N0 достаточно велико. В обоих случаях
имеется возможность использовать сигналы, которые устраняют
рассеяние по двум параметрам в канале. Это дает ряд преимуществ:
1. Оптимальный приемник оказывается не очень сложным.
2. Анализ помехоустойчивости выполняется сравнительно
просто.
3. Помехоустойчивость достаточно близка к границе, тогда как
использование канала в режиме рассеяния по двум параметрам не
обеспечивает значительного уменьшения суммарной вероятности
ошибок.
Как выясняется, в большом числе физических ситуаций такого
упрощения можно достичь, так что проведенное рассмотрение
вполне оправдано. С другой стороны, существуют по крайней мере две
причины, почему желательно иметь возможность анализировать
модель'канала с рассеянием по двум параметрам непосредственно.
1. Имеются случаи, когда канал упростить невозможно из-за
ограничений по длительности или по ширине спектра сигнала.
2. Существует случай, промежуточный между случаями с
рассеянием по одному и по двум параметрам, когда необходимо проверять
наши интуитивные соображения; в этой области основные
характеристики (параметры) канала (W, Г, В и L) оказываются
неадекватными.
В п. 13.3.2 были рассмотрены модели, необходимые для
выполнения такого анализа. В следующем пункте используем эти модели
для анализа помехоустойчивости двоичной системы связи.
13.5.5.Б. Анализ помехоустойчивости конкретной системы связиг).
В п. 13.2.3 были рассмотрены приближенные модели канала,
используя которые можно произвести синтез оптимального приемника и
анализ его помехоустойчивости. Для иллюстрации подробностей
используемого метода рассмотрим теперь конкретную систему связок
Первая цель такого рассмотрения — показать на примере фактические
этапы, которые необходимо пройти при анализе помехоустойчивости
системы связи. Это подробное рассмотрение иллюстрирует идеи
п. 13.3.2 и поможет читателю при анализе любой интересующей его
системы. Вторая цель — помочь выяснить основные вопросы
анализа системы связи, работающей по каналу с рассеянием по двум
параметрам, и исследовать связь между параметрами сигнала и
функцией рассеяния. Полученные количественные результаты
применимы только к этой конкретной системе, но рассмотренный метод
можно использовать при решении других задач. Этот материал
существенно дополняет результаты пЛЗ.З.З.А.
Задача передачи двоичной информации формулируется
соотношениями (153)—(168). Канальный процесс рассеяния описывается соот-
Х) Материал п. 13.3.3.Б заимствован из работы [7].
541

Ношениями (38)—(51). Рассмотрим функцию рассеяния,
представляющую частный случай функции рассеяния, которая приведена
в примере на с. 491. Определяющие ее функции имеют вид
Q(X)=-^(l_cos-^jmL(X)f (254)
где
(V, Л > L
-- вентильная функция. Кроме того,
% (К) = k, (256)
С(Я) = 1. (257)
Заметим, что в этой простой задаче
b(t,%)=x(t,X)- (258)
Итак, функция рассеяния канала имеет вид
SDR{f,X}=;Q(%)/[(2nf)* + k*]. (259)
Чтобы использовать (230), необходимо знать К~ (%). Вспомнив
из (46)—(49), что
*Г7(Ь)=й>л(0,Х), (260)
имеем
К7 (X)=j-(l-cos^)mL(X). (261)
Предположим, что передаваемый сигнал является
прямоугольным импульсом. Тогда
ft/)=Jl/V7\ 0</<7\
( 0 при других ^,
т. е.
7(0 = mrW/Vrf -оо<г<оо. (262)
Для простоты будем считать, что время распространения сигнала
равно нулю. (Это эквивалентно переносу начала отсчета времени.)
Интервал наблюдения определяется концевыми точками
Г, = 0, (263)
Tf = Т + L. (264)
642

Теперь рассматриваемая система связи полностью задана
(определена) и необходимо определить ее помехоустойчивость. Чтобы найти
{Tbs (1/2), нужно вычислить 1Р (/, Г(0, •) Для двух уровней шума.
Функция %р (/,~s (Of ') связана с функцией % (t'\ А/) соотношением
(235). С учетом (262) из (235) получаем
b(O(t)9N0)=j^ ^mT(t-x)mT(t-K') x
X%(t:KK)dbdV,
(265)
где функция I (t: А, X') определяется уравнением (227) и
начальным условием (228). Для отыскания этой функции разобьем ее на
два члена, как в (229), и решим относительно р (t :%, %'). С учетом
(254)—(257), (26!), (262) и (230) получим
dp(t :%,%')
dt
= —2kp(t :%,%')-
N0T \
1 —cos (2nk/L)
L
1—cos(2jiA,'/Z.)
I
+ f mT{t—'k,)J){t\K,k,)d,kf
— 00
OO П*\
+ 5 mT(t-X)p(t:X,X')dXl , O^X,X'<L, t^O,
— 00 J J
с начальными условиями
p(0:A,,V) = 0, 0<ЛД'<1.
Шг(/—Л) +
Шг (/-*,') +
(266)
(267)
Покажем теперь, как получить приближенное решение
уравнения (266), используя метод модального разложения, рассмотренный
на с. 536. В соответствии с (232) представим7? (/: X, X') как
, оо оо
/>(/:АД')=2 2 Av(O^W^/(nO<X,V<L,0</<r + Z,,
(268)
где Ф( (к) — произвольная система ортонормальных функций.
Поступая так же, как предлагается после формулы (233), можно
вывести уравнение, определяющее функцию ]?и (/). Для полной
ясности фактически производимых преобразований и выкладок
материал излагается достаточно подробно.
543

Формулы модального разложения. В результате подстановки
(268) в (266) получим
ОО ОО _/—'
2 2J^r-^w^^')=-2^2 2Ри(0Ф«(*)ф*(^)-
NaT
1— cos(2nl/L)
ГПз
ОО СХ»
'•= 1 /= 1
— оо
\~cos(2nl'/L)
X
1Щ. ('-*') +
+ 1; mT(t-o') 2 5 ^(ОФЛОФ/М^! 1 ■
- оо <•= 1 /= 1 J J
(269)
Произведем теперь следующие операции:
1. Умножим обе части (269) на Ф£ (Х)Ф, (V) и проинтегрируем
по Я и %'.
2. Чтобы упростить уравнение, полученное в п. 1, введем
обозначения:
1 —cos (2no/L)
ло= j -^
П1г(/—а) Шх. (а) Ф{ (a) do, (270)
М0= 5 mr(t-o)mL(o)oi(e)d<s. (27i)
— ОО
3. Отбросим в полученном уравнении все члены, начиная с
(К + 1)-го. В результате получим конечномерное уравнение Рик-
кати.
В рассматриваемой задаче (270) и (271) сводятся к виду
гк
-соз(2яа/В$Иа)^
где
544
а
\{t)=\ot{o)do,
а
b Д min (L, /),
а Д min (b, max (0, / — Г)).
(272)
(273)
(274)
(275)

Выполняя операции п. 1 и используя обозначения (определения) из
п. 2, приходим к дифференциальному уравнению
at N0T
MO+JUHOMolx
X
2*i(0+ 2 p,i(0«(0
/= 1
(276)
Произведя усечение ряда на /С-м члене, можно представить (276) в
следующей матричной форме
dp {t) 2kp(t) —^ [ z (/) + Р (0 b (/)] [z (0 + p (/) b (/)]+,
Л
ЛГ0Г
(277)
где определения матриц р (/), z (^) и b (/) очевидны. Начальное
условие имеет вид
р(/) = 0. (278)
Теперь задача сведена к конечномерному уравнению Риккати,
которое можно решить численными методами.
Последний вопрос — выбор ортогональных функций {Ф* (Я)}.
Необходимо выбрать их так, чтобы размерность
аппроксимирующей системы была малой и чтобы вычисление величин в (272) и (273)
было простым. Как отмечалось ранее, рациональный выбор системы
ортогональных функций позволяет значительно сократить объем
вычислительных работ. В рассматриваемом случае функция
рассеяния имеет форму скругленной косинусоиды, а
сигнал—прямоугольную форму, поэтому логично выбрать систему функций обычного
разложения в ряд Фурье. Пусть
51(X)=1/VZ, 0<X<L,
ф2 (К) = У 2/Z cos (2яЯ/1), 0 < Я < U
03(X)=V2/Lsm(2n'k/L)i 0<X<L,
(279)
и. т. д. Теперь мы располагаем всеми величинами, необходимыми
для определения помехоустойчивости.
Помехоустойчивость системы связи будет зависеть от значения
параметров Er/N0y k, L и Т. Прежде чем приступить к вычислениям,
обсудим влияние этих параметров.
Прежде всего зафиксируем первые три параметра и исследуем
влияние параметра Т. Длительность входного сигнала влияет на
число степеней свободы выходного сигнала. Это явление будем
называть эффектом разнесения системы. Грубую оценку степени
разнесения можно получить, умножив степень разнесения, обусловлен-
18 Зак. 1494 §45

ного рассеянием по допплеровскому параметру, на степень
разнесения, обусловленного рассеянием по дальности:
D = (1 + kT)(\ + LIT).
(280)
0,1
'''"'I ' I '
Гй
fc~
10 ZO
К формуле (280) полезно сделать три замечания:
I. Спектр замираний является однополюсным, поэтому
наилучшая мера ширины спектра неочевидна; эффективная ширина
спектра — ширина эквивалентного
спектра с огибающей
прямоугольной формы — равна k/2
[Гц] (двусторонний спектр),
т. е. можно было бы получить
более точную меру, введя
постоянный коэффициент
перед kT.
2. Более точные меры
степени разнесения
рассмотрены в работе [37]; для
нашего интуитивного
рассмотрения формула (280) адекватна.
3. Формула (280)
справедлива для импульса
прямоугольной формы при WT=l.
Формула разнесения (280)
представлена графически в
виде функции параметра VДТ VkIL на рис. 13.23. Нетрудно
заметить, что минимальная степень разнесения имеет место при
T=VZ]kf (281)
а ее значение равно
Dm,n = (\+VK)\ (282)
Из ранее изложенного материала известно, что существует
оптимальная степень разнесения, которая, по нашей оценке, равна
1 £г
3 N0 "
Рис. 13.23. Коэффициент разнесения
канала с рассеянием по двум параметрам
(WT=1).
D
opt
(283)
Сравнивая (282) и (283), видим, что если
Dmin > -D0pt,
(284)
то оптимальное значение Т определяется формулой (281) и
помехоустойчивость уменьшается как при уменьшении, так и при
увеличении Т (рис. 13.24, а). Интуитивно это можно представить себе
следующим образом: произведение kL настолько велико, что канал
вносит большую степень разнесения, чем требуется. С другой стороны,
если
£Un<£>oPt, (285)
546

to общее поведение кривой, характеризующей помехоустойчивость,
будет таким, как показано на рис. 13.24, б. Помехоустойчивость
при этом будет иметь два одинаковых максимума при двух
значениях Т.
Минимальная степень разнесения возрастает монотонно при
увеличении произведения kL, тогда как оптимальная степень
разнесения возрастает монотонно с увеличением отношения Er/NQ. Поэтому
при данном значении произведения kL
следует ожидать, что зависимость
функции j (Ibs (1/2) |, характеризующей
помехоустойчивость от Т, при малых
значениях Er/N0 будет иметь характер,
показанный на рис. 13.24, а, а при
больших значениях Er/N0 — характер,
показанный на рис. 13.24, б. Из примера,
приведенного на с.539 (см.(247) — (253)),
следует что если отношение Er/N0
достаточно велико, что при увеличении
произведения kL помехоустойчивость
уменьшится незначительно.
На этом наше интуитивное
рассмотрение завершается. Курт [7] произвел
анализ системы, описываемой
соотношениями (254) — (264), применив метод
модального разложения к (265) — (279).
На рис. 13.25— 13.27 представлено
несколько семейств кривых
помехоустойчивости. На этих графиках по оси
ординат откладываются значения коэффи-
?bsO/2)
циента эффективности —=-
а)
а по оси
Рис. 13.24. Графики, дающие
качественное представление
о зависимости
помехоустойчивости от длительности
импульса Т при различной
степени разнесения:
а — избыточная степень
разнесения; б — оптимальная степень
разнесения.
Er/No
абсцисс — значения длительности
импульса Т. На рис. 13.25 произведение
&L = 0,25, на рис. 13.26 величина kL =
= 1,0, а на рис. 13.27 параметр kL =
= 6,25. Во всех случаях k = L.
Различные кривые соответствуют различным значениям отношения
Er/N0. Нетрудно установить, что вид приведенных здесь кривых
соответствует ожидаемым результатам. При малых значениях ~ErIN0
и Dopt<Pmin имеется единственный максимум. При больших
значениях Er/N0 и Dopt > £>min имеется два максимума. При
увеличении kL, чтобы__получить двугорбую кривую, требуется все
большее значение Er/N0.
На рис. 13.28 показано влияние произведения kL. Для
построения этих кривых взято значение Т, которое максимизирует вели-
18* 547

Ъ%-;о
л i i i м i и
[ 1 i I i i III
0,t 0,2 0,4 0,0 Г Z 3 *t 5 7 W 20
Рис. 13.25. Помехоустойчивость оптимального приемника
(двоичная ортогональная система связи, замирания первого порядка,
слабоднспергирующий капал, £ = 0,5, L = 0,5, прямоугольная
огибающая 7(0 [7])-
Off $2 0,3 0,50,7 / 2 3 4 5 7 10 20
Рис. 13.26. Помехоустойчивость оптимального приемника
(двоичная ортогональная система связи, замирания первого порядка,
канал с рассеянием по двум параметрам, &=1, L=l,
прямоугольная огибающая f(t) [7]).
548

0,1 0,2 0,3 0,50,7 / T_l^ 3 45 7/0 20
Рис. 13.27. Помехоустойчивость оптимального приемника
(двоичная ортогональная система связи, замирания первого порядка,
силыюднспергирующий канал, k = 2,5, L = 2,5, прямоугольная
огибающая f(t) [7]).
10
\ 2А
^ 1,0
Ч
0,1
Граница (0,1U88 Ег/Я0) /у
Ч'-
i i i i i i i i i
J I I 1 1 1 1 I
, 10
100
Рис. 13.28. Помехоустойчивость оптимального приемника
(двоичная ортогональная система связи по каналу с рассеянием по двум
параметрам, оптимальное значение Т, прямоугольная огибающая
T(t),k=L [7]).
549

чину | (LiBs (1/2) I при заданных значениях kL и Er/N0 (k — L для всех
кривых). Здесь по вертикальной оси отложены значения |[xBs (1/2)|,
а но горизонтальной оси — отношение Er/N0. Каждая кривая
соответствует определенному значению kL. При фиксированном
значении E,JN{) показатель экспоненциальной функции убывает по мере
увеличения kL, но это изменение незначительно.
Этот пример иллюстрирует анализ помехоустойчивости
типичной системы связи. У читателя могут возникнуть затруднения при
изучении изложенного материала ввиду неожиданного перехода от
формул, приведенных на с. 544—545, к графикам рис. 13.25—13.28.
Промежуточные этапы сводятся к выполнению расчетов численными
методами. При этом, разумеется, большое значение имеют
эффективные алгоритмы вычислений, но этот вопрос выходит за рамки
данного рассмотрения. Тем не менее один аспект процедуры
вычислений представляет несомненный интерес. Как уже
подчеркивалось, рациональный выбор ортогональных функций позволяет
упростить вычисления. Для получения кривых рис. 13.25—13.28
увеличивали К до тех пор, пока величина \ibs (1/2) не
стабилизировалась. В табл. 13.1 указаны значения /С, необходимые для
достижения нужной точности вычислений величины \ibs (1/2) по
крайней мере в трех точках в зависимости от различных
фигурирующих в рассматриваемой задаче параметров [71. Если
W - \1Т С ML (286)
или
Т « l/k (287)
и отношение Er/N0 велико, то требуется большее количество К
членов. Заметим, что, когда условие (286) соблюдается, канал можно
моделировать как канал с точечным отражателем, имеющий
рассеяние по допплеровскому параметру, а когда соблюдается (287),
канал можно моделировать как нефлуктуирующий канал с
рассеянием по дальности. Следовательно, можно избежать случаев,
требующих наибольших объемов вычислений.
В этом пункте мы фактически выполнили анализ
помехоустойчивости для конкретной задачи. Этот анализ показывает полезность
моделей канала, рассмотренных в п. 13.3.2, для исследования
задач, связанных с использованием каналов или целей с рассеянием по
двум параметрам. Кроме того, он показывает количественно, как
различные параметры системы влияют на ее помехоустойчивость.
13.3.3.В. Краткие итоги. В этом пункте была рассмотрена
задача передачи двоичной информации по каналам с рассеянием по двум
параметрам. Следует еще раз подчеркнуть следующее.
1. Если произведение BL канала мало, то данный канал можно
свести к системе нефлуктуирующих каналов с точечными
отражателями при надлежащем выборе сигналов. Получаемая в результате
система по своей помехоустойчивости достигает границы. Так как
550

Таблица 13.1
Число членов разложения, необходимое для достижения требуемой
точности по крайней мере в трех точках при вычислении величины
|?Bs(l/2)|/(£r/^0) [ 7 ]
r.rlN0
5
5
5
20
5
5
20
5
5
20
20
к
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
1
2,5
2,5
2,5
2,5
/.
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
1
2,5
2,5
2,5
2,5
т
0,1
1
10
1
1
10
1
0,1
1
1
10
К
17
13
20
13
13
21
17
25
17
17
25
в этом случае приемник оказывается простым в реализации, этот
режим работы следует использовать для слабодиспергирующих
каналов, где это только возможно.
2. Если канал является сильнодиспергирующим, то его можно
свести к каналу с рассеянием по одному параметру при надлежащем
построении сигнала. Эффективность получаемой в результате
системы зависит от особенностей функции рассеяния и отношения Er/N0.
Так как приемник для канала с рассеянием по одному параметру
проще приемника для канала с рассеянием по двум параметрам,
указанный режим работы следует максимально возможно
использовать для сильнодиспергирующих каналов.
3. Большинство функций рассеяния можно адекватно
аппроксимировать распределенной моделью в переменных состояния. В этом
случае помехоустойчивость системы можно анализировать,
используя метод модального разложения, изложенный в данном пункте.
Хотя такой анализ довольно сложен, он все же выполним.
Полученные результаты дают количественное подтверждение наших
интуитивных соображений в простых случаях и помогают исследовать
более сложные системы, интуитивный подход к анализу которых
был бы затруднителен.
Этим завершается рассмотрение задачи передачи двоичной
информации. В п. 13.3.5 мы кратко рассмотрим многоальтернативные
системы.
13.3.4. Обнаружение в случае КСМЭ
Модели для задачи обнаружения и для задачи двоичной связи
были сформулированы в п. 13.3.1. В последующих пунктах были
подробно рассмотрены различные аспекты общего случая. Сущест-
55!

вует один частный случай, когда полученные результаты
оказываются значительно проще. Это случай когерентности сигналов
малой энергии (КСМЭ), с которым мы несколько раз встречались
ранее.
В п. 13.3.4.А рассматривается задача обнаружения в случае
КСМЭ. Предполагается, что в общем случае, который кратко
обсуждается в п. 13.3.4.Б, используются субоптимальные приемники.
13.3.4.А. Приемники для случая КСМЭ. Если наибольшее
собственное значение процесса s (t) обозначить через Хтах, то условие
КСМЭ можно записать в виде
WAfo<l. (288)
Повторяя рассуждения и выкладки, аналогичные выполненным в
п. 11.2.4, можно заключить, что испытание по критерию отношения
правдоподобия для простой двоичной задачи обнаружения сводится
к форме
1r=^ f f ?*(№(/, u)7(u)dtduiy- (289)
^0 J J Ho
i
Подстановка (143) в (289) дает
Tf оо
1*=-щ\\Ши J 7*{t)f{t-X)
X
Tt
X Kdr (I -u, X) f* (u - X) F(u) dX£ T- (290)
Ho
Особенно простую реализацию можно получить, когда Tt -> —оо
и Tf -> оо, путем разложения (факторизации) функции Kdr (t — и,
X) по оси времени;
KdrV-u* *)= I Ш£2]*(г-*, ЦШР(г-и, X)dz. (291)
— 00
Из (290) с учетом (291) имеем
оо оо оо
lR = j^ J dz j J Л^2](г-«, X)f*(u-X)7(u)du
dX. (232)
Структурная схема приемника, определяемого выражением (292),
показана на рис. 13.291>. Так как этот приемник требует
непрерывной операции по X, его невозможно реализовать точно. Приближение
к оптимальному приемнику можно получить путем дискретизации
по X и замены интегрирования по X конечной суммой. Такая реализа-
*> Впервые синтезирована и исследована Прайсом [5].
55?

ция представлена па рис. 13.30. Этот приемник1) практически
оптимален в условиях КСМЭ.
Когда условие КСМЭ соблюдается, (11.65) дает
f*W
Линия задержки
с часть/а/и отвис/яма
у»»/?»;/>>/,)»>>?»ггт7.
№
Xf + dX
Линий задержки а am Зада ми
Один из дшодад
У73 1
f*(t-Af)
r(t)
-М х
Типичная
Зыходная
величина на одном
\из am да да3
f*(t-Xr)
^
1
1
ш
1
г
*
(г-
1
Н'
\
и,Х)
Г jz (иитегрираЗани^
eL со За дремени)
*
\ .
Лрос/пранстденное
интегрирадание \
XT
I*
Одинаковые
тракты
обработки
i__L
I
Сумматор
«
Рис. 13.29. Структурная схема опти- Рис. 13.30. Структурная схема прием-
мального приемника для канала с рас- ника, приближенно реализующего
сеянием по двум параметрам при приемник, представленный на
условии КСМЭ. рис. 13.29.
Подставляя (143) в (293), получаем
s(l-s) ( Еп
fx(s)
iktid,iu I n'-K)
X
X
KdrV-u, K)T*(u-K)dK J T*(t-K)X
xKbR(t—u, У№-УД2
(294)
x> Этот приемник также впервые синтезирован и исследован в работе [5].
553

Это выражение можно записать в более компактной форме
|i(s) =
-^jj'efT, о>|/?/>к{т, i»>frf-n/o , (295)
— oo /
где 0 {т, у} — функция неопределенности сигнала; RDR {г, с»} —
двухчастотная корреляционная функция, определяемая
выражением (21) (см. задачу 13.3.21).
Хотя наше обсуждение задачи обнаружения в условиях КСМЭ
было кратким, не следует недооценивать его важности. Во многих
случаях система вынужденно работает в условиях КСМЭ. Тогда не-
Рис. 13.31. Структурная схема субоптимального приемника для обнаружения
сигнала с рассеянием по двум параметрам.
посредственно применимы выражения (292) и (295). В других
случаях условие КСМЭ не соблюдается, но приемник для случая КСМЭ
оказывается субоптимальным. Этот вопрос кратко рассматривается
в следующем пункте.
13.3.4.Б. Субоптимальные приемники. Первый субоптимальный
приемник следует непосредственно из рис. 13.30. Мы сохраняем эту
же структуру, но допускаем наличие произвольного фильтра с
постоянными во времени параметрами в каждом тракте. Таким
образом,
/=1
/to=S S $ h(z — u, %i)fi(u — lki)7(u)du
dz
(296)
Помехоустойчивость этого приемника можно анализировать
методами, рассмотренными в § 11.3 и п. 13.3.3. Изменяя h (•, Xt)9 можно
оптимизировать помехоустойчивость в пределах ограничений.
Конкретные вычисления сложны, но выполнимы.
Второй субоптимальный приемник является обобщением
приемников, представленных на рис. 11.19 и 12.11. Его структурная схема
показана на рис. 13,31. Заметим, что в ней имеется Nr параллель-
554

ных трактов и каждый тракт содержит No корреляционных
операций. В первом приближении можно выбрать
Ws = V(T + L), (297a)
Ts = \1{В + W)y (2976)
так что будем иметь систему со степенью разнесения
NRND = (Т + L)(B + W). (297в)
В общем случае полосу пропускания фильтра Ws и интервал
времени корреляции Ts оставляют в качестве параметров. Этот прием-
Рис. 13.32. Структурная схема приемника, приближенно реализующего суб-
оптнмальмый приемник № 2 для. случая огибающей прямоугольной формы.
ник можно анализировать методом, рассмотренным в п. 11.3.3. И в
этом случае процедуры вычислений довольно сложны, но
выполнимы.
Если сигнал / (t) является импульсом прямоугольной формы,
можно получить хорошее приближение к приемнику,
представленному на рис. 13.31, как это показано на рис. 13.32. Здесь
Wm Д mmlWSi 1/71.]. (298)
Этот приемник практически не отличается от предложенного в
работе [38R
На этом завершается рассмотрение субоптимальных приемников.
Рассмотрим теперь некоторые другие вопросы теории обнаружения.
13.3.5. Родственные вопросы теории обнаружения
Здесь мы кратко рассмотрим три вопроса. В п. 13.3.5.А речь
пойдет об эквивалентных каналах. В п. 13.3.5.Б будут рассмотрены
многоальтернативные системы связи по каналам с рассеянием по
х> В этой работе содержится рассмотрение систем связи по каналам
с рассеянием по двум параметрам на основе интуитивных представлений.
555

двум параметрам. В п. 13.3.5.В будет пересмотрена ревербер&цион-
ная задача, изложенная в § 13.2.
13.3.5.А. Эквивалентные каналы и системы. Понятие об
эквивалентном канале введено Кеннеди [37]; оно является обобщением
понятий о дуальных каналах, введенных в § 12.3. Необходимость
изложения теории дуальности мотивировалась тем, что, опираясь на
нее, можно упростить построение и анализ систем. Часто бывает
проще анализировать дуальную, а не реальную систему. Такими же
соображениями объясняется необходимость рассмотрения
эквивалентных систем. Во многих случаях легче анализировать
эквивалентную, а не реальную систему. Кроме того, возможность отыскания
и выявления эквивалентных систем способствует пониманию общей
задачи.
Определение 1. Эквивалентные процессы. Рассмотрим два
процесса rx(t) и г2 (0, определенные на интервале [Tiy Tf]. Если
собственные значения процесса гх (/) равны собственным значениям процесса
г2 (/), то эти процессы эквивалентны на интервале [Tiy Tf].
Для простоты ограничимся рассмотрением простой двоичной
задачи обнаружения. Комплексные огибающие принимаемых
колебаний по двум гипотезам представляются в виде
7(t) = s(t) + 5 (О, Т, < / < Tf: Нг\ (299)
7(f) =r-w (/), Tt </ < Tf: #0. (300)
Аддитивный шум w (t) представляется выборочной функцией
комплексного белого гауссова шумового процесса с нулевым средним
значением и спектральной плотностью N0. Сигнал s (/)
представляется выборочной функцией комплексного гауссова процесса с
нулевым средним значением и ковариационной функцией K7(t, и).
Из изложенного материала известно, что помехоустойчивость
системы полностью определяется собственными значениями функции
К~ (tf и). Заметим, что структура приемника зависит от собственных
функций и собственных значений, но собственные функции на
помехоустойчивость не влияют. Это замечание предполагает
справедливость следующего определения.
Определение 2. Эквивалентные задачи обнаружения. Все простые
двоичные задачи обнаружения, в которых сигналы s (t) являются
эквивалентными процессами, эквивалентны.
Это определение является обобщением определения 5,
приведенного на с. 461.
Следующее полезное понятие — это понятие об эквивалентных
каналах. Ковариационная функция сигнального процесса на выходе
канала с рассеянием по двум параметрам имеет вид
К7Ли и)= I ТгЦ-ЦКояЛ'-Ъ Ь)П{и-ЦЫ. (301)
— 00
556

Теперь рассмотрим ковариационную функцию на выходе второго
канала ,
оо
Щ С ") = $ h (t - *) Kdr, (t - и, X)f2 (и - К) dl. (302)
— 00
После этого №ожно дать определение эквивалентных каналов.
Определение 3. Эквивалентные каналы. Канал 2 эквивалентен
каналу 1, если для каждого сигнала /х (f) конечной энергии
существует сигнал /2 (/) конечной энергии, такой, что собственные
значения ковариационной функции К~ (/, и) равны собственным
значениям ковариационной функции 7(~ (t9 и).
Это определение полезно тем, что часто легче анализировать
эквивалентный канал вместо реального.
Некоторые типичные эквивалентные каналы перечислены в
табл. 13.2. В первом и третьем столбцах показано соотношение
между функциями рассеяния двух каналов. Отметим, что!$dr {/, М-
произвольная функция рассеяния. Комплексная огибающая
сигнала, передаваемого в канале 1, есть 7(0- в четвертом столбце даны
комплексные огибающие, которые должны передаваться в канале 2,
чтобы создать эквивалентные выходные сигнальные процессы. Для
простоты предполагается, что интервал наблюдения бесконечен.
Таблица 13.2
Типичные эквивалентные каналы
Канал 1
^DRtU' *>
(изменение масштаба)
3. Spg № sin a+f cosa,
К cos a—/ sin af (вращение)
Tid)
Jit)
7(0
Канал 2
$dr2 if. M
^DR U. M
~Sdr if. M
^DR{f> M
fid)
Jit)
YcTTiat) (см. (10.124))
1 \ t2tga lit,
„ exp \i \ \ F{f)X
J/cos a L ^ J _00
Xcxp[/2n(nfMga + -co/s'-)]df
(см. (10.129))
Другие эквивалентные каналы и системы рассматриваются в
задачах вне основного текста. Еще раз отметим, что понятие эквива-
летных каналов и систем является логическим развитием теории
дуальности, изложенной в § 12.3, и что оно полезно как с точки зре-
357

ния экономии труда при решении задач, так и с точки зрениялюлег-
чения понимания принципиальных ограничений той или иной
системы. /
13.3.5.Б. Многоальтернативные системы связи по каналам с
рассеянием по двум параметрам. В п. 11.3.4 была рассмотрена задача
связи по каналам с рассеянием по допплеровскому пашметру при
использовании М ортогональных сигналов. Многие из/полученных
там результатов основывались на собственных значениях выходных
процессов. Все эти результаты применимы также к Додели канала
с рассеянием по двум параметрам. В частности, сохраняет силу идея
оптимального распределения собственных значение. При анализе
помехоустойчивости конкретной системы необходимо применять
новые методы, изложенные в этой главе. Модификация результатов
двоичного случая применительно к многоальтернативному
случаю не встречает затруднений. Для полного рассмотрения
многоальтернативной задачи читателю следует обратиться к работе [37].
13.3.5.В. Реверберация. В § 13.2 изучалась проблема
обнаружения точечной цели при наличии мешающего отражателя с
рассеянием по двум параметрам. Одной из рассмотренных там задач было
построение оптимального приемника и анализ его
помехоустойчивости; результатами рассмотрения явились уравнения (116)—(1216).
Было указано, что их решение будет рассмотрено в § 13.3. Теперь
можно заключить, что все, что было сказано в п. 13.3.2,
непосредственно применимо к данной задаче. Различие состоит в том, что в
одном случае требуется оценить реверберационный эхо-сигнал пг (/),
а в другом — отраженный сигнальный процесс. Все методы в полной
мере переносятся с одного случая на другой.
13.3.6. Итоги рассмотрения задачи обнаружения целей
с рассеянием по двум параметрам
В § 13.3 мы рассматривали обнаружение целей с рассеянием по
двум параметрам и связь по каналам с рассеянием по двум
параметрам. В п. 13.3.1 была сформулирована модель и определены
оптимальный приемник и его помехоустойчивость с помощью интегральных и
дифференциальных уравнений. Так как эта задача является задачей
обнаружения комплексных гауссовых процессов в комплексном
гауссовом шуме, то к ней непосредственно применимы уравнения из
п. 11.2.1. Затруднения возникают лишь при попытке решить
интегральные уравнения, которые определяют оптимальный приемник.
В п. 13.3.2 было рассмотрено несколько приближенных моделей.
Разработка этих моделей объясняется тем, что они позволяют свести
задачу к виду, с которым мы встречались ранее и в котором она
поддается точному анализу. В частности, были разработаны модель в
виде линии задержки с отводами, общая модель в форме ряда
ортогональных функций и приближенная модель в форме
дифференциального уравнения. Каждая из этих моделей обладает своими преиму-
558

ществ^мп и недостатками, и выбор модели, подходящей для
использование, зависит от конкретной ситуации.
В п.1^3.3.3 была подробно рассмотрена задача передачи двоичной
информации. Материал уюго параграфа, помимо фактических ре-
зультатовх.содержит конкретный пример по применению
рассмотренных методов. Ввиду относительной простоты двоичная
симметричная задача указывается весьма полезной для понимания сущности
более сложных задач.
В п. 13.3.рассмотрена задача обнаружения для случая КСМЭ.
В этом случае Оптимальный приемник можно полностью определить
и вычислить егЬ помехоустойчивость. Приемник для случая КСМЭ
является субопт^мальным в условиях других задач.
В п. 13.3.5 бьЦи кратко рассмотрены некоторые родственные
вопросы. Этим завершается рассмотрение общей задачи обнаружения.
В следующем параграфе будет рассмотрена задача оценки
параметров.
13.4. Оценка параметров целей с рассеянием по двум
параметрам
В этом параграфе рассмотрим задачу оценки параметров цели с
рассеянием по двум параметрам. Модель этой задачи является
непосредственным развитием модели задачи обнаружения,
приведенной в § 13.1. Комплексная огибающая принимаемого колебания
записывается в виде
7(t) = s(tf A) + w(f), 7\.</<Г„ (303)
где s (/, А) при заданном А есть выборочная функция комплексного
гауссова процесса с нулевым средним значением и ковариационной
функцией
оо
Kr(t,u:A) = Et\ nt-X)KDR(t-u,X:A)j*(u-X)dX. (304)
— оо
Аддитивный шум w (t) представляется выборочной функцией
белого гауссова шумового процесса. Векторный параметр А является
либо неслучайным неизвестным вектором, либо значением
случайного вектора, который требуется оценить. В основном тексте мы
рассмотрим только задачу оценки неслучайного неизвестного
параметра. Типичными параметрами, которые обычно представляют
интерес, являются амплитуда функции рассеяния, или средняя
дальность, или средний допплеровскии сдвиг частоты цели с рассеянием
по двум параметрам.
Для отыскания оценки параметра А по максимуму правдоподо-
бия образуем функцию правдоподобия и выберем значение
параметра А, при котором она имеет максимальное значение. Так как вы-
5*9

ражение для функции правдоподобия можно вывести путем прямой
модификации анализа, проведенного в гл. 6 и § 11.4, здесь/можно
ограничиться лишь формулировкой соответствующих результатов.
Итак, имеем 7
/ (А) = lR (А) + 1В (А), / (305)
Т1,
lR (А) = — Г Г Г* (/) /Т0 (/, и : А)7 (и) dtdu/ (306)
где
1 г'~
lB(A)=-JL- tP(f.\)dt.
(307)
Импульсная переходная функция фильтра h0 (t, и : А) определяется
уравнением
N0ho (t, и: А) + [ К (/, г : А)К7 (z, и : A)dz=
Ti
= K7(t, и: A), Ti^t,u^Tf. (308)
Функция 5р (/, t А) есть реализуемый минимальный средний
квадрат ошибки оценивания сигнала s (t : А) в предположении, что А
известно. Заметим, что функция 1в (А) обычно зависит от А и ею
пренебречь нельзя.
Другую реализацию для /д (А) можно получить факторизацией
функции h0 (t, и : А) в виде
г/
h0{t, и: A)=J £[I/2]*(z, t:A)h[l/2} (г, u:A)dzy r*</,a<7y
Ti
(309)
Тогда
Tt\Tt
/^(А) = ^-[кл[1/2](г, /:А)Г(0*
К- Г;
dz
(310)
Выражение (310) определяет известную нам реализацию приемника
по схеме фильтр — квадратор — интегратор.
Третья реализация имеет вид
Tf
lR (A)=-f- Г {2Re [? (/) 7Г (t: А)] -| sr(t: А) |2} Л, (311)
^0 J
560

где $r (t : A) — реализуемая минимальная среднеквадратическая
ошибка оценивания сигнала s (/ : А) в предположении, что А
известно. Выражение (311) определяет структуру оптимального
реализуемого фильтра.
Видим, что указанные реализации аналогичны реализациям
встречавшимся в контексте задачи обнаружения. Теперь
необходимо найти реализацию для множества значений параметра А, которое
перекрывает интервал возможных значений параметра. В общем
случае нужно использовать одну из приближенных моделей цели,
например модель в виде линии задержки с отводами или общую
модель в форме ортогонального ряда, рассмотренные в § 13.2, для
отыскания схемы приемника. Связанные с этим вычисления более
громоздки, так как необходимо выполнить их для большого числа
значений параметра А, но здесь нет ничего принципиально нового.
В последующих пунктах мы рассмотрим частный случай, когда
можно получить прямое решение. Это случай когерентности
сигналов малой энергии (КСМЭ), с которым мы встречались ранее в
п.13.3.4.
Материал настоящего параграфа разбит на четыре части. В п.13.4.1
даны результаты для общей задачи оценки параметров при условии
КСМЭ. В п. 13.4.2 рассмотрена задача оценки амплитуды в
остальном известной функции рассеяния. В п. 13.4.3 рассмотрена задача
оценки средней дальности и среднего допплеровского сдвига для
цели с рассеянием по двум параметрам. Наконец, в п. 13.4.4
подведены итоги параграфа.
13.4.1. Оценка в условиях КСМЭ
Процедура решения этой задачи ничем не отличается от
процедуры решения аналогичной задачи в гл. 6, поэтому мы просто
сформулируем окончательные результаты. Условие КСМЭ означает, что
МА)<#о (312а)
для всех А в пространстве параметра и для всех i. Величины Xt (A)
есть собственные значения ковариационной функции /С~ (/, и : А).
При указанных ограничениях
I(А) = Ц-j2 J jF*(/) Kl (t, и: A)7 (и)dtdu-
Tf „ 2 Tf
~"yv~ fK7(л /:A)dt~\(^ГП'Kr{tt u:A)'2dtdu- (3126)
Этот результат аналогичен выражению (7,136).
561

Для iipocroTbi предположим, что при дальнейшем рассмотрении
Tt -* оо и Т1 ->■ оо. Отметим, что / (/) имеет единичную энергию,
так что s (/ : А) — нестационарный процесс, энергия которого имеет
конечное ожидаемое значение, а именно:
ОС) 'I ОО
jj \s((: А) |4 dt\ = E, jj J SD« {/, X: A} <//M. (313a)
— OO J — OO
Таким образом, то, что интервал наблюдения бесконечен, не
приводит к сингулярной задаче, как это было бы, если бы сигнал
s (t : А) был стационарным. Подставив (304) в (3126), получим
ОО (X) С»
/(А)=="Й~ 1dt Idu I 7*w(t-K) x
— оо —оо — оо
X Kdr (t —и, X: А) J* (и—К) г {и) dl —
00 ОО
-jf-jdt J |f(/-X)|*WO, X: A)dX-
— ОО — ОО
ОО ОО ОО ОО
— ОО —ОО —ОО —ОО
X f*{t-h) Kdr (t-u, %2: A)f(u—bJ dX2. (3136)
Последние два слагаемых являются членами смещения, которые
можно записать в более простой форме. Второй член в (3136) можно
записать как
оо оо
#1(А)=—|L j KDR(0, %:A)dX j \T(t-b)t
"dt-
OO
j &>Л(о, b:A)db=-^. (314)
Здесь Er (A) — средняя энергия принимаемого сигнала,
записанная в виде функции неизвестного параметра А.
562

Чтобы упростить третий член, используем двухчастотную
корреляционную функцию Rdr (t, v : А). Напомним, что в соответствии
с (21) можно записать
оо
Rdr(x, Ь:А)= J Rdr{i, v:A)ti2"^dv. (315)
— 00
Подставляя (315) в последний член в (3136) и производя некоторые
преобразования, приходим к выводу, что третий член можно
записать в виде
оо
№ (А)= - -^ j j б {х, у) | Лад {х, у: А} |2 dxdy, (316)
— оо
где 0 {•, •} — функция неопределенности сигнала / (/). Обозначим
сумму последних двух членов в (3136) через 1в (А). Тогда
— оо оо
1в(Ь)= -%^-~- j d* j 9{ж, */}|£ад{*, г/: А) |>. (317)
— оо —оо
Последний шаг — найти более простую реализацию первого
члена в (3136). Процедура отыскания аналогична той, что
использовалась в п. 13.3.4. Разложим функцию 7(d# (/ — «Д : А) на
множители, используя следующее соотношение
KdrV-u, Ь:А)= jj KlDJt2h(z-t,K:A)
X
?[1/2]
хКЪнЧг — и, %:A)dz. (318)
Поскольку рассматриваемый временной интервал бесконечен, а
процесс Kdr (т, ^ : А) стационарен, можно найти реализуемую (по
отношению к т) функцию K[dr] (т, X : А) методом факторизации
спектра. В частотной области
S[U24f, Ь>=[3ад{/, Ц}+. (319)
Подставляя (318) в (3136) и обозначая первый член через Ir (A),
имеем
оо оо
f«(A)=-|j- j" dz j К KU24z-ti, Я:А)х
— оо —оо — оо
xf*(u—K)7(u)du
dX. (320)
563

Объединив (320) и (317), получим
ОО ОО I ОО
Z(A)=-^ j dz j И /Сс^2](г-«, Х:А)
х
— ОО
|2
Х/*1и —A,)7(a)dw
db
-ОО —ОО
£Г(А)
Л^о
/72
—*- f л Г е {т, v)
X
х|£оя{т, y:A}|2dy.
(321)
Функцию /# (А) для каждого значения А можно реализовать
приближенно дискретизацией по X и заменой интегрирования по X
суммированием. Добавив затем 1в (А), получим приближенную
функцию правдоподобия. Эта реализация — очевидная
модификация структурной схемы алгоритма, представленной на рис. 13.30.
Заметим, что указанные вычисления необходимо выполнить для
множества значений параметра А, поэтому вся эта процедура
оказывается весьма утомительной.
Теперь структура приемника определена. Анализ
помехоустойчивости приемника в общем случае затруднителен. Неравенство
Крамера — Рао дает границу дисперсии любой несмещенной
оценки. В случае одного параметра дисперсию оценки получим в
результате дифференцирования выражения (3126):
о2 [а— Л]>-
^о2
^ \[dKj(t, и :A)]/dA\2dtdu
(322)
В случае нескольких параметров можно, модифицировав (7.155),
получить элементы информационной матрицы в виде
7«(А)=
N1
ц|«.м = *) «я* <_'■- = * mi
Т;
dAt
dAj
(323)
Подставив (304) в (323), определим элементы матрицы для цели с
рассеянием по двум параметрам. С учетом (316) выражение для них
можно написать более компактно:
4(A)=|-Rejj
dRDR {х, у : A} d7tf)R {x, у : А}
dAt
дА*
Q{x,y}dxdy.
(324)
564

Главные результаты этого пункта — выражения (321) и (324).
Они определяют структуру оптимального приемника и его
потенциальную помехоустойчивость соответственно. Рассмотрим далее
две типичные задачи оценки.
13.4.2. Оценка амплитуды
Рассмотрим задачу оценки амплитуды функции рассеяния,
остальные параметры которой известны1). Предположим, что
KDR(t-uyfk:A)=AKDR{t-u1 X), (325)
где функция Kdr (t — и, ^) нормирована так, что
оо
J &>«(0,A,)dX=l. (326)
— оо
Таким образом,
A=Er/Et. (327)
Ковариационная функция принимаемого сигнала имеет вид
K7(t,u:A) = EtA °\ Т(1-Х)Коя(* -uyK)f (u-X)dXAAK7(t,u).
— оо
(328)
Параметр А — неизвестное положительное число.
В данном случае функция правдоподобия (3126) имеет
единственный максимум, который находится в точке
ОО 00
§l:*(t)K7(t,u)l:(u)dtdu-N0 jj K7(t,t)dt
а0 = ^ =-= . (329)
§\I(7(t9u)\2dtdu
Поскольку величина а0 может быть отрицательной, оценка
максимального правдоподобия равна
antl = max[0, а0]. (330)
Задача, связанная с усечением ряда, была подробно рассмотрена
в и. 7.1.2. Для простоты предположим, что параметры имеют такие
г) Эта задача впервые была решена Прайсом [39]. Рассматриваемая
задача фактически представляет вырожденный случай задачи, решенной
Прайсом.
565

значения, что влиянием усечения можно пренебречь. Подставляя
(326), (328) и (315) в (329), получаем
оо оо
§ at ^ da ^ 7* (07((-^)T<DR(t-uA)l*(u-X)7(u)dl-No
«п = -
оо --со
СЮ 00
[ dx { 6{т, v}\ Rdr{t, v}\2dv
— со — со
(331)
Отсюда легко заключить, что а0 — оценка несмещенная.
Приближенная реализация приемника представлена на рис. 13.33.
f*(t)
Лит/я задержка о от б оба лги
r(t)
\f*(t-Af)
■Q
Таиичнь/й тракт обработки
бь/хобной бели чаш от Зоба
$Z\z-u,Xf)
Обинакобь/е \
тракть/ '
обработки
I
±
Коэффициент леребачц:
(fZdrf^vbbn{i,v\\ldu)\
бумт/лор
Рис. 13.33. Структурная схема алгоритма оценки по максимуму
правдоподобия амплитуды функции рассеяния при соблюдении
условия КСМЭ.
Если пренебречь смещением оценки атЬ то относительную
дисперсию оценки можно ограничить величиной Jn1, получаемой из
(324) в виде
°°
J {А) - Ь± Г Г 0 {т, v) | RI)H {т, v} |2 dxdv. (332)
^0 J J
•Л.Д-
N1
Следует заметить, что дисперсию оценки а0 можно вычислить
точно (см. задачу 13.4.4). Этот результат совпадает с Л71, за
исключением члена, которым, если соблюдается условие КСМЭ, можно
пренебречь.
566

Для иллюстрации изложенной процедуры оценки рассмотрим
пример.
Пример. Предположим, что цель по обоим параметрам имеет
гауссову функцию рассеяния, представленную на рис. 13.4. Тогда
S0*{/,X> = —т-ехр
/2
№
#/>я{т,а} = ехр
2лЫ \ 2Д- 2L*
(2яД)ата. (2nL)2 v2
■оо</Д<оо, (333)
— оо<т,1>< оо.
(334)
Для упрощения алгебраических преобразований предположим, что
огибающая / (/) сигнала имеет форму гауссова импульса:
/(0 =
1 У/4
ехр
—1
2Г2 Г
яГ2
Тогда из (10.28) имеем
e{T,fl=exp[--L(-£+r«(2n/J»)]
Подставив (336) в (332), находим
•оо <C.t<С оо.
(335)
-оо <т,/< оо. (336)
Ш^КИт^2»2*8^
+ у2((2яТ)2 + 2(2л1)2)
1 dxdv.
Выполнив интегрирование, получим
/„ =
-tn
,+'(fr
[1+2(2яВГ)2]
-1/2
(337)
(338)
Анализируя (338), нетрудно установить, что значение Jn будет
максимальным (и, следовательно, граница дисперсии (332) будет
минимальной) при некотором промежуточном значении Т. В
частности, максимум имеет место при
Т=УТЩВ. (339)
Сравнивая (339) и (281), видим, что если положить
k = 2яВ, (340)
то это значение Т соответствует точке минимальной степени
разнесения в выходном сигнальном процессе. (Заметим, что величины В
и k имеют различный смысл в указанных двух функциях рассеяния.)
Интуитивно следует ожидать, что точка минимальной степени
разнесения будет оптимальной ввиду исходного предположения о
567

Том, что условие КСМЭ соблюдается. Это объясняется тем, что в
общей задаче оценки амплитуды существует оптимальное отношение
«энергии, приходящейся на каждое собственное значение, к
спектральной плотности шума Л/0» (см. задачу 13.4.8). Условие КСМЭ
в (311) означает, что энергия сигнала уже распределена среди
слишком большого числа собственных значении. Поэтому необходимо
использовать наименьшее возможное число собственных значений.
Когда условие КСМЭ не соблюдается, получается характеристика
типа представленной на рис. 13.24. Если используется значение Т
в соответствии с (339), то
Jn = (Et/N0)Hl + 4nBL)-\ (341)
o*lamr~A]^(M0/Ef(\ +4nBL). (342)
Отсюда видно, что при BL > 1 граница дисперсии возрастает
линейно с увеличением произведения BL. Эта линейная зависимость от
BL определяется только условием КСМЭ и в общем случае не
выдерживается.
На этом завершается рассмотрение задачи оценки амплитуды.
Решение в замкнутой форме для ат в условиях рассмотренной
задачи можно получить благодаря тому, что функция / (А) имеет
единственный максимум.
13.4.3- Оценка средней дальности и среднего
допплеровского сдвига
Рассмотрим задачу оценки средней дальности и среднего
допплеровского сдвига цели с рассеянием по двум параметрам. Графическое
представление задачи в плоскости т, /дано на рис. 13.34. Обозначим
среднюю дальность через Аи а средний допплеровский сдвиг —
через А2. Функцию рассеяния запишем в виде
$DR{f,b:A}=SD.R.{f-A29b-Al}t (343)
где функция рассеяния в правой части (343) по определению имеет
нулевую дальность и нулевой допплеровский сдвиг. Другой
полезной функцией служит двухчастотная корреляционная функция,
которую можно записать в виде
Rdr {t, v : A} = RDo Ro {т, v) exp ( — i2nvAx + /2ятЛ2). (344)
Выражения (343) и (344) дают параметрическую зависимость в
явном виде.
Эхо-сигнал описывается выражением (303). Для отыскания
оценки параметра А по максимуму правдоподобия сначала разобьем
плоскость т, со на множество ячеек «дальность — скорость».
Обозначим координаты центра i'-й ячейки через Ah Затем построим
функцию / (Aj) для каждой ячейки и выберем то значение А,-, при
котором функция / (Aj) имеет максимальное значение.
568

Прежде всего рассмотрим общий случай и не будем накладывать
условия КСМЭ. Тогда функция / (At) определяется выражениями
(305) — (307). Как и прежде, положим Tt ->- —оо и Tf ->- оо.
Анализируя (307), нетрудно установить, что \р (t: А) не зависит от
средней дальности для среднего допплеровского сдвига и поэтому
вычислять 1в (А) нет необходимости. Итак,
оо
/ (А,) = lR (А,) = -±- ^7* (0 Л0 (/, и : А,) 7 (и) dtdu, (345)
— 00
где функция h0 (t, и : At) определяется уравнением (308) при А =
= А*. Уравнение (308) необходимо решить для каждой ячейки
(либо найти одну из эквивалентных форм выражения функции /д (А),
Рис, \\1М'\. Местоположение цели и плоскости т,/.
даваемых соотношениями (309)—(311)). Фактически для выполнения
решения обычно приходится использовать одну из моделей в форме
ортогонального ряда, рассмотренных в п. 13.3.2.
При анализе помехоустойчивости необходимо учитывать как
глобальную, так и локальную точность. Для исследования проблемы
глобальной точности используем функцию неопределенности,
описываемую выражением (11.181). Для целей с рассеянием по двум
параметрам она имеет вид
ОО 00 ОО
6аад(Аа,А)= J dt $ du J J*(t-X)h0(t,u:A) x
— 00 — ОО — ОО
X KDR(t—u,%\ Aa)J (и—К) dk, (346)
где Аа соответствует фактическим значениям средней дальности
и средней скорости (среднего допплеровского сдвига) цели. Для
исследования локальной точности используем границу Крамера —
Рао. Принципиальных трудностей при выполнении анализа
глобальной и локальной точности не встречается, однако процедуры
вычислений довольно громоздки.

Если соблюдается условие КСМЭ, то решение задачи
значительно упрощается. В соответствии с (320) функция правдоподобия в
этом случае примет вид
оо оо оо
Ы (Aj) = -1^ J dz N Г КУ,{п(г-и,К: A,) f («-Ц"г (и)du
■00 ОО ОС
2
(Гк.
(347)
Функция неопределенности с учетом рассеяния в случае КСМЭ
равна
ОО ОО ОО ОО
во0*.ксмэ(А«.А)=~ 1 dt J du j ^ J /С-*')
-.X
- ОО — ОО — ОО — СО
X Kdr {t-u, %!: А) /* (и-К) Г V-K) Kdr (t-u, Я2: Аа) х
X 7 (и—>^ dk2 = -f f [ Rdr {*, У: A} 0 {*, у} ££* {*, у: Аа} dxdy.
— оо
(348)
Отметим, что
'«(*) =
<ЭДг Л40у
Д А ' (349)
что совпадает с (324). Для вычисления границы Крамера — Рао
подставим в (324) выражение (344):
Jn (A)= ^- Jj (2nvf 0 {т, о} | Ял. r. {т, о} |2 d-Hfo, (350)
4(А)--^| jj(2n)2wG{T,t-}|^DoRoK^I2^di», (351)
/72
4 (A)=-f f f (2ят)2 0 {т, v} | RD9 Rn {т, о} |а dxdv. (352)
Как и следовало ожидать, погрешность системы зависит как от
функции неопределенности сигнала, так и от функции рассеяния
цели. Некоторые типичные ситуации анализируются в задачах вне
основного текста,
570

13.4.4. Краткие итоги § 13.4
В этом параграфе была рассмотрена задача оценки параметров
для целей с рассеянием по двум параметрам. Сначала была
сформулирована общая задача оценки и выведены выражения для
отношения правдоподобия. Полученная в результате структура алгоритма
приемника оказалась тесно связанной с алгоритмами,
встречавшимися ранее в задаче обнаружения.
В остальной части параграфа внимание было сосредоточено на
случае когерентности сигналов малой энергии (КСМЭ). В п. 13.4.1
были получены выражения для функции правдоподобия и границы
Крамера—Рао для случая, когда соблюдается условие КСМЭ.
В п. 13.4.2 было найдено явное решение для оценки амплитуды
функции рассеяния. Влияние длительности импульса и величины
произведения BL было проиллюстрировано на простом примере. В
п. 13.4.3 была рассмотрена задача оценки средней дальности и
средней скорости цели с рассеянием по двум параметрам. Эта задача
является обобщением задачи оценки дальности и скорости, которая
была рассмотрена в гл. 10.
Цель данного параграфа — проиллюстрировать некоторые
существенные моменты в задаче оценки параметров. Ввиду большого
сходства с задачей обнаружения оказалось возможным
ограничиться кратким изложением.
13.5. Краткие итоги рассмотрения целей и каналов
с рассеянием по двум параметрам
В этой главе изучались цели и каналы, имеющие рассеяние не
только по дальности, но и по скорости (допплеровскому сдвигу).
Комплексная огибающая эхо-сигнала в этом случае имела вид
00
!>{t)^V~Et J J(t—%)lb(t,fk)dfk. (353)
Процесс отражения от цели описывался выборочной функцией
комплексного гауссова случайного процесса, который можно
охарактеризовать двумя способами:
1. С помощью функции рассеяния Sdr {/, М или эквивалентных
ей функций Kdr (т, X), Rdr {t, v} или PDR {/, v).
2. Путем описания в распределенных переменных состояния,
когда уравнения состояния являются обыкновенными
дифференциальными уравнениями, содержащими пространственную
переменную К в качестве параметра, а сигнал s (t) связан с вектором
состояния модуляционным функционалом.
571

После формулировки модели и обсуждения ее общих
характеристик были рассмотрены три области, где встречаются цели с
рассеянием по двум параметрам.
В § 13.2 была рассмотрена задача разрешения целей в условиях
помех. В этом случае нужный сигнал соответствует нефлуктуирую-
щей точечной цели, а помехи — местным предметам окружающей
среды, имеющим рассеяние по двум параметрам. Были произведены
анализ обычного и оптимального приемников и сравнение их
помехоустойчивости. Установлено, что при использовании обычного
согласованного фильтра распределенная помеха входит в модель через
двойную свертку функции неопределенности сигнала и функции
рассеяния цели. На примерах было показано, что, как и в задаче
разрешения дискретных целей, часто важнее правильно выбрать
сигнал, чем построить оптимальный приемник.
В § 13.3 были рассмотрены задача обнаружения эхо-сигнала от
цели с рассеянием по двум параметрам и задача цифровой связи по
каналу с рассеянием по двум параметрам. После формулировки
общей задачи было рассмотрено несколько приближенных моделей
целей (каналов) с использованием разложения в ортогональный ряд.
Назначение этих моделей — свести задачу к виду, удобному для
анализа. Модель в виде линии задержки с отводами — наиболее
простая в реализации, однако общая модель в форме
ортогонального ряда дает некоторые преимущества с точки зрения требуемого
объема вычислений. Далее была рассмотрена задача двоичной
связи. Для каналов с малой дисперсностью (слабодиспергирующих)
были найдены сигналы, позволяющие приблизиться к границе
помехоустойчивости, установленной для любой системы связи. Для
каналов с большой дисперсностью (сильнодиспергирующих) было
установлено, что при использовании простых сигналов, которые
были рассмотрены, можно лишь приблизиться к границе
помехоустойчивости при больших значениях отношения Er/N0. Чтобы
убедиться в правильности наших интуитивных соображений, мы
провели подробный анализ помехоустойчивости конкретной
системы связи. Было изучено влияние параметров сигнала и параметров
функции рассеяния на помехоустойчивость двоичной системы связи.
Наконец, были указаны пути распространения полученных
результатов на некоторые родственные задачи.
В § 13.4 была рассмотрена задача оценки параметров цели с
рассеянием по двум параметрам. Сначала была сформулирована общая
задача оценки и отмечено ее сходство с задачей обнаружения,
изложенной в § 13.3. Затем внимание было сосредоточено на случае
КСМЭ. Подробно были изучены две конкретные задачи — оценки
амплитуды и оценки средней скорости.
Существуют две важные задачи, которые не были рассмотрены,
но заслуживают упоминания. Первая задача заключается в
измерении мгновенного поведения огибающей Ь (/, X). С ней мы
сталкивались при рассмотрении приемника по схеме оцениватель — кор-
572

релятор, но не обсудили ее полностью. Вторая задача состоит в й:^
мерении (или оценивании) функции рассеяния цели или канала. Эту
задачу мы совсем не рассматривали. Адекватное рассмотрение
указанных задач увело бы нас слишком далеко от обсуждаемой темы;
интересующемуся читателю следует обратиться к работам [39 —
52 и 66-69].
Этим завершается рассмотрение целей и каналов с рассеянием
по двум параметрам. В следующей главе мы подведем итоги
рассмотрения задачи радио- и гидролокации.
13.6. Задачи
Задачи к § 13.1. Модели целей с рассеянием
по двум параметрам
Задача 13.1.1. Удостовериться, что функция
рассеяния.неровной вращающейся сферы имеет вид, изображенный на рис. 13.2.
Указание. Перед решением задачи полезно ознакомиться с работой
[5].
Задача 13.1.2. Рассмотрим цель, показанную на рис. 13.1*.
Диаграмма направленности антенны постоянна в пределах угловых
Рис. 13.1*.
размеров цели. Плоскости дисков перпендикулярны направлению
распространения волны (предполагается, что фронт волны плоский).
Частота несущего колебания равна /с [Гц]. Размеры х0, у0, dQ и dx
даны в метрах, скорости вращения дисков g0 и g± — в оборотах в
секунду. Отражающая способность диска 0 равномерна и равна р0/м2.
Отражающие способности дисков 1 постоянны и равны р^м2. Это
отражающие способности по оси р. Предположим, что у0 > х0.
Геометрия целей симметрична относительно плоскости х, z.
Вычислить функцию рассеяния цели как функцию угла а.
Представить результат графически.
573

Задача 13.1.3. Величины аД, п% и pDR определяются через
функцию Sdr {/, М- Найти эквивалентные выражения для них через
функции PDR {/, у}, Vdr {t, v} и Kdr (т, А,).
Задача 13.1.4. Предположим, что
~ * ^°ь I f2 X2 \
^Л/?{/, М = ехр i , — оо</< оо, —оо<Х<оо.
*1/ ' 2лЖ *\ 2В2 2L«/ '
1. Найти Ряд{/, Я,}, #d/?{t, v} и Ялд (т, X).
2. Вычислить а#, аЬ и Pdr-
Задача 13.1.5. Предположим, что
2а?
SDR{f, Х} = Ь—— X
2nBL(l-p2)1/2
/ L2 (f-mD)2~2BLp (f-mD) (K-mR) + B2 (l-mR)2
X exp — ■
\ 2B2L2(1—p2)
1. Найти PDRiff y}> Rdr{^ v} и ЛЪя(т, ty.
2. Найти величины, определяемые выражениями (14)—(19).
Задача 13.1.6. Предположим, что
S/,*tf. Ц= /иЛг^ч ' "00</<00^ 0<X<L.
/, [(2n/)--h/i-J
Найти Рдд{/, v}, Rdr{*, v} и /Cd/?(t, A).
Задача 13.1.7. Предположим, что
( 0 при других / и %.
1. Найти PDR{f> v}y RDR{Tf v} и RDR(xt X.)
2. Найти gr и аЬ.
Задача 13.1.8. Предположим, что
~ я 1/2" a/2isin2 (л^/L)
SD^{/, W = -iili-* l_i_L,_oo<f<oo, 0<X<L.
Wl/' ' *М(2я//*)«+1] '
1. Найти PDR{f, v}> RDR{r, v) и Kdr(^ Ц.
2. Найти gq и or.
Задача 13.1.9. Рассмотрим процесс отражения от цели, функция
рассеяния которой указана в задаче 13.1.8.
1. Описать этот процесс при помощи модели в дифференциальных
уравнениях.
574

2. Описать принимаемый сигнал s (/) с использованием
результатов п. 1.
Задача 13.1.10. Функция рассеяния с гауссовым рассеянием по
двум параметрам, указанная в задаче 13.1.4, часто используется в
данной книге. Построить модель в форме дифференциальных
уравнений для ее приближенного представления. Указание, Обратиться
к случаю 2, с. 580 первого тома.
Задача 13.1.11. Предположим, что функция рассеяния имеет вид
SdrU, Ц= —-^ z ,
[(/2я/)» + Л?(Х)1[(/2я/)» + Л1(Х)]
— оо</<оо, 0<X<L.
1. Представить данную функцию рассеяния графически для
различных допустимых значений kx (A,), k2 (к) и а (к),
2. Написать дифференциальные уравнения, которые
характеризуют эту цель. Указание, Обратиться к примеру 2 в Приложении,
стр. 633.
Задачи к § 13.2. Обнаружение при наличии реверберации
или отражений от местных предметов
В задачах 13.2.1 — 13.2.9 используется модель, описываемая
соотношениями (69)—(72), и предполагается, что во всех случаях
применяется обычный неоптишльный приемник.
Задача 13.2.1. Излучаемый сигнал описывается выражением
(10.43). Функция рассеяния имеет вид
Sdr{!, к} =
L2/2 — 2BLpfX+B*№
,exp
2nBL(\— p2)1/2 *L 2£2L2(l-p2)
Найти рг (см. (13.83)) как функцию параметров Eu N0, В, L, р и Т.
Задача 13.2.2. Рассмотрим реверберационную модель,
описываемую выражением (132). Предположим, что / (/) = ]/2ае~а' U-x (t).
Вычислить рг как функцию Еи РСУ fd и а.
Задача 13.2.3. Рассмотрим реверберационную модель,
описываемую выражением (132).
1. Удостовериться, что для цели с нулевой скоростью
„,-££. j цт.
2. Выбрать Sy{f}, исходя из условия ограничения энергии
оо
I ^?т {f}dt = 1, так, чтобы величина рг была минимальной.
575

Задача 13.2.4. Рассмотрим реверберационную модель,
описываемую соотношением (132).
1. Удостовериться, что для цели с допплеровским сдвигом fd
Рг =
N0
S7{f}ST{f-f«)df.
(1*)
2. Какие ограничения необходимо наложить на / (/), чтобы
получить имеющий смысл результат при минимизации величины рг?
3. Предположим, что
j rsrmdf^o*
(2*)
Я-l
Минимизировать величину рг исходя из условия (2*) и условия
ограничения энергии.
Задача 13.2.5. Предположим, что имеется реверберационная
функция рассеяния постоянной высоты, представленная на
рис. 13.2*. Сигнал представляет
fi . импульсную последовательность,
показанную на рис. 10.9.
1. Показать, как следует
выбрать значения Т8, Тр и я, чтобы
минимизировать влияние ревербе-
_J ^. рации.
А р л 2. Вычислить величину рг в
2 ' форме (13.83) для выбранных зна-
Рис. 13.2* чений параметров сигнала.
Задача 13.2.6. Рассмотрим
сигнал, определяемый выражением
(10.145), который имеет 3N параметров для выбора. Будем считать,
что функция рассеяния имеет вид, показанный на рис. 13.2*.
1. Написать выражение для величины рг в форме (13.83) через
параметры сигнала и 5, L и fd. Для простоты предположим, что
L/Ts — целое число.
2. Рассмотрим частный случай (10.145), когда сод = 0, и введем
в рассмотрение вектор
ах e'ei
aN e'°"
Выразить рг через а.
3. Требуется минимизировать величину рг соответствующим
выбором а. Сформулировать задачу оптимизации и вывести
необходимые уравнения,
57§

Задача 13.2.7. Повторить п. 2 и 3 предыдущей задачи для
следующих частных случаев:
1. соп = 0, п = 1, ..., N; ап = 1, п = 1, ..., N.
2. 0^ ="0, л = 1, ..., N\ ап = \ или 0, п = 1, ..., W.
Задача 13.2.8. Требуется оценить дальность и скорость (доппле-
ровский сдвиг) нефлуктуирующей точечной цели при наличии
реверберации. Используется обычный приемник, рассмотренный в § 10.2.
Вывести выражение для границы дисперсии ошибки оценивания
дальности и допплеровского сдвига.
Задача 13.2.9. В § 12.3 была изложена теория дуальности. Ее
основные положения полезны также при рассмотрении ревербера-
ционных задач. Предположим, что используется обычный приемник.
Вывести формулу, дуальную (83).
Задача 13.2.10. Рассмотрим модель, описываемую соотношениями
(101)—(107). Один из методов решения (107) заключается в замене
интегралов приближенными конечными суммами. Выполнить
подробно всю процедуру решения и получить матричное уравнение,
определяющее функции g (/,), i = 1, ..., N. Обсудить вопрос о
выборе интервала дискретизации и вытекающих отсюда требованиях
по объему вычислений.
Задача 13.2.11. Рассмотрим модель, описываемую
соотношениями (101)—(107). Комплексная огибающая передаваемого сигнала
определяется выражением (10.25), а функция рассеяния —
выражением (13.333). Предположим, что %d = cod = 0.
1. Найти решение (107) в виде разложения в ряд, прибегнув к
разложению в ряд Мехлера (см., например, [53 или 54]).
2. Вычислить А0.
Задача 13.2.12. Обобщить результат, полученный при решении
предыдущей задачи, на случаи ненулевых дальности и скорости
цели, если передаваемый сигнал имеет вид (10.43), а функция
рассеяния определена в задаче 13.2.1.
Задача 13.2.13. Один из методов получения приближенного
решения уравнения (107) заключается в представлении функции
Sdr {/, М ступенчатой функцией с последующей заменой каждой
ступеньки импульсом, который находится в центре ступеньки и
имеет такой же объем. Таким приемом задача сводится к задаче,
рассмотренной в § 10.5.
1. Обсудить вопрос о выборе параметров аппроксимирующей
функции.
2. Выполнить подробно всю процедуру решения. Использовать
(10.202) для написания в явном виде решения приближенной
задачи. Определить различные матрицы в явном виде.
3. Помехоустойчивость системы определяется выражением
(10.203). Желательно выбрать / (/) так, чтобы максимизировать А0.
Какие ограничения необходимо наложить? Выполнить процедуру
оптимизации.
19 Зак. 1494
577

Задача 13.2.14. Предположим, что функцию Kdr (t — ut X)
можно разложить на множители в виде
KdrV-u, b) = KDu(t-u)KRu(b).
1. Вычислить функцию К~ (t, и), определяемую выражением
(104), для этого случая.
2. Аппроксимировать функцию /(- (/, и) разложимым ядром.
г
При каких функциях ошибка приближения будет минимальной?
Обсудить другие варианты выбора, которые могли бы быть более
практичными. Рассмотреть, например,
„ м
в качестве предварительного разложения.
Задача 13.2.15. В этой задаче надо вывести уравнения
оптимального алгоритма оценки (116)—(121).
1. Первый шаг — вывести обобщение (I — 6.55). Линейная
операция выражается в виде
t
х(/, X)=j,h0(/I x:X)r(x)dx. (1*)
Желательно минимизировать реализуемую ошибку оценки по
минимуму среднеквадратической ошибки. Показать, что оптимальная
импульсная переходная функция в этом случае должна
удовлетворять уравнению
t
E[x(t, Х)Г*(и)]=^ h0(/, t:X)&~(t, u)dx, Tt<u<t. (2*)
2. Взяв уравнение (2*) за исходное, провести анализ
аналогично тому, как это сделано в п. 6.3.2, чтобы получить (116)—(121).
Задача 13.2.16. Рассмотрим функцию рассеяния, описываемую
соотношениями (53)—(63). Предположим, что
( 0 при других/.
Подробно написать уравнения оптимального приемника (116)—(121)
для данного случая.
Задача 13.2.17. Рассмотрим модель, описываемую
соотношениями (101)—(104), и предположим, что xd = cod = 0. Используем
приемник, который вычисляет
оо
Гго= J v*{t)7{t)dt
578

to сравнивает | lm |2 с порогом. Функция v (t) — произвольная
функция, которую необходимо выбрать. (Не следует смешивать v (t) и
g (t) в (106).) Помехоустойчивость этого приемника является
монотонной функцией величины Ат, где
Л .^[[./тН^-ДПйпНЯ,].
Е1\Гт\2\н0]
(см. (9.49)).
1. Вывести выражение для величины Ат.
2. Найти уравнение, определяющее функцию v (/), которая
максимизирует величину Ат. Обозначить найденное решение через
5(0-
3. В работе [32] эта задача рассмотрена с другой точки Зрения.
Там введена функция, определяемая как
J=E[\Tmf\ только nr(t)].
Доказать, что
00
J=\\\t^(t—X)J(t — X)KDR(t—u, 'k)f*{u—'K)v{u—'k)dtdud'k^
— со
= ^SDR{f,k}Qfv{K -fldW/,
— оо
где Qf {*, •}—функция взаимной неопределенности,
определяемая выражением (10.222)*
4. Желательно минимизировать функцию J при следующих
ограничениях:
00 ОО
jj \v(t)\2dt=l, jj f{t)v{t)dt=R>
— 00 —ОО
где 0<|К|< 1.
а) Объяснить указанные ограничения применительно к
результату п.1.
б) Выполнить процедуру минимизации, используя два множителя
Лагранжа. Обозначить найденное решение через v2 (/).
в) Справедливо ли равенство v2 (t) = vx (t) в общем случае?
г) Удостовериться, что можно обеспечить равенство v2 {t)==i\ (t)
надлежащим выбором двух указанных ограничений.
д) Обсудить, почему желательно использовать v2 (t) вместо
v± (/) [32].
19* 579

Примечания,
1. Следует решать п. 2 без каких-либо выкладок путем простого
анализа, поскольку в (106) функция vx (t) должна равняться
функции g(/).
2. Уравнение в п.З решается методом дискретизации [32]. Такие
же процедуры можно использовать для решения уравнения (106).
Задача 13.2.18. Рассмотрим модель из предыдущей задачи.
1. Удостовериться, что величину Ат можно записать как
J T(t)v*(t)dt
— оо
2
JJJJT*(/—X) [#06(/-и)-1-7(*-а,)Кяд ('""' ^H*{u-K)]v(u-l)dKdtdu
— 00
(1*)
2, Потребуем, чтобы функция v (t) имела форму
v{t) = aJ{t) + a2f{t-Ts)y
где Т8 — фиксированная постоянная величина, аа1иа2 —
комплексные весовые коэффициенты. Выбрать аг и а2 так, чтобы величина Ат
была максимальной. Обозначить эти значения через аг и а2#
3. Максимизировать Ат (аи а2) как функцию от Ts.
Задача 13.2.19. Рассмотрим результат (1*) предыдущей задачи.
Желательно оптимизировать / (t) и и* (t) совместно. Эта задача
исследовалась применительно к реверберационной обстановке с
рассеянием по допплеровскому параметру (задача 11.2.14). В результате
была получена система линейных дифференциальных уравнений,
решить которую мы оказались не в состоянии. Основная трудность
заключалась в том, что как обычный, так и оптимальный приемник
были связаны с / (t).
Используем теперь новый метод. Для простоты начнем анализ
с реверберационной модели с рассеянием по допплеровскому
параметру:
KdrV-u, X) = RD{t-u)8(K).
Выберем исходную функцию v (/) с единичной энергией и обозначим
ее как vx (/). Теперь проведем следующую процедуру минимизации:
а. Произведем нормировку / (t) в соответствии с условием
\lHt)\2dt=\.
о
580

дд
б. Наложим условия Г f*\F{f} \гdf=B\ J(0)=f(T) = 0.
— ОО
Т _ _
в. Наложим условие [ f (t) v\ (t) dt=K.
b
г. Минимизируем J=N0 + [{ v\ (t) f(t) Kd (t —u)f* (u) v± (u) dtdu
'o
с учетом указанных ограничений.
1. Выполнить указанную минимизацию. Удостовериться, что
получаемое в результате уравнение является линейным. Свести задачу
к системе дифференциальных уравнений, которая определяет
решение. Заметим, что ее можно решить, используя алгоритм Баггерера
[55, 56]. Обозначить решение через Jx (/).
2. Предположим, что передается сигнал ^(t). Выбрать функцию
v (/) так, чтобы величина Ат была максимальной. Обозначить
решение через v2 (t). Имеется ли какая-либо трудность в выполнении этой
процедуры?
3. Повторить п. 1, используя функцию 1>2 (О- В чем заключается
трудность выполнения этой процедуры?
4. Обсудить трудности в распространении этой процедуры на
случай цели с рассеянием по двум параметрам. Используя
распределенную модель в переменных состояния, вывести систему
дифференциальных уравнений, которая определяет оптимальный сигнал, как
в п.1.
Задача 13.2.20. Комплексная огибающая передаваемого сигнала
равна VEtJ(/), где
f(t)Aa %Z(t-nTp)9 (1*)
причем и (t) определяется выражением (10.29). Нужная цель
находиться в начале координат. Вместо вычисления корреляции с/* (/),
вычислим корреляцию с л:* (/):
£(0=2 WnTsu(t-nTp),
п = \
где Wn — произвольное комплексное число. Обе функции / (t) и
x(t) приведены к единичной энергии. Выходная величина
приемника
оо |2
5 Rt)x*{t)dt\ .
— оо |
581
/А

1. Вычислить величину А для случая, когда комплексная
входная величина является суммой сигнала и комплексного белого
шума, имеющего спектральную плотность N0.
2. Обозначим комплексные коэффициенты как вектор W.
Выбрать такое значение W, чтобы величина А была максимальной.
3. Вычислить А для случая, когда существуют мешающие
отражения от местных предметов, имеющие функцию рассеяния
прямоугольной формы:
* (2al/BLf 5A</<52, Lx<^<L2i
О при других / и Л.
Запишем А в виде
Л W + UW
,w, /■*-' »
Er/N0 W + [M + XC]W
где им = 1. Определить прочие матрицы.
4. Выбрать значение W так, чтобы величина А была
максимальной. Выполнить процедуру максимизации и найти уравнения,
определяющие оптимальное значение W.
Примечание. Эта задача и ее обобщение подробно исследованы
в работах [22, 24 и 34].
Задача 13.2.21. Рассмотрим реверберационную модель,
описываемую выражением (132). Согласно (136) имеем
00 ~
sj{f}
J J NB+S~(f)
где спектр S~ {/} определяется выражениями (124) и (132). Нало-
Г
жим на передаваемый сигнал единичной энергии ограничения по
ширине спектра:
5Т{/}=0, ff|>W\
Найти уравнение, определяющее оптимальный спектр Sf-{/}, при
котором величина А0 имеет максимальное значение.
Задача 13.2.22. Рассмотрим реверберационную модель,
описываемую выражением (132). Если цель движется, то
1Л.
Mz!±df.
jL^+^W
Решить задачу 13.2.21 для этого случая.
582

Задача 13.2.23. Рассмотрим реверберационную модель,
описываемую выражением (132). Предположим, что
где и(') определяется выражением (10.29). Нужная цель имеет
известную скорость, соответствующую допплеровскому сдвигу fd [Гц].
1. Построить структурную схему оптимального приемника и
оценить его помехоустойчивость.
2. Теперь предположим, что формируются две случайные вели-
чины:
Т Т -4- Т
г|Д ^7(t)u*(t)dt, Г2Д J Sr(tfu*(t-Tp)dt.
о тр
Вывести формулы для оптимальных операций над величинами гх
и г2 и определить помехоустойчивость получаемого в результате
приемника.
Hi
Нп
Рис. 13.3*.
3. Рассмотрим структурную схему приемника, представленную
на рис. 13.3*. Предположим, что цель находится на нулевой
дальности. Исследовать помехоустойчивость этого приемника как
функцию величин Еи NQt Рс и fd. Сравнить результаты п. 1, 2 и 3.
4. Сравнить модель, рассмотренную в работе [57], и полученные
там результаты с моделью и результатами, приведенными в данной
книге. РЛС с индикацией движущихся целей рассмотрены также
в работах [58—60].
Задачи к § 13.3. Обнаружение целей с рассеянием
по двум параметрам и передача информации по каналам
с рассеянием по двум параметрам
Ws
/*
[£ |
*•
Z1
Задача 13.3.1. Рассмотрим задачу различения, в которой
комплексные огибающие принимаемых колебаний по двум гипотезам
имеют вид
r(t) = s^(t)+w(t)9 —oo</<oo: #!,
7(f) = s() (t) + w(t), — оо < / < оо : Я0,
583

где s0 (/), Sj (/) и w (t) — статистически независимые комплексные
гауссовы случайные процессы с ковариационными функциями
оо
K70(t> «)=£, jj 7(t-X)KDR.o(t-u, X)T*(u-%)dX,
— 00
оо
trt(t> ")=Et 5 J{t-%)KDR, i(t—u, X)J*(u-X)dX,
— oo
Kz& u) = N06(t-u).
Вывести уравнения, определяющие оптимальный приемник.
Задача 13.3.2. Рассмотрим модель, указанную в предыдущей
задаче. Предположим, что
7(~(/, u)=Et j To(t-b)KDR(t-u,%)niu-b)db>
— 00
оо
t~{t, u)=Et $ f1(t-X)KDR(t-u, X)f*(u-K)dK.
— 00
Вывести уравнения, определяющие оптимальный приемник.
Задача 13.3.3. Комплексные огибающие принимаемых
колебаний по двум гипотезам имеют вид
F{t)=^Ft bJ(t)+VTt I b(t, X)f(t-K)dx+w(t)9
— oo
— oo< t<C oo : Hv
r(t)= w (0, —oo< / < oo : H0-
Процесс b (/, X) характеризуется соотношением (4). Случайная
величина b — комплексная гауссова величина (Е(\Ь\2) = 2а£),
статистически независимая от b(t, X).
Вывести уравнения, определяющие оптимальный приемник.
Задача 13.3.4. Рассмотрим утверждение, приведенное после
(176), относительно статистической независимости процессов
передачи в отводах линии задержки. Произвести количественный анализ
этого положения.
Задача 13.3.5. Рассмотрим функцию рассеяния, указанную в
задаче 13.1.6. Предположим, что она аппроксимируется моделью в
форме линии задержки с отводами, представленной на рис. 13.18.
1. Определить спектр процессов передачи в отводах линии
задержки.
584

2. Найти взаимно-корреляционную функцию или взаимный
спектр процессов передачи в отводах линии задержки как функцию
от Wa.
3. Предположим, что используются три отвода и процессы
передачи в них статистически независимы. Написать уравнения
состояния, определяющие данную модель.
4. Построить структурную схему оптимального приемника для
модели обнаружения, описываемой соотношениями (142)—(152).
Написать выражение для \i (s).
Задача 13.3.6 [61]. Предположим, что передаваемый сигнал
ограничен во времени: J(t) = О, \t\> 772. Разработать модель,
дуальную по отношению к модели в виде линии задержки с отводами.
Задача 13.3.7. В случае цели (канала) с рассеянием по доппле-
ровскому параметру соблюдение условия СПБВН позволяет
получить решения достаточно легко. Рассмотрим задачу с рассеянием по
двум параметрам, в которой / (/) является импульсом
прямоугольной формы с ограниченной длительностью [0, 71, а функция
рассеяния Sdr {/, М ограничена по дальности [0, L]. Интервал
наблюдения имеет пределы [—оо, оо].
1. Является ли выходной сигнальный процесс стационарным?
2. Является ли стационарным выходной сигнальный процесс на
каком-либо отрезке времени длительностью 7?
3. Рассмотрим следующую процедуру:
I. Проанализировать задачу с условием СПБВН для интервала
наблюдения [L, Т].
II. Проанализировать задачу с условием СПБВН для интервала
наблюдения [0, L + Т].
а) Будет ли помехоустойчивость системы п. I лежать ниже
границы помехоустойчивости реальной системы?
б) Будет ли помехоустойчивость системы п. II лежать выше
границы помехоустойчивости реальной системы?
в) При каких пределах изменения значений параметров эта
процедура была бы полезной?
Задача 13.3.8. Функция рассеяния канала имеет вид
Используя общую модель, описываемую соотношениями (196)—(217),
представим канал в виде ортогонального ряда. Передаваемый
сигнал представляет собой импульс прямоугольной формы на
интервале [0, 71. Ортогональные функции ряда записываются в виде
ф1(/)=1/|/Т> 0<?t<L,
Oa(/)=K2/Lcos(2nW» 0<X<L,
Ф8(/) = 1/1/Г81гц2яХ/1), 0<Ц1,ит,д.
585

Вычислить различные величины, необходимые для полного
определения модели.
Задача 13.3.9. Доказать, что модель в виде линии задержки с
отводами является частным случаем общей модели в форме
ортогональной системы сигналов.
Задача 13.3.10. Функция рассеяния имеет вид
SDR{f.b}=— {2nf)2+k2 . -oo</<oof |X|<L/2.
Решить задачу 13.3.8 для этого случая.
Задача 13.3.11. Рассмотрим модель, описываемую
соотношениями (224)—(228). Показать, что непосредственное разложение в
ортогональный ряд приводит к модели, рассмотренной в п. 13.3.2.В.
Задача 13.3.12. Рассмотрим выражение (233) для ри (/).
1. Вывести систему дифференциальных уравнений, которым
должна удовлетворять функция р^- (t).
2. Сравнить результат п. 1 с результатом решения задачи 13.3.1U
Определить импульсный член в (229).
Задача 13.3.13. Рассмотрим разложение (229). Убедиться в том,
что результаты (230) верны. Указание. Обратиться к работе [47].
Задача 13.3.14 [38]. Предположим, что В = 1 кГц, L = 250 мкс.
Отношение сигнал/шум на входе приемника Pr/N0 = 5-105 (57 дБ),
Допустимая суммарная вероятность ошибок равна 10~3.
1. Показать, что максимально достижимая скорость передачи
информации при использовании двоичной системы связи с
указанными параметрами равна 15 кбит/с.
2. Синтезировать простую систему связи, которая обеспечивает
такую скорость передачи.
Задача 13.3.15. Рассмотрим функцию рассеяния, представленную
на рис. 13.16, и предположим, что kL = 10.
Синтезировать сигналы для эффективной передачи двоичной
информации по данному каналу.
Задача 13.3.16. Рассмотрим модель, описываемую
соотношениями (254) — (264) и (279).
1. Найти члены выражения (277) для К = 3.
2. Повторить п.1 для К = 5.
Примечание. В следующих трех задачах изложены некоторые
простые критерии испытания для проверки соблюдения условия
ксмэ.
Задача 13.3.17 [5].
1. Доказать, что
%oMK<Etmax|7(012 Г maxS^{/, %}d%. (1*)
f Л *
686

2. Рассмотрим частный случай, когда огибающая / (t) имеет
прямоугольную форму.
Доказать, что
£max<max3r{/}. (2*)
Задача 13.3.18 [5]. Вывести выражение, дуальное границе (1*)
в задаче 13.3.17. В частности, доказать, что
Ятах<4" (тах|?{/}|2} Г maxSM{/, X)df.
' —00
Задача 13.3.19 [5]. Доказать, что
^тах<£г maxSD*{/, Ц.
f. ь
Задача 13.3.20. В этой задаче необходимо вывести выражения
для нижних границ.
1. Доказать, что
*max> JJ 2(0 /СГ(Л ") 2* (и) № (1*)
для любой функции z (/), удовлетворяющей условию
jj|z(/)|2d/=l. (2*)
2. Предположим, что Ть ->- — оо и Гу-^ оо. Доказать, что
Яшах > £, fjj 9 {Я, /} SDR {/, X} d/db. (3*)
— 00
3. Привести пример функции рассеяния Sdr {/, ^}, когда
условие (3*) выполняется со знаком равенства.
Задача 13.3.21. Рассмотрим модель, описанную в п. 13.3.4.А.
1. Вывести соотношение (292).
2. Вывести формулы (293)—(295).
Задача 13.3.22. Рассмотрим сигнал, определяемый выражением
(10.44а), и функцию рассеяния, указанную в задаче 13.1.5, при
rtiR = triD = 0. Вычислить "[I (s) согласно (295).
Задача 13.3.23. Рассмотрим двоичную систему связи,
работающую в условиях КСМЭ с использованием сигналов^ виде импульсов
прямоугольной формы. Предположим, что Т фиксировано.
1. Доказать, что
In P(e)~a (Pr/N0)2 + by
где Pr/N0 — отношение сигнал/шум на входе приемника. Найти а
и Ь.
587

2. Сравнить этот результат с (239).
Задача 13.3.24. Рассмотрим субоптимальный приемник,
определяемый уравнением (296). Составить уравнения, необходимые для
анализа его помехоустойчивости.
Задача 13.3.25. Рассмотрим субоптимальный приемник,
представленный на рис. 13.31. Составить уравнения, необходимые
для анализа его помехоустойчивости.
Задача 13.3.26. Рассмотрим
субоптимальный приемник,
представленный на рис. 13.32.
1. Составить уравнения,
необходимые для анализа его
помехоустойчивости.
2. Обсудить полезность
метода СПБВН, предложенного в
задаче 13.3.7, для решения этой
конкретной задачи.
Задача 13.3.27. Рассмотрим
определение эквивалентного
канала, приведенное на с. 557.
Удостовериться, что верны
соотношения, указанные в табл.
13.2.
Задача 13.3.28. Рассмотрим канал, функция рассеяния
которого представлена на рис. 13.4*. Высота ее равна 2ol/BL в
заштрихованном прямоугольнике и нулю вне его. Предположим, что BL =
= 0,01. Синтезировать двоичную систему связи, которая будет
работать по данному каналу при jibs (1/2) ~ —0,149. Определить
передаваемый сигнал и оптимальный приемник.
Задача 13.3.29. Рассмотрим вырожденную функцию рассеяния
Рис. 13.4*
2о1
SorU, Ц= 2 -^«{/-/«ЖЬ-Ч-
(1*)
1. Предположим, что N = 2. Доказать, что все каналы с такой
функцией рассеяния эквивалентны.
2. Справедлив ли этот результат при N ^ 3?
Задача 13.3.30 [38]. Рассмотрим систему связи, указанную в
задаче 13.3.15. Допустимая суммарная вероятность ошибок не более
ю-3.
1. Показать, что, используя систему с четырьмя ортогональными
сигналами, можно достичь скорости передачи 25 кбит/с. Указание.
Использовать результаты задачи 5.1.4.
2. Синтезировать систему, обеспечивающую заданную
помехоустойчивость.
588

Задача 13.3.31 [37]. Доказать, что все каналы, функция
рассеяния которых имеет вид
SdrU, Ь:а, К c}=SD JakX + 1^^ /, сА-^П,
[а а )
эквивалентны при любых значениях с, k и а.
Задачи к § 134. Оценка параметров целей
с рассеянием по двум параметрам
Задача 13.4.1.
1. Вывести выражение для /# (А) в виде (306).
2. Вывести выражение для элементов информационной
матрицы J. Условия КСМЭ не предполагаются.
Задача 13.4.2. Вывести выражение для /[J] (А) в форме (316).
Задача 13.4.3. Предположим, что соблюдается условие КСМЭ.
Вывести выражение (324).
Задача 13.4.4. Рассмотрим задачу оценки амплитуды,
изложенную в п.13.4.2.
1. Удостовериться, что оценка а0 (определяемая выражением
(331)) является несмещенной при любых условиях (т. е. соблюдения
условия КСМЭ не требуется).
2. Найти точное выражение для £5 A E 1(а0 — Л)2].
3. Убедиться, что £~ Л У-1 (Л), когда соблюдаются условия
КСМЭ.
Задача 13.4.5. Выразить результат (332) в другой форме,
которая содержит вместо Rdr {t, v} функцию Sdr {/, А,}.
Примечание. Отметим, что в задачах 13.4.6 — 13.4.8 не
предполагалось выполнение условия КСМЭ.
Задача 13.4.6. Рассмотрим вырожденный случай задачи оценки
амплитуды, когда s(tt А) имеет конечное число одинаковых
собственных значений. Таким образом,
K7(t, и: А) = А%С 2 <М0ф*(и), —«></, и<оо.
/=i
1. Определить приемник для формирования оценок а0 и ami.
2. Вычислить £- и J(A) Убедиться, что а0 — эффективная
несмещенная оценка.
3. Наложим ограничение: ANKC = Ег. Будем считать N
непрерывной величиной, большей или равной единице. Найти значение^,
при котором величина Н- минимальна. Заметим, что ответ зависит
от неизвестного параметра А. Как бы Вы использовали этот
результат в реальной системе? Указание. Чувствительна ли величина £-
589

к точному выбору значения N? Построить график зависимости |~
от N.
Задача 13.4.7. Рассмотрим общую задачу оценки амплитуды.
Предположим, что
Kr(t, u:A) = AK7(ty u)9 —oo<t, u<<x>.
1. Выразить границу Крамера — Рао дисперсии любой
несмещенной оценки параметра А через собственные значения функции
К7 (/, и).
2. Наложим ограничение
A jj Kr(t, t)dt=ET.
Найти распределение собственных значений, которое
минимизирует значение границы в п. 1. Сравнить полученный результат с
результатом п.З задачи 13.4.6.
3. Интерпретировать результат п. 2 применительно к задаче
оценки амплитуды функции рассеяния, остальные параметры
которой известны. Заметим, что этот результат дает границу дисперсии
несмещенной оценки амплитуды, которая (граница) не зависит от
вида функции рассеяния.
Задача 13.4.8. Предположим также, что
§D*tf, l:A) = ASDR{fy Ц,
где функция Sdr {/, М известна. Известно также, что
ЛЁГ __ AEt
No N<
||ЗДА b}dfdK~ 20.
о
— 00
Необходимо оценить параметр А более точно.
1. Предположим, что L = 10 и BL = 0,001. Синтезировать
сигнал / (/), который в результате приведет к несмещенной оценке,
дисперсия которой близка к дисперсии, указанной в п. 3 задачи 13.4.7.
Построить структурную схему оптимального приемника,
2. Повторить п. 1 для случая, когда В = 10 и BL = 0,001.
Задача 13.4.9. Обобщить конечные результаты примера,
изложенного на с. 567, на случай, когда используется гауссов импульс
с ЛЧМ (см. (10.44а)), а функция рассеяния имеет асимметричную
гауссову форму:
2noDoR(l-plR)i/2 v[ 2o£ajJ(l-pbR)
(1*)
Предполагается соблюдение условия КСМЭ.
590

1. Показать, ч^о эту задачу можно свести к эквивалентной за*
даче с симметричной гауссовой функцией рассеяния.
2. Вычислить границу (332).
3. При какой скорости линейного свипирования граница
дисперсии будет минимальной?
Задача 13.4.10. Рассмотрим задачу оценки шкалы (масштаба)
дальности при выполнении условия КСМЭ:
KDR(x,b:A) = KDlRt(T,№),
где функция KutRi (•, •) известна.
1. Вывести нижнюю границу дисперсии несмещенной оценки
[62].
2. Рассмотрим частный случай, когда сигнал / (/) определяется
выражением (335)> а функция рассеяния SDtRt {/, М
удовлетворяет условию (333). Вычислить границу п.1.
3. Выбрать значение 7\ при котором граница минимальна.
Задача 13.4.11. Рассмотрим задачу оценки частотной шкалы при
соблюдении условия КСМЭ:
SDR{f,X:A}=SDlRl{f/AA},
где функция Sd^ {•, •} известна.
1. Повторить решение задачи 13.4.10 при данных условиях.
2. Решить эту задачу, используя принцип дуальности и
результаты решения задачи 13.4.10.
Задача 13.4.12. Обобщить конечные результаты решения двух
предыдущих задач на случай, когда
RDR{x,v: A} = A1A2RDiRi{A1xyA2v}.
1. Вывести выражение для элемента граничной матрицы J (A)
[62].
2. Вычислить нижнюю границу дисперсии несмещенной оценки
для случая п. 2 задачи 13.4.10.
Список литературы
1. Van Trees H. L. Optimum Signal Design and Processing for
Reverberation-Limited Environments. Trans. IEEE, 1965, v. MIL—9, July,
p. 212 — 229.
2. Reed I. S. The Power Spectrum of the Returned Echo from a Random
Collection of Moving Scatterers. Paper Presented at IDA Summer Study»
July 8, 1963.
3. Kelly E. J., Lerner E. С A Mathematical Model for the Radar Echo
from a Random Collection of Scatterers. Massachusetts Institute of
Technology, Lincoln Laboratory, Technical Report 123, June 15, 1956.
4. Van Trees H. L. Optimum Signal Design and Processing for
Reverberation-Limited Environments. Technical Report № 1501064, Arthur D.
Little, Inc., Cambridge, Mass., October 1964.
5. Price R., Green P. E. Signal Processing in Radar Astronomy —
Communication via Fluctuating Multipath Media. Massachusetts Institute of
Technology, Lincoln Laboratory, TR 234, ОстоЬег 1960.
591

6. Green P. E. Radar Astronomy Measurement Techniques. Massachusetts
Institute of Technology, Lincoln Laboratory, TR 282, December 12, 1962.
7. Kurth R. R. Distributed-Parameter State-Variable Techniques
Applied to Communication over Dispersive Channels. Sc. D. Thesis,
Department of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of Technology,
June 1969.
8. Bremmer H. Scattering by a Perturbed Continuum. In: Electromagnetic
Theory and Antennas, E. С Jorden (Ed.), Pergamon Press, London, 1963.
9. Tolstoy 1., Clay C. S. Ocean Acoustics — Theory and Experiment in
Underwater Sound. McGraw-Hill, New York, 1966.
10. Faure P. Theoretical Model of Reverberation Noise. J. Acoust. Soc. Am.,
1964, v. 36, Feb., p. 259—268.
11. Carleton H. R. Theoretical Development of Volume Reverberation as a
First-Order Scattering Phenomenon. J. Acoust. Soc. Am., 1961,
v. 33, March, p. 317 — 323.
12. Антонов В. П., Ольшевский В. В. Пространственно-временная
корреляция морской реверберации. Акустический журнал, 1965, т. 11, № 3,
с. 294 — 299.
13. Middleton D. A Statistical Theory of Reverberation and Similar First-
Order Scattered Fields, I. Trans. IEEE, 1967, v. IT-13, № 3, July,
p. 372 — 392.
14. Middleton D. A Statistical Theory of Reverberation and Similar First-
Order Scattered Fields, II. Trans. IEEE, 1967, v. IT-13, № 3, July, p.
393 — 414.
15. Clay C. S., Jr. Fluctuations of Sound Reflected from the Sea Surface. J.
Acoust. Soc. Am., 1960, v. 32, Dec, p. 1547 — 1555.
16. Kelly E. J., Jr. Random Scatter Channels. Massachusetts Institute of
Technology, Lincoln Laboratory, Group Report 1964-61, Nov. 4, 1964.
17. Middleton D. Statistical Models of Reverberation and Clutter, I. Litton
Systems, Inc., Waltham, Mass., TR 65-2-BF, April 15, 1965.
18. Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными неоднородно-
стями. Изд. АН СССР, 1958.
19. Stewart J. L., Westerfeld E. С. A Theory of Active Sonar Detection. Proc.
IRE, 1959, v. 47, p. 872 — 881.
20. Westerfeld E. C, Prager R. H., Stewart J. L. Processing Gains against
Reverberation (Clutter) Using Matched Filters. Trans. IRE, 1960, v.
IT-6, June, p. 342 — 348.
21. DeLong D. F., Jr., Hofstetter E. M. The Design of Clutter-Resistant
Radar Waveforms with Limited Dynamic Range. Trans. IEEE, 1969,
v. IT-15, № 3, May, p. 376 — 385.
22. DeLong D. F., Jr., Hofstetter E. M. On the Design of Optimum Radar
Waveforms for Clutter Rejection. Trans. IEEE, 1967, v. IT-13, July,
p. 454 — 463.
23. Thompson J. S., Titlebaum E. L. The Design of Optimal Radar
Waveforms for Clutter Rejection Using the Maximum Principle. Trans. IEEE,
1967, v. AES-3 (Suppl.), № 6, Nov., p. 581 — 589.
24. Rummler W. D. A Technique for Improving the Clutter Performance of
Coherent Pulse Train Signals. Trans. IEEE, 1967, v. AES-3, № 6, Nov.,
p. 898 — 906.
25. Manasse R. The Use of Pulse Coding to Discriminate against Clutter.
Massachusetts Institute of Technology, Lincoln Laboratory, Report 312-12,
June 1961.
26a. Balakrishnan A. V. Signal Design for a Class of Clutter Channels. Trans.
IEEE, 1968, v. IT - 14, № 1, Jan., p. 170 — 173.
26b. Fortmann Т. Е. Comments on Signal Design for a Class of Clutter
Channels. Trans. IEEE, 1970, v. IT-16, № 1, Jan., p. 90 — 91.
27. Ares M. Optimum Burst Waveforms for Detection of Target in Uniform
Range-Extended Clutter. General Electric Co., Syracuse, N. Y.,
Technical Information Series TIS R66EMH16, March 1966.
592

28. Fowle E. N.t Kelly E. J., Sheehan J. A. Radar System Performance in
a Dense Target Environment. 1961, IRE Int. Conv. Rec, Pt. 4.
29. Tzafestas S. G., Nightingale J. M. Optimal Filtering, Smoothing, and
Prediction in Linear Distributed-Parameter Systems. Proc. IEE, 1968,
v. 115, № 8, Aug., p. 1207 — 1212.
30. Tzafestas S. G., Nightingale J. M. Concerning the Optimal Filtering
Theory of Linear Distributed-Parameter Systems. Proc. IEE, 1968, v. 115,
№ 11, Nov., p. 1737 — 1742.
31. Urkowitz H. Filters for Detection of Small Radar Signals in Clutter.
J. Appl. Phys., 1968, v. 24, Nov., p. 1024 — 1031.
32. Stutt C. A., Spafford L. J. A «Best» Mismatched Filter Responce for
Radar Clutter Discrimination. Trans. IEEE, 1968, v. IT-14, № 2, March,
p. 280 — 287.
33. Spafford L. J. Optimum Radar Signal Processing in Clutter. Trans. IEEE,
1968, v. IT-14, № 5, Sept., p. 734 — 743.
34. Rummler W. D. Clutter Suppression by Complex Weighting of
Coherent Pulse Trains. Trans. IEEE, 1966, v. AES-2, №6, Nov., p. 689—699.
35. Kailath T. Sampling Models for Linear Time-Variant Filters.
Massachusetts Institute of Technology, Research Laboratory of Electronics, TR
352, May 25, 1959.
36. Van Trees H. L. Printed Class Notes, Course 6.576, Massachusetts
Institute of Technology, Cambridge, Mass., 1965.
37. Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием. М., «Сов. радио»,
1973.
38. Kennedy R. S., Lebow I. L. Signal Design for Dispersive Channels. IEEE
Spectrum, 1964, № 3, March, p. 231 — 237.
39. Price R. Maximum-Likelihood Estimation of the Correlation Function
of a Threshold Signal and Its Application to the Measurement of the
Target Scattering Function in Radar Astronomy. Massachusetts Institute of
Technology, Lincoln Laboratory, Group Report 34-G-4, May 1962.
40. Kailath T. Measurements in Time-Variant Communication Channels.
Trans. IRE, 1962, v. IT-8, Sept., p. 5229 — 5236.
41. Green P. E., Jr. Radar Measurement of Target Scattering Properties. In:
Radar Astronomy, J. V. Evans and T. Hagfors (Eds.), McGraw-Hill,
New York, 1968, Chap. 1.
42. Hagfors T. Some Properties of Radio Waves Reflected from the Moon and
Their Relationship to the Lunar Surface. J. Geophys. Res., 1961, v. 66,
p. 777.
43. Levin M. J. Estimation of the Second-Order Statistics of Randomly Time-
Varying Linear Systems. Massachusetts Institute of Technology, Lincoln
Laboratory, Report 34-G-7, November 1962.
44. Spilker J. J. On the Characterization and Measurement of Randomly-
Varying Filters. Commun. Sci. Dept., Philco Western Div. Labs. TM 72,
Oct. 1963.
45. Krinitz A. A Radar Theory Applicable to Dense Scatterer Distributions.
Massachusetts Institute of Technology, Electronic Systems Laboratory,
Report ESL-R-131, January 1962.
46. Bello P. A. On the Measurement of a Channel Correlation Function. Trans.
IEEE, 1964, v. IT-10, №4, Oct., p. 381—383.
47. GaardenN. T. Scattering Function Estimation. Trans. IEEE, 1968, v. IT-14,
№ 5, Sept., p. 684—693.
48. Gal lager R. G. Characterization and Measurement of Time-and Frequency-
Spread Channels. Massachusetts Institute of Technology, Lincoln
Laboratory, TR 352, April 1964.
49. Hagfors T. Measurement of Properties of Spread Channels by the
Two-Frequency Method with Application to Radar Astronomy. Massachusetts
Institute of Technology, Lincoln Laboratory, TR 372, January 1965.
50. Reiffen B. On the Measurement of Atmospheric Multipath and Doppler
Spread by Passive Means. Massachusetts Institute of Technology, Lincoln
Laboratory, Technical Note 1965-6, Group 66, March 1965.
593

51. Bar-David I. Radar Models and Measurements. Ph. D. thesis, Department
of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, January
1965.
52. Pettengill G. Measurements of Lunar Reflectivity Using the Millstone
Radar. Proc. IRE, 1960, v. 48, №5, May, p. 933.
53. Brown J. L. On the Expansion of the Bivariate Gaussian Probability
Density Using the Results of Nonlinear Theory. Trans. IEEE, 1968, v. IT-
14, № 1, Jan., p. 158—159.
54. Wiener N. The Fourier Integral and Certain of Its Applications. Cambridge
University Press, London, 1933.
55. Baggeroer A. B. State Variables, the Fredholm Theory, and Optimal
Communication. Sc. D. Thesis, Department of Electrical Engineering,
Massachusetts Institute of Technology, 1968.
56. Baggeroer A. B. State Variables and Communication Theory.
Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Mass., 1970.
57. Стейнберг Б. Д. Радиолокационные фильтры СДЦ. —В кн.: Современная
радиолокация. Пер. с англ. Под ред. Ю. Б. Кобзарева. М., «Сов. радио»*
1969.
58. Capon J. Optimum Weighting Functions for the Detection of Sampled
Signals in Noise. Trans. IEEE, 1964, v. IT-10, № 2, April, p. 152—159.
59. Ridenour L. N. Radar System Engineering. McGraw-Hill, New York,
1947.
60. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных
помех. М., «Сов. радио», 1960.
61. Bello P. A. Characterization of Randomly Time-Variant Linear
Channels. Trans. IEEE, 1963, v. CS-11, Dec, p. 360—393.
62. Levin M. J. Parameter Estimation for Deterministic and Random Signals.
Massachusetts Institute of Technology, Lincoln Laboratory, Group
Report 34-G-ll (preliminary draft not generally available).
63. Rihaczek A. W. Optimum Filters for Signal Detection in Clutter. Trans.
IEEE, 1965, v. AES-1, Dec, p. 297—299.
64. Kailath T. Optimum Receivers for Randomly Varying Channels. In: Fourth
London Symp. Information Theory, С Cherry (Ed.), Butterworths,
Washington, D. C, 1961.
65. Green P. E. Time-Varying Channels with Delay Spread. In: Monograph
on Radio Waves and Circuits, S. Silver (Ed.), Elsevier, New York, 1963.
66. Bello P. A. Measurement of Random Time-Variant Linear Channels. Trans.
IEEE, 1969, v. IT-15, №4, July, p. 469—475.
67. Bar-David I. Estimation of Linear Weighting Functions in Gaussian
Noise. Trans. IEEE, 1968, v. IT-14, May, p. 395—407.
68. Root W. L. On the Measurement and Use of Time-Varying
Communications Channels. Information Control, 1965, Aug., p. 390—422.
69. Bello P. A. Some Techniques for the Instantaneous Real-Time
Measurement of Multipath and Doppler Spread. Trans. IEEE, 1965, v. CT-13,
Sept., p. 285—292.
70. Thau F. E. On Optimum Filtering for a Class of Linear Distributed-Para-
meter Systems. In: Proc. 1968 Joint Automatic Control Conf., Univ. of
Mich., Ann Arbor, Mich., 1968, p. 610-618.
71. Kushner H. J. Filtering for Linear Distributed-Parameter Systems. Center
for Dynamical Systems, Brown Univ., Providence, R. I., 1969.
72. Tzafestas S. G., Nightingale J. M. Maximum-Likelihood Approach to
Optimal Filtering of Distributed-Parameter Systems. Proc. IEE, 1969,
v. 116, p. 1085—1093.
73. Phillipson G. A., Mitter S. K. State Identification of a Class of Linear
Distributed Systems. In: Proc. Fourth IFAC Congress, Warsawa, Poland,
June 1969.
74. Balakrishnan A. V., Lions J. L. State Estimation for Infinite-Dimensional
Systems. J. Computer Syst. Sci., 1967, v. 1, p. 391—403.
75. Meditch J. S. On State Estimation for Distributed-Parameter Systems.
Jour, of Franklin Inst., 1970, v. 290, Ni 1, July, p. 49—59.

14. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе мы кратко обсудим три вопроса. В § 14.1
подытожим некоторые основные результаты рассмотрения радио- и
гидролокационной задачи. В § 14.2 изложим в основных чертах
содержание книги «Пространственно-временная обработка сигналов».
В § 14.3 сделаем некоторые заключительные комментарии по
трехтомной монографии «Теория обнаружения, оценок и модуляции».
14.1. Краткие итоги рассмотрения вопросов обработки
сигналов в радио- и гидролокационных системах
В гл. 8 была сформулирована радио- и гидролокационная задача
и рассмотрена иерархия полезных моделей целей и каналов. Затем
мы обратились к Приложению, куда вынесли вывод необходимого
для дальнейшего изложения комплексного представления
узкополосных сигналов, систем и процессов. Для сигналов это
представление имеет вид
/(/) = V2Re[7(0e/£Oc^ (1)
где / (/) — комплексная огибающая. Для систем имеем
h{ttu) = 2Re[h(t, и)е!(0с*ъ (2)
где h (ty и) — комплексная импульсная переходная функция. Для
случайных процессов используется запись
n(/) = V2Re[n(/)e/ec']f (3)
где п (t) — комплексная огибающая. Если ограничиться
рассмотрением только процессов, для которых
E[n(t)n(u)] = 09 (4)
то получим однозначное соответствие между ковариационной
функцией Кп (tf и) комплексной огибающей п (t) и ковариационной
функцией Kn(t, и) реального процесса п (/):
Кп (/, W) = V 2 Re [Кп (/, и) е'*с« - "> ]. (5)
595

Этот класс процессов включает все стационарные и нестационарные
процессы, которые встречаются на практике. Мы также ввели в
рассмотрение комплексные переменные состояния и изложили их
свойства. Комплексная система записи дала нам возможность более
четко видеть важнейшие особенности рассматриваемых задач.
Кроме того, она упрощает все процедуры анализа, поскольку вместо
двух действительных (вещественных) величин можно оперировать
одной комплексной.
В гл. 9 была рассмотрена задача обнаружения эхо-сигнала от
медленно флуктуирующей точечной цели при наличии шума.
Критерий отношения правдоподобия в этом случае выражается в виде
% у, (6)
|7\-
/ ГД
Ti
я.
\ ~r(t)g*(t)dt\
где функция g (t) удовлетворяет интегральному уравнению
~ TJ~
f (t) = J Kn (t, и) g (и) du, Tt < / < Tf. (7)
Помехоустойчивость системы полностью определяется величиной
д д EJITI'ltfJ-EdTI'Iff,} ,8,
£{|7|2|Я„} " К)
Эту величину можно использовать в формуле (9.50) для определения
вероятностей ошибок. Кроме того, в гл. 9 приемник и его
помехоустойчивость были определены с помощью системы
дифференциальных уравнений, которую можно легко решить, используя
численные методы. Хотя задача синтеза оптимального сигнала была
сформулирована, подробно она не рассматривалась.
В гл. 10 была рассмотрена задача оценки дальности и скорости
медленно флуктуирующей точечной цели при наличии аддитивного
белого шума. Было установлено, что частотно-временная
корреляционная функция
Ф{*./>= ] T(t—t/2)~r(t + %/2)el*"t*dt (9)
— оо
и функция неопределенности
9{т, /} = |Ф{т, /}|2 (10)
играют главную роль в большей части рассмотрения. При малой
погрешности точность оценивания прямо зависит от формы функции
неопределенности в начале координат. Однако, если функция
неопределенности имеет побочные пики, высота которых близка к
единице, то вероятность больших ошибок возрастает. Эти два аспекта
связаны принципом неопределенности в радиолокации, который ут-
596

верждает, что полный объем, заключенный между поверхностью
функции неопределенности и частотно-временной плоскостью,
равен единице для любого излучаемого сигнала, т. е.
оо
Цв{т,/}Аа//=1. (11)
— оо
Следует подчеркнуть, что функция неопределенности играет
большую роль потому, что приемник мы синтезировали так, чтобы он
был оптимальным в присутствии аддитивного белого гауссова
шума. Было установлено, что в некоторых условиях локационной
обстановки желательно использовать другой фильтр (например, с
импульсной переходной функцией у* (/)). Эта функция у* (/) может
соответствовать функции g* (/), определяемой выражением (7),
или быть функцией, выбранной из соображения простоты
реализации приемника. Главную роль в дальнейшем анализе играет
функция взаимной неопределенности
м*./>=
оо
11[*-\)ъ[*+^)&т*
(12)
Особенно важной является задача разрешения целей. В § 10.5
была рассмотрена задача разрешения в дискретной локационной
обстановке. Типичная ситуация, в которой возникает такая задача,
связана с необходимостью обнаружения цели при наличии ложных
целей. Хотя для этой задачи всегда можно найти оптимальный
приемник, часто используется обычный приемник по схеме
согласованного фильтра ввиду его простоты. В этом случае ухудшение
помехоустойчивости из-за влияния мешающих целей оценивается
величиной
Pr=2^e{T,-Tdl(D,-©d}. (13)
Таким образом, если бы можно было сделать функцию
неопределенности равной нулю в тех точках плоскости т, со, где
находятся мешающие цели, то ухудшения помехоустойчивости не
было бы. Как правило, такое решение практически нецелесообразно,
но оно позволяет лучше разобраться в существе задачи выбора
хороших сигналов. Если величина рг значительна, то
помехоустойчивость можно улучшить, используя оптимальный приемник. При
этом в случае отсутствия белого шума оптимальный приемник
просто отстраивался бы от помехи, теряя некоторую долю энергии
полезного сигнала. При наличии белого шума фильтр оптимального
приемника выбирается так, чтобы величина А, определяемая
выражением (8), имела максимальное значение.
Рассмотрение задачи разрешения целей было продолжено в
§ 13.2. Реверберационные (или порожденные мешающими отраже-
597

ниями от местных предметов) эхо-сигналы были смоделированы в
виде цели с рассеянием по двум параметрам. И в этом случае были
рассмотрены как обычный, так и оптимальный приемник. В
обычном приемнике по схеме согласованного фильтра ухудшение
помехоустойчивости из-за реверберации определяется выражением
оо
Рг=^" ^SDR{f,W{b-Td,fd-f)dfdX. (14)
ОО
Отсюда следует, что задача синтеза оптимального сигнала
заключается в минимизации общего объема функции неопределенности
сигнала и функции рассеяния цели.
При существующей величине рг некоторый выигрыш в
помехоустойчивости дает применение оптимального приемника. В общем
случае для определения схемы оптимального приемника
приходится аппроксимировать цель какой-либо моделью, например, в виде
линии задержки с отводами, как это показано на рис. 13.18. В
рамках задач вне основного текста было получено несколько
субоптимальных структурных схем приемника для работы в условиях ре-
верберационной обстановки.
В главе 11 были рассмотрены точечные цели с рассеянием по доп-
плеровскому параметру (с допплеровским рассеянием). Основное
предположение в принятой здесь модели задачи состояло в том, что
процесс отражения считался стационарным гауссовым процессом
с нулевым средним значением. Ковариационная функция
комплексной огибающей принимаемого сигнального процесса в условиях
этой задачи была выражена в виде
K7(t,u)=EtJ(t-l)KD(t-u)T*(u-X)t (15)
где Kd (т) — ковариационная функция процесса отражения.
Процесс отражения можно эквивалентно описать допплеровской
функцией рассеяния
оо
&>{/} = l Кв(х)е-!2л1хс1т. (16)
— оо
Было выяснено, что если длительность импульса больше
времени корреляции процесса отражения (примерно равного Б-1), то
цель (или канал) вызывает время-селективные замирания сигнала.
Задача синтеза оптимального приемника в этом случае является
полосовым вариантом задачи обнаружения гауссова сигнала на
фоне шума, которая была рассмотрена в гл. 2—4. Несколько
классов процессов отражения позволяют получить полные решения.
В частности, если SD {/} является рациональной функцией или ее
можно аппроксимировать рациональной функцией, то можно
получить полное решение для оптимального приемника. Такое
приближение на основе рационального спектра охватывает большинство
представляющих интерес случаев.
598

Была также рассмотрена задача двоичной связи по каналам
с рассеянием по допплеровскому параметру. Было установлено, что
существует граница вероятности ошибки
/>(8)<-Lexp(-0,1488-y , (17)
которая не зависит от формы функции рассеяния. Кроме того,
оказалось возможным указать системы, в которых используются
простые сигналы и приемники, по помехоустойчивости
приближающиеся к этой границе. Было выяснено, что главным условием
эффективной работы системы является использование неявного
(внутреннего) и явного (внешнего) разнесения. Важная сама по себе задача
связи дала нам возможность глубже разобраться в сущности общей
задачи обнаружения.
В главе 12 мы рассмотрели дисперсные (диспергирующие или
с рассеянием по дальности) цели и каналы. Основные допущения
в принятой нами модели заключались в том, что непересекающиеся
интервалы по дальности считаются независимыми и что
принимаемый сигнал представляется выборочной функцией гауссова
случайного процесса с нулевым средним значением. Ковариационная
функция имела вид
оо
K7(t,u)=Et jj l(t-X)SR(X)T(u-k)dX, (18)
— оо
где SR{%) — функция рассеяния по дальности. Эквивалентное
описание цели возможно с помощью двухчастотной корреляционной
функции
оо
KR{v}= jj SR(%)e'^d%. (19)
— оо
Если ширина спектра передаваемого сигнала больше величины,
обратной протяженности цели (L-1), то, как было показано, эта цель
вызывает частотно-селективные замирания. Затем была введена
концепция частотно-временной дуальности. Так как
помехоустойчивость системы полностью определяется собственными значениями
принимаемого процесса, можно анализировать либо данную
систему, либо систему, дуальную ей. Теория дуальности дает
возможность анализировать широкий класс целей с рассеянием по
дальности, которые трудно было бы анализировать непосредственно.
Кроме того, она позволяет по-новому подойти к рассмотрению
данной задачи. Наличие эффективных алгоритмов преобразования
Фурье делает синтез дуальных приемников практически возможным.
В главе 13 был рассмотрен последний из нашей иерархии класс
целей — цели с рассеянием по двум параметрам. Здесь
предполагалось, что процесс отражения от каждого элемента дальности
является выборочной функцией стационарного гауссова процесса и что
599

отражения от непересекающихся интервалов статистически
независимы. Ковариационная функция принимаемого сигнала
выражается в виде
оо
K7(t,u)=Et $ f(t-k)RDR(t—u,%.)f(u—K)dk, (20)
— оо
где Kdr (t — иД) — ковариационная функция принимаемого
процесса как функции от Я. Эквивалентно данную цель можно
описать функцией рассеяния по дальности и по допплеровскому
параметру:
оо
SDR{f,X}= l &>л(тД)е-«*/Мт. (21)
— оо
Если BL < 1, то соответствующим выбором сигнала можно
получить общие (равномерные) замирания. С другой стороны, если
BL > 1, то цель является сильнодиспергирующей и принимаемый
сигнал подвержен либо время-селективным, либо
частотно-селективным замираниям (или тем и другим одновременно).
После обсуждения реверберационной задачи была рассмотрена
задача обнаружения целей с рассеянием по двум параметрам. Для
случая когерентности сигналов малой энергии (КСМЭ) решение
задачи не встретило затруднений. Для общего случая мы
использовали модель канала в форме ортогонального ряда. Наиболее часто
используемой моделью для этого случая является модель в виде
линии задержки с отводами. Если спектры процессов передачи в
отводах можно аппроксимировать рациональными функциями, то
можно найти модель в форме комплексного представления в
переменных состояния для всей системы. Это позволяет полностью
определить оптимальный приемник и получить хорошее приближение
для оценки его помехоустойчивости. Второй метод решения задачи,
связанной с каналом с рассеянием по двум параметрам, основан на
описании канала дифференциальными уравнениями. Этот метод
приводит к системе уравнений, которую можно решить
численными методами. Хотя оптимальные приемники для различных
случаев рассматриваемой задачи оказываются довольно сложными,
в большинстве ситуаций можно получить хорошее приближение
к ним.
Последним вопросом было рассмотрение задачи оценки
параметров целей с рассеянием по двум параметрам. Для исследования
помехоустойчивости после вывода выражения для функции
правдоподобия мы ввели в рассмотрение обобщенную функцию
неопределенности рассеяния. Было подробно рассмотрено несколько
конкретных задач оценки параметров.
На этом завершается рассмотрение вопросов обработки
сигналов в радио- и гидролокационных системах. В следующем
параграфе мы кратко изложим содержание книги «Пространственно-
временная обработка сигналов».
600

14.2. Оптимальная пространственно-временная обработка
сигналов
В книге [1], которая фактически является четвертым томом
монографии, изучается задача пространственно-временной
обработки сигналов в гидролокационных и сейсмических системах.
В первую очередь рассматривается вопрос обнаружения известных
сигналов на фоне шума. Основные соотношения здесь представляют
частные случаи результатов гл. 4 первого тома, однако важным
является изучение различных вопросов, которые возникают в
конкретных физических ситуациях. Для исследования этих вопросов
прежде всего разрабатывается модель для
пространственно-распределенных шумовых полей. Затем в рассмотрение вводятся понятия
коэффициента усиления решетки, диаграмм направленности и неис-
кажающих фильтров и демонстрируется их полезность при
рассмотрении проблемы обработки сигналов.
Следующий вопрос — обнаружение неизвестных сигналов на
фоне шума. Эта модель весьма часто используется для решения
задач пассивной гидролокации и сейсмологии. Учитывая
определяющую роль неискажающего фильтра, можно построить алгоритм
приемника, основная структура которого не зависит от принятых
в модели допущений детального характера.
Последним из рассматриваемых в [1] вопросов является
исследование многопараметрических процессов (процессов с многими
переменными), встречающихся в непрерывных приемных апертурах.
Хотя основные результаты в этом случае являются прямым
развитием результатов для многомерных процессов, этот общий подход,
как выясняется, позволяет по-новому осмыслить существо
проблемы и выработать упрощенные вычислительные процедуры.
Точно так же, как во втором и третьем томах монографии, в
книге [1] приведено большое количество результатов новых
исследований. Как и настоящий, третий том, эта книга сочетает в себе черты
научной монографии и учебного пособия для
студентов-выпускников и аспирантов.
14.3. Замечания
Ввиду того, что материал книги «Пространственно-временная
обработка сигналов» имеет узкоспециальный характер, многие
читатели, возможно, остановятся на рассмотрении настоящего тома
монографии. По этой причине представляется целесообразным
сделать несколько замечаний по всему ранее изложенному материалу.
Надеемся, что читатель заметил тесную связь между
различными задачами, исследованными в монографии. Беглый просмотр
оглавления трех книг свидетельствует о широком диапазоне
рассмотренных в них физических ситуаций. Опираясь на несколько
фундаментальных понятий и положений, мы смогли провести их эффек-
601

тивный анализ и убедились в том, что понимание взаимосвязи между
различными областями очень важно, так как позволяет
использовать результаты решения других задач для решения данной.
Второе обстоятельство, которое должен оценить читатель, —
это полезность различных методов для решения разнообразных
задач. Мы убедились, что одной теории связи для этой цели уже
недостаточно. Чтобы быть полноценным аналитиком, необходимо
знать основные положения и методы теории автоматического
управления, теории информации и других дисциплин. Возможно, мы
переоценили полезность метода переменных состояния, однако для
нас он является предметом активных исследований. По нашему
убеждению, в будущем он, несомненно, найдет широкое применение
при анализе сложных систем.
Читателю не следует забывать, что мы имели дело с
математическими моделями физических ситуаций. Точнее, на всем протяжении
изложения главный упор делался на использование моделей,
построенных на основе понятия гауссова случайного процесса. Во
многих случаях они вполне адекватны для описания реальной
ситуации, и рассчитанные исходя из них оценки помехоустойчивости
и другие рабочие характеристики систем можно подтвердить
экспериментально. В других случаях необходимо использовать более
сложные модели, построенные на основе негауссовых процессов.
Существуют также случаи, когда единственным возможным методом
является натурный эксперимент или машинное моделирование. Эти
замечания ни в коей мере не умаляют важности глубокого изучения
гауссовой задачи, а служат лишь напоминанием об ограниченности
этой модели.
Хотя это и не принято, нам кажется, что здесь уместно сделать
последнее замечание — выразить признательность тем читателям,
кто взял на себя труд внимательно изучить этот объемистый
материал. Надеемся, что такой читатель получил достаточно полное
представление и в полной мере оценил значение теории
обнаружения, оценок и модуляции.
Список литературы
1. Van Trees H. L. Array Processing. Wiley, New York, 1971.

Приложение
Комплексное представление полосовых сигналов,
систем и процессов
Лп
sind)ft
Вектор
дрщается ^
с часглоши
ff-toi/2ft
—ч—
В Приложении изложим основные положения представлений
в комплексной форме узкополосных сигналов, систем и случайных
процессов. Идея представления реального сигнала в виде
действительной (вещественной) части комплексного сигнала хорошо
известна большинству инженеров в области электро-и радиотехники.
В частности, сигнал
cos(o1^=Re[e/a)^] (П.1)
и соответствующая векторная диаграмма (рис. П.1) встречаются
во многих вводных курсах по теории цепей. Реальный сигнал есть
просто проекция комплексного
сигнала на действительную
(горизонтальную) ось. Изложенные в
этом Приложении представления
являются обобщениями этой
хорошо известной формы записи.
В § П.1 рассмотрены
полосовые детерминированные сигналы,
в § П.2 — полосовые линейные
системы, в § П.3 — полосовые
случайные процессы. В § П.4
подытожены основные результаты,
полученные в первых трех параграфах.
Параграф П.5 содержит
некоторые задачи на применение
рассмотренных представлений.
Материал первых параграфов до п. П.3.1 включительно имеет
довольно стандартный характер (см., например, [1—8]), и
читатели, которые хорошо знакомы с комплексным представлением,
могут бегло прочитать эти параграфы с тем, чтобы узнать нашу
систему записи. Материал п. П.3.2 менее известен, но тем не менее
не является новым. Материал п. П.3.3 оригинален [9] и, вероятно,
незнаком большинству читателей. За исключением п. П.3.2 и П.3.3,
результаты Приложения необходимы для понимания материала
гл. 9—14.
Рис.
ZOSCJft
П.1. Векторная диаграмма
комплексного сигнала.
603

П.1. Детерминированные сигналы
В этом параграфе рассмотрим детерминированные сигналы с
конечной энергией. Обозначим сигнал через / (f), а его
преобразование Фурье — через F (/со):
f(/co)= \ f(t)e-№
dt.
(П.2)1)
Для простоты предположим, что / (t) имеет конечную энергию.
Типичный сигнал может иметь преобразование Фурье,
представление к
fc~W fc fc+W f
r\f(f)]
Рис. П.2. Преобразование Фурье полосового сигнала.
ное на рис. П.2. Видим, что спектр частот преобразования Фурье
ограничен полосой ± W [Гц] относительно частоты /с несущего
колебания. На практике строго ограниченные по ширине спектра
сигналы встречаются очень редко. Однако, если энергия сигнала вне
основной полосы его спектра ничтожно мала, то ею обычно
пренебрегают. Сигнал, ширина спектра которого практически
ограничена некоторой полосой по обе стороны от несущей, называют
полосовым сигналом. Обычно ширина такой полосы мала по
сравнению с частотой сос, и поэтому подобный сигнал называют также
узкополосным сигналом. В точной формулировке соотношения
между шириной спектра и частотой несущего колебания, при
котором сигнал можно считать узкополосным, в рамках
настоящего рассмотрения нет необходимости.
'О t*
г) В этой книге используется также преобразование F {/} = J/(0 e~~J ' dt.
оо
Фигурные скобки {•} соответствуют именно такому определению.
604

Обычно принято представлять такой сигнал в виде двух
низкочастотных квадратурных (ортогональных) составляющих /с (t) и /s(/):
/c(/)A[(V2cosM/(9b>,
/s(/)A[(V2sincoc/)/(0]iP.
(П.З)
(П.4)
Символом [.]LP обозначается операция пропускания аргумента
через идеальный фильтр нижних частот с единичным
коэффициентом передачи. Колебания нижних частот /с (/) и fs (/) можно гене-
f(t)
V2sir\Qrt
fein6)ct
Разложение на нваЯратурнь/е досстанойление
составляющие сигнала
Рис. П.З. Структурная схема формирования квадратурных составляющих и
восстановления полосового сигнала.
рировать так, как показано на рис. П.З. Передаточная функция
идеального фильтра нижних частот представлена на рис. П.4.
Если квадратурные составляющие заданы, то колебание / (/) можно
восстановить путем их умножения соответственно на cos coct и sincoc^
и сложения результатов по схеме,
показанной на рис. П.З справа
от штриховой линии. Итак,
/(0 = V2[M/)cqs©c* +
+f8(t)sm«>ct]. (П.5)
В справедливости выражения
(П.5) можно убедиться, используя
преобразование Фурье для его
левой и правой части. Однако
гораздо легче убедиться в том, что вся система, изображенная на
рис. П.З, эквивалентна идеальному полосовому фильтру,
передаточная функция которого показана на рис. П.5 [10]. Для этого
представим себе, что на вход системы подан импульс, и вычислим
сигнал на ее выходе. Обозначим выходной сигнал, обусловленный
импульсом, приложенным в момент времени t = т, через gr (t):
605
Рис. П.4. Передаточная функция
идеального фильтра нижних ча-

fifr(0 = V2cos(fi»c0 j б(^—T)V2cos(coc«1)g,Lp(/ —ы1)с(а1 +
— oo
00
+ V2 sin (o)c f) { 8 (/— т)V2 sin (<oc w2) giLp (/— u2) du2=
— oo
= 2g"iLP (t— t) [cos (coc f) cos (o)c t) + sin (o)cf) sin (coc t)] =
= 2fifiLp(/—T)C0S[(Dc(f—T)]. (П.6)
Передаточная функция является преобразованием Фурье
импульсной переходной функции:
оо оо
5 2#ilp (о) cos (<ос а) е-/">da = J gILP (а) е-/((й+й)с) °da +
— 00 — OO
+ ] g.LP(a)e-/(u>-Mc)afla=:GILp{/ + /c} + G,Lp{/-/c}.(n.7)
— oo
~fc~W -fe -fc+IV Ъ-W fc fc^ f
Рис. П.5. Передаточная функция полной системы рис. П.З.
Правая часть (П.7) есть не что иное, как передаточная функция,
показанная на рис. П.5, в чем и требовалось удостовериться.
Следовательно, система, изображенная на рис. П.З, есть просто
идеальный полосовой фильтр, и любой поданный на ее вход сигнал с
ограниченным по ширине спектром пройдет через нее без
искажений. Тем самым подтверждается, что данное представление верно.
Заметим, что из предположения о том, что сигнал f (t) имеет
единичную энергию, следует, что
\ (f2c(t)+ff(t))dt= I P(t)dt=
1.
(П.8)
Указанные квадратурные составляющие нижних частот можно
представить в более компактной форме, если ввести в рассмотрение
так называемый комплексный сигнал, определяемый как
что эквивалентно
606
f(t)ufc(t)-ifs(t),
/ФТ(0
f СО — If (0|e ' ,
(П.9)
(П. 10)

где
lf(Ol=V/*(0+/f(0, (П.11)
OT(0 = arctg[/,(0//e(01. (П.12)
Отметим, что комплексный сигнал f(t) можно также записать в виде
7(O = [/0)V2e-/ecV (П.13)
Шк
Ф?Ю
ч-)
\f(t)\
<t>?(t)i
71
ш
в)
\f(t)\
ФЩ
4tc
* в)
Рис. П.6. Типичные формы огибающих сигналов:
а-огибающая прямоугольной формы, постоянная фаза; б - огибающая прямоугольной
формы, двоичная фазовая манипуляция; в — гауссова огибающая, линейная частотная
модуляция.
Реальный (действительный или вещественный) полосовой сигнал
= V2£,|/(0|e c f \ (П.14)
Некоторые типичные сигналы представлены на рис. И.6. Заметим,
что сигналы, огибающие которых изображены на рис. П.6, а—ву
не являются строго ограниченными по ширине спектра, но у них
энергия спектра вне пределов определенной полосы частот пре*
небрежимо мала. Из (П.14) видно, что \f(t)\ есть действительная
огибающая узкополосного сигнала, а Ф^ (/) + сос t — его
мгновенная фаза. Функцию / (t) обычно называют комплексной огибающей.
Полезность комплексного представления будет становиться
очевиднее по мере дальнейшего изложения материала. Мы придем
607

к заключению, что интересующие нас соотношения можно вывести
и вычислить гораздо проще, если оперировать понятием
комплексной огибающей.
Существует несколько свойств и определений, которые будут
полезными в последующем. Во всех этих свойствах легко убедиться.
Свойство 1. Поскольку энергия передаваемого сигнала равна
единице, из (П.8) следует, что
оо
5 |/(/)|»Л=1. (П. 15)
— оо
Свойство 2. Среднее значение частоты огибающей определяется
как первый момент энергетического спектра комплексной
огибающей:
оо оо
йд j <d|F(/(d)|«-|L= j ©SfW-g-, (П.16)
— оо —оо
где
оо
?(/©)= jj 7Ц)ъ~т<и (П.17)
— оо
— преобразование Фурье от f (t).
В рассматриваемой модели реальный сигнал фиксирован и
равен f(t). Комплексная огибающая / (/) зависит от того, какую
частоту принять за несущую. Так как мы вольны в выборе несущей
частоты, ее всегда можно выбрать так, чтобы
0 = 0 (П.18)
(см. задачу П. 1.1). Позднее выяснится, что при выборе несущей
частоты приходится учитывать и другие соображения, так что
соотношение (П.18) применимо не во всех случаях.
Свойство 3. Средняя длительность огибающей определяется
как первый момент квадрата модуля комплексной огибающей:
оо
7Д jj t\J(l)\*dt. (П. 19)
— оо
Поскольку начало отсчета времени произвольно, его всегда можно
выбрать так, чтобы
/= lj *|7(0lad*=0. (П.20)
— оо
Предположение (П.18) и (П.20) в некоторых случаях приводят к
упрощению алгебраических выкладок.
608

Свойство 4. Существует ряд квадратичных величин, которые
полезны при описании сигнала. Первые две имеют вид
A f a* \F (J®) \*-p-9 (П.21а)
а^Ло2- (со)2. (П.216)
Последняя величина называется средним квадратом полосы (сред-
ним квадратом ширины спектра) сигнала. Она является
приближенной мерой частотной протяженности сигнала.
Аналогично можно определить
00
/ТЛ J t2\J(t)\4t, (П.22а)
— оо
о? А? — (/)2. (П.226)
Последняя величина называется средним квадратом длительности
и является приближенной мерой временной протяженности
сигнала.
В заключение дадим определения еще двух величин:
оо ^
^/ = Im [ tJ(t)^-^-dt, (П.23а)
J dt
— оо
Р©* = (<*>/ — (ul)IO<aOt. (П.236)
Эти определения менее очевидны. Позднее будет показано, что
величина Рю/ является мерой частотной модуляции сигнала 7 (О-
Соотношения (21)—(23) можно выразить по-другому, используя
свойства преобразования Фурье (см. задачу П. 1.2). В разделе
задач рассматриваются также другие полезные интерпретации.
Свойство 5. Рассмотрим два полосовых сигнала единичной
энергии /х (t) и /2 (t). Коэффициент корреляции между ними
оо
. р= S МО МО Л- (П.24)
— оо
Представим теперь эти два сигнала через их комплексные
огибающие и одну и ту же несущую частоту оос:
7i(0 = [V2/l(/)e-/ec'JLPf /=sif2. (П.25)
Комплексный коэффициент корреляции определяется как
оо
Р= J li{t)~fl{t)dt. (П.26а)
— оо
Тогда
p = Re(T. (П.266)
20 Зак. 1494 609

Чтобы убедиться в этом, достаточно написать р через комплексные
огибающие, выполнить интегрирование и заметить, что членами
с удвоенной частотой можно пренебречь.
На этом завершается рассмотрение комплексной огибающей
детерминированного полосового сигнала. Рассмотрим теперь
полосовые системы.
П.2. Полосовые линейные системы
Получим теперь комплексное представление для полосовых
линейных систем. Рассмотрим сначала неизменные, инвариантные
во времени системы и определим применительно к ним понятие
полосовой системы.
П.2.1. Инвариантные во времени системы
Рассмотрим инвариантную во времени линейную систему с
импульсной переходной функцией А (о) и передаточной функцией
Ж/со)- С h(o)e-i<»°de.
(П.27)
Модуль типичного преобразования — передаточной функции
интересующих нас систем — имеет вид, представленный на рис. П.7.
Видим, что модуль передаточ-
\т,
ж
-fc fc~W fc Ъ+W *
Рис. П.7. Модуль передаточной
функции полосовой линейной системы.
ной функции ограничен по
полосе частот некоторым
участком, лежащим по обе стороны от
несущей частоты сос.
Желательно представить полосовую
импульсную переходную
функцию через две квадратурные
составляющие. Так как A (a)—
детерминированная функция,
можно непосредственно
использовать результаты § П.1. Введем в рассмотрение две функции
нижних частот, определяемых как
К (а) Л [А (о) cos coca]LP, (П.28)
А, (а) Л [A (a) sm<oco)LP. (П.29)
Тогда
A (a) = 2AC (a) cos coca + 2AS (a) sin coca. (П.30)
Определив комплексную импульсную переходную функцию как
А (а) = Лс (о) - jhs (а), (П.31>
610

получим искомое комплексное представление в виде
h(o)ARe[2h(o)ei(*c°]. (П.32)
Введение коэффициента V2 — лишь вопрос удобства.
Выведем теперь выражение для сигнала на выходе полосовой
линейной системы с импульсной переходной функцией h (/), когда
на ее входе действует полосовой сигнал
f(/)=V2Re[f(/)e/coc<]. (П.ЗЗ)
Заметим, что несущая частота входного сигнала и частота сос
рассматриваемой системы тождественны. Это условие
предполагается во всех последующих рассуждениях. Выходной сигнал у (t)
получим, произведя свертку / (/) и h (t):
оо
y(t)= jj h(t—o)f(o)do=
— оо
= Ij [ft(/_a)e/e,c<'-*> +ft*(/-a)e-/coc^-^]x
T(a) e/Q>cff+f»(a)e
X
V2
do. (П.34)
Теперь комплексную огибающую сигнала на выходе полосовой
линейной системы можно записать в виде
у(/)Д f h[t — o)J(o)do, —oo<t<oo. (П.35)
Так как h (/) и / (t) — функции нижних частот, два члена в (П.34),
содержащие множители е±2/с°с°, при интегрировании дают
приближенно нуль, и ими можно пренебречь. С учетом (П.35)
применительно к другим двум членам имеем
y(/) = y2Reu(/)e/wc<]. (П.36)
Этот результат показывает, что комплексная огибающая выходного
сигнала полосовой системы получается в результате свертки
комплексной огибающей входного сигнала и комплексной импульсной
переходной функции системы. Коэффициент V~2 был введен в (П. 14),
так что (П.36) имеет знакомую нам форму.
20* 611

П.2.2. Системы с изменяющимися во времени параметрами
Для полосовых систем с изменяющимися во времени
параметрами комплексная импульсная переходная функция записывается
в виде h (ty т), причем
ft(/, u) = Re[2h(ttu)ei(*c{t-u) ]. (П.37)
Комплексная огибающая выходного сигнала равна
00
y(i) = Г h(t, и) f(u)du. (П.38)
— оо
Действительный полосовой выходной сигнал определяется
выражением (П.36).
П.2.3. Представление систем в комплексных переменных состояния
В главе 6 первого тома и в гл. 2 и 3 второго тома встречались
задачи, в которых описание системы в переменных состояния
приводило к эффективной процедуре решения. Так же обстоит дело и
в области радио- и гидролокации. Изложим в связи с этим процедуру
для описания полосовых систем в комплексных переменных
состояния1).
Комплексный входной сигнал представляется в виде / (/).
Комплексное уравнение состояния имеет вид
dk {t)/dt=F(t)x(t)+G (/)/(/), Tt < t (П.39)
при начальном условии х (7^). Уравнение наблюдения
записывается в форме
y(t) = C(tU(t). . (П.40)
Матрицы F (/), О (/) и С (t) являются комплексными.
Комплексный вектор состояния х (t) и комплексный выходной сигнал у (t)
по сравнению с оос являются функциями нижних частот.
Комплексная структурная схема системы представлена на рис. П.8.
Введем в рассмотрение комплексную переходную матрицу
состояния Ф (/, т), определяемую так, что
dO(/fT)/* = F(/)0(/fT)> (П.41)
Ф(/,0 = 1. (П.42)
Х) Последующий материал основан на работе [9], в которой он был
опубликован впервые. Следует подчеркнуть, что большинство результатов,
получаемых методом комплексных переменных состояния, являются
логическим развитием результатов, полученных методом действительных
переменных состояния.
612

Нетрудно убедиться, что
Ф (/, Tt) х (Г,) + 5 Ф (Л т) G (т)7 (т) dx 1. (П.43)
Первое слагаемое — это составляющая выходного сигнала,
обусловленная начальными условиями, а второе — составляющая вы.
ходного сигнала, обусловленная входным сигналом / (t). Комплекс-
хШ
l(t)
[^f=KD=HJj
ГЛ=к*>
x(t)
fit)
tit)
%(t)
Рис. П.8. Структурная схема модели комплексной линейной системы в
переменных состояния.
ную импульсную переходную функцию получим, положив x(Tt) = О
и Tt-^ — oo. Тогда
t
y(t) = C(f) J 0(/,T)G(T)f(T)dtf — oo<t. (П.44)
— oo
Напомним, что согласно (П.38)
00
y(t)= J h(t,x)](x)dx, — oo</. (П.45)
Итак,
MM) = fe(n)5(/,T,°(T)' -°°<T<S (П.46)
4 [ О при других т, г.
Отметим, что это реализуемая импульсная переходная функция.
Используя (П.46) в (П.37), получаем действительную полосовую
импульсную переходную функцию:
fcor (*—th
А (/, т) = Re [2/i (/, т) е'^ i'-T>] =
( Re[2C(/)O(/,T)G(T)e/C0c^-^)], _oo<T</,
1 0 при другихти/.
Существуют две альтернативные процедуры, которые можно
использовать для реализации системы, представленной на рис. П.8.
20в Зак. 1494 613

Первая процедура заключается в построении схемы, которая по
существу является полосовым аналоговым вычислителем. Вторая
процедура состоит в выполнении указанных операций цифровыми
методами.
Рассмотрим теперь задачу представления полосовых случайных
процессов.
П.З. Полосовые случайные процессы
Для полосовых случайных процессов, как и следует ожидать,
можно получить аналогичное комплексное представление. В этом
параграфе мы рассмотрим три класса случайных процессов:
1. Стационарные процессы.
2. Нестационарные процессы.
3. Процессы с конечномерным представлением в переменных
состояния.
На протяжении всего изложения предполагается, что
рассматриваемые случайные процессы имеют нулевые средние значения.
Начнем рассмотрение со стационарных процессов.
П.3.1. Стационарные процессы
Типичный спектр полосового процесса показан на рис. П.9. Его
ширина ограничена полосой ± W [Гц] по обе стороны от несущей
частоты оос. Требуется представить п (t) в форме
/i(/)=V2nc(0cos©c/ + V2/i,(/)sin(Dc/f (П.48)
SnMk
z^
у/Т\ ?
Рис. П.9. Спектр типичного полосового процесса.
где пс (/) и ns (t) — функции нижних частот, генерация которых
осуществляется схемой, расположенной левее штриховой линии на
рис. П.10:
пс (/) = [(У2 cos (oc/) n (/)lLp, (П.49)
/ie(0 = UV2sincoc/)/i(/)]Lp. (П.50)
Структурная схема всей системы, осуществляющей как разложение,
так и восстановление процесса п (t)y изображена на рис, П.10.
614

В § П.1 было показано , что эта система эквивалентна идеальному
полосовому фильтру (см. рис. П.5). Поэтому такое представление
справедливо для всех процессов, ширина спектра которых
ограничена пределами ± W [Гц] относительно несущей о)с.
Иначе, в комплексной форме записи, можно ввести в
рассмотрение процесс
или
n(t)Anc(t)-jn3(t)
£(0 = [V2n(0e-'ec<jLP
(П.51)
(П.52)
)/2sin0ct
\fI$ino)ct
Рис. П.10. Структурная схема формирования квадратурных составляющих и
восстановления полосового процесса.
и записать процесс п (t) в виде
п (/) = У2 Re [п (/) е/сос']. (П.53)
Выведем теперь статистические характеристики процесса n(t).
Рис. П.П. Структурная схема
генерации процесса n(t).
nit) ^zit)
-——=►( х
ЭирЮ
n(t)
]/Т?~№с*
Операция, выражаемая формулой (П.52), соответствует
структурной схеме, представленной на рис. П. 11. Сначала вычислим
ковариационную функцию процесса z(t):
I<7 (t,t — T)&E[z (t) z* (t — т)] =
= E[V~2n(t) e" /W^V2 n (t — т) e/wc «-^\ =
= 2E [n(/) n(t—т)]e~/(D''=2Kn W e~ /c°c'.
20b*
(П.54)
615

Энергетический спектр процесса z(t)
оо
5? (<о) = J /С7(т)е-/<«Л=
— ОО
-2 J tfn(T)e-/(M+wc>^T=2S,> + coc). (П.55)
— оо
Теперь видно, что процессы п (t) и z (t) связаны между собой
операцией, эквивалентной идеальной фильтрации нижних частот.
Таким образом,
S^(co) = 2[5rl(o) + coc)]Lp, (П.56)
2nW
E[n(t)Z*(t-T)]AKnW = 2 j S д(© + coc) e/«« -|i. (П.57)
-2nW
Следующий представляющий интерес результат связан с
вычислением математического ожидания произведения комплексных
величин п (/j) и п (t2) без комплексно-сопряженной операции по
второму члену. Докажем, что
E[n(t1)7i(t2)] = 0 при любых tltt2. Щ.58)
Имеем
/ оо оо
= 2£ J n(*i)e~'ee*#iLp(fi-*i)d*i \ п(х2)е-«*°х>Х
{— оо — оо
!оо
= 2 JJ/C^i-^e-^c^+^X
X giLp (^1—*i)giLP (^2—^2) d*i d^2=2^J5 5„ (/)e
/2я/(дг,-дг2)
X
X е- /2я/<=(*' + *г) gjlp (/1 -*i) gilp (/2- *2) d^i dx2 df=
00 00
= 2 ^ Sn (/) d/ J gILP (/1 -xj) e/2wc*(' - fc) d* x
— 00 —00
x ^ gnP(t2-x2)e-l2nx'u+f')dxz=
— 00
= 2 lj 5n(f){GiLP(/-/c)G.*Lp(/ + fc)}x
— 00
x еУ2Ж, (f- fc) - /2Ж, (f+ fc) ^ (П>59)
616

Но выражение, заключенное в фигурные скобки, тождественно
равно нулю для всех /, если /с > W. Поэтому данный интеграл равен
нулю и соотношение (П.58) справедливо. Свойство (П.58) полезно
тем, что позволяет характеризовать комплексный процесс
посредством единственной ковариационной функции. Корреляционная
функция действительного процесса легко получается из этой
единственной ковариационной функции:
Кп (/, t—T) = E [n (0 п (t—n)]=E
. 1®г *
"1/2 п (t) e; c +1/2/г* (0 е"
X
V2 п (/-т) ^ (t"T) +1/2 я* (/-т) е" УС°С
2
—/сог(/ — т)
1_
= Re [for(г)е''^ ] + Re{E[n(t)n(t-%)]е/(йс(2'-т)}. (П.бО)
Используя соотношение (П.58), получаем
В спектральном представлении имеем
(П.61)
-/акт
ИЛИ
Sn (со) = J ^We^T+fe(T),- е_ /ЖЛ (П б2)
— 00
5.H = [Sn (со-(ос) +Sn(-(o -сос)]/2, (П.63)
где мы использовали то обстоятельство, что спектр *S~ (со)
является действительной функцией частоты со.
Соотношения (П.61) и (П.63) позволяют получить
статистические характеристики полосового процесса по статистическим
характеристикам комплексного процесса, и наоборот. На рис. П. 12
это иллюстрируется для некоторых типичных спектров. Заметим,
что спектр ^комплексного процесса является четным, если и только
если данный полосовой процесс симметричен относительно несущей
частоты (ос. На рис. П. 13 представлены некоторые типичные
диаграммы полюсов и нулей для спектров комплексных процессов.
Эти диаграммы всегда симметричны относительно оси /<о. Это
объясняется тем, что спектр S~ (со) является действительным. Но они
необязательно симметричны относительно оси а, так как спектр
S~ (со) необязательно четный.
Хотя обычно приходится иметь дело с комплексными
процессами, поучительно хотя бы кратко рассмотреть статистические харак-
617

Snto) к
i v4
■??(«.' к
"о
-d)c-2/?Wto* ь)»+?я№ п)
S/?fa)k
й)г (О
Sn№i
Рис. П.12. Типичные формы спектров.
JU
X
I
й)
W
#)
S)
Рис. П. 13. Возможные диаграммы полюсов и нулей для спектров комплексных
процессов.
61^

теристики квадратурных составляющих. Их можно получить
непосредственно из (П.57) и (П.58):
E[n(t)n*(t-T)] = E{[nc(t) + jns(t)][nc(t-x)-ins(t-r))} =
= Кс (т) + К, (т) + / [Ksc (т) -Кса (т)] = К~п (т), (П.64)
E[n(t)n{t-x)) = E {[nc(t) + jn3(t)][nc(t-T) + jns(t—r)]} =
= Kc(r)-KA^ + ilKsc^) + Kc3(T)] = 0. (П.65)
Следовательно,
#c (т) = /С. (t) = -i- Re [УС7Г (т)], (П.66)
^c(t) = -/Ccs(t)=-/Csc(-t) =-1 Im[K7T (t)]. (П.67)
В спектральном представлении имеем
оо
Sc(o))=53((o)=y j Re[^(x)]e-/«idx=
2
1 Го
57Г(«) + 5-(-со)
(П.68)
или Sc((D) = -i. [SnH]EV=={[5n(o) + coc)]Lp}EV, (П.69)
где символом {-}ev обозначена операция взятия четной части.
Аналогично
00
SCS(«)=Y j Im[^(T)Je-/««dT=
— оо
= / Y [§n ((0)]oDD = /{[Sn(© + ©c)]LP>ODD, (П.70)
где символом {-}odd обозначена операция взятия нечетной части.
Заметим, что спектр Scs (со) является мнимым. Это очевидно из
асимметрии соотношения (П.67). Из выражения (П.70) видно, что
квадратурные процессы коррелированы, если спектр комплексного
процесса нечетен относительно несущей. Заметим также, что в
любой момент времени процессы пс (/х) и ns (t^ некоррелированы,
так как из (П. 67) следует, что
Кса (0) = 0. (П.71)
Комплексные белые процессы. Прежде чем закончить
рассмотрение задания комплексных процессов посредством их вторых
моментов, определим конкретный интересующий нас процесс. Рассмо-
619

трим процесс w(t)9 спектр которого показан на рис. П. 14. Его
комплексная огибающая
w(t) = wc(t)-jws(t). (П.72)
Используя (П.69) и (П.70), получаем
swAn=sw§w=\No'29 lfl<Wy , (п.73)
I 0 при других /,
swcws{f} = °- (П.74)
Ковариационная функция комплексного белого шума w (t)
Kv (/, и) Д Kw M = 2I<wc(T) = N0[sm(2nWT)/nT]y
— оо<т<оо. (П.75)
Щ/2
Рис. П. 14. Спектр полосового белого шума.
Если ширина спектра W больше, чем полоса пропускания
данной системы, выражение (П.75) можно приближенно заменить дельта-
функцией. Полагая W-^ оо в (П.75), получаем
%М=^о8(т). (П.76)
Процесс w (t) называется комплексным белым шумовым
процессом. Действительный процесс w (t) называется полосовым белым
шумовым процессом. Заметим, что точно так же, как в случае белого
шума, они служат удобными приближениями к реальным
физическим процессам.
Комплексные гауссовы процессы. Во многих представляющих
интерес случаях процессы являются гауссовыми случайными
процессами. Если п (t) — стационарный гауссов процесс, то пс (t)
и ns (t) — стационарные совместно гауссовы процессы, так как они
получаются в результате линейных операций над процессом п (t).
Комплексная огибающая этого процесса
n(t) = пс (t) - jns (О, (П.77)
поэтому логично было бы называть его стационарным комплексным
гауссовым случайным процессом. Поскольку мы будем часто
пользоваться этим понятием, целесообразно дать его точное определение.
Определение. Пусть пс (t) и ns (t) — два стационарных
совместно гауссовых случайных процесса с нулевыми средними значе-
620

ниями и одинаковыми ковариационными функциями. Процесс п (t)
определяется соотношением (П.77). При любых t и т выполняется
условие
E[n{t)7t{t — т)] = 0. (П.78)
При этом процесс п (t) является стационарным комплексным
гауссовым случайным процессом с нулевым средним значением.
Модификация этого определения, учитывающая случай, когда
среднее значение изменяется во времени, не встречает
принципиальных затруднений. Заметим, что комплексный процесс,
действительная и мнимая части которого суть гауссовы процессы,
необязательно является гауссовым. Для того, чтобы такой
комплексный процесс был гауссовым, должно соблюдаться условие (П.78).
Отсюда следует, что его действительная и мнимая части являются
гауссовыми процессами с одинаковыми характеристиками,
соотношение между которыми описывается ковариационной функцией (П.67).
Эти процессы статистически независимы только при условии, что
спектр исходного процесса симметричен относительно несущей.
Отметим также, что действительный гауссов процесс не является
частным случаем комплексного гауссова процесса.
Если взять выборку комплексной огибающей в момент времени
tu то получим комплексную случайную величину п (/х). Для
определения плотности вероятности комплексной случайной величины
необходимо знать совместную плотность вероятности
действительной части пс (/х) и мнимой части ns (/х). Поскольку пс (t^ и ns (tx) —
выборки совместно гауссова процесса, они являются совместно
гауссовыми случайными величинами. Так как из (П.71) следует, что
они должны быть некоррелированными, то их можно считать
статистически независимыми. Следовательно,
Рпг ш, ns (и) (No Ns) = exp
2nal \ 2q2
где
Соответственно
-oo<tfe,JV,<oo, (П.79)
a% = Kc (0) = Ks (0) = 4- Kn (0). (П.80)
2
loo.
p~n^ {SI)=ib[exp (~"Шг) • _ °°<Re w'lm № <c
(П.81)
Определим комплексную гауссову случайную величину как такую
случайную величину, плотность вероятности которой имеет форму
(П.81). Заметим, что
E(\n(ti)\9) = 2al (П.82)
621

Нетрудно определить свойства, аналогичные свойствам
действительных гауссовых случайных величин и действительных
гауссовых случайных процессов (см. задачи П.3.1— П.3.7). Одно из
определений, которое нам необходимо, соответствует определениям,
приведенным на с. 183 первого тома. Пусть
y=i g(u)x(u)du, (П.83)
Та
где g (и) — такая функция, что Е 1\у\2] < оо. Если х (и) —
комплексный гауссов процесс, то у — комплексная гауссова
случайная величина. Этот вывод следует непосредственно из
приведенных определений.
Конкретный класс комплексного гауссова процесса, который
часто используется в этой книге, — комплексный гауссов белый
шумовой процесс w (t). Это комплексный гауссов процесс,
ковариационная функция которого определяется выражением (П.76).
Представляют интерес еще две плотности вероятности.
Комплексную огибающую n(t) можно выразить через модуль и фазу:
л(/) = |л(/)|е/фя(0. (П.84)
Модуль соответствует огибающей действительного случайного
процесса. Легко показать, что в любой данный момент времени это
релеевская случайная величина. Фаза соответствует мгновенной
фазе действительного случайного процесса за вычетом линейного
набега фазы сос t и является равномерно распределенной
случайной величиной, независимой от величины огибающей. Заметим, что
огибающая и фаза не являются независимыми процессами.
Перейдем теперь к рассмотрению нестационарных процессов.
П.3.2. Нестационарные процессы
Физическая ситуация, в которой мы сталкиваемся с
нестационарными процессами, — это отражение детерминированного
сигнала от флуктуирующей точечной цели. Как было показано,
подходящей моделью для комплексной огибающей эхо-сигнала в этом
случае служит представление
7(t)=J(f)b(f)9 (П.85)
где / (/) — комплексный детерминированный сигнал; Ъ (t) —
стационарный комплексный гауссов процесс с нулевым средним
значением. Видим, что s (0 является нестационарным процессом с
нулевым средним значением, вторые моменты которого равны
Е [s (t) s* (и)] = J{f) K% (t —u)~f* (и), (П.86)
E[s(t)7(u)] = T(t)E[b(t) b(u))}*(u) = 0. (П.87)
622

Условие (П.87) соответствует условию (П.58) для стационарных
процессов и позволяет характеризовать комплексный процесс с
помощью единственной ковариационной функции. Без этого
условия комплексная форма записи менее целесообразна, и поэтому будем
считать его обязательным для рассматриваемых нестационарных
процессов. В частности, рассмотрим процессы, которые можно
представить в виде
Аг(/)ДУ2НеИ0е/0)с'], (П.88)
где п (t) — комплексный низкочастотный процесс такой, что
E[n(t)n*(%)] = Rn(t9i:)9
E[n(t)n(%)] = 0 при всех / и т.
(П.89)
(П.90)1)
Для того, чтобы нестационарный процесс был низкочастотным
процессом, все его собственные функции с пренебрежимо малыми
собственными значениями должны быть низкочастотными
функциями по сравнению с несущей частотой сос. Это условие аналогично
спектральному условию для стационарных процессов.
Ковариационную функцию действительного полосового
процесса можно записать в виде
Kn(t,u) = E[n(t)n(u)]=E
л (0 е с +n*(t)e
У2
X
X
V2
= Re{Kj;{t, и) №«-*>} +
+ Re{E[n(t)n (a)]e/fflc <'+«>}. (П.91)
Второе слагаемое в правой части равно нулю ввиду условия (П.90).
Таким образом, между вторыми моментами указанных двух
процессов п (t) и п (t) имеется требуемое полное соответствие. Условие
(П.90) не особенно жестко, так как большинство встречающихся
на практике процессов ему удовлетворяет.
Как и прежде, собственные значения и собственные функции
случайного процесса играют важную роль во многих наших
рассуждениях. Все рассуждения гл. 3 первого тома (с. 166) переносятся
на комплексные процессы. Уравнение, определяющее собственные
значения и собственные функции, имеет вид
Tf
h Ot (t) = J Кп (Л и) Ф; (и) du, Tt < t < Г,. (П.92)
*> Следует подчеркнуть, что (П.90) должно быть справедливым для
комплексной огибающей "стационарного полосового процесса. Для
нестационарных процессов это условие является дополнительным предположением.
Примеры нестационарных процессов, не удовлетворяющих условию (П.90),
приведены в работах [11 и 12].
623

Предположим, что ядро является эрмитовым:
Kn(t9u) = KTi(uft). (П.93)
Это условие аналогично требованию симметрии в случае
действительных процессов, и ему удовлетворяют все комплексные
ковариационные функции. Все собственные значения эрмитова ядра
являются действительными. Этого и следовало ожидать, так как в
стационарном случае энергетический спектр является действительным.
Рассмотрим теперь комплексную огибающую и соответствующий
ей действительный полосовой процесс и покажем, в каком
соотношении находятся их собственные функции и собственные
значения. Прежде всего запишем соответствующие уравнения для
указанных двух процессов, а затем покажем их связь.
Для полосового случайного процесса из гл. 3 первого тома имеем:
Az(/) = l.i.m. ^ я«Ф«(0. Ti^t^Tfi (П.94)
Ti
Tf
где функция О* (/) удовлетворяет уравнению
Kt Фг (/) = J Кп (/, и) Ф, (и) du, Tt < /< Гу, (П.95)
а коэффициенты
nt= J n(t)Ot(t)dt. (П.96)
Отсюда следует, что
Е [tiitij] = \fitj, (П.97)
Кп (/, и)=^, Ф, (/) Ф, (и), Tt < /, и < Г,. (П.98)
Аналогично, для комплексной огибающей случайного процесса
имеем
к
n(t)= l.i.m. 2 п&Ц), Tt<^t^Tu (П.99)
где функции Ф^ (/) удовлетворяют уравнению
К Ф< (0= 5 Кп (Л и) Ф* (к) Л*. ^ < ' < ТУ (П. 100)
г*
624

Комплексные собственные функции ортонормальны, т. е.
5Ф,(/)ФН0Л=ву. (П. mi)
Коэффициенты
пг=\ n(t)0'(t)dt.
Далее можно показать, что
Е [tiitij] = 0 при любых i и /,
(П. 102)
(П.103)
(П.104)
Kn(t, u)=^Kt Ф, (0 ф; (и), Tt </, и < Tf. (П.105)
i — 1
Рассматриваемые процессы связаны соотношениями (П.88) и (П.91):
n(/) = V2Re[n(/)e,ee'], (П. 106)
#п (/, uWRe [fa#, ») е'*° u_u)]. (П.107)
Чтобы найти, в каком соотношении находятся собственные
функции, подставим
Фг (t) = V2 Re [Ф, (0 е'(вс <+е>], Тг < / < Tf,
в (П.95) и используем (П.107). В результате получим
Я<1Ф|(0е/(вс'+в,+ФП0е"/("'»'+в)] =
(П.108)
2
е/(»е<+е> Г ^~
Г &г(/,и)Ф,(и)<М
$К~(/,ы)Ф,»<*"
(П. 109)
Следовательно,
Re
Ь,Ф«(/)— ffo(/,u)$^M^We+/e«' =0. (П. 110)
Если потребовать, чтобы
Xi=X,/2,
(ПЛИ)
625

то (П. 109) будет удовлетворяться при любом 0. Так как (П. 109)
справедливо при любом 0, каждое собственное значение и каждая
собственная функция комплексного процесса соответствуют
собственному значению и семейству собственных функций
полосового процесса. Ясно, что не более чем две из них могут быть
алгебраически линейно независимыми. Их можно выбрать так, чтобы они
были ортогональными, взяв 0 = 0 и 0 = я/2. (Любые два значения
0, отличающиеся на 90°, также дают удовлетворительный
результат.) Таким образом, собственным значениям и собственным
функциям можно присвоить индексы, как показано в табл. П.1. Тот
вывод, что собственные значения действительного процесса
встречаются парами, важен для последующего изложения. Он позволяет
существенно упростить анализ.
Таблица П.1
Собственные значения и собственные функции
Комплексный
процесс
h®i(t)
Г2 ф2 (t)
Действительный полосовой процесс
Xi = Xi/2; <Di(0 = "l/2~Re [$i(/)e/e>e']
fc> = fe Ф2 (0 = VTRe[$i(/) е/в"'-я/2] =
= -К21ш[б1(0е,ве']
*-3=W2; Ф3и)=У2Яе [Ф, (/) е'"8']
%i=Q2; Ф4 (0 = ]/Tlm [Ф2 (/) е/с°с']
Связь между коэффициентами разложения Карунена—Лоэва
находится путем прямой подстановки:
A21 = Re[Ai1], n2=lrn[n1\f
n3 = Re[n2], A24 —Im[/72] и т. д. (П.112)
Из (П.89) и (П.90) известно, что пс (t) и ns (/) имеют
одинаковые ковариационные функции. Когда эти процессы некоррелиро-
ваны, собственные значения процесса п (t) являются просто
удвоенными собственными значениями процесса пс (t). В общем
случае не существует простого соотношения между собственными
значениями комплексного огибающего процесса и собственными
значениями квадратурного процесса.
До сих пор мы рассматривали задание случайных процессов
только вторыми моментами. Часто интерес представляют гауссовы
процессы. Если п (t) — нестационарный гауссов процесс и со-
626

блюдаются условия (П.88)—(П.90), то п (t) можно было бы
определить как комплексный гауссов случайный процесс. Однако проще
определить комплексный гауссов процесс непосредственно.
Определение. Пусть п (t) — случайный процесс, определенный
на интервале [Га, Гр], со средним значением т~ (t) и
ковариационной функцией
Е [{п (/) -та (/)) (л* (и)-т~ (и))] =КЦ (t, и), (П.113)
обладающий свойством:
E{[n(t)—in^(t)][n(u)—m7;(u)]} = 0 при всех t и и. (П.114)
Если каждый комплексный линейный функционал от п (/)
является комплексной гауссовой случайной величиной, то п (t) есть
комплексный гауссов случайный процесс. Иначе говоря,
предположим, что
у=[ g{u)x(u)dui (П.115)
Та
где g(u) — произвольная функция, такая, что Е[\у |2] < оо.
Тогда, чтобы процесс х (и) был комплексным гауссовым случайным
процессом, у должна быть комплексной гауссовой случайной
величиной для каждой функции g (u) B указанном классе.
Отметим, что это определение полностью аналогично
определению действительного гауссова процесса, данному на с. 219 первого
тома. Различные свойства нестационарных гауссовых процессов
выводятся в рамках задач вне основного текста. Поскольку
стационарные комплексные гауссовы процессы представляют собой
частный случай, они должны удовлетворять приведенному определению.
Нетрудно показать, что определение, данное на с. 621,
эквивалентно указанному определению, когда рассматриваемые процессы
стационарны.
Возвращаясь к разложению Карунена—Лоэва, заметим, что
если п (/) — комплексный гауссов случайный процесс, то щ —
комплексная гауссова случайная величина, плотность вероятности
которой определяется выражением (П.81) при о\ = А,*/2:
РпЛ^д= -^ехр/-1^Л , -oo<Re[U,],Im[^]<oo.
(П.116)
Комплексный гауссов белый шумовой процесс обладает тем
свойством, что разложение по любой системе ортонормальных функ-
627

ций имеет статистически независимые коэффициенты. Обозначив
/-й коэффициент через wi9 имеем
- oo<Re[Wi]ylm[Wi]<oo. (П.117)
Этим завершается общее рассмотрение нестационарных
процессов. Рассмотрим теперь комплексные процессы с конечным
представлением в переменных состояния.
П.3.3. Комплексные процессы с конечным представлением
в переменных состояния1*
Ранее было установлено, что важный класс случайных
процессов образуют процессы, которые можно генерировать,
возбуждая белым шумовым процессом конечномерную линейную
динамическую систему. Вместо того чтобы иметь дело с полосовым
процессом, в последующем будем оперировать с его комплексной
огибающей. В соответствии с этим необходимо получить класс
комплексных процессов, которые можно генерировать, возбуждая
конечномерную комплексную систему комплексным белым шумом.
Определим его таким образом, чтобы в соответствующих случаях его
свойства не противоречили свойствам стационарных процессов.
Комплексное уравнение состояния имеет вид
x(/) = F(/)x(/)+ G(/)u(/). (П.118)
Это обобщение уравнения (П.39), учитывающее векторную
возбуждающую функцию u (t). Уравнение наблюдения
y(t)=C(f)x(t). (П.119)
Огруктурная схема этой системы показана на рис. П. 15.
Предполагается, что u (t) — комплексный векторный белый шумовой
процесс с нулевым средним значением и ковариационной матрицей
£[u(/)u+(a)]=Ku(/,a) = Q6(^-a), (П.120)
где
и+(/)Л [и(/)*]7. (П. 121)
Кроме того, предполагается, что
Е [и (/) ит (а)] = 0 при любых t и а. (П. 122)
Х) Материал этого пункта построен на основании работы [9].
628

Условие (П. 122) представляет собой векторный аналог условия
(П.90). Оперируя квадратурными составляющими, получим
fa (*, а)=Е [(ис (/)-/us (/)) (итс (а) + juTs (a))} =
= Kuc(/,a) + Kus(^a) + /Kucus(^a)-/Kusuc(/,a) = Q6(^-a).
(П. 123)
Из условия (ПЛ22) следует, что
Ku(t,o)==Ku(t,o)=±Re[U]6(t--o)y (П.124)
Kuc«i(/,a)=-Kaenc(/,a) = -i-Im[Q]e(/-o). (П. 125)
Ковариационные матрицы для квадратурных составляющих есть
одинаковые неотрицательно-определенные матрицы, а взаимно
Рис. П.15. Структурная схема генерации комплексного процесса с конечным
представлением в переменных состояния.
ковариационная матрица — кососимметричная матрица (т. е. atj =
= — ал). Отсюда следует, что Q — эрмитова матрица с
неотрицательно-определенной действительной частью.
Обычно нет необходимости учитывать корреляцию между
составляющими вектора u (t) (т. е. можно положить Е [uc (t) иГ (/)] = 0),
поскольку любую корреляцию между составляющими вектора
состояния можно учесть в матрицах коэффициентов F (/) и G (/).
В этом случае Q является действительной
неотрицательно-определенной симметричной матрицей.
Следующий вопрос, который необходимо рассмотреть, —
определение начальных условий. Чтобы не было противоречия понятию
состояния, любые предположения о симметрии, которые мы делаем
относительно вектора состояния в начальный момент времени Ttj
должны соблюдаться в произвольный момент времени t(t^Tt).
Прежде всего предположим, что х (Tt) — комплексный
случайный вектор (для простоты предположим, что его среднее зна-
629

чение равно нулю). Комплексная ковариационная матрица для
этого случайного вектора определяется в виде
Р,- A K^l7,„T,) = £[x(7'l)xt (7\)] =
= Кхс (Tt, Tt) + Кх, (Т„ Tt) + /Kxc х, (Т„ Ta-/Kxs хс (Г„ Г,).
(П. 126)
Предположим, что
£[х(Гг)хг(7г)]=0. (П.127)
Заметим, что (П. 126) и (П. 127) согласуются с ранее
установленными положениями, из которых следует, что
K.c(rf,7'i) = K,,(rl,ri) = -i-Re[Pl], (П.128)
K,e,I(ri,Ti)=-K,e,e(TJ,7'l)=^-Im(PJ). (П.129)
Как следствие комплексная ковариационная матрица начального
условия является эрмитовой матрицей с
неотрицательно-определенной действительной частью.
Выясним теперь, что следует из этих предположений
применительно к ковариационной функции вектора состояния х (t) и
ковариационной функции наблюдаемого сигнала у (t). Поскольку
ковариационную функцию сигнала у (t) можно непосредственно
выразить через ковариационную функцию вектора состояния, сначала
рассмотрим функцию К~ (/, и).
Для действительных случайных процессов, представляемых в
переменных состояния, функцию Кх (t, о) можно определить через
матрицы уравнения состояния, матрицу Q, связанную с
ковариационной функцией возбуждающего шума и (/), и ковариационную
матрицу Кх {Ти Tt) вектора начального состояния х (Tt).
Результаты для случая комплексных переменных состояния аналогичны.
Различие состоит в том, что операция транспонирования
заменяется операцией комплексно-сопряженного транспонирования.
Ввиду полной аналогии схемы вывода для обоих случаев
ограничимся формулировкой окончательных результатов (см. задачу П.3.19).
Матрица К^г (/, t) является эрмитовой матрицей,
удовлетворяющей линейному матричному дифференциальному уравнению
dK7(t,t)/dt=f(t)Kx (tj) +K7(U)F + (0 + G(0QGt(0, (П.130)
где начальное условие K~(Tiy Tt) задается как часть описания
системы. Этот результат аналогичен (I—6.279). Функция К^(^» °)
определяется выражением
R; (/, о) «|Ф(/'о)К« <*•*>• '>"' (П. 131)
1Кт(/,/)Ф + (а,0, ">/,
630

где Ф (/, о) — комплексная переходная матрица,
соответствующая матрице F (t). (Этот результат аналогичен конечному
результату в задаче 6.3.16 первого тома.) Кроме того,
K7(/,a) = K£(af/)f (П. 132)
E[x(t)xT(o)] = 0 при любых t и а. (П.133)
Следовательно, предположения, которые были сделаны
относительно ковариационной функции вектора начального состояния
х (Tt), справедливы для ковариационной функции вектора
состояния х (/) при любом t^ Tt.
Обычно вектор состояния системы нас непосредственно не
интересует. Интересующим нас вектором является наблюдаемый
сигнал у (/), который связан с вектором состояния соотношением (П. 119).
При этом можно легко установить свойства ковариационной
функции К~ (/, а), поскольку она связана с ковариационной фунцией
вектора состояния соотношением
К? (/, а)=С (/) Кх (/, а) Сг (а). (П. 134)
Отсюда очевидно, что матрица К~ (/, t) является эрмитовой.
Аналогично из (П.133) следует, что Е [у (t) у7 (a)] = 0.
Нетрудно также установить свойства квадратурных
составляющих:
Я 1Ус(0У?(*)] = £[у. (0y.r(*)]==Y Re[K7(/,a)], (П.135)
Е [ус (0 уГ (а)] --j Im [К? (/, а)]. (П.136)
В этом параграфе была предложена идея генерации
комплексного случайного процесса путем возбуждения линейной системы,
имеющей представление в комплексных переменных состояния,
комплексным белым шумом. Далее было показано, как можно
определить статистические характеристики второго порядка этого
процесса через комплексную ковариационную функцию, и рассмотрено,
каким образом можно определить эту функцию по описанию
системы в переменных состояния. Единственные предположения,
которые при этом были сделаны, относились к статистическим
характеристикам второго порядка векторов и (t) и 1l (Tt). Полученные
результаты не зависят от формы матриц коэффициентов F (/), G (0
и С(/). Используемые в комплексном случае методы полностью
аналогичны методам, применяемым в случае действительных
переменных состояния. Легко убедиться, что все эти результаты
согласуются с результатами, полученными в § П.1 и П.2 для
стационарных и нестационарных случайных процессов.
631

Рассмотрим теперь два простых примера для иллюстрации
некоторых используемых методов.
Пример 1. Рассмотрим уравнение состояния первого порядка.
Сначала найдем ковариационную функцию для нестационарного
случая, а затем рассмотрим частный случай, когда процесс
является стационарным, и определим спектр процесса. Уравнения,
описывающие систему, имеют вид:
d~x(f)ldt= —Tix(t)+u(t)9 Tt <^, (П.137)
y(t)=x(t). (П. 138)
В отношении и (/) и х (Tt) сделаем следующие допущения:
Е [и(/) и* (а)] = 2Re [k] P8(/— а), (П.139)
£[№)la] = /V (П.140)
Так как рассматриваемый процесс является скалярным, величины
Р и Pi должны быть действительными. Кроме того, как и прежде,
предполагается, что средние значения равны нулю.
Сначала найдем функцию К>~ (t> f). Дифференциальное уравнение
(П. 130), которому она удовлетворяет, в этом случае принимает вид
dK7 (/, t)/dt= -ktn (/, t) -k* K~ (/, t) + 2Re [k] P =
= — 2Re [k] K7 (/, /) + 2Re [k] P, t > Tt. (П.141)
Решение уравнения (П. 141) имеет вид
K-(tit) = P-(P-Pi)exp{-2Re[k](t-Ti)}t t^Tt. (П.142)
Чтобы найти функцию /f~ (t, сг), используя выражение (П. 131),
необходимо определить Ф (/, а) — переходную матрицу данной
системы. Она равна
ф(/,а) = е-^('-а), t>o. (П.143)
Подставив (П.142) и (П.143) в (П. 131), можно найти функцию
%7 d а)» которая в данном примере совпадает с /С~ (/, а).
Рассмотрим теперь стационарную задачу более подробно. Этот
случай возникает при наблюдении отрезка стационарного процесса.
Чтобы сделать процесс х (t) стационарным, положим
Pt = Л (П. 144)
Если произвести указанные преобразования и ввести обозначение
т = t — м, то получим
/С7(т) = F* ' T^U* (П. 145)
( Ре* *, т<0.
632

Выражение (П. 145) можно записать в виде
К?(т) = Яe~Re№i тie-/im [£] т#
Спектр такого комплексного процесса
§7(<d) = 3j(cd) = .
2Re[£]P
(П.146)
(П. 147)
(o>+Im[*])« + (Re[*])«
Отсюда видно, что в стационарном случае результирующий
эффект комплексного полюса k выражается в том, что комплексный
спектр имеет сдвиг по частоте, равный мнимой части k. В случае
действительного полосового процесса это соответствует сдвигу
несущей частоты. Это очевидно, если взглянуть на диаграмму
полюсов и нулей спектра S~x (со), представленную на рис. П. 16*
jи к
Ы[А]
fa к
Pz\k] с
Рис. П.16. Местоположение полюсов
для спектра стационарного процесса,
генерируемого системой первого
порядка.
Рис. П.17. Местоположение полюсов
для конкретного спектра второго
порядка.
Пример 2. Рассмотрим диаграмму полюсов и нулей,
представленную на рис. П.17. Спектр выражается в виде
S~(g)) = C[(/g)-A) (/ю-£2) (- /со -%\) (-/© -Ъ\)\'\ (П. 148)
Процесс с таким спектром можно генерировать, возбуждая систему
с двумя состояниями комплексным белым шумом. Собственные
значения матрицы F должны быть равны — kx и — &2. Если
использовать следующее представление в переменных состояния:
*i (0=0(0.
£(0 = *i(0>
то уравнения, описывающие систему, примут вид
0 1
Kh —(*:
(П. 149)
(П. 150)
dt
U(oJ L-
y(t) = [i 0]
-1Г?й1+Г01«(в.-(п.ш)
i+ft2)JU(0 J LiJ
pi(0]
21 Зак. 1494
(П.152)
633

где предполагается, что
Re [fei] > 0, (П. 153а)
Re[£2]>0, (П.1536)
Кфкг. (П.153в)
В последующем можно провести анализ, аналогичный
выполненному в примере 1 (см. задачу П.3.14).
В рассмотренных двух примерах мы ограничились
стационарными процессами. Применение метода комплексных переменных
состояния еще более важно, когда приходится иметь дело с
нестационарными процессами. Точно так же, как действительные
переменные состояния, комплексные переменные состояния позволяют
получить полные решения большого числа задач в соответствующих
областях теории обнаружени, оценок и фильтрации. Многие из
прикладных задач такого типа логически возникают при
рассмотрении материала гл. 9—13. Но существует одна область применения,
которую легко сформулировать, и поэтому целесообразно
рассмотреть ее здесь.
Теория оптимальной линейной фильтрации. Во многих задачах
связи требуется оценивать комплексную огибающую
узкополосного процесса. Эффективность метода действительных переменных
состояния при отыскании оптимальных структур алгоритма оценки
свидетельствует о том, что метод комплексных переменных
состояния можно использовать для отыскания оценок комплексных
огибающих узкополосных процессов.
В этом параграфе мы укажем структуру реализуемого
комплексного фильтра для оценки комплексной огибающей узкополосного
процесса. Приведем лишь результаты вывода, поскольку
используемые методы полностью аналогичны методам, применяемым в
случае действительных переменных состояния. Основное различие
состоит в том, что операции транспонирования заменяются на
комплексно-сопряженные операции транспонирования.
Рассмотрим комплексные случайные процессы, которые имеют
конечномерное представление в переменных состояния. При
формулировке задачи оптимальной линейной фильтрации в переменных
состояния требуется оценить вектор состояния х (/) линейной
системы, когда на ее выходе наблюдается сигнал у (/) в смеси с
аддитивным белым шумом w (/). Таким образом, принимаемое колебание
г(/) можно записать в виде
г (t) =у (0 +w(t)=C(t)x(t) +w(0, T^t^Tf, (П.154)
Е [w (t) w^(x)]=R (/) б (t—x). (П.155)
Предполагается, что R (t) — положительно-определенная эрмитова
матрица.
634

В задаче реализуемой фильтрации оценка вектора состояний
производится в конце интервала наблюдения, т. е. в момент времени
Tf. Однако время окончания наблюдения обычно является
переменной величиной, которая возрастает с ростом времени приема
информации. Поэтому желательно получить оценку х (/) вектора
состояния х как функцию времени окончания интервала
наблюдения [Ти t\' Оценка х (t) выбирается так, чтобы минимизировать
ошибку
%Р(О А Е{[х (0 -х (01 [х~(0- х (*)]+>. (П. 156)
Предполагается, что х (t) получается в результате линейной
фильтрации. В случае комплексных гауссовых процессов это дает
наилучшую оценку по минимуму среднеквадратической ошибки без
наложения условия линейности.
Оптимальный реализуемый фильтр можно описать с помощью
его импульсной переходной функции h0 (/, т), так что оптимальная
оценка выражается в виде
x(t) = jj Ь0(/,т)7(т)Л, t>Tt. (П. 157)
Tl
Легко показать, что указанная импульсная переходная функция
h0 (t, т) является решением комплексного интегрального уравнения
Винера—Хопфа
t
К1Г(^т)С+(т)=^Ь0(Ла)Кг(а,т) da, Г,<т</ (П.158)
Ti
(см. задачу П.3.15). При формулировке задачи в переменных
состояния оценку х (t) находят непосредственно, не прибегая к
отысканию оптимальной импульсной переходной функции в явном
виде. Произведя вывод по схеме, аналогичной схеме вывода в
случае действительных переменных состояния, можно в неявном виде
определить оценку х (/) как решение дифференциального уравнения
<t\ldt=?{t)x{t) +z(/) ИО —С(/)х(/)], Г*</, (П.159)
где
z (0 =h0 (f, t) =%p (0 С+ (t) R1 (0. (П.160)
Ковариационная матрица \р (t) определяется в результате решения
нелинейного дифференциального уравнения
4р (t)/dt=F(t) %p (t) + b (t) F+ (t) -
-f(0R(0z+(0+G(0QG+(0. Tt^t9 (П.161)
21* 635

Которое можно также записать в виде
dip [1)1 dl = F (/) |р (0 i - \р (t) F+ (/) -
- Ip^C+WR-MOCWIpW +G(0QG+(/), Г,</. (П.162)
Начальные условия для него отражают априорную информацию о
начальном состоянии системы:
х(Г|)=£[х(Г|-)Ь
(П. 163)
(П. 164)
х—L-
х—+-
ill
й)
Здесь оценка х (7^) — априорная оценка начального состояния
(она часто считается равной нулю для процессов с нулевыми
средними значениями); матрица Pt —
ковариационная матрица этой
априорной оценки.
Так же как в случае
действительных переменных, дисперсионное
уравнение можно решить независимо от
уравнения оценки. Чтобы получить
решение, это уравнение можно
проинтегрировать численным методом;
решение можно также получить при
помощи переходной матрицы
соответствующей системы линейных
дифференциальных уравнений. Ряд
интересных примеров вынесен в задачи
вне основного текста.
Один интересный частный случай
соответствует ситуации, когда
принимаемое колебание является
скалярной величиной. Тогда можно
записать
R(t)=N0. (П.165)
JO)
S)
Рис. П.18. Влияние сдвига
несущей частоты на местоположение
полюсов:
а — местоположение полюсов в
системе Л; б — местоположение
полюсов в системе В.
Заметим также, что С (t) — матрица
размерностью 1 X п. На рис. П.18
представлены две диаграммы полюсов и нулей для спектра
процесса у (t). Обозначим модуляционные матрицы этих двух
систем через Са (t) и Сь (/) соответственно. Ясно, что для обеих систем
можно использовать одинаковые уравнения состояния и положить
Сь(/)=е-/А/Са(/).
(П. 166)
Подставляя (П.165) и (П. 166) в (П.162), приходим к выводу, что
ковариационная матрица %p(t) не зависит от А. Поскольку А
соответствует сдвигу несущей частоты в задаче с действительными
663

Полосовыми процессами, то это как раз такой результат, какой и
следовало ожидать. Отметим, что матрица |р (t) также инвариантна
по отношению к произвольной фазовой модуляции, которой
подвергается модуляционная матрица Crt (/):
Сп(0 = е-'ф(,,Са(/). (П.1С7)
Этот результат не столь очевиден из интуитивных представлений,
но его легко получить из (П. 162).
Соотношения (П. 157)—(П. 164) справедливы для
нестационарных процессов и произвольных интервалов наблюдения. Для
стационарных процессов и полубесконечных интервалов наблюдения
эта задача эквивалентна комплексному варианту задачи винеров-
ской фильтрации. Все соответствующие методы переносятся на
этот случай с очевидными модификациями (см. задачу П.3.15).
П.4. Краткие итоги
В данном Приложении рассмотрено комплексное представление
для полосовых сигналов, систем и процессов. Здесь уместно
подчеркнуть несколько важных понятий. Первое понятие связано
с комплексной огибающей f (i). Это низкочастотная функция, модуль
которой является действительной огибающей, а фаза (фазовый угол)
соответствует фазовой модуляции несущей. Комплексная
огибающая играет такую же роль, какую играл сам сигнал в наших более
ранних рассуждениях. Второе понятие — комплексный гауссов
случайный процесс. Оно играет такую же роль в задаче с полосовыми
процессами, какую в ранее изложенном материале играл
действительный гауссов случайный процесс. Третье понятие —
комплексные переменные состояния. Они играют такую же роль, какую в
ранее изложенном материале играли действительные переменные
состояния.
Мы затратили довольно много времени на изложение
комплексной системы записи. При изучении материала гл. 9—14 можно
убедиться, что это вполне оправдывается тем, что комплексная
форма записи придает изложению большую эффективность и позволяет
глубже раскрыть сущность рассматриваемых понятий и методов.
П.5. Задачи
Задачи к § П. 1. Детерминированные сигналы
Задача П. 1.1. Среднее значение частоты со определяется по
формуле (П. 16). Доказать, что несущую частоту всегда можно
выбрать так, чтобы со = 0.
637

Задача П. 1.2. Вывести следующие выражения:
--J
df.if)
dt
-^-^-f*{t)dt,
dt
Ji^ Г I dF(ja)
J I da
2 da_
2ji
— oo
oo
- . (' dF (/со) т..,.,. ч d(*
Задача П. 1.3 [18]. Запишем
7(0ЛЛ(0е'ф('\
где Л (/) А | / (t) | есть огибающая сигнала. Предположим, что
оГ= * = 0.
1. Доказать, что
J t2A2(t)dt,
;(П.1*)
(О
i= j р*^у л + j ^ *ш.^,(ол# (П 2*}
Заметим, что первое слагаемое в (П.2*) выражет изменение сигнала
в частотной области вследствие амплитудной модуляции, а второе —
вследствие частотной модуляции.
2. Вывести выражение для cot через A (t) и Ф (/).
Интерпретировать полученный результат.
Задача П.1.4 12].
1. Доказать, что
Re
df (О
I 'Т«> ^
dt
и, следовательно,
1 ''<"
' V ; Л = f /CO/.
(П.1*)
(П.2*)
2. Использовать неравенство Буняковского—Шварца в (П.2*),
чтобы доказать, что
(О
»2/2— (о>/)2> 1/4,
(П.З*)
638

считая, что со — / = 0. Соотношение (П.З*) можно также записать
в форме
а«а«П-р1<]1/2>1/2. (П.4*)
3. Доказать, что
*»ах> 1/2. (П.5*)
Другую форму записи (П.5*) можно получить, используя
определение af Д о J (2л). Тогда
_ о fit > 1/4я. (П.6*)
Соотношение (П.5*) или (П.6*) называется соотношением неопре-
деленности.
Задача П. 1.5. Предположим, что
Вычислить со2, I2 и со/.
Задача П.1.6. В гл. 10 была определена функция
оо
Ф(т,©)Л Г f(t—x/2)f*(t+ т/2) е- № dt.
— ОО
Вычислить a©, of и со/— со / через производные функции Ф (т, со),
вычисленные при т = со = 0.
Задачи к § П. 3. Полосовые случайные процессы
Задача П.3.1. Рассмотрим комплексную гауссову случайную
величину, плотность вероятности которой определяется
выражением (П.81). Характеристическая функция комплексной случайной
величины определяется как
M-y(fi) = E[expjRe&*y)].
1. Найти M~(jv) для комплексной гауссовой случайной
величины.
2. Как связаны моменты у и М~ (jv) в общем случае (т. е. когда
у необязательно комплексная гауссова величина)?
Задача П.3.2. Расмотрим jV-мерный комплексный случайный
вектор х, у которого Е [х] = 0, Е [хх+]Д 2Л~ и Е [xx7J = 0.
Определим х как комплексный гауссов вектор, если
(2д)"|л~| I 2 ;
— oo<Re[X]<oo, —oo<Im(X]<oo.
№

Составляющие вектора х называются комплексными совместно
гауссовыми случайными величинами.
Характеристическая функция комплексного случайного вектора
определяется как М~ (v) Д Е №Re [v+x Ц.
Доказать, что для комплексного гауссова случайного вектора
Mx(v)=exp^—1у+Л7 v ) .
Задача П.3.3. Комплексная гауссова случайная величина
определяется выражением (П.81). Определим у = g t x. Если у —
комплексная гауссова случайная величина для каждого конечного
g, то говорят, что х является комплексным гауссовым случайным
вектором. Доказать, что это определение эквивалентно определению,
данному в задаче П.3.2.
Задача П.3.4. Предположим, что у — комплексная гауссова
случайная величина. Доказать, что Е [\у\2п] = п\ (Е (| # |2))л.
Задача П.3.5. Предположим, что ух и у2 — совместные
комплексные гауссовы случайные величины. Доказать, что
Eliy^ylr^nllEiy.yl))-.
Задача П.3.6. Предположим, что уъ уъ у3 и #4 — совместные
комплексные гауссовы случайные величины. Доказать, что
Е[у\*у1у8УА]= Е [у*у3]Е[ylуА] + Е[у*2у3]Е[у\уА].
(Этот результат приведен в работе [16].)
Задача П.3.7 [8]. Вывести свойство «факторизации моментов»
для комплексных гауссовых случайных процессов. Указание.
Обратиться к задаче 3.3.12 первого тома.
Задача П.3.8. Рассмотрим задачу, в общих чертах изложенную
в работе [15] (задача 10* на стр. 199). Сформулировать эту задачу,
используя комплексную форму записи, и решить ее. Сравнить
эффективность двух процедур.
Задача П.3.9. В задаче 6.2.1 первого тома были получены
свойства спектральной плотности действительных случайных процесс-
сов. Пусть п (t) — стационарный узкополосный процесс с
рациональным спектром Sn (со). Обозначим комплексную огибающую
этого процесса через п (/), а ее спектр — через 5тг(со).
1. Определить свойства спектральной плотности S~ (со),
аналогичные свойствам, установленным в задаче 6.2.1 первого тома.
2. Построить диаграммы полюсов и нулей некоторых типичных
комплексных спектров.
Задача П.3.10. Определение комплексного гауссова процесса
было дано на с. 626. Вывести комплексные варианты свойств 1—4,
изложенных на с. 219—222 первого тома,
040

Задача П.3.11. Доказать, что собственные значения
комплексной огибающей инвариантны к выбору несущей частоты.
Задача П.3.12. Рассмотрим результаты (П.99)—(П. 105).
1. Удостовериться, что точно такие же результаты можно
получить, имея дело с действительным векторным процессом
/А \Пс(0
LMA.
Прочитать § 3.7 и заметить, что функция Kn (t, и) имеет
определенные свойства ввиду предположения (П.90).
2. В чем преимущество использования вместо n (t)
комплексного процесса?
Задача П.3.13 [14]. Рассмотрим процесс, описываемый
соотношениями (П. 118)—(П. 122) при G (0 = 1, F(t) = a — jb№,
С (/) = 1.
1. Найти ковариационную функцию процесса у (/).
2. Показать, что процесс у (f) имеет такую же ковариационную
функцию, как и сигнал на выходе канала с рассеянием по доппле-
ровскому параметру с однополюсным спектром замираний при
входном сигнале, определяемом выражением (10.52).
Задача П.3.14. Рассмотрим процесс, описываемый
соотношениями (П.148)—(П.153).
1. Найти ковариационную функцию процесса у (f).
2. Вычислить Е l\y(t)\2l
Задача П.3.15. Рассмотрим модель линейной фильтрации,
описываемую соотношениями (П. 154)—(П. 156).
1. Вывести уравнение Винера—Хопфа вида (П. 158).
2. Вывести комплексные уравнения Кальмана—Бьюси вида
(П. 159)—(П. 164).
3. Предположим, что Т% ->■ — оо и процесс у (t) стационарен.
Дать решение уравнения (П. 158) в явном виде, используя метод
факторизации спектра.
4. Доказать, что в случаях, когда процесс является
комплексным гауссовым, линейный фильтр является оптимальным
устройством обработки по критерию минимальной среднеквадратической
ошибки.
Задача П.3.16. Комплексная огибающая принимаемого
колебания имеет вид
7(и) =7(u) + w(u), —oo<.u^tf
где s (и) и w (и) — статистически независимые комплексные
гауссовы процессы со спектрами
sM = Refe]P h k*p .
641

1. Найти реализуемую оценку сигнала s (/) по минимуму
среднеквадратической ошибки.
2. Вычислить минимальную среднеквадратическую ошибку.
Задача П.3.17. Комплексная огибающая принимаемого
колебания определяется суммой
r(u)=s{u) + ne(u)+w(u)9
-oo<Cu^.t,
где s (и), пс (и) и w (и) — статистически независимые гауссовы
процессы со спектрами
St(co) =
z—» Ъп (со) =
(co + Im[^])2+(Re[^])2
2Re[gi]Pc
co2 + (Re[^])2
соответственно.
1. Найти реализуемую оценку сигнала s (t) по минимуму
среднеквадратической ошибки.
2. Вычислить минимальную среднеквадратическую ошибку. Как
изменятся полученные результаты при Im [fej ->- оо?
Задача П.3.18. Рассмотрим систему, показанную на рис. П.1*.
Сигнал и (t) на ее входе — выборочная функция действительного
белого гауссова процесса.
ult)
1 ^
ЩЦы)
Kz(ja)
*c(t)
(+
XS(t) /-ч }
>(XH
'№
Рис. П.1*.
1. Вычислить S*c(co), SXs(co) и Sx^H-
2. При каких условиях х (t) является комплексным гауссовым
процессом (согласно нашему определению)?
3. Пусть /Ci (/со) и /С2 (/ю) — произвольные передаточные
функции. Наблюдается колебание г (t) =!c (t) + до (/), где w (t) —
выборочная функция комплексного белого гауссова процесса со
спектральной плотностью N0. Найти нереализуемую оценку сигнала х (t)
по минимуму среднеквадратической ошибки. (Задачи этого типа
рассмотрены в работах [12 и 17].)
Задача П.3.19. Проверить результаты (П. 130)—(П. 133).
642

Список литературы
1. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с
применениями в радиолокации. Пер. с англ. Псд ред. Г. С. Горелика. М.,
«Сов. радио», 1955.
2. Gabor D. Theory of Communications. J. IEE, 1946, v. 93, p. 429—457.
3. Arens R. Complex Envelopes for Envelopes of Normal Noise. Trans. IRE,
1957, v. IT-3, Sept., p. 204—207.
4. Kelly E. J., Reed I. S. Some Properties of Stationary Gaussian Processes.
Massachusetts Institute of Technology, Lincoln Laboratory, TR-157, June
5 1957
5. Kelly E. J., Reed I. S., Root W. L. The Detection of Radar Echoes in
Noise. J. SIAM, 1960, v. 8, June, p. 309—341.
6. Schwartz M., Bennett W. R., Stein S. Communication Systems and
Techniques. McGraw-Hill, New York, 1966.
7. Dugundji J. Envelopes and Pre-Envelopes of Real Waveforms. Trans.
IRE, 1958, v. IT-4, March, p. 53—57.
8. Reed I. S. On a Moment Theorem for Complex Gaussian Processes. Trans.
IRE, 1962, v. IT-8, April, p. 194—195.
9. Van Trees H. L., Baggeroer А. В., Collins L. D. Complex State Variables:
Theory and Application. WESCON, Los Angeles, August 1968.
10. Возенкрафт Дж. М., Джекобе И. М. Теоретические основы техники связи.
Пер. с англ. Под ред. Р. Л. Добрушина. М., «Мир», 1969.
11. Bello P. A. On the Approach of a Filtered Pulse Train to a Narrowband
Gaussian Process. Trans. IRE, 1961, v. IT-7, July, p. 144—150.
12. Brown W. M., Crane R. B. Conjugate Linear Filtering. Trans. IEEE, 1969,
v. IT-15, №4, July, p. 462—465.
13. Baggeroer A. B. State Variables, the Fredholm Theory, and Optimal
Communication. Sc. D. Thesis, Department of Electrical Engineering,
Massachusetts Institute of Technology, 1968.
14. Collins L. D. Internal Memo, Detection and Estimation Theory Group,
Massachusetts Institute of Technology, 1968.
15. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов
и шумов. Пер. с англ. Под ред. Р. Л. Добрушина. М., ИЛ, 1960.
16. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. Пер. с англ. Под ред. А. М. Яг-
лома. М., ИЛ, 1956.
17. Brown W. M., Palermo С. J. Random Processes, Communications and Radar.
McGraw-Hill, New York, 1969.
18. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. Пер. с англ.
Под ред. Ю. Б. Кобзарева. М., ИЛ., 1963.

Условные обозначения, сокращения, символы
Условные обозначения
1. Буквенные обозначения, набранные прямым жирным
шрифтом, означают векторы или матрицы.
2. Символ | • | означает абсолютное значение (модуль)
векторной или скалярной величины, заключенной внутри черточек.
3. Детерминант (определитель) квадратной матрицы А
обозначается как | А | или det A.
4. Буквами рукописного шрифта f (•) и %(-) обозначаются
соответственно преобразования Фурье и Лапласа.
5. Кратные интегралы записываются в виде
j/(T)dTJ£(/,T)d/ AJ/(T){jg(/,T)d/}rft.
6. Символ Е [•] означает математическое ожидание величины,
стоящей в квадратных скобках. Черта над символом также иногда
используется для обозначения математического ожидания.
7. Символом ® обозначается операция свертки
00
x{t)®y{t)L J x(t—x)y{x)dx.
— 00
8. Случайные величины обозначаются строчными буквами
(например, х и х), значения случайных величин и неслучайных
параметров — прописными (например, X и X). В некоторых задачах
теории оценок большая часть рассуждений справедлива как для
случайных, так и для неслучайных параметров. В этих случаях мы
отступаем от отмеченных условностей, чтобы избежать повторного
изложения каждого вопроса.
9. Плотность вероятности величины х обозначается через рх (•),
а распределение вероятности — через Рх(-). Вероятность события
А обозначается как Р [А]. Плотность вероятности величины х
при условии, что случайная величина а имеет значение Л,
обозначается через рх\а(Х\А). Если плотность вероятности зависит от
неслучайного параметра Л, то также используется обозначение
Рх\а(Х\А).
644

10. Вертикальная черта в каком-либо выражении означает «при
условии, что», например, Р [А \ х ^ X] — вероятность того, что
происходит событие А при условии, что случайная величина х не
превышает значения X.
11. Преобразования Фурье обозначаются как F (/со) и F (со).
Последнее используется, когда преобразование является
действительной функцией со.
12. Некоторые общеупотребительные математические символы:
ос — пропорционально
t-> Т~ — t стремится к Т снизу
А + В A A U В — А или В или А и В вместе
l.i.m. — предел в среднеквадратическом смысле
оо
j dR — интеграл, взятый по той же области, что и указан-
-°° ный вектор
Ат — транспонированная матрица А
А"1 — матрица, обратная А
0 — матрица, все элементы которой равны нулю
/n\ m
I , I = y\tNL\\—биномиальный коэффициент
А — определяется как
J dR — интеграл, взятый по множеству Q
я
Сокращения
АИМ — амплитудно-импульсная модуляция
ЧМ — частотная модуляция
ФМ — фазовая модуляция
ЧИМ — частотно-импульсная модуляция
ДБП-АМ — двухполосная амплитудная модуляция
ДБП-АМ-ПН — двухполосная амплитудная модуляция с
подавленной несущей
ЧМ-ЧМ — двухступенная (двухуровневая) частотная
модуляция
РНМК — равномерно наиболее мощный критерий
РХП — рабочая характеристика приемника
КСМЭ — когерентность сигнала малой энергии
СПБВН — стационарный процесс — большое время
наблюдения
Символы
Определим основные используемые обозначения. Во многих
случаях обозначения вектора являются очевидной модификацией
обозначения скалярной величины и в список не включены.
Аналогично, если обозначение комплексной величины является очевид-
645

ной модификацией обозначения действительной величины, то oi/o,
как правило, опускается. j
А — класс задачи обнаружения ;
Аа — действительное (фактическое) значение
параметра
Аг — значение выборки (отсчета) в момент времени
U
Aw — класс задачи обнаружения (при наличии
белого шума)
а0 — решение уравнения правдоподобия
tfabs — оценка величины а по критерию минимальной
абсолютной ошибки
#тар — оценка величины а по максимуму
апостериорной плотности вероятности
tfm/ — оценка величины А по максимуму
правдоподобия /
tfms — оценка величины а по минимуму среднеквад-
ратической ошибки
а — весовой коэффициент амплитуды регулярной
составляющей сигнала на выходе райсовского
канала
В — постоянное смещение (оценки) ^
В — расстояние Баттачария, равное —ц (1/2)
В — класс задачи обнаружения
В — ширина спектра сигнала
В (А) — смещение оценки, являющееся функцией
параметра А
Bw — класс задачи обнаружения при наличии
белого шума
Ъ — случайная величина, описывающая отражение
от цели или в канале
Ьэ (0 — комплексный гауссов процесс, описывающий
отражение от цели с рассеянием по доппле-
ровскому параметру
bR (ty — комплексный гауссов процесс, описывающий
отражение от цели с рассеянием по дальности
Bd (f) — матрица в уравнении состояния для
полезного сигнала
Р — параметр (индекс модуляции) при ЧИМ и
угловой модуляции
С — пропускная способность канала
С (ае) — стоимость ошибки оценки величины а
Ср — стоимость ложной тревоги (т. е. утверждения
Яь когда истинна гипотеза Я0)
Си — стоимость утверждения, что истинна гипотеза
#,-, когда на самом деле истинна гипотеза Hj
646

См — стоимость промаха (пропуска) (т. е.
утверждения гипотезы #0, когда на самом деле
истинна Нг)
С,» — пропускная способность канала при
бесконечно широкой полосе пропускания
(t: х (/, X)) — модуляционный функционал
с — скорость распространения
С(^)—матрица модуляции (или наблюдения)
Cd(Z)—матрица наблюдения полезного сигнала
См (0 —матрица модуляции сообщением
Cn (/) — матрица модуляции шумом (помехами)
X — пространство параметров
%а — пространство параметров для а
%в — пространство параметров для 0
у? — хи-квадрат (закон распределения вероятностей)
D (о2) — многочлен (полином) в знаменателе
представления спектра
Dgr(-)—определитель (детерминант) Фредгольма
Dmln — минимальная величина разнесения
A>pt — оптимальная величина разнесения
jD0 — оптимальная величина разнесения
d— требуемая функция параметра
d — параметр показателя качества
(помехоустойчивости) на РХП в задачах гауссовского типа
d (/) — полезный сигнал
d (t) — оценка полезного сигнала
d0(t) — оптимальная оценка по минимуму среднеквад-
ратической ошибки
de (t) — ошибка точечной оценки полезного сигнала
б — фаза регулярной составляющей сигнала на
выходе райсовского канала
А — мера качества (помехоустойчивости) (9.49)
Adg — мера ухудшения качества (помехоустойчиво*
сти) под влиянием небелой помехи
Д0 — мера качества (помехоустойчивости) в
оптимальном приемнике
А© — ширина допплеровской ячейки
Дг — длина ячейки дальности
А0 — мера качества (помехоустойчивости) при
субоптимальном испытании
&wo — меРа качества (помехоустойчивости)
приемника, оптимального по белому шуму
Am — среднеразностный вектор (т. е. вектор,
означающий разность между двумя
вектор-средними)
AQ — матрица, обозначающая разность между двумя
обращенными ковариационными матрицами
647

E — энергия (подстрочный индекс не
употребляемся, если в данном контексте рассматривается
только одна энергия) /
Еа — математическое ожидание, взятое только по
случайной величине а
Ei — энергия мешающего сигнала
Et — энергия сигнала по /-й гипотезе
Ег — математическое ожидание энергии
принимаемого сигнала
Et — энергия передаваемого сигнала
Еу — энергия колебания у (/)
El9 Е0 — энергии сигналов по гипотезам Нх и Я0
соответственно
Е (R) — показатель экспоненциальной^функции в
выражении для границы ошибки в
многоальтернативной задаче
Ее — энергия сигнала ошибки (в контексте
«чувствительности»)
Bn {t) — сигнал ошибки /
8/ — интервальная ошибка
ег — полная ошибка
erf (•)—функция ошибки (в общепринятом смысле)
е^*(*)—функция ошибки (по определению в тексте)
erfc(-) —дополнительная функция ошибки (в
общепринятом смысле)
erfc* (•) — дополнительная функция ошибки (по
определению в тексте)
х\ — порог при испытании по критерию отношения
правдоподобия
F — функция, подлежащая минимизации или
максимизации и содержащая множитель Лагранжа
/(/) — комплексная огибающая сигнала
fd(t) — комплексная огибающая эхо-сигнала от
нужной цели
F — матрица в дифференциальном уравнении
F(/)— изменяющаяся во времени матрица в
дифференциальном уравнении
G+ (уо) — множитель спектра Sr (со), имеющий все
полюсы и нули в левой полуплоскости (и
половину нулей на оси /со); его преобразование для
отрицательного времени равно нулю
g(t) — функция, используемая при анализе
коррелятора в случае небелой помехи
g(tt Л), g{t,A)—функция, используемая в задаче оценивания-
параметра А (или А) на фоне небелого шума
ё(Ю — функция собственного значения
648

\ giLp (т) — импульсная переходная функция идеального
фильтра нижних частот
£а M ~ коэффициент эффективное!!! для системы
разнесения
gl (т) — импульсная переходная функция фильтра
внутри петли
ёю(т)> ^/о (7е0) — импульсная переходная функция и
передаточная функция оптимального фильтра внутри
петли
§pu (т) — импульсная переходная функция
нереализуемого фильтра после петли
8рио (т)> Gpu0 (yo) — импульсная переходная функция и
передаточная функция оптимального нереализуемого
фильтра после петли
gt (t) — импульсное решение
£д(0 — разностная функция, используемая при
анализе коррелятора в случае небелой помехи
gx — весовая сумма функций g (Хг)
goo (Ot ^оо (/<*>) — решение для бесконечного интервала
g (t) — комплексная функция, используемая при
анализе оптимального коррелятора в случае
небелой помехи
G — матрица в дифференциальном уравнении
G (t) — изменяющаяся во времени матрица в
дифференциальном уравнении
Gd — линейное преобразование, описывающее
полезный вектор d
Gd (t) — матрица в дифференциальном уравнении для
полезного сигнала
g(/)—функция, используемая при анализе
векторного коррелятора
gd (А) — нелинейное преобразование, описывающее
полезный вектор d
Т(х) — гамма-функция
у = &|/l -{- Л — параметр
у — порог испытания по произвольному критерию
(часто в величину у включают различные
постоянные)
уа—множитель в задаче нелинейной модуляции,
которым определяется дисперсия ошибки
IIIl (X) — вентильная (переключательная) функция
Н0, Нъ •••» Н% — гипотезы в задаче на принятие решения
ht — f-й коэффициент в ортогональном разложении
функции h (t, и)
Hn{t)—эрмитов полином n-го порядка
h (t, и) — импульсная переходная функция фильтра с
изменяющимися во времени параметрами (вы-
649

ходной сигнал в момент времени ty
обусловленный импульсом на входе в момент времен*/ и)
hi(xt и | z) — импульсная переходная функция
оптимального нереализуемого фильтра, когда
спектральная плотность белого шума равна г
Лх(т, и: t) — импульсная переходная функция
оптимального фильтра на интервале [0, /]
Л[!1/2] (/, z) — функциональный квадратный корень из hx (/, z)
1оо(т), Я1оо(/со) —импульсная переходная функция и
передаточная функция фильтра при использовании
асимптотического приближения
^ы d и) — импульсная переходная функция фильтра,
дающего задержанную нереализуемую оценку по
минимуму среднеквадратической ошибки
hCh(t> и)—импульсная переходная функция канала
hf {t, z) — импульсная переходная функция фильтра
в схеме канонической реализации № 3
hfr (t, z) — импульсная переходная функция
реализуемого фильтра в ,схеме канонической
реализации № 3
hfu(t> z) —импульсная переходная функция
нереализуемого фильтра в схеме канонической реализации
№3
/г0(/, и)—импульсная переходная функция
оптимального линейного фильтра
ho (т), Но (/со) — импульсная переходная функция и
передаточная функция оптимального устройства
обработки «выбеленного» сигнала
Кг {U ") — импульсная переходная функция оптимального
реализуемого линейного фильтра для оценки
сигнала s (t)
ои (т), Нои (/со) — импульсная переходная функция и
передаточная функция оптимального нереализуемого
фильтра
hsuh (т) — импульсная переходная функция
субоптимального фильтра
hw (t, и) — импульсная переходная функция
«выбеливающего» фильтра
hWo (t, «) — импульсная переходная функция фильтра,
процесс на выходе которого является «белым»
по гипотезе Я0
hb(t, и) —импульсная переходная функция фильтра,
соответствующая разности между обратными
ядрами по двум гипотезам (3.31)
Ti(tt и) — комплексная огибающая импульсной переход*
ной функции полосового фильтра

^1уг(Л z) — комплексная импульсная переходная функция
реализуемого «выбеливающего» фильтра
Н — линейное матричное преобразование
h0(/, и) — импульсная переходная функция
оптимального линейного матричного фильтра
/о(-) — модифицированная функция Бесселя 1-го
рода нулевого порядка
Ik (•) — интегралы в разложении в рядЭджворта (2.160)
/г — неполная гамма-функция
I — единичная матрица
J (А) — функция в выражении для границы дисперсии
У — элементы матрицы
J'1 (t, и) — обратное информационное ядро
Jtj — элементы информационной матрицы J"1
Jk(t> и) — k~u член приближения к информационному
ядру
J — информационная матрица (Фишера)
^сош (*» ti: s) — ковариационная функция составного сигнала
(3.59)
Ks(t, и) — ковариационная функция сигнала
Кн.(*> и) — ковариационная функция колебания г (t) по
i'-й гипотезе
Кн01,2]У, и)—функциональный корень квадратный из
Kx(t> u) — ковариационная функция процесса х (/)
Kd (т) — корреляционная функция допплеровского
процесса
Kdr(v> k) — корреляционная функция процесса
отражения от цели
Kr М — двухчастотная корреляционная функция
К — ковариационная матрица
К~ (/, и) — ковариационная функция процесса х (t)
kd (t) — линейное преобразование процесса х (t)
Ln(x) — полином Лагерра я-го порядка
/ (R), / — достаточная статистика
1(A) — функция правдоподобия
1в — член смещения в логарифме отношения
правдоподобия
Id — член в логарифме отношения правдоподобия,
обусловленный детерминированным входным
сигналом
Ir — член в логарифме отношения правдоподобия,
обусловленный случайным входным сигналом
1а — фактическая достаточная статистика (в
контексте «чувствительности»)
651

'с» 's — достаточные статистики, соответствующие ко-
синусоидальной и синусоидальной
составляющим
/0 — сигнал на выходе коррелятора при
субоптимальном испытании
lwo — сигнал на выходе коррелятора в приемнике,
оптимальном по белому шуму
Л — параметр, который часто соответствует
отношению сигнал/шум в эффективной полосе
частот сообщения
А (/"& (t)), Л (R) — отношение правдоподобия
A(rk(t), A)—функция правдоподобия
Лв — отношение сигнал/шум в опорной полосе
частот для спектров Баттерворта
Aef — эффективное отношение сигнал/шум
Л^ — обобщенное отношение правдоподобия
Лт — параметр плотности вероятности
(распределения вероятности) фазы
A3db —/отношение сигнал/шум в полосе,
отсчитываемой по ослаблению 3 дБ
Лх — ковариационная матрица вектора х
Ах (0 — ковариационная матрица вектора состояния
(равная Кх (t, t))
А, — множитель Лагранжа
Яшах — максимальное собственное значение
%i — собственное значение матрицы или
интегрального уравнения
Xt (А) — i-e собственное значение при условии, что А
известно
Яс; — собственное значение квадратичной
канальной формы
Я/ — собственное значение сигнального процесса
Xf — полное собственное значение
Я* — собственное значение процесса г* (t)
In А (Л) — логарифм функции правдоподобия
Мх(р), Mx(/v) — характеристическая функция случайной
величины х (или х)
Мцц (s)— порождающая функция / по гипотезе Hi
lmD — среднее значение допплеровского сдвига
(смещения)
nil — *-й коэффициент в разложении т (i)
Mr — среднее значение группового времени запаз-
дывани я (задержки)
тх (t) — среднее значение процесса
m^(t) — разность между средними значениями
процессов
t>52

M — матрица, используемая при анализе случая
небелого шума
m — вектор-среднее
\i (s) — логарифм функции Ф/ (r> (я0 (s)
И-bp (s) — [i (s) для случая полосовых процессов и систем
M>bs (s) — \i (s) для двоичных симметричных систем
№d(s) — компонента \i (s), обусловленная
детерминированным сигналом
Иксмэ (s) — \i (s) для случая КСМЭ
H-lp(s)— \i (s) для случая процессов нижних частот
\ir(s) — компонента \i (s), обусловленная случайным
сигналом
H<sib (s) — fx (s) для простого двоичного случая
H-sk (s) — (i (s) для случая разделяющихся ядер
И<оо (s) — асимптотическая форма \х (s)
\i (s) — комплексный вариант \i (s)
N — размерность пространства наблюдения
N — число коэффициентов разложения в ряд
N (т, а) — гауссова (нормальная) плотность
вероятности (закон распределения вероятности) со
средним значением т и среднеквадратическим
отклонением а
N (со2) — многочлен (полином) в числителе
представления спектра
N0 — значение спектральной плотности
п (t) — шумовой случайный процесс
пс (0 — небелый (коррелированный) шум (помеха) (не
содержит компоненты белого шума)
пь — f-я компонента шума
/г* (/) — шумовая компонента на выходе
«выбеливающего» фильтра
пс (0 — реализуемая оценка небелой шумовой
компоненты по минимуму среднеквадратической
ошибки
пс (/) — нереализуемая оценка небелой компоненты по
минимуму среднеквадратической ошибки
п (t) — комплексная огибающая шумового процесса
N — числа корреляционной матрицы шума
//, п — случайная величина шума (или векторная
величина)
Icr — граница Крамера—Рао
1и (/) — элементы ковариационной матрицы ошибок
£mz — дисперсия интервальной оценки по максимуму
правдоподобия
|р (t) — средний квадрат ошибки реализуемой точечной
оценки
653

Ip (t I s (•), N0/2) — минимальный средний квадрат ошибки
реализуемой фильтрации сигнала s (/) при
наличии белого шума со спектральной плотностью
\pt (t) — средний квадрат ошибки точечной оценки t-ro
сигнала
1рп (0 — нормированный (относительный) средний
квадрат ошибки реализуемой точечной оценки
^р^ — средний квадрат ошибки точечной оценки (ста-
°° ционарное состояние)
Ъи — средний квадрат ошибки оптимальной
нереализуемой оценки
%ип — нормированный (относительный) средний
квадрат ошибки оптимальной нереализуемой оценки
Id (0 — ковариационная матрица при оценке сигнала
d(t)
Ip^ — ковариационная матрица ошибок
(стационарное состояние)
|(0 — функция в уравнениях оптимального
приемника (9.90)
|(^:Л, V) — матрица ковариационных функций
распределенной ошибки
Р — мощность
Р(г) — суммарная вероятность ошибок в задачах
различения сигналов
*pfsk (8) — суммарная вероятность ошибок в двоичной
системе ЧМ (ЧТ)
Ppsk (8) — суммарная вероятность ошибок в двоичной
системе ФМ (ФТ)
Рвр — мощность полосового процесса
Pd — вероятность обнаружения (условная
вероятность)
Pei — эффективная мощность
Pf — вероятность ложной тревоги (условная
вероятность)
Pt — априорная вероятность i-й гипотезы
Plp — мощность процесса нижних частот
Рм — вероятность пропуска (условная вероятность)
Р[м] — одночленная аппроксимация
Рг — мощность принимаемого сигнала
Pt — мощность передаваемого сигнала
Pdr {f> v} — преобразование функции Sdr {/, к}
Pr\ h^R] Ht) — плотность вероятности величины г при
условии, что истинна гипотеза Ht
Ф (t) — собственная функция
Ф(У) — гауссова плотность вероятности N (0, 1)
654

Ф,-(^) — i-я координатная функция, /-я собственная
функция
Фдю I н0 (s) — производящая функция моментов случайной
величины / (R) при условии, что верна
гипотеза #0
<$x(s) — производящая функция моментов случайной
величины х
Ф (/) — фаза сигнала
Ф(т, со), Ф{т, /} —частотно-временная корреляционная функция
Ф/g (т, со) — частотно-временная взаимокорреляционная
функция
г|)£ (/) — фазовая функция нижних частот
tyo {К /} — функция взаимной неопределенности при
рассеянии
P(t)—взаимокорреляционная матрица процесса на
входе генератора сообщения и аддитивного
шума в канале
Ф(/, т) —переходная матрица состояния системы с
изменяющимися во времени параметрами
Ф('—А>)АФ(Т) — переходная матрица состояния системы с
постоянными во времени параметрами
Р[']>Р(ш)—вероятность события, указанного в
квадратных или круглых скобках
Q/з — ограничение полосы частот
сос — несущая частота (рад/с)
соо — величина допплеровского сдвига (смещения)
частоты
со — среднее значение частоты
Q(a, (3) — Q-функция Map кума
QHt(ty и)—обратное ядро по i'-й гипотезе
Qn (t> u) — обратное ядро
q — значение спектральной плотности
возбуждающего скалярного белого шума
Qn (Mi z) — ЯДР° обратной матрицы
Q — ковариационная матрица возбуждающего
векторного белого шума
R — производительность источника информации
(скорость передачи информации)
R (t) — расстояние до цели (дальность цели)
Rx(t> u) — корреляционная функция
Rdr{*,v)—двухчастотная корреляционная функция
Я в — байесов риск
г (t) — принимаемое колебание (обозначает как
случайный процесс, так и его выборочную
функцию — реализацию)
rc(t) — комбинированный принимаемый сигнал
rg(t) — процесс на выходе фильтра обратного ядра,
655

когда на входе фильтра присутствует процесс
r(t)
г к (0 — /С-членная аппроксимация
г* (0 — процесс на выходе «выбеливающего» фильтра
г** (/) — процесс на выходе Sq (со) фильтра
(эквивалентного двум последовательно включенным
«выбеливающим» фильтрам)
г (t) — комплексная огибающая сигнального процесса
Ри — коэффициент корреляции составляющих st (t)
и sj(t) (нормированных сигналов)
р12 — коэффициент ковариации двух случайных
величин
Pdr — коэффициент асимметрии цели
рг — коэффициент ухудшения качества
(помехоустойчивости) из-за влияния помехи
R(/)— ковариационная матрица векторного белого
шума
г, R — вектор наблюдения
,S (/со) — преобразование Фурье сигнала s (t)
Sc (со) — спектр небелого шума
Sq (со) — преобразование Фурье функции Q (т)
Sr (со) — спектральная плотность мощности
(энергетический спектр) принимаемого сигнала
Sx (со) — спектральная плотность мощности
(энергетический спектр)
^е0 (А0) — преобразование сигнала оптимальной ошибки
Sd {/} — функция рассеяния по допплеровскому
параметру
Sdr {/, Ц — функция рассеяния
Sdu {/} — равномерный (постоянный) допплеровский
профиль
5тгг {/} — спектр реверберационного эхо-сигнала
8я{Х) — функция рассеяния по дальности
s(t) — сигнальная компонента колебания г (t) (если
в контексте рассматривается только один
сигнал, то подстрочный индекс не употребляется)
s (t, А) — сигнал, зависящий от параметра А
s (tt a (t)) — модулированный сигнал
sa (t) — фактический сигнал s (t) (в контексте
«чувствительности»)
scom (ty s) — составной сигнальный процесс (3.58)
656

st — коэффициент в разложении сигнала s (t)
st — i-я компонента сигнала
SR (t) — случайная компонента сигнала
sr (t) — принимаемый сигнал
sr (0 — реализуемая оценка сигнала s (t) по минимуму
среднеквадратической ошибки
st (/) — передаваемый сигнал
«о {t) — сигнал по гипотезе Я0
Si (0 — сигнал по гипотезе Нг
Si(t, 6), s0(/, 6)—сигнал с нежелательными параметрами
sq (t) — случайный сигнал
5* (0 — сигнальная компонента на выходе
«выбеливающего» фильтра
2 (t) — комплексная ковариационная матрица
(равная %Р (/))
а2 — дисперсия
erf, ао — дисперсии по гипотезам Нъ Н0
оЬ — средний квадрат рассеяния по допплеровско-
му параметру
cj© — средний квадрат ширины полосы (спектра)
о% — средний квадрат рассеяния по запаздыванию
(дальности)
а? — средний квадрат длительности
s (t) — векторный сигнал
Т — длительность импульса
Ть — время начала наблюдения (то же, что и Tt)
Td — длительность последовательности импульсов
Tf — время окончания наблюдения
Tt — время начала наблюдения
Тр — период следования импульсов
t — среднее время прихода (сигнала)
т — время распространения сигнала до цели и
обратно
0, G — нежелательный параметр
0 (A, AJ — обобщенная функция неопределенности
0(т, 0), 0 {г, /} — функция неопределенности сигнала
0/я (т> 0)) — функция взаимной неопределенности
0а (Аа, А) — обобщенная функция неопределенности при
рассеянии сигнала
0q {ХаД:та,/п}—функция неопределенности при рассеянии по
° допплеровскому параметру
«57

G — оценка фазы
Ось (t) — фаза отклика канала
6Х — оценка величины 6j
Т (/, т) — переходная матрица
[ ]т — транспонированная матрица
[ ]+ — комплексно-сопряженная транспонированная
матрица
и_х (t) — единичная ступенчатая функция (единичный
скачок)
и (t), и (t) — сигнал на входе системы
u(t) — элементарный сигнал прямоугольной формы
V — переменная при кусочной аппроксимации
функции Kch (t)
Vch(t)—огибающая отклика канала
v — скорость движения цели
W — параметр ширины полосы (спектра)
W (/со) — передаточная функция «выбеливающего»
фильтра
WCk — ширина односторонней полосы канала
W*1 (усо) — преобразование обращенной передаточной
функции «выбеливающего» фильтра
w (/) — белый шумовой процесс
w (т) — импульсная переходная функция
«выбеливающего» фильтра
w (/) — комплексный белый шумовой процесс
W — матричная операция, выходной вектор
которой имеет диагональную ковариационную
матрицу
х (t) — процесс на входе модулятора
х (t) — случайный процесс
x(t) — оценка случайного процесса
х — случайный вектор
х (t) — вектор состояния
ха (0 — модифицированный (преобразованный)
вектор состояния
\d(f)—вектор состояния для желательной операции
xf (t) — предварительно отфильтрованный вектор
состояния
хм (0 — вектор состояния для сообщения
xn(0 — вектор состояния для шума

х(/, К) — распределенная комплексная переменная
состояния
Y (t, и) — ядро (в контексте сингулярности (3.151))
y(t) — решение дифференциального уравнения
/у (/) — передаваемый сигнал
Z — пространство наблюдения
%ь ^2 — подпространства пространства наблюдения
z(t) — процесс на выходе «выбеливающего» фильтра
z (t) — матрица коэффициента передачи фильтра,
представленного в переменных состояния,
импульсная переходная функция которого есть h0 (t, t)

Предметный указатель
Автокорреляционная функция
частотно-временная 310
Амплитуды оценка, цели с рассеянием
по двум параметрам 565
спектра 218, 230, 239, 242
Асимптотические формулы 134
Байеса испытание (критерий) 27
Баркера коды 348
Баттачария расстояние 205
Баттерворта спектр 127
Белый полосовой шум 273, 294
Бернулли последовательности 350
Векторная диаграмма 603
Векторные процессы 182
Временное сжатие (компрессия) 270
Время-селективные замирания 390
«Выбеливания» метод 79
«Выбеливающие фильтры 79, 285
Вырожденные (сингулярные)
испытания (критерии) 105
Гауссов импульс 314, 321
— процесс 25, 76, 123, 171
Гидролокационная модель 264
Глобальная точность 334
Граница Баранкина 210
— вероятности ошибки 413
— дисперсии 203
— ошибки 185
— помехоустойчивости
субоптимальных приемников 423
— смещения 225
— среднеквадратической ошибки 209,
228
— Чернова 178
Граничные эллипсы 330
Гребенчатые фильтры 295
Двухфильтровый радиометр 455
Двухчастотная корреляционная
функция 452
Дискретное разрешение 355, 356, 379
Дисперсные (диспергирующие) цели
(каналы) 448
Дифференциальное уравнение 282
660
модель цели (канала) с
рассеянием по двум параметрам 488
Допплеровское смещение (сдвиг) 270
оценивание 307
—в рассеяние, каналы 407
—*— цели 389
Дуальные каналы 459
— цели 459
оптимальные приемники 398
модель в переменных состояния
396
Дуальность, принцип 456
— частотно-временная 456
Замирания (фединги)
время-селективные 390
— частотно-селективные 453
Запаздывание цели с рассеянием по
запаздыванию 448
Инвариантность объема 339
Информационная матрица 325
Испытания (критерии), вырожденные
(сингулярные) 105
— отношения правдоподобия 27, 82,
103, 274, 397, 517
— составных гипотез 248
Каналы с допплеровским рассеянием
407
— дуальные 459
— КСМЭ 154, 241, 404, 466, 551
— модель в виде ЛЗ с отводами 523
— мультипликативные 44
— Накагами 272
— райсовские 272
— с рассеянием по дальности 448
— релеевские медленно
флуктуирующие 268
— эквивалентные 557
Канонические реализации приемника
32, 34, 35, 37, 42, 398
Классификация задач обнаружения
(гауссовых сигналов) 76
Кодированные импульсные
последовательности 315, 344, 376
Комплексные гауссовы случайные
величины 621

— Достаточные статистики 273
— огибающие 607
— переменные состояния 612
— представления линейных спаем
612
случайных процессов 614, 640
сигналов 603, 637
— процессы с конечным числом со
стоянии 628
Коррелятор 145, 274
Лагерра полиномы 374
Лагранжа множители 289
Линейная частотная модуляция
(ЛЧМ) 321, 323, 500
Линия задержки (ЛЗ) с отводами,
модель канала 523
Локальная точность 325
Максимальное правдоподобие,
уравнение 201
Многоальтернативные (М-е) системы
428, 558
Многолучевость, разрешение 151, 465
Многопараметрические системы 245
Модифицированная случайная
величина 56
Накагами каналы 272
Небелый полосовой шум,
обнаружение 277, 294, 361
Неопределенности принцип в
радиолокации 340
Обнаружение бинарное 25, 123, 273,
397, 454, 516
— гауссовых сигналов в белом шуме
25
— векторных процессов 72, 114
— многоальтернативное 171, 184
— стационарных процессов 122
— целей с неизвестными параметрами
370
с рассеянием по дальности 454,
472
Обратные ядра 28
Ограниченный по ширине спектр 132,
140
Оптимальные линейные фильтры,
комплексные процессы 634
— сигналы, синтез 288
Ортогональный ряд, модель цели
(канала) 529
Оцениватель-коррелятор 32, 85, 124
Оценка (оценивание) амплитуды 218,
230, 239, 242, 565
— дальности 307
— допплеровского сдвига 307
— параметров, КСМЭ 241, 260, 561
обобщенные параметры 368
процесса 192, 214
с конечным числом состояний
236, 256
разложимые ядра 238, 257
СПБВН 214, 250
целей с допплеровским
рассеянием 430, 444
с рассеянием по двум
параметрам 5.59
— - скорости 307
— средней дальности 568
— среднего допплеровского сдвига
568
Оценки усеченные 221
Ошибка, приближенные формулы 56
Переменные состояния, представление,
комплексное 281, 612, 628
распределенное 489, 506, 531
обычное (ординарное) 42,
60, 236, 257
Помехоустойчивость (качество,
достоверность, точность), приближенные
формулы 56, 104
— границы 100, 178, 413, 537
— многоальтернативный случай 173
— обнаружения целей с
допплеровским рассеянием 402, 413
/ точечных в белом шуме 275
— общий бинарный случай 86, 104,
115
— оценка параметров 203, 221, 325,
432, 470, 566
— реверберационная обстановка 495
— случай белого шума 49
КСМЭ 159
— типичная система 63
Правдоподобия функция 195, 431, 564
— отношение, критерий 27, 82, 103,
274, 397, 517
Приемники адаптивные 180
— обычные 358, 495
— оптимальные 26, 84, 124—126, 132,
137, 275, 309, 398, 455, 464
— для дискретного разрешения 361
реверберационной обстановки
505
условия КСМЭ 159, 455, 553
— субоптимальные 175, 232, 294, 418,
467, 554
Производящая функция моментов 51
Пространственно-временная обработка
601
Процессы векторные 71, 114, 165, 170,
182, 212
— гауссовы 25, 76, 123, 171
комплексные 392, 449, 481, 620
условно 194
— комплексные с конечным числом
состояний 236, 256, 281, 403, 464, 628
661

— негауссовы 180
Псевдослучайные последовательности
352
Радиолокационная модель 263
Радиометр двухфильтровый 455
Разнесение временное 147
— минимальное 546
— - неявное 413
— - оптимальное 153, 413, 516
— система 547
— частотное 151
— явное 413
Разложимые (разделяющиеся) ядра
144, 238, 404
Разрешение (разрешающая
способность) дискретное 356, 377
Рассеяния функция по дальности 450,
477
по двум параметрам 483, 492,
495
допплеровского 393, 414,
инвариантная по дальности 499
Реализация канонического приемника
32—35, 37
— параллельная обработка 83
Реверберация 494, 575
Регистр сдвигающий с обратной
связью 350, 377
последовательности на
выходе 351
Связи системы бинарные (двоичные)
90, 95, 101, 134, 407, 518
по каналам с допплеровским
рассеянием 407, 440
с рассеянием по дальности
466
по двум параметрам 516
— — многоальтернативные 428, 558
Сильнодиспергирующие
(сильнодисперсные) каналы 539
— цели 488
Слабодиспергирующие
(слабодисперсные) каналы 539
— цели 488
Согласованный фильтр 145, 274
Составные гипотезы, испытание 248
Средний квадрат полосы (ширина
спектра) 322, 609
длительность 322, 608
СПБВН 122, 214, 404
Субоптимальные приемники 175, 232,
294, 418, 467, 554
Точность глобальная 334
— локальная 325
Фильтр-квадратор, приемник,
приемник, класс Bw 86
оценка параметров 309
СПБВН 214
простой бинарный 35, 275, 279,
398
субоптимальный 179, 422
Фильтры несогласованные
(рассогласованные) 369
Фредгольма определитель
(детерминант) 41, 92, 174, 179, 403
425, 428
Функциональный корень квадратный
36
Функция неопределенности взаимной
370, 384, 515
—— допплеровского рассеяния 432,
444
идеальная 313
обобщенная рассеяния 434
определение 311
примеры 311, 314, 316, 321
свойства 321, 339, 372
— рассеяния по дальности 450
реверберационная 495
Цели дуальные 459
— вырожденные 486, 521
— медленно флуктуирующие точечные
267
— с рассеянием по дальности 448
по двум параметрам 479
по допплеровскому параметру
389
— сильнодисперсные
(сильнодиспергирующие) 488
— слабодисперсные
(слабодиспергирующие) 488
Частотно-временная
автокорреляционная функция 310
— дуальность 456, 474
Частотно-селективные замирания 453
Чернова границы 178
Эджворта ряд 57
Эквивалентные каналы 557
— процессы 556
Эрмитовы полиномы 374
Эффективности коэффициент 139, 142,
412
Ядра обратные 28
— разложимые (разделяющиеся) 144,
238, 404
662

ИБ № 319
Г. ВАНТРИС
ТЕОРИЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ОЦЕНОК
И МОДУЛЯЦИИ
ТОМ III
Обработка сигналов в радио- и гидролокации и прием
случайных гауссовых сигналов на фоне помех
Перевод с английского
под редакцией В. Т. Горяинова
Редакторы Е. В. Вязова, Н. К Калинина
Художественный редактор Я. С. Шейн
Технический редактор А. А. Белоус
Корректор О. И. Галанова
Сдано в набор 10/11-77 г. Подписано в печать 18/Х-77 г.
Формат 60X90'/ic Бумага типографская № 1
Объем 41,5 усл. п. л., 39,410 уч.-изд. л.
Тираж 6600 Зак. 1494 Цена 3 р. 10 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, И-41, Б. Переяславская, 46.

Издательство
«СОВЕТСКОЕ РАДИО»
в 1978 году
выпустит книгу:
Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка параметров
сигналов на фоне помех.
Книга посвящена применению теории статистических
оценок к решению прикладных задач оценки различных
параметров радиотехнических сигналов, принимаемых совместно с
помехами. Обсуждаются возможные критерии оценок,
синтезируются оптимальные структурные схемы и анализируются
практические устройства, применяемые для раздельных и совместных
оценок параметров сигналов для разных априорных сведений
о статистических характеристиках сигналов и помех. Получены
конечные количественные характеристики оценок (смещение,
дисперсия, законы распределения и др.).
Куликов Е. И. известен широкому кругу читателей своей
книгой «Вопросы оценок параметров сигналов при наличии
помех», изданной в 1969 г.
Книга рассчитана на научных работников и инженеров,
работающих в области радиосвязи, радиолокации,
радиоизмерительной техники, а также на аспирантов и студентов старших
курсов вузов.
Указанные книги можно приобрести или заказать в
местных магазинах, распространяющих научно-техническую
литературу или в магазинах «Книга — почтой».
Адреса: 197003, Ленинград, П. С. Большой пр. Н,
магазин № 55. 103031, Москва, Петровка, 15 магазин № 8
«Техника».