.

Detection, Estimation,
and
Modulation Theory
PART II
Nonlinear Modulation Theory
HARRY L. VAN TREES
Massachusetts Institute of Technology
*
John Wiley and Sons, Inc.
New York · London · Sydney ■ Toronto

Г. ВАН ТРИС
Теория обнаружения,
оценок
и модуляции
ТОМ ВТОРОЙ
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДУЛЯЦИИ
*
Перевод с английского В. В. Липьяйнена
под редакцией проф. В. Т. ГОРЯ И НОВА
МОСКВА «СОВЕТСКОЕ РАДИО* 1973

6Φ2.4
B17
УДК 621.396:621.38
Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том II.
Теория нелинейной модуляции. Нью-Йорк, 1971. Пер. с англ. под
ред. проф. В. Т. Горяинова. М., «Сов. радио», 1975, 344 с.
Второй том монографии «Теория обнаружения, оценок и
модуляции» посвящен в основном обстоятельному и методически
последовательному рассмотрению теоретических и практических аспектов
оптимального приема радиосигналов с аналоговыми нелинейными
видами модуляции (фазовой и частотной), когда прием
осуществляется на фоне аддитивного нормального шума. В данном томе
содержится и дополнительно развивается теория оценок, метод
переменных состояния и прикладная теория оценок марковских
процессов, которые кратко были изложены в томе I. Кроме того, книга
содержит полезные и отчасти оригинальные сведения по
целесообразным видам предыскажений сигналов, по практической
реализации разных систем фазовой синхронизации, по построению
оптимальных демодуляторов для радиосигналов с ЧМ, а также по
разнесенному приему и сравнению помехоустойчивости систем
передачи информации в аналоговой и цифровой форме при наличии
ограничений по порогу помехоустойчивости и ширине спектра
сигнала.
Книга представит интерес для инженеров, аспирантов и
научных работников, специализирующихся в областях радиосвязи,
радиолокации и телеуправления, а также для студентов
соответствующих специальностей.
Табл. 14, рис. 137, библ. 243 назв.
Редакция по вопросам космической радиоэлектроники
30401-013
β 046(01)-75 wo
© Перевод на русский язык. Издательство «Советское радио», 1975 г.

Оглавление
Предисловие к русскому переводу 9
Предисловие к английскому изданию 11
Список литературы 14
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 15
1.1. Обзор первого тома 15
1.2. Тематический план второго тома 16
1.3. Краткое содержание второго тома 19
Список литературы 20
Глава 2. ОПТИМАЛЬНЫЕ ДЕМОДУЛЯТОРЫ 21
2.1. Модель системы угловой модуляции 21
2.2. Интуитивный подход к задаче синтеза демодулятора 22
2.3. Оценки по максимуму апостериорной вероятности 28
2.4. Структурные схемы оптимальных демодуляторов 29
2.5. Синтез системы и оценка ее помехоустойчивости ...... 37
2.5.1. Вывод выражения для нереализуемой среднеквадрати-
ческой ошибки 38
2.5.2. Синтез фильтра 39
2.6. Практические соображения 42
2.6.1. Модель генератора 42
2.6.2. Фильтрация после петли 42
2.6.3. Шумовая полоса системы ФАПЧ 44
2.6.4. Внешнее управление генератором переменной фазы . 45
2.7. Краткие итоги 45
2.8. Задачи 46
Список литературы 48
Глава 3. ОЦЕНКА ФАЗЫ В ЗАДАЧЕ СИНХРОНИЗАЦИИ 50
3.1. Анализ нестабильности частоты генератора 52
3.2. Нелинейный анализ при отсутствии шума 54
3.2.1. Система ФАПЧ первого порядка при постоянной
частотной расстройке 55
3.2.2. Система ФАПЧ второго порядка при постоянной
частотной расстройке 59
3.2.3. Система второго порядка при наличии постоянного
ускорения 62
3.3. Нелинейный анализ при наличии шума 64
3.3.1. Метод Фоккера—Планка 65
3.3.2. Методы возмущения и приближения 70
5

3.4. Примыкающие вопросы 71
3.4.1. Оптимальные следящие системы с изменяющимися во
времени параметрами 71
3.4.2. Оптимальные следящие системы с постоянными
параметрами 73
3.4.3. Системы с минимальным временем захвата 76
3.4.4. Типы фазовых детекторов 77
3.4.5. Захват при наличии шума 77
3.4.6. Полосовые амплитудные ограничители перед петлей 78
3.5. Краткие выводы по задаче синхронизации 78
3.6. Задачи ^ 79
Список литературы 90
Глава 4. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ 93
4.1. Модель для исследования системы частотной модуляции . . 93
4.2. Оптимальные демодуляторы ЧМ при ограничении по порогу 98
4.2.1. Классический винеровский подход 99
4.2.2. Упрощенный винеровский подход 100
4.2.3. Метод переменных состояния 100
4.2.4. Примеры синтеза системы ЧМ 101
4.3. Оптимальные демодуляторы ЧМ при ограничении по полосе
частот 106
4.4. Основные итоги ПО
4.4.1. Краткие итоги по синтезу систем ЧМ ПО
4.4.2. Системы фазовой модуляции 111
4.4.3. Сравнение систем AM, ЧМ и ФМ ИЗ
4.5. Задачи 116
Список литературы 122
Глава 5. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЙ 124
5.1. Оптимальные предыскажающие фильтры при ограничении по
порогу 126
5.2. Оптимальные предыскажающие фильтры при ограничении по
полосе частот 131
5.3. Субоптимальные предыскажающие фильтры 135
5.3.1. Синтез субоптимальных систем 135
5.3.2. Краткие итоги 138
5.4. Границы качества (потенциальная помехоустойчивость) систем
передачи аналоговых сообщений 139
5.4.1. Граница помехоустойчивости при скорости передачи
информации, определяемой заданной величиной
искажения сообщения 140
5.4.2. Сравнение помехоустойчивости систем в случае канала
с бесконечно широкой полосой .· 151
5.4.3. Сравнение помехоустойчивости систем при ограничении
по полосе 153
5.4.4. Краткие итоги 155
5.5. Обычные дискриминаторы 156
5.5.1. Анализ работы демодулятора при слабом шуме . . . . 156
5.5.2. Явление порога . 1Ь9
6

5.6. Краткие итоги 162
5.7. Задачи 164
Список литературы : 170
Глава 6. СРАВНЕНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ (МЕТОДОВ МОДУЛЯЦИИ) 172
6.1. Системы с дискретизацией и квантованием 173
6.2. Исследование квантователя 176
6.3. Двоичные системы без кодирования 181
6.4. Системы с ортогональными сигналами 186
6.5. Цифровые системы с кодированием 189
6.6. Краткие итоги 192
6.7. Задачи 194
Список литературы 198
Глава 7. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНОК. ДРУГИЕ ПОДХОДЫ 200
7.1. Подход к оценке по максимуму апостериорной вероятности на
основе дифференциального уравнения 201
7.1.1. Интервальная оценка по максимуму апостериорной
вероятности 202
7.1.2. Реализуемая точечная оценка по максимуму
апостериорной вероятности и метод постоянного включения . . 206
7.2. Метод марковских процессов 212
7.3. Краткие итоги 216
7.4. Задачи 218
Список литературы 223
Глава 8. ПЕРЕДАЧА АНАЛОГОВЫХ (НЕПРЕРЫВНЫХ) СООБЩЕНИЙ ПО
КАНАЛАМ СО СЛУЧАЙНО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ . . 225
8.1. Модель и возможные подходы к решению задачи 225
8.1.1. Модель 225
8.1.2. Возможные подходы к проблеме 227
8.2. Синтез оптимального приемника для релеевского канала . 231
8.2.1. Уравнения оценки по максимуму апостериорной
вероятности для безынерционного релеевского канала . . 232
8.2.2. Угловая модуляция в релеевском канале 235
8.2.3. Совместное оценивание сообщения и канальных
процессов 238
8.2.4. Алгоритмы реализуемой оценки по максимуму
апостериорной вероятности и по минимуму среднеквадрати-
ческой ошибки 240
8.3. Границы помехоустойчивости и приближенные выражения . 244
8.3.1. Граница среднеквадратической ошибки 244
8.3.2. Граница идеального измерения 247
8.3.3. Синтез приемника и анализ его помехоустойчивости для
каналов с медленными замираниями в
квазистационарном приближении 249
8.4. Краткие итоги 256
8.5. Задачи 257
Список литературы 260
7

Глава 9. ОБСУЖДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ РОДСТВЕННЫХ ВОПРОСОВ, ИТОГИ
ВТОРОГО ТОМА И КРАТКИЙ ПРОСПЕКТ МАТЕРИАЛОВ,
ИЗЛОЖЕННЫХ В ТРЕТЬЕМ ТОМЕ И В ОТДЕЛЬНОМ ВЫПУСКЕ
„ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ" 261
9.1. Некоторые родственные вопросы 261
9.1.1. Многоканальные системы 261
9.1.2. Системы с разнесением 266
9.1.3. Системы синхронизации и слежения 269
9.2. Итоги второго тома 270
9.3. Проспект третьего тома и отдельного выпуска
«Пространственно-временная обработка сигналов» 273
9.4. Задачи 275
Список литературы 280
Приложение. Процедуры анализа в переменных состояния . . . 282
П. 1. Представление случайных процессов в переменных состояния 283
П.2. Определение ковариационной функции случайного
процесса по его описанию в переменных состояния 284
П.З. Разложение ковариационных функций на множители
(факторизация) 289
П.4. Вывод дифференциальных уравнений для ковариационного
оператора 306
П.5. Однородные интегральные уравнения Фредгольма 310
П.6. Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма . . . 317
П.7. Краткие итоги и некоторые примыкающие вопросы 323
Список литературы 324
Условные обозначения, сокращения, символы 326
Предметный указатель 340
Именной указатель 342

Предисловие к русскому переводу
Четырехтомная монография известного американского ученого
Г. Ван Триса «Теория обнаружения, оценок и модуляции» посвящена
изложению с единых позиций различных методов оптимального и
субоптимального обнаружения и различения сигналов на фоне помех,
методов оценки неизвестных параметров сигнала, а также линейной и
нелинейной фильтрации сообщений, содержащихся в принимаемых
колебаниях. Значительное внимание в монографии уделяется
задачам синтеза оптимальных устройств и определения их рабочих
характеристик (например, вероятностей правильного обнаружения,
предельных точностей фильтрации и т. п.). Последнее помимо научного
имеет и большое практическое значение, поскольку позволяет
произвести грамотное сравнение характеристик реальных радиотехнических
устройств с оптимальными и принять обоснованное решение о
целесообразности и путях дальнейшего их совершенствования.
В первом томе этой монографии приведены основные сведения по
теории обнаружения детерминированных и случайных сигналов и
оценки их параметров. С содержанием этого тома читатель может
ознакомиться по русскому переводу (Г. Л. Ван Трис. Теория
обнаружения, оценок и модуляции, т. 1. Теория обнаружения, оценок
и линейной модуляции. Пер. с англ. под ред. проф. В. И. Тихонова.
«Сов. радио», 1972).
Второй том монографии «Теория обнаружения, оценок и
модуляции» имеет подзаголовок «Теория нелинейной модуляции» и посвящен
в основном обстоятельному и методически последовательному
рассмотрению теоретических и практических аспектов оптимального приема
радиосигналов с аналоговыми нелинейными видами модуляции
(фазовой и частотной), когда прием сигнала осуществляется на фоне
аддитивного нормального шума.
В теоретическом плане материал второго тома дополнительно
развивает теорию оценок, метод переменных состояния и прикладную
теорию марковских процессов, которые были изложены в первом томе.
В прикладном плане книга содержит полезные и частично
оригинальные сведения по целесообразным видам предыскажений сигналов, по
практической реализации разных систем фазовой синхронизации,
построению оптимальных приемников для радиосигналов с частотной
модуляцией, а также разнесенному приему и сравнению
помехоустойчивости систем передачи информации в аналоговой и цифровой
формах при наличии ограничений по порогу помехоустойчивости и ширине
спектра радиосигнала.
Второй том разбит на девять глав, охватывающих следующие
четыре основные проблемы: оптимальная фильтрация сообщений при
9

использовании нелинейных методов модуляции (гл. 2, 4, 5 и 8); оценка
фазы и проблема синхронизации (гл. 3); сравнительный анализ
различных методов передачи информации (гл. 6); разработка новых
методов решения общей задачи нелинейной фильтрации (гл. 7).
Все главы построены примерно по одинаковому плану. Сначала
рассмотрены теоретические аспекты синтеза конкретной задачи, а
затем приведены убедительные соображения по практической
реализации полученных оптимальных схем и устройств. Получены и
обсуждены количественные результаты, характеризующие
помехоустойчивость рассмотренных устройств. В конце каждой главы приведены
основные итоговые результаты и сформулированы практически
интересные задачи, сложность которых варьируется в широких пределах.
К недостаткам книги, по нашему мнению, следует отнести
недостаточно обстоятельное рассмотрение нелинейной теории фазовой
синхронизации и весьма поверхностное изложение важных и
многочисленных научно-прикладных работ советских ученых по теории
оптимальной нелинейной фильтрации непрерывных сообщений
марковского типа. Между тем этот круг вопросов непосредственно относится
к тематике второго тома.
Несомненным достоинством книги является то, что синтез и анализ
широкого класса оптимальных и субоптимальных систем передачи
аналоговых сообщений выполнен автором на современном научном
уровне и с единых позиций.
Необходимые для рассмотрения этих сложных проблем начальные
сведения содержатся в 5-й и 6-й главах первого тома. Однако в
большинстве случаев материал книги изложен так, что допускает его
изучение и без использования данных, приводимых в первом томе
монографии.
По нашему мнению, настоящая книга будет весьма полезной для
инженеров, аспирантов и научных работников, специализирующихся
в области радиосвязи, радиолокации и телеуправления, а также для
студентов соответствующих специальностей.
В процессе перевода и редактирования были сделаны
несущественные сокращения текста и устранены замеченные опечатки в
формулах. Система обозначений, как и при переводе первого тома, сохранена
полностью, изменен лишь принцип обозначения глав в ссылках на
первый том.
Июнь 1974 г.
В. ГОРЯИНОВ

Предисловие к английскому изданию
В этом томе продолжается изложение теории обнаружения, оценки
и модуляции сигналов, которое было начато в первом томе [1].
Предполагается, что читатель знаком с планом всей монографии, который
был рассмотрен в предисловии к первому тому.
Ко времени выхода в свет первого тома (январь 1968 г.) была
завершена работа над вариантом рукописи второго'тома. В течение
весеннего семестра 1968 г. я использовал этот макет рукописи в
качестве учебного пособия по курсу повышенного типа в Массачусетском
технологическом институте (МТИ) для студентов-выпускников и
аспирантов, а летом 1968 г. приступил к доработке рукописи с учетом
замечаний слушателей и результатов некоторых новых исследований.
В сентябре 1968 г. я был привлечен к чтению лекций по телевидению
в учебном центре по переподготовке дипломированных инженеров при
МТИ. Здесь мною был записан на видеомагнитофонную ленту
50-часовой курс лекций по теории вероятностей и случайных процессов для
рассылки по организациям промышленности и университетам в
качестве составной части комплекта учебных пособий для
самостоятельного изучения. Из-за занятости работа по пересмотру рукописи
прервалась до апреля 1969 г. Между тем за этот период мною и моими
слушателями были , получены новые результаты, которые, на мой
взгляд, следовало включить в новую редакцию рукописи. Когда же я
приступил к доработке окончательной редакции рукописи, стали
совершенно очевидными два обстоятельства. Первый вывод состоял в том,
что рукопись стала столь объемной, что издавать ее в виде одного тома
было экономически нецелесообразно. Второй вывод заключался
в том, что поскольку подробно мы рассматриваем только четыре
основные темы, вряд ли многие читатели стали бы действительно
пользоваться всей книгой. Так как ряд тем можно изучать независимо,
взяв за основу лишь материал первого тома, мы решили разбить
материал рукописи на три части — второй том, третий том и отдельную
монографию, озаглавленную как «Пространственно-временная
обработка сигналов»1*. Такое деление было сопряжено с дополнительным
редактированием рукописи, но я сознавал, что это совершенно
необходимо ввиду той гибкости, которую подобная организация
материала даст как читателям, так и преподавателям.
Во втором томе излагается теория нелинейной модуляции. Третий
том посвящен вопросам теории случайных сигналов в радио- и
гидролокации. Наконец, в дополнительной монографии рассматриваются
1} «Array Processing». Возможно также «Обработка посредством антенных
решеток». — Прим. перев.
ίΐ

вопросы обработки сигналов при помощи приемных антенных
решеток. Взаимозависимость различных частей монографии наглядно
показана в следующей таблице:
Материал, подлежащий изучению
Том второй
Том третий
Главы 1—5
Главы 6 и 7
Главы 8—14
Том четвертый
(«Пространственно-временная
обработка сигналов»)
Главы 1 и 2
Глава 3 и последующие
Главы, с которыми необходимо
предварительно ознакомиться
Главы 5 и 6 первого тома
Главы 4 и 6 первого тома
Глава 4 первого тома
Главы 4 и 6 первого тома, 1 — 7
третьего тома
Глава 4 первого тома
Главы 1—5 третьего тома, 1 и 2
четвертого тома
Из таблицы видно, что второй том совершенно не связан с третьим и
четвертым. Первую часть четвертого тома можно изучать
непосредственно после первого тома, однако для изучения второй части
требуется знание некоторых сведений из третьего тома.
По своему характеру второй том заметно отличается от первого.
Его, пожалуй, лучше всего можно было бы охарактеризовать как нечто
среднее между научной монографией и учебным пособием. Второй
том имеет все черты научно-исследовательской монографии, поскольку
в нем рассмотрены конкретные вопросы и изложены результаты
ряда последних исследований. Во многих случаях в книге
рассматриваются вопросы, которые до сих пор остаются предметами активных
исследований, и некоторые вопросы в связи с этим неизбежно остаются
без ответа. Вместе с тем второй том несет черты учебного пособия,
поскольку материал в нем подается в определенном порядке и все
необходимые результаты выводятся в рамках самой книги.
Книга адресуется читателям трех категорий. К первой категории
относятся студенты-выпускники и аспиранты. Курс теории нелинейной
модуляции обычно бывает трудно преподавать (и еще более трудно
воспринимать), так как легко можно втянуться в рассмотрение деталей
(которые неизменно бывают беспорядочными и запутанными) и
потерять из виду существо теории. Наш подход к построению курса и
монографии сводится к логическому развитию изложенного на
предыдущем этапе, поэтому нетрудно понять и всю логическую схему
организации материала. На каждом этапе мы стремимся дать мотивировку
избираемых нами путей решения той или иной задачи. Изложение
ведется с необходимыми подробностями, однако, где это только
возможно, мы старались приуменьшать их значение. Как
свидетельствует наш опыт, при таком построении курса материал можно
преподавать.
12

Ко второй категории читателей принадлежат те, кто занимается
исследовательской деятельностью в этой области. В рамках изучаемых
тем излагаемые в курсе результаты примыкают к переднему краю
современных научных исследований. Во многих случаях выдвигаются
конкретные исследовательские проблемы, которые вполне пригодны для
диссертационной работы или НИР в промышленности.
К третьей категории относятся инженеры, занятые на
практической работе. По ходу изложения материала мы выполняем ряд задач
по синтезу и анализу систем. Используемые при этом методы и
полученные результаты непосредственно применимы для решения многих
текущих задач. Разумеется, инженер не найдет эту книгу полезной
в качестве справочника по проектированию систем фазовой
автоподстройки частоты, но зато, после изучения глав 2—4, он будет в
состоянии понять процедуру синтеза систем. Материал дается в форме,
удобной для изложения на краткосрочных курсах переподготовки
инженеров.
Заслуживают некоторого упоминания приведенные в книге
задачи. Как и в первом томе, во второй том включено большое количество
задач, поскольку решение задач, по нашему убеждению, является
существенной частью учебного процесса. Задачи варьируются в
широких пределах по степени трудности и предназначаются для усиления
и развития материала основного текста. Читателей и преподавателей
следует предупредить относительно характера некоторых задач. Ряд
задач связан с синтезом оптимальных линейных фильтров. Задачи этого
типа служат для закрепления и развития материала гл. 6 первого
тома, а получаемые при их решении результаты способствуют
пониманию принципа работы оптимальной нелинейной системы. С другой
стороны, некоторые из этих задач дают вполне достаточные знания и
навыки и проработка всех их имела бы небольшую познавательную
ценность. Отдельные задачи требуют для своего решения
привлечения дополнительной литературы или вынуждают прибегать к
здравому смыслу и инженерной интуиции для выбора и обоснования того
или иного приближения или, наконец, выдвигают некоторые
нерешенные вопросы дискуссионного характера. Такие задачи иногда ставят
студентов в тупик, но, по нашему мнению, они служат полезной цели.
В нескольких задачах приходится прибегать к численным методам
решения. Мы сознательно не выделяем эти задачи по двум причинам.
Во-первых, для того чтобы дать читателям возможность
самостоятельно разобраться, когда необходимо использовать численные методы.
Во-вторых, неожиданная ситуация, когда студент получает
корректное аналитическое решение в тех случаях, где мы вынуждены
прибегать к численным методам, заостряет внимание на данной задаче,
заставляет тщательно ее проанализировать и потому является весьма
поучительной. Ввиду указанных обстоятельств мы настоятельно
рекомендуем' преподавателям самим тщательно прорабатывать задачи,
прежде чем давать задание студентам.
Как и в первом томе, мы попытались сделать всю систему
обозначений по возможности мнемонической. Все обозначения приведены
в списке, помещенном в конце книги. Мы старались дать как можно
13

более полную библиографию публикаций и отдать должное работам
других авторов.
В работе над книгой мне была оказана помощь. Профессора А. Баг-
герер, Е. Ховерстен и Д. Снайдер из МТИ и д-р Л. Коллинз из Лин-
кольновской лаборатории МТИ внимательно прочли и подвергли
критическому разбору рукопись всей книги. Их советы и предложения
невозможно переоценить. Ряд аспирантов высказали замечания,
которые содействовали улучшению учебника. Проф. А. Витерби из
Калифорнийского университета взял на себя труд рецензирования книги
и внес ценные критические замечания. Профессора В. Давенпорт и
В. Сиберт оказывали постоянную моральную поддержку при
написании книги. Мой секретарь г-жа Торторичи перепечатывала всю
рукопись несколько раз. Благодаря ее квалификации и терпению
подготовка рукописи к печати была значительно облегчена.
Мои первые научные исследования в области теории модуляции
финансировались Линкольновской лабораторией и проводилась в
группах, руководимых д-ром Г. Шерманом и д-ром В. Рейффеном. Моя
исследовательская работа в МТИ частично финансировалась
Вооруженными Силами и Национальным управлением по аэронавтике и
исследованию космического пространства под эгидой
Научно-исследовательской лаборатории электроники. Окончательное
редактирование книги было осуществлено в стенах «Тринити колледж» в
Дублине, где я находился в одногодичном академическом отпуске,
предоставленном мне МТИ. Проф. Б. Сейф из Технической школы обеспечил
меня на все это время рабочим помещением, а МТИ — финансовой
помощью. За помощь и содействие, оказанные мне различными
организациями и лицами, считаю своим долгом выразить им искреннюю
признательность.
Дублин, Ирландия, сентябрь 1969 г.
ГАРРИ Л. ВАН ТРИС
Список литературы
1. V a n Trees H. L. Detection, Estimation, and Modulation Theory, Pt. I.
Wiley, New York, 1968.
Ван Трис Г. Л. Теория обнаружения, оценок и модуляции, т. 1. Теория
обнаружения, оценок и линейной модуляции. Пер с англ. под ред. проф.
В. И. Тихонова. «Сов. радио», 1972.

1. ВВЕДЕНИЕ
Эта книга — вторая из четырехтомной монографии. Цель
монографии — дать единый подход к решению задач теории обнаружения,
оценок и модуляции. В данном томе рассматривается ряд различных
областей, но центральное место занимает проблема оценки
аналогового сигнала, наблюдаемого после линейного преобразования и при
наличии шума.
В этой главе кратко обсуждаются три вопроса. В § 1.1 дан обзор
первого тома с тем, чтобы показать место излагаемого во втором томе
материала в общем строю монографии. В § 1.2 изложен тематический
план второго тома. Наконец, § 1.3 поясняет построение материала
книги.
1.1. Обзор первого тома
Во введении к первому тому была намечеца классификация задач
теории обнаружения, оценок и модуляции и рассмотрен ряд
физических ситуаций, в которых эти задачи встречаются.
Изложение основного материала в первом томе начинается с
подробного рассмотрения классической теории обнаружения и оценок.
В классической задаче пространство наблюдений является
конечномерным, тогда как в большинстве интересующих нас задач результат
наблюдения — это некоторое колебание, которое необходимо
представлять в бесконечномерном пространстве. Все основные идеи
обнаружения сигнала и оценки его параметров развиты в классическом
контексте.
В гл. 3 первого тома были рассмотрены вопросы представления
сигналов в виде рядов. Такое представление дало возможность
перекинуть мост между классической задачей и задачей обнаружения и
оценки сигнала прямым способом (в бесконечномерном
пространстве). Материал 2-й и 3-й глав используется как исходный для
изложения того круга задач, классификация которых была дана в гл. 1.
В первой части гл. 4 первого тома рассмотрены задачи
обнаружения и оценки параметров известного сигнала на фоне гауссова шума.
Во второй части 4-й главы рассматриваются сигналы с неизвестными
параметрами на фоне гауссова шума. Результатами этой главы
завершается рассмотрение задач теории обнаружения и оценок, которые
относятся к первым двум уровням сложности в той иерархии задач,
что была намечена* в гл. 1.
В гл. 5 первого тома начинается рассмотрение теории модуляции
(или оценок непрерывных сигналов). После установления модели для
15

задачи выводится система интегральных уравнений, которая
определяет оптимальный демодулятор. В гл. 6 рассмотрение ограничивается
задачей линейного оценивания. В рамках этой задачи можно решить
необходимые интегральные уравнения и найти структуру
оптимального приемника. С целью детального рассмотрения этой задачи
используется метод решения, разработанный Винером и Кальманом—
Бьюси.
Следующим этапом изложения является теория нелинейных
оценок и именно с этого момента начинается основной материал второго
тома.
Прежде чем приступить к рассмотрению вопросов, составляющих
содержание второго тома, следует вновь подчеркнуть, что материал
5-й и 6-й глав первого тома дает основные исходные сведения для
изучения материала, излагаемого в этом томе.
1.2. Тематический план второго тома
В этой книге рассматриваются четыре основные проблемы.
Последовательность их изложения такова, что постановка каждой
последующей проблемы мотивируется и логически вытекает из
рассмотрения одной или нескольких предыдущих. Первоначальная наша цель
состоит в том, чтобы показать, как результаты теории оценок
непрерывных сигналов, изложенные в гл. 5 первого тома, можно
использовать для решения задач нелинейной оценки.
Первая задача, представляющая интерес, иллюстрируется рис. 1.1.
Сообщение a (t), являющееся выборочной функцией нормального
случайного процесса, от источника аналоговых сообщений посту-
Источник непрерывного
аналогового сообщения
aft)
—**
Безынерционный
модулятор
Xnft)
%a(t)JL Г "
—^J _f- ι—^Приемник
^-JrMl
aft)
Рис. 1.1. Схема передачи сообщений при непрерывной безынерционной модуляции.
пает на вход модулятора, на выходе которого формируется
сигнал s(t, α (ή), передаваемый затем, как показано на рис. 1.1.
Передаваемый сигнал принимается на фоне нормального шума,
независимого от сообщения и имеющего нулевое среднее. Принимаемое
колебание записывается в виде
r(Q=s (t, α (ή) + п (0, Tt < t < Tf. (1)
Приемник осуществляет наблюдение (измерение) колебания г (ή и
формирует оценку сообщения, обозначаемую нами через α (ή. Задача
заключается в построении (синтезе) оптимального приемника и
анализе его помехоустойчивости.
Первоначально эта задача была сформулирована в гл. 5 первого
тома, где и были выведены уравнения, определяющие оптимальный
приемник. Если сигнал s (t, α (ή) является линейным функционалом
16

сообщения α (ή, то дело сводится к задаче линейной оценки, которая
была подробно рассмотрена в гл-. 6 первого тома.
Первой задачей, рассматриваемой в данной книге, является зада-,
ча синтеза оптимального приемника для случая, когда s (t, a (t)) есть
нелинейный функционал a (t). Решение этой задачи в совокупности с
детальным рассмотрением вопросов линейной оценки в гл. 6 первого
тома дало бы нам законченное, исчерпывающее изложение проблемы
оценки параметров непрерывных сигналов. К сожалению, как было
отмечено при рассмотрении задач нелинейной оценки параметров в гл. 4
первого тома, затруднительно сделать полезные утверждения общего
порядка. Более плодотворный подход заключается в выборе частной,
конкретной нелинейной схемы и ее подробном исследовании.
Поскольку детальное рассмотрение сопряжено со значительными
трудностями, целесообразно выбрать задачу нелинейной оценки, которая часто
встречается на практике и решение которой представляет большой
интерес. Этому требованию отвечает, например, задача, в которой
подлежащее оценке колебание соответствует мгновенной фазе или частоте
синусоидального сигнала.
Задача оценки фазы или частоты синусоидального сигнала
встречается в двух общих областях. Первую область можно было бы
назвать проблемой синхронизации. С одним примером из этой области
мы встречались в § 4.4 первого тома при рассмотрении цифровых
систем связи. В этом случае двоичная информация передается посылкой
либо сигнала γ2Ρ sin ((oct + θ (t))y либо сигнала— Y2Psin (ω0ί +
+ θ (ή) в течение Τ секунд. Фаза высокочастотного генератора
передатчика на Т-секундном интервале времени остается практически
постоянной, но на более продолжительных интервалах ее нельзя
считать постоянной. Было показано, что если на приеме возможно
восстановление опорной фазы, то вероятность ошибки может быть
снижена. Задача общего типа, связанная с необходимостью
синхронизации двух генераторов, встречается во многих ситуациях. Для многих
прикладных аспектов проблемы синхронизации вариация фазы
является нежелательной. Чтобы сделать изменение фазы возможно
меньшим, используются стабильные генераторы. Это означает, что фаза
θ (/), которую необходимо оценить, обычно является процессом с
медленно изменяющимися параметрами. Во многих представляющих
интерес случаях (например, слежение за фазой генератора,
установленного в движущемся космическом корабле), процесс изменения
фазы содержит нестационарную (или переходную) компоненту.
Генератор, движущийся с постоянной скоростью, характеризуется
линейно нарастающим набегом фазы (θ (ή = kf).
Вторая область связана с проблемой угловой модуляции. В этом
случае аналоговая информация передается изменением фазы или
мгновенной частоты генератора. Идея угловой модуляции известна
давно (см., например, работу Армстронга [1] или Карсона и Фрая
[2]). В этом случае фазу или частоту изменяют намеренно с целью
передачи информации. Благодаря передаче модулируемого по углу
(т. е. по фазе или частоте) сигнала, ширина спектра которого
существенно больше, чем ширина спектра сообщения, мы рассчитываем по-
17

лучить среднеквадратическую ошибку оценки сообщения, которая
меньше, чем в случае системы линейной модуляции. В некоторых
случаях процесс изменения фазы является медленным. Однако в
случаях, представляющих наибольший интерес, колебание с угловой
модуляцией является широкополосным случайным процессом. Кроме
того, сообщение часто отображается не изменением собственно фазы,
а некоторым линейным функционалом от нее.
Первоначальная наша цель при изучении проблем синхронизации
и угловой модуляции заключается в том, чтобы показать возможные
приложения теории нелинейных оценок. В ряде физических
ситуаций, как будет показано в книге, наша исходная модель,
построенная в рамках теории оценок, не учитыает все существенные
особенности конкретной задачи. Поэтому второй основной задачей нашего
тематического плана является подробное рассмотрение проблем
синхронизации и угловой модуляции. При изучении проблемы
синхронизации рассматриваются все аспекты, которые необходимо учитывать,
приступая к проектированию (синтезу) системы связи. При изучении
проблемы угловой модуляции рассматриваются различные факторы,
которые оказывают влияние на построение и качественные
показатели систем, и дается количественный анализ условий компромиссного
обмена между шириной полосы частот и отношением сигнал/шум.
В конечном итоге исследование проблемы угловой модуляции
приводит нас к «оптимальной» системе угловой модуляции. Если
аналоговое сообщение передается методом угловой модуляции
синусоидального колебания, то такая система осуществляет эту передачу
оптимальным образом. В связи с этим возникает следующий логический
вопрос: если система предназначается для эффективной передачи
аналогового сообщения, то существуют ли другие методы модуляции,
которые превосходят угловую модуляцию по эффективности?
Третьей задачей нашего тематического плана является
сравнительный анализ различных систем передачи аналоговых сообщений.
Важной составной частью этого анализа является вывод выражений для
границ качества любой системы.
В ходе изучения перечисленных тем мы сталкиваемся с
ситуациями, когда развитая в гл. 5 первого тома теория нелинейных оценок
оказывается неадекватной. Этим мотивируется последняя основная
задача нашего тематического плана, которая заключается в
повторном рассмотрении общей задачи нелинейной оценки и изложении двух
других подходов к ее решению.
Итак, книга охватывает четыре основных тематических раздела:
1. Приложение теории оценок по максимуму апостериорной
вероятности к исследованию проблемы угловой модуляции.
2. Подробное исследование проблем синхронизации и угловой
модуляции.
3. Сравнительный анализ различных методов передачи аналоговой
информации.
4. Разработка других методов решения общей задачи нелинейной
оценки.
18

1.3. Краткое содержание второго тома
Как было отмечено, в книге рассматриваются четыре основных
тематических раздела. Первый раздел посвящен приложению теории
оценок по максимуму апостериорной вероятности к решению задачи
угловой модуляции.
Наш подход к рассмотрению этой проблемы сводится к следующим
моментам.
1. Используя результаты гл. 5 первого тома, можно записать
интегральные уравнения, которыми определяется оптимальный
демодулятор для θ (t). Эти уравнения будут нелинейными интегральными
уравнениями, которые в общем случае невозможно решить
аналитическими методами. Далее мы увидим, что нелинейные интегральные
уравнения можно наглядно представить в виде структурной схемы
системы с обратной связью, содержащей нереализуемые фильтры.
2. Задачей следующего этапа рассмотрения является
исследование путей реализации практической системы, которая по
помехоустойчивости близка к указанному нереализуемому демодулятору.
Будет показано, что-для некоторой области изменения фазового угла
(это зависит от уровня сигнала, уровня шума и корреляционной
функции сообщения) можно найти реализуемую с задержкой систему,
которая сколь угодно мало отличается по помехоустойчивости от
оптимальной системы.
3. Наконец, мы убеждаемся, что существует много систем,
которые могут обеспечить хорошее приближение к помехоустойчивости
оптимального демодулятора для различных пределов изменения
параметров. Необходимо отыскать систему, которая приближается
к оптимальной при максимально возможных пределах изменения
параметров.
В гл. 2 перечисленные этапы исследования получают детальное
рассмотрение, результатом которого является структура искомого
оптимального демодулятора. После получения структуры демодулятора
более удобно рассматривать задачи синхронизации и угловой
модуляции раздельно.
В гл. 3 подробно исследуется проблема синхронизации. В гл. 4
и 5 рассматриваются системы угловой модуляции. Как ив гл. 4
первого тома, устанавливается, что пределы помехоустойчивости и
пропускной способности систем проявляются в форме ограничений
отношения сигнал/шум и ширины полосы частот. При наличии этих двух
ограничивающих факторов проводится сравнение оптимальной и
обычных систем. Одним из важных результатов этого раздела
является выражение для границы среднеквадратической ошибки,
достижимой любой системой при передаче аналоговой информации.
В гл. 6 мы обращаемся к рассмотрению важного вопроса: какая
система связи будет наиболее эффективной при заданном источнике
аналоговых сообщений и некоторых ограничениях по ширине полосы
частот и отношению сигнал/шум? Используя результаты гл. 4 первого
Трма, производится сравнение цифровых систем связи, в которых
19

применяется дискретизация и квантование, с оптимальными
системами непрерывной модуляции, рассмотренными в гл. 5 второго тома.
В гл. 7 кратко рассмотрены два других подхода к решению задачи
нелинейной оценки. Оба подхода ведут прямо к синтезу реализуемых
приемников. При одном из этих методов используется критерий
минимальной среднеквадратической ошибки; этот метод позволяет
решить задачу нелинейной оценки для некоторых негауссовых
процессов.
На всем протяжении гл. 7 рассматриваются только каналы с
аддитивным нормальным шумом. В гл. 8 исследуется проблема
передачи аналоговых сообщений по каналам с релеевскими замираниями.
В гл. 9 кратко рассматриваются многоканальные системы и
системы с разнесенной передачей (приемом)1). В заключение книги дается
сводка основных результатов и проспект третьего и четвертого томов.
Х) Системы передачи сообщений по параллельным каналам.— Прим. перев.
Список литературы
1. Armstrong Ε. Η. A Method of Reducing Disturbances in Radio
Signaling by a System of Frequency Modulation. Proc. IRE, 1935, v. 24, p.689—740.
2. Carson J. R., Fry Т. С Variable Frequency Electric Circuit Theory with
Application to the Theory of Frequency-Modulation. Bell Syst. Tech. J., 1937,
v. 16, p. 513.

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ ДЕМОДУЛЯТОРЫ
В этой главе подробно рассматривается важная задача
нелинейной оценки, а именно задача оценки фазового угла, в которой
оцениваемое колебание связано с мгновенной фазой синусоидального
сигнала некоторым линейным оператором (функционалом).
В § 2.1 формулируется модель для системы угловой модуляции.
В § 2.2 обсуждается интуитивный подход к синтезу демодулятора.
В § 2.3 даны уравнения, определяющие оценку сообщения по
максимуму апостериорной вероятности. В § 2.4 эти уравнения используются
для получения структуры оптимального демодулятора. Изложению
процедуры синтеза системы и анализу помехоустойчивости
оптимального демодулятора посвящен § 2.5. В § 2.6 обсуждаются некоторые
практические задачи, связанные с построением реального
демодулятора. Наконец, в § 2.7 подведены основные итоги второй главы.
2.1. Модель системы угловой модуляции
Модель, которая будет использоваться для изучения системы
угловой модуляции, показана на рис. 2.1. Модель системы состоит из
трех частей: передатчика, канала и приемника.
Рассмотрим сначала передатчик. Колебание α (ή — это сообщение,
которое необходимо передать. Предположим, что a (f) является
выборочной функцией нормального случайного процесса с нулевым
средним и ковариационной функцией Ка (t, и). Она пропускается через
линейный фильтр, импульсная характеристика которого есть k (t9 и).
На выходе этого фильтра имеет место колебание θ (t)y которое служит
в качестве входной величины для фазового модулятора.
Передаваемый сигнал записывается в виде
s(U θ (ί)) = >^2Р sin (ωβ ί + θ (0), (1)
где сос—несущая частота, а Р—средняя мощность передатчика.
В системе фазовой модуляции
θ (0 - βα (ή, (2)
где β — индекс модуляции.
В системе частотной модуляции сообщение соответствует
мгновенной частоте передаваемого сигнала. Линейная система при этом
является интегратором:
k(t, u) = dfti-1(t—u)f (3)
21

где df — девиация частоты. В этом случае передаваемый сигнал
можно записать в виде
s(t, 6(/)) = ]/"2Psin l<oet + df jj a(u)du).
(4)
Смысл величин β и df будет показан позднее. В более общей системе
угловой модуляции оператор k (t, и) используется для придания
характеристикам сообщения формы, более пригодной для передачи по
каналу. В данной главе предполагается, что величина k (t, и)
фиксирована, и рассматривается проблема синтеза приемника. В гл. 5
будет исследована проблема оптимизации оператора к (ί, и).
aft)
ait) I
Сообщение |
k(t,u)
Линейный
срильтр
ffftj
)/lPsin(u;ct+0(t)) i„[t)\
Ψα3οθέ?ιά
модулятор
ί -a»M?N—W
ι I
Приемник
Передатчик j Канал j Приемник
Рис. 2.1. Схема передачи сообщений при угловой модуляции.
В канале к сигналу добавляется аддитивный белый нормальный
шум η (f) со спектральной плотностью NJ2. Таким образом,
принимаемый сигнал можно записать в виде
г (О = f2P sin (<dc * + θ (0) + η (t), Tt < t < Tf. (5)
Приемник обрабатывает колебание г (ϊ) с целью получения оценки
сообщения α (ή. Обозначим эту оценку через a (t).
Эта глава в основном посвящена рассмотрению проблемы синтеза
оптимального приемника и анализу его помехоустойчивости. Прежде
чем приступить к изложению этой темы, целесообразно обсудить
некоторые возможные варианты построения демодулятора, которые из
интуитивных соображений представляются нам оптимальными.
2.2. Интуитивный подход к задаче синтеза демодулятора
В этом параграфе рассмотрим некоторые возможные методы
демодуляции частотно-модулированного сигнала. Ради простоты будем
полагать, что сообщение a (f) — модулирующая функция нижних
частот, спектральная плотность которой практически равна нулю на
частотах выше WM Гц. Синтез демодулятора значительно
облегчается, если предположить, что a (f) является синусоидальным
колебанием вида
a (t) = ]/2 sin (2яШ), W < WM.
(6)
При этом мы исходим из того, что если синусоидальное колебание
можно удовлетворительно демодулировать на любой частоте вплоть
до натеысшей частоты спектра сообщения, то можно также демоду-
22

лнровать и само сообщение. Поэтому для синтеза приемника будем
полагать W = Wm- Допустим также, что девиация df велика
(например, df > 10). Передаваемый сигнал запишем в виде
s(t,Q(t)) = V~2Psin\o)ct + df J J/2sin{2nWMи)du\
Y2Psm Ш+ JQ^L-cos (2nWμ t)
(7)
График поведения мгновенной частоты coj (t) передаваемого сигнала
показан на рис. 2.2. Видим, что мгновенная частота изменяется в
пределах озс + у 2df и сос — Y2df.
Один из очевидных методов оценки a (t) иллюстрируется на
рис. 2.3. Принимаемый сигнал пропускают через полосовой фильтр
со средней частотой сос для удаления шумов, лежащих за пределами
полосы пропускания. Полоса
mftj
пропускания этого фильтра
должна быть несколько шире,
чем 2|/"2d/, чтобы
модулированный сигнал не искажался.
Проблема искажений ЧМ сигналов
является важной и
рассматривается в различных работах.
Здесь же мы предполагаем, что
полосовой фильтр выбирается с
таким расчетом, чтобы
обеспечить практически
неискаженную передачу. С выхода полосового фильтра сигнал подается на
дискриминатор. Идеальный дискриминатор — это просто устройство,
выходное напряжение которого пропорционально мгновенной
частоте сигнала на его входе. Примером простого практического ди-
hc+Jtdf
Vrffi/h
Рис. 2.2. График изменения мгновенной
частоты.
Pit)
Полосовой фильтр
Дискриминатор
Фильтр нижних частот
aft)
Рис. 2.3. Обычная система демодуляции ЧМ колебаний.
скриминатора может служить резонансный контур, частотная
характеристика которого показана на рис. 2.4. Напряжение с выхода
дискриминатора далее пропускается через фильтр нижних частот,
подавляющий все составляющие спектра выше WM Гц. При
отсутствии шумов это устройство обеспечивает правильную демодуляцию
сигнала. Можно также показать, что при больших отношениях
сигнал/шум это устройство является практически оптимальным. С
некоторыми усовершенствованиями, направленными на повышение
помехоустойчивости и улучшение характеристики дискриминатора, данная
общая структурная схема демодулятора наиболее широко исполь-
23

зуется в приемниках ЧМ. Однако во многих случаях отношение
сигнал/шум настолько мало, что демодулятор такого типа не
обеспечивает удовлетворительной помехоустойчивости приема. Кроме того,
встречаются затруднения при построении дискриминатора, который
работает в широкой полосе частот.
Рассматривая график изменения мгновенной частоты на рис. 2.2,
можно заметить, что при построении демодулятора не полностью
использована доступная нам информация о входном сигнале. В
частности, допустим, что в момент времени t0 известно, что мгновенная
частота имеет некоторое значение, скажем сог (/0), как показано на
OJi(t}\
0uc+j2cif
ныи
участок
Рис. 2.4. Частотная
характеристика
простого фильтрового
дискриминатора на
одиночном
резонансном контуре.
Cdi(t0+At)
η
i2.dfsin(27rWwt)
r^^CQs(Z7CWMt)At^dfZ!n:WMut
t0 te+dt
t
Рис. 2.5. Кратковременное поведение мгновенной частоты.
рис. 2.5. Тогда в момент времени ί0 + Δ/ нам известно, что поскольку
наивысшая частота сообщения равна Wm Гц, мгновенная частота
с весьма высокой вероятностью примет значение в пределах
<М*0) ±{γ2 df2nWM) Мг)
(8)
Из этого следует, что полосовой фильтр с фиксированной средней
частотой и постоянной большой полосой пропускания (см. рис. 2.3)
можно заменить полосовым фильтром с меньшей полосой
пропускания, но с регулируемой средней частотой. Выход дискриминатора
является оценкой средней частоты, которую обозначим через ω^ (f).
Эту оценку можно использовать для подстройки средней частоты, как
показано на рис. 2.6, а. Качественная картина поведения такой
системы для случая типичной формы колебания иллюстрируется рис. 2.6, в.
Нетрудно усмотреть, что данная система отслеживает мгновенную
частоту. Очевидное преимущество подобного варианта построения
Х) Заметим, что реальное сообщение является процессом, спектр которого
содержит все частоты от 0 до Wм Гц. Поэтому ω^ (/0 + Δ/) не детерминированно
(не функционально) связано с coj (t0), как можно было бы предполагать из рис. 2.5.
24

демодулятора заключается в том, что на вход дискриминатора здесь
поступает меньше шума. Одним из возможных недостатков является
относительная сложность. К этому следует добавить, что если
выходная оценка неверна, то такая система может «потерять» входной
сигнал. Как и в случае обычного демодулятора ЧМ, при реализации
варианта системы со следящим фильтром могут встретиться трудности
с построением дискриминатора, обладающего достаточной точностью
в широкой полосе частот.
-М
\Резонансныи
' контур с
переменной емкости
\ ωιΜ
Дискриминатор
Фильтр
нижних
частот
\
Рис. 2.6. Демодулятор ЧМ колебаний с полосовым следящим фильтром:
а — дискриминатор с обратной связью; б — частотная характеристика резонансного контура
в момент времени to; в — изменение средней частоты контура.
Эффекта следящего полосового фильтра можно достигнуть иным
способом. Вместо использования оценки ω* (ή для перестройки
фильтра ее можно использовать для управления частотой гетеродина,
обеспечивающего понижающее преобразование частоты входного сигнала
до фиксированной промежуточной частоты со//?, в тракте которой
включен узкополосный полосовой фильтр с постоянными параметрами,
средняя частота которого равна номинальному значению
промежуточной частоты. Система этого типа изображена на рис. 2.7. Здесь
оценка мгновенной частоты используется для управления
генератором переменной частоты, выходная частота которого
пропорциональна его входному напряжению1). Значение частоты генератора,
соответствующее нулевому напряжению на его входе — так
называемая частота покоя — сдвинуто относительно несущей частоты сос
сигнала на величину ωιρ промежуточной частоты. Это выходное
колебание смешивается с принимаемым сигналом. Результатом
преобразования является сигнал со средней частотой ωΙΓ, модулируемый по
частоте сигналом ошибки, допускаемой при оценивании мгновенной
1} В дальнейшем будем называть этот генератор управляемым генератором
(УГ) или гетеродином.
25

частоты входного сигнала. Выходное колебание дискриминатора
складывается из напряжения, пропорционального этой ошибке, и шумов.
Для простоты объяснения допустим, что фильтр нижних частот
является интегратором, а шумы отсутствуют. Если ошибка положительна
[т. е. coj (ή < cof (/)], то под ее воздействием сог· (ή будет возрастать
до тех пор, пока не сравняется с ωί (t). В момент равенства ошибка
равна нулю и поэтому выходное напряжение интегратора при
ωί (ή = ω^ (ή остается постоянным. При наличии шума точной
оценки не получается и поэтому в контуре (петле) регулирования всегда
существует сигнал ошибки. Однако даже при наличии шума сигнал
ошибки [ωζ· (ή — сос (ή] стремится сместить оценку в правильном
■JPsi π (со if t+f [oji (и) - ωι (и)] du) + составляющие с частотой 2(ω0 + ωχρ) +шум
\ cjJtj-cuiftl+u/t/M
rft)ssyf2Pnn[uct+
+fbtt)i(t]dt]+ui(/M
^Zco$[(uc-culF)t+S GJifujdu] l__J
Рис. 2.7. Система с обратной связью по частоте (ОСЧ).
направлении и ввести систему в режим синхронизации по частоте.
Если принять, что ошибка мала, то ширина спектра модуляции
сигнала по промежуточной частоте будет значительно меньше, чем
ширина спектра передаваемого сигнала, так что перед дискриминатором
можно поставить узкополосный фильтр. Это способствует
уменьшению шума на выходе дискриминатора. Данная схема предложена Чафи
[1, 2] и обычно называется системой с обратной связью по частоте
(ОСЧ) и сжатием спектра. Она подробно рассмотрена в работах [3—
10]. Нетрудно заметить, что главное в ее работе заключается в том,
что гетеродин следит за частотой принимаемого сигнала. По
сравнению с системой, изображенной на рис. 2.6, она более совершенна, так
как легче обеспечить перестройку несущей частоты, чем фильтра.
Другой метод достижения эффекта слежения показан на рис. 2.8.
В этом случае также используется гетеродин, выходное колебание
которого представляет собой синусоидальное колебание с мгновенной
фазой, являющейся оценкой мгновенной фазы принимаемого
сигнала. Выходное колебание гетеродина и принимаемый сигнал
перемножаются в перемножителе, выходное напряжение которого
определяется сигналом, пропорциональным фазовой ошибке, составляющими
удвоенной частоты и шумом. Обозначив выходное колебание
перемножителя через ζ (t), имеем
ζ (t) = уТsin [θ (t) — θ (i)] + члены ~ 2сос + шум. (9)
26
р1*

Узкополосный
фильтр
—»*,

Дискриминатор
-L
иг
Фильтр
нижних
частот
А Г_и\
^COjW
I

Если опять принять, что фильтр нижних частот ведет себя как
интегратор, то нетрудно заметить, что первое слагаемое в (9) будет
вызывать изменение входного управляющего напряжения гетеродина
в правильном направлении при условии, что
\4t) — Q(t)\<n.
(10)
Следовательно, данная система будет отслеживать мгновенную фазу
принимаемого сигнала; это означает, что выходное колебание
гетеродина синхронизировано по фазе с принимаемым сигналом. Поэтому
такое устройство, обычно называемое системой фазовой автоподстрой-
z(t}~{Fsir\(e(t)-Q(t))+JPsin (2u)ct+e(t)+§(t)) + uiyM
Оценка фазы
rft)=yfZPsin(ucb
+0(t))+w(l)
Θ-
Фильтр нижних
частот
sj2cos(cjc + &{t))
УГ
Θ ft)
Сдбиг на
90°
Дифференцирующее
устройство I
Синхронизированное по
фазе синусоидальное
колебание
Оценка
частоты
Рис. 2.8. Система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ).
ки частоты (ФАПЧ), можно также использовать для обеспечения
синхронизированного по фазе опорного колебания (или просто опорной
фазы). Таким образом, система ФАПЧ может применяться как в
области синхронизации, так и в области аналоговой модуляции в
качестве синхронного фазового детектора (СФД) (разумеется,
устройства, изображенные на рис. 2.6 и 2.7, не могут детектировать
фиксированную фазовую расстройку).
Свое первое широкое применение система фазовой
автоподстройки частоты нашла в схемах синхронизации для цветного
телевидения HI, 12]. ФАПЧ используется в целях синхронизации в
большинстве систем космической связи [13—16]. ФАПЧ также находит
применение для демодуляции аналоговых сигналов в системах связи
через ИСЗ [17]. Вопросам применения систем ФАПЧ посвящены
также работы [20—26].
Из рассмотрения трех систем, изображенных на рис. 2.6—2.8,
видно, что общим для них является наличие обратной связи. Цель
нашего первого тематического раздела — показать, как структура
демодулятора с обратной связью логически вытекает из теории
оптимальных оценок, и исследовать помехоустойчивость получающихся
при этом устройств оценки. В связи с этим будет проведен анализ
поведения систем с обратной связью при наличии шума и будут даны
обоснования некоторых интуитивных утверждений, сделанных в настоя-
27

щем параграфе. К этому моменту изложения читатель должен иметь
интуитивное представление о сущности систем фазовой
автоподстройки частоты и систем с обратной связью по частоте и со сжатием
спектра, их назначении и характере работы.
2.3. Оценки по максимуму апостериорной вероятности
В этом параграфе дадим краткий обзор результатов, полученных
в п. 5.2.2 первого тома. Структура модулятора показана на рис. 2.9.
Фазу колебания запишем в виде
Tf
θ(ί)= ^k(t, u)a{u)du, Tt^t^Tj. (11)
На выходе фазового модулятора имеем
s(t, 0(/)) = ]/2Psin(coci + 0(O), Ti^t^Tf. (12)
Предполагается, что аддитивный шум является выборочной функцией
нормального белого шумового процесса, спектральная плотность
которого равна NJ2. Таким образом,
г (/) = ь (U θ (0) + η (0, Tt < t < Tf. (13)
Требуется найти оценку сообщения a (t) по максимуму апостериорной
вероятности на интервале Tt < t ^ Tf.
aft)
к ft, и)
Фазовый модулятор
J2Psix\((uct+Q(t))
Рис. 2.9. Фазовый модулятор.
Здесь непосредственно применимы соотношения, приведенные на
стр. 507 первого тома. Так как шум белый, то в (5.57) первого тома1)
rg(z)-g(z) = (2IN0)№-s(z, θ(2))). (И)
Заменяя везде ~х (·) на θ (·), видим, что (1 — 5.59) превращается в
a(t)
где
1_ i:±^MLka(t9 Z)(r(z)-S(29 $(z)))dZ, Г,<*<Г„
No .) дй(2\
No J^ a§(2) (15)
Tf
К (f, z) A 5 k (z, у) Ка (f, у) dy, Tt < г, t < Tf. (16)
Ti
1) В последующем для формул и рисунков первого тома будем применять
тройное обозначение, в котором первая (римская) цифра указывает номер тома^, а
следующая за ней — номер главы. Последние цифры составляют порядковый номер
формулы или рисунка в главе. — Прим. ред.
28

Данное уравнение соответствует нереализуемой структурной схеме,
изображенной на рис. 2.10. Эта схема представляет собой частный
случай структуры, показанной на рис. 1—5.8. Для интересующей нас
системы угловой модуляции
s(t, Q(t)) = y 2Psm(a>et + e(t)),
as(*'6W) = γ2Ρ cos (<dc < + θ (0).
(17)
(18)
rftj
±*аЫ
ds(t,6ft)}
deft)
s(t,Bft)j
Генератор сигнала
0(t)
kft,u)
aft)
a(t)
Рис. 2.10. Нереализуемая структурная схема алгоритма оценки по максимуму
апостериорной вероятности.
Тогда (15) обращается в
Ti
χ [r(z) — Y2Psm (ω0ζ +Ъ(г))] dz, Tt<t< Tf. (19)
В общем виде решить (19) точно, не прибегая к численным методам,
невозможно. Заметим, что (19) пришлось бы решать всякий раз, когда
происходит прием колебания г (t). В следующем параграфе будут
разработаны некоторые приближенные методы решения, которые
поддаются практической реализации.
2.4. Структурные схемы оптимальных демодуляторов
Сначала произведем синтез структуры оптимального
демодулятора, а затем оценим его помехоустойчивость. Все рассуждения
относятся к частному случаю общей задачи угловой модуляции, которая
была сформулирована в § 2.1. Для определенности будем полагать, что:
1. Интервал наблюдения имеет бесконечно большую протяженность
во времени (т. е. Tt -> — оо и Tf->- оо). Это предположение вполне
логично, так как в большинстве систем угловой модуляции интервал
наблюдения действительно велик.
2. Сообщение α (ή является выборочной функцией стационарного
процесса с энергетическим спектром Sa (ω).
3. Фильтр с переходной функцией k (t, и) имеет постоянные во
времени параметры и передаточную функцию К (/ω).
29

Из этих допущений следует, что фаза θ (/) — стационарный
процесс со спектральной плотностью
5θ(ω) = |^(/ω)|25α(ω),
*β(/ω) = /Η/ω)5α(ω).
При этих допущениях выражение (19) сводится к
со
а (/) = ~ Г ka (t - и) tyWzos (coc и + О (и))]
™0 J
(20)
(21)
X
X [г (и) —γ2Ρ sh\((ueu+ θ (и))] du, — оо <f < оо
(22)
(вспомогательную переменную ζ мы здесь заменили на и). Если теперь
ввести обозначение
*1и (и) Δ VTcos ((ос и л. о (М)) [г (М) _ J/2P sin (ωοи + б ("))]> (23)
то (22) примет вид
^)= ^f~ Jfta(* —")*/ιι(")
ώ/.
(24)
Этот интеграл — известный интеграл свертки, описывающий
линейную систему с импульсной реакцией ka (τ) и входом гы (t). С
учетом указаных замечаний получим стуктурную схему, представлен-
rfthj2Psin(u>ct+ffft)hnft)
- ——-———К+
}/2№(ω^+β№))
zw(t)
ArffW
1 2^
No
aft)
Нереализуемый, Усиление
линейный
фильтр
3
Генератор
переменной фазы
Bit)
Рис. 2.11. Нереализуемый оптимальный демодулятор.
ш
ную на рис. 2.И1). Очевидно, что рис. 2.11 есть просто частный
случай рис. 2.10. На эту связь между системами ФАПЧ и устройствами
оценки по максимуму апостериорной вероятности впервые указали
Лиган и Парке [18]. Очевидный недостаток структурной схемы
рис. 2.11 состоит в том, что внутри контура (петли) содержится
нереализуемый фильтр.
Х) Подстрочным индексом «/» обозначен сигнал в петле (англ.loop), а «и»
указывает на иереализуемость (англ. unrealizability) системы. — Прим. перев.
30

Если петля соответствовала бы линейной системе, то можно было
бы предложить следующий выход из положения. Фильтр в петле
можно было бы сделать реализуемым, а после петли дополнительно
ввести нереализуемый фильтр (см. стр. 585 первого тома).
Тогда можно было бы аппроксимировать данную систему сколь
угодно точно, допустив задержку в работе той части схемы, которая
находится после петли.
В нелинейном случае представляется заманчивым попробовать
такой же подход, а затем рассмотреть вытекающие из него следствия1).
Поэтому рассмотрим демодулятор, показанный на рис. 2.12. Фильтр
в петле — реализуемый линейный фильтр с постоянными во времени
rft)
Tvx
L——Г7<
fftrW
y/2cos(Cb>ct+&r(t})
Генератор
переменной
фазы
Brft)
■» ■ о
Brit)
<?pu(*>
Suit)
V?Psin(u>ct+0rft))
Рис. 2.12. Приближение к оптимальному демодулятору, реализуемое при
допущении запаздывания.
параметрами, импульсную переходную функцию glr (τ) которого мы
определим позднее. Фильтр после петли — нереализуемый линейный
фильтр с постоянными во времени параметрами, импульсную
переходную функцию которого также определим позже.
Отметим, что сигнал, подаваемый по цепи обратной связи на
генератор переменной фазы, не является оценкой 0 (/). Обозначим его
через Qr (t). Точно так же нет гарантии, что процесс на выходе
фильтра, стоящего после петли, является сообщением a (t)> поэтому
обозначим выход этого фильтра через аи (ή.
Нас прежде всего интересует влияние системы рис. 2.12 на
сообщение α (ή. Для исследования этого влияния необходимо получить
математическую модель системы, которая описывает требуемые
соотношения между входом и выходом в возможно более простой форме.
В рассматриваемой конкретной системе соотношения между входом и
выходом можно описать при помощи нелинейного
дифференциального уравнения. Чтобы отыскать это дифференциальное уравнение,
выведем структурную схему, входами которой являются а (/) и π (/),
а выходами —Ъг (t) и аи (t). Реальные физические устройства из
рассмотрения исключаются. Это будет модель полной системы
(включая передатчик, канал и демодулятор). Коль скоро модель такого
типа получена, можно исследовать влияние gir (τ) и gPu (τ) на
сообщение a (t) гораздо проще.
0 Следует подчеркнуть целесообразность подобного метода. Наша цель —
найти практическое инженерное приближение к оптимальному устройству
оценки. В гл. 7 рассмотрены два более строгих метода, которые приводят к такому же
результату.
31

Синтезируем теперь эту модель. Два предварительных замечания
позволят упростить выкладки. Прежде всего запишем
г (t = Y2P sin (сос t + θ (ή) + n (/), (25)
zlr(t) = V2cos((uct + %(t)) [Y2Psm((octi-e(t)) +
+ n(t)-V2Psm((uct +Θγ (<))]· (26)
Раскрывая квадратные скобки и используя стандартные
тригонометрические соотношения, получаем
ztAt) ^ V^ ^ [Q (t)-К (t)]+n(t)V2 cos {ωαί+θΓ(^)) +
+ VTsm(2aJ + Q(t) + er(t))-YPsm^J + 2Qr(t))· (27)
Теперь предположим, что фильтр с импульсной переходной
функцией gir (τ) имеет полосу пропускания, определяемую спектральной
плотностью случайной фазы θ (/). Ширина этой полосы будет гораздо
меньше 2сос. Следовательно,
составляющие, которые соответствуют последним
двум слагаемым в (27), через фильтр не
пройдут и с ними можно не считаться.
-^ ^ Поскольку сигнал через фильтр не прохо-
Ν дит, можно с полным правом исключить
ветвь обратной связи из реальной струк-
Sn(f)\ N£
2
■wN
Рис. 2.13. Спектральная
плотность низкочастотного турНОЙ схемы
шума.
Рассмотрим теперь второе слагаемое в
(27). Запишем шум через его квадратурные
оставляющие
п (0 = Ϋ2 \-пх (/) sin (ω, t) + n2 (/) cos (ω, t)],
(28)
где пг (t) и η2 (t) — выборочные функции из независимых нормальных
процессов, имеющих спектры нижних частот, показанные на рис. 2.13.
Здесь Wn предполагается большой но сравнению с шириной полосы
модулируемого сигнала, но малой по сравнению с сос. Обозначим
второе слагаемое в (27) через п' (ή. Тогда, пренебрегая членами с
удвоенной частотой, получаем
п (t) = πλ (t) sin 0r (t) + n2 (t) cos ΘΓ (t).
(29)
Теперь необходимо показать, что для хорошей аппроксимации
следует п' (/) моделировать в виде выборочной функции нормального
процесса с нулевым средним, статистически независимого от θ (ή.
32

Определение n'(t)ly>
Прежде всего отметим, что, вообще говоря, на значение величины
6>г (t) в момент времени t оказывают влияние величины θ (и) и η (и)
при всех и ^ t. В практических схемах всегда будет существовать
некоторая задержка в петле обратной связи. Одним из источников
этого запаздывания является постоянная времени в управляемом
генераторе. В большей части нашего анализа мы пренебрегаем этой за·
держкой, но в данном случае предполагается, что существует
бесконечно малая, но отличная от нуля задержка. При таком допущении на
ΘΓ (f) оказывает влияние только θ (и) и η (и) при а < t (мы сняли
знак равенства). Во-вторых, заметим, что при большой величине
Wn процессы пх (t) и п2 (t) являются практически белыми:
Кпг (*, U)^Knt (*, U) = -^- δ (t-U).
(30)
Из этих двух замечаний следует, что в любой момент времени tx
случайная величина Ът (tx) статистически независима от случайных
величин пх (tx) и пг (ti).
Рассмотрим теперь значения процесса п' (t) в произвольные
моменты времени {tlt t2, ..., fa}. Величина К может принимать любое
целочисленное значение и
*1<*«<*8-<А<·
Обозначим эти случайные величины через вектор п':
η'Δ
V (tj
η' (t2)
(31)
(32)
Li'Vk).
Если можно доказать, что п' — нормальный случайный вектор, то
η' (ί) — нормальный случайный процесс [27]. Это утверждение
обратно свойству 4, сформулированному на стр. 221 первого тома.
Кроме того, необходимо показать, что вектор η' (ή статистически
независим от процесса θ (t)> Для доказательства этой независимости
рассмотрим процесс θ (ή в те же самые моменты времени {tl9 t2, ...,
ίχ). Обозначим соответствующие случайные величины через вектор
θ (ω
ΘΔ
1_θ(*κ).
(33)
) В основе этого вывода лежит идея, принадлежащая Витерби [19].
Процедура вывода носит прямой характер, но связана с использованием принятой
в [19] системы обозначений. Многие читатели сочтут, что проще перейти
непосредственно к (44) и прочитать остальную часть этого параграфа, прежде чем педроб-
но изучать данный вывод.
33

Запишем теперь совместную характеристическую функцию векторов
п' ив:
Мп >, θ (/ν, /и) - Ε [exp (jyT η' + /V Θ)] =
exp ( | jvt ri (tt) + 2 /«m θ ω)1 · (34)
\t=l m=l /J
Докажем справедливость равенства
Μη', θ (/ν, /u) - Λίη, (/ν) Μθ (/u) (35)
и покажем, что Λίη', (/ν) — характеристическая функция
нормального случайного вектора. Заметим, что достаточно использовать один
и тот же ряд моментов времени отсчетов для процессов п' (t) и θ (/),
так как и эти моменты времени и число К — произвольны.
Используя (29) и (32), имеем
Г / к г
ехр 2 jvi[n1(ti)smQr(ti) +
Мп> θ(/ν,/ϊι)=·£
\i= 1
+ я2&)cos§,.&)]+ 2 jumB(tm))
я»=1 /
(36)
Математическое ожидание есть среднее по 4/С-мерной совместной
плотности вероятностей величину (ίλ), ..., пх (tK), л2(^), ..., п2 (^),^Г(У, ...,
ΘΓ (/κ)> θ (*ι), ..., θ (*κ)· Запишем эту плотность в следующем виде:
Pnlt η2,θΓ,θ(Νι>Ν2>θ> θ) =
= ^/ι1(ίκ)·/ι2<ίκ)ΐ'δΓ</κ)·θ(/κ)· Vk-i* θ(^) (Λ^!, Λ^2|θ^, ..., θχ)χ
Χ Ρ\νκ)β(ίκ), n1(tK_l) θ (Μ (θΚ| ΘΚ, iVi, Κ__ ι , ...,Θ^Χ
Χ Рыж), «i('jc-i) θ(/4) (Sic, Λ/ι,κ_ι, ..., θχ). (37)
Теперь две случайные величины в первой плотности независимы от
обусловливающих их величин. Используя (36) и (37), получаем
оо оо Г оо
mt,',b(Jv> /°) '-= S '" S SS exp(jv1NiKsinQK +
— оо —оо L — °°
+ jv1N2K£os'QK)pniitK),nt(tK)(NiK, Ν2κ)άΝ\ΚάΝ2Α Χ
\m=l /J
X
exp 2 M* f^u sin6* + N*t cos ΘΛ)
ХрЪ^Ю Ιθ W.V'k-ι) θ^ι> (θκ|θκ» #1. /с -ι,..., θχ) Χ
χ Pe {tK), nl{tK_o θ {tl) $κ> Νι.κ-ι, -,βι)Χ
XdQKdQKdNltK^l ...dQv (38)
34

Выполнив интегрирование по NlK и N2K, найдем
ехр
OfjV\ 51Π2ΘΚ
ο2Ν υ\ cos2\
:exp
°NVl
(39)
Заметим, что Ък отсутствует в правой части (39), так что интеграл по
Ък равен единице. С учетом сказанного
Mn>QUv> /u) = expl —I ··· ехр I Д] Μ" [#ιί sin 6*+
2
+ Λ^ cos θ,·] ] ехр ( 2 /"m θπ
\m=l
Χ
χ (Ni, κ- ι, ..., θχ) χ dQKdNitK-i ... £/θχ.
Теперь мы имеем (3/С + 1)-мерную совместную плотность
эту процедуру для nL(tK-.\)> ла (*κ-ι)» θ (^-ι)> ···
повторений получим
(9 \ оо оо
~~2~*Ту/ J '" J ехР(/"иГв)
ОО ОО
ΧΡθ(^) θ^Λ""' θι)^θι···^·
Интеграл в (41) есть просто Me (/u) по определению. Итак,
^η'θ (/ν, /и) = Мп> (/ν) Λί6 (/u),
θ (/ι
Χ
(40)
Повторим
После К
Χ
г
ν ν
(41)
(42)
(43)
что и требовалось доказать. Следовательно, п' является нормальным
случайным вектором, компоненты которого статистически не зависят
друг от друга и от θ (t). Поэтому η! (t) можно моделировать как
независимый белый шум со спектральной плотностью NJ2.
Используя (27) и (29), получаем, что выход перемножителя равен
zlT(t) = VP nn[Q(t)-$r(t)]+n' (f),
(44)
где второе слагаемое — белый шум, независимый от θ (/).
Таким образом, модель реализуемой аппроксимации можно
представить в виде структурной схемы, изображенной на рис. 2.14.
Видим, что по отношению к сообщению a (t) эта схема ведет себя как
нелинейная система с постоянными во времени параметрами, на которую
воздействует аддитивный белый шум, независимый от сообщения.
Теперь имеется несколько различных путей исследования. Можно
попытаться проанализировать нелинейную систему непосредственно.
Преимущество такого подхода заключается в том, что если бы мы смог-
35

ли провести такой анализ, то имели бы лучшее представление о том,
как работает данная система. Недостатком этого метода является то,
что в общем виде анализ затруднителен (если не невозможен).
Второй возможный путь дальнейшего исследования — провести
более ограниченный анализ модели, а именно в ее линейной области,
и получить некоторое представление об условиях, при которых система
начинает вести себя как нелинейная. Мы сначала пойдем по второму
пути, а в гл. 3 вернемся к рассмотрению нелинейной задачи.
Нелинейная
безынерционная
операций $г(±)
Рис. 2.14. Модель системы передачи сообщений при угловой модуляции.
На данном этапе изложения нам необходимо получить два
результата:
1* Показать, что средиеквадратическое значение ошибки
ett(t)Aa(t)-^(t) (45)
удовлетворяет нижней границе, выведенной в гл. 5 первого тома,
со знаком равенства при отношении сигнал/шум выше некоторого
значения»
2. Найти приближенное выражение для той области, где
справедлив линейный анализ.
Нелинейное поведение нашей модели обусловливается
синусоидальным сигналом. Можно записать
sin^(o=^(o-4r+4r+·- (46)
Теперь, если бы значение егг (t) было малым, то
smelr{i)~elr{t). (47)
Если бы a (t) и п! (ή были детерминированными функциями, то
основываясь на знании их относительных амплитуд и частот, а также
характеристик фильтров и коэффициентов передачи в петле обратной
связи, можно было бы высказать некоторые позитивные суждения об
условиях, необходимых для того, чтобы гарантировать
справедливость приближения (47). Однако α (ή и п' (t) — случайные цроцессы
и поэтому любое утверждение можно сделать только в вероятностном
смысле. Поскольку eXr (t) — случайная функция, мы первоначально
используем Ε [eb (t)\ как меру справедливости аппроксимации. Итак,
если
Ε [eb (Щ<о1 (48)
36

то предполагается, что система работает в линейной области. Оставив
Ос в качестве параметра при большинстве наших вычислений, мы
тем самым сохраним некоторую степень свободы. Позднее будет
выяснено, что для справедливости линеаризованного анализа
необходимо, чтобы значения σ| были в интервале 0,2—0,3 рад2.
n'ft)\
Малый
сигнал
Рис. 2.15. Линеаризованная модель системы.
Теперь исходная нелинейная модель сведена к линейной модели,
структурная схема которой показана на рис. 2.15. Далее нам
необходимо рассмотреть вопросы синтеза фильтров и результирующей
помехоустойчивости системы.
2.5. Синтез системы и оценка ее помехоустойчивости
Предварительно полезно напомнить некоторые результаты из
§ 5.3 первого тома.
1. Всегда существует нижняя граница среднеквадратической
ошибки, достижимая любой оценкой сообщения α (ή.
2. Если любая оценка может достигать этой границы, то и оценка
по максимуму апостериорной вероятности может ее достичь.
3. Если оценка по максимуму апостериорной вероятности
достигает нижней границы, то она одновременно является и оценкой по
минимуму среднеквадратической ошибки.
Эти результаты предполагают следующую процедуру:
1. Выбираем £ζΓ(τ) и gPu (τ) так, чтобы средний квадрат ошибки
оценивания
lu&E[~el{t)}=E{[au{t)-a{t)Y
(49)
был минимальным.
2. Затем сравниваем 1и с нижней границей любой оценки,
вычисляемой как_в случае 2 на стр. 517 первого тома.
3. Если ошибка 1и равна границе, то7ги (t) одновременно
является оценкой по максимуму апостериорной вероятности и оценкой по
минимуму среднеквадратической ошибки, а рассматриваемый
демодулятор — оптимальным.
Выполним теперь эту процедуру.
37

2.5.1. Вывод выражения для нереализуемой среднеквадратической
ошибки
С точки зрения соотношения между α (ή иЪи (t) по входу и выходу
системы линеаризованную модель можно перечертить, как пока-
зано«на рис. 2.16. Теперь
Sn-(<i>) = N0/2P. (50)
Обозначим передаточную функцию замкнутой петли через Hir (/ω):
yPGirUa,)
Hir (/ω) =
1 + Λ/PGir (/ω)
(51)
aft)
π +Χι"\
Ι \θμ^
m
+
Ι_
JPGir(Jb))
ΛθΓΜ
Ш j—_3S
Ори fj ω)
а и ft]
ι ι. φφ->
I
Рис. 2.16. Модель системы по входу и выходу.
Пропуская шум через линейный фильтр и используя передаточную
функцию замкнутой петли вместо самой петли, получаем систему,
изображенную на рис. 2.17. Теперь
S/x'// (ω) =
Wo
2Р | К (/ω) Ρ
(52)
Далее необходимо выбрать Ηir (/ω) и GPu (/ω) такими, чтобы сред-
неквадратическое отклонение между аи (t) и α (ή было минимальным.
Однако это знакомая нам задача нереализуемой фильтрации, изло-
\n"'(t)
Рис. 2.17. Эквивалентная модель системы по входу и выходу.
женная в § 6.2.3 первого тома. Используя формулу (I—6.119), видим,
что оптимальная результирующая передаточная функция системы
равна
Sa (ω) _ Sa((o)
Нои (/ω) -Sa(u>)+Sn„ (со) S~m~+(N0i2PΙ Κ №) |·)
Поэтому потребуем, чтобы
| К (/со) l2Sa(co)
K(MlHlr(MGPu(M)o
\K(j(*)l*Sa(<d) + (N0/2P)
38
(53)
(54)

Подстрочным индексом «о» отмечено то обстоятельство, что степень
фильтрации является оптимальной. (Заметим, что в рамках
настоящего рассмотрения /((/ω) считается фиксированной.) Таким образом,
[Н1г (/со) Gpu (/ω)]0 = *'(ft»S°(e» . (55)
Средний квадрат ошибки определяется формулой (6.124) первого
тома
? S. «»)*„, (ω) ^
" J Sa(W)+Srt„,((o) 2π
или, учитывая (52),
оо
е" 2Р J
5α(ω) cfa>
|^(/«)|2Sa(w)+(A/0/2P) 2я
(57)
Для оценки нижней границы используем выражения на стр. 517—
518 первого тома. Эта задача представляет собой простую комбинацию
примеров 1 и 3. Используя выражение (I—5.117), получаем
оо
Ъи^ J Sa(cu)+S„,„(«) 2π '
— σο
где правая часть совпадает с правой частью (56). Следовательно,
наша оценка является эффективной, а аи (f) — одновременно оценкой по
максимуму апостериорной вероятности и оценкой по минимуму сред-
неквадратической ошибки. Поэтому в любом случае, когда
справедливо линейное приближение, существуют оптимальный демодулятор
и выражение для результирующей среднеквадратической ошибки
демодуляции.
Заметим, что передаточные функции двух фильтров нами еще не
определены; определено только произведение их передаточных
функций. На следующем этапе изложения мы воспользуемся свободой,
предоставляемой нам этим обстоятельством.
2.5.2. Синтез фильтра
Все наши результаты основываются на предположении, что
Elel(t)] = E[[Q(t)-Qr(t)]2) (59)
мало. Из этого следует, что фильтр в петле необходимо выбирать с
такой функцией gir (τ), чтобы Ε [efr (/)] было минимальным. Будем
называть такой фильтр оптимальным фильтром в петле, а
соответствующую импульсную переходную функцию помечать подстрочным
индексом «o»—glro (τ).
39

Если результирующая среднеквадратическая ошибка
удовлетворяет условию (48), то линейное приближение справедливо и
оптимальный демодулятор существует. В связи с этим возникают два вопроса:
1. Если существует какой-либо фильтр петли, такой, например,
что Ε [e2ir (t)] = 0,10, то стоит ли стремиться к оптимальному
фильтру, если среднеквадратическая фазовая ошибка, получающаяся при
его использовании, равна, скажем, 0,02?
2. По-видимому, мы выбираем фильтр петли с таким расчетом,
чтобы линейное приближение было справедливым. Но может быть вся
система работала бы лучше, если бы модель петли вела себя
нелинейно?
ffft) -f Vw> elr(t)
Рис. 2.18. Другой варилнт линеаризованной модели системы.
На первый вопрос имеется два ответа. Во-первых, независимо от
своего среднеквадратического значения величина etr (t) всегда будет
достаточно большой, чтобы предположение о линейности время от
времени нарушалось. Делая дисперсию как можно меньшей, мы лишь
пытаемся минимизировать вероятность подобных событий. Во-вторых,
предположим, что некоторое значение дисперсии σ? гарантирует
линейность модели, а оптимальный фильтр петли дает дисперсию, равную
σ?/4. Можно показать, что в этом случае передаточную функцию
К (/ω) можно изменять, увеличивая тем самым дисперсию ошибки
петли вплоть до о\ (и тем не менее используя при этом оптимальный
фильтр в петле). Это изменение должно повлечь за собой уменьшение
ошибки демодуляции сообщения 1и.
Чтобы ответить на второй вопрос, вспомним результат (58). Было
показано, что коль скоро ФАПЧ работает как линейная система, она
дает оценку сообщения по минимуму среднеквадратической ошибки.
Поэтому в нелинейном режиме она не может работать лучше.
Выполним теперь намеченную процедуру. Перечертим реализуемую
часть структурной схемы рис. 2.16, как показано на рис. 2.18.
Ошибка eir (t) здесь показана в явном виде. Штриховой линией
обозначено, что данная операция является частью общего анализа.
Передаточная функция замкнутой петли между θ (ή и ΘΓ (ή равна
ΗιΛΜ-
VPGlr(j(u)
1 + 1/PGir (/ω)
(60)
40

Необходимо выбрать такую Gir (/ω), чтобы E\le2ir (t)] [было
минимальным. Это эквивалентно утверждению, что необходимо, чтобы НХг (/ω)
была передаточной функцией оптимального линейного фильтра для
оценки θ (/). Но это известная задача линейной фильтрации Винера,
которая решена в § 6.2 первого тома1). Так как шум является белым,
можно использовать более простую форму выражения (I—6.141)
Hlro(H=l
УЛУ(2Р)
jSe((D) + (tf0/2P)]H
где
Se(<D) = Se(<D)|/((/<D)|
(61)
(62)
Передаточную функцию оптимального фильтра петли теперь получить
не представляет труда. Из (I—6.174) и (I—6.175) имеем
Π (u(i\ — Hlro (у0))
1
(,'_2P У/2
Vp U n<
50(co) +
2P
(63)
Как было показано в § 6.2.5 первого тома, передаточная функция
Gir0 (/ω) фильтра петли имеет такие же полюсы, как [Sq (ω)]+,
поэтому этот фильтр является устойчивым реализуемым фильтром.
Используя (61) в выражении (55), получаем единственное решение для
фильтра после петли:
. [#zr 0*ω) GPl4 (/ω)]ο _
Gpuo (/ω)
Hiro (/ω)
Χ*(/ω)$α(ω)
[SQ (ω)+(Ν0/2Ρ)]~ {[SQ (ωχ+ (NQ/2P)]+-yN0/2P J
(64)
Теперь мы полностью закончили синтез структуры оптимального
демодулятора.
Средний квадрат ошибки ФАПЧ легко определить из (6.152)
первого тома
Е[е!г(ЩЬЬ = -£-
и©
1 +
Ν0/2Ρ
2π
(65)
Видим, что среднеквадратическая ошибка зависит от спектра
процесса изменения мгновенной фазы Sq (ω) и отношения сйгнал/шум
Ρ/Ν0. Таким образом, чтобы обеспечить
ξθ<σ^,
(66)
*> В этом параграфе мы определяем оптимальные фильтры, используя вине-
ровскую теорию фильтрации. На практике обычно проще отыскивать требуемые
фильтры, используя метод переменных состояния (§ 6.3, т. I).
41

отношение сиГнал/шум P/N0 должно быть достаточно велико. Если
это условие выполняется, то имеет силу линейное приближение при
исследовании поведения системы.
Таким образом, мы показали, что если справедлива
линеаризованная модель системы, то на выходе фильтра после петли имеет место
оценка по максимуму апостериорной вероятности, а соответствующий
демодулятор является оптимальным. Рассмотрим теперь некоторые
практические соображения, связанные с реализацией системы.
2.6. Практические соображения
Существует ряд вопросов, которые необходимо учитывать при
реализации полученных результатов, Обсудим их кратко в данном
параграфе.
2.6.1. Модель генератора
Первым рассмотрим вопрос, связанный с генератором
переменной фазы (см. рис. 2.12). Почти во всех практических системах
входное напряжение управляет частотой, а не фазой колебаний
управляемого генератора. В модели рис. 2.14 фаза является величиной,
присутствующей в ветви обратной связи. Для учета влияния управляе-
а(Щ
\n"(t)
Θ^
Р)^^Ц+>^
>
houo)
ι
1 "i //yu/ №—«
It)
FpuofM
au(t)
■ ' ■ >
Рис. 2.19. Модель системы с угловой модуляцией и демодулятором в ввиде
системы ФАПЧ.
мого генератора (УГ) введем в ветвь обратной связи в модели системы
интегратор. Чтобы сохранить прежние соотношения между входом
и выходом системы, несколько видоизменим фильтр, стоящий в петле,
и фильтр после петли. Получающаяся в результате этой модификации
модель системы показана на рис. 2.19, где
^ο(/ω)Δ(/ω)0ΖΓΟ(/ω), (67)
FpuoU^^—GpuoU®)·
(68)
С реальным УГ связан коэффициент пропорциональности, который
ради простоты в (67) и (68) положен равным единице.
2.6.2. Фильтрация после петли
Второй вопрос связан с нереализуемым фильтром, стоящим после
петли. Как было выяснено в гл. 6 первого тома, его можно
аппроксимировать сколь угодно точно, допустив некоторую задержку. Хотя
42

такой метод дает наилучший результат, часто из-за сложности от
него приходится отказываться. Другой метод, позволяющий избежать
эту сложность, заключается в использовании для оценки сообщения
a (t) оптимального реализуемого фильтра. Соответствующая линейная
модель (рис. 2.20) вытекает непосредственно из рис. 2.19.
Реализуемый фильтр после петли обрабатывает сигнал zir (t). Он построен так,
что, когда справедлива линейная модель, на выходе фильтра имеет
aft)
K(jcj)
Θ ft).
if "ft)
1 +
qr(+)—Η J*
Gro(Jv)
aPft)
2br(t)
Flo (W)
0r(t)
1/jco
Рис. 2.20. Система с реализуемой фильтрацией после петли ФАПЧ.
место реализуемая оценка сообщения a (t) по минимуму средне-
квадратической ошибки. Обозначим эту оценку через ar (t). Следует
сделать несколько замечаний:
1. Фильтр обрабатывает колебание zir (t), так как^оно является
первым колебанием, доступным в форме электрического напряжения·
2. Напомним, что реализуемое оценивание по минимуму средне-
квадратической ошибки и линейная фильтрация — операции, не
Рис. 2.21. Модель для синтеза реализуемого фильтра после
петли ФАПЧ.
являющиеся коммутативными (см. стр. 588 первого тома). Поэтому
оценку ar (t) нельзя получить путем пропускания θ (ή через
К-1 (/ω).
3. На практике мы бы не строили два фильтра в параллель.
Можно либо включить два фильтра каскадно в петле, либо построить схему
так, чтобы ar (t) и ΘΓ (t) появлялись в ней как напряжения. Эта
процедура демонстрируется на стр. 101 в виде примера. Этот пример
иллюстрирует также эффективность метода переменных состояния
при синтезе линейных фильтров. Выбирая α (ή и θ (t) как компоненты
вектора состояния, мы получаем обе реализуемые оценки как часть
решения.
Эквивалентная модель для вычисления функции Gro (/ω) показана
на рис. 2.21. Передаточная функция оптимального фильтра вытекает
43

непосредственно из формулы (6.181) первого тома:
Gro(M- **+VPFiom
VPjtu[Se<(u)+(N0/2P)]-
3α(ω)**(/ω)
[SQ (ω) + (Ν0/2Ρ)]~
• (69)
Реализуемую среднеквадратическую ошибку можно вычислить,
используя формулу (I—6.100). Для произвольной передаточной
функции К (/ω) выражения в замкнутой форме для среднеквадратической
ошибки не существует.
2.6.3. Шумовая полоса системы ФАПЧ
В некоторых задачах нас интересует поведение системы ФАПЧ,
когда мгновенная фаза передаваемого сигнала либо постоянная
величина, либо какая-либо другая детерминированная функция. В этом
случае единственным источником случайной фазовой ошибки является
аддитивный шум. Когда справедлива линейная модель системы,
среднеквадратическую фазовую ошибку, обусловливаемую действием шума,
можно вычислить без труда. Из рис. 2.20 и формулы (51) видим, что
L· Δ £ [[θ (0 -A (t)? I n" (t) — единственное
входное колебание в линейной модели] =
.Qj^Wpi^.ijJn,^,^!^.. ,70)
Величина, стоящая в скобках, называется шумовой полосой Вь
системы ФАПЧ,-
BLA\ |Яг,(/«)12|р (71)
о
Нетрудно заметить, что 2BL — просто ширина двухсторонней
полосы (в Гц) фильтра с коэффициентом передачи, равным единице,
и прямоугольной частотной характеристикой, который имел бы
выходную дисперсию ξη, если бы на его входе действовал шум п" (t). Таким
образом,
ln = (2BL)^L. (72)
Шумовая полоса Βι является полезной обобщенной характеристикой
линеаризованной системы, так как все системы с одинаковыми
значениями полосы Bl имеют одну и ту же выходную дисперсию, когда
входной шум является белым. Позднее будут вычислены шумовые
полосы для некоторых типичных систем.
44

2.6.4. Внешнее управление генератором переменной фазы
Как будет показано в следующей главе, часто бывает необхедим©
сдвигать частоту УГ в заданный частотный диапазон для настройки
системы ФАПЧ в режим слежения. Для этого достаточно просто ввести
дополнительное внешнее управление по входу УГ. Это обстоятельство
можно учесть в модели системы непосредственно; подробнее вопросы,
связанные с введением внешнего управления, будут рассмотрены
позднее.
2.7. Краткие итоги
Изложение материала этой главы было начато с нелинейного
интегрального уравнения для оптимальной оценки колебания по
максимуму апостериорной вероятности. Взяв это уравнение за основу,
мы вывели структурную схему демодулятора, показанную на
рис. 2.22. Модель демодулятора представлена на рис. 2.19. Этот де*
модулятор обладает тем свойством, что если ошибка системы ФАПЧ
мала, он может выдавать одновременно реализуемую оценку по
минимуму среднеквадратической ошибки ar (t) и нереализуемую оценку
по минимуму среднеквадратической ошибки аи (t). Последняя
оценка является также оценкой по максимуму апостериорной
вероятности, а ее среднеквадратическая ошибка^удовлетворяет обобщенной
»fxi .
К*/
I
Jzco${a>ct
L+$rl
Gro(Ju)
Fio (№)
«J V/*
tif 1
A
ar
It]
e .
&rIV/ j
Fpuo(JCu)
'
A , ,
а и ft)
—"—""-——3**
Рис. 2.22. Демодулятор в виде системы ФАПЧ.
границе Крамера—Рао. Чтобы держать систему ФАПЧ как можно
большее время в ее линейной области, фильтр в петле выбирается
с целью минимизации реализуемой среднеквадратической ошибки
ФАПЧ в предположении, что справедлива линейная модель. Синтез
фильтра является прямой задачей, которая была решена ранее с
использованием метода линейной фильтрации Винера и метода
переменных состояния. Такой подход привел нас к ряду расчетных формул
для различных фильтров:
K*(j(o)Sa(&)
Рио
(/<*>)=
Gro(j*) = -7=
/ω [S„ (ω) +Μ/2Ρ)]- \[Se (ω)+ (N0/2P))+-yN0/2P
fa+VYFio (/ω) Γ Sa (ω) Κ*(№
(73)
(74)
yP/(D[Se(tu)+(tf0/2P)]+ [ [S9(fa)+{N,/2P)]
ή
(75)
J +
45

Мы определили эти фильтры методом Винера. Но, как известно из
§ 6.3 первого тома, часто бывает проще отыскивать реализуемые
фильтры (73) и (75), используя метод переменных состояния. Этот
метод будет показан на нескольких примерах.
Весь наш анализ строился на предположении, что сигнал ошибки
системы ФАПЧ еХт (ή мал. В качестве меры ошибки системы ФАПЧ
мы пользовались средним · квадратом фазовой ошибки
оо
ξθ = Ζο_ Γΐηίΐ+2^(ω)1-^-. (76)
Ь 2Р J [ ^ JVo J 2π У '
— ОО
Во всех случаях, когда справедлива линеаризованная модель
системы, на основании свойств 1 и 2 на стр. 70—71 первого тома
существует оптимальный (по критериям максимальной апостериорной
вероятности и минимальной среднеквадратической ошибки)
демодулятор, он также оптимален для широкого класса функций потерь. Впредь
мы будем называть систему ФАПЧ, построенную описанным выше
образом, оптимальным демодулятором. Следует помнить, что его
оптимальность была показана лишь при оговоренных выше
ограничениях.
В последующих трех главах системы ФАПЧ рассмотрены более
подробно. В гл. 3 системы ФАПЧ исследуются под углом зрения
их использования в качестве устройств синхронизации. В гл. 4 и 5
они рассмотрены как оптимальные демодуляторы.
2.8· Задачи
Большинство идей и понятий, которые были введены в гл. 2,
вновь встречаются в гл. 3—5. В конце каждой главы приведен ряд
задач, служащих дополнением к материалу основного текста.
Учитывая это, ко второй главе дано лишь несколько задач, носящих
вводный характер.
Задачи к § 2.5. Синтез системы и оценка ее помехоустойчивости
Задача 2.5.1. Принимаемое колебание записывается в виде
r(0 = /2Psin [(oet+fla(t)) + n(t), —oo<r<oo.
Предполагается, что справедлива линеаризованная модель системы
рис. 2.15. Спектральная плотность сообщения имеет вид
δα(ω)= _^_.
αν ' ω2+&2
1. Найти передаточные функции оптимальных фильтров G?ro (/ω)
и GPu0 (/ω).
2. Оценить результирующие средние квадраты ошибок |е и ξα
как функции параметров Я, Ν0, β и k.
46

3. Рассмотреть модели, показанные на рис. 2.19 и 2.20.
Определить Fl0 (/ω), FPU0 (/ω) и Gr0 (/ω).
Задача 2.5.2. Допустим, что для обработки доступны два входных
колебания:
Γ1(0 = "Κ2^δίη(ω1ί + θ(0)+/ΐι(0. — οο<ί<οο,
r2 (t) = ^2P^sin (ω2 / + θ (t)) + n2 (г), — oo < t < oo.
Принимаемые колебания находятся в непримыкающих друг к другу
полосах частот. Соответствующие аддитивные шумы представл-яют
собой статистически независимые случайные процессы с
равномерными широкополосными спектрами, имеющими спектральные
плотности NJ2 и NJ2 соответственно. Процесс изменения фазы —
стационарный нормальный процесс с нулевым средним и энергетическим
спектром Sq (ω).
1. Повторно рассмотрите материал § 5.4 первого тома. Напишите
уравнения, определяющие оценку θ (t) по максимуму апостериорной
вероятности.
2. Определите структуру оптимального приемника, аналогичную
изображенной на рис. 2.22. Покажите возможность реализации
приемника с единственной системой ФАПЧ.
3. Выведите выражение для ξθ.
Задачи к § 2.6. Практические соображения
Задача 2.6.1. Другой вариант построения системы ФАПЧ
показан на рис. 2.1*. Принимаемое колебание записывается в виде
г(0 =νΓ2Ρ8ίη(ω1ί + θ(θ) + Λ(0. — °°<t< oo.
Разностная частота (ωχ—ω2) много больше, чем частоты спектра
θ (г). Фильтр промежуточной частоты имеет передаточную функцию,
симметричную относительно значения промежуточной частоты.
^Sitl Ι(ω1-ω2)*+ Φ]
г ft) r
^ >
J
ь
Фильтр
промежуточной
частоты
Л
—<χ>-*
J7cos(aj2t+&ft//
Фильтр,
включаемый
внутри петли
УГ
Рис. 2.1*.
1. Определите модель для системы, изображенной на рис. 2.1*·
Сравните полученную модель с моделью в основном тексте.
2. Как следует видоизменить эту модель, если передаточная
функция фильтра ПЧ не симметрична относительно промежуточной
частоты?
47

Задача 2.6.2. У идеализированного управляемого генератора
мгновенная частота выходного колебания пропорциональна входному
напряжению, как показано на рис. 2.2, а*. В реальных условиях
фаза генератора может содержать дополнительный член φ (ή, как
записано на рис. 2.2, б*. Функция φ (t) представляет выборочную
функцию случайного процесса и обусловлена дестабилизирующими факто-
r#H.it»j»j
wr
Д cos (ωс t + KOf ixfu)du) xft)
УГ
$οο$(ω^+Κυ[*χ(α}οΙα л
*9(t))
Рис. 2.2*.
рами, воздействующими на УГ. Допустим, что φ (ή — стационарный
нормальный процесс с нулевым средним и энергетическим спектром
5φ (ή.
1. Предположим, что генератор на рис. 2.2, б* используется в
демодуляторе рис. 2.22. Определите линеаризированную модель
системы, учитывающую эффект φ (ή.
2. Выведите выражения для Ρϊο (/ω), Gro (/ω) и Fpuo (/ω),
оптимальных для модели генератора, представленной на рис. 2.2, б*.
Список литературы
1. Chaffee J. G. The Application of Negative Feedback to Frequency
Modulation Systems. Bell Syst. Tech. J., 1939, v. 18, p. 404—437.
2. С h a f f e e J. G. The Application of Negative Feedback to Frequency
Modulation Systems. Proc. IRE, 1939, v. 27, p. 317—331.
3.* С a r s ο η J. R. Frequency Modulation: Theory of the Feedback Receiver
Circuit. Bell Syst. Tech. J., 1939, v. 18, p. 396—403.
4. Ε η 1 о e L. Η. Decreasing the Threshold in FM by Frequency Feedback. Proc.
IRE, 1962, v. 50, p. 18—30.
5. Η e i t ζ m a n R. Ε. A Study of Threshold Power Requirements of FMFB
Receivers. Trans. IRE, 1962, v. SET-8, p. 249—256.
6. G i g e r A. J., С h a f f e e J. G. The FM Demodulator with Negative
Feedback. Bell Syst. Tech. J., 1963, v. 42, p. 1109—1135.
7. R u t h г о f f С L. FM Demodulators with Negative Feedback. Bell Syst.
Tech. J., 1961, v. 40, p. 1149—1157.
8. G a g 1 i a r d i R. M. Transmitter Power Reduction with Frequency Tracking
Signals. Trans. IRE, 1963, v. SET-9, p. 18—24.
9. R u t h г о f f С L., В о d t m a η η W. F. Design and Performance of a
Broad-Band FM Demodulator with Frequency Compession. Proc. IRE, 1962,
v. 50, p. 2436—2445.
10. S ρ i 1 k e r J. J., Jr. Threshold Comparison of Phase-Lock, Frequency-Lock
and Maximum-Likelihood Types of FM Discriminators. IRE Wescon Conf.,
San-Francisco, 1961.
11. Gruen W. J. Theory of AFC Synchronization. Proc. IRE, 1953, v. 41,
' p. 1043—1048.
12. R i с h m a n D. Color Carrier Reference Phase Synchronization Accuracy
in NTSC Color TV. Proc. IRE, 1954, v. 42, p. 106—133.
13. J a f f e R. M., R e с h t i η Ε. Design and Performance of Phase-Lock
Circuits Capable of Near-Optimum Performance over a Wide Range of Input
Signal and Noise Levels. Trans. IRE, 1955, v. IT-1. p. 66—76.
48

14. P|r e s t ο η G. W. Basic Theory of Locked Oscillators in Tracking FM
Signals. Trans. IRE, 1959, v. SET-5, p. ЗОт-32.
15. G i 1 с h r i e s t С. Е. Application of the Phase-Locked Loop to Telemetry
as a Discriminator or a Tracking Filter. Trans. IRE, 1958, v. TRC-4, p.20—35.
16. Weaver С S. A New Approach to the Linear Design and Analysis of
Phase-Locked Loops. Trans. IRE, 1959, v. SET-5, p. 166—178.
17. R i с h t e r H. L., J г., S a m ρ s ο η W. F., Stevens R. Microlock:
A Minimum Weight Radio Instrumentation System for a Satellite. Jet
Propulsion Lab., Calif. Inst. Tech., Pasadena, JPL External Publication №376,
April 15, 1957.
18. L e h a n F., Parks R. Optimum Demodulation. IRE National
Convention Record, Pt. 8, 1953, p. 101—103.
19. В и τ e ρ б и А, Д ж . Принципы когерентной связи. Пер. с англ., пс-д
ред. Б. Р. Л е в и н а. М., «Сов. радио», 1970.
20. В i с k m о г е R. W. Adaptive Antenna Arrays. IEEE Spectrum, 1964,
v. 1, p. 78—88.
21. В r e e s e M., Colbert R., Rubin W., Sferrazza P. Phase-
Locked Loops for Electronically Scanned Antenna Arrays. Trans. IRE, 1961,
v. SET-7, p. 95—100.
22. Ε η 1 о e L. h., R о d d a J. L. Laser Phase-Locked Loop. Proc. IEEE,
1964, v. 53, p. 165.
23. Peter M., Strandberg M. W. P. Phase Stabilization of Microwave
Oscillators. Proc. IRE, 1955, v. 43, p. 869—873.
24. Τ h i r u ρ G. The Application of Phase-Locking Techniques to the Design
of Apparatus for Measuring Complex Transfer Functions. Brit. IRE, 1960,
p. 387—396.
25. W e η d t K. R., F r e d e η h a 1 1 G. L. Automatic Frequency and Phase
Control of Synchronization in Television Receivers. Proc. IRE, 1943, v. 31,
p. 7-15.
26. W о о d m a n R. F. A Phase-Locked Phase Filtsr for the Minitrack System.
NASA (Goddard SFC), Tech. Note D-1419, Sept. 1962.
27. Д а в е н π ο ρ τ В. Б., Ρ у τ В. Л. Введение в теорию случайных сигналов
и шумов. Пер. с англ., под ред. Р. Л. Добр у шин а. М., ИЛ, 1960.

3. ОЦЕНКА ФАЗЫ В ЗАДАЧЕ
СИНХРОНИЗАЦИИ
Во второй главе были рассмотрены вопросы синтеза оптимального
демодулятора в рамках задачи оценки фазы и просмотрен весь путь от
составления интегрального уравнения до выявления структуры
демодулятора в виде системы ФАПЧ. В этой главе рассмотрим вопросы
синтеза и анализа систем ФАПЧ как устройств синхронизации. С
точки зрения современной техники это, пожалуй, их наиболее важная
роль.
Прежде всего необходимо пересмотреть основную модель оценки
фазы в контексте задачи синхронизации. Принимаемое колебание
в этом случае записывается в виде
г (о - утр sin (сос/+θ it)) + n(t)y о < t. (l)
Фаза θ (t) здесь является функцией, которую нам требуется оценить,
а η (г) — белый гауссов шум со спектральной плотностью NJ2.
Характеристики θ (ή зависят от конкретной рассматриваемой
физической ситуации. Поскольку эти характеристики занимают в нашем
рассмотрении центральное место, остановимся на некоторых
случаях, носящих довольно общий характер.
Нестабильность генератора. В этом случае частота генератора
имеет номинальное значение сос. На практике обычно наблюдается уход
(дрейф) частоты относительно сос по случайному закону. Адекватные
количественные модели нестабильности частоты генераторов
рассмотрены в [1]. Показано, что обоснованной моделью θ (t) может
служить простой винеровский процесс (подробно свойства винеров-
ского процесса изложены на стр. 231—233 первого тома) с
θ (0) - 0, (2)
Ε [θ (t)] = 0, (3)
Ε [θ2 (ή] = tlxd, (4)
Параметр τά характеризует нестабильность генератора. Когда t = xd,
среднеквадратическое отклонение фазы равно 1 рад1). Постоянная
τά обычно называется временем когерентности генератора.
Сдвиг частоты. Во многих ситуациях частота генератора
передатчика претерпевает смещение от своего номинального значения сос.
Х) Эта конкретная модель шума генератора была впервые использована при
анализе нестабильности частоты Девеле [2, 3]. К числу других работ, где
рассмотрены вопросы нестабильности генераторов, относятся [40—48].
50

Например, если передатчик движется с постоянной скоростью, то
имеется допплеровский сдвиг частоты ωΔ. Кроме того, неизвестна
начальная фаза θ0. Таким образом,
θ (0 = ωΔ (ή + θ0, t > 0. (5)
Адекватное описание ωΔ зависит от характеристик скорости носителя
передатчика. Начальную фазу лучше всего моделировать как
случайную величину с равномерным распределением.
Цель с ускорением. Во многих ситуациях, встречающихся в
области телеметрии, передатчик помимо начальной скорости имеет
постоянное ускорение. Тогда
β(ή=Ι^ί2 + ωΑί + β0, t^O. (6)
Здесь также можно было бы моделировать DA в виде равномерно
распределенной величины, пределы изменения которой зависят от
динамики носителя.
Заметим, что фазовые функции в (5) и (6) допускают простое
представление посредством переменных состояния1). В случае (5) функции
θ (ή и θ (ή можно считать переменными состояния:
■<»-№Г
(7)
Le (0J
Уравнения, описывающие систему, имеют вид
.— \Xl^]Ax(t) = \0l]x(t), 0<ί, (8)
dt U2(0J— Lo Oj w ^ w
χ(0) = [ωθ;], ο)
θ (ο = с (ή χ (ο, (ίο)
где
с (ή = [ΐ; ο]. (ΐΐ)
Заметим, что начальные условия (9) также представлены переменными
состояния.
В случае (6) просто добавляем третью переменную состояния
*8(0 = θ(0. (12)
*> Представление переменными состояния было введено в § 6.3 первого тома.
Читатели, незнакомые с переменными состояния, могут пропустить (7)—(15).
51

Уравнения системы теперь имеют вид:
x(f)= оси х(*), ο<ί, (13)
го ιοί
ι= 001 χ
LoooJ
И
θο
х(0) = | ωΔ Ι, (14)
C(i)=[l : О'; 0]. (15)
Эти три случая представляют те ситуации, которые наиболее часто
встречаются в практике. В следующем параграфе будут исследованы
некоторые приложения рассмотренных моделей.
3.1. Анализ нестабильности частоты генератора
В этом параграфе рассмотрены вопросы синтеза оптимального
фильтра внутри петли ФАПЧ для задачи стабилизации частоты
генератора с моделью фазы, определяемой условиями (2)—(4). Так как
процесс θ (t) является нестационарным, для отыскания фильтра,
включаемого внутри петли ФАПЧ, нам следует использовать метод
переменных состояния. Это точно такая же задача, как и решенная
в примере 3 на стр. 626 первого тома. Там было указано, что
правильное решение для фильтра в установившемся состоянии можно
также получить, если использовать спектральную плотность
δθ(ω)= (16)
и положить ε-^Ов окончательном выражении. Здесь мы
воспользуемся этим методом. Формулу (2.73) можно применять теперь
непосредственно. Передаточная функция фильтра в петле записывается
в виде
с- /. ч /ω (/2Ρ\ι/2Γ 1 . AV
+-u-
2Р V/2A-^. (17)
У Ρ \ N0 xd J — У Р
Таким образом, в данном случае фильтр в петле сводится просто
к функции усиления без каких-либо частотно-избирательных свойств.
Получающаяся в итоге система называется системой ФАПЧ первого
порядка и показана на рис. 3.1. Термин «первого порядка»
используется здесь ввиду того, что систему можно характеризовать
дифференциальным уравнением первого порядка. Результирующую
реализуемую среднеквадратическую ошибку можно определить без
затруднений. Простейший путь основывается на том, что передаточная
функция, связывающая θ (ή и θ (ί)9 равна
HiroiM--^ (18)
/ω+γ
52

и, следовательно,
К (0+) - γ.
Тогда согласно (1—6.28) или (Ϊ—6.142) имеем
2Р ϋν 2Р Т V2^dj
(19)
(20)
Видно, что среднеквадратическая ошибка возрастает при увеличении
N0 и убывает при увеличении мощности Ρ и времени когерентности
V Для того чтобы проиллюстрировать применение этой формулы,
рассмотрим простой пример.
ь
^rft) *"Vj^
L
'салите/
звена
УГ
юное
ifti
». .«a»·
Θίΐ]
+
Рис. 3.1. Система ФАПЧ первого порядка:
а — реальная система; б —- модель системы.
Пример. Предположим, что необходимо построить когерентную
цифровую систему связи и при этом требуется источник опорной фазы
со среднеквадратической ошибкой не более Х0» т· е·
¥Р/2<Хо. (21)
На рис. 3.2 графически представлена зависимость требуемой
мощности сигнала синхронизации от уровня шума приемника NJ2 при
постоянной времени
когерентности генератора xd в качестве
параметра. График позволяет
найти мощность, которую
необходимо иметь на входе системы
синхронизации. Важно заметить,
что отношение сигнал/шум на
входе системы ФАПЧ может
быть очень низким (его
фактическое значение зависит от всех
полосовых фильтров, стоящих до
петли АПЧ). Если τά велико, то
система ФАПЧ будет
узкополосной и сможет отслеживать фазу
генератора с высокой точностью.
Все наши рассуждения в данном параграфе исходят из
предположения, что справедлива линеаризованная модель системы ФАПЧ.
Это допущение соблюдается при условии, если среднеквадратическая
ошибка в системе мала. Существует несколько ситуаций, когда это
предположение не выполняется. Укажем два примера.
ZR/N0
Рис. 3.2. Минимальные уровни мощности
для допустимой ошибки синхронизации.
53

1. В начальный период приема несущей существует переходной
режим; фазовая ошибка до того, как система ФАПЧ начнет
отслеживать точно, может быть большой.
2. Возможны потери мощности несущей или возрастание мощности
шумов, которые приводят к увеличению ошибки подстройки. В обоих
этих случаях необходимо исследовать нелинейное поведение системы,
чтобы понять ее работу. В следующем параграфе начинается
исследование нелинейного режима.
3.2, Нелинейный анализ при отсутствии шума
Конечной целью анализа является выяснение поведения системы
ФАПЧ при воздействии входных сигналов, описанных в начале
данной главы, и любых значениях Ρ и Ν0. Поскольку в такой постановке
задача оказывается трудной, начнем рассмотрение с гораздо более
простой задачи, когда шум отсутствует. Конкретно сделаем следующие
предположения:
1. Аддитивного шума нет (т. е. Ν0 = 0).
2. Фазовая функция θ (ή есть полином по степеням t:
θ(0= Σθ,ί',
(22)
где коэффициенты — постоянные величины, значения которых
выступают в качестве параметров в нашем решении.
3. Структура системы ФАПЧ фиксирована (т. е. первоначально мы
не будем беспокоиться о построении оптимальной системы).
Путем подробного изучения задачи при отсутствии шума можно
выяснить закономерности поведения систем ФАПЧ, которые будут
полезны при рассмотрении общей задачи. Интересующую нас модель
Рис. 3.3. Модель системы ФАПЧ при
отсутствии шума.
Bftl(7\eft,A
-тфН
С7 П
1
в Μ
11 ir- ·
TjJC
Г^>~—-1
Рис. 3.4. Модель петли первого
порядка при отсутствии шума.
получим, положив в схеме рис. 2.19 п" (ή = 0. Результирующая
модель показана на рис. 3.3. Коэффициент У Ρ включен нами в
передаточную функцию фильтра в петле, а подстрочный индекс «/о»
исключен, так как мы будем исследовать фильтры, которые не удовлетворяют
условию (2.73). Предполагается, что передаточную функцию фильтра
в петле можно записать как отношение двух полиномов по степеням
/ω. Обозначим его через
/4/ω) = -|^. (23)
Pd (/ω)
54

Напишем теперь дифференциальное уравнение, описывающее поведе*
ние системы ФАПЧ. В точке суммирования выполняется соотношение
θ(ί)-θ(ί) = β(ή. (24)
С учетом передаточной функции фильтра петли получим
Fd(p)lpHt)]^Fn(p)[sme(t)b (25)
где
ΡΔ-^γ, (26)
—- at
?n*lF- (27)
Используя (24) и (25) и произведя перегруппировку членов, будем
иметь
Fd (Ρ) [ре (t)] + Fn (p) [sin (e (f))] = Fd (ρ) [ρθ (t)}. (28)
Это уравнение совместно с системой начальных условий полностью
описывает поведение системы ФАПЧ при отсутствии шума.
Рассмотрим его несколько подробнее в этом параграфе. Начнем
рассмотрение с системы ФАПЧ первого порядка, показанной на рис. 3.4.
3.2.1. Система ФАПЧ первого порядка при постоянной частотной
расстройке
Модуль коэффициента передачи (коэффициент усиления) петли мы
обозначим по-новому — через k, так как γ в (17) была определена через
уровень шума. В этом случае
F (/ω) = k (29)
и (28) сводится к
e(t) + ksme(t) = Q(t) (30)
с начальным условием
*(0) = θ(0) — θ(0). (31)
Теперь предположим, что θ (ή соответствует постоянной частотной
расстройке, описанной в начале этого параграфа, Тогда
θ(ίΗωΔί + θ0, />0, (32)
и (30) сводится к
е (t) + k sin e (t) = ωΔ, t > 0. (33)
На рис. 3.5 построена зависимость е (ί) от е (ή. Такое графическое
представление называют траекторией на фазовой плоскости или
фазовым портретом. Отметим, что время здесь появляется только в
качестве параметра. Нетрудно сделать ряд выводов.
65

1. Если е (t) > 0, то е (t) возрастает и рабочая точка перемещается
вправо. Так, при начальных ошибках eW (0) и в<2> (0) значение е (ή
возрастает, стремясь асимптотически к точке еЯх. Здесь е (t) = 0 и
система находится в состоянии равновесия (т. е. произошел захват
фазы и система вошла в синхронизм). Из (33) имеем
Чг-
;arcsin
(*)·
(34)
2. Когда е (t) <C 0, значение е (t) убывает и рабочая точка
перемещается влево. При начальной ошибке е^(0) величина е (t)
уменьшается, асимптотически стремясь к точке еЯх.
e(1)(0)left) cjt-ksineft)
~ ^ e(q)(0Tj '
д захвата ^
Рис. 3.5. Зависимость e(t) от e(t) для петли первого порядка.
3. Точку еЯх называют точкой устойчивого равновесия, так как
если на систему воздействуют возмущения, вызывающие небольшие
отклонения от точки еЯх в любом направлении, система возвращается
обратно в точку еЯ1. Если линеаризовать систему в области точки
равновесия и получить в этой области устойчивую линейную систему,
то точка равновесия будет устойчивой.
4. Пока е (0) удовлетворяет неравенству
-я — arcsin
k
<<?(0)< π — arcsin
/ ωΑ
(35)
рабочая точка системы будет смещаться в направлении точки
равновесия еЯх. Область, в которой это условие соблюдается, называют
основной полосой захвата. Она ограничена двумя точками
равновесия еЯх и ея—\. Эти точки называются точками неустойчивого
равновесия, так как система стремится уйти от этих точек. Заметим,
что линеаризированная модель в области неустойчивого равновесия
является неустойчивой.
5. Если точка е (0) находится вне основной полосы захвата, то она
будет перемещаться к следующей устойчивой точке. Эти точки
устойчивого равновесия размещаются через каждые 2я рад на оси e(t).
6. Если
>1,
(36)
56

то точек равновесия не существует и система ФАПЧ не может войти
в режим синхронизма. Если соА > k> то е (t) всегда положительна и
ошибка возрастает монотонно. Таким образом, если мы ограничены
классом систем ФАПЧ первого порядка, то единственным,путем
увеличения полосы захвата является увеличение L·
Хотя при анализе в этом параграфе мы исходим из предположения,
что уровень шума равен нулю, нам следует помнить, что некоторый
шум всегда присутствует.
Влияние увеличения k при наличии
шума легко установить,
обратившись к материалу § 2.7.
Нетрудно показать, что шумовая полоса
системы ФАПЧ возрастает
линейно с увеличением k.
7, Величину е (t) можно найти
как явную функцию времени
путем разделения переменных в (33)
и последующего интегрирования:
at
de
(uA — ksine
J ωΑ—ks
e (0) Δ
(37)
(38)
Рис. 3.6. Ошибка в петле первого
порядка.
Предполагается, что е (0) находится в основной полосе захвата. Если
е (0) > 0, то из замечания п. 1 следует, что
e(0)<e<arcsinf —
k
Если е (0) < 0; то
arcsin
in ——
ι *
<е<е(0).
(39)
(40)
В обоих случаях t (e) есть положительная, монотонно возрастающая
функция \е — е (0)|, которую можно инвертировать и получить е (t).
Величину е (ή можно получить и иначе — путем численного
интегрирования (33). Некоторые типичные кривые ошибок показаны на
рис. 3.6. Нижние три кривые соответствуют величине <од/&, равной
0; 0,25 и 0,75 соответственно. В каждом случае мы полагаем,"что
е (0) немного превышает е'ц—\. Сначала система медленно
отклоняется от вд—и так как знаменатель в правой части (37) — величина
малая, Далее ошибка изменяется быстро, как показано на рис. 3.6.
Наконец, ошибка приближается к равновесному значению,
определяемому формулой (34). Верхняя кривая на рис. 3.6 соответствует сод/& =■=
= 1,02. В этом случае точек равновесия не существует и ошибка
возрастает монотонно.
57

8. Если ωΔ/& ^ 1, то со временем система приближается к точке
равновесия еЯх. При малых ωΔ/& стационарную ошибку можно
аппроксимировать выражением
lim e(t) = eqtc^. .
t-+0O k
(41)
Этими замечаниями исчерпывается наше рассмотрение системы
ФАПЧ первого порядка. К недостаткам систем ФАПЧ первого
порядка следует отнести ограниченную полосу захвата (ωΔ < k) и
ненулевую ошибку в устойчивом состоянии, равную arcsin (ωΔ/&). Поэтому
естественный дальнейший шаг в нашем анализе — попытаться
изменить фильтр в петле АПЧ и устранить указанные недостатки.
Чтобы обосновать выбор фильтра в петле АПЧ , рассмотрим вопрос
о том, как следует модифицировать фильтр в петле с целью получения
нулевой ошибки в устойчивом состоянии. Ответить на этот вопрос
затруднительно ввиду нелинейного поведения системы. Однако можно
найти необходимое условие, которому должен отвечать этот фильтр;
для этого достаточно заметить, что если ошибка в устойчивом
состоянии стремится к нулю, то при большом значении времени справедлив
линейный анализ. Поэтому необходимое условие нулевой ошибки
в устойчивом состоянии состоит в том, чтобы
lim e(t) ■■
t-+oo
■О
(42)
при использовании линейного анализа. Поскольку все
рассматриваемые функции тождественно равны нулю при отрицательном времени,
можно использовать преобразования Лапласа и теорему о конечном
значении для вычисления предела в левой части (42).
Из теоремы о конечном значении имеем
lime(t)= lim [sE(s)).
t-+oo S-*0
(43)
Ho
E(S):
[s + F(s) J
Q(s),
где
θ(5) =
<>Δ , θ
(44)
(45)
Используя (44) и (45) в (43), видим, что необходимое условие
получения нулевой ошибки в устойчивом состоянии заключается в том,
чтобы
lim
s->0
ωΔ + θ0 s
s+F(s)
= 0.
(46)
58

Если o)A^0,af (s) — рациональная функция, то из (46) следует, что
F (s) должна иметь по крайней мере один полюс в начале координат.
Поэтому адекватным будет фильтр с передаточной функцией
F(s)=k(l + j.y (47)
Без постоянного члена замкнутая система ФАПЧ является
неустойчивой. Заметим, что пока у нас нет гарантий, что мы можем достичь
нулевой ошибки. При некоторых начальных условиях можно никогда
не достичь области, где справедлив линейный анализ. Поскольку
система с фильтром, описываемым передаточной функцией (47), может
быть описана дифференциальным уравнением второго порядка, ее
называют системой ФАПЧ второго порядка. Другие фильтры также
приводят к уравнениям второго порядка [см. (73)]. Чтобы подчеркнуть
то обстоятельство, что система, в которой используется фильтр (47),
удовлетворяет условию (42), назовем ее идеальной системой ФАПЧ
второго порядка. Рассмотрим подробно нелинейное поведение систем
ФАПЧ второго порядка в следующем параграфе.
3.2.2. Система ФАПЧ второго порядка при постоянной частотной
расстройке1)
Используя (47) в (28), получаем дифференциальное уравнение для
системы ФАПЧ второго порядка
p2e\t) + [kp + ok] sin e (t) = ρ2θ (t). (48)
Если использовать (45) и выполнить указанные в (48) операции
дифференцирования, то будем иметь
р2е (/) + Ik cos e (/)] ре (t) + ak sin e (t) = 0, (49)
где еще предстоит определить начальные условия е (0) и е (0). Для
исследования поведения системы желательно иметь как можно меньше
параметров. Путем изменения масштаба времени один из параметров
в (49) можно исключить. Пусть
τ = kt. (50)
Используя (50) в (49), получаем
d2e(x) , ,ч de (τ) . а . . ч Л /СГ1Ч
—^- + cose(t) ——-\ sin β (τ) = 0. (51)
dx2 dx k
Обозначив
e (τ) Δ ^ (52)
— dx
X) Впервые метод фазового портрета при исследовании поведения систем
^лЛЧ при отсутствии шума был применен Витерби [4]. Наше рассмотрение
основано на его работе и является довольно кратким. Более подробное изложение
этого вопроса можно найти в гл. 3 и в [5].
ФАПЧ
59

и заметив, что
έ'(τ) =
de(x)
άχ
получим
ае(х)
άχ
■■ e (τ) cos e (τ) Η sine(T)=:0.
k
(53)
(54)
Теперь можно построить график поведения системы в плоскости £ — е.
Основная идея здесь остается такой же, как в случае системы первого
порядка, но детали усложняются. Как и в случае первого порядка,
я/2 тс зтс/Z 27Z 5π/2 зтс 7тс/2 efc)
Рис. 3.7. Траектории на фазовой плоскости (фазовый портрет) петли
второго порядка [8].
такие графики называют траекториями на фазовой плоскости {или
фазовыми портретами). Подробности их построения рассмотрены
в ряде работ (например, [6] или [7]). На практике построение фазовых
портретов легко выполняется при помощи аналоговых или цифровых
вычислительных машин. Преимущество формы записи (54) заключается
в том, что для вычерчивания графика нам необходимо задаваться лишь
отношением a/k. Позже будет показано, что значение этого отношения,
которое обычно используется на практике, равно
alk - 1/2. (55)
Именно для такого значения alk построен фазовый портрет рис! 3.7.
По горизонтальной,оси откладывается величина е (τ), по
вертикальной оси — величина
~~ at (0 |
,7jrde(x) = V2
dx k
at
(56)
t = x/k
60

Сплошными линиями изображены траектории рабочей точки системы.
При любой паре значений е (0) ιγ^(0) состояние системы
характеризуется движением рабочей точки но траектории до какой-либо точки
равновесия» Хотя данный фазовый портрет зависит только от
отношения a/ky параметр k входит в него двояким путем — в виде временного
масштаба и в виде начального условия на вертикальной оси.
Фактический сигнал ошибки равен
e(t) = e (τ/k). (57)
Начальное условие записывается в виде
de (τ)
dx
k dt
ωΑ
(58)
t=o
Последнее равенство следует из (45). Напомним, что с отношением
ωΔ/& мы встречались при рассмотрении системы ФАПЧ первого
порядка. В том случае условие
Од
1
(59)
было необходимо для того, чтобы система входила в режим
синхронизации. Позже мы увидим, что это условие в случае системы ФАПЧ
второго порядка более не является необходимым.
Для иллюстрации этих идей рассмотрим два типичных случая.
В первом случае начальными условиями являются
е(0)
de (τ)
dx
0,
γ 2,
(60),
(61)
Соответствующая фазовая траектория показана на рис. 3.7. На рис.3.8
представлен график функции е (τ). Поскольку максимальная фазовая
ошибка составляет около 5π/16 рад., представляет интерес сравнить
ее с результатами, получаемыми при помощи линейного анализа,
которые также нанесены на рис. 3.8. Как и следовало ожидать,
результаты мало отличаются друг от друга.
Во втором случае мы рассмотрим начальные условия
е (0) - 0,
de (τ)
dx
3,5
т = о
V2"
(62)
(63)
Видим (рис. 3.7), что система «проскакивает» цикл (период)1) и
входит в режим синхронизации в следующей точке равновесия.
Зависимость ошибки от τ представлена на рис. 3.9.
1) Когда система ФАПЧ переходит из области (протяженностью 2π рад.),
окружающей точку равновесия, в соседнюю область, говорят, что она
«проскочила» цикл.
61

Возвращаясь к рис. 3.7, нетрудно видеть, что по мере увеличения
отношения (ujk система ФАПЧ «проскакивает» все большее число
циклов, прежде чем попадет в точку равновесия. Если вычислить
фазовый портрет для больших значений е (τ), то можно убедиться, что
система будет входить в синхронизм при сколь угодно больших
отношениях ωΔ/&. Недостаток таких режимов заключается в том, что время
eft)
%о
0,8
0,6
ол
ол
0
0,2
Г\Точно
7 W-^ линейном
А уГ приближении
1111111111(11
eft)
8,0
Z0
2тС
6,0
г>,0
w
it
3,0
2,0
1,0
0,5
1 >^ -
/
= /
1 I 1 I 1—L—J—J 1 1 1 1 1 1
0 2
8 10 12 t
Рис. 3.8. Зависимость е (τ) для
петли второго порядка, случай /.
О 2 4 6 8 W 12 t
Рис. 3.9. Зависимость е (τ) для
петли второго порядка,
случай 2.
вхождения становится большим. Витерби [5] вывел приближенное
выражение для времени, за которое система прекращает проскакивать
циклы. Если (ujk велико, то
1<^-\-±-»°
(64)
Это выражение справедливо при произвольных значениях отношения
alk. Нетрудно показать, что шумовая полоса системы ФАПЧ равна
(см. задачу 3.2.10)
BL = (k + α)/4, (65)
так что при малой шумовой полосе время захвата больше. Прежде
чем обсуждать возможные пути избавления от этого недостатка,
рассмотрим случай воздействия на систему ФАПЧ второго порядка
входного сигнала более общего вида.
3.2.3. Система второго порядка при наличии постоянного ускорения
В этом случае
θ(0 = (£Δ/2)/2 + ωΔί + θ0, ί>0. (66)
62

Используя (66) в (49), можно написать дифференциальное уравнение
системы
e(t) + k (cos e (t)) e(t)+ak sin e (t) = DA. (67)
Тем же способом, что и ранее, можно было бы построить фазовый
портрет системы. Мы не будем выполнять анализ, а просто приведем
некоторые результаты.
Влияние DA проявляется в сдвиге фазового портрета. Из (67)
видно, что если
DA>ak, (68)
но точек равновесия не существует и система ФАПЧ не может
захватить сигнал. Можно показать, что захват происходит при любых
начальных условиях, если
DA<akl2. (69)
Ошибка в установившемся состоянии равна
lim e (t) = arcsin {DJ(ak)). (70)
ί-*οο
Для уменьшения стационарной ошибки до нуля потребовалась бы
идеальная система ФАПЧ третьего порядка. (Это означает, что F (s)
имеет два полюса в начале координат.)
Рис. 3.10. Управляющее напряжение генератора для захвата сигнала:
а — система; б *— эпюра напряжения.
Существует другая задача, которая математически эквивалентна
задаче о системе ФАПЧ второго порядка при наличии постоянного
ускорения на входе. Эта задача возникает при попытке уменьшить
время захвата в системе ФАПЧ второго порядка, входной сигнал которой
имеет постоянную расстройку по частоте, путем изменения частоты УГ
в пределах ожидаемой частотной полосы. Это осуществляется путем
подачи на вход УГ пилообразного напряжения vex(t), показанного на
рис. 3.10. Описывающее такую систему дифференциальное уравнение
имеет вид
e{t) + k (cos e (t)) e (ί) + ak sin e (t) =
~ ^ex (t) = Dt, — Τ12 < t < T/2. (71)
63

Это уравнение тождественно с (67). Из (69) следует, что максимальная
скорость перестройки УГ, которая гарантирует захват, равна
£д<-^ = у (4BL-a). (72)
Другие возможные схемы захвата мы рассмотрим позже.
Существует еще два типа фильтров в петле АПЧ, которые широко
используются на практике. Передаточная функция фильтра первого
типа имеет вид
F(s)=k^=k(l+Z=l). (73)
α + ε V s + ε /
Эта передаточная функция соответствует RC-фильтру в петле АПЧ
или неидеальному интегратору» При ε -> О эта система ФАПЧ
становится системой второго порядка. Впервые эту систему исследовал
Груен [9] (см. также [5] и задачи 3.2.2, 3.2.3, 3.2.6 и 3.2.11).
Петля второго типа предназначается для уменьшения фазовой
ошибки до нуля, когда отслеживается цель, имеющая постоянное
ускорение. Передаточная функция фильтра в петле имеет вид
F{s)=k(l+j- + ±.y (74)
Этот тип систем рассмотрен в [5] (см. также задачи 3.2.7,3.2.8 и 3.2.12).
Есть еще два момента, которые мы на этом этапе изложения только
упомянем и вернемся к их рассмотрению позже:
1. Мы использовали перемножитель для генерирования сигнала
ошибки е (ή. Это математически эквивалентно использованию
фазового детектора с синусоидальной характеристикой, Возможно, что путем
изменения ее на некоторую другую периодическую функцию е (ή
можно улучшить свойства системы в режиме захвата, не ухудшая ее
помехоустойчивости.
2. Можно было бы попытаться синтезировать петлю с целью
оптимизации ее свойств в режиме захвата.
Прежде чем подробно рассматривать эти идеи, остановимся на
задаче анализа нелинейного поведения системы в присутствии шума,
3.3. Нелинейный анализ при наличии шума
Теперь можно вернуться к общей модели, представленной на
рис. 2.19. Интересующие нас моменты этой модели повторены на
рис. 3.11. До сих пор при анализе системы ФАПЧ, работающей в
присутствии шума, мы исходили из предположения, что ошибка
достаточно мала для того, чтобы приближение
sin e (t) ~ e (t) (75)
64

было справедливым. Теперь \п W
необходимо проанализиро- 6(t±
вать поведение системы,.
когда это приближение уже
более не справедливо. Суще- 1 &М
ствует несколько подходов к
~^^(+)~η sin J
1 ем
Sin U^^^-sJ F(J£))L·—
f/Jv
решению нелинейной задачи. п 011 ΛΛ ^Λπυ
\к Рис. 3.11. Модель системы ФАПЧ.
Мы кратко рассмотрим
следующие три метода:
1. Метод Фоккера—Планка.
2. Метод возмущения.
3. Метод приближения.
Начнем наше рассмотрение с применения метода Фоккера—План-,
ка к анализу петли первого порядка, описанной в § 3.1.
3.3.1. Метод Фоккера — Планка1)
В § 3.1 была синтезирована оптимальная система ФАПЧ в
линейном приближении для отслеживания частоты нестабильного
генератора. Синтезированная структурная схема представлена на рис. 3.1.
(Эта схема совпадает со схемой рис. 3.11 при F (/ω) = γ.) Проведем
теперь исследование ее качества при работе в нелинейной области.
Сначала упростим структурную схему рис. 3.1. Так как тракт
обратной связи является линейным, вход можно перемещать по
контуру, включая интегратор, сохраняя при этом эквивалентность схемы;
в результате получим структуру, представленную на рис. 3.12. Можно
также соединить два входа в один общий вход:
η* (Ο Δ л" (0 — — d^P~. (76)
— γ at
Поскольку η" (t) и θ (/) статистически независимы, можно
использовать (2.50), (16) и (17) для получения спектральной плотности
γ2 2Ρ
\ 2Р ) \ταω* ) \2Р I
Окончательный вид модели показан на рис. 3.13. Единый источник
шума учитывает влияние аддитивного шума канала и нестабильность
генератора.
г) Для изучения данного параграфа требуются иные, чем для большей части
книги, основные исходные сведения. В частности, предполагается знание
основных положений теории непрерывных марковских процессов и уравнения
Фоккера — Планка. Подходящими пособиями по этой теме являются книги [10—12]
и статьи [13, 14]. Читатель, не имеющий этой подготовки, может пропускать
математические подробности: важно понять результаты и их физический смысл,
даже если детальный вывод и не ясен. Важность использования марковских
процессов при исследовании нелинейных систем впервые была признана
Андроновым Α. Α., Понтрягиным Л. С. и Виттом А. А. [15]. Этот метод для
исследования систем ФАПЧ был впервые применен Тихоновым В. И. [16, 17].
Методически хорошо отработан этот вопрос в книге Витерби [18].
о Зак. 1128
65

Нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее эту
систему, записывается в виде
е (t) + у sine (t) = —n*(t) у, />0.
(78)
Левая часть уравнения отображает динамику системы, а правая —
воздействующее на систему колебание.
В § 6.3 первого тома рассматривались линейные
дифференциальные уравнения, когда воздействующим на систему колебанием являлся
белый гауссов шум. Выходные процессы в том случае были
нормальными, так как системы, которые мы изучали, были линейными. Теперь
n"(t) I i
sine(tjl+ -{Г
Ι A f/jcj ρ®-——
at
*
eft) Π~ΊsLne^rr\ J ^ 1
-^-4Н sin Hjv—Η 7 —1
„„„ \ <l■»a 1 L-: 1
Рис. 3.12. Модифицированная модель
системы ФАПЧ.
Рис. 3.13. Модифицированная
структурная схема.
перед нами дифференциальное уравнение первого порядка, но
нелинейное. Можно показать, что это приводит к негауссову марковскому
процессу.
Марковость процесса позволяет составить дифференциальное
уравнение, описывающее плотность вероятности колебания е (t) как
функцию времени. Обозначим плотность вероятности колебания е (ή через
ρ (Εу t)l). Здеь Ε — переменная, характеризующая область
изменения — размах случайной величины е, a i указывает, что плотность
вероятности является функцией времени. Плотность вероятности
должна удовлетворять уравнению Фоккера—Планка
др(Е, t) d г / · с\ /с ,οι ι Г^о д2р(Е, t)
(79)
при начальном условии
р(Е, 0) = δ(£-Φ0). (80)
Так как коэффициенты уравнения периодичны по переменной £,
можно найти его решение по модулю 2π. Чтобы найти это решение,
рассмотрим интервал —π ^ Ε ^ π. Необходимыми граничными
условиями являются условие периодичности
ρ (π, ή = ρ (—π, t), О < t < oo, (81)
и условие нормировки
J p(E,t)dE=l9 0<^<oo.
(82)
Х) Ради упрощения записи подстрочный индекс у плотности вероятности
опущен.
66

Решение уравнения (79) для неустановившегося режима
определить затруднительно. Поэтому рассмотрим только решение при t-*■ оо
и будем считать, что система находится в статистически устойчивом
состоянии. В этом случае
dp (E, t)
dt
= 0.
(83)
Используя (83) в (79), получаем
0= -H[y(SinE)Poo(E)] + tNjL аУ^1
dE ΪΚ 'И У ' 2Р dE*
(84)
ИЛИ
А.
dE
Ат (sin Ε) poo (E) +
dp^ (Ε)
dE
-о,
(85)
где
Am=(^V/2
poo (Ε) Δ ρ (Ef oo), mod 2 π.
(86)
(87a)
Из (20) видно, что Ат есть просто величина, обратная среднему квад
рату ошибки, вычисленному в
линейном приближении:
Ат = 1р\ (876) Poof в}
Интегрирование (20) дает
дифференциальное уравнение первого
порядка. Решая его и вычисляя ^°
граничные условия, получаем
exp[Amcos£] __ 0,8
poo (Ε) =
2я/0(Лт)
ехр (ξρ г cos E)
π^,Ε ^ζπ,
0,6
2π/0(ξρ1)
(88) Ο,ϊ
где /0 (·) — модифицированная
функция Бесселя. Плотность ве- 0,2
роятности показана на рис. 3.14.
Напомним, что при больших
значениях
/о(Лт)~
О 0,2 К 0,ЧЯ О.бЛ О, δ л: Е.рад
1
(2π Лт)
-рг е т . (89) Рис. 3.14. Точная плотность вероят-
■' ности ошибки в системе ФАПЧ [5].
67

Разлагая косинус в (88) в ряд .и считая, что Ат велико, получаем
poo (E) ■
V
2л
ехр
/72 / 9F2
т с* | ι ζ^ ι
2 I 4!
••о]}
(90)
Таким образом, при больших Ат плотность вероятности р^ (Е)
является приближенно гауссовой с дисперсией Л^1. Это как раз то,
что следовало ожидать, исходя из
линейного приближения, использованного
при выводе (20).
Точное выражение для дисперсии
при любых значениях Лт можно
определить, используя (88). Окончательная
формула для ошибки имеет вид
{,.-4 + 4 Σ
(-l)"/„(Am)
пЧ0 (Am)
(91)
Рис. ЗЛ5. Ошибка в системе
ФАПЧ первого порядка [5].
Зависимость дисперсии от Ат показана
на рис. 3.15. Для сравнения здесь
приведена также дисперсия, определенная
исходя из линейной модели. Видно, что
линейная модель оказывается точной
для значений ξρ1 примерно до 0,25.
Далее нам необходимо исследовать
поведение системы в режиме проскаки-
вания (перескоков) циклов при наличии
шума. В частности, найдем среднее время между перескоками цикла.
Если определить перескок цикла как достижение точки е=2пк (пфО),
то можно показать, что среднее время между перескоками равно1*
72я = 2дЧ,/2(Лт) (92)
или, после приведения ко времени когерентности,
T2Jrd = 2n4l(Am). (93)
При больших значениях Ат выражение для среднего времени между
перескоками можно записать в виде
Т,
2Л
Td
Я 2Л
Лт>1.
(94)
Средняя частота перескоков определяется как величина, обратная
среднему времени между перескоками:
fsA
xd
1
г2я 2л»/г(Лте)
,Л!пе-2Лп
π
Лт»1.
(95)
х> Методы решения задач на время первого достижения границы (уровня)
глубоко рассмотрены в книге Стратоновича Р. Л. [19]. Все результаты,
изложенные выше, принадлежат Тихонову В. И. [16]. Формула (92) получена Витерби
[18].
68

Видим, что при больших значениях Лт она убывает по
экспоненциальному закону.
Полезно убедиться, что (95) позволяет судить о точности
проведенного ранее исследования на основе линейной модели. Из рис. 3.15
видно, что когда ξρ ^ 0,25,
ξρ ^ ξΡχ. (96)
Согласно (876) имеем
Мтгт-тг (97>
Используя (97) в (95), убеждаемся, что если ξρ = 0,25, то среднее
время между перескоками^ равно
[π
exp (8)
Td = 2350xd. (98)
Из этих формул следует, что ξρ ~ 0,25 является достаточной
гарантией того, что петля работает в линейном режиме большую часть
времени и формулы, выведенные в линейном приближении, описывают
ее поведение вполне адекватно.
Мы видим, что для петли первого порядка, на вход которой
воздействует колебание, фаза которого описывается винеровским процессом,
можно получить достаточно полное описание статистического
поведения. В частности, можно найти плотность вероятности фазовой
ошибки (mod 2π), когда петля находится в статистически установившемся
состоянии, и среднее время между перескоками. Если на вход петли
воздействует синусоидальный сигнал постоянной частоты, то также
можно получить аналогичные результаты.
Для петли более высокого порядка можно написать векторное
уравнение Фоккера-Планка. Вывод этого уравнения не особенно труден,
однако точное решение даже для стационарной плотности получить
невозможно. Витерби [18] исследовал случай петли второго порядка
с передаточной функцией
F{s) = k[l + j-} (99)
при входном сигнале постоянной частоты, когда
θ (0 - ωΔ, t^O. (100)
Им получено приближенное решение для плотности вероятности в
установившемся состоянии
/UE)^expfe""lcos£) , -π<£<π, (101)
2π/ο (Ifn1)
где ξ;„ — средний квадрат фазовой ошибки, обусловленной шумом,
в предположении линейности модели. Для петли второго порядка
Ьп = ^Р- (102)
69

(см. задачу 3.2.10). Заметим, что по форме (101) совпадает с (88). Чарлиз
и Линдсей провели теоретическое и экспериментальное исследование
случая неидеальной петли второго порядка, у которой
F(s) = k(±±j) , (103)
при наличии сигнала с постоянной частотой на входе, и получили
различные приближенные аналитические решения. Кроме того, для
подтверждения выведенных приближенных выражений ими был получен
ряд экспериментальных результатов, которые свидетельствуют о том,
что плотность вероятности вида (101) является хорошим
приближением, когда Ifn1 превышает 1,4 дБ.
Дальнейшее изучение приближенных решений векторного
уравнения Фоккера--Планка в сочетании с результатами строго
поставленных экспериментов (или моделирования), по-видимому,
позволит понять поведение системы ФАПЧ при наличии шума. Заметим,
что переходное решение исходного дифференциального уравнения
в частных производных (79) или его векторного аналога позволило
бы нам исследовать задачу захвата при наличии шума. До сих пор
мы были не в состоянии получить решение этой задачи.
Помимо плотности вероятности фазовой ошибки метод Фоккера—
Планка позволяет исследовать поведение петли в режиме перескоков.
Точных решений для петель более высокого порядка пока не получено.
Рассмотрим теперь кратко некоторые другие возможные методы.
3.3.2. Методы возмущения и приближения
В основе использованного нами метода линейного приближения
лежит представление нелинейности рядом
sine(t) = e(t)-e^- + e-^+ ... (104)
с последующим отбрасыванием членов более высокого порядка. Метод
возмущения заключается в удержании некоторых членов высших
порядков. Существует несколько путей фактического применения метода
возмущения. В [24] разработана эффективная процедура, основанная
на использовании разложения в ряд Вольтерра. Используя этот
способ, можно было бы найти достаточно точное выражение для дисперсии
ошибки е (t) в тех случаях, когда линейное приближение уже не
является справедливым. Эта процедура довольно утомительна и не
вскрывает существа явлений, в действительности имеющих место э
петле. Этими же недостатками страдает и другая реализация метода
возмущения, которая рассмотрена в [25]. Разработаны также и другие
методы приближения. Пособиями по этому вопросу могут служить
работы [2, 26 и 27]. Прежде чем пользоваться приближенными формулами,
необходимо четко представлять, на какой основе сделано данное
приближение и пригодно ли оно для условий рассматриваемой задачи.
70

Этим завершается наше изложение вопросов анализа нелинейного
поведения систем ФАПЧ при наличии шума. Оно по необходимости
было кратким, и интересующимся читателям необходимо обращаться
к упомянутым по ходу изложения источникам (особенно гл. 3 и 4 в
работе [5]). Мы попытались упомянуть различные из числа
разработанных к настоящему времени методов и некоторые важные результаты,
которые могут быть с их помощью получены. Эти методы находят также
применение при исследовании других нелинейных систем. Рассмотрим
теперь некоторые другие вопросы, связанные с использованием
системы ФАПЧ в качестве устройства синхронизации.
3.4. Примыкающие вопросы
В этом параграфе мы кратко рассмотрим шесть вопросов, которые
представляют интерес в рамках задачи синхронизации. Некоторые из
них имеют преимущественно теоретическое значение, однако
большинство являются практически важными. Перечислим сначала эти
вопросы, а затем кратко их обсудим.
1. Оптимальные следящие системы с изменяющимися во времени
параметрами.
2. Оптимальные следящие системы с постоянными во времени
параметрами.
3. Системы с минимальным временем захвата.
4. Типы фазовых детекторов.
5. Захват при наличии шума.
6. Полосовые ограничители до петли.
3.4.1. Оптимальные следящие системы с изменяющимися во времени
параметрами1^
Первой, представляющей интерес, задачей является случай, когда
система ФАПЧ находится в режиме захвата и наблюдается малое
случайное скачкообразное изменение частоты. Помимо этого на вход
системы воздействует аддитивный шум. Требуется построить систему,
минимизирующую среднеквадратическую фазовую ошибку.
Предполагается, что справедлива линейная модель системы. Кроме того,
предполагается известным время, когда происходит скачок частоты.
Опишем теперь конкретную математическую модель.
Линеаризованная модель системы ФАПЧ показана на рис. 3.16. Эта
структурная схема идентична схеме рис. 2.18, за исключением того, что
содержит в петле фильтр glr (t> τ) с изменяющимися во времени параметрами.
На вход линейной модели петли воздействует колебание
rmo(t) = Q(t) + n"(t)9 f>0. (105)
Х) Для изучения этого материала необходимо знакомство с содержанием
§ 6.3 первого тома; п. 3.4.1 можно опустить, не утратив последовательности и
целостности изложения.
71

(Подстрочным индексом «то» обозначается то, что величина относится
к модели.) Шум n"t имеет спектральную плотность NJ2P и
ΘΗ ο, «<β. (106)
где ωΔ — случайная величина с нулевым средним и дисперсией σ£.
Требуется синтезировать фильтр в петле с тем, чтобы
минимизировать средний квадрат ошибки
lp{t) = E[{Q(t)-er{t))%] (107)"
для всех t^O. Поскольку θ (t) — нестационарный процесс, ясно,
что фильтр в петле, параметры которого изменяются во времени, будет
оптимальным. Укажем, как можно определить такой оптимальный
Bit)
4. \?"(t) 4-
flJtf*)
ΘρΜ
Рис. 3.16. Линеаризованная модель системы ФАПЧ с
фильтром, имеющим изменяющиеся во времени параметры (со
«следящим» фильтром).
фильтр и его характеристики. В большинстве случаев оптимальную
систему реализовать практически невозможно, однако знание ее
дает возможность понять, насколько хорошо мы можем решить
указанную задачу.
Эта задача легко формулируется с позиций теории фильтра
Кальмана—Бьюси (см. § 6.3 первого тома). Вектор состояния определяется
формулой (7). Начальные условия определяются из соотношения (9)
при θ0 = 0. Уравнение состояния имеет вид
x(f) = F(0x(f) + G(0"(0. (108)
а уравнение наблюдения
e(0 = C(f)x(f). (109)
где
F(0=P, (ПО)
G(0 = O, (111)
c(o = [i;o]. (112)
Оценку по минимуму среднеквадратической ошибки можно
получить непосредственно из (1—6.320) и (I—6.322):
£(f) = F (*)£(*) +ζ (*)[/■ (9-С (0 £(*)], (ИЗ)
z(t)=^b(t)CT(t). (114)
72

Дисперсионное уравнение имеет вид
Ιη(0 = 2ξ12(0-|?1(0^, (115)
ii2 (о == s22 (о—in (о ii2 (0 |г. (не)
/ν ο
&2(Ο=-ξ?.(0χτ. (117)
Решение для ξρ (/) в замкнутой форме можно получить, используя
свойство 16 на стр. 619 первого тома (см. также задачу 3.4.1).
Окончательное выражение для среднего квадрата ошибки имеет вид
(N0/2P)+a&{t*I3) U l J
Левый верхний элемент матрицы здесь является среднеквадратиче-
ской фазовой ошибкой. Видим, что ошибка стремится к нулю при /->оо»
Синтез фильтра в петле вынесен в задачу 3.4.1.
Основная цель этого примера — проиллюстрировать
использование фильтров с изменяющимися во времени параметрами в системе
ФАПЧ. Во многих физических ситуациях эта реализация была бы
непрактичной, так как она строится на предположении, что время, когда
происходит скачок, известно. В задачах 3.4.2 и 3.4.7 рассматриваются
аналогичные ситуации, когда имеется информация о времени
появления скачка.
3.4.2. Оптимальные следящие системы с постоянными параметрами
Рассмотрим теперь второй подход к задаче слежения, который
приводит к более практичной системе. Модель описывается
выражениями (105) и (106). Мы требуем, чтобы фильтр в петле имел
неизменяющиеся во времени параметры, и предполагаем, что справедлива
линеаризованная модель рис. 2.18. Поскольку рассматривается фильтр
с постоянными параметрами, можно теперь не минизировать ξρ (t)
в (107) для всех значений t.
Другой подход заключается в разделении ошибки, обусловленной
кратковременным сигналом (скачкообразным изменением частоты)
и ошибки, обусловленной действием шумаХ). Такое разделение
правомерно ввиду предположения о линейности системы.
Пусть θΓί (/) будет выходным колебанием, обусловленным сигналом
θ (ή, a Qrn (t) — выходным колебанием, обусловленным шумом.
Соответствующие средние квадраты ошибок равны
ξ#* = £ К [Q(t)-Qrt(m2dt , (119)
Х) Этот метод был впервые применен в [28]. В деталях наша модель несколько
отлична от модели, принятой в [28], однако конечный результат один и тот же.
73

т. е. математическому ожиданию интеграла от квадрата ошибки
переходного режима, и
1п^Е0гп(Щ% (120)
т. е. среднему квадрату фазы колебания на выходе,
обусловленному действием шума. Кроме того, предполагается, что фильтр в
петле должен иметь постоянные во времени параметры. Из (106)
имеем
θ<4 о, /<о. <121)
или
θ (/ω) = lim 1—^—W-^-. (122)
ε->0+ \.(/ω + ε)2^ (/ω)"
Обозначив передаточную функцию замкнутой петли через Н1г (/ω)
[см. (2.60)], ошибку 1и можно выразить в виде
ξ„= $ |1-я1г(/<»)»
—оо
Шумовая ошибка равна
**. (123)
ω4 2π
ln = }jHlr(H\^pd^. (124)
Теперь можно выбрать Н1г (/ω) так, чтобы сумма квадратов
ошибок была минимальной. Вместо этого ограничим 1и величиной 1% и
минимизируем ξη при указанном условии. Такой подход позволяет
взвесить значимость этих ошибок дифференциально. Используя
множитель Лагранжа λ, определяем функцию
оо
/7 = 1„ + λ[ξ/ί-ξ?ί]= J Ι^Γ(/ω)|·^^ +
ОО
ОО
С λσ2 а
+ |ΐ_#/Γ(/ω)|»-ίϊ· f—Xlb. (125)
J ω4 2π
—оо
Теперь можно было бы минимизировать это выражение
непосредственно. С другой стороны, эту задачу можно решить путем простого анализа,
не прибегая к выкладкам, если использовать следующее
обстоятельство. Рассмотрим задачу винеровской фильтрации
г (ή = а (0 + п (0, (126)
d (ή = α (ή, (127)
74

где
Se(<o)=^L, (128)
5„(ω)=^, (129)
5Γ(ω) = 5α(ω) + 5„(ω), (130)
Средний квадрат ошибки в этой задаче равен
оо оо
1= ||1_Я(/ш)|^аИ^-+ ||Я(/со)|25п(со)^· (131)
—оо —оо
(см. задачу 3.4.9). Используя (128) и (129) в (131), видим, что, за
исключением постоянной величины %\*и выражения для ξ и F тождественны.
Следовательно, передаточная функция Н1г (/ω), которая
минимизирует функцию F, есть просто передаточная функция винеровского
фильтра для задачи, описываемой (126)—(130). Применив формулу
(I — 6.78), получим
/^ (*>)=- ! (-, ^ ) · (132)
Это выражение можно привести к виду
н1Г0 w = ΐ/?ωΊ(/ω)+ω" ,. (133)
где
есть собственная частота петли (см. задачу 3.2.4). Чтобы определить
λ, вычислим ζη и ξ/*, использовав метод, который прямо ведет к цели
(см. задачу 3.4.10):
**п(!Ь\ (135)
Ъп 2~\/2\2Р)> V '
bt = —^-г- (136)
2/2 ω3η
Эти соотношения позволяют определить λ однозначно. Из (133), (135)
и (136) видно, что вместо λ можно оперировать непосредственно с ωη.
Из (136)
/ лД \1/з
ωΛ= —^Г · (137)
\ 2 V2 In I
Применив (137) в (135), получим
ξ _3_/_£i_y'»/M (138)
75

Как и следовало ожидать, ошибка ξ^ убывает, если интеграл
переходной ошибки 1% возрастает.
Передаточная функция фильтра в петле имеет вид
^ο(/ω)-^(ΐ + -^-). (139)
У Ρ \ У 2 /ω /
Из этого выражения видно, что петля имеет множитель затухания,
равный 0,707. Интересно, что множитель затухания инвариантен по
отношению к уровню ограничения. Эта петля второго порядка
принадлежит к числу тех, которые часто используются на практике, когда
необходим компромисс между ошибкой слежения и шумовой ошибкой.
Отметим, что это как раз петля второго порядка, фазовый портрет
которой мы рассматривали в § 3.2 (см. рис. 3.7).
Заметим, что при рассмотрении второго метода мы ввели
ограничение класса системы, а именно, система должна быть с постоянными во
времени параметрами. Поэтому время появления скачка частоты не
имеет значения. При рассмотрении первого метода оптимальной
системой являлась система с изменяющимися во времени параметрами и
знание времени появления скачка частоты было обязательным.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что в обоих методах предполагается,
что справедлива линейная модель системы.
При рассмотрении следующих двух вопросов мы возвращаемся
к нелинейной задаче, однако на этот раз при отсутствии шума.
3.4.3. Системы с минимальным временем захвата
При другом подходе к задаче захвата используются методы теории
оптимального автоматического регулирования. Структура петли,
включая фильтр, считается фиксированной, а шум отсутствует; наблюдается
состояние системы. Входная величина генератора является
управляющей функцией и вместе с тем нелинейной функцией состояния.
Система регулирования синтезируется так, чтобы минимизировать время
после появления скачка частоты, необходимое для уменьшения
ошибки до нуля. Для этого случая систему регулирования можно
синтезировать, исходя из принципа Понтрягина. Этот подход отличается от
других рассмотренных нами методов двояким образом:
1. Здесь критерий минимизирует время, требуемое для уменьшения
ошибки до нуля.
2. Входная величина генератора является нелинейной функцией
состояния системы.
Нас не интересует, используется ли регулирование такого рода
в реальных системах ФАПЧ, важно, что этот метод дает основу для
сравнения. В числе других работ, где он рассматривается, можно
рекомендовать [29 и 49]. В случае, если шум присутствует, мы имеем
стохастическую задачу регулирования, которая является значительно
более трудной.
76

3.4.4. Типы фазовых детекторов
sine
Другим методом изменения характеристик захвата является
использование фазового детектора вместо перемножителя для выделения
сигнала ошибки системы ФАПЧ. Путем изменения характеристики
детектора изменяются траектории на фазовой плоскости. Ряд
возможных характеристик детектора показан на рис. 3.17. При характеристике
вида а фазовый детектор ведет себя как перемножитель.
Характеристики вида бив линейны в
пределах ошибки ±я/2 и ±π
соответственно. Траектории на фазовой
плоскости для петель второго
порядка с такими фазовыми
детекторами можно построить путем
использования обычного метода
кусочно-линейного анализа (см.
задачи 3.4.12—3.4.15 или [30]).
Нелинейное поведение при наличии
шума анализировать труднее, так
как крайне сложно вывести точную
математическую модель, которая
была бы вместе с тем аналитически
доступной.
Другим вариантом является
семейство характеристик,
описываемое уравнением
(1 + k) sin (eir(tj)
I+k cos (eir(t))
0<£<1, (140)
где elr(t)—фазовая ошибка, az\P(t)—
выходное напряжение фазового
детектора. Путем изменения к
можно получать различные
характеристики. Петли с подобными фазовыми характеристиками
называются петлями типа «Тэнлок»1*, они исследовались Робинсоном [31] и
Бейлодисом [32]. Их анализ в отсутствие шума прямо ведет к цели.
Удовлетворительный анализ случая присутствия шума пока еще не
произведен. Интересующихся читателей отсылаем к указанным
источникам для более подробного ознакомления. Среди других, где
рассматривается влияние характеристики фазового детектора на работу
ФАПЧ, отметим [34 и 56].
3.4.5. Захват при наличии шума
Как было отмечено выше, аналитического решения задачи захвата
при наличии шума еще не получено. Фразье и Пейдж [33] моделировали
систему второго порядка при внешнем управляющем напряжении и
,(1)
it)
Рис.
3.17. Характеристики фазовых
детекторов.
1} Tanlock. — Прим. перев.
77

получили формулы для вероятности захвата как функции отношения
сигнал/шум, множителя затухания и скорости свипирования. К числу
других работ, в которых рассмотрены различные аспекты задачи
захвата, относятся [20—23 и 50—55].
3.4.6. Полосовые амплитудные ограничители перед петлей
На всем протяжении изложения в рассматриваемые модели
входила амплитуда несущей ]/7\ при этом неявно предполагалось, что она
постоянна и известна. На практике она может изменяться во времени.
Один из путей компенсации этого изменения — измерять амплитуду
и подстраивать петлю, чтобы поддерживать ее оптимальной. При
медленных изменениях нет принципиальных или практических
затруднений в построении адаптивной системы этого типа. Основным
недостатком этого способа является дополнительная сложность.
Более простой способ заключается в том, что перед петлей
последовательно включаются амплитудный ограничитель и полосовой фильтр.
В результате этого амплитуда входного сигнала становится
практически постоянной. Качество системы такого типа рассмотрено в
многочисленных работах (например, [28]).
В этом параграфе мы попытались выделить некоторые вопросы,
которые могут оказаться существенными, если система ФАПЧ
используется в качестве устройства синхронизации. В следующем параграфе
мы суммируем полученные результаты.
3.5. Краткие выводы по задаче синхронизации
В этой главе было рассмотрено поведение системы ФАПЧ и ее роль
как устройства синхронизации. Логически рассмотрение
подразделяется в нескольких отношениях. Один из подходов — разделение на
случаи работы системы в линейной и нелинейной областях, другой —
на случаи работы в установившемся (стационарном) и переходном
режимах.
Рассмотрение стационарной задачи было начато с моделирования
нестабильности генератора в виде винеровского процесса, анализа
системы, исходя из линеаризованной модели, и синтеза оптимального
фильтра, включаемого внутри петли. Для анализа системы в
нелинейной области было использовано то обстоятельство, что ошибка
является марковским процессом и для описания поведения ее плотности
вероятности можно использовать уравнение Фоккера — Планка. Это
уравнение получается в частных производных, однако, если
предположить, что система находится в стационарном состоянии, оно
сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое
можно решить для конкретной интересующей нас системы
синхронизации. Было показано, что ошибки в системе обусловливаются двумя
различными явлениями. Существует локальная ошибка, обусловленная
действием на систему шума, который вызывает случайные отклонения
относительно правильной рабочей точки. Эта ошибка поддается до-
78

СТаточно Точному расчету методом линейного приближения или методом
возмущения. Имеется и вторая компонента ошибки, обязанная
случайному шумовому сдвигу системы в неправильную рабочую точку.
Это явление называется перескоком фазы. Чтобы в достаточной степени
понять работу петли, необходимо исследовать как локальные ошибки,
так и поведение системы в режиме перескоков.
В случае петель более высокого порядка векторное уравнение Фок-
кера — Планка не имеет точного решения. В случае петли второго
порядка возможны приближенные решения, которые достаточно точно
описывают поведение системы при определенных условиях.
Анализ переходного режима работы системы необходим для
понимания ее поведения при захвате. В отсутствие шума исследование
переходного режима для петель первого, второго и третьего порядков
сводится к непосредственному применению метода фазового портрета»
Траектории на фазовой плоскости легко можно построить при помощи
аналоговой или цифровой ЭВМ. По этим траекториям можно
определить начальные условия, которые позволяют системе перейти в режим
захвата, и время, необходимое для захвата. Можно показать, что при
наличии слабого шума эти результаты можно также использовать.
Однако при наличии сильного шума оказывается необходимым
исследовать системы либо экспериментально, либо методом моделирования.
В заключение были указаны некоторые родственные вопросы и
практические аспекты, которые представляют интерес при
рассмотрении задачи синхронизации.
3.6. Задачи
Задачи к § 3.1. Анализ нестабильности частоты генератора
Задача 3.1.1. В основном тексте была вычислена реализуемая сред-
неквадратическая ошибка фильтрации ξ]/2.
1. Вычислить ξΐ/2—нереализуемую среднеквадратическую
ошибку фильтрации для спектральной плотности (16).
2. Нереализуемый фильтр, включаемый после петли, можно
аппроксимировать, допустив задержку. Вывести формулу среднеквад-
ратической ошибки как функцию этой задержки.
Задача 3.1.2. Рассмотрим задачу синхронизации, описанную в
§ 3.1. Предположим, что фазовый спектр равен Sq (ω) = c/ω4.
1. Найти оптимальный фильтр, включаемый внутри петли,
который минимизирует среднеквадратическую фазовую ошибку.
Допустим, что справедлив линеаризованный вариант модели рис. 2.19.
Определить местоположение полюса (полюсов) фильтра, стоящего
внутри петли.
2. Вычислить получающуюся реализуемую среднеквадратическую
ошибку.
Задача 3.1.3. Повторить задачу 3.1.2 для r^"-j% ф^^гб^^згг'рг
Sq (ω) = c/ω6.
На этот раз также заметьте местоположение полюсов фильтра в петле.
79

Задача 3.1.4. Спектральные плотности, приведенные в двух
предыдущих задачах, являются частными случаями спектра вида
' So (ω)- с /ω2η.
1. Найти оптимальный фильтр в петле, обеспечивающий
наименьшую среднеквадратическую ошибку фазы.
Указание: обратиться к формулам на стр. 622—624 первого тома;
использовать их совместно с (2.73).
2. Вычислить получающуюся реализуемую среднеквадратическую
ошибку.
Задачи к § 3.2. Нелинейный анализ при отсутствии шума
В § 3.2 рассмотрено четыре типа фильтров, включаемых внутри
"петли. В следующих нескольких задачах обсуждаются некоторые
характеристики этих фильтров. Предполагается, что справедлива
линейная модель петли, показанная на рис. 3.1*. Сводка выражений для
передаточных функций различных фильтров в петле и соответствующих
передаточных функций замкнутой петли дана в табл. 3.1*.
Задача 3.2.1. Убедиться, что выражения для передаточных
функций замкнутой петли, приведенные в табл. 3.1*, являются
правильными.
Задача 3.2.2. Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 3.2*.
Убедиться, что, используя эту схему в качестве фильтра в петле, получаем
неидеальную петлю второго порядка, представленную на рис. 3.1*.
^
fL4
\nft)
\ +
eft) Г7,—1.
1—-—-н f/s k !
Рис.
3.1*.
Рис. 3.2*.
Задача 3.2.3. Предположим, что имеется такая постоянная
частотная расстройка, что
θ (ή = ωΑί + &0,
а шум отсутствует. Определить стационарную фазовую ошибку в
неидеальной петле второго порядка.
Задача 3.2.4. В теории линейных систем с обратной связью
передаточную функцию петли второго порядка часто записывают в виде
2ζω„ s + coS
H(s) =
(П
δ2 + 2ζωπ, s-\-(un
где ωη — собственная частота петли, а ζ — множитель затухания
80

Таблица 3.1*
Наименование фильтра
Идеальный первого
порядка
Идеальный второго
порядка
Неидеальный второго
порядка
Идеальный третьего
порядка
Передаточная функция F (s)
фильтра в петле
k
'(■+Т+7-)
Передаточная функция замкнутой
петли И (s)
k
S + k
k (s + a)
s2 + ks + ak
k(s + a)
s2+(k + s)s + ak
k(s2+as + b)
s* + ks2 + aks + bk
Сравнивая (1*) и данные табл. 3.1, видим, что
• ωη = Yak,
Ζ
2 V а
(2*)
(3*)
1. Построить частотную характеристику петли как функцию ω/ωη
для нескольких значений ξ.
2. Каков смысл величин ζ и ωη?
Задача 3.2,5. Простой метод исследования устойчивости линейной
системы с обратной.связью заключается в построении графика
корневого годографа (например [35 или 36]).
1. Построить график корневого годографа для идеальной петли
второго порядка. (Считать а постоянным и изменять k.)
2. При каких значениях ки а система устойчива?
3. Указать точки на графике, где ζ = 0,5; 0,707 и 1,0.
Примечание. Вспомним из обоснования линейной модели системы,
что коэффициент передачи разомкнутой петли в модели содержит
множитель γ"Р, обусловленный амплитудой несущей. Во многих случаях
Ρ медленно меняется во времени. Поэтому график корневого
годографа является полезным инструментом при исследовании поведения
системы.
Задача 3.2.6. Построить график корневого годографа для
неидеальной петли второго порядка.
Задача 3.2.7.
1. Построить график корневого годографа для идеальной петли
третьего порядка с передаточной функцией, указанной в табл. 3.1*.
2. При каких значениях k эта система устойчива? Обсудить смысл
этого результата в свете примечания к задаче 3.2.5 по поводу мощности
несущей.
81

Задача 3.2.8. Рассмотрим идеальную петлю третьего порядка из
табл. 3.1*. Допустим, что
θ (Ζ) - (DA/2) t2 + ωΔ/ + θ0, t > 0.
Показать, что стационарная ошибка в отсутствие шума равна нулю.
Примечание. Во многих задачах необходимо вычислять интегралы
вида
/оо
7 _L Г c(s)c(-s)
2xij J. D(s)D( — s)
— !°°
где
C(s) = cn^sn-1 + ...+ Co,
D(s) = dns" + ...-M0.
Этот интеграл табулирован для я ^ 10 (например [37 или 38]). Его
значения для η ^ 4 сведены в табл. 3.2*.
Таблица 3.2* [38]
1 2d0dx '
c\d^c\d2
/2 = ,
2d0 di d2
g| 4 <*i + (cl — 2co cz) d0d3 + cld2 d3
2d0d3( — d0d3 + d1d2)
c\ (~dl d3+d0 dx d2) + (cf — 2cx c3) d0 dx d4 +
+ (cl — 2c0c2)d0d3du+cl ( — d1dlJrd2d3du)
2d0d4 { — d0dl — dld^ + d1d2d3)
Задача З.2.9. Шумовая полоса линейной системы, обозначаемая
через /^определяется формулой (2.71). Определить шумовую полосу
идеальной системы первого порядка из табл. 3.1*.
Задача 3.2.10. Определить шумовую полосу идеальной системы
второго порядка из табл. 3.1*.
Задача 3.2.11. Определить шумовую полосу неидеальной системы
второго порядка из табл. 3.1*.
Задача 3.2.12.
1. Вычислить шумовую полосу системы третьего порядка из
табл. 3.1*.
2. При некоторых значениях k, а и b шумовая полоса BL
оказывается отрицательной. Объяснить смысл этого результата.
Примечание. Для справок, которые понадобятся в дальнейшем,
сведем ответы к задачам 3.2.9 — 3.2.12 в табл. 3.3*.
82

Таблица 3.3*
Наименование
Идеальная система первого порядка
Идеальная система второго порядка
Неидеальная система второго порядка
Идеальная система третьего порядка
^l
k/4
(£ + α)/4
k{k + a)
4 (k + e)
k (ak-\-a2 — b)l4(ak-
-b)
iffft)k
1_L
Jt_l
Рис. 3.3*.
Задача 3.2.13. Интересное соотношение между порядком
оптимальной петли и спектром фазового процесса можно получить в
результате анализа ответов к задачам 3.1.2 и 3.1.3. Рассмотрим пуассоновский
импульсный процесс. Типичная его выборочная функция показана на
рис. 3.3*. Моменты времени появления импульсов определяются
стационарным пуассоновским процессом со средней частотой k импульсов
в секунду. Все импульсы имеют
единичную площадь и могут быть
либо положительными, либо
отрицательными с одинаковой
вероятностью.
1. Что представляет собой
спектральная плотность процесса
k (О?
2. Каков должен быть алгоритм обработки этого потока импульсов
ίδ (/), чтобы получить процесс со сЬектральной плотностью 50 (ω) =
= l/τ^ω2. Изобразить график типичной выборочной функции.
3. Повторить п. 2 задачи для спектральной плотности 50 (ω) =
= с/со4.
4. Повторить п. 2 задачи для спектральной плотности 50 (ω) =
= с/со6.
5. Ранее результаты, приведенные в табл. 3.4*, были получены для
случая петель при отсутствии шума. Использовать результаты
табл. 3.4* и п. 2—4 данной задачи для объяснения структуры
фильтров, включаемых внутри петли, передаточные функции которых
были выведены в основном тексте и в задачах 3.1.2 и 3.1.3.
Таблица 3.4*
Входная величина
Тип петли
Стационарная
фазовая
ошибка
θ (/) =θ0, *>0
θ(ί)=ωΔ/ + θ0,
θ № = -4- '
/>0
ωΔ/
■θ0, />0
Идеальная первого порядка
Идеальная второго порядка
Идеальная третьего порядка
83

Задачи к § 3.3. Нелинейный анализ при наличии шума
Для решения всех задач данного параграфа необходимо обращаться
к дополнительной литературе.
Задача 3.3.1 [18].
1. Написать векторное уравнение Фоккера— Планка в общем виде.
2. Конкретизировать результат п. 1 для частного случая, когда
F(s) = k(\ + 2-y
3. Убедиться, что справедлива формула (101).
4. Дать пояснения к приближениям, сделанным при выводе
формулы (101).
Задача 3.3.2 [18]. Центральным является вывод о том, что при
высоком отношении сигнал/шум можно записать
ры (Е) = exp (a cosΕ)/[2πΙ0 (α)], —π ^ α ^ π, (Γ)
fs = 2BL/[n*aIl(a)], (2*)
где а — величина, обратная ξθ·
1. Высказать соображения по поводу справедливости этого
приближения. Какие затруднения возникают при его использовании?
2. Доказать (92), использовав (20) и (2*). Заметим, что в этом
случае нет необходимости прибегать к приближению.
Задача 3.3.3. Ознакомиться с теорией функциональных рядов Воль-
терра [24]. Высказать соображения относительно применимости метода
разложения в ряд Вольтерра к исследованию системы ФАПЧ.
Задачи к § 3.4. Примыкающие вопросы
Задача3,4.1. Рассмотрим систему, показанную на рис. 3.16, и
относящиеся к этой системе выражения и уравнения (105) — (117).
1. Определить передаточную функцию оптимального фильтра
в петле. Вычислить коэффициенты передачи фильтра как функцию
времени.
2. Убедиться, что формула (118) является правильной.
Задача 3.4.2. Здесь ставится задача синтеза синхронно-фазового
(когерентного) приемника (демодулятора) для системы
частотно-импульсной модуляции (ЧИМ). Рассматриваемая система первоначально
была описана на стр. 321 первого тома. Каждые Τ секунд передатчик
генерирует сигнал
s(t, A) = (2EIT)lt2sm[((dc + dfA)t], 0<f<7\
Параметр Л является значением равномерно распределенной случайной
величины с единичной дисперсией. График приведенной относительно
сос мгновенной частоты (обозначаемой через ω^ (ή для типичной
последовательности) показан на рис. 3.4*. Принимаемое колебание имеет
вид
г (t) - s (/, А) + w (/), 0< ^< Г,
84

где w (t) — выборочная функция белого нормального шумового
процесса со спектральной плотностью NJ2. Структурная схема
оптимального приемника для этого случая изображена на рис. I—4.31.
1. Предположим, что синтезируется синхронно-фазовый
демодулятор с фильтром в петле, параметры которого изменяются во времени
(т. е. со «следящим» фильтром). Использовать формулу (118) для
анализа помехоустойчивости этого демодулятора в предположении, что
справедлива линеаризованная
-JJdf
Рис. 3.4'.
модель системы ФАПЧ.
2. Сравнить
помехоустойчивость этой системы и системы,
представленной на рис. I—4.31.
3. При каких условиях —
применительно к величинам £,
7', df и N0 — будет справедлив
линейный анализ?
Задача 3.4.3. Рассмотрим
такую же модель, что и в
задаче 3.4.2. Предположим, что требуется синтезировать
синхронно-фазовый демодулятор, используя в петле фильтр, параметры которого
постоянны во времени.
1. Найти передаточную функцию оптимального фильтра в петле
в предположении справедливости линейного приближения.
2. Вычислить среднеквадратическую ошибку оценки.
3. Сравнить помехоустойчивость этой системы и системы,
рассмотренной в задаче 3.4.2.
Задача 3.4.4. Рассмотрим модель, описанную в п. 3.4.1.
Предполагается, что
θ(0 =
ωΔ^ + θ0, ί>0,
О,
t<0,
где ωΔ — случайная величина с нулевым средним и дисперсией σ«,
а θ0 — случайная величина с нулевым средним и дисперсией σ§. Эти
две случайные величины статистически независимы. Требуется
построить фильтр в петле, минимизирующий ошибку ξρ (/), которая
определяется выражением (107).
1. Вывести выражение для передаточной функции оптимального
фильтра в петле, используя линейный анализ.
2. Вычислить ковариационную матрицу ошибок ξρ (/).
3. В чем заключается трудность использования линейного анализа
в данной задаче?
Задача 3.4.5. Видоизменим задачу 3.4.2 с тем, чтобы учесть
влияние нестабильности генератора. Пусть
s(t, /I/)-(2£/r)1/2sin[((oc +
+ dfAi)t-\0(t)l (i — \)T^t<iT9 i--= 1, 2, ... .
85

Параметр At моделируется так же, как и прежде. Фазовый процесс
θ (/) представляется выборочной функцией винеровского процесса,
определяемого выражениями (2) — (4) и (6). Фазовый процесс θ (t)
является непрерывной функцией времени. Повторить анализ,
сделанный в задаче 3.4.2, для этой модели.
Задача 3.4.6. Выполнить анализ, указанный в задаче 3.4.3 (т. е.
использовать фильтр с постоянными во времени параметрами) для
модели, введенной в задаче 3.4.5.
Задача 3.4.7. Необходимо отслеживать частоту генератора,
установленного на борту ИСЗ. Если бы ИСЗ не двигался, то принимаемое
колебание имело бы вид
r(t) = Y2P sin(uct + w(t), 0<t.
Аддитивный белый нормальный шум имеет спектральную
плотность NJ2. На самом деле ИСЗ обладает скоростью, являющейся
функцией времени. Эту скорость можно разделить на две
составляющие:
v(t) = O0(t) + vR(t), 0<t.
Первая составляющая известна и ее влияние можно учесть
детерминирование — функциональной зависимостью. Поэтому, ради
простоты алгебраических выкладок, будем считать ν0 (ή равной нулю.
Со второй составляющей дело обстоит сложнее. Это случайная
величина и она обусловлена малыми неточностями в силе тяги,
развитой ступенями ракеты-носителя
щЩ (ускорителями). На рис. 3.5* пока-
I зана типичная выборочная функ-
2Т
ι ция процесса, описывающего пове-
» » дение величины vR(t) —
производит" ЦТ t ной составляющей скорости vR(t).
Рис. 3.5*. Значение ускорения vR (ή на
каждом интервале — статистически
независимая нормальная случайная величина с нулевым средним и
дисперсией <з\. Допустим, что 1>д(0) — 0 и что при 7 = 0 ошибка
системы ФАПЧ равна нулю. Предположим, что справедлива
линеаризованная модель, представленная на рис. 3.16.
1. Синтезировать оптимальный фильтр в петле с изменяющимися
во времени параметрами, который минимизирует среднеквадрати-
ческую фазовую ошибку. >
2. Вычислить получающуюся среднеквадратическую фазовую
ошибку и среднеквадратическую частотную ошибку.
Задача 3.4.8. Рассмотрим модель, введенную в задаче 3.4.7.
Предположим, что принимаемое колебание с неподвижного
относительно приемника ИСЗ имеет вид
г (/) = Υ2Ρ sin (o)c 7 + θ (0) + w (7), 0 < 7,
86

где θ (ή — выборочная функция винеровскоГо процесса,
описываемого выражениями (2) — (4) и (16). В остальном модель задачи
остается такой же. Написать систему уравнений, описывающую
оптимальный фильтр в петле, который минимизирует среднеквадратическую
ошибку оценивания фазы.
Задача 3.4.9. Рассмотрим задачу фильтрации, описываемую
выражениями (126) и (127).
1. Убедиться, что справедлива формула (131).
2. Использовать этот результат для вывода выражения для
передаточной функции оптимального нереализуемого фильтра.
3. Почему формулу (131) трудно использовать для получения
передаточной функции оптимального реализуемого фильтра? (Для
более детального рассмотрения этого вопроса см. [39].)
Задача 3.4.10.
1. Выполнить подробные выкладки, чтобы перейти от (132) к (133).
Не забудьте заменить /ω на (/ω + ε) Β качестве предварительного
условия факторизации спектра.
2. Убедиться, что значения £д и ξ/^, даваемые формулами (135)
и (136), являются правильными.
Задача 3.4.11. Рассмотрим модель задачи, введенную в п. 3.4.2.
Допустим, что
θ(ί) =
~^2 + ωΔ/, t>0,
0, f<0,
где E[Dl] = Gd и E[(uI] = Oq. Требуется построить систему ФАПЧ,
используя такую же процедуру, как в п. 3.4.2.
1. Написать выражения для ξα и ξη [см. (119) и (120)].
2. Сформулировать соответствующую задачу винеровской
фильтрации.
3. Решить ее относительно Н1го (/ω) и GZro (/ω).
Представляется ли структура фильтра в петле интуитивно правильной?
4. Вычислить 1п как функцию параметров Ρ, Νθ9 σ%9 σ%> и ξ**.
Задача 3.4.12. Рассмотрим систему ФАПЧ, в которой
используется фазовый детектор, характеристика которого показана на
рис. 3.17, б. Фильтр в петле имеет передаточную функцию
F(s)=1t(l + j-y (1*)
Фазу входного сигнала можно записать в виде
θ(ί) = ωΑί + θ0. (2*)
1. Вывести дифференциальное уравнение, которое описывает
систему при отсутствии шума [аналогичное (48)]. Провести нормировку
времени, как это сделано в (51).
87

2. Построить траектории на фазовой плоскости для случая
alk = 1/2.
Сравнить построенный фазовый портрет с рис. 3.7.
3. Построить график е (t) при начальных условиях
е(0)
ае(т)
άτ
- О,
4. Повторить задание п. 3 при начальных условиях
е (0) = 0
(3*)
(4*)
(5*)
(6*)
de(x)
dx
3,5
ίτ = 0
V*
(7*)
Проанализировать различие между результатами по пп. 3 и 4.
Сравнить полученные результаты с формулами, выведенными в основном
тексте для фазового детектора с синусоидальной характеристикой.
Примечание. Более подробное рассмотрение фазовых детекторов
с кусочно-линейными характери-
Л 9 стиками можно найти в статье
. й~ив/\ Кана [30].
Задача 3.4.13. Повторить
задачу 3.4.12 для случая, когда
характеристика фазового детектора имеет
вид рис. 3.17, в.
Задача 3.4.14. Рассмотрим
характеристику фазового детектора,
изображенную на рис. 3.6*. Путем
регулирования крутизны
(наклона) с и d участков
характеристики можно исследовать условия
Рис. з.б*. обмена между временем захвата
при отсутствии шума и шумовой
полосой линеаризованной петли. Допустим, что передаточная
функция фильтра в петле определяется выражением (1*) из задачи 3.4.12.
1. Построить траектории на фазовой плоскости для некоторых
типичных значений параметров с и d и alk = 1/2.
2. Высказать соображения по процедуре синтеза системы.
Следует сделать два замечания:
1. Эту задачу можно также исследовать, используя методы
теории оптимального автоматического регулирования.
2. Окончательный вариант синтезированной системы необходимо
промоделировать с тем, чтобы убедиться, что поведение системы в
нелинейном режиме при наличии шума является удовлетворительным.
88

Задача 3.4.15. Рассмотрим петлю второго порядка, детектор
которой обладает характеристикой, показанной на рис. 3.17, б.
Передаточная функция фильтра в петле имеет вид
F(s)=k(l + ±).
Фаза входного синусоидального сигнала описывается
выражением
θ(/) = — /2 + ωΔ^ + θ0, ί>0.
Аддитивный шум отсутствует.
1. Написать дифференциальное уравнение, описывающее данную
систему.
2. Построить фазовый портрет системы.
3. Каково наибольшее значение/)д, при котором ФАПЧ будет
захватываться при любой системе начальных условий?
Задача 3.4.16. Результаты, получаемые в задаче 3.4.15,
непосредственно связаны с задачей захвата синусоидального сигнала путем
свипирования — изменения частоты управляемого генератора (УГ)
приемника [см. (71) и (72)]. Необходимо рассмотреть эту задачу
применительно к системе, указанной в задаче 3.4.15.
1. Предположим, что сигнал, который требуется выделить, имеет
вид:
]/2Ρ5ίη(ω0/ + ωΔ?ί + 9ο), 0</<7\
где ωΔ — случайная величина, равномерно распределенная на
интервале Ιωΐ9 ω2 -|- Ω], a θ0 — случайная величина, равномерно
распределенная на интервале [0,2π]. Принимаемое колебание
записывается в виде
г (0 - У29 sin (сос / + сод t + θ0) + w (0, 0 < / < Г,
где w (t) — белый нормальный шум со спектральной плотностью
j¥0/2. Синтезировать систему ФАПЧ для выделения данного сигнала
в предположении, что шум мал.
2. Провести приближенный анализ влияния шума.
3. Рассмотреть другие возможные схемы захвата (напомним
обсуждение, проведенное на стр. 321 первого тома). Проанализировать
преимущества и недостатки различных схем.
4. Как изменилось бы рассмотрение вопроса п. 3, если
интересующий нас сигнал имел бы вид
y2Psin(coc/ + o^ + e(0), 0</,
где θ (/) — выборочная функция стационарного нормального
случайного процесса?
Задача 3.4.17. Рассмотрим неидеальную петлю второго порядка,
фазовый детектор которой имеет характеристику, показанную на
89

рис. 3.17, б. Передаточная функция фильтра в петле записывается
в виде
Фаза входного синусоидального сигнала равна
θ (0 = ωΔ t + θ0, О < t.
Аддитивного шума нет.
1. Написать дифференциальное уравнение, описывающее данную
систему.
2. Построить фазовый портрет системы.
3. Сравнить результаты, полученные в п. 2, с фазовым
портретом, изображенным на рис. 3.7. Объяснить различие между ними.
Список литературы
1. Edson W. A. Noise in Oscillators. Proc. IRE, I960, v. 48, p. 1454—1466.
2. Develet J. A Threshold Criterion for Phase-Lock Demodulation. Proc.
IRE, 1963, v. 51, p. 349—356.
3. Develet J. STL Tech. Note 8616-0002-NU-000, June 1, 1961.
4. V i t e r b i A. J. Acquisition and Tracking Behavior of Phase-Locked Loops.
Proc. Symp. on Active Networks and Feedback Systems, 1960, v. 10, p. 583—
619, Polytech. Inst. Brooklyn.
5. В и т е р б и А. Д ж. Принципы когерентной связи. Пер. с англ., под ред.
Б. Р. Левина. М., «Сов. радио», 1970.
6. Андронов Α. Α., X а й к и н С. Э. Теория колебаний. ОНТИ, 1937.
Т. Τ г и χ а 1 J. G. Automatic Feedback Control System Synthesis. McGraw-
Hill, New York, 1955.
8. Sanneman R. W., Rowbotham J. R. Unlock Characteristics of
the Optimum Type II Phase-Locked Loop. Trans. IEEE, 1964, v. ANE-11,
№ 1, p. 15—24.
9. Gruen W. J. Theory of AFC Synchronization. Proc. IRE, 1953, v. 41,
p. 1043—1048.
10. Б a p у ч а -Р и д А. Т. Элементы теории марковских процессов и их
приложения. Пер. с англ., под ред. А. Н. Ширяева. М., «Наука», 1969.
11. С о χ D. R., Miller Η. D. The Theory of Stochastic Processes. Wiley,
New York, 1965.
12. Μ и д д л τ о н Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ.,
под ред. Б. Р. Левина. М., «Сов. радио», т. 1, 1961, т. 2, 1962.
13. Uhlenbeck G. Е., О г η s t e i n L. S. On the Theory of Brownian
Motion. Phys. Rev., 1930, v. 36, p. 823—841.
14. W a η g M. C, U h 1 с η b e с к G. Ε. On the Theory of the Brownian
Motion, II. Rev. Mod. Phys., 1945, v. 17, p. 323.
15. Α η д ρ о н о в Α. Α., Понтрягин Л. С, В и τ τ А. А. О
статистическом исследовании динамической системы. ЖЭТФ, 1933, т. 3, стр. 165.
16. Тихонов б. И. Влияние шумов на работу схемы фазовой
автоподстройки частоты. «Автоматика и телемеханика», 1959, т. 22, № 9, стр. 1188—1196.
17. Τ и χ о н о в В. И. Работа фазовой автоподстройки частоты при наличии
шумов. «Автоматика и телемеханика», 1960, т. 23, №3, стр. 301—309.
18. V i t e r b i A. J. Phase-Locked Loop Dynamics in the Presence of Noise
by Fokker-Planck Techniques. Proc. IEEE, 1963, v. 51, p. 1737—1753.
Исследование динамики систем фазовой автоподстройки в присутствии шумов
с помощью уравнения Фоккера —Планка. ТИИЭР, 1963, т. 51, №12, стр.
1704.
90

19. S t r a t ο η ο ν i c h R. L. Topics in the Theory of Random Noise, v. 1.
Gordon and Breach, New York, 1963.
20. R о b i η s ο η Ε. Μ. Acquisition Capabilities of Phase-Locked Oscillators
in the Presence of Noise. General Electric TTS № R60 DSD 11, Syracuse,
Sept. I960.
21. Τ u с к e r D. G. The Synchronization of Oscillators. Electronic Eng., 1943,
v.16, p. 26—30.
22. D e ν e 1 e t J. A. The Influence of Time Delay on Second-Order Phase-
Lock Acquisition Range. Int. Tel. Conf., London, 1963, p. 432—437.
23. Ρ r e s t ο η G. W., Τ e 1 1 i e r J. С The Lock in Performance of an AFC
Circuit. Proc. IRE, 1953, v. 41, p. 249—251.
24. V a n Trees H. L. Functional Techniques for rhe Analysis of the
Nonlinear Behavior of Phase-Locked Loops. Proc. IEEE, 1964, v. 52, № 8.
Функциональные методы анализа нелинейного поведения систем фазовой
автоподстройки частоты. ТИИЭР, 1964, т. 52, № 8, стр. 1618.
25. Μ а г g о 1 i s S. G. The Response of a Phase—Locked Loop to a Sinusoid
Plus Noise. Trans. IRE, June, 1957, v. IT-3, p. 136—142.
26. Boot on R. C, Jr. The Analysis of Nonlinear Control Systems with
Random Inputs. Proc. Symp. Nonlinear Circuit Analysis, Polytech. Inst. Brooklyn,
April 1953, p. 369—391.
27. Τ a u s w о r t h e R. Cycle Skipping — Phase-Locked Loops. Trans. IEEE,
1967, v. COM-15, № 3.
28. J a f f e R. M., R e с h t i η Ε. Design and Performance of Phase-Lock
Circuits Capable of Near — Optimum Performance over a Wide Range of Input
Signal and Noise Levels. Trans. IRE, 1955, v. IT-1, p. 66—76.
29. S h a f t P. D., Dorf R. С Minimization of Communication-Signal
Acquisition Time in Tracking Loops. Trans. IEEE, 1968, v. COM-16, p. 495—499.
30. С a h η С. R. Piecewice Linear Analysis of Phase-Lock Loops. Trans. IRE,
1962, v. SET-8, № 1, p. 8—13.
31. Robinson L. M. Tanlock: A Phase-Lock Loop of Extended Tracking
Capability. Proc. IRE Conv. Military Electronics, Los Angeles, Feb. 1962.
32. В a 1 о d i s M. Laboratory Comparison of Tanlock and Phaselock Receivers.
Proc. Nat. Telemetry Conf., Paper 5—4, 1964.
33. F r a z i e r J. P., Page J. Phase-lock Loop Frequency Acquisition
Study. Trans. IRE, 1962, v. SET-8, p. 210—227.
34. G о 1 d s t e i η A. J. Analysis of the Phase-Controlled Loop with a Sawtooth
Comparator. Bell Syst. Tech. J., 1962, v. 41, № 3, p. 603—633.
35. Ε ν a n s W. R. Control System Dynamics. McGraw-Hill, New York, 1954.
36. D о r f R. С Modern Control Systems. Addison—Wesley, Reading, Mass.,
1967.
37. James H. M., Nichols N. В., Phillips R. S. Theory of Ser-
vomechanisms. M.I.T. Rad. Lab. Series, v. 25, 1947.
38. N e w t ο η G. С, G о u 1 d L А.Д aiser J. F. Analytical Design of
Linear Feedback Controls. Wiley, New York, 1957.
39. Υ ο ν i t s M. C, Jackson J. L. Linear Filter Optimization with Game
Theory Considerations. IRE Nat. Conv. Record, Pt. 4, 1955, p. 193—199.
40. Ε s ρ ο s i t о R., Μ u 1 1 e r J. A. Noise in Oscillators with General Tank
Circuits. IRE Conv. Rec, Pt. 4, 1961, p. 202—208.
41. A t k i η s ο η W. R., Fey L., N e w m a n J. Spectrum Analysis of
Extremely Low Frequency Variations of Quartz Oscillators. Proc. IRE, 1963,
v. 51, №2, p. 379.
42. G о 1 а у Μ. J. Ε. Monochromaticity and Noise in a Regenerative Electric
Oscillator. Proc. IRE, 1960, v. 48, № 8, p. 1473—1477.
43. F e у L, A t k i η s ο η W. R., Newman J., Μ a 1 1 i η g L.
Obscurities of Oscillator Noise. Proc. IEEE, 1964, v. 52, № 1, p. 104—106.
Неясности в природе шумов генератора. ТИИЭР, 1964, т. 52, № 1, стр. 113.
44. Μ а 1 1 i n g L. R. Phase-Stable Oscillators for Space Communications,
Including the Relationship between the Phase Noise, the Spectrum, the Short-
Term Stability, and the Q of the Oscillator. Proc. IRE, 1962, v. 50, №7,
p. 1656— 1664.
91

45. Μ и 1 1 e n J. Λ. Backgiound Noise in Oscillators. Proc, IRE, I960, v. 48,
№8, p. 1467—1473.
46. S a η η Κ. Η. Phase Stability of Oscillators. Proc. IRE, 1961, v. 49, № 2,
p. 527—528.
47. S t r a n d b e r g M. W. P. Noise Spectrum of Phase-Locked Oscillators.
Proc. IRE, 1960, v. 48, №6, p. 1168—1169.
48. V i с t о r W. K. The Evaluation of Phase-Stcble Oscillators for Coherent
Communication Systems. JPL Ext. Publ. № 337, May 8, 1956.
49. S h a f t P. D. Minimization of Acquisition Time in Signal Tracking Loops.
Depi. Elec. Eng., University of Santa Clara, Calif., June 1967.
50. С e 1 i η s к i O., J e 1 ο η e к Ζ. J., S у s к i R. Pulling Effect in
Synchronized Systems. Proc. IRE, 1954, v. 101, p. 50—52.
51. С a s s ο η W. Η., Hall С. С. New Phase-Tracking Demodulator Will
Not Lock on Sidebands. Electronics, 1963, v. 36, ΛΊ» 5 (Feb. 8), p. 52—55.
52. В a r η a r d R. D. Variational Techniques Applied to Caoture in Phase—
Controlled Oscillators. Bell Syst. Tech. J., 1962, v. 41, № 1, p. 227—256.
53. Η ο 1 t ζ m a n J. M., Rue A. K. Regions of Asymptotic Stability for
Phase-Lock Loops. Trans. IEEE, 1964, v. SET-10, March, p. 45—46.
54. Goldstein A. J., Byrne C. J. Pull-in Frequency of the
Phase-Controlled Oscillator. Proc. IRE, 1961, v. 49, № 7, p. 1209.
55. Automatic Acquisition for Narrow Bandwidth, Phase-Locked Reference Loops.
JPL Space Programs Summary № 37—21, v. Ill, May 31, 1963 61—62
56. В у r η е С. J. Properties and Design cf the Phase-Controlled Oscillator
with a Sawtooth Comparator. Bell Syst, Tech. J., K-62, v. 41, № 3, p. 559—602.

4. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
В этой и следующей главах рассмотрены вопросы синтеза и
оценки помехоустойчивости систем связи с угловой модуляцией. В гл. 1
утверждалось, что одной из причин использования систем с угловой
модуляцией является то, что они позволяют производить обмен
ширины полосы частот на отношение сигнал/шум. Другими словами,
путем передачи сигнала с полосой спектра шире, чем у исходного
сообщения, можно получить среднеквадратическую ошибку оценки
сообщения меньше, чем в случае системы с амплитудной модуляцией
(AM), работающей при таком же отношении сигнал/шум. Один из
вопросов, который будет рассмотрен в данной главе, —
количественное доказательство этого утверждения. Кроме того, будет
установлено, как спектр сообщения и другие параметры системы влияют на
синтез и качество системы.
В § 4.1 обсуждается модель системы частотной модуляции (ЧМ)
и дается сводка необходимых формул по синтезу и оценке
помехоустойчивости систем. В § 4.2 подробно рассматриваются вопросы
синтеза фильтров. Параграф 4.3 посвящен вопросу о ширине полосы
частот, занимаемой системами ЧМ. Наконец, в § 4.4 исследуются
системы фазовой модуляции (ФМ) и производится сравнение систем
ФМ, ЧМ и AM.
4.1. Модель для исследования системы частотной модуляции
Структурная схема передатчика показана на рис. 2.1.
Передаваемый сигнал записывается в виде
s{t, 0(t)) = V2Psin((i>ct + Q(t)), (l)
где
оо
Q(t)= § k(t—u)a(u)du, — оо</<оо. (2)
—оо
Заметим, что здесь предполагается, что фильтр в модуляторе имеет
постоянные во времени параметры. Кроме того, предполагается,
что a (t) есть выборочная функция стационарного нормального
случайного процесса с нулевым средним, имеющего спектральную
плотность Sa (ω). Следовательно,
Se (ω) Η/С (/ω) Ρ Sa (ω). (3)
93

В дальнейшем рассматривается канал с аддитивным белым
нормальным шумом. Таким образом,
r(t) = s{t, Q(t)) + n(t),
(4)
где шум n(f) обладает спектральной плотностью N0/2. Структурная
схема оптимального демодулятора для этого случая была выведена
в гл. 2 и представлена на рис. 4.1. Соответствующая
линеаризованная модель показана на рис. 4.2. Напомним, что передаточная функ-
rfthi/IPsinfact+ffftJJ+fift)
Gro(jcd)
OLr(t)
>
JZCQ$(QJct+0r(t))
Ι Π77Ί Jrft)\
+ffr7ti Ι Γ
puo
(jco)
Рис. 4.1. Оптимальный демодулятор при угловой модуляции.
ция Fl0 (/ω) синтезируется такой, что в случае справедливости
линейной модели величина ΘΓ(^) является реализуемой оценкой фазы
θ(ή по минимуму среднеквадратической ошибки. Это необходимо
для того, чтобы фазовая ошибка была как можно меньше; поэтому^си-
стема будет работать в линейной области возможно большее время.
Ограничение: £[eL2r (Ь)±(э£
aft)
K(jaj)
B(t)rrselr(tJi
щ
\n"(t)
Gro(joj)
ar(t)
Flo (Μ
ffrft)
f/jv
&r(t)
Fpuo
ϋω)
1 au(t)
Рис. 4.2. Линейная модель системы с угловой модуляцией и оптимальным
демодулятором.
Остальные два фильтра — с передаточными функциями Gro (/ω)
и Fpuo (A°)—строятся так, что их выходные напряжения являются
реализуемыми и нереализуемыми оценками сообщения по минимуму
среднеквадратической ошибки соответственно.
В первых трех параграфах этой главы мы рассматриваем
частотную модуляцию. В идеальной системе ЧМ
К (/ω) - df/jv, (5)
где df — девиация частоты. В п. 4.4.2 излагаются необходимые
результаты по системам ФМ. В гл. 5 мы вернемся к рассмотрению общей
задачи и исследуем вопрос выбора оптимальной передаточной
функции К (/ω) предыскажающего фильтра.
94

Изложение материала данного параграфа насыщено большим
количеством формул. Для упрощения построим все рассмотрение на
основе простой задачи и сформулируем основные результаты, не
производя их выкладок. Такой подход поможет читателю сначала
уяснить главные положения, а в подробностях разобраться позднее.
Предполагается, что сообщение обладает однополюсным
спектром
SaH-
2k
ω2+&2
С учетом (1), (2), (4) и (5) принятый сигнал можно записать в виде
(6)
г (/) - /2Р sin (сос t + df $ a(u)du) + n(t).
(7)
Помехоустойчивость системы будет зависеть от Я, N09 k и df.
Необходимо синтезировать оптимальную систему и установить связь
ее помехоустойчивости с этими четырьмя параметрами.
Допустим сначала, что фильтры в петле ФАПЧ построены на
основе методов, описанных в § 2.5. Затем определим среднеквадра-
тическую ошибку (ОКО) в трех случаях оценки:
1. Реализуемая оценка фазы θ (t) по минимуму СКО.
2. Реализуемая оценка сообщения a (f) по минимуму СКО.
3. Нереализуемая оценка сообщения a (t) по минимуму СКО.
В результате соответствующих выкладок (см. стр. 103) получим
следующие выражения для средних квадратов ошибок:
ь-£Ы +
1+2
(*)*
/2
1/2
;fm, r '-
-ί-V
•1 +
1+2
где
ξρΜ,ί/ = ( 1+2(^-) Λ'/2
Ш0
k
1/2
)л:
/2
1/2H
(8)
(9)
(10)
(Π)
есть отношение сигнал/шум в полосе сообщения1). Из приведенных
выражений видно, что ошибка зависит от Лх и отношения df/k. В § 4.3
будет показано,- что параметр df является удобной мерой ширины
спектра (частотной полосы) передаваемого сигнала. (Вспомним, что
основываясь на интуитивных представлениях, мы в § 2.2 также по-
1} В этой главе мы рассмотрим различные спектры Баттерворта (см. стр. 228
первого тома монографии). Подстрочный индекс у Л обозначает порядок
конкретного спектра. В тех случаях, когда утверждения имеют универсальный характер
и относятся к любому спектру сообщения, подстрочный индекс опускается.
95

дошли к этой идее.) Поскольку k — мера ширины спектра сообщения,
отношение dflk называют коэффициентом расширения спектра.
Из формул (8) — (10) видно, что все три среднеквадратические
ошибки монотонно убывают по мере возрастания отношения, сигнал/
шум. Ошибки оценивания сообщения при увеличении dflk
монотонно уменьшаются, а среднеквадратическая ошибка оценки фазы
монотонно возрастает.
Для выяснения смысла приведенных результатов вспомним,
какое значение имеет величина ξθ· Мы исходим из предположения, что
справедлива линейная модель, а это требует, чтобы
ξθ<σ?, (12)
где σ2—уровень ограничения (например, σ2 = 0,25). Итак, чтобы
наше исследование было справедливо, параметры Лх и dflk
необходимо выбрать такими, чтобы значение ξο, определяемое формулой
(8),' удовлетворяло условию (12).
Высказанные замечания предполагают следующую процедуру
синтеза. Параметры bAj считаем фиксированными. Требуется
выбрать параметр df таким, чтобы помехоустойчивость системы была
максимальной (т. е. необходимо минимизировать ошибки ξΡΜ, υ ,
£fm, r). Для этого выберем df как можно большим при двух
ограничениях:
1. Должно выполняться неравенство
ξθ<σ?. (13)
Это условие носит название ограничение по порогу.
2. Нельзя выходить за пределы выделенной системе полосы
частот. Это условие называется ограничением по полосе частот.
Если доминирующим условием является ограничение по порогу,
то допустимое значение dflk можно найти, если приравнять правую
часть (8) величине о% и решить относительно dflk. В результате
получим
df l «l+^Y-l\. (14)
Ь 2Л}/2
Если теперь (14) подставить в (9) и (10), то получим зависимости СКО
от отношения сигнал/шум, характеризующие помехоустойчивость
системы. Эти зависимости представлены графически на рис. 4.3 для
σ2 - 0,25.
С другой стороны, если преобладающим условием является
ограничение по полосе, то для определения допустимого значения
dflk следует воспользоваться формулами (9) и (10). Эти зависимости
также представлены на рис. 4.3.
Все рассмотрение частотной модуляции до сих пор основывалось
на линейной модели. Чтобы определить условия, когда линейная
модель уже несправедлива, и исследовать помехоустойчивость системы
в нелинейной области, было проведено моделирование оптимальной
системы [1]. При этом отношение dflk фиксировалось при четырех
различных значениях: 10, 25, 50 и 100.
96

Затем для каждого значения производилось измерение СКО
реализуемой оценки как функции Лх — отношения сигнал/шум в полосе
сообщения. Результаты этих измерений показаны на рис. 4.4.
Нетрудно заметить, что при уменьшении Лх отчетливо проявляется
порог. Он наблюдается тогда, когда измеряемая дисперсия ошибки
ξθ приближенно равна 0,5 рад2. На рис. 4.4 показана расчетная
ошибка (при использовании линейного приближения) |fm, r для случая,
когда расчетная ошибка Iq (также при использовании линейной мо-
Рис. 4.3. Зависимость величины, об- Рис. 4.4. Помехоустойчивость реаль-
ратной среднему квадрату ошибки, ного демодулятора ЧМ в случае спек-
от отношения сигнал/шум при ЧМ, тра Баттерворта первого порядка [1].
когда спектр сообщения соответствует
спектру Баттерворта первого порядка.
дели) равна 0,25 рад2. Видно, что во всяком случае для данного
спектра, она служит хорошей разграничительно^ линией между линейной
и нелинейной областями.
Ниже порога реальная среднеквадратическая ошибка
демодуляции заметно выше расчетной ошибки, полученной исходя из линейной
модели. Это объясняется двумя обстоятельствами:
1. Постепенным увеличением мгновенной фазовой ошибки, что
приводит к нарушению справедливости приближения sin elr (ή ~
~ elr (t). Этот эффект можно учесть, используя большее число
членов разложения в ряд (2.46).
2. Перескоками циклов из одной точки равновесия в другую.
Эти перескоки вызывают переходный процесс в оценке сообщения.
Второй фактор, по-видимому, является наиболее важным. В
большинстве случаев его приходится измерять экспериментально (или
путем моделирования). Результаты такого моделирования
подтверждают, что изложенная процедура синтеза для данного конкретного
спектра сообщения справедлива.
На этом завершается вводное рассмотрение задачи частотной
модуляции. В § 4.2 и 4.3 анализ будет проведен более подробно; при
этом будут рассмотрены и другие спектры сообщений.
97

4.2. Оптимальные демодуляторы ЧМ при ограничении
по порогу
Для нас представляют интерес вопросы синтеза трех фильтров
в составе демодулятора рис. 4.1 и получающиеся среднеквадрати-
ческие ошибки. Так как мы используем линейную модель, задача
решается непосредственным применением теории оптимальной
линейной фильтрации, которая была изложена в гл. 6 первого тома и
использовалась ранее для синтеза ФАПЧ в гл. 2 и'З.
Нтео (5ь>)
it
n"ftj
\\l)
ι—^"
—>■
jco + JP Fi0(jcd)
Hlro(Jv)
JPFlo(JV)
jcj-f-^Fio(jU)
Hou(ju)
ϋω)ΗΐΓ0 (jco)Fpuo fjajj
arft)
л ,
0r(tl
л , ч
au(t)
1.5. Вспомогательная структурная схема для использования при
синтезе фильтров.
Для упрощения процедуры синтеза модель демодулятора можно
перечертить, как показано на рис. 4.5. Заметим, что эта структурная
схема построена ради простоты анализа й окончательная схема
все равно является системой с обратной связью.
Сигнал на входах всех трех фильтров записывается в виде
'то(0 = в(0 + я"(0. - (15)
где подстрочный индекс «то» указывает, что rmo (t) не является
физическим колебанием, а существует лишь в нашей модели. Нам
предстоит вначале определить передаточные функции двух реализуемых
фильтров Нте0 (/со) (подстрочный индекс «тео» означает
«оптимальная по сообщению») и Н1го (/ω), а также одного нереализуемого
фильтра— Нои (/ω). Затем из формул, приведенных в блоках структурной
схемы рис. 4.5, можно найти передаточные функции Fl0 (/ω), Gro (/ω)
и Fpuo (/ω) тех фильтров, которые действительно представляют
практический интерес. Если идти по другому пути и использовать метод
переменных состояния, то можно одновременно найти передаточные
функции двух реализуемых фильтров.
Существует три метода, которые можно использовать для
получения требуемых результатов1). Они рассмотрены в следующих трех
параграфах.
т > Все выкладки этого параграфа не должны вызывать каких-либо
затруднении у читателей, знакомых с гл. 6 первого тома; поэтому мы их опускаем и
сразу приводим окончательные результаты.
98

4.2.1. Классический винеровский подход
Для решения сформулированной выше задачи применим метод,
изложенный в § 6.2 первого тома. Из выражений (I—6.78) или (2.61)
имеем
Я (Ъ)^ 1 ! 5θ(ω) 1 (16)
lro (M [SQ (ω) + (NoPP)]+ [ISQ (ω) + (Ν0/2Ρ)]-]+ '
где
^Se(co) = dfSa(^)/^ (17)
и
ρΐο(Μ-^ττψ^-τ:. (18)
У Ρ [\~Hiro (/ω)]
Напомним, что фильтр, включаемый в петлю обратной связи,
рассчитывается таким образом, чтобы его выходное напряжение
являлось реализуемой оценкой фазы θ (t) по минимуму среднеквадрати-
ческой ошибки.
Далее необходимо найти передаточную функцию фильтра для
оценки сообщения. Для определения Нте0 (/ω) используем формулу
(1—6.78). Заметив, что
dfSa((u)
Sdr(M) = -^^, (19)
— /ω
получим
1 ί dfSa(to) ϊ
Hmeo (/ω) - [5θ(ω) + (;νο/2Ρ)]+ [ (~/ω)[5θ(ω) + (^0/2Ρ)]- j+ ' (20)
Для определения T^^ (/ω) используем выражение, приведенное на
рис. 4.5. В результате получим
fiPuo(h) = """^, , (21)
ia>Hiro (/ω)
где Нои (/ω) определяется из выражений (I—6.119) и (2.55) и равна
Нпи (?ω) = . (22)
(-/ω) [Se (со) +ЛУ2Р)]
Подставляя формулу (16) и (22) в (21), имеем
ρ ,. ч d/Se(o) (Г Se(o>)
^pu0 (У«) -
ω2[5θ(ω) + Μ,/2Ρ)]-
[Se(u>) + (tf,/2P)]-
(23)
Выражения для среднеквадратических ошибок получим,
использовав формулы из § 6.2 первого тома.
Классический винеровский метод прямо ведет к цели, но
сопряжен с громоздкими выкладками и утомителен. Если спектр
сообщения имеет два полюса, то выкладки становятся очень сложными.
4* 99

4.2.2. Упрощенный винеровский подход
Так как шум является белым, фильтр в петле обратной связи и
среднеквадратическую ошибку можно определить,
воспользовавшись результатами § 6.2.4 первого тома. Из (I—6.141) и (18)
передаточная функция оптимального фильтра в петле равна
Путем некоторого видоизменения формулы (I—6.152) получим
средний квадрат фазовой ошибки
ь
-зИ
2Pdf Sa (ω)
Ν0ω2
άω
2π
(25)
Найти передаточную функцию фильтра после петли, когда
определена передаточная функция фильтра в петле, уже несложно.
Средний квадрат нереализуемой ошибки согласно формуле (I — 6.124)
равен
ω2 Sa (ω)
άω
d\Τ5α(ω) + ω2(^0/2Ρ) 2π
(26)
Упрощенное выражение для реализуемого фильтра оценки
сообщения было выведено в [2]. Передаточная функция такого фильтра
имеет вид
Нтео (/ω) =
Ν0 \ΐ/2
df\ 2PdV
1·
ί& + (2Ρ/Ν0)Ιθ
[Sa((o)+«)HN0/2Pdi)] +
(27)
а получающийся в этом случае реализуемый средний квадрат ошибки:
'' _ N0 (2P.
где
Ь) +h,
(28)
It
ί
ω2^0
2Pdf
In
ι+·
2PdfSa((a)
ω2 No
άω
2π
(29)
Формулы (25), (28) и (29) особенно удобны в тех случаях, когда
необходимо определить помехоустойчивость приемника, избежав
процедуры его синтеза.
4.2.3. Метод переменных состояния
Здесь мы используем метод Кальмана — Бьюси, изложенный
в 6.3 первого тома. Так как нас интересует только стационарный
вариант фильтра в петле обратной связи, то начальные условия задачи
можно опустить. Всегда можно выбрать вектор состояния, который
100

в качестве первых двух компонент имеет θ (ή и a (t). Тогда ΘΓ (ή
и ar (t) войдут явно в решение уравнения оценки. Выражения для
реализуемых средних квадратов ошибок в этом случае находят
в результате предельного перехода:
Ь> = Нт6и(9, <30)
t-+oo
^FM,* = Hni£22(f). (31)
t-+oo
Метод переменных состояния мы будем использовать в большей
части всей нашей работы по синтезу систем. Заметим, что, за
исключением случая спектра Баттерворта первого порядка, коэффициенты
передачи и среднеквадратические ошибки фильтров определяются
лишь численными методами.
Выше были рассмотрены три метода отыскания требуемых
фильтров и получающихся среднеквадратических ошибок. Чтобы
проиллюстрировать некоторые из связанных с этими методами идей,
рассмотрим ряд примеров в следующем параграфе.
4.2.4. Примеры синтеза системы ЧМ1)
В качестве первого примера возьмем случай, который был
описан в § 4.1.
Пример. Пусть спектральная плотность сообщения
s°w=-^b- (32)
Для описания фазового процесса нам необходим двумерный вектор
состояния. Введем обозначения
*Χ(0ΔΘ(0,
x2(t)Aa(t).
Уравнения состояния и наблюдения имеют вид
x(t) = Fx(t) + Gu(t),
Q(t) = Cx(t),
'то (9 = & (9 +Л* (Q,
где
'-G-J·
°-[П-
C=[df\ 0],
Q = 26.
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
Х) При изучении этого параграфа предполагается знакомство с содержанием
§ б.З первого тома.
101

Эта задача совпадает с примером 5Б, рассмотренным на стр. 631—
633 первого тома. Реализация передаточных функций Н1го (/о)
и Нте0 (/о) методом переменных состояния показана на рис. 4.6,
который ничем не отличается от рис. I—6.51. Предполагается
статистически установившееся (стационарное) состояние. Элементы
ковариационной матрицы оши-
Гrrw(t) ^
~?\
Л >
Г
2Р
No
'
Ι \
Ul2
I
f//
^ L~
1
jajik
оЛ)
*f
jo
0rft)
бок равны:
kN0K
2P '
k2 No к2
1 —
APdf
k*K*N0
Рис. 4.6. Реализация передаточных
функций Hiro (/ω) и Нтео (/ω) методом
переменных состояния. -
где
+
κΔ
IGPdf
■1 +
(42)
(43)
(44)
1+^
k2
4kdf P
Ν.
1/2
1/2)
(45)
Перечертим теперь структурную схему рис. 4.6 в форме,
соответствующей требуемой модели петли обратной связи. Структурная
схема этой формы представлена на рис. 4.7. Заметим, что
передаточная функция фильтра в петле равна
г /· ч /2/Р t Л /ω + [* + (ξ12/ξιι)]
No
/ω + Α?!
(46)
что соответствует «неидеальнои петле второго порядка», с которой
мы встречались при рассмотрении задачи синхронизации [см. (3.73)].
Чтобы определить передаточную функцию нереализуемого
фильтра после петли, найдем сначала передаточную функцию,
связывающую rmo (t) и 9r (t). Из рис. 4.6 находим
Hiro (/ω) =
c(j(u + a)
где
(;'cu)2 + (ft+c) /со+ас
cA
αΑ/%ξη + |12.
(47)
(48)
(49)
Известно, что общая передаточная функция в соответствии с
формулой (22) должна быть
Нои (/ω) ^
j(udf Sa (ω)
dfSa((u)+N0to2/2P
(50)
102

Подстановкой (47) и (50) в выражение, приведенное на рис. 4.5,
получим выражение для передаточной функции фильтра после петли.
Результирующую среднеквадратическую ошибку для этого
случая получим из формулы (26):
ξρΜ,</=(1 + 2-γΛ.
i/2y
■1/2
где
Αχ Δ
4Р
kN0
(51)
(52)
Реализуемый средний квадрат ошибки при оценке сообщения
определяется формулами (44) и (45). В результате получим
«-«--iir(iH-'4i+2TAlfT· (53)
Ошибка оценки фазы определяется формулами (42) и (45):
(54)
Выражения для ошибок (51) — (54) образуют основу нашего вводного
рассмотрения задачи ЧМ в § 4.1.
Пгго(*1
<±>
Vp
f Усиление,
обусловленное^
амплитудой ■
несущей L..
2JW
Nn
jcu + к
iiidf
■§
УГ
Реальный фильтр в петле
t/ja*
Srft)
θ г ft)
Рис. 4.7. Модель оптимальной петли обратной связи.
Сходные результаты получаются для энергетических спектров
более высокого порядка. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим
сообщения со спектром Баттерворта второго порядка и со спектром,
ограниченным по полосе частот.
Пример. Пусть
Sa (ω) = -~тг ·
(55)
103

Выкладки, связанные с отысканием оптимальных фильтров, -
довольно утомительны. Для определения среднеквадратических
ошибок используем формулу (28). Подробно это сделано в [3] (см. также
задачу 4.2.8). Результаты для реализуемой среднеквадратической
ошибки показаны на рис. 4.8. Эта же система была промоделирована
с целью исследования ее
нелинейного поведения. Результаты
моделирования приведены на
рис. 4.9. Представляют интерес
две особенности этих кривых:
1. В линейной области сред-
неквадратическая ошибка при
оценивании сообщения со
спектром Баттерворта второго
порядка значительно меньше
(примерно на 10 дБ), чем
минимальная среднеквадратическая
ошибка в случае спектра
Баттерворта первого порядка.
2. Порог имеет место при
несколько меньшем значении
среднеквадратической фазовой
ошибки в петле (σ? ~ 0,20).
Третьим примером завершается наше рассмотрение задачи синтеза
системы ЧМ.
Пример. Рассмотрим спектр сообщения, ограниченный по
занимаемой полосе частот,
%FM
зоооЬ
woo
300
100 V
30
L
ν
\
Ι /&
$7 A
1V / / //
/W^ ^
ill·* ^
#лИ>
/ L^>^
/ iZ^^
1 , /,l 1 1 1
10 30 WO 300 103

Ограничение no
'Ширине
полосы
частот
$FM,R
kN0
Рис. 4.8. Зависимость величины,
обратной среднему квадрату ошибки, от
отношения сигнал/шум при ЧМ в случае
спектра Баттерворта второго порядка.
5а(о)) =
ω
;*,
(56)
Τ'
О, |ω|>£.
Этот спектр служит полезной идеализацией во многих практических
задачах. Для такого спектра сообщения мы можем лишь
аппроксимировать оптимальные реализуемые фильтры, включаемые внутри
и после петли. Один из методов получения подобного приближения —
это решить данную задачу для случая спектра Баттерворта высокого
порядка (скажем, η = 5) и использовать этот результат. Дело
облегчается тем, что ξθ и J;fm, r можно вычислить, не прибегая к
фактическому определению передаточных функций этих фильтров, просто
путем использования формул (25), (28) и (29). В результате для
фазовой ошибки получим
lQ = A-1{ln[l + (di/k)2A0O] + 2(df/k)AL/2avctg [(k/df) Л"1/2]}. (57)
Чтобы вычислить ^fm, Rj найдем сначала
h=\ Az1 (k/dff[±-\n {\ +(dflkf Ajj4-(dflkf кх χ
(58)
X [l — (df/k) AlJ2 arctg [A"1/2 (k/df)]
104

где
Л« = 2nP/(kN0).
(59)
Путем подстановки (57) и (58) в (28) получим выражение для £Fm, r.
Выражение для ξΡΜ, и получается, если использовать (26):
|fm,i/= {l-(^/&)A^/2arctg [Л~1/2 (k/df)]}.
(60)
Формулы (57) — (60) впервые были выведены в [4]. Результаты
представлены графически на рис. 4.10.
$FM,#
300
100
30
10
3
tiflk-fOO^^'
/^^
р\^"
' (и
- / //
/, /,/ ,
woo
30 100 200 300 1000 . _4JFP
Λζ=Τν7
Рис. 4.9. Результаты моделирования
оптимального демодулятора в случае
спектра Баттерворта второго
порядка [3].
100л л 27СР
ipo~ kNg
Рис. 4.10. Зависимость величины,
обратной среднему квадрату ошибки,
от отношения сигнал/шум при ЧМ
в случае сообщения с ограниченным
по ширине спектром.
Из графиков видно, что кривые в области ограничения по порогу
идут круче, чем в случае спектров Баттерворта первого и второго
порядков. В надпороговой области кривые, соответствующие
фиксированным значениям dflk, также обладают большей крутизной. Из
(60) следует, что при больших значениях параметра Л^
5FM, U
~j_(d,/£)-2A;
(61)
Полученные результаты показывают, что пока Л достаточно
велико, чтобы система находилась над порогом, можно достичь
заметного уменьшения среднеквадратической ошибки демодуляции
сообщения путем увеличения df. Легко убедиться, что £Fm, и —
монотонно убывающая функция параметра dfy а ξθ — монотонно
возрастающая функция параметра df для любого спектра Sa (ω) [для
этого достаточно продифференцировать (25) и (26)]. Таким образом,
если имеется возможность работы системы в надпороговой области, то
желательно выбрать df как можно больше. Однако при качественном
105

рассмотрении вопросов синтеза демодулятора в § 2.2 было
установлено, что увеличение df ведет к расширению спектра модулированного
сигнала. Теперь необходимо количественно показать, как ширина
спектра связана с девиацией частоты df.
4.3. Оптимальные демодуляторы ЧМ при ограничении
по полосе частот
Первый вопрос, который возникает, когда мы приступаем к
исследованию задачи о ширине спектра, — что понимается под шириной
полосы частот, занимаемой ЧМ сигналом? Здесь возможны следующие
ответы:
1. Это ширина полосы пропускания идеального фильтра,
необходимая для того, чтобы модулированный сигнал пропускался с
«пренебрежимо малыми» искажениями.
2. Это разнос по частоте между двумя системами ЧМ, требуемый
для того, чтобы взаимные помехи между ними были пренебрежимо
малыми.
3. Среднеквадратическое значение ширины полосы, занимаемой
энергетическим спектром модулированного сигнала.
Мы ожидаем, что все эти ответы на поставленный вопрос каким-
то образом связаны между собой, однако точные количественные
значения будут различаться. Для каждой конкретной области
применения системы необходимо решить, какое из этих определений ширины
спектра является наиболее подходящим. Рассмотрению различных
аспектов проблемы ширины спектра посвящено большое число работ,
например [5—20, 23, 24]. Для наших целей наиболее удобной мерой
является среднеквадратическая ширина энергетического спектра
модулированного сигнала.
Первая задача — определить спектр модулированного сигнала.
Исторически эта задача решалась исходя из предположения, что
модулирующий сигнал или сообщение является синусоидальным
колебанием. В этом случае спектр модулированного сигнала можно
выразить в виде суммы синусоид (например [24 или 22]). Однако
такой подход несовместим с нашей статистической моделью. Когда
сообщение является негауссовым случайным процессом, определение
его спектра затруднительно ввиду того, что это сопряжено с
нелинейной операцией. Но в случае гауссовых случайных процессов, которые
могут служить для нас подходящей моделью, вычисление спектра
производится чрезвычайно просто.
Мы вычислим энергетический спектр модулированного сигнала,
используя метод, изложенный Миддлтоном [5]. Передаваемый сигнал
запишем в виде
у (t) = Y2P cos i(uct + df § a(u)du) = Y2P cos (<uct +в (t)) =
= Y2P Re [exp (coc t + θ (f))]. (62)
106

Корреляционная функция сигнала равна
Rv(t, t—x)AE[y(t)y(t—x)] = PRe{expU<»ct)E [exp(/(0(f) —
— Q(t—t)))J/ +члены удвоенной частоты. (63)
Слагаемыми удвоенной частоты можно пренебречь, так как в
передатчике применяется полосовой фильтр. Нетрудно видеть, что
математическое ожидание в первом члене (63) есть просто
характеристическая функция гауссова случайного процесса ζ (ty τ), равного
t
z(t,x) = B(t) — e(t—%) = df I a(u)du. (64)
t-τ
Так как сообщение а (и) представляет собой стационарный процесс
с нулевым средним, то ζ (Υ, τ) также является гауссовым случайным
процессом с нулевым средним, дисперсия которого не зависит от L
Обозначим эту дисперсию через σ| (τ). Из (64) находим
τ τ
σ| (τ) - d) \ du \ dvKa (u —v). (65)
о о
Заменив переменные в (65), получим
σΐ (τ) - 2d} $ Ka (χ) { | τ |—χ} dx. (66)
ο
Теперь можно выразить корреляционную функцию Ry (ty t —
—τ) через σ| (τ):
Ry (τ) = Ρ Re {exp (/<oc τ) Ε [exp (ζ (t, τ))]} =
= PRe [exp (fat) exp( —σί (τ)/2)] -Рехр ( —σ| (τ)/2) coscdct. (67)
Энергетический спектр передаваемого сигнала есть
преобразование корреляционной функции Ry (τ), которое можно записать
в виде
оо
Sy (f) = I Ry (*) exp (—βφ) dx =
— оо
= ySBI(/-/e) + YSBitf + fc), (68)
где
оо оо
Syi(f)A § Ryi(x)exp( — j2nft)dx = P jj exp(—σ| (τ)/2—j2nfx)dx=*
= Ρ ξ exp — df I Ka(x)(\x\—x)dx — j2nfx\dx. (69)
-оо \ Ь У
107

Далее можно пойти по одному из двух возможных путей. Можно
либо точно вычислить Syl (/) для некоторого типичного Ка (х)> либо
исследовать некоторые обобщенные характеристики спектра Syl (/),
не зависящие от конкретной детальной формы Ка (τ). Мы сначала
используем второй подход, так как он проще и достаточно
информативен. В частности, вычислим среднеквадратическую ширину
спектра Svl (/):
оо
BlAy- j>S«(/)d/Ag)\ (70)
—оо
Величина Ву может служить грубой мерой полосы частот, занимаемой
модулированным сигналом. Очевидно, ее можно выразить через
корреляционную функцию
*«(τ)Δ I Syl(f)^!2n!xdf = Pexp^-^y (71)
Дважды продифференцировав .(71) по т, получим
) · (72)
Используя значение Ryl (τ) из (71) и выполняя указанные операции
дифференцирования, имеем
Qy - 2пВу = Ki/2 (0) dt = σα df, (73)
где ol — средний квадрат отклонения (дисперсия) процесса,
описывающего сообщение. Видим, что среднеквадратическая ширина
спектра модулированного сигнала есть просто среднеквадратическое
отклонение σα сообщения, умноженное на девиацию частоты df, и
величина ее не зависит от спектра сообщения 1).
Величина Ву является полезной мерой ширины спектра ввиду ее
простоты и инвариантности по отношению к форме спектра
сообщения. С другой стороны, как и всякую другую обобщенную
характеристику, использовать ее необходимо с осторожностью. При решении
любой конкретной задачи на заключительном этапе анализа обычно
бывает целесообразным вычисление фактического спектра.
Проиллюстрируем это для типичного спектра. Если
/Cef(T) = aSe-*M, (74)
то для того, чтобы получить выражение для σ| (τ), необходимо
выполнить" интегрирование в (66):
о22(т) = ^(£|т| + е-*1*1-1). (75)
г) Этот результат совпадаете результатом, полученным в [23]. В нашем случае
фаза θ (0 является нестационарным процессом, поэтому непосредственно вывод
из [23] использовать нельзя.
Ω* = (2πβ/ = Ц-
d*Ryl{x)
d-c2
108

Таким образом,
Kyi(t) = Pexp
-4r-№l+e"*|x'-i)
(76)
Разложив e~*N в ряд, получим
/СуДт) = Рехр[-а|^т2(^-- *ili + *ll! + ...]]. (77)
Преобразование этого выражения можно записать в виде
бесконечного ряда, который затем можно определить численными методами
см., например, [5]). С другой стороны, если фиксировать df и умень-
' (2-Jtff1
'/**dh
Syith
fc-<*adffc fQ+Wf
μ« -зн
a $
Среднекбадратическая (эсрсрективная)
ширина двухстороннего спектра
нижних частот
Рис. 4.11. Спектр модулированного сигнала и эквивалентный спектр нижних
частот.'
шать k, то можно пренебречь членами более высокого порядка в
круглых скобках выражения (77). Получающийся в результате спектр
Syl(f)-
У2кР
oadf
ехр
/ (2ft/)2 \
(78)
является гауссовым. Графически он изображен на рис. 4.11.
Семейства спектров для других значений df и k приведены в [5].
На протяжении большей части нашего изложения мы будем
использовать величину 2oadf в качестве меры ширины двухсторонней
полосы нижних частот (в радианах в секунду) модулированного
сигнала. И на этот раз подчеркнем, что эта величина является средне-
квадратической мерой и использовать ее следует осторожно. При
решении любой конкретной задачи одним из этапов заключительной
процедуры синтеза должно быть вычисление спектра.
Как было показано в § 4.1, процедура синтеза в случае, когда
преобладающим условием является ограничение по полосе частот,
очевидна. Мы просто увеличиваем df до тех пор, пока ограничение по
полосе не будет выполняться со знаком равенства. Если нормировать
сообщение так, чтобы
σ2=1,
(79)
109

то получающиеся средние квадраты ошибок в случае спектра Бат-
терворта первого порядка согласно формулам (51) и (53) равны
Ьм,и= 1+2
5FM, R
= 1--Ц
df \—1/2
ТЛ!'!)
1+1+2-
Л'/2
1/2)4
(80)
(81)
Аналогичные выражения можно записать для других спектров
Баттерворта. Таким образом, помехоустойчивость системы ЧМ при
ограничении по ширине полосы частот определяется линиями
постоянных значений df/ky представленными на рис. 4.3, 4.8 и 4.10.
4.4. Основные итоги
В этом параграфе мы рассмотрим три вопроса. В п. 4.4.1 подведем
итоги по системам частотной модуляции. В п. 4.4.2 обсудим вопросы
синтеза оптимальных демодуляторов для систем фазовой модуляции
и оценки их помехоустойчивости. Наконец, в п. 4.4.3 произведем
сравнение помехоустойчивости систем ЧМ, ФМ и AM.
4.4.1. Краткие итоги по синтезу систем ЧМ
Оптимальный демодулятор для частотно-модулированного
сигнала был показан на рис. 4.1, а соответствующая линеаризованная
модель — на рис. 4.2.
Первым этапом рассмотрения явился синтез различных фильтров,
изображенных на рис. 4.2. Эта процедура представляет собой про-
. {Спехтральная\
п1ч\ плотность: У
1 I N0I2P J
> '>m ι
~ \i/rm(t)
Hiro tiv) \
\hou (j ω)
ffr!t) fb^ ar ft)
—ΠΙ>τ-*
-. Λ /. 1
\auft)
Г Э»
Рис. 4.12. Линеаризованная модель системы с фазовой модуляцией.
стое упражнение в рамках теории линейной фильтрации; задачу
синтеза указанных фильтров можно решить при помощи методов,
описанных в § 6.2 и 6.3 первого тома.
Следующим этапом было определение среднеквадратической
ошибки петли и среднеквадратических ошибок демодуляции сообщения.
Эти формулы также непосредственно вытекают из рассмотренной
нами теории линейной фильтрации. В заключение был рассмотрен
вопрос о выборе частотной девиации df. Мы установили, что
существуют два ограничения для систем ЧМ.
ПО

1. Когда Л мало, основным ограничением системы является
ограничение по порогу. Мы выбираем девиацию df такой, чтобы
расчетное значение среднего квадрата ошибки в предположении
линейности модели и оптимальности фильтра в петле равнялось 0,25.
2. Когда Л велико, основным ограничением системы является
ограничение по ширине полосы частот. Мы выбираем df настолько
большой, насколько позволяет ограничение по ширине полосы
частот.
На этом заканчивается рассмотрение идеальных систем ЧМ.
Далее мы рассмотрим системы фазовой модуляции.
4.4.2. Системы фазовой модуляции
В системе фазовой модуляции передаваемый сигнал имеет вид
s (t9 a (t)) - V2P sin (ω J + βα (0). (82)
а принимаемый сигнал —
г (0 = s (t, α (ή) + w (ή, — оо < t < оо, (83)
где w (t) — выборочная функция белого гауссова случайного
процесса со спектральной плотностью NJ2.
Оптимальный приемник можно синтезировать, используя
процедуры, изложенные в гл. 2. Нетрудно показать, что линеаризованную
систему можно представить моделью, изображенной на рис. 4.12.
Как видно, эта модель тождественна с моделью, рассмотренной
впримереЗгл. 6 первого тома (стр. 564— 567 и 570— 571), за
исключением того, что роль мощности играет β2 и эффективный уровень
шума равен Ν0/2Ρ. Поэтому полученные там результаты можно
использовать непосредственно.
Так, к примеру, в случае однополюсного спектра Баттерворта
согласно (I—6.94) и (2.73) имеем
по ι
Hlro (/й) = (Ay2P)(l+yi+FAj /ω+ΑΤΛ + β^ ' (84)
ftoW=M№l!». (85)
Средние квадраты ошибок для семейства спектров
Баттерворта определяются формулами (I—6.156) и (I—6.158) в следующем
виде:
-- , - . . , ■ , .. Р2Лв · π \l/2n
эРМ,# = ^ГГ~ Sln
2η ) 1Д
1 + 2η-—Ξ-sin — 1 —1
π 2η
(86)
β* λ£
£θ-β2ξρΜ,*, (87)
у Γι , 2" αϊ Λ · η 10/2η)-I QO
|рм.у= Η p2ABsin— , (88)
L it 2η J
где
111

Прежде чем пытаться истолковать эти результаты, обсудим
некоторые практические соображения.
Если мы попытаемся построить систему ФАПЧ для
формирования этих оценок, то столкнемся с двумя проблемами, которые не
возникали в случае ЧМ. Первая проблема заключается в том, что петля
ФАПЧ не будет захватываться по сигналу и поэтому наш анализ
в линейном приближении не имеет смысла (т. е. система не будет
работать). ЭтсГ обстоятельство можно продемонстрировать двумя
различными способами. Первый из них состоит в следующем. Допустим, что
генераторы передатчика и приемника смещены по частоте на
произвольно малую, но не нулевую величину ωΔ. Используя формулы
(3.43) — (3.46), нетрудно показать, что фазовая ошибка (не модуль
2 л) является неограниченной. Это объясняется тем, что нуль в
передаточной функции Fl0 (/ω) компенсирует полюс передаточной
функции УГ. Второй способ убедиться в наличии указанной трудности —
это положить
s(t, a(t))=Y2Psin (ω0ί + $α(ί) +φ(t))f (90)
где посредством φ(ί) представлены нестабильности генераторов
передатчика и приемника (см. задачу 2.6.2). Если предположить, что
φ (ί) имеет спектральную плотность
5φ(ω)= 1/τ,/ω2, (91)
то легко показать, что среднеквадратическая фазовая ошибка
является неограниченной для любого конечного xd.
Итак, мы убедились, что если имеется незначительная частотная
расстройка или уход фазы, то система ФАПЧ не будет работать. Это
затруднение можно преодолеть, если для определения фильтра в
петле использовать (90) и (91). Такой анализ выполнен в задаче 4.4.5.
В результате получается система ФАПЧ с неидеальной петлей
второго порядка (см. табл. 3.1*). Иначе частотную расстройку можно
учесть путем использования методов, изложенных в п. 3.4.2 (см.
задачу 4.4.6). В любом случае получается система ФАПЧ, которая будет
захватываться по сигналу. Расчеты помехоустойчивости произведены
в упомянутых выше задачах. Как и следовало ожидать, если
расстройка ωΔ мала или время xd велико, то результаты (86) — (88) являются
практически правильными.
Существует еще одна проблема, с которой приходится считаться
при построении системы. Напомним из §3.3, где обсуждалось явление
перескоков фазы, о том, что независимо от отношения сигнал/шум
в петле обратной связи будут иметь место случайные перескоки фазы.
При этом в выходном напряжении, представляющем сообщение,
появляется сдвиг на 2π. Для устранения этого недостатка на выходе
петли включают фильтр верхних частот с очень малой постоянной
времени. Вопросы количественного расчета этого фильтра
рассмотрены в задаче 4.4.7. Как и следовало ожидать, когда частота
перескоков мала, справедливы результаты оценки помехоустойчивости
(86) - (88).
112

Коль скоро в демодуляторе указанные выше особенности
учитываются, формулы (86) — (88) можно использовать более уверенно.
Мы уделили этим проблемам реализации довольно большое внимание
лишь потому, что если их не учитывать, то наш математический
анализ в значительной мере утратит свою ценность10.
Как и в случае ЧМ, вначале необходимо определить ширину
спектра передаваемого сигнала. Из (70) непосредственно следует
(см. задачу 4.3.1), что среднеквадратическая ширина спектра фазо-
модулированного сигнала равна
Ω„ = σββΩβ, (92)
где
оо ΊΙ/2
0.-J-
θα
2π
(93)
есть среднеквадратическая ширина спектра сообщения. Нетрудно
установить, что Ωα в случае однополюсного спектра Баттерворта
бесконечна, и поэтому величина Ω^ не может служить полезной мерой
для данного конкретного спектра сообщения.
Если предположить, что σα = 1, а Ωα— конечная, то
коэффициент расширения спектра будет равен
2Ω,/Ωα = 2β. (94)
«Двойка» здесь появляется ввиду того, что спектр передаваемого
сигнала рассматривается на несущей частоте, где он является
двухсторонним по полосе частот и симметричным.
При выборе параметров системы необходимо учитывать оба
ограничения— по порогу и по ширине полосы частот. Если определяющим
является ограничение по порогу, то целесообразно индекс модуля--
ции β увеличить до такого значения, при котором
h = 0,25. (95)
Значение β найдем в результате совместного решения (86), (87) и (95).
Подставив его в (88), получим £Рм, и- Если определяющим является
ограничение по ширине полосы частот, то следует увеличить β до
такого значения, при котором Ω^ будет равна допустимой среднеквад-
ратической ширине полосы.
Этим завершается наше рассмотрение систем фазовой модуляции.
В следующем параграфе мы произведем краткое сравнение систем
ФМ, ЧМ и AM.
4.4.3. Сравнение систем AM, ЧМ и ФМ
Ранее мы утверждали, что в системе угловой модуляции можно
достичь меньшей среднеквадратической ошибки, чем в системе AM
при одинаковой мощности. Как указывалось, этот выигрыш дается
ценой расширения спектра передаваемого сигнала. Теперь мы
располагаем всеми необходимыми для количественного сравнения
систем формулами.
Х) Читателю предлагается вернуться к рассмотрению ЧМ, чтобы убедиться,
почему ни одна из этих проблем не возникает в идеальной системе ЧМ.
113

Для нашего первого сравнения рассмотрим ограниченный по
полосе спектр сообщения (56). Допустим, что Ав—отношение сигнал/шум
в полосе сообщения — настолько велико, что системы ФМ и ЧМ
работают выше порога. В качестве критерия используем среднеквад-
ратическую ошибку нереализуемой оценки сообщения, так как она
характеризует предельную помехоустойчивость системы. Все наиболее
важные для сравнительного анализа формулы сведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Система
ДБП—AM—ПН
ОБП —AM—ПН
ЧМ
ФМ
Занимаемая полоса
(Рад/с)
2k
k
2 df
2 β/г
I"1
1 + Ля
1 + Λβ
(AS>1)
1 + β2 Λβ
Примечания:
ί JL
0, |ω|>Λ.
2 πΡ
2) ΑΒ - Лда =
/^Νο
3) В обеих системах амплитудной модуляции используется синхронная
демодуляция.
Из сравнения можно сделать ряд важных выводов.
1. Системы однополосной модуляции с подавленной несущей
(ОБП — AM—ПН) и системы двухполосной модуляции с
подавленной несущей (ДБП — AM — ПН) характеризуются одинаковой сред-
неквадратической ошибкой. Ширина полосы, занимаемой системой
ОБП—AM, вдвое меньше, чем у системы ДБП—AM.
2. У всех четырех сравниваемых систем величина Ιΰ1 является
линейной функцией Ав.
3. У систем ЧМ и ФМ величина lu1 является квадратичной
функцией коэффициента расширения спектра. Другими словами, если
использовать систему ЧМ или ФМ с полосой в 10 раз шире, чем
у системы ДБП — AM — ПН, то среднеквадратическую ошибку можно
снизить в 100 раз.
4. При заданном спектре сообщения системы ЧМ и ФМ имеют
совершенно одинаковые зависимости среднеквадратической ошибки от
коэффициента расширения спектра и отношения сигнал/шум в поло-
114

се сообщения. Среднеквадратическая ошибка в системе ЧМ на
4,8 дБ больше, чем в системе ФМ.
Мы убедились, что ЧМ и ФМ действительно обеспечивают
выигрыш по помехоустойчивости, о котором говорилось в обзорном
§4.1. Следует еще раз подчеркнуть, что при выполненном сравнении
предполагалось, что системы работают выше своих порогов.
Другой важный вывод иллюстрируется следующим сравнением.
Рассмотрим однополюсный спектр сообщения Баттерворта и
предположим, что обе сравниваемые системы работают в надпороговой
области. С целью сравнения ЧМ и ФМ допустим также, что
dflk = β. (96)
Заметим, что dflk — это коэффициент расширения спектра в системе
ЧМ. В случае однополюсного спектра среднеквадратической ширины
полосы для системы ФМ не существует.
Выражения для ошибок при нереализуемых среднеквадратиче-
ских оценках сведены в табл. 4.2. Представляет интерес
функциональная зависимость величины 1й1 от β2 и Лх. Нетрудно видеть, что
величина ξ™, и возрастает пропорционально корню квадратному из
β2Λχ, тогда как ξρΜ, и возрастает пропорционально лишь корню
четвертой степени из β2Λχ. Таким образом,
1™\и/1¥т,и= (β2^)174/}^, (97)
и при больших значениях β2Λχ помехоустойчивость системы ЧМ
заметно хуже, чем помехоустойчивость системы ФМ.
Таблица 4.2
Система
ЧМ
ФМ
AM
I"1
(1+2βΛ'/2)'/2
(Ι + β'Λ^2
(1 + Л^2
ε^'ίΑ,»!)
ΥΊ^α^
(β2Λχ)1/2
л1/2
Примечания:
2) & = df/k.
Итак, мы установили, что хотя системы ЧМ и ФМ имеют между
собой много общего, при данном конкретном спектре сообщения они
существенно отличаются по помехоустойчивости. Поскольку ЧМ
и ФМ являются частными случаями общей системы угловой
модуляции, представляет большой интерес найти оптимальную систему
угловой модуляции. Эта задача решается в следующей главе.
115

4,5. Задачи
Задачи к § 4.2. Оптимальные демодуляторы ЧМ при ограничении
по порогу
Задача 4.2.1. Рассмотрим проблему неидеального УГ, которая
была описана в задаче 2.6.2. Принимаемый сигнал записывается в
виде
t
г (ί) = γ~2Ρ sin (®ct + df ta(u)du\ + n(t)t — oo</<oo
Энергетический спектр сообщения имеет форму
SaH = 2£/(co2 + &2).
Аддитивный шум имеет спектральную плотность N0/2. Если
напряжение на входе УГ в демодуляторе равно χ (ή, то выходное
напряжение равно
_ t
Υ2 cos (cuJ + Γ χ (u) du-\-<$ (t))f
где φ (t) — стационарный нормальный процесс с нулевым средним и
спектральной плотностью
S<p (ω): ι
τ^ω2
Все указанные процессы статистически независимы. Требуется:
1. Синтезировать оптимальный приемник для оценки сообщения
α (ή.
2. Вычислить ξθ и £fm,#.
3. Построить зависимости ξΡΜ, k от отношения сигнал/шум при
различных значениях Р, N0 dfj k и xd. При каких условиях можно
пренебречь неидеальностью УГ?
Задача. 4.2.2. Рассмотрим систему ЧМ, в которой спектр
сообщения имеет форму
Sfl(a>)= 2^2k*
(см. пример на стр. 103). Требуется синтезировать оптимальный
демодулятор и определить его помехоустойчивость, т. е. решить
следующие задачи:
1. Сформулировать уравнения состояния, описывающие процессы
сообщения и изменения фазы.
2. Вывести уравнение оценки и дисперсионное уравнение,
описывающие оценки сообщения α (ή и фазы θ (ή по минимуму среднеквад-
ратической ошибки. Предполагается, что справедливо линейное
приближение.
3. Построить структурную схему оптимального приемника.
Указать все необходимые фильтры и их коэффициенты передачи*
4. Решить дисперсионное уравнение для статистически
установившегося (стационарного) состояния.
5. Определить ξθ и £Fm. r.
116

Задачи к § 4.3. Оптимальные демодуляторы ЧМ при ограничении
по ширине полосы
Задача 4.3.1. Рассмотрим фазо-модулированный сигнал
у (t) = У2Рsin (ωJ + βα (t) + θ),
где a (t) — нормальный процесс с нулевым средним и единичным сред-
неквадратическим отклонением, спектр которого есть Sa (ω), a
фаза θ— равномерно распределенная случайная величина. Требуется:
1. Вычислить Ry (τ)—корреляционную функцию сигнала у (t).
2. Разложить Ryl (τ) в ряд, аналогичный (77). Написать
соответствующий ряд для Syl (/).
3. Вычислить мощность, приходящуюся на несущее колебание.
Заметим, что согласно (77) мощность несущей равна нулю. Чем
определяется мощность несущей?
Задача 4.3.2. Среднеквадратическая ширина спектра сообщения
определяется формулой
оо
—оо
Рассмотрим семейство спектров Баттерворта, определяемое
выражением (I—6.153).
1. Вычислить Ωα при п = 1, 2 и 3.
2. Вычислить Ωα при п-> оо.
3. Можно ли аналитически определить (1*) как функцию п>
4. Произвести нормировку спектра в п. 2. Удержать первые три
члена разложения в ряд. Предположить, что a (t) имеет спектр с
прямоугольной огибающей. Изобразить графически нормированный
спектр нижних частот для случаев: 1) β = 0,1; 2) β = 1,0.
5. Вывести выражение для среднеквадратической ширины
спектра сигнала у (t)t передаваемого на несущей [см. (70)]. Предположить,
что Sa (ω) является произвольным и J ω25α (ω) «-- < оо.
6. Получить другое выражение для среднеквадратической
ширины спектра, положив перед его нормировкой мощность несущей,
равной нулю.
Задачи к § 4.4. Основные итоги
Задача 4.4.1. Рассмотрим систему фазовой модуляции,
описываемую выражениями (82), (83).
1. Убедиться, что модель, изображенная на рис. 4.12, правильна.
2. Почему реализуемый фильтр после петли в случае ФМ сводится
просто к усилительному звену?
117

Рассмотрим случай, когда сообщение α (ή является нормальным
процессом с нулевым средним и со спектром Баттерворта первого
порядка
Sa(co) = 2£/(cD2 + £2).
3. Предположим, что для линейности требуется средний квадрат
ошибки в петле, равный 0,25. Найти β как функцию Ρ и Ν0 при
условии, что ξθ = 0,25.
4. Вычислить ξρΜ, и как функцию Ρ и Ν0 для значения β,
определенного в п. 3.
5. Вычислить ξρΜ, r как функцию Ρ и Ν0 при значении β,
найденном в п. 3.
Задача 4.4.2. Рассмотрим такую же модель, что и в задаче 4.2.1.
Предположим, что сообщение характеризуется спектром Баттерворта
η-го порядка:
0 / ч 2пР sin (π/2π)
Sa (ω : n) = ——— .
1. Написать выражения для ξθ> £ρμ, r и £рм, и в виде функций от
β и АВу где
AB = 2KP/kN0.
2. Предположим, что для линейности требуется ξθ = 0,25.
Найти ξρΜ, я и £рм, υ как функции Ав.
3. Предположим, что β фиксирован. Найти асимптотическую
зависимость £рм,д и ξΡΜ, и от Ав (т. е. предполагается, что Ав > 1).
Задача 4.4.3. Рассмотрим такую же модель, что и в задаче 4.2.2.
Предположим, что определяющим фактором является ограничение
по ширине полосы частот и что сообщение имеет спектр Баттерворта
второго порядка.
1. Используя результаты задач 4.4.2, 4.3.1 и 4.3.2, построить
зависимости ξρΜ, и от Л2 при нескольких значениях коэффициента
расширения спектра. Напомним, что
Λ2Δ-4^Ρ
kN0
2. Сравнить построенные зависимости с кривыми для ЧМ,
изображенными на рис. 4.8.
Задача 4.4.4. Повторить задачу 4.4.3 для случая, когда
Sa (ω) = I
10, |ω|>&.
Задача 4.4.5. Рассмотрим проблему неидеального УГ, которая
была описана в п. 4.4.2. Предположим, что принимаемый сигнал можно
записать в виде
r(t) = Y2Psin(<i>ct + fia(t) + <p(t)) + w(t)—oo <*<оо,
118

причем энергетический спектр сообщения имеет форму
5α(ω)^2&/(ω2 + £2).
Спектр дрейфа фазы описывается выражением
1
Sep (ω):
τάω*
Аддитивный шум имеет спектральную плотность NJ2. Все указанные
процессы статистически независимы.
1. Синтезировать оптимальный приемник для оценки сообщения
α (ή.
2. ВЫЧИСЛИТЬ ξθ И ξρΜ, U-
3. Построить зависимость £Рм, и от Л при различных значениях
Р, N0, df, k и xd. При каких условиях можно пренебречь
неидеальностью УГ в выражениях для среднеквадратических ошибок?
Задача 4.4.6. Рассмотрим проблему фазовой модуляции,
описанную в п. 4.4.2. Предположим, что между передатчиком и приемником
существует частотная расстройка, вследствие чего принимаемый
сигнал имеет вид
г (t) ^YW sin (ω0ί + $α (t) + у (t))+w(t)y 0<t<oo,
где
ωΔ^ + θ0, t>0,
0, f<0.
Сообщение α (ή — нормальный случайный процесс с однополюсным
спектром Баттерворта. Аддитивный нормальный шум является белым
и имеет спектральную плотность NJ2. Упомянутые процессы
статистически независимы.
1. Использовать методы, изложенные в п. 3.4.2, для синтеза
оптимального приемника. Обсудить вопрос выбора ξ**.
ψ (ή-
ι Г?ft) i*sc(t)
'scr
U ω)
ar(t)
>
U ω)
Suit)
Рис. 4.1*.
2. Рассмотреть другие методы, которые можно использовать для
решения проблемы частотной расстройки. Сравнить структурную
схему синтезированного приемника ео схемой, полученной в п. 1.
Задача 4.4.7. В этой задаче синтезируем фильтр после петли
обратной связи для устранения перескоков (скачков) фазы, рассмотренных
в п. 4.4.2. Модель, которую мы будем использовать при синтезе
фильтра, показана на рис. 4.1*. Все величины, кроме xsc(t), были
определены в п. 4.4.2. Типичная выборочная функция процесса xsc(t)
показана на рис. 4.2*. Предполагается, что скачки моделируются
119

стационарным пуассоновским процессом с интенсивностью /5,
определяемой формулой (2*) в задаче 3.3.2. Скачки фазы равновероятны
по знаку.
2jC
Процессы xsc (t) и θ
-2з(У
г^Ч
ΈΓ
Рис. 4.2*.
(ή статистически независимы.
Предполагается, что сообщение
имеет однополюсный спектр Бат-
терворта.
1. Синтезировать G8cr (/ω) так,
чтобы аг (ή была реализуемой
оценкой сообщения α (ή по^ми-
нимуму среднеквадратической
ошибки.
2. Вычислить £рм,я.
3. Синтезировать такую
^scuO'03)» чтобы аи (ή была нереализуемой оценкой сообщения α (ή по
минимуму среднеквадратической ошибки.
4. Вычислить ξρΜ, и-
5. Сравнить величину ξΡΜ, t/, полученную в п. 4, со значением,
приведенным в табл. 4.2.
6. Проанализировать вопрос, является ли модель данной задачи
адекватной для описания реальной системы.
Задача 4.4.8.
1. Использовать результаты задач 4.2.1 и 4.4.5 для сравнения
чувствительности систем ЧМ и ФМ к нестабильностям частоты.
2. Используя результаты п. 1 и табл. 4.2, доказать, что система
угловой модуляции,
иллюстрируемая рис. 4.3* и 4.4*, сочетает
лучшие характеристики ЧМ и ФМ.
(Предполагается, что &х>&.) Заме-
:\\Km(jcu)\,dB
Рис. 4.3*
Рис.
4.4*. Асимптоты модуля
передаточной функции.
тим, что система, изображенная на рис. 4.3*, работает как система
ЧМ на низких частотах и как система ФМ — на высоких частотах.
Задача 4.4.9. Рассмотрим систему угловой модуляции, в которой
Принимаемый сигнал имеет вид
t
г (t) = Y2Psm \act + βα (t) + df[a (и) du\ + w (t), — oo < t < oo.
Спектральная плотность аддитивного шума равна N0/2. Спектр
сообщения имеет форму
Se(<o) = 2*/K + #).
1. Сформулировать уравнения, которые определяют
оптимальный реализуемый фильтр в петле, оптимальный реализуемый фильтр
после петли и оптимальный нереализуемый фильтр после петли
обратной связи* Выразить в явном виде соответствующие спектры.
120

2. Вычислить ξθ-
3. Вывести выражение в замкнутой форме для среднеквадрати-
ческой ошибки нереализуемой демодуляции сообщения путем
модификации вывода, сделанного в п. 6.2.4 первого тома и в [2].
Задача 4.4.10. Рассмотрим систему фазовой модуляции, в которой
θ (0 = β α (ή. (1*)
Предположим, что справедлива линеаризованная модель
демодулятора, показанная на рис 4.2. Допустим, что
SaH = ™2/(co4 + ^). (2*)
1. Выбрать такое значение с, чтобы Ε la2 (t)] = 1.
2. Найти оптимальный фильтр в петле обратной связи,
используя метод Винера.
3. Найти оптимальный фильтр в петле, используя метод
Кальмана — Бьюси.
4. Вычислить среднеквадратическую ошибку реализуемой
оценки фазы, среднеквадратическую ошибку реализуемой оценки
сообщения и среднеквадратическую ошибку нереализуемой оценки
сообщения.
5. Допустим, что для линейности требуется средний квадрат
ошибки в петле не более 0,25. Определить β как функцию Ρ и Ν0.
Вычислить 1и для этого значения β.
6. Обсудить проблему перескоков фазы при данном
энергетическом спектре сообщения.
Задача 4.4.11. Рассмотрим идеальную систему ЧМ, в которой
t
Q(t) = df f а (и) du. (1*)
—оо
Повторить задачу 4.4.10, используя спектр сообщения,
описываемый выражением (2*).
Задача 4.4.12. Рассмотрим систему фазовой модуляции, в которой
θ (0 - βα (ή. (1*)
Используем линеаризованную модель, изображенную на рис. 4.2.
Допустим, что
S» -23/2&3/(cd2 + F)2. - (2*)
Повторить пп. 2—4 задачи 4.4.10. Указание: обратиться к
результатам, изложенным на стр. 580—581 первого тома.
Задача 4.4.13. Предположим, что
г (t) = γ2Ρ sin (ω0ί + Q(t)) + w(f), — оо < t < оо,
и построим оптимальный приемник. Спектр фазового процесса
описывается выражением
5θ(ω)=1/τ^ω2.
121

Шум является белым и имеет спектральную плотность N0/2.
Фактически принимаемое колебание содержит еще мешающий сигнал,
имеющий другую среднюю частоту. Таким образом,
ra(t) = yi№sm(toj + e(t))+VWisin(toJ + <urt) + w(t), — оо</<оо.
Исследовать влияние мешающего сигнала на помехоустойчивость
приемника как функции Р/ и ω/. Сделать любые необходимые
приближения.
Задача 4.4.14. Рассмотрим следующую систему ФМ. Сообщение
a (t) умножается на низкочастотное синусоидальное колебание,
в результате чего имеем сигнал
χ (t) = a (t) sinoV, — оо <; t < оо.
Затем этот сигнал подается на фазовый модулятор. Принимаемый
сигнал можно записать в виде
r(t) = Y2Psm(ijyct + x(t)) + w(t)y — οο<ί<οο.
Спектральные плотности сообщения и шума соответственно равны
s„H = -^-, sw (<*)=■%>-.
ω2 +k2 2
1. Синтезировать оптимальный приемник для оценки χ (ή.
2. Вычислить средние квадраты ошибок ξθ и ξΜ, используя
линейное приближение.
3. Построить диаграмму корневого годографа линеаризованной
системы.
Список литературы
1. Ζ а о г s k i R. Simulation of Analog Modulation Systems. M. Sc. Thesis
Massachusetts Institute of Technology, Department of Electrical Engineering
Febr. 1965.
2. S η у d e r D. Optimum Linear Filtering of an Integrated Signal in White
Noise. Trans. IEEE, 1966, v. AES-2, №2, p. 231—233.
3. Rachel T. Performance of Optimum FM Demodulators for Various
Message Spectra. M. Sc. Thesis, Massachusetts Institute of Technology, Department
of Electrical Engineering, August 1966.
4. Becker H., Chang Т., Lawton J. Investigation of Advanced
Analog Communications Techniques. Tech. Rept. RADC-TR-65-81, Rome Air
Development Center, Research and Development Division, Griffiss A. F. В.,
Ν. Υ., March 1965.
5. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ.
под ред. Б. Р. Левина. «Сов. радио», т. 1, 1961, т. 2, 1962.
6. Woodward P. The Spectrum of Random Phase Modulation.
Telecommunications Research Establishment, Great Malvern, Worcs,, England,
Memorandum № 642, Sept. 1952.
7. Woodward P. The Spectrum of Random Frequency Modulation.
Telecommunications Research Establishment, Great Malvern, Worcs., England,
Memorandum № 666, Dec. 1952.
8. Blachman N. Limiting Frequency Modulation Spectra. Information and
Control, Sept. 1957, v. 1, p. 26—37.
9. S t e w a r t J. The Power Spectrum-of a Carrier Frequency-Modulated by
Gaussian Noise. Proc. IRE, 1954, v. 42, p. 1539—1542.
122

10. L a u d e r d a 1 e L. Spectral Characteristics of Random Modulated Waves.
Johns Hopkins Radiation Laboratory, Baltimore, Tech. Rept. № TR AF-94,
May 1962.
11. Harris B. Some Bounds on the Power Spectra of Frequency-Modulated
Sinusoidal Carriers. D. Eng. Sc. Dissertation, Columbia University, 1961.
12. Μ e d h u r s t R. G. RF Spectra of Waves Frequency Modulated with White
Noise. Proc. IEE, Monogr. 380E, May I960; reprinted in Proc. IEE, I960, v.
107, Pt. C, p. 314—323.
13. Μ e d h u r s t R. G. RF Spectra and Interfering Carrier Distortion in FM
Trunk Radio Systems with Low Modulation Ratios. Trans. IRE, June 1961,
v. CS-9, p. 107—115.
14. Μ e d h u r s t R. G. RF Bandwidth of Frequency-Division Multiplex
Systems Using Frequency Modulation. Proc. IRE, 1956, v. 44, p. 180—199.
15. Η a m e r R., Acton R. A. Power Spectrum of a Carrier Modulated in
Phase or Frequency by White Noise. Electronic Radio Eng., 1957, v. 34,
p. 246—253.
16. G 1 a d w i η A. S. Energy Distribution in the Spectrum of a Frequency
Modulated Wave. Phil. Mag., 1944, v. 35, Pt. I, p. 787—802; also Phil. Mag.,
1947, v. 48, Pt. II, p. 229—251.
17. С a r s ο η J. R., Fry Т. С Variable Frequency Electric Circuit Theory
with Application to the Theory of Frequency-Modulation. Bell Syst. Tech.
J., 1937, p. 16, p. 513.
18. V a n d e r Ρ ο 1 В. Frequency Modulation. Proc. IRE, 1930, v. 18, p. 1194.
19. S t u m ρ e r s F. L. Η. Μ. Distortion of Frequency-Modulated Signals in
Electrical Networks. Commun. News, 1948, v. 9, p. 82—92.
20. В a g h d a d у Ε. J. Analog Modulation Systems, in Lectures on
Communication System Theory. McGraw-Hill, New Vork, 1961.
21. Η u η d A. Frequency Modulation. McGraw-Hill, New York, 1942.
22. В 1 а с к Η. S. Modulation Theory. Van Nostrand, Princeton, 1953.
23. A b r a m s ο η N. Bandwidth and Spectra of Phase-and-Frequency-Modula-
ted Waves. Trans. IEEE, Dec. 1963, v. CS, p.407—419.
24. В 1 а с h m a n Ν. Μ., Alpine G. A. The Spectrum of a High-Index
FM Wave form: Woodward's Theorem Revisited. Trans. IEEE, April 1969,
v. COM-17, №2.

5. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УГЛОВОЙ
МОДУЛЯЦИИ
В этой главе рассмотрим общую систему угловой модуляции,
показанную на рис. 5.1. Она сходна с системой угловой модуляции,
которая впервые была рассмотрена во второй главе (см. рис. 2.1).
Однако теперь нами будут введены два новых момента:
1. Предполагается, что сообщение — стационарный процесс и что
фильтр в модуляторе — линейный фильтр с постоянными во времени
параметрами.
2. Фильтр модулятора разделен на две части — предыскажающий
фильтр, передаточная функция которого есть Кт (/ω), и интегратор.
Таким образом, передаточая функция фильтра модулятора имеет вид
Κ(/ω)=*!»Μ. (1)
/ω
Такое разделение соответствует тому, что обычно делается в
практических системах. Оно будет также удобным, когда на передаваемый
сигнал будет наложено ограничение по ширине спектра.
Г
aft) I
|
L
Km(jv)
1
J ω
\B(t)
Фазовый
модулятор
VJ(t)
s(t№)t/\rftl

Демодулятор
alt)
J
K(ju>)
Рис. 5.1. Общая схема системы угловой модуляции.
Поскольку эта система представляет частный случай системы,
изображенной на рис. 2.9, форма оптимального демодулятора
известна. Структурная схема оптимального, реализуемого с задержкой,
демодулятора показана на рис. 5.2. (Она совпадает с рис. 2.22.)
Соответствующая модель представлена на рис. 5.3. Она ничем не
отличается от модели, изображенной на рис. 2.19.
В главе 4 были рассмотрены вопросы синтеза оптимального
демодулятора и оценки помехоустойчивости получающейся системы.
Теперь мы возвращаемся к модулятору и будем исследовать
проблему синтеза фильтра /Ст(/со) с целью оптимизации
помехоустойчивости системы. Из рассмотрения в гл. 4 систем частотной и фазовой
модуляции известно, что при построении системы необходимо
учитывать ограничения по порогу и по ширине спектра.
124

1. Если отношение сигнал/шум мало, то доминирующим
фактором будет ограничение по порогу. Условием того, что система
работает в линейной области, является неравенство
2Ρ5θ(ω)-ι άω
^£Η1+ίΤ4
2π
<σ|
или, если выразить это неравенство через К (/ω),
оо
а δ·& Г in Γι ι 2ps«(o))ift(A°)i2ldc
Θ~2Ρ J L No J 2л
(2)
(3)
2. Если отношение сигнал/шум велико, то среднеквадратическую
ошибку можно уменьшить просто путем увеличения девиации
частоты. В этом случае на
ширину спектра передаваемого
сигнала необходимо
наложить ограничение. Простой
формой такого ограничения
может служить введенное
ранее понятие среднего
квадрата ширины спектра
гЛ°го(№)
arft)
rft)s~\ I—7ΓΊ I
—К^Уч^ &ωί γΤί
I у г UL—i
fpuoiju)
au(t)
Рис. 5.2. Демодулятор, реализуемый с
задержкой.
£{[θ(0]»}<Ωί (4)
или, если это условие выразить через собственно спектр,
с» оо
f ω^α(ω)|^(/ω)|2-^-= J Sa (ω) | Κη (/ω) |» ^ < Ω».
12 ^ω
1 2π
(5)
С учетом этих двух ограничений производится выбор /С(/со)
с целью минимизации нереализуемой среднеквадратической ошибки
SuCtt
Рис. 5.3. Модель системы угловой модуляции с синхронно-фазовым
демодулятором (СФД).
демодуляции сообщения. Средний квадрат ошибки, выражение для
которого было выведено ранее [см. (2.57)], равен
lu J №
Sa((i,)(N0/2P)
άω
/2P)+Sa(co)|/C(/u))|2 2π
125
(6)

В § 5.1 и 5.2 мы синтезируем оптимальный предыскажающий
фильтр с учетом этих ограничений. Оказывается, что
помехоустойчивость при использовании оптимального предыскажающего фильтра
несущественно отличается от помехоустойчивости обычной ЧМ, когда
преобладающим является ограничение по порогу. С другой стороны,
когда доминирует ограничение по ширине спектра, возможно
значительное улучшение помехоустойчивости системы. Оптимальные
фильтры, которые будут теоретически синтезированы в последующих
параграфах, трудно реализовать на практике. Но полученные
формулы весьма полезны, так как они показывают, насколько хорошо
может работать оптимальная система угловой модуляции. В § 5.3
будет показано, как можно построить простые субоптимальные
фильтры, которые почти не отличаются по помехоустойчивости от
оптимальных фильтров.
В § 5.4 выведено выражение для границы помехоустойчивости
любой системы, используемой для передачи аналогового сообщения.
Затем произведено сравнение с этим предельным значением
помехоустойчивости рассмотренных оптимальных систем угловой
модуляции. В § 5.5 кратко рассмотрены обычные приемники ЧМ и
произведено сравнение их по помехоустойчивости с синтезированными
ранее оптимальными демодуляторами. Наконец, в § 5.6 подведены
итоги по всей пятой главе.
5.1. Оптимальные предыскажающие фильтры при
ограничении по порогуХ)
В этом параграфе мы синтезируем оптимальный фильтр
модулятора в предположении, что преобладающим является ограничение
по порогу. Полезно сделать два предварительных замечания:
1. Передаточная функция К (/ω) фильтра модулятора выбирается
с целью минимизации нереализуемой среднеквадратической ошибки
оценки сообщения. Нереализуемая среднеквадратическая ошибка
используется в качестве критерия ввиду того, что она представляет
более фундаментальное ограничение помехоустойчивости системы.
2. Предполагается, что фильтры в синхронных демодуляторах
оптимальны для конкретной используемой передаточной
характеристики К (/ω).
Поскольку мы располагаем выражениями в замкнутой форме для
различных среднеквадратических ошибок, нет надобности
определять передаточные функции фильтров внутри петли, пока не будет
установлена оптимальная характеристика К (/ω).
Так как модель данной задачи и выражения для ошибок уже
изложены достаточно подробно, процедура оптимизации К (/ω) не
вызывает затруднений. Из (3) и (6) видно, что в выражения для ошибок
входит только, квадрат модуля функции. Поэтому удобно ввести
обозначение
S*(<o) = |K(/<d)|·. (7)
1} Материал этого параграфа построен на основе работы [-1].
126

Величина 5^(ω) неотрицательна при всех значениях ω. Переписав
(3) и (6), будем иметь следующую задачу на минимизацию:
минимизировать
ОО
ί
Sa (ω)
άω
l+(2P/JVe)Se(fi>)Sfc(u>) 2π
при условии, что
оо
I ^ ^о f In Γΐ 1 2PS«Msfe(co)1 άω „_ g2
5Θ 2Ρ J [ ^0 J 2π
ОО
Sh (ω) > 0, —οο<ω<οο.
(8)
(9)
(10)
В условии (9) знак равенства поставлен потому, что 1и убывает
монотонно как функция σ* при любом значении 5^(ω). Условие
(9) можно учесть, использовав множи- ^^ .. -,
тель Лагранжа. Для этого составим ι * /; -*
функцию
FAlu + X[h-o*c]. (11)
Ее можно записать иначе:
άω
F=^W[Sk(<*),X}-^-№, (12)
я фиксировано,
ω (puxcupoffctHo
если ввести обозначение
^[5Α(ω),λ]Δ Sa(co)
X[skfajj,z]
*
+ λ^-1η[
2Ρ L
I+(2P/tf,)So(<»)Sfc((0)
t [ 2PS, (m)Sft (ω)1
JV0 J'
+
(13)
λ фиксировано,
& фиксировано
δ skM
Рис. 5.4. Поведение функции
Ж [S*(a>), λ].
где Sk (ω) — неотрицательная
величина. Функцию F можно
минимизировать путем минимизации функции
Ж при каждом значении ω. ' Если
построить график величины «М.,.1
в зависимости от Sk (ω) при фиксированных ω и λ, то станет ясно,
что при неположительных λ минимума не существует. Поэтому
представляет интерес только случай положительного значения λ.
При положительном λ функция Ж [.,·] может иметь вид кривых,
показанных на рис. 5.4. На рис. 5,4, а имеется единственный
внутренний минимум. В этом случае минимум можно отыскать путем
дифференцирования функции Ж [Sk (ω), λ] по Su (ω) и приравнивания
результата дифференцирования нулю. На графике рис. 5.4, б
минимум находится на границе, соответствующей точке Sh (ω) = 0.
Чтобы осуществить минимизацию, зафиксируем ω,
продифференцируем Ж [Sk (ω), λ] по Sk (ω) и приравняем результат к нулю.
127

Если существует решение для положительного Sk (ω), то это
значение является оптимальным; обозначим его через §η(ω). В
противном случае Sk (со) = 0. Итак,
d^[Sk((u), λ]
dSk (со)
2PSa (ω)/Ν0
5Λ(ω)=5Α(ω) { (1 + [2Ρ5α(ω)5Α(ω)/^0])2
Χ
Γ—$α(ω) + λ —+ λ5β(ω)5Λ(ω)1) . -0, (14)
если Sfe (ω) ^ 0. Решив (14), получим
Sft(<o) = - ^—, (15)
к w λ 2PSa (ω) V '
если это выражение положительно. Иначе
§*(ω) = 0. (16)
Объединив (15) и (16), получим
S.(») = max{0,i-_|^}. (,7)
Обозначим частотный диапазон, в пределах которого правая часть
(15) положительна, через Ω. Тогда можно записать
< 1 Νη , ω£Ω,
Sft(<o)= λ 2PSa(w) ' c_' (18)
I 0, ω ζ Ω.
Область значений Ω определяется путем подстановки (18) в (9) и
решения относительно λ. В результате получим:
2Р J
— ОС
In Л ■ 2Ρ5α(ω)5Λ(ω)\ rfco
W0 / 2π
dec
2π
j 2PSa(co) /1 ^ο^Ι
Α^0 U 2Ρ5Λ (α» >/ J
Ы ^Α.Γΐη(2^(ω)^< (19)
2Ρ J V ^0λ ) 2π ν 7
Ω
Заметим, что (18) и (19) необходимо решать одновременно для Ω и λ.
Характер множества Ω иллюстрируется рис. 5.5. Если спектр
сообщения является унимодальным, то Ω представляет собой сплошной
(без разрывов) интервал, как показано на рис. 5.5, а:
Ω = [ω: — ω* < ω < ω*], (20)
где
ι Μ,
λ 2PSa (ω*)
128
0. (21)

Решив (21) относительно λ и подставив результат в (19), получим
а' = Ль- f'lnf Sa(co) )*»-
2Р J V Sa (ω*) / 2π "
(22)
Для завершения решения необходимо решить (22) относительно ω*.
Если спектр сообщения не унимодален, то множество Ω может
быть разрывной областью, как показано на рис. 5.5, б. В этом случае
для отыскания Ω и λ
используются непосредственно (18) и (19).
В обоих случаях передается
сигнал, соответствующий тем
участкам спектра, где спектральная
плотность превышает некоторый
уровень, зависящий от Ν0, Ρ и
о2с, и полностью устраняются
прочие участки спектра. Заметим, что
оптимальная функция К (/со)
никогда не будет соответствовать
реализуемому фильтру, так как ее
модуль равен нулю на некотором
участке оси ω (вспомним критерий
Палея— Винера [2]). В §5.3 будут
рассмотрены реализуемые
приближения к оптимальному предыска-
жающему фильтру.
Нереализуемая ошибка при
использовании оптимального предыскажающего фильтра определяется
путем подстановки (17) в (8)
Рис. 5.5. Примеры на характер
множества Ω:
а — унимодальный спектр; б —
многомодальный спектр.
««-J^+f *·<·>£·
(23)
Выражение (23) можно свести к виду
goAM = /e-j£-X + jSe(<0)·
2π
(24)
где Iq — длина двухсторонней области Ω в герцах. Подстрочный
индекс «ОАМ» означает оптимальную угловую модуляцию
(«optimum angle modulation»). Когда спектр Sa (ω) унимодален,
выражение (24) можно записать в виде
гОАМ:
ω*5α(ω*)
{-2
άω
2π
(25)
5 Зак 1128
129

В формулах (24) и (25) первое слагаемое соответствует ошибке в
оценке той части сообщения a (t), спектр которой заключен в области Ω.
Второе слагаемое—это ошибка в оценке части сообщения a (t)>
лежащей в пределах частотной области, которая не передавалась. Для
иллюстрации этих представлений
рассмотрим пример.
Пример. Пусть
5,(ω) = 2£/(ω2 + £2). (26)
Поскольку Sa (ω) — функция
монотонная, Ω будет неразрывной
областью, простирающейся от —ω*
до ω*. Чтобы найти ω*,
зуемся формулой (22):
восполь-
σ| =
2Р
ρ J
— ω*
1η/(ω*)2+62
С02 + /г2
(1ω
2it
(27)
Проинтегрировав по частям,
получим
4
Рис. 5.6. Ошибки в оптимальной
системе угловой модуляции и в
оптимальной системе ЧМ в случае спектра
Баттерворта первого порядка,
πΛη
Ι^)-^(χ)]·
(28)
где
Аг = 4Р/Ш0. (29)
Формула (28) однозначно определяет ω* при любой желаемой
дисперсии σ*. Получающаяся ошибка демодуляции в соответствии с (25)
равна
£θΑΜ =
ω*
2k
π (ω*)2+&2
Ь2
οο
Γ 2k άω
J ω2 + &2 2π *
(30)
Выполнив интегрирование, будем иметь:
_2_ | со*/&
π
SOAM:
(ω*/&)2 + 1
+ i_Aarctg(^L
π \ k
(31)
Выбором Λχ и Gc согласно (28) полностью определяется ω*/&, а,
следовательно, и ξοΑΜ· Зависимость величины, обратной ξοΑΜ, от А1 при
Ос = 0,25 представлена графически на рис. 5.6. При больших Аг
=ОАМ·
16
Аго2с.
(32)
Мы еще не ответили на вопрос, какой выигрыш по сравнению
с простой системой ЧМ дает применение оптимальных предыскажа-
ющих фильтров, синтезированных выше. В § 4.2 была синтезирована
оптимальная система ЧМ при ограничении по порогу. Ошибка в этой
130

системе определялась по формулам (4.51) и (4.54). Для сравнения
этот результат также показан на рис. 5.6. При Лх > 1 имеем
Ы,и^±\°1 (33)
так что разность между (32) и (33) пренебрежимо мала (0,94 дБ).
В следующем параграфе мы рассмотрим случай, когда
определяющим условием является ограничение по полосе частот. В этом
случае- выигрыш будет более значительным.
5.2. Оптимальные предыскажающие фильтры при ограниченми
по полосе частот
В этом параграфе мы рассмотрим проблему оптимальной системы
ЧМ с предыскажениями, когда отношение сигнал/шум настолько
велико, что ограничение по порогу не является определяющим
условием работы системы. При этих условиях для построения
реалистичной модели системы необходимо учитывать ограничение по полосе
частот. Структурные схемы рис. 5.1, 4.2 и 5.3 в этом случае все еще
пригодны. Передаточная функция предыскажающего фильтра равна
/Ст (/ω). Напомним, что Кт (/ω)//ω ±Κ (/ω).
Нереализуемая ошибка согласно (6) равна
t f Sg (ω) (NJ2P) da_
и J (Λ^0/2Ρ) + [5α(ω)|^(/ω)|2/ω2] 2π ' Κ }
—σο
В соответствии с (5) условие ограничения по полосе частот можно
записать в виде
jSa(co)|tfm(/co)|2-|L<Q!. (35)
— оо
Ради простоты предположим, что дисперсия сообщения нормирована
так, что
σ2=1. (36)
Поэтому, если бы у нас была обычная система ЧМ (Кт (/ω) _δ_ df),
то
Qy = df. (37)
Необходимо сравнить помехоустойчивость рассматриваемой системы
и обычной системы ЧМ; поэтому требуется наложить такое же
ограничение по полосе частот:
Ε {[Θ (/)]*}< dj. (38)
5* 131

Sto условие Можно записать через спектр 5α(ω) и передаточную
функцию Кт(М'·
$ Sa(v)\Km№)\* j^<d},
или
где
$sa(<»)Sm(<*)-^.^d!
Sm(co)A|A'm(/co)|
(39)
(40)
(41)
Такая запись задачи существенно упрощает минимизацию ошибки,
когда в модели учитываются ограничения. Так как в остальном
задача аналогична случаю с ограничением по порогу, дальнейшее ее
изложение можно значительно сократить.
Построим функционал
F =
оо
я·
Sa (ω) (Λί0/2Ρ)
(JVo/2P) + [Sa(co)Sm(c0)/co2]
+ ^Sa (ω) Sm (ω)
42— Xdf.
In '
(42)
В результате его минимизации получим
1
Sa(CD)7V0CD2
SmH== Sa(<0)U 2Ρλ
( 0,
»/2 Ν0ω2
2Ρ
, ω £ Ω,
ω ς Ω,
(43)
где Ω — область изменения ω, в которой выражение, заключенное
в фигурные скобки, неотрицательно. Значение λ определяется путем
подстановки (43) в (40):
Г ί / Sa (ω) Ν0 ω2" ι/2 Ν0 ω2) άω = ^
J Η 2Ρλ J 2Ρ J 2π f'
(44)
Выражение для среднего квадрата ошибки получим из (34)
и (43)
?oAM=(^),/2j^Sa(co)]'/2^- + jSa(co)^. (45)
Точно так же, как в случае ограничения по порогу, эти результаты
можно упростить, когда спектр сообщения является унимодальным.
В этом случае Ω представляет собой область [—ω*, ω*], где ω* —
значение ω, при котором спектр Sm (ω) равен нулю.
Из (43) имеем
А!®1) = ^((0*)». (46)
Л» 2Р
132

Решив (46) относительно λ и подставив результат в (44), получим
уравнение, определяющее ω*:
ω*
JUL f L* ω (±ШЛ'/2 - ω»1 *» = d). (47)
о
В результате получим следующее окончательное выражение для
ошибки:
6оам=25У1(_^Г Ι/2 |ο+2 Γ5α(ω)|ω
ω* J 2π J 2π
0 ω*
Заметим, что выше мы исходили из предположения, что система
работает выше своего порога, так что справедлив анализ в линейном
приближении. Приближенный пороговый уровень можно определить
путем вычисления значения Л, при котором средний квадрат
фазовой ошибки ξθ равен 0,25. Для вычисления ξθ при произвольном
унимодальном спектре сообщения используем в формуле (3)
выражения (44) и (46). В результате получим
ω*
2Р J 1 ω Lsa(co*)J I 2π ν ;
о
Основные результаты оптимизации при условии ограничения по
полосе частот представлены формулами (43)— (48). Чтобы
проиллюстрировать их применение, рассмотрим простой пример.
Пример. Пусть
Sa(cD)-2£/(a)* + £2). (50)
Спектр сообщения унимодален и, следовательно, можно
использовать формулы (47) и (48). Учитывая в формуле (47) выражение (50),
получаем
ω* ω*
πΑχ Ц k J J J Усо2 + &2 Ρ J 2я " V ;
о о
где
Λ1Δ4Ρ/*Λ/Γ0. (52)
Выполнив в (51) интегрирование и упростив полученное выражение,
будем иметь следующее уравнение:
А (м*\а _l ел* Г1 _ -i/7,.4*\2j_il __ ϋίΔΐ / !h_
где
з (ω^ + ^[ΐ-Υ(ω^+ΐ]==ψ^)\ (53)
ωίΔω*/*. (54)
133

Это уравнение описывает ω£ как функцию коэффициента расширения
спектра dflk и отношения сигнал/шум в полосе сообщения Аг.
Получающуюся нереализуемую ошибку демодуляции сообщения
найдем путем интегрирования в (48):
ЬОАМ:
2 /[((ω*)2+ΐ)1/2-1]
π
ω£((ω*)2+1)
1/2
•[^-arctg(co*)]}. (55)
Подставив в (55) значение ωί из (53), получим нереализуемую сред-
неквадратическую ошибку. Результат вычисления представлен
графически на рис. 5.7. Для вычисления ξθ подставим (50) в (49):
А_Г,п
2Р J
(0*(((о*)2 + /г2)1/2
ω(ω2 + #»)Ι/2
2π
(56)
Используя значения ω£ из (53) в выражении (56) и требуя, чтобы
1в = 0,25, определим ограничивающую линию, показанную на
рис. 5.7.
На этом же графике для сравнения приведены результаты
для обычной системы ЧМ (см.
рис. 4.3). При больших значениях
Лх и d//k имеем
10'
10l
10
Оптимальная преды ска -
жаюсцая схема
Оптимальная обычная ЧМ
1 1—-J 1 j _j
£θΑΜ ^
^(Зя)*'8^)^^73'
1)05(4.)2/3Л1/з.
При тех же условиях
£FM,C/
"УЧЪ)
1/2
л!/4.
(57)
(58)
10*
w
Л,
Отношение соответствующих
средних квадратов ошибок равно
Рис. 5.7. Зависимости ξ οαμ и £fm, и
от Лх при использовании оптимальной
пред искажающей схемы и
ограничении по ширине полосы частот.
£fM,1/
-0,74
k
1/6
Λ}/12.
(59)
Для пределов изменения параметров, показанных на графике, это
соответствует выигрышу в 2—5 дБ. Выигрыш возрастает по мере
увеличения Аг и dflk. Заметим, что порог имеет место при несколько
большем значении Аг.
Другой способ сравнения систем ЧМ и оптимальной угловой
модуляции — фиксировать Лх и сравнивать значения ширины
полосы частот, требуемые в этих двух системах для достижения
одинаковой среднеквадратической ошибки. Из рис. 5.7 видно, что обычная
ЧМ требует по крайней мере в пять раз более широкой полосы ча-
134

стот, причем это отношение увеличивается при возрастании Лх.
Видно также, что при данном спектре сообщения оптимальный пре*
дыскажающий фильтр обеспечивает значительный выигрыш по
помехоустойчивости.
В этом параграфе и в § 5.1 были определены передаточные
функции оптимальных предыскажающих фильтров при условии
ограничения по порогу или по полосе частот. Можно также наложить оба
эти ограничения одновременно и найти оптимальный фильтр для этих
условий (например, [1]), однако достигаемый при этом выигрыш не
окупает требуемого усложнения фильтра (для спектра Баттервор-
та первого порядка результат оказывается таким же).
Необходимо отметить, что оптимальные предыскажающие
фильтры нереализуемы. В демодуляторах фильтр внутри петли является
реализуемым, а фильтр, включаемый после петли,«—
нереализуемым. При этом, хотя фильтр внутри петли и является реализуемым,
его трудно реализовать на практике.
Как указывалось ранее, главная цель нашего рассмотрения
оптимальной угловой модуляции — установить границы
помехоустойчивости системы. В следующем параграфе мы синтезируем
некоторые простые субоптимальные системы с предыскажениями и сравним
их по помехоустойчивости с оптимальными системами угловой
модуляции.
5.3. Субоптимальные предыскажающие фильтры
В предыдущем параграфе было показано, что оптимальная преды-
скажающая схема заметно улучшает помехоустойчивость системы,
когда определяющим условием является ограничение по полосе
частот. К сожалению, оптимальную предыскажающую схему
невозможно реализовать точно. В этом параграфе будут рассмотрены
простые предыскажающие схемы и произведено сравнение их по
помехоустойчивости с оптимальной системой.
5.3.1. Синтез субоптимальных систем
Из (43) видно, что оптимальную предыскажающую схему можно
представить в виде двух последовательно включенных фильтров*
(рис. 5.8). Передаточная функция первого фильтра есть просто
величина, обратная спектру Si (со). Напомним, что Si (со) содержит
полюсы и нули спектра Sa (со) в левой полуплоскости, так что
обратная ему характеристика—передаточная функция первого фильтра —
является реализуемой. Выходной сигнал первого фильтра имеет
равномерный спектр. Передаточная функция второго фильтра
соответствует корню квадратному из выражения, заключенного в (43) в
фигурных скобках:
Stt(CD)7V0CD2 \1/2 Λί0Ο)2
Km* (/<°) -
2Ρλ J 2P
О, ω ζ Ω
, ω f У,
(60)
135

Заметим, что выражение в фигурных скобках в (43) нельзя
разложить на реализуемую часть и комплексно-сопряженный с нею
множитель, так как оно не удовлетворяет критерию Палея — Винера
(оно равно нулю на конечном интервале оси ω). Необходимо
заменить второй фильтр реализуемым фильтром и исследовать
достигаемую при этом помехоустойчивость. Для иллюстрации этой
процедуры рассмотрим простой пример.
aft)
Ι ι
SaM
Л' ,/V/.))
Нереализуемый
cpunbmp:KmZ(jb))
№
Λ/77/ (Jus/
Υ ^.
„j
дБ{
1
~y\
sC Крутизна
/ 6дБ1октава
1 I
1 )
XmfJv)
Рис. 5.8. Оптимальная предыскажающая
схема.
k k1 Igw
Рис. 5.9. Асимптоты модуля
передаточной функции.
Пример. И на этот раз предполагается, что сообщение имеет спектр
Баттерворта первого порядка:
Sa(cD)^2£/(co2 + /e2).
(61)
Из (54) следует, что передаточная функция оптимального фильтра
при ω ^ ω* равна нулю, где ω* зависит от Аг и dflk. Но из этого
вытекает, что простым первым приближением к нереализуемому
фильтру могла бы быть однополюсная схема. Местоположение полюса
будет зависеть от Лх и df/k. Следовательно, субоптимальную систему
в данном случае можно получить путем замещения фильтра с
передаточной функцией Кт2 (/<*>) на Рис· 5.8 реализуемым фильтром с
передаточной функцией
/CD + &1
(62)
где kx — параметр, значение которого выбирается для оптимизации
помехоустойчивости системы.
Из (61) видно, что
1 _ /ω + &
St (ω) V2k
(63)
Поэтому результирующая передаточная функция реализуемого пре-
дыскажающего фильтра будет равна
(64)
Асимптоты модуля передаточной функции показаны на рис. 5.9.
Нереализуемая ошибка демодуляции сообщения, которую можно
136

определить путем подстановки (61) и (64) в (34), равна
оо
№/((u2 + k*)}(N0/2P) άω
*.= $
(N0/2P) + [2k/№ + k^](df ^/ω* k)[№ + k^/№ + kl)] 2π
Сгруппировав члены и заменив переменные, получим
ξ = Г [2a + (^l/fe)a]22 dj_
U J00W + (ki/k)*z* + (dftk)*(k1/k)A1][z* + l] я
(65)
(66)
Из (66) явствует, что нереализуемая среднеквадратическая ошибка
зависит от трех величин:
1) коэффициента расширения спектра dflk\
2) отношения сигнал/шум в полосе частот сообщения Аг = 4P/kN0;
3) отношения координаты полюса к координате нуля на
частотной оси.
На рис. 5.10 показано поведение величины, обратной среднему
квадрату нереализуемой ошибки, как функции отношения kjk при
dflk = 50 и различных значениях Лх. Из графиков видно, что для
каждого значения Лх существует оптимальное значение kjk и оно
возрастает с увеличением Лх. Как и следовало ожидать, кривые име-
100 к7/к
Рис. 5.10. Зависимости \и от kjk
при df/k — 50.
Ki
ΊΟ" У
ю
Су5оптимальная 1^0^^
■Обычная ЧМ Ь^<^^
Рис. 5.11. Зависимости \и от Ль
ют плавный характер, так что в точной подстройке kjk нет
надобности. Аналогичные результаты можно получить для других
значений отношения dflk. Зависимость Ιΰ1 от Лх при различных значениях
dflk показана на рис. 5.11; во всех случаях при построении этих
кривых использовались оптимальные значения отношения kjk. Здесь
также проведена линия ξθ = 0,25, указывающая положение
порога. Ее уравнение получается в результате использования
передаточной функции (64) в формуле (3):
137

Для сравнения на рисунке приведены кривые Для случая
оптимальных предыскажений (см. рис. 5.7) и типичная кривая для случая
ЧМ. Рассмотрение рис. 5.11 показывает, что простая система с
предыскажениями обладает почти такой же помехоустойчивостью, что
и оптимальная нереализуемая схема. Заметим, что в обоих случаях
производится вычисление 1и (т. е. предполагается, что имеется
нереализуемый фильтр после петли). Следует указать, что фильтр,
частотная характеристика которого показана на рис. 5.9, при kxlk =
= 15 является предыскажающий схемой, используемой в
большинстве коммерческих систем радиовещания с ЧМ.
Рассматривая рис. 5.9, приходим к выводу, что эффект предыска-
жающей схемы выражается в том, что анализируемая система
работает как система с ЧМ на низких частотах (ω < k) и как система с
ФМ— на высоких частотах (ω > k). При ω > kx система вновь
аналогична системе с ЧМ, однако на этих частотах практически не
содержится информации о сообщении.
Аналогичные результаты можно получить для других спектров
сообщений. Во всех случаях при помощи достаточно простых
реализуемых схем предыскажений можно достигнуть
помехоустойчивости, близкой к помехоустойчивости оптимальной системы угловой
модуляции.
5.3.2. Краткие итоги
Начав в гл. 4 с системы ЧМ, мы рассмотрели иерархию проблем
угловой модуляции. В каждом случае производился синтез
оптимального приемника и оценка его помехоустойчивости. Центральным
моментом нашего рассмотрения являются схемы оптимальной угловой
модуляции (см. § 5.1 и 5.2). В п. 5.3.1 был. произведен синтез
субоптимальных предыскажающих схем, которые по среднеквадратиче-
ной ошибке позволяют приблизиться к оптимальным системам
угловой модуляции.
Остается рассмотреть еще два вопроса, чтобы завершить наше
изложение.
1. Изложение теории модуляции в данной главе строилось
исходя из предположения, что для передачи аналогового сообщения
a (t) используется система угловой модуляции. На практике, однако,
часто используются системы других типов. Например, сообщение
можно дискретизировать и передавать выборочные значения методом
частотно-импульсной модуляции. Если бы мы могли установить
границу — определить потенциальную помехоустойчивость любой
системы, используемой для передачи сообщения a (t), то получили бы
в свое распоряжение некоторый абсолютный стандарт. Тогда можно
было бы сравнивать рассмотренную оптимальную систему угловой
модуляции и другие возможные системы с этими границами. В § 5.4
выведены выражения для потенциальной помехоустойчивости и
произведено сравнение с этими границами помехоустойчивости
оптимальных систем угловой модуляции.
2. Все наше рассмотрение строилось на использовании
оптимального приемника. Во многих системах ЧМ в качестве демодулятора
138

используется ограничитель-дискриминатор. Представляет большой
интерес сравнить по помехоустойчивости обычные приемники с
ограничителем-дискриминатором с оптимальными приемниками. Такое
сравнение даст нам основание судить, когда дополнительная
сложность оптимальных приемников бывает оправданной.
Сравнительному анализу обычных и оптимальных приемников посвящен § 5.5.
5.4. Границы качества (потенциальная помехоустойчивость)
систем передачи аналоговых сообщений1*
Проблему передачи аналогового сообщения можно рассматривать
в абстрактной постановке, как показано на рис. 5.12. Изображенный
на рисунке блок, конкретно никак не определенный (не заданный),
содержит передатчик, канал и приемник. Как правило, в конкрет-
a(t)
t чик \ланал\ ник |
I ι
aft)
aft)
Частотный]
\модулятор
та

Демодулятор
aft)
Рис. 5.12. Абстрактная модель
аналоговой системы связи.
Рис. 5.13. Система ЧМ.
ной реализации это может быть простая система ЧМ, работающая
по каналу с аддитивным белым гауссовым шумом, модель которой
представлена на рис. 5.13, В другом случае это может быть система
aft)
Дискретиза-
тор
Квантователь
Кодер
Передатчик
aft)
Восстановление
сигнала
Декодер
Щемодулятор
ι
Канал с
релеевскими
замираниями\
τ
Рис. 5.14. Цифровая система для передачи аналогового сообщения.
в которой осуществляется дискретизация сообщения во времени,
квантование дискретных отсчетов по уровню и их преобразование
в последовательность (комбинацию) цифр (символов), отображение
получающихся символов в последовательность сигналов, передача
этих сигналов по релеевскому каналу и, наконец, соответствующая
операция оценки и восстановления сообщения, как показано на
г\ Для изучения этого параграфа необходимо знание некоторых исходных
сведений из теории информации; для ознакомления с ними может служить [3].
Этот вопрос включен в рассмотрение ввиду того, что результаты данного
параграфа имеют фундаментальное значение для любого теоретического исследования
передачи аналогового сообщения. Читатель, незнакомый с теорией информации,
все же сможет прочитать этот параграф и выяснить смысл полученных формул,
139

рис. 5.14. В любом случае приемник наблюдает колебание г (t) и
использует его для получения оценки a (t), такой, что математическое
ожидание
Εί±\[α(ή-α(ή]*άί\ (68)
является минимальным. Система, изображенная на рис. 5.14, введена
нами в рассмотрение с тем, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что
выводы данного параграфа не ограничиваются только системами
угловой модуляции, а справедливы для произвольных систем связи.
Сначала выведем выражение для границы качества
(помехоустойчивости) любой системы. Затем сравним рассмотренные выше
оптимальные системы угловой модуляции с установленными границами.
5.4.1. Граница помехоустойчивости при скорости передачи информации,
определяемой заданной величиной искажения сообщения
Обратимся теперь к абстрактной модели системы, представленной
на рис. 5.12. Выходом источника является сообщение α(ή, которое
описывается выборочной функцией стационарного случайного
процесса со спектром Sa(co). Обозначим оценку сообщения a(t) через
a (t). В дальнейшем предполагается, что математическое ожидание
усредненного по времени квадрата ошибки не превышает величины
L т. е.
^{y-S[fl(o-fl(0]a4<s· (ω)
Между a(t) и ά(ή существует связь, характеризуемая некоторым
количеством взаимной информации. Для определения этой взаимной
информации разложим α (ή и α (ή в полные ортонормальные ряды
на интервале [0, 7], используя метод, изложенный в гл. 3 первого
тома. Таким образом,
a(t) = l.\.m.aN (t) = \A.m. 2 β*<Μ0» 0<ί<7, (70)
где
τ
а4 = 5а(ОФ«(ОЛ. (71)
ο
Обозначим первые Ν коэффициентов вектором а#. Аналогично
a(t) = U.m.aN(t) = U.m. V α«Ψί(0. 0</<7, (72)
где
α^ = ^(/)Ψ,(ί)Λ. (73)
о
140

Обозначим первые N коэффициентов в (72) через вектор &N.
Координатные функции в этих двух разложениях необязательно должны
быть одинаковыми. Средняя взаимная информация между ayV и &ы
считается равной (см. [3])
/ (aw, 'dH)=E
-S -5
log
*yv> ал'
P*N (λα/) Ρ*Ν (**)
\
A )
^W^^V
Pa
N> aN
(AN,AN)dANdAN. (74)
Средняя взаимная информация между сигналом и его оценкой
на интервале (О, Т) равна пределу / (а#, а#), если он существует;
/т- [a(t), a (t)] A liml (&N,aN).
N-+00
(75)
Желательно определить минимальное количество средней
взаимной информации, необходимой для того, чтобы удовлетворялось
(69). Если найти этот минимум на всем возможном интервале Τ
(включая Τ ->- оо), то получим некоторую функцию, называемую
скоростью передачи информации (производства информации источником)
при заданной величине среднего квадрата ошибки воспроизведения
сообщения. Ее обозначают через R (ξ) и определяют как
#(!) =
= limiinf
Г-· со
IT(a(t), a(Q)
Τ
(76)
Операция определения точной нижней границы (infinimum) осуще-*
ствляется по всем возможным каналам. Понятие функции R(ξ)
введено Шенноном [4] (см. также работу Слепяна [6]). Заметим, что
эта функция является характеристикой источника.
Чтобы проиллюстрировать смысл функции R(Q> вычислим ее
для некоторых представляющих интерес источников. Можно
показать [7 — 9], что для стационарного гауссова источника эта функция
равна
/?(ξ) = $1η(-
Ω \
Sq((0)
λ*
2π
где
Ω^=[ω, при которой Sa(co);>X*, ω^Ο],
Ω = [ω, при которой Sa(co)^X*, ω^Ο],
при этом область Ω определяется из соотношения
Е = 2
/Ωλ* + $5α(ω)
2π
(77)
-(78)
(79)
Ω
141

где через Iq обозначена протяженность области Ω. Заметим, что Ω
определяется только для положительных ω; это требование
вводится с тем, чтобы наше изложение не противоречило
упомянутым выше работам. Параметр λ* — это множитель Лагранжа,
который появился в ходе нашего вывода. Для отыскания Ω и λ*
соотношение (79) решается с учетом (78). Замечаем, что (77) и (79)
имеют точно такую же форму, как (19) и (24), вследствие чего здесь
непосредственно применимы вы-
4ю\ | | III \20\Ы \ГаУссов \ffii воды, относящиеся к рис. 5.5.
V05 Так, в частности, если спектр
Sa (ω), унимодален, то область
Ω представляет собой единый
(без разрывов) интервал [0, ω*].
При этом из (78) имеем
λ* = Sa (со*).
С учетом (80) находим
(80)
ω* S0 (ω*)
!$S«(<o>
2π
12 5 10 20 W 10ζ #(ξ).
к/2к
Рис. 5.15. Зависимости ошибок от R (ξ)
для нормального случайного процесса
в случае спектров Баттерворта и
гауссова спектра [10].
(81)
При любом требуемом среднем
квадрате ошибки ξ необходимо
решать (81) относительно ω*.
Соответствующая этой ошибке
скорость передачи информации
имеет вид
со*
£(ξ)=$ΐη
Sa(fl>)
Sa (ω*)
2π '
(82)
Зависимость величины, обратной среднему квадрату ошибки,
от R (ξ) для спектра Баттерворта вида
SaH-
2пР I sin (π/2 л)
(ω/£)2" + 1
(83)
представлена графически на рис. 5.15, а для гауссова спектра —
выражением (6.164) в первом томе.
Теперь мы располагаем выражением для количества средней
взаимной информации между α(ή и ά(ή, которая требуется для
получения среднего квадрата ошибки ξ. Следующий шаг нашего
изложения — установить, что для передачи этой информации от
передатчика к приемнику необходимо иметь канал, пропускная способность
которого
C^R (ξ),
(84)

Поскольку R (ξ) — монотонно убывающая функция ξ, в (84) всегда
используется знак равенства. Таким образом, к каналу
предъявляется требование \
С = Я (ξ). (85)
Далее мы рассматриваем только каналы с аддитивным белым
гауссовым шумом. Следует подчеркнуть, что все изложенное до сих пор
было справедливо для любого канала.
Источник сообщения
aft)
Передатчик
У(Ь)
+
-К
w(t)
r(t)
, з*-
Рис. 5.16. Модель канала с аддитивным белым гауссовым шумом.
Модель канала с аддитивным белым гауссовым шумом показана
на рис. 5.16. Мощность передаваемого сигнала y(t) равна
ξ Sy (ω)
dp)
2π
(86)
где Sy(co) — его спектральная плотность. Аддитивный белый гауссов
шум имеет двухстороннюю спектральную плотность N0/2* Пропуск*
ная способность канала в этом случае равна [3]
1 °°
■тР"
2Sy (ω) \ _^со
2π
ΛΌ
нат. ед. инф./с.
(87)
Рассмотрим три частных случая такого канала:
1. Канал со строго ограниченной полосой пропускания;
2. Канал с бесконечно широкой полосой пропускания;
3. Канал с ограниченной среднеквадратической полосой
пропускания.
y(t)
, HLp(f)
*~f
-Wch +Wch
wft)
rft)
Wch
\HBp(f)
~fo
fo
f
Идеальный фильтр
нижних частот
Рис. 5.17. Модель строго ограниченного по полосе канала с аддитивным белым
гауссовым шумом (WCh — двухсторонняя ширина канала, Гц):
а — канал нижних частот; б — фильтр в идеальном полосовом канале.
Модель строго ограниченного по полосе канала показана на
рис. 5.17. Здесь передаваемый сигнал пропускается через полосовой
фильтр с модулем коэффициента передачи, равным единице, и с
полосой пропускания 2Wch Гц. В этом случае пропускная способность
канала будет максимальной, если плотность спектра Sy(co) сде-
143

лать постоянной в полосе пропускания фидатра и равной нулю вне
ее. Достигаемая при этом пропускная способность равна
. C=Wch\n( l + _Е—\ нат. ед./с =
V No WCh J
= Wch log2 ( 1 +—?—) дв. ед./с (88)
\ N0 Wch J
Если в (88) устремить Wch к бесконечности, то получим канал с
бесконечно широкой полосой пропускания, имеющий пропускную
способность
VchWi ■ р λΊ р
С- lim
No Wch Jl No
нат. ед./с =
= (logae)-£- дв. ед./с (89)
N0
Канал с ограниченной среднеквадратической полосой пропускания —
это канал, в котором средний квадрат ширины спектра передаваемого
сигнала ограничен сверху:
С ffl«S„(W)-^-<PQcV (90)
— со
Ограничение этого типа нам известно из рассмотрения
оптимальной угловой модуляции в § 5.2. Необходимо вывести формулу
пропускной способности канала при этом условии. Чтобы не прерывать
основной линии нашего изложения, отложим пока этот вывод до
стр. 147 и рассмотрим только первые два канала.
Для иллюстрации используемых методов обратимся к
нескольким представляющим интерес случаям. Во всех случаях спектры
сообщения являются монотонными, так что можно использовать (81)
и (82). Приравняем выражение (82) для R (ξ) к выражению (88)
для С:
lntJ^)*L = Wchln(i+-JL-)u (91)
V Sa(co*) ) 2π V N0Wch ) V ;
В результате решения уравнения (91) получим ω* как функцию Р,
Nq и Wch. Подставив это значение ω* в (81), определим наименьший
средний квадрат ошибки, возможной при использовании любой си-
темы связи.
Пример 1. Спектр сообщения имеет вид
s»w=^· . <92>
Подстановка (92) в (91) дает:
ω*
\
0
С щГ ^2+f ]**. = νΛΙη\ΐ + -*—\. (93)
144

Поскольку k измеряется в радианах в секунду, ширину полосы канала
также выразим в радианах в секунду:
QchA2nWch. (94)
Проинтегрировав левую часть (93) по частям и учтя (94) в правой
части, получим
(■f)-"4(-?-)-T(-^M, + -^(-5r)]· (95>
где
Аг A 4P/kN0 (96)
есть отношение сигнал/шум в полосе частот сообщения. Теперь
можно найти ω*, как функцию Лх и Qch Ik. Средний квадрат ошибки,
получаемый путем подстановки (92) в (81), равен
2/гсо*
2Ы
άω
oRD'·
(ω*)2 + £3
ω2+£2 2π
(97)
Здесь добавлен подстрочный индекс «RD» для того, чтобы подчеркнуть,
что речь идет о среднеквадратической ошибке при использовании
границы при заданной мере иска-
жений.
лучим
£rd
+ 1
Если в
Проинтегрировав (97), по-
_ 2 / 2fe(Q* \ ,
я V (ω*)2+*2 )
-τ"* (-?■)· <98)
(98) подставить значение
SRD
ю2
ω* из (96), то £RD будет представ- 10
лена, как функция А1 и Qch/&.
На рис. 5.18 величина ξκ0 пред- w ю2 /о3
ставлена графически как функция
Лх при различных значениях
коэффициента расширения спектра
Qch/£ Первоначально эта задача го П0РяДка·
была решена в [10].
Пример 2. Спектры Баттерворта, канал с
бесконечно широкой полосой. Спектр сообщения
принадлежит к классу Баттерворта, а ширина полосы пропускания
канала Wr] ^ ■"■
Г 300х
г ^—^
j€^^\~~---~'
1—ι 1 ι ι ι
500
3£~~~
75
25
=/0
ι 1
Рис. 5.18
в случае спектра Баттерворта перво
Зависимости |^ от Λι
'ch
Таким образом,
о / ч 2пР
sin(jt/2/z)
·)■
1+(ω/Λ)2η
-^-нат. ед./с = (Iog2 β) (-^-) ДР. ед./с =
= 1,44—-дв. ед./с.
Ν,
(99)
(100)
145

Поскольку графики функции R (|) для этого класса спектров уже
построены (см. рис. 5.15), величину £Rd можно найти непосредственно
по этим кривым, положив
/?(£)= 1,44-£- . (101)
Эта задача была выполнена в [10], а результат показан на рис. 5.19.
По оси абсцисс здесь отложено отношение сигнал/шум в полосе
сообщения (| со | < k). Это отношение сигнал/шум равно
AB=2nP/kN0. (102)
По оси ординат отложена величина, обратная среднему квадрату
ошибки £rd. (Графики рис. 5.19 и 5.15 отличаются между собой
только тем, что по горизонтальной оси отложены разные величины.) Как
и следовало ожидать, согласно результатам теории фильтрации, с
которыми мы познакомились ранее (например, рис. I—6.17),
помехоустойчивость улучшается по мере увеличения порядка η спектра.
Пример 3. Ограниченный по полосе спектр
сообщения, канал с ограниченнной полосой
пропускания. Третий представляющий интерес случай
соответствует ограниченному по полосе спектру сообщения.
Спектральная плотность сообщения записывается в виде
SaH
1 ,\ti>\<2nWM,
2Wm ' ' (103)
0 при других ω.
Здесь можно пользоваться формулами (77) и (79) с учетом того, что
Ia=W„. (104)
В результате получим уравнения
2KWM
Щ)= J 1η[-^^τ]-^ = -^1η(2^Λλ*), (105)
о " м
С = Wch In l
-) · (106)
NeWDb
Приравнивая R(l·,) к С, получаем
2WM λ* = 11 + —?—)-"*'"«. (107)
Согласно (79)
ξ = 21^λ*=(ΐ+-Α_ρ- <*Mf (108)
\ N0Wch J
146

или, если ввести обозначение
Л~^г· (109>
|то=(1+Л„-^-)-"«''«''·. (ПО)
Этот результат представлен графически на рис. 5.20 для различных
значений коэффициента расширения спектра.
Теперь мы располагаем граничным выражением для средне-
квадратической нереализуемой ошибки демодуляции (выражением
Рис. 5.19. Зависимости £rd и £g£ от Рис* 5*20· Зависимости ξ^ от Лоо при
Ав для канала с бесконечной поло· различных значениях WCb/WM.
сой и белым гауссовым шумом в
случае спектров Баттерворта.
для потенциальной помехоустойчивости) при использовании любого
метода передачи, вычисленным для трех конкретных представляющих
интерес случаев. Вернемся немного назад и выведем выражение для
пропускной способности канала с ограниченной эффективной
полосой пропускания.
Пропускная способность канала с
ограниченной среднеквадратической полосо й1}.
Вывод формулы пропускной способности канала с ограниченной
среднеквадратической шириной полосы пропускания представляет собой
прямую задачу минимизации. Предполагается, что передаваемый
сигнал имеет спектр Sy (/), который удовлетворяет условию (86).
Пропускная способность такого канала равна
c-i]Hl+J£t-)d>- (Ш)
1) Этот вывод приведен в [11].
147

Необходимо выбрать спектр Sy (J) так, чтобы пропускная
способность С была максимальной. Ограничения, налагаемые на Sy (/),
формулируются следующим образом:
— ограничение по ширине полосы:
оо
5 pSy(f)df^PBl; (112)
— оо
— ограничение по мощности:
оо
5 Sy(f)df = P; (113)
•— оо
— требование положительности спектра:
' Sy (/) > 0. (114)
Примечания относительно использования знака равенства и знака
спектра, сделанные на стр. 127—128, в этом случае также
применимы. Таким образом, можно минимизировать функцию
00 оо
-κ
ξ f*su(f)df-PBi
(115)
где λχ и λ2— множители Лагранжа. Минимизируя (115) относительно
Sy (/) и используя (114), получаем
S.m-n^O.-^-jJ^—1)}. (116)
Как следует из (116), оптимальный спектр передаваемого сигнала
ограничен частотой
ί, = (^)1/2. (Π7)
Эту частоту можно ввести в (116). В результате получим
s'm=muM-7f££-)!iir)· ,118)
где введены следующие новые параметры:
Λ,Δ—— , (1.19)
No By
что является отношением сигнал/шум в эффективной полосе
сообщения, и
ц д λ* Λ . (120)-
.148

Для определения λ* и /* используем условия (112) и (113). В
результате получим систему двух уравнений
Λ,θ2 = #Η-+
ι
λ!
λ*
arctg (λ*) ,
Лг Ву = U {(-J- + -±- ) arctg (λ*)- Ι
(121)
(122)
Формулу пропускной способности получим путем использования
(118) в (111)
■-2Ц 1 ±- arctg (λ*)
Л*
(123)
Выражение для пропускной способности канала можно также
записать в виде
c = Bug(K),
(124)
где g (Ar) — сложная неявная функция, определяемая
уравнениями (121) и (122). Когда отношение сигнал/шум велико (Лг > 1),
можно получить приближенное
аналитическое рещейие. Из (123)
имеем
а из (121)
■п
Ч*)
:А,В1
(125)
(126)
/00 Л=Р/М0Ву
Рис. 5.21. Удельная пропускная
способность канала (пропускная
способность на герц эффективной поло-
сы) [11].
Следовательно,
C~By{\2Aryi\ Kr^>\. (127)
Из изложенного видно, что
пропускная способность канала при
ограничении эффективной полосы
растет пропорционально корню
кубическому из Лг. Из (88) следует, что, когда имеется канал со
строго ограниченной полосой пропускания, пропускная способность
увеличивается пропорционально логарифму Лг. На рис. 5.21
представлен график удельной пропускной способности канала С1ВУ
(пропускная способность, отнесенная к эффективной ширине полосы),
построенный согласно (124). На этом же рисунке построена
асимптота, определяемая (127) и соответствующей формулой для строго
ограниченного по полосе канала (88).
В большей части книги нам приходится иметь дело с полосовыми
каналами наподобие показанного на рис. 5.22. Если Ву определить
как эффективную ширину соответствующего спектра нижних частот,
149

то пропускная способность· полосового канала будет равна
Jbp '
Ще
к
(128)
где
Л А-
No В
(129)
0°У
Чтобы определить наименьшую возможную среднеквадратическую
ошибку при передаче по каналу с ограниченной эффективной
шириной полосы, приравняем R (ξ) к пропускной способности, определя-
Sylfh
Ж
"Л
А
ZB,
Ш f
Рис. 5.22. Спектры передаваемых сигналов:
а — спектр передаваемого сигнала, сдвинутый к началу координат; б — фактический спектр
передаваемого сигнала
емой формулами (124) или (128). Для конкретного случая спектров
сообщения класса Баттерворта результаты можно получить при
помощи рис. 5.15 и 5.21. Не будем останавливаться на подробностях
вывода для этого общего случая. На стр. 153 случай однополюсного
спектра Баттерворта рассмотрен более подробно.
В этом параграфе было выведено выражение для границы
наименьшей среднеквадратической ошибки при оценке аналогового
сообщения a (t). Эта граница справедлива для любой системы связи.
Следующий шаг изложения — сравнить помехоустойчивость
рассмотренных оптимальных методов угловой модуляции с установленной
границей. Рассмотрим два случая.
1. Канал имеет бесконечно широкую полосу. В этом случае в
системе угловой модуляции определяющим является ограничение по
порогу, поэтому системы, рассмотренные в § 5.1, являются
оптимальными.
2. Канал имеет ограниченную эффективную полосу, а система
угловой модуляции работает выше порога. В этом случае
определяющим условием является ограничение ширины полосы, поэтому
оптимальными являются системы, рассмотренные в § 5.2.
150

5.4.2. Сравнение помехоустойчивости систем в случае канала
с бесконечно широкой полосой
Пропускная способность канала с бесконечно широкой
полосой и аддитивным белым гауссовым шумом при мощности
передаваемого сигнала Р% равна
С^-^- нат. ед./с (130)
Согласно (91) потребуем, чтобы
Получаемая в результате ошибка равна
Ω
(132)
Как отмечалось ранее, эти два выражения аналогичны (19) и (24).
Для сравнения перепишем (19) и (24) из параграфа, посвященного
оптимальным предыскажениям, в табл. 5.1. Предполагается, что
в обеих системах среднеквадратические ошибки равны.
Таблица 5.1
Сравнение формул для системы с заданной степенью искажений
и системы с оптимальной угловой модуляцией
Система с заданной степенью искажений
Система с оптимальной угловой модуляцией
2Р„
Ν0
£rd^2
-2 Г In
Ω
'βλ' +
" Sa (ω) '
. λ* _
[sa(a>)-
άω
2π
2τΓ]
Νη
=ΟΑΜ"
■Μ
Ω
jVo_
1 2?
Γ 2PSa (ω)
Ν„ λ
άω
2π
(Ω—область односторонняя)
(Ω—область двухсторонняя)
Нетрудно заметить, что если отождествить
λ* = Ν0λ/2Ρ,
(133)
(134)
то между соответствующими формулами существует полное
совпадение. Смысл этого вывода очевиден. Величина σ? — это
максимальный средний квадрат ошибки в петле, который можно иметь
при линейных операциях. Из предыдущих разделов известно, что,
как правило, σ? = 0,25 рад2. Это означает, что оптимальная си-
151

стема угловой модуляции требует примерно на б дБ больше
мощности, чем минимально возможный уровень мощности. Поскольку
Ос может несколько варьироваться в зависимости от выбора спектра
сообщения и отношения сигнал/шум, величина 6 дБ не является
точной. Для типичных значений P/N0 величина σ| должна лежать между
0,16 и 0,32. Это соответствует 5—8 дБ требуемой дополнительной
мощности.
Из этого следует, что кривые рис. 5.19 можно использовать при
рассмотрении проблемы оптимальной угловой модуляции, заменив
Рис. 5.23. Зависимости |-1 от Ль Рис. 5.24. Зависимости ξ-1 от Л2 для
различных систем [5]. (Заметьте
изменение вертикального гласштаба по
сравнению с рис. 5.23.)
лишь переменную по оси абсцисс. Заметим, что для получения
кривой оптимальной угловой модуляции необходимо изменять преды-
скажающую схему для каждого значения Л. В случае
однополюсного спектра мы убедились, что оптимальная обычная частотная
модуляция лишь немного уступает по помехоустойчивости
оптимальной угловой модуляции. В этом случае для каждого значения Л
требуется свое значение df. На рис. 5.23 для однополюсного спектра
построены зависимости величины, обратной среднему квадрату ошибки,
от Лх для трех сравниваемых систем: оптимальной угловой
модуляции (нереализуемая ошибка), оптимальной частотной модуляции
(нереализуемая ошибка) и частотной модуляции (реализуемая ошибка).
На рис. 5.24—5.26 аналогичные кривые приведены для других
спектров Баттерворта при η = 2, 5 и оо.
Эти результаты показывают, что простые схемы угловой
модуляции не сильно уступают наилучшей возможной системе при
отсутствии ограничения по полосе частот. Во многих случаях бывает
проще увеличить передаваемую мощность, чем использовать
"значительно более сложную систему.
152

Рис. 5.25. Зависимости ξ-1 от Л5 для
различных систем [5]. (Заметьте
изменение горизонтального масштаба по
сравнению с рис. 5.24.)
г'
w3
ш
10
- Ό
- 1
£ ι If
§ 16,0 дБ \\
г ^ /-* **|i
£ /
I II
- § / ж
& / Ь //V/
I^5^5" |
—1<_
\$
7 с
fe
^rw~
Я//г9\Ц<к
0,\ω\>/<
1 '2 4 10 20 40 10z
AQ
Рис. 5.26. Зависимости ξ-1 от Λα
для различных систем [5].
5.4.3. Сравнение помехоустойчивости систем при ограничении по полосе
Предполагается, что канал имеет ограниченную эффективную
полосу. Для отыскания границы помехоустойчивости и пропускной
способности можно пользоваться формулами (81), (82), (85), (124)
и (128). Затем с этими границами сравниваются рассмотренные
оптимальные системы угловой модуляции, оптимальные
нереализуемые системы частотной модуляции и оптимальные реализуемые
системы частотной модуляции1). Это сравнение будет проведено
подробно для случая однополюсного спектра Баттерворта.
Однополюсный спектр Баттерворта. Спектр
сообщения имеет вид
5β(ω)-2^/(ω2 + ^2).
(135)
Используется полосовой канал, поэтому применима формула
пропускной способности (128). Границы помехоустойчивости и
пропускной способности канала по степени искажений определяют
графически по рис. 5.15 и 5.21. Помехоустойчивость оптимальной системы
угловой модуляции и оптимальной нереализуемой системы ЧМ была
показана на рис. 5.7. Помехоустойчивость оптимальной
реализуемой системы ЧМ показана на рис. 4.3.
Для сравнения все эти результаты представлены на рис. 5.27 при
коэффициенте расширения спектра
1} При этом используются материалы работы [12].
153

Qj,/fc=10.
(136)
Из графика видно, что когда оптимальная система угловой
модуляции работает в области выше порога, требуемая мощность на 6 дБ
превышает мощность, соответствующую границе
помехоустойчивости по степени искажений.
Эти результаты приведены для конкретного значения
коэффициента расширения спектра. При больших значениях Аг можно
найти приближенные аналитические
выражения. Пропускная способность при
больших Лг определяется формулами
(127) и (128) следующим образом:
Сьр~ (12)1/2 2Ву[^у'\ (137)
Скорость передачи при заданной
степени искажений можно приближенно
записать в виде
ад
Рис. 5.27. Различные средне-
квадратические ошибки как
функции Λι в случае спектра
Баттерворта первого порядка
при коэффициенте расширения
спектра, равном 10 (из [12]).
2π Ι π bRD
(138)
Объединив (137) и (138), получим
Ωυ \2/з
ξ^~^(3π)ΐ/3^) AJ/з. (139)
При больших Аг помехоустойчивость оптимальной системы
угловой модуляции определяется формулой (57):
goiM^f (Зя)1/3(^")2/3(т-
1/3
(140)
Сравнивая (140) и (139) видим, что при всех значениях коэффициента
расширения спектра асимптотическое значение мощности,
необходимой для работы оптимальной системы угловой модуляции, на 6 дБ
больше мощности, соответствующей границе по степени искажений.
Так как кривые помехоустойчивости оптимальной ЧМ следуют
асимптотической пропорциональности (Лх) 1/4 [см. (4.51) и (4.53)], они
отклоняются от границы при увеличении Аг.
Результаты (139) и (140) не являются неожиданными, поскольку
спектр передаваемого сообщения, используемый для вычисления
пропускной способности канала, и спектр передачи в оптимальной
системе угловой модуляции имеют одинаковую форму. Заметим, что
при сравнении систем предполагалось, что оптимальная система
угловой модуляции работает в области выше порога, поэтому величина
Осу характеризующая ограничение по порогу, не входит в полученные
154

формулы. Следовательно, отмеченное выше различие в мощности б дБ
является точным.
Для спектров Баттерворта высокого порядка также можно
получить точные результаты. Некоторые типичные случаи исследуются
в задачах вне основного текста. Функциональные зависимости
величин £rd и ^оам от Л для спектров высокого порядка различны и
поэтому помехоустойчивость оптимальной системы угловой
модуляции отклоняется от границы все в большей мере при увеличении Л.
5.4.4. Краткие итоги
В этом параграфе исследовалась граница качества —
потенциальная помехоустойчивость и предельная пропускная способность —
систем по степени искажений. Хотя мы не располагали аппаратом
теории информации для строгого изложения этих вопросов, они
были включены в рассмотрение ввиду фундаментальной роли, которую
играет понятие границы в любом исследовании методов передачи
аналоговых сообщений. Еще раз подчеркнем, что граница по степени
искажений— это нижняя граница среднеквадратической ошибки
демодуляции, достижимой любой системой (цифровой или аналоговой). Для
стационарных гауссовых источников эту границу можно определить
по формулам (77)—(79). Напомним, что функция R(l) описывает
свойство источника, а не канала или системы. Было рассмотрено три
типа каналов с аддитивным белым гауссовым шумом и вычислены
границы среднеквадратической ошибки как функции мощности
передаваемого сигнала, спектральной плотности аддитивного шума и
доступной ширины полосы частот. Эти границы обеспечивают меру
сравнения любых интересующих нас систем.
Затем было произведено сравнение среднеквадратической ошибки,
возникающей при использовании рассмотренных ранее оптимальных
систем угловой модуляции, с границами по степени искажений. Для
канала с бесконечно широкой полосой существует однозначное,
полное соответствие по форме выражений и поэтому имеется
возможность аналитического сравнения систем при любых спектрах
сообщений. Для достижения такой же среднеквадратической ошибки
оптимальной системе угловой модуляции требуется примерно на 6 дБ
больше мощности, чем наилучшей возможной системе. Точное
значение дополнительной мощности зависит от порога в оптимальной
системе угловой модуляции.
Далее были рассмотрены каналы с ограниченной
среднеквадратической шириной полосы. При однополюсном спектре сообщения
требуемая для оптимальной системы угловой модуляции мощность
на 6 дБ превышает граничную мощность. При спектрах более
высокого порядка помехоустойчивость оптимальной системы угловой
модуляции при увеличении отношения сигнал/шум отклоняется от
границы все в большей степени.
Обратимся теперь к сравнению в противоположном
направлении: как рассмотренные оптимальные системы угловой модуляции
соотносятся с обычными системами?
155

5.5, Обычные дискриминаторы
Структурная схема обычного демодулятора ЧМ показана на
рис 5.28. Сначала принимаемый сигнал гетеродинированием
преобразуется в промежуточную частоту со//г. Следующим элементом схемы
является полосовой фильтр, полоса пропускания которого
достаточно велика, чтобы модулированный сигнал проходил почти без
искажений. Амплитудный ограничитель снимает любые изменения
уровня сигнала. Выходное напряжение дискриминатора пропорционально
разности между мгновенной и промежуточной частотой. Наконец,
фильтр нижних частот удаляет, насколько это возможно, остальные
rft)

Преобразователь
частота!
с ωс на colf
Полосовой срильтр
со средней
частотой,
равной
промежуточной
частоте ωΙΡ
9 ft)
ruit]

Ограничитель

Дискриминатор
сРильтр
нижних
частот
Рис. 5.28. Обычный приемник ЧМ.
шумы. В случае ЧМ с предыскажениями фильтр нижних частот
действует также, как корректирующий фильтр, снимающий
предыскажения, внесенные предыскажающим фильтром в передатчике. Такой
тип демодуляции используется в большинстве приемников ЧМ.
Чтобы сравнение с рассмотренными выше оптимальными демодуляторами
имело смысл, сделаем в обычном приемнике одну модификацию.
Вместо использования обычного фильтра нижних частот оптимизируем
фильтр на выходе дискриминатора.
Сначала проведем анализ ограничителя-дискриминатора для
случая, когда отношение сигнал/шум велико. Затем исследуем поведение
демодулятора при работе в области порога.
5.5.1. Анализ работы демодулятора при слабом шуме
Если предположить, что отношение сигнал/шум на выходе
полосового фильтра велико, то такой анализ провести несложно.
Сигнальную компоненту запишем в виде
y(t) = V2Pcos[(uIFt + x(t)]f (141)
где χ (f) получается в результате пропускания a(t) через линейный
фильтр
t
x(t)= jj k(t — u)a(u)du. ,(142)
При обычной ЧМ
:(t) = df {а (и) du.
(143)
156

При ЧМ с предыскажениями
t
x(t) = { dz С km(z—u)a(u)du (144)
— оо —- оо
(вспомним рис. 5.1).
Шумовой процесс на входе дискриминатора ограничен по полосе
частот. Поэтому можно разложить шум на два процесса нижних
частот, умноженные на квадратурные несущие, и использовать
представление
n1(t) = Y2'nc(t)cos[(uIFt + x(i)) + YYns(i)sm[(uIFt + x(t))y (145)
где предполагается, что
(^-, |ω|<Ω/Λ
2 (146)
О, \<a\>QIF.
s»»=s»» =
Напомним, что аналогичное представление мы использовали при
построении модели рис. 2.14 (см. (2.29)). Смесь сигнала и шума на
выходе полосового фильтра можно записать в виде
ri (0 = ]/2" (YT + пс (0) cos (co/Ft + x(t)) +
+ У Τ п8 (t) sin {(uJFt + x (tj) = V (t) cos \(u!F t +
+ *(Q + arctgf "At) )l (147)
\VP+nc(t) )\
где
V(t)Ay2-[{y¥ + nc(t)Y + n!(t)]l/2. (148)
Ограничитель снцмает вариации огибающей. Процесс на выходе
дискриминатора представляет собой отклонение мгновенной частоты
синусоидального колебания (147) от со//г. Дифференцируя аргумент
и опуская член, соответствующий промежуточной частоте ω/ρ,
получаем
/*(0 = *(*) + -^, (149)
где по предположению
η4ζ-<1> (150)
ут
-^-<1. (151)
Ур
Поскольку пс (ή и па (t) — случайные процессы, неравенства (150)
и (151) необходимо истолковывать в статистическом смысле. Если
Ε [п! (0] _ Ε [η* (0] _ N0QlF
—-- - -— <.l, (ΙύΖ)
157

SnJU>)i
то (150) и (151) будут выполняться с высокой вероятностью. Отметим,
что в (149) предполагается, что отношение сигнал/шум в полосе
пропускания полосового фильтра велико.
Шумовая компонента в (149) является производной шума с
равномерным спектром в полосе частот [—Q>iF < ω < ΩΙΓ].
Следовательно, она имеет спектр, плотность которого изменяется
пропорционально ω2, как показано на рис. 5.29.
Последняя ступень обработки — пропустить колебание rd (f) через
фильтр нижних частот, чтобы восстановить сообщение a (t). В
обычной системе используется фильтр,
который имеет передаточную функцию,
обратную передаточной функции преды-
скажающего фильтра. Он называется
фильтром коррекции предыскажений и
подавляет шум вне полосы частот
сообщения. Чтобы сравнивать обычные
демодуляторы с оптимальными
демодуляторами в равных условиях, синтезируем
этот фильтр так, что его выход будет
оценкой сообщения a(t) по минимуму
среднеквадратической ошибки.
Рассмотрим оптимальный
реализуемый линейный фильтр и оптимальный
нереализуемый линейный фильтр. В обоих случаях перед нами
прямая задача оптимальной линейной фильтрации. Входной сигнал
Ν0ωι
2Р
'Я IF
&ZF СО
Рис. 5.29. Спектр шума на вы
ходе дискриминатора.
можно записать в виде
причем
rd(t) = x(t) + i8(t),
s^)H^(/")|2saH,
-^ω"
ω
Sk (ω)= { 2Ρ
0, |ω|>Ω^,
Sr/D) = S.(co) + SA (ω),
(153)
(154)
(155)
(156)
а полезным выходным сигналом является a(t). Для синтеза
оптимального фильтра предположим, что полоса частот QIF бесконечно
широка. Если использовать оптимальный реализуемый фильтр, то
Sa (ω) Κ* (/ω)
^ог(/®) = -
1
(5β(ω)|^(/ω)|2 + (^ο/2Ρ)ω2)-
(157)
Сравнивая (157) с обобщением (4.20), видим, что эти фильтры
идентичны, а полные системы эквивалентны. Аналогично, в случае
нереализуемого фильтра
fj (ίω\ = Sfl(o) Km (/ω) /jggx
oaKI } 5α(ω)|^(/ω)|2 + (Λ^0/2Ρ)ω2 '
158

и средний квадрат ошибки равен
Ε = Γ 5„(ω)(ΛΓ0/2Ρ)ω2 da> (l5Q)
J 8α(ω)\Κη(№\* + (Ν0Ι2Ρ)ω* ,2я
— oo
Сравнивая (6) и (159), видим, что эти выражения эквивалентны.
Таким образом, когда справедлив анализ для случая слабого
шума, приемник, в котором используются
ограничитель-дискриминатор и оптимальный фильтр после дискриминатора, тождествен
оптимизированному синхронно-фазовому детектору. Следовательно,
единственное возможное различие в помехоустойчивости имеет место
в области, где шум нельзя считать слабым. Другими словами,
сравниваемые системы, могут иметь разные пороги.
5.5.2. Явление порога
Из ранее изложенного следует, что в системах ЧМ с большой
девиацией частоты при уменьшении отношения сигнал/шум наступает
явление порога. Это явление наблюдалось экспериментально еще на
заре развития частотной модуляции (например, Кросби [13]
в 1937 г.) и впоследствии было предметом многочисленных
исследований (например [14 — 20]). Райе [21] разработал полезную модель
для дискриминатора, работающего вблизи своего порога. Его
результаты по исследованию поведения системы ЧМ в пороговой области
согласуются с экспериментальными данными'. Подробное изложение
этого анализа утомительно, поэтому мы просто укажем основную идею
и приведем полученные им результаты.
Для облегчения понимания процесса предположим, что несущая
немодулирована. Ее можно представить как вращающийся вектор —
фазор (рис. 5.30, а). Частота сигнала есть просто скорость вращения,
как показано на рис. 5.30, б. Вектор шума складывается с
сигнальным вектором, как показано на рис. 5.30, #.-Поскольку сигнальный
вектор вращается с постоянной скоростью, можно просто отображать
лишь относительное вращение результирующего вектора
относительно сигнального вектора. Это показано на рис. 5.30, г. Когда вектор
шума мал (т. е. выполняются условия (150) и (151), как показано на
рис. 5.30, д), он вызывает незначительные флуктуации мгновенной
частоты, как показано на рис. 5.30, е. Если вектор шума велик, то
результирующий вектор принимаемой смеси сигнала и шума
описывает своим концом траекторию вокруг начала координат, как
показано на рис. 5.30, ж. Это вызывает фазовую ошибку величиной 2π
(перескок на один период или цикл). Если такое движение
совершается быстро, то его можно приближенно считать скачком фазы,
который ведет к появлению кратковременного импульса мгновенной
частоты, как показано на рис. 5.30, з. Колебание этого вида подается
на вход фильтра нижних частот. Интуитивно ясно, что его можно
рассматривать как сумму двух компонент — импульсной
последовательности, обусловленной тем, что конец результирующего вектора
описывает траектории вокруг начала координат, и флуктуационного
159

шума, который можно исследовать методами линейного анализа.
Компонента перескоков фазы обладает равномерным спектром с
плотностью (2π)2/8, где fs — математическое ожидание числа переско-
1т
StnCujft
9JVJft
6(t)
L·
COSCJjft
-Re
-*»t
Imi
ж £
Рис. 5.30. Векторные диаграммы:
а — вектор сигнала; б — мгновенная частота, в — векторы сигнала и шума,
г — вращающаяся координатная система (несущая исключена); д — малый
уровень шума (не наблюдается траекторий конца результирующего вектора,
охватывающих начало координат); е — мгновенная частота; ж — большой
уровень шума (наблюдаются траектории конца результирующего вектора,
охватывающие начало координат); з— мгновенная частота.
ков в секунду (средняя интенсивность перескоков). Райе вывел
аналитическое выражение для этой величины, имеющее вид
fs = rerlc{(SIN)}P). (160)
В этом выражении (S/N)IF — отношение сигнал/шум на выходе
фильтра ПЧ (см. рис. 5.28), а г — радиус гирации фильтра ПЧ:
/ОО / ОО N 1 /2
rAK(f-fiF)2HIF(f)df β2Η,Μί + ΐΙ?)άή ■ (161)
160

Средний квадрат ошибки, обусловленной шумом перескоков фазы,
равен
lsc = №)2fs\Hpd(J<»)\2, (162)
где Hpd (/ω) — передаточная функция фильтра после
дискриминатора. Из (161) и (162) видно, что составляющая lsc существенна лишь
тогда, когда отношение сигнал/шум мало. По мере уменьшения
отношения сигнал/шум ошибка lsc возрастает и в системе проявляется
пороговый эффект.
4CFMrR
ΙΟ2
w
1
-.
dfjk=5Q
_ Линейный _^-ss£ri-''""'
анализ ^-j?^^^^^^
"" я^Анализ мето-
Анализ //дом моделироВа-
пп %f ния на ЭВМ
Раису #
kN0
1 I I J . I I „
4-0 100 200 ЧОО 10 s
Λ,
Рис. 5.31. Помехоустойчивость
обычного приемника ЧМ в случае, когда
сообщение имеет спектр Баттерворта
первого порядка [23].
$CFM,
W
10
Линейный
анализ
Анализ
по
Раису
df/k=50\
IАнализ
методом
Τ
моделирования на SB Μ
А,
4$ Ρ
kNn
40 100 200 400 10,3
Аг
Рис. 5.32. Помехоустойчивость
обычного приемника ЧМ в случае, когда
сообщение имеет спектр
Баттерворта второго порядка [23].
Хотя в работе Рейса не рассматривается случайный процесс,
моделирующий сообщение, проведенный им анализ можно
распространить и на этот случай. Чанг [22] распространил результаты Раиса
на случай гауссова сообщения и подробно рассмотрел однополюсный
спектр. Рэчел [23] использовал эти результаты и рассмотрел также
случай спектра Баттерворта второго порядка. На рис. 5.31 и 5.32
представлены результаты для двух указанных спектров в случае
обычной системы ЧМ с dflk = 50. Кроме того, здесь показаны
результаты, полученные путем моделирования обычного приемника
ЧМ. Из сравнения видно, что результаты теоретического исследова
ния Раиса исключительно хорошо согласуются с результатами моде
лирования.
Теперь мы располагаем необходимыми данными для сравнения
помехоустойчивости обычного демодулятора и СФД. Такое
сравнение для спектров Баттерворта первого и второго порядков при df/k =
= 50 показано на рис. 5.33 и 5.34 соответственно. Заметим, что обе
системы были промоделированы. По графикам рис. 5.33 и 5.34 видно,
6 Зак. 1128
161

что СФД дает выигрыш по порогу около 3 дБ в случае сообщения со
спектром Баттерворта первого порядка и около 6 дБ в случае
сообщения со спектром Баттерворта второго порядка. Эти значения
выигрыша по порогу совпадают с теми значениями, которые
достигаются рассмотренными выше методами оптимизации.
а
юо\
10
*Обычныи
'демодулятор ЧМ
Af =
ЬЫп
100
103
Л,
Рис. 5.33. Сравнительные результаты
моделирования для
синхронно-фазового и обычного демодуляторов ЧМ
в случае спектра Баттерворта
первого порядка [23].
ti
100
10
СФД.
Обычно'и
(демодулятор
ЧМ
Л,
4у/2Р\
kN0
100
10 <
Л~
Рис. 5.34. Сравнительные результаты
моделирования для СФД и обычного
демодулятора ЧМ в случае спектра
Баттерворта первого порядка [23].
Следует подчеркнуть смысл последнего замечания. Если
определяющим условием является ограничение по полосе частот, то
обычный приемник работает не хуже оптимального. Преимущество
оптимальной системы заключается в том, что в ней порог проявляется
при более низком отношении сигнал/шум.
5.6. Краткие итоги
В этой главе была рассмотрена проблема оптимальной угловой
модуляции. Ранее предполагалось, что система модуляции
фиксирована, и исходя из этого производился синтез и анализ оптимального
демодулятора. В данной главе мы вернулись к рассмотрению
модулятора и исследовали влияние фильтра, предшествующего фазовому
модулятору. В частности, была сделана попытка построить этот
фильтр с целью минимизации среднеквадратической ошибки
демодуляции. Оказалось, что для того, чтобы получить имеющее смысл
решение этой задачи, необходимо наложить два ограничения.
Первое условие называется ограничением по порогу и вводится
с тем, чтобы гарантировать, что разрабатываемая система будет
работать в области, для которой справедлива линеаризованная мо-
162

дель. Второе условие — Зто ограничение по ширине Спектра; оно
вводится с тем, чтобы гарантировать, что передаваемый модулированный
сигнал не будет по ширине своего спектра превосходить ширину
полосы частот, доступной для данной системы. Когда определяющим
фактором является первое условие, оптимальный выбор предыска-
жающей схемы дает заметный выигрыш по помехоустойчивости.
В обоих случаях, поскольку на предыскажающий фильтр не
налагалось условие реализуемости, искомый оптимальный фильтр
оказывался нереализуемым. Вместо того, чтобы пытаться найти
оптимальный реализуемый предыскажающий фильтр, мы просто выбрали
субоптимальную предыскажающую схему, которую легко реализовать, и
исследовали вопрос о качестве, которое можно достичь, допустив
возможность варьирования параметров этой схемы. Было установлено,
что при ограничении по полосе простая корректирующая схема с фа-
зо-частотной характеристикой резонансного контура при правильно
подобранных параметрах практически не уступает оптимальной
нереализуемой предыскажающей схеме. Этот вывод имеет большое
значение, поскольку он показывает, что фактически можно близко
подойти к качеству оптимальной системы угловой модуляции при
помощи легко реализуемых корректирующих схем.
Затем была выведена граница качества любой системы, которую
можно использовать только для передачи аналогового сообщения.
Этот результат особенно ценен, так как он позволяет сравнивать
системы всех классов с общей границей.
После вывода границы по степени искажений было произведено
сравнение с ней оптимальной системы угловой модуляции. .Когда
определяющим условием является ограничение по порогу,
аналитические выражения для границы по степени искажений и среднеквад-
ратической ошибки совпадают по форме. Единственное различие
заключается в ограничении σ*, соответствующем ограничению,
налагаемому на реализуемую среднеквадратическую ошибку в петле.
Это свидетельствует о том, что оптимальные системы угловой
модуляции независимо от спектра сообщения имеют помехоустойчивость
примерно на 6 дБ ниже границы любой возможной системы. Когда
определяющим условием является ограничение по ширине полосы,
такое сравнение произвести более сложно. Сначала было выведено
выражение для пропускной способности каналов с аддитивным белым
гауссовым шумом при ограничении эффективной полосы частот. Это
выражение затем было использовано для вычисления границы по
степени искажений. Для случая спектра Баттерворта первого
порядка было установлено, что при больших значениях отношения сигнал/
шум оптимальная система угловой модуляции находится в 6 дБ от
границы. Для случая спектра Баттерворта более высокого порядка
оптимальная система угловой модуляции отклоняется от границы
по мере увеличения отношения сигнал/шум.
Последним рассматриваемым вопросом было сравнение обычных
демодуляторов ЧМ с оптимальными демодуляторами систем угловой
модуляции. Как и следовало ожидать, было установлено, что при
работе выше своего порога обычный дискриминатор с оптимальным
6*
163

фильтром после дискриминатора обладает точно такой же
помехоустойчивостью, что и оптимальная система угловой модуляции.
Единственное различие двух сравниваемых систем состоит в
местоположении порога. Было показано, что оптимальная система дает выигрыш
по порогу на 3 дБ в случае спектра Баттерворта первого порядка и
6 дБ в случае спектра Баттерворта второго порядка. Этот вывод был
подтвержден результатами как теоретического исследования, так и
моделирования.
Другим представляющим интерес вопросом, который не был
рассмотрен, является сравнение пороговых характеристик синхронно-
фазовых демодуляторов и других систем, как, например, систем
с обратной связью по частоте. В литературе по этому вопросу имеются
противоречивые^ результаты и он у нас не нашел удовлетворительного
решения. Интересующегося читателя отсылаем к работам [24 — 26].
Материал, изложенный в гл. 4 и 5, дает достаточно полное
понимание теории угловой модуляции. Основными ее положениями
являются следующие.
1. Систему необходимо проектировать с учетом ограничений по
порогу и по ширине полосы частот. Синтез системы есть просто
применение теории оптимальной линейной фильтрации и для этого
можно воспользоваться как методом Винера, так и методом Кальмана—
Бьюси.
2. При этих ограничениях возможен синтез «оптимальной»
системы угловой модуляции. (Кавычки здесь употреблены с целью еще
раз подчеркнуть, что эта процедура сопряжена с несколькими
допущениями·) Эта система служит в качестве стандарта при сравнении
с другими системами угловой модуляции.
3. При передаче аналогового сообщения с использованием любого
метода модуляции существует граница среднеквадратической ошибки.
Этой главой завершается изложение теории угловой модуляции.
Следующим представляющим интерес вопросом является вопрос
о том, какой тип системы связи следует использовать для передачи
данного аналогового сообщения. Он рассматривается в гл. 6.
5,7, Задачи
Задачи к § 5.1. Оптимальные предыскажающие фильтры
при ограничении по порогу
Задача 5.1.1. Предположим, что справедлив линеаризованный
вариант модели, изображенной на рис. 5.3. Спектр сообщения имеет
вид
5α(ω) = 2£/(ω2 + £2).
Передаточная функция предыскажающего фильтра равна
Κϋ<*) = &(^+-?-). (1*)
[Заметим, что (1*) определяет К (/ω), а не Km (/<*>)·]
164

1. Найти ξθ, средний квадрат реализуемой ошибки петли, как
функцию Р, N0, ky β, г1 и r2.
2. Найти 1и, средний квадрат нереализуемой ошибки оценки
сообщения.
3. Проверить ответы по пп. 1 и 2 для частных случаев, когда:,
а) гх = 0, б) г2 = 0. [См. задачу 4.4.1 и формулы (4.8) — (4.10).]
4. Предположим, что для линейности требуется |е = 0,25.
Выбрать гг и г2, чтобы минимизировать ζη.
Задача 5.1.2. Рассмотрим модель, введенную в задаче 5.1.1.
Предположим, что:
К (/ω) = с/(jω + k).
1. Определить ξθ, как функцию Р, Л/0, k и с.
2. Определить среднеквадратическую нереализуемую ошибку
оценки сообщения.
3. Предположим, что для линейности необходимо, чтобы ξθ =
= 0,25. Выбрать су чтобы это условие выполнялось. Определить
£и, как функцию Ру Ν0 и k для этого значения с.
4. Пересмотреть результат задачи 4.4.2 для случая η = 2. В чем
различие между результатами данной задачи и задачи 4.4.2?
Задача 5.1.3. Рассмотрим систему, показанную на рис. 5.1 и 5.2.
Предположим, что процесс сообщения и предыскажающий фильтр
имеют конечные представления состояния.
1. Сформулировать задачу синтеза 6Ζο(/ω) и Flo (/ω) при помощи
переменных состояния.
2. Начертить структурную схему аналогового вычислителя,
представляющего фильтры демодулятора. Обозначить в развернутом виде
а (0 и θ (/).
3. Вычислить коэффициенты передачи фильтра и К (/ω) в задаче
5.1.2.
Задачи к § 5.2. Оптимальные предыскажающие фильтры
при ограничении по полосе частот
Задача 5.2.1. Рассмотрим проблему предыскажений при
ограничении по ширине полосы частот, сформулированную в § 5.2.
Предположим, что спектр сообщения имеет вид
5α(ω) = 2]/Γ2"^3/(ω4 + ^)>
1. Определить £оам, среднеквадратическую ошибку,
получающуюся при использовании оптимальной системы угловой модуляции.
Предполагается, что система работает выше порога.
2. Сравнить результат по п. 1 с оптимальной системой фазовой
модуляции и оптимальной системой частотной модуляции при таком
же ограничении по ширине полосы частот.
Задача 5.2.2 Повторить задачу 5.2.1 для спектра сообщения
0, |со|>&.
165

Задачи к § 5.3. Субоптимальные предыскажающие фильтры
Задача 5.3.1. Предположим, что сообщение имеет спектр Баттер-
ворта первого порядка
Предыскажающий фильтр имеет передаточную функцию
Выходной сигнал предыскажающего фильтра является входным
сигналом частотного модулятора. Требуется синтезировать оптимальный
фильтр в петле и оптимальный реализуемый фильтр после петли,
используя метод переменных состояния.
1. Сформулировать задачу в переменных состояния. Напомним,
что модифицированные переменные состояния рассмотрены в гл. 6
первого тома.
2. Написать уравнение оценки и дисперсионное уравнение.
3. Решить дисперсионное уравнение для статистически
установившегося (стационарного) состояния.
4. Определить оптимальное отношение kjk как функцию Аг и
допустимого расширения спектра. Сравнить полученные результаты
с результатами для случая обычной оптимальной системы ЧМ, в
которой используются реализуемые фильтры (см. рис. 5.23).
Задача 5.3.2. 1. Повторить задачу 5.3.1 для случая
предыскажающего фильтра с передаточной функцией
2. Объяснить полученный результат, вспомнив задачу 6.2.7 в
первом томе.
Задача 5.3.3. Рассмотрим предыскажающую схему, введенную
в задаче 5.3.2. Предположим, что допустимо применение
нереализуемого фильтра после петли.
1. Вывести интегральное выражение для ζη.
2. Сравнить полученный результат с результатом, полученным
в задаче 5.3.2, и объяснить причину такого сравнения.
Задачи к § 5.4. Границы качества систем передачи аналоговых
сообщений
Задача 5.4.1. Рассмотрим простую систему, показанную на рис. 5.1*.
Предположим, что χ и η — статистически независимые случайные
величины с нулевым и средними и дисперсиями σ* и о%
соответственно. Взаимная информация между χ и у определяется как
I(xy у) Δ Ε [log f Р*>у(х>¥) )].
Вычислить взаимную информацию для этого случая.
166

Задача 5.4.2. Простое обобщение задачи 5.4.1 получается, если
допустить, что χ и η — статистически независимые нормальные
случайные векторы с нулевыми средними и ковариационными матрицами
Ах и Ап соответственно.
Тогда
у = χ + п.
Вычислить / (х, у).
Задача 5.4.3. Предположим, что a (t) и w (t) — статистически
независимые нормальные случайные процессы с нулевыми средними и
ковариационными фуНКЦИЯМИ Ка {t> u) и
Kw (t, и) = -ψ δ (t — и) соответственно.
Принимаемое колебание записывается в виде
г (t) = a (t) + w (0, Τι < t < Tf.
1. Вывести выражение для взаимной
информации через собственные значения
ковариационной функции Ка {U и)-
2. Рассмотрим частный случай, когда интервал наблюдения
бесконечен, а процесс a (t) стационарен. Вывести выражение для средней
взаимной информации в секунду, как предел
IT(a(t)t r(t))
lim —— - ·
Рис. 5.1*.
3. Предположим, что процесс г (t) обрабатывается с целью
получить реализуемую оценку сообщения a(f) по минимуму средне-
квадратической ошибки. Какова
Г"
щ_
I
\nft) |
^7}-^Q—L;
H(ju)
\rftj
I
._j
получающаяся в этом случае сред-
неквадратическая ошибка?
Сравнить это выражение с выражением
для средней взаимной информации
в секунду, выведенным в п. 2.
Задача 5.4.4. Рассмотрим
систему, показанную на рис. 5.2*.
Предположим, что интервал наблюдения
бесконечен, a y(f) и n(t) —
статистически независимые
нормальные случайные процессы с нулевыми средними и со спектрами
5 у (ω) и 5η(ω) соответственно.
1. Вычислить среднюю взаимную информацию в секунду между
процессами у (t) и г (/).
2. Предположим, что
Линейный
фильтр
Канал
Рис. 5.2*.
схэ
ί
S„(<o)
do)
2π
-P.
(1*)
Выбрать S у (ω) так, чтобы максимизировать среднюю взаимную
информацию в секунду между процессами у (ή я г (ή. Какие ограничения
167

необходимо наложить на Η (/ω) и Sn (ω) для гарантии того, чтобы
средняя взаимная информация в секунду была конечной величиной?
Можно показать [3], что результат этой максимизации есть
пропускная способность канала
С = ±Г\п\-1Нт]2} — , (2*)
2 J [ λ Sn (со) J 2π
Ω
где Ω — множество, такое, что
J S„(u>) ^0> ^
| Я (/ω) Ι
я-
SnM \ ^L^p^ (4*)
I Я (/ω) |2 У 2π
3. Использовать результат по п. 2 для доказательства (88).
Задача 5.4.5. Рассмотрим идеальный ограниченный по полосе
канал, представленный на рис. 5.17. Предположим, что спектр
сообщения имеет вид
Se(<»)
2^ch
|a>K2n;U7ch,
О, Ι ω Ι > 2nWch.
Располагаемая мощность равна Р. Аддитивный шум в канале —
белый нормальный случайный процесс со спектральной плотностью
NJ2.
Синтезировать простую систему связи, которая со знаком
равенства удовлетворяет границе по степени искажений.
Задача 5.4.6 [27]. Рассмотрим аналоговую систему связи,
представленную на рис. 5.3. Между приемником и передатчиком имеется
линия обратной связи без шумов. Сообщение моделируется
выборочной функцией нормального случайного процесса с нулевым средним
и со спектром Sa (ω). Оно пропускается через нереализуемый преды -
скажающий фильтр, выходное напряжение которого равно χ (ή.
Выход канала обратной связи—колебание χ (ή, модель генерации
которого будет определена позднее. Для получения сигнала ошибки
e(t) величина χ (ή вычитается из χ (ή. Сигнал ошибки передается
по прямому каналу методом амплитудной модуляции ДБП — AM —
ПН со средней мощностью Р, т. е.
Ε [с2е2 {ή] = Р. (1*)
Аддитивный шум в прямом канале описывается выборочной функцией
независимого белого нормального случайного процесса со
спектральной плотностью NJ2.
Приемник наблюдает г (t) и генерирует реализуемую оценку χ (t)
по минимуму среднеквадратической ошибки, обозначаемую через
χ (ή. Эта оценка вводится в канал обратной связи и передается
методом амплитудной модуляции ДБП—AM —ПН. Кроме того, приемник
168

формирурует нереализуемую оценку сообщения a(f) по минимуму
среднеквадратической ошибки, обозначаемую через аи (/).
Введем в рассмотрение следующие средние квадраты ошибок:
Ιχ^Ε{[χ{ί)-χ{ί)?\,
lu^E{[a(t)-a(t)]2}.
(2*)
(3*)
1. Вывести выражение для ξχ и 1и через Sa (ω), Ки (/ω), Ρ и Ν0.
Сравнить полученные результаты с (5.3) и (5.6).
Г
Г"
χ ft) eft)
aft)\
Kufjcj) K+)H
I Предыскажаю-
\u^p схема

Амплитудный
модулятор
Ί
4zcelt)cuS(urt
ΐί^-φ
wft)
ι4
¥JLn
Прямой канал
/ZxftjcosQrf I
Jlcoscjft,
Канал ^
обратной
связи
Нереализуемое
устройство
оценки
au(t]
г
L
Реализуемое
устройство
оценки
Ί
xft)
Амплитудный^
мойс/лятар ***~
Перг&датчик
Приемник
.J
Рис. 5.3*
2. Необходимо выбрать Ки (/ω) с учетом ограничения по
мощности, налагаемого условием (1*) так, чтобы минимизировать ошибку
ζη. Использовать результаты § 5.1 и решить эту задачу без выкладок,
путем простого анализа формы выражения.
3. Убедиться, что система, упомянутая в п. 2, удовлетворяет со
знаком равенства границе по степени искажений, приведенной
в табл. 5.1.
Задача 5.4.7. Рассмотрим еще раз систему, представленную на
рис. 5.3*. Предположим, что в канале обратной связи имеется
запаздывание на а секунд. Логичной процедурой было бы обрабатывать
г (t) так, чтобы предсказывать значение χ (t + ос). Обозначим эту
реализуемую оценку по минимуму среднеквадратической ошибки
через хр (t + α). Это предсказанное значение передается по каналу
обратной связи на передатчик.
1. Составить уравнения, описывающие данную систему. Построить
простую структурную схему модели этой системы.
2. Рассмотрим простой случай, когда
Sa{(u)=-^f^' *.(*>) = ι-
Высказать замечания по поводу затруднений, возникающих при
попытке синтезировать устройство оценки и анализировать качество
системы»
169

Список литературы
1. Boardman С, Van Trees H. L. Optimum Angle Modulation.
Trans. IEEE, Dec. 1965, v. COM-13, №4, p. 452—469.
2. Ρ a 1 e у R. Ε. Α., Wiener N. Fourier Transforms in the Complex
Domain. Am. Math. Soc. Colloq. Publ, v. 19, 1934.
3. G a 1 1 a g e r R. C. Information Theory and Reliable Communications.
Wiley, New York, 1968.
4. S h a n η ο η С. Ε. Coding Theorems for a Discrete Source with a Fidelity
Criterion. IRE Natl. Conv. Rec, 1959, Pt. 4, p. 142—163.
Шеннон К. Э. Теоремы кодирования для дискретного источника при
заданном критерии точности. В сб. «Работы по теории информации и кибернетике».
Пер. с англ., под ред. Р. Л. Добрушина и О. Б. Лупанова. М., ИЛ, 1963.
5. S η у d e r D. L. The State-Variable Approach to Continuous Estimation
with Applications to Analog Communications Theory. M.I.T. Press,
Cambridge, Mass., 1969.
6. S 1 e ρ i a n D. The Threshold Effect in Modulation Systems That Expand
Bandwidth. IRE Natl. Symp. Information Theory, 1962, v. IT-8, p. 122—127.
7. Jordan K. L., Unpublished memorandum, Lincoln Laboratory,
Massachusetts Institute of Technology, Dec. 1962.
8. Η ol s i η g e r J. L. Unpublished memorandum. Lincoln Laboratory,
Massachusetts Institute of Technology, Aug. 1963.
9. Μ с D ο η a 1 d R. Α., S с h u 1 t h e i s s P. M. Information Rates of
Gaussian Signals under Criterion Conctraining the Error Spectrum. Proc.
IEEE, 1964/v. 52, p. 415.
10. G о b 1 i с k T. J. Theoretical Limitations on the Performance of Analog
Modulation Systems. Trans. IRE, Oct. 1965, v. IT-11, Pt. 4, p. 558—567.
11. С r u i s e T. J. Channel Capacity for an rms bandwidth constraint.
Massachusetts Institute of Technology, RLE Quarterly Progress Report № 90,
July 1968.
12. Cruise T. J. Communication utilizing Feedback Channels. Ph. D.
Thesis, Department of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of
Technology, Jan. 1969.
13. Grosby M. C. Frequency-Modulation Noise Characteristics. Proc. IRE,
1937, v. 25, p. 472.
14. В 1 a ch m a n Ν. Μ. The Demodulation of a Frequency-Modulated Carrier
and Random Noise by a Limiter and Discriminator. J. Appl. Phys., 1949,
v. 20, p. 38, 976.
15. Wang M. C, in Threshold Signals, L a w s ο η J. L. and Uhlenbeck
G. E., Eds. Radiation Laboratory Series, Massachusetts Institute of
Technology, 24, McGraw-Hill, New York, 1950, Chap. 13.
Уонг Μ. К· В сб. «Пороговые сигналы» (ориг. под ред. Лоусона И. Л. и Улен-
бека Г. Е.). Пер. с англ., под ред. А. П. Сиверса. М., «Сов. радио», 1952.
16. Μ i d d 1 e t ο η D. On Theoretical Signal-to-Noise Ratios in FM Receivers:
A Comparison with Amplitude Modulation. J. Appl. Phys., 1949, v. 20, p. 334.
17. Μ i d d 1 e t ο η D. The Spectrum of Frequency-Modulated Waves after
Reception in Random Noise. Pt. I, II. Quart. Appl. Math., 1949, v. 7, p. 129; 1950,
v. 8, p. 59.
18. F u 1 1 e r H. W. Experimental Study of Signals and Noise in a Frequency-
Modulation Receiver. Doctoral Dissertation, Harvard University, May 1956.
19. F u 1 1 e r H. W., Μ i d d 1 e t ο η D. Signals and Noise in an FM Receiver,
Pt. I. Theoretical Discussion. Tech. Rept. 242, Cruft Laboratory, Harvard
University, Feb. 1957.
20. Fuller H. W. Signals and Noise in an FM Receiver. Pt. II. Experimental
Discussion. Tech. Rept. 242, Cruft Laboratory, Harvard University, Feb. 1957.
21. Rice S. O. Noise in FM Receivers. In Time Series Analysis, M. Rosenblatt,
Ed., Wiley, New Vork, 1963, Chap. 25.
22. В е с k e г Н., С h a n g T. and L a w t ο η J. Investigation of Advanced
Analog Communications Techniques, Tech. Rept. RADC-TR-65-81, Rome Air
170

Development Center, Research and Development Division, Griffiss A. F. В.,
New York, March 1965.
23. Rachel T. Performance of Optimum FM Demodulators for Various
Message Spectra. M. Sc. Thesis, Department of Electrical Engineering, Massachusetts
Institute of Technology, Aug. 1966.
24. Ε η 1 о e L. Η. Decreasing the Threshold in FM by Frequency Feedback.
Proc. IRE, v. 50, Jan. 1962.
25. Η e i t ζ m a n R. E. A Study of the Threshold Power Requirements of
FMFB Receivers. Trans. IRE SET-8, Dec. 1962.
26. R u t h г о f f С L. and Bodtman W. F. Design and Performance of
a Broadband FM Demodulator with Frequency Compression. Proc. IRE, v. 50,
Dec. 1962.
27. С r u i s e T. J. Achievment of rate-distortion bound over additive white
noise channel utilizing a noiseless feedback enamel. Proc. IRE, v. 55, April
1967.

6. СРАВНЕНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ
(МЕТОДОВ МОДУЛЯЦИИ)
До сих пор цифровые и аналоговые системы связи
рассматривались нами раздельно. В главе 4 первого тома были рассмотрены
цифровые системы для передачи дискретной информации. Кроме того,
мы рассмотрели передачу аналоговой информации путем
дискретизации во времени и передачи дискретных отсчетов по системе с
амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ) или по системе с частотно-
импульсной модуляцией (ЧИМ) (в более общем случае — по системе
передачи сигналов, дискретных во времени и непрерывных по уровню).
В главах 6 первого тома, 4 и 5 второго тома речь шла о передаче
аналоговой информации при использовании непрерывной аналоговой
системы модуляции.
Теперь целесообразно рассмотреть следующую проблему.
Источник создает аналоговое сообщение а (/), которое является выборочной
функцией стационарного нормального случайного процесса с нулевым
средним. Требуется передать информацию, содержащуюся в этом
сообщении, по каналу с аддитивным белым гауссовым шумом и с
ограниченной полосой пропускания (количественно ограничение полосы будет
задано позже). Располагаемая мощность передатчика Ρ Вт.
Необходимо синтезировать систему связи для передачи информации,
вырабатываемой источником.
Различные методы обработки и передачи, которые обычно
используются для этих целей, можно разделить на три категории:
1. Производится дискретизация сообщения и квантование отсчетов
(выборок) в такой форме, чтобы каждый отсчет можно было
представить последовательностью (комбинацией) двоичных символов (цифр,
элементов); эти цифры передаются посредством одного из методов
дискретной (цифровой) модуляции (например, КИМ).
2. Производится дискретизация сообщения и передача отсчетных
значений при помощи системы связи, сигналы которой дискретны во
времени и непрерывны по уровню (например, методами АИМ, ЧИМ или
ФИМ).
3. Производится передача сообщения при помощи одного из
методов непрерывной модуляции (например, AM или ЧМ).
Мы располагаем формулами для границ качества любой из
перечисленных систем. Было бы логично выбрать по несколько систем
каждой из трех указанных выше категорий и сравнить их по качеству с
границами и между собой. Как и следует ожидать, качество систем
зависит от характеристик рсточнрка, характеристик канала (например,
\П

ширины полосы и уровня аддитивного шума) и мощности передатчика,
Для каждого набора характеристик можно было бы заказывать
различные системы, сообразуясь с их качеством. Проведя анализ
сложности системы (которая влияет на ее стоимость и надежность), можно
было бы затем исследовать вопрос компромиссного соотношения между
сложностью и качеством и вынести определенное решение по выбору
надлежащей системы.
К сожалению, указанную выше процедуру проще описать, чем
выполнить. Проведенный нами анализ систем амплитудной и угловой
модуляции достаточно подробен и дает адекватный ответ в отношении
систем третьей категории. Качество систем, относящихся ко второй
из перечисленных категорий, практически такое же, как у
соответствующих систем с непрерывной модуляцией. Например, АИМ близка
к AM, ЧИМ — к ЧМ и т. д. Поэтому изучение систем второй категории
мы переносим в задачи вне основного текста. В данной главе главное
внимание сосредотачивается на системах первой категории. В §6.1
построена модель для систем с дискретизацией и квантованием и
рассмотрены некоторые вопросы, которые возникают при их анализе.
В § 6.2 показано влияние конструкции квантователя на среднеквадра-
тическую ошибку системы. В последующих трех параграфах
рассмотрены цифровые системы трех типов, которые можно использовать для
передачи квантованных значений. Параграф 6.3 посвящен двоичным
системам без кодирования, § 6.4 — многопозиционным системам и § 6.5—
системам с кодированием. Наконец, в § 6.6 подведены основные итоги
по гл. 6.
6.1. Системы с дискретизацией и квантованием
Модель интересующей нас системы связи показана на рис. 6.1.
Выходной сигнал аналогового источника представляется выборочной
функцией нормального случайного процесса α (ή. Первоначально
будем считать, что сообщение имеет ограниченный по ширине спектр,
т. е.
ί l/(2WM), \f\<WM, m
aW~ ί 0, \f\>WM. {)
Так как спектр ограничен по ширине, сигнал можно дискретизо-
вать с интервалом 1/(2 Wm) секунд, не теряя информации. Поскольку
процесс является нормальным и имеет равномерный спектр, его
отсчеты— статистически независимые нормальные случайные величины1).
Каждый отсчет имеет нулевое среднее и единичную дисперсию. Далее
каждый отсчет квантуется на L уровней, как показано на рис. 6.2.
Ввиду того, что отсчеты распределены по нормальному закону с нуле-
Х) Системы с дискретизацией и квантованием рассмотрены во многих работах
(например [1—3]). В большинстве этих работ предполагается, что отсчеты
процесса имеют равномерную плотность вероятности. В нашей модели использовать
равномерное распределение было бы нереалистичным.
173

вым средним, на всем протяжении дальнейшего изложения
предполагается,4 что характеристика квантователя симметрична относительно
нуля.
В литературе квантователи часто называют аналого-цифровыми
преобразователями. В общем случае размеры интервалов квантования
могут быть различны и вследствие этого выходные значения
распределяются неравномерно. Обозначим концевые точки интервалов
квантования координатами ±Уг (или y±i)f i = 0, 1, ..., L/2(y0 = 0 и #l/2 = oo),
а выходные уровни— координатами ±xt (или x±i), i = 1, .., L/2.
Аналоговый
источник
aft)
Дискрети-
затор

Квантователь
Кодер и
модулятор
Передаваемый
щемодулятор и\
декодер
ίΐ,υφρ о - аналоговые
преобразователь
сигнал, уft)
aft)
Фильтр нижних
частот
Рис. 6.1. Система с дискретизацией и квантованием.
I 1
' I 1
1У-7 У 1U
\? Ζ ** 'Г
_J
I
*3
хг
*1
хи
ι Выход
г
I
Уо"° У1
I
у? Вход
■s Ζ
Рис. 6.2.
Амплитудная характеристика
квантователя.
В каждый данный момент времени выходной сигнал квантователя
соответствует одному из L уровней. Поэтому цифровая система связи
в среднем должна передавать один из L уровней (или сигналов) каждые
\I{2Wm) секунд. При построении цифровой части системы связи
имеется несколько вариантов, из
которых укажем лишь следующие
системы, представляющиеся
логически обоснованными:
1. Если L — 2ky где k—
целое число, то L можно
представить в виде k двоичных
символов (цифр). Каждую из этих
цифр можно затем передать
последовательно, используя
какую-либо двоичную систему
связи. Чтобы передавать информацию в темпе ее выдачи дискретиза-
тором, необходимо передавать одну двоичную цифру каждые l/(2kWM)·
секунд.
2. Можно использовать систему из L сигналов (например, L
ортогональных сигналов). В этом случае скорость передачи информации
должна соответствовать одному из L сигналов каждые \I(2Wm)
секунд.
3. Можно запомнить N квантованных отсчетов и поставить
передачу цифр в зависимость от значений этих N отсчетов. Тогда придется
передавать один из LN возможных сигналов каждые N/(2Wm) секунд.
Перечисленные три системы подробно рассмотрены в следующих
параграфах. В процессе изложения материала будут встречаться
различные вопросы, связанные с модификацией основной модели системы.
174

Для иллюстрации рассмотрим, к примеру, второй вариант построения
системы для случая L = 4. В передатчике осуществляется отображение
квантованных отсчетов в сигналы:
х2 —>■ s1 (ί),
—x2^sA(f). (2)
Предполагается, что мощность передатчика равна Ρ и что все сигналы
обладают одинаковой энергией:
42WM
EjA J sUt)dt= -£-9 /=1,..., 4. (3)
Далее эти сигналы передаются по каналу. Сначала рассмотрим
канал с аддитивным белым гауссовым шумом и со строго
ограниченной односторонней полосой WCh\ все наши рассуждения
непосредственно относятся к простым безынерционным (без памяти) каналам
с замираниями, например, к релеевскому каналу. Приёмник
осуществляет наблюдение сигнала на интервале длительностью 1/(2Wm) секунд
и решает, какой из четырех сигналов был передан. Затем производится
обратное отображение этого сигнала в аналоговое напряжение,
которое мы обозначим через а (^). Заметим, что a (tt) выбирается из
множества уровней (±#ι, ±#2).
Повторение этой процедуры дает последовательность выборочных
значений. Эта последовательность оценок используется для
восстановления аналогового сигнала по формуле
,^ίοο 2nWM{t-i,2WM) V '
Операцию, описываемую формулой (4), физически можно осуществить
путем пропускания импульсной последовательности
°°
h(t)= Σ a(ti)Uo(t-t,) (5)
/ —— оо
через идеальный фильтр нижних частот.
Средний квадрат ошибки оценки равен
lAE{[a(t)-a(t)Y]. (6)
Поскольку a (t) и a (t) совместно стационарны, ξ не является функцией
времени и мы можем записать
Е = £{[а(^)-а(^)]2}· (7)
На рис. 6.3 показана типичная последовательность отсчетов и
соответствующих величин в системе.
175

Момент времени
отсчета
Значение
отсчета
Выход
квантователя
Выход
приемника χ (t{)
Ошибка
решения
Полная ошибка
*1
Лг
х2
*2
Нет
(Λι-χ2)
t2
Аг
—хг
—хг
Нет
(Λ%+Χι)
t.
л3
Хг
хг
Есть
(Л3—х2)
t.
А,
Хг
Хг
Нет
(Лг- хг)
и
Аь
Хг
—хг
Есть
(А5+х2)
Рис. 6.3. Типичные последовательности.
Видно, что существует два возможных источника ошибки в
восстановленном сигнале — ошибка квантования и ошибка решения. Ошибка
квантования возникает потому, что отсчеты являются непрерывными
величинами, а выходные оценки принадлежат к конечному множеству
L значений. Кроме того, ошибки можно допустить при вынесении
решения о том, какой сигнал был передан (как показано для моментов
времени ts и tb). В итоге помимо ошибки квантования имеется ошибка,
обусловленная выбором неправильного квантованного уровня
(комбинации). Количественно эти ошибки будут рассмотрены в следующих
параграфах.
Общее грубое представление о поведении ошибки легко получить из
интуитивных соображений. При увеличении L ошибка квантования
уменьшается; с другой стороны, число сигналов возрастает. Поскольку
энергия каждого сигнала — величина постоянная, вероятность
ошибочного решения будет увеличиваться (напомним рис. 4.23 на стр. 308
первого тома). Ошибка квантования — это локальная ошибка, а
ошибка решения— глобальная ошибка. С ошибками этих двух типов мы
уже встречались ранее при рассмотрении задач оценки. Между этими
двумя факторами, по-видимому, должна существовать взаимосвязь
и возможен компромиссный обмен, оптимальные условия которого
можно попытаться отыскать. В следующих четырех параграфах будет
рассмотрено влияние устройства квантователя и метода передачи на
помехоустойчивость системы. -
6,2. Исследование квантователя
Материал этого параграфа подразделяется на две части. В первой
части произведен синтез квантователя. Во второй части рассмотрено
влияние структуры квантователя и той части системы, которая связана
с передачей и детектированием сигналов.
176

Амплитудная характеристика
квантователя была показана на
рис. 6.2. Каждый отсчет квантуется на
L значений, как иллюстрируется на
этом рисунке. При анализе
квантователя сделаем следующие три
предположения.
1. Число выходных уровней равно
2Л, где k— целое. Таким образом,
<
iff-1
Ю'г
ю-3
*ч
""
J I.. ....
\
\
III III III I
/
2
4- /r=log2L
ИЛИ
L = 2k
k = log2 L.
(8)
(9;
Рис. 6.4. Зависимость |q от k для
оптимального квантователя (k
принимает только целые
значения).
2. Концевые точки yt каждого интервала квантования и выходные
величины квантователя xt выбираются так, чтобы минимизировать
среднеквадратическую ошибку квантования, которая теперь
определяется следующим образом: если Л положительно и находится винтер-
вале (t/i-l9 t/i ], то это значение будет квантовано в виде хи ошибка
квантования равна А — xt (I ^ 1); если А отрицательно и принадлежит
к интервалу [yiy yt + х), то оно квантуется в виде xt и ошибка
квантования в этом случае равна А — хь (ί^—1). Средний квадрат
ошибки квантования есть просто математическое ожидание квадрата ошибки
квантования. Таким образом, средний квадрат ошибки
квантования равен
L/2 "*
(A — Xi)2-— exp
Ϋ 2л
А*
dA +
_L/2^'+l
+ 2 I <*-^-^«f(-r)M·
= —1
]/2π
(10)
Поскольку считается, что характеристика квантователя симметрична
относительно нуля, две суммы в (10) равны и все выражение сводится
к виду
(Π)
Зафиксируем теперь L и выберем xt и yt так, чтобы ξρ была
минимальной. Минимизация ξρ была выполнена численными методами в [4].
Результаты для типичных значений L показаны на рис. 6.4 и в табл. 6.1.
Легко убедиться, что вероятности нахождения в различных интервалах
являются неравными (см. задачу 6.2.1).
3. В п. 2 величина xt была выбрана с целью минимизации средне-
квадратической ошибки. Из результатов гл. 2 первого тома (стр. 73)
177

Таблица 6.1
Характеристики квантователя [8]
L=2
ι
0
Η
Xi+1
0,0 0,7980
ξρ=0,3634
L-4
i
0
1
νι
xi+\
0,0 Ι 0,4528
0,9816 1 1,510
gQ=0,1175
L=8
i
0
1
Vl |
0,0
0,5006 j
*i-\-1
0,2451
0,7560
[ /-=8
i
2
3
Уг
xt+i
1,050 1,344
1,748 I 2,152
ξρ=0,03454
L=16
г
0
1
2
3
4
5
6
7
Vl
0,0
0,2582
0,5224
0,7996
1,099
1,437
1,844
2,401
Q=0,0094
1 xl+l
0,1284
0,3881
0,6568
0,9424
1,256
1,618
2,069
2,733
97
L=32
/
0
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
У'г
0,0
0,1320
0,2648
0,3991
0,5359
0,6761
0,8210
0,9718
1,130
1,299
1,482
1,682
1,908
2,174
2,505
2,977 j
ξρ=0,002^
*z+l
J 0,06590
0,1981
0,3314
0,4668
0,6050
0,7473
0,8947
1,049
1,212
1,387
1,577
1 788
2,029
2,319
2,692
3,263
199
известно, что указанное значение xt есть условное среднее Л при
условии, что А лежит в- интервале (Уг-г, у,·]. Следовательно,
хг = £ [а | ί/i-i < « < i/il =
У1
Z2
= f ——^ ехр (
dZ, ί = 1, 2 L/2. (12)
νι-\
Вероятность Р [хД в (12) служит для нормировки плотности.
Этим завершается определение (задание) квантователя. Рассмотрим
теперь вопрос о влиянии на ошибку методов передачи и
детектирования сигналов.
Каждый уровень хь квантователя отображается в сигнал, который
может быть передан по каналу. Приемник осуществляет обработку
принимаемого сигнала для получения выходных величин x±J, j =
= 1,2,..., L/2. Вероятность того, что выходная величина будет xh когда
входная величина равна хь обозначается через P[xj\xt] и зависит от
конкретных метода модуляции и канала передачи. Ту часть системы
связи, в которой сигнал передается в цифровой форме, можно
представить посредством переходных вероятностей, как показано на
рис. 6.5.
Средцеквадратическую ошибку оценки (7) можно вычислить как
функцию вероятностей квантователя и переходных вероятностей. Если
178

обозначить через l\xt ошибку при передаче уровня^·, то средний
квадрат ошибки равен
L/2 —1
1=·Σ,(1\χ,)Ρ[χΛ+ Σ (51**№].
j=l i=-i./2
Заметим, что для симметричного квантователя
xltA—xt,
У-iA—yt·
(13)
(14)
(15)
4 Квантователь
Р1*-и1г\х-Цг\
Входные ι Переходные \ Выходные
значения | вероятности | значения
Модулятор -нанал - демодулятор
Рис. 6.5. Диаграмма переходных вероятностей в той части системы
связи, где передача осуществляется в цифровой форме.
Следующий шаг процедуры — вычисление среднего квадрата
ошибки при условии, что была передана величина xt. Во-первых,
замечаем, что если была передана величина хь то исходный отсчет
принадлежал к интервалу (^-χ, */*! при i ^ 1 или к интервалу [уи yi+1)
при ί^—1. Во-вторых, видим, что выходной величиной решающего
устройства является xjy / = —L/2, ..., —1, 1, ..., L/2. Ошибка по
каждому отсчету есть просто исходный отсчет минус величина Xj.
Следовательно, условный средний квадрат ошибки равен
L/2 У*
У 1-Х
*/+1
(Z-xj)*e-z*/2dZ
У2яР[хЦ
+ у J»I*,|*/f <z-x»TZ''2dz · Об)
/=-Z./2 ί У2П Ρ l*ll
ν i
179

Отметим, что если утверждается, что передана величина хь то это
решение правильное и полная ошибка обусловливается квантованием.
Теперь запишем
(Z-xs)* = (Z-xi+xi-xJ)* = (Z-xi)* +
+ 2(Z-xi)(xi-xJ) + (xi-xJ)\ (17)
Подстановка (17) в (16) дает
+ (2>[*,|*«]<*«-*> ) уйР[Х|)
L/2 "' 2(2-хг-)е-22/2^
Vi-\
>Ji+\
+ у р[,|,к.^) f 2(г-;£е"г2/2^)+
+1 2 '[*1*н*-*)2 j
Τ/2π Ρ [*г]
У ι
e~z^2dZ
Vi-\
У2κ Ρ [χι]
+ У P[Xj\Xil(Xt-Xj)2 f ° ^ ■ (18)
Ради простоты рассмотрения правая часть (18) разбита на три
слагаемых, каждое из которых заключено в круглые скобки и содержит две
операции суммирования. Каждый интеграл в первом слагаемом есть
просто средний квадрат ошибки квантования в i-м интервале,
который мы обозначим через ξρ.. Так как ξρ. не зависит от/, сумма двух
рядов сводится к ξρ.. Интеграл во втором слагаемом равен нулю,
поскольку величина χ ι была принята за условное среднее [см. (12)].
Интеграл в последнем слагаемом равен единице, так как его
подынтегральная функция является плотностью вероятности. Обозначим это
слагаемое через \dv (Подстрочный индекс здесь означает, что речь
идет об ошибке решения.) Итак,
ЦА "ΐΓ Р[Х}\Хг](х1-Х)Г, ίφΟ. (19)
/=-£/2
180

Теперь можно записать
l\Xi = lQ.+lDi, (20)
1 = ί=Σ PIxA^+IdJAIq + Id' (21)
i=—L/2 l l v
i Φ 0
где
У 2π Ρ [^
ι
.1 Уг + 1
4-х
+.σ/μ j ;ί;Μ · <22>
Sd= *Σ №1 ^ P[*j|*d(*i-*/)a. (23)
/ = —L/2, j=-L/2,
i φ 0 / ^ О
Выражения для ξρ и £d — основные результаты этого параграфа.
Можно сделать два полезных замечания:
1. Возможность разделения ошибок ξρ и ξ# объясняется тем, что
xt—условное среднее отсчета для того же интервала квантования
[см. (12) и (18)]. Этот результат не зависит от «цифровой» части системы,
а это означает, что значения ξρ, приведенные в табл. 6.1, справедливы
для любой системы, где гауссов источник сообщения имеет
ограниченный по ширине спектр.
2. Величина Id стремится к нулю, когда вероятности ошибки в
цифровой части системы приближаются к нулю. В этом случае полная
ошибка сводится к ошибке квантования.
Рассмотрим теперь некоторые конкретные цифровые методы
модуляции и вычислим для них величину ошибки решения ξο·
6.3, Двоичные системы без кодирования
Первая представляющая интерес система называется двоичной
(бинарной) системой без кодирования. Каждый из L выходных уровней
квантователя представляется посредством & двоичных символов (цифр,
элементов). Двоичный алфавит, используемый для отображения
выходных уровней квантователя, иллюстрируется табл. 6.2 для случая
L = 16. Двоичные цифры передаются каким-либо двоичным методом
модуляции. Выбор подходящего метода модуляции зависит от того,
какой канал имеется в распоряжении. В табл. 6.3 перечислены
несколько каналов, которые изучались в гл. 4 первого тома, соответствующие
двоичные системы сигналов для этих каналов и приведены выражения
для вероятностей ошибок по двоичным элементам. Сначала мы
вычислим ζο только для канала с аддитивным гауссовым шумом. Позднее
§£ будет вычислена и для некоторых каналов с замираниями,
181

Таблица 6.2
Выходные
уровни
квантователя
•^8
Χη
*β
ч
Х&
хг
*2
Х\
Двоичное

представление
пи 1
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
Выходные
уровни
квантователя
*-1
Х-2
Х-з
Х-Ь
Х-ь
х-ь
Χ-Ί
X-s
Двоичное

представление
0111
оно
0101
0100
ООП
0010
0001
0000
Вычислим теперь ξο. Из табл. 6.2 видно, что хотя различные
значения %ι появляются с неодинаковой вероятностью, вероятность того,
что в качестве любой цифры будет передана «единица», равна V2.
Заметим, что вероятность «единицы» во второй, третьей и четвертой
разрядной цифре не является независимой от вероятности «единицы» в
первом разряде. Следовательно, оптимальный байесовский приемник
должен был бы принимать решение по k разрядам одновременно. На
практике приемник обычно декодирует каждый элемент независимо. Эта
процедура является субоптимальной, но она значительно проще и
поэтому мы используем ее в интересах решения рассматриваемой
задачи. Оптимальный приемник рассматривается кратко в задаче 6.3.1.
Таблица 6.3
Каналы, сигналы, вероятности ошибок
Канал
Сигналы
Ρ (ε) =
1. С аддитивным белым
гауссовым шумом
2. Со случайной фазой
За. С релеевскими
замираниями
36. С релеевскими
замираниями, критерий
идеального
наблюдателя
4. Релеевские каналы при
оптимальном
разнесении
Равные и
противоположные

Ортогональные ЧТ

Ортогональные ЧТ

Ортогональные ЧТ
Равные и
противоположные ФТ

Ортогональные ЧТ
erfc-
(/-£=
ехр
Ев
2iV0 ,'
А_]-1
No \
/ Er/N0 \
\ 1+Er/N0 /
2£Г/ЛГ0
1 +2~Er/N0
:/2"
■п
Замечание: Εβ —энергия, используемая для передачи каждой двоичной цифры (символа,
разряда, элемента). В случае каналов с замираниями Ег — математическое ожидание от Εβ.
182

Полагая, что приемник принимает решение о приеме сигнала,
соответствующего каждому элементу, т. е. осуществляет раздельный
(поэлементный) прием, можно использовать выражения для вероятностей
ошибок по элементам, приведенным в табл. 6.3. Обозначим эту
вероятность через
Ρ (β) Δ Р. (24)
Проиллюстрируем вычисление ошибки решения для случая L = 4,
Пример Из табл. 6.1 имеем -
lQ -0,1175. (25)
Определим ξ^ и 1о2 путем непосредственного вычисления. Для
вычисления lDss предположим, что переданный сигнал соответствует 11.
Приемник может принять решение, соответствующее 00, 10,01 или 11.
Таблица 6.4
Переданный сигнал
11
Решения приемника
00
10
01
11
Вероятность данного
решения
Р2
(i-p)pj
(1-P)P
(1-Р)2
Квадрат ошибки при
таком решении
4*|
(χ2-χύ2
0
Каждое решение сопряжено с конкретной среднеквадратической
ошибкой. Все возможные варианты систематизированы в табл. 6.4. Таким
образом,
Ιθ2 = 4ρ*χΙ + 2(1-ρ)ρ(χϊ + χΙ)^2ρ^χϊ--χΙ) + 2ρ(χΙ + χΙ). (26)
Аналогично для ξ0ι получим результаты, сведенные в табл. 6.5:
Ιοι = 2?(χ*ι-χϊ) + 2ρ(χ* + χ*). (27)
Объединив (26) и (27), получим
Id = 2р (х{ + х\) + 2 (Р [хг]-Р [х2]) (2Я2 (х\ — х\)). (28)
Таблица 6.5
Переданный
сигнал
10
Решения
приемника
11
10
01
00
Вероятность данного
решения
(1-P)P
(1-Р)а
Р2
(1-Р) Ρ
Квадрат ошибки
при таком решении
(Χ2—Χι)2
0
4х\
(Χο+Χί)2
183

Для произвольного количества уровней L значения tD и lQ можно
вычислить, используя такой же подход. Эти вычисления были
произведены численными методами. Во всех случах использовался
квантователь с минимальной среднеквадратической ошибкой. Предполагалось,
что для передачи элементов используются равные и противоположные
сигналы и осуществляется незави-
ξβΐ/cl Ι симое поэлементное их
детектирование при приеме.
Таким образом,
:erfc*
2ЕВ \ 1/2
Nn
(29)
Результаты вычисления показаны
на рис. 6.6. По горизонтальной
оси отложено отношение сигнал/
шум в полосе сообщения
Λ^ Δ
2kE
в
-WMNQ
No
2£
No
(30)
Рис. 6.6. Среднеквадратическая
ошибка при использовании двоичной
системы без кодирования,
зависимость ?вис от Лоо.
где Ев — энергия каждого
элемента сигнала, а Ε—полная энергия.
По вертикальной оси отложена
величина, обратная среднему
квадрату ошибки £вис, где индекс «BUG» означает двоичную систему
без кодирования.
Видим, что, как и в системах с угловой модуляцией, в
рассматриваемой системе существует явление порога. Вправо от этого порога (т. е.
при больших значениях Л^) практически нет ошибок решения, а сред-
0 Тв
ЗТВ
5ТВ
-^/ю-^ ВЧ сигнал
1 cos&ct
Сообщение-сигнал НЧ
Рис. 6.7. Двухпозиционная фазовая модуляция.
неквадратическая ошибка обусловлена лишь процессом квантования.
Эту ошибку можно уменьшить путем увеличения k (напомним, что k =
= log2 L). Однако увеличение k оказывает на рассматриваемую
систему другой эффект. Для демонстрации этого эффекта рассмотрим
типичную двоичную последовательность, модулированную по фазе, которая
показана на рис. 6.7. Сигнал, соответствующий каждому двоичному
элементу сообщения, имеет длительность
ГлЛ-^-i-
2W
Μ
(31)
184

Нетрудно вычислить спектр передаваемого сигнала (см. задачу 6.3.4):
s.m(F)-c
sin (2π/Γβ)
2π/Γβ
С
( sin (Rf/kWM)
nf/kWM
(32)
где с — постоянный коэффициент, не имеющий значения в данном
обсуждении. Из формулы (32) видно, что ширина спектра связана с k
линейной зависимостью. Поэтому при больших значениях k
определяющим условием работы системы будет ограничение по полосе частот.
Процедура расчета (с учетом
ограничений данной конкретной
системы) теперь ясна. Необходимо
провести огибающую кривых,
представленных на рис. 6.6. При
Л^ = 1 следует использовать
четырехуровневое квантование. При
Λ«, = 14,3 кривая,
соответствующая k = 2, пересекает кривую,
соответствующую k = 3. В этой
точке можно было бы перейти на
восьмиуровневое (k = 3)
квантование. По мере увеличения
доступного Л^ можно переходить на все
большее и большее число уровней
квантования. Наконец, достигается
точка, когда будет занята вся
доступная полоса частот. В этой
точке фиксируем значение k и если
Л^ увеличивать далее, то рабочая
вправо по линии постоянного
Рис. 6.8. Сравнение систем в случае
сообщения с ограниченным по ширине
спектром.
точка системы будет смещаться
значения k. Заметим, что
описанная процедура полностью аналогична процедуре для случая ЧМ,
рассмотренной в гл. 4 (см. рис. 4.10). Здесь параметр k играет такую же
роль, как dflk — нормированная девиация частоты — играет в случае
ЧМ.
На рис. 6.8 совмещены кривые помехоустойчивости по заданной
мере искажений (см. рис. 5.20), оптимальной ЧМ (см. рис. 5.26) и
двоичной системы без кодирования (см. рис. 6.6) для случая, когда нет
ограничения по полосе частот. Из сравнения кривых видно, что
помехоустойчивость двоичной системы без кодирования несколько хуже, чем
системы ЧМ, и обе системы почти на 10 дБ отстоят от границы,
определенной по заданной мере искажений.
При ограничении по полосе частот двоичная система без
кодирования становится хуже системы ЧМ, как только Л^ превысит порог.
При этом вероятность ошибки решения практически равна нулю.
Однако ошибку квантования уменьшить невозможно из-за ограничения
полосы частот. Это означает, что имеется энергия, которая не
используется. Существует несколько путей использования этой энергии.
Очевидными из них являются следующие:
185

1. Можно увеличить объем алфавита без расширения спектра.
Например, на каждом интервале длительностью 1/(2 kW) секунд можно
было бы передавать один из четырех, а не один из двух сигналов.
Общепринятой системой сигналов является следующая:
Sl(t)=Y2P s'mi^-ή, 0<t<TB,
s2(0-j/2Psin(-~/+-|-), 0<t<TB,
s8(t) = VJPsm(-jF-t + ny 0<t<TB, (33)
s,(t)^YWsm(-^t+-^y 0<t<TB,
где η — целое число. Эта система сигналов соответствует системе
дискретной фазовой модуляции (ФТ) с четырьмя возможными значениями
фазы. Благодаря этому можно удвоить число уровней квантования без
расширения спектра передачи. Недостаток этого способа в том, что
порог в этом случае проявляется при более высоком значении Лоо (см.
задачу 6.3.5). Другие простые системы этого типа рассмотрены в задачах
данной главы.
2. Можно использовать гибридную систему, в которой ошибка
квантования передается на приемную сторону методом АИМ или AM.
Такая система синтезируется и анализируется в задаче 6.3.2.
Рассмотрим теперь метод передачи при использовании L
ортогональных сигналов.
6.4, Системы с ортогональными сигналами
Рассмотрим теперь систему из второй категории систем,
описанных в § 6.1. И на этот раз будем использовать квантователь с
минимальной среднеквадратической ошибкой, описанный в § 6.2. Теперь
выходные уровни квантователя отображаются в систему L ортогональных
сигналов:
ХЦ2 ~> YEji (0 ,
XLI2-l-+VEs2(t),
: (34)
— XLJ2-+Y Ε SL(t), °<^-9if— > "
w Μ
где
U2WM
jj si(t)sJ(t)dt = 6ij9 i, /=1, .... L. ' (35)
о
186

Полная модель системы связи показана на рис. 6.9. Для выработки
правила решения для приемника последуем примеру 3, изложенному
на стр. 306—308 первого тома. Определим сначала систему
достаточных статистик:
h = \r(t)st(t)dt9 /-1, 2,..., L.
(36)
Средний квадрат ошибки, обусловленной ошибками решения,
определяется формулой (23) и равен
i=L/2 J = L/2
ξβ= 2 ρΐχΛ Σ ΡίχιΙχιΗχι-χ])*·
i^O /^ 0
(37)
Оптимальный приемник осуществляет операции над 1г так, чтобы
ошибка ξο была минимальной. Эта процедура соответствует испытанию по
критерию Байеса при априорных вероятностях Ρ [xt] и матрице потерь
с элементами
Cij — (xi — xj)2·
(38)
Это частный случай задач, решенных при изучении первого тома (см.
задачи 2.3.2 и 2.6.1 на стр.145—161 первого тома). К сожалению,
получающийся в результате синтеза приемник оказывается довольно
+
Квантователь
Передатчик
wft}
rft).
ΓΐΘ^Η
Приемник
Один из L
ортогональных сигналов
Рис. 6.9. Система с использованием L ортогональных сигналов.
сложным (см. задачу 6.4.1). Ради простоты будем использовать
субоптимальный приемник, который минимизирует вероятность ошибки
решения. В этом приемнике осуществляется вычисление
zi^(2VE/N0)li + \nPh ί=1, 2, ..., L,
(39)
и выбор xt, соответствующего наибольшему zt. Для вычисления
вероятности ошибки заметим, что г% — нормальные случайные величины с
дисперсией 2E/N0 по всем гипотезам. Их средние значения равны
Elzt\H,] = 2E/N0 + lnPlt /=1, 2...., L,
£[г7-|Яг] = 1пР;, ΐψ], /=1, 2, ... , L,
/=1,2,..., L.
(40)
(41)
187

Переходные вероятности для рассматриваемой системы можно записать
в виде:
Р[ЯЯ//Л=Р[гу>всехгт>т=^ЛЯ4]= Г
ι
[2π(2Ε/Ν0)γί2
Χ
L Ζ
Γ (Ζ,-In Ρ,)2 Ι ί ±. ί άΖ
χ exp - 3 АР1Ы3 ΓΜ -^~
\m= 1 — οο
Χ exp
(Zm-(2E/No)6mi-\nPm)*
1/2
4£/JV0
></Z,=
X
-J
У 2 η
exp
IT?
Π erf,
\m= 1
Wj-
2E_
No
бтГ
(\nPj-\nPm)
~\/2E/N0
\dWJ = P[xi\xt], /=1,2, ...,L, / =
1, 2, ...,L, /=/=/.
(42)
Выражение для ошибки ξ# получим путем вычисления (42)
численными методами и подстановки результата в (23). Полную ошибку ξ
системы получим как сумму ошибки
решения ζ0 и ошибки квантования
ξρ (см. рис. 6.4). Результирующая
зависимость ξ-1 от отношения
сигнал/шум Л^ показана на рис. 6.10.
Точно так же, как в случае
двоичной системы без
кодирования, нам необходимо рассмотреть
работу системы как при
ограничении по порогу, так и при
ограничении по полосе частот. При
малых значениях Л^ используются
два ортогональных сигнала. По
мере увеличения Л^ происходит
переход на четыре ортогональных
сигнала, затем на восемь и т. д.
Результирующая
помехоустойчивость описывается огибающей
характеристик (рис. 6.10), которая
является кривой помехоустойчивости при работе в режиме
ограничения по порогу, встречавшейся нам ранее. В данном случае порог ниже,
чем в случае двоичной системы без кодирования, причем это
различие возрастает с увеличением k. Требуемая полос линейно зависит
от L (логарифмически от k), так как сигналы ортогональны.
Поэтому система этого типа неэффективно использует доступную полосу
частот.
tos
*п?
10
10
\
-
\ J
\JL
L
ί
Γ
L
t
ί
Γ
...! Ι Ι
=J2 A
16 Ι
8
4
ι ι
10
10*
Λο
Рис. 6.10. Ошибка при использовании
системы с L ортогональными
сигналами зависимость ξ OS от Лею
188

6.5. Цифровые системы с кодированием
В § 6.3 и 6.4 были рассмотрены некоторые простые цифровые
системы. Мы установили, что их помехоустойчивость определяется
отношением сигнал/шум в полосе сообщения и шириной полосы канала.
Точно так же, как в случае угловой модуляции, помехоустойчивость
цифровой системы без кодирования не менее чем на 6 дБ ниже границы
по заданной мере искажений, которая была определена в § 5.4
(см. рис. 5.23).
Теория кодирования при заданном критерии точности утверждает,
что существует связанная с источником некоторая функция R (ξ) —
функция скорости создания им информации при заданном искажении.
\Дискретиза-
тор
—^^

Квантователь
\3нтропийное
^кодирование
—За»
Идеальная
цифровая
система
Рис. 6.11. Система с использованием энтропийного кодирования.
Если имеется канал, пропускная способность которого не меньше С,
то можно передать сообщение со среднеквадратической ошибкой ξ.
Трудность здесь заключается в том, что мы не знаем, как найти систему,
достигающую такой помехоустойчивости. Глубокое изучение этой
проблемы потребовало бы исходных сведений из теории информации,
которые в нашем курсе не излагались. Превосходным пособием для
самостоятельной работы по этому вопросу является книга Галла-
гера [5].
В этом параграфе мы кратко обсудим несколько более простую
задачу, называемую задачей кодирования источника.
Интересующая нас модель показана на рис. 6.11. Аналоговое сооб:
щение дискретизуется и квантуется. Каждые \I(2Wm) секунд
квантователь выдает значение дискретной случайной' величины χ (напомним
рис. 6.2). В ранее рассмотренных моделях систем связи
предполагалось, что эти значения непосредственно отображаются в сигналы для
передачи по каналу.
Теперь мы введем в систему на выходе квантователя
дополнительное устройство, которое будем называть кодером источника. Оно
предназначается для представления случайной величины χ посредством
минимального числа двоичных символов (разрядов, цифр, элементов).
Можно показать (например, [5]), что энтропия дискретной случайной
величины χ определяется формулой
ΗΧΔ Σ —Ρ Μ log2 P[Xi\ бит/отсчет. (43)
ίψ О
Энтропия случайной величины — это минимальное число бит,
необходимых для представления случайной величины. Существуют
конструктивные методы (например [6 и 7]) кодирования последователь-
189

h
h
\-
h
" //
- //
/''
I'
//
//
\t 1 1_
~J -
/A
М-гу/'/
jffl&cfaW)
/fi^ti
/'
V/
t
1 1 1 1
иости значений величины х в последовательность двоичных символов
при помощи только Нх бит на отсчет (выборку). Далее предполагается,
что используется именно такой кодер.
Выходом кодера является последовательность двоичных символов,
которые необходимо отобразить в сигналы для передачи по каналу
связи. Шенноновская теорема кодирования утверждает, что по каналу
с пропускной способностью С можно передавать информацию со
скоростью R < С и при сколь угодно малой вероятности ошибки. Будем
полагать, что такая идеальная
система у нас имеется (подробнее с
соответствующими методами
кодирования можно ознакомиться по
книге [5]).
С учетом этих предположений
мы теперь имеем модель, в
которой полная среднеквадратическая
ошибка восстановления исходного
сообщения будет обусловлена лишь
процессом квантования.
Преимущество этой модели заключается в
том, что она позволяет исследовать
систему с дискретизацией и
квантованием и характеризовать ее
посредством среднеквадратической
ошибки и энтропии, не вдаваясь в
рассмотрение проблемы
кодирования. Ее недостаток состоит в том,
что она не указывает нам путей
построения той части системы,
которая связана с передачей и
детектированием сигнала.
Первым представляющим интерес методом квантования является
квантователь с минимальной среднеквадратической ошибкой,
синтезированный в § 6.2. Вычисление энтропии на выходе квантователя при
различных значениях Lne вызывает затруднений [4]. Результаты
такого расчета наряду со значениями ошибки квантования ξρ сведены
в табл. 6.6. Видим, что энтропия лишь немного меньше, чем log2L. Это
означает, что можно было бы исключить кодирование источника, лишь
незначительно потеряв в помехоустойчивости. Для сравнения
различных методов квантования и кодирования источника на рис. 6.12
графически представлены следующие зависимости:
1# ξ^ι — величина, обратная среднему квадрату ошибки при
достижении границы, установленной методом эквивалентной скорости
при заданном искажении.
2. Iq£c — величина, обратная среднему квадрату ошибки при
использовании оптимального (по критерию минимальной
среднеквадратической ошибки) квантователя и кодировании. Подстрочный индекс
«QEC» означает: при квантовании ц кодировании с минимальной
энтропией.
Г'
103
ГО'
10
4 к (бит/отсчет)
I I I | I I I I -4 I I
О 1 2 3 Ч 5 6 7 8 9 Аоо
Рис. 6.12. Ошибки ^при различных
методах квантования и кодирования.
190

Таблица 6.6
L
2
4
8
16
32
k= log2 ^
1
2
3
4
5
Hx
1,000
1,911
2,825
3,765
4,730
lQ
0,3634
0,1175
0,03454
9,497X10-8
2,499χ10"3
3. Iq1 — величина, обратная среднему квадрату ошибки при
использовании оптимального (по критерию минимальной среднеквадра-
тической ошибки) квантователя, вслед за которым включен двоичный
преобразователь, работающий в соответствии с табл. 6.2. (Она
существует только при целых значениях k.)
Во всех случаях по горизонтальной оси откладывается количество
бит на отсчет. По графику видно, что различие между границей и двумя
указанными системами составляет около 0,4 бит/отсчет и 0,6 бит/отсчет
соответственно. Все эти зависимости можно построить и в функции от
Л^, если учесть, что всего имеется 2Wm отсчетов/с и пропускная
способность канала с бесконечно широкой полосой пропускания и
гауссовым белым шумом равна
Ceo=l,44-f-. (44)
/Vo
Следовательно,
Этот горизонтальный масштаб также показан на рис. 6.12.
Если допускается кодирование источника, то квантователь,
работающий по критерию минимальной среднеквадратической ошибки, не
обязательно является оптимальным. Гоблик и Холзингер рассмотрели
другой подход к задаче квантования [8]. Они потребовали, чтобы
квантователь принадлежал к классу равномерных и синтезировали
равномерный квантователь, минимизирующий среднеквадратическую
ошибку при фиксированной энтропии. Полученный ими результат также
представлен на рис. 6.12. Найденный ими минимальный средний
квадрат ошибки обозначен на графике через £мес. Сравнивая
результат [8] с нижней границей, видим, что предлагаемый метод требует на
0,25 бит/отсчет больше. Из этого следует, что при ограниченном по
ширине спектре, по-видимому, необязательно прибегать к более
сложным методам дискретизации и квантования.
В этом параграфе мы кратко обсудили идею кодирования
источника. В следующем параграфе подведем основные итоги по шестой главе.
191

6.6, Краткие итоги
В данной главе было произведено сравнение различных систем
связи для передачи аналоговых сообщений. Прежде всего было
отмечено, что существуют три общие категории систем, которые можно
использовать для передачи аналогового сообщения:
1. Системы непрерывной модуляции, как, например, ЧМ и AM.
2. Системы с дискретизацией, но без квантования, как, например,
АИМ и ЧИМ.
3. Системы с дискретизацией и квантованием.
Основное внимание в данном параграфе посвящено рассмотрению
систем последней категории.
Сначала была построена модель системы с дискретизацией и
квантованием. Было показано, что если квантователь рассчитан на
минимизацию среднеквадратической ошибки квантования, то полную ошибку
можно записать как сумму ошибки квантования и ошибки,
обусловливаемой решающей схемой. Такое разделение чрезвычайно важно, так
как оно позволяет исследовать ошибки этих двух типов независимо.
Было установлено, что ошибка квантования инвариантна по отношению
к конкретной цифровой системе, которая используется для передачи
квантованных значений, а ошибка решения прямо определяется
цифровой системой. Первой цифровой системой, рассмотренной нами, была
так называемая двоичная система без кодирования. В такой системе
значения уровня выходного сигнала квантователя отображаются в
последовательность двоичных импульсов, которая затем передается по
двоичной (бинарной) системе связи одного из видов, рассмотренных
в главе. Результаты анализа помехоустойчивости двоичной системы без
кодирования показаны на рис. 6.6. Кривые помехоустойчивости этой
системы весьма напоминают кривые помехоустойчивости
рассмотренной ранее системы ЧМ. Выше некоторого значения отношения
сигнал/шум помехоустойчивость системы ограничивается располагаемой
полосой частот. В любой конкретной системе при уменьшении
отношения сигнал/шум достигается точка, в которой определенно
проявляется эффект порога и резко возрастает среднеквадратическая ошибка.
Второй из интересовавших нас систем была система с
ортогональными сигналами. Ее преимуществом является то, что ее пороговая
помехоустойчивость выше, чем у двоичной системы без кодирования.
С другой стороны, недостаток такой системы заключается в
неэффективном использовании располагаемой полосы частот.
Третий тип рассмотренной системы носит название цифровой
системы с кодированием. В этом случае предполагается, что можно
некоторым образом построить цифровую часть системы так, что передачу по
ней можно будет осуществлять со скоростью, сколь угодно близкой
к пропускной способности канала при сколь угодно малой вероятности
ошибки. Реализация этих систем встречает серьезные затруднения, а
рассмотрение соответствующих процедур выходит далеко за пределы
нашей исходной подготовки. Затем мы вернулись к рассмотрению
источника и обсудили вопрос о том, как квантование влияет на энтропию
выборочных отсчетов. Наш интерес к этому вопросу объясняется тем,
192

что существуют простые и конструктивные процедуры для кодирования
квантуемого источника в двоичную последовательность, скорость
которой равна энтропии исходного источника. Было показано, что
квантователь по минимуму среднеквадратической ошибки и
оптимизированный равномерный квантователь лишь незначительно ухудшают
качество системы при ограниченном по ширине спектре сообщения. Вопросы
квантования рассмотрены также в работах [16—27, 30, 31].
Все изложение в данном параграфе велось в предположении, что
сообщение имеет ограниченный по ширине спектр. Когда спектр не
ограничен по ширине, задача становится значительно сложнее.
Адекватное рассмотрение этой задачи слишком отвлекло бы нас в сторону
от основной темы. Интересующемуся читателю можно рекомендовать
работы [8—15].
Пожалуй, самый важный вывод, который читатель должен усвоить
из этой главы, относится к фундаментальной проблеме,
встречающейся при передаче аналоговой информации независимо от характера
системы связи. Если отношение сигнал/шум достаточно, то
помехоустойчивость можно повысить путем расширения спектра сообщения и
основным ограничением на этом пути является доступная полоса частот.
С другой стороны, если построить систему с целью реализации этого
выигрыша и зафиксировать ее параметры, то при уменьшении
отношения сигнал/шум достигается точка, в которой наблюдается явление
порога и помехоустойчивость системы далее быстро убывает. С этим
явлением мы встречались ранее в гл. 4 и 5 при изучении систем угловой
модуляции. В шестой главе было установлено, что оно возникает также
в двоичных системах без кодирования и в системах с L ортогональными
сигналами. Обратившись вновь к рис. 5.22, видим, что функция
скорости при заданной мере искажения обеспечивает границу качества
любой системы. Чтобы находиться близко к этой границе,
необходимо модифицировать систему (либо ее структуру, либо ее параметры,
либо то и другое одновременно) для согласования с обеспечиваемым
отношением сигнал/шум.
Прежде чем завершить изложение данного параграфа, следует еще
раз подчеркнуть, что рассмотрение систем с дискретизацией и
квантованием ведется нами на элементарном уровне. Здесь не используется ни
один из известных ныне методов теории кодирования. Введя в
рассмотрение границу по скорости при заданном искажении и шенноновскую
теорему кодирования, мы дали представление о качестве, достижимом
при использовании сложных систем. Путем анализа некоторых
простых систем был показан разрыв между их помехоустойчивостью и
предельной помехоустойчивостью. Это обсуждение должно побудить
к подробному изучению теории информации, необходимому для
разработки систем, помехоустойчивость которых приближается к
потенциальной.
В следующей главе вернемся к общей задаче нелинейной оценки
и исследуем два различных подхода к ее решению.

6.7. Задачи
Задачи к § 6.2. Исследование квантователя
Задача 6.2.1. Требуется:
1. Выполнить минимизацию ошибки квантования ξς, определяемой
выражением (11), для случая, когда L = 2.
2. Убедиться, что результат, приведенный в табл. 6.1, является
правильным для случая, когда L = 4.
3. Вычислить вероятность нахождения в различных интервалах
квантования для случаев L = 2 и L = 4.
Задача 6.2.2. Допустим, что отсчеты являются статистически
независимыми случайными величинами с экспоненциальной плотностью
вероятности
ра\А) = {с*~сА> Л>°>
1 О, Л<0.
1. Написать выражение для среднеквадратической ошибки
квантования.
2. Минимизировать lQ для случая, когда L = 2.
Задача 6.2.3. Рассмотрим диаграмму, изображенную на рис. 6.5.
1. Объяснить, что представляют различные переходные
вероятности.
2. Дать пример простой системы, подкрепляющий пояснения по
п. 1.
Задачи к § 6.3. Двоичные системы без кодирования
Задача 6.3.1. Рассмотрим двоичную систему без кодирования,
описанную на стр. 181 для случая, когда L = 4. Оптимальный приемник
будет декодировать по два элемента одновременно*
1. Найти оптимальное байесовское правило решения.
2. Вычислить 1о для канала с аддитивным белым гауссовым шумом.
3. Построить зависимость 1~г от Л^ и сравнить полученные
результаты с результатами, представленными на рис. 6.6.
Задача 6.3.2. Синтезировать гибридную систему связи,
обладающую следующими данными:
1) выходные значения квантователя передаются в ней посредством
системы двоичных сигналов;
2) в ней посредством АИМ передается ошибка квантования (раз-
ность%ежду выходным и входным сигналом квантователя).
Обсудить^условия, при которых подобная система была 6bi
полезной. Вычислить ξ"1 и сравнить полученные результаты с результатами,
представленными на рис. 6.6.
Примечание. Система этого типа была предложена в [29].
;Я*. Задача 6.3.3. Предположим, что берутся выборки на выходе
источника сообщения с ограниченным по ширине^негауссовым спектром.
194

4lt)\
-τ
t. f t
I о TpyJ st ir st
if ft)
bit)
xft)
δ
Рис. 6.1*.
Выборки — статистически независимые случайные величины с
равномерной йлотностью вероятности
ИК/з",
\A[>YW.
1. Что представляет собой оптимальный квантователь по критерию
минимальной среднеквадратической ошибки?
2. Выходные значения квантователя передаются по двоичной
системе без кодирования при использовании таблицы отображения 6.2.
Найти оптимальный приемник и
вычислить среднеквадратическую
ошибку.
3. Сравнить полученные
результаты с результатами, представленными
на рис. 6.6.
4. Сравнить различные этапы
анализа по пп.1 и 2 с этапами анализа,
проведенного в § 6.3, и перечислить
различия, обусловленные разными
допущениями относительно плотности
вероятности отсчетов.
Задача 6.3.4. В этой задаче
вычислим спектр сигнала двухпозицион-
ной фазовой модуляции. Рассмотрим метод его формирования,
показанный на рис. 6.1*. На вход линейной системы подается
стационарная импульсная последовательность ίβ (t). Импульсы появляются
каждые Τ секунд. Их площадь с равной вероятностью принимает
значения ±1. Знаки полярности различных импульсов независимы.
Линейная система имеет известную реализуемую импульсную
переходную функцию ft (τ), причем
ft (τ) = О, τ > Τ и τ < 0.
1. Найти спектр is (ή,
2. Выразить Sx (f) через Н (/).
3. Конкретизировать ответ по π 1, чтобы получить результат,
определяемый формулой (32).
Задача 6.3.5. Рассмотрим систему связи с четырехпозиционной
фазовой модуляцией, описываемой соотношением (33).
1. Перечислить различные возможные отображения выходных
уровней квантователя в систему передаваемых сигналов.
2. Построить приемник, работающий по правилу решения,
определяемому критерием минимальной вероятности ошибки. Вычислить ξο
для различных отображений из п. 1 и указать отображения, которые
минимизируют ξο·
3. Построить оптимальный приемник, минимизирующий £д.
Указать области решения. Написать выражение для получающейся £#.
4. Вычислить спектр передаваемого сигнала в этой системе и
определить его эффективную ширину.
195

Задачи к § 6.4. Системы с ортогональными сигналами
Задача 6.4.1. Рассмотрим систему сигналов, описываемую (35).
Предположим, что L = 4 (т. е. имеется четыре уровня квантования).
L Найти оптимальное байесовское правило решения.
Использовать соответствующее распределение стоимостей для минимизации ?■£>.
2. Вычислить Id для канала с аддитивным белым гауссовым шумом.
3. Как следует отобразить выходные уровни квантователя в
систему сигналов, чтобы минимизировать ξο?
4. Построить зависимость |-1 от Л^ и сравнить полученный
результат с кривыми, представленными на рис. 6.10.
Задача 6.4.2. Предположим, что берутся отсчеты с выхода гауссова
источника со спектром
Sa(f)=\ W
I 0, \f\>W.
Отсчеты передаются методом ЧИМ, подробно описанным в § 4.2
первого тома.
1. Используя результаты анализа §4.2 первого тома, построить
ЗаВИСИМОСТЬ ξρρΜ ОТ Л^.
2. Сравнить полученные результаты с кривыми рис. 6.6 и 6.10.
Обсудить вопрос о ширине полосы частот, занимаемой различными
системами.
Задача 6.4.3. Повторить задачу 6.3.3 для системы L ортогональных
сигналов. Интеграл, необходимый для отыскания ξ , должен быть
вычислен численным методом. Результат этого вычисления приведен
в [28].
Задачи к § 6.5. Цифровые системы с кодированием
Задача 6.5.1. Предположим, что выходной сигнал дискретизатора
есть нормальная случайная величина с кулевым средним. Требуется
синтезировать равномерный квантователь, который бы
минимизировал среднеквадратическую ошибку квантования при фиксированной
энтропии.
1. Сформулировать задачу математически.
2. Выполнить минимизацию для случая L = 4.
3. Сравнить полученные результаты с данными табл. 6.1.
Задача 6.5.2.
1. Прочитать статью [8].
2. Объяснить, почему результат работы [8], относящийся к
«выбеливанию» и к «перекрашиванию», является справедливым. Сохранит
ли этот результат свою силу, если будут ошибки в цифровой части
системы связи?
196

Задачи к § 6.6. Краткие итоги
Задача 6.6.1. Если источник не ограничен по ширине спектра, то
будет существовать ошибка, обусловленная процессом дискретизации.
Обозначим средний квадрат ошибки дискретизации через ξδ.
Доказать, что полный средний квадрат ошибки равен сумме ξ8 и
среднего квадрата ошибки, обусловленной ошибками квантования и
решения.
Задача 6.6.2. Предположим, что сообщение имеет спектр
2k
5α(ω) = 2 , Ь2 » — οο<ω<οο.
Перед дискретизатором используется предыскажающая схема,
описываемая соотношением (5.43). Значение ω* в (5.46) согласовано с
частотой дискретизации (т. е. отсчет берется каждые π/ω* секунд).
Построим систему со следующими данными:
1. Отсчеты обрабатываются, как если бы они были статистически
независимыми (независимы ли они на самом деле?).
2. Используется квантователь, работающий с наименьшей средне-
квадратической ошибкой по таблице отображения 6.2.
3. Используется двоичная система без кодирования, описанная
в §6.3.
4. После восстановления сигнала по отсчетам используется фильтр,
корректирующий предыскажения.
Требуется:
1. Определить помехоустойчивость системы.
2. Сравнить полученные результаты с границей, установленной
исходя из функции скорости при заданном искажении (рис. 5.18 и 5.19).
Задача 6.6.3. Повторить анализ, выполненный в задаче 6.6.2,
для предыскажающего фильтра, состоящего из выбеливающего
фильтра с передаточной функцией
#1(/ω) = (/ω + £)/)/2£
и включенного последовательно с ним идеального фильтра нижних
частот с передаточной функцией
#2(/ω):
1, |ω|<ω*,
О, |ω|>ω*.
Задача 6.6.4. В результате изучения гл. 3 первого тома,
посвященной представлению случайных процессов, можно было бы считать, что
разложение Карунена—Лоэва будет полезным во всех случаях, когда
необходимо передавать сообщение, спектр которого не ограничен по
ширине. Прочитать статью [15] и рассмотреть вопросы синтеза системы
связи при использовании данной процедуры.
197

Список литературы
1. О л и в е р Б. Μ., Π и ρ с Д ж. Р., Ш е и н о н К. Э. Принципы кодово-
импульсной модуляции. Пер. с англ. А. А. Харкевича. В сб. Ш е н-
н о н К- Работы по теории информации и кибернетике, под ред.
Р. Л. Добрушина и О. Б. Лупанова. ИЛ, 1963.
2. Sanders R. N. Communication Efficiency Comparison of Several
Communication Systems. Proc. IRE, I960, v. 48, p. 575—588.
3. V i t e r b i A. J. Lower Bounds on Maximum Signal-to-Noise Ratios for
Digital Communication over the Gaussian Channel. Trans. IEEE, 1964,
v. CS-12, № 1, p. 10—18.
4. Μ a x J. Quantizing for Minimum Distortion. Trans. IRE, March I960, v.
IT-6, p. 7—12.
5. G a 1 1 a g e r R. G. Information Theory and Reliable Communication.
Wiley, New York, 1968.
6. Φ a h о Р. Передача информации. Пер. с англ., под ред. Р. Л. Добрушина.
М. «Мир», 1965.
7. X а ф φ м е н Д. А. Метод построения кодов с минимальной
избыточностью. Кибернетический сборник, вып. 3, ИЛ, 1961, стр. 79—87.
8. G о b 1 i с к Т. J., Η о 1 s i n g e r J. L. Analog Sourse Digitization: A
Comparison of Theory and Practice. Trans. IEEE, 1967, v.IT-13, p. 323—326.
9. S ρ i 1 к e r J. J., Jr. Theoretical Bounds on the Performance of Sampled
Data Communications Systems. Trans. IRE, Sept. 1960, v. CT-7, p. 335—341.
10. Η u a n g J. J. Y., S с h u 1 t h e i s s P. M. Block Quantization of
Correlated Gaussian Random Variables. Trans. IEEE, Sept., 1963, v. CS-11,
p. 289—296.
11. Goodman L. M., Drouilhet P. R., Jr. Asymptotically Optimum
Pre-emphasis and De-emphasis Networks for Sampling and Quantizing. Proc.
IEEE (letters), May. 1966, v. 54, p. 795—796.
12. В e r η s t e i η A. J., Steiglitz K·, Hopcrof t J. E. Encoding
of Analog Signals for Binary Symmetric Channels. Trans. IEEE, Oct., 1966,
v. IT-13, p. 425—430.
13. К e 1 1 о g W. С Information Rates in Sampling and Quantizing. Trans.
IEEE, July 1967, v. IT-13, т. 506—511.
14. W a t a n a b e S. The Loeve-Karhunen Expansion as a Means of Information
Compression for Classification of Continuous Signals. IBM Watson Research
Center, Yorktown Heights, N. Y., AMRL-TR-65-114.
15. W i η t ζ Ρ. Α., Κ u r t e η b а с h A. J. Waveform Error Control in PCM
Telemetry. Trans. IEEE, Sept. 1968, v. IT-14, №5, p. 650—661.
16. В e η η e t t W. R. Spectra of Quantized Signals. Bell Syst. Tech. J., 1948,
v. 27, p. 446—472.
17. R u с h к i η D. S. Optimal Reconstruction of Sampled and Quantized
Stochastic Signals. Eng. D. Thesis, Yale University, 1960.
18. S m i t h B. Instantaneous Companding of Quantized Signals. Bell Syst.
Tech. J., 1957, v. 36, p. 653—709.
19. К о с я κ и η Α. Α. Статистическая теория амплитудного квантования.
«Автоматика и телемеханика,», -1961, т. 22, стр. 722—729.
20. S ρ a n g Η. Α., III. Quantizing Noise Reduction. General Electric Research
Laboratory, Report № 62-RL-(2999E), April 1962.
21. Spang Η. Α., Ill, Schultheiss P. M. Reduction of Quantizing
Noise by Use of Feedback. Trans. IRE, Dec. 1962, v. CS-10, p. 373—380.
22. W i g g i η s M. J., В г a n h a m R. A, Reduction in Quantizing Levels
for Digital Voice Transmission. IEEE Int. Conv. Rec, Pt. 8, 1963, p. 282—288.
23. Ρ u r to η R. F. A Survey of Telephone Speech-Signal Statistics and Their
Significance in the Choice of a PCM Companding Law. Proc. IEE (London), 19(32,
v. 109B, p. 60—66.
24. Katzenelson J. A Note on Errors Introduced by Combined Sampling
and Quantization. Tech. Memorandum ESL-TM-101, Electronics Systems
Laboratory, Messachusetts Institute of Technology, March 1961.
25. В 1 u e s t e i η L. I. A Hierarchy of Quantizers. Ph. D. Thesis, Columbia
University, 1962.
. 198

26. В I u e s t e i n L. I., S с h w a r ζ R. J. Optimum Zero Memory Filters.
Trans. IRE, Oct., 1962, v. IT-8, p. 337—342.
27. Bruce J. D. Optimum Quantization. Tech. Rept. 429, Research
Laboratory of Electronics, Massachusetts Institute of Technology, 1963.
28. В и т е р б и А. Дж. Принципы когерентной связи. Пер. с англ., под ред.
Б. Р. Левина. М., «Сов. радио», 1970.
29. Возенкрафт Дж., Джекобе И. Теоретические основы техники
связи. Пер. с англ., под ред. Р. Л. Добрушина. М., «Мир», 1969.
30. Τ о t t у R. Ε., Clark G. С. Reconstruction Error in Waveform
Transmission. Trans. IEEE, April 1967, v. IT-13, p. 336—338.
31. К u r t e η b а с h A. J., W i η t ζ P. A. Quantizing for Noisy Channels.
Trans. IEEE, April 1969, v. COM-17, №2, p. 291—302.

7. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНОК.
ДРУГИЕ ПОДХОДЫ
В главе 5 первого тома были выведены интегральные уравнения,
определяющие интервальную оценку сообщения a (t) по максимуму
апостериорной вероятности. Для линейных систем (методов)
модуляции оценка по максимуму апостериорной вероятности соответствует
оценке по минимуму среднеквадратической ошибки и оптимальным
устройством обработки является линейный фильтр. Для большого
класса сообщений можно решить это интегральное уравнение, найти
оптимальную оценку и определить качество системы.
В общем нелинейном случае решить интегральное уравнение
невозможно. Однако форма уравнения указывает на то, что структура
устройства оценки должна включать обратную связь. Этот тип
устройства оценки был подробно исследован в данной книге для случая
угловой модуляции. Поскольку фильтры внутри петли являются
нереализуемыми, устройство оценки было аппроксимировано реализуемой
системой, последовательное которой включается фильтр, реализуемый
с задержкой. Если справедлива линеаризованная модель петли, то
результирующая система имеет ошибку демодуляции, достигающую
нижней границы минимальной среднеквадратической ошибки оценки
сообщения, выражение для которой было выведено в гл. 5 первого тома,
и поэтому эта система является оптимальной. Это привело нас к синтезу
фильтров петли, минимизирующих среднеквадратическую ошибку
петли: цель здесь заключалась в том, чтобы сместить порог системы к
возможно более низкому отношению сигнал/шум. Позднее мы убедились,
что помехоустойчивость всей системы довольно близка к границе
помехоустойчивости любой системы, установленной исходя из скорости
передачи при заданном искажении. Отличные результаты, полученные
этим методом, свидетельствуют о том, что указанная процедура
является адекватной (хотя и необязательно оптимальной).
Первое, что вызывает озабоченность в приведенных выше
рассуждениях—это несколько неудовлетворительным (во всяком'случае с
теоретической точки'зрения) является переход от интегрального уравнения
к системе ФАПЧ (см. гл. 2). Вторым затруднительным обстоятельством
мог бы быть вопрос о критерии качества (помехоустойчивости). Для
формулировки задачи ц вывода интегральных уравнений мы пользовались
критерием максимальной апостериорной вероятности. При
построении системы ФАПЧ (СФД) мы наложили условие минимальной
среднеквадратической ошибки на ошибку петли, чтобы гарантировать
линейность модели. Помехоустойчивость системы мы также оценивали
300

посредством среднеквадратической ошибки. При работе выше порога
вопрос о критерии не возникает, так как оценка по максимуму
апостериорной вероятности является эффективной (из чего следует, что она
является и оценкой по минимуму среднеквадратической ошибки).
Однако остается невыясненным вопрос, можно ли, сформулировав
задачу исходя из критерия минимальной среднеквадратической ошибки,
улучшить помехоустойчивость системы в области ниже ее порога или
сместить пороговую точку в сторону более низкого отношения
сигнал/шум.
В этой главе мы рассмотрим два альтернативных подхода к задаче
нелинейной оценки. В основе первого подхода лежит использование
метода, называемого методом постоянного (инвариантного) включения.
При этом подходе, по-прежнему, используется критерий максимальной
апостериорной вероятности, однако он обеспечивает более прямой путь
к реализуемому демодулятору. В основе второго подхода лежит так
называемый метод марковских процессов. При втором подходе
используется критерий минимальной среднеквадратической ошибки; этот
подход также ведет к реализуемому демодулятору. При обоих подходах
используется формулировка задачи в переменных состояния.
Следует указать, что оба упомянутых выше подхода нуждаются
в аппроксимациях для получения окончательного ответа. Эти
аппроксимации являются линеаризующими аппроксимациями (линейным
приближением), и поэтому нет ничего удивительного в том, что мы
возвращаемся к той структуре приемника, которая была получена в гл.2.
Однако это нисколько не умаляет ценности указанных
альтернативных точек зрения. В более сложных задачах (например, в задаче,
относящейся к каналу с замираниями, с которой мы встретимся в гл. 8)
различные подходы могут приводить и к различным приближенным
решениям. Кроме того, как мы убедимся, эти новые подходы позволяют
решать более широкий класс задач. Необходимо также отметить, что
в настоящее время точного решения в замкнутой форме общей задачи
нелинейной модуляции не существует. Два подхода, которые будут
описаны ниже, представляются нам наилучшими для задач
нелинейной модуляции. Различные аспекты теории нелинейных оценок
рассмотрены в работах [12—33].
7.1. Подход к оценке по максимуму апостериорной
вероятности на основе дифференциального уравнения
В этом параграфе рассмотрим задачу оптимальной нелинейной
оценки с другой точки зрения. Так как изложение этого вопроса
довольно пространно и сложно, целесообразно начать с перечисления
основных пунктов его плана.
1. Сначала опишем модель нелинейной оценки посредством
переменных состояния.
2. Определим результирующую интервальную оценку по
максимуму апостериорной вероятности посредством интегрального
уравнения, выведенного в гл. 5 первого тома.
201

3. Выведем дифференциальные уравнения и граничные условия,
которым должна удовлетворять оценка по максимуму апостериорной
вероятности. Эти уравнения эквивалентны интегральным уравнениям,
указанным в п. 2.
4. Далее выведем дифференциальные уравнения, которым должна
удовлетворять приближенная реализуемая точечная оценка по
максимуму апостериорной вероятности.
5. Синтезируем структуру приемника, к которой приводят эти
дифференциальные уравнения в рамках задачи .угловой модуляции.
Выполним теперь намеченную программу подробно. ,
7.1.1. Интервальная оценка по максимуму апостериорной вероятности
Интересующая нас модель не отличается от модели, описанной
в гл. 5 первого тома. Сообщение a (t) является выборочной функцией
нормального процесса с нулевым средним. Предположим, что его
можно генерировать путем воздействия белым гауссовым шумом с нулевым
средним на динамическую систему с конечным числом измерений.
Уравнение состояния для процесса сообщения имеет вид
x(t) = F(t)x(t) + G{t)u(t)9 t>Tt. (1)
Сообщение связано с вектором состояния линейным преобразованием
a(t) = Ca(t)x(t)9 t>Tt. (2)
Начальные условия записываются в виде
E[x(Tt)] = 0, (3)
£[х(Г|)х'(Г|)] = Кж(Г|, Γ,)ΔΡ0. (4)
Возбуждающая функция имеет ковариационную функцию
E[u(t)u(%)] = Q6(t—%). (5)
Передаваемый сигнал записывается как s (t, α (ή). С учетом (2)
передаваемый сигнал можно с одинаковым успехом записать как функцию
вектора состояния χ (t) в виде
s(t:x (0) й*(*уа (t)) = s (t9 Ca (t) χ (t)). (6)
Принимаемое колебание представляется в виде
г (0 - s (t:x (ή) + w (0, Tt < / < Tf9 (7)
где w (t) — выборочная функция белого гауссова шумового процесса
с нулевым средним и ковариационной функцией
Elw (t)w(x)] = Ν0δ (t — τ)/2. (8)
Аддитивный шум w(t) и входной процесс u(f) статистически
независимы. Матричное интегральное уравнение, которое определяет
интервальную оценку по максимуму апостериорной вероятности для данной
202

задачи, является частным случаем (I—5.160):
х(0= ί Кж(<, z)C(zyx(z))-^r[r{z)-s(z:x(z))]dz> Tt<t<Tfy (9)
где
С (ζ, x(z))4v,(/(2:xg =
3s (г
д*!
3s (г :
:х(г))
(г)
х(г))
а%(г) J
(10)"
Далее нам необходимо вывести соответствующие дифференциальные
уравнения и относящиеся к ним граничные условия2). В основе своей
процедура вывода здесь аналогична той, что используется в
приложении. Она заключается в дифференцировании интегрального уравнения
и придании результату формы, удобной для последующих
преобразований.
Чтобы уп ростить запись в процессе вывода, введем в рассмотрение
функцию
b(z9x(z))AC(ztx(z))~[r(z)-s(z:x(z))].
No
(11)
Подставив (11) в (9) и продифференцировав обе части по t, получим
;(ί) = \дК*[['г) b(z,x(z))dz.
dt
(12)
Напомним, что
М*,2) =
<i>(t,z)Kx(z, z), t>z,
(13)
1Кх(М)Фг(г, t), t<z,
где Φ (t, ζ) — переходная матрица. Она удовлетворяет уравнению
°*!LlL = F(t)*(t,z) (14)
при начальном условии
Φ(ζ, ζ) = I. (15)
*> Следует отметить сходство между С (t9 x (t)) и матрицей производных
D (t, a, (t))t которая была определена выражением (1—5.155). Поскольку мы
дифференцируем здесь по компонентам вектора состояния, то используем другой
символ.
а) Этот вывод основан на материалах [1 и 2].
203

Производная ковариационной матрицы (13) равна
dKx(t, z)
dt "
дФу,г)
dt
dKx(t,t)
Kx(z,2), t>Zf
a>T(z,t) + KAt, ЪдфТ{?:*\ t<z.
(16)
dt v ' dt
На основании выражения на стр. 614 первого тома и формулы (П. 105)
dKx(t, t)
dt
= F(f)Kx(f,f) + Kx(f, t)FT(t) + G№GT(t)> (17)
3Φτ(ζ, t) _ ΡΤΜΑΓ/, Α (18)
dt
■FT{t)^T{z,t).
Подставив (14), (17) и (18) в (16), а результат— в (12), и учитывая (9),
(11) и (13), получим
Tf
χ (0 = F (/) χ (t) + G (t) QGr (t) J фг (г, t) b (г, х (г)) dz. (19)
Введем теперь в рассмотрение новый вектор
ρ (ή Α jj фГ(г, i)b(z, χ(ζ))ώ.
(20)
Для получения дифференциального уравнения, которому
удовлетворяет ρ (/), сначала продифференцируем обе части (20):
т=-Фт a, t) ь &, χ (о) + { дфЧг' ° χ
а*
χ b (2, χ (г)) dz.
Учитывая (18) в (21), а затем в (20), получаем
р(0=—b(i, x(i))_Fr(0p(0.
(21)
(22)
Нетрудно найти теперь требуемое граничное условие в точке Tf. Из
(20)
р(7» = 0. (23)
Далее покажем, что
Р0р(Гг) = х(Тг).
204
(24)

Согласно (9) имеем
Tf , ,
x (7-,) = J KATt, z)b(z, χ(ζ))</ζ =
'τι
Tf
= J Кх(Гг,Гг)Фг(г, Т,)Ъ(г, x(z))dz =
'τι
Tf
= P0 \ ΦΤ (ζ, Τ,) b (ζ, χ (ζ)) άζ = Ρ0 ρ (Γ,). (25)
Γ;
Для получения последовательного ряда выражений (25) были
использованы выражения (13), (4) и (20).
Резюмируем теперь полученные результаты. Интервальная оценка
по максимуму апостериорной вероятности является решением
дифференциальных уравнений
χ (t) = F (t) i (t) + G (t) QGT (t) ρ (t), (26)
ρ(0 = -FT(t)ρ(0-C(t, x(0)-£-\r(t)-s(t:i(0)1, (27)
при граничных условиях
Ρ (7,) = 0, (28)
ί(Γ<) = Ρ0ρ(Γ<). (29)
Заметим, что эти уравнения эквивалентны исходному интегральному
уравнению (так как в процессе нашего вывода не делалось никаких
приближений). Следовательно, если можно получить решение
дифференциального уравнения, то оно будет также и решением исходного
интегрального уравнения.
В случае линейной модуляции
s (г:х (г)) - С (г)х (г) (30)
и
С (ζ, χ (г)) = σ (г). (31)
С учетом (31) из (27) получим
ρ (t) = -FT(t) p (t) - CT(t) -L· [r (0- С (t) χ (*)] · (32)
Уравнения (26), (28), (29) и (32) тождественны линейным
уравнениям, определяющим нереализуемый фильтр, которые были выведены
в задаче 6.6.4 первого тома. Методы решения этой системы уравнений
рассмотрены в [2].
В нелинейном случае необходимо решать нелинейную задачу с
граничными значениями в двух точках, которая определяется
уравнениями (26) — (29). Возможные методы решения кратко рассмотрены в [3].
205

Важно отметить, что эти уравнения соответствуют необходимому
условию, поэтому результатом может быть только локальный максимум.
Хотя интегральная оценка по максимуму апостериорной
вероятности имеет важное значение во многих приложениях, для нас она
представляет интерес в основном как промежуточный этап на пути
к построению реализуемого устройства оценки по максимуму
апостериорной вероятности. Рассмотрим теперь именно эту задачу.
7,1.2. Реализуемая точечная оценка по максимуму апостериорной
вероятности и метод постоянного включения
Рассмотрим частный случай задачи оценки по максимуму
апостериорной вероятности, когда момент времени t, в который желательно
получить оценку, соответствует концевой точке Tf интервала
наблюдения и Tf увеличивается (т. е. объем получаемой информации возрастает).
Необходимо найти χ (Tf) как функцию Tf. Это не что иное, как задача
реализуемой нелинейной оценки. Первый шаг на пути ее решения —
это модификация (26)—(29) с учетом того, что концевая точка интервала
наблюдения перемещается. Выполним эти преобразования методом так
называемого «инвариантного включения». Он разработан Белманом
(см., например, [4] или [5]) и впервые применен к решению этой задачи
Дечменди и Сридхаром в [6Р.
Запишем сначала задачу с граничными значениями в двух точках,
задаваемую системой (26)—(29), в более компактной форме:
ί (ί) = hx (£(<), Ρ (0. t), (33)
p(0-h2(x(0,p(0, Ο,1 (34)
где
Μ£(ί),Ρ(0. t)AF(t)x(t) + G(t)QGT(t)p(tyf (35)
b,(x(<).P(0. t)A-FT(t)p(t)-C(t, i(t))JL[r(t)-s(t:i(t))}. (36)
TVo
Граничные условия остаются без изменения:
Р(7» = 0, (37)
ί(Τι) = ΡοΡ(Γ,). (38)
Одна из процедур, которую можно использовать для того, чтобы
учесть перемещение концевой точки, иллюстрируется рис. 7.1. (Здесь
ради простоты р(0 и x(t) обозначены как скаляры.) Предположим, что
решения для χ (Tf) и p(Tf) найдены (рис. 7.1, а). Теперь будем
наблюдать колебание г (ή ш интервале приращения (Г/, Tf -|- АТ)2с тем,
чтобы определить χ (Tf + AT) и ρ (Tf + ΔΓ), как показано на
*·> Последующее изложение основано на материалах работ 11, 6].
206

рис. 7.1, б. На основании (33) и (34) можно определить, каким образом
траектории рие. 7.1, α продолжаются на интервале приращения AT.
Таким образом,
ρ(Τ, + ΔΓ) = (^|ί=7>) ΔΤ = h2(x(7»), 0, Τή AT, (39)
icr,+A^-(-4s
= h1(i(T/), 0, Γ^ΔΓ + χ^,). (40)
Эти два значения иллюстрируются рис. 7.1, б. Достаточно
взглянуть на значение ρ (Tf + AT), чтобы сразу усмотреть всю трудность
этого подхода. Помимо удовлетворения дифференциальным
уравнениям (33) и (34) оно должно
kPft)
t^)AT+i(T}):
удовлетворять
условию
Ρ (Tf + AT)
граничному
kp(t)
Ό Τι
kxft)
r* t
k*it)
ο η
Tf t a
Ъ
Tf+AT t
0. (41)
Поскольку правая сторона
(39) почти всегда отлична от
нуля, ясно, что условия (37)
и (41) не могут
удовлетворяться одновременно. Именно
граничное условие (41) для ρ (t)
на конце интервала
наблюдения вынуждает прибегнуть к
более сложной процедуре.
Поэтому, чтобы
использовать данный метод,
необходимо вернуться к Tf и
наложить ненулевое граничное условие на ρ (ή. Но коль скоро вступает
в силу ненулевое граничное условие, решения в момент времени T.f
уже не являются ρ (Tf) и χ (Tf). Ввиду этого необходимо ввести
в рассмотрение две новые функции: χ (t: Ть η) и ρ \t\Th η), которые
удовлетворяют уравнениям (33) и (34). Эти уравнения теперь
принимают вид
(42)
(43)
Рис. 7.1. Траектории x(t) и p(t):
> траектории, заканчивающиеся в момент
времени Tf, б--предложенные траектории.
χ (t: Tf, η) = h, (χ (t: Tf, η), ρ (t: T„ η), t),
ρ (t: Tf, η) = h2 (χ (t : Tf, η), ρ (t: Tf, η), t)
при граничных условиях
p(Tf-.Tf, η) = η, (44)
χ(Γί:Τ/,η) = Ρ0ρ(Τί:Γ/, η). (45)
Такая система записи используется здесь для того, чтобы
подчеркнуть зависимость решения как от Tfy так и от нового граничного
условия η. Заметим, что эти уравнения сводятся к (33) и (34) в частном
случае η = 0. Таким образом, мы включили нашу исходную задачу в
более общую задачу. В конечном итоге мы будем интересоваться только
207

случаем, когда η = 0, однако метод включения обеспечивает нам
возможность получения требуемого результата. Заметим, что
x(t:Tf,0) = x(t), Ti<t<Tf
p(t:Tf, 0) = p(0, Ti<Ct<Tf.
(46)
(47)
=pfrf+AT,Tf+AT,Z+AiZ)
Удобно также ввести в рассмотрение функцию Г (Tf, η), определяемую
соотношением
Г(7>п)Дх(7у:7„1|). (48)
Полезно также заметить, что
T(Tf,0) = i(Tf). (49)
Предположим, что интересующие нас траектории имеют вид,
показанный на рис. 7.2. Траектории для двух рассматриваемых моментов
времени связаны между собой
уравнениями (42) и (43), из
которых можно получить
следующее соотношение для первой
траектории (рис. 7.2, а):
р(Т; + ЛТ:Трц) =
\ at V=Tf)
= η + Μχ(Τ/:Γ/,η), η, Tf]x
хАТ = ц + Ъ2[Т(Тр η),
η, Tf] AT. (50)
Если обозначить
АЧДЬ2[Г(Г„т|),Ч, Tf]AT,
(51)
то (50) сведется к
p(Tf + AT:Tf9 η)-η + Δη. (52)
Аналогичное соотношение для второй траектории можно записать
двумя разными способами. По исходному определению
χ (Tf + AT : Tf9 η) = χ (Tf + AT:Tf + Δ7\ η + Δη) =
= Γ(7/ + ΔΓ, η + Δη), (53)
'dxjf.Tf, η)|
£ 7/W
α:
r{Tf,z)*xfTf:Tf,i)
Г(Тг+ДТ,т1+Д71)*
Tf Tf+ΔΤ t
Рис. 7.2. Траектории для обобщенной
задачи
x(Tf + bT:Tt, η) = χ(Γ/:Τ/, η) +
d<
/ = 7-,
ΔΓ = Γ(Τ,,η) +
(54)
+ Ь1[Г(Т/, η), η, Γ,]ΔΓ.
Объединив (53) и (54), получим уравнение
Г (Г, + ΔΓ, η + Δη) = Г (Т„ η) + К (Г (Τ,, η), η, Tf) AT, (55)
208

которое связывает Г (Tf + Δ7\ η +[Δη) с Γ (Tf, η). Заметим, что мы
получили его путем исследования поведения приращений траекторий.
Теперь Г (Tff η) является функцией двух переменных (одна из
переменных— векторная величина). Следовательно, можно также
представить Г (Tf + ΔΓ, η + Δη) в виде степенного ряда в окрестностях точек
Г, и η:
Γ(Τ/ + ΔΤ,η + Δη) = Γ(τ„ η)+ΟΓ(^' "} ΔΓ +
+ V ЗГ(ГЛЧ) Δη< + 0[|Αη|«], (56)
Т(Т, + АТ, η + Δη) = Γ(7/( η)+ дГ^ ч) дг +
или, в эквивалентной форме,
\Г, η + Δη):
+ [V^(TT(Tf, η))]ΓΔη + 0[|Δη|2], (57)
Из (50)
Δη = ΜΓ(7νη), η, Tf) AT. (58)
Если подставить (58) в (57), приравнять (55) и (57) и пренебречь
членами второго и более высокого порядка, то получим
-аГ(;£'Ч) =ΜΓ(Γ;,η),η,Γ/)-
- [V4 (ГГ (Гу, η))]г h2 (Г (7>, η), η, Τ,). (59)
Это и есть требуемый результат — уравнение в частных производных,
решение которого, вычисленное при η = 0, является реализуемой
оценкой χ (Tf). Оно называется уравнением инвариантного включения, так
как мы берем нашу исходную задачу (η = 0) и включаем ее в более
общую задачу (произвольное η).
Единственное затруднение заключается в том, что, как правило,
уравнение в частных производных (59) решить невозможно. Однако,
поскольку нас интересует только решение для η = 0, попробуем
искать решение в форме разложения в ряд по степеням η. Коэффициент
каждого члена степенного ряда будет соответствовать обыкновенному
дифференциальному уравнению. Таким образом, если бы мы удержали
все члены ряда, то имели бы бесконечную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений. Так как исходная задача соответствовала
случаю η = 0, рассмотрим решение, которое получается, если
пренебречь уравнениями, соответствующими степенями |η| от второй и
выше.
Выполним теперь намеченную процедуру. Пусть
Г (Т^ η) = Г (7>, 0) + {[V4 (ГГ (Тр f|))]V0} Ч + 0 [ | η |2]. (60)
209

Замечая, что
Г(Г„ 0) = i(7V), (61)
и обозначая слагаемое, заключенное в фигурные скобки, через Ρ (Tf)f
имеем
Г(Г„ η) = ί(Τ/) + Ρ(Γ/)η + 0[|η|ί]. (62)
Далее необходимо разложить в ряд функции, входящие в (59), в
окрестности χ (Tf) [эти функции были определены формулами (36) и (35)]:
\ (Г, η, Tf) = F (Τ,) Γ (Τ„ η) + G (Tf) QGr (Tf) η =
= F (Tf) x (Tf) + F (Tf) Ρ (Tf) i\ + G(T,) QGr (Ty) η + 0 (| η |«) (63)
отметим, что мы сократили форму записи аргументов h^.,.,.)]
Ь2(Г, η, Ту) =-Fr (Ту) η-C(Ту, T)(2IN0)[r(Tf)-s(Tf :Г)\. (64)
Учитывая (11) и разлагая ее в ряд в окрестности χ (Τ}), получаем
ΜΓ,η, r,)=-Fr(r,)4-b(T„ ;<Г,))-
Гг=хг(Гу)
+ 0[NiJ = -F7'(7»4-b(r/, хВД-
-([Vr(br(^. Г))]Г|Г =~(7>)) Ρ (Ту) η+0[| η |2]. (65)
Подставляя (62), (63) и (64) в (59), имеем
AWL + J^fjLri= ¥(Tf)x(Tf) + F(Tf)P(Tt)ii+
+ G(Tf) QGr (Tf) η-ΡΓ (Tf) [-Fr (Ту) η-b (Tx, χ (Tf))-
-(Vj (Cr (Гу, χ (Ту))) (2/tf „) (r (7V)-s (Г,: χ (Tf)))-
-V"x(s(Tfrx(Tf)))(2/Nu)CT(Tf, χ (7»)} Ρ (Tf) η] + 0 [| η |·]." (66)
Собрав члены порядков | η |° и | η Ι1, получим
£$&- = F(Τ,) χ(Tf) + ΡΓ(Tf) С (Ту, χ(Tf)) χ
X(2/tf0)[r(Ty)-s(Ty:x(Ty))], (67)
άΡάζ,] = Ft(Ty) Ρ (Ту) + Pr (Ту) Fr (Tf) +
+ PT(^){[V,(br(Ty,x(Ty)))]r|x=5(r/)}P(Ty) +
+ G(Ty)QGr(Ty). (68)
210

Начальные условия найдем, положив в (45) и (62) Tf = Tt:
£(Γ|) = 0, (69)
P(Tf) = P0. (70)
Эти четыре уравнения определяют приближенное решение задачи
реализуемой оценки по максимуму апостериорной вероятности.
(Отметим, что это приближенное решение получилось в результате того, что
мы использовали разложение в степенной ряд по η. Другие процедуры
решения могут привести к иным приближенным решениям.) Заметим
также, что Ρ (Tf) в форме (68) сходна с выражениями для среднеквадра-
тических ошибок, с которыми мы встречались при рассмотрении
линейной задачи. Позднее мы покажем, что Ρ (Tf) является
приближенной условной наименьшей среднеквадратической ошибкой [условие
налагается на г (ή, так как г (ή содержится в члене, находящемся
в фигурных скобках в уравнении (68)].
Сделаем теперь краткие замечания по простому случаю, когда
модуляция является линейной. При линейной модуляции важное значение
имеют следующие два замечания. Во-первых, нетрудно заметить, что
так как
С(Тр χ (Tf)) -СГ(ГУ), (71)
член, стоящий в фигурных скобках в уравнении (68), сводится к
-CT(Tf)(2/N0)C(Tf). (72)
Используя (71) и (72) в (67) и (68), получаем
-£i£L = F (Tf) χ (Tf) + Рт (Tf) CT (Tf) (21 Ν,) χ
X[r(Tf)-C(Tf)x(Tf)], (73)
J^JL e F (Tf) Ρ (Tf) + PT (Tf) Fr (Tf)-
-Pr (Tf) Cr (Tf) {21N,) С (Tf) Ρ (Tf) +G (Tf)QOT (Tf). (74)
Видим, что эти уравнения есть ни что иное, как уравнения Кальмана—
Бьюси, выведенные в гл. 6 первого тома. Заметим, что в линейном
случае Ρ (Tf) есть среднеквадратическая ошибка, а (74) не связано с (73).
Во-вторых, можно заметить, что в случае линейной модуляции в (66)
отсутствуют члены порядка | η |2. Поэтому наше решение уравнения
инвариантного включения является точным.
Для нас наибольший интерес представляет случай нелинейной'моду-
ляции, поэтому мы хотим исследовать поведение (67)—(70)
применительно к этой задаче. Однако прежде мы исследуем другой подход
к этой задаче и покажем, что он также приводит к выражениям (67)—
(70).
211

7.2. Метод марковских процессов
В этом параграфе мы используем метод марковских процессов для
отыскания оптимального демодулятора. Наше изложение носит
поверхностный характер, поэтому для более подробного рассмотрения
интересующимся читателям следует обратиться к дополнительным
источникам (в частности, [7—9]). И на этот раз будем предполагать, что
сообщение является гауссовым случайным процессом с конечным
представлением в переменных состояния, т. е.
k(t) = F(t)x(t) + G(t)u(t), (75)
a(t) -С(t)x (t)9 (76)
где и (ή — белый гауссов случайный процесс с ковариационной
функцией
Ε [ιι(ήιι (%)] = Q6 (t—τ). (77)
Хотя мы и не используем этот факт по ходу изложения, следует
указать, что изложенную в данном параграфе процедуру можно также
выполнить, когда уравнение состояния и уравнение наблюдения
нелинейны и имеют форму
к (t) = F (t, x (t)) + G (ί, χ (ή) и (t), (78)
a(f) = C(f, x(0). (79)
Отметим, что при некоторых ограничениях, налагаемых на F (.,.)
и G(.,.), χ (ή является векторным марковским процессом, который
необязательно является гауссовым. Ни один из ранее рассмотренных
методов не позволяет решать задачи с сообщениями этого класса.
Большинство результатов, которые будут получены в этом параграфе,
можно также получить и для более общего процесса, описываемого
уравнениями (78) и (79).
Вернемся теперь к модели в виде случайного процесса,
описываемого соотношениями (75)—(77). Ради простоты записи будем
рассматривать сообщение, которое является скалярным гауссовым марковским
процессом и которым передаваемое колебание модулировано каким-
либо безынерционным видом модуляции. Принятое колебание
записывается в виде
г (и) = s (и, а (и)) + w (и), О ^ и ^ t. (80)
Процесс сообщения удовлетворяет дифференциальному уравнению
первого порядка
a(t) = Fa(t)+Gu(t), — оо<ы<^, (81)
где F = —k, (82)
G= l, (83)
Q - 2ko%. (84)
212

Таким образом, при любых конечных t сообщение является
стационарным процессом и имеет спектр Баттерворта первого порядка. Далее,
ввиду того, что a (f) — марковский процесс первого порядка, его
плотность вероятности при отсутствии всяких наблюдений удовлетворяет
уравнению Фоккера—Планка [см. (3.79)]
ML·* = J- [kАр(A,m + kol( *'%'*> ) · (85)
Однако, поскольку г (ή наблюдалось в течение интервала времени
(О, ή у интересующая нас плотность вероятности является не
безусловной плотностью, а плотностью, обусловленной наблюдаемым
колебанием г (и), О ^ и ^Ί. Обозначим эту плотность через
Paf | г (и) : 0 < и < t (Л, t)Ap0(A,t). (86)
Заметим, что (86) есть плотность вероятности одной случайной
величины at (величины, обозначающей значение α (ή в момент времени ή,
обусловленной наблюдаемым колебанием, и представляет собой четко
определенную характеристику. Можно показать [9], что эта плотность
вероятности удовлетворяет уравнению
p0(A,t+dt)—p0(A, t) = k(d(APo(AJ t))/dA)dt +
+ kol (д2 р0 (Л, t)/dA*) dt + (2/Ag p0 (Л, f) X
X [dy—E(s(U a(t)))dt\\s(U a(t))-E(s(t,a(t)))\, (87)
где математические ожидания берутся по плотности ρ0 (Α, ή. Если
формально ввести производную
dy(t)/dt ±_r(t), (88)
то (87) можно формально записать в виде дифференциального
уравнения
дРо(А, t)/dt = k(d(Ap0(AJt))/dA) + kG2a(d2p0(AJ t)/dA*) +
+ (21N0) р0 (Л, t) {г (ή-Ε [s(U a(t))]} {s(t, a(t))-E [s{U a (*))]}. (89)
Соотношение между апостериорной плотностью и оценкой по
минимуму среднеквадратической ошибки хорошо известно. Оценка по
минимуму среднеквадратической ошибки есть условное среднее
апостериорной плотности (см. стр. 73 первого тома), т. е.
оо
ams(t)= \Ap0(A,t)dA. (90)
— оо
Умножая обе части (89) на Л, интегрируя по Л и учитывая
соответствующие условия на концах интервала, получаем (см. задачу 7.2.2)
dams(t)ldt = -kams(t)+(2IN0) [r(t)-Els(t, a(t))]} Χ
x[£[(a(/)-ams(0)s(f,a, (ί))]] . . (91)
213

Заметим, что (91) все еще содержит математическое ожидание по
р0 (Л, t). Как и следовало ожидать, это уравнение не решается для
общего случая модуляции. В случае линейных методов модуляции легко
показать (например, [8] или задача 7.2.1), что оно сводится к (I—6.399).
Для многих задач нелинейной модуляции добиться успеха можно путем
разложения в ряд различных членов уравнения (91). Тогда, если
предположить, что ошибка оценивания мала и наложить некоторые
условия на моменты высших порядков, можно пренебречь членами второго
и более высоких порядков и получить следующее приближенное
уравнение (подробный вывод дан в гл. 4 книги [83):
-i&iiL + ^W-А.Ь(/) [r(t)-s(t, а^Ш^ЛМ, (92)
где через а# (/) обозначена приближенная оценка по минимуму средне-
квадратической ошибки. Функция ξ* (t) есть приближенный условный
[по г (ή] средний квадрат ошибки, который удовлетворяет
дифференциальному уравнению
dU{t) _ <уи, (А | g2Mf/ д Г 2 d8(t,a(t))
x[r(t)-s{t,a(t))\\\ . )+2kal (93)
\>a(t) = a(t) )
с граничным условием
UPt) = ol. (94)
Заметим, что уравнение оценки (92) и дисперсионное уравнение (93)
являются связанными. Заметим далее, что ξ# (ή — условная средне-
квадратическая ошибка [т. е. ошибка при условии, что принято г (ή].
Приближения, которые необходимо допустить, чтобы получить (92)—
(94), справедливы, когда ошибка мала.
Мы видим, что уравнение (92) можно реализовать в виде
структурной схемы, показанной на рис. 7.3. Эта реализация очень сходна со
структурой устройства оценки по максимуму апостериорной
вероятности, синтезированного в гл. 2, с той лишь разницей, что теперь
фильтр в петле является автоматически реализуемым/ Недостаток
этой реализации — наличие связи между петлями.
В случае угловой модуляции можно показать, что этой связью
обычно можно пренебречь. Например, при фазовой модуляции
S(f, a(i)) = V"2Psin(0ci + Pfl(/)). (95)
Предполагается, что сос много больше наивысшей частоты в спектре
сообщения a (t) и что система находится в статистически стационарном
состоянии. В этом случае показано [8], что
1*(°°)&1Роо (96)
удовлетворяет дисперсионному уравнению (I—6.346) при подстановке
N0/2->N0/(2pP). (97)
214

Дли марковского процесса первого порядка это уравнение имеет вид
0= _2£|Ροο-ξ^ (2pP/N0) + 2kol
(98)
Структурная схема приемника показана на рис. 7.4. Эта структура
точно совпадает с реализуемой частью приближенного приемника по
максимуму апостериорной вероятности, который был синтезирован
ранее (см. задачу 7,4.1).
7\ ,
С-
V
ι,,, ташй>
>о
1
1 ^
7V»-*yvV-u 2//Vn L^/juVJ i/c .
1 Τ ι
ds(t,a»(t))
daJt)\
—<1—'
"*""" " \Генератор φι/нкций \^ 3—7
s(t,a»(tj) ™~"~Г ™~
устроиство\ \г
_ гЛ ^ I о /л/ 1 ~^Г
+^
rj ,.„-,_ ^/"^ -*-l
1 a#(v/
a«(t)
\2**i
VI \ \ 0 ts Y^
1 \квадратичное
\устройство
к»Ш
S#' '
Рис. 7.3. Структурная схема устройства приближенной реализуемой оценки по
минимуму среднеквадратической ошибки; сообщение со спектром Баттерворта
первого порядка.
Аналогичные результаты можно получить для общей задачи
угловой модуляции и для марковских процессов более высокого порядка.
Получающиеся в итоге уравнения имеют вид
dim (t)/dt = F (ή £* (/) + fm (ί) С (f, xf (ή) {21 Ν,) χ
(99)
X[r(t)-s{t':xAt)%
db(t)ldt = ¥(t)b(t)
+ fAt){[vAbT(t, x(t)))]Tx{t)^{t)}lAt) + G(t)QGT(t)9 (100)
f.(t)Fr(t) +
где
b(i, *(t))AC(t, x(t))(2/N0)lr(t)-s(t:x(t))h (Ю1)
[cm. (10) и (11)1. Граничные условия в этом случае записываются в виде
£·(Γ,) = 0, (102)
215

так как предполагалось, что χ (ί) — процессе нулевым средним, и
ε.(τ,ί)=Ρο·
(103)
Видим, что (99)—(103) тождественны (67) — (70), которые были
получены методом^инвариантного включения. Заметим, что Ρ (Tf) в (68)
можно теперь интерпретировать
rft)
^<5Н
s+k
Jlficosfact+fia^W
УГ
**(*)
Рис. 7.4. Оптимальный приемник:
фазовая модуляция, сообщение со
спектром Баттерворта первого
порядка.
β*Μ как приближенную условную сред-
^ неквадратическую ошибку.
Ввиду того, что большая часть
подробностей вывода была опущена,
важно обратить внимание на
ограничения полученного результата.
Дифференциальное уравнение (91),
определяющее условное среднее,
является точным. Однако
приближения, связанные с получением
(92)—(93), соответствуют
линеаризирующему допущению. Поэтому наш результат является
приближенной оценкой по минимуму среднеквадратической ошибки,
соответствующей первому члену разложения в ряд точной оценки. Чтобы
получить лучшее приближение, можно удержать большее число
членов разложения (см., например, [10]). Трудность, связанная с этой
процедурой, заключается в том, что двучленное приближение является
уже столь сложным, что, вероятно, не представляет практического
интереса.
7,3, Краткие итоги
В этой главе были рассмотрены два новых подхода к проблеме
оценки выборочной функции случайного процесса. При обоих подходах
сообщение характеризуется посредством переменных состояния. При
первом подходе используется критерий максимальной апостериорной
вероятности. Исходя из интегральных уравнений, выведенных в гл. 5
первого тома, мы получили систему дифференциальных уравнений
и граничных условий, которые определяют структуру устройства
интервальной оценки по максимуму апостериорной вероятности. Затем,
используя метод, именуемый инвариантным включением, мы вывели
систему дифференциальных уравнений, которые определяют
приближенную реализуемую оценку по максимуму апостериорной
вероятности. При втором подходе используется критерий минимальной
среднеквадратической ошибки и марковский характер
модулированного сигнала и принимаемого колебания. Начав с дифференциального
уравнения для апостериорной плотности вероятности сообщения в
данный момент времени, которое было выведено в [9], мы затем
получили дифференциальное уравнение для условного среднего.
Окончательным этапом процедуры был вывод системы уравнений,
характеризующей приближенную оценку по минимуму среднеквадратической
ошибки, на основе предположения о том, что ошибка в устройстве оценки
216

Модулятор
s(t:xM(t»
\b(t)
мала. После того, как были сделаны различные приближения, оба
подхода привели нас к одной и той же системе уравнений (99) — (103).
Первый из рассмотренных подходов явился логическим развитием
материала, изложенного в гл. 5 и 6. Одно из преимуществ такого
подхода состоит в том, что уравнения, определяющие интервальную
оценку по максимуму апостериорной вероятности, получаются в качестве
промежуточного результата. Второе преимущество этого подхода
заключается в том, что он непосредственно приводит к реализуемому
демодулятору. Получающийся в конечном итоге демодулятор тождествен
с демодуляторами, синтезированными ранее.
I Второй подход обладает рядом преимуществ.
f 1. Используется критерий минимальной! среднеквадратической
ошибки. Выбор^надлежащего критерия'зависит^от конкретной
ситуации. Было показано, что во
многих случаях широкий класс
критериев приводит к одинаковой
структуре приемника. Распола- *мШ
гая методом, основанным на т
критерии минимальной
среднеквадратической ошибки, мы до- Λ _ - ΛΛ
r g, » j Рис. 7.5. Мультипликативный канал
стигаем большей гибкости в J
проведении анализа.
2. Если анализ выполняется подробно, то влияние членов, прене-
брегаемых при получении приближения, легче прослеживается при
использовании второго подхода, чем первого.
3. Как указывалось ранее, вторая процедура допускает обобщение
на случай негауссовых, но марковских сообщений.
4. Все наши рассуждения в гл. 5 и 6 первого тома и в гл. 2
настоящего тома относились только к каналам с аддитивным шумом. Таким
образом, предполагалось, что
r(t) = s(t:xM(t)) + w(t), (104)
где Хм (ή — вектор состояния сообщения. На рис. 7.5 показана
простая модель мультипликативного канала. В гл. 8 и в томе III модели
каналов рассматриваются более подробно. Там будет выяснено, что для
описания реального полосового канала необходимо в модели
предусмотреть два перемножителя; тем не менее модель канала,
представленная на рис. 7.5, пока вполне адекватна для пояснения существа дела.
Канальный перемножитель имеет следующее представление в
переменных состояния
b(0 = Cch(f)Xch(0. (105)
xCh (t) = Fch (/) xCh (0 + Gch (t) и (t). (106)
Если ввести в рассмотрение преобразованный вектор состояния
ϊχΜ(ί)] (107)
UchiOJ
217

то этот канал будет соответствовать модели, описанной в § 7.2.
Результаты (99)—(103) к этому преобразованному вектору можно применить
непосредственно. Эти задачи гораздо более подробно будут рассмотрены
в гл. 8.
5. Второй подход легко распространяется на случаи векторных
каналов и каналов с небелым шумом.
Недостатком обоих подходов является то, что с их помощью
затруднительно исследовать задачу с нереализуемым устройством обработки
при бесконечном времени наблюдения. Правда, можно было бы
возразить, что этот случай никогда не встречается на практике. Это
возражение справедливо, но, как мы часто убеждались ранее, эта ситуация
представляет собой предельный случай, оценка помехоустойчивости для
которого обычно позволяет судить о том, насколько хорошо могут
работать реальные системы. Второй проблемой, изучение которой
затруднительно при использовании метода переменных состояния, является
случай сообщения с ограниченным по ширине спектром. Этот случай,
как и предыдущий, является важным предельным случаем.
То, что все три метода имеют преимущества и недостатки, еще раз
иллюстрирует один вопрос, с которым мы впервые столкнулись в гл. 6
первого тома. Для анализа задач и синтеза систем в тех областях
применения, которые рассматриваются в данной монографии,
необходимо овладеть как методом импульсной переходной функции —
ковариационной функции, так и методом переменных состояния, т. е.
знать и уметь пользоваться любым из них при решении
соответствующей задачи. С этим вопросом мы вновь встретимся в третьем томе
монографии.
Подводя общий итог, можно сказать, что результаты этой главы
служат двум целям: во-первых, они позволяют нам подойти к задаче
синтеза демодуляторов, которую мы подробно изучали в гл. 2—5, на
основе другой процедуры; во-вторых, они дают нам возможность
решать более широкий класс задач. В следующей главе эти результаты
будут использованы для исследования проблем передачи аналоговых
сообщений по каналам с замираниями.
7.4. Задачи
Задачи к § 7.2. Метод марковских процессов
Задача 7.2.1. Рассмотрим (91) и (93). Убедиться, что они сводятся
к (I—6.339) и (I—6.341), когда модуляция является линейной.
Задача 7.2.2. Вывести уравнения (91)—(93).
Задача 7.2.3. Рассмотрим систему фазовой модуляции, в которой
принимаемое колебание имеет вид
г (t) = Ϋ2Ρ sin (coc t + $a(t)) + w (f).
238

Сообщение имеет конечное представление в переменных состояния:
i(f) = Fx(0-fGu(f),
a (t) = Сх (О
и
E[u(t)uT (x)] = Q8(t-T).
Матрицы F, G, С и Q считаются известными.
1. Написать уравнения, соответствующие (99) и (100), для данного
случая.
2. Доказать, что уравнения оценки и дисперсионные уравнения
являются несвязанными, когда отношение сигнал/шум велико.
(Внимательно отнестись к определению отношения сигнал/шум.)
3. Убедиться, что приемник, полученный в результате
использования этой процедуры, тождествен реализуемой части приемника,
представленного на рис. 2.20.
Задача 7.2.4. Повторить задачу 7.2.3 для системы частотной
модуляции, в которой
г (t) — У~2Р sin! coct + df ί a(u)du)+w (/).
Задача 7.2.5 [11]. Рассмотрим проблему отслеживания фазы ам-
плитудно-модулированного синусоидального колебания. Принимаемое
колебание имеет вид
r(t) = Y'2P[l+ni(t)]sm((uct + e(t)) + w(t)9 0<t. (1*)
Сигнал т (i) является выборочной функцией гауссова случайного
процесса с нулевым средним и со спектром
SmH = 2ma^/((o4m2). (2*)
Фаза θ (ή — выборочная функция винеровского процесса,
описываемого соотношениями (3.2)—(3.4) и (3.16). Аддитивный шум w (t) —
выборочная функция белого гауссова случайного процесса со
спектральной плотностью NJ2. Все указанные случайные процессы
статистически независимы. Предположим, что используется система,
построенная в § 3.1 (см. рис. 3.1) для оценки фазы θ (t).
1. Построить структурную схему линеаризованной модели данной
системы.
2. Предположим, что т гораздо больше, чем другие частоты в
рассматриваемой системе, так что можно использовать приближение
Sm(<*) = <*m-
Написать выражение для среднеквадратической ошибки как функции
времени.
3. Система, указанная в п. 1, является линейной системой со
случайно изменяющимися во времени параметрами. Сформулировать
подходящее определение понятия стабильности для этой системы.
219

4. Каково необходимое условие, налагаемое на параметры От,
τά, Ν0π Ρ для того, чтобы линеаризованная модель п. 1 была
стабильной?
3. Рассмотрим случай, когда т много меньше, чем другие частоты
в рассматриваемой системе. Произвести приближенный анализ системы
п. 1 при этих условиях.
Задача 7.2.6. Рассмотрим систему, изложенную в задаче 7.2.5.
1. Написать уравнения, определяющие приближенную оценку по
минимуму среднеквадратической ошибки.
2. Рассмотрим случай, описанный в п. 5 задачи 7.2.5. Выполнить
приближенный анализ оптимального приемника для этого случая-
и сравнить его результаты с результатами по п. 5 задачи 7.2.5.
Задача 7.2.7. В этой задаче мы обобщим результаты, полученные
в основном тексте книги, на случай векторного принимаемого сигнала.
(Здесь может быть полезным обзор, приведенный в § 5.4 первого
тома.) Модель сообщения, описываемая (1)—(5), остается в силе.
Передаваемый сигнал можно представить как Λί-мерную матрицу
s (t : х(/)). Принимаемый сигнал имеет вид
r(/) = s(f:x(f)) + w(f), Tt^t<TfJ
где w (t) — выборочная функция статистически независимого
векторного белого гауссова шумового процесса с нулевым средним и
ковариационной функцией
E[w(t)wT(T)] = R6(t—T).
Матрица производных (матрица-производная) равна
С (f, x(t))A4*{sT(t:x(t))}.
1. Показать, что приближенное уравнение оценки по минимуму
среднеквадратической ошибки и приближенное условное
дисперсионное уравнение имеют вид
M = F(f)i(0 + K(0C(f, i(t))R-i[r(t)-s(t:x(t))], (1*)
^ = F(0U0 + K(0F'(0 + ^^
+ G(0QG*-(0, (2*)
где
b(i, х(/))ДС(/, x(f))R-4r(f)-s(f:x(0)]. (3*)
Начальные условия определяются формулами (102) и (103).
2. Убедиться, что в случае линейной модуляции полученные
результаты сводятся к (I—6.339)—(1.341).
Задача 7.2.8. Принимаемое колебание имеет вид
r(t)=s(t:x(t))+nc(t) + w(t)9 0<ί.
220

Основная модель для этой задачи описывается соотношениями (1)—
(10). Колебание пс (t) является выборочной функцией статистически
независимого гауссова случайного процесса с нулевым средним,
имеющего конечное представление в переменных состояния.
1. Вывести уравнение оценки и дисперсионное уравнение для этой
задачи (использовать преобразованный вектор состояния).
2. Построить структурную схему оптимального приемника (в
предположении статистически стационарного состояния).
Задача 7.2.9. Принимаемое колебание записывается в виде
r(0 = s(/, a(t)) + nc(t)+w(t)y 0<t,
где
s (t, α (ή) = Y2Psin \(nct-\-df\a (u) du
Соответствующие спектры имеют вид
Sa(co) = 2fe/(co2 + &2),
5„(ω) = #0/2,
Sn (ω) =
2α/ω
(/ω)2 + 2α/ω+ω*
Все указанные процессы — статистически независимые гауссовы
процессы с нулевыми средними.
1. Использовать результаты задачи 7.2.8 для отыскания уравнений
оптимального приемника.
2. Построить структурную схему оптимального приемника.
Задача 7.2.10. Рассмотрим модель системы, описываемую
формулами (1)—(8). В некоторых задачах различные компоненты вектора
состояния могут иметь ненулевые средние.
1. Сформулировать модель заново, обобщив ее на случай ненулевых
средних.
•2. Найти уравнения приближенной реализуемой оценки по
минимуму среднеквадратической ошибки, аналогичные (99) — (103), или
уравнения приближенной реализуемой оценки по максимуму
апостериорной вероятности, аналогичные (67) — (70), для случая ненулевых
средних.
Задачи к § 7.3. Краткие итоги
Задача 7.3.1. Частотно-модулированный сигнал передается по
релеевскому каналу. Принимаемое колебание имеет вид
г (t) - ] 2РЬг (t) sin ί сосt + df^a(u)du) +
+ V"2Pb2 (t)cos\<uct + df^a(u)dti)+w(t), — сю < t < oo.
221

Сообщение α (ή является выборочной функцией гауссова случайного
процесса с нулевым средним и конечным представлением в переменных
состояния. Процессы Ьг (f) и b2 (t), воздействующие на сигнал в
канале, — статистически независимые гауссовы случайные процессы с
нулевыми средними и одинаковыми конечными представлениями в
переменных состояния. Аддитивный шум w (t) есть выборочная функция
белого гауссова случайного процесса со спектральной плотностью
N012. Все перечисленные про-
iwft) цессы статистически незави-
№into**^^ "Τ* Сформулировать модель
^W
-f-w данной системы в
переменных состояния.
Рис· 7Л*· 2. Написать уравнения
для приближенной оценки
по минимуму среднеквадратической ошибки и условной дисперсии
[см. (99) и (100)].
3. Построить структурную схему оптимального приемника.
Примечание. Эта задача будет подробно рассмотрена в гл. 8.
Задача 7.3.2. Вывести уравнения оценки и дисперсии для модели
сообщения, описываемой (78) и (79).
Задача 7.3.3. Рассмотрим проблему передачи ЧМ сигнала по
фиксированному линейному инерционному каналу с постоянными во времени
параметрами. Модель канала показана на рис. 7.1*. Передаточная
функция канала равна
н*№ = —^—г.
(/ω)2+2α/ω+ω*
Сообщение a (t) — выборочная функция гауссова случайного процесса
с нулевым средним и конечным представлением в переменных
состояния. Аддитивный шума; (/) — выборочная функция независимого
белого гауссова случайного процесса со спектральной плотностью NJ2.
1. Сформулировать модель данной системы в переменных
состояния.
2. Использовать результаты задачи 7.3.2 для написания уравнений
оценки и дисперсии для приближенной оценки по минимуму
среднеквадратической ошибки.
3. Построить структурную схему оптимального приемника.
4. Конкретизировать полученные результаты для случая, когда
Sa(cD)-2£/(co2 + &2).
5. Обсудить вопрос о связи между уравнениями дисперсии и
оценки [8]. Можно ли найти условия, при которых эти уравнения будут
несвязанными?
Задача 7.3.4. Рассмотрим модель системы, описанную в задаче
7.3.3.
1. Справедливы ли для этой задачи уравнения оценки по
максимуму апостериорной вероятности, рассмотренные в гл. 5 первого тома?
222

2. Если ответ по п. 1 утвердителен, то построить структурную схему
оптимального приемника. Если ответ по п. 1 отрицателен, то обобщить
вывод, сделанный в гл. 5 первого тома на случай данной задачи и по-
с роить структурную схему приемника.
3. Сравнить результаты этой задачи с результатами задачи 7.3.3.
Список литературы
1. Baggeroer А. В. Nonlinear MAP Interval Estimation. Research
Laboratory of Electronics, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass.,
QPR № 85, 1967, April 15, p. 249—253.
2. Baggeroer A. B. State Variables and Communication Theory.
Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Mass., 1970.
3. Baggeroer A. B. State Variables, the Fredholm Theory and Optimal
Communications. Sc. D. Thesis, Department of Electrical Engineering,
Massachusetts Institute of Technology, Jan. 1968.
4. В e 1 1 m a n R., К a 1 a b a R., S r i d h a r R. Sensitivity Analysis and
Invariant Imbedding. Research Memorandum № 4039-PR, March 1964.
5. В e 1 1 m a n R. Invariant Imbedding. Academic Press, New York, 1964.
6. Detchmendy D. M., S r i d h a r R. Sequential Estimation of States
and Parameters in Noisy Dynamical Systems. A.S.M. E. J. Basic Eng., June
1966, p. 362—368.
7. Snyder D. The State-Variable Approach to Continuous Estimation. Ph.
D. Thesis, Department of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of
Technology, Febr. 1966.
8. S η у d e r D. The State-Variable Approach to Continuous Estimation with
Applications to Analog Communication Theory. Massachusetts Institute of
Technology Press, Cambridge, Mass., 1969.
9. К u s h η e r H. J., On the Differential Equations Satisfied by Conditional
Probability Densities of Markov Processes, with Applications. J. SIAM
Control. Scr. A2, 1964, № 1, p. 106—119.
10. F i s h e r J. R. Optimal Nonlinear Filtering. Rept. 66-5. Department of
Engineering, University of California at Los Angeles, Jan. 1966.
11. Van Trees H. L. A Lower Bound on Stability in Phase-Locked Loops.
Information and Control, Sept. 1963.
12. Bass R. W,, Norum V. D., Schwartz L. Optimal Multichannel
Nonlinear Filtering. Rept. SSD-50064R, Hughes Aircraf Co., Space Systems
Div., Los Angeles, Calif., Aug. 1965.
13. Bucy R. S. Nonlinear Filtering Theory. Trans. IEEE, April 1965, v. AC-10,
№ 2, p. 198 (Correspondence).
14. Cox H. On the Estimation of State Variables and Parameters for Noisy
Dynamic Systems. Trans. IEEE, Jan. 1964, v. AC-9, p. 5—12.
15. J a ζ w i η s k i A. H. Filtering for Nonlinear Dynamical Systems. Trans.
IEEE, Oct. 1966, v. AC-11, p. 765—766 (Correspondence).
16. Стратонович Р. Л. К теории оптимальной нелинейной фильтрации
случайных функций. «Теория вероятностей и ее приложения», 1959, т. 4,
стр. 223—225.
17. W о η h a m W. M. Some Applications of Stochastic Differential Equations
to Optimal Nonlinear Filtering. J. Siam Control, Ser. A2, 1965, № 3, p>347—
369. ·
18. S о e d а Т., Yoshiraura T, A Note on the Estimation of State
Variables and Unknown Parameters of a Nonlinear System. Trans. IEEE, Oct.
1969, v. AC-14, p. 585—587.
19. S о r e η s ο η Η. W., StubberudA. R. Recursive Filtering for Systems
with Small Non-Negligible Non-Linearities. Internatl. J. Control, 1968, v. 7,
p. 271—280.
20. F r i e d 1 a n d В., Bernstein I. Estimation of the State of Non-Linear
Process in the Presence of Non-Gaussian Noise and Distur bances. J. Franklin
Inst., June 1966, v. 281, p. 455—480.
223

21. Lee R. С. Κ· Optimal Estimation, Identification, and Control.
Cambridge, Mass., M.I.T. Press, 1964.
22. A t h a η s MM Wishner R. P., В e r t о 1 i η i A. Suboptimal State
Estimation for Continuous-Time Nonlinear Systems from Discrete Noisy
Measurements. Trans. IEEE, Oct. 1968, v. AC-13, p. 504—514.
23. Μ о w e г у V. О. Least Squares Recursive Differential Correction
Estimation in Nonlinear Problems. Trans. IEEE, Oct. 1965, v. AC-9, p. 399—407.
24. К u s h η e r H. J. Dynamical Equations for Optimum Nonlinear Filtering.
J. Differential Equations, April 1967, v. 3, p. 179—190.
25. К u s h η e r H. J. Nonlinear Filtering: The Exact Dynamical Equations
Satisfied by the Conditional Mode. Trans. IEEE, June 1967, v. AC-12, p. 262—
267.
26. Kushner H. J. Approximations to Optimal Nonlinear Filters. Preprints,
Joint Automatic Control Conf. Philadelphia, Pa., June 1967, p. 613—623.
27. Η a d d a d А. И. Optimum Filtering with a Class of Nonlinear Systems.
Trans. IEEE, June 1968, v. AC-13, p. 289—292.
28. Pearson J. B. A Note on Nonlinear Filtering. Trans. IEEE, Feb. 1968,
v. AC-13. p. 103—105.
29. N e a 1 S. R. Nonlinear Estimation Techniques. Trans. IEEE, Dec. 1968,
v. AC-13, p. 705—708.
30. С u 1 ν e г С. О. Optimal Estimation for Nonlinear Stochastic Systems. Sc.
D. Thesis, M. I. T., Cambridge, Mass., 1969.
31. Fisher J. R. Optimal Nonlinear Filtering, in Advances in Control Systems,
С. Т. Leondes, Editor, Academic Press, New York, 1967.
32. F i s h e r J. R., Stear Ε. Β. Optimal Nonlinear Filtering for
Independent Increment Processes — Part I. Trans. IEEE, Oct. 1967, v. IT-13, №4,
p. 558—578.
33. F г о s t P. A. Nonlinear Estimation in Continuous Time Systems. Ph. D.
Thesis, Stanford University, California, 1968.

8. ПЕРЕДАЧА АНАЛОГОВЫХ (НЕПРЕРЫВНЫХ) СООБЩЕНИЙ
ПО КАНАЛАМ СО СЛУЧАЙНО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ
ПАРАМЕТРАМИ
Эта глава посвящена проблеме передачи аналогового (непрерывного)
сообщения по каналу со случайно изменяющимися параметрами. В § 8.1
разработана модель и рассмотрены некоторые возможные подходы к
решению этой проблемы. В § 8.2 синтезирован оптимальный приемник для
системы угловой модуляции, применительно к релеевскому каналу.
В § 8.3 выведены некоторые границы помехоустойчивости и
разработаны процедуры приближенного анализа для приемника,
синтезированного в § 8.2 . В § 8.4 подведены основные итоги главы и
рассмотрены некоторые родственные вопросы.
Проблема, обсуждаемая в данной главе, соответствует третьему
уровню в той иерархии проблем теории модуляции, которая была
введена в гл. 1 первого тома. Хотя самая общая из проблем этой
иерархии здесь не рассматривается, изложенные методы можно
распространить и на решение для общего случая.
8.1. Модель и возможные подходы к решению задачи
8.1.1. Модель
Все построения в основном тексте данной главы относятся к
безынерционному («без памяти») релеевскому каналу, с которым мы
встречались ранее в п. 4.4.2 первого тома. Предполагается, что передаваемый
сигнал — модулированное по фазовому углу синусоидальное
колебание. Например, в простой системе ЧМ передаваемый сигнал
записывается в виде
s(t, a(t)) = V^sin[vJ + la(u)duj. (1)
Сообщение a (t) является выборочной функцией гауссова случайного
процесса с нулевым средним. На выходе релеевского канала сигнал
принимает форму
г (0 = Y^vch (t) cos (ω, t + J а (и) du + ФсЬ (f)J + w(t)9
^</<Ty, (2)
8 Зак. 1128
225

где огибающая vch (t) имеет релеевское распределение, а фаза Фсь (0—
равномерное. Заметим, что исъ (t) и Фсъ (ή являются выборочными
функциями случайных процессов. Аддитивный белый шум w (t) —
выборочная функция белого гауссова процесса со спектральной
плотностью N0/2. Процесс замираний (федингования) в канале и
аддитивный шум статистически независимы. С равным успехом первое
слагаемое в правой части (2) можно записать через квадратурные
составляющие
г (t) = УТЬХ (t) cos (coc t + J а (и) duj + γ2~ϋ2 (t) sin (coc t +
+ ξ a (u) duj + w(t), Tt < t < Tf% (3)
где bx (t) и b2 (t) — выборочные функции статистически независимых
гауссовых случайных процессов с нулевыми средними и одинаковыми
статистиками. Видим, что при данной конкретной выборочной функции
а (и) (реализации) случайного процесса принимаемое колебание
является выборочной функцией гауссова процесса.
В приемнике колебание г (t) наблюдается на интервале [Ти Tf]
и обрабатывается с целью получить оценку сообщения а (и). В данной
главе произведены синтез оптимального приемника и анализ его
помехоустойчивости.
Прежде чем начать изложение основного вопроса, рассмотрим
несколько обобщений описанной выше модели. Основную модель канала
можно легко распространить на другие физические ситуации.
Например, если
Ε [&! (ή] - m, (4)
а не нулю, то получается модель райсовского канала. Эта модель
соответствует физическому каналу, в котором помимо замирающей
составляющей имеется регулярная составляющая принимаемого сигнала.
Во многих случаях принимаемый сигнал обусловлен
составляющими из нескольких релеевских каналов, имеющих различные
протяженности трасс (длины путей). Тогда
м
r(t) = Y2 Sj МО cos
ι = ι
t-χ,
<*c(t—τί)+ \ a(u)du\ +
? 1
^ a (u) du\
+ bi2(t)s\n Uc(f — τ,)+ ξ a(u)du | + w(f), 7\<*<7У (5)
Здесь Tt — временная задержка (запаздывание) в ί-м канале.
Это'разрешимая релеевская многолучевая задача. Она часто встречается при
связи с использованием отражения и рассеяния радиоволн в ионосфере
и в гидроакустических системах связи и локации, где используется
механизм распространения звука под водой. Канал, который будет
рассмотрен более подробно в третьем томе, получается в результате пред-
226

положений о том, что используется непрерывное бесконечное множество
отражателей при различных длинах путей. Тогда сумма (5) обращается
в интеграл
ГЦ) = УТ $Mf, t)cos(cdc(^—τ)+ [ a(u)dujdx +
+ yj\b2(t, x)sin(coc(i —τ)+ \ a(u)du)dT + w(t), T^t^Tf.
(6)
Интервал [Тъ Т2] соответствует протяженности (в секундах)
отражающей поверхности.
Остальная часть главы посвящена исследованию проблемы
передачи непрерывного сообщения по одному релеевскому каналу.
Распространение этой теории на многолучевую модель — задача несложная-
Болеё трудная задача — распространить ее на канал, описываемый,
уравнением (6), но и эту задачу можно решить.
Прежде чем изложить вопросы синтеза оптимального приемника
и оценки его помехоустойчивости, рассмотрим некоторые возможные
подходы к решению этой проблемы.
8.1.2. Возможные подходы к проблеме
Опираясь на'основы теории нелинейных оценок, изложенные в
первых главах этой книги, мы располагаем несколькими различными
методами, позволяющими решить задачу оценки в условиях случайного
канала. В этом параграфе мы рассмотрим связь между различными
подходами к решению этой задачи. Главная цель здесь уяснить вопросы,
связанные с совместной оценкой нескольких процессов. Некоторые
возможные подходы к задаче оценки систематизированы на рис.8.1.
Методы, указанные в левой части рисунка, основываются на том,
что сообщение является выборочной функцией гауссова случайного
процесса, а принимаемое колебание— выборочной функцией условно
гауссова процесса. Исходным моментом всех этих методов служит
интервальная оценка по максимуму апостериорной вероятности. Новым
вопросом, с которым мы сталкиваемся при исследовании модели
случайного канала, является то, что сообщение является единственным
случайным процессом, представляющим для нас действительный
интерес; канальные процессы в модели присутствуют, но являются
нежелательными. После вывода уравнения интервальной оценки по
максимуму апостериорной вероятности можно далее использовать
метод инвариантного включения, изложенный в п. 7.1.2, для отыскания
системы уравнений, определяющей приближенную реализуемую
оценку по максимуму апостериорной вероятности. С другой стороны, если
бы можно было показать, что для класса задач, которые представляют
для нас интерес, совместное оценивание сообщения и процессов в
канале по максимуму апостериорной вероятности эквивалентно
оцениванию по максимуму апостериорной вероятности сообщения, то мы ис-
8*
227

пользовали бы векторное уравнение максимальной апостериорной
вероятности, которое было выведено в гл. 5 первого тома, и на основании
(I — 5.160) имели
т/
a(^) = ^Ka(i, u)D(u, а (и))—[r(u)—s(u,a(u))]du,
тг No
Г,<*<7у (7)
Здесь a (t) — вектор, учитывающий все случайные процессы,
относящиеся к рассматриваемой задаче. Например, для одиночного релеев-
ского канала
~a (ty
а(*) =
МО
A(0J
(8)
В п. 7.1.2. были выведены уравнения приближенной реализуемой
оценки по максимуму апостериорной вероятности. Ясно, что если (7)
справедливо для рассматриваемой задачи, то уравнения реализуемой оцен-
Метод интегрального уравнения
Метод дифференциального уравнения

Интервальная
оценка по
максимуму

апостериорной вероят\
ности
только
сообщения

Эквивалентны1.
Совместная]

интервальная
оценка по
максимуму
апостериор\
ной
вероятности
сообщения
и
параметра канала
^
Дисрференциальное
уравнение для апостериорной
плотности вероятности
Точное
уравнение
для условной
моды
s:
Точное
уравнение
для условного
среднего
Уравнения приближенной
реализуемой оценки по
максимуму
апостериорной вероятности
Уравнения приближенной
реализуемой оценки по
минимуму
среднеквадратичной ошибки
Аппроксимация
оптимального приемника
Рис. 8.1. Возможные подходы к задаче оценки непрерывного сигнала.
ки по максимуму апостериорной вероятности также справедливы.
Мы убедимся, что для изучаемых в данной главе систем связи
(методов модуляции) и каналов можно показать эквивалентность
совместного оценивания по максимуму апостериорной вероятности сообщения
228

И параметра канала й оценивания по максимуму апостериорной
вероятности только сообщения и, следовательно, как (7), так и
последующие уравнения реализуемой оценки являются справедливыми.
Методы, указанные в правой части рис. 8.1, основаны на
предположении, что сообщение и принимаемые колебания являются
условными математическими ожиданиями марковских процессов. Это
предположение справедливо, когда сообщение является выборочной функцией
гауссова случайного процесса с рациональным спектром, процесс
модуляции представляет собой непрерывную нелинейную
безынерционную операцию, а аддитивный шум является выборочной функцией
белого гауссова случайного процесса. (Другие случаи также
соответствуют исходным допущениям, однако нас сейчас интересует
именно этот случай.)
Как и в § 7.2, начнем с уравнения в частных производных для
плотности апостериорной вероятности (7.89). Из него мы получим точное
уравнение для условного среднего (7.91). Напомним, что это уравнение
не годится для практической реализации. Для оценивания по
критерию наименьшей среднеквадратической ошибки нет необходимости
проводить различие между сообщением и канальными (или
нежелательными) процессами. Чтобы получить систему, которую можно
реализовать, аппроксимируем (7.91), предположив, что среднеквадратиче-
ские ошибки оценивания малы. Полученные в итоге уравнения (7.99)
и (7.100) тождественны уравнениям приближенной реализуемой
оценки по максимуму апостериорной вероятности. При другом из
указанных в правой части методов используется точное уравнение условной
моды. Этот подход требует разрешения вопроса о совместном
оценивании по максимуму апостериорной вероятности и поэтому является
менее желательным.
В итоге, как мы убедимся, различные подходы приводят к одной
и той же приближенной реализации, так что выбор соответствующего
метода довольно произволен. С точки зрения рассматриваемой задачи
наибольший интерес представляет вопрос о том, где целесообразно
делать необходимые приближения. Если мы хотим построить более
сложные приемники путем удержания членов высоких порядков, то
эта эквивалентность может более и не сохраняться.
Мы будем придерживаться второго из рассмотренных выше
подходов, а именно: 1) выведем уравнение интервальной оценки по
максимуму апостериорной вероятности; 2) покажем ее эквивалентность
совместной оценке по максимуму апостериорной вероятности; 3)
используем уравнение приближенной реализуемой оценки по максимуму
апостериорной вероятности для отыскания (синтеза) соответствующего
приемника. В заключение исследуем помехоустойчивость полученного
приемника. Но прежде чем начать изложение перечисленных
вопросов, сделаем краткое отступление и рассмотрим простой пример
совместного оценивания. Цель данного примера—способствовать более
ясному пониманию вопроса совместной оценки.
Пример. Рассмотрим простой пример для того, чтобы получить
некоторое интуитивное представление о результатах, которые можно
ожидать при решении задачи оценивания параметров сигнала. Цен-
229

йость ΜόΓο примера в том, что ё heU Предполагаете tot результат
который нам необходимо попытаться вывести при решении реальной
задачи/·Допустим, что
г = bs (a) + w, (9)
где a, b и w — статистически независимые гауссовы случайные
величины с нулевыми средними и дисперсиями σ2, σ| и ol соответственно.
Заметим, что здесь мы имеем дело со случайными величинами, а не
процессами. Нам необходимо найти оценку параметра а по максимуму
апостериорной вероятности. Параметр b не представляет какого-либо
прямого интереса. Цель данного рассмотрения — исследовать условия,
при которых совместная оценка а и Ъ приведет к правильной оценке а.
Сначала дадим обзор двух альтернативных процедур оценки.
Чтобы получить совместную оценку параметров а и Ь, вычислим ра,ь\г (А,
В\ R) и найдем точку на плоскости (Л, В), где эта функция имеет
максимальное значение. Координаты этой точки запишем в виде amapt /,
bmap, /, где подстрочный индекс / означает, что эти оценки совместные.
Для получения оценки параметра а, когда параметр b рассматривается
как нежелательный, вычислим ра\ r(A \ R) путем интегрирования
по В:
Pa\r(A\R)= J Ра.Ь\г(А, B\R)dB.
(10а)
Далее отыщем точку на оси Л, в которой функция pa\r {A \R)
принимает максимальное значение. Эта точка соответствует агаар. При
помощи простого иллюстративного графика можно убедиться, что в
общем случае
^гаар / ^тар, 7*
(106)
Этот пример как раз и демонстрирует существование этой точки и,
кроме того, указывает достаточное условие равенства двух упомянутых
оценок.
Подставив соответствующие плотности в (10а), получим
Ра.ыЛА, B\R) = f'(R)g{A, R)exp
где
Щ И)
■(В—т(А, R))2
abs2(A) + al
OwOb
сгг(у4)=-
[als\A) + <&\*
g(A, Я) = ехр
Л2 1
ЯЧ*(А)агь
2 al 2 {ols\A)+ol)ol\
(Η)
(12)
(13)
(14)
230

Множитель f'(R) в (11) является нормирующим и определяется из
условия, чтобы площадь под кривой распределения равнялась единице.
Интегрируя по 5, имеем
Pa\r(A\R) = f'(R) 2 ^°ь g(A, R). (15)
Теперь имеется возможность сравнить две рассмотренные процедуры
оценки.
Независимая оценка. Как отмечено выше, amap (R) есть такое
значение параметра Л, при котором функция pa\r (A \R) имеет максимум.
Рассматривая (15), нетрудно заметить, что это условие соответствует
точке, где
l(A, R)Ag(A, Wi-i^s^VT1 06)
\ Ow J
принимает максимальное значение.
Совместная оценка. Для отыскания атар> ,· (R), bmaVtJ(R)
необходимо найти точку, в которой ра,ь\г (A, B\R) имеет максимум. Согласно
(11)
£map, j(R) = tn (атар> j (R), R), (17)
где amaVt j (R) — значение параметра Л, при котором функция g (Л, R)
максимальна.
Итак, мы убедились, что в общем случае amap (R) не эквивалентна
оценке, полученной путем совместного оценивания А и В. Достаточное
условие этой эквивалентности состоит в том, чтобы s2 (А) не зависело от
параметра А.
Цель данного примера заключалась в том, чтобы
проиллюстрировать в простом контексте вопрос совместного оценивания. Он дает нам
представление об условиях, которые необходимо искать в задаче
оценки параметров сигнала.
В этом параграфе были рассмотрены модели интересующей нас
проблемы и различные подходы к синтезу оптимального приемника.
В следующем параграфе задача синтеза оптимального приемника будет
выполнена подробно, в результате чего мы получим его развернутую
структурную схему.
8,2, Синтез оптимального приемника для релеевского канала
Рассмотрим задачу передачи непрерывного сообщения по
безынерционному релеевскому каналу при использовании угловой модуляции.
Передаваемый сигнал записывается в виде
st(t, a(t)) = V2Pcos(<s>ct + y(t))9 Tt^t^Tf9 (18)
где
Tf
у (t) =$£(*, г) a (z) dzy Τ, < f < Τ,. (19)
τι
231

Принимаемое колебание имеет вид
г (0 = У2 Ъх (t) cos (<oc t + у (ή) + J/2 &a (t) sin (<oc t + у (t)) + w (t),
Tt < t < Ty. (20)
Ради удобства алгебраических выкладок положим Ρ — 1 и учтем
мощность передатчика в огибающей канального процесса.
Процессы Ъх (t) и b2(t)—статистически независимые гауссовы процессы с
нулевыми средними и одинаковыми ковариационными функциями Къ (U #)·
Аддитивный гауссов шум w (t) является белым и имеет спектральную
плотность NJ2\ он независим от сообщения и процессов в канале связи.
Теперь наша модель полностью определена (задана) и можно
приступить к выводу уравнения (синтезу) оптимального приемника. Но
прежде обсудим порядок чтения данного параграфа.
Порядок дальнейшего чтения. Далее читатель может продолжать
изучение материала по одному из двух путей. Первый вариант — это
придерживаться порядка расположения материала, принятого в книге:
в п. 8.2.1 выведены уравнения оценки по максимуму апостериорной
вероятности; в п. 8.2.2 рассмотрено их приложение к случаю угловой
модуляции в релеевском канале, в п. 8.2.3 — вопросы совместного
оценивания сообщения и процесса в канале. В итоге сделано
заключение, что в этом случае можно пользоваться уравнениями реализуемой
оценки по максимуму апостериорной вероятности (7.67) и (7.68). Затем
в п. 8.2.4 выведены уравнения реализуемой оценки по максимуму
апостериорной вероятности для конкретной интересующей нас задачи.
Вторая, более эффективная процедура — с самого начала принять
критерий наименьшей среднеквадратической ошибки. Далее можно
непосредственно пользоваться уравнениями приближенной оценки по
минимуму среднеквадратической ошибки (7.99) и (7.100). В этом
случае читатель может приступить прямо к § 8.2.4 и начать проработку
материала с этого момента. Нам представляется, что большинство
читателей больше выиграют от второго подхода, так как он позволяет
быстрее прийти к структурной схеме приемника. Мы придерживаемся
первого подхода ввиду того, что он находится в согласии с критерием
оценки и процедурами, используемыми в других частях книги.
8.2.1. Уравнения оценки по максимуму апостериорной вероятности
для безынерционного релеевского канала1)
Выведем уравнения, которые определяют интервальную оценку
сообщения a (t) по максимуму апостериорной вероятности. Раз речь
идет об интервальной оценке по максимуму апостериорной
вероятности, то, как известно,
τί
y(i)= \ k(t, z)a{z)dz, (21)
it
x) К сожалению, при выводе уравнений в этом параграфе используется ре*
зультат из третьего тома монографии. Читатели, не располагающие третьим
томом, могут найти полный вывод в [1].
232

где предполагается, что функция /г1 (t, 2), обратная импульсной
переходной функции предыскажающего . фильтра с изменяющимися во
времени параметрами, существует. Следовательно, у (t) можно
рассматривать как интересующее нас сообщение.
Чтобы сформулировать задачу, необходимо знать условную
ковариационную функцию колебания г (ί). Поскольку
E[r(t)\y(t)} = 0, (22)
условная ковариационная функция равна
E[r(t)r(u)\y(t), y(u)]AKr{t, u:y(t), y{u)) =
= 2Kb (U u) [cos (сос t + y (ί)) cos (сос и + у (и)) +
+ sin (coc / + у (t)) sin (ω, и + У (и))] + (Ν0/2) δ (t — u),
Tt^t9 u^Tf. (23)
Так как колебание г (ή является условно гауссовым процессом, оно
полностью характеризуется своим условным средним и условной
ковариационной функцией. Отметим, что ковариационная функция
колебания г (t) зависит от у (t) безынерционно. Другими словами, Kr (t,u;
У (0> У (и)) зависит только от у (t) и у (и) и не зависит от у (τ), Τ^ τ ^
^ Tf. Кроме того, предполагается, что Ьг (t) и Ь2 (ί) — процессы,
спектры которых по отношению к сос являются низкочастотными.
Как и ранее, задачу оценки параметра сигнала решаем путем
разложения у (t) в ряд и оценки коэффициентов ряда. Запишем это
разложение в виде
к
y(t) = l. i. m.yK(t) = l. i. m. Σ УгЪ(*)> ^<*<7y, (24)
где
μ* Ψί (0 = I K„ (t, и) ψ, (и) du, Tt < t < Tft (25)
τ1
yi=\y(t)b(t)dt- (26)
Ti
Обозначим первые К коэффициентов ряда через вектор у. Условную
ковариационную функцию для /С-членной аппроксимации можно
записать в виде
Кг [и и: yK(t), ук (и)) = Кг (U и: Y). (27)
При такой форме записи легко видеть, что здесь непосредственно
применимы результаты, полученные в п. 7.5.1 третьего тома, посвященном
233

вопросам оценки нескольких параметров. Согласно (III—7.159) имеем
rfT1
1 [' С dh(u, г: Y)
У ι = l·1;
2-j j dudz(Kr(u, ζ: Υ)
~i{r(u)Qr{u,z:Y)r{z)})
, i = l, 2,..., К, (28)
где Qr(u, ζ: Υ)—обратное ядро Kr(t, и: У), а А(ы, г: Y)
определяется соотношением
Qr(u, z:Y) = (2/tf0){6(/ —и)—A(t/, ζ : Y)}. (29)
Как и прежде, введем по определению
к
£«(0=23^/(0. τ4<ί<7ν· (30)
Прежде чем положить /С->оо, необходимо интерпретировать смысл
производных по Υt. Сначала заметим, что на основании (29)
dQr(t, u:Y)_ 2 dh(t, и: Υ) η])
dYi ~ N0 dYi ( '
Далее заметим, что вследствие предположения о том, что спектры
являются низкочастотными, сделанного сразу после (23), функцию
h (f, и: Υ) ±h(t, и: у (t)y у (и)) (32)
всегда можно записать как безынерционную функцию ук (ί) и ук (и).
Чтобы убедиться в этом, заметим, что если собственные значения и
собственные функции Къ (t, и) равны Xt и (pi(t) соответственно, то
собственные значения первого члена (23) [который мы обозначим как Ks (t,
и '· У (0> У (и)] равны λ^ и с каждым собственным значением связаны две
собственные функции ]/"2срг (t) cos (coj + У (0) и |/"2срг (/) sin (сос t -|-
+ y(t)). Это можно проверить путем подстановки в интегральное
уравнение, определяющее собственные значения функции Kh{ty и), и учета ее
низкочастотного характера. Итак, ковариационную функцию /Cs (t,
и ·' У (0» У (и)) можно представить в виде ряда
оо
Ks(t, u:y{t), t/(«))=- Σ λ;[2φ; (*)<pt (и) [cos (ω,/ +
+ у (/)) cos (ω„ u + y (и)) + sin (ω,/ + у (ή) sin (coc u + y (u))]],
Tt^t, us^Tf. (33)
234

Далее, точно так же, как (1—3. 154), функцию h (t,u : у (t), у (и))
можно разложить в ряд:
h [U u:y(t)y(u))= 2 (χί+Ν0ΐ2 J [2<Pf (0 <M") tcos (ω<^ +
+ ^(θ)^8(ω^ + ^(^)) + 5ίη(ω0/ + ί/(θ)δίη(ωο^ + ί/(^))]]>
Γ,<ί, «<Τ/. . (34)
Выражение (34) мы написали с тем, чтобы показать явную
безынерционную зависимость h(tyu:y (t), у (и)) от у (ή и у (и). Это позволяет
нам написать
dh(tt u:y(t), у (и)) _
dh(t, u:y(t), у (и)) „. dh(t, u:y(t), у (и)) ,. ,gg.
dy(t) ' ду (и)
Нетрудно заметить, что уравнение (28) симметрично по переменным
и к ζ. Подставив (35) в (31), (31) в (28) и (28) в (30), положив К -> оо
и вспомнив, что
оо
Ky(t, U)= 2μ,ψ,(9Ψΐ("). (36)
/= 1
Tf ί . Tf
получим
у (ί)= 5 du = Ky(t, и) λ— $ dz[r(u)r(z)—Kr{u, ζ: у (и), у (г))] X
Г. 1^0 J".
41 у * ι
X [ЗА (и, ζ : у (и), у (г))/ду (и)] , Т, < ί < Гу, (37)
что и является искомым результатом. В следующем параграфе будет
рассмотрено решение этого уравнения.
8.2.2. Угловая модуляция в релеевском канале
В этом параграфе мы продолжим рассмотрение проблемы передачи
модулируемого по фазовому углу синусоидального колебания по ре-
леевскому шкалу. Ради простоты алгебраических выкладок рассмотрим
сначала случай фазовой модуляции:
В этом случае
г (t) = УТЬХ (t) cos (ω, t + у (ή) + УТЬЪ (t) sin (ω, t + у (t)) +w{t)y (38)
Tt^t^Tfy
y(t) = fia(t), (39)
235

a Kr (ty и : у (t), у (и)) определяется выражением (23). Кроме ^ого,
предполагается, что модулированный сигнал и bt (t), i = 1, 2, далеко
разнесены по частоте. Иначе говоря, частота изменения параметров канала
гораздо ниже несущей частоты сос. Заменив в (37) у (t) на a (t), получим
a(t)= § duKa{t, и)
2
No
ι \ С j dh(u, z:a(u), α (ζ)) . ч
г (и) ^ dz———г-^—у— г (ζ)
т. да (и)
TfTf
§ \^dudzKa{U u)Kr{u, z:a(u)y a {z)) χ
г. т.
1 1
dh (и, ζ :а (и), α (ζ))
X
, тг.<;<7>
(40)
да (и)
Видим, что только первое слагаемое в (40) зависит от г (·). Второе
слагаемое соответствует смещению оценки. Функция h (и, г : ά (и), ά(ζ))
удовлетворяет уравнению
— h (и, z:a(u)> а (г)) + \ h (и, ν : а (и), α (υ))
τ,
Χ
X {2Kb(vy z) [cos((ucv + fia(v)) cos (ω0ζ + βά(ζ)) +
+ sin (ω0ϋ-\-$α(ϋ)) sin ((*>сг + βα(ζ))]} dv =
= 2Kb(u, z) {cos (ω0ιι-\-$α(ιι)) cos (ω02 + βα(2)) -f-
+ sin (acи + βά(u)) sin (ω0ζ + βα(2))|, Tt^u, z^Tf.
(41)
Чтобы решить (41), введем в рассмотрение функцию Hl (и, ζ) со
спектром нижних частот, которая удовлетворяет уравнению
Tf
^-hL(uy г)+ \hL(uy O)Kb(O, z)dv = Kb(uy ζ), Tt^u, г<7> (42)
1
Теперь попробуем в качестве решения уравнения (41) взять функцию
h (и, г\а(и)9 a(z))=fiL(u, ζ) [2cos (ω0и + βα(и)) cos (ω0ζ + βα(ζ)) +
+ 2s\n((ucu + $a(u)) sin (ω0ζ+βα(ζ))]. (43)
Подставив (43) в (41) и заметив, что членами удвоенной частоты можно
пренебречь, убедимся, что функция (43) является решением (41).
Продифференцировав (43), получим
dh(u, ζ : а (и), а (г))
да (и)
= hL(u, z) [ — 2β sin (ω0Η+βα(Μ)) cos (ω0ζ + βα (г))+
+ 2βοο$((ύ0ιι + $ά(ιή) sin(coc2 + pa(£))]. (44)
236

Сначала рассмотрим член, соответствующий смещению оценки.
Подставив\(23) и (44) во второй член (40), получим
- \ Tf Tf
а(2) (0= jj du \ dzKa{t, и) [2Кь(и, г) [cos {ω0ιι +
+ βα(«)) cos (ω0ζ-\-$α(ζ)) +sin (ω0ιι -f βα (и)) sin (сосг +
+ ββ(2))]} {^l(«, 2) [ — 2β sin (ω0^ + βα(^)) cos (coc2 +
+ fa (ζ)) + 2β cos (ω, и + βα (и)) sin (ω, 2 + βα (ζ))]}. (45)
Произведя почленное перемножение выражений, стоящих в фигурных
скобках, убедимся, что ни один из членов не содержит низкочастотной
компоненты сразу по и и ζ. Следовательно, все члены при
интегрировании дадут нуль и члена, соответствующего смещению оценки, в этом
случае не будет.
Подставив (44) в первый член (40), получим
Tf 2 Tf
a (t) = ) duKa (t, и) — г (и) § dz{[hL (и, ζ)] χ
т. No т.
ι J ι
Χ [ — 2β sin (coc и + βα (и)) cos (coc ζ + βα (ζ) + 2β cos (coc и +
+ βα (и)) sin (ω, ζ + βα (ζ))} }r(z). (46)
Теперь введем в рассмотрение еще две функции:
b*(u)A \hL(u, ζ) Υ2 cos (ω, г +βα(ζ)) г (г) dz, (47)
65(")Δ S Μ"» ζ)/2 sin (ω0ζ + βα(ζ)) r (z)dz. ■ (48)
*ι
Символы <"* здесь используются ввиду того, что функции (47) и (48)
выглядят как оценки канальных процессов по максимуму
апостериорной вероятности. Знак (*) употребляется нами потому, что мы еще не
доказали, что они в самом деле являются оценками по максимуму
апостериорной вероятности. Подставляя (47) и (48) в (46), имеем
Т!
a (t) = J duKa (/, и) — г(и){ —1/2 β sin [сос и + βα (и)] Ъ* (и) +
Т. No
+ ]/2~β cos [ω, и + ρά (и)] Ъ\ (и)}9 Tf^ T < Tf, (49)
237

rft)
у
\
ш-^Г\Л—J£#\v . ,^Ι f/itfr\ Ι
^
\Л/ \NnyS L____J j
IT / %y
1 fp)i fxW Г771 _
ι j2bz(t)oos(b)et+fia(t)) 4^ 4^ [
-л/2Ь?М sin(vctrfaft)) j | ^ j
/~\ π 1 ъ*м
ι -fcf V 1 i»\ h /τΊ Ι
f \<{2 cos(u)ct+fl&(t))
r\ ι—;—ι **w
\y[zdn(b)ct+fia(t)}
_y
• 1 fiT '—-
?7ί/
f
■ mi y/ 1*^-4
Рис. 8.2. Оптимальная демодуляция: система фазовой модуляции, работающая
по релеевскому каналу.
Структурная схема нереализуемого приемника показана на рис. 8.2·
Ради простоты здесь иллюстрируется лишь случай, когда все процессы
стационарны и интервал наблюдения бесконечен. Прежде чем
приступить к рассмотрению задачи отыскания реализуемой структуры,
убедимся, что (49) тождественно результату, получаемому при совместном
оценивании a (i), bx (f) и b2 (ή.
8.2.3. Совместное оценивание сообщения и канальных процессов
Вектор сообщения определяется так, чтобы а (0, b± (t) и b2 (t)
входили в него в качестве его компонент:
Г α
(flap) Δ ЬъЦ)
U(0J
Совместная оценка определяется уравнением (7) в виде
(50)
где
&{t)=\jKa{t, u)D(u, а (и)) — (r(u)—s(u, &(u)))du,
No
т,
K.(f, и)--
Ka(t, и) 0 0
0 Kb{t, и) 0
L 0 0 Kb{t, и)
238
]
(51)
(52)

D (и, a (U)) ^
~—VT&bx (и) sin (сос и + βα (и)) + |/1Γβ£2 (и) cos (coca + βα (и))'
У2 cos (<oc и + β# (и))
]^2sin (<осм + βα (ί/))
(53)
s (и, a (w)) = У2 bx (и) cos (cocи + β# (и)) +
+ |/2"62(i/)sin (ο^α + β^Φ))· (54)
Учитывая (52)—(54) в (51) и записывая результат в виде трех
скалярных уравнений, имеем
Tf
a(t)=)Ka(ty и) [-У2$Ь1(и)sin [пси +fc(uj) +
Ti
+ ]/2""β£2(и)cos (ω0Μ + βέφ))] (2/N0) [г(и) —УТ8Х (и) cos [®cu +
+ fa(u))— }/TS2(u) sin [(ocu + $a (и))] du, Tt^t^Tf, (55)
Tf
К (0 = - S *ь & ") l^2 sin k u + β^ (")] (2/#o)
X
X [r (a) — У2 b± (u) cos (oc и + βα'(«)) —
-У2Ь% (и) sin (coc и + βα (и))] Л/, Τ, < ί < Γ,, (56)
Tf
Κ (0 = $ #ь (*.и ) Κ2 c°s k и + βα (и)] (2/Ν0) χ
Χ [г (и) — УТЬХ (и) cos (сос и + βα (и)) —
— УТ62 (и) sin (ω, и + βα (w))] <ία, T, < ί < Τ,. (57)
Чтобы упростить (55), отметим, что когда последние два члена
подынтегральной функции умножаются на члены, стоящие в предыдущих
квадратных скобках, произведение не содержит низкочастотных
составляющих. Следовательно, эти два члена не будут влиять на α (ή и их
можно исключить из рассмотрения. Для упрощения (56) и (57)
используем аналогичное соображение, чтобы получить
Tf _
К (t) = $ Kb (t, и) А [J/2 cos (ω, u + fa (u)) r (u) - bx (u)} du,
Tt^t^Tf. (58)
239

Но (58) сводится к
Tf _
к (0 = \ hL (t, u)-H V 2 cos (ωβ и + βα (и))] г (и) du, (59)
I
если Hl (U и) удовлетворяет уравнению (42). Точно такое же
рассуждение справедливо и в отношении b2 (t). Поэтому
т/ _
α (Ζ) = \ duKa (t, и) -^ г (и) {~]/2 fb, (и) sin (ω, и + fa (a)) +
+ |/ 2"βδ2 (и) cos (ω, и + fa (и))}, Τ, < f < Г,, (60)
что и требовалось доказать. Видим, что (60) и (49) тождественны. Этот
результат интуитивно представляется закономерным и вытекающим из
предыдущих результатов. Замечаем также, что по аналогии с простым
примером на стр. 229 алгоритм совместной оценки является
оптимальным, так KaKS2(^, α (ή) равно постоянной величине плюс
высокочастотный член, которым можно пренебречь.
Теперь после того, как установлено, что совместная оценка
оптимальна, можно использовать уравнения приближенной реализуемой
оценки по максимуму апостериорной вероятности из гл. 7 [(7.67) и
(7.68)].
8.2.4. Алгоритмы реализуемой оценки по максимуму апостериорной
вероятности и по минимуму среднеквадратической ошибки
Сначала заново сформулируем поставленную задачу посредством
переменных состояния так, чтобы можно было использовать уравнения
реализуемой оценки, выведенные в гл. 7. Предполагается, что все
относящиеся к той задаче процессы имеют представления состояния с
конечным числом измерений. В частности, для сообщения можем записать
*м (t) = FM (t) XM(t) + G^ (t) uM (t), (61)
a(t) = CM(t)xM(t), (62)
где
Ε [uM (t) uM (τ)] = QM δ (t—τ). (63)
Для канальных процессов
Xch. (0 = Fch (/) xch. (t) + Gch (/) uch. (0, ι = 1, 2, (64)
bi (t) = Cch (ή Xch. {t), i = 1, 2, (65)
где
Ε [uch. (t) uTch. (τ)] - Qch δ (f—τ), / = 1,2. (66)
240

Все перечисленные уравнения можно объединить в одно уравнение
состояния, введя в рассмотрение векторный процесс
χ(0:
~xM(t) '
Xcht (t)
-Xch2 (t)j
(67)
Если сообщение является &т-мерным, а канальные
процессы—Химерными, то процесс χ (t) имеет (km + 2&сь) измерений. Все
последующие рассуждения справедливы для любого конечномерного χ (t).
Однако на одном из этапов нашего изложения нам придется выписывать
различные матрицы и исследовать характер отдельных членов. Чтобы
нумерация была как можно проще, будем полагать, что каждый
процесс имеет единственную переменную состояния. Распространение
такого подхода на общий случай не вызывает каких-либо затруднений.
В соответствии с этим предположением χ (t) является трехмерным
вектором
аЦУ
χ (Ο Δ
Kit)
К (О-
(68)
На основании (7.67) и (7.68) или (7.99) и (7.100) известно, что оценка
определяется уравнениями
*iJP- = F(t)i(t)-P4t)C{t9 i(f))±[r(t)-s{t, ί (*))], (69)
at ΑΌ
dP(t)
ιψ = F (0 Ρ (0 + Pr (0 Fr (t) + PT (t) {[V; (br (/, χ Щт} X
XP(0 — G(/)QGr(i),
(70)
где
F(0 =
G(Q =
Fm(t) 0 0
0 Fch (t) 0
0 0 Fch(/)J
-Gm(t) 0 0 -
0 Gch(t) 0
- 0 0 Gch(f)J
Qm 0 0 1
Q
0 Q
ch
0
Loo QchJ
(71)
(72)
(73)
241

s {t, χ (ή) = Vе! bx (t) cos (ω, t + βα (*)) + У 2 Bt (t) sin (<ое / + ^(/)), (74)
"- VTfa (t) sin (ω, / + βί (0) +
+ y2"p5,(/)cos(We/ + pi(/))
l/2"cos(<oe/ + #(/))
>/2sin(<»c/ + pa(0)
C(f, x(0) =
(75)
b{t, i(t))uC{t, x(/))-£- H0-s(i, x(0)]·
TVo
(76)
Матрица V-[·] имеет два члена, которые обозначим через V- [·]
7(1)
и V- [·]. Первый из них равен
V? [V (t, χ (0)] = -f г (ί) V; [<7 (ί, χ (/))].
(77)
Это член, который связан с принимаемым сигналом в дисперсионном
уравнении. Второй член равен
V"- И (/, χ (ή)] = - -f [С (ί, х(0) С (ί, х(0) +
+ 8(ί,χ(0)νί[σ(ί,ί(ί))]].
(78)
Произведя почленное перемножение матриц и пренебрегая членами
удвоенной частоты, получим
V«[b^(i,x(i))] = -|-r(i)x
yV0
- 1/2 β» ^ (/) Χ
Xcos(a>c* + Pa(0)'— ι
-/2 β* МО X |
Χ sin (шс ^ + βα (θ) 1
■1/2 β sin (ΰΜ+βα(0)[ /2βοο8(ω0^ + βα(/))
—|/"2 8ίη(ω0ί + βα(/))1
/2 cos(coc^a(/)) Ι
2
ι/ο
-0 0 0ί
0 10
_ 0 0 1 J
(79)
Еще раз подчеркнем, что Ρ (ή будет функцией г (t).
Получаемая в результате система представлена на рис. 8.3 в
векторных обозначениях. Эта форма записи компактна, но скрывает
действительную сложность системы. На рис. 8.4 показана#реальная
структурная схема оценивающей части приемника (т. е. той части, что на
рис. 8.3 изображена выше штриховой линии). Заметим, что, хотя дан-
242

r(tj
"+\—ш&\ *^s)' CD—*
(w\ A bi-;| '—p^~l
//s
Динамическая система,
описываемая уравнением (70)
xft)
Рис. 8.3. Структурная схема реализуемого устройства оценки.
ная система внешне и является сложной, ее реализация не встречает
действительных затруднений. Точно так же, как для простых линейных
фильтров в гл. 6 первого тома, все функции, необходимые для
реализации приемника, либо известны, либо их легко можно сформировать.
Этот оптимальный приемник интуитивно представляется вполне
удовлетворительным ввиду того, что он допускает его интерпретацию как
устройства совместной оценки.
г^Р>^&
sftfft))
-sflbfftlsinfcoct+fiatt))
-02ft) cos(Qct+flaMn^b^ y 1
t/s
Fm
alt)
J2nn(b)et+fia(t))
Рис. 8.4. Развернутая структурная схема секции оценки в составе приемника.
243

Более трудным вопросом является вопрос о помехоустойчивости
этого приемника. В следующем параграфе будет выведена граница
Крамера — Рао для каналов со случайными параметрами и граница
«идеального наблюдателя». После этого мы вернемся к рассмотрению
системы угловой модуляции и проанализируем ее поведение при
различных условиях в канале.
8,3. Границы помехоустойчивости и приближенные выражения
В этом параграфе сначала выведены две нижние границы средне-
квадратической ошибки при оценивании a (t). В п. 8.3.1 выведена
граница среднеквадратической ошибки, являющаяся обобщением
границы, установленной в § 5.3 первого тома. В п. 8.3.2 выведена граница
«идеального измерения». В п. 8.3.3. рассмотрены медленно
флуктуирующие каналы. Сначала здесь произведен синтез структуры приемника,
являющейся упрощением приемника, который представлен на рис. 8.4,
затем выполнен приближенный анализ помехоустойчивости
полученного приемника.
Прежде чем приступить к изложению материала, следует указать,
что все рассматриваемые ниже процедуры анализа дают завышенные
оценки помехоустойчивости системы. Для определения реальной
помехоустойчивости системы необходимо осуществить моделирование на
ЭВМ или провести ее экспериментальную оценку путем испытаний.
Результаты, полученные в этом параграфе, надлежит рассматривать
лишь как первый шаг в полном анализе помехоустойчивости.
8.3.1. Граница среднеквадратической ошибки1)
Предполагается, что справедлива модель, введенная в § 8.2.
Процедура вывода аналогична изложенной в § 5.3 первого тома.
Предполагается, что ij-й элемент информационной матрицы равен
Jtj= -± f dt ( dudK'«'U:k) *ММ*:А) gl, (80)
где μ*—i-e собственное значение сообщения a (t). Так как
к
a(0 = U.m. cK(t) = l.i.m. Σ fljiMO» '(81)
*) Первоначально этот вывод был приведен в [2]. При первом чтении этот
параграф можно опустить. Начиная с § 8.3.2 изложение ведется независимо от ма-
териала данного параграфа.
§44

его можш записать в виде
τί Tf
J
«~П
dKr (t, и : aK (t), α^(«))
дак (t)
Χ
dQr (t, и : aK it), ак (и))
Χ r* . *,„ кК ' ψ, (t) % (и) at
duff Tf
-Π
дак (О
d/Cr (/, м : α^ (/), ακ (w)) dQr (ί, и : α^ (*), α^ (μ))
да^ (и)
дак (и)
Χ
Xb(t)ty(u)dtdu+ -^.
Поэтому информационное ядро J χ (t, и) можно записать в форме
(82)
JK(t,u)=—6(t—u)f(t)·
dKr(t, и : aK(t), ак(и))
дак (О
X
dQrit, и : aK(t), ак(и))
дак (и) д
(83)
где
Tf
С дКг (U и : ак (/), ак (и)) dQr (t, w.aM), ак (и))
/ (0 = —^ К } -^ К } du, (84)
J дак (t) дак (и)
i
a QaK (t, и) — обратное ядро усеченного сообщения. Функция,
обратная (83), удовлетворяет уравнению
Tf Tf
j£1(t,u)+ § dzJji1 (t, ζ) ξ dw
Tt Ti
δ (г—w)f (w)-\-
dKr (г, w : aK (z), a^ (до)) dQr (г, до : a^ (2), ακ (до))
аак (ζ)
daK(w)
Χ
Положив /С-> оо, получим уравнение для J-1 (t, и), имеющее вид
Tf Tf
(85)
J'1 (t, и) + jj ώ/-1 (U г) J dw
δ (г—w)f(w) +
+
dKr (ζ, w : a (z), а (до)) dQr (z,w\a (ζ), а (до))
да (ζ) да (до)
245
X
(86)

Далее по аналогии с (I — 5.87) имеем
Tf
(87)
Как и прежде, мы убедимся далее, что для стационарного процесса,
наблюдаемого на бесконечном интервале, результат получается гораздо
проще. Для иллюстрации применения полученного граничного
выражения рассмотрим простой пример.
* Пример 1. Рассмотрим задачу угловой модуляции,
сформулированную на стр. 235. Дополнительно будем полагать, что все
рассматриваемые процессы стационарны, а время наблюдения бесконечно.
Принимаемое колебание записывается в виде
Тогда
г (ί) = -/2 6Х (0 cos (ωβ/ + βα (if)) +
+ νΓ2 62(0δίη(ωβί + βα(/)) + α;(ί), -οο<ί<οο.
Kr [t9 u:a(t), а (и)) = 2Kb (t, u) cos (oc t +
+ βα (t)) cos (coc и + βα (и)) + 2Kb (t, и) sin (oc t +
+ Po(i))sin [<s>eu + pa(u))+ ^6(t—u),
(88)
(89)
dKr (t, и : a(t), a (u))
= —2$Kb(t, u)sm[act +
(90)
+ βα (t)) cos (coc ί/ + βα (и)) + 2βΛΓ& (t, u) cos (coc ί +
+ βα (ί)) sin (ω(.α + βα(^)).
Согласно (44)
Λ^ο aQr (t, и : α (/), α (и)) _ dh(t, u: a (t), а (и)) _
2 da(f) ~ ад(0 "~
= hL(t, и) {— 2β sin (ω^ + βα (ή) cos (соси +βα(^)) +
+ 2β cos (coc ί + βα (ί)) sin (coc 2/ + βα (w))},
где hb (ty и) удовлетворяет уравнению
оо
Zs-hL(t,u)+ J hL(t,z)Kb(z,u)dz =
^ — оо
= Kb(t,u), — οο<ί, и<оо. (92)
[Это ни что иное, как заново написанное (42).] Учитывая (90) и (91) в
(86) и интегрируя по г, получаем
(91)
оо ρ оо
/-1 (U и) = j Ζ"1 (ί, г) U- j 2β2 /Сь (г, χ) hL (г, х)
dx
X
+ Ka(z,t)dz + Ka(t, и),
246
-оо<;ί, и<соо.
(93)

При бесконечных интервалах наблюдения и стационарных процессах
член в квадратных скобках согласно (92) равен постоянной величине
оо
— 2В2 f [
N0 ' J L
55(ω) + (^0/2) J2n
= Α2β»(Ρ6_ξΒ6)> (94)
где Рь — мощность процесса 6 (/), а £иЬ — средний квадрат
ошибки нереализуемой оценки Ь (t). Преобразовав (93) и учтя (87),
получим
t >{ f (NJ2)Sa(to) άω\ (%)
I jL(^o/2) + 2PM^-5«b]5e(Q) 2π]'
Видим, что граница имеет точно такую же форму, как и в случае
фазовой модуляции в канале без замираний [см. (I—5.128)]. Для канала
с известными и постоянными параметрами член, стоящий в квадратных
скобках, равен мощности Р. В рассматриваемом случае этот член равен
среднему квадрату значения величины Ь\ (/):
6?(0 = MOMO=/V-6«b. (96)
Позднее будет установлено, что граница, которую мы только что
получили, недостаточно точна. Поэтому выведем вторую границу,
которая обычно дает более точную оценку действительной среднеквадрати-
ческой ошибки.
8.3.2. Граница идеального измерения
Рассмотрим задачу совместной оценки, возникающую при
необходимости оценить два статистически независимых случайных параметра
а и Ь. Нас интересует среднеквадратическая ошибка при оценивании
параметра а. Интуитивно очевидно, что если параметр b известен или
может быть измерен точно, то наименьшая среднеквадратическая
ошибка при оценивании параметра а не должна превышать ошибки,
допускаемой в том случае, когда на самом деле необходимо оценить
параметр Ь. Докажем теперь это положение.
Предположим, что результат наблюдения представляется
вектором г. Средний квадрат ошибки равен
оо
E[{a(r)-aY] = HdRdA pr|a(R, Л)[а(Я)-Л]2 =
— оо
оо
= ^dKdAdB Pt,a\b(R, A\B)Pb(B)[a(R)-AY =
— оо
оо
= ^E[{a(r)-AY\B]pb(B)dB. (97)
247

Если бы было известно, что Ь = В, то можно было бы использовать
процедуру оценивания, которая бы зависела от В, скажем а (г, В). Теперь
предположим, что мы выводим нижнюю границу среднеквадратичен
ской ошибки, получающейся при использовании любой оценки. Иначе
говоря, покажем, что
Е[{а(г,В)-АУ\В]^у(В) (98)
для каждой а (г, В). В действительно рассматриваемой задаче оценка
равна а (г). Однако любую оценку а (г) можно считать вырожденной
оценкой а (г, В). Поскольку (98) справедливо для каждой а (г, В), то
E[{a(r)-A)2]^y A\y(B)pb(B)dB (99)
для каждой а (г).
Далее заметим, что мы уже располагаем границей вида (98). Это
хорошо известная нам граница Крамера — Рао для одной величины,
где
У(В)=\-Е
д21пРт\а, Ь&\А> В) дЧпра(А)
дЛ2 дЛ2
Подставляя (100) и (98) в (97), получаем
оо
дПпРг{аЬ(ЩА,В)
(100)
£ [(а (Р)-Л)'] >${-*(-
ал2
~Е{—Si—)} Pb{B)dB· (101>
Заметим, что правая часть (101) всегда столь же велика, как
результат, получаемый при использовании границы Крамера — Рао для
нескольких величин, так как
E[f-^x)\>E[[f{x)]]-\ (102)
Отметим, что граница идеального измерения из интуитивных
соображений представляется весьма пригодной для задачи оценки
параметров сигнала в релеевском канале ввиду того, что оптимальный
приемник осуществляет измерение параметров канала.
Для применения границы (101) сначала вычисляем границу для
задачи, в которой
Γ(ί)=/2"6ι(0εοδ(ωοί + βα(0) +
+ У2~b2(t) sin {(uct + pa(t))+w(t), (103)
полагая вначале, что Ьг (t) и b2 (t) — известные функции, а затем
осуществляя усреднение по Ьг (t) и Ь2 (ή. В общем случае сделать это
может оказаться затруднительно. В следующем параграфе мы
рассмотрим случай, когда можно получить хорошее приближение к решению
данной задачи.
248

8.3.3. Синтез приемника и анализ его помехоустойчивости
для каналов с медленными замираниями в квазистационарном
приближении
Оптимальный приемник, синтез которого был произведен ранее,
осуществляет совместное оценивание а (/), bx (t) и b2 (t). Точность этих
оценок зависит от мощности сигнала, плотности шума Л/0/2, параметра
β и спектров процессов a (t) и Ъх (/)· Во многих случаях спектр
колебания bx(t) бывает значительно более узким, чем спектр сообщения a (t)9
и среднеквадратическая ошибка оценивания параметров канала мала.
Когда это условие соблюдается, задачи синтеза оптимального приемника
и анализа его помехоустойчивости сильно упрощаются. В этом
параграфе мы исследуем этот частный случай и обоснуем соответствующие
упрощения. В заключение сравним помехоустойчивость приемника при
указанных условиях с границами, выведенными в предыдущих
параграфах. Чтобы проиллюстрировать используемые методы, рассмотрим
два примера.
Пример 2. Этот пример из области фазовой модуляции несущей.
Он является обобщением рассмотренной в гл. 3 проблемы
синхронизации на случай, когда сигнал синхронизации проходит по релеевскому
каналу.
Принимаемый сигнал записывается в виде
r(t) ^YTb^t) cos [ωβί +a(t)) +
+ V2 b2(t) sin [<uct + a(t))+w(t). (104)
Фазовая модуляция описывается выборочной функцией винеровского
процесса
a(u) = u(t)9 (105)
E[u{t)u(x)]=q1§{t—τ). (106)
Прежде всего упростим структурную схему приемника,
изображенную на рис. 8.4. Предположение о том, что ошибка измерения
параметров канала мала, означает, что Р22 (ί) и Р33 (t) в (70) имеют малое
значение. Это, если основываться на эвристических соображениях,
позволяет пренебречь недиагональными членами матрицы Ρ (/). Сначала
заметим, что
P2i(t)<lPn(t)P2At)]1'2, (107)
P*(t)<lPii(t)P*sW2. (108)
При рассмотрении рис. 8.4 можно заключить, что
Zi(0 = Pu(u[(MU+^)/2~cos(cM +
+ βα(/)) + (-М0 + ^|)/2 sin (<Μ + βί(0)
(109)
Следовательно, в пределе при
/>„(<)-> 0 и P3B(t)-+0, (ПО)
249

вторым слагаемым в обеих парах в больших круглых скобках в
выражении (109) можно пренебречь.
Надо не только показать, что можно пренебречь членами Р12 (t)
и Р13 (t) в приемнике, но и необходимо убедиться, что они не влияют на
решение для Рп (t) в (70). Производя почленное перемножение в (70)
и учитывая (78), (107) и (109), можно эвристически обосновать, что этой
связью можно пренебречь. Таким образом, (70) сводится к
единственному скалярному уравнению
Рц (0=-Я?1(0 ^r[b1{t)b1 (t) + b2 (t)b2 (Щ+q,. (Ill)
Для получения (111) мы также пренебрегли членами с удвоенной
частотой в Vx (·) и вкладом, обусловленным шумом η (ί). Так как
предполагается, что ошибка измерения параметров канала мала, то полагаем
ЬЛЪ^ВЛ), (112)'
МО^МО· (ПЗ)
Выражение в квадратных скобках в (111) есть ни что иное, как
квадрат оцениваемой огибающей
vcb(t)A{bl(t) + bUt)Y'2 (П4)
(заметим, что (114) определяет vct, (t)). Тогда
PiAt) = -PlAt)^vUt) + qx. (115)
Теперь предположим, что Рг1 (ή изменяется достаточно медленно, так,
что можно пренебречь ее производной Ри (ί). Если это условие
выполняется, то
Pn(t)^Vq„lNo/2'. (П6)
ΌCh (/)
Получающийся в конечном итоге приемник показан на рис. 8.5/
Заметим, что устройство оценки параметров канала содержит две
такие же структурные ветви (тракты обработки), как и структурная
схема рис. 8.4 (нижние тракты). Хотя для построения устройства
оценки сообщения предполагалось, что Р22 (t) и Р33 (ή стремятся к нулю,
для построения устройства оценки параметров канала их
действительные значения необходимо удержать. С другой стороны, на практике
мы бы пренебрегли Р12 (ή и Р13 (ί) при построении демодулятора. ·
Нетрудно видеть, что по своей структурной схеме этот приемник
представляет собой адаптивный вариант приемника канала
синхронизации, структурная схема которого была приведена на рис. 3.1.
Заметим, что при vch (ή -> 0 коэффициент передачи Pn (t) стремится к
бесконечности. Практически на пределы изменения (динамический диа-
250

пазон) Pu (t) обычно устанавливают ограничения. Например, мояШб
потребовать, чтобы
VqJhJT
VqiNb/2
■<Pn(t)<
0,lE[vch(t)}
10E[»ch(/)]
Для определения среднеквадратической ошибки оценивания
сообщения необходимо усреднить vch (t) с соответствующей плотностью
вероятности. Если предположить, что ошибка оценки параметров ка-
rft)
\
I >fi
S
^
-JIbjftlsinfco
+ s[2b2(t)cos(u)
fo,*O/2 I
Vch(t) Г
ct+Ш)
et+d(t))
+r
Л
Устройство
оценки
параметра
ι ианала
Л-ф-
ι
1
~s
Фазовый
модулято1
т-ш ,
f*v
Г vS
J V<
>
]b2ft)
J
I p.
г
с
\
Фазовый
юдулятор
'.αϊ
<a(t)
Рис. 8.5. Приемник для каналов с медленно изменяющимися параметрами.
нала мала, то можно допустить, что vCh (0 является релеевской
величиной vCh- Тогда плотность вероятности величины Ъсъ описывается
законом
к^у-
. e-v/2·»·, v^o,
где
В результате
О, У<0,
σ2Δ£[έ2(0]=σ!-|ρ6.
(П7)
(118)
Ε [Ри (t)] ~ (ΐ±Μ±.γ2 J ± e-v>,2o> dv =
0
' π^ΛΤρ \ι/2
2K~M j
(119)
Отметим, что для получения результата в примере 1 были сделаны
три предположения: 1) ошибка измерения параметров канала мала;
2) членами, учитывающими взаимную связь параметров, можно пре-
251

йебречь; 3) справедливо квазистацйонарйое решение дисперсионного
уравнения.
Если указанные предположения справедливы, то можно найти
приближенное выражение для помехоустойчивости приемника.
Следует заметить, что нет нужды проделывать весь этот вывод для каждой
новой задачи угловой модуляции. Из рассмотрения (104), (111), (114),
(115) и рис. 8.5 следует, что мы решаем задачу угловой модуляции из
гл. 5 (см. рис. 5.3) при
Ϋ Р = и{
ch·
(120)
Мы синтезируем приемник, считая исъ известной постоянной
величиной. Далее вычисляем помехоустойчивость приемника, полагая uch
заданной и равной этому значению. Ошибку в этом случае называют
условной стационарной ошибкой ξρ (vCh)-
Все результаты, полученные в гл. 3, 4 и 5, непосредственно
применимы для вычисления ξρ (vch)- Безусловная ошибка ξρ^ получается
усреднением 1Роо (V) с плотностью pfch (V):
оо
e-v*/2o*dVy
(121)
где σ2 определяется (118).
В примере 2 ошибку ζΡοο (V) мы использовали как предсказываемую,
исходя из линеаризованной модели, для вычисления (121). Опишем
коротко более эффективную процедуру аппроксимации ξρ^ (V).
Дисперсию σ2 можно записать непосредственно через спектр
вариации параметра канала, используя формулу (I—6.152). Сначала
заметим, что
1рь =
*н
1 +
2Sb (ω)
N0
da
2л.
(122)
σί = J Sb(a>)
— оо
Используя (122) и (118), получаем
2π
оо
σ» = σ!-*-· Γ 1η[ΐ + ^Μ1*ϊ> =
2 J L iV0 ]2π
ol
оо
μ^ 1ηΓ1 , 2Sb(<u)lda>
2σ| J I ' Ν0 J 2л
(123)
= alll-bh„l (124)
При анализе помехоустойчивости системы важно помнить, что средняя
принимаемая мощность равна 2σ|.
252

Выражение (121) дает СреднекваДратическую ошибку реализуемой
оценки. Аналогичный анализ можно провести и для нереализуемой
среднеквадратической ошибки. В результате получим
l«=\lu(V)^z-v*l^dV, (125)
где 1и (V) — условная нереализуемая ошибка, вычисленная, как в
гл. 5, при V = VР. Подставляя (5.6) в (122), получаем
оо оо
I =fIe-v/2o. Г ё-М iirfv, (12б)
0 — оо
что и является искомым результатом.
Квазистационарный анализ исходит из линеаризованной
модели среднеквадратической ошибки в петле. Трудность в связи с этим
предположением заключается в том, что независимо от среднего
отношения сигнал/шум на приеме всегда могут быть периоды времени, когда
имеется глубокое замирание и мощность принимаемого сигнала
практически равна нулю. В течение этих периодов петля ведет себя
нелинейно и ввиду этого линейный анализ теряет силу. Ранее в качестве
критерия линейности режима мы использовали среднекваДратическую
фазовую ошибку петли. Весьма приближенно замирания можно учесть,
вычислив ξθ (V) по формуле (5.3):
оо
b(V)=^ Г 1пГ1 + ^^И1К(/С0)П^
Ъ V ' 2^2 J [ Nq \2n V '
Далее мы выберем уровень ограничения σ| и докажем, что если
ξθ(1/)<σ?, (128)
то линейный анализ справедлив. Если же
h(V)>ol (129)
то петля разомкнута.
Среднеквадратическая ошибка оценки сообщения, когда петля
находится в разомкнутом состоянии, зависит от характеристик УГ и
других конкретных особенностей фактической реализации системы.
Обозначим эту среднекваДратическую ошибку через σ*.
Для отыскания полной среднеквадратической ошибки сперва
подставим (127) в (128) и разрешим его для того значения V,
обозначаемого через V*, при котором
ЬЮ = о?. (130)
253

Затем запишем
/ оо
Sa (ω) άω
l*u(V) =
С Sa((x)) Ло^ у у
J l+Sa(«>)\K(i«>)\*(2VVN0) 2π ' ^ *'
(131)
σί, V<:Vm.
Подставив (131) в (125) и проинтегрировав, получим
|и = а;[1-е-"*^>]+ I Лее-*χ
V|/(2a«)
оо
χ Г SaH *». (132)
ОО
Аналогичный результат можно получить и для реализуемой средне-
квадратической ошибки. Точность формулы (132) зависит от выбора
<*х и of. Для ориентировки при выборе значений σ| и σ* необходимо
располагать некоторыми экспериментальными данными или
результатами моделирования на ЭВМ.
Формулы (124) и (132) являются главными результатами
выполненного выше квазистационарного анализа. В разбираемом ниже примере
мы произведем квазистационарный анализ для типичной системы
угловой модуляции.
Пример 3. В этом примере рассмотрим систему частотной модуляции,
в которой сообщение имеет однополюсный спектр
Se(a>) = —**_. (133)
Принимаемое колебание записывается в виде
t
г (t) = УТЬХ (t) cos (a>c t + df ξ a (u) du) +
+ YJbi(t)sm[aJ + df\a(u)du) + w{t)\ — oo<i<oo. (134)
Канальные процессы bx (t) и b2 (t) имеют идеальный ограниченный по
ширине спектр
Ιησ1
^Г' |(0|<Ach' (135)
О, |co|>£ch.
Сначала вычислим нереализуемую среднеквадратическую ошибку
оценки сообщения. Согласно (4.80)
κ*-Μ*)(ΞΓΓ·
254

Средний квадрат ошибки при оценивании Ьг (t) определяется
в соответствии с (122) и (135) в виде
• *·*-,„ Л+£±). (137)
2π
Введем теперь в рассмотрение величину
Ль Δ
2πσ|
(138)
являющуюся отношением сигнал/шум в полосе канала, и величину
(139)
Λ^Δ—ί
m-w0
являющуюся средним отношением сигнал/шум в полосе сообщения.
Учитывая (137)—(139) в (136), после упрощения получаем
V \-ι/2
«·™-(,+ί(τ)(τ<·-ω)"·τ!
Далее нам необходимо вычислить ξθ· Согласно формуле (4.54)
™-&{-«+Ит)(£)"Г
(140)
(141)
Подстановка (141) в (130) дает искомое значение V*.
Чтобы пользоваться формулой (132), необходимо знать значение
а%. Поскольку дисперсия сообщения равна единице, требуется, чтобы
= 2 (142)
ol-
достигалось даже под порогом.
Теперь мы располагаем всеми данными, необходимыми для
численного определения (132). Результаты вычислений показаны на рис. 8.6
для σ? — 0,1 и различных
значений df Ik. По горизонтальной £йг\
оси откладывается величина
['-£мч-*4
соответствующая эффективному
отношению сигнал/шум в полосе
сообщения.
Целесообразно еще раз
остановиться на ограничениях
(условиях), которые имелись в
виду при рассмотрении примера 3.
1. Изменения параметров
канала должны происходить доста-
К'|
10
1
~
-
бп III L·
f G/
1 I 1 I 1 111
*ctf/k=10
"0,1 |
__J I I I II II
30
10*
103Am\-Un(l*Ab\
Рис. 8.6. Нереализуемая среднеквадрати-
ческая ошибка оценки сообщения в
канале с замираниями (анализ в
квазистационарном приближении).
255

точно медленно, чтобы был справедлив анализ в
квазистационарном приближении.
2. Измерение параметров канала осуществляется точно.
3. Задача повторного вхождения в синхронизм (повторного захвата)
после глубокого замирания не рассматривается.
4. Полученные результаты не подтверждены экспериментально.
Ввиду указанных ограничений среднеквадратические ошибки,
предсказываемые исходя из квазистационарного приближения, могут быть
недостижимыми на практике. Поэтому кривыми рис. 8.6 не следует
пользоваться для оценки помехоустойчивости конкретной системы,
не имея экспериментального подтверждения.
Этим примером завершается рассмотрение помехоустойчивости
приемника. В следующем параграфе мы подытожим основные
результаты этой глявы.
8,4, Краткие итоги
В этой главе изучалась проблема передачи аналогового сообщения
по релеевскому каналу. В §8.1 и 8.2 была сформулирована задача
и проведен синтез приемника. При синтезе приемника исходным
моментом было установление оценки по максимуму апостериорной
вероятности для интервальной оценки сообщения; после этого было показано,
что совместное оценивание сообщения и параметров канала дает такой
же результат. Это позволило использовать уравнения приближенной
реализуемой оценки по максимуму апостериорной вероятности,
которые были выведены ранее в гл. 7. Как указывалось до этого, эти
уравнения одновременно являются и уравнениями приближенной
реализуемой оценки по минимуму среднеквадратической ошибки. Используя
введенную модель релеевского канала в уравнениях оценки, мы
получили структурную схему приемника, представленную на рис. 8.4.
Приемник оказался довольно сложным, но. при необходимости его
можно реализовать, так как все определяющие его структур у функции
оказались реализуемыми.
В § 8.3 сперва были выведены некоторые границы
помехоустойчивости, а затем исследован частный случай канала с медленными
замираниями, который соответствует наиболее важной задаче, так как
аналоговая модуляция, по-видимому, будет эффективной только в
канале этого типа. Оптимальный приемник для этого случая сводится
к адаптивному варианту демодуляторов в виде систем ФАПЧ, которые
подробно изучались в главах 3—5 (см. рис. 8. 5). В приемнике
производится оценка параметров процессов, происходящих в канале; эти
оценки используются в демодуляторе сообщения, входящем в состав
приемника.
Затем была предпринята попытка вычислить помехоустойчивость
приемника. Точный ее анализ оказался затруднительным ввиду нели-
нейностей и взаимной связи между устройствами оценки сообщения
и параметров канала. Чтобы получить некоторое представление о
помехоустойчивости системы, была рассмотрена процедура анализа
в квазистационарном приближении. Чтобы реультатами этого анализа
256

можно было пользоваться уверенно, необходимо сочетать их с данными
экспериментальной проверки.
Существует ряд родственных вопросов, которые не были
рассмотрены в данной главе. Первый из них — вопрос передачи аналоговых
сообщений по каналам с замираниями посредством цифровых систем
связи. Рассмотрение этого вопроса потребовало бы распространения
сравнительного анализа, проведенного в гл. 6, на каналы с
замираниями. Для простых цифровых систем эту задачу можно выполнить,
используя вероятности ошибки из табл. 6.3 (см. задачи 8.4.1 и 8.4.2).
Вторым вопросом, не нашедшим отражения в данной книге,
является исследование стратегий повторного вхождения в синхронизм
(повторного захвата фазы), позволяющих обеспечить работу оптимального
приемника после периода глубокого замирания. Такое исследование
будет в основном носить экспериментальный характер.
Третий вопрос — синтез субоптимальных приемников, которые не
столь сложны, как оптимальный, но все же вполне адекватны по
помехоустойчивости. Некоторые типичные приемники такого рода
рассмотрены в задачах.
Четвертый вопрос — это вопрос о более общих моделях каналов·
Некоторые простые обобщения релеевского канала были даны в § 8.1,
другие обсуждаются в задачах. В третьем томе модели каналов со
случайно изменяющимися во времени параметрами будут рассмотрены
подробно.
Последний вопрос — использование систем разнесения для борьбы
с замираниями. Эта проблема кратко рассмотрена в п. 9.1.2. Этим
завершается рассмотрение проблемы передачи аналоговых сообщений по
каналам со случайно изменяющимися параметрами.
,В первых главах изложение материала было нацелено на то, чтобы
дать читателю полное представление о рассматриваемом вопросе.
В этой главе преследовалась другая цель, а именно: дать читателю
введение в обсуждаемую проблему и заложить фундамент для дальней"
шего ее изучения.
8,5. Задачи
Задачи к § 8.2. Синтез оптимального приемника
для релеевского канала
Задача 8.2.1. Модель райсовского канала была рассмотрена в [4].
1. Сформулировать эту модель точно и выполнить синтез
оптимального приемника (указание: см. [1] и задачу 7.2.10).
2. Конкретизировать результат по п. 1 для случая, когда
процессы описываются матрицей (68).
3. Рассмотреть два частных случая, когда m = 0 и ol = 0.
Убедиться, что полученный приемник сводится к правильной
структурной схеме.
9 Зак. 1128 257

Задачи к § 8.3. Границы помехоустойчивости
и приближенные выражения
Задача 8.3.1. Предположим, что сигнал ДБП—AM--ПН
передается по релеевскому каналу. Принимаемый сигнал имеет вид
г(t) = Y^vch(t)a(t) sin [ioct + ych(t)) + w(t), — оо<^<оо.
Допустим, что
5α(ω)-2&/(ω2+Ρ),
( зхсг £
{ 0, M>fcch.
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
2. Предположим, что параметры канала по сравнению с
сообщением изменяются медленно. Рассмотреть различные субоптимальные
приемники.
3. Провести анализ помехоустойчивости приемников п. 2.
Задача 8. 3. 2. Повторить задачу 8. 3. 1. для системы ОБП—AM—ПН
Задача 8.3.3. Рассмотрим модель из примера 3. Допустим, что
принимаемое колебание имеет вид.
г (0 - У 2 vch (t) cos (ωΓ / +βθ (Ζ) + cpch (0) + «> (0. — οο < / < οο.
Все прочие допущения, сделанные в примере 3, сохраняют силу.
Выполнить для этой задачи анализ в квазистационарном приближении.
Задачи к § 8.4. Краткие итоги
Задача 8.4.1. Предположим, что сообщение имеет ограниченный
по ширине спектр. Сообщение подвергается дискретизации и
квантованию, как было показано в § 6.2. Допустим, что используются
квантование по критерию наименьшей среднеквадратической ошибки и
двоичное представление из табл. 6.2. Двоичные символы передаются по
релеевскому каналу с использованием ортогональной системы ЧМи
поэлементного декодирования на приеме.
1. Построить структурную схему приемника.
2. Использовать результаты из табл. 6.1 и 6.3 для вычисления
полной среднеквадратической ошибки.
Задача 8.4.2,
1. Повторить задачу 8.4.1 для ортогональной системы ЧМ в
предположении идеального измерения параметров канала (см. табл. 6.3).
2. На практике параметры канала можно измерять путем передачи
известного сигнала, каким, например, является синусоидальное
колебание постоянной частоты. Произвести анализ ошибки измерения,
параметров канала как функции мощности передаваемого сигнала.
Предположим, что
( п°1
{ о, M>*ch.
258

3. ^Построить структурную схему полного приемника (включая
устройство измерения параметров канала и решающее устройство).
4. Среднеквадратическую ошибку, вычисленную в п. 1, можно
модифицировать, чтобы учесть два фактора: 1) измерение параметров
канала осуществляется не точ-
rft)
ttahftl]
Ji ί
-1
Flrgtfv)
УГ
■ст-j
0r(t)
+
9>сьМ
но; 2) часть имеющейся
мощности используется для измерения
параметров канала.
Модифицировать анализ
п. 2 с учетом этих факторов.
Обсудить вопрос о том, как
оптимизировать разделение
мощности между сигналом,
предназначенным для переноса
информации, и сигналом,
предназначенным для измерения
параметров канала.
Задача 8.4.3. Оптимальный приемник для релеевского канала с
медленными замираниями можно построить по схеме, изображенной на
рис. 8.1*, где
(1*)
(2*)
Рис. 8.1*.
i:h(04(*i(0 + 62(0)1/2.
<Pch(OAarctg
Μ')
МО
Предположим, что
r(t)^Y^vcUt)sin((uct + №(t))+<pch(t)) + w(t), - οο<ί<οο,
Se(o>) = 2£/(cD2 + &2),
nal/kcht |co|<£ch,
0, |co|>&ch.
1. Синтезировать систему в предположении, что vch (t) и cpcll (t)
медленно изменяющиеся функции и
^ch (t) = t>ch (Or
Фсь(0 = Фси(0·
5,(ω) =
(3*)
(4*)
(5*)
2. Сначала необходимо исследовать чувствительность
к ошибкам оценивания огибающей. Предположим, что
d0b(t) = E[veb(t)]
(6*)
(7*)
системы
(8*)
фиксирована, и в соответствии с этим синтезируем систему. Допустим,
что условие (7*) выполняется. Используя линейный
квазистационарный анализ, построить графически зависимость ξθ от vch (t) для
0,lvch(t)<vch^Wvch(t).
(9*)
9*
259

3. Из результатов п. 2 следует, что можно не учитывать оценки
огибающей (или, иначе, ее можно устранить при помощи полосового
ограничителя) и сосредоточить внимание на оценке q)ch (t).
Субоптимальная простая структурная схема получается, если предположить,
что (pch (t) — гауссов случайный процесс. Построить такой приемник,
как в задаче 4.4.5. Какой следует выбирать задержку τά?
Синтезировать приемник, используя предлагаемый метод, и
сравнить его помехоустойчивость с помехоустойчивостью приемника,
рассмотренного в п. 2.
Задача 8.4.4.
1. Повторить задачу 8.4.3 для случая, когда
t
г (t) = /2 vch (t) sin {(oct + df^a (и) du + ych (t)) + w(t),
ίπ/£, |ω|<*.
aK ; i ο |ω|>*.
2. Обсудить, какой вид угловой модуляции представляется
наиболее подходящим для передачи информации по релеевскому каналу.
Задача 8.4.5. Рассмотрим задачу измерения фазы синусоидального
колебания, которое было передано по релеевскому каналу. Принятое
колебание имеет вид
r(t)=VTvch(t)sin{(Oct + e(t) + <pch(t)) + w(t)9 -oo<t<oo}
при этом
δθ(ω)= l/Td(D2.
Процесс изменения параметра канала описывается (135).
Предположим, что параметры канала изменяются медленно, так что синтез
приемника и анализ его помехоустойчивости в квазистационарном
приближении справедливы. Необходимо вычислить среднеквадратическую
реализуемую ошибку при оценивании θ (ί).
1. Найти Ηθ(1/), используя линейный анализ.
2. Решить (130) для К*.
3. Предположим, что δΐ = 2π2/3. На чем основывается это
предположение?
4. Найти уравнение, аналогичное (132), для Iq. Заметим, что это
выражение можно вычислить аналитически.
5. Построить зависимость ξθ от Ат для различных значений Аь и
σΐ
Список литературы
1. Van Trees H. L. Analog Communication over Randomly Time-Varying
Channels, v. IEEE Trans, v. IT-12, Jan. 1966, № 1, p. 51—63.
2. V a n Trees H. L. Bounds on the Accuracy Attainable in Estimating
Continuous Random Processes, IEEE Trans, v. IT-12, July 1966,№ 3, p. 298—305.
260

9. ОБСУЖДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ РОДСТВЕННЫХ ВОПРОСОВ,
ИТОГИ ВТОРОГО ТОМА И КРАТКИЙ ПРОСПЕКТ МАТЕРИАЛОВ,
ИЗЛОЖЕННЫХ В ТРЕТЬЕМ ТОМЕ И В ОТДЕЛЬНОМ
ВЫПУСКЕ „ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ".
В этой главе рассмотрены три вопроса:
1. Проблемы, которые тесно связаны с проблемами, подробно
изложенными во втором томе.
2. Краткие итоги основных разделов теории, освещенных в данном
томе. Цель подобного резюме — еще раз проследить логическую
структуру изложения материала, а не перечислять конкретные результаты.
3. Краткий очерк материала, охватываемого третьим томом и
небольшой книгой «Пространственно-временная обработка сигналов».
9.1. Некоторые родственные вопросы
В этом параграфе рассмотрим некоторые вопросы, которые тесно
связаны с материалом, изложенным в настоящем томе. Во всех
случаях дается краткое изложение, ибо подробное и законченное
рассмотрение увело бы нас слишком далеко в сторону от основной темы.
9.1.1. Многоканальные системы
На протяжении всего изложения в данном томе рассматривалась
проблема передачи одного аналогового сообщения a (t). Во многих
системах связи необходимо передавать большое число сообщений
одновременно, используя одну и ту же радиочастотную несущую. Системы,
выполняющие эту задачу, называются многоканальными.
Основная идея многоканальной системы чрезвычайно проста.
Необходимо осуществить отображение сообщений в передаваемый сигнал
таким образом, чтобы на приемной стороне можно было произвести их
разделение. В принципе существует много способов такого
отображения. На практике почти все системы можно разделить на два типа:
многоканальные системы с частотным разделением или временным
разделением.
В многоканальной системе с частотным разделением сначала
каждым сообщением модулируются соответствующие поднесущие,
имеющие различные частоты. Поднесущие достаточно разнесены по частоте,
261

так что модулированные поднесущие занимают неперекрывающиеся
полосы частот. Модулированные поднесущие суммируется и
результирующим групповым сигналом модулируется основная несущая.
В приемнике основной групповой сигнал демодулируется и результат
пропускается через фильтры с неперекрывающимися полосами
пропускания, средние частоты которых совпадают с частотами поднесущих.
Затем выходные сигналы фильтров подаются на демодуляторы,
осуществляющие выделение исходных сообщений. Общая структурная
схема многоканальной системы с частотным разделением показана на
рис. 9.1. Одной из широко используемых систем такого вида является
σ,ίύ)
<*М

Модулятор ω1
Μо дуля-
>ajt)

'Модулятор ωΝ
Канал
\
!
Модулятор ω с
\

Демодулятор CJC
Полосовой
фильтр
ω1

Демодулятор
ω1
Полосовой
фильтр

Демодулятор
ω2
af(tl
a2(t)
Полосовой
фильтр

Демодулятор
aN(t)
Рис. 9.1. Многоканальная система с разделением по частоте.
система ОБП—AM — ПН/ЧМ (т. е. однополосная модуляция с
подавлением несущего колебания на поднесущих и частотная модуляция
основной несущей). Эта система используется для передачи речевых
сообщений по телефонным каналам большой протяженности. Она
кратко обсуждается в задаче 9.1.1. Второй распространенной системой
является система ЧМ/ЧМ. Этот метод многоканальной передачи— один
из стандартных в радиотелеметрических системах. Мы его кратко
рассмотрим в примере ниже.
В многоканальной системе с временным разделением сначала
производится дискретизация (взятие отсчетов) каждого сообщения, как
показано на рис. 9.2. Далее можно передавать эти отсчеты, используя
АИМ, ЧИМ, ФИМ или ШИМ. Можно поступить иначе: применить
квантование отсчетов и использовать цифровую систему передачи. В любом
случае основные операции, осуществляемые приемником, будут
аналогичны тем, которые были рассмотрены в п. 4.2.2, 4.2.3 первого тома
и в гл. 6 настоящей книги. Заключительной операцией является
разделение отсчетов посредством стробирования. Существует ряд
практических проблем, связанных с реализацией приемника этого типа, но здесь
нет новых теоретических вопросов и поэтому мы рассматривать его не
будем.
Общей чертой многоканальных систем обоих типов, как нетрудно
заметить, является то, что модулируемые поднесущие ортогональны.
262

Этим и объясняется способность приемника производить разделение
различных ~ сообщений. Можно построить ортогональные
многоканальные системы и других типов, однако эти две наиболее
распространенные. Для иллюстрации некоторых идей, связанных с синтезом
системы, рассмотрим
простую многоканальную систе- а а ^»
му с частотным разделением. ;
Интересующая нас
система изображена на рис. 9.3.
Поднесущие модулируются по
частоте сообщениями, после
суммирования групповой
сигнал модулирует по фазе
основную несущую. Такая
система называется системой
ЧМ/ФМ. (Напомним, что, как
следует из материала глав 4
и 5, ее можно также
рассматривать как систему ЧМ/ЧМ
с введением предыскажений.
Эта система кратко
обсуждается в задаче 9.1.3.)
Передаваемый сигнал здесь
записывается в виде
ZT
зт
\az(t)
τ/ν
sT{t, a(.))=K2Pcsin ω^ +
— * /
+Κ2βο2Λ$ίη UV +
t \
+ df. [ai(u)du
. 2T
3T
Одинаковые дискретизаторы
Вплоть до aN(t)
ι lltll tit
4 Τ Ι υ I Jr
X 2 ^sin(co^ + 0^))
(1)
123Ч-123Ч-123Ч12
Составное колебание. (N=¥)
Рис. 9.2. Коммутация (взятие отсчетов)
в смещенные моменты времени в
многоканальной системе с временным разделением.
Предполагается, что каждое сообщение является выборочной
функцией статистически независимого гауссова случайного процесса с
нулевым средним, дисперсией о% и спектром Sa(co). Среднеквадратическая
ширина спектра модулированной поднесущей равна dfi σα, а разнос по
частоте между поднесущими достаточно велик, чтобы помехи по
соседнему каналу были пренебрежимо малы. Индекс модуляции
основной несущей равен β0, я передаваемая мощность — Рс. Набор
сообщений обозначим вектор-столбцом а (/).
263

Сигнал передается по одиночному каналу с аддитивным гауссовым
шумом. Предполагается, что аддитивный шум w (f) — выборочная
функция белого гауссова шумового процесса, спектральная плотность
которого равна NJ2. Принимаемое колебание имеет вид
r(f) = sT[U а(«)) + И0> — оо<^<чх).
(2)
Этим и исчерпывается задание модели системы.
Имеется два очевидных пути построения приемника. Первый путь—
демодулировать ФМ основной несущей, используя демодулятор
в виде системы ФАПЧ или дискриминатор, пропустить демодулирован-
ный сигнал через набор полосовых фильтров, чтобы разделить
модулированные поднесущие, а затем демодулировать поднесущие,
используя ФАПЧ или дискриминатор. На основании §5.5 следует ожидать,
Oift)
Частотный
модулятор
у/2 A, sin fVft+tff farfujofu)
aN(t)
Частотный
модулятор
(Разовый
модулятор
Vwft)
sinlcjct+JlficZAi sinfu)£t+0£fu)})
\f2ANsin(u)Nt+df jaNfujdc/)
i=1
Рис. 9.3. Многоканальная система типа ЧМ/ФМ.
что такая система является оптимальной, если демодуляторы работают
в надпороговой области (т. е. при высоком отношении сигнал/шум).
Точное значение помехоустойчивости зависит от конкретной
структурной схемы рассматриваемой системы (см. задачу 9.1.4). При вполне
обоснованных допущениях нетрудно заключить, что формулы из гл. 4
справедливы при
Р = &РСА1 (3)
Таким образом, нереализуемая ошибка демодуляции сообщения равна
оо
co2Sa(co)
2^β,
No Г
tdfA* J
ι — оо
<ίω_
Sa (ω) +(JV„ ω2/2Ρ, β* η. Af) 2π
(4)
Реализуемую среднеквадратическую ошибку демодуляции сообщения
можно вычислить для любого конкретного спектра сообщения.
Второй путь состоит в синтезе оптимального демодулятора
посредством использования метода, изложенного либо в гл. 2, либо в гл. 7.
Чтобы использовать метод из гл. 2, необходимо:
1. Подставить (1) в интегральные уравнения, определяющие
оптимальную оценку. В случае ЧМ/ФМ необходимо использовать несколько
видоизмененный вариант (I — 5.160).
264

2. Интерпретировать интегральные уравнения как
нереализуемую структурную схему устройства оценки (полагая Tt -> оо и
7>-> + оо).
3. Заменить нереализуемые фильтры оптимальными реализуемыми
фильтрами, чтобы получить систему, которая реализуется с
задержкой.
Подробно эта процедура рассмотрена в [1]. Поскольку все ее
этапы аналогичны одномерному случаю, оставляем их в качестве упраж-
К под петле 2
^КН)
ЩМ)
срилылр
после
петли
auJt)
\
Под петля 2
Λ r±\
αΓζ ft!
Π од петля N
arJt)
Рис. 9.4. Оптимальный демодулятор для системы типа ЧМ/ФМ.
нения читателю (см. задачу 9.1.4). Получаемая в результате система
показана на рис. 9.4. Видим, что она содержит основную петлю,
соответствующую основной несущей сос. Внутри этой основной петли
имеется набор из N подпетель, соответствующих поднесущим. (Система
этого типа впервые была предложена в [2]. Заметим, что фильтр
основной петли будет более сложным, чем фильтры, рассмотренные в гл. 3
и 4.) Анализ помехоустойчивости этой системы, когда основная петля
и подпетли работают в линейных областях, несложен (см. задачу 9.1.4).
Как и'можно было ожидать, результат тождествен (4). Различие между
оптимальной системой и обычной системой заключается в их
пороговой помехоустойчивости. Оно рассмотрено в задаче 9.1.5. Поскольку
оптимальная система более сложна, обычно бывает более экономичным
использовать обычную систему и увеличить мощность передатчика.
265

В этом параграфе были кратко рассмотрены многоканальные
системы. Как указывалось ранее, существует ряд задач практического
построения систем, которые лежат в стороне от нашей основной темы.
Интересующегося читателя можно отослать к различным источникам
(например [3, 4]).
9.1.2. Системы с разнесением
Во многих системах связи мощность принимаемого сигнала
вследствие изменений трассы (пути) распространения изменяется во
времени. Впервые мы встретились с каналом такого типа в п. 4.4.2 первого
тома при изучении теории обнаружения. Встречались мы с ним и в
аналоговой системе связи, которая была рассмотрена в гл. 8. В обоих
случаях это был канал с релеевскими замираниями. Трудность
обеспечения надежной связи по каналу такого типа заключается в том, что
независимо от средней мощности принимаемых сигналов существуют
периоды времени, когда эта мощность чрезвычайно мала. В течение этих
периодов значительно возрастает вероятность ошибки (см. рис. I —
4.71) или среднеквадратическая ошибка.
Общепринятым способом борьбы с замиранием является
одновременная передача информации по нескольким каналам. Если
замирания в этих каналах независимы, то весьма маловероятно, что мощность
принимаемых сигналов будет малой во всех каналах одновременно.
Количественное доказательство этого утверждения не встречает
затруднений (см. задачу 9.1.10). Системы с разнесением уже кратко рассмат-
Ф)
Рис. 9.5. Система ЧМ с разнесением по частоте.
ривались в § 4.5 и 5.4 первого тома. Подробно они будут рассмотрены
в контексте проблемы обнаружения и оценки параметра в третьем томе
монографии. В данном параграфе рассмотрим лишь аналоговые системы
модуляции с использованием разнесения.
Л1?канальная система ЧМ с разнесением по частоте показана на
рис. 9.5. Сигнал, передаваемый по ι-му каналу, равен
t
sTi{t, а (-)) = УЩ sin (<utt + dfil a(u)du). (5)
266
w,(tj
Частотный
модулятор ω\
Релеевсииа
канал
Частотньш\
\модулятор cum
РелееВский
канал
+ №*&
wM(t)

Предполагается, что замирания в каждом канале подчиняются закону
Релея. На выходе ί-го канала сигнал имеет вид
г, (t) = YWi btl (t) cos (ω, f+ d/z I a (u) du ) +
t
+ y2Fibi2(t)sm ((uit + df. la(u)du) +Wi(t), — oo<i<oo,
/-1,2,..., Λί. (6)
Колебания bn (t) и bi2 (t), i = 1, 2, ..., Λί, — выборочные функции
статистически независимых гауссовых случайных процессов с нулевыми
средними. Кроме того, предполагается, что несущие частоты
достаточно разнесены, так что различные канальные процессы являются
статистически независимыми. Аддитивные шумы—выборочные функции
статистически независимых белых гауссовых шумовых процессов со
спектральной плотностью Л^/2, i = 1, 2 ..., Λί. Принимаемое колебание
можно записать в векторной форме:
r(f) = s(f,a(-)b(f))+w(0, -oo<f<oo. (у)
Существует несколько способов решения проблемы синтеза
оптимального приемника. Можно было бы, например, найти
приближенную реализуемую оценку по максимуму апостериорной вероятности
(или по минимуму среднеквадратической ошибки), распространив
методы, изложенные в п. 8.2.4, на случай векторного принимаемого
сигнала [векторный вариант (7.99) и (7.100) был получен в задаче 7.2.7].
Подробности этой процедуры выполнены в задаче 9.1.6. Как и следовало
ожидать, по своей структурной схеме получающееся устройство оценки
оказывается довольно сложным (имеется 2М + 1 связанных оценок)
и, по-видимому, не может быть рекомендовано для использования
на практике.
Существует другая процедура, являющаяся субоптимальной, но
полезной при некоторых условиях в канале. Если, к примеру,
параметры каналов изменяются медленно, то для упрощения синтеза
приемника допустимо предположение, что их можно измерять идеально.
При таком подходе сигнал, принимаемый по /-му кацалу,
моделируется в виде
ri (0 = V%Pi sin^iuit + df^aMdui+Wiit), — оо < t < оо. (8)
Вариации коэффициента передачи канала учтены мощностью Ри
которая с точки зрения синтеза приемника считается известной постоянной
величиной, а с точки зрения определения его помехоустойчивости —
значением экспоненциально распределенной случайной величины. При
указанных допущениях принимаемый сигнал можно записать в
векторной форме:
r(f) = s(f, a(.)) + w(f), — oo<f<oo, (9)
267

и тогда можно непосредственно использовать результаты §5.4 первого
тома и гл. 7 второго тома. При этом интервальная оценка по максимуму
апостериорной вероятности определяется по формуле (I — 5.160).
Подробно процедура синтеза приемника на основе этого метода
выполняется в задаче 9.1.7.
Для частного случая, когда девиация частоты в каждом канале
одинакова, оптимальный приемник показан на рис. 9.6. В
соответствии с этой структурной схемой все каналы методом гетеродиниро-
Pi(t)
Идеальный
полосовой
фильтр, w1
2^
rM(t)
Идеальный
полосовой
срильтр, юм
Петля ΨΑΠ4
aft)
JIcos[(wM-wIF)t]
Рис. 9.6. Оптимальный приемник для разнесенного приема в канале с
медленными замираниями при идеальном измерении параметров.
вания приводятся к общей промежуточной частоте, объединяются
в устройстве сложения (комбинирования) по максимальному
отношению сигнал /шум, после чего сигнал поступает на демодулятор вида
системы ФАПЧ (СФД). Выражение для среднеквадратической
ошибки при оценивании сообще-
rfrt)
rM(t)
^Демодулятор
Вида
ΨΑΠ4 (С<РД)\
afftl
Демодулятор
вида
ΨΑΠ4 (СФД)
aM(t)
Оптимальное
линейное
устройство
сложения
aft/
ни я в такой системе
выводится в задаче 9.1.8. Прежде
чем использовать эту систему
на практике, необходимо
исследовать, как она работает,
когда измерение параметров
каналов производится
неидеально.
Существует еще один
способ — демодулировать
каждый канал отдельно, а затем
объединить выходы всех
демодуляторов в линейном устройстве сложения, дающем
окончательную оценку сообщения, как показано на рис. 9.7. Синтез и анализ
помехоустойчивости приемника такой системы -выполняется в задаче
9.1.9. Этот метод демодуляции оказывается менее чувствительным
к флуктуациям параметров каналов, чем метод, иллюстрируемый
рис. 9.6.
Рис. 9.7. Субоптимальный приемник для
разнесенного приема
268

В этом параграфе была рассмотрена простая система передачи
непрерывных сообщений с разнесением по частоте. Были
проиллюстрированы структурные схемы различной степени сложности, которые
можно использовать при построении приемника. Подробный вывод
структурной схемы оптимального или субоптимального демодулятора и
определение его помехоустойчивости для различных случаев перенесены
в задачи, помещенные вне основного текста. Существует, разумеется,
много других систем с разнесением, которые можно использовать для
повышения надежности передачи сообщений, но приведенный выше
пример демонстрирует некоторые основные положения теории
передачи сообщений по разнесенным (параллельным) каналам.
9.1.3. Системы синхронизации и слежения
При изучении систем ФАПЧ и демодуляторов, построенных на их
основе, рассматривается задача отслеживания фазы синусоидального
сигнала. Существует ряд других тесно с ней связанных задач на
«слежение» или автоматическое сопровождение.
В главе 7 рассматривались так называемые цифровые системы.
В системах этого типа необходимо знать, когда заканчивается передача
каждого элемента сигнала, чтобы можно было принять решение о его
значении (полярности). Одним из способов получения подобной
информации, необходимой для синхронизации решающей схемы,
является отслеживание тактовых точек (моментов переходов) кодированного
сигнала посредством системы с обратной связью. (Для более подробного
ознакомления с этой задачей рекомендуем [15]. Из других работ по
временной синхронизации назовем [16— 22].)
Вторая задача, с которой мы встречаемся при изучении цифровой
системы, заключается в выработке опорного значения фазы, которое
можно было бы использовать в приемнике для синхронного
(синфазного) детектирования. Один из способов решения этой задачи—
затрачивать некоторую часть мощности передатчика на передачу
специального сигнала опорной фазы (сигнала фазовой синхронизации) и
использовать для ее выделения на приеме методы, рассмотренные в гл. 3.
Можно также построить системы, в которых синхронизация обеспечивается
непосредственно по информативному сигналу (т. е. по сигналу,
переносящему сообщение). Подобные системы называются
«самосинхронизирующимися», их рассмотрению посвящены работы [23— 25].
Третья родственная задача существует в радиолокации при
слежении за движущейся целью по дальности (сопровождение по
дальности). Подробно она будет рассмотрена в третьем томе.
Существуют и другие физические ситуации, приводящие к
задачам на слежение. Во многих случаях для решения этих задач можно
модифицировать методы, разработанные для синтеза и анализа
систем ФАПЧ.
Этим завершается рассмотрение родственных задач синхронизации
и слежения. В следующем параграфе мы подытожим некоторые
наиболее существенные результаты, изложенные в настоящей книге.
269

9.2. Итоги второго тома
Как было указано во введении к этому тому, по своему содержанию
он охватывает четыре основные раздела:
1. Приложение теории оценок по максимуму апостериорной
вероятности к задаче нелинейной модуляции.
2. Подробное исследование задачи синхронизации и угловой
модуляции.
3. Сравнительный анализ различных методов передачи непрерывных
сообщений.
4. Изложение других альтернативных подходов к общей задаче
нелинейной оценки.
В этом параграфе мы резюмируем наиболее важные результаты,
изложенные при рассмотрении указанных разделов, и еще раз обратим
внимание на внутреннюю логическую структуру книги.
В гл. 2 была кратко рассмотрена модель системы угловой
модуляции. Чтобы выработать интуитивное представление о результате,
который позднее будет получен аналитически, было дано представление
о системах , ФАПЧ и системах с обратной связью по частоте (ОСЧ),
использовав эвристическое обоснование. Позднее мы
установили, что система ФАПЧ играет центральную роль в структурной схеме
демодулятора, получаемой аналитическим путем. Чтобы
синтезировать оптимальный приемник, в качестве исходного момента были
взяты интегральные уравнения, выведенные в гл. 5 первого тома для
оценки по максимуму апостериорной вероятности выборочной функции
гауссова сигнала. Эти уравнения были конкретизированы для частного
случая, когда передаваемый сигнал является синусоидальным
колебанием, модулируемым по фазе полезным сообщением.
Затем были рассмотрены оптимальные демодуляторы и их
помехоустойчивость. Сперва было установлено, что нелинейное интегральное
уравнение, описывающее демодулятор, можно наглядно представлять
в виде структурной схемы, содержащей нереализуемые фильтры. От
этого вывода уже легко прийти к использованию демодуляторов со
структурной схемой такого же типа, если нереализуемые фильтры
заменить их некоторым реализуемым приближением. С учетом этого была
разработана нелинейная модель демодулятора. Затем на различные
параметры системы налагались некоторые ограничения, чтобы от
нелинейной ее модели перейти к линеаризованной. На основе
линеаризованной модели была изложена процедура синтеза демодулятора.
Существенные моменты этой процедуры — использование фильтра,
включаемого в петлю, который минимизирует среднеквадратическую ошибку
оценки фазы, и фильтра, включаемого после петли, напряжение на
выходе которого является нереализуемой оценкой сообщения по
минимуму среднеквадратической ошибки. Было установлено, что если
справедлива линеаризованная модель, то нереализуемый фильтр после
петли выдает на своем выходе эффективную оценку и, следовательно,
синтезированный в линейном приближении демодулятор является
оптимальным как по критерию минимальной среднеквадратической
ошибки, так и по критерию максимальной апостериорной вероятности*
27Θ

Этот вывод служит обоснованием для более подробного исследования
номехоуетойчивости реального демодулятора, когда он используется
в двух ролях, о которых упоминалось ранее, а именно: в качестве
устройства синхронизации и в качестве демодулятора в приемнике
сигналов с ФМ или ЧМ.
В главе 3 исследовалась задача синхронизации. Сначала была
рассмотрена простая задача, когда единственным возмущением является
нестабильность по фазе задающего генератора передатчика. Было
показано, что при конкретной предложенной модели фазовой
нестабильности оптимальным приемником служит система ФАПЧ первого порядка.
Далее мы перешли к анализу этой системы в нелинейной области.
Сначала было проведено исследование поведения петли в нелинейной
области при отсутствии шума. В этом случае классический анализ
методом фазового портрета позволяет исследовать поведение системы при
различных частотных расстройках, ускорениях цели и других
воздействиях на генератор. В частности, он позволяет исследовать
вхождение в синхронизм (захват по фазе) в зависимости от начальных
условий. Гораздо более трудной задачей являлся нелинейный анализ при
наличии шума. Для петли первого порядка систему можно описать,
используя уравнение Фоккера—Планка, которое разрешимо
аналитически для плотности вероятности в стационарном режиме. Для петель
более высокого порядка мы смогли описать систему векторным
уравнением Фоккера—Планка, но получить какое-либо точное решение
оказались не в состоянии. Наконец, были упомянуты некоторые
примыкающие вопросы построения систем синхронизации, как, например,
использование фазового детектора с различными характеристиками и
ограничителей перед петлей.
В главе 4 была рассмотрена частотная модуляция. Прежде всего
была построена модель системы ЧМ. Затем мы приступили к
исследованию поведения оптимальных демодуляторов ЧМ/ Было показано, что
построение системы ограничивается двумя факторами: ограничением по
мощности и ограничением по полосе частот. В рамках указанных
ограничений была рассмотрена процедура синтеза фильтров, включаемых
внутри петли, для оптимального демодулятора ЧМ. Было
установлено, что в области над порогом система ЧМ дает заметное уменьшение
ошибки по сравнению с системой линейной модуляции. Этим
объясняется необходимость исследования других систем угловой
модуляции с целью установить, нельзя ли уменьшить среднеквадрати-
ческую ошибку еще в большей мере.
В гл. 5 были рассмотрены оптимальные системы угловой
модуляции. Результаты гл. 4 указывали на то, что при построении
оптимальной системы придется считаться с ограничениями по порогу и по полосе.
С учетом этих ограничений были синтезированы оптимальные схемы
предыскажений, минимизирующие среднеквадратическую ошибку
демодуляции сообщения. Было установлено, что когда существует только
ограничение по порогу, помехоустойчивость получающейся системы
практически такая же, как у оптимальной системы ЧМ. Однако, когда
определяющим условием становится ограничение по полосе частот,
значительный выигрыш в помехоустойчивости можно получить, исполь-
271

зуя оптимальную предыскажающую схему. Этот вывод не был
неожиданным ввиду широкого использования метода введения
предыскажений в коммерческих системах ЧМ. Трудность с синтезированными
оптимальными схемами предыскажений заключалась в том, что они
являлись нереализуемыми. Чтобы обойти это затруднение, мы рассмотрели
простые субоптимальные схемы предыскажений. Было установлено,
что для сообщения с типичным спектром можно достигнуть
помехоустойчивости, практически мало отличающейся от помехоустойчивости
оптимальной системы.
Изучение оптимальных систем угловой модуляции убедило нас
в целесообразности определения границы помехоустойчивости любой
системы связи. Было установлено, что граница помехоустойчивости,
которую любая система может достигать при передаче непрерывного
сообщения от гауссова источника, существует. При ограничении по
порогу, как было отмечено, оптимальная система угловой модуляции
требует примерно на 6 дБ больше мощности, чем наилучшая
возможная система. Было также произведено сравнение оптимальных систем
угловой модуляции с установленной границей при ограничении канала
по среднеквадратической ширине полосы. Для спектра сообщения Бат-
терворта первого порядка оптимальная система угловой модуляции
требует на 6 дБ больше мощности, чем наилучшая возможная система.
При спектрах более высокого порядка помехоустойчивость
оптимальной системы угловой модуляции отклоняется от границы все в большей
мере при увеличении отношения сигнал/шум.
Затем было произведено сравнение обычных дискриминаторов ЧМ
с оптимальными демодуляторами, синтезированными ранее. Было
показано, что над порогом обе системы ведут себя одинаково. Однако
порог оптимального демодулятора проявляется при отношении сигнал/
шум в полосе частот спектра сообщения, которое на 3 — 6 дБ ниже,
чем порог обычного дискриминатора. Это выигрыш по порогу, который
достигается усложнением структурной схемы оптимального
демодулятора.
В гл. 6 был рассмотрен вопрос об альтернативных методах
модуляции для передачи непрерывного сообщения по каналу связи. В
основном наше внимание было сосредоточено на системах с дискретизацией
по времени и квантованием по уровню. После предварительного
обсуждения некоторых исходных соображений по построению квантователя
было выведено выражение для ошибки восстановления исходного
сообщения через ошибку квантования и ошибку, обусловливаемую
неправильными решениями в цифровой части системы. Затем были
исследованы двоичные системы без кодирования и системы с использованием
L ортогональных сигналов для определения влияния ошибки решения
на общую среднеквадратическую ошибку. Было установлено, что с?бе-
им этим системам присуще явление порога. Когда определяющим
условием является ограничение по порогу, двоичная система без
кодирования с использованием равных и противоположных сигналов
обладает помехоустойчивостью, весьма близкой к помехоустойчивости
оптимальной системы ЧМ. Когда определяющим условием является
ограничение по полосе частот, для улучшения помехоустойчивости необ-
272

ходимо перестроить всю систему сигналов. Система с использованием
L ортогональных сигналов имеет порог примерно на 3 дБ ниже, чем
двоичная система, однако доступная полоса частот при этом
используется неэффективно. Затем был рассмотрен вопрос о кодировании
источника. Обсуждение здесь было довольно кратким и преследовало
лишь одну цель — указать некоторые возможности, которые можно
использовать при построении системы.
В гл. 7 были изложены два альтернативных подхода к задаче
нелинейной оценки. При обоих подходах используется задание сообщений
в переменных состояния; при некоторых приближениях оба подхода
приводят опять к системе дифференциальных уравнений, определяющей
приближенные оценки по максимуму апостериорной вероятности и по
минимуму среднеквадратической ошибки. Это обсуждение имело своей
целью дополнить материал, изложенный ранее, оно также дало нам
возможность решать более широкий класс задач.
В гл. 8 была исследована проблема передачи непрерывных
сообщений по каналам со случайно изменяющимися во времени параметрами.
Мы сумели определить структурную схему оптимального
демодулятора, но оказались не в состоянии исследовать его помехоустойчивость
в общем случае. Для каналов с медленно изменяющимися
параметрами нам удалось получить некоторые результаты путем анализа в
квазистационарном приближении.
Наконец, в §9.1 были кратко рассмотрены многоканальные системы
и системы с разнесением (системы передачи сообщений по
параллельным каналам). В этом томе завершается рассмотрение проблемы
оценки непрерывного сигнала, начатое в гл. 5 первого тома.
В следующем параграфе будет дан краткий обзор материала,
излагаемого в томе третьем и в отдельном выпуске
«Пространственно-временная обработка сигналов»1).
9,3. Проспект третьего тома и отдельного выпуска
„Пространственно-временная обработка сигналов"
Третий том охватывает два основных вопроса — это проблема
обнаружения и оценки параметров гауссовых сигналов в присутствии
гауссова шума и проблема радио-и гидролокации. Первая глава служит
введением в проблему гауссовых сигналов. В принципе задача
обнаружения заключается в наблюдении принимаемого колебания r(f) и
принятии решения, к какому из двух случайных процессов оно
принадлежит. Задача этого типа встречается в системах связи, в которых
используется эффект рассеяния радиоволн на неоднородностях, в
радиоастрономии и пассивной гидролокации. В следующих четырех главах
подробно исследуются задачи обнаружения различных типов. Овладев
изложенным материалом, читатель должен быть подготовленным к
детальному синтезу и анализу оптимальных систем для большого многообра-
1} «Array Processing» (Обработка посредством антенных решеток.) — Прим.
перев.
273

зия ситуаций. В нескольких параграфах, чтобы получить
окончательный результат в форме, удобной для вычисления на ЭВМ, используетея
метод переменных состояния. В последующих двух главах по методике
параллельного изложения, принятой еще в первом томе, излагается
теория оценок параметров сигнала. И на этот раз рассмотрение
ведется достаточно подробно, так чтобы читатель смог практически
пользоваться полученными результатами. Этим изложением завершается
изучение задач, классификация которых была в общих чертах дана
в гл. 1 первого тома.
Во второй половине третьего тома изучается проблема радио- и
гидролокации. Сначала в общих чертах определяется основная интересу*
ющая нас задача и различные модели целей, которые будут
рассматриваться в дальнейшем. Поскольку нас интересуют узкополосные
сигналы, для них развито представление методом комплексных огибающих.
Этот аппарат, вынесенный в Приложение, помимо стандартных
результатов содержит необходимые сведения по комплексным переменным
состояния. В последующих двух главах исследуется задача
обнаружения и оценки параметров для медленно флуктуирующих точечных
целей. Показано, что при построении сигналов и устройств их
обработки необходимо комплексно учитывать вопросы точности,
неопределенности и разрешения. Функция неопределенности, впервые введенная
в радиолокацию Вудвордом, играет в этом рассмотрении центральную
роль. В следующей главе изучаются точечные цели и каналы с доппле-
ровским смещением частоты. Используя комплексные переменные
состояния, мы получаем возможность полного решения задачи синтеза
приемника и анализа его помехоустойчивости. Затем исследуются
дисперсные нефлуктуирующие цели. Используя принцип дуальности,
большую часть результатов, полученных для каналов сдопплеровским
смещением частоты, можно применить к этой задаче. Последним
обсуждается вопрос о целях, растягивающих сигнал как по времени, так и
по частоте. В своей основе постановка и решение этой задачи
представляет собой дальнейшее развитие теории целей, вызывающих
растяжение сигнала лишь по одному параметру. Но, чтобы получить решения
в форме, пригодной для вычислений, мы вынуждены изложить
некоторые вопросы теории переменных состояния для распределенных систем и
применить их к рассматриваемой задаче. В целом во второй части
третьего тома дается изложение современной теории радио-и гидролокации
с единых позиций.
В отдельном выпуске «Пространственно-временная обработка
сигналов» исследуется проблема пространственно-временной обработки
сигналов в гидроакустических и сейсмических системах. Первым
рассматривается вопрос обнаружения известных сигналов при наличии
шума. В основе своей вывод соответствующих выражений является
частным случаем результатов, полученных в гл. 4 первого тома.
Важная проблема здесь заключается в исследовании различных вопросов,
возникающих в конкретной физической ситуации. Для этого сначала
разрабатывается модель пространственно распределенных шумовых
полей, затем вводятся понятия коэффициента усиления решетки, ее
диаграммы направленности и неискажающих фильтров.
274

Обсуждается вопрос обнаружения неизвестных сигналов на фоне
шума. Эта модель является подходящей для задач пассивной
гидролокации и сейсмологии. Используя представление о неискажающем
фильтре, можно синтезировать приемник, основная структурная схема
которого не зависит от детальных допущений, сделанных при построении
модели.
Последним разделом выпуска является исследование процессов со
многими переменными, характерных для непрерывных приемных
апертур. Хотя основные результаты здесь являются прямым развитием
результатов для многомерного случая, на основе этого общего подхода,
как будет показано, можно получить более глубокое представление
о существе дела и упрощенные процедуры вычислений.
Так же, как во втором томе, в третьем томе и отдельном выпуске
представлено большое число результатов новых исследований.
Подобно данному тому по своему характеру третий том и отдельный
выпуск объединяют в себе черты научно-исследовательской монографии
и учебного пособия для аспирантов.
9.4. Задачи
9.4.1. Задачи к § 9.1. Некоторые родственные вопросы
Задача 9.1.1. В этой задаче рассмотрим многоканальную систему
типа ОБП — ПН/ЧМ. Здесь адекватной является общая
структурная схема рис. 9.1. Все сообщения — статистически независимые,
не обязательно гауссовы,
процессы с нулевыми средними,
спектры которых имеют вид
sa(ft
H2WM,
О,
\f\<wM,
\f\>wM.
iSBc(f)
с!
wM
c§
tf
±i WM
wM
fs
A
fs /-
Методом ОБП — ПН ί-м
сообщением модулируется поднесущая на
частоте ft. Взвешенная сумма вы- Рис. 9.1*.
ходных напряжений всех
модуляторов [обозначаемая через ас (t)] используется в качестве
управляющего напряжения на входе частотного модулятора. Таким образом,
M0=-UCi*i('. α,(.)),
/=ι
где Ν — большое число (скажем, N > 100). Спектр группового
сигнала ас (t) показан на рис. 9.1.* Всякие защитные полосы, необходимые
для обеспечения фильтрации индивидуальных каналов, включены
в величину Wm>
275

Принимаемый сигнал записывается в виде
r(t) = Y№sin[<uct + df]ac(u)du)+w(t), — оо<^<оо,
где w (0 — выборочная функция белого гауссова шума с нулевым
средним и спектральной плотностью N0/2.
1. Доказать, что ас (t) является выборочной функцией гауссова
случайного процесса.
2. Определить среднеквадратическую ширину полосы
передаваемого сигнала. Ограничить Q так, чтобы среднеквадратическая ширина
полосы передаваемого сигнала равнялась df.
3. Построить оптимальный приемник для оценки ас (t).
4. Построить систему с обычным дискриминатором ЧМ для оценки
ас (t). Обозначить результат оценки через ас (t).
5. Определить спектр оценки ас (ή.
6. Аппроксимировать спектр из п. 5 кусочной функцией,
постоянной в пределах каждого интервала Wm, начиная с/χ/2.
7. Построить оптимальный демодулятор сообщения, используя
приближенный спектр из п. 6.
8. Определить нереализуемую ошибку демодуляции сообщения
в /-м канале, т. е.
E[[aia(t)-a(t)Y],
используя аппроксимацию, указанную в п. 6.
9. Выбрать Ct так, чтобы среднеквадратические ошибки во всех
каналах были одинаковыми.
10. Определить получающуюся среднеквадратическую ошибку при
использовании весовых коэффициентов из п. 9.
Задача 9.1.2 [14]. Рассмотрим частный случай системы,
исследованной в задаче 9.1.1, при следующих значениях параметров:
df - 1,33 МГц, N - 600, WM = 4 кГц.
На входе демодулятора ЧМ имеется идеальный фильтр ПЧ, полоса
пропускания которого (односторонняя) равна 10 МГц. Обозначим
отношение сигнал/шум на выходе фильтра ПЧ через (S/N)IF.
1. Вычислить среднеквадратическую ошибку демодуляции,
выразив ее через (S/N)IF.
2. Предположим, что каждое сообщение присутствует с
вероятностью 0,25 (иными словами, каждый канал используется в течение 25%
времени). Вследствие этого уменьшается эффективная
(среднеквадратическая) девиация частоты. В любой момент времени эффективная
девиация является случайной величиной, которую мы обозначим через
dx. Необходимо построить систему так, чтобы
Ρ [dx > 1,33 МГц] < 0,001. (2*)
Предположим, что каждый канал используется независимо. Пусть и
на этот раз УУ = 600, WM = 4 кГц. Вычислить значение dh которое бы
удовлетворяло условию (2*).
276

3. Вычислить среднеквадратическую ошибку демодуляции.
Вычислить выигрыш (в децибелах) по сравнению с системой, указанной в п. 1.
Задача 9.1.3. Рассмотрим многоканальную систему типа ЧМ/ЧМ
с разделением по частоте. Сообщения — статистически независимые
гауссовы случайные процессы со спектрами
S -(f) = / ll2W^r \f\<WMt,
I о, \f\>wMr
\f\>wMr
Выходное напряжение ЧМ модулятора t'-й поднесущей равно
t
Si[t, ^(-)) = |/2 At sin (<ut t + df^dt (и) du.
Напряжение на выходе модулятора основной несущей
sT[t,&(-))=V2P sin Uct + dfc^ st(u9 at(-))du\.
Каждое сообщение передается по каналу с аддитивным белым
гауссовым шумом.
1. Построить структурную схему оптимального демодулятора.
2. Вывести выражение для нереализуемой среднеквадратической
ошибки при оценивании сообщения в t'-м канале.
3. В большинстве систем типа ЧМ/ЧМ используются поднесущие
с пропорциональной шириной спектра, у которых
dfi dfi
2nWM. х (ы
Как должны соотноситься At и ω,, чтобы наименьшая среднеквадрати-
ческая ошибка во всех каналах была одинаковой? Обсудить связь
параметров указанной выше системы с шириной спектров
индивидуальных сообщений.
Примечание. Более подробнее с системой этого типа можно
ознакомиться по [14].
Задача 9.1.4. Рассмотрим систему ЧМ/ФМ, описанную на стр. 263.
1. Синтезировать оптимальный демодулятор, показанный на
рис. 9.4.
2. Предположим, что необходим приемник для оптимальной
демодуляции сообщения
МО 4/2 2 Λδίη((Μ + θ;(0),
/=1
результат которой используется для оценки at (t), i = 1,2, ..., Ν.
Синтезировать оптимальный приемник при указанных ограничениях.
3. Убедиться, что результат (4) справедлив для систем,
упомянутых в п. 1 и 3, если они работают в области выше порога.
277

Задача 9.1.5 [26].
1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 9.4. Предположим,
что
dfl = df, / = 1,2,..., Л/,
At = A, /=1,2,..., Ν.
Допустим, что все петли работают в линейных режимах. Обозначим
фазовую ошибку в основной петле через ξθρ, а в подпетлях — через
ies. Доказать, что
ξβρ = 2Λ^β? [1 — exp ( —ξθ·/2)]. (1*)
2. Определить Iqp для системы, указанной в п. 2 задачи 9.1.4.
3. Предположим, что все сообщения имеют одинаковые
однополюсные спектры. Допустим, что поднесущие разнесены по частоте на
интервалы odf. Сравнить системы, указанные в п. 1 и 2, по порогу.
Объяснить результат сравнения.
Задача 9.1.6. Рассмотрим ансамбль принимаемых сигналов,
описываемых выражением (6).
1. Построить структурную схему оптимального приемника.
2. Выполнить подробный синтез оптимального приемника,
использовав векторный вариант (7.99) и (7.100).
Задача 9.1.7. В этой задаче выполним процедуру синтеза приемника,
предложенную на стр. 267. Принимаемое колебание в ί-м канале
описывается" выражением (8).
1. Использовать (I — 5.160) для отыскания интервальной оценки
а (ή по максимуму апостериорной вероятности.
2. Рассмотрим частный случай, когда девиация частоты во всех
каналах одинакова и равна dp Убедиться, что в этом случае
структурная схема рис. 9.6 верна.
3. Предположим, что
5β(ω) = 2^/{ω2 + ^).
Синтезировать различные фильтры, содержащиеся в петле ФАПЧ.
Задача 9.1.8. В этой задаче рассмотрим помехоустойчивость
приемника, указанного в задаче 9.1.7.
1. Найти плотность вероятности процесса на выходе сумматора
в схеме, представленной на рис. 9.6.
2. Конкретизировать результат, полученный в п. 1, для случая,
когда все спектральные плотности шумов равны, т. е. Νχ = Ν2 =
= ... = ЛГ0.
3. Конкретизировать результат, полученный в п. 2, для случая,
когда все мощности равны, т. е. Рх = Р2 = ... =
ΡΑ. Предположим, что
Ях = Р2= ... ΡπΝλ = Ν2= ...= Ν0.
Допустим, что параметры канала измерялись идеально и что система
ФАПЧ работает в линейной области. Найти Ни как функцию Р, NQ9
df nk.
278

5. Найти уравнения, аналогичные (8.127) и (8.132), для задачи,
указанной в п. 4.
Задача 9.1.9. Чтобы синтезировать субоптимальный приемник,
представленный на рис. 9.7, предположим, что принимаемое в /-м
канале колебание равно
— ( с Ϊ
ri(t)*=Y2Pi sin \tot t+ df\^a(u)du) + Wi(t), —oo<i< сю,
и что мощность Pt известна. Спектр сообщения имеет вид
SaH = 2£/(co2 + &2).
1. Построить оптимальный приемник в виде системы ФАПЧ для
работы в ί'-м канале. Требуемой выходной величиной является aiu (f) —
нереализуемая оценка α (ή по минимуму среднеквадратической
ошибки при заданном rt (t). (Заметим, что эта задача уже была подробно
решена в гл. 4.)
2. Вычислить спектр оценки aiu (t).
3. Предположим, что аддитивные шумы во всех каналах
статистически независимы и имеют одинаковую спектральную плотность NJ2.
Допустим, что Рг = Ρ2 = ... = Ρ-
Найти линейный фильтр (М входов — один выход), который
следует использовать для обработки alu (t), ..., аМи (0» чтобы получить
нереализуемую оценку аи (t) по минимуму среднеквадратической
ошибки.
4. Определить среднеквадратическую ошибку как функцию Р,
N0, df и к.
5. Сравнить ответ по п. 4 с результатом, полученным в п. 4 задачи
9.1.8.
Задача 9.1.10 Рассмотрим множество Μ независимых случайных
величин Xi9 i = 1,2, ... , Μ с одинаковыми плотностями
вероятностей вида
р^Х)-{ о, х<о.
Введем в рассмотрение у= max [xt]. Вычислить ру (У).
Задача 9.1.11. Рассмотрим систему с разнесением, указанную в
задаче 9.1.9. Вместо использования оптимального демодулятора будем
выбирать канал с наибольшей выходной мощностью и демодулировать
его выходной сигнал оптимально. Выходные сигналы остальных
каналов не обрабатываются. Такой метод иногда называют разнесенным
приемом с автовыбором.
1. Сравнить помехоустойчивость этой системы с
помехоустойчивостью системы, указанной в задаче 9.1.9.
2. Сравнить две эти системы с точки зрения простоты реализации.
Задача 9.1.12. Рассмотрим двухканальную разнесенную систему,
в которой принимаемые колебания имеют вид
r1(t) = Y2P^m{(»1t + $a(t)) + w1(t), _oo<*<oo,
гя (ί) = "|/"2Ра α (ί) sina>,f + a;a(i), — οο<ί< οο.
279

Частоты ωχ и ω2 выбраны так, что спектры принимаемых сигналов
заведомо не перекрываются. Шумы w± (t) и w2 (t) — выборочные
функции статистически независимых случайных процессов, имеющих
спектральные плотности NXI2 и NJ2 соответственно. Сообщение
является выборочной функцией стационарного гауссова случайного
процесса с нулевым средним и спектром
S„(CD) = 2&/(G)2 + &2).
Мощности Рг и Р2 — известные постоянные величины.
1. Найти оптимальный приемник.
2. Предположим, что справедлив анализ в линейном приближении.
Найти реализуемую и нереализуемую среднеквадратические ошибки
демодуляции сообщения.
3. Каковы необходимые условия того, чтобы анализ в линейном
приближении был справедлив?
Список литературы
1. V a n Trees H. L. The Structure of Efficient Demodulators for
Multidimensional Phase Modulated Signals. Trans. IEEE, Sept. 1963, v. CS-11, № 3,
p. 261—271.
2. L e h a n F. W. Telemetry and Information Theory. Trans. IRE, Nov,
1954, v. PGRTRC-2, p. 15—19.
3. Brock R. L., McCarty R. C. On the Modulation Levels in a
Frequency-Multiplexed Communication System by Statistical Methods. Trans. IRE,
March 1955, v. IT-1.
4. L a n d ο η V. D. Theoretical Analysis of Various Systems of Multiplex
Transmission. RCA Rev., June-Sept 1948, v. 9.
5. Μ e d h u r s t R. G. RF Spectra and Interfering Carrier Distortion in FM
Trunk Radio Systems with Low Modulation Ratios. Trans. IRE, June 1961,
v. CS-9.
6. Μ e d h u r s t R. G. RF Bandwidth of Frequency-Division Multiplex
Systems Using Frequency Modulation. Proc. IRE, Feb. 1956, v. 44.
7. Никольс Η. Χ., Ρ а у х Л. Л. Радиотелеметрия. Пер. с англ. М.,
«Сов. радио», 1958.
8. Ρ а г г у С. A. The Equalization of Baseband Noise in Multichannel FM
Radio Systems. Proc. IRE, Nov. 1957, v. 45.
9. В e η η e t t W. R. Time-Division Multiplex Systems. Bell Syst. Tech.
J., April 1941, v. 20.
10. С h i 1 d e r s D. G. Study and Experimental Investigation on Sampling Rate
and Aliasing in Time -Division Telemetry Systems. Trans. IRE, Dec. 1962,
v. SET-8.
11. Or ms by R. D. PCM-FM Telemetry Signal Analysis and Bandwidth
Effects. Trans. IRE, Sept.-Dec. I960, v. SET-6.
12. S t i 1 t ζ Η. Aerospace Telemetry. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.Y.,
1961.
13. S m i t h E. F. Attainable Error Probabilities in Demodulation of Random
Binary PCM-FM Waveforms. Trans. IRE, Dec. 1962, v. SET-8.
14. D о w η i η g J. J. Modulation Systems and Noise. Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.Y., 1964.
15. G о 1 о m b S. W. (ed.). Digital Communications with Space Applications.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964,
Г очл о м б С. Цифровые методы в космической связи. Пер. с англ., под ред.
В. И. Шляпоберского. М., «Связь», 1969.
280

16. Golomb S. W., Dave у J. R., Reed I. S., Van Trees H. L.,
Stiffler J. J. Synchronization. Trans. IEEE, Dec. 1963, v. CS-11,
p. 481—491.
17. V a n Horn J. H. A Theoretical Synchronization System for Use with
Noisy Digital Signals. Trans. IEEE, Sept. 1964, v. COM-12, p. 82—90.
18. S t i f f 1 e r J. J. Maximum Likelihood Symbol Synchronization. JPL
Space Progr. Summ., Oct. 1965, v. 4, p. 349—357.
19. С h a s e D. Communication over Noisy Channels with No A Priori
Synchronization Information. M.I.Т., Research Laboratory of Electronics, Tech. Rept.
463, Feb. 1968.
20. W i η t ζ P. Α., Η a n с о с к J. С. An Adaptive Receiver Approach to the
Time Synchronization Problem. Trans. IEEE, March 1965, v. COM-13, p.90 —
96.
21. W i η t ζ P. Α., Luecke E. J. Performance of Self-Bit Synchronization
Systems. Purdue Univ. Tech. Rept. TR-EE68-1, Jan. 1968.
22. W i η t ζ P. Α., L u e с к e Ε. J. Performance of Optimum and Suboptimum
Synchronizers. Trans. IEEE, June 1969, v. COM-17, №3.
23. V a η Τ r e e s H. L. Synchronization and Bit Timing. Trans. IEEE, Dec.
1963, v. CS-11, № 4, p. 487—490.
24. V a n Trees H. L. Optimum Power Division in Coherent
Communication Systems. Trans. IEEE, March 1964, v. SET-10, № 1, p. 1—9.
25. С о s t a s J. P. Synchronous Communications. Proc. IRE, 1956, v. 44,
№ 12, p.1713—1718.
26. V a n Trees H. L. Performance of Optimum Multilevel Demodulators.
Unpublished memorandum, July 1963.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Процедуры анализа в переменных состояния
Введение
В Приложении излагаются некоторые процедуры анализа в
переменных состояния, которые полезны при решении задач,
рассматриваемых в томах I, II и III. Этот материал дополняет содержание основного
текста в различных главах всех трех томов. Для чтения Приложения
необходимо-знать лишь исходные сведения в объеме введения в
аппарат переменных состояния, изложенного на стр. 589 — 612 первого
тома.
В § П. 1 дан обзор и указаны основные моменты теории
представления случайных процессов посредством переменных состояния,
изложенной в § 6.3 первого тома. В § П.2 и П.З рассмотрена взаимосвязь
между формами задания (представления) случайных процессов в
переменных состояния и посредством ковариационной функции. В § П.2
показано, как получить ковариационную функцию процесса из его
описания в переменных состояния, а в § П.З рассмотрена обратная задача.
Следующие три параграфа посвящены методам решения интегральных
уравнений. В § П.4 изложена процедура вывода дифференциальных
уравнений, соответствующих ковариационному оператору. В § П. 5 и
П. 6 изложена процедура решения однородных и неоднородных
уравнений Фредгольма. В § П.7 подытожены основные результаты и
указаны некоторые примыкающие вопросы.
Я попросил проф. Артура Б. Баггерера написать данное
Приложение ввиду того, что результаты § П.5 и П.6 первоначально были
получены в его докторской диссертации [1]. Поскольку эти результаты
значительны, но пока широко неизвестны, мне представлялось, что будет
целесообразнее, если в этой книге он изложит их сам. В приложении
сохранены стиль и система обозначений, принятая в основном тексте
монографии.
Гарри Л. Ван Τ рис

ПЛ. Представление случайных процессов в переменных
состояния
В § 6.3 первого тома было введено понятие о задании случайного
процесса в виде системы с переменным состоянием, которую можно
использовать для генерации (моделирования) процесса. Такое
представление процесса используется в различных прикладных задачах при
изложении материала томов I, II и III. Начнем изложение материала
Приложения с краткого повторения основных моментов процедуры
моделирования процесса, описанной в § 6.3 первого тома.
Линейное представление случайного процесса в переменных
состояния определяется пятью матрицами (F (t)9 G (f)y С (/), Q и Р^) и
заданным начальным моментом времени. Первые три матрицы
описывают динамическую систему, выход которой как раз и является
интересующим нас процессом, тогда как остальные две матрицы описывают
ковариационную функцию белого возбуждающего процесса и
ковариационную функцию начального состояния. Ради простоты
предполагается, что процессы имеют нулевые средние. Как следствие, имеем
следующее описание динамической системы:
линейное уравнение состояния
^L = F(t)x(t) + G(t)u(t), Tt^t, (I)
уравнение наблюдения
у (О-С (Ох (0, Tt^t, (2)
где χ (ή — вектор состояния с размерностью (я χ 1); u (f) — белый
позбуждающий процесс размерностью (ρ χ 1); у (ή — наблюдаемый
процесс с размерностью (т χ 1). Матрицы F (t), G(t) и С (t)>
описывающие динамику системы, имеют размерности (п χ /г), (п χ ρ), и
(т X п) соответственно. Входной процесс u (f) имеет ковариационную
функцию вида
£[u(i)u^(T)] = Q6(i—τ), (3)
а вектор начального состояния является случайной величиной с
ковариационной матрицей
£[х(ТОхЧ^)]=Кх(Г„Г,)АР,. (4)
Эти уравнения тождественны уравнениям (I — 6.235) и (I — 6.236);
подходящей моделью процесса генерации сообщения является система,
изображенная на рис. I — 6.33. Заметим, что введенная в §6.3 первого
тома общая модель для процесса у (t) охватывает и нестационарные
векторные случайные процессы. Тем не менее класс стационарных
процессов составляет важный частный случай общей модели.
283

Многие результаты теории случайных процессов можно выразить
через ковариационную матрицу (матрицу ковариационных функций)
Ky(i,T) = £[y(i)yr(T)]. (5)
В следующих двух параграфах опишем процедуры отыскания
ковариационной функции случайного процесса по его представлению в
переменных состояния и наоборот.
П.2. Определение ковариационной функции случайного
процесса по его описанию в переменных состояния
В этом параграфе мы изложим процедуру отыскания Ку (t, τ)
в предположении, что представление в переменных состояния,
описываемое уравнениями (1)— (4), считается заданным. Процедура состоит
из трех этапов.
1. Как видно из уравнения (2), Ку (/, τ) легко связать с
ковариационной матрицей вектора состояния χ (t):
Κγ(ί,τ) = 0(ί)Κχ(ί,τ)σ(τ). (6)
Так как ковариационная функция вектора состояния определяет
ковариационную матрицу Ку (t, τ) выходного процесса, сосредоточим наше
внимание на Кх (t, τ).
2. Напомним, что в соответствии со свойством 14 (на стр. 607
первого тома) матрица Кх (t, t) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
Кх (*, t) = F (') Кх (t, t) + Кх (?, t) FT (t) + о (t) QQT (t) (7)
при начальном условии
Кх(Гг, Ti) = Pi. (8)
3. Докажем, что
\Kx(t,t)BT(T9t), τ>ί,
где θ (t, τ) — переходная матрица, определяемая выражением (I —
6.254). После доказательства (9) получим законченную процедуру
для отыскания матрицы Ку (t9 r) из (2). Докажем теперь (9).
Доказательство. Рассмотрим случай, когда t > τ. Состояние
системы в момент времени t связано с состоянием в момент времени тис
входным возмущением u (f) на интервале t ^ f > τ соотношением
t
χ (t) - θ (t, τ) χ (τ) + ξ θ (ί, ϊ) G (f) u (f) df. (10)
284

Если (10) почленно умножить на хт (τ) и взять математические
ожидания, то получим
Ε [χ (t) хт (τ)] = θ (f, τ) Κχ (τ, τ) + \ θ (f, f') G (f) £ [u (f) χ7, (τ)] Λ'. (11)
τ
На основании свойства 13 (см. стр. 606 первого тома) u (f) и χ (τ) не
коррелированы на интервале интегрирования. Вследствие этого второе
слагаемое в (11) равно нулю и
Κχ(ί,τ) = θ(/,τ)Κχ(τ,τ), ί>τ, (12)
что является первой частью доказываемого равенства. Вывод для
случая, когда τ > t, аналогичен.
Свойство (9) справедливо для всех процессов, представляемых
переменными состояния в форме (1) — (5). Особенно важным является
случай, когда интересующие нас случайные процессы стационарны.
Остановимся кратко на этом случае.
Все стационарные процессы с рациональными энергетическими
спектрами можно смоделировать при помощи систем с постоянными
параметрами, если соответствующим образом выбрать ковариационную
матрицу начального состояния. (Отметим, что выход системы с
постоянными параметрами необязательно должен быть стационарным
процессом: например, когда на входе действует винеровский процесс или
Рг· выбрана не надлежащим образом.)
Если параметры системы, генерирующей процессу (t), постоянны,
то переходная матрица определяется матричным экспоненциальным
множителем
θ(ί, τ) = eF <'-*>. (13)
Согласно (9) для того, чтобы матрица Кх (t, t + Δί) была функцией
только At, матрица Кх (t, t) должна равняться постоянной величине
Рто. Эта постоянная матрица является стационарным решением
дифференциального уравнения (7). Следовательно, можно моделировать
отрезки стационарного процесса, используя системы с постоянными
параметрами и устанавливая ковариационную матрицу начального
состояния Рг· равной Р^.
Используя методы преобразования, легко показать, что
стационарное решение уравнения (7) имеет вид
оо
Ρ =С eF'GQGeFr' dt =
ι
о
/оо
2л j
—/оо
Г [Is — Fl^GQGn — Is — Fl-Msj. (14)
Ковариационная функция вектора состояния равна
/л7' <15>
Poo eF Δ', At > 0.
285

Взяв преобразование Фурье, получим спектральную ковариационную
матрицу
Sx (ω) = [/ωΙ + F]"1 {(FPoo) + (ΡΡ.)1"} [/ωΙ-Ρ1]"1. (16)
Для иллюстрации изложенных выше идей рассмотрим три примера.
Эти процессы будут далее использоваться в качестве примеров на
всем протяжении приложения.
Пример 1. Винеровский цроцесс. Представление в переменных
состояния для винеровского процесса впервые было введено в примере 3
на стр. 626 первого тома. Представление в переменных состояния для
моделирования этого процесса имеет вид
х^ ' =u(t)9 0</ (уравнение состояния), (17)
at
y(t) = x(t), O^t (уравнение наблюдения), (18)
E[u(t)u(x)] = o*6(t—u)t (19)
*(0) = 0. (20)
Путем непосредственного сличения (1)—(4) и (17)—(20) получим
следующие матрицы состояния:
F=09 (21а)
G=l, (216)
С=1, (21в)
Q=o\ (21 г)
Л = 0. (21д)
Для этого процесса определение множителей в (9) не вызывает
затруднений. Имеем
#χ(Μ) = σ2. 0<ί, (22)
или
/С*(М) = °а'. 0<ί, (23)
θ(ί,τ) = 1. (24)
Следовательно,
ЯуР.^Ч0!*' t>X'\ = o*mm(t,u), (25)
[ σ2 tt τ > t J
что хорошо известно.
Пример 2. Для второго из рассматриваемых процессов имеем
следующее описание в переменных состояния:
dJ^l^—kx{t) + u (f), Tt < ί, (26a)
at
y(t) = x(t), Ti^t, ■ (266)
E[u(t)u(x)]*= 2kP6 it—τ), (26в)
£fx2(Tl)] = />i. (26r)
286

Соответствующие матрицы состояния имеют вид
F= — k, (27 а)
0=1. (276)
С=1, (27в)
Q = 2кР, (27г)
Л = Л- (27д)
Решением уравнения (7) для Кх (t, t) является
Kx(t,t)=P+(Pi-P)e-2kii-Ti\ Tt^t, (28)
а требуемая переходная матрица
Q(t, τ) = ε-*«-τ>. (29)
Ковариационная функция /Cj, (t, τ) определяется выражением (9) в виде
,(' ,"U-^-« + (Pl-f)e-*<'+*-M-«>, Гг</<т. (30)
Если Р^ = Р, то рассматриваемый процесс стационарен для любого
момента времени t. В противном случае процесс будет стремиться
к стационарному состоянию при/-» оо. Поэтому
Ky(t,t + At) = Pe-W\', (31)
значит рассматриваемый процесс — это известный нам стационарный
процесс с однополюсным спектром или спектром Баттерворта первого
порядка.
Пример 3. Большая часть результатов, относящихся к
одномерным системам, может быть получена аналитическим путем. Однако
существуют определенные ситуации, для которых нельзя получить
конечные результаты, не рассмотрев многомерных систем. Поэтому
рассмотрим третий процесс, к которому мы обратимся в дальнейшем и который
описывается следующим рядом матриц:
'-[_»4 <32а>
G = [°], (326)
С = [1 0], (32в)
Q=160, (32г)
--Го :„]· <ад
287

Подстановка указанных значений в дифференциальное уравнение
для Кх (i, t) дает
Отсюда следует
Кх(М)|/ = гг = 0.
(33а)
(336)
для любого t.
Непосредственным преобразованием Лапласа можно показать,
что переходная матрица θ (t, τ) имеет форму
θ(ί,τ) =
■U-τ)
(C0S(3(^-T)) +
+ |sin(3(*—c)))
l-ie " T)sin(3(i-T))
_i°e-
3
-(<-x)
sin(3(f—τ))
,-(ί-τ)
(cos(3(/—τ))-
—i-sin(3(/-
τ)))
• (34)
Отсюда следует, что ковариационная функция вектора состояния
определяется матрицей
Κχ(Μ + Δ0 =
ie-|A"(3cos(3A0+j 40.e-,^.sin(3|Ai|)
+ sin (31 Δ/1))
Г
i0e-'A"sin(3|A<|)|,Te"IA"(3cos(3A<>-
3
sin (3 | Δ/1))
(35)
Ковариационная функция наблюдаемого процесса К^ (t, t + At)
определяется верхним левым элементом матрицы (35).
Главное различие между этим методом задания систем и случайных
процессов и более распространенной формой задания их импульсной
переходной функцией и ковариационной функцией заключается в том,
что в первом случае определяется внутренняя динамика
генерирующей (моделирующей) системы, а не только описывается выходной
процесс. Выше было показано, как эту внутреннюю форму задания можно
использовать для определения характеристик выходного процесса.
Хотя во многих задачах такое представление в переменных состояния
явно присутствует в формулировке задачи, можно встретиться и с
противоположной ситуацией, когда задается ковариационная функция
процесса, а для его генерации требуется представление в переменных
состояния. Эта проблема будет рассмотрена в следующем параграфе.
288

П.З. Разложение ковариационных функций на множители
(факторизация)1*
В § П.2 предполагалось, что имеется описание случайного процесса
в переменных состояния, и была изложена процедура для
определения ковариационой функции (матрицы) этого процесса. В этом
параграфе предположим, что известна ковариационная функция процесса,
и, исходя из нее, изложим процедуру описания этого процесса в
переменных состояния. Интересующую нас задачу можно сформулировать
весьма просто. Ковариационная функция Ку (ί9 τ) векторного процесса
у (t) считается заданной на интервале Tt ^ t9 τ ^ Tf. Для задания
этого процесса, используя описание в переменных состояния (1) —
(4), необходимо найти матрицы F (t)9 G (t)9 С (t)9 Q и Pt. Эта задача
называется задачей разложения ковариационной функции на множители
(или задача факторизации ковариационной функции).
Факторизация ковариационной функции или ее аналог в частотной
области — спектральная факторизация — значительно более трудная
задача, чем синтез ковариационной функции или спектра. Два вопроса
встают при рассмотрении задачи факторизации. Первый связан с
мотивировкой того, почему вообще необходимо исследование этой задачи, а
второй — с выбором наиболее эффективной процедуры для
осуществления факторизации.
В пользу исследования алгоритмов факторизации говорят два
соображения, вытекающие из того, что во многих задачах информации
о генерации процесса не имеется, а вместо этого известны измеренные
характеристики выходного процесса: ковариационная функция или
спектр. Независимо от каких-либо соображений по обнаружению или
оценке бывает желательно найти модель для описания
динамики генерации процесса, так как она может дать нам более глубокое
понимание физики, лежащей в основе задачи. В контексте обнаружения
и оценок, как мы уже убедились, многие из синтезированных
приемников содержат устройства оценки параметров процессов. Во многих,
если не в большинстве, задачах реализация соответствующих
алгоритмов оценки требует знания модели генерации; аналогичная информация
нужна при расчете помехоустойчивости системы.
Имеющиеся методы решения можно разделить на процедуры во
временной области и процедуры в частотной области. Для скалярных
процессов с рациональными спектрами простейшее решение заключается
в выполнении спектральной факторизации и последующем
использовании одной из канонических реализаций для представления
получающихся передаточных функций, описанных в п. 6.3.1 первого тома.
Основная процедура этого решения довольно проста. Наиболее
трудной стороной реализации является разложение полинома на
множители с корнями в правой и левой полуплоскостях. Для стационарных
векторных процессов с рациональными элементами в спектральной
Х) Материал данного параграфа более труден, чем других параграфов
Приложения. Результаты дальнейшего изложения от него не зависят и поэтому при
чтении его можно опустить без утраты непрерывности изложения.
289

матрице желательность разложения на множители в частотной
области не столь очевидна, так как реализация имеющихся алгоритмов
затруднительна, если не невозможна (см., например, [12]).
В этом параграфе нас интересуют методы факторизации во
временной области при использовании методов переменных состояния. Мы
вводим в рассмотрение эти методы по нескольким причинам. Если
вопрос связан с принципиально изменяющейся во времени ситуацией
(например, процессы, связанные с периодической модуляцией, или
отраженные сигналы радио- или гидролокационных станций, имеющие
изменяющиеся во времени огибающие), то эти методы являются
единственными, позволяющими учесть в структуре алгоритма
нестационарный характер этих процессов. Если речь идет о работе со
стационарными процессами при использовании экспериментально измеренных
данных, то особенно пригодными становятся численные методы. Если
понять смысл и значение этих методов, то применение факторизации
во временной области дает ряд вычислительных преимуществ, особенно
при работе с векторными процессами. Наконец, некоторые аспекты
построения алгоритма во временной области позволяют углубить наше
понимание фундаментальной структуры случайных процессов. При
изложении этого вопроса мы придерживаемся подхода, развитого
в [2].
Для процесса, моделируемого методами переменных состояния, из
(18) следует, что соответствующая ковариационная функция имеет
форму
ΚΙ(ί,τ) = ί<ϊ«β^τ>Κ"ίτ·τ)<ϊΓ^ t>%> (36)
.С(0Ми)в'(т,0С'(*), τ>ί,
где θ (t, τ) — переходная матрица, связанная с F (t) и Кх (t, t) и
удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению при
начальном условии Рг. Учитывая свойство переходных матриц, определяемое
выражением (I — 6.255а), приходим к выводу, что ковариационная
функция процесса, генерируемого системой, представленной
посредством переменных состояния, должна иметь сепарабельную
(разложимую) форму
КУ(М = {АГ(0В(Т)' />Т' (37)
[BT(t)A(%l %>t,
где
ΑΓ (ι) = С (0 θ (f, t±)9 (38a)
Β(0 = θ(^,0Κχ(«,)^(α (386)
h — произвольная переменная времени, содержащаяся в области
определения процесса. (Обычно ради удобства ее просто полагают
равной 7V) Заметим, что размерности А (/) и В (t) связаны с
размерностями выходного процесса и вектора состояния. Даже если у (t)
является скалярным процессом, то A (t) и В (t) будут векторами, если у (t) не
может быть описано скалярным уравнением состояния. Поэтому
первым шагом в задаче факторизации становится отыскание (η χ га)-мер-
290

ных матриц A (f) и В (f) по заданным ковариационным функциям.
Вторым шагом является разработка алгоритма отыскания
F (О, G (О, С (t), Q и Pi no A (0 и В (t).
В некоторых частных случаях, особенно в тех, которые
соответствуют системам первого порядка, отыскание множителей А (/) и В (ή не
встречает каких-либо трудностей. Однако, как правило, так не
бывает, особенно когда неизвестно п — число измерений вектора
состояния. Хотя нет оснований для того, чтобы не задаваться системами с
излишним числом состояний, такие системы часто приводят к большим
трудностям, особенно когда приходится "учитывать возможности
управления и наблюдения. Чтобы построенный нами алгоритм был
эффективным, необходимо иметь п как можно меньше с тем, чтобы
ковариационная функция была учтена в системе при минимальном числе
элементов в ее векторе состояния. Когда A (t) и В (t) имеют минимальную
возможную размерность, такое разложение называется факторизацией
с минимальной степенью. К счастью, существует весьма простая
процедура для определения разложения минимальной степени. При
изложении этой процедуры мы будем руководствоваться работой [3].
Когда условие минимальности не наложено, произвести
разложение нетрудно. Поэтому наш подход заключается в отыскании
возможного неминимального разложения на матрицы А (/) и В (t) и в
последующей разработке конструктивной процедуры для сведения его к
разложению на множители минимальной степени.
Этап 1. Неминимальная факторизация. Каждый элемент кова-
риациониой матрицы должен иметь форму
[Ky(t,x)]u =
k ι
7\.<t<*<7V,
(39a)
ΣΣbЬ(k,l)gl(t)fk(τ), Τ,<ί<τ<Τ:
k I
Ρ
где члены ряда {fh{f), 1 ^ k ^ п! } линейно-независимы и члены ряда
{gi (τ)> 1 ^ I ^ п'} линейно-независимы, если процесс имеет
конечномерное представление в переменных состояния. Например, если
Ky(i,T) =
Pie"
-kx I t — x\ \
]--
;p2
0
-kt\t-%\
TO
/i(0 = e-M
/,(0 = е-*.',
*ι(τ) = β*·\
έΤ.(τ) = β*·τ,
611(Λ,/) = Ρ1δΛιδ
b22(k, /) = P26fea6
u>
12>
Ьы (k,l) = bn (k,t) = 0.
(396)
(39b)
(39r)
(39д)
(39e)
(39ж)
(39и)
(39к)
291

Пусть вектор-столбцы f (t) и g (t) являются векторами, элементы
которых образуют системы линейно-независимых функций в (39а),
т. е.
7i (t)
f(0 =
g(0 =
Un'(t),
8i(t)
[gn'(t)]
(40)
Каждый элемент ковариационной матрицы (39а) можно теперь
записать как
[Ky(t,x)}u = f(t)
w/(i.i)
bf/(2, l)
Ьц{п·, 1)
bit (1,2) Г"! Ь„(\,п·)
I bf/(n',n')
gW =
= f(0Bl/g(T), t>%,
(41)
где B*jj· — матрица размерностью п' X η'. Используя это
представление, возможное разложение на множители, необязательно
минимальной степени, получим в виде матриц размерностью (n'-m) x m:
А* (0 =
f(0
о
W)
(42а)
B*(f) =
Βϊιβ(0ίΒ!,β(0 '
BSig(0!BS2g(o!
f(0
!BUW
Bmlg(0l
!B^g(0
(426)
В этом можно убедиться подставив (42 а) и (42 б) в (37) и сравнив
результаты с (39). Отметим, что когда у (t) является скалярным процессом,
линейная независимость ft (f) и gt (t) гарантирует, что п' есть
минимальная размерность вектора состояния процесса.
Этап 2. Сведение к разложению на множители минимальной
степени. Как правило, разложение (42 а) и (42 б) не является
разложением минимальной степени, т. е. могут сществовать матрицы А (/) и В (ή,
удовлетворяющие (37), с числом измерений /г, таким что, размерность
292

матриц A* (t) и В* (t), я* =п' -т, больше, чем /г. В этом параграфе мы
сначала введем критерий, который достаточен для проверки того,
является ли разложение минимальным. Если оно не минимально, то мы
определим алгоритм, позволяющий свести неминимальное разложение
к минимальному. Этот алгоритм также можно использовать, чтобы
показать необходимость критерия для проверки на минимальную степень.
Прежде чем приступить к изложению этого вопроса, следует
сделать замечание по поводу временного интервала [Tiy Tf]. В
последующем при определении интервала [Tiy Ту] предполагается, что это
интервал, на котором требуется произвести разложение.
Рассмотрим теперь достаточный критерий для проверки того, что
А (/) и В (0 являются множителями минимальной степени. Пусть A (f)
и В (t) будут матрицами размерностью /г* χ m. Очевидно, что /г* ^ л,
если η есть минимальная степень. Образуем матрицы
Tf
Мл Δ Γ A*(t)A*Tdt9 (43а)
Tf
ΜθΔ[ B*(t)B*T(t)dt, (436)
Tt
являющиеся неотрицательно определенными симметричными
матрицами размерностью η* χ я*.
Достаточный критерий минимальности заключается в том, чтобы обе
матрицы Мл и Μβ были положительно определенными, т. е. ранг обеих
матриц Мл и Мв был равен размерности матрицы /г*-. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим
TJ If
МлМ^-ГлГ A* (t) Α*7(ΟΒ*(τ)Β*7(τ)ίίτ-
Tf Tf Tf Tf
= f Λ J βτΑ* (t) Ky (t, τ) Β*Γ(τ) + Γ dx Γ ΛΑ* (t) Ky (f, τ) Β*Γ (τ)
Tf Tf , Tf
= f dt f dx A* (/) AT (t) Β (τ) Β* τ (τ) - Г A* (t)AT (t) dt
χ
[Β(τ)Β*Τ(τ)ά , (44)
где Α (/) и В (/) — множители минимального ранга. Ранг
произведений матриц в правой части (44) не превосходит я. Если Мл и Мв
положительно определены, то ранг произведения равен я*, откуда следует,
что я* ^ я, из чего, в свою очередь, следует, что я* = /г, поскольку
п*^п по определению η как минимальной степени.
293

Рассмотрим теперь алгоритм, который позволяет свести
разложение неминимальной степени к разложению минимальной Степени. Этот
алгоритм является также конструктивным доказательством
необходимости положительной определенности матриц Мл и Μβ. Поскольку Мл
и Мб симметричны, положительно полуопределенны, они должны быть
согласованы через невырожденные преобразования Тл и Τβ
соответственно с матрицами — условными математическими ожиданиями Ел и
ЕЬ\ т. е.
ТлЕлТл = Мл, (45а)
ΤβΕΒΤΐ; = Μβ. (456)
Нетрудно показать, что
Tf
J (Тл Ел Ία1 А* (О-Α* (ή) (ΎΑ ЕА Та1 А* (/)- A* (t))T dt = О, (46а)
Ti
т§
j (Тв Ев Τβг В* (*)—В* (ή) (Τβ Εβ ΊΒг Β* (t) - Β* (t))T dt = 0. (466)
Tt
Это можно доказать путем почленного разложения и
использования (45 а) и (45 б). В результате имеем
Α*(ί) = ΤΛΕΛΤί1Α*(ί), T^t^Tp (46в)
Β*(ί) = ΤβΕβΤβ1Β*(ί), Г,<<<Т/в (46г)
Для ковариационной функции Ку (t, τ) найдем, что
Ky(t,T) = A*T(t)B*(x) =
= A*r (t) ΎαιΤ Ел Тл Τβ ΕβΤ51 Β* (τ), ί >τ. (47)
Поскольку Тл и Τβ имеют полный ранг, целесообразно
сосредоточить наше внимание на матрице Ел Τβ Τβ Εβ, имеющей размерность
η* χ п*. Для получения разложения минимального ранга определим
ранг п этой матрицы и произведем матрицы Νχ и Ν2 размерностью
(п χ /г*), такие что
ΕΛτ£Γ*Εβ = ΝΪΝ2. (48а)
Алгоритмы для получения такого разложения можно найти в [11].
1} Матрица Ε —диагональная матрица, у которой все элементы являются
единицами или нулями, так что Ε2 = Ε [4]. Читателю необходимо вспомнить
рассмотрение вопроса о диагонализации матриц на стр. 110—112 первого тома.
В данном случае для получения диагональной матрицы, элементы которой
являются собственными значениями матрицы W, использовалось ортогональное
преобразование матрицы W.
294

Для получения множителя минимальной степени введем в
рассмотрение матрицы
АДО^Т^АЧО, (486)
Β(ί) = Ν2Τ51Β·(ί). (48в)
Легко показать, что множители (48 б) и (48 в) удовлетворяют
рассмотренному критерию положительной определенности.
Для проверки необходимости указанного критерия заметим, что
Εj и Ев не будут иметь полного ранга п*, если МА и Мв не будут
положительно определенными матрицами Поэтому ранг матрицы Ел Та Тв
Ев будет ниже л*, чем и демонстрируется существование
множителей с более низкой степенью. С точки зрения реализации процедуры
разложения на множители заметим, что коль скоро Α* (ή и В* (t) —
возможные неминимальные множители — определены, все остальное
определяется путем алгоритмической манипуляции матрицами. Эти
задачи, будучи весьма утомительными при аналитическом их решении,
идеально подходят для численных методов решения.
Рассмотрим теперь некоторые примеры для иллюстрации
соответствующих методов разложения..
Пример 4. Для винеровского процесса разложение ковариационной
функции осуществляется просто. Согласно (25)
Ку (***) = Ιΐ '^' (49)
Следовательно,
A (t) = U (50а)
В (τ) - τ. (506)
Пример 5. Также просто производится разложение
ковариационной функции процесса Баттерворта первого порядка, приведенного
в примере 2. В этом случае
Л(0 = е-', (51а)
θ(τ) = β*. (516)
Примере. Разложение ковариационной функции в примере 3 не
тривиально, но все же довольно просто. Ради удобства предположим, что
интервалом разложения является интервал (0, 2π&/3), где k — целое*
Тогда
Ky(t,x) =
— e-('-T)(3cos3(^—T) + sin3(f —τ)), ί > τ,
Ι (52)
— e
(3cos3(t—0 + sin3(T—ί)), τ>ί.
10Β*
295

Представляя (52) в форме разложения, при t > τ имеем
Ку (U τ) = 4е~' cos (3i) eT cos (3τ) + 4е~' sin (3f) e* sin (3τ) +
+ — е-' sin (3/) ет cos (3τ) —- е-' cos (3/) eT sin (3τ) =
e~^_cosj30
[ e~^sin(30 J
4 ι __
4 ' ,
— ι 4
e*cos(3x)
L eTsin(3t) J
(53)
В результате отождествления с (41) и (42) получим
"' cos (30
А*(0 =
В* (0 =
е-' sin (3ί)
£_cos_(3_0
е'sin (30 J
(54а)
(546)
Поскольку элементы матриц A* (t) и В* (ή, как в этом легко
убедиться, линейно-независимы, то (54 а) и (54 б) определяют
минимальную реализацию. Чтобы проверить это, положим Tt = 0 и Tf = 2зт&/3
в (43 а) и (43 б):
2л&/3
Μ
л=: Г Α*(τ)Α*Γ(τ)ί/τ =
-ii-(l_e-4«»/a)j
40 V
3
9
(1__е-4я*/3)
-4ЛЛ/3) [ _^_(!__6-4πΑ:/3)
2я/г/3
м.
■= Г Β*(τ)Β*Γ(τ)^τ:
4(e4**/3-l)
JL- (е4я/г/3_Л
L з 7
-2-(е4**/3__1)
44
/е4я^/3_ j\
(55)
(56)
Так как обе эти матрицы имеют полный ранг, равный 2, то (54 а, б)
гарантирует, что полученное разложение минимально.
Теперь, располагая алгоритмической процедурой для разложения
ковариационной матрицы Ку (t9 τ) на множители, необходимо на
основании A (t) и В (t) определить матрицы состояния.
Обозначим матрицы динамической системы в виде трех матриц
(F (/), G (/), С (t))y а ковариационные функции — в виде двух матриц
(Q, Pi). Координатная система вектора состояния не является
единственной, и из этого следует, что указанные матрицы заведомо не
единственны при заданных условиях по входу и выходу системы.
Действительно, за исключением своей размерности, матрица F (ή по
существу не задана [5]. Для изложения материала в наших интересах
296

удобно сначала рассмотреть реализации с триплетом матриц (О, G* (ή,
С* (/)), а затем— вопрос, о преобразованиях к координатным системам,
которые могут обладать некоторыми желательными свойствами.
Подробная процедура состоит из трех этапов.
1. Ограничиваем класс рассматриваемых систем только системами с
триплетом матриц (О, G* (0,С# (/)), и устанавливаем некоторые свойства
связанные с дифференцируемостью процесса у (/), которые необходимы
на этапе 2.
2. Выводим дифференциальное уравнение для Кх* (t, f) через
производные матриц А (/) и В (/). Решение этого дифференциального
уравнения является наиболее важным этапом при реализации разложения.
После этого решение задачи разложения на множители (О, G*, (/),
С* (0) и (Q, Ρ*) можно выразить через KXif! (U 0 и производные матриц
А (/) и В (/). В результате получаем описание случайного процесса
в переменных состояния.
3. Поскольку матрицы решения, определенные на этапе 2, могут
иметь некоторые нежелательные свойства, рассматриваем
преобразования системы координат вектора состояния, чтобы получить другие
описания случайного процесса в переменных состояния.
Этап 1. Переходная матрица, связанная с F* (/) = 0, является
единичной матрицей. Поэтому согласно (35) и (37) имеем
кУ«,т)=1Ь®к*лъ*)ст> t>i, Г(57а)
1С*(0КхЛМ)СГ(т), x>t
или
Ат (t) = С, (0, В (t) = Kx. (t, t) Cl (t). (576)
Заметим, что (57 б) не определяет КХл (t, t) однозначно, так как
матрица С* (t) имеет размерность (пг X п), а матрица KXsf! (t, t) —
размерность (л χ η). Используя (7), легко показать справедливость
следующих двух свойств:
KxJUHG*(0QG*(0> (58)
ат (t) в (о-в7, (t)A(t) = с* (t) g* (t) qgI (t) с* (t). (59)1}
Далее мы рассмотрим свойства производных у (t). На протяжении
первого этапа предполагается, что все элементы у (t) одного порядка
дифференцируемое™. Известно, что ковариационная функция
производной случайного вектора у определяется выражением
Ку(*,т) (60)
или
Ку (t, τ) =
Κ·(^,τ) =
ίΑΓ(ί)Β(τ), ί>τ,'
1вг(0А(т), τ>ί,
и
dtdx
j + (A'
+ (ΑΓ(0Β(0-Βϊ·(ί)λ(0)6(ί-τ).
(61)
1} Это уравнение справедливо Для произвольной реализации; однако для
последующего изложения функция (О, G* (/), С* (ή) наиболее удобна.
297

Если рассматриваемый процесс дифференцируем в среднеквадрати-
ческом, то коэффициент при δ-функции должен равняться нулю. Если
коэффициент при δ-функции отличец от нуля, то производная процесса
содержит компоненту белого шума. Этот факт будет использован на
этапе 2.
Используя (59) и замечая, что Q можно не теряя общности, считать
положительно·определенной, приходим к заключению,что для
дифференцируемого в среднеквадратическом процесса
С* (О О» (0=0. (62)
Для дифференцируемого процесса разложение [согласно (61)] имеет:
вид
Α^(0=ΑΓ(ί)=<ϊ*(0. (63а)
в.(0 = в(о = К^М)сГ(о. (636)
Из этого следует, что реализацией для производной процесса была
бы функция (0, G* (О, С* (ή).
Наша стратегия заключается в повторении этой процедуры
дифференцирования до тех пор, пока не будет достигнута у(*> (ή—производная
процесса у (/) высшего порядка, которая еще существует в
среднеквадратическом смысле. Необходимость этой процедуры объясняется тем,
что разложение процесса у (ή и всех его производных до у(/)(0
включительно понадобится нам в алгоритме этапа 2. Все наши рассуждения
можно повторить для процесса с дифференцируемостыо /-го порядка,
применив их к новому триплету матриц и формулам (63). В общем
случае для интервала 1 ^ к ^ / имеем
№-ЪтЦ)ЪМ({) — В^-^фАЮф^О, (64)
Ci*-1>(0G,(i) = 0. (65)
Производная /-го порядка имеет реализацию (0, G* (/), С</>(/))
и разложения CW(t) и Кх* (t9 t) С<Я (0 для Ат (/) и В (/)
соответственно.
Уравнения (63а), (636), (64) и (65) содержат важные результаты,
связывающие дифференцируемость процесса с производными
множителей А (/) и В (/), которые нам необходимы при выкладках на этапе 2.
К сожалению, в некоторых случаях компоненты процесса у (/) будут
иметь различные порядки дифферепцируемости. Поэтому необходимо
быть внимательным с тем, чтобы исключить из рассмотрения
компоненты низкого порядка, прежде чем приступить к компонентам высокого
порядка. Мы изложим систему записи, учитывающую это
обстоятельство, в процессе выкладок по этапу 2.
f Э τ а п 2. Теперь приступим к изложению алгоритма для
определения матриц состояния (0, G* (ή С* (ή). Сперва располагаем
компоненты Ку (/, τ) в порядке, обратном их дифферепцируемости, т. е. первые
тх компонент имеют производные только нулевого порядка, вторые г2
компонент имеют производные только первого порядка и т. д.
Предполагается также, что столбцы матриц Α (ή и В (/) соответственно
переставлены местами и что матрица Q — m-мерная единичная матрица.
298

Далее разбиваем матрицы G* (t) и С* (ή в соответствии с порядками
дифференцируемое™ (г1э ..., /г):
G* (0 = [G^ (t)! Gw (/) j... j G*L (f) ] —л компонент, ^66а^
столбцов столбцов столбцов
C*i (0 | гх строк
г2 строк
с»(0 =
(666)
[С^(/)]астрок.
п компонент.
Можно было бы как-то упростить систему записи, ограничившись
рассмотрением только процессов, у которых все компоненты имеют
одинаковый порядок дифференцируемости. Поскольку общий случай
не связан с какими-либо дополнительными понятиями и представления-
УЩ Диффере//-
цируемость
нулевого
порядка
Дифферем-
цируемость
первого
порядка
Дифферен-
цируемость
порядка (L-1)
Рис. П.1. Структурная схема реализации процесса в соответствии с дифферен-
цируемостью его компонентов.
ми, целесообразно его рассмотреть. Некоторые читатели сочтут
необходимым предположить, что все элементы у (ή дифференцируемы
только до второго порядка включительно и записать последующие
уравнения для этого случая до формулы (78) включительно. Посредством
этого разбиения можно непосредственно записать реализации,
показанные на рис. П.1. Отметим, что связи между элементами здесь нет, так
как F (0 = 0.
Каждая компонента уг (t) имеет реализацию (0, G* (t), C%t (ή),
которая (/—1)-кратно, (а не/-кратно) дифференцируема в среднеквадра-
тическом смысле. Согласно (58) дифференциальное уравнение для
ковариационной функции процесса записывается в виде
Ч (t, t)=о* №i (t) = 2 o« (0 Gii (t).
(67)
299

Если к соответствующим компонентам уг (ή применить также (65)» то
из указанных условий дифференцируемости следует, что
Ci*)(0G*(0 = 0 приО<&</— 1. (68)
Прежде чем продолжать анализ, необходимо произвести разбиение
Α (ί) и В (t) в виде
AW=[A1(i)iAa(/)!...l|AL(i)], ,fiQ.
столбцов столбцов столбцов
в ω=[в3 ω s в, (о ι... s Bt (о]. (б9б>
Теперь, как очевидно из (57), необходимо отождествить С* (t) с Аг (ή,
т. е.
C*(t) = bT(t), (70а)
Cli(t) = At(t). (706)
Ввиду этого можно свободно взаимно заменить матрицы A (t) и Ст (t)
в последующих уравнениях. Таким образом, получаем
B(f) = Kx.(f,f)A(<), (71а)
Β,(<)=Κ«,(ί,/)Α/(<). (716)
Продифференцировав (71 б), получим
В, (ί) = Кж, (t, t) Α, (ί) + Кхш% t) Ά, (t) = G*(0ΟΪ (0CJ, (0 +
+ 4^θΑ,(0· (72)
Если / = 1, то
Вх (0 = G* (t) Οϊ (ί) С,, (0 + Кх* (ί, ί) А, (0, (73а)
а если /ыФ 1, то с учетом (68)
в/(0=К,,(<,оА,(0. (736)
После /-кратного дифференцирования
В|" (t) = G* (ί) GI (t) Ci'r1} г + К„ (ί, 0 А{° (t), (74a)
В{*)(0 = Кх»(/,0А{*)(0. 0<*</-1. (746)
Произведем почленное умножение (74 а) на С(*Г ' (0. поставив
d{_1) (ή впереди, и используем результат перестановки (746). В итоге
получим матричное уравнение размерности гг χ г;
(сй-,)(оо*(о)(ог(ос(.'г1)Г(о) =
= АГ!) Г(0 В!0 (0-ВГI} r (0 Aj" (ί) AD, (t), (75)
где определена система матриц Dz (ί). Предположим, что матрица
Ку (t, τ) положительно определена. Из этого и из условий
дифференцируемости следует, что D^ (t) — также положительно определенная
300

матрица; поэтому она имеет положительно определенный квадратный
корень. Матрицу ci{""1) (t) G* (t) размерностью (r ι X т) можно
выразить в виде
I1/2,
ciru (Οθ·(0=[θι-1Ι>Γ (Oi-iojr, строк.
^ rl
(76>
Теперь подставим транспонированную матрицу — результат
транспонирования (76) в (74 а), в итоге получим
или
О,, (О [D]/2 (t)]T= Wt (О-Кх* (t, t)Ml) (ή
Gw (0 = (B{° (0-Kx* (f, 0 A{'> (0) [Df1/2 (t)Y
(77a)
(776)
Формула (776) выражает разложение G* (ή через Кх (t, t), А (/) и В (ί);
однако КХ), (ί, 0 остается неизвестной. Определим дифференциальное
уравнение для Кх„ (t, t), подставив (77) в (67). Подставив эти
выражения вместо D; (ή , получим
К,* (t, 0 = [[в1,» (О ι в^г> (о j... ι b(lL) (t)] -
-КжЛ'. 0 И1' (*) ί Α^2' (0 |... i AiL) (/)]]
Χ
χ
D,(0 0 ..
0 D2(0 ..
о
о
[[BY>(t)\B^(t)\...\BiL)(tj\-
0 0 ... Dt(0 _
-К,.('. 0 [A(iX) (0! А^2> (0 I... j AiL) (t)]f
(78)
Это дифференциальное уравнение типа Рикатти. Попытка показать
существование вполне определенного решения может привести к
некоторым довольно трудным вопросам теории систем. (Подробнее по этому
вопросу см. [2].) Для наших целей достаточно потребовать, чтобы
начальное условие KXsIc (Th Tf) описывалось неотрицательно
определенной симметричной матрицей, чтобы Α (ή и В (t) и их производные
были конечными и непрерывными и чтобы ковариационная функция
определялась соотношением (37) и при
^(t)A[A\1^t)\A^(i)\...\AiLHt)l
B(0A[B(,1>(0iB^>(i)i...|BJLL)(0]
(79а)
(796)
301

была положительно определенной матрицей. Для определения на-^
чальных условий заметим, что (74 б) можно выразить в виде системы L
матричных уравнений размерностью (η χ η):
[В? (О! Щ (0!... j Bl(t)] =Кх* (*, t) [Α? (ί) I AS (ί)ί... i A£(<)],
[о :ВНО!-|В1(о1=КхЛ^О[о \Ah(t)\...\M(t)],
[о ι о i...iBfr,(0]=Kx.(<,o[o ί о j... ϊΑέ-1 (ο]-
Нам необходимо вычислить эти уравнения для момента времени Tt
и решить относительно KXjJt {Th Tt), требуя, чтобы решение было
неотрицательно определенным. В этом контексте все уравнения можно
объединить в(ях п/,)-мерную систему и использовать методы псевдо-
обращенных матриц для определения KXiJc (Th Tt) [13].
Уравнение (78) при заданных начальных условиях моделирует
искомое решение для KXsIc (t, t). Оно, в свою очередь, определяет G* (t)
через (77 б), а С* (t) определяется непосредственно при помощи Ar (t).
Мы исключаем возможность того, что дифференцируемость компонентов
системы изменяется по переменной t. Если же это все-таки имеет место,
то метод кусочного решения, является по-видимому, единственным
практически возможным методом.
Теперь мы располагаем процедурой описания процесса в
переменных состояния и можем обратиться к вопросам преобразований
координатных систем для рассматриваемых реализаций.
Этап 3. Предположим, что реализация с заданным триплетом
матриц (О, G*(0, С* (t)) и парой ковариационных функций (I, Кх# {Ти
Ti)) получена. Для многих ситуаций бывает желательным иметь в
распоряжении реализацию с постоянными параметрами. Поэтому
целесообразно кратко обсудить, при каких условиях это возможно.
Введем в рассмотрение матрицу Τ (t), определяющую линейное
взаимно однозначное дифференцируемое преобразование вектора
состояния χ (/), т. е.
х' (0 - Τ (0 х (t), (80)
Матрицы состояния для преобразованного вектора состояния имеют
вид:
F(0 = (T(<)F(/) + f(<))T-1(0. (81а)
G'(f)=T(f))G(f), (816)
C'(<) = C(f)T-l(f). (81в)
Q'-Q, (81r)
P/=T(rf)PfTy(rf). (81Д)
В общем случае, когда рассмотренная процедура применяется для
определения реализации вида (0, G* (t)9 С* (ί))9 мы приходим в
результате к реализации системы, параметры которой изменяются во времени.
Необходимо определить условия, при которых можно осуществить та-
302

кое преобразование, чтобы все матрицы состояния были постоянными;
другими словами, надо найти условия, когда матрицы (F' (t), G' (t),
€' (/)) постоянны, а исходными матрицами являются (О, G# (t)> С* (ή).
Из (81 а) при F (0 = 0 и F' (t) = Fc имеем
t(f) = F,T(f), (82)
где Fc — матрица, подлежащая определению. Общее решение этого
уравнения имеет вид
T(i) = eFf ('~Τι)Ύ(Τι). (83)
При G' (f) = Gc и G(0=G* (ή после подстановки*(83) в (816) и
дифференцировании найдем, что для получения постоянной реализации
необходимо, чтобы матрица G* (t) удовлетворяла уравнению
G* (0 = - (Т-1 (Г,) F, Τ (Г,)) G* (0 = - FT G* (f), (84)
где в явном виде определена матрица F^. Аналогичным образом
найдем
G* (0 = С* (О (Τ-* (Tt) FeΤ (Τ,)) = С, (0 Fr. (85)
Следовательно, для существования реализации системы с
постоянными (не зависящими от времени) параметрами необходимо и
достаточно, чтобы существовала матрица FV, удовлетворяющая уравнениям (84)
и (85). Тогда мы имеем реализацию через преобразование общего реше*
ния (83). Триплет матриц реализации принимает вид
(Т (Tt) F.T"1 (Г,), Τ (Т{) е*< <*-г'>G* (/), С* (t) e~F* ν~τ')Τ* (Г,)).
Хотя уравнения (84) и (85) образуют необходимый и достаточный
критерий существования реализации с постоянными параметрами, этим
критерием довольно трудно пользоваться. Другие необходимые условия
можно вывести из (84) и (85) или из ранее полученных результатов.
Некоторые из них сформулированы ниже.
На основании (84) и (85) легко показать, что для существования
реализации системы с постоянными параметрами необходимо, чтобы
C^)(/)G^)(0 = const. (86а)
Поскольку произведение С* (ή и G* (/) можно связать с производными
множителей A (t) и В (t), используя (68) и (75), то можно применить
непосредственный критерий, выраженный через исходные множители.
Например, если y(t) имеет по крайней мере производную первого
порядка, то из (62) и (64) следует, что
Ат (/) В (t) — BT (t) A (t) = const (866)
является необходимым условием существования реализации системы
с постоянными параметрами. Из (68) и (75) следуют и другие
уравнения. (Заметим, что если не все элементы у (t) имеют одинаковый
порядок дифференцируемости, то необходимо использовать
факторизацию.) Все эти критерии являются необходимыми и не ясно,
какая именно их комбинация, если вообще существует какая-либо,
дает достаточный критерий.
303

Этим завершается общее рассмотрение процедуры отыскания матриц
состояния. Рассмотрим теперь некоторые примеры для иллюстрации
этой процедуры.
Пример 4 (продолжение). Уравнения (50) дают функциональное
разложение ковариационной функции винеровского процесса. Этот
процесс является выходным процессом первого порядка и
не,дифференцируем. В результате их подстановки в (78) получим
/C*.(U) = a2, 0</. (87а)
Начальное условие получается из (71) в виде
/Сх.(0, 0) = 0. (876)
С учетом (87а) и (876)
KXAU t) = d*t, 0<f. (88)
Поэтому из (70) и (77) имеем
CAt) = h (88а)
G*(t) = a\ (886)
т. е. реализация имеет вид (0, σ2, 1) при ковариационных функциях
(1, 0). Эта реализация нам хорошо знакома.
Пример 5 (продолжение). Для процесса первого порядка,
рассмотренного в примере 5, подстановка разложения, выполненного в
соответствии с (51), в (78) и (71) дает
/С** (U t) = (kPekt+K**V> *)k*~ktl_ f о < t, (89а)
Р = /С,*(0, 0). (896)
Решением уравнения (77) является
Kx*(t,t) = Pe2kt, 0<t. (90)
Его подстановкой в (77) и (70) получим
G*(t) = Y2kPeki 0<t, (91a)
С#(0 = е-« 0<*. (916)
Нетрудно заметить, что
G*W = -(-*)G*(0. (92а)
С»(0 = С,(0(-А)· (926)
Следовательно, если применить преобразование
Г(0 = е-«, (93)
то получим реализацию (— k, У 2 кР, 1) и (1, Р).
Пример 6 (продолжение). Здесь мы рассмотрим нетривиальный
пример. Так как развернутое изложение связано с большим объемом
алгебраических выкладок, ограничимся лишь наброском схемы решения.
304

Процесс, рассмотренный в примере 3, имеет дифференцируемость
второго порядка. Поэтому гх и г2 равны 0 и 1 соответственно и
А(0 = А2(0 = Ге"СО5(3°"
в(0 = в2(0 =
sin (St)
е' cos (30
Le'sin(30
В результате дифференцирования получим
А^>(0 =
В^> (0
А^2> (t) =
в^2>(0 =
— 1 —3
L 3 —1 J |_e-'sin(3i)
40
е-'cos(30
0
40
3
3 I re'cos(30
0 I [е* sin (30 J
—8 6 ] [e-'cos(30
—6 8 J [e-t sin (30 J
40
40
40
3
3
-40
e< cos (30
I e{ sin (30
(94a)
(946)
(95a)
(956)
(95b)
(95r)
Непосредственная подстановка в (75) дает
D2 =160. (96)
Дифференциальное уравнение для Кх (t, t) следует из (78) в виде
40
3
40
3
КхД0 0 =
-40
-40
е* cos (30
е( sin (30 J
-Кх.С. 0
X
160
—8 6
— 6 8
-40 — ■
е-'cos (30
Le-'sin(30
Χ
40
3
40
3
-40
е<cos(30
е< sin (30
-КхЛОО
-8 6
-6 8
'е-' cos (30
е-'sin (30
(97)
305

Начальные условия получим из (74)
откуда следует
Г 4 "
4
L 3
Г 0 Ί
40
L 3 J
yei
'
= Κχ·(^Γ|)
= Кх*(Г<, 7^)
Г 1
1
0
при & = 0,
1 \J
— 1 "
при 6=1,
Кх*(^г> Т^) —
Г* —^
3
4 44
3
9
•
(98а)
(986)
(98в)
Теперь для отыскания Кх# (/, 0 можно решить (произвести
интегрирование) (97) при указанных выше начальных услолиях численными
методами или попытаться найти решение методом проб и ошибок или
каких-либо других преобразований над Кх# (U О· Матрица С* (/)
определяется посредством Ar (О, a G* (t) следует из (77) в виде
G(i) = G,(/) =
— 40
40
3
40
3
-40
е*cos(30
е* sin (30
-КХ*(М)Х
— 8 6
— 6 8
V cos(30
е-' sin (30
]/160
(99)
В этом параграфе было показано, что спектральное разложение на
множители, зависящие от времени, вполне возможно. Однако, как
правило, даже для некоторых простых стационарных примеров
приходится прибегать к численным методам ввиду принципиальной связи
рассматриваемого алгоритма с изменяющимися во времени параметрами
системы. Во многих случаях заведомо проще использовать
спектральные методы и заниматься далее решением алгебраических уравнений,
а не дифференциальных уравнений. В этом контексте есть смысл еще
раз подчеркнуть значение наших рассуждений в начале этого
параграфа.
П.4. Вывод дифференциальных уравнений для ковариационного
оператора
Многие из задач, встречающихся в тексте книги, связаны с
интегральной операцией
Tf
ζ (0 -= \ Ку (f, τ) f (τ) dxf Τ, < t < Tf. (100)
306

Например, при использовании интегральных уравнений Фредгольма
f (ή либо связана с собственной функцией Φ (t) в однородном случае,
либо является решением g (t) в неоднородном случае. В рамках теорий
линейных оценок, лежащей в основе многих вопросов, рассмотренных
в данной книге, выражение (100) есть интегральная операция,
определяемая уравнением Винера-Хопфа.
В этом параграфе выведена система дифференциальных уравнений
для указанной интегральной операции. Решение этих
дифференциальных уравнений эквивалентно выполнению интегральной операции^
определяемой соотношением (100). Во многих интересующих нас
прикладных вопросах проще работать с дифференциальными уравнениями,
чем с интегральным уравнением.
Предположим, что представление в переменных состояния найдена
или задано непосредственно. С учетом (6) выражение (100) можно
записать в виде
g(f) = c(f)S(0. Tt<f<Tf9 (ioi>
где
Tf
I (t) Δ J Kx (U τ) Ст (τ) f (τ) dx9 Tt<t<Tf. (102)^
Ti
Определим теперь систему дифференциальных уравнений череэ
функцию | (ή. Подставив (9) в (102), получим
t
I (t) = jj θ (ί, τ) Κχ (τ, τ) Ст (τ) f (τ) άτ+ Κχ (U t) Χ
χ J ΘΓ (τ, t) CT (τ) f (τ) dxt Tt<t<Tf. (103)
t
Продифференцируем (103) no t:
<ψ ___ Ι т^_ Κχ сГ f άχ+ *Ц^ χ
at J dt at
Ti
Tf
• χ J θΓ(τ, t)CT (%)f(x)dT +
t
Tf T
+ Kx (/, t) J -^~— Сг(т) f (x)dx, Tt <t < Tf. (104)
t
Здесь было использовано начальное условие, сформулированное ниже
(формулы (6.254а) на стр. 605 первого тома), и взаимно уничтожена
два равных слагаемых. В первое слагаемое правой части (104) подста-
Х) (ξ (/) определяется (102). Не следует путать с |я (/) — ковариационной
матрицей ошибок, введенной в рассмотрение в гл. 6 первого тома.
307

вим (I — 6.254 а), а в последнем слагаемом учтем то, что ΘΓ (τ, t),
является переходной матрицей для сопряженного уравнения
матрицы F (t), т. е.
J-eT(Xyt) = -FT(t)eT(xJ). (105)
01
Сделав эти две постановки в (105), получим
t
^ψ- = F(t) f θ(ί, τ)Κχ(τ,τ)0Γ (x)t(x)dx +
at J
+ \*H °-K»(^QFr(Q j [θΓ(τ,ί)0Γ(τ)ί(τ)Λ, Г,</<7у (106)
Используя в (106) выражение (104), получаем
: F (0 Γ θ (*, τ) Κχ (τ, τ) CT(τ) f (τ) dx + (F (t) Kx (t,t) +
TJ
+ G (t) QGT (0) J ΘΓ (τ, 0 Cr (τ) f (τ) dx, Tt < t < 7>. (107)
После перегруппировки членов с учетом (103) окончательно имеем
Tf
^-=F(t)l(t)+G(t)QGT(t)\0T(x9t)CT(x)f(x)dxf Tt^t<Tf.
dt f (108)
Таким образом, дифференциальное уравнение для ξ (t) выведено,
однако нетрудно видеть, что операция интегрирования в (108) все еще
остается. Мы просто определим эту интегральную операцию как второй
линейный функционал функции f (t):
Tf
η (0 Δ $ θΓ(τ, t) CT (τ) f (τ) dxy Tt < t < Tf. (109)
Тогда
^L = F(t)l(t)+G(t)QGT(t)ri(t)f Ti^t<tf. (110)
Теперь несложно вывести дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет функционал η (/). В результате дифференцирования
{109) получим
^ = — Сг (0 f (0 — Fr(/) J QT(x,t)CT(x)f(x)dxy Tt<t^Tf, (111)
t
308

где вновь использовано сопряжение соотношение, определяемое (105),
После подстановки (109) в (111) имеем
^-==-CT(t)f(t)-FT(t)4(t), T^t^Tf. (112)
Теперь необходимо вывести две системы граничных
условий,которым должны удовлетворять уравнения (ПО) и (112). Во всех
прикладных вопросах, которые нами рассматриваются, функция f (τ)
ограничена в концевых точках интервала t = Tt и t = Tf. Поэтому, положив
в (109) t = Г/, получим
η(^)=0. (113)
Второе граничное условие вытекает непосредственно из (103).
Если положить t = Ti9 то первое слагаемое равно нулю, а второе можно
записать в виде
т* *
I (Tt) = Κχ (Γ„ Τt) J вт (τ, t) С (τ) f (τ) dx (114)
Ti
или
Ι(Γ,)=Κ,(Γ„ Tt) η (Τ,) = Ρ, η (Τ,). (115)
Нетрудно заметить, что два граничных условия, определяемые (ИЗ) и
(115), являются независимыми.
Подытожим результаты полученного вывода. Получено два
дифференциальных уравнения:
^in- = F{t)l(t) + G(t)QGT(t)4(t), Tt<t^Tf, (116)
i?£l = -CT(t)f(t)-FT(t)i\(t), Т,<*<7у (117)
Кроме того, мы располагаем граничными условиями
|(Τ<) = Ρίη(Τι), (118)
- η(7» = 0. (И9)
Связь с исходной интегральной операцией определяется соотношением
ζ (ί) = С(t) l(t) = l Ky (ί, τ) f (τ) Λ, Τ% < t < 7> (120)
Отметим, что единственным свойством функции f (t), которое
понадобилось при выводе, является ограниченность в концевых точках
интервала. Этим самым из рассмотрения исключаются уравнения
первого рода, в которых на концах интервала могут появляться
сингулярные составляющие. Уравнения (118) и (119) равносильны η линейно
независимым граничным условиям. Если дифференциальные уравнения
линейны [f (Ζ) может быть функцией ξ (ί) и η (ή]9 то любое решение,
которое удовлетворяет граничным условиям, является единственным.
309

Наконец, вывод этих дифференциальных уравнений можно провести
в обратном порядке с тем, чтобы получить функционал, определяемый
формулой (102), т. е. можно проинтегрировать дифференциальные
уравнения, а не дифференцировать интегральное уравнение.
Следовательно, решение ξ (ή дифференциальных уравнений должно совпадать
с результатом интегральной операции (102). Отсюда следует, что
существование решения ξ (/),удовлетворяющего указанным граничным
условиям, необходимо и достаточно для существования решения
интегрального уравнения (102).
П.5. Однородные интегральные уравнения Фредгольма
Учитывая широкое использование интегральных уравнений
Фредгольма в тексте второго тома и систематическое изложение материала
в гл. 3 и 4 первого тома, нет нужды доказывать или подробно
объяснять их полезность в области теории связи. В этом параграфе
рассмотрим вопрос о том, как методы переменных состояния можно
использовать для получения решений однородного интегрального уравнения,
а в следующем параграфе — для неоднородного уравнения. Здесь
интерес представляют два момента: собственно однородные
интегральные уравнения и связанная с ними детерминантная функция
Фредгольма.
Однородное интегральное уравнение Фредгольма обычно
записывают в виде
I'
Jj Ky(t,x)Q>j[(x)dx=Xj<i)j(t)1 T,<i<ry, (121)
где предполагается, что ядро Ку (t, τ) является ковариационной
функцией векторного случайного процесса у (/), генерируемого методами,
описанными в § П.1, Φ7· (ή — собственная функция, а λ7· —
соответствующее собственное значение.
Придадим теперь уравнению (121) такую форму, чтобы можно было
использовать результаты предыдущего параграфа» Прежде всего,
если учесть" (6), то (121) можно переписать в виде
Tf
С (0 J Kx (f, τ) С7(т) Φ, (τ) dx - λ, Φ, (f), Tt < t < Tf. (122)
Далее видим, что этот интеграл имеет такую же форму, как
интегральная операция, определяемая (102), если отождествить собственную
функцию Фу (0 с функцией f (t). Поэтому введем в рассмотрение
следующую систему функций {ξ7· (ή):
Tf
Ь (0 = $ Kx (U τ) CT (τ) Φ] (τ) dx, Tt < t < Tt. (123)
310

Считая, что собственные значения отличны от нуля, (122) можно
записать как
ФЛ0 = ^"1С(0|/(0. Tt^t<Tf. (124)
Теперь заметим, что интегральную операцию (123) можно свести
к двум линейным дифференциальным уравнениям с соответствующей
системой граничных условий, если использовать результаты предыдущего
параграфа. Заменяя в (116) и (117) функцию f (t) на Ф7 (t)9
определенную формулой (124), получаем следующие дифференциальные
уравнения для lj (t):
^^ = F (t)lj (t) + G(t) QQT (i)^(t)9 Tt^t^T,, (125)
^=_с7,(ояг1С(05ЛО-рг(0^(0. Ά^ίκτ,. (126)
Согласно (118) и (119) граничные условия имеют вид
!/(Г*) = Р,1|,№ (127)
4j(Tf) = Q. (128)
Смысл уравнений (125) — (128) заключается ^в том, что на
основании их однородное интегральное уравнение Фредгольма можно
преобразовать в систему однородных векторных дифференциальных
уравнений с соответствующей системой граничных условий. Собственные
значения интегрального уравнения — как раз те значения λ7·, которые
дают нетривиальное решение уравнений (125) и (126), удовлетворяющее
требуемым граничным условиям (127) и (128). Собственные функции
связаны с этим решением дифференциальных уравнений формулой (124),
Прежде чем продолжать изложение, сделаем несколько замечаний,
Отметим, что в последующем нам предстоит решить систему из 2 п
дифференциальных уравнений. Это не противоречит ранее рассмотренным
методам решения уравнения (121) для стационарных ядер с
рациональными спектрами, которые обсуждались на стр. 232—233 первого тома.
При использовании этих методов необходимо решать
дифференциальное уравнение 2п-го порядка, где 2п — степень многочлена в
знаменателе спектра.
Полученные выше результаты сводятся к системе
дифференциальных уравнений и граничных условий, которые должны
удовлетворяться. Однако все еще необходимо рассмотреть вопрос о фактическом
отыскании собственных значений и соответствующих собственных функций*
Потребовав существования нетривиального решения, используем
теперь полученные выше результаты для отыскания трансцендентного
уравнения для собственных значений.
Определим матрицу W(i: λ) размерностью (2п χ 2п) в виде
W (ί : λ):
F(t) G(t)QGT(t)
-ст (ήλ-ι€(ή-¥τ(ή
(129)
311

чтобы в преобразованной векторной форме уравнения (125) и (126)
приняли вид
Ь (О
dt [η,. (О J
■W(t:X})
bit)
%(')J
Ti < t < T}.
(130)
Введем далее в рассмотрение переходную матрицу Ψ (t, τ: λ),
связанную с определенной выше'матрицей W (ί: λ). Чтобы подчеркнуть
зависимость матриц W (t: λ) и Ψ (t, τ : λ) от λ, мы намеренно
включили λ в форму их записи в качестве аргумента.
Выраженное через эту переходную матрицу общее решение
уравнения (130) принимает вид
= Ψ(ί, Τ,:λ,)
Tt^t^Tf.
(131)
С учетом исходного граничного условия, определяемого матрицей (129),
имеем
4i(Ti), Тг</<Г/.
Ψ(ί,Τ,:λ) =
η, (Γ,), Tt^t^Tf,-
ll®]=V(t,Tt:b,)\Pt
Разобьем теперь матрицу Ψ (t, Tt : λ) на (η χ η) субматриц вида
Переписав (132) через указанные субматрицы, получим
nj(t)\ [ф%а,тгл,)
где, по определению,
Φξ (t, Tt: λ) Δ ψξξ (/, Tt: λ) Рг + Ψξΐ} (/, Tt: λ),
Φ4 (t, Tt: λ) ΔΨ4ξ (<, Τ,: λ) Ρ; + Ψ44 (/, Гг: λ).
В соответствии с (135 б) окончательное граничное условие,
определяемое (128), требует, чтобы
0 = ib (Tf) = Фч {Τρ Tt: λ,) η, (Tt). (136)
Отсюда вытекает одно из двух следствий. Либо % (Тг)
тождественно равны нулю, что приводит к тривиальному нулевому решению, либо
detO^T,, Г,: λ,) = 0. · (137)
Если справедливо последнее, то можно найти ненулевое η7· (Ti), которое
удовлетворяет условию (136). Отсюда следует нетривиальное решение
уравнения (130), удовлетворяющее требуемым граничным условиям.
Это решение дифференциальных уравнений, в свою очередь,
определяет решение исходного интегрального уравнения, записываемого в фор-
312
(132)
(133)
(134)
(135а)
(1356)

ме (124). Ввиду функциональной равносильности между этими
дифференциальными уравнениями и исходным интегральным уравнением,
условие (137) является одновременно необходимым и достаточным
условием существования собственного значения λ;·.
Теперь определим в деталях алгоритм для получения собственных
значений и собственных функций для однородного интегрального
уравнения, основанный на полученных выше результатах. Чтобы найти
собственные значения, необходимо найти решения (137). Для этого
определим переходную матрицу ψ(ί, Tiy λ) и вычислим ее при / = Tf.
Затем разобьем эту матрицу согласно (133), и образуем матрицу
*n(Tf,Tt:k).
Введем в рассмотрение функцию
A(K)Adet<bi(Tf, Tt: λ). (138)
Для отыскания собственных значений будем искать решения
уравнения Α (λ) = 0 в форме, определяемой (137). Когда имеется
аналитическое выражение для Α (λ), можно решить его (т. е. найти его корни)
непосредственно. При определении функции Α (λ) численными
методами необходимо вычертить график этой функции и определить точкЬ ее
перехода через нуль на оси λ.
При фактическом построении графика этой функции полезно иметь
верхнюю границу наибольшего собственного значения. Удобной
границей служит ожидаемое значение энергии процесса, которое
можно вычислить путем интегрирования Тг [Ку (/, 01 на интервале [Ти TfV\
Если ядро стационарно и скалярно, то можно также ограничить
max (kj) максимальным значением соответствующего спектра Sy(f) (см.,
например, стр. 245— 246 первого тома). Аналогичная граница
существует и в векторном случае.
Чтобы определить собственную функцию для конкретного корня,
необходимо решить матричное уравнение, записанное в форме (137),
для η^ (Ti). Взяв соответствующую субматрицу Φη (Γ/, Tt :λ7·), можно
сделать это внутри мультипликативного коэффициента. Собственные
функции определяются, исходя из этого решения и формул (124) и
(134):
φ.^^λΓ^^Φ^ί,Τ-λ^ηΗ^·), r,<«7V, (139)
где мультипликативный коэффициент для η^ (Tt) может быть найден
нормировкой собственной функции.
Остановимся кратко на случае, когда (137) имеет кратные корни
Вообще функция Α (λ), заданная соотношением (138), убывает с
ненулевой крутизной. Если имеются кратные собственные значения, то Л (λ)
) Используя теорему Мерсера (см. стр. 217 первого тома), имеем
Tf Tf оо оо
$Тг[Ку(*. t)]dt= J 2 λ.Φ[(0<νθ^= 2 λ, > max (λ,).
И Зак. 1128
313

убывает по касательной, т. е. вблизи собственного значения λ7· порядка
L первые L коэффициентов разложения в ряд Тейлора в окрестности
точки λ7· равны нулю. В общем случае это приводит к
линейно-независимым векторам x\t (Tf), удовлетворяющим граничному условию (136),
или Φη (Τρ Ti'.Xj) имеет ранг п— L.
Прежде чем приступить к дальнейшему изложению, укажем неко
торые преимущества, которыми обладает этот метод по сравнению с
методами, изложенными в гл. 3 первого тома.
1. Коль скоро выбор матриц состояния для моделирования
(генерации) процесса у (/) произведен, уравнения системы, которые
необходимо решить, следуют из них непосредственно. Интегральное
уравнение сводится к дифференциальным уравнениям и граничным условиям
почти автоматически.
2. Искать решение для каждого собственного значения и
собственной функции можно независимо от других; это имеет большое значение
при фактическом получении точных решений.
3. Нет необходимости подставлять какие-либо функции сновав
исходное интегральное уравнение с целью подбора коэффициентов и
определения трансцендентного уравнения, которое определяет
собственные значения.
4. Без каких-либо дополнительных затруднений можно решить
интегральное уравнение для векторного случая.
5. Определенный класс изменяющихся во времени ядер, например
ядер, соответствующих моделям каналов с растягиванием сигнала,
можно исследовать численными методами.
6. Наконец, наиболее существенное преимущество заключается в
том, что этот метод хорошо подходит к численным методам. Это
позволяет легко находить численные решения для задач, когда
аналитическое решение либо крайне затруднительно, либо невозможно.
Существуют и другие численные методы решения однородных
интегральных уравнений Фредгольма. Сравнение этих методов с
рассмотренным выше произведено в работе [6]. Рассмотрим теперь ряд примеров.
Пример 7. В данном примере рассмотрим вопрос об определении
собственных значений для процесса из примера 2, определенного на
интервале [О, 7Ί. Целесообразно сравнить этот анализ, выполненный
методами переменных состояния, с анализом, выполненным при
такой же ковариационной функции на стр. 224—227 первого
тома1}. Тогда сразу станут очевидными многие преимущества метода
переменных состояния.
Подставим в (129) представление в переменных состояния,
описываемое матрицами состояния (27), чтобы образовать матрицу
W (λ)
— к
<2kP
(140)
1} Они различаются только началом отсчета времени и длиной интервала.
В примере из тома I этот интервал соответствует [—7\ Т], а не [0, Г], выбранному
здесь.
314

Непосредственное обратное преобразование Лапласа [Is — W (λ)]-1
приводит к переходной матрице
Ψ(U 0:λ):
cos(kbt)
sin (kbt) ί
1 sin (kbt)
Kk b
2P
| cos (kbt) -
sin (kbt)
sin (kbt)
(141)
где
-Δΐ/ϋ
— У ik
1.
(142)
Разобьем эту матрицу в соответствии с (135 б), а затем образуем
функцию Α (λ) в виде, определяемом (138). В результате получим
Α (λ) = — (1 - ) sin (ВД + cos (kbT). (143)
Собственные значения определяются корнями этого уравнения. Для
вычисления корней вручную решим уравнение
tg(^T):
2bi
6f — 1
(144)
Нетрудно удостовериться, что это уравнение тождественно (I — 3.89)
где Τ определено соответствующим образом. Решив (142) относительно
λ, получим выражение для собственных значений через Ь%
λ,:
2Р
U + b}]'
(145)
Собственные функции найдем по формуле (139). Они имеют вид
Ф* U) = Тг [cos(kbt t) + -j-sin (kbtt)\, 0</ <T,
(146)
где γζ· — нормирующий множитель. Этот результат аналогичен
формулам (I — 3.91) и (I — 3.92).
Пример 8. Как правило, единственным классом задач, которые
можно решить аналитическими методами, являются задачи, связанные
с процессами первого порядка. Сила метода переменных соостояния
в значительной мере заключена в использовании численных методов.
В данном примере мы покажем образец анализа, который можно
провести, используя численную реализацию полученных выше результатов.
Рассмотрим задачу определения собственных значений для
процесса, введенного в рассмотрение в примере 3, когда задан интервал [0, 2].
Подстановка в (129) представления процесса в переменных состояния,
315

описываемого матрицами
мой формулой
(32), приводит к матрице
W (λ), определяс-
\ν(λ) =
10
1
λ
о
1
-2
о
о
о о
0 160
О 10
■1 2
(147)
Чтобы определить функцию Л (λ) для данного λ, необходимо найти
переходную матрицу для W (λ) при Τ = 2.
Коль скоро эта переходная матрица найдена, используем (135 б) для
определения Φη (Τ/, Tt: λ), а затем вычисляем определитель этой
матрицы Α (λ). Путем варьирования параметром λ и повторения этой
процедуры можно построить график функции Α (λ) для определения
собственных значений — корней уравнения Α (λ) = 0. Получающаяся
в данном случае кривая показана на рис. П.2.
Этот график типичен для функции Α (λ). При больших значениях
функция Α (λ) асимптотически приближается к постоянному значению
ехр
— J Tr (F (/)) at
(148)
При уменьшении λ видим, что в области, соответствующей 2 WT + 1
наибольшим значащим собственным значениям (для данного примера
приближенно 3), эта функция непериодически осциллирует с
умеренным размахом. Однако при
приближении к области менее
значащих собственных значений
размах колебаний становится
чрезвычайно большим. В
конце концов числа становятся
столь большими, что их трудно
практически вычислить.
Когда встречается такая
ситуация, по-видимому, лучше
определять собственные значения,
используя асимптотический
метод, предложенный Кейпо-
ном [8]. На рис. П.2 местоположения собственных значений,
определенные этим методом, показаны стрелками. По мере
уменьшения собственных значений согласие между сравниваемыми
методами становится довольно хорошим. Следует, однако, указать на
значительное различие, которое появляется при попытке распространить
асимптотический метод на случай больших собственных значений.
Поскольку метод переменных состояния полезен для
вычисления больших собственных значений, его можно сочетать с асимпто-
Α(λ,)
W
0
-ЦО
-
I5*
0,01
\
\
ι Ч
0,1
Асимптотическое
значение ~~~^^-
j/Λ
| / Г* 10 100
I/
Рис. П.2. График функции Л (λ).
316

тотеским методом так, чтобы найти все собственные значения Точно и
удобно. Эта задача рассмотрена более подробно в [6].
П.6. Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма
Мы уже встречались с несколькими прикладными областями, в
которых определение решения неоднородного интегрального уравнения
Фредгольма является важным аспектом задачи. Частный случай такой
ситуации — задача обнаружения известных сигналов на фоне небелого
гауссова шума, которая была рассмотрена в §4.3 первого тома.
Рассмотрим процедуру решения приведенных там уравнений методами
переменных состояния.
Наш новый подход по существу связан с двумя моментами.
Во-первых, необходимо найти систему дифференциальных уравнений,
определяющих искомое решение; во-вторых, целесообразно рассмотреть
различные методы решения этих дифференциальных уравнений.
Запишем неоднородное интегральное уравнение в виде
• Tf
8W = R(i)8W+jKy(/,T)g(x)dTf Tt<t^Tp (149)
где s (ή — известный сигнал; Ку (t, τ) — ковариационная функция
случайного процесса у (t), как описано в § П.1; R (t) — положительно
определенная симметричная матрица, которая обычно связана с
ковариационной функцией аддитивного белого шума, a g (t) — искомое
решение. Поскольку предполагается, что матрица R (t) положительно
определена, интегральные уравнения первого рода с сингулярными
функциями, встречающимися в концевых точках интервала, из
рассмотрения исключаются. Функция g (/), входящая в уравнение (149),
определяет коррелятор, с которым мы встречались ранее в § 4.3 и 4.5
первого тома. Уравнение (149) является обобщением уравнения (I—4.436)
и было выведено в задаче I—4.5.2.
Используем теперь результаты § П.4 для того, чтобы свести
интегральное уравнение вида (149) к равносильной системе
дифференциальных уравнений. Учитывая свойство положительной определенности
матрицы R (t), (149) с учетом (6) можно переписать в виде
g(0 = R-x(0 s(0-C(i) С κχ(ί, τ)σ(τ)8(τ)Λ; , Г,<*<7у (150)
Если в уравнении (150) g (τ) отождествить с функцией f (f) из
уравнения (102), то нетрудно заметить, что интеграл является функцией
от | (t) в соответствии с определением (101). Поэтому для
неоднородного уравнения определим ξ (/) как
317

ξ(ΟΔ$Κχ(*.-r)Cr(T)g(T)tft, rf</<r/f (151)
так что (150) обращается в
g(i) = R-1(t)ls(t)-C(t)l(t)], T^t^Tj. (152)
Для рссматриваемого класса ядер в § П.4 было показано, что
функционал, определяемый (151), можно представить как решение
дифференциальных уравнений (116) и (117):
^^-■F(t)l(t)+G(t)QGr(t)4(t), Г,<*<Т,, (153)
dt
dr\(t)
dt
= -CT(t)u(t)~Fr(t)4(t), Tt^t<Tf, (154)
в сочетании с системой граничных условий. Если вместо g (/)
подставить (152), то (154) обратится в
Ш- = СТ(t)R~Ht)l(t)-rT(t)4(t) -Cr(i)R-^)s(/)/7V^<7V (155)
Если (153) и (155) записать в векторной форме, то неоднородное
интегральное уравнение можно свести к дифференциальным уравнениям
-.т,
dtln(t)\ L Сг (О R"1 (/) С (/") J -FT(t) \[i\(t)\
Tt^t^T,, (156)
-[
0_
'^Ъ')К^Ct)sV) J
граничные условия для которых следуют из (118) и (119) в виде
6(Т|) = Р,п(Г,), (157)
η(Τ/)=0. (158)
Решение g (t) исходного интегрального уравнения связано с
решением дифференциального уравнения посредством (152). В результате
мы свели задачу отыскания решения неоднородного интегрального
уравнения к задаче решения пары векторных дифференциальных
уравнений со смешанными или расщепленными граничными условиями.
Наша задача облегчается тем, что дифференциальные уравнения,
выведенные в предыдущем параграфе, появлялись и в других
контекстах, в частности, в реализации оптимального сглаживания в
переменных состояниях1). Поэтому можно использовать методы, которые были
г) Если рассматривается задача обнаружения известного сигнала на фоне
аддитивного шума, то эта реализация, безусловно, совпадает с реализацией
оптимального обнаружителя в виде сочетания устройств оценки и вычитания
см. стр. 337 первого тома).
318

разработаны для реализации сглаживателя, с целью решения
уравнений (156)—(158). В этом параграфе кратко рассмотрим три из этих
методов.
Прежде чем приступить к их изложению, необходимо определить
некоторые матрицы. Введем в рассмотрение матрицу W (ί), определяемую
как
W(i) =
F(0 ! G(QQGJ (t)
(159)
.Cr(0R_1(0C(0i -Fr(0
и связанную с нею переходную матрицу Ψ(ί, τ). Как и в случае
однородного уравнения, разобьем эту переходную матрицу на четыре
субматрицы
Ψ(ί,τ) =
ΨηηίΛ Т)
(160)
Кроме того, вновь определим матрицы Ф| (ί, Tt) и Φη (/, Тг) как
Φξ(ί, Τ,) = Ψκ(ί, Τ^Ρ, + ψξ,ίί, 7\), (161)
Фч (ί, Т() = Ψ4ξ (/, Τ,) Рг + Ущ (/, Г,). (162)
Теперь обсудим три процедуры решения (156) — (158).
Первый метод решения представляет собою просто суперпозицию
однородного и частных решений [9]. Пусть |р (/) и ηρ (/) будут частными
решениями дифференциального уравнения (156), которые
удовлетворяют начальным условиям
1Р(Тг) = цр(Т,) = 0. (163)
Не следует путать |/> (t) с |р (t) — ковариационной матрицей ошибок,
введенной в гл. 6 первого тома. Дополним эти частные решения
решением вида
%(0
= Ϋ(ί^ι)
\н(Тг)
\.4k(Ti).
Tt<t.
(164)
Применив начальное граничное условие, получим |л (Тг·) = Ρ* %(7\·).
Из конечного граничного условия получим %(7\·). Таким образом,
1(/) = 1л(0-Фб(^Г<)%(Г|), Г,</<ГУ, (165)
ηω^ηρω-φ^^,τ,)η,(τ,) Tt^t^Tf9 (166)
ηΛ(Γ<) = ΦΪ1(Γ/> Γ^ηρίΤ,). (167)
где
Существование приведенной выше обратной матрицы можно
гарантировать, исходя из результатов работы [14].
Второй метод решения связан со структурой реализуемого
фильтра, синтезированной в гл. 6 первого тома. В основе этого метода
лежит теория реализуемого фильтра, позволяющая найти ξ (Tf) [9]. Это
обеспечивает полную систему граничных условий при t = Tf;
следовательно, уравнение (156) можно интегрировать в обратном направле-
319

нии, начиная с Т/, чтобы определить искомое решение ξ (t). Введем
в рассмотрение
lr(t)ulp(t)-^(t\t)r\P(th Tt<t<:Tft (168)
Σ(ί|04Φε(ί, r,)©-1^ rf)f r,<i<ry, (169)
где при t = Tf
δτ(Γ/) = ξ„(Γ/)-Φδ(Τ/, Γ^Φ^ί^, Γ,)ηρ(Γ/) = ξ(Τ/). (170)
Можно показать, что |г (ή и Σ (ί, | ί) удовлетворяют уравнению оценки
(I — 6.320), получаемой при помощи реализуемого фильтра, и
дисперсионному уравнению (I — 6.330) соответственно1^
*Ml^F(t)lr(t) + Z(t\t)CT(t)R-i(t)(s(t)-C(t)lr(t)), Tf</, (171)
at
^^ = F(t)Z(t\t)+Z(t\t)FT(t) + G(t)QGT(t)-
at
-E(/U)CT(/)R-i(0C(/)S(/|/), Tt<L (172)
Соответствующие начальные условия имеют вид
ΙΛΤι) = 0, (173)
Σ (Tt I Tt) - P4. (174)
Следовательно, для отыскания ξ (Γ/) необходимо интегрировать (171)
и (172) в прямом направлении — от 1\ к Т/. Использовав в (170)
граничное условие, найдем искомое решение ξ (/), проинтегрировав (156)
в обратном направлении — от Ту к 7Υ
Третий метод решения связан с задачей сглаживания,
сформулированной Раухом, Тангом и Стрибелем в [10]. Легко убедиться, используя
(165)— (169), что
6W-Sr(0 = S(f|/H(0. ^<<<ГУ. (175)
Решив это уравнение относительно η (ή и подставив результат в (155),
можно разделить уравнение для ξ (t) и η (/) и получить
iliiU(F(o + G(OQG7(i)s-4/IO)SW-
or
-GiOQG^WS-MilOSriO. Tt^t^Tf. (176)
Граничное условие определяется формулой (170). Помимо обеспечения
этого граничного условия функция |г (/) входит также в (176) как
вынуждающая.
Эквивалентно можно решить (175) относительно ξ (t) и подставить
результат в (154), получив в итоге
*L}u- = -{F(t)-2(t\t)CT (f)R-Ht)C(t))T4(t)-
at
_Cr(/)R-40(s(0- С (/) !,·(/)), Tt^t^Tf, (177)
χ) Если отождествить обозначения |г (/) ξ χ (0, Σ(ί|ί) ξξ |ρ (/).
320

при граничном условии в точке Tf, определяемом (158). Решение g (t)
интегрального уравнения можно связать непосредственно с η (f) и |г (t)y
а не с | (0, если использовать (152):
e(t) = R-x(t)(s(t)-C(t)lr(t))-C(t)Z(t\t)Mt), Tt^t^Tf. (178)
Прежде чем перейти к рассмотрению примеров практического
использования этих методов для решения неоднородных уравнений,
обсудим кратко их сравнительные достоинства. В ситуациях, когда
параметры систем постоянны, как в случае ядер с рациональными
спектрами, аналитически весьма удобен первый метод, так как он приводит к
дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Если требуются численные решения, что, как правило, бывает, когда
размерность вектора состояния равна или более двух, применение
первого и второго методов может быть сопряжено с трудностями,
особенно если интервал [Tiy Tf] велик. Эти трудности возникают ввиду
того, что соответствующие уравнения неустойчивы при
интегрировании в прямом или обратном направлении во времени; например, когда
параметры системы постоянны, матрица коэффициентов W имеет
собственные значения в правой и левой полуплоскостях. Третий метод в
этой ситуации оказывается более удобным. Интегрирование в прямом
направлении с целью отыскания |r (f) уподобляется использованию
реализуемого фильтра, вопросы устойчивости которого достаточно
хорошо исследованы. Если рассмотреть матрицу коэффициентов
уравнения (177), то нетрудно заметить, что она является отрицательной
транспозицией матрицы коэффициентов реализуемого фильтра;
следовательно, она приводит к устойчивым решениям при интегрировании в
обратном направлении. Аналогичные результаты справедливы также для
условия (174).
Пример 9. Рассмотрим решение неоднородного интегрального
уравнения, когда ядро является ковариационной функцией скалярного
процесса первого порядка, описанного в примере 2. Допустим, что
спектральная плотность аддитивного шума равна NJ2, т. е.
R (t) = ВД (179)
сигнал s (ή имеет форму
sn (t) = /2/Т sin (nnt/T)9 (180)
а интервал наблюдения соответствует [0 ^ t ^ 7Ί. Этот пример
аналогичен примеру, приведенному на стр. 364 первого тома.
Подставим матрицы состояния (27) и функции (179) и (180) в
уравнения (156) — (158). В результате получим дифференциальное
уравнение
-Ё-Р>1 = Г-* ЗАРТрЛГ _0 I Q<f<T
Λ 1.4(0 J 12/No k \[n{t)\ L(2/^0)V2/r sin («ВД J' ^ ^
(181)
321

с граничными условиями
ξ(0) = Ρη (0), (182а)
η (Τ) = 0. (1826)
Решение g (ή следует из (152) и матриц состояния в виде
g (t) = (2/JV„) (s (ή - Ι (ή). (183)
Чтобы решить эту систему уравнений, выберем первый метод
решения, поскольку аналитически он наиболее удобен. Непосредственное
интегрирование уравнения (181) при начальных условиях ξρ (0) —
= т)р (0) = 0 дает
Ιρ (ή = [2Py/(N0A)] γ2/Τ [2kA sin (tint/Τ) —(nn/Τ) Χ
х(еЛА'-е-ЛА0], 0<f, (184a)
Ъ (t) - (2/N0) fWr [k sin (tint IT) + (nn/T) cos (nnt/T) —
— l(nn/T)/2] (1 + 1/Л) еш-[(пя1Т)12] (1 - 1/Л) e~M'], 0<t, (1846)
где
Л = [1+4Р/(АЛ/Г0)]1/2, (184в)
γ = [(nnlTf +(&Λ)2]-1. (184r)
Для определения однородного решения необходимо найти
переходную матрицу Ψ (ί, 0). Сделаем это методом преобразования Лапласа:
~[(1 —l/A)/2]efeA* +[(1+1 /Λ)/2] e~kAt \(P/A) (ekAt— e~kAt)'
Ψ(ί,0)=
[l/(kAN0)] (ekAt- e~kAt) j [(1 + 1/Λ)/2] ekAt +
j + [(l—l/A)/2]e-*A'.
(185)
Далее найдем Φ| (ί, 0) и Φη (ί, 0) в виде, определяемом (161) и (162).
Сложив эти однородные решения с приведенными выше выражениями
для ξρ (ή и цр (ή, найдем
ξ W = ξ, (0 + {РЩ [(1 + 1/Λ) eftAi +
+ (1-1/Λ)β-*Α']ηΑ(0), 0<^<7\ (186a)
η (t) = ъ (*)·+ [(ι/(4Λ)) ((Λ + ί)2 е*Аг-
— (Λ— 1)2ε-*Λί)]ηΛ(0), 0<ί<7\ (1866)
где
%(0) = ^.(Г, 0Н,(Γ, = -[Ji±Ht^^=!£s-^L]-1 χ
-τ('-τΚ"Γ)]· (186Β)
322

После всех необходимых подстановок окончательно получим
g (t) = VWT (2y/N0) [{ππ/Tf + k*] sin (nntIT) +
+ (2Pnn/T) [(A + l)2 ekAr — (A- l)2 e~kAT]_1 (— 1)" χ
x[(A+l)ekAt +(A-l)e"*Ai]-
— [(Л+1)е^А(Г-"° + (Л —1)е~М(Г""°], 0<f<7\ ' (187)
Из этого простого примера должно быть очевидно, что
аналитическое решение для g (t) и соответствующая его реализация действительно
представляют собой очень трудную задачу, когда ядро является
ковариационной функцией процесса, генерируемого системой высшего
порядка. В большинстве случаев эту задачу решают численно,
используя третий метод решения. Ряд примеров дан в [6].
Данный метод переменных состояния применительно к решению
неоднородных интегральных уравнений обладает многими из тех
преимуществ, которые имеют место в случае однородных уравнений, и
поэтому не будем их здесь повторять. Отметим, что мы ограничились
рассмотрением только уравнений второго рода, в которых вопроса о
сингулярных функциях на концах интервала не возникает.
Этим завершается рассмотрение методов решения интегральных
уравнений при помощи переменных состояния. Эти методы являются
чрезвычайно мощными, особенно если их рассматривать с позиции
численного решения. Однако, как уже было отмечено, при анализе
приведенных примеров ими следует пользоваться осторожно, учитывая
свойства рассматриваемых процессов и асимптотику их собственных
значений.
П.7. Краткие итоги и некоторые примыкающие вопросы
В данном приложении изложены некоторые процедуры анализа
в переменных состояния, которые весЫма полезны при решении многих
задач теории обнаружения, оценок и модуляции, встречающихся в
томах I, II и III монографии. В приложении рассмотрены три
основных вопроса.
1. Взаимосвязь между описанием процесса посредством его
ковариационной функции и его описанием в переменных состояния. Были
изложены методы определения одного представления по заданному
другому.
2. Сведение интегральных операторов к дифференциальным
операторам. Этот метод полезен во многих других приложениях.
3. Методы решения однородных и неоднородных уравнений Фред-
гольма. Во многих задачах мы установили, что для синтеза
оптимального приемника или определения его помехоустойчивости необходимо
решить уравнение Фредгольма. В связи с этим была изложена эффектив-
323

ная процедура для решения этих уравнений. Многочисленные
приложения этих результатов встречаются в томах I и III.
Существует ряд родственных вопросов, связанных с возможным
применением методов анализа в переменных состояния, которые стоит
упомянуть.
1. Сглаживание. В задаче сглаживания сигнал принимается на
фиксированном интервале времени [Tt, Tf]. Требуется найти χ (/), 7\<^<
^ Tfy — оценку вектора состояния, генерирующего этот сигнал на
таком же фиксированном интервале. Это в сущности эквивалент
задачи нереализуемой фильтрации, которая была рассмотрена в § 6.2
первого тома, но сформулированный в терминах переменных состояния.
Процесс решения этой задачи методом переменных состояния
несколько более сложен, чем решение задачи реализуемой фильтрации
Кальмана — Бьюси, но зато легко получить ее полное решение (см.,
например [6] или [9]).
2. Фильтрация с задержкой. При фильтрации с задержкой (или
запаздыванием) допускается запаздывание оценки относительно
интервала наблюдения. Требуется найти χ (Tf — Δ) в зависимости от Δ, т. е.
оценку вектора состояния для момента времени, на Δ позднее конца
интервала Tf. Эта задача также обсуждалась в §6.2 первого тома.
Полагая Δ равным нескольким интервалам корреляции процесса, мы
приближаемся к неустранимой среднеквадратической ошибке (см.,
например, стр. 570 первого тома). Как и в задаче сглаживания, здесь может
быть получено полное решение (см., например, [6]).
3. Синтез сигналов. В §4.3. первого тома и 9.2 третьего тома
обсуждается задача синтеза сигналов с целью оптимизации
помехоустойчивости (качества) системы при наличии небелого шума. Путем развития
методов, изложенных в § П.6, можно получить полное решение задачи
построения оптимальной системы таких сигналов (например [6|).
Существует также много других вопросов, представляющих
интерес, но эти три наиболее тесно связаны с рассматриваемой темой.
Список литературы
1. Baggeroer А. В. State Variables, the Fredholm Theory, and Optimal
Communications. Sc. D. Thesis, Department of Electrical Engineering, МЛ.Т.,
Jan. 1968.
2. Anderson B. D. O., Moore J. B. Spectral Factorization of Time-
Varying Covariance Functions: The Singular Case. Technical Report EE-6811,
Department of Electrical Engineering, University of Newcastle, New South
Wales, Australia, June 1968.
3. В г о с k e t t R. Finite Dimensional Linear Systems. Wiley, New York,
1970.
4. Η ο f f m a n Κ·, Κ u η ζ e R. Linear Algebra. Prentice-Hall, New York,
5 Silverman L. M., Anderson B. D. O. Controllability,
Observability, and Stability of Linear Systems. SI AM J. Control, 1968, v. 6,
№ !> P· 121. ^
6. Baggeroer A. B. State Variables and Communication Theory. M.l.T,
Press, Cambridge, Mass., 1970.
7. L i о u M. L. Evaluation of the Transition Matrix. Proc. IEEE, Feb- l967f
v. 55, p. 228 (Letters),
324

8. С а ρ ο η J. Asymptotic Eigenfunctions and Eigenvalues of a Homogeneous
Integral Equation. Trans. IRE, Jan. 1962, v. IT-8, p. 2.
9. В г у s ο η Α. Ε., F г a z i е г Μ. Smoothing for Linear and Nonlinear
Dynamic Systems. Proc. Optimum Synthesis Corlf., Wright-Patterson AFB, Dayton,
Ohio, Sept. 1962. ,
10. Rauch H., Tung F., Striebel С Maximum Likelihood
Estimates of Linear Dynamic Systems. AIAA J., Aug. 1966, v. 3, p. 1445—1450.
11. Η i 1 d e b r a n d F. B. Methods of Applied Mathematics. Prentice-Hall,
Inc., Englewood Cliffs, N. Y., 1952.
12. D a v i s M. С Factoring the Spectral Matrix. Trans. IEEE, Oct. 1963, v.
AC-8, p. 296—305.
13. A 1 b e r t A. An Introduction and Beginner's Guide to Matrix
Pseudo-Inverses. Advanced Research Consultants Report, Lexington, Mass., July 1964.
14. К a 1 m a n R. Ε., Β u с у R. S. New Resulls in Linear Filtering and
Prediction Theory. ASME J. Basic Engr., March 1961.

Условные обозначения, сокращения, символы
Условные обозначения
1. Буквенные обозначения, набранные прямым жирным шрифтом,
означают векторы или матрицы.
2. Символ | | означает абсолютное значение векторной (модуль
вектора) или скалярной величины, заключенной внутри черточек.
3. Детерминант (определитель) квадратной матрицы А обозначается
как | А | или det А.
4. Буквами рукописного шрифта §(-) и £(-) обозначаются
соответственно преобразования Фурье и Лапласа.
5. Кратные интегралы часто записываются в виде
I dxf (τ) jj dig (ί,τ) Δ J / (τ) {ξ dtg (U τ)} dr.
6. Ε [·] означает математическое ожидание величины, стоящей в
квадратных скобках. Черта над символом также иногда используется
для обозначения математического ожидания.
7. Символом ® обозначается операция свертки
оо
*<*)(£)0(0A J x(t—T)y(x)dx.
—- оо
8. Случайные величины обозначаются строчными буквами
(например, χ и х), значения случайных величин и неслучайных параметров —
прописными (например, X и X). В некоторых задачах теории
оценок большая часть рассуждений справедлива как для случайных, так
и для неслучайных параметров. В этих случаях мы отступаем от
указанных выше условностей, чтобы избежать повторного изложения
каждого вопроса.
9. Плотность вероятности величины л: обозначается через рх (·), а
распределение вероятности — через Рх (·). Вероятность события А
обозначается как Ρ [А]. Плотность вероятности величины χ при
условии, что случайная величина а имеет значение Л, обозначается через
Ρχ\α(Χ\Α). Если плотность вероятности зависит от неслучайного
параметра Л, то также используется обозначение Рх\а (Х\А).
10. Вертикальная черта в каком-либо выражении означает «при
условии, что», например, Ρ [А \х ^ X] — вероятность того, что
происходит событие А при условии, что случайная величина χ не
превышает значения X,
32Θ

11. Преобразования Фурье обозначаются как ^(/ω) и ^(ω).
Последнее используется, когда преобразование является действительной
функцией ω.
12. Некоторые общеупотребительные математические символы
перечислены ниже:
ос — пропорционально
t-*-T- — t стремится к Τ снизу
А + В ±_А (J В — А или В или А и В вместе
1. i. m. — предел в среднеквадратическом смысле
оо
J d R — интеграл, взятый по той же области, что и ука-
-°° занный вектор
Ат — транспонированная матрица А
А-1 — матрица, обратная А
О — матрица, все элементы которой равны нулю
ίΝ\ Μ
I k I== k\ w—k\\ — биномиальный коэффициент
_δ_ — определяется как
JdR — интеграл, взятый по множеству Ω
Ω
Сокращения
АИМ — амплитудно-импульсная модуляция
ЧМ — частотная модуляция (манипуляция)
ФМ — фазовая модуляция (манипуляция)
ЧИМ — частотно-импульсная модуляция
ДБП—AM — двухполосная амплитудная модуляция
ДБП—AM—ПН — двухполосная амплитудная модуляция с
подавленной несущей
Символы
Основные используемые обозначения определены ниже. Во многих
случаях обозначения вектора являются очевидной модификацией
обозначения скалярной величины.
Α (λ) — функция, используемая при отыскании
собственных значений
Аа — действительное (фактическое) значение
параметра
At — значение выборки (отсчета) в момент времени
U
a(t) — сигнал, переносящий сообщение
<2abs — оценка величины а по критерию минимальной
абсолютной ошибки
^тар — оценка величины а по максимуму
апостериорной плотности (вероятности)
аш1 — оценка величины А по максимуму
правдоподобия
327

^ms — оценка величины а по минимуму средкеквад-
ратической ошибки
ar (t) — реализуемая оценка процесса a (t) по
минимуму среднеквадратической ошибки
аи (t) — нереализуемая оценка процесса a (t) по
минимуму среднеквадратической ошибки
a*(t) — приближенная оценка процесса a (t) по
минимуму среднеквадратической ошибки
A (t) — матрица в разложении на множители
(факторизации) ковариационной функции
α — весовой коэффициент амплитуды регулярной
составляющей сигнала на выходе райсовского
канала
α — ограничение, налагаемое на PF (критерий
Неймана — Пирсона)
α — время запаздывания или упреждения (в
контексте оценок непрерывных сигналов)
В — постоянное смещение оценки
В(А) — смещение, являющееся функцией параметра А
Bl — ширина шумовой полосы петли
Вг — среднеквадратическая ширина полосы
Ву — ограничение ширины спектра передаваемого
сигнала
B(t) — матрица в разложении на множители
(факторизации) ковариационной функции
Bd(t) — матрица в уравнении состояния для полезного
сигнала
β — индекс модуляции
β6 — индекс модуляции в системе ЧМ — ФМ
С — пропускная способность канала
С (αε) — стоимость ошибки оценки величины а&
Сьр — пропускная способность полосового канала
CF — стоимость ложной тревоги (т. е. утверждения
Н19 когда истинна гипотеза Я0)
Сц — стоимость утверждения, что справедлива Н^
когда на самом деле истинна гипотеза Я7·.
См — стоимость пропуска (т. е. утверждения Я0,
когда на самом деле истинна гипотеза Ях)
С^ — пропускная способность канала при
бесконечно широкой полосе пропускания
C(t) — матрица модуляции (или наблюдения)
^ch (0 — матрица модуляции для канального процесса
Cd (t) — матрица наблюдения полезного сигнала
См (t) — матрица модуляции сообщением
&N (О — матрица модуляции шумом (помехами)
χ — пространство параметров
χα — пространство параметров для а
Хе — пространство параметров для θ
328

χ2 — хи-квадрат (закон распределения
вероятностей)
D(o)2) — многочлен (полином) в знаменателе
представления спектра
d — требуемая функция параметра
d — оценка требуемой функции
d(t) — полезный сигнал
d (t) — оценка полезного сигнала
df — параметр системы ЧМ (девиация частоты)
d0 (t) — оптимальная среднеквадратическая оценка
(оптимальная оценка по минимуму среднеквад-
ратической ошибки)
ds (t> a(t) ) — производная сигнала s(t, α (ή) по сообщению a(t)
de(t) — ошибка точечной оценки
D (7, a (t) ) — матрица производных (матрица-производная)
δ — фаза регулярной составляющей сигнала на
выходе райсовского канала
Δ — интервал при детектировании сигнала ЧИМ
Am — среднеразностный вектор (т. е. вектор,
означающий разность между двумя
вектор-средними)
AQ — матрица, обозначающая разность между
двумя обращенными ковариационными матрицами
Ε — энергия (подстрочный , индекс не
употребляется, если в данном контексте
рассматривается только одна энергия)
£(·) — операция вычисления математического
ожидания [иногда обозначается также через (·)]
Еа — математическое ожидание, взятое только по
случайной величине а
Ее (Ν) — энергия сигнала ошибки (как функция числа
членов аппроксимирующего ряда)
£7 — энергия мешающего сигнала
Ет — математическое ожидание энергии
принимаемого сигнала
Et — энергия передаваемого сигнала
Еу — энергия колебания у (ή
£ι> Εο — энергии сигналов по гипотезам Нг и Н0
соответственно
Ев — энергия элемента («элементарной посылки»)
двоичного сигнала
Εε — энергия сигнала ошибки (в контексте
«чувствительности»)
-it (0 — сигнал ошибки в петле ФАПЧ (СФД)
€ν(ϊ) — сигнал ошибки
eq — точка равновесия
ε/ — интервальная ошибка
гт — полная ошибка
329

erf (·) — функция ошибки (в общепринятом смысле)
erf^ (·) — функция ошибки (по определению в тексте)
erfc(-) — дополнительная функция ошибки (в
общепринятом смысле)
erfc* (·) — дополнительная функция ошибки (по
определению в тексте)
Ε — диагональная матрица (Е2 = Е)
ζ — коэффициент затухания линейной петли
ζ (ί) — интегральная операция (операция
интегрирования) при решении уравнений Фредгольма
η — порог при испытании по критерию отношения
правдоподобия
η — граничное условие в задаче с инвариантным
(постоянным) включением
η (ή — вектор в дифференциальных уравнениях
Фредгольма
Чд (О — однородное решение
цр (t) — частное решение
F — функция, подлежащая минимизации или
максимизации, которая содержит множитель Лаг-
ранжа
/ (7) — огибающая передаваемого сигнала
fc — частота генератора (wc = 2л/с)
fs — ожидаемое число перескоков в секунду
F — матрица дифференциального уравнения
F (t) — изменяющаяся во времени матрица
дифференциального уравнения
Fd (0 — матрица дифференциального уравнения,
описывающего полезный сигнал
G+ (j ω) — множитель спектра Sr (ω), имеющий все
полюсы и нули в левой полуплоскости и половину
нулей на оси /ω; его преобразование для
отрицательного времени равно нулю.
GScr(J ω)> Gscu (/ω) — соответственно реализуемая и
нереализуемая передаточные функции фильтра после
петли для устранения явления перескоков фазы
8(0 — функция, используемая при анализе
коррелятора в случае небелой помехи
g(t, A), g(t, A) —-функция, используемая в задаче оценивания
параметра А (или А) на фоне небелого шума
8(h) — функция собственного значения
8h (0 — однородное решение
gt (τ) — импульсная переходная функция фильтра в
петле обратной связи
gi0 (τ), Gi0 (j ω) — импульсная переходная функция и
передаточная функция оптимального фильтра в петле
8pu (т), Gpu (/ω) — импульсная переходная функция и
передаточная функция нереализуемого фильтра после
петли
330

gpuoitfiGpuo (/ω) — импульсная переходная функция и
передаточная функция оптимального нереализуемого
фильтра, включенного после петли
goo (t)> G^ (j ω) — решение для бесконечного интервала
G — матрица дифференциального уравнения
G (t) — изменяющаяся во времени матрица
дифференциального уравнения
Gd — линейное преобразование, описывающее
полезный вектор d
Gd(t) — матрица дифференциального уравнения для
полезного сигнала
g (t) — функция, используемая при анализе
векторного коррелятора
gd (A) — нелинейное преобразование, описывающее
полезный вектор d
Г (х) — гамма-функция
y = kyi +Л — параметр
γ — порог испытания по произвольному критерию
(часто в величину γ включают различные
постоянные)
γα — множитель в задаче нелинейной модуляции,
которым определяется дисперсия ошибки
Η — энтропия
Я0, Н19 . . . , Η ι — гипотезы в задаче на принятие решения
Нте0 (/ ω) — эквивалентная передаточная функция
замкнутой петли для оптимального фильтра оценки
сообщения
Hpd (/ω) — передаточная функция фильтра, включаемого
после дискриминатора
h (t, и) — импульсная переходная функция фильтра с
изменяющимися во времени параметрами
(выход в момент времени t, обусловленный
импульсом на входе в момент времени и)
К\\ (t, и) — импульсная переходная функция канала
hb (t) — функция нижних частот (огибающая отклика
полосового фильтра)
hlr(x), Hlr (j ω) — импульсная переходная функция и
передаточная функция реализуемого фильтра,
включенного внутри замкнутой петли
К (t, и) — импульсная переходная функция
оптимального линейного фильтра
ho (τ), Но (/ω) — импульсная переходная функция и
передаточная функция оптимального устройства
обработки «выбеленного» сигнала
hou (τ)> Нои (/ω) — импульсная переходная функция и
передаточная функция оптимального нереализуемого
фильтра
331

hw [U и) — импульсная переходная функция
выбеливающего фильтра
К {t, и) — импульсная переходная функция
произвольного линейного фильтра
Η — линейное матричное преобразование
h0 (/, и) — импульсная переходная функция
оптимального линейного матричного фильтра
/0(·) — модифицированная функция Бесселя
первого рода нулевого порядка
1п — значение определенного интеграла
h(t) — импульсная последовательность (пуассонов-
ская или периодическая)
/г — неполная гамма-функция
I — единичная матрица
J(t, и) — информационное ядро
Jιί — элементы матрицы J-1
J-1 (7, и) — обратное информационное ядро
Ju — элементы информационной матрицы
Jk (t, и) — й-членная аппроксимация информационного
ядра
J — информационная матрица Фишера
Jo — компонента информационной матрицы,
соответствующая результатам наблюдения
Jp — априорная компонента информационной
матрицы
Зт — полная информационная матрица
J(co) — преобразование / (х)
#-1(ω) — преобразование J'1 (τ)
Kb (t, и) — ковариационная функция канального
процесса
Kna Uу и) — фактическая ковариационная функция шума
(в контексте «чувствительности»)
Кпе ('» и) — эффективная ковариационная функция шума
(в контексте «чувствительности»)
Κηε {t, и) — отклонение фактической ковариационной
функции от номинальной (в контексте
«чувствительности»)
Kx(t, и) — ковариационная функция процесса χ (f)
k — постоянная Больцмана
k {ty и) — импульсная переходная функция предыска-
жающего фильтра с изменяющимися во
времени параметрами
&(τ), Κ (/ω) — импульсная переходная функция и
передаточная функция предыскажающего фильтра
К — ковариационная матрица
kdW — линейное преобразование величины χ (ή
^4 (t> v) — импульсная переходная функция матричного
фильтра с ρ входами и q выходами,
связывающая вектор a (v) с вектором d (t)
332

kf(u, ϋ) — импульсная переходная функция матричного
фильтра с ρ входами и η выходами,
связывающая вектор а (и) с вектором χ (и)
/(R), / — достаточная статистика
/ (А) — функция правдоподобия
/с, ls — достаточные статистики, соответствующие
косинусной и синусной компонентам
/ω — протяженность множества Ω
/ — множество достаточных статистик
Л — параметр, часто соответствующий отношению
сигнал/шум в эффективной полосе частот
сообщения
A(R), Л (rK (t)) — отношение правдоподобия
A(rK(t), A) — функция правдоподобия
Ав — отношение сигнал/шум в опорной полосе частот
для спектров Баттерворта
' Aef — эффективное отношение сигнал/шум
А^ — обобщенное отношение правдоподобия
Ат — параметр плотности вероятности
(распределения вероятности) фазы
Ап — отношение сигнал/шум в полосе частот
сообщения со спектром Баттерворта η-го порядка
Лг — отношение сигнал/шум в среднеквадратичес-
кой полосе
A3db — отношение сигнал/шум в полосе,
отсчитываемой по ослаблению 3 дБ
Ах — ковариационная матрица вектора χ
Лх (t) — ковариационная матрица вектора состояния
λ — множитель Лагранжа ^
%ι — собственные значения матрицы или
интегрального уравнения
λ^οίι — собственные значения канальной
квадратичной формы
к[ — полное собственное значение
In — натуральный логарифм
loga — логарифм по основанию а
Mx(j υ), Мх (jv) — характеристическая функция случайной
величины χ (или х)
mx(t) — функция—среднее значение процесса
Мл, М# — матрицы, используемые для проверки
минимальности факторизации
m — вектор-среднее
μ(δ) — показатель производящей функции моментов
N — размерность пространства наблюдений
N — число коэффициентов разложения в ряд
N (т, σ) — гауссово (нормальное) распределение
(плотность) вероятности со средним значением т и
среднеквадратическим отклонением о
азз

Ν (ω2) — многочлен (полином) в числителе
представления спектра
A/ef — эффективный уровень шума
N0 — спектральная плотность белого шума
η (ή — шумовой случайный процесс
nc(t) — небелый (коррелированный) шум (помеха) (не
содержит компоненты белого шума)
ns(t), nc(t) — квадратурные компоненты шума
nt — i-я компонента шума
пт (t) — ШУМ приемника
n*(t) — компонента шума на выходе выбеливающего
фильтра
\r(t) — реализуемая оценка небелой компоненты
шума по минимуму среднеквадратической ошибки
пси (0 — нереализуемая оценка небелой компоненты
шума по минимуму среднеквадратической
ошибки
N — числа корреляционной матрицы шума
л, η — случайная величина шума (или векторная
величина)
ξα~ — коэффициент взаимной корреляции
ошибочного и фактического векторов состояния
%вис — средний квадрат ошибки в двоичной системе
без кодирования
lD — средний квадрат ошибки решения
ζρΜ, и — средний квадрат нереализуемой ошибки при
использовании фазовой модуляции
\fm, r — средний квадрат реализуемой ошибки при
использовании частотной модуляции
ξ/ — математическое ожидание ошибки
интервальной оценки
\н — математическое ожидание интеграла
нестационарной ошибки петли
%>ij(f)— элементы ковариационной матрицы ошибок
lin — средний квадрат ошибки при анализе в
линейном приближении
Imec — средний квадрат ошибки квантователя с
минимальной энтропией
lmi — средний квадрат ошибки интервальной
оценки по максимуму правдоподобия
Icam — средний квадрат ошибки при использорании
оптимальной угловой модуляции
los — средний квадрат ошибки в ортогональной
системе передачи
ξΡ (t) — математическое ожидание ошибки реализуемой
точечной оценки
\рь — средний квадрат ошибки при оценивании Ъ (t)
334

ζρί {ή — дисперсия ошибки точечной оценки i-ro
сигнала
ξρχ — точная дисперсия в петле ФАПЧ (СФД)
1рп (t) — нормированная ошибка реализуемой точечной
оценки
ξρ„ — нормированная ошибка как функция
времени упреждения (запаздывания)
£роо — математическое ожидание ошибки точечной
оценки (стационарное состояние)
ξρ — средний квадрат ошибки квантования
£qec — средний квадрат ошибки при квантовании и
энтропийном кодировании
Ird — средний квадрат ошибки при использовании
границы, вычисленной для максимальной
скорости передачи при заданном искажении
%sc — средний квадрат ошибки из-за перескоков
фазы
1и — оптимальная нереализуемая ошибка
1ип — нормированная оптимальная нереализуемая
ошибка
ξθ — средний квадрат фазовой ошибки
£*(0 — средний квадрат ошибки при использовании
нелинейной операции
ξ(^) — вектор в дифференциальных уравнениях Фред-
гольма
lac — фактическая ковариационная матрица
\d(t) — ковариационная матрица при оценке d (t)
\h(f) — однородное решение
\p\t) — ковариационная матрица ошибок
\p(t) — частное решение
1яоо — стационарная ковариационная матрица ошибок
\r{t) — векторная функция, используемая при
решении неоднородных уравнений Фредгольма.
Ω — область определения при рассмотрении
оптимальных предыскажений и скорости передачи
как функции допустимого искажения
QCh — ширина полосы частот канала
Ω//7 — ширина полосы частот (односторонняя)
фильтра ПЧ
Qy — среднеквадратическая ширина полосы частот
передаваемого сигнала
сос — несущая частота (рад/с)
сор — допплеровский сдвиг частоты
со//г — промежуточная частота несущей
(ut(t) — мгновенная частота
ωη — собственная частота
сод — частотная расстройка
ω* — концевая точка интервала в задаче
оптимальных предыскажений
335

Ρ — мощность
Ρ(ε) — вероятность ошибки
Pd — вероятность обнаружения (условная
вероятность)
Pei — эффективная мощность
Pf — вероятность ложной тревоги (условная
вероятность)
Рм — вероятность пропуска (условная вероятность)
Pt — априорная вероятность t-й гипотезы
ρ — оператор дифференцирования ( = dldt)
р0 — фиксированная вероятность интервальной
ошибки в задачах, связанных с ЧИМ
Pr|#. {ЩНд — плотность вероятности величины г при
условии, что истинна гипотеза Hi
Pxt №)» Pxt № : t) — плотность вероятности случайного процесса
в момент времени t
Φ(ί) — собственная функция
Фсь — фазовый сдвиг в канале
Φί(ή — t-я координатная функция, t'-я собственная
функция
Q>x(s) — производящая функция моментов случайной
величины χ
Φ(ί) — фаза сигнала
ψζ,(^) — фазовая функция нижних частот
Р(7) — взаимная корреляционная матрица входа
генератора сообщения и аддитивного шума в
канале
P(t) — приближенная условная ковариационная
матрица
Φ(^τ) — переходная матрица состояния для системы
с изменяющимися во времени параметрами
Ф(* — 4)АФ(Т) — переходная матрица состояния системы с
постоянными во времени параметрами
Ρ[·],Ρ(·) — вероятность события, указанного в
квадратных или круглых скобках
Ψ (t, τ : λ) — переходная матрица при рассмотрении
уравнений Фредгольма
\pi(t) — собственная функция
Q(a, β) — Q-функция Map кума
Qn (U u) — обратное ядро
q — спектральная плотность возбуждающего
скалярного белого шума
Q — ковариационная матрица возбуждающего
векторного белого шума
Q — матрица, обратная ковариационной матрице К
Qi> Qo — матрицы, обратные ковариационным матрицам
Κι, К0
Qn(u> z) — ЯДР° обратной матрицы
336

R — производительность источника информации (скорость
передачи информации)
R(l) — скорость передачи информации как функция
искажения (ошибки)
Rx (ty и) — корреляционная функция
r(t) — принимаемое колебание (обозначает как случайный
процесс, так и его выборочную функцию)
rc {t) — комбинированный принимаемый сигнал
rg(t) — процесс на выходе фильтра, соответствующего
обратному ядру, когда на входе фильтра действует
процесс г (t)
ΐκ(ί) — /С-членная аппроксимация
гто (0 — принимаемое колебание согласно модели
r*(t) — выход выбеливающего фильтра
р^· — коэффициент корреляции нормированных сигналов
Si (t) И Sj (t)
ρ12 — коэффициент ковариации двух случайных величин
R(t)— ковариационная матрица векторного белого шума w (t)
R — корреляционная матрица ошибок
г, R — векторы наблюдения
S(/cd)— преобразование Фурье сигнала s (t)
Sc(co)— энергетический спектр (спектральная плотность)
небелого шума
^(ω)— квадрат модуля передаточной функции предыскажаю-
щего фильтра
Sq (ω)— преобразование Фурье Q (τ)
Sr (ω) — спектральная плотность (энергетический спектр)
принимаемого сигнала
Sx(co)— спектральная плотность (энергетический спектр)
Syiif) — спектр, сдвинутый к началу координат
Sq (ω) — спектральная плотность фазового процесса
s (t) — сигнальная компонента колебания г (ή (если в
контексте рассматривается только один сигнал, то подстрочный
индекс не употребляется)
s(t, А)— сигнал, зависящий от параметра А
s(t,a(t))— модулированный сигнал
Si (t) — мешающий сигнал
st — коэффициент в разложении сигнала s {ή в ряд
st — i-я сигнальная компонента
sr(t, θ)— компонента принимаемого сигнала
sT (t> a (t)) — передаваемый сигнал многоканальной системы
(групповой сигнал)
st (t) — передаваемый сигнал
s0 (t) — сигнал при гипотезе Н0
si (t) — сигнал при гипотезе Нг
si(t> ^), — сигнал с нежелательными параметрами
sodfi)
sq (t) — случайный сигнал
337

s* {ή — сигнальная компонента на выходе
выбеливающего фильтра
σ2 — дисперсия
Ос — ограничение среднего квадрата фазовой
ошибки в петле
σ?, σ§ — дисперсии по гипотезам Нъ Н0
s (t) — векторный сигнал
Σ (t\t) — ковариационная матрица ошибок
Τ в — длительность сигнала, соответствующего
двоичному символу (длительность «элементарной
посылки»)
Tf — конечная точка интервала наблюдения
Τι — начальная точка интервала наблюдения (для
ее обозначения используется также Т0)
Т2п — среднее время между перескоками фазы
xd — параметр, описывающий стабильность
генератора
θ, θ — нежелательный параметр
θ (t) — фазовый угол (фаза) синусоидального сигнала
6сь {ή — фаза отклика канала
®r{t) — реализуемая оценка фазового угла
®rn(t) — фазовая реакция, обусловленная действием
шума
θΓί (ή — переходная фазовая реакция (переходной
фазовый процесс)
Т(^, τ) — переходная матрица (матрица перехода)
θ (ty τ) — переходная матрица (матрица перехода)
[•]г — транащнированная матрица
и-г (t) — единичная ступенчатая функция (единичный
скачок)
и (f), u (t) — сигнал на входе системы
V — переменная при кусочной аппроксимации
FCh (t) — огибающая переходной характеристики канала
v(t) — комбинированный возбуждающий шум для
случая коррелированной помехи
W — ширина полосы частот
W (/ω) — передаточная функция выбеливающего
фильтра
Wch — ширина односторонней полосы канала
WM — ширина спектра сообщения
W'1 (/ ω) — преобразование обращенной передаточной
функции выбеливающего фильтра
w (t) — процесс типа белого шума
w(x) — импульсная переходная функция
выбеливающего фильтра
W — матричная операция, выходной вектор
которой имеет диагональную ковариационную
матрицу
338

W(f : λ) — матрица при рассмотрений уравнений Фред-
гольма
x(t) — процесс на входе модулятора
x(t) — случайный процесс
x(t) — оценка случайного процесса
\ χ — случайный вектор
х(^) — вектор состояния
xa(t) — модифицированный (преобразованный)
вектор состояния
xd(0 — вектор состояния для желательной операции
xf(t) — предварительно отфильтрованный вектор
состояния
хм (0 — вектор состояния для сообщения
Xch(0 — вектор состояния для канального процесса
*n (t) — вектор состояния для шума
y(t) — решение дифференциального уравнения
y(t) — передаваемый сигнал
у — векторная компонента наблюдения, не
существенная для принятия решения
y(t) — процесс на выходе векторной системы
Ζ — пространство наблюдений
Ζν Ζ2 — подпространства пространства наблюдений
z(t) — процесс на выходе выбеливающего фильтра
zir (0 — колебание на выходе перемножителя в случае
реализуемой петли ФАПЧ (СФД)
ziu (t) — колебание на выходе перемножителя в случае
нереализуемой петли ФАПЧ (СФД)
z(t) — матрица коэффициента передачи фильтра,
импульсная переходная функция которого есть
h0 (U t).
Предметный указатель
Алгоритм (процедура) определения матриц
состояния 296
Анализ (помехоустойчивости приемника)
в квазистационарном приближении 249,
255
при слабом шуме 156
Байеса критерий (испытание) 187
Баттерворта спектр второго порядка 103,
152, 161, 162
первого порядка 97, 119, 130, 144, 153,
161, 162, 216, 287
, семейство (класс) 146
Векторные диаграммы 160
Взаимная информация 140, 167
Винеровский метод классический 99
упрощенный 100
— процесс 219, 286, 295
— фильтр 41, 75
Возмущения метод 70
Вольтерра ряд 70, 84
Время захвата 76, 77
— когерентности 53
Генератор, модель 42
—, нестабильность (дестабилизирующие
факторы) 48, 50, 52, 79, 120
—, управляемый напряжением, (УГ), 42,
47, 48
Граница идеального измерения 247
— качества (помехоустойчивости;
точности) 139, 166, 244
при передаче информации со
скоростью, определяемой заданной
величиной искажений, 140, 142, 145
— среднеквадратической ошибки 244
График корневого годографа 81
Двоичные (бинарные) системы связи без
кодирования 185, 194
Демодулятор, нереализуемых, 31
— обычный (стандартный) 23, 156, 161,
162
— оптимальный 29
—, реализуемый с задержкой, 31, 125
Детектор фазовый 77
Дискриминатор обычный (стандартный)
156
339

Дифференциальные уравнения
ковариационного оператора 306
оценки по максимуму апостериорной
вероятности 205
приближенной оценки по минимуму
СКО 214—216
Захват, минимальное время 76
— при наличии шума 77
Инвариантное (постоянное) включение
(метод) 206
Индекс модуляции 21
Интегральное уравнение, неоднородное 317
однородное 310
оценки по максимуму апостериорной
вероятности 28
Фредгольма 310, 317
Интуитивный подход к синтезу
демодулятора 22
Испытание (критерий) Байеса 187
Кальмана — Бьюси фильтры 100, 211
Канал мультипликативный 217
—, пропускная способность 142, 143, 147
— райсовский 257
— релеевский 182, 226, 231
— с бесконечно широкой полосой
пропускания 143, 145, 153
— с идеально ограниченной полосой
пропускания 143
— с медленно изменяющимися
параметрами 251 1
— с ограниченной среднеквадратической
полосой пропускания 143, 147
~ со случайной фазой 182
— со случайными параметрами 225
Качество (помехоустойчивость; точность),
границы 139, 166, 244
—, сравнение 151, 153
Квазистационарный анализ 249, 255
Квантователь 174, 176, 194
Ковариационная функция, оператор 306
, разложение на множители
(факторизация) 289
Когерентность, время 53
Кодирование источника 189
Коммутация отсчетов 263
Критерий (испытание) Байеса 187
Лагранжа множители 74, 127, 142
Максимальная апостериорная вероятность,
дифференциальные уравнения оценки
201
, интегральные уравнения
оценки 28
— ■ , интервальные оценки 202, 228
, реализуемая точечная оценка 206
— , совместные оценки 231, 238
Мгновенная частота 23
Метод возмущения 70
— моделирования 105, 161, 162
— сглаживания 324
— винеровский 99, 100
— Фоккера-Планка 65
Многоканальные системы связи 261, 275
с временным делением (ВД) 263
— —* — с частотным делением (ЧД) 262
Множитель (коэффициент) затухания 76,
80
— Лагранжа 74, 127, 142
Моделирование 105, 161, 162
Модель абстрактная 139
— генератора 42, 53
— линеаризированная (в линейном
приближении) 36, 40, 72, 94
— нелинейная 36, 54, 55, 65, 66, 125
— по входу — выходу 38
Модуляция амплитудная (AM) 113
—, индекс 21
— угловая (ФМ, ЧМ) 36, 124
— фазовая (ФМ) 111
— частотная (ЧМ) 93
Нелинейный анализ при наличии шума 64
при отсутствии шума 54
Нелинейная оценка 200
Обычный (стандартный) демодулятор
(дискриминатор) ЧМ 23, 156
Ограничение по порогу 96, 98, 116, 126
— по ширине полосы (спектра) 96, 106,
117, 131
Ограниченный по ширине спектр 104, 146,
185
Ограничители полосовые 71, 78, 156
Оптимальный демодулятор 94
—- предыскажающий фильтр 126, 131, 135
Оптимальная угловая модуляция 124
— ЧМ при ограничении по порогу 98
— система слежения 71, 73
Ортогональные сигналы 186, 196
Оценка» нелинейная 200
— по максимуму апостериорной
вероятности 28, 201, 240
, f дифференциальные
уравнения 201
_^ интегральные уравнения 28
— по минимуму среднего квадрата
ошибки 38, 240
Переменные состояния 202, 222, 282
, представление случайных
процессов 283
Перескоки периодов (фазы) 61, 68, 69, 97,
119
Петля второго порядка, идеальная 59, 81,
82, 83
— ' , неидеальная 70, 81, 82, 83, 89, 102
1 ПрИ постоянном ускорении 62
, при постоянной частотной
расстройке 59
— первого порядка 54, 81, 82, 83
— третьего порядка, идеальная СЗ, 81, 82,
83
— ФАПЧ, демодулятор с СФД 45
, модель 27, 36, 40, 42, 53, 54, 66, 72,
81, 94, 215, 238, 251, 265
первого порядка 53
, применения 27
— ЧМ—ОСЧ (с обратной связью по
частоте и сжатием спектра) 28
—, шумовая полоса 44, 82
Подход (метод) на основе
дифференциального уравнения 201
— интуитивный 22
— марковских процессов 212, 218
Пороговое ограничение 96, 98, 116, 126
— поведение 97, 105, 159—162
Представление в переменных состояниях 51,
72
Предыскажения оптимальные 126, 131, 136,
164
— при ограничении по порогу 164
по ширине полосы (спектра) 165
— стандартные 197
— субоптимальные 135, 165
Пуассоновский процесс 120
Разнесение 266
Райсовский канал 257
Релеевские каналы 182, 226, 231
Решения ошибки 175
Ряд Вольтерра 70, 84
Связь при наличии бесшумного канала
обратной связи 168
Сглаживание 324
Синтез (построение), идеальной системы
ЧМ 93
—, примеры синтеза систем ЧМ 101
— сигналов 324
— субоптимальных фильтров 135
—, теория 37
— фазовых детекторов 77
— фильтра 98
340

Синхронизация 17, 50, 269
Системы связи (методы модуляции), AM
113
двоичные без кодирования 181
многоканальные 261
с дискретизацией 172
с квантованием 173
с оптимальной угловой модуляцией
124
, сравнение 113, 134, 151
с разнесением 266
субоптимальные 135
с ФМ ИЗ
с ЧИМ 196
с ЧМ 113
Собственная частота 75, 80
Спектр Баттерворта 97, 103, 119, 130, 144,
145, 152, 153, 161, 162, 216, 287
— многомодальный 129
— модулированного сигнала 106, 109
—, ограниченный по ширине 103, 146, 185
— унимодальный 128
—, факторизация 289
Сравнение систем связи (методов
модуляции) 113, 151, 162
Среднеквадратическая (эффективная)
ширина спектра (полоса частот) 106, 117
Средний квадрат ошибки
(среднеквадратическая ошибка) 184
Субоптимальные предыскажающне
фильтры 135
Таблица интегралов 82
Точки равновесия 61
Управляемый генератор (УГ) (также
генератор, управляемый напряжением,
ГУН), внешнее управление 45
■ неидеальный 118
, управляющее напряжение 63
Устройство комбинирования (сложения)
при разнесении 268, 279
Факторизация (разложение на множители)
ковариационной функции 289
— минимальной степени 291
— спектра 289
Фазовая модуляция (ФМ) 111
Фазовые детекторы 77
Фазовый портрет 55, 60, 88, 89
ФАПЧ (система, петля), демодулятор
с СФД 45
—, модель 27, 54
—, первого порядка 52
—, применения 27
Фильтр после петли, нереализуемый 38, 119,
120
, реализуемый 43, 119, 120
—, синтез (построение) 39, 98
— субоптимальный предыскажающий 135
Фильтрация с задержкой 324
Фоккера — Планка метод 65
Цель с ускорением 51
Цифровая система передачи аналоговой
информации 139
Цифровые системы связи, двоичные без
кодирования 181, 194
с кодированием 189, 196
■ — с ортогональными сигналами 186,
196
Частотная модуляция (ЧМ) 93
Частотная девиация (отклонение частоты)
21
Частотный сдвиг (расстройка) 50
ЧМ — ОСЧ (система с обратной связью по
частоте и сжатием спектра) 26
Ширина спектра (полосы частот),
коэффициент расширения 96, 115
, ограничения 96, 106, 117, 131
среднеквадратическая
(эффективная) 106, 117
сообщения 106, 117
шумовая петли 44
Энтропия 189
Именной указатель1
Абрамсон (Abramson N.) [4—23], 106, 108,
123
Альберт (Albert Α.) [Π—13), 302, 325
Андерсон (Anderson В. D. Ο.) [Π—2], 290,
301; [Π—5], 296, 324
Андронов Α. Α. (Andronow Α. Α.) [3—61, 60,
90; [3-15], 65, 90
Армстронг (Armstrong Ε. Η.) [1—1], 17, 20
Баггерер (Baggeroer Α. Β.) [7—1], 203, 206,
223; [7—2], 203, 205, 223; [7-3], 205, 223;
[Π—1], 282, 324; [Π—6], 314, 317, 323, 324
Багдади (Baghdady Ε. J.) [4—20], 106, 123
Балодис (Balodis M.) [3—32], 77, 91
Барнард (Barnard R. D.) [3—52], 78, 92
Баруча-Рид (Bharucha-Reid A. T.) [3—10],
65, 90
Басе (Bass R. W ) [7—12], 201, 223
Беккер (Becker H.) [4—4], 105, 122; [5—22],
161, 170
Беллман (Bellman R.) [7—4], 206, 223; [7—51,
206, 223
Беннетт (Bennett W. R.) [6—16], 193, 198;
[9-9], 266, 280
Бернштейн (Bernstein A. J.) [6—12], 193,
198
Бернштейн (Bernstein I.) [7—20], 201, 223
Бертолини (Bertolini A.) [7—22], 201, 224
Бикмор (Bickmore R. W.) [2—20], 27, 49
Бирн (Byrne C, J.) [3—54], 78, 92; [3—56],
77, 92
Блюстейн (Bluestein L. I.) [6—25], 193, 198;
[6—26], 193, 199
Блэк (Black H. S.) [4—22], 106, 123
Блэчман (Blachman N. M.) [4—8], 106, 122;
[4-24], 106, 123; [5—14], 159, 170
Бодтман (Bodtman W. F.) [2—9], 26, 48;
[5-26], 164, 171
Бордман (Boardman C.) [5—1], 126, 135, 170
Брайсон (Bryson Α. Ε.) [Π—9], 319, 324, 325
Бриз (Breese M.) [2—21], 27, 49
Брок (Brock R. L.) [9—3], 266, 280
Броккетт (Brockett R.) [П—3], 291, 324
Брюс (Bruce J. D.) [6—27], 193, 199
Брэнхем (Branham R. A.) [6—22], 193, 198
Бутон мл (Booton R. C, Jr.) [3—26], 70, 91
Бьюси (Biicy R. S.) [7-13], 201, 223; [П-14],
319, 325
Ван Горн (Van Horn J. H.) [9—17], 269, 281
Вандерполь (Van Der Pol B.) [4—18], 106,
123
Ван Трис (Van Trees H. L.) [ПС—1], 11
14; [3—24], 70, 91; [5—1], 126, 135, 170:
[7—11], 219, 223; [8—1], 232, 257, 260,
[8-2], 244, 260; [9—1], 265, 280; [9—23]
269, 281; [9—24]; 269, 281; [9—26], 278, 281
[9-16], 269, 281
Ватанабе (Watanabe S.) [6—14], 193, 198
Вендт (Wendt K. R.) [2—25], 27, 49
Виггинс (Wiggins M. J.) [6—22], 193, 198
Виктор (Victor W. К·) [3—48], 50, 92
1 В квадратных скобках указаны глава (или «Предисловие к английскому изданию» —ПС,
или «Приложение» — П) и порядковый номер источника.
341

Ёинер (Wiener N ) [5-2], 129, 170
Винц (Wintz P. A.) [6-15], 193, 198; [6-31],
193, 199; [9-20], 269, 281; Г9-21], 269, 281;
[9—22], 269, 281
Витерби (Viterbi A. J.) Г2—19], 33, 49;
[3—4], 59, 90; ГЗ—5], 59, 62, 64, 90;
[3—18], 68, 69, 70, 90; [6—3], 173, 198;
Г6—28], 196, 199
Витт (Witt A. A ) [3—15], 65, 90
Вишнер (Wishner R. P.) [7—22], 201, 224
Возенкрафт (Wozencraft J. Μ ) [6—29], 194,
199
Вонг (Wang Μ. С.) [3—14], 65, 90, [5—15],
159, 170
Вонхем (Wonham W. Μ) [7—17], 201, 224
Вудворд (Woodward P.) [4—6], 106, 122,
[4—7], 106, 122
Вудмен (Woodman R. F.) [2—26], 27, 49
Гаглиарди (Gagliardi R Μ ) [2—8], 26, 48
Галлагер (Gallager R. G) [5—3], 141, 168,
170, [6—5], 189, 190, 198
Гилкрист (Gilchriest C. Ε ) [2—15},*· 27, 49
Гильдебранд (Hildebrand F. В ) [Π—11],
294 325
Глэдуин (Gladwin A S ) [4—16], 106, 123
Гоблик (Goblik Τ J) [5—10], 142, 145, 146,
170; [6—8], 191, 193, 196, 198
Голдстейн (Goldstein A. J.) [3—34], 77, 91,
[3—54], 78, 92
Голей (Golay M. J Ε ) [3—42], 50, 91
Голомб (Golomb S. W) [9—15], 269, 280,
[9—16], 269, 281,
Гоулд (Gould L. A) [3—38], 82, 91
Гофман (Hoffman К.) [П—4], 293, 324
Груен (Gruen W. J.) [2—11], 27, 48; [3—9],
64, 90
Гудмен (Goodman L. M.) [6—11], 193, 198
Давенпорт мл. (Dawenport W. В., Jr.) [2—
27], 33, 49
Даунинг (Downing J. J.) [9—14], 266, 276,
277, 280
Девеле (Develet J) [3—2], 50, 70, 90; [3—3],
50, 90, [3—22], 78, 91
Дейви (Davey J. R ) [9—16], 269, 281
Детчменди (Detcj^mendy D. Μ.) Γ7—6], 206,
223
Джефф (Jaffe R. M) [2—13], 27, 48; [3—28],
73, 78, 91
Джеймс (James Η Μ.) [3—37], 82, 91
Джексон (Jackson J. L) [3—39], 87, 91
Джекобе (Jacobs I M) [6—29], 194, 199
Джелонек (Jelonek Z. J.) [3—50], 78, 92
Джордан (Jordan K. L.) [5—7], 141, 170
Дорф (Dorf R. C) [3—29], 76, 91; [3—36],
81, 91
Дроуилхет мл. (Drouilhet P. R., Jr.) [6—11],
199, 198
Дэвис'(Davis Μ С) [П—12], 290, 325
Джайгер (Giger A. J ) [2-6], 26, 48
Заороки (Zaorski R.) [4—1], 96, 97
Инлоу (Enloe L. Η) [2—4], 26, 48, [2—22],
27, 49; [5—24], 164, 171
Иовиц (Yovits Μ. С.) [3—39], 87, 91
Иошимура (Yoshimura Т.) [7—18], 201, 223
Кайзер (Kaiser J F.) [3—38], 82, 91
Калаба (Kalaba R) [7—4], 206, 223
Калвер (Culver С. О ) [7—30], 201, 224
Кальман (Kalman R Ε) [Π—14], 319, 325
Кан (Cahn C. R.) [3—30], 77, 88, 91
Капон (Capon J.) [Π—8], 316, 325
Карсон (Carson J R.) [1—2], 17, 20, [2-3],
26, 48; [4—17], 106, 123
Кассой (Casson W. Η ) [3—51], 78, 92
Катценельсон (Katzenelson J.) [6—24], 193,
198
Келлог (Kellog W C) [6-13], 193, 198
Кларк (Clark G G ) [6—30], 194, 199
Кокс (Cox D R.) [3—11], 65, 90
Кокс (Сох Н.) [7-13], 201, 223
Колберт (Colbert R ) [2—21], 27
Костас (Costas J P.) [9—25], 269, 281
Косякин A. A. (Kosyakin A A ) [6—19], 193
198
Кросби (Crosby M. С ) [5—13], 159, 170
Круиз (Kruise Т. J.) [5—11], 147, 170;
[5—12], 153, 170; [5—27], 154, 170
Кушнер (Kyshner Η. J.) [7—9], 212, 213,
216, 223; [7—24], 201, 224; [7—25], 201,
224; [7—26], 201, 224
Кюнц (Kunze R.) [П—4], 294, 324
Кюртенбах (Kurtenbach A. J) [6—15], 193,
198; [6—31], 193, 199
Ли (Lee R С. К ) [7—21], 201, 224
Лиган (Lehan F ) [2—18], 30, 49; [9—2], 265,
280
Лоудердейл (Lauderdale L.) [4—10], 106, 123
Лоутон (Lawton J.) [4—4], 105, 122; [5—22],
161, 170
Лью (Liou Μ L.) [Π—7], 316, 324
Лэндон (Landon V. D ) [9—4], 266, 280
Люкке (Luecke E. J) [9—22], 269, 281;
Макдональд (McDonald R A) [5—9], 141,
170
Маккарти (McCarty R C.) [9—3], 266, 280
Ма;кс (Max J ) [6—4], 177, 190, 198
Марголис (Margolis S. G) [3—25], 70, 91
Миддлтон (Middleton D ) [3—12], 65, 90;
[4—5], 106, 122, [5-16], 159, 170; [5-17],
159, 170, [5—19], 159, 170
Миллер (Miller Η D) [3—11], 65, 90
Мовери (Mowery V. О ) [7—23], 201, 224
Моллинг (Mailing L.) [3—43], 50, 91; [3—44],
50, 91
Медхерст (Medhurst R. G) [4—12], 106, 123,
[4-13], 106, 123; [4-14], 106, 123; [4-14],
106, 123; [9—5], 266, 280; [9—6], 266, 280
Myp (Moore J Β ) [Π—2], 290, 301, 324
Маллер (Muller J. A) [3—40], 50, 91; ГЗ—45],
50, 91
Никольс (Nichols Μ Η ) [9—7], 266, 280
Никольс (Nichols N В ) [3—37], 82, 91
Нил (Neal S R ) [7—29], 201, 224
Норум (Norum V. D ) [7—12], 201, 223
Ньюмен (Newman J) [3—41], 50, 91; [3—43],
50, 91
Ньютон (Newton G. C.) [3—38], 82, 91
Оливер (Oliver В. М) [6—1], 173, 198
Ормсби (Ormsby R B.) [9—11], 266, 280
Орнстейн (Ornstein L S ) [3—13], 65
Палей (Paley R. Ε A. C.) [5—2], 129, 170
Парке (Parks R.) [2—18], 30
Парри (Parry С. А ) [9—8], 266, 280
Пейдж (Page J.) [3—33], 77, 91
Пертон (Purton R. F ) [6—23], 193, 198
Пирс (Pierce J. R ) [6—1], 173, 198
Пирсон (Pearson J. В ) [7—28], 201, 224
Питер (Peter Μ.) [2—23], 27, 49
Понтрягин Л. С. (Pontryagin L. S.) [3—15],
65, 76, 90
Престон (Preston G. W.) [2—14], 27, 49;
[3—23], 78, 91
Райе (Rice S. О ) [5—21], 159, 170
Payx (Rauch Η ) [Π—10], 320, 325
Payx (Rauch L. L.) [9—7], 266, 280
Ректин (Rechtin E) [2—13], 27, 48; [3—28],
73, 78, 91
Рид (Reed I. S) [9—16], 269, 281
Рихтер мл. (Richter Η. L., Jr.) [2—17], 27, 49
Ричмен (Richman D ) [2—12], 27, 48
Робинсон (Robinson Ε. Μ.) Γ3—20], 78
Робинсон (Robinson L. Μ ) [3—31], 77, 91
Родда (Rodda J. L ) [2—22], 27
Роуботем (Rowbotham J. R ) [3—8], 90
Рубин (Rubin W ) [2—21], 27
342

Рут (Root W L ) [2—27], 33
Рутроф (Ruthroff С. L ) [2—7], 26, 48, [2—9],
26, 48, [5—26], 164, 171
Ручкин Д. С. (Ruchkin D S.) [6—17], 193,
198
Рэчел (Rachel Т.) Г4-3], 104, 122; [5-23], 161,
162, 171
Py (Rue A. K) [3-53], 78, 92
Сан (Sann Κ. Η ) [3—46], 50, 92
Сандерс (Sanders R. N.) [6—2] 173, 198
Саннеман (Sanneman R W.) [3—8], 90
Силверман (Silverman L. Μ.) [Π—5], 296,
324
Силински (Celinski О ) [3—50], 78, 92
Сиски (Syski R ) [3—50], 78, 92
Слепян (Slepian D ) [5—6], 141, 170
Смит (Smith В ) [6—18], 193, 198
Смит (Smith Ε F ) [9—13], 266, 280
Снайдер (Snyder D) [4—2], 100, 121, 122;
[5—5], 152, 153, 170; [7—7], 212, 223;
[7-8], 212, 214, 222, 223
Соеда (Soeda T.) [7—18], 201, 223
Соренсон (Sorenson Η W ) [7—19], 201, 223
Спилкер мл. (Spilker J. J., Jr.) [2—10], 26,
48; [6—9], 193, 198
Спэнг (Spang H. A ) [6—20], 193, 198;
[6-21], 193, 198
Сридхар (Sridhar R ) [7—4], 206, 223;
[7—6], 206, 223
Стабберад (Stuberrud A. R.) [7—19], 201,
223
Стамперс (Stumpers F. L. Η. Μ.) [4—19],
106, 123
Стиер (Stear Ε Β ) [7—32], 201, 224
Стивене (Stevens R ) [2—17], 27
Стилтц (Stiltz Η ) [9—12], 266, 280
Стиффлер (Stiffler J. J ) [9—18], 269, 281;
[9—16], 269, 281
Стратонович Р. Л (Stratonovich R. L )
[3—19], 68, 91; [7—16], 201, 223
Стрендберг (Strandberg M. W. Ρ ) [2—23],
26, 49; [3—47], 50, 92
Стрибел (Striebel С ) [Π—10], 320, 325
Стюарт (Stewart J ) [4—9], 106, 122
Сферрацца (Sferrazza Ρ ) [2—21], 27
Сэмпсон (Sampson W. F ) [2—17], 27
Такер (Tucker D. D) [3—21], 78, 91
Танг (Tung F.) [П—10], 320, 325
Таусворт (Tausworthe R ) [3—27], 70, 91
Телье (Tellier J С ) [3—23], 78, 91
Тирап (Thirup G ) [2—24], 27, 49
Тихонов В. И. (Tikhonov V I ) [3—15], 65,
68, 90; [3—16], 65, 90; [3—17], 65, 90
Тотти (Totty R E.) [6—30], 193, 199
Траксел (Truxal J. G ) [3—7], 60, 90
Уивер (Weaver С S.) [2—16], 27, 49
Уленбек (Uhlenbeck G Ε ) [3—13], 65, 90,
[3—14], 65, 90
Фано (Fano R. Μ ) [6—6], 189, 198
Фей (Fey L) [3-1], 50, 95; [3-43], 50, 9l
Филлипс (Phillips R S ) [3—37], 82, 91
Фишер (Fisher J R) [7—10], 216, 223;
[7-31], 201, 224; [7-32], 201, 224
Фразье (Frazier J P) [3—33], 77, 91
Фразье (Frazier Μ ) [Π—9], 319, 324, 325
Фрай (Fry Т. С) [1—2], 17, 20; [4-17], Юб,
123
Фриденхолл (Fredenhall G. L.) [2—25], 27
Фридленд (Friedland В ) [7—20], 201, 223
Фрост (Frost P. А.) [7—33], 201, 224
Фуллер (Fuller Η. W ) [5—18], 159, 170:
[5-19], 159, 170; [5-20], 159, 170
Ханд (Hund A) [4—21], 106, 123
Харрис (Harris В ) [4—11], 106, 123
Хаффмен (Huffman D А) [6—7], 189, 198
Хеймер (Hamer R ) [4—15], 106, 123
Хейтцман (Heitzman R. Ε ) [2—5], 26, 48·
[5—25], 164, 171
Холл (Hall С. С ) [3—51], 78, 92
Холзингер (Holsinger J. L.) [5—8], 141, 170
[6—8], 191, 193, 196, 198
Холтцмен (Holtzman J M) [3—53], 78, 92
Χοπκροφτ (Hopcroft G Ε ) [6—12], 193, ig8
Хуанг (Huang J. J. Y.) [6—10], 193,- 198
Хэддед (Haddad A. H) [7-27], 201, 224
Хэнкок (Hancock) [9—20], 269, 281
Хайкин (Chaikin С. Э.) [3—6], 60
Чанг (Chang Т.) [4—4], 105, 122, [5—221
161, 170
Чаффи (Chaffee J G ) [2—1], 26, 48; [2-^-2]
26, 48; [2—6], 26, 48
Чейз (Chase D ) [9—19], 269, 281
Чилдерс (Childers D. G) [9—10], 266, 280
Шафт (Shaft Ρ Β ) [3—29], 76, 91; [3—491
76, 92
Шварц (Schwartz L) [7—12], 201, 223
Шварц (Schwartz R J ) [6—26], 193, 199
Шеннон (Shannon С Ε ) [5—4], 141, 17q·
[6—1], 173, 198
Штиглиц (Steightz К ) [6—12], 193, 198
Шультхейс (Schultheiss Ρ Μ) [5—9], 141
170; [6—10], 193, 198; [6—21], 193, 198
Эванс (Evans W. R.) [3—25], 81, 91
Эдсон (Edson W. A.) [3—1], 50
Эктон (Acton R. A ) [4—15], 106, 123
Элпайн (Alpine G. A ) [4—24], 106, 123
Эспозито (Esposito R.) [3—40], 50, 91
Этане (Athans Μ ) [7—22], 201, 224
Эткинсон (Atkinson W. R.) [3—4], 50, 91·
[3—43], 50, 91
Язвински (Jazwinski A. H.) [7—15], 201

Ван Трис Г.
В17 Теория обнаружения, оценок и модуляции.
Том. II. Теория нелинейной модуляции. Нью-Йорк,
1971. Пер. с англ., под ред. проф. В. Т. Горяинова.
М., «Сов. радио», 1975.
344 с. с ил.
Всесторонне рассмотрены теоретические и практические аспекты
оптимального приема радиосигналов с аналоговыми нелинейными
видами модуляции. Получены оптимальные схемы радиоприемных устройств,
сравнивается помехоустойчивость систем передачи информации в
аналоговой и цифровой формах при ограничениях по порогу
помехоустойчивости и ширине спектра радиосигнала.
Книга представляет интерес для инженеров, аспирантов и научных
работников, специализирующихся в радиосвязи, радиолокации,
гидролокации и телеуправления, а также для студентов
„ 30401-013
В 046(01)-75 Ь75 6Ф2·4
Г. ВАН ТРИС
ТЕОРИЯ ОБНАРУЖЕНИЯ, ОЦЕНОК И МОДУЛЯЦИИ
ТОМ II
Теория нелинейной
модуляции
Редактор К. И. Кучумова
Художественный редактор: 3. Е. Вендрова
Технические редакторы 3. И. Яковлева, Г.А. Мешкова
Корректор Л. А. Максимова
Сдано в набор 6.IX. 1974 г. Подписано в печать 3.1.1975 г.
Формат 60X90Vie Бумага типографская № 2
Объем 21,5 усл. п. л., 21,729 уч.-изд. л.
Тираж 10 000 экз. Зак. 1128 Цена 1 р. 66 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Москва, И-41. Б. Переяславская ул., дом 46